harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
P _ { i , 0 } = B ( \theta ; \alpha _ { i } , \beta _ { i } ) = \frac { \theta ^ { \alpha _ { i } - 1 } ( 1 - \theta ) ^ { \beta _ { i } - 1 } } { \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { \alpha _ { i } - 1 } ( 1 - y ) ^ { \beta _ { i } - 1 } \mathrm { ~ d ~ } y } , \quad \theta \in [ 0 , 1 ] .
\begin{array} { r l } { \left( \Phi _ { s } \left( f _ { v } ^ { G } \right) \right) ( k s k ^ { \prime } ) } & { = \phi _ { s } ( k s ) \cdot f _ { v } ^ { G } ( k ^ { \prime } ) } \\ & { = \phi _ { s } ( k s ) \cdot \left( \rho ( k ^ { \prime } ) \cdot v \right) } \\ & { = \left( \phi _ { s } ( k s ) \circ \rho ( k ^ { \prime } ) \right) \cdot v } \\ & { = \phi _ { s } ( k s k ^ { \prime } ) \cdot v . } \end{array}
x \dddot { x } - \dot { x } \ddot { x } + ( \sigma + \beta + 1 ) x \ddot { x } - ( \sigma + 1 ) \dot { x } ^ { 2 } + x ^ { 3 } \dot { x } + \beta ( \sigma + 1 ) x \dot { x } + \sigma x ^ { 4 } - \sigma \beta ( \rho - 1 ) x ^ { 2 } = 0 .
Y _ { j } \theta _ { j i } ^ { a } + Y _ { i } t _ { R } ^ { a } - t _ { L } ^ { a } Y _ { i } = 0 ~ ~ ; ~ ~ Y _ { j } ^ { \dagger } \theta _ { j i } ^ { a } + Y _ { i } ^ { \dagger } t _ { L } ^ { a } - t _ { R } ^ { a } Y _ { i } ^ { \dagger } = 0
\frac { d f _ { 0 } } { d t } = \frac { d \phi } { d t } \frac { d m ^ { 2 } } { d \phi } \frac { d E } { d m ^ { 2 } } \frac { d f _ { 0 } } { d E } = - v _ { w } \frac { d \phi } { d z } \frac { d m ^ { 2 } } { d \phi } \frac { 1 } { 2 E T } f _ { 0 } ( 1 + f _ { 0 } ) \, .
\boldsymbol { D } = \boldsymbol { \mathcal { J } } ( u ) + \boldsymbol { N } \, , \quad \boldsymbol { D } _ { j k } \sim \mathcal { N } \left( \left( \boldsymbol { \mathcal { J } } \left( u \right) \right) _ { j k } , \sigma _ { n } ^ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { j } - \hat { G } ^ { ( T ) } ( \hat { \Delta } _ { j } ) } & { \leq ( \Gamma _ { j } - { G } ( \hat { \Delta } _ { j } ) ) + | { G } ( \hat { \Delta } _ { j } ) - { G } ^ { ( T ) } ( \hat { \Delta } _ { j } ) | + ( | { G } ^ { ( T ) } ( \hat { \Delta } _ { j } ) - \hat { G } ^ { ( T ) } ( \hat { \Delta } _ { j } ) | } \\ & { \geq 0 . 8 \tau ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \Gamma _ { j } - \varepsilon _ { T } \Gamma _ { j } - \varepsilon _ { n } \Gamma _ { j } \geq 0 . 6 \tau ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \Gamma _ { j } } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { 7 } \\ { 8 } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 9 } \end{array} \right) } \to { \left( \begin{array} { l } { H } \\ { I } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { A } \\ { T } \end{array} \right) }
{ \frac { \Gamma _ { \tau } } { \Gamma _ { e , \mu } } } \simeq 1 - { \frac { 2 ( \xi - 1 ) ( 1 - 2 s _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 1 - 4 s _ { 0 } ^ { 2 } + 8 s _ { 0 } ^ { 4 } } } ( 1 - x ) ,
\begin{array} { r l } { A } & { = A _ { 0 0 0 } + \epsilon ^ { 2 } A _ { 0 0 1 } + \epsilon ^ { 4 } A _ { 0 0 2 } + \beta A _ { 0 1 0 } } \\ & { \hphantom { = } + \beta \epsilon ^ { 2 } A _ { 0 1 1 } + \beta ^ { 2 } A _ { 0 2 0 } + \alpha A _ { 1 0 0 } + \alpha \epsilon ^ { 2 } A _ { 1 0 1 } } \\ & { \hphantom { = } + \alpha \beta A _ { 1 1 0 } + \alpha ^ { 2 } A _ { 2 0 0 } + \ldots } \end{array}
( { \bf 1 _ { - } 2 _ { - } } ) = e ^ { - i { ( \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ) / 2 } } \frac { t _ { 1 } - t _ { 2 } } { \sqrt { ( 1 - | t _ { 1 } | ^ { 2 } ) ( 1 - | t _ { 2 } | ^ { 2 } ) } }
\begin{array} { r l r } { J _ { z } ^ { p } ( a ^ { p } , \phi ^ { p } ) } & { { } = } & { \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \tilde { j } _ { m } ^ { p } e ^ { j m \phi ^ { p } } } \\ { \tilde { j } _ { m } ^ { p } } & { { } = } & { { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } J _ { z } ^ { p } ( a ^ { p } , \phi ^ { p } ) e ^ { - j m \phi ^ { p } } d \phi ^ { p } } \end{array}
d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 4 } ^ { 2 } = d _ { 2 } ^ { 2 } + d _ { 5 } ^ { 2 } = d _ { 3 } ^ { 2 } + d _ { 6 } ^ { 2 } = 2 ( R ^ { 2 } + L ^ { 2 } ) ,
\vartheta _ { 1 } \bigl ( \frac { w _ { 1 } + \bar { w } _ { 2 } } { 2 \pi i t } | \frac { i } { t } \bigr ) = \vartheta _ { 1 } \bigl ( \frac { \tau _ { 1 2 } - i \delta } { 2 \pi t } - \frac { i } { 2 t } | \frac { i } { t } \bigr ) = - i e ^ { \frac { \pi } { 4 t } + i \frac { \tau _ { 1 2 } } { 2 t } } \vartheta _ { 4 } \bigl ( \frac { \tau _ { 1 2 } - i \delta } { 2 \pi t } | \frac { i } { t } \bigr )
P = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \sigma _ { 1 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \oplus \cdots \oplus { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \sigma _ { k } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \oplus I _ { m } \oplus 0 _ { s }
\mathcal { S } ^ { \sharp } [ { \widehat { u } } ] _ { m } ^ { \omega } \lesssim \iint _ { \mathcal { A } ^ { \star } } ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) ^ { 2 } ( g _ { \sharp } ^ { 2 } + ( g _ { \sharp } ^ { 2 } ) ^ { \prime \prime } ) | { \widehat { u } } _ { m } ^ { \omega } | ^ { 2 } + g _ { \sharp } ^ { 2 } ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) ^ { 2 } | H _ { m } ^ { \omega } | ^ { 2 } .
u ( \mathbf x _ { 1 } - \mathbf x _ { 2 } ) = 1 - \operatorname* { l i m } _ { N , V \to \infty } \frac { V ^ { 2 } \int d \mathbf x _ { 3 } \cdots d \mathbf x _ { N } \ \psi _ { 0 } ( \mathbf x _ { 1 } , \cdots , \mathbf x _ { N } ) } { \int d \mathbf y _ { 1 } \cdots d \mathbf y _ { N } \ \psi _ { 0 } ( \mathbf y _ { 1 } , \cdots , \mathbf y _ { N } ) }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial C _ { \mathrm { F } } ^ { i , j } } { \partial t } } & { { } = } & { \underbrace { D _ { \mathrm { a x } } ^ { i } \frac { \partial ^ { 2 } C _ { \mathrm { F } } ^ { i , j } } { \partial x ^ { 2 } } } _ { \mathrm { ~ a ~ x ~ i ~ a ~ l ~ d ~ i ~ s ~ p ~ e ~ r ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } } - \underbrace { u \frac { \partial C _ { \mathrm { F } } ^ { i , j } } { \partial x } } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } + \underbrace { \frac { k _ { \mathrm { L } } a ^ { i } } { \epsilon } ( C _ { \mathrm { S } } ^ { i , j } - C _ { \mathrm { F } } ^ { i , j } ) } _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ u ~ s ~ i ~ o ~ n ~ t ~ o ~ c ~ a ~ t ~ a ~ l ~ y ~ s ~ t ~ } } , } \\ { \frac { \partial C _ { \mathrm { S } } ^ { i , j } } { \partial t } } & { { } = } & { \underbrace { \mathrm { ~ - ~ } \frac { k _ { \mathrm { L } } a ^ { i } } { ( 1 \mathrm { ~ - ~ } \epsilon ) } ( C _ { \mathrm { S } } ^ { i , j } - C _ { \mathrm { F } } ^ { i , j } ) } _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ u ~ s ~ i ~ o ~ n ~ f ~ r ~ o ~ m ~ c ~ a ~ t ~ a ~ l ~ y ~ s ~ t ~ } } + \underbrace { \rho _ { \mathrm { B } } \frac { v ^ { i } } { [ E ] } } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \ , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \begin{array} { c } { \delta \mathbf { U } _ { 1 , 1 } } \\ { \vdots } \\ { \delta \mathbf { U } _ { i m a x , j m a x } } \end{array} \right) = \mathbf { S } \cdot \left( \begin{array} { c } { \delta \mathbf { U } _ { 1 , 1 } } \\ { \vdots } \\ { \delta \mathbf { U } _ { i m a x , j m a x } } \end{array} \right) ,
\xi _ { b } = \frac { \mathcal { G } _ { 0 } - \mathcal { G } _ { b } } { \mathcal { G } _ { 0 } } , \quad \eta _ { b } = \frac { \mathcal { G } _ { - } ^ { ( b ) } - \mathcal { F } _ { - } ^ { ( b ) } } { \mathcal { G } _ { b } } ,
\begin{array} { r l } { X _ { t , n } } & { \geq N h G _ { t , n } ^ { h } - C \sum _ { x \in { \mathbb { Z } } _ { h } ^ { d } } | V _ { n } - V | ( | D ^ { h } ( V _ { n } - V ) | + | D ^ { - h } ( V _ { n } - V ) | ) \varphi } \\ & { \qquad \qquad - C M \sum _ { x \in { \mathbb { Z } } _ { h } ^ { d } } | V _ { n } - V | ( | D ^ { h } ( V _ { n - 1 } - V ) | + | D ^ { - h } ( V _ { n - 1 } - V ) | ) \varphi } \\ & { \geq ( N h - \sigma _ { 1 } ) G _ { t , n } ^ { h } - \sigma _ { 2 } G _ { t , n - 1 } ^ { h } - C ( \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } + M ^ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ) e ^ { - A t } E _ { t , n } . } \end{array}
\left( \widehat { Q } _ { n , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n - k ^ { \prime } , k ^ { \prime } ) , ( s , i ) } = \frac { 1 } { u + \lambda s i + \gamma i } \sum _ { \mathfrak { i } \in \mathcal { I } _ { n } ( k ^ { \prime } , m - 1 , i ) } \prod _ { j = 1 } ^ { m } q _ { n , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j - 1 ; u ) g _ { n , m - 1 , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j - 1 ; u ) .
\mathcal { P } ( \textbf { p } _ { f } ) \approx \biggl | \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { b } } \sqrt { W _ { j } ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t _ { r } ^ { \prime } , t _ { s } ^ { \prime } ) } e ^ { i \Re S _ { j } ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t , t _ { s } ^ { \prime } ) } \biggr | ^ { 2 } ,
\partial _ { t } h + \partial _ { x } \left[ \frac { 1 } { 3 C a } h ^ { 3 } \partial _ { x } ^ { 3 } h + \frac { 1 } { 3 B r P r } h ^ { 3 } - \frac { M a } { P r } h ^ { 2 } \right] = 0 .
\sin { \frac { \pi } { 1 5 \times 2 ^ { 4 } } } = { \frac { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { { \sqrt { { \sqrt { 0 . 7 0 3 1 2 5 } } + 1 . 8 7 5 } } + { \sqrt { 0 . 3 1 2 5 } } + 1 . 7 5 } } } } } } } } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } } & { \approx \frac { \textrm { T r } ( O \rho ^ { m } ) ^ { 2 } [ 1 - \textrm { T r } ( \rho ^ { m } ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } \textrm { T r } ( \rho ^ { m } ) ^ { 4 } } } \\ & { + \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { o } } | a _ { k } | ^ { 2 } [ 1 - \textrm { T r } ( P _ { k } \rho ^ { m } ) ^ { 2 } ] } { \Delta ^ { 2 } \textrm { T r } ( \rho ^ { m } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { d m _ { i } ^ { k } = d \dot { \psi } _ { i } ^ { k } + \frac { \partial \alpha _ { i } ^ { k } ( \psi _ { i } ^ { k } ) } { \partial \psi _ { i } ^ { k } } d \psi _ { i } ^ { k } + \frac { \partial \alpha _ { i } ^ { k } ( \psi _ { i } ^ { k } ) } { \partial \theta _ { \alpha _ { i } ^ { k } } } d \theta _ { \alpha _ { i } ^ { k } } } \end{array}
\mathcal { F } ( \bar { x } _ { m , l } , y _ { m } , z _ { l } , \rho ) = a \frac { \int _ { D } \rho ( x , t ) \phi ( | x - \bar { x } _ { m , l } | ) ( x - \bar { x } _ { m , l } ) \, d x } { \int _ { D } \rho ( x , t ) \phi ( | x - \bar { x } _ { m , l } | ) \, d x } + b \, ( y _ { m } ( t ) - \bar { x } _ { m , l } ) + c \, ( z _ { l } ( t ) - \bar { x } _ { m , l } ) .
\begin{array} { r l } { S _ { 3 } ^ { u } = } & { { \nu _ { \tau } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { b ^ { r } } } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } & { \overline { { b ^ { g } } } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + \overline { { b ^ { b } } } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } \\ { t ^ { r } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } & { t ^ { g } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + t ^ { b } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } \\ & { \tau ^ { + } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { R _ { j } ( \hat { U } _ { 1 } ^ { \prime } , \hat { U } _ { 2 } ^ { \prime } ) = } \\ & { } & { - 2 i \alpha _ { j } s _ { 0 } \hat { U } _ { j } - i \frac { g _ { \delta } s _ { 0 } } { \tau _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial \tau ^ { \prime } } \hat { U } _ { j } ^ { \prime } - 2 \beta _ { j } \hat { U } _ { 3 - j } ^ { \prime \dagger } \hat { U } _ { 3 - j } ^ { \prime } \hat { U } _ { j } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \textrm { s c a t t e r e d } } } & { ( x , y ; \delta x , \delta y ) \propto \exp \Bigg [ - \frac { k ^ { 2 } } { 2 \Delta ^ { 2 } } ( \delta x , \delta y ) \mathcal { R } _ { \psi ( x , y ) } } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { a ( x , y ) } & { 0 } \\ { 0 } & { b ( x , y ) } \end{array} \right) \mathcal { R } _ { \psi ( x , y ) } ^ { T } \left( \begin{array} { l } { \delta x } \\ { \delta y } \end{array} \right) \Bigg ] . \quad } \end{array}
E = - \left( { \frac { a ^ { 2 } } { 2 \pi L _ { B } } } \right) v ^ { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { k \; d k } { { \vec { k } } ^ { 2 } + k _ { X } ^ { 2 } } } { \mathcal { J } } _ { 1 } ^ { 2 } \left( k r _ { B } \right) { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k r _ { 1 2 } \right)
\frac { \partial \textbf { V } } { \partial t } + ( \textbf { V } \cdot \nabla ) \textbf { V } = \frac { q } { m _ { \textrm { e f f } } } ( \textbf { E } + \textbf { V } \times \textbf { B } ) - \nu \textbf { V } ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { x , y , \lambda } { \mathcal { L } } ( x , y , \lambda ) } & { { } = \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial x } } , { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial y } } , { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \lambda } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( { \mathbf { y } } ; { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } ) } & { = D _ { \mathrm { K L } } \big ( p ( { \mathbf { x } } _ { i } , { \mathbf { y } } \mid x _ { s } ) \mid \mid p ( { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } ) p ( { \mathbf { y } } \mid x _ { s } ) \big ) } \\ & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } , { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \Big [ \log \frac { p ( { \mathbf { y } } , { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } ) } { p ( { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } ) p ( { \mathbf { y } } \mid x _ { s } ) } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathcal { M } } { d t } } & { { } = \frac { a ^ { 2 } } { 2 \pi G } Q ( \theta ) v _ { \mathrm { M C } } + \frac { \dot { \mathcal { M } } _ { \mathrm { w } } } { 4 \pi } P ( \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 2 } ^ { 2 } ( r ) } & { = \left( \frac { r } { 8 } + \frac { r ^ { 2 } } { 4 } \right) \mathbb { E } \left[ \{ g ^ { \dprime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) g ^ { \prime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) \} ^ { 2 } \right] + \left( \frac { 1 } { 1 6 } + \frac { r } { 8 } \right) \mathbb { E } \left[ g ^ { \prime \prime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) ^ { 3 } \right] } \\ & { + \frac { 5 } { 4 8 } \mathbb { E } \left[ g ^ { \prime \prime \prime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { t } E _ { k } ^ { 1 / 2 } } & { \lesssim L \sqrt { \frac { A } { 1 - A } } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \dot { H } ^ { 1 / 2 } ( \tau ) \; d \tau \leqslant } \\ & { \leqslant L \sqrt { \frac { A } { 1 - A } } \left( \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \dot { H } ( \tau ) \; d \tau \right) ^ { 1 / 2 } = L \sqrt { \frac { A } { 1 - A } } \frac { H ^ { 1 / 2 } ( t ) } { t ^ { 1 / 2 } } . } \end{array}
\Delta I ( p ^ { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 0 } L _ { 1 } , w , \epsilon ) = i \pi ^ { 2 - \epsilon } \Gamma ( \epsilon ) \zeta ( \epsilon ; p ^ { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 0 } ^ { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } , w ) ,
M ^ { 2 } S ^ { 2 } = \left( \tilde { D } L ^ { i } \right) \left( \tilde { D } L _ { i } \right) L ^ { j } L _ { j } - ( L _ { i } \tilde { D } L ^ { i } ) ^ { 2 } = ( L ^ { * } ) ^ { 4 } \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \, ,
( \partial _ { t } + i f ) u ( z _ { 1 } ) = \frac { K _ { u , 1 } \phi _ { 1 } - { u _ { \star } ^ { 2 } e _ { \tau } } } { h _ { 1 / 2 } } + ( \partial _ { t } + i f ) \left( \frac { \phi _ { 1 } } { 3 } + { \frac { u _ { \star } ^ { 2 } e _ { \tau } } { 6 K _ { u , 0 } } } \right) h _ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { = } & { \exp \left( - \frac { i \sigma _ { 3 } \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ & { = } & { { \bf 1 } \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) - i \sigma _ { 3 } \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \exp \left( - i \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left( + i \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ; \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \delta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ; \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \lambda \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \delta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ; \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \lambda \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\Delta \Phi _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } \approx 3 \sqrt { 2 S _ { \Delta \Phi } ^ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } } \tau _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ^ { - 1 / 2 }
f ( \alpha ^ { x } ) = \alpha ^ { x } g ( x ) , \quad f ^ { \prime } ( \alpha ^ { x } ) = g ( x ) + \frac { g ^ { \prime } ( x ) } { \log \alpha } , \quad f ^ { \prime \prime } ( \alpha ^ { x } ) = \frac { g ^ { \prime } ( x ) } { \alpha ^ { x } \log \alpha } + \frac { g ^ { \prime \prime } ( x ) } { \alpha ^ { x } \log ^ { 2 } \alpha } , \quad x \in \mathbb { R } .
\begin{array} { r l } & { g \left( \sigma _ { i } , \sigma _ { j } \right) } \\ { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { J _ { 0 } \left( 1 - J \cos \left( \theta _ { \sigma _ { i } } - \theta _ { \sigma _ { j } } \right) \right) , \ } & { \sigma _ { i } \neq 0 , \; \sigma _ { j } \neq 0 } \\ { J _ { 0 } , } & { \sigma _ { i } = 0 \ \mathrm { o r } \; \sigma _ { j } = 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ \frac 1 n , \frac 1 2 - \epsilon ^ { \prime } ] } \lambda ( \epsilon ^ { \prime } , \alpha ) = \lambda ( \epsilon ^ { \prime } , \frac { 1 } { 6 } - \epsilon ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 6 } - \frac { 2 } { 3 } \log { \frac { 4 } { 3 } } - \frac { 1 } { 3 } \log { \frac { 2 } { 3 } } - \epsilon ^ { \prime } = \epsilon ^ { * } - \epsilon ^ { \prime } .
d _ { v } { { \cal E } _ { D } } ^ { ( i , j ) } + \Delta _ { \mu } { \omega _ { D } } ^ { \mu ( i , j ) } = 0 , \qquad { \omega _ { D } } ^ { \mu ( i , j ) } : = d _ { v } { \theta _ { D } } ^ { \mu ( i , j ) } .
i _ { 0 , \mathrm { c } } = 2 F k _ { \mathrm { c } } \qquad i _ { 0 , \mathrm { c } } ^ { \prime } = 2 F k _ { \mathrm { c } } ^ { \prime } \qquad i _ { 0 , \mathrm { o } } = 4 F k _ { \mathrm { o } } \qquad i _ { 0 , \mathrm { o } } ^ { \prime } = 4 F k _ { \mathrm { o } } ^ { \prime } \qquad i _ { 0 , \mathrm { h } } = 2 F k _ { \mathrm { h } }
{ \begin{array} { r l } & { - { \frac { 2 } { t u } } \mathrm { T r } \left[ ( \not p _ { 3 } + m ) \gamma ^ { \mu } ( \not p _ { 1 } + m ) \gamma ^ { \nu } ( \not p _ { 4 } + m ) \gamma _ { \mu } ( \not p _ { 2 } + m ) \gamma _ { \nu } \right] } \\ { = } & { - { \frac { 3 2 } { t u } } \left( - 2 p _ { 1 2 } p _ { 3 4 } + 2 m ^ { 2 } ( p _ { 1 2 } + p _ { 1 3 } + p _ { 1 4 } ) - 2 m ^ { 4 } \right) } \\ { = } & { { \frac { 1 6 } { t u } } \left( s ^ { 2 } - 8 m ^ { 2 } s + 1 2 m ^ { 4 } \right) } \end{array} }
S _ { S } = \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g _ { S } } \Big [ e ^ { - 2 \phi } ( R _ { S } + 4 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 2 ( p + 2 ) ! } } F _ { p + 2 } ^ { 2 } \Big ] ,
g ( r ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \tau _ { T } \sqrt { 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } } } \, \exp { \left[ \frac { - r ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } \right] } \, \exp { \left[ \frac { - ( t - t _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { t } ^ { 2 } } \right] }
\pi ^ { [ i j ] k } = \frac { \partial { \cal L } } { \partial \partial _ { 0 } T _ { [ i j ] k } } = - F ^ { [ 0 i j ] k } + g ^ { j k } F _ { \ \ \ \l } ^ { [ 0 i l ] } - g ^ { i k } F _ { \ \ \ \ \l } ^ { [ 0 j l ] } ,
\frac { \Gamma ( W ^ { + } \to e ^ { + } \nu ) } { \Gamma _ { \mathrm { t o t } } ( W ) } = \left\{ \begin{array} { l } { { 0 . 1 1 1 \pm 0 . 0 0 5 ~ ~ [ 2 2 ] ~ ~ ~ , } } \\ { { 0 . 1 0 8 \pm 0 . 0 1 3 ~ ~ [ 2 3 ] ~ ~ ~ . } } \end{array} \right.
\psi _ { \mathrm { s } } ( x , t ) = 2 b \, \frac { e ^ { - 2 i [ a x + 2 ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) t ] + i \phi _ { 0 } } } { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ h ~ } [ 2 b ( x + 4 a t - x _ { 0 } ) ] } ,
\begin{array} { r } { \sigma _ { \mathrm { r e c } } ( E _ { c } ) = \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } \int _ { 0 } ^ { b _ { \mathrm { m a x } } ( E _ { c } ) } b ^ { 4 } d b = \frac { \gamma ^ { 5 } } { 5 } E _ { c } ^ { 5 / \beta } ~ , } \end{array}
\mathcal { \bar { H } } _ { n , ( i ) } ^ { ( 0 ) } \equiv \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } E \left[ g _ { ( i ) } ( x _ { t } , \beta _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } ) g _ { ( i ) } ( x _ { t } , \beta _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \prime } \right] \mathrm { , ~ h e n c e ~ } \mathcal { \tilde { Z } } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } = - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \mathcal { \bar { H } } _ { n , ( i ) } ^ { ( 0 ) - 1 } \eta _ { t } G _ { i , t } ^ { ( 0 ) } ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P : } C \left( D \right) = } & { \underset { p _ { \mathbf { X } } } { \operatorname* { m a x } } } & { I \left( \mathbf { Y } ^ { c } ; \mathbf { X } \right) , } \\ & { s . t . } & { \int p _ { \mathbf { X } } \left( \boldsymbol { x } \right) d \boldsymbol { x } = 1 , } \\ & { } & { \int p _ { \mathbf { X } } \left( \boldsymbol { x } \right) \left\Vert \boldsymbol { x } \right\Vert ^ { 2 } d \boldsymbol { x } \leq P , } \\ & { } & { \int p _ { \mathbf { X } } \left( \boldsymbol { x } \right) c \left( \boldsymbol { x } \right) d \boldsymbol { x } \leq D , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathcal { B } _ { < } } } } & { \sum _ { \ell } ( r _ { 1 } - 1 ) ^ { - 1 - q } \left| \int _ { 1 } ^ { r _ { 1 } } e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } \frac { H } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r \right| ^ { 2 } \, d \widetilde { \omega } } \\ { \leq } & { \: C ( r _ { 1 } - 1 ) ^ { - 1 - q } \int _ { \mathbb { R } _ { \tau } } \int _ { \mathbb { R } _ { u } } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \mathbf { 1 } _ { r \leq r _ { 1 } } ( | F _ { \xi } | ^ { 2 } + ( 1 + \tau ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 + \delta } { 2 } } \xi ^ { 2 } | G | ^ { 2 } ) \Delta ^ { 2 } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 4 } \, d \sigma d u d \tau } \\ { \leq } & { \: C ( r _ { 1 } - 1 ) ^ { - 1 - q } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { 1 } \} } \Delta ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } | F _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ & { + C ( r _ { 1 } - 1 ) ^ { - 1 - q } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { 0 } \} } \Delta ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \delta } | G | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ { \leq } & { \: C \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { 0 } \} } \Delta ^ { \frac { 1 - q } { 2 } } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } | F _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ & { + C \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { 0 } \} } \Delta ^ { \frac { 1 - q } { 2 } } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \delta } | G | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { x } } ( t ) = \mathbf { A } \mathbf { x } ( t ) + \mathbf { B } u ( t ) \ \ ; \ \ \mathbf { y } ( t ) = \mathbf { C } \mathbf { x } ( t ) + \mathbf { D } u ( t ) , } \end{array}
u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } = \frac { \mu _ { - } u _ { j } ^ { n , - } + u _ { j } ^ { * , * } + \mu _ { + } u _ { j } ^ { n , + } } { 2 } - \frac { \Delta t } { 2 \Delta x _ { j } } ( f ( u _ { j } ^ { n , - } ) - f ( u _ { j } ^ { n , + } ) )
\Big ( - \frac { \partial \theta } { \partial t } ( z _ { 1 } , t ) + \nu | T ^ { \prime } | ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial z _ { 1 } ^ { 2 } } ( z _ { 1 } , t ) \Big ) 1 _ { \{ z _ { 2 } = 0 \} } ,