harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal B } _ { M _ { 1 } ^ { 2 } } { \cal B } _ { M _ { 2 } ^ { 2 } } { \frac { ( \ell - 1 ) ! } { [ m _ { b } ^ { 2 } - ( p + u q ) ^ { 2 } ] ^ { \ell } } } = { \frac { ( M ^ { 2 } ) ^ { 2 - \ell } } { M _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 2 } ^ { 2 } } } \exp ( - { \frac { m _ { b } ^ { 2 } + q ^ { 2 } ( 1 - u _ { 0 } ) } { M ^ { 2 } } } ) \; \delta ( u - u _ { 0 } )
N _ { v } = \langle \Phi _ { 0 } | a _ { v } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { v } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \dagger } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { v } ^ { ( 0 ) } ) a _ { v } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { m i n } } ^ { \prime } } & { \gtrsim \tau _ { \mathrm { L B } } : = \tau _ { \mathrm { m i n } } - 2 w \sqrt { \frac { 2 \tau _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { m i n } } \sigma _ { \mathrm { w c } } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { m _ { \Delta } } } , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { G } } ^ { \prime } } & { \lesssim \bar { n } _ { \mathrm { U B } } : = \bar { n } _ { \mathrm { w c } } + w \frac { 2 \bar { n } _ { \mathrm { w c } } + \nu _ { \mathrm { d e t } } } { \sqrt { 2 m _ { \Delta } } } . } \end{array}
d \overline { { { s } } } ^ { 2 } = \overline { { { g } } } _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } = d t ^ { 2 } - \overline { { { a } } } ^ { 2 } ( t ) d l ^ { 2 } , d l ^ { 2 } = [ d r ^ { 2 } / ( 1 - k r ^ { 2 } ) + r ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { r } { \int \mathrm { R } ^ { \varphi } \mathrm { d } \Omega = 0 \, , \qquad \to \qquad \int \left[ \frac { \partial \varphi } { \partial t } - \mathcal { S } ^ { \varphi } \right] \mathrm { d } \Omega + \oint \left[ u _ { \mathrm { i } } \varphi - \Gamma ^ { \mathrm { e f f } } \frac { \partial \varphi } { \partial x _ { \mathrm { i } } } \right] n _ { \mathrm { i } } \, \mathrm { d } \Gamma = 0 \; . } \end{array}
\sigma _ { m 1 } \equiv \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ( 1 - A _ { 1 } ) , ~ \mathrm { w h e n } ~ A _ { 1 } < 1 ~ ( \mathrm { f i r e h o s e } ~ \mathrm { s t a b i l i t y } ) , } \\ { \frac { 2 } { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ( A _ { 1 } - 1 ) , ~ \mathrm { w h e n } ~ A _ { 1 } > 1 ~ ( \mathrm { m i r r o r } ~ \mathrm { s t a b i l i t y } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \varphi _ { n } \left( \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \left( \sum _ { J _ { n } } a _ { i } \cdot b _ { j } \right) t ^ { n } \right) } & { = \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \left( \sum _ { I _ { n } } \varphi _ { n } ( a _ { i } ) \cdot \varphi _ { n } ( b _ { j } ) \right) t ^ { n } } \\ & { = \left( \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \varphi _ { n } ( a _ { n } ) t ^ { n } \right) \cdot \left( \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \varphi _ { n } ( b _ { n } ) t ^ { n } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ( \hat { t } ) } & { { } = } & { R F ( \hat { t } - \mathcal { T } ) + a P ( \hat { t } ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } P ( \hat { t } ) } { \mathrm { d } \hat { t } } } & { { } = } & { - P ( \hat { t } ) + D ( \hat { t } ) F ( \hat { t } ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } D ( \hat { t } ) } { \mathrm { d } \hat { t } } } & { { } = } & { \gamma ( 1 - D ( \hat { t } ) - F ( \hat { t } ) P ( \hat { t } ) ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } T _ { n } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \right| _ { x = 1 } \! \! } & { { } = { \frac { n ^ { 4 } - n ^ { 2 } } { 3 } } , } \\ { \left. { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } T _ { n } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \right| _ { x = - 1 } \! \! } & { { } = ( - 1 ) ^ { n } { \frac { n ^ { 4 } - n ^ { 2 } } { 3 } } . } \end{array}
I _ { m } = \eta E _ { 0 } ^ { 2 } ( \psi _ { m } | \psi _ { m } ) = \eta E _ { 0 } ^ { 2 } \int d ^ { 2 } x _ { \perp } \langle \psi _ { m } | x _ { \perp } \rangle \langle x _ { \perp } | \psi _ { m } \rangle ,
\operatorname { L i } _ { s } ( z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } ( 1 - 2 ^ { 1 - 2 k } ) ( 2 \pi ) ^ { 2 k } { \frac { B _ { 2 k } } { ( 2 k ) ! } } { \frac { [ \ln ( - z ) ] ^ { s - 2 k } } { \Gamma ( s + 1 - 2 k ) } } ,
\Pi _ { \tilde { f } } ^ { D } = - \frac { \alpha _ { 2 } } { 4 \pi } I _ { 3 f } \Sigma _ { W ^ { 3 } } - \frac { s _ { W } ^ { 2 } \alpha _ { 2 } } { 4 \pi c _ { W } ^ { 2 } } Y _ { f } \Sigma _ { B } .
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } ( q _ { B } ) } & { { } = } & { \frac { \lvert \chi ^ { ( B ) } ( q _ { B } ) \rvert ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { 4 - D } } \mathcal { S } _ { D } \frac { \pi } { 4 } \csc \left( \frac { D \pi } { 2 } \right) ( 2 - D ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \langle \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \hat { L } _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \rangle _ { \mathrm { s s } } } & { = - \kappa \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \langle \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \partial _ { y } ^ { 2 } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \rangle _ { \mathrm { s s } } } \\ & { = \kappa \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \langle \partial _ { z } \partial _ { y } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \partial _ { y } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \rangle _ { \mathrm { s s } } } \\ & { = \left. \frac { \kappa } { 2 } \langle ( \partial _ { y } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) ) ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { s s } } \right| _ { z = - \infty } ^ { z = \infty } , } \end{array}
H = \frac { 1 } { 2 } ( ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + K _ { x } x ^ { 2 } + K _ { y } y ^ { 2 } ) + \frac { e } { \beta ^ { 2 } \gamma m _ { 0 } c ^ { 2 } } ( V _ { r f } + V _ { s c } )
d s _ { B } ^ { 2 } = a \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } ( z - z _ { i } ) ^ { - \frac { 2 } { 3 } } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \bar { z } - \bar { z _ { i } } ) ^ { - \frac { 2 } { 3 } } d z d \bar { z } + a ^ { \prime } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } ( z ^ { \prime } - z _ { i } ^ { \prime } ) ^ { - \frac { 2 } { 3 } } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \bar { z ^ { \prime } } - \bar { z _ { i } ^ { \prime } } ) ^ { - \frac { 2 } { 3 } } d z ^ { \prime } d \bar { z ^ { \prime } }
B _ { 1 } ^ { i n } = ( \int _ { M } d v a _ { 1 } + \int _ { S ^ { 2 } } d s c _ { 1 } ) V ^ { 1 / 2 - s } = \int _ { M } ( \frac { \lambda } { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 - s } d v + \frac { 2 } { 3 R } \int _ { S ^ { 2 } } ( \frac { \lambda } { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 - s } d s
\Delta _ { { \bf r } _ { 1 } z _ { 1 } m _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } z _ { 2 } m _ { 2 } } ( t ) = T r [ \rho ( t ) a _ { { \bf r } _ { 1 } z _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { \dagger } a _ { { \bf r } _ { 2 } z _ { 2 } m _ { 2 } } ]
\Delta _ { \mathrm { s o f t } } E _ { \mathrm { r e c } } = \frac { \pi \alpha ^ { 3 } } { 3 m ^ { 2 } } | \psi _ { d } ( 0 ) | ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \epsilon } - 4 \ln ( m \alpha ) + \frac { 3 3 1 } { 1 8 } \right) .
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { M C } } & { = } & { 2 \mu _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \textbf { I m } \Big ( \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) } \\ & { + } & { \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { K } ( \omega ) ^ { - 1 } \cdot \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ( \omega ) \Big ) } \end{array}
\rho _ { \gamma } = ( \pi ^ { 2 } / 1 5 ) T _ { \gamma } ^ { 4 } \approx 4 . 6 4 \times 1 0 ^ { - 3 4 } \, { \mathrm { g } } \, { \mathrm { c m } } ^ { - 3 } \approx 0 . 2 6 0 \, { \mathrm { e V } } \, { \mathrm { c m } } ^ { - 3 }
\begin{array} { r } { \mathcal { C } = 2 \mathcal { B } \mathcal { A } \mathcal { B } - \mathcal { B } \mathcal { B } \mathcal { A } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } ( 2 \Phi _ { q _ { i } q _ { j } } \Phi _ { q _ { k } } T _ { p _ { j } p _ { k } } + \Phi _ { q _ { j } } \Phi _ { q _ { k } } T _ { q _ { i } p _ { j } p _ { k } } ) \frac { \partial } { \partial p _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { \mu \nu } ( k ) } & { { } = } & { { \frac { 1 } { k ^ { 2 } } } \left( - \delta _ { \mu \nu } + { \frac { k _ { \mu } \eta _ { \nu } } { k \cdot \eta } } + { \frac { k _ { \nu } \eta _ { \mu } } { k \cdot \eta } } - { \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } \eta ^ { 2 } } { ( k \cdot \eta ) ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \pi } \frac { \partial } { \partial z ^ { \ast } } \overline { { G ( z ) } } } \\ & { = \frac { 1 } { \pi } \frac { \partial } { \partial z ^ { \ast } } \left< \frac { 1 } { L } \sum _ { i = 1 } ^ { L } \frac { 1 } { ( x - \relax E _ { i } ) + i ( y - \relax E _ { i } ) } \right> } \\ & { = \left< \frac { 1 } { L } \sum _ { i = 1 } ^ { L } \delta ( x - \relax E _ { i } ) \delta ( y - \relax E _ { i } ) \right> } \\ & { = \rho ( x , y ) , } \end{array}
H = \sum _ { k } \xi _ { k } c _ { k } ^ { \dag } c _ { k } + \lambda \sum _ { q , q ^ { \prime } , k } Q ( q ) Q ( q ^ { \prime } ) c _ { k + q + q ^ { \prime } } ^ { \dag } c _ { k } + \sum _ { q } \frac { M \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) } { 2 } Q ( q ) Q ( - q ) + \frac { 1 } { 2 M } P ( q ) P ( - q ) .
\begin{array} { r } { m l ^ { 2 } \ddot { \theta } + m g l \sin { ( \theta ) } = 0 \quad \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad \theta ( 0 ) = \theta _ { 0 } , \ \dot { \theta } ( 0 ) = \dot { \theta } _ { 0 } } \end{array}
\mathbf { W } = \int _ { \Omega _ { e l } } \mathbf { N } ^ { T } \; \mathrm { d } \Omega _ { e l } ( r , \theta , z ) = \int _ { \Omega _ { e l } } 2 \pi r \mathbf { N } ^ { T } \; \mathrm { d } \Omega _ { e l } ( r , z ) = \sum _ { i p } 2 \pi r _ { i p } x _ { i p } \mathbf { N } ^ { T } ( \mathbf { x } _ { i p } )
\int \mathcal { D } \, \Psi _ { f } ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \Psi _ { f } \, e ^ { - \widetilde { S } _ { B } \left[ \Psi _ { f } ^ { \dagger } , \Psi _ { f } \right] } = \operatorname* { d e t } \, \cal A
\frac { \mid \alpha _ { k } \mid ^ { 2 } } { \mid \beta _ { k } \mid ^ { 2 } } = \frac { \mid \sinh \pi ( \mid \mu \mid - e E _ { 0 } / H ^ { 2 } ) \mid e ^ { 2 \pi ( \mid \mu \mid - e E _ { 0 } / H ^ { 2 } ) } } { \mid \sinh \pi ( \mid \mu \mid + e E _ { 0 } / H ^ { 2 } ) \mid }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { E _ { s c } } } & { { } = - \frac { \eta k } { 4 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi k \rho } } \left[ I _ { 1 } e ^ { - j k \rho - j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } - j \frac { \pi } { 4 } } + I _ { 2 } e ^ { - j k \rho + j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } - j \frac { \pi } { 4 } } \right] \hat { z } = } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \pi } & { = 3 + { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 6 + { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 6 + { \cfrac { 5 ^ { 2 } } { 6 + { \cfrac { 7 ^ { 2 } } { 6 + \ddots } } } } } } } } = { \cfrac { 4 } { 1 + { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 2 + { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 2 + { \cfrac { 5 ^ { 2 } } { 2 + \ddots } } } } } } } } = { \cfrac { 4 } { 1 + { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 3 + { \cfrac { 2 ^ { 2 } } { 5 + { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 7 + \ddots } } } } } } } } } \end{array} }
V ( t _ { 1 } , . . . , t _ { N } ) = N \tau - c _ { 1 } \sum _ { 1 } ^ { N } | t _ { i } | ^ { 2 } + c _ { 2 } \sum _ { 1 } ^ { N } | t _ { i } | ^ { 4 } + { \cal { O } } ( | t _ { i } | ^ { 6 } )
\begin{array} { r l r } { \alpha } & { = } & { \frac { a e - b d } { A } , ~ \beta = \frac { b f - e c } { B } , ~ \alpha ^ { \prime } = \frac { a ^ { \prime } e ^ { \prime } - b ^ { \prime } d ^ { \prime } } { A ^ { \prime } } , ~ ~ ~ ~ \beta ^ { \prime } = \frac { b ^ { \prime } f ^ { \prime } - e ^ { \prime } c ^ { \prime } } { B ^ { \prime } } } \\ { \gamma } & { = } & { \frac { d h - g e } { C } , ~ ~ \theta = \frac { e k - f h } { D } , ~ \gamma ^ { \prime } = \frac { d ^ { \prime } h ^ { \prime } - g ^ { \prime } e ^ { \prime } } { C ^ { \prime } } , ~ ~ \theta ^ { \prime } = \frac { e ^ { \prime } k ^ { \prime } - f ^ { \prime } h ^ { \prime } } { D ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \Theta _ { 1 } , \Omega _ { 1 } ) = \left( I ^ { 2 } , I ^ { 2 } \right) \! , ( \Theta _ { 2 } , \Omega _ { 2 } ) = \left( \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \right) \! , } \\ & { ( \Theta _ { 3 } , \Omega _ { 3 } ) = \left( - I ^ { 2 } , - I ^ { 2 } \right) \! , ( \Theta _ { 4 } , \Omega _ { 4 } ) = ( \Theta _ { 2 } ^ { - 1 } , \Omega _ { 2 } ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\hat { \mathcal { E } } _ { 1 \mapsto 2 } = \hat { \mathcal { Q } } _ { 2 } ^ { - 1 } \hat { \mathcal { Q } } _ { 1 } : \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 2 } = b x _ { 1 } , } \\ { d t _ { 2 } = \frac { w _ { 1 } ( t _ { 1 } ) } { w _ { 2 } ( t _ { 2 } ) } b ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) d t _ { 1 } , } \\ { \psi _ { 2 } ( x _ { 2 } , t _ { 2 } ) = \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) \frac { 1 } { \sqrt { b } } e ^ { \frac { i } { 2 } \frac { m } { w _ { 2 } } \frac { \dot { b } } { b } x _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { S E R S } _ { \mathrm { h y b } } } { \mathrm { S E R S } _ { \mathrm { N C o M } } } } & { { } = \frac { \eta _ { i n , c } } { \eta _ { i n , a } } \frac { \eta _ { o u t , c } } { \eta _ { o u t , a } } \left( \frac { \mathrm { N A } _ { a } } { \mathrm { N A } _ { c } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \kappa } { \gamma } \right) ^ { 2 } \left| \frac { \chi _ { c } ^ { \prime } } { \chi _ { a } } \right| ^ { 4 } \left| \frac { V _ { a } } { V _ { c } } \right| ^ { 2 } \left| 1 + i J \chi _ { a } \cdot \sqrt { \frac { V _ { c } } { V _ { a } } } \right| ^ { 4 } } \\ { \frac { \mathrm { S E R S } _ { \mathrm { h y b } } } { \mathrm { S E R S } _ { \mathrm { N C o M } } } } & { { } \simeq \frac { \eta _ { i n , c } } { \eta _ { i n , a } } \frac { \eta _ { o u t , c } } { \eta _ { o u t , a } } \left( \frac { \mathrm { N A } _ { a } } { \mathrm { N A } _ { c } } \right) ^ { 2 } \frac { C _ { \mathrm { h y b } } ^ { 2 } } { \left| 1 + C _ { \mathrm { h y b } } ( 1 - i \tilde { \Delta } _ { a } ) ^ { - 1 } \right| ^ { 4 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { t } \left[ \exp \left( \frac { \eta _ { t } ^ { 2 } \| \boldsymbol { \xi } _ { f } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) + \eta _ { t } ^ { 2 } \| \boldsymbol { \xi } _ { g } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } > \epsilon _ { t } ) } { \eta _ { t } ^ { 2 } M ^ { 2 } } \right) \right] } \\ { = ~ } & { \mathbb { E } _ { t } \left[ \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) \exp \left( \frac { \| \boldsymbol { \xi } _ { f } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) \right] + \mathbb { E } _ { t } \left[ \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } > \epsilon _ { t } ) \exp \left( \frac { \| \boldsymbol { \xi } _ { g } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) \right] } \\ { = ~ } & { \mathbb { E } _ { t } \left[ \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) \right] \mathbb { E } _ { t } \left[ \exp \left( \frac { \| \boldsymbol { \xi } _ { f } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) \right] + \mathbb { E } _ { t } \left[ \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } > \epsilon _ { t } ) \right] \mathbb { E } _ { t } \left[ \exp \left( \frac { \| \boldsymbol { \xi } _ { g } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) \right] } \\ { \leq ~ } & { \mathbb { E } _ { t } \left[ \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) \right] \exp \left( 1 \right) + \mathbb { E } _ { t } \left[ \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } > \epsilon _ { t } ) \right] \exp \left( 1 \right) = \exp \left( 1 \right) , } \end{array}
\bar { p } _ { \mathrm { W W } } = \bar { p } _ { \mathrm { W W } } \{ ( 1 - e _ { 1 } ) a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { G C } } + e _ { 1 } a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { G D } } \} + ( 1 - \bar { p } _ { \mathrm { W W } } ) \{ e _ { 1 } a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { B C } } + ( 1 - e _ { 1 } ) a _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { B D } } \} ,
\sum _ { \lambda = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n - \lambda } ( - 1 ) ^ { k + \lambda + k \lambda + n k + k ( \vert a _ { 1 } \vert + \dots + \vert a _ { \lambda } \vert ) } \mu _ { n - k + 1 } ( a _ { 1 } , \dots , a _ { \lambda } , m _ { k } ( a _ { \lambda + 1 } , \dots , a _ { \lambda + k } ) , a _ { \lambda + k + 1 } , \dots , a _ { n } ) = 0 .
\operatorname { d i s t } ( \langle x _ { 1 } , y _ { 1 } \rangle , \langle x _ { 2 } , y _ { 2 } \rangle ) = \operatorname { a r c o s h } ( \cosh ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } \exp ( - x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ) \, .
G _ { \mu \nu } ^ { S } = - e \int d ^ { 2 } \xi \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { a b } \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } \frac { \partial \tilde { x } ^ { \alpha } } { \partial \xi ^ { a } } \frac { \partial \tilde { x } ^ { \beta } } { \partial \xi ^ { b } } \delta ^ { ( 4 ) } \left( x ^ { \mu } - \tilde { x } ^ { \mu } ( \xi ) \right) \, .
a _ { j } = \operatorname * { l i m } _ { R \to \infty } T _ { 4 j } / R , \quad a _ { i } ^ { \dag } = \operatorname * { l i m } _ { R \to \infty } T _ { i 4 } / R , \quad { \bf 1 } = \operatorname * { l i m } _ { R \to \infty } T _ { 4 4 } / R ^ { 2 } .
\left( \begin{array} { l } { \medskip \dot { \rho } } \\ { \dot { \varsigma } } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { c } { \medskip \rho _ { { } _ { \Delta } } \left( \zeta _ { x } \psi _ { z } + \psi _ { x } \right) \delta ( z - \zeta ) \, } \\ { \ \left( \rho _ { { } _ { \Delta } } \, ( \zeta _ { x } \phi _ { z } + \phi _ { x } ) + \sigma _ { x } \psi _ { z } \right) \delta ( z - \zeta ) \, - \sigma \, ( \zeta _ { x } \psi _ { z } + \psi _ { x } ) \delta ^ { \prime } ( z - \zeta ) \, } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { R } & { { } = \Theta _ { k , q } ^ { ( v , e ) } ( R ) \equiv \Phi _ { k } ^ { ( v ) } \left( \Phi _ { q } ^ { ( e ) } ( R ) \right) , } \\ { H } & { { } = \Theta _ { q , k } ^ { ( e , v ) } ( H ) \equiv \Phi _ { q } ^ { ( e ) } \left( \Phi _ { k } ^ { ( v ) } ( H ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { x } ^ { ( i + 1 ) } } & { { } = \boldsymbol { x } ^ { ( i ) } + \delta \boldsymbol { x } ^ { ( i ) } = \boldsymbol { x } ^ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { i } \delta \boldsymbol { x } ^ { ( j ) } , } \\ { \boldsymbol { y } ^ { ( i + 1 ) } } & { { } = \boldsymbol { y } ^ { ( i ) } + \delta \boldsymbol { y } ^ { ( i ) } = \boldsymbol { y } ^ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { i } \delta \boldsymbol { y } ^ { ( j ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { t _ { i , j } t _ { 1 , k } t _ { k + 1 , n - 1 } ^ { - 1 } t _ { i , j } ^ { - 1 } = t _ { 1 , j } t _ { i , n - 1 } \underline { { t _ { 1 , k } t _ { k + 1 , n - 1 } ^ { - 1 } } } t _ { 1 , j } ^ { - 1 } t _ { i , n - 1 } ^ { - 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O M M } } { \Longleftrightarrow } } & { t _ { i , j } t _ { 1 , k } \underline { { t _ { k + 1 , n - 1 } ^ { - 1 } t _ { i , j } ^ { - 1 } } } = \underline { { t _ { 1 , j } t _ { i , n - 1 } t _ { k + 1 , n - 1 } ^ { - 1 } } } t _ { 1 , k } t _ { 1 , j } ^ { - 1 } t _ { i , n - 1 } ^ { - 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O N J } } { \Longleftrightarrow } } & { t _ { k + 1 , n - 1 } t _ { i , n - 1 } ^ { - 1 } \underset { \rightarrow } { \underline { { t _ { 1 , j } ^ { - 1 } } } } t _ { i , j } t _ { 1 , k } = \underline { { t _ { 1 , k } t _ { 1 , j } ^ { - 1 } } } t _ { i , n - 1 } ^ { - 1 } t _ { i , j } t _ { k + 1 , n - 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O M M } } { \Longleftrightarrow } } & { \underline { { t _ { k + 1 , n - 1 } t _ { i , n - 1 } ^ { - 1 } } } t _ { i , j } t _ { 1 , k } t _ { 1 , j } ^ { - 1 } = t _ { 1 , j } ^ { - 1 } t _ { 1 , k } \underset { \rightarrow } { \underline { { t _ { i , n - 1 } ^ { - 1 } } } } t _ { i , j } t _ { k + 1 , n - 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O M M } } { \Longleftrightarrow } } & { t _ { i , n - 1 } ^ { - 1 } t _ { k + 1 , n - 1 } t _ { i , j } t _ { 1 , k } t _ { 1 , j } ^ { - 1 } = t _ { 1 , j } ^ { - 1 } t _ { 1 , k } t _ { i , j } t _ { k + 1 , n - 1 } t _ { i , n - 1 } ^ { - 1 } . } \end{array}
{ \left( { q _ { i } ^ { \left( k \right) } \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } \right) ^ { 2 } } \le \left[ { q _ { i } ^ { \left( k \right) } q _ { i } ^ { \left( k \right) } } \right] \left( { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } \right) = 2 \left\| { { { \bf { q } } ^ { \left( k \right) } } } \right\| \overline { { \mathcal E } } ^ { \dag } \; \; \left( { k = 1 , 2 , 3 } \right) ,
\hat { f } ( \vec { b } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int _ { } ^ { } d { } ^ { 2 } k _ { \perp 1 } d { } ^ { 2 } k _ { \perp 2 } \mathrm { e x p } \{ - i \vec { b } _ { 1 } \! \! \cdot \vec { k } _ { \perp 1 } - i \vec { b } _ { 2 } \! \cdot \vec { k } _ { \perp 2 } \} f ( \vec { k } ) .
\begin{array} { r } { \frac { \sum _ { 1 \leq i , j \leq d } { \lambda _ { n } | ( \Delta \mu _ { n } ) _ { i } | | ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) _ { j } | } } { \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } = \frac { \lambda _ { n } \sum _ { 1 \leq i \leq d } { | ( \Delta \mu _ { n } ) _ { i } | } \sum _ { 1 \leq i \leq d } { | ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) _ { i } | } } { \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to 0 , } \\ { \frac { \sum _ { 1 \leq i , j \leq d } \lambda _ { n } ^ { * } | ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) _ { i } | | ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) _ { j } | } { \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } = \frac { \lambda _ { n } ^ { * } \sum _ { 1 \leq i \leq d } { | ( \Delta \mu _ { n } ) _ { i } ^ { * } | } \sum _ { 1 \leq i \leq d } { | ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) _ { i } | } } { \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \rho ^ { \prime } } { \bar { \rho } } } & { { } = \frac { p ^ { \prime } } { \bar { \gamma } \bar { p } } - \frac { s ^ { \prime } } { \bar { c } _ { p } } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \bar { \aleph } _ { 1 , i } + \bar { \psi } _ { 1 , i } + \bar { \phi } _ { 1 , i } \right) Y _ { i } ^ { \prime } - \bar { \Theta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ B _ { 1 } \sin ( B _ { 1 } ^ { \top } \theta ) \right] _ { i } } & { = \sum _ { \epsilon \in \mathcal { E } } ( B _ { 1 } ) _ { i \epsilon } \sin ( B _ { 1 } ^ { \top } \theta ) _ { \epsilon } = \sum _ { \epsilon \in \mathcal { E } } ( B _ { 1 } ) _ { i \epsilon } \sin ( \theta _ { \mathbf { h } ( \epsilon ) } - \theta _ { \mathbf { t } ( \epsilon ) } ) } \\ & { = \sum _ { \epsilon : \mathbf { h } ( \epsilon ) = i } \sin ( \theta _ { i } - \theta _ { \mathbf { t } ( \epsilon ) } ) - \sum _ { \epsilon : \mathbf { t } ( \epsilon ) = i } \sin ( \theta _ { \mathbf { h } ( \epsilon ) } - \theta _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { \epsilon : \mathbf { h } ( \epsilon ) = i } \sin ( \theta _ { i } - \theta _ { \mathbf { t } ( \epsilon ) } ) + \sum _ { \epsilon : \mathbf { t } ( \epsilon ) = i } \sin ( \theta _ { i } - \theta _ { \mathbf { h } ( \epsilon ) } ) } \\ & { = \sum _ { j \in \mathcal { N } ( i ) } \sin ( \theta _ { i } - \theta _ { j } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { n } A _ { i j } \sin ( \theta _ { i } - \theta _ { j } ) , } \end{array}
\iint _ { R _ { C } } \left( c ^ { 2 } u _ { x x } ( x , t ) - u _ { t t } ( x , t ) \right) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t = \iint _ { R _ { C } } s ( x , t ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t .
\begin{array} { r l l } { \xi _ { \operatorname* { m a x } } } & { = } & { \zeta + r _ { m } , \medskip } \\ { \xi _ { \operatorname* { m i n } } } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \zeta \leq r _ { m } ( 0 ) , \medskip } \\ { \mathrm { s o l u t i o n ~ o f ~ } A ( \zeta - \xi _ { \operatorname* { m i n } } , \xi _ { \operatorname* { m i n } } ) = m / \nu \; \; } & { \mathrm { ~ f o r ~ } r _ { m } ( 0 ) < \zeta < 2 r _ { m } . } \end{array} \right. } \end{array}