harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { V a r } _ { 0 } \big ( \widehat \theta _ { i } \big ) \leq \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { \pi \gamma ^ { 3 } \log ^ { 3 } ( n / s ^ { 2 } ) } } n \Big ( \frac { s ^ { 2 } } { n } \Big ) ^ { \frac { \gamma } { 2 } } , \mathrm { ~ a n d , } } \\ & { \mathrm { f o r ~ a n y ~ } \theta \in \Theta ( s ) , \ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat \theta _ { i } \big ) \leq 4 s + \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { \pi \gamma ^ { 3 } \log ^ { 3 } ( n / s ^ { 2 } ) } } n \Big ( \frac { s ^ { 2 } } { n } \Big ) ^ { \frac { \gamma } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor } & { { } \leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1 , } \\ { \lceil x \rceil + \lceil y \rceil - 1 } & { { } \leq \lceil x + y \rceil \leq \lceil x \rceil + \lceil y \rceil . } \end{array}
\mathrm { A R E } ( R _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) , R _ { n , \beta = 0 } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta = 0 } ) ; \boldsymbol { \delta } ) = \frac { \nu _ { \beta = 0 } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } ) } { \nu _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } ) } > 1 ,
\begin{array} { r l } { ( \epsilon \partial _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } \omega _ { 1 } \partial _ { 0 } + \epsilon ^ { 3 } ( \omega _ { 2 } \partial _ { 0 } + \partial _ { 2 } ) ) \mathcal { D } ( t ) } & { = \gamma \left[ - \mathcal { D } ( t ) + ( I _ { 0 } + \epsilon I _ { 1 } \mathcal { D } ( t ) ) | \mathcal { E } ( t ) | ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { 0 } ( S , \partial S , R ) \rightarrow \mathcal { L } _ { 0 } ( S , \mathcal D S , R ) } \\ & { = R \left[ \sum _ { i = x , y , z } \frac { 1 } { 2 m } \left( \partial _ { i } S - q A _ { i } \right) ^ { 2 } - U ( \mathbf x ) + \left( \partial _ { t } S + q \phi \right) \right] } \\ & { \equiv \mathcal { L } _ { 1 } ( S , \partial S , R , \mathbf A , \phi ) . } \end{array}
{ \frac { \operatorname* { d e t } \left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + A \right) } { \operatorname* { d e t } \left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } \right) } } = \prod _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \frac { { \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } } + A } { \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } } } = \prod _ { n = 1 } ^ { + \infty } \left( 1 + { \frac { L ^ { 2 } A } { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { g _ { m } ^ { s } } & { = \frac { 1 } { T _ { c } } \int _ { 0 } ^ { T _ { c } } g ( \xi ) \mathrm { s i n } ( 2 \pi m \xi / T _ { c } ) d \xi , } \\ { g _ { m } ^ { c } } & { = \frac { 1 } { T _ { c } } \int _ { 0 } ^ { T _ { c } } g ( \xi ) \mathrm { c o s } ( 2 \pi m \xi / T _ { c } ) d \xi , } \\ { g _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { T _ { c } } \int _ { 0 } ^ { T _ { c } } g ( \xi ) d \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { G } ( g ) = \frac { 1 } { p _ { | \varphi _ { 1 } | < \phi _ { A } , | \varphi _ { 2 } | < \phi _ { A } } } } \\ & { \times \int _ { \frac { g _ { s } } { g } } ^ { \frac { g _ { m a x } } { g } } \frac { 5 \, ( \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } \phi _ { 3 d B } ) ^ { 2 } } { 2 4 \, g \, g _ { 2 } } \frac { \sqrt { \mathrm { { l o g } } _ { 1 0 } ( \frac { g _ { m a x } } { g _ { 2 } } ) { \mathrm { l o g } } _ { 1 0 } ( \frac { g _ { m a x } } { g \, g _ { 2 } } ) } } { \mathrm { { l n } } ( \frac { g _ { m a x } } { g _ { 2 } } ) { \mathrm { l n } } ( \frac { g _ { m a x } } { g \, g _ { 2 } } ) } \, \mathrm { { e x p } } \Big ( \frac { \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } \phi _ { 3 d B } \sqrt { 1 0 { \mathrm { l o g } } _ { 1 0 } ( g _ { m a x } / g _ { 2 } ) } } { 2 \sqrt { 3 } } \Big ) \mathrm { d } g _ { 2 } , } \end{array}
\left( \left[ \begin{array} { l l } { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { - a \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } \\ { - a ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } \end{array} \right] - \omega ^ { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } } \\ { \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \, .
H _ { f u l l } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { H _ { \textbf { k } _ { 0 } ^ { G } \xi _ { u } } } & & & & & \\ & { H _ { \textbf { k } _ { 1 } ^ { G } \xi _ { u } } } & & & & \\ & & { . . . } & & & \\ & & & { H _ { \textbf { k } _ { 0 } ^ { Q } \xi _ { d } } } & & \\ & & & & { H _ { \textbf { k } _ { 1 } ^ { Q } \xi _ { d } } } & \\ & & & & & { . . . } \end{array} \right) ~ ,
\begin{array} { r } { \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ L ~ S ~ L ~ } } : m \in [ 0 , 1 ] ^ { p } , y \in \{ 0 , 1 \} ^ { p } \mapsto \sum _ { i = 1 } ^ { p } m _ { i } g _ { i } ( m ) } \end{array}
L = \frac { 6 4 k ^ { 2 } } { a ^ { 8 } \xi } \ \ \ \ \ \ \ \ M = \frac { D - 1 } { 4 \xi } \ \ \ \ \ \ \ \ N = \frac { 4 } { 3 a ^ { 2 } \xi } \left( 1 + \frac { D - 1 } { 2 } - \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right) - \frac { 4 } { 3 a ^ { 4 } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l } { a _ { 1 } } & { \cdots } & { b a _ { j } + c v } & { \cdots } & { a _ { n } } \end{array} \right] } } & { { } = b \operatorname* { d e t } ( A ) + c \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l } { a _ { 1 } } & { \cdots } & { v } & { \cdots } & { a _ { n } } \end{array} \right] } } \\ { \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { a _ { 1 } } & { \cdots } & { a _ { j } } & { a _ { j + 1 } } & { \cdots } & { a _ { n } } \end{array} \right] } } & { { } = - \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { a _ { 1 } } & { \cdots } & { a _ { j + 1 } } & { a _ { j } } & { \cdots } & { a _ { n } } \end{array} \right] } } \\ { \operatorname* { d e t } ( I ) } & { { } = 1 } \end{array}
E = { \frac { 2 \pi } { e ^ { 2 } r _ { 0 } } } \left( { \frac { r + r _ { 0 } } { r } } \right) \dot { r } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \mu \left( { \frac { r + r _ { 0 } } { r } } \right) \dot { r } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l r } { p w r ( T ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m } i \chi _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \left( n + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \chi _ { i } \right) + m \left( n - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \chi _ { i } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( i - 1 ) \chi _ { i } + \frac { 2 m - 1 } { 2 } \left( n - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \chi _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } } & { { } = f ( x _ { 1 } , \eta ( x _ { 1 } ) ) , } \\ { \dot { x } _ { 2 } } & { { } = \partial _ { x _ { 1 } } \eta ( x _ { 1 } ) \dot { x } _ { 1 } = \partial _ { x _ { 1 } } \eta ( x _ { 1 } ) f ( x _ { 1 } , \eta ( x _ { 1 } ) ) , } \end{array}
f _ { 0 } ( y ) \sim \left\{ \begin{array} { l } { { ( K _ { + } y + 1 ) ^ { - { \frac { 1 } { 4 } } } , \ \ \ \ \ y > 0 } } \\ { { ( K _ { - } y + 1 ) ^ { - { \frac { 1 } { 4 } } } , \ \ \ \ \ y < 0 } } \end{array} \right. .
\mathrm { r a n k } [ \mathbf D _ { - 2 } \mathbf a , \mathbf D _ { - 1 } \mathbf a , \mathbf D _ { 0 } \mathbf a , \mathbf D _ { 1 } \mathbf a , \mathbf D _ { 2 } \mathbf a ] = 3 .
S _ { m a s s } ^ { ( \alpha ) } [ \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ] = - \frac { M } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } x \, ( \xi _ { 1 } ^ { t } g ^ { \alpha } \xi _ { 2 } - \xi _ { 2 } ^ { t } g ^ { - \alpha } \xi _ { 1 } )
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } [ \mathcal { I } ] } & { = } & { \sum _ { \alpha _ { 1 } = 1 } ^ { r _ { 1 } } \cdots \sum _ { \alpha _ { d - 1 } = 1 } ^ { r _ { d - 1 } } \mathcal { C } _ { 1 } [ 1 , i _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ] \mathcal { C } _ { 2 } [ \alpha _ { 1 } , i _ { 2 } , \alpha _ { 2 } ] \cdots \mathcal { C } _ { d } [ \alpha _ { d - 1 } , i _ { d } , 1 ] } \\ & { = } & { \mathcal { C } _ { 1 } [ 1 , i _ { 1 } , : ] \mathcal { C } _ { 2 } [ : , i _ { 2 } , : ] \cdots \mathcal { C } _ { d } [ : , i _ { d } , 1 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { [ S ] } } & { { } = } & { - v , } \\ { \dot { [ A ] } } & { { } = } & { - v , } \\ { \dot { [ E s ] } } & { { } = } & { + v , } \\ { \dot { [ W ] } } & { { } = } & { + v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \gamma _ { 1 } } * f _ { \gamma _ { 2 } } ( \gamma ^ { \prime } ) } & { = \sum _ { \gamma ^ { \prime } = g _ { 1 } g _ { 2 } } f _ { \gamma _ { 1 } } ( g _ { 1 } ) f _ { \gamma _ { 2 } } ( g _ { 2 } ) } \\ & { = \delta _ { \gamma ^ { \prime } , \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } [ 1 , \gamma _ { 1 } , 1 ] [ 1 , \gamma _ { 2 } , 1 ] } \\ & { = \delta _ { \gamma ^ { \prime } , \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } [ 1 , \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } , \sigma ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) ] } \\ & { = \delta _ { \gamma ^ { \prime } , \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } [ \sigma ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) , \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } , 1 ] } \\ & { = \sigma ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) \delta _ { \gamma ^ { \prime } , \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } [ 1 , \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } , 1 ] } \\ & { = \sigma ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) f _ { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } ( \gamma ^ { \prime } ) \ensuremath { \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Lambda = \pm 1 | e ^ { \pm 2 i \phi _ { e } } | \Lambda ^ { \prime } = \mp 1 \rangle } & { { } = \delta _ { \Lambda , \Lambda ^ { \prime } \pm 2 } \sum _ { L } | F _ { L } | ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { \Lambda ^ { \prime } } = - 1 \times \delta _ { \Lambda , \Lambda ^ { \prime } \pm 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { R } _ { + + } } & { = \exp ( - 2 \operatorname { i } \Phi _ { + } ) R _ { + + } \qquad \qquad \ \tilde { R } _ { -- } = \exp ( - 2 \operatorname { i } \Phi _ { - } ) R _ { -- } } \\ { \qquad \tilde { T } _ { + - } } & { = \exp ( - \operatorname { i } ( \Phi _ { + } + \Phi _ { - } ) ) T _ { + - } \qquad \tilde { T } _ { - + } = \exp ( - \operatorname { i } ( \Phi _ { + } + \Phi _ { - } ) ) T _ { - + } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) u _ { x x t t } ( t ) ^ { 2 } d x + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \rho ( x ) u _ { \tau \tau \tau } ^ { 2 } d x d \tau } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 + T } { \epsilon } \int _ { 0 } ^ { t } g ^ { \prime \prime } ( \tau ) ^ { 2 } d \tau + \Big ( \frac { \ell ^ { 3 } \epsilon } { 3 } + \epsilon \Big ) \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { x x t t } ( t ) ^ { 2 } d x + \Big ( \frac { \ell ^ { 3 } \epsilon } { 3 } + 2 r _ { 1 } \Big ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { x x \tau \tau } ^ { 2 } \ d x d \tau + \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { \epsilon } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { x x t } ( t ) ^ { 2 } d x . ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 0 ) } F _ { 2 } ( \bar { r } , t ) = - w ^ { ( 0 ) } \left< v _ { s } ^ { ( 1 ) } \right> + \frac { \zeta ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } } \int _ { 0 } ^ { \bar { r } } \varrho \upsilon \; d \varrho } \end{array}
\frac { \rho _ { 1 } ( M _ { Z } ) } { \rho _ { 2 } ( M _ { Z } ) } \approx 1 . 0 2 , \qquad \frac { \rho _ { 2 } ( M _ { Z } ) } { \rho _ { 3 } ( M _ { Z } ) } \approx 0 . 9 7 .
W _ { t } + F ( W ) _ { x } + G ( W ) _ { y } \equiv \frac { \partial } { \partial t } \left( \begin{array} { c } { \rho } \\ { \rho \mu } \\ { \rho \nu } \\ { E } \end{array} \right) + \frac { \partial } { \partial x } \left( \begin{array} { c } { \rho \mu } \\ { \rho \mu ^ { 2 } + P } \\ { \rho \mu \nu } \\ { \mu ( E + P ) } \end{array} \right) + \frac { \partial } { \partial y } \left( \begin{array} { c } { \rho \nu } \\ { \rho \mu \nu } \\ { \rho \nu ^ { 2 } + P } \\ { \nu ( E + P ) } \end{array} \right) = 0 ,
[ \mathbf { Z } ] _ { 1 2 } = [ \mathbf { C } _ { c } ^ { b } ] ^ { T } [ \mathbf { \nabla \times } ] [ \star _ { \varepsilon } ] ^ { - 1 } [ \mathbf { P } ] _ { e } ^ { \Lambda } [ \star _ { \varepsilon } ] [ \mathbf { C } _ { c } ^ { e } ]
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { u } _ { 3 } , \hat { u } _ { \pm } \right] } & { { } = } & { \pm \hat { u } _ { \pm } } \\ { \left[ \hat { u } _ { + } , \hat { u } _ { - } \right] } & { { } = } & { 2 \hat { u } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \omega _ { e x } - \omega _ { e m } - \hat { H } + E _ { 0 } + i \eta ^ { \prime } ) | B _ { \rho \lambda } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) \rangle } & { { } = \hat { \mu } _ { \rho } ^ { \dagger } | A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) \rangle , } \end{array}
C _ { \mathrm { S S } , j } ( \vec { r } ) = \frac { 1 } { k _ { \mathrm { e f f } } \lambda _ { j } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \nu _ { d , j } ( \vec { r } , E ) \Sigma _ { f } ( \vec { r } , E ) \left[ \int _ { 4 \pi } \psi _ { \mathrm { S S } } ( \vec { r } , \hat { \Omega } , E ) d \Omega \right] d E } .
\begin{array} { r l } & { \mu _ { t , t ^ { \prime } } ^ { 1 , ( i , j ) } ( P ) \left( \bigcup _ { k = i } ^ { j - 1 } \mathcal { W } _ { k , t ^ { \prime } } ^ { 1 } \cup \bigcup _ { k = i } ^ { j - 1 } \mathcal { W } _ { k , t ^ { \prime } } ^ { 2 } \cup \mathcal { V } _ { j } \right) = 1 ; } \\ & { \frac { t } { t ^ { \prime } } \leq \mu _ { t , t ^ { \prime } } ^ { 1 , ( i , j ) } ( P ) \left( \mathcal { W } _ { i , t ^ { \prime } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { i , t ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) \leq 1 ; } \\ & { \left( 1 - \frac { 1 } { r ^ { p } } \right) \left( 1 - \frac { t } { t ^ { \prime } } \right) \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \right) ^ { k - i } \leq \mu _ { t , t ^ { \prime } } ^ { 1 , ( i , j ) } ( P ) \left( \mathcal { W } _ { k , t ^ { \prime } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { k , t ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) \leq \left( 1 - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \right) \left( 1 - \frac { t } { t ^ { \prime } } \right) \left( \frac { 1 } { r ^ { p + 2 \delta } } \right) ^ { k - i } \, \forall i < k < j ; } \\ & { \left( 1 - \frac { t } { t ^ { \prime } } \right) \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \right) ^ { j - i } \leq \mu _ { t , t ^ { \prime } } ^ { 1 , ( i , j ) } ( P ) \left( \mathcal { V } _ { j } \right) \leq \left( 1 - \frac { t } { t ^ { \prime } } \right) \left( \frac { 1 } { r ^ { p + 2 \delta } } \right) ^ { j - i } . } \end{array}
A _ { a } = - i \kappa \ \xi \ \bar { \psi } ^ { 1 } \gamma _ { a } \psi ^ { 2 } + \kappa \ \theta \ \bar { \psi } ^ { 1 } \gamma _ { 5 } \gamma _ { a } \psi ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \kappa \ \varphi \ ( \bar { \psi } ^ { 1 } \gamma _ { 5 } \gamma _ { a } \psi ^ { 1 } - \bar { \psi } ^ { 2 } \gamma _ { 5 } \gamma _ { a } \psi ^ { 2 } ) + . . . \ , \,
\left( \begin{array} { c } { { n ^ { \prime } } } \\ { { m ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \alpha } } & { { \beta } } \\ { { \gamma } } & { { \delta } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { n } } \\ { { m } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l r } { \hat { m } _ { x } } & { = } & { \hbar k r \sin \phi \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ & { } & { - \frac { \hbar } { 2 i } z \cos \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { m } _ { y } } & { = } & { - \hbar k r \cos \phi \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ & { } & { + \frac { \hbar } { 2 i } z \sin \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { m } _ { z } } & { = } & { \frac { \hbar } { i } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) , } \end{array}
\sum _ { \vec { k } } ^ { m _ { \vec { k } } > \mu } \Pi _ { > } ( q ^ { 2 } , m _ { \vec { k } } ^ { 2 } ) \simeq \frac { \pi R ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } n } \left[ - \frac { 3 } { 5 } C _ { G } + \frac { \eta } { 1 5 } T _ { R } N _ { f } \right] ( - q ^ { 2 } ) \ln \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { b u l k } } ^ { \mathrm { e q b } } } & { = \int _ { \Sigma _ { \beta } ^ { \mathrm { b u l k } } } \iota _ { u } I _ { \mathrm { C S } } } \\ & { = \int _ { \Sigma _ { \beta } ^ { \mathrm { b u l k } } } ( - ) ^ { q } \mu \wedge \tilde { F } + ( - ) ^ { p q + q } \tilde { \mu } \wedge F } \\ & { \qquad \qquad - \mu _ { \ell } \wedge \tilde { F } _ { \psi } + ( - ) ^ { p q + p + q } \tilde { \mu } _ { \psi } \wedge \ell \Xi } \\ & { \qquad - \int _ { \Sigma _ { \beta } } T _ { 0 } F \wedge \tilde { \varphi } - \mu \wedge \tilde { A } } \\ & { \qquad \qquad + ( - ) ^ { q } T _ { 0 } \ell \Xi \wedge \tilde { \phi } _ { \psi } - \mu _ { \ell } \wedge \tilde { A } _ { \psi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb R ^ { 3 N - 3 } } \chi _ { R } ( | x - x _ { j } | ) \partial _ { x _ { j } } ^ { \eta } | x - x _ { j } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) e ^ { F } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \partial _ { y } ^ { m } \phi ( y , x , \mathbf { \hat { x } } _ { 1 j } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } , } \\ & { \int _ { \mathbb R ^ { 3 N - 3 } } \chi _ { R } ( | x - x _ { j } | ) \partial _ { x _ { j } } ^ { \eta } | x - x _ { j } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) e ^ { F } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \big ( \partial _ { y } ^ { m } \phi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) - \partial _ { y } ^ { m } \phi ( y , x , \mathbf { \hat { x } } _ { 1 j } ) \big ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathcal { R } } \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { \mathcal { R } } : = \Lambda \left( \mathcal { U } _ { \Theta } , \partial _ { x } \mathcal { U } _ { \Theta } \right) \odot \mathcal { L } _ { \mathcal { R } }
P _ { \beta } = \frac { \iiint _ { V _ { i } } \sqrt { | u _ { \beta } | ^ { 2 } } \, d r } { \iiint _ { V _ { i } } \sqrt { | u _ { \alpha } | ^ { 2 } + | u _ { \beta } | ^ { 2 } + | u _ { \gamma } | ^ { 2 } } \, d r }
\langle \psi _ { n l m } | \frac { \exp { ( i \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } ) } } { 2 \pi ^ { 2 } q ^ { 2 } } | \boldsymbol { \varepsilon } \cdot { \mathbf { w } } _ { 1 0 0 } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } ) \rangle = \frac { i ^ { l } } { { \pi } ^ { 3 / 2 } q ^ { 2 } } \left[ \sqrt { \frac { l } { 2 l + 1 } } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l - 1 , a } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } , q ) + \sqrt { \frac { l + 1 } { 2 l + 1 } } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l + 1 , a } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } , q ) \right] ,
\begin{array} { l } { { { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \, N _ { \alpha , \beta } ^ { } \, \Bigl ( \, \zeta ( u - v ) \, - \, \zeta ( u + v ) \, + \, 2 \! \zeta ( v ) \Bigr ) \, A _ { k } ^ { \alpha + \beta } ( q , v ) } } \\ { { \mathrm { } - \, \alpha ( K _ { \beta } ) \, \Phi ( \beta ( q ) , v ) \, A _ { k } ^ { \alpha } ( q , u ) } } \\ { { \mathrm { } + \, { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \, N _ { \alpha , \beta } ^ { } \, \Bigl ( \Phi ( \beta ( q ) , v - u ) \, A _ { k } ^ { \alpha + \beta } ( q , u ) \, + \, \Phi ( \beta ( q ) , v + u ) \, A _ { k } ^ { \alpha + \beta } ( q , - u ) \Bigr ) } } \\ { { \mathrm { } + \, { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { r } } \, \beta _ { j } ^ { } \, A _ { j } ^ { \alpha } ( q , u ) A _ { k } ^ { \beta } ( q , v ) ~ = ~ 0 ~ . } } \end{array}
2 L _ { 1 } ^ { R } \ell _ { 1 } ^ { R } d L _ { 1 } ^ { R } + ( L _ { 1 } ^ { R } ) ^ { 2 } d \ell _ { 1 } ^ { R } = ( 1 - \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } } { 4 } ) \frac { M _ { 1 } ^ { R } k _ { 1 } ^ { R } } { M _ { 1 } ^ { L } k _ { 1 } ^ { L } } \left( 2 L _ { 1 } ^ { L } \ell _ { 1 } ^ { L } d L _ { 1 } ^ { L } + ( L _ { 1 } ^ { L } ) ^ { 2 } d \ell _ { 1 } ^ { L } \right) - \frac { M _ { 1 } ^ { R } k _ { 1 } ^ { R } } { M _ { 2 } ^ { L } k _ { 2 } ^ { L } } \left( 2 L _ { 2 } ^ { L } \ell _ { 2 } ^ { L } d L _ { 2 } ^ { L } - ( L _ { 2 } ^ { L } ) ^ { 2 } d \ell _ { 2 } ^ { L } \right) ,
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { \mathsf { T } } ( t _ { n } , X _ { t _ { n } } ^ { \pi } , Y _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) \nabla _ { x } u ( t _ { n } , X _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) \in \mathbb R ^ { 1 \times d } , \quad } & { x \in \mathbb R ^ { d } , \quad n \in { 0 , 1 , \ldots , N } , } \\ { u ( t _ { n } , X _ { t _ { n } ^ { - } } ^ { \pi } + \beta ( t , X _ { t _ { n } ^ { - } } ^ { \pi } , Y _ { t _ { n } } ^ { \pi } , e ) ) - u ( t _ { n } , X _ { t _ { n } ^ { - } } ^ { \pi } ) \in \mathbb R , \quad } & { x \in \mathbb R ^ { d } , \quad n \in { 0 , 1 , \ldots , N } . } \end{array}
\begin{array} { r } { s = - k _ { \textrm { B } } \int f \ln \frac { f } { y } \textrm { d } \mathbf c , \quad \mathbf J _ { s } = - k _ { \textrm { B } } \int \mathbf c f \ln \frac { f } { y } \textrm { d } \mathbf c , \quad \sigma _ { s } = - k _ { \textrm { B } } \int S f \ln \frac { f } { y } \textrm { d } \mathbf c . } \end{array}
{ \operatorname * { l i m } _ { m \rightarrow 0 } } S _ { D } ( x ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \int d ^ { 4 } k { \rlap / { k } } { \epsilon } ( k _ { 0 } ) { \delta } ( k ^ { 2 } ) e ^ { \pm i k x } ,
\frac { \partial f ( t , c ; r ) } { \partial t } = \int ^ { * } d c ^ { \prime } p ( c - c ^ { \prime } , c ^ { \prime } ) f ( t , c ^ { \prime } ; r ) W ( t , c ^ { \prime } , r ) - \int ^ { * } d c ^ { \prime } p ( c ^ { \prime } - c , c ) f ( t , c ; r ) W ( t , c , r ) ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow \theta _ { 0 } } v _ { \theta } ^ { d i p o l e } = - \frac { \kappa ~ ( z - z _ { 0 } ) ~ \sin 2 \alpha } { 4 \sqrt { 2 } \pi R ^ { \frac { 3 } { 2 } } \lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } \eta _ { 2 d } } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { R ^ { \frac { 5 } { 2 } } } \right) } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow \theta _ { 0 } } v _ { z } ^ { d i p o l e } = - \frac { \kappa \cos 2 \alpha } { 4 \pi \eta _ { 2 d } ( z - z _ { 0 } ) } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { S C N R } \equiv \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { { \boldsymbol { r } } } \frac { \sum _ { i } \big \langle \vert { { \boldsymbol { J } } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( { \boldsymbol { r } } , t ) \vert ^ { 2 } \big \rangle } { \epsilon } } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \int _ { V } \mathbf { R } d V + \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot \mathbf { u } \otimes \mathbf { R } d A = \int _ { V } \mathbf { P } d V + \int _ { V } \mathbf { \Phi } d V + \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot \mathbf { D } d A - \int _ { V } \boldsymbol { \varepsilon } d V ,
\displaystyle { W _ { 0 } = T _ { 0 } ^ { 2 } / ( 9 6 0 \pi \omega ) } = 0 . 1 1 6 \left( \frac { \omega } { m } \right) ^ { 5 } \left( \frac { H } { H _ { 0 } } \right) ^ { 6 } ~ \mathrm { c m } ^ { - 1 } .
\exp \left( 2 \chi \right) = \frac { V \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \mid \overrightarrow { \mathbfit { x } } _ { 0 } ^ { R } \right) - V _ { D B } \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \right) } { V \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \mid \overrightarrow { \mathbfit { x } } _ { 0 } ^ { T } \right) - V _ { D B } \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \right) }
\left( 1 - 0 , 1 - { \frac { 9 } { 1 0 } } , 1 - { \frac { 9 9 } { 1 0 0 } } , \dots \right) = \left( 1 , { \frac { 1 } { 1 0 } } , { \frac { 1 } { 1 0 0 } } , \dots \right)
\widetilde { \mathcal { V } } ( s _ { 0 } ) - \mathcal { J } _ { 0 } ( s _ { 0 } , \alpha ) = e ^ { - \lambda T } \left( \widetilde { \mathcal { V } } ( s _ { 0 } ) - \mathcal { J } _ { T } ( s _ { \alpha } ( T ) , \alpha ) \right) + \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { - \lambda t } \Bigl ( \widetilde { \Theta } ( s _ { 0 } ) - L ( c ) - { \Theta } ( s _ { \alpha } ( t ) ) + L ( \alpha ( s _ { \alpha } ( t ) ) ) \Bigr ) \, d t .