harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } = } & { \hbar \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha = \pm } \left( \omega _ { A } - i \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 } \right) \left| \alpha _ { n } \right\rangle \left\langle \alpha _ { n } \right| } \\ & { + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mu B _ { n } \left( \left| + _ { n } \right\rangle \left\langle + _ { n } \right| - \left| - _ { n } \right\rangle \left\langle - _ { n } \right| \right) } \\ & { + \frac { 3 \pi \hbar \gamma _ { 0 } c } { \omega _ { A } } \sum _ { n \neq m } \sum _ { \alpha , \beta = \pm } G _ { \alpha \beta } \left( y _ { n } - y _ { m } \right) \left| \alpha _ { n } \right\rangle \left\langle \beta _ { m } \right| , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 8 } ( 1 - x ) ^ { 8 } } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x = \pi - { \frac { 4 7 \, 1 7 1 } { 1 5 \, 0 1 5 } }
( h _ { 1 } , L _ { { \bf r } , z } ^ { 1 } ) \rightarrow ( h _ { 2 } , 0 ) \rightarrow ( h _ { 3 } , L _ { { \bf r } , z } ^ { 3 } ) \rightarrow ( h _ { 4 } , L _ { { \bf r } , z } ^ { 4 } ) \rightarrow ( h _ { 5 } , L _ { { \bf r } , z } ^ { 5 } ) \rightarrow ( h _ { 6 } , L _ { { \bf r } , z } ^ { 6 } ) \rightarrow ( h _ { 7 } , L _ { { \bf r } , z } ^ { 7 } ) \rightarrow ( h _ { 8 } , L _ { { \bf r } , z } ^ { 8 } ) \rightarrow ( h _ { 9 } , 0 ) \rightarrow ( h _ { 1 0 } , L _ { { \bf r } , z } ^ { 1 0 } ) .
\begin{array} { r l } { n _ { \pm } } & { { } = \left( I _ { + } + i \, I _ { - } \right) \pm \frac { \mu \Sigma } { 2 \omega } \; , } \\ { \tilde { n } _ { \pm } } & { { } = - \left( I _ { + } + i \, I _ { - } \right) \pm \frac { \mu \Sigma } { 2 \omega } \; , } \end{array}
B _ { \mu \nu } ^ { c } = i e ^ { 2 } \{ \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \lambda } \phi - 2 \pi \int _ { \Sigma _ { C } } \delta ( x - y ( \sigma ) ) d \sigma _ { \mu \nu } + 2 \pi \oint \psi _ { \mu } ( \tau ) \psi _ { \nu } ( \tau ) \delta ( x - y ( \tau ) ) d \tau \} .
\begin{array} { r l } { P ( t ^ { \ast } \leq t ; t > \Delta t ) } & { = P _ { \mathrm { e } } ( t ^ { \ast } \leq \Delta t ) + P _ { \mathrm { e } } ( t ^ { \ast } > \Delta t ) P _ { \mathrm { e } } ( t ^ { \ast } \leq t - \Delta t ) } \\ & { = 1 - \mathrm { e } ^ { - \lambda \Delta t } + \mathrm { e } ^ { - \lambda \Delta t } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \lambda ( t - \Delta t ) } ) } \\ & { = 1 - \mathrm { e } ^ { - \lambda t } = P _ { \mathrm { e } } ( t ^ { \ast } \leq t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm d } { \mathrm d s } L ( s , { \varepsilon } _ { 0 } ) = \frac { 2 } { \alpha ^ { * } + 1 } \frac { \mathrm d } { \mathrm d s } ( { \varepsilon } _ { 0 } ^ { \kappa } s ^ { \iota } + { \varepsilon } _ { 0 } ) ^ { \alpha ^ { * } + 1 } { \varepsilon } _ { 0 } ^ { - \beta } = 2 \iota ( { \varepsilon } _ { 0 } ^ { \kappa } s ^ { \iota } + { \varepsilon } _ { 0 } ) ^ { \alpha ^ { * } } { \varepsilon } _ { 0 } ^ { - \beta } { \varepsilon } _ { 0 } ^ { \kappa } s ^ { \iota - 1 } . } \end{array}
K _ { n } \left( y \right) = \frac { 2 ^ { n } n ! } { \left( 2 n \right) ! } \frac { 1 } { y ^ { n } } \int _ { y } ^ { + \infty } d \tau \left( \tau ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) ^ { n - 1 / 2 } e ^ { - y } ,
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { y _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { y _ { 1 } y _ { 2 } } \\ { y _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } \\ { 1 } \end{array} \right) ^ { T } M \left( \boldsymbol { z } - \boldsymbol { w } ^ { ( k ) } , \boldsymbol { g } ^ { ( k ) } , \boldsymbol { h } ^ { ( k ) } \right) \left( \begin{array} { l } { y _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { y _ { 1 } y _ { 2 } } \\ { y _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } \\ { 1 } \end{array} \right) \geq 0 , \qquad \forall \boldsymbol { y } \in \mathbb { R } ^ { 2 } } \\ { \Leftrightarrow \quad } & { M \left( \boldsymbol { z } - \boldsymbol { w } ^ { ( k ) } , \boldsymbol { g } ^ { ( k ) } , \boldsymbol { h } ^ { ( k ) } \right) \succeq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \gamma ^ { | x - t | / h } \, d t = \{ \gamma ^ { ( 1 - x ) / h } + \gamma ^ { x / h } - 2 \} / \log ( \gamma ) } \\ { \mathrm { a n d ~ } } & { h ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \gamma ^ { ( x - t ) / h } + \gamma ^ { ( t - x ) / h } \, d x = \gamma ^ { - t / h } \{ \gamma ^ { 1 / h } - 1 \} / \log ( \gamma ) - \gamma ^ { t / h } \{ \gamma ^ { - 1 / h } - 1 \} / \log ( \gamma ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \textrm { L D } } ( t ) } & { = \frac { \hat { \mathbf { P } } ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + V ( \hat { \mathbf { r } } _ { 1 } , \hat { \mathbf { r } } _ { 2 } , \hdots , \hat { \mathbf { r } } _ { N } ) + \frac { e \mathbf { A } _ { \textrm { d } } ( t ) \cdot \hat { \mathbf { P } } } { m _ { e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { = | \langle f - { f _ { \ell } ^ { \mathrm { p r e } } } , k ( \cdot , \hat { \mu } [ \vec { x } ] ) \rangle _ { k } | \leq \| f - { f _ { \ell } ^ { \mathrm { p r e } } } \| _ { k } \| k ( \cdot , \hat { \mu } [ \vec { x } ] ) \| _ { k } \leq \frac { \epsilon _ { \ell } } { 3 \sqrt { C _ { k } } } \cdot \sqrt { k ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ] ) } \leq \frac { \epsilon _ { \ell } } { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { R e } \left( \frac { \partial } { \partial t _ { 0 } } + { \boldsymbol u } _ { 0 } \cdot { \boldsymbol \nabla } _ { 0 } \right) { \boldsymbol u } _ { 0 } - \Delta _ { 0 } { \boldsymbol u } _ { 0 } = - \mathrm { R l } \, { \boldsymbol u } _ { 0 } + { \boldsymbol f } _ { 0 } \, , \quad } \end{array}
I _ { i } ^ { \mathrm { s t } } ( \tau ) = \frac { \rho _ { i } ^ { \mathrm { s t } } } { \langle \tau _ { \mathrm { r e c } } \rangle } \Phi _ { \mathrm { \mathrm { r e c } } } ( \tau ) \; \; \mathrm { a n d } \; \; S _ { i } ^ { \mathrm { s t } } ( \tau ) = \frac { \rho _ { i } ^ { \mathrm { s t } } } { \langle \tau _ { \mathrm { r e c } } \rangle } \exp { \left( - \sum _ { j } a _ { i j } \int _ { 0 } ^ { \tau } \phi _ { i \leftarrow j } ^ { \mathrm { s t } } ( \tau ^ { \prime } ) d \tau ^ { \prime } \right) } .
\begin{array} { r l } & { G _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { ( \omega ^ { 2 } - 1 ) \bar { q } } & { ( 1 - \omega ^ { 2 } ) q } \\ { ( \omega - 1 ) q } & { 0 } & { ( 1 - \omega ) \bar { q } } \\ { ( \omega - \omega ^ { 2 } ) \bar { q } } & { ( \omega ^ { 2 } - \omega ) q } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { G _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { ( 1 - \omega ) \bar { \mathfrak { u } } } & { ( 1 - \omega ^ { 2 } ) \mathfrak { u } } \\ { ( 1 - \omega ^ { 2 } ) \mathfrak { u } } & { 0 } & { ( 1 - \omega ) \bar { \mathfrak { u } } } \\ { ( 1 - \omega ) \bar { \mathfrak { u } } } & { ( 1 - \omega ^ { 2 } ) \mathfrak { u } } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \psi } { d \phi } } & { { } = \frac { ( a + b \cos ^ { 2 } \psi ) \cos \theta } { 1 - b \cos ^ { 2 } \psi } } \\ { \frac { d \theta } { d \phi } } & { { } = \frac { b \sin \theta \sin \psi \cos \psi } { 1 - b \cos ^ { 2 } \psi } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 k r _ { g } \Big \{ C _ { 2 2 } ^ { \prime } \cos 2 \phi _ { \xi } + S _ { 2 2 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } \Big \} \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) ^ { 2 } \Big ( { \vec { k } } \cdot ( { \vec { n } } - { \vec { n } } _ { 0 } ) \Big ) } & { \simeq } & { k r _ { g } \Big \{ C _ { 2 2 } ^ { \prime } \cos 2 \phi _ { \xi } + S _ { 2 2 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } \Big \} \lesssim } \\ & { \lesssim } & { k c \Big ( \Big \{ C _ { 2 2 } ^ { \prime } \cos 2 \phi _ { \xi } + S _ { 2 2 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } \Big \} ~ 2 . 9 6 \times 1 0 ^ { - 1 1 } ~ \mathrm { s } \Big ) . ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { c _ { q } ( n ) } & { = { \frac { \mu \left( { \frac { q } { \operatorname* { g c d } ( q , n ) } } \right) } { \phi \left( { \frac { q } { \operatorname* { g c d } ( q , n ) } } \right) } } \phi ( q ) } \\ & { = \sum _ { \delta \mid \operatorname* { g c d } ( q , n ) } \mu \left( { \frac { q } { \delta } } \right) \delta . } \end{array} }
{ \frac { ( 1 - z ) ^ { 2 N } } { z ^ { N } } } = ( - 1 ) ^ { N } \left( \begin{array} { l } { { 2 N } } \\ { { N } } \end{array} \right) \ , \quad z = e ^ { p \Delta x } \ , \quad - \Lambda \le p \le \Lambda \ .
\begin{array} { l l } { { e ^ { 2 \varphi } } } & { { = 1 - \frac { \mu ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \cosh ^ { 2 } \! \alpha } } \\ { { e ^ { - 2 \lambda } } } & { { = 1 - \frac { \mu ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \cosh ^ { 2 } \! \beta , } } \end{array}
\frac { ( { t m } _ { i } - { t m } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { { { t m } _ { r } } ^ { 2 } } + \frac { ( { a b } _ { i } - { a b } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { { { a b } _ { r } } ^ { 2 } } + \frac { ( { r t } _ { i } - { r t } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { { { r t } _ { r } } ^ { 2 } } \leq 1 ,
\begin{array} { r } { \hat { \psi } ( z ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathbf { i } } \int _ { \gamma - \textbf { i } \infty } ^ { \gamma + \textbf { i } \infty } \exp { ( s t ) } d s \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s ) z ) } \Bigg [ \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s ) \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { g } _ { K } = ( \mathrm { S I N R } _ { 1 } , \mathrm { S I N R } _ { 2 } , . . . , \mathrm { S I N R } _ { K } , \mathrm { E S N R } _ { e x , 1 } , \mathrm { E S N R } _ { e x , 2 } , } \\ & { . . . , \mathrm { E S N R } _ { e x , K } , \mathrm { E S N R } _ { i n , 1 } , \mathrm { E S N R } _ { i n , 2 } , . . . , \mathrm { E S N R } _ { i n , K } ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 8 } } & { = 2 x _ { 3 } p _ { 1 } + 2 x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 3 } } \\ & { = 2 x _ { 3 } p _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } ( p _ { 6 } + 3 p _ { 4 } ) = : p _ { 9 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 9 } } & { = 2 p _ { 1 } ^ { 2 } + 2 x _ { 3 } p _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( p _ { 7 } + 3 p _ { 5 } ) = : p _ { 1 0 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { f ^ { \prime } } p _ { 1 0 } } & { = 6 p _ { 1 } p _ { 2 } + 2 x _ { 3 } p _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } ( 9 p _ { 4 } + 7 p _ { 6 } ) = : p _ { 1 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K = \frac { 1 } { 2 } \langle | \boldsymbol { u ^ { \prime } } | ^ { 2 } \rangle , \ W _ { T a } } & { { } = \langle - u _ { r } ^ { \prime } u _ { \varphi } ^ { \prime } ( \frac { d V } { d r } - \frac { V } { r } ) \rangle , } \\ { W _ { c B } = \langle - \frac { 2 ( 1 - \eta ) r u _ { r } ^ { \prime } } { 1 + \eta } [ \theta ^ { \prime } ( 1 } & { { } + \frac { 2 V } { R o ^ { - 1 } r } ) ^ { 2 } + \frac { 4 \Theta u _ { \varphi } ^ { \prime } } { R o ^ { - 1 } r } ( 1 + \frac { 2 V } { R o ^ { - 1 } r } ) ] \rangle , } \\ { D _ { \nu } = \sqrt { \frac { P r } { R a } } \langle 2 [ ( \frac { \partial u _ { r } ^ { \prime } } { \partial r } ) ^ { 2 } } & { { } + ( \frac { 1 } { r } \frac { \partial u _ { \varphi } ^ { \prime } } { \partial { r } } + \frac { u _ { r } ^ { \prime } } { r } ) ^ { 2 } + ( \frac { \partial u _ { z } ^ { \prime } } { \partial z } ) ^ { 2 } ] + [ r \frac { \partial } { \partial r } ( \frac { u _ { \varphi } ^ { \prime } } { r } ) + \frac { 1 } { r } \frac { \partial u _ { r } ^ { \prime } } { \partial \varphi } ] ^ { 2 } } \end{array}
X ^ { \mu } = X _ { 0 } ^ { \mu } + { \frac { 1 } { \pi T } } P ^ { \mu } \tau + { \frac { i } { 2 \sqrt { \pi T } } } \sum _ { n \neq 0 } { \frac { 1 } { n } } \bigg \{ \alpha _ { n } ^ { \mu } e x p \bigg ( - i 2 n ( \tau - \sigma ) \bigg ) + \tilde { \alpha } _ { n } ^ { \mu } e x p \bigg ( - i 2 n ( \tau + \sigma ) \bigg ) \bigg \}
\begin{array} { r l r } { G _ { \mu } ^ { + } ( k , 0 ) } & { { } = } & { - \frac { \zeta _ { 1 } ^ { 2 } \varepsilon _ { 2 2 } - 2 \zeta _ { 1 } \zeta _ { 2 } \varepsilon _ { 1 2 } + \zeta _ { 2 } ^ { 2 } \varepsilon _ { 1 1 } } { \varepsilon _ { 1 1 } \varepsilon _ { 2 2 } - \varepsilon _ { 1 2 } ^ { 2 } } } \\ { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \varepsilon _ { i j } } & { { } = } & { \langle \Psi _ { i } ^ { N + 1 } | H _ { N + 1 } - E _ { 0 } ^ { N } - \mu | \Psi _ { j } ^ { N + 1 } \rangle } \\ { \zeta _ { i } } & { { } = } & { \langle \Psi _ { i } ^ { N + 1 } | a _ { k } ^ { \dagger } | \Psi _ { 0 } ^ { N } \rangle } \end{array}
q _ { 0 } = \tau = \sqrt { t ^ { 2 } - z ^ { 2 } } , \qquad q _ { 1 } = x , \qquad q _ { 2 } = y , \qquad q _ { 3 } = \eta = \frac { 1 } { 2 } \log \frac { 1 + z / t } { 1 - z / t } ,
i s n e g a t i v e a n d t h e r e f o r e a c c e l e r a t i n g f o r e l e c t r o n s . T h e s e e l e c t r o n s a r e t e r m e d \textit { t r a p p e d e l e c t r o n s } . I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e t h r e s h o l d
[ \alpha ( x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } ) - \beta ] ^ { 2 } + [ - \gamma ( x _ { 1 } x _ { 3 } + x _ { 2 } x _ { 4 } ) + \delta x _ { 2 } ] ^ { 2 } + [ \gamma ( x _ { 1 } x _ { 4 } - x _ { 2 } x _ { 3 } ) + \delta x _ { 1 } ] ^ { 2 } ,
P _ { 1 } = ( \sigma _ { 1 \pi } \rho _ { \pi } + \sigma _ { 1 N } \rho _ { N } + \sigma _ { 1 \overline { { { N } } } } \rho _ { \overline { { { N } } } } ) ( \frac { R } { R + v t } ) ^ { 3 } \langle v \rangle \, ,
\begin{array} { r } { p ( \mathbf { x } _ { t + \tau } \mid \mathbf { x } _ { t } , \tau ) = \mathcal { N } ( \mathbf { x } _ { t + \tau } | \mathbf { x } _ { t } - \tau \nabla U ( \mathbf { x } _ { t } ) \gamma ^ { - 1 } , \tau \sqrt { 2 D } \mathbb { I } _ { 3 M } ) } \end{array}
G = i \left( \frac { N } { 4 \pi } \right) ^ { 2 N } \int \Pi _ { i = 1 } ^ { N - 1 } d z _ { i } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { 2 N } } \, \mathrm { e x p } \biggl [ i m ^ { 2 } s - i \frac { k ^ { 2 } } { 4 s } - s ^ { 2 } v \biggr ] ,
S _ { \mathrm { e f f } } = ( \pm ) { \frac { r ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } } { g ( r ) } } \left[ { \frac { \pi } { 2 } } - 2 \pi n ^ { \prime } + i \left( C _ { \gamma } - \ln { \frac { \lambda _ { k } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \right) \right]
{ \mathfrak { T } } _ { \beta } ^ { \alpha } = \left\vert \operatorname* { d e t } { \left[ { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \iota } } { \partial { x } ^ { \gamma } } } \right] } \right\vert ^ { W } \, { \frac { \partial { x } ^ { \alpha } } { \partial { \bar { x } } ^ { \delta } } } \, { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \epsilon } } { \partial { x } ^ { \beta } } } \, { \bar { \mathfrak { T } } } _ { \epsilon } ^ { \delta } \, .
\begin{array} { r l } { z _ { m a } } & { = - \left( \varepsilon _ { m } - \varepsilon _ { a } - \omega \right) \chi _ { m a } } \\ & { - \sum _ { b n } \left( \chi _ { n b } \tilde { g } _ { b m n a } + \eta _ { n b } ^ { * } \tilde { g } _ { n m b a } \right) \, , } \\ { z _ { a m } } & { = - \left( \varepsilon _ { m } - \varepsilon _ { a } + \omega \right) \eta _ { m a } ^ { * } } \\ & { + \sum _ { b n } \left( \eta _ { n b } ^ { * } \tilde { g } _ { n a b m } + \chi _ { n b } \tilde { g } _ { b a n m } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ( X _ { \mathrm { i n } } ; X _ { \mathrm { o u t } } ; Y ) } & { = } & { H ( X _ { \mathrm { i n } } ) + H ( X _ { \mathrm { o u t } } ) + H ( Y ) } \\ & { - } & { H ( X _ { \mathrm { i n } } , X _ { \mathrm { o u t } } ) - H ( X _ { \mathrm { i n } } , Y ) - H ( X _ { \mathrm { o u t } } , Y ) } \\ & { + } & { H ( X _ { \mathrm { i n } } , X _ { \mathrm { o u t } } , Y ) \; . } \end{array}
F ( s ) \, = \, \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { 1 - 2 \sin ^ { 2 } \psi } { \sqrt { \sin ^ { 2 } \psi + s / 4 } } \, \mathrm { d } \psi \, = \, \frac { 2 - k ^ { 2 } } { k } \, K ( k ) - \frac { 2 } { k } \, E ( k ) \, ,
O _ { \tilde { L } } ( \{ p , \zeta \} , \tilde { p } _ { 1 } , \{ t \} , \{ q \} ) = \exp \biggl [ \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \frac { ( 2 \eta _ { j } \zeta _ { ( j ) } + i p _ { j } \vartheta _ { j } ) } { 8 \sqrt { z _ { j } - u } } \hat { \Psi } \biggl ] \, ,
\begin{array} { r } { \delta E = ( a - c ) \; \delta \Lambda | \partial _ { x } g | ^ { 2 } | _ { x = \overline { { \Lambda } } } - b \; \delta \Lambda | \partial _ { x } \overline { { h } } | ^ { 2 } | _ { x = \overline { { \Lambda } } } + 2 b \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } { \partial _ { x } \overline { { h } } \; \partial _ { x } ( \delta h ) \; \mathrm { d } x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ I - \frac { D _ { s } \Delta t } { 2 } \left( \delta _ { r r } + \frac { 1 } { r } \delta _ { r } \right) \right] \left[ I - \frac { D _ { s } \Delta t } { 2 } \delta _ { z z } \right] c ^ { n + 1 } = - \frac { \Delta t } { 2 } \left( 3 u _ { r } ^ { n } \frac { \partial c ^ { n } } { \partial r } - u _ { r } ^ { n - 1 } \frac { \partial c ^ { n - 1 } } { \partial r } \right) } \\ { - \frac { \Delta t } { 2 } \left( 3 u _ { z } ^ { n } \frac { \partial c ^ { n } } { \partial z } - u _ { z } ^ { n - 1 } \frac { \partial c ^ { n - 1 } } { \partial z } \right) + \left[ I + \frac { D _ { s } \Delta t } { 2 } \left( \delta _ { r r } + \frac { 1 } { r } \delta _ { r } \right) \right] \left[ I + \frac { D _ { s } \Delta t } { 2 } \delta _ { z z } \right] c ^ { n } , } \end{array}
\mathbf { E } _ { \mathrm { r } } = ( \mathbf { Y } _ { \mathrm { t o t } } + \mathbf { Y } _ { 0 } ) ^ { - 1 } \cdot ( \mathbf { Y } _ { 0 } - \mathbf { Y } _ { \mathrm { t o t } } ) \cdot \mathbf { E } _ { \mathrm { i } } = \mathbf { \Gamma } _ { \mathrm { T E } } \cdot \mathbf { E } _ { \mathrm { i } } .
T ^ { + 2 } = - 2 i \pi _ { q } ^ { 1 + } \pi _ { q } ^ { 1 + } \! - \! 2 i \pi _ { q } ^ { 2 + } \pi _ { q } ^ { 2 + } , \quad T ^ { - 2 } = - 2 i \pi _ { \dot { q } } ^ { 1 - } \pi _ { \dot { q } } ^ { 1 - } \! - \! 2 i \pi _ { \dot { q } } ^ { 2 - } \pi _ { \dot { q } } ^ { 2 - }
h _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , j _ { 1 } , j _ { 2 } ) = \sum _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } c _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } } ^ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } \varphi _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , j _ { 1 } , j _ { 2 } ) .
\varepsilon _ { p } = K _ { \mathrm { e f f } } N _ { 0 } ^ { 2 } ( z _ { r } ) \left( \frac { R _ { \rho } - \tau } { R _ { \rho } - 1 } \right) \left( 1 - \frac { \partial _ { z } z _ { r } } { | \nabla z _ { r } | ^ { 2 } } \right) .
{ \dot { \gamma } } ^ { i } { \frac { \partial { \dot { \gamma } } ^ { m } } { \partial x ^ { i } } } { \frac { \partial } { \partial x ^ { m } } } + { \dot { \gamma } } ^ { i } { \dot { \gamma } } ^ { m } \Gamma _ { i m } ^ { q } { \frac { \partial } { \partial x ^ { q } } } = 0
\begin{array} { r } { \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { o } } \equiv \sum _ { n , m \in \mathbb { Z } } \delta _ { \vec { R } , n \vec { a } _ { 0 } + m \vec { a } _ { 1 } + \vec { r } _ { o } } . } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } } { \bigg | } _ { x = L } = 0 \quad ; \quad { \frac { \partial ^ { 3 } w } { \partial x ^ { 3 } } } { \bigg | } _ { x = L } = 0 \qquad { \mathrm { ( f r e e ~ e n d ) } }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \log \left\Vert \left( I - \frac { \eta } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert \Big | \eta \right] = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \log \left( \left( 1 - \frac { \eta \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) \Big | \eta \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { \prime } ( a , b ) } & { = \sqrt { \frac { 1 } { V _ { M } ^ { \prime } - V _ { m } ^ { \prime } } \int _ { V _ { m } ^ { \prime } } ^ { V _ { M } ^ { \prime } } [ E _ { a } ^ { \prime } ( V ^ { \prime } ) - E _ { b } ^ { \prime } ( V ^ { \prime } ) ] ^ { 2 } ~ d V ^ { \prime } } = \sqrt { \frac { C ^ { 3 } } { C ( V _ { M } - V _ { m } ) } \int _ { V _ { m } } ^ { V _ { M } } [ E _ { a } ( V ) - E _ { b } ( V ) ] ^ { 2 } ~ d V } } \\ & { = C \sqrt { \frac { 1 } { V _ { M } - V _ { m } } \int _ { V _ { m } } ^ { V _ { M } } [ E _ { a } ( V ) - E _ { b } ( V ) ] ^ { 2 } ~ d V } = C \Delta ( a , b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } ( \| \mathring x _ { t } \| ^ { 4 } + \| \mathring u _ { t } \| ^ { 4 } ) } & { \leq \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } ( \| \mathring x _ { t } \| ^ { 4 } + 8 L _ { \pi } ^ { 4 } \| \mathring x _ { t } \| ^ { 4 } + 8 \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 4 } ) } \\ & { = ( 1 + 8 L _ { \pi } ^ { 4 } ) \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } \| \mathring x _ { t } \| ^ { 4 } + 8 \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 4 } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) } \\ & { \leq ( 1 + 8 L _ { \pi } ^ { 4 } ) \frac { 8 \kappa ^ { 4 } } { 1 - \rho ^ { 4 } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } + ( 1 + 8 L _ { \pi } ^ { 4 } ) 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) + 8 \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 4 } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) } \\ { \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } ( \| \mathring x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \mathring u _ { t } \| ^ { 2 } ) } & { \leq \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } ( \| \mathring x _ { t } \| ^ { 2 } + 2 L _ { \pi } ^ { 2 } \| \mathring x _ { t } \| ^ { 2 } + 2 \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ & { = ( 1 + 2 L _ { \pi } ^ { 2 } ) \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } \| \mathring x _ { t } \| ^ { 2 } + 2 \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 2 } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) } \\ & { \leq ( 1 + 2 L _ { \pi } ^ { 2 } ) \frac { 2 \kappa ^ { 2 } } { 1 - \rho ^ { 2 } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } + ( 1 + 2 L _ { \pi } ^ { 2 } ) 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) + 2 \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 2 } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } F _ { k l m } = } & { { } \frac { \rho _ { 0 } \Gamma K _ { l , m } } { I _ { 0 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) } F _ { 2 , l , m } \exp [ i ( 2 - k ) \omega t ] \bigg [ \tilde { I } _ { 1 - k / 2 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) + \frac { M \Gamma Q } { 4 D } \bigg \{ \tilde { I } _ { 2 - k / 2 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) - \tilde { I } _ { - k / 2 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) \bigg \} \bigg ] } \end{array}
\omega _ { p } ^ { 2 } ( k ) = \omega _ { g } ^ { 2 } ( k ) \frac { \omega _ { T } ^ { 2 } ( k ) } { k ^ { 2 } } = [ k ^ { 2 } + M _ { g } ^ { 2 } [ \chi ] ] [ k ^ { 2 } + M _ { T } ^ { 2 } [ \chi ] ] / k ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \frac { d \log p ( \beta | { \bf n } ) } { d \beta } } & { { } = } & { K \psi _ { 0 } ( K \beta ) - K \psi _ { 0 } ( \beta ) + \sum _ { i } \psi _ { 0 } ( n _ { i } + \beta ) - K \psi _ { 0 } ( N + K \beta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \rho _ { \mathfrak { d } } ( A , B ) \right) _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = A _ { 1 1 } ( x _ { 3 } ) x _ { 1 } + A _ { 2 1 } ( x _ { 3 } ) x _ { 2 } } \\ { \left( \rho _ { \mathfrak { d } } ( A , B ) \right) _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = A _ { 1 2 } ( x _ { 3 } ) x _ { 1 } + A _ { 2 2 } ( x _ { 3 } ) x _ { 2 } } \\ { \left( \rho _ { \mathfrak { d } } ( A , B ) \right) _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = 2 B _ { 1 1 } x _ { 3 } - B _ { 1 2 } . } \end{array}
F = { \frac { 1 } { 3 } } \left( 2 ( c _ { + } + c _ { 4 } + c _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( c _ { + } c _ { 4 } - c _ { 3 } ) ^ { 2 } + 2 ( c _ { 6 } + c _ { 5 } ) ^ { 2 } + ( c _ { 6 } - c _ { 5 } ) ^ { 2 } \right)
{ \begin{array} { r l r l } { \left| \sin ( k + 1 ) x \right| } & { = \left| \sin k x \cos x + \sin x \cos k x \right| } & & { { \mathrm { ( a n g l e ~ a d d i t i o n ) } } } \\ & { \leq \left| \sin k x \cos x \right| + \left| \sin x \, \cos k x \right| } & & { { \mathrm { ( t r i a n g l e ~ i n e q u a l i t y ) } } } \\ & { = \left| \sin k x \right| \left| \cos x \right| + \left| \sin x \right| \left| \cos k x \right| } \\ & { \leq \left| \sin k x \right| + \left| \sin x \right| } & & { ( \left| \cos t \right| \leq 1 ) } \\ & { \leq k \left| \sin x \right| + \left| \sin x \right| } & & { { \mathrm { ( i n d u c t i o n ~ h y p o t h e s i s } } ) } \\ & { = ( k + 1 ) \left| \sin x \right| . } \end{array} }