harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\footnotesize \left( \begin{array} { l l l l } { N _ { 1 } ^ { ( L ) } \beta _ { 1 } ^ { ( L ) } \chi ^ { ( L ) } } & { N _ { 2 } ^ { ( L ) } \beta _ { 2 } ^ { ( L ) } \chi ^ { ( L ) } } & { N _ { 1 } ^ { ( R ) } \beta _ { 1 } ^ { ( R ) } \chi ^ { ( R ) } } & { N _ { 2 } ^ { ( R ) } \beta _ { 2 } ^ { ( R ) } \chi ^ { ( R ) } } \\ { N _ { 1 } ^ { ( L ) } \Sigma _ { 1 } ^ { ( L ) } } & { N _ { 2 } ^ { ( L ) } \Sigma _ { 2 } ^ { ( L ) } } & { - N _ { 1 } ^ { ( R ) } \Sigma _ { 1 } ^ { ( R ) } } & { - N _ { 2 } ^ { ( R ) } \Sigma _ { 2 } ^ { ( R ) } } \\ { - N _ { 1 } ^ { ( L ) } ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ^ { ( L ) } ) } & { - N _ { 2 } ^ { ( L ) } ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ^ { ( L ) } ) } & { N _ { 1 } ^ { ( R ) } ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ^ { ( R ) } ) } & { N _ { 2 } ^ { ( R ) } ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ^ { ( R ) } ) } \\ { N _ { 1 } ^ { ( L ) } \beta _ { 1 } ^ { ( L ) } ( \Sigma _ { 1 } ^ { ( L ) } + k _ { z } ^ { 2 } ) } & { N _ { 2 } ^ { ( L ) } \beta _ { 2 } ^ { ( L ) } ( \Sigma _ { 2 } ^ { ( L ) } + k _ { z } ^ { 2 } ) } & { N _ { 1 } ^ { ( R ) } \beta _ { 1 } ^ { ( R ) } ( \Sigma _ { 1 } ^ { ( R ) } + k _ { z } ^ { 2 } ) } & { N _ { 2 } ^ { ( R ) } \beta _ { 2 } ^ { ( R ) } ( \Sigma _ { 2 } ^ { ( R ) } + k _ { z } ^ { 2 } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { c _ { 1 } ^ { ( L ) } } \\ { c _ { 2 } ^ { ( L ) } } \\ { c _ { 1 } ^ { ( R ) } } \\ { c _ { 2 } ^ { ( R ) } } \end{array} \right) = 0
d s _ { \mathrm { t a r g e t } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } d \varphi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } d \beta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 \varphi } \left( d \sigma _ { 1 } - \chi d \sigma _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } e ^ { \varphi } \left[ e ^ { \sqrt { 3 } \beta } d \chi ^ { 2 } + e ^ { - \sqrt { 3 } \beta } d \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right] .
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } _ { D } L _ { D } ( D , \mu _ { G } ) = - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { \mathrm { r e f } } , T \sim \mu _ { t r a n s } } [ \ln D ( T ( x ) ) ] - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { G } } [ \ln ( 1 - D ( x ) ) ] } \\ { \operatorname* { m i n } _ { G } L _ { G } ( D , \mu _ { G } ) = - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { G } } [ \ln ( 1 - D ( x ) ) ] } \end{array} \right. }
\varepsilon _ { S } \ = \nu _ { S 0 } \int d \vec { k } \, k _ { \perp } ^ { 2 } \mathcal { S } ( k _ { \perp } ) \delta ( k _ { \| } ) \ = \frac { \langle | \nu _ { S } | ^ { 2 } \rangle } { \nu _ { S 0 } }
a ( i ) = \frac { 1 } { n _ { k } - 1 } \sum _ { j , ~ i \ne j } ^ { C _ { k } } d ( i , j ) ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ b ( i ) = \operatorname* { m i n } _ { C _ { k ^ { \prime } } \ne C _ { k } } \frac { 1 } { n _ { k ^ { \prime } } } \sum _ { j } ^ { C _ { k ^ { \prime } } } d ( i , j )
\begin{array} { r l } { \| q _ { t } \| \leq } & { \frac { \sqrt { 2 d \log ( 1 . 2 5 / \delta _ { 0 } ) \log ( 1 / \zeta ) } \Theta \theta _ { t } } { \varepsilon _ { 0 } n } } \\ { \leq } & { \frac { d \sqrt { 2 \log ( 1 . 2 5 / \delta _ { 0 } ) \log ( 1 / \zeta ) } \sqrt { \lambda _ { \operatorname* { m a x } } } \log ^ { a } ( n / \zeta ) 6 \sqrt { C _ { 2 } } K ^ { 2 } \log ^ { a } ( 1 / \alpha ) ( \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } + \sigma ) } { \varepsilon _ { 0 } n } } \\ { \leq } & { \sqrt { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \Sigma ) } C _ { 2 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) ( \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } + \sigma ) \; , } \end{array}
\tau = \sqrt { \frac { 2 \rho _ { \mathrm { ( s t i f f ) } } } { | \rho _ { \mathrm { ( r a d ) } } | } } \, \cot \beta = \sqrt { \frac { 2 \rho _ { \mathrm { ( s t i f f ) } } } { \left| \rho _ { \mathrm { ( r a d ) } } K \right| } }
\begin{array} { r l } & { \big | e ^ { z ^ { 3 } p _ { e } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) } - e _ { 3 1 , N } ( t , z ) \big | = \bigg | e ^ { z ^ { 3 } p _ { e , e r r } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) } \bigg ( e _ { 3 1 , N } + \sum _ { j = N + 1 } ^ { \infty } \frac { ( z ^ { 3 } p _ { e , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) ^ { j } } { j ! } \bigg ) - e _ { 3 1 , N } \bigg | } \\ & { \leq | e ^ { z ^ { 3 } p _ { e , e r r } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) } - 1 | | e _ { 3 1 , N } | + \bigg | e ^ { z ^ { 3 } p _ { e , e r r } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) } \sum _ { j = N + 1 } ^ { \infty } \frac { ( z ^ { 3 } p _ { e , N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) ^ { j } } { j ! } \bigg | . } \end{array}
\begin{array} { r c c c c c c } { { } } & { { { \cal G } ^ { ( 1 ) } } } & { { \oplus } } & { { { \cal G } ^ { ( 1 ) } } } & { { \supset } } & { { { \cal G } ^ { ( 1 ) } } } & { { } } \\ { { \mathrm { l e v e l ~ } } } & { { \ell - s } } & { { } } & { { s } } & { { } } & { { \ell } } & { { , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ^ { 2 } + g ^ { 4 } Q ^ { - \epsilon } \left( \frac { 2 \beta _ { 0 } } { \epsilon } \right) } & { { } \to } & { { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } - { \frac { 2 \beta _ { 0 } Q ^ { - \epsilon } } { \epsilon } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { \mathrm { ~ s ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 1 + v _ { 0 } \rho _ { \mathrm { ~ s ~ } } n X _ { \mathrm { ~ s ~ } } \alpha _ { \mathrm { ~ s ~ s ~ } } e ^ { - \beta \epsilon _ { \mathrm { ~ s ~ s ~ } } } + v _ { 0 } \rho _ { \mathrm { ~ p ~ } } N _ { \mathrm { ~ p ~ } } X _ { \mathrm { ~ p ~ } } e ^ { - \beta \epsilon _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } } } , } \\ { X _ { \mathrm { ~ p ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 1 + v _ { 0 } \rho _ { \mathrm { ~ s ~ } } n X _ { \mathrm { ~ s ~ } } e ^ { - \beta \epsilon _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } } + v _ { 0 } \rho _ { \mathrm { ~ p ~ } } N _ { \mathrm { ~ p ~ } } X _ { \mathrm { ~ p ~ } } e ^ { - \beta \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } } . } \end{array}
B \sim 1 0 ^ { 1 3 } N _ { 0 } \gamma ^ { 2 } / a _ { 0 } \ \mathrm { p h o t o n s } / ( \mathrm { s } \ \mathrm { m m } ^ { 2 } \ \mathrm { m r a d } ^ { 2 } \ 0 . 1 \
\mathbf { R } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } = - \nabla \cdot [ ( \rho _ { 0 } \mathbf { u } ) ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \otimes \mathbf { u } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ] + \nabla \cdot \left( \rho _ { 0 } \sigma ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) + \rho _ { 0 } b ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { k } - f \mathbf { k } \times \rho _ { 0 } \left( \mathbf { u } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { u } _ { g } \right) ,
f _ { A } ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { n } } } & { { \mathrm { i f ~ } } x { \mathrm { ~ i s ~ r a t i o n a l ~ a n d ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ m i n i m a l ~ s o ~ t h a t ~ } } x \in F _ { n } } \\ { - { \frac { 1 } { n } } } & { { \mathrm { i f ~ } } x { \mathrm { ~ i s ~ i r r a t i o n a l ~ a n d ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ m i n i m a l ~ s o ~ t h a t ~ } } x \in F _ { n } } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } x \notin A } \end{array} \right. }
\psi ( y ; t + \varepsilon ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi ( x ; t ) \int _ { x ( t ) = x } ^ { x ( t + \varepsilon ) = y } e ^ { i \int _ { t } ^ { t + \varepsilon } \left( { \frac { { \dot { x } } ^ { 2 } } { 2 } } - V ( x ) \right) \, d t } \, D x ( t ) \, d x \qquad ( 1 )
f \left( x ; { \frac { 1 } { 3 } } , 0 , 1 , 0 \right) = \Re \left( { \frac { 2 e ^ { - { \frac { i \pi } { 4 } } } } { 3 { \sqrt { 3 } } \pi } } { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 3 } } } } S _ { 0 , { \frac { 1 } { 3 } } } \left( { \frac { 2 e ^ { \frac { i \pi } { 4 } } } { 3 { \sqrt { 3 } } } } { \frac { 1 } { \sqrt { x } } } \right) \right)
\langle x ^ { 2 } ( t , x _ { 0 } ) \rangle = x _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - 2 \tau ( t ) } + 2 x _ { 0 } ( 1 + \varepsilon _ { 1 } ) e ^ { - \tau ( t ) } \phi ( t ) + \varepsilon _ { 1 } ( 1 + \varepsilon _ { 1 } ) \phi ^ { 2 } ( t ) .
C _ { \varepsilon } ( \beta ) = \frac { \prod _ { j \in I _ { - \varepsilon } } ( u _ { j } + 1 ) ^ { [ \beta ^ { \vee } : \alpha _ { j } ^ { \vee } ] } } { \prod _ { i \in I _ { \varepsilon } } u _ { i } ^ { \operatorname * { m a x } ( [ \beta ^ { \vee } : \alpha _ { i } ^ { \vee } ] , 0 ) } }
\begin{array} { l l } { J _ { c } } & { { = } \frac { e t { \mu } _ { 0 } M _ { s } H _ { K } } { { \hslash } { \theta } _ { S H } } } \\ & { [ \frac { \sqrt { { 4 } \alpha { ( 4 } \alpha { + 2 } \alpha ( \frac { H _ { S O T } ^ { F L } } { H _ { S O T } ^ { D L } } ) ^ { { 2 } } { + } \frac { H _ { S O T } ^ { F L } } { H _ { S O T } ^ { D L } } { ) + ( 9 } { \alpha } ^ { { 2 } } { - } { 4 } \alpha { ( } \frac { H _ { S O T } ^ { F L } } { H _ { S O T } ^ { D L } } { ) - 8 } { \alpha } ^ { { 2 } } { ( } \frac { H _ { S O T } ^ { F L } } { H _ { S O T } ^ { D L } } { ) ) } { { ( } H _ { x } { / } H _ { K } { ) } } ^ { { 2 } } } } { { { 4 } \alpha { + 2 } \alpha ( \frac { H _ { S O T } ^ { F L } } { H _ { S O T } ^ { D L } } ) ^ { { 2 } } { + ( } \frac { H _ { S O T } ^ { F L } } { H _ { S O T } ^ { D L } } { ) } } } } \\ & { { - } \frac { { 5 } \alpha { ( } H _ { x } { / } H _ { K } { ) } } { { 4 } \alpha { + 2 } \alpha ( \frac { H _ { S O T } ^ { F L } } { H _ { S O T } ^ { D L } } ) ^ { { 2 } } { + ( } \frac { H _ { S O T } ^ { F L } } { H _ { S O T } ^ { D L } } { ) } } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { - 2 ( 1 + \lambda _ { 2 } ) ( 2 + \lambda _ { 2 } ) ( \frac { 1 } { 4 ( 1 + \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 ( 2 + \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } } ) } & { = 5 } \\ { \Leftrightarrow ~ ~ ~ \frac { ( 2 + \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( 1 + \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \lambda _ { 2 } ) ( 2 + \lambda _ { 2 } ) } } & { = - 5 } \\ { \Leftrightarrow ~ ~ ~ 1 2 \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + 3 6 \lambda _ { 2 } + 2 5 } & { = 0 } \\ { \Leftrightarrow ~ ~ ~ \lambda _ { 2 } } & { = \frac { - 3 6 \pm \sqrt { 9 6 } } { 2 4 } \leq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { \uparrow } } & { = } & { \mathcal { D } _ { x } ( - \theta _ { \mathrm { L } } ) \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { u _ { \mathrm { L } } } \\ { i v _ { \mathrm { L } } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \\ { u _ { \downarrow } } & { = } & { \mathcal { D } _ { x } ( - \theta _ { \mathrm { L } } ) \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { i v _ { \mathrm { L } } } \\ { u _ { \mathrm { L } } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \zeta \sum _ { i = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , 1 } \mathbf a _ { i , k , 1 } ^ { H } \mathbf W _ { i , 1 } \right) + z _ { k } ^ { 2 } \geq E _ { k } , \ \forall k \in \mathcal K , } \\ { \frac { z _ { k } ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { k } } \leq \zeta \sum _ { i = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , 2 } \mathbf a _ { i , k , 2 } ^ { H } \mathbf W _ { i , 2 } \right) , \ \forall k \in \mathcal K . } \end{array}
L = \mathbb { E } _ { { \tilde { x } } \sim \mathbb { P } _ { g } } [ D ( { \tilde { x } } ) ] - \mathbb { E } _ { { x } \sim \mathbb { P } _ { r } } [ D ( { x } ) ] + \mathbb { E } _ { { \hat { x } } \sim \mathbb { P } _ { \hat { x } } } [ ( | | \nabla _ { \hat { x } } D ( { \hat { x } } ) | | _ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } { \left\| \prod _ { j = 1 } ^ { k } R ( \lambda , A ( t _ { j } ) ) \right\| _ { \mathcal { L } ( X , \| \cdot \| _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } ) } } & { \leq \prod _ { j = 1 } ^ { k } \left\| R ( \lambda , A ( t _ { j } ) ) \right\| _ { \mathcal { L } ( X , \| \cdot \| _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } ) } } \\ & { \leq \prod _ { j = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { \lambda - \omega } } \\ & { = \frac { 1 } { ( \lambda - \omega ) ^ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { i j } ^ { p } = } & { { } - P \delta _ { i j } + \lambda ( Q _ { i j } + \delta _ { i j } ) Q _ { k l } H _ { k l } - \lambda H _ { i k } ( Q _ { k j } + \frac { \delta _ { k j } } { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { + } } & { \otimes \mathbf { v } _ { + } \mapsto 0 } \\ { \mathbf { v } _ { + } } & { \otimes \mathbf { v } _ { - } \mapsto \mathbf { w } _ { - } } \\ { \mathbf { v } _ { - } } & { \otimes \mathbf { v } _ { + } \mapsto \mathbf { w } _ { - } } \\ { \mathbf { v } _ { - } } & { \otimes \mathbf { v } _ { - } \mapsto 0 } \end{array}
\xi ^ { a i } = \psi ^ { a i } \sqrt { 2 \frac { \partial ^ { 2 } A } { { ( \partial \phi ^ { i } ) } ^ { 2 } } } , \quad \bar { \xi } _ { a } ^ { i } = \bar { \psi } _ { a } ^ { i } \sqrt { 2 \frac { \partial ^ { 2 } A } { { ( \partial \phi ^ { i } ) } ^ { 2 } } } ,
{ \frac { 1 } { \tau } } { \frac { d E ( \tau ) } { d \tau } } = - { \frac { 2 e } { \tau ^ { 2 } } } \sum _ { s = 1 } ^ { 4 } \int [ d { \bf k } ] ( { \bf k } _ { \perp } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \lambda _ { s } \vert f _ { { \bf k } s } ^ { + } \vert ^ { 2 } ,
W ^ { L } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } } } & { { \lambda } } & { { A \lambda ^ { 3 } ( \rho - i \eta ) } } \\ { { - \lambda } } & { { 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } } } & { { A \lambda ^ { 2 } } } \\ { { A \lambda ^ { 3 } ( 1 - \rho - i \eta ) } } & { { - A \lambda ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { { 1 + \omega _ { 1 1 } } } & { { \omega _ { 1 2 } } } & { { \omega _ { 1 3 } } } \\ { { \omega _ { 1 2 } ^ { * } } } & { { 1 + \omega _ { 2 2 } } } & { { \omega _ { 2 3 } } } \\ { { \omega _ { 1 3 } ^ { * } } } & { { \omega _ { 2 3 } ^ { * } } } & { { 1 + \omega _ { 3 3 } } } \end{array} \right) \, ,
\langle \mathrm { p h y s } | \hat { \mathrm { P } } _ { \pm } | \mathrm { p h y s } \rangle = \pm \langle \mathrm { p h y s } | \hat { \cal H } _ { \mathrm { F } } ^ { \pm } ( 0 ) | \mathrm { p h y s } \rangle .
\begin{array} { r l } { { \bf f } _ { { \bf v } _ { k } } ( { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) \equiv } & { { } { \bf K } _ { 0 } \frac { \partial { \bf f } ( { \bf n } ^ { ( 0 ) } + \lambda { \bf v } _ { k } ) } { \partial \lambda } \Big \vert _ { \lambda = 0 } = { \bf K } _ { 0 } { \bf J } { \bf v } _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } } & { { } = \frac { 8 \hbar ( 4 \pi \varepsilon _ { 0 } ) ^ { 3 } R ^ { * ^ { 2 } } } { \varepsilon _ { 0 } e ^ { 4 } m _ { e } ^ { 2 } \hat { n } c } | P _ { c v } | ^ { 2 } . } \end{array}
2 i { \frac { ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 2 3 ) } { x _ { 1 2 } ^ { 4 } x _ { 3 4 } ^ { 4 } } } \; \left[ { \frac { c } { s } } + \beta _ { 0 } { \frac { 1 + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } U + { \frac { \beta _ { 2 } } { \beta _ { 0 } } } U ^ { 2 } } { 1 + { \frac { 1 + s - t } { s } } U + { \frac { 1 } { s } } U ^ { 2 } } } \right] \; X _ { 2 } ^ { \mu }
\begin{array} { r l r } & { } & { \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) = \langle r , \phi , z | \Psi _ { n } ^ { m } \rangle } \\ & { } & { = \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + | m | ) ! } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { | m | } L _ { n } ^ { | m | } \left( 2 \left( \frac { r } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { \ \ \ \ \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 4 } ^ { \prime } } \\ { \lambda _ { 5 } ^ { \prime } } \end{array} \right) } & { { } = } & { { \mathcal R } \left( - \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 4 } } \\ { \lambda _ { 5 } } \end{array} \right) } \end{array}
\frac { \langle d - \bar { d } \rangle } { \langle u - \bar { u } \rangle } = \frac { 2 A - Z } { A + Z } = \frac { \tilde { \mu } _ { d } } { \tilde { \mu } _ { u } } = \frac { \ln \tilde { \lambda } _ { d } } { \ln \tilde { \lambda } _ { u } } \, .
\rho \left( 1 + \frac { \rho } { \lambda } \right) = \frac { 6 K } { k _ { 4 } ^ { 2 } } \frac 1 { a ^ { 2 } } - \frac { 1 2 { \cal U } _ { 0 } } { \lambda k _ { 4 } ^ { 4 } } \frac 1 { a ^ { 4 } } - \rho + \frac { 2 ( 3 H _ { 0 } ^ { 2 } - \Lambda ) } { k _ { 4 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { c a p } _ { S , T } ( A ) } & { = \langle a , ( D _ { w } ) _ { U } L | _ { U } ( D _ { w } ) _ { U } a \rangle } \\ & { = \langle 1 _ { S } , ( D _ { w } ) _ { U } ( I - A | _ { U } ) ( D _ { w } ) _ { U } 1 _ { S } \rangle } \\ & { = \langle 1 _ { S } , ( D _ { w } ^ { 2 } ) _ { U } 1 _ { S } \rangle - \langle 1 _ { S } , ( D _ { w } ) _ { U } A | _ { U } ( D _ { w } ) _ { U } 1 _ { S } \rangle } \\ & { = \langle 1 , ( D _ { w } ^ { 2 } ) _ { U } 1 _ { S } \rangle - \langle 1 _ { S } , ( D _ { w } ) _ { U } A | _ { U } ( D _ { w } ) _ { U } 1 _ { S } \rangle } \\ & { = \langle 1 , ( D _ { w } ) _ { U } A | _ { U } ( D _ { w } ) _ { U } 1 _ { S } \rangle - \langle 1 _ { S } , ( D _ { w } ) _ { U } A | _ { U } ( D _ { w } ) _ { U } 1 _ { S } \rangle } \\ & { \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { A _ { u } ^ { T } w _ { U } = w _ { U } } ~ f r o m ~ p r o p e r t i e s ~ ( 5 ) ~ a n d ~ ( 7 ) ~ o f ~ S c h u r ~ C o m p l e m e n t s ] } } \\ & { = \langle 1 _ { \overline { { S } } } , ( D _ { w } ) _ { U } A | _ { U } ( D _ { w } ) _ { U } 1 _ { S } \rangle } \end{array}
Q = \frac { 2 \pi a ^ { 3 } c } { \beta } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { \sinh ( \beta \mu j ) } { j } K _ { 2 } ( \beta c ^ { \frac { 1 } { 2 } } j ) - 2 a ^ { 3 } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \frac { \bigl [ c - ( \mu + i \frac { 2 \pi l } { \beta } ) ^ { 2 } \bigr ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { e ^ { - a A } - 1 }
m _ { K } \equiv { \frac { m _ { K } ^ { 2 } ( 0 ) } { \sqrt { | m _ { K } ^ { 2 } ( 0 ) | } } } , \; \; \; \; \; \; \; A _ { t } \equiv A _ { t } ( 0 ) , \; \; \; \; \; \; \; B \equiv B ( 0 ) ,
M ^ { ( 4 ) } = \left( \begin{array} { l l l l } { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { M _ { L L } } } & { { } } & { { \epsilon ^ { \prime } v } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \epsilon ^ { \prime } v } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \hat { f } _ { i } ^ { e q } = } & { } & { f _ { 1 i } ^ { e q } \delta \left( v _ { 1 } - \lambda _ { 1 i } \right) \delta \left( v _ { 2 } - \lambda _ { 2 i } \right) + f _ { 2 i } ^ { e q } \delta \left( v _ { 1 } + \lambda _ { 1 i } \right) \delta \left( v _ { 2 } - \lambda _ { 2 i } \right) + } \\ & { } & { f _ { 3 i } ^ { e q } \delta \left( v _ { 1 } + \lambda _ { 1 i } \right) \delta \left( v _ { 2 } + \lambda _ { 2 i } ) + f _ { 4 i } ^ { e q } \delta ( v _ { 1 } - \lambda _ { 1 i } \right) \delta \left( v _ { 2 } + \lambda _ { 2 i } \right) } \\ { = } & { } & { f _ { 1 i } ^ { e q } \delta \left( v _ { n } - \left[ \lambda _ { 1 i } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 i } n _ { 2 } \right] \right) \delta \left( v _ { t } - \left[ - \lambda _ { 1 i } n _ { 2 } + \lambda _ { 2 i } n _ { 1 } \right] \right) + } \\ & { } & { f _ { 2 i } ^ { e q } \delta \left( v _ { n } - \left[ - \lambda _ { 1 i } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 i } n _ { 2 } \right] \right) \delta \left( v _ { t } - \left[ \lambda _ { 1 i } n _ { 2 } + \lambda _ { 2 i } n _ { 1 } \right] \right) + } \\ & { } & { f _ { 3 i } ^ { e q } \delta \left( v _ { n } - \left[ - \lambda _ { 1 i } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 i } n _ { 2 } \right] \right) \delta \left( v _ { t } - \left[ \lambda _ { 1 i } n _ { 2 } - \lambda _ { 2 i } n _ { 1 } \right] \right) + } \\ & { } & { f _ { 4 i } ^ { e q } \delta \left( v _ { n } - \left[ \lambda _ { 1 i } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 i } n _ { 2 } \right] \right) \delta \left( v _ { t } - \left[ - \lambda _ { 1 i } n _ { 2 } - \lambda _ { 2 i } n _ { 1 } \right] \right) } \end{array}
{ \cal V } ( \phi _ { 0 } , \mu ) = V ( \phi _ { 0 } , \mu _ { 0 } ) + { \frac { \hbar } { 4 \pi } } \left\{ V ^ { \prime \prime } ( \phi _ { 0 } , \mu ) - m ^ { 2 } ( \mu ) \right\} \ln { \frac { \mu } { m ( \mu ) } } + \hbar m ^ { 2 } ( \mu ) \; X [ V ( \phi _ { 0 } , \mu ) / m ^ { 2 } ( \mu ) , \mu ] + O ( \hbar ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \left( \partial _ { T _ { 0 } T _ { 0 } } ^ { 2 } + 2 \epsilon \partial _ { T _ { 0 } T _ { 1 } } ^ { 2 } \right. } & { \left. + \epsilon ^ { 2 } \partial _ { T _ { 1 } T _ { 1 } } ^ { 2 } + \frac { R _ { m s } } { M _ { m s } \omega _ { \infty } } \partial _ { T _ { 0 } } + \frac { R _ { m s } } { M _ { m s } \omega _ { \infty } } \epsilon \partial _ { T _ { 1 } } + 1 \right) \left( v _ { 0 } ( T _ { 0 } , T _ { 1 } ) + \epsilon v _ { 1 } ( T _ { 0 } , T _ { 1 } ) \right) } \\ & { = \epsilon \frac { S _ { d } } { M _ { m s } \omega _ { m } } ( \partial _ { T _ { 0 } } + \epsilon \partial _ { T _ { 1 } } ) \left[ 1 - \left( 1 - \frac { Z _ { m s } ( \omega _ { c } ) } { \Tilde { Z } _ { t } \left( 1 + A \cos \left( T _ { 1 } + \phi _ { m } \right) \right) } \right) W ( \omega ) \right] p _ { f } ( T _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathsf { P } \biggl [ \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t - x ] } \{ A ( \tau , t - x ) - S _ { P _ { L } } ( \tau , t ) \} \ge 0 \biggr ] } \\ { \le } & { \mathsf { P } [ Y _ { A } + Y _ { S } \ge - \beta ] } \\ { \le } & { \mathsf { P } [ Y _ { A } + Y _ { S } > - \beta - \epsilon ] } \\ { \le } & { 1 - [ 1 - \overline { { \varepsilon } } _ { A } ] _ { + } \ast [ 1 - \varepsilon _ { S } ] _ { + } ( \rho _ { S } x - l _ { \operatorname* { m a x } } - \epsilon ) , } \end{array}
\langle { \cal O } _ { 4 } \rangle = \frac { \pi ^ { 2 } } 3 \left( 1 + \frac { 7 \alpha _ { s } } { 6 \pi } \right) \langle \frac { \alpha _ { s } } \pi G ^ { 2 } \rangle + 2 \pi ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \alpha _ { s } } { 3 \pi } \right) ( m _ { u } + m _ { d } ) ( \langle \bar { u } u \rangle + \langle \bar { d } d \rangle ) .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \psi ( x , 0 ) , \lambda , \gamma } \Delta F + \frac { \gamma } { 2 } \left( \operatorname* { m a x } \{ \frac { \lambda } { \gamma } + E _ { \psi ( x , 0 ) } - E _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } , 0 \} ^ { 2 } - \frac { \lambda ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\eta ^ { \nu \alpha } \xi _ { \sigma } \nabla _ { \alpha } \xi ^ { \sigma } = - \eta ^ { \nu \alpha } \delta \xi _ { \alpha } , \qquad \xi ^ { \sigma } \eta ^ { \nu \alpha } \eta _ { \sigma } { ^ { \rho } } ( \nabla _ { \alpha } \xi _ { \rho } + \nabla _ { \rho } \xi _ { \alpha } ) = - \xi _ { \sigma } \delta \eta ^ { \nu \sigma } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { r e c } } ( E _ { c } ) } & { = \frac { \int \mathcal { P } ( \vec { P } _ { 0 } , \vec { b } ) b ^ { 4 } d b ~ d \Omega _ { b } d \Omega _ { P _ { 0 } } } { \int d \Omega _ { P _ { 0 } } } } \\ & { = \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } \int _ { 0 } ^ { b _ { \mathrm { m a x } } ( E _ { c } ) } \mathcal { P } ( E _ { c } , b ) b ^ { 4 } d b ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { 1 } ( x , v ) = \frac { 1 } { 8 } \lambda ( x , v ) \operatorname* { m a x } \left( 0 , \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle - \langle R ( x ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) R ( x ) v \rangle \right) } \\ & { G _ { 2 } ( x , v ) = \frac { 1 } { 2 4 } \operatorname* { m a x } \left( 0 , - \sum _ { \alpha : \lvert \alpha \rvert = 3 } D ^ { \alpha } \psi ( x ) v ^ { \alpha } \right) , } \end{array}
\ddot { x } _ { n } = \frac { \textrm { d } } { \textrm { d } t } \left[ \frac { 1 } { \alpha M + m } \int _ { 0 } ^ { t } k ( x _ { b } - x _ { n } ) \, \textrm { d } \tau \right] - \frac { \alpha ^ { 2 } M ^ { 2 } V ^ { 2 } } { ( \alpha M + m ) ^ { 3 } } \frac { \textrm { d } m } { \textrm { d } x _ { n } } .
\begin{array} { r } { \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) \leq ( 1 + \epsilon ) \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { H } , \boldsymbol { q } _ { H } ; \mathcal { T } _ { h } ) + C _ { \epsilon } \| ( \boldsymbol { v } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ) - ( \boldsymbol { v } _ { H } , \boldsymbol { q } _ { H } ) \| _ { D G } ^ { 2 } , } \end{array}