harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| \widehat { P } - \widetilde { P } \| _ { 2 } } & { = \| c W - D ^ { - \frac { 1 } { 2 } } W D ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \| _ { 2 } } \\ & { \le \sqrt { \| c W - D ^ { - \frac { 1 } { 2 } } W D ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \| _ { 1 } \cdot \| c W - D ^ { - \frac { 1 } { 2 } } W D ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \| _ { \infty } } } \\ & { \leq \sqrt { \| W \| _ { 1 } \cdot \| W \| _ { \infty } } \cdot \operatorname* { m a x } _ { i , j = 1 , \ldots , n } \left\{ | D _ { i i } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } D _ { j j } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - c | \right\} } \\ & { = d _ { \operatorname* { m a x } } \cdot \operatorname* { m a x } _ { i , j = 1 , \ldots , n } \left\{ D _ { i i } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } D _ { j j } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } | 1 - c D _ { i i } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { j j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \right\} } \\ & { \leq \frac { d _ { \operatorname* { m a x } } } { d _ { \operatorname* { m i n } } } \cdot \operatorname* { m a x } \left\{ | 1 - c d _ { \operatorname* { m a x } } | , \, | 1 - c d _ { \operatorname* { m i n } } | \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin ( 0 ) = 0 } & { { } { \mathrm { ~ a n d ~ } } \sin ( 2 x ) = 2 \sin ( x ) \cos ( x ) } \\ { \cos ^ { 2 } ( x ) + \sin ^ { 2 } ( x ) = 1 } & { { } { \mathrm { ~ a n d ~ } } \cos ( 2 x ) = \cos ^ { 2 } ( x ) - \sin ^ { 2 } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { R } _ { i } } & { { } = \tilde { R } _ { i - 1 } + \tilde { \dot { R } } _ { i - 1 } \Delta t + \frac { F _ { i } + F _ { i \epsilon } } { 2 M } \Delta t ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } \cong G _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ e ~ x ~ t ~ ) ~ } } / G _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ e ~ x ~ t ~ ) ~ } } \cong \mathbb { R } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \omega } _ { L } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ - \omega _ { c } + \sqrt { \omega _ { c } ^ { 2 } + 4 \, \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } \, \right] \, , } \\ { \widetilde { \omega } _ { R } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \omega _ { c } + \sqrt { \omega _ { c } ^ { 2 } + 4 \, \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } \, \right] \, . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau _ { 1 } ^ { 2 } } } G ^ { \rho } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \delta ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) - \rho ( \tau _ { 1 } )
\Gamma \approx - \frac { n _ { p } \left[ 1 0 ^ { 1 8 } \ \mathrm { c m ^ { - 3 } } \right] } { 2 0 . 1 6 } + \frac { a _ { 0 } } { 1 0 0 } - \frac { w _ { 0 } \left[ \mathrm { \ m u m } \right] } { 4 6 . 4 2 } + 1 . 0 2 9 .
\begin{array} { r l r } { { \hat { \boldsymbol D } } _ { l , m } ( 0 , t ) } & { = } & { - c g _ { a , \gamma \gamma } a _ { 0 } m _ { a } ^ { 2 } e ^ { i m _ { a } t } \mathcal K _ { m , n } \boldsymbol B _ { l , m ; 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } e ^ { - \gamma r ^ { \prime } } e ^ { - i m _ { a } r ^ { \prime } / c } r ^ { \prime } } \\ & { = } & { - c g _ { a , \gamma \gamma } a _ { 0 } m _ { a } ^ { 2 } e ^ { i m _ { a } t } \mathcal K _ { m , n } \boldsymbol B _ { l , m ; 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } e ^ { ( - \gamma r ^ { \prime } - i m _ { a } / c ) r ^ { \prime } } r ^ { \prime } } \\ & { = } & { c g _ { a , \gamma \gamma } a _ { 0 } m _ { a } ^ { 2 } e ^ { i m _ { a } t } \mathcal K _ { m , n } \boldsymbol B _ { l , m ; 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \frac { 1 } { - \gamma - i m _ { a } / c } e ^ { ( - \gamma - i m _ { a } / c ) r ^ { \prime } } } \\ & { = } & { - c g _ { a , \gamma \gamma } a _ { 0 } m _ { a } ^ { 2 } e ^ { i m _ { a } t } \mathcal K _ { m , n } \boldsymbol B _ { l , m ; 0 } \frac { 1 } { \left( - \gamma - i m _ { a } / c \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\delta \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 N } } \langle \Psi , i \hbar \partial _ { t } \Psi - \widehat H _ { m o l } \Psi \rangle \, \mathrm { d } r \, { \mathrm { d } t = 0 }
W _ { f } ( \tilde { w } , \tilde { x } ) = \sqrt { \tilde { w } \Delta x } \left( \frac { \tilde { w } } { h } \right) ^ { 3 } \sum _ { n = - N _ { d } } ^ { N _ { d } + 4 } b ( n ) v \left( \tilde { x } - \frac { n h } { \tilde { w } } \right) ,
\begin{array} { l l } { { a ^ { \dagger } = \frac { x / m - i p _ { x } } { \sqrt { 2 } } , } } & { { a = \frac { x / m + i p _ { x } } { \sqrt { 2 } } , } } \\ { { b ^ { \dagger } = \frac { y / n - i p _ { y } } { \sqrt { 2 } } , } } & { { b = \frac { y / n + i p _ { y } } { \sqrt { 2 } } . } } \end{array}
g _ { 2 } ( r ) = \frac { 1 } { 2 ( r - 1 ) ^ { 3 } } [ r ^ { 2 } - 2 r \log r - 1 ] , \qquad h _ { 2 } ( r ) = \frac { 1 } { 2 ( r - 1 ) ^ { 3 } } [ - 2 r ^ { 2 } \log r + 3 r ^ { 2 } - 4 r + 1 ] .
{ \cal L } ^ { \prime } = \bar { \psi } \gamma ^ { \mu } \left[ i \partial _ { \mu } + e { \cal A } _ { \mu } \right] \psi - \frac { 1 } { 2 G } { \cal A } _ { \mu } { \cal A } ^ { \mu } - \frac { \kappa } { 2 } \epsilon _ { \mu \nu \rho } { \cal A } ^ { \mu } \partial ^ { \nu } { \cal A } ^ { \rho } ,
N _ { \infty } \left( P _ { i } ^ { ( j , k ) } \right) \leq \sum _ { \mathcal { L } \in \mathcal { P } ( i , 2 j + k ) } \# \mathcal { I } _ { \mathcal { L } } \times \left( C _ { j , k , \varepsilon } N _ { \infty } ( P _ { 0 } ) h ^ { - k \varepsilon } \Pi _ { \alpha , i } ( \rho ) \left( J _ { q _ { 0 } \dots q _ { i - 1 } } ^ { u } \right) ^ { 3 k } \right)
\begin{array} { r } { x _ { k } ^ { i } = \gamma _ { k } \Big ( x _ { k - 1 } ^ { i } , \cup _ { j \in \mathcal { N } ( i ) } \phi _ { k } ( x _ { k - 1 } ^ { i } , x _ { k - 1 } ^ { j } , e ^ { j , i } ) \Big ) , } \end{array}
\vec { F } = \vec { 0 } \rightarrow \vec { p } = c o n s t a n t \enspace \rightarrow \enspace \vec { v } = c o n s t a n t \enspace \enspace \mathrm { ~ ( ~ N ~ e ~ w ~ t ~ o ~ n ~ ' ~ s ~ f ~ i ~ r ~ s ~ t ~ l ~ a ~ w ~ ) ~ } .
\epsilon _ { ( \eta ) } ^ { \vec { \alpha } \beta \gamma } = ( - 1 ) ^ { \frac { \eta } { 2 } - 1 } \delta _ { \alpha [ 1 ] \alpha [ 2 ] } \, \delta _ { \alpha [ 3 ] \alpha [ 4 ] } \, \cdots \, \delta _ { \alpha [ \eta - 3 ] \alpha [ \eta - 2 ] } \, \epsilon ^ { \alpha [ \eta - 1 ] \beta b } \, \epsilon ^ { b \alpha [ \eta ] \gamma } \;
\overline { { { \mathrm { \Large ~ v ~ } } } } _ { 3 } ( x ) = { \frac { 2 \pi ^ { 3 / 2 } } { g ^ { 2 } \Lambda } } x + { \frac { 1 } { 3 } } \left( 4 x - { \frac { { \cal E } ^ { 2 } } { x } } \right) x ^ { 1 / 2 } { \mit \Gamma } ( 1 / 2 , x ) + { \frac { 2 } { 3 } } ( 1 - 2 x ) { \mathrm e } ^ { - x } - { \frac { 2 } { 3 } } \ ,
\kappa = \displaystyle \frac { 2 \Gamma ( h / 2 ) } { \pi \Gamma ( 1 - h / 2 ) } \left( \displaystyle \frac { \sqrt { \pi } } { 2 \Gamma \left( \displaystyle \frac { 1 } { 2 - h } \right) \Gamma \left( \displaystyle \frac { h } { 4 - 2 h } \right) } \right) ^ { 2 - h } \, .
{ \begin{array} { r l } { x ^ { 6 n } - ( - 1 ) ^ { 3 n } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 n } ( - 1 ) ^ { 3 n - j } x ^ { 2 j } - \sum _ { j = 0 } ^ { 3 n - 1 } ( - 1 ) ^ { 3 n - j } x ^ { 2 j } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { 3 n - 1 } \left( ( - 1 ) ^ { 3 n - ( j + 1 ) } x ^ { 2 ( j + 1 ) } - ( - 1 ) ^ { 3 n - j } x ^ { 2 j } \right) } \\ & { = - ( 1 + x ^ { 2 } ) \sum _ { j = 0 } ^ { 3 n - 1 } ( - 1 ) ^ { 3 n - j } x ^ { 2 j } , } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { \varphi ( \alpha ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \pi } \left( \ln \left( 1 - 2 \beta \cos ( x ) + \beta ^ { 2 } \right) - 2 \ln | \beta | \right) d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi } \ln \left( 1 - 2 \beta \cos ( x ) + \beta ^ { 2 } \right) \, d x - \int _ { 0 } ^ { \pi } 2 \ln | \beta | d x } \\ & { = 0 - 2 \pi \ln | \beta | } \\ & { = 2 \pi \ln | \alpha | . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle | x | ^ { 2 } u _ { j } , u _ { k } \rangle } & { = \frac { A _ { j } A _ { k } } { L _ { j } L _ { k } } \left\langle \left( L _ { j } ^ { 2 } | y _ { j } | ^ { 2 } + 2 L _ { j } y _ { j } \cdot X _ { j } + | X _ { j } | ^ { 2 } \right) b _ { j , 1 } , b _ { k , 1 } \right\rangle } \\ & { = \frac { A _ { j } A _ { k } } { L _ { j } L _ { k } } \left\{ L _ { j } ^ { 2 } \langle b _ { j , 4 } , b _ { k , 1 } \rangle + 2 L _ { j } X _ { j } \cdot \left( \begin{array} { l } { \langle b _ { j , 2 } , b _ { k , 1 } \rangle } \\ { \langle b _ { j , 3 } , b _ { k , 1 } \rangle } \end{array} \right) + | X _ { j } | ^ { 2 } \langle b _ { j , 1 } , b _ { k , 1 } \rangle \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g = } & { { } \frac { \bar { \rho } A } { c _ { s } } = \frac { \bar { \rho } A } { \sqrt { \gamma \bar { p } / \bar { \rho } } } , } \\ { f ( x ) = } & { { } \int \frac { | v | d x } { c _ { s } ^ { 2 } - v ^ { 2 } } , } \\ { H _ { \omega } = } & { { } g ^ { 1 / 2 } \int d t e ^ { i \omega [ t - f ( x ) ] } \phi ( t , x ) , } \\ { x _ { * } = } & { { } c _ { s 0 } \int \frac { d x } { c _ { s } ( 1 - \mathcal { M } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \ \ \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } \ \ \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial x _ { 3 } } \ \ \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial x _ { 4 } } } \\ { \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \ \ \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } \ \ \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial x _ { 3 } } \ \ \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial x _ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { 1 } : C _ { i } + C _ { j } \xrightarrow { k _ { 1 } } C _ { i } + C _ { j } + r ( G _ { c } ^ { i } + G _ { c } ^ { j } ) ~ , \forall ~ i \ne j ~ } \\ & { R _ { 2 } : C _ { i } + D _ { k } \xrightarrow { k _ { 2 } } C _ { i } + D _ { k } + \tau G _ { d } ^ { k } + s G _ { c } ^ { i } , } \\ & { R _ { 3 } : D _ { i } + C _ { k } \xrightarrow { k _ { 3 } } D _ { i } + C _ { k } + \tau G _ { d } ^ { i } + s G _ { c } ^ { k } , } \\ & { R _ { 4 } : D _ { k } + D _ { l } \xrightarrow { k _ { 4 } } D _ { k } + D _ { l } + p ( G _ { d } ^ { k } + G _ { d } ^ { l } ) ~ , \forall ~ k \ne l ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \nabla \cdot \! \! \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \! \! \xi _ { m , k } \bigl ( \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma \bigr ) \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } \bigr ) \nabla \bigl ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , k } ^ { - 1 } } \quad } & { { } } \end{array}
\alpha _ { k } = { \frac { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { b } - \mathbf { A x } _ { k } ) } { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { k } } } = { \frac { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { k } } { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { k } } } ,
\left| \int _ { 1 } ^ { \infty } P _ { 2 } ( x ) f _ { \alpha } ^ { \prime \prime } ( x ) \; d x \right| = \left| \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } S _ { k } \right| \le \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \left| S _ { k } \right| \leq \frac { 1 } { 6 } S ^ { * } .
\left( \frac { 1 } { G _ { 4 } ( \mu ) } - \frac { 1 } { G _ { 4 } ^ { * } ( g ) } \right) = \left( \frac { g ^ { 2 } ( \Lambda ) } { g ^ { 2 } ( \mu ) } \right) ^ { 2 - c g ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { G _ { 4 } ( \Lambda ) } - \frac { 1 } { G _ { 4 } ^ { * } ( g ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { { I R } } } } & { = \int _ { \left| \mathbf { \epsilon _ { { k } , \alpha } } \right| < \Lambda } \mathrm { d } { k } \ \overline { { \gamma } } _ { \alpha , { k } } \frac { \left( i \omega - h _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } , \mathbf { k } } \right) } { 2 } \gamma _ { \alpha ^ { \prime } , { k } } + S _ { \phi } ^ { \prime } + S _ { \mathrm { I n t } } ^ { \prime } } \end{array}
\mathcal { T } _ { \mathrm { l a } } ^ { \mathrm { S } } \left( T ^ { H } \bar { M } , g ^ { T { \bar { Z } } } , h ^ { \bar { F } } \right) ( T ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \mathcal { T } _ { \mathrm { l a } , i } ^ { \mathrm { S } } \left( T ^ { H } \bar { M } _ { i } , g ^ { T { \bar { Z } } _ { i } } , h _ { T } ^ { \bar { F } _ { i } } \right) ( T ) + \log ( 2 ) \chi ( Y ) \mathrm { r a n k } ( F ) / 2 + o ( 1 ) .
p = \left( \frac { 1 } { 2 \nu } \, \frac { \nu ^ { 2 } - B _ { 0 } ^ { 2 } P ^ { 2 } ( 2 + P ) } { \nu ^ { 2 } + B _ { 0 } ^ { 2 } P } - \nu \right) k ^ { 2 } + \cdots
\begin{array} { r l } { ( \kappa \sigma _ { q 1 } ^ { - 1 } \kappa ) ( 2 j ^ { \prime } ) } & { = ( \kappa \sigma _ { q 1 } ^ { - 1 } ) \big ( 2 ( 2 q + 2 - j ^ { \prime } ) \big ) = \kappa \big ( 4 \big ( 2 q + 1 - ( 2 q + 2 - j ^ { \prime } ) \big ) + 2 \big ) = } \\ & { = \kappa ( 4 j ^ { \prime } - 2 ) = 4 q + 4 - ( 4 j ^ { \prime } - 2 ) = 4 ( q + 1 - j ^ { \prime } ) + 2 = \sigma _ { 1 q } ( 2 j ^ { \prime } ) , } \end{array}
\mathbf { d } \mathbf { c } ^ { \mathrm { T } } - \mathbf { c } \mathbf { d } ^ { \mathrm { T } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { c _ { 2 } d _ { 1 } - c _ { 1 } d _ { 2 } } & { c _ { 3 } d _ { 1 } - c _ { 1 } d _ { 3 } } \\ { c _ { 1 } d _ { 2 } - c _ { 2 } d _ { 1 } } & { 0 } & { c _ { 3 } d _ { 2 } - c _ { 2 } d _ { 3 } } \\ { c _ { 1 } d _ { 3 } - c _ { 3 } d _ { 1 } } & { c _ { 2 } d _ { 3 } - c _ { 3 } d _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } & { \mathrel { \phantom { = } } \sum _ { X _ { [ t , T ] } } \mathcal { P } ^ { \tilde { Z } ^ { T , T } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , T ] } ) } \\ & { = \sum _ { \widetilde { X } _ { [ 0 , T ] } ( 0 , T - t ) } \mathcal { P } ^ { \tilde { Z } ^ { T , T } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , T ] } ) } \\ & { = \mathcal { P } ^ { \tilde { Z } ^ { T , T } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , T ] } ( T - t , T ) ) } \\ & { = \mathcal { P } ^ { \tilde { Z } ^ { T , t } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , t ] } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( a ) _ { n } ( b ) _ { n } } { n ! ( c ) _ { n } } \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) \overline { { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( w , \overline { { w } } ) } } } & { = R _ { m } ^ { \kappa , \rho } \left( { _ 2 F _ { 1 } } \left( \begin{array} { c } { a , b } \\ { c } \end{array} \bigg | z \overline { { w } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } = } & { { } R _ { c } ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } ) P _ { 0 } R _ { c } ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } ) L _ { c } ( \gamma ) , } \\ { A _ { 1 } = } & { { } R _ { c } ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } ) P _ { 1 } R _ { c } ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } ) L _ { c } ( \gamma ) , } \end{array}
q _ { 2 } \rightarrow - q _ { 2 } , \quad \sigma _ { 1 2 } \rightarrow - \sigma _ { 1 2 } , \quad x _ { 2 } \rightarrow - x _ { 2 } , \quad \chi _ { r } \rightarrow \chi _ { l } , \quad \theta _ { r } ^ { W } \rightarrow \theta _ { l } ^ { W } , \quad v _ { r } ^ { W } \rightarrow v _ { l } ^ { W } .
C _ { 1 0 } \left( I _ { 1 } - 3 \right) + C _ { 0 1 } \left( I _ { 2 } - 3 \right) + C _ { 2 0 } \left( I _ { 1 } - 3 \right) ^ { 2 } + C _ { 0 2 } \left( I _ { 2 } - 3 \right) ^ { 2 }
\langle { \delta { \bf { u } } ^ { \prime } \times { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle = \langle { \tau _ { u } ( { \bf { J } } \times { \bf { b } } ^ { \prime } ) \times { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle = - \tau _ { u } \langle { { \bf { b } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } \rangle { \bf { J } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 } \nabla ^ { 2 } V } & { \sim \frac { \ell ^ { 2 } } { f ^ { \prime } } \left( 1 - \frac { B } { 4 } + \frac { A ^ { 2 } } { 2 } \right) V _ { 0 } ^ { \prime } ( \ell ^ { 2 } m ) } \\ & { \quad + \frac { \ell ^ { 4 } m } { f ^ { \prime } } \left( 1 + \frac { A ^ { 2 } } { 4 } \right) V _ { 0 } ^ { \prime \prime } ( \ell ^ { 2 } m ) , } \end{array}
\times \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \tau } { \tau } ~ e ^ { 2 \pi \tau } ~ e ^ { - 2 \pi \tau \alpha ^ { \prime } k ^ { 2 } } ~ e ^ { - \frac { y ^ { 2 } \tau } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } ~ \mathrm { e } ^ { 2 \pi \tau } ~ T r \left( \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - 2 \pi \tau \alpha _ { - n } \cdot \alpha _ { n } } \right) =
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \omega + u ( y ) \partial _ { x } \omega - u ^ { \prime \prime } ( y ) \partial _ { x } \psi - \theta ^ { \prime } ( y ) \partial _ { x } P + \partial _ { y } P \partial _ { x } d - \partial _ { x } P \partial _ { y } d + U \cdot \nabla \omega = 0 , } \\ & { \partial _ { t } d + u ( y ) \partial _ { x } d + \theta ^ { \prime } ( y ) \partial _ { x } \psi + U \cdot \nabla d = 0 , } \end{array}
\xi ( x ) = \sqrt { \pi } x \left( 1 - \frac { 2 } { x ^ { 2 } } \right) \mathrm { e r f } \left( \frac { x } { 2 } \right) e ^ { - x ^ { 2 } / 8 } + 2 e ^ { - 3 x ^ { 2 } / 8 } ,
\begin{array} { r l } { B _ { 1 } } & { = 2 e ^ { - \alpha s } \left( 1 + \frac { 1 } { \alpha s } + \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } s ^ { 2 } } \right) - \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } s ^ { 2 } } \, , } \\ { B _ { 2 } } & { = \frac { 6 } { \alpha ^ { 2 } s ^ { 2 } } - 2 e ^ { - \alpha s } \left( 1 + \frac { 3 } { \alpha s } + \frac { 3 } { \alpha ^ { 2 } s ^ { 2 } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { E } ( \mathbf { u } ^ { h } , \mathbf { p } ) - a _ { E } ( \Pi \mathbf { u } ^ { h } , \mathbf { p } ) = 0 } \\ { \Rightarrow \quad } & { a _ { E } ( \mathbf { u } ^ { h } , \mathbf { p } ) = a _ { E } ( \Pi \mathbf { u } ^ { h } , \mathbf { p } ) , \quad \forall \mathbf { p } \in \boldsymbol { \mathcal { P } } _ { k } ( E ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } = } & { \int _ { V } \! \mathrm { d } \mathbf { r } \frac { \sum _ { i } \langle \vert { \boldsymbol { J } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } \vert ^ { 2 } \rangle } { \epsilon } + \! \int _ { V } \! \mathrm { d } \mathbf { r } \sum _ { i } \left\langle \frac { \delta } { \delta { \phi _ { i } } } \nabla \cdot \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } \right\rangle \, , } \end{array}
\mathbf { { K } } _ { 3 } ( t - t ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 4 } } \cos \left[ \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \right] + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 3 } } ( t - t ^ { \prime } ) \sin \left[ \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \right] } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { - \frac { 2 \overline { { u v } } _ { o } } { k \frac { U _ { o } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { d \overline { { u v } } _ { o 1 } } { d y _ { o } } y _ { o } ( - 1 + \frac { 1 } { { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } } ) - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { \overline { { u v } } _ { o 2 } } { k \frac { U _ { o } } { u _ { * } } + 1 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { d \overline { { u v } } _ { 0 2 } } { d y _ { o } } ( y _ { o } + \frac { y _ { o } } { k \frac { U _ { o } } { u _ { * } } + 2 } ) } \\ { - R e _ { * } ^ { - 1 } \overline { { u v } } _ { o 3 } \big ( 1 + \frac { - 2 } { \frac { \kappa U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 3 } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) } \\ { - 2 \frac { u _ { * } ^ { 3 } } { U _ { e } ^ { 3 } } \overline { { u v } } _ { o 4 } \big ( 1 + \frac { - 2 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) + \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 4 } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) } \\ { - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { 2 U _ { o } \overline { { u v _ { o } } } } { k \frac { U _ { o } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } U _ { o } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 2 } } { d y _ { o } } y _ { o } ( - 1 + \frac { 1 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } ) + ( \frac { u _ { * } } { u _ { e } } ) ^ { 2 } U _ { o _ { 1 } } \frac { - 2 \overline { { u v } } _ { o 2 } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } } \\ { - \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } U _ { o 1 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 2 } } { d y _ { o } } ( - 1 + \frac { - 1 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } ) + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } V _ { o } \frac { \partial \overline { { u v _ { o } } } } { \partial y _ { o } } } \\ { = - \overline { { \Big ( u \frac { \partial p } { \partial y } + v \frac { \partial p } { \partial x } \Big ) } } _ { o } - \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } \frac { \partial U _ { o } } { \partial y _ { o } } + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v } } _ { o } } { d y _ { o } ^ { 2 } } . } \end{array}
\phi _ { d \, ( - ) } ^ { ( 1 ) } ( t , \xi ) = - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \frac { \sinh \xi } { \cosh ^ { 2 } \xi } \int _ { R } d \xi ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } j _ { d } ( t ^ { \prime } , \xi ^ { \prime } ) \sin [ \sqrt { 3 } ( t - t ^ { \prime } ) ] \frac { \sinh \xi ^ { \prime } } { \cosh ^ { 2 } \xi ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } \| G _ { j , k } \Phi _ { U , j } u - \Phi _ { S , k } \mathcal G u \| _ { 2 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } \| \Phi _ { S , k } \mathcal G \Phi _ { U , j } ( \Phi _ { U , j } \Phi _ { U , j } ^ { T } ) ^ { - 1 } \Phi _ { U , j } u - \Phi _ { S , k } \mathcal G u \| _ { 2 } } \\ & { = \| \Phi _ { S , k } \mathcal G u - \Phi _ { S , k } \mathcal G u \| _ { 2 } } \\ & { = 0 } \end{array}
g = \left( 1 , 0 , 1 , - { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 3 } } , - { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 5 } } , - { \frac { 1 } { 6 } } , \ldots \right)
\chi _ { + } ( z ) = - 2 - \alpha z + \frac { 2 i \sqrt { \alpha } \; c \; \exp \left[ \frac { i } { \alpha } \frac { \omega } { c } ( \alpha z + 1 ) ^ { 2 } \right] } { ( - 1 ) ^ { 3 / 4 } \sqrt { \pi \omega c } \; \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ i ~ } \left( \sqrt [ 4 ] { - 1 } \sqrt { \frac { \omega } { \alpha c } } ( \alpha z + 1 ) \right) - 2 \beta _ { 1 } \sqrt { \alpha } \omega \exp \left( \frac { i } { \alpha } \frac { \omega } { c } \right) } ,
K _ { d , s } ^ { d } = \alpha _ { 3 } ^ { d } + \alpha _ { 3 } ^ { { v } _ { d } } , \, \, \, \, \, \, \, K _ { b } ^ { d } = \alpha _ { 2 } ^ { d } + \alpha _ { 3 } ^ { d } + \alpha _ { 3 } ^ { { v } _ { d } } .
\Bar V _ { j } ^ { n + 1 } = \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { I _ { j } } W _ { x } ( x , t _ { n + 1 } ) d x = \frac { W ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n + 1 } ) - W ( x _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n + 1 } ) } { \Delta x } .
f _ { p } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ( \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ) - \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } }
\begin{array} { r l } { \| I _ { n } ^ { 1 , 1 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } & { \geq \| J _ { n } ^ { 3 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } - \| J _ { n } ^ { 4 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } - \| J _ { n } ^ { 5 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } - \| J _ { n } ^ { 6 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
j _ { 3 } ( \alpha , m , L ) = \langle \Omega | \bar { \chi } _ { \alpha } \left( x \right) \gamma _ { 3 } \chi _ { \alpha } \left( x \right) | \Omega \rangle = \frac { 1 } { L } \sum _ { k _ { 3 } } \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 2 k _ { 3 } } { E _ { k } }