harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \eta _ { \pm 1 } } & { { } = } & { \left( 2 \nu \textrm { s i n c \, } { \Phi } \left[ \cos ( \xi _ { \mathsf { S } } + \varphi _ { 0 } / 2 ) \cos \Phi - \xi _ { \mathsf { G } } \sin ( \xi _ { S } + \varphi _ { 0 } / 2 ) \textrm { s i n c \, } { \Phi } \right] \right) ^ { 2 } } \\ { \nu } & { { } = } & { \frac { \beta n _ { \pm 1 } d _ { \mathsf { G } } } { 2 n _ { 0 } \sqrt { c _ { 0 } c _ { \pm 1 } } } } \\ { \xi _ { \ell } } & { { } = } & { \frac { d _ { \ell } \beta ( c _ { 0 } - c _ { \pm 1 } ) } { 2 } ; \ell = \mathsf { G , S } } \\ { \Phi } & { { } = } & { \sqrt { \nu ^ { 2 } + \xi _ { \mathsf { G } } ^ { 2 } } } \\ { c _ { 0 } } & { { } = } & { \cos ( \theta ) , \quad c _ { \mp 1 } = \sqrt { 1 - ( \sin \theta \pm G / \beta ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ \ln ( X ) ] } & { { } = \psi ( \alpha ) - \psi ( \alpha + \beta ) = - \operatorname { E } \left[ \ln \left( { \frac { 1 } { X } } \right) \right] , } \\ { \operatorname { E } [ \ln ( 1 - X ) ] } & { { } = \psi ( \beta ) - \psi ( \alpha + \beta ) = - \operatorname { E } \left[ \ln \left( { \frac { 1 } { 1 - X } } \right) \right] . } \end{array}
L = m e \dot { x } - s \epsilon _ { \mu \nu \lambda } e ^ { \mu } n ^ { \nu } \dot { n } { } ^ { \lambda } - \frac { \sigma } { 2 } ( e ^ { 2 } + 1 ) - \frac { \rho } { 2 } ( n ^ { 2 } - 1 ) - \omega ( e n ) .
\begin{array} { r l } { \overline { { \omega } } _ { + 1 } ( n ) } & { = k _ { - 1 } n \frac { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } \, , } \\ { \overline { { \omega } } _ { - 1 } ( n + 1 ) } & { = k _ { + 1 } n \frac { ( n + 1 ) ( k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n ) } { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } \, , } \\ { \overline { { \omega } } _ { + 2 } ( n + 1 ) } & { = k _ { - 2 } \frac { ( n + 1 ) ( k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n ) } { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } \, , } \\ { \overline { { \omega } } _ { - 2 } ( n ) } & { = k _ { + 2 } \frac { k _ { - 2 } + k _ { + 1 } n } { k _ { + 2 } + k _ { - 1 } n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { X = \left[ \begin{array} { l } { s _ { 1 } } \\ { r _ { 1 } } \\ { s _ { 2 } } \\ { r _ { 2 } } \\ { s _ { 3 } } \\ { r _ { 3 } } \end{array} \right] \mathrm { ~ i s ~ a ~ s o l u t i o n ~ i f f } \left[ \begin{array} { l } { 0 . 3 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 . 7 } \end{array} \right] \leq \left[ \begin{array} { l } { s _ { 1 } } \\ { r _ { 1 } } \\ { s _ { 2 } } \\ { r _ { 2 } } \\ { s _ { 3 } } \\ { r _ { 3 } } \end{array} \right] \leq \left[ \begin{array} { l } { 0 . 3 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 . 8 } \\ { 1 } \\ { 0 . 7 } \end{array} \right] . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { - p _ { 0 } a u _ { 3 } i + p _ { x } j a u _ { 3 } i } } \\ { { p _ { y } a u _ { 3 } i + p _ { z } j a u _ { 3 } i } } \\ { { p _ { 0 } a u _ { 1 } i - p _ { x } j d u _ { 1 } i + p _ { y } a u _ { 2 } i - p _ { z } j d u _ { 1 } i } } \end{array} \right) = m \; \left( \begin{array} { c } { { u _ { 1 } } } \\ { { u _ { 2 } } } \\ { { u _ { 3 } } } \end{array} \right)
g \colon ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , \ldots , x _ { 4 } ) \mapsto ( \alpha ^ { n _ { 0 } } x _ { 0 } , \alpha ^ { n _ { 1 } } x _ { 1 } , \ldots , \alpha ^ { n _ { 4 } } x _ { 4 } ) ,
\begin{array} { r } { I _ { f , 2 } ^ { k } = \int \mathrm { A } _ { k } ( \eta ) \overline { { \mathcal { F } _ { 2 } \mathbf { D } _ { u , k } ( \mathcal { F } _ { 1 } \Omega ) } } _ { k } ( \eta ) \mathrm { A } _ { k } ( \eta ) \mathcal { F } _ { 2 } \Big ( \mathbf { D } _ { u , k } \left( \mathcal { F } _ { 1 } \Big ( \mathrm { U } \cdot \nabla _ { z , v } \Omega \Big ) \right) ( t , k , \cdot ) \Big ) ( \eta ) d \eta } \end{array}
W _ { \mathrm { c r i t } } = \left. \left( \operatorname* { m a x } _ { \tau \in \left[ 0 , t \right] } \left( W _ { \mathrm { e } } ^ { + } \right) + W _ { \mathrm { p } } \right) \right| _ { G _ { s } = G _ { c r i t } } ,
\begin{array} { r l r } { s ^ { i j } } & { { } = } & { \frac { P ^ { i j } - Q ^ { i j } } 3 \varepsilon + \frac { 4 S - 5 A } { 3 0 } u ^ { i j } + R ^ { i j k l } u _ { k l } + } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - b \cdot \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { m ! ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { [ ( m + 2 ) ! ] ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { h ^ { 2 ( m + 1 ) } } } \cdot \Gamma ( m + 3 / 2 ) \cdot { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } } } \\ & { } & { = { \frac { - b } { 1 6 h ^ { 2 } } } \cdot [ 1 - _ { 3 } F _ { 2 } ( { \frac { 3 } { 2 } } , 1 , 1 ; 3 , 3 ; - { \frac { 1 } { h ^ { 2 } } } ) ] . } \end{array}
x = x _ { s } \displaystyle \frac { \left( 1 - e _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } { e _ { 1 } } ; \quad n = n _ { s } \frac { e _ { 1 } \left( 1 - e _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } { e _ { 2 } \left( 1 - e _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } .
\begin{array} { r } { t _ { c } = \frac { \left[ \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { k } _ { \parallel } } - \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma ( { \mathbf { k } _ { \parallel } } ) } { 2 } \right] ^ { 2 } } { ( \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { k } _ { \parallel } } ) ^ { 2 } + \frac { \widetilde \Gamma ( { \mathbf { k } _ { \parallel } } ) ^ { 2 } } { 4 } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } k _ { z } \ell } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l } { \displaystyle { \mathbb D } _ { T } ^ { \gamma } \phi ^ { i } ( v _ { n } ^ { \tau } ) + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( v _ { n } ^ { \tau } ) + q ^ { i } \phi ^ { i } ( v _ { n } ^ { \tau } ) } & { = } & { y ^ { \tau , i } ( v _ { n } ^ { \tau } , 0 ) - y ^ { i } ( 0 , 0 ) } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { i } ( a ^ { + } ; v _ { n } ^ { \tau } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { j } ( a ^ { + } ; v _ { n } ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( a ^ { + } ; v _ { n } ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; v _ { n } ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; v _ { n } ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { T } ^ { 1 - \gamma } \phi ^ { i } ( T , \cdot ; v _ { n } ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N , } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { l } { ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) _ { m } ^ { ( l ) } } \\ { ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) _ { - m } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) : = \sum _ { l ^ { \prime } } \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { y } _ { l , m , l ^ { \prime } } } & { - \mathbf { y } _ { l , - m , l ^ { \prime } } } \\ { \mathbf { y } _ { l , - m , l ^ { \prime } } } & { \mathbf { y } _ { l , m , l ^ { \prime } } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { \mathbf { x } _ { m } ^ { ( l ^ { \prime } ) } } \\ { \mathbf { x } _ { - m } ^ { ( l ^ { \prime } ) } } \end{array} \right)
\mathcal { L } _ { K L D } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } } \left( \sigma _ { i } ^ { 2 } + \mu _ { i } ^ { 2 } - \left( \log \left( \sigma _ { i } ^ { 2 } \right) + 1 \right) \right)
g _ { \alpha , i } \left( \mathbf { r } + \mathbf { e } _ { \alpha } \delta t , t + \delta t \right) - g _ { \alpha , i } \left( \mathbf { r } , t \right) = - \frac { 1 } { \tau } \left[ g _ { \alpha , i } \left( \mathbf { r } , t \right) - g _ { \alpha , i } ^ { ( e q ) } \left( \mathbf { r } , t \right) \right] + \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 \tau } \right] F _ { \alpha , i } \left( \mathbf { r } , t \right) \delta t ,
\lambda ( n ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \varphi ( n ) } & { { \mathrm { i f ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ 1 , ~ 2 , ~ 4 , ~ o r ~ a n ~ o d d ~ p r i m e ~ p o w e r , } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } \varphi ( n ) } & { { \mathrm { i f ~ } } n = 2 ^ { r } , \ r \geq 3 , } \\ { \operatorname { l c m } { \Bigl ( } \lambda ( n _ { 1 } ) , \lambda ( n _ { 2 } ) , \ldots , \lambda ( n _ { k } ) { \Bigr ) } } & { { \mathrm { i f ~ } } n = n _ { 1 } n _ { 2 } \ldots n _ { k } { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } n _ { 1 } , n _ { 2 } , \ldots , n _ { k } { \mathrm { ~ a r e ~ p o w e r s ~ o f ~ d i s t i n c t ~ p r i m e s . } } } \end{array} \right. }
A ^ { e x t r a } ( t ) = - \frac { \pi C ^ { \prime } } { \sin \pi \gamma } ( - t ) ^ { \gamma } e ^ { - \beta t } - \Gamma ( \gamma + 1 ) \frac { C ^ { \prime } } { \beta ^ { \gamma } } ( - \beta t ) ^ { \gamma } e ^ { - \beta t } \Gamma ( - \gamma , 0 , - \beta t ) \quad .
\textbf { k } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ , ~ x ~ } } ( \textbf { x } ^ { * } ) = \left( \begin{array} { l } { k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { 1 } ) ; ~ . . . ~ ; ~ k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { M } ) ; ~ \frac { \mathrm { ~ d ~ } k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } _ { 1 } } ; ~ . . . ~ ; ~ \frac { \mathrm { ~ d ~ } k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { M _ { g } } ) } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } _ { M _ { g } } } ; ~ \frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } } ; ~ . . . ~ ; ~ \frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { M _ { H } } ) } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } _ { M _ { H } } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
I _ { \Gamma _ { 1 } } = \int _ { p _ { 0 } } ^ { 0 } \frac { 1 } { \left( p + \mathrm { i } R \right) ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( p + \mathrm { i } R \right) } { \phi _ { \sigma } \left( p + \mathrm { i } R \right) } \mathrm { e } ^ { \left( p + \mathrm { i } R \right) t } \mathrm { d } p ,
\begin{array} { r } { k _ { p } ^ { - 2 } \nabla ^ { 2 } \rho ( x , y ) + \rho ( x , y ) = f ( x , y ) , } \\ { J ( x , y ) \propto | \nabla \rho ( x , y ) | ^ { 2 } , } \\ { \delta T ( x , y ) - l _ { c } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \delta T ( x , y ) = J ( x , y ) / g . } \end{array}
\left( \frac { \dot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { K } { a _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { \rho _ { 0 M } + \rho _ { \frac 1 2 M } e ^ { 2 k b } - \rho _ { 0 M } \bar { \rho } _ { \frac 1 2 M } e ^ { k b } \sinh ( k b ) } { 3 ( M ^ { 3 } / k ) \left[ e ^ { k b } - 1 - \bar { \rho } _ { \frac 1 2 M } e ^ { k b } ( \cosh ( k b ) - 1 ) \right] } .
< m , \bar { m } ; \tilde { \tau } | \alpha , \beta > = \frac { \beta - m \alpha } { \pi \tilde { \tau } \sqrt { 2 m _ { 2 } } } \exp ( \frac { - i } { m _ { 2 } \tilde { \tau } } | \beta - m \alpha | ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { R _ { 1 2 } ( \tau ^ { \prime } ) } & { = E \left[ q ( x _ { 1 } , t ) q ( x _ { 2 } , t + \tau ^ { \prime } ) \right] } \\ & { = E \left[ q ( x _ { 1 } , t ) \left( \alpha q ( x _ { 1 } , t + \tau ^ { \prime } - \tau ) + n ( t ) \right) \right] } \\ & { = \alpha R _ { 1 1 } ( \tau ^ { \prime } - \tau ) , } \end{array}
P = \frac { 1 } { 3 V } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } \mathbf { v } _ { i } \cdot \mathbf { v } _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j > i } ^ { N } \mathbf { r } _ { i , j } \cdot \mathbf { F } _ { i , j } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { A } ( \varphi , \tilde { \varphi } , S ) = \frac { i } { 2 } \, \left( \left\langle \tilde { \varphi } \left\vert d _ { z } - g \vert S \vert ^ { 2 } \right\vert \varphi \right\rangle + c . \, c . \right) - \left\langle S \left\vert T _ { C } ^ { - 1 } \right\vert S \right\rangle } \\ & { } & { = \frac { i } { 2 } \, \left\lbrack \int _ { 0 } ^ { L } \tilde { \varphi } ^ { \ast } ( z ) \left( d _ { z } \varphi ( z ) - g \vert S ( z ) \vert ^ { 2 } \varphi ( z ) \right) d z + c . \, c . \right\rbrack - \int _ { 0 } ^ { L } S ^ { \ast } ( z ) ( T _ { C } ^ { - 1 } S ) ( z ) \, d z . } \end{array}
a _ { h } ( { \mathbf u } , { \mathbf v } ) = \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { h } } { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : { \mathcal { D } } ( { \mathbf v } ) \, d { \mathbf x } , \quad { \mathcal { D } } ( { \mathbf v } ) = \nabla { \mathbf v } + \nabla { \mathbf v } ^ { t } , \quad b _ { h } ( { \mathbf v } , p ) = \int _ { \Omega _ { h } } p \, { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf v } \, d { \mathbf x } .
\begin{array} { r } { M _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m ) = e _ { f } ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { { T r } } [ \frac { i } { p \! \! \! / - m } \gamma ^ { \mu } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } - m } \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } - m } \gamma ^ { \nu } + \left( \begin{array} { c } { \mu \leftrightarrow \nu } \\ { k _ { 1 } \leftrightarrow k _ { 2 } } \end{array} \right) ] . } \end{array}
\frac { \partial \left( \rho u _ { i } \right) } { \partial t } + \frac { \partial \left[ \rho u _ { i } u _ { j } + p \delta _ { i j } \right] } { \partial x _ { j } } = \frac { 1 } { R e } \frac { \partial \sigma _ { i j } } { \partial x _ { j } } ,
0 = T _ { i j } ^ { \alpha } \frac { \delta } { \delta K _ { j } ^ { * } ( \mathbf { z } , t ) \delta K _ { l } ( \mathbf { y } , t ^ { \prime } ) } W [ J , K , K ^ { * } ] \mid _ { _ { _ { J = K = K * = 0 } } }
{ \frac { d g _ { i } } { d t } } = { \frac { g _ { i } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left[ b _ { i } g _ { i } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } b _ { i j } g _ { i } ^ { 2 } g _ { j } ^ { 2 } - \sum _ { j = t , b , \tau } a _ { i j } g _ { i } ^ { 2 } \lambda _ { j } ^ { 2 } \right) \right] ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { R } = \left[ \begin{array} { l l l } { Q _ { 1 1 } } & { Q _ { 1 2 } } & { 0 } \\ { Q _ { 2 1 } } & { Q _ { 2 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , } \end{array}
\mathcal L ( \frac { i } { \boldsymbol v - 1 } ) = \underline { { \boldsymbol x } } _ { t _ { \mathrm { ~ \tiny ~ c ~ y ~ c ~ } } + 1 0 \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ m ~ s ~ ) ~ } \times ( i - 1 ) } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i = 0 , \cdots , \boldsymbol v - 1
\begin{array} { r l } { I _ { a , b , j } } & { { } = C _ { a + b , j } + C _ { | a - b | , j } + \Bigl ( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } - \frac { 1 } { a + b } \Bigr ) S _ { a + b , j } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| u _ { k + p } - u ^ { * } \| _ { { H } } ^ { 2 } \leq \| u _ { k } - u ^ { * } \| _ { { H } } ^ { 2 } + \frac { { L _ { { \mathcal { F } } ^ { \prime } } } } { 2 { \alpha } _ { \operatorname* { i n f } } ^ { 2 } } \sum _ { j = k } ^ { k + p - 1 } \| { \mathcal { G } } _ { { \alpha } _ { j } } ( u _ { j } ) \| _ { H } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< \overline { { \delta ^ { 2 } ( \Delta ) } } \right> } & { { } = } & { \frac { 1 } { T - \Delta } \int _ { 0 } ^ { T - \Delta } \left( \frac { 2 v ^ { 2 } } { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( 2 + \alpha ) } \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , 1 - \alpha ; 2 + \alpha ; - \frac { \Delta } { t } \right) \frac { \Delta ^ { 1 + \alpha } } { t ^ { 1 - \alpha } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { 1 } ( \Bar { y } , \Bar { z } ) \equiv \frac { \int _ { | \bar { y } | } ^ { \infty } \mathrm { d } x \: k ( x , \bar { y } , \bar { z } ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \: 0 . 5 x e ^ { - x ^ { 2 } } \left[ \Xi ( x ) - \Psi ( x ) \right] } = 7 . 5 1 \int _ { | \bar { y } | } ^ { \infty } \mathrm { d } x \: k ( x , \bar { y } , \bar { z } ) , } \end{array}
\mathcal { A } _ { 2 } : = - \tilde { V } U _ { R , l } \left( 2 P _ { 1 } - I \right) \check { z } _ { k } - 2 \left( I - \tilde { W } \right) \eta _ { k } \hat { \mathbf { g } } _ { k } + ( 2 \tilde { W } - I ) \eta _ { k } \left( \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) + \eta _ { k } \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) - \eta _ { k + 1 } G _ { k + 1 } .
\mathbf { c } \mathbf { d } ^ { \mathrm { T } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 } d _ { 1 } } & { c _ { 1 } d _ { 2 } } & { c _ { 1 } d _ { 3 } } \\ { c _ { 2 } d _ { 1 } } & { c _ { 2 } d _ { 2 } } & { c _ { 2 } d _ { 3 } } \\ { c _ { 3 } d _ { 1 } } & { c _ { 3 } d _ { 2 } } & { c _ { 3 } d _ { 3 } } \end{array} \right] }
g ^ { \prime } ( s ) = \cfrac { K _ { M } e _ { 0 } } { ( K _ { M } + s ) ^ { 2 } } \geq 0 ; \quad \operatorname* { m a x } _ { s \in [ 0 , s _ { 0 } ] } | g ^ { \prime } ( s ) | = \cfrac { e _ { 0 } } { K _ { M } } ,
\mathbf { L } = \left( \begin{array} { c c c } { - \frac { 3 } { v - 2 } - \frac { 2 3 } { 8 } } & { \frac { 3 ( v - 1 ) } { 2 ( v - 2 ) } } & { \frac { 3 ( v - 1 ) } { 2 ( v - 2 ) } } \\ { u } & { w } & { 0 } \\ { u } & { 0 } & { w } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { R _ { u i } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { v = 1 } ^ { N } \frac { s _ { u v } ^ { \alpha } } { \sum _ { w } s _ { u w } ^ { \alpha } } \frac { r _ { v i } } { \sum _ { j } ^ { M } r _ { v j } } = } \\ & { \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { v = 1 } ^ { N } \frac { s _ { u v } ^ { \alpha } } { \sum _ { w } s _ { u w } ^ { \alpha } } \frac { r _ { v i } } { t + M r _ { 0 } } . } \end{array}
\Re \hat { \sigma } = \delta ( \omega - 2 \omega _ { d } ) A ^ { 2 } ( T ) ^ { - 1 } \omega _ { d } ^ { 2 } \eta \left( ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega _ { d } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } \omega _ { d } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } 2 \! \! } & { \le } & { \! \! \big \langle w ( s ) , ( \partial / \partial r ) | _ { \gamma ( s ) } \big \rangle _ { g } = \big \langle w ( s ) , \gamma ^ { \prime } ( s ) + ( \partial / \partial r ) | _ { \gamma ( s ) } \big \rangle _ { g } - \langle w ( s ) , \gamma ^ { \prime } ( s ) \rangle _ { g } } \\ { \! \! } & { \le } & { \! \! \big | \gamma ^ { \prime } ( s ) + ( \partial / \partial r ) | _ { \gamma ( s ) } \big | _ { g } - \langle w ( s ) , \gamma ^ { \prime } ( s ) \rangle _ { g } } \\ { \! \! } & { = } & { \! \! \sqrt { 2 - 2 \, \langle \gamma ^ { \prime } ( s ) , - ( \partial / \partial r ) | _ { \gamma ( s ) } \rangle _ { g } } - \langle w ( s ) , \gamma ^ { \prime } ( s ) \rangle _ { g } } \\ { \! \! } & { \le } & { \! \! \frac 1 4 - \langle w ( s ) , \gamma ^ { \prime } ( s ) \rangle _ { g } \, , \qquad \mathrm { i . e . } \quad \langle - w ( s ) , \gamma ^ { \prime } ( s ) \rangle _ { g } \ge \frac 1 4 \quad \forall s \in ( 0 , \sigma ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \partial \Delta _ { b } ( E , t ) } { \partial t } } & { = - \Delta _ { b } ( E , t ) e ^ { - \beta E } + \Delta _ { u } ( t ) \rho ( E ) , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \partial \Delta _ { u } ( t ) } { \partial t } } & { = 2 \frac { D _ { 0 } } { \Gamma _ { 0 } } P _ { u } ( t ) - \Delta _ { u } ( t ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \Delta _ { b } ( E , t ) e ^ { - \beta E } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu \kappa } } & { { } = \int \frac { \chi _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \chi _ { \nu } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \mathrm { e r f c } ( \omega r _ { 1 2 } ) \chi _ { \kappa } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) } { r _ { 1 2 } } d \mathbf { r } _ { 1 } ^ { 3 } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \mathbf { A } } & { = { \frac { \partial A _ { x } } { \partial x } } + { \frac { \partial A _ { y } } { \partial y } } + { \frac { \partial A _ { z } } { \partial z } } } \\ & { = \left( { \frac { \partial } { \partial x } } , { \frac { \partial } { \partial y } } , { \frac { \partial } { \partial z } } \right) \cdot \mathbf { A } } \\ & { = \nabla \cdot \mathbf { A } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \frac { d \hat { A } } { d t } = - \frac { \alpha } { 2 } \hat { A } - i \Delta _ { A } \hat { A } + i \Gamma ( \hat { A } ^ { \dagger } \hat { A } + 2 \hat { B } ^ { \dagger } \hat { B } + 2 \hat { C } ^ { \dagger } \hat { C } ) \hat { A } + i 2 \Gamma \hat { A } ^ { \dagger } \hat { B } \hat { C } + \sqrt { \kappa } A _ { \mathrm { i n } } + \sqrt { \alpha } \hat { a } _ { \mathrm { i n } } , } \\ & { \frac { d \hat { B } } { d t } = - \frac { \alpha } { 2 } \hat { B } - i \Delta _ { B } \hat { B } + i \Gamma ( 2 \hat { A } ^ { \dagger } \hat { A } + \hat { B } ^ { \dagger } \hat { B } + 2 \hat { C } ^ { \dagger } \hat { C } ) \hat { B } + i \Gamma \hat { C } ^ { \dagger } \hat { A } ^ { 2 } + \sqrt { \alpha } \hat { b } _ { \mathrm { i n } } , } \\ & { \frac { d \hat { C } } { d t } = - \frac { \alpha } { 2 } \hat { C } - i \Delta _ { C } \hat { C } + i \Gamma ( 2 \hat { A } ^ { \dagger } \hat { A } + 2 \hat { B } ^ { \dagger } \hat { B } + \hat { C } ^ { \dagger } \hat { C } ) \hat { C } + i \Gamma \hat { B } ^ { \dagger } \hat { A } ^ { 2 } + \sqrt { \alpha } \hat { c } _ { \mathrm { i n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { T ^ { ( 1 ) } = s , } & & { T ^ { ( 2 ) } = s \omega - \omega s , } \\ & { T ^ { ( 3 ) } = s ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } I \cdot T r ( s ^ { 2 } ) , } & & { T ^ { ( 4 ) } = \omega ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } I \cdot T r ( \omega ^ { 2 } ) , } \\ & { I _ { 1 } = T r ( s ^ { 2 } ) , I _ { 2 } = T r ( \omega ^ { 2 } ) , } & & { I _ { 3 } = T r ( s ^ { 3 } ) , I _ { 4 } = T r ( \omega ^ { 2 } s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { e B H } } & { = \sum _ { i < j } t _ { i j } ( \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } + \mathrm { h . c . } ) + \sum _ { i < j } V _ { i j } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j } } \\ & { - \sum _ { i } ( \Delta _ { \mu w } + \mathcal { I } _ { i } ) \hat { n } _ { i } + \frac { \Omega _ { \mu w } } { 2 } \sum _ { i } ( \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } + \hat { b } _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathscr { C } ^ { ( \mathcal { R } ) } ( \mathcal { N } _ { C H S H } ^ { \eta } ) } & { = } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } I ( A _ { 1 } , A _ { 2 } ; ~ B ) \right\} , } \\ & { = } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } I ( M _ { 1 } , M _ { 2 } ; ~ Y ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } ^ { 2 } - ( \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } ^ { ( i ) } ) ^ { 2 } | } & { = | ( \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } - \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } ^ { ( i ) } ) ( \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } + \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } ^ { ( i ) } ) | \leq 2 | \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } - \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } ^ { ( i ) } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { V A R } ( S ) = } & { { } { \frac { 2 ( 1 7 2 8 - 2 4 - 1 9 2 ) + 3 ( 1 4 4 - 1 6 - 4 8 ) + 6 0 } { 1 8 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \bigcup _ { k \neq i } t _ { i k } = \{ \ell \} , \; \ell \in \{ 1 , 3 , 5 \} , \; \mathrm { a n d } \; \; \operatorname* { m a x } s _ { i j } < \operatorname* { m i n } \bigcup _ { k \neq i , j } s _ { i k } } \\ & { \Longrightarrow } & { s _ { i i } ^ { \prime } = \{ \sigma \in s _ { i i } | \sigma \le \operatorname* { m a x } s _ { i j } \} , \quad s _ { j j } ^ { \prime } = \{ \sigma \in s _ { j j } | \sigma \le \operatorname* { m a x } s _ { i j } \} , } \\ & { } & { s _ { i j } ^ { \prime } = \{ \sigma \in s _ { i j } | \sigma \ge \operatorname* { m i n } ( s _ { i i } ^ { \prime } \cup s _ { j j } ^ { \prime } ) \} ; } \\ & { } & { \bigcup _ { k \neq i } s _ { i k } = \{ \ell \} , \; \ell \in \{ 1 , 3 , 5 \} , \; \mathrm { a n d } \; \; \operatorname* { m a x } t _ { i j } < \operatorname* { m i n } \bigcup _ { k \neq i , j } t _ { i k } } \\ & { \Longrightarrow } & { t _ { i i } ^ { \prime } = \{ \tau \in t _ { i i } | \tau \le \operatorname* { m a x } t _ { i j } \} , \quad t _ { j j } ^ { \prime } = \{ \tau \in t _ { j j } | \tau \le \operatorname* { m a x } t _ { i j } \} , } \\ & { } & { t _ { i j } ^ { \prime } = \{ \tau \in t _ { i j } | \tau \ge \operatorname* { m i n } ( t _ { i i } ^ { \prime } \cup t _ { j j } ^ { \prime } ) \} . } \end{array}