harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { w _ { z } ^ { 2 } } & { = w _ { 0 } ^ { 2 } \left[ \left( 1 - \frac { z } { R _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { z } { z _ { R } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = w _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { z } { R _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { 2 } z ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { = < , \varepsilon } ^ { \star } : = \mathrm { c a r d } \left( { \sf S o } _ { \varepsilon x } ^ { ( \bar { \alpha } ) } \right) + \mathcal { L } _ { < } \left( ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } \cap \left( [ \varepsilon x , x ] \times [ 0 , t ] \right) \right) \stackrel { \mathrm { ( d ) } } { = } \mathrm { P o i s s o n } ( \varepsilon x \bar { \alpha } ) + \mathcal { L } _ { < } \left( ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } \cap \left( [ \varepsilon x , x ] \times [ 0 , t ] \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \nu } { d t } } & { = \frac { \pi ( 6 . 4 \times 1 0 ^ { 5 } ) } { \mathrm { S N R } ^ { 2 } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 1 6 c ^ { 8 } m _ { a } ^ { 4 } } \times } \\ & { \qquad \frac { | V ( m _ { a } , B , g _ { a \gamma \gamma } ) | ^ { 4 } Q ( \nu _ { r } ) \bar { \mathcal { G } } [ \nu _ { r } , T , \eta ( \nu _ { r } ) ] } { L _ { \mathrm { e f f } } ( \nu _ { r } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { n } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { n } ( \boldsymbol { r } , \xi ) e ^ { i 2 \pi \xi ( t - t _ { n } ) } d \xi } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { P _ { 1 } ^ { < } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { - c _ { k _ { 0 } } ^ { - 1 } e ^ { \theta _ { 2 1 } ( x , t , k _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 2 2 } ^ { \prime } ( k _ { 0 } ) ( \Delta _ { 1 1 } ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( k _ { 0 } ) ( k - k _ { 0 } ) } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { P _ { 1 } ^ { \geq } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \frac { - c _ { k _ { 0 } } e ^ { - \theta _ { 2 1 } ( x , t , k _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 1 1 } ( k _ { 0 } ) \Delta _ { 2 2 } ^ { - 1 } ( k _ { 0 } ) ( k - k _ { 0 } ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( \textbf { x } , \beta , t ) } & { = L ( \textbf { x } , \beta , t ) + \lambda ^ { T } \dot { \textbf { x } } ( \textbf { x } , \beta , t ) } \\ & { = 1 + \lambda _ { r } \dot { r } + \lambda _ { v _ { r } } \dot { v } _ { r } + \lambda _ { v _ { \theta } } \dot { v _ { \theta } } } \\ & { = 1 + \lambda _ { r } \cdot v _ { r } + \lambda _ { v _ { r } } \cdot ( \frac { v _ { \theta } ^ { 2 } } { r } - \frac { \mu } { r ^ { 2 } } + \frac { T \sin { \beta } } { m _ { 0 } - | \dot { m } | t } ) + \lambda _ { v _ { \theta } } \cdot ( - \frac { v _ { r } v _ { \theta } } { r } + \frac { T \cos { \beta } } { m _ { 0 } - | \dot { m } | t } ) } \end{array}
\int x ^ { m } \arctan ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \arctan ( a x ) } { m + 1 } } - { \frac { a } { m + 1 } } \int { \frac { x ^ { m + 1 } } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 1 } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
\begin{array} { r l } { \alpha _ { k } F ( \boldsymbol { z } ^ { k } ) ^ { T } ( \boldsymbol { z } ^ { k } - \boldsymbol { z } ^ { k + 1 } ) } & { \leq \frac { ( 2 \mu ) } { 2 } \| \boldsymbol { z } ^ { k } - \boldsymbol { z } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { ( 2 \mu ) ^ { - 1 } } { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| F ( \boldsymbol { z } ^ { k } ) ^ { T } \| _ { * } ^ { 2 } } \\ & { = \mu \| \boldsymbol { z } ^ { k } - \boldsymbol { z } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \mu } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| F ( \boldsymbol { z } ^ { k } ) ^ { T } \| _ { * } ^ { 2 } } \\ & { = \mu \| \boldsymbol { z } ^ { k } - \boldsymbol { z } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \mu } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| F ( \boldsymbol { z } ^ { k } ) ^ { T } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\int _ { V } - ( F _ { \mathrm { t o t } } - F _ { \mathrm { r a d } } ) \frac { 1 } { T _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d T _ { 0 } } { d r } d V = \int _ { V } \frac { \Phi } { T _ { 0 } } d V ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { n } \mathcal { H } ( s , x ) : = < \partial _ { x } { \mathcal H } ( s , x ) , A x + R _ { n } F ( x ) > + } \\ & { \int _ { H } \big ( { \mathcal H } ( s , x + R _ { n } f ( s , u ) ) - { \mathcal H } ( s , x ) - < \partial _ { x } { \mathcal H } ( s , x ) , R _ { n } f ( s , u ) > \big ) \beta ( d u ) } \end{array}
K ( T ; 0 , 0 ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { Z } \int _ { \varphi ^ { ( n ) } ( 0 ) = 0 } ^ { \varphi ^ { ( n ) } ( T ) = 0 } { \cal D } \varphi ^ { ( n ) } ( t ) \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { T } L ( \varphi ^ { ( n ) } , \dot { \varphi } ^ { ( n ) } ) d t \right\}
\begin{array} { r l } { \Delta t _ { \mathrm { e x t } } | \lambda \sim } & { \mathrm { E x p o n e n t i a l } \left( \Delta t _ { \mathrm { e x t } } ; \lambda \right) , } \\ { \Delta t _ { \mathrm { I R F } } | \tau _ { \mathrm { I R F } } , \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } \sim } & { \mathrm { G a u s s i a n } ( \Delta t _ { \mathrm { I R F } } ; \tau _ { \mathrm { I R F } } , \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } ) , } \\ { n | N \sim } & { \mathrm { C a t e g o r i c a l } ( A _ { 0 } , . . . , A _ { N } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { a \frac { \gamma | \langle g , \sigma _ { g } , m _ { g } \Vert { g , \sigma } \rangle \langle { e , \sigma } \Vert e , \sigma _ { e } , m _ { e } \rangle | ^ { 2 } } { 4 ( \omega - E _ { \sigma _ { e } , m _ { e } } ^ { e } + E _ { \sigma _ { g } , m _ { g } } ^ { g } ) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } Q } { \textnormal { d } z } } & { { } = q _ { 1 } - q _ { 2 } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( M + M ^ { \prime } + P ) } { \textnormal { d } z } } & { { } = B + m _ { 1 } - m _ { 2 } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( F + F ^ { \prime } ) } { \textnormal { d } z } } & { { } = f _ { 1 } - f _ { 2 } \, . } \end{array}
2 m K _ { \ell } ^ { m } ( \cos \theta ) = \sin \theta \left( \tau _ { \ell , m } K _ { \ell + 1 } ^ { m + 1 } ( \cos \theta ) + \tau _ { \ell , - m } K _ { \ell + 1 } ^ { m - 1 } ( \cos \theta ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ( \rho \mathbf { v } ) + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } \right) + \nabla p + \phi \nabla \bar { \mu } } & { } \\ { - \mathrm { d i v } \left( \nu ( 2 \mathbf { D } + \lambda ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } ) \mathbf { I } ) \right) - \rho \mathbf { b } } & { = ~ 0 , } \\ { \partial _ { t } \rho + \mathrm { d i v } ( \rho \mathbf { v } ) } & { = ~ 0 , } \\ { \partial _ { t } \phi + \mathrm { d i v } ( \phi \mathbf { v } ) - \mathrm { d i v } \left( \bar { \mathbf { M } } \nabla ( \bar { \mu } + \omega p ) \right) + \zeta \bar { m } ( \bar { \mu } + \omega p ) } & { = ~ 0 , } \end{array}
{ \cal W } _ { \nu \rho } ^ { \mu \sigma } \: = \: { \cal U } _ { \nu \alpha } { \cal U } _ { \rho \gamma } \: W _ { \alpha \gamma } ^ { \beta \delta } \: { \cal U } _ { \beta \mu } ^ { - 1 } { \cal U } _ { \delta \sigma } ^ { - 1 } .
{ \textrm { a r c } } \ { \textrm { l e n g t h } } \cdot { \textrm { h e i g h t } } = A \cdot B = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { 1 - x ^ { 4 } } } } \cdot \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 2 } \mathop { \mathrm { d } x } } { \sqrt { 1 - x ^ { 4 } } } } = { \frac { \varpi } { 2 } } \cdot { \frac { \pi } { 2 \varpi } } = { \frac { \pi } { 4 } }
\left( \frac { 1 } { i } \frac { \delta } { \delta X ^ { \pm } } \pm \frac { 1 } { 4 8 \pi X ^ { \pm \prime } } ( \ln X ^ { \pm \prime } ) ^ { \prime \prime } \pm \frac { 1 } { X ^ { \pm \prime } } \theta _ { \pm } \right) \Psi = 0 \, .
\left\langle f ^ { 2 } \right\rangle - \left\langle f \right\rangle ^ { 2 } = \left\langle \left( \delta f \right) ^ { 2 } \right\rangle \approx \left\langle \left( \partial f / \partial x \right) ^ { 2 } \left( \delta x \right) ^ { 2 } \right\rangle = \left( \partial f / \partial x \right) ^ { 2 } \left( a _ { 0 } / 2 \right) ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \chi _ { n _ { f } } ^ { * } ( z ) \chi _ { 0 } ( z ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int \d q _ { z } e ^ { i q _ { z } z } \mathcal { H } _ { n _ { f } } ( q _ { z } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int \d q _ { z } e ^ { - i q _ { z } z } \mathcal { H } _ { n _ { f } } ( - q _ { z } ) , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } }
\frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \sum _ { K } \{ \bar { \gamma } _ { K } m \bar { \gamma } _ { K } \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) + \bar { \gamma } _ { K } ^ { \dagger } m \bar { \gamma } _ { K } ^ { \dagger } \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \} .
\frac { b C _ { 2 } x ^ { 2 } } { 7 } \geq 2 2 \cdot 6 4 ( 2 b C _ { 2 } ) ^ { 3 / 4 } x ^ { 3 / 2 } \geq 2 2 \log ^ { 3 } ( 2 b C _ { 2 } x ^ { 2 } )
\left( \frac { \partial \rho q _ { i } } { \partial t } \right) ^ { \mathrm { ~ t ~ u ~ r ~ b ~ - ~ m ~ i ~ x ~ + ~ a ~ c ~ t ~ / ~ r ~ e ~ s ~ } } = \frac { \partial } { \partial z } \left( \rho K _ { h } \frac { \partial q _ { i } } { \partial z } \right) + \left( \frac { \partial \rho q _ { i } } { \partial t } \right) ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ t ~ / ~ r ~ e ~ s ~ } } \, ,
\left( \begin{array} { l l l } { { c _ { \alpha } } } & { { s _ { \alpha } } } & { { 0 } } \\ { { - s _ { \alpha } } } & { { c _ { \alpha } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) M _ { \lambda } \left( \begin{array} { l l l } { { c _ { \alpha } } } & { { - s _ { \alpha } } } & { { 0 } } \\ { { s _ { \alpha } } } & { { c _ { \alpha } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { { M _ { \lambda _ { 1 } } } } & { { { \cal O } ( M ) } } & { { 0 } } \\ { { { \cal O } ( M ) } } & { { { \cal O } ( M ) } } & { { { \cal O } ( V _ { 1 } ) } } \\ { { 0 } } & { { { \cal O } ( V _ { 1 } ) } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } \frac { d \sigma } { d z } = 2 D _ { q \to \gamma } ( z , \mu _ { F } ) + \frac { \alpha e _ { q } ^ { 2 } } { \pi } P _ { q \gamma } ^ { ( 0 ) } ( z ) \log \left( \frac { s _ { \mathrm { c u t } } } { \mu _ { F } ^ { 2 } } \right) + \ldots ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { K ^ { n + 1 } - K ^ { n } } & { { } = \sum _ { p } q _ { p } \sum _ { \nu \in n } { \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } } { v } _ { z , p } ^ { \nu + 1 / 2 } ( E _ { \xi } / J _ { \xi } ) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } } \end{array} } \end{array}
F ( \boldsymbol { z } ) \triangleq \left[ \begin{array} { c } { G ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \sigma } ) } \\ { - \Lambda \left( \boldsymbol { x } \right) + \nabla \Psi ^ { * } \left( \boldsymbol { \sigma } \right) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \operatorname { c o l } \{ \sum _ { k = 1 } ^ { q _ { i } } [ \sigma _ { i } ] _ { k } \nabla _ { x _ { i } } \Lambda _ { i , k } ( x _ { i } , \boldsymbol { x } _ { - i } ) \} _ { i = 1 } ^ { N } } \\ { \operatorname { c o l } \left\{ - \Lambda _ { i } \left( x _ { i } , \boldsymbol { x } _ { - i } \right) + \nabla \Psi _ { i } ^ { * } \left( \sigma _ { i } \right) \right\} _ { i = 1 } ^ { N } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \dot { \mu } _ { t } ^ { ( j ) } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \omega _ { t } ^ { ( j ) } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( l ) } \right) } \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) , } \\ { \dot { \omega } _ { t } ^ { ( j ) } } & { = \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \omega _ { t } ^ { ( j ) } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( l ) } \right) } - 1 \right] \omega _ { t } ^ { ( j ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \alpha ^ { \prime } } & { { } = \cos ( \theta + \phi ) \alpha + \sin ( \theta + \phi ) \beta } & { \beta ^ { \prime } } & { { } = - \sin ( \theta + \phi ) \alpha + \cos ( \theta + \phi ) \beta } & { \gamma ^ { \prime } } & { { } = \gamma + \partial _ { \tau } \phi . } \end{array}
e V ^ { \mathrm { Q E D _ { 3 } } } ( \vec { r } ) = \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \left( 1 + \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi m } \right) K _ { 0 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r \right) + \frac { 8 } { m r ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r K _ { 1 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r \right) \right] L .
\begin{array} { r } { l = \log \prod _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } p ( y _ { 1 k } \mid \beta , u _ { j 1 } ) \phi ( u _ { j 1 } ; 0 , 1 / \tau _ { j } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } ( y _ { 1 k } \theta _ { 1 k } - b ( \theta _ { 1 k } ) + d ( y _ { 1 k } ) ) - u _ { j 1 } ^ { 2 } \tau _ { j } / 2 - \log ( 2 \pi ) / 2 + \log \tau _ { j } / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { \partial v ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ) - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial v ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \frac { \partial v ( \mathbf { x } ) ^ { \top } } { \partial \mathbf { x } } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } \iint _ { \Sigma ( t ) } \mathbf { F } ( \mathbf { r } , t ) \cdot d \mathbf { A } = \iint _ { \Sigma ( t ) } { \big ( } \mathbf { F } _ { t } ( \mathbf { r } , t ) + \left( \nabla \cdot \mathbf { F } \right) \mathbf { v } { \big ) } \cdot d \mathbf { A } - \oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \left( \mathbf { v } \times \mathbf { F } \right) \cdot \, d \mathbf { s } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( Z _ { n } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 - ( 1 - \mathbb { P } ( | X _ { 1 } | \geq x ) ) ^ { n } ) \, d x } \\ & { \leq c + \int _ { c } ^ { \infty } ( 1 - ( 1 - \mathbb { P } ( | X _ { 1 } | \geq x ) ) ^ { n } ) \, d x } \\ & { \leq c + n \int _ { c } ^ { \infty } \mathbb { P } ( | X _ { 1 } | \geq x ) \, d x } \end{array}
( \delta h _ { i j } , \delta h _ { i j } ) = ( P \xi ^ { 0 } + \alpha _ { k } P \xi ^ { k } + \bar { \alpha } _ { k } P \bar { \xi } ^ { k } , P \xi ^ { 0 } + \alpha _ { k } P \xi ^ { k } + \bar { \alpha } _ { k } P \bar { \xi } ^ { k } ) + 2 C ( \delta \sigma _ { R } , \delta \sigma _ { R } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } \geq \frac { 1 } { \mathrm { { R a } } } \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 } - a _ { 0 } C \left( \mathrm { { R a } } ^ { - \frac { 9 } { 7 } } \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } ^ { 2 } + \underline { { \alpha } } ^ { - 2 } + \mathrm { { R a } } ^ { - \frac { 4 } { 7 } } \left( \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { n \leq N } \frac { d _ { n + 1 } } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } d _ { k } } } & { \leq \frac { d _ { N + 1 } } { \sum _ { k = 0 } ^ { N } d _ { 0 } } \leq \frac { 4 d _ { 0 } } { ( N + 1 ) d _ { 0 } } } \\ & { = \frac { 4 } { N + 1 } \leq 4 \frac { \log _ { 2 + } ( d _ { N + 1 } / d _ { 0 } ) } { N + 1 } . } \end{array}
\psi _ { 0 } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \sigma - i \infty } ^ { \sigma + i \infty } \left( - { \frac { \zeta ^ { \prime } ( s ) } { \zeta ( s ) } } \right) { \frac { x ^ { s } } { s } } \operatorname { d } s = x - \sum _ { \rho } { \frac { ~ x ^ { \rho } \, } { \rho } } - \log ( 2 \pi ) - { \frac { 1 } { 2 } } \log ( 1 - x ^ { - 2 } )
( n = 1 ) \left\{ \begin{array} { l l } { \Pi _ { 1 } = \Omega _ { 2 } \ \mathrm { g e n e r a t e d ~ b y } \ \epsilon _ { 2 } \ \mathrm { a n d } \ \epsilon _ { 3 } } \\ { \Pi _ { 2 } = \Omega _ { 2 } \ \mathrm { g e n e r a t e d ~ b y } \ \epsilon _ { 1 } \ \mathrm { a n d } \ \epsilon _ { 3 } } \\ { \Pi _ { 3 } = \Omega _ { 2 } \ \mathrm { g e n e r a t e d ~ b y } \ \epsilon _ { 1 } \ \mathrm { a n d } \ \epsilon _ { 2 } } \end{array} \right. , \, ( n = 2 ) \left\{ \begin{array} { l l } { \Pi _ { 1 2 } = \Omega _ { 1 } \ \mathrm { g e n e r a t e d ~ b y } \ \epsilon _ { 3 } } \\ { \Pi _ { 1 3 } = \Omega _ { 1 } \ \mathrm { g e n e r a t e d ~ b y } \ \epsilon _ { 2 } } \\ { \Pi _ { 2 3 } = \Omega _ { 1 } \ \mathrm { g e n e r a t e d ~ b y } \ \epsilon _ { 1 } } \end{array} \right. , \, ( n = 3 ) \left\{ \Pi _ { 1 2 3 } = \left( 0 , 0 , 0 \right) \right. \, .
\begin{array} { r l } { H } & { = 0 \colon \; \mathbf H _ { \infty } \left( G ^ { 0 } \right) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac 1 2 \left( 1 + \log \pi + \frac 1 n \log ( n + 1 ) \right) = \frac 1 2 \left( 1 + \log \pi \right) \approx 1 . 0 7 2 3 6 ; } \\ { H } & { = \frac 1 2 \colon \; \mathbf H _ { \infty } \left( G ^ { \frac 1 2 } \right) = \frac 1 2 \bigl ( 1 + \log ( 2 \pi ) \bigr ) \approx 1 . 4 1 8 9 4 ; } \\ { H } & { = 1 \colon \; \mathbf H _ { \infty } \left( G ^ { 1 } \right) = - \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { z } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , t ) } & { { } = { \displaystyle \sum _ { k , l } } \left( \sqrt { \eta _ { k } } \hat { a } _ { k , l } + \sqrt { 1 - \eta _ { k } } \hat { e } _ { k , l } \right) } \end{array}
s ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } \sigma _ { \gamma g } } { d t _ { 1 } d u _ { 1 } } = \pi \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) \alpha e _ { Q } ^ { 2 } B _ { \mathrm { Q E D } } ( s , t _ { 1 } , u _ { 1 } ) \delta ( s + t _ { 1 } + u _ { 1 } )
c o n s t _ { N } \sum _ { a = 1 } ^ { N } f _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \delta _ { \sigma \sigma _ { a } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \prod _ { b < a } \hat { \psi } _ { \sigma _ { b } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \prod _ { b > a } \hat { \psi } _ { \sigma _ { b } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } { \overline { { f } } \left( \mathcal { B } _ { a u g } , \overline { { \mathcal { B } } } _ { a u g } \right) } & { \geq \left( 1 - \frac { 1 } { R _ { n } } - \frac { 2 } { R _ { n + 1 } } \right) \cdot \left( \alpha _ { s , n } ^ { c } - \frac { 1 } { R _ { n } ^ { c } } - \frac { 2 } { \sqrt { l _ { n } } } \right) - \frac { 1 } { \sqrt { l _ { n } } } } \\ & { \geq \alpha _ { s , n } ^ { c } - \frac { 1 } { R _ { n } } - \frac { 2 } { R _ { n + 1 } } - \frac { 1 } { R _ { n } ^ { c } } - \frac { 3 } { \sqrt { l _ { n } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c o v ( ( 1 - \beta ) G _ { k } ( \mathbf { x } ) ) } \\ & { \quad \approx { \mathbb { E } } ( \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) ^ { T } ) ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - \nabla E ( \mathbf { x } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) ^ { T } } \\ & { \quad \textbf = \left( \frac { 1 - \beta ^ { 2 k + 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } { \mathbb { C } } + ( \frac { 1 - \beta ^ { k + 1 } } { 1 - \beta } ) ^ { 2 } \nabla E ( \mathbf { x } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) ^ { T } \right) ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - \nabla E ( \mathbf { x } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) ^ { T } } \\ & { \quad \textbf = \frac { ( 1 - \beta ^ { 2 k + 2 } ) ( 1 - \beta ) ^ { 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } { \mathbb { C } } - \beta ^ { k + 1 } ( 2 - \beta ^ { k + 1 } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { b _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi s ^ { 3 } } } e ^ { - \frac { c ^ { 2 } } { 2 } s + c b _ { 0 } - \frac { b _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 s } } \d s = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { b _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi s ^ { 3 } } } e ^ { - \frac { ( b _ { 0 } - c s ) ^ { 2 } } { 2 s } } \d s = 1 , } \end{array}
{ \displaystyle { \bf D } [ { \bf X } ] = \arg \operatorname* { m i n } _ { { \bf D } } \left\{ 2 \mathrm { T r } \left[ { \bf h } { \bf D } \right] + \mathrm { T r } \left[ \left( 2 { \bf D } - { \bf X } { \bf S } ^ { - 1 } \right) { \bf G } \left( { \bf X } { \bf S } ^ { - 1 } \right) \right] - 2 T _ { e } { \cal S } ( { \bf f } ) \right\} } .
\begin{array} { r l r } & { } & { { \everymath { \displaystyle } \left( { \begin{array} { c c } { \frac { \partial } { \partial \tau } + \nu k ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial \tau } + \eta k ^ { 2 } } \end{array} } \right) } \left( { \begin{array} { c c } { \delta u _ { 0 0 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) } \\ { \delta b _ { 0 0 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } \\ & { } & { { \everymath { \displaystyle } + i \left( { \begin{array} { c c } { - 2 M ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } u _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } & { 2 M ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } b _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } \\ { N ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } b _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } & { - N ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } u _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { \delta u _ { 0 0 } ^ { \ell } ( { \bf { q } } ; \tau ) } \\ { \delta b _ { 0 0 } ^ { \ell } ( { \bf { q } } ; \tau ) \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } } \\ & { } & { = \left( { \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) . } \end{array}
{ \cal I } m \int _ { A _ { R } } ^ { A _ { 0 } } \left[ { \mu _ { 2 } ^ { 2 } ( A ) } - { \mu _ { 1 } ^ { 2 } ( A ) } \right] d A = { \cal I } m \int _ { 0 } ^ { i { \Delta { m } ^ { 2 } } { \sin 2 \theta } } d A \sqrt { { A } ^ { 2 } + ( { \Delta { m } ^ { 2 } \sin 2 \theta } ) ^ { 2 } } = \frac { \pi } { 4 } ( { \Delta { m } ^ { 2 } \sin 2 \theta } ) ^ { 2 } \; .
\mathbb { P } _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } = \frac { \exp { \left( - \eta c _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } \right) } } { \sum _ { s _ { i } ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { t } ^ { i } } \sum _ { s _ { j } ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { t } ^ { j } } \exp { \left( - \eta c _ { s _ { i } ^ { \prime } s _ { j } ^ { \prime } , k } ^ { p } \right) } } ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { i j } ^ { \mathrm { a n i } } } & { { } = \tau _ { \ell \ell } ^ { \mathrm { s g s } } \frac { \tau _ { i j } ^ { \mathrm { a } } | _ { \mathrm { t l } } + 2 \nu ^ { \mathrm { a } } \overline { { s } } _ { i j } } { \tau _ { m m } ^ { \mathrm { a } } } , \ \ \tau _ { i j } ^ { \mathrm { a } } = ( \overline { { u } } _ { i } - \widehat { \overline { { u } } } _ { i } ) ( \overline { { u } } _ { j } - \widehat { \overline { { u } } } _ { j } ) , } \\ { \tau _ { i j } ^ { \mathrm { a n i } } } & { { } = \tau _ { \ell \ell } ^ { \mathrm { s g s } } \frac { \tau _ { i j } ^ { \mathrm { a } } | _ { \mathrm { t l } } + 2 \nu ^ { \mathrm { a } } \overline { { s } } _ { i j } } { \tau _ { m m } ^ { \mathrm { a } } } , \ \ \tau _ { i j } ^ { \mathrm { a } } = \sum _ { \alpha = 1 , 2 , 3 } \overline { { \Delta } } _ { \alpha } ^ { 2 } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { \alpha } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } } { \partial x _ { \alpha } } , } \end{array}
Z ^ { ( 2 ) } ( 0 , B ) = \int D a _ { i } d e t ^ { 1 / 2 } ( - D _ { 0 } ^ { 2 } ( B ) ) \exp [ + \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 4 } x a _ { i } K _ { i k } ( B ) a _ { k } ] ,
\begin{array} { r l r } { \left( \Delta E _ { \gamma } ^ { c m } \right) ^ { 2 } } & { = } & { \left( \frac { \partial E _ { \gamma } ^ { c m } } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } ( \Delta \theta ) ^ { 2 } + } \\ { * } & { + } & { \left( \frac { \partial E _ { \gamma } ^ { c m } } { \partial \beta } \right) ^ { 2 } ( \Delta \beta ) ^ { 2 } + } \\ { * } & { + } & { \left( \frac { \partial E _ { \gamma } ^ { c m } } { \partial E _ { \gamma } } \right) ^ { 2 } ( \Delta E _ { \gamma } ) ^ { 2 } . } \end{array}