harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle g _ { j } \rangle _ { K ^ { 1 } } - \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle g _ { j } \rangle _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } } \\ & { = - \sum _ { l ^ { 1 } = 0 } ^ { k ^ { 1 } - 1 } \Big ( \langle \Delta _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } + 1 ) } } g _ { 1 } \rangle _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } \langle g _ { 2 } \rangle _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } ) } } + \langle g _ { 1 } \rangle _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } + 1 ) } } \langle \Delta _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } + 1 ) } } g _ { 2 } \rangle _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Psi = - 4 \nu g \mathcal { H } _ { 2 } ^ { - 1 } \left[ \frac { k ^ { 2 } } { ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right] = - \frac { \nu g } { 2 } r ^ { 2 } K _ { 0 } ( r ) , } \\ & { \Phi = - 4 \nu g \mathcal { H } _ { 0 } ^ { - 1 } \left[ \frac { 1 } { ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right] = - \frac { \nu g } { 2 } r ^ { 2 } K _ { 2 } ( r ) . } \end{array}
\left( \phi - \ell ^ { 2 } \mathcal { F } ^ { - 1 } \left\{ i ^ { 2 } \boldsymbol { \upxi } ^ { 2 } \mathcal { F } \left\{ \phi \right\} \right\} \right) - 2 \left( 1 - \phi \right) \frac { \ell W _ { \mathrm { c r i t } } } { \mathcal { G } _ { c } ^ { 0 } } \left\langle \frac { W _ { \mathrm { e } } ^ { + } + W _ { \mathrm { p } } } { W _ { \mathrm { c r i t } } } - 1 \right\rangle = 0
f _ { M } ( \Lambda _ { E } ) = - 0 . 2 1 m _ { E } ^ { 3 } \left[ 1 - \left( 0 . 5 4 + 0 . 7 2 \log { \frac { \Lambda _ { E } } { 2 m _ { E } } } \right) \left( { \frac { g _ { E } ^ { 2 } } { m _ { E } } } \right) - 0 . 7 0 \left( { \frac { g _ { E } ^ { 2 } } { m _ { E } } } \right) ^ { 2 } \right] \, .
\begin{array} { r l r } { \| x _ { t } + \bar { y } _ { t } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } } & { \leq } & { 2 ( \| x _ { t } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } + \| \bar { y } _ { t } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } ) } \\ & { \leq } & { 4 \Big ( \varpi ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \nu \in [ 0 , t ] } \mathbb { E } \| x ( \nu ) \| ^ { 2 } + \| x _ { 0 } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } \Big ) + 4 \Big ( \varpi ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \nu \in [ 0 , t ] } \mathbb { E } \| \bar { y } ( \nu ) \| ^ { 2 } + \| \bar { y } _ { 0 } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \leq } & { 8 ( \| \phi \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } + \varpi ^ { 2 } r ) . } \end{array}
\frac { U _ { m i n } } { U _ { u } } = c _ { 1 } \sqrt { \frac { 4 g D ^ { 3 } } { 3 \nu _ { l } ^ { 2 } C _ { d l } } } \Delta \rho _ { l } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + c _ { 2 } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l l } & { \nu _ { 5 , 3 } \left( 1 / 1 3 \left( 0 , 0 , 0 , 1 / 2 , 1 / 2 \right) + 1 2 / 1 3 \left( 0 , 1 / 4 , 1 / 4 , 1 / 4 , 1 / 4 \right) \right) } & { = } & { \left( 1 , 8 5 / 3 3 8 \right) } \\ & { \nu _ { 5 , 3 } \left( 2 7 / 5 2 \left( 0 , 0 , 1 / 3 , 1 / 3 , 1 / 3 \right) + 2 5 / 5 2 \left( 1 / 5 , 1 / 5 , 1 / 5 , 1 / 5 , 1 / 5 \right) \right) } & { = } & { \left( 1 , 3 1 9 / 1 3 5 2 \right) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } ( \Delta p _ { C } ) \simeq } & { \left[ \frac { 1 } { N } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = \frac { 1 } { N } \right) + \left( - \frac { 1 } { N } \right) \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = - \frac { 1 } { N } \right) \right] \Delta t } \\ { = } & { ~ \frac { k - 2 } { ( k - 1 ) N } p _ { C } ( 1 - p _ { C } ) ( 1 - w _ { R } ) \left\{ - ( 1 + w _ { R } ) c + [ ( k - 1 ) w _ { I } + ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + 1 - w _ { R } ] b / k \right\} \delta \Delta t } \\ { \equiv } & { ~ m ( p _ { C } ) \Delta t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { \mathrm { O } } ) \sim A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { \mathrm { A } } ) } & { \sim 1 } \\ { \left( \frac { k } { k _ { \operatorname* { m a x } } } \right) ^ { 3 } } & { \sim 0 . 0 5 ^ { 3 } \sim 1 0 ^ { - 4 } } \\ { \epsilon _ { k } } & { \sim \mathrm { 0 . 2 e V } \sim 1 0 ^ { - 2 } \mathrm { R y } } \\ { \big | g ^ { ( 2 ) } ( k _ { \operatorname* { m a x } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ) \big | ^ { 2 } } & { \sim 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { R y } } \end{array}
\delta m = \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi } \biggl [ ( 2 - \frac { \mu } { m } ) ^ { 2 } l n ( 1 + 2 \frac { m } { \mid \mu \mid } ) + 2 ( 1 - \frac { \mid \mu \mid } { m } ) \biggr ] \ .
\begin{array} { r l } & { \langle t \rangle = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t p ( t ) t , } \\ & { = \frac { 1 } { 1 6 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \Phi \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 2 } \frac { R } { v _ { 0 } } | \cos ( \Phi - \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } - \frac { \pi } { 2 } ) | } \\ & { \times \theta ( - \cos \theta _ { 2 } \cos \Phi + \cos \Phi - \sin \theta _ { 2 } \sin \Phi ) } \\ & { \theta ( - \cos \theta _ { 2 } \cos \Phi + \cos \Phi - \sin \theta _ { 2 } \sin \Phi ) } \\ & { = \frac { \pi } { 4 } \, \frac { R } { v _ { 0 } } \, \; \; \; \mathrm { f o r } \; S c \rightarrow \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left\lbrace { \cal C } a r d ( D _ { j } ^ { 1 } ( t ) ) \right\rbrace \le c ^ { \prime } 2 ^ { j } , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left\lbrace { \cal C } a r d ( D _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) \right\rbrace \le c ^ { \prime \prime } 2 ^ { j ( 1 - a ) } , } \end{array}
\overline { { \overline { { T } } } } _ { \nu , i j } ^ { s , p } = \epsilon _ { 0 } ( E _ { \nu , i } ^ { s , p } E _ { \nu , j } ^ { s , p } - \frac { 1 } { 2 } | E _ { \nu } ^ { s , p } | ^ { 2 } \delta _ { i j } ) + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } ( B _ { \nu , i } ^ { s , p } B _ { \nu , j } ^ { s , p } - \frac { 1 } { 2 } | B _ { \nu } ^ { s , p } | ^ { 2 } \delta _ { i j } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { S } ^ { * } } & { = \mathcal { L } ^ { * } + \frac { \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \Big ( [ \mathcal { L } _ { C } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { C } ^ { * } , \mathcal { L } _ { A } ^ { * } + \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { A } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { C } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { A } ^ { * } ] ] + [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { C } ^ { * } , \mathcal { L } _ { A } ^ { * } ] ] } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { C } ^ { * } ] ] - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { A } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { A } ^ { * } , \mathcal { L } _ { C } ^ { * } ] ] - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { L } _ { A } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { A } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] \Big ) + \mathcal { O } ( \delta ^ { 4 } ) } \\ & { = \mathcal { L } ^ { * } + \delta ^ { 2 } \mathcal { L } _ { 2 } ^ { * } + \mathcal { O } ( \delta ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigl [ \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigr ] } & { = \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigl [ \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigr ] } \\ & { = - \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) . } \end{array}
| \psi \rangle = \longleftrightarrow \alpha \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) + \beta \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \alpha } \\ { \beta } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \hat { \langle P \rangle } } { d R _ { 2 } ^ { 2 } } - k _ { \perp } ^ { 2 } \hat { \langle P \rangle } } & { { } = 2 \iota k _ { 1 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ( \beta + 2 \gamma ^ { \prime \prime } R _ { 2 } R e _ { c } ^ { - 1 / 2 } ) + 2 \beta \langle S _ { 2 1 } \rangle \iota k _ { 1 } \delta ^ { \prime } ( R _ { 2 } ) , } \\ { \frac { d ^ { 2 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } { d R _ { 2 } ^ { 2 } } - k _ { \perp } ^ { 2 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } & { { } = \frac { d \hat { \langle P \rangle } } { d R _ { 2 } } - \iota k _ { 1 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ( \beta R _ { 2 } + \gamma ^ { \prime \prime } R _ { 2 } ^ { 2 } R e _ { c } ^ { - 1 / 2 } ) - \beta \langle S _ { 2 1 } \rangle \iota k _ { 1 } \delta ( R _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ^ { \prime } } & { \coloneq \{ ( s , ( \Theta , \sigma ) ) ~ | ~ s \in C \setminus \mathrm { d o m } ( \beta ) , \Gamma \coloneq \lambda ( s ) , ( \iota ( \Gamma ) , ( \Theta , \sigma ) ) \in Q \} } \\ { \Delta ^ { \prime } } & { \coloneq \{ ( ( s , ( \Theta , \sigma ) ) , ( \Delta _ { 1 } , \ldots , \Delta _ { n } ) , ( ( t _ { 1 } , ( \Theta _ { 1 } , \sigma _ { n } ) ) , \ldots , ( t _ { n } , ( \Theta _ { n } , \sigma _ { n } ) ) ) ) ~ | ~ } \\ & { \qquad \mathrm { i f ~ } s \in T \setminus \mathrm { L e a f } ( T ) , \mathrm { C h l d } ( s ) = \{ t _ { 1 } , \ldots , t _ { n } \} , \rho ( \delta ( s ) ) = ( \Gamma , \Delta _ { 1 } , \ldots , \Delta _ { n } ) , } \\ & { \qquad r _ { i } \colon \iota ( \Gamma ) \to \iota ( \Delta _ { i } ) \mathrm { ~ g i v e n ~ b y ~ t h e ~ t r a c e ~ i n t e r p r e t a t i o n ~ } } \\ & { \qquad \mathrm { a n d ~ } \delta _ { \mathfrak { S } } ( ( \iota ( \Gamma ) , ( \Theta , \sigma ) ) , r _ { i } ) = ( \iota ( \Delta _ { i } ) , ( \Theta _ { i } , \sigma _ { i } ) ) \} } \\ { s ^ { \prime } } & { \coloneq ( \varepsilon , ( \Theta _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ) ) \mathrm { ~ w h e r e ~ } s = ( \iota ( \lambda ( \varepsilon ) ) , ( \Theta _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ) ) } \\ { R ^ { \prime } } & { \coloneq \{ ( \{ ( s , ( \Theta , \sigma ) ) ~ | ~ ( \iota ( \lambda ( s ) ) , ( \Theta , \sigma ) ) \in G \} , \{ ( s , ( \Theta , \sigma ) ) ~ | ~ ( \iota ( \lambda ( s ) ) , ( \Theta , \sigma ) ) \in B \} ) ~ | ~ ( G , B ) \in R _ { \mathfrak { S } } \} } \end{array}
\mathcal { B } _ { k s } = \mathcal { B } _ { k } \left( t = t _ { s } \right) = \varDelta \gamma \frac { E ^ { \prime 3 / 5 } Q _ { o } ^ { 3 / 5 } t _ { s } ^ { 3 / 5 } } { K _ { I c } ^ { 8 / 5 } } = \varDelta \gamma \frac { E ^ { \prime 3 / 5 } V _ { o } ^ { 3 / 5 } } { K _ { I c } ^ { 8 / 5 } } = \left( \frac { V _ { o } } { V _ { \widehat { k } } ^ { \textrm { h e a d } } } \right) ^ { 3 / 5 } .
\left\{ \begin{array} { l } { b _ { 0 , 0 } + b _ { 0 , 2 } + b _ { 0 , 3 } + b _ { 0 , 4 } = b _ { 1 , 3 } + b _ { 1 , 4 } , } \\ { b _ { 0 , 1 } + b _ { 0 , 5 } = b _ { 0 , 2 } + b _ { 0 , 4 } + b _ { 2 , 4 } = 2 b _ { 0 , 3 } + b _ { 1 , 3 } + b _ { 1 , 4 } , } \\ { b _ { 0 , 3 } + b _ { 1 , 3 } + b _ { 1 , 4 } = \frac { | L | } { 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \kappa _ { D } \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { w } \mathcal { F } _ { e l } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , R ) } { 2 \pi R ^ { 2 } } = } & { { } f _ { 0 } \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \kappa _ { D } , w \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } & { \Big ( \big \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } + \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \leq \frac { C _ { \sigma } ( t ) } { 5 } \Big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + } \\ & { + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \tilde { k } \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | \tilde { k } | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { t , \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \Big \} , } \end{array}
- \frac { 1 } { 2 } \delta ( \mathrm { T r } G _ { n \, \mu \nu } G _ { n } ^ { \mu \nu } ) = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \delta [ ( \nabla _ { \nu _ { n } \cdots \nu _ { 1 } } \bar { \psi } ) \, \gamma ^ { \dagger \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { n } } ( i \gamma ^ { \alpha } D _ { n \, \alpha } - m ) \, \gamma ^ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \nabla _ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \psi ] = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( A _ { n } ) } & { = \operatorname { V a r } ( \xi _ { n , 1 } + \xi _ { n , 2 } + \xi _ { n , 3 } + \xi _ { n , 4 } + \xi _ { n , 5 } ) } \\ & { \lesssim \operatorname { V a r } ( \xi _ { n , 1 } ) + \operatorname { V a r } ( \xi _ { n , 2 } ) + \operatorname { V a r } ( \xi _ { n , 3 } ) + \operatorname { V a r } ( \xi _ { n , 4 } ) + \operatorname { V a r } ( \xi _ { n , 5 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I _ { b s c } } } & { \propto \mathrm { A _ { I F O } } \Re [ \mathrm { A _ { b s c , r e f } } ] } \\ & { = \mathrm { A _ { I F O } A _ { b s c , i n } } \left[ \left( - 1 + \frac { 2 \eta _ { e s c } } { 1 - x ^ { 2 } } \right) \cos ( \phi ) - \left( \frac { 2 \eta _ { e s c } x } { 1 - x ^ { 2 } } \right) \cos ( 2 \theta - \phi ) \right] \; . } \end{array}
\left[ 1 \, + \, { \frac { M _ { * } ^ { N - 2 } } { c _ { 1 } \, M _ { * } ^ { N - 2 } + c _ { 2 } \, \nabla ^ { N - 2 } } } \, { \frac { 1 } { ( r _ { c } \, \nabla ) ^ { 2 } } } \right] \, R \, = \, 8 \pi G _ { N } \, T _ { \mu } ^ { \mu } \, .
\overline { { u } } _ { \theta } = \frac { 1 } { R _ { 2 } - R _ { 1 } } \int _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } u _ { \theta } ( r ) d r = \frac { a } { 2 } \left( R _ { 2 } + R _ { 1 } \right) + b \frac { \log { \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } } } { R _ { 2 } - R _ { 1 } } + \frac { A } { 3 2 } \left( R _ { 2 } + R _ { 1 } \right) \left( R _ { 2 } ^ { 2 } + R _ { 1 } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l r } { N ^ { 2 } = \hat { f } _ { E } } & { { } = } & { \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } - \frac { M r ^ { 2 } } { r ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { Q ^ { 2 } l _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } } - Q ^ { 2 } \ln ( r ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) + { \frac { J ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } } } , } \\ { N ^ { \varphi } ( r ) } & { { } = } & { - { \frac { J } { 2 r ^ { 2 } } } . } \end{array}
\tilde { E } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n ] \geq C _ { \mathrm { L O } } \, E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X } } ^ { \mathrm { L D A } } [ n ] - \tilde { a } E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X } } [ n ] \, .
T \delta s ( \vec { x } ) = - \frac { 1 } { 2 } \Big [ \rho T C _ { v } \Big ( \frac { \delta T } { T } \Big ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \kappa _ { T } } \Big ( \frac { \delta \rho } { \rho } \Big ) ^ { 2 } - \rho T ( 1 - 2 \cos ^ { 2 } \theta ) \Big ( \frac { \delta B } { B } \Big ) ^ { 2 } + \rho T \frac { \delta B _ { \| } } { B } \Big ] = \phi _ { s } ( \vec { x } )
S _ { 0 } ^ { \prime } [ X ] = \int _ { 0 } ^ { T } d t \int d \theta e ( \theta \chi ) \left( - \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 } \right) D X \cdot D ^ { 2 } X = \int _ { 0 } ^ { T } d t \left[ - \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 } \dot { x } ^ { 2 } + i \zeta \cdot \dot { \zeta } + \frac { 1 } { T } \zeta \cdot \dot { x } \chi \right] .
\mathrm { T r } ( \gamma ^ { \mu \dagger } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \rho \dagger } ) = \mathrm { T r } ( \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 0 } ) = \mathrm { T r } ( \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu \dagger } \gamma ^ { \rho } ) = 0
\begin{array} { r l } { \widetilde { D } _ { x y } ^ { \textrm { ( a g g ) } } } & { = \! \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \frac { \mathcal { F } \{ \widetilde { D } _ { x y } ^ { \textrm { ( e s t ) } } + \aleph [ \partial _ { x } \widetilde { D } _ { x y } ^ { \textrm { ( e s t ) } } + \partial _ { y } \widetilde { D } _ { x y } ^ { \textrm { ( e s t ) } } ] \} } { 1 + i \aleph ( k _ { x } + k _ { y } ) } \right) . } \end{array}
\mathbf { V } = \left. \mathbf { v } ( \mathbf { r } ) \right| _ { \mathbf { r } = \overline { { \mathbf { r } } } } \, , \qquad \boldsymbol { \Omega } = \left. \frac { 1 } { 2 } \, \nabla \times \mathbf { v } ( \mathbf { r } ) \right| _ { \mathbf { r } = \overline { { \mathbf { r } } } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 4 } } & { = \mathbf { k } _ { 3 } - \mathbf { k } _ { 2 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 7 } } & { = 2 \mathbf { k } _ { 1 } , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 5 } } & { = \mathbf { k } _ { 1 } - \mathbf { k } _ { 3 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 8 } } & { = 2 \mathbf { k } _ { 2 } , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 6 } } & { = \mathbf { k } _ { 2 } - \mathbf { k } _ { 1 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 9 } } & { = 2 \mathbf { k } _ { 3 } . } \end{array}
\mathrm { ~ N ~ E ~ P ~ } ^ { 2 } = \frac { \mathrm { ~ N ~ E ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ } } ^ { 2 } + \mathrm { ~ N ~ E ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ R ~ } } ^ { 2 } } { \eta _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } } + \mathrm { ~ N ~ E ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ r ~ m ~ } } ^ { 2 } ,
\delta _ { 0 } = \frac { \delta _ { + } + \delta _ { - } + L [ \hat { \beta } _ { \mathrm { S } } ( \Omega _ { \mathrm { p } } ) + \hat { \beta } _ { \mathrm { S } } ( - \Omega _ { \mathrm { p } } ) ] } { 2 } .
r ^ { * } = \frac { \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) \gamma } { \left[ \gamma _ { 0 } + b ( \xi ) \right] \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } + \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { 2 } u _ { z } \operatorname { s e n } \varphi _ { p } }
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 3 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } \otimes v _ { 3 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { W } _ { 1 } } e ^ { i \alpha _ { 2 } \hat { C } _ { 2 } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle } & { = \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { W } _ { 1 } } \left( e ^ { i \alpha _ { 2 } \hat { C } _ { 2 } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } e ^ { - i \alpha _ { 2 } \hat { C } _ { 2 } } \right) | 0 \rangle } \\ & { = \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \, e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { W } _ { 1 } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle - \left( 1 - e ^ { i \alpha _ { 2 } } \right) \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \, e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { W } _ { 1 } } \hat { \phi } _ { 2 \mu } ^ { \dagger } | 0 \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta E _ { 2 8 D } = } & { - ( \frac { \Omega _ { D P } ^ { 2 } } { 4 ( E _ { P } - \nu _ { M W } ) } + \frac { \Omega _ { D P } ^ { 2 } } { 4 ( E _ { P } + \nu _ { M W } ) } ) } \\ & { - ( \frac { \Omega _ { D F } ^ { 2 } } { 4 ( E _ { F } - \nu _ { M W } ) } + \frac { \Omega _ { D F } ^ { 2 } } { 4 ( E _ { F } + \nu _ { M W } ) } ) , } \end{array}
{ \cal H } ^ { \textrm { a n h a r } } \equiv \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { a } } \frac { { \hat { \bf p } } _ { i } ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } + V ^ { \textrm { M L } } ( { \hat { \bf r } } _ { 1 } , \ldots , { \hat { \bf r } } _ { N _ { a } } )
\operatorname { E } \left[ \left. { \frac { { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } f ( X ; \theta ) } { f ( X ; \theta ) } } \right| \theta \right] = { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } \int f ( x ; \theta ) \, d x = 0 .
\begin{array} { r l } { P ( \omega , \omega _ { a } ) } & { = \sqrt { \left( \vec { A } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { C } ( \omega ) + \vec { B } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { D } ( \omega ) \right) ^ { 2 } + { \left( \vec { B } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { C } ( \omega ) - \vec { A } ( \omega _ { a } ) \cdot \vec { D } ( \omega ) \right) ^ { 2 } } } \, } \\ & { = X _ { a } X _ { \mathrm { D M } } \beta \sqrt { \left( A ^ { \prime } ( \omega _ { a } ) ^ { 2 } + B ^ { \prime } ( \omega _ { a } ) ^ { 2 } \right) \times \left( C ^ { \prime } ( \omega ) ^ { 2 } + D ^ { \prime } ( \omega ) ^ { 2 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } | E _ { j } | ^ { 2 } } & { { } \to \frac { L } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d k \left[ | 2 t \cos k + 2 i \sqrt { g ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } } \sin k | ^ { 2 } \right. } \end{array}
\ddot { x } ^ { \sigma } + { \Gamma } _ { \, \, \, \alpha \beta } ^ { \sigma } \dot { x } ^ { \alpha } \dot { x } ^ { \beta } + \frac { q } { m c } \tilde { g } ^ { \sigma \rho } F _ { \rho \gamma } \dot { x } ^ { \gamma } = 0 \, { , }
\left\langle \frac { 1 } { 2 N } \mathrm { T r } \, ( \vec { \sigma } ( \vec { A } \times \vec { A } ) \vec { \sigma } ( \vec { A } \times \vec { A } ) ) \right\rangle = \left\langle \frac { 6 } { N } \mathrm { T r } \, ( A _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } A _ { 2 } - A _ { 1 } ^ { 2 } A _ { 2 } ^ { 2 } ) \right\rangle = - 6 \left( \frac { a ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { 2 }
\varepsilon _ { D I } = 2 . 9 K u ^ { - 1 / 3 } P e ^ { - 2 / 3 } + 0 . 6 2 4 P e ^ { - 1 } + \varepsilon _ { I } + \frac { 1 . 2 4 R ^ { 2 / 3 } } { \left( K u P e \right) ^ { 1 / 2 } }
\begin{array} { r l } { \frac { A _ { t } } { \alpha _ { t - 1 } } - \frac { A _ { t - 1 } } { \alpha _ { t - 2 } } } & { \leq \left( \alpha _ { t - 1 } ^ { - 1 } - \alpha _ { t - 2 } ^ { - 1 } - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } \right) A _ { t - 1 } + \frac { 2 c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 3 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { b M } + \frac { 4 \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( D _ { t - 1 } + E _ { t - 1 } ) + \frac { 2 \hat { L } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } F _ { t - 1 } } { b M } } \end{array}
M ( \mu ^ { + } \mu ^ { - } \rightarrow H ^ { \pm } W ^ { \mp } ) = \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \frac { m } { m _ { W } } \tan \beta \bar { u } ( k _ { 1 } ) ( \frac { \hat { k } _ { 4 } \hat { W } } { t } + 2 \frac { ( k _ { 4 } W ) } { s - m _ { H } ^ { 2 } } ) P _ { L } u ( k _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { E _ { h } } & { = \frac { 1 } { 2 } | | \mathbf { u } | | _ { \omega } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } | | \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } + \mathbf { u } ^ { \prime } | | _ { \omega } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } | | \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } | | _ { \omega } ^ { 2 } + ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { u } ^ { \prime } ) _ { \omega } + \frac { 1 } { 2 } | | \mathbf { u } ^ { \prime } | | _ { \omega } ^ { 2 } . } \end{array}
+ H _ { 1 } ^ { - \frac { 2 } { D - 2 } } H _ { 2 } ^ { - \frac { 2 } { D - 2 } } d z ^ { m } d z ^ { m } + H _ { 1 } ^ { \frac { 2 } { D - 2 } } H _ { 2 } ^ { \frac { D - 4 } { D - 2 } } d x ^ { \alpha } d x ^ { \alpha } ]
\begin{array} { r l } { G _ { 0 } ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { N } ) } & { = z _ { j + 1 } ^ { \alpha _ { - } } ( 1 - z _ { j + 1 } ) ^ { \beta _ { - } } \Big [ \prod _ { j _ { 0 } \in ( [ N ] \backslash \mathtt { S } ) \backslash \{ j + 1 \} } ( z _ { j + 1 } - z _ { j _ { 0 } } ) ^ { 2 \gamma _ { - } } \Big ] \Big [ \prod _ { j _ { 0 } \in \mathtt { S } \backslash \{ j \} } ( z _ { j + 1 } - z _ { j _ { 0 } } ) ^ { - 2 } \Big ] , } \\ { G ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { N } ) } & { = z _ { j } ^ { \alpha _ { + } } ( 1 - z _ { j } ) ^ { \beta _ { + } } \Big [ \prod _ { j _ { 0 } \in ( [ N ] \backslash \mathtt { S } ) \backslash \{ j + 1 \} } ( z _ { j } - z _ { j _ { 0 } } ) ^ { - 2 } \Big ] \Big [ \prod _ { j _ { 0 } \in \mathtt { S } \backslash \{ j \} } ( z _ { j } - z _ { j _ { 0 } } ) ^ { 2 \gamma _ { + } } \Big ] F . } \end{array}
\int _ { \Sigma _ { \tau _ { n } } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } | L ( r ^ { 2 } L ) ^ { 2 } K \widehat { \psi } _ { | m | \geq 2 } | ^ { 2 } \, d \sigma d r \leq C ( 1 + \tau _ { n } ) ^ { - 1 } \left[ \int _ { \Sigma _ { 0 } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r | L ( r ^ { 2 } L ) ^ { 2 } K \widehat { \psi } _ { | m | \geq 2 } | ^ { 2 } \, d \sigma d r + D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] \right] .