harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { = \frac { x } { U _ { e } } U _ { o } \Big \{ ( U _ { o _ { 1 } } + \Delta _ { 1 } U _ { o _ { 2 } } ) \frac { d u _ { x } } { d x } + u _ { * } \frac { d U _ { o _ { 1 } } + \Delta _ { 1 } U _ { o _ { 2 } } } { d x } } \\ { + ( R e _ { * } ^ { - 1 } U _ { o _ { 3 } } + \Delta _ { 2 } U _ { o _ { 4 } } ) \frac { d u _ { * } } { d x } + u _ { * } \frac { d } { d x } ( R e _ { * } ^ { - 1 } U _ { o _ { 3 } } + \Delta _ { 3 } U _ { o _ { 4 } } ) \Big \} } \\ { = \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \big ( U _ { o _ { 1 } } + \Delta _ { 1 } U _ { o _ { 2 } } + R e _ { * } ^ { - 1 } U _ { o _ { 3 } } + \Delta _ { 3 } U _ { o _ { 4 } } \big ) ^ { 2 } \frac { - 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } } \\ { + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \Big \{ \frac { d U _ { o 1 } } { d y _ { o } } ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { U _ { o 2 } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + \Delta _ { 1 } \frac { d U _ { o 2 } } { d y _ { o } } ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { \lambda } ( \mathbf { r } ) } & { = v _ { \mathrm { e x t } } ( \mathbf { r } ) + ( 1 - \lambda ) v _ { \mathrm { H } } ( \mathbf { r } ) + ( 1 - \lambda ) v _ { \mathrm { x } } ( \mathbf { r } ) } \\ & { + \lbrack v _ { \mathrm { c } , 1 } ( \mathbf { r } ) - v _ { \mathrm { c } , \lambda } ( \mathbf { r } ) \rbrack } \end{array}
\delta \theta _ { i } = [ \theta _ { i } , \epsilon _ { n } g _ { n + 1 / 2 } + \alpha _ { n } l _ { n } ] = \epsilon _ { n } x _ { i } ^ { n + 1 } + \frac { ( n + 1 ) } { 2 } \alpha _ { n } \theta _ { i } x _ { i } ^ { n } \quad ,
\left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle = { \frac { \nu j _ { 0 } } { j ( j + 1 ) } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad B _ { j } = { \sqrt { \frac { ( j ^ { 2 } - j _ { 0 } ^ { 2 } ) ( j ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) } { 4 j ^ { 2 } - 1 } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { \alpha } _ { j } ( g ) } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } } & { = - \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \frac { e ^ { \frac { \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( g ) } { \tau ^ { 2 } } } e ^ { \frac { \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } { \tau ^ { 2 } } } } { \left( \sum _ { \kappa \in \mathbb { F } _ { q } } e ^ { \frac { \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( \kappa ) } { \tau ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \boldsymbol { \alpha } _ { j } ( g ) \boldsymbol { \alpha } _ { j } ( h ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { D S } } & { = } & { 1 + \frac { ( \alpha ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } ) \exp { [ \alpha ( x - \beta _ { 1 } t ) - d ] } } { 2 a ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \cosh { [ \alpha ( x - \beta _ { 1 } t ) + d ] } } , } \\ { \psi _ { B S } } & { = } & { \frac { i ( \alpha ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } ) \exp { ( 1 / 2 i \alpha ^ { 2 } t - d ) } } { 2 a ^ { 2 } \alpha \cosh { [ \alpha ( x - \beta _ { 1 } t ) + d ] } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { X } \cdot \nabla \mathcal { A } + \nabla \mathcal { X } \cdot \mathcal { A } - \nabla ( \mathcal { A } \cdot \mathcal { X } ) = - \left( \nabla _ { q } E ( q ) , G ^ { - 1 } p \right) . } \end{array}
x _ { \star } \, = \int _ { 0 } ^ { z _ { \star } } \frac { \mathrm { d } z } { \, [ \, \Omega _ { M } ( 1 + z ) ^ { 3 } + \Omega _ { R } ( 1 + z ) ^ { 4 } \, ] ^ { 1 / 2 } } \, .
\bar { u } _ { i } ^ { \dag } { { \bar { S } } _ { i j } } \bar { u } _ { j } ^ { \dag } < 0 \; \left( { - \bar { u } _ { i } ^ { \dag } { { \bar { S } } _ { i j } } \bar { u } _ { j } ^ { \dag } > 0 } \right)
\Delta _ { C L C Q } ( x ^ { + } , x ^ { - } ) = - { \frac { i } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d p ^ { + } } { p ^ { + } } } \sin [ { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { m ^ { 2 } x ^ { + } } { p ^ { + } } } + p ^ { + } x ^ { - } ] \hat { f } ^ { 2 } ( p ^ { + } ) .
- \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } \int \int d ^ { 3 } x \nabla _ { \perp } \boldsymbol { \cdot } \left( \frac { n _ { e } m _ { e } c ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } ( \textbf { x } ) } \nabla _ { \perp } \Psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) \hat { \chi } ( \textbf { x } ) \right) d t .
{ \cal B } _ { \Sigma } \, \, = \, \, \displaystyle { \int } { d } ^ { 3 } x \, \displaystyle { \, s u m _ { \Phi = A _ { \mu } ^ { a } , \, c ^ { a } , \, \Psi _ { _ A } , \, \varphi _ { i } } ^ { } } \left( { \displaystyle { \ \frac { \delta \Sigma } { \delta \Phi ^ { * } } } } { \displaystyle { \frac { \delta } { \delta \Phi } } } + { \displaystyle { \frac { \delta \Sigma } { \delta \Phi } } } { \displaystyle { \ \frac { \delta } { \delta \Phi ^ { * } } } } \right) \, + b \, .
{ * } \mathrm { d } { * } F = \frac { k } { \alpha } \frac { J ^ { \flat } } { c } \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \nabla \cdot E } = k \rho } \\ { \boldsymbol { \nabla \times B } = \frac { k } { \alpha } \frac { \boldsymbol { J } } { c } + L _ { e _ { 0 } } \frac { \boldsymbol { E } } { \alpha } } \end{array} \right.
M _ { D } ^ { \dagger } M _ { D } = \frac { m ^ { 2 } } 2 \left[ \begin{array} { l l l } { { 2 \lambda ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { \cos ( 2 \theta ) e ^ { i \beta } } } \\ { { 0 } } & { { \cos ( 2 \theta ) e ^ { - i \beta } } } & { { 1 } } \end{array} \right]
R _ { l } ^ { \prime \prime } + { \frac { 1 } { \rho } } R _ { l } ^ { \prime } - \left( { \frac { l } { \rho } } - e A _ { \varphi } \right) ^ { 2 } R _ { l } + p _ { \perp } ^ { 2 } \; R _ { l } = 0
\begin{array} { r l } & { P \left( \mathbf { X ^ { \prime } } \right) = \frac { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { X } \right) } { P \left( \mathbf { Y } \right) } , } \\ & { \implies \ln \frac { P \left( \mathbf { X ^ { ' } } \right) } { P \left( \mathbf { X } \right) } = \ln \frac { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } \right) } { P \left( \mathbf { Y } \right) } . } \\ & { \implies \int P \left( \mathbf { X ^ { ' } } , \mathbf { X } , \mathbf { Y } \right) \ln \left( \frac { P \left( \mathbf { X ^ { ' } } \right) } { P \left( \mathbf { X } \right) } \right) d \mathbf { X ^ { ' } } d \mathbf { X } d \mathbf { Y } } \\ & { = \int P \left( \mathbf { X ^ { ' } } , \mathbf { X } , \mathbf { Y } \right) \ln \left( \frac { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } \right) } { P \left( \mathbf { Y } \right) } \right) d \mathbf { X ^ { ' } } d \mathbf { X } d \mathbf { Y } } \\ & { \implies \Big \langle D \left( \mathbf { X ^ { ' } } \mid \mid \mathbf { X } \right) \Big \rangle _ { P ( \mathbf { X ^ { ' } } \mid \mathbf { X } ) } = \tilde { \beta } I \left( \mathbf { Y } , \mathbf { X } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { p _ { 0 } } & { = \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } , } & { \mu _ { 0 } J \delta } & { = 2 B _ { 0 } , } & { J } & { = n e \gamma _ { 0 } v _ { 0 } = e n _ { 0 } v _ { 0 } , } \\ { p _ { 0 } } & { = P _ { + } + P _ { - } , } & { P _ { + } } & { = n _ { + } T _ { + } = n _ { 0 } T , } & { P _ { - } } & { = n _ { - } T _ { - } = \frac { \xi } { \gamma _ { 0 } } n _ { 0 } T , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } / \hbar \approx \omega _ { B } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime \dagger } \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime } ) + V _ { 1 } \Delta ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime \dagger } \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime } + \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime } ) + V _ { 2 } N \Omega ^ { 2 } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime \dagger } + \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime \dagger } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { v _ { n } ^ { x c , \sigma } } & { = \int \Psi _ { n \sigma } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) v ^ { x c , \sigma } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Psi _ { n \sigma } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) d \mathbf { r } _ { 1 } } \\ { \Sigma _ { n } ^ { \sigma } ( \omega ) } & { = \int \Psi _ { n \sigma } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Sigma ^ { \sigma } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) \Psi _ { n \sigma } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) d \mathbf { r } _ { 1 } d \mathbf { r } _ { 2 } } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial a _ { i } } = \oint _ { \beta _ { i } } \lambda , \ \ \, f r a c { \partial F } { \partial T _ { n } } = - 2 \pi i \, m b o x { r e s } \Big ( z ^ { - n } \lambda \Big ) , \ \ \, f r a c { \partial F } { \partial T _ { 0 } } = - 2 \pi i \, \int _ { z _ { * } = 0 } ^ { z = 0 } \lambda ,
\begin{array} { r } { \textrm { L D O S } ( \mathbf { x } , \omega ) = \operatorname { I m } \operatorname { T r } \left[ \frac { 1 } { \pi \omega } \mathbb { G } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } , \omega ) \right] . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { E _ { x } ^ { 0 } } \\ { E _ { y } ^ { 0 } } \\ { E _ { z } ^ { 0 } } \end{array} \right] _ { R a d } = A \left[ \begin{array} { c } { \left( - i I _ { 1 1 } \right) \cos \phi } \\ { \left( - i I _ { 1 1 } \right) \sin \phi } \\ { I _ { 1 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { \xi ^ { F } = U _ { A } ^ { - 1 } ( R _ { 0 } ^ { M } ) - \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { H } _ { A } ( X _ { 0 } , z ( t ) , \gamma ( t ) ) d t \; , } \\ & { \xi _ { j } ^ { V } = \int _ { 0 } ^ { T } ( X _ { t } ^ { j } - X _ { 0 } ^ { j } ) \pi _ { j } ^ { D } ( t ) d t + \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { T } \pi _ { j } ^ { V } ( t ) d \langle X _ { \cdot } ^ { j } \rangle _ { t } \; , } \end{array}
\langle 6 ( n ^ { p } n ^ { q } - \frac { 1 } { 3 } \delta ^ { p q } ) S _ { c } ^ { p } S _ { b } ^ { q } \rangle = - \frac { 1 } { 4 { \bf { L } } ^ { 2 } - 3 } ( 6 ( { \bf { L } } { \bf { S } } ) ^ { 2 } + 3 ( { \bf { L } } { \bf { S } } ) - 2 { \bf { L } } ^ { 2 } { \bf { S } } ^ { 2 } ) \; .
\everymath { \displaystyle } \nabla ^ { 2 } e = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \varepsilon _ { \eta \eta } } & { 0 } & { \varepsilon _ { v \eta } } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha ( 1 / v ) / v } & { - j \left( \alpha ^ { \prime } \left( 1 / v \right) + v \alpha \left( 1 / v \right) \right) / v ^ { 2 } } \\ { 0 } & { \varepsilon _ { v \eta } } & { - j \left( \alpha ^ { \prime } \left( 1 / v \right) + v \alpha \left( 1 / v \right) \right) / v ^ { 2 } } & { \varepsilon _ { v v } + \frac { j ^ { 2 } } { 2 v ^ { 3 } } \left( \alpha ^ { \prime \prime } \left( 1 / v \right) + 4 v \alpha ^ { \prime } \left( 1 / v \right) + 2 v ^ { 2 } \alpha \left( 1 / v \right) \right) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 4 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } h } & { { } = - \partial _ { x } q , } \\ { \partial _ { t } q } & { { } = - \frac { 6 } { 5 } \partial _ { x } \left( \frac { q ^ { 2 } } { h } \right) + \frac { 1 } { 5 \delta } \left( h \left( 1 + \partial _ { x x x } h \right) - \frac { q } { h ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
( \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { a } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { a } _ { M } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { b } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { b } _ { M } } \end{array} \right] ) _ { \boldsymbol { \xi } _ { M } } : = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { a } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { a } _ { M } } \end{array} \right] ^ { T } \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l } { \boldsymbol { \xi } } & { } & { } \end{array} \right] } _ { = : \boldsymbol { \xi } _ { M } } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { b } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { b } _ { M } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { L G } _ { p , \ell } ( r , \, \varphi , \, z ) = A _ { p , \ell } ( r , z ) \cdot \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \frac { k r ^ { 2 } } { 2 R ( z ) } } \cdot \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi _ { p , l } ^ { G } ( z ) } \cdot \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \ell \varphi } , \quad \mathrm { a n d } } \\ & { A _ { p , \ell } ( r , z ) = \sqrt { \frac { 2 p ! } { \pi ( | \ell | + p ) ! } } \cdot \frac { 1 } { w ( z ) } \cdot \mathrm { e } ^ { - \frac { r R { ^ 2 } } { w ^ { 2 } ( z ) } } \cdot \left( \frac { r \sqrt { 2 } } { w ( z ) } \right) ^ { | \ell | } \cdot \mathrm { L } _ { p } ^ { | \ell | } \left( \frac { 2 r ^ { 2 } } { w ^ { 2 } ( z ) } \right) , } \\ & { \phi _ { p , \ell } ^ { G } ( z ) = ( 2 p + | \ell | + 1 ) \, \phi _ { 0 , 0 } ^ { G } ( z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { i } } & { \equiv \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \Gamma ( u ) \mathrm { d } t } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { k _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } \Gamma ^ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } e ^ { i ( k _ { 1 } R + k _ { 2 } S ) t } \mathrm { d } t } \\ & { \qquad + \mathrm { c . c . } } \\ & { = \Gamma ^ { ( 0 , 0 ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \rho \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \sigma \Gamma ( u ( x , \rho , \sigma ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf G } ( { \bf r } , \omega _ { 0 } ) } & { = \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { 4 \pi k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 3 } } \left[ ( k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } + i k _ { 0 } r - 1 ) \mathcal { I } - ( k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } + 3 i k _ { 0 } r - 3 ) \frac { { \bf r } \otimes { \bf r } ^ { \mathrm { T } } } { r ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { | u _ { s _ { 1 } } ^ { \mathsf T } \nabla _ { \theta _ { s _ { 1 } } } ^ { 2 } R _ { 1 } ( \theta ) u _ { s _ { 1 } } | = | u _ { s _ { 1 } } ^ { \mathsf T } \mathrm { d i a g } ( \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( \cdot , \cdot | s _ { 1 } ) ) u _ { s _ { 1 } } - ( u _ { s _ { 1 } } \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( \cdot , \cdot | s _ { 1 } ) ) ^ { 2 } | \le 2 | | u _ { s _ { 1 } } | | _ { \infty } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { m \times n } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) } & { \mathbf { g } \left( \gamma _ { \varepsilon } \right) } & { \cdots } & { \mathbf { g } \left( \gamma _ { n \varepsilon } \right) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \mathbf { g } \left( \gamma _ { \left( m - 1 \right) \varepsilon } \right) } & { \mathbf { g } \left( \gamma _ { m \varepsilon } \right) } & { \cdots } & { \mathbf { g } \left( \gamma _ { \left( m + n - 1 \right) \varepsilon } \right) } \end{array} \right] , } \end{array}
\partial _ { \eta } \overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r _ { \eta } } ( \mathbf { p } ) ) \vert _ { \eta = 0 } = \partial _ { \eta } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \dot { \overline { { \mathbf { W } } } } _ { t _ { 0 } } ^ { \tau } ( \mathbf { p } ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \partial _ { \eta } \dot { \overline { { \mathbf { W } } } } _ { t _ { 0 } } ^ { \tau } ( \mathbf { p } ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau ,
r _ { 1 } ^ { 2 } = \sqrt { Q _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { r _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 } } - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \ , \ r _ { 2 } ^ { 2 } = \sqrt { Q ^ { 2 } + \frac { r _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 } } - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } .
\boldsymbol { \mathbf { D } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) = \varepsilon _ { 0 } \boldsymbol { \mathbf { E } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) + \boldsymbol { \mathbf { P } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t )
- 2 \bar { R } _ { \mu \nu } F ^ { \rho \mu } F _ { \rho } ~ ^ { \nu } - \frac 1 2 ( F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ) ^ { 2 } + \frac 1 2 F ^ { \lambda \nu } F ^ { \mu \rho } F _ { \lambda \mu } F _ { \nu \rho } - 2 ( F _ { \rho } ~ ^ { \nu } F ^ { \rho \mu } ) _ { ; \nu \mu } + ( F _ { \nu \rho } F ^ { \nu \rho } ) ^ { ; \mu } ~ _ { \mu } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ^ { \prime \prime } \approx } & { x _ { 1 } \Bigg [ 1 + \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } \left( \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } - 2 \right) \cos ^ { 2 } \vartheta _ { c } + \frac { \overline { { \beta } } } { \beta } \left( \frac { \overline { { \beta } } } { \beta } - 2 \right) \sin ^ { 2 } \vartheta _ { c } } \\ & { + \frac { \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \frac { \theta } { \kappa } \sin ^ { 2 } \vartheta _ { w } - 2 \frac { \overline { { \beta } } } { \beta } \left( \frac { \overline { { \beta } } } { \beta } - 1 \right) \sqrt { \frac { \theta } { \kappa } } \cos \vartheta _ { c w } \Bigg ] } \\ & { \times \Bigg [ 1 + \frac { \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } \kappa \theta } \sin ^ { 2 } \vartheta _ { c } - \frac { 2 \overline { { \beta } } } { \beta \sqrt { \kappa \theta } } \left( \frac { \overline { { \beta } } } { \beta \kappa } - 1 \right) \cos \theta _ { c w } } \\ & { + \frac { \overline { { \beta } } } { \beta \kappa } \left( \frac { \overline { { \beta } } } { \beta \kappa } - 2 \right) \sin ^ { 2 } \vartheta _ { w } \Bigg ] , } \end{array}
\bar { n } _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { ~ d ~ } \lambda \, n _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \lambda } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) ,
\ { \begin{array} { r l } { \sum F _ { y ^ { \prime } } } & { = \tau _ { \mathrm { n } } d A + \sigma _ { x } d A \cos \theta \sin \theta - \sigma _ { y } d A \sin \theta \cos \theta - \tau _ { x y } d A \cos ^ { 2 } \theta + \tau _ { x y } d A \sin ^ { 2 } \theta = 0 } \\ { \tau _ { \mathrm { n } } } & { = - ( \sigma _ { x } - \sigma _ { y } ) \sin \theta \cos \theta + \tau _ { x y } \left( \cos ^ { 2 } \theta - \sin ^ { 2 } \theta \right) } \end{array} }
{ \mathcal { J } } ( { \hat { T } } ) : = 1 + \exp \left[ - { \frac { 1 + 1 / \zeta } { 1 + \zeta / \left( 1 - { \hat { T } } \right) } } \right] \quad { \mathrm { f o r } } \quad { \hat { T } } : = { \frac { T } { T _ { m } } } \in [ 0 , 1 + \zeta ] ,
\begin{array} { r l r } { m _ { 1 1 } \alpha _ { 1 } + m _ { 1 2 } \alpha _ { 2 } + \hdots + m _ { 1 n } \alpha _ { n } } & { = } & { q _ { 1 } , } \\ { m _ { 2 1 } \alpha _ { 1 } + m _ { 2 2 } \alpha _ { 2 } + \hdots + m _ { 2 n } \alpha _ { n } } & { = } & { q _ { 2 } , } \\ & { \vdots } & \\ { m _ { n 1 } \alpha _ { 1 } + m _ { n 2 } \alpha _ { 2 } + \hdots + m _ { n n } \alpha _ { n } } & { = } & { q _ { n } . } \end{array}
\alpha _ { 2 } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \left( \beta ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) , \ t _ { 2 } \right) = \left( { \frac { 1 } { ( 1 + t _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 1 + t _ { 2 } ^ { 2 } ) } } , \ t _ { 1 } - { \frac { 2 t _ { 1 } } { ( 1 + t _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 1 + t _ { 2 } ^ { 2 } ) } } , \ { \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { ( 1 + t _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 1 + t _ { 2 } ^ { 2 } ) } } , \ t _ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \underset { s , t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } \, \left\Vert \partial _ { x , v } ^ { \beta } \left( \mathrm { X } _ { s , t } ( x , v ) - x - ( 1 - e ^ { t - s } ) v \right) \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb T _ { x } ^ { d } \times \mathbb R _ { v } ^ { d } ) } } & { \leq \varphi ( T ) \Lambda ( T , R ) , \ \ \vert \beta \vert \leq k . } \end{array}
F _ { i } ( g ) : \mathcal { U } \to \mathbb { R } , \quad g \mapsto \langle \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { i } ( g ) , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } = \int _ { T ^ { 1 } S _ { g } } \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { i } ( g ) \mathrm { d } \mu _ { g } ^ { L } = \frac { 1 } { { \mathrm { A r e a } ( S , g ) } } \int _ { S } \mathrm { t r } _ { g } h _ { i } ( g ) \mathrm { d } v _ { g } .
\hat { \mathcal { X } } ^ { \epsilon } = \bigcup _ { j = 1 } ^ { 2 } \big ( \mathcal { X } _ { j } ^ { \epsilon } \cup \omega \mathcal { X } _ { j } ^ { \epsilon } \cup \omega ^ { 2 } \mathcal { X } _ { j } ^ { \epsilon } \cup ( \mathcal { X } _ { j } ^ { \epsilon } ) ^ { - 1 } \cup ( \omega \mathcal { X } _ { j } ^ { \epsilon } ) ^ { - 1 } \cup ( \omega ^ { 2 } \mathcal { X } _ { j } ^ { \epsilon } ) ^ { - 1 } \big )
V = a \omega \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } \, , \qquad b = \frac { { \bar { n } } ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } { n _ { 1 } ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r } { \omega \delta _ { \rho } - k u = 0 , \quad \omega u - k c _ { s } ^ { 2 } \delta _ { \rho } - k u _ { A } ^ { 2 } \delta _ { h } - \omega \frac { u _ { A } ^ { 2 } \delta _ { e } } { c } = 0 , } \\ { \omega \delta _ { h } - k u + i \nu _ { m } ( k ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ) \delta _ { h } = 0 , \quad \omega \delta _ { h } + k c \delta _ { e } = 0 . \qquad } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { L M } } ^ { [ N ] } = \hbar g _ { \mathrm { c } } \sqrt { \omega _ { \bf k } } \cdot \sum _ { j } \sum _ { \bf k } ( \hat { \sigma } _ { j } + \hat { \sigma } _ { j } ^ { \dagger } ) ( \hat { a } _ { \bf k } + \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } ) ,
q _ { \theta } ^ { * } ( z | x ^ { \star } ) = \operatorname * { \arg \operatorname* { m i n } } _ { q _ { \theta } ( z | x ^ { \star } ) \in \mathcal { Q } } D _ { K L } \Big ( q _ { \theta } ( z | x ^ { \star } ) \ | | \ p ( z | x ^ { \star } ) \Big )
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } & { = \int _ { - k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } ^ { k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } d k _ { \parallel } ~ g ( \theta ) \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \omega } { \left( \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 2 } \omega ^ { 2 } } = \frac { \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } { 2 k _ { \perp } \tan \theta _ { \mathrm { m } } } \int _ { - \theta _ { \mathrm { m } } } ^ { \theta _ { \mathrm { m } } } d \theta ~ \frac { d k _ { \parallel } } { d \theta } \times \sqrt { 1 + \cot ^ { 2 } \theta } \times \frac { ( 1 + \tan ^ { 2 } \theta ) \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \omega } { \left( \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 2 } \omega ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } { \tan \theta _ { \mathrm { m } } } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { \mathrm { m } } } d \theta \ \frac { \csc \theta } { \cos ^ { 4 } \theta } \times \frac { \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \omega } { \left( \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 2 } \omega ^ { 2 } } , } \end{array}
\varDelta ^ { 2 } = \frac { 4 \epsilon _ { \mathrm { n e } } \left( 4 \epsilon _ { \mathrm { a n } } - \epsilon _ { \mathrm { d m } } ^ { 2 } / \epsilon _ { \mathrm { n e } } \right) ^ { - 1 } } { 1 + \epsilon _ { \mathrm { a h } } \sin ^ { 2 } \phi / \left[ \epsilon _ { \mathrm { a n } } - \nu \left( M _ { 1 } - M _ { 2 } \right) ^ { 2 } / 2 \right] }
\bar { Q } _ { m r } = 3 \bar { u } _ { r } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } a _ { r } ^ { 2 } + \epsilon \left[ \frac { 1 } { 3 } c _ { 1 } \bar { u } _ { r } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 1 } \bar { u } _ { r } a _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } c _ { 2 } k _ { r } ^ { 2 } - \frac { 3 } { 4 } c _ { 3 } k _ { r } ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \vert \varphi _ { n + 1 , j } } & { ( x , y ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \varphi _ { i , j } ( x ) \vert \leq \rho _ { j } ( x , y , \hat { \theta } ) \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert + \rho _ { j } ( x , y , \hat { \theta } ) \vert y - k ( x , \hat { \theta } ) \vert } \end{array}