harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\iint _ { ( \mathcal { S } ) } \frac { \partial \Vec { B } } { \partial t } \cdot \overrightarrow { d S } = \lambda \iint _ { ( \mathcal { S } ) } ( \nabla \times \vec { E } ) \cdot \overrightarrow { d S } = \lambda \oint _ { ( \partial \mathcal { S } ) } \Vec { E } \cdot \overrightarrow { d l } .
\begin{array} { r } { \delta _ { t } \rho + \delta ^ { * } j = 0 , \ \ j : = [ \rho ] ( [ u ] - w ) , } \\ { \frac 1 2 \delta _ { t } ( \rho u ^ { 2 } ) - \frac { \Delta t } { 2 } \hat { \rho } ( \delta _ { t } u ) ^ { 2 } + \frac 1 2 \delta ^ { * } ( j u _ { - } u _ { + } ) + ( \delta ^ { * } [ p ] ) u } \\ { = ( \delta ^ { * } \Pi ) u , } \\ { \delta _ { t } ( \rho \varepsilon ) + \frac { \Delta t } { 2 } \hat { \rho } ( \delta _ { t } u ) ^ { 2 } + \delta ^ { * } ( j [ \varepsilon ] ) } \\ { = - \delta ^ { * } q + [ \Pi \delta u ] ^ { * } - p \delta ^ { * } ( [ u ] - w ) + [ w \delta p ] ^ { * } + [ Q ] ^ { * } } \end{array}
P _ { 0 } ( x _ { i + 1 / 2 } ) = M _ { L } ( [ u _ { i - 1 } ~ u _ { i } ~ u _ { i + 1 } ] , [ v _ { i - 1 } ~ v _ { i } ~ v _ { i + 1 } ] , \frac 1 2 ) = \frac { 1 3 } { 1 0 8 } u _ { i - 1 } + \frac { 7 } { 1 2 } u _ { i } + \frac { 8 } { 2 7 } u _ { i + 1 } + \frac { 2 5 } { 5 4 } v _ { i - 1 } + \frac { 2 4 1 } { 5 4 } v _ { i } - \frac { 2 8 } { 2 7 } v _ { i + 1 } ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { x _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { x _ { 3 } ^ { \prime } } \\ { t ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } \\ { t } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { \pm \frac { 1 } { 2 } g t ^ { 2 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 0 } } & { { } = E _ { x } ^ { 2 } + E _ { y } ^ { 2 } , } \\ { S _ { 1 } } & { { } = E _ { x } ^ { 2 } - E _ { y } ^ { 2 } , } \\ { S _ { 2 } } & { { } = 2 E _ { x } E _ { y } \cos { ( \Delta \omega t ) } , } \\ { S _ { 3 } } & { { } = - 2 E _ { x } E _ { y } \sin { ( \Delta \omega t ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial } { \partial t } } \eta ( t , x ) = A \eta ( t , x ) , \quad t > 0 } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \eta ( t , x ) = \delta ( x ) } \end{array} \right.
{ \hat { \alpha } _ { S d S } } \simeq \frac { 4 m } { r _ { 0 } } ( 1 - \frac { 2 m ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \Lambda r _ { 0 } ^ { 4 } } { 2 4 m ^ { 2 } } )
\left< n ( \infty ) \right> = - \frac { 1 } { 2 } \, + \, { \cal R } ( \infty ) + { Z ^ { 2 } } \left[ n ( 0 ) + \frac { 1 } { 2 } \right] + \frac { Z ^ { 2 } } { 2 \Omega } \left[ { p _ { i } ^ { 2 } } + \Omega ^ { 2 } q _ { i } ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l r } { ( G _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } = } & { } & { \textbf { P } _ { i } ( \textbf { h } _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } } \\ { = } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( G _ { i } ) _ { L } - ( G _ { v i s , i } ) _ { L } \right\} + \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( G _ { i } ) _ { R } - ( G _ { v i s , i } ) _ { R } \right\} } \\ & { } & { - \frac { ( \lambda ) _ { j + 1 / 2 } } { 2 } \left\{ ( U _ { i } ) _ { R } - ( U _ { i } ) _ { L } \right\} } \end{array}
\mu \frac { \partial } { \partial \mu } \alpha _ { \mathrm { R } } = \left[ - 2 \alpha _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } + \frac 8 3 \alpha _ { \mathrm { R } } - 6 \right] \frac { g _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { R _ { \mathrm { p a i r } } ^ { \mathrm { D C } } } \\ & { = \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { N L } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } | \mathrm { F E } _ { ( \mathrm { m a x } ) 2 , S } | ^ { 2 } | \mathrm { F E } _ { ( \mathrm { m a x } ) 2 , I } | ^ { 2 } | \mathrm { F E } _ { ( \mathrm { m a x } ) 1 , P } | ^ { 4 } } \\ & { \times \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } } \left( \omega _ { S } \omega _ { I } \right) \frac { L _ { \mathrm { D C } } ^ { 2 } } { 6 4 } \left[ 1 - \mathrm { s i n c } \! \left( 4 \kappa _ { \mathrm { D C } } L _ { \mathrm { D C } } \right) \right] ^ { 2 } \ . } \end{array}
I _ { m } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { { \tilde { g } } } \left[ - \frac { 1 } { 2 } D _ { \mu } \Phi ( D ^ { \mu } \Phi ) ^ { * } - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - V ( | \Phi | ) \right] ,
\left\langle \left( \overline { { { \psi } } } _ { R } ^ { A a } \psi _ { L } ^ { A b } \right) \epsilon _ { a c } \epsilon _ { b d } \left( \overline { { { \psi } } } _ { R } ^ { B c } \psi _ { L } ^ { B d } \right) \right\rangle ,
\frac { \partial v _ { 1 } } { \partial y _ { 1 } } \sim \epsilon ^ { - 2 / 3 } \, , \qquad \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial y _ { 2 } } \sim \epsilon ^ { - 1 / 2 } \, , \qquad \frac { \partial v _ { 2 } } { \partial y _ { 1 } } \sim \epsilon ^ { - 1 / 2 } \, , \qquad \frac { \partial v _ { 2 } } { \partial y _ { 2 } } \sim O ( 1 ) \, , \qquad \epsilon \to 0
C _ { 3 , 1 } = \frac { 4 } { 3 ! } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( u _ { 1 } + 1 / u _ { 1 } + u _ { 2 } + 1 / u _ { 2 } + u _ { 3 } + 1 / u _ { 3 } ) ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } u _ { 1 } } { u _ { 1 } } \frac { \mathrm { d } u _ { 2 } } { u _ { 2 } } \frac { \mathrm { d } u _ { 3 } } { u _ { 3 } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { 0 } = \nabla _ { \theta } R _ { 1 } ^ { p } ( \hat { \theta } ^ { 1 } ) } & { = \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left( ( 1 - p ) \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) - p \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime } } ( \langle - Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \right) Y X \right] } \\ & { = ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) Y X \right] - p \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime } } ( \langle - Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) Y X \right] } \\ & { = ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) Y X \right] - p \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left( - \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) - 1 \right) Y X \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) Y X \right] + p \mathbb { E } _ { X , Y } [ Y X ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { - q = \varkappa \delta \theta } \\ { + [ \tau ] \Big \{ \Big ( \delta ( \rho \varepsilon ) - \frac { [ \rho \varepsilon ] + [ p ] } { [ \rho ] } \delta \rho \Big ) [ u ] ^ { 2 } - Q [ u ] \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \triangleright \, \, } & { \textrm { O f f - c e n t e r e d f i x e d p o i n t : } } \\ { \& \quad \quad \textrm { n e a r - w a l l a c c u m u l a t i o n , } } \\ { \triangleright \, \, } & { \textrm { S t a b l e n e a r - w a l l f i x e d p o i n t : } } \\ { \triangleright \, \, } & { \textrm { C h i r a l i t y - d o m i n a n t s w i m m i n g : } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { \mathrm { b o t } } ^ { ( \alpha ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 5 } & { 5 } & { \dots } & { 5 } \\ { 3 } & { 2 } & { 6 } & { \dots } & { 6 } \\ { 3 } & { 6 } & { 2 } & { \dots } & { 6 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 3 } & { 6 } & { 6 } & { \dots } & { 2 } \end{array} \right] _ { \mathrm { b o t } } } \end{array}
U = \sqrt { a ^ { 2 } \left( n _ { 1 } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } - \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } \right) } \, , \qquad W = \sqrt { - a ^ { 2 } \left( n _ { 2 } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } - \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } \right) } \, .
\begin{array} { r l r l r } { \bar { \Gamma } = \frac { \Gamma } { n _ { 0 } I \sqrt { \frac { 2 T _ { 0 } r } { m R } } \frac { \nu _ { 0 } } { \Omega } } , } & { } & { \bar { Q } = \frac { Q } { n _ { 0 } I \sqrt { \frac { 2 T _ { 0 } r } { m R } } T _ { 0 } \frac { \nu _ { 0 } } { \Omega } } , } & { } & { \bar { \gamma } = \frac { \gamma } { \nu _ { 0 } n _ { 0 } \sqrt { 2 m T _ { 0 } r / R } } , } \end{array}
\alpha = 2 : \quad \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \alpha \partial a } } \right] = { \mathcal { I } } _ { \alpha , a }
{ \cal G } ( { \bf x } ) = m ^ { 3 / 2 } \sum { } [ a _ { Q } ( { \bf k } ) + a _ { Q } ^ { \star } ( - { \bf k } ) + \frac { j _ { 0 } ( { \bf k } ) } { m ^ { 3 / 2 } } ] e ^ { i { \bf k \cdot x } } ,
\begin{array} { r l } { a _ { i j } } & { { } : = \frac { 1 } { k _ { i } } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \geq \frac { c ^ { 2 } } { 2 N } \, , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } j \neq i } \\ { a _ { i i } } & { { } : = 1 - \sum _ { j \neq i } a _ { i j } \geq \frac { 1 } { N } \geq \frac { c ^ { 2 } } { 2 N } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( G = g | \mathcal { R } ) } & { = \frac { \sum _ { n \geq 1 } \mathbb { P } ( G = g , \mathcal { R } , \lambda ( \mathcal { T } ) = n ) } { \mathbb { P } ( \mathcal { R } ) } } \\ & { = \frac { \sum _ { n \geq 1 } \mathbb { P } ( \mathcal { R } | G = g , \lambda ( \mathcal { T } ) = n ) \mathbb { P } ( G = g , \lambda ( \mathcal { T } ) = n ) } { \sum _ { n \geq 1 } \mathbb { P } ( \mathcal { R } | \lambda ( \mathcal { T } ) = n ) \mathbb { P } ( \lambda ( \mathcal { T } ) = n ) } . } \end{array}
\forall \varphi \neq \varphi ^ { \prime } \in \mathbb { T } , \quad \frac { 2 } { \pi } | \varphi - \varphi ^ { \prime } | \leqslant 2 \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| \leqslant | \varphi - \varphi ^ { \prime } | .
w ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , z , t ) = \mathcal { R } \left[ \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 4 } } \iint \hat { w } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { x } , z , t ) \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 1 } \mathrm { d } \mathbf { k } _ { 2 } \right] .
\tilde { y } _ { k } = \mathbf { x } _ { k } \mathbf { w } \quad \Rightarrow \quad ( \boldsymbol { \phi } _ { k } ^ { o } ) ^ { \sf T } = \left. \frac { \partial \tilde { y } _ { k } } { \partial \mathbf { w } } \right| _ { \mathbf { w } ^ { o } } = \mathbf { x } _ { k }
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { c r } \left( t \right) } & { { } = \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { t ^ { \nu - \alpha } } { \Gamma \left( 1 + \nu - \alpha \right) } + \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } - \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) \frac { t ^ { \beta + \nu } } { \Gamma \left( 1 + \beta + \nu \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E r r } _ { 4 , 4 } } & { { } = - \kappa _ { m - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } } \nabla \partial ^ { \boldsymbol { \alpha } } V _ { m - 1 } ^ { ( i ) } \cdot { \mathbf { Q } } _ { m } \Delta \nabla \partial ^ { \aa } V _ { m - 1 } ^ { ( i - 1 ) } } \end{array}
1 s ^ { 2 } \, 2 s ^ { 2 } \, ( 2 p _ { 1 / 2 } \, 2 p _ { 3 / 2 } ) ^ { 6 } \, ( 3 s ) ^ { 0 } \, ( 3 p _ { 1 / 2 } \, 3 p _ { 3 / 2 } ) ^ { 1 } \, ( 3 d _ { 3 / 2 } \, 3 d _ { 5 / 2 } ) ^ { 1 }
\vert U _ { a i } \vert ^ { 2 } = \frac { y _ { i } - y _ { b } } { y _ { a } - y _ { b } } \: \: , \qquad \qquad \vert U _ { b i } \vert ^ { 2 } = \frac { y _ { a } - y _ { i } } { y _ { a } - y _ { b } }
\begin{array} { r l r } { \cos _ { \mathbb { X } } x } & { { } = } & { g _ { \mathbb { X } } \big ( \cos f _ { \mathbb { X } } ( x ) \big ) , } \\ { \sin _ { \mathbb { X } } x } & { { } = } & { g _ { \mathbb { X } } \big ( \sin f _ { \mathbb { X } } ( x ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } \big ( Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u } u _ { t } - Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } \big ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } ) ( Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u } - Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } ) d t } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { T } ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } ) Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } d t + \int _ { 0 } ^ { T } u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } ( Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u } - Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } ) d t . } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } ) ( Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u } - Z _ { t } ^ { { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } } ) d t + \int _ { 0 } ^ { T } ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } ) Z _ { t } ^ { { u ^ { \theta ^ { \star } , \theta ^ { \star } } } } d t } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { T } ( u _ { s } - u _ { s } ^ { \theta ^ { \star } } ) \int _ { s } ^ { T } G ^ { \star } ( t - s ) u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } d t d s . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 1 6 \pi \alpha ^ { \prime } } \sqrt { - g } \ e ^ { \mathrm { ~ - \ p h i ~ } } \Biggl \{ R + \nabla \phi \cdot \nabla \phi - { \frac { 1 } { 3 } } H ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } F ^ { 2 } + \cdots \Biggr \}
v ( \omega ) = \frac { u ^ { 2 } \Big [ ( 1 + \Gamma ) m \hat { f } _ { * } + \Gamma u \big ( Q _ { * } m ^ { 2 } + q _ { * } \hat { f } _ { * } ^ { 2 } - 2 \chi m \hat { f } _ { * } \big ) \Big ] } { 1 - ( 1 + \Gamma ) \chi u + \Gamma u ^ { 2 } ( \chi ^ { 2 } - q _ { * } Q _ { * } ) }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \gamma } \Big [ p \big ( \varphi _ { 1 } ( X _ { 1 } ) , \dots , \varphi _ { d } ( X _ { d } ) \big ) \Big ] } & { = \mathbb { E } _ { \bigotimes _ { i = 1 } ^ { d } \gamma \vert _ { \mathcal { X } _ { i } } } \Big [ p \big ( \varphi _ { 1 } ( X _ { 1 } ) , \dots , \varphi _ { d } ( X _ { d } ) \big ) \Big ] } \end{array}
{ \cal D } _ { r } g _ { \ell } ( r , x ) = - \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } j _ { \ell } ( { \alpha } r ) j _ { \ell } ( { \alpha } x ) { \alpha } ^ { 2 } d { \alpha } = - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } { \delta } ( r - x ) ,
\begin{array} { r } { E 1 _ { P V } = \langle \Phi _ { f } | D \Omega ^ { i ( 0 , 1 ) } | \Phi _ { i } \rangle + \langle \Phi _ { f } | \Omega ^ { f ( 0 , 1 ) \dagger } D | \Phi _ { i } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathrm { N o - s l i p : } } & { \tilde { v } _ { 1 } ^ { - } + \tilde { v } _ { 2 } ^ { - } } & { = \tilde { v } ^ { + } ~ , } \\ & { \mathrm { C u r r e n t ~ c o n t i n u i t y , ~ ( C . I ) ~ a n d ~ ( C . I I ) ~ e q u i v a l e n t : } } & { \lambda _ { 1 } ^ { - } \tilde { b } _ { 1 } ^ { - } + \lambda _ { 2 } ^ { - } \tilde { b } _ { 2 } ^ { - } } & { = \lambda ^ { + } \tilde { b } ^ { + } ~ , } \\ & { \mathrm { M a g n e t i c ~ f i e l d ~ c o n t i n u i t y : } } & { \tilde { b } _ { 1 } ^ { - } + \tilde { b } _ { 2 } ^ { - } } & { = \tilde { b } ^ { + } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { -- } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = } & { { } \frac { \gamma _ { \mathrm { 1 D } } } { U } \sum _ { i j } s _ { i } ^ { + } ( \omega _ { 1 } ) s _ { j } ^ { + } ( \omega _ { 2 } ) M _ { i j } g _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } ^ { L R } = \sum _ { j \in \mathrm { o u t - o f - p l a n e } } \left( \Omega _ { 0 j } - \mathrm { i } \frac { \Gamma _ { 0 j } } { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } _ { j } } = - \frac { 3 } { 2 } \Gamma _ { 0 } \lambda _ { 0 } \widetilde G ( \mathbf { q } ; \ell ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { e } _ { T } } & { = } & { \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } ( 1 - \eta _ { t + 1 } ) \hat { e } _ { 0 } + \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \eta _ { T - t } e _ { T - t } \prod _ { \tau = T - t } ^ { T - 1 } ( 1 - \eta _ { \tau + 1 } ) + \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } ( 1 - \eta _ { T - t } ) S _ { T - t } \prod _ { \tau = T - t } ^ { T - 1 } ( 1 - \eta _ { \tau + 1 } ) \, . } \end{array}
\frac { d t } { d s } = \frac { d t } { d t ^ { \prime } } \frac { d t ^ { \prime } } { d s } = \frac { | x ( t ( s ) ) | } { p _ { 0 } } = \frac { 1 } { p _ { 0 } } \frac { 2 } { | \xi ( t ( s ) ) | ^ { 2 } + p _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { p _ { 0 } } \frac { 2 } { | p _ { 0 } \omega ^ { - 1 } ( u ( s ) ) | ^ { 2 } + p _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { 1 - u _ { 4 } ( s ) } { p _ { 0 } ^ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { \| q _ { k } - q ^ { * } \| ^ { 2 } } & { \leq \| q _ { k - 1 } - q ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \gamma _ { k } ( f ( q _ { k - 1 } ) - f ( q ^ { * } ) ) } \\ & { \quad - 2 \gamma _ { k } \zeta _ { k - 1 } ^ { \top } ( q _ { k - 1 } - q ^ { * } ) + \gamma _ { k } ^ { 2 } \| g _ { k - 1 } + \zeta _ { k - 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } _ { 3 2 1 } = s _ { 6 } + s _ { 3 1 } + s _ { 4 1 } + s _ { 1 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 4 2 1 } = s _ { 7 } + s _ { 3 2 } + s _ { 4 1 } + s _ { 5 1 } + s _ { 2 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 4 3 1 } = s _ { 8 } + s _ { 4 2 } + s _ { 5 1 } + s _ { 6 1 } + s _ { 3 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 5 3 1 } = s _ { 9 } + s _ { 7 1 } + s _ { 6 1 } + s _ { 5 2 } + s _ { 4 2 } + s _ { 4 1 1 } + s _ { 2 2 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 6 3 1 } = s _ { 1 0 . } + s _ { 8 1 } + s _ { 6 2 } + s _ { 4 3 } + s _ { 5 2 } + s _ { 7 1 } + s _ { 5 1 1 } + s _ { 3 2 1 } ; } \end{array}
\frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + \frac { \boldsymbol { u } } { g _ { l } } \cdot \nabla \boldsymbol { u } = \nabla \cdot \left( \frac { \mu _ { l } } { \rho } \nabla \boldsymbol { u } \right) - \frac { g _ { l } } { \rho } \nabla p - \frac { \mu _ { l } g _ { l } } { \rho } K ^ { - 1 } \boldsymbol { u } + g _ { l } \boldsymbol { f } ,
\begin{array} { r } { d { * } E = { \frac { \rho } { \varepsilon _ { 0 } } } } \\ { d { * } B - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial { * } E } { \partial t } } = { \mu _ { 0 } } J } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \tau ) } & { = \delta ( \tau ; 0 ) ^ { - 1 / 2 } \diamond \delta ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \tau ) , } \\ { \delta ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \tau ) } & { = \exp \Bigl ( \frac { 1 } { 2 } \, \epsilon ( \tau ; 0 ) \Bigr ) \diamond \epsilon ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \tau ) , } \end{array}
\mathcal { D } ^ { 2 } u _ { 1 } + { R e R i \xi n _ { 0 } } u _ { 1 } = \mathcal { D } ^ { 2 } u _ { 1 } + \kappa ^ { 2 } u _ { 1 } = 0 , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \kappa ^ { 2 } = { R e R i _ { c } \xi n _ { 0 } } .
x _ { 1 9 } = \frac { - \frac { 4 \sqrt [ 3 ] { - 1 } 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) } { \sqrt [ 3 ] { 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } - 5 4 \zeta ^ { 2 } - 5 0 0 } } + 4 ( - 1 ) ^ { 2 / 3 } \sqrt [ 3 ] { 2 } \sqrt [ 3 ] { 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } - 5 4 \zeta ^ { 2 } - 5 0 0 } - 4 0 } { 1 2 \zeta } .
\begin{array} { r l r } { \hat { v } ^ { \dagger } ( x , t ) \hat { v } ( x , t ) } & { = } & { \Delta \hat { v } _ { s o l } ^ { \dagger } \Delta \hat { v } _ { s o l } + \Delta \hat { v } _ { s o l } ^ { \dagger } \Delta \hat { v } _ { c } \, } \\ & { + } & { \Delta \hat { v } _ { c } ^ { \dagger } \Delta \hat { v } _ { s o l } + \Delta \hat { v } _ { c } ^ { \dagger } \Delta \hat { v } _ { c } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \iint _ { C S } u \mathbf { u } \cdot \mathbf { d S } \approx \left[ \left( U u \right) _ { i , j } - \left( U u \right) _ { i - 1 , j } \right] \Delta y + \left[ \left( V u \right) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } } - \left( V u \right) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j - \frac { 1 } { 2 } } \right] \Delta x } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { ~ p \displaystyle \sum _ { \alpha } \grave { \phi } _ { \alpha } + \phi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } \gamma _ { \alpha } } \\ { = } & { ~ p \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \cdot \nabla \phi _ { \alpha } + \phi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } \gamma _ { \alpha } , } \end{array}
V ( A , \bar { A } ) = e ^ { \kappa ^ { 2 } A \bar { A } } \Big [ ( D _ { i } W ) ( \bar { D } _ { \bar { i } } \bar { W } ) - 3 \kappa ^ { 2 } | W | ^ { 2 } \Big ] + \frac 1 2 D ^ { a } D ^ { a } \ ,
Z _ { \mathrm { \scriptsize ~ 1 - l o o p } } ( R , T ; t ) \approx t ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \eta ( t ) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \exp \left[ - { \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } } \left( { \frac { T ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } t } } + { \frac { t } { 2 } } + \epsilon f _ { 1 } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ 1 - l o o p } } + \epsilon ^ { 2 } f _ { 2 } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ 1 - l o o p } } \right) \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { n } ^ { \prime } } & { { } = \frac { \phi _ { n } } { a E _ { c } } , \ \ v _ { \parallel } ^ { \prime } = \frac { B _ { c } } { E _ { c } } v _ { \parallel } } \\ { t ^ { \prime } } & { { } = \frac { E _ { c } } { a B _ { c } } t , \ \ \omega _ { 0 } ^ { \prime } = \frac { a _ { c } B _ { c } } { E _ { c } } \omega _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { M } { \mathbb { E } } \bigg [ \bigg ( \int _ { 0 } ^ { L } } & { \frac { 1 } { { \mathbb { P } } ( L \geq \ell ) } { \mathbb { V } } \bigg ( \frac { \textup { d } Q } { \textup { d } \ell } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \textup { d } \ell \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] \leq \ \frac { c _ { 5 } } { M } { \mathbb { E } } \bigg [ \bigg ( \int _ { 0 } ^ { L } \frac { 1 } { { \mathbb { P } } ( L \geq \ell ) } e ^ { - \frac { \beta _ { C } } { 2 } \ell } \textup { d } \ell \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] } \\ { = } & { \ \frac { c _ { 5 } } { M } { \mathbb { E } } \bigg [ \bigg ( \int _ { 0 } ^ { L } e ^ { ( r - \frac { \beta _ { C } } { 2 } ) \ell } \textup { d } \ell \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] = \ \frac { 1 } { M } \frac { c _ { 5 } } { ( r - \frac { \beta _ { C } } { 2 } ) ^ { 2 } } { \mathbb { E } } \big [ ( e ^ { ( r - \frac { \beta _ { C } } { 2 } ) L } - 1 ) ^ { 2 } \big ] . } \end{array}
\frac { { \mathrm d } \alpha _ { s } ( \mu ) } { { \mathrm d } \ln \mu ^ { 2 } } \equiv \beta ( \alpha _ { s } ( \mu ) ) = - \frac { \beta _ { 0 } } { 4 \pi } \alpha _ { s } ^ { 2 } ( \mu ) - \frac { \beta _ { 1 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \alpha _ { s } ^ { 3 } ( \mu ) + \cdots ,
\begin{array} { r l r l } { \left. \frac { d E _ { \mathrm { t r } } ( \tau ) } { d \eta } \right\rfloor _ { \mathrm { e a r l y ~ t i m e } } } & { \simeq \left( \frac { \tau _ { 0 } } { \tau } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } ( 1 - \frac { 9 \gamma } { 4 } ) / ( 1 - \frac { \gamma } { 4 } ) } \frac { d E _ { \mathrm { t r } } ^ { 0 } } { d \eta } , } & { \left. \epsilon _ { n } ( \tau ) \right\rfloor _ { \mathrm { e a r l y ~ t i m e } } } & { \simeq \epsilon _ { n } ( \tau _ { 0 } ) , } \end{array}
\left[ { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + { \frac { 3 } { x } } { \frac { d } { d x } } - { \frac { 2 s ^ { 2 } ( x _ { + } ^ { 2 } - x _ { - } ^ { 2 } ) } { x ^ { 4 } ( \cosh 2 \delta + \cosh 2 \gamma ) } } - { \frac { m ^ { 2 } l ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } \right] \Phi _ { s } ^ { \mathrm { f a r } } = 0 .
\begin{array} { r } { { 1 } \frac { 4 \pi } { \mathit { e } ^ { 2 } } \boldsymbol { { F } } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( t ) = \; - { \mathbf { Z } } _ { \boldsymbol { \xi } } ^ { [ 2 ] , 1 } ( t , t ) - c \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t } \! { \mathbf { Z } } _ { \boldsymbol { \xi } } ^ { [ 1 ] , 1 } \big ( t , t ^ { \mathrm { \tiny { r } } } \big ) \mathrm { d } { t ^ { \mathrm { \tiny { r } } } } . } \end{array}
\vec { S } ( R , \varphi , \vartheta ) = \vec { F } ( R , \varphi , \vartheta ) + F \vec { e } _ { z } = R \left( \begin{array} { l } { \cos ( \varphi ) \sin ( \vartheta ) } \\ { \sin ( \varphi ) \sin ( \vartheta ) } \\ { \cos ( \vartheta ) } \end{array} \right) + F \vec { e } _ { z } = \left( \begin{array} { l } { R \cos ( \varphi ) \sin ( \vartheta ) } \\ { R \sin ( \varphi ) \sin ( \vartheta ) } \\ { \frac { H + R \cos ( \vartheta ) } { 2 } } \end{array} \right) .