harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { M } \; \mu \; ( 2 ( P ^ { j k } { } _ { , i } D _ { \mu j } ^ { l } + P ^ { m k } { } _ { , i j } A _ { \mu m } P ^ { j l } ) - D _ { \mu i } ^ { m } P ^ { k l } { } _ { , m } + ( \epsilon ^ { \rho \nu } D _ { \rho } X ^ { i } ) \epsilon _ { \mu \nu } P ^ { k l } { } _ { , j i } ) C _ { l } C _ { k } = 0 .
\begin{array} { r l } { \hat { C } _ { g } \left( t \right) } & { = \left( 1 - \eta _ { t } \right) \cdot \left( C _ { g } ^ { \dagger } \left( t \right) + \eta _ { t - 1 } \hat { C } _ { g } \left( t - 1 \right) \right) \quad \mathrm { w i t h ~ } \hat { C } _ { g } \left( 0 \right) = C _ { g } ^ { \dagger } \left( 0 \right) } \\ { \eta _ { t } } & { \sim \mathrm { B e t a } \left( \alpha = \frac { r _ { d } } { e } , \beta = \frac { 1 - r _ { d } } { e } \right) \mathrm { w i t h ~ d ~ = ~ M o n d a y , ~ . . . , ~ S u n d a y } } \\ { r _ { d } } & { = \mathrm { s i g m o i d } \left( r _ { d } ^ { \dagger } \right) } \\ { r _ { d } ^ { \dagger } } & { = r _ { \mathrm { b a s e } , d } ^ { \dagger } + \Delta r _ { d } ^ { \dagger } } \\ { r _ { \mathrm { b a s e } , d } ^ { \dagger } } & { \sim \mathcal { N } \left( - 5 , 1 \right) \quad \mathrm { f o r ~ d ~ = ~ T u e s d a y , ~ W e d n e s d a y , ~ T h u r s d a y } } \\ { r _ { \mathrm { b a s e } , d } ^ { \dagger } } & { \sim \mathcal { N } \left( - 3 , 2 \right) \quad \mathrm { f o r ~ d ~ = ~ F r i d a y , ~ S a t u r d a y , ~ S u n d a y , ~ M o n d a y } } \\ { \Delta r _ { d } ^ { \dagger } } & { \sim \mathcal { N } \left( 0 , \sigma _ { r } \right) } \\ { \sigma _ { r } } & { \sim \mathrm { H a l f N o r m a l } \left( 1 \right) } \\ { e } & { \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } \left( 0 . 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \ln \bigl \langle e ^ { \beta y \sigma _ { I ( 1 ) } \sigma _ { I ( 2 ) } } \bigr \rangle _ { t } } & { = \mathbb E \ln \cosh \beta y + \mathbb E \ln \bigl ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta y ) \langle \sigma _ { I ( 1 ) } \sigma _ { I ( 2 ) } \rangle _ { t } \bigr ) } \\ & { = \mathbb E \ln \cosh \beta y - \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { r } } { r } \mathbb E \operatorname { t a n h } ^ { r } ( \beta y ) \cdot \mathbb E \langle \sigma _ { I ( 1 ) } \sigma _ { I ( 2 ) } \rangle _ { t } ^ { r } } \\ & { = \mathbb E \ln \cosh \beta y - \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 r } \mathbb E \operatorname { t a n h } ^ { 2 r } ( \beta y ) \cdot \mathbb E \langle \sigma _ { I ( 1 ) } \sigma _ { I ( 2 ) } \rangle _ { t } ^ { 2 r } . } \end{array}
T _ { 0 } = \Gamma _ { 1 1 } , \quad T _ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \psi ^ { 2 } + { \cal F } \Gamma _ { 1 1 } , \quad T _ { 4 } = { \frac { 1 } { 2 4 } } \Gamma _ { 1 1 } \psi ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } { \cal F } \psi ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } { \cal F } ^ { 2 } \Gamma _ { 1 1 } , \quad \mathrm { e t c . }
\begin{array} { r l } { f ( \theta ) } & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { ( \sqrt { 8 } + \sqrt { 3 } ) \sqrt { L \varepsilon } + ( 3 \pi / 2 - 1 ) \varepsilon } & { L > 2 \varepsilon } \\ { ( 3 + \sqrt { 5 } + 3 \pi / 2 ) \varepsilon } & { \varepsilon \leq L \leq 2 \varepsilon } \\ { ( 3 + \sqrt { 5 } ) \varepsilon + ( 3 \pi / 2 ) L } & { L < \varepsilon } \end{array} \right. } \\ & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { ( \sqrt { 8 } + \sqrt { 3 } ) \sqrt { L \varepsilon } + ( 3 \pi / 2 - 1 ) \varepsilon } & { L > 2 \varepsilon } \\ { ( 3 + \sqrt { 5 } + 3 \pi / 2 ) \varepsilon } & { L \leq 2 \varepsilon } \end{array} \right. } \\ & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { ( \sqrt { 8 } + \sqrt { 3 } + ( 3 \pi / 4 - 1 / 2 ) \sqrt { 2 } ) \sqrt { L \varepsilon } } & { L > 2 \varepsilon } \\ { ( 3 + \sqrt { 5 } + 3 \pi / 2 ) \varepsilon } & { L \leq 2 \varepsilon } \end{array} \right. } \\ & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 8 \sqrt { L \varepsilon } } & { L > 2 \varepsilon } \\ { 1 0 \varepsilon } & { L \leq 2 \varepsilon . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \allowdisplaybreaks } & { \quad \left\Vert \frac { d w } { d s } \right\Vert _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \nu \| \Delta w \| _ { L ^ { 2 } } + \| B ( w , u ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| B ( u , w ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| B ( w , w ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \mu \| I _ { h , \kappa } ( w ) - w \| _ { L ^ { 2 } } + \mu \| w \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \nu \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| B ( w ( s ) , u ( s ) ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| B ( u ( s ) , w ( s ) ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| B ( w ( s ) , w ( s ) ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \mu \| I _ { h , \kappa } ( w ) - w \| _ { L ^ { 2 } } + \mu \| w \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \nu \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } + c \| w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \| u ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \| \Delta u ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad + c \| u ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| u ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } + c \| w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad + \mu \| I _ { h , \kappa } ( w ) - w \| _ { L ^ { 2 } } + \mu \| w \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \nu \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } + \frac { c \sqrt { M _ { 1 } M _ { 2 } } } { \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 4 } } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } + c \sqrt { M _ { 0 } M _ { 1 } } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad + \frac { c } { \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 4 } } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 3 / 2 } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } + \mu \| I _ { h , \kappa } ( w ) - w \| _ { L ^ { 2 } } + \mu \| w \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \nu \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } + \frac { c \sqrt { M _ { 1 } M _ { 2 } } } { \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 4 } } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } + c \sqrt { M _ { 0 } M _ { 1 } } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad + \frac { c } { \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \nu } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 3 } + \nu \| \Delta w \| _ { L ^ { 2 } } + \mu \| I _ { h , \kappa } ( w ) - w \| _ { L ^ { 2 } } + \mu \| w \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
N _ { S } = { \frac { 1 } { 2 4 \pi ^ { 2 } } } \int d ^ { 3 } x \epsilon ^ { i j k } \mathrm { T r } \left( \partial _ { i } S S ^ { \dagger } \partial _ { j } S S ^ { \dagger } \partial _ { k } S S ^ { \dagger } \right)
\widetilde { \cal H } _ { \scriptscriptstyle [ K , L ] _ { F N } } = \{ ( [ K , L ] _ { \scriptscriptstyle F N } ) ^ { \wedge } , Q \} = - \{ \widetilde { \cal H } _ { \scriptscriptstyle K } , \widetilde { \cal H } _ { \scriptscriptstyle L } \}
{ \frac { \mathrm { B E } } { A \cdot { \mathrm { M e V } } } } = a - { \frac { b } { A ^ { 1 / 3 } } } - { \frac { c Z ^ { 2 } } { A ^ { 4 / 3 } } } - { \frac { d \left( N - Z \right) ^ { 2 } } { A ^ { 2 } } } \pm { \frac { e } { A ^ { 7 / 4 } } }
\frac { d } { d t } \left( \exp _ { s } \left( \xi \left( t \right) \right) \right) = \rho _ { \exp _ { s } \left( \xi \left( t \right) \right) } ^ { \left( s \right) } U _ { \xi \left( t \right) } ^ { \left( s \right) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( U _ { \tau \xi \left( t \right) } ^ { \left( s \right) } \right) ^ { - 1 } \dot { \xi } \left( t \right) d \tau .
\begin{array} { r l r } & { } & { { { { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ T } ~ } } } } ( { \bf s } , x _ { 3 } , x _ { 3 , F } , \tau ) = \left( \begin{array} { l l } { \bar { F } ^ { - } ( - { \bf s } , x _ { 3 } , x _ { 3 , F } , - \tau ) } & { F ^ { + } ( { \bf s } , x _ { 3 } , x _ { 3 , F } , \tau ) } \\ { \bar { F } ^ { + } ( - { \bf s } , x _ { 3 } , x _ { 3 , F } , - \tau ) } & { F ^ { - } ( { \bf s } , x _ { 3 } , x _ { 3 , F } , \tau ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 1 , \Phi } } & { = \sum _ { x \in \mathfrak { X } } \operatorname* { P r } ( \tilde { X } _ { 1 , 1 } = x ) \operatorname* { P r } ( \Phi ( \tilde { Y } _ { 1 , 1 } ) \neq x | \tilde { X } _ { 1 , 1 } = x ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } u _ { i } [ 1 - p _ { Y | X } ( \Phi ^ { - 1 } ( i ) | i ) ] } \\ & { = q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \alpha } ( \omega ) = \alpha _ { S } ( \omega ) - i \alpha _ { V } ( \omega ) \frac { ( \hat { \mathbf { u } } ^ { * } \times \hat { \mathbf { u } } ) \cdot \hat { \mathbf { F } } } { 2 F } } \\ { + \alpha _ { T } ( \omega ) \frac { 3 \{ \hat { \mathbf { u } } ^ { * } \cdot \hat { \mathbf { F } } , \hat { \mathbf { u } } \cdot \hat { \mathbf { F } } \} - 2 \hat { \mathbf { F } } ^ { 2 } } { 2 F ( 2 F - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< [ X _ { n } ( t ) - X _ { n } ( 0 ) ] ^ { 2 } \right> } & { = 2 \left< X _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \right> - 2 \left< X _ { n } ( t ) X _ { n } ( 0 ) \right> } \\ & { = \frac { 2 k _ { B } T } { \kappa } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \ \frac { S _ { n m } ^ { 2 } } { \lambda _ { m } } ( 1 - e ^ { - \frac { \kappa } { \zeta } \Lambda _ { m } t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left\langle \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { { } = - \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { m } } \left\langle \chi _ { m } k _ { i j } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \frac { \partial P _ { 0 } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( \left\langle k _ { i j } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \frac { \partial P _ { 0 } } { \partial x _ { j } } \overline { { c } } _ { 1 } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left\langle v _ { 1 i } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { x } \biggl | f ( t ) \biggl ( \frac { \tilde { \psi } ( H ^ { x - t } ) } { \log H } - x - t - \frac { \gamma } { \log H } \biggr ) \biggr | d t } & { \le \int _ { 0 } ^ { x } \biggl | \frac { \tilde { \psi } ( H ^ { x - t } ) } { \log H } - x - t - \frac { \gamma } { \log H } \biggr | d t } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { x } \biggl | \frac { \tilde { \psi } ( H ^ { t } ) } { \log H } - t - \frac { \gamma } { \log H } \biggr | d t } \\ & { \le \int _ { 1 } ^ { H ^ { x } } | \tilde { \psi } ( u ) - \log u - \gamma | \frac { d u } { u \log ^ { 2 } H } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ^ { \prime } ( 1 ) } & { { } = \underbrace { ( 1 - \vartheta ) + \vartheta \varrho ^ { r + 1 } } _ { = \varrho \mathrm { ~ b ~ y ~ ( ~ ) ~ } } + \vartheta ( r + 1 ) \varrho ^ { r } \varphi ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { \varrho } { 1 - ( r + 1 ) \underbrace { \vartheta \varrho ^ { r } } _ { = 1 - ( 1 - \vartheta ) \varrho ^ { - 1 } } } } \end{array}
- \frac { 1 } { 2 } \delta ( \mathrm { T r } G _ { n \, \mu \nu } G _ { n } ^ { \mu \nu } ) = 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \delta [ ( \nabla _ { \nu _ { n } \cdots \nu _ { 1 } } \bar { \psi } ) \, \gamma ^ { \dagger \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { n } } ( i \gamma ^ { \alpha } D _ { n \, \alpha } - m ) \, \gamma ^ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \nabla _ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \psi ] = 0 \, .
\psi _ { n } ( x ) = \frac 1 { \sqrt { n ! } } \, ( a ^ { \dag } ) ^ { n } \psi _ { 0 } = \frac { \pi ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \, 2 ^ { - \frac { n } { 2 } } } { \sqrt { n ! } } \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } } H _ { n } ( x ) \ .
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ g _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } , s _ { 1 } , \cdots , s _ { n } ) } \\ & { = \mathrm { d e t } \left[ \begin{array} { l l l } { g ( x _ { 1 } , x _ { 1 } , s _ { 1 } ) } & { \cdots } & { g ( x _ { 1 } , x _ { n } , s _ { 1 } ) } \\ { \cdots } & { g ( x _ { i } , x _ { j } , s _ { i } ) } & { \cdots } \\ { g ( x _ { n } , x _ { 1 } , s _ { n } ) } & { \cdots } & { g ( x _ { n } , x _ { n } , s _ { n } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , \pm x } , u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , \pm y } , u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , \ast x } , u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , \ast y }
\begin{array} { r l } & { \int \Big ( \langle R ( x ) y , \nabla \psi ( x ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) y ) - \langle y , \nabla \psi ( x ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , y ) \Big ) \nu ( d y ) = } \\ & { \quad = - \int \langle y , \nabla \psi ( x ) \rangle ( \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) y ) + \lambda _ { 1 } ( x , y ) ) \nu ( d y ) } \\ & { \quad = - \Big ( \int \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) y ) ^ { 2 } \nu ( d y ) - \int \lambda _ { 1 } ( x , y ) ^ { 2 } \nu ( d y ) \Big ) } \\ & { \quad = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , - w } ( - ) - \delta _ { l , - w } ( - ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } A _ { ( - ) } D _ { ( - ) } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } - \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } ^ { 2 } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } } } \\ { = } & { { } \rho _ { ( - ) } \overline { { k _ { ( - ) } } } \sigma _ { D , ( - ) } \sigma _ { I D , ( - ) } \, } \end{array}
\langle \rho | U ^ { \dagger } ( \psi _ { 2 } , z _ { 2 } ) U \left( e ^ { L _ { 1 } } \overline { { \phi } } , 1 \right) \overline { { { U ( \psi _ { 1 } , z _ { 1 } ) | \chi \rangle } } } = \langle \chi | U ^ { \dagger } ( \psi _ { 1 } , z _ { 1 } ) U ( \overline { { \phi } } , - 1 ) \overline { { { U ( \psi _ { 2 } , z _ { 2 } ) | \chi \rangle } } } \, .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \widehat { \bf u } _ { \bf 3 D } } { \partial t } + ( { \bf u } _ { \bf 2 D } \cdot { \bf \nabla } ) \widehat { \bf u } _ { \bf 3 D } + ( \widehat { \bf u } _ { \bf 3 D } \cdot { \bf \nabla } ) { \bf u } _ { \bf 2 D } = - \frac { 1 } { \rho } { \bf \nabla } p _ { 3 D } + \nu \nabla ^ { 2 } \widehat { \bf u } _ { \bf 3 D } + 2 \Omega ( \widehat { \bf u } _ { \bf 3 D } \times { \bf e } _ { z } ) - \mu \widehat { \bf u } _ { \bf 3 D } } \end{array}
\hat { S } ^ { R } = \operatorname { M a x } \left( \hat { U } ^ { L } + c ^ { L } \sqrt { \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } } , \quad \hat { U } ^ { R } + c ^ { R } \sqrt { \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \bar { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] \leq \left( \frac { m } { k + m } \right) ^ { \frac { 3 \theta } { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \bar { z } _ { 0 } \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { 7 2 \theta L ^ { 2 } m ^ { \frac { 3 \theta } { 2 } - 1 } \mathbb { E } \mathcal { L } _ { 0 } ^ { b } } { n \mu ^ { 2 } ( 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } ) ( k + m ) ^ { \frac { 3 \theta } { 2 } } } + \frac { 6 \theta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { ( 3 \theta - 2 ) n \mu ^ { 2 } ( k + m ) } } \\ & { \quad + \frac { 2 1 6 \theta ^ { 2 } L ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } ( 3 \theta - 1 0 ) } \left[ \frac { \mathcal { B } _ { 2 } } { ( k + m ) ^ { 2 } } + \frac { \mathcal { B } _ { 3 } } { ( k + m ) ^ { 3 } } + \frac { \mathcal { B } _ { 4 } } { ( k + m ) ^ { 4 } } + \frac { \mathcal { B } _ { 5 } } { ( k + m ) ^ { 5 } } + \frac { \mathcal { B } _ { 6 } } { ( k + m ) ^ { \frac { 4 \theta } { 3 } + 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 \ge } & { \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } \in \mathcal { A } } \Big ( \frac { 1 } { q _ { n } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } , i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 s _ { n } ( \mathcal { A } , \alpha , { \tau ( i ) } ) } } \\ { \ge } & { \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } \in \mathcal { A } } \Big ( \frac { 1 } { 2 q _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ) q _ { \lfloor n \alpha \rfloor } ( i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 s _ { n } ( \mathcal { A } , \alpha , { \tau ( i ) } ) } } \\ { \ge } & { \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } \in \mathcal { A } } \Big ( \frac { 1 } { 4 q _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ) ( \tau ( i ) ) ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } ( n - \lfloor n \alpha \rfloor ) } } \Big ) ^ { 2 s _ { n } ( \mathcal { A } , \alpha , { \tau ( i ) } ) } } \\ { \ge } & { \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } \in \mathcal { A } } \Big ( \frac { 1 } { q _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - \lfloor n \alpha \rfloor } ) ( \tau ( i ) ) ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } ( n - \lfloor n \alpha \rfloor ) } } \Big ) ^ { 2 s _ { n } ( \mathcal { A } , \alpha , { \tau ( i ) } ) + \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { v t } ) } \longrightarrow \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { v t } ) } + \Delta _ { i j } [ \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { e x } ) } ] , } & { { } \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { e x } ) } \longrightarrow \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { e x } ) } + \Delta _ { i j } [ \mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { v t } ) } ] , } \end{array}
N ( \psi ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \cosh \frac { 1 } { 2 } t \cos \frac { 1 } { 2 } \psi } { \cosh t + \cos \psi } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { n } r _ { i } \cosh t } \mathrm { d } \, t .
{ \frac { \kappa } { 4 \pi } } \partial _ { z } \Bigl ( \{ \xi _ { \alpha A } ( x ) , \xi _ { \beta L } ( z ) \} \; L _ { \beta \rho } ( z ) \Bigr ) = L _ { \rho \gamma } ^ { - 1 } ( z ) \; P _ { ( \alpha A ) ( \gamma L ) } ( x , z ) \quad ,
\begin{array} { r l } & { ( p _ { 3 } ) _ { ! } ( p _ { 2 } ) _ { \flat } ( p _ { 1 } ) ^ { * } ( 1 \times p _ { 3 } ) _ { ! } ( 1 \times p _ { 2 } ) _ { \flat } ( 1 \times p _ { 1 } ) ^ { * } } \\ { \cong } & { ( p _ { 3 } ) _ { ! } ( p _ { 2 } ) _ { \flat } ( p _ { 1 } ) ^ { * } ( p _ { 3 } \times 1 ) _ { ! } ( p _ { 2 } \times 1 ) _ { \flat } ( p _ { 1 } \times 1 ) ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { V _ { \alpha } } d ^ { 3 } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \equiv \int _ { y _ { \alpha } - \frac { \Delta y } { 2 } } ^ { { y _ { \alpha } + \frac { \Delta y } { 2 } } } \, d y ^ { \prime } \int _ { y _ { \alpha } - \frac { \Delta x } { 2 } } ^ { { x _ { \alpha } + \frac { \Delta x } { 2 } } } d x ^ { \prime } \int _ { y _ { \alpha } - \frac { \Delta z } { 2 } } ^ { { z _ { \alpha } + \frac { \Delta z } { 2 } } } d z ^ { \prime } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { { \theta } } ( x ) } & { { } = q _ { z } ( f _ { { \theta } } ^ { - 1 } ( x ) ) \, \left| \frac { \textrm { d } f _ { { \theta } } } { \textrm { d } { z } } \right| ^ { - 1 } = q _ { z } ( { z } ) \, \left| \frac { \textrm { d } f _ { { \theta } } } { \textrm { d } { z } } \right| ^ { - 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { d } } & { = } & { \frac { \frac { d } { \pi ^ { m / 2 } } \prod _ { \ell = 2 } ^ { d } \zeta ( \ell ) \Gamma ( \frac { \ell } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { m } { 2 } + 1 ) ( 4 \pi ) ^ { m / 2 } } ( r ^ { 2 } / 2 ) ^ { m / 2 } \cdot \frac { 2 ^ { d ( d - 1 ) / 4 } \sqrt { d } \Gamma ( \frac { m } { 2 } + 1 ) } { \prod _ { j = 2 } ^ { d } \Gamma ( \frac { j } { 2 } ) } r ^ { - m } } \\ & { = } & { \frac { \frac { d } { \pi ^ { m / 2 } } \prod _ { \ell = 2 } ^ { d } \zeta ( \ell ) } { ( 4 \pi ) ^ { m / 2 } } 2 ^ { - m / 2 } \cdot 2 ^ { d ( d - 1 ) / 4 } \sqrt { d } } \\ & { = } & { \frac { { d } ^ { 3 / 2 } } { 2 ^ { ( d + 3 ) ( d - 1 ) / 2 } } \prod _ { j = 2 } ^ { d } \frac { \zeta ( j ) } { \pi ^ { j } } . } \end{array}
{ } ^ { ( 2 ) } S ^ { i j k l } g _ { i j } u _ { k l } = P ^ { k l } u _ { k l } \qquad \mathrm { a n d } \qquad { } ^ { ( 2 ) } A ^ { i j k l } g _ { i j } u _ { k l } = - Q ^ { k l } u _ { k l } .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { Q N M } } ^ { \mathrm { n l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } & { = \frac { 2 | \mathbf { d } | ^ { 2 } } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \int _ { V _ { \mathrm { L } } } \epsilon _ { \mathrm { I m } } ^ { \mathrm { L } } ( \mathbf { r } , \omega ) } \\ & { \left| \left( \sum _ { \mu } A _ { \mu } \left( \omega \right) \, \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } \left( { \bf r } \right) \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } \left( { \bf r } _ { 0 } \right) \right) \cdot \mathbf { n } _ { \mathrm { d } } \right| ^ { 2 } d \mathbf { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \rho ( x , y ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 5 . 9 9 7 0 , \qquad } & { \mathrm { i f ~ } x \le 0 . 5 } \\ { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } x > 0 . 5 } \end{array} \right. , \qquad } & & { u ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 9 8 . 5 9 1 4 , \qquad } & { \mathrm { i f ~ } x \le 0 . 5 } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } x > 0 . 5 } \end{array} \right. } \\ { v ( x , y ) } & { = 0 , \qquad } & & { p ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 1 6 6 6 . 5 , \qquad } & { \mathrm { i f ~ } x \le 0 . 5 } \\ { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } x > 0 . 5 } \end{array} \right. } \end{array}
\alpha = \frac { 2 ( \gamma + 1 ) } { \gamma - 1 } \left[ 1 + \frac { \gamma ( 1 + \beta _ { 1 } ) } { \gamma - 1 } M _ { B } ^ { - 2 } + \left( \left[ 1 + \frac { \gamma ( 1 + \beta _ { 1 } ) } { \gamma - 1 } M _ { B } ^ { - 2 } \right] ^ { 2 } + 4 \frac { ( 1 + \gamma ) ( 2 - \gamma ) } { ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } } M _ { B } ^ { - 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \right] ^ { - 1 } \ .
H _ { D 7 } = \frac { h _ { D _ { 7 } } } { 2 \ell } | x _ { 2 } ^ { 2 } | + h _ { D 7 } \log { \sqrt { 1 - 2 e ^ { - | x _ { 2 } ^ { 2 } | } \cos { y / \ell } + e ^ { - 2 | x _ { 2 } ^ { 2 } | } } } \, .
A ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = \langle { \cal C } ^ { 1 1 } ( x _ { 1 } ) { \cal C } _ { 1 1 } ^ { \dagger } ( x _ { 2 } ) : t r ( \phi _ { 2 } ^ { \dagger } ( x _ { 3 } ) \phi ^ { 2 } ( x _ { 3 } ) ) : : t r ( \phi _ { 3 } ^ { \dagger } ( x _ { 4 } ) \phi ^ { 3 } ( x _ { 4 } ) ) : \rangle
\begin{array} { r } { R _ { 1 1 } ^ { F U } = 1 6 \pi \mu a b c \frac { 1 } { \chi _ { 0 } + \alpha _ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { R _ { 1 1 } ^ { T \Omega } = \frac { 1 6 \pi \mu a b c } { 3 } \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } } { a _ { 2 } ^ { 2 } \alpha _ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } \alpha _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( \mathbf { x } , t ) } & { = \langle u ( \mathbf { x } , t ) \rangle + u ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) , \ \ v ( \mathbf { x } , t ) = \langle v ( \mathbf { x } , t ) \rangle + v ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) , } \\ { w ( \mathbf { x } , t ) } & { = \langle w ( \mathbf { x } , t ) \rangle + w ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) , \ \ \phi ( \mathbf { x } , t ) = \langle \phi ( \mathbf { x } , t ) \rangle + \phi ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { Y _ { 1 } = X _ { 2 } + \sqrt { - 1 } \ X _ { 1 } , \quad } } & { { Y _ { 2 } = - X _ { 2 } + \sqrt { - 1 } \ X _ { 1 } , } } \\ { { Y _ { 3 } = X _ { 4 } + \sqrt { - 1 } \ X _ { 3 } , \quad } } & { { Y _ { 4 } = - X _ { 4 } + \sqrt { - 1 } \ X _ { 3 } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { G } } } = g ^ { \mu \lambda } \bigl ( \overline { { \Gamma } } _ { \rho \lambda } ^ { \kappa } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \kappa } ^ { \rho } - \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \kappa } \overline { { \Gamma } } _ { \rho \kappa } ^ { \rho } \bigr ) + \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \kappa } P ^ { \mu \lambda } _ { \kappa } \, , } \end{array}
Z _ { i } ( N - n _ { i } ) \equiv \ \sideset { } { ^ { ( i ) } } \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , \ldots } e ^ { - \beta ( n _ { 1 } \varepsilon _ { 1 } + n _ { 2 } \varepsilon _ { 2 } + \cdots ) }