harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| \mathcal { V } ( t , \xi ) | \leq \left[ \| \mathcal { V } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } + \int _ { 0 } ^ { t } \| d ( s , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } } d s \right] \mathbb { E } [ \mathcal { B } ^ { \lambda } ( t , \xi ) ] \leq \left[ \| \mathcal { V } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } + \int _ { 0 } ^ { t } \| d ( s , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } } d s \right] \left( \mathbb { E } [ \mathcal { B } ( t , \xi ) ] \right) ^ { \lambda } .
\langle \phi ( x ) ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { r e g } } ^ { ( 0 ) } = ( 4 \pi ) ^ { - 2 } \left[ - ( \gamma - 1 ) \bar { \tau } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } + \bar { \tau } _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( \bar { \tau } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ) ^ { - 1 } + \bar { \tau } _ { 3 } ^ { ( 0 ) } ( \bar { \tau } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ) ^ { - 2 } + . . . \right]
\begin{array} { r l } { \phi ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { s ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } d \mathbf { r } ^ { \prime } } \\ { \mathbf { P } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { \mathbf { c } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } d \mathbf { r } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { r } _ { k } ( t + \Delta t ) } & { { } = } & { \vec { r } _ { k } ( t ) + \vec { u } _ { k l } ^ { \, s } ( t ) - \left( \vec { u } _ { k l } ^ { \, s } ( t ) - \vec { u } _ { k } ( t ) \right) } \end{array}
\phi ^ { ( n _ { i } , n _ { j } ) } ( x _ { i } , x _ { j } ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { \rho } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x _ { i } - x _ { j } } } { w ^ { x _ { i } - x _ { j } - n _ { j } + n _ { i } + 1 } } \prod _ { k = n _ { i } + 1 } ^ { n _ { j } } \frac { \varphi ( w ) ^ { L _ { k - 1 } - 1 } } { v _ { k } - w }
\mathbf { A \cdot B } = { \left( \begin{array} { l l l l } { A ^ { 0 } } & { A ^ { 1 } } & { A ^ { 2 } } & { A ^ { 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { B ^ { 0 } } \\ { B ^ { 1 } } \\ { B ^ { 2 } } \\ { B ^ { 3 } } \end{array} \right) }
. T h i s i s a n o r i g i n - d e p e n d e n t q u a n t i t y a n d d e p e n d s u p o n t h e l a t e r a l p o s i t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g a x i s . O n t h e c o n t r a r y , S A M (
\begin{array} { r l } { \frac { a _ { i j } } { \theta _ { i j } } } & { = c \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } ( \pi _ { i } + \pi _ { j } ) + \frac { \pi _ { i } \pi _ { j } } { 2 } \left( \frac { 1 } { p _ { i } } + \frac { 1 } { p _ { j } } \right) \frac { \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } - \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } } { \log \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } - \log \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } } \right) } \\ & { \geq c \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } ( \pi _ { i } + \pi _ { j } ) + \frac { 1 } { 2 } \xi _ { \mathrm { K L } } ( \pi _ { i } , \pi _ { j } ) \right) } \\ & { \geq c \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } ( \pi _ { i } + \pi _ { j } ) + \sqrt { \pi _ { i } \pi _ { j } } \right) } \\ & { = c \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } ( \sqrt { \pi _ { i } } - \sqrt { \pi _ { j } } ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \sqrt { \mu } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \ddot { X } + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \operatorname { s e c h } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { \mu } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \mu X - \mu Z - \nabla f ( X ) \right) } \\ & { = - \sqrt { \mu } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( Z - X \right) - \frac { 1 } { \sqrt { \mu } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \nabla f ( X ) } \\ & { = - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \dot { X } - \frac { 1 } { \sqrt { \mu } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \nabla f ( X ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { 2 } \hat { \phi } ( i , j ) \equiv \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } [ \hat { \phi } ( i + 1 , j ) + \hat { \phi } ( i , j + 1 ) - 4 \hat { \phi } ( i , j ) + \hat { \phi } ( i - 1 , j ) + \hat { \phi } ( i , j - 1 ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 3 6 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 1 1 } } \left\{ { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \left[ { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } \left( 4 \left( 5 6 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \left( { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } \dot { \phi } _ { 0 } ^ { * } + 5 { \phi _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \right) - 4 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } \dot { \phi } _ { 1 } ^ { * } \left( - 2 1 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } + 1 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \right. \right. \right. \right. \right. } \end{array}
\mathbf { G } ( a ) = N _ { G } ^ { 2 } ( a ) \exp \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t } [ a ^ { 2 } e ^ { - 2 t } - \sum _ { \alpha > 0 } \sinh ( ( \alpha ^ { 2 } b ^ { 2 } / 2 + 1 ) t ) F _ { \alpha } ( a , t ) ] \right) .
\begin{array} { r } { \frac { \partial G _ { a } } { \partial \bar { t } } + \frac { \partial G _ { a } } { \partial \bar { x } } + \Bigl ( \frac { G _ { a } } { G } - 1 \Bigr ) \langle \bar { \phi } \rangle \biggl [ \frac { 4 } { \pi } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \bar { z } S \frac { \partial \bar { \phi } _ { s } } { \partial G } \, d \bar { z } \biggr ] ^ { - 1 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf g } _ { a , M } = } & { - 2 \Omega _ { K e r r } ^ { 2 } ( d { \underline { { u } } } _ { K e r r } \otimes d u _ { K e r r } + d u _ { K e r r } \otimes d { \underline { { u } } } _ { K e r r } ) } \\ & { + ( \gamma _ { K e r r } ) _ { A B } ( d x _ { K e r r } ^ { A } - \underline { { b } } _ { K e r r } ^ { A } \, d u _ { K e r r } ) \otimes ( d x _ { K e r r } ^ { B } - \underline { { b } } _ { K e r r } ^ { B } \, d u _ { K e r r } ) , } \end{array}
\mathrm { A r e a } ( f + \varepsilon g ) = \mathrm { A r e a } ( f ) + \varepsilon \iint \frac { ( f _ { x } g _ { x } \! + \! f _ { y } g _ { y } ) } { \sqrt { f _ { x } ^ { 2 } \! + \! f _ { y } ^ { 2 } + 1 } } + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } 2 \! \iint \frac { f _ { x } ^ { 2 } g _ { y } ^ { 2 } \! - \! 2 f _ { x } f _ { y } g _ { x } g _ { y } \! + \! f _ { y } ^ { 2 } g _ { x } ^ { 2 } \! + \! g _ { x } ^ { 2 } \! + \! g _ { y } ^ { 2 } } { \left( f _ { x } ^ { 2 } + f _ { y } ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 3 / 2 } } + O \big ( \varepsilon ^ { 3 } \big ) ,
\lbrace k _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ / ~ u ~ u ~ } } , k _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ / ~ u ~ u ~ } } , k _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ / ~ u ~ m ~ } } \rbrace _ { i = 1 , \dots , N }
\mathscr { L } _ { \mathrm { S M } } = \frac { e } { \sin \theta _ { W } \cos \theta _ { W } } Z _ { \mu } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \bar { l } _ { \alpha } \gamma ^ { \mu } P _ { L } l _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \bar { \nu } _ { \alpha } \gamma ^ { \mu } P _ { L } \nu _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \bar { u } \gamma ^ { \mu } P _ { L } u - \frac { 1 } { 2 } \bar { d } \gamma ^ { \mu } P _ { L } d \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { ( E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } , - 1 ; \mathsf { B } _ { 3 } ) } ( G _ { 1 } F E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) } & { \cong \mathcal { I } _ { ( E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } , - 1 ; \mathsf { B } _ { 3 } ) } ( k _ { 1 } h _ { 2 } H _ { 1 } G _ { 1 } F E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) \cong \zeta , } \\ { \mathcal { I } _ { ( E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } , - 1 ; \mathsf { B } _ { 3 } ) } ( E _ { 2 } E _ { 1 } e _ { 3 } E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) } & { \cong ( \omega ^ { * } + ( \omega + \omega ^ { * } ) \cdot \omega ) . } \end{array}
H _ { n m } ^ { \{ { \bf R } \} } ( 0 , 0 ) \approx \frac { ( - 1 ) ^ { \theta _ { n m } } } { \sqrt { 2 \pi } } \Gamma \left( \frac { n + m + 1 } 2 \right) R _ { 1 1 } ^ { n / 2 } R _ { 2 2 } ^ { m / 2 } \left( \frac { | R _ { 1 2 } | } { \sqrt { R _ { 1 1 } R _ { 2 2 } } } + 1 \right) ^ { \frac { n + m + 1 } 2 } ,
\int d U U _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } \cdots U _ { i _ { n } j _ { n } } U _ { i _ { 1 } ^ { \prime } j _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { * } \cdots U _ { i _ { n } ^ { \prime } j _ { n } ^ { \prime } } ^ { * } = \sum _ { \sigma , \tau \in S _ { n } } \delta _ { i _ { 1 } , i _ { \sigma ( 1 ) } ^ { \prime } } \cdots \delta _ { i _ { n } , i _ { \sigma ( n ) } ^ { \prime } } \delta _ { j _ { 1 } , j _ { \tau ( 1 ) } ^ { \prime } } \cdots \delta _ { j _ { n } , j _ { \tau ( n ) } ^ { \prime } } \mathrm { W g } ^ { \mathrm { U } } ( N , \sigma \tau ^ { - 1 } ) .
d s ^ { 2 } = H ( x ^ { m } ) ^ { - 2 / 3 } \lbrace d s ^ { 2 } ( M ^ { 3 } ) + H ( x ^ { m } ) ( d s _ { T N } ^ { 2 } ( m _ { 1 } , x _ { 1 } ) + d s _ { T N } ^ { 2 } ( m _ { 2 } , x _ { 2 } ) \rbrace
\begin{array} { r } { r ( I _ { L _ { \bullet } } ) = \sum _ { M _ { \bullet } , N _ { \bullet } } \zeta _ { M _ { \bullet } , N _ { \bullet } } ^ { L _ { \bullet } } ( v ) I _ { M _ { \bullet } } \otimes I _ { N _ { \bullet } } , \ I _ { M _ { \bullet } } ^ { * } * _ { r } I _ { N _ { \bullet } } ^ { * } = \sum _ { L _ { \bullet } } \xi _ { M _ { \bullet } , N _ { \bullet } } ^ { L _ { \bullet } } ( v ) I _ { L _ { \bullet } } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle } & { = \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \lambda } \xi _ { \lambda } \hat { A } _ { \lambda } ^ { 2 } - \mathrm { h . c . } \right\} | \mathrm { v a c } \rangle = \bigotimes _ { \lambda } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \cosh \xi _ { \lambda } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \operatorname { t a n h } \xi _ { \lambda } \right) ^ { n } \frac { \sqrt { ( 2 n ) ! } } { 2 ^ { n } n ! } | 2 n \rangle _ { \lambda } \right] \, , } \\ { \mathrm { w h e r e } } & { \quad \xi _ { \lambda } : = \xi \sqrt { r _ { \lambda } } \quad , \quad | n \rangle _ { \lambda } : = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \left( \hat { A } _ { \lambda } \right) ^ { n } | \mathrm { v a c } \rangle \quad \mathrm { a n d } \quad \hat { A } _ { \lambda } : = \int \! \! \mathrm { d } \omega \, u _ { \lambda } ( \omega ) \, \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( x ) } & { { } = x ^ { T } \cdot C _ { 2 } \cdot x / 2 + x ^ { T } \cdot C _ { 1 } + C _ { 0 } - V ( q _ { t } + x ) , } \\ { g ^ { \prime } ( x ) } & { { } = C _ { 2 } \cdot x + C _ { 1 } - V ^ { \prime } ( q _ { t } + x ) , } \\ { g ^ { \prime \prime } ( x ) } & { { } = C _ { 2 } - V ^ { \prime \prime } ( q _ { t } + x ) . } \end{array}
\Psi _ { a } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \rightarrow \Psi _ { a } ( z _ { 2 } , z _ { 1 } ) = \exp \left( \frac { \hat { Q } _ { 1 } ^ { a } \hat { Q } _ { 2 } ^ { a } } { 2 \kappa } i \right) \Psi _ { a } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) .
d _ { \zeta , m } \equiv \left\{ \begin{array} { c } { T _ { \zeta , m } - T _ { \zeta , m - 1 } - \tau \left( \nu , \zeta , m - 1 , \ell _ { \zeta , m - 1 } \right) , \mathrm { ~ f o r ~ } - 2 n < m \leq 2 n } \\ { T \equiv T _ { \zeta , - 2 n } - T _ { \zeta - 1 , 2 n } - \tau \left( \nu , \zeta - 1 , 2 n , \ell _ { \zeta - 1 , 2 n } \right) , \mathrm { ~ f o r ~ } m = - 2 n , \zeta > 1 } \end{array} \right. ,
\widetilde Z ( g ) = { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q \, e ^ { q ^ { 2 } - g q ^ { 4 } } = { \frac { 1 } { ( 2 g ) ^ { 1 / 4 } } } e ^ { 1 / ( 8 g ) } D _ { - 1 / 2 } ( - 1 / \sqrt { 2 g } ) ,
\tan { \frac { \pi } { 1 5 } } = \tan 1 2 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 3 { \sqrt { 3 } } - { \sqrt { 1 5 } } - { \sqrt { 2 \left( 2 5 - 1 1 { \sqrt { 5 } } \right) } } \, \right]
Q ^ { 2 } = { \frac { 8 d \Sigma } { \alpha _ { e } } } \left[ { \frac { 2 \kappa } { ( d + 1 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } M + { \frac { 8 ( a - 1 ) } { \alpha _ { e } ( d + 1 ) ^ { 2 } } } \Sigma \right]
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H y d r o g e n ~ H : ~ } r _ { H } } & { = } & { 2 5 p m \Rightarrow \sigma _ { H } = \pi r _ { H } ^ { 2 } = 1 9 6 3 p m ^ { 2 } } \\ { \mathrm { H e l i u m ~ H e : ~ } r _ { H e } } & { = } & { 3 0 p m \Rightarrow \sigma _ { H e } = \pi * r _ { H e } ^ { 2 } = 2 8 2 7 p m ^ { 2 } } \\ { \mathrm { C a r b o n ~ C : ~ } r _ { C } } & { = } & { 7 0 p m \Rightarrow \sigma _ { C } = \pi * r _ { C } ^ { 2 } = 1 5 3 9 4 p m ^ { 2 } } \\ { \mathrm { ~ S i l i c i u m ~ S i : ~ } r _ { S i } } & { = } & { 1 1 0 p m \Rightarrow \sigma _ { S i } = \pi * r _ { S i } ^ { 2 } = 3 8 0 1 3 p m ^ { 2 } } \end{array}
m _ { C _ { 1 } } ^ { 2 } \ = \ m _ { C _ { 2 } } ^ { 2 } \ = \ m _ { 3 / 2 } ^ { 2 } \ \left( 1 \ - \ 3 \cos ^ { 2 } \theta ( \Theta _ { 3 } ^ { 2 } + \Theta _ { 6 } ^ { 2 } ) \right) \ .
\begin{array} { r l } { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a a } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } - \Gamma _ { 1 } \Tilde { \rho } _ { a a } + \frac { \Gamma _ { e } \Tilde { \rho } _ { e e } } { 3 } } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a b } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } - \frac { \Tilde { \rho } _ { a b } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { c } ) } \\ & { + i \Tilde { \rho } _ { a b } ( \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } ) } \\ { \dot { \Tilde { \rho } } _ { a c } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a b } - \frac { \Tilde { \rho } _ { a c } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { c } ) } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a e } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { e e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a a } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a b } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { a c } } \\ & { - \frac { \Tilde { \rho } _ { a e } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { e } ) + i \Tilde { \rho } _ { a e } ( \omega _ { e } - \omega _ { a } - \omega _ { b } ) } \\ { \dot { \Tilde { \rho } } _ { b b } } & { = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } - \Gamma _ { 2 } \Tilde { \rho } _ { b b } + \frac { \Gamma _ { 4 } \Tilde { \rho } _ { e e } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { e } ) } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } v ^ { \mu } ( \boldsymbol { x } ( t ) ) = \partial _ { \nu } F ^ { \mu } \left[ \boldsymbol { x } ( t ) \right] v ^ { \nu } \left[ \boldsymbol { x } ( t ) \right] - \frac { \dot { a } ( t ) } { a ( t ) } v ^ { \mu } \left[ \boldsymbol { x } ( t ) \right] \, .
{ \frac { d \widehat { \sigma } _ { 1 } ^ { ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) } } { d E d \cos \theta } } \; \longrightarrow \; { \frac { 1 2 8 \pi \alpha ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 2 4 3 m _ { c } s ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 + r } { 1 - r } } \; - \; \cos ^ { 2 } \theta \right) \; ,
\begin{array} { r l r l } & { \displaystyle \frac { d } { d k _ { 1 } } ( E - ( 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } ) K ) = k _ { 1 } K > 0 , } & & { \left. ( E - ( 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } ) K ) \right| _ { k _ { 1 } = k _ { * } } = ( 2 k _ { * } ^ { 2 } - 1 ) E > 0 , } \\ & { \displaystyle \frac { d } { d k _ { 1 } } ( K ( 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } ) ) = \frac { E - K } { k _ { 1 } } - k _ { 1 } K < 0 , } & & { \operatorname* { l i m } _ { k _ { 1 } \to 1 } ( K ( 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } ) ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } ( \mathbf { \nabla } \times \mathbf { B } ) } & { { } = \mathbf { J } _ { \mathrm { f } } + \mathbf { J } _ { \mathrm { b o u n d } } + \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } } \end{array}
A _ { 4 } = \lambda ^ { 6 } \left[ { \frac { \sin ^ { 2 } \theta ^ { \prime } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \ln { ( \sqrt { 3 } + 2 ) } + \cos \theta ^ { \prime } \right) + \sin ^ { 4 } \theta ^ { \prime } \left( c _ { 4 } + d _ { 4 } \cos \theta ^ { \prime } \right) \right] ,
I ( x ) = a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d + \frac { \alpha \eta } { 2 \sigma \Gamma \left( \frac { 1 } { \eta } \right) } \exp \left[ - 0 . 5 \left( \frac { | x - \mu | } { \sigma } \right) ^ { \eta } \right] .
\frac { K ( z ) } { \kappa } = \frac { \langle u w \rangle / \langle u ^ { 2 } ( z ) \rangle } { \langle u w \rangle / \langle u ^ { 2 } ( z _ { \mathrm { m } } ) \rangle } = \frac { \langle u ^ { 2 } ( z _ { \mathrm { m } } ) \rangle / u _ { \ast } ^ { 2 } } { \langle u ^ { 2 } ( z ) \rangle / u _ { \ast } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { - \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \left\{ ( \nabla \times \mathrm { d } _ { \rho } \mathbf { H } ) _ { k } \tilde { E } _ { k } + \varepsilon _ { 0 } ( \mathrm { d } _ { \rho } \varepsilon _ { \infty , k } ) \tilde { E } _ { k } \partial _ { t } E _ { k } + \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \infty , k } \tilde { E } _ { k } \partial _ { t } ( \mathrm { d } _ { \rho } E _ { k } ) \right\} \; } & { } \\ { + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \left\{ ( \mathrm { d } _ { \rho } \sigma _ { k } ) \tilde { E } _ { k } E _ { k } + \sigma _ { k } \tilde { E } _ { k } ( \mathrm { d } _ { \rho } E _ { k } ) \right\} \; } & { } \\ { + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } 2 ( \mathrm { d } _ { \rho } \kappa ^ { ( i ) } ) \tilde { E } _ { k } \Re \left\{ \partial _ { t } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } \right\} + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } 2 \kappa ^ { ( i ) } \tilde { E } _ { k } \Re \left\{ \partial _ { t } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) \right\} } & { = 0 , } \end{array}
W ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ; t ) = { \frac { 1 } { ( \pi \hbar ) ^ { 3 } } } \exp { \left( - \alpha ^ { 2 } r ^ { 2 } - { \frac { p ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } } \left( 1 + \left( { \frac { t } { \tau } } \right) ^ { 2 } \right) + { \frac { 2 t } { \hbar \tau } } \mathbf { x } \cdot \mathbf { p } \right) } ~ ,
\begin{array} { c c c } { { ( \gamma ^ { 0 } ) ^ { \dagger } = \gamma ^ { 0 } , } } & { { ( \gamma ^ { 0 } ) ^ { T } = - \gamma ^ { 0 } , } } & { { ( \gamma ^ { 0 } ) ^ { * } = - \gamma ^ { 0 } , } } \\ { { ( \gamma ^ { 1 } ) ^ { \dagger } = - \gamma ^ { 1 } , } } & { { ( \gamma ^ { 1 } ) ^ { T } = \gamma ^ { 1 } , } } & { { ( \gamma ^ { 1 } ) ^ { * } = - \gamma ^ { 1 } , } } \\ { { ( \gamma ^ { 2 } ) ^ { \dagger } = - \gamma ^ { 2 } , } } & { { ( \gamma ^ { 2 } ) ^ { T } = \gamma ^ { 2 } , } } & { { ( \gamma ^ { 2 } ) ^ { * } = - \gamma ^ { 2 } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \rho , \lambda , N } ( \Omega , X ) : = P ( \Omega ) + \lambda \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { | x _ { i } - x _ { j } | } } , } \end{array}
f l ( 9 . 4 ) = 1 . 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 \times 2 ^ { 3 }
{ \frac { 1 } { 2 0 } } , \, { \frac { 2 } { 2 0 } } , \, { \frac { 3 } { 2 0 } } , \, { \frac { 4 } { 2 0 } } , \, { \frac { 5 } { 2 0 } } , \, { \frac { 6 } { 2 0 } } , \, { \frac { 7 } { 2 0 } } , \, { \frac { 8 } { 2 0 } } , \, { \frac { 9 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 0 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 1 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 2 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 3 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 4 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 5 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 6 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 7 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 8 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 9 } { 2 0 } } , \, { \frac { 2 0 } { 2 0 } } .
\Gamma ( { \bf u } , \lambda ) = \Theta ( { \bf u } , \lambda ) \, D ( { \bf u } , \lambda ) \quad ; \quad D _ { i j } ( { \bf u } , \lambda ) = \delta _ { i j } \, e ^ { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \lambda ^ { n } u _ { j } ^ { ( n ) } }
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } } & { = \frac { a _ { \mathrm { C } } K _ { 1 } \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } } { \alpha _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } } , } \\ { P _ { \mathrm { C O } } } & { = \frac { a _ { \mathrm { C } } K _ { 2 } \left( \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } P _ { 0 } \right) ^ { 1 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { C O } } } , } \\ { P _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } } & { = \frac { a _ { \mathrm { C } } K _ { 3 } \left( \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { \alpha _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { 0 } } , } \\ { P _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } & { = \frac { K _ { 4 } \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \left( \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } P _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } , } \\ { P _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } } & { = \frac { K _ { 5 } ^ { 1 / 2 } \left( \alpha _ { \mathrm { N _ { 2 } } } P _ { \mathrm { N _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \right) ^ { 3 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } P _ { 0 } } , } \\ { P _ { \mathrm { H C N } } } & { = \frac { K _ { 6 } \alpha _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } \alpha _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } P _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } P _ { 0 } ^ { 2 } } { \alpha _ { \mathrm { H C N } } \left( \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } \right) ^ { 3 } } , } \\ { P _ { \mathrm { S O _ { 2 } } } } & { = \frac { K _ { 7 } \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } \left( \gamma _ { \mathrm { S _ { 2 } } } f _ { \mathrm { S _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { S O _ { 2 } } } P _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } , } \\ { P _ { \mathrm { H _ { 2 } S } } } & { = \frac { K _ { 8 } \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } P _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } \left( \gamma _ { \mathrm { S _ { 2 } } } f _ { \mathrm { S _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } { \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } S } } \left( \gamma _ { \mathrm { O _ { 2 } } } f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { 1 } ^ { D } ( s , t ) } & { : = \frac { k _ { - } } { \pi } ( y - x ) \nu ( y ) \frac { J _ { 1 } ( k _ { - } | x - y | ) } { | x - y | } \sqrt { 1 + | f ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } , } \\ { L _ { 2 } ^ { D } ( s , t ) } & { : = 2 \frac { \partial \Phi ( x , y ) } { \partial \nu ( y ) } \sqrt { 1 + | f ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } - L _ { 1 } ( s , t ) \ln | s - t | , } \\ { L _ { 3 } ^ { D } ( s , t ) } & { : = 2 \frac { \partial R } { \partial \nu ( y ) } ( x , y ) \sqrt { 1 + | f ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) v _ { 1 } = - \frac { \Gamma _ { 0 } \mathrm { R e } \mathrm { P e } _ { s } \left( \sin \theta \right) ^ { 2 } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } v _ { 1 } , \quad \left. v _ { 1 } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = 0 , \quad \left. v _ { 1 } \right| _ { t = 0 } = 0 , } \\ & { \left( \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) f = - \frac { \Gamma _ { 0 } \mathrm { R e } \mathrm { P e } _ { s } \left( \sin \theta \right) ^ { 2 } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } f , \quad \left. \partial _ { y _ { 3 } } f \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = \Gamma _ { 0 } \cos \theta , \quad \left. f \right| _ { t = 0 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \frac { p _ { i + 1 } ^ { j } } { q _ { i + 1 } ^ { j } } - \frac { p _ { i } } { q _ { i } } \right| = \left| \frac { q _ { i } ( j p _ { i } + p _ { i - 1 } ) - p _ { i } ( j q _ { i } + q _ { i - 1 } ) } { q _ { i } q _ { i + 1 } ^ { j } } \right| = \left| \frac { q _ { i } p _ { i - 1 } - p _ { i } q _ { i - 1 } } { q _ { i } q _ { i + 1 } ^ { j } } \right| . } \end{array}