\begin{array} { r l } { H ( \boldsymbol { r } ) } & { = \frac { 1 } { 2 \Omega } \sum _ { \boldsymbol { R } \kappa } Z _ { \kappa } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } \cdot \nabla \nabla V ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) \cdot \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } } \\ & { = \frac { 1 } { N \Omega } \sum _ { \boldsymbol { R } \kappa } \sum _ { \boldsymbol { q } \nu < \boldsymbol { q } ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } Z _ { \kappa } \sum _ { \boldsymbol { k } } \sum _ { \boldsymbol { G } } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { q } \kappa \nu } \cdot ( \boldsymbol { k } + \boldsymbol { G } ) \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { q } ^ { \prime } \kappa \nu ^ { \prime } } \cdot ( \boldsymbol { k } + \boldsymbol { G } ) V ( \boldsymbol { k } + \boldsymbol { G ) } e ^ { i ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } ) \cdot \boldsymbol { R } } e ^ { i ( \boldsymbol { k } + \boldsymbol { G } ) \cdot ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { N \Omega } \sum _ { \boldsymbol { G } \kappa } \sum _ { \boldsymbol { q } \nu < \boldsymbol { q } ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } Z _ { \kappa } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { q } \kappa \nu } \cdot ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { q } ^ { \prime } \kappa \nu ^ { \prime } } \cdot ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) V ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) e ^ { i ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) \cdot ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) } } \\ & { = \frac { e ^ { 2 } } { \Omega \epsilon _ { \infty } } \sum _ { \boldsymbol { G } \kappa } \sum _ { \boldsymbol { q } \nu < \boldsymbol { q } ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } Z _ { \kappa } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { q } \kappa \nu } \cdot \frac { ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) } { | ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) | ^ { 2 } } \cdot \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { q } ^ { \prime } \kappa \nu ^ { \prime } } e ^ { i ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) \cdot ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) } } \\ & { \sim \frac { e ^ { 2 } } { \Omega \epsilon _ { \infty } } \sum _ { \boldsymbol { G } \kappa } \sum _ { \boldsymbol { q } \nu < \boldsymbol { q } ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } Z _ { \kappa } u _ { \boldsymbol { q } \kappa \nu } u _ { \boldsymbol { q } ^ { \prime } \kappa \nu ^ { \prime } } e ^ { i ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } + \boldsymbol { G } ) \cdot ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) } ( b _ { \boldsymbol { q } \nu } ^ { \dagger } + b _ { \boldsymbol { - q } \nu } ) ( b _ { \boldsymbol { q } ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ^ { \dagger } + b _ { \boldsymbol { - q } ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ) } \\ & { \sim \frac { e ^ { 2 } } { \Omega \epsilon _ { \infty } } \sum _ { \boldsymbol { q } \nu < \boldsymbol { q } ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } \sum _ { \kappa } Z _ { \kappa } u _ { \boldsymbol { q } \kappa \nu } u _ { \boldsymbol { q } ^ { \prime } \kappa \nu ^ { \prime } } e ^ { i ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } ) \cdot ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) } ( b _ { \boldsymbol { q } \nu } ^ { \dagger } + b _ { \boldsymbol { - q } \nu } ) ( b _ { \boldsymbol { q } ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ^ { \dagger } + b _ { \boldsymbol { - q } ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ) } \end{array}