harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left| \mathcal { F } ( \mathbb { P } ( u , \nabla ) u ) ( \xi ^ { k } , \tau ) - \mathcal { F } ( \mathbb { P } ( u _ { 0 } , \nabla ) u _ { 0 } ) ( \xi ^ { k } ) \right| } \\ & { \lesssim \left| h _ { k } ( \xi ^ { k } ) \mathcal { F } ( ( u , \nabla ) u ) ( \xi ^ { k } , \tau ) - h _ { k } ( \xi ^ { k } ) \mathcal { F } ( ( u _ { 0 } , \nabla ) u _ { 0 } ) ( \xi ^ { k } ) \right| } \\ & { \lesssim \left\| \Delta _ { k } ( u , \nabla ) u ( \tau ) - \Delta _ { k } ( u _ { 0 } , \nabla ) u _ { 0 } \right\| _ { L ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim 2 ^ { k ( 1 - s ) } \left( \| u ( \tau ) \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s } } + \| u _ { 0 } \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s } } \right) \| u ( \tau ) - u _ { 0 } \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar L | _ { a b ^ { \ast } } B } & { = \frac { d } { d \Bar t } \Big | _ { t = 0 } B \circ \gamma ( t ) = \frac { d } { d \Bar t } \Big | _ { t = 0 } \left( \mathbb { I } _ { m } - \gamma ( t ) \gamma ( t ) ^ { \ast } \right) B _ { 0 } \left( \mathbb { I } _ { n } - \gamma ( t ) ^ { \ast } \gamma ( t ) \right) } \\ & { = \frac { d } { d \Bar t } \Big | _ { t = 0 } \left( \mathbb { I } _ { m } - \lVert b + \Bar t \beta \rVert ^ { 2 } ( a + t \alpha ) ( a + t \alpha ) ^ { \ast } \right) B _ { 0 } \left( \mathbb { I } _ { n } - \lVert a + t \alpha \rVert ^ { 2 } ( b + \Bar t \beta ) ( b + \Bar t \beta ) ^ { \ast } \right) } \\ & { = - a \alpha ^ { \ast } B _ { 0 } - B _ { 0 } \beta b ^ { \ast } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } z _ { n } } & { = - \lambda _ { n } z _ { n } + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } ( \lambda _ { n } + \gamma _ { k } ) \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { n } \right> } \\ & { \phantom { = } \; - 2 \sum _ { k , i = 1 } ^ { N _ { 0 } } \lambda _ { i } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { i } \right> \delta _ { i , n } - \eta \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { 2 } \right> \delta _ { 2 , n } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { U } ( \beta ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } } \times \left\{ \begin{array} { c c c } { 1 } & { , } & { - \sqrt { 3 } \, \le \, \frac { \beta } { \sqrt { \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } } \, < \, \sqrt { 3 } } \\ { 0 } & { , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \end{array}
R _ { 0 i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \langle \phi ( \tau ) \tilde { \phi } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle _ { 0 } = \frac { 1 } { \Delta t } \frac { \partial \langle \phi _ { i } ( \tau ) \rangle _ { 0 } } { \partial k _ { 1 i } { ( \tau ^ { \prime } ) } } = \frac { 1 } { \Delta t } \frac { \partial \mu _ { i } ( \tau ) } { \partial k _ { 1 i } ( \tau ^ { \prime } ) }
\begin{array} { r l } { \left| ^ { 1 } E _ { x } ^ { \prime } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \left| a \bar { x } y \bar { y } \right\rangle - \left| \bar { a } x y \bar { y } \right\rangle \right) } \\ { \left| ^ { 1 } E _ { y } ^ { \prime } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \left| a \bar { x } x \bar { y } \right\rangle - \left| \bar { a } x \bar { x } y \right\rangle \right) } \\ { \left| ^ { 1 } A _ { 1 } ^ { \prime } \right\rangle } & { { } = \left| x \bar { x } y \bar { y } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \gamma ^ { a } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \rho ^ { a } } } \\ { { \bar { \rho } ^ { a } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ \rho ^ { a } \bar { \rho } ^ { b } + \rho ^ { b } \bar { \rho } ^ { a } = 2 \delta ^ { a b } \, . } } \end{array}
[ P _ { i } , K _ { j } ] = i \delta _ { i j } m N \; , \; [ P _ { i } , J ] = - i \epsilon _ { i j } P _ { j } \; , \; [ H , K _ { i } ] = i P _ { i } \; , \; [ K _ { i } , J ] = - i \epsilon _ { i j } K _ { j } \; .
0 \leq \mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } ^ { m } \left( \psi \right) = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \mu _ { \mathbf { T } } ^ { m } \left[ \left( \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \right) _ { + } \right] = \underline { { \operatorname* { l i m } } } _ { n } \mu _ { \mathbf { T } } ^ { m } \left[ \left( \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \right) _ { + } \right] \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { W \left( q _ { k } q _ { l } | p _ { k } p _ { l } , \Delta t \right) } \\ & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } P _ { n } \left( \Delta t \right) \, \Pi _ { j = 1 } ^ { n } \int \frac { d ^ { 3 } p _ { k } ^ { j } } { p _ { k } ^ { 0 j } } \frac { d ^ { 3 } p _ { l } ^ { j } } { p _ { l } ^ { 0 j } } \, \omega \left( p _ { k } ^ { j } p _ { l } ^ { j } | p _ { k } p _ { l } \right) } \\ & { } & { \times \, \delta ^ { 4 } \left( q _ { k } + p _ { l } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( p _ { k } ^ { j } + p _ { l } ^ { j } \right) \right) \, , } \end{array}
Z _ { t } ( x ) - Z _ { t } ( y ) = \sum _ { z = 0 } ^ { \infty } \left[ \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } ( x , z ) - \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } ( y , z ) \right] Z _ { 0 } ( z ) + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { z = 0 } ^ { \infty } \left[ \mathsf { p } _ { t - s } ^ { \varepsilon } ( x , z ) - \mathsf { p } _ { t - s } ^ { \varepsilon } ( y , z ) \right] d M _ { s } ( z ) .
\begin{array} { r l } { | \psi ( t ) \rangle = } & { ~ C _ { g g } | g g 1 \rangle + } \\ & { ~ C _ { e g } [ \alpha _ { e g } ( t ) | e g 1 \rangle + \beta _ { e g } ( t ) | g g 2 \rangle ] + } \\ & { ~ C _ { g e } [ \alpha _ { g e } ( t ) | g e 1 \rangle + \beta _ { g e } ( t ) | g g 3 \rangle ] + } \\ & { ~ C _ { e e } [ \alpha _ { e e } ( t ) | e e 1 \rangle + \beta _ { e e } ( t ) | g e 2 \rangle + } \\ & { ~ \theta _ { e e } ( t ) | e g 3 \rangle + \mu _ { e e } ( t ) | g g 4 \rangle ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { r } _ { \mathrm { r } } = \left( \begin{array} { l } { \delta _ { \mathrm { r } } \cos ( 2 \pi f _ { \mathrm { r } } t ) } \\ { - \delta _ { \mathrm { r } } \sin ( 2 \pi f _ { \mathrm { r } } t ) } \\ { d } \end{array} \right) \quad , \quad \mathbf { m } _ { \mathrm { r } } = \left( \begin{array} { l } { \cos ( \varphi _ { 0 } - 2 \pi f _ { \mathrm { r } } t ) } \\ { \sin ( \varphi _ { 0 } - 2 \pi f _ { \mathrm { r } } t ) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta p _ { d e a t h } } & { \equiv \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m ) - p ( t , m = 0 ) d t } \\ & { \approx \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } b e ^ { \beta t } \bigg ( 1 + \frac { \beta m } { \alpha f _ { o n } } \bigg ) S _ { 1 } ( t _ { o n } ) ( 1 - \mu ( t _ { o n } , m ) ( t - t _ { o n } ) ) - b e ^ { \beta t } S _ { 1 } ( t _ { o n } ) ( 1 - \mu ( t _ { o n } , m = 0 ) ( t - t _ { o n } ) ) d t } \\ & { = \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } b e ^ { \beta t } \frac { \beta m } { \alpha f _ { o n } } S _ { 1 } ( t _ { o n } ) d t + \mathcal { O } ( \tau ^ { 2 } ) } \\ & { \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } ) b e ^ { \beta t _ { o n } } \frac { m } { \alpha f _ { o n } } ( e ^ { \beta \tau } - 1 ) } \\ & { \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } ) \frac { m \tau \beta } { \alpha f _ { o n } } \mu ( t _ { o n } , m = 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \phi ( \mathbf { r } ) ^ { 2 } } & { = \frac { N } { 1 6 \pi ^ { 3 / 2 } \kappa \sigma ^ { 3 } \phi _ { 0 } } + \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 3 / 2 } \kappa \sigma ^ { 3 } \phi _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { - ( \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } _ { j } ) ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\left( { \frac { \partial f } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { c o l l } } = \iint g I ( g , \Omega ) [ f ( \mathbf { r } , \mathbf { p ^ { \prime } } _ { A } , t ) f ( \mathbf { r } , \mathbf { p ^ { \prime } } _ { B } , t ) - f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } _ { A } , t ) f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } _ { B } , t ) ] \, d \Omega \, d ^ { 3 } \mathbf { p } _ { A } \, d ^ { 3 } \mathbf { p } _ { B } ,
{ \mathrm R e } \partial _ { p ^ { 2 } } \Gamma _ { + - } ^ { T } ( p ^ { 2 } ) \big | _ { p ^ { 2 } = \kappa _ { W } ^ { 2 } } = 1 \quad { \mathrm R e } \partial _ { p ^ { 2 } } \Gamma _ { Z Z } ^ { T } ( p ^ { 2 } ) \big | _ { p ^ { 2 } = \kappa _ { Z } ^ { 2 } } = 1 \quad { \mathrm R e } \partial _ { p ^ { 2 } } \Gamma _ { A A } ^ { T } ( p ^ { 2 } ) \big | _ { p ^ { 2 } = \kappa _ { A } ^ { 2 } } = 1
\begin{array} { r } { G ( 0 ) - G \left( \frac { 1 - \beta } { \lambda } - 1 \right) \le \left( 1 - \frac { 1 - \beta } { \lambda } \right) G ^ { \prime } ( 0 ) \le 0 . 6 5 9 5 3 \left( \frac { 1 - \beta } { \lambda } - 1 \right) } \\ { \le \frac { 0 . 1 1 7 4 2 b _ { 0 } f ( 0 ) } { \lambda } \left( \frac { 1 - \beta } { \lambda } - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \hat { h } _ { 0 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { h } _ { - 1 } + \nabla \hat { h } _ { 1 } \right] } & { = } & { 0 } \\ { \partial _ { t } \hat { h } _ { 1 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { h } _ { 0 } + \nabla \hat { h } _ { 2 } \right] } & { = } & { - A \, \pi \Gamma \left[ \hat { h } _ { 2 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { h } _ { 0 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \\ & { + } & { R v _ { 0 } \, S c ^ { 2 } \left[ \hat { h } _ { 0 } \hat { f } _ { 1 } g _ { 1 , 0 } + \hat { h } _ { 1 } \hat { f } _ { 0 } g _ { 1 , 1 } + \hat { h } _ { 2 } \hat { f } _ { - 1 } g _ { 1 , - 1 } + \ldots \right] } \\ { \partial _ { t } \hat { h } _ { 2 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { h } _ { 1 } + \nabla \hat { h } _ { 3 } \right] } & { = } & { - 2 A \, \pi \Gamma \left[ \hat { h } _ { 3 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { h } _ { 1 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \\ & { + } & { R v _ { 0 } \, S c ^ { 2 } \left[ \hat { h } _ { 0 } \hat { f } _ { 2 } g _ { 2 , 0 } + \hat { h } _ { 1 } \hat { f } _ { 1 } g _ { 2 , 1 } + \hat { h } _ { 2 } \hat { f } _ { 0 } g _ { 2 , 2 } + \ldots \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 3 1 } ^ { 2 } ( x ) \rangle } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } ( A \sigma _ { i } + \frac { k } { \xi } ) ( A ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) ) } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 2 k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } } { \xi ( A ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) ) } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \\ & { + \frac { k _ { B } T } { k } \left( 1 - \frac { x } { L } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { x } { L } - u _ { 0 } x \right) ^ { 2 } } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 3 k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } ( A \sigma _ { i } - \frac { k } { \xi } ) ( A \sigma _ { j } + \frac { k } { \xi } ) } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 3 k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } ( A \sigma _ { i } - \frac { k } { \xi } ) ( A ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) ) } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 2 k _ { B } T u _ { 1 i } } { \xi ( A \sigma _ { i } + \frac { k } { \xi } ) } \phi _ { i } ( x ) } \\ & { \times \left( 1 - \frac { x } { L } \right) \left( 1 - \frac { x } { L } - u _ { 0 } x \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 4 } ^ { q } } & { { } = { S _ { 1 4 } ^ { t h } } = S _ { 2 3 } ^ { q } = { S _ { 2 3 } ^ { t h } } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } ( 1 + R ) , } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } , S _ { 1 2 } ^ { q } } & { { } = { S _ { 1 2 } ^ { t h } } = S _ { 3 4 } ^ { q } = { S _ { 3 4 } ^ { t h } } = \frac { 1 - R } { 1 + R } S _ { 1 4 } ^ { q } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E [ ( f _ { t } - Z _ { t } ^ { 1 - \tau } ) \mathbb { I } \left[ \mathcal { E } ^ { - } \cup \mathcal { E } ^ { + } \right] \mid S = s , A = 1 ] } & { = \int _ { - | Z _ { t } ^ { 1 - \tau } - \hat { Z } _ { t } ^ { 1 - \tau } | } ^ { | Z _ { t } ^ { 1 - \tau } - \hat { Z } _ { t } ^ { 1 - \tau } | } ( f _ { t } ( s , a , s ^ { \prime } ) - Z _ { t } ^ { 1 - \tau } ) P ( s ^ { \prime } \mid s , a ) d s ^ { \prime } } \\ & { \leq M _ { P } \mathbb E [ ( Z _ { t } ^ { 1 - \tau } - \hat { Z } _ { t } ^ { 1 - \tau } ) ^ { 2 } \mid S = s , A = 1 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. L _ { H } \right| _ { x ^ { 0 } = \tau } \quad \stackrel { p ^ { 0 } } { \longrightarrow } } & { \quad { \bf p } \cdot \dot { \bf x } - \underbrace { \left( \lambda + \frac { { \bf p } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { 4 \lambda } + V \right) } _ { \mathrm { H a m i l t o n i a n } } } \\ { \quad \stackrel { \lambda } { \longrightarrow } } & { \quad { \bf p } \cdot \dot { \bf x } - \underbrace { \left( \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } + V \right) } _ { \mathrm { H a m i l t o n i a n } } . } \end{array}
\Phi _ { + } ^ { ( \mathrm { B e s } ) } ( \zeta ) = \Phi _ { - } ^ { ( \mathrm { B e s } ) } ( \zeta ) \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad } & { \zeta } & { \in \Gamma _ { 1 } \cup \Gamma _ { 5 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { \zeta } & { \in \Gamma _ { 2 } \cup \Gamma _ { 6 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { \zeta } & { \in \Gamma _ { 3 } \cup \Gamma _ { 7 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { \zeta } & { \in \Gamma _ { 4 } \cup \Gamma _ { 8 } . } \end{array} \right.
- \omega ^ { 2 } \rho u _ { i } = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \mathrm { ~ k ~ } = 1 } ^ { 3 } \sum _ { l = 1 } ^ { 3 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( c _ { i j k l } \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { l } } \right) \, , \quad i = 1 , 2 , 3 \, ,
\left\{ X _ { t } \right\} , \left\{ Y _ { t } \right\} { \mathrm { ~ o r t h o g o n a l } } \quad \iff \quad \operatorname { R } _ { \mathbf { X } \mathbf { Y } } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = 0 \quad \forall t _ { 1 } , t _ { 2 }
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c c c r } { b _ { 0 } } & { = } & { - \frac { 1 4 3 ( - 7 7 4 3 1 + 6 0 4 8 0 \, \varphi ) } { 2 0 7 2 0 4 6 4 } } & { \approx } & { - 0 . 1 4 0 9 7 9 , } \\ { b _ { 1 } } & { = } & { - \frac { 1 0 0 1 ( 1 9 8 3 9 1 - 9 4 3 8 2 \, \varphi ) } { 2 0 7 2 0 4 6 4 0 } } & { \approx } & { - 0 . 7 2 1 3 1 8 , } \\ { b _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 0 0 1 ( - 7 7 4 3 1 + 6 0 4 8 0 \, \varphi ) } { 1 6 5 7 6 3 7 1 2 } } & { \approx } & { 0 . 1 2 3 3 5 7 , } \\ { b _ { 3 } } & { = } & { \frac { 3 0 0 3 ( 1 9 8 3 9 1 - 9 4 3 8 2 \, \varphi ) } { 6 6 3 0 5 4 8 4 8 } } & { \approx } & { 0 . 2 0 6 8 7 6 , } \end{array} } \end{array}
( m _ { M } ^ { 2 } ) _ { \alpha \beta } = \frac { 9 g ^ { 2 } n _ { s } } { 1 6 \mu _ { b } } \frac { \mathrm { R e } \mathrm { T r } \left[ \left( ( \lambda ^ { \alpha } ) ^ { * } \phi _ { + } + \phi _ { + } \lambda ^ { \alpha } \right) \left( ( \lambda ^ { \beta } ) ^ { * } \phi _ { + } + \phi _ { + } \lambda ^ { \beta } \right) ^ { \dagger } \right] _ { F } } { \mathrm { T r } ( \phi _ { + } ^ { \dagger } \phi _ { + } ) _ { F } } .
\partial _ { \mu } ( { \sqrt - g } \, g ^ { \mu \nu } \, \partial _ { \nu } \psi ) + { \frac { \kappa ^ { 2 } \, { \sqrt - g } } { 1 6 } } ( a \, e ^ { - a \psi } F ^ { 2 } \, + b \, e ^ { - b \psi } H ^ { 2 } ) = 0 ,
{ \mathrm { \bf \Big ( ~ \! \! ~ \Big ( } } x \Big | \frac { 1 } { { \cal P } ^ { 2 } } \Big | y { \mathrm { \bf \Big ) ~ \! \! ~ \Big ) } } = \int \! d z \delta ( z _ { \ast } ) \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } ( x - z ) ^ { 2 } } U ^ { \Omega } ( z _ { \perp } ) \frac { y _ { \ast } } { \pi ^ { 2 } ( z - y ) ^ { 4 } }
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { 1 } { k ! } \cdot \frac { d ^ { k } } { d t ^ { k } } [ x ^ { n } ] \frac { G ( x ) ^ { 2 } } { 1 - R ( x ) } \Bigg | _ { t = 0 } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { n - k } [ x ^ { j } ] ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } \cdot [ x ^ { n - k - j } ] \left( G + 1 - R \right) ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { n - k } r ^ { n - k - j - 2 } \left( 2 \cdot q _ { n - k - j } \cdot r + \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { n - k - j - 1 } q _ { i _ { 1 } } q _ { n - k - j - i _ { 1 } } \right) \cdot [ x ^ { j } ] \sum _ { i _ { 2 } = 0 } ^ { j } { \binom { k + i _ { 2 } } { i _ { 2 } } } R ^ { i _ { 2 } } } \end{array}
0 = F _ { [ \alpha \beta , \gamma ] } = { \frac { 1 } { 3 ! } } \left( F _ { \alpha \beta , \gamma } + F _ { \gamma \alpha , \beta } + F _ { \beta \gamma , \alpha } - F _ { \beta \alpha , \gamma } - F _ { \alpha \gamma , \beta } - F _ { \gamma \beta , \alpha } \right)
\begin{array} { r l r } { Q ( x , y , t ) } & { { } = } & { 2 \left[ \frac { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } B _ { 1 } \cosh ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) + ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } B _ { 2 } \cosh ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) } { B _ { 1 } \cosh ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) + B _ { 2 } \cosh ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( u \right) _ { 1 , j , k } } & { { } = } & { u _ { j } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \left( v \right) _ { 1 , j , k } } & { { } = } & { \left( v \right) _ { 2 , j , k } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \left( w \right) _ { 1 , j , k } } & { { } = } & { \left( w \right) _ { 2 , j , k } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { P } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \epsilon ( \tau ) d \tau = \frac { ( \alpha _ { \parallel } - \alpha _ { \perp } ) } { 4 \hbar } \int _ { - \infty } ^ { \infty } E _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) d t \, . } \end{array}
\pi ( R ( \alpha , \beta _ { 1 } ) ) = x _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 1 } , \beta _ { 1 } ) ) + y _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 1 } ) ) + z _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 3 } , \beta _ { 1 } ) ) ,
\begin{array} { r l } { \| F \| _ { H ^ { - k } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } & { = \operatorname* { s u p } _ { u \in { H ^ { k } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } \frac { | \langle f , j u \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } | } { \| u \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } } = \operatorname* { s u p } _ { u \in { H ^ { k } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } \frac { | \langle j ^ { * } f , u \rangle _ { H ^ { k } ( \Omega ) } | } { \| u \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { u \in { H ^ { k } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } \frac { \| j ^ { * } f \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } \| u \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } } { \| u \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } } = \| j ^ { * } f \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } \, , } \end{array}
\tilde { { \cal M } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } + A _ { \mu \mu } + A _ { \tau \tau } \right) \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { A _ { \mu \mu } - A _ { \tau \tau } - \Delta \cos 2 \theta } } & { { 2 A _ { \mu \tau } + \Delta \sin 2 \theta } } \\ { { 2 A _ { \mu \tau } + \Delta \sin 2 \theta } } & { { - A _ { \mu \mu } + A _ { \tau \tau } + \Delta \cos 2 \theta } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left< \hat { \mathcal X } \right> } & { { } = } & { t _ { \mathrm { ~ m ~ } } N \, \frac { \epsilon _ { 0 } \hbar } { \rho _ { N } \left| \boldsymbol d _ { 1 , 2 } \right| ^ { 2 } } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \, \chi ( \omega _ { p } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s _ { g g } } & { = } & { \exp \left[ i \eta _ { 0 } ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } + i \eta _ { 0 } ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( \nu \right) \right] , } \\ { \eta _ { 0 } ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } } & { = } & { \pi , } \\ { \eta _ { 0 } ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( \nu \right) } & { = } & { - \arctan \left( \frac { 2 \tau \nu } { \sqrt { \pi ^ { 2 } + 4 \nu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } } \tan \frac { \tau _ { 1 } } { 4 \tau } \sqrt { \pi ^ { 2 } + 4 \nu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \right) \pm \operatorname { a r c c o s } \frac { 1 } { 2 } \left\vert \frac { s _ { a 2 } } { s _ { a 1 } s _ { d 1 } } \right\vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { m } } = \overline { { m } } ( L , M ) } & { : = \operatorname* { m a x } _ { L ( x , y ) , M ( x , y ) > 0 } \frac { L ( x , y ) } { M ( x , y ) } , \quad \underline { { m } } = \underline { { m } } ( L , M ) : = \operatorname* { m i n } _ { L ( x , y ) , M ( x , y ) > 0 } \frac { L ( x , y ) } { M ( x , y ) } , } \\ { | | f ^ { ( 3 ) } | | _ { \infty } ( L , M ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { x \in [ \underline { { m } } , \overline { { m } } ] } | f ^ { ( 3 ) } ( x ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ( \beta ( w _ { 2 } + z ) ) } & { = ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } ) ( \beta ( w _ { 2 } + z ) ) = ( X _ { 1 } , - X _ { 2 } , X _ { 3 } ) ( w _ { 2 } + z ) , } \\ { X ( \rho ( w _ { 2 } + z ) ) } & { = ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } ) ( \rho ( w _ { 2 } + z ) ) = ( - X _ { 2 } , X _ { 1 } , - X _ { 3 } ) ( w _ { 2 } + z ) . } \end{array}
\frac { 1 } { n _ { \mathrm { t h } } ^ { \mathrm { i n f } } } = \frac { n _ { \mathrm { t h } } + 1 + \left( \frac { 2 \kappa ^ { \mathrm { e x t } } } { \kappa } \right) ( 1 - C / 2 ) n _ { \phi } ^ { \mathrm { p h o t o n } } } { n _ { \mathrm { t h } } - \left( \frac { 2 \kappa ^ { \mathrm { e x t } } } { \kappa } \right) ( 1 + C / 2 ) n _ { \phi } ^ { \mathrm { p h o t o n } } } - 1 .
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { p d e } ( a , u _ { \theta } ) = | | \frac { d u _ { \theta } } { d t } - \mathcal { R } ( u _ { \theta } ) | | _ { L ^ { 2 } ( T ; D ) } ^ { 2 } + ~ ~ ~ ~ } \\ { \alpha | | u _ { \theta } | \partial D - g | | _ { L ^ { 2 } ( T ; \partial D ) } ^ { 2 } + \beta | | u _ { \theta } | _ { t = 0 } - a | | _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } \; \rangle } & { : \gamma \to \gamma ^ { \prime } } \\ { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } ^ { \prime } \; \rangle } & { : \delta ^ { \prime } \to \delta } \\ { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } ^ { \prime \prime } \; \rangle } & { : \delta \to \delta ^ { \prime \prime } } \\ { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime \prime } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } ^ { \prime \prime \prime } \; \rangle } & { : \omega ^ { \prime } \to \omega ^ { \prime \prime \prime } } \\ { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } ^ { i v } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } ^ { i v } \; \rangle } & { : \delta ^ { \prime } \to \delta ^ { \prime \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } & { { } = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) } \end{array} .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { h } \left| ( I _ { h } \varphi _ { h } , g _ { j } ( 2 ^ { a } ( \cdot - x ) ) ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \right| ^ { 2 } } \\ & { \quad \le \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { - 2 s } \left( \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } } \left( \frac 1 h + | \xi + \zeta | \right) ^ { 2 t } | \mathcal { F } [ \Theta _ { h } ( x - \cdot ) ] ( \xi + \zeta ) | ^ { 2 } | \mathcal { F } [ \tilde { g } _ { j } ^ { ( a ) } ( x - \cdot ) ] ( \xi + \zeta ) | ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad \times \left( \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } } \frac { 1 } { \left( \frac 1 h + | \xi + \zeta | \right) ^ { 2 t } } \right) \, \mathrm { d } \xi . } \end{array}