harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { - \tau ^ { \left( q \right) } \frac { \mathsf { d } } { \mathsf { d } \tau ^ { \left( q \right) } } \log \left( \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) \right) = } & { - \tau ^ { \left( q \right) } \frac { 1 } { \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) } \frac { \mathsf { d } } { \mathsf { d } \tau ^ { \left( q \right) } } \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) , } \\ { = } & { \tau ^ { \left( q \right) } \frac { \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) } { \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) } , } \\ { = } & { \tau ^ { \left( q \right) } \big \langle \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \rho } . } \end{array}
\mathcal { F } ( I ) ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) = \mathcal { F } ( I ) ( \boldsymbol { \xi } ) + \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \Omega _ { 0 , 0 } \, .
{ \dot { y } } _ { 2 j } = { \dot { x } } _ { 2 j } \frac { { \dot { z } } _ { 2 j - 1 } { \dot { x } } _ { 2 j + 1 } - { \dot { x } } _ { 2 j - 1 } { \dot { z } } _ { 2 j + 1 } } { { \dot { y } } _ { 2 j - 1 } { \dot { z } } _ { 2 j + 1 } - { \dot { z } } _ { 2 j - 1 } { \dot { y } } _ { 2 j + 1 } } , \qquad { \dot { z } } _ { 2 j } = { \dot { x } } _ { 2 j } \frac { { \dot { x } } _ { 2 j - 1 } { \dot { y } } _ { 2 j + 1 } - { \dot { y } } _ { 2 j - 1 } { \dot { x } } _ { 2 j + 1 } } { { \dot { y } } _ { 2 j - 1 } { \dot { z } } _ { 2 j + 1 } - { \dot { z } } _ { 2 j - 1 } { \dot { y } } _ { 2 j + 1 } } \qquad j = 1 , \dots , \frac { 1 } { 2 } ( N - 1 )
R _ { \mu \nu } = 2 \kappa ^ { 2 } \lbrack 2 \nabla _ { \mu } \phi \nabla _ { \nu } \phi + 2 b e ^ { - 2 a \phi } ( F _ { \mu \rho } F _ { \nu } ^ { ~ \rho } - \frac { 1 } { 4 } g _ { \mu \nu } F ^ { 2 } ) \rbrack + \kappa ^ { 2 } ( T _ { \mu \nu } ^ { m } - \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu } T ^ { m } ) ~ ~ ,
\frac { 4 \pi ^ { 2 } } { N } V ^ { ( m + 2 ) } ( \sigma ) = \frac { 3 2 M ^ { 2 - m } \left( \frac { M } { \Lambda } \right) ^ { - ( m + 2 ) } } { \left( \frac { A _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { m } \left[ 1 + 2 \delta _ { 0 } - \ln \left( \frac { M ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \right] ^ { m + 2 } } \left[ Q _ { m , 0 } ( 0 ) + \frac { 2 Q _ { m , 1 } ( 0 ) } { 1 + 2 \delta _ { 0 } - \ln \left( \frac { M ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) } + \cdots \right] ,
{ \frac { \partial } { \partial p _ { 1 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \biggl ( { \frac { \partial } { \partial x ^ { \prime \prime } } } - { \frac { \partial } { \partial y ^ { \prime \prime } } } \biggr ) , \quad { \frac { \partial } { \partial p _ { 2 } } } = { \frac { \partial } { \partial x ^ { \prime \prime } } } + { \frac { \partial } { \partial y ^ { \prime \prime } } } ,
\begin{array} { r l } { g _ { l } ( \nu _ { i / f } r , r ^ { \prime } ) } & { = \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { a _ { \mathrm { B } } \nu } \right) ^ { 2 l + 1 } ( r r ^ { \prime } ) ^ { l } e ^ { - ( r + r ^ { \prime } ) / a _ { \mathrm { B } } \nu } } \\ & { \times \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { k ! } { ( 2 l + 1 + k ) ! ( l + 1 + k - \nu ) } L _ { k } ^ { 2 l + 1 } \left( \frac { 2 r } { a _ { \mathrm { B } } \nu } \right) L _ { k } ^ { 2 l + 1 } \left( \frac { 2 r ^ { \prime } } { a _ { \mathrm { B } } \nu } \right) , } \end{array}
{ R } _ { 1 } \left( \tau , s _ { 0 } \right) \equiv { R } _ { 1 } ( \tau , \infty ) - c _ { 1 } \left( \tau , s _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } s \, I m \Pi ^ { r e s } ( s ) e ^ { - s \tau } \, d s
\begin{array} { r l } { \omega = } & { { } \left\{ \begin{array} { l l } { \pm 4 9 2 0 + 1 5 1 0 i \ s ^ { - 1 } } & { A _ { W } = 0 } \\ { \pm 3 7 2 0 + 9 6 5 i \ s ^ { - 1 } } & { A _ { W } = 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { d \bar { r } _ { n } } { d s _ { n } } = - \frac { 1 } { R _ { 0 } s _ { n } } \implies \bar { r } _ { n } ( \infty ) + \frac { \log ( 1 - \bar { r } _ { n } ( \infty ) ) } { R _ { 0 } } = 0
\Phi ( s ) = \int _ { 1 } ^ { \infty } x ^ { - s } d \vartheta ( x ) = s \int _ { 1 } ^ { \infty } \vartheta ( x ) x ^ { - s - 1 } \, d x = s \int _ { 0 } ^ { \infty } \vartheta ( e ^ { t } ) e ^ { - s t } \, d t .
- ( g ^ { \mu \alpha } g _ { \beta \sigma } ( { \sqrt { - g } } g ^ { \nu \sigma } ) , _ { \rho } ( { \sqrt { - g } } g ^ { \beta \rho } ) , _ { \alpha } + g ^ { \nu \alpha } g _ { \beta \sigma } ( { \sqrt { - g } } g ^ { \mu \sigma } ) , _ { \rho } ( { \sqrt { - g } } g ^ { \beta \rho } ) , _ { \alpha } ) +
\begin{array} { r l r } { - \overline { { A } } _ { 0 i } \cos \theta _ { i } + A _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 r } \sin \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { { } = } & { A _ { 0 t } \sin \theta _ { i } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 i } \cos \theta _ { i } - A _ { 0 r } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { { } = } & { A _ { 0 t } \cos \theta _ { i } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 i } - \overline { { A } } _ { 0 r } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 2 } ^ { t h } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - R ) ( 1 - p ) 2 k _ { B } \mathcal { T } , } } \\ { { S _ { 1 4 } ^ { t h } = S _ { 2 3 } ^ { t h } = \frac { ( 1 + R ) } { ( 1 - R ) } S _ { 1 2 } ^ { t h } } , { S _ { 1 3 } ^ { t h } = S _ { 2 4 } ^ { t h } = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 1 } ^ { d } \Delta \pmb { x } _ { i } \frac { 1 } { \Delta \pmb { x } _ { i } } \frac { \partial } { \partial \mathscr { s } _ { i } } \rightarrow \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { s } } \int _ { \Omega } d \pmb { x } \frac { \delta } { \delta \mathscr { s } _ { ( \pmb { x } , j ) } } \mathrm { ~ a n d ~ } U _ { i } \rightarrow \mathcal { U } _ { ( \pmb { x } , j ) } } \end{array}
\frac { c ^ { j _ { 1 } } ( F ^ { * } ) - c ^ { j _ { 1 } } ( F ^ { \prime } ) - \delta \cdot \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } \setminus F ^ { \prime } ) } { \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } ) - \frac { 1 } { w } ( F ^ { \prime } ) } \le \frac { c ^ { j _ { 2 } } ( F ^ { * } ) - c ^ { j _ { 2 } } ( F ^ { \prime \prime \prime } ) - \delta \cdot \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } \setminus F ^ { \prime \prime \prime } ) } { \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } ) - \frac { 1 } { w } ( F ^ { \prime \prime \prime } ) } ,
\begin{array} { r l } { F _ { \varepsilon } ( w ) } & { = ( z _ { i } - z _ { j } + 1 ) \log \theta + ( n _ { j } - n _ { i } ) \log ( 1 + p w / q ) } \\ & { \qquad \qquad - ( z _ { i } - z _ { j } - n _ { j } + n _ { i } + 1 ) \log w - ( n _ { j } - n _ { i } ) \log ( 1 - w ) } \\ & { = - ( z _ { i } - z _ { j } - n _ { j } + n _ { i } + 1 ) \log \left( \frac { w } { \theta } \right) } \\ & { \qquad \qquad - ( n _ { j } - n _ { i } ) \Bigl ( \log ( 1 - w ) - \log ( \theta ( 1 + p w / q ) ) \Bigr ) } \\ & { = - ( z _ { i } - z _ { j } - n _ { j } + n _ { i } + 1 ) \log ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) } \\ & { \qquad \qquad - ( n _ { j } - n _ { i } ) \Bigl ( \log ( 1 - \theta - \theta \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) - \log ( \theta ( 1 + p \theta / q ) + p \theta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / ( \sigma q ) ) \Bigr ) } \\ & { = - \left( \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) + q ^ { 1 / 4 } \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( u _ { i } - u _ { j } ) + 1 \right) \log ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) } \\ & { \qquad - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) \Bigl ( \log ( 1 - \theta - \theta \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) - \log ( \theta ( 1 + p \theta / q ) + p \theta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / ( \sigma q ) ) \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E M D } ^ { ( \beta , R = 1 ) } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { \beta } | t | ^ { \beta } , } \\ { \mathrm { M M D } ^ { ( \beta ) } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { 2 \beta } \left( | t | ^ { \beta } + \frac { 1 } { 2 } | t - a | ^ { \beta } + \frac { 1 } { 2 } | t + a | ^ { \beta } - | a | ^ { \beta } \right) , } \\ { \mathrm { C D } ^ { ( \beta ) } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { 2 \beta } \left( \operatorname* { m i n } \left[ | t | ^ { \beta } , | t + a | ^ { \beta } \right] + \operatorname* { m i n } \left[ | t | ^ { \beta } , | t - a | ^ { \beta } \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \frac { \sin 2 ( X - t ) } { 2 \cosh ^ { 2 } k h } , } \\ { y _ { 2 } } & { { } = 0 , } \\ { z _ { 2 } } & { { } = 0 , } \\ { \phi _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \lambda \, \frac { \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } { 2 \cosh ^ { 2 } k h } \bigg [ \cos 2 ( X - t ) \big [ \lambda \sin { 4 \Phi } \cosh 2 ( Z + k h ) + \sin { 2 \Phi } \big ] } \\ { \theta _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 1 6 } \lambda \, \frac { \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } { 2 \cosh ^ { 2 } k h } \bigg [ 2 \sin { 2 \Theta } \cos 2 ( X - t ) \big [ \lambda ( \cos { 2 \Theta } + 2 ) - 2 \cos { 2 \Phi } \big ] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho : \mathbb { Z } / m \mathbb { Z } \to { \mathrm { G L } } _ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \\ { \rho ( k ) = { \left( \begin{array} { l l } { \cos \left( { \frac { 2 \pi i k } { m } } \right) } & { \sin \left( { \frac { 2 \pi i k } { m } } \right) } \\ { - \sin \left( { \frac { 2 \pi i k } { m } } \right) } & { \cos \left( { \frac { 2 \pi i k } { m } } \right) } \end{array} \right) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \bar { m } _ { 1 } \ddot { \bar { u } } _ { 1 } + \bar { k } _ { 1 } \bar { u } _ { 1 } + k _ { 2 } ( \bar { u } _ { 1 } - \bar { u } _ { 2 } ) + f _ { \mathrm { N L } } ( \bar { w } ) = 0 , } \\ & { \bar { m } _ { 2 } \ddot { \bar { u } } _ { 2 } + \bar { k } _ { 2 } ( \bar { u } _ { 2 } - \bar { u } _ { 1 } ) - f _ { \mathrm { N L } } ( \bar { w } ) = 0 . } \end{array}
\sum _ { r } \frac { 1 } { ( \pi r - \frac { \alpha } { 2 } ) ^ { N } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \neq 0 } \frac { 1 } { | k | } e ^ { i k \alpha } \frac { 1 } { ( N - 1 ) ! } ( 2 i k ) ^ { N }
\left( \Omega _ { i } ^ { k } \right) ^ { \mathrm { B G K } } f _ { i } ^ { k } ( \vec { x } , t ) = f _ { i } ^ { k } ( \vec { x } , t ) - \omega _ { k } \left( f _ { i } ^ { k } ( \vec { x } , t ) - f _ { i } ^ { k , e q } ( \vec { x } , t ) \right) ,
\frac { d N } { d p } = \frac { N _ { 0 } 4 \pi p ^ { 2 } } { ( \pi \kappa p _ { \kappa } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \frac { \Gamma ( \kappa + 1 ) } { \Gamma ( \kappa - \frac { 1 } { 2 } ) } \frac { 1 } { \Big [ 1 + \frac { p ^ { 2 } } { \kappa p _ { \kappa } ^ { 2 } } \Big ] ^ { \kappa + 1 } } , \ \ \ p _ { \kappa } ^ { 2 } = 2 m k T _ { \kappa }
{ \mathcal L } _ { Y u k a w a - I } = \overline { { { d _ { _ { R _ { i } } } } } } \left( y _ { _ { D } } V _ { C K M } ^ { \dagger } \right) _ { i j } \widetilde { \phi _ { 2 } } ^ { \dagger } q _ { _ { L _ { j } } } + \overline { { { u _ { _ { R _ { i } } } } } } \left( y _ { _ { U } } \right) _ { i i } \phi _ { 2 } ^ { \dagger } q _ { _ { L _ { i } } } + \overline { { { e _ { _ { R _ { i } } } } } } \left( y _ { _ { E } } \right) _ { i i } \widetilde { \phi _ { 2 } } ^ { \dagger } l _ { _ { L _ { i } } } + h . c . \, ,
\{ g ( z , \bar { z } ) , J _ { 0 } ( z _ { 1 } ) \} = \frac { 1 } { 2 } \, ( t _ { 0 } \, g ( z , \bar { z } ) ) \, \delta ( z - z _ { 1 } ) , ~ ~ ~ ~ \{ g ( z , \bar { z } ) , \bar { J } _ { 0 } ( \bar { z } _ { 1 } ) \} = \frac { 1 } { 2 } \, ( g ( z , \bar { z } ) \, t _ { 0 } ) \, \delta ( \bar { z } - \bar { z } _ { 1 } ) ,
s ( \phi _ { i } ) = - \frac { 1 } { 6 \pi ^ { 2 } } \left[ \frac { k _ { c } } { \xi _ { i } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \xi _ { i } ^ { 3 } } \mathrm { t a n } ^ { - 1 } ( \xi _ { j } k _ { c } ) \right] - \frac { 1 } { 3 6 \pi ^ { 2 } } k _ { c } ^ { 3 } .
\begin{array} { r } { \epsilon _ { \mathrm { ~ M ~ E ~ } } = \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } n I _ { 0 } } { 2 \pi \sqrt { 2 } l } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } \mu _ { 2 , r } ^ { 2 } ( r _ { 2 } \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\sigma _ { s } ^ { 2 } \sigma _ { s } ^ { * 2 } { } \, ^ { 1 } ( \overline { { \sigma _ { p } } } \sigma _ { p } ^ { * } ) \left( ^ 1 ( \pi _ { x } \overline { { \pi _ { x } ^ { * } } } ) - { } ^ { 1 } ( \pi _ { y } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) \right)
\begin{array} { r l } { \langle \bar { I } ^ { 2 } ( T ) \rangle } & { = \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime \prime } \, \langle I ( t ^ { \prime } ) I ( t ^ { \prime \prime } ) \rangle = \frac { 2 } { T ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d t ^ { \prime \prime } \, e ^ { - ( t ^ { \prime } - t ^ { \prime \prime } ) } = \frac { 2 } { T ^ { 2 } } ( e ^ { - T } - 1 + T ) , } \end{array}
g ( \xi ) = f ^ { - 1 } \left( a _ { 1 } - \frac { \xi ^ { 2 } \kappa _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } \right) \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } { 4 \left( \kappa _ { 1 } ^ { 2 } - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } \right) } \right)
\sigma = \underset { i \in [ r ] } { \operatorname* { m i n } } \; \left\lbrace ( \underline { { \Gamma } } + \beta ) ^ { t } \pi ^ { i } + d ^ { t } \rho ^ { i } + \underline { { c } } ^ { t } x ^ { i } \right\rbrace = \underset { i \in [ r ] } { \operatorname* { m i n } } \; \left\lbrace \Gamma ^ { t } \pi ^ { i } + d ^ { t } \rho ^ { i } + \underline { { c } } ^ { t } x ^ { i } \right\rbrace
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { t \in \mathbb { C } } G ( x + t e _ { j } ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { t \in \mathbb { C } } l ( t ) + \lambda \| x - x _ { j } e _ { j } \| _ { 1 , w } } \\ & { = \hat { l } ( \widetilde { \rho } ) + \| r \| _ { 2 } + \lambda \| x \| _ { 1 , w } - \| r \| _ { 2 } - \lambda w _ { j } | x _ { j } | } \\ & { = G ( x ) - \left( \| r \| _ { 2 } + \lambda w _ { j } | x _ { j } | - \hat { l } ( \widetilde { \rho } ) \right) , } \end{array}
H ^ { \prime \prime } + \xi K ^ { \prime } + \frac 1 8 H ( 1 - H ^ { 2 } - K ^ { 2 } ) = 0 , \qquad K ^ { \prime \prime } - \xi H ^ { \prime } + \frac 1 8 H ( 1 - H ^ { 2 } - K ^ { 2 } ) = 0
\vec { \Lambda } _ { 2 1 } ^ { m n } \equiv \frac { 1 } { h ^ { 5 } } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \frac { \rho _ { 2 } ^ { m } \vec { J } _ { 1 } ^ { n } } { | \vec { x } _ { 1 } - \vec { x } _ { 2 } | } , \qquad \vec { \Lambda } _ { 1 2 } ^ { m n } \equiv \frac { 1 } { h ^ { 5 } } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \frac { \rho _ { 1 } ^ { m } \vec { J } _ { 2 } ^ { n } } { | \vec { x } _ { 1 } - \vec { x } _ { 2 } | } ,
\begin{array} { r } { \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t ) = \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v } \langle \psi _ { u \mathbf { k } } | \hat { \mathbf { e } } _ { \textrm { p } } \cdot \hat { \mathbf { p } } | \psi _ { v \mathbf { k } } \rangle \hat { c } _ { u \mathbf { k } , \textrm { I } } ^ { \dagger } ( t ) \hat { c } _ { v \mathbf { k } , \textrm { I } } ( t ) , } \end{array}
{ \cal G } _ { \alpha \beta } = A _ { \alpha \beta } ^ { 1 2 } ~ ( \Delta m _ { 1 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + A _ { \alpha \beta } ^ { 1 3 } ~ ( \Delta m _ { 1 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + A _ { \alpha \beta } ^ { 2 3 } ~ ( \Delta m _ { 2 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } +
\hat { \mathbf { F } } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \eta _ { x } \hat { \tau } _ { x x } + \eta _ { y } \hat { \tau } _ { x y } + \eta _ { z } \hat { \tau } _ { x z } } \\ { \eta _ { x } \hat { \tau } _ { x y } + \eta _ { y } \hat { \tau } _ { y y } + \eta _ { z } \hat { \tau } _ { y z } } \\ { \eta _ { x } \hat { \tau } _ { x z } + \eta _ { y } \hat { \tau } _ { y z } + \eta _ { z } \hat { \tau } _ { z z } } \\ { \eta _ { x } { \beta } _ { x } + \eta _ { y } { \beta } _ { y } + \eta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\left( { \begin{array} { l l } { m { \mathbf { I } _ { 3 } } } & { m [ { \mathbf { c } } ] ^ { \times } } \\ { m [ { \mathbf { c } } ] ^ { \times } } & { { \mathbf { I } } _ { \mathrm { { c m } } } - m [ { \mathbf { c } } ] ^ { \times } [ { \mathbf { c } } ] ^ { \times } } \end{array} } \right) ,
n _ { i 2 } = \frac { ( 3 \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } ) } { 2 ( \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } ) ^ { 3 } } \phi _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { ( \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } ) } \phi _ { 2 } ,
\left\{ \begin{array} { l } { \tilde { S } _ { 2 1 \pm } ( \omega , r ) = \tilde { S } _ { 2 1 f } ( \omega , r ) \otimes \left( \frac { 1 } { 2 } \delta ( r ) \mp \frac { i } { 2 \pi r } \right) } \\ { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \tilde { S } _ { 2 1 f } ( \omega , r ) \mp i \mathcal { H T } \left\{ \tilde { S } _ { 2 1 f } ( \omega , r ) \right\} \Big ) } \end{array} \right.
P _ { i n c } = \frac { 1 } { 2 } \Re \left\{ E _ { w i r e } ^ { i n c } I _ { w i r e } ^ { * } \right\} + \frac { 1 } { 2 } \Re \left\{ E _ { o t h e r - w i r e } ^ { i n c } I _ { o t h e r - w i r e } ^ { * } \right\}
\boldsymbol { I } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \boldsymbol { \nu } \times \left[ \left( \boldsymbol { \nu } - \boldsymbol { \beta } \right) \times \dot { \boldsymbol { \beta } } \right] } { \left( 1 - \boldsymbol { \nu } \cdot \boldsymbol { \beta } \right) ^ { 2 } } \exp \left[ i \omega ^ { \prime } t \left( 1 - \boldsymbol { \nu } \cdot \boldsymbol { \beta } \right) \right] \, d t ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \log _ { \omega _ { f _ { 0 } } } ( \mathrm { B K } _ { f _ { 0 } } ^ { \dagger } ) } & { = r _ { \alpha } L _ { p , \alpha _ { 0 } } ^ { \prime } ( f _ { 0 } , { w ( \kappa ) } / { 2 } ) [ \omega _ { f _ { 0 } } , \omega _ { \alpha } ^ { * } ] + r _ { \beta } L _ { p , \beta _ { 0 } } ^ { \prime } ( f _ { 0 } , { w ( \kappa ) } / { 2 } ) [ \omega _ { f _ { 0 } } , \omega _ { \beta } ^ { * } ] } \\ & { = r _ { \alpha } L _ { p , \alpha _ { 0 } } ^ { \prime } ( f _ { 0 } , { w ( \kappa ) } / { 2 } ) + r _ { \beta } L _ { p , \beta _ { 0 } } ^ { \prime } ( f _ { 0 } , { w ( \kappa ) } / { 2 } ) } \end{array} } \end{array}
\rho = U \rho _ { o } U ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - i } \\ { - i } & { 1 } \end{array} \right] \frac { 1 } { a + b } \left[ \begin{array} { l l } { a } & { 0 } \\ { 0 } & { b } \end{array} \right] \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right] = \frac { 1 } { 2 ( a + b ) } \left[ \begin{array} { l l } { a + b } & { i ( a - b ) } \\ { - i ( a - b ) } & { a + b } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { F _ { x } ( \check { \eta } _ { x } ^ { \lambda } ) } & { = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \langle \check { \eta } _ { x } ^ { \lambda } , \varphi _ { k } ^ \rangle F _ { x } ( \varphi _ { k } ^ ) } \\ & { \quad + \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { \lambda } } \sum _ { k \in 2 ^ { - n } \mathbb { Z } } \sum _ { \psi \in \Psi } 2 ^ { - n d } \langle \check { \eta } _ { x } ^ { \lambda } , \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } \rangle F _ { x } ( \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } ) } \\ & { \quad + \sum _ { n = N _ { \lambda } + 1 } ^ { + \infty } \sum _ { k \in 2 ^ { - n } \mathbb { Z } } \sum _ { \psi \in \Psi } 2 ^ { - n d } \langle \check { \eta } _ { x } ^ { \lambda } , \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } \rangle F _ { x } ( \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \tilde { E } _ { z } } \\ { \tilde { E } _ { x } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { G } _ { Y _ { 1 } z z } ^ { \mathrm { e e } } } & { \tilde { G } _ { Y _ { 1 } z x } ^ { \mathrm { e e } } } \\ { \tilde { G } _ { Y _ { 1 } x z } ^ { \mathrm { e e } } } & { \tilde { G } _ { Y _ { 1 } x x } ^ { \mathrm { e e } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { J } _ { z } } \\ { \tilde { J } _ { x } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { K } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } & { = \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \mathrm { E } \left[ \boldsymbol { U } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) \boldsymbol { U } _ { n , \beta } ^ { T } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) \right] \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \\ & { = \mathrm { E } \left[ \mathcal { I F } \left( \boldsymbol { y } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { T } _ { n , \beta } ( \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } } ) \right) \right) \mathcal { I F } _ { i } ^ { T } \left( \boldsymbol { y } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { T } _ { n , \beta } ( \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } } ) \right) \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { x } , \mathbf { y } , \eta } \quad } & { \eta } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { f ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) \leq \eta } \\ & { \mathbf { c } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) \leq \mathbf { 0 } } \\ & { \mathbf { x } \in \mathcal { X } \subseteq \mathbb { R } ^ { n _ { x } } , \mathbf { y } \in \mathcal { Y } \subseteq \mathbb { Z } ^ { n _ { y } } , \eta \in \mathbb { R } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { N _ { k } } & { = 3 4 N _ { k - 1 } - N _ { k - 2 } + 2 , } & { { \mathrm { w i t h ~ } } N _ { 0 } } & { = 0 { \mathrm { ~ a n d ~ } } N _ { 1 } = 1 ; } \\ { N _ { k } } & { = \left( 6 { \sqrt { N _ { k - 1 } } } - { \sqrt { N _ { k - 2 } } } \right) ^ { 2 } , } & { { \mathrm { w i t h ~ } } N _ { 0 } } & { = 0 { \mathrm { ~ a n d ~ } } N _ { 1 } = 1 . } \end{array} }
\begin{array} { r } { x ^ { k + 1 } = x ^ { k } - \operatorname* { m i n } \Big \{ \alpha _ { k } , \frac { f _ { i _ { k } } ( x ^ { k } ) + \frac { \lambda } { 2 } \| x ^ { k } \| ^ { 2 } - \underline { { \ell } } _ { i _ { k } } } { \| \nabla f _ { i _ { k } } ( x ^ { k } ) + \lambda x ^ { k } \| ^ { 2 } } \Big \} ( \nabla f _ { i _ { k } } ( x ^ { k } ) + \lambda x ^ { k } ) . } \end{array}
N ^ { ( N + l ) } ( L ) \; : = \; \sum _ { \{ \alpha _ { a } , \beta _ { a } , \alpha _ { a } ^ { \prime } , \beta _ { a } ^ { \prime } \} } \Bigg \{ \prod _ { b = 1 } ^ { N } \left[ \psi _ { \alpha _ { b } } ^ { ( b ) } ( - L , 0 ) \; U \Big ( { \cal C } ( L ) \Big ) \; \overline { { { \psi } } } _ { \beta _ { b } } ^ { ( b ) } ( + L , 0 ) \right]
S _ { Y } = - \int d ^ { 4 } x \epsilon ^ { 4 } \hat { Y } _ { 5 } \left\{ \bar { L } _ { 5 } ^ { L } \left( x \right) \tilde { H } _ { 5 } \left( x \right) \Psi _ { 5 } ^ { R } \left( x , \pi \right) + h . c . \right\}
\psi _ { 1 } \left( r \right) = \bar { n } ^ { 3 / 4 } \psi _ { \lambda - \frac { 1 } { 2 } , 1 - \mu } \left( \rho \right) \, , \; \psi _ { 2 } \left( r \right) = \bar { n } ^ { 1 / 4 } \psi _ { \lambda , \mu } \left( \rho \right) \, , \; 2 \bar { n } = 2 \lambda + \mu - 1 \, .
\omega _ { 0 } ^ { + } + \omega _ { 0 } ^ { - } \; , \; \; \Omega _ { 0 } ^ { + } + \Omega _ { 0 } ^ { - } \; , \; \; \omega _ { n } ^ { + } | _ { + } \; , \; \; \omega _ { n } ^ { - } | _ { - } \; , \; \; \Omega _ { n } ^ { + } | _ { + } \; , \; \; \Omega _ { n } ^ { - } | _ { - } \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } n \geq 1 \quad ,