harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l } { { \Pi ^ { \mu \nu , a b } ( p ) = \Pi _ { Q } ^ { \mu \nu , a b } ( p ) + \Pi _ { C } ^ { \mu \nu , a b } ( p ) , } } \\ { { \Pi _ { Q } ^ { \mu \nu , a b } ( p ) = i g ^ { 2 } C _ { A } \delta ^ { a b } ( g ^ { \mu \nu } p ^ { 2 } - p ^ { \mu } p ^ { \nu } ) \frac 1 { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 0 } { 3 } ( \frac 1 { \epsilon _ { r } } + \ln ( 4 \pi ) - \gamma + \frac { 5 9 } { 3 0 } + \ln ( \frac { \mu ^ { 2 } } { - p ^ { 2 } - i \epsilon } ) ) , } } \\ { { \Pi _ { C } ^ { \mu \nu , a b } ( p ) = i g ^ { 2 } C _ { A } \delta ^ { a b } ( g ^ { \mu \nu } p ^ { 2 } - p ^ { \mu } p ^ { \nu } ) \frac 1 { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 3 } ( \frac 1 { \epsilon _ { r } } + \ln ( 4 \pi ) - \gamma + \frac { 8 } { 3 } + \ln ( \frac { \mu ^ { 2 } } { - p ^ { 2 } - i \epsilon } ) ) , } } \end{array}
1 - { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 6 } } - { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - { \frac { 1 } { 1 0 } } - { \frac { 1 } { 1 2 } } + \cdots
\begin{array} { r } { E ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \left\langle \left\{ \boldsymbol { u } _ { f } ^ { * } ( \boldsymbol { x } _ { i } , t ) \boldsymbol { u } _ { f } ( \boldsymbol { x } _ { i } , t ) \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \right\rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { h } ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } ) } & { { } = \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } \int _ { T } - \frac { 1 } { 2 \nu } \: \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } \, : \, \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } \: d \underline { { x } } , } \\ { b _ { 1 h } ( \underline { { u } } _ { h } , q _ { h } ) } & { { } = - \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } \int _ { T } ( \nabla \, \cdot \, \underline { { u } } _ { h } ) q _ { h } \: d \underline { { x } } = - ( \nabla \, \cdot \, \underline { { u } } _ { h } , q _ { h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } [ n ] : = } & { { } T _ { s } [ n ] + \int n v d \boldsymbol { r } + E _ { \mathrm { ~ H ~ } } [ n ] + E _ { \mathrm { ~ x ~ } } [ n ] + E _ { \mathrm { ~ c ~ } } [ n ] \; , } \end{array}
u { \otimes } _ { A } u { \otimes } _ { A } \ldots { \otimes } _ { A } u = { \tau } _ { { \mu } _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } a _ { { \mu } _ { 1 } } { \tau } _ { { \mu } _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } a _ { { \mu } _ { 2 } } \ldots { \tau } _ { { \mu } _ { N } } ^ { ( N ) } a _ { { \mu } _ { N } } .
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \left( ( 1 + x ) ^ { x } + ( 1 + x + x ^ { 2 } ) ^ { x } \right) ^ { y } \cdot \left( ( 1 + x ^ { 3 } ) ^ { y } + ( 1 + x ^ { 2 } + x ^ { 4 } ) ^ { y } \right) ^ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } \big | \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M ( w _ { 1 } , \mathring { A } _ { 1 } , w _ { 2 } ) \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big | ^ { 2 p } } \\ { \lesssim } & { \, \mathbf { E } \, \widetilde { \Xi } _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } \, \big \vert \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M ( \ldots ) \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big \vert ^ { 2 p - 2 } } \\ & { + \sum _ { | \boldsymbol { l } | + \sum ( J \cup J _ { * } ) \ge 2 } \mathbf { E } \, \Xi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } ( \boldsymbol { l } , J , J _ { * } ) \big \vert \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M ( \ldots ) \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big \vert ^ { 2 p - 1 - | J \cup J _ { * } | } + \mathcal { O } _ { \prec } \big ( ( \mathcal { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 2 p } \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { \langle \eta ^ { 2 } \rangle } { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, u \, e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { - 2 \left( \frac { \sigma _ { \mathrm { b w } } } { R ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } u \right) ^ { \vartheta ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { | R _ { \lambda } ( x ) | \leq \lambda \| u _ { \lambda } \| _ { \infty } \eta _ { S } ( \lambda \| u _ { \lambda } \| _ { \infty } ) \int _ { - \infty } ^ { 0 } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t \leq ( \lambda T _ { 0 } + \epsilon ^ { - 1 } ) \, \| u _ { \lambda } \| _ { \infty } \, \eta _ { S } ( \lambda \| u _ { \lambda } \| _ { \infty } ) . } \end{array}
, w h e r e \textit { j } i s t h e n u m b e r o f f l o w f i e l d s i n t h e c u r r e n t s i m u l a t i o n c o n d i t i o n , \textit { i } i s t h e n u m b e r o f w a v i n g f r e q u e n c i e s t h a t c a n b e s e l e c t e d u n d e r t h e c u r r e n t c h a r a c t e r i s t i c f l o w f i e l d , a n d t h e s i z e o f t h e w h o l e s o l u t i o n s p a c e i s
R _ { \gamma \alpha \beta } ^ { \mu } = \partial _ { \alpha } \Gamma _ { \beta \gamma } ^ { \mu } - \partial _ { \beta } \Gamma _ { \alpha \gamma } ^ { \mu } + \Gamma _ { \alpha \lambda } ^ { \mu } \Gamma _ { \beta \gamma } ^ { \lambda } - \Gamma _ { \beta \lambda } ^ { \mu } \Gamma _ { \alpha \gamma } ^ { \lambda }
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { S W } } = \ } & { e ^ { - i \delta t } \hbar \eta \Omega \hat { S } _ { + } e ^ { i \tilde { \phi } } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) \cos \left( \Delta \phi / 2 \right) } \\ & { + e ^ { - i \delta t } \hbar \Omega \hat { S } _ { + } e ^ { i \tilde { \phi } } \sin \left( \Delta \phi / 2 \right) + \mathrm { h . c . } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \hbar } \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } } { \partial { ( \omega t _ { n } ) } ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 3 } ( \omega \tau _ { n } ) ^ { 3 } \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S = \int d t ~ ~ \frac 1 2 g _ { i j } \dot { R } _ { k i } \dot { R } _ { k j } - \frac 1 2 \lambda _ { i j } \left[ R _ { k i } R _ { k j } - \delta _ { i j } \right] - b R _ { i j } ( t ) k _ { i } z _ { j } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { 0 } ( \epsilon ) = \epsilon ( 4 \epsilon ^ { 2 } - 2 0 \epsilon + 1 6 ) , \quad a _ { 1 } ( \epsilon ) = \epsilon ^ { 4 } - 1 6 \epsilon ^ { 3 } + 8 4 \epsilon ^ { 2 } - 1 1 2 \epsilon + 1 6 } \\ { a _ { 2 } ( \epsilon ) = 2 \epsilon ^ { 4 } - 2 0 \epsilon ^ { 3 } - 2 4 \epsilon ^ { 2 } + 1 6 0 \epsilon - 6 4 , \quad a _ { 3 } ( \epsilon ) = \epsilon ^ { 4 } + 1 6 \epsilon ^ { 2 } + 6 4 . } \end{array}
\frac { \lVert \theta _ { i } ^ { * } - \theta _ { j } ^ { * } \rVert } { \lVert \theta _ { i } ^ { * } \rVert } \le \frac { \kappa ( \bar { A } _ { i } ) } { 1 - \kappa ( \bar { A } _ { i } ) \frac { \lVert \bar { A } _ { i } - \bar { A } _ { j } \rVert } { \lVert \bar { A } _ { i } \rVert } } \left( \frac { \lVert \bar { A } _ { i } - \bar { A } _ { j } \rVert } { \lVert \bar { A } _ { i } \rVert } + \frac { \lVert \bar { b } _ { i } - \bar { b } _ { j } \rVert } { \lVert \bar { b } _ { i } \rVert } \right) .
\dot { n } _ { \mathrm { ~ t ~ w ~ o ~ } } \equiv - L _ { 3 } ^ { 1 2 } ( n _ { 1 } ^ { 2 } n _ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } n _ { 1 } ) - L _ { 3 } ^ { 2 3 } ( n _ { 2 } ^ { 2 } n _ { 3 } + n _ { 3 } ^ { 2 } n _ { 2 } )
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \theta } \partial _ { E } p _ { \theta } ( \theta ^ { \prime } , 0 ) d \theta ^ { \prime } = \epsilon I _ { 2 } \int \frac { d U } { \sqrt { 2 I _ { 2 } ( 1 - U ^ { 2 } ) ( E - b U ) - ( m _ { \varphi } - m _ { \psi } U ) ^ { 2 } } } , } \end{array}
\varepsilon _ { m } ( { \boldsymbol { k } } ) = E _ { m } - N \ | b ( 0 ) | ^ { 2 } \left( \beta _ { m } + \sum _ { { \boldsymbol { R _ { n } } } \neq 0 } \sum _ { l } \gamma _ { m , l } ( { \boldsymbol { R _ { n } } } ) e ^ { i { \boldsymbol { k } } \cdot { \boldsymbol { R _ { n } } } } \right) \ ,
\int _ { 0 } ^ { \infty } d k \; \mathrm { s i n } a k \cdot \mathrm { s i n } \frac { b } { k } = \frac { \pi } { 2 } \sqrt { \frac { b } { a } } J _ { 1 } ( 2 \sqrt { a b } ) , \; ( a > 0 , b > 0 )
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { e f f } \supseteq } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left( \partial ^ { \mu } a \right) \left( \partial _ { \mu } a \right) + \frac { 1 } { 2 } m _ { a } ^ { 2 } a ^ { 2 } - C _ { B B } \frac { a } { f _ { a } } B _ { \mu \nu } \tilde { B } ^ { \mu \nu } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] = \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } + \sum _ { i , j } { \tilde { \bar { F } } _ { i i } \tilde { \bar { F } } _ { j j } } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \sum _ { i , j , k } { \tilde { \bar { F } } _ { i i } \tilde { F } _ { j j k k } } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , j , k , l } { \tilde { F } _ { i i j j } \tilde { F } _ { k k l l } } { ( f _ { i } + 1 / 2 ) } { ( f _ { j } + 1 / 2 ) } { ( f _ { k } + 1 / 2 ) } { ( f _ { l } + 1 / 2 ) } } \\ & { } & { = \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } + \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r } { \left( \frac { \partial \phi ^ { * } } { \partial t ^ { * } } \right) _ { r ^ { * } = R ^ { * } } = - \frac { 1 } { 2 } u ^ { * } ( R ^ { * } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { B } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 5 } { 8 } \right) ^ { 2 } \xi R ^ { * } \cos \theta - \frac { 1 } { 8 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \mathrm { B } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 5 } { 8 } \right) ^ { 2 } \frac { \xi } { \sqrt { \Phi } } \frac { \sqrt { F r } } { W e } C ^ { * } } \\ { \frac { \partial R ^ { * } } { \partial t ^ { * } } = u _ { r } ^ { * } ( R ^ { * } ) - u _ { \theta } ^ { * } ( R ^ { * } ) \frac { 1 } { R ^ { * } } \frac { \partial R ^ { * } } { \partial \theta } } \end{array} \right. ,
\delta ( \nabla ^ { a } E _ { a 0 } ) = \bar { \nabla } ^ { c } \delta E _ { c 0 } - 4 \delta H _ { B } \dot { E } _ { 0 0 } - 4 H _ { B } \delta E _ { 0 0 } - \delta \dot { E } _ { 0 0 } - \frac { \delta p } { p + \rho } \dot { E } _ { 0 0 } ,
p ^ { \sigma } \widehat { H } _ { \sigma \rho } p ^ { \rho } \approx \gamma \cdot \ell _ { q } \, \frac { 1 } { 4 \ell _ { q } ^ { - } } \mathrm { T r } \left[ \gamma ^ { - } p ^ { \sigma } \widehat { H } _ { \sigma \rho } p ^ { \rho } \right] \; .
\begin{array} { r l } & { D \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } \Psi - \lambda \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } \Psi + \textbf { A } \Psi = \bf { 0 } , } \\ & { \mathrm { w h e r e } \; \; \; \; \; \textbf { A } = \left( \begin{array} { l l } { - ( s + \alpha + r ) } & { \alpha } \\ { \beta } & { - ( s + \beta + r ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\mathcal { F } _ { \mathrm { ~ a ~ l ~ g ~ } } : S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \leftrightarrow S _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } }
\begin{array} { r l } & { I _ { j } \left( \boldsymbol { q } \right) = \left| \mathcal { D } _ { \boldsymbol { r } \rightarrow \boldsymbol { q } } \left[ P \left( \boldsymbol { r } \right) \cdot O \left( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { j } \right) \right] \right| ^ { 2 } \; \; \textrm { ( C P ) } } \\ & { I _ { j } \left( \boldsymbol { r } \right) = \left| \mathcal { D } _ { \boldsymbol { q } \rightarrow \boldsymbol { r } } \left[ \tilde { P } \left( \boldsymbol { q } \right) \cdot \tilde { O } \left( \boldsymbol { q } - \boldsymbol { q } _ { j } \right) \right] \right| ^ { 2 } \; \textrm { ( F P ) } . } \end{array}
d \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \Big ( { \frac { 1 } { 4 } } ( d x ^ { 5 } + \cos \theta d \phi ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } d \theta ^ { 2 } \Big ) .
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { f ( x ) } { x \pm i \varepsilon } } \, d x = \mp i \pi f ( 0 ) + \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \int _ { | x | > \varepsilon } { \frac { f ( x ) } { x } } \, d x .
{ \mathcal { M } } = { \sqrt { 2 \omega _ { p } } } \ \left\langle \beta \ \mathrm { o u t } { \bigg | } \left\{ \mathrm { T } \left[ \varphi ( y _ { 1 } ) \ldots \varphi ( y _ { n } ) \right] a _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \mathbf { p } ) - a _ { \mathrm { o u t } } ^ { \dagger } ( \mathbf { p } ) \mathrm { T } \left[ \varphi ( y _ { 1 } ) \ldots \varphi ( y _ { n } ) \right] \right\} { \bigg | } \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \right\rangle
\nu \equiv \frac { \left( \varepsilon - 1 \right) ^ { 2 } E _ { | | } ^ { 2 } } { 4 \pi \left( \varepsilon + 1 \right) \sigma _ { \mathrm { H e } } } \frac { 1 } { q _ { 0 } } = \frac { \left( \varepsilon - 1 \right) ^ { 2 } e ^ { 2 } E _ { | | } ^ { 2 } } { 4 \pi \left( \varepsilon + 1 \right) \sigma _ { \mathrm { H e } } } \frac { 1 } { e ^ { 2 } q _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { x = [ a , b , f _ { 2 } , \dots , f _ { n } ] } & { = [ [ a _ { 0 } , f _ { 2 } ^ { \prime } , \dots , f _ { n } ^ { \prime } ] , b , f _ { 2 } , \dots , f _ { n } ] } \\ & { = [ [ a _ { 0 } , b , f _ { 2 } , \dots , f _ { n } ] , f _ { 2 } ^ { \prime } , \dots , f _ { n } ^ { \prime } ] + [ a _ { 0 } , [ f _ { 2 } ^ { \prime } , b , f _ { 2 } , \dots , f _ { n } ] , f _ { 3 } ^ { \prime } , \dots , f _ { n } ^ { \prime } ] } \\ & { \quad + \dots + [ a _ { 0 } , f _ { 2 } ^ { \prime } , \dots , f _ { n - 1 } ^ { \prime } , [ f _ { n } ^ { \prime } , b , f _ { 2 } , \dots , f _ { n } ] ] } \\ & { = - \underbrace { [ \underbrace { [ b , a _ { 0 } , f _ { 2 } , \dots , f _ { n } ] } _ { \in F ^ { j + i - 1 } } , f _ { 2 } ^ { \prime } , \dots , f _ { n } ^ { \prime } ] } _ { \in F ^ { j + i } } - \underbrace { [ \underbrace { [ f _ { 2 } ^ { \prime } , b , f _ { 2 } , \dots , f _ { n } ] } _ { \in F ^ { j + i - 1 } } , a _ { 0 } , f _ { 3 } ^ { \prime } , \dots , f _ { n } ^ { \prime } ] } _ { \in F ^ { j + i } } } \\ & { \quad + \dots + \underbrace { [ a _ { 0 } , f _ { 2 } ^ { \prime } , \dots , f _ { n - 1 } ^ { \prime } , \underbrace { [ f _ { n } ^ { \prime } , b , f _ { 2 } , \dots , f _ { n } ] } _ { \in F ^ { j + i - 1 } } ] } _ { \in F ^ { i + j } } } \\ & { = \sum _ { s = 2 } ^ { n } [ a _ { 0 } , f _ { 2 } ^ { \prime } , \dots , [ f _ { s } ^ { \prime } , b , f _ { 2 } , \dots , f _ { n } ] , f _ { s + 1 } ^ { \prime } , \dots , f _ { n } ^ { \prime } ] \in F ^ { i + j } . } \end{array}
\hat { Q } _ { \nu } = \int _ { 0 } ^ { L } \phi _ { \mathrm { o p } } ( x ) \sqrt { \frac { 2 } { L } } \sin k _ { \nu } x \; d x \; \; \; , \; \; \; \hat { P } _ { \nu } = \int _ { 0 } ^ { L } \pi _ { \mathrm { o p } } ( x ) \sqrt { \frac { 2 } { L } } \sin k _ { \nu } x \; d x
f ( \vec { q } _ { a \perp } , \vec { q } _ { b \perp } , \Delta y ) \ = \ \int { \frac { d \omega } { 2 \pi i } } \, e ^ { \omega \Delta y } \, f _ { \omega } ( \vec { q } _ { a \perp } , \vec { q } _ { b \perp } ) \, ,
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } & { = x ( v ) + x ( z ) - \frac { \lambda } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { r _ { k } } { x ( z ) - x ( \varepsilon _ { k } ) } + \mathcal { O } ( ( x ( v ) ) ^ { - 1 } ) \; , } \\ { H _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; z ) } & { = 1 + \frac { 1 } { x ( v ) } \Big ( x ( z ) - y ( z ) - \frac { \lambda } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { r _ { k } } { x ( z ) - x ( \varepsilon _ { k } ) } \Big ) } \\ & { + \mathcal { O } ( ( x ( v ) ) ^ { - 2 } ) \; , } \\ { P _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ; u _ { 1 } ) } & { = \frac { \lambda } { x ( z ) - x ( u _ { 1 } ) } + \frac { \lambda } { x ( v ) } \Big \{ \frac { \lambda } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { r _ { k } W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( \varepsilon _ { k } ; u _ { 1 } ) } { x ( z ) - x ( \varepsilon _ { k } ) } } \\ & { + \frac { x ( z ) - y ( u _ { 1 } ) - \frac { \lambda } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { r _ { k } } { x ( z ) - x ( \varepsilon _ { k } ) } } { ( x ( z ) - x ( u _ { 1 } ) ) } \Big \} + \mathcal { O } ( ( x ( v ) ) ^ { - 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tan ( \gamma ^ { \star } ) = - \frac { q _ { \mathrm { { I } } } ^ { \star } } { q _ { \mathrm { { R } } } ^ { \star } } = - \frac { c \sin \bar { \theta } - { \frac { \beta } { \pi } } \lambda _ { \mathrm { - } 1 } F ^ { \star } \sin \gamma ^ { \star } } { c \cos \bar { \theta } + { \frac { \beta } { \pi } } \lambda _ { \mathrm { - } 1 } F ^ { \star } \cos \gamma ^ { \star } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i } } & { { } = \frac { i } { 2 } \frac { s _ { i } } { | \partial S / \partial \mathbf { x } | } \bigg ( - \frac { c _ { 0 } } { | \partial S / \partial \mathbf { x } | ^ { 2 } } \sum _ { j , k } \frac { \partial S } { \partial x _ { j } } \frac { \partial S } { \partial x _ { k } } \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x _ { j } \partial x _ { k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { w _ { t + 1 } - w ^ { * } } \\ { = } & { w _ { t } - \eta \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in S } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } + \phi _ { t } \nu _ { t } \right) - w ^ { * } } \\ { = } & { \left( \mathbf { I } - \frac { \eta } { n } \sum _ { i \in G } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } \right) ( w _ { t } - w ^ { * } ) + \frac { \eta } { n } \sum _ { i \in G } x _ { i } z _ { i } + \frac { \eta } { n } \sum _ { i \in G } ( g _ { i } ^ { ( t ) } - \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } ) - \eta \phi _ { t } \nu _ { t } - \frac { \eta } { n } \sum _ { i \in S _ { 3 } \setminus G \cup E _ { t } } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| U _ { \ell } ( u , \phi ) \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { s } ^ { 4 } ) \big ( \| \partial _ { t } ^ { j + 1 } u \| _ { s } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { s + 1 } ^ { 4 } \big ) + \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } \| \nabla \partial _ { t } ^ { j + 1 } \phi \| _ { s + 1 } ^ { 4 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \rho + \partial _ { \alpha } ( \rho \mathrm { v } _ { \alpha } ^ { * } ) } & { = } & { 0 \, , } \\ { \partial _ { t } ( \rho \mathrm { v } _ { \alpha } ^ { * } ) + \partial _ { \beta } ( \rho \mathrm { v } _ { \alpha } ^ { * } \mathrm { v } _ { \beta } ^ { * } ) } & { = } & { - \partial _ { \alpha } p ^ { i } + F _ { \alpha } } \\ & { + } & { \partial _ { \beta } \left[ \eta ( \partial _ { \alpha } \mathrm { v } _ { \beta } ^ { * } + \partial _ { \beta } \mathrm { v } _ { \alpha } ^ { * } ) \right] \, , } \end{array}
\int d \rho \, \, \left| \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( \rho M ) \right| ^ { 2 } = \frac { 1 } { d ( d + 1 ) } \left( \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( M ^ { \dagger } M ) + | \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( M ) | ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { D F = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \partial F _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial F _ { 1 } } { \partial x _ { d } } } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \frac { \partial F _ { m } } { \partial x _ { 1 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial F _ { m } } { \partial x _ { d } } } \end{array} \right) , } \end{array}
m ( X ) = m _ { 0 } + 4 G N _ { c } m ( X ) \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } \frac 1 { E _ { p } ( X ) } [ 1 - f _ { q } ( X , p ) - f _ { \bar { q } } ( X , p ) ] ,
\begin{array} { r l } { \pmb { b } ^ { \bot } = \frac { \beta } { 1 0 } } & { [ ( 0 . 8 6 0 3 I _ { 1 } ^ { 2 } I _ { 2 } ^ { 2 } + 0 . 8 6 0 3 I _ { 1 } ^ { 2 } I _ { 2 } + 0 . 3 0 1 4 I _ { 1 } ^ { 2 } + 0 . 7 2 0 6 I _ { 1 } I _ { 2 } + 0 . 5 1 4 4 I _ { 1 } ) \pmb { T } ^ { 1 } } \\ & { + ( 0 . 5 5 4 4 I _ { 1 } ^ { 2 } I _ { 2 } ^ { 6 } - 0 . 5 5 4 4 I _ { 1 } ^ { 3 } I _ { 2 } ^ { 4 } - 0 . 0 6 8 5 8 I _ { 1 } ^ { 2 } I _ { 2 } ^ { 4 } - 0 . 5 5 4 4 I _ { 1 } I _ { 2 } ^ { 2 } - I _ { 1 } I _ { 2 } - 0 . 3 8 6 5 ) \pmb { T } ^ { 2 } } \\ & { + ( - 1 . 3 2 8 I _ { 1 } ^ { 3 } I _ { 2 } ^ { 2 } + 1 . 3 2 8 I _ { 1 } ^ { 2 } I _ { 2 } ^ { 3 } + I _ { 1 } I _ { 2 } ^ { 2 } - 3 . 2 8 9 I _ { 1 } I _ { 2 } + 3 I _ { 2 } ^ { 2 } + 4 . 6 2 4 I _ { 2 } ) \pmb { T } ^ { 3 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ( I _ { K } ) = } & { \tilde { Y } ( C ( K , \ell ) ) = 2 \tilde { \eta } ( - e _ { n + 1 } ) V _ { n } ( K ) + \int _ { \mathbb { S } ^ { n } \cap H } \tilde { \eta } ( N ) \, d S _ { n } ( C ( K , \ell ) , N ) } \\ { = } & { 2 \tilde { \eta } ( - e _ { n + 1 } ) V _ { n } ( K ) + \ell \int _ { \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \tilde { \eta } ( \nu ) \, d S _ { n - 1 } ( K , \nu ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { P } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } [ \bar { V } \tilde { U } V ] = e ^ { i w _ { 0 } n ^ { - \frac 1 2 } ( | \lambda | - | \lambda ^ { \prime } | ) } } \\ & { \qquad \times \mathcal { P } _ { \lambda } [ \bar { V } e ^ { i W _ { 1 } } V ] \mathcal { P } _ { \lambda ^ { \prime } } [ V ^ { - 1 } e ^ { - i W _ { 1 } } ( \bar { V } ) ^ { - 1 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { i } ^ { n } , K _ { i } ^ { n } \in { \cal X } _ { i } ^ { n } } & { \Longrightarrow k _ { i } , K _ { i } \in { \cal K } _ { i } } \\ { \tilde { k } _ { i } ^ { m _ { i } } , \tilde { K } _ { i } ^ { m _ { i } } \in { \cal X } _ { i } ^ { m _ { i } } } & { \Longrightarrow l _ { i } , L _ { i } \in { \cal L } _ { i } } \\ { \varphi _ { i } ^ { ( n ) } : { \cal X } _ { i } ^ { n } \to { \cal X } _ { i } ^ { m _ { i } } } & { \Longrightarrow \varphi _ { i } : { \cal K } _ { i } \to { \cal L } _ { i } } \\ { \varphi _ { i } ^ { ( n ) } ( k _ { i } ^ { n } ) = k _ { i } ^ { n } A _ { i } + b _ { i } ^ { m _ { i } } } & { \Longrightarrow \varphi _ { i } ( k _ { i } ) = k _ { i } A _ { i } + b _ { i } } \\ { V _ { i } ^ { m _ { i } } \in { \cal X } _ { i } ^ { m _ { i } } } & { \Longrightarrow V _ { i } \in { \cal L } _ { i } } \\ { M _ { { \cal A } } ^ { ( n ) } \in { \cal M } _ { { \cal A } } ^ { ( n ) } } & { \Longrightarrow M \in { \cal M } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \in J } c _ { \ell _ { r , s } ^ { n } } ( \alpha ) | z _ { \alpha } | \prec _ { C ^ { m } } \sum _ { \alpha \in \Lambda ( m , n ) } c _ { \ell _ { r , s } ^ { n } } ( \alpha ) | z _ { \alpha } | } & { \prec _ { C ^ { m } } \sum _ { \alpha \in \Lambda ( m , n ) } | z _ { \alpha } | | [ \alpha ] | ^ { 1 / r } } \\ & { = \sum _ { j _ { m } = 1 } ^ { n } | z _ { j _ { m } } | \sum _ { \mathbf { i } \in \mathcal J ( m - 1 , j _ { m } ) } | z _ { \mathbf { i } } | | [ ( \mathbf { i } , j _ { m } ) ] | ^ { \frac { 1 } { r } } } \\ & { \prec _ { C ^ { m } } \sum _ { j _ { m } = 1 } ^ { n } | z _ { j _ { m } } | \sum _ { \mathbf { i } \in \mathcal J ( m - 1 , j _ { m } ) } | z _ { \mathbf { i } } | | [ \mathbf { i } ] | ^ { \frac { 1 } { r } } , } \end{array}
{ { \gamma } _ { \mathrm { m u l t i } } } \left( { \bf { r } } _ { 1 } , { \bf { r } } _ { 2 } \right) = { \sum _ { n } { \overline { { c _ { n } ^ { 2 } } } { { \gamma } _ { n } } \left( { \bf { r } } _ { 1 } , { \bf { r } } _ { 2 } \right) } } / { \sum _ { n } { \overline { { c _ { n } ^ { 2 } } } } } \; .
\frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta x _ { \mu } ( s ) \delta x _ { \mu } ( s ^ { \prime } ) } \mathop { = } _ { s \to s ^ { \prime } } \frac { 1 } { | s - s ^ { \prime } | ^ { 4 } } ( C _ { 1 } + C _ { 2 } ) ( 1 - \dot { \phi } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { | s - s ^ { \prime } | ^ { 2 } } \left( \frac { ( C _ { 1 } + C _ { 2 } ) } { 1 2 } \dot { \phi } \stackrel { { \, . . . } } { \phi } + \frac { C _ { 1 } } { 4 } \ddot { \phi } ^ { 2 } \right) + O ( \phi ^ { 4 } ) \; .
\frac { \partial ^ { 2 } \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { j } } = - \frac { \partial \xi ^ { \gamma } } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial \xi ^ { \theta } } { \partial x ^ { j } } \frac { \partial \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { k } } { \partial \xi ^ { \gamma } \partial \xi ^ { \theta } } .