harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { G } _ { N N } = \left[ \begin{array} { l } { - ( \mathcal { G } _ { N N } ^ { 1 } + \mathcal { G } _ { N N } ^ { 2 } ) } \\ { \mathcal { G } _ { N N } ^ { 1 } } \\ { \mathcal { G } _ { N N } ^ { 2 } } \\ { \mathcal { G } _ { N N } ^ { 3 } } \\ { \mathcal { G } _ { N N } ^ { 4 } / \rho _ { w } } \end{array} \right]
{ \left( \begin{array} { l l } { \alpha } & { \beta } \\ { \gamma } & { \delta } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { \alpha } & { \beta } \\ { \gamma } & { \delta } \end{array} \right) } ^ { \dagger } , \quad \beta \alpha = q ^ { 2 } \alpha \beta , \ [ \alpha , \delta ] = 0 , \ [ \beta , \gamma ] = ( 1 - q ^ { - 2 } ) \alpha ( \delta - \alpha ) , \ [ \delta , \beta ] = ( 1 - q ^ { - 2 } ) \alpha \beta
\begin{array} { r l } { \mathsf { R } _ { [ q , p ] _ { 1 } } ^ { B A } } & { { } = \frac { \sqrt { S _ { A } + 1 / 2 } } { C _ { S _ { B } \Sigma , 1 0 } ^ { S _ { A } \Sigma } } ( \rho _ { q _ { \alpha } p _ { \alpha } } ^ { B A } - \rho _ { q _ { \beta } p _ { \beta } } ^ { B A } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { u ^ { * } } } & { = \underbrace { \bigg | \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { u ^ { * } } } \sqrt { P _ { t } } \mathbf { w } _ { i u ^ { * } } \mathbf { h } _ { i u ^ { * } } \kappa ^ { - 1 / 2 } r _ { i u ^ { * } } ^ { - \alpha / 2 } \bigg | ^ { 2 } } _ { P _ { S } } + \underbrace { \sum _ { u \in \Psi _ { U } \backslash \{ u ^ { * } \} } \bigg | \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { u } } \sqrt { P _ { t } } \mathbf { w } _ { i u } \mathbf { h } _ { i u ^ { * } } \kappa ^ { - 1 / 2 } r _ { i u ^ { * } } ^ { - \alpha / 2 } \bigg | ^ { 2 } } _ { P _ { I } } + \; N _ { 0 } } \end{array}
\Omega _ { z , + } ( k ) = \frac { 1 } { k } \frac { \partial } { \partial k } \left[ \frac { \epsilon _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } ( \epsilon _ { + } ^ { 3 } + \epsilon _ { + } ) } { 2 \epsilon _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } ( 2 \epsilon _ { + } ^ { 2 } - 1 ) + 2 \epsilon _ { \mathrm { m } } ( \epsilon _ { + } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \right] ,
\frac { f _ { D } } { f _ { \pi } } \sim \left( \frac { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { m _ { c } } \right) ^ { 1 / 2 } \, \, [ \approx 1 . 5 ] \qquad \frac { F _ { + } ^ { B \to \pi } ( m _ { D } ^ { 2 } ) } { F _ { + } ^ { B \to D } ( 0 ) } \sim \left( \frac { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { m _ { b } } \right) ^ { 3 / 2 } \, \, [ \approx 0 . 5 ] .
\begin{array} { r } { \mathrm { d } Y ( t ) = ( \mathbf { J } _ { S } ^ { \top } \mathbf { J } _ { S } ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } \log \left[ \eta ( S ( Y ( t ) ) ) \operatorname* { d e t } ( \mathbf { J } _ { S } ) \right] \mathrm { d } t + \nabla _ { y } \cdot ( \mathbf { J } _ { S } ^ { \top } \mathbf { J } _ { S } ) ^ { - 1 } \mathrm { d } t + \sqrt { 2 } \mathbf { J } _ { S } ^ { - 1 } \mathrm { d } W ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi _ { 1 , 5 } ( \xi , \eta , q _ { 1 , 5 } ) = M s _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \xi , q _ { 1 , 5 } ) s e _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \eta , q _ { 1 , 5 } ) } \\ { \Psi _ { 4 , 4 } ( \xi , \eta , q _ { 4 , 4 } ) = M c _ { 4 } ^ { ( 1 ) } ( \xi , q _ { 4 , 4 } ) c e _ { 4 } ^ { ( 1 ) } ( \eta , q _ { 4 , 4 } ) } \end{array}
d _ { \widetilde { \Sigma ^ { E } } } : = \operatorname* { i n f } \left\lbrace \operatorname* { s u p } \lbrace d _ { E } ( f ^ { \prime } ( t ) , g ^ { \prime } ( t ) ) : 0 \leq t < \widehat { T _ { f ^ { \prime } } } \rbrace : f ^ { \prime } \in [ f ] , g ^ { \prime } \in [ g ] , \widehat { T _ { f ^ { \prime } } } = \widehat { T _ { g ^ { \prime } } } \right\rbrace .
\begin{array} { r l } { \overline { { v ^ { 2 } ( t ) } } = } & { e ^ { 2 \beta t / M } v ^ { 2 } ( 0 ) } \\ { + } & { 2 D / M ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \beta ( t - s ^ { \prime } ) / M } e ^ { \beta ( t - s ) / M } \overline { { d W ( s ^ { \prime } ) d W ( s ) } } } \\ { = } & { e ^ { 2 \beta t / M } \bigg ( v ^ { 2 } ( 0 ) + \frac { D } { M \beta } \bigg ) - \frac { D } { M \beta } . } \end{array}
\frac { \partial { \cal L } _ { 2 } } { \partial s _ { 2 } } = 2 \Sigma ^ { 2 } t s _ { 2 } - \frac { 2 s _ { 2 } } { y ^ { 2 } + s _ { 2 } ^ { 2 } } \stackrel { ! } { = } 0 \: .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( u ( s ) ) d s } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { R } \mathcal { A } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( u ( s ) ) d s } \end{array}
\sum _ { j } \bigl [ [ \cdot , M _ { j } ] , M _ { j } \bigr ] = { \frac { 1 } { 2 } } \bigl ( \bigl [ [ \cdot , U ] , U ^ { - 1 } \bigr ] + \bigl [ [ \cdot , V ] , V ^ { - 1 } \bigr ] \bigr ) , \nonumber
\mathbf { u } \otimes \mathbf { u } = \mathbf { u } \mathbf { u } ^ { \mathsf { T } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { u _ { x } ^ { 2 } } & { u _ { x } u _ { y } } & { u _ { x } u _ { z } } \\ { u _ { x } u _ { y } } & { u _ { y } ^ { 2 } } & { u _ { y } u _ { z } } \\ { u _ { x } u _ { z } } & { u _ { y } u _ { z } } & { u _ { z } ^ { 2 } } \end{array} \right] } , \qquad [ \mathbf { u } ] _ { \times } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - u _ { z } } & { u _ { y } } \\ { u _ { z } } & { 0 } & { - u _ { x } } \\ { - u _ { y } } & { u _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \{ a _ { k } \leq \tilde { r } _ { k } \leq b _ { k } , \forall 0 \leq k \leq n \} } \\ { = } & { \prod _ { k = 0 } ^ { n } \mathbb { P } \{ a _ { k } \leq \tilde { r } _ { k } \leq b _ { k } \} } \\ { = } & { \prod _ { k = 0 } ^ { n } \left( 1 - \left( \mathbb { P } \{ y _ { t } y _ { t + k } \leq a _ { k } \} \right) ^ { N + 1 - k } \right. } \\ & { \left. - \left( \mathbb { P } \{ y _ { t } y _ { t + k } \geq b _ { k } \} \right) ^ { N + 1 - k } \right) . } \end{array}
{ \big ( } \left( P ( a _ { 1 } ) \wedge P ( a _ { 1 } ) \right) \rightarrow ( a _ { 1 } = a _ { 1 } ) { \big ) } \wedge { \big ( } \left( P ( a _ { 1 } ) \wedge P ( a _ { 2 } ) \right) \rightarrow ( a _ { 1 } = a _ { 2 } ) { \big ) } \wedge { \big ( } \left( P ( a _ { 2 } ) \wedge P ( a _ { 1 } ) \right) \rightarrow ( a _ { 2 } = a _ { 1 } ) { \big ) } \wedge { \big ( } \left( P ( a _ { 2 } ) \wedge P ( a _ { 2 } ) \right) \rightarrow ( a _ { 2 } = a _ { 2 } ) { \big ) }
\mathcal { R } _ { n _ { i } v _ { i } } ^ { ( \mathrm { P I } ) } ( T _ { \gamma } ) = \int _ { E _ { \mathrm { t h } } } ^ { \infty } \! \mathrm { d } E _ { \gamma } \, G _ { \gamma } ( E _ { \gamma } , T _ { \gamma } ) c \sigma _ { n _ { i } v _ { i } } ^ { ( \mathrm { P I } ) } ( E _ { \gamma } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mu \nu } ^ { \rho } } & { : = \overline { { E } } _ { ( \mu \nu ) } ^ { \rho } + \overline { { E } } _ { [ \mu \nu ] } ^ { \rho } } \\ & { : = 2 \overline { { \Gamma } } _ { ( \mu \nu ) } ^ { \rho } - 2 \delta _ { ( \mu } ^ { \rho } \overline { { \Gamma } } _ { | \lambda | \nu ) } ^ { \lambda } - g _ { \mu \nu } ( g ^ { \kappa \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \lambda \kappa } ^ { \rho } - g ^ { \kappa \rho } \overline { { \Gamma } } _ { \lambda \kappa } ^ { \lambda } ) + P ^ { \rho } _ { { \nu \mu } } } \\ & { = 2 \overline { { \Gamma } } _ { { \mu \nu } } ^ { \rho } + 2 \delta _ { [ { \mu } } ^ { \rho } \overline { { \Gamma } } _ { { \nu } ] \lambda } ^ { \lambda } - 2 \delta _ { { \mu } } ^ { \rho } \overline { { \Gamma } } _ { \lambda { \nu } } ^ { \lambda } - g _ { \mu \nu } ( g ^ { \kappa \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \lambda \kappa } ^ { \rho } - g ^ { \kappa \rho } \overline { { \Gamma } } _ { \lambda \kappa } ^ { \lambda } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } \cdot \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } = \varphi _ { h } ^ { * } ( \cdot , \vert \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } \vert ) + \varphi _ { h } ( \cdot , \vert \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } \vert ) \quad \mathrm { ~ i n ~ } \mathcal { L } ^ { 0 } ( \mathcal { T } _ { h } ) \, . } \end{array}
\vert a _ { \nu } \vert ^ { 2 } = 4 \frac { \langle Q _ { 0 } \rangle + 4 } { \langle Q _ { 1 } \rangle } \left[ \frac { H ^ { 2 } e ^ { \pi \nu } \Gamma ( - \sigma ) \Gamma ( - \sigma ^ { * } ) } { 2 ^ { 5 } \pi ^ { 4 } m ^ { 2 } } \right] = 4 \frac { \langle Q _ { 0 } \rangle + 4 } { \langle Q _ { 1 } \rangle } \left[ \frac { H ^ { 2 } \nu ^ { 2 } + H ^ { 2 } / 4 } { 2 ^ { 4 } \pi ^ { 3 } m ^ { 2 } } \right] \, .
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } } & { { } = - \nu ( \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G _ { 0 } } \\ { p H _ { 0 } } & { { } = - \eta ( \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } { k } H _ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } { k } H _ { 1 } + \frac { i \ell B _ { 0 } } { \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } } \\ { p G _ { 1 } } & { { } = - \nu ( 1 + 2 \ell + \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } { k } \frac { 1 } { \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } } G _ { 0 } } \\ { p G _ { - 1 } } & { { } = - \nu ( 1 - 2 \ell + \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G _ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } { k } \frac { 1 } { \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } } G _ { 0 } } \\ { p H _ { 1 } } & { { } = - \eta ( 1 + 2 \ell + \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } { k } H _ { 0 } } \\ { p H _ { - 1 } } & { { } = - \eta ( 1 - 2 \ell + \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } { k } H _ { 0 } } \end{array}
\overline { { U _ { j } ^ { + } } } \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } = - \frac { \partial \overline { { P ^ { + } } } } { \partial x _ { i } ^ { + } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } ^ { + } } \left( \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } - \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ^ { + } \right) ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3
\frac { | a _ { \pi } ^ { ( g g g ) } | } { | a _ { \pi } ^ { ( \gamma ) } | } \sim { \frac { m _ { d } - m _ { u } } { Q } } \left( { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } \right) ^ { 3 } \frac { f _ { \mathrm { J / \ p s i } } } { 4 \pi \alpha | F _ { \pi } ( m _ { \mathrm { J / \ p s i } } ^ { 2 } ) | } ,
k _ { \bot } ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 } \, ( m _ { e } / m _ { i } \beta _ { e } ) \sim k _ { \bot } ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 } \, ( m _ { e } / m _ { i } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } < k _ { \bot } ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 }
\hat { e } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } = \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 1 } } & { { } = \varepsilon ( 1 1 0 ) - \varepsilon ( 0 1 0 ) } \\ { \Delta _ { 2 } } & { { } = \varepsilon ( 1 1 0 ) - \varepsilon ( 1 0 0 ) } \\ { \Delta _ { 3 } } & { { } = \varepsilon ( 1 1 0 ) + \varepsilon ( 0 0 1 ) - \varepsilon ( 1 0 0 ) - \varepsilon ( 0 1 0 ) \, . } \end{array}
c _ { k } = b _ { k } - f ( b _ { k } ) { \frac { b _ { k } - a _ { k } } { f ( b _ { k } ) - f ( a _ { k } ) } } = { \frac { a _ { k } f ( b _ { k } ) - b _ { k } f ( a _ { k } ) } { f ( b _ { k } ) - f ( a _ { k } ) } } .
\begin{array} { r l } { U _ { \pm } ^ { I } } & { = \frac { \mu \epsilon ^ { \prime } } { 2 } + \frac { \mu \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } + \frac { 1 } { 2 } ( I _ { + } ^ { 2 } + I _ { - } ^ { 2 } ) + \frac { \mu ^ { 2 } \Sigma ^ { 2 } } { 8 \omega ^ { 2 } } \pm \frac { \mu \Sigma I _ { + } } { 2 \omega } . } \end{array}
R = \sum _ { m = 0 } ^ { M _ { \mathrm { p o l } } } \sum _ { n = - N _ { \mathrm { t o r } } } ^ { N _ { \mathrm { t o r } } } \mathrm { R B C } _ { m , n } \cos ( m \theta - n _ { \mathrm { ~ f ~ p ~ } } n \phi )
\begin{array} { r l r } { \left( \boldsymbol { \xi + \xi } _ { \ast } \right) _ { \mathbf { n } } } & { = } & { \left( \boldsymbol { \xi + \xi } _ { \ast } \right) \cdot \mathbf { n } = \frac { \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ^ { 2 } - \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } } { \left\vert \boldsymbol { \xi } - \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert } , \mathrm { \ a n d } } \\ { \left( \boldsymbol { \xi + \xi } _ { \ast } \right) _ { \perp _ { \boldsymbol { n } } } } & { = } & { \boldsymbol { \xi + \xi } _ { \ast } - \left( \boldsymbol { \xi + \xi } _ { \ast } \right) _ { \mathbf { n } } \mathbf { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t \partial _ { t } \tilde { \eta } + \frac { 1 } { \delta } \Bigl \{ \phi _ { * } \, , \frac { \tilde { \eta } } { 1 + \epsilon R } \Bigr \} + \frac { 1 } { \delta } \Bigl \{ \tilde { \phi } \, , \frac { \eta _ { * } } { 1 + \epsilon R } \Bigr \} } & { { } + \Bigl \{ \tilde { \phi } \, , \frac { \tilde { \eta } } { 1 + \epsilon R } \Bigr \} - \frac { \epsilon \bar { r } } { \delta \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \tilde { \eta } + \dot { \bar { z } } \, \partial _ { Z } \tilde { \eta } \Bigr ) } \\ { \, } & { { } = \, \mathcal { L } \tilde { \eta } + \partial _ { R } \Bigl ( \frac { \epsilon \tilde { \eta } } { 1 + \epsilon R } \Bigr ) + \frac { 1 } { \delta } \, \mathrm { R e m } ( R , Z , t ) \, . } \end{array}
\mathbf { A A 2 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { ( 1 + 2 \lambda + 2 \beta ) } & { - ( \lambda - \alpha ) } & { 0 } & { 0 } \\ { - ( \lambda + \alpha ) } & { ( 1 + 2 \lambda + 2 \beta ) } & { - ( \lambda - \alpha ) } & { 0 } \\ { 0 } & { - ( \lambda + \alpha ) } & { ( 1 + 2 \lambda + 2 \beta ) } & { - ( \lambda - \alpha ) } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 \lambda } & { ( 1 + 2 \lambda + 2 \beta ) } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { h ( \Omega , a , \alpha ) = h _ { s } ( a , \alpha ) + \frac { a } { 2 \left( \Gamma \rho { g } \right) ^ { 1 / 2 } } \left[ \frac { 4 \hat { \beta } } { 4 + \sqrt { B o } } - \frac { \rho { a } ^ { 2 } } { 2 + \sqrt { B o } } \right] \Omega ^ { 2 } } \\ { + O ( \Omega ^ { 2 } \alpha + \Omega ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu _ { i j j j j } ^ { ( 4 ) } ( t ; 0 ) = \frac { 1 } { 6 4 } \delta _ { i j j j j } ^ { \mathrm { H O R } } ( \omega ) [ F ^ { \mathrm { P W } } ( t ; 0 ) ] ^ { 4 } , } \\ & { \mu _ { i j j j j } ^ { ( 4 ) } ( t ; 2 \omega ) = \frac { 1 } { 4 8 } \delta _ { i j j j j } ^ { \mathrm { H S H G } } ( \omega ) [ F ^ { \mathrm { P W } } ( t ; 2 \omega ) ] ^ { 4 } , } \\ & { \mu _ { i j j j j } ^ { ( 4 ) } ( t ; 4 \omega ) = \frac { 1 } { 1 9 2 } \delta _ { i j j j j } ^ { \mathrm { F H G } } ( \omega ) [ F ^ { \mathrm { P W } } ( t ; 4 \omega ) ] ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ( x ( g \cdot t ) ) } & { = [ w _ { 0 } ( x ( g \cdot t ) ) , w _ { 2 } ( x ( g \cdot t ) ) , w _ { k } ^ { ( 1 ) } ( x ( g \cdot t ) ) ] } \\ & { = [ g \cdot ( \, w _ { 0 } ( x ( t ) ) , w _ { 2 } ( x ( t ) ) , w _ { k } ^ { ( 1 ) } ( x ( t ) ) \, ) ] } \\ & { = [ D ( g , t ) w _ { 0 } ( x ) , A ( g , t ) w _ { 0 } ( x ) , B _ { k } ( g , t ) w _ { 0 } ( x ) ] } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { j } ^ { n } } { \partial x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } \sum _ { \ell = - r } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } \psi _ { j + \ell } ^ { n } + { \cal O } { [ ( \Delta x ) ^ { 2 r } ] } ,
\begin{array} { r l } { { 3 } \tau _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { = 0 , } \\ { \tau _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { = \tau _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( a ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } \tau _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } \Big | _ { x = a } } & { = \frac { \mathrm { d } \tau _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } \Big | _ { x = a } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \delta I } { \mathrm { d } t } } & { { } = - \frac { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } { L } \delta I - \frac { \mathscr { L } G } { I _ { 0 } L } \delta T + \frac { \delta V } { L } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \delta T } { \mathrm { d } t } } & { { } = \frac { I _ { 0 } R _ { 0 } ( 2 + \beta ) } { C } \delta I - \frac { 1 - \mathscr { L } } { \tau _ { 0 } } \delta T + \frac { \delta P } { C } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \stackrel { \leftrightarrow } { \mathrm { T } } } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { \mathcal { M } _ { \mathcal { T } } } & { \mathcal { M } _ { \mathcal { R } } } \\ { \mathcal { M } _ { \mathcal { R } } } & { \mathcal { M } _ { \mathcal { T } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { n } [ I _ { i j } ] _ { \hat { q } } \, m _ { j } = 2 \cos \pi \left( \vartheta _ { h } + t _ { i } \vartheta _ { H } \right) \, m _ { i } \; , \quad \hat { q } = e ^ { i \pi s \vartheta _ { H } } \; .
\sum _ { k = 1 } ^ { 2 m } \frac { 1 } { 1 - \omega ^ { 2 k + 1 } } = \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - \omega ^ { 2 k + 1 } } + \sum _ { k = m + 1 } ^ { 2 m } \frac { 1 } { 1 - \omega ^ { 2 k + 1 } } .
\begin{array} { r l } { | A _ { k , \ell } | } & { \le \frac { \| K \| _ { \infty } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } = 1 - n } ^ { n - 1 } | C _ { k , k } ( x _ { 1 } ) | | C _ { \ell , \ell } ( x _ { 2 } ) | } \\ & { \le \frac { \| K \| _ { \infty } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } | C _ { k , k } ( x _ { 1 } ) | | C _ { \ell , \ell } ( x _ { 2 } ) | = : \alpha _ { k , \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( y ) } & { \triangleq \sum _ { w \in \mathfrak { X } } p _ { W } ( w ) \left[ p _ { Y | W } ( y | w ) - p _ { Y } ( y ) \right] ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { w \in \mathfrak { X } } p _ { W } ( w ) \left[ p _ { Y | W } ( y | w ) - \sum _ { z \in \mathfrak { X } } p _ { Y | W } ( y | z ) p _ { W } ( z ) \right] ^ { 2 } } \\ & { \ge 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { B } ( s , \omega ) = } & { { } \sum _ { n - 0 } ^ { \infty } ( - i \frac { \zeta } { 2 } F ( \omega ) ) ^ { n } \tilde { U } ( s ) ^ { n } \tilde { B } _ { i n } ( s , \omega ) , } \\ { \tilde { U } ( s ) = } & { { } \sum _ { i } \frac { \xi _ { i } } { s - i q _ { i } } , } \\ { \tilde { B } _ { i n } ( s , \omega ) = } & { { } \sum _ { i } \frac { \beta _ { i } } { s - i q _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { B } ( \boldsymbol { \varphi } , \boldsymbol { v } ) } & { = } & { a ( \varphi ^ { P } , v ^ { P } ) + a ( \varphi ^ { S } , v ^ { S } ) - \left\langle \partial _ { \boldsymbol { \tau } } \varphi ^ { S } , v ^ { P } \right\rangle _ { \Gamma } + \langle \partial _ { \boldsymbol { \tau } } \varphi ^ { P } , v ^ { S } \rangle _ { \Gamma } , } \\ { \mathcal { K } ( \boldsymbol { \varphi } , \boldsymbol { v } ) } & { = } & { \kappa _ { P } ^ { 2 } m ( \varphi ^ { P } , v ^ { P } ) + \kappa _ { S } ^ { 2 } m ( \varphi ^ { S } , v ^ { S } ) , } \end{array}
\hat { \tilde { E } } _ { i } ^ { a } ( x ) \Psi _ { \gamma } ( A ) = { \frac { \delta } { \delta A _ { a } ^ { i } ( x ) } } \Psi _ { \gamma } ( A ) = \oint d s \ \delta ^ { 3 } ( x - \gamma ( s ) ) \dot { \gamma } ^ { a } ( s ) \mathrm { T r } ( U ( 0 , s ) \tau ^ { i } U ( s , 1 ) )
\left[ \begin{array} { c c c } { \chi _ { 1 1 } } & { \chi _ { 1 2 } } & { \chi _ { 1 3 } } \\ { \chi _ { 2 1 } } & { \chi _ { 2 2 } } & { \chi _ { 2 3 } } \\ { \chi _ { 3 1 } } & { \chi _ { 3 2 } } & { \chi _ { 3 3 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } } & { - F _ { 1 2 } ( \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } - 1 ) } & { 0 } \\ { - F _ { 1 2 } ( \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } - 1 ) } & { \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { - A _ { 1 3 } ( 1 - F _ { 1 2 } ) ( \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } - 1 ) } & { - A _ { 1 3 } ( 1 - F _ { 1 2 } ) ( \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } - 1 ) } & { 0 } \end{array} \right] { , }
\begin{array} { r l } { \phi _ { S } ( A ^ { k } ) } & { = \frac { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { w } A ^ { k } D _ { w } \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { w } D _ { w } \mathbf { 1 } \rangle } } \\ & { = \frac { \sum _ { i \in S , j \in \overline { { S } } } A ^ { k } ( i , j ) \cdot w _ { i } \cdot w _ { j } } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \sum _ { i \in S , j \in \overline { { S } } } \left( w \cdot w ^ { T } ( i , j ) + B ^ { k } ( i , j ) \right) \cdot w _ { i } \cdot w _ { j } } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } \sum _ { j \in \overline { { S } } } w _ { j } ^ { 2 } - \sum _ { i \in S , j \in S } B ^ { k } ( i , j ) \cdot w _ { i } \cdot w _ { j } } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \geq \sum _ { j \in \overline { { S } } } w _ { j } ^ { 2 } - \epsilon \frac { ( \sum w _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \epsilon ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { X + Y } ( a ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { Y } ( a - x ) f _ { X } ( x ) d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } 1 _ { [ a - 1 , a ] } ( x ) \lambda e ^ { - \lambda x } d x } \\ & { = \int _ { 0 \vee ( a - 1 ) } ^ { a } \lambda e ^ { - \lambda x } d x = \left. - e ^ { - \lambda x } \right| _ { 0 \vee ( a - 1 ) } ^ { a } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { S _ { t } = D ( S _ { i n } - S ) - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( f _ { i } ( S ) u _ { i } + g _ { i } ( S ) v _ { i } \right) , } \\ { { u _ { i } } _ { t } = ( f _ { i } ( S ) - D _ { 0 , i } ) u _ { i } - \alpha _ { i } ( \cdot ) u _ { i } + \beta _ { i } ( \cdot ) v _ { i } , \quad i = 1 , . . . , m , } \\ { { v _ { i } } _ { t } = ( g _ { i } ( S ) - D _ { 1 , i } ) v _ { i } + \alpha _ { i } ( \cdot ) u _ { i } - \beta _ { i } ( \cdot ) v _ { i } , \quad i = 1 , . . . , m . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { P _ { r x , m n } ^ { k } = \bigg ( \frac { \lambda } { 4 \pi } \bigg ) ^ { 6 } \frac { G _ { t , k } G ( \theta _ { i 1 , k } ) G ( \theta _ { r , 1 } ) G ( \theta _ { i , 2 } ) G ( \theta _ { r , 2 } ) G _ { r } } { r _ { t k } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } r _ { 3 } ^ { 2 } } } \\ { \times | { h } _ { t , k m } | ^ { 2 } | \alpha _ { m } | ^ { 2 } | H _ { m n } | ^ { 2 } | \alpha _ { n } | ^ { 2 } | { h } _ { r n } | ^ { 2 } P _ { t } , } \end{array}
\mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \left( { \frac { q c ( { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \times \mathbf { n } _ { s } ) } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) ^ { 3 } | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | ^ { 2 } } } + { \frac { q \mathbf { n } _ { s } \times { \Big ( } \mathbf { n } _ { s } \times { \big ( } ( \mathbf { n } _ { s } - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) \times { \dot { { \boldsymbol { \beta } } _ { s } } } { \big ) } { \Big ) } } { ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) ^ { 3 } | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | } } \right) _ { t _ { r } } = { \frac { \mathbf { n } _ { s } ( t _ { r } ) } { c } } \times \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } { \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } \lambda _ { i } \right| > t } } & { \leq 2 \exp \left[ - c \operatorname* { m i n } \left( \frac { t ^ { 2 } } { \| a \| _ { 2 } ^ { 2 } } , \frac { t } { \| a \| _ { \infty } } \right) \right] } \\ & { \leq 2 \exp \left[ - c \operatorname* { m i n } \left( \frac { t ^ { 2 } } { K ^ { 2 } / n } , \frac { t } { K / n } \right) \right] } \\ & { = 2 \exp \left[ - c n \operatorname* { m i n } \left( \frac { t ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } , \frac { t } { K } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \mathbf { x } ) } & { = \operatorname* { m a x } \{ d _ { P _ { j } } ( \mathbf { x } ) : \alpha _ { j } \ne 0 , \, j = 1 , \dots , M \} } \\ { \mu _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \mathbf { x } ) } & { = \operatorname* { m a x } \{ \lambda _ { P _ { j } } ( \mathbf { x } ) : \alpha _ { j } \ne 0 , \, j = 1 , \dots , M \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { d = 1 } ^ { 4 } \sum _ { j } W _ { i j } ^ { + d } = 4 , \sum _ { d = 1 } ^ { 4 } \sum _ { j } W _ { i j } ^ { - d } = 4 \ \mathrm { f o r ~ a n y ~ i , } } \\ { \sum _ { d = 1 } ^ { 4 } \sum _ { i } W _ { i j } ^ { + d } = 4 , \sum _ { d = 1 } ^ { 4 } \sum _ { i } W _ { i j } ^ { - d } = 4 \ \mathrm { f o r ~ a n y ~ j . } } \end{array}
G _ { i k } ^ { ( B ) } \equiv G _ { e m , p q } \frac { 1 } { 2 } e _ { i e m } \frac { 1 } { 2 } e _ { k p q } = \delta _ { i k } D ^ { B } ( u ) + \frac { 1 } { 2 } [ . . . ] D _ { 1 } ^ { B } ( u )