harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathsf { \Pi } _ { [ [ s r ] _ { J } , [ p q ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } } & { { } = \frac { ( - 1 ) ^ { J } \Pi _ { S _ { A } } } { C _ { S _ { B } \Sigma , K 0 } ^ { S _ { A } \Sigma } } \sum _ { \pi \theta \sigma \rho \tau } ( - 1 ) ^ { \tau } \, \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { j } _ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = - \langle \varphi _ { v , \textbf { k } _ { 0 } } ( t _ { 0 } ) | \hat { K } _ { H } ( t _ { 0 } , t ) \left[ \hat { \textbf { p } } + \textbf { A } ( t ) \right] \hat { K } _ { H } ( t , t _ { 0 } ) | \varphi _ { v , \textbf { k } _ { 0 } } { ( t _ { 0 } ) } \rangle , } \\ & { = - \sum _ { m , n } \langle \varphi _ { v , \textbf { k } _ { 0 } } ( t _ { 0 } ) | \hat { K } _ { H } ( t _ { 0 } , t ) | \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle \textbf { p } _ { m n } ^ { \textbf { k } _ { 0 } + \textbf { A } ( t ) } \langle \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \hat { K } _ { H } ( t , t _ { 0 } ) | \varphi _ { v , \textbf { k } _ { 0 } } ( t _ { 0 } ) \rangle . } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } \int _ { r _ { \Lambda } } \omega ^ { \mu } n _ { \mu } e ^ { U } \; r ^ { 2 } \sin { \theta } \; d \theta \; d \tau \; d \phi = \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 \pi } .
H ( x _ { t } ) = { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { x _ { t } ^ { 2 } \log x _ { t } } { ( x _ { t } - 1 ) ^ { 3 } } } + { \frac { x _ { t } ^ { 2 } - 1 1 x _ { t } + 4 } { 4 ( x _ { t } - 1 ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { m i n } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { s } } } ( l ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \tilde { \rho } ^ { n } } } & { \geq H _ { \mathrm { m i n } } ^ { p _ { \mathrm { e c } } \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / 3 } ( l ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } } \\ & { + \log _ { 2 } [ p _ { \mathrm { e c } } ( 1 - \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / 3 ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \int { \cal D } [ P + \delta P ] e ^ { i { \cal S } _ { K } [ P + \delta P ] / \hbar } - \int { \cal D } [ P ] e ^ { i { \cal S } _ { K } [ P ] / \hbar } = \int { \cal D } [ P ] e ^ { i { \cal S } _ { K } [ P ] / \hbar } \int _ { C } d t \left( \frac { i } { \hbar } \frac { \delta { \cal S } _ { K } } { \delta P ( t ) } \right) \delta P ( t ) , } \end{array}
\prod _ { i = 1 } ^ { N } | x _ { i } | ^ { \alpha _ { i } } | 1 - x _ { i } | ^ { \beta _ { i } } \prod _ { 1 \leq j < k \leq N } ( x _ { k } - x _ { j } ) ^ { 2 \gamma _ { j , k } } | \mathrm { d } x _ { 1 } \cdots \, \mathrm { d } x _ { N } | \in C ^ { \infty } ( \triangle _ { \ell , m , n } ^ { \circ } ; \Omega \triangle _ { \ell , m , n } ^ { \circ } )
\begin{array} { r l } { P _ { ( m ^ { k } ) } ( y _ { 1 } ^ { - 1 } , . . . , y _ { k + 1 } ^ { - 1 } ) e _ { k + 1 } ^ { m } ( y _ { 1 } , . . . , y _ { k + 1 } ) } & { = \sum _ { \mu } c _ { \mu ^ { \prime } } \prod _ { j = 1 } ^ { \ell ( \mu ^ { \prime } ) } e _ { k + 1 - \mu _ { j } ^ { \prime } } ( y _ { 1 } , . . . , y _ { k + 1 } ) } \\ & { = \sum _ { \mu } c _ { \mu ^ { \prime } } e _ { \tilde { \mu ^ { \prime } } } ( y _ { 1 } , . . . , y _ { k + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { t _ { \ell } } & { = } & { \frac { 1 } { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ( 1 + \varepsilon _ { S S l } ) } \, \log \left( 1 + \frac { k _ { - 1 } + k _ { 2 } } { k _ { 2 } } ( 1 + \varepsilon _ { S S l } ) \cdot \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { e f f } } + i \Delta _ { \mathrm { e f f } } = - [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { 0 0 , 0 0 } + \frac { [ \mathrm { ~ \bf ~ K ~ } ] _ { 0 1 , 0 0 } ^ { 2 } } { \nu _ { \vec { v } } } - \frac { [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { 1 0 , 0 0 } ^ { 2 } } { \nu _ { v ^ { 2 } } } \; .
\begin{array} { l l l } { { { } [ J _ { 1 } , J _ { 2 } ] = i J _ { 3 } \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ { } [ J _ { 2 } , J _ { 3 } ] = i J _ { 1 } \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ { } [ J _ { 3 } , J _ { 1 } ] = i J _ { 2 } \, , } } \\ { { { } } } & { { { } } } & { { { } } } \\ { { { } [ K _ { 1 } , K _ { 2 } ] = - i K _ { 3 } \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ { } [ K _ { 2 } , K _ { 3 } ] = i K _ { 1 } \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ { } [ K _ { 3 } , K _ { 1 } ] = i K _ { 2 } \, , } } \end{array}
\| \partial _ { j k } ( f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) v ) \| _ { L ^ { 2 } } \lesssim \frac { \| \partial _ { j } v \| _ { L ^ { 4 } } \| \partial _ { k } v \| _ { L ^ { 4 } } } { \varepsilon ^ { 1 - 2 \sigma } } + \| v \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 \sigma } \| \partial _ { j k } v \| _ { L ^ { 2 } } \leq \frac { C ( \| v \| _ { H ^ { 2 } } ) } { \varepsilon ^ { 1 - 2 \sigma } } ,
D _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } ( x - y ) = \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { - i \cdot 4 ^ { n } } { p ^ { 4 n } ( p ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) } \bigg ( g _ { \mu \nu } - \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { M ^ { 2 } } \bigg ) e ^ { - i p \cdot ( x - y ) } \, .
{ \begin{array} { r l } { { \hat { H } } } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \hat { T } } _ { n } + { \hat { V } } } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { \mathbf { \hat { p } } _ { n } \cdot \mathbf { \hat { p } } _ { n } } { 2 m _ { n } } } + V ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } , t ) } \\ & { = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { m _ { n } } } \nabla _ { n } ^ { 2 } + V ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } , t ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \rangle } & { { } = \langle \hat { V } \rangle - \operatorname { T r } [ \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \Sigma _ { t } ] / 2 + \operatorname { T r } [ \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \Sigma _ { t } ] / 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } + \rho \partial _ { k } v _ { k } } & { { } = 0 , } \\ { \rho \dot { v } _ { i } + \partial _ { j } \left[ ( p + \Pi ) \delta _ { i j } + \Pi _ { \langle i j \rangle } \right] } & { { } = 0 _ { i } , } \\ { \rho \dot { e } + \left[ ( p + \Pi ) \delta _ { i j } + \Pi _ { \langle i j \rangle } \right] \partial _ { i } v _ { j } + \partial _ { i } q _ { i } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { x } } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n + 1 } x ^ { n } \zeta ( n + 1 ) } \\ { H _ { x , 2 } } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n + 1 } ( n + 1 ) x ^ { n } \zeta ( n + 2 ) } \\ { H _ { x , 3 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n + 1 } ( n + 1 ) ( n + 2 ) x ^ { n } \zeta ( n + 3 ) . } \end{array}
\boldsymbol { \psi } ( x , t = 0 ) = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \left( \cos \frac { x } { \hbar } + \sin \frac { x } { \hbar } \boldsymbol { i } + \cos \frac { x } { \hbar } \boldsymbol { j } + \sin \frac { x } { \hbar } \boldsymbol { k } \right) ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ i ~ } \, \mathcal { I } _ { _ { S C } } \, \mu = < \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \boldsymbol { \hat { \mathcal { F } } } _ { 3 } ^ { F } > = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( r / 2 \right) \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \, r \mathrm { ~ d ~ } r , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { N } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { D } | \Sigma | ^ { 1 / 2 } } \exp ( - \frac { 1 } { 2 } { \bf x } ^ { \dagger } \Sigma ^ { - 1 } { \bf x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } ^ { \mathrm { n } ^ { \prime } } ( t ) } & { = \mathbf { H } _ { \mathrm { c o r e } } ^ { \mathrm { n } ^ { \prime } } + \mathbf { J } ^ { \mathrm { n n } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } ^ { \prime } } ( t ) ) + \mathbf { V } _ { \mathrm { x c } } ^ { \mathrm { n } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } ^ { \prime } } ( t ) ) } \\ & { - \mathbf { J } ^ { \mathrm { n e } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } ^ { \prime } } ( t ) ) + \mathbf { V } _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { n e } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } ^ { \prime } } ( t ) , \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } ^ { \prime } } ( t ) ) } \end{array}
\tilde { \cal A } _ { u } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ { { { \frac { - 1 / 2 } { 1 - u ^ { 2 } } } } } & { { { \frac { 2 u } { 1 - u ^ { 2 } } } } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { N _ { t t } ^ { ( 1 ) } - \mathscr { N } N _ { x } ^ { ( 1 ) } } & { { } = ( U ^ { ( 0 ) } U _ { x } ^ { ( 0 ) } ) _ { x } - \left[ \mathscr { L } , \mathscr { N } N ^ { ( 0 ) } \right] N _ { x } ^ { ( 0 ) } - ( N ^ { ( 0 ) } U ^ { ( 0 ) } ) _ { x t } . } \end{array}
\sigma \left( 1 \right) = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \qquad \sigma \left( u \right) = { \left[ \begin{array} { l l } { u } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \qquad \sigma \left( u ^ { 2 } \right) = { \left[ \begin{array} { l l } { u ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } .
\iint \frac { | \nabla \mathbb { P } ( x _ { I } , x _ { J } ) | ^ { 2 } } { \mathbb { P } ( x _ { I } , x _ { J } ) } d x _ { I } d x _ { J } \geq \int \frac { | \nabla _ { J } \mathbb { P } _ { J } ( x _ { J } ) | ^ { 2 } } { \mathbb { P } _ { J } ( x _ { J } ) } d x _ { J } + \int \frac { | \nabla _ { I } \mathbb { P } _ { I } ( x _ { I } ) | ^ { 2 } } { \mathbb { P } _ { I } ( x _ { I } ) } d x _ { I } .
\Im m \widehat { \Pi } _ { ( W W ) } ^ { H H } ( q ^ { 2 } ) \ = \ \frac { \alpha _ { w } } { 1 6 } \frac { M _ { H } ^ { 4 } } { M _ { W } ^ { 2 } } \Big ( 1 - \frac { 4 M _ { W } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \, \Big ) ^ { 1 / 2 } \, \Big [ \, 1 + 4 \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { M _ { H } ^ { 2 } } - 4 \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { M _ { H } ^ { 4 } } ( 2 q ^ { 2 } - 3 M _ { W } ^ { 2 } ) \, \Big ] \, .
\begin{array} { r l } { \Vec { F } ^ { s , p } } & { = \int _ { \nu _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \nu _ { \mathrm { m a x } } } \left( \int _ { \Lambda L _ { y } } \left( ( \overline { { \overline { { T } } } } _ { \nu , i j } ^ { s , p } \cdot d \vec { S } ) _ { z = - z _ { 0 } } + ( \overline { { \overline { { T } } } } _ { \nu , i j } ^ { s , p } \cdot d \vec { S } ) _ { z = + z _ { 0 } } \right) \right) d \nu } \\ & { = L _ { y } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } \big ( ( - T _ { x x } - T _ { z z } ) _ { z = - z _ { 0 } } + ( T _ { x x } + T _ { z z } ) _ { z = + z _ { 0 } } \big ) d x } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { m , n } ^ { \mathrm { ~ P ~ D ~ } } ( t ) = \sqrt { \frac { 1 } { m ! n ! } \frac { ( \kappa t ) ^ { m + n } } { ( \kappa t + 1 ) ^ { m + n + 1 } } } c ^ { \dagger m } \left( \frac { 1 } { 1 + \kappa t } \right) ^ { c ^ { \dagger } c } c ^ { n } . } \end{array}
d \sigma ( A B \to H X ) = \sum _ { a b } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 1 } \, d x _ { 2 } \, f _ { a / A } ( x _ { 1 } ) \, f _ { b / B } ( x _ { 2 } ) \, \sum _ { n } d \hat { \sigma } _ { a b } [ n ] \langle { \mathcal O } _ { n } ^ { H } \rangle .
\mathrm { ~ A ~ o ~ A ~ } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ f ~ f ~ e ~ t ~ } } - 0 . 0 5 ^ { \circ } < \mathrm { ~ A ~ o ~ A ~ } < \mathrm { ~ A ~ o ~ A ~ } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ f ~ f ~ e ~ t ~ } } + 0 . 0 5 ^ { \circ }
\hat { \tilde { p } } _ { r } ( k , s | x _ { 0 } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r ^ { n } e ^ { i k c ^ { n } x _ { 0 } } \prod _ { l = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { r + s + D c ^ { \alpha l } | k | ^ { \alpha } } .
\begin{array} { r l } { \frac { K } { 2 } \partial _ { s } \ln \left[ 1 + a _ { 1 1 } + \frac { 5 } { 2 } a _ { 0 0 } ^ { ( 1 ) } \right] = } & { { } \frac { 4 } { 3 } \Bigg [ \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 2 0 } + \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 0 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int d { \bf r } \, \Delta v ( { \bf r } ) \, \bar { \rho } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \int d { \bf r } \Delta v ( { \bf r } ) \left( \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } \rho _ { 0 } + . . . \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { s \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; s ) \rangle _ { E } } & { = \tilde { \rho } _ { ( } k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t = 0 ) - \frac { i 2 J ( \cos k _ { 1 } - \cos k _ { 2 } ) } { \hbar } \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; s ) \rangle _ { E } } \\ & { - \frac { 2 g ( 0 ) } { s \hbar ^ { 2 } } \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; s ) \rangle _ { E } } \\ & { + \frac { g ( 0 ) } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \left( \frac { \langle \tilde { \rho } ( q , q + k _ { 2 } - k _ { 1 } ; s ) \rangle _ { E } } { s } + \frac { \langle \tilde { \rho } ( q + k _ { 1 } - k _ { 2 } , q ; s ) \rangle _ { E } } { s } \right) d q . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { n + 1 } ^ { ( j ) } } & { = \omega _ { n } ^ { ( j ) } \frac { 1 - \eta \left[ \nabla f _ { m } \left( \omega _ { n } \right) \right] _ { j } + O ( \eta ^ { 2 } ) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \omega _ { t } ^ { ( l ) } \left\{ 1 - \eta \left[ \nabla f _ { m } \left( \omega _ { n } \right) \right] _ { l } \right\} + O ( \eta ^ { 2 } ) } = \omega _ { n } ^ { ( j ) } \frac { 1 - \eta \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { n } ^ { ( m ) } \right) ( \mu ^ { ( j ) } ) + O ( \eta ^ { 2 } ) } { 1 - \eta _ { t } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \omega _ { n } ^ { ( l ) } \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { n } ^ { ( m ) } \right) ( \mu ^ { ( j ) } ) + O ( \eta ^ { 2 } ) } } \\ & { = \omega _ { n } ^ { ( j ) } \frac { 1 - \eta \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { n } ^ { ( m ) } \right) ( \mu ^ { ( j ) } ) + O ( \eta ^ { 2 } ) } { 1 + \eta + O ( \eta ^ { 2 } ) } = \omega _ { n } ^ { ( j ) } \frac { \left[ 1 - \eta \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { n } ^ { ( m ) } \right) ( \mu ^ { ( j ) } ) + O ( \eta ^ { 2 } ) \right] \left( 1 - \eta \right) } { 1 + O ( \eta ^ { 2 } ) } } \\ & { = \omega _ { n } ^ { ( j ) } \left\{ 1 - \eta \left[ 1 + \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { n } ^ { ( m ) } \right) ( \mu ^ { ( j ) } ) \right] + O ( \eta ^ { 2 } ) \right\} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P _ { 0 } ^ { ( N ) } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , \ldots , \xi _ { N } ) } & { = { \frac { 1 } { Z _ { 0 } ^ { ( N ) } } } e ^ { - \beta { \mathcal { H } } _ { 0 } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , \ldots , \xi _ { N } ) } } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { Z _ { 0 } } } e ^ { - \beta h _ { i } ( \xi _ { i } ) } \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \prod _ { i = 1 } ^ { N } P _ { 0 } ^ { ( i ) } ( \xi _ { i } ) , } \end{array} }
\Delta \chi ^ { 2 } \, = \, \chi ^ { 2 } - \chi _ { 0 } ^ { \, 2 } \, = \, \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \, H _ { i j } \, ( a _ { i } - a _ { i } ^ { 0 } ) \, ( a _ { j } - a _ { j } ^ { 0 } )
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { B } } = \frac { \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { A } } } { \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { A } } + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { B } } + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } } , } \\ { N _ { \mathrm { A } } = \frac { \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { B } } + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } } { \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { A } } + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { B } } + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } } . } \end{array}
\chi ( v _ { k } , v _ { j } ) = { \frac { 1 } { 2 4 \pi i } } \oint _ { { \cal C } _ { 0 } } v _ { k } { \cal S } _ { f } ^ { ( 3 ) } v _ { j } = { \frac { j ^ { 3 } - j } { 1 2 } } \delta _ { k , - j } ,
0 . 2 5 1 0 \phi ( 6 d _ { 3 / 2 } ^ { 1 } d _ { 5 / 2 , 0 } ^ { 2 } ) + 0 . 2 3 2 7 \phi _ { 2 } ( 6 d _ { 3 / 2 } ^ { 1 } d _ { 5 / 2 , 2 } ^ { 2 } ) - 0 . 0 7 2 7 \phi ( 6 d _ { 5 / 2 } ^ { 3 } )
\begin{array} { r } { \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { 0 } } ^ { \mathbf { C } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { { b } _ { 0 } } , 0 } ^ { \mathbf { C } } } \cdot s ^ { \mathbf { D D } } \cdot \left( \ln \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { 0 } } ^ { \mathbf { C } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { { b } _ { 0 } } , 0 } ^ { \mathbf { C } } } \cdot s ^ { \mathbf { D D } } - \ln \mathbf { C } \right) = ( \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { C } } \cdot \mathbf { e } _ { 4 } ) \cdot \ln \frac { \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { C } } \cdot \mathbf { e } _ { 4 } } { \mathbf { C } } = - \frac { 1 } { 2 } \ln ( 4 \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 2 } ) } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \langle | \delta \mathbf { z } ^ { \pm } | ^ { 2 } \rangle = - \mathbf { \nabla } _ { \boldsymbol { \ell } } \cdot \langle \delta \mathbf { z } ^ { \mp } | \delta \mathbf { z } ^ { \pm } | ^ { 2 } \rangle + 2 \nu \nabla _ { \boldsymbol { \ell } } ^ { 2 } \langle | \delta \mathbf { z } ^ { \pm } | ^ { 2 } \rangle - 4 \epsilon ^ { \pm }
\Delta \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } = \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) - \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , 2 )
\langle F \rangle = \frac { 1 } { \Delta V } \int _ { \Delta { V } } d ^ { 3 } \Vec { R } ^ { \prime } \frac { 1 } { \Delta \hat { V } } \int _ { \Delta \hat { V } } d ^ { 3 } \Vec { R } \frac { 1 } { J _ { \Vec { R } } } \frac { N _ { p h } } { N _ { m } } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { m } } w _ { p } \delta ( \Vec { R } - \Vec { R } _ { p } ) \delta ( \Vec { v } - \Vec { v } _ { p } ) X \; \; .
L _ { \alpha \beta } \quad = \quad 2 \left( p _ { \alpha } p _ { \beta } ^ { \prime } \; + \; p _ { \beta } p _ { \alpha } ^ { \prime } \; - \; g _ { \alpha \beta } \, p \cdot p ^ { \prime } \; - \; i \, \epsilon _ { \alpha \beta \mu \nu } p ^ { \mu } p ^ { \prime \nu } \right) ,
\frac { \kappa } { \gamma } = - \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } - 1 } x _ { n } \frac { x _ { n + 1 } - x _ { n } } { \Delta t } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } - 1 } [ x _ { n } ] ^ { 2 } } \, , \quad \quad D = \frac { \Delta t } { 2 ( N _ { \mathrm { s } } - 1 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } - 1 } \left( \frac { x _ { n + 1 } - { x _ { n } } } { \Delta t } + \frac { \kappa } { \gamma } x _ { n } \right) ^ { 2 } \, .
\left( \Omega ^ { 2 } \mathbf { \hat { m } } + \Omega \left( \omega _ { m } \mathbf { Q _ { 1 } } \circ \mathbf { \hat { m } } - i c \mathbf { I } \right) + \omega _ { m } ^ { 2 } \mathbf { Q _ { 2 } } \circ \mathbf { \hat { m } } - k \mathbf { I } - i c \omega _ { m } \mathbf { Q _ { 3 } } \right) \mathbf { \hat { v } } = \mathbf { F } + \mathbf { \hat { F } } ,
R \equiv { \frac { C _ { l } ^ { ( T ) } } { C _ { l } ^ { ( S ) } } } = { \frac { 2 5 } { 9 } } \Big ( 1 + { \frac { 4 8 \pi ^ { 2 } } { 3 8 5 } } \Big ) \, 2 \epsilon \simeq - 2 \pi \, n _ { T } \, .
\frac { \left\| \varepsilon _ { K / 2 } \right\| } { \left\| \varepsilon _ { K } \right\| } = 2 ^ { p } + O ( \Delta x ) \Rightarrow l o g _ { 2 } \left( \frac { \left\| \varepsilon _ { K / 2 } \right\| } { \left\| \varepsilon _ { K } \right\| } \right) = p + O ( \Delta x )
\begin{array} { r } { a ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { a ^ { - } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi < 0 , } \\ { a ^ { + } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi \geq 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ \Sigma _ { c } ^ { \lessgtr } \right] _ { \mu \nu , \sigma \sigma ^ { \prime } } ( i \tau ) = i G _ { \kappa \lambda , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { \lessgtr } ( i \tau ) c _ { \mu \kappa \alpha } \widetilde { W } _ { \alpha \beta } ( i \tau ) c _ { \nu \lambda \beta } \; ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { j } \nabla _ { i } h ^ { 1 1 } = } & { \nabla _ { j } ( - h ^ { 1 p } h ^ { q 1 } \nabla _ { i } b _ { p q } ) } \\ { = } & { - \nabla _ { j } h ^ { 1 p } h ^ { 1 q } \nabla _ { i } b _ { p q } - h ^ { 1 p } \nabla _ { j } h ^ { 1 q } \nabla _ { i } b _ { p q } - h ^ { 1 p } h ^ { 1 q } \nabla _ { j } \nabla _ { i } b _ { p q } } \\ { = } & { h ^ { 1 r } h ^ { 1 p } h ^ { q 1 } \nabla _ { j } b { 1 r } \nabla _ { i } b _ { p q } + h ^ { 1 p } h ^ { r 1 } h ^ { q s } \nabla _ { j } b _ { s r } \nabla _ { i } b _ { p q } - h ^ { 1 p } h ^ { q 1 } \nabla _ { j } \nabla _ { i } b _ { p q } } \\ { = } & { - ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } \nabla _ { j } \nabla _ { i } b _ { 1 1 } + 2 ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } h ^ { p l } \nabla _ { i } b _ { 1 p } \nabla _ { j } b _ { 1 l } . } \end{array}
\left( \frac { n _ { u } ( Z ) } { \widetilde { n _ { 0 } } ( Z ) } \! - \! 1 \! \right) \left( \frac { \widetilde { n _ { 0 } } ( Z ) \, \big [ s ^ { { \scriptscriptstyle ( 1 ) } } ( l , Z ) \big ] ^ { 3 } } { n _ { d } ( Z ) } \right) ^ { 1 / 4 } < 1 ,
\vec { u } _ { S T } ^ { \prime } = \vec { \underline { { A } } } \cdot \sqrt { 6 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sqrt { q ^ { n } } \left[ \vec { \sigma } ^ { n } \cos \left( k ^ { n } \vec { d ^ { n } } \cdot \vec { r } ^ { \prime } + \phi ^ { n } + s ^ { n } \frac { t ^ { \prime } } { \tau } \right) \right] \quad ,
\begin{array} { r l } { { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \left[ \begin{array} { l } { G S } \\ { W C } \end{array} \right] \} , { \mathrm { s p a n } } \{ \left[ \begin{array} { l } { Y } \\ { Z } \end{array} \right] \} ) } & { = \underset { E \in \mathbb { R } ^ { p \times p } } { \operatorname* { m i n } } \left\| \left[ \begin{array} { l } { G S } \\ { W C } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { Y } \\ { Z } \end{array} \right] E \right\| } \\ & { = \underset { E \in \mathbb { R } ^ { p \times p } } { \operatorname* { m i n } } \left\| \left[ \begin{array} { l } { G S - Y E } \\ { W C - Z E } \end{array} \right] \right\| } \\ & { \geq \underset { E \in \mathbb { R } ^ { p \times p } } { \operatorname* { m i n } } \left\| G S - Y E \right\| } \\ & { = \underset { E \in \mathbb { R } ^ { p \times p } } { \operatorname* { m i n } } \left\| G - Y E S ^ { - 1 } \right\| \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( S ) . } \end{array}
G = \sum _ { \mu } d V ^ { \mu } \left( d U ^ { \mu } + \sum _ { \nu } \alpha _ { \mu \nu } d V ^ { \nu } + \sum _ { i } \beta _ { \mu i } d Y ^ { i } \right) + \sum _ { i , j } C _ { i j } d Y ^ { i } d Y ^ { j } ~ ,
\gamma \sin \theta _ { \mathrm { L G } } + \gamma _ { \mathrm { b l } } \sin \theta _ { \mathrm { B L } } = [ \gamma + \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ( h _ { p } , \zeta _ { \mathrm { w r } } ) ] \sin \theta _ { \mathrm { B G } } .
\begin{array} { r } { \mathcal { J } _ { \mathrm { S M } } ( \theta ; \lambda ( \cdot ) ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } _ { \mathbf { x } \sim p _ { t } } \left[ \lambda ( t ) \left| \left| s _ { \theta } ( \mathbf { x } , t ) - \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t } ( \mathbf { x } ) \right| \right| _ { 2 } ^ { 2 } \right] d t , } \end{array}
\left( 1 + \mu \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { t ^ { * } } \geq \sqrt { \frac { \rho \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 ( 1 + \delta _ { 1 } ) r _ { * } } } \cdot \alpha ^ { - 1 } \Rightarrow t ^ { * } \geq \frac { \log \alpha ^ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \log \frac { \rho \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 ( 1 + \delta _ { 1 } ) r _ { * } } } { \log \left( 1 + \mu \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { 2 } \right) }
\begin{array} { l l } { P ( + 1 | 6 , 1 , 0 , \frac { \pi } { 2 } ) = \frac { 2 5 9 2 } { 2 5 9 2 + 1 2 8 + 2 5 9 2 } = 0 . 4 8 7 9 5 1 8 1 } \\ { P ( 0 | 6 , 1 , 0 , \frac { \pi } { 2 } ) = \frac { 1 2 8 } { 2 5 9 2 + 1 2 8 + 2 5 9 2 } = 0 . 0 2 4 0 9 6 3 9 } \\ { P ( - 1 | 6 , 1 , 0 , \frac { \pi } { 2 } ) = \frac { 2 5 9 2 } { 2 5 9 2 + 1 2 8 + 2 5 9 2 } = 0 . 4 8 7 9 5 1 8 1 } \end{array}