harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- \frac { 1 } { 3 } \, \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } _ { k } \! \cdot \! \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } _ { k } \, \sum _ { l } \lambda _ { k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ^ { l } \lambda _ { k ^ { \prime \prime } k } ^ { l } I _ { l } = - \sum _ { l } \left( \lambda ^ { l } \lambda ^ { l } \right) _ { k ^ { \prime } k } \, I _ { l } .
\int \! d ^ { 4 } z \, e ^ { i k \cdot z } \, \langle p ^ { \prime } | T \phi ^ { \dagger } ( 0 ) \phi ( z ) | p \rangle = { \frac { i \sqrt { Z _ { q } } } { k ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } + i \varepsilon } } \, { \frac { i \sqrt { Z _ { q } } } { k ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } + i \varepsilon } } \, i \tilde { G } ( p \bar { q } \to p ^ { \prime } \bar { q } ^ { \prime } )
V _ { H } = \frac { \ell } { 2 \pi \xi _ { e q } } \sqrt { \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { 2 \pi } { \ell } \right) ^ { 4 } \Delta { U } ^ { 2 } - K ^ { 2 } } \exp \left( \frac { - \Delta { U } - \frac { 1 } { 8 } K \ell ^ { 2 } } { k _ { B } T } \right) ,
\frac { a _ { n } } { ( 4 \pi ) ^ { 3 / 2 } } = \operatorname * { l i m } _ { s \to \frac { 3 } { 2 } - n } \left( s + n - \frac { 3 } { 2 } \right) \zeta ( s ) \Gamma ( s ) , \quad n = 0 , 1 / 2 , 1 , \ldots \, { . }
\begin{array} { r l } { 0 \stackrel { ! } { = } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { E \left[ G + \varepsilon \delta G \right] - E \left[ G \right] } { \varepsilon } } & { = 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \, \left( \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { x , x } \left( \omega \right) + S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) \right) \times } \\ & { \hphantom { = 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } } \times \left( \left( \left| G \left( \omega \right) H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } - 1 \right) S _ { x , x } \left( \omega \right) + \left| G ( \omega ) \right| ^ { 2 } S _ { \xi , \xi } ( \omega ) \right) } \\ & { \hphantom { = 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } } \times \left( G \left( \omega \right) \delta G ^ { * } \left( \omega \right) + G ^ { * } \left( \omega \right) \delta G \left( \omega \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } v _ { f } ( t ) } & { { } = [ ( \sigma - 2 \beta ) m _ { g } ( t ) - 2 \alpha \chi ] v _ { f } ( t ) + \sigma m _ { g } ( t ) m _ { f } ^ { 2 } ( t ) , } \\ { \frac { d } { d t } v _ { g } ( t ) } & { { } = [ ( \tilde { \sigma } + 2 \gamma ) m _ { f } ( t ) - 2 \gamma \mu ] v _ { g } ( t ) + \tilde { \sigma } m _ { f } ( t ) m _ { g } ^ { 2 } ( t ) , } \end{array}
\frac { 1 } { M _ { 6 } ^ { 4 } } f _ { 0 } ( \rho ) = - \frac { 5 } { 8 M _ { 6 } ^ { 4 } } { \Lambda } + \frac { 3 } { 8 M _ { 6 } ^ { 4 } } f _ { \theta } ( \rho ) - \frac { { \left( \sigma ^ { 3 / 4 } \gamma ^ { 1 / 2 } \right) } ^ { \prime \prime } } { \sigma ^ { 3 / 4 } \gamma ^ { 1 / 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { C _ { D } = } & { \cos ^ { 2 } ( \beta ) \frac { 2 x \left( \sin { ( \beta ) } - \frac { 1 } { 2 } \omega \right) } { \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } x } - \sin { ( \beta ) } \left( \sin { ( \beta ) } - \frac { 1 } { 2 } \omega \right) ^ { 2 } \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) } \\ & { - \left( \omega ^ { 2 } \gamma _ { 0 } + \cos ^ { 2 } { ( \beta ) } \right) \frac { 2 \omega \sin ^ { 2 } { ( \beta ) } } { \left( \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } \omega \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { P } } \\ { \mathbf { M } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { 0 } \overline { { \overline { { \chi } } } } _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } } & { c _ { 0 } ^ { - 1 } \overline { { \overline { { \chi } } } } _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } } \\ { \eta _ { 0 } ^ { - 1 } \overline { { \overline { { \chi } } } } _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } } & { \overline { { \overline { { \chi } } } } _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ a ~ v ~ } } } \\ { \mathbf { H } _ { \mathrm { ~ a ~ v ~ } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { A = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { 1 } & { 2 } & { 4 } \\ { 1 } & { 2 } & { 4 } & { 7 } \\ { 2 } & { 4 } & { 7 } & { 1 3 } \\ { 4 } & { 7 } & { 1 3 } & { 2 4 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { \vec { v } _ { 1 } } & { \vec { v } _ { 2 } } & { \vec { v } _ { 3 } } & { \vec { v } _ { 4 } } \end{array} \right] , \ A ^ { T } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 2 } & { 4 } \\ { 1 } & { 1 } & { 2 } & { 4 } & { 7 } \\ { 1 } & { 2 } & { 4 } & { 7 } & { 1 3 } \\ { 2 } & { 4 } & { 7 } & { 1 3 } & { 2 4 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \vec { u } _ { 1 } } & { \vec { u } _ { 2 } } & { \vec { u } _ { 3 } } & { \vec { u } _ { 4 } } & { \vec { u } _ { 5 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { S } ( A B ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \| A B 1 _ { S } ^ { \prime } - A B 1 _ { \overline { { S } } } ^ { \prime } \| _ { 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { n } { k ^ { \prime } } \| \frac { 1 } { k } A u - \frac { 1 } { n } 1 \| _ { 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { n } { k ^ { \prime } } \| \sum \alpha _ { i } \left( \frac { 1 } { k } A W _ { i } - \frac { 1 } { n } 1 \right) \| _ { 1 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \frac { n } { k ^ { \prime } } \sum \alpha _ { i } \| \frac { 1 } { k } A W _ { i } - \frac { 1 } { n } 1 \| _ { 1 } } \\ & { \leq \mu _ { S } ( A ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } = } & { { \big \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \big \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } } \big \vert \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } \big \vert ^ { 2 } } \\ & { + \mathcal { O } \big [ ( \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } ) ^ { 3 } \big ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { * } ( a ) + \alpha \psi ( a ) } & { \geq 0 \geq x ^ { * } ( k ) + \alpha \psi ( k ) \; \; \mathrm { f o r ~ a l l ~ } a \in \mathrm { b d } _ { \tau } \, A \mathrm { ~ a n d ~ } k \in - K , } \\ { x ^ { * } ( a ) + \alpha \psi ( a ) } & { > 0 > x ^ { * } ( k ) + \alpha \psi ( k ) \; \; \mathrm { f o r ~ a l l ~ } a \in ( \mathrm { b d } _ { \tau } \, A ) \setminus \{ 0 \} \mathrm { ~ a n d ~ } k \in - K \setminus \{ 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } G ( t ^ { \alpha } , x ) \left( \int _ { 0 } ^ { t } ( t - \tau ) ^ { \alpha - 1 } \left[ S _ { \alpha } ( t - \tau ) u ^ { p } ( \tau ) \right] ( x + z ) d \tau \right) d x } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } G ( t ^ { \alpha } , x ) \left[ \int _ { 0 } ^ { t } ( t - \tau ) ^ { \alpha - 1 } \left\{ \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \theta h _ { \alpha } ( \theta ) G ( ( t - \tau ) ^ { \alpha } \theta , x + z - y ) d \theta \right) u ^ { p } ( \tau , y ) d y \right\} d \tau \right] d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } ( t - \tau ) ^ { \alpha - 1 } \left[ \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } \left\{ \int _ { 0 } ^ { \infty } \theta h _ { \alpha } ( \theta ) \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } G ( t ^ { \alpha } , x ) G ( ( t - \tau ) ^ { \alpha } \theta , x + z - y ) d x \right) d \theta \right\} u ^ { p } ( \tau , y ) d y \right] d \tau } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } ( t - \tau ) ^ { \alpha - 1 } \left\{ \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \theta h _ { \alpha } ( \theta ) G \left( t ^ { \alpha } + ( t - \tau ) ^ { \alpha } \theta , y - z \right) d \theta \right) u ^ { p } ( \tau , y ) d y \right\} d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( a ^ { M + 1 } - a ^ { M } ) b ^ { M } c ^ { M } } & { + a ^ { M } ( b ^ { M + 1 } - b ^ { M } ) c ^ { M } + a ^ { M } b ^ { M } ( c ^ { M + 1 } - c ^ { M } ) } \\ & { = a ^ { M + 1 } b ^ { M + 1 } c ^ { M + 1 } - a ^ { M } b ^ { M } c ^ { M } - ( a ^ { M + 1 } - a ^ { M } ) ( b ^ { M + 1 } - b ^ { M } ) c ^ { M + 1 } } \\ & { - ( a ^ { M + 1 } - a ^ { M } ) b ^ { M } ( c ^ { M + 1 } - c ^ { M } ) - a ^ { M } ( b ^ { M + 1 } - b ^ { M } ) ( c ^ { M + 1 } - c ^ { M } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \dot { q } _ { i } + \frac { 2 + \hat { c } _ { v } } { 1 + \hat { c } _ { v } } q _ { i } \partial _ { k } v _ { k } + \frac { 1 } { 1 + \hat { c } _ { v } } q _ { k } \partial _ { i } v _ { k } + \frac { 2 + \hat { c } _ { v } } { 1 + \hat { c } _ { v } } q _ { k } \partial _ { k } v _ { i } } + \frac { k _ { \mathrm { B } } } { m } \left\{ ( 1 + \hat { c } _ { v } ) p \delta _ { k i } + ( 2 + \hat { c } _ { v } ) ( \Pi \delta _ { k i } + \Pi _ { \langle k i \rangle } ) \right\} \partial _ { k } T } \\ & { { \quad - \frac { k _ { \mathrm { B } } } { m } T \partial _ { i } p + \frac { 1 } { \rho } \left\{ ( p - \Pi ) \delta _ { k i } - \Pi _ { \langle k i \rangle } \right\} \partial _ { l } \left\{ ( p + \Pi ) \delta _ { k l } + \Pi _ { \langle k l \rangle } \right\} = - \frac { 1 } { \tau _ { q } } q _ { i } . } } \end{array}
\alpha g _ { i } ^ { \beta } \Delta _ { i , \mathrm { o p t } } ^ { \beta \alpha - 1 } \left( \sum _ { m } g _ { m } ^ { \beta } \Delta _ { m , \mathrm { o p t } } ^ { \beta \alpha } \right) ^ { 1 / \beta - 1 } - \frac { \lambda } { \Delta _ { i , \mathrm { o p t } } \prod _ { m } \Delta _ { m , \mathrm { o p t } } } = 0 \ , \ \ i = 1 , 2 , 3 \, ,
\begin{array} { r l } { ( { \mathcal { L } } _ { X } \Lambda ) ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { r } } { } _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s } } } & { { } } \\ { = X ^ { \gamma } \Lambda ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { r } } { } _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s } , \gamma } } & { { } - \, X ^ { \alpha _ { 1 } } { } _ { , \gamma } \Lambda ^ { \gamma \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { r } } { } _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s } } - \cdots - X ^ { \alpha _ { r } } { } _ { , \gamma } \Lambda ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { r - 1 } \gamma } { } _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { i k _ { 1 \mu } { M ^ { 0 } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) = } \\ & { } & { N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 2 } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { u } } i k \! \! \! / _ { 1 } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { d } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { s } } \gamma ^ { \nu } \right] } \\ & { } & { + N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 2 } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { \mathrm { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { u } } \gamma ^ { \nu } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { d } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { s } } i k \! \! \! / _ { 1 } \right] } \\ & { } & { = i N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 2 } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } ( m _ { d } - m _ { u } ) \epsilon _ { \quad \mu \sigma } ^ { \nu \rho } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 4 i ( m _ { u } - m _ { s } ) p ^ { \mu } k _ { 1 } ^ { \sigma } + 4 i ( m _ { u } + m _ { d } ) p ^ { \mu } k _ { 2 } ^ { \sigma } + 4 i m _ { u } k _ { 1 } ^ { \mu } k _ { 2 } ^ { \sigma } } { [ p ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } ] [ ( p + k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { d } ^ { 2 } ] [ ( p - k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { s } ^ { 2 } ] } } \\ & { } & { + i N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 2 } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } ( m _ { u } - m _ { s } ) \epsilon _ { \quad \mu \sigma } ^ { \nu \rho } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 4 i ( m _ { u } - m _ { d } ) p ^ { \mu } k _ { 1 } ^ { \sigma } + 4 i ( m _ { u } + m _ { s } ) p ^ { \mu } k _ { 2 } ^ { \sigma } - 4 i m _ { u } k _ { 1 } ^ { \mu } k _ { 2 } ^ { \sigma } } { [ p ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } ] [ ( p + k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { d } ^ { 2 } ] [ ( p - k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { s } ^ { 2 } ] } . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { x \in { D \cap G } } \mathbb { E } _ { x } [ | \tau _ { D } - \tau _ { G } | ^ { p } ] \le \operatorname* { s u p } _ { x \in { D \cap G } } ( \mathbb { E } _ { x } [ | \tau _ { D } - \tau _ { G } | ] ) ^ { p } \le C _ { 1 , D } ^ { p } \operatorname* { s u p } _ { x \in D \setminus { G } } ( d ( x , \partial D ) ) ^ { p \beta _ { D } } .
\Lambda = \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \mathcal { K } _ { S } ^ { - 1 } \left( \int k ^ { f } ( \mathcal { Z } , x ) A ( x ) k ^ { f } ( x , \mathcal { Z } ) \mathrm { ~ d ~ } x \right) \mathcal { K } _ { S } ^ { - 1 } .
{ \frac { \partial P ( x , t ) } { \partial t } } = { \frac { \partial } { \partial x } } \left[ { \frac { f } { \gamma } } P ( x , t ) + { \frac { \partial } { \partial x } } \left( { \frac { k _ { B } T } { \gamma } } P ( x , t ) \right) \right]
\bigl ( \mathrm { a d } \mathscr { D } _ { t , m } \bigr ) ^ { \ell ^ { \prime } } ( \nabla ) = \bigl [ \mathscr { D } _ { t , m } , \bigl ( \mathrm { a d } \mathscr { D } _ { t , m } \bigr ) ^ { \ell ^ { \prime } - 1 } ( \nabla ) \bigr ]
\begin{array} { r l } { D _ { 0 0 } ( \omega , \pmb { r } _ { 1 2 } ) = } & { { } \frac { 1 } { r _ { 1 2 } } , \quad D _ { i 0 } = D _ { 0 i } = 0 , \quad i = 1 , 2 , 3 , } \\ { D _ { i l } ( \omega , \pmb { r } _ { 1 2 } ) = } & { { } 4 \pi \int \frac { d \pmb { k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \textrm { e x p } ( i \pmb { k } \cdot \pmb { r } _ { 1 2 } ) } { \omega ^ { 2 } - \pmb { k } ^ { 2 } + i 0 } \left( \delta _ { i l } - \frac { k _ { i } k _ { l } } { \pmb { k } ^ { 2 } } \right) , } \\ { i , l = 1 , 2 , 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n } } & { = - a v _ { I } , } \\ { P _ { t } } & { = \sum _ { m _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } } \binom { N _ { I } } { m _ { i } } y _ { i } ^ { m _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - m _ { i } } } \\ & { \mathrm { \quad } \times \sum _ { m _ { t } = 0 } ^ { N _ { T } - 1 } \binom { N _ { T } - 1 } { m _ { t } } y _ { t } ^ { m _ { t } } ( 1 - y _ { t } ) ^ { N _ { T } - 1 - m _ { t } } \Pi _ { t } ( m _ { i } ) , } \\ & { = \frac { r } { N _ { T } ( 1 - w ) } \left\{ 1 - \left[ 1 + ( w - 1 ) y _ { i } \right] ^ { N _ { I } } \right\} + v _ { T } - a v _ { T } , } \\ { P _ { u } } & { = \frac { 1 } { N _ { T } ( 1 - w ) } \left\{ 1 - \left[ 1 + ( w - 1 ) y _ { i } \right] ^ { N _ { I } } \right\} - a v _ { T } . } \end{array}
I ( \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { y ( \mathbf { x } ) - y _ { \operatorname* { m i n } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } y ( \mathbf { x } ) < y _ { \operatorname* { m i n } } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\frac { d \rho _ { + } ^ { * } } { d \langle k \rangle } = 0 \Longleftrightarrow g ( \eta ) : = - { \Big [ \beta _ { 1 } ( 1 - \eta ) + \beta _ { 2 } \eta \Big ] } ^ { 2 } - \Tilde { \Lambda } ( \eta ) \beta _ { 1 } ^ { 2 } { ( 1 - \eta ) } ^ { 2 } + \Lambda ( \eta ) \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \eta ( 1 - \eta ) = 0 ,
M _ { L L } = \frac { H ^ { 2 } } { \delta _ { 2 } \Lambda _ { R } } \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon ^ { 2 } \delta _ { 2 } } } & { { \epsilon ^ { 2 } } } & { { \epsilon ^ { \prime } \delta _ { 2 } } } \\ { { \epsilon ^ { 2 } } } & { { \epsilon \epsilon ^ { 2 } / \delta _ { 2 } } } & { { \epsilon \epsilon ^ { \prime } } } \\ { { \epsilon ^ { \prime } \delta _ { 2 } } } & { { \epsilon \epsilon ^ { \prime } } } & { { \delta _ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ U ( z ) U ( z ^ { \prime } ) \big ] } & { = \mathbb { E } \Bigg [ \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - 1 ) ^ { | \alpha | } \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) \mu _ { \alpha } ^ { t } ( d y ) ) \sum _ { | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - 1 ) ^ { | \alpha ^ { \prime } | } \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U ^ { 0 } ( x - y ) \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } ( d y ^ { \prime } ) \Bigg ] } \\ & { = \sum _ { | \alpha | , | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - 1 ) ^ { | \alpha | } ( - 1 ) ^ { | \alpha ^ { \prime } | } \partial _ { 1 } ^ { \alpha } \partial _ { 2 } ^ { \alpha ^ { \prime } } \mathbb { E } \big [ U ^ { 0 } ( x - y ) U ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \big ] \mu _ { \alpha } ^ { t } ( d y ) \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } ( d y ^ { \prime } ) } \\ & { = \sum _ { | \alpha | , | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - 1 ) ^ { | \alpha | } ( - 1 ) ^ { | \alpha ^ { \prime } | } \partial _ { 1 } ^ { \alpha } \partial _ { 2 } ^ { \alpha ^ { \prime } } k _ { \mathrm { u } } ( x - y , x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \mu _ { \alpha } ^ { t } ( d y ) \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } ( d y ^ { \prime } ) } \\ & { = \bigg [ \Big ( \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \partial ^ { \alpha } \mu _ { \alpha } ^ { t } \otimes \sum _ { | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } \Big ) * k _ { \mathrm { u } } \bigg ] ( x , x ^ { \prime } ) = [ ( \Dot { F } _ { t } \otimes \dot { F } _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { u } } ] ( x , x ^ { \prime } ) , } \end{array}
{ A _ { p p , G E } ^ { \bar { p } p } } ( s , t ) \ = \ { a _ { p p } ^ { \bar { p } p } } ( s , t ) \ + \sum _ { n _ { + } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n _ { - } = 0 } ^ { \infty } a _ { p p ; n _ { + } , n _ { - } } ^ { \bar { p } p } ( s , t ) \ ,
0 = \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } t } + \nu _ { \mathrm { ~ l ~ } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { ~ l ~ } } } { \mathrm { d } t } + \bigg ( n _ { \mathrm { ~ v ~ } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } + n _ { \mathrm { ~ l ~ } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { ~ l ~ } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \bigg ) \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } { \mathrm { d } t } .
\begin{array} { r l } { N } & { = 2 c \frac 1 { \kappa \xi \eta ^ { \gamma _ { 2 } } } j ( k _ { 0 } \pm 1 , d ) + 2 c u _ { 3 } ( d ) } \\ & { + 2 \sum _ { \vert m \vert \ge 2 } ( 2 c ) ^ { \vert m - k _ { 0 } \vert } ( w + \frac 8 { \kappa \eta \xi n ^ { 2 } } j ) ( k _ { m } , d ) } \\ & { \le c ( c \eta ) ^ { \gamma } L M , } \\ { N _ { j } } & { \le 4 ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } \frac { c ^ { 2 } } { \kappa _ { k _ { 0 } } } \frac { 4 L M } \beta \operatorname* { m i n } ( \kappa _ { k _ { 0 } } \pi d ^ { 2 } , 1 ) ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } } \\ & { \le \frac { 1 6 } \beta \operatorname* { m i n } ( \pi , \frac { c ^ { 2 } } { \kappa _ { k _ { 0 } } } ) L M . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { { L _ { 1 } } } & { { L _ { 1 / 2 } } } & { { L _ { 0 } } } & { { L _ { - 1 / 2 } } } & { { L _ { - 1 } } } \\ { { Z _ { r s } } } & { { Q _ { r } } } & { { R _ { r s } } } & { { S _ { r } } } & { { \widetilde { Z } _ { r s } } } \end{array} \, ,
x = k _ { M } a = \frac { 2 \pi a } { \lambda } \sqrt { \epsilon _ { M } } , \quad \quad x _ { p } = k _ { M } R _ { p } = \frac { 2 \pi R _ { p } } { \lambda } \sqrt { \epsilon _ { M } } , \quad \mathrm { a n d } \quad s = \frac { k _ { i n } } { k _ { M } } = \frac { \sqrt { \epsilon _ { i n } } } { \sqrt { \epsilon _ { M } } } ,
\psi \left( t , { \vec { x } } \right) \mapsto \psi ^ { c p } \left( t , { \vec { x } } \right) = { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { L } } ^ { c p } \left( t , { \vec { x } } \right) } \\ { \psi _ { \mathrm { R } } ^ { c p } \left( t , { \vec { x } } \right) } \end{array} \right) } = \eta _ { c } { \left( \begin{array} { l } { - i \sigma ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { L } } ^ { * } \left( t , - { \vec { x } } \right) } \\ { i \sigma ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { R } } ^ { * } \left( t , - { \vec { x } } \right) } \end{array} \right) }
\left\{ \begin{array} { l l } { | \nabla u ^ { + } | ^ { 2 } - | \nabla u ^ { - } | ^ { 2 } = \lambda _ { + } ^ { 2 } - \lambda _ { - } ^ { 2 } , \, | \nabla u ^ { + } | \ge \lambda _ { + } \, \mathrm { a n d } \, | \nabla u ^ { - } | \ge \lambda _ { - } } & { \mathrm { o n } \quad \Omega _ { u } ^ { + } \cap \Omega _ { u } ^ { - } \cap D \, ; } \\ { | \nabla u ^ { + } | = \lambda _ { + } } & { \mathrm { o n } \quad D \cap \Omega _ { u } ^ { + } \setminus \Omega _ { u } ^ { - } \, ; } \\ { | \nabla u ^ { - } | = \lambda _ { - } } & { \mathrm { o n } \quad D \cap \Omega _ { u } ^ { - } \setminus \Omega _ { u } ^ { + } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial } { \partial z _ { j } } \theta \right) ( \tau , \vec { z } + \boldsymbol { m } \tau + \boldsymbol { n } ) } & { = e ^ { - \pi i \tau ( \vec { m } , \vec { m } ) } e ^ { - 2 \pi i ( \vec { z } , \vec { m } ) } \left( \frac { \partial } { \partial z _ { j } } \theta \right) ( \tau , \boldsymbol { z } ) } \\ & { \quad - 2 \pi i ( G _ { L } \boldsymbol { m } ) _ { j } e ^ { - \pi i \tau ( \vec { m } , \vec { m } ) } e ^ { - 2 \pi i ( \vec { z } , \vec { m } ) } \theta ( \tau , \boldsymbol { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { H } ^ { s _ { 0 } , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) , \mathrm { H } ^ { s _ { 1 } , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) ) _ { \theta , q } = \mathrm { B } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } } & { \qquad ( \mathrm { B } _ { p , q _ { 0 } } ^ { s _ { 0 } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) , \mathrm { B } _ { p , q _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) ) _ { \theta , q } = \mathrm { B } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } p _ { g } ( w , s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) d w = \frac { \sqrt { \pi } \, \Gamma ( \frac { N } { 2 } ) } { 2 ^ { N - 1 } \mu ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } } I _ { \frac { N - 1 } { 2 } } \left( \frac { s \mu } { 2 } \right) \frac { 1 } { s ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } } } \end{array}
H ( \rho _ { f } ) = p _ { \mathrm { a t m } } \frac { \rho _ { f } } { \rho _ { f } ^ { 0 } } \Big [ \ln \Big ( \frac { \rho _ { f } } { \rho _ { f } ^ { 0 } } \Big ) - 1 \Big ] = ( p _ { \mathrm { a t m } } + p _ { f } ) \Big [ \ln \Big ( 1 + \frac { p _ { f } } { p _ { \mathrm { a t m } } } \Big ) - 1 \Big ] ,
k _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ b ~ i ~ o ~ } } \sim \frac { G ^ { 4 / 3 } \, M _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ m ~ } } ^ { 4 / 3 } \, M _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } } ^ { 4 / 3 } } { ( 4 \pi ) ^ { 4 / 3 } \, R _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } } ^ { 1 6 / 3 } \, m _ { p } ^ { 1 / 2 } \, T _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ m ~ p ~ } } ^ { 2 3 / 6 } }
( 1 + q ^ { 2 } + q ^ { - 2 } ) Q _ { - } Q _ { + } Q _ { - } ^ { 2 } - ( 1 + q ^ { 2 } + q ^ { - 2 } ) Q _ { - } ^ { 2 } Q _ { + } Q _ { - } + Q _ { - } ^ { 3 } Q _ { + }
\begin{array} { r l } { F _ { x , J } } & { = - \frac { g M \left( k _ { m } + \frac { \chi ^ { 2 } } { 1 - k _ { m } } - \chi ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { J } \right) \sec \theta _ { J } \sin ( \alpha + \theta _ { J } ) } { k _ { m } + \frac { \chi ^ { 2 } } { 1 - k _ { m } } + 1 + 2 \chi \cos \theta _ { J } } \, , } \\ { F _ { y , J } } & { = - \frac { g M \chi ( 1 + \chi \cos \theta _ { J } ) \tan \theta _ { J } \sin ( \alpha + \theta _ { J } ) } { k _ { m } + \frac { \chi ^ { 2 } } { 1 - k _ { m } } + 1 + 2 \chi \cos \theta _ { J } } \, . } \end{array}
\ln \, d _ { 0 } \approx \ln \left[ \mu ( 1 + \frac { \sigma } { \mu } z _ { 0 } ) \right] = \ln \, \mu + \frac { \sigma } { \mu } z _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } z _ { 0 } ^ { 2 } + \dots ,