harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( u _ { i } ^ { * } \right) ^ { 2 } = \frac { \widetilde { u _ { i } ^ { \prime \prime 2 } } } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \frac { \bar { \rho } } { \bar { \rho } _ { w } } , \quad ( u v ) ^ { * } = \frac { \widetilde { u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } } } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \frac { \bar { \rho } } { \bar { \rho } _ { w } } .
\begin{array} { r l } { \forall \varphi \neq \varphi ^ { \prime } \in \mathbb { T } , \quad | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { { } \leqslant C _ { 0 } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } , } \\ { \forall \varphi \neq \varphi ^ { \prime } \in \mathbb { T } , \quad | \partial _ { \varphi } K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { { } \leqslant C _ { 0 } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 2 } . } \end{array}
H _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ) = H _ { \gamma , \mathrm { { 2 D } } } ( k _ { z } , k _ { y } ) \otimes \tau _ { 0 } + \sigma _ { z } \otimes H _ { \mathrm { S S H } } ( k _ { x } )
f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { - x - 3 } & { { \mathrm { i f ~ } } x \leq - 3 } \\ { x + 3 } & { { \mathrm { i f ~ } } - 3 < x < 0 } \\ { - 2 x + 3 } & { { \mathrm { i f ~ } } 0 \leq x < 3 } \\ { 0 . 5 x - 4 . 5 } & { { \mathrm { i f ~ } } x \geq 3 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { x ^ { r } ( k + 1 ) = } & { { } x ^ { r } ( k ) + h \big ( ( ( I - \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ^ { \ell } ) B ^ { r } - D ^ { r } ) x ^ { r } ( k ) ) } \\ { w ^ { r } ( k { + } 1 ) { = } } & { { } w ^ { r } ( k ) { + } h ( { - } D _ { w } ^ { r } w ^ { r } ( k ) { + } A _ { w } ^ { r } w ^ { r } ( k ) { + } C _ { w } ^ { r } ( k ) x ^ { r } ( k ) ) . } \end{array}
S _ { E } = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g } \left( R - \frac { 1 } { 2 } \left( \partial \Phi \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \left( p + 2 \right) ! } e ^ { \frac { 3 - p } { 2 } \Phi } F _ { p + 2 } ^ { 2 } \right) .
\tilde { E } _ { y } ( \tau , \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z e \frac { \tau ( y - y _ { 0 } ) \cosh ( \eta - \eta _ { 0 } ) } { 4 \pi { [ ( r _ { \bot } - r _ { \bot 0 } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta _ { 0 } ) ] } ^ { 3 / 2 } } , } & { \mathrm { i f ~ } \tau _ { 0 } < \tau _ { f } ( \mathbf { x } ; \mathbf { x } _ { 0 } ) < \tau } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
t _ { j } = \frac { \tan ( \frac { \pi } { 4 } - \frac { \pi j } { 2 H } ) } { 2 \cos ^ { 2 } ( \frac { \pi j } { 2 H } ) } \prod _ { i = 0 } ^ { j - 1 } \frac { \tan ( \frac { \pi ( j - 1 - 2 i + w _ { + } ) } { 2 H } ) \tan ( \frac { \pi ( j - 1 - 2 i + w _ { - } ) } { 2 H } ) } { \tan ^ { 2 } ( \frac { \pi ( i + 1 ) } { 2 H } ) } .
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { K \geq 1 } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { X } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \mathbf { 1 } _ { \left\{ n _ { k } ^ { X } - s _ { k } ^ { X } ( 0 ) \geq i , \; | \tau _ { k , i } ^ { X } ( 0 ) - t | \geq N \right\} } \right] = 0 .
\begin{array} { r l r } { E _ { r } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { Q _ { x } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \vartheta \cos \varphi - Q _ { y } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \vartheta \sin \varphi + Q _ { z } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \, , \quad \quad } \\ { E _ { \vartheta } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { G _ { x } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \cos \varphi + G _ { y } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \sin \varphi - G _ { z } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \vartheta \, , } \\ { E _ { \varphi } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { G _ { y } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \varphi - G _ { x } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \varphi \, , \quad \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { p q } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } E _ { p q } \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } } \\ { \Gamma _ { p q r s } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } e _ { p q r s } \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } , } \end{array}
E _ { \gamma _ { + } } = \frac { E _ { \gamma _ { + } } ^ { \prime \prime } \left( 1 - \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \quad , \quad E _ { \gamma _ { - } } = \frac { E _ { \gamma _ { - } } ^ { \prime \prime } \left( 1 + \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } . \eqno ( 3 7 )
\begin{array} { r l } & { f _ { 2 1 } ^ { * } ( x , x ) } \\ & { = - ( 1 - 2 \, x ) ( 4 - 1 1 8 \, x + 2 9 6 5 \, x ^ { 2 } - 5 7 1 5 2 \, x ^ { 3 } + 8 6 8 4 9 0 \, x ^ { 4 } - 1 0 7 1 6 4 5 6 \, x ^ { 5 } } \\ & { \quad + 1 0 9 9 6 8 9 6 0 \, x ^ { 6 } - 9 5 6 1 1 6 1 7 6 \, x ^ { 7 } + 7 1 4 6 3 6 3 3 7 2 \, x ^ { 8 } - 4 6 4 4 8 9 6 7 1 9 6 \, x ^ { 9 } } \\ & { \quad + 2 6 4 9 5 0 1 0 5 3 7 2 \, x ^ { 1 0 } - 1 3 3 6 1 6 3 4 5 7 9 5 6 \, x ^ { 1 1 } + 5 9 9 3 3 2 4 1 0 5 1 2 4 \, x ^ { 1 2 } } \\ & { \quad - 2 4 0 2 7 4 3 9 3 4 9 7 6 0 \, x ^ { 1 3 } + 8 6 4 3 6 6 6 2 2 4 6 1 6 4 \, x ^ { 1 4 } - 2 7 9 9 1 2 7 7 1 9 5 3 5 1 2 \, x ^ { 1 5 } } \\ & { \quad + 8 1 8 0 4 3 9 8 0 6 6 6 4 1 6 \, x ^ { 1 6 } - 2 1 6 1 7 2 8 7 9 9 4 6 2 7 9 4 \, x ^ { 1 7 } + 5 1 7 2 6 0 7 7 2 5 9 2 9 3 4 2 \, x ^ { 1 8 } } \\ & { \quad - 1 1 2 1 7 7 1 1 7 9 3 1 1 1 1 3 4 \, x ^ { 1 9 } + 2 2 0 5 9 1 5 0 9 1 3 7 5 2 1 5 0 \, x ^ { 2 0 } - 3 9 3 3 4 4 3 5 7 5 4 1 9 5 6 2 0 \, x ^ { 2 1 } } \\ & { \quad + 6 3 5 7 3 1 0 2 6 0 0 7 3 0 4 2 6 \, x ^ { 2 2 } - 9 3 0 4 8 4 2 9 7 5 7 8 0 0 9 2 0 \, x ^ { 2 3 } + 1 2 3 1 6 5 8 5 2 8 2 3 5 2 5 3 7 6 \, x ^ { 2 4 } } \\ & { \quad - 1 4 7 1 6 4 3 2 8 6 7 6 3 7 1 7 8 8 \, x ^ { 2 5 } + 1 5 8 3 3 6 6 6 9 2 2 6 6 7 6 6 9 2 \, x ^ { 2 6 } - 1 5 2 9 2 5 2 5 4 5 9 5 4 3 1 2 5 2 \, x ^ { 2 7 } } \\ & { \quad + 1 3 2 0 7 3 9 4 9 6 9 9 9 2 4 2 7 6 \, x ^ { 2 8 } - 1 0 1 5 1 3 1 0 3 9 3 9 9 6 9 0 3 2 \, x ^ { 2 9 } + 6 9 0 2 9 9 0 7 6 5 9 2 0 6 5 8 0 \, x ^ { 3 0 } } \\ & { \quad - 4 1 2 2 8 5 2 6 0 9 0 8 5 5 5 8 4 \, x ^ { 3 1 } + 2 1 4 3 1 4 3 3 4 0 9 6 8 1 8 3 2 \, x ^ { 3 2 } - 9 5 8 4 9 8 3 8 8 4 5 3 4 9 4 4 \, x ^ { 3 3 } } \\ & { \quad + 3 6 3 3 6 8 5 7 4 2 9 0 8 7 4 2 \, x ^ { 3 4 } - 1 1 4 4 7 6 1 2 4 3 9 2 5 1 9 6 \, x ^ { 3 5 } + 2 9 1 6 0 4 3 2 1 8 0 0 9 9 2 \, x ^ { 3 6 } } \\ & { \quad - 5 7 6 9 9 7 1 0 2 2 5 0 2 4 \, x ^ { 3 7 } + 8 3 1 9 9 8 8 5 4 0 0 5 2 \, x ^ { 3 8 } - 7 7 7 5 9 5 7 9 1 2 2 4 \, x ^ { 3 9 } } \\ & { \quad + 3 5 3 4 5 2 6 8 5 6 0 \, x ^ { 4 0 } + 9 5 2 0 \, x ^ { 4 1 } + 4 7 6 0 \, x ^ { 4 2 } + 1 3 6 0 \, x ^ { 4 3 } + 2 7 2 0 \, x ^ { 4 4 } + 1 3 6 0 \, x ^ { 4 5 } } \\ & { \quad + 2 7 2 \, x ^ { 4 6 } + 5 4 4 \, x ^ { 4 7 } + 2 7 2 \, x ^ { 4 8 } + 3 4 \, x ^ { 4 9 } + 6 8 \, x ^ { 5 0 } + 3 4 \, x ^ { 5 1 } + 2 \, x ^ { 5 2 } + 4 \, x ^ { 5 3 } + 2 \, x ^ { 5 4 } ) } \\ & { / [ ( 2 - x ) ( 4 - 3 \, x ) ] . } \end{array}
\boldsymbol { x } ( \lambda ) = \left( r ^ { s } \lambda + r _ { \parallel } ^ { b } \lambda ^ { 2 } \right) \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } + r _ { \perp } ^ { b } \lambda ^ { 2 } \boldsymbol { \hat { e } } _ { \perp } ,
= \frac { i \beta } { 2 \pi } 4 i m \varepsilon ^ { \mu \nu \alpha } \frac { k _ { \alpha } } { \sqrt { k ^ { 2 } } } \log \left( \frac { 1 - \sqrt { \frac { 4 m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } } { 1 + \sqrt { \frac { 4 m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } } \right) \, \, ,
\sigma _ { \mathrm { e x t } } ( \omega ) = \frac { 4 \pi \omega } { c } | \epsilon _ { n } | ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { \prime \prime } ( \omega ) , ~ \sigma _ { \mathrm { s c } } ( \omega ) = \frac { 8 \pi \omega ^ { 4 } } { 3 c ^ { 4 } } | \epsilon _ { n } | ^ { 2 } \left| \alpha _ { n } ( \omega ) \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { S } ( R ) } & { = \frac { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } R D _ { v } \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } D _ { v } \mathbf { 1 } _ { S } \rangle } } \\ & { = \frac { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } D _ { u } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } A D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { 1 } _ { S } \rangle } } \\ & { = \frac { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } A D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { 1 } _ { S } \rangle } } \\ & { = \frac { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { w } A D _ { w } \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { w } ^ { 2 } \mathbf { 1 } _ { S } \rangle } } \\ & { = \phi _ { S } ( A ) } \end{array}
\mathcal { A } _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } ^ { \alpha \rightarrow \beta } = P _ { \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } } - P _ { \overline { { \nu } } _ { \alpha } \rightarrow \overline { { \nu } } _ { \beta } } = 4 \sum _ { i > j } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( A _ { i j } ^ { \alpha \beta } \right) \sin \frac { \Delta m _ { i j } ^ { 2 } L } { 2 E } \; .
\begin{array} { r } { \bar { y } ( \Tilde { t } + 1 ) = 0 . 3 \bar { y } ( \Tilde { t } ) + 0 . 0 5 \bar { y } ( \Tilde { t } ) \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { 9 } \bar { y } ( \Tilde { t } - k ) \right] + 1 . 5 \mathcal { S } ( \Tilde { t } ) \mathcal { S } ( \Tilde { t } - 9 ) + 0 . 1 , \quad \Tilde { t } \geq 9 } \end{array}
\mathcal { L } ( \boldsymbol { \phi } ) = \frac { 1 } { B U } \sum _ { b = 1 } ^ { B } \sum _ { u = 1 } ^ { U } \operatorname* { m a x } \left[ \left( V _ { \boldsymbol { \phi } } \left( s _ { u } ^ { b } \right) - \hat { r } ^ { b } \right) ^ { 2 } , \left( \operatorname { c l i p } \left( V _ { \boldsymbol { \phi } } \left( s _ { u } ^ { b } \right) , V _ { \boldsymbol { \phi } _ { \mathrm { o l d ~ } } } \left( s _ { u } ^ { b } \right) - \varepsilon , V _ { \boldsymbol { \phi } _ { \mathrm { o l d ~ } } } \left( s _ { u } ^ { b } \right) + \varepsilon \right) - \hat { r } ^ { b } \right) ^ { 2 } \right]
f \left( \varphi \right) = - \frac { 4 } { 9 } \frac { \left( 1 - \gamma \right) } { \gamma ^ { 2 } } \frac { 2 X _ { 0 } } { g \left( X _ { 0 } \right) } \frac { 1 } { \left( \varphi - \varphi _ { * } \right) ^ { 2 } } ,
\mathbb { P } _ { T } ( t _ { d } ) \propto [ \mathbb { B } _ { T , A } ( t _ { d } ) + \mathbb { B } _ { T , A D } ( t _ { d } ) ] e ^ { - \Gamma ^ { ( 2 ) } t _ { d } / ( 2 \hbar ) } + \mathbb { B } _ { A D , A } ( t _ { d } ) + e ^ { - \Gamma ^ { ( 2 ) } t _ { d } / \hbar } ,
\begin{array} { r l r } { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } } } ( { \bf x } , \omega ) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { i \omega \rho } \\ { - \frac { 1 } { i \omega \sqrt { \rho } } { \cal H } _ { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { \rho } } } & { 0 } \end{array} \right) ( { \bf x } , \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { y _ { n , k } = \underbrace { \mathbf { h } _ { n , n , k } ^ { H } \mathbf { w } _ { n , k } s _ { n , k } } _ { \mathrm { d e s i r e d ~ s i g n a l } } + \underbrace { \sum _ { j = 1 , j \neq k } ^ { K } \mathbf { h } _ { n , n , k } ^ { H } \mathbf { w } _ { n , j } s _ { n , j } } _ { \mathrm { i n t r a - c e l l ~ i n t e r f e r e n c e } } + \underbrace { \sum _ { l = 1 , l \neq n } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \mathbf { h } _ { l , n , k } ^ { H } \mathbf { w } _ { l , j } s _ { l , j } } _ { \mathrm { i n t e r - c e l l ~ i n t e r f e r e n c e } } + u _ { n , k } , } \end{array}
( s _ { L } ^ { \nu _ { \mu } } ) ^ { 2 } = ( s _ { L } ^ { \nu _ { \tau } } ) ^ { 2 } = \frac { a ^ { 2 } } { M _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { b ^ { 2 } } { M _ { 2 } ^ { 2 } } \ ( \equiv s _ { L } ^ { 2 } ) \ ,
\hat { H } _ { I , d i r } = g \sum _ { s \in \{ \mathrm { L } , \mathrm { M } , \mathrm { R } \} } \Bigl ( \sum _ { b } U _ { s } ^ { b } \hat { n } _ { s \uparrow } ^ { b } \hat { n } _ { s \downarrow } ^ { b } + \sum _ { b \neq b ^ { \prime } } J _ { s } ^ { b b ^ { \prime } } \hat { n } _ { s \uparrow } ^ { b } \hat { n } _ { s \downarrow } ^ { b ^ { \prime } } \Bigr ) .
\begin{array} { r } { \check { J } _ { \ell } ( \boldsymbol { \mathbf { x } } , \boldsymbol { \mathbf { b } } ) = \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { x } } + \theta \boldsymbol { \mathbf { \check { B } } } _ { \ell } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { b } } , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } : = \mathrm { i d } - \theta \boldsymbol { \mathbf { \check { B } } } _ { \ell } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { \check { A } } } _ { \ell } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \frac { d N } { d t } = D \left( N _ { 0 } - N \right) - f ( N ) P + \sigma _ { 1 } d W _ { t } ^ { 1 } , } \\ { \frac { d P } { d t } = \alpha f ( N ) P - g ( P ) Z - D _ { 1 } P + \sigma _ { 2 } d W _ { t } ^ { 2 } } \\ { \frac { d Z } { d t } = \beta g ( P ) Z - D _ { 2 } Z + \sigma _ { 3 } d W _ { t } ^ { 3 } . } \end{array} \right.
{ \cal I } ( P ) \sim \frac { 1 } { m _ { \sigma } ^ { 2 } } t r _ { K } \frac { 1 } { K ^ { 2 } } \sim \frac { 1 } { m _ { \sigma } ^ { 2 } } \frac { T ^ { 2 } } { 1 2 } \; .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l } { \mathbf { R } _ { 1 i } = \mathbf { R } \left( \theta _ { 1 i } \right) \mathbf { r } _ { 1 i } ; } & { \mathbf { R } _ { 2 i } = \mathbf { R } \left( \theta _ { 2 i } \right) \mathbf { r } _ { 2 i } } \\ { \mathbf { r } _ { 1 i } = \left[ x _ { 1 i } , 0 \right] ^ { T } ; } & { \mathbf { r } _ { 2 i } = \left[ x _ { 2 i } , 0 \right] ^ { T } } \end{array} } \end{array}
1 6 \pi ^ { 2 } \frac { d } { d t } \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { i j } = - 2 \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { i j } ( 1 - \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { i j } ) ( h _ { j } ^ { 2 } - h _ { i } ^ { 2 } ) \frac { m _ { j } + m _ { i } } { m _ { j } - m _ { i } }
\begin{array} { r l r } { \langle \mathpalette { w } ( \mathfrak { p } ) \rangle } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \left| \psi _ { \mathrm { r e l } } ( \mathbf { r } ; \mathfrak { p } ) \right| ^ { 2 } \, \mathpalette { w } ( r ; \mu ) \, r ^ { 2 } d r \sin \theta \, d \theta \, d \phi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( i \hbar \partial _ { t } + v _ { 0 } p \sigma _ { z } + \sigma _ { x } m ^ { * } v _ { 0 } ^ { 2 } \right) \psi _ { z } } & { { } = } & { 0 } \\ { \left( i \hbar \partial _ { t } - v _ { 0 } p \sigma _ { z } - \sigma _ { x } m ^ { * } v _ { 0 } ^ { 2 } \right) \psi _ { z } } & { { } = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W ( \Theta _ { l } | \Theta _ { l + 1 } ) } & { { } = } & { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \left[ 1 , \ \frac { p ( \Theta _ { l + 1 } | \mathcal { D } , \beta _ { l } ) p ( \Theta _ { l } | \mathcal { D } , \beta _ { l + 1 } ) } { p ( \Theta _ { l } | \mathcal { D } , \beta _ { l } ) p ( \Theta _ { l + 1 } | \mathcal { D } , \beta _ { l + 1 } ) } \right] , } \end{array}
\langle \Sigma \rangle = V \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - 2 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ^ { ( \mu ) } ( z ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { ( n - 1 ) ! } { ( n - 1 - \mu ) ! } z ^ { n - 1 - \mu } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \mu = 0 , 1 , \ldots , n - 1 , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \mu = n , } \end{array} \right. } \\ { g _ { 2 } ^ { ( k - \mu ) } ( z ) } & { = ( - \psi ( \omega ) ) ^ { k - \mu } \mathrm e ^ { - z \psi ( \omega ) } . } \end{array}
\frac { d A } { d t } = - \mathrm { ~ i ~ } \, \left( 2 \lambda - \frac { \chi _ { _ { D C } } } { 4 } f ^ { 2 } \right) A + \mathrm { ~ i ~ } \, \frac { \left( \zeta _ { _ { D C } } \lambda + \mu _ { _ { D C } } \right) } { 4 } f ^ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu _ { _ { D C } } | A | ^ { 2 } A + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi _ { _ { D C } } | B | ^ { 2 } A ,
\begin{array} { r l } { k _ { \mu } ^ { Z } ( x , y ) } & { : = \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \kappa _ { i } f _ { i } ( x ) f _ { i } ( y ) } \\ & { = k ( x , Z ) H ^ { + } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \kappa _ { i } v _ { i } v _ { i } ^ { \top } \right) ( H ^ { \top } ) ^ { + } k ( Z , y ) } \\ & { = k ( x , Z ) H ^ { + } H k ( Z , Z ) ^ { + } H ^ { \top } ( H ^ { \top } ) ^ { + } k ( Z , y ) } \\ & { = \sum _ { \lambda _ { i } > 0 } \frac 1 { \lambda _ { i } } u _ { i } ^ { \top } H ^ { \top } ( H ^ { + } ) ^ { \top } k ( Z , x ) k ( y , Z ) H ^ { + } H u _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { 0 } = } & { { } \frac { S _ { 0 } } { 8 } \bigl [ - ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) + \sin ^ { 2 } { \theta } \; ( 1 - s _ { 1 } \cos { 2 \phi } ) \left( \alpha _ { 1 } \sin ^ { 2 } { \psi } + \alpha _ { 2 } \cos ^ { 2 } { \psi } - \alpha _ { 3 } \right) } \\ { U _ { 1 } = } & { { } - \frac { S _ { 0 } \sqrt { 1 - s _ { 1 } ^ { 2 } } } { 8 } \; \bigl [ \sin ^ { 2 } { \theta } \sin { 2 \phi } \; ( \alpha _ { 1 } \sin ^ { 2 } { \psi } + \alpha _ { 2 } \cos ^ { 2 } { \psi } - \alpha _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { F } _ { i } } & { = } & { \frac { F _ { i } } { ( 2 \omega _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } , } \\ { \tilde { F } _ { i j } } & { = } & { \frac { F _ { i j } } { ( 2 \omega _ { i } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { j } ) ^ { 1 / 2 } } , } \\ { \tilde { F } _ { i j k } } & { = } & { \frac { F _ { i j k } } { ( 2 \omega _ { i } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { k } ) ^ { 1 / 2 } } , } \\ { \tilde { F } _ { i j k l } } & { = } & { \frac { F _ { i j k l } } { ( 2 \omega _ { i } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { k } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { l } ) ^ { 1 / 2 } } } \end{array}
\sin ( A ) = { \frac { \sqrt { - a ^ { 4 } - b ^ { 4 } - c ^ { 4 } + 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } c ^ { 2 } + 2 a ^ { 2 } c ^ { 2 } } } { 2 b c } }
\begin{array} { r } { c = \frac { { \hat { c } } _ { \varepsilon } } { \hat { c } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ i ~ n ~ } ~ } } } , \quad \textbf { D } = \frac { { \hat { \mathbf D } } } { D } , \quad \mathbf x = \frac { { \hat { \mathbf x } } } { L } , \quad \mathbf v _ { \varepsilon } = \frac { \hat { \mathbf v } _ { \varepsilon } } { U } , \quad t = \frac { { \hat { t } } } { \tau _ { c } } , \quad p = \frac { { \hat { p } } l ^ { 2 } } { { \nu } U L } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { f i } } & { = - \ensuremath { \langle \delta f | } \ensuremath { \boldsymbol { { \mathbfcal { E } } } } _ { L } \cdot { \v { D } } \ensuremath { | i \rangle } - \ensuremath { \langle f | } \ensuremath { \boldsymbol { { \mathbfcal { E } } } } _ { L } \cdot { \v { D } } \ensuremath { | \delta i \rangle } = { { \mathcal { E } } } _ { L } { { \mathcal { E } } } _ { S } a _ { f i } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu , \nu } ^ { R } ( X , Y ) \right) ^ { \dagger } } & { = \sum _ { \sigma \in S _ { m + n } } \delta \left( Q _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \nu , \mu } ^ { R } \sigma \right) \mathcal { O } _ { \sigma ^ { - 1 } } ( X ^ { \dagger } , Y ^ { \dagger } ) } \\ & { = \sum _ { \tilde { \sigma } \in S _ { m + n } } \delta \left( Q _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \nu , \mu } ^ { R } \tilde { \sigma } ^ { - 1 } \right) \mathcal { O } _ { \tilde { \sigma } } ( X ^ { \dagger } , Y ^ { \dagger } ) } \\ & { = \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \nu , \mu } ^ { R } ( X ^ { \dagger } , Y ^ { \dagger } ) \, , } \end{array}
\Phi = t _ { 2 } I + \left( \begin{array} { l l l } { { N ^ { - 1 / 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { ( L M ) ^ { 1 / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { { \phi ^ { ( 1 ) } } } & { { \phi ^ { ( 3 ) } } } & { { 0 } } \\ { { { \phi ^ { ( 3 ) } } ^ { \dagger } } } & { { \phi ^ { ( 2 ) } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { { N ^ { - 1 / 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { ( M L ) ^ { 1 / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \hat { \mu } _ { i , I } ^ { t } = \mu _ { a , i } ^ { \alpha } { C ^ { \alpha } } _ { a b } ^ { - 1 } \mu _ { b , I } ^ { \beta } + \frac { 1 } { 2 } C _ { a d , I } ^ { \beta } { C ^ { \alpha } } _ { a b } ^ { - 1 } { C ^ { \alpha } } _ { b c , i } { C ^ { \alpha } } _ { c d } ^ { - 1 } , } \end{array}
\widetilde { \varepsilon } _ { \mathrm { e f f } } ( \epsilon _ { 1 } , \epsilon _ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 2 } f _ { 2 } \epsilon _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } f _ { 1 } \epsilon _ { 2 } + \frac { f _ { 1 } f _ { 2 } ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 [ f _ { 1 } \epsilon _ { 1 } + f _ { 2 } \epsilon _ { 2 } - \varepsilon _ { \mathrm { e f f } } ] } ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { 0 } \frac { \partial H _ { x } } { \partial t } = } & { - \frac { \partial E _ { z } } { \partial y } , } \\ { \mu _ { 0 } \frac { \partial H _ { y } } { \partial t } = } & { \frac { \partial E _ { z } } { \partial x } , } \\ { \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial E _ { z } } { \partial t } = } & { \frac { \partial H _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial H _ { x } } { \partial y } , } \end{array}
\big \Vert e ^ { i t \sqrt { - \Delta } } f _ { + } + e ^ { - i t \sqrt { - \Delta } } f _ { - } \big \Vert _ { B _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \leq C _ { t } \left( \Vert f _ { 0 } \Vert _ { B _ { p ^ { \prime } , q } ^ { s + m } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } + \Vert f _ { 1 } \Vert _ { B _ { p ^ { \prime } , q } ^ { s + m - 1 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \nu _ { e i } } & { { } = \frac { 4 } { 3 } \sqrt { \frac { 2 \pi } { m _ { e } } } \frac { n _ { e } e ^ { 4 } \Lambda _ { e i } } { ( 4 \pi \epsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( k _ { B } T _ { e } \right) ^ { 3 / 2 } } , } \\ { \nu _ { i i } } & { { } = \frac { 4 } { 3 } \sqrt { \frac { \pi } { m _ { i } } } \frac { n _ { i } e ^ { 4 } \Lambda _ { i i } } { ( 4 \pi \epsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( k _ { B } T _ { h } \right) ^ { 3 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k + 1 ) } ) \, ] \lesssim \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } \, \theta _ { k } \, t \, \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ^ { 2 } \, ] } \\ { = \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \frac { 1 } { 2 } \, \theta _ { k } \, t \, \mathrm { E } \, [ \, \Vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \Vert ^ { 2 } \, ] . } \end{array}