harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \lambda _ { H _ { m } } ( f ) } & { = P _ { m } f | _ { H _ { m } } ( 1 _ { H _ { m } } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { d } ( f | _ { H _ { m } } | \tau _ { k } ( m ) ) _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( H _ { m } ) } \tau _ { k } ( m ) ( 1 _ { H _ { m } } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \alpha } \sum _ { k = 1 } ^ { d } ( f | _ { H _ { m _ { \alpha } } } | \tau _ { k } ( m _ { \alpha } ) ) _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( H _ { m _ { \alpha } } ) } \tau _ { k } ( m _ { \alpha } ) ( 1 _ { H _ { m _ { \alpha } } } ) = \operatorname* { l i m } _ { \alpha } P _ { m _ { \alpha } } f | _ { H _ { m _ { \alpha } } } ( 1 _ { H _ { m _ { \alpha } } } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \alpha } \lambda _ { H _ { m _ { \alpha } } } ( f ) , } \end{array}
S _ { \Gamma } = - \frac { 1 } { \kappa } \int \sqrt { - g } e ^ { \alpha \phi / M _ { p } } ( \zeta + b _ { g } ) g ^ { \mu \nu } R _ { \mu \nu } ( \Gamma ) = - \frac { 1 } { \kappa } \int \sqrt { - \tilde { g } } \tilde { g } ^ { \mu \nu } R _ { \mu \nu } ( \Gamma ) ,
p _ { 1 } = \pm { \frac { \sqrt { E ^ { 4 } - 2 E ^ { 2 } m _ { 1 } ^ { 2 } c ^ { 4 } - 2 E ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } c ^ { 4 } + m _ { 1 } ^ { 4 } c ^ { 8 } - 2 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } c ^ { 8 } + m _ { 2 } ^ { 4 } c ^ { 8 } } } { 2 c E } }
\begin{array} { r l r } { \beta _ { + } } & { { } = } & { \tau ( \Gamma _ { s } - \Gamma _ { 0 } ) + \tau \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { s } \left[ F _ { + } - \Gamma _ { s } - \left( \frac { k _ { \parallel } b k _ { \parallel } } { \omega ^ { 2 } } \right) _ { + } \frac { \tau V _ { A } ^ { 2 } F _ { + } } { ( 1 - \omega _ { * e } / \omega ) _ { + } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { N } \left[ \left( K _ { l } - \bar { K } _ { l } \right) \psi _ { n + l } \left( K _ { l } + \bar { K } _ { l } \right) \psi _ { n - l } \right] } \\ & { } & { + \left( \omega ^ { 2 } - i \gamma \omega - \Omega ^ { 2 } - \frac { 2 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { N } K _ { l } \right) \psi _ { n } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { i j } ( t - \tau ) = } & { \frac { a ^ { 2 } } { 2 \pi } e ^ { - \tilde { h } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } } \\ & { \times \frac { 1 } { ( d / 4 ) ^ { 2 } ( \alpha + i ) ^ { 2 } ( t - \tau ) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \lvert { \bf R } _ { i } - { \bf R } _ { j } \rvert ^ { 2 } } { ( d / 4 ) ^ { 2 } ( \alpha + i ) ^ { 2 } ( t - \tau ) ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { S _ { 2 } ( a ) } { a } } & { { } = - \frac { \kappa - 1 } { \kappa + 1 } , } \\ { \frac { S _ { 3 } ( a ) } { a } } & { { } = \frac { \delta } { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| W ^ { \tau } } & { ( f ) - W ^ { \tau } ( g ) \| _ { r } = \| I _ { 0 } ^ { \tau } ( f ) - I _ { 0 } ^ { \tau } ( g ) - 2 P _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) + 2 P _ { 1 } ^ { \tau } ( g ) - P _ { 2 } ^ { \tau } ( f ) + P _ { 2 } ^ { \tau } ( g ) \| _ { r } } \\ & { \le \| I _ { 0 } ^ { \tau } ( f ) - I _ { 0 } ^ { \tau } ( g ) \| _ { r } + 2 \| P _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) - P _ { 1 } ^ { \tau } ( g ) \| _ { r } + \| P _ { 2 } ^ { \tau } ( f ) - P _ { 2 } ^ { \tau } ( g ) \| _ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta \boldsymbol { v } ^ { \prime } = - 0 . 2 5 c h \sum _ { j } \left[ 1 + 0 . 2 \left( \frac { W _ { i j } } { W ( \Delta x , h _ { i } ) } \right) ^ { 4 } \right] { \nabla } W _ { i j } V _ { j } , } \\ & { \delta \boldsymbol { v } = \operatorname* { m i n } \left( 0 . 5 \left| \boldsymbol { v } \right| , \left| \delta \boldsymbol { v } ^ { \prime } \right| \right) \frac { \delta \boldsymbol { v } ^ { \prime } } { \left| \delta \boldsymbol { v } ^ { \prime } \right| } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { t = 0 } ^ { T } \mathbb { E } ( f _ { t } ( x _ { t } ) - f _ { t } ( x _ { t } ^ { * } ) ) \leq \frac { L \hat { U } _ { 0 } } { \left( 1 - \sqrt { \hat { \rho } } \right) ^ { 2 } } + \frac { 2 L } { \left( 1 - \sqrt { \hat { \rho } } \right) ^ { 2 } } \left( \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \sigma _ { t } \right) ^ { 2 } + \frac { 4 L \alpha ^ { 2 } } { \left( 1 - \sqrt { \hat { \rho } } \right) ^ { 2 } } \left( \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } G _ { t } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { y } _ { i } } & { = y _ { i } ( P _ { i } - P _ { I } ) = y _ { i } ( 1 - y _ { i } ) ( P _ { i } - P _ { n } ) } \\ & { = ( 1 - y _ { i } ) y _ { i } \left( \frac { r y _ { t } \left\{ 1 - \left[ 1 + ( w - 1 ) y _ { i } \right] ^ { N _ { I } } \right\} } { N _ { I } ( 1 - w ) y _ { i } } + y _ { t } - 1 + v _ { I } \right) , } \\ { \dot { y } _ { t } } & { = y _ { t } ( P _ { t } - P _ { T } ) = y _ { t } ( 1 - y _ { t } ) ( P _ { t } - P _ { u } ) } \\ & { = ( 1 - y _ { t } ) y _ { t } \left( \frac { ( r - 1 ) \left\{ 1 - \left[ 1 + ( w - 1 ) y _ { i } \right] ^ { N _ { I } } \right\} } { N _ { T } ( 1 - w ) } + v _ { T } \right) , } \end{array}
\mathrm { M A E = \ x i ^ { 2 } \sum _ { u , o , \ s i g m a , \ s i g m a ^ { \prime } } \ s i g m a \ s i g m a ^ { \prime } \frac { | \langle o , \ s i g m a | L _ { z } | u , \ s i g m a ^ { \prime } \rangle | ^ { 2 } - | \langle o , \ s i g m a | L _ { x } | u , \ s i g m a ^ { \prime } \rangle | ^ { 2 } } { E _ { u , \ s i g m a } - E _ { o , \ s i g m a ^ { \prime } } } , }
\left| \left( \prod _ { i = 1 } ^ { s } P _ { 2 k _ { i } } \right) \mathbb { B } ( \Vec { a } , z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ; \theta , N ) \right| \le \prod _ { i = 1 } ^ { s } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } a _ { i } ^ { 2 k _ { i } } \right) \left[ 1 + \frac { 1 } { \theta } \left( \frac { a _ { 1 } | z | } { 2 } \right) ^ { 2 } e ^ { \frac { a _ { 1 } | z | } { 2 } } \right] ^ { M } .
{ \begin{array} { r l } { k \ln p _ { i } } & { = k \ln \Omega _ { B } ( E - E _ { i } ) - k \ln \Omega _ { ( S , B ) } ( E ) } \\ & { \approx - { \frac { \partial { \big ( } k \ln \Omega _ { B } ( E ) { \big ) } } { \partial E } } E _ { i } + k \ln \Omega _ { B } ( E ) - k \ln \Omega _ { ( S , B ) } ( E ) } \\ & { \approx - { \frac { \partial S _ { B } } { \partial E } } E _ { i } + k \ln { \frac { \Omega _ { B } ( E ) } { \Omega _ { ( S , B ) } ( E ) } } } \\ & { \approx - { \frac { E _ { i } } { T } } + k \ln { \frac { \Omega _ { B } ( E ) } { \Omega _ { ( S , B ) } ( E ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) } & { \sim \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \hat { \omega } ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( X ^ { \eta } ) \right\} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge F ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( X ^ { \eta } ) \right\} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \tilde { \chi } _ { \varepsilon } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ( \vec { x } ) } & { { } = } & { G M \Big \{ \frac { 1 } { r } - \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } J _ { \ell } R ^ { \ell } \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial z ^ { \ell } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) \Big \} + { \cal O } ( c ^ { - 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { N } _ { c } = \! \int \! \! d \boldsymbol { k } _ { B } \hat { c } _ { \boldsymbol { k } _ { B } , \lambda } ^ { \dagger } \hat { c } _ { \boldsymbol { k } _ { B } , \lambda } = \int d \boldsymbol { r } _ { B } \hat { \psi } _ { c , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { B } ) \hat { \psi } _ { c , \lambda } ( \boldsymbol { r } _ { B } ) , } \\ & { \hat { N } _ { d } = \! \int \! \! d \boldsymbol { k } _ { A } \hat { d } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } ^ { \dagger } \hat { d } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } = \int d \boldsymbol { r } _ { A } \hat { \psi } _ { d , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { A } ) \hat { \psi } _ { d , \lambda } ( \boldsymbol { r } _ { A } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } _ { \vec { i } } ^ { \mathrm { ~ r ~ k ~ k ~ y ~ } } = \frac { J _ { \mathrm { ~ r ~ k ~ k ~ y ~ } } } { \mu _ { 0 } \, M _ { s } \, \Delta _ { z } } \left[ \boldsymbol { m } _ { 2 } - \left( \boldsymbol { m } _ { 1 } \cdot \boldsymbol { m } _ { 2 } \right) \boldsymbol { m } _ { 1 } \right] , } \end{array}
L _ { \mathrm { c o h } } ^ { ( q ) } = \frac { \lambda _ { q } } { 2 \Delta n } \; \; \; \textrm { o r } \; \; \; L _ { \mathrm { c o h } } ^ { ( q ) } = \frac { \lambda _ { q } } { 2 | 1 - \bar { n } | } \, ,
R _ { \alpha _ { 0 } , j } ^ { i } R _ { \beta _ { 0 } } ^ { j } - ( - 1 ) ^ { \epsilon _ { \alpha _ { 0 } } \epsilon _ { \beta _ { 0 } } } R _ { \beta _ { 0 } , j } ^ { i } R _ { \alpha _ { 0 } } ^ { j } = - R _ { \gamma _ { 0 } } ^ { i } F _ { \alpha _ { 0 } \beta _ { 0 } } ^ { \gamma _ { 0 } } - M _ { \alpha _ { 0 } \beta _ { 0 } } ^ { i j } S _ { \mathrm { c l } , j } ,
\int d ^ { 2 } x \left| x \right| ^ { - 2 r } \left| 1 - x \right| ^ { - 2 s } = \pi \frac { \Gamma ( 1 - r ) \Gamma ( 1 - s ) \Gamma ( r + s - 1 ) } { \Gamma ( r ) \Gamma ( s ) \Gamma ( 2 - r - s ) }
\begin{array} { r l } { \mathcal F _ { Q } } & { = 2 ( K + K ^ { \prime } ) \times \left[ - 4 \sum _ { m \neq n } \sigma _ { m } \sigma _ { n } G ( z _ { m } , z _ { n } ) \right. } \\ & { \left. - \pi \sum _ { m } \left( \sigma _ { m } - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { m } ^ { 2 } \right) \varphi ( z _ { m } ) + \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } z | \partial \varphi | ^ { 2 } \right] } \end{array}
| A _ { 2 } ( N , N ^ { \prime } ) - B _ { 2 } ( N , N ^ { \prime } ) | \leq \| G \| _ { o p } \underset { m \in \mathbb { Z } / \tilde { N } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } ~ \underset { n \leq \lfloor \eta N \rfloor } { \mathbb { E } } \sqrt { \| \xi _ { \tilde { R } ( m , n ) } ^ { s , e } - \xi _ { \tilde { R } ( m , n ) } ^ { s } \| _ { L ^ { 1 } } } .
\begin{array} { r l } { t _ { l } ^ { \mathrm { ~ \textsc ~ { ~ e ~ } ~ } } } & { { } = \mathrm { i } \, \frac { \epsilon _ { \mathrm { m } } j _ { l } ( x _ { \mathrm { m } } ) \Psi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { d } } ) - \epsilon _ { \mathrm { d } } j _ { l } ( x _ { \mathrm { d } } ) \Psi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { m } } ) + ( \epsilon _ { \mathrm { m } } - \epsilon _ { \mathrm { d } } ) \left\{ j _ { l } ( x _ { \mathrm { d } } ) j _ { l } ( x _ { \mathrm { m } } ) \left[ l ( l + 1 ) \right] d _ { \perp } + \Psi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { d } } ) \Psi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { m } } ) \, d _ { \parallel } \right\} / R } { \epsilon _ { \mathrm { m } } j _ { l } ( x _ { \mathrm { m } } ) \xi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { d } } ) - \epsilon _ { \mathrm { d } } h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( x _ { \mathrm { d } } ) \Psi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { m } } ) + ( \epsilon _ { \mathrm { m } } - \epsilon _ { \mathrm { d } } ) \left\{ h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( x _ { \mathrm { d } } ) j _ { l } ( x _ { \mathrm { m } } ) \left[ l ( l + 1 ) \right] d _ { \perp } + \xi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { d } } ) \Psi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { m } } ) \, d _ { \parallel } \right\} / R } , } \\ { t _ { l } ^ { \mathrm { ~ \textsc ~ { ~ m ~ } ~ } } } & { { } = \mathrm { i } \, \frac { j _ { l } ( x _ { \mathrm { m } } ) \Psi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { d } } ) - j _ { l } ( x _ { \mathrm { d } } ) \Psi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { m } } ) + \big ( x _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } - x _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } \big ) j _ { l } ( x _ { \mathrm { d } } ) j _ { l } ( x _ { \mathrm { m } } ) \, d _ { \parallel } / R } { j _ { l } ( x _ { \mathrm { m } } ) \xi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { d } } ) - h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( x _ { \mathrm { d } } ) \Psi _ { l } ^ { \prime } ( x _ { \mathrm { m } } ) + \big ( x _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } - x _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } \big ) \, h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( x _ { \mathrm { d } } ) j _ { l } ( x _ { \mathrm { m } } ) \, d _ { \parallel } / R } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { t } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( x _ { t } , \widetilde { z } _ { t } ) } & { \stackrel { ( a ) } = \eta _ { t } ^ { - 1 } D _ { \Psi ^ { * } } ( \nabla \Psi ( \widetilde { \mathbf z } _ { t } ) , \nabla \Psi ( \mathbf x _ { t } ) ) } \\ & { = \eta _ { t } ^ { - 1 } D _ { \Psi ^ { * } } ( \nabla \Psi ( \mathbf x _ { t } ) + \eta _ { t } \widetilde { \mathbf g } _ { t } , \nabla \Psi ( \mathbf x _ { t } ) ) } \\ & { = \eta _ { t } ^ { - 1 } \left( \Psi ^ { * } ( \nabla \Psi ( \mathbf x _ { t } ) + \eta _ { t } \widetilde { \mathbf g } _ { t } ) - \Psi ^ { * } ( \nabla \Psi ( \mathbf x _ { t } ) ) - \langle \mathbf x _ { t } , \eta _ { t } \widetilde { \mathbf g } _ { t } \rangle \right) } \\ & { \stackrel { ( b ) } = \frac { \eta _ { t } } 2 \Vert \widetilde { \mathbf g } _ { t } \Vert _ { \nabla ^ { 2 } \Psi ^ { * } ( \mathbf w _ { t } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } _ { 4 3 2 } = s _ { 9 } + s _ { 3 3 } + s _ { 5 2 } + s _ { 6 1 } + s _ { 7 1 } + s _ { 4 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 5 3 2 } = s _ { 1 0 . } + s _ { 8 1 } + s _ { 6 2 } + s _ { 4 3 } + s _ { 5 2 } + s _ { 7 1 } + s _ { 5 1 1 } + s _ { 3 2 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 6 4 1 } = s _ { 1 1 . } + s _ { 9 1 } + s _ { 7 2 } + s _ { 5 3 } + s _ { 6 2 } + s _ { 8 1 } + s _ { 6 1 1 } + s _ { 4 2 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 7 4 1 } = s _ { 1 2 . } + s _ { 1 0 . 1 } + s _ { 7 2 } + s _ { 9 1 } + s _ { 8 2 } + s _ { 6 3 } + s _ { 5 3 } + s _ { 3 3 1 } + s _ { 5 2 1 } + s _ { 7 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 8 4 1 } = s _ { 1 3 . } + s _ { 9 2 } + s _ { 7 3 } + s _ { 5 4 } + s _ { 6 3 } + s _ { 1 0 . 1 } + s _ { 1 1 . 1 } + s _ { 8 2 } + s _ { 4 3 1 } + s _ { 6 2 1 } + s _ { 8 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 5 4 2 } = s _ { 1 1 . } + s _ { 9 1 } + s _ { 7 2 } + s _ { 5 3 } + s _ { 6 2 } + s _ { 8 1 } + s _ { 6 1 1 } + s _ { 4 2 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 6 4 2 } = s _ { 1 2 . } + s _ { 1 0 . 1 } + s _ { 9 1 } + s _ { 8 2 } + s _ { 7 2 } + s _ { 6 3 } + s _ { 6 2 } + s _ { 4 4 } + s _ { 2 2 2 } + s _ { 4 2 1 } + s _ { 5 2 1 } + s _ { 7 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 7 4 2 } = s _ { 1 3 . } + s _ { 9 2 } + s _ { 1 0 . 1 } + s _ { 7 3 } + s _ { 8 2 } + s _ { 5 4 } + s _ { 6 3 } + s _ { 7 2 } + s _ { 1 1 . 1 } + s _ { 3 2 2 } + s _ { 4 3 1 } + s _ { 5 2 1 } + s _ { 6 2 1 } + s _ { 8 1 1 } ; } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta R ^ { i } } & { \approx } & { { \cal R } _ { k } ^ { i } \le \frac { u _ { k } ^ { i } } { 4 \, \nu _ { k e } ^ { i } } \, , } \\ { \nu _ { k e } ^ { i } } & { \ge } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } \, n _ { e } ^ { i } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k e } ^ { 2 } c ^ { 3 } } \, \ln \Lambda _ { k e } ^ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { i } ^ { n + 1 } } & { = X _ { i } ^ { n } + U _ { i } ^ { n } T _ { L } ^ { n } \Bigg ( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) \Bigg ) + C _ { i } ^ { n } T _ { L } ^ { n } \Bigg ( \Delta t - T _ { L } ^ { n } \bigg ( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) \bigg ) \Bigg ) } \\ & { + \underbrace { \sqrt { \frac { C _ { 0 } \epsilon ^ { n } ( T _ { L } ^ { n } ) ^ { 3 } } { 2 } } \frac { \Bigg ( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) \Bigg ) ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - \exp \left( - 2 \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) } } \; \zeta _ { i } ^ { U } + \sqrt { C _ { 0 } \epsilon ^ { n } ( T _ { L } ^ { n } ) ^ { 2 } \Bigg ( \Delta t - 2 T _ { L } ^ { n } \frac { 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) } { 1 + \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) } \Bigg ) } \; \zeta _ { i } ^ { X } } _ { I _ { i } ^ { X } ( \Delta t ) } , } \\ { U _ { i } ^ { n + 1 } } & { = U _ { i } ^ { n } \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) + C _ { i } ^ { n } T _ { L } ^ { n } \Bigg ( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) \Bigg ) + \underbrace { \sqrt { C _ { 0 } \epsilon ^ { n } \frac { T _ { L } ^ { n } } { 2 } \Bigg ( 1 - \exp \left( - 2 \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) \Bigg ) } \; \zeta _ { i } ^ { U } } _ { I _ { i } ^ { U } ( \Delta t ) } . } \end{array}
\pmb { \mathscr { V } } _ { j _ { d } } ^ { ( i ) } : = \mathbb { E } \left[ \left( \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } - \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] \right) \otimes \left( \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } - \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] \right) \right] .
\theta = T \left( \frac { p _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } { p } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } = T \left( \frac { p _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } { ( \rho _ { d } R _ { d } + \rho _ { v } R _ { v } ) T } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } .
\psi _ { n _ { 3 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } = \cos \Big ( \frac { n _ { 3 } \pi } { h } z \Big ) H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k _ { \rho n _ { 3 } } \rho ) \quad , n _ { 3 } = 0 , 1 , 2 , . . .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { { \bf { t m } } ^ { k } } f ( { \bf { t m } } ^ { k } ) = \| { \bf { I } } ^ { k } - \left| { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } \right| ^ { 2 } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { A u t } _ { \mathrm { t r i } } ( C ) = \{ f \in \mathrm { A u t } ( C ) \mid f _ { * } \mathrm { \ i s \ t r i v i a l \ i n \ } G ( C ) \} , } \\ & { \mathrm { P i c } _ { \mathrm { t r i } } ^ { 0 } ( C ) = \{ \mathcal { L } \in \mathrm { P i c } ^ { 0 } ( C ) \mid \mathcal { L } | _ { \Theta _ { i } } \cong \mathcal { O } _ { \Theta _ { i } } \mathrm { \ f o r \ a l l \ r e d u c e d \ c u r v e s \ } \Theta _ { i } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) } & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { 1 } \, \frac { \exp [ - i ( k _ { 1 } + i A / B ) ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 1 + A ^ { 2 } / ( 2 B ) + ( B / 2 ) k _ { 1 } ^ { 2 } \right] } . } \end{array}
[ p \cdot \hat { H } , i { \cal D } \times I ] = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } { g _ { | \rho | } | \rho | ^ { 2 } } \, V ^ { \prime } ( \rho \cdot q ) \, \rho \cdot \hat { H } .
{ \begin{array} { r l } { k _ { 1 } } & { = f ( t _ { n } , y _ { n } ) , } \\ { k _ { 2 } } & { = f ( t _ { n } + c _ { 2 } h , y _ { n } + ( a _ { 2 1 } k _ { 1 } ) h ) , } \\ { k _ { 3 } } & { = f ( t _ { n } + c _ { 3 } h , y _ { n } + ( a _ { 3 1 } k _ { 1 } + a _ { 3 2 } k _ { 2 } ) h ) , } \\ & { \ \ \vdots } \\ { k _ { s } } & { = f ( t _ { n } + c _ { s } h , y _ { n } + ( a _ { s 1 } k _ { 1 } + a _ { s 2 } k _ { 2 } + \cdots + a _ { s , s - 1 } k _ { s - 1 } ) h ) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { 4 ( k _ { j } + z _ { j } ) ^ { 2 } - | \pi _ { j } ( k + z ) | ^ { 2 } \sim M ^ { 2 } , \quad \quad | k + z | \sim M , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad | \pi _ { j } ( k + z ) | ^ { 2 } \sim M ^ { 2 } } \end{array}
A _ { B ^ { 0 } \to D ^ { + } \pi ^ { - } } = \left( c _ { 1 } + \frac { c _ { 2 } } { N _ { c } } \right) \langle D ^ { + } \pi ^ { - } \, | \, ( \bar { d } u ) \, ( \bar { c } b ) | B ^ { 0 } \rangle + 2 c _ { 2 } \, \langle D ^ { + } \pi ^ { - } \, | \, ( \bar { d } T ^ { a } u ) \, ( \bar { c } T ^ { a } b ) | B ^ { 0 } \rangle \ .
\frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { T } \right) = 2 \left( \vec { F } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { T } \right) \cdot \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { E } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) \cdot \left( \vec { F } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { T } \right) .
E _ { h } \approx E _ { s } : = | | \bar { \mathbf { U } } | | _ { \Omega _ { 2 } } ^ { 2 } = \underbrace { \frac { 1 } { 2 } ( \bar { \mathbf { u } } , \bar { \mathbf { u } } ) _ { \Omega } } _ { = \bar { E } _ { h } } + \underbrace { \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { s } , \mathbf { s } ) _ { \Omega } } _ { = : S } ,
\begin{array} { c c l } { \frac { \Delta T ( z , t ) } { T _ { 0 } } } & { = } & { \frac { T ( z , t ) - T _ { 0 } } { T _ { 0 } } } \\ & { = } & { \frac { e ^ { - \varepsilon _ { \mathrm { a } } d C ( { z , t } ) } - e ^ { - \varepsilon _ { \mathrm { a } } d C _ { 0 } } } { e ^ { - \varepsilon _ { \mathrm { a } } d C _ { 0 } } } } \\ & { = } & { \frac { e ^ { - \varepsilon _ { \mathrm { a } } d ( C _ { 0 } - | \Psi ( z , t ) | ^ { 2 } ) } - e ^ { - \varepsilon _ { \mathrm { a } } d C _ { 0 } } } { e ^ { - \varepsilon _ { \mathrm { a } } d C _ { 0 } } } } \\ & { = } & { e ^ { \varepsilon _ { \mathrm { a } } d | \Psi ( z , t ) | ^ { 2 } } - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 1 6 } } & { = \langle - \eta ^ { 3 } S , T \rangle } \\ { G _ { 1 7 } } & { = \langle i S , i \eta ^ { 3 } T \rangle } \\ { G _ { 1 8 } } & { = \langle - \omega \eta ^ { 3 } S , \omega ^ { 2 } T \rangle } \\ { G _ { 1 9 } } & { = \langle i \omega S , i \eta ^ { 3 } T \rangle } \\ { G _ { 2 0 } } & { = \langle S , \omega ^ { 2 } T \rangle } \\ { G _ { 2 1 } } & { = \langle i S , \omega ^ { 2 } T \rangle } \\ { G _ { 2 2 } } & { = \langle i S , T \rangle } \end{array}
( \pi _ { \mathbb { R } ^ { d } } , \pi _ { \mathbb { R } ^ { d } } ) _ { \sharp } \hat { \Beta } _ { \mu , \nu } ^ { n } = \gamma ^ { 0 } \qquad \mathrm { a n d } \qquad ( \textnormal { \textsf { e } } _ { t _ { k } } , \textnormal { \textsf { e } } _ { t _ { k } } ) _ { \sharp } \hat { \Beta } _ { \mu , \nu } ^ { n } \in \Gamma _ { o } ( \mu ( t _ { k } ) , \nu ( t _ { k } ) ) ,
\left( \begin{array} { l } { V ( \textbf { x } ^ { * } ) - \bar { V } } \\ { \left. \frac { \mathrm { d } V } { \mathrm { d } \textbf { x } } \right| _ { \textbf { x } ^ { * } } } \\ { \left. \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } V } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } \right| _ { \textbf { x } ^ { * } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , q } } ^ { T } ( \textbf { q } ( \textbf { x } ^ { * } ) ) } \\ { \frac { \mathrm { d } \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , q } } ^ { T } ( \textbf { q } ( \textbf { x } ^ { * } ) ) } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { * } } } \\ { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , q } } ^ { T } ( \textbf { q } ( \textbf { x } ^ { * } ) ) } { \mathrm { d } { \textbf { x } ^ { * } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \widetilde { \textbf { w } } _ { \mathrm { e x t } }
\begin{array} { r l } { ( L _ { \downarrow } ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } \omega ^ { ( + ) } } & { = ( D ^ { k } B ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } D ^ { k } \omega = ( B ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } ( D ^ { k } ) ^ { \dagger } D ^ { k } \omega } \\ & { = ( D ^ { k } ) ^ { * \dagger } ( D ^ { k } ) ^ { \dagger } D ^ { k } \omega = ( B ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } \omega , } \end{array}
\Omega ( \sigma , s ) = { \frac { \lambda } { 4 } } \sigma ^ { 4 } + { \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } \sigma ^ { 2 } - { \frac { s ^ { 2 } } { 4 \lambda } } + \Omega _ { 0 } ( \sigma , s ) + \Omega _ { I } ( \sigma , s ) \; .
Z _ { T E S } ( \omega ) \equiv R _ { 0 } ( 1 + \beta ) + \frac { R _ { 0 } \mathscr { L } } { 1 - \mathscr { L } } \frac { 2 + \beta } { 1 + i \omega \frac { \tau _ { 0 } } { 1 - \mathscr { L } } } .