harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \right] } & { \equiv } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \langle n _ { i } | \hat { F } ( Q _ { i } ) | n _ { i } - \delta _ { i } \rangle \langle n _ { i } - \delta _ { i } | \hat { G } ( Q _ { i } ) | n _ { i } \rangle \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } } \\ & { = } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } f ( n _ { i } ; \delta _ { i } ) g ( n _ { i } ; \delta _ { i } ) \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } = \Big [ f ( n _ { i } ; \delta _ { i } ) g ( n _ { i } ; \delta _ { i } ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { q } _ { i } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { d _ { \mathrm { H } } } W _ { i , l } ^ { \mathrm { q } } \sigma _ { i , l } , \ \ \ \boldsymbol { k } _ { i } = \sum _ { l = 1 } ^ { d _ { \mathrm { H } } } W _ { i , l } ^ { \mathrm { k } } \boldsymbol { \sigma } _ { i , l } , \ \ \ \boldsymbol { v } _ { i } = \sum _ { l = 1 } ^ { d _ { \mathrm { H } } } W _ { i , l } ^ { \mathrm { v } } \boldsymbol { \sigma } _ { i , l } , } \end{array}
{ \frac { \Delta \varphi } { \Delta \alpha } } = \int _ { a } ^ { b } { \frac { f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) - f ( x , \alpha ) } { \Delta \alpha } } \, d x = \int _ { a } ^ { b } { \frac { \partial f ( x , \alpha ) } { \partial \alpha } } \, d x + R ,
\begin{array} { r l r } { L _ { \mathrm { g c } } } & { { } = } & { \left( \frac { e } { \epsilon \, c } \, { \bf A } ( { \bf X } ) \; + \; P _ { \| } \, \widehat { { \sf b } } ( { \bf X } ) \; - \; \epsilon \, J \; \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ R ~ } ^ { * } ( { \bf X } ) \right) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \dot { \bf X } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { r } ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ) ( \gamma + \eta _ { B _ { r } ^ { c } } ) = \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) } \Bigl ( \bigl ( T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u \bigr ) _ { r } ^ { \eta } \Bigr ) ( \gamma ) \ ; } \\ & { \Gamma _ { r } ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) ( \gamma + \eta _ { B _ { r } ^ { c } } ) = \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) } ( u _ { r } ^ { \eta } ) ( \gamma ) \, \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { u } _ { k } ^ { \ast } } & { = - ( R _ { k } + B _ { k } ^ { T } P _ { 1 k + 1 } B _ { k } ) ^ { - 1 } ( ( R _ { k } + B _ { k } ^ { T } P _ { 1 k + 1 } B _ { k } ) K _ { k } m _ { k } + B _ { k } ^ { T } P _ { 1 k + 1 } A _ { k } m _ { k } ) } \\ & { = - K _ { k } m _ { k } + K _ { 1 k } ^ { \ast } , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \delta \left\langle \Psi \right\rangle } { \delta t } = \frac { \omega _ { c } } { \Omega } \frac { \delta D } { \delta t } + \frac { \omega _ { c } } { \Omega } \frac { \delta J } { \delta t } ,
\varepsilon _ { i } \equiv \frac { 1 } { 2 } \frac { \sigma _ { v _ { i } } } { \mathrm { ~ E ~ } [ v _ { i } ] } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \sigma _ { v _ { i } } } { \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } \, ,
{ \begin{array} { r l } { \rho = I | \rho ) } & { = \displaystyle \sum _ { \alpha } \left[ ( d + 1 ) \Pi _ { \alpha } - I \right] { \frac { ( \Pi _ { \alpha } | \rho ) } { d } } } \\ & { = \displaystyle \sum _ { \alpha } \left[ ( d + 1 ) \Pi _ { \alpha } - I \right] { \frac { \mathrm { T r } ( \Pi _ { \alpha } \rho ) } { d } } } \\ & { = \displaystyle \sum _ { \alpha } p _ { \alpha } \left[ ( d + 1 ) \Pi _ { \alpha } - I \right] \quad { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } p _ { \alpha } = \mathrm { T r } ( \Pi _ { \alpha } \rho ) / d } \\ & { = \displaystyle - I + ( d + 1 ) \sum _ { \alpha } p _ { \alpha } | \psi _ { \alpha } \rangle \langle \psi _ { \alpha } | } \\ & { = \displaystyle \sum _ { \alpha } \left[ ( d + 1 ) p _ { \alpha } - { \frac { 1 } { d } } \right] | \psi _ { \alpha } \rangle \langle \psi _ { \alpha } | } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim \varepsilon \langle \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \rangle \| a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \| b \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 2 } ( \| a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + | \overline { c } | ^ { 2 } ) + \| ( b , ( e ^ { \gamma \psi } c ) ^ { \times } ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( x ) = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { x } \end{array} \right] ^ { \mathsf { T } } \left[ \begin{array} { l l } { q _ { 1 1 } } & { q _ { 1 2 } ^ { \mathsf { T } } } \\ { q _ { 1 2 } } & { Q _ { 2 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { x } \end{array} \right] , \quad \left[ \begin{array} { l l } { q _ { 1 1 } } & { q _ { 1 2 } ^ { \mathsf { T } } } \\ { q _ { 1 2 } } & { Q _ { 2 2 } } \end{array} \right] \in \mathcal { S } _ { \geqslant 0 } ^ { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { x } + v _ { y } } & { { } = 0 , } \\ { u u _ { x } + v u _ { y } } & { { } = - p _ { x } + 1 / \mathrm { R e } ( u _ { x x } + u _ { y y } ) , } \\ { u v _ { x } + v v _ { y } } & { { } = - p _ { y } + 1 / \mathrm { R e } ( v _ { x x } + v _ { y y } ) , } \end{array}
\hat { C } _ { b } ( q ) = \frac { 4 \pi q _ { + } \sin \frac \pi 2 q _ { - } [ \cos \frac { \pi } { 2 } ( q _ { + } + q _ { - } ) - \cos \frac { \pi } { 2 } q _ { - } ] } { [ { - 2 i k _ { 0 } - 4 \pi q _ { + } \sin \frac \pi 2 q _ { - } \cos \frac { \pi } { 2 } ( q _ { + } + q _ { - } ) } ] [ { - 2 i k _ { 0 } - 2 \pi q _ { + } \sin \pi q _ { - } } ] } .
\begin{array} { r } { \Delta \Phi ^ { \prime } \equiv ( \partial / \partial ( \Delta \phi ) ) \, \Delta { \Phi } ( \omega , \Delta \phi ) = - \frac { \omega } { c } \delta _ { z } \, \, \frac { d \Omega _ { z } } { d ( \Delta \Phi ) } } \end{array}
x ^ { \prime } x = q ^ { 2 } x x ^ { \prime } , \quad x ^ { \prime } \theta = q \theta x ^ { \prime } , \quad \theta ^ { \prime } \theta = - \theta \theta ^ { \prime } , \quad \theta ^ { \prime } x = q x \theta ^ { \prime } + ( q ^ { 2 } - 1 ) \theta x ^ { \prime }
\boldsymbol { u } _ { 0 } = ( 0 , \sin x ) , \quad \boldsymbol { b } _ { 0 } = ( B _ { 0 } , \eta ^ { - 1 } B _ { 0 } \cos x ) , \quad \boldsymbol { f } = ( 0 , ( \nu + \eta ^ { - 1 } B _ { 0 } ^ { 2 } ) \sin x ) ,
\mathrm { e r r o r } = \frac { \sum _ { n = 2 } ^ { N } \phi _ { n } } { \sum _ { n = 0 } ^ { 1 } \phi _ { n } } , \quad \phi _ { n } \equiv \frac { ( 4 n - 1 ) ! ! } { 2 ^ { 2 n } ( n ! ) ^ { 2 } } \frac { ( R R _ { o } ) ^ { 2 n } } { ( R ^ { 2 } + R _ { o } ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 2 n + \frac { 1 } { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { \mathrm { b u r n } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \Pi } _ { \mathrm { b u r n } , \mathrm { l o w } } = \hat { \Pi } _ { \mathrm { b u r n } , 0 } , \mathrm { ~ f o r ~ } \mathbf { x } > \mathbf { x } _ { \mathcal { R } } , } \\ { \hat { \Pi } _ { \mathrm { b u r n } , \mathrm { h i g h } } = 1 0 \hat { \Pi } _ { \mathrm { b u r n } , 0 } , \mathrm { ~ f o r ~ } \mathbf { x } \le \mathbf { x } _ { \mathcal { R } } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { t r } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) } & { = \operatorname { t r } ( \mathbf { A } ) + \operatorname { t r } ( \mathbf { B } ) , } \\ { \operatorname { t r } ( c \mathbf { A } ) } & { = c \operatorname { t r } ( \mathbf { A } ) , } \\ { \operatorname { t r } ( \mathbf { A } \mathbf { B } ) } & { = \operatorname { t r } ( \mathbf { B } \mathbf { A } ) , } \end{array} }
\operatorname* { l i m } _ { t ^ { \prime } \to t _ { 0 } ^ { \prime } } e ^ { \frac { 1 } { \alpha } \mathscr { E } _ { 0 } ( t ^ { \prime } - t _ { 0 } ^ { \prime } ) } = \operatorname* { l i m } _ { t ^ { \prime } \to t _ { 0 } ^ { \prime } } e ^ { \frac { 1 } { \alpha } \left( \mathscr { E } ( t ^ { \prime } - t _ { 0 } ^ { \prime } ) - \mathscr { P } \lambda \right) } \iff e ^ { - \frac { \mathscr { P } \lambda } { \alpha } } = 1 .
\begin{array} { r l } { \sum _ { d \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } } & { \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { P } _ { a } ( d ) p , \mathcal { P } _ { b } ( d ) \hat { p } \} } \\ { \geq } & { \operatorname* { m i n } \{ p , \hat { p } \} \sum _ { d \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { P } _ { a } ( d ) , \mathcal { P } _ { b } ( d ) \} } \\ { \overset { ( a ) } { \geq } } & { \operatorname* { m i n } \{ p , \hat { p } \} e ^ { - \textup { D i v } ( a , b ) } \prod _ { i } \frac { ( a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } ) ^ { a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } } } { a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } ! } e ^ { - a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } } } \\ { \overset { ( b ) } { \geq } } & { \operatorname* { m i n } \{ p , \hat { p } \} e ^ { - \textup { D i v } ( a , b ) } \prod _ { i } \frac { 1 } { e } \big ( a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } \big ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \varepsilon } _ { m + 1 } } & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { m } { { a } _ { i } { \varepsilon } _ { i } } + \sum _ { i = 0 } ^ { m } { { h } _ { i } } = { a } _ { 1 } { \varepsilon } _ { 1 } + \sum _ { i = 2 } ^ { m } { { a } _ { i } { \varepsilon } _ { i } } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } { { h } _ { i - 1 } } + { h } _ { m } } \\ & { \leq { a } _ { 1 } { h } _ { 0 } + \sum _ { i = 2 } ^ { m } { { a } _ { i } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } { { \alpha } _ { j , i - 1 } { h } _ { j - 1 } } + { h } _ { i - 1 } \right) } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } { { h } _ { i - 1 } } + { h } _ { m } } \\ & { = \sum _ { i = 2 } ^ { m } { \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } { { a } _ { i } { \alpha } _ { j , i - 1 } { h } _ { j - 1 } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } { { \alpha } _ { i , i } { h } _ { i - 1 } } + { h } _ { m } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m - 1 } { \sum _ { i = j + 1 } ^ { m } { { a } _ { i } { \alpha } _ { j , i - 1 } { h } _ { j - 1 } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { m - 1 } { { \alpha } _ { j , j } { h } _ { j - 1 } } + { \alpha } _ { m , m } { h } _ { m - 1 } + { h } _ { m } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m - 1 } { \left( { \alpha } _ { j , j } + \sum _ { i = j + 1 } ^ { m } { { a } _ { i } { \alpha } _ { j , i - 1 } } \right) { h } _ { j - 1 } } + { \alpha } _ { m , m } { h } _ { m - 1 } + { h } _ { m } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m - 1 } { \left( 1 + { a } _ { m } \right) { \alpha } _ { j , m - 1 } { h } _ { j - 1 } } + { \alpha } _ { m , m } { h } _ { m - 1 } + { h } _ { m } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m } { { \alpha } _ { j , m } { h } _ { j - 1 } } + { h } _ { m } \, . } \end{array}
\alpha ( \omega ) \propto \sum _ { \mathbf { k } } ( f ( E _ { v \mathbf { k } } ) - f ( E _ { c \mathbf { k } } ) ) | \langle v | \hat { \mathbf { p } } | c \rangle | ^ { 2 } \delta ( { E _ { c \mathbf { k } } - E _ { v \mathbf { k } } - \hbar \omega } )
\begin{array} { r l } { | a \mathrm { { R a } } \langle \omega \partial _ { 1 } T \rangle | } & { = | a { \mathrm { R a } } \langle \omega \partial _ { 1 } ( \eta + \theta ) \rangle | \leq \frac { 1 } { 2 } \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle + a ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \langle | \omega | ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
{ \cal A } ^ { \prime \prime } + \ddot { { \cal A } } - { \cal A } _ { w } ^ { \prime } - \dot { { \cal A } } _ { \theta } + 2 { \cal H } ( { \cal A } ^ { \prime } - { \cal A } _ { w } ) = \alpha { \cal L } ^ { 2 } f ^ { 2 } { \cal A } - \alpha { \cal L } ^ { 2 } f \Delta _ { 2 } ,
\epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } ) } { \partial t _ { 2 } } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial [ u _ { \beta } ^ { \sigma } ( P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } + U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } ) - \kappa ^ { \sigma } \frac { \partial T ^ { \sigma } } { \partial r _ { \alpha } } + Y _ { \alpha } ^ { \sigma } ] } { \partial r _ { 1 \alpha } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \delta } & { = \frac { 2 \gamma ( a - \ell ) ( a f - f \ell + h ) } { ( a f - f \ell + h ) ^ { 2 } - v ^ { 2 } ( a - \ell ) ^ { 2 } } , } \\ { \kappa } & { = \frac { 2 \gamma a ^ { 2 } ( a f + h ) } { ( a f + h ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } v ^ { 2 } } , } \\ { \theta } & { = 2 \gamma \ell ( a f + h ) ( a f - f \ell + h ) ( a ( a f + 2 h ) - \ell ( a f + h ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { \mathrm { P D } } = \langle n _ { c } | \langle n _ { d } | \sum _ { m , n , m ^ { \prime } , n ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } M _ { m , n } ^ { \mathrm { P D } , c } ( t ) M _ { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } } ^ { \mathrm { P D } , d } ( t ) } \\ & { \times \rho _ { 0 } { M _ { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } } ^ { \mathrm { P D } , d } } ^ { \dagger } ( t ) { M _ { m , n } ^ { \mathrm { P D } , c } } ^ { \dagger } ( t ) | n _ { c } \rangle | n _ { d } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 4 ^ { N } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 1 } ^ { \prime } , k _ { 2 } ^ { \prime } = 0 } ^ { N } \sqrt { \binom { N } { k _ { 1 } } \binom { N } { k _ { 2 } } \binom { N } { k _ { 1 } ^ { \prime } } \binom { N } { k _ { 2 } ^ { \prime } } } z ^ { 2 } ( \tau ) } \\ & { \times e ^ { - | \alpha | ^ { 2 } } e ^ { u ( \tau ) { | \alpha | } ^ { 2 } \cos [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } - k _ { 1 } ^ { \prime } + k _ { 2 } ^ { \prime } ) \tau ] } } \\ & { \times z ^ { 2 ( n _ { c } - m + n _ { d } - m ^ { \prime } ) } ( \tau ) \sum _ { m = 0 } ^ { n _ { c } } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { n _ { d } } \frac { u ^ { m + m ^ { \prime } } ( \tau ) } { m ! m ^ { \prime } ! } } \\ & { \times \left\{ \alpha ^ { 2 } \cos [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \tau ] \cos [ ( k _ { 1 } ^ { \prime } - k _ { 2 } ^ { \prime } ) \tau ] \right\} ^ { n _ { c } - m } } \\ & { \times \left\{ \alpha ^ { 2 } \sin [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \tau ] \sin [ ( k _ { 1 } ^ { \prime } - k _ { 2 } ^ { \prime } ) \tau ] \right\} ^ { n _ { d } - m ^ { \prime } } } \\ & { \times \frac { n _ { c } ! n _ { d } ! } { [ ( n _ { c } - m ) ! ] ^ { 2 } [ ( n _ { d } - m ^ { \prime } ) ! ] ^ { 2 } } | k _ { 1 } \rangle | k _ { 2 } \rangle \langle k _ { 1 } ^ { \prime } | \langle k _ { 2 } ^ { \prime } | } \\ & { = \frac { 1 } { 4 ^ { N } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 1 } ^ { \prime } , k _ { 2 } ^ { \prime } = 0 } ^ { N } \sqrt { \binom { N } { k _ { 1 } } \binom { N } { k _ { 2 } } \binom { N } { k _ { 1 } ^ { \prime } } \binom { N } { k _ { 2 } ^ { \prime } } } } \\ & { \times \frac { [ - u ( \tau ) ] ^ { n _ { c } } U \left( - { n _ { c } } , 1 , - \frac { { n _ { c } } \cos [ ( { k _ { 1 } } - { k _ { 2 } } ) \tau ] \cos [ ( { k _ { 1 } ^ { \prime } } - { k _ { 2 } ^ { \prime } } ) \tau ] z ^ { 2 } ( \tau ) } { u ( \tau ) } \right) } { n _ { c } ! } } \\ & { \times \frac { [ - u ( \tau ) ] ^ { n _ { d } } U \left( - { n _ { d } } , 1 , - \frac { { n _ { d } } \sin [ ( { k _ { 1 } } - { k _ { 2 } } ) \tau ] \sin [ ( { k _ { 1 } ^ { \prime } } - { k _ { 2 } ^ { \prime } } ) \tau ] z ^ { 2 } ( \tau ) } { u ( \tau ) } \right) } { n _ { d } ! } } \\ & { \times z ^ { 2 } ( \tau ) D [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } - k _ { 1 } ^ { \prime } + k _ { 2 } ^ { \prime } ) \tau ] | k _ { 1 } \rangle | k _ { 2 } \rangle \langle k _ { 1 } ^ { \prime } | \langle k _ { 2 } ^ { \prime } | . } \end{array}
\Sigma _ { g g } ^ { ( 2 ) } ( 1 ) = \tilde { \Sigma } _ { g g ( \mathrm { q \ q b a b } ) } ^ { ( 2 ) R } ( 1 ) + \tilde { \Sigma } _ { g g ( \mathrm { q \ q b n a b } ) } ^ { ( 2 ) R } ( 1 ) + \tilde { \Sigma } _ { g g ( \mathrm { g g } ) } ^ { ( 2 ) R } ( 1 ) + \Sigma _ { g g } ^ { ( 2 ) V } ( 1 ) \, ,
\begin{array} { r l } { \displaystyle \partial _ { t } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) } & { - \operatorname* { s u p } _ { ( F _ { \mu } , q , Q ) \in \Theta } \left\{ \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \delta _ { \lambda } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) F _ { \mu } ( d \lambda ) \right. } \\ { \displaystyle } & { \left. + \langle D _ { y } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) , q \rangle + \frac { 1 } { 2 } t r [ D _ { x } ^ { 2 } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) Q ] \right\} \leq 0 , } \end{array}
E = 2 p _ { 1 } ^ { 2 } \cosh ^ { 2 } \epsilon + 2 \sum _ { i = 2 } ^ { k } ( p _ { i } ^ { 2 } + \tilde { q } _ { i } ^ { 2 } ) + \sum _ { i = k + 1 } ^ { l } [ p _ { i } ^ { 2 } + q _ { i } ^ { 2 } ] + 2 [ p _ { 1 } ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \epsilon + q _ { i } ^ { 2 } ] + b ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \langle { \cal R } _ { b } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ) \rangle _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ o ~ p ~ s ~ } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { s } d t _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { s - t _ { 2 } } { \cal R } _ { b } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ) { \cal W } _ { b } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ; s ) = } \\ { = 1 2 D p _ { l } \alpha _ { l } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { s } d t _ { 2 } \left[ ( 1 - \langle x _ { s - t _ { 2 } } \rangle ) ( s - t _ { 2 } ) + \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { t _ { 1 } + t _ { 2 } } \right] e ^ { - \alpha _ { l } ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } \pi _ { g \to g } ( s - t _ { 2 } ) . } \end{array}
w _ { i j } ^ { 0 } = \langle \psi _ { i j } ^ { 0 } , \bar { f } \rangle = u _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \langle \psi _ { i j } ^ { 0 } , \phi _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \rangle + u _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } \langle \psi _ { i j } ^ { 0 } , \phi _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } \rangle = c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } u _ { i j } ^ { ( 1 ) } + c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } u _ { i j } ^ { ( 2 ) } .
\begin{array} { r l } { p ( \mathbf { y } _ { S } \mid \mathbf { y } _ { T } ) = } & { \mathcal { G } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { y } _ { S } \mid \tilde { \Sigma } _ { S | T } ) , } \\ { \tilde { \Sigma } = } & { \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { \Sigma } _ { S S } } & { \tilde { \Sigma } _ { S T } } \\ { \tilde { \Sigma } _ { T S } } & { \tilde { \Sigma } _ { T T } } \end{array} \right] \equiv \left[ \begin{array} { l l l } { \Sigma _ { S S } } & { - \Sigma _ { S T _ { 1 } } } & { \Sigma _ { S T _ { 0 } } } \\ { \Sigma _ { T _ { 1 } S } } & { I - \Sigma _ { T _ { 1 } T _ { 1 } } } & { \Sigma _ { T _ { 1 } T _ { 0 } } } \\ { \Sigma _ { T _ { 0 } S } } & { - \Sigma _ { T _ { 0 } T _ { 1 } } } & { \Sigma _ { T _ { 0 } T _ { 0 } } } \end{array} \right] , } \\ { \tilde { \Sigma } _ { S | T } \equiv } & { \tilde { \Sigma } _ { S S } - \tilde { \Sigma } _ { S T } \tilde { \Sigma } _ { T T } ^ { - 1 } \tilde { \Sigma } _ { T S } , } \\ { = } & { [ \Lambda _ { S S } - \Lambda _ { S T _ { 1 } } ( \Lambda _ { T _ { 1 } T _ { 1 } } - I ) ^ { - 1 } \Lambda _ { T _ { 1 } S } ] ^ { - 1 } , } \end{array}
\frac { d \Gamma ( t ) } { d \cos \Theta } \propto ( | A _ { 0 } ( t ) | ^ { 2 } + | A _ { \| } ( t ) | ^ { 2 } ) \, \frac { 3 } { 8 } \, ( 1 + \cos ^ { 2 } \Theta ) + | A _ { \perp } ( t ) | ^ { 2 } \, \frac { 3 } { 4 } \sin ^ { 2 } \Theta \, .
I _ { ( 2 ) } ( k ) = ( - ) \frac { ( i ) ^ { 2 } } { 2 ! } \, t r \left( { \frac { m ^ { 2 } - p ( p + k ) + i m ( 2 p + k ) } { [ m ^ { 2 } + p ^ { 2 } ] \, [ m ^ { 2 } + ( p + k ) ^ { 2 } ] } } \right)
\begin{array} { r l r } { w _ { m a } ( z ) } & { = } & { z - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \sqrt { \frac { R a } { P r } } \frac { z } { 4 } \right) } \\ { \theta _ { m a } ( z ) } & { = } & { z - \frac { 1 } { 2 } \frac { \int _ { 0 } ^ { z } \left( \cosh { \left( \sqrt { \frac { R a } { P r } } \ \frac { z ^ { \prime } } { 4 } \right) } \right) ^ { - 2 P r } d z ^ { \prime } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \cosh { \left( \sqrt { \frac { R a } { P r } } \ \frac { z ^ { \prime } } { 4 } \right) } \right) ^ { - 2 P r } d z ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { t } } ^ { ( A _ { 1 } , A _ { 2 } ) } ( ( x _ { j } ) _ { j \in A _ { 1 } \cup A _ { 2 } } ) } & { = \sum _ { \pi \in \mathcal { S } _ { A _ { 1 } \cup A _ { 2 } } } ( - 1 ) ^ { \pi } \prod _ { j \in A _ { 1 } \cup A _ { 2 } } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { j } ; x _ { \pi ( j ) } ) } \\ & { \quad - \sum _ { \pi _ { 1 } \in \mathcal { S } _ { A _ { 1 } } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } } \prod _ { j \in A _ { 1 } } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { j } ; x _ { \pi _ { 1 } ( j ) } ) \sum _ { \pi _ { 2 } \in \mathcal { S } _ { A _ { 2 } } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 2 } } \prod _ { j \in A _ { 2 } } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { j } ; x _ { \pi _ { 2 } ( j ) } ) } \\ & { = \rho ^ { ( | A _ { 1 } | + | A _ { 2 } | ) } ( ( x _ { j } ) _ { j \in A _ { 1 } \cup A _ { 2 } } ) - \rho ^ { ( | A _ { 1 } | ) } ( ( x _ { j } ) _ { j \in A _ { 1 } } ) \rho ^ { ( | A _ { 2 } | ) } ( ( x _ { j } ) _ { j \in A _ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } = } & { { } \sum _ { i \neq j } \left( \begin{array} { l } { a _ { i } } \\ { b _ { i } } \end{array} \right) ^ { \dagger } \left( \begin{array} { l l l } { - t _ { i j } ^ { a } } & { } & { w _ { i j } e ^ { - i 2 \phi _ { i j } } } \\ { w _ { i j } e ^ { i 2 \phi _ { i j } } } & { } & { - t _ { i j } ^ { b } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { j } } \\ { b _ { j } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda \Delta u + u ( u ^ { 2 } - 1 ) } & { { } = f , x , y \in [ 0 , 1 ] , } \\ { u ( x , 0 ) = u ( x , 1 ) } & { { } = u ( 0 , y ) = u ( 1 , y ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { W H } } ( \tau ) } & { { } = 5 . 3 _ { - 2 . 0 } ^ { + 2 . 2 } \times 1 0 ^ { - 1 6 } / \sqrt { \tau } , } \\ { \sigma _ { \mathrm { F F } } ( \tau ) } & { { } = 1 . 3 _ { - 0 . 1 } ^ { + 0 . 2 } \times 1 0 ^ { - 1 5 } , } \\ { \sigma _ { \mathrm { R W } } ( \tau ) } & { { } = 1 . 0 _ { - 0 . 1 } ^ { + 0 . 1 } \times 1 0 ^ { - 1 5 } \sqrt { \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \deg ( V _ { i \alpha + \beta } ) ^ { p } = p \big ( \mathrm { h t } ( i \alpha + \beta ) \big ) } & { > ( h + 1 ) \big ( i \mathrm { h t } ( \alpha ) + \mathrm { h t } ( \beta ) \Big ) } \\ & { = i \mathrm { h t } ( \alpha ) + \mathrm { h t } ( \beta ) + h \big ( \mathrm { h t } ( i \alpha + \beta ) \big ) } \\ & { \geq h + \mathrm { h t } \alpha + \mathrm { h t } ( \beta ) \mathrm { ~ } ( \mathrm { a s ~ } i > 0 , \mathrm { h t } ( i \alpha + \beta ) > 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { d _ { \mathcal H } } } & { ( \beta ( k + 1 ) , \beta ^ { * } ) = { d _ { \mathcal H } } ( b \oslash [ K ^ { \top } \alpha ( k + 1 ) ] , b \oslash [ K ^ { \top } \alpha ^ { * } ] ) } \\ & { = { d _ { \mathcal H } } ( K ^ { \top } \alpha ( k + 1 ) , K ^ { \top } \alpha ^ { * } ) } \\ & { \le \lambda ( K ) { d _ { \mathcal H } } ( \alpha ( k + 1 ) , \alpha ^ { * } ) \le \lambda ^ { 2 } ( K ) { d _ { \mathcal H } } ( \beta ( k ) , \beta ^ { * } ) } \end{array}
V ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { - \zeta r ^ { - 1 } , ~ ~ } } & { { \mathrm { i f } ~ ~ ~ r > r _ { 0 } , } } \\ { { ( - \zeta / r _ { 0 } ) f ( r / r _ { 0 } ) , ~ ~ } } & { { \mathrm { i f } ~ ~ ~ 0 < r < r _ { 0 } , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { n } : = \Big \{ \vert \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } - \nabla h ^ { n , t } \vert } & { \leq C _ { n } ^ { - 1 } \mathbb { E } \big [ \| \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } - \nabla h ^ { n , t } \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } \big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big \} } \\ & { \mathrm { w i t h ~ } C _ { n } : = \varsigma ^ { - 1 } \| \rho _ { \delta } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } \sqrt { \frac { \log ( n ) + \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) } { n } } , } \end{array}
R e \xi n _ { 0 } R i = a ^ { * } ( H ^ { * } ) ^ { 2 } N ^ { * } \frac { 1 8 \pi \alpha _ { 0 } ( A R ) } { X ( A R ) - Y ( A R ) } = \frac { 2 7 } { 2 } \left( \frac { H ^ { * } } { a ^ { * } } \right) ^ { 2 } c \frac { \alpha _ { 0 } } { A R ( X - Y ) } > 8