\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \lambda ( \Delta \xi \Delta \phi ) _ { i , j + 1 / 2 } u _ { \phi \_ i , j + 1 / 2 } ^ { ( k ) } } \\ & { = - i \alpha \Delta \xi _ { i , j + 1 / 2 } \biggl ( U _ { i , j } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i , j + 1 \_ j + 1 / 2 } + U _ { i , j + 1 } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 \_ j } \biggr ) u _ { \phi \_ i , j + 1 / 2 } ^ { ( k ) } } \\ & { - \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \Delta \xi _ { i , j + 1 / 2 } \bigl ( p _ { i , j + 1 } ^ { ( k ) } - p _ { i , j } ^ { ( k ) } \bigr ) } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \biggl [ \left( \frac { \Delta \phi } { \Delta \xi } \right) _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } \left( u _ { \phi \_ { i + 1 , j + 1 / 2 } } ^ { ( k ) } - u _ { \phi \_ { i , j + 1 / 2 } } ^ { ( k ) } \right) } \\ & { - \left( \frac { \Delta \phi } { \Delta \xi } \right) _ { i - 1 / 2 , j + 1 / 2 } \left( u _ { \phi \_ { i , j + 1 / 2 } } ^ { ( k ) } - u _ { \phi \_ { i - 1 , j + 1 / 2 } } ^ { ( k ) } \right) \biggr ] } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \biggl [ \left( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \right) _ { i , j + 1 } \left( u _ { \phi \_ { i , j + 3 / 2 } } ^ { ( k ) } - u _ { \phi \_ { i , j + 1 / 2 } } ^ { ( k ) } \right) } \\ & { - \left( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \right) _ { i , j } \left( u _ { \phi \_ { i , j + 1 / 2 } } ^ { ( k ) } - u _ { \phi \_ { i , j - 1 / 2 } } ^ { ( k ) } \right) \biggr ] } \\ & { - \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \alpha ^ { 2 } ( \Delta \xi \Delta \phi ) _ { i , j + 1 / 2 } u _ { \phi \_ i , j + 1 / 2 } ^ { ( k ) } } \\ & { + \frac { 4 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \frac { \sin \phi _ { j + 1 / 2 } } { \sin \phi _ { 0 } } } \\ & { \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 } \biggl ( \frac { u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i + 1 / 2 , j + 1 \_ j + 1 / 2 } + u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j + 1 } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 \_ j } } { \Delta \phi _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } } } \\ { - } & { \frac { u _ { \xi \_ i - 1 / 2 , j } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i - 1 / 2 , j + 1 \_ j + 1 / 2 } + u _ { \xi \_ i - 1 / 2 , j + 1 } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i - 1 / 2 , j + 1 / 2 \_ j } } { \Delta \phi _ { i - 1 / 2 , j + 1 / 2 } } \biggr ) } \\ & { - \frac { 4 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \frac { \sinh \xi _ { i } } { \sin \phi _ { 0 } } } \\ & { \Delta \xi _ { i , j + 1 / 2 } \biggl ( \frac { u _ { \xi \_ i - 1 / 2 , j + 1 } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i , j + 1 } + u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j + 1 } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i \_ i - 1 / 2 , j + 1 } } { \Delta \xi _ { i , j + 1 } } } \\ { - } & { \frac { u _ { \xi \_ i - 1 / 2 , j } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i , j } + u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i \_ i - 1 / 2 , j } } { \Delta \xi _ { i , j } } \biggr ) } \\ & { + \frac { 4 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \frac { \cos ^ { 2 } \phi _ { j + 1 / 2 } - \cosh ^ { 2 } \xi _ { i } } { \sin ^ { 2 } \phi _ { 0 } } ( \Delta \xi \Delta \phi ) _ { i , j + 1 / 2 } u _ { \phi \_ i , j + 1 / 2 } ^ { ( k ) } . } \end{array} } \end{array}