harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial \omega } { \partial k _ { x } } = \nu _ { o } \frac { k _ { x } k _ { z } ( k ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } ) } { k ^ { 3 } } , \quad \frac { \partial \omega } { \partial k _ { y } } = \nu _ { o } \frac { k _ { y } k _ { z } ( k ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } ) } { k ^ { 3 } } , \quad \frac { \partial \omega } { \partial k _ { z } } = \nu _ { o } \frac { ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { k ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } & { - \omega ^ { 4 } ( I _ { r } I _ { f } I _ { n } + I _ { r } I _ { f } I _ { b } + I _ { r } I _ { n } I _ { b } ) } \\ & { + \omega ^ { 2 } \left( \frac { I _ { f } I _ { n } } { C _ { t } } + \frac { I _ { n } I _ { r } } { C _ { t } } + \frac { I _ { f } I _ { r } } { C _ { b } } + \frac { I _ { n } I _ { r } } { C _ { b } } + \frac { I _ { b } ( I _ { f } + I _ { n } + I _ { r } ) } { C _ { t } } \right) } \\ & { - \frac { I _ { r } + I _ { f } + I _ { n } } { C _ { t } C _ { b } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes \left( \hat { p } - p _ { t } \right) ^ { T } \rangle } & { { } = \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes \hat { x } ^ { T } \rangle \cdot A _ { t } , } \\ { \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes x ^ { T } \rangle } & { { } = \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \operatorname { C o v } ( \hat { q } ) , } \end{array}
\delta \nu _ { \Lambda ^ { \prime } \leftarrow \Lambda ^ { \prime \prime } } ^ { X ^ { \prime } \leftarrow X ^ { \prime \prime } } = \Psi \delta \langle r ^ { 2 } \rangle _ { A } ^ { \alpha ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime \prime } } + \Xi \frac { M _ { A } ^ { \alpha ^ { \prime \prime } } - M _ { A } ^ { \alpha ^ { \prime } } } { M _ { A } ^ { \alpha ^ { \prime \prime } } M _ { A } ^ { \alpha ^ { \prime } } }
\underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 2 } = \frac { \mu } { \rho } \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 2 } { 3 } v _ { 2 } } & { 0 } & { - \frac { 2 } { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - v _ { 1 } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { 1 } { 3 } v _ { 1 } v _ { 2 } } & { v _ { 2 } } & { - \frac { 2 } { 3 } v _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { Q _ { i } ( z , \widetilde { \xi } ; x _ { 0 } ) : = | z + \widetilde { \xi } | ^ { a _ { i } } + a ( x _ { 0 } + \zeta x ) | z + \widetilde { \xi } | ^ { a _ { i } } , \ i = 1 , 2 , \ \ \widetilde { \xi } = \frac { \zeta } { K } \xi , } \\ & { \Delta _ { p , \widetilde { \xi } } ^ { N } v : = \Delta v + ( p - 2 ) \bigg \langle D ^ { 2 } v \frac { D v + \widetilde { \xi } } { | D v + \widetilde { \xi } | } , \frac { D v + \widetilde { \xi } } { | D v + \widetilde { \xi } | } \bigg \rangle , } \\ & { | | \widehat { f } | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } : = \operatorname* { m a x } \bigg \{ \frac { \zeta ^ { 2 } } { K } , \frac { \zeta ^ { 2 + a _ { 1 } } } { K ^ { 1 + a _ { 1 } } } , \frac { \zeta ^ { 2 + a _ { 2 } } } { K ^ { 1 + a _ { 2 } } } \bigg \} | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } . } \end{array}
\langle 0 | T [ \psi _ { I } ^ { \dagger } ( x ) \psi _ { I } ( y ) \phi _ { I } ( z ) \exp \left( - i \int _ { - t } ^ { t } \mathcal { H } _ { \mathrm { i n t } } \: \mathrm { d } ^ { 4 } s \right) ] | 0 \rangle = \langle 0 | T \left[ \psi _ { I } ^ { \dagger } ( x ) \psi _ { I } ( y ) \phi _ { I } ( z ) ( 1 - i g \int _ { - t } ^ { t } \psi _ { I } ^ { \dagger } ( s ) \psi _ { I } ( s ) \phi _ { I } ( s ) \: \mathrm { d } ^ { 4 } s ) \right] | 0 \rangle
\begin{array} { r l } & { \left( - c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) + \frac { \omega _ { C } - \omega _ { S } } { 2 \mathbf { m } } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \widetilde { \gamma } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \mathbf { m } ^ { 2 } } ( \omega _ { N } - \omega _ { C } ) ( \omega _ { C } - \omega _ { S } ) \tan ^ { 2 \mathbf { m } } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \cot ^ { 2 \mathbf { m } } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } \\ & { = \left( - c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) + \frac { \omega _ { C } - \omega _ { S } } { 2 \mathbf { m } } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \widetilde { \gamma } \right) \left( \frac { 2 \omega _ { C } - \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 \mathbf { m } } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } \right) . } \end{array}
\widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i + 1 } ( t _ { i + 1 } ) = \boldsymbol { a } _ { o } = \frac { | | \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i } | | } { \left| \left| \widetilde { T } _ { i } \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i } \right| \right| } \widetilde { T } _ { i } \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } ( x , y ) | _ { \Gamma } = \left( \begin{array} { l } { u _ { 1 } ( x , y ) } \\ { 0 } \end{array} \right) , \quad u _ { 1 } ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { y ( 1 - y ) } & { x = 0 , } \\ { \frac { ( y + 1 ) ( 1 - y ) } 8 } & { x = 1 0 , } \\ { 0 } & { \mathrm { e l s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\rho \int _ { \Omega _ { i } } \frac { \partial \vec { u } _ { i } } { \partial t } \ \mathrm { d } V + \mathbf { { c } } _ { i } = - \mathbf { { b } } _ { i } + \mathbf { { d } } _ { i } + \mathbf { { s } } _ { i } ,
\begin{array} { r l } & { a _ { m _ { y } , m _ { z } , n _ { y } , n _ { Z } } ( r _ { q } , \theta _ { q } , \phi _ { q } ) } \\ & { = \left( \frac { \lambda } { 4 \pi r _ { q } } \right) ^ { 2 } \frac { \gamma \prime \Psi _ { q } ^ { 2 q \prime } } { \left[ 1 + 2 ( n _ { y } \varepsilon _ { q _ { 0 } } - m _ { y } \varepsilon _ { q } ) \Phi _ { q } + 2 ( n _ { z } \varepsilon _ { q _ { 0 } } - m _ { z } \varepsilon _ { q } ) \Theta _ { q } + ( n _ { y } \varepsilon _ { q _ { 0 } } - m _ { y } \varepsilon _ { q } ) ^ { 2 } + ( n _ { z } \varepsilon _ { q _ { 0 } } - m _ { z } \varepsilon _ { q } ) ^ { 2 } \right] ^ { q \prime + 1 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { B } } A ( t ) } & { = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { { \big ( } ( 2 \ell + 2 ) t { \big ) } ^ { k } } { k ! } } \right) { \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { ( 2 \ell + 1 ) ! } } } \\ & { = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } e ^ { ( 2 \ell + 2 ) t } { \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { ( 2 \ell + 1 ) ! } } } \\ & { = e ^ { t } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } { \big ( } e ^ { t } { \big ) } ^ { 2 \ell + 1 } { \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { ( 2 \ell + 1 ) ! } } } \\ & { = e ^ { t } \sin ( e ^ { t } ) . } \end{array} }
\mathcal { H } ( \phi , J ) = \left( \nu _ { x } - \frac { l _ { 3 { \nu } _ { x } } } { 3 } \right) J + g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } J ^ { \frac { 3 } { 2 } } \cos ( 3 \phi ) + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 0 } J ^ { 2 } ,
\dot { Q } ( t ) = \dot { m } ( t ) \, \left[ c _ { p } ( T _ { \mathrm { o u t } } ( t ) ) \, T _ { \mathrm { o u t } } ( t ) - c _ { p } ( T _ { \mathrm { i n } } ( t ) ) \, T _ { \mathrm { i n } } ( t ) \right]
\alpha _ { n } ( u ) = \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 0 } } - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 0 } I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u ) \sum _ { p = \pm 1 } \frac { K _ { n + p } ( \gamma _ { 1 } u ) } { W _ { n + p } ^ { I } } .
s ( t ) = \frac { s _ { H } ( t ) } { m _ { H } } = \frac { s _ { W } ( t ) } { m _ { W } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad i ( t ) = \frac { i _ { H } ( t ) } { m _ { H } } = \frac { i _ { W } ( t ) } { m _ { W } } .
\int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d \nu } { \nu } } ( \sigma _ { A } - \sigma _ { P } ) = 8 \pi ^ { 2 } \alpha \int _ { \nu _ { t h } } ^ { \infty } { \frac { d \nu } { \nu } } { \frac { g _ { 1 } ^ { \gamma } } { \nu } } = 0 , \ \ \ \ \ \ ( P ^ { 2 } = Q ^ { 2 } = 0 ) .
\begin{array} { r l } { \left| f _ { x } ( \theta , \phi ) \right| = \left| \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { \frac { b } { 2 } } { \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { \frac { a } { 2 } } { } } \right. } & { { } \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ \left( \sum _ { m = 1 } ^ { M } \alpha _ { m n } ^ { x } \sin \left( \frac { m \pi } { a } ( x ^ { \prime } + \frac { a } { 2 } ) \right) + \sum _ { m = 0 } ^ { M } \beta _ { m n } ^ { x } \cos \left( \frac { m \pi } { a } ( x ^ { \prime } + \frac { a } { 2 } ) \right) \right) \sin \left( \frac { n \pi } { b } ( y ^ { \prime } + \frac { b } { 2 } ) \right) \right] \right\} } \end{array}
I _ { 4 1 } = t _ { h } ( u ^ { n } - u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) = t _ { h } ( e _ { u } ^ { I , n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( e _ { u } ^ { h , n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) = : I _ { 4 1 1 } + I _ { 4 1 2 } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \operatorname* { P r } \left( \frac { \sqrt { n } ( \hat { \theta } _ { i } - \theta _ { i } ^ { * } ) } { \sigma \sqrt { c _ { i i } } } \leq \tau \right) \leq \Phi \left( \frac { \sqrt { n } t + \delta _ { R } } { \sigma \sqrt { c _ { i i } } } \right) + \operatorname* { P r } \left( | R _ { i } | > \delta _ { R } \right) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow } & { { } ~ \left( - c s ^ { ( 0 , 0 ) } + b s ^ { ( 1 , 0 ) } \right) - \frac { 2 w } { 1 + w } \left( - c s ^ { ( 0 , 1 ) } + b s ^ { ( 1 , 1 ) } \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { { } - c \left( s ^ { ( 0 , 0 ) } - \frac { 2 w } { 1 + w } s ^ { ( 0 , 1 ) } - \frac { 1 - w } { 1 + w } s ^ { ( 0 , 2 ) } \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { { } - c \left( N p ^ { ( 0 , 0 ) } + \frac { 1 - w } { 1 + w } N p ^ { ( 0 , 1 ) } - \frac { 2 } { 1 + w } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 3 } \, } & { = \, - \frac { 1 } { 3 2 } ( R + R ^ { \prime } ) \Bigl ( ( R - R ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 3 ( Z - Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } \Bigr ) \, , } \\ { Q _ { 3 } \, } & { = \, - \frac { 1 } { 4 8 } ( R + R ^ { \prime } ) \Bigl ( ( R + R ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 6 ( Z - Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } \Bigr ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { A ^ { k } = \left( \begin{array} { l l } { A _ { 1 } ^ { k } } & { A _ { 1 } ^ { k - 1 } A _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \quad \Longrightarrow \quad \mathrm { e } ^ { A t } = \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { e } ^ { A _ { 1 } t } } & { \sum _ { k \geq 1 } \frac { A _ { 1 } ^ { k - 1 } A _ { 2 } } { k ! } t ^ { k } } \\ { 0 } & { I d } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle d \rangle } & { = \frac { k n _ { p } } { ( k - c ) n _ { p } + c } , } \\ { \langle d ^ { 2 } \rangle } & { = \frac { ( k - c ) n _ { p } + c n _ { p } ^ { 2 } } { ( k - c ) n _ { p } + c } , } \\ { \langle d d _ { 1 } \rangle _ { E } } & { = \frac { 1 } { \binom { k } { 2 } } \sum _ { i < j } d _ { i } d _ { j } } \\ & { = \frac { 1 } { \binom { k } { 2 } } \left[ \binom { c } { 2 } n _ { p } ^ { 2 } + n _ { p } ( k - c ) c + \binom { k - c } { 2 } \right] , } \end{array}
\mathbf { B } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \left[ { \frac { 3 \mathbf { \hat { r } } ( \mathbf { \hat { r } } \cdot \mathbf { m } ) - \mathbf { m } } { | \mathbf { r } | ^ { 3 } } } + { \frac { 8 \pi } { 3 } } \mathbf { m } \delta ( \mathbf { r } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { - \frac { 2 } { 5 } \gamma I + } & { \frac { B L _ { 1 } ( 4 \rho + 1 ) \gamma ^ { 2 } I ^ { 2 } } { 2 } } \\ & { = - \frac { 2 } { 5 } \gamma I + 2 B L _ { 1 } \rho \gamma ^ { 2 } I ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } B L _ { 1 } \gamma ^ { 2 } I ^ { 2 } } \\ & { \leq \gamma I \left( - \frac { 2 } { 5 } + 2 B L _ { 1 } \rho \gamma I + \frac { 1 } { 2 } B L _ { 1 } \gamma I \right) } \\ & { \leq \gamma I \left( - \frac { 2 } { 5 } + 2 B L _ { 1 } \rho \left( 1 1 \sigma + \frac { A L _ { 0 } } { B L _ { 1 } \rho } \right) \eta I + \frac { 1 } { 2 } B L _ { 1 } \left( 1 1 \sigma + \frac { A L _ { 0 } } { B L _ { 1 } \rho } \right) \eta I \right) } \\ & { \stackrel { ( i ) } { \leq } \gamma I \left( - \frac { 2 } { 5 } + 3 \left( 1 1 B L _ { 1 } \rho \sigma + A L _ { 0 } \right) \eta I \right) } \\ & { \stackrel { ( i i ) } { \leq } \gamma I \left( - \frac { 2 } { 5 } + \frac { 1 8 } { 8 5 6 } \right) \leq - \frac { 3 } { 1 0 } \gamma I } \\ & { \stackrel { ( i i i ) } { \leq } - \frac { 3 } { 1 0 } \frac { A L _ { 0 } } { B L _ { 1 } \rho } \eta I \stackrel { ( i v ) } { \leq } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon \eta I , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { \{ \sigma _ { 1 } \} , \cdots , \{ \sigma _ { d _ { Q } } \} } \prod _ { v = 1 } ^ { d _ { Q } } \chi _ { v } ( \{ \sigma _ { v } \} ) \chi _ { Q } ( \{ \sigma \} ) e ^ { - [ l _ { v } ^ { 1 } + l _ { v } ^ { 2 } + l _ { v } ^ { 3 } + l _ { v } ^ { 4 } ] / 4 } \le ( K _ { 1 } . r _ { v } ) ^ { d _ { Q } - 1 } \le K _ { 1 } ^ { d _ { Q } - 1 } { r } ^ { d _ { Q } - 1 } . } \end{array}
D _ { \mu \nu } ^ { R } ( q ) = \delta _ { \mu 0 } \delta _ { \nu 0 } { \frac { 1 } { ( \vec { q } ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) } } + \delta _ { \mu i } \delta _ { \nu j } \left( \delta _ { i j } - { \frac { q _ { i } q _ { j } } { ( \vec { q } ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) } } \right) { \frac { 1 } { q ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } ~ ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \rho , v } } & { { } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Omega } \rho ( t , x ) | v ( t , x ) | ^ { 2 } d x d t + \beta \int _ { \Omega } ( \rho ( 1 , x ) - \rho _ { 1 } ( x ) ) ^ { 2 } d x , } \end{array}
A _ { \mu } ( \tau ) = \bar { A } _ { \mu } + \tilde { A } _ { \mu } ( \tau ) = \frac { 1 } { 2 } y _ { \nu } \bar { F } _ { \nu \mu } + \epsilon _ { 1 \mu } e ^ { i k _ { 1 } x ( \tau ) } + \epsilon _ { 2 \mu } e ^ { i k _ { 2 } x ( \tau ) }
\begin{array} { r l } { \Delta \lambda } & { { } = \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } \, , } \\ { \lambda ^ { * } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta \lambda \rightarrow 0 } \frac { \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } } { 2 } \, , } \end{array}
\mathcal { M } ^ { a b } = \left( \begin{array} { l l } { { f ^ { a b i } \varphi ^ { i } } } & { { \delta ^ { a b } \partial ^ { 2 } } } \\ { { - \delta ^ { a b } \partial ^ { 2 } } } & { { - f ^ { a b i } \overline { { { \varphi } } } ^ { i } } } \end{array} \right) \; .
\psi ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { 0 \leq x < \frac { 1 } { 2 } ; } \\ { - 1 , } & { \frac { 1 } { 2 } \leq x < 1 ; } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \hat { \textbf { M } } \hat { \textbf { F } } E _ { 1 } - \hat { \textbf { F } } \hat { \textbf { M } } E _ { 1 } = [ \hat { \textbf { M } } , \hat { \textbf { F } } ] E _ { 1 } \neq 0 . } \end{array}
{ \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } } [ f ( g ( x ) ) ] = n ! \sum _ { \{ k _ { m } \} } ^ { } f ^ { ( r ) } ( g ( x ) ) \prod _ { m = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { k _ { m } ! } } \left( g ^ { ( m ) } ( x ) \right) ^ { k _ { m } }
\left( \begin{array} { r r r r r r } { 9 . 2 1 4 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } & { - 3 . 8 4 4 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } & { - 4 . 6 0 9 \cdot 1 0 ^ { - 4 } } & { 3 . 5 2 6 \cdot 1 0 ^ { - 4 } } & { - 2 . 7 7 8 \cdot 1 0 ^ { - 4 } } & { 3 . 3 2 4 \cdot 1 0 ^ { - 4 } } \\ { 3 . 8 4 2 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } & { 9 . 2 5 0 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } & { 2 . 6 4 5 \cdot 1 0 ^ { - 5 } } & { 1 . 6 0 9 \cdot 1 0 ^ { - 4 } } & { 2 . 5 9 8 \cdot 1 0 ^ { - 4 } } & { 7 . 4 9 1 \cdot 1 0 ^ { - 5 } } \\ { 1 . 6 1 7 \cdot 1 0 ^ { - 2 } } & { 5 . 2 4 3 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } & { 7 . 0 4 4 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } & { - 7 . 1 7 3 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } & { 6 . 0 0 9 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } & { - 1 . 8 5 1 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } \\ { 6 . 3 9 3 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } & { 3 . 7 5 6 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } & { 7 . 0 2 1 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } & { 7 . 0 4 8 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } & { 1 . 2 9 1 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } & { 1 . 3 4 0 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } \\ { 6 . 4 5 9 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } & { - 7 . 8 4 1 \cdot 1 0 ^ { - 4 } } & { - 1 . 3 5 1 \cdot 1 0 ^ { - 2 } } & { 1 . 0 0 6 \cdot 1 0 ^ { - 2 } } & { 3 . 7 8 0 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } & { - 9 . 2 4 1 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } \\ { - 7 . 6 5 8 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } & { - 5 . 1 3 5 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } & { - 1 . 3 5 0 \cdot 1 0 ^ { - 2 } } & { 1 . 9 8 4 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } & { 9 . 2 7 5 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } & { 3 . 7 7 7 \cdot 1 0 ^ { - 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { d E _ { s } ( x , y , z _ { s } , t ) = d z _ { s } \frac { E _ { 0 } } { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \omega } { n c } \hat { \psi } ( x , y ) f ( 2 z _ { s } - v _ { g } t ) \mathrm { e x p } ( - z _ { s } \overline { { \alpha } } ( z _ { s } ) ) \mathrm { e x p } ( 2 i \beta z _ { s } - i \omega t + \pi / 2 ) \times } \\ { \times \left( \int _ { S } d x d y \Delta \chi ( x , y , z _ { s } ) | \hat { \psi } | ^ { 2 } ( x , y ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \Omega } _ { 1 } = \phi \Omega _ { 2 } \Omega _ { 3 } , \qquad \dot { \Omega } _ { 2 } = - \phi \Omega _ { 1 } \Omega _ { 3 } + \frac { b } { I _ { 2 } } K _ { 3 } , \qquad \dot { \Omega } _ { 3 } = - \frac { b } { I _ { 3 } } K _ { 2 } , } \\ { \dot { K } _ { 1 } = \Omega _ { 3 } K _ { 2 } - \Omega _ { 2 } K _ { 3 } , \quad \dot { K } _ { 2 } = - \Omega _ { 3 } K _ { 1 } + \Omega _ { 1 } K _ { 3 } , \quad \dot { K } _ { 3 } = \Omega _ { 2 } K _ { 1 } - \Omega _ { 1 } K _ { 2 } , } \end{array}
H _ { \mathrm { m a t r i x } } = \frac { \mu _ { m } } { 2 } \sum _ { i j } \frac { ( l _ { i j } - l _ { i j , 0 } ) ^ { 2 } } { l _ { i j , 0 } } + \frac { \beta } { 2 } \sum _ { h } \frac { ( A _ { h } - A _ { h , 0 } ) ^ { 2 } } { A _ { h , 0 } ^ { 2 } }
g \left( \begin{array} { c c } { { n _ { 1 } } } & { { n _ { 2 } } } \\ { { m _ { 1 } } } & { { m _ { 2 } } } \end{array} \right) = g \left( \begin{array} { c c } { { m _ { 1 } } } & { { m _ { 2 } } } \\ { { n _ { 1 } } } & { { n _ { 2 } } } \end{array} \right) .
\frac { d } { d t } \langle \mathbf { r } \rangle = \frac { 1 } { \hbar } \langle \nabla _ { \mathbf { k } } \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle + \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) \mathbf { r } \rangle - \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { r } \rangle \langle \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) \rangle
\begin{array} { r l } { x _ { n + 1 } - x _ { n } } & { = ( J - R ) Q \frac { x _ { n + 1 } + x _ { n } } { 2 } + B u _ { n + 1 } \Rightarrow } \\ { Q ^ { \top } ( x _ { n + 1 } - x _ { n } ) } & { = Q ^ { \top } ( J - R ) Q \frac { x _ { n + 1 } + x _ { n } } { 2 } + Q ^ { \top } B u _ { n + 1 } \Rightarrow } \\ { ( Q ^ { \top } - \frac { 1 } { 2 } Q ^ { \top } ( J - R ) Q ) x _ { n + 1 } } & { = ( Q ^ { \top } + \frac { 1 } { 2 } Q ^ { \top } ( J - R ) Q ) x _ { n } + Q ^ { \top } B u _ { n + 1 } } \end{array}
P _ { 2 0 } = \bigotimes _ { k = 0 } ^ { 1 9 } P _ { 1 } ( k ) = \bigotimes _ { k = 0 } ^ { 1 9 } \left( \begin{array} { l } { p _ { k } ^ { 0 } } \\ { p _ { k } ^ { 1 } } \end{array} \right)
\langle \Psi _ { N } | c _ { k \sigma } ^ { \dagger } c _ { k ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } | \Psi _ { N } \rangle = \delta _ { k k ^ { \prime } } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \Theta ( k _ { \mathrm { m a x } } - | k | ) ,
H _ { r e d } ( B ) = \int \, d x ^ { \perp } \frac { 1 } { 2 } \Big [ \big ( E ^ { 0 } + \partial _ { k } B _ { k } \big ) ^ { 2 } + \big ( \partial _ { 1 } B _ { 2 } - \partial _ { 2 } B _ { 1 } \big ) ^ { 2 } \Big ] .
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { P _ { q } } } & { = } & { \sqrt { \left\langle \left( P _ { q } ( t ) - \mu _ { P _ { q } } \right) ^ { 2 } \right\rangle } } \\ { \sigma _ { \Delta \Phi _ { q } } } & { = } & { \sqrt { \left\langle \left( \Delta \Phi _ { q } ( t ) - \mu _ { \Delta \Phi _ { q } } \right) ^ { 2 } \right\rangle } . } \end{array}
H ^ { 2 } = \left( \frac { \sigma } { 2 4 M ^ { 3 } } \right) ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } = \frac { \nu ^ { 2 } } { \sinh ^ { 2 } ( \nu y _ { 0 } ) } \, \, \, \Rightarrow ( H ^ { 2 } < \nu ^ { 2 } )
\partial _ { t } \hat { \nu } _ { t } = \eta _ { t } \mathrm { d i v } ( \hat { \nu } _ { t } \nabla _ { \theta } \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ) ) , \quad \partial _ { t } \hat { \pi } _ { t } = - \eta _ { t } \mathrm { d i v } ( \hat { \pi } _ { t } ( 0 , \nabla _ { \tilde { z } } \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; ( z , \tilde { z } ) ) ) ) ,
y _ { n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { { { i f } \ x _ { n } = 0 } } } \\ { x _ { n } ^ { - 1 } | x _ { n } | ^ { q } } & { \mathrm { { { i f } \ x _ { n } \not = 0 } } } \end{array} \right. }
- { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \psi _ { 2 } + ( { \tilde { u } } _ { 2 } - E ) \psi _ { 2 } + { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } [ 2 \mathbf { \tau } _ { 1 2 } \nabla + \nabla \mathbf { \tau } _ { 1 2 } ] \psi _ { 1 } = 0 ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \| y _ { \lambda _ { k + 1 } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] \le 4 \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \left( \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] \right) + \frac { 8 \delta _ { k } ^ { 2 } l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { 4 } \mu _ { g } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { N } _ { 0 } } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \ln \sqrt { \frac { ( n + m ) ! } { n ! } } } { \ln ( n + m + 1 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { N } _ { 0 } } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \left( n + m + \frac { 1 } { 2 } \right) \ln ( n + m ) - m - \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \ln ( n ) } { \ln ( n + m + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { N } _ { 0 } } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \ln \left( 1 + \frac { m } { n } \right) - m + m \ln ( n + m ) } { \ln ( n + m + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { N } } m = \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { m _ { i } } { m _ { \alpha } } < \frac { k T } { k T _ { \alpha } } } & { \rightarrow } & { \frac { P _ { \alpha i } } { P _ { \alpha e } } \approx \frac { n _ { e } } { n _ { i } } \, \sqrt { \frac { m _ { i } } { m _ { e } } } \gg 1 \, , } \\ { \frac { m _ { i } } { m _ { \alpha } } > \frac { k T } { k T _ { \alpha } } > \frac { m _ { e } } { m _ { \alpha } } } & { \rightarrow } & { \frac { P _ { \alpha i } } { P _ { \alpha e } } \approx \frac { n _ { e } \, m _ { \alpha } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { n _ { i } \, m _ { i } \, \sqrt { m _ { e } } } \, \left( \frac { k T } { k T _ { \alpha } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, , } \\ { \frac { m _ { e } } { m _ { \alpha } } > \frac { k T } { k T _ { \alpha } } } & { \rightarrow } & { \frac { P _ { \alpha i } } { P _ { \alpha e } } \approx \frac { n _ { e } \, m _ { e } } { n _ { i } \, m _ { i } } \ll 1 \, . } \end{array}
\frac { \partial \rho } { \partial x } = \frac { \bar { K } _ { 1 x } ^ { 1 } d \rho - \bar { K } _ { 1 x } ^ { 2 } d \rho u + \bar { K } _ { 1 x } ^ { 3 } d \rho v - \bar { K } _ { 1 x } ^ { 4 } d \rho E } { ( - v ~ d x + u ~ d y ) ( - v ~ d x + u ~ d y + c ~ d l ) ( - v ~ d x + u ~ d y - c ~ d l ) } .
\begin{array} { r } { \sum _ { \nu = 1 } ^ { \mathscr N _ { j } } 2 ^ { - j \rho ( n - \kappa / 2 ) / p ^ { \prime } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \| g _ { j } ^ { \nu } ( \cdot , c _ { Q } ) ^ { N _ { 1 } } \, K _ { j } ^ { \nu } ( \cdot , y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } \, | f ( y ) | \, \mathrm { d } y } \end{array}