harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } ( \operatorname* { m i n } \{ X _ { 1 } , \ldots , X _ { n } \} \le x ) = 1 - \operatorname* { P r } ( \operatorname* { m i n } \{ X _ { 1 } , \ldots , X _ { n } \} > x ) } \\ { = } & { 1 - \operatorname* { P r } ( X _ { 1 } > x \ \& \ \cdots \ \& \ X _ { n } > x ) = 1 - \operatorname* { P r } ( X _ { 1 } > x ) \cdots \operatorname* { P r } ( X _ { n } > x ) } \\ { = } & { 1 - \big ( \operatorname* { P r } ( X _ { 1 } > x ) \big ) ^ { n } = 1 - \left( \int _ { x } ^ { \infty } \operatorname { P D F } ( u ) \, d u \right) ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { V _ { z } , V _ { z } } ( p ) = \frac { \textup { c o v } _ { \mu } \left[ V _ { z } ( \xi ( \tau ) ) , V _ { z } ( \xi ( \tau ) + p ) \right] } { \sigma _ { V _ { z } ( \xi ( \tau ) ) } \sigma _ { V _ { z } ( \xi ( \tau ) + p ) } } ~ , } \end{array}
\gamma _ { i } ^ { * } = \gamma _ { 1 } ^ { * } + ( \beta _ { 2 1 } ^ { - } ) ^ { * } + ( \beta _ { 3 2 } ^ { - } ) ^ { * } + \cdots + ( \beta _ { i , i - 1 } ^ { - } ) ^ { * } = \mu _ { 1 } ^ { * } + \mu _ { 2 } ^ { * } + \cdots + \mu _ { i } ^ { * } .
\left[ \begin{array} { l } { E _ { 3 } } \\ { H _ { 3 } } \end{array} \right] = \mathbf { M } _ { 0 } \left[ \begin{array} { l } { E _ { 4 } } \\ { H _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { Z _ { r } } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { E _ { 4 } } \\ { H _ { 4 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ a ~ x ~ i ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ B ~ F ~ P ~ } } ( y , z ) } & { { } = \ensuremath { \mathcal { F } } _ { z } \left\{ \ensuremath { \mathrm { ~ A ~ i ~ } } \left( \frac { z } { z _ { 0 } } \right) \cdot \exp \left( \frac { a z } { z _ { 0 } } - \frac { y ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \ensuremath { \circledast } \delta \left( z - \frac { y ^ { 2 } } { 2 r _ { d } } \right) \right\} } \end{array}
U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } - \frac { \nu } { U _ { o } L } ( 1 + \nu _ { T } ) \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } - \frac { \nu } { U _ { o } L } ( \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial U _ { j } } { \partial x _ { i } } ) \frac { \partial \nu _ { T } } { \partial x _ { j } } - f _ { i } ^ { \perp } - h _ { i } = 0
a ( t ) \equiv e ^ { \alpha _ { 0 } } = \left[ \left\{ h \left( \frac { t } { l } \right) - g \left( \frac { t } { l } \right) \right\} \right] ^ { - \left( 1 - \frac { 3 b ^ { 2 } } { 4 \kappa ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } } .
\begin{array} { r l r } { \dot { \boldsymbol { x } } _ { i } } & { { } = } & { U \boldsymbol { e } _ { i } , } \\ { \dot { \theta } _ { i } } & { { } = } & { k _ { \odot } \, \omega _ { \odot } + k _ { \parallel } \, \omega _ { \parallel } + k _ { \eta } \, \eta , } \end{array}
\left. \langle 0 | \bar { \psi } \psi | 0 \rangle \right| _ { r e n } = - N _ { C } \left[ \sqrt { \frac { G ^ { 2 } } { 1 2 } } - \frac { m _ { q } } { 2 \pi } \ln \left( \frac { m _ { q } ^ { 2 } } { G ^ { 2 } } \right) + { \cal O } ( N _ { C } ) \right] .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { W } ^ { + } = } & { } & { ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } + W _ { 1 0 } ^ { + } + i W _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } + W _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } ) } \\ & { } & { + k _ { e g } ( i \textbf { W } _ { 2 0 } ^ { i + } + \textbf { W } _ { 2 0 } ^ { + } + i W _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } + W _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P _ { 0 } ^ { 0 } ( \cos \theta ) } & { = 1 } \\ { P _ { 1 } ^ { 0 } ( \cos \theta ) } & { = \cos \theta } \\ { P _ { 1 } ^ { 1 } ( \cos \theta ) } & { = - \sin \theta } \\ { P _ { 2 } ^ { 0 } ( \cos \theta ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) } \\ { P _ { 2 } ^ { 1 } ( \cos \theta ) } & { = - 3 \cos \theta \sin \theta } \\ { P _ { 2 } ^ { 2 } ( \cos \theta ) } & { = 3 \sin ^ { 2 } \theta } \\ { P _ { 3 } ^ { 0 } ( \cos \theta ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( 5 \cos ^ { 3 } \theta - 3 \cos \theta ) } \\ { P _ { 3 } ^ { 1 } ( \cos \theta ) } & { = - { \frac { 3 } { 2 } } ( 5 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) \sin \theta } \\ { P _ { 3 } ^ { 2 } ( \cos \theta ) } & { = 1 5 \cos \theta \sin ^ { 2 } \theta } \\ { P _ { 3 } ^ { 3 } ( \cos \theta ) } & { = - 1 5 \sin ^ { 3 } \theta } \\ { P _ { 4 } ^ { 0 } ( \cos \theta ) } & { = { \frac { 1 } { 8 } } ( 3 5 \cos ^ { 4 } \theta - 3 0 \cos ^ { 2 } \theta + 3 ) } \\ { P _ { 4 } ^ { 1 } ( \cos \theta ) } & { = - { \frac { 5 } { 2 } } ( 7 \cos ^ { 3 } \theta - 3 \cos \theta ) \sin \theta } \\ { P _ { 4 } ^ { 2 } ( \cos \theta ) } & { = { \frac { 1 5 } { 2 } } ( 7 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) \sin ^ { 2 } \theta } \\ { P _ { 4 } ^ { 3 } ( \cos \theta ) } & { = - 1 0 5 \cos \theta \sin ^ { 3 } \theta } \\ { P _ { 4 } ^ { 4 } ( \cos \theta ) } & { = 1 0 5 \sin ^ { 4 } \theta } \end{array} }
S _ { \vartheta } ( \gamma _ { \vartheta } ; P _ { \alpha } ) = M _ { H } m \frac { \lambda \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } { \zeta _ { 1 } ^ { 3 } } \left[ \zeta _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { * } ( \phi , k _ { 1 } ) - k _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 - \zeta _ { 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { F } _ { * } ( \phi , k _ { 1 } ) - ( 1 - \zeta _ { 1 } ^ { 2 } ) ( \zeta _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } ) \Pi _ { * } ( \phi , \zeta _ { 1 } ^ { 2 } , k _ { 1 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \bar { u } _ { t + 1 } - u _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \tau } { 4 } ) \mathbb { E } \bigg \| \bar { u } _ { t } - u _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 5 \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 4 b _ { x } M } + \frac { 5 \eta ^ { 2 } \bar { L } ^ { 2 } } { \mu \tau } \mathbb { E } \bigg \| \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 5 } { 4 } \bigg ( \frac { 3 \tau L ^ { 2 } } { \mu M } + \frac { \tau L _ { y ^ { 2 } } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { 3 } M } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } } & { { } = 2 \ \left( \hat { P } _ { i n a c t } \hat { P } _ { i m p } \hat { P } _ { a c t i v e } + \hat { P } _ { a c t i v e } \hat { P } _ { i m p } \hat { P } _ { i n a c t } - \hat { P } _ { v i r t } \hat { P } _ { i m p } \hat { P } _ { a c t i v e } - \hat { P } _ { a c t i v e } \hat { P } _ { i m p } \hat { P } _ { v i r t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi \colon \mathbb { Z } [ \lambda ] \rtimes _ { \lambda } \mathbb { Z } } & { \longrightarrow \mathsf { S A } ( 2 , \mathbb { Z } ) } \\ { \left( \begin{array} { l l } { \lambda ^ { k } } & { x } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } & { \longmapsto \left( A _ { \lambda } ^ { k } , ( x _ { 1 } , x _ { \lambda } ) ^ { \top } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { d } - B \left( I _ { d } + D G ( U _ { 0 } ) L ^ { - 1 } \right) \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \| \pi _ { N } - \pi _ { N } B \left( I _ { d } + D G ( U _ { 0 } ) L ^ { - 1 } \right) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \| \pi ^ { N } - \pi ^ { N } B \left( I _ { d } + D G ( U _ { 0 } ) L ^ { - 1 } \right) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \| \pi _ { N } D G ( U _ { 0 } ) L ^ { - 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \pi ^ { N } - ( \pi ^ { N } + B _ { \Omega _ { 0 } } ) \left( I _ { d } + D G ( U _ { 0 } ) L ^ { - 1 } \right) \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| U _ { \ell } ( u , \phi ) \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim \| \partial _ { t } ^ { \ell } [ \rho ( \phi ) u _ { t } ] \| _ { s } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } [ \rho ( \phi ) u \cdot \nabla u ] \| _ { s } ^ { 2 } + \| \nabla \cdot \partial _ { t } ^ { \ell } ( \nabla \phi \otimes \nabla \phi ) \| _ { s } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } J _ { i , j } = - \frac { 1 } { \Delta \xi _ { 1 } } \left( \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \tt 2 p t h } - \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } } \right) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \tt 2 p t h } \right) - \frac { 1 } { \Delta \xi _ { 2 } } \left( \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } } \right) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 p \mathrm { t h } } - \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } } \right) _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \tt 2 p t h } \right) , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta \xi _ { 1 } } \left( \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { { \tt 2 p t h } } - \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } \right) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { { \tt 2 p t h } } \right) + \frac { 1 } { \Delta \xi _ { 2 } } \left( \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } \right) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { { \tt 2 p t h } } - \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } \right) _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { { \tt 2 p t h } } \right) = 0 , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta \xi _ { 1 } } \left( \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { { \tt 2 p t h } } - \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } \right) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { { \tt 2 p t h } } \right) + \frac { 1 } { \Delta \xi _ { 2 } } \left( \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } \right) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { { \tt 2 p t h } } - \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } \right) _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { { \tt 2 p t h } } \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { G ( u ; \mu ) } & { = \frac { \mu } { \kappa ^ { 2 } } \left( \frac { u ^ { 2 } } { 2 } - u + \log ( u + 1 ) \right) } \\ & { \quad + \frac { d } { \kappa ^ { 2 } } \left( - \frac { u ^ { 3 } } { 3 } + \frac { u ^ { 2 } } { 2 } - u + \log ( u + 1 ) \right) - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array} } \end{array}
\mathbf { J } = \frac { 1 } { V } \bigg [ \sum _ { i = 1 } ^ { N } e _ { i } \mathbf { v } _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i < j } ^ { N } [ \mathbf { F } _ { i j } ( \mathbf { v } _ { i } + \mathbf { v } _ { j } ) ] \mathbf { r } _ { i j } \bigg ] \, ,
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 1 2 } ^ { k } a ( \varphi , x , y ) } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { a ( \omega , \varphi , x , y ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ k = 0 ~ , } } \\ { \gamma \frac { a ( \omega _ { 1 } , \varphi , x , y ) - a ( \omega _ { 2 } , \varphi , x , y ) } { | \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } | } , } & { \mathrm { ~ i f ~ k = 1 ~ } , } \end{array} \right. } \\ { \Delta _ { 1 2 } ^ { k } S _ { 1 , \Upsilon } ( a ) ( \varphi , x , \xi ) } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { 1 , \Upsilon } ( a ) ( \omega , \varphi , x , y ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ k = 0 ~ , } } \\ { \gamma \frac { S _ { 1 , \Upsilon } ( a ) ( \omega _ { 1 } , \varphi , x , \xi ) - S _ { 1 , \Upsilon } ( a ) ( \omega _ { 2 } , \varphi , x , \xi ) } { | \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } | } , } & { \mathrm { ~ i f ~ k = 1 ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \| \boldsymbol { x } \| \rightarrow \infty } \| \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } ) \| = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \Big \| \ln \left[ \begin{array} { l } { \langle \boldsymbol { s } ^ { [ 1 ] } , \exp ( - B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { x } ) \rangle } \\ { \vdots } \\ { \langle \boldsymbol { s } ^ { [ Q ] } , \exp ( - B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { x } ) \rangle } \end{array} \right] \Big \| = \Big \| \ln \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { i } s _ { m _ { i } } ^ { [ 1 ] } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { i } s _ { m _ { i } } ^ { [ Q ] } } \end{array} \right] \Big \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { S } _ { \mathrm { p - p o l } } } & { = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { E _ { y } ^ { \prime } \gamma _ { 0 } \left( B _ { z } ^ { \prime } - E _ { x } ^ { \prime } \frac { v _ { y } } { c ^ { 2 } } \right) } \\ { - \gamma _ { 0 } \left( E _ { x } ^ { \prime } - v _ { y } B _ { z } ^ { \prime } \right) \gamma _ { 0 } \left( B _ { z } ^ { \prime } - E _ { x } ^ { \prime } \frac { v _ { y } } { c ^ { 2 } } \right) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { \gamma _ { 0 } E _ { y } ^ { \prime } B _ { z } ^ { \prime } } \\ { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } v _ { y } B _ { z } ^ { \prime 2 } } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d \sigma } { d \Omega } } } & { { } = { \frac { \alpha ^ { 2 } } { E _ { C M } ^ { 2 } p ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \theta } } { \Big ( } 1 6 p ^ { 4 } - 8 p ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta + p ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \theta { \Big ) } } \end{array}
\boldsymbol { n } ( u ) = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast \partial \Sigma = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \partial \Sigma _ { v } ( \ast v _ { \Sigma } ) = ( \partial \Sigma _ { v } ) ^ { \flat } \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \Sigma .
- 0 . 0 3 3 - 2 . 5 \log _ { 1 0 } { \left( 1 - 1 . 5 0 7 \left( { \frac { \alpha } { 1 8 0 ^ { \circ } } } \right) - 0 . 3 6 3 \left( { \frac { \alpha } { 1 8 0 ^ { \circ } } } \right) ^ { 2 } - 0 . 0 6 2 \left( { \frac { \alpha } { 1 8 0 ^ { \circ } } } \right) ^ { 3 } + 2 . 8 0 9 \left( { \frac { \alpha } { 1 8 0 ^ { \circ } } } \right) ^ { 4 } - 1 . 8 7 6 \left( { \frac { \alpha } { 1 8 0 ^ { \circ } } } \right) ^ { 5 } \right) }
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \| \mathbf { g } _ { t } ^ { k } - \mathbf { g } _ { t - 1 } ^ { k } \| ^ { 2 } } & { \le \sum _ { t = 2 } ^ { T } \| \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) - \nabla F ( { \mathbf w } _ { t - 1 } ^ { k } ) \| ^ { 2 } + \| \nabla F ( { \mathbf w } _ { 1 } ^ { k } ) - \nabla F ( { \mathbf w } _ { T } ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \le H ^ { 2 } ( \| { \mathbf w } _ { 1 } ^ { k } - { \mathbf w } _ { T } ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } + \sum _ { t = 2 } ^ { T } \| { \mathbf w } _ { t } ^ { k } - { \mathbf w } _ { t - 1 } ^ { k } \| ^ { 2 } ) } \\ & { \le 4 T H ^ { 2 } D ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { [ 1 2 ] } = } & { { } - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } + \theta _ { [ 1 3 ] } ) + \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } - \theta _ { [ 2 3 ] } ) \right) } \end{array} } \\ { \begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { [ 1 3 ] } = } & { { } - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 1 2 ] } ) + \sin ( \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 2 3 ] } - \theta _ { [ 3 4 ] } ) \right) } \end{array} } \\ { \begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { [ 2 3 ] } = } & { { } - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 2 3 ] } - \theta _ { [ 1 2 ] } ) + \sin ( \theta _ { [ 2 3 ] } + \theta _ { [ 1 3 ] } - \theta _ { [ 3 4 ] } ) \right) } \end{array} } \\ { \begin{array} { r } { \Dot { \theta } _ { [ 3 4 ] } = - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 3 4 ] } - \theta _ { [ 1 3 ] } - \theta _ { [ 2 3 ] } ) - \sin ( \theta _ { [ 3 4 ] } ) \right) } \end{array} } \end{array} \right. \, ,
d s ^ { 2 } = r ^ { 2 } [ - { \cal F } ( y ) d t ^ { 2 } + { \cal F } ^ { - 1 } ( y ) d y ^ { 2 } + d \theta ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } { \cal { G } } ( x _ { ( \theta ) } ) d \phi ^ { 2 } ] \: ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d P _ { a / g } } { d t } + \frac { P _ { a / g } } { T _ { 2 } } } & { { } = } & { \frac { d _ { 1 2 } ^ { 2 } } { \hbar } \ N _ { a / g } E , } \\ { \frac { d N _ { a / g } } { d t } + \frac { N _ { a / g } - N _ { 0 , a / g } } { T _ { 1 } } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \hbar } \ P _ { a / g } E , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w ( x , t ) } & { = } & { \frac { 1 } { a ( t + t _ { * } ) } F \left( \widehat { u } \left( x , t \right) ; C a ( t + t _ { * } ) \partial _ { x } \widehat { u } \left( x , t \right) \right) } \\ & { = } & { C F \left( \widehat { u } \left( x , t \right) ; \partial _ { x } \widehat { u } \left( x , t \right) \right) = C f ^ { \prime } ( \widehat { u } \left( x , t \right) ) \, \partial _ { x } \widehat { u } \left( x , t \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { H _ { C } } } & { = } & { \int { { d ^ { 3 } } x } \left[ \, { { \Pi _ { i } } { \partial ^ { i } } { a _ { 0 } } + \frac { { { { \bf \Pi } ^ { 2 } } } } { { 2 \, { c _ { 1 } } } } + \frac { { { c _ { 1 } } } } { 2 } \, { { \bf b } ^ { 2 } } - \frac { { { d _ { 1 } } } } { 2 } \, { { \left( { { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf b } } \right) } ^ { 2 } } } \, \right] } \\ & { - } & { \int { { d ^ { 3 } } x } \, \frac { { { d _ { 2 } } } } { { 2 \, c _ { 1 } ^ { 2 } \operatorname* { d e t } D } } \, { \left( { { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \Pi } } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \eta _ { t + 1 } = } & { \eta _ { t } - \gamma _ { t } \cdot f _ { t } ^ { M L M C } } & & { \mathrm { ( r e w a r d ~ t r a c k i n g ) } } \\ { \omega _ { t + 1 } = } & { \Pi _ { \Omega } \big [ \omega _ { t } - \beta _ { t } \cdot g _ { t } ^ { M L M C } \big ] , } & & { \mathrm { ( c r i t i c ~ u p d a t e ) } } \\ { \theta _ { t + 1 } = } & { \theta _ { t } + \eta _ { t } \cdot \delta ^ { \pi _ { \theta _ { t } } } \cdot h _ { t } ^ { M L M C } , } & & { \mathrm { ( a c t o r ~ u p d a t e ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 1 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 2 } } ^ { 0 } \rangle } \\ & { = \Big [ \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 1 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 2 } } ^ { 0 } \rangle - \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 1 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 2 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \Big ] + \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 1 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 2 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle } \\ & { = : A _ { 1 } + A _ { 2 } . } \end{array}
K { \frac { | 0 0 \rangle + | 1 1 \rangle } { \sqrt { 2 } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { 2 } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right] } = { \frac { | 0 0 \rangle + | 0 1 \rangle + | 1 0 \rangle - | 1 1 \rangle } { 2 } }
\begin{array} { r } { I _ { i j } \equiv \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \left[ { \bf x } _ { N } ^ { 2 } ( 0 ) \delta ^ { i j } - x _ { N } ^ { i } ( 0 ) x _ { N } ^ { j } ( 0 ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \left| | G ^ { - 1 } ( v + t \psi ) | ^ { k } - | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k } \right| } { | t | } } & { = k | G ^ { - 1 } ( v + t \delta \psi ) | ^ { k - 1 } | ( G ^ { - 1 } ( v + t \delta \psi ) ) ^ { \prime } | | \psi | } \\ & { \le c | v + t \delta \psi | ^ { ( k - \alpha ) / \alpha } | \psi | \le c \left( | v | ^ { ( k - \alpha ) / \alpha } | \psi | + | \psi | ^ { k / \alpha } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { V } _ { j } ^ { n + 1 } = \mathbf { V } _ { j } ^ { n } + \Delta t \left( \frac { 1 } { h _ { j } ^ { 2 } } \mathbf { G } _ { 1 } \mathbf { V } _ { j } ^ { n + 1 } + \frac { 1 } { h _ { j } } \mathbf { G } _ { 2 } \mathbf { V } _ { j } ^ { n + 1 } + u _ { m , j } ^ { n + 1 } \textrm { \boldmath { g } } \right) . } \end{array}
[ M ] = \left( \begin{array} { l l l } { n _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } - \mu \epsilon } & { - n _ { 1 } n _ { 2 } } & { - n _ { 1 } n _ { 3 } } \\ { - n _ { 1 } n _ { 2 } } & { n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } - \mu \epsilon } & { - n _ { 2 } n _ { 3 } } \\ { - n _ { 1 } n _ { 3 } } & { - n _ { 2 } n _ { 3 } } & { n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } - \mu \epsilon } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { | | \nabla \tau ( x ^ { \prime } ) | | ^ { 2 } } & { = ( Q \Lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } h + \mu ) ^ { T } ( Q \Lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } h + \mu ) } \\ & { = ( Q h + \bar { \mu } ) ^ { T } \Lambda ( Q h + \bar { \mu } ) } \\ & { = ( h + Q ^ { T } \bar { \mu } ) ^ { T } Q ^ { T } \Lambda Q ( h + Q ^ { T } \bar { \mu } ) } \end{array}
Q _ { 7 \gamma } = \frac { e } { 8 \pi ^ { 2 } } m _ { b } \bar { q } _ { \alpha } \sigma ^ { \mu \nu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) b _ { \alpha } F _ { \mu \nu } , ~ ~ Q _ { 8 G } = \frac { g } { 8 \pi ^ { 2 } } m _ { b } \bar { q } _ { \alpha } \sigma ^ { \mu \nu } t _ { \alpha \beta } ^ { a } b _ { \beta } G _ { \mu \nu } ^ { a } , ~ ~ ( q = d ~ \mathrm { o r } ~ s ) .
\begin{array} { r l r l r l r l r l r } { { 6 } A } & { { } = { } } & { ( e i - f h ) , } & { { } \quad } & { D } & { { } = { } } & { - ( b i - c h ) , } & { { } \quad } & { G } & { { } = { } } & { ( b f - c e ) , } \\ { B } & { { } = { } } & { - ( d i - f g ) , } & { { } \quad } & { E } & { { } = { } } & { ( a i - c g ) , } & { { } \quad } & { H } & { { } = { } } & { - ( a f - c d ) , } \\ { C } & { { } = { } } & { ( d h - e g ) , } & { { } \quad } & { F } & { { } = { } } & { - ( a h - b g ) , } & { { } \quad } & { I } & { { } = { } } & { ( a e - b d ) . } \end{array}
V _ { 1 } \left( \begin{array} { l } { \mu _ { 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { \tau } ) } } \\ { \vdots } \\ { \vdots } \\ { \mu _ { g } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { \tau } ) } } \end{array} \right) = \boldsymbol { \nu } _ { X _ { 1 } } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { \tau } ) } \, \mathrm { ~ w i t h ~ } \, \boldsymbol { \nu } _ { X _ { 1 } } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } = \left( \begin{array} { l } { \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { \tau } ) } } \\ { \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { \tau } ) } } \\ { - \nu _ { { X _ { 1 } } , 2 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \vdots } \\ { - \nu _ { { X _ { 1 } } , r _ { 1 } - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \end{array} \right)
\mathbf { L } ^ { \prime } = \gamma c { \boldsymbol { \beta } } \times \mathbf { N } + \mathbf { L } + { \frac { \gamma - 1 } { \beta ^ { 2 } } } { \boldsymbol { \beta } } \times ( { \boldsymbol { \beta } } \times \mathbf { L } )
\begin{array} { r l } & { \tilde { D } _ { i \oplus a , j \oplus b } = \theta _ { D } ( D _ { i \oplus a , j \oplus b } ^ { * } - \overline { { D } } _ { i , j } ) + \overline { { D } } _ { i , j } \quad \mathrm { w i t h } \quad \theta _ { D } = \operatorname* { m i n } \left\{ \left| \frac { \overline { { D } } _ { i , j } - \epsilon _ { D } } { \overline { { D } } _ { i , j } - D _ { \operatorname* { m i n } } } \right| , 1 \right\} , } \\ & { D _ { \operatorname* { m i n } } = \operatorname* { m i n } \left\{ \operatorname* { m i n } _ { \ell } \left\{ D _ { i \oplus \left( \pm \frac 1 2 \right) , j \oplus b _ { \ell } } ^ { * } \right\} , \operatorname* { m i n } _ { \ell } \left\{ D _ { i \oplus b _ { \ell } , j \oplus \left( \pm \frac 1 2 \right) } ^ { * } \right\} , \operatorname* { m i n } _ { \ell , k } \left\{ D _ { i \oplus b _ { \ell } , j \oplus b _ { k } } ^ { * } \right\} , \widehat { D } _ { i , j } \right\} , } \\ & { \widehat { D } _ { i , j } : = \frac { \overline { { D } } _ { i , j } \! - \! \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \omega _ { \ell } \hat { \omega } _ { 1 } \left[ \mu _ { 1 } \left( D _ { i \oplus \frac 1 2 , j \oplus b _ { \ell } } ^ { * } \! + D _ { i \oplus \left( - \frac 1 2 \right) , j \oplus b _ { \ell } } ^ { * } \right) \! + \! \mu _ { 2 } \left( D _ { i \oplus b _ { \ell } , j \oplus \frac 1 2 } ^ { * } \! + D _ { i \oplus b _ { \ell } , j \oplus \left( - \frac 1 2 \right) } ^ { * } \right) \right] } { 1 - 2 \hat { \omega } _ { 1 } } , } \end{array}