harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\kappa _ { \mathrm { e f f } , 1 } = \kappa _ { 1 } + \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \kappa _ { 1 } } = 1 + \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \approx 1 . 0 5 0 6 6
\begin{array} { r l } { \sum _ { i < j } \big \vert \mathbb { E } \big [ ( \phi _ { k } ( X _ { i } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { i } ) ] ) ( \phi _ { k } ( X _ { j } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { j } ) ] ) \big ] \big \vert \lesssim } & { \| \phi _ { k } \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } ^ { \frac { 1 } { \log ( n ) } } \sum _ { \ell \geq 0 } \exp \big ( - b \frac { \ell ^ { \eta } } { \log ( n ) } \big ) } \\ { \lesssim } & { \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) \lambda _ { k } ^ { \frac { 1 } { \log ( n ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { i } ( \xi , t ) } & { = \sigma _ { \varepsilon } ^ { i } ( \xi , t ) + \int _ { D } \mathbb { P } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ Q _ { j } ^ { i } ( \eta , t ; 0 ) 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } \right] W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , t , \xi ) \textrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { P } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ Q _ { j } ^ { i } ( \eta , t ; s ) 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } g _ { \varepsilon } ^ { j } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] p _ { u } ( 0 , \eta , t , \xi ) \textrm { d } \eta \textrm { d } s } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { 1 } { L } \sum _ { i } \left( - P _ { i } X _ { i } \sqrt { - g _ { \mu \nu } \dot { x ^ { \mu } } \dot { x ^ { \nu } } } + \dot { x ^ { \nu } } A _ { \nu } ^ { i } P _ { i } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { A } ( \mathbf { G } ^ { \prime \prime } ) \mathbf { P } - \mathbf { P } \, \mathbb { A } ( \mathbf { G } ^ { \prime \prime } ) } & { { } = \mathbb { H } ( \mathbf { G } ^ { \prime \prime } ) \mathbf { P } + \mathbf { P } \, \mathbb { H } ( \mathbf { G } ^ { \prime \prime } ) . } \end{array}
\forall \varphi \in \mathbb { T } , \quad \widetilde { \mathcal { K } } _ { g } ( f ) ( \varphi ) \triangleq \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \big ( g ( \varphi ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Sigma } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \xi } ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \Delta z _ { i } ) ^ { 2 } \Big ( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Big [ ( \delta \rho _ { i } ) ^ { 2 } P _ { \delta \rho , i } \Big ] d ( \delta \rho _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { m } } \left( f ( z ) - \lambda \| z - y \| _ { 2 } \right) } & { = \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { m } } \left( \operatorname* { s u p } _ { w \in \Theta _ { f } } \left( \langle w , z \rangle - f ^ { * } ( w ) \right) - \lambda \| z - y \| _ { 2 } \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { m } } \left( \operatorname* { s u p } _ { w \in \Theta _ { f } } \left( \langle w , z \rangle - f ^ { * } ( w ) \right) - \operatorname* { s u p } _ { \| \alpha \| _ { 2 } \leq \lambda } \langle \alpha , z - y \rangle \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { m } } \operatorname* { s u p } _ { w \in \Theta _ { f } } \operatorname* { i n f } _ { \| \alpha \| _ { 2 } \leq \lambda } \left( \langle w , z \rangle - f ^ { * } ( w ) - \langle \alpha , z - y \rangle \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { w \in \Theta _ { f } } \operatorname* { i n f } _ { \| \alpha \| _ { 2 } \leq \lambda } \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { m } } \left( \langle w , z \rangle - f ^ { * } ( w ) - \langle \alpha , z - y \rangle \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { w \in \Theta _ { f } } \operatorname* { i n f } _ { \| \alpha \| _ { 2 } \leq \lambda } \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { m } } \left( \langle w - \alpha , z \rangle - f ^ { * } ( w ) + \langle \alpha , y \rangle \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { w \in \Theta _ { f } } \operatorname* { i n f } _ { \| \alpha \| _ { 2 } \leq \lambda } \left\{ \begin{array} { l l } { \langle \alpha , y \rangle - f ^ { * } ( w ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \: w = \alpha , } \\ { \infty } & { \mathrm { ~ i f ~ } w \neq \alpha . } \end{array} \right. } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { w \in \Theta _ { f } } \left\{ \begin{array} { l l } { \langle w , y \rangle - f ^ { * } ( w ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \: \| w \| _ { 2 } \leq \lambda , } \\ { \infty } & { \mathrm { ~ i f ~ } \: \| w \| _ { 2 } > \lambda . } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { s u p } _ { w \in \Theta _ { f } } \left( \langle w , y \rangle - f ^ { * } ( w ) \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \: \operatorname* { s u p } _ { w \in \Theta _ { f } } \| w \| _ { 2 } \leq \lambda , } \\ { \infty } & { \mathrm { ~ i f ~ } \: \operatorname* { s u p } _ { w \in \Theta _ { f } } \| w \| _ { 2 } > \lambda . } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { f ( y ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \: \| f \| _ { \mathrm { L i p } , 2 } \leq \lambda , } \\ { \infty } & { \mathrm { ~ i f ~ } \: \| f \| _ { \mathrm { L i p } , 2 } > \lambda . } \end{array} \right. } \end{array}
F _ { , \dot { \phi } \dot { \phi } } \ddot { W } + { \frac { d } { d \rho } } F _ { , \dot { \phi } \dot { \phi } } \dot { W } + \left( { \frac { d } { d \rho } } F _ { , \phi \dot { \phi } } - F _ { , \phi \phi } \right) W ~ = ~ 0 .
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } { \partial t } } & { = P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \left[ f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) + \frac { 1 } { 2 } D ( \widehat { L } ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) \right] } \\ & { \ \ \ + \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) \left[ \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } f ( \widehat { L } ) \, P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } D ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \right] \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( { \vec { H } } _ { 2 } - { \vec { H } } _ { 1 } \right) \times { \hat { n } } } & { { } = 0 } \\ { \left( { \vec { B } } _ { 2 } - { \vec { B } } _ { 1 } \right) \cdot { \hat { n } } } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { \textrm { N } } ( \vec { r } ) } & { = } & { \sum _ { \vec { L } } \rho _ { \textrm { N } } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) , } \\ { \rho _ { \textrm { N } } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) } & { = } & { \sum _ { I } Z _ { I } ^ { \textrm { e f f } } \delta ( \vec { r } - \vec { R } _ { I } - \vec { L } ) , } \end{array}
\beta _ { 1 } = \frac { 3 3 - 2 n _ { \mathrm { f } } } { 1 2 } = \frac { 1 } { 4 } \beta _ { 0 } , \; \; \; \beta _ { 2 } = \frac { 1 5 3 - 1 9 n _ { \mathrm { f } } } { 2 4 } ,
\begin{array} { r l } { [ [ \hat { H } , \tau ] , \tau ] f } & { = [ \hat { H } , \tau ] ( \tau f ) - \tau [ \hat { H } , \tau ] f } \\ & { = \sum _ { i } \Big ( - \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } ( \tau f ) + \tau \boldsymbol { \nabla } _ { i } \boldsymbol \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } f \Big ) } \\ & { = \sum _ { i } \Big ( - f \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau - \tau \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } f } \\ & { \quad + \tau \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } f \Big ) } \\ & { = \sum _ { i } \Big ( - f \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \Big ) } \\ & { = \sum _ { i } - \Big ( \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \Big ) ^ { 2 } f } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ G ~ E ~ P ~ } : } & { { } p V = 8 . 3 1 2 n T + 0 . 0 0 0 7 n + 0 . 0 0 0 7 T , } \\ { \mathrm { ~ G ~ E ~ P ~ N ~ N ~ } : } & { { } p V = 8 . 3 1 4 n T . } \end{array}
T _ { f i } ^ { ( n ) } - T _ { i f } ^ { ( n ) * } \ = \ i \sum _ { i ^ { \prime } } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( P _ { i ^ { \prime } } - P _ { i } ) \sum _ { k = 1 } ^ { n } T _ { i ^ { \prime } f } ^ { ( k ) * } T _ { i ^ { \prime } i } ^ { ( n - k ) } .
\begin{array} { r l } { P _ { \gamma , C F _ { 3 } ^ { * } } = } & { f _ { C F _ { 4 } } \cdot P _ { \gamma , C F _ { 3 } ^ { * } } \big | _ { d i r } + \left( ( 1 - f _ { C F _ { 4 } } ) \cdot P _ { A r ^ { * * } } \cdot \frac { K _ { A r ^ { * * } - > C F _ { 3 } ^ { * } } } { K _ { A r ^ { * * } - > C F _ { 3 } ^ { * } } + \frac { ( 1 - f _ { C F _ { 4 } } ) } { f _ { C F _ { 4 } } } \cdot K _ { A r ^ { * * } - > A r ^ { * } } } \right) } \end{array}
V _ { Q Q Q } ( \vec { \mathrm { r } } _ { 1 } , \vec { \mathrm { r } } _ { 2 } , \vec { \mathrm { r } } _ { 3 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i < j } V ( \vert \vec { \mathrm { r } } _ { i } - \vec { \mathrm { r } } _ { j } \vert ) .
T \left[ \frac { \partial s } { \partial t } + ( \boldsymbol { v } \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } ) s \right] = \frac { 1 } { \rho } \left[ \eta \mu _ { 0 } \boldsymbol { J } ^ { 2 } - \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } \cdot ( F _ { \mathrm { r a d } } + F _ { \mathrm { S G S } } ) - F _ { \mathrm { c o o l } } \right] + 2 \nu \boldsymbol { S } ^ { 2 } ,
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { Q C D } } = { \bar { \psi } } _ { i } \left( i ( \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } ) _ { i j } - m \, \delta _ { i j } \right) \psi _ { j } - { \frac { 1 } { 4 } } G _ { \mu \nu } ^ { a } G _ { a } ^ { \mu \nu }
\begin{array} { r l } { i \dot { u } _ { 1 } } & { { } = ( 1 + | u _ { 1 } | ^ { 2 } ) ( u _ { 2 } + u _ { 4 } ) ( 1 + i \gamma ) , } \\ { i \dot { u } _ { 2 } } & { { } = ( 1 + | u _ { 2 } | ^ { 2 } ) \left[ u _ { 3 } + u _ { 1 } + i \gamma ( u _ { 3 } - u _ { 1 } ) \right] , } \\ { i \dot { u } _ { 3 } } & { { } = ( 1 + | u _ { 3 } | ^ { 2 } ) \left[ u _ { 4 } + u _ { 2 } + i \gamma ( u _ { 4 } - u _ { 2 } ) \right] , } \\ { i \dot { u } _ { 4 } } & { { } = ( 1 + | u _ { 4 } | ^ { 2 } ) ( u _ { 1 } + u _ { 3 } ) ( 1 - i \gamma ) . } \end{array}
Q ^ { \mu } \cong E _ { X } \left( 1 + \frac { n ^ { 2 } } { 4 } ; 0 , 0 , - 1 + \frac { n ^ { 2 } } { 4 } \right) = E _ { X } \, \left( v _ { - } + \frac { n ^ { 2 } } { 4 } v _ { + } \right)
{ \cal D } ( r ) \approx 0 . 3 1 \, \frac { i g ^ { 2 } L } { \pi ^ { 2 } r ^ { 6 } } \left( 1 + 0 . 6 7 \, \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi } \frac { L } { r } \right)
\hat { M } _ { 2 } ( t ) = \left( \begin{array} { l l l } { - 2 k _ { \mathrm { O N } } ( t ) } & { k _ { \mathrm { O F F } } ( t ) } & { 0 } \\ { 2 k _ { \mathrm { O N } } ( t ) } & { - ( k _ { \mathrm { O F F } } ( t ) + k _ { \mathrm { O N } } ( t ) ) } & { 2 k _ { \mathrm { O F F } } ( t ) } \\ { 0 } & { k _ { \mathrm { O N } } ( t ) } & { - 2 k _ { \mathrm { O F F } } ( t ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { k _ { s } \Im \int _ { D _ { h } } g \cdot \bar { u } \, \mathrm { d } x } & { - \Re \int _ { D _ { h } } g \cdot \partial _ { 2 } \bar { u } \, \mathrm { d } x } \\ & { \le C ( \omega ( h - m ) + 1 ) \| g \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( s , a _ { \pm } ; r ) = } & { \ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big [ L \big ( s ( t , x ) , a _ { \pm } ( t , x ) \big ) + f \big ( x , r ( t , \cdot ) \big ) s ( t , x ) \Big ] d x \, d t } \\ & { \ + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } g \big ( x , r ( T , \cdot ) \big ) s ( T , x ) d x . } \end{array}
z = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \cdots , i _ { k } } { \frac { 1 } { k ! } } c _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { k } } \theta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 2 } } \cdots \theta _ { i _ { k } } \equiv z _ { B } + z _ { S } = z _ { B } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \cdots , i _ { k } } { \frac { 1 } { k ! } } c _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { k } } \theta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 2 } } \cdots \theta _ { i _ { k } } ,
q _ { \mu } J _ { A , \gamma } ^ { \mu , \nu } \epsilon _ { \nu } = \frac { f _ { \pi } M _ { \pi } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } - M _ { \pi } ^ { 2 } } ( { \cal M } - { \cal M } _ { \mathrm { i n t } } ) + \bar { u } _ { f } { \cal W ^ { \nu } } u _ { i } \epsilon _ { \nu }
\begin{array} { r l } { \frac { \rho _ { C R } } { c } c \boldsymbol { E } + \frac { \boldsymbol { j } _ { C R } } { c } \times \boldsymbol { B } = } & { \frac { \left( \rho _ { C R , 0 } + \rho _ { \delta } \right) } { c } c \boldsymbol { E } + \frac { \left( \boldsymbol { j } _ { C R , 0 } + \boldsymbol { j } _ { \delta } \right) } { c } \times \boldsymbol { B } , } \\ { \frac { \boldsymbol { j } _ { C R } } { c } \cdot \left( c \boldsymbol { E } \right) = } & { \frac { \left( \boldsymbol { j } _ { C R , 0 } + \boldsymbol { j } _ { \delta } \right) } { c } \cdot \left( c \boldsymbol { E } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \widehat { X } } ( e ^ { i \omega } ) } & { = \ X _ { 1 / T } \left( { \frac { \omega } { 2 \pi T } } \right) \ = \ \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } X \left( { \frac { \omega } { 2 \pi T } } - k / T \right) } \\ & { = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } X \left( { \frac { \omega - 2 \pi k } { 2 \pi T } } \right) . } \end{array} }
\Gamma _ { \gamma _ { i \rightarrow f } } ^ { R S F } = \langle \Gamma _ { \gamma } ^ { R S F } \rangle \, \epsilon _ { P T } = \overleftarrow { f } _ { X L } ( E _ { \gamma } ) \, \frac { E _ { \gamma } ^ { 2 L + 1 } } { \rho _ { i } } \, \epsilon _ { P T } .
\frac { \Gamma _ { Z \rightarrow g g } } { \Gamma } = \left\{ \begin{array} { c } { { 2 . 0 4 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } } } \\ { { 3 . 8 5 \cdot 1 0 ^ { - 1 8 } } } \end{array} \right\} \biggl ( \frac { B } { B _ { 0 } } \biggr ) ^ { 2 } .
\frac { \partial T } { \partial t } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } u _ { j } \partial _ { j } T = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { \alpha ^ { \prime } } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \: \mathrm { ~ P ~ r ~ } } \partial _ { j } \partial _ { j } T + \mathrm { ~ S ~ } _ { T } ^ { \Gamma }
\begin{array} { r } { ( \pm \omega + i \eta + \varepsilon _ { i } - H [ \rho ] ) \delta \psi _ { i } ^ { \pm } - ( f _ { \mathrm { H X C } } \delta \rho ) \psi _ { i } = \delta V _ { \mathcal P } \psi _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Delta U } { k _ { B } } = - 4 . 1 6 \, \mu \mathrm { K } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( k \Delta U = - 3 . 3 9 \times 1 0 ^ { - 2 2 } \, \mathrm { N } ) . } \end{array}
\Xi _ { n } [ \xi ] = \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { n } [ i \xi ] \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ v ~ e ~ n ~ n ~ } , } \\ { ( - i ) \cdot P _ { n } [ i \xi ] \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } \ . \ } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \left( { \bf \nabla } ^ { 2 } - \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { t } ^ { 2 } \right) { \bf A } } & { = } & { 0 } \\ { \left( \nabla ^ { 2 } - \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { t } ^ { 2 } \right) \Phi } & { = } & { 0 } \\ { { \bf \nabla } \cdot { \bf A } + \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { t } \Phi } & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ v ~ } } } & { { } = \sum _ { i } \bigg [ \frac { \hat { P } _ { i } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { i } ^ { 2 } \bigg ( \hat { Q } _ { i } + \frac { C _ { i } \hat { R } } { \Omega _ { i } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] , } \end{array}
m _ { \widetilde { d _ { L } } \widetilde { d _ { L } ^ { * } } } ^ { 2 } = m _ { \widetilde { d _ { L } ^ { c } } \widetilde { d _ { L } ^ { c * } } } ^ { 2 } = m _ { d } m _ { d } ^ { + } + m ^ { 2 } \times 1
\Phi = c ^ { - 1 } \frac { \frac { 2 \ell } { G _ { \mathrm { ~ c ~ } } } \operatorname* { m a x } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \Psi } { 1 + \frac { 2 \ell } { G _ { \mathrm { ~ c ~ } } } \operatorname* { m a x } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \Psi } .
\int _ { 0 } ^ { \tau } \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| \mathrm { d } \eta = \tau \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right|
( m _ { \nu _ { e } } ) _ { t r e e } \simeq \frac { \mu ~ ( c g ^ { 2 } + { g ^ { \prime } } ^ { 2 } ) ~ \langle \tilde { \nu } \rangle ^ { 2 } } { 4 ~ ( - c ~ \mu M + M _ { w } ^ { 2 } ~ \cos \beta ~ \sin \beta ~ ( c + \tan ^ { 2 } \theta _ { w } ) ) } ~ ,
\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { 2 ^ { k } k } } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { 3 ^ { k } k } } = { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } { \Bigg ) } - { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 1 8 } } { \Bigg ) } + { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 2 4 } } + { \frac { 1 } { 8 1 } } { \Bigg ) } - { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 6 4 } } + { \frac { 1 } { 3 2 4 } } { \Bigg ) } + \cdots = \ln 2
v _ { \mathrm { { x c } } } ^ { \mathrm { L D A } } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \delta E ^ { \mathrm { L D A } } } { \delta \rho ( \mathbf { r } ) } } = \epsilon _ { \mathrm { { x c } } } ( \rho ( \mathbf { r } ) ) + \rho ( \mathbf { r } ) { \frac { \partial \epsilon _ { \mathrm { { x c } } } ( \rho ( \mathbf { r } ) ) } { \partial \rho ( \mathbf { r } ) } } \ .
E _ { \mathrm { s a t } } = \sqrt { 2 \hbar n _ { 0 } \kappa } = \sqrt { \frac { \hbar n _ { 0 } } { 2 n l _ { 1 } } \ln \left( R _ { 1 } \right) } = \sqrt { \frac { \hbar n _ { 0 } } { 2 n l _ { 1 } } \ln \left( R _ { 1 } \right) } .
T ^ { \mu \nu } = { \left( \begin{array} { l l l l } { T ^ { 0 0 } } & { T ^ { 0 1 } } & { T ^ { 0 2 } } & { T ^ { 0 3 } } \\ { T ^ { 1 0 } } & { T ^ { 1 1 } } & { T ^ { 1 2 } } & { T ^ { 1 3 } } \\ { T ^ { 2 0 } } & { T ^ { 2 1 } } & { T ^ { 2 2 } } & { T ^ { 2 3 } } \\ { T ^ { 3 0 } } & { T ^ { 3 1 } } & { T ^ { 3 2 } } & { T ^ { 3 3 } } \end{array} \right) } \, ,
\begin{array} { r l } { J _ { \nu } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) } & { = \frac { \nu J _ { \nu } \left( x ^ { \prime } \right) } { x } - J _ { \nu + 1 } \left( x ^ { \prime } \right) } \\ & { \simeq \frac { \nu } { x ^ { \prime } \Gamma \left( \nu + 1 \right) } \left( \frac { x ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } - \frac { 1 } { \Gamma \left( \nu + 2 \right) } \left( \frac { x ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu + 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { \Gamma ( \nu + 1 ) } \left( \frac { x ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left[ \frac { \nu } { x ^ { \prime } } - \frac { \Gamma ( \nu + 1 ) } { \Gamma ( \nu + 2 ) } \frac { x ^ { \prime } } { 2 } \right] = 0 } \end{array}
\frac { 1 } { V } W = \frac { 1 } { 8 \pi } \left( M ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } \ln ( M ^ { 2 } / a ^ { 2 } ) - 8 \pi \frac { \alpha _ { R } } { \beta ^ { 2 } } \left( \frac { M ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right) ^ { \beta ^ { 2 } / 8 \pi } \right)
\begin{array} { r l } { L _ { t } ( t , N 2 ( \bar { \mathbf { x } } ) ) } & { = \lambda ( t - N 2 ( \bar { \mathbf { x } } ) ) ^ { 2 } + ( 1 - \lambda ) ( r ( N 2 ( \Bar { \mathbf { x } } ) , N 1 ( \textbf { x } ) ) - 1 ) ^ { 2 } } \\ & { = \lambda ( t - N 2 ( \bar { \mathbf { x } } ) ) ^ { 2 } + ( 1 - \lambda ) \left( \frac { m \sigma } { A \rho N 1 ( \textbf { x } ) } \log \left( 1 + \sigma \frac { A \rho N 1 ( \textbf { x } ) } { m } \right) ( v - w ) N 2 ( \bar { \mathbf { x } } ) ) + v N 2 ( \Bar { \mathbf { x } } ) ) + r _ { 0 } - 1 \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \Phi ( \vec { k } , \omega ) = \frac { 2 z e } { \epsilon _ { r } ( \omega ) } \, \frac { \delta \, ( \omega - \vec { k } \cdot \vec { v } ) } { k ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \, \epsilon _ { r } ( \omega ) } } \\ { \displaystyle \vec { A } ( \vec { v } , \omega ) = \epsilon _ { r } ( \omega ) \, \frac { \vec { v } } { c } \, \Phi ( \vec { k } , \omega ) } \end{array}
\mathrm { T V } _ { \lambda ^ { x , y , t } } ( \mathbf { x } ) : = \| \lambda ^ { x , y , t } \nabla \mathbf { x } \| _ { 1 } = \sum _ { z \in \mathcal { I } } \lambda ^ { x , y , t } | \nabla \mathbf { x } ( z ) | _ { 1 } : = \sum _ { z \in \mathcal { I } } \lambda ^ { x } | \nabla _ { x } \mathbf { x } ( z ) | + \lambda ^ { y } | \nabla _ { y } \mathbf { x } ( z ) | + \lambda ^ { t } | \nabla _ { t } \mathbf { x } ( z ) | .
\operatorname* { m i n } _ { f \in \mathrm { s p a n } ( f _ { 1 } , \ldots , f _ { k } , \bar { f } _ { 1 } , \ldots , \bar { f } _ { k } ) ^ { \bot _ { P } } \setminus \{ \mathbf { 0 } \} } \frac { \| \mathcal { L } f \| _ { 2 } } { \| f \| _ { 2 } } \le | \mu | \le \operatorname* { m a x } _ { f \in \mathrm { s p a n } ( f _ { 1 } , \ldots , f _ { k } , \bar { f } _ { 1 } , \ldots , \bar { f } _ { k } ) ^ { \bot _ { P } } \setminus \{ \mathbf { 0 } \} } \frac { \| \mathcal { L } f \| _ { 2 } } { \| f \| _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { I _ { 0 } + S _ { 0 } + \frac { l n | c s c ( a S _ { 0 } ) + c o t ( a S _ { 0 } ) | } { R _ { 0 } a } } & { { } = I _ { \infty } + S _ { \infty } + \frac { l n | c s c ( a S _ { \infty } ) + c o t ( a S _ { \infty } ) | } { R _ { 0 } a } } \end{array}
\operatorname { V a r } [ X ] = E \! \left[ X ^ { 2 } \right] - E \! \left[ X \right] ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 2 } { \lambda _ { i } ^ { 2 } } } p _ { i } - \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { p _ { i } } { \lambda _ { i } } } \right] ^ { 2 } = \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { p _ { i } } { \lambda _ { i } } } \right] ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { i } p _ { j } \left( { \frac { 1 } { \lambda _ { i } } } - { \frac { 1 } { \lambda _ { j } } } \right) ^ { 2 } .
T _ { \mathrm { e } } ^ { 0 } + T _ { 3 } \simeq i 4 \pi \eta ^ { 3 } a _ { 0 } ^ { 2 } \! \int ( d ^ { 3 } { \bf r } ) { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \sum _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } Y _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { * } ( \hat { \bf p } ) Y _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( \hat { \bf r } ) \left\{ \phi _ { f } ^ { * } ( { \bf r } ) - e ^ { i p r } \phi _ { f } ^ { * } ( { \bf 0 } ) \right\} \phi _ { i } ( { \bf r } ) \, .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { d } } & { { } = \hbar \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left( \alpha _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } + \alpha _ { d } ^ { * } \hat { a } \right) - \hbar \delta _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \hbar \Delta _ { a } \int \hat { \psi } _ { e } ^ { \dagger } ( Z ) \hat { \psi } _ { e } ( Z ) \, d Z + \sum _ { \tau = g , e } \int \hat { \psi } _ { \tau } ^ { \dagger } ( Z ) \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } \hat { \psi } _ { \tau } ( Z ) \, d Z } \end{array}
W _ { \mathrm { ~ M ~ 2 ~ L ~ } } ( N ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } \cdot 2 ^ { \kappa + 1 } \cdot ( n + 1 ) ^ { 6 } \quad N = N _ { t } ^ { \kappa + 1 } , } \\ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } \cdot 2 ^ { \kappa + 2 } \cdot ( n + 1 ) ^ { 6 } \quad N _ { t } ^ { \kappa + 1 } \geq N > N _ { t } ^ { \kappa } . } \end{array} \right.
K = \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , n ( d _ { A } + d _ { B } ) \frac { 1 + 2 \sqrt { \frac { \ln ( 8 / \varepsilon ) } { 2 n } } + \frac { \ln ( 8 / \varepsilon ) } { n } } { 1 - 2 \sqrt { \frac { \ln ( 8 / \varepsilon ) } { 2 k } } } \right\} .
\begin{array} { r } { J ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) = { \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \mathrm { n o i s e } } ^ { 2 } } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } | U _ { \boldsymbol \nu } ( r _ { k } , 0 , t _ { m } ) \! - \! d _ { k } ^ { m } | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \boldsymbol \nu - \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ) ^ { t } \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { p r } } } ^ { - 1 } ( \boldsymbol \nu - \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ) , } \end{array}