harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f _ { n + 2 } ( t ) } & { \leqslant C \sqrt t \int _ { 0 } ^ { t } d r \sqrt { r } \int _ { 0 } ^ { r } d s \frac { f _ { n } ( s ) } { \sqrt { r ( t - r ) } \sqrt { s ( r - s ) } } } \\ & { = C \sqrt t \int _ { 0 } ^ { t } d s \frac { f _ { n } ( s ) } { \sqrt { s } } \int _ { s } ^ { t } \frac { d r } { \sqrt { t - r } \sqrt { r - s } } } \\ & { = C \sqrt { t } \int _ { 0 } ^ { t } d s \frac { f _ { n } ( s ) } { \sqrt { s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { j } } & { = \mathinner { \langle { \hat { \sigma } _ { e e } ^ { j } } \rangle } , b _ { j } = \mathinner { \langle { \hat { \sigma } _ { f f } ^ { j } } \rangle } , c _ { j } = \mathinner { \langle { \hat { \sigma } _ { g g } ^ { j } } \rangle } , } \\ { e _ { j l } } & { = \mathinner { \langle { \hat { \sigma } _ { e e } ^ { j } \hat { \sigma } _ { e e } ^ { l } } \rangle } , f _ { j l } = \mathinner { \langle { \hat { \sigma } _ { e e } ^ { j } \hat { \sigma } _ { f f } ^ { l } } \rangle } , g _ { j l } = \mathinner { \langle { \hat { \sigma } _ { e e } ^ { j } \hat { \sigma } _ { g g } ^ { l } } \rangle } , } \\ { q _ { j l } } & { = \mathinner { \langle { \hat { \sigma } _ { e f } ^ { j } \hat { \sigma } _ { f e } ^ { l } } \rangle } , p _ { j l } = \mathinner { \langle { \hat { \sigma } _ { e g } ^ { j } \hat { \sigma } _ { g e } ^ { l } } \rangle } , r _ { j l } = \mathinner { \langle { \hat { \sigma } _ { e h } ^ { j } \hat { \sigma } _ { h e } ^ { l } } \rangle } . } \end{array}
\psi _ { 1 } ( x , t ) = \sum _ { n } a _ { n } \phi _ { n } ( x ) \mathrm { e } ^ { - i \epsilon _ { n } t } , \quad \psi _ { 2 } ( x , t ) = \sum _ { n } b _ { n } \phi _ { n } ( x ) \mathrm { e } ^ { i \epsilon _ { n } t } ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } ( H _ { k } - H ) ^ { 2 } } & { = } & { \mathbb { E } ( 1 _ { A \times \mathcal { W } \times \mathcal { Z } } - H _ { k } ) ^ { 2 } - \mathbb { E } ( 1 _ { A \times \mathcal { W } \times \mathcal { Z } } - H ) ^ { 2 } } \\ & { \le } & { \mathbb { E } ^ { k } ( 1 _ { A \times \mathcal { W } \times \mathcal { Z } } - H _ { k } ) ^ { 2 } + \varepsilon - \mathbb { E } ( 1 _ { A \times \mathcal { W } \times \mathcal { Z } } - H ) ^ { 2 } } \\ & { \le } & { \mathbb { E } ^ { k } ( 1 _ { A \times \mathcal { W } \times \mathcal { Z } } - H ) ^ { 2 } + \varepsilon - \mathbb { E } ( 1 _ { A \times \mathcal { W } \times \mathcal { Z } } - H ) ^ { 2 } } \\ & { \le } & { \mathbb { E } ( 1 _ { A \times \mathcal { W } \times \mathcal { Z } } - H ) ^ { 2 } + 2 \varepsilon - \mathbb { E } ( 1 _ { A \times \mathcal { W } \times \mathcal { Z } } - H ) ^ { 2 } = 2 \varepsilon \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } k \ge k _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { F } _ { l , \infty } ( { r } _ { [ l , \infty ] } ) = } & { \gamma ^ { l - 1 } r _ { l } + \tilde { \rho } _ { l + 1 } ^ { s _ { [ 1 , l - 1 ] } } \Big ( \gamma ^ { l } r _ { l + 1 } + \ldots } \\ & { + \tilde { \rho } _ { k } ^ { s _ { [ 1 , k - 2 ] } } \Big ( \mathbb { F } _ { [ k , \infty ] } ( { r } _ { [ k , \infty ] } ) \Big ) \Big ) , \ \forall k \ge l + 1 . } \end{array}
\operatorname { t a n h } \! { 2 g ( \vec { k } ) } = - \, { \frac { 6 \lambda I + 6 \lambda { \phi _ { 0 } } ^ { 2 } } { { \omega ( k ) } ^ { 2 } + 6 \lambda I + 6 \lambda { \phi _ { 0 } } ^ { 2 } } } .
U _ { F } ( \rho , \phi ) = \frac { e ^ { j \frac { k } { 2 f } \rho ^ { 2 } } } { j \lambda f } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } U _ { L } ( r , \theta ) e ^ { - j 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta
H = \sum _ { \bf n } \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sigma _ { 3 } ( { \bf n } ) ) + \kappa \sum _ { { \bf n } , { \bf i } } ( \sigma _ { + } ( { \bf n } ) \mu _ { 3 } ( { \bf n } , { \bf i } ) \sigma _ { + } ( { \bf n + i } ) + h . c . )
\begin{array} { c c l } { | \Psi _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ c ~ } } ( t ) | ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left| \langle \phi _ { 0 } | \hat { \sigma } _ { j } | \Psi ( t ) \rangle \right| ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 7 _ { 1 0 } } & { = d _ { 0 } + d _ { 1 } \cdot b + d _ { 2 } \cdot b ^ { 2 } + d _ { 3 } \cdot b ^ { 3 } + d _ { 4 } \cdot b ^ { 4 } + d _ { 5 } \cdot b ^ { 5 } } \\ & { = d _ { 0 } + 2 i d _ { 1 } - 4 d _ { 2 } - 8 i d _ { 3 } + 1 6 d _ { 4 } + 3 2 i d _ { 5 } } \\ & { = d _ { 0 } - 4 d _ { 2 } + 1 6 d _ { 4 } + i ( 2 d _ { 1 } - 8 d _ { 3 } + 3 2 d _ { 5 } ) } \end{array} }
F ( \psi ^ { \prime } ) = \langle \psi ^ { \prime } \vert \rho _ { \operatorname { o u t } } \vert \psi ^ { \prime } \rangle \geq ( 1 - p ) ^ { 3 } + 3 p ( 1 - p ) ^ { 2 } = 1 - 3 p ^ { 2 } + 2 p ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathrm { R e } { \phi } _ { A } ^ { k } { \phi } _ { B } ^ { - k } \right\rangle } & { { } \sim \frac { 1 } { \gamma q _ { k } ^ { 2 } } \frac { \delta - \kappa } { \beta } \frac { \epsilon } { L } \, , } \\ { \left\langle \vert { \phi } _ { A } ^ { k } \vert ^ { 2 } \right\rangle } & { { } \sim \frac { 1 } { \gamma q _ { k } ^ { 2 } } \frac { \epsilon } { L } \, , } \\ { \left\langle \vert { \phi } _ { B } ^ { k } \vert ^ { 2 } \right\rangle } & { { } \sim \frac { 1 } { \beta } \frac { \epsilon } { L } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { U } \mathbf { U } ^ { * } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = \mathbf { I } _ { 4 } } \\ { \mathbf { V } \mathbf { V } ^ { * } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = \mathbf { I } _ { 5 } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 0 } ( \tau ) = \sum _ { n , \textbf { R } } \left\{ \hat { a } _ { n , \textbf { R } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { n , \textbf { R } } \varepsilon _ { n } + \sum _ { \textbf { b } _ { i } } \left[ \hat { a } _ { n , \textbf { R } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { n , \textbf { R } + \textbf { b } _ { i } } t _ { i } + h . c . \right] \right\} ~ , } \end{array}
- 8 \pi \alpha _ { s } \, \frac { C _ { F } } { N _ { c } } \, f ^ { 2 } \, e ^ { - 2 \vartheta } \int \frac { \mathrm { d } \omega \, \mathrm { d } \omega ^ { \prime } } { \omega \omega ^ { \prime 2 } } \, \varphi _ { + } ( \omega ) \, \varphi _ { + } ( \omega ^ { \prime } ) \, \bar { u } ( v ^ { \prime } ) ( \gamma ^ { \mu } k _ { g } ^ { \nu } - \gamma ^ { \nu } k _ { g } ^ { \mu } ) u ( v ) \, ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { \mathbb { P } } { \bigl [ } \; \mathrm { H } = 4 9 \mid p = { \frac { 1 } { 3 } } \; { \bigr ] } } & { = { \binom { 8 0 } { 4 9 } } ( { \frac { 1 } { 3 } } ) ^ { 4 9 } ( 1 - { \frac { 1 } { 3 } } ) ^ { 3 1 } \approx 0 . 0 0 0 , } \\ { \operatorname { \mathbb { P } } { \bigl [ } \; \mathrm { H } = 4 9 \mid p = { \frac { 1 } { 2 } } \; { \bigr ] } } & { = { \binom { 8 0 } { 4 9 } } ( { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 4 9 } ( 1 - { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 3 1 } \approx 0 . 0 1 2 , } \\ { \operatorname { \mathbb { P } } { \bigl [ } \; \mathrm { H } = 4 9 \mid p = { \frac { 2 } { 3 } } \; { \bigr ] } } & { = { \binom { 8 0 } { 4 9 } } ( { \frac { 2 } { 3 } } ) ^ { 4 9 } ( 1 - { \frac { 2 } { 3 } } ) ^ { 3 1 } \approx 0 . 0 5 4 ~ . } \end{array} }
\dot { M } + \frac { 1 } { 4 M ^ { 2 } } \frac { a [ k ^ { 2 } ; Q ] } { d ( M ) } + \frac { 1 } { 4 M ^ { 4 } } \frac { b [ k ^ { 2 } ; Q ] } { d ( M ) } + \frac { c [ k ^ { 2 } ; Q ] } { d ( M ) M ^ { 6 } } = 0 ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d A } { d t } } \left( \Gamma , t \right) } & { = V + K + R , } \\ { V } & { = e ^ { i t L } P { \dot { A } } \left( \Gamma , 0 \right) , } \\ { K } & { = i \int _ { 0 } ^ { t } d s e ^ { i \left( t - s \right) L } P L Q e ^ { i s L Q } { \dot { A } } \left( \Gamma , 0 \right) = i \int _ { 0 } ^ { t } d s e ^ { i \left( t - s \right) L } P L R \left( s \right) , } \\ { R } & { = Q e ^ { i t L Q } { \dot { A } } \left( \Gamma , 0 \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { \ell _ { \infty } \left( \rho + \varepsilon \mathcal { X } \right) - \ell _ { \infty } \left( \rho \right) } { \varepsilon } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon } \left[ - \int \log \left[ \frac { \left( \rho + \varepsilon \mathcal { X } \right) * \phi \left( x \right) } { ( \rho * \phi ) \left( x \right) } \right] ( \rho ^ { \star } * \phi ) \left( x \right) \mathrm { d } x \right] } \\ & { = - \int \frac { ( \mathcal { X } * \phi ) \left( x \right) } { ( \rho * \phi ) \left( x \right) } ( \rho ^ { \star } * \phi ) \left( x \right) \mathrm { d } x = - \int \frac { ( \rho ^ { \star } * \phi ) \left( x \right) } { ( \rho * \phi ) \left( x \right) } \left[ \int \phi \left( x - y \right) \mathcal { X } \left( \mathrm { d } y \right) \right] \mathrm { d } x } \\ & { = - \int \left[ \int \frac { ( \rho ^ { \star } * \phi ) \left( x \right) } { ( \rho * \phi ) \left( x \right) } \phi \left( x - y \right) \mathrm { d } x \right] \mathcal { X } \left( \mathrm { d } y \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \tilde { \sigma } ( \omega ) } & { { } = \sum _ { k \in \mathbb { P } } \operatorname { R e } \left( \frac { - 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \right) \left( \frac { ( i \omega _ { k } ^ { - } ) ^ { * } } { \omega - ( - \omega _ { k } ^ { - } ) ^ { * } } \right) + \sum _ { k \in \mathbb { P } } i \operatorname { I m } \left( \frac { - 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \right) \left( \frac { i \omega _ { k } ^ { - } } { \omega - \omega _ { k } ^ { - } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathbb R ^ { n } , \; \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } ^ { 2 } \le r ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } h _ { i } ^ { 2 } a _ { i } ^ { 2 } } & { = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \ge 0 } \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathbb R ^ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } h _ { i } ^ { 2 } a _ { i } ^ { 2 } + \lambda ( r ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } ^ { 2 } ) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \ge 0 } \lambda r ^ { 2 } + \underbrace { \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathbb R ^ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( h _ { i } ^ { 2 } - \lambda ) a _ { i } ^ { 2 } } _ { ( * ) } } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \ge 0 } \lambda r ^ { 2 } + \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \lambda \ge \operatorname* { m a x } _ { i } h _ { i } ^ { 2 } , } \\ { + \infty , } & { \mathrm { ~ e l s e } } \end{array} \right. } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \ge \operatorname* { m a x } _ { i } h _ { i } ^ { 2 } } r ^ { 2 } \lambda = r ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { i } h _ { i } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { J } \big ( \textrm { T r } e ^ { - \beta H _ { p } } \big ) ^ { n } } & { \sim \int \mathcal { D } R \mathcal { D } Q \exp { \left[ \frac { N \beta ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha } \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } R _ { \alpha } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ^ { p } + \frac { N \beta ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha \neq \alpha ^ { \prime } } \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } Q _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ^ { p } \right] } } \\ & { \qquad \cdot \textrm { T r } \exp { \left[ \sum _ { \alpha i } H _ { \Gamma } ( \sigma _ { i } ^ { \alpha } ) \right] } \prod _ { \alpha } \prod _ { \tau < \tau ^ { \prime } } \delta \left( R _ { \alpha } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \sigma _ { i } ^ { \alpha } ( \tau ) \sigma _ { i } ^ { \alpha } ( \tau ^ { \prime } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad \cdot \prod _ { \alpha < \alpha ^ { \prime } } \prod _ { \tau \tau ^ { \prime } } \delta \left( Q _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \sigma _ { i } ^ { \alpha } ( \tau ) \sigma _ { i } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \tau ^ { \prime } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \frac { \partial } { \partial z } + \frac { 1 } { c } \frac { \partial } { \partial t } + \frac { i } { 2 k _ { 0 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) + \left( \frac { \mu ( \textbf { r } , t ) } { 2 } - i \delta ( \textbf { r } , t ) k _ { 0 } \right) \right] \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , t ) = } \\ & { - i \frac { 3 } { 8 \pi } \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { r a d . } } \left( n ( \textbf { r } ) \sum _ { g , \, e } \rho _ { g e } ( \textbf { r } , t ) T _ { e g s } + f _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , t ) \right) , } \end{array}
\textstyle | \Psi ^ { \prime } \rangle : = \sqrt { m } \, \sum _ { s _ { 1 } , \dotsc , s _ { L } } \langle 0 _ { m } ^ { \prime } | \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } } \hat { A } _ { 2 } ^ { s _ { 2 } } \dotsb \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } } | 0 _ { m } \rangle \, | s _ { 1 } , s _ { 2 } , \dotsc , s _ { L } \rangle ,
\langle j _ { 1 } \, m _ { 1 } \, j _ { 1 } \, ( - m _ { 1 } ) | ( 2 j _ { 1 } ) \, 0 \rangle = { \frac { ( 2 j _ { 1 } ) ! ^ { 2 } } { ( j _ { 1 } - m _ { 1 } ) ! ( j _ { 1 } + m _ { 1 } ) ! { \sqrt { ( 4 j _ { 1 } ) ! } } } }
\begin{array} { r l } { i } & { { } = \sqrt { \epsilon _ { c } } \frac { - i \cos ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k L ) - \sqrt { \epsilon _ { c } } \sin ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k L ) } { - i \sin ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k L ) + \sqrt { \epsilon _ { c } } \cos ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k L ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi _ { n } ^ { I } \to \Psi _ { \infty } ^ { I } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad H ^ { 1 } ( 0 , 1 ) \setminus ( y _ { \infty } - \delta _ { 0 } , y _ { \infty } + \delta _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } j _ { l } ( x \alpha _ { l n } ) j _ { l } ( x \alpha _ { l m } ) x ^ { 2 } d x = } \\ & { \quad \frac { \delta _ { n m } } { 2 } \times \left\{ \begin{array} { l l } { - j _ { l - 1 } ( \alpha _ { l n } ) j _ { l + 1 } ( \alpha _ { l n } ) , \; l > 0 \; . } \\ { \frac { 1 } { ( n \pi ) ^ { 2 } } , \; l = 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \frac { \ddot { \Omega } _ { k } ( t ) } { \Omega _ { k } ( t ) } - \frac { 3 } { 4 } \frac { \dot { \Omega } _ { k } ^ { 2 } ( t ) } { \Omega _ { k } ^ { 2 } ( t ) } + \Omega _ { k } ^ { 2 } ( t ) = \beta _ { k } ( t ) - \frac { 1 } { 4 } \gamma _ { k } ^ { 2 } ( t ) \, .
\begin{array} { r l } & { \varphi ( t , \xi ) : = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( t - T _ { 0 } , \xi - \sigma ) u _ { 0 } ( \sigma ) d \sigma + \int _ { T _ { 0 } } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( t - s , \xi - \sigma ) d ( s , \sigma ) d \sigma d s , } \\ & { K ( t , \xi ; s , \sigma ) : = \partial _ { \sigma } [ b ( s , \sigma ) \Psi ( t - s , \xi - \sigma ) ] + c ( s , \sigma ) \Psi ( t - s , \xi - \sigma ) , } \end{array}
\nabla f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) \approx \left[ \begin{array} { l } { \frac { f ( x _ { 1 } + \Delta , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) - f ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } { \Delta } } \\ { \frac { f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } + \Delta , \ldots , x _ { n } ) - f ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } { \Delta } } \\ { \vdots } \\ { \frac { f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } + \Delta ) - f ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } { \Delta } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \| y ( \cdot , T ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \displaystyle \frac { \delta } { 2 } \| y \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } ^ { 2 } \leq \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \delta } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \omega ^ { 3 } \rangle _ { S } } & { { } = \frac { { q } ^ { 2 } } { 2 } \left\{ \frac { q ^ { 4 } } { 4 } + 2 q ^ { 2 } { K } + 4 \pi { n } + \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( B _ { 3 } \varphi ) ( t ) : } & { = - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } \Big ) \Big ( | \gamma ^ { \prime } ( \zeta ) | ^ { 2 } - | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } \Big ) \varphi ( \zeta ) \, \mathrm { d } \zeta } \\ & { \quad + \frac { \mathrm { i } \kappa ^ { 2 } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Big ( | \gamma ^ { \prime } ( \zeta ) | ^ { 2 } - | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } \Big ) \varphi ( \zeta ) \, \mathrm { d } \zeta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( r ) } & { { } = \{ ( i , j ) \in E \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } i , j \in K _ { r } ( t ) \} \, , } \\ { E _ { \mathrm { e f f } } ( t , r ) } & { { } = \{ ( i , j ) \in E _ { \mathrm { e f f } } ( t ) \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } i , j \in K _ { r } ( t ) \} \, . } \end{array}
\Delta Q = \frac { \alpha } { 4 \pi s _ { w } ^ { 2 } } \left[ f _ { 0 } ^ { Q } + \frac { 1 } { \zeta } \arcsin \left( \frac { \zeta } { \omega } \right) f _ { 1 } ^ { Q } + \log \left( \frac { \eta } { \eta + \epsilon } \right) f _ { 2 } ^ { Q } \right] ,
\begin{array} { r l } { \ldots , \ } & { y _ { k - 2 } , y _ { k - 3 } , \ldots , y _ { 1 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { k - 2 } , } \\ & { y _ { 2 k - 2 } , y _ { 2 k - 3 } , \ldots , y _ { k + 1 } , x _ { k + 1 } , x _ { k + 2 } , \ldots , x _ { 2 k - 2 } , } \\ & { y _ { 3 k - 2 } , y _ { 3 k - 3 } , \ldots , y _ { 2 k + 1 } , x _ { 2 k + 1 } , x _ { 2 k + 2 } , \ldots , x _ { 3 k - 2 } , \ \ldots } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { { 2 ^ { - s } X } } = e ^ { { - i 2 ^ { - s - 1 } } \Delta t \hat { A } ^ { \prime } } e ^ { { - i 2 ^ { - s } } \Delta t \hat { A } ^ { \prime \prime } } e ^ { { - i 2 ^ { - s - 1 } } \Delta t \hat { A } ^ { \prime } } + O \left( \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 2 ^ { 2 s } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d \eta } { d z } \simeq \left\lbrace g _ { L } \left[ \frac { \operatorname { t a n h } ( V ) } { \operatorname { t a n h } \left( V _ { 0 } \right) } - 1 \right] + \frac { 4 } { 3 } \epsilon _ { 3 } \left[ \eta _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \operatorname { t a n h } ( V ) } { \operatorname { t a n h } \left( V _ { 0 } \right) } - \eta ^ { 2 } \right] \right\rbrace \eta , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { z } \equiv \frac { z - z _ { c o r } } { w _ { t r } } , \quad \tilde { z } _ { c } \equiv \frac { z _ { c o r } } { w _ { t r } } , \quad \chi _ { 0 } \equiv \frac { \mu m _ { H } g w _ { t r } } { 2 k _ { B } T _ { p h o } } , \quad \chi _ { 1 } \equiv \frac { \mu m _ { H } g w _ { t r } } { 2 k _ { B } T _ { c o r } } . } \end{array}
\sum \Gamma _ { N } \doteq \int _ { 0 } ^ { \infty } d u d t x t ( \frac { 2 e } { u } ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - u ( y + 1 ) } [ e ^ { - t } - e ^ { - t _ { 0 } ( x , u ) } ] [ 1 - ( 2 e u ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - u } x t ] ^ { - 1 } .
\mathcal { L } _ { s } \left( f _ { Z } \left( Z | A \right) \right) = \left( \frac { 1 } { 1 + \bar { \lambda } s } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 1 } { 1 + \bar { \lambda } \left( 1 - \bar { \lambda } \right) s } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \exp \left( \frac { - \bar { \lambda } ^ { 2 } A ^ { 2 } s } { 1 + \bar { \lambda } \left( 1 - \bar { \lambda } \right) s } \right) .
\lambda _ { K + 1 } \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { K + 1 } ( \Theta ^ { t _ { \tau } } ) = \frac { \lambda _ { K + 1 } } { \sigma _ { K + 1 } ^ { 2 } } \Theta ^ { t _ { \tau } } \quad \mathrm { s . t } \quad \mathrm { V a r } \{ \lambda _ { K + 1 } \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { K + 1 } ( \Theta ^ { t _ { \tau } } ) \} = \frac { \lambda _ { K + 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { K + 1 } ^ { 4 } } \mathrm { V a r } \{ \Theta ^ { t _ { \tau } } \} \leqslant \frac { 1 } { \sigma _ { K + 1 } ^ { 2 } } \mathrm { V a r } \{ \Theta ^ { t _ { \tau } } \}
{ \cal M } _ { \mathrm { B o r n } } ( p _ { 1 } , . . . , p _ { 4 } ) = i \frac { e ^ { 2 } } { 2 s c _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } \langle e _ { \mathrm { R } } ^ { - } | \gamma ^ { \nu } | e _ { \mathrm { L } } ^ { + } \rangle ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) _ { \nu }
\begin{array} { r l } { \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta h } = } & { - \gamma \frac { \partial _ { x x } ( h + \zeta ) } { \xi _ { h + \zeta } ^ { 3 } } + \xi _ { \zeta } \partial _ { h } f _ { \mathrm { w e t } } - P = 0 } \\ { \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta \zeta } = } & { - \gamma \frac { \partial _ { x x } ( h + \zeta ) } { \xi _ { h + \zeta } ^ { 3 } } - \partial _ { x } \cdot \left[ ( \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ) \frac { \partial _ { x } \zeta } { \xi _ { \zeta } } \right] } \\ & { + \xi _ { \zeta } \partial _ { \zeta } ( \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ) + \partial _ { \zeta } g _ { \mathrm { b r u s h } } - P = 0 . } \end{array}
\Delta F _ { L } ^ { ( n ) } ( m _ { t } , m _ { Q } ) = \left\{ F _ { L } ^ { ( n ) } ( m _ { t } , m _ { t } ) - 2 F _ { L } ^ { ( n ) } ( m _ { t } , m _ { Q } ) + F _ { L } ^ { ( n ) } ( m _ { Q } , m _ { Q } ) \right\} \Bigg \vert _ { t _ { 3 } ^ { u } } .
\begin{array} { r l r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { W ( x ) } { x { \sqrt { x } } } } \, d x } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { u } { u e ^ { u } { \sqrt { u e ^ { u } } } } } ( u + 1 ) e ^ { u } \, d u } \end{array}
R _ { s s } ( \mathbf { k } _ { \| } = 0 ) = \left( \frac { \alpha _ { 0 } \Gamma _ { 1 } } { 2 A \lambda \varepsilon _ { 0 } / \pi } \right) ^ { 2 } \left| \frac { - ( \delta _ { 1 } + i \Gamma _ { 1 } / 2 + \delta _ { 2 } + i \Gamma _ { 2 } / 2 + 2 ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } ) } { \left( \delta _ { 1 } + i \Gamma _ { 1 } / 2 + \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) \left( \delta _ { 2 } + i \Gamma _ { 2 } / 2 + \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) - ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } ) ^ { 2 } } \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \frac { { { d ^ { 2 } } \Psi _ { 2 } ( x ) } } { { d { x ^ { 2 } } } } + 2 \kappa \frac { { d \Psi _ { 2 } ( x ) } } { { d x } } + \Phi _ { 2 } ( x ) + E \Psi _ { 2 } ( x ) = F \cos ( q x ) , } \\ & { \frac { { { d ^ { 2 } } \Phi _ { 2 } ( x ) } } { { d { x ^ { 2 } } } } + 2 \kappa \frac { { d \Phi _ { 2 } ( x ) } } { { d x } } - \Psi _ { 2 } ( x ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { 0 } ( \lambda ) = H _ { 0 } \exp { ( - \frac { 1 } { 2 } ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ) ( \frac { 1 + \frac { \omega R } { c } } { 1 - \frac { \omega R } { c } } ) } G ( \lambda ) } \\ { ( 1 + \cos { \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { c } \frac { R ^ { 2 } \omega } { \lambda \sqrt { ( 1 - \frac { \omega ^ { 2 } R ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ) } } } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { c ^ { 2 } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { c ^ { 2 } ( t _ { 2 } ^ { \prime } - t _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( x _ { 2 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( y _ { 2 } ^ { \prime } - y _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( z _ { 2 } ^ { \prime } - z _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \quad { \mathrm { ( a l l ~ e v e n t s ~ 1 , ~ 2 ) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { { } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \varLambda _ { 2 } ( y , x ) \wedge \omega ( y , t ) \mathrm { d } y } \\ { = } & { { } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \varLambda _ { 2 } ( y , x ) \wedge 1 _ { \{ y _ { 2 } = 0 \} } \sigma ( y _ { 1 } , t ) \mathrm { d } y } \end{array}
{ \frac { \partial } { \partial r } } \left[ ( r ^ { 2 } + A ^ { 2 } - 2 M r ) { \frac { \partial G } { \partial r } } \right] + { \frac { 1 } { s i n \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left[ s i n \theta { \frac { \partial G } { \partial \theta } } \right] = - \delta ( r - r _ { o } ) \delta ( c o s \theta - c o s { \theta } _ { o } ) \delta ( \varphi - { \varphi } _ { o } )