\begin{array} { r l } { \lefteqn { ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } } \\ { = } & { \left[ | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) + \left( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } \right) u ^ { j } \right] _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ { = } & { \left[ | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } + \left( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } \right) _ { x } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ & { + \left[ \left( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } \right) u _ { x } ^ { j } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ & { + \left[ \left( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } \right) _ { x } u ^ { j } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ { = } & { | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | ^ { 2 } } \\ & { + \left( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } \right) _ { x } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } + | u ^ { k } | ^ { p - 1 } \left( | v ^ { k } | ^ { p + 1 } \right) _ { x } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ & { + \left[ \left( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } \right) u _ { x } ^ { j } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ & { + \left[ \left( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } \right) _ { x } - \left( | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } \right) _ { x } \right] u ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ { = } & { | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | ^ { 2 } } \\ & { + \left( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } \right) _ { x } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } + | u ^ { k } | ^ { p - 1 } \left( | v ^ { k } | ^ { p + 1 } \right) _ { x } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ & { + | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u _ { x } ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u _ { x } ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ & { + \left[ \left( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } \right) _ { x } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } + | u ^ { k } | ^ { p - 1 } \left( | v ^ { k } | ^ { p + 1 } \right) _ { x } \right] u ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } } \\ & { - \left( | u ^ { j } | ^ { p - 1 } \right) _ { x } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } \left( | v ^ { j } | ^ { p + 1 } \right) _ { x } u ^ { j } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } . } \end{array}