harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left| i , k _ { 1 } \ldots k _ { n } \right\rangle } & { { } = a _ { i } ^ { \dagger } ( k _ { 1 } ) \cdots a _ { i } ^ { \dagger } ( k _ { n } ) \left| i , 0 \right\rangle , } \\ { \left| f , p _ { 1 } \ldots p _ { n } \right\rangle } & { { } = a _ { f } ^ { \dagger } ( p _ { 1 } ) \cdots a _ { f } ^ { \dagger } ( p _ { n } ) \left| f , 0 \right\rangle , } \end{array}
t _ { j } = \frac { \tan ( \frac { \pi } { 4 } - \frac { \pi j } { 2 H } ) } { 2 \cos ^ { 2 } ( \frac { \pi j } { 2 H } ) } \prod _ { i = 0 } ^ { j - 1 } \frac { \tan ^ { 2 } ( \frac { \pi ( j - 1 - 2 i + w _ { r } ) } { 2 H } ) } { \tan ^ { 2 } ( \frac { \pi ( i + 1 ) } { 2 H } ) } .
\begin{array} { r c l } { \beta _ { t } \frac { S _ { t - 1 } } { N } I _ { t - 1 } } & { \approx } & { \frac { S _ { t - 1 } ^ { * } } { N } ( \beta _ { 1 } I _ { 1 , t - 1 } + \beta _ { 2 } I _ { 2 , t - 1 } ) } \\ & { = } & { \frac { S _ { t - 1 } ^ { * } } { N } \left( ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 1 } ) I _ { 2 , t - 1 } + \beta _ { 1 } I _ { t - 1 } \right) } \\ & { = } & { \frac { S _ { t - 1 } - \Xi _ { t - 1 } } { N } \left( ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 1 } ) I _ { 2 , t - 1 } + \beta _ { 1 } I _ { t - 1 } \right) } \\ & { = } & { \frac { S _ { t - 1 } } { N } \beta _ { 1 } I _ { t - 1 } + \frac { S _ { t - 1 } } { N } ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 1 } ) I _ { 2 , t - 1 } - \frac { \Xi _ { t - 1 } } { N } \beta _ { 1 } I _ { t - 1 } - \frac { \Xi _ { t - 1 } } { N } ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 1 } ) I _ { 2 , t - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) ) ^ { \prime \prime } | = | ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) ) \cdot \xi _ { j } ^ { \nu } | } \\ & { = | ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) ) ( \xi _ { j } ^ { \nu } - \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) + ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) ) \cdot \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } | } \\ & { \leq | \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) | \, | \xi _ { j } ^ { \nu } - \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } | + | ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) ) \cdot \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } | } \\ & { \lesssim 2 ^ { - { k _ { Q } } \rho } . } \end{array}
\sigma _ { d } = \left( 0 . 2 5 ~ b a r n \right) . Z ^ { 2 } \left( \frac { 1 - \beta ^ { 2 } } { \beta ^ { 4 } } \right) \left[ \frac { E _ { m a x } } { E _ { d } } - 1 + 2 \pi \beta \frac { Z } { 1 3 7 } \left( \sqrt { \frac { E _ { m a x } } { E _ { d } } } - 1 \right) - \left( \beta ^ { 2 } + \pi \beta \frac { Z } { 1 3 7 } \right) . l n \left( \frac { E _ { m a x } } { E _ { d } } \right) \right]
\begin{array} { r } { \gamma _ { * } ( x , y ) = \sum _ { j = 1 } ^ { + \infty } \mu _ { j } \left( \begin{array} { l l } { \psi _ { j } ^ { ( 1 ) } ( x ) \otimes \psi _ { j } ^ { ( 1 ) , * } ( y ) } & { \psi _ { j } ^ { ( 1 ) } ( x ) \otimes \psi _ { j } ^ { ( 2 ) , * } ( y ) } \\ { \psi _ { j } ^ { ( 2 ) } ( x ) \otimes \psi _ { j } ^ { ( 1 ) , * } ( y ) } & { \psi _ { j } ^ { ( 2 ) } ( x ) \otimes \psi _ { j } ^ { ( 2 ) , * } ( y ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\left. \begin{array} { c c l } { { G _ { \; t } ^ { t } } } & { { = } } & { { \frac { D - 2 } { A } \left[ - \frac { R ^ { \prime \prime } } { R } + \frac { H R ^ { \prime } } { 2 R } \right] + \frac { ( D - 3 ) ( D - 2 ) } { 2 R ^ { 2 } } \left[ k + \frac { \dot { R } ^ { 2 } - R ^ { ' 2 } } { A } \right] } } \\ { { { \mathrm { ~ } } } } & { { } } & { { { \mathrm { ~ } } } } \\ { { G _ { \; t } ^ { z } } } & { { = } } & { { \frac { D - 2 } { A } \left[ { \frac { \dot { R } ^ { \prime } } { R } } - { \frac { H \dot { R } } { 2 R } } \right] } } \\ { { { \mathrm { ~ } } } } & { { } } & { { { \mathrm { ~ } } } } \\ { { G _ { \; z } ^ { z } } } & { { = } } & { { \frac { D - 2 } { A } \left[ \frac { \ddot { R } } { R } - \frac { H R ^ { \prime } } { 2 R } \right] + \frac { ( D - 3 ) ( D - 2 ) } { 2 R ^ { 2 } } \left[ k + \frac { \dot { R } ^ { 2 } - R ^ { ' 2 } } { A } \right] } } \\ { { { \mathrm { ~ } } } } & { { } } & { { { \mathrm { ~ } } } } \\ { { G _ { \; r } ^ { r } } } & { { = } } & { { G _ { \; \; \phi _ { i } } ^ { \phi _ { i } } = \frac { 3 - D } { A } \left[ { \frac { R ^ { \prime \prime } } { R } } - { \frac { \ddot { R } } { R } } \right] - { \frac { H ^ { \prime } } { 2 A } } - \frac { ( D - 3 ) ( D - 4 ) } { 2 R ^ { 2 } } \left[ k + \frac { \dot { R } ^ { 2 } - R ^ { ' 2 } } { A } \right] } } \end{array} \right.
\langle \langle \xi ^ { a } ( X , { \mathbf v } ) \ \xi ^ { b } ( Y , { \mathbf v } ^ { \prime } ) \rangle \rangle \, = \, { \frac { 2 T } { m _ { D } ^ { 2 } } } \ C ( { \mathbf v } , { \mathbf v } ^ { \prime } ) \ \delta ^ { ( 4 ) } ( X - X ^ { \prime } ) \ \delta ^ { a b } \ \ .
d _ { Q } T _ { n } = \bigl [ Q , T _ { n } \bigr ] = i \sum _ { l = 1 } ^ { n } \frac { \partial } { \partial x _ { l } ^ { \mu } } T _ { n / l } ^ { \mu } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { l } , \ldots , x _ { n } ) .
S = \frac { 1 } { 8 \pi G } \int d ^ { 2 } x \, \sqrt { - g } \left( \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \psi \partial _ { \nu } \psi + \psi R - 8 \pi G { \cal L } _ { M } \right)
\Omega _ { j , k } : = T _ { j , k } ( \Omega _ { 0 , 0 } ) = \left\{ \boldsymbol { \xi } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \vert \, T _ { j , k } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \xi } ) \in \Omega _ { 0 , 0 } \right\} \, , \qquad \forall \, j , k \in \mathbb { Z } \, ,
\begin{array} { r } { \hat { \Psi } _ { \alpha } = \hat { \Psi } _ { \alpha } ( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } ) = \tilde { \rho } _ { \alpha } \hat { \psi } _ { \alpha } ( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } ) = \rho _ { \alpha } \phi _ { \alpha } \hat { \psi } _ { \alpha } ( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } ) . } \end{array}
\left< { \cal O } \left[ \vec { \xi } { \, } \right] \right> _ { \vec { \xi } } = \frac { \int _ { \vec { \xi } ( 0 ) = \vec { \xi } ( 1 ) } ^ { } { \cal D } \vec { \xi } e ^ { - S } { \cal O } \left[ \vec { \xi } { \, } \right] } { \int _ { \vec { \xi } ( 0 ) = \vec { \xi } ( 1 ) } ^ { } { \cal D } \vec { \xi } e ^ { - S } } .
\begin{array} { r } { \mathbb E \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \| ( \varphi ^ { ( n ) } - \varphi ^ { ( n - 1 ) } ) \varphi _ { V } \sigma ( V ) \| _ { \mathbb L ^ { p } } ^ { p } d s \right] \leq C \mathbb E \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \| Z ^ { ( n - 1 ) } ( s ) \| _ { p } ^ { p } d s \right] \leq C t \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| Z ^ { ( n - 1 ) } ( s ) \| _ { p } ^ { p } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } = } & { \; 3 6 4 6 2 \arctan { \frac { 1 } { 3 9 0 1 1 2 } } + 1 3 5 9 0 8 \arctan { \frac { 1 } { 4 8 5 2 9 8 } } + 2 7 4 5 0 9 \arctan { \frac { 1 } { 6 8 3 9 8 2 } } } \\ & { - 3 9 5 8 1 \arctan { \frac { 1 } { 1 9 8 4 9 3 3 } } + 1 7 8 4 7 7 \arctan { \frac { 1 } { 2 4 7 8 3 2 8 } } - 1 1 4 5 6 9 \arctan { \frac { 1 } { 3 4 4 9 0 5 1 } } } \\ & { - 1 4 6 5 7 1 \arctan { \frac { 1 } { 1 8 9 7 5 9 9 1 } } + 6 1 9 1 4 \arctan { \frac { 1 } { 2 2 7 0 9 2 7 4 } } - 6 9 0 4 4 \arctan { \frac { 1 } { 2 4 2 0 8 1 4 4 } } } \\ & { - 8 9 4 3 1 \arctan { \frac { 1 } { 2 0 1 2 2 9 5 8 2 } } - 4 3 9 3 8 \arctan { \frac { 1 } { 2 1 8 9 3 7 6 1 8 2 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 4 } } & { : = \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 3 } \Phi _ { 4 } = \mathcal { D } _ { \omega } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 4 } + \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 1 } + R _ { 4 } , } \\ { M _ { 4 } } & { : = O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 + \sum _ { k = 0 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } M _ { \varphi , x } ( \mathfrak { d } _ { k } ) + \mathfrak { r } _ { - 2 , 1 } \right) + O p ^ { W } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \left( M _ { x } ( \mathfrak { d } _ { k } ) - M _ { \varphi , x } ( \mathfrak { d } _ { k } ) \right) - \mathcal { D } _ { \omega } \mathfrak { p } _ { 2 } \right) , } \\ { \mathfrak { r } _ { - 2 , 1 } } & { : = T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ \mathfrak { r } _ { - 2 } ] , \quad W _ { 1 } : = \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } W _ { 0 } \Phi _ { 4 } , \quad R _ { 4 } : = \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } R _ { 3 } \Phi _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega _ { 0 } } \int _ { \Omega _ { 0 } } | v ( x ) v ( z ) | \left( 2 d ( n - 1 ) e ^ { - a ( 2 d n + z - x ) } + \frac { e ^ { - 2 a d ( n + 1 ) } } { 2 a } \left( e ^ { - a ( x + z ) } + e ^ { a ( x + z ) } \right) \right) d x d z } \\ { = 2 d ( n - 1 ) e ^ { - 2 a d n } \left( \int _ { \Omega _ { 0 } } | v ( x ) | e ^ { a x } d x \right) ^ { 2 } + \frac { e ^ { - 2 a d ( n + 1 ) } } { a } \left( \int _ { \Omega _ { 0 } } | v ( x ) | e ^ { a x } d x \right) ^ { 2 } . } \end{array}
y _ { c } = e ^ { - { \frac { b x } { 2 } } } \left[ C _ { 1 } \sin \left( x \, { \frac { \sqrt { 4 c - b ^ { 2 } } } { 2 } } \right) + C _ { 2 } \cos \left( x \, { \frac { \sqrt { 4 c - b ^ { 2 } } } { 2 } } \right) \right]
\mathrm { M S E } _ { R e s i d u a l s } = \frac { 1 } { q } \sum _ { i = 1 } ^ { q } \left( \left| \frac { d { S } _ { i } } { d t _ { i } } + \frac { \beta { S } _ { i } { I } _ { i } } { N } \right| ^ { 2 } + \left| \frac { d { I } _ { i } } { d t _ { i } } - \frac { \beta { S } _ { i } { I } _ { i } } { N } + \gamma I _ { i } \right| ^ { 2 } + \left| \frac { d { R } _ { i } } { d t _ { i } } - \gamma I _ { i } \right| ^ { 2 } \right)
{ \mathrm { M o n t h l y ~ i n f l a t i o n } } = 1 0 0 \times \left( \left( 1 + { \frac { \mathrm { i n f l a t i o n } } { 1 0 0 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } - 1 \right)
\begin{array} { r } { \ \mathcal { L } ^ { \prime } \sim \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { k _ { 0 } } & { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { \dots } & { m _ { N - 1 } } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { : } & { : } & { \dots } & { : } & { : } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { \dots } & { \lambda _ { N - 1 } } \end{array} \right) , ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda v _ { n , i } ^ { \lambda } = } & { { } ( i + 1 ) v _ { n + 1 , i + 1 } ^ { \lambda } - i v _ { n , i } ^ { \lambda } + \lambda ( i - 1 ) ( n - i + 1 ) v _ { n , i - 1 } ^ { \lambda } } \end{array}
\prod _ { \substack { l , m , n \geq 1 \, l , m \leq n ; \, \operatorname* { g c d } ( l , m , n ) = 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - z ^ { n } } \right) ^ { \frac { l m ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } } = \sqrt [ 3 ] { \left( \frac { 1 } { 1 - z } \right) } \; \exp \left\{ \frac { 1 } { 1 2 } \left( L i _ { 2 } ( z ) + \frac { z ( 7 - 5 z ) } { ( 1 - z ) ^ { 2 } } \right) \right\} ,
\begin{array} { r l r } & { \mathrm { s o c } _ { i , \mathrm { m i n } } ^ { t } \leq \mathrm { s o c } _ { i } ^ { t } \leq \mathrm { s o c } _ { i , \mathrm { m a x } } ^ { t } } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { S } , t \in T , } \\ & { \mathrm { s o c } _ { i } ^ { t } = \mathrm { s o c } _ { i } ^ { t - 1 } + \frac { ( P _ { c h _ { i } } ^ { t } - P _ { d c h _ { i } } ^ { t } ) } { E _ { i } } \Delta T } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { S } , t \in T , } \\ & { P _ { c h _ { i } } ^ { t } , P _ { d c h _ { i } } ^ { t } \geq 0 } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { S } , t \in T , } \\ & { \mu _ { c h _ { i } } ^ { t } , \mu _ { d c h _ { i } } ^ { t } \in \{ 0 , 1 \} } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { S } , t \in T , } \\ & { \mu _ { c h _ { i } } ^ { t } P _ { c h _ { i } , \mathrm { m i n } } ^ { t } \leq P _ { c h _ { i } } ^ { t } \leq \mu _ { c h _ { i } } ^ { t } P _ { c h _ { i } , \mathrm { m a x } } ^ { t } } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { S } , t \in T , } \\ & { \mu _ { d c h _ { i } } ^ { t } P _ { d c h _ { i } , \mathrm { m i n } } ^ { t } \leq P _ { d c h _ { i } } ^ { t } \leq \mu _ { d c h _ { i } } ^ { t } P _ { d c h _ { i } , \mathrm { m a x } } ^ { t } } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { S } , t \in T , } \\ & { \mu _ { c h _ { i } } ^ { t } + \mu _ { d c h _ { i } } ^ { t } \leq 1 } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { S } , t \in T . } \end{array}
\frac { \partial n _ { e h } } { \partial t } + \triangledown \cdot ( n _ { e h } \mathbf { v } _ { e h } + n _ { e l } \mathbf { v } _ { e h } + n _ { e h } \mathbf { v } _ { e l } - \overline { { n _ { e h } \mathbf { v } _ { e h } } } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { h } } \varepsilon _ { 0 } \nabla V _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla e _ { h } = - \int _ { \Omega _ { h } } ( \epsilon ( \phi _ { h } ^ { * , n + 1 } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \nabla V _ { h } ^ { * , n + 1 } \cdot \nabla e _ { h } - \int _ { \Omega _ { h } } f _ { V h } ^ { n + 1 } e _ { h } , \quad \forall e _ { h } \in X _ { h 0 } ^ { E } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { 0 } ^ { 1 , 1 } } & { = \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( \bar { t } - \delta , \bar { t } ) , y \in [ \bar { t } , \bar { t } + \delta ) \} } [ a _ { 1 } ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 0 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] = \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y , \hat { y } } ^ { 3 } } [ a _ { 1 } ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 0 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] } \\ & { = \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y , \hat { y } } ^ { 3 } } [ a _ { 1 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) - a _ { 0 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) ] \nabla \hat { y } + \tilde { Z } _ { 0 } ^ { 1 , 1 } } \end{array}
b ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } { 1 } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { | n ( t + \Delta t ) - n ( t ) | } & { { } > 0 } \\ { 0 } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { | n ( t + \Delta t ) - n ( t ) | } & { { } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } 2 } & { \frac { d } { d t } \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \nu \| \nabla \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \mu \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } = - \langle \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { u } , \mathbf { w } ^ { k } \rangle + \langle \Delta \mathbf { g } ^ { k } , \mathbf { w } ^ { k } \rangle + \mu \| J _ { h } \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ^ { 2 } A } & { = \left\lVert d ^ { 2 } \vec { A } \right\lVert } \\ & { = \sqrt { \left( - \frac 1 r \frac { \partial r } { \partial \theta } \hat { \theta } - \frac 1 { r \sin \theta } \frac { \partial r } { \partial \phi } \hat { \phi } + \hat { r } \right) \cdot \left( - \frac 1 r \frac { \partial r } { \partial \theta } \hat { \theta } - \frac 1 { r \sin \theta } \frac { \partial r } { \partial \phi } \hat { \phi } + \hat { r } \right) } \, r ^ { 2 } \sin \theta d \theta d \phi } \\ & { = \sqrt { \frac 1 { r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } + \frac 1 { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } + 1 } \, r ^ { 2 } \sin \theta d \theta d \phi } \end{array}
\frac { y ^ { n } } { n ^ { r } ( n + p ) ^ { k } } = \int _ { 0 } ^ { y } \Omega ^ { r - 1 } \int _ { 0 } ^ { x } \Omega ^ { k - 1 } \Omega _ { n } \, x ^ { p } \frac { d x } { x } = \int _ { 0 } ^ { y } \Omega ^ { r - 1 } \Omega _ { p } \Omega ^ { k - 1 } \Omega _ { n } .
\begin{array} { r l r } & { } & { n \beta _ { n } \geq 2 0 L , \quad \beta _ { n } ^ { - 1 } \geq C ^ { \prime } L ^ { 1 0 } e ^ { 6 L } , \quad \gamma _ { n } \in [ 2 , n \beta _ { n } \slash ( 4 L ) ] , } \\ & { } & { \operatorname* { m i n } \{ ( \gamma _ { n } - 1 ) L , \log ( 1 + \beta _ { n } ^ { - 1 } ) \} \geq 2 \operatorname* { m a x } \{ ( C _ { L } L ) ^ { 1 0 } , C _ { 1 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 4 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } k r _ { g } C _ { 4 0 } R _ { \oplus } ^ { 4 } \Big \{ \cos 4 \phi _ { \xi } \sin ^ { 4 } \theta \Big \{ \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \Big ( \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } - \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { 2 r ^ { 3 } } \Big ) - { \textstyle \frac { 3 } { 8 } } \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 5 } } \Big \} - } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \gamma _ { 1 } ] \cdots [ \gamma _ { n } ] \Pi _ { H , c } ( x ) } & { = [ \gamma _ { 1 } ] \cdots [ \gamma _ { n - 1 } ] \Pi _ { H , c } ( x ^ { \gamma _ { n } } ) [ \gamma _ { n } ] } \\ & { = \Pi _ { H , c } ( x ^ { \gamma _ { 1 } \cdots \gamma _ { n } } ) [ \gamma _ { 1 } ] \cdots [ \gamma _ { n } ] } \\ & { = \Pi _ { H , c } ( x ^ { \gamma } ) [ \gamma _ { 1 } ] \cdots [ \gamma _ { n } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( g \phi _ { h } , \frac { \partial h ^ { + } } { \partial t } \right) _ { \Omega ^ { + } } - \left( g \frac { \partial \phi _ { h } } { \partial x } , F _ { h } ( h ^ { + } , u ^ { + } ) \right) _ { \Omega ^ { + } } = - \left. \phi _ { h } g F _ { h } ( h ^ { + } , u ^ { + } ) \right| _ { x = 0 } ^ { x = x _ { R } } , } \\ & { \left( H \phi _ { u } , \frac { \partial u ^ { + } } { \partial t } \right) _ { \Omega ^ { + } } - \left( H \frac { \partial \phi _ { u } } { \partial x } , F _ { u } ( h ^ { + } , u ^ { + } ) \right) _ { \Omega ^ { + } } = - \left. \phi _ { u } H F _ { u } ( h ^ { + } , u ^ { + } ) \right| _ { x = 0 } ^ { x = x _ { R } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \Psi _ { q } ^ { x = 1 , y , + } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \dots , z _ { N } ) = A \prod _ { \scriptscriptstyle { i , j = 1 , i < j } } ^ { N , N } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { q - 1 } \prod _ { \scriptscriptstyle { i , j = 1 ; i < i \; \operatorname { m o d } \; y + ( j - 1 ) y } } ^ { N , N / y } ( z _ { i } - z _ { \scriptscriptstyle { i \; \operatorname { m o d } \; y + ( j - 1 ) y } } ) e ^ { - \sum _ { i } ^ { N } \frac { | z _ { i } | ^ { 2 } } { 4 l _ { B } ^ { 2 } } } , } \\ { \Psi _ { q } ^ { x = 1 , y , - } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \dots , z _ { N } ) = A \prod _ { \scriptscriptstyle { i , j = 1 , i < j } } ^ { N , N } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { q - 1 } \prod _ { \scriptscriptstyle { i , j = 1 ; i < i \; \operatorname { m o d } \; y + ( j - 1 ) y } } ^ { N , N / y } ( z _ { \scriptscriptstyle { i \; \operatorname { m o d } \; y + ( j - 1 ) y } } - z _ { i } ) e ^ { - \sum _ { i } ^ { N } \frac { | z _ { i } | ^ { 2 } } { 4 l _ { B } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { S S ^ { \prime } \nu } ( \mathbf { Q } , \mathbf { q } ) } & { = \sum _ { v c c ^ { \prime } \mathbf { k } } [ A _ { v c \mathbf { k } } ^ { S \mathbf { Q } + \mathbf { q } } ] ^ { * } g _ { c c ^ { \prime } \nu } ( \mathbf { k } + \mathbf { Q } , \mathbf { q } ) A _ { v c ^ { \prime } k } ^ { S ^ { \prime } \mathbf { Q } } } \\ & { - \sum _ { v v ^ { \prime } c \mathbf { k } } [ A _ { v c \mathbf { k } } ^ { S \mathbf { Q } + \mathbf { q } } ] ^ { * } g _ { v ^ { \prime } v \nu } ( \mathbf { k } , \mathbf { q } ) A _ { v ^ { \prime } c \mathbf { k } + \mathbf { q } } ^ { S ^ { \prime } \mathbf { Q } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { m } \dot { \Phi } = i \Phi ^ { 2 } - i I _ { 0 } - i I _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } ( t ) + \gamma , \quad \tau _ { m } \dot { \lambda } = 2 i \Phi \lambda , \quad \tau _ { m } \dot { \sigma } = i \lambda \; . } \end{array}
\left[ \eta k \left( k _ { n } \mp \mu _ { 5 } \right) + \frac { \mathrm { d } { } } { \mathrm { d } { } t } \right] B _ { n } ^ { \pm } = { \textstyle { \frac { 1 } { 6 } } } \mathrm { i } k _ { n } \, \left[ M _ { \pm } ( u , B ) - M _ { \pm } ( B , u ) \right] \quad \mathrm { ~ ( ~ t ~ y ~ p ~ e ~ ~ ~ I ~ I ~ ) ~ } ,
\frac { \partial V } { \partial t } + U \frac { \partial V } { \partial x } + V \frac { \partial V } { \partial y } = \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial y ^ { 2 } } \right) ,
v _ { \uparrow } ^ { ^ { M R } } ( p ^ { \mu } ) = - i [ u _ { \downarrow } ^ { ^ { M R } } ( p ^ { \mu } ) ] ^ { \ast } \quad , \quad v _ { \downarrow } ^ { ^ { M R } } ( p ^ { \mu } ) = + i [ u _ { \uparrow } ^ { ^ { M R } } ( p ^ { \mu } ) ] ^ { \ast } \quad ,
\begin{array} { r l } { \rho ^ { 2 } = } & { { } r ^ { 2 } + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta , \quad \Delta = r ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 2 M r , } \\ { { \cal A } = } & { { } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \Delta a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { v _ { i } } ^ { 0 } } & { = \frac { \Gamma } { 2 \pi } \sum _ { i \neq j } ^ { N _ { v } } \kappa _ { j } \hat { z } \times \frac { \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } } { \left| \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } \right| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \Gamma } { 2 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v } } \kappa _ { j } \hat { z } \times \frac { \vec { r } _ { i } - \vec { 0 } } { \left| \vec { r } _ { i } - \vec { 0 } \right| ^ { 2 } } \right) } \\ & { + \frac { \Gamma } { 2 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \kappa _ { j } \hat { z } \times \left( \frac { \vec { r } _ { i } - \left( \frac { R _ { e } } { R _ { i } } \right) ^ { 2 n } \vec { r } _ { j } } { \left| \vec { r } _ { i } - \left( \frac { R _ { e } } { R _ { i } } \right) ^ { 2 n } \vec { r } _ { j } \right| ^ { 2 } } + \frac { \vec { r } _ { i } - \left( \frac { R _ { i } } { R _ { e } } \right) ^ { 2 n } \vec { r } _ { j } } { \left| \vec { r } _ { i } - \left( \frac { R _ { i } } { R _ { e } } \right) ^ { 2 n } \vec { r } _ { j } \right| ^ { 2 } } \right) } \\ & { - \frac { \Gamma } { 2 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \kappa _ { j } \hat { z } \times \left( \frac { \vec { r } _ { i } - \left( \frac { R _ { e } } { R _ { i } } \right) ^ { 2 n } \left( \frac { R _ { e } ^ { 2 } } { | \vec { r } _ { j } | ^ { 2 } } \right) \vec { r } _ { j } } { \left| \vec { r } _ { i } - \left( \frac { R _ { e } } { R _ { i } } \right) ^ { 2 n } \left( \frac { R _ { e } ^ { 2 } } { | \vec { r } _ { j } | ^ { 2 } } \right) \vec { r } _ { j } \right| ^ { 2 } } + \frac { \vec { r } _ { i } - \left( \frac { R _ { i } } { R _ { e } } \right) ^ { 2 n } \left( \frac { R _ { i } ^ { 2 } } { | \vec { r } _ { j } | ^ { 2 } } \right) \vec { r } _ { j } } { \left| \vec { r } _ { i } - \left( \frac { R _ { i } } { R _ { e } } \right) ^ { 2 n } \left( \frac { R _ { i } ^ { 2 } } { | \vec { r } _ { j } | ^ { 2 } } \right) \vec { r } _ { j } \right| ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { q \to 1 } \left( \Sigma _ { u } ^ { q G } ( q < 1 ) \right) = \operatorname* { l i m } _ { q \to 1 } \left( \Sigma _ { u } ^ { q G } ( q > 1 ) \right) = \sqrt { 2 } \ \sigma _ { u } ^ { q G } .
{ \frac { d ^ { n } f } { d x ^ { n } } } ( x ) = { \frac { \Delta _ { h } ^ { n } [ f ] ( x ) } { h ^ { n } } } + O ( h ) = { \frac { \nabla _ { h } ^ { n } [ f ] ( x ) } { h ^ { n } } } + O ( h ) = { \frac { \delta _ { h } ^ { n } [ f ] ( x ) } { h ^ { n } } } + O \left( h ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \tilde { K } _ { 1 2 } } & { { } = V _ { 1 2 } - K _ { 1 2 } \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \tilde { L } _ { 1 2 3 } } & { { } = - L _ { 1 2 3 } / 2 \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 2 } \kappa _ { 1 } - \omega _ { 1 } ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } ) } & { = 0 , } \\ { \nabla _ { 1 } \kappa _ { 2 } - \omega _ { 2 } ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } ) } & { = 0 , } \\ { \nabla _ { 1 } \omega _ { 2 } - \nabla _ { 2 } \omega _ { 1 } + \omega _ { 1 } ^ { 2 } + \omega _ { 2 } ^ { 2 } } & { = - \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } . } \end{array}