harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { A } \longrightarrow \hat { \mathbf { A } } = \sum _ { \mathbf { k } , \tau } \frac { c \lambda } { \sqrt { 2 \omega _ { k } } } \left( \boldsymbol { \epsilon } _ { \mathbf { k } \tau } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } b _ { \mathbf { k } \tau } + \boldsymbol { \epsilon } _ { \mathbf { k } \tau } ^ { * } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } b _ { \mathbf { k } \tau } ^ { \dagger } \right) ,
\begin{array} { r l r } { A _ { c } l _ { c } e ^ { - 2 / l _ { c } } } & { { } = } & { A _ { g } l _ { g } e ^ { - 1 / l _ { g } } } \\ { ( 2 + l _ { c } ) A _ { c } l _ { c } e ^ { - 2 / l _ { c } } + ( 1 + l _ { g } ) A _ { g } l _ { g } e ^ { - 1 / l _ { g } } } & { { } = } & { N } \\ { ( 2 + l _ { c } ) + \frac { 2 } { Q } ( 1 + l _ { g } ) } & { { } = } & { ( 2 + l _ { c } + 1 + l _ { g } ) \rho } \\ { Q e ^ { J _ { 1 } / 2 } A _ { c } e ^ { - 2 / l _ { c } } } & { { } = } & { ( 1 + l _ { g } ) A _ { g } l _ { g } e ^ { - 1 / l _ { g } } } \end{array}
E = - { \frac { 2 } { \pi a } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( l + 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \, x \cos x \epsilon \, { \frac { d } { d x } } \ln [ ( e _ { l } ^ { 2 } + e _ { l + 1 } ^ { 2 } ) ( s _ { l } ^ { 2 } + s _ { l + 1 } ^ { 2 } ) ] .
e ^ { - { \frac { i \pi } { 4 } } } { \left( \begin{array} { l l } { \cos ^ { 2 } \theta + i \sin ^ { 2 } \theta } & { ( 1 - i ) \sin \theta \cos \theta } \\ { ( 1 - i ) \sin \theta \cos \theta } & { \sin ^ { 2 } \theta + i \cos ^ { 2 } \theta } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } = } & { - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { a } \frac { 1 } { n } \left( \partial _ { t } \eta \right) d x d t + 0 + 0 + 0 - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { a } \left( \frac { 1 } { n } g _ { 0 } \eta \right) d x d t - 0 , } \\ { T _ { 2 } = } & { - \left( u _ { n } + \frac { 1 } { n } , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } } + \left( \gamma ( u _ { n } + \frac { 1 } { n } ) \partial _ { x } u _ { n } , \partial _ { x } \eta \right) _ { Q _ { T } } + \left( \gamma \left( \partial _ { x } u _ { n } \right) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } } } \\ & { + \left( \left( \partial _ { x } \gamma \right) ( u _ { n } + \frac { 1 } { n } ) \partial _ { x } u _ { n } , \eta \right) _ { Q _ { T } } - \left( g _ { 0 } \left( u _ { n } + \frac { 1 } { n } \right) , \eta \right) _ { Q _ { T } } - \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( x , 0 ) \right) _ { \Omega } , } \\ { T _ { 3 } = } & { - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { b } ^ { + \infty } \frac { 1 } { n } h \left( \partial _ { t } \eta \right) d x d t + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { b } ^ { + \infty } \gamma \left( \frac { 1 } { n } h \right) \left( \frac { 1 } { n } \partial _ { x } h \right) \left( \partial _ { x } \eta \right) d x d t + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { b } ^ { + \infty } \left[ \gamma \left( \frac { 1 } { n } \partial _ { x } h \right) ^ { 2 } \eta \right] d x d t } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { b } ^ { + \infty } \left[ \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \partial _ { x } h ^ { 2 } \right) \eta \right] d x d t - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { b } ^ { + \infty } \left( g _ { 0 } \frac { 1 } { n } h \eta \right) d x d t - 0 . } \end{array}
- \tau \log ( | w | ^ { - 1 } ) + \frac { \gamma ^ { - 1 } } { 2 } ( \log | w | ) ^ { 2 } + \frac { \gamma ^ { - 1 } } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { L } \left( \bigl ( \log \bigl | w e ^ { \gamma ( a _ { i + 1 } + C _ { i } ) } \bigr | \bigr ) ^ { 2 } - \bigl ( \log \bigl | w e ^ { \gamma ( a _ { i } + C _ { i } ) } \bigr | \bigr ) ^ { 2 } \right) + \mathrm { c o n s t } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { I F } \left( \boldsymbol { y } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { I F } \left( y _ { i } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) , } \\ { \mathcal { I F } \left( y _ { i } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) } & { = \left[ \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { V } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \right] ^ { - 1 } \mathcal { I F } \left( y _ { i } , \boldsymbol { m } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) , } \\ { \mathcal { I F } \left( y _ { i } , \boldsymbol { m } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) } & { = \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \mathcal { I F } \left( y _ { i } , \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) , } \\ { \mathcal { I F } \left( y _ { i } , \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) } & { = \boldsymbol { J } _ { \beta } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { u } _ { i , \beta } \left( y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { A } _ { \psi } } & { { } \to \tilde { A } _ { \psi } + \mathrm { d } \tilde { \Lambda } _ { \psi } , } \\ { \tilde { A } } & { { } \to \tilde { A } - \ell \tilde { \Lambda } _ { \psi } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { p h - e } } } } = { \frac { n _ { e } \epsilon ^ { 2 } \omega } { \rho V ^ { 2 } k _ { B } T } } { \sqrt { \frac { \pi m ^ { * } V ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } } \exp \left( - { \frac { m ^ { * } V ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } \right)
\stackrel { ( 3 ) } { \varphi } _ { \mu } \, = \, p _ { 1 \mu } \, - \, m \, \frac { q _ { 2 \mu } } { \sqrt { q _ { 3 } ^ { 2 } } } \, - \, \beta \, \frac { \varepsilon _ { \mu \nu \lambda } \, q _ { 2 } ^ { \nu } \, q _ { 3 } ^ { \lambda } } { q _ { 2 } ^ { 2 } \, \sqrt { q _ { 2 } ^ { 2 } } } \, = \, 0 , \quad \mu \, = \, 0 , \, 1 , \, 2 \, { . }
\begin{array} { r l } & { \tilde { H } / \hbar = } \\ & { \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { \sqrt { 6 } \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \sqrt { 6 } \frac { \Omega } { 2 } } & { \Delta + \Omega } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Delta + \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta - \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta - \Omega } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta - \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta + \frac { \Omega } { 2 } } \end{array} \right) } \end{array} .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { < } ( \mathcal { P } ) } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ L ; \mathrm { ~ t h e r e ~ e x i s t s ~ } P _ { 1 } \prec P _ { 2 } \prec \dots \prec P _ { L } , \mathrm { ~ w h e r e ~ e a c h ~ } P _ { i } \in \mathcal { P } \right\} , } \\ { \mathcal { L } _ { \leq } ( \mathcal { P } ) } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ L ; \mathrm { ~ t h e r e ~ e x i s t s ~ } P _ { 1 } \preccurlyeq P _ { 2 } \preccurlyeq \dots \preccurlyeq P _ { L } , \mathrm { ~ w h e r e ~ e a c h ~ } P _ { i } \in \mathcal { P } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { I \dot { \boldsymbol \Omega } = [ I { \boldsymbol \Omega } , { \boldsymbol \Omega } ] + b [ R ^ { T } { \bf k } , { \bf z } ( 0 ) ] , \qquad \dot { R } _ { i j } = - \epsilon _ { j k m } \Omega _ { k } R _ { i m } . } \end{array}
\sigma _ { i j \rightarrow k } = \sum _ { i , j } \int d x _ { 1 } d x _ { 2 } d { \hat { t } } f _ { i } ^ { 1 } ( x _ { 1 } , Q ^ { 2 } ) f _ { j } ^ { 2 } ( x _ { 2 } , Q ^ { 2 } ) { \frac { d { \hat { \sigma } } _ { i j \rightarrow k } } { d { \hat { t } } } } ,
\begin{array} { r } { u _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } ( 1 - \rho ) \| e _ { t } \| \geq \| e _ { t } - \frac { \Delta _ { t } } { m } F _ { r } ( e _ { t } + v _ { d } ) \| } \\ { ( 1 - \rho ) \frac { m } { \Delta _ { t } h } \| e _ { t } \| - \frac { m } { \Delta _ { t } h } e _ { t } + \frac { 1 } { h } F _ { r } ( e _ { t } + v _ { d } ) } & { \mathrm { i f ~ } ( 1 - \rho ) \| e _ { t } \| < e _ { t } - \frac { \Delta _ { t } } { m } F _ { r } ( e _ { t } + v _ { d } ) } \\ { - ( 1 - \rho ) \frac { m } { \Delta _ { t } h } \| e _ { t } \| - \frac { m } { \Delta _ { t } h } e _ { t } + \frac { 1 } { h } F _ { r } ( e _ { t } + v _ { d } ) } & { \mathrm { i f ~ } ( 1 - \rho ) \| e _ { t } \| < - ( e _ { t } - \frac { \Delta _ { t } } { m } F _ { r } ( e _ { t } + v _ { d } ) ) } \end{array} \right. } \end{array}
\log { [ z ^ { n } ] F ( z ) } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 / 2 ) ( - 3 ) ^ { - ( i - 1 ) / 3 } ( 2 A ) ^ { 1 / 3 } ( \ln { n } ) ^ { ( i - 1 ) / 3 } n ^ { 2 / 3 } } & { \mathrm { i f ~ i \geq ~ 1 ~ } } \\ { ( 2 ) ( - 2 ) ^ { - ( k - 1 ) / 2 } B ^ { 1 / 2 } ( \ln { n } ) ^ { ( k - 1 ) / 2 } n ^ { 1 / 2 } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k \geq ~ 1 ~ } } \\ { ( - 1 ) ^ { j + 1 } ( C ) ( \ln { n } ) ^ { j + 1 } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 0 ~ , ~ j \geq ~ 1 ~ , ~ F ( z ) = P ( z ) ~ } } \\ { ( - 1 ) ^ { j } ( D ) ( \ln { n } ) ^ { j } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 0 ~ , ~ j \geq ~ 1 ~ , ~ F ( z ) = Q ( z ) ~ } } \end{array} \right.
( { \hat { v } } ^ { 2 } ) ^ { \prime \prime } + { \frac { 1 } { x } } ( { \hat { v } } ^ { 2 } ) ^ { \prime } = - 2 { \hat { v } } ^ { 2 } f ^ { 2 } + 2 ( { \hat { v } } ^ { \prime } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { { { \cal L } = } } & { { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \int \left( - \frac { 1 } { 4 } F _ { m n } F ^ { m n } + \frac { 1 } { 2 } D _ { m } \Phi ^ { a b } D ^ { m } \Phi _ { a b } + \frac { 1 } { 4 } \{ \Phi ^ { a b } , \Phi ^ { c d } \} _ { * } \{ \Phi _ { a b } , \Phi _ { c d } \} _ { * } \right. + } } \\ { { } } & { { \left. + i \lambda _ { a } \sigma ^ { m } D _ { m } \bar { \lambda } ^ { a } + i \{ \lambda _ { a } , \lambda _ { b } \} _ { * } \Phi ^ { a b } + i \{ \bar { \lambda } ^ { a } , \bar { \lambda } ^ { b } \} _ { * } \Phi _ { a b } \right) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ^ { ( r ) } ( s ; \eta _ { i } , \eta _ { j } ) } & { = p \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i + 1 } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \left( 1 _ { j = i + 1 } + 1 _ { j \neq i + 1 } h ^ { ( r ) } ( s ; \eta _ { i + 1 } , \eta _ { j } ) \right) } \\ & { \qquad + ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i - 1 } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \left( 1 _ { j = i - 1 } + 1 _ { j \neq i - 1 } h ^ { ( r ) } ( s ; \eta _ { i - 1 } , \eta _ { j } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { N } ^ { ( 1 ) } ( q ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } q ^ { N k + k ( k + 1 ) / 2 } \frac { 1 } { 1 - q ^ { k } } } \\ & { = q ^ { N } \left( \frac { - q } { 1 - q } \right) + q ^ { 2 N } \left( \frac { q ^ { 3 } } { 1 - q ^ { 2 } } \right) + q ^ { 3 N } \left( \frac { - q ^ { 6 } } { 1 - q ^ { 3 } } \right) + \dots , } \\ { G _ { N } ^ { ( 2 ) } ( q ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } q ^ { N k + k ( k + 1 ) / 2 } \left[ - \frac { k - 1 } { 1 - q ^ { k } } + \sum _ { l = 1 } ^ { k - 1 } \frac { 1 } { \left( 1 - q ^ { l } \right) \left( 1 - q ^ { k - l } \right) } \right] } \\ & { = q ^ { 2 N } \left( \frac { q ^ { 4 } } { ( 1 - q ) \left( 1 - q ^ { 2 } \right) } \right) + q ^ { 3 N } \left( \frac { - q ^ { 7 } \left( 1 + 2 q \right) } { \left( 1 - q \right) \left( 1 - q ^ { 2 } \right) \left( 1 + q + q ^ { 2 } \right) } \right) + \dots , } \end{array}
v ^ { \prime } \equiv \frac { { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { m i x } } ( B _ { s } \to K ^ { + } K ^ { - } ) - \sin \phi _ { s } } { { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { m i x } } ( B _ { s } \to K ^ { + } K ^ { - } ) \cos \gamma - \sin ( \phi _ { s } + \gamma ) } .
\begin{array} { r l } & { \rho = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \rho _ { \alpha } , \qquad p = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } p _ { \alpha } , } \\ & { \rho \varepsilon = \rho \varepsilon _ { \mathrm { i n t } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \rho _ { \alpha } u _ { \alpha } ^ { 2 } , \quad \left( \varepsilon _ { \mathrm { i n t } } = \frac { 1 } { \rho } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \rho _ { \alpha } \varepsilon _ { \alpha } \right) , } \\ & { \sigma = { - \frac { 2 } { 3 } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \rho _ { \alpha } u _ { \alpha } ^ { 2 } } = - \frac { 2 } { 3 } \frac { \rho _ { 1 } \rho } { \rho _ { 2 } } u _ { 1 } ^ { 2 } , } \\ & { \Pi = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \left( \Pi _ { \alpha } + \frac { 1 } { 3 } \rho _ { \alpha } u _ { \alpha } ^ { 2 } \right) = \Pi _ { 1 } + \Pi _ { 2 } - \frac { \sigma } { 2 } , } \\ & { q = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } \rho _ { \alpha } u _ { \alpha } ^ { 2 } + \rho _ { \alpha } \varepsilon _ { \alpha } + p _ { \alpha } + \Pi _ { \alpha } \right) u _ { \alpha } , } \\ & { Q = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \rho _ { \alpha } u _ { \alpha } ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } \left( p _ { \alpha } + \Pi _ { \alpha } \right) \right\} u _ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { s } } & { = \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta s } = k _ { B } T \bigl [ \log ( s \, \nu ) + \nu ^ { - 1 } \bigr ] + \chi _ { s } \, c \, , } \\ { \mu _ { p } } & { = \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta p } = k _ { B } T \bigl [ \log ( p \, \nu ) + \nu ^ { - 1 } \bigr ] + \chi _ { p } \, c \, , } \\ { \mu _ { c } } & { = \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta c } = \mu _ { 0 } ( c ) + \chi _ { s } \, s + \chi _ { p } \, p \, , } \end{array}
\Phi \mathcal { R } = n _ { 1 } I _ { f } ^ { ( 1 ) } - n _ { 2 } I _ { f } ^ { ( 2 ) } + I _ { \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ l ~ } , \varphi } ^ { ( 1 ) } - I _ { \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ l ~ } , \varphi } ^ { ( 2 ) } ,
\begin{array} { r } { S ^ { ( d ) } ( { \bf k } + { \cal K } ) \frac { f _ { \varepsilon } ( k ) } { k ^ { 1 / 2 } } \geq c o n s t \: ( { \cal K } \cdot { \bf e } _ { t } ) ^ { 2 } | \rho ( { \cal K } ) | ^ { 2 } \frac { f _ { \varepsilon } ( k ) } { k ^ { 2 } } ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( X ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { \varphi \in L _ { 1 } } \ensuremath { \left\{ \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi X ] - \rho ^ { * } ( \varphi ) \right\} } = \operatorname* { s u p } _ { \varphi \in A } \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi X ] } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { Q \in A _ { P } } \operatorname { \mathbb { E } } _ { Q } [ X ] , } \end{array}
J _ { m } ^ { ( r e c ) } = 4 v _ { 0 } ( N - 1 ) R \sum _ { n } { \frac { \hat { P } _ { n } \hat { P } _ { m - n } } { ( 1 / 4 ) - ( m - n ) ^ { 2 } } } + ( N - 1 ) \Gamma R ^ { 2 } \pi ^ { 2 } m \left[ \hat { P } _ { m - 1 } \hat { P } _ { 1 } - \hat { P } _ { m + 1 } \hat { P } _ { - 1 } \right]
\begin{array} { r l } { ( \diamond _ { \mathrm { G } } ) } & { \leq \frac { e ^ { - \frac { n \epsilon ^ { 2 } } { 2 } } } { A _ { n } } \sqrt { \frac { n } { 2 \pi } } \sqrt { \frac { 1 } { 2 n } } \mathbb { P } [ S _ { 1 , n } \leq 1 ] \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { t } { 2 } } t ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + t ) ^ { \frac { n + k - 2 } { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { \leq \frac { e ^ { - \frac { n \epsilon ^ { 2 } } { 2 } } } { 2 A _ { n } } \sqrt { \frac { 1 } { \pi } } \mathbb { P } [ S _ { 1 , n } \leq 1 ] U \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { n + k + 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { p } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) = - 2 \pi \mu | \mathbf { U } | L \cos \theta } & { \left( \frac { A _ { R e = 0 } ^ { ( 1 ) } + A ^ { ( 1 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } { \ln ( 2 \chi ) } + \frac { A _ { R e = 0 } ^ { ( 2 ) } + A ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } { \ln ^ { 2 } ( 2 \chi ) } + \frac { A _ { R e = 0 } ^ { ( 3 ) } + A ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } { \ln ^ { 3 } ( 2 \chi ) } \right. } \\ & { \left. + \frac { A _ { R e = 0 } ^ { ( 4 ) } + A ^ { ( 4 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } { \ln ^ { 4 } ( 2 \chi ) } + \frac { 2 . 3 4 } { \chi ^ { 2 / 3 } ( \chi - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 1 . 7 5 } } \right) , } \end{array}
s u m Z b a r [ q ] = \left\{ \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } _ { q } } \bar { z } _ { j , \mathbb { P } _ { q } , w } ^ { ( i + 1 ) } \right\} , q = 0 , 1 , . . . , Q - 1
\begin{array} { r l } { | { \bf B } ^ { \tilde { \tau } } | + | r \widetilde { \partial } _ { r } { \bf B } ^ { \tilde { \tau } } | + | { \bf B } ^ { r } | + | r \widetilde { \partial } _ { r } { \bf B } ^ { r } | + | r { \bf B } ^ { 0 } | + | r ^ { 2 } \widetilde { \partial } _ { r } { \bf B } ^ { 0 } | } & { \leq C r ^ { - 1 - \alpha } , } \\ { | { \bf B } ^ { \tilde { \phi } } | + | r \widetilde { \partial } _ { r } { \bf B } ^ { \tilde { \phi } } | + | { \bf B } ^ { \theta } | + | r \widetilde { \partial } _ { r } { \bf B } ^ { \theta } | } & { \leq C r ^ { - 2 - \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { J } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { J } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , n , s } t ^ { - \theta } K ( t ^ { \varepsilon } , f , \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \varepsilon , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \zeta } & { = ( c _ { G } \circ \pi _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ) ^ { * } \mathrm { d } \omega _ { _ { G } } - \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } \mathrm { d } \omega } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } ( c _ { G } \circ \pi _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ) ^ { * } [ \omega _ { _ { G } } , \omega _ { _ { G } } ] + \frac { 1 } { 2 } \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } [ \omega , \omega ] - \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } \Omega } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } [ \zeta + \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } \omega , \zeta + \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } \omega ] + \frac { 1 } { 2 } \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } [ \omega , \omega ] - \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } \Omega } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } ( [ \zeta , \zeta ] + [ \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } \omega , \zeta ] + [ \zeta , \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } \omega ] ) - \pi _ { \mathscr { G } } ^ { * } \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \int _ { \Omega \backslash B _ { \varepsilon } } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } { \int _ { B _ { \varepsilon } } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } \leq \frac { \int _ { \Omega \backslash B _ { \varepsilon } } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } { \int _ { B _ { \varepsilon ^ { \prime } } } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } } \\ { \leq } & { \frac { \int _ { \Omega \backslash B _ { \varepsilon } } e ^ { - \frac { C _ { t , \varepsilon } ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } { \int _ { B _ { \varepsilon ^ { \prime } } } e ^ { - \frac { D _ { t , \varepsilon ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } \leq \frac { 1 } { \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon ^ { \prime } } } e ^ { - \frac { D _ { t , \varepsilon ^ { \prime } } ^ { 2 } - C _ { t , \varepsilon } ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } \hat { \rho } ( z ) | J ( z ) | d z } = o ( t ) } \end{array}
K ^ { \cdot , \cdot } = C ^ { \cdot } \left( { \mathfrak { g } } , \Lambda ^ { \cdot } { \mathfrak { g } } \otimes C ^ { \infty } ( M ) \right) = \Lambda ^ { \cdot } { \mathfrak { g } } ^ { * } \otimes \Lambda ^ { \cdot } { \mathfrak { g } } \otimes C ^ { \infty } ( M ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \hat { \rho } } & { = - i \sum _ { s , s ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \left[ \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \hat { \rho } , \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \right] J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 1 \right) } \left( \omega _ { s ^ { \prime } } \right) } \\ & { - i \sum _ { s , s ^ { \prime } = 1 } ^ { N } J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 2 \right) } \left( \omega _ { s } \right) \left[ \hat { \rho } \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } , \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle F _ { \mathrm { K S } } [ \varrho ] = 2 \mathrm { t r } [ t _ { \mathrm { s } } \varrho ] + 2 \sum _ { i j , k l } \varrho _ { i j } \gamma _ { i j , k l } \varrho _ { k l } + E _ { \mathrm { x c } } \left[ \rho \right] } { \displaystyle + E _ { \mathrm { e n t } } ( f ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } E } & { { } = \mathbb { E } _ { { \mathbf { r } } \sim \psi _ { \theta } ^ { 2 } } \left[ \left[ E _ { \theta } ( { \mathbf { r } } ) - \mathbb { E } _ { { \mathbf { r } } \sim \psi _ { \theta } ^ { 2 } } \left[ E _ { \theta } ( { \mathbf { r } } ) \right] \right] \nabla _ { \theta } \log \psi _ { \theta } ( { \mathbf { r } } ) \right] } \end{array}
\textrm { P o w e r i n e V p e r f s p e r i o n } \approx 7 6 \, \frac { Z ^ { 4 } \, n _ { 2 6 } ^ { 2 } } { A ^ { 1 / 2 } \, T _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( 1 / Z ) ( 1 / \tau ) } } \right) .
n = 3 , k = 2 , n _ { 1 } = ( 1 , 0 , 0 ) , n _ { 2 } = ( 0 , 1 , 0 ) \Rightarrow p ( 1 , 1 , 1 ) = ( 0 , 0 , 1 ) n = 3 , k = 2 , n _ { 1 } = ( 1 , 0 , - 1 ) , n _ { 2 } = ( 0 , 1 , - 1 ) \Rightarrow p ( 0 , 0 , 1 ) = ( { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 1 } { 3 } } ) n = 3 , k = 1 , n _ { 1 } = ( 0 , 0 , 1 ) \Rightarrow p ( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , 1 , 0 )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } z ( t _ { n } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x ( t _ { n } ) \otimes y ( t _ { n } ) + \hat { x } ( t _ { n } ) \otimes \hat { y } ( t _ { n } ) } & { = ( \gamma e _ { 1 } ) \otimes w + ( \hat { \gamma } e _ { 1 } ) \otimes \hat { w } } \\ & { = e _ { 1 } \otimes ( \gamma w + \hat { \gamma } \hat { w } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \omega } _ { l } ^ { \mathrm { i n f } } ( T ) = \sum _ { m = 1 } ^ { n } { \mathbf { \mathit { p } } _ { m } [ 1 - ( 1 - \frac { \sum _ { v \in \mathcal { I } _ { m } } { \hat { \omega } _ { m v } ^ { \mathrm { i n f } } ( T ) } } { \mathbf { \mathit { p } } _ { m } N } ) ^ { k \mathbf { \mathit { A } } _ { l m } } ] } , } \end{array}
\big | \Psi _ { 2 , 1 } \big > = \big ( ( x \cdot x ) - { \frac { Q _ { N } q ^ { 2 } } { \omega ( 1 + q ^ { 2 } ) } } \big ) \mathrm { e x p } _ { q ^ { 2 } } \bigg [ { \frac { - \omega ( x \cdot x ) } { q ^ { N + 2 } \mu } } \bigg ] \ .
p ( 0 ) = p _ { \infty } + \frac { \rho _ { 0 } U _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 } \left[ \cos \left( \frac { 2 x } { L } \right) + \cos \left( \frac { 2 y } { L } \right) \right] \left[ \cos \left( \frac { 2 z } { L } \right) + 2 \right] ,
\begin{array} { r l } & { \| \Delta v \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T _ { 1 } ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } \leq 2 \| \partial _ { t } v \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T _ { 1 } ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } + 2 \| \mathcal { N } ( c + v ) \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T _ { 1 } ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } } \\ & { \leq 2 \| \partial _ { t } v \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T _ { 1 } ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } + 4 Z _ { T } ( c + v ) + \| | ( c + v ) _ { q } ) | ^ { 2 \alpha + 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T _ { 1 } ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } } \end{array}