harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Psi _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } \left[ B , 0 , - A \right] ^ { T } , \Psi _ { 1 , 3 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } B } \left[ A , \pm \sqrt { B ^ { 2 } - A ^ { 2 } } , - B \right] ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { g _ { r r } } & { { } = \bigg ( \frac { \partial R _ { c } } { \partial r } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \partial Z _ { c } } { \partial r } \bigg ) ^ { 2 } , } \\ { g _ { \theta r } } & { { } = \frac { \partial R _ { c } } { \partial r } \frac { \partial R _ { c } } { \partial \theta } + \frac { \partial Z _ { c } } { \partial r } \frac { \partial Z _ { c } } { \partial \theta } , } \\ { g _ { \theta \theta } } & { { } = \bigg ( \frac { \partial R _ { c } } { \partial \theta } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \partial Z _ { c } } { \partial \theta } \bigg ) ^ { 2 } , } \\ { g _ { \varphi \varphi } } & { { } = R _ { c } ^ { 2 } , } \\ { g _ { r \varphi } } & { { } = g _ { \theta \varphi } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \nu _ { \mathrm { c } } } & { { } = k _ { \mathrm { c } } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } \exp \left( - \alpha _ { \mathrm { c } } \eta \frac { F } { R T } \right) } & { } & { { } - k _ { \mathrm { c } } ^ { \prime } \exp \left( ( 1 - \alpha _ { \mathrm { c } } ) \eta \frac { F } { R T } \right) } \\ { \nu _ { \mathrm { o } } } & { { } = k _ { \mathrm { o } } C _ { \mathrm { O } _ { 2 } } \exp \left( - \alpha _ { \mathrm { o } } \eta \frac { F } { R T } \right) } & { } & { { } - k _ { \mathrm { o } } ^ { \prime } C _ { \mathrm { O H } ^ { - } } \exp \left( ( 1 - \alpha _ { \mathrm { o } } ) \eta \frac { F } { R T } \right) } \\ { \nu _ { \mathrm { h } } } & { { } = k _ { \mathrm { h } } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } \exp \left( - \alpha _ { \mathrm { h } } \eta \frac { F } { R T } \right) } & { } & { { } } \end{array}
M _ { 1 , 2 } = - M _ { 1 , 1 } ^ { i } Q ^ { - 1 } \frac { \delta S _ { 3 } } { \delta \Psi _ { i } } + Q ^ { - 1 } \frac { \delta ^ { 2 } S _ { 4 } } { \delta \Psi _ { i } \delta \Psi _ { i } } .
\begin{array} { r } { \mathrm { L Q } ( \tilde { Y } _ { d _ { l } , d _ { l + 1 } } ^ { a _ { l } ^ { \prime } } ) = \sum _ { s } L _ { d _ { l } , s } Q _ { s , d _ { l + 1 } } ^ { a _ { l } ^ { \prime } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { R \, T \, T ^ { \prime } = T \, T ^ { \prime } \, R \, , } } \\ { { R \, d T \, T ^ { \prime } = T \, d T ^ { \prime } \, \overline { { { R } } } \, , } } \\ { { R \, d T \, d T ^ { \prime } = - d T \, d T ^ { \prime } \, \overline { { { R } } } \, . } } \end{array} \right.
a _ { 0 } ^ { 2 } \equiv | S _ { x 0 } | , \; \! a _ { x x } ^ { 2 } \equiv \frac { 1 } { 2 } \left| \left( \frac { \partial ^ { 2 } S _ { x } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { \! \! 0 } \right| , \; \! a _ { y y } ^ { 2 } \equiv \frac { 1 } { 2 } \left| \left( \frac { \partial ^ { 2 } S _ { x } } { \partial y ^ { 2 } } \right) _ { \! \! 0 } \right| ,
\hat { A } \left( \begin{array} { l } { t _ { E ^ { \prime } } - t _ { E } } \\ { x _ { E ^ { \prime } } - x _ { E } } \\ { y _ { E ^ { \prime } } - y _ { E } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { \delta s _ { A E } ^ { 2 } } \\ { \delta s _ { B E } ^ { 2 } } \\ { \delta s _ { C E } ^ { 2 } } \end{array} \right) \approx \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) ,
\overline { { { \frac { \partial U _ { i } } { \partial t } } } } + \overline { { { \frac { \partial U _ { i } U _ { j } } { \partial x _ { j } } } } } = - { \frac { 1 } { \rho } } \overline { { { \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } } } } + \nu \overline { { { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } } } ~ ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3
R _ { \tau } ( z ^ { + } , \tau ^ { + } ) = \frac { \left< E _ { L } \left[ u _ { d } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right] u _ { S } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } - \tau ^ { + } \right) \right> } { \sqrt { \left< E _ { L } ^ { 2 } \left[ u _ { d } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right] \right> } \sqrt { \left< u _ { S } ^ { + 2 } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right> } } .
\begin{array} { r l } { N \gamma ^ { 2 } \frac { \partial V } { \partial t } = } & { { } N \alpha \gamma \left( 1 - \frac { V ^ { 2 } } { \alpha } \right) \frac { \partial \phi } { \partial z } - N \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \partial a ^ { 2 } } { \partial z } + \frac { V } { \alpha ^ { 2 } } \frac { \partial a ^ { 2 } } { \partial t } \right) } \end{array}
T _ { \mathbf { v } } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { v _ { x } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { v _ { y } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { v _ { z } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { i \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t _ { 1 } } \frac { w _ { 2 } } { w _ { 1 } b ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { b } } - \frac { m } { 2 } \frac { w _ { 2 } } { w _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } \sqrt { b } } \psi _ { 1 } = - \frac { w _ { 2 } } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { b ^ { 2 } \sqrt { b } } } \end{array}
S _ { x } ( \omega ) \simeq \sum _ { n } J _ { n } ^ { 2 } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) \frac { \Gamma k _ { b } T } { 2 m \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( \omega - \omega _ { n } ) ^ { 2 } + ( \Gamma / 2 ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } \cdot \mathbf { B } } & { { } = - A _ { 1 2 } B _ { 1 2 } - A _ { 3 1 } B _ { 3 1 } - A _ { 2 3 } B _ { 2 3 } } \\ { \mathbf { A } \times \mathbf { B } } & { { } = ( A _ { 2 3 } B _ { 3 1 } - A _ { 3 1 } B _ { 2 3 } ) \mathbf { e } _ { 1 2 } + ( A _ { 1 2 } B _ { 2 3 } - A _ { 2 3 } B _ { 1 2 } ) \mathbf { e } _ { 1 3 } + ( A _ { 3 1 } B _ { 1 2 } - A _ { 1 2 } B _ { 3 1 } ) \mathbf { e } _ { 2 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textsc { G r a d } _ { T } ( { \mathbf x } , { \mathbf z } ) _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \nabla F _ { T } ( { \mathbf x } ) _ { i } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } i \ne \mathrm { p r o g } _ { 1 / 4 } ( { \mathbf x } ) } \\ { \frac { { \mathbf z } \nabla F _ { T } ( { \mathbf x } ) _ { i } } { p } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } i = \mathrm { p r o g } _ { 1 / 4 } ( { \mathbf x } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \overline { { u } } _ { i } \overline { { u } } _ { j } ) = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } - \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } .
M ^ { - l ( \lambda ) } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } P _ { \lambda _ { i } } \right] \exp \Big ( F _ { M , N ; \theta } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) \Big ) \Bigr | _ { z _ { 1 } = . . . = z _ { M } = 0 } \xrightarrow [ M \theta \rightarrow \infty ] { N \theta \rightarrow q \gamma } \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } m _ { \lambda _ { i } } ,
S _ { ( \vec { i } , \vec { j } ) } \triangleq \{ P : \mathrm { f o r ~ a l l ~ q u b i t s ~ k \in ~ \mathsf { d o m } ( P ) ~ , ~ t h e n ~ k ~ \in ~ B _ { ( \vec { i } , ~ \vec { j } ) } ~ } \} \setminus \left( \bigcup _ { ( \vec { i } ^ { \prime } , \vec { j } ^ { \prime } ) \leq ( \vec { i } , \vec { j } ) } S _ { ( \vec { i } ^ { \prime } , \vec { j } ^ { \prime } ) } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { 0 } } & { \sim } & { \left( \begin{array} { l } { c ( t ) \sqrt { z } } \\ { d ( t ) \sqrt { \overline { z } } } \end{array} \right) + \sum _ { n \geq 1 } \sum _ { k = - 2 n } ^ { 2 n + 1 } \sum _ { p = 0 } ^ { n - 1 } \left( \begin{array} { l } { \ \ c _ { n , k , p } ( t ) e ^ { i k \theta } \ \ } \\ { \ \ d _ { n , k , p } ( t ) e ^ { i k \theta } \ \ } \end{array} \right) r ^ { n + 1 / 2 } \log ( r ) ^ { p } e ^ { - i \theta / 2 } } \end{array}
c [ \vec { a } ] ( \vec { x } , t ) = \mathbb { E } \left\{ \int _ { t } ^ { T } \mathcal { L } ( \vec { x } , \tau ) [ m ] e ^ { \gamma ( t - \tau ) } d \tau + e ^ { \gamma ( t - T ) } c _ { T } ( \vec { x } _ { T } ) \right\}
\begin{array} { r l } & { M ^ { \mathbf { c } , \mathbf { d } } \left( \phi ( \gamma ^ { \prime } ) , \phi ( \mu ^ { \prime } ) \right) } \\ & { = M ^ { \mathbf { c } , \mathbf { d } } \left( \boldsymbol { \gamma } _ { { 1 } } , \ldots , \boldsymbol { \gamma } _ { { a } } , \gamma _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \gamma _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime } , \boldsymbol { \mu } _ { { 1 } } , \ldots , \boldsymbol { \mu } _ { { b } } , \mu _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \mu _ { b ^ { \prime } } ^ { \prime } \right) } \\ & { = \frac { \delta } { \lambda } f \left( \boldsymbol { \gamma } _ { { 1 } } , \ldots , \boldsymbol { \gamma } _ { { a } } , \boldsymbol { \mu } _ { { 1 } } , \ldots , \boldsymbol { \mu } _ { b } \right) \! + \! \! \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { a ^ { \prime } } \! c _ { i ^ { \prime } } \frac { \delta } { p _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } \gamma _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } + \! \! \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { b ^ { \prime } } \! d _ { j ^ { \prime } } \frac { \delta } { q _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } } \mu _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } , } \end{array}
P _ { 2 } ( s ) = \alpha ^ { 2 } ( \eta _ { 1 } \ldots \eta _ { n } ) \left\{ ( \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( \omega _ { i } + s ) + \eta s \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \eta _ { i } } \prod _ { j \ne i } ^ { n } ( \omega _ { j } + s ) \right\} ,
\begin{array} { r l } { \underset { m \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \langle A ( y _ { m } ) , y _ { m } \rangle } & { = \underset { m \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \sum _ { \xi , \zeta \in \Xi _ { m } } c _ { \xi } \overline { { c _ { \zeta } } } K ( \xi , \zeta ) } \\ & { = \int _ { { \mathbb { S } ^ { 2 } } } \int _ { { \mathbb { S } ^ { 2 } } } \overline { { \tilde { f } _ { n } } } ( \zeta ) K ( \xi , \zeta ) \tilde { f } _ { n } ( \xi ) \, d \xi \, d \zeta < 0 . } \end{array}
\Delta S _ { \mathrm { ~ S ~ E ~ P ~ } } = \frac { \dot { M } _ { \mathrm { ~ w ~ i ~ n ~ d ~ } } \, v _ { \mathrm { ~ w ~ i ~ n ~ d ~ } } ^ { 2 } } { 2 \, E _ { \mathrm { ~ R ~ y ~ d ~ b ~ e ~ r ~ g ~ } } } \, \frac { R _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } } ^ { 2 } } { 4 \, a _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ m ~ p ~ } } ^ { 2 } } \, f _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ o ~ p ~ } } \, t _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ a ~ k ~ e ~ } }
\begin{array} { r l } { \omega ^ { 2 } } & { { } + \left[ 1 + \bar { \tau } + \frac { 2 } { 3 } \left( 1 + \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } \right] i { \omega _ { \parallel } } \omega } \end{array}
H = \sum _ { | \bf k | \le k _ { \mathrm { m a x } } } k ^ { 2 } | \hat { \psi } _ { \bf k } | ^ { 2 } + \sum _ { \bf 1 2 3 4 } \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } \theta _ { 3 } \theta _ { 4 } \hat { \psi } _ { \bf 1 } ^ { * } \hat { \psi } _ { \bf 2 } ^ { * } \hat { \psi } _ { \bf 3 } \hat { \psi } _ { \bf 4 } \delta _ { 3 4 } ^ { 1 2 }
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial \varphi \left( \mathbf { x } , t \right) } { \partial t } } } & { = - \lambda { \frac { \delta { \mathcal { H } } } { \delta \varphi } } + \eta \left( \mathbf { x } , t \right) , } \\ { { \mathcal { H } } } & { = \int d ^ { d } x \left[ { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 0 } \varphi ^ { 2 } + u \varphi ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla \varphi ) ^ { 2 } \right] , } \\ { \left\langle \eta \left( \mathbf { x } , t \right) \eta \left( \mathbf { x } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { = 2 \lambda \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) . } \end{array} }
\mathcal { F } _ { \mathrm { S N } } [ \mathbf { p } _ { i } ^ { ( l ) } ] = \textrm { R e L U } ( p _ { i } ^ { ( l ) } \mathbf { W } _ { \mathrm { S N } } ^ { ( l , 1 ) } ) \mathbf { W } _ { \mathrm { S N } } ^ { ( l , 2 ) }
\mathbf { A } _ { r } = \bar { \mathbf { A } } _ { r } + \frac { \mathbf { v } } { c } \left[ \frac { ( \bar { \mathbf { A } } _ { r } \cdot \mathbf { v } ) c } { v ^ { 2 } } ( \gamma _ { v } - 1 ) + \bar { \mathbf { A } } _ { t } \gamma _ { v } \right] ,
\begin{array} { r l } & { s _ { h } = \left\{ ( x , y ) \in D ~ \mathrm { s . t } ~ \sqrt { e _ { h , 1 } ( x - c _ { h , 1 } ) ^ { 2 } + e _ { h , 2 } ( y - c _ { h , 2 } ) ^ { 2 } } < 0 . 2 \right\} } \\ { \ } & { s _ { l _ { 1 } } = \left\{ ( x , y ) \in D ~ \mathrm { s . t } ~ \sqrt { e _ { l _ { 1 } , 1 } \left( \left( \cos ( \alpha ) x _ { 1 } + \sin ( \alpha ) x _ { 2 } \right) - c _ { l _ { 1 } , 1 } \right) ^ { 2 } + e _ { l _ { 1 } , 2 } \left( \left( - \sin ( \alpha ) x + \cos ( \alpha ) y \right) - c _ { l _ { 1 } , 2 } \right) ^ { 2 } } < 0 . 5 \right\} } \\ & { s _ { l _ { 2 } } = \left\{ ( x , y ) \in D ~ \mathrm { s . t } ~ \sqrt { e _ { l _ { 2 } , 1 } \left( \left( \cos ( \alpha ) x _ { 1 } + \sin ( \alpha ) x _ { 2 } \right) - c _ { l _ { 2 } , 1 } \right) ^ { 2 } + e _ { l _ { 2 } , 2 } \left( \left( - \sin ( \alpha ) x + \cos ( \alpha ) y \right) - c _ { l _ { 2 } , 2 } \right) ^ { 2 } } < 0 . 4 \right\} } \end{array}
r = \frac { \left( \delta T / T \right) _ { Q - T } ^ { 2 } } { \left( \delta T / T \right) _ { Q - S } ^ { 2 } } \approx 0 . 2 7 ~ \left( \frac { M _ { P } V ^ { \prime } ( \phi _ { \ell } ) } { V ( \phi _ { \ell } ) } \right) ^ { 2 } \cdot
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { \sum _ { k } \hat { H } _ { k } } \\ { \hat { H } _ { k } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } k ^ { 2 } } & { \frac { \hbar \Omega _ { R } } { 2 } } \\ { \frac { \hbar \Omega _ { R } } { 2 } } & { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } ( k + \Delta k ) ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \alpha + \gamma \right) ( \tau , \tau + \Delta \tau ) } & { { } = C _ { \mu } ( \tau , \tau + \Delta \tau ) + \mathscr { O } ( ( \Delta \tau ) ^ { 3 } ) , } \\ { \beta ( \tau , \tau + \Delta \tau ) } & { { } = C _ { \nu } ( \tau , \tau + \Delta \tau ) + \mathscr { O } ( ( \Delta \tau ) ^ { 3 } ) , } \\ { \left( ( \alpha - \gamma ) \beta \right) ( \tau , \tau + \Delta \tau ) } & { { } = \mathscr { O } ( ( \Delta \tau ) ^ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \Vert w , j \Vert _ { X } ^ { 2 } } & { \le 2 ( 1 + \hat { \lambda } ) \operatorname* { m a x } ( c \eta _ { 0 } , 1 ) \Vert w , j \Vert _ { X } ^ { 2 } , } \\ { \Vert w , j \Vert _ { X } ^ { 2 } ( t ) } & { \le \exp ( 2 ( 1 + \hat { \lambda } ) \operatorname* { m a x } ( c \eta _ { 0 } , 1 ) t ) \Vert w _ { 0 } , j _ { 0 } \Vert _ { X } ^ { 2 } , } \\ { \Vert w , j \Vert _ { X } ^ { 2 } ( t _ { k _ { 0 } } ) } & { \le \exp ( 2 ( 1 + \hat { \lambda } ) \operatorname* { m a x } ( c \eta _ { 0 } , 1 ) \sqrt { \xi \eta _ { 0 } } ) \Vert w _ { 0 } , j _ { 0 } \Vert _ { X } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c } { 2 } & { 0 } \\ { 3 } & { \frac { 2 } { 3 } } \\ { 4 } & { 2 } \\ { 5 } & { 4 } \\ { 6 } & { 6 } \\ { 7 } & { 1 0 } \\ { 8 } & { 1 2 } \\ { 9 } & { 1 8 } \\ { 1 0 } & { 2 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { + } ^ { 2 } \Sigma _ { 1 1 } ^ { S u n } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) = \lambda ^ { 2 } \int _ { \Lambda _ { \beta } } d ^ { 3 } x x _ { + } ^ { 2 } e ^ { - i \pi T x _ { 0 } } \int _ { \tilde { \cal D } _ { \beta } } d q _ { 1 } \frac { e ^ { i k _ { 1 , 0 } x _ { 0 } + i q _ { 1 , + } x _ { + } + i q _ { 1 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 1 , 0 } + e ( { \bf q } _ { 1 } , 1 ) } } \\ & { } & { \times \int _ { \tilde { \cal D } _ { \beta } } d q _ { 2 } \frac { e ^ { i k _ { 2 , 0 } x _ { 0 } + i q _ { 2 , + } x _ { + } + i q _ { 2 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 2 , 0 } + e ( { \bf q } _ { 2 } , 1 ) } \int _ { \tilde { \cal D } _ { \beta } } d q _ { 3 } \frac { e ^ { - i k _ { 3 , 0 } x _ { 0 } - i q _ { 3 , + } x _ { + } - i q _ { 3 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 0 } + e ( { \bf q } _ { 3 } , 1 ) } \times E _ { 1 1 } , } \end{array}
\mathbf { H } = \mathbf { H } ^ { ( 0 ) } + \mathcal { O } ( \omega ) : = \left\{ \begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } & { - \varepsilon _ { 0 } \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Xi ] + \nabla \mathcal { S } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Theta ] } \\ & { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } \Big ( \varepsilon _ { 0 } \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ] - \mu _ { 0 } \nabla \mathcal { S } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Pi _ { l ^ { \prime } } ] \Big ) + \mathcal { O } ( \omega ) \quad \mathrm { i n } \ \ \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \overline { { \Omega } } , } \\ { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } & { - \varepsilon _ { s } \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Xi ] + \nabla \mathcal { S } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Theta ] } \\ & { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } \Big ( \varepsilon _ { s } \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ] - \mu _ { 0 } \nabla \mathcal { S } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Pi _ { l ^ { \prime } } ] \Big ) + \mathcal { O } ( \omega ) \quad \mathrm { i n } \ \ \tilde { B } , } \\ & { - \gamma _ { l } \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Xi ] - \nabla \mathcal { S } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Theta ] } \\ & { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } \Big ( \gamma _ { l } \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ] - \mu _ { 0 } \nabla \mathcal { S } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Pi _ { l ^ { \prime } } ] \Big ) + \mathcal { O } ( \omega ) \quad \mathrm { i n } \ B _ { l } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I ( \delta ) } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \delta } \frac { \sin ^ { 2 } x } { x ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x } \, d x + 2 \int _ { \delta } ^ { \infty } \frac { \sin ^ { 2 } x } { x ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x } \, d x } \\ & { \le \frac { 2 \, \delta } { 1 + \delta ^ { 2 } } + 2 \int _ { \delta } ^ { \infty } \frac { \sin ^ { 2 } x } { x ^ { 2 } } \, d x } \\ & { = \frac { 2 \, \delta } { \delta ^ { 2 } + 1 } + \frac { 1 - \cos 2 \, \delta } { \delta } + { \pi - 2 \, \operatorname { S i } ( 2 \, \delta ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { { \mathcal { L } } } = - \frac { 1 } { 4 } G ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 4 } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \left( k _ { A F } \right) _ { \mu } A _ { \nu } F _ { \alpha \beta } - A _ { \mu } J ^ { \mu } , } \end{array}
\gamma _ { n } ( n + \frac { 1 } { 2 } - \gamma _ { n } - \gamma _ { n + 1 } ) ( n - \frac { 1 } { 2 } - \gamma _ { n } - \gamma _ { n - 1 } ) = z ^ { 2 } ( \frac { n } { 2 } - \gamma _ { n } ) ^ { 2 }
{ \begin{array} { r l } { f _ { W A L } ( z ; m , \lambda , \kappa ) } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \varphi _ { n } ( 0 , \lambda , \kappa ) z ^ { - n } } \\ & { = { \frac { \lambda } { \pi ( \kappa + 1 / \kappa ) } } { \left\{ \begin{array} { l l } { { \textrm { I m } } \left( \Phi ( z , 1 , - i \lambda \kappa ) - \Phi \left( z , 1 , i \lambda / \kappa \right) \right) - { \frac { 1 } { 2 \pi } } } & { { \mathrm { i f ~ } } z \neq 1 } \\ { \coth ( \pi \lambda \kappa ) + \coth ( \pi \lambda / \kappa ) } & { { \mathrm { i f ~ } } z = 1 } \end{array} \right. } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t _ { n } } f _ { 1 } } & { { } = \epsilon _ { n } ^ { 2 } f _ { + } + f _ { - } } \\ { \partial _ { t _ { n } } f _ { + } } & { { } = \frac { ( q _ { n } - A _ { n } ) } { \epsilon _ { n } ^ { 3 } } E _ { n } - 2 f _ { 1 } } \\ { \partial _ { t _ { n } } f _ { - } } & { { } = \frac { q _ { n } - A _ { n } } { \epsilon _ { n } } E _ { n } - 2 \epsilon _ { n } ^ { 2 } f _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { V } = \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ 0 . 0 2 5 , 0 . 9 7 5 ] } | V ^ { * } - V _ { \alpha } | , W _ { f } = \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ 0 . 0 2 5 , 0 . 9 7 5 ] } | U _ { f } ^ { * } - f _ { \alpha } | , W _ { \Gamma } = \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ 0 . 0 2 5 , 0 . 9 7 5 ] } | \Gamma ^ { * } - \Gamma _ { \alpha } | , W _ { b } = \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ 0 . 0 2 5 , 0 . 9 7 5 ] } | b ^ { * } - b _ { \alpha } | , } \end{array}
f ^ { \prime } ( { \mathrm { E } } ) \left( \left( { \mathrm { E } } ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } M ^ { 2 } \right) - 4 { \mathrm { E } } f ( { \mathrm { E } } ) ( M - { \mathrm { E } } ) ( { \mathrm { E } } + M ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } v _ { i } + v _ { j } \partial _ { j } v _ { i } } & { + \frac { 1 } { m n } \partial _ { j } \left[ \frac { \hbar n } { 2 } \left( \epsilon _ { i k } \partial _ { k } v _ { j } + \epsilon _ { j k } \partial _ { i } v _ { k } \right) \right] + \frac { 1 } { m } \partial _ { i } V ^ { \prime } ( n ) + \frac { e B } { m } \epsilon _ { i j } v _ { j } + \frac { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } { \nu m } \partial _ { i } n , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ^ { - 1 } \big [ \mathcal { J } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { a ; \mu , \nu } ( t , \xi ) \big ] } & { = \sum _ { j _ { 1 } \in [ - k _ { 1 , - } , \infty ) \cap \mathbb { Z } , j _ { 2 } \in [ - k _ { 2 , - } , \infty ) \cap \mathbb { Z } } \mathcal { F } ^ { - 1 } \big [ \mathcal { J } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t , \xi ) \big ] , } \\ { \mathcal { F } ^ { - 1 } \big [ \mathcal { J } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t , \xi ) \big ] } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi + i t \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) \widehat { h _ { 1 ; j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { \mu } } ( t , \xi - \eta ) \widehat { h _ { 2 ; j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { \nu } } ( t , \eta ) \psi _ { k } ( \xi ) d \eta d \xi . } \end{array}
( \xi ^ { \prime } , 0 ) = \boldsymbol \Phi ^ { \prime } = - { \frac { D - R _ { A } + R _ { B } } { R _ { A } R _ { B } } } \boldsymbol r = { \frac { R _ { A } - R _ { B } - D } { R _ { A } R _ { B } } } ( x , 0 ) \, .
\left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 1 } ^ { n } = R \bar { \rho } , \ \ \alpha _ { 2 } ^ { n } = - R ( \bar { u } - \nu _ { 3 } ^ { n } ) , \ \ \alpha _ { 3 } ^ { n } = ( \lambda _ { 0 } i n + \bar { u } - \nu _ { 3 } ^ { n } ) ( \bar { u } - \nu _ { 3 } ^ { n } ) - R \bar { \theta } } \\ { \beta _ { 1 } ^ { n } = - \frac { R \bar { \rho } } { \bar { u } - \nu _ { 1 } ^ { n } } , \ \ \beta _ { 2 } ^ { n } = R , \ \ \beta _ { 3 } ^ { n } = \frac { 1 } { \bar { u } - \nu _ { 1 } ^ { n } } [ R \bar { \theta } - ( \lambda _ { 0 } i n + \bar { u } - \nu _ { 1 } ^ { n } ) ( \bar { u } - \nu _ { 1 } ^ { n } ) ] } \\ { \gamma _ { 1 } ^ { n } = ( \lambda _ { 0 } i n + \bar { u } - \nu _ { 2 } ^ { n } ) ( \kappa _ { 0 } i n + \bar { u } - \nu _ { 2 } ^ { n } ) - \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } } { c _ { 0 } } , \ \ \gamma _ { 2 } ^ { n } = - \frac { R \bar { \theta } } { \bar { \rho } } ( \kappa _ { 0 } i n + \bar { u } - \nu _ { 2 } ^ { n } ) , \ \ \gamma _ { 3 } ^ { n } = \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { 2 } } { \bar { \rho } c _ { 0 } } , } \end{array} \right.
Q _ { \mathcal { T } , \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 6 ) } = \frac { 1 } { 4 } [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + \frac { 1 } { 6 } [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] .
\int _ { 0 } ^ { \tau } { \mathcal { A } _ { \tau } d \tau } = - \int _ { 0 } ^ { \tau } { [ i \rho _ { s } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \partial _ { \tau } \hat { \varsigma } + \rho _ { n } \left( \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \partial _ { \tau } \hat { \varsigma } \right) ^ { 2 } ] d \tau } = - i \rho _ { s } \left[ \phi \left( \tau \right) - \phi \left( 0 \right) + 2 j \pi \right] + \cdots