harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
V = 3 \mathrm { e } ^ { G _ { 0 } } \frac { ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) } { 1 - \alpha } [ \mathrm { e } ^ { - x } ( \cos { ( x ) } - \frac { 1 } { \alpha } \sin { ( x ) } ) ] ^ { \frac { 3 \alpha } { \alpha - 1 } } \sin ^ { 2 } { ( x ) } .
\begin{array} { r l } & { P _ { j } ^ { i - 1 } = A ^ { \prime } P _ { j } ^ { i } A + \bar { A } ^ { \prime } P _ { j } ^ { 0 } \bar { A } + Q , i = 1 , \cdots , d - 1 , } \\ & { P _ { j } ^ { d } = ( A - B K _ { j } ) ^ { \prime } P _ { j } ^ { d } ( A - B K _ { j } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + ( \bar { A } - \bar { B } K _ { j } ) ^ { \prime } P _ { j } ^ { 0 } ( \bar { A } - \bar { B } K _ { j } ) + K _ { j } ^ { \prime } R K _ { j } + Q , } \end{array}
g ( \varepsilon ) \, d \varepsilon = 2 { \frac { 1 } { 8 } } 4 \pi n ^ { 2 } \, d n = { \frac { 8 \pi L ^ { 3 } } { h ^ { 3 } c ^ { 3 } } } \varepsilon ^ { 2 } \, d \varepsilon .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } C _ { k } \frac { x ^ { k } } { k ! } } & { = 1 + \log \left( \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { \binom { j } { 2 } } \frac { x ^ { j } } { j ! } \right) } \\ & { = 1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + 4 \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + 3 8 \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } + 7 2 8 \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } } \\ & { \qquad + 2 6 \, 7 0 4 \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } + 1 \, 8 6 6 \, 2 5 6 \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \pi _ { C | D } - \pi _ { D | D } ) q _ { D | D } = } & { { } \left[ - c + w _ { I } b + \frac { 1 - w _ { I } } { k } ( k - 1 ) q _ { C | C } b - \frac { 1 - w _ { I } } { k } ( k - 1 ) q _ { C | D } b \right] \left( 1 - \frac { k - 2 } { k - 1 } p _ { C } \right) } \\ { = } & { { } \left( - c + w _ { I } b + \frac { 1 - w _ { I } } { k } b \right) \left( 1 - \frac { k - 2 } { k - 1 } p _ { C } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { A u t } _ { k } ( \mathcal { F } ) = } & { \{ ( \lambda , 1 ) \in ( G ) _ { k ^ { \prime } } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } \gamma * a = g _ { \gamma } ^ { - 1 } \cdot a \cdot g _ { \gamma } \} } \\ { = } & { \{ \lambda \in ( \mathbb { G } _ { \mathrm { m } } ) _ { k ^ { \prime } } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } \gamma * \lambda = \phi ^ { - 1 } ( \gamma ) ( \lambda ) \} } \\ { = } & { \{ \lambda \in ( \mathbb { G } _ { \mathrm { m } } ) _ { k ^ { \prime } } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } \phi ( \gamma ) ( \gamma * \lambda ) = \lambda \} } \\ { = } & { T _ { \phi } ( \operatorname { S p e c } ( k ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { \parallel \mathrm { i } } } & { \simeq \beta _ { \mathrm { i 0 } } \biggl ( 1 + 2 \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } + \frac { k ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \frac { \delta B _ { \parallel } ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \biggr ) ^ { - 1 } \biggl [ 1 - \frac { k ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \beta _ { \mathrm { i 0 } } } \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i 0 } } } \biggl ( 1 + \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i 0 } } } \biggr ) ^ { - 1 } \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } \biggr ] , } \\ { * \beta _ { \perp \mathrm { i } } } & { \simeq \beta _ { \mathrm { i 0 } } \biggl ( 1 + 2 \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } + \frac { k ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \frac { \delta B _ { \parallel } ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \biggr ) ^ { - 1 } \biggl [ 1 - \frac { k ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \beta _ { \mathrm { i 0 } } } \biggl ( 2 + \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i 0 } } } \biggr ) \biggl ( 1 + \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i 0 } } } \biggr ) ^ { - 1 } \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } \biggr ] . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { \{ \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \} } } & { { \{ \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 1 } \} } } \\ { { \{ \Phi _ { 1 } , \Phi _ { 0 } \} } } & { { \{ \Phi _ { 1 } , \Phi _ { 1 } \} } } \end{array} \right) = { \cal D } \delta ( z - z ^ { \prime } ) = { \cal D } \delta ( x - x ^ { \prime } ) \delta ( \theta - \theta ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { U = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { e ^ { - 2 i k } \left( 1 + e ^ { i k } \right) } { \sqrt { 6 } } } & { - \frac { e ^ { - 2 i k } \left( 1 + 2 e ^ { i k } \right) } { \sqrt { 3 3 } } } & { \frac { 1 } { 3 } e ^ { - 2 i k } \left( - 1 + 2 e ^ { i k } \right) } \\ { \frac { e ^ { - i k } \left( - 2 + e ^ { i k } \right) } { 2 \sqrt { 3 } } } & { - \sqrt { \frac { 2 } { 3 3 } } e ^ { - i k } \left( - 1 + e ^ { i k } \right) } & { \frac { 1 } { 3 } \sqrt { 2 } e ^ { - i k } \left( 1 + e ^ { i k } \right) } \\ { \frac { 1 } { 2 } } & { 2 \sqrt { \frac { 2 } { 1 1 } } } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k = 1 } ^ { z } \frac { ( b + n + k \cdot w ) w } { n ^ { 2 } } } & { \leq } & { \frac { z ( b + n + z w ) 2 w } { n ^ { 2 } } } \\ & { \leq } & { \frac { 2 m ( n + m ) } { n ^ { 2 } } } \\ & { \leq } & { 2 \sqrt { n } + \frac { 2 m ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } } \\ & { \leq } & { \sqrt { n } + 2 \alpha ^ { 2 } \cdot n } \end{array}
\langle \eta ^ { ( \prime ) } | \bar { u } \gamma ^ { \mu } b | B ^ { - } \rangle = ( p _ { B } + p _ { \eta ^ { ( \prime ) } } ) ^ { \mu } F _ { 1 ^ { - } } ^ { \eta ^ { ( \prime ) } } ( m _ { X _ { s } } ^ { 2 } ) + ( p _ { B } - p _ { \eta ^ { ( \prime ) } } ) ^ { \mu } f ^ { \eta ^ { ( \prime ) } } ( m _ { X _ { s } } ^ { 2 } )
d \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } / d t = \dot { V } _ { 0 } + \dot { V } _ { 1 } ^ { T } \cdot \hat { x } - V _ { 1 } ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } - \dot { q } _ { t } ^ { T } \cdot V _ { 2 } \cdot \hat { x } + \hat { x } ^ { T } \cdot \dot { V } _ { 2 } \cdot \hat { x } / 2 .
\Pi ^ { \nu \alpha } ( k , \hat { \chi } ) = \int _ { p } \frac { \left( 2 p + k \right) ^ { \nu } \left( 2 p + k \right) ^ { \alpha } } { \left( p ^ { 2 } + \hat { \chi } \right) \left[ \left( p + k \right) ^ { 2 } + \hat { \chi } \right] } - 2 \delta ^ { \nu \alpha } \int _ { p } \frac { 1 } { p ^ { 2 } + \hat { \chi } } ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { Q _ { T } } \left[ \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \right) ^ { 2 } \right] \chi \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \\ { = } & { \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) - \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } u \right) \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) } \\ { = } & { \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) } \\ & { - \int _ { Q _ { T } } \left[ \gamma \left( \tilde { u } _ { n } \chi \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} - u \chi \{ | u - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} \right) \left( \partial _ { x } u \right) \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \right] } \\ & { - \int _ { Q _ { T } } \left[ \gamma u \chi \{ | u - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} \left( \partial _ { x } u \right) \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \right] } \\ { = } & { A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } } \end{array}
\underline { { \hat { f } } } = \{ \underline { { f } } \} - \frac { U } { 2 } \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \Delta \rho } \\ { \Delta \rho u } \\ { \Delta \rho v } \\ { \Delta \rho H } \end{array} \right) } \end{array} - \delta U \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { \rho H } \end{array} \right) } \end{array} - \delta p \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { n _ { x } } \\ { n _ { y } } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G ( u ; \mu ) = - \frac 1 { 2 } h ( \beta ( \overline { { \mu } } ) - u ) ^ { 2 } + O ( | \beta ( \overline { { \mu } } ) - u | ^ { 3 } ) \quad \ ( u \to \beta ( \mu ) ) , } \\ & { h : = \frac { d } { \kappa ^ { 2 } } \cdot \frac { \beta ( \overline { { \mu } } ) ( \beta ( \overline { { \mu } } ) - \alpha ( \overline { { \mu } } ) ) } { \beta ( \overline { { \mu } } ) + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ( M _ { i j } ) = } & { \frac { 1 } { 2 } ( w _ { i } + w _ { j } - \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) \left( 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 ( w _ { i } - w _ { j } ) ( \lambda _ { j } - \lambda _ { i } ) } { ( w _ { i } + w _ { j } - \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) ^ { 2 } } } \right) } \\ { \leqslant } & { w _ { i } + w _ { j } - \lambda _ { i } - \lambda _ { j } \leqslant \lambda _ { n } - \lambda _ { 1 } } \end{array}
\mathbf \Lambda _ { V } ^ { \prime \prime } = \Delta x \Delta y \Delta z \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { z } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { y } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { x } + 1 } \, ,
\begin{array} { r l r } { \langle 1 _ { \mp } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { \pm } ^ { \prime } \rangle } & { { } = } & { \langle 1 _ { \mp } | \left( 1 - \hat { H } _ { \mathrm { ~ Z ~ e ~ e ~ } } \hat { Q } _ { 1 } \right) \hat { V } _ { j } \left( 1 - \hat { Q } _ { 1 } \hat { H } _ { \mathrm { ~ Z ~ e ~ e ~ } } \right) | 1 _ { \pm } \rangle + \mathcal { O } ( B ^ { 2 } ) } \end{array}
{ \mathcal L } ^ { -- } = \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { i j } \, \overline { { { e } } } _ { i } ^ { c } P _ { R } \, e _ { j } \tilde { L } _ { 1 } ^ { -- } + \lambda _ { 2 } ^ { i j } \, \overline { { { e } } } _ { i } ^ { c } \gamma ^ { \mu } P _ { R } \, e _ { j } L _ { 2 \mu } ^ { -- } + \sqrt { 2 } \, \lambda _ { 3 } ^ { i j } \, \overline { { { e } } } _ { i } ^ { c } P _ { L } \, e _ { j } L _ { 3 } ^ { -- } + \mathrm { h . c . } \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } = } & { - \frac { d } { d t } \int f \ln f d x d v = - \int \ln f \frac { \partial f } { \partial t } d x d v } \\ { = } & { - \int \ln f \left( \frac { \partial f } { \partial t } \bigr \rvert _ { c o l l } - v \frac { \partial f } { \partial x } + E \frac { \partial f } { \partial v } \right) d x d v , } \end{array}
H _ { B I } = ( 1 . 8 \times 1 0 ^ { - 1 5 } ) \frac { ( 1 - \beta ) ^ { 7 / 2 } g ^ { 2 } { \cal C } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } N _ { e } ^ { 2 } \lambda ^ { 1 / 2 } } M _ { p } ,
\mathbb { P } \bar { \rho } _ { p ^ { * } } \Big \{ R ^ { \epsilon } ( \hat { \beta } ) \leq r ^ { \epsilon } ( \beta ) + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \Big ( \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } + \log ( 1 + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } ) + \log \frac { 1 } { w _ { p } } + \log \frac { 1 } { \delta } \Big ) \Big \} \geq 1 - \delta .
\begin{array} { r l r } { \| G _ { 1 2 } \| _ { \infty } } & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq N } 6 \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| \hat { q } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t \right| + } \\ & { } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } | \hat { q } ( j - \omega ) \hat { q } ( \omega - k ) | ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 4 \Delta t } { \overline { { p } } \omega ^ { 2 } + \overline { { q } } } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { X } } & { = \frac { 2 } { \operatorname* { m a x } \{ \delta , t \} } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \operatorname* { m a x } \{ \delta , t \} \right) ( Z - X ) } \\ { \frac { d } { d t } \nabla h ( Z ) } & { = \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \mu \nabla h ( X ) - \mu \nabla h ( Z ) - \nabla f ( X ) \right) } \end{array}
\Psi [ f ] = \int _ { \phi | _ { S ^ { 1 } } = f } { \cal D } \phi \, e ^ { - S [ \phi ] } = \int _ { \phi ^ { ' } | _ { S ^ { 1 } } = 0 } { \cal D } \phi ^ { ' } \, e ^ { - S [ \phi ^ { ' } + f ] }
\begin{array} { r l } { { \bf K } _ { \mathrm { W I N } , k } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { m } \left[ \int _ { \Theta } \xi _ { i } \left( \theta \right) \lambda _ { k } ^ { 2 } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) \right] { \bf K } _ { i } , } \\ { { \bf F } _ { \mathrm { W I N } , k } } & { = \int _ { \Theta } { \bf F } \left( \theta \right) \lambda _ { k } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) - \sum _ { i = 0 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \left[ \int _ { \Theta } \xi _ { i } \left( \theta \right) \lambda _ { j } \left( \theta \right) \lambda _ { k } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) \right] { \bf K } _ { i } { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , j } , } \end{array}
n _ { \vec { k } } ( t ) = n _ { \vec { k } } ( \tau ) + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 3 } \, ( t - \tau ) \; { \cal R } [ \omega _ { \vec { k } } , { \vec { k } } ; { \cal N } _ { i } ( \tau ) ] + { \cal O } ( \lambda ^ { 4 } ) ~ .
\rho ( { \bf r } _ { n } , \beta _ { n } ; { \bf r } _ { 0 } , \beta _ { 0 } ) = { \int } D { \bf r } ( \beta ) \cdot \exp ( - \frac m 2 { \int _ { \beta _ { 0 } } ^ { \beta _ { n } } } d \beta \cdot ( \partial { \bf r } / \partial \beta ) ^ { 2 } )
\frac { d ^ { 2 } { \hat { \phi } } } { d { \hat { t } } ^ { 2 } } + 3 \, { \hat { H } } \, \frac { d { \hat { \phi } } } { d { \hat { t } } } + \frac { d { \hat { V } } } { d { \hat { \phi } } } = 0 ~ ~ .
\begin{array} { r } { u ( { { \bf s } } , x _ { 3 } , \tau ) = \frac { 1 } { \pi } \Re \int _ { 0 } ^ { \infty } \tilde { u } ( { { \bf s } } , x _ { 3 } , \omega ) \exp \{ - i \omega \tau \} \mathrm { d } \omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { e } } & { { } = \boldsymbol { \nabla } ^ { e x } \cdot \boldsymbol { v } + \boldsymbol { I } ^ { e x } = 0 } \\ { \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { z } } & { { } = \mathbb { S } \cdot \boldsymbol { j } , } \end{array}
{ \phi } ( x , y ; { \delta } _ { 1 } , { \delta } _ { 2 } ) = { \phi } _ { 0 } ( x , y ) + { \omega } _ { x } ( x , y ) ( { \delta } _ { 1 } - x ) + { \omega } _ { y } ( x , y ) ( { \delta } _ { 2 } - y )
W = \sum _ { k } M _ { k } q \bar { q } ( a \bar { a } ) ^ { N - 1 - k } + \sum _ { m } \Big ( H _ { m } q ^ { 2 } a ( a \bar { a } ) ^ { N - 2 - m } + \bar { H } _ { m } \bar { q } ^ { 2 } \bar { a } ( a \bar { a } ) ^ { N - 2 - m } \Big )
\mathrm { F i t t } _ { R _ { n } ^ { \chi } } S e l _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } = ( \mathrm { F i t t } _ { R _ { n } ^ { \chi } } S e l _ { \Sigma \cup J } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } ) \cdot ( \mathrm { F i t t } _ { R _ { n } ^ { \chi } } Y _ { v } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } ^ { \ast } ) .
c ( p , \rho ) = \sqrt { \frac { \rho _ { 0 } ^ { 2 } c _ { 0 } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \frac { 1 + ( s - \Gamma _ { 0 } ) \eta } { ( 1 - s \eta ) ^ { 3 } } + \frac { p } { \rho ^ { 2 } } \Gamma _ { 0 } \rho _ { 0 } } .
{ \frac { \theta _ { 2 } } { \theta _ { 1 } } } { \Big | } _ { \theta _ { 1 } \neq 0 } = { \frac { k _ { \theta } } { F L } } - 1 \approx \left\{ { \begin{array} { l l } { 1 . 6 1 8 } & { { \mathrm { f o r ~ } } F L / k _ { \theta } \approx 0 . 3 8 2 } \\ { - 0 . 6 1 8 } & { { \mathrm { f o r ~ } } F L / k _ { \theta } \approx 2 . 6 1 8 } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } _ { \mathrm { L L } } = \ } & { \left[ \frac { 1 } { 2 } \sin 2 \theta \cos 2 \theta | \boldsymbol { \nabla } ( \Delta \phi ) | ^ { 2 } - { \hbar } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \theta \right] \boldsymbol { \nabla } \theta } \\ & { - \left[ \sin 2 \theta \cos 2 \theta \boldsymbol { \nabla } ( \Delta \phi ) \cdot \boldsymbol { \nabla } \theta + \frac 1 4 \sin ^ { 2 } 2 \theta \nabla ^ { 2 } ( \Delta \phi ) \right] \boldsymbol { \nabla } ( \Delta \phi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| W ( t ) V _ { \eta ^ { * } \gamma ^ { * } } ( t ) ( \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) ) \| _ { \infty } \le } & { ( 2 n - 1 ) \| W ( t ) \| _ { \operatorname* { m a x } } \| V _ { \eta ^ { * } \gamma ^ { * } } ( t ) ( \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) ) \| _ { \infty } } \\ { = } & { O _ { p } \left( \frac { e ^ { 6 q _ { n } } \kappa _ { n } } { n \sqrt { h _ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\operatorname { S m o o t h M a x W e i g h t e d } ( \{ ( x _ { i } , p _ { i } ) \} _ { i } | \beta ) = \frac { \sum _ { i } \exp ( \beta x _ { i } ) p _ { i } x _ { i } } { \sum _ { i } \exp ( \beta x _ { i } ) p _ { i } } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { v } \cdot \nabla f + \left( - \nabla \Phi + \boldsymbol { v } \times \textbf { B } \right) \cdot \nabla _ { \boldsymbol { v } } f = 0 \, , } \\ { \nabla \times \textbf { B } = \lambda \textbf { B } + \textbf { J } _ { k } \, . } \end{array}
\frac { 8 \pi } { 3 } G _ { N } \rho _ { e f f } = ( \frac { \dot { \alpha } } { \alpha } ) ^ { 2 } = \frac { ( C + E ) ^ { 2 } g _ { S } e ^ { 2 \Phi } - | g _ { 0 0 } | ( g _ { S } g ^ { 3 } + \ell ^ { 2 } e ^ { 2 \Phi } ) } { 4 | g _ { 0 0 } | g _ { r r } g _ { S } g ^ { 3 } } ( \frac { g ^ { \prime } } { g } ) ^ { 2 }
^ { o u t } < P _ { b } ( \tilde { p } _ { 1 } ) P _ { d } ( \tilde { p } _ { 2 } ) | P _ { a } ( p _ { 1 } ) P _ { c } ( p _ { 2 } ) > ^ { i n } = _ { a c } S _ { b d } ( \theta ) \delta ( \tilde { p } _ { 1 } ^ { 1 } - p _ { 1 } ^ { 1 } ) \delta ( \tilde { p } _ { 2 } ^ { 1 } - p _ { 2 } ^ { 1 } ) - _ { a c } S _ { d b } ( \theta ) \delta ( \tilde { p } _ { 1 } ^ { 1 } - p _ { 2 } ^ { 1 } ) \delta ( \tilde { p } _ { 2 } ^ { 1 } - p _ { 1 } ^ { 1 } ) .
\begin{array} { r l } { w ^ { 2 } } & { \equiv 1 + \frac { 1 } { R \left( Z _ { \perp } - \frac { 1 } { 4 u _ { \mathrm { e f f } } } \right) } , } \\ { I } & { = - \frac { 1 } { 4 Z _ { \perp } } + \left( 1 + \frac { 1 } { 4 Z _ { \perp } } \right) u _ { \mathrm { e f f } } e ^ { u _ { \mathrm { e f f } } } E _ { 1 } ( u _ { \mathrm { e f f } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { u } ( \mathbf { U } \cdot \mathbf { V } ) } & { { } = \mathbf { V } \cdot \left( \partial _ { u } \mathbf { U } - \nabla \times \mathbf { V } \right) , } \\ { \nabla ( \mathbf { U } \cdot \mathbf { V } ) } & { { } = \mathbf { V } ( \nabla \cdot \mathbf { U } ) - \mathbf { U } \times \left( \partial _ { u } \mathbf { U } - \nabla \times \mathbf { V } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { A } \boxtimes \mathcal { A } | _ { C } ) = \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { A } ) \otimes \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { A } | _ { C } ) = 0 \textnormal { a n d } } \\ & { \textnormal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { A } \boxtimes \mathcal { A } | _ { C } ) = \left( \textnormal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { A } ) \otimes \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { A } | _ { C } ) \right) \oplus \left( \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { A } ) \otimes \textnormal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { A } | _ { C } ) \right) = 0 . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \pi } } = { \frac { 1 } { 4 2 6 8 8 0 { \sqrt { 1 0 0 0 5 } } } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 6 k ) ! ( 1 3 5 9 1 4 0 9 + 5 4 5 1 4 0 1 3 4 k ) } { ( 3 k ) ! ( k ! ) ^ { 3 } ( - 6 4 0 3 2 0 ) ^ { 3 k } } }
\langle \, 0 \, | \, \mathcal { O } ( x ) \, | \, p _ { 1 } , \dots , p _ { n } \, \rangle ^ { i n } = e ^ { - i x ( p _ { 1 } + \dots + p _ { n } ) } \, f _ { n } ^ { \mathcal { O } } ( \theta _ { 1 } , \dots , \theta _ { n } ) ~ , ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ \theta _ { 1 } > \dots > \theta _ { n }
< \Delta ^ { + } ( p ^ { \prime } ) | A _ { \mu } ^ { 3 } | N > = \bar { \Delta } ^ { + \nu } ( p ^ { \prime } ) \{ [ { \frac { C _ { 3 } ^ { A } } { M } } \gamma ^ { \lambda } + { \frac { C _ { 4 } ^ { A } } { M ^ { 2 } } } p ^ { \lambda } ] ( q _ { \lambda } g _ { \mu \nu } - q _ { \lambda \mu } ) + C _ { 5 } ^ { A } g _ { \mu \nu } + { \frac { C _ { 6 } ^ { A } } { M ^ { 2 } } } q _ { \mu } q _ { \nu } \} u ( p )
\left[ \begin{array} { c c c c c } { { g + w _ { 1 } ^ { \ 2 } h _ { 4 } + n _ { 1 } ^ { \ 2 } h _ { 5 } } } & { { w _ { 1 } w _ { 2 } h _ { 4 } + n _ { 1 } n _ { 2 } h _ { 5 } } } & { { w _ { 1 } w _ { 3 } h _ { 4 } + n _ { 1 } n _ { 3 } h _ { 5 } } } & { { w _ { 1 } h _ { 4 } } } & { { n _ { 1 } h _ { 5 } } } \\ { { w _ { 1 } w _ { 2 } h _ { 4 } + n _ { 1 } n _ { 2 } h _ { 5 } } } & { { 1 + w _ { 2 } ^ { \ 2 } h _ { 4 } + n _ { 2 } ^ { \ 2 } h _ { 5 } } } & { { w _ { 2 } w _ { 3 } h _ { 4 } + n _ { 2 } n _ { 3 } h _ { 5 } } } & { { w _ { 2 } h _ { 4 } } } & { { n _ { 2 } h _ { 5 } } } \\ { { w _ { 1 } w _ { 3 } h _ { 4 } + n _ { 1 } n _ { 3 } h _ { 5 } } } & { { w _ { 3 } w _ { 2 } h _ { 4 } + n _ { 2 } n _ { 3 } h _ { 5 } } } & { { g + w _ { 3 } ^ { \ 2 } h _ { 4 } + n _ { 3 } ^ { \ 2 } h _ { 5 } } } & { { w _ { 3 } h _ { 4 } } } & { { n _ { 3 } h _ { 5 } } } \\ { { w _ { 1 } h _ { 4 } } } & { { w _ { 2 } h _ { 4 } } } & { { w _ { 3 } h _ { 4 } } } & { { h _ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { n _ { 1 } h _ { 5 } } } & { { n _ { 2 } h _ { 5 } } } & { { n _ { 3 } h _ { 5 } } } & { { 0 } } & { { h _ { 5 } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { P _ { 4 } \, = \, } & { - \frac { 1 5 } { 1 0 2 4 } \, ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 4 } + \frac { 2 1 } { 5 1 2 } \, ( R { - } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 1 6 } \, R R ^ { \prime } \, ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 7 } { 1 0 2 4 } \, ( R ^ { 2 } { - } R ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 5 6 } \, R R ^ { \prime } \, ( R { - } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, , } \\ { Q _ { 4 } \, = \, } & { \frac { 3 1 } { 2 0 4 8 } \, ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 4 } - \frac { 8 9 } { 1 0 2 4 } \, ( R { + } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 5 6 } \, R R ^ { \prime } \, ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 1 9 } { 6 1 4 4 } \, ( R ^ { 2 } { - } R ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { 3 5 } { 1 5 3 6 } \, R R ^ { \prime } ( R { + } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 8 } \, R ^ { 2 } R ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { \mathrm { o u t } ~ k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { d } } ; k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } } = \langle k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { d } } \vert \hat { \rho } _ { \mathrm { o u t } } \vert k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } \rangle } \\ { = } & { \sum _ { m , n = 0 } ^ { n _ { \mathrm { m a x } } } \langle k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { d } } \vert U \vert m \rangle \rho _ { \mathrm { l o s s y } ~ m , n } \langle n \vert U ^ { \dag } \vert k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 0 } ( t ) } & { = \sqrt { 2 \hbar / \omega } \mathrm { \; R e } \; \alpha ( t ) = \sqrt { 2 \hbar / \omega } [ \mathrm { \; R e } \; \alpha \cos \omega t + \mathrm { \; I m } \; \alpha \sin \omega t ] = q _ { 0 } \cos \omega t + ( p _ { 0 } / \omega ) \sin \omega t } \\ { p _ { 0 } ( t ) } & { = \sqrt { 2 \hbar \omega } \mathrm { \; I m } \; \alpha ( t ) = \sqrt { 2 \hbar \omega } [ \mathrm { \; I m } \; \alpha \cos \omega t - \mathrm { \; R e } \; \alpha \sin \omega t ] = p _ { 0 } \cos \omega t - \omega q _ { 0 } \sin \omega t } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { t \in [ T + 1 ] } \frac { a _ { t } } { \sum _ { s = 1 } ^ { t } a _ { s } } \leq 1 + \log \left( \frac { \sum _ { t \in [ T ] } a _ { t } } { a _ { 1 } } \right) + \log \left( \frac { \sum _ { s \in [ T + 1 ] } a _ { s } } { \sum _ { s \in [ T ] } a _ { s } } \right) = 1 + \log \left( \frac { \sum _ { t \in [ T + 1 ] } a _ { t } } { a _ { 1 } } \right) , } \end{array}
\frac { \partial V _ { e f f } } { \partial \sigma } = 0 \Longrightarrow - m _ { B } ^ { 2 } + \lambda _ { B } v ^ { 2 } = 2 g _ { B } ^ { 2 } \int ^ { \Lambda } \frac { d ^ { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { 1 } { q ^ { 2 } + g _ { B } ^ { 2 } v ^ { 2 } } .