harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \sum _ { j } { \rho } _ { j } ^ { n + \frac { 2 } { 3 } } ( \nabla p _ { i } ^ { , n + 1 } ) _ { j } \cdot \textbf { A } _ { j } = \sum _ { j } \frac { { \rho } _ { j } ^ { n + \frac { 2 } { 3 } } \Delta t } { { \rho } _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 3 } } } \left( \mathbf { H } ( \mathbf u _ { i } ^ { n + 1 } ) _ { j } - g z _ { j } ( \nabla { \rho } _ { i } ^ { n + \frac { 2 } { 3 } } ) _ { j } \right) \cdot \textbf { A } _ { j } - b _ { \rho , i } ^ { n + 1 } + \frac { 1 } { \Delta t } { \rho } _ { i } ^ { n + \frac { 2 } { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } d s \ e ^ { \frac { i } { \hbar } \int _ { s } ^ { t } d \tau ^ { \prime } ( E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) - E _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) ) } } \end{array}
\nabla ^ { 2 } F ( u , u ) = \underbrace { \frac { 1 } { \Psi ^ { 2 } } ( d \Psi ( u ) ) ^ { 2 } } _ { = A _ { u } ^ { 2 } } \underbrace { - \frac { 1 } { \Psi } \nabla ^ { 2 } \Psi ( u , u ) } _ { = B _ { u } ^ { 2 } } + \underbrace { \frac { 1 } { S ^ { 2 } } u _ { S } ^ { 2 } } _ { = C _ { u } ^ { 2 } } + \underbrace { \xi \, \nabla ^ { 2 } f ( u _ { p } , u _ { p } ) } _ { = D _ { u } ^ { 2 } } .
R _ { x , y } ^ { \Lambda , \Lambda ^ { \prime } } = \sum _ { i = 0 } ^ { D - 1 } \frac { S _ { \Lambda , \Phi _ { 1 } ( i ) } } { S _ { 0 , \Phi _ { 1 } ( i ) } } \cdot \frac { S _ { \Lambda ^ { \prime } , \Phi _ { 2 } ( i ) } } { S _ { 0 , \Phi _ { 2 } ( i ) } } \cdot \xi _ { x } ^ { i } ( \xi _ { y } ^ { i } ) ^ { * }
\begin{array} { r l r } { G _ { 1 } ^ { \mu } } & { { } = } & { - \; \frac { \mu _ { 0 } } { \Omega _ { 0 } } \left( { \sf a } _ { 1 } : \nabla { \bf u } \; + \frac { } { } \widehat { \sf z } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf u } \right) } \end{array}
\forall k \in \{ 1 , 2 \} , \quad \partial _ { t } f _ { k } ( t , \varphi ) = \frac { \partial _ { \varphi } \Big ( \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) \big ) + \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } { \sin \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) \big ) } \cdot
{ \bf E } ( r , \varphi ; \omega ) = \sum _ { m = 1 } ^ { M } A _ { m } \, e ^ { i \phi _ { m } } \, { \bf \Psi } _ { m } ( r , \varphi ; \omega ) \, e ^ { i [ \beta _ { m } ( \omega ) \, L - \omega \, t ] } \, ,
\Sigma _ { p q } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } ( \omega ) = \sum _ { m } \sum _ { i } \frac { \langle p i | \chi _ { m } ^ { N + 2 } \rangle \langle q i | \chi _ { m } ^ { N + 2 } \rangle } { \omega + \epsilon _ { i } - \Omega _ { m } ^ { N + 2 } + i \eta } + \sum _ { m } \sum _ { a } \frac { \langle p a | \chi _ { m } ^ { N - 2 } \rangle \langle q a | \chi _ { m } ^ { N - 2 } \rangle } { \omega + \epsilon _ { a } - \Omega _ { m } ^ { N - 2 } - i \eta } .
\begin{array} { r } { { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) } = { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) , \mathrm { D C } } + { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) , \mathrm { X C } } + { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) , \mathrm { D B } } + { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) , \mathrm { X B } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \oint _ { \tilde { \gamma } } \frac { f ( z ) } { z - z _ { 0 } } } & { \approx f ( z _ { 0 } ) \oint _ { \tilde { \gamma } } \frac { 1 } { z - z _ { 0 } } \, \mathrm { d } z } \\ & { = f ( z _ { 0 } ) \frac { 1 } { \varepsilon } \oint e ^ { - i 2 \pi t } \, \mathrm { d } \left( \varepsilon e ^ { i 2 \pi t } \right) } \\ & { = 2 \pi i f ( z _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { i j } = k \frac { \mu _ { \perp , i } \mu _ { \perp , j } - 2 \mu _ { \parallel , i } \mu _ { \parallel , j } } { a _ { i j } ^ { 3 } } , \; \; \; k = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { b } _ { i } } & { { } + { \omega _ { i } ^ { B } } ( t ) ^ { 2 } b _ { i } - \frac { { \omega _ { i } ^ { B } } ( 0 ) ^ { 2 } } { b _ { i } \prod _ { j } b _ { j } } = 0 } \end{array}
L _ { h y b } \, = \, \tilde { L } \sp { C S } _ { e x t } \, + \, \frac { e \hat { B } \sp { e x t } } { 2 } ( \epsilon _ { i j } X _ { i } \dot { X } _ { j } \, - \, 2 e \theta \hat { A } _ { 0 } \sp { C S } ) \, + \, e \hat { E } _ { i } \sp { e x t } \cdot \eta _ { i } .
\begin{array} { r l } & { G _ { n } ( J _ { n } , u _ { n } , Q _ { s _ { n } } ) } \\ & { \leq \left\Vert e \left( \mathbb { P } _ { Q _ { s _ { n } } } \Big [ ( 1 - \eta ) v _ { n } + \eta ( a _ { n } + w + \psi ) \Big ] \right) \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { s _ { n } } ) } ^ { 2 } + \Lambda \sqrt { r _ { n } } } \\ & { \leq \left( \Vert e \left( ( 1 - \eta ) v _ { n } + \eta ( a _ { n } + w + \psi ) \right) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { s _ { n } } ) } + C \Vert \mathrm { d i v } ( ( 1 - \eta ) v _ { n } + \eta ( a _ { n } + w + \psi ) ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { s _ { n } } ) } \right) ^ { 2 } + \Lambda \sqrt { r _ { n } } } \\ & { \leq \left( \Vert e \left( ( 1 - \eta ) v _ { n } + \eta ( a _ { n } + w + \psi ) \right) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { s _ { n } } ) } + C \Vert \nabla \eta \cdot ( w + a _ { n } - v _ { n } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { s _ { n } } ) } \right) ^ { 2 } + \Lambda \sqrt { r _ { n } } . } \end{array}
\sum _ { i _ { k } } { \sum _ { u _ { k } } { { ^ k T _ { u _ { k - 1 } ^ { ' } u _ { k } } ^ { i _ { k } } } \times ( { ^ k T _ { u _ { k - 1 } u _ { k } } ^ { i _ { k } } } ) ^ { * } } } = \delta _ { u _ { k - 1 } ^ { ' } u _ { k - 1 } } .
\begin{array} { r l } { B _ { \varphi } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { \approx \mu _ { 0 } ^ { 2 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } \Big [ r _ { 1 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) + r _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ] \sin ( \omega _ { 0 } t ) , } \\ { B _ { z } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { \approx \mu _ { 0 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } \Big [ 4 \pi + \frac { ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \pi r _ { 2 } } \Big ( r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( r _ { 1 } ^ { 3 } + r _ { 1 } r _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) + r _ { 2 } ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \qquad \qquad + \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } \Big ( \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 2 } } { c _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ) + 2 \pi \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ( \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ) \Big ] \cos ( \omega _ { 0 } t ) } \\ & { \quad + \pi \mu _ { 0 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 l } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \sin ( \omega _ { 0 } t ) , } \end{array}
2 \int _ { - \pi / 2 + \varepsilon ^ { * } } ^ { \pi / 2 - \varepsilon ^ { * } } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } { \sqrt { ( a + b \cos ^ { 2 } ( \psi ) ) ( c ^ { * } + b \cos ^ { 2 } ( \psi ) ) } } = 2 \pi ,
\{ { \mathrm { s c a l a r ~ f i e l d s ~ o n ~ } } U \} ~ { \overset { \operatorname { g r a d } } { \rightarrow } } ~ \{ { \mathrm { v e c t o r ~ f i e l d s ~ o n ~ } } U \} ~ { \overset { \operatorname { c u r l } } { \rightarrow } } ~ \{ { \mathrm { v e c t o r ~ f i e l d s ~ o n ~ } } U \} ~ { \overset { \operatorname { d i v } } { \rightarrow } } ~ \{ { \mathrm { s c a l a r ~ f i e l d s ~ o n ~ } } U \}
\begin{array} { r l } { \frac { d \log \gamma } { d Y _ { \mathrm { H } _ { 2 } } } } & { = \frac { 1 } { c _ { p } } \left( c _ { p _ { \mathrm { H } _ { 2 } } } - c _ { p _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } } \frac { ( W ) _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } } { ( W ) _ { \mathrm { H } _ { 2 } } } \right) - \frac { 1 } { c _ { v } } \left( c _ { v _ { \mathrm { H } _ { 2 } } } - c _ { v _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } } \frac { ( W ) _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } } { ( W ) _ { \mathrm { H } _ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \langle T \rangle } { d t } } & { { } = \int \frac { d ^ { 3 } r } { N } \left[ n ( \boldsymbol { r } , t ) \frac { \partial T ( \boldsymbol { r } , t ) } { \partial t } + T ( \boldsymbol { r } , t ) \frac { \partial n ( \boldsymbol { r } , t ) } { \partial t } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } } & { { } = \ f ( t _ { n } , y _ { n } ) , } \\ { k _ { 2 } } & { { } = \ f \left( t _ { n } + { \frac { h } { 2 } } , y _ { n } + h { \frac { k _ { 1 } } { 2 } } \right) , } \\ { k _ { 3 } } & { { } = \ f \left( t _ { n } + { \frac { h } { 2 } } , y _ { n } + h { \frac { k _ { 2 } } { 2 } } \right) , } \\ { k _ { 4 } } & { { } = \ f \left( t _ { n } + h , y _ { n } + h k _ { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { } & { g _ { + } : = \left( \begin{array} { l l } { \chi _ { x } ( \alpha _ { + + } ^ { N } ) } & { \chi _ { x } ( \alpha _ { + - } ^ { N } ) } \\ { 0 } & { \chi _ { x } ( \alpha _ { -- } ^ { N } ) } \end{array} \right) = \chi _ { x } \left( \begin{array} { l l } { K ^ { - N / 2 } } & { - ( q - q ^ { - 1 } ) ^ { N } E ^ { N } K ^ { - N / 2 } } \\ { 0 } & { K ^ { N / 2 } } \end{array} \right) , \quad \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { } & { g _ { - } : = \left( \begin{array} { l l } { \chi _ { x } ( \beta _ { + + } ^ { N } ) } & { 0 } \\ { \chi _ { x } ( \beta _ { - + } ^ { N } ) } & { \chi _ { x } ( \beta _ { -- } ^ { N } ) } \end{array} \right) = \chi _ { x } \left( \begin{array} { l l } { L ^ { - N / 2 } } & { 0 } \\ { ( q - q ^ { - 1 } ) ^ { N } L ^ { - N / 2 } F ^ { N } } & { L ^ { N / 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\left( \mathbf { D } - \mathbf { V } \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { U } \right) ^ { - 1 } \mathbf { V C } ^ { - 1 } = \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { V } \left( \mathbf { C } - \mathbf { U } \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { V } \right) ^ { - 1 } ,
\tilde { \boldsymbol { f } } : = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { f } ^ { ( 0 ) } } \\ { \tilde { f } ^ { ( 1 ) } } \\ { \tilde { f } ^ { ( 2 ) } } \\ { \tilde { f } ^ { ( 3 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { f ^ { ( 0 ) } } \\ { f ^ { ( 1 ) } + [ \mathcal { B } ^ { ( 2 1 ) } ] ^ { \dagger } f ^ { ( 2 ) } + [ \mathcal { B } ^ { ( 3 1 ) } + \mathcal { B } ^ { ( 3 2 ) } \mathcal { B } ^ { ( 2 1 ) } ] ^ { \dagger } f ^ { ( 3 ) } } \\ { f ^ { ( 2 ) } + [ \mathcal { B } ^ { ( 3 2 ) } ] ^ { \dagger } f ^ { ( 3 ) } } \\ { f ^ { ( 3 ) } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \Psi \big ( \mathcal { R } ( \alpha ) \xi \big ) } & { { } = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } G \big ( \mathcal { R } ( \alpha ) \xi , \xi ^ { \prime } \big ) \Omega ( \xi ^ { \prime } ) d \xi ^ { \prime } } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { T _ { 3 } } & { { } = - { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 1 6 } \, x \, a ( - k n ) \bigg [ 2 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + \frac 3 2 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
E = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! | \nabla \psi | ^ { 2 } \, \textrm { d } x \, \textrm { d } y \, \textrm { d } z = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \left[ \psi \frac { \partial \psi } { \partial z } \right] _ { z = 0 } \! \, \textrm { d } x \, \textrm { d } y ,
L _ { \mathrm { C M } } ( u ) _ { j } ^ { i } = ( p _ { i } - \frac { l } { n } \frac { \partial } { \partial q _ { i } } \ln \Pi ( q ) ) \delta _ { j } ^ { i } - \frac { l } { n } \sigma ^ { \prime } ( 0 ) ( 1 - \delta _ { j } ^ { i } ) \frac { \sigma ( u + q _ { j i } ) } { \sigma ( u ) \sigma ( q _ { j i } ) } .
H _ { \mathrm { E } } = H _ { \mathrm { k i n } } ^ { \mathrm { n } } + H _ { \mathrm { p o t } } ^ { \mathrm { n } } + H _ { \mathrm { e x t } } + H _ { \mathrm { k i n } } + H _ { \mathrm { H } } + H _ { \mathrm { X C } } ,
\check { V } ^ { H } = \left( \begin{array} { l } { \check { V } _ { 1 } ^ { H } } \\ { \check { V } _ { 2 } ^ { H } } \\ { \vdots } \\ { \check { V } _ { N - 1 } ^ { H } } \\ { \check { V } _ { N } ^ { H } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { C | C } = } & { ~ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { p _ { C C } } { p _ { C } } \right) } \\ { = } & { ~ \frac { \dot { p } _ { C C } p _ { C } - \dot { p } _ { C } p _ { C C } } { { p _ { C } } ^ { 2 } } } \\ { = } & { ~ \frac { 2 } { k N } \frac { p _ { C D } } { p _ { C } } ( 1 - w _ { R } ) [ 1 + ( k - 1 ) ( q _ { C | D } - q _ { C | C } ) ] + \mathcal { O } ( \delta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { S } = } & { - \hbar \Omega t - [ \frac { \hbar ^ { 2 } ( P _ { x } ^ { 2 } + P _ { y } ^ { 2 } ) } { 2 \mu } - i \Gamma - \Delta + \Lambda ^ { 2 } U _ { \mathrm { p } } ] \tau } \\ & { + \frac { 2 \Lambda \hbar e F _ { \mathrm { T H z } } } { \mu \omega ^ { 2 } } \{ P _ { x } \cos \phi \sin \frac { \omega \tau } { 2 } \sin [ \omega ( \frac { \tau } { 2 } - t ) ] } \\ & { + P _ { y } \sin \phi \sin \frac { \omega \tau } { 2 } \sin [ \omega ( \frac { \tau } { 2 } - t ) - \varphi ] \} } \\ & { + \frac { \Lambda ^ { 2 } U _ { \mathrm { p } } } { \omega } \{ \cos ^ { 2 } \phi \sin ( \omega \tau ) \cos [ \omega ( \tau - 2 t ) ] } \\ & { + \sin ^ { 2 } \phi \sin ( \omega \tau ) \cos [ \omega ( \tau - 2 t ) - 2 \varphi ] \} . } \end{array}
y = \frac { 1 } { h } \big ( \hat { \eta } _ { \boldsymbol 0 } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } - \hat { \eta } _ { \boldsymbol 0 } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \big ) \beta + \hat { \eta } _ { \boldsymbol 0 } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } + \sum _ { \boldsymbol j \neq \boldsymbol 0 } \frac { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle ( \beta + h ) \big ) } { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) } \hat { \eta } _ { \boldsymbol j } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \alpha } - \sum _ { \boldsymbol j \neq \boldsymbol 0 } \frac { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \beta \big ) } { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) } \hat { \eta } _ { \boldsymbol j } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \alpha } .
f _ { \alpha \beta } ^ { ( 0 ) } ( x , y ) = \frac { \partial a _ { \beta } ^ { ( 0 ) } ( y ) } { \partial \xi ^ { ( 0 ) \alpha } ( x ) } - \frac { \partial a _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } ( x ) } { \partial \xi ^ { ( 0 ) \beta } ( y ) } ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { L H } } } & { = E _ { \mathrm { X } } ^ { e x } + \int \left( 1 - g ( \mathbf { r } ) \right) \times } \\ { \phantom { \sum } } & { \: \: \left( e _ { \mathrm { X , s r } } ^ { \mathrm { s l } } ( \mathbf { r } ) + G ( \mathbf { r } ) - e _ { \mathrm { X , s r } } ^ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } ) \right) \mathrm { d } \mathbf { r } + E _ { \mathrm { C } } ^ , } \end{array}
g \ = \ \zeta \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { x } ^ { 2 } \psi } & { \partial _ { x } \partial _ { y } \psi } \\ { \partial _ { x } \partial _ { y } \psi } & { \partial _ { y } ^ { 2 } \psi } \end{array} \right) \ = \ \frac \zeta 2 \left( \begin{array} { l l } { \zeta + 2 S _ { x y } } & { - 2 S _ { x x } } \\ { - 2 S _ { x x } } & { \zeta - 2 S _ { x y } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d w _ { i j } } { d t } } & { = \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, w _ { i j } \, ( 1 - w _ { i j } ) - \big ( 1 - \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \big ) \, w _ { i j } \, ( 1 - w _ { i j } ) } \\ & { = w _ { i j } \, ( 1 - w _ { i j } ) \, ( 2 \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) - 1 ) } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { q \rightarrow \infty } \delta ^ { + } ( q ) = 0 \qquad , \qquad \operatorname * { l i m } _ { q \rightarrow 0 ^ { + } } \delta ^ { + } ( q ) = \pi ( \l ^ { + } - \textstyle \frac { 1 } { 2 } )
= \frac { g _ { 1 0 0 } ^ { 2 } } { 4 8 \pi } \frac { \sqrt { [ M ^ { 2 } - ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } ] [ M ^ { 2 } - ( m _ { 1 } - m 2 ) ^ { 2 } ] } } { M } \left[ 1 - 2 \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } + \left( \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { \mathfrak { O } _ { ( j , b , c ) } = } & { - { ( \omega _ { b } + \omega _ { c } ) k _ { j } m _ { j } } \left[ \left( U _ { b } { U } _ { c } ( k _ { j } ) + U _ { b } { V } _ { c } l _ { b } + V _ { b } { U } _ { c } l _ { c } + U _ { b } m _ { b } + { U } _ { c } m _ { c } \right) \right] } \\ & { - { ( \omega _ { b } + \omega _ { c } ) l _ { j } m _ { j } } \left[ \left( V _ { b } { V } _ { c } l _ { j } + U _ { b } { V } _ { c } k _ { c } + V _ { b } { U } _ { c } k _ { b } + V _ { b } m _ { b } + m _ { c } { V } _ { c } \right) \right] } \\ & { + { ( \omega _ { b } + \omega _ { c } ) ( l _ { j } ^ { 2 } + k _ { j } ^ { 2 } ) } \left[ { V } _ { c } l _ { b } + l _ { c } V _ { b } + m _ { j } + k _ { b } { U } _ { c } + U _ { b } k _ { c } \right] } \\ & { + \textnormal { i } { ( l _ { j } ^ { 2 } + k _ { j } ^ { 2 } ) } \left[ { U } _ { c } B _ { b } k _ { b } + U _ { b } { B } _ { c } k _ { c } + { V } _ { c } B _ { b } l _ { b } + V _ { b } { B } _ { c } l _ { c } + B _ { b } m _ { b } + { B } _ { c } m _ { c } \right] } \\ & { + \textnormal { i } { f l _ { j } m _ { j } } \left[ \left( U _ { b } { U } _ { c } k _ { j } + U _ { b } { V } _ { c } l _ { b } + V _ { b } { U } _ { c } l _ { c } + U _ { b } m _ { b } + m _ { c } { U } _ { c } \right) \right] } \\ & { - \textnormal { i } { f k _ { j } m _ { j } } \left[ \left( V _ { b } { V } _ { c } l _ { j } + U _ { b } { V } _ { c } k _ { c } + V _ { b } { U } _ { c } k _ { b } + V _ { b } m _ { b } + m _ { c } { V } _ { c } \right) \right] , } \end{array}
V _ { e f f } = \int d x \Biggl ( \frac { 1 } { 2 } \pi _ { c } ^ { 2 } + \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \phi _ { c } ^ { 2 } \Biggr ) + \frac { \hbar } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Biggl ( m ^ { 2 } + \Bigl ( \frac { n \pi } { L } \Bigr ) ^ { 2 } \Biggr ) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { r } \Psi _ { n } ^ { m } } & { { } = } & { \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m ) ! } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { m } \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \end{array}
\mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int \left[ { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 3 } } } \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) + { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { \partial t } } - { \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { \partial t } } \right] d V ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( \gamma ) : } & { = { \mathrm { T r } } [ ( \mathcal D - V ) \gamma ] + \frac { \alpha } { 2 } \iint _ { \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } \frac { \rho _ { \gamma } ( x ) \rho _ { \gamma } ( y ) - { \mathrm { T r } } _ { \mathbb { C } ^ { 4 } } ( \gamma ( x , y ) \gamma ( y , x ) ) } { | x - y | } \; d x d y - c ^ { 2 } { \mathrm { T r } } ( \gamma ) } \\ & { = { \mathrm { T r } } ( \mathcal D _ { \gamma } \gamma ) - \frac { \alpha } { 2 } { \mathrm { T r } } ( W _ { \gamma } \gamma ) - c ^ { 2 } { \mathrm { T r } } ( \gamma ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \mathbf { x } ) } & { \approx C ( \mathbf { x } ^ { k } ) + \frac { \partial C ( \mathbf { x } ^ { k } ) } { \partial \mathbf { x } } \cdot \Delta \mathbf { x } ^ { k } + O ( \big | \big | \Delta \mathbf { x } ^ { k } \big | \big | _ { 2 } ^ { 2 } ) \mathrm { , } } \\ { V _ { i } ( \mathbf { x } ) } & { \approx V _ { i } ( \mathbf { x } ^ { k } ) + \frac { \partial V _ { i } ( \mathbf { x } ^ { k } ) } { \partial \mathbf { x } } \cdot \Delta \mathbf { x } ^ { k } + O ( \big | \big | \Delta \mathbf { x } ^ { k } \big | \big | _ { 2 } ^ { 2 } ) \mathrm { , } } \end{array}
\frac { 1 } { Z } = ( \operatorname * { d e t } A ) ^ { 1 / 2 } = \frac { \operatorname * { d e t } A } { ( \operatorname * { d e t } A ) ^ { 1 / 2 } } = \int \prod _ { i } d \phi _ { i } d \bar { \theta } _ { i } d \theta _ { i } \; e ^ { \bar { \theta } _ { i } A _ { i j } \theta _ { j } + \phi _ { i } A _ { i j } \phi _ { j } }
\begin{array} { r l } & { \| u _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 - \beta } { p + 1 } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 1 - \beta } { p + 1 } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } } \\ { \leq \ } & { \| u _ { 0 x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v _ { 0 x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 + \beta } { p + 1 } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 1 + \beta } { p + 1 } \| v _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { K } [ f ] ( a , v , t ) : = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { ( 0 , a ) \times ( 0 , v ) } K ( a - a ^ { \prime } , v - v ^ { \prime } , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) f ( a ^ { \prime } , v ^ { \prime } , t ) f ( a - a ^ { \prime } , v - v ^ { \prime } , t ) \textup { d } v ^ { \prime } \textup { d } a ^ { \prime } } \\ & { - \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } K ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) f ( a , v , t ) f ( a ^ { \prime } , v ^ { \prime } , t ) \textup { d } v ^ { \prime } \textup { d } a ^ { \prime } . } \end{array}
3 \frac { \ddot { a } } { a } + 2 \frac { \ddot { b } } { b } = 3 \dot { H } + 3 H ^ { 2 } + 2 \dot { H } _ { b } + 2 H _ { b } ^ { 2 } = \frac { V ^ { \prime } ( b ) } { 4 b }