harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { W } ^ { ( 1 ) } ( \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } ) } & { = \int d \mu \; \; \Psi _ { 1 } \cdot \; e ^ { \Lambda Q _ { W } ( L ) } \left( \pi \Lambda ^ { 2 } \; r ^ { k } r ^ { l } \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial Y _ { k } \partial Y _ { l } } - i \Lambda r ^ { k } \frac { \partial } { \partial Y _ { k } } \right) \Psi _ { 2 } } \\ & { = - \pi \sum _ { d W = 0 } \; \; ( \partial _ { Y _ { k } } \partial _ { Y _ { l } } W ) ^ { - 1 } \frac { \left( \Psi _ { 1 } \partial _ { Y _ { k } } \partial _ { Y _ { l } } \Psi _ { 2 } - \Psi _ { 2 } \partial _ { Y _ { k } } \partial _ { Y _ { l } } \Psi _ { 1 } \right) } { \operatorname* { d e t } \partial _ { Y _ { k } } \partial _ { Y _ { l } } W } \Big | _ { r = \psi = 0 } . } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \varphi _ { X } \! : \mathbb { R } \to \mathbb { C } } \\ { \displaystyle \varphi _ { X } ( t ) = \operatorname { E } \left[ e ^ { i t X } \right] = \int _ { \mathbb { R } } e ^ { i t x } \, d F _ { X } ( x ) = \int _ { \mathbb { R } } e ^ { i t x } f _ { X } ( x ) \, d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { i t Q _ { X } ( p ) } \, d p } \end{array} \right. }
\widehat { T } _ { k } ^ { \epsilon } \; : = \; \operatorname* { i n f } \lbrace n \in \mathbb { N } _ { 0 } \, : \, \widehat { x } _ { k , n } ^ { \epsilon } = \infty \rbrace \, , \qquad \widetilde { T } _ { k } ^ { \epsilon } \; : = \; \operatorname* { i n f } \lbrace n \in \mathbb { N } _ { 0 } \, : \, \widetilde { x } _ { k , n } ^ { \epsilon } = \infty \rbrace \, .
\begin{array} { r } { ( . . . , S _ { t } ^ { d r o n e } , x _ { t } ^ { h e l i } , S _ { t } ^ { d r o n e , x } , x _ { t } ^ { d r o n e } , W _ { t + 1 } ^ { d r o n e } , S _ { t + 1 } ^ { d r o n e } , x _ { t + 1 } ^ { h e l i } , S _ { t + 1 } ^ { d r o n e , x } , x _ { t + 1 } ^ { d r o n e } , W _ { t + 2 } ^ { d r o n e } , S _ { t + 2 } ^ { d r o n e } , . . . ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } ^ { Y } ( y , t , z ) = } & { \; \hat { w } _ { E } ( y , t , z ) + \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \hat { w } _ { j , \ln } ^ { W } ( y , \tilde { y } , w ) \ln { t } + \hat { w } _ { j } ^ { W } ( y , \tilde { y } , w ) } { t ^ { j / 6 } } + O \big ( \frac { e ^ { - c | w | ^ { 2 } } \ln { t } } { t ^ { \frac { N + 1 } { 6 } } } \big ) , } & { | z | \leq t ^ { - \frac { 1 } { 1 2 } } , } \\ { O \big ( e ^ { - c | w | ^ { 2 } } e ^ { - c t ^ { 1 / 6 } } \big ) , } & { | z | > t ^ { - \frac { 1 } { 1 2 } } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { x } f ^ { o b j } ( x ) } \\ & { I ^ { R } = \operatorname { R e } ( \mathrm { Y } V ) , \; I ^ { I } = \operatorname { I m } ( \mathrm { Y V } ) } \\ & { P _ { i } ^ { \phi } = V _ { i } ^ { \phi , R } I _ { i } ^ { \phi , R } + V _ { i } ^ { \phi , I } I _ { i } ^ { \phi , I } \quad \forall i \in \mathcal { N } , \phi \in \mathcal { P } } \\ & { Q _ { i } ^ { \phi } = - V _ { i } ^ { \phi , R } I _ { i } ^ { \phi , I } + V _ { i } ^ { \phi , I } I _ { i } ^ { \phi , R } \quad \forall i \in \mathcal { N } , \phi \in \mathcal { P } } \\ & { ( I _ { i j } ^ { R } ) ^ { 2 } + ( I _ { i j } ^ { I } ) ^ { 2 } \le \overline { { I _ { i j } } } ^ { 2 } \quad \forall i \in \mathcal { N } , \phi \in \mathcal { P } } \\ & { \underline { { { V _ { i } ^ { \phi } } } } ^ { 2 } \le ( { V _ { i } ^ { \phi , R } } ) ^ { 2 } + ( { V _ { i } ^ { \phi , I } } ) ^ { 2 } \le \overline { { V _ { i } ^ { \phi } } } ^ { 2 } \quad \forall i \in \mathcal { N } , \phi \in \mathcal { P } } \\ & { \underline { { P _ { i } ^ { \phi } } } \leq P _ { i } ^ { \phi } \leq \overline { { P _ { i } ^ { \phi } } } , \; \underline { { Q _ { i } ^ { \phi } } } \leq Q _ { i } ^ { \phi } \leq \overline { { Q _ { i } ^ { \phi } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { n l m } ^ { ( 1 ) } ( N ) } & { { } = } & { - \frac { i ^ { l } e ^ { - i \phi _ { q } } { \cal E } _ { 0 } } { 2 { \pi } ^ { 3 / 2 } q ^ { 2 } \omega } \frac { J _ { N - 1 } ( X _ { q } ) } { \sqrt { 2 l + 1 } } \left[ \sqrt { l } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l - 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } , \Omega _ { n } ^ { - } , q ) + \sqrt { l + 1 } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l + 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } , \Omega _ { n } ^ { - } , q ) \right] } \end{array}
\alpha _ { \rho } = \frac { 3 \Gamma _ { + } } { 4 \pi { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 5 } } \Bigg ( ( \rho _ { c } - \rho _ { + } ) ( I _ { 2 B } ^ { \delta } - I _ { 1 B } ^ { \delta } ) + \rho _ { + } ( I _ { 3 B } ^ { \delta } - I _ { 2 B } ^ { \delta } ) \Bigg ) ( z _ { c } - z _ { + } )
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { K } 2 [ \| x ^ { k } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } + \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { \leq 2 ( \tau ^ { 2 } + 1 ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}
( M \mathbf { a } ) \times ( M \mathbf { b } ) = ( \operatorname* { d e t } M ) \left( M ^ { - 1 } \right) ^ { \mathrm { T } } ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) = \operatorname { c o f } M ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } )
{ \bf x } _ { t + 1 } = { { \bf x } _ { t } } + \Delta t \left[ - \alpha \nabla F ( { \bf f } _ { \mathrm { n o n l i n e a r } } ( { \bf x } _ { t } ) ) - \beta ( t ) { \bf x } _ { t } + \gamma ( { \bf x } _ { t } - { \bf x } _ { t - 1 } ) \right] ,
{ F _ { 1 } } ^ { \prime \prime } ( z ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { z ^ { 4 } ( L _ { - } + { \frac { 2 \sqrt { 1 - z } } { z } } ) , \; 0 < z \le 1 , } } \\ { { 0 , \; z > 1 . } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l r } { E _ { i } } & { \approx } & { \frac { 3 \pi L \, k T _ { i } } { 2 \rho _ { p } ^ { 2 } } \, \left( n _ { p } + n _ { B } + n _ { D } + n _ { T } \right) \, \left( \rho _ { p } R \right) ^ { 2 } \, , } \\ { E _ { f } } & { \approx } & { \frac { \pi L \, \epsilon _ { f } ^ { D T } } { m _ { p } \, \rho _ { p } } \, \frac { \left( \rho _ { p } R \right) ^ { 3 } } { H _ { D T } \left( k T _ { i } , u ^ { s } \right) + \rho _ { p } R } } \\ & { } & { + \frac { \pi L \, \epsilon _ { f } ^ { p B } } { m _ { p } \, \rho _ { p } } \, \frac { \left( \rho _ { p } R \right) ^ { 3 } } { H _ { p B } \left( k T _ { i } , u ^ { s } \right) + \rho _ { p } \, R } \, , } \end{array}
2 u c _ { i } ^ { r } > 0 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \sqrt { ( \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } - u ) ^ { 2 } + 4 u c _ { i } ^ { r } ( \bar { \beta } - \alpha ) } > | u - \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } |
\mu _ { 3 0 K e V } ( \mathrm { ~ b ~ o ~ n ~ e ~ } ) \approx 2 . 5 6 ( c m ^ { - 1 } ) , ~ \mu _ { 8 0 K e V } ( \mathrm { ~ b ~ o ~ n ~ e ~ } ) \approx 0 . 4 3 ( c m ^ { - 1 } )
\langle b _ { 1 } ( z , \bar { z } ) \bar { b } _ { 2 } ( z ^ { \prime } , \bar { z } ^ { \prime } ) \rangle = { \frac { \mu ( { \bf p } ) } { 2 \pi } } ~ K _ { 0 } ( d ^ { 2 } m ^ { 2 } ( { \bf p } ) ) ~ .
T _ { p } = \left| 1 - \frac { 1 } { 2 Q _ { c } } \left( \frac { 1 + 2 | f | \cos \beta } { i \frac { \Delta + | g | } { \omega _ { 0 } } + \frac { 1 } { Q } } + \frac { 1 - 2 | f | \cos \beta } { i \frac { \Delta + | g | } { \omega _ { 0 } } + \frac { 1 } { Q } } \right) \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \lesssim \| b \| _ { * } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \times \bigg ( \frac { ( j + 1 ) } { 2 ^ { ( j + 1 ) n ( \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { q } ) } } \bigg ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { K L } } ( Q \parallel P ) } & { = \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } Q ( x ) \ln \left( { \frac { Q ( x ) } { P ( x ) } } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 3 } } \ln \left( { \frac { 1 / 3 } { 9 / 2 5 } } \right) + { \frac { 1 } { 3 } } \ln \left( { \frac { 1 / 3 } { 1 2 / 2 5 } } \right) + { \frac { 1 } { 3 } } \ln \left( { \frac { 1 / 3 } { 4 / 2 5 } } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 3 } } \left( - 4 \ln ( 2 ) - 6 \ln ( 3 ) + 6 \ln ( 5 ) \right) \approx 0 . 0 9 7 4 5 5 . } \end{array} }
\frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } + \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial T } + u _ { z 0 } \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial z } - \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 } } { \partial z ^ { 2 } } - \frac { 1 } { r } \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial r } - \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 1 } } { \partial r ^ { 2 } } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \chi ^ { 2 } } & { { } = } & { { \stackrel [ \displaystyle { \xi _ { l } ^ { \pm } } ] { } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { E _ { \mu } ^ { o b s } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \cos \theta _ { \mu } ^ { o b s } } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { E _ { h a d } ^ { o b s } } } \left\{ 2 \left[ \left( T _ { i j k } ^ { + } - D _ { i j k } ^ { + } \right) - D _ { i j k } ^ { + } \ln \left( \frac { T _ { i j k } ^ { + } } { D _ { i j k } ^ { + } } \right) \right] + \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { a _ { t + 1 } ^ { 2 } } \! - \! \frac { 1 } { a _ { t } ^ { 2 } } \! = \! \frac { 3 a _ { t } ^ { 2 } + 2 - 2 \sqrt { a _ { t } ^ { 2 } + 1 } } { a _ { t } ^ { 2 } ( 1 + \sqrt { a _ { t } ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } } \! = \! \frac { 3 a _ { t } ^ { 2 } + 2 - 2 ( 1 + 0 . 5 a _ { t } ^ { 2 } + O ( a _ { t } ^ { 4 } ) ) } { a _ { t } ^ { 2 } ( 1 + \sqrt { a _ { t } ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } } \! = \! \frac { 2 + O ( a _ { t } ^ { 2 } ) } { ( 1 + \sqrt { a _ { t } ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi _ { i } ( 0 ) = f _ { 1 } ( 0 ) = 0 } \\ & { ~ ~ \rightarrow ~ ~ \beta = - g ( 0 ) } \\ & { \phi _ { i } ( r _ { \textrm { e d g e } } ) = f _ { 1 } ( r _ { \textrm { e d g e } } ) = 0 } \\ & { ~ ~ \rightarrow ~ ~ \alpha = - \tilde { a } \frac { g ( r _ { \textrm { e d g e } } ) - g ( 0 ) } { r _ { \textrm { e d g e } } } = 0 ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \bigg [ s \lambda _ { i } ^ { 3 } - s \lambda _ { i } ( s R e + 3 ) - R e ( 1 + B o ^ { - 1 } ) \bigg ] C _ { i } ( s ) = } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \mathscr { E } _ { i } ( s ) \bigg [ s ( D + \lambda _ { i } ) ^ { 3 } - s ( s R e + 3 ) ( D + \lambda _ { i } ) - R e ( 1 + B o ^ { - 1 } ) \bigg ] I _ { i } ( s , z = 0 ) } \\ & { + R e ( 1 + B o ^ { - 1 } ) \textbf { i } \hat { \eta } ( t = 0 ) - s R e D \hat { \psi } ( t = 0 , z = 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 1 ) \quad \exists \phi _ { \alpha } : V ( \lambda , \phi ) > 0 \ \land \ \partial _ { \phi _ { \alpha } } V ( \lambda , \phi ) = 0 \ \land \lambda _ { \alpha } > 0 \ , } \\ & { ( 2 ) \quad V ( \lambda , \phi ) = 0 \ \lor \ \partial _ { \phi _ { \alpha } } \partial _ { \phi _ { \alpha } } V ( \lambda , \phi ) < 0 \ , \qquad e t c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { E V } } } & { { } = 2 \left< \nu ^ { \mathrm { s g s } } \left( \overline { { s } } _ { i \ell } \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } ^ { \prime } } { \partial x _ { \ell } } + \overline { { s } } _ { j \ell } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { \ell } } \right) \right> , } \\ { \xi _ { i j } ^ { \mathrm { A R } } } & { { } = \left< \tau _ { i \ell } ^ { \mathrm { a n i } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } ^ { \prime } } { \partial x _ { \ell } } + \tau _ { j \ell } ^ { \mathrm { a n i } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { \ell } } \right> . } \end{array}
A _ { M } = \left( \begin{array} { c } { { a } } \\ { { \psi } } \end{array} \right) , \; \; \; \; \; A _ { M } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { c } { { a ^ { \dagger } } } \\ { { \psi ^ { \dagger } } } \end{array} \right) , \; \; \tilde { A } _ { M } = \left( \begin{array} { c } { { \tilde { a } } } \\ { { \tilde { \psi } } } \end{array} \right) , \; \; \; \; \; \tilde { A } _ { M } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { c } { { \tilde { a } ^ { \dagger } } } \\ { { \tilde { \psi } ^ { \dagger } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { F ( \widehat { \eta } ( t ) , \widehat { \gamma } ( t ) ) - F ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) } \\ { = } & { V _ { \eta ^ { * } , \eta ^ { * } } ( t , \gamma ^ { * } ( t ) ) \{ \widehat { \eta } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \} - V _ { \eta ^ { * } , \gamma ^ { * } } ( t ) \{ \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) \} + n ^ { - 1 } g ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \widehat { \mathfrak { I } } _ { 1 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } } & { = | \Pi _ { 0 } T ( i _ { 0 } ) \Pi _ { n } Z _ { 0 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } } \\ & { \le | T ( i _ { 0 } ) \Pi _ { 0 } Z _ { 0 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \gamma ^ { - 1 } ( 1 + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \underbrace { | \mathfrak { I } _ { 0 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } } _ { = 0 } ) | \Pi _ { 0 } Z _ { 0 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } \gamma ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 0 } } & { { } = Q _ { t } - t m ^ { - 1 } \cdot P _ { t } , } \\ { P _ { 0 } } & { { } = P _ { t } , } \\ { S _ { 0 } } & { { } = S _ { t } - t T ( p _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i ) : \mathbb { E } [ \| y _ { k } ^ { ( t + 1 ) } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le ( 1 - 3 \mu _ { g } \beta _ { k } / 4 ) \| y _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } + ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { P } } \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } R _ { i } ^ { - 1 } \geq \varepsilon \zeta _ { 1 } n ^ { 1 / 4 } \right) } & { = } & { { \mathbb { P } } \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } R _ { i } ^ { - 4 } \geq \varepsilon ^ { 4 } \zeta _ { 1 } ^ { 4 } n \right) } \\ & { \leq } & { { \mathbb { E } } \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } R _ { i } ^ { - 4 } \right) / ( \varepsilon ^ { 4 } \zeta _ { 1 } ^ { 4 } n ) \leq n { \mathbb { E } } ( R _ { i } ^ { - 4 } ) / ( \varepsilon ^ { 4 } \zeta _ { 1 } ^ { 4 } n ) \lesssim \varepsilon ^ { - 4 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { e f f } = ( ( \omega _ { m } - \delta \omega _ { m _ { 1 } } ) - i \gamma _ { e f f _ { 1 } } ) \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 1 } } \\ { + ( ( \omega _ { m } + \delta \omega _ { m _ { 2 } } ) + i \gamma _ { e f f _ { 2 } } ) \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } - J ( \hat { b } _ { 1 } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } + \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { = ( a + b ) \rho } \\ { \psi } & { = \eta ( a + c ) } \\ { ( c + a ) \psi } & { = 1 } \\ { c ^ { 2 } - c \psi \mu } & { \leq b ^ { 2 } \psi } \\ { a ^ { 2 } - a \psi \mu } & { \leq a ^ { 2 } \psi } \\ { a c } & { = a b c \psi } \\ { \frac { \psi ^ { 2 } ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } 2 } & { \leq \eta \left( 1 - \frac { L \eta ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } 2 \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { H K 1 , p u r e } } [ \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } ] = \langle \psi _ { \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } } | H _ { 0 } | \psi _ { \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } } \rangle } \end{array}
S _ { \mathrm { Y M } } = \int d ^ { D } x \bigg ( T ^ { \mu a } \hat { R } _ { \mu \nu } T ^ { \nu a } - \frac { g } { 2 } f ^ { a b c } ( \partial ^ { \mu } T ^ { \nu a } - \partial ^ { \nu } T ^ { \mu a } ) T _ { \mu } ^ { b } T _ { \nu } ^ { c } - \frac { g ^ { 2 } } { 4 } f ^ { a b c } f ^ { a d e } T _ { \mu } ^ { b } T _ { \nu } ^ { c } T ^ { \mu d } T ^ { \nu e } \bigg ) \, ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \partial p _ { b } ( E , t ) } { \partial t } = - p _ { b } ( E , t ) e ^ { - \beta E } + P _ { u } ( t ) \rho ( E ) , } \\ & { \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \partial P _ { u } ( t ) } { \partial t } = - P _ { u } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { \infty } d E p _ { b } ( E , t ) e ^ { - \beta E } , } \end{array}
\textbf { T r } \left( \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial { E } _ { k , \sigma } ^ { i j } } \right) = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { m _ { k , \sigma } } \Lambda _ { \alpha \alpha } ^ { i j } = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \delta _ { i j } \, .
\begin{array} { r } { | \psi _ { m } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { m } } } \sum _ { p = 0 } ^ { q - 1 } e ^ { i m p \frac { 2 \pi } { q } } \hat { R } _ { q } ^ { p } | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { m } } } \sum _ { p = 0 } ^ { q - 1 } e ^ { i m \frac { 2 \pi p } { q } } | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma + i \frac { 2 \pi p } { q } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \, { \bf k } ^ { 2 } \, \delta _ { i j } - k _ { i } \, k _ { j } - \omega ^ { 2 } \mu \, \overline { { \epsilon } } _ { i j } ( \omega ) \, \right] E _ { j } = 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { t } } & { { } = \operatorname { t a n h } { \left[ { \left( c _ { t } ^ { 2 } r _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } \right) } ^ { 3 } \right] } , \ \ f _ { l } = \operatorname { t a n h } { \left[ { \left( c _ { l } ^ { 2 } r _ { \mathrm { ~ d ~ l ~ } } \right) } ^ { 1 0 } \right] } } \\ { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ \ \ r _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } } & { { } = \frac { \nu _ { t } } { \kappa ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } \cdot { [ \sum _ { i , j } { \left( \partial u _ { i } / \partial x _ { j } \right) } ^ { 2 } ] } ^ { 1 / 2 } } , \ \ \ r _ { \mathrm { ~ d ~ l ~ } } = \frac { \nu } { \kappa ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } \cdot { [ \sum _ { i , j } { \left( \partial u _ { i } / \partial x _ { j } \right) } ^ { 2 } ] } ^ { 1 / 2 } } \ \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } } & { = \hat { K } \sin \big ( \omega \dot { x } _ { 1 } \big ) e ^ { - \nu \dot { x } _ { 1 } ^ { 2 } } - K F \big ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } \big ) , } \\ { \ddot { x } _ { 2 } } & { = \hat { K } \sin \big ( \omega \dot { x } _ { 2 } \big ) e ^ { - \nu \dot { x } _ { 2 } ^ { 2 } } + K F \big ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 6 } \, } & { = \, \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } t ( \partial _ { t } W _ { \epsilon } ) \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X + \frac { \epsilon \bar { r } \dot { \bar { r } } } { \delta \Gamma } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } - \tilde { \phi } \bigr ) \, \partial _ { R } \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X } \\ & { \quad \, - \frac { t \dot { \epsilon } } { 2 } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \frac { R | \nabla \tilde { \phi } | ^ { 2 } } { ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } X + \frac { \epsilon \bar { r } \dot { \tilde { z } } } { \delta ^ { 2 } \Gamma } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } - \tilde { \phi } \bigr ) \, \bigl ( \partial _ { Z } \eta _ { * } + \delta \partial _ { Z } \tilde { \eta } \bigr ) \, \mathrm { d } X \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( n ) } ( { \bf r } ) } & { = } & { \delta _ { n } \, S ^ { ( n ) } ( { \bf r } ) \, \, { \hat { U } } ^ { ( n ) } ( { \bf r } ) , \, \, \, n = 1 , 2 } \\ { { \hat { U } } ^ { ( 1 ) } ( { \bf r } ) } & { = } & { \frac { 2 } { 3 } | { \bf A } _ { 1 } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } \, { \hat { P } } ^ { ( g _ { 1 } ) } - \frac { i } { 3 } \bigg ( \left[ { \bf A } _ { 1 } ^ { * } ( { \bf r } ) \times { \bf A } _ { 1 } ( { \bf r } ) \right] \cdot \frac { \hat { \bf F } } { F _ { g _ { 1 } } } \bigg ) , } \\ { { \hat { U } } ^ { ( 2 ) } ( { \bf r } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 3 } | { \bf A } _ { 2 } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } \, { \hat { P } } ^ { ( g _ { 2 } ) } - \frac { i } { 9 } \bigg ( \left[ { \bf A } _ { 2 } ^ { * } ( { \bf r } ) \times { \bf A } _ { 2 } ( { \bf r } ) \right] \cdot \frac { { \hat { \bf F } } } { F _ { g _ { 2 } } } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho ( p ) \le \rho ( p , E _ { N } ( \rho ( p ) ) ) = \rho ( p ) ^ { \frac 1 2 } E _ { N } ( \rho ( p ) ) ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \rho ( p ) ^ { \frac 1 2 } \le C ^ { \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \rho ( p ) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ { 1 = } & { \tau ( \rho ( p ) ) \le \tau ( \rho ( p , E _ { N } ( \rho ( p ) ) ) ) \le C ^ { \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \tau ( \rho ( p ) ^ { \frac { 1 } { p } } ) \to 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { y \in D ^ { \prime } } | \mathbb { P } _ { y } ( \tau _ { D ^ { \prime } } > t + \delta / 4 ) - \mathbb { P } _ { y } ( \tau _ { D ^ { \prime } } > t ) | } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { y \in D ^ { \prime } } \left| \int _ { D ^ { \prime } } p _ { D ^ { \prime } } ( t + \delta / 4 , z , y ) d z - \int _ { D ^ { \prime } } p _ { D ^ { \prime } } ( t , z , y ) d z \right| } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { y \in D ^ { \prime } } \int _ { D ^ { \prime } } \left| p _ { D ^ { \prime } } ( t + \delta / 4 , z , y ) - p _ { D ^ { \prime } } ( t , z , y ) \right| d z < \varepsilon . } \end{array}
\dim W ( \lambda ) = { \frac { 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 1 0 \cdot 1 1 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 5 } { 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 } } = 6 6 5 2 8 .
\rho _ { s } ( \lambda _ { 1 } , \cdots , \lambda _ { p } ) = \left\langle \prod _ { a = 1 } ^ { p } \frac { 1 } { N } \mathrm { t r } \, \delta ( \lambda _ { a } - M ) \right\rangle = \operatorname * { d e t } _ { 1 \leq a , b \leq p } K _ { s } ( \lambda _ { a } , \lambda _ { b } ) ,
d \omega _ { \phantom { i } i } ^ { a } \, = \, - \omega _ { \phantom { c } c } ^ { a } \wedge \omega _ { \phantom { i } i } ^ { c } - \omega _ { \phantom { j } j } ^ { a } \wedge \omega _ { \phantom { i } i } ^ { j } \longrightarrow R _ { \phantom { i } i } ^ { a } = 0
\begin{array} { r l r } { \hat { r } \mathcal { I } \hat { r } } & { { } = } & { \hat { r } \left[ \mathcal { M } _ { \bf u } \hat { r } \hat { r } \mathcal { U } ( 0 ) + \mathcal { M } _ { \bf d } \hat { r } \hat { r } \mathcal { U } ( \tau _ { c } ) \right] \hat { r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 2 } } & { = \left| \vec { \rho } _ { 1 } \right| ~ , } \\ { r _ { 2 3 } } & { = \left| \vec { \rho } _ { 2 } - \frac { m _ { 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \vec { \rho } _ { 1 } \right| ~ , } \\ { r _ { 3 1 } } & { = \left| \vec { \rho } _ { 2 } + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \vec { \rho } _ { 1 } \right| ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { x } = ( \delta _ { 0 } ^ { * } / \delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 1 } { V } \int _ { V } | \omega _ { x } | ^ { 2 } \mathrm d v \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { \Omega _ { y } = ( \delta _ { 0 } ^ { * } / \delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 1 } { V } \int _ { V } | \omega _ { y } | ^ { 2 } \mathrm d v \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { W = ( \delta _ { 0 } ^ { * } / \delta ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \left( \frac { 1 } { V } \int _ { V } | w | ^ { 2 } \mathrm d v \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
Z _ { n } ^ { ( N _ { f } ) } ( M ) \ = \ \prod _ { f = 1 } ^ { N _ { f } } \frac { ( n + f - 1 ) ! } { ( N \Sigma ^ { 2 } ) ^ { n + f - 1 } } \, \frac { C _ { n } ^ { ( N _ { f } ) } ( M ) } { \Delta _ { N _ { f } } ( - M ^ { 2 } ) } \: .