harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| \vec { p } _ { f } | = \frac { \rho } { 2 } \sqrt { 1 + \left[ \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { s } \rho } \right] ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { s } } \sqrt { s ^ { 2 } - 2 s ( m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) + ( m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { \lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( s , m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } ) } { 2 \sqrt { s } }
J _ { 2 } ^ { i } = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } F ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] p _ { b } ( 0 , \eta , T , \xi ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } t
d s ^ { 2 } = 4 ( 1 - \chi ) ^ { 2 } \frac { | e ^ { z } | ^ { - 2 \chi } | d e ^ { z } | ^ { 2 } } { ( 1 + | e ^ { z } | ^ { 2 ( 1 - \chi ) } ) ^ { 2 } } = 4 ( 1 - \chi ) ^ { 2 } \frac { e ^ { 2 u ( 1 - \chi ) } | d z | ^ { 2 } } { ( 1 + e ^ { 2 u ( 1 - \chi ) } ) ^ { 2 } } .
K ( X ^ { 1 } , X ^ { 2 } , X ^ { 3 } ) = g ^ { 2 } e ^ { x ^ { A } K ^ { A B } y ^ { B } } , \ \ \ \ \ K ^ { A B } = g ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ^ { A B } ,
2 ( n + 1 ) \int _ { - \pi / 2 + \varepsilon ^ { * } } ^ { \pi / 2 - \varepsilon ^ { * } } h _ { a , b , c ^ { * } } ( \psi ) d \psi = 2 ( n + 1 ) F _ { a , b } ( c ^ { * } , \frac { - c ^ { * } } { b } ) = 2 ( n + 1 ) F _ { a , b } ( - b u ^ { * } , u ^ { * } ) = 2 \pi .
{ \begin{array} { r l } { ( E - e \phi ) \psi _ { + } - c { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \left( \mathbf { p } - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right) \psi _ { - } } & { = m c ^ { 2 } \psi _ { + } } \\ { - ( E - e \phi ) \psi _ { - } + c { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \left( \mathbf { p } - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right) \psi _ { + } } & { = m c ^ { 2 } \psi _ { - } } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { 4 2 z _ { 1 } } & { \equiv 1 \pmod 5 \Rightarrow \enspace \enspace \; 2 z _ { 1 } \equiv 1 \pmod 5 \Rightarrow \enspace } & & { \overline { { z _ { 1 } } } = \overline { { 3 } } } \\ { 3 5 z _ { 2 } } & { \equiv 1 \pmod 6 \Rightarrow \enspace - 1 z _ { 2 } \equiv 1 \pmod 6 \Rightarrow \enspace } & & { \overline { { z _ { 2 } } } = \overline { { - 1 } } } \\ { 3 0 z _ { 3 } } & { \equiv 1 \pmod 7 \Rightarrow \enspace \enspace \; 2 z _ { 3 } \equiv 1 \pmod 7 \Rightarrow \enspace } & & { \overline { { z _ { 1 } } } = \overline { { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } \operatorname* { m a x } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { t } A _ { j } ^ { 2 } ( t ) , \left( \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } M _ { i j } \right) ^ { 2 } \right\} , } \\ { N _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \operatorname* { m a x } \left\{ E _ { i } ^ { 2 } , \left( \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } M _ { i j } \right) ^ { 2 } \right\} , } \\ { N _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \operatorname* { m a x } \left\{ \left( \eta _ { \mathrm { c } } C _ { i } \right) ^ { 2 } , \left( \frac { D _ { i } } { \eta _ { \mathrm { d } } } \right) ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = \frac { \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } d _ { 1 } \kappa _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } \right) ^ { 2 } \kappa _ { 2 } ^ { 2 } z _ { 2 } ^ { 2 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) \log \left( d _ { 4 } z _ { 2 } x + d _ { 3 } \kappa _ { 1 } \left( z _ { 3 } - z _ { 1 } \right) z _ { 1 } \right) } { d _ { 3 } d _ { 4 } d _ { 5 } } } \\ & { - \frac { \log \left( x z _ { 2 } + z _ { 1 } \right) \left( - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 2 } z _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) } { d _ { 5 } } } \\ & { + \frac { d _ { 2 } \kappa _ { 1 } \left( z _ { 3 } - z _ { 1 } \right) \log ( x ) } { d _ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { b } ^ { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } } & { = \mathbf { b } ^ { ( n - \frac { 1 } { 2 } ) } - \Delta t \mathbf { C } \cdot \mathbf { e } ^ { ( n ) } } \\ { \mathbf { e } ^ { ( n + 1 ) } } & { = \mathbf { e } ^ { ( n ) } + \Delta t \left[ \star _ { \epsilon } \right] ^ { - 1 } \cdot { \mathbf { C } } ^ { T } \cdot \left[ \star _ { \mu ^ { - 1 } } \right] \cdot \mathbf { b } ^ { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } - } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \Delta t \left[ \star _ { \epsilon } \right] ^ { - 1 } \cdot \mathbf { j } ^ { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } , } \end{array}
{ \left\{ \ \sum _ { j } A ^ { j } \kappa _ { j } ^ { \alpha } \equiv \sum _ { j } A ^ { j } \left( \eta _ { j } ^ { \alpha } - \xi _ { j } ^ { i } u _ { i } ^ { \alpha } \right) \ \right\} } _ { \Big \vert \displaystyle { u ^ { \alpha } = U ^ { \alpha } ( z ) } } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } E = } & { \frac { - i \delta } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } E - \frac { 1 - 3 \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 3 } E + \frac { 4 f } { \pi } \frac { ( 1 + i u ) ( 1 - i \delta ) } { ( 1 + u ^ { 2 } ) ( 1 + \delta ^ { 2 } ) } D E } \\ & { + \left[ - \frac { 2 f } { \pi } ( 1 - i \delta ) ^ { 2 } \frac { i \ln \sqrt { u ^ { 2 } + 1 } + \frac { \pi } { 2 } + \arctan ( u ) } { \left( 1 + \delta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - 1 + \eta - i 2 \eta \arctan ( \delta ) \right] E } \\ & { + h Y _ { 0 } \frac { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } { 1 + i \delta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S \left( \boldsymbol { p } ^ { ( N + 1 , G ) } \right) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left| p _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } - p _ { j } ^ { ( N + 1 , G ) } \right| + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( p _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } - p _ { N + 1 } ^ { ( N + 1 , G ) } \right) } \end{array}
J _ { i } = \frac { 2 \Lambda _ { i i } ^ { + } \Lambda _ { i i } ^ { - } ( W _ { i } ^ { + } - W _ { i } ^ { - } ) } { \partial \sqrt { \pi \Delta t } ( \Lambda _ { i i } ^ { + } \sqrt { \Lambda _ { i i } ^ { - } } + \Lambda _ { i i } ^ { - } \sqrt { \Lambda _ { i i } ^ { + } } ) } + \frac { \Lambda _ { i i } ^ { + } \Lambda _ { i i } ^ { - } ( \sqrt { \Lambda _ { i i } ^ { + } } W _ { \xi _ { 1 } } ^ { + } + \sqrt { \Lambda _ { i i } ^ { - } } W _ { \xi _ { 1 } } ^ { - } ) } { ( \Lambda _ { i i } ^ { + } \sqrt { \Lambda _ { i i } ^ { - } } + \Lambda _ { i i } ^ { - } \sqrt { \Lambda _ { i i } ^ { + } } ) } ,
\begin{array} { r l } { \| \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } } & { - [ \mathrm { Q } _ { 1 } , \ldots , \mathrm { Q } _ { m } ] \phi ( \mathbf { H } _ { m } ) \mathrm { F } _ { 1 } \| _ { F } = \| r _ { m } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } - [ \mathrm { Q } _ { 1 } , \ldots , \mathrm { Q } _ { m } ] r _ { m } \left( \mathbf { H } _ { m } \right) \mathrm { F } _ { 1 } \| _ { F } } \\ & { \leq \| r _ { m } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } \| _ { F } + \| [ \mathrm { Q } _ { 1 } , \ldots , \mathrm { Q } _ { m } ] r _ { m } \left( \mathbf { H } _ { m } \right) \mathrm { F } _ { 1 } \| _ { F } } \\ & { \leq \| r _ { m } ( \mathbf { L } ) \| _ { 2 } \| \mathrm { E } _ { W } \| _ { F } + \| [ \mathrm { Q } _ { 1 } , \ldots , \mathrm { Q } _ { m } ] r _ { m } \left( \mathbf { H } _ { m } \right) \| _ { 2 } \| \mathrm { F } _ { 1 } \| _ { F } } \\ & { \leq \sqrt { N } \| r _ { m } ( \mathbf { L } ) \| _ { 2 } + \sqrt { N } \| r _ { m } \left( \mathbf { H } _ { m } \right) \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 0 \to 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) , \mathrm { A l b r e c h t } } } & { \propto \frac { 4 \mu ^ { 4 } s _ { \bar { \nu } } ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \left[ \frac { \omega _ { \mathrm { { I } } } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { e g } } ^ { 2 } } { ( \omega _ { \mathrm { { I } } } ^ { 2 } - \omega _ { \mathrm { e g } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } \approx \frac { \mu ^ { 4 } s _ { \bar { \nu } } ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } \delta ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \mathcal { L } _ { k + 1 } ^ { v } } & { \leq \mathbb { E } \mathcal { L } _ { k } ^ { v } - \frac { \eta } { 4 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { L \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 n } + \frac { 4 2 L ^ { 2 } \eta ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } , } \end{array}
f ( \alpha , b , n ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha + ( 1 - \alpha ) \operatorname { t a n h } ( b ( n - 1 ) ) } & { b \geq 0 , n \neq 0 , } \\ { \alpha + \alpha \operatorname { t a n h } ( b ( n - 1 ) ) } & { b \leq 0 , n \neq 0 , } \\ { 0 } & { n = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { \partial _ { \tau } X ^ { 2 } ( 0 ) = \partial _ { \sigma } X ^ { 1 } ( 0 ) = 0 , } } \\ { { \partial _ { \tau } X ^ { 1 } ( \pi ) + \partial _ { \tau } X ^ { 2 } ( \pi ) \cot ( \pi \vartheta ) = 0 , } } \\ { { \partial _ { \sigma } X ^ { 2 } ( \pi ) - \partial _ { \sigma } X ^ { 1 } ( \pi ) \cot ( \pi \vartheta ) = 0 , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 r } \sin \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { = } & { A _ { 0 t } \sin \theta _ { i } - \overline { { A } } _ { 0 t } \cos \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { A _ { 0 i } \cos \theta _ { i } - A _ { 0 r } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { = } & { A _ { 0 t } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \left( c A _ { 0 i } - \phi _ { 0 i } + c A _ { 0 r } - \phi _ { 0 r } \right) \sin \theta _ { i } + c \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { = } & { - c \overline { { A } } _ { 0 t } \cos \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \left( - c A _ { 0 i } + \phi _ { 0 i } + c A _ { 0 r } - \phi _ { 0 r } \right) \cos \theta _ { i } - c \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { = } & { - \frac { \varepsilon } { \varepsilon _ { 0 } } c \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \theta _ { i } } & { = } & { \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \phi _ { 0 i } + \phi _ { 0 r } } & { = } & { \phi _ { 0 t } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } } & { { } = } & { - \sum _ { m } \left[ \frac { i m \mu } { q B _ { 0 } \gamma r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \langle A _ { m } ^ { * } \delta f _ { m } \rangle \right) - \frac { r } { B _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial t } \langle { A } _ { m } ^ { * } \delta f _ { m } \rangle + \frac { 8 } { 2 1 } \frac { 1 } { r B _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial r } \langle r ^ { 3 } \dot { A } _ { m } ^ { * } \delta f _ { m } \rangle \right] } \end{array}
x _ { N } = \sum _ { m = 1 } ^ { N - 1 } { \frac { t } { ( N - 1 ) ^ { 2 } } } { \sqrt { \frac { N } { 2 \pi ( N - 1 ) } } } \sum _ { q = 0 } ^ { N - 2 } \psi _ { m } ( q ) _ { ( N + 1 ) } F _ { N } { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { q N + N - 1 } { N ( N - 1 ) } } , \ldots , { \frac { q + N - 1 } { N - 1 } } , 1 ; } \\ { { \frac { q + 2 } { N - 1 } } , \ldots , { \frac { q + N } { N - 1 } } , { \frac { q + N - 1 } { N - 1 } } ; } \\ { \left( { \frac { t e ^ { \frac { 2 m \pi i } { N - 1 } } } { N - 1 } } \right) ^ { N - 1 } N ^ { N } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \widetilde { \mathscr { P } } _ { f _ { 1 } , \varrho _ { 1 } } ( x , \widetilde { \gamma } , \widetilde { \tau } , \widetilde { k } , \sigma ) : = \mathscr { P } _ { f _ { 1 } , \varrho _ { 1 } } ( x , \sigma \widetilde { \gamma } , \sigma \widetilde { \tau } , \sigma \widetilde { k } ) , \ \ \ x \in \mathbb T ^ { d } , \ ( \widetilde { \gamma } , \widetilde { \tau } , \widetilde { k } ) \in S ^ { + } , \ \sigma > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \texttt { V a r } \left( \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i + 1 ) } | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( i ) } \right) } & { { } = \texttt { V a r } \left( \sum _ { j \in \mathcal { F } _ { k } ^ { ( i ) } } r _ { j } ^ { ( i + 1 ) } \bigg | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( i ) } \right) \stackrel { ( * ) } { = } \underbrace { | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( i ) } | } _ { \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } } ~ \texttt { V a r } \left( r _ { j } ^ { ( i + 1 ) } \right) \, , } \\ { \Rightarrow \left( \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i + 1 ) } | \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } \right) } & { { } = \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } ~ \texttt { V a r } \left( r _ { j } ^ { ( i + 1 ) } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { 0 } \frac { d \delta a ( \theta , t ) } { d t } = - \big ( a _ { \infty } ( \theta ) + \delta a ( \theta , t ) \big ) + \beta \big ( h _ { \infty } ( \theta ) + \delta h ( \theta , t ) - T \big ) \mathcal { H } \big ( h _ { \infty } ( \theta ) + \delta h ( \theta , t ) - T \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma } & { = \frac { e L _ { \perp } \langle B ^ { 2 } \rangle u } { T _ { i } } , } \\ { L _ { \perp } ^ { - 1 } } & { = - I \bigg ( \frac { 1 } { N _ { i } } \frac { \partial N _ { i } } { \partial \psi } - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T _ { i } } \frac { \partial T _ { i } } { \partial \psi } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { + o ( 1 ) + o ( 1 ) \| D v _ { n } \| _ { p } \ge F _ { \lambda } ( v _ { n } ) - \frac { 1 } { k } F _ { \lambda } ^ { \prime } ( v _ { n } ) ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) g ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) ) ) } \\ & { \ge \left( \frac { 1 } { p } - \frac { \alpha } { k } \right) \| D v _ { n } \| _ { p } ^ { p } - \beta \left( \frac { 1 } { \alpha p ^ { * } } - \frac { 1 } { k } \right) \int _ { \mathbb R ^ { N } } K | G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) | ^ { \alpha p ^ { * } } d x \ge \left( \frac { 1 } { p } - \frac { \alpha } { k } \right) \| D v _ { n } \| _ { p } ^ { p } . } \end{array}
\beta _ { p } ^ { 0 } = \sum _ { q } \left( \left[ \Xi ^ { - 1 } \right] _ { q p } ^ { * } \beta _ { q } ^ { 1 } - \left[ \Lambda \Xi ^ { - 1 } \right] _ { q p } ^ { * } \beta _ { q } ^ { 0 \dag } \right) .
\begin{array} { r } { F _ { 1 } ^ { ( 3 ) } [ i ] = \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta ~ g _ { 1 } ( \theta , R _ { i j } , R _ { j k } , R _ { i k } ) ~ \frac { \partial \rho _ { i } } { \partial \theta } ( \theta , \theta _ { j i k } ) } \end{array}
\begin{array} { c c l } { { W } } & { { = } } & { { W ( \Sigma ) + W ( \overline { { { H } } } _ { A } , H _ { A } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + \sum _ { A = 1 , 2 } \lambda _ { A } \overline { { { H } } } _ { A } ( \Sigma + S _ { A } ) h _ { A } + \sum _ { A = 1 , 2 } \overline { { { \lambda } } } _ { A } \overline { { { h } } } _ { A } ( \Sigma + \overline { { { S } } } _ { A } ) H _ { A } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\{ { a _ { i } \left( { \bf x } \right) , \Pi ^ { j } \left( { \bf y } \right) } \right\} ^ { \ast } \! } & { { } = } & { \! \delta _ { i } ^ { \; \, j } \, \delta ^ { \left( 3 \right) } \left( { { \bf x } - { \bf y } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d u ^ { 1 } } & { { } = \partial _ { x ^ { 1 } } u ^ { 1 } \, d x ^ { 1 } + \partial _ { x ^ { 2 } } u ^ { 1 } \, d x ^ { 2 } } \\ { d u ^ { 2 } } & { { } = \partial _ { x ^ { 1 } } u ^ { 2 } \, d x ^ { 1 } + \partial _ { x ^ { 2 } } u ^ { 2 } \, d x ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } T + \partial _ { r } q _ { r } + \frac { 1 } { r } q _ { r } + \partial _ { z } q _ { z } = q _ { v } ( r , z ) , \quad t \in [ 0 , \infty ) , \quad ( r , z ) \in [ 0 , 1 ] \times [ 0 , 1 ] , } \end{array}
t _ { i } ^ { ~ p } t _ { k } ^ { ~ n } ( C _ { p n ~ s } ^ { ~ r ~ m l } - ( r _ { + } ) _ { p n } ^ { ~ m l } \delta _ { s } ^ { ~ r } + ( r _ { + } ) _ { s n } ^ { ~ r l } \delta _ { p } ^ { ~ m } ) S ( t _ { s } ^ { ~ j } ) =
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \boldsymbol { u } + \left( \omega + \frac { 1 } { \mathrm { R o } } f \right) \boldsymbol { u } ^ { \perp } } & { { } = - \frac { \alpha } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \nabla ( ( 1 + \mathfrak { s } b ) \zeta ) - \frac { 1 } { 2 } \nabla | \boldsymbol { u } | ^ { 2 } + \frac { \mathfrak { s } } { 2 \, \mathrm { F r } ^ { 2 } } ( \alpha \zeta - h ) \nabla b , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \eta + \nabla \cdot ( \eta \boldsymbol { u } ) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } b + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) b } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { y } ^ { \mathrm { L R } } } & { { } = } & { U _ { \mathrm { H V } } ^ { - 1 } \mathcal { P } _ { y } ^ { \mathrm { H V } } U _ { \mathrm { H V } } } \end{array}
\phi ( \mathbf { R } ) \ = \ { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { q \mathbf { d } \cdot { \hat { \mathbf { R } } } } { R ^ { 2 } } } + { \mathcal { O } } \left( { \frac { d ^ { 3 } } { R ^ { 3 } } } \right) \ \approx \ { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { \mathbf { p } \cdot { \hat { \mathbf { R } } } } { R ^ { 2 } } } \, ,
\frac { \partial D _ { o } ( x , y , t ) } { \partial x } = z _ { 0 } f _ { o } ( y , t ) \operatorname* { l i m } _ { r _ { \epsilon } \rightarrow 0 } \frac { 1 } { r _ { \epsilon } } \left( \delta ( x - x _ { o } ) - \delta ( x - ( x _ { o } - \epsilon ) ) \right) = \frac { \partial h _ { o } ( y , t ) } { \partial t } \left( \delta ( x - x _ { o } ) - \delta ( x - ( x _ { o } - \epsilon ) ) \right) ,
\boldsymbol { \Lambda } = \nabla _ { 0 } \times \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p } } = \sum _ { \mathrm { i } = 1 } ^ { \mathrm { N } _ { \mathrm { s } } } \rho _ { G s } ^ { \mathrm { i } } \mathbf { b } ^ { \mathrm { i } } \otimes \mathbf { s } ^ { \mathrm { i } } + \rho _ { G e } ^ { \mathrm { i } } \mathbf { b } ^ { \mathrm { i } } \otimes \mathbf { t } ^ { \mathrm { i } } \mathrm { , }
\zeta ^ { * } \to \frac { K } { { d _ { t } } + { d _ { r } } \theta } \left[ 1 - \alpha ^ { 2 } + \frac { { d _ { r } } } { { d _ { t } } } \frac { 1 - \beta ^ { 2 } } { 1 + \kappa } \left( { \kappa } + { \theta } \right) \right] .
F _ { \mu \nu } ( k ) = \int d ^ { 4 } x \, \sqrt { \operatorname * { d e t } ( 1 - \theta f ) } ( \frac { 1 } { 1 - f \theta } f ) _ { \mu \nu } \, e ^ { i k _ { \rho } ( x ^ { \rho } + \theta ^ { \rho \sigma } a _ { \sigma } ) } \ .
\begin{array} { r l r } { { \operatorname* { P r } } _ { 1 } \left( u - s \le \Lambda \le u \right) } & { \le } & { \int I \left( u - s \le \Lambda \le u \right) u f _ { 0 } \, \, \, \, \, = \, u { \operatorname* { P r } } _ { 0 } \left( u - s \le \Lambda \le u \right) , } \\ { { \operatorname* { P r } } _ { 1 } \left( u - s \le \Lambda \le u \right) } & { \ge } & { \int I \left( u - s \le \Lambda \le u \right) ( u - s ) f _ { 0 } } \\ & { } & { = \, ( u - s ) { \operatorname* { P r } } _ { 0 } \left( u - s \le \Lambda \le u \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { k } \sin \omega _ { v , T } ^ { k } = \operatorname* { l i m } _ { k } \frac { \sin l _ { e ^ { \prime } } ^ { k } } { \sin l _ { e } ^ { k } } \sin \omega _ { w , T } ^ { k } = \operatorname* { l i m } _ { k } \frac { \sin \left( l _ { e ^ { \prime } } ^ { k } / 2 \right) } { \sin \left( l _ { e } ^ { k } / 2 \right) } \sin \omega _ { w , T } ^ { k } =
\begin{array} { r l } { \mathbb { D } ( g ) \ } & { = \ \{ x \in P \ \vert \ ( g ^ { - 1 } , x ) , ( x , g ) \in D \textup { a n d } ( g ^ { - 1 } x , g ) \in D \} } \\ & { = \ \{ x \in P \ \vert \ ( g ^ { - 1 } , x ) , ( x , g ) \in D \textup { a n d } ( g ^ { - 1 } , x g ) \in D \} \quad \textup { t h a n k s t o A x i o m } } \\ & { = \ \{ x \in P \ \vert \ ( g ^ { - 1 } , x , g ) \textup { a s s o c i a t e s } \} \ . } \end{array}
\left[ \mathrm { C l } \left( F _ { p } \right) \right] ( \phi ) = \partial _ { a _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } \cdots \partial _ { a _ { p } } ^ { ( p ) } F ( \phi , \cdots , \phi ) \, d \phi ^ { a _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge d \phi ^ { a _ { p } }
{ \frac { \partial \Gamma _ { \mathrm { S T } } } { \partial \lambda _ { i } } } = \beta _ { i } ( \lambda ) G _ { i j } , \quad { \frac { \partial \Gamma _ { \mathrm { S T } } } { \partial \mu } } = - \beta _ { i } \beta _ { j } G _ { i j } \quad ,
\left. \left. + | \vec { D } X \cdot \star \vec { D } Y | ^ { 2 } - | \star F | ^ { 2 } [ X , Y ] ^ { 2 } + 2 i \star F ( \vec { D } X \cdot \star \vec { D } Y ) [ X , Y ] \right\} ^ { 1 / 2 } \right] =
H = \frac { - 1 / 2 } { \left( \rho + \frac { R } { 2 } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { R } { 2 } \eta \right) ^ { 2 } } \left\{ \frac { \partial } { \partial \rho } \left[ \rho ( \rho + R ) \frac { \partial } { \partial \rho } \right] + \frac { \partial } { \partial \eta } \left[ ( 1 - \eta ^ { 2 } ) \frac { \partial } { \partial \eta } \right] + \left[ \frac { R ^ { 2 } / 4 } { \rho ( \rho + R ) } + \frac { 1 } { 1 - \eta ^ { 2 } } \right] \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } + 2 ( 2 \rho + R ) \right\} ,
\begin{array} { r l } & { O p ( \mathfrak { a } ) \circ O p ( \mathfrak { b } ) = O p ( \mathfrak { c } ) , \quad \mathfrak { c } \in \mathcal { S } ^ { m + m ^ { \prime } } , \quad \widehat { \mathfrak { c } } ( k , \xi ) = \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } = k } \widehat { \mathfrak { a } } ( j _ { 1 } , \xi + j _ { 2 } ) \widehat { \mathfrak { b } } ( j _ { 2 } , \xi ) , } \\ & { O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) \circ O p ^ { W } ( \mathfrak { b } ) = O p ^ { W } ( \mathfrak { c } ) , \quad \mathfrak { c } \in \mathcal { S } ^ { m + m ^ { \prime } } , \quad \widehat { \mathfrak { c } } ( k , \xi ) = \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } = k } \widehat { \mathfrak { a } } \left( j _ { 1 } , \xi + \frac { j _ { 2 } } { 2 } \right) \widehat { \mathfrak { b } } \left( j _ { 2 } , \xi - \frac { j _ { 1 } } { 2 } \right) . } \end{array}
d s ^ { 2 } = M d { \bf x } ^ { 2 } + { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { M e ^ { 4 } } } d \chi ^ { 2 } + \frac { 4 \pi \kappa } { e ^ { 2 } } \left[ d \rho ^ { 2 } + { \frac { \rho ^ { 2 } } { 4 } } ( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } ^ { 2 } ) \right] .
\begin{array} { c c l } { { A } } & { { \simeq } } & { { \sqrt { m _ { d } m _ { s } } \simeq \sqrt { m _ { e } m _ { \mu } } \nonumber \strut } } \\ { { B } } & { { \simeq } } & { { \epsilon m _ { b } \nonumber \strut } } \\ { { C } } & { { \simeq } } & { { m _ { b } \simeq m _ { \tau } \nonumber \strut } } \\ { { D } } & { { = } } & { { \frac { m _ { b } } { 2 } \left[ \left( 3 \frac { m _ { s } ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 9 } \frac { m _ { \mu } ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } \right) - 3 \epsilon ^ { 4 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \nonumber \strut } } \\ { { D \cos \alpha } } & { { = } } & { { \pm m _ { b } \left[ \epsilon ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { - 2 } } { 8 } \left( \frac { m _ { s } ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 9 } \frac { m _ { \mu } ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } \right) \right] . } } \end{array}