harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { [ Z ^ { n } ] = } \\ & { \exp \left\{ \frac { N n \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 } \right\} \exp \left\{ \frac { N n \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } - \frac { n \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { n \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 N } \right\} \int \prod _ { \alpha < \beta } d q _ { \alpha \beta } \int \prod _ { \alpha } d m _ { \alpha } \exp \left\{ - \frac { N \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } - \frac { N \beta \mu _ { _ { J } } } { 2 } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } \right\} T r \exp \Biggl \{ \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } } \\ & { \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { i } ^ { \beta } + \beta \sum _ { \alpha } ( \mu _ { _ { J } } m _ { \alpha } + h ) \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } \Biggr \} \exp \Biggl \{ \gamma \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { i } ^ { \beta } - ( \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 2 N } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 6 N ^ { 2 } } ) \sum _ { \alpha < \beta } \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { i } ^ { \beta } - ( \frac { \beta \mu _ { _ { \Delta } } } { 2 N } + \frac { \beta \mu _ { _ { \Delta } } } { 6 N ^ { 2 } } ) \sum _ { \alpha } \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } + \gamma ^ { \prime } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } \Biggr \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle F ^ { \prime } ( \phi ) , w \rangle _ { H ^ { 1 } ( D ; [ - 1 , 1 ] ) } = - \operatorname* { l i m } _ { \eta \to 0 _ { + } } \int _ { D } \mathbb { D } \frac { \chi _ { \phi + \eta w } - \chi _ { \phi } } { \eta } ( x ) \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { u } _ { \phi } ) ( x ) \colon \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { \tilde { u } } _ { \phi } ) ( x ) \, \mathrm { d } x } \end{array}
1 - \frac { \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } = 1 - \frac { 1 } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } - \frac { k ^ { 2 } + k _ { e 1 } ^ { 2 } } { k _ { i 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \right) = - \frac { k ^ { 2 } + k _ { D 1 } ^ { 2 } } { k _ { i 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \right)
\P | l , k \rangle = \left( \sqrt { \textstyle { \frac { r } { 2 ( r - 1 ) } } } \, l - \sqrt { \textstyle { \frac { r - 1 } { 2 r } } } \, k \right) | l , k \rangle , \qquad \beta _ { m } | l , k \rangle = 0 , \quad m > 0 .
\sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 ( j \neq i ) } ^ { 3 } [ ( 2 _ { 1 } \alpha ^ { i } , 2 _ { 2 } \alpha ^ { j } ) + ( 2 _ { 2 } \alpha ^ { i } , 2 _ { 1 } \alpha ^ { j } ) + ( 2 _ { 3 } \alpha ^ { i } , 2 _ { 4 } \alpha ^ { j } ) + ( 2 _ { 4 } \alpha ^ { i } , 2 _ { 3 } \alpha ^ { j } ) + ( 2 _ { 2 } \alpha ^ { i } , 2 _ { 1 } \alpha ^ { i } ) + ( 2 _ { 4 } \alpha ^ { i } , 2 _ { 3 } \alpha ^ { i } ) ]
{ \begin{array} { r l } { \Gamma ^ { \prime } ( x ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { x - 1 } e ^ { - t } \ln t \, d t } \\ & { = \Gamma ( x ) \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \ln \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \right) - { \frac { 1 } { x + n } } \right) - { \frac { 1 } { x } } \right) } \\ & { = \Gamma ( x ) \psi ( x ) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathrm { v a r } ( v _ { X } ) _ { \mathrm { i s o t r o p i c } } = \frac { 1 } { 1 5 } ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) ^ { 2 } \quad \rightarrow \quad \mathrm { v a r } ( X ) _ { \mathrm { i s o t r o p i c } } = \frac { 1 } { 1 5 } ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) ^ { 2 } t ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { v a r } ( v _ { Z } ) _ { \mathrm { i s o t r o p i c } } = \frac { 4 } { 4 5 } ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) ^ { 2 } \quad \rightarrow \quad \mathrm { v a r } ( Z ) _ { \mathrm { i s o t r o p i c } } = \frac { 4 } { 4 5 } ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) ^ { 2 } t ^ { 2 } . } \end{array}
e ^ { - i k _ { 2 } L } \frac { \kappa _ { 2 } - i k _ { 2 } } { \kappa _ { 2 } + i k _ { 2 } } = - \frac { B _ { a _ { 2 } a _ { 1 } } ( \beta , - ) } { B _ { a _ { 2 } a _ { 1 } } ( \beta , + ) } ,
\langle \zeta ( t , \vec { x } ) \zeta ( t , \vec { x } ) \rangle = \frac { 2 \langle \delta \bar { \psi } ( t , \vec { x } ) \psi ( t ) \cdot \bar { \psi } ( t ) \delta \psi ( t , \vec { x } ) \rangle } { ( \bar { \psi } \psi ) ^ { 2 } } ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } W ( s ) \geq a \right) } & { = \mathbb { P } \left( W ( t ) \geq a \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \mathbb { P } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } W ( s ) \geq a \right) } \\ { \mathbb { P } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } W ( s ) \geq a \right) } & { = 2 \mathbb { P } \left( W ( t ) \geq a \right) } \end{array} }
\left. \left. - \frac { 1 } { c ( m _ { A } \beta , ( 1 - \beta ) q _ { 1 _ { \perp } } ^ { \prime } ) } - \frac { 1 } { c ( m _ { A } \beta , ( 1 - \beta ) q _ { 1 _ { \perp } } ) } + \frac { 1 } { c ( m _ { A } \beta , ( 1 - \beta ) q _ { \perp } ) } \right] \right\} \; ,
I \approx 2 \pi R _ { a } ^ { 2 } \int J _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ } } ( \tilde { \theta } ) \frac { \sin \tilde { \theta } } { \cos ^ { 4 } \tilde { \theta } } \times { \cal C } ( \tilde { \theta } ) ~ d \tilde { \theta }
\Gamma ( Z ^ { \prime } \rightarrow W W ) = \frac { M _ { Z ^ { \prime } } } { 1 2 \pi } \frac { \delta _ { Z ^ { \prime } W W } ^ { 2 } } { 1 6 \eta _ { W } ^ { 2 } } ( 1 - 4 \eta _ { W } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( 1 + 2 0 \eta _ { W } + 1 2 \eta _ { W } ^ { 2 } ) ,
\Omega = \left[ \begin{array} { l l l l } { v _ { \delta _ { 1 } } } & { v _ { \delta _ { 2 } } } & { \cdots } & { v _ { \delta _ { t } } } \\ { v _ { \delta _ { 1 } } ^ { 2 } } & { v _ { \delta _ { 2 } } ^ { 2 } } & { \cdots } & { v _ { \delta _ { t } } ^ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { v _ { \delta _ { 1 } } ^ { t } } & { v _ { \delta _ { 2 } } ^ { t } } & { \cdots } & { v _ { \delta _ { t } } ^ { t } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \langle i \| t _ { M 1 } \| j \rangle } & { = } & { \frac { \kappa _ { i } + \kappa _ { j } } { 2 } \langle - \kappa _ { i } \| C ^ { 1 } \| \kappa _ { j } \rangle } \\ & { } & { \int r [ P _ { i } ( r ) Q _ { j } ( r ) + Q _ { i } ( r ) P _ { j } ( r ) ] d r \, , } \\ { \langle i \| t _ { E 2 } \| j \rangle } & { = } & { \langle \kappa _ { i } \| C ^ { 2 } \| \kappa _ { j } \rangle } \\ & { } & { \int r ^ { 2 } [ P _ { i } ( r ) P _ { j } ( r ) + Q _ { i } ( r ) Q _ { j } ( r ) ] d r \, , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \sigma \left[ \dot { Z } ^ { i } ( Z ^ { i } ) ^ { \prime } - 2 f Z ^ { 2 } ( Z ^ { 1 } ) ^ { \prime } + i l _ { s } ^ { 2 } S ^ { A } ( S ^ { A } ) ^ { \prime } \right] = 0 ~ .
\varphi _ { j } ^ { q } ( z ) \approx A \exp \left[ - \frac { \omega } { 2 \sqrt { 2 \delta } } \left( z + \frac { c _ { q } } { \omega ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right] \frac { j ! ( - 2 ) ^ { j } } { ( 2 j ) ! } H _ { 2 j } \left( \left( \frac { 2 \omega ^ { 2 } } { \delta } \right) ^ { 1 / 4 } \left( z + \frac { c _ { q } } { \omega ^ { 2 } } \right) \right)
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \frac { | T _ { n } | - | T _ { n } \cap ( T _ { n } - h ) | } { | T _ { n } | } = \frac { \frac { 3 } { 2 } \cdot S _ { n } ^ { 2 } \cdot \| h \| _ { 2 } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \cdot \| h \| _ { 2 } ^ { 3 } } { S _ { n } ^ { 3 } } = \mathcal { O } \left( \frac { \| h \| _ { 2 } } { | T _ { n } | ^ { 1 / 3 } } \right) . } \end{array}
\omega _ { Q } = { \frac { e Q V _ { z z } } { 4 I ( 2 I - 1 ) \hbar } } = { \frac { 2 \pi e Q V _ { z z } } { 4 I ( 2 I - 1 ) h } } = { \frac { 2 \pi \nu _ { Q } } { 4 I ( 2 I - 1 ) } }
[ ~ t _ { 0 } ^ { i i } ~ , ~ t _ { n } ^ { i j } ~ ] ~ = ~ - ~ t _ { n } ^ { i j } ~ , ~ ~ ~ [ ~ t _ { 0 } ^ { i i } ~ , ~ t _ { n } ^ { j i } ~ ] ~ = ~ t _ { n } ^ { j i } ~ , ~ ~ ~ [ ~ t _ { 0 } ^ { i i } ~ , ~ t _ { n } ^ { j k } ~ ] ~ = ~ 0 ~ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \varphi ( z ) = \mathrm { e } ^ { g \int _ { 0 } ^ { z } \vert S ( z ^ { \prime } ) \vert ^ { 2 } d z ^ { \prime } } , } \\ & { } & { \tilde { \varphi } ( z ) = 2 i \lambda \varphi ( L ) \mathrm { e } ^ { g \int _ { z } ^ { L } \vert S ( z ^ { \prime } ) \vert ^ { 2 } d z ^ { \prime } } , } \\ & { } & { \tilde { \vartheta } ( z ) = 2 i \lambda \varphi ^ { \ast } ( L ) \mathrm { e } ^ { g \int _ { z } ^ { L } \vert S ( z ^ { \prime } ) \vert ^ { 2 } d z ^ { \prime } } , } \end{array}
c _ { R } ^ { \mathrm { G a u s s } } ( u ) = { \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } { R } } } } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l } { \Phi ^ { - 1 } ( u _ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { \Phi ^ { - 1 } ( u _ { d } ) } \end{array} \right) } ^ { T } \cdot \left( R ^ { - 1 } - I \right) \cdot { \left( \begin{array} { l } { \Phi ^ { - 1 } ( u _ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { \Phi ^ { - 1 } ( u _ { d } ) } \end{array} \right) } \right) ,
\begin{array} { r l } { S _ { k } } & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } e ^ { 2 \pi i k x } \frac { \log ^ { \alpha - 2 } ( x + a ) } { ( x + a ) ^ { 3 } } \left( \alpha ( \alpha - 1 ) - 3 \alpha \log ( a + x ) + 2 \log ^ { 2 } ( a + x ) \right) \; d x } \\ & { = \int _ { b } ^ { \infty } e ^ { 2 \pi i k ( e ^ { y } - a ) } \frac { y ^ { \alpha - 2 } } { e ^ { 3 y } } \left( \alpha ( \alpha - 1 ) - 3 \alpha \cdot y + 2 \cdot y ^ { 2 } \right) e ^ { y } \; d y } \\ & { = \int _ { b } ^ { \infty } e ^ { 2 \pi i k ( e ^ { y } - a ) + \alpha \log y } e ^ { - 2 y } \left( \frac { \alpha ( \alpha - 1 ) - 3 \alpha \cdot y + 2 \cdot y ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } \right) d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( x _ { \pi } } & { ( t _ { 0 } + j \varepsilon ) , t _ { 0 } + j \varepsilon ) - m _ { P } \le ( P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) , t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) - m _ { P } ) } \\ & { \le \big ( ( P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) , t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) - m _ { P } ) ^ { 1 - \nu } + \varepsilon \mu \gamma ^ { * } ( \nu - 1 ) \big ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \nu } } } \\ & { \le \big ( ( P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) - m _ { P } ) ^ { 1 - \nu } + j \varepsilon \mu \gamma ^ { * } ( \nu - 1 ) \big ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \nu } } \; \; \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } j \in \mathbb N \cup \{ 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( x ) } & { { } = 6 x ^ { 2 } \left( 4 - \frac { \left( 1 \pm i \sqrt { 3 } \right) } { H ( x ) } - \left( 1 \mp i \sqrt { 3 } \right) H ( x ) \right) ^ { - 1 } , } \\ { H ( x ) } & { { } = \left[ 5 4 x ^ { 2 } - 1 + 6 \sqrt { 3 } x \sqrt { 2 7 x ^ { 2 } - 1 } \right] ^ { 1 / 3 } . } \end{array}
\Xi = C \int \Pi _ { i } d \lambda _ { i } a ^ { { \frac { - N ( N - 1 ) } { 2 } } } \Pi _ { i < j } ( \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) ( \xi _ { i } - \xi _ { j } ) \exp ( - V _ { 0 } + a \sum \lambda _ { i } \xi _ { i } ) )
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 4 \pi } } \left\langle \mathbf { E } _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) \right\rangle } & { = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \sum _ { \mathbf { k } \lambda } \sum _ { \mathbf { k ^ { \prime } } \lambda ^ { \prime } } { \sqrt { \frac { 2 \pi \hbar \omega _ { k } } { V } } } { \sqrt { \frac { 2 \pi \hbar \omega _ { k ^ { \prime } } } { V } } } \times \left\langle a _ { \mathbf { k } \lambda } ( 0 ) a _ { \mathbf { k ^ { \prime } } \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( 0 ) \right\rangle } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \sum _ { \mathbf { k } \lambda } \left( { \frac { 2 \pi \hbar \omega _ { k } } { V } } \right) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d w \, \rho _ { 0 } ( \omega ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { W \left( t \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { s r } \left( t \right) \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( - \dot { \sigma } _ { s r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \right) \left( \varepsilon \left( t \right) - \varepsilon \left( t ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { \prime } > 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { W \left( t \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \varepsilon } _ { c r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \sigma ^ { 2 } \left( t ^ { \prime } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { l } { \mathrm { p i c k ~ a n y ~ t w o ~ n o d e s ~ } i \mathrm { ~ a n d ~ } j \mathrm { ~ a d j o i n t ~ o n e ~ a n o t h e r ~ a n d ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ { \xi _ { i } \not \in \{ \xi _ { \Phi } , \xi _ { \Psi } \} \mathrm { ~ a n d ~ } \xi _ { j } \in \{ \xi _ { \Phi } , \xi _ { \Psi } \} ; \mathrm { ~ s e t ~ } \xi _ { i } \mathrm { ~ t o ~ } \xi _ { j } , \mathrm { ~ i . e . ~ p u t ~ } \xi _ { i } : = \xi _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { p , x } ^ { ( N ) } ( z ) } & { \equiv \Psi _ { p , x _ { 1 } , \dots , x _ { N - 1 } } ^ { ( N ) } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N } ) } \\ & { = \pi ^ { - N ^ { 2 } / 2 } | p | ^ { N - 1 } \int \mathrm { d } ^ { 2 } z U _ { x _ { 1 } , \dots , x _ { N - 1 } } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N } | z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( p z + \bar { p } \bar { z } ) } , } \end{array}
\operatorname { k } ^ { \nu + \nu ^ { \prime } } ( A _ { i } , \hat { R } A _ { i } ^ { \prime } ) = \operatorname { k } ^ { \nu } ( A _ { i } , \hat { R } A _ { i } ^ { \prime } ) \, \operatorname { k } ^ { \nu ^ { \prime } } ( A _ { i } , \hat { R } A _ { i } ^ { \prime } ) .
{ \begin{array} { r l } { V ( \mathbf { x } ) } & { = - { \frac { G } { | \mathbf { x } | } } \int \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { r } { | \mathbf { x } | } } \right) ^ { n } P _ { n } ( \cos \theta ) \, d m ( \mathbf { r } ) } \\ & { = - { \frac { G } { | \mathbf { x } | } } \int \left( 1 + \left( { \frac { r } { | \mathbf { x } | } } \right) \cos \theta + \left( { \frac { r } { | \mathbf { x } | } } \right) ^ { 2 } { \frac { 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 } { 2 } } + \cdots \right) \, d m ( \mathbf { r } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { C _ { 3 } ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) ^ { C _ { 3 } } d ^ { C _ { 3 } } ( \log _ { 2 } ( 6 { \varepsilon } ^ { - 1 } C _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { 2 } 2 ^ { n _ { 1 } + 1 } ) ) ^ { C _ { 3 } } } \\ & { = C _ { 3 } ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) ^ { C _ { 3 } } d ^ { C _ { 3 } } ( \log _ { 2 } ( 6 C _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { 2 } { \varepsilon } ^ { - 1 } ) + n _ { 1 } + 1 ) ) ^ { C _ { 3 } } } \\ & { \leq C _ { 3 } ( 3 + \log _ { 2 } ( 2 ^ { 2 } 3 ^ { 2 } \mathfrak { c } ^ { 2 } d ^ { \frac { 9 } { 2 } } { \varepsilon } ^ { - 2 } ) ) ^ { C _ { 3 } } d ^ { C _ { 3 } } ( \log _ { 2 } ( 2 \cdot 3 \mathfrak { c } d ^ { 2 } { \varepsilon } ^ { - 1 } ) + 3 + \log _ { 2 } ( 2 \cdot 3 \mathfrak { c } d ^ { \frac { 5 } { 2 } } { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { C _ { 3 } } } \\ & { = C _ { 3 } d ^ { C _ { 3 } } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 5 } 3 ^ { 2 } \mathfrak { c } ^ { 2 } d ^ { \frac { 9 } { 2 } } { \varepsilon } ^ { - 2 } ) ) ^ { 2 C _ { 3 } } } \\ & { \leq C _ { 3 } d ^ { C _ { 3 } } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 5 } 3 ^ { 2 } \mathfrak { c } ^ { 2 } ) + 5 \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { 2 C _ { 3 } } } \\ & { \leq C _ { 3 } d ^ { C _ { 3 } } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 5 } 3 ^ { 2 } \mathfrak { c } ^ { 2 } ) + 5 ) ^ { 2 C _ { 3 } } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { 2 C _ { 3 } } } \\ & { = C _ { 3 } ( \log _ { 2 } ( 2 ^ { 1 0 } 3 ^ { 2 } \mathfrak { c } ^ { 2 } ) ) ^ { 2 C _ { 3 } } d ^ { C _ { 3 } } ( 1 + \log _ { 2 } ( d { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ) ^ { 2 C _ { 3 } } . } \end{array}
r _ { h } = r ( \textbf { x } , \textbf { y } , \mathbf { E } _ { h } ) = \frac { \mathbf { x } ^ { \top } \left( \mathbf { E } _ { h } - \mathbf { p } _ { h } \mathbf { q } _ { h } ^ { \top } \right) \mathbf { y } } { \sqrt { \left[ \mathbf { x } ^ { \top } \left( \mathbf { D _ { p } } _ { h } - \mathbf { p } _ { h } \mathbf { p } _ { h } ^ { \top } \right) \mathbf { x } \right] \left[ \mathbf { y } ^ { \top } \left( \mathbf { D _ { q } } _ { h } - \mathbf { q } _ { h } \mathbf { q } _ { h } ^ { \top } \right) \mathbf { y } \right] } , }
\left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { \partial c } { \partial t } } & { = D \nabla ^ { 2 } c - \gamma c + \omega \delta ( x ) } & { \quad \forall x \mathrm { ~ i n ~ } [ - L , L ] } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { L } } & { = \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { - L } = 0 } \\ { c ( x , 0 ) } & { = 0 } & { \forall x \mathrm { ~ i n ~ } [ - L , L ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int \, d t } & { { } = \frac { 1 } { \omega } \int _ { } \frac { d \theta } { 1 - \epsilon \cos \theta } \approx \frac { 1 } { \omega } \int \, ( 1 + \epsilon \cos \theta + \epsilon ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + \ldots ) \, d \theta } \\ { \Rightarrow t } & { { } = \frac { \theta } { \omega } + \frac { \sin \theta } { \omega } \epsilon + \frac { 2 \theta + \sin 2 \theta } { 4 \omega } \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { f r e e } } = } & { \omega _ { 1 } { a _ { 1 } } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \omega _ { 2 } { a _ { 2 } } ^ { \dagger } a _ { 2 } + \omega _ { m } b ^ { \dagger } b , } \\ { H _ { \mathrm { i n t } } = } & { g _ { 1 } { a _ { 1 } } ^ { \dagger } a _ { 1 } ( b ^ { \dagger } + b ) + g _ { 2 } { a _ { 2 } } ^ { \dagger } a _ { 2 } ( b ^ { \dagger } + b ) , } \\ { H _ { \mathrm { d r i v e } } = } & { i \sqrt { \kappa _ { e x 1 } } \epsilon _ { l 1 } e ^ { - i \omega _ { l 1 } t } { a _ { 1 } } ^ { \dagger } + i \sqrt { \kappa _ { e x 2 } } \epsilon _ { l 2 } e ^ { - i \omega _ { l 2 } t } { a _ { 2 } } ^ { \dagger } + \mathrm { H . c . } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t _ { k } - t _ { k } ^ { 2 } } \alpha ( \| \phi ( s , x _ { k } ^ { 2 } , u _ { k } ^ { 2 } ) \| _ { X } ) d s } & { \geq ( t _ { k } ^ { 1 } - t _ { k } ^ { 2 } ) \alpha ( \delta _ { 2 } ) + ( t _ { k } - t _ { k } ^ { 1 } ) \alpha ( \delta _ { 1 } ) } \\ & { \geq ( t _ { k } ^ { 1 } - t _ { k } ^ { 2 } ) \alpha ( \delta _ { 2 } ) + ( t _ { k } - t _ { k } ^ { 1 } - 1 ) \alpha ( \delta _ { 1 } ) + \alpha ( \delta _ { 1 } ) } \\ & { \geq ( t _ { k } - t _ { k } ^ { 2 } - 1 ) \alpha ( \delta _ { 2 } ) + \alpha ( \delta _ { 1 } ) . } \end{array}
t _ { i + 1 } - t _ { i } = \Delta t , \quad t _ { 0 } \sim \mathcal { U } [ \epsilon _ { t } , \epsilon _ { t } + \Delta t ] , \quad \Delta t = \frac { 1 - \epsilon _ { t } } { N _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ t ~ c ~ h ~ } } } .
\left\langle \Theta _ { 2 3 } ( \vec { x } ) \right\rangle = \left\langle \Theta _ { 3 2 } ( \vec { x } ) \right\rangle = \left\langle \Theta _ { 3 1 } ( \vec { x } ) \right\rangle = \left\langle \Theta _ { 1 3 } ( \vec { x } ) \right\rangle = \left\langle \Theta _ { 0 i } ( \vec { x } ) \right\rangle = \left\langle \Theta _ { i 0 } ( \vec { x } ) \right\rangle = 0 .
\mathsf { c } ( \mathsf { c } ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { m } ) , z _ { m + 1 } ) = [ \mathrm { u s e ~ ( a ) } ] = \mathsf { c } ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { k } , z _ { m + 1 } ) = [ \mathrm { u s e ~ L e m m a ~ } ] = \mathsf { c } ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { m } , z _ { m + 1 } ) = \mathsf { m s } ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { k } ) = \mathsf { c } ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { m } )
( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) ^ { + } ( r _ { 1 } + r _ { 3 } ) ^ { - } + ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) ^ { + } ( r _ { 4 } + r _ { 5 } ) ^ { - } + ( r _ { 4 } + r _ { 5 } ) ^ { + } ( r _ { 1 } + r _ { 3 } ) ^ { - } + r _ { 4 } ^ { + } r _ { 5 } ^ { - } + r _ { 5 } ^ { + } r _ { 4 } ^ { - } ~ .
\begin{array} { r l } { \delta S _ { \mathrm { t o t } } } & { = \int _ { \mathrm { b u l k } } ( - ) ^ { q } \delta A \wedge \tilde { F } + ( - 1 ) ^ { p q + q } \, \delta \tilde { A } \wedge F } \\ & { \quad + \int \delta A \wedge \star J + \delta \tilde { A } \wedge \star \tilde { J } } \\ & { \qquad \qquad + \ell \delta \Phi \wedge \star L + \tilde { \ell } \delta \tilde { \Phi } \wedge \star \tilde { L } , } \end{array}
E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) = 4 \pi + \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 2 } ( 1 + \varepsilon + \varepsilon ^ { 2 } ) - ( 4 \pi \alpha ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } - \frac { \gamma \alpha \varepsilon ^ { 4 } } { 2 } ) \log { ( \alpha \varepsilon ^ { 2 } ) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \gamma \varepsilon ^ { 6 } , ( \gamma + 1 ) \alpha \varepsilon ^ { 4 } , \alpha ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } , \alpha h ^ { 2 } \right) } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \gamma } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - y ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) [ f ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) - f ( x ^ { k + 1 } ) - \omega ( x ^ { k + 1 } ) ] + \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma - \kappa } } \\ & { + \frac { \rho \theta } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { \theta ( \rho - 3 \lambda - 2 \kappa \beta - \kappa ) } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - \hat { z } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \gamma \theta ^ { 2 } - \rho \theta } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \theta \kappa \beta \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } . } \\ & { + \big ( \lambda \theta + \frac { \lambda } { 2 } \big ) \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } + \frac { \lambda ( 1 - \theta ) } { 2 } \| x ^ { k } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\kappa _ { F } \equiv \left( \frac { \Delta m _ { e \tau } ^ { 2 } } { 2 K } \right) ^ { 2 } \frac { 2 } { \pi } \frac { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { e \tau } } { | \Delta \dot { V } _ { F } | } \geq 1 ,
\phi _ { \pi } ( u , \mu ) = 6 u ( 1 - u ) \left[ 1 + a _ { 2 } ( \mu ) C _ { 2 } ^ { 3 / 2 } ( 2 u - 1 ) + a _ { 4 } ( \mu ) C _ { 4 } ^ { 3 / 2 } ( 2 u - 1 ) + \ldots \right] .
\bar { \phi } _ { \bar { x } } ^ { \bar { i } } ( \bar { y } ) : = \bar { x } ^ { \bar { i } } + \bar { y } ^ { \bar { i } } + \frac 1 2 \bar { \phi } _ { \bar { x } , \bar { j } \bar { k } } ^ { \bar { i } } \, \bar { y } ^ { \bar { j } } \bar { y } ^ { \bar { k } } + \cdots
\left( \begin{array} { c } { { \phi } } \\ { { \chi } } \end{array} \right) = \frac { \sqrt { 1 2 } ( P ( z ) Q ^ { \prime } ( z ) - Q ( z ) P ^ { \prime } ( z ) ) } { | q | ( | P ( z ) | ^ { 2 } + | Q ( z ) | ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \left( \begin{array} { c } { { P ( z ) } } \\ { { Q ( z ) } } \end{array} \right) \, ,
\tilde { \chi } _ { n } ( \tilde { z } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! } } \left( \frac { 1 } { \pi \tilde { a } _ { z } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } H _ { n } ( \tilde { z } / \tilde { a } _ { z } ) e ^ { - \frac { \tilde { z } ^ { 2 } } { 2 \tilde { a } _ { z } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { n } ^ { N } + u _ { n } ^ { N } \cdot \nabla \rho _ { n } ^ { N } } & { { } = 2 \Lambda \Re ( \overline { { \psi _ { n } ^ { N } } } B _ { n } ^ { N } \psi _ { n } ^ { N } ) } \\ { \rho _ { n } ^ { N } ( 0 , x ) } & { { } = \rho _ { 0 } ^ { N } ( x ) \in C _ { x } ^ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E x p e c t E r r } _ { p } ^ { x } ( \delta ) : = } & { \left[ \lambda _ { 2 } + \frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { p } } \right] \delta + \left[ 3 2 + \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( p ) } { \sqrt { \alpha _ { p } } } \right] \sqrt { \delta } , } \\ { \mathrm { E x p e c t E r r } _ { q } ^ { y } ( \delta ) : = } & { \left[ \lambda _ { 2 } + \frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { q } } \right] \delta + \left[ 4 0 + \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( q ) } { \sqrt { \alpha _ { q } } } \right] \sqrt { \delta } , } \end{array}
{ \cal { L } } _ { \Lambda } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 ! } \phi ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \delta Z _ { 1 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \delta m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - \frac { \delta \lambda } { 4 ! } \phi ^ { 4 } .