harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 } \phi ^ { \prime \prime \prime } ( t ) } & { = \int S ^ { 3 } ( x ) F _ { \theta _ { t } , y } ( x ) d \mu ( x ) - \left( \int S ^ { 2 } ( x ) F _ { \theta _ { t } , y } ( x ) d \mu ( x ) \right) \left( \int S ( x ) F _ { \theta _ { t } , y } ( x ) d \mu ( x ) \right) } \\ & { - 2 \int S ( x ) F _ { \theta _ { t } , y } ( x ) d \mu ( x ) \left[ \int S ^ { 2 } ( x ) F _ { \theta _ { t } , y } ( x ) d \mu ( x ) - \left( \int S ( x ) F _ { \theta _ { t } , y } ( x ) d \mu ( x ) \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathcal { P T } } ^ { 2 } = 0 } & { \iff \left( d _ { R , x } ^ { \mathcal { P T } } \right) ^ { 2 } + \left( d _ { R , z } ^ { \mathcal { P T } } \right) ^ { 2 } = \left( d _ { I , y } ^ { \mathcal { P T } } \right) ^ { 2 } , } \\ { E _ { \mathrm { p s H } } ^ { 2 } = 0 } & { \iff \left( d _ { I , y } ^ { \mathrm { p s H } } \right) ^ { 2 } + \left( d _ { I , z } ^ { \mathrm { p s H } } \right) ^ { 2 } = \left( d _ { R , x } ^ { \mathrm { p s H } } \right) ^ { 2 } , } \\ { E _ { \mathrm { C S } } ^ { 2 } = 0 } & { \iff \left( d _ { R , x } ^ { \mathrm { C S } } \right) ^ { 2 } + \left( d _ { R , y } ^ { \mathrm { C S } } \right) ^ { 2 } = \left( d _ { I , z } ^ { \mathrm { C S } } \right) ^ { 2 } , } \\ { E _ { \mathcal { C P } } ^ { 2 } = 0 } & { \iff \left( d _ { I , x } ^ { \mathcal { C P } } \right) ^ { 2 } + \left( d _ { I , y } ^ { \mathcal { C P } } \right) ^ { 2 } = \left( d _ { R , z } ^ { \mathcal { C P } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
a _ { \ell } = b _ { \ell } = i \sigma c _ { \ell } \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array} { l r } { A _ { \ell } ( R ) = \sigma B _ { \ell } ( R ) . } \\ { A _ { \ell } ( L ) = - \sigma B _ { \ell } ( L ) . } \end{array} \right\}
\begin{array} { r } { q _ { \phi } ( w ) = \mathcal { N } \left( w \middle | m _ { w } , \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( \sigma _ { w _ { 1 } } ^ { 2 } , \dots , \sigma _ { w _ { d _ { w } } } ^ { 2 } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { 1 } ( b , c ) } & { = } & { \frac { 1 } { d } ( b ^ { \top } c ) , } \\ { \rho _ { 2 } ( b , c ) } & { = } & { \frac { 1 } { d ( d + 2 ) } \left( 2 ( b ^ { \top } c ) ^ { 2 } + 1 \right) - \frac 1 { d ^ { 2 } } , } \\ { \rho _ { 3 } ( b , c ) } & { = } & { \frac { 1 } { d ( d + 2 ) ( d + 4 ) } \left( 6 ( b ^ { \top } c ) ^ { 3 } + 9 ( b ^ { \top } c ) \right) , } \\ { \rho _ { 4 } ( b , c ) } & { = } & { \left( 2 4 ( b ^ { \top } c ) ^ { 4 } + 7 2 ( b ^ { \top } c ) ^ { 2 } + 9 \right) \prod _ { j = 0 } ^ { 3 } ( d + 2 j ) ^ { - 1 } - \frac 9 { d ^ { 2 } ( d + 2 ) ^ { 2 } } , } \\ { \rho _ { 5 } ( b , c ) } & { = } & { \left( 1 2 0 ( b ^ { \top } c ) ^ { 5 } + 6 0 0 ( b ^ { \top } c ) ^ { 3 } + 2 2 5 ( b ^ { \top } c ) \right) \prod _ { j = 0 } ^ { 4 } ( d + 2 j ) ^ { - 1 } , } \\ { \rho _ { 6 } ( b , c ) } & { = } & { \left( 7 2 0 ( b ^ { \top } c ) ^ { 6 } + 5 4 0 0 ( b ^ { \top } c ) ^ { 4 } + 4 0 5 0 ( b ^ { \top } c ) ^ { 2 } + 2 2 5 \right) \prod _ { j = 0 } ^ { 5 } ( d + 2 j ) ^ { - 1 } - \frac { 2 2 5 } { d ^ { 2 } ( d + 2 ) ^ { 2 } ( d + 4 ) ^ { 2 } } , } \end{array}
| M _ { [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] } ^ { i } | \leq A _ { [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] } ^ { i } \; \; \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; \; \; M _ { [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] } ^ { i } = A _ { [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] } ^ { i } \; \; \; \; \mathrm { m o d } \; \; 2 \; \; \; \; .
\mathbf { J } _ { \mathbf { F } } ( r , \varphi ) = { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial x } { \partial r } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \varphi } } } \\ { { \frac { \partial y } { \partial r } } } & { { \frac { \partial y } { \partial \varphi } } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos \varphi } & { - r \sin \varphi } \\ { \sin \varphi } & { r \cos \varphi } \end{array} \right] }
\psi ( x , z ; t ) \propto e ^ { i \beta _ { v } \Delta k _ { z } ( z - \widetilde { v } t ) } \; \mathrm { s i n c } \left( \frac { \Delta k _ { z } } { \pi } \sqrt { x ^ { 2 } + ( z - \widetilde { v } t ) ^ { 2 } } \right) ,
F _ { 3 \pi } ( s , t ) = C ( t ) + \frac { 1 } { \pi } \int _ { 4 M _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } d s ^ { \prime } \frac { \mathrm { I m } F _ { 3 \pi } ( s ^ { \prime } , t ) } { s ^ { 2 } } \left( \frac { s ^ { 2 } } { s ^ { \prime } - s } + \frac { u ^ { 2 } } { s ^ { \prime } - u } \right) ,
\begin{array} { r l } { \delta ^ { 2 } S _ { n } = } & { - \frac { \hbar ^ { 2 } \tau _ { n } } { \mu } ( { \bf P } - P _ { x } \hat { x } ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } } { \partial P _ { n } ^ { 2 } } \bar { P } ^ { 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } } { \partial t _ { n } ^ { 2 } } \bar { t } ^ { 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( \tau ) } } { \partial \tau _ { n } ^ { 2 } } \delta \tau ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r } \left( r ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial r } \overline { { \phi } } _ { j } ( r ) \right) } & { = } & { \ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( r ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { \phi } } _ { j } } { \partial r ^ { 2 } } ( r ) + 2 r \frac { \partial \overline { { \phi } } _ { j } } { \partial r } ( r ) \right) } \\ & { } & { = } & { \ \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { \phi } } _ { j } } { \partial r ^ { 2 } } ( r ) + \frac { 2 } { r } \frac { \partial \overline { { \phi } } _ { j } } { \partial r } ( r ) } \\ & { } & { = } & { \ \frac { 1 } { r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } \left( r \overline { { \phi } } _ { j } ( r ) \right) } \end{array}
e _ { ( i ) } ^ { k } = \kappa _ { { \bf x } } \delta _ { i } ^ { k } - i R ^ { - 1 } \varepsilon _ { i k l } x ^ { l } \quad , \quad e _ { ( i ) } ^ { 0 } = e _ { ( 0 ) } ^ { i } = 0 \quad , \quad e _ { ( 0 ) } ^ { 0 } = 1 .
\begin{array} { r l r } { { \partial _ { t } f } + V ( p ) { \partial _ { q } f } } & { = } & { 0 , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \Delta t / 2 } \\ { { \partial _ { t } f } + U ( q ) { \partial _ { p } f } } & { = } & { 0 , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \Delta t / 2 } \\ { { \partial _ { t } f } - \mathcal { L } ( q , p ) } & { = } & { 0 , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \Delta t } \\ { { \partial _ { t } f } + U ( q ) { \partial _ { p } f } } & { = } & { 0 , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \Delta t / 2 } \\ { { \partial _ { t } f } + V ( p ) { \partial _ { q } f } } & { = } & { 0 , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \Delta t / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { | \Delta \hat { Y } _ { n } | ^ { 2 } + } & { ( 1 - \lambda _ { 2 } ) \Delta t _ { n } | \Delta \hat { Z } _ { n } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } ( 1 - \lambda _ { 3 } ) \Delta t _ { n } | \Delta \hat { \Gamma } _ { n } | ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ | \Delta \hat { Y } _ { n + 1 } | ^ { 2 } + 2 \Delta \hat { Y } _ { n + 1 } \Delta f _ { n } \Delta t _ { n } \right. } \\ & { \left. + \left( 1 + \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } + \frac { \lambda _ { 3 } ^ { - 1 } } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \int _ { E } \gamma ^ { 2 } ( e ) \lambda ( d e ) \right) \Delta t _ { n } ^ { 2 } | \Delta f _ { n } | ^ { 2 } \right\} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { 4 } ( J _ { 0 } , M _ { 0 } ) } & { { } = } & { \frac { 3 ( 5 M _ { 0 } ^ { 2 } - J _ { 0 } ^ { 2 } - 2 J _ { 0 } ) ( 5 M _ { 0 } ^ { 2 } + 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ) } { J _ { 0 } ( J _ { 0 } - 1 ) ( 2 J _ { 0 } - 1 ) ( 2 J _ { 0 } - 3 ) } } \end{array}
\langle \psi _ { L } ^ { - } ( p ) | \tilde { T } _ { S } ( p ) | \psi _ { L } ^ { + } ( p ) \rangle = - \frac { 4 \pi } { M } e ^ { 2 i \delta _ { L } ( p ) } \frac { e ^ { 2 i \tilde { \delta } _ { S } ( p ) } - 1 } { 2 i p } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \Omega } p \, \nabla \cdot { \mathbf u } \, \mathrm { d } V = - \int _ { \Omega } K ^ { - 1 } ( K \, \nabla p ) \cdot \mathbf { u } \, \mathrm { d } V + \oint _ { \partial \Omega } p \, ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } ) \, \mathrm { d } S , } \\ & { } & { \int _ { \Omega } \mathbf { u } \cdot ( \nabla \times \mathbf { v } ) \, \mathrm { d } V = \int _ { \Omega } K ^ { - 1 } ( K \nabla \times \mathbf { u } ) \cdot \mathbf { v } \, \mathrm { d } V + \oint _ { \partial \Omega } ( \mathbf { u } \times \mathbf { v } ) \cdot \mathbf { n } \, \mathrm { d } S , } \end{array}
m = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { \omega } ^ { 2 } } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt { 8 } } s _ { 2 \omega } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 8 } } s _ { 2 \omega } } } \\ { { - \frac { 1 } { \sqrt { 8 } } s _ { 2 \omega } } } & { { \frac { 1 } { 2 } s _ { \omega } ^ { 2 } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } s _ { \omega } ^ { 2 } } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 8 } } s _ { 2 \omega } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } s _ { \omega } ^ { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } s _ { \omega } ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\mathrm { { P S } } \otimes \left[ H ^ { \mathrm { ( L O ) } } + \alpha _ { s } \left( H ^ { \mathrm { { ( N L O ) } } } - { \mathrm { P S } } _ { I } ( 1 ) \otimes H ^ { \mathrm { ( L O ) } } - { \mathrm { P S } } _ { F } ( 1 ) \otimes H ^ { \mathrm { ( L O ) } } \right) \right] .
\hat { \mathcal E } ( t , w , y ) = \left( 1 + \frac { ( { e } ^ { - 2 \, \beta \, t } - 1 ) \, { w } ^ { 2 } } { { k } ^ { 2 } + { w } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { \lambda } { 2 \beta } } { { e } ^ { { \frac { w \left( { \mathrm { e } ^ { - \beta \, t } } - 1 \right) \left( w { \sigma } ^ { 2 } ( { { e } ^ { - \beta \, t } } + 1 ) + 4 \, i B \right) } { 4 \beta } } - i w e ^ { - \beta t } y } } .
\begin{array} { r } { { { \mathbf { I } } _ { \mathbf { u } } } = j \omega { ( { { \mathbf { Z } } _ { \mathbf { u } } } - j \omega { { \mathbf { L } } _ { { \mathbf { u u } } } } ) ^ { - 1 } } { \mathbf { M } } { } _ { { \mathbf { u T } } } { { \mathbf { I } } _ { { \mathbf { T x } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( r \, g ( x ) - q _ { 1 } y _ { 1 } - q _ { 2 } y _ { 2 } - \hdots \hdots - q _ { n } y _ { n } \right) , } \\ { \dot { y } _ { 1 } } & { = } & { y _ { 1 } \left( c _ { 1 } q _ { 1 } x - \mu _ { 1 } - m _ { 1 1 } y _ { 1 } - m _ { 1 2 } y _ { 2 } - \hdots \hdots - m _ { 1 n } y _ { n } \right) , } \\ { \dot { y } _ { 2 } } & { = } & { y _ { 2 } \left( c _ { 2 } q _ { 2 } x - \mu _ { 2 } - m _ { 2 1 } y _ { 1 } - m _ { 2 2 } y _ { 2 } - \hdots \hdots - m _ { 2 n } y _ { n } \right) , } \\ & { \vdots } & \\ { \dot { y } _ { n } } & { = } & { y _ { n } \left( c _ { n } q _ { n } x - \mu _ { n } - m _ { n 1 } y _ { 1 } - m _ { n 2 } y _ { 2 } - \hdots \hdots - m _ { n n } y _ { n } \right) , } \\ & { } & { n > 0 \mathrm { , ~ } x ( 0 ) > 0 \mathrm { , ~ } y _ { 1 } ( 0 ) > 0 \mathrm { , ~ } y _ { 2 } ( 0 ) > 0 \mathrm { , ~ } \hdots \hdots \mathrm { , ~ } y _ { n } ( 0 ) > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { t + 1 } ( k _ { p } , k _ { n } , b _ { p } , b _ { n } ) = \mu _ { t } ( k _ { p } , k _ { n } , b _ { p } , b _ { n } ) + \delta ( k _ { p } , k _ { n } , b _ { p } , b _ { n } ) . } \end{array}
\langle x \rangle ( t ) = \langle x \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } + \big ( \langle x \rangle ( 0 ) - \langle x \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } \big ) e ^ { - \langle I \rangle ( 1 - \alpha _ { 0 } ) t } ,
\begin{array} { r l } { N \Delta _ { 1 } f _ { n } ( x , \theta ) = } & { { } - N ( N - 1 ) \int _ { - \pi } ^ { \pi } \int _ { P _ { 1 } ( x , \theta , \theta _ { 1 } ) } f _ { 2 , n } ( x , \theta , x _ { 1 } , \theta _ { 1 } ) \, d x _ { 1 } d \theta _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } ) } & { = } & { R _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \Psi } ) \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { L R } } R _ { \mathrm { L R } } ( - { \it \Delta \Psi } ) } \\ & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { \mathrm { e } ^ { - i \it \Delta \phi } } \\ { \mathrm { e } ^ { i \it \Delta \phi } } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { a } _ { x } ( \omega ) } & { { } = } & { | \tilde { a } _ { x } ( \omega ) | e ^ { i \gamma _ { x } ( \omega ) } \; = \; \frac { 1 } { ( t _ { f } - t _ { i } ) \; \omega ^ { 2 } } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } e ^ { - i \omega t } a _ { x } ( t ) \; d t } \\ { \tilde { a } _ { y } ( \omega ) } & { { } = } & { | \tilde { a } _ { y } ( \omega ) | e ^ { i \gamma _ { y } ( \omega ) } \; = \; \frac { 1 } { ( t _ { f } - t _ { i } ) \; \omega ^ { 2 } } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } e ^ { - i \omega t } a _ { y } ( t ) \; d t , } \end{array}
N _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \Omega _ { s } \rho _ { s } \leq m _ { \operatorname* { m i n } } , } \\ { 2 \lceil \frac { \rho _ { s } N _ { r } } { 2 ( \rho - \rho ^ { h } + \rho ^ { h } e ^ { - \Delta t / \tau } ) } \rceil , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \Omega _ { s } \rho _ { s } > m _ { \operatorname* { m i n } } , } \end{array} \right.
\nu ^ { - 1 } = 2 - { \frac { m n + 2 } { 6 } } u ^ { \ast } + { \frac { ( m - 1 ) ( n - 1 ) } { 6 } } v ^ { \ast } + { \frac { 3 ( m - 1 ) } { 4 } } \alpha ^ { \ast } + O ( \epsilon ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j } } { M _ { R } } _ { \boldsymbol x _ { \ge j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } } \left( { M _ { R } } _ { \boldsymbol x _ { \ge j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } ^ { \prime } } \right) ^ { * } } & { = \sum _ { x _ { j } } \sum _ { \alpha _ { j } , \alpha _ { j } ^ { \prime } } M _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } \alpha _ { j } } \left( M _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } ^ { \prime } \alpha _ { j } ^ { \prime } } \right) ^ { * } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j + 1 } } { M _ { R } } _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j + 1 } } ^ { \alpha _ { j } } \left( { M _ { R } } _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j + 1 } } ^ { \alpha _ { j } ^ { \prime } } \right) ^ { * } } \\ & { = \sum _ { x _ { j } } \sum _ { \alpha _ { j } , \alpha _ { j } ^ { \prime } } M _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } \alpha _ { j } } \left( M _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } ^ { \prime } \alpha _ { j } ^ { \prime } } \right) ^ { * } \delta _ { \alpha _ { j } , \alpha _ { j } ^ { \prime } } } \\ & { = \sum _ { x _ { j } , \alpha _ { j } } M _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } \alpha _ { j } } \left( M _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } ^ { \prime } \alpha _ { j } } \right) ^ { * } } \\ & { = \delta _ { \alpha _ { j - 1 } , \alpha _ { j - 1 } ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } \right) } & { { } = \operatorname { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot P _ { t } \cdot Q _ { t } ^ { - 1 } \right) = \operatorname { T r } ( \dot { Q } _ { t } \cdot Q _ { t } ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { - ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( t ^ { 5 } \cdot u ) } & { = - ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( t ^ { 5 } ) \cdot u + P ^ { 1 } ( t ^ { 5 } ) P ^ { 1 } ( u ) } \\ & { = ( t ^ { 9 } + t ^ { 7 } c _ { 2 } ) \cdot u } \\ { - ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( t ^ { 2 } c _ { 3 } \cdot u ) } & { = - ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( t ^ { 2 } ) c _ { 3 } \cdot u + P ^ { 1 } ( t ^ { 2 } ) P ^ { 1 } ( c _ { 3 } \cdot u ) - t ^ { 2 } ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( c _ { 3 } \cdot u ) } \\ & { = t ^ { 6 } c _ { 3 } \cdot u } \\ { - ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( t c _ { 2 } ^ { 2 } \cdot u ) } & { = - ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( t c _ { 2 } \cdot u ) c _ { 2 } + P ^ { 1 } ( t c _ { 2 } \cdot u ) P ^ { 1 } ( c _ { 2 } ) - P ^ { 1 } P ^ { 1 } ( c _ { 2 } ) ( t c _ { 2 } \cdot u ) } \\ & { = - P ^ { 1 } ( t ^ { 3 } c _ { 2 } \cdot u ) c _ { 2 } + t ^ { 3 } c _ { 2 } ^ { 3 } \cdot u + t c _ { 2 } ^ { 4 } \cdot u } \\ & { = - t ^ { 3 } P ^ { 1 } ( c _ { 2 } \cdot u ) + t ^ { 3 } c _ { 2 } ^ { 2 } \cdot u + t c _ { 2 } ^ { 4 } u } \\ & { = t ^ { 3 } c _ { 2 } ^ { 2 } \cdot u + t c _ { 2 } ^ { 4 } \cdot u } \\ { - ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( c _ { 2 } c _ { 3 } \cdot u ) } & { = - ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( c _ { 3 } \cdot u ) c _ { 2 } + P ^ { 1 } ( c _ { 3 } \cdot u ) P ^ { 1 } ( c _ { 2 } ) - ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( c _ { 2 } ) ( c _ { 3 } \cdot u ) } \\ & { = - ( P ^ { 1 } P ^ { 1 } ) ( c _ { 2 } ) c _ { 3 } \cdot u } \\ & { = c _ { 2 } ^ { 3 } c _ { 3 } \cdot u . } \end{array}
a _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { n _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 } } } c _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 } ^ { \dagger } M ( { \bf { k } } , { \bf { q } } ) c _ { { \bf { k } } + { \bf { q } } / 2 }
S _ { E } ( \phi ) = S _ { E } ( \phi _ { 0 } ) + \int d ^ { 4 } x \sqrt { g } \frac { 1 } { \sqrt { g } } \left. \frac { \delta S _ { E } } { \delta \phi } \right\vert _ { \phi _ { 0 } } \delta \phi ( \sigma ) + \frac { 1 } { 2 } \int \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } x ^ { \prime } \left. \frac { \delta ^ { 2 } S _ { E } } { \delta \phi ( x ) \delta \phi ( x ^ { \prime } ) } \right\vert _ { \phi _ { 0 } } \delta \phi ( x ) \delta \phi ( x ^ { \prime } ) .
h ^ { \ast } \leq \sqrt [ ] { \frac { \gamma \varepsilon ^ { 4 } } { 8 \pi } } \left( 1 + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \left( \frac { \gamma + 1 } { \gamma \log { ( { h ^ { \ast } } ^ { - 1 } ) } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right) } \right) ,
H _ { q } = k \left( \frac { \langle n \rangle } { k v } \right) ^ { k } \frac { \frac { v } { 1 - q } F ( 1 , 1 ; 2 - q ; v ) + \ln ( k v / \langle n \rangle ) } { F ( 1 , k ; 1 - q ; v ) } ,
\chi ( \uparrow ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \, \left( \begin{array} { r } { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \qquad \mathrm { a n d } \qquad \chi ( \downarrow ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \, \left( \begin{array} { r } { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { - 1 } } \end{array} \right) .
| \nabla W _ { \epsilon } ( R , Z ) - \nabla A ( \rho ) | + | W _ { \epsilon } ( R , Z ) - A ( \rho ) | \, \le \, C \epsilon ^ { \gamma _ { 1 } } A ( \rho ) \, , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } ~ \, \rho \le \epsilon ^ { - \sigma _ { 1 } } \, ,
\mathrm { l n } ( \Lambda _ { b } ) \equiv \mathrm { l n } \left[ \frac { 2 { \gamma } ^ { 2 } m _ { e } v _ { p } ^ { 2 } } { \bar { I } ( Z , A ) } \right] - { \beta } ^ { 2 } - \frac { C _ { K } } { A } - \frac { \delta } { 2 } ,
f _ { n } ^ { 2 } = \frac { \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } } } { R _ { 0 } \cos ^ { 2 } \tau } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \left\{ C _ { m } ^ { 1 } \left( \ddot { C } _ { n - m } ^ { 2 } - n ( n - m ) C _ { n - m } ^ { 2 } + \frac { 2 \sin \tau } { \cos \tau } \dot { C } _ { n - m } ^ { 2 } \right) + \dot { C } _ { m } ^ { 1 } \dot { C } _ { n - m } ^ { 2 } \right\}
H _ { 1 , 1 2 } = R _ { 1 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } + \underbrace { R _ { 1 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } + R _ { 2 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } _ { \nabla \cdot \mathbf { u } = 0 } + R _ { 2 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } = R _ { 1 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } + R _ { 2 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } ,
\rho { = } \int _ { { - } { \infty } } ^ { { \infty } } { \frac { d \varepsilon } { { 2 } \pi } \left[ { \mathcal { G } } ^ { R } \left( \varepsilon \right) i { \hslash } { \mathit { \Sigma } } ^ { { < } } \left( \varepsilon \right) { \mathcal { G } } ^ { A } \left( \varepsilon \right) \right] }
\frac { e ^ { \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t - \ell \left( t \right) ) } } { M \left( t \right) } E _ { \ell } \left( t \right) \leq \mathcal { S } _ { \eta } \leq \frac { e ^ { \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t _ { 0 } + \ell \left( t _ { 0 } \right) ) } } { m \left( t _ { 0 } \right) } E _ { \ell } \left( t _ { 0 } \right)
\begin{array} { r } { \left\| f _ { \sigma } ( H - x I ) \left| \psi \right\rangle \right\| ^ { 2 } = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } p _ { j } f _ { \sigma } ^ { 2 } ( E _ { j } - x ) \approx p _ { 0 } f _ { \sigma } ^ { 2 } ( E _ { 0 } - x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { \mathcal { Y } } ( \mathcal { U } , \mathcal { V } ) } & { \geq \frac { \delta } { 4 } ( \mathfrak { A } _ { 0 } - \delta ) \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } { y ^ { \alpha } ( 1 + y ) ^ { 1 - \alpha } \| \nabla \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \; d y } } \\ & { \qquad + \Big ( s d _ { \beta } - \delta ( 1 - \alpha ) \Big ) \| \mathrm { t r _ { 0 } } \mathcal { U } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } e ^ { - \lambda _ { i } H } C _ { i } ( s ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \mathscr { E } _ { i } ( s ) e ^ { - \lambda _ { i } H } ( D + \lambda _ { i } ) I _ { i } ( s , z = - H )
\alpha _ { n } : = \operatorname* { m a x } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \| \mu _ { k } \| _ { 3 } ^ { 3 } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } , \quad \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \| \mu _ { k } \| ^ { 2 } } { n _ { k } ^ { 2 } \bar { N } _ { k } ^ { 2 } } \right\} \bigg / \bigg ( \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| \mu _ { k } \| ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \left| \int \widehat { \widehat { K } } ( - \xi - \xi ^ { \prime } , \eta + \xi ^ { \prime } ) \widehat { \mu _ { m } } ( \xi ^ { \prime } + k t ) d \xi ^ { \prime } \right| \lesssim e ^ { - \lambda | \eta - \xi | ^ { s _ { 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \P ( Y _ { n } \leq y , \, N _ { n } ( B _ { 1 } ) \leq l _ { 1 } , \ldots , \, N _ { n } ( B _ { k } ) \leq l _ { k } ) } & { = \P ( { Y } \leq y , \, { N } ( B _ { 1 } ) \leq l _ { 1 } , \ldots , \, { N } ( B _ { k } ) \leq l _ { k } ) } \\ & { = \P ( { Y } \leq y ) \P ( { N } ( B _ { 1 } ) \leq l _ { 1 } , \ldots , \, { N } ( B _ { k } ) \leq l _ { k } ) } \end{array}
H _ { 0 } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } x \left( B _ { a } ^ { i j } F _ { i j } ^ { a } - A _ { i } ^ { a } A _ { a } ^ { i } + \left( \partial ^ { i } B _ { 0 i } ^ { a } \right) \left( \partial _ { j } B _ { a } ^ { 0 j } \right) \right) \equiv \int d ^ { 3 } x \, h _ { 0 } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r c l } { { G } } & { { = } } & { { ( \varphi ( x ) \varphi ( y ) ) \star i \Delta ( z , m ^ { 2 } ) + i \Delta ( z , m ^ { 2 } ) \star ( \varphi ( y ) \varphi ( x ) ) } } \\ { { } } & { { } } & { { + \varphi ( x ) \star _ { x } i \Delta ( z , m ^ { 2 } ) \star _ { y } \varphi ( y ) + \varphi ( y ) \star _ { y } i \Delta ( z , m ^ { 2 } ) \star _ { x } \varphi ( x ) , } } \end{array}
4 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 4 } \} - 8 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} - 4 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} | ^ { 2 } - \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} | ^ { 2 } - \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 }
f _ { i } ^ { * } ( { \bf { x } } , t ) = { f _ { i } } ( { \bf { x } } , t ) - { \Lambda _ { i , k } } [ { f _ { k } } - f _ { k } ^ { e q } ] { | _ { ( { \bf { x } } , t ) } } + \frac { { \Delta t } } { 2 } [ { \bar { F } _ { i } } ( { \bf { x } } , t ) + { \bar { F } _ { i } } ( { \bf { x } } + { { \bf { e } } _ { i } } \Delta t , t + \Delta t ) ] ,
\begin{array} { r l } & { ( \mu \lambda \vert \nu \kappa ) \approx \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \in \mathcal { Q } } w _ { i } A _ { \mu \lambda i } \Phi _ { \nu i } \Phi _ { \kappa i } + ( \mu \lambda \leftrightarrow \nu \kappa ) \, , } \\ & { A _ { \mu \lambda i } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } \, \frac { \phi _ { \mu } ( \vec { r } ) \phi _ { \lambda } ( \vec { r } ) } { \vert \vec { r } - \vec { r } _ { i } \vert } , } \end{array}