harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { f _ { l m } } & { = { \frac { ( 2 l + 1 ) ( l + | m | ) ! } { 2 ^ { m } | m | ! ( l - | m | ) ! } } } \\ { g ( \gamma ) } & { = { \frac { 3 } { 2 \gamma } } \left( 1 + { \frac { 1 } { 2 \gamma ^ { 2 } } } \sinh ^ { - 1 } ( \gamma ) - { \frac { \sqrt { 1 + \gamma ^ { 2 } } } { 2 \gamma } } \right) } \\ { | C _ { n ^ { * } l ^ { * } } | ^ { 2 } } & { = { \frac { 2 ^ { 2 n ^ { * } } } { n ^ { * } \Gamma ( n ^ { * } + l ^ { * } + 1 ) \Gamma ( n ^ { * } - l ^ { * } ) } } } \end{array} }
\boldsymbol { L } _ { i } = \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { - \gamma l _ { i } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { \gamma l _ { i } } } \end{array} \right] , \quad \boldsymbol { N } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { - S _ { 1 1 } S _ { 2 2 } + S _ { 1 2 } S _ { 2 1 } } { S _ { 2 1 } } } & { \frac { S _ { 1 1 } } { S _ { 2 1 } } } \\ { \frac { - S _ { 2 2 } } { S _ { 2 1 } } } & { \frac { 1 } { S _ { 2 1 } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) } { \partial t } = } & { \nabla ( \mathbf { K ^ { S } } \cdot \nabla f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) ) + \frac { 1 } { 3 } ( \nabla \cdot \mathbf { V _ { S W } } ) \frac { \partial f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) } { \partial l n ~ p } } \\ & { - ( \mathbf { V _ { S W } } + \mathbf { V _ { D } } ) \cdot \nabla f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \boldsymbol { U } ) } & { = 0 } \\ { \frac { \partial \boldsymbol { U } } { \partial t } + \boldsymbol { U } \cdot \nabla \boldsymbol { U } } & { = \boldsymbol { f } + \frac { 1 } { \rho } \nabla \cdot ( \boldsymbol { T } _ { i j } \boldsymbol { e } _ { i } \boldsymbol { e } _ { j } ) } \\ { \frac { \partial ( e + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { U } ^ { 2 } ) } { \partial t } + \boldsymbol { U } \cdot \nabla ( e + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { U } ^ { 2 } ) } & { = \boldsymbol { f } \cdot \boldsymbol { U } + \frac { 1 } { \rho } \nabla \cdot ( \boldsymbol { U } \cdot \boldsymbol { T } _ { i j } \boldsymbol { e } _ { i } \boldsymbol { e } _ { j } ) + \frac { \lambda } { \rho } \Delta T , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A } & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { ( a + b + c ) ( - a + b + c ) ( a - b + c ) ( a + b - c ) } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { 2 ( a ^ { 2 } b ^ { 2 } + a ^ { 2 } c ^ { 2 } + b ^ { 2 } c ^ { 2 } ) - ( a ^ { 4 } + b ^ { 4 } + c ^ { 4 } ) } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 2 ( a ^ { 4 } + b ^ { 4 } + c ^ { 4 } ) } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { 4 ( a ^ { 2 } b ^ { 2 } + a ^ { 2 } c ^ { 2 } + b ^ { 2 } c ^ { 2 } ) - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } . } \end{array} }
( \mathring { \Delta } _ { \mathrm { H } } \rho ) _ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } \ = \ - \mathring { \Delta } _ { \mathrm { B } } \rho _ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } + p \mathring { R } _ { j [ i _ { 1 } } \rho ^ { j } { } _ { i _ { 2 } \cdots i _ { p } ] } + \frac 1 2 p ( p - 1 ) \mathring { R } _ { j k [ i _ { 1 } i _ { 2 } } \rho ^ { j k } { } _ { i _ { 3 } \cdots i _ { p } ] }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \tilde { \mu } _ { a } ( t ) \geq \mu _ { 1 } - \epsilon , \mathcal { E } _ { a , n } ( \epsilon ) \right] } & { \leq \mathbb { P } \left[ Z \leq \frac { 2 n } { n } \left( \alpha _ { a } - \eta _ { a } ( \epsilon ) \right) , \mathcal { E } _ { a , n } ( \epsilon ) \right] } \\ & { \leq \mathbb { P } \left[ Z \leq 2 ( n - k ) \frac { 1 } { n - k } \left( \frac { 1 } { \alpha _ { a } } + \epsilon \right) \left( \alpha _ { a } - \eta _ { a } ( \epsilon ) \right) , \mathcal { E } _ { a , n } ( \epsilon ) \right] } \\ & { \leq \mathbb { P } \left[ Z \leq 2 ( n - k ) \left( \frac { 1 } { \alpha _ { a } } + \epsilon \right) \left( \alpha _ { a } - \eta _ { a } ( \epsilon ) \right) , \mathcal { E } _ { a , n } ( \epsilon ) \right] } \\ & { \leq e ^ { - ( n - k ) D _ { a , k } ( \epsilon ) } , } \end{array}
\operatorname { p d f } _ { \mathrm { M J } } ( p ; \theta ) \mathrm { d } p _ { 1 } \cdots \mathrm { d } p _ { d } = { \frac { 1 } { 4 \pi } } ( m c ) ^ { - 3 } \, { \frac { 1 } { \theta } } \operatorname { K } _ { 2 } \left( { \frac { 1 } { \theta } } \right) ^ { - 1 } \, e ^ { - { \frac { \gamma ( \mathbf { p ) } \ } { \theta } } } \mathrm { d } p _ { 1 } \mathrm { d } p _ { 2 } \mathrm { d } p _ { 3 }
Q ( u ) = \frac { 2 \varepsilon _ { 1 } \left( \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } \right) ^ { - 2 } \gamma _ { 0 } } { u I _ { 1 } ( \gamma _ { 0 } u ) \bar { \alpha } _ { 0 } ( u ) } .
\prod _ { p } ( 1 + 2 p ^ { - s } + 2 p ^ { - 2 s } + \cdots ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } 2 ^ { \omega ( n ) } n ^ { - s } = { \frac { \zeta ( s ) ^ { 2 } } { \zeta ( 2 s ) } } ,
\begin{array} { r l } { ( \Delta _ { d } + k ^ { 2 } ) ( \mathcal { T } \mathcal { G } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } } & { , x _ { 2 } - y _ { 2 } ) + \delta _ { x _ { 1 } , y _ { 1 } } \delta _ { x _ { 2 } , y _ { 2 } } ) } \\ & { = ( \Delta _ { d } + k ^ { 2 } ) ( \mathcal { G } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } , y _ { 2 } ) - \mathcal { G } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } + 1 , y _ { 2 } ) ) } \\ & { \ + ( \Delta _ { d } + k ^ { 2 } ) \delta _ { x _ { 1 } , y _ { 1 } } \delta _ { x _ { 2 } , y _ { 2 } } } \\ & { = \delta _ { x _ { 1 } , y _ { 1 } } \delta _ { x _ { 2 } , y _ { 2 } } - \delta _ { x _ { 1 } , y _ { 1 } + 1 } \delta _ { x _ { 2 } , y _ { 2 } } + \delta _ { x _ { 1 } - 1 , y _ { 1 } } \delta _ { x _ { 2 } , y _ { 2 } } } \\ & { = 0 - 1 + 1 = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi ( \omega ; \delta ) \le | \log ( \rho ( \delta - [ \mathcal { O } \circ u ] ( \omega ) ) ) | \le \operatorname* { s u p } _ { x \in B _ { \chi } ( 0 ) } | \log ( \rho ( x ) ) | \le \frac { k } { 2 } | \log ( 2 \pi \operatorname* { d e t } ( \Sigma ) ) | + \frac { 1 } { 2 } \| \Sigma ^ { - 1 } \| _ { 2 } \chi ^ { 2 } < \infty . } \end{array}
\varepsilon _ { R } - \varepsilon _ { L } + \frac { 1 } { 2 } ( p _ { R } + p _ { L } ) ( \nu _ { R } - \nu _ { L } ) + \frac { \varkappa ^ { 2 } } { 2 } ( \nu _ { R } - \nu _ { L } ) \frac { \theta _ { R } ^ { 2 } - \theta _ { L } ^ { 2 } } { p _ { R } - p _ { L } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { Y \in \mathbb { R } ^ { t N } } } & { D ( Y ) \; { : = } \; \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathbb { R } ^ { d } } f ( x , Y ) = - \frac { 1 } { N } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \phi _ { i \tau } ^ { * } ( y _ { i \tau } ) - g ^ { * } \left( - \frac { 1 } { N } A Y \right) , } \end{array}
\langle \nu ^ { \prime } J ^ { \prime } M ^ { \prime } | \hat { T } _ { j \mu } | \nu J M \rangle = \langle J ^ { \prime } M ^ { \prime } | j \mu , J M \rangle \langle \nu ^ { \prime } J ^ { \prime } | | \hat { T } _ { j } | | \nu J \rangle
[ \bar { \Delta } _ { m } ^ { a } , - i \hbar \frac { \delta } { \delta \eta _ { I } } + \phi ^ { I } ] = 0 , \qquad [ \bar { \Delta } _ { A } , - i \hbar \frac { \delta } { \delta \eta _ { I } } + \phi ^ { I } ] = 0 , \qquad [ Y , - i \hbar \frac { \delta } { \delta \eta _ { I } } + \phi ^ { I } ] = 0 ,
\mathbf { G } ( \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { 8 \pi \mu } \frac { \mathbf { I } + \hat { \mathbf { x } } \hat { \mathbf { x } } } { | \mathbf { x } | } ; ~ ~ ~ \mathcal { T } ( \mathbf { x } ) = \frac { - 3 } { 4 \pi \mu } \frac { \hat { \mathbf { x } } \hat { \mathbf { x } } \hat { \mathbf { x } } } { | \mathbf { x } | ^ { 2 } } .
\left( \phi _ { ( \vec { k } _ { 1 } , \lambda _ { 1 } ) } , j _ { e m } ^ { \mu } ( x ) \phi _ { ( \vec { k } _ { 2 } , \lambda _ { 2 } ) } \right) \nonumber \, = e ^ { - i ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) x } \bar { u } ( \vec { k } _ { 1 } , \lambda _ { 1 } ) \Sigma _ { t } ^ { \mu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) u ( \vec { k } _ { 2 } , \lambda _ { 2 } )
\operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ e ^ { t \sqrt { N } \Lambda _ { N } ( \phi _ { N } ) + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } F _ { N } ( \hat { \mu } _ { N } ) } \right] = \operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ e ^ { t \sqrt { N } \Lambda _ { N } ( \phi _ { N } ) } \right] e ^ { \frac { t ^ { 2 } } { 2 } F _ { N } ( \mu _ { P } ) } \, .
\begin{array} { c l } { V \left( \psi _ { 3 } , J _ { 3 } , \theta \right) = } & { \displaystyle \left( \sqrt { J _ { 3 } } \right) ^ { 3 } \displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { g _ { 3 , 0 , n } \cos { \left( 3 \psi _ { 3 } + \left( l _ { 3 \nu _ { x } } - n \right) \theta + \xi _ { 3 , 0 , n } \right) } } } \\ & { \displaystyle + \left( \sqrt { J _ { 3 } } \right) ^ { 3 } \displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { g _ { 1 , 0 , n } \cos { \left( \psi _ { 3 } + \left( \frac { l _ { 3 \nu _ { x } } } { 3 } - n \right) \theta + \xi _ { 1 , 0 , n } \right) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \frac { \partial u _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial t } + \frac { u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + u _ { z } ^ { ( k ) } \frac { \partial u _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial z } = - \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \partial p ^ { ( k ) } } { \partial z } } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \left\{ \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } } \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } \right) + \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } } \frac { \partial } { \partial \phi } \left( \frac { H _ { \xi } } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } \right) + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial z ^ { 2 } } \right\} } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { F r } } \frac { \vec { g } \cdot \vec { e _ { z } } } { | \vec { g } | } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathrm { W } + 1 } : = 1 , } \\ & { Q _ { \mathrm { W } + j } : = h ( \mu _ { + ( j - 1 ) , \mathrm { W } } ) Q _ { \mathrm { W } + ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , \infty ) , } \\ & { Q _ { \mathrm { W } - 1 } : = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( 1 - h ( \mu _ { + j , \mathrm { W } } ) ) Q _ { \mathrm { W } + j } , } \\ & { Q _ { \mathrm { W } - j } : = ( 1 - h ( \mu _ { - ( j - 1 ) , \mathrm { W } } ) ) Q _ { \mathrm { W } - ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , \infty ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { \partial _ { t } u + \mathcal L u + f ( t , x , u , \sigma ^ { \mathsf { T } } ( t , x , u ) \nabla _ { x } u , B [ u ] ) } & { = 0 , \quad \; ( t , x ) \in [ 0 , T ) \times \mathbb R ^ { d } , } \\ { u ( T , x ) } & { = g , \quad \; x \in \mathbb R ^ { d } , } \end{array} \right. } \end{array}
\sigma _ { z } = \sqrt { \frac { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 2 n + 1 ) e ^ { - n \hbar \omega _ { z } / k _ { B } T } } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - n \hbar \omega _ { z } / k _ { B } T } } } \frac { a _ { \mathrm { { H O } } } } { \sqrt { 2 } } \approx 1 . 3 1 a _ { \mathrm { { H O } } } / \sqrt { 2 } \approx 1 8 . 8 ~ \mathrm { { n m } }
\Gamma _ { \mu } ^ { Z , \gamma } = - i e g ^ { Z , \gamma } \left[ \gamma _ { \mu } V _ { q } ^ { Z , \gamma } - \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } A _ { q } ^ { Z , \gamma } + \frac { 1 } { 2 m _ { q } } ( p _ { q } - p _ { \bar { q } } ) _ { \mu } S _ { q } ^ { Z , \gamma } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \langle I ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } | \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \big [ B _ { M } ( r _ { k } ) - B _ { M } ( \bar { r } ) \big ] \hat { l } _ { k } ^ { 2 } \bigg ] | I , \gamma \rangle } & { { } = } & { \sum _ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \sum _ { \rho } \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \langle \kappa ^ { \prime } | \hat { l } _ { k } ^ { 2 } | \kappa \rangle \langle \gamma ^ { \prime } | \Delta B ( k ) | \gamma \rangle \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta V _ { \mathrm { f n s , i n } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( r ) = - \frac { 3 Z \alpha B _ { 1 } \sqrt { C _ { 1 } } } { r R ^ { 3 } } } & { \left[ \sqrt { C _ { 1 } } r + \sqrt { C _ { 1 } } R E _ { 3 } \left( \frac { r + R } { \sqrt { C _ { 1 } } } \right) + C _ { 1 } E _ { 4 } \left( \frac { r + R } { \sqrt { C _ { 1 } } } \right) \right. } \\ & { - \frac { 1 } { 6 } e ^ { \frac { r - R } { \sqrt { C _ { 1 } } } } \left( 2 C _ { 1 } + \sqrt { C _ { 1 } } ( r + 2 R ) + ( r - R ) ( r + 2 R ) \right) } \\ & { - \left. \frac { ( r - R ) ^ { 2 } ( r + 2 R ) } { 6 \sqrt { C _ { 1 } } } E _ { 1 } \left( \frac { R - r } { \sqrt { C _ { 1 } } } \right) \right] . } \end{array}
H = \hbar \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { \frac { \Omega } { 2 } } \\ { \frac { \Omega } { 2 } } & { \Delta } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega } { 2 } } \\ { \frac { \Omega } { 2 } } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { \Delta } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { \Delta } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { \Delta } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } \\ { \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { \Delta } & { \frac { \Omega } { 2 } } \\ { \frac { \Omega } { 2 } } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega } { 2 } } & { \Delta } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { D } Q } { \mathrm { D } t } } & { { } = - \eta _ { Q } Q + d _ { Q } \nabla ^ { 2 } Q , } \\ { \frac { \mathrm { D } R } { \mathrm { D } t } } & { { } = - \eta _ { R } R + d _ { R } \nabla ^ { 2 } R , } \\ { \rho _ { 0 } \frac { \mathrm { D } \mathbf { u } } { \mathrm { D } t } } & { { } = - \nabla p + \mu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \rho _ { 0 } g ( \beta _ { Q } Q + \beta _ { R } R ) \mathbf { e } _ { z } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { { } = 0 , } \end{array}
\mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ a ~ l ~ l ~ } = \frac { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ s ~ } } { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ s ~ + ~ f ~ a ~ l ~ s ~ e ~ n ~ e ~ g ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ s ~ } }
\begin{array} { r } { \tilde { x } _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \hat { x } _ { i j } - { \bf E } \hat { x } _ { i j } ) / \sigma _ { i j } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \sigma _ { i j } ^ { 2 } = { \bf E } \vert \hat { x } _ { i j } - { \bf E } \hat { x } _ { i j } \vert ^ { 2 } \ge 1 / 2 , } \\ { y _ { i j } , } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e , } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ^ { 1 / 2 } ( Q ^ { k + 1 } - Q ^ { k } ) = } & { - \underbrace { U ^ { 1 / 2 } \int _ { s = 0 } ^ { 1 } \left\langle J ^ { k } , \beta ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } \right\rangle d s } _ { \beta J _ { \mu } ^ { k } ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } } } \\ & { - \underbrace { U ^ { 1 / 2 } \int _ { s = 0 } ^ { 1 } \left\langle J _ { Q } ( \theta ( s ) ) - J ^ { k } , \beta ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } \right\rangle d s } _ { \textcircled { 2 } } . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \sum _ { t = T _ { j } } ^ { T _ { j + 1 } - 1 } ( R _ { t , A _ { t } ^ { * } } - R _ { t , A _ { t } } ) \right] \geq \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = T _ { j } } ^ { T _ { j } + n - 1 } ( R _ { t , A _ { t } ^ { * } } - R _ { t , A _ { t } } ) \right] = \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \mathbb { E } \left[ \left. \sum _ { t = T _ { j } } ^ { T _ { j } + n - 1 } ( R _ { t , A _ { t } ^ { * } } - R _ { t , A _ { t } } ) \right| A _ { T _ { j } } ^ { * } = i \right] \geq \frac { 1 } { 8 } \sqrt { n k } ,
b _ { 1 1 } \frac { \Gamma S _ { 1 1 } S _ { 2 2 } - \Gamma S _ { 1 2 } S _ { 2 1 } - S _ { 2 2 } } { \Gamma S _ { 1 1 } - 1 } = \frac { \Gamma _ { N , b } + b _ { 2 1 } } { 1 + ( b _ { 1 2 } / b _ { 1 1 } ) \Gamma _ { N , b } } .
\begin{array} { r } { T ^ { \alpha \beta } = \rho v ^ { \alpha } v ^ { \beta } + \eta ^ { 2 } \sigma \nabla ^ { \beta } ( \frac { 1 } { \rho } \nabla ^ { \alpha } \sigma ) + 8 \pi \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } g ^ { \alpha \beta } + \sigma \tau ^ { \alpha \beta } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { q _ { u } = 1 . 8 9 1 \times 1 0 ^ { - 2 } } } & { { r _ { u } = 1 . 0 7 4 \times 1 0 ^ { - 3 } } } \\ { { q _ { d } = - 9 . 2 6 4 \times 1 0 ^ { - 2 } } } & { { r _ { d } = 2 . 2 0 5 \times 1 0 ^ { - 2 } } } \end{array}
v _ { \rho } = \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } \sin { \theta } } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } , \quad v _ { \theta } = - \frac { 1 } { \rho \sin { \theta } } \frac { \partial \psi } { \partial \rho } , \quad v _ { \phi } = \frac { \chi } { \rho \sin { \theta } } .
\bigg ( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu _ { \mathrm { 2 b } } } \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } + v _ { \mathrm { c } } ( r ; B ) + E _ { - 1 } \bigg ) \phi _ { \mathrm { c } } ( r ) = E _ { \mathrm { c } } ( B ) \phi _ { \mathrm { c } } ( r ) .
\rho _ { \alpha \beta } ^ { \xi } ( { \bf r } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \delta \gamma } \epsilon _ { \alpha \delta \gamma } { r } _ { \delta } \frac { \partial J _ { \gamma } ^ { \bf B } ( \mathbf { r } ) } { \partial B _ { \beta } } \Bigg | _ { { \bf B } = { \bf 0 } } ,
\exp ( q ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { q ^ { n } } { n ! } } = e ^ { a } \left( \cos \| \mathbf { v } \| + { \frac { \mathbf { v } } { \| \mathbf { v } \| } } \sin \| \mathbf { v } \| \right) ~
\begin{array} { r l } & { \; \; \left[ ( 1 + \mu _ { c } ) \mathcal { I } - V \right] ^ { - 1 } V ( H ) } \\ { = } & { \; \frac { 1 } { \mu _ { c } } P _ { \alpha } \big ( P _ { \alpha } ^ { T } H P _ { \alpha } \big ) P _ { \alpha } ^ { T } + P _ { \beta } \big ( \hat { \Omega } _ { \beta \beta } \circ ( P _ { \beta } ^ { T } H P _ { \beta } ) \big ) P _ { \beta } ^ { T } } \\ & { \; + P _ { \alpha } \big ( \hat { \Omega } _ { \alpha \beta } \circ ( P _ { \alpha } ^ { T } H P _ { \beta } ) \big ) P _ { \beta } ^ { T } + { \Big ( P _ { \alpha } \big ( \hat { \Omega } _ { \alpha \beta } \circ ( P _ { \alpha } ^ { T } H P _ { \beta } ) \big ) P _ { \beta } ^ { T } \Big ) ^ { T } } } \\ & { \; + P _ { \alpha } \big ( \hat { \Omega } _ { \alpha \gamma } \circ ( P _ { \alpha } ^ { T } H P _ { \gamma } ) \big ) P _ { \gamma } ^ { T } + { \Big ( P _ { \alpha } \big ( \hat { \Omega } _ { \alpha \gamma } \circ ( P _ { \alpha } ^ { T } H P _ { \gamma } ) \big ) P _ { \gamma } ^ { T } \Big ) ^ { T } . } } \end{array}
R ( \phi ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r _ { m _ { 1 } \ldots m _ { n } } ^ { ( n ) } \phi _ { m _ { 1 } } \ldots \phi _ { m _ { n } } , \; \; \; \; \; \; \tilde { R } ( \tilde { \phi } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r _ { m _ { 1 } \ldots m _ { n } } ^ { ( n ) } \tilde { \phi } _ { m _ { n } } \ldots \tilde { \phi } _ { m _ { 1 } }
\hat { \rho } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) | \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma \rangle = \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | 0 \rangle = \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) | 0 \rangle = \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) | \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma \rangle
\begin{array} { r l r } { \rho \frac { D u _ { i } } { D t } } & { { } = } & { - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } } \\ { \frac { D p } { D t } } & { { } = } & { - { c _ { s } } ^ { 2 } \rho _ { o } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } p } { \partial x _ { i } x _ { i } } , } \end{array}
\boldsymbol { \mathrm { e } } _ { x } ^ { \prime } = \frac { [ \vec { e } _ { z } \times \vec { e } _ { z } ^ { \prime } ] } { | [ \vec { e } _ { z } \times \vec { e } _ { z } ^ { \prime } ] | } , \qquad \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { y } ^ { \prime } = [ \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { z } ^ { \prime } \times { \vec { e } _ { x } ^ { \prime } } ] , \qquad \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { z } ^ { \prime } \equiv \vec { k } .
\begin{array} { r } { \| \mathcal { M } _ { \Theta } f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \mathrel { \mathop : } = \| \operatorname* { s u p } _ { k \geq \mathbf { C } } | \sum _ { n \leq N } ( \mathrm { \emph { M o d } } _ { \theta _ { n } } \chi _ { k } ) * f | \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \leq \mathbf { C } _ { \epsilon } \cdot N ^ { \epsilon } \cdot \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } , \; \; \; \epsilon > 0 . } \end{array}
v ( t ) = v _ { 0 } \cos ( \omega _ { 0 } t ) + { \frac { v _ { 0 } ^ { \prime } } { \omega _ { 0 } } } \sin ( \omega _ { 0 } t ) + { \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } U \omega _ { f } } { \omega _ { f } ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \omega _ { 0 } } } \sin ( \omega _ { 0 } t ) - { \frac { 1 } { \omega _ { f } } } \sin ( \omega _ { f } t ) \right)
\begin{array} { r } { \Delta M _ { i , j , k + 1 / 2 } ^ { n } = \Delta x \Delta y \Delta t _ { n } \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { i , j , k } ^ { n } w _ { i , j , k + 1 / 2 } ^ { n } , w _ { i , j , k + 1 / 2 } ^ { n } > 0 } \\ { D _ { i , j , k + 1 } ^ { n } w _ { i , j , k + 1 / 2 } ^ { n } , w _ { i , j , k + 1 / 2 } ^ { n } < 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
E _ { t o t } = 4 \pi \Sigma R _ { e } ^ { 2 } + \frac { 2 N _ { f } ^ { 3 / 2 } } { 3 R _ { e } } \left( 1 + \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { g _ { f } ^ { ( l ) } } { 2 l + 1 } \right) + \frac { e ^ { 2 } N _ { f } ^ { 2 } } { 8 \pi R _ { e } } \left( 1 + \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { g _ { c } ^ { ( l ) } } { 2 l + 1 } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { G ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , \ldots , v _ { p } ) = \sum _ { i } \omega _ { i } \left( v _ { i } + \frac { d _ { i } } { 2 } \right) } & { { } + \sum _ { j \leq i } x _ { i j } \left( v _ { i } + \frac { d _ { i } } { 2 } \right) \left( v _ { j } + \frac { d _ { j } } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { c } { { { \cal L } = g _ { a { \bar { b } } } \left( { \dot { z } } ^ { a } { \dot { \bar { z } } } ^ { b } + \frac 1 2 \eta _ { k } ^ { a } \frac { D { \bar { \eta } } _ { k } ^ { \bar { b } } } { d \tau } + \frac 1 2 \frac { D \eta _ { k } ^ { a } } { d \tau } \bar { \eta } ^ { \bar { b } } \right) - } } \\ { { - g ^ { a { \bar { b } } } ( G _ { a } G _ { \bar { b } } + { U } _ { a } { \bar { U } } _ { \bar { b } } ) + } } \\ { { + i U _ { a ; b } \eta _ { 1 } ^ { a } \eta _ { 2 } ^ { b } - i { \bar { U } } _ { \bar { a } ; \bar { b } } { \bar { \eta } } _ { 1 } ^ { \bar { a } } { \bar { \eta } } _ { 2 } ^ { \bar { b } } + R _ { a \bar { b } c \bar { d } } \eta _ { 1 } ^ { a } \bar { \eta } _ { 1 } ^ { b } \eta _ { 2 } ^ { a } \bar { \eta } _ { 2 } ^ { d } . } } \end{array}
\widetilde { S } _ { V } ( \widetilde { \Phi } ) \equiv S _ { W } ( \Phi _ { 0 } + \widetilde { \Phi } ) - S _ { W } ( \Phi _ { 0 } ) = - \frac { 1 } { g _ { o } ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { 2 } \langle \widetilde { \Phi } , Q \widetilde { \Phi } \rangle + \frac { 1 } { 3 } \langle \widetilde { \Phi } , \widetilde { \Phi } * \widetilde { \Phi } \rangle \right] ,
S ^ { \left( \Sigma _ { 3 + 1 } \right) } = \int _ { \Sigma _ { 3 + 1 } } d x d y d z d t \left[ \overline { { { D ^ { \mu } T } } } * D _ { \mu } T - V _ { * } \left( T , \overline { { { T } } } \right) \right] ,