harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle } & { = \frac { 1 } { 8 \sqrt { 2 } } \int d \boldsymbol { r } _ { 1 } \int d \boldsymbol { r } _ { 2 } \int d \boldsymbol { r } _ { 3 } \int d \boldsymbol { r } _ { 4 } \eta ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \eta ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \eta ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \eta ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) } \\ & { \left\{ \left[ i \hat { \psi } _ { A , H } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) + \hat { \psi } _ { B , H } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \right] \left[ i \hat { \psi } _ { A , H } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) + \hat { \psi } _ { B , H } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \right] \left[ \hat { \psi } _ { C , V } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) + i \hat { \psi } _ { D , V } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \right] \left[ \hat { \psi } _ { C , V } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) + i \hat { \psi } _ { D , V } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) \right] + ( H \leftrightarrow V ) \right\} \left| 0 \right\rangle , } \end{array}
\delta _ { q r } { \cal E } _ { -- } ^ { \underline { { a } } } \equiv \delta _ { q r } \left( D _ { -- } X ^ { \underline { { a } } } - i D _ { -- } \bar { \Theta } \Gamma ^ { \underline { { a } } } \Theta \right) = D _ { - q } \bar { \Theta } \Gamma ^ { \underline { { a } } } D _ { - r } \Theta
\begin{array} { r l } { \frac { d \textbf { v } _ { i } } { d t } } & { = - 2 \sum _ { j } \left( \frac { { P } ^ { * } } { \rho _ { i } } \right) V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } + 2 \sum _ { j } \frac { \nu } { \rho _ { i } } \textbf { v } _ { i j } V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } + \textbf { g } _ { i } } \\ { { P } ^ { * } } & { = { p } ^ { * } + { \Pi } ^ { * } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \gamma a _ { 1 } ) ( \gamma a _ { 2 } ) \dots ( \gamma a _ { m } ) } & { = \gamma ^ { \frac { \mathrm { N } { \mathfrak { p } } - 1 } { n } } a _ { 1 } a _ { 2 } \dots a _ { m } } \\ & { \equiv \left( { \frac { \gamma } { \mathfrak { p } } } \right) _ { n } a _ { 1 } a _ { 2 } \dots a _ { m } { \pmod { \mathfrak { p } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ L ~ o ~ s ~ s ~ } ( \theta ; x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { 1 } { N \times n } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \{ [ \Tilde { P } _ { i } ^ { m } ( x _ { 2 } , \omega _ { j } ) - \Tilde { P } _ { i } ( x _ { 2 } , \omega _ { j } , \theta ) ] ^ { 2 } } \\ { + [ \Tilde { P } _ { i } ^ { m } ( x _ { 1 } , \omega _ { j } ) - \Tilde { P } _ { i } ( x _ { 1 } , \omega _ { j } , \theta ) ] ^ { 2 } + [ C - \textit { I } ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } C _ { i , \cdot } ) ^ { T } ] ^ { 2 } \} } \end{array}
x _ { o d } ( t ) = e ^ { - \gamma t } \left( \frac { v _ { 0 } + ( \gamma + \alpha ) x _ { 0 } } { 2 \alpha } e ^ { \alpha t } - \frac { v _ { 0 } + ( \gamma - \alpha ) x _ { 0 } } { 2 \alpha } e ^ { - \alpha t } \right) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } f + v \cdot \nabla _ { x } f + \mathrm { d i v } _ { v } \Big [ f ( u - v ) - f \nabla _ { x } p ( \varrho , \mathfrak { e } ) \Big ] } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u ) } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho u ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u \otimes u ) + \alpha \nabla _ { x } p ( \varrho , \mathfrak { e } ) - \Delta _ { x } u - \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } u } & { = j _ { f } - \rho _ { f } u , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho \mathfrak { e } ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho \mathfrak { e } u ) + p ( \varrho , \mathfrak { e } ) \left( \partial _ { t } \alpha + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha u ) \right) } & { = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \vert u - v \vert ^ { 2 } f \, \mathrm { d } v , } \\ { \alpha } & { = 1 - \rho _ { f } . } \end{array}
a _ { 1 1 } \Gamma = \frac { \Gamma _ { a } - a _ { 1 2 } } { 1 - ( a _ { 2 1 } / a _ { 1 1 } ) \Gamma _ { a } } , \quad b _ { 1 1 } \Gamma = \frac { \Gamma _ { b } + b _ { 2 1 } } { 1 + ( b _ { 1 2 } / b _ { 1 1 } ) \Gamma _ { b } } .
\begin{array} { r } { \Delta _ { \boldsymbol { r } } G ^ { t } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) | _ { \partial D } = 0 , } \\ { \mathcal { B } G ^ { t } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { R } ( \Omega _ { \bar { \varepsilon } } ^ { 5 } ) = \big \{ ( x , y ) \, : \, 0 < x < \bar { \varepsilon } , \, 0 < y < { f } _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) \big \} \, , } \\ & { \mathcal { R } ( \Gamma _ { \mathrm { s h o c k } } \cap \partial \Omega _ { \bar { \varepsilon } } ^ { 5 } ) = \big \{ ( x , y ) \, : \, 0 < x < \bar { \varepsilon } , \, y = { f } _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) \big \} \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Sigma _ { c } ^ { + , \kappa = 0 , \nu = 0 } \, : \, \left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = \cosh ( w ) } \\ { \dot { y } } & { = \sinh ( w ) } \\ { \dot { w } } & { = u } \end{array} \right. \quad \textrm { a n d } \quad \Sigma _ { c } ^ { - , \kappa = 0 , \nu = 0 } \, : \, \left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = \cos ( w ) } \\ { \dot { y } } & { = \sin ( w ) } \\ { \dot { w } } & { = u } \end{array} \right. } \end{array}
\zeta ^ { ( T ) } \left( z , \beta , \sigma \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } D _ { n } ^ { T } ( \Lambda _ { n , l } ^ { T } ( \sigma ) ) ^ { - z } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \bar { D } _ { n } ^ { T } ( \Lambda _ { n , 0 } ^ { T } ( \sigma ) ) ^ { - z } ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { | \mathcal { E } | = } & { \left| \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { u } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x - u ) } } d x - \frac { 1 - b } { \sqrt { a b ( 1 + \frac { b } { a } ) } } \int _ { u } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 - x ) ( x - u ) } } d x \right| } \\ { = } & { \frac { 1 - b } { \sqrt { a b ( 1 + \frac { b } { a } ) } } \left| \int _ { u } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 - x ) ( x - u ) } } \left( \frac { ( 1 - b x ) \sqrt { 1 + \frac { b } { a } } } { ( 1 - b ) \sqrt { x ( 1 + \frac { b } { a } x ) } } - 1 \right) d x \right| } \\ { \leq } & { \frac { 1 - b } { \sqrt { a b ( 1 + \frac { b } { a } ) } } \int _ { u } ^ { 1 } \frac { d x } { \sqrt { ( 1 - x ) ( x - u ) } } \textit { m a x } _ { x \in [ u , 1 ] } \left| \frac { ( 1 - b x ) \sqrt { 1 + \frac { b } { a } } } { ( 1 - b ) \sqrt { x ( 1 + \frac { b } { a } x ) } } - 1 \right| } \\ { = } & { \frac { 1 - b } { \sqrt { a b ( 1 + \frac { b } { a } ) } } \pi \textit { m a x } _ { x \in [ u , 1 ] } \left| \frac { ( 1 - b x ) \sqrt { 1 + \frac { b } { a } } - ( 1 - b ) \sqrt { x ( 1 + \frac { b } { a } x ) } } { ( 1 - b ) \sqrt { x ( 1 + \frac { b } { a } x ) } } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { h } } & { : = \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } ^ { a } } r _ { e } : [ L ^ { 2 } ( \Gamma _ { h } ^ { a } ) ] ^ { 2 } \rightarrow [ \mathbb { V } _ { h } ^ { l _ { 1 } } ] ^ { 2 \times 2 } , } \\ { \mathcal { B } _ { h } } & { : = \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } ^ { a } } b _ { e } : L ^ { 2 } ( \Gamma _ { h } ^ { a } ) \rightarrow [ \mathbb { V } _ { h } ^ { l _ { 2 } } ] ^ { 2 \times 2 } . } \end{array}
\Delta \xi _ { t r } = \frac { r _ { t } ^ { 2 } } { 4 E _ { t } } + \frac { \beta ^ { \prime } ( r _ { t } ) r _ { t } ^ { 2 } / 4 - \psi _ { \operatorname* { m i n } } } { E _ { t } } \simeq 4 . 8
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { o } } = | \frac { \delta T ( \omega ) } { \delta \Delta ( \omega ) } \frac { \delta ( 2 \pi f _ { \mathrm { o } } ) } { \delta n _ { \mathrm { e f f } } } | = } & { \sqrt { \frac { \kappa ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } } { \kappa ^ { 4 } + 4 \omega ^ { 4 } } } \cdot \frac { 4 \pi ^ { 2 } f _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } R _ { \mathrm { o } } } { m _ { \mathrm { o } } c } } \\ { = } & { \alpha Q _ { \mathrm { o } } \sqrt { \frac { 1 + 4 ( \nu Q _ { \mathrm { o } } / f _ { o } ) ^ { 2 } } { 1 + 4 ( \nu Q _ { \mathrm { o } } / f _ { \mathrm { o } } ) ^ { 4 } } } , } \end{array}
{ \displaystyle f ( E _ { v i s } ; E _ { e } ) ~ = ~ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } E _ { e } \sigma } } \cdot e x p \left( - \left( { \frac { E _ { v i s } - E _ { e } } { \sqrt { 2 } E _ { e } \sigma } } \right) ^ { 2 } \right) } .
\left[ b _ { k } , { b _ { k ^ { \prime } } } ^ { \dagger } \right] = \delta _ { k , k ^ { \prime } } , \quad { \Big [ } b _ { k } , b _ { k ^ { \prime } } { \Big ] } = \left[ { b _ { k } } ^ { \dagger } , { b _ { k ^ { \prime } } } ^ { \dagger } \right] = 0
\begin{array} { r l } { \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } = } & { ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } \frac { 2 \zeta _ { 0 } - \zeta _ { n } } { \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } + ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } } \\ & { \frac { 2 3 \zeta _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 \zeta _ { 0 } - 3 \zeta _ { n } ) + \zeta _ { n } ^ { 2 } ( 3 0 \zeta _ { 0 } - 1 7 \zeta _ { n } ) } { 1 2 0 ( \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } , } \end{array}
\partial _ { u u } ( \partial _ { u } f _ { 1 } + \partial _ { v } f _ { 2 } + \partial _ { \eta } f _ { 3 } ) \vert _ { \eta = 0 } = 0 \rightarrow \partial _ { u u \eta } f _ { 3 } \vert _ { \eta = 0 } = 0 .
\left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \boldsymbol { \tau } } = \left( \hat { \kappa } \Vert \hat { \dot { \boldsymbol { \gamma } } } \Vert ^ { n - 1 } + \displaystyle { \frac { \hat { \tau } _ { y } } { \Vert \hat { \dot { \boldsymbol { \gamma } } } \Vert } } \right) \hat { \dot { \boldsymbol { \gamma } } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ f ~ } \quad \Vert \hat { \boldsymbol { \tau } } \Vert > \hat { \tau } _ { y } , } \\ { \hat { \dot { \boldsymbol { \gamma } } } = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ f ~ } \quad \Vert \hat { \boldsymbol { \tau } } \Vert \leqslant \hat { \tau } _ { y } , } \end{array} \right.
u ( \omega ) = \frac { 1 } { \omega } - \frac { 1 } { N \omega ^ { 3 } } \sum _ { i , j , k } \left\langle \frac { \delta V _ { i k } } { \delta \phi _ { k j } } \right\rangle _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } + \frac { 1 } { N \omega ^ { 5 } } \sum _ { i , j , k , l , m } \left\langle \frac { \delta V _ { i k } } { \delta \phi _ { k l } } \frac { \delta V _ { l m } } { \delta \phi _ { m j } } + \frac { \delta V _ { i k } } { \delta \phi _ { m j } } \frac { \delta V _ { l m } } { \delta \phi _ { k l } } \right\rangle _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } + \cdots
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial S _ { \epsilon } } { \partial v _ { p } } } & { { } = - \int \nabla _ { v _ { p } } \sum _ { p } w _ { p } \psi _ { \epsilon } ( v - v _ { p } ) l n \sum _ { k } w _ { k } \psi _ { \epsilon } ( v - v _ { k } ) } & { } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { F ( \omega ) = \frac { G ^ { \prime } ( a ) } { G ( a ) } } & { { } + \sum _ { z _ { \ell } } \left( \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { \omega - z _ { \ell } } - \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta = \sqrt { D / 3 0 8 } , \quad \log k = \left\lceil \log \left( 2 + ( \sigma _ { z } / \sqrt { D } ) 4 \sqrt { 3 \ln ( 2 \sqrt { 7 7 } \sigma _ { z } / \sqrt { D } ) } \right) \right\rceil } \\ & { \Delta ^ { \prime } = \sqrt { 6 ( \sigma _ { z } ^ { 2 } ) \ln ( \sigma _ { z } / \delta ) } , \quad \varepsilon = 2 \Delta ^ { \prime } / ( k - 2 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial c } { \partial t } } & { = D \nabla ^ { 2 } c - \gamma c } & { \quad \forall x \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , \infty ) } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { 0 } } & { = - \frac { \omega } { 2 D } } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { x \rightarrow \infty } } & { = 0 } \\ { c ( x , 0 ) } & { = 0 } & { \forall x \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , \infty ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } _ { s } = - \gamma _ { i } \zeta \mathcal { R } ^ { s } , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { - \nabla \phi _ { s } \cdot \boldsymbol { n } _ { s } = \lambda _ { s } ( \phi ^ { s } - \phi _ { p } ^ { s } ) , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { ~ \frac { \partial } { \partial t } ( - \nabla \phi _ { l } \cdot \boldsymbol { n _ { l } } ) + \frac { \zeta } { \delta ^ { 2 } } \Delta z _ { l } \mathcal { R } _ { l } = g \left( \ln ( \frac { C _ { e } ^ { r } } { C _ { e } ^ { l } } ) + \phi _ { p } ^ { l } - \phi _ { p } ^ { r } \right) , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } ( - \nabla \phi _ { r } \cdot \boldsymbol { n _ { r } } ) + \frac { \zeta } { \delta ^ { 2 } } \Delta z _ { r } \mathcal { R } _ { r } = - g \left( \ln ( \frac { C _ { e } ^ { r } } { C _ { e } ^ { l } } ) + \phi _ { p } ^ { l } - \phi _ { p } ^ { r } \right) , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { \boldsymbol { j } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , \phi ^ { s } = 0 , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega / \Gamma , } \end{array} \right.
\frac { \partial A _ { 1 } } { \partial z } + \frac { 1 } { v _ { g 1 } } \frac { \partial A _ { 1 } } { \partial z } + i \frac { \beta _ { 2 1 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } A _ { 1 } } { \partial z ^ { 2 } } = i \gamma _ { 1 } ( \left| A _ { 1 } \right| ^ { 2 } + 2 \left| A _ { 2 } \right| ^ { 2 } ) A _ { 1 }
a = a _ { \mathrm { m i n } } ^ { 0 } = \left( - { \frac { \mu _ { b } N b _ { 2 } ^ { f } } { \mu _ { f } M B _ { 2 } ^ { f } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 ( \mu _ { f } - \mu _ { b } ) } } \sim { \cal O } ( 1 ) .
f _ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { ~ S ~ F ~ } } ; B _ { 0 } , \gamma ) = B _ { 0 } \left( 1 - \exp { \left[ - \frac { \theta _ { \mathrm { ~ S ~ F ~ } } ^ { 2 } } { 2 { \gamma } ^ { 2 } } \right] } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \dot { N _ { i } } } { A } } & { { } = k _ { \mathrm { ~ e ~ } , i } \left[ \exp { \frac { \mu _ { i } ^ { \mathrm { ~ r ~ } } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } } - \exp { \frac { \mu _ { i } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { l l } { T _ { b 2 } ^ { A B } T _ { b 2 } ^ { C D } : } & { \; ( \nu ^ { 0 } , \mu ^ { 0 } ) , \; ( \kappa ^ { 1 } , \kappa ^ { 2 } ) , \; ( \omega ^ { 1 } , \omega ^ { 2 } ) } \\ { T _ { b 2 } ^ { A C } T _ { b 2 } ^ { B D } : } & { \; ( \nu ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } ) , \; ( \kappa ^ { 1 } , \kappa ^ { 0 } ) , \; ( \omega ^ { 1 } , \omega ^ { 3 } ) } \\ { T _ { b 2 } ^ { A D } T _ { b 2 } ^ { B C } : } & { \; ( \nu ^ { 4 } , \mu ^ { 4 } ) , \; ( \kappa ^ { 1 } , \kappa ^ { 3 } ) , \; ( \omega ^ { 1 } , \omega ^ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \pmb { T } ^ { 1 } = \pmb { S } , } & { \pmb { T } ^ { 2 } = \pmb { S R } - \pmb { R S } , } & { \pmb { T } ^ { 3 } = \pmb { S } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \pmb { I } \cdot \operatorname { T r } \left( \pmb { S } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega ^ { 2 } } & { { } = } & { \Big [ \gamma _ { 0 } H _ { \mathrm { a } } + \frac { 2 A \gamma _ { 0 } } { \mu _ { 0 } M _ { \mathrm { s } } } k ^ { 2 } \Big ] \Big [ \gamma _ { 0 } \Big ( M _ { \mathrm { s } } + H _ { \mathrm { a } } \Big ) + \frac { 2 A \gamma _ { 0 } } { \mu _ { 0 } M _ { \mathrm { s } } } k ^ { 2 } \Big ] } \end{array}
B _ { I _ { 3 } ^ { 1 } \times I _ { 1 } ^ { 2 , 3 } , I _ { 3 } ^ { 1 } \times I _ { 2 } ^ { 2 , 3 } , I _ { 3 } ^ { 1 } \times I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 3 , 3 } = \sum _ { m _ { 2 } = 1 } ^ { 3 } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle D _ { K ^ { 2 , 3 } , k ^ { 2 , 3 } } ^ { 2 , 3 } ( j , m _ { 2 } ) f _ { j } \rangle _ { I _ { 3 } ^ { 1 } \times I _ { j } ^ { 2 , 3 } } \langle f _ { 3 } , h _ { I _ { 3 } } \rangle
\left\lVert f ^ { \nu } ( t ) \right\rVert _ { L ^ { \frac 6 5 } ( \Omega ) } \le \left\lVert f ^ { \nu } ( t ) \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( \Omega ) } | \Omega | ^ { \frac 1 { 1 2 } }
\begin{array} { r l } { | \Psi ( s _ { 1 } ) - \Psi ( s _ { 2 } ) | } & { = | \phi ( \omega ( s _ { 1 } , \vec { w } ) ) - \phi ( \omega ( s _ { 2 } , \vec { w } ) ) | } \\ & { \overset { , } < 4 \gamma _ { n } \langle l \rangle ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | } \\ & { \overset < 8 \gamma \langle l \rangle ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | . } \end{array}
\mathrm { V a r } _ { \Pi } [ F _ { k } ^ { \mathrm { M C } } ] \stackrel { \varepsilon \ll 1 } { \approx } \frac { \alpha } { 4 \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { \sigma \neq \sigma _ { 0 } } | \mathcal { H } _ { \sigma \sigma _ { 0 } } | ^ { 2 } , \quad \mathrm { V a r } _ { \Pi } [ S _ { k k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { M C } } ] \stackrel { \varepsilon \ll 1 } { \approx } \frac { ( 2 ^ { N } - 1 ) } { 1 6 \varepsilon ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathscr { L } ( z _ { i j } ) \; \le \; \operatorname* { m a x } \{ \mathscr { L } ( z _ { i k } ) , \mathscr { L } ( z _ { k j } ) \} \; \in \; s _ { i k } \cup s _ { k j } , } \\ & { \Longrightarrow } & { \mathscr { L } ( z _ { i j } ) \; \in \; \{ \sigma \in s _ { i j } | \sigma \leq \operatorname* { m a x } ( s _ { i k } \cup s _ { k j } ) \} ; } \\ & { } & { \operatorname* { m i n } s _ { i k } \; \le \; \mathscr { L } ( z _ { i k } ) \; \le \; \operatorname* { m a x } \{ \mathscr { L } ( z _ { i j } ) , \mathscr { L } ( z _ { k j } ) \} , } \\ & { \Longrightarrow } & { \mathscr { L } ( z _ { i j } ) \; \in \; \{ \sigma \in s _ { i j } | \operatorname* { m i n } s _ { i k } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \sigma \} \cup s _ { k j } ) ; } \\ & { } & { \operatorname* { m i n } s _ { k j } \; \le \; \mathscr { L } ( z _ { k j } ) \; \le \; \operatorname* { m a x } \{ \mathscr { L } ( z _ { i j } ) , \mathscr { L } ( z _ { i k } ) \} , } \\ & { \Longrightarrow } & { \mathscr { L } ( z _ { i j } ) \; \in \; \{ \sigma \in s _ { i j } | \operatorname* { m i n } s _ { k j } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \sigma \} \cup s _ { i k } ) . } \end{array}
{ \frac { \pi } { 2 } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \arctan { \frac { 1 } { F _ { 2 n + 1 } } } = \arctan { \frac { 1 } { 1 } } + \arctan { \frac { 1 } { 2 } } + \arctan { \frac { 1 } { 5 } } + \arctan { \frac { 1 } { 1 3 } } + \cdots
\kappa _ { R } = \left( \frac { 1 5 } { 4 \pi ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { 4 } e ^ { - u } } { \left( 1 - e ^ { - u } \right) ^ { 2 } } \frac { 1 } { \kappa ( u ) } ~ d u \right) ^ { - 1 } .
{ } ^ { * } ( d x ^ { \alpha _ { 1 } } \wedge d x ^ { \alpha _ { 2 } } \wedge . . . \wedge d x ^ { \alpha _ { m } } ) = \frac { \sqrt { | g | } } { ( n - m ) ! } \varepsilon _ { \ \ \ \ \ \ \ \beta _ { m + 1 } . . . \beta _ { n } } ^ { \alpha _ { 1 } . . . \alpha _ { m } } d x ^ { \beta _ { m + 1 } } \wedge . . . \wedge d x ^ { \beta _ { n } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x , \mathrm { r e f i n e d } } ^ { i j k } = } & { - 6 \frac { \phi ^ { i + 1 , j , k } - \phi ^ { i - 1 , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } + h \frac { - \phi ^ { i + 1 + 1 / h , j , k } + \phi ^ { i + 1 - 1 / h , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } } \\ & { + h \frac { - 4 \phi ^ { i + 1 / h , j , k } + 4 \phi ^ { i - 1 / h , j , k } - \phi ^ { i - 1 + 1 / h , j , k } + \phi ^ { i - 1 - 1 / h , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { N _ { g } + 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { { } = \Pi _ { N _ { g } + 1 } ^ { ( 2 ) } ( x ) = x , } \\ { \Pi _ { N _ { g } + 2 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { { } = \Pi _ { N _ { g } + 2 } ^ { ( 2 ) } ( x ) = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { X ^ { D L A - 1 } ( S _ { t } ^ { h e l i } ) = \operatorname* { m a x } _ { { \mathbf { x } } _ { t } ^ { h e l i } \in { \cal X } _ { t } ^ { h e l i } } \sum _ { z \in { \cal Z } _ { t } ^ { e x t } ( { \mathbf { x } } _ { t } ^ { h e l i } ) } r _ { z } ( f _ { t , t + 1 z } ^ { K } - \bar { p } _ { t z } ^ { K } ) . } \end{array}
F = 4 \pi \kappa \frac { \eta ^ { 2 } } { p } \left( \frac { R } { M } \right) A _ { 1 } = 4 \pi \kappa \frac { \eta ^ { 2 } } { p } \left( \frac { \overline { { c } } ^ { 2 } \pi } { 8 T } \right) A _ { 1 } = 2 D \ \frac { p * } { p } \ a A _ { 1 }
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } & { c _ { 1 2 } : = \hat { r } _ { 1 } ( k ) , } & & { c _ { 1 3 } : = r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) , } & & { c _ { 2 3 } : = - r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) , } & & { c _ { 2 1 } : = \hat { r } _ { 2 } ( k ) , } & & { c _ { 3 1 } : = r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) , } & & { c _ { 3 2 } : = - r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left( \Delta _ { s } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { 1 } } \{ b _ { s , H } ^ { i _ { 2 } } - b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } \} \, \mathrm { d } s \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { \leq 2 K \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } E \left[ \left| X _ { s } ^ { \varepsilon } - X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } \right| ^ { 2 } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + 2 K \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } E \left[ \left| H \left( X _ { s - \cdot } ^ { \varepsilon } \right) - H \big ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } \big ) \right| ^ { 2 } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf c } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \hat { c } _ { 0 , 0 } } & { \hat { c } _ { 0 , 1 } } & { \hat { c } _ { 1 , - 1 } } & { \hat { c } _ { 1 , 0 } } & { \hat { c } _ { 1 , 1 } } \end{array} \right] , } \\ { \hat { \mathbf m } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { \hat { m } _ { 0 , 1 } } & { \hat { m } _ { 1 , - 1 } } & { \hat { m } _ { 1 , 0 } } & { \hat { m } _ { 1 , 1 } } \end{array} \right] } \end{array}
M _ { 4 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { - 3 } } & { { - 4 } } & { { - 4 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 4 } } & { { 4 } } & { { 5 } } & { { 0 } } \\ { { 4 } } & { { 5 } } & { { 4 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, .
\int d k _ { 1 } \ d k _ { 2 } \ \frac { e ^ { 2 i k _ { 1 } \wedge k _ { 2 } } e ^ { - i ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) \cdot y } } { ( k _ { 1 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ( k _ { 2 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) }
\zeta _ { A } ^ { i n } ( s ) = \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 3 / 2 } \Gamma ( s ) } \sum _ { k = 0 , 1 / 2 , 1 , . . . } B _ { k } ^ { i n } \Gamma ( s + k - 3 / 2 )
\begin{array} { r l } { Q _ { \phi } ( u ) } & { = - \int _ { 0 } ^ { L } g ( t ) ^ { 2 } \, d t \int _ { a } ^ { b } f \left( f ^ { \prime \prime } + f ^ { \prime } \alpha _ { 3 } ^ { \prime } + \left( H ^ { 2 } - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) f \right) e ^ { \alpha _ { 3 } } d s } \\ & { = \frac { L } { 2 } \int _ { a } ^ { b } \left( f ^ { 2 } - \left( H ^ { 2 } - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) f ^ { 2 } \right) e ^ { \alpha _ { 3 } } d s } \\ & { = \frac { L } { 2 } \int _ { a } ^ { b } \left( f ^ { 2 } - \left( ( \alpha _ { 1 } ^ { \prime } + \lambda ) ^ { 2 } - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) f ^ { 2 } \right) e ^ { \alpha _ { 3 } } d s . } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { { X } } } = - \tau _ { \mathrm { { X } } b u } \Upsilon \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } \rangle + \tau _ { \mathrm { { X } } u b } \Upsilon \langle { { \bf { b } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } \rangle ,
{ \begin{array} { r l } { { \binom { n + c k + k } { k } } - ( c + 1 ) { \binom { n + c k + k - 1 } { k - 1 } } } & { = { \frac { n } { n + c k + k } } { \binom { n + c k + k } { k } } } \\ { { \binom { n } { k } } + ( c + 1 ) { \binom { n } { k - 1 } } } & { = { \frac { n + 1 + c k } { n + 1 - k } } { \binom { n } { k } } } \\ { { \binom { n - 1 + k } { k } } + c { \binom { n - 1 + k } { k - 1 } } } & { = { \frac { n + c k } { n } } { \binom { n - 1 + k } { k } } } \\ { { \binom { n + c k } { k } } - ( c - 1 ) { \binom { n + c k } { k - 1 } } } & { = { \frac { n + 1 } { n + 1 + c k - k } } { \binom { n + c k } { k } } . } \end{array} }
\mathrm { D e t } \left( \begin{array} { c c c } { { M _ { \Psi } } } & { { \alpha U } } & { { \beta U } } \\ { { \alpha U } } & { { M _ { \Psi } } } & { { 0 } } \\ { { \beta U } } & { { 0 } } & { { M _ { \Psi } } } \end{array} \right) = 0