harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { I _ { 4 } ^ { i } } & { \leq } & { C \, \left( \sum _ { e \, \in { \cal E } _ { h } \cap \Gamma _ { { + } } } h _ { e } ^ { - 1 } \, \epsilon ^ { \alpha _ { i } } \, \| e _ { h } ^ { i } \| _ { 0 , e } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \sum _ { e \, \in { \cal E } _ { h } \cap \Gamma _ { { + } } } h _ { e } ^ { - 1 } \, \epsilon ^ { \alpha _ { i } } \, \| e _ { I } \| _ { 0 , e } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq } & { C \, \left( \sum _ { e \, \in { \cal E } _ { h } \cap \Gamma _ { { + } } } h _ { e } ^ { - 1 } \, \epsilon ^ { \alpha _ { i } } \, \| e _ { h } ^ { i } \| _ { 0 , e } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \sum _ { K \in { \cal T } _ { h } ^ { \partial } } h _ { K } ^ { 2 l + \alpha _ { i } } \, \| u \| _ { l + 1 , K } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
V _ { \mathrm { M } } \vert _ { \mathrm { e q u a t o r } } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } w _ { \mathrm { e } } } \frac { \mathrm { d } w _ { \mathrm { e } } } { \mathrm { d } y } \frac { R } { \mu + \mu ^ { \prime } } ,
p ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } | y ) q ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } ) w ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } ) = p ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } | y ) q ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } ) w ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } ) .
\Gamma _ { 1 } ^ { p } \; = \; \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { 1 } ^ { p } ( x ) d x \; = \; \frac 1 2 \left[ \frac 4 9 \Delta u + \frac 1 9 \Delta d + \frac 1 9 \Delta s \right] ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) } & { = \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \beta + \nu \right) } } \frac { 1 + \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } } { 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } } \\ & { = \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \beta + \nu \right) } } \left( 1 + \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } \right) \left( 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \beta + \nu \right) } } \left( 1 + \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } \right) \left( 1 - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } + O \left( s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \right) \right) } \\ & { = \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \beta + \nu \right) } } \left( 1 + \left( \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \right) s ^ { \alpha + \beta } + O \left( s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \right) \right) } \\ & { = \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \beta + \nu \right) } } + O \left( s ^ { - \delta } \right) , \quad \mathrm { w h e n } \quad s \rightarrow 0 , } \end{array}
H _ { c } = - p _ { 1 } { \dot { x } } - p _ { 2 } { \ddot { x } } - p _ { 3 } { \stackrel { \ldots } { x } } - L = - p _ { 1 } q _ { 2 } - p _ { 2 } q _ { 3 } + m \sqrt { q _ { 2 } ^ { 2 } } + \alpha \frac { \sqrt { g } } { { q _ { 2 } } ^ { 2 } } .
D _ { n } ^ { \pm } ( r _ { i } , \theta _ { i } ) = - \pi \sqrt { \frac { 2 } { \kappa _ { n } } } \frac { I ( \kappa _ { n } r _ { i } , \theta _ { i } ; \Theta _ { n } ^ { \pm } ) } { \sin \frac { 1 } { 2 } \Theta _ { n } ^ { \pm } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { A n ~ u n d i r e c t e d ~ G r a p h \; } G = ( V , E , w ) } \\ & { \alpha - \; \ell _ { 1 } \; \mathrm { r e g u l a r i z a t i o n ~ p a r a m e t e r } } \\ & { \tau _ { \vert V \vert \times 1 } - \mathrm { c o n n e c t i v i t y ~ p a r a m e t e r } } \\ & { \epsilon - \mathrm { e d g e ~ p r u n i n g ~ p a r a m e t e r } } \\ & { N - \mathrm { \; n u m b e r ~ o f ~ t r a j e c t o r i e s ~ t a k e n ~ f o r ~ P O D ~ s t e p } } \\ & { \omega - \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ t r a j e c t o r i e s ~ t a k e n ~ f o r ~ a s s i m i l a t i o n } } \\ & { p _ { 1 } , p _ { 2 } , \dotsc , p _ { \omega } - p _ { i } \mathrm { \; r e p r e s e n t s ~ t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ p o i n t s ~ t a k e n ~ f r o m ~ t r a j e c t o r y ~ i ~ \; } \mathrm { f o r ~ a s s i m i l a t i o n } } \\ & { k - \mathrm { \; r e d u c e d ~ d i m e n s i o n } } \\ & { n _ { p } - \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ e i g e n m o d e s ~ t a k e n ~ f o r ~ t h e ~ n o n - l i n e a r ~ c o n s t r a i n t } } \\ & { k _ { 1 } , \beta _ { 1 } - \mathrm { n o n - l i n e a r ~ c o n s t r a i n t ~ p a r a m e t e r s } } \\ & { F _ { 0 } ^ { 1 } , F _ { 0 } ^ { 2 } , . . . . . , F _ { 0 } ^ { N } - \mathrm { i n i t i a l ~ c o n d i t i o n s ~ f o r ~ N ~ t r a j e c t o r i e s } } \end{array}
I _ { j } = \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { 2 \Sigma } \iiint _ { V _ { j } } \left( \nabla \phi _ { j } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \Sigma ~ \mathrm { d } z - \frac { 1 } { \Sigma } \iint \frac { 1 } { | \nabla \Gamma | } \frac { \partial \xi } { \partial t } \left. \phi _ { j } \right| _ { z = \xi } \mathrm { d } \Sigma ,
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } [ F ] } & { = ( 1 + 1 0 c ^ { 2 } ) 2 c ^ { 2 } \eta ^ { 1 - \gamma _ { 2 } } \int _ { \tilde { s } _ { 0 } } ^ { s } \tau ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } F _ { 1 } ( \tau ) \ d \tau + c \eta ^ { - \gamma _ { 2 } } \int _ { \tilde { s } _ { 0 } } ^ { s } \tau ^ { \gamma _ { 2 } } F _ { 2 } ( \tau ) \ d \tau , } \\ { R _ { 2 } [ F ] } & { = ( 1 + 1 0 c ^ { 2 } ) \eta ^ { 1 - \gamma _ { 1 } } \int _ { \tilde { s } _ { 0 } } ^ { s } \tau ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } F _ { 1 } ( \tau ) \ d \tau + c \eta ^ { - \gamma _ { 1 } } \int _ { \tilde { s } _ { 0 } } ^ { s } \tau ^ { \gamma _ { 1 } } F _ { 2 } ( \tau ) \ d \tau , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { \left( x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) \left( x _ { 3 } - x _ { 4 } \right) + \left( x _ { 1 } - x _ { 3 } \right) \left( x _ { 2 } - x _ { 4 } \right) + x _ { 1 } x _ { 2 } - x _ { 2 } x _ { 3 } + x _ { 3 } x _ { 4 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { \left[ \begin{array} { l } { - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } u _ { 2 } u _ { 3 } + u _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 4 } + x _ { 1 } u _ { 2 } - x _ { 2 } u _ { 3 } + x _ { 3 } u _ { 1 } + x _ { 4 } + 1 } \\ { 2 u _ { 1 } x _ { 2 } - u _ { 3 } x _ { 4 } + 2 u _ { 2 } u _ { 3 } + 2 x _ { 1 } x _ { 4 } - x _ { 2 } x _ { 3 } + 1 } \end{array} \right] \geq 0 \quad \forall u \in U , } \\ & { x \in X , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { n } \leq \delta ^ { \prime } \operatorname { \mathbb { E } } [ S _ { n } ] ) } & { \leq \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { n - k } \leq \delta ^ { \prime } \operatorname { \mathbb { E } } [ S _ { n } ] ) \leq \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { n - k } \leq \delta ^ { \prime } ( n / ( n - k ) ) \operatorname { \mathbb { E } } [ S _ { n - k } ] ) } \\ & { \leq \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { n - k } \leq \delta \operatorname { \mathbb { E } } [ S _ { n - k } ] ) \leq \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) } & { { } = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { \exp [ - i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \lambda ( k ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { = \bigg \{ \begin{array} { c } { 1 \; \mathrm { f o r } \; \rho _ { \mathrm { d i f f } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) > 0 . 1 \times \mathrm { m a x } \{ \rho _ { \mathrm { d i f f } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) \} , } \\ { 0 \; \mathrm { f o r } \; \rho _ { \mathrm { d i f f } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) \le 0 . 1 \times \mathrm { m a x } \{ \rho _ { \mathrm { d i f f } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) \} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A = \frac { 1 } { \Delta } ( \alpha - \beta - 4 \mu _ { L } ) , \quad B = \frac { 1 } { \Delta } ( \alpha - \lambda - 2 \mu _ { T } ) , \quad C = \frac { 1 } { \Delta } ( \beta + 4 \mu _ { L } - \mu _ { T } ) , \quad D = \frac { 1 } { \Delta } ( \mu _ { T } - \alpha ) , } \\ & { \Delta = ( \alpha - \lambda - 2 \mu _ { T } ) ( \beta + 4 \mu _ { L } - \mu _ { T } ) - ( \alpha - \beta - 4 \mu _ { L } ) ( \mu _ { T } - \alpha ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { F _ { o p } ^ { ( 1 ) } | \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \sum _ { \sigma _ { 1 } , . . . \sigma _ { N } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \; \Phi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } \sigma _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } \sigma _ { 2 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } \sigma _ { N } ) F _ { o p } ^ { ( 1 ) } \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } _ { \sigma _ { a } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle = } \\ & { } & { = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \sum _ { \sigma _ { 1 } , . . . \sigma _ { N } } \int \prod _ { b = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { b } \; \Phi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } \sigma _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } \sigma _ { 2 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { a } \sigma _ { a } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } \sigma _ { N } ) \times } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \times \sum _ { a = 1 } ^ { N } \sum _ { \sigma ^ { \prime } } f _ { \sigma ^ { \prime } \sigma _ { a } } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \prod _ { b < a } \hat { \psi } _ { \sigma _ { b } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \prod _ { b > a } \hat { \psi } _ { \sigma _ { b } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) | 0 \rangle = } \\ & { } & { = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \sum _ { \sigma _ { 1 } , . . . \sigma _ { N } } \int \prod _ { b = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { b } \; \sum _ { a = 1 } ^ { N } \sum _ { \sigma ^ { \prime } } f _ { \sigma _ { a } \sigma ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \Phi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } \sigma _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } \sigma _ { 2 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { a } \sigma ^ { \prime } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } \sigma _ { N } ) \times } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \times \prod _ { b < a } \hat { \psi } _ { \sigma _ { b } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) \hat { \psi } _ { \sigma _ { a } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \prod _ { b > a } \hat { \psi } _ { \sigma _ { b } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ( e _ ) } & { : = e _ { 0 } + e _ { 1 } + e _ { 2 } + e _ { 3 } + e _ { 4 } } \\ { X ( e _ { 0 } ) } & { : = e + e _ { 1 } - e _ { 2 } - e _ { 3 } + e _ { 4 } } \\ { X ( e _ { 1 } ) } & { : = e + e _ { 0 } + e _ { 2 } - e _ { 3 } - e _ { 4 } } \\ { X ( e _ { 2 } ) } & { : = e - e _ { 0 } + e _ { 1 } + e _ { 3 } - e _ { 4 } } \\ { X ( e _ { 3 } ) } & { : = e - e _ { 0 } - e _ { 1 } + e _ { 2 } + e _ { 4 } } \\ { X ( e _ { 4 } ) } & { : = e + e _ { 0 } - e _ { 1 } - e _ { 2 } + e _ { 3 } } \end{array}
p _ { n } = \delta _ { 0 n } + ( \beta - 1 ) \sum _ { l = n } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { l - n } } { ( \beta - 1 ) ^ { l } } \frac { l ! } { n ! ( n - l ) ! } \sum _ { j = n } ^ { l } Q _ { j } q _ { 1 } ^ { j } \kappa _ { l } ^ { ( j ) } \qquad .
K _ { j } ( X , [ H ] ) = \left\{ \begin{array} { r l } { { K _ { 0 } ( X , [ H ] ) } } & { { \mathrm { f o r ~ e v e n ~ } j \ , } } \\ { { K _ { 1 } ( X , [ H ] ) } } & { { \mathrm { f o r ~ o d d ~ } j \ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \widetilde { C } _ { f a c e } = \gamma _ { f a c e } \left( \widetilde { C } _ { f a c e } \right) _ { C D S } + \left( 1 - \gamma _ { f a c e } \right) \left( \widetilde { C } _ { f a c e } \right) _ { H R } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { e } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { K } } _ { 2 } \partial _ { t } \mathbf { d } + \mathbf { h } ^ { \top } \mathbf { K } _ { 2 } \partial _ { t } \mathbf { b } = \mathbf { e } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { K } } _ { 2 } \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 1 } \mathbf { h } - \mathbf { h } ^ { \top } \mathbf { K } _ { 2 } \mathbf { D } ^ { 1 } \mathbf { e } = 0 . } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \Big [ - { \frac { R } { 4 } } \Phi ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } ( F _ { \mu \nu } ^ { a } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \cal D } _ { \mu } \Phi ^ { a } ) ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 } } ( \Phi ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \Big ]
\mathrm { t r } ~ ( T ^ { a } T ^ { B } T ^ { B } ) , \quad \eta _ { B } \mathrm { t r } ~ ( T ^ { a } T ^ { B } T ^ { B } ) , \quad \mathrm { t r } ~ ( T ^ { a } \lambda T ^ { B } T ^ { B } ) , \quad \eta _ { B } \mathrm { t r } ~ ( T ^ { a } \lambda T ^ { B } T ^ { B } ) .
\vec { E } ^ { \prime } = \mathbb { M } ^ { \prime } | p ^ { \prime } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { e ^ { j \varphi _ { x ^ { \prime } } } } \\ { e ^ { j \varphi _ { y ^ { \prime } } } } \end{array} \right) .
\frac 1 { \overline { { { \alpha } } } ( s ) } = \frac 1 { \overline { { { \alpha } } } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) } - \frac 1 { 3 \pi } \sum _ { f \neq t } Q _ { f } ^ { 2 } N _ { c } \ln \frac s { M _ { Z } ^ { 2 } } = \frac 1 { \overline { { { \alpha } } } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) } - \frac { 2 0 } { 9 \pi } \ln \frac s { M _ { Z } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { n _ { \pm } ^ { 2 } = 1 - { \frac { 4 \pi } { k ^ { 2 } } } N ( b _ { c o h } + b _ { \pm } ) , } \\ { \Delta n = ( n _ { + } - n _ { - } ) \approx - { \frac { 2 \pi } { k ^ { 2 } } } N ( b _ { + } - b _ { - } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi _ { c _ { s } } = F r _ { s } = \frac { U } { c _ { s } } = \frac { U } { \sqrt { \frac { g } { k } \operatorname { t a n h } ( k y ) } } = \frac { U } { \sqrt { \frac { \lambda g } { 2 \pi } \operatorname { t a n h } \frac { 2 \pi y } { \lambda } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { 3 } { 2 } p _ { e } \right) = } & { { } - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , e } + \mathbf { v } _ { \perp , d + } \right) \frac { 5 } { 2 } p _ { e } \right] + v _ { | | , e } \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( T ) } & { \leq \left( 2 \rho \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T } \sum _ { X \in { \bf X } _ { { \bf S } _ { t } , Y } } \left\| \boldsymbol { V } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } L _ { f _ { X } } ^ { ( 1 ) } \right] + p _ { \mathrm { e r r o r } } ( T - T _ { 1 } ) + T _ { 1 } \right) \left( 1 - 2 \binom { n - 1 } { 2 } \exp \left( - \frac { c _ { 0 } c _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 1 / 1 0 } } { 2 } \right) \right) } \\ & { \quad + 2 \binom { n - 1 } { 2 } \exp \left( - \frac { c _ { 0 } c _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 1 / 1 0 } } { 2 } \right) T } \\ & { \leq 2 \rho \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T } \sum _ { X \in \boldsymbol { X } \cup \{ Y \} } \left\| \boldsymbol { W } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } L _ { f _ { X } } ^ { ( 1 ) } \right] + p _ { \mathrm { e r r o r } } ( T - T _ { 1 } ) + T _ { 1 } + 2 \binom { n - 1 } { 2 } \exp \left( - \frac { c _ { 0 } c _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 1 / 1 0 } } { 2 } \right) T } \\ & { \leq 2 \rho \cdot \operatorname* { m a x } _ { X \in { \bf X } \cup \{ Y \} } \left( L _ { f _ { X } } ^ { ( 1 ) } \right) \mathbb { E } \left[ \sum _ { X \in \boldsymbol { X } \cup \{ Y \} } \sqrt { 2 ( T - T _ { 0 } ) | \boldsymbol { \it P a } ( X ) | \log \left( ( T - T _ { 0 } ) | \boldsymbol { \it P a } ( X ) | + T _ { 0 } \right) } \right] } \\ & { \quad + p _ { \mathrm { e r r o r } } ( T - T _ { 1 } ) + T _ { 1 } + 2 \binom { n - 1 } { 2 } \exp \left( - \frac { c _ { 0 } c _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 1 / 1 0 } } { 2 } \right) T } \\ & { = O \left( \frac { 1 } { \kappa } n ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { T } L _ { \operatorname* { m a x } } ^ { ( 1 ) } \ln T \right) = \tilde { O } \left( \frac { 1 } { \kappa } n ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { T } L _ { \operatorname* { m a x } } ^ { ( 1 ) } \right) } \end{array}
\langle { \cal L } ( 0 ) \tilde { q } ^ { k } ( 1 ) q ^ { k } ( 2 ) q ^ { k } ( 3 ) \tilde { q } ^ { k } ( 4 ) \rangle = \Theta ^ { 2 2 2 2 } \ F ^ { ( k - 2 ) } ( x , u ) + O ( \theta \bar { \theta } ) \; .
\frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \mathcal { L } _ { \phi _ { t } } } { \partial \dot { x } _ { i } } \right) - \frac { \partial \mathcal { L } _ { \phi _ { t } } } { \partial x _ { i } } = \rho \dot { y } _ { i } \left[ \partial _ { y _ { i } } \int \partial _ { x _ { i } } \phi _ { i } \; d A - \partial _ { x _ { i } } \int \partial _ { y _ { i } } \phi _ { i } \; d A \right] ,
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { = \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( z ^ { k - 1 } u + ( k - 1 ) z ^ { k - 2 } \left( \frac { e ^ { z } } { e ^ { z } - 1 } \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \left( \frac { e ^ { z h } - 1 } { h } \right) \right) \right) \frac { x ^ { k } } { k ! } } \\ & { = \displaystyle \frac { u } { z } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } z ^ { k } \frac { x ^ { k } } { k ! } + \frac { e ^ { z } } { e ^ { z } - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { ( k - 1 ) z ^ { k - 1 } x ^ { k } } { k ! } } \\ & { = \displaystyle \frac { u } { z } \left( - 1 + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( z x ) ^ { k } } { k ! } \right) + \frac { e ^ { z } } { e ^ { z } - 1 } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k - 1 } x ^ { k } } { ( k - 1 ) ! } - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k - 1 } x ^ { k } } { k ! } \right) } \\ & { = \displaystyle \frac { u } { z } \left( - 1 + e ^ { z x } \right) + \frac { e ^ { z } } { e ^ { z } - 1 } \left( x \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( z x ) ^ { k } } { k ! } - \frac { 1 } { z } \left( - 1 + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( z x ) ^ { k } } { k ! } \right) \right) } \\ & { = \displaystyle \frac { u } { z } \left( e ^ { z x } - 1 \right) + \frac { e ^ { z } } { e ^ { z } - 1 } \left( x e ^ { z x } - \frac { 1 } { z } \left( - 1 + e ^ { z x } \right) \right) } \\ & { = \frac { u ( e ^ { z x } - 1 ) } { z } + \frac { e ^ { z } ( z x e ^ { z x } - e ^ { z x } + 1 ) } { z ( e ^ { z } - 1 ) } . } \end{array}
\langle \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } | T ^ { \dagger } | \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } \rangle = ( 2 \pi ) ^ { D } \delta ^ { D } \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } q _ { i } \bigg ) \mathcal { M } ^ { \dagger } ( \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } \rightarrow \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } ) \, .
\begin{array} { r l } { \dot { z } } & { = \frac { \partial H } { \partial p _ { z } } = p _ { z } \, , } \\ { \dot { \rho } } & { = \frac { \partial H } { \partial p _ { \rho } } = p _ { \rho } \, , } \\ { \dot { p _ { z } } } & { = - \frac { \partial H } { \partial z } = - \frac { 3 z \rho \left[ \frac { 1 } { \rho } - \frac { \rho } { ( z ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right] } { ( z ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } } \, , } \\ { \dot { p _ { \rho } } } & { = - \frac { \partial H } { \partial \rho } \ , } \\ & { = \left[ \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } - \frac { 3 \rho ^ { 2 } } { ( z ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } } + \frac { 1 } { ( z ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right] \left[ \frac { 1 } { \rho } - \frac { \rho } { ( z ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial y _ { k } } \log \operatorname* { d e t } \mathbf { J } _ { S } } & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } ( ( \mathbf { J } _ { S } ^ { \top } ) ^ { - 1 } ) _ { i j } \left( \frac { \partial \mathbf { J } _ { S } } { \partial y _ { k } } \right) _ { i j } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \left( \frac { \partial ^ { 2 } S _ { i } } { \partial y _ { k } \partial y _ { j } } \right) ( ( \mathbf { J } _ { S } ^ { \top } ) ^ { - 1 } ) _ { i j } } \\ & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \left( \frac { \partial \mathbf { J } _ { S } } { \partial y _ { j } } \right) _ { i k } ( ( \mathbf { J } _ { S } ^ { \top } ) ^ { - 1 } ) _ { i j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i } } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } \right] \right\} \right. } \end{array}
\left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } - v _ { A } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) v = \epsilon \left( v _ { A } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } ( v w ) + \frac { \eta _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t \partial z } \left( \frac { \partial v ^ { 3 } } { \partial z } - 2 v \frac { \partial w } { \partial z } \right) \right) .
\begin{array} { r l r } { 6 \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } = 2 \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } + r \partial _ { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } , } & { { } } & { 4 \overline { { T } } _ { \mathrm { N } } = 4 \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } + r \partial _ { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { g } _ { i i } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 1 } , \boldsymbol { v } _ { 2 } , t ) } & { = \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 3 } \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 4 } \, \widetilde { g } _ { i i } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 3 } , \boldsymbol { v } _ { 4 } , t = 0 ) \widetilde { U } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 1 } , \boldsymbol { v } _ { 3 } , t ) \widetilde { U } ( - \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 2 } , \boldsymbol { v } _ { 4 } , t ) } \\ & { \phantom { = } + \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 3 } \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 4 } \, \widetilde { S } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 3 } , \boldsymbol { v } _ { 4 } ) \widetilde { U } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 1 } , \boldsymbol { v } _ { 3 } , t ^ { \prime } ) \widetilde { U } ( - \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 2 } , \boldsymbol { v } _ { 4 } , t ^ { \prime } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \eta _ { y y } s _ { 0 } ^ { 2 } + \left( \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } \right) k _ { y } ^ { 2 } = \left( \frac { \omega _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ C ~ } } \left( s _ { 0 } , k _ { y } \right) } { c } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \omega ^ { a } } & { = \omega _ { b } ^ { a } \wedge \omega ^ { b } + B _ { \quad c } ^ { a b } \ \omega ^ { c } \wedge \omega _ { b } - \omega ^ { a } \wedge \omega ; } \\ { d \omega _ { a } } & { = - \omega _ { a } ^ { b } \wedge \omega _ { b } + B _ { a b } ^ { \quad c } \ \omega _ { c } \wedge \omega ^ { b } - \omega _ { a } \wedge \omega ; } \\ { d \omega } & { = 0 , } \end{array}