harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \delta _ { Y , Z } \mu ^ { + } ( X ) } & { = \frac { \mu ^ { * } ( X ) - \mu ^ { + } ( X ) } { 2 } } \\ { \frac { M } { N } ( \mu ^ { + } ( Y ) - \mu ^ { + } ( Z ) ) } & { = \frac { \mu ^ { * } ( X ) - \mu ^ { + } ( X ) } { 2 } } \\ { \mu ^ { + } ( Y ) - \mu ^ { + } ( Z ) } & { = \frac { N ( \mu ^ { * } ( X ) - \mu ^ { + } ( X ) ) } { 2 M } } \end{array}
\begin{array} { r } { i \hbar \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { c _ { j g a } } \\ { c _ { j g b } } \\ { c _ { j e a } } \\ { c _ { j e b } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { E _ { g } + \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 N } } & { 0 } & { \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x } & { 0 } \\ { 0 } & { E _ { g } + \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 N } + \hbar \Delta \omega } & { 0 } & { \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x } \\ { \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x } & { 0 } & { E _ { e } + \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 N } } & { \lambda } \\ { 0 } & { \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x } & { \lambda } & { E _ { e } + \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 N } + \hbar \Delta \omega } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { c _ { j g a } } \\ { c _ { j g b } } \\ { c _ { j e a } } \\ { c _ { j e b } } \end{array} \right) , } \end{array}
\bar { r } _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( 1 + c \bar { a } ^ { * } ) } { \bar { a } ^ { * } } , \quad \quad \bar { r } _ { 2 } = - \frac { 2 } { 3 } \bar { c } _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { i \int _ { \mathbb { R } } \overline { { u } } _ { x } u _ { x t } d x + \int _ { \mathbb { R } } \overline { { u } } _ { x } u _ { x x x } d x = } & { \int _ { \mathbb { R } } ( | u | ^ { 2 p } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } d x + \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 p } | u _ { x } | ^ { 2 } d x + \beta \int _ { \mathbb { R } } ( | u | ^ { p - 1 } ) _ { x } | v | ^ { p + 1 } u \overline { { u } } _ { x } d x } \\ & { + \beta \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p - 1 } ( | v | ^ { p + 1 } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } d x + \beta \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } | u _ { x } | ^ { 2 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle } & { { } = \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \lambda } \xi _ { \lambda } \hat { A } _ { \lambda } ^ { 2 } - \mathrm { h . c . } \right\} | \mathrm { v a c } \rangle = \bigotimes _ { \lambda } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \cosh \xi _ { \lambda } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \operatorname { t a n h } \xi _ { \lambda } \right) ^ { n } \frac { \sqrt { ( 2 n ) ! } } { 2 ^ { n } n ! } | 2 n \rangle _ { \lambda } \right] \, , } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } & { { } \quad \xi _ { \lambda } : = \xi \sqrt { r _ { \lambda } } \quad , \quad | n \rangle _ { \lambda } : = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \left( \hat { A } _ { \lambda } \right) ^ { n } | \mathrm { v a c } \rangle \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \hat { A } _ { \lambda } : = \int \! \! \mathrm { d } \omega \, u _ { \lambda } ( \omega ) \, \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \left( \eta \right) \simeq \frac { 1 } { Z _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } \exp \left( - \beta _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } U _ { \eta } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \bar { v } } \sim } & { { } \ \bar { v } e ^ { - \eta t } \left( \kappa ^ { * } + e ^ { ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau - \eta ) t } \bar { v } \right) - e ^ { - ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau ) t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 4 } ( r , \theta , t ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } } & { { } \Big [ A _ { n , \alpha } ( t ) \Upsilon _ { n , \alpha } ^ { 1 } ( r , \theta ) } \end{array}
L = u { \frac { \partial } { \partial u } } + v { \frac { \partial } { \partial v } } - \bar { u } { \frac { \partial } { \partial \bar { u } } } - \bar { v } { \frac { \partial } { \partial \bar { v } } } = { \frac { 1 } { i } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \, .
I = f _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ i ~ p ~ } } \left( S \odot R \odot \left( O \odot f _ { \mathrm { ~ w ~ a ~ r ~ p ~ } } ( \alpha f _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ p ~ } } ( \Phi ) , D ) + \beta \right) + \eta \right) ,
\hat { E } _ { T } = \frac { - \hat { l } _ { f } \hat { E } _ { \psi } } { \hat { \lambda } _ { f } + \hat { l } _ { f } ^ { 2 } } , \quad \hat { E } _ { C } = \frac { - \hat { l } _ { f } \hat { E } _ { \psi } } { R _ { 0 } \left( \hat { \lambda } _ { f } + \tau \hat { l } _ { f } ^ { 2 } \right) } .
\begin{array} { r l } { B _ { i t } } & { = \frac { \partial E } { \partial \kappa _ { i t } } } \\ & { = 2 ( F _ { i t } - F _ { t i } ) } \\ & { = 2 ( 2 ^ { I } F _ { t i } + 2 ^ { A } F _ { t i } - \sum _ { w } { ^ { I } F } _ { i w } D _ { t w } - \sum _ { w x y } \tilde { D } _ { t w x y } g _ { i w x y } ) } \\ & { = 2 \{ 2 [ h _ { t i } + \sum _ { j } ( 2 g _ { t i j j } - g _ { t j j i } ) ] + 2 [ \sum _ { v w } D _ { v w } ( g _ { t i v w } - \frac { 1 } { 2 } g _ { t v w i } ) ] } \\ & { - \sum _ { w } [ h _ { i w } + \sum _ { j } ( 2 g _ { i w j j } - g _ { i j j w } ) ] D _ { t w } - \sum _ { w x y } \tilde { D } _ { t w x y } g _ { i w x y } \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta = \frac { e v } { \hbar \omega } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \; \hat { \bf v } \cdot { \bf E } ( { \bf r } = { \bf v } t ) \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \! } & { = \! \int _ { \Sigma } \imath ^ { * } \big ( \delta \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } + \frac { 2 } { \gamma } \delta \mathrm { e } _ { I } \wedge \mathrm { e } _ { J } \wedge \delta \mathcal { C } ^ { I J } - \frac { 1 } { \gamma } \delta \mathrm { d } ( \delta \mathrm { e } _ { I } \wedge \delta \mathrm { e } ^ { I } ) \big ) - \int _ { \partial \Sigma } \overline { { \imath } } ^ { * } \big ( \delta \overline { { \theta } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } - \frac { 1 } { \gamma } \delta \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } \wedge \delta \overline { { \mathrm { e } } } _ { I } \big ) } \\ & { = \Omega _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } + \frac { 1 } { \gamma } \int _ { \Sigma } \imath ^ { * } \big ( 2 \delta \mathrm { e } _ { I } \wedge \mathrm { e } _ { J } \wedge \delta \mathcal { C } ^ { I J } - \delta \mathrm { d } ( \mathrm { e } _ { I } \wedge \delta \mathrm { e } ^ { I } ) \big ) + \frac { 1 } { \gamma } \int _ { \partial \Sigma } \overline { { \imath } } ^ { * } ( \delta \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } \wedge \delta \overline { { \mathrm { e } } } _ { I } ) } \\ & { = \Omega _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } + \frac { 2 } { \gamma } \int _ { \Sigma } \imath ^ { * } \big ( \delta \mathrm { e } _ { I } \wedge \mathrm { e } _ { J } \wedge \delta \mathcal { C } ^ { I J } \big ) . } \end{array}
\chi _ { a , \ell } ( z , \tau ) = \frac { \displaystyle \sum _ { w \in \overline { { W } } } \mathrm { s g n } ( w ) \; \Theta _ { w ( \overline { { { a } } } + \overline { { { \rho } } } ) , g + \ell } ( z , \tau ) } { \displaystyle \sum _ { w \in \overline { { W } } } \mathrm { s g n } ( w ) \; \Theta _ { w ( \overline { { { \rho } } } ) , g } ( z , \tau ) } \: ,
\begin{array} { r l } { P _ { t } ( n \, | \, n _ { 0 } ) } & { { } = { \binom { n - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } e ^ { - \mu n _ { 0 } t } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { n - n _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { B } _ { j k } } & { = } & { - j k S _ { 1 2 } ( l _ { 2 , k } ) M _ { 1 1 , k } \hat { p } ( k - j ) ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) + S _ { 1 2 } ( l _ { 2 , k } ) M _ { 1 1 , k } \hat { q } ( k - j ) ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) + } \\ & { } & { - j k S _ { 2 2 } ( l _ { 2 , k } ) M _ { 2 1 , k } \hat { p } ( k - j ) + S _ { 2 2 } ( l _ { 2 , k } ) M _ { 2 1 , k } \hat { q } ( k - j ) , \quad j \neq k , } \end{array}
| \mathcal { T } ( T ) \rangle _ { \alpha _ { - 1 } \cdot \tilde { \alpha } _ { - 1 } \tilde { c } _ { 1 } c _ { 1 } | 0 \rangle } \sim \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \, \, U _ { f ( v ) } ^ { \dagger } c ( i ) \partial X ^ { \mu } ( i ) \, \tilde { c } ( i ) \bar { \partial } X _ { \mu } ( i ) | 0 \rangle ,
e ^ { - 2 \eta } = [ 1 + ( \Omega - \eta ) ] \left[ \frac { \Phi + ( \Omega + \eta ) \{ 2 \Tilde { \rho } - ( 1 + \Tilde { \rho } ) ( \Omega + \eta ) - ( 1 + \Tilde { \mu } ) \beta \eta ^ { 2 } \} } { \Phi + ( \Omega + \eta ) \{ 2 \Tilde { \rho } - ( 1 - \Tilde { \rho } ) ( \Omega + \eta ) - ( 1 - \Tilde { \mu } ) \beta \eta ^ { 2 } \} } \right]
\begin{array} { r } { ( D ^ { 2 } { \mathcal { H } } ) ( \xi _ { e } ) = \left( \frac { \partial ^ { 2 } { \mathcal { H } } } { \partial \xi _ { i } \partial \xi _ { j } } \right) ( \xi _ { e } ) = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } + V _ { 1 } } & & { 0 } & & { 0 } & & { - \frac { \lambda } { 2 } } \\ { 0 } & & { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } + V _ { 2 } } & & { \frac { \lambda } { 2 } } & & { 0 } \\ { 0 } & & { \frac { \lambda } { 2 } } & & { 1 } & & { 0 } \\ { - \frac { \lambda } { 2 } } & & { 0 } & & { 0 } & & { 1 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d { { \mathbf { r } } _ { i } } } { d t } = - \frac { 1 } { \Gamma } \sum _ { i < j } { { \mathbf { \nabla } } _ { i } } U _ { i j } + v _ { 0 } \mathbf { e } _ { i } + \mathbf { \xi } _ { i } + \dot { \gamma } y _ { i } ( t ) \mathbf { e } _ { x } , } \\ & { \frac { d \theta _ { i } } { d t } = \eta _ { i } ( t ) + \dot { \gamma } / 2 . } \end{array}
\left\langle { \bf X } ^ { i } ( t ) \right\rangle = \left( \begin{array} { c c } { { \hat { \bf X } ^ { i } ( t ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \tilde { \bf X } ^ { i } ( t ) } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { c ^ { 2 } } & { { } = \frac { \Gamma } { 2 } \left( \sqrt { 1 + \frac { 4 } { \Gamma } } - 1 \right) , } \\ { \alpha } & { { } = \frac { K _ { \operatorname* { m a x } } } { c ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { R ^ { 2 } R ^ { 2 } } = } & { \frac { 1 } { \pi \tau } \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } } \sum _ { l , l ^ { \prime } , l ^ { \prime \prime } , l ^ { \prime \prime \prime } } e ^ { - \Gamma / 2 \left( \left| t _ { l } - t _ { l ^ { \prime } } \right| + \mid t _ { l ^ { \prime \prime } } - t _ { l ^ { \prime \prime \prime } } \mid ) \right. } } \\ & { e ^ { i \omega \left( t _ { l } + t _ { l ^ { \prime } } - t _ { l ^ { \prime \prime } } - t _ { l ^ { \prime \prime \prime } } \right) / 2 } \; e ^ { i \omega \left( \left| t _ { l } - t _ { l ^ { \prime } } \right| - \left| t _ { l ^ { \prime \prime } } - t _ { l ^ { \prime \prime \prime } } \right| \right) / 2 } } \\ & { \left[ \left( s _ { l } s _ { l ^ { \prime } } + c _ { l } c _ { l ^ { \prime } } \right) \cos _ { l , l ^ { \prime } } + \left( s _ { l } c _ { l ^ { \prime } } - c _ { l } s _ { l ^ { \prime } } \right) \sin _ { l ^ { \prime } , l } \right] } \\ { \times } & { \left[ \left( s _ { l ^ { \prime \prime } } s _ { l ^ { \prime \prime \prime } } + c _ { l ^ { \prime \prime } } c _ { l ^ { \prime \prime \prime } } \right) \cos _ { l ^ { \prime \prime } , l ^ { \prime \prime \prime } } \right. } \\ & { + \left. \left( s _ { l ^ { \prime \prime } } c _ { l ^ { \prime \prime \prime } } - c _ { l ^ { \prime \prime } } s _ { l ^ { \prime \prime \prime } } \right) \sin _ { l ^ { \prime \prime \prime } , l ^ { \prime \prime } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , t _ { 0 } , t _ { 2 } ) = \left( 1 - \left( \frac { t _ { 2 } - s _ { 1 } } { t _ { 2 } } \right) ^ { \theta } + \left( \frac { t _ { 1 } - s _ { 1 } } { t _ { 1 } } \right) ^ { \theta } \right) \phi ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , t _ { 0 } , t _ { 1 } ) } \\ { + \theta \int _ { 0 } ^ { s _ { 1 } } \left( \frac { ( t _ { 1 } - u ) ^ { \theta - 1 } } { t _ { 1 } ^ { \theta } } - \frac { ( t _ { 2 } - u ) ^ { \theta - 1 } } { t _ { 2 } ^ { \theta } } \right) \phi ( u , s _ { 2 } , t _ { 0 } , t _ { 1 } ) \mathrm { d } u } \end{array}
{ \frac { 1 } { 4 } } M ^ { 2 } = ( N _ { L } + { \frac { 1 } { 2 } } { \bf p _ { L } } ^ { 2 } - 1 ) + ( N _ { R } + { \frac { 1 } { 2 } } { \bf p _ { R } } ^ { 2 } - c )
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 1 } } & { = } & { \sqrt { 1 - R ^ { 2 } ( x _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) } \theta _ { \mathit { E } } ^ { 0 } \| x _ { \mathit { E } } \| _ { 2 } } \\ { \Delta _ { 2 } } & { = } & { \| Y - X _ { \mathit { K } } \theta _ { \mathit { K } } ^ { 0 } \| _ { 2 } R ( Y - X _ { \mathit { K } } \theta _ { \mathit { K } } ^ { 0 } , ( I - P _ { \mathit { F } } ) x _ { \mathit { E } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta = i \mid Y ^ { t } = y ^ { t } ) V _ { i } ( y ^ { t } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \mathsf { E } [ U _ { i } ( t \! + \! 1 ) \! - \! U _ { i } ( t ) \! \mid \! Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathsf { E } [ \rho _ { i } ( y ^ { t } ) ( U _ { i } ( t \! + \! 1 ) \! - \! U _ { i } ( t ) ) \! \mid \! Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ] } \\ & { \ge C } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta E ^ { \prime } } & { { } = \Delta _ { B } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) - k \, { M _ { S } } ^ { 2 } } \\ { \Delta E ^ { \prime } } & { { } = \Delta E - k \, { M _ { S } } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { : = \imath _ { \xi } L _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) - \imath _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } \\ & { = \imath _ { \xi } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { I J K L } \big ( \mathrm { F } ^ { I J } - \frac { \Lambda } { 3 } \mathrm { e } ^ { I } \wedge \mathrm { e } ^ { J } \big ) \wedge \mathrm { e } ^ { K } \wedge \mathrm { e } ^ { L } \Big ) - \imath _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { I J K L } \mathrm { e } ^ { K } \wedge \mathrm { e } ^ { L } \wedge \delta \omega ^ { I J } \Big ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { I J K L } ( \imath _ { \xi } \mathrm { e } ^ { I } \wedge \mathrm { e } ^ { J } \wedge F ^ { K L } ) - \mathrm { d } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { I J K L } \mathrm { e } ^ { K } \wedge \mathrm { e } ^ { L } \wedge \imath _ { \xi } \omega ^ { I J } \Big ) } \\ & { = \imath _ { \xi } e ^ { I } \wedge \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } + \mathrm { d } \mathcal { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } . } \end{array}
\partial _ { t } ( \theta - \theta _ { M } ) - \kappa \Delta ( \theta - \theta _ { M } ) + \ensuremath { \mathbf { b } } \cdot \nabla ( \theta - \theta _ { M } ) = \nabla \cdot \bigl ( ( \phi - \phi _ { M } ) \nabla \theta _ { M } \bigr ) \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } \, .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( t ; x ) } & { = x _ { 1 } + \int _ { 0 } ^ { t } ( - A _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( s ; x ) - \nu A _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s ; x ) ) \mathrm { d } s + \varepsilon B ( t ) , } \\ { A _ { n } ^ { \varepsilon } ( t ; x ) } & { = x _ { n } + \int _ { 0 } ^ { t } ( { A _ { n - 1 } ^ { \varepsilon } ( s ; x ) } - A _ { n + 1 } ^ { \varepsilon } ( s ; x ) - \nu A _ { n } ^ { \varepsilon } ( s ; x ) ) \mathrm { d } s , \quad n \geqslant 2 , \, t \geqslant 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) } & { = } & { H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } , W _ { 1 } | \mathbb { Q } ) - H ( W _ { 1 } | \mathbb { Q } ) } \\ & { \overset { ( c ) ( i ) } { = } } & { H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) - L } \\ & { \overset { ( ) } { \leq } } & { 2 H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) - L . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Delta x ^ { 2 } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z } \langle b _ { x } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) b _ { x } ( x ^ { \prime \prime } , y ^ { \prime \prime } , z ^ { \prime \prime } ) \rangle d z ^ { \prime } d z ^ { \prime \prime } , } \end{array}
\psi ( z , \tau ) = \sum _ { n = 0 } ^ { n = \infty } \int \frac { d ^ { 2 } k } { \pi } \frac { \psi _ { m } ^ { q } ( k ) \psi _ { n - m } ^ { V } ( k ) } { k ^ { 2 } \hat { k } ^ { 2 } } \frac { z ^ { n } } { n ! }
\boldsymbol { x } = \underset { \boldsymbol { x } } { \arg \operatorname* { m i n } } \sum _ { i } \operatorname { r a n k } \left( \widetilde { \boldsymbol { R } _ { i } } \boldsymbol { x } \right) , \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \boldsymbol { y } = \boldsymbol { \Phi } \boldsymbol { x } ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { \ge \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { I ( h ) - I ( h + \delta f ) } { \delta } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h ( \theta ) ( f ^ { \prime \prime } ( \theta ) + f ( \theta ) ) d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h ( \theta ) ( - \chi _ { E _ { n } } ( \theta ) + \chi _ { E _ { n } + \pi } ( \theta ) ) d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( h ( \theta ) - 1 / 2 ) ( - \chi _ { E _ { n } } ( \theta ) + \chi _ { E _ { n } + \pi } ( \theta ) ) d \theta } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( h ( \theta ) - 1 / 2 ) \chi _ { E _ { n } } ( \theta ) d \theta + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( h ( \theta ) - 1 / 2 ) \chi _ { E _ { n } + \pi } ( \theta ) d \theta } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( h ( \theta ) - 1 / 2 ) \chi _ { E _ { n } } ( \theta ) d \theta - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( h ( \theta + \pi ) - 1 / 2 ) \chi _ { E _ { n } } ( \theta + \pi ) d \theta } \\ & { = - 2 \int _ { E _ { n } \cap [ 0 , 2 \pi ] } ( h ( \theta ) - 1 / 2 ) d \theta } \\ & { > 0 . } \end{array}
\tilde { g } _ { \mu \nu } = g _ { \mu \nu } + \frac { q _ { \mu } q _ { \mu } } { Q ^ { 2 } } , \; \; \; \tilde { p } _ { \nu } = p _ { \nu } + \frac { p q } { Q ^ { 2 } } q _ { \nu } , \; \; \; \tilde { \eta } _ { \nu } = \eta _ { \nu } + \frac { \eta q } { Q ^ { 2 } } q _ { \nu } .
\int _ { \ln ( a l / \delta ) } ^ { \ln ( b l / \delta _ { \nu } ) } \tilde { h } _ { 3 } ( k _ { x } l ) \mathrm { d } ( \ln ( k _ { x } l ) ) \geq D \ln R e _ { \tau } + \ln \left( \frac { b } { a } \right) .
K = K _ { 0 } + \frac { \left( 1 - \frac { K _ { 0 } } { K _ { \mathrm { s } } } \right) ^ { 2 } } { \frac { \phi } { K _ { \mathrm { f } } } + \frac { 1 - \phi } { K _ { \mathrm { s } } } - \frac { K _ { 0 } } { { K _ { \mathrm { s } } } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( Y _ { k , u } ) } & { = \sum _ { j } \mathbb { E } ( Y _ { k , u } | X _ { k } = j ) \cdot \operatorname* { P r } [ X _ { k } = j ] } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left( \sum _ { t = 1 } ^ { j } Z _ { t } ^ { ( j ) } \right) \cdot r _ { j } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \sum _ { t = 1 } ^ { j } \mathbb { E } Z _ { t } ^ { ( j ) } \cdot r _ { j } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } j \cdot p _ { k , u } \cdot r _ { j } } \\ & { = p _ { k , u } \cdot \mathbb { E } ( X _ { k } ) } \end{array}
\bar { P } _ { 1 } V \bar { P } _ { 2 } = \bar { P } _ { 2 } V \bar { P } _ { 1 } \quad , \quad \bar { P } _ { 1 } V Z _ { 2 } = Z _ { 2 } V \bar { P } _ { 1 } \quad , \quad D _ { 1 } \bar { P } _ { 2 } = V \bar { P } _ { 2 } D _ { 1 } V ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } P _ { n } = \int _ { \mathcal { M } _ { n } } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \partial } { \partial \mathscr { s } _ { i } } \left( U _ { i } ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathcal { P } \right) \right] = \int _ { \partial \mathcal { M } _ { n } } \pmb { U } \cdot \hat { \pmb { n } } \mathcal { P } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf q } _ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ^ { ( 0 ) } ] = \arg \operatorname* { m i n } _ { \bf q } \left\{ { \cal E } ^ { ( 0 ) } ( { \bf R , q } , { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) \left\vert \sum _ { I } q _ { I } = 0 \right. \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t ) } & { = \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v , r , s } \langle \psi _ { r \mathbf { k } } | \mathcal { \hat { U } } ^ { \dagger } ( t , t _ { 0 } ) | \psi _ { u \mathbf { k } } \rangle \langle \psi _ { u \mathbf { k } } | \hat { \mathbf { e } } _ { \textrm { p } } \cdot \hat { \mathbf { p } } | \psi _ { v \mathbf { k } } \rangle \langle \psi _ { v \mathbf { k } } | \mathcal { U } ( t , t _ { 0 } ) | \psi _ { s \mathbf { k } } \rangle \hat { c } _ { r \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { s \mathbf { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal { L } _ { 1 - } } = { { Q } _ { - 1 } } \otimes M ^ { \prime \prime } \otimes { { I } _ { { { n } _ { H E O M } } } } } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { { { - \tilde { \alpha } } } _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { { \alpha } _ { 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { { \alpha } _ { 1 } } - { { { \tilde { \alpha } } } _ { 1 } } } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { } & { } & { } & { } \\ { 1 } & { 0 } & { } & { } & { } \\ { } & { { 2 } } & { \ddots } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { { { n } _ { \operatorname* { m a x } } } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { } & { } & { } \\ { } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { n } ^ { [ \Tilde { V } _ { 1 } ( 2 ) ] } = Q _ { n } ^ { [ 3 ] } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } R _ { n } ^ { [ 1 ] } ( : , 2 \ell + k ) = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { \ell } } \\ { 0 _ { \ell } } \\ { 0 _ { \ell } } \\ { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } } \\ { 0 _ { \ell } } \end{array} \right] + Z _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { M 1 M 1 } | _ { \omega \approx \Omega } } & { \simeq \frac { \hbar ^ { - 2 } \mu _ { B } ^ { 2 } | B _ { \omega } | ^ { 2 } } { 4 [ ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } / 4 ] } \cos { \theta } , } \\ { P _ { E 1 M 1 } ^ { D / L } | _ { \omega \approx \Omega } } & { \simeq \frac { ( \bar { n } ^ { 2 } + 2 ) } { 3 } \frac { C ^ { D / L } \Omega \delta } { m _ { e } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \Delta _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \hbar ^ { - 1 } \mu _ { B } ^ { 2 } | B _ { \omega } | | E _ { \omega } | } { 4 [ ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } / 4 ] } \cos { \theta } , } \\ { g _ { T } ^ { D / L } } & { \simeq \frac { ( \bar { n } ^ { 2 } + 2 ) } { 3 \bar { n } } \frac { c \, C ^ { D / L } \hbar \Omega \delta } { m _ { e } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \Delta _ { 0 } ^ { 2 } } + \mathcal { O } ( \delta / \lambda , \lambda / \Delta _ { 0 } ) . } \end{array}
E = \int d ^ { 2 } x \left( { \frac { \kappa ^ { 2 } - e ^ { 2 } | \phi | ^ { 2 } } { 2 e ^ { 2 } | \phi | ^ { 2 } } } B ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \left[ | \partial _ { i } \phi | ^ { 2 } + { \frac { \kappa ^ { 2 } e ^ { 2 } | \phi | ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } - e ^ { 2 } | \phi | ^ { 2 } } } \tilde { A } _ { i } ^ { 2 } \right] + V ( \phi ) \right) \, .