harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial f } { \partial t } | _ { \mathrm { c } } = } & { } & { \int d ^ { 3 } p _ { 2 } \int d ^ { 3 } p _ { 3 } \int d ^ { 3 } p _ { 4 } W ( \textbf { p } _ { 1 } , \textbf { p } _ { 2 } ; \textbf { p } _ { 3 } , \textbf { p } _ { 4 } ) } \\ & { } & { \times \{ f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 3 } ) f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 4 } ) [ 1 - f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 1 } ) ] [ 1 - f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 2 } ) ] - } \\ & { } & { f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 1 } ) f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 2 } ) [ 1 - f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 3 } ) ] [ 1 - f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 4 } ) ] \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ell _ { \mathrm { s } } = \sqrt { 2 } \ell _ { \mathrm { c } } \left( - 1 - \frac { 2 \log { 4 c _ { e } ( 1 - c _ { e } ) } } { \chi ( 1 - 2 c _ { e } ) ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { 0 , 0 } } & { = \frac { q ^ { 2 } \big [ p p _ { \mathrm { s } } ( 1 - p _ { \mathrm { s } } ) + \big ( q + ( 1 - q ) p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ] } { \big ( p ^ { 2 } + p q + q ^ { 2 } \big ) \Big [ p \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ( q + ( 2 - q ) p _ { \mathrm { s } } \big ) + \big ( q + p _ { \mathrm { s } } ( 1 - q ) \big ) ^ { 2 } + p ^ { 2 } \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } \Big ] } } \\ { \pi _ { 0 , 1 } } & { = \pi _ { 1 , 0 } = \frac { p q ^ { 2 } \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) \big [ q + ( 1 - q ) p _ { \mathrm { s } } \big ] } { \big ( p ^ { 2 } + p q + q ^ { 2 } \big ) \Big [ p \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ( q + ( 2 - q ) p _ { \mathrm { s } } \big ) + \big ( q + p _ { \mathrm { s } } ( 1 - q ) \big ) ^ { 2 } + p ^ { 2 } \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } \Big ] } } \\ { \pi _ { 1 , 1 } } & { = \frac { p q \big [ p _ { \mathrm { s } } + p ( 1 - p _ { \mathrm { s } } ) \big ] \big [ q + ( 1 - q ) p _ { \mathrm { s } } \big ] } { \big ( p ^ { 2 } + p q + q ^ { 2 } \big ) \Big [ p \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ( q + ( 2 - q ) p _ { \mathrm { s } } \big ) + \big ( q + p _ { \mathrm { s } } ( 1 - q ) \big ) ^ { 2 } + p ^ { 2 } \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } \Big ] } } \\ { \pi _ { 0 , 2 } } & { = \pi _ { 2 , 0 } = \frac { p ^ { 2 } q ^ { 2 } \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } } { \big ( p ^ { 2 } + p q + q ^ { 2 } \big ) \Big [ p \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ( q + ( 2 - q ) p _ { \mathrm { s } } \big ) + \big ( q + p _ { \mathrm { s } } ( 1 - q ) \big ) ^ { 2 } + p ^ { 2 } \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } \Big ] } } \\ { \pi _ { 1 , 2 } } & { = \pi _ { 2 , 1 } = \frac { p ^ { 2 } q \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) \big [ p + ( 1 - p ) p _ { \mathrm { s } } \big ] } { \big ( p ^ { 2 } + p q + q ^ { 2 } \big ) \Big [ p \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ( q + ( 2 - q ) p _ { \mathrm { s } } \big ) + \big ( q + p _ { \mathrm { s } } ( 1 - q ) \big ) ^ { 2 } + p ^ { 2 } \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } \Big ] } } \\ { \pi _ { 2 , 2 } } & { = \frac { p ^ { 2 } \big [ 2 p p _ { \mathrm { s } } ( 1 - p _ { \mathrm { s } } ) + p ^ { 2 } ( 1 - p _ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } + p _ { \mathrm { s } } \big ( q + ( 1 - q ) p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ] } { \big ( p ^ { 2 } + p q + q ^ { 2 } \big ) \Big [ p \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ( q + ( 2 - q ) p _ { \mathrm { s } } \big ) + \big ( q + p _ { \mathrm { s } } ( 1 - q ) \big ) ^ { 2 } + p ^ { 2 } \big ( 1 - p _ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } \Big ] } . } \end{array}
t _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ i ~ d ~ } } \sim \frac { A _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ t ~ } } } { \kappa _ { \mathrm { ~ h ~ e ~ a ~ t ~ } } } = 5 . 7 \times 1 0 ^ { - 3 } \, \frac { M _ { p l } ^ { 2 } } { \alpha \, m _ { e } ^ { 5 / 4 } \, m _ { p } ^ { 7 / 4 } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left| X _ { i } \right| \left( \left\| Y X \right\| \left\| \theta ^ { * } - \hat { \theta } ^ { 1 } \right\| \left| \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \right| + \frac { \left\| Y X \right\| ^ { 2 } \left\| \theta ^ { * } - \hat { \theta } ^ { 1 } \right\| ^ { 2 } } { 2 } \left| \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { 1 } ) \right| \right) \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \sqrt { d } 2 r \left| \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \right| + \frac { 4 d r ^ { 2 } } { 2 } \left| \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { 1 } ) \right| \right] } \\ & { = 2 d ^ { 1 / 2 } r \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left| \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \right| \right] + 2 d r ^ { 2 } \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left| \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { 1 } ) \right| \right] . } \end{array}
\mathbf { u } = \frac { 1 } { 2 a _ { \mathrm { l a t } } ^ { 2 } } \left( \sigma _ { \hat { \mathbf { x } } } ^ { - 2 } ~ \hat { \mathbf { x } } \hat { \mathbf { x } } + \sigma _ { \hat { \mathbf { y } } } ^ { - 2 } ~ \hat { \mathbf { y } } \hat { \mathbf { y } } + \sigma _ { \hat { \mathbf { z } } } ^ { - 2 } ~ \hat { \mathbf { z } } \hat { \mathbf { z } } \right)
\Sigma ^ { 0 , - 1 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus \Sigma ^ { 1 6 , 2 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus \Sigma ^ { 3 2 , 5 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \to \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } ^ { \otimes 2 }
\begin{array} { r l } { | \langle \eta _ { T } ^ { H } } & { - \overline { { \eta } } _ { T } ^ { H } , g \rangle | \leq \lambda _ { H } \int _ { 0 } ^ { T } \left| \langle \eta _ { t } ^ { H } - \overline { { \eta } } _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \mathbf { i } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle \right| d t } \\ & { + \lambda _ { W } \int _ { 0 } ^ { T } \left| \frac { 1 } { s _ { W } ( t ) } \langle \eta _ { t } ^ { W } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } ( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } ) \rangle - \frac { 1 } { \overline { { s } } _ { W } ( t ) } \langle \overline { { \eta } } _ { t } ^ { W } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle \langle \overline { { \eta } } _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } ( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } ) \rangle \right| d t } \\ & { + \frac { \beta _ { G } } { m _ { H } } \int _ { 0 } ^ { T } \left| i _ { H } ( t ) \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } ( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } ) \rangle - \overline { { i } } _ { H } ( t ) \langle \overline { { \eta } } _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } ( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } ) \rangle \right| d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( { \mathbf x } _ { N } ) } & { = F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } R ^ { k } ( \mathbf { u } ^ { k } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \langle { \boldsymbol \nabla } _ { t } ^ { k } - \mathbf { g } _ { t } ^ { k } , { \boldsymbol \Delta } _ { t } ^ { k } \rangle } \\ & { \quad + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \langle \mathbf { g } _ { t } ^ { k } , \mathbf { u } ^ { k } \rangle ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( T ) } & { : = \int _ { T } ( \overline { { H } } _ { h } [ \mathbf { y } _ { h } ] _ { i j } - \partial _ { i j } \mathbf { y } ^ { \epsilon } ) \cdot ( \partial _ { 1 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } \times \partial _ { 2 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } ) Z _ { i j } , } \\ { R _ { 2 } ( T ) } & { : = | T | \big [ \overline { { H } } _ { h } [ \mathbf { y } _ { h } ] _ { i j } \cdot ( \partial _ { 1 } \mathbf { y } _ { h } \times \partial _ { 2 } \mathbf { y } _ { h } - \partial _ { 1 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } \times \partial _ { 2 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } ) Z _ { i j } \big ] ( x _ { T } ) , } \\ { R _ { 3 } ( T ) } & { : = | T | \big [ \overline { { H } } _ { h } [ \mathbf { y } _ { h } ] _ { i j } \cdot ( \partial _ { 1 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } \times \partial _ { 2 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } ) Z _ { i j } \big ] ( x _ { T } ) - \int _ { T } \overline { { H } } _ { h } [ \mathbf { y } _ { h } ] _ { i j } \cdot ( \partial _ { 1 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } \times \partial _ { 2 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } ) Z _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ( D \gets C ) = } & { { } ~ \frac { ( 1 - w _ { R } ) / k \cdot k _ { C } F _ { C | D } } { w _ { R } F _ { D } + ( 1 - w _ { R } ) / k \cdot [ k _ { C } F _ { C | D } + ( k - k _ { C } ) F _ { D | D } ] } } \\ { = } & { { } ~ ( 1 - w _ { R } ) \frac { k _ { C } } { k } + w _ { R } ( 1 - w _ { R } ) ( \pi _ { C | D } - \pi _ { D } ) \frac { k _ { C } } { k } \delta + ( 1 - w _ { R } ) ^ { 2 } ( \pi _ { C | D } - \pi _ { D | D } ) \frac { k _ { C } ( k - k _ { C } ) } { k ^ { 2 } } \delta + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) , } \end{array}
{ \bigl < t _ { \eta , v } ^ { ( \rho ) } ; t _ { \theta , w } ^ { ( \sigma ) } \bigr > } _ { L ^ { 2 } } = \int _ { G } \overline { { { t _ { \eta , v } ^ { ( \rho ) } ( g ) } } } \cdot t _ { \theta , w } ^ { ( \sigma ) } ( g ) \, d g = \frac { 1 } { \dim V _ { \rho } } \delta _ { \rho \sigma } \overline { { { \left< \eta ; \theta \right> } } } \left< v ; w \right> ,
\dot { m } _ { \mathrm { ~ f ~ , ~ i ~ n ~ } } = \rho _ { \mathrm { ~ f ~ } } \bigg ( 2 \pi r _ { \mathrm { ~ f ~ } } L _ { \mathrm { ~ f ~ } } \frac { \mathrm { d } r _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { \mathrm { d } t } \bigg ) .
\ln L = - \ln ( | { \boldsymbol { \Sigma } } | \, ) - ( \mathbf { z } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { \dagger } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } ( \mathbf { z } - { \boldsymbol { \mu } } ) - k \ln ( \pi )
\begin{array} { r } { \| \bar { \lambda } _ { t + 1 } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } = \| \Pi _ { \Lambda } ( \bar { \lambda } _ { t } + \alpha \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \bar { \lambda } _ { t } ) ) - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } \le \| \bar { \lambda } _ { t } + \alpha \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \bar { \lambda } _ { t } ) - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } , } \end{array}
u _ { L J } ^ { i w } ( x ) = - 4 \pi \epsilon _ { i w } \rho _ { w } \left[ \frac { \sigma _ { i w } ^ { 6 } } { 2 x ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i w } ^ { 1 2 } } { 5 x ^ { 1 0 } } + \frac { \sigma _ { i w } ^ { 6 } } { 2 ( L - x ) ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i w } ^ { 1 2 } } { 5 ( L - x ) ^ { 1 0 } } \right]
\begin{array} { r } { \frac { e } { k _ { B } T } \nabla \phi = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } z _ { i } \left( \mathbf { u } c _ { i } - \kappa _ { i } \nabla c _ { i } \right) } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } z _ { i } ^ { 2 } \kappa _ { i } c _ { i } } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( \kappa _ { n } - \kappa _ { i } ) z _ { i } \nabla c _ { i } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } \kappa _ { i } - z _ { n } \kappa _ { n } ) z _ { i } c _ { i } } , } \end{array}
{ \cal L } _ { n . m . } = \, { \sqrt { - g } } \, \lbrack \xi _ { 0 } R \phi ^ { 2 } \, + \, { \frac { { \vec { \xi } } _ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \, { \vec { \cal L } } _ { n . m . } ^ { ( 2 ) } \, + \, { \frac { { \vec { \xi } } _ { 4 } } { M ^ { 4 } } } \, { \vec { \cal L } } _ { n . m . } ^ { ( 4 ) } \, + \, . . . \rbrack .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { \mathrm { p } } } & { = \nabla \times \nabla \times { \boldsymbol { \pi } } _ { \mathrm { e } } - { \frac { \mathbf { P } } { \epsilon _ { 0 } } } } \\ & { = \nabla ( \nabla \cdot { \boldsymbol { \pi } } _ { \mathrm { e , p } } ) - \nabla ^ { 2 } { \boldsymbol { \pi } } _ { \mathrm { e , p } } - { \frac { \mathbf { P } } { \epsilon _ { 0 } } } . } \end{array} }
V ( r , u ) = - ( 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l ~ e ^ { - r ^ { 2 } l / 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { \frac { l ^ { 1 / 2 } \mathrm { t a n h } ( u ) } { \mathrm { S i n } ( u l ) } } \left[ 1 2 + 4 \mathrm { C o s } ( 2 u l ) - 1 6 \mathrm { C o s } ( u l ) \right] \quad .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \eta } ( \hat { \theta } _ { 1 } + q \hat { c } _ { 1 } ) = \frac { d ^ { 2 } } { d \eta ^ { 2 } } \left( \hat { \theta } _ { 2 } + \frac { q } { L e } \hat { c } _ { 2 } \right) + \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \hat { v } _ { 0 } \frac { d \hat { p } _ { 1 } } { d \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \alpha } J _ { 1 } } & { = } & { - \int _ { l _ { b _ { 1 0 } } } ^ { l _ { b _ { 2 0 } } } \frac { 2 \mu \partial _ { \alpha } B _ { 1 } } { \sqrt { 2 ( { \cal E } - \mu B _ { 0 } - Z e \Phi _ { 0 } / m ) } } \mathrm { d } l \, , } \\ { \partial _ { s } J _ { 0 } } & { = } & { - \int _ { l _ { b _ { 1 0 } } } ^ { l _ { b _ { 2 0 } } } \frac { 2 \mu \partial _ { s } B _ { 0 } } { \sqrt { 2 ( { \cal E } - \mu B _ { 0 } - Z e \Phi _ { 0 } / m ) } } \mathrm { d } l \, } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla \cdot { \pmb \sigma } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) = - \rho ^ { [ s ] } \ddot { \pmb u } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) } \\ { { \sigma } _ { a b } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) = \delta _ { a b } \, \lambda ^ { [ s ] } \nabla \cdot { \pmb u } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) + \mu ^ { [ s ] } ( \nabla _ { a } u _ { b } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) + \nabla _ { b } u _ { a } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) ) , \qquad { \pmb x } \in D _ { b } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \iota _ { D } ( x ) - \kappa _ { D } ( x ) } & { \le 2 \! \! \! \! \! \! \int _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } _ { + } \setminus I _ { x } } \! \! \! \! \! \! \mathcal { A } _ { 2 , \alpha } | y - x | ^ { - 2 - \alpha } d y \leq 2 \int _ { 0 } ^ { \pi } \! \! \! \int _ { 2 r \sin \phi } ^ { \infty } \! \! \! \! \! \! \mathcal { A } _ { 2 , \alpha } \left( \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { - 2 - \alpha } { 2 } } \rho \, d \rho \, d \phi } \\ & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathcal { A } _ { 2 , \alpha } \frac { 2 } { \alpha } \left( \frac { 1 } { 2 } \cdot 4 r ^ { 2 } \sin \phi ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } d \phi } \\ & { \leq \frac { 8 } { \alpha } \mathcal { A } _ { 2 , \alpha } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \left( r ^ { 2 } \sin \phi ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } d \phi \leq c \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \phi ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } d \phi } \\ & { \leq c \int _ { 0 } ^ { x _ { 2 } } x _ { 2 } ^ { - \alpha } d \phi + c \int _ { x _ { 2 } } ^ { 1 } \phi ^ { - \alpha } d \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E } & { { } = - \frac { \mu _ { E } } { 2 a } } \\ { \dot { E } } & { { } = \frac { \mu _ { E } } { 2 a ^ { 2 } } \dot { a } = f _ { D } v = - \frac { 1 } { 2 } \beta ^ { * } \rho v ^ { 3 } } \end{array}
\partial _ { t } \varphi ( x , t ) = \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( \varphi _ { 0 } ) \partial _ { x } ^ { 2 } \varphi _ { 0 } + g _ { 0 } \varphi _ { 0 } = \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( \varphi ) \partial _ { x } ^ { 2 } \varphi + g _ { 0 } \varphi
\lambda _ { d } ( t | H _ { t } ) = \int _ { M _ { d } } ^ { \infty } \lambda _ { 0 } ( t , m ) d m = \left( \int _ { M _ { d } } ^ { \infty } f ( m ) d m \right) \lambda _ { 0 } ( t | H _ { t } ) = p _ { d } \cdot \lambda _ { 0 } ( t | H _ { t } ) ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { L } ( n _ { \mathrm { L 1 } } , n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } , \lambda ) } { \partial n _ { \mathrm { L 1 } } ^ { 2 } } = \eta \rho _ { \mathrm { L 1 } } \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } ( \nu _ { \mathrm { L 1 } } + d ) } { d ^ { 2 } } n _ { \mathrm { L 1 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } + 2 d } { d } } > 0 ; } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { L } ( n _ { \mathrm { L 1 } } , n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } , \lambda ) } { \partial n _ { \mathrm { L 2 } } ^ { 2 } } = \eta \rho _ { \mathrm { L 2 } } \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } ( \nu _ { \mathrm { L 2 } } + d ) } { d ^ { 2 } } n _ { \mathrm { L 2 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } + 2 d } { d } } > 0 ; } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { L } ( n _ { \mathrm { L 1 } } , n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } , \lambda ) } { \partial n _ { \mathrm { H F } } ^ { 2 } } = \eta \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } ( \nu _ { \mathrm { H F } } + d ) } { d ^ { 2 } } n _ { \mathrm { H F } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } + 2 d } { d } } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { a _ { k } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { u \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } k \in Q ^ { * } } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } k \in Q ^ { c } } \end{array} \right. } & { b _ { k } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { v \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } k \in P ^ { * } } \\ { - v \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } k \in S ^ { * } } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } k \in ( P \cup S ) ^ { c } , } \end{array} \right. } \end{array}
\sum _ { i } Q _ { i } = \sum _ { i j k } U _ { j } B _ { j k } ^ { ( i ) } U _ { k } = \sum _ { j k } U _ { j } U _ { k } \sum _ { i } B _ { j k } ^ { ( i ) } = \sum _ { j k } U _ { j } U _ { k } \delta _ { j k } = \sum _ { j } U _ { j } ^ { 2 }
\mathcal { H } _ { 0 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 m } } p _ { x } + \sqrt { E - \left( \frac { 1 } { 2 m } p _ { y } ^ { 2 } + \frac { k _ { x } } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { k _ { y } } { 2 } y ^ { 2 } \right) } \, .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ( a ) } \qquad \frac { \gamma } { \ensuremath { \breve { \lambda } } + \gamma } \| \bar { \alpha } ^ { \pi } \| _ { 2 } + \sqrt { \sum _ { q \in \mathbb { N } \setminus Q } \bar { \alpha } _ { q } ^ { 2 } } } \\ & { \mathrm { ( b ) } \qquad \| \bar { \alpha } ^ { \pi } \| _ { \infty } \gamma \sum _ { i = 1 } ^ { E } \frac { 1 } { \lambda _ { i } } + \sqrt { \sum _ { q \in \mathbb { N } \setminus Q } \bar { \alpha } _ { q } ^ { 2 } } . } \end{array}
\operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { Y } } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \operatorname { E } \left[ \left( X ( t _ { 1 } ) - \mu _ { X } ( t _ { 1 } ) \right) \left( Y ( t _ { 2 } ) - \mu _ { Y } ( t _ { 2 } ) \right) \right]
\sum _ { a = 1 } ^ { 3 } v _ { a } ^ { 2 } ( { \mathbf { n } } ) = \frac { 2 S - A } { 6 \rho } + \frac 1 { 2 \rho } \, ( 2 P ^ { i j } + Q ^ { i j } ) n _ { i } n _ { j }
\begin{array} { r l } { \hat { \tau } _ { t } ( w , w ^ { \prime } ) } & { : = \hat { Q } _ { t } ( w ) - \hat { Q } _ { t } ( w ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { t } \sum _ { j = 1 } ^ { t } \hat { \tau } _ { j } ( w ) - \hat { \tau } _ { j } ( w ^ { \prime } ) } \\ { S _ { t } ( w , w ^ { \prime } ) } & { : = \sum _ { j = 1 } ^ { t } \hat { \sigma } _ { j } ^ { 2 } ( w , w ^ { \prime } ) } \\ & { : = \sum _ { j = 1 } ^ { t } \frac { \mathbf { 1 } \{ W _ { j } = w \} Y _ { j } ^ { 2 } } { p _ { j \mid j - 1 } ( w ) ^ { 2 } } + \frac { \mathbf { 1 } \{ W _ { j } = w ^ { \prime } \} Y _ { j } ^ { 2 } } { p _ { j \mid j - 1 } ( w ^ { \prime } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { x } & { y } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { A } & { B / 2 } \\ { B / 2 } & { C } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) } + { \left( \begin{array} { l l } { D } & { E } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) } + F = 0 .
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { - } D } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { 2 } m \Omega _ { c } \omega R _ { G } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } R _ { G } ^ { 2 } , } \\ { - \Omega _ { + } J } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { 2 } m \Omega _ { c } ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } m \Omega _ { c } \omega \rho ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \rho ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \pi } ^ { \phi _ { 0 } + \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } U _ { z } ^ { ( 1 ) } H _ { \xi } H _ { \phi } d \xi d \phi } & { { } = \frac { U _ { 1 S } } { U _ { 1 S } + U _ { 2 S } } , } \\ { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } U _ { z } ^ { ( 2 ) } H _ { \xi } H _ { \phi } d \xi d \phi } & { { } = \frac { U _ { 2 S } } { U _ { 1 S } + U _ { 2 S } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { D m ^ { 2 } - \lambda m - ( s + \alpha + r ) } & { \alpha } \\ { \beta } & { D m ^ { 2 } - \lambda m - ( s + \beta + r ) } \end{array} \right) \Phi = \bf { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { 3 a } } ^ { ( 4 ) } } & { = S _ { 1 2 3 } \: Z _ { 1 } \, W _ { 1 } \: D ( \eta ^ { ( 4 ) } ; 7 , 3 , 4 ) + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 2 } \, W _ { 2 } \: D ( \eta ^ { ( 4 ) } ; 6 , 4 , 4 ) } \\ & { + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 3 } \, W _ { 3 } \: D ( \eta ^ { ( 4 ) } ; 8 , 3 , 3 ) + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 4 } \, W _ { 4 } \: D ( \eta ^ { ( 4 ) } ; 8 , 3 , 3 ) } \\ & { + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \big ( Z _ { 5 } \, P _ { 0 } ( c _ { 2 } ) + Z _ { 6 } \, P _ { 2 } ( c _ { 2 } ) \big ) \, D ( \eta ^ { ( 4 ) } ; 6 , 6 , 0 ) } \\ & { + S _ { 1 2 3 } \big ( Z _ { 7 } \, P _ { 0 } ( c _ { 2 } ) + Z _ { 8 } \, P _ { 2 } ( c _ { 2 } ) \big ) \, D ( \eta ^ { ( 4 ) } ; 8 , 6 , 0 ) } \\ & { + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \big ( Z _ { 9 } \, P _ { 1 } ( c _ { 2 } ) + Z _ { 1 0 } \, P _ { 3 } ( c _ { 2 } ) \big ) \, D ( \eta ^ { ( 4 ) } ; 7 , 7 , 0 ) , } \end{array}
A ( g _ { 1 } g _ { 2 } ) ^ { \alpha } \: - \: d \log \omega _ { \alpha } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } } \: = \: A ( g _ { 2 } ) ^ { \alpha } \: + \: g _ { 2 } ^ { * } A ( g _ { 1 } ) ^ { \alpha }
\begin{array} { r } { I _ { c } ^ { ( \pm ) } = \mathrm { m i n } \bigl \{ I _ { \mathrm { V } } ^ { ( \pm ) } , I _ { \mathrm { A V } } ^ { ( \pm ) } \bigr \} = \left\{ \begin{array} { l l } { I _ { \mathrm { V } } ^ { ( \pm ) } } & { ( B \ge 0 ) } \\ { I _ { \mathrm { A V } } ^ { ( \pm ) } } & { ( B \le 0 ) } \end{array} \right. . } \end{array}
S _ { h } ^ { [ 3 , 1 ] } = \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h \overline { { b } } _ { 0 } B } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h \overline { { a } } _ { 1 } A } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h b _ { 1 } B } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h a _ { 1 } A } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { i h b _ { 0 } B } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { u } \left( w _ { a } \sigma _ { a , u } ^ { 2 } + w _ { \omega } \sigma _ { \omega , u } ^ { 2 } + w _ { \beta } \sigma _ { \beta , u } ^ { 2 } + w _ { \phi } \sigma _ { \phi , u } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { q } } & { = \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 + \left( \mathtt { m } _ { \alpha } \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi ) \partial _ { x } \mathfrak { a } _ { 0 } + \mathfrak { d } _ { 0 } \right) \ + \sum _ { k = 1 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi ) \partial _ { x } \mathfrak { a } _ { k } + \mathfrak { d } _ { k } \right) + r _ { \mathfrak { p } _ { M _ { 2 } } , \mathfrak { a } } + \mathfrak { r } _ { \mathtt { N } _ { \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\lvert \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Lambda _ { R - r } ^ { 2 } } K ( x - y ) \sum _ { i , j \in \{ \pm \} } \sigma ( i ) \sigma ( j ) ( I _ { t } ^ { i j } ( x , y ) - \hat { I } _ { t } ^ { i j } ( x , y ) ) \, d x d y d t \right\rvert } \\ & { \qquad \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Lambda _ { R - r } ^ { 2 } } \lvert K ( x - y ) \rvert \sum _ { i , j \in \{ \pm \} } \lvert I _ { t } ^ { i j } ( x , y ) - \hat { I } _ { t } ^ { i j } ( x , y ) \rvert \, d x d y d t } \\ & { \qquad \qquad \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Lambda _ { R - r } ^ { 2 } } \lvert K ( x - y ) \rvert \hat { I } _ { t } ^ { ( 2 ) } ( 0 , x - y ) q _ { t } ( 0 , x - y , r ) ^ { 1 / 2 } \, d x d y d t , } \end{array}