harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\rho _ { \bf n } ^ { ( n ) } ( t ) \equiv \rho _ { n _ { 1 } \cdots n _ { K } } ^ { ( n ) } ( t ) \equiv \mathrm { t r } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } \big [ \big ( \hat { f } _ { K } ^ { n _ { K } } \cdots \hat { f } _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \big ) ^ { \circ } \rho _ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ } } ( t ) \big ] .
\begin{array} { r l r } { \langle h _ { 1 } , y \rangle } & { = } & { L _ { y y } ( \hat { y } , 0 , \hat { p } ) [ y ^ { \prime } ( 0 ) [ V ] , y ] + L _ { y V } ( \hat { y } , 0 , \hat { p } ) [ V , y ] , } \\ { \langle h _ { 2 } , W \rangle } & { = } & { L _ { V y } ( \hat { y } , 0 , \hat { p } ) [ y ^ { \prime } ( 0 ) [ V ] , W ] + L _ { V V } ( \hat { y } , 0 , \hat { p } ) [ V , W ] . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \int _ { \mathrm { 0 } } ^ { \infty } \int _ { 2 \pi } \sigma _ { a } B \left( \nu , T \right) d \vec { \Omega } d \nu = \int _ { \mathrm { 0 } } ^ { \infty } \int _ { 2 \pi } \sigma _ { a } I d \vec { \Omega } d \nu \Rightarrow I = B \left( \nu , T \right) } } \\ { { \Rightarrow 2 \pi \phi _ { i , j , g } ^ { n + 1 } = \rho _ { i , j , g } ^ { n + 1 } , \; \; \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { i , j , g } ^ { n + 1 } = \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { i , j , g } ^ { n + 1 } = \left( \sigma _ { P , g } \right) _ { i , j , g } ^ { n + 1 } } } \end{array}
S _ { i j } ( k , t ) \sim \int d \eta \, \rho _ { \mathrm { p } } ( \eta ) f _ { \mathrm { s t a t } } ( \varepsilon ( \eta ) ) \, \frac { \partial \varepsilon ( \eta ) } { \partial \beta _ { i } } \frac { \partial \varepsilon ( \eta ) } { \partial \beta _ { j } } e ^ { \mathrm { i } k t v ^ { \mathrm { e f f } } ( \eta ) }
\begin{array} { r l } { P _ { n } } & { { } = - a v _ { I } , } \\ { P _ { t } } & { { } = \sum _ { m _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } } \binom { N _ { I } } { m _ { i } } y _ { i } ^ { m _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - m _ { i } } } \\ { P _ { u } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { T } ( 1 - w ) } \left\{ 1 - \left[ 1 + ( w - 1 ) y _ { i } \right] ^ { N _ { I } } \right\} - a v _ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { p _ { n } ( x ) } & { { } = { \frac { p _ { 0 } } { a } } { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } } & { | x | } & { { } \leq a } & { a ^ { 2 } } & { { } = { \frac { 4 F _ { n } R } { \pi E ^ { * } } } } \\ { p _ { 0 } } & { { } = { \frac { 2 F _ { n } } { \pi a } } } & { } & { { } } & { E ^ { * } } & { { } = { \frac { E } { 2 \left( 1 - \nu ^ { 2 } \right) } } } & { } \end{array}
\begin{array} { r } { W ( \mathbf { r } ^ { N } ) = \frac { 1 } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \hat { \rho } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) - \frac { N u ( 0 ) } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial w } { \partial y } - \frac { \partial v } { \partial z } } & { = \frac { w _ { i + 1 , j , k } ^ { t } - w _ { i - 1 , j , k } ^ { t } } { y _ { i + 1 } - y _ { i - 1 } } - \frac { v _ { i , j + 1 , k } ^ { t } - v _ { i , j + 1 , k } ^ { t } } { z _ { j + 1 } - z _ { j - 1 } } } \\ { \frac { \partial u } { \partial z } - \frac { \partial w } { \partial x } } & { = \frac { u _ { i + 1 , j , k } ^ { t } - u _ { i - 1 , j , k } ^ { t } } { z _ { i + 1 } - z _ { i - 1 } } - \frac { w _ { i , j + 1 , k } ^ { t } - w _ { i , j + 1 , k } ^ { t } } { x _ { j + 1 } - x _ { j - 1 } } } \\ { \frac { \partial v } { \partial x } - \frac { \partial u } { \partial y } } & { = \frac { v _ { i + 1 , j , k } ^ { t } - v _ { i - 1 , j , k } ^ { t } } { x _ { i + 1 } - x _ { i - 1 } } - \frac { u _ { i , j + 1 , k } ^ { t } - u _ { i , j + 1 , k } ^ { t } } { y _ { j + 1 } - y _ { j - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \chi ^ { 2 } } ( y ) } & { = \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \left( \frac { 1 } { l ( s , y ) } - 1 \right) ^ { 2 } \leq \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \left( \frac { 1 } { \Psi ( y ) } - 1 \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 1 } { \Psi ( y ) } - 1 \right) ^ { 2 } \leq \left( \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { l } } - 1 \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 2 } ( \alpha , \beta ) } & { = \langle [ \Delta G ^ { ( 2 ) } ( I _ { 0 } , \alpha , \beta ) - \langle \Delta G ^ { ( 2 ) } ( I _ { 0 } , \alpha , \beta ) \rangle ] ^ { 2 } \rangle } \\ & { = \langle ( I _ { 0 } - \langle I _ { 0 } \rangle ) ^ { 2 } \rangle \times | t ( \alpha ) | ^ { 4 } \mathrm { s i n c } ^ { 4 } ( \frac { 2 \pi R } { \lambda z } ( \alpha - \beta ) ) . } \end{array}
L ( \theta , { \widehat { \theta } } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { { \mathrm { f o r ~ } } | \theta - { \widehat { \theta } } | < K } \\ { L , } & { { \mathrm { f o r ~ } } | \theta - { \widehat { \theta } } | \geq K . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { o u t p u t } } ^ { \mathrm { C N N } } [ \widetilde { F } , \theta ] } & { : = \frac { 1 } { B } \sum _ { t = 1 } ^ { B } d ( b _ { \theta _ { n } , t } , b _ { t } ) } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { h i d d e n } } ^ { \mathrm { C N N } } [ \widetilde { F } , \theta _ { n } , \{ V _ { n , t } \} _ { t = 1 } ^ { B } ] } & { : = \frac { 1 } { B } \sum _ { t = 1 } ^ { B } \left\| V _ { n , t } ( h _ { \theta _ { n } , t } ) - h _ { t } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) } & { = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \; \; p ^ { 2 } \delta ( \omega + E _ { 0 } - p ^ { 2 } / 2 - V ( q ) ) } \\ & { } & { \times \; \rho _ { 0 , \mathrm { W } } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 - x ^ { n } } { 1 - x } } \, d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 - ( 1 - u ) ^ { n } } { u } } \, d u } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { e F H } } } & { = } & { - J \sum _ { l , \lambda } \left( \hat { c } _ { l , \lambda } ^ { \dag } \hat { c } _ { l + 1 , \lambda } + \mathrm { h . c . } \right) } \\ & { } & { + V \sum _ { l , \lambda , \lambda ^ { \prime } } \hat { n } _ { l , \lambda } \hat { n } _ { l + 1 , \lambda ^ { \prime } } + U \sum _ { l } \hat { n } _ { l , \uparrow } \hat { n } _ { l , \downarrow } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { m } ( j ) } & { = \frac { ( 2 j + 1 ) \cdots ( 2 j + m ) } { m ! } + e ^ { - \frac { \gamma } { 2 } } I _ { m } ( j ) + \sum _ { k \ge 1 } \frac { ( k + 2 j + 1 ) \cdots ( k + 2 j + m - 1 ) e ^ { - \frac { \gamma } { 2 } k } } { ( m - 1 ) ! } } \\ & { = \frac { ( 2 j ) ( 2 j + 1 ) \cdots ( 2 j + m - 1 ) } { m ! } + e ^ { - \frac { \gamma } { 2 } } I _ { m } ( j ) + I _ { m - 1 } ( j ) \, . } \end{array}
5 F _ { 1 4 } ^ { 2 } = 7 1 0 6 4 5 \equiv 0 { \pmod { 2 9 } } \; \; { \mathrm { ~ a n d ~ } } \; \; 5 F _ { 1 5 } ^ { 2 } = 1 8 6 0 5 0 0 \equiv 5 { \pmod { 2 9 } }
\begin{array} { r l } & { \frac { ( B ^ { x } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 , k + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { x } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 , k + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta t } = } \\ & { \phantom { m m m m m m m m m } - \left( \frac { [ \{ \{ ( E ^ { z } ) ^ { n } \} _ { i + \frac 1 2 } ] _ { j + \frac 1 2 } \} _ { k + \frac 1 2 } } { 4 \Delta y } - \frac { \{ [ \{ ( E ^ { y } ) ^ { n } \} _ { i + \frac 1 2 } ] _ { k + \frac 1 2 } \} _ { k + \frac 1 2 } } { 4 \Delta z } \right) } \\ & { \frac { ( B ^ { y } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 , k + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { y } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 , k + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta t } = } \\ & { \phantom { m m m m m m m m m } - \left( \frac { [ \{ \{ ( E ^ { x } ) ^ { n } \} _ { i + \frac 1 2 } \} _ { j + \frac 1 2 } ] _ { k + \frac 1 2 } } { 4 \Delta z } - \frac { \{ \{ [ ( E ^ { z } ) ^ { n } ] _ { i + \frac 1 2 } \} _ { j + \frac 1 2 } \} _ { k + \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } \right) } \\ & { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 , k + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 , k + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta t } = } \\ & { \phantom { m m m m m m m m m } - \left( \frac { \{ \{ [ ( E ^ { y } ) ^ { n } ] _ { i + \frac 1 2 } \} _ { j + \frac 1 2 } \} _ { k + \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } - \frac { \{ [ \{ ( E ^ { x } ) ^ { n } \} _ { i + \frac 1 2 } ] _ { j + \frac 1 2 } \} _ { k + \frac 1 2 } } { 4 \Delta y } \right) } \\ & { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j k } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j k } ^ { n } } { \Delta t } = \frac { \{ [ \{ ( B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \} _ { i \pm \frac 1 2 } ] _ { j \pm \frac 1 2 } \} _ { k \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta y } - \frac { [ \{ \{ ( B ^ { y } ) ^ { n + 1 } \} _ { i \pm \frac 1 2 } \} _ { j \pm \frac 1 2 } ] _ { k \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta z } } \\ & { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j k } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j k } ^ { n } } { \Delta t } = \frac { [ \{ \{ ( B ^ { x } ) ^ { n + 1 } \} _ { i \pm \frac 1 2 } \} _ { j \pm \frac 1 2 } ] _ { k \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta z } - \frac { \{ \{ [ ( B ^ { z } ) ^ { n + 1 } ] _ { i \pm \frac 1 2 } \} _ { j \pm \frac 1 2 } \} _ { k \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } } \\ & { \frac { ( E ^ { z } ) _ { i j k } ^ { n + 1 } - ( E ^ { z } ) _ { i j k } ^ { n } } { \Delta t } = \frac { \{ \{ [ ( B ^ { y } ) ^ { n + 1 } ] _ { i \pm \frac 1 2 } \} _ { j \pm \frac 1 2 } \} _ { k \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } - \frac { \{ [ \{ ( B ^ { x } ) ^ { n + 1 } \} _ { i \pm \frac 1 2 } ] _ { j \pm \frac 1 2 } \} _ { k \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta y } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { y } } & { = } & { 2 m _ { t } g \Big ( \big ( c _ { \mathrm { p } } \sin \alpha \cos \phi ( \omega t ) + r _ { \mathrm { p } } \sin \phi ( \omega t ) \big ) \big ( \cos \beta + \sin \beta \cos \phi ( \omega t ) \: \mathrm { s g n } ( \cos \omega t ) \big ) - } \\ & { } & { c _ { \mathrm { p } } \cos \alpha \big ( \sin \beta - \cos \beta \cos \phi ( \omega t ) \: \mathrm { s g n } ( \cos \omega t ) \big ) \Big ) \cos ^ { 2 } \omega t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { \tau } } & { f _ { N } ( \psi ( t ) , \, u ( t ) ) \, d t } \\ & { \geq \int _ { a } ^ { \tau } \frac { 1 } { N } \left( \| \psi ( t ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } + \| u ( t ) - u ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } \right) ^ { 2 } \, d t } \\ & { = \int _ { a } ^ { \tau } \frac { 1 } { N } \left( \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| \psi _ { k } ( t ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } } + \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| u _ { k } ( t ) - u ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \, d t } \\ & { = \int _ { a } ^ { \tau } \frac { 1 } { N } \left( { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| \psi _ { k } ( t ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } } + { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| u _ { k } ( t ) - u ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } } \right) \, d t } \\ & { \quad + \ \int _ { a } ^ { \tau } \frac { 2 } { N } \sqrt { \sum _ { k , l = 1 } ^ { N } \| \psi _ { k } ( t ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } \, \| u _ { l } ( t ) - u ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } } \, d t } \\ & { \geq \int _ { a } ^ { \tau } \frac { 1 } { N } \left( { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| \psi _ { k } ( t ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } } + { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| u _ { k } ( t ) - u ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } } \right) \, d t . } \end{array}
u ( e ^ { i \theta } ) = { \frac { a _ { 0 } } { 2 } } + \sum _ { k \geqslant 1 } a _ { k } \cos ( k \theta ) + b _ { k } \sin ( k \theta ) \longrightarrow v ( e ^ { i \theta } ) = \sum _ { k \geqslant 1 } a _ { k } \sin ( k \theta ) - b _ { k } \cos ( k \theta ) .
{ \cal I } _ { \mathrm { d e g } } ^ { \mathrm { h e t } } = \frac { V ^ { ( 8 ) } T _ { 2 } } { 2 ^ { 8 } \pi ^ { 4 } } t _ { 8 } F _ { + } ^ { 4 - l } F _ { - } ^ { l } \Delta _ { F _ { + } ^ { 4 - l } F _ { - } ^ { l } } ^ { \mathrm { d e g } } ( T _ { 2 } , U ) \leftrightarrow { \cal I } _ { \mathrm { 1 - l o o p } } ^ { \mathrm { I } } \, .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 1 } \to 0 ^ { + } } \hat { \theta } _ { 2 5 } ( \theta _ { 1 } ) = 0 \, \, < \, \, \frac \pi 2 = \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 1 } \to 0 ^ { + } } \theta _ { \mathrm { s t d y } } ^ { \mathrm { d } } ( 1 , | D \varphi _ { 2 } ( P _ { 0 } ^ { 1 } ) | ) \, . } \end{array}
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ^ { \prime } ) \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) \mu ^ { \ast } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ^ { \prime } , f ) d f _ { 1 } d f _ { 2 } d f _ { 2 } ^ { \prime }
\begin{array} { r } { \frac { H _ { p } } { H _ { \theta } } = { \varepsilon } ^ { \alpha } \, , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } { \varepsilon } = { O } \! \left( 1 0 ^ { - 1 } \right) \quad \alpha = 0 , 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big ( \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } - ( \mathbf { u } _ { 1 } d _ { \Gamma } + \mathbf { u } _ { 0 } d _ { 1 } ) \eta ^ { \prime } \big ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } = - \sum _ { i \in \{ 0 , \frac { 1 } { 2 } \} } \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { i } \nabla d _ { 1 - i } - \operatorname { d i v } _ { x } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } - \mathbf { u } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } \eta ^ { \prime } \rho } \\ & { \qquad + \eta ^ { \prime } \sum _ { i \in \{ \frac { 1 } { 2 } , 1 \} } \mathbf { u } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { i } d _ { 1 - i } + \eta ^ { \prime } \sum _ { i \in \{ 0 , \frac { 1 } { 2 } \} } \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \nabla d _ { i } d _ { \frac { 1 } { 2 } - i } . } \end{array}
F ( \rho , \sigma ) = \left[ \operatorname { t r } { \sqrt { \rho \sigma } } \right] ^ { 2 } = \left( \sum _ { k } { \sqrt { p _ { k } q _ { k } } } \right) ^ { 2 } = F ( { \boldsymbol { p } } , { \boldsymbol { q } } ) ,
\begin{array} { r } { \lambda _ { d } = \frac { 1 } { 3 } c _ { d } v _ { d } ^ { 2 } \tau _ { d } , \quad \lambda _ { b } = \frac { 1 } { 3 } c _ { b } v _ { b } ^ { 2 } \tau _ { b } , \quad v _ { d } = \frac { l _ { d } } { \tau _ { d } } , \quad v _ { b } = \frac { l _ { b } } { \tau _ { b } } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - \left( \gamma + \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } - \frac { \mu } { r ^ { d - 3 } } \right) d t ^ { 2 } + \frac { d r ^ { 2 } } { \left( \gamma + \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } - \frac { \mu } { r ^ { d - 3 } } \right) } + r ^ { 2 } d \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } a _ { \mu } = \delta _ { \mu a } a _ { \mu } - } & { \frac { i \kappa _ { a } } { 2 } \big ( a _ { \mu } - \widehat \delta _ { \mu , 0 } { \cal H } \big ) } \\ & { - \gamma _ { 2 a } \sum _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \widehat \delta _ { \mu , \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } b _ { \mu _ { 1 } } a _ { \mu _ { 2 } } ^ { * } } \\ & { - \gamma _ { 3 a } \sum _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } \widehat \delta _ { \mu , \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } - \mu _ { 3 } } a _ { \mu _ { 1 } } a _ { \mu _ { 2 } } a _ { \mu _ { 3 } } ^ { * } } \\ & { - 2 \gamma _ { 3 a } \sum _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } \widehat \delta _ { \mu , \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } - \mu _ { 3 } } a _ { \mu _ { 1 } } b _ { \mu _ { 2 } } b _ { \mu _ { 3 } } ^ { * } , } \\ { i \partial _ { t } b _ { \mu } = \delta _ { \mu b } b _ { \mu } - } & { \frac { i \kappa _ { b } } { 2 } b _ { \mu } } \\ & { - \gamma _ { 2 b } \sum _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \widehat \delta _ { \mu , \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } a _ { \mu _ { 1 } } a _ { \mu _ { 2 } } } \\ & { - \gamma _ { 3 b } \sum _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } \widehat \delta _ { \mu , \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } - \mu _ { 3 } } b _ { \mu _ { 1 } } b _ { \mu _ { 2 } } b _ { \mu _ { 3 } } ^ { * } } \\ & { - 2 \gamma _ { 3 b } \sum _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } \widehat \delta _ { \mu , \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } - \mu _ { 3 } } b _ { \mu _ { 1 } } a _ { \mu _ { 2 } } a _ { \mu _ { 3 } } ^ { * } . } \end{array}
p _ { g } ( w , s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) = \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { \frac { N - 3 } { 2 } } \left[ \left( 1 - w \right) e ^ { - \frac { \mu _ { t _ { b } } - \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { b } - \sigma _ { a } } { 2 } s w } + \left( 1 + w \right) e ^ { \frac { \mu _ { t _ { b } } - \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { b } - \sigma _ { a } } { 2 } s w } \right] ,
\begin{array} { r l } { \dot { V } _ { u } ( y ) } & { \leq 2 \Big ( \frac { \omega } { 2 } - \epsilon \Big ) \frac { \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \frac { \| y \| _ { X } ^ { 2 } } { 1 + \| y \| _ { X } ^ { 2 } } - \frac { 2 \hat { \alpha } ( \| y \| _ { X } ^ { 2 } ) } { 1 + \| y \| _ { X } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \omega } \| v \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , L ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert \leq m } \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { v } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { r } \cdot ( E ^ { u , \varrho } - v ) \frac { \vert \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } f \vert ^ { 2 } } { 2 } \leq ( 1 + \Vert E ^ { u , \varrho } ( t ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } ) \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \prime } } & { { } : = \left[ \hat { T } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } - w ~ \sqrt { \mathrm { v a r } ( \hat { T } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) } \right] ^ { 2 } } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \prime } } & { { } : = \widehat { \bar { n } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } + w ~ \sqrt { \mathrm { v a r } ( \widehat { \bar { n } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = } & { \Delta _ { a } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \Delta _ { b } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } + \Delta _ { c } \hat { c } ^ { \dagger } \hat { c } + \mathcal { X } _ { b } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } + \mathcal { X } _ { c } \hat { c } ^ { \dagger } \hat { c } \hat { c } ^ { \dagger } \hat { c } } \\ & { + G _ { a b } \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { b } + \hat { a } \hat { b } ^ { \dagger } \right) + \mathrm { g } _ { b c } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } \hat { c } ^ { \dagger } \hat { c } + \mathrm { i } \Omega _ { b } \left( \hat { b } ^ { \dagger } - \hat { b } \right) } \\ & { + \mathrm { i } \Omega _ { c } \left( \hat { c } ^ { \dagger } - \hat { c } \right) + \mathrm { i } \mathcal { E } _ { p } \left( \hat { a } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { p } t } - \hat { a } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \Delta _ { p } } t \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lefteqn ( \; \epsilon _ { B _ { \mathcal C } ^ { * } } \otimes 1 _ { X } ) ( 1 \otimes { \mathsf d } _ { B _ { \mathcal C } } \otimes 1 _ { X } ) ( 1 _ { B _ { \mathcal C } ^ { * } } \otimes \sigma _ { B _ { \mathcal C } , X } \sigma _ { X , B _ { \mathcal C } } ) ( \eta _ { B _ { \mathcal C } } \otimes 1 _ { X } ) } \\ { = \left\{ \begin{array} { c l } { \Delta _ { \mathcal { C } } \, \, 1 _ { X } } & { \textrm { i f X i s a t r a n s p a r e n t o b j e c t } , } \\ { 0 } & { \textrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \, \right. } \end{array}
E ( \xi , T _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 6 . 0 4 1 + 0 . 9 6 6 { \, \log _ { 1 0 } } { \xi } \mathrm { \; G P a , \ } } & { \xi < 2 1 2 0 \mathrm { \, H z } } \\ { 9 . 2 5 4 \mathrm { \; G P a , \ } } & { \xi \geqslant 2 1 2 0 \mathrm { \, H z } } \end{array} \right. \, ,
\left( \begin{array} { l } { { \lambda _ { - } } } \\ { { \lambda _ { + } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \sin k _ { 2 } x _ { 2 } } } \\ { { \cos k _ { 2 } x _ { 2 } } } \end{array} \right) e ^ { i ( \omega t - k _ { 1 } x _ { 1 } ) } \ \ \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \ \ \ k _ { 2 } = \left( n + \mathrm { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \right) \mathrm { ~ \frac { \ p i } { L } ~ } \, ,
\Delta _ { d i m } ( c ) = \frac { \Gamma ( 2 c - 2 ) \Gamma ^ { 2 } ( 3 - c ) } { 2 \Gamma ^ { 2 } ( c ) \Gamma ( 6 - 2 c ) } \{ \frac { 2 ( 5 - 2 c ) ^ { 2 } } { c - 2 } + \frac { 1 } { c - 2 } { } _ { 3 } F _ { 2 } ( 1 , 4 - c , 2 - c ; c , 7 - 2 c ; 1 ) +
\begin{array} { r } { B V _ { U } ( \Omega , \mathbb { R } ^ { m } ) = \left\{ \begin{array} { l } { u \in B V ( \Omega , \mathbb { R } ^ { m } ) : \mathrm { t h e r e ~ i s ~ a ~ s e q u e n c e ~ } u _ { j } \in \mathcal { D } ( \Omega , \mathbb { R } ^ { m } ) } \\ { \quad \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } u _ { j } \xrightarrow { \mathrm { w e a k * ~ i n ~ B V } } u - U } \end{array} \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \bar { A } _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } - \lvert A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } \rvert - 2 \phi _ { 2 } G ) U e } & { = ( \bar { A } _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } - ( \lvert A _ { \phi _ { 1 } } \rvert - \phi _ { 2 } ) - 2 \phi _ { 2 } G ) U e } \\ & { = ( \bar { A } _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } - ( 2 D _ { \phi _ { 1 } } - \langle A _ { \phi _ { 1 } } \rangle - \phi _ { 2 } ) - 2 \phi _ { 2 } G ) U e } \\ & { \geq 2 ( \bar { A } _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } - D _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } G ) U e } \\ & { \geq 0 . } \end{array}
S _ { \mathrm { e f f } } [ h ] = { \frac { 1 } { 2 } } \int \biggl ( ( \mathrm { e } ^ { - \phi } Q _ { A } \mathrm { e } ^ { \phi } ) ( \mathrm { e } ^ { - \phi } \eta _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \phi } ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } d t ( \mathrm { e } ^ { - t \phi } \partial _ { t } \mathrm { e } ^ { t \phi } ) \{ ( \mathrm { e } ^ { - t \phi } Q _ { A } \mathrm { e } ^ { t \phi } ) , ( \mathrm { e } ^ { - t \phi } \eta _ { 0 } \mathrm { e } ^ { t \phi } ) \} \biggr ) ,
\begin{array} { r } { \mathrm { L e t } \qquad \qquad \phi ( \xi , \xi _ { 0 } ; Z ) \equiv \! \! \int _ { \xi _ { 0 } } ^ { \xi } \! \! \! \! d \eta \, \sqrt { \frac { K \check { n } \, \mu ^ { 2 } } { \hat { s } ^ { 3 } } ( \eta , Z ) } , \qquad \Gamma ( \xi , \! Z ) \equiv \left\{ \! \frac { \widetilde { n _ { 0 } } ( Z ) \, \mu ^ { 2 } ( \xi ) } { [ \check { n } \hat { s } ^ { 3 } ] ( \xi , \! Z ) } \right\} ^ { 1 / 4 } } \\ { \hat { \sigma } _ { a } ( \xi , \! Z ) \equiv \! \! \int _ { 0 } ^ { \xi } \! \! \! \! d \eta \, K \, \left[ \check { n } ( \eta , \! Z ) \! - \! \widetilde { n _ { 0 } } ( Z ) \right] \frac { \Gamma ( \eta , \! Z ) } { \Gamma ( \xi , \! Z ) } \cos [ \phi ( \xi , \! \eta ; Z ) ] , } \\ { \hat { J } _ { a } ( \xi , \! Z ) \equiv 1 + \Gamma ( \xi , \! Z ) \, \sqrt { \! K \widetilde { n _ { 0 } } ( Z ) } \! \int _ { 0 } ^ { \xi } \! \! \! \! d \eta \, \left[ 1 \! - \! \frac { \check { n } ( \eta , \! Z ) } { \widetilde { n _ { 0 } } ( Z ) } \right] \Gamma ( \eta , \! Z ) \, \sin \left[ \phi ( \xi , \! \eta ; \! Z ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \varepsilon } ^ { i } ( \xi , T ) } & { { } = \int _ { D } \mathbb { \tilde { P } } ^ { \xi \rightarrow \eta } \left[ \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( \psi ; T ) 1 _ { \{ T < \zeta ( \psi ) \} } \right] W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , T , \xi ) \textrm { d } \eta } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { x _ { t } } & { = \sigma _ { t } ( x _ { 1 } , i _ { 1 } , j _ { 1 } , \dots , x _ { t - 1 } , i _ { t - 1 } , j _ { t - 1 } ) } & { \alpha _ { t } } & { = \prod _ { s = 1 } ^ { t - 1 } ( 1 - x _ { s } ) } \\ { g _ { t } } & { = g _ { \alpha _ { t } , \lambda _ { t } } } & { r _ { t } } & { = g _ { t } ( x _ { t } , j _ { t } ) . } \end{array}