harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { s \left( t \right) = } & { \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } { \sum _ { p = 0 } ^ { P - 1 } } } ( d \left( { n , m } \right) { a _ { m } } \left( p \right) \exp \left( { j 2 \pi { f _ { n } } t } \right) } \\ & { \cdot \mathrm { { r e c t } } ( { \frac { { t - p { t _ { c } } - m { T _ { s y m } } } } { { { T _ { s y m } } } } } ) ) , } \end{array}
p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } - ( p _ { 1 } \cdot p _ { 2 } ) ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 4 } ( p _ { 1 } ^ { 4 } + p _ { 2 } ^ { 4 } + p _ { 5 } ^ { 4 } - 2 p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } - 2 p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 5 } ^ { 2 } - 2 p _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 5 } ^ { 2 } ) = 0
\begin{array} { r l } { Z _ { y \pm } } & { = \frac { 1 } { \omega \varepsilon _ { 0 } } \left( k _ { y } \eta _ { x x } - k _ { \pm } \eta _ { x y } \right) , } \\ { Z _ { x \pm } } & { = \frac { 1 } { \omega \varepsilon _ { 0 } } \left( - k _ { y } \eta _ { y x } + k _ { \pm } \eta _ { y y } \right) , } \\ { k _ { \pm } } & { = - q k _ { y } \pm \alpha , } \\ { \alpha } & { = \sqrt { \frac { 1 } { \eta _ { y y } } \left\{ \left( \frac { \omega } { c } \right) ^ { 2 } - \left( \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } \right) k _ { y } ^ { 2 } \right\} } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \lambda q _ { \lambda } ^ { b } ( E ) = - q _ { \lambda } ^ { b } ( E ) e ^ { - \beta E } + \sqrt { \rho ( E ) } e ^ { - \beta E / 2 } P _ { \lambda } ^ { u } , } \\ & { - \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \lambda P _ { \lambda } ^ { u } = - P _ { \lambda } ^ { u } + \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \sqrt { \rho ( E ) } q _ { \lambda } ^ { b } ( E ) e ^ { - \beta E / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { 1 } } & { : = } & { \left\{ ( x , y ) \in \mathrm { I \! R \! } ^ { 2 } : 1 \le ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } , \, ( x - R ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \le R ^ { 2 } \right\} , } \\ { \Omega _ { 2 } } & { : = } & { \left\{ ( x , y ) \in \mathrm { I \! R \! } ^ { 2 } : ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 1 \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 2 L } \left[ u ^ { * } \right] } & { { } \sim \left< u ^ { * 2 } \right> , } \\ { \Gamma \mathcal { L } \left[ u ^ { * 2 } u _ { S } ^ { + } + \mathcal { H } \left[ u ^ { * } \right] \mathcal { H } \left[ u ^ { * } u _ { S } ^ { + } \right] \right] } & { { } \sim \Gamma \left< u _ { S } ^ { + 2 } \right> ^ { 1 / 2 } \left< u ^ { * 2 } \right> , } \\ { \Gamma ^ { 2 } E _ { 2 L } \left[ u ^ { * } u _ { S } ^ { + } \right] } & { { } \sim \Gamma ^ { 2 } \left< u _ { S } ^ { + 2 } \right> \left< u ^ { * 2 } \right> . } \end{array}
Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 2 ) } = \lambda _ { 1 } [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + \lambda _ { 2 } [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + \lambda _ { 3 } [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] .
\begin{array} { r } { A e ^ { - \xi s _ { 0 } } \cos \phi = \delta _ { 0 } } \\ { - \xi \delta _ { 0 } - A e ^ { - \xi s _ { 0 } } \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } \sin \phi = \dot { \delta } _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial \hat { \rho } } { \partial t } } } & { = \frac { 1 } { i \hbar } \left[ \hat { H } _ { s y s } , \hat { \rho } \right] + \sum _ { j } \Gamma _ { j } \left( \bar { n } _ { j } + 1 \right) ( 2 \hat { A } _ { j } \hat { \rho } \hat { A } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { A } _ { j } ^ { \dagger } \hat { A } _ { j } \hat { \rho } - \hat { \rho } \hat { A } _ { j } ^ { \dagger } \hat { A } _ { j } ) \, \, } \\ & { + \sum _ { j } \Gamma _ { j } \bar { n } _ { j } ( 2 \hat { A } _ { j } ^ { \dagger } \hat { \rho } \hat { A } _ { j } - \hat { A } _ { j } \hat { A } _ { j } ^ { \dagger } \hat { \rho } - \hat { \rho } \hat { A } _ { j } \hat { A } _ { j } ^ { \dagger } ) \, \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( E _ { j } ^ { n + 1 } ( u ) ) = } & { \frac { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } m ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x + \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x \right) ^ { \theta } / \theta } { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x } } \\ { = } & { \frac { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { m } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x + \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x \right) ^ { \theta } / \theta } { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x } } \\ & { + \frac { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) \left\{ \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { j - 1 } } \eta _ { \ast } \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) \right) d y \right\} d x } { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x } } \\ & { - \frac { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) \left\{ \left( \alpha - a _ { j } ^ { n + 1 } \right) \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) d y \right\} d x } { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x } } \\ & { + \frac { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) \left\{ \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { j - 1 } } K d y \right\} d x } { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x } } \\ { = } & { A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } + A _ { 4 } . } \end{array}
\centering \varepsilon ( E ) = \varepsilon _ { \infty } + \frac { 7 N ( \varepsilon _ { \infty } + 2 ) } { 3 V \epsilon _ { 0 } \sqrt { 7 3 } } \frac { \mu _ { 0 } } { E } \ensuremath { \mathcal { L } } \left( \frac { \sqrt { 7 3 } ( \varepsilon _ { \infty } + 2 ) } { 6 k _ { \mathrm { B } } T } \frac { \mu _ { 0 } } { E } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \quad [ \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } ( - e _ { u , i } t ^ { - s } \otimes e _ { i , u } t ^ { s } + e _ { i , u } t ^ { - s - 1 } \otimes e _ { u , i } t ^ { s + 1 } ) , \hbar \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } ] } \\ & { = - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j > i ) e _ { j , i } t ^ { - s } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { i , v } t ^ { s - w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j > i ) e _ { v , i } t ^ { - s + w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } e _ { i , j } t ^ { s } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i , j } e _ { v , u } t ^ { - s + w - 1 } \otimes e _ { u , i } t ^ { s + 1 } e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i , j } e _ { v , j } t ^ { w } e _ { j , u } t ^ { - s - 1 } \otimes e _ { u , v } t ^ { s - w + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \mathcal { L } _ { \omega } , H _ { n } \} } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { j } = n } \mathbf { c } _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { j } } [ H _ { k _ { j } } , \ldots , [ H _ { k _ { 1 } } , V - R _ { 1 } ^ { \prime } ] _ { \hbar } \cdots ] _ { \hbar } } \\ & { \quad - \sum _ { m = 2 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - m } \sum _ { l _ { 1 } + \cdots + l _ { j } = n - m } \mathbf { c } _ { l _ { 1 } , \ldots , l _ { j } } [ H _ { l _ { j } } , \ldots , [ H _ { l _ { 1 } } , R _ { m } ^ { \prime } ] _ { \hbar } \cdots ] _ { \hbar } - R _ { n } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \gamma _ { q , n } } = \frac { { { { \left| { { \mathbb { E } } \left( { { \bf { h } } _ { q , n } ^ { H } { { \bf { f } } _ { q , n } } } \right) } \right| } ^ { 2 } } } } { { { \mathbb { E } } \left( { { { \left| { { \zeta _ { q , n } } \left( t \right) } \right| } ^ { 2 } } } \right) + { \mathbb { E } } \left( { { { \left| { { { \tilde { \zeta } } _ { q , n } } \left( t \right) } \right| } ^ { 2 } } } \right) + { \tilde { \sigma } _ { q } } } } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { { \sqrt [ [object Object] ] { a } } + { \sqrt [ [object Object] ] { b } } } } = { \frac { { \sqrt [ [object Object] ] { a ^ { 2 } } } - { \sqrt [ [object Object] ] { a b } } + { \sqrt [ [object Object] ] { b ^ { 2 } } } } { \left( { \sqrt [ [object Object] ] { a } } + { \sqrt [ [object Object] ] { b } } \right) \left( { \sqrt [ [object Object] ] { a ^ { 2 } } } - { \sqrt [ [object Object] ] { a b } } + { \sqrt [ [object Object] ] { b ^ { 2 } } } \right) } } = { \frac { { \sqrt [ [object Object] ] { a ^ { 2 } } } - { \sqrt [ [object Object] ] { a b } } + { \sqrt [ [object Object] ] { b ^ { 2 } } } } { a + b } } \, .
g _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c c c } { { - N ^ { 2 } } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { } } & { { \frac { 1 } { 8 } e ^ { 2 \alpha } \chi _ { i A B } \chi _ { j } ^ { A B } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { { - N ^ { 2 } } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { } } & { { e ^ { 2 \alpha } \chi _ { i } ^ { I } \chi _ { I j } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { l l l } { { \partial _ { \phi } B ^ { 2 } = l \partial _ { t } B ^ { 0 } = - \beta ^ { 1 } / l } } & { { , } } & { { \partial _ { \phi } B ^ { 0 } = l \partial _ { t } B ^ { 2 } = - \gamma ^ { 1 } } } \\ { { C ^ { 2 } + l D ^ { 0 } = - \frac { M ^ { \prime } l ^ { 2 } } { 2 } B ^ { 2 } - \frac { J l } { 2 } B ^ { 0 } } } & { { , } } & { { C ^ { 0 } + l D ^ { 2 } = - \frac { M ^ { \prime } l ^ { 2 } } { 2 } B ^ { 0 } - \frac { J l } { 2 } B ^ { 2 } } } \\ { { C ^ { 2 } - l D ^ { 0 } = l ^ { 2 } ( \frac { 2 M - M ^ { \prime } } { 2 } - \partial _ { \phi } ^ { 2 } ) B ^ { 2 } - \frac { J l } { 2 } B ^ { 0 } } } & { { , } } & { { l D ^ { 2 } - C ^ { 0 } = l ^ { 2 } ( \frac { 2 M - M ^ { \prime } } { 2 } - \partial _ { \phi } ^ { 2 } ) B ^ { 0 } - \frac { J l } { 2 } B ^ { 2 } . } } \end{array}
\boldsymbol \kappa _ { 0 } \sim \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( \frac { \partial y _ { 1 } } { \partial y _ { 0 } } / \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial x _ { 0 } } , \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial x _ { 0 } } / \frac { \partial y _ { 1 } } { \partial y _ { 0 } } \right)
\phi ( \xi ) = \phi _ { i } + \left( \frac { \partial \phi } { \partial \xi } \right) _ { i } \left( \xi - \xi _ { i } \right) + 3 \kappa \left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial \xi ^ { 2 } } \right) _ { i } \left[ \left( \xi - \xi _ { i } \right) ^ { 2 } - \frac { \Delta \xi _ { i } ^ { 2 } } { 1 2 } \right] \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi _ { i - \frac { 1 } { 2 } } \le \xi \le \xi _ { i + \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \left| a _ { \rho = - 1 , m , N _ { s } = 1 , M _ { \sigma } = 1 } ^ { \rho = 1 , n , N _ { s } = 0 , M _ { \sigma } = 0 } \right| ^ { 2 } } & { { } = \left| H _ { \rho = - 1 , m , N _ { s } = 1 , M _ { \sigma } = 1 } ^ { \rho = 1 , n , N _ { s } = 0 , M _ { \sigma } = 0 } \times { \frac { \exp { { \frac { 2 \pi i } { h } } ( - W + H _ { s } + K _ { \sigma } ) t } - 1 } { - W + H _ { s } + K _ { \sigma } } } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\omega ^ { \mu } ( 1 ) = \frac { - 1 } { \sqrt 2 } ( 0 , 1 , i , 0 ) , \ \ \, o m e g a ^ { \mu } ( - 1 ) = \frac { 1 } { \sqrt 2 } ( 0 , 1 , - i , 0 ) , \ \ \, o m e g a ^ { \mu } ( 0 ) = \frac { 1 } { m } ( \vert { \bf k } \vert , 0 , 0 , k ^ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { P r \left( \sum _ { i } \gamma _ { i } > \delta \right) } & { = 1 - P r \left( \sum _ { i } \gamma _ { i } < \delta \right) } \\ & { \leq 1 - P r ( \gamma _ { i } < \delta / d \, \, \, \forall i ) } \\ & { = P r ( \exists \, \, \, i \ni \gamma _ { i } > \delta / d ) } \\ & { \leq \sum _ { i } P r ( \gamma _ { i } > \delta / d ) } \\ & { \leq \sum _ { i } B ( \delta / d , D _ { i } , C _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \end{array}
\bar { \bar { C } } _ { s } = \sum _ { \mathbf { R } \neq 0 } \left( \begin{array} { l l } { \bar { \bar { A } } ( - k \mathbf { R } ) } & { \bar { \bar { B } } ( - k \mathbf { R } ) } \\ { \bar { \bar { B } } ( - k \mathbf { R } ) } & { \bar { \bar { A } } ( - k \mathbf { R } ) } \end{array} \right) e ^ { \mathrm { i \mathbf { k } _ { \parallel } \cdot \mathbf { R } } } ,
\frac 1 3 ( \lambda ^ { 0 ^ { \prime } } ) ^ { 2 } \varepsilon ^ { i j } \, \, \sum _ { \pm } \, \left( \begin{array} { l } { { 2 \bar { \varepsilon } _ { \pm } \gamma ^ { m } \partial _ { i } \theta _ { \pm } \, \, \, \, \bar { \theta } _ { \pm } \gamma _ { m } \partial _ { j } \theta _ { \pm } } } \\ { { - \bar { \varepsilon } _ { \pm } \gamma ^ { m } \theta _ { \pm } \, \, \, \, \partial _ { i } \bar { \theta _ { \pm } } \gamma _ { m } \partial _ { j } \theta _ { \pm } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { { 2 } \rho _ { e e ( n + 1 ) } ^ { ( a ) } } & { = \rho _ { e e ( n ) } ^ { ( a ) } + \left[ r _ { e ( n ) } ^ { ( a ) } - \Gamma _ { e e ( n ) } ^ { ( a ) } \rho _ { e e ( n ) } ^ { ( a ) } + \frac { i \mu } { \hbar } \left[ \hat { \mathcal { E } } _ { + ( n ) } ^ { ( a ) } \hat { \rho } _ { g e ( n ) } ^ { ( a ) } - \hat { \mathcal { E } } _ { - ( n ) } ^ { ( a ) } \hat { \rho } _ { e g ( n ) } ^ { ( a ) } \right] \right] \Delta \tau , } \\ { \rho _ { g g ( n + 1 ) } ^ { ( a ) } } & { = \rho _ { g g ( n ) } ^ { ( a ) } + \left[ r _ { g ( n ) } ^ { ( a ) } + \left( \Gamma _ { \mathrm { s p } } + \gamma _ { n } \right) \rho _ { e e ( n ) } ^ { ( a ) } - \gamma _ { g ( n ) } ^ { ( a ) } \rho _ { g g ( n ) } ^ { ( a ) } - \frac { i \mu } { \hbar } \left[ \hat { \mathcal { E } } _ { + ( n ) } ^ { ( a ) } \hat { \rho } _ { g e ( n ) } ^ { ( a ) } - \hat { \mathcal { E } } _ { - ( n ) } ^ { ( a ) } \hat { \rho } _ { e g ( n ) } ^ { ( a ) } \right] \right] \Delta \tau , } \\ { { \rho } _ { g e ( n + 1 ) } ^ { ( a ) } } & { = \hat { \rho } _ { g e ( n ) } ^ { ( a ) } + \left[ - \frac { \Gamma _ { ( n ) } ^ { ( a ) } } { 2 } \hat { \rho } _ { g e ( n ) } ^ { ( a ) } + \frac { i \mu } { \hbar } \rho _ { \mathrm { i n v } ( n ) } ^ { ( a ) } \hat { \mathcal { E } } _ { - ( n ) } ^ { ( a ) } \right] \Delta \tau , } \end{array}
\left\langle \frac { \delta F } { \delta u } , q \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle \mapsto \left\langle \frac { \delta F } { \delta u } , \frac { 1 } { D } \nabla ^ { \perp } \cdot u \frac { \delta G } { \delta u } ^ { \perp } \right\rangle + \left\langle \frac { \delta F } { \delta u } , \frac { f } { D } \frac { \delta G } { \delta u } ^ { \perp } \right\rangle .
\Bigg ( - \frac { 1 } { \sin { 2 \theta } } \frac { \partial } { \partial \theta } \sin { 2 \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } + \frac { m ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } { \theta } } \Bigg ) g _ { l , m } ( \theta ) = \frac { \lambda _ { l , m } } { 4 } g _ { l , m } ( \theta ) .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ X _ { j } | { \it d o } ( X _ { i } = 1 ) ] = \operatorname* { P r } \{ X _ { j } = 1 | { \it d o } ( X _ { i } = 1 ) \} = \operatorname* { P r } \{ X _ { j } = 1 | \} = \operatorname* { P r } \{ X _ { j } = 1 | { \it d o } ( X _ { i } = 0 ) \} = \mathbb { E } [ X _ { j } | { \it d o } ( X _ { i } = 0 ) ] . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c c } { 1 } & { \cdots } & { a ^ { - 1 } T ^ { - g } ( 1 + r + \cdots + r ^ { N } ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & & & & & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { \star } & { \cdots } & { \star } \\ { \vdots } & & & { \ddots } & & { \vdots } \\ { \vdots } & & & & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { p ( \varrho , \vartheta ) = p _ { \textup { m } } ( \varrho , \vartheta ) + p _ { \textup { r a d } } ( \vartheta ) , \quad } & { \mathrm { w i t h } \quad p _ { \textup { m } } ( \varrho , \vartheta ) = \vartheta ^ { \frac { 5 } { 2 } } P \left( \frac { \varrho } { \vartheta ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) , \ p _ { \textup { r a d } } ( \vartheta ) = \frac { a } { 3 } \vartheta ^ { 4 } , } \\ { e ( \varrho , \vartheta ) = e _ { \textup { m } } ( \varrho , \vartheta ) + e _ { \textup { r a d } } ( \varrho , \vartheta ) , \quad } & { \mathrm { w i t h } \quad e _ { \textup { m } } ( \varrho , \vartheta ) = \frac { 3 } { 2 } \frac { \vartheta ^ { \frac { 5 } { 2 } } } { \varrho } P \left( \frac { \varrho } { \vartheta ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) , \ e _ { \textup { r a d } } ( \varrho , \vartheta ) = \frac { a } { \varrho } \vartheta ^ { 4 } , } \\ { s ( \varrho , \vartheta ) = s _ { \textup { m } } ( \varrho , \vartheta ) + s _ { \textup { r a d } } ( \varrho , \vartheta ) , \quad } & { \mathrm { w i t h } \quad s _ { \textup { m } } ( \varrho , \vartheta ) = \mathcal { S } \left( \frac { \varrho } { \vartheta ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) , \ s _ { \textup { r a d } } ( \varrho , \vartheta ) = \frac { 4 a } { 3 } \frac { \vartheta ^ { 3 } } { \varrho } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \iota _ { \frac { \partial v } { \partial t } } \, \mathrm { d } s _ { v } = - g ^ { - 1 } \big ( \iota _ { v } \, \omega _ { \xi } + \mathrm { d } ( p + \frac { s _ { v } } 2 ) , \mathrm { d } s _ { v } \big ) \ . } \end{array}
\hat { H } = \displaystyle \sum _ { n } \biggl ( t \left( \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n + 1 } + \hat { c } _ { n + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } \right) + \mu \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + \frac { \Delta } { 2 } \left( \hat { c } _ { n + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } + \hat { c } _ { n } \hat { c } _ { n + 1 } \right) \biggr ) \ ,
Z _ { \mathrm { f i x } } = \sqrt { \left( d ^ { A B } ( q ) \right) ^ { - 1 } q _ { A } q _ { B } } \ , \qquad A \sim \left[ \left( d ^ { A B } ( q ) \right) ^ { - 1 } q _ { A } q _ { B } \right] ^ { 3 / 4 } \ ,
{ \frac { D S _ { \lambda \mu } } { D \tau } } + { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } \left( S _ { \lambda \rho } k _ { \mu } { \frac { D k ^ { \rho } } { D \tau } } + S _ { \rho \mu } k _ { \lambda } { \frac { D k ^ { \rho } } { D \tau } } \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } & { | c _ { t } ( \tilde { x } _ { t } , \tilde { u } _ { t } ) - c _ { t } ( \hat { x } _ { t } , \hat { u } _ { t } ) | \leq L _ { c 1 } [ \operatorname* { m a x } ( \| \tilde { x } _ { t } \| , \| \hat { x } _ { t } \| ) + \operatorname* { m a x } ( \| \tilde { u } _ { t } \| , \| \hat { u } _ { t } \| ) + L _ { c 2 } ] ( \| \tilde { x } _ { t } - \hat { x } _ { t } \| + \| \tilde { u } _ { t } - \hat { u } _ { t } \| ) } \\ & { \leq L _ { c 1 } [ \kappa \rho ^ { t - t _ { j } } ( 1 + L _ { \pi } ) \operatorname* { m a x } ( \| \tilde { x } _ { t _ { j } } \| , \| \hat { x } _ { t _ { j } } \| ) + ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + L _ { c 2 } ] ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa \rho ^ { t - t _ { j } } \| \tilde { x } _ { t _ { j } } - \hat { x } _ { t _ { j } } \| } \\ & { \leq L _ { c 1 } \kappa ^ { 2 } ( \rho ^ { 2 } ) ^ { t - t _ { j } } ( 1 + L _ { \pi } ) ^ { 2 } ( \| \tilde { x } _ { t _ { j } } \| + \| \hat { x } _ { t _ { j } } \| ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + L _ { c 1 } [ ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + L _ { c 2 } ] ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa \rho ^ { t - t _ { j } } ( \| \tilde { x } _ { t _ { j } } \| + \| \hat { x } _ { t _ { j } } \| ) } \\ & { \leq L _ { c 1 } \kappa ^ { 2 } ( \rho ^ { 2 } ) ^ { t - t _ { j } } ( 1 + L _ { \pi } ) ^ { 2 } ( 2 \| \tilde { x } _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } + 2 \| \hat { x } _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } ) } \\ & { \quad + L _ { c 1 } [ ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + L _ { c 2 } ] ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa \rho ^ { t - t _ { j } } ( \| \tilde { x } _ { t _ { j } } \| + \| \hat { x } _ { t _ { j } } \| ) } \end{array}
\Psi _ { \Lambda } [ A ] = \mathrm { e x p } ( - \frac { 6 } { \Lambda } \int _ { \Sigma } \tilde { \eta } ^ { a b c } \mathrm { T r } [ A _ { a } \partial _ { b } A _ { c } + \frac { 2 } { 3 } A _ { a } A _ { b } A _ { c } ] ) .
\mathrm { t r ~ l n } ( - \nabla ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } ) = - ( Y / \sqrt { 4 \pi } ) ( \partial / \partial \beta ) ( \Gamma ( \beta - 1 / 2 ) / \Gamma ( \beta ) ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( ( n \pi / L ) ^ { 2 } + ( 4 b ^ { 2 } ) ) ^ { - \beta + 1 / 2 }
\sigma ( v _ { r } ) = \frac { 2 } { m _ { n } v _ { r } ^ { 2 } } \Re \left[ \frac { r _ { j } } { p _ { j } - \sqrt { 2 m _ { n } } v _ { r } } \right] + \sigma _ { 0 } + \sigma _ { 1 } \sqrt { 2 m _ { n } } v _ { r }
\begin{array} { r l r l r l } { D } & { = \frac { \sigma ( \beta ( \delta _ { D } + 2 \delta _ { E } ) + \delta _ { D } \sigma ) } { ( \beta + \sigma ) ( 3 \beta + \sigma ) } } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \chi } & { = - \frac { \delta _ { E } ( 3 \beta + \sigma ) ^ { 2 } } { \sigma ( \beta ( \delta _ { D } + 2 \delta _ { E } ) + \delta _ { D } \sigma ) } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { h } } \left[ R _ { c } ^ { S D A } \right] } & { = \mathbb { E } _ { Z } \left[ \frac { 1 } { N } \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( 1 + \frac { N p \alpha ^ { 2 } Z } { \sigma ^ { 2 } } \right) \right] = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { N } \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( 1 + \frac { N p \alpha ^ { 2 } z } { \sigma ^ { 2 } } \right) f _ { Z } ( z ) d z . } \end{array}
H = ( 1 - \frac { r _ { 0 } } { r } ) , \ F = ( 1 + \frac { r _ { 1 } } { r } ) ( 1 + \frac { r _ { 2 } } { r } ) ( 1 + \frac { r _ { 3 } } { r } ) ( 1 + \frac { r _ { 4 } } { r } ) ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( x ) } & { { } = 2 \frac { \exp { ( - x ) } + x - 1 } { x ^ { 2 } } } \\ { \phi _ { 2 } ( x ) } & { { } = \frac { \left( 1 - \exp { ( - x ) } \right) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { \lambda } ( a ) = \Omega _ { P } - \int _ { 0 } ^ { a } \d b \left[ \frac { \Omega _ { r } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 4 } } + \frac { \Omega _ { b } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 3 } } + \frac { \Omega _ { e } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 3 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { P E } } = } & { \frac { \delta E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { P E } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ^ { ( 0 ) } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } - \frac { \delta E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { P E } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } = { v } ^ { \mathrm { m u l t } } + { v } ^ { \mathrm { p o l } } , } \end{array}