harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \bar { y } _ { + } ^ { T } ( A D _ { + } A ^ { T } ) \bar { y } _ { + } } & { = } & { \bar { y } _ { + } ^ { T } A D _ { + } r } \\ & { = } & { ( \bar { y } - \sigma \gamma _ { j } ^ { - 2 } \bar { t } _ { j } B a _ { j } ) ^ { T } ( A D r + \frac { \sigma } { ( 1 - \sigma ) \gamma _ { j } ^ { 2 } } r _ { j } a _ { j } ) } \\ & { = } & { \bar { y } ^ { T } ( A D A ^ { T } ) \bar { y } - \sigma \gamma _ { j } ^ { - 2 } \bar { t } _ { j } a _ { j } ^ { T } \bar { y } + \frac { \sigma } { ( 1 - \sigma ) \gamma _ { j } ^ { 2 } } r _ { j } a _ { j } ^ { T } \bar { y } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { ( 1 - \sigma ) \gamma _ { j } ^ { 2 } } r _ { j } \bar { t } _ { j } } \\ & { = } & { \bar { y } ^ { T } ( A D A ^ { T } ) \bar { y } + \frac { \sigma } { ( 1 - \sigma ) \gamma ^ { 2 } } ( - [ 1 - \sigma ] \bar { t } _ { j } ( \bar { t } _ { j } + r _ { j } ) + r _ { j } ( \bar { t } _ { j } + r _ { j } ) - \sigma r _ { j } \bar { t } _ { j } ) } \\ & { = } & { \bar { y } ^ { T } ( A D A ^ { T } ) \bar { y } + \frac { \sigma } { ( 1 - \sigma ) \gamma _ { j } ^ { 2 } } ( r _ { j } ^ { 2 } - \bar { t } _ { j } ^ { 2 } + \sigma \bar { t } _ { j } ^ { 2 } ) = \bar { y } ^ { T } ( A D A ^ { T } ) \bar { y } + \frac { \sigma } { ( 1 - \sigma ) \gamma _ { j } ^ { 2 } } r _ { j } ^ { 2 } - \sigma \gamma _ { j } ^ { - 2 } \bar { t } _ { j } ^ { 2 } . } \end{array}
0 . 0 1 1 4 + 0 . 0 1 1 e ^ { - 5 . 7 9 e - 0 5 t } + 0 . 0 1 8 6 e ^ { - 0 . 0 0 0 8 2 8 t } + 0 . 0 3 4 e ^ { - 0 . 0 1 1 3 t } + 0 . 0 6 2 5 e ^ { - 0 . 1 5 4 t } + 0 . 1 1 5 e ^ { - 2 . 0 9 t } + 0 . 2 1 3 e ^ { - 2 8 . 2 t } + 0 . 5 3 4 e ^ { - 4 4 5 t }
\begin{array} { r l } & { 2 c \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widetilde { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { 3 \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big \{ | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { i n } } ^ { ( 1 ) } } & { = \sqrt { \Gamma } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( 1 ) } \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { o u t } } ^ { ( L ) } } & { = \sqrt { \gamma } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( L ) } \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell ) } } & { = \sqrt { t ^ { ( \ell ) } } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell ) } \, \, , \ \ \ \ 1 \le \ell \le \left( L - 1 \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon \frac { d } { d t } \mathscr X _ { - , \alpha } + \frac { 1 } { C } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq C \{ \varepsilon \langle \| \partial _ { t } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } ^ { 2 } \rangle \mathscr X _ { - , \alpha } + \varepsilon ^ { 2 } \langle \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { 2 } \} . } \end{array}
C _ { q } ^ { H i g g s } = { \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 M _ { W } } } ~ \left[ \left\{ \begin{array} { l l } { { { \frac { \cos \alpha } { \sin \beta } } } } & { { { \frac { F _ { h } } { m _ { h } ^ { 2 } } } } } \\ { { - { \frac { \sin \alpha } { \cos \beta } } } } & { { { \frac { F _ { h } } { m _ { h } ^ { 2 } } } } } \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array} { l l } { { { \frac { \sin \alpha } { \sin \beta } } } } & { { { \frac { F _ { H } } { m _ { H } ^ { 2 } } } } } \\ { { { \frac { \cos \alpha } { \cos \beta } } } } & { { { \frac { F _ { H } } { m _ { H } ^ { 2 } } } } } \end{array} \right\} \right] _ { \mathrm { d - q u a r k } } ^ { \mathrm { u - q u a r k } }
( M _ { 0 } + k M _ { 1 } + \cdots ) ( \boldsymbol { v } _ { 0 } + k \boldsymbol { v } _ { 1 } + \cdots ) = ( p _ { 0 } + k p _ { 1 } + \cdots ) ( \boldsymbol { v } _ { 0 } + k \boldsymbol { v } _ { 1 } + \cdots ) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } ( \lambda ) } & { { } = } & { \bar { \mu } = 0 , } \\ { \mathrm { l m } ( \lambda ) } & { { } = } & { \frac { \sqrt { - \bar { a } _ { 1 1 } ^ { 2 } - 4 \bar { a } _ { 1 2 } \bar { a } _ { 2 1 } } } { 2 } \neq 0 , } \\ { \frac { d \mathrm { R e } ( \lambda ) } { d u } | _ { u = \frac { M - 1 } { N - M } } } & { { } = } & { - \frac { c ( N - 1 ) } { 2 \varepsilon ( u + 1 ) ^ { 2 } } = - \frac { c ( N - M ) ^ { 2 } } { 2 \varepsilon ( N - 1 ) } < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { o u t } } } & { = \mathrm { P r } \left[ R _ { \mathrm { i n } } < R _ { \mathrm { t h } } \right] = \mathrm { P r } \left[ \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( 1 + A ^ { 2 } \Bar { \gamma } \right) < R _ { \mathrm { t h } } \right] } \\ & { = \mathrm { P r } \left[ A < \sqrt { \frac { 2 ^ { R _ { \mathrm { t h } } } - 1 } { \Bar { \gamma } } } \right] = \mathrm { P r } \left[ A < \Upsilon _ { \mathrm { t h } } \right] , } \end{array}
{ \frac { \Delta V } { 1 0 ^ { 2 0 } \mathrm { v o l t s } } } = { \frac { a } { M _ { \mathrm { B H } } } } \, { \frac { B } { 1 0 ^ { 4 } \mathrm { G } } } \, { \frac { M _ { \mathrm { B H } } } { 1 0 ^ { 9 } M _ { \odot } } } \; ,
\begin{array} { r l } { | ( - H _ { \rho } ^ { s } ) \oplus ( H _ { \rho } ^ { s } ) ^ { * } | ^ { 2 } \; \geq \; } & { { } \pi _ { \rho } ( ( - H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) G _ { \rho } ( D ) ^ { 2 } ( ( - H ^ { s } ) \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) { \pi _ { \rho } ^ { * } } } \\ { \; = \; } & { { } \pi _ { \rho } G _ { \rho } ( D ) | ( - H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } | ^ { 2 } G _ { \rho } ( D ) { \pi _ { \rho } ^ { * } } } \end{array}
\mathbb { E } [ X _ { 2 } ^ { 2 } ] = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \frac { \bar { \Sigma } } { \bar { \mu } } - x _ { 1 } ^ { ( k ) } \right) ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { ( k ) } = \frac { \bar { \Sigma } ^ { 2 } } { \bar { \mu } ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } p _ { 2 } ^ { ( k ) } - 2 \frac { \bar { \Sigma } } { \bar { \mu } } \mathbb { E } [ X _ { 1 } ] + \mathbb { E } [ X _ { 1 } ^ { 2 } ] = \left( 1 - \frac { 2 \mu _ { 1 } } { \bar { \mu } } \right) \bar { \Sigma } + \Sigma _ { 1 1 } = 2 .
\begin{array} { r l } { c ( n ) } & { = c ( 4 i + 3 ) = { \frac { 1 } { 2 } } c ( 2 i ) + c ( 2 i + 3 ) + { \frac { 1 } { 2 } } c ( 2 i + 4 ) + a _ { 3 } ( i ) } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } c ( ( n - 3 ) / 2 ) + c ( ( n + 3 ) / 2 ) + { \frac { 1 } { 2 } } c ( ( n + 5 ) / 2 ) + a _ { 3 } ( ( n - 3 ) / 4 ) } \\ & { \leq { \frac { 1 } { 2 } } ( n - 1 0 ) + ( n + 3 - 7 ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( n + 5 - 7 ) + 3 } \\ & { \quad \quad \mathrm { ( b y ~ i n d u c t i o n , ~ s i n c e ~ ( n + 5 ) / 2 \geq ~ ( n + 3 ) / 2 ~ \geq ~ ( n - 3 ) / 2 ~ \geq ~ 2 1 ~ ) } } \\ & { = 2 n - 7 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { B } } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \alpha } \pi \sigma _ { W } ^ { 2 } \frac { ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 \gamma } } { \frac { 2 5 } { d } \left( 1 + \alpha n \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) } } \\ & { \geq \frac { \pi \sigma _ { W } ^ { 2 } d } { 4 0 0 \left( 1 + 2 n \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) } } \\ & { = \frac { \pi \sigma ^ { 2 } d } { 4 0 0 \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { \sigma _ { W } ^ { 2 } } + 2 n \right) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \zeta ( 2 ) } & { = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + \cdots = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } } \\ { \zeta ( 4 ) } & { = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 4 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 4 } } } + \cdots = { \frac { \pi ^ { 4 } } { 9 0 } } } \\ { \zeta ( 6 ) } & { = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 6 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 6 } } } + \cdots = { \frac { \pi ^ { 6 } } { 9 4 5 } } } \\ { \zeta ( 8 ) } & { = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 8 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 8 } } } + \cdots = { \frac { \pi ^ { 8 } } { 9 4 5 0 } } } \\ { \zeta ( 1 0 ) } & { = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 1 0 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 1 0 } } } + \cdots = { \frac { \pi ^ { 1 0 } } { 9 3 5 5 5 } } } \\ { \zeta ( 1 2 ) } & { = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 1 2 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 1 2 } } } + \cdots = { \frac { 6 9 1 \pi ^ { 1 2 } } { 6 3 8 5 1 2 8 7 5 } } } \\ { \zeta ( 1 4 ) } & { = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 1 4 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 1 4 } } } + \cdots = { \frac { 2 \pi ^ { 1 4 } } { 1 8 2 4 3 2 2 5 } } } \\ { \zeta ( 1 6 ) } & { = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 1 6 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 1 6 } } } + \cdots = { \frac { 3 6 1 7 \pi ^ { 1 6 } } { 3 2 5 6 4 1 5 6 6 2 5 0 } } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { { } \mathcal { J } \mathcal { M } | P _ { \ell } ( \cos \theta ) \hat { s } _ { 1 } \cdot \hat { s } _ { 3 } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle = } \end{array}
\begin{array} { r l } { V - i \left[ H _ { 0 } , A \right] = } & { \sum _ { k , q } \Bigg ( 2 g ( k , q ) S _ { k , q } ^ { x } Q ( q ) + \frac { \Delta E _ { k } + \Delta E _ { k + q } } { 2 } \left( \alpha ( k , q ) S _ { k , q } ^ { y } P ( q ) - \beta ( k , q ) S _ { k , q } ^ { x } Q ( q ) \right) } \\ & { + M \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) \alpha ( k , q ) S _ { k , q } ^ { x } Q ( q ) - \frac { 1 } { M } \beta ( k , q ) S _ { k , q } ^ { y } P ( q ) \Bigg ) = 0 , } \end{array}
\frac { \theta _ { 2 } ( \tau ) } { \eta ( \tau ) ^ { 2 } } , \; \; \frac { \theta _ { 3 } ( \tau ) } { \eta ( \tau ) ^ { 2 } } , \; \; \frac { \theta _ { 4 } ( \tau ) } { \eta ( \tau ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \bar { A } = A - A L C , \; \; \bar { G } = \left[ \begin{array} { l l } { G } & { - A L } \end{array} \right] , \; \; \bar { \mathbf { w } } _ { k } = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { w } _ { k } } \\ { \mathbf { v } _ { k } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { K , \mathrm { a r c } } ^ { \mathrm { i m p } } } & { { } \approx } & { \frac { 1 + K } { 2 \pi } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \frac { \nu _ { y } ^ { 2 } f _ { k } } { \nu _ { y } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } e ^ { i \frac { P - 1 } { P } ( k + K ) \pi } } \end{array}
{ \biggl [ } \int _ { 0 } ^ { u } v ( x ) \, \mathrm { d } x { \biggr ] } { \biggl [ } \int _ { 0 } ^ { u } w ( x ) \, \mathrm { d } x { \biggr ] } = \int _ { 0 } ^ { u } { \biggl [ } \int _ { 0 } ^ { 1 } x \, v ( x y ) \, \mathrm { d } y { \biggr ] } w ( x ) + v ( x ) { \biggl [ } \int _ { 0 } ^ { 1 } x \, w ( x y ) \, \mathrm { d } y { \biggr ] } \, \mathrm { d } x
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { { } = } & { y } \\ { \dot { y } } & { { } = } & { f s i n ( \omega _ { 1 } t ) + g s i n ( \omega _ { 2 } t ) + e ^ { - 2 x } - e ^ { - x } - \gamma y } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \frac { { \bf k } } { \varepsilon _ { 0 } } \times \left[ { \underline { { \underline { \varepsilon } } } } ^ { - 1 } \left( t \right) \cdot { \bf d } \left( { \bf k } , t \right) \right] } & { { } = } & { - \frac { d { \bf b } \left( { \bf k } , t \right) } { d t } , } \\ { i { \bf k } \times { \bf b } \left( { \bf k } , t \right) } & { { } = } & { \mu _ { 0 } \frac { d { \bf d } \left( { \bf k } , t \right) } { d t } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { \dot { \delta Y } _ { 1 } } \\ { \dot { \delta Y } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { J D _ { Y _ { 1 } } ^ { 2 } H } & { J D _ { Y _ { 2 } Y _ { 1 } } ^ { 2 } H } \\ { J D _ { Y _ { 1 } Y _ { 2 } } ^ { 2 } H } & { J D _ { Y _ { 2 } } ^ { 2 } H } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \delta Y _ { 1 } } \\ { \delta Y _ { 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { U _ { c , \lambda } ^ { \mathrm { S D } } } & { = \langle \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { S D } } | \lambda \, \hat { \mathcal { U } } | \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { S D } } \rangle - \langle \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { S D } } | \lambda \, \hat { \mathcal { U } } | \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { S D } } \rangle } \\ { T _ { c , \lambda } ^ { \mathrm { S D } } } & { = \langle \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { S D } } | \hat { \mathcal { T } } | \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { S D } } \rangle - \langle \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { S D } } | \hat { \mathcal { T } } | \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { S D } } \rangle } \\ { V _ { c , \lambda } ^ { \mathrm { S D } } } & { = \langle \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { S D } } | \hat { \mathcal { V } } ^ { \lambda , \mathrm { S D } } | \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { S D } } \rangle - \langle \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { S D } } | \hat { \mathcal { V } } ^ { \lambda , \mathrm { S D } } | \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { S D } } \rangle } \\ & { = \frac { \Delta v ^ { \lambda , \mathrm { S D } } } { 2 } \left( \Delta n ^ { \lambda , \mathrm { S D } } - \Delta n ^ { \mathrm { S D } } \right) } \end{array}
{ \bf D } _ { \mathbb { F } , \varphi } ^ { \alpha } h ( x _ { o } ) = \left( D _ { \mathbb { F } , \varphi } ^ { \alpha _ { 1 } } | _ { 1 } \, h ( x _ { o } ) , \cdots , D _ { \mathbb { F } , \varphi } ^ { \alpha _ { n } } | _ { n } \, h ( x _ { o } ) \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \delta _ { n } } { 6 } a _ { \theta _ { * } , s t l } ^ { ( 3 ) , n } h _ { s } h _ { t } h _ { l } = } & { \ \frac { \delta _ { n } } { 6 } a _ { \theta _ { * } , s t l } ^ { ( 3 ) , n } ( h - \xi ) _ { s } ( h - \xi ) _ { t } ( h - \xi ) _ { l } + \frac { 3 \delta _ { n } } { 6 } a _ { \theta _ { * } , s t l } ^ { ( 3 ) , n } ( h - \xi ) _ { s } \xi _ { t } \xi _ { l } } \\ & { + \frac { 3 \delta _ { n } } { 6 } a _ { \theta _ { * } , s t l } ^ { ( 3 ) , n } ( h - \xi ) _ { s } ( h - \xi ) _ { t } \xi _ { l } + \delta _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varphi _ { 2 } : \mathbb { F } _ { q } ^ { \ell n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { \ell } = \mathbb { R } \oplus \mathbb { R } \oplus \dots \oplus \mathbb { R } } \\ & { \left( c _ { 0 } , \ldots , c _ { n - 1 } , c _ { n } , \ldots , c _ { 2 n - 1 } , \ldots , c _ { \ell ( n - 1 ) } , \ldots , c _ { \ell n - 1 } \right) } \\ & { \mapsto \left( c _ { 0 } ( x ) , c _ { 1 } ( x ) , \ldots , c _ { \ell - 1 } ( x ) \right) , } \end{array}
A \mathbf { x } = \mathbf { 0 } \; \; \Leftrightarrow \; \; { \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l } { { 7 } a _ { 1 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 1 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \; \cdots \; + \; } & { } & { a _ { 1 n } x _ { n } } & { } & { \; = \; } & { } & & { 0 } \\ { a _ { 2 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 2 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \; \cdots \; + \; } & { } & { a _ { 2 n } x _ { n } } & { } & { \; = \; } & { } & & { 0 } \\ & { } & & { } & & { } & & { } & & { } & { \vdots \ \; } & { } & & { } \\ { a _ { m 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { m 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \; \cdots \; + \; } & { } & { a _ { m n } x _ { n } } & { } & { \; = \; } & { } & & { 0 { \mathrm { . } } } \end{array} }
( 1 , 2 4 ) ( 2 , 2 1 ) ( 3 , 1 0 ) ( 4 , 2 2 ) ( 5 , 9 ) ( 6 , 2 3 ) ( 7 , 8 ) ( 1 1 , 1 8 ) ( 1 2 , 2 0 ) ( 1 3 , 1 4 ) ( 1 5 , 1 9 ) ( 1 6 , 1 7 ) .
\oint \frac { \prod _ { i } ^ { n } d u _ { i } } { \prod _ { i > j } ^ { n } \left| u _ { i } - u _ { j } \right| ^ { 2 b ^ { 2 } } } = \left( \frac { 2 \pi } { \Gamma ( 1 - b ^ { 2 } ) } \right) ^ { n } \Gamma ( 1 - n b ^ { 2 } )
P _ { 0 } ( \tau ) = \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { \gamma \sigma ^ { 2 } \tau } \left( \ln \frac { \eta } { \tau } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } - 1 } \exp \left[ - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left( \ln \frac { \eta } { \tau } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \left\Vert \Delta _ { X } ( t ) \right\Vert } & { \leq \frac { 2 } { t } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \int _ { 0 } ^ { t } \left\Vert \nabla h ^ { * } ( W ( s ) ) - \nabla h ^ { * } \left( \bar { W } ( s ) \right) \right\Vert \, d s . } \\ & { \leq \frac { 2 L _ { h ^ { * } } } { t } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \int _ { 0 } ^ { t } \left\Vert \Delta _ { W } ( s ) \right\Vert \, d s . } \\ & { \leq \frac { 2 L _ { h ^ { * } } } { t } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \int _ { 0 } ^ { t } \frac { s ^ { 2 } } { 2 } A ( t ) \, d s } \\ & { = \frac { L _ { h ^ { * } } 2 } { t } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) A ( t ) \frac { t ^ { 3 } } { 6 } } \\ & { = \frac { L _ { h ^ { * } } t ^ { 2 } } { 3 } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) A ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { a , b } ( r + 1 , c ) = \left\{ \begin{array} { l r } { 1 } & { \mathrm { i f } \ c = r = 0 } \\ { a N _ { a , b } ( r , 0 ) } & { \mathrm { i f } \ c = 0 } \\ { b N _ { a , b } ( r , r ) } & { \mathrm { i f } \ c = r } \\ { a N ( r , c ) + b N ( r , c - 1 ) } & { \mathrm { i f } \ 0 < c < r + 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 1 } { r } \left. \frac { \partial \Psi } { \partial \psi } \right| _ { \phi } = \frac { 1 } { r } \left( \left. \frac { \partial \tilde { \Psi } } { \partial \psi } \right| _ { \tilde { \phi } } \left. \frac { \partial \psi } { \partial \psi } \right| _ { \phi } + \left. \frac { \partial \tilde { \Psi } } { \partial \tilde { \phi } } \right| _ { \psi } \left. \frac { \partial \tilde { \phi } } { \partial \psi } \right| _ { \phi } \right) = \frac { 1 } { r } \left( \left. \frac { \partial \tilde { \Psi } } { \partial \psi } \right| _ { \tilde { \phi } } - \left. \frac { \partial \tilde { \Psi } } { \partial \tilde { \phi } } \right| _ { \psi } \right) .
\begin{array} { r } { f = \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } + v _ { x 1 } v _ { x 2 } q _ { x 1 } q _ { x 2 } + v _ { y 1 } v _ { y 2 } q _ { y 1 } q _ { y 2 } } { \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } } . } \end{array}
U \times \Omega \ni \left( y , \omega \right) \longmapsto \mathbf { \hat { s } } _ { n } \left( y , \omega \right) : = \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( y , \omega \right) + \mathbf { s } _ { n - 1 } \left( \Phi _ { \pi \left( \omega \right) } ^ { \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( y , \omega \right) } \left( y \right) , \omega \right) \in \overline { { \mathbb { R } ^ { + } } } \ ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l r } { \frac { \tilde { \phi } ^ { n + 1 } - \tilde { \phi } ^ { n } } { s } } & { = } & { \Delta _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } - \nabla _ { h } \cdot ( A _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \hat { \boldsymbol { U } } ^ { n + 1 } + A _ { h } \phi ^ { n } \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } ) + \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } , } \\ { \tilde { \mu } ^ { n + 1 } } & { = } & { \ln ( 1 + \hat { \phi } ^ { n + 1 } ) - \ln ( 1 + \phi ^ { n + 1 } ) - \ln ( 1 - \hat { \phi } ^ { n + 1 } ) + \ln ( 1 - \phi ^ { n + 1 } ) } \\ & { } & { - \theta _ { 0 } \tilde { \phi } ^ { n } - \varepsilon ^ { 2 } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } , } \\ { ( - \Delta _ { h } + I ) \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } } & { = } & { - \nabla _ { h } \tilde { p } ^ { n + 1 } - \gamma ( A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } + A _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \nabla _ { h } \hat { \mathcal { V } } ^ { n + 1 } ) + \tau _ { v } ^ { n + 1 } , } \\ { \nabla _ { h } \cdot \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } } & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \ell [ { \mathbf { y } _ { h } } ] ( \mathbf { v } _ { h } ) | \lesssim \sqrt { 1 + \delta } \| Z \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \Big ( \| \nabla _ { h } \mathbf { v } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \| { \mathbf { y } _ { h } } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| \nabla _ { h } { \mathbf { y } _ { h } } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \| \mathbf { v } _ { h } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { Q } } _ { 2 } ^ { - 1 } \hat { \mathcal { Q } } _ { 1 } : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } & { { } \mathcal { H } _ { 1 } \longrightarrow \mathcal { H } _ { 2 } , } \\ { \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } } & { { } , t _ { 1 } ) \mapsto \psi _ { 2 } ( x _ { 2 } , t _ { 2 } ) , } \end{array}
\times \exp \left( \sum _ { b , b ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { b } } \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { m _ { b ^ { \prime } } } 2 \frac { \pi } { \pi + g N } \frac { 1 } { N } \; \mathrm { K } _ { 0 } \Big ( e \sqrt { \frac { N } { \pi + g N } } | x _ { j } ^ { ( b ) } - y _ { j ^ { \prime } } ^ { ( b ^ { \prime } ) } | \Big ) \right)
\{ \hat { P } _ { i } \} _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ q ~ u ~ e ~ } } = \bigcup _ { n = 1 } ^ { 2 K - 1 } \{ \hat { P } _ { i } \} _ { n } - \bigcap _ { n = 1 } ^ { 2 K - 1 } \{ \hat { P } _ { i } \} _ { n } ,
v ^ { 2 } \simeq - { \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } } , ~ ~ ~ u \simeq - { \frac { \mu _ { 1 2 } ^ { 2 } v } { m _ { 2 } ^ { 2 } + ( \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } ) v ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \theta } { \partial x _ { i } } + \beta _ { 4 } \frac { \partial \sigma _ { i j } } { \partial x _ { j } } + \frac { 2 } { 1 5 c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \mathrm { K n } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \beta _ { 0 } \frac { \partial q _ { j } } { \partial x _ { i } } + \beta _ { 2 } \frac { \partial q _ { \langle i } } { \partial x _ { j \rangle } } \right) } & { = \frac { 2 } { 1 5 ( c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \mathscr { L } _ { 1 } ^ { ( 1 1 ) } q _ { i } , } \\ { \frac { \partial v _ { \langle i } } { \partial x _ { j \rangle } } + \beta _ { 4 } \frac { \partial q _ { \langle i } } { \partial x _ { j \rangle } } + \frac { 1 } { 1 5 c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } \mathrm { K n } \frac { \partial } { \partial x _ { k } } \left( \beta _ { 1 } \frac { \partial \sigma _ { k \langle i } } { \partial x _ { j \rangle } } + \beta _ { 3 } \frac { \partial \sigma _ { \langle i j } } { \partial x _ { k \rangle } } \right) } & { = \frac { 1 } { 1 5 ( c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \mathscr { L } _ { 2 } ^ { ( 1 1 ) } \sigma _ { i j } } \end{array}
C _ { d } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 4 } { R e _ { p , i } } ( 1 + 0 . 1 5 R e _ { p , i } ^ { 0 . 6 8 7 } ) \quad \quad \quad R e _ { p , i } \le 1 0 0 0 } \\ { 0 . 4 4 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad R e _ { p , i } > 1 0 0 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { | \langle U ( t ) F - \overline { { F } } , G \rangle | } & { \leq } & { | \langle U ( t ) F - \overline { { F } } , G - G _ { n } \rangle | + | \langle U ( t ) F - \overline { { F } } , G _ { n } \rangle | } \\ & { \leq } & { 2 \| F \| _ { L ^ { p } } \| G - G _ { n } \| _ { L ^ { q } } + | \langle U ( t ) F - \overline { { F } } , G _ { n } \rangle | , } \end{array}
\mathbf { E } _ { d } = \int \frac { d ^ { 3 } \mathbf { k } ^ { \prime } } { 2 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { d } } \left[ k _ { d } ^ { 2 } \mathbf { p } - \mathbf { k } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { p } ) \right] \frac { \exp \left[ i \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \left( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { d } \right) \right] } { k ^ { 2 } - k _ { d } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { 0 } } & { = } & { - q _ { 3 } + ( f _ { 0 2 } v ^ { 2 } + f _ { 1 1 } u v + f _ { 2 0 } u ^ { 2 } + f _ { 3 0 } u ^ { 3 } + . . . ) \varepsilon } \\ & { } & { + ( g _ { 0 2 } - 2 g _ { 0 2 } v - g _ { 1 1 } u + g _ { 0 2 } v ^ { 2 } + g _ { 1 1 } u v + g _ { 2 0 } u ^ { 2 } ) \varepsilon ^ { 2 } + ( g _ { 0 2 } + g _ { 0 3 } + . . . ) \varepsilon ^ { 3 } + . . . } \end{array}
\sigma _ { x } ^ { 2 } = \langle x ^ { 2 } \rangle - \langle x \rangle ^ { 2 } = \partial _ { s } ^ { 2 } G ( s , t ) | _ { s = 1 } + \partial _ { s } G ( s , t ) | _ { s = 1 } - ( \partial _ { s } G ( s , t ) | _ { s = 1 } ) ^ { 2 } ,