harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( b _ { 1 } ^ { 2 } - b _ { 4 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( b _ { 2 } ^ { 2 } - b _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 ( b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 4 } ^ { 2 } ) ( b _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 3 } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { Q _ { V ^ { * } } ( u _ { i } , u _ { j } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { j - 2 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j - 2 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { j - 1 } ) + 2 ( - 1 ) ^ { i - 2 } } \\ & { + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { j - 3 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j - 3 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { j - 2 } ) + 2 ( - 1 ) ^ { i - 2 } } \\ & { + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 3 } , x _ { j - 2 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { j - 2 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 3 } , x _ { j - 1 } ) + 2 ( - 1 ) ^ { i - 3 } } \\ & { + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 3 } , x _ { j - 3 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { j - 3 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 3 } , x _ { j - 2 } ) + 2 ( - 1 ) ^ { i - 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle = } & { - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle - \eta \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { + } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { - } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle } \\ { = } & { - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle + \eta \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { - } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle } \\ { \le } & { \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } } & { { } = f _ { 1 } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) : = w _ { 1 } y + w _ { 2 } z } \\ { \dot { y } } & { { } = f _ { 2 } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) : = w _ { 3 } x + w _ { 4 } y } \\ { \dot { z } } & { { } = f _ { 3 } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) : = w _ { 5 } + w _ { 6 } z + w _ { 7 } x z } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \hat { \cal K } } ^ { ( 2 ) } } } & { { = } } & { { d { \hat { \omega } } ^ { ( 1 ) } + l _ { p } ^ { - 2 } \, \partial { \hat { X } } ^ { M } \partial { \hat { X } } ^ { N } ( i _ { \hat { k } } { \hat { C } } ^ { ( 3 ) } ) _ { M N } \, , } } \end{array}
\mathbf { A } [ \circ ] \mathbf { B } = \left[ { \begin{array} { c c c c c c c c c } { 1 } & { 8 } & { 2 1 } & { 2 } & { 1 6 } & { 4 2 } & { 3 } & { 2 4 } & { 6 3 } \\ { 3 2 } & { 1 0 0 } & { 3 0 } & { 4 0 } & { 1 2 5 } & { 2 4 0 } & { 4 8 } & { 1 5 0 } & { 3 6 } \\ { 1 4 } & { 6 4 } & { 2 7 } & { 1 4 } & { 3 2 } & { 1 8 } & { 4 9 } & { 2 4 } & { 8 1 } \end{array} } \right]
T = - \frac { 1 } { 2 } ( \partial X ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 k } } \partial ^ { 2 } \phi - \frac { 1 } { 2 } ( \partial H ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \left\{ Q _ { U ( 1 ) } , ~ \frac { 1 } { \sqrt { 2 ( k + 2 ) } } \eta ( - \partial u + i \partial v ^ { \prime } ) \right\} .
\begin{array} { r l r } { { \mathbb J } _ { 1 } } & { { } \approx } & { { \mathbb L } _ { 3 } = { \mathbb X } _ { 4 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 2 } } & { { } \approx } & { { \mathbb K } _ { 2 } + { \mathbb L } _ { 1 } = { \mathbb X } _ { 2 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 3 } } & { { } \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 1 } + { \mathbb L } _ { 2 } = - \, { \mathbb X } _ { 1 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 4 } } & { { } \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 3 } = - \, { \mathbb X } _ { 3 } . } \end{array}
E _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } { e ^ { 2 \pi i \alpha } + 1 } } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { \mathrm { f o r } \quad \alpha - \frac { 1 } { 2 } \notin \mathbb { Z } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { p _ { 1 } } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } & & { \mathrm { f o r } \quad \alpha + \frac { 1 } { 2 } \in \mathbb { N } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { p _ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { \mathrm { f o r } \quad \frac { 1 } { 2 } - \alpha \in \mathbb { N } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { P _ { 2 } ( \vec { r } ( t ) , \theta ( t ) , \vec { r } _ { 2 } ( t ) , \theta _ { 2 } ( t ) , t ) = } \\ & { } & { P _ { 2 } ( \vec { r } ( t _ { 0 } ) , \theta ( t _ { 0 } ) , \vec { r } _ { 2 } ( t _ { 0 } ) , \theta _ { 2 } ( t _ { 0 } ) , t _ { 0 } ) \; \mathrm { e x p } \Bigg [ 2 \Gamma \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \tilde { t } \, \mathrm { c o s } \{ \theta _ { 2 } ( \tilde { t } ) - \theta ( \tilde { t } ) \} \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { r } } & { { } = { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial { \dot { r } } } } = { \frac { \partial T } { \partial { \dot { r } } } } = ( M + m ) { \dot { r } } } \\ { p _ { \theta } } & { { } = { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial { \dot { \theta } } } } = { \frac { \partial T } { \partial { \dot { \theta } } } } = m r ^ { 2 } { \dot { \theta } } } \\ { \therefore { \mathcal { H } } } & { { } = { \frac { p _ { r } ^ { 2 } } { 2 ( M + m ) } } + { \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { 2 m r ^ { 2 } } } + M g r - m g r \cos { \theta } } \end{array}
V _ { \mathrm { L J } } ( r ) = 4 \varepsilon _ { \mathrm { L J } } \left[ \left( \frac { \sigma _ { \mathrm { L J } } } { r } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma _ { \mathrm { L J } } } { r } \right) ^ { 6 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \Phi } _ { s } [ k ] , \: \mathbf { w } _ { k } } \quad } & { \left| \left( \sum _ { s = 1 } ^ { S } \mathbf { g } _ { s k } ^ { T } \boldsymbol { \Phi } _ { s } [ k ] \mathbf { H } _ { s } + \mathbf { f } _ { k } ^ { T } \right) \mathbf { w } _ { k } \right| ^ { 2 } } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { \| \mathbf { w } _ { k } \| ^ { 2 } \leqslant 1 } \\ { \quad } & { \phi _ { s n } [ k ] \in [ 0 , 2 \pi ) , \: \forall s \in \mathcal { S } , \forall n \in \mathcal { N } _ { s } , \forall k \in \mathcal { K } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { X } ( t ) } { d t } = } & { { } ( \mathbf { M } ( t ) - \Gamma _ { p } ( t ) - \gamma ) \ \mathbf { X } ( t ) + \Gamma _ { p } ( t ) \mathbf { X } _ { \mathrm { i n } } + \gamma \mathbb { X } _ { 0 } , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \varphi _ { v \omega _ { z } - w \omega _ { y } } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) \ d k _ { x } \, d k _ { z } = \langle { v \omega _ { z } } - { w \omega _ { y } } \rangle ( y )
( { \mathrm { ~ \boldmath ~ J ~ } } - \lambda _ { 0 } \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ B ~ } } ) ^ { - 1 } \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ B ~ } } \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } } = \vartheta \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } } ,
Y _ { z } \sim Y _ { u } ^ { ( I ) } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \lambda ^ { 6 } } } & { { 0 } } \\ { { \lambda ^ { 6 } } } & { { \lambda ^ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( \mathrm { c o l l i s i o n ~ b e t w e e n ~ 1 ~ a n d ~ } i | K _ { n } } & { \ge k , \tilde { K } _ { n } \ge \tilde { k } ) } \\ & { \le \operatorname* { P r } ( \mathrm { c o l l i s i o n ~ b e t w e e n ~ 1 ~ a n d ~ } i | | K _ { n } = k , \tilde { K } _ { n } = \tilde { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { t } \langle b \rangle = } & { - ( \gamma _ { c } + i \nu ) \langle b \rangle + N g ^ { * } \langle v ^ { \dagger } c \rangle } \\ { d _ { t } \langle c ^ { \dagger } v \rangle = } & { - ( \gamma - i \nu _ { \epsilon } ) \langle c ^ { \dagger } v \rangle + g ^ { * } \langle b ^ { \dagger } \rangle ( 2 \langle c ^ { \dagger } c \rangle - 1 ) } \\ { d _ { t } \langle c ^ { \dagger } c \rangle = } & { r ( 1 - \langle c ^ { \dagger } c \rangle ) - ( \gamma _ { n r } + \gamma _ { n l } ) \langle c ^ { \dagger } c \rangle } \\ & { - 2 \Re \{ g ( \delta \langle b _ { q } c ^ { \dagger } v \rangle + \langle b _ { q } \rangle \langle v ^ { \dagger } c \rangle ) \} } \\ { d _ { t } \delta \langle b c ^ { \dagger } v \rangle = } & { - ( \gamma _ { c } + \gamma - i \Delta \nu ) \delta \langle b c ^ { \dagger } v \rangle } \\ & { + g ^ { * } \left[ \langle c ^ { \dagger } c \rangle + \delta \langle b ^ { \dagger } b \rangle \left( 2 \langle c ^ { \dagger } c \rangle - 1 \right) - \vert \langle c ^ { \dagger } v \rangle \vert ^ { 2 } \right] } \\ { d _ { t } \delta \langle b ^ { \dagger } b \rangle = } & { - 2 \gamma _ { c } \delta \langle b ^ { \dagger } b \rangle + 2 N \Re \left( g \delta \langle b c ^ { \dagger } v \rangle \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \nabla \cdot w \mu \nabla g \rVert _ { L ^ { s } ( I , X _ { \vartheta + \frac { \epsilon } { 2 } } ) } } & { \leq \lVert w \mu \nabla g \rVert _ { L ^ { s } ( I , H ^ { \vartheta + \frac { \epsilon } { 2 } , p } ) } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { t \in \overline { I } } \, \lVert w ( t ) \mu \rVert _ { \mathcal { L } ( H ^ { \vartheta + \frac { \epsilon } { 2 } , p } ) } \lVert g \rVert _ { L ^ { s } ( I , H ^ { 1 + \vartheta + \frac { \epsilon } { 2 } , p } ) } < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { = \varepsilon ^ { i j k } \int _ { D } K ^ { j } ( x , \eta ) \sigma _ { \varepsilon } ^ { k } ( \eta , t ) \textrm { d } \eta } \\ & { + \varepsilon ^ { i j k } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ Q _ { l } ^ { k } ( \eta , t ; 0 ) 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } K ^ { j } ( x , X _ { t } ^ { \eta } ) \right] W _ { \varepsilon } ^ { l } ( \eta , 0 ) \textrm { d } \eta } \\ & { + \varepsilon ^ { i j k } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ Q _ { l } ^ { k } ( \eta , t ; s ) 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } K ^ { j } ( x , X _ { t } ^ { \eta } ) g _ { \varepsilon } ^ { l } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \textrm { d } \eta \textrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \left( T \right) _ { 1 , j , k } = \frac { T _ { t } } { 1 + \frac { 1 } { 2 } ( \gamma - 1 ) ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + w ^ { 2 } ) _ { 1 , j , k } } \, } } & { { \mathrm { a n d } } } & { { \left( p \right) _ { 1 , j , k } = \frac { 1 } { \gamma } ( T ) _ { 1 , j , k } ^ { \frac { \gamma } { \gamma - 1 } } \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial a } { \partial t } } & { { } = - a + \sqrt { 2 } a _ { i n } . } \\ { a _ { i n } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( w _ { 1 } ( t ) + i w _ { 2 } ( t ) \, \right) } \\ { a _ { o u t } } & { { } = \sqrt { 2 } a - a _ { i n } } \end{array}
\dot { \cal G } _ { B } ( \tau _ { i } , \tau _ { i } ) \rightarrow \dot { \cal G } _ { B } ( \tau _ { i } , \tau _ { i } ) - { \cal G } _ { F } ( \tau _ { i } , \tau _ { i } ) = { \frac { i } { \mathrm { s i n } ( e F T ) \mathrm { c o s } ( e F T ) } } - { \frac { i } { e F T } } \quad .
{ \hat { \mathbf { T } } } _ { \mathbf { n } } \psi ( \mathbf { r } ) = \psi ( \mathbf { r } + \mathbf { T } _ { \mathbf { n } } ) = \psi ( \mathbf { r } + n _ { 1 } \mathbf { a } _ { 1 } + n _ { 2 } \mathbf { a } _ { 2 } + n _ { 3 } \mathbf { a } _ { 3 } ) = \psi ( \mathbf { r } + \mathbf { n } \cdot \mathbf { a } )
\epsilon ( x _ { 0 } ) = { \hat { Z } } ( x _ { 0 } ) - Z ( x _ { 0 } ) = { \left[ \begin{array} { l l } { W ^ { T } } & { - 1 } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l l l l } { Z ( x _ { 1 } ) } & { \cdots } & { Z ( x _ { N } ) } & { Z ( x _ { 0 } ) } \end{array} \right] } ^ { T } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } ( x _ { 0 } ) \times Z ( x _ { i } ) - Z ( x _ { 0 } ) .
\hat { x } = x / d _ { 0 } \, , \hat { L } = L / d _ { 0 } \, , \hat { R } = R / d _ { 0 } \, , \hat { u } = u / U _ { 0 } \, , \hat { p } = p / ( \rho _ { g } U _ { 0 } ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { l _ { 2 } ( x + 2 ) - l _ { 2 } ( x ) } & { = \sum _ { k = n - i + 1 } ^ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { n - i + 1 } \, ( n - 1 ) ! } { ( n - k ) ! \, ( n - i ) ! \, ( i + k - n - 1 ) ! } \, \bigl [ x ^ { k - 1 } - ( x + 1 ) ^ { k - 1 } \bigr ] } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n - i + 1 } \, \binom { n - 1 } { i - 1 } \cdot \sum _ { k = n - i + 1 } ^ { n } \binom { i - 1 } { n - k } \, \bigl [ x ^ { k - 1 } - ( x + 1 ) ^ { k - 1 } \bigr ] . } \end{array}
\Gamma _ { 1 } ^ { p } ( Q ^ { 2 } ) - \Gamma _ { 1 } ^ { n } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 6 } \, g _ { A } \left( 1 - \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \right) \, .
G _ { + } \left( q ^ { 2 } \right) = g _ { \sigma q \bar { q } } \left( \frac { f _ { D } } { m _ { c } + m _ { d } } \right) \frac { m _ { D } ^ { 2 } - 2 m _ { d } \left( m _ { c } + m _ { d } \right) } { m _ { D } ^ { 2 } - m _ { c } ^ { 2 } + m _ { d } ^ { 2 } } \frac 1 { 1 - \frac { q ^ { 2 } } { m _ { D } ^ { 2 } } - a \frac { k ^ { 2 } } { m _ { D } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq x \leq \ell } \left| \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } { \Delta } ^ { 2 } u \left( x , { t } _ { k - 1 } \right) \right| \leq \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq x \leq \ell } \left| \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } { \widetilde R } _ { 1 } \left( x , { t } _ { k - 1 } \right) \right| + \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq x \leq \ell } \left| \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } { \widetilde R } _ { 1 } \left( x , { t } _ { k + 1 } \right) \right| \leq { \mathrm { c } } _ { 2 1 } { \tau } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( c | z _ { 1 } , z _ { 2 } , . . . , z _ { t } ) } & { = \frac { p ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , . . . , z _ { t } | c ) p ( c ) } { p ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , . . . , z _ { t } ) } } \\ & { \propto p ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , . . . , z _ { t } | c ) p ( c ) } \\ & { = p ( c ) \prod _ { i = 1 } ^ { t } p ( z _ { i } | c ) } \end{array}
\chi _ { 2 s } \equiv \frac { 1 } { m } g ^ { i j } \frac { \partial f _ { s } } { \partial q ^ { i } } \left( \Pi _ { j } - A _ { j } - \lambda ^ { t } \frac { \partial f _ { t } } { \partial q ^ { j } } \right) \approx 0 \; .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq \bigg ( \frac { 2 \Delta } { \eta } + \frac { 2 7 b \sigma ^ { 2 } } { 3 2 b _ { 1 } \alpha _ { 1 } } + \frac { 3 6 \tilde { L } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \mu \gamma } + \frac { 3 6 L ^ { 2 } \Delta _ { u } } { \mu \tau } + \frac { b ^ { 2 } M ^ { 2 } C _ { \sigma , \zeta } \ln ( T ) } { 8 \tilde { L } } \bigg ) \frac { 1 } { T \alpha _ { T } } } \end{array}
S _ { \pi } ( 2 ) = - { \frac { e ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { 2 g ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } } \langle \pi | \int d ^ { 4 } p \pi _ { a } ( p ) \pi _ { a } ( - p ) ( 2 \pi ) ^ { 4 } \Gamma _ { 2 } ( p ^ { 2 } ) | \pi \rangle
\Delta I ( p ^ { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 0 } L _ { 1 } , w , \epsilon ) = \sum _ { N > 0 } ( \frac { 1 } { L _ { 1 } ^ { 2 } M _ { N } ^ { 2 } } ) ^ { \epsilon } I ( \frac { p ^ { 2 } } { M _ { N } ^ { 2 } } , \epsilon ) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d } { d s } \left( \begin{array} { l } { { \Theta } } \\ { { \Theta } ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \Theta } ^ { \prime } } \\ { - f ( { \Theta } ) - { \mathcal M } { \Theta } + c { \Theta } ^ { \prime } } \end{array} \right) \, , } \\ { \left( \begin{array} { l } { { \Theta } ( - \infty ) } \\ { { \Theta } ^ { \prime } ( - \infty ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \, , \left( \begin{array} { l } { { \Theta } ( + \infty ) } \\ { { \Theta } ^ { \prime } ( + \infty ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array} \right.
\tilde { w } = - \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( \frac { \tilde { r } H _ { a } ( x ) } { \tilde { \eta } } \frac { \partial \langle \tilde { P } \rangle } { \partial \tilde { r } } \left( \frac { \tilde { z } ^ { 3 } } { 6 } - \frac { \tilde { h } \tilde { z } ^ { 2 } } { 2 } \right) \right) .
W _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ S ~ } } = \sum _ { j } A _ { j } \left[ \frac { k _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ S ~ } } } { 1 2 } \left( I _ { 1 , j } ^ { 2 } + 2 I _ { 1 , j } - 2 I _ { 2 , j } \right) + \frac { k _ { \scriptsize \alpha } } { 1 2 } I _ { 2 , j } ^ { 2 } \right] \ ,
a _ { 1 } ( t ) = \Biggl [ \frac { 6 \pi } { m _ { P } ^ { 2 } } \Bigl ( n + \frac { 1 } { 2 } \Bigr ) m t ^ { 2 } \Bigl ( 1 + \frac { 1 } { 2 m ^ { 2 } t ^ { 2 } } \Bigr ) \Biggr ] ^ { 1 / 3 }
\begin{array} { l c l } { f { \bigl ( } { } ^ { 1 } \! \! / \! _ { 3 } { \bigr ) } = f ( 0 . 0 { \overline { { 2 } } } _ { 3 } ) = 0 . 0 { \overline { { 1 } } } _ { 2 } = \! \! } & { \! \! 0 . 1 _ { 2 } \! \! } & { \! \! = 0 . 1 { \overline { { 0 } } } _ { 2 } = f ( 0 . 2 { \overline { { 0 } } } _ { 3 } ) = f { \bigl ( } { } ^ { 2 } \! \! / \! _ { 3 } { \bigr ) } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \delta J ( \alpha ) \; = \sum _ { k = 1 } ^ { N } < \eta _ { k } , \delta x _ { k } > \; \; \; \mathrm { ~ \; ~ f ~ o ~ r ~ m ~ o ~ r ~ e ~ d ~ e ~ t ~ a ~ i ~ l ~ s ~ r ~ e ~ f ~ e ~ r ~ } } \\ { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = \sum _ { k = 1 } ^ { N } < \eta _ { k } , V _ { k } \delta \alpha > } \\ { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = < \sum _ { k = 1 } ^ { N } V _ { k } ^ { T } \eta _ { k } , \delta \alpha > } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { \rightarrow } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { | t | \cdot e ^ { i \phi _ { t } } } & { 0 } \\ { | t _ { + - } | \cdot e ^ { i \phi _ { \mathrm { H P } } } } & { | t | \cdot e ^ { i \phi _ { t } } } \end{array} \right] = \left( \mathcal { T } _ { \leftarrow } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { \mathcal { R } _ { \leftarrow } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { | t | \cdot e ^ { i ( 2 \phi _ { \mathrm { H P } } - \phi _ { t } ) } } \\ { | t | \cdot e ^ { i ( 2 \phi _ { \mathrm { H P } } - \phi _ { t } ) } } & { - | t _ { + - } | \cdot e ^ { i \phi _ { \mathrm { H P } } } } \end{array} \right] = \left( \mathcal { R } _ { \leftarrow } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { \mathcal { R } _ { \rightarrow } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { | t _ { + - } | \cdot e ^ { i ( 4 \phi _ { t } - 3 \phi _ { \mathrm { H P } } ) } } & { - | t | \cdot e ^ { i ( 3 \phi _ { t } - 2 \phi _ { \mathrm { H P } } ) } } \\ { - | t | \cdot e ^ { i ( 3 \phi _ { t } - 2 \phi _ { \mathrm { H P } } ) } } & { 0 } \end{array} \right] = \left( \mathcal { R } _ { \rightarrow } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { T } ^ { a \rightarrow b } F } & { { } = \frac { \partial f } { \partial C _ { 1 1 1 1 } ^ { H } } D _ { T } ^ { a \rightarrow b } C _ { 1 1 1 1 } ^ { H } + \frac { \partial f } { \partial C _ { 2 2 2 2 } ^ { H } } D _ { T } ^ { a \rightarrow b } C _ { 2 2 2 2 } ^ { H } + \frac { \partial f } { \partial C _ { 3 3 3 3 } ^ { H } } D _ { T } ^ { a \rightarrow b } C _ { 3 3 3 3 } ^ { H } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { 1 } ^ { k l } } { m _ { k } } } \le \sqrt { b _ { k } ^ { s } } \, e ^ { - \nu _ { k e } \, t } \le \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { 2 } ^ { k l } } { m _ { k } } } \, , } \end{array}
0 = \left. \left[ J ^ { A } \, \delta _ { \xi } \Phi _ { A } + \delta _ { \xi } S _ { G F } \right] \right| _ { \Phi _ { A } \rightarrow \frac { \delta } { \delta J ^ { A } } } \, W ( J ) + d i s c o n n e c t e d ~ ~ t e r m s .
\begin{array} { r l } { n _ { n u c } ^ { ( 0 ) } ( - \infty ) } & { { } = n _ { s } } \\ { n _ { n u c } ^ { ( 0 ) } ( \infty ) } & { { } = n _ { e } } \\ { { \frac { d n _ { n u c } ^ { ( 0 ) } } { d \tau } } ( \pm \infty ) } & { { } = 0 \, . } \end{array}
\left( \frac { \sum _ { 0 \le j < k / 2 } a _ { 2 j + 2 } / 8 - B _ { k } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \cdot \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \log 2 } k } , \frac { - \sum _ { 0 \le j < k / 2 } a _ { 2 j + 1 } / 8 + B _ { k } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \cdot \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \log 2 } k } \right) \overset { d } { \to } \mathrm { S t a b } ( 1 , 1 ) \otimes \mathrm { S t a b } ( 1 , - 1 ) \qquad \textrm { a s } k \to \infty .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \mathrm { a b s } } ( { \bar { Z } } _ { 1 } ; \bar { F } _ { 1 } ) } & { : = \left\{ \omega \in \Omega ( { \bar { Z } } _ { 1 } ; \bar { F } _ { 1 } ) : i _ { \frac { \partial } { \partial s } } \omega = 0 , i _ { \frac { \partial } { \partial s } } d ^ { { \bar { Z } } _ { 1 } } \omega = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \{ 0 \} \times Y \right\} , } \\ { \Omega _ { \mathrm { r e l } } ( { \bar { Z } } _ { 2 } ; \bar { F } _ { 2 } ) _ { T } } & { : = \left\{ \omega \in \Omega ( { \bar { Z } } _ { 2 } ; \bar { F } _ { 2 } ) : d s \wedge \omega = 0 , d s \wedge \delta _ { T } ^ { { \bar { Z } } _ { 2 } , * } \omega = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \{ 0 \} \times Y \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { p } ^ { ( n ) } } { \partial t } } & { = \mathbf { A } ^ { p } \left[ \mathbf { p } ^ { ( n ) } \left( t \right) , \mathbf { q } ^ { ( n - 1 ) } \left( t \right) \right] + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { p } \left[ \mathbf { p } ^ { ( n ) } \left( t \right) , \mathbf { q } ^ { ( n - 1 ) } \left( t \right) \right] \cdot \mathbf { w } ^ { p } \left( t \right) \, } \\ { \frac { \partial \mathbf { q } ^ { ( n ) } } { \partial t _ { - } } } & { = \mathbf { A } ^ { q } \left[ \mathbf { p } ^ { ( n - 1 ) } \left( t _ { - } \right) , \mathbf { q } ^ { ( n ) } \left( t _ { - } \right) \right] + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { q } \left[ \mathbf { p } ^ { ( n - 1 ) } \left( t _ { - } \right) , \mathbf { q } ^ { ( n ) } \left( t _ { - } \right) \right] \cdot \mathbf { w } ^ { q } \left( t _ { - } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta p } & { = \frac { 2 D \eta } { R _ { 0 } b } \mathrm { P e } + k _ { \mathrm { B } } T \rho _ { 0 } \sum _ { i , n , m } F ( H ; \beta _ { i } ( x ) { \rho _ { i } } _ { m } ^ { n } ( x ) ) \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { n + 1 } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } - k _ { \mathrm { B } } T \rho _ { 0 } \sum _ { i , n , m } p _ { i } { J _ { i } } _ { m } ^ { n } \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { n } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \varphi ( y , x _ { 0 } ) - y _ { 0 } \Vert } & { = \Vert \varphi ( y , x _ { 0 } ) - \varphi ( y _ { 0 } , x _ { 0 } ) \Vert } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq 1 } \Vert D _ { y } \varphi ( ( 1 - t ) y _ { 0 } + t y , x _ { 0 } ) \Vert \Vert y - y _ { 0 } \Vert } \\ & { \leq M _ { y } K _ { y y } \Vert y - y _ { 0 } \Vert \Vert y - y _ { 0 } \Vert } \\ & { \leq M _ { y } K _ { y y } P \Vert y - y _ { 0 } \Vert } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \Vert y - y _ { 0 } \Vert , \forall y \in \mathrm { B } ( y _ { 0 } , P ) , } \end{array}
\epsilon = \frac { q } { 4 \pi r ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { \alpha } { 3 \pi } \left( \ln \frac { 1 } { ( \gamma m r ) ^ { 2 } } - \frac 5 3 \right) \right] , \qquad r \ll m ^ { - 1 } ,
\left\lVert \epsilon _ { r , t } \epsilon _ { s , t } - \mathbb { E } \epsilon _ { r , t } \epsilon _ { s , t } \right\rVert _ { L _ { m / 2 } } ^ { m / 2 } \leq C \left\lVert \epsilon _ { r , t } \epsilon _ { s , t } \right\rVert _ { L _ { m / 2 } } ^ { m / 2 } \leq C \left\lVert \epsilon _ { r , t } \right\rVert _ { L _ { m } } ^ { m / 2 } \left\lVert \epsilon _ { s , t } \right\rVert _ { L _ { m } } ^ { m / 2 } \leq C ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } ( \tau ) = } & { \left\{ \varepsilon + \hbar \omega / 2 + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } t _ { i } \cos \left[ \textbf { q } \cdot \textbf { b } _ { i } + \theta _ { i } ( \tau ) \right] \right\} \sigma _ { z } } \\ & { + \left[ \eta _ { s p } \hbar \omega K _ { x } \cos ( \omega \tau ) + \eta _ { s p } \hbar \omega K _ { y } \cos ( \omega \tau + \varphi ) \right] } \\ & { \times \left[ \sigma _ { x } \cos ( \omega \tau ) - \sigma _ { y } \sin ( \omega \tau ) \right] / 2 . } \end{array}