harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l l l } { { \sigma _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( z , \lambda ) \ } } & { { = \ } } & { { \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 \pi } \delta ( 1 - z ) \, \biggl \{ 4 \ln \lambda - 2 + \sqrt { 1 + 4 \lambda } \, L } } \\ { { } } & { { + } } & { { \frac { ( 1 + 2 \lambda ) } { \sqrt { 1 + 4 \lambda } } \left[ 3 L ^ { 2 } + 4 L + 4 L i _ { 2 } ( \frac { - d } { a } ) + 2 L \ln \lambda - 4 L \ln ( 1 + 4 \lambda ) + 2 L i _ { 2 } ( \frac { d ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } ) \right] \biggr \} \, } } \\ { { } } & { { + } } & { { \frac { \alpha _ { s } } { 3 \pi } \frac { 1 } { ( 1 + 4 \lambda z ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \biggl \{ \frac { 1 } { [ 1 - ( 1 - \lambda ) z ] ^ { 2 } } \, \bigl [ ( 1 - z ) ( 1 - 2 z - 6 z ^ { 2 } + 8 z ^ { 4 } ) \, } } \\ { { } } & { { + } } & { { 6 \lambda z ( 1 - z ) ( 3 - 1 5 z - 2 z ^ { 2 } + 8 z ^ { 3 } ) \, + \, 4 \lambda ^ { 2 } z ^ { 2 } ( 8 - 7 7 z + 6 5 z ^ { 2 } - 2 z ^ { 3 } ) \, + } } \\ { { } } & { { + } } & { { 1 6 \lambda ^ { 3 } z ^ { 3 } ( 1 - 2 1 z + 1 2 z ^ { 2 } ) - 1 2 8 \lambda ^ { 4 } z ^ { 5 } \bigr ] } } \\ { { } } & { { - } } & { { \frac { 2 \hat { L } } { \sqrt { 1 + 4 \lambda z ^ { 2 } } } \bigl [ ( 1 + z ) ( 1 + 2 z ^ { 2 } ) - 2 \lambda z ( 2 - 1 1 z - 1 1 z ^ { 2 } ) - 8 \lambda ^ { 2 } z ^ { 2 } ( 1 - 9 z ) \bigr ] } } \\ { { } } & { { - } } & { { \frac { 8 z ^ { 4 } ( 1 + \lambda ) ^ { 2 } } { ( 1 - z ) _ { + } } \, - \, \frac { 4 z ^ { 4 } ( 1 + 2 \lambda ) ( 1 + 4 \lambda ) ^ { 2 } \hat { L } } { \sqrt { 1 + 4 \lambda z ^ { 2 } } ( 1 - z ) _ { + } } \biggr \} , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { N R } } } & { = H _ { \mathrm { N R } } ^ { * } } \\ { \sum _ { p } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } \frac { \alpha ( H , p , - m ) } { ( w - p ) ^ { m } } } & { = \sum _ { p } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } ( - 1 ) ^ { m } \frac { \alpha ( H , p , - m ) ^ { * } } { ( w + p ^ { * } ) ^ { m } } } \end{array} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \tan { \frac { \eta \pm \theta } { 2 } } } & { = { \frac { \sin \eta \pm \sin \theta } { \cos \eta + \cos \theta } } } \\ { \tan \left( { \frac { \theta } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \right) } & { = \sec \theta + \tan \theta } \\ { { \sqrt { \frac { 1 - \sin \theta } { 1 + \sin \theta } } } } & { = { \frac { \left| 1 - \tan { \frac { \theta } { 2 } } \right| } { \left| 1 + \tan { \frac { \theta } { 2 } } \right| } } } \end{array} }
\int _ { V } \frac { \partial T } { \partial t } \mathrm { { d } V + \int _ { S } ( \textbf { u } T ) \cdot \mathbf { \hat { n } } \ \mathrm { { d } S = \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } \int _ { S } \nabla T \cdot \mathbf { \hat { n } } \ \mathrm { { d } S , } } }
\frac { 4 \Lambda ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } + \left( \Delta \omega _ { d } G _ { 3 } - \eta \omega _ { \ast } G _ { 1 } \right) ^ { 2 } - G _ { 0 } \left[ ( \eta \omega _ { \ast } ) ^ { 2 } G _ { 2 } - 2 \Delta \omega _ { d } \eta \omega _ { \ast } G _ { 4 } + \Delta ^ { 2 } \omega _ { d } ^ { 2 } G _ { 5 } \right] = \Delta ^ { 2 } k _ { \| } ^ { 2 } v _ { t h } ^ { 2 } G _ { 0 } ^ { 2 } / 2 .
\frac { \partial { \alpha _ { i j } } } { \partial Q _ { s } } = \sum _ { k } \sum _ { t } \frac { \partial { \alpha _ { i j } } } { \partial \xi _ { k t } } \, \frac { \partial { \xi _ { k t } } } { \partial Q _ { s } } = \sum _ { k } \sum _ { t } \frac { \partial Z _ { i k t } } { \partial E _ { j } } \, \frac { \partial { \xi _ { k t } } } { \partial Q _ { s } } .
{ \cal R } _ { 2 } ^ { \mathrm { Q E D } } = i g \left[ \left( \frac { \epsilon \cdot p _ { i } } { k \cdot p _ { i } } - \frac { \epsilon \cdot p } { k \cdot p } \right) e ^ { i k \cdot x _ { 1 } } + \left( \frac { \epsilon \cdot p } { k \cdot p } - \frac { \epsilon \cdot p _ { f } } { k \cdot p _ { f } } \right) e ^ { i k \cdot x _ { 2 } } \right] ,
{ \frac { M _ { C l . } ( N ) } { M _ { C l . } ( 1 ) } } = \displaystyle { { \frac { \tan N \lambda } { \tan \lambda } } } , \ \ \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ \ { \frac { M _ { Q . } ( n ) } { M _ { Q . } ( n ) } } = \displaystyle { { \frac { \tan [ n \arctan \lambda ] } { \tan [ \arctan \lambda ] } } } ,
\begin{array} { r l r } { G } & { { } = } & { \frac { 2 } { 3 } g \frac { \varphi ^ { 3 / 2 } } { q E _ { l } } [ \nu ( y ) + x w _ { 1 } ( y ) + x ^ { 2 } w _ { 2 } ( y ) + x ^ { 3 } w _ { 3 } ( y ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } } & { \left( \| x - \psi ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } + \| \hat { u } _ { ( a , b , \mu ^ { 0 } ) } ( t , x ) - u ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } \right) d \hat { \mu } _ { ( a , b , \mu ^ { 0 } ) } ( t , x ) \, d t } \\ & { \leq { \mathcal C _ { 0 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \| x - \psi ^ { ( \sigma ) } \| \, d \mu ( a , x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } { x _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } \right) } & { = \overline { { \alpha ^ { \prime } { u _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } , } \\ { S t \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } { u _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } \right) } & { = \overline { { f } } _ { 1 } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } { u _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } \right) + \overline { { \alpha ^ { \prime } f _ { 1 } ^ { \prime } } } \left( \overline { { u } } _ { i } - { \overline { { u } } _ { p } } _ { i } \right) , } \\ { \frac { 3 P r S t } { 2 c _ { r } } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } { T _ { p } ^ { \prime } } } } \right) } & { = \overline { { f } } _ { 2 } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } T ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } { T _ { p } ^ { \prime } } } } \right) + \overline { { \alpha ^ { \prime } f _ { 2 } ^ { \prime } } } \left( \overline { { T } } - { \overline { { T } } _ { p } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \cfrac { z - s } { s _ { 0 } } } & { \leq } & { \varepsilon _ { S S l } \cdot \bigg ( \cfrac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { \mathrm { c r o s s } } + \varepsilon _ { S S l } s _ { 0 } } \bigg ) \bigg ( \exp ( k _ { 1 } \varepsilon _ { S S l } s _ { 0 } t ) - \exp ( - k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { \mathrm { c r o s s } } ) t ) \bigg ) } \\ & { \leq } & { \varepsilon _ { S S l } \cdot \cfrac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { \mathrm { c r o s s } } } \exp ( k _ { 1 } \varepsilon _ { S S l } s _ { 0 } t ) } \\ & { \leq } & { \varepsilon _ { S S l } \cdot \cfrac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { \mathrm { c r o s s } } } \exp ( k _ { 1 } \varepsilon _ { S S l } s _ { 0 } t _ { \mathrm { c r o s s } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( 2 E _ { c } - H ) ~ d \rho - u ~ d \rho u - v ~ d \rho v + d \rho E } & { { } = } & { 0 } \\ { ( ( \gamma + 1 ) E _ { c } - \gamma _ { 1 } H ) ~ ( E _ { c } d \rho + d \rho E ) - ( \gamma E _ { c } + ( 2 - \gamma ) H ) ~ ( u d \rho u + v d \rho v ) } & { { } = } & { 0 } \\ { - E _ { c } G ~ d \rho + u G ~ d \rho u + v G ~ d \rho v + ( \gamma _ { 1 } H - \gamma E _ { c } ) ~ d \rho E } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
M ^ { - } \mid \rho _ { 0 ^ { \prime } } , M \rangle = ( \partial _ { 1 } + \partial _ { 2 } ) \mid \rho _ { 0 ^ { \prime } } , M \rangle = - \partial _ { 0 ^ { \prime } } \mid \rho _ { 0 ^ { \prime } } , M \rangle
\begin{array} { r } { J ( \mathbf { I } , \theta ) = c _ { 1 } \sum _ { n } \left( \sum _ { i j } \| \left( \mathbf { c } _ { n } ^ { s } - \mathbf { I } _ { n i j } \right) \mathbf { P } _ { n i j } ^ { s } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) + } \\ { c _ { 2 } \sum _ { i j } \frac { 1 } { 2 } \| \ensuremath { \nabla } \mathbf { P } _ { i j } ^ { s } \| _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } \mathbf { R } _ { c l u s t } \left( \mathbf { P } \right) + c _ { 4 } \mathbf { R } _ { c c } \left( \mathbf { P } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { s _ { i } = \epsilon _ { i j k } \sum _ { m , n = 0 } ^ { m + n \leq N - 2 } ( - 1 ) ^ { n } ( m + 1 ) \times } \\ & { \underbrace { \psi _ { , j \kappa _ { 1 } . . . \kappa _ { m } } } _ { ( m + 1 ) \mathrm { t h \, d e r i v a t i v e } } \; \underbrace { \partial _ { \chi _ { 1 } . . . \chi _ { n } } } _ { n \mathrm { t h \, d e r i v a t i v e } } \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , t k \chi _ { 1 } . . . \chi _ { n } \kappa _ { 1 } . . . \kappa _ { m } } } . } \end{array} } \end{array}
{ \frac { d \varphi } { d \alpha } } = \int _ { a } ^ { b } { \frac { \partial } { \partial \alpha } } f ( x , \alpha ) \, d x + f ( b , \alpha ) { \frac { \partial b } { \partial \alpha } } - f ( a , \alpha ) { \frac { \partial a } { \partial \alpha } } .
\textbf { H } ( t ) = \frac { \lambda } { 4 \pi } \left[ \begin{array} { l l } { \frac { G _ { \textrm { t x 1 } , 1 } ( t ) } { \| \textbf { p } _ { \textrm { t x 1 } } ( t ) - \textbf { p } _ { \textrm { r x } } ( t ) \| } } & { \frac { G _ { \textrm { t x 2 } , 1 } ( t ) } { \| \textbf { p } _ { \textrm { t x 2 } } ( t ) - \textbf { p } _ { \textrm { r x } } ( t ) \| } } \\ { \frac { G _ { \textrm { t x 1 } , 2 } ( t ) } { \| \textbf { p } _ { \textrm { t x 1 } } ( t ) - \textbf { p } _ { \textrm { r x } } ( t ) \| } } & { \frac { G _ { \textrm { t x 2 } , 2 } ( t ) } { \| \textbf { p } _ { \textrm { t x 2 } } ( t ) - \textbf { p } _ { \textrm { r x } } ( t ) \| } } \end{array} \right]
L _ { 1 } = { \binom { x _ { 1 } } { y _ { 1 } } } + t { \binom { x _ { 2 } - x _ { 1 } } { y _ { 2 } - y _ { 1 } } } , \qquad L _ { 2 } = { \binom { x _ { 3 } } { y _ { 3 } } } + u { \binom { x _ { 4 } - x _ { 3 } } { y _ { 4 } - y _ { 3 } } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { M L M C } } & { \le C \left( M _ { 0 , 0 } h _ { 0 } ^ { - d } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } M _ { \ell , 0 } h _ { \ell } ^ { - d } + \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( 0 ) } M _ { 0 , \ell ^ { \prime } } h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { - d } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( \ell ) } M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ( h _ { \ell } ^ { - d } + h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { - d } ) \right) } \\ & { \le C \ensuremath { \varepsilon } ^ { - 2 } \left( h _ { 0 } ^ { - d } w _ { 0 , 0 } + h _ { 0 } ^ { 2 \eta _ { \mathcal { O } } r - d } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } 2 ^ { ( d - 2 \eta _ { \mathcal { O } } r ) \ell } w _ { \ell } + h _ { 0 } ^ { 2 \eta _ { \Psi } r - d } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( 0 ) } 2 ^ { ( d - 2 \eta _ { \Psi } r ) \ell ^ { \prime } } w _ { \ell ^ { \prime } } \right) } \\ & { \quad + C \ensuremath { \varepsilon } ^ { - 2 } h _ { 0 } ^ { 2 ( \eta _ { \mathcal { O } } + \eta _ { \Psi } ) r - d } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } 2 ^ { ( d - 2 \eta _ { \mathcal { O } } r ) \ell } w _ { \ell } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( \ell ) } 2 ^ { - 2 \eta _ { \Psi } r \ell ^ { \prime } } w _ { \ell ^ { \prime } } } \\ & { \quad + C \ensuremath { \varepsilon } ^ { - 2 } h _ { 0 } ^ { 2 ( \eta _ { \mathcal { O } } + \eta _ { \Psi } ) r - d } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } 2 ^ { - 2 \eta _ { \mathcal { O } } r \ell } w _ { \ell } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( \ell ) } 2 ^ { ( d - 2 \eta _ { \Psi } r ) \ell ^ { \prime } } w _ { \ell ^ { \prime } } } \\ & { \le C \ensuremath { \varepsilon } ^ { - 2 } \Bigg ( 1 + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } 2 ^ { ( d - 2 \eta _ { \mathcal { O } } r ) \ell } w _ { \ell } \left( 1 + \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L } 2 ^ { - 2 \eta _ { \Psi } r \ell ^ { \prime } } w _ { \ell ^ { \prime } } \right) } \\ & { \qquad \quad \qquad + \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } } 2 ^ { ( d - 2 \eta _ { \Psi } r ) \ell ^ { \prime } } w _ { \ell ^ { \prime } } \left( 1 + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } 2 ^ { - 2 \eta _ { \mathcal { O } } r \ell } w _ { \ell } \right) \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad [ w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } , w _ { j , j } ^ { ( 2 ) } t ] } \\ & { = - \delta _ { u , j } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } + \delta _ { i , j } w _ { u , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } + s \delta _ { u , j } \alpha _ { 1 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } + s \delta _ { u , i } w _ { j , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } + s \delta _ { i , j } \delta _ { u , j } \sum _ { x \leq m - n } w _ { x , x } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } } \end{array}
\mathbf { u } ( \mathbf { x } ) = \underbrace { \underbrace { { \frac { R ^ { 3 } } { 4 } } \cdot \left( { \frac { 3 \left( \mathbf { u } _ { \infty } \cdot \mathbf { x } \right) \cdot \mathbf { x } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 5 } } } - { \frac { \mathbf { u } _ { \infty } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } \right) } _ { \mathrm { c o n s e r v a t i v e : ~ c u r l = 0 , ~ d i v = 0 } } + \underbrace { \mathbf { u } _ { \infty } } _ { \mathrm { f a r - f i e l d } } } _ { \mathrm { T e r m s ~ o f ~ B o u n d a r y - C o n d i t i o n } } \; \underbrace { - { \frac { 3 R } { 4 } } \cdot \left( { \frac { \mathbf { u } _ { \infty } } { \| \mathbf { x } \| } } + { \frac { \left( \mathbf { u } _ { \infty } \cdot \mathbf { x } \right) \cdot \mathbf { x } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } \right) } _ { { \mathrm { n o n - c o n s e r v a t i v e : ~ c u r l } } = { \boldsymbol { \omega } } ( \mathbf { x } ) , { \mathrm { ~ d i v = 0 } } } = \left[ { \frac { 3 R ^ { 3 } } { 4 } } { \frac { \mathbf { x \otimes \mathbf { x } } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 5 } } } - { \frac { R ^ { 3 } } { 4 } } { \frac { \mathbb { I } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } - { \frac { 3 R } { 4 } } { \frac { \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } - { \frac { 3 R } { 4 } } { \frac { \mathbb { I } } { \| \mathbf { x } \| } } + \mathbb { I } \right] \cdot \mathbf { u } _ { \infty }
\mathbb { E } ( R _ { n } ^ { ( k ) } ) = \frac { n ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } + \mathcal { O } \big ( { \textstyle { \frac { n } { d } } } \big ) + \mathcal { O } \big ( { \textstyle { \frac { n ^ { 3 } } { d ^ { 4 } } } } \big ) = \frac { n ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( { \textstyle { \frac { d } { n } } } \big ) + \mathcal { O } \big ( { \textstyle { \frac { n } { d ^ { 2 } } } } \big ) \Big ) \sim \frac { n ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } .
\mathbf { K } ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \mathbf { I } , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 1 } \cup \Lambda _ { 8 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 2 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { - e ^ { \pi i \alpha } } & { e ^ { \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 3 } , } \\ & { e ^ { - \pi i \alpha \sigma _ { 3 } } , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 4 } , } \\ & { e ^ { \pi i \alpha \sigma _ { 3 } } , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 5 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { e ^ { - \pi i \alpha } } & { e ^ { - \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 6 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \Lambda _ { 7 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ ( ~ e ~ . ~ g ~ . ~ ) ~ } \ \ \ f _ { 0 } } & { { } = } & { f ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ; t = t _ { r } ) , } \\ { f _ { 1 } } & { { } = } & { f ( \Delta x , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ; t = t _ { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { L } ( P ) } & { = \{ M \in \mathcal { N } _ { N } \colon \exists \, \mathcal { D } \in \mathcal { M } _ { N } , \, M \cdot P = P \cdot \mathcal { D } \} \subset \mathcal { N } _ { N } , } \\ { \mathcal { F } _ { R } ( P ) } & { = \{ \mathcal { D } \in \mathcal { M } _ { N } \colon \exists \, M \in \mathcal { N } _ { N } , \, M \cdot P = P \cdot \mathcal { D } \} \subset \mathcal { M } _ { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } , \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } + \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \left( \partial _ { x } \psi \right) \right) _ { Q _ { T } } + \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \psi \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) \right) _ { Q _ { T } } } \\ { = } & { { } \left( - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } , \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } + \left( - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } , \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } + \left( g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) , \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { w ( \cdot ) \geq 0 } } & { \quad \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } } \left[ \int _ { D ^ { [ k ] } } ^ { D ^ { [ k ] } + \Gamma } \texttt { m s e } ^ { [ k ] } \left( t , \tilde { S } ^ { [ k ] } \right) d t \right] } { \mathbb { E } \left[ \Gamma \right] } } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { \quad { \mathbb { E } } \left[ w \left( \tilde { Y } \right) \right] \geq \frac { 1 } { 1 - \epsilon } \left( \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } - \frac { K } { \mu } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \left( d _ { \tau } u _ { h } ( \tau ) , u _ { h } ( \tau ) \right) _ { L ^ { 2 } } \: \mathrm { d } \tau } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \frac { d } { d \tau } \frac { 1 } { 2 } \left\lVert u _ { h } ( \tau ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \mathrm { d } \tau } \\ & { = \frac 1 2 \left\lVert u _ { h } ( t ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - \frac 1 2 \left\lVert u _ { h } ( 0 ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \! \! \! \! \! \! \! } & { \sum _ { j = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \Gamma ( a + j + m + 1 ) \Gamma ( b - j + m + 1 ) } { j } \left( - \psi _ { 0 } ( a + b + 2 m + 2 ) - \psi _ { 0 } ( j + 1 ) \right) } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! } & { \times \sum _ { i = 1 } ^ { m - j } \frac { i ( m - i ) } { \Gamma ( b + i + 1 ) \Gamma ( i + j + 1 ) \Gamma ( a - i + m + 1 ) \Gamma ( m - i - j + 1 ) } , } \end{array}
\mathrm { m D i c e } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 2 { \sum } \left( { \bf X } _ { i } ^ { \mathrm { P r e d } } \otimes { \bf X } _ { i } ^ { \mathrm { G T } } \right) } { { \sum } { \bf X } _ { i } ^ { \mathrm { P r e d } } + { \sum } { \bf X } _ { i } ^ { \mathrm { G T } } } .
e ^ { { \cal I } ( i \alpha _ { b } + j \beta _ { b } + k \gamma _ { b } ) + i \alpha _ { r } + j \beta _ { r } + k \gamma _ { r } } ( { \cal I } c t + i x + j y + k z ) e ^ { { \cal I } ( i \alpha _ { b } + j \beta _ { b } + k \gamma _ { b } ) - i \alpha _ { r } - j \beta _ { r } - k \gamma _ { r } } \; \; .
\frac { \phi ^ { \prime } } { \left[ 1 - ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } = - \frac { e } { r ^ { p - 1 } } , \; \; \; \frac { - y ^ { \prime } } { \left[ 1 - ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } = \frac { c } { r ^ { p - 1 } }
\begin{array} { r l r } { \theta ^ { \prime } } & { { } : } & { a + b u \rightarrow a \theta + ( b \theta ) u , } \\ { \epsilon } & { { } : } & { a + b u \rightarrow a - b u , } \\ { \psi } & { { } : } & { a + b u \rightarrow \frac { 1 } { 4 } [ a + 3 a ^ { * } + \sqrt { 3 } ( b - b ^ { * } ) ] + \frac { 1 } { 4 } [ b + 3 b ^ { * } - \sqrt { 3 } ( a - a ^ { * } ) ] u , } \end{array}
g _ { m } ^ { l } ( x ) = a _ { m } ^ { l } x ^ { 5 } + b _ { m } ^ { l } x ^ { 4 } + c _ { m } ^ { l } x ^ { 3 } + d _ { m } ^ { l } x ^ { 2 } + e _ { m } ^ { l } x + f _ { m } ^ { l } , \quad x \in [ x _ { l } , x _ { l + 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { V _ { b } R ( E ) \xi _ { a } } & { = V _ { b } R ( E ) V _ { b } ^ { * } V _ { b } \xi _ { a } } \\ & { = e ^ { \frac { \beta c ( b ) } { 2 } } V _ { b } R ( E ) V _ { b } ^ { * } V _ { b } E _ { a } ^ { \perp } V _ { b } ^ { * } \xi _ { a + b } ~ ~ ~ ( \textrm { b y E q . } ) } \\ & { = e ^ { \frac { \beta c ( b ) } { 2 } } R ( E + b ) ( E _ { a + b } ^ { \perp } \xi _ { a + b } - E _ { b } ^ { \perp } \xi _ { a + b } ) ( \textrm { b y E q . } ) } \\ & { = e ^ { \frac { \beta c ( b ) } { 2 } } R ( E + b ) ( \xi _ { a + b } - \xi _ { b } ) . } \end{array}
Z D _ { 1 } ^ { 2 } + Z ^ { \prime } D _ { 1 } D _ { 3 } - Z Z ^ { \prime } D _ { 1 } D _ { 3 } = D _ { 1 } \left( \frac { ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } } { \| A y \| } - \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \| A y ^ { \prime } \| } \right) = \left( \frac { c ^ { T } y } { \| A y \| } y - \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } y ^ { \prime } \right) ^ { T } c c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } )
\sigma _ { \mathrm { B } } = 1 7 . 8 { \mathrm { ~ m b ~ f o r ~ R H I C } } \, , \; \; 1 1 0 { \mathrm { ~ m b ~ f o r ~ L H C ~ ( P b - - P b ) } } \, , \; \; 0 . 4 2 { \mathrm { ~ m b ~ f o r ~ L H C ~ ( C a - - C a ) } } \, .
[ \alpha ^ { I } \, \underline { { { \alpha } } } _ { I } + \beta _ { I } \, \underline { { { \beta } } } ^ { I } , \hat { \alpha } ^ { I } \, \underline { { { \hat { \alpha } } } } _ { I } + \hat { \beta } _ { I } \, \underline { { { \hat { \beta } } } } { } ^ { I } ] = ( \alpha ^ { I } \hat { \beta } _ { I } - \hat { \alpha } ^ { I } \beta _ { I } ) \, \underline { { { \epsilon } } } _ { 0 } + \omega ^ { i } ( \alpha , \beta , \hat { \alpha } , \hat { \beta } ) \, \underline { { { \omega } } } _ { i } \ .
\begin{array} { r l r l } & { s ( \mathbf { x } ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \left( \mathbf { x } \right) \cdot y _ { i } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \left( \mathbf { x } \right) } } & & { w _ { i } \left( \mathbf { x } \right) = \frac { 1 } { d \left( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { i } \right) ^ { p } } , \quad p > 0 } \end{array}
| a _ { k , l } ( x , D ) f _ { k } ( x ) | ^ { r } \leq \Big ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | K _ { k , l } ( x , y ) | ^ { r ^ { \prime } } \, | \sigma ( y ) | ^ { r ^ { \prime } } \, \mathrm { d } y \Big ) ^ { \frac { r } { r ^ { \prime } } } \Big ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \frac { | f _ { k } ( x - y ) | ^ { r } } { | \sigma ( y ) | ^ { r } } \, \mathrm { d } y \Big ) .
\phi ( t , \theta , \varphi ) \sim \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } a _ { l m } e ^ { i \frac { t } { R } \sqrt { l ( l + 1 ) } } Y _ { \; l } ^ { m } ( \theta , \varphi ) + h . c .
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } = \frac { 1 - 4 \rho } { 4 \phi } J ( 0 ) \frac { \tau _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \left( \frac { \delta T } { \Delta T } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 - 4 \rho } { 4 ( f _ { 0 } \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } ) ^ { 3 } } \frac { J ( 0 ) } { M ( 0 ) ^ { 3 } } \frac { \tau _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \left( \frac { \delta T } { \Delta T } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \mathbf { J } _ { 1 } ( \mathbf { x } , \omega ) \mathbf { J } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , \omega ) \rangle = \frac { 4 \varepsilon _ { 0 } \omega } { \pi } \operatorname { I m } \left[ \chi _ { 1 } ( \mathbf { x } , \omega ) \right] \Theta ( \omega , T _ { 1 } ) \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } ) \mathcal { I } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 0 t } + ( u _ { 0 } h _ { 0 } ) _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { B _ { 2 } ( \theta _ { B } ) \left( h _ { 0 } u _ { 0 x } \right) _ { x } + C _ { 2 } ( \theta _ { B } ) \gamma ( h _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 0 x x x } ) _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { \big ( h _ { 0 } K ( x , t ) \big ) _ { x } - \frac { \gamma } { 6 A _ { 2 } ( \theta _ { B } ) } \big ( h _ { 0 } ^ { 3 } h _ { 0 x x x } \big ) _ { x } } & { { } = 0 . } \end{array}