harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\tilde { \varphi } _ { 0 } ^ { \tau } ( u _ { 0 } , \tilde { \mu } ) : = e ^ { \tau \frac { 1 } { k } \mathcal { A } _ { U } } u _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { ( \tau - s ) \frac { 1 } { k } \mathcal { A } _ { U } } \tilde { J } _ { s } ( \tilde { \varphi } _ { 0 } ^ { s } ( u _ { 0 } , \tilde { \mu } ) , \tilde { \mu } ) \, d s
\frac { 1 } { T _ { \mathrm { D R } } ^ { \mathrm { o n } } ( E ) } = \frac { 1 } { C _ { \mathrm { D R } } } + \frac { 2 \mu } { ( 4 \pi ) ^ { w } } ( - 2 \mu E ) ^ { w - 1 } \Gamma ( 1 - w ) + i \frac { 2 \pi \mu } { \Gamma ( w ) ( 4 \pi ) ^ { w } } ( 2 \mu E ) ^ { w - 1 } .
\left( \sum _ { i = 0 } ^ { p } \partial _ { b } ^ { ( i ) } \right) \, \, \partial _ { a _ { 1 } } ^ { ( l _ { 1 } ) } \cdots \partial _ { a _ { r } } ^ { ( l _ { r } ) } F _ { p } ( \phi , \phi , \cdots , \phi ) = 0
\begin{array} { r l } { { p _ { I I } } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) - { p _ { I } } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) } & { { } = { } \frac { 1 } { 2 } \rho { v _ { I } } _ { t } ^ { 2 } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) \left( 1 - E ^ { 2 } ( \psi _ { I } , \chi _ { I } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \mathbf { G } ( i , j ) } & { { } = \left\langle \phi _ { i } , \, \phi _ { j } \right\rangle _ { \mu } , } & { \mathbf { A } ^ { t } ( i , j ) } & { { } = \left\langle \phi _ { i } , \, \mathcal { K } ^ { t } \phi _ { j } \right\rangle _ { \mu } , } & { \mathbf { A } ^ { L } ( i , j ) } & { { } = \left\langle \phi _ { i } , \, \mathcal { L } \phi _ { j } \right\rangle _ { \mu } . } \end{array}
\delta _ { i _ { 0 } , i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m a x } _ { i _ { 0 } \leq k \leq i } p _ { i _ { 0 } , k } - p _ { i _ { 0 } , i } , } & { \mathrm { \textrm { ~ f o r ~ a n ~ u p w a r d - t r e n d } } , } \\ { p _ { i _ { 0 } , i } - \operatorname* { m i n } _ { i _ { 0 } \leq k \leq i } p _ { i _ { 0 } , k } , } & { \mathrm { \textrm { ~ f o r ~ a ~ d o w n w a r d - t r e n d } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \sum _ { \alpha \in \Lambda _ { T } ( m , n ) } | z ^ { \alpha } | | [ \alpha ] | ^ { \frac { 1 } { r } } = \sum _ { \alpha \in \Lambda _ { T } ( m , n ) } | z ^ { \alpha } | | [ \alpha ] | \frac { 1 } { | [ \alpha ] | ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } } \le \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } | z _ { k } | \Big ) ^ { m } \frac { 1 } { m ! ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } } \le n ^ { m / r ^ { \prime } } \| z \| _ { \ell _ { r , s } } ^ { m } \frac { 1 } { m ! ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf q } \sum _ { g = 1 } ^ { n _ { \mathbf q g } } \hat { \mathcal L } _ { \mathbf { q } g } ^ { \prime } \hat { \mathcal L } _ { \mathbf { q } g } ^ { \dagger } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ T + 1 , T + 2 ] } } & { \| u ( s ) \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } \le \operatorname* { s u p } _ { s \in [ t _ { T } , t _ { T } + 3 ) } \| u ( s ) \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } \le \mathcal { M } ( \| u ( t _ { T } ) \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } , \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } , 3 ) } \\ & { \le \mathcal { M } \Bigl ( d _ { 8 } \mathrm { e } ^ { d _ { 9 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } + \operatorname* { m a x } \left\{ | m _ { 0 } | + m _ { 1 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } , \frac 1 2 | \log ( A ) | \right\} , \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } , 3 \Bigr ) } \\ & { = : \mathcal { N } ( u _ { 0 } , \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } ) . } \end{array}
\delta A _ { 0 } = { \frac { \delta h _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } { r } } + O \! \left( { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \right) \, , \qquad \delta A _ { 4 } = { \frac { \delta h _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } { r } } + O \! \left( { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \right) \, .
< G ( p , \tau ) > = \frac { - i } { ( m ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - e ^ { 2 } A ) ^ { n } } { n ! \epsilon ^ { n } } \Gamma ( 1 + n \epsilon ) ( \frac { 2 i \mu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } - p ^ { 2 } } ) ^ { n \epsilon }
\Psi ( x ) \approx { \frac { C _ { + } e ^ { + \int d x { \sqrt { { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } \left( V ( x ) - E \right) } } } + C _ { - } e ^ { - \int d x { \sqrt { { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } \left( V ( x ) - E \right) } } } } { \sqrt [ [object Object] ] { { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } \left( V ( x ) - E \right) } } }
\sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } g ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { m } ( b _ { m } \gamma \cdot p + b _ { m } ^ { 5 } \gamma \cdot p \gamma _ { 5 } + \Delta m _ { m } + \Delta m _ { m } ^ { 5 } \gamma _ { 5 } ) = ( \gamma \cdot p - m _ { s } ) \sqrt { Z _ { n - 1 } } _ { b s } + \sqrt { \bar { Z } _ { n - 1 } } _ { b s } ( \gamma \cdot p - m _ { b } ) ;
\begin{array} { c c c } { { \varepsilon ^ { i } = \left( \begin{array} { c c } { { \bar { \varepsilon } _ { a } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \varepsilon ^ { a } { } ^ { t } } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ \rho ^ { i } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \bar { \rho } ^ { a } { } ^ { t } } } \\ { { \rho _ { a } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ a = 1 , 2 , \cdots , N } } \end{array}
\operatorname { T r } \left( \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { n - 1 } A ^ { k } \right) ^ { \mathrm { T } } \right) = ( n - k ) { \textstyle \bigwedge } ^ { n } A ^ { p } = ( n - k ) \operatorname { T r } \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { p } A \right) .
( - g ) ^ { - 1 / 2 } \partial _ { \mu } ( \sqrt { - g } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \varphi ) + \sigma , _ { \mu } \varphi ^ { , \mu } + V ^ { \prime } ( \varphi ) + \tilde { e } ^ { 2 } \varphi g ^ { \alpha \beta } \tilde { A } _ { \alpha } \tilde { A } _ { \beta } = 0 ,
\begin{array} { r l } { h ( d , 2 , f _ { t } , \eta _ { t } L ) } & { = \int _ { \overline { { \mathcal { B } _ { 2 } } } ( 0 , \eta _ { t } L ) } \operatorname* { s u p } _ { x _ { t } \in \mathcal { B } _ { 2 } ( 0 , \eta _ { t } L ) } \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \exp \left\lbrace - \frac { \| w _ { t } - x _ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } \right\rbrace \mathrm { d } w _ { t } } \\ & { = \int _ { \overline { { \mathcal { B } _ { 2 } } } ( 0 , \eta _ { t } L ) } \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \exp \left\lbrace - \frac { ( \| w _ { t } \| _ { 2 } - \eta _ { t } L ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } \right\rbrace \mathrm { d } w _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { s g n } \left\{ \operatorname { R e } \tilde { \sigma } _ { k } \right\} } & { = \operatorname { s g n } \left\{ - y [ x ^ { 2 } - x _ { k } ^ { 2 } - ( y - y _ { k } ) ^ { 2 } ] + 2 x ^ { 2 } ( y - y _ { k } ) \right\} } \\ & { = \operatorname { s g n } \left\{ y [ ( y - y _ { k } ) ^ { 2 } + x _ { k } ^ { 2 } ] + x ^ { 2 } ( y - 2 y _ { k } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { 0 } ^ { - 1 } Z ^ { \prime } ( R _ { 2 } ) } & { = \frac { Y _ { 0 } ( R _ { 1 } z _ { 0 } ) } { Y _ { 0 } ( R _ { 2 } z _ { 0 } ) } \left( - J _ { 0 } ( R _ { 2 } z _ { 0 } ) Y _ { 1 } ( R _ { 2 } z _ { 0 } ) + J _ { 1 } ( R _ { 2 } z _ { 0 } ) Y _ { 0 } ( R _ { 2 } z _ { 0 } ) \right) } \\ & { = \frac { Y _ { 0 } ( R _ { 1 } z _ { 0 } ) } { Y _ { 0 } ( R _ { 2 } z _ { 0 } ) } \frac { 2 } { \pi R _ { 2 } z _ { 0 } } \ne 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } r _ { i } } & { = v _ { i } - \bar { v } , \qquad i = 1 , \dots , N } \\ { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } v _ { i } } & { = - \gamma v _ { i } + \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sin ( r _ { i } - r _ { j } ) } \\ { r _ { i } ( 0 ) } & { = \hat { r } _ { i } , \qquad v _ { i } ( 0 ) = \hat { v } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \varphi _ { u _ { 2 } } \colon } & { \epsilon _ { 0 } } & { \ \longmapsto \ } & { \epsilon _ { 2 } + \frac { \alpha } { \Delta } \epsilon _ { 4 } + \frac { \delta } { \Delta } \epsilon _ { 5 } , } \\ & { \epsilon _ { 1 } } & { \ \longmapsto \ } & { - \frac { \alpha } { \Delta } \epsilon _ { 3 } - \frac { \delta } { \Delta } \epsilon _ { 4 } } \end{array}
\vert \varphi _ { i } ( \xi _ { 1 } ) \vert + \vert \varphi _ { i } ( \xi _ { 2 } ) \vert \neq 0 , \; \forall i \in \{ 1 , 4 , 5 , \ldots , N _ { 0 } \} ; \qquad \operatorname* { d e t } \left| \begin{array} { c c } { \varphi _ { 2 } ( \xi _ { 1 } ) } & { \varphi _ { 3 } ( \xi _ { 1 } ) } \\ { \varphi _ { 2 } ( \xi _ { 2 } ) } & { \varphi _ { 3 } ( \xi _ { 2 } ) } \end{array} \right| \neq 0 .
I _ { i } ( s , z ) = \frac { R e \Omega } { d ^ { 2 } } \bigg [ \big ( d ^ { 2 } \lambda _ { i } - 2 ( z - z _ { d } ) \big ) \exp \bigg ( - \lambda _ { i } z - \frac { ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg ) - ( 1 - \lambda ^ { 2 } + s R e P r ) d ^ { 2 } K _ { i } ( s , z ) \bigg ]
\delta _ { \kappa } \psi ^ { - } = \bar { A } _ { \underline { { \alpha } } } ( { \cal E } _ { -- } ^ { \underline { { a } } } \Gamma _ { \underline { { a } } } ) _ { ~ \underline { { \beta } } } ^ { \underline { { \alpha } } } \kappa _ { + + } ^ { \underline { { \beta } } } \psi ^ { - } .
\begin{array} { r l } { G _ { u p p e r } } & { { } = G _ { l i n k } ^ { u p p e r } + 3 G _ { h a n g } ^ { u p p e r } } \\ { G _ { l o w e r } } & { { } = G _ { l i n k } ^ { l o w e r } + 3 G _ { h a n g } ^ { l o w e r } . } \end{array}
\mathrm { D i s p } \, M _ { 4 } ^ { 1 - l o o p } ( B - , A - ; A ^ { \prime } + , B ^ { \prime } + ) = g ^ { 2 } \alpha ^ { ( 1 ) } ( t ) \, \ln { \frac { s } { - t } } \, M _ { 4 } ^ { \mathrm { t r e e } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf { b } } ^ { \prime } } { \partial t } } & { { } + } & { ( { \bf { U } } \cdot \nabla ) { \bf { b } } ^ { \prime } = - ( { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { B } } + ( { \bf { B } } \cdot \nabla ) { \bf { u } } ^ { \prime } + ( { \bf { b } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { U } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { p , q } ( H ( Y | X ) ) \leq d _ { p , q } ( H ( X Y ) ) + \sum _ { y \in { \cal Y } } q ( y | x ) d _ { p , q } ( H ( X ) ) } \\ & { \quad + \sum _ { \scriptstyle ( x , y ) { \scriptstyle \in { \cal X } \times { \cal Y } } } | q ( y | x ) - p ( y | x ) | p ( x ) \log \frac { 1 } { p ( x ) } } \\ & { = d _ { p , q } ( H ( X Y ) ) + d _ { p , q } ( H ( X ) ) + d ^ { \prime } , } \end{array}
\mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } = 1 + \sum _ { l m } \left( 2 l + 1 \right) \left( \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ a _ { l m } { b _ { l m } } ^ { * } \} G _ { h _ { l } h _ { l } } + \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ \left( a _ { l m } + b _ { l m } \right) G _ { j _ { l } h _ { l } } \} \right)
H _ { 1 } = { \binom { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \chi _ { 1 } ^ { 0 } + v _ { 1 } + i \varphi _ { 1 } ^ { 0 } ) } { H _ { 1 } ^ { - } } } \qquad H _ { 2 } = { \binom { H _ { 2 } ^ { + } } { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \chi _ { 2 } ^ { 0 } + v _ { 2 } + i \varphi _ { 2 } ^ { 0 } ) } } \, ,
\omega ( \zeta , z ) = { \frac { ( n - 1 ) ! } { ( 2 \pi i ) ^ { n } } } { \frac { 1 } { | z - \zeta | ^ { 2 n } } } \sum _ { 1 \leq j \leq n } ( { \overline { { \zeta } } } _ { j } - { \overline { { z } } } _ { j } ) \, d { \overline { { \zeta } } } _ { 1 } \land d \zeta _ { 1 } \land \cdots \land d \zeta _ { j } \land \cdots \land d { \overline { { \zeta } } } _ { n } \land d \zeta _ { n }
\left[ \begin{array} { c } { P } \\ { E } \end{array} \right] \mid \mathbf { X } \sim G P \left( \left[ \begin{array} { c } { \mu _ { P } \left( \mathbf { X } \right) } \\ { \mu _ { E } \left( \mathbf { X } \right) } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c } { K _ { P P } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } \right) } & { K _ { P E } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } \right) } \\ { K _ { E P } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } \right) } & { K _ { E E } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } \right) } \end{array} \right] \right)
P ( m _ { 1 a } , m _ { b 2 } | n , j _ { 1 a } , j _ { b 2 } , \theta _ { a b } , j _ { \gamma } ) = \frac { \Upsilon ( n , j _ { 1 a } , m _ { 1 a } , j _ { b 2 } , m _ { b 2 } , \theta _ { a b } , j _ { \gamma } ) } { \sum _ { m _ { 1 a } , m _ { b 2 } \in Q ( n , j _ { 1 a } , j _ { b 2 } , \theta _ { a b } , j _ { \gamma } ) } \Upsilon ( n , j _ { 1 a } , m _ { 1 a } , j _ { b 2 } , m _ { b 2 } , \theta _ { a b } , j _ { \gamma } ) }
\begin{array} { r } { q _ { \mathrm { \mathbf { k } } } ( \omega ) = - \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } \omega _ { \mathbf { k } } \mathcal { S } ( \omega ) } { \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } + L _ { \mathbf { k } } ( \omega ) } . } \end{array}
\gamma _ { n } = \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } { \left( \left( \sum _ { k = 1 } ^ { m } { \frac { ( \ln k ) ^ { n } } { k } } \right) - { \frac { ( \ln m ) ^ { n + 1 } } { n + 1 } } \right) } .
Q _ { \alpha , i } ^ { \alpha } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { i } , . . . , x _ { \alpha } , . . . , x _ { s } ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { ( x _ { i } + x _ { \alpha } ) \cdot x _ { \alpha } } & { \mathrm { i f } \enspace P _ { \alpha } \rightarrow P _ { i } } \\ { x _ { i } \cdot x _ { \alpha } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\| \bar { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { ( k ) } - \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { L } ^ { \star } \| _ { \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { L } } \le \left( \frac { C N _ { L } ^ { 2 / d } - 1 } { C N _ { L } ^ { 2 / d } + 1 } \right) ^ { k } \| \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { L } ^ { \star } - \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { ( 0 ) } \| _ { \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { L } }
X _ { p + 1 , q + 1 } = \frac { 1 } { m n } \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } e ^ { i x _ { p } \mu _ { j } } e ^ { i y _ { q } \nu _ { k } } Y _ { j + 1 , k + 1 } .
\begin{array} { r l } { g ( \mathrm { G r a m } _ { g _ { 0 } } ( g ) v _ { 1 } , v _ { 2 } ) } & { = g _ { 0 } ( \mathrm { G r a m } _ { g _ { 0 } } ^ { 2 } ( g ) v _ { 1 } , v _ { 2 } ) = g _ { 0 } ( v _ { 1 } , \mathrm { G r a m } _ { g _ { 0 } } ( g ) ^ { 2 } v _ { 2 } ) } \\ & { = g _ { 0 } ( \mathrm { G r a m } _ { g _ { 0 } } ^ { 2 } ( g ) v _ { 2 } , v _ { 1 } ) = g ( \mathrm { G r a m } _ { g _ { 0 } } ( g ) v _ { 2 } , v _ { 1 } ) . } \end{array}
\mathrm { i } \langle \dot { \pmb \rho } ^ { k \, 0 } \rangle = \left[ \mathbf H _ { \mathrm { C I } } - \hat { \pmb \mu } \cdot \pmb { \mathcal { E } } , \langle \pmb { \rho } ^ { k \, 0 } \rangle \right] + \sum _ { \substack { K = k , k \pm 1 \, | Q | \le 1 } } \interleave \mathbb { V } , \langle \pmb { \rho } ^ { K Q } \rangle \interleave \, ,
\frac { 1 } { p ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { p ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { p ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { p ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } \bigg ) \, .
\begin{array} { r } { \| \nabla F _ { \lambda } ( { \mathbf x } _ { t } ) \| = \frac { H \lambda } { 1 5 6 } \| \nabla F ( { \mathbf x } _ { t } ) \| \ge \epsilon ~ ~ ~ \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \le \frac { T - \log ( 2 / c ) } { 2 p } \le 3 \cdot 1 0 ^ { - 7 } \cdot \frac { H \gamma \sigma ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 4 } } - 5 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \cdot \frac { \log ( 2 / c ) } { \epsilon ^ { 2 } } ~ . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { c _ { i } = ( M ^ { - 1 } ) _ { i j } \int d \psi \, \Lambda _ { j } ( \psi ) \, \frac { \langle n Z \rangle ( \psi ) } { \langle Z \rangle ( \psi ) } , } \\ { c _ { i } Z _ { i } = ( M ^ { - 1 } ) _ { i j } \int d \psi \, \Lambda _ { j } ( \psi ) \, \langle n Z \rangle ( \psi ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { \lambda ^ { \parallel } , \lambda } ( \omega ^ { \parallel } , \theta ^ { \parallel } , \phi ^ { \parallel } , \omega , \theta , \phi ; \Theta _ { \mathrm { i } } ) } & { { } = \mathcal { P } ( \theta ^ { \parallel } , \phi ^ { \parallel } , \Theta _ { \mathrm { i } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { p = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \qquad } & { { } \Longleftrightarrow \qquad p = 2 \quad { \mathrm { ~ o r ~ } } \quad p \equiv 1 { \bmod { 4 } } } \\ { p = x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \qquad } & { { } \Longleftrightarrow \qquad p = 2 \quad { \mathrm { ~ o r ~ } } \quad p \equiv 1 , 3 { \bmod { 8 } } } \\ { p = x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } \qquad } & { { } \Longleftrightarrow \qquad p = 3 \quad { \mathrm { ~ o r ~ } } \quad p \equiv 1 { \bmod { 3 } } } \end{array}
\psi _ { \boldsymbol \theta } ^ { S } ( \mathbf { s } ) = \exp \left( \frac { 1 } { | \mathcal { S } | } \sum _ { \mathbf { s ^ { \prime } } \in \mathcal { S } ( \mathbf { s } ) } \chi _ { \boldsymbol \theta } \big ( \mathbf { s ^ { \prime } } \big ) \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( B ) } & { { } = \left[ ( - 1 ) ^ { i ^ { ' } + 1 } b _ { i ^ { ' } 1 } \operatorname* { d e t } ( M _ { i ^ { ' } 1 } ) \right] + \left[ ( - 1 ) ^ { i ^ { ' } + 2 } b _ { i ^ { ' } 2 } \operatorname* { d e t } ( M _ { i ^ { ' } 2 } ) \right] \cdots + \left[ ( - 1 ) ^ { i ^ { ' } + n } b _ { 1 n } \operatorname* { d e t } ( M _ { i ^ { ' } n } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } r _ { i } } & { = v _ { i } - \bar { v } , } & { r _ { i } ( 0 ) = ( r _ { 0 } ) _ { i } , } \\ { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } v _ { i } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi ( | r _ { i } - r _ { j } | ) ( v _ { j } - v _ { i } ) - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla \mathcal V ( r _ { i } - r _ { j } ) , } & { v _ { i } ( 0 ) = ( v _ { 0 } ) _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { P e _ { p } } } \rho \partial _ { t } u _ { i } + \mathrm { R e } \rho \mathbf { u } \cdot \nabla u _ { i } = \Delta u _ { i } - \partial _ { x _ { i } } p - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } \rho \delta _ { i 3 } , \quad i = 1 , 2 , 3 , } \\ & { \partial _ { t } T + \mathrm { P e } _ { p } \mathbf { u } \cdot \nabla T = \Delta T , } \\ & { \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } \rho + \mathrm { P e } _ { s } \mathbf { u } \cdot \nabla \rho = \Delta \rho , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { y } _ { t + 1 } ^ { ( m ) } } & { = y _ { t } ^ { ( m ) } - \gamma _ { t } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) } \\ { \hat { x } _ { t + 1 } ^ { ( m ) } } & { = x _ { t } ^ { ( m ) } - \eta _ { t } \bigg ( \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { f , 1 } ) } \\ & { \qquad - \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { g , 1 } ) u _ { t } ^ { ( m ) } \bigg ) } \\ { \hat { u } _ { t + 1 } ^ { ( m ) } } & { = \tau _ { t } \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { f , 2 } ) } \\ & { \qquad + ( I - \tau _ { t } \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { g , 2 } ) ) u _ { t } ^ { ( m ) } } \end{array}
P _ { k } ^ { \, d } ( t ) = k ! \, \Gamma \left( \frac { d - 1 } { 2 } \right) \sum _ { l = 0 } ^ { \lfloor \frac { k } { 2 } \rfloor } \left( - \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { l } \frac { ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { l } t ^ { \, k - 2 l } } { l ! \, ( k - 2 l ) ! \, \Gamma ( l + \frac { d - 1 } { 2 } ) } = \sum _ { l = 0 } ^ { \lfloor \frac { k } { 2 } \rfloor } a _ { 2 l , k } t ^ { k - 2 l } , \quad t \in [ - 1 , 1 ] ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } \left( \mathbf { D } _ { i } \geq \frac { A } { 4 \sqrt { i } } \right) } & { \geq } & { \sum _ { k = i } ^ { + \infty } \mathbb { P } \left( { D } _ { i } ( k ) \geq \frac { A } { \sqrt { i } } , \ \theta _ { i } = k \right) \mathbb { P } \left. \left( \mathbf { D } _ { i } \geq A \cdot \frac { 1 } { 4 \sqrt { i } } \right| { D } _ { i } ( k ) \geq \frac { A } { \sqrt { i } } , \ \theta _ { i } = k \right) } \\ & { \underset { \mathrm { M a r k o v } } { \geq } } & { \sum _ { k = i } ^ { + \infty } \mathbb { P } \left( { D } _ { i } ( k ) \geq \frac { A } { \sqrt { i } } , \ \theta _ { i } = k \right) \mathbb { P } \left. \left( \mathbf { D } _ { i } \geq A \cdot \frac { 1 } { 4 \sqrt { i } } \right| { D } _ { i } ( k ) \geq \frac { A } { \sqrt { i } } \right) } \\ & { \geq } & { \mathbb { P } ( \theta _ { i } < \infty ) \cdot \operatorname* { i n f } \left\{ \mathbb { P } \left. \left( \mathbf { D } _ { i } \geq \frac { A } { 4 \sqrt { i } } \right| d _ { i } ( k ) = m \right) : \begin{array} { c } { k \geq i , m \geq 1 } \\ { 2 ( k - 1 ) > m } \\ { m \geq \frac { A } { \sqrt { i } } \cdot ( \sqrt { \pi } \alpha _ { k } ) } \end{array} \right\} } \end{array}
F _ { i , p } ^ { \mathrm { N C } } + F _ { i , n } ^ { \mathrm { N C } } = - 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ( F _ { i , p } ^ { \mathrm { E M } } + F _ { i , n } ^ { \mathrm { E M } } ) - S _ { i } + { } ^ { u - d } F _ { i } ^ { p + n } ~ ~ .
\rho ( I , t ) = \Theta ( t ) \ \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { ( I - I _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 D t } } - \mathrm { e } ^ { - \frac { ( I + I _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 D t } } } { \sqrt { 4 \pi D t } \ \mathrm { e r f } \left( \frac { I _ { 0 } } { \sqrt { 4 D t } } \right) } = \Theta ( t ) \ \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { ( I - I _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 D t } } } { \sqrt { 4 \pi D t } } \ \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { I \, I _ { 0 } } { D t } } } { \mathrm { e r f } \left( \frac { I _ { 0 } } { \sqrt { 4 D t } } \right) } \; .
\begin{array} { r l } { 0 < \underline { { \mu } } ( 1 + \vartheta ) } & { \leq \mu ( \vartheta ) \leq \overline { { \mu } } ( 1 + \vartheta ) , } \\ { 0 } & { \leq \eta ( \vartheta ) \leq \overline { { \eta } } ( 1 + \vartheta ) , } \\ { 0 < \underline { { \kappa } } ( 1 + \vartheta ^ { 3 } ) } & { \leq \kappa ( \vartheta ) \leq \overline { { \kappa } } ( 1 + \vartheta ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } } & { { } = \mathbf { \epsilon } \mathbf { E } + \mathbf { \gamma } \mathbf { H } , } \\ { \mathbf { B } } & { { } = \mathbf { \mu } \mathbf { H } - \mathbf { \gamma } \mathbf { E } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b d k a f h c e g = } & { 1 / q * a e k b f g c d h - ( 1 - q ^ { - 2 } ) * a f h b f g c d h } \\ & { + ( q - q ^ { - 1 } ) * a f h b f g c e g + ( q - q ^ { - 1 } ) * a f h c d h c e g } \\ & { + ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } * a f h ( c e g ) ^ { 2 } - ( q ^ { 4 } - q ^ { 2 } ) * b f g c d h ( c e g ) ^ { 2 } . } \end{array}
f ( \bar { \theta } ) = \frac { m g d } { \bar { I } } \sin \bar { \theta } - \frac { \mu _ { 1 1 } F _ { 0 } ^ { 2 } d ^ { 2 } } { \bar { I } ^ { 2 } } \sin 2 ( \bar { \theta } - \beta ) + \frac { 2 \mu _ { 1 2 } F _ { 0 } M _ { 0 } d } { \bar { I } ^ { 2 } } \sin ( \bar { \theta } - \beta )
\begin{array} { r l r l r l } { \| \tilde { u } - g \| _ { W _ { 2 } ^ { k } ( \mathbb { M } ) } } & { \le C h ^ { j - k } \| \tilde { u } \| _ { W _ { 2 } ^ { j } ( \mathbb { M } ) } } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \| g \| _ { W _ { 2 } ^ { m } ( \mathbb { M } ) } } & { \le C h ^ { j - m } \| \tilde { u } \| _ { W _ { 2 } ^ { j } ( \mathbb { M } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \mathrm { o u t p u t } | { \bf \hat { S } } | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { { } = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ( 2 \Delta \phi ) } \\ { \sin ( 2 \Delta \phi ) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}