harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { X _ { t } ^ { \varepsilon } } & { = x + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \sigma _ { l } ^ { 0 } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } + \int _ { 0 } ^ { t } b ^ { 0 } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s + \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \varepsilon \int _ { 0 } ^ { t } \beta ( a _ { k } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } L _ { s } ^ { a _ { k } ^ { \varepsilon } } ( X ^ { \varepsilon } ) , } \\ { Y _ { t } ^ { \varepsilon , i } } & { = y ^ { i } + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \sigma _ { l } ^ { i } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } + \int _ { 0 } ^ { t } b ^ { i } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s + \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \varepsilon \int _ { 0 } ^ { t } \beta ( a _ { k } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \theta ^ { i } ( a _ { k } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } L _ { s } ^ { a _ { k } ^ { \varepsilon } } ( X ^ { \varepsilon } ) , } \\ & { \quad i = 1 , \dots , n , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { m , \pm } } & { { } = \omega _ { m } \pm \left. \left[ \frac { \overline { { L } } } { c } \frac { \partial ( n _ { \mathrm { w g } } \omega ) } { \partial \omega } \right] ^ { - 1 } \right| _ { \omega = \omega _ { m } } \times \operatorname { a r c c o s } \left[ \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \cos \left( 2 \pi \frac { \Delta L } { \overline { { L } } } m \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \zeta _ { K _ { P } \oplus K _ { Q } ^ { * } , M _ { \bullet } ^ { \prime } } ^ { M _ { \bullet } } ( v ) I _ { M _ { \bullet } } ^ { * } } \\ { = } & { v ^ { \langle \hat { P } + \hat { Q } , \hat { P } + \hat { Q } \rangle } \tilde { I } _ { K _ { P } \oplus K _ { Q } ^ { * } } ^ { * } * _ { r } I _ { M _ { \bullet } ^ { \prime } } ^ { * } - \sum \zeta _ { K _ { P } \oplus K _ { Q } ^ { * } , M _ { \bullet } ^ { \prime } } ^ { N _ { \bullet } } ( v ) I _ { N _ { \bullet } } ^ { * } \in { \mathcal D } { \mathcal K } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Vert x _ { k } - \tilde { x } _ { k } \Vert ^ { p } } & { \leq \mathbb { E } \left[ \Vert M _ { k } ( x _ { k - 1 } - \tilde { x } _ { k - 1 } ) \Vert ^ { p } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \Vert M _ { k } e _ { 1 } \Vert ^ { p } \Vert x _ { k - 1 } - \tilde { x } _ { k - 1 } \Vert ^ { p } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \Vert M _ { k } e _ { 1 } \Vert ^ { p } \right] \mathbb { E } \left[ \Vert x _ { k - 1 } - \tilde { x } _ { k - 1 } \Vert ^ { p } \right] = h ( p ) \mathbb { E } \left[ \Vert x _ { k - 1 } - \tilde { x } _ { k - 1 } \Vert ^ { p } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { y } , \hat { t } _ { \pm } \right] } & { { } = } & { \frac { 2 } { 3 } \left[ \hat { u } _ { 3 } , \hat { t } _ { \pm } \right] + \frac { 2 } { 3 } \left[ \hat { v } _ { 3 } , \hat { t } _ { \pm } \right] = 0 , } \end{array}
\ \ \left. \left. + \frac { 3 } { 2 } \gamma \varphi _ { 0 } ^ { 2 } \right) \dot { \phi } \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) \right] + e ^ { - 2 k \phi } \left[ \frac { \gamma } { 2 } \varphi _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } \dot { \phi } ^ { 2 } - V _ { 0 } \varphi _ { 0 } ^ { \alpha } - e ^ { \psi ( 2 - \alpha ) } \right] \ .
\begin{array} { r l } { \| \nabla \dot { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \Omega } | \varepsilon \nabla \dot { v } | ^ { 2 } \mathrm { d } X } & { \leq \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \Omega } | \varepsilon \nabla \dot { v } | ^ { 2 } | I + \varepsilon \nabla v | ^ { - 2 } | I + \varepsilon \nabla v | ^ { 2 } \mathrm { d } X } \\ & { \leq \frac { c } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \Omega } \psi \left( \varepsilon \nabla \dot { v } ( I + \varepsilon \nabla v ) ^ { - 1 } \right) \mathrm { d } X = c \Psi ^ { \varepsilon } ( v ) . } \end{array}
R = \left( \frac { \sqrt 3 } { \pi c _ { \pi } \sqrt { m _ { \pi } } } \right) ^ { 2 / 3 } . \left[ \int \frac { { A ^ { \prime } } ^ { 2 } x ^ { 2 } d x } { e ^ { x ^ { 2 } } + 1 - { A ^ { \prime } } ^ { 2 } } \right] ^ { 1 / 3 } .
{ S _ { 1 2 } ^ { q } = S _ { 3 4 } ^ { q } = \frac { - 2 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - R ) ( 1 - p ) ( 2 k _ { B } \mathcal { T } + p ( e V - 2 k _ { B } \mathcal { T } ) ) } .
\big \langle V ( k ) \Omega _ { n } ^ { a } \widehat { V } ( - k ) \big \rangle _ { g = 0 } = \left( \frac { \bar { k } ^ { 0 } } { k ^ { 1 } } \right) ^ { n } k ^ { a } \equiv h ( k ) ^ { n } k ^ { a } .
\left( \vec { E } _ { g } ( r , \cos \theta = 0 ) \right) _ { r } = - \frac { 2 m } { r ^ { 2 } } + \frac { 8 m ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } + 1 2 ( \alpha - 1 ) \frac { m ^ { 3 } } { r ^ { 4 } } - 6 4 \alpha \frac { m ^ { 4 } } { r ^ { 5 } } + \cdots ,
{ \begin{array} { r l } { \left[ a , b \right] } & { = \lbrace x \mid x \in \mathbb { R } , a \leq x \leq b \rbrace } \\ { \left[ a , \infty \right] } & { = \lbrace x \mid x \in \mathbb { R } , a \leq x \rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace } \\ { \left[ b , a \right] } & { = \lbrace x \mid x \in \mathbb { R } , b \leq x \rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x \mid x \in \mathbb { R } , x \leq a \rbrace } \\ { \left[ \infty , a \right] } & { = \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x \mid x \in \mathbb { R } , x \leq a \rbrace } \\ { \left[ a , a \right] } & { = \{ a \} } \\ { \left[ \infty , \infty \right] } & { = \lbrace \infty \rbrace } \end{array} }
= \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \left[ e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N _ { 1 } N _ { 2 } } } n _ { 1 } k _ { 2 } } \right] \left( \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } x _ { N _ { 1 } n _ { 2 } + n _ { 1 } } e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N _ { 2 } } } n _ { 2 } k _ { 2 } } \right) e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N _ { 1 } } } n _ { 1 } k _ { 1 } }
\begin{array} { r l } { R _ { j k } ^ { \mathrm { o n e } } } & { = \log _ { 2 } ( 1 + \gamma _ { j k } ^ { \mathrm { o n e } } ) , } \\ { \gamma _ { j k } ^ { \mathrm { o n e } } } & { = \frac { 1 } { \overline { { \mathrm { C U } } } _ { j k } ^ { \mathrm { o n e } } + \overline { { \mathrm { Q N } } } _ { j k } ^ { \mathrm { o n e } } + \overline { { \mathrm { I U I } } } _ { j k } ^ { \mathrm { o n e } } + \overline { { \mathrm { P C } } } _ { j k } ^ { \mathrm { o n e } } + \overline { { \mathrm { T N } } } _ { j k } ^ { \mathrm { o n e } } } , } \end{array}
\frac { \mathop { } \! \mathrm { d } \tilde { h } } { \mathop { } \! \mathrm { d } t } = \tilde { J } \tilde { h } + \tilde { \Psi } \tilde { K } \tilde { h } = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { J } _ { u } } & { 0 } \\ { 0 } & { \tilde { J } _ { s } } \end{array} \right) \tilde { h } + \left( \begin{array} { l } { \tilde { \Psi } _ { u } } \\ { \tilde { \Psi } _ { s } } \end{array} \right) \tilde { K } \tilde { h } .
\begin{array} { r l } { m _ { e x } ( x , t ) } & { { } = R _ { c x } ( x , t ) \int \varepsilon f _ { 1 } ( x , v , t ) ( v - u _ { p } ( x , t ) ) d v } \\ { E _ { e x } ( x , t ) } & { { } = R _ { c x } ( x , t ) \int \varepsilon f _ { 1 } ( x , v , t ) \left( \frac { v ^ { 2 } } { 2 } - \frac { u _ { p } ^ { 2 } ( x , t ) + \sigma _ { p } ^ { 2 } ( x , t ) } { 2 } \right) d v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \! \langle \hat { h } \otimes \hat { h } | \hat { r } _ { 2 } \rangle \! \rangle \stackrel { } { = } \operatorname { T r } \Big [ ( \hat { h } \otimes \hat { h } } & { { } ) \big ( \hat { P } _ { + , 1 } ^ { \prime } \hat { P } _ { + , 2 } ^ { \prime } \hat { P } _ { + , 3 } ^ { \prime } - \hat { P } _ { + , 1 } ^ { \prime } \hat { P } _ { - , 2 } ^ { \prime } \hat { P } _ { + , 3 } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { k \approx \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { r _ { 2 a } ^ { \prime } } ^ { r _ { 2 b } ^ { \prime } } \frac { 1 } { r ^ { \prime } } \, d r ^ { \prime } = \frac { 1 } { 4 \pi } \ln { \left[ \frac { r _ { 2 b } ^ { \prime } } { r _ { 2 a } ^ { \prime } } \right] } , } \end{array}
U _ { 1 2 } = \frac { k _ { 2 } ^ { R } } { r _ { 2 } ^ { R } } - \frac { 2 m _ { 1 } } { ( \frac { 1 } { 4 } r _ { 0 } ^ { 2 } + ( r _ { 2 } ^ { R } + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } r _ { 1 } ^ { R } ) ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } - \frac { 2 m _ { 2 } } { ( \frac 1 4 r _ { 0 } ^ { 2 } + ( r _ { 2 } ^ { R } - \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } + m _ { 1 } } r _ { 1 } ^ { R } ) ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } .
d s ^ { 2 } = - c ^ { 2 } \, d \tau ^ { 2 } = - c ^ { 2 } \, d t ^ { 2 } + a ( t ) ^ { 2 } \left( { \frac { d r ^ { 2 } } { 1 - \kappa r ^ { 2 } } } + r ^ { 2 } \left( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \phi ^ { 2 } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \ell _ { 1 } } ( \delta X ) } & { = \nabla _ { X } \left( \frac { 1 } { \dot { \ell } _ { 1 } } J D _ { X } H \right) \delta X = \left( \frac { 1 } { \dot { \ell } _ { 1 } } J \nabla _ { X } ( D _ { X } H ) - \frac { 1 } { ( \dot { \ell } _ { 1 } ) ^ { 2 } } J D _ { X } H \otimes \nabla _ { X } \dot { \ell } _ { 1 } \right) \delta X } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \dot { \ell } _ { 1 } } J ( D _ { X } ^ { 2 } H + D _ { L _ { 1 } } D _ { X } H \otimes D _ { X } L _ { 1 } ) - \frac { 1 } { ( \dot { \ell } _ { 1 } ) ^ { 2 } } J D _ { X } H \otimes \nabla _ { X } \dot { \ell } _ { 1 } \right) \delta X } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hbar \omega ^ { 1 } ( t ) } & { = E _ { 1 } ^ { 0 } - E _ { 0 } ^ { 0 } + \left\langle \phi _ { 1 } \left| \hat { V } ^ { \prime } \right| \phi _ { 1 } \right\rangle - \left\langle \phi _ { 0 } \left| \hat { V } ^ { \prime } \right| \phi _ { 0 } \right\rangle } \\ & { = \Delta E ^ { 0 } + \int \mathrm { d } Q _ { \mathrm { s } } \Delta \rho _ { \mathrm { s } } \left( Q _ { \mathrm { s } } \right) V ^ { \prime } \left( t ; Q _ { \mathrm { s } } \right) } \\ & { = \Delta E ^ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N ^ { \mathrm { P O } } } \mathrm { d } Q _ { \mathrm { s } , i } \Delta \rho _ { \mathrm { s } } \left( Q _ { \mathrm { s } , i } \right) V ^ { \prime } \left( t ; Q _ { \mathrm { s } , i } \right) } \end{array}
B _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) = \hat { A } _ { m _ { 1 } } ( f _ { 1 } ) . \hat { A } _ { m _ { 2 } } ( f _ { 2 } ) . \hat { A } _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) ^ { * }
- { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } } ( \overline { { { \psi } } } _ { + } \Gamma _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi _ { + } \overline { { { \psi } } } _ { + } \Gamma ^ { \nu } \partial ^ { \mu } \psi _ { + } + \overline { { { \psi } } } _ { - } \Gamma _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi _ { - } \overline { { { \psi } } } _ { - } \Gamma ^ { \nu } \partial ^ { \mu } \psi _ { - } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ m ~ } } } & { { } = \frac { S _ { m o m } S _ { r } } { 4 \pi ^ { 3 / 2 } T _ { s c e } ^ { 2 } } [ 2 \bar { v } _ { G \parallel } ( 2 - \bar { \mu } ) - J _ { \parallel B } ( 1 + 2 \bar { v } _ { G \parallel } ^ { 2 } - \bar { \mu } ) ] e ^ { - \bar { v } _ { G \parallel } ^ { 2 } - \bar { \mu } } , } \end{array}
s _ { n } \geq H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \epsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ( l ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \tilde { \rho } ^ { n } } + 2 \log _ { 2 } \sqrt { 2 } \epsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } } - \mathrm { l e a k } _ { n , \mathrm { ~ E ~ C ~ } } ( n , \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ } } ) .
\begin{array} { r } { \mathrm { E } ~ : ~ ( m _ { 1 } , . . . , m _ { n } ) \overset { \mathcal { R } } { \longmapsto } ( x _ { 1 1 } , x _ { 1 2 } ; ~ . . . ~ ; x _ { n 1 } , x _ { n 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } ( \tau , q ) } & { { } = a ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \, \exp ( \mathrm { i } \, \lambda _ { 1 } \, \tau ) \, \exp ( \mathrm { i } \, \lambda _ { 2 } \, q ) } \end{array}
I ( \pi ) = \int _ { - \pi } ^ { \pi } { \frac { \mu ^ { 2 } ( x ) - 5 } { 1 + \mu ^ { 2 } ( x ) } } \, \left| \mathrm { s i n } { \frac { x } { 2 } } \right| \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } x } \, d x = - A _ { 1 } ( \pi ) - A _ { 4 } ( \pi )
\begin{array} { r l } { q ( \Tilde { t } ) } & { { } = 0 . 0 8 \mathcal { S } ( \Tilde { t } + 2 ) - 0 . 1 2 \mathcal { S } ( \Tilde { t } + 1 ) + \mathcal { S } ( \Tilde { t } ) + 0 . 1 8 \mathcal { S } ( \Tilde { t } - 1 ) } \end{array}
r _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ l ~ } } ( \varphi , \theta ) = \scriptstyle \sqrt { ( x ( \varphi , \theta ) - o _ { x } ) ^ { 2 } + ( y ( \varphi , \theta ) - o _ { y } ) ^ { 2 } + ( z ( \varphi , \theta ) - o _ { z } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \| x _ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } & { = } & { \| x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } + \hat { x } _ { k } - x _ { k } + x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \| x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } \| ^ { 2 } + \| \hat { x } _ { k } - x _ { k } \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \left\langle \hat { x } _ { k } - x _ { k } , x _ { k } - x ^ { * } \right\rangle } \\ & { } & { \quad + 2 \left\langle x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } , \hat { x } _ { k } - x _ { k } \right\rangle + 2 \left\langle x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } , x _ { k } - x ^ { * } \right\rangle } \\ & { = } & { \| x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } \| ^ { 2 } + \| \hat { x } _ { k } - x _ { k } \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \left\langle x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } , \hat { x } _ { k } - x ^ { * } \right\rangle } \\ & { } & { \quad + 2 \left\langle \hat { x } _ { k } - x _ { k } , x _ { k } - x ^ { * } \right\rangle } \\ & { = } & { \| x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } \| ^ { 2 } + \| \hat { x } _ { k } - x _ { k } \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \left\langle x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } , \hat { x } _ { k } - x ^ { * } \right\rangle } \\ & { } & { \quad + 2 \left\langle \hat { x } _ { k } - x _ { k } , x _ { k } - \hat { x } _ { k } + \hat { x } _ { k } - x ^ { * } \right\rangle } \\ & { = } & { \| x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } \| ^ { 2 } + \| \hat { x } _ { k } - x _ { k } \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \left\langle x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } , \hat { x } _ { k } - x ^ { * } \right\rangle } \\ & { } & { \quad + 2 \left\langle \hat { x } _ { k } - x _ { k } , \hat { x } _ { k } - x ^ { * } \right\rangle - 2 \| \hat { x } _ { k } - x _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \| x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } \| ^ { 2 } - \| \hat { x } _ { k } - x _ { k } \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \left\langle x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } , \hat { x } _ { k } - x ^ { * } \right\rangle } \\ & { } & { \quad + 2 \left\langle \hat { x } _ { k } - x _ { k } , \hat { x } _ { k } - x ^ { * } \right\rangle } \\ & { = } & { \| x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } \| ^ { 2 } - \| \hat { x } _ { k } - x _ { k } \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \left\langle x _ { k + 1 } - x _ { k } , \hat { x } _ { k } - x ^ { * } \right\rangle } \\ & { = } & { \| x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } \| ^ { 2 } - \| \hat { x } _ { k } - x _ { k } \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \omega \left\langle F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) , \hat { x } _ { k } - x ^ { * } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \ln \rho ( z ) } { \partial \beta } } & { = \frac { 1 } { \rho ( z ) } \frac { \partial } { \partial \beta } \left( \frac { 1 } { Z } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ e ^ { - \beta U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) } \ \delta [ \xi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) - z ] \ \right) } \\ & { = \frac { - 1 } { \rho ( z ) } \left( \frac { 1 } { Z ^ { 2 } } \frac { \partial Z } { \partial \beta } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ e ^ { - \beta U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) } \ \delta [ \xi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) - z ] \ \right. } \\ & { \qquad \qquad \left. + \frac { 1 } { Z } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ e ^ { - \beta U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) } \ U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) \ \delta [ \xi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) - z ] \ \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \langle A | \rho _ { s } ( t ) | B \rangle = - ( \gamma _ { A } + \gamma _ { B } ) \langle A | \rho _ { s } ( t ) | B \rangle } \\ & { - 2 V _ { B A } ^ { * } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { B } \tau } \langle 0 | \rho _ { s , 0 B } ^ { ( 1 ) L } ( t , t - \tau ) | B \rangle + \mathrm { c . c . } ( A \leftrightarrow B ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \mathrm { p r } _ { X \times Y } ^ { - 1 } ( P ( \Phi _ { X } , \Phi _ { Y } ) ) } ^ { j } ( X \times Y \times Z , \Omega _ { X \times Y \times Z } ^ { i } ( \log \mathrm { p r } _ { X \times Y } ^ { * } \Delta _ { X \times Y } ) ( - \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } \Delta _ { X } ) ) } \\ & { \otimes H _ { \mathrm { p r } _ { Y \times Z } ^ { - 1 } ( P ( \Phi _ { Y } , \Phi _ { Z } ) ) } ^ { j ^ { \prime } } ( X \times Y \times Z , \Omega _ { X \times Y \times Z } ^ { i ^ { \prime } } ( \log \mathrm { p r } _ { Y \times Z } ^ { * } \Delta _ { Y \times Z } ) ( - \mathrm { p r } _ { Y } ^ { * } \Delta _ { Y } ) ) } \\ & { \to H _ { \Sigma } ^ { j + j ^ { \prime } } ( X \times Y \times Z , \Omega _ { X \times Y \times Z } ^ { i } ( \log \mathrm { p r } _ { X \times Y } ^ { * } \Delta _ { X \times Y } ) ( - \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } \Delta _ { X } ) \otimes \Omega _ { X \times Y \times Z } ^ { i ^ { \prime } } ( \log \mathrm { p r } _ { Y \times Z } ^ { * } \Delta _ { Y \times Z } ) ( - \mathrm { p r } _ { Y } ^ { * } \Delta _ { Y } ) ) } \end{array}
E ( \boldsymbol { u } ) : = \frac { \delta } { 2 } \bigg [ \sum _ { i = 1 } ^ { d + 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { d + 1 } \bigg ( \frac { u _ { i , j } - u _ { i - 1 , j } } { h } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { u _ { i , j } - u _ { i , j - 1 } } { h } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 1 } { 4 \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } ( 1 - u _ { i , j } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ,
K _ { t ^ { \prime } t } ^ { + } = \sum _ { u } f _ { u t } ^ { + } D _ { t ^ { \prime } u } + \sum _ { u v } f _ { u v } ^ { + } \left[ \Gamma _ { t ^ { \prime } t u v } + \delta _ { t u } D _ { t ^ { \prime } v } - D _ { t ^ { \prime } t } D _ { u v } \right]
g _ { L } = \sqrt 2 m _ { L } \, e ^ { \omega _ { 3 } \delta } , \quad g _ { M } = { m _ { M } } \, e ^ { 2 \omega _ { 3 } \delta } / 2 , \quad g _ { S } = { m _ { S } } \, e ^ { 4 \omega _ { 3 } \delta } / 4 \sqrt 2 ,
\psi _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { { f _ { 1 } ( x ) } } \\ { { g _ { 1 } ( x ) } } \end{array} \right) , \qquad \psi _ { 2 } = \left( \begin{array} { c } { { f _ { 2 } ( x ) } } \\ { { g _ { 2 } ( x ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { I } _ { i n } ^ { 0 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } \Vert + \Vert \mathcal { I } _ { i n } ^ { 1 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } } & { \leq \Lambda ( T , R ) \Vert f ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m + 1 } } , } \\ { \Vert \mathcal { I } _ { \mathcal { R } _ { 0 } } ^ { 0 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } + \Vert \mathcal { I } _ { \mathcal { R } _ { 0 } } ^ { 1 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } } & { \leq \Lambda ( T , R ) , } \\ { \Vert \mathcal { I } _ { \mathcal { R } _ { 1 } } ^ { 0 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ) } + \Vert \mathcal { I } _ { \mathcal { R } _ { 1 } } ^ { 1 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ) } } & { \leq \Lambda ( T , R ) . } \end{array}
C = \left( \begin{array} { l l l } { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \mu _ { 1 1 } } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \mu _ { 1 2 } } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \mu _ { 1 3 } } \\ { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \mu _ { 1 2 } } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \mu _ { 2 2 } } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \mu _ { 2 3 } } \\ { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \mu _ { 1 3 } } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \mu _ { 3 2 } } & { \mu _ { 3 3 } } \end{array} \right) \, .
W _ { 1 } = \lambda _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 1 } ^ { \dagger } + \tilde { \lambda } _ { 1 } X _ { 3 } X _ { 4 } ^ { \dagger } , \quad W _ { 2 } = \lambda _ { 2 } X _ { 4 } X _ { 1 } ^ { \dagger } + \tilde { \lambda } _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 2 } ^ { \dagger }
\begin{array} { r l } & { 2 \left[ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) \right] ^ { 2 } . \sum _ { c y c } ( a + b ) ( a + c ) + \sum _ { c y c } b c ( a + b ) ^ { 3 } ( a + c ) ^ { 3 } } \\ & { = 2 ( 9 u v ^ { 2 } - w ^ { 3 } ) ^ { 2 } ( 9 u ^ { 2 } + 3 v ^ { 2 } ) + w ^ { 3 } ( a ^ { 5 } + b ^ { 5 } + c ^ { 5 } ) + 8 1 v ^ { 8 } + 9 v ^ { 2 } w ^ { 3 } ( a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } ) + 8 1 u v ^ { 4 } w ^ { 3 } , } \end{array}
\psi ( { \mathbf r } _ { 1 } + L { \hat { e } _ { x } } , { \mathbf r } _ { 2 } , \cdots , { \mathbf r } _ { N } ) = e ^ { i \theta _ { x } } \psi ( { \mathbf r } _ { 1 } , { \mathbf r } _ { 2 } , \cdots , { \mathbf r } _ { N } ) \, .
{ \begin{array} { r l } { Z _ { N } } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { N } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } _ { i } e ^ { - \beta U _ { 1 } } = Z _ { 1 } ^ { N } } \\ { P ^ { ( n ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \dots , \mathbf { r } _ { n } ) } & { = P ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \cdots P ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { n } ) } \end{array} }
{ \cal \tilde { S } } ( t ) = 2 \mu ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d s \int _ { 0 } ^ { s } d u \, C _ { F ^ { I } F ^ { I } } ( u ) - 2 \mu \int _ { 0 } ^ { t } d s \int _ { 0 } ^ { s } d u \, C _ { F ^ { I } \eta } ( u ) \, .
\begin{array} { r l } { q _ { i - } } & { \geq \frac { 1 } { 2 } \Bigg ( ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) - \sqrt { ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \mu ( 2 \theta \mu E _ { i i } + \mu ) } \Bigg ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \Bigg ( ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) - \sqrt { ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \mu ( - 2 \mu \frac { 1 } { 3 \sqrt { n } } + \mu ) } \Bigg ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \Bigg ( ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) - \sqrt { ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } \mu ^ { 2 } } \Bigg ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { \frac { 4 } { 3 } \mu ^ { 2 } } { ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) + \sqrt { ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } \mu ^ { 2 } } } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \frac { \frac { 4 } { 3 } \mu ^ { 2 } } { ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) + \sqrt { ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = \frac { \mu ^ { 2 } } { 3 ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) } } \\ & { > 0 . } \end{array}