harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } ( t - s ) ^ { 2 q } \vert k \vert \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \ell \vert ^ { 2 q } \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell - k , k ( e ^ { t - s } - 1 ) ) \vert \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } \frac { ( t - s ) ^ { 2 q } \vert k \vert } { ( 1 + \vert k \vert ( e ^ { t - s } - 1 ) ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \ell \vert ^ { 2 q } ( 1 + \vert k \vert ( e ^ { t - s } - 1 ) ) ^ { \alpha _ { 1 } } ) \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell - k , k ( e ^ { t - s } - 1 ) ) \vert \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } \frac { ( t - s ) ^ { 2 q } \vert k \vert } { ( 1 + \vert k \vert ( e ^ { t - s } - 1 ) ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \underset { s \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \ell \vert ^ { 2 q } \, \underset { \xi } { \operatorname* { s u p } } \, ( 1 + \vert \xi \vert ^ { \alpha _ { 1 } } ) \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell - k , \xi ) \vert } \\ & { \leq \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \, \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } \frac { ( t - s ) ^ { 2 q } \vert k \vert } { ( 1 + \vert k \vert ( t - s ) ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \underset { s \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \ell + k \vert ^ { 2 q } \, \underset { \xi } { \operatorname* { s u p } } \, ( 1 + \vert \xi \vert ^ { \alpha _ { 1 } } ) \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell , \xi ) \vert , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { g _ { i j } ^ { p , \xi } } & { : = g _ { i j } - 2 p A _ { i j } + p ^ { 2 } A _ { i k } A _ { j } ^ { k } + \xi _ { i } \xi _ { j } ; } & { \ } & { [ g _ { p , \xi } ^ { i j } ] : = [ g _ { i j } ^ { p , \xi } ] ^ { - 1 } ; } \\ { \beta _ { i } ^ { p , \xi , \eta } } & { : = p A _ { i } ^ { k } X _ { k } - \xi _ { i } ( X ^ { \perp } + p + 2 \eta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ^ { + } } & { { } = \frac { 1 } { \kappa } \ln ( y + d ) ^ { + } - \frac { 1 } { \kappa } \ln R e _ { K } - \frac { 1 } { \kappa } \ln k _ { s _ { b } } ^ { + } + B _ { F R } = \frac { 1 } { \kappa } \ln \left( \frac { y + d } { R e _ { K } k _ { s _ { b } } } \right) + B _ { F R } } \end{array}
\hat { \varepsilon } ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { \frac { \vartheta ( x , y ) } { \vartheta ( y , x ) } } } & { { \mathrm { i f } \, \, x y = y x } } \\ { { \frac { \vartheta ( x , y ) \vartheta ( x , x ^ { - 1 } ) } { \vartheta ( y , x ^ { - 1 } ) } ( - 1 ) ^ { \frac { \left| x \right| ( \left| x \right| + 1 ) } { 2 } } } } & { { \mathrm { i f } \, \, x y = y x ^ { - 1 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { w = 1 } ^ { m + n } \Delta ( x _ { s , w } ) C _ { w , j } } & { = \sum _ { w = 1 } ^ { m + n } \sum _ { p , k = 1 } ^ { m + n } ( - 1 ) ^ { ( | p | + | w | ) ( | k | + | j | ) + | w | ( | k | + | j | ) + | k | ( | k | + | j | ) } ( x _ { s , p } \tilde { x } _ { k , j } ) \otimes ( x _ { p , w } \tilde { x } _ { w , k } ) } \\ & { = \sum _ { p , k = 1 } ^ { m + n } \sum _ { w = 1 } ^ { m + n } ( - 1 ) ^ { | p | ( | k | + | j | ) + | k | ( | k | + | j | ) } ( x _ { s , p } \tilde { x } _ { k , j } ) \otimes ( x _ { p , w } \tilde { x } _ { w , k } ) } \\ & { = \sum _ { p , k = 1 } ^ { m + n } ( - 1 ) ^ { ( | p | + | k | ) ( | k | + | j | ) } ( x _ { s , p } \tilde { x } _ { k , j } ) \otimes ( \sum _ { w = 1 } ^ { m + n } x _ { p , w } \tilde { x } _ { w , k } ) } \\ & { = \sum _ { p , k = 1 } ^ { m + n } ( - 1 ) ^ { ( | p | + | k | ) ( | k | + | j | ) } ( x _ { s , p } \tilde { x } _ { k , j } ) \otimes ( \delta _ { p , k } ) } \\ & { = \sum _ { p = 1 } ^ { m + n } ( - 1 ) ^ { ( | p | + | p | ) ( | p | + | j | ) } ( x _ { s , p } \tilde { x } _ { p , j } ) \otimes 1 = ( \sum _ { p = 1 } ^ { m + n } x _ { s , p } \tilde { x } _ { p , j } ) \otimes 1 = \delta _ { s , j } } \end{array}
q _ { i j } ( w _ { i j } | a _ { i j } = 1 ) = \left[ \left( \beta _ { i } ^ { o u t } + \beta _ { j } ^ { i n } \right) e ^ { - ( \beta _ { i } ^ { o u t } + \beta _ { j } ^ { i n } ) } \right] ^ { f _ { i j } } .
\begin{array} { r l } { N } & { \leq 2 3 K \cdot \operatorname* { m a x } _ { k = 1 , \ldots , K } I _ { k } \cdot d ( n + m + 1 ) } \\ & { \leq 2 3 C _ { 2 } d ^ { 2 } ( n + m + 1 ) } \\ & { \leq 2 3 C _ { 2 } d ^ { 2 } \log _ { 2 } ( 2 ^ { 7 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } d ^ { 9 } { \varepsilon } ^ { - 4 } ) } \\ & { \leq 2 3 C _ { 2 } d ^ { 2 } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 7 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) + 9 \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) } \\ & { \leq 2 3 C _ { 2 } d ^ { 2 } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 7 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) + 9 ) ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) } \\ & { = 2 3 C _ { 2 } \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 6 } 3 ^ { 4 } \mathfrak { c } ^ { 4 } ) d ^ { 2 } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) } \\ & { \leq \mathfrak { C } d ^ { 2 } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) . } \end{array}
< \psi _ { i } ( z _ { 1 } ) \psi _ { j } ( z _ { 1 } ) \psi _ { k } ( z _ { 3 } ^ { * } ) \psi _ { l } ( z _ { 3 } ^ { * } ) > = C \epsilon _ { i j k l } / ( z _ { 1 } - z _ { 3 } ^ { * } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } & { \mathrm { I d e n t i t y \ I I I : } \ } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 2 } | k | e ^ { \frac { \lambda } { 4 } k ^ { 2 } } { _ 1 F _ { 1 } } ( q + 1 ; 1 ; - \frac { \lambda } { 2 } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) e ^ { i k x } d k } \\ & { } & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } k e ^ { \frac { \lambda } { 4 } k ^ { 2 } } { _ 1 F _ { 1 } } ( q + 1 ; 1 ; - \frac { \lambda } { 2 } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) \cos ( k x ) d k } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { ( 2 m ) ! } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { \frac { \lambda } { 4 } k ^ { 2 } } { _ 1 F _ { 1 } } ( q + 1 ; 1 ; - \frac { \lambda } { 2 } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) ( k x ) ^ { 2 m } d k ^ { 2 } } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { ( 2 m ) ! } x ^ { 2 m } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { \frac { \lambda } { 4 } z } { _ 1 F _ { 1 } } ( q + 1 ; 1 ; - \frac { \lambda } { 2 } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } z ) z ^ { m } d z \ ( \mathrm { h e r e } , \ z = k ^ { 2 } ) } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { ( 2 m ) ! } x ^ { 2 m } \big ( - \frac { 4 } { \lambda } \big ) ^ { m + 1 } \Gamma ( m + 1 ) { _ 2 F _ { 1 } } ( m + 1 , q + 1 ; 1 ; 2 \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\tau _ { x } = \left[ \begin{array} { l } { \tau _ { x _ { 1 } } } \\ { \tau _ { x _ { 2 } } } \end{array} \right] \sim N \left( \left[ \begin{array} { l } { \mu _ { x _ { 1 } } } \\ { \mu _ { x _ { 2 } } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \sigma _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } } & { \nu _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } } \\ { \nu _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } } & { \sigma _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array} \right] \right) = N ( \mu , \Sigma )
\hat { g } _ { \hat { \mu } \hat { \nu } } d x ^ { \hat { \mu } } d x ^ { \hat { \nu } } = \lambda ( u ) \left[ \left( \eta _ { \mu \nu } + h _ { \mu \nu } \right) d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + d u ^ { 2 } \right] ,
m _ { \pi } ^ { 2 } \equiv \frac { \lambda } { 3 ! } ( \sigma ^ { 2 } + 2 \sigma _ { 0 } \sigma ) \; \; , \; \; \; m _ { \sigma } ^ { 2 } \equiv \frac { \lambda } { 3 ! } ( \vec { \pi } ^ { 2 } + 2 \sigma _ { 0 } ^ { \; 2 } ) \; \; .
\Gamma ( \tilde { \rho } ^ { + } \rightarrow \pi ^ { + } \pi ^ { - } \pi ^ { + } \pi ^ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 } \Gamma ( \tilde { \rho } ^ { 0 } \rightarrow \pi ^ { + } \pi ^ { - } \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) + \Gamma ( \tilde { \rho } ^ { 0 } \rightarrow \pi ^ { + } \pi ^ { - } \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } ) ,
\frac { \sqrt { 2 } G _ { F } } { x } \left( ( \overline { { { b _ { L } } } } \gamma ^ { \mu } b _ { L } ) - \frac { 2 } { 3 } \sin ^ { 2 } \phi \sin ^ { 2 } \theta ( \overline { { { b } } } \ \gamma _ { \mu } \ b ) \right) \left( \sin ^ { 2 } \beta ( \overline { { { \mu } } } _ { L } \gamma _ { \mu } \mu _ { L } ) - 2 \sin ^ { 2 } \phi \sin ^ { 2 } \theta ( \overline { { { \mu } } } \ \gamma _ { \mu } \ \mu ) \right) .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E _ { \gamma } ^ { c m } } { \partial \theta } } & { = } & { E _ { \gamma } \frac { \beta \sin { \theta } } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } } \\ { * \frac { \partial E _ { \gamma } ^ { c m } } { \partial \beta } } & { = } & { E _ { \gamma } \frac { \beta - \cos { \theta } } { \left( 1 - \beta ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } } \\ { * \frac { \partial E _ { \gamma } ^ { c m } } { \partial E _ { \gamma } } } & { = } & { \frac { 1 - \beta \cos { \theta } } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } } \end{array}
{ \mathcal { F } } _ { p h y s } = \ker \left\{ Q , Q ^ { \dagger } \right\} \cap \left\{ \Phi \in { \mathcal { F } } \mid \eta _ { \alpha \beta } h ^ { \alpha \beta } ( x ) ^ { \scriptscriptstyle ( + ) } \Phi = 0 \right\} .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \psi ( t _ { i } ^ { ( j ) } , \underline { { t } } _ { \partial i } ^ { ( i ) } ) } & { = \sum _ { x _ { i } ^ { 0 } } \gamma ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \{ s _ { l i } \} _ { l \in \partial i } } \prod _ { l \in \partial i } w ( s _ { l i } ) \mathbb { I } [ t _ { i } ^ { ( j ) } = \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \operatorname* { m i n } ( T + 1 , t _ { l } ^ { ( i ) } + s _ { l i } ) ] } \\ & { = \gamma \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , 0 } + ( 1 - \gamma ) \left[ \prod _ { l \in \partial _ { i } } \left( \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } w ( s ) \mathbb { I } [ t _ { i } ^ { ( j ) } \leq t _ { l } ^ { ( i ) } + s ] \right) - \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < T + 1 ] \prod _ { l \in \partial _ { i } } \left( \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } w ( s ) \mathbb { I } [ t _ { i } ^ { ( j ) } < t _ { l } ^ { ( i ) } + s ] \right) \right] } \\ & { = \gamma \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , 0 } + ( 1 - \gamma ) \left[ \prod _ { l \in \partial _ { i } } a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { l } ^ { ( i ) } - 1 ) - \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < T + 1 ] \prod _ { l \in \partial _ { i } } a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { l } ^ { ( i ) } ) \right] } \\ & { = \gamma ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) \left( \prod _ { l \in \partial i } a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { l } ^ { ( i ) } - 1 ) - \phi ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) \prod _ { l \in \partial i } a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { l } ^ { ( i ) } ) \right) } \end{array} } \end{array}
\bar { \mathcal { S } } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { 0 _ { M _ { O } \times M _ { O } } } & { \mathrm { d i a g } ( s ^ { \prime } ) } \\ { - \mathrm { d i a g } ( s ^ { \prime } ) } & { 0 _ { M _ { O } \times M _ { O } } } \end{array} \right) , \quad \mathcal { Q } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { 0 _ { M _ { O } \times M _ { O } } } & { X } \\ { - Y ^ { * } } & { 0 _ { M _ { O } \times M _ { O } } } \end{array} \right) .
\prod U \equiv U _ { 2 } U _ { 4 } U _ { 3 } ^ { - 1 } \cdot U _ { 3 } U _ { 5 } U _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot U _ { 1 } U _ { 6 } U _ { 2 } ^ { - 1 } \cdot U _ { 2 } U _ { 6 } ^ { - 1 } U _ { 5 } ^ { - 1 } U _ { 4 } ^ { - 1 } U _ { 2 } ^ { - 1 } = 1 .
{ \cal L } _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } B _ { \mu } ^ { * } [ - \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } ( \partial _ { \nu } + i a _ { \nu } + i C _ { \nu } ) + M g ^ { \mu \lambda } ] B _ { \lambda } + \mathrm { ~ C S ~ t e r m ~ o f } ~ a _ { \mu } \; .
\begin{array} { r l } { R ^ { \Sigma } } & { = R ^ { M } - 2 \mathrm { R i c } ^ { M } \left( \partial _ { r } , \partial _ { r } \right) \sin ^ { 2 } \theta } \\ & { + ( n - 2 ) ( n - 1 ) \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + O ( 1 ) \right) \sin ^ { 2 } \theta } \\ & { - ( n - 1 ) \left( \frac { 1 } { r } + O ( r ) \right) k \sin \theta . } \end{array}
\operatorname { s g n } ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { - 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } x < 0 , } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } x = 0 , } \\ { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } x > 0 . } \end{array} \right. }
\left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 9 7 5 2 } } & { { 0 . 2 2 1 2 } } & { { 0 . 0 0 3 0 } } \\ { { 0 . 2 2 0 9 } } & { { 0 . 9 7 4 5 } } & { { 0 . 0 3 7 8 } } \\ { { 0 . 0 1 1 3 } } & { { 0 . 0 3 6 2 } } & { { 0 . 9 9 9 3 } } \end{array} \right) _ { \lambda _ { b } = \lambda _ { t } } \qquad \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 9 7 5 2 } } & { { 0 . 2 2 1 2 } } & { { 0 . 0 0 3 3 } } \\ { { 0 . 2 2 0 9 } } & { { 0 . 9 7 4 5 } } & { { 0 . 0 3 9 5 } } \\ { { 0 . 0 1 2 0 } } & { { 0 . 0 3 7 8 } } & { { 0 . 9 9 9 2 } } \end{array} \right) _ { \lambda _ { b } \ll \lambda _ { t } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } L I S ( \sigma | _ { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } ) } \\ & { \leq } & { 5 L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) + d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) + 2 T - 1 } \\ & { } & { + \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { } & { \quad \times \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \sqrt { ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } . } \end{array}
\Gamma \propto 2 \mathrm { ~ I m } \int d ^ { 4 } x \, e ^ { - i m _ { Q } v x } \, \langle H ( v ) | T \{ \widetilde { { \cal H } } _ { e f f } ( x ) \widetilde { { \cal H } } _ { e f f } ^ { \dagger } ( 0 ) \} | H ( v ) \rangle
t ^ { \alpha \beta } = \delta ^ { \mathrm { m n } } e _ { \mathrm { m } } ^ { \mathrm { i } } { \frac { \partial \pi ^ { \alpha } } { \partial p ^ { \mathrm { i } } } } e _ { \mathrm { n } } ^ { \mathrm { j } } { \frac { \partial \pi ^ { \beta } } { \partial p ^ { \mathrm { j } } } } .
A _ { L L } ^ { ( A B ) } ( x _ { A } , x _ { B } , \hat { s } , \hat { t } , \hat { u } , \mu ^ { 2 } ) = \frac { \Delta f _ { a } ^ { A } ( x _ { A } , \mu ) } { f _ { a } ^ { A } ( x _ { A } , \mu ) } \frac { \Delta f _ { b } ^ { B } ( x _ { B } , \mu ) } { f _ { b } ^ { B } ( x _ { B } , \mu ) } \frac { \Delta \hat { \sigma } _ { a , b } ( \hat { s } , \hat { t } , \hat { u } , \mu ^ { 2 } ) } { \hat { \sigma } _ { a , b } ( \hat { s } , \hat { t } , \hat { u } , \mu ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r } { I _ { S a t } \equiv \int _ { \omega _ { L } } ^ { \omega _ { M } } I _ { \omega } d \omega \simeq \frac { \overline { { \gamma _ { L } } } } { U _ { 1 } } \omega _ { T } ^ { 3 } \epsilon _ { e f f } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ^ { * } ) - \gamma _ { k } ( \eta _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { k } ^ { * } ) } \\ & { + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ^ { * } ) - \gamma _ { k } ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon } \\ & { - \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \tau _ { t } \mathrm { K L } ( q _ { t } ^ { * } \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) + \eta _ { t } \mathrm { K L } ( p _ { t } ^ { * } \| p _ { t - 1 } ^ { * } ) + \mu _ { t } \mathrm { B i L i n } _ { f } ( p _ { t - 1 } ^ { * } - p _ { t - 2 } ^ { * } , q _ { t - 1 } ^ { * } - q _ { t } ^ { * } ) \right] } \\ & { - \gamma _ { k } \mathrm { B i L i n } _ { f } ( p _ { k } ^ { * } - p _ { k - 1 } ^ { * } , q _ { k } ^ { * } - q ) + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \mathrm { E r r } _ { p _ { t } ^ { * } } ^ { x } ( \delta _ { t , 1 } ) + \mathrm { E r r } _ { q _ { t } ^ { * } } ^ { y } ( \delta _ { t , 2 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { J = \frac 1 { 4 s ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 8 B x } & { 8 B y } & { 4 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } \\ { - 4 B ( L - 2 x ) } & { 8 B y } & { ( L - 2 x ) ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } } \\ { 2 B ( L + 4 x ) } & { B \left( 8 y - 2 \sqrt { 3 } L \right) } & { \frac { \left( L + 4 x \right) ^ { 2 } + \left( 4 y - \sqrt { 3 } L \right) ^ { 2 } } { 4 } } \\ { 2 B ( L + 4 x ) } & { 2 B \left( \sqrt { 3 } L + 4 y \right) } & { \frac { \left( L + 4 x \right) ^ { 2 } + \left( \sqrt { 3 } L + 4 y \right) ^ { 2 } } { 4 } } \end{array} \right) . } \end{array}
- \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } { \sqrt 3 \sqrt { 1 - 4 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } } \frac { M _ { Z _ { 1 } } ^ { 2 } } { M _ { Z _ { 2 } } ^ { 2 } } \leq \phi \leq \frac { \sqrt { 1 - 4 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } } { \sqrt 3 } \frac { M _ { Z _ { 1 } } ^ { 2 } } { M _ { Z _ { 2 } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \delta } & { { } = \int { \frac { { \sqrt { b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta + c ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } } \, d \beta } { { \sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta - c ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } } { \sqrt { { \bigl ( } b ^ { 2 } - c ^ { 2 } { \bigr ) } \cos ^ { 2 } \beta - \gamma } } } } } \end{array}
{ \begin{array} { c c c c c c c } { T _ { A } } & { = } & { 0 } & { : } & { \csc ^ { 2 } { \frac { B } { 2 } } } & { : } & { \csc ^ { 2 } { \frac { C } { 2 } } } \\ { T _ { B } } & { = } & { \csc ^ { 2 } { \frac { A } { 2 } } } & { : } & { 0 } & { : } & { \csc ^ { 2 } { \frac { C } { 2 } } } \\ { T _ { C } } & { = } & { \csc ^ { 2 } { \frac { A } { 2 } } } & { : } & { \csc ^ { 2 } { \frac { B } { 2 } } } & { : } & { 0 } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 0 } \nabla _ { x } \big ( \varepsilon _ { r } \nabla _ { x } { \phi } \big ) } & { = - e \left( p + n + N _ { D } ^ { + } - N _ { A } ^ { - } \right) } \\ { \nabla _ { x } \big ( \mu _ { n } n \nabla _ { x } E _ { f _ { n } } \big ) } & { = e \left( R - G \right) } \\ { \nabla _ { x } \big ( \mu _ { p } p \nabla _ { x } E _ { f _ { p } } \big ) } & { = - e \left( R - G \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { H } _ { e l } = \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } + \hat { H } _ { o n e } ( x ) + \hat { \Pi } } \\ & { \hat { H } _ { o n e } ( x ) = \epsilon _ { d _ { 1 } } ( x ) \sum _ { \sigma } d _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } d _ { 1 \sigma } + \epsilon _ { d _ { 2 } } ( x ) \sum _ { \sigma } d _ { 2 \sigma } ^ { \dagger } d _ { 2 \sigma } } \\ & { + t _ { d } \sum _ { \sigma } ( d _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } d _ { 2 \sigma } + d _ { 2 \sigma } ^ { \dagger } d _ { 1 \sigma } ) } \\ & { + \sum _ { k \sigma } \epsilon _ { k \sigma } b _ { k \sigma } ^ { \dagger } b _ { k \sigma } + \sum _ { k \sigma } V _ { k } ( d _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } b _ { k \sigma } + b _ { k \sigma } ^ { \dagger } d _ { 1 \sigma } ) } \\ & { \hat { \Pi } = U ( d _ { 1 \uparrow } ^ { \dagger } d _ { 1 \uparrow } d _ { 1 \downarrow } ^ { \dagger } d _ { 1 \downarrow } + d _ { 2 \uparrow } ^ { \dagger } d _ { 2 \uparrow } d _ { 2 \downarrow } ^ { \dagger } d _ { 2 \downarrow } ) } \\ & { \epsilon _ { d _ { 1 } } ( x ) = e _ { d _ { 1 } } - \sqrt { 2 } g x } \\ & { \epsilon _ { d _ { 2 } } ( x ) = e _ { d _ { 2 } } - \sqrt { 2 } g x } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ( R ) = } & { { } V _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ S ~ D ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ p ~ w ~ C ~ V ~ 5 ~ Z ~ + ~ b ~ f ~ } } ( R ) + \delta V _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ S ~ D ~ T ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ p ~ w ~ C ~ V ~ T ~ Z ~ } } ( R ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 6 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\left\vert I _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } _ { j , k } ) \right\vert = \left\vert \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } \left( \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) + \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \right) ( \boldsymbol { x } ) \right\vert \, .
\begin{array} { r l } { ( \varepsilon _ { a } + \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { j } ) \check { t } ^ { [ 2 ] } { } _ { i j } ^ { a b } } & { { } = \sum _ { e f } g _ { e f } ^ { a b } \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { i j } ^ { e f } + \sum _ { m n } g _ { i j } ^ { m n } \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { m n } ^ { a b } + ( 1 + P _ { b j } ^ { a i } ) \left( \sum _ { e m } 2 g _ { i e } ^ { a m } \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { m j } ^ { e b } \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \varrho ( x ) \equiv \frac { ( 2 ( \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } + \beta _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) } { ( 2 ( \beta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } + \beta _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ) } \frac { ( 4 0 ( \beta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 3 } - 9 \beta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \beta _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ) } { ( 4 0 ( \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 3 } - 9 \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \beta _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { C _ { l m } ^ { \sigma } = \frac { { g _ { l m } ^ { e } + \sigma g _ { l m } ^ { m } } } { \sqrt { 2 } } , } & { } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \boldsymbol { \Psi } _ { l m } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) = \frac { { \boldsymbol { N } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) + \sigma { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { p l } } ^ { \mathrm { v o l } } = a _ { \mathrm { v } } + b _ { \mathrm { v } } \cdot V _ { \mathrm { f r a c } } + c _ { \mathrm { v } } \cdot e ^ { d _ { \mathrm { v } } \cdot V _ { \mathrm { f r a c } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { C _ { i m , i m } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ h ~ 1 ~ p ~ } } } & { { } = \epsilon _ { i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } - \Omega _ { m } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { C _ { a m , a m } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ p ~ 1 ~ h ~ } } } & { { } = \epsilon _ { a } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } + \Omega _ { m } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } \end{array}
{ \frac { 2 B } { a ^ { 3 \gamma + 2 n } } } + { \frac { 3 ( 3 \gamma + 4 n - 2 ) k c _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi G ( 3 \gamma + 2 n - 2 ) a ^ { 2 } } } \leq { \frac { ( 3 \gamma + 4 n ) c _ { 0 } ^ { 2 } \Lambda } { 4 \pi G ( 3 \gamma + 2 n ) } } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial E } { \partial t } = S _ { \Lambda } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \int _ { 0 } ^ { \infty } f \! \left( \! \sqrt { \frac { \omega _ { 2 } } { \tilde { \omega } } } \right) \frac { \omega _ { 2 } } { \sqrt { \tilde { \omega } } } \, n _ { \omega _ { 2 } } ^ { 2 } n _ { \tilde { \omega } } ^ { 2 } \left( \partial _ { \tilde { \omega } } n _ { \tilde { \omega } } ^ { - 1 } - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } \right) d \omega _ { 2 } d \tilde { \omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta } & { { } \sim } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( 2 a _ { 1 } ( 0 . 3 6 , 0 . 7 5 ) \right) ^ { 2 } \left( 2 a _ { 1 } ( 0 . 3 6 , 1 ) \right) ^ { 2 } } \end{array}
H _ { s } = \left( \begin{array} { l l l } { H _ { A } } & { H _ { B } } & { H _ { B } ^ { T } } \\ { H _ { B } ^ { T } } & { H _ { A } } & { H _ { B } } \\ { H _ { B } } & { H _ { B } ^ { T } } & { H _ { A } } \end{array} \right)