harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
E _ { | \alpha | ^ { 2 } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n \left< n \right| \mathcal { E } _ { x , y } [ \left| \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| ] \left| n \right> = e ^ { - \left( 1 - \tau _ { x , y } \right) | \alpha | ^ { 2 } } g _ { x , y } \left( \tau _ { x , y } \Omega _ { x , y } | \alpha | ^ { 2 } - \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } m \frac { \chi _ { x , m } } { \sqrt { 1 - \chi _ { y , m } ^ { 2 } } } \right) + \frac { \lambda _ { x } ^ { 2 } } { 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { F } ( \mathbf { x } ) } & { = U _ { B } ( M ( \mathbf { x } ) ) - U _ { A } ( \mathbf { x } ) - \beta ^ { - 1 } \log { \left| { J _ { M } ( \mathbf { x } ) } \right| } } \\ { \Phi _ { R } ( \mathbf { x } ) } & { = U _ { A } ( M ^ { - 1 } ( \mathbf { x } ) - U _ { B } ( \mathbf { x } ) - \beta ^ { - 1 } \log { \left| { J _ { M ^ { - 1 } } ( \mathbf { x } ) } \right| } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { t - 1 } } & { = w _ { t } + \frac { 6 } { T } \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } w _ { t } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { C + \frac { 6 } { T } \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } t } + \frac { 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { T \left( C + \frac { 6 } { T } \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } t \right) ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { C + \frac { 6 } { T } \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } t } + \frac { \left( C + \frac { 6 } { T } \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } t \right) - \left( C + \frac { 6 } { T } \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } ( t - 1 ) \right) } { \left( C + \frac { 6 } { T } \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \left( t - 1 \right) \right) \left( C + \frac { 6 } { T } \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } t \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { C + \frac { 6 } { T } \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \left( t - 1 \right) } } \end{array}
\mathrm { ~ f ~ i ~ n ~ d ~ } \quad \boldsymbol { a } _ { i + 1 } ( t _ { i + 1 } ) \quad \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad \left< \boldsymbol { u } _ { r } ^ { + } - \boldsymbol { u } _ { r } ^ { - } , \boldsymbol { v } \right> _ { \Omega _ { h } } = 0 \quad \forall \mathrm { ~ } \boldsymbol { v } \in \mathcal { V } ^ { i + 1 } ,
\begin{array} { r l } { D ( { \mathfrak a } _ { M } ) } & { : = H ^ { 1 } ( 0 , 1 ) , } \\ { { \mathfrak a } _ { M } ( f , g ) } & { : = \int _ { 0 } ^ { 1 } f ^ { \prime } \overline { { g ^ { \prime } } } \, \mathrm { d } x - M \left( \begin{array} { l } { f ( 0 ) } \\ { f ( 1 ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \overline { { g ( 0 ) } } } \\ { \overline { { g ( 1 ) } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\Sigma ^ { \prime } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \left[ \frac { \hat { \psi } ^ { \prime } ( r _ { s } + \epsilon ) + \hat { \psi } ^ { \prime } ( r _ { s } - \epsilon ) } { \hat { \psi } ( r _ { s } ) } - 2 \mathcal { A } \left( 1 + \ln { \left( \frac { \epsilon } { a } \right) } \right) \right]
\begin{array} { r } { I _ { i j } ^ { \prime } = \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \left[ { \bf x ^ { \prime } } _ { N } ^ { 2 } ( 0 ) \delta ^ { i j } - x _ { N } ^ { i } ( 0 ) x _ { N } ^ { j } ( 0 ) \right] = U _ { i a } \left[ \sum _ { N } { \bf x } _ { N } ^ { 2 } ( 0 ) \delta ^ { a b } - m _ { N } x _ { N } ^ { a } ( 0 ) x _ { N } ^ { b } ( 0 ) \right] U _ { j b } = U _ { i a } I _ { a b } U _ { j b } , \quad \mathrm { o r } \quad I ^ { \prime } = U I U ^ { T } . \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 5 } ( t ) } & { : = \left[ e ^ { - t ^ { 2 } / 2 } \frac { | t | ^ { 3 } } { \sqrt { n } } + o ( n ^ { - 1 / 2 } ( t ^ { 6 } + | t | ^ { 3 } ) e ^ { - t ^ { 2 } / 4 } ) \right] \left[ \frac { t ^ { 2 } } { n ^ { 2 } h ^ { d + 2 } } + \frac { | t | ^ { 3 } + | t | } { \sqrt { n } } + \mathcal { E } _ { 4 } ( t ) \right] } \\ & { \qquad + e ^ { - t ^ { 2 } / 2 } \left[ | t | \sqrt { n } h ^ { P } + t ^ { 2 } h ^ { 2 P } + | t | \sqrt { n } h ^ { 2 P } \right] \left[ \frac { t ^ { 2 } } { n ^ { 2 } h ^ { d + 2 } } + \frac { | t | ^ { 3 } + | t | } { \sqrt { n } } + \mathcal { E } _ { 4 } ( t ) \right] } \\ & { \qquad + ( | t | \sqrt { n } h ^ { P } + t ^ { 2 } n h ^ { 2 P } ) \left[ e ^ { - t ^ { 2 } / 2 } \frac { | t | ^ { 3 } } { \sqrt { n } } + o ( n ^ { - 1 / 2 } ( t ^ { 6 } + | t | ^ { 3 } ) e ^ { - t ^ { 2 } / 4 } ) \right] } \\ & { \qquad + ( | t | \sqrt { n } h ^ { P } + t ^ { 2 } n h ^ { 2 P } ) \left[ e ^ { - t ^ { 2 } / 2 } \frac { | t | ^ { 3 } } { \sqrt { n } } + o ( n ^ { - 1 / 2 } ( t ^ { 6 } + | t | ^ { 3 } ) e ^ { - t ^ { 2 } / 4 } ) \right] \left[ \frac { t ^ { 2 } } { n ^ { 2 } h ^ { d + 2 } } + \frac { | t | + | t | ^ { 3 } } { \sqrt { n } } + \mathcal { E } _ { 4 } ( t ) \right] } \\ & { \qquad + ( | t | + t ^ { 2 } \sqrt { n } h ^ { P } + | t | ^ { 3 } n h ^ { 2 P } ) \big ( \mathbb { E } | \mathcal { T } _ { \mathfrak { c } } \bar { L } | + \mathbb { E } | ( H _ { \mathfrak { c } } + \mathcal { T } _ { \mathfrak { c } } ) \bar { Q } | \big ) } \\ & { \qquad + ( t ^ { 2 } + | t | ^ { 3 } \sqrt { n } h ^ { P } + t ^ { 4 } n h ^ { 2 P } ) \big ( \mathbb { E } ( H _ { \mathfrak { c } } \bar { L } ) ^ { 2 } + \mathbb { E } | H _ { \mathfrak { c } } \bar { L } \bar { Q } | \big ) . } \end{array}
D \Sigma ( n _ { f } , \mu ^ { 2 } ) = - \gamma _ { q q } ^ { \mathrm { S } } ( n _ { f } ) \otimes \Sigma ( n _ { f } , \mu ^ { 2 } ) - \gamma _ { q g } ^ { \mathrm { S } } ( n _ { f } ) \otimes G ( n _ { f } , \mu ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \Psi ( t - s , x ) \Psi ( s , z ) e ^ { - \frac { c _ { 1 } } { 3 } \frac { | x - z | ^ { 2 } } { t - s } } } & { \le C _ { 0 } \Psi ( s , x ) , } \\ { \Psi ( t - s , x ^ { \prime } ) \Psi ( s , z ^ { \prime } ) e ^ { - \frac { c _ { 1 } } { 3 } \frac { | x ^ { \prime } - z ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t - s } } } & { \le C _ { 0 } \Psi ( s , x ^ { \prime } ) . } \end{array}
( \Delta _ { \xi } \nabla _ { \gamma } \nabla _ { \beta } { \pmb S } _ { \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) , \mu \Delta _ { \xi } \nabla _ { \gamma } \nabla _ { \beta } { \pmb \Sigma } _ { \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) )
\psi _ { m } ( r , \theta , \varphi ) = \frac { 1 } { r } \left( \begin{array} { l } { G _ { 1 } ( r , \theta ) \exp [ i ( m - \frac { 1 } { 2 } ) \varphi ] } \\ { G _ { 2 } ( r , \theta ) \exp [ i ( m + \frac { 1 } { 2 } ) \varphi ] } \\ { i F _ { 1 } ( r , \theta ) \exp [ i ( m - \frac { 1 } { 2 } ) \varphi ] } \\ { i F _ { 2 } ( r , \theta ) \exp [ i ( m + \frac { 1 } { 2 } ) \varphi ] } \end{array} \right)
\frac { d } { d t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \Delta x _ { j } } { 2 } ( u _ { j } ) ^ { 2 } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } f _ { j + \frac { 1 } { 2 } } \big ( u _ { j + 1 } - u _ { j } \big ) \le 0 .
\begin{array} { r l } { h \partial _ { t } \cdot v _ { 1 } ^ { * } ( g ) } & { = - v _ { 1 } ^ { * } ( g \partial _ { t } h ) + v _ { 1 } ^ { * } ( h \partial _ { t } g ) - \frac { 1 } { 2 } \int ( \partial _ { t } ^ { 3 } h ) g d t , } \\ { h \partial _ { t } \cdot v _ { j } ^ { * } ( g ) } & { = - d _ { j } v _ { j } ^ { * } ( g \partial _ { t } h ) + v _ { j } ^ { * } ( h \partial _ { t } g ) \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } j > 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { m l i j } = \sum _ { k } \frac { { \mu _ { 0 } \omega _ { 2 } } } { 8 \rho _ { 0 } } \frac { O _ { 1 } ^ { * } O _ { 2 } } { - i ( \Omega _ { i j k } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) + \Omega \Gamma _ { i j k } } } \\ { X _ { m l i j } = \sum _ { k } \frac { { \mu _ { 0 } \omega _ { 1 } } } { 8 \rho _ { 0 } } \frac { O _ { 1 } O _ { 2 } ^ { * } } { - i ( \Omega _ { i j k } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) - \Omega \Gamma _ { i j k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log Z ( \boldsymbol { \beta } ) } & { \approx \log \left( \sum _ { p = 1 } ^ { P } w _ { p } \exp ( \beta _ { i } \phi _ { i } ( \mathbf { u } _ { p } ) ) \right) } \\ & { = Q + \log \left( \sum _ { p = 1 } ^ { P } \exp ( \beta _ { i } \phi _ { i } ( \mathbf { u } _ { p } ) + \log w _ { p } - Q ) \right) ; \quad i = 1 , \cdots , M , } \end{array}
f _ { 0 } = \frac { c _ { 1 } } { 2 \pi R } \sqrt { \frac { E } { \rho ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } ( \epsilon _ { 0 } + \frac { c _ { 2 } z ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } t ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } ) } ,
\begin{array} { r } { \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , { \bf G } ( { \bf V } ) \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } = \big \langle { { \bf w } } _ { V } ^ { \, \, \, - } \, , \, \overline { { { \bf G } } } ( { { \bf V } } ^ { - } , { { \bf V } } ^ { + } ) \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \ \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { k + 1 / 2 } } & { = ( I _ { n } + \alpha ( I _ { n } - A ) ) ^ { - 1 } ( z _ { k } + \alpha ( B u + b ) ) , } \\ { z _ { k + 1 / 2 } } & { = 2 x _ { k + 1 / 2 } - z _ { k } , } \\ { x _ { k + 1 } } & { = \mathrm { p r o x } _ { \alpha f } ( z _ { k + 1 / 2 } ) , } \\ { z _ { k + 1 } } & { = 2 x _ { k + 1 } - z _ { k + 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega _ { \varepsilon } } \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( - f _ { + } ) \left( \frac { v _ { 0 } } { L ( t ) } \right) ^ { 2 } \bigl ( ( f _ { + } ( 1 - \rho ) \bigr ) _ { \mathrm { t r } } ^ { 2 } \; \, \textup { d } y } \\ & { = \int _ { \Omega _ { \varepsilon } } \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( - f _ { + } ) \Big ( \frac { v _ { 0 } } { L ( t ) } \Big ) ^ { 2 } \bigl ( ( f _ { + } ( 1 - \rho ) \bigr ) _ { \mathrm { t r } } - ( 0 \cdot ( 1 - \rho ) \bigr ) _ { \mathrm { t r } } \bigr ) ^ { 2 } \, \textup { d } y \le \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } \, 2 \varepsilon \, | \Omega _ { \varepsilon } | = : \tilde { c } _ { 1 } \, \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 3 } } & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { a _ { 3 } } { \iota _ { X } } K _ { Y } + \frac { a _ { 3 } - a _ { \xi } \iota _ { X } m _ { f } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } E \bigg ) } \\ { x _ { 4 } } & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { a _ { 4 } } { \iota _ { X } } K _ { Y } + \frac { a _ { 4 } - a _ { \xi } \iota _ { X } m _ { g } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } E \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \cal R } ( f ) - { \cal R } ( f ^ { * } ) \leq \frac { 2 k _ { e } \varepsilon ^ { 2 } } { n } + \frac { 8 M ^ { 2 } \log ( n ) ^ { 1 + \delta } } { n } \left\| f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } + \frac { 6 4 k a } { n } } \\ & { \qquad + \operatorname* { i n f } _ { l \leq k } \left\| ( \Pi _ { { \cal F } _ { k _ { \lambda } } } - \Pi _ { { \cal F } _ { l } } ^ { ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ) f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } + 4 \sigma ( l ) ^ { 2 } + 4 \zeta ^ { 2 } \left( \left\| \tilde { T _ { \lambda } } ^ { - 1 } \Pi _ { { \cal F } _ { l } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } \left( { \cal L } _ { k } ( \hat { \Theta } ; \lambda ) - { \cal L } _ { k } ( \Theta ; \lambda ) \right) ^ { 1 / 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lvert \mathrm { M C } ( \mathrm { H e a p } ( \mathsf { s o r t } _ { \mathsf { c } ^ { ( n ) } } ( w _ { 0 } ) ) ) \right\rvert } & { \leq \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \binom { n - 1 } { k } 2 ^ { 2 n - 3 + u ( c ^ { ( n ) } ) - 2 k } } \\ & { = 2 ^ { ( 2 + \overline { { u } } ) n + o ( n ) } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \binom { n - 1 } { k } 2 ^ { - 2 k } } \\ & { = 2 ^ { ( 2 + \overline { { u } } ) n + o ( n ) } ( 5 / 4 ) ^ { n - 1 } } \\ & { = \left( 5 \cdot 2 ^ { \overline { u } } \right) ^ { ( 1 + o ( 1 ) ) n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { C O V } _ { k } = C _ { k } \frac { \sqrt { \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k ) } ] \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } ] } } { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { v } _ { i n } \left( r ; y \right) } & { { } = \widetilde { v } _ { o u t } \left( y \right) \left[ 1 - \exp \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } K _ { v } \left( r - 1 \right) \right) \right] , } \\ { \widetilde { \tau } _ { i n } \left( r ; y \right) } & { { } = \widetilde { \tau } _ { o u t } \left( y \right) \left[ 1 - \exp \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \mathrm { P r } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \left( r - 1 \right) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \pi } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Big [ \sqrt { \operatorname* { P r } ( B _ { b } | D _ { a } \land B _ { c } ) } + \sqrt { \operatorname* { P r } ( D _ { b } | B _ { a } \land B _ { c } ) } \Big ] . } \end{array}
\int { \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \ \delta ( q ^ { 2 } ) \delta [ ( k + q ) ^ { 2 } ] \left\{ \theta ( k ^ { o } + q ^ { o } ) \theta ( - q ^ { o } ) \pm \theta ( - k ^ { o } - q ^ { o } ) \theta ( q ^ { o } ) \right\} \ = \ { \frac { \theta ( - k ^ { 2 } ) [ \theta ( k ^ { o } ) \pm \theta ( - k ^ { o } ) ] } { 4 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } ,
\begin{array} { r l r } { \widehat { L } ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s , \mathrm { \boldmath ~ Z ~ } ) } & { = } & { \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } \bullet \mathrm { \boldmath ~ x ~ } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ^ { T } - \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { k } \bullet \mathrm { \boldmath ~ x ~ } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ^ { T } - \mathrm { \boldmath ~ Z ~ } \bullet \mathrm { \boldmath ~ x ~ } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ^ { T } - s ( \mathrm { \boldmath ~ H ~ } \bullet \mathrm { \boldmath ~ x ~ } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ^ { T } - 1 ) } \\ & { } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s , \mathrm { \boldmath ~ Z ~ } ) \in \mathrm { ~ \mathbb { R } ~ } ^ { n + m + 1 } \times \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } ^ { 1 + n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i } ^ { \alpha } } & { = \frac { D _ { i } ^ { \alpha } ( t + d t ) } { Q _ { i } ^ { \alpha } } } \\ & { = \frac { 1 } { Q _ { i } ^ { \alpha } } [ I _ { i } ^ { \alpha } ( t + d t ) + P _ { i } ^ { \alpha } ( t + d t ) } \\ & { + \delta ^ { - } S _ { i } ^ { \alpha } ( t ) + \frac { I _ { i } ^ { \alpha } ( t + d t ) } { I _ { i } ^ { \alpha } ( t ) } \Delta I _ { i } ^ { \alpha } ( t ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \mathrm { ( H - T ) } } ( a \leftrightarrow b ) } & { = } & { \sum _ { n } \left( \frac { \left\langle a \left| A _ { \mathrm { H } } \right| { n } \right\rangle \left\langle { n } \left| A _ { \mathrm { T } } \right| b \right\rangle } { E _ { a } - E _ { n } } \right) } \\ & { + } & { \sum _ { n } \left( \frac { \left\langle a \left| A _ { \mathrm { T } } \right| { n } \right\rangle \left\langle { n } \left| A _ { \mathrm { H } } \right| b \right\rangle } { E _ { b } - E _ { n } } \right) , } \end{array}
+ \frac { 1 } { 2 } F _ { a b } \xi ^ { a } \partial _ { \tau } \xi ^ { b } - \frac { 1 } { 4 } D _ { a } D _ { b } F _ { c d } \xi ^ { a } \xi ^ { b } \psi ^ { c } \psi ^ { d } + \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { n ! } D _ { a _ { 1 } } \ldots D _ { a _ { n - 1 } } F _ { { a _ { n } } b } \xi ^ { a _ { 1 } } \ldots \xi ^ { a _ { n } } \partial _ { \tau } \overline { { { X } } } ^ { b } \right.
\begin{array} { r l } { E _ { y } ^ { \mathrm { t o t } } = } & { - 2 j E _ { \mathrm { i n } } \sin { \left( k z \right) } } \\ & { + \frac { \eta c } { \Lambda } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \beta _ { m } \sin { \left( \beta _ { m } h \right) } e ^ { - j k _ { t , m } y } e ^ { j \beta _ { m } z } } \\ { H _ { x } ^ { \mathrm { t o t } } = } & { - 2 \frac { E _ { \mathrm { i n } } } { \eta } \cos { \left( k z \right) } } \\ & { + \frac { k c } { \Lambda } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \sin { \left( \beta _ { m } h \right) } e ^ { - j k _ { t , m } y } e ^ { j \beta _ { m } z } } \end{array}
\Theta ( p _ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ } } ) = \frac { N _ { \gamma } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ r ~ e ~ c ~ , ~ M ~ C ~ } } } { N _ { \gamma } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ r ~ e ~ c ~ , ~ R ~ D ~ } } } \times \frac { \mathrm { d } N _ { \gamma } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ r ~ e ~ c ~ , ~ R ~ D ~ } } / \mathrm { d } p _ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ } } } { \mathrm { d } N _ { \gamma } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ r ~ e ~ c ~ , ~ M ~ C ~ } } / \mathrm { d } p _ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ } } } .
\sigma _ { \tau _ { h } } ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) = k ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ) - \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { \tau _ { h } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } _ { \tau _ { h } } \mathbf { X } _ { \tau _ { h } } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { \tau _ { h } } ) .
\left\langle { \frac { 1 } { 2 } } k \left( { \hat { x } } - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } \right\rangle \left\langle { \frac { 1 } { 2 m } } { \hat { p } } ^ { 2 } \right\rangle \geq \left( { \frac { \hbar } { 4 } } \right) ^ { 2 } { \frac { k } { m } } \, .
\begin{array} { c } { { \theta = B ^ { - 1 } , \quad G = - ( 2 \pi l _ { s } ^ { 2 } ) ^ { 2 } B g ^ { - 1 } B , \quad G _ { s } = g _ { s } \operatorname * { d e t } ( 2 \pi l _ { s } ^ { 2 } B g ^ { - 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } } \end{array}
I _ { 2 } ^ { \mathrm { D F } 0 } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \gamma ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } x _ { 2 } ^ { \alpha _ { 2 } } ( 1 - x _ { 1 } ) ^ { \beta _ { 1 } } ( 1 - x _ { 2 } ) ^ { \beta _ { 2 } } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } + i 0 ) ^ { 2 \gamma } \, \mathrm { d } x _ { 1 } \, \mathrm { d } x _ { 2 } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { G ( \omega ) } & { = G ( a ) - \sum _ { p _ { \ell } } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p _ { \ell } } } \frac { \alpha ( G , p _ { \ell } , - m ) } { ( a - p _ { \ell } ) ^ { m } } } \\ & { + \sum _ { p _ { \ell } } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p _ { \ell } } } \frac { \alpha ( G , p _ { \ell } , - m ) } { ( \omega - p _ { \ell } ) ^ { m } } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ^ { 2 } \mathrm { c n } ^ { 2 } ( x , k ) } & { = \frac { e _ { 2 } - P \left( \frac { x - i K ^ { \prime } ( k ) } { \sqrt { e _ { 1 } - e _ { 3 } } } \right) } { e _ { 1 } - e _ { 3 } } } \\ & { = \frac { e _ { 2 } - c _ { 1 } } { e _ { 1 } - e _ { 3 } } + \partial _ { x } ^ { 2 } \log \theta _ { 1 } \left( \frac { \pi ( x - i K ^ { \prime } ( k ) ) } { 2 K ( k ) } \right) } \\ & { = \frac { e _ { 2 } - c _ { 1 } } { e _ { 1 } - e _ { 3 } } + \partial _ { x } ^ { 2 } \log \theta _ { 4 } \left( \frac { \pi x } { 2 K ( k ) } \right) } \\ & { = \frac { e _ { 2 } - c _ { 1 } } { e _ { 1 } - e _ { 3 } } + \partial _ { x } ^ { 2 } \log \Theta ( x ) , } \end{array}
t _ { 1 } ^ { \prime } < t _ { 1 } \Rightarrow C o r e ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \subseteq C o r e ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; t _ { 1 } ^ { \prime } , t _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { I _ { 6 c } ^ { ( 1 ) } } & { = - ( - 1 ) ^ { 5 } 2 4 i D \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int d \Omega _ { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times \frac { x [ l _ { E } ^ { D - 1 } \big ( - ( l _ { E } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 i l _ { E } ^ { 0 } ( y + s ) p + ( y + s ) ^ { 2 } p ^ { 2 } ) ] } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 5 } } } \\ & { = \frac { 2 i \pi ^ { D / 2 + 1 } ( D - 8 ) ( D - 6 ) } { \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) \Gamma \big ( \frac { D + 2 } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 8 - D } } - \frac { 2 i \pi ^ { D / 2 + 1 } ( D - 6 ) ( D - 8 ) ( D ^ { 2 } + 8 ) } { ( D + 2 ) ( D + 4 ) \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 8 - D } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } } & { = \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \left[ \mathbf { a } _ { n } \right] } \\ { \tilde { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } } & { = \mathbf { a } _ { n } ^ { p } } \\ { \tilde { \mathbf { a } } ^ { ( i ) } } & { = \tilde { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } + \frac { \Delta t } { 2 } p \left[ \tilde { \mathbf { a } } ^ { ( i - 1 ) } \right] ^ { 1 - p } \left( \mathcal { D } \left[ [ \tilde { \mathbf { a } } ^ { ( i - 1 ) } ] ^ { p } , t _ { n + 1 / 2 } \right] \right) } \\ { \mathbf { a } _ { n + 1 } } & { = \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \left[ 2 \tilde { \mathbf { a } } ^ { ( i t e r ) } - \tilde { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } \right] ^ { p } } \end{array} } \end{array}
= \sum _ { \mathbf { R } _ { n } } b _ { m } ^ { * } ( \mathbf { R } _ { n } ) \ \int d ^ { 3 } r \ \varphi _ { m } ^ { * } ( \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { n } ) H _ { \mathrm { a t } } ( \mathbf { r } ) \psi _ { m } ( \mathbf { r } ) + \sum _ { \mathbf { R } _ { n } } b _ { m } ^ { * } ( \mathbf { R } _ { n } ) \ \int d ^ { 3 } r \ \varphi _ { m } ^ { * } ( \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { n } ) \Delta U ( \mathbf { r } ) \psi _ { m } ( \mathbf { r } )
V _ { \mathrm { l a b } } = { \frac { { \frac { c } { n } } + v } { 1 + { \frac { { \frac { c } { n } } v } { c ^ { 2 } } } } } = { \frac { { \frac { c } { n } } + v } { 1 + { \frac { v } { c n } } } } \ .
\begin{array} { r l r l } & { \frac { 1 } { n } \log | \mathcal { M } _ { j } | \geq R _ { j } - \delta \quad \; \; \; \; \; \mathrm { f o r ~ } j \! = \! 1 , 2 \; \; } & & { \! \! \! \! \! ( \mathrm { r a t e s } ) } \\ & { \operatorname* { P r } \big [ M \neq \widehat { M } \big ] \leq \delta } & & { \! \! \! \! \! ( \mathrm { r e l i a b i l i t y } ) } \\ & { I ( M _ { 2 } ; Y _ { 2 } ^ { n } | S _ { 2 } ^ { n } ) \leq \delta } & & { \! \! \! \! \! ( \mathrm { s t r o n g ~ s e c r e c y } ) } \\ & { \mathbb { E } \big [ d _ { j } ( S _ { j } ^ { n } , \widehat { S _ { j } ^ { n } } ) \big ] \! \leq \! D _ { j } \! + \! \delta \; \; \; \; \; \; \mathrm { f o r ~ } j \! = \! 1 , 2 \; \; } & & { \! \! \! \! \! ( \mathrm { d i s t o r t i o n s } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { 2 } } & { = } & { 1 + 2 \xi + 2 \xi ^ { 2 } + \xi ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \xi ^ { 5 } + { \cal O } ( \xi ^ { 7 } ) , } \\ { \delta ^ { 2 } } & { = } & { 1 + 2 \xi - 2 \xi ^ { 2 } + \xi ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \xi ^ { 5 } + { \cal O } ( \xi ^ { 7 } ) , } \\ { \alpha } & { = } & { \xi + \frac { 1 } { 2 } \xi ^ { 3 } - \frac { 1 } { 8 } \xi ^ { 5 } + { \cal O } ( \xi ^ { 7 } ) , } \\ { \frac { k ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } & { = } & { 1 + 4 \xi + 4 \xi ^ { 2 } - 1 4 \xi ^ { 3 } + { \cal O } ( \xi ^ { 4 } ) , } \\ { \frac { \nu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } & { = } & { 4 \xi ^ { 2 } \left( 1 - 4 \xi + 1 2 \xi ^ { 2 } - 1 8 \xi ^ { 3 } + { \cal O } ( \xi ^ { 4 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { j \sigma } ^ { \dagger } } & { { } \rightarrow } & { c _ { j \sigma } ^ { \dagger } \exp ( i ( j - 1 ) \frac { \theta } { L } ) } \\ { c _ { j \sigma } } & { { } \rightarrow } & { c _ { j \sigma } \exp ( - i ( j - 1 ) \frac { \theta } { L } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { \bar { y } } } _ { q , 1 } ^ { \mathrm { { C } } } \left( { m , b } \right) = } & { \frac { 1 } { { \tilde { s } _ { m , b } ^ { 0 } { B _ { 0 } } } } \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { { B _ { 0 } } - 1 } { { { \widetilde y } } _ { q } ^ { \mathrm { C } } \left( { m , i ^ { \prime } } \right) { e ^ { - j 2 \pi \frac { { i ^ { \prime } b } } { { { B _ { 0 } } } } } } } } \\ { \approx } & { \sqrt { p _ { 0 } } { \bf { h } } _ { q , 1 } ^ { H } { { \bf { f } } _ { 0 } } \left( m \right) + { { \bar { \omega } } } _ { q , 1 } ^ { \mathrm { { C } } } \left( { m , b } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { V } _ { t } = V _ { t } ( A ^ { \top } - \Pi _ { t } ^ { \top } B B ^ { \top } ) + ( A - B B ^ { \top } \Pi _ { t } ) V _ { t } + \bar { \mu } _ { t } n _ { t } ^ { \top } B B ^ { \top } + B B ^ { \top } n _ { t } \bar { \mu } _ { t } ^ { \top } + \bar { \mu } _ { t } \bar { \mu } _ { t } ^ { \top } \bar { A } ^ { \top } + \bar { A } \bar { \mu } _ { t } \bar { \mu } _ { t } ^ { \top } + B B ^ { \top } } \\ { V _ { 0 } = \Sigma _ { 0 } + \bar { \mu } _ { 0 } \bar { \mu } _ { 0 } ^ { \top } . } \end{array} \right. } \end{array}