harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { T ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { s } ) } & { { } \simeq } & { f _ { T } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { s } , \boldsymbol { \theta } _ { T } ) } \\ { v ( \mathbf { x } ) } & { { } \simeq } & { f _ { v } ( \mathbf { x } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) } \end{array}
\sim \langle \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ B ~ B ~ } } ( \omega , T _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \rangle = \frac { \hbar \omega } { e ^ { \frac { \hbar \omega } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T _ { \mathrm { ~ e ~ } } } } - 1 } ,
M _ { i } ( \mathbf { g } ) = A _ { i j } ( \mathbf { g } ) M _ { j } \quad \alpha _ { i } ( \mathbf { g } ) = ( A ^ { T } ) _ { i j } ^ { - 1 } ( \mathbf { g } ) \alpha _ { j } \quad F _ { i \alpha } ( \mathbf { g } ) = A _ { i j } ( \mathbf { g } ) F _ { j \alpha } ,
\int _ { - \ell \left( t \right) } ^ { \ell \left( t \right) } e ^ { \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t + x ) } \left( \tilde { u } _ { x } + \tilde { u } _ { t } \right) ^ { 2 } \frac { d x } { \varphi ^ { \prime } ( t + x ) } + \int _ { - \ell \left( t \right) } ^ { \ell \left( t \right) } e ^ { \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t - x ) } \left( \tilde { u } _ { x } - \tilde { u } _ { t } \right) ^ { 2 } \frac { d x } { \varphi ^ { \prime } ( t - x ) } = 8 \mathcal { S } _ { \eta } .
a ^ { 1 6 } + 1 4 0 a ^ { 1 2 } c ^ { 4 } + 4 4 8 a ^ { 1 0 } c ^ { 6 } + 4 8 0 a ^ { 8 } b ^ { 8 } + 8 7 0 a ^ { 8 } c ^ { 8 } + 1 3 4 4 0 a ^ { 6 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + 4 4 8 a ^ { 6 } c ^ { 1 0 } + 3 3 6 0 0 a ^ { 4 } b ^ { 8 } c ^ { 4 } + 1 4 0 a ^ { 4 } c ^ { 1 2 } + 1 3 4 4 0 a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 6 } + 2 0 4 8 b ^ { 1 6 } + 4 8 0 b ^ { 8 } c ^ { 8 } + c ^ { 1 6 }
\begin{array} { r l } { \int d \omega _ { 1 } } & { \omega _ { 1 } ( 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) \mathcal { C } _ { 1 } ( \omega _ { 1 } ) } \\ & { = \pi \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , S } } { 2 } \frac { \Gamma _ { 2 , I } } { 2 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } } \left[ \frac { \Gamma _ { 2 , S } } { 2 } \left( 2 \omega _ { P } \omega _ { S } + \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } - \omega _ { S } ^ { 2 } \right) \right. } \\ & { - \left. \frac { \Gamma _ { 2 , I } } { 2 } \left( 2 \omega _ { P } \omega _ { S } + \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } - \omega _ { S } ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = \frac { \pi } { 2 } \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } \left( 2 \omega _ { P } \omega _ { S } - \omega _ { S } ^ { 2 } \right) } { \left( \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } \right) \left( \Gamma _ { 2 , S } - \Gamma _ { 2 , I } \right) } \left( \Gamma _ { 2 , S } - \Gamma _ { 2 , I } \right) } \\ & { = \frac { \pi } { 2 } \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \left( \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } \right) } \left( 2 \omega _ { P } \omega _ { S } - \omega _ { S } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { \pi } { 2 } \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \left( \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } \right) } \left( \omega _ { S } \omega _ { I } \right) \ , } \end{array}
R _ { \mathrm { H } ^ { + } 1 } = R _ { \mathrm { O H } ^ { - } } = k _ { \mathrm { w } } C _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } - k _ { \mathrm { w } } ^ { \prime } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } C _ { \mathrm { O H } ^ { - } } = k _ { \mathrm { e q } } \left( K _ { \mathrm { w } } - C _ { \mathrm { H } ^ { + } } C _ { \mathrm { O H } ^ { - } } \right)
\begin{array} { r l r } { { u _ { f } } } & { { } { = } } & { { u _ { e } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { e } } ) \, n _ { x } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { v _ { f } } } & { { } { = } } & { { v _ { e } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { e } } ) \, n _ { y } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { w _ { f } } } & { { } { = } } & { { w _ { e } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { e } } ) \, n _ { z } \, \mathrm { ~ . ~ } } } \end{array}
P = \operatorname* { m i n } \left[ 1 \, , \, \Big ( \frac { k _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } } { k _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } } \Big ) ^ { \alpha } \times \frac { \tau _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } } { \tau _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ^ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } } \right]
\begin{array} { r l } { { V } ( x , y , z , t ) = } & { { } - \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { [ { Z } ] } { r } d V ^ { \prime } } \\ { = } & { { } - \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { { Z } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ^ { \prime } = t - r / c ) } { r } d V ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle I \rangle _ { \mathrm { { s c a } } } = ( k r ) ^ { 2 } \int ~ I _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ( r , \theta ) ~ d \Omega , } \\ { \langle V \rangle _ { \mathrm { { s c a } } } = ( k r ) ^ { 2 } \int ~ V _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ( r , \theta ) ~ d \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { w ^ { \textnormal { E } } } } = \frac { 1 } { T ^ { \textnormal { E } } } \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { E } } } w ( x , z , t ) \, d t = \frac { c } { T ^ { \textnormal { E } } } \epsilon \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { E } } } \frac { \sinh ( k z + { \alpha } ) } { \sinh { \alpha } } \sin ( k x - \omega t ) \, d t = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { A } _ { 1 } = \mathbb { C } } & { : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } \} , \quad \textrm { w h e r e } \quad e _ { 1 } = i , } \\ { \mathbb { A } _ { 2 } = \mathbb { H } } & { : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } , e _ { 2 } , e _ { 3 } \} , \quad \textrm { w h e r e } \quad e _ { 1 } = i = I , \; e _ { 2 } = J , \; e _ { 3 } = K } \\ { \mathbb { A } _ { 3 } = \mathbb { O } } & { : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } , . . . , e _ { 7 } \} , \quad \textrm { w h e r e } \quad e _ { 1 } = i = I = i _ { 1 } , . . . , e _ { 7 } = i _ { 7 } } \\ { \mathbb { A } _ { 4 } = \mathbb { S } } & { : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } , . . . , e _ { 1 5 } \} , \quad \textrm { w h e r e } \quad e _ { 1 } = i = I = i _ { 1 } = s _ { 1 } , . . . , e _ { 1 5 } = s _ { 1 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { \mathrm { ~ D ~ C ~ B ~ } } = } & { { } \sum _ { p q } h _ { p q } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } \left( g _ { p q , r s } ^ { \mathrm { ~ C ~ , ~ S ~ D ~ } } + g _ { p q , r s } ^ { \mathrm { ~ B ~ r ~ e ~ i ~ t ~ } } \right) \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r } ^ { \dagger } \hat { a } _ { s } \hat { a } _ { q } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { F } _ { i j } ^ { C 2 } } & { = } & { - \left( \frac { p _ { i } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { p _ { j } } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } \right) \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } \mathbf { e } _ { i j } , } \\ { \mathbf { F } _ { i j } ^ { D 2 } } & { = } & { \frac { \eta } { \sigma _ { i } \sigma _ { j } r _ { i j } } \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } \left( \frac { 2 D - 1 } { D } \mathbf { v } _ { i j } + \frac { D + 2 } { D } \mathbf { e } _ { i j } \cdot \mathbf { v } _ { i j } \mathbf { e } _ { i j } \right) . } \end{array}
H [ \Psi , \xi ] \! \! : = \! \! \frac { i } { 4 } \int [ \bar { \Psi } ( t , \vec { \bf r } ) \vec { \gamma } \cdot \vec { \nabla } \Psi ( t , \vec { \bf r } ) - \vec { \nabla } \bar { \Psi } ( t , \vec { \bf r } ) \cdot \vec { \gamma } \Psi ( t , \vec { \bf r } ) ] d r ^ { 3 }
\mathbf { X } _ { \mathrm { C O M } } = \left( X _ { \mathrm { C O M } } ^ { 0 } , X _ { \mathrm { C O M } } ^ { 1 } , X _ { \mathrm { C O M } } ^ { 2 } , X _ { \mathrm { C O M } } ^ { 3 } \right)
\begin{array} { r l } & { ( D ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - D ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ) _ { i } = \int _ { \Omega } \left( H ^ { \prime } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { k } N _ { e } } \widetilde { U } _ { I , j } ^ { n + 1 } \phi _ { j } \right) - H ^ { \prime } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { k } N _ { e } } \widetilde { U } _ { I I , j } ^ { n + 1 } \phi _ { j } \right) \right) \phi _ { i } d \Omega } \\ { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { k } N _ { e } } ( \widetilde { U } _ { I , j } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I , j } ^ { n + 1 } ) \int _ { \Omega } H ^ { \prime \prime } ( \xi _ { 1 } ^ { n + 1 } ) \phi _ { j } \phi _ { i } d \Omega , \ i \in \{ 1 , \cdots , N _ { k } N _ { e } \} , \xi _ { 1 } ^ { n + 1 } \in ( U _ { h , I } ^ { n + 1 } , U _ { h , I I } ^ { n + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } = 8 \pi ^ { 2 } n \frac { \alpha m _ { u } ^ { 2 } e _ { u } ^ { 2 } + \beta m _ { d } ^ { 2 } e _ { d } ^ { 2 } + \gamma m _ { s } ^ { 2 } e _ { s } ^ { 2 } } { \alpha e _ { u } ^ { 2 } + \beta e _ { d } ^ { 2 } + \gamma e _ { s } ^ { 2 } } , } \end{array}
\hat { \sigma } _ { i j } ^ { R e s } ( \eta , m ^ { 2 } , \mu _ { o } ) = \int _ { z _ { m i n } } ^ { 1 - ( \mu _ { o } / m ) ^ { 3 } } d z \mathrm { e } ^ { E _ { i j } ^ { I R C } ( z , m ^ { 2 } ) } \hat { \sigma } _ { i j } ^ { \prime } ( \eta , m ^ { 2 } , z ) ,
\vec { F } _ { 2 1 } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \left\{ \vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } , t ) \times \left[ \frac { \hat { R } } { R ^ { 2 } } \times \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t ) \right] \right\} .
- \omega _ { i } ^ { I } = \alpha _ { i _ { 0 0 } } ( w _ { u } + w _ { d } ) \, , \quad \omega _ { d } ^ { I } = \alpha _ { f _ { 0 0 } } w _ { d } \, , \quad - \omega _ { f } ^ { I } = \alpha _ { f _ { 0 0 } } w _ { d } \, ,
P _ { k } = \pi \int W _ { k } ( \alpha ) W _ { \rho } ( \alpha ) d \alpha = \pi \mathcal { N } _ { \rho } \int \mathrm { s g n } ( W _ { \rho } ( \alpha ) ) W _ { k } ( \alpha ) \frac { | W _ { \rho } ( \alpha ) | } { \mathcal { N } _ { \rho } } d \alpha ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { W _ { 1 } } } & { { } = \sqrt { \operatorname { E } [ W _ { 1 } ^ { 2 } ] - ( \operatorname { E } [ W _ { 1 } ] ) ^ { 2 } } = \sigma ^ { 2 } ( 1 + 2 | s | ^ { 2 } ) , } \\ { \sigma _ { C _ { 2 } } } & { { } = \sqrt { \operatorname { E } [ C _ { 2 } ^ { 2 } ] - ( \operatorname { E } [ C _ { 2 } ] ) ^ { 2 } } = \sqrt { P ( 1 - P ) } , } \end{array}
\left[ \delta _ { i l } - \frac { 1 } { 2 } H _ { i J } ^ { ( 0 ) } \Delta c _ { J K } \nabla _ { K l } - \omega ^ { 2 } G _ { i j } ^ { ( 0 ) } \Delta \rho \delta _ { j l } \right] u _ { l } = u _ { i } ^ { ( 0 ) } .
p ^ { a } = \rho _ { 0 } \frac { \mathrm { D } \psi ^ { a } } { \mathrm { D } t } = \rho _ { 0 } \frac { \partial \psi ^ { a } } { \partial t } + \overbrace { \rho _ { 0 } \mathbf { u } _ { 0 } \cdot \nabla \psi ^ { a } } ^ { \approx 0 } ,
\begin{array} { r l } { L ( s , \ \chi _ { 0 } ) = } & { \prod _ { p } \left( 1 - \frac { \chi _ { 0 } ( p ) } { p ^ { s } } \right) ^ { - 1 } } \\ { = } & { \prod _ { p \nmid q } \left( 1 - \frac { 1 } { p ^ { s } } \right) ^ { - 1 } } \\ { = } & { \prod _ { p } \left( 1 - \frac { 1 } { p ^ { s } } \right) ^ { - 1 } \prod _ { p \mid q } \left( 1 - \frac { 1 } { p ^ { s } } \right) } \\ { = } & { \zeta ( s ) \prod _ { p \mid q } \left( 1 - \frac { 1 } { p ^ { s } } \right) . } \end{array}
\alpha = \{ 0 ^ { \circ } , 1 0 ^ { \circ } , 2 0 ^ { \circ } , 3 0 ^ { \circ } , 4 0 ^ { \circ } , 5 0 ^ { \circ } , 6 0 ^ { \circ } , 7 0 ^ { \circ } , 8 0 ^ { \circ } , 9 0 ^ { \circ } \}
\Gamma _ { S Q C D } = 4 \int _ { x _ { 5 } ^ { 2 } + x _ { 6 } ^ { 2 } \le 1 } d x _ { 5 } d x _ { 6 } ( 1 - x _ { 5 } ^ { 2 } - x _ { 6 } ^ { 2 } ) = 2 \pi
\begin{array} { r l } { p _ { W _ { 1 } C _ { 2 } } ( 0 , w , c ) } & { { } = \langle 0 | \delta \bigl ( \hat { W } _ { 1 } - w \bigr ) \delta \bigl ( \hat { C } _ { 2 } - c \bigr ) | | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \langle \Lambda \tilde { \varphi } _ { 0 } , \tilde { \varphi } _ { 0 } \rangle _ { _ K } } & { = } & { \langle ( \chi _ { _ \omega } ^ { n } ) ^ { * } \chi _ { _ \omega } ^ { n } \nabla \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { 1 - \alpha } \Theta ( 0 ) , \tilde { \varphi } _ { 0 } \rangle _ { _ K } } \\ & { = } & { \langle \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { 1 - \alpha } \Theta ( 0 ) , \nabla ^ { * } \tilde { \varphi } _ { 0 } \rangle _ { _ K } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 3 } \left( D g \right) _ { 1 1 } } & { = \varepsilon ^ { 2 0 } \hat { A } _ { 1 1 } , } & { \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 3 } \left( D g \right) _ { 1 2 } } & { = \varepsilon ^ { 1 6 } \mu ^ { 6 } \hat { A } _ { 1 2 } , } & { \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 3 } \left( D g \right) _ { 2 1 } } & { = \varepsilon ^ { 1 6 } \mu ^ { 6 } \hat { A } _ { 2 1 } , } \\ { \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 3 } \left( D g \right) _ { 2 2 } } & { = \varepsilon ^ { 1 6 } \mu ^ { 6 } \hat { A } _ { 2 2 } , } & { \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 3 } \left( D g \right) _ { 1 3 } } & { = \varepsilon ^ { 1 6 } \mu ^ { 3 } \hat { A } _ { 1 3 } , } & { \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 3 } \left( D g \right) _ { 2 3 } } & { = \varepsilon ^ { 1 6 } \mu ^ { 7 } \hat { A } _ { 2 3 } , } \\ { \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 3 } \left( D g \right) _ { 3 1 } } & { = \varepsilon ^ { 1 6 } \mu ^ { 3 } \hat { A } _ { 3 1 } , } & { \omega _ { 0 } ^ { 3 } \left( D g \right) _ { 3 2 } } & { = \varepsilon ^ { 1 6 } \mu ^ { 7 } \hat { A } _ { 3 2 } , } & { \omega _ { 0 } ^ { 3 } \left( D g \right) _ { 3 3 } } & { = \varepsilon ^ { 1 6 } \mu ^ { 4 } \hat { A } _ { 3 3 } } \end{array}
B R ( \mu \longrightarrow e \gamma ) = \frac { \alpha } { 7 6 8 \pi } \frac { \left| \tilde { \lambda } _ { e } \tilde { \lambda } _ { \mu } \right| ^ { 2 } } { G _ { F } ^ { 2 } ( \tilde { M } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } [ h ( m ^ { 2 } / \tilde { M } ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } ,
{ \frac { \Phi ( V _ { \mathrm { i } } ) } { | V _ { \mathrm { i } } | } } = { \frac { 1 } { | V _ { \mathrm { i } } | } } \iint _ { S ( V _ { \mathrm { i } } ) } \mathbf { F } \cdot \mathbf { \hat { n } } \; d S
\left| { \frac { \partial ^ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { n } } f ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } , \ldots , \zeta _ { n } ) } { { \partial z _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \cdots \partial { z _ { n } } ^ { k _ { n } } } } \right| \leq { \frac { M k _ { 1 } \cdots k _ { n } ! } { { r _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \cdots { r _ { n } } ^ { k _ { n } } } }
\begin{array} { r l r } { P [ k _ { i } ( t ) < k ] } & { = } & { P \left[ ( \frac { | \omega | } { r } ) ^ { \frac { 1 - | \omega | } { | \omega | } } ( \frac { 1 + | \omega | } { | \omega | } r - k ) ^ { \frac { 1 - | \omega | } { | \omega | } } t > t _ { i } \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { r + t } \left( \frac { | \omega | } { r } \right) ^ { \frac { 1 - | \omega | } { | \omega | } } \left( \frac { 1 + | \omega | } { | \omega | } r - k \right) ^ { \frac { 1 - | \omega | } { | \omega | } } t . } \end{array}
\left( r _ { c } ^ { 2 } - r ^ { 2 } \right) \partial _ { r } ^ { 2 } R ( r ) + \left( \frac { 2 } { r } - \frac { 4 r } { r _ { c } ^ { 2 } } \right) \partial _ { r } R ( r ) + \left( \frac { \omega ^ { 2 } r _ { c } ^ { 2 } } { ( r _ { c } ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) } - \frac { \nu ( \nu + 1 ) } { r ^ { 2 } } - m ^ { 2 } \right) R ( r ) = 0 ,
\begin{array} { r } { \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma = \frac { \chi } { 2 } \, \left( \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) ^ { 2 } \Big | _ { s = 0 } ^ { s = 1 } } \end{array}
\bigl | G \left( \omega \right) \bigr | ^ { 2 } = \frac { 1 } { \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { 1 } { \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { S N R } \left( \omega \right) } \right) ^ { - m } = \left\{ \begin{array} { l l } { \bigl | G _ { \mathrm { i n v } } \left( \omega \right) \bigr | ^ { 2 } } & { \mathrm { f o r ~ } m = 0 , } \\ { \bigl | G _ { \mathrm { W i e n e r } } \left( \omega \right) \bigr | ^ { 2 } } & { \mathrm { f o r ~ } m = 1 , } \\ { \bigl | G _ { \mathrm { P S E } } \left( \omega \right) \bigr | ^ { 2 } } & { \mathrm { f o r ~ } m = 2 . } \end{array} \right.
\mathbb { P } \left( \sigma _ { \lambda } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) = \frac { 2 p ( 1 - p ) ( 1 - { s ( 2 \lambda ) } ) } { 1 - 2 p ( 1 - p ) ( 1 - { s ( 2 \lambda ) } ) } \cdot ( 1 \pm \gamma ) \right) = 1 - n ^ { - \omega ( 1 ) } ,
p _ { i } ( { \boldsymbol x } ) = \frac { \lambda _ { i } } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } + \frac { 1 - \lambda _ { i } } { 2 } ( x _ { i } - u _ { i } ) ^ { 2 } .
\rho _ { S } ( l ) \sim \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 \Sigma _ { S } ^ { 2 } } \left( l - \frac { \sigma ^ { 2 } l _ { s } + \sigma _ { s } ^ { 2 } a } { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { s } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { H ( a , b , c , d ) } & { = \frac { \Gamma ( 1 + a ) \Gamma ( 1 + b ) \Gamma ( 1 + c ) \Gamma ( 1 + d ) \Gamma ( 1 + a + b + c + d ) } { \mathrm { d } \Gamma ( 1 + a + c ) \Gamma ( 1 + a + d ) \Gamma ( 1 + b + c ) \Gamma ( 1 + b + d ) } , } \\ { F ( a , b , c , d ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - a ) _ { n } ( - b ) _ { n } } { ( 1 + c ) _ { n } ( 1 + d ) _ { n } } = _ { 3 } F _ { 2 } ( - a , - b , 1 ; 1 + c , 1 + d ; 1 ) - 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { T C } } } & { = } & { \hat { H } - \sum _ { i } \left( \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } ^ { 2 } J + ( \nabla _ { i } J ) \cdot \nabla _ { i } + \frac { 1 } { 2 } ( \nabla _ { i } J ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \hat { H } - \sum _ { i < j } \hat { K } ( { \bf r } _ { i } , { \bf r } _ { j } ) - \sum _ { i < j < k } \hat { L } ( { \bf r } _ { i } , { \bf r } _ { j } , { \bf r } _ { k } ) \; , } \end{array}
\, \mathrm { d } \rho _ { t } = \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \Big ( \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { 2 } \rho _ { t } \Big ) \, \mathrm { d } t + \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k * \rho _ { t } ) \rho _ { t } ) \, \mathrm { d } t - \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad t \in [ 0 , T ] ,
h _ { l } ^ { \prime } = h _ { i } \, , \qquad e _ { \pm 1 } ^ { \prime } = e _ { \pm 1 } \, , \qquad e _ { \pm l } ^ { \prime } = \lambda ^ { \pm 1 } e _ { \pm l } \, , \qquad l = 2 , 3 , 4 \, ,
T _ { s i n } ( t ) \equiv f ( t ) \sin { \bigg ( \frac { 2 \pi n t } { T } \bigg ) } = \bigg [ \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { f ^ { ( j ) } ( 0 ) } { j ! } t ^ { j } \bigg ] \bigg [ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( 2 k + 1 ) ! } \bigg ( \frac { 2 \pi n t } { T } \bigg ) ^ { 2 k + 1 } \bigg ] ,
\begin{array} { r l r } { \delta U _ { \pm } } & { = } & { - \frac { m ( 1 - \omega _ { g } ^ { 2 } / \omega _ { e } ^ { 2 } ) } { 4 ( 1 + ( \gamma / ( 2 \omega _ { e } ) ) ^ { 2 } ) } [ \omega _ { e } ^ { 2 } ( x _ { m } ^ { 2 } - 2 x _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ & { \pm } & { 2 x _ { 0 } \sqrt { x _ { m } ^ { 2 } - x _ { 0 } ^ { 2 } } \gamma \omega _ { e } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } _ { \mathrm { ~ a ~ n ~ a ~ } } } & { { } ( \theta , 0 , T ) = \frac { 1 } { N _ { T } } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { T } - 1 } \left( 1 - \Biggl . \right. } \\ { \mathcal { Y } _ { \mathrm { ~ a ~ n ~ a ~ } } } & { { } ( \theta , a _ { s } , T ) = \frac { 1 } { N _ { T } } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { T } - 1 } \left( 1 - \Biggr . \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { a } ^ { \sigma } \left( \mathbf { r } \right) } & { { } = \sum _ { \mu } \, C _ { \mu a } ^ { L , \sigma } \, \zeta \left( \mathbf { r } \right) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \phi _ { a } ^ { \sigma } \left( \mathbf { r } \right) } & { { } = \sum _ { \mu } \, C _ { \mu a } ^ { R , \sigma } \, \zeta \left( \mathbf { r } \right) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { I _ { i } } = C _ { \phi _ { i } , \mathbf { x _ { 0 } } , \mathbf { y _ { 0 } } } \{ \mathbf { I _ { i , 0 } } \} = ( } & { { } a _ { i , 0 } + a _ { i , 1 } \mathbf { x _ { 0 } } + a _ { i , 2 } \mathbf { y _ { 0 } } + a _ { i , 3 } \mathbf { x _ { 0 } \odot x _ { 0 } } + } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ } } ( F , G , \pi ) = \left( \sqrt { 1 - \rho _ { \pi } ( F , G ) ^ { 2 } } + \sqrt { \frac { \rho _ { \pi } ( F , G ) ^ { 2 } } { w ( F , G ) } } \right) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \rho m _ { 1 } \dot { q } _ { i } + \frac { 1 } { 3 } \partial _ { i } b _ { k k } + \partial _ { j } b _ { \langle j i \rangle } } & { = } & { n q _ { i } , } \\ { - \frac { 1 } { T } \partial _ { \langle i } v _ { j \rangle } - \rho m _ { 2 } \dot { \Pi } _ { \langle i j \rangle } } & { = } & { l _ { 1 1 } \Pi _ { \langle i j \rangle } + l _ { 1 2 } \partial _ { \langle i } q _ { j \rangle } , } \\ { b _ { \langle i j \rangle } } & { = } & { l _ { 2 1 } \Pi _ { \langle i j \rangle } + l _ { 2 2 } \partial _ { \langle i } q _ { j \rangle } , } \\ { - \frac { 1 } { T } \partial _ { j } v _ { j } - \rho m _ { 3 } \dot { \Pi } _ { i i } } & { = } & { k _ { 1 1 } \frac { \Pi _ { i i } } { 3 } + k _ { 1 2 } \partial _ { i } q _ { i } , } \\ { b _ { k k } - \frac { 1 } { T } } & { = } & { k _ { 2 1 } \frac { \Pi _ { i i } } { 3 } + k _ { 2 2 } \partial _ { i } q _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S \left( x \right) } & { { } \sim } & { \overline { { \alpha } } ^ { x } \varepsilon _ { x } + \sum _ { y = 0 } ^ { x - 1 } \alpha \overline { { \alpha } } ^ { y } \varepsilon _ { y } } \\ { { \bf E } \left( z ^ { S \left( x \right) } \right) } & { { } = } & { \overline { { \alpha } } ^ { x } z ^ { x } + \alpha \sum _ { y = 0 } ^ { x - 1 } \overline { { \alpha } } ^ { y } z ^ { y } = \overline { { \alpha } } ^ { x } z ^ { x } + \alpha \frac { 1 - \left( \overline { { \alpha } } z \right) ^ { x } } { 1 - \overline { { \alpha } } z } } \end{array}
r _ { \mathrm { 2 b } } = \frac { s _ { 1 2 } + s _ { 1 3 } } { s _ { 1 2 } } = \frac { x + y } { x } , \qquad s _ { \mathrm { 2 b } } = \frac { s _ { 2 3 } } { s _ { 1 2 } } = \frac { 1 - x - y } { x } \; ,
\chi ( L _ { i , 1 } ^ { - , q } ) = \chi _ { i } ^ { ( q ) } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \chi ( \mathcal { X } _ { i , a } ^ { ( q ) } ) \left( { \textstyle \left[ \overline { { \overline { { \frac { \alpha _ { i } } { 2 } } } } } \right] ^ { - 1 } - \left[ \overline { { \overline { { \frac { \alpha _ { i } } { 2 } } } } } \right] } \right) = \widetilde { \chi } _ { i , a } ^ { ( q ) } .
I _ { \beta } ( D , s , m ) = \frac { m ^ { D - 2 s } } { ( 2 \pi ^ { 1 / 2 } ) ^ { D } \Gamma ( s ) } \left[ \Gamma ( s - \frac { D } { 2 } ) + 4 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 2 } { m n \beta } \right) ^ { D / 2 - s } K _ { D / 2 - s } ( m n \beta ) \right]
\begin{array} { r } { M _ { 1 } = M _ { 0 } - \delta { \varDelta } t , \quad M _ { n + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { M _ { n } - \delta { \varDelta } t , } & { \mathrm { w h e n ~ } M _ { n } + L _ { n } \geq \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } + \varepsilon , } \\ { M _ { n } , } & { \mathrm { w h e n ~ } M _ { n } + L _ { n } < \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } } { \theta } + \varepsilon , } \end{array} \right. } \end{array}
\nu _ { W L } = \frac { \sin ^ { 2 } ( \psi / 2 ) } { \sin ^ { 2 } ( \phi / 2 ) } \bigg [ \frac { \xi _ { 2 } \cos \phi - 2 \xi _ { 1 } + \sin ^ { 2 } \phi \cos \psi } { \xi _ { 2 } \cos \psi - 2 \xi _ { 1 } + \sin ^ { 2 } \psi \cos \phi } \bigg ] \, .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - i \omega _ { 1 } - \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } } & { - \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } e ^ { i \theta } } \\ { - \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } e ^ { i \theta } } & { - i \omega _ { 2 } - \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right] } \\ & { - \left[ \begin{array} { l } { \sqrt { \kappa _ { 1 , e } } a _ { i n , 1 } } \\ { \sqrt { \kappa _ { e , 2 } } a _ { i n , 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}