harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal H } _ { \mathrm { e f f } } = c _ { g } ( m _ { b } ) \, g _ { s } \, \bar { s } \, ( 1 + \gamma _ { 5 } ) \sigma _ { \mu \nu } G ^ { \mu \nu } b + c _ { \gamma } ( m _ { b } ) \, e \, \bar { s } \, ( 1 + \gamma _ { 5 } ) \sigma _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } b + \dots \, .
\begin{array} { r l r } { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \} } & { = } & { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \} = \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \} = \dots } \\ & { \equiv } & { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \} \{ \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \} } \\ & { = } & { \left( \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } - f _ { i } \right) \left( \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } - f _ { j } \right) } \\ & { = } & { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } - f _ { j } \, \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } - f _ { i } \, \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } + f _ { i } f _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { \mu \nu } } & { { } = ( \epsilon + P ) u ^ { \mu } u ^ { \nu } + P \, g ^ { \mu \nu } - r ^ { \mu \nu } } \\ { J } & { { } = u \wedge n - \tilde { c } _ { \phi } \, { * \tilde { \mu } } + { \cal J } , } \\ { L } & { { } = u \wedge n _ { \ell } + { \cal L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } W } & { = - ( \frac { \partial F } { \partial W } ) \partial _ { x } W - ( \frac { \partial G } { \partial W } ) \partial _ { y } W , } \\ { \partial _ { t x } W } & { = - ( \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial W ^ { 2 } } \partial _ { x } W ) ( \partial _ { x } W ) - ( \frac { \partial F } { \partial W } ) \partial _ { x x } W - ( \frac { \partial ^ { 2 } G } { \partial W ^ { 2 } } \partial _ { x } W ) ( \partial _ { y } W ) - ( \frac { \partial G } { \partial W } ) \partial _ { x y } W , } \\ { \partial _ { t y } W } & { = - ( \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial W ^ { 2 } } \partial _ { y } W ) ( \partial _ { x } W ) - ( \frac { \partial F } { \partial W } ) \partial _ { x y } W - ( \frac { \partial ^ { 2 } G } { \partial W ^ { 2 } } \partial _ { y } W ) ( \partial _ { y } W ) - ( \frac { \partial G } { \partial W } ) \partial _ { y y } W , } \\ { \partial _ { t t } W } & { = - ( \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial W ^ { 2 } } \partial _ { t } W ) ( \partial _ { x } W ) - ( \frac { \partial F } { \partial W } ) \partial _ { t x } W - ( \frac { \partial ^ { 2 } G } { \partial W ^ { 2 } } \partial _ { t } W ) ( \partial _ { y } W ) - ( \frac { \partial G } { \partial W } ) \partial _ { t y } W , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle d u ( t ) = \left( \mathcal { A } u ( t ) + \theta \mathcal { R } \mathcal { F } ( u ( t ) \right) d t + \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { G } ( z , x , u ( t - ) ) \tilde { N } ( d t , d z ) , } \\ { u ( 0 ) = \theta \mathcal { R } u _ { 0 } . } \end{array} \right.
\hat { W } ( A ( t ) ) = \sum _ { \lambda } r _ { \lambda } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } A ^ { i j } ( t ) \hat { a } _ { \lambda } ^ { i } \, \hat { b } _ { \lambda } ^ { j } + \sum _ { \gamma } \sum _ { i = 1 } ^ { N } r _ { \gamma } \hat { c } _ { \gamma } ^ { i } ,
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { R l } \ } { \mathrm { R l } _ { 0 } } = \left( \frac { \mathrm { R e } \ } { \mathrm { R e } _ { c } } \right) ^ { \alpha } - 1 , \qquad \mathrm { R e } \geqslant \mathrm { R e } _ { c } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { x } _ { k } } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } x _ { j } \Psi ^ { j k / N } , } \\ { \hat { x } _ { k _ { 2 } , k _ { 1 } } } & { = \sum _ { j _ { 1 } = 0 } ^ { n _ { 1 } - 1 } \sum _ { j _ { 2 } = 0 } ^ { n _ { 2 } - 1 } x _ { j _ { 1 } , j 2 } \Psi ^ { j _ { 2 } k _ { 2 } / n _ { 2 } } \Psi ^ { j _ { 1 } k _ { 2 } / N } \Psi ^ { j _ { 1 } k _ { 1 } / n _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \underline { H } _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } } { d \tau } } & { = \frac { 1 } { 3 \delta } \left( D ^ { \mathbf \nu ^ { \prime } } ( \underline { x } . \Lambda ( \underline { H } , \underline { x } ) ) + D ^ { \mathbf \nu ^ { \prime } } ( \underline { x } ^ { N + 1 } . R ( \underline { H } , \underline { \phi } , \underline { x } ) ) \right) , } \\ { \frac { d \underline { \phi } _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } } { d \tau } } & { = \frac { 1 } { 3 \delta } \left( D ^ { \mathbf \nu ^ { \prime } } ( \underline { x } ^ { - 2 } . \Omega ( \underline { H } , \underline { x } ) ) + D ^ { \mathbf \nu ^ { \prime } } ( \underline { x } ^ { N - 1 } . P ( \underline { H } , \underline { \phi } , \underline { x } ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { A \pm } ^ { s } } & { { } = } & { \left( 1 - \frac { \omega _ { * } } { \omega } \right) _ { \pm } \frac { 1 - \Gamma _ { s } } { b _ { s } } - \left( \frac { V _ { A } ^ { 2 } } { b _ { s } } \frac { k _ { \parallel s } b _ { s } k _ { \parallel s } } { \omega _ { \pm } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { * \pm } ^ { s } , } \\ { \sigma _ { * \pm } ^ { s } } & { { } \simeq } & { \left[ 1 + \tau - \tau \Gamma _ { s } \left( 1 - \omega _ { * i } / \omega \right) _ { \pm } \right] / ( 1 - \omega _ { * e } / \omega ) _ { \pm } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { 1 } } & { { } = \int _ { \Omega \setminus \Sigma } \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) \, \mathrm { d } \Omega - \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Omega \setminus \Sigma } \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) \, h _ { T } \, \Big ( \mu ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \Big ) \, \mathrm { d } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { k } : = \langle \lambda _ { d } , \xi _ { k } \rangle = \langle \mathcal { A } 1 , \xi _ { k } \rangle = \langle 1 , \mathcal { A } \xi _ { k } \rangle = \alpha _ { k } \langle 1 , \xi _ { k } \rangle = \alpha _ { k } \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi _ { k } ( x ) d x . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! d u ^ { 2 } \, \Delta \rho ( u ) = a \Delta \langle [ m \bar { \psi } \psi ] \rangle + { \frac { \Delta \langle [ \alpha _ { s } G ^ { 2 } ] \rangle } { 2 \pi } } + 8 \Delta \langle [ \theta _ { 0 0 } ] \rangle \, .
\frac { 2 \widehat { \omega } _ { 1 } \lambda _ { 1 } } { \lambda } > 2 \lambda _ { 1 } \geq \lambda _ { 1 } + ( \hat { \alpha } _ { 1 } ^ { \mathrm { { L F } } } + \beta _ { 1 } ) \frac { \Delta t } { \Delta x }
\exp \: \left( - \frac { \alpha _ { S } C _ { F } } { 4 \pi } \; \ln \left( \frac { M ^ { 2 } } { p _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \; \ln \left( \frac { M ^ { 2 } } { p _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { | | u | | _ { 2 } = 1 } \left| \frac { d ^ { 2 } \tilde { J } ( \alpha ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } | _ { \alpha = 0 } \right| } & { { \le } C _ { 2 } ( \frac { \lambda } { \alpha } + \lambda + \frac { | | \bar { c } | | _ { \infty } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } ) + \frac { 2 \gamma C _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } | | \bar { c } | | _ { \infty } } \\ & { \le 6 ( \frac { \lambda } { \alpha } + \lambda + \frac { | | \bar { c } | | _ { \infty } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } ) + \frac { 8 \gamma } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } | | \bar { c } | | _ { \infty } } \\ & { \le 6 ( \frac { \lambda } { \alpha } + \lambda ) + \frac { 8 } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } | | \bar { c } | | _ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { A B } ( \omega ) = \frac { 1 } { \hbar } \int d q \pi \left[ \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { B } \delta ( \omega - \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } ) \right] + \frac { i } { \hbar } \mathrm { p . v . } \int d q \frac { \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { B } } { \omega - \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { } } & { { < q _ { f } | \hat { U } ( t _ { f } , t _ { i } ) | q _ { i } > = } } \\ { { } } & { { } } \\ { { } } & { { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \prod _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } d q _ { \alpha } \, \prod _ { \alpha = 0 } ^ { N - 1 } d p _ { \alpha } \, \prod _ { \alpha = 0 } ^ { N - 1 } \left[ < q _ { \alpha + 1 } | p _ { \alpha } > < p _ { \alpha } | e ^ { - \frac { i } { \hbar } \epsilon \hat { H } _ { 0 } } | q _ { \alpha } > \right] \ . } } \end{array}
s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \left( \frac { b } { a } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 + \xi } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \frac { \pi } { 1 + \xi } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \left( \frac { b } { a } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 + \xi } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { \pi } { 1 + \xi } } .
\mu \frac { d \langle u _ { f } \rangle } { d y } - \rho _ { f } \langle u _ { f } ^ { \prime } v _ { f } ^ { \prime } \rangle - \rho _ { p } \langle \phi u _ { p } ^ { \prime \prime } v _ { p } ^ { \prime \prime } \rangle = \tau _ { w } \left( 1 - \frac { y } { h } \right) .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { h _ { e } \| J _ { 1 } ( p _ { h } ) \| _ { 0 , e } ^ { 2 } = h _ { e } \| [ [ \alpha p _ { h } ] ] _ { \tau } \| _ { 0 , e } ^ { 2 } = h _ { e } \left\| \boldsymbol { w } _ { h } \right\| _ { 0 , e } ^ { 2 } } } \\ & { } & { \lesssim C _ { 2 } \Big ( \sum _ { \tau \in \omega _ { e } } \left( \| R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } ) \| _ { 0 , \tau } + h _ { e } ^ { 2 } \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } ) \| _ { 0 , \tau } \right) + \| \left( p - p _ { h } , \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { \mathrm { D G } } ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
{ \cal U } _ { i } ( q ) \, { \cal U } _ { k } ( q ^ { \prime } ) + { \cal U } _ { k } ( q ^ { \prime } ) \, { \cal U } _ { i } ( q ) = { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { i k } \delta ( q - q ^ { \prime } ) \quad \quad \quad . \quad ( E q . 1 2 ^ { \, \cite { M a j } } ) \nonumber
\begin{array} { r l } { \mathsf { h } _ { i } ( s , B ) } & { \ensuremath { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \int _ { \mathbb R } S ( Y _ { i } , z ) \, \pi _ { \mathsf { T } ( s ) , i } ( z ) \, \mathrm { d } z - s } \\ & { = \frac { X _ { i } } { \sigma ^ { 2 } \, \| X _ { i } \| } \int _ { \mathbb R } z \, \pi _ { B s , i } ( z ) \, \mathrm { d } z - s \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \boldsymbol { s } _ { t _ { 0 } } ^ { ( \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , i ) } } & { { } = \boldsymbol { s } _ { t _ { 0 } } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ } , i ) } } \\ { \boldsymbol { a } _ { t } ^ { ( \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } ) } } & { { } = \boldsymbol { a } _ { t } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ } , i ) } } \\ { \boldsymbol { \omega } _ { t } ^ { ( \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , i ) } } & { { } = \boldsymbol { \omega } _ { t } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ } , i ) } \enspace . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { p } = c \sqrt { \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } } { n _ { \parallel } ^ { 2 } } + \frac { k _ { z } ^ { 2 } } { n _ { \perp } ^ { 2 } } } , \quad \omega _ { s } = \frac { c } { n _ { \perp } } k , } \end{array}
\varphi \left( t _ { n } + \tau \right) \approx \textrm { e } ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \varphi \left( t _ { n } \right) + \varepsilon ^ { 2 } \cdot \frac { \tau } { 2 } \left[ G \left( \varphi \left( t _ { n } + \tau \right) \right) + \textrm { e } ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } G \left( \varphi \left( t _ { n } \right) \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \rho h \frac { \Bar { d } \; \overline { { v } } _ { x } } { \Bar { d t } } w _ { x } d \Omega } & { { } = - \int _ { \Omega } h \overline { { \sigma } } _ { x x } \frac { \partial w _ { x } } { \partial x } d \Omega - \int _ { \Omega } h \overline { { \sigma } } _ { x y } \frac { \partial w _ { x } } { \partial y } d \Omega - \int _ { \Omega } h \tau _ { x z } ^ { S } w _ { x } d \Omega + \int _ { \Omega } b _ { x } \rho h w _ { x } d \Omega } \\ { \int _ { \Omega } \rho h \frac { \Bar { d } \; \overline { { v } } _ { y } } { \Bar { d t } } w _ { y } d \Omega } & { { } = - \int _ { \Omega } h \overline { { \sigma } } _ { x y } \frac { \partial w _ { y } } { \partial x } d \Omega - \int _ { \Omega } h \overline { { \sigma } } _ { y y } \frac { \partial w _ { y } } { \partial y } d \Omega - \int _ { \Omega } h \tau _ { y z } ^ { S } w _ { y } d \Omega + \int _ { \Omega } b _ { y } \rho h w _ { y } d \Omega } \end{array}
{ \cal C } ^ { \prime \prime } + \biggl \{ \frac { k ^ { 2 } } { 1 + r ^ { 2 } } \biggl [ 1 + r ^ { 2 } \biggl ( - \frac { \eta } { \eta _ { 1 } } \biggr ) ^ { - 3 / 8 } \biggr ] - \frac { 2 } { \eta ^ { 2 } } \biggr \} { \cal C } = 0 ,
\begin{array} { r l } { A ^ { n + 1 } } & { { } = A ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { ( A u ) ^ { n + 1 } } & { { } = ( A u ) ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) + \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \, \partial _ { x } \left( \eta \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { a } ( \vec { r } , t ) } & { { } = } & { \Psi _ { a } ^ { * } ( \vec { r } , t ) \Psi _ { a } ( \vec { r } , t ) = \frac { N ^ { ( a ) } } { N ^ { ( b ) } } \Psi _ { b } ^ { * } ( \vec { r } , t ) \Psi _ { b } ( \vec { r } , t ) = \frac { N ^ { ( a ) } } { N ^ { ( b ) } } \rho _ { b } ( \vec { r } , t ) } \\ { \Psi _ { \alpha } ( \vec { r } , t ) } & { { } = } & { \psi _ { \alpha _ { 1 } } ( \vec { r } , t ) + \psi _ { \alpha _ { 2 } } ( \vec { r } , t ) , \quad \alpha = a , b } \\ { N ^ { ( \alpha ) } } & { { } = } & { N ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } + N ^ { ( \alpha _ { 2 } ) } } \end{array}
{ \cal O } _ { 2 } = { \frac { \alpha _ { s } T _ { F } } { 2 0 \pi } } { \cal F } ^ { \mu \nu } \left( { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 2 8 } } \, { \frac { \partial ^ { 2 } } { m _ { f } ^ { 2 } } } + \cdots \right) \, { \frac { \partial ^ { 2 } } { m _ { f } ^ { 2 } } } \, { \cal F } _ { \mu \nu } \; \; .
\begin{array} { r } { \langle { \cal O } \rangle = \frac { \int O ( \mathbf { Q } , \mathbf { Q } ^ { \prime } ) \rho _ { F } ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ; \beta ) \, d \mathbf { Q } d \mathbf { Q } ^ { \prime } } { \int \rho _ { F } ( \mathbf { Q } , \mathbf { Q } ; \beta ) \, d \mathbf { Q } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { i j } = \frac { 2 g _ { i } g _ { j } } { g _ { i } + g _ { j } } ( \dot { \bf R } _ { i } , \dot { \bf R } _ { i } ) - \frac { g _ { i } ( { \bf R } _ { i } , { \bf F } _ { j } ) + g _ { j } ( { \bf R } _ { j } , { \bf F } _ { i } ) } { g _ { i } + g _ { j } } , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad ( { \bf F } _ { j } ) _ { i } \equiv b k _ { i } z _ { j } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \dot { E } _ { C T } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { t r } } \sum _ { \alpha } ^ { N _ { t r } } \left( \mathbf { F } _ { \nu , X F } ^ { ( \alpha ) } \cdot \dot { \mathbf { R } } _ { \nu } ^ { ( \alpha ) } + \sum _ { l } ^ { N _ { s t } } \dot { \rho } _ { l l , X F } ^ { ( \alpha ) } \epsilon _ { l } ^ { ( \alpha ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \_ D _ { \/ { M D } } = \epsilon _ { \/ { M D } } \Big ( \_ E ^ { r } \exp ( - j \omega _ { \/ { M D } } t ) + \_ E ^ { t } \exp ( j \omega _ { \/ { M D } } t ) \Big ) \exp ( - j \beta z ) , } \\ & { \_ B _ { \/ { M D } } = \sqrt { \mu _ { \/ { M D } } \epsilon _ { \/ { M D } } } \_ a _ { z } \times \Big ( \_ E ^ { t } \exp ( j \omega _ { \/ { M D } } t ) - \_ E ^ { r } \exp ( - j \omega _ { \/ { M D } } t ) \Big ) \exp ( - j \beta z ) , } \end{array}
\overleftrightarrow { F } ( \omega ) = \frac { \gamma / 2 } { \omega + i \gamma / 2 } \frac { 3 } { 2 I _ { e } + 1 } \sum _ { m _ { e } , m _ { g } } \vec { d } _ { m _ { e } m _ { g } } ^ { * } \otimes \vec { d } _ { m _ { e } m _ { g } } ,
\begin{array} { r } { \frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta , \beta \alpha } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \simeq \frac { { \mathrm { i } } } { 2 \pi } \int _ { x _ { m , - n } } ^ { x _ { m , n } } \mathrm { d } \tilde { x } \left. \left( \partial _ { x } { \mathcal A } _ { \beta \alpha } ^ { [ - 1 ] } ( x ) + \partial _ { x } { \mathcal A } _ { \beta \alpha } ^ { [ 0 ] } ( x ) + \partial _ { x } \widehat { { \mathcal A } } _ { \alpha \beta , \beta \alpha } ^ { [ 0 ] } ( x , \tilde { x } ) + o ( g _ { \mathrm { s } } ) \right) \right| _ { x = \tilde { x } } , } \end{array}
S _ { 2 } ( U ^ { \prime } ) = i \alpha _ { 1 } ( D ^ { 2 } U ^ { \prime } U ^ { \dagger } - U ^ { \prime } ( D ^ { 2 } U ^ { \prime } ) ^ { \dagger } ) + i \alpha _ { 2 } \left( \chi U ^ { \dagger } - U ^ { \prime } \chi ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 3 } T r ( \chi U ^ { \dagger } - U ^ { \prime } \chi ^ { \dagger } ) \right) ,
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { S M } } ( t _ { * } , \delta ) \| r - u \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } } & { { } \le \langle \mathcal { A } ( t _ { * } + r ) - \mathcal { A } ( t _ { * } + u ) , r - u \rangle \le \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } + u ) ( r - u ) , r - u \rangle + \frac { 1 } { 2 } M _ { \delta } \| r - u \| _ { \mathbb { V } } ^ { 3 } . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 1 6 } \int d ^ { 8 } z \ K ( \phi , { \bar { \phi } } ) - \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 6 } z _ { + } \ { \mathcal W } ( \phi ) - \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 6 } z _ { - } \ { \bar { \mathcal W } } ( { \bar { \phi } } ) \ ,
s ( \eta ) \approx 4 \eta ^ { 2 } + \frac { 1 } { \eta } \int _ { \Gamma } \log \left| \frac { \eta + \mu } { \eta - \mu } \right| f ( \mu ) [ 4 \eta ^ { 2 } - 4 \mu ^ { 2 } ] \mathrm { d } \mu \, .
\begin{array} { r } { \Lambda ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) = I \int d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 0 } U \left( \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathcal { M } \mathbf { r } _ { 0 } \right) S ( \mathbf { r } _ { 0 } ) , } \end{array}
{ \cal L } = { \frac { 1 } { 2 } } \, \partial ^ { \mu } \varphi ( x ) \, \partial _ { \mu } \varphi ( x ) \, - { \frac { 1 } { 2 } } \, \mu _ { 0 } ^ { 2 } \, \varphi ^ { 2 } ( x ) \, - \, { \frac { b } { 2 4 } } \varphi ^ { 4 } ( x )
D _ { f } ( - n ) = ( - 1 ) ^ { n } { \frac { d ^ { n } } { { d x } ^ { n } } } \left[ \left( 1 - e ^ { - 1 / x } \right) { \frac { x } { 1 - x } } F \left( { \frac { x } { 1 - x } } \right) \right] { \Biggr | } _ { x = 0 } .
\phi _ { a } ^ { b } = \left[ \begin{array} { c c c } { { { \frac { \eta _ { N S } + \pi _ { 0 } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } } } } & { { \pi ^ { + } } } & { { K ^ { + } } } \\ { { \pi ^ { - } } } & { { { \frac { \eta _ { N S } - \pi _ { 0 } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } } } } & { { K ^ { 0 } } } \\ { { K ^ { - } } } & { { { \bar { K } } ^ { 0 } } } & { { \eta _ { S } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \delta _ { q ^ { \prime } + 1 } > \frac { \hphantom { x } \displaystyle \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( X _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( X _ { q ^ { \prime } } ) } - \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } \hphantom { x } } { \displaystyle \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus X _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( X _ { q ^ { \prime } } ) } - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } } = f _ { 7 } ( c _ { q ^ { \prime } } , X _ { q ^ { \prime } } , F _ { q ^ { \prime } } ) = \delta _ { q ^ { \prime } + 1 } , } \end{array}
G _ { 1 2 , 2 3 } ^ { \delta } ( p _ { 3 0 } ^ { \prime } , p _ { 1 0 } ) \, = \, { \frac { - 2 i \pi } { ( P _ { 0 } - S ) - ( p _ { 3 0 } ^ { \prime } - h _ { 3 } ) + i \epsilon } } \, \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } \, \delta ( p _ { 1 0 } - h _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle w , f u ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot w , g \eta \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \alpha , \eta _ { t } + H \nabla \cdot u \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \alpha \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta } A ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { s , \eta } | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s , \eta + 1 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \langle k \rangle ^ { \eta } \langle \xi \rangle ^ { - \eta } . } \end{array}
{ \cal U } ^ { ( 0 ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) = { \cal E } ^ { ( 0 ) } \left[ \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] , n ^ { ( 0 ) } \right] + V _ { \mathrm { n n } } ( { \bf R } ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \geq 2 } k \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { k } ^ { N } ) } & { = \sum _ { k \geq 2 } k \frac { \mathbb { P } \left( \mathcal { R } _ { k } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \cap \mathcal { E } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \right) } { \mathbb { P } \left( \mathcal { E } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \right) } = \frac { 1 } { 1 - \gamma _ { N } } \sum _ { k \geq 2 } k \mathbb { P } \left( \mathcal { R } _ { k } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - \gamma _ { N } } \sum _ { k \geq 2 } k \sum _ { n \geq k } \binom { n } { k } \beta _ { N } ^ { k } ( 1 - \beta _ { N } ) ^ { n - k } u _ { n } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - \gamma _ { N } } \sum _ { n \geq 2 } u _ { n } \sum _ { k = 2 } ^ { n } k \binom { n } { k } \beta _ { N } ^ { k } ( 1 - \beta _ { N } ) ^ { n - k } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - \gamma _ { N } } \sum _ { n \geq 2 } u _ { n } \left( n \beta _ { N } - n \beta _ { N } ( 1 - \beta _ { N } ) ^ { n - 1 } \right) } \\ & { = \frac { \beta _ { N } } { 1 - \gamma _ { N } } \left( \frac { 1 - p _ { N } } { 1 - 2 p _ { N } } - \frac { 1 - p _ { N } } { x _ { N } } \right) , } \end{array}
\varepsilon _ { p } ^ { D } ( L ) = \frac { L ^ { p - D } } { 2 ^ { D + 1 } } \sum _ { q = 0 } ^ { p - 1 } ( - 1 ) ^ { q + 1 } C _ { p } ^ { q } \left( \sqrt { \pi } \right) ^ { q - D } \Gamma \left( \frac { D - q } { 2 } \right) A \left( 1 , \cdots , 1 ; \frac { D - q } { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } = } & { \mathcal { O } \Big ( \frac { ( f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ) + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \sqrt { K T } } + \frac { K ( \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } { T } + \frac { L ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } + \frac { \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \int _ { Y ^ { * } } \frac { \omega ^ { 4 } - 2 ( a + i b ) ( C ^ { \alpha } ) _ { 1 1 } \omega ^ { 2 } + ( a + i b ) ^ { 2 } \operatorname* { d e t } ( C ^ { \alpha } ) } { \omega ^ { 4 } - 2 a ( C ^ { \alpha } ) _ { 1 1 } \omega ^ { 2 } + \lvert ( a + i b ) \rvert ^ { 2 } \operatorname* { d e t } ( C ^ { \alpha } ) } d \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { O } _ { ( j , b , c ) } = } & { { } - { ( \omega _ { b } + \omega _ { c } ) k _ { j } m _ { j } } \left[ \left( U _ { b } { U } _ { c } ( k _ { j } ) + U _ { b } { V } _ { c } l _ { b } + V _ { b } { U } _ { c } l _ { c } + U _ { b } m _ { b } + { U } _ { c } m _ { c } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( W d _ { 0 } ) f ( x y ) } & { = w ( x y ) ( f ( y ) - f ( x ) ) , } & & { \forall f \in \mathcal { C } ^ { 0 } ; } \\ { ( d _ { 1 } W ^ { - 1 } ) \alpha ( x y z ) } & { = \frac { 1 } { w ( x y ) } \alpha ( x y ) - \frac { 1 } { w ( x z ) } \alpha ( x z ) + \frac { 1 } { w ( y z ) } \alpha ( y z ) , } & & { \forall \alpha \in \mathcal { C } ^ { 1 } . } \end{array}