harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 } | ( \mathcal { L } ^ { n } , \rho _ { \varepsilon } ) | ( \Omega ) \leq } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 } | ( \mathcal { L } ^ { n } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega , \rho ) \star \phi _ { \varepsilon } | ( \Omega ) + | ( \mathcal { L } ^ { n } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega _ { - \varepsilon } \star ( \delta _ { 0 } - \phi _ { \varepsilon } ) , 0 ) | ( \Omega ) } \\ { \leq } & { | ( \mathcal { L } ^ { n } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega , \rho ) | ( \Omega ) + \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 } 2 \mathcal { L } ^ { n } ( \Omega \setminus \Omega _ { - \varepsilon } ) = | ( \mathcal { L } ^ { n } , \rho ) | ( \Omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { 0 } } & { = \frac { x _ { 4 } } { x _ { 4 } - x _ { 1 } } \cdot \frac { x _ { 3 } } { x _ { 3 } - x _ { 1 } } \cdot \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } } \\ { \beta _ { 1 } } & { = \frac { x _ { 4 } } { x _ { 4 } - x _ { 2 } } \cdot \frac { x _ { 3 } } { x _ { 3 } - x _ { 2 } } \cdot \frac { x _ { 1 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } } \\ { \beta _ { 2 } } & { = \frac { x _ { 4 } } { x _ { 4 } - x _ { 3 } } \cdot \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } - x _ { 3 } } \cdot \frac { x _ { 1 } } { x _ { 1 } - x _ { 3 } } } \\ { \beta _ { 3 } } & { = \frac { x _ { 3 } } { x _ { 3 } - x _ { 4 } } \cdot \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } - x _ { 4 } } \cdot \frac { x _ { 1 } } { x _ { 1 } - x _ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } } & { { } = \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } + \mathsf { K } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } ( \mathsf { y } _ { j } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } - \mathsf { H } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } [ \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } ] ) } \\ { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \mathsf { K } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } } & { { } = \mathsf { P H } ^ { \mathrm { ~ a ~ } , \top } ( \mathsf { H } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } \mathsf { P } \mathsf { H } ^ { \mathrm { ~ a ~ } \top } + \mathsf { R } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } ) ^ { - 1 } \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
L ( x _ { 1 } , \dot { x } _ { 1 } ) = \frac { 1 } { 2 } [ \dot { x } _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { g ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } \dot { z } ^ { 2 } } { 1 + g ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } } ] - V ( x _ { 1 } ^ { 2 } )
H E L P \to { \left( \begin{array} { l } { H } \\ { E } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { L } \\ { P } \end{array} \right) } \to { \left( \begin{array} { l } { 7 } \\ { 4 } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { 1 1 } \\ { 1 5 } \end{array} \right) }
a _ { \tilde { \chi } _ { i } ^ { 0 } \tilde { \chi } _ { j } ^ { + } W } \ = \ N _ { i k } \, V _ { j l } ^ { * } \, a _ { \tilde { \psi } _ { k } ^ { 0 } \tilde { \psi } _ { l } ^ { + } W } ~ , ~ ~ ~ ~ b _ { \tilde { \chi } _ { i } ^ { 0 } \tilde { \chi } _ { j } ^ { + } W } \ = \ N _ { i k } ^ { * } \, U _ { j l } \, b _ { \tilde { \psi } _ { k } ^ { 0 } \tilde { \psi } _ { l } ^ { + } W } ~ .
\begin{array} { r l r l } & { Q _ { 1 } ^ { < } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { - c _ { k _ { 0 } } ^ { - 1 } e ^ { \theta _ { 3 1 } ( x , t , k _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 3 3 } ^ { \prime } ( k _ { 0 } ) ( \Delta _ { 1 1 } ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( k _ { 0 } ) ( k - k _ { 0 } ) } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { Q _ { 7 } ^ { < } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \frac { - d _ { k _ { 0 } } ^ { - 1 } e ^ { - \theta _ { 3 2 } ( x , t , \bar { k } _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 2 2 } ^ { \prime } ( \bar { k } _ { 0 } ) ( \Delta _ { 3 3 } ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( \bar { k } _ { 0 } ) ( k - \bar { k } _ { 0 } ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { Q _ { 1 } ^ { \geq } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { \frac { - c _ { k _ { 0 } } e ^ { - \theta _ { 3 1 } ( x , t , k _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 1 1 } ( k _ { 0 } ) \Delta _ { 3 3 } ^ { - 1 } ( k _ { 0 } ) ( k - k _ { 0 } ) } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { Q _ { 7 } ^ { \geq } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { - d _ { k _ { 0 } } e ^ { \theta _ { 3 2 } ( x , t , \bar { k } _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 3 3 } ( \bar { k } _ { 0 } ) \Delta _ { 2 2 } ^ { - 1 } ( \bar { k } _ { 0 } ) ( k - \bar { k } _ { 0 } ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \{ D v | _ { \tilde { U } } \in \overline { { \mathcal { U } } } _ { I + \ell + 1 } ^ { 1 } \cup \overline { { \mathcal { U } } } _ { I + \ell + 1 } ^ { 2 } \} | \geq \frac { 9 } { 1 0 } \varepsilon _ { \tilde { U } } | \tilde { U } | \quad \mathrm { a n d } \quad | \{ D v | _ { \tilde { U } } \in \overline { { \mathcal { U } } } _ { I + \ell + 2 } ^ { 1 } \cup \overline { { \mathcal { U } } } _ { I + \ell + 2 } ^ { 2 } \} | \geq \frac { 9 } { 1 0 } \varepsilon _ { \tilde { U } } ^ { \prime } | \tilde { U } | . } \end{array}
\mathrm { f = \frac { \sum _ { i } ^ { N } \frac { M _ { i } . A _ { i } } { \ s i g m a _ { i } ^ { 2 } } } { \sum _ { i } ^ { N } { \frac { M _ { i } ^ { 2 } } { \ s i g m a _ { i } ^ { 2 } } } } } .
\begin{array} { r } { v _ { i } = v _ { i } ^ { n e a r } + \frac { 1 } { 8 \pi \mu } \sum _ { \alpha } ^ { N ^ { f a r } } \left( J _ { i j } ^ { \alpha } F _ { j } ^ { \alpha } - J _ { i j } ^ { \alpha } F _ { j } ^ { \alpha , h e a d } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d s _ { l } ( t ) } { d t } } & { = - s _ { l } ( t ) k \sum _ { m = 1 } ^ { n } { A _ { l m } p _ { m } \int _ { 0 } ^ { t } { \omega _ { \mathrm { i n f } } ( t - t ^ { \prime } ) \Psi _ { \mathrm { r e m } } ( t - t ^ { \prime } ) d c _ { m } ( t ^ { \prime } ) } } , } \\ { i _ { l } ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } { \Psi _ { \mathrm { r e m } } ( t - t ^ { \prime } ) d c _ { l } ( t ^ { \prime } ) } , } \\ { r _ { l } ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } { [ 1 - \Psi _ { \mathrm { r e m } } ( t - t ^ { \prime } ) ] d c _ { l } ( t ^ { \prime } ) } , } \end{array}
\sin ( 2 \theta _ { d - 2 } + \theta _ { 0 } ) = \frac { - 2 j ^ { 2 } + ( 1 + j ^ { 2 } + 2 e ) x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } \sqrt { [ ( 1 + j ) ^ { 2 } + 2 e ] [ ( 1 - j ) ^ { 2 } + 2 e ] } } .
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { s p } ^ { r } \left( x ^ { m } \right) = U _ { s p } \left( x ^ { m } , x _ { 0 } ^ { m } \right) \widetilde { \psi } _ { s p } ^ { r } \left( x _ { 0 } ^ { m } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 1 } - 1 } } \theta ( n , f ^ { - 1 } ( F _ { i } ^ { n _ { 1 } } \times N _ { 2 ^ { n _ { 2 } } } ) ) \ge \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 1 } - 1 } } \theta ( n , \xi _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } ^ { - 1 } ( F _ { i } ^ { n _ { 1 } } \times N _ { 2 ^ { n _ { 2 } } } ) ) . } \\ & { } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 2 } } - 1 } \theta ( n , f ^ { - 1 } ( N _ { 2 ^ { n _ { 1 } } } \times N _ { j } ) ) \ge \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 2 } } - 1 } \theta ( n , \xi _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } ^ { - 1 } ( N _ { 2 ^ { n _ { 1 } } } \times N _ { j } ) ) . } \end{array}
d t ^ { 2 } \to f d t ^ { 2 } , \ \ \ \ \ \ \ \delta _ { i j } d y ^ { i } d y ^ { j } \to f ^ { \prime \, - 1 } d y ^ { 2 } + y ^ { 2 } \widehat { d \Omega } _ { \ell - 1 } ^ { 2 } ,
\exp \left( - \Gamma ( F _ { \mu \nu } , a ) \right) = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \left( \hat { \Gamma } _ { k } ^ { ( 1 ) } ( F _ { \mu \nu } ) \cos 2 \pi k a + \hat { \Gamma } _ { k } ^ { ( 2 ) } ( F _ { \mu \nu } ) \sin 2 \pi k a \right)
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { \alpha / \mathcal { D } _ { c } } = \frac { \alpha T ^ { 2 } \rho ^ { 2 } c _ { P } m _ { c } D _ { c } } { R } \frac { \, \bigl | \bigl | \nabla { T } ^ { - 1 } \bigr | \bigr | ^ { 2 } } { | | { \vec { j } _ { c } } | | ^ { 2 } } } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c c c c c } { b _ { 1 ~ ~ } } & { c _ { 1 ~ ~ } } & & & & & { a _ { 1 ~ ~ } } \\ { a _ { 2 ~ ~ } } & { b _ { 2 ~ ~ } } & { c _ { 2 ~ ~ } } & & & & \\ & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & & & \\ & & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & & \\ & & & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & \\ & & & & { a _ { n - 1 } } & { b _ { n - 1 } } & { c _ { n - 1 } } \\ { c _ { n ~ ~ } } & & & & & { a _ { n ~ ~ } } & { b _ { n ~ ~ } } \end{array} \right] \left[ { \begin{array} { c } { \psi _ { 1 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { 2 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { \psi _ { n - 1 } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { n ~ ~ } ^ { ~ } } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { c } { g _ { 1 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { g _ { 2 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { g _ { n - 1 } ^ { ~ } } \\ { g _ { n ~ ~ } ^ { ~ } } \end{array} } \right]
T _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c c c c c c } { { X _ { 1 1 } ^ { * } } } & { { 0 } } & { { X _ { 2 1 } ^ { * } } } & { { X _ { 3 1 } ^ { * } } } & { { X _ { 4 1 } ^ { * } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { X _ { 1 2 } ^ { * } } } & { { 0 } } & { { X _ { 2 2 } ^ { * } } } & { { X _ { 3 2 } ^ { * } } } & { { X _ { 4 2 } ^ { * } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { X _ { 1 3 } ^ { * } } } & { { 0 } } & { { X _ { 2 3 } ^ { * } } } & { { X _ { 3 3 } ^ { * } } } & { { X _ { 4 3 } ^ { * } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { X _ { 1 4 } ^ { * } } } & { { 0 } } & { { X _ { 2 4 } ^ { * } } } & { { X _ { 3 4 } ^ { * } } } & { { X _ { 4 4 } ^ { * } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l } & { C _ { u } = \left( ( 1 + C _ { 3 } ^ { 2 } V _ { \operatorname* { m a x } } ) \left\Vert u _ { 0 } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 } \left\Vert u _ { 0 } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 4 } \right) ^ { 1 / 2 } , } \\ & { C _ { g } = C _ { u } + C _ { 3 } V _ { \operatorname* { m a x } } + \beta C _ { 1 } ^ { 3 } C _ { 2 } C _ { u } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { q } _ { i } ^ { R } = q _ { i } ^ { R } - \frac { \Delta t } { 2 \Delta x } \left( f \left( q _ { i } ^ { R } \right) - f \left( q _ { i } ^ { L } \right) \right) , } \\ { \bar { q } _ { i } ^ { L } = q _ { i } ^ { L } - \frac { \Delta t } { 2 \Delta x } \left( f \left( q _ { i } ^ { R } \right) - f \left( q _ { i } ^ { L } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { B } _ { f } \setminus \mathbb { B } _ { g } } & { = \left\{ ( r , \theta , \varphi _ { 1 } , \dots , \varphi _ { d - 2 } ) : r _ { g } \le r \le r _ { 1 } , \ 0 \le \theta \le \theta _ { 1 } , \ 0 \le \varphi _ { 1 } , \dots , \varphi _ { d - 3 } \le \pi , \ 0 \le \varphi _ { d - 2 } < 2 \pi \right\} } \\ & { = : \mathbb { B } _ { 3 } , } \end{array}
_ { p } F _ { q } ^ { ( \alpha ) } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { p } ; b _ { 1 } , \ldots , b _ { q } ; X ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \kappa \vdash k } { \frac { 1 } { k ! } } \cdot { \frac { ( a _ { 1 } ) _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } \cdots ( a _ { p } ) _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } } { ( b _ { 1 } ) _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } \cdots ( b _ { q } ) _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } } } \cdot C _ { \kappa } ^ { ( \alpha ) } ( X ) ,
\begin{array} { r } { \nu ( x ) \triangleq \left\{ \begin{array} { l l } { 2 , } & { x = 0 , } \\ { 5 . 1 5 4 6 \! \times \! 1 0 ^ { - 1 1 } x ^ { 6 } \! - \! 3 . 1 9 6 1 \! \times \! 1 0 ^ { - 8 } x ^ { 5 } } \\ { + 6 . 3 8 5 9 \! \times \! 1 0 ^ { - 6 } x ^ { 4 } \! - \! 5 . 4 1 5 9 \! \times \! \! 1 0 ^ { \! - 4 } x ^ { 3 } } \\ { + 1 . 9 8 3 3 \! \times \! 1 0 ^ { - 2 } x ^ { 2 } \! + \! 0 . 9 0 4 4 x \! + \! 0 . 9 4 3 9 , } & { 1 0 \leq x \leq 8 0 0 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { 0 } } & { { } = } & { p _ { 0 } \eta ^ { 3 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, , \tau _ { 1 } = 3 p _ { 1 } \eta ^ { 2 } ( 1 - \eta ) \langle k _ { \Delta } \rangle } \\ { \tau _ { 2 } } & { { } = } & { 3 p _ { 2 } \eta ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \langle k _ { \Delta } \rangle \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \tau _ { 3 } = p _ { 3 } ( 1 - \eta ) ^ { 3 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, . } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + \mathrm { T r } [ D _ { \mu } , \phi ] [ D ^ { \mu } , \phi ] - m ^ { 2 } \mathrm { T r } \phi ^ { 2 } - \lambda \mathrm { T r } \phi ^ { 4 } ,
\mathcal { T } _ { 2 } ^ { \alpha } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \frac { 1 } { 3 } s _ { N } } & & & & { \frac { 1 } { 6 } s _ { N } e ^ { - \i \alpha L } } \\ & { A _ { 2 } ( s _ { 1 } ) } & & & \\ & & { \ddots } & & \\ & & & { A _ { 2 } ( s _ { N - 1 } ) } & \\ { \frac { 1 } { 6 } s _ { N } e ^ { \i \alpha L } } & & & & { \frac { 1 } { 3 } s _ { N } } \end{array} \right) ,
V _ { \mathrm { n e c } ( \theta ) } ^ { ( p _ { i } , p _ { j } ) } = \frac { 2 \sqrt { I _ { ( \theta ) } ^ { p _ { i } } I _ { ( \theta ) } ^ { p _ { j } } } } { I _ { ( \theta ) } ^ { p _ { i } } + I _ { ( \theta ) } ^ { p _ { j } } } \approx 1
\begin{array} { r l } & { \phi _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T - 1 } , 1 , x ^ { 2 : T - 1 } , 1 ) F ( \theta + \alpha ) + \phi _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T - 1 } , 0 , x ^ { 2 : T - 1 } , 1 ) [ 1 - F ( \theta + \alpha ) ] } \\ & { = \phi _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T - 1 } , 1 , x ^ { 2 : T - 1 } , 0 ) F ( \alpha ) + \phi _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T - 1 } , 0 , x ^ { 2 : T - 1 } , 0 ) [ 1 - F ( \alpha ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \phi _ { 1 } = \frac { 1 } { \epsilon _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } q _ { k } \delta ( \mathbf { x } _ { k } ) \quad } & { { } \mathbf { x } \in \Omega _ { 1 } } \\ { \left( \nabla ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } \right) \phi _ { 2 } = 0 \quad } & { { } \mathbf { x } \in \Omega _ { 2 } } \\ { \phi _ { 1 } = \phi _ { 2 } ; \quad \epsilon _ { 1 } \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial \mathbf { n } } = \epsilon _ { 2 } \frac { \partial \phi _ { 2 } } { \partial \mathbf { n } } \quad } & { { } \mathbf { x } \in \Gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { k = 0 \dots T } \left\{ \frac { \left( \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } \bar { f } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { M ^ { 2 } \bar { f } ^ { 2 } + 2 M ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } \bar { f } ^ { 2 } \right) } \right\} \leq \frac { \| y _ { 0 } - \bar { y } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { T + 1 } } \\ { \implies } & { \operatorname* { m i n } _ { k = 0 \dots T } \left\{ \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } \bar { f } ^ { 2 } \right\} \leq \frac { M \bar { f } \| y _ { 0 } - \bar { y } \| _ { 2 } } { \sqrt { T + 1 } } + \frac { 2 M ^ { 2 } \| y _ { 0 } - \bar { y } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { T + 1 } \ . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } & { - H { v _ { \mathrm { w a l l } } } \rho _ { 0 } \varepsilon \cos ( k _ { 0 } x ) = \displaystyle H \left[ - \overline { { D } } _ { 0 } ( \rho _ { 0 } ) \left( 1 + \frac { E _ { 0 } } { k _ { B } T } \right) \frac { \partial \rho _ { 1 } ( x ) } { \partial x } - v _ { \mathrm { w a l l } } \rho _ { 1 } ( x ) \right] } \\ & { \int _ { 0 } ^ { L } \rho _ { 1 } ( x ) H \mathrm { d } x = 0 } \\ & { \rho _ { 1 } ( x + L ) = \rho _ { 1 } ( x ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \cfrac { d } { d t } ( z - s ) } & { = f ( z , g ( z ) ) - f ( s , g ( s ) + L ) } \\ & { = f ( z , g ( z ) ) - f ( s , g ( z ) ) + f ( s , g ( z ) ) - f ( s , g ( s ) + L ) } \\ & { = - k _ { 1 } ( e _ { 0 } - c ) ( z - s ) + k _ { 1 } ( K _ { S } + s ) ( g ( z ) - g ( s ) - L ) } \\ & { \leq - k _ { 1 } ( e _ { 0 } - c ) ( z - s ) + k _ { 1 } ( K _ { S } + z ) ( g ( z ) - g ( s ) - L ) } \\ & { = - k _ { 1 } ( e _ { 0 } - c ) ( z - s ) - k _ { 1 } ( K _ { S } + z ) L + k _ { 1 } ( K _ { S } + z ) \cdot \cfrac { e _ { 0 } K _ { M } \cdot ( z - s ) } { ( K _ { M } + s ) ( K _ { M } + z ) } } \\ & { \leq - k _ { 1 } ( e _ { 0 } - c ) ( z - s ) - k _ { 1 } ( K _ { S } + z ) L + k _ { 1 } e _ { 0 } ( z - s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { b 1 } = 0 . 1 3 5 5 \, , \quad \sigma = \frac { 2 } { 3 } \, , \quad c _ { b 2 } = 0 . 6 2 2 \, } & { , \quad \kappa = 0 . 4 1 \, , \quad c _ { w 2 } = 0 . 3 \, , \quad c _ { w 3 } = 2 \, , } \\ { c _ { v 1 } = 7 . 1 \, , \quad c _ { t 3 } = 1 . 2 \, , \quad c _ { t _ { 4 } } = 0 . 5 \, } & { , \quad c _ { w 1 } = \frac { c _ { b 1 } } { \kappa ^ { 2 } } + \frac { 1 + c _ { b 2 } } { \sigma } } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \left( e ^ { - \frac { \xi } { 2 } } \xi ^ { \frac { k } { 2 } } F ( \xi ) \right) = e ^ { - \frac { \xi } { 2 } } \xi ^ { \frac { k } { 2 } } \left[ \frac { d ^ { 2 } F } { d \xi ^ { 2 } } + \left( \frac { k } { \xi } - 1 \right) \frac { d F } { d \xi } + \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { k } { 2 \xi } + \frac { \frac { k } { 2 } \left( \frac { k } { 2 } - 1 \right) } { \xi ^ { 2 } } \right) \right] .
\small \begin{array} { l l } { R i c ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) } & { = R i c ^ { r a n g e F _ { \ast } } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } \Big \{ g _ { 2 } ( \mathcal { S } _ { \nabla _ { e _ { k } } ^ { F \bot } e _ { k } } F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) } \\ & { - g _ { 2 } ( \nabla _ { e _ { k } } ^ { N } \mathcal { S } _ { e _ { k } } F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) + g _ { 2 } ( \mathcal { S } _ { e _ { k } } F _ { \ast } X , \mathcal { S } _ { e _ { k } } F _ { \ast } Y ) + g _ { 2 } ( \nabla _ { e _ { k } } ^ { N } F _ { \ast } X , \mathcal { S } _ { e _ { k } } F _ { \ast } Y ) \Big \} , } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { l } { \partial _ { z } \psi ( x , z ) - \frac { i } { 2 m } \partial _ { x ^ { 2 } } ^ { 2 } \psi ( x , z ) = g \vert S ( x , z ) \vert ^ { 2 } \psi ( x , z ) , } \\ { 0 \le z \le L , \ x \in \Lambda \subset \mathbb { R } , \ \mathrm { a n d } \ \psi ( x , 0 ) = 1 , } \end{array} \right.
L \cdot d U = \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 } { \partial t } - \mu \nabla _ { \perp } ^ { 2 } + \left\{ \cdot , { \phi } \right\} } & { - \left\{ j _ { z } , \cdot \right\} } & { \left\{ { \Omega _ { z } } , \cdot \right\} } & { - \left\{ \cdot , { \psi } \right\} } \\ { . } & { \frac { 1 } { \partial t } + \left\{ \cdot , { \phi } \right\} } & { \left\{ { \psi } , \cdot \right\} } & { - \eta M } \\ { M } & { . } & { - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } } & { . } \\ { . } & { - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } } & { . } & { M } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { d \Omega _ { z } } } \\ { { d \psi } } \\ { { d \phi } } \\ { { d j _ { z } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { . } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \end{array} \right] .
{ \cal O } _ { \mathrm { \footnotesize { n s } } , a } ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } ~ = ~ i ^ { n - 1 } { \cal S } \bar { \psi } ^ { I } \gamma ^ { \mu _ { 1 } } D ^ { \mu _ { 2 } } \ldots D ^ { \mu _ { n } } T _ { I J } ^ { a } \psi ^ { J } - \mathrm { t r a c e ~ t e r m s }
{ \cal R } = { \frac { p } { L ^ { 2 } } } \left[ ( p + 1 ) ( \bar { P } _ { \phi } ^ { 2 } - \bar { E } ^ { 2 } ) \left( { \frac { L } { a } } \right) ^ { 2 ( p + 1 ) } + ( p - 1 ) \bar { E } ^ { 2 } \left( { \frac { L } { a } } \right) ^ { 2 p } \right] .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } \mathcal { E } = } & { { } \left[ \frac { - i \delta } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } ( - \eta _ { 2 } + 2 W _ { 1 } - i \theta _ { 2 } ) \right] \mathcal { E } + h \mathcal { Y } _ { 0 } \frac { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } { 1 + i \delta } - \frac { 1 - 3 \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 3 } \mathcal { E } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { I _ { n } , k } ^ { c g m e } } & { = } & { x _ { k } ^ { c g m e } - \left( ( I _ { n } - Q _ { k } Q _ { k } ^ { T } ) \right) ^ { \dagger } x _ { k } ^ { c g m e } } \\ & { = } & { ( I _ { n } - ( I _ { n } - Q _ { k } Q _ { k } ^ { T } ) ) x _ { k } ^ { c g m e } } \\ & { = } & { Q _ { k } Q _ { k } ^ { T } x _ { k } ^ { c g m e } = Q _ { k } Q _ { k } ^ { T } Q _ { k } { B } _ { k } ^ { - 1 } P _ { k } ^ { T } b } \\ & { = } & { Q _ { k } { B } _ { k } ^ { - 1 } P _ { k } ^ { T } b = x _ { k } ^ { c g m e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| [ F _ { \gamma } ^ { ( 1 ) } ( x ( t ) ) - F _ { \gamma } ^ { ( 1 ) } ( y ( t ) ) ] v \| _ { \infty } } & { = \operatorname* { m a x } _ { i } | \sum _ { j = 1 } ^ { 2 n - 1 } ( F _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ( x ( t ) ) - F _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ( y ( t ) ) ) v _ { j } | } \\ & { \le \| x ( t ) - y ( t ) \| _ { \infty } \| v \| _ { \infty } \sum _ { s , l } | J _ { i , s l } ( t ) | } \\ & { \le 3 e ^ { q _ { n } } \| x ( t ) - y ( t ) \| _ { \infty } \| v \| _ { \infty } } \end{array}
\eta = \operatorname* { l i m } _ { \rho \to + \infty } \frac { P _ { - } ^ { ( t ) } } { P _ { + } ^ { ( i ) } } = \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } | T _ { - + } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { S _ { x , \pm } ^ { L R } } & { = \frac { e ^ { - i \phi _ { \pm } ^ { R } } \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } - e ^ { i \phi _ { \mp } ^ { R } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } { - e ^ { i ( \phi _ { \mp } ^ { R } - \phi _ { \pm } ^ { R } ) } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } + \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } } \\ { S _ { y , \pm } ^ { L R } } & { = \frac { i e ^ { - i \phi _ { \pm } ^ { R } } \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } + i e ^ { i \phi _ { \mp } ^ { R } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } { - e ^ { i ( \phi _ { \mp } ^ { R } - \phi _ { \pm } ^ { R } ) } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } + \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } } \\ { S _ { z , \pm } ^ { L R } } & { = \frac { - e ^ { i ( \phi _ { \mp } ^ { R } - \phi _ { \pm } ^ { R } ) } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } - \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } { - e ^ { i ( \phi _ { \mp } ^ { R } - \phi _ { \pm } ^ { R } ) } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } + \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } } & { \approx \mathbf { M ^ { ( 0 ) } } + \mathbf { M ^ { ( 1 ) } } + \ldots + \mathbf { M ^ { ( n ) } } } \\ { \mathbf { T } } & { \approx \mathbf { T ^ { ( 0 ) } } + \mathbf { T ^ { ( 1 ) } } + \ldots + \mathbf { T ^ { ( n ) } } } \\ { \mathbf { S } } & { \approx \mathbf { S ^ { ( 0 ) } } + \mathbf { S ^ { ( 1 ) } } + \ldots + \mathbf { S ^ { ( n ) } } } \end{array}