harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { a _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) = } & { b _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) \exp \Big [ i k _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) L \Big ] } \\ & { + F _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) \int \d \omega _ { P } \, \d { \bf q } _ { P } \, E _ { P } ( \Omega _ { P } , { \bf q } _ { P } ) \, b _ { I } ^ { \dagger } ( \Omega _ { P } - \Omega , { \bf q } _ { P } - { \bf q } ) , } \\ { a _ { I } ( \Omega , { \bf q } ) = } & { b _ { I } ( \Omega , { \bf q } ) \exp \Big [ i k _ { I } ( \Omega , { \bf q } ) L \Big ] } \\ & { + F _ { I } ( \Omega , { \bf q } ) \int \d \omega _ { P } \, \d { \bf q } _ { P } \, E _ { P } ( \Omega _ { P } , { \bf q } _ { P } ) \, b _ { S } ^ { \dagger } ( \Omega _ { P } - \Omega , { \bf q } _ { P } - { \bf q } ) , } \end{array}
\theta ( t ) = - { \frac { \gamma + \log \pi } { 2 } } t - \arctan 2 t + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { t } { 2 n } } - \arctan \left( { \frac { 2 t } { 4 n + 1 } } \right) \right) .
\bar { { \mathbf { F } } } ^ { \prime \prime } - \sum _ { u \in \mathcal { U } } { \mathbf { F } } _ { u } ^ { \prime \prime } = \bar { { \mathbf { F } } } ^ { \prime } - \sum _ { u \in \mathcal { U } } { \mathbf { F } } _ { u } ^ { \prime } + \sum _ { u \in \mathcal { U } } ( { \mathbf { F } } _ { u } ^ { \prime } - { \mathbf { F } } _ { u } ^ { \prime \prime } )
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { { } = \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } , t ) , } & { \quad \boldsymbol { x } , t \in \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ { \mathcal { B } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { { } = \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } , t ) , } & { \quad \boldsymbol { x } , t \in \partial \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ { \mathcal { I } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , 0 ) } & { { } = \boldsymbol { h } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \Omega , } \end{array}
\frac { k _ { 1 } ^ { \mu } } { k _ { 2 } \cdot k _ { 1 } } = \frac { k _ { 1 } ^ { \mu } / k _ { 1 } } { k _ { 2 } ( 1 - \cos \theta _ { k _ { 2 } k _ { 1 } } ) } \simeq \frac { p _ { 1 } ^ { \mu } } { k _ { 2 } \cdot p _ { 1 } } = \frac { p _ { 1 } ^ { \mu } / p _ { 1 } } { k _ { 2 } ( 1 - \cos \theta _ { k _ { 2 } p _ { 1 } } ) }
{ \frac { 1 } { p ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } - i \varepsilon } } + { \frac { g ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \int _ { m _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d m ^ { 2 } } { \left( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } - i \varepsilon \right) \left[ \left( 1 - g ^ { 2 } { \frac { m ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + g ^ { 4 } \right] } }
\begin{array} { r l r } { A _ { \mathrm { e l } } } & { { } = } & { 2 h \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { r } } \Delta \mu _ { \mathrm { e l } } ^ { 2 } } \\ { A _ { \mathrm { m a g } } } & { { } = } & { 2 h \mu _ { 0 } \Delta \mu _ { \mathrm { m a g } } ^ { 2 } } \\ { A _ { \mathrm { s t r } } } & { { } = } & { \frac { E } { 1 + \nu } h \kappa ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { { \Gamma ^ { \pm } } \backslash \Gamma _ { h } ^ { \pm } } { { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( { \bf { x } } ) } { \partial \nu } } } { u _ { N } ^ { \prime } } ( { \bf { x } } ) \mathrm { { d } } \sigma \right| } & { \leq 2 C _ { N } \sqrt { k ^ { 2 } + 2 \tau ^ { 2 } } { \frac { 2 } { \tau } } { e ^ { - { \frac { h } { 2 } } \tau } } } \\ & { \leq C _ { 9 } { e ^ { - { \frac { h } { 2 } } \tau } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi _ { i } } & { = \frac { Z _ { i } } { \tau } \left( \frac { Z _ { i } } { \tau } + 1 \right) ^ { - 1 } \frac { M ^ { 2 } } { 2 } T _ { e } \left( \frac { R ^ { 2 } } { R _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } - 1 \right) + Z _ { i } e \varphi _ { 1 } - \frac { m _ { i } } { 2 } \omega ^ { 2 } R _ { m a x } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { M ^ { 2 } } { 2 } T _ { e } \left[ 1 + \frac { Z _ { i } } { Z _ { i } + \tau } \left( \frac { R ^ { 2 } } { R _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } - 1 \right) \right] + Z _ { i } e \varphi _ { 1 } , } \end{array}
\mathrm { E M R } ( 0 ) \equiv \frac { E 2 ( 0 ) } { M 1 ( 0 ) } = { \frac { \delta \ b _ { 1 } + \delta G _ { 2 } ( 0 ) } { 8 M _ { N } G _ { 1 } ( 0 ) - \delta G _ { 2 } ( 0 ) } }
{ \frac { E _ { t o t } } { c ^ { 2 } } } = { \frac { E _ { e m } + E _ { p } } { c ^ { 2 } } } = { \frac { E _ { e m } + { \frac { E _ { e m } } { 3 } } } { c ^ { 2 } } } = { \frac { 4 } { 3 } } { \frac { E _ { e m } } { c ^ { 2 } } } = { \frac { 4 } { 3 } } m _ { e s } = m _ { e m }
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r \left( \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) \right) ^ { * } \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) } \\ & { } & { = \hbar ^ { 2 } \left( 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n - m + 1 ) - \hbar ^ { 2 } ( m + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k U _ { 1 } + i c \frac { d U _ { 1 } } { d \xi } + \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { d ^ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } U _ { 1 } - \left\vert U _ { 1 } \right\vert ^ { 2 } U _ { 1 } - U _ { 2 } } & { = } & { 0 , } \\ { k U _ { 2 } + i c \frac { d U _ { 2 } } { d \xi } + \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { d ^ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } U _ { 2 } - \left\vert U _ { 2 } \right\vert ^ { 2 } U _ { 2 } - U _ { 1 } } & { = } & { 0 . } \end{array}
S = - \int d ^ { 4 } \sigma \sqrt { - \mathrm { d e t } \, ( G _ { i j } + e ^ { - \frac { \phi } { 2 } } F _ { i j } - b _ { i j } ) } + \int \left( C _ { 4 } + C _ { 2 } \wedge ( e ^ { - \frac { \phi } { 2 } } F - b _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } C _ { 0 } F \wedge F \right) \, .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { x } \times \mathbf { y } = ( x _ { 2 } y _ { 4 } - x _ { 4 } y _ { 2 } + x _ { 3 } y _ { 7 } - x _ { 7 } y _ { 3 } + x _ { 5 } y _ { 6 } - x _ { 6 } y _ { 5 } ) \, } & { \mathbf { e } _ { 1 } } \\ { + ( x _ { 3 } y _ { 5 } - x _ { 5 } y _ { 3 } + x _ { 4 } y _ { 1 } - x _ { 1 } y _ { 4 } + x _ { 6 } y _ { 7 } - x _ { 7 } y _ { 6 } ) \, } & { \mathbf { e } _ { 2 } } \\ { + ( x _ { 4 } y _ { 6 } - x _ { 6 } y _ { 4 } + x _ { 5 } y _ { 2 } - x _ { 2 } y _ { 5 } + x _ { 7 } y _ { 1 } - x _ { 1 } y _ { 7 } ) \, } & { \mathbf { e } _ { 3 } } \\ { + ( x _ { 5 } y _ { 7 } - x _ { 7 } y _ { 5 } + x _ { 6 } y _ { 3 } - x _ { 3 } y _ { 6 } + x _ { 1 } y _ { 2 } - x _ { 2 } y _ { 1 } ) \, } & { \mathbf { e } _ { 4 } } \\ { + ( x _ { 6 } y _ { 1 } - x _ { 1 } y _ { 6 } + x _ { 7 } y _ { 4 } - x _ { 4 } y _ { 7 } + x _ { 2 } y _ { 3 } - x _ { 3 } y _ { 2 } ) \, } & { \mathbf { e } _ { 5 } } \\ { + ( x _ { 7 } y _ { 2 } - x _ { 2 } y _ { 7 } + x _ { 1 } y _ { 5 } - x _ { 5 } y _ { 1 } + x _ { 3 } y _ { 4 } - x _ { 4 } y _ { 3 } ) \, } & { \mathbf { e } _ { 6 } } \\ { + ( x _ { 1 } y _ { 3 } - x _ { 3 } y _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 6 } - x _ { 6 } y _ { 2 } + x _ { 4 } y _ { 5 } - x _ { 5 } y _ { 4 } ) \, } & { \mathbf { e } _ { 7 } . } \end{array} }
\| \boldsymbol { \Delta } \| _ { \mathrm { F } } \leq C _ { 8 } ( \frac { s ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } { \lambda _ { K } ^ { 2 } } + C _ { 9 } ^ { 4 } \frac { \rho ^ { 2 } } { \lambda _ { K } ^ { 2 } } + C _ { 9 } ^ { 2 } \frac { s \rho ^ { 2 } } { \lambda _ { K } ^ { 2 } } ) ^ { 1 / 2 } + C _ { 9 } ^ { 2 } \frac { 5 \rho } { \lambda _ { K } } \leq C _ { 1 0 } \frac { s \rho } { \lambda _ { K } } .
\left( - \nabla \cdot \frac { 1 } { { d } ( \mu _ { { \mathrm a } } ( r ) + \mu _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } ( r ) ) } \nabla + \mu _ { { \mathrm a } } ( r ) + \frac { 1 } { c } \frac { \partial } { \partial t } \right) \Phi ( r , t ) = 0 , \, r \in \Omega
\begin{array} { r } { I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] = m _ { \psi } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } , \qquad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \quad m _ { \psi } = I _ { 3 } [ \dot { \psi } _ { 0 } + \dot { \varphi } _ { 0 } ] , } \\ { I _ { 2 } \dot { \varphi } \sin ^ { 2 } \theta + m _ { \psi } \cos \theta = m _ { \varphi } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } . \qquad \qquad } \end{array}
\Phi ( { \bf r } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , { \bf r } _ { n _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } , \ldots , { \bf r } _ { 1 } ^ { ( M ) } , \ldots , { \bf r } _ { n _ { M } } ^ { ( M ) } , t ) = \left\langle 0 \left| \prod _ { p = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { \sqrt { n _ { p } ! } } \Psi _ { p } ( { \bf r } _ { 1 } ^ { ( p ) } , t ) \cdots \Psi _ { p } ( { \bf r } _ { n _ { p } } ^ { ( p ) } , t ) \right| \Phi \right\rangle
\begin{array} { r l } { | x _ { \alpha } ^ { \prime } - x _ { \beta } ^ { \prime } | \leq } & { | x _ { \alpha } ^ { \prime } - x _ { \alpha } | + | x _ { \alpha } - x _ { \beta } | + | x _ { \beta } - x _ { \beta } ^ { \prime } | } \\ { \leq } & { 4 \epsilon _ { P } + d _ { \alpha \beta } ( Q ) = \rho c _ { \alpha \beta } - \epsilon _ { Q } + 4 \epsilon _ { P } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { u } _ { 0 0 } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , \tau ) \cdot \mathbf { j } _ { 0 0 } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , \tau _ { 1 } ) \right\rangle } & { \, \, = - \mathrm { i } \epsilon _ { i j k } \int \mathrm { d } k \int \mathrm { d } k ^ { \prime } k _ { j } ^ { \prime } \left\langle \hat { u } _ { 0 0 i } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ; \tau ) \hat { b } _ { 0 0 k } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ; \tau _ { 1 } ) \right\rangle \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } ) \cdot \mathbf { x } } } \\ & { \, \, = \int \mathrm { d } k H _ { u b } \left( k ; \tau , \tau _ { 1 } \right) = \int \mathrm { d } k H _ { b u } \left( k ; \tau _ { 1 } , \tau \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L _ { 1 } \left( \varepsilon _ { \rho } \right) = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { e } } \int _ { \Omega _ { n } } \left| \varepsilon _ { \rho } \right| d \Omega _ { n } \approx \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { e } } J _ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left| { \varepsilon } _ { \rho , j } \right| A _ { j } } \\ & { L _ { 2 } \left( \varepsilon _ { \rho } \right) = \sqrt { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { e } } \int _ { \Omega _ { n } } \varepsilon _ { \rho } ^ { 2 } d \Omega _ { n } } \approx \sqrt { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { e } } J _ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \varepsilon } _ { \rho , j } ^ { 2 } A _ { j } } , } \\ & { \varepsilon _ { \rho } = \rho - \rho _ { e x a c t } , J _ { n } = \Delta x _ { n } \Delta y _ { n } / 4 } \end{array}
\nabla \boldsymbol \phi = \nabla { } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { } + \nabla { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { } = 0
\begin{array} { r } { \partial _ { x } S _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } [ \mathfrak { A } _ { 1 } , \partial _ { x } S _ { 1 } ] - [ \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } - \partial _ { x } D , \mathfrak { A } _ { 2 } ] = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathfrak { F } _ { \alpha - 1 } + \mathfrak { D } _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\{ \mathcal { H } _ { 2 } , F ^ { ( 4 ) } \right\} } & { = - \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } + j _ { 3 } + j _ { 4 } = 0 } \frac { 8 \mathrm { i } } { 2 \pi } j _ { 1 } \kappa _ { j _ { 1 } } F _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } } ^ { ( 4 ) } f _ { j _ { 1 } } f _ { j _ { 2 } } f _ { j _ { 3 } } f _ { j _ { 4 } } } \\ & { = - \frac { 2 \mathrm { i } } { 2 \pi } \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } + j _ { 3 } + j _ { 4 } = 0 } \left( j _ { 1 } \kappa _ { j _ { 1 } } + j _ { 2 } \kappa _ { j _ { 2 } } + j _ { 3 } \kappa _ { j _ { 3 } } + j _ { 4 } \kappa _ { j _ { 4 } } \right) F _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } } ^ { ( 4 ) } f _ { j _ { 1 } } f _ { j _ { 2 } } f _ { j _ { 3 } } f _ { j _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { J = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial x } { \partial \tau } } & { \frac { \partial x } { \partial \alpha } } \\ { \frac { \partial y } { \partial \tau } } & { \frac { \partial y } { \partial \alpha } } \end{array} \right) = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial x } { \partial r } } & { \frac { \partial x } { \partial \theta } } \\ { \frac { \partial y } { \partial r } } & { \frac { \partial y } { \partial \theta } } \end{array} \right) \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial r } { \partial \tau } } & { \frac { \partial r } { \partial \alpha } } \\ { \frac { \partial \theta } { \partial \tau } } & { \frac { \partial \theta } { \partial \alpha } } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathcal { Q } _ { 0 } ( \rho ) : = { ( 2 \pi \Delta _ { \rho } ^ { 2 } ) } ^ { - \frac 1 4 } \; \sqrt { \rho } \, \exp \left[ - \frac { \rho ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { \rho } ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ \left\| \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \left[ A _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) - \bar { A } _ { i } \right] \right\| \right] } & { \le \frac { d _ { 1 } } { \sqrt { N K } } + 2 L _ { 1 } \rho ^ { \tau K } , } \\ { \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ \left\| \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \left[ A _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) - \bar { A } _ { i } \right] \right\| ^ { 2 } \right] } & { \le \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } } { N K } + 4 L _ { 1 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } , } \\ { \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ \left\| \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) \right\| \right] } & { \le \frac { d _ { 2 } } { \sqrt { N K } } + 2 L _ { 2 } \rho ^ { \tau K } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ \left\| \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) \right\| ^ { 2 } \right] } & { \le \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } + 4 L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u } & { \in C ( [ 0 , \infty ) ; B _ { q , p } ^ { 0 } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { \ell } ) ) } \\ { u } & { \in H _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta , r } ( 0 , \infty ; H ^ { 1 - 2 \theta , \zeta } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { \ell } ) ) \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta \in [ 0 , 1 / 2 ) , \ r , \zeta \in ( 2 , \infty ) , } \\ { u } & { \in C _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } } ( ( 0 , \infty ) \times \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { \ell } ) \ \mathrm { a . s . \ } \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta _ { 1 } \in [ 0 , 1 / 2 ) , \ \theta _ { 2 } \in ( 0 , 1 ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \dot { z } } _ { 2 } = { \dot { q } } _ { 2 N + 2 } = \alpha _ { 1 } = \pm \sqrt { { \dot { q } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \dot { q } } _ { 2 } ^ { 2 } + { \dot { q } } _ { 3 } ^ { 2 } - { \dot { q } } _ { 4 } ^ { 2 } - { \dot { q } } _ { 5 } ^ { 2 } } } \\ { { \dot { z } } _ { 3 } = { \dot { q } } _ { 2 N + 3 } = \alpha _ { 2 } = \pm \sqrt { { \dot { q } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \dot { q } } _ { 2 } ^ { 2 } + { \dot { q } } _ { 3 } ^ { 2 } - { \dot { q } } _ { 6 } ^ { 2 } - { \dot { y } } _ { 7 } ^ { 2 } } } \\ { \quad \dots \quad \dots \quad \dots } \\ { { \dot { z } } _ { N } = { \dot { q } } _ { 3 N } = \alpha _ { N - 1 } = \pm \sqrt { { \dot { q } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \dot { q } } _ { 2 } ^ { 2 } + { \dot { q } } _ { 3 } ^ { 2 } - { \dot { q } } _ { 2 N } ^ { 2 } - { \dot { y } } _ { 2 N + 1 } ^ { 2 } } } \end{array} \right.
P ( x , y | { a } , { c } ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } P ( x | { a } , \xi ) P ( y | { c } , \zeta ) { \widehat \mu } ( \xi , \zeta | { a } , { c } ) d \xi d \zeta \; ,
\begin{array} { r l } { | F ( z ) | + | G ( z ) | \leq \sum _ { M \subset \{ 1 , \ldots , n \} } | b _ { M } | \frac { 1 } { m ( M ) _ { 1 } ^ { 2 } } } & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { \operatorname* { m a x } M = k } \frac { 1 } { ( n _ { k } ) _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 2 ^ { k } } { 2 ^ { 2 k ^ { 2 } } } < 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 / t _ { 3 } = \frac { w _ { 1 } / 2 } { w _ { 1 } / 2 + s _ { \mathrm { E } } } \sqrt { \frac { ( w _ { 1 } / 2 + s _ { \mathrm { E } } + w _ { \mathrm { E } } ) ^ { 2 } - ( w _ { 1 } / 2 + s _ { \mathrm { E } } ) ^ { 2 } } { ( w _ { 1 } / 2 + s _ { \mathrm { E } } + w _ { \mathrm { E } } ) ^ { 2 } - ( w _ { 1 } / 2 ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c } { a ^ { 0 + 0 \times 4 } b a ^ { 0 } } & { a ^ { 0 + 0 \times 4 } b a ^ { 0 + 1 \times 4 } } \\ { a ^ { 1 + 0 \times 4 } b a ^ { 0 } } & { a ^ { 1 + 0 \times 4 } b a ^ { 0 + 1 \times 4 } } \\ { a ^ { 2 + 0 \times 4 } b a ^ { 1 } } & { a ^ { 2 + 0 \times 4 } b a ^ { 1 + 1 \times 4 } } \\ { a ^ { 3 + 0 \times 4 } b a ^ { 3 } } & { a ^ { 3 + 1 \times 4 } b a ^ { 3 + 1 \times 4 } } \end{array} \right\} \in H _ { 2 } \left( \left\{ b , a b , a ^ { 2 } b a , a ^ { 3 } b a ^ { 3 } \right\} \right) .
\mathfrak { C } \le ( \underline { { c } } ^ { - \frac { 3 } { 4 } } \vee \underline { { c } } ^ { - \frac { 5 } { 2 } - \frac { 2 \delta } { 1 - \delta } } ) \bar { \Psi } ^ { 1 + 3 r + \frac { 3 \delta r } { 1 - \delta } } \quad \textnormal { s o t h a t } \quad \mathfrak { C } \sqrt { \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 2 , 1 ) } } } \le \sqrt { L } ( \underline { { c } } ^ { - \frac { 5 } { 4 } } \wedge \underline { { c } } ^ { - { \frac { 7 } { 2 } } - \frac { 3 \delta } { 1 - \delta } } ) \bar { \Psi } ^ { \frac { 3 } { 2 } + \frac { 9 } { 2 } r + \frac { 4 \delta r } { 1 - \delta } } ,
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } ^ { * } = L ^ { 2 } ( I ^ { * } , \mathfrak { m } ^ { * } ) \cap \mathscr { S } ^ { * } , } \\ & { { \mathscr E } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { K } \left( \frac { d f ^ { * } } { d x } \right) ^ { 2 } d x + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \geq 1 } \frac { \left( f ^ { * } ( c _ { n } ) - f ^ { * } ( d _ { n } ) \right) ^ { 2 } } { | d _ { n } - c _ { n } | } , \quad f ^ { * } \in { \mathscr F } ^ { * } . } \end{array}
\langle f _ { s } ^ { ( \pm ) } \! \left( \textbf { r } , \tau \right) f _ { s ^ { \prime } } ^ { ( \pm ) * } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } \right) \rangle \approx \delta _ { s s ^ { \prime } } F ( \textbf { r } _ { \bot } - \textbf { r } _ { \bot } ^ { \prime } ) \delta ^ { ( 1 / \Delta \omega ) } \! \left( \tau - \tau ^ { \prime } \right) \delta ^ { ( \varepsilon ) } \! \left( z - z ^ { \prime } \right) .
\begin{array} { r l } { L ( c _ { F } ^ { ( i ) } , 1 \le i \le 2 k - 1 ) = } & { \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } \left( [ z ^ { 0 } ] ( \partial + 2 \gamma d + ( ( q - 1 ) \gamma - \frac { 1 } { 2 } ) d ^ { ' } + * _ { g } ) ^ { \lambda _ { i } - 1 } g ( z ) \right) } \\ { - } & { 2 k ( 2 k - 2 + 2 q \gamma ) ( 2 k - 2 + 2 \gamma ) ( 2 k - 4 - 2 q \gamma ) ( 2 k - 4 + 2 \gamma ) } \\ & { . . . ( 2 + 2 q \gamma ) ( 2 + 2 \gamma ) 2 q \gamma \cdot c _ { F } ^ { ( k ) } \cdot \mathrm { I } _ { l ( \lambda ) = 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { \triangleq \frac { \log n } { n } ( q _ { 0 } - q _ { 2 } + q _ { 1 } - q _ { 3 } ) , } \\ { c _ { 2 } } & { \triangleq \frac { \log n } { n } ( q _ { 0 } + q _ { 2 } + q _ { 1 } + q _ { 3 } ) , } \\ { c _ { 3 } } & { \triangleq \frac { \log n } { n } ( q _ { 0 } - q _ { 2 } - q _ { 1 } + q _ { 3 } ) , } \\ { c _ { 4 } } & { \triangleq \frac { \log n } { n } ( q _ { 0 } + q _ { 2 } - q _ { 1 } + q _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( E _ { P _ { j i } } [ \widehat \theta _ { i } ] - E _ { P _ { 0 } } [ \widehat \theta _ { i } ] \big ) ^ { 2 } \leq M \frac { 1 } { 1 - ( 1 / 2 ) ^ { 0 . 0 1 } } \Big ( \frac n { s ^ { 2 } } \Big ) ^ { \alpha } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { V a r } _ { 0 } \big ( \widehat \theta _ { i } \big ) . } \end{array}
F ( z ) \simeq { \frac { \pi \mu _ { 0 } } { 4 } } M ^ { 2 } R ^ { 4 } \left[ { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { ( z + 2 L ) ^ { 2 } } } - { \frac { 2 } { ( z + L ) ^ { 2 } } } \right]
\psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = c o n s t \; \phi ( x ) \; e ^ { - i x _ { 0 } y / \ell ^ { 2 } } e ^ { i k _ { z } z } \; \; , \; \; c o n s t = \frac { 1 } { \sqrt { L _ { y } } } \; \; \frac { 1 } { \sqrt { L _ { z } } }
\left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { I I I , A } } } \\ { \psi _ { \mathrm { I I I , B } } } \end{array} \right) = \exp { \left[ i L _ { \mathrm { c o } } \left( \begin{array} { l l } { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } & { g _ { \mathrm { c o } } } \\ { g _ { \mathrm { c o } } } & { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } \end{array} \right) \right] } \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { I I , A } } } \\ { \psi _ { \mathrm { I I , B } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \langle f ( \varphi _ { 1 } ) \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { S _ { n - 1 } } \int f ( \varphi _ { 1 } ) d \Omega _ { n - 1 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { S _ { n - 1 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { n - 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \, \pi ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } \frac { \Gamma ( \frac { n - 2 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } \frac { \Gamma ( \frac { n - 3 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { n - 2 } { 2 } ) } \cdots \frac { \Gamma ( \frac { 2 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { 3 } { 2 } ) } 2 \pi \, d \varphi _ { 1 } } \\ & { = } & { \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } ) } { 2 \pi ^ { \frac { n } { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { n - 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \, \frac { 2 \pi ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } } { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } \, d \varphi _ { 1 } } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { n - 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \, \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } ) } { \sqrt { \pi } \, \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } \, d \varphi _ { 1 } . } \end{array}
f _ { \nu \rightarrow \gamma } \simeq 3 \cdot 1 0 ^ { - \, 3 } \: \left( \frac { m _ { \tilde { Z } } } { 5 0 \, \mathrm { G e V } } \right) \: \left( \frac { 1 0 ^ { 4 } \: \mathrm { s e c } } { \tau } \right) \; \; .
\frac { d \vec { v } } { d t } = - \vec { \nabla } ( \frac { Q } { m _ { e } } ) - \left( \frac { \hbar } { 2 m _ { e } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \rho _ { p } } \partial _ { k } ( \rho _ { p } \vec { \nabla } \hat { s } _ { j } \partial _ { k } \hat { s } _ { j } ) + \frac { e } { m _ { e } } ( \vec { E } + \vec { v } \times \vec { B } ) - \frac { \mu } { m _ { e } } ( \vec { \nabla } B _ { j } ) \hat { s } _ { j } .
s _ { 1 } = \frac { 3 g ( g - \chi - 1 ) ( k _ { 0 } + k _ { 1 } g + k _ { 2 } g ^ { 2 } + k _ { 3 } g ^ { 3 } + k _ { 4 } g ^ { 4 } ) } { 2 ( 1 - g ) \chi ^ { 3 } ( g - \chi ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \frac { d \hat { p } _ { 1 } } { d \eta } = - \frac { \hat { p } _ { 0 } } { \hat { v } _ { 0 } } \frac { d \hat { v } _ { 1 } } { d \eta } + \hat { \rho } _ { 0 } \frac { d \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } ^ { 2 } q _ { 1 } ( t ) = - \displaystyle \frac { q _ { 1 } ( t ) } { ( q _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) + q _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) ) ^ { 3 / 2 } } , \quad } & { t \in [ 0 , T ] , } \\ { \partial _ { t } ^ { 2 } q _ { 2 } ( t ) = - \displaystyle \frac { q _ { 2 } ( t ) } { ( q _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) + q _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) ) ^ { 3 / 2 } } , \quad } & { t \in [ 0 , T ] , } \\ { q _ { 1 } ( 0 ) = 1 - \varepsilon , \quad \partial _ { t } q _ { 1 } = 0 , } \\ { q _ { 2 } ( 0 ) = 0 , \quad \partial _ { t } q _ { 2 } ( 0 ) = \sqrt { \displaystyle \frac { 1 + \varepsilon } { 1 - \varepsilon } } , } \end{array} \right.
A _ { \mu } ^ { a } \, = \, \hat { A } _ { \mu } n ^ { a } \, + \, \frac { 1 } { i g } \, \left( F ^ { c } \right) _ { a b } \, \frac { n ^ { c } \, \partial _ { \mu } n ^ { b } } { n \cdot n } \, + \, Y _ { \mu } ^ { a } \, ;