harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } X x ( t ) \right] } & { = \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } \bigg [ x ( s ) ^ { \top } \Big ( A ^ { \top } X + X A + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } N _ { i } ^ { \top } X N _ { j } k _ { i j } \Big ) x ( s ) \bigg ] d s } \\ & { \quad + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } X \big [ B u ( s ) + f ( x ( s ) ) \big ] \right] d s } \\ & { \leq \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } \bigg [ x ( s ) ^ { \top } \Big ( ( A + c _ { 1 } I ) ^ { \top } X + X ( A + c _ { 1 } I ) + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } N _ { i } ^ { \top } X N _ { j } k _ { i j } \Big ) x ( s ) \bigg ] d s } \\ & { \quad + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } X B u ( s ) \right] d s + c \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } X x ( s ) \right] d s } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial E ( 2 \omega ) } { \partial z } } } & { = - { \frac { i \omega } { n _ { 2 \omega } c } } d _ { \mathrm { e f f } } E ^ { 2 } ( \omega ) e ^ { i \, \Delta k \, z } , } \\ { { \frac { \partial E ( \omega ) } { \partial z } } } & { = - { \frac { i \omega } { n _ { \omega } c } } d _ { \mathrm { e f f } } ^ { * } E ( 2 \omega ) E ^ { * } ( \omega ) e ^ { - i \, \Delta k \, z } , } \end{array} }
\psi _ { 0 } ^ { n } ( z , t ) = \left( { \frac { 1 } { \pi n ! 2 ^ { n } } } \right) ^ { 1 / 2 } H _ { n } \left( ( u + v ) / \sqrt { 2 } \right) \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) \right\} .
\mathbf { u } _ { p } ^ { n + 1 } = \mathbf { u } _ { p } ^ { n } + \frac { \Delta _ { t } } { 2 4 } ( 5 5 \mathbf { a } _ { p } ^ { n } - 5 9 \mathbf { a } _ { p } ^ { n - 1 } + 3 7 \mathbf { a } _ { p } ^ { n - 2 } - 9 \mathbf { a } _ { p } ^ { n - 3 } ) ,
\begin{array} { r l } { \left. \left( \partial _ { z } E _ { z } \right) \right| _ { \mathrm { ~ a ~ v ~ } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \left. \left( \epsilon _ { 1 } \partial _ { x } E _ { \mathrm { ~ i ~ } , x } + \epsilon _ { 1 } \partial _ { x } E _ { \mathrm { ~ r ~ } , x } + \epsilon _ { 2 } \partial _ { x } E _ { \mathrm { ~ t ~ } , x } \right) \right| _ { z = 0 } \, . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } D _ { t } { \psi } _ { i } ^ { 2 } = - \partial _ { j } \left[ { \psi } _ { j } \breve { p } + \frac { 1 } { 2 } { \psi } _ { j } { \psi } _ { i } ^ { 2 } - 2 \nu { \psi } _ { i } S _ { i j } \right] - 2 \nu S _ { i j } ^ { \psi } S _ { i j } ^ { \psi } - { \psi } _ { i } S _ { i j } { \psi } _ { j } ,
{ E } = \left( 1 - \left\langle \frac { \sum ^ { N _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( u _ { i } - \tilde { u } _ { i } ) ^ { 2 } } { \sum ^ { N _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } u _ { i } ^ { 2 } } \right\rangle \right) \times 1 0 0 \
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \mathrm { S } _ { w } ( t ) } & { = - C \left( \mathrm { S } _ { w } ( t ) - \mathrm { S } ^ { \ast } \right) \mathrm { d } t - B \mathrm { S } _ { w } ( t ) r ( t ) \mathrm { d } t + A \mathrm { d } W _ { t } } \\ { \mathrm { d } r ^ { 2 } ( t ) } & { = F \mathrm { S } _ { w } ( t ) \mathrm { d } t - \tau _ { s } \left( r ^ { 2 } ( t ) - M _ { 1 } ^ { 2 } \right) \mathrm { d } t , \mathrm { ~ } r ^ { 2 } > 0 } \\ { \mathrm { d } r ^ { 2 } ( t ) } & { = 0 , \mathrm { ~ } r ^ { 2 } = 0 , \mathrm { ~ a n d ~ } \mathrm { S } _ { w } ( t ) < 0 , } \end{array}
\Pi ( h , \zeta ) = - \partial _ { h } f _ { \mathrm { w e t } } = \frac { B ( \zeta ) } { h ^ { 6 } } - \frac { A ( \zeta ) } { h ^ { 3 } } = \frac { 5 } { 3 } \gamma h _ { p } ^ { 2 } \theta _ { Y } ^ { 2 } \left( \frac { h _ { p } ^ { 3 } } { h ^ { 6 } } - \frac { 1 } { h ^ { 3 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \hat { n } \bot \hat { x } } { \mathrm { V a r } [ \hat { n } \cdot \vec { S } ] } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \mathrm { V a r } [ Y | Z ] + \frac { N } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } N ^ { 2 } m _ { \mathrm { x y } } ^ { 2 } [ 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 ( \chi t ) ^ { 2 } } { N } } ] \right\} } \end{array}
M _ { s ( f ) i , p j } = \left[ \frac { - ( y _ { j } ^ { p } - y _ { i } ^ { s ( f ) } ) } { 2 \pi ( r ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } ) } , \frac { ( x _ { j } ^ { p } - x _ { i } ^ { s ( f ) } ) } { 2 \pi ( r ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } ) } \right] .
\begin{array} { r l } { F _ { \mathcal { N } = 2 } } & { = N ^ { 2 } F _ { C S } ^ { ( 0 ) } + N B _ { s u s y } + \ldots } \\ { B _ { s u s y } ( \lambda ) } & { = \frac { i } { 4 \pi \lambda } \left( L i _ { 2 } ( - e ^ { i \pi \lambda } ) - L i _ { 2 } ( - e ^ { - i \pi \lambda } ) \right) } \\ & { = \frac { \log 2 } { 2 } - \frac { \pi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { 4 8 } + \ldots . } \end{array}
\mathbf { V } _ { e E _ { 0 } } = \left( \begin{array} { l l } { \omega \mathbf { I } } & { \sqrt { \omega ^ { 2 } - 1 } \mathbf { Z } } \\ { \sqrt { \omega ^ { 2 } - 1 } \mathbf { Z } } & { \omega \mathbf { I } } \end{array} \right) ,
S _ { \mathrm { b o u n d a r y } } ^ { \mathrm { q u i n t i c } } = \int d x ^ { 0 } \frac { \theta } { 4 \pi r } \sum _ { i } \left( \overline { { { \psi } } } _ { + i } \psi _ { + i } + \overline { { { \psi } } } _ { - i } \psi _ { - i } \right)
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { x _ { k + 1 , 1 } } \\ { x _ { k + 1 , 2 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { k + 1 , d _ { x } } } \end{array} \right] = } & { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } } \\ { a _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } } \\ { \vdots } \\ { a _ { d _ { x } } ^ { \mathrm { T } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { k , 1 } } \\ { x _ { k , 2 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { k , d _ { x } } } \end{array} \right] + } \\ & { \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } } \\ { b _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } } \\ { \vdots } \\ { b _ { d _ { u } } ^ { \mathrm { T } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { u _ { k , 1 } } \\ { u _ { k , 2 } } \\ { \vdots } \\ { u _ { k , d _ { u } } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { w _ { k , 1 } } \\ { w _ { k , 2 } } \\ { \vdots } \\ { w _ { k , d _ { x } } } \end{array} \right] \! \! , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \ell ^ { t } { \tilde { \beta } } } & { { } = \ell ^ { t } \left( ( ( X ^ { \prime } X ) ^ { - 1 } X ^ { \prime } + D ) Y \right) } & { } & { { } { \mathrm { ~ f r o m ~ a b o v e } } } \end{array}
\_ E ^ { r } = { \frac { 1 } { 2 } } \Bigg [ { \frac { \epsilon } { \epsilon _ { \/ { M D } } } } - { \frac { \sqrt { \mu \epsilon - \omega ^ { 2 } ( \Omega / c ) ^ { 2 } } } { \sqrt { \mu _ { \/ { M D } } \epsilon _ { \/ { M D } } } } } - { \frac { \omega ^ { 2 } ( \Omega / c ) ^ { 2 } } { \mu \epsilon _ { \/ { M D } } } } - j { \frac { \omega ( \Omega / c ) } { \mu \epsilon _ { \/ { M D } } } } \sqrt { \mu \epsilon - \omega ^ { 2 } ( \Omega / c ) ^ { 2 } } \Bigg ] \_ a _ { x }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \operatorname* { s u p } _ { x \in X } \left| \Psi _ { n } ( x ) \right| } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \operatorname* { s u p } _ { ( x , y ) \in X \times [ 0 , 1 ] } \left| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \psi ( T _ { g } ^ { k } ( x , y ) ) \right| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { M } _ { T _ { g } } ( X \times [ 0 , 1 ] ) } \left| \int \psi \, d \mu \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { = \frac { 1 } { ( 1 - 3 ^ { - 2 } ) } \frac { 1 } { \zeta ( 2 ) } \frac { 1 } { L ( 2 , S / 3 ) } } \\ & { = \frac { 9 } { 8 } \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } \left( \frac { 3 ^ { 3 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { L ( - 1 , S / 3 ) } } \\ & { = \frac { 3 ^ { 9 } } { 2 ^ { 4 } \pi ^ { 6 } } \frac { 3 } { 4 } } \\ & { = \frac { 5 9 0 4 9 } { 6 4 \pi ^ { 6 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } & { { } = \gamma \left[ \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) + \frac { \lambda v } { \mathrm { i } c } \hat { \mathbf { z } } \times \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) \right] } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { u _ { i _ { 0 } , k } } & { v _ { j _ { 0 } , \ell } } & { 1 } \\ { u _ { i _ { 0 } , k + 1 } } & { v _ { j _ { 0 } , \ell } } & { 1 } \\ { u _ { i _ { 0 } , k } } & { v _ { j _ { 0 } , \ell + 1 } } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { A } \\ { B } \\ { C } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { [ 1 . 7 5 ] z _ { i _ { 0 } , k } ^ { j _ { 0 } , \ell } } \\ { z _ { i _ { 0 } , k + 1 } ^ { j _ { 0 } , \ell } } \\ { z _ { i _ { 0 } , k } ^ { j _ { 0 } , \ell + 1 } } \end{array} \right) .
Z _ { 2 } : \qquad ( A _ { \mu } , \phi , \bar { \phi } , \lambda _ { A \alpha } , \bar { \lambda } ^ { A \alpha } , G ^ { \alpha \beta } ) \rightarrow ( A _ { \mu } , \bar { \phi } , \phi , - \bar { \lambda } _ { A } ^ { \! ~ ~ \alpha } , - \lambda _ { \! ~ ~ \alpha } ^ { A } , G _ { \alpha \beta } ) .
\begin{array} { r l } { d u - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a \cdot \nabla u ) \, d t } & { = \Big [ \normalfont { \mathrm { d i v } } ( F ( \cdot , u ) ) + f ( \cdot , u ) \Big ] \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n } \cdot \nabla ) u + g _ { n } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u ( 0 ) } & { = u _ { 0 } . } \end{array}
J _ { \frac { d - 3 } { 2 } } ( k r ) = \frac { 1 } { k ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } } D ( \frac { d - 5 } { 2 } ) D ( \frac { d - 7 } { 2 } ) \cdots D ( 1 ) D ( 0 ) J _ { 0 } ( k r )
\begin{array} { r l } { \langle \beta ^ { \prime } ( t ) , \beta ^ { \prime } ( t ) \rangle = 0 } & { \Leftrightarrow | \alpha ^ { \prime } ( t ) | = c , } \\ { \langle \beta ^ { \prime } ( t ) , \beta ^ { \prime } ( t ) \rangle < 0 } & { \Leftrightarrow | \alpha ^ { \prime } ( t ) | < c , } \\ { \langle \beta ^ { \prime } ( t ) , \beta ^ { \prime } ( t ) \rangle > 0 } & { \Leftrightarrow | \alpha ^ { \prime } ( t ) | > c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { \mathbf { n } } } & { { } = \left( \prod _ { b } \prod _ { m } n _ { b m } ! | c _ { b m } | ^ { n _ { b m } } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \rho _ { \mathbf { n } } , } \end{array}
P _ { g l u e } ^ { + } \equiv \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { 1 } ^ { + } d k _ { 2 } ^ { + } \left| \psi ( k _ { 1 } ^ { + } , k _ { 2 } ^ { + } ) \right| ^ { 2 } \left( k _ { 1 } ^ { + } + k _ { 2 } ^ { + } \right) = \langle V \rangle v ^ { + } ,
\phi \left( \mathbf { r } \right) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int \nabla _ { \mathbf { r } _ { 0 } } \cdot \left( \mathbf { p } \left( \mathbf { r } _ { 0 } \right) { \frac { 1 } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } \right) d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 0 } - { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \nabla _ { \mathbf { r } _ { 0 } } \cdot \mathbf { p } \left( \mathbf { r } _ { 0 } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 0 } \, .
\begin{array} { r l } & { \Big | \Big | \frac { 1 } { e - s } \sum _ { i = s } ^ { e } f _ { i } - f _ { \eta _ { p } } \Big | \Big | _ { L _ { \infty } } } \\ { = } & { \frac { 1 } { e - s } \Big | \Big | \sum _ { i = s } ^ { \eta _ { k } } \Big ( f _ { \eta _ { k - 1 } } - f _ { \eta _ { p } } \Big ) + \sum _ { i = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k + 1 } } \Big ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { p } } \Big ) + \ldots + \sum _ { i = \eta _ { k + q } + 1 } ^ { e } \Big ( f _ { \eta _ { k + q } } - f _ { \eta _ { p } } \Big ) \Big | \Big | _ { L _ { \infty } } } \end{array}
\mathrm { i } \left[ \log ( 1 / b ) + { \frac { A b } { 1 - a b } } + { \frac { B b } { 1 - b ^ { 2 } } } - 1 - \log ( 1 / a ) - { \frac { A a } { 1 - a ^ { 2 } } } - { \frac { B a } { 1 - a b } } \right] = \pi - \mathrm { i } ( 1 + \lambda ) .
\begin{array} { r l } & { p ( \vec { D } _ { i , d 1 } ^ { m } | a _ { i } ^ { m } ) = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { L } } | \sigma _ { i , d 1 } ^ { m } | } } \\ & { \! \times \! \exp \! \left( \! - \frac { \sum _ { t _ { l } \in d 1 } ^ { L } \left[ a _ { i } ^ { m } ( t _ { l } - t _ { 0 } ) - \left( D _ { i , d 1 } ^ { m } ( t _ { l } ) - \left< D _ { i , d 1 } ^ { m } ( t _ { 0 } ) \right> \right) \right] ^ { 2 } } { 2 ( \sigma _ { i , d 1 } ^ { m } ) ^ { 2 } } ) \! \right) , } \end{array}
\Psi ( \sigma ) = \sum _ { n } \left( b _ { \pm } ( n \mid \varphi ) u _ { \pm } ( n \mid \varphi ) + d _ { \pm } ^ { \dagger } ( n \mid \varphi ) v _ { \pm } ( n \mid \varphi ) \right) e ^ { i 2 \pi n \cdot \sigma } \; ,
\begin{array} { r l } & { d u _ { n } + \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u _ { n } \partial _ { x } u _ { n } + w _ { n } \partial _ { z } u _ { n } + \partial _ { x } p _ { n } - \frac 1 n \partial _ { x x } u _ { n } - \nu \partial _ { z z } u _ { n } ) d t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u _ { n } ) d W , } \\ & { \partial _ { z } p _ { n } = 0 , } \\ & { \partial _ { x } u _ { n } + \partial _ { z } w _ { n } = 0 , } \\ & { u _ { n } ( 0 ) = u _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( + 2 ) } \hat { V } _ { 2 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \bar { F } _ { i j } \bar { F } _ { i j } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { j } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { j } \rangle _ { 1 } \Big ] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { \bar { F } } _ { i j } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) . } \end{array}
\Phi ^ { * ( E ) } = \int _ { S } { \bf E } ^ { * } ( { \bf r } , t ) \, d { \bf S } \qquad \mathrm { o r } \qquad \Phi ^ { * ( B ) } = \int _ { S } { \bf B } ^ { * } ( { \bf r } , t ) \, d { \bf S }
\begin{array} { r l r } { J _ { \mathrm { e v a p } } } & { { } = } & { 6 9 1 \left( \frac { p _ { \mathrm { H _ { 2 } } } } { 1 0 0 ~ \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ ~ ~ c ~ m ~ } ^ { - 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { T } { T _ { \mathrm { m e l t } } } \right) ^ { - 1 / 2 } } \end{array}
\vert \vec { v } \vert = ( g _ { i j } v ^ { i } v ^ { j } ) ^ { 1 / 2 } = \left( f ^ { - 1 } \left( \frac { d r } { d \lambda } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( \frac { d \phi } { d \lambda } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 }
{ \begin{array} { r l } { \| f \| ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 3 } } } & { = \sum _ { \stackrel { k = - \infty } { k \neq 0 } } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 2 \pi k ) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 4 } } = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 2 \pi k ) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 4 } } } \\ & { \implies { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } = { \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 3 } } - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } } = \zeta ( 2 ) . } \end{array} }
D ^ { \ast } = \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { s g n } ( u ) \mathrm { t a n h } \left[ 2 \frac { \frac { \partial f } { \partial x } - \frac { \partial \overline { { f } } } { \partial x } + \frac { \Delta } { 2 } \mathrm { s g n } ( u ) \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } { \kappa \frac { \partial { f } } { \partial x } } \right] .
\begin{array} { r } { Z ^ { i , j } \left( \vec { x } _ { p } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { i ! j ! ( - 1 ) ^ { i + j } } & { i = m , j = n } \\ { 0 } & { \alpha _ { \operatorname* { m i n } } < i + j < r + m + n } \\ { < \infty } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { \mathfrak { A } } & { \frac { 1 } { 2 } \mathfrak { C } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \mathfrak { C } } & { \mathfrak { B } } \end{array} \right) = \mathcal { R } _ { \psi } \left( \begin{array} { l l } { a } & { 0 } \\ { 0 } & { b } \end{array} \right) \mathcal { R } _ { \psi } ^ { T } ,
\begin{array} { r } { a _ { 1 } ( \omega ) = \sqrt { \gamma _ { 1 } } A _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } A _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } , } \\ { b ( \omega ) = \sqrt { \gamma _ { 1 } } B _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } B _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } , } \\ { a _ { 2 } ( \omega ) = \sqrt { \gamma _ { 1 } } C _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } C _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l } { \mathcal { L } _ { e } ( X ) = ( \mathrm { T r \, } X ) \cdot \mathrm { I d } _ { d } \otimes \mathrm { I d } _ { d } , } \\ { \mathcal { L } _ { ( 1 2 ) } ( X ) = X ^ { T } \otimes \mathrm { I d } _ { d } , } \\ { \mathcal { L } _ { ( 1 3 ) } ( X ) = \mathrm { I d } _ { d } \otimes X ^ { T } , } \\ { \mathcal { L } _ { ( 2 3 ) } ( X ) = ( \mathrm { T r } \, X ) \cdot \sum _ { j _ { 2 } , j _ { 3 } = 1 } ^ { d } | j _ { 3 } j _ { 2 } \rangle \langle j _ { 2 } j _ { 3 } | , } \\ { \mathcal { L } _ { ( 1 2 3 ) } ( X ) = \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } = 1 } ^ { d } X _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } | j _ { 2 } j _ { 3 } \rangle \langle j _ { 3 } j _ { 1 } | , } \\ { \mathcal { L } _ { ( 1 3 2 ) } ( X ) = \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } = 1 } ^ { d } X _ { j _ { 1 } j _ { 3 } } | j _ { 2 } j _ { 3 } \rangle \langle j _ { 1 } j _ { 2 } | . } \end{array} \right.
U _ { n } = \bigcup _ { q = 2 } ^ { \infty } \bigcup _ { p = - \infty } ^ { \infty } \left\{ x \in \mathbf { R } : 0 < \left| x - { \frac { p } { q } } \right| < { \frac { 1 } { q ^ { n } } } \right\} = \bigcup _ { q = 2 } ^ { \infty } \bigcup _ { p = - \infty } ^ { \infty } \left( { \frac { p } { q } } - { \frac { 1 } { q ^ { n } } } , { \frac { p } { q } } + { \frac { 1 } { q ^ { n } } } \right) \setminus \left\{ { \frac { p } { q } } \right\}
P = g ^ { ( 0 ) } ( \beta , V ) - \frac 3 { \beta m c ^ { 2 } } \left( ( A + B ) g ^ { ( 0 ) } + A \beta \frac { \partial g ^ { ( 0 ) } } { \partial \beta } + B V \frac { \partial g ^ { ( 0 ) } } { \partial V } \right) ,
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \cfrac { 2 } { \sqrt { I _ { 3 } } } } ~ \left[ \left( { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } + I _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } \right) ~ { \boldsymbol { B } } - { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] + 2 ~ { \sqrt { I _ { 3 } } } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 3 } } } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } ~ .
\sigma _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } = \frac { e ^ { 2 } } { k _ { B } T } K _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { 0 } \, ~ , ~ \kappa _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } = k _ { B } \left[ K _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } - \frac { \left( K _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { 1 } \right) ^ { 2 } } { K _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { 0 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \tau , i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { 1 } { I } ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \big \| \nu _ { \tau , i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \tau , i - 1 } \big \| ^ { 2 } + 8 K I L ^ { 2 } \eta _ { \tau , i - 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau , i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 8 K I \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } \eta _ { \tau , i - 1 } ^ { 4 } } { b _ { 1 } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + 1 6 K I \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } \eta _ { \tau , i - 1 } ^ { 4 } + \frac { 9 6 \lambda ^ { 2 } I ^ { 2 } L ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \tau , \ell ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \tau , \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \tau , \ell } \| ^ { 2 } } \end{array}
g _ { b } ( y , z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \sqrt { D _ { \mathrm { o u t } } } } \frac { 1 } { \sqrt { k _ { z } ^ { b } } } e ^ { i [ k _ { y } ^ { b } y + k _ { z } ^ { b } ( z - h ) ] } } & { \mathrm { f o r ~ } | y | < \frac { D _ { \mathrm { o u t } } } { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\mu _ { c } \approx \bigg [ \frac { 1 4 } { \pi } \frac { \delta B _ { f } ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \Big ( \frac { v } { L \Omega } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \bigg ] ^ { \frac { 2 } { 1 1 } }
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { R } = R _ { \mathrm { n e a r } } ^ { * } - R _ { \mathrm { n e a r } } } \\ & { = \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { P _ { \mathrm { n e a r } } g _ { \mathrm { n e a r } } } { \sigma ^ { 2 } } \right) - \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { P _ { \mathrm { n e a r } } g _ { \mathrm { n e a r } } } { P _ { \mathrm { f a r } } g _ { \mathrm { n e a r } } f ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { P _ { \mathrm { n e a r } } P _ { \mathrm { f a r } } g _ { \mathrm { n e a r } } ^ { 2 } f ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { f a r } } g _ { \mathrm { n e a r } } f ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + P _ { \mathrm { n e a r } } g _ { \mathrm { n e a r } } \sigma ^ { 2 } + \sigma ^ { 4 } } \right) } \\ & { \stackrel { ( c ) } { \le } \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { P _ { \mathrm { n e a r } } P _ { \mathrm { f a r } } g _ { \mathrm { n e a r } } ^ { 2 } f ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { f a r } } g _ { \mathrm { n e a r } } f ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + P _ { \mathrm { n e a r } } g _ { \mathrm { n e a r } } \sigma ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { P _ { \mathrm { n e a r } } g _ { \mathrm { n e a r } } } { \sigma ^ { 2 } } \cdot \frac { P _ { \mathrm { f a r } } f ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { f a r } } f ^ { 2 } + P _ { \mathrm { n e a r } } } \right) , } \end{array}
\alpha _ { i } ^ { n + 1 } = \alpha _ { i } ^ { n } \frac { \Delta E _ { i } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } - \lambda _ { i i } ( 0 , 0 ) } { \lambda _ { i i } ( \alpha _ { i } ^ { n } , 0 ) - \lambda _ { i i } ( 0 , 0 ) } ; \qquad \Delta E _ { i } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } = E _ { i } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } ( N + 1 ) - E ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } ( N )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( \bar { u } _ { i } \right) } & { = 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho \bar { u } _ { i } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \rho \bar { u } _ { i } \bar { u } _ { j } \right) } & { = - \frac { \partial \bar { p } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \sigma _ { i j } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } } \end{array}
\partial ^ { \nu } { \mathcal { L } } = { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \mu } \phi _ { \alpha } ) } } \partial _ { \mu } \partial ^ { \nu } \phi _ { \alpha } + \partial _ { \mu } ( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \mu } \phi _ { \alpha } ) } } ) \partial ^ { \nu } \phi _ { \alpha }
| \partial _ { \rho } ( H ^ { \rho \rho } u ) \partial _ { \rho } \Phi | \lesssim \varepsilon \rho ^ { - \frac 3 2 + \delta } ( 1 - | y | ^ { 2 } ) ^ { - \frac 1 4 } ( \rho ^ { \frac 3 2 } | \partial _ { \rho } \phi | + \rho ^ { \frac 1 2 } | \phi | ) \lesssim \varepsilon ^ { 2 } \rho ^ { - \frac 3 2 + 2 \delta } ( 1 - | y | ^ { 2 } ) ^ { a + \frac 1 4 } .
| \Psi _ { 1 } ( p ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } \int [ 1 2 ] \tilde { \delta } ( p - p _ { 1 2 } ) \frac { f _ { \lambda } } { p ^ { - } - p _ { 1 2 } ^ { - } } | 1 2 \rangle ,
d s ^ { 2 } = g _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } = d t ^ { 2 } - a ^ { 2 } ( t ) \biggl [ \frac { d r ^ { 2 } } { 1 - { \kappa } r ^ { 2 } } + r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } { \theta } d \phi ^ { 2 } ) \biggr ]
\begin{array} { l } { { m _ { 1 } , m _ { 2 } \mathrm { ~ a s ~ i n ~ } B _ { 3 } , } } \\ { { m _ { 3 } = \sqrt { ( m _ { \nu } ) _ { m i n } ^ { 2 } + \delta m _ { a t m } ^ { 2 } + \delta m _ { L S N D } ^ { 2 } } , } } \\ { { m _ { 4 } = \sqrt { m _ { 3 } ^ { 2 } + \delta m _ { s u n } } \approx m _ { 3 } . } } \end{array}