harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { w } _ { n } ^ { ( p ) } ( x ) = [ \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \beta ^ { ( p ) } ( x - x _ { n } ) } , \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \beta ^ { ( p ) } ( x - x _ { n } ) } , \mathrm { e } ^ { \beta ^ { ( p ) } ( x - x _ { n } ) } , \mathrm { e } ^ { - \beta ^ { ( p ) } ( x - x _ { n } ) } ] [ A _ { n } ^ { ( p ) } , B _ { n } ^ { ( p ) } , C _ { n } ^ { ( p ) } , D _ { n } ^ { ( p ) } ] ^ { T } : = \mathcal { L } _ { n } ^ { ( p ) } ( x ) \mathbf { U } _ { n } ^ { ( p ) } ,
\frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 M _ { j } } \partial _ { z } ^ { 2 } f _ { j } + \left( \frac { \hbar \omega _ { j } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } M _ { j } \omega _ { j } ^ { 2 } z ^ { 2 } \right) f _ { j } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \bar { \mathbb { E } } \| \hat { M } _ { j } ^ { [ 1 ] } - M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| } \\ { \le } & { C \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| \left( \sqrt { \frac { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } { n } } \bigvee \frac { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } { n } \right) } \\ { \le } & { \frac { C ( \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) ( \sigma _ { j } ^ { 2 } + d _ { 1 } + 1 ) } { ( \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k } \Psi _ { k } } & { \le \sum _ { k } \frac { 4 \varepsilon ^ { 2 } } { d } + 2 5 6 \sqrt { H } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } + \frac { 3 2 \varepsilon } { d \sqrt { d } } \sqrt { H } \sqrt { \Psi _ { k } } } \\ & { \le \sum _ { k } \frac { 4 \varepsilon ^ { 2 } } { d } + 2 5 6 \sqrt { H } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } + \frac { ( 3 2 \varepsilon ) ^ { 2 } H } { d ^ { 3 } } + \frac { \Psi _ { k } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { W ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } | \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } , \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) = W ( - \vec { p } _ { 1 } , - \vec { p } _ { 2 } | - \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } , - \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) \, . } \end{array}
R _ { 0 } ^ { 0 } = - \frac { 1 } { \gamma } \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \partial _ { \mu } \left( \sqrt { - g } \partial ^ { \mu } \phi \right) + 2 e ^ { 2 \gamma \phi } F _ { 0 \alpha } F ^ { 0 \alpha } \ .
\Sigma ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { \left[ \tau _ { \mathrm { d } } \alpha + ( 1 - \tau _ { \mathrm { d } } ) m _ { \mathrm { d } } \right] \mathbb { 1 } _ { 2 } } & { \sqrt { \tau _ { \mathrm { d } } \tau _ { \mathrm { u } } } \gamma Z } \\ { \sqrt { \tau _ { \mathrm { d } } \tau _ { \mathrm { u } } } \gamma Z } & { \left[ \tau _ { \mathrm { u } } \beta + \left( 1 - \tau _ { \mathrm { u } } \right) m _ { \mathrm { u } } \right] \mathbb { 1 } _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\mathcal { P } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { d } } , \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { u } } ) = \mathcal { P } _ { \mathrm { d } } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { d } } ) \mathcal { P } _ { \mathrm { u } } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { u } } )
\begin{array} { r c l } { { T ^ { * } } } & { { = } } & { { { \cal D } T { \cal D } ^ { - 1 } } } \\ { { } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c c c c c } { { t _ { 1 1 } } } & { { t _ { 1 2 } } } & { { - t _ { 1 3 } } } & { { t _ { 1 4 } } } & { { t _ { 1 5 } } } \\ { { t _ { 2 1 } } } & { { t _ { 2 2 } } } & { { - t _ { 2 3 } } } & { { t _ { 2 4 } } } & { { t _ { 2 5 } } } \\ { { - t _ { 3 1 } } } & { { - t _ { 3 2 } } } & { { t _ { 3 3 } } } & { { - t _ { 3 4 } } } & { { - t _ { 3 5 } } } \\ { { t _ { 4 1 } } } & { { t _ { 4 2 } } } & { { - t _ { 4 3 } } } & { { t _ { 4 4 } } } & { { t _ { 4 5 } } } \\ { { t _ { 5 1 } } } & { { t _ { 5 2 } } } & { { - t _ { 5 3 } } } & { { t _ { 5 4 } } } & { { t _ { 5 5 } } } \end{array} \right) ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( u , v , p ; \nu ) = u u _ { x } + v u _ { y } + p _ { x } - \nu ( u _ { x x } + u _ { y y } ) , } \\ { h ( u , v , p ; \nu ) = u v _ { x } + v v _ { y } + p _ { y } - \nu ( v _ { x x } + v _ { y y } ) , } \end{array}
I _ { 2 } ( z , k _ { \mathrm { m a x } } ) = \Re \left\{ z ( z + 1 ) \ln \frac { k _ { \mathrm { m a x } } + z - 1 } { z } + ( z - 1 ) ( 1 - k _ { \mathrm { m a x } } ) \right\} - \ln | z | - 2 \ln k _ { \mathrm { m a x } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \hat { X } = i | u , \tilde { X } , \tilde { Y } \in [ 0 , N ) ) } & { = \frac { \mathbb { P } ( \tilde { X } \in [ i , i + 1 ) , \tilde { Y } \in [ 0 , N ) | u ) } { \mathbb { P } ( \tilde { X } , \tilde { Y } \in [ 0 , N ) | u ) } } \\ & { = \frac { \left[ Q \left( \frac { i - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - u } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] } { \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bf { E } _ { \it { T } } ( \it { z } , \it { t } ) } & { { } = } & { E _ { 0 , T } e ^ { i ( k _ { 2 } z - \omega t ) } \bf { \hat { y } } } \\ { \bf { B } _ { \it { T } } ( \it { z } , \it { t } ) } & { { } = } & { - \frac { E _ { 0 , T } } { v _ { 2 } } e ^ { i ( k _ { 2 } z - \omega t ) } \bf { \hat { x } } . } \end{array}
i \Sigma ( q ) _ { \bar { \mu } \bar { \nu } ; \mu \nu } ^ { 1 a } = \kappa ^ { 2 } \frac { \int d ^ { 4 } k } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { \left( k _ { \bar { \mu } } ^ { \prime } k _ { \bar { \nu } } + k _ { \bar { \nu } } ^ { \prime } k _ { \bar { \mu } } \right) \left( k _ { \mu } ^ { \prime } k _ { \nu } + k _ { \nu } ^ { \prime } k _ { \mu } \right) } { \left( { k ^ { \prime } } ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon \right) \left( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon \right) }
\begin{array} { c c l } { | \Psi ^ { \mathrm { e x c } } ( z _ { j } , t ) \rangle } & { = } & { \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { \sigma } _ { j } | \Psi ( t ) \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { m o d e } } } c _ { m } ( t ) \beta _ { j } ^ { m } \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } | \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \alpha } } _ { m k } = \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \alpha _ { m } \cos \left[ \frac { \pi } { 2 } ( m - k ) \right] \qquad \mathrm { a n d } \qquad \overline { { \beta } } _ { m n } = \left( \begin{array} { l } { m } \\ { n } \end{array} \right) \beta _ { n } \sin \left[ \frac { \pi } { 2 } ( m - n ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L _ { O S } } } & { { } = } & { - i k _ { x } ( U \Delta - U ^ { \prime \prime } ) + \nu _ { T } \Delta ^ { 2 } + 2 \nu _ { T } ^ { \prime } \Delta \mathcal { D } + \nu _ { T } ^ { \prime \prime } ( \mathcal { D } ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { L _ { S Q } } } & { { } = } & { - i k _ { x } U + \nu _ { T } \Delta + \nu _ { T } ^ { \prime } \mathcal { D } , } \\ { \mathcal { L _ { \theta } } } & { { } = } & { - i k _ { x } U + \alpha _ { T } \Delta + \alpha _ { T } ^ { \prime } \mathcal { D } } \end{array}
\tilde { f } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , \tau ) = \tilde { \theta } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } ) \int _ { - \infty } ^ { \tau } \tilde { R } ^ { \cup } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , S } , \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { f } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathfrak { j } } } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = - \iota _ { \xi } \overline { { \ell } } _ { \mathtt { H M S } } ( g , Q ) - \iota _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { H M S } } ( g , Q ) } \\ & { = \iota _ { \xi } ( \overline { { \ell } } _ { \mathtt { E H } } ( g ) + \jmath ^ { * } \iota _ { Z + q / \gamma } \mathrm { v o l } _ { g } ) - \iota _ { \mathrm { X } _ { \xi } } ( \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ( g ) ) } \\ & { = \overline { { \mathfrak { j } } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \iota _ { \xi } ( \jmath ^ { * } \iota _ { Z + q / \gamma } \mathrm { v o l } _ { g } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \displaystyle \int _ { \mathbf { \mathcal { B } _ { \delta } ( \mathbf { x } ) } \cap \Omega } \mu \mathbf { C } ( \mathbf { \mathbf { x ^ { ' } } } - \mathbf { x } ) ( \mathbf { u } \left( \mathbf { x } ^ { \prime } \right) - \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) ) d V _ { \mathbf { \mathbf { x } ^ { \prime } } } = \mathbf { b } ( \mathbf { x } ) } & { \mathrm { ~ \mathbf { x } \in ~ \Omega _ s ~ } , } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) } & { \mathrm { ~ \mathbf { x } \in ~ \Omega _ c ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { G } ^ { u } } & { = - \mathsf { D } ^ { 1 + } \left( \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathbb { F } ^ { u } + \mathsf { K } ^ { \pi \pi } \mathsf { D } _ { W } \mathbb { B } \right) , } \\ { \mathbb { G } ^ { h } } & { = - \mathsf { D } ^ { 1 + } \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathbb { F } ^ { h } , } \\ { \mathbb { G } ^ { p } } & { = - \mathsf { D } ^ { 1 + } \left( \mathbb { S } ^ { p _ { 0 } } + \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathbb { F } ^ { p } - \mathsf { K } ^ { \pi \pi } \mathsf { D } _ { W } \mathbb { B } _ { - 1 } \right) , } \\ { \mathbb { G } ^ { T } } & { = - \mathsf { D } ^ { 1 + } \left( \mathbb { S } ^ { T _ { 0 } } + \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathbb { F } ^ { T } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left. \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon d \tau } \left( p \left( \varepsilon , 0 \right) \circ _ { s \left( \tau \right) } p \left( t , 0 \right) \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right\vert _ { \varepsilon , \tau = 0 } } & { = } & { \left( \rho _ { \exp _ { s } \left( t \xi \right) } ^ { \left( s \right) } \right) ^ { - 1 } \left[ \xi , \exp _ { s } \left( t \xi \right) , \eta \right] ^ { \left( s \right) } } \\ { \left. \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon d \tau } \left( p \left( \varepsilon , 0 \right) \circ _ { s } p \left( t , \tau \right) \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right\vert _ { \varepsilon , \tau = 0 } } & { = } & { \left. \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon d \tau } \left( p \left( \varepsilon , 0 \right) \circ _ { s } \left( p \left( t , \tau \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right) \circ _ { s } p \left( t , 0 \right) \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right\vert _ { \varepsilon , \tau = 0 } } \\ & { = } & { \left. \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon d \tau } p \left( \varepsilon , 0 \right) \circ _ { p \left( t , 0 \right) s } \left( p \left( t , \tau \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right) \right\vert _ { \varepsilon , \tau = 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { S 1 9 } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \eta _ { 0 } , } & { | { \bf J } | < J _ { c r i t } } \\ { \eta _ { 0 } + \eta _ { 1 } | { \bf J } | / J _ { c r i t } , } & { | { \bf J } | \geq J _ { c r i t } } \end{array} \right. . } \end{array}
\langle \psi ^ { 2 } ( t ) \rangle = \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { | f _ { k } ( t ) | ^ { 2 } } { 2 } \coth \left[ \frac { W _ { k } } { 2 T _ { i } } \right] .
\begin{array} { r l } { P _ { 1 , 1 } C _ { 1 } Q _ { 2 , 1 } ^ { * } } & { = \ell _ { 1 , 1 } C _ { 1 } } \\ { P _ { 1 , 1 } C _ { 1 } Q _ { 3 , 1 } ^ { * } } & { = \ell _ { 2 , 1 } C _ { 2 } } \\ { P _ { 1 , 1 } C _ { 2 } Q _ { 2 , 2 } ^ { * } } & { = \ell _ { 1 , 2 } C _ { 1 } } \\ { P _ { 1 , 1 } C _ { 2 } Q _ { 3 , 2 } ^ { * } } & { = \ell _ { 2 , 2 } C _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k } \sum _ { j \le m k + \epsilon j } 2 ^ { ( d + 1 ) ( \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { q } ) k - k } \biggl \| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 1 , 2 ] } | \widetilde { A _ { t , j } ^ { k } } f | \biggl \| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } \\ & { \le \sum _ { k } \sum _ { j \le m k + \epsilon j } 2 ^ { ( d + 1 ) ( \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { q } ) k - k } 2 ^ { - j \epsilon ( p , q ) } \| f \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \lesssim \| f \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I m } \, \sigma _ { x x } ( \omega ) } & { { } = \frac { e ^ { 2 } } { h } \frac { 1 } { 4 } \int \mathrm { d } \epsilon _ { + } \bigg ( 1 + \frac { m ^ { 2 } v ^ { 4 } } { \epsilon _ { + } ^ { 2 } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n } ^ { - 1 } : E _ { n } } & { \xrightarrow { f _ { n } ^ { - 1 } } [ n ] \times D _ { n - 1 } \xrightarrow [ ] { g _ { n } } ( [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } ) \cup D _ { n - 1 } } \\ & { \xrightarrow { \mathrm { i d } _ { [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } } \oplus \alpha _ { n - 1 } } ( [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } ) \cup E _ { n - 1 } \cup \Pi _ { n - 1 } \xrightarrow { \varphi _ { n } ^ { - 1 } \oplus \ell _ { n } ^ { - 1 } } D _ { n } \cup \Pi _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 2 } ( f _ { v } ^ { \prime } ( w _ { g } ) ) } & { = \sum _ { \Tilde { h } \in G _ { w } } \Tilde { h } [ ( e \cdot r ( g ) + m - e ( a _ { g ^ { - 1 } , h } + k _ { \Tilde { h } } ) ) - ( e \cdot 1 + m - e ( 1 + k _ { \Tilde { h } } ) ) + e ] } \\ & { = e \sum _ { \Tilde { h } \in G _ { w } } ( r ( g ) + 1 - a _ { g ^ { - 1 } , h } ) \Tilde { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { ( N ) } ( \vec { \sigma } ) } & { = \sum _ { ( i _ { 1 } \cdots i _ { p } ) } \sum _ { \tau _ { 1 } \cdots \tau _ { p } } J _ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } ^ { \tau _ { 1 } \cdots \tau _ { p } } \sigma _ { i _ { 1 } } ( \tau _ { 1 } ) \cdots \sigma _ { i _ { p } } ( \tau _ { p } ) \, + \, \sum _ { i } H _ { 0 } ( \vec { \sigma } _ { i } ) } \\ & { \equiv H _ { J } ^ { ( N ) } ( \vec { \sigma } ) + \sum _ { i } H _ { 0 } ( \vec { \sigma } _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 6 } ( n ) q ^ { n } } & { = \left( \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } } \\ & { = 1 + 3 q + 6 q ^ { 2 } + 4 q ^ { 3 } - 3 q ^ { 4 } - 1 2 q ^ { 5 } - 8 q ^ { 6 } + 1 2 q ^ { 7 } + 3 0 q ^ { 8 } + \cdots . } \end{array}
E = \int _ { 0 } ^ { 0 . 4 3 \, \delta _ { 9 9 } } \frac { \overline { { \rho u ^ { 2 } } } - \overline { { \rho u ^ { 2 } } } _ { B L } } { \rho _ { \infty } U _ { \infty } ^ { 2 } } \, \mathrm { d } y
\bigl \| \mathbf { q } _ { m , n , r } ^ { \kappa } \bigr \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ) } \leq C a _ { m } ^ { 2 } \varepsilon _ { m } ^ { 2 } \biggl ( \frac { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } { \kappa \tau _ { m } } \biggr ) ^ { \! n } \frac { ( C \tau _ { m } ) ^ { r } } { r ! } \, , \qquad \forall n \in \{ 0 , \ldots , N _ { * } \} \, , \ r \in \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } \, .
\begin{array} { r } { d \overline { { f } } = ( \overline { { \nu } } + { d _ { \mathrm { n a t } } } ) f - f ( \overline { { \mu } } + { d _ { \mathrm { n a t } } } ) = \overline { { \nu } } \overline { { f } } - \overline { { f } } \overline { { \mu } } + { d _ { \mathrm { n a t } } } ( f ) = \overline { { f } } \overline { { \rho } } \overline { { g } } \overline { { f } } - \overline { { f } } \overline { { \mu } } = \overline { { f } } ( \overline { { \rho } } \overline { { g } } \overline { { f } } - \overline { { \mu } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( { \bf x } _ { A } , { \bf x } _ { B } ) = a _ { A B } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } , \qquad ( { \bf x } _ { A } , { \bf x } _ { \alpha } ) = a _ { A \alpha } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) = e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i \left( | k | ^ { \mu } - \omega \right) t } \left[ \cos \left( \frac { 1 } { 2 } t \sqrt { \omega ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } \right) - \frac { i \omega } { \sqrt { \omega ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } } \sin \left( \frac { 1 } { 2 } t \sqrt { \omega ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } \right) \right] \widetilde { \varphi } _ { 1 } ( k ) \; , } \end{array}
F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \pm } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ; \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\left( \begin{array} { c c c } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { n _ { L } ^ { 1 } } } \\ { { n _ { L } ^ { 2 } } } \\ { { n _ { L } ^ { 3 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \\ { { \nu _ { 3 } } } \end{array} \right) .
A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } + A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } = \frac { k _ { \mathrm { T } } ^ { \prime } } { k } \left( A _ { \mathrm { 0 + } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } + A _ { \mathrm { 0 - } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \right) \, ,
\begin{array} { r } { g ^ { \mathbf { a } , n } ( z _ { 0 } , \ldots , z _ { m _ { 1 } - 1 } ) = g + \sum _ { \alpha = 0 } ^ { k - 1 } \left( a _ { \alpha } + n _ { \alpha } \right) z _ { p _ { \alpha } } + a z _ { \beta _ { 1 } } , } \\ { s ^ { \mathbf { a } , n } ( z _ { 0 } , \ldots , z _ { m _ { 1 } - 1 } ) = \Bar { g } + \sum _ { \alpha = 0 } ^ { k - 1 } \left( a _ { \alpha } + n _ { \alpha } \right) \Bar z _ { p _ { \alpha } } + \Bar { a } z _ { \beta _ { 1 } } , } \end{array}
\gamma ^ { * } = ( a _ { 1 } b _ { 1 } - a _ { 2 } b _ { 2 } - a _ { 3 } b _ { 3 } - a _ { 4 } b _ { 4 } ) - ( a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } + a _ { 3 } b _ { 4 } - a _ { 4 } b _ { 3 } ) i - ( a _ { 1 } b _ { 3 } + a _ { 3 } b _ { 1 } + a _ { 4 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 4 } ) j - ( a _ { 1 } b _ { 4 } + a _ { 4 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } ) k
\begin{array} { r l } & { \nabla \cdot ( \epsilon \vec { E } ) = 0 \, , \qquad \nabla \cdot \delta \vec { B } = 0 \, , } \\ & { \nabla \times \vec { E } = - \frac 1 c \frac { \partial \delta \vec { B } } { \partial t } \, , } \\ & { \nabla \times \delta \vec { B } = \frac { 4 \pi } { c } ( \vec { j } + \vec { j } _ { \mathrm { e f f } } ) + \frac 1 c \frac { \partial ( \epsilon \vec { E } ) } { \partial t } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert u - f \rVert _ { C ^ { \ell , \alpha } } } & { \leq \lVert u - v \rVert _ { C ^ { \ell , \alpha } } + \lVert v - f _ { \delta } \rVert _ { C ^ { \ell , \alpha } } + \lVert ( 1 - \delta ) ( \bar { w } - f ) \rVert _ { C ^ { \ell , \alpha } } } \\ & { \leq \| \eta \psi _ { \delta } \| _ { C ^ { \ell , \alpha } } + \lVert \varphi _ { \iota } * ( \eta f _ { \delta } ) - \eta f _ { \delta } \rVert _ { C ^ { \ell , \alpha } } + ( 1 - \delta ) \varepsilon . } \end{array}
{ \frac { \partial \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \beta } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln ( c - Y _ { i } ) - N ( - \psi ( \alpha + \beta ) + \psi ( \beta ) ) - N \ln ( c - a ) = 0
\mathrm { ~ S ~ t ~ e ~ p ~ ( ~ 2 ~ ) ~ } \: : \: p ( b _ { i } ^ { m } | \mathcal { \vec { D } } _ { i , d 2 } ^ { m } , a _ { i } ^ { m * } ) \propto p ( \vec { D } _ { i , d 2 } ^ { m } | b _ { i } ^ { m } , a _ { i } ^ { m * } ) p ( b _ { i } ^ { m } ) ,
\frac { 1 } { q ^ { 2 } | S _ { t } | ^ { 2 } } \sum _ { y ^ { 1 } , y ^ { 2 } , y ^ { 3 } , y ^ { 4 } \in \mathbb F _ { q } ^ { 2 } } S _ { t } ( y ^ { 2 } - y ^ { 1 } ) S _ { t } ( y ^ { 2 } ) S _ { t } ( y ^ { 4 } ) S _ { t } ( y ^ { 1 } ) f _ { 1 } ( y ^ { 3 } - y ^ { 1 } ) f _ { 2 } ( y ^ { 3 } - y ^ { 2 } ) f _ { 3 } ( y ^ { 3 } ) f _ { 4 } ( y ^ { 3 } - y ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \eta } ( t + 1 ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { \le \Big ( 1 - \frac 3 2 \lambda _ { 1 } \Big ) \mathbb { E } \{ \| X ^ { \eta } ( t ) \| ^ { 2 } \} + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n } ( \mathbb { E } \{ \| X ^ { \xi } ( t ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { + \mathbb { E } \{ \| X ^ { \Gamma } ( t ) \| ^ { 2 } \} ) + \frac { 2 c _ { s } \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \eta \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } } \\ & { - \frac { \lambda _ { 1 } } { r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } + \frac { \lambda _ { 1 } \tilde { l } _ { + } ^ { ( s ) } } { 2 r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } \| z ^ { s } \| ^ { 2 } , } \\ & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \eta } ( t + 1 ) \| ^ { 2 } \} \ge ( 1 - 2 \lambda _ { 1 } ) \mathbb { E } \{ \| X ^ { \eta } ( t ) \| ^ { 2 } \} + \frac { 2 c _ { s } \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } } \\ & { \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \eta \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } - \frac { \lambda _ { 1 } } { r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } & { { } = \sum _ { x _ { i } ^ { t } , x _ { i } ^ { t + 1 } } M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } \right) } \end{array}
\mathscr { L } [ \gamma ] \geq \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { M } | \gamma _ { s } ( x ) | \mathrm { d } x \mathrm { d } s = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { M } | \tilde { \gamma } _ { s } ( x ) | \mathrm { d } x \mathrm { d } s
\begin{array} { r l } { [ L _ { \epsilon } , \chi _ { \delta } \partial _ { s _ { i } } ] } & { = \epsilon ^ { 2 } [ \Delta _ { t } - H _ { t } \partial _ { t } + \partial _ { t } ^ { 2 } - W ^ { \prime \prime } ( \overline { { g } } _ { \epsilon } ) , \chi _ { \delta } ( t ) \partial _ { s _ { i } } ] } \\ & { = [ \epsilon ^ { 2 } \Delta _ { t } , \chi _ { \delta } ( t ) \partial _ { s _ { i } } ] + [ - \epsilon ^ { 2 } H _ { t } \partial _ { t } , \chi _ { \delta } ( t ) \partial _ { s _ { i } } ] + [ \epsilon ^ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } , \chi _ { \delta } ( t ) \partial _ { s _ { i } } ] - [ \epsilon ^ { 2 } W ^ { \prime \prime } ( \overline { { g } } _ { \epsilon } ) , \chi _ { \delta } ( t ) \partial _ { s _ { i } } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \left\langle x ^ { T } \cdot C _ { 2 } \cdot x \right\rangle / 2 + C _ { 1 } ^ { T } \cdot \left\langle x \right\rangle + C _ { 0 } - \langle \hat { V } \rangle } \\ { 0 } & { { } = C _ { 2 } \cdot \left\langle x \right\rangle + C _ { 1 } - \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle = C _ { 1 } - \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle , } \\ { 0 } & { { } = C _ { 2 } - \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( { \boldsymbol x } _ { { \mathfrak { q } } ^ { c } } ) = \int _ { \mathcal { X } _ { \mathfrak { q } } } g ( { \boldsymbol x } ) ^ { 2 } \lambda _ { \mathfrak { q } } ( { \boldsymbol x } _ { \mathfrak { q } } ) { \mathrm { d } } { \boldsymbol x } _ { \mathfrak { q } } = \sum _ { \ell = 1 } ^ { | \mathfrak { u } ^ { \mathfrak { q } } | } \Big ( \sum _ { { \boldsymbol k } \in \mathcal { K } } c _ { { \boldsymbol k } } \mathsf { P } _ { \sigma ( { \boldsymbol k } ) \ell } ^ { ( { \mathfrak { q } } ) } \prod _ { i \in { \mathfrak { q } } ^ { c } } \psi _ { k _ { i } } ( x _ { i } ) \Big ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { E } = } & { - \frac { \boldsymbol { u } _ { e } \times \boldsymbol { B } } { c } - \frac { m _ { e } } { e } \left( \partial _ { t } \boldsymbol { u } _ { e } + \boldsymbol { u } _ { e } \cdot \nabla \boldsymbol { u } _ { e } \right) } \\ & { - \frac { T _ { e } } { e } \nabla \ln ( n _ { i } / n _ { 0 i } ) + \frac { m _ { e } } { Z e ^ { 2 } n _ { i } } \nu _ { e i } \boldsymbol { J } . } \end{array}
\begin{array} { r } { d s ^ { 2 } = g _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } = h ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } ) [ ( d x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( d x ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] , } \end{array}