harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { D _ { I } ^ { 0 } \frac { \lambda } { 8 ( x ( z ) - x ( 0 ) ) ^ { 2 } } } & { = - \frac { \lambda } { 8 } \frac { \partial ^ { 2 } ( D _ { I } ^ { 0 } \log ( x ( z ) - x ( 0 ) ) ) } { \partial ( x ( z ) ) ^ { 2 } } } \\ & { = - \frac { \lambda } { 8 } \frac { \partial ^ { 2 } ( D _ { I } \log P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( z ) , x ( z ) ) ) } { \partial ( x ( z ) ) ^ { 2 } } + \mathcal { O } ( z ^ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \widehat { \Gamma } _ { r } ^ { r + b } ( \omega ) - \widehat { \Gamma } _ { r } ^ { r + b } ( \omega ^ { \prime } ) \right| } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \tilde { \omega } } \widehat { \Gamma } _ { r } ^ { r + b } ( \tilde { \omega } ) - \operatorname* { m i n } _ { \tilde { \omega } } \widehat { \Gamma } _ { r } ^ { r + b } ( \tilde { \omega } ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \tilde { \omega } \in \tilde { \mathcal { G } } _ { r } ^ { r + b } } \Gamma _ { 2 } ^ { r + b } ( \tilde { \omega } ) - 0 } \\ & { \leq n ^ { 5 / 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \rightarrow \infty } P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \left( U _ { \eta } = r _ { 2 } \right) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \rightarrow \infty } \frac { \exp \left( - \beta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } r _ { 2 } \right) } { Z _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } - \right. } & { \left. \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - z ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right| } \\ & { \lesssim \frac { | w - y | ^ { \zeta } } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \left[ \frac { | \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - z ) | } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } + \frac { | \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - z ) | } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \check { A } _ { i j } : = A _ { i j } { \mathbb { I } \left\{ { j \neq i \mathrm { ~ a n d ~ } j \in S _ { i } ^ { \complement } } \right\} } \mathrm { ~ a n d ~ } \check { P } _ { i j } : = P _ { i j } { \mathbb { I } \left\{ { j \neq i \mathrm { ~ a n d ~ } j \in S _ { i } ^ { \complement } } \right\} } , \forall j \in [ n ] . } \end{array}
f ( a , b ) = 1 + \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 a e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { 1 - a { \sqrt { a b } } \cosh \left( { \sqrt { \log a b } } \, t \right) } { a ^ { 3 } b - 2 a { \sqrt { a b } } \cosh \left( { \sqrt { \log a b } } \, t \right) + 1 } } \right] d t + \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 b e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { 1 - b { \sqrt { a b } } \cosh \left( { \sqrt { \log a b } } \, t \right) } { a b ^ { 3 } - 2 b { \sqrt { a b } } \cosh \left( { \sqrt { \log a b } } \, t \right) + 1 } } \right] d t
U _ { e , - 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { E _ { e } + m _ { e } } } \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { E _ { e } + m _ { e } } } \\ { { 0 } } \\ { { - p _ { e z } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { { { \bf D } } ^ { 2 } = \mathcal { L } = \left( \begin{array} { c c c } { { \bf L } _ { [ 0 ] } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \bf L } _ { [ 1 ] } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \bf L } _ { [ 2 ] } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle g ^ { j } \rangle _ { E } = g ^ { j } ( \pmb { \sigma } ^ { 1 } ) \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { 1 } ) + g ^ { j } ( \pmb { \sigma } ^ { 2 } ) \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { 2 } ) + g ^ { j } ( \pmb { \sigma } ^ { 3 } ) \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { 3 } ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ a ~ c ~ h ~ } j } \end{array}
\mathcal { D } _ { + } ( S ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \oint _ { S } d \mathbf { g } \cdot \nabla _ { \mathbf { g } } \arg \Delta _ { + } ( \mathbf { g } ) = 2 \sum _ { 0 < m < n } \nu _ { m n } ( S ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad } & { { } \xi _ { h + \zeta } = \sqrt { 1 + ( \partial _ { x } h + \partial _ { x } \zeta ) ^ { 2 } } \approx 1 + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } [ \partial _ { \tilde { x } } ( \tilde { h } + \tilde { \zeta } ) ] ^ { 2 } . } \end{array}
\delta \phi _ { \mathrm { ~ d ~ f ~ } } = \sqrt { \frac { 1 - l _ { a } + R _ { 1 } ( l _ { a } - l _ { b } ) } { 4 ( 1 - R _ { 1 } ) R _ { 1 } ( 1 - l _ { a } ) ( 1 - l _ { b } ) } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { N } } .
J ^ { i } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \in \mathsf { K } _ { l } } \big ( q _ { k } ^ { i } \mathbb { E } [ ( x _ { k } - \mathbb { E } [ x _ { k } ] ) ^ { 2 } ] + ( q _ { k } ^ { i } + \bar { q } _ { k } ^ { i } ) \mathbb { E } [ x _ { k } ] ^ { 2 } \big ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \in \mathsf { K } _ { l } } \big ( r _ { k } ^ { i i } \mathbb { E } [ ( u _ { k } ^ { i } - \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] ) ^ { 2 } ] + ( r _ { k } ^ { i i } + \bar { r } _ { k } ^ { i i } ) \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] ^ { 2 } \big )
K _ { n } ( \eta ) = \Theta ( | \eta | - 1 ) \frac { \cos ( n \operatorname { a r c c o s } ( \eta ) ) } { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } = \Theta ( | \eta | - 1 ) \frac { T _ { n } ( \eta ) } { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } }
\frac { 1 } { K } \sum _ { i = 1 } ^ { K } \frac { \big | B _ { \mathrm { e q } } ( \rho _ { i } , \eta _ { i } , \alpha _ { i } ) - B ( \rho _ { i } , \eta _ { i } ) \big | } { B ( \rho _ { i } , \eta _ { i } ) }
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { G _ { 1 0 e } ^ { 2 } - 1 } { \rho _ { s } ^ { 2 } } + \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \right) \phi - \left( G _ { 1 0 e } 2 G _ { 2 0 e } - 1 \right) B _ { \parallel } = G _ { 1 0 e } N _ { e } , } \\ & { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } A _ { \parallel } = G _ { 1 0 e } U _ { e } , } \\ & { \left( G _ { 1 0 e } 2 G _ { 2 0 e } - 1 \right) \frac { \phi } { \rho _ { s } ^ { 2 } } - \left( \frac { 2 } { \beta _ { e } } + 4 G _ { 2 0 e } ^ { 2 } \right) B _ { \parallel } = 2 G _ { 2 0 e } N _ { e } . } \end{array}
\begin{array} { l r c l } { { \mathrm { ~ { \cal ~ O } ( \ l a m b d a ^ { 0 } ) ~ \, : } } } & { { ( \Lambda + \varphi ^ { 2 } ) } } & { { = } } & { { S _ { 0 } ^ { 2 } ( \Omega + S _ { 0 } ^ { 2 } ) } } \\ { { \mathrm { ~ { \cal ~ O } ( \ l a m b d a ^ { 1 } ) ~ \, : } } } & { { i \eta \varphi ^ { \prime } } } & { { = } } & { { 2 ( \Omega + S _ { 0 } ^ { 2 } ) S _ { 0 } ^ { \prime } S _ { 1 } ^ { \prime } + S _ { 0 } ^ { 2 } ( i \eta + 2 S _ { 0 } S _ { 1 } ) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { m } ^ { \omega } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) \index { A @ \mathcal { A } } } & { = \{ \omega \} \times ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) \times [ 0 , \pi ] \times \{ m \} \subset \mathbb { R } \times ( r _ { + } , \infty ) \times [ 0 , \pi ] \times \mathbb { Z } , } \\ { ( \mathcal { A } ^ { \star } ) _ { m } ^ { \omega } ( r _ { 1 } ^ { \star } , r _ { 2 } ^ { \star } ) \index { A s t a r @ \mathcal { A } ^ { \star } } } & { = \{ \omega \} \times ( r _ { 1 } ^ { \star } , r _ { 2 } ^ { \star } ) \times [ 0 , \pi ] \times \{ m \} \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \times [ 0 , \pi ] \times \mathbb { Z } . } \end{array}
\gamma _ { e } ^ { m } \simeq \left( 8 \pi m _ { e } c ^ { 4 } / ( \gamma _ { 0 } \sigma _ { T } L \Omega ) \right) ^ { 2 } \simeq 2 . 4 \times 1 0 ^ { 4 } \times L _ { 4 2 } ^ { - 2 }
\Delta \eta = \sqrt { \left( \frac { \Delta n _ { \mathrm { Q D } } } { \eta _ { \mathrm { S e t u p } } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { n _ { \mathrm { Q D } } \Delta \eta _ { \mathrm { S e t u p } } } { \eta _ { \mathrm { S e t u p } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\{ n _ { t } \log \left( \frac { \beta _ { x } ( t ) } { 2 \alpha _ { x } ( t ) \Gamma \left( \frac { 1 } { \beta _ { x } ( t ) } \right) } \right) - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { t } } \left( \frac { | e _ { i , x } ( t ) | } { \alpha _ { x } ( t ) } \right) ^ { \beta _ { x } ( t ) } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { \partial H } { \partial \kappa } = - e ^ { - t / { \tau _ { e c o n } } } \left[ 2 \beta \psi _ { s } ( \kappa - \kappa ^ { * } ) \right] - ( v _ { s } - v _ { i } ) i \psi _ { s } } \end{array}
h _ { 3 } ^ { ( G S ) } = \frac { \sqrt { 2 } \kappa } { i } \cdot \frac { 1 } { 8 } \left( \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ( \alpha _ { 1 } p _ { 2 } - \alpha _ { 2 } p _ { 1 } ) ^ { 2 } ~
\frac { 1 } { K ( p , p , p ) } = - { \frac { M \Lambda _ { 0 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \widehat C _ { 2 n - 1 } \left( { \frac { p } { \Lambda _ { 0 } } } \right) ^ { 2 n } + \cdots .
\mathrm { J S D } ( P _ { 1 } | | P _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \int d x \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } P _ { i } ( x ) \log _ { 2 } \left[ \frac { P _ { i } ( x ) } { P _ { \mathrm { ~ M ~ } } ( x ) } \right] ~ ,
( h u ) = 0 , ( h v ) = 0 , h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - h _ { 0 } \left( \left( \frac { 2 x - L + 1 } { 2 a } \right) ^ { 2 } - 1 \right) } & { \frac { 1 - 2 a + L } { 2 } < x < \frac { 1 + 2 a + L } { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l r } { H _ { 0 } } & { = } & { - 0 . 8 1 2 * \bar { I } \bar { I } I I } \\ & { } & { - 0 . 2 2 3 * \bar { Z } \bar { I } I I } \\ & { } & { - 0 . 2 2 3 * \bar { I } \bar { I } Z I } \\ & { } & { + 0 . 1 7 4 * \bar { Z } \bar { I } Z I } \\ & { } & { + 0 . 1 7 1 * \bar { I } \bar { Z } I I } \\ & { } & { + 0 . 1 7 1 * \bar { I } \bar { I } I Z } \\ & { } & { + 0 . 1 6 9 * \bar { I } \bar { Z } I Z } \\ & { } & { + 0 . 1 6 6 * \bar { Z } \bar { I } I Z } \\ & { } & { + 0 . 1 6 6 * \bar { I } \bar { Z } Z I } \\ & { } & { + 0 . 1 2 1 * \bar { I } \bar { I } Z Z } \\ & { } & { + 0 . 1 2 1 * \bar { Z } \bar { Z } I I } \\ & { } & { + 0 . 0 4 5 * \bar { X } \bar { X } X X } \\ & { } & { + 0 . 0 4 5 * \bar { Y } \bar { Y } Y Y } \\ & { } & { + 0 . 0 4 5 * \bar { X } \bar { X } Y Y } \\ & { } & { + 0 . 0 4 5 * \bar { Y } \bar { Y } X X . } \end{array}
\mathcal { H } ^ { \boldsymbol { u } ( \textbf { r } ) } : \mathbb { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 3 } \times [ 0 , T ] ) \rightarrow \mathbb { H } ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { 3 } \times [ 0 , T ] )
\begin{array} { r l r l } { \dot { \Sigma } _ { i j } } & { { } = a ( t ) ( \bar { X } _ { j } + \bar { X } _ { i } ) - 2 ( 1 + \gamma ) \Sigma _ { i j } + \frac { \gamma } { d } \sum _ { l = 1 } ^ { d } ( \Sigma _ { l j } + \Sigma _ { l i } ) + 2 \nu \delta _ { i j } , } & { \quad } & { { } i , j \in \{ 1 , 2 , . . . , d \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { O _ { m l k } = } & { \pi _ { 1 2 } \langle \vec { \nabla } ( \vec { f } _ { l } ^ { ( 1 ) } \cdot \vec { f } _ { m } ^ { ( 2 ) ^ { * } } ) \cdot \vec { u } _ { k } ^ { \: m l * } \rangle + } \\ & { 2 \pi _ { 4 4 } \langle \vec { \nabla } \cdot ( \vec { f } _ { l } ^ { ( 1 ) } \otimes \vec { f } _ { m } ^ { ( 2 ) ^ { * } } ) \cdot \vec { u } _ { k } ^ { \: m l * } \rangle . } \end{array}
w [ n ] = { \frac { 1 } { N + 1 } } \left[ C _ { N } ^ { \mu } ( x _ { 0 } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { \frac { N } { 2 } } C _ { N } ^ { \mu } \left( x _ { 0 } \cos { \frac { k \pi } { N + 1 } } \right) \cos { \frac { 2 n \pi k } { N + 1 } } \right]
I _ { n } ^ { [ \ell ] } ( y _ { \mathrm { m i n } } , y _ { \mathrm { m a x } } ) \left. = { \frac { ( - 1 ) ^ { n + \ell } } { n ! \ell ! } } \left( \frac { \partial } { \partial \alpha } \right) ^ { n } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { a } } \right) ^ { \ell } \tilde { I } ( y _ { \mathrm { m i n } } , y _ { \mathrm { m a x } } ) \right| _ { \tilde { a } = a } \; ,
\begin{array} { r l } { Z _ { \alpha \gamma ^ { * } } ( \omega ) } & { = \frac { ( \alpha ( \omega ) - \gamma ^ { * } ( \omega ) ) - \mu _ { \alpha \gamma ^ { * } } } { \sigma _ { \alpha \gamma ^ { * } } } } \\ { Z _ { \beta \delta ^ { * } } ( \omega ) } & { = \frac { ( \beta ( \omega ) - \delta ^ { * } ( \omega ) ) - \mu _ { \beta \delta ^ { * } } } { \sigma _ { \beta \delta ^ { * } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \mathbb { E } \{ \| X ( t ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { \le ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| ^ { 2 } + ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } + ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } } \\ & { ~ \| X ^ { \Gamma } ( 0 ) \| ^ { 2 } + ( 1 \wedge \lambda _ { 1 } t ) C _ { 1 1 } c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n + \Big ( \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 3 } } \wedge \lambda _ { 2 } t \Big ) [ ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } } \\ & { ~ \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } + c _ { x } ^ { 2 } ] + ( 1 \wedge \lambda _ { 2 } t ) c _ { x } ^ { 2 } , } \\ & { ~ \mathbb { E } \{ \| X ( t ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { \le ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| ^ { 2 } + ( 1 - \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \| X ^ { \bot } ( 0 ) \| ^ { 2 } } \\ & { + ( 1 \wedge \lambda _ { 1 } t ) C _ { 2 1 } c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n + \Big ( \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } } \wedge \lambda _ { 1 } t \Big ) C _ { 2 2 } c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n , } \end{array}
| ( \frac { \lambda } { \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) } ) \phi ^ { \prime } ( s ) \phi ( s ) | \le \frac { 1 } { 2 \eta } | ( \frac { \lambda } { \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) } ) | ^ { 2 } \phi ( s ) ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \phi ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } .
\operatorname { \mathbb { E } } [ \, \left( X - \mu _ { X } \right) \left( Y - \mu _ { Y } \right) \, ] = \operatorname { \mathbb { E } } [ \, \left( X - \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X \, ] \right) \left( Y - \operatorname { \mathbb { E } } [ \, Y \, ] \right) \, ] = \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X \, Y \, ] - \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X \, ] \operatorname { \mathbb { E } } [ \, Y \, ] \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { q } } & { { } = - { \frac { \partial G _ { 4 } } { \partial \mathbf { p } } } } \\ { \mathbf { Q } } & { { } = { \frac { \partial G _ { 4 } } { \partial \mathbf { P } } } } \\ { K } & { { } = H + { \frac { \partial G _ { 4 } } { \partial t } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { i j } ^ { \mathrm { a n i } } = - \tau _ { \ell \ell } ^ { \mathrm { s g s } } \frac { \overline { { s } } _ { i m } \overline { { w } } _ { m j } + \overline { { s } } _ { j m } \overline { { w } } _ { m i } } { \overline { { s } } ^ { 2 } } , \ \ \overline { { w } } _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } = \epsilon ^ { - 1 } \mathfrak { v } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { L } \mathrm { d } r \big ( \vert { \varphi _ { A } } ^ { * } \vert ^ { 2 } + \vert { \varphi _ { B } } ^ { * } \vert ^ { 2 } \big ) + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 0 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { M _ { h _ { t } } ^ { 0 } [ l , k ] } & { = ( \varphi _ { k } ^ { 0 } , \varphi _ { l } ^ { 0 } ) _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } , } & & { l , k = 1 , \dots , N ^ { t } , } \\ { M _ { h _ { x } } ^ { 0 } [ \ell , \kappa ] } & { = ( \vec { \psi } _ { \kappa } ^ { 0 } , \vec { \psi } _ { \ell } ^ { 0 } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , } & & { \ell , \kappa = 1 , \dots , N _ { x } ^ { 0 } , } \\ { \vec { j } ^ { k } [ \kappa ] } & { = j _ { \kappa } ^ { k } , } & & { k = 1 , \dots , N ^ { t } , \; \kappa = 1 , \dots , N _ { x } ^ { 0 } , } \\ { \hat { \vec { j } } ^ { k } [ \kappa ] } & { = ( \vec { j } , \varphi _ { k } ^ { 0 } \vec { \psi } _ { \kappa } ^ { 0 } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } , } & & { k = 1 , \dots , N ^ { t } , \; \kappa = 1 , \dots , N _ { x } ^ { 0 } , } \end{array}
| \Phi ( \mathbf { u } ; T ) | ^ { 2 } = \prod _ { \mathbf { q } , \nu } ( 2 \pi \sigma _ { \mathbf { q } \nu } ^ { 2 } ( T ) ) ^ { - 1 / 2 } \exp { \left( - \frac { u _ { \mathbf { q } \nu } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathbf { q } \nu } ^ { 2 } ( T ) } \right) } ,
| V _ { p , 2 } ( z _ { 0 } ) | - | V _ { p , 1 } ( z _ { 0 } ) | = \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { 4 } { 5 } \right) ^ { 5 / 2 } \frac { k N _ { c } \pi R ^ { 2 } } { R _ { c } } \sqrt { \frac { g } { 2 } } \, \, \frac { 1 } { \sqrt { z _ { 0 } } } \, \, .
\! ( \mathbf { A } \cdot ( \mathbf { B } \times \mathbf { C } ) ) \, \mathbf { D } = | \mathbf { A } \, \mathbf { B } \, \mathbf { C } | \, \mathbf { D } \ = ( \mathbf { A } \cdot \mathbf { D } ) \left( \mathbf { B } \times \mathbf { C } \right) + \left( \mathbf { B } \cdot \mathbf { D } \right) \left( \mathbf { C } \times \mathbf { A } \right) + \left( \mathbf { C } \cdot \mathbf { D } \right) \left( \mathbf { A } \times \mathbf { B } \right)
\mathbf { U } _ { N I F } ^ { \prime } = - U _ { s h } ^ { \prime } \ensuremath { \hat { \mathbf { e } } } _ { n } - \ensuremath { \hat { \mathbf { e } } } _ { n } \times ( \mathbf { U } _ { u } ^ { \prime } \times \ensuremath { \hat { \mathbf { e } } } _ { n } )
\begin{array} { r l } { { \hat { f } } _ { 1 } ( \xi ) \ } & { { } { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \cdot e ^ { - 2 \pi i x \cdot \xi } \, d x = { \sqrt { 2 \pi } } \cdot { \hat { f } } _ { 2 } ( 2 \pi \xi ) = { \hat { f } } _ { 3 } ( 2 \pi \xi ) } \\ { f ( x ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \hat { f } } _ { 1 } ( \xi ) \cdot e ^ { 2 \pi i x \cdot \xi } \, d \xi } \end{array}
\alpha _ { 1 Y } ^ { - 1 } ( M _ { R } ) = { \frac { 3 } { 5 } } \left( \alpha _ { 2 R } ^ { - 1 } ( M _ { R } ) - { \frac { C _ { 2 } } { 1 2 \pi } } \right) + { \frac { 2 } { 5 } } \alpha _ { 1 B - L } ^ { - 1 } ( M _ { R } ) \, .
\begin{array} { r l } { \left[ \mathcal { L } _ { 1 } + \mathcal { L } _ { 2 } \right] \left\langle \psi _ { 1 } ^ { \prime } \psi _ { 2 } ^ { \prime } \right\rangle } & { { } = 2 \epsilon \Phi _ { 1 2 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { A } D _ { t } ^ { A } e _ { A } + ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) \Pi _ { A } = { \mathrm { d i v } } q _ { A } + e _ { D _ { A } } \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { A , T } , } \\ { \rho _ { B } D _ { t } ^ { B } e _ { B } + ( \mathrm { { d i v } } v _ { B } ) \Pi _ { B } = { \mathrm { d i v } } q _ { B } + e _ { D _ { B } } \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { B , T } , } \\ { \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } e _ { S } + ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) \Pi _ { S } = { \mathrm { d i v } } _ { \Gamma } q _ { S } + e _ { D _ { S } } + q _ { B } \cdot n _ { \Gamma } - q _ { A } \cdot n _ { \Gamma } \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { T } , } \end{array} \right.
C = \left( \begin{array} { l l } { \nu ^ { 3 } \langle \rho _ { \mathsf { p } } \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \rangle } & { - \nu ^ { 2 } \big \langle \rho _ { \mathsf { p } } \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \big | F } \\ { - \nu ^ { 2 } F ^ { * } \big | \rho _ { \mathsf { p } } \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \big \rangle } & { \nu F ^ { * } \rho _ { \mathsf { p } } F } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + u + \sin ( u ) = f ( x , t ) , } \\ & { u ( { 0 } , t ) = \phi _ { 1 } ( t ) , \qquad u ( { 1 } , t ) = \phi _ { 2 } ( t ) , } \\ & { u ( { x } , 0 ) = \psi _ { 1 } ( { x } ) , \qquad \frac { \partial u } { \partial t } ( { x } , 0 ) = \psi _ { 2 } ( { x } ) . } \end{array}
{ \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } = { \frac { c ^ { 2 } p ^ { 2 } } { E ^ { 2 } } } \quad \Longrightarrow \quad E ^ { 2 } = { \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { 1 - c ^ { 2 } p ^ { 2 } / E ^ { 2 } } } \quad \Longrightarrow \quad m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 4 } = E ^ { 2 } - c ^ { 2 } p ^ { 2 } .
\gamma = \frac { \pi } { 4 } \frac { \Delta m ^ { 2 } } { E _ { \nu } } \frac { \sin ^ { 2 } 2 \theta } { \cos 2 \theta } \frac { 1 } { | \frac { d \; \ln n _ { e } } { d r } | _ { r e s } } .
\begin{array} { r l } { p ( \mu \mid \sigma ^ { 2 } ; \mu _ { 0 } , n _ { 0 } ) } & { { } \sim { \mathcal { N } } ( \mu _ { 0 } , \sigma ^ { 2 } / n _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi { \frac { \sigma ^ { 2 } } { n _ { 0 } } } } } } \exp \left( - { \frac { n _ { 0 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) } \\ { p ( \sigma ^ { 2 } ; \nu _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) } & { { } \sim I \chi ^ { 2 } ( \nu _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) = I G ( \nu _ { 0 } / 2 , \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } / 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \alpha _ { 2 i + 1 2 j + 1 , } } } _ { p } } & { = \sum _ { k < l } \alpha _ { k l , p } ( J _ { \overline { { 2 i + 1 } } } ^ { k } J _ { \overline { { 2 j + 1 } } } ^ { l } - J _ { \overline { { 2 j + 1 } } } ^ { k } J _ { \overline { { 2 i + 1 } } } ^ { l } ) } \\ & { = \alpha _ { 2 i 2 j , p } J _ { \overline { { 2 i + 1 } } } ^ { 2 i } J _ { \overline { { 2 j + 1 } } } ^ { 2 j } = \alpha _ { 2 i 2 j , p } \, . } \end{array}
H = \exp \left\{ \frac { i } { \hbar } Y \right\} \int d h _ { i a } ^ { * } \exp \left\{ \frac { i } { 2 \alpha \hbar } \int d ^ { 4 } x \; h _ { i a } ^ { * } { \cal M } ^ { a b } h _ { b } ^ { * i } \right\} ,
\mathrm { ~ M ~ A ~ R ~ E ~ } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } | \frac { J _ { i } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ A ~ } } - J _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } } { J _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } } | .
\begin{array} { r c l } { { \frac { \partial ^ { n } } { \partial \lambda ^ { n } } \psi } } & { { = } } & { { ( - 1 ) ^ { n } \, n ! \, L ( \lambda ) ^ { - n } \, \psi \, , } } \\ { { \frac { \partial ^ { n } } { \partial \lambda ^ { n } } \bar { \psi } } } & { { = } } & { { ( - 1 ) ^ { n } \, n ! \, L ( \lambda ) ^ { - n } \, \bar { \psi } \, , \quad n \geq 1 \, , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { D } _ { 2 } ( \mathrm { d } ^ { \ast } , \Lambda ^ { k } ) = \{ \, u \in \mathrm { D } _ { 2 } ( { \delta } , \Lambda ^ { k } ) \, \, | \, \nu \lrcorner u _ { | _ { \partial \Omega } } = 0 \, \} \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \mathrm { D } _ { 2 } ( { \delta } ^ { \ast } , \Lambda ^ { k } ) = \{ \, u \in \mathrm { D } _ { 2 } ( \mathrm { d } , \Lambda ^ { k } ) \, \, | \, \nu \wedge u _ { | _ { \partial \Omega } } = 0 \, \} \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | x _ { i } ( t ) | } & { = \Big | e ^ { - t } x _ { i } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { s - t } [ a x _ { i - 1 } ( s ) + b x _ { i + 1 } ( s ) + u ( s ) ] d s \Big | } \\ & { \leq e ^ { - t } | x _ { i } ( 0 ) | + a \| x _ { i - 1 } \| _ { \infty } + b \| x _ { i + 1 } \| _ { \infty } + \| u \| _ { \infty } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \dot { \theta } } \\ { \dot { \phi } } \end{array} \right) = V _ { u } ^ { \eta } ( \theta , \phi ) \doteq u \left( \begin{array} { c } { \cot \phi \cos \theta } \\ { \sin \theta } \end{array} \right) - \eta \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { c i r } ^ { 2 } = q ^ { 2 } \frac { \omega \omega _ { t i } } { \omega _ { A } ^ { 2 } } \Big [ \Big ( 1 - \frac { \omega _ { \ast n i } } { \omega } \Big ) \Big ( } & { { } F \Big ( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \Big ) + \Delta F \Big ( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \Big ) \Big ) - \frac { \omega _ { \ast T i } } { \omega } \Big ( G \Big ( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \Big ) + \Delta G \Big ( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \Big ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { c c ^ { \prime } \cdot \theta _ { k ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) \frac { \theta _ { n ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } - \theta _ { - n ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } } { \theta _ { 0 } - \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } } + c b ^ { \prime } ( \theta _ { n ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } - \theta _ { - n ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } ) = c ( q _ { 1 } - 1 ) \theta _ { n ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } + q _ { 1 } ^ { 1 / 2 } ( q _ { 0 } ^ { 1 / 2 } - q _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } ) } \end{array}