harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
M _ { S U S Y } \sim { \frac { M _ { H } ^ { 3 } } { M _ { P l } ^ { 2 } } } = { \frac { M _ { s t } ^ { 3 } } { M _ { P l } ^ { 2 } } } \exp ( - { \frac { 2 \pi } { \alpha _ { s t } N _ { c } } } ) ~ .
\lambda _ { 2 } ( i ) = \frac { 1 } { N _ { b } ( i ) } \sum _ { j \in N _ { b } ( i ) } \left[ \sum _ { m = \pm 6 , \pm 4 } \hat { q } _ { 6 m } \hat { q } _ { 6 m } ^ { * } - \sum _ { m = \pm 4 } \hat { q } _ { 4 m } \hat { q } _ { 4 m } ^ { * } \right]
\frac { 4 } { 3 } \pi \left( \frac { d _ { \mathrm { e f f } } } { 2 } \right) ^ { 3 } = \pi \left( \frac { D } { 2 } \right) ^ { 2 } \! ( L _ { 0 } - D ) + \frac { 4 } { 3 } \pi \left( \frac { D } { 2 } \right) ^ { 3 } ,
\begin{array} { r l } & { S _ { N ^ { * } } ( \alpha ) - S _ { N } ( \alpha ) = } \\ & { ( - 1 ) ^ { k + 1 } b _ { k } ^ { * } \left( \frac { 1 - b _ { k } ^ { * } q _ { k } \| q _ { k } \alpha \| } { 2 } - \| q _ { k } \alpha \| \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } b _ { j } ( N ) q _ { j } - \frac { \| q _ { k } \alpha \| } { 2 } \right) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { k + 2 } \left( ( a _ { k + 2 } - 1 ) \frac { 1 - ( a _ { k + 2 } - 1 ) q _ { k + 1 } \| q _ { k + 1 } \alpha \| } { 2 } - a _ { k + 2 } \frac { 1 - a _ { k + 2 } q _ { k + 1 } \| q _ { k + 1 } \alpha \| } { 2 } \right) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { k + 2 } \left( - ( a _ { k + 2 } - 1 ) \| q _ { k + 1 } \alpha \| \left( \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } b _ { j } ( N ) q _ { j } + b _ { k } ^ { * } q _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \right) + a _ { k + 2 } \| q _ { k + 1 } \alpha \| \left( \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } b _ { j } ( N ) q _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \right) \right) } \\ & { + \sum _ { \ell = k + 2 } ^ { L - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell } b _ { \ell } ( N ) \| q _ { \ell } \alpha \| ( b _ { k } ^ { * } q _ { k } - q _ { k + 1 } ) . } \end{array}
Z = \int { \cal D } W _ { \mu } ^ { i } { \cal D } B _ { \mu } { \cal D } h { \cal D } \varphi _ { i } { \cal D } \Psi { \cal D } \bar { \Psi } \, \exp \left( i \int d ^ { 4 } x \, { \cal L } _ { S M } \right) .
\operatorname * { l i m } _ { y { \rightarrow } 0 } \ \frac { x y } { 2 } \ F _ { 3 } [ 1 , 1 , 1 , 1 ; 3 ; x , y ] = y \biggl [ \ 1 \ + \ \frac { 1 - x } { x } \ln { ( 1 - x ) } \biggr ]
{ \begin{array} { r l } { u ( \mathbf { r } + \mathbf { a } _ { j } ) } & { = e ^ { - i \mathbf { k } \cdot ( \mathbf { r } + \mathbf { a } _ { j } ) } \psi ( \mathbf { r } + \mathbf { a } _ { j } ) } \\ & { = { \big ( } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { a } _ { j } } { \big ) } { \big ( } e ^ { 2 \pi i \theta _ { j } } \psi ( \mathbf { r } ) { \big ) } } \\ & { = e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } e ^ { - 2 \pi i \theta _ { j } } e ^ { 2 \pi i \theta _ { j } } \psi ( \mathbf { r } ) } \\ & { = u ( \mathbf { r } ) . } \end{array} }
\left( \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 3 } } \\ { \frac { 1 } { 3 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 4 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \Phi ^ { ( j , k ) \rightarrow ( j ^ { \prime } , k ^ { \prime } ) } = \mathrm { a r g } \left( \mathrm { e x p } \left( i \phi ^ { ( j ^ { \prime } , k ^ { \prime } ) } - i \phi ^ { ( j , k ) } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { x _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } \to \infty } \frac { \mathrm { d } \hat { u } _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } } { \mathrm { d } x _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } } = - C \alpha \exp [ - \alpha x _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } ] . \quad ( C \mathrm { ~ : ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } ) } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } p ^ { 1 } } { \mathrm { d } \tau } } = q \gamma \left[ c \left( { \frac { E _ { x } } { c } } \right) + ( - v _ { y } ) ( - B _ { z } ) + ( - v _ { z } ) ( B _ { y } ) \right] = q \gamma \left( E _ { x } + v _ { y } B _ { z } - v _ { z } B _ { y } \right) = q \gamma \left[ E _ { x } + \left( \mathbf { v } \times \mathbf { B } \right) _ { x } \right] \, .
\begin{array} { r l } { P ( \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \alpha } ) } & { { } \approx 1 - 4 | U _ { \alpha 4 } | ^ { 2 } ( 1 - | U _ { \alpha 4 } | ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \Delta m _ { 4 1 } ^ { 2 } L } { 4 E _ { \nu } } \right) } \\ { P ( \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \beta } ) } & { { } \approx 4 | U _ { \alpha 4 } | ^ { 2 } | U _ { \beta 4 } | ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \Delta m _ { 4 1 } ^ { 2 } L } { 4 E _ { \nu } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { i } = \left( \frac { \partial x ^ { j } } { \partial \xi ^ { i } } \right) u _ { j } = A _ { i } ^ { j } u _ { j } = g _ { i j } v ^ { j } \Rightarrow \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \\ { v _ { 3 } } \end{array} \right] = \left[ \boldsymbol { A } \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l } { u } \\ { v } \\ { w } \end{array} \right] = \left[ \boldsymbol { G } \right] \left[ \begin{array} { l } { v ^ { 1 } } \\ { v ^ { 2 } } \\ { v ^ { 3 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { \omega } \left[ \langle M ^ { N , a } \rangle _ { t } \right] } & { \leq \frac { C ^ { \prime \prime } \mathrm { e } ^ { 2 b t } } { N ^ { n } } \big ( ( G _ { N } ^ { \lambda } , - L ^ { N } G _ { N } ^ { \lambda } ) _ { \mu _ { N } } + \| G _ { N } ^ { \lambda } \| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { N } ) } ^ { 2 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { r } = - w + u \cos \theta } \\ { r \dot { \theta } = - u \sin \theta . } \end{array} \right. } & { { } \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { x } = u - w \cos \theta } \\ { \dot { y } = - w \sin \theta . } \end{array} \right. } \end{array}
P _ { N = 2 } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \left[ \begin{array} { l l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \left| \tilde { s } ( f ) \right| ^ { 2 } } { J ( f ) } } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \left| \tilde { s } ( f ) \right| ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - i \omega ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } } { J ( f ) } } \\ { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \left| \tilde { s } ( f ) \right| ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - i \omega ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } } { J ( f ) } } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \left| \tilde { s } ( f ) \right| ^ { 2 } } { J ( f ) } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } ^ { R } } & { = \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } \times \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } = \left( \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } - \frac { M _ { 1 } ^ { L } } { 2 } \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } \right) \times \left( ( 1 - \frac { 1 } { 4 } M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } ) \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } - \frac { M _ { 2 } ^ { L } } { 2 } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } \right) } \\ & { = ( 1 - \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } } { 4 } ) G _ { 1 } ^ { L } + \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 1 } ^ { R } } { 4 } G _ { 2 } ^ { L } - ( 1 - \frac { 1 } { 4 } M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } ) \frac { M _ { 1 } ^ { L } } { 2 } \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } \times \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } - \frac { M _ { 2 } ^ { L } } { 2 } \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } \times \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { \mathrm { A P } , l } = } \\ & { z _ { l } \left( P _ { \mathrm { A P } , 0 } + \Delta ^ { \mathrm { t r } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } x _ { k , l } p _ { k l } \right) \stackrel { ( a ) } = z _ { l } P _ { \mathrm { A P } , 0 } + \Delta ^ { \mathrm { t r } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } x _ { k , l } p _ { k l } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { \mathrm { m a x } } \, } & { = } & { \, \frac { 8 m _ { e } c } { h } \, \ell _ { \star } ^ { 2 } \, \frac { \left( N _ { \star } - 1 \right) ^ { 2 } } { N _ { \star } + 1 } } \\ & { \approx } & { \, 6 5 \, \mathrm { n m } \, \left( \frac { \ell _ { \star } } { 1 . 4 \, \AA } \right) ^ { 2 } \frac { \left( N _ { \star } - 1 \right) ^ { 2 } } { N _ { \star } + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ^ { k + 1 } ( x , z ) } & { = \| ( x , z _ { i } ) \| _ { M _ { i } ^ { k + 1 } } ^ { 2 } \leq ( 1 + \eta ^ { k } ) \| ( x , z _ { i } ) \| _ { M _ { i } ^ { k } } ^ { 2 } = ( 1 + \eta ^ { k } ) V ^ { k } ( x , z ) , } \\ { \| ( x , z ) \| _ { N ^ { k } } ^ { 2 } } & { = \| ( x , z _ { i } ) \| _ { N _ { i } ^ { k } } ^ { 2 } \geq \alpha \| ( x , z _ { i } ) \| ^ { 2 } = \| ( x , z ) \| ^ { 2 } , } \\ { V ^ { k } ( x , z ) } & { = \| ( x , z _ { i } ) \| _ { M _ { i } ^ { k } } ^ { 2 } \geq ( 1 - \beta ) \| ( x , z _ { i } ) \| _ { N _ { i } ^ { k } } ^ { 2 } = ( 1 - \beta ) \| ( x , z ) \| _ { N ^ { k } } ^ { 2 } . } \end{array}
J _ { 1 } = \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\langle v \right\rangle ^ { k } \nabla \partial _ { v _ { i } } h \cdot \partial _ { v _ { i } } A [ f ] \nabla h \, \mathrm { d } v + \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \partial _ { v _ { i } } h \nabla \left\langle v \right\rangle ^ { k } \partial _ { v _ { i } } A [ f ] \nabla h = J _ { 1 1 } + J _ { 1 2 } .
\frac { \partial H _ { k } } { \partial t } = \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } K _ { \theta , \phi } } { 3 8 4 b _ { 0 } } k ^ { x + y + 2 } C _ { E } C _ { H } \int _ { \Delta _ { \perp } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } \delta ( s + s _ { p } \tilde { p } + s _ { q } \tilde { q } ) \frac { 1 } { \tilde { p } \tilde { q } }
R _ { 2 } ^ { \left( 3 \right) } = \sum _ { i = 3 } ^ { m + 1 } \alpha _ { i } ( - 1 ) ^ { i + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { l _ { 2 } - 1 } g _ { k + 1 } ^ { \left( 2 \right) } ( \Phi _ { i , k } + \Phi _ { i - 1 , k } ) .
e ^ { - i p \cdot x } \langle 0 | \varphi ( 0 ) | p \rangle = { \sqrt { Z } } e ^ { - i p \cdot x } \langle 0 | \varphi _ { \mathrm { i n } } ( 0 ) | p \rangle + \int \mathrm { d } ^ { 4 } y \Delta _ { \mathrm { r e t } } ( x - y ) \langle 0 | j ( y ) | p \rangle
\begin{array} { r } { Z _ { \mathrm { e f f } } ^ { x _ { \alpha } } ( r ) = Z _ { \mathrm { n u c l } } ( r ) - r \int _ { 0 } ^ { \infty } \! d r ^ { \prime } \, \frac { \rho _ { \mathrm { t o t } } ( r ^ { \prime } ) } { \mathrm { m a x } \{ r , r ^ { \prime } \} } + x _ { \alpha } \left[ \frac { 8 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } r \rho _ { \mathrm { t o t } } ( r ) \right] ^ { 1 / 3 } \, . } \end{array}
Q _ { Y } ( t ) = \sum _ { Y ^ { \prime } } \chi _ { Y ^ { \prime } } ^ { Y } ( - 1 ) \frac { t _ { 1 } ^ { \nu _ { 1 } } t _ { 3 } ^ { \nu _ { 3 } } \cdots } { \nu _ { 1 } ! \nu _ { 3 } ! \cdots } \in V .
\begin{array} { r l } & { \Big | \frac { 1 } { | T | } \sum _ { ( x _ { i } , y _ { i } ) \in T } \langle v , x _ { i } \rangle ( y _ { i } - x _ { i } ^ { \top } w ^ { * } ) \Big | \leq \rho _ { 1 } \, \sqrt { v ^ { \top } \Sigma v } \, \sigma \; \mathrm { ~ , ~ } } \\ & { \Big | \frac { 1 } { | T | } \sum _ { x _ { i } \in T } \langle v , x _ { i } \rangle ^ { 2 } - v ^ { \top } \Sigma v \Big | \leq \rho _ { 2 } v ^ { \top } \Sigma v \; , } \\ & { \Big | \frac { 1 } { | T | } \sum _ { ( x _ { i } , y _ { i } ) \in T } ( y _ { i } - x _ { i } ^ { \top } w ^ { * } ) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \Big | \leq \rho _ { 3 } \sigma ^ { 2 } \; , } \\ & { \Big | \frac { 1 } { | T | } \sum _ { ( x _ { i } , y _ { i } ) \in T } \left\langle v , x _ { i } \right\rangle \Big | \leq \rho _ { 4 } \sqrt { v ^ { \top } \Sigma v } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i _ { 2 } } ( F ^ { * } ) - c _ { i _ { 2 } } ( Y _ { i _ { 1 } + 1 } ) } & { = c _ { i _ { 1 } + 1 } ( F ^ { * } ) - c _ { i _ { 1 } + 1 } ( Y _ { i _ { 1 } + 1 } ) - ( \delta _ { i _ { 1 } + 2 } + \ldots + \delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus Y _ { i _ { 1 } + 1 } ) } \\ { } & { ~ ~ - ( \Delta _ { i _ { 1 } + 2 } + \ldots + \Delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Y _ { i _ { 1 } + 1 } ) \big ) } \\ { } & { = 0 - ( \delta _ { i _ { 1 } + 2 } + \ldots + \delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus Y _ { i _ { 1 } + 1 } ) - ( \Delta _ { i _ { 1 } + 2 } + \ldots + \Delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot 0 } \\ { } & { \le 0 . } \end{array}
R _ { V , W } \, \overset { V } { B } _ { 1 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } \, \overset { W } { A } _ { 2 } = \sum _ { ( R ) } \bigl ( R _ { ( 1 ) } \bigr ) _ { V 1 } \, \overset { W } { A } _ { 2 } \, \overset { V } { B } _ { 1 } \, \bigl ( R _ { ( 2 ) } \bigr ) _ { W 2 } \, R _ { V , W } ^ { - 1 } = \overset { W } { A } _ { 2 } \, R _ { V , W } \, \overset { V } { B } _ { 1 } \, R _ { V , W } ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { w ( x ) } & { = c _ { n , k } ^ { \prime \prime } | x | ^ { - \frac { n - 1 } { 2 } } e ^ { i k | x | } \hat { \mu } ( k \hat { x } ) + O ( | x | ^ { - \frac { n + 1 } { 2 } } ) \quad \mathrm { a s ~ } | x | \rightarrow \infty , } \\ { \partial _ { | x | } w ( x ) } & { = c _ { n , k } ^ { \prime \prime } | x | ^ { - \frac { n - 1 } { 2 } } i k e ^ { i k | x | } \hat { \mu } ( k \hat { x } ) + O ( | x | ^ { - \frac { n + 1 } { 2 } } ) \quad \mathrm { a s ~ } | x | \rightarrow \infty , } \end{array}
{ \mathrm { R M S } } _ { \mathrm { T o t a l } } = { \sqrt { { \mathrm { R M S } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \mathrm { R M S } } _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + { \mathrm { R M S } } _ { n } ^ { 2 } } }
\mathrm { N u } _ { D } = 3 . 6 6 + { \frac { 0 . 0 6 5 \cdot \mathrm { R e } \cdot \mathrm { P r } \cdot { \frac { D } { L } } } { 1 + 0 . 0 4 \cdot \left( \mathrm { R e } \cdot \mathrm { P r } \cdot { \frac { D } { L } } \right) ^ { 2 / 3 } } }
\begin{array} { r l } { | c _ { \chi } - \widetilde { c _ { \chi } } | } & { = \frac { 1 } { | G | } \Big \lvert \sum _ { g \in G } \overline { { \chi ( g ) } } \left( \sqrt { f ( g ) - a } - \sqrt { f ( g ) - \widetilde { a } } \right) \Big \rvert } \\ & { = \frac { a - \widetilde { a } } { | G | } \Big \lvert \sum _ { g \in G } \frac { \overline { { \chi ( g ) } } } { \sqrt { f ( g ) - a } + \sqrt { f ( g ) - \widetilde { a } } } \Big \rvert } \\ & { \le \sqrt { a - \widetilde { a } } . } \end{array}
{ \begin{array} { l c l } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \ln ( 1 + x ) } { x } } } & { = } & { 1 } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \ln ( 1 + a x ) } { b x } } } & { = } & { \displaystyle { \frac { a } { b } } } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \log _ { c } ( 1 + a x ) } { b x } } } & { = } & { \displaystyle { \frac { a } { b \ln c } } } \end{array} }
{ \frac { \langle ( 2 \delta \boldsymbol { u } \cdot \delta \boldsymbol { q } ) ^ { 2 } \rangle ( \boldsymbol { r } ) } { \langle ( 2 \delta \boldsymbol { u } \cdot \delta \boldsymbol { w } ) ^ { 2 } \rangle ( \boldsymbol { r } ) } \approx \frac { \langle | \delta \boldsymbol { u } | ^ { 2 } \rangle \langle | \delta \boldsymbol { q } | ^ { 2 } \rangle \langle \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ^ { 2 } ( \theta _ { q } ) \rangle ( \boldsymbol { r } ) } { \langle | \delta \boldsymbol { u } | ^ { 2 } \rangle \langle | \delta \boldsymbol { w } | ^ { 2 } \rangle \langle \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ^ { 2 } ( \theta _ { w } ) \rangle ( \boldsymbol { r } ) } \approx \frac { \langle | \delta \boldsymbol { q } | ^ { 2 } \rangle ( \boldsymbol { r } ) } { \langle | \delta \boldsymbol { w } | ^ { 2 } \rangle ( \boldsymbol { r } ) } } ,
\begin{array} { r l } { K _ { n , \alpha } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \omega _ { n , \alpha } ^ { 2 } a ^ { 2 } \Bigg ( - J _ { n - 1 } ( \omega _ { n , \alpha } a ) J _ { n + 1 } ( \omega _ { n , \alpha } a ) } \end{array}
\Gamma ( u ( \cdot , \rho , \sigma ) ) = \sum _ { k _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } \Gamma ^ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } e ^ { i ( k _ { 1 } \rho + k _ { 2 } \sigma ) } + \mathrm { c . c . }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { M a } ( z _ { i } ) } & { { } = } & { u _ { i , \mathrm { D N S } } ^ { + } \cdot \frac { u _ { \tau } } { a _ { 1 } } , } \\ { z _ { i } } & { { } = } & { z _ { i , \mathrm { D N S } } ^ { + } \cdot \frac { \nu _ { 1 } } { u _ { \tau } } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf \nabla } _ { i } \mathcal { H } \big | _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 } \kappa \big ( { \bf \hat { n } } \times { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 3 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k + 3 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 4 + 2 i , 4 k + 3 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda = } & { \tilde { \nu } _ { x } ( \partial e _ { G ^ { \prime } } ( \mathbb { B } ^ { d } ) ) \frac { \tilde { \lambda } } { \mu } \mu + \tilde { \nu } _ { x } ( \partial e _ { G ^ { \prime } } ( \mathbb { B } ^ { d } ) ) \tilde { \lambda } ^ { s } } \\ { = } & { \tilde { \nu } _ { x } ( \partial e _ { G ^ { \prime } } ( \mathbb { B } ^ { d } ) ) \frac { \tilde { \lambda } } { \mu } \mu + \tilde { \lambda } ^ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \nu } _ { e ^ { - } } = P \frac { E + E _ { c } } { 2 E _ { c } } \left( 1 - \exp \left( - \frac { 2 E _ { c } L } { 7 3 0 0 [ k V ] } \right) \right) \cdot } \\ { \exp \left( - \frac { E _ { c } l } { 7 3 0 0 [ k V ] } \right) } \end{array}
3 ( k - 1 ) \mathrm { e } ^ { 9 A } [ 2 k r A ^ { \prime \prime } + 2 k ^ { 2 } A ^ { \prime } + 6 k r A ^ { 2 } - 9 r ^ { 2 } A ^ { 3 } ] + 4 b ^ { 2 } r [ 3 r ^ { 2 } A ^ { \prime \prime } - 3 ( 2 k - 1 ) r A ^ { \prime } + 9 r ^ { 2 } A ^ { 2 } - 2 k ( k - 1 ) ] = 0 ,
[ \gamma _ { h a r m } ^ { ( k ) } ] _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \Omega _ { i } ^ { ( k ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 2 \Omega _ { i } ^ { ( k ) } \geq \gamma _ { 0 } , } \\ { \gamma _ { 0 } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \left| \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } - \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \right| } \\ & { \quad = \frac n 2 \left| \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } + | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ \theta \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) + ( 1 - \theta ) \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) \right\} ^ { \frac n 2 - 1 } \, d \theta \right| } \\ & { \quad \le \frac n 2 \left| \left( r _ { f } - r _ { g } \right) \left( r _ { f } + r _ { g } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ \theta \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) + ( 1 - \theta ) \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) \right\} ^ { \frac n 2 - 1 } \, d \theta \right| } \\ & { \qquad + \frac n 2 \left| ( u _ { f } - u _ { g } ) \left( 2 v - u _ { f } - u _ { g } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ \theta \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) + ( 1 - \theta ) \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) \right\} ^ { \frac n 2 - 1 } \, d \theta \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \Delta p _ { C } ) \simeq } & { \left[ \left( \frac { 1 } { N } \right) ^ { 2 } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = \frac { 1 } { N } \right) + \left( - \frac { 1 } { N } \right) ^ { 2 } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = - \frac { 1 } { N } \right) \right] \Delta t } \\ { = } & { ~ \frac { 2 ( k - 2 ) } { ( k - 1 ) N ^ { 2 } } p _ { C } ( 1 - p _ { C } ) ( 1 - w _ { R } ) \Delta t } \\ { \equiv } & { ~ v ( p _ { C } ) \Delta t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \Phi } ( G \ast Z _ { \delta , d } , G ^ { \prime } \ast Z _ { \delta , d } ) } & { \leq 2 \operatorname* { i n f } \{ \lambda \in \mathbb { R } ^ { + } : \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( \| x \| / \lambda ) \cdot | ( G - G ^ { \prime } ) \ast Z _ { \delta , d } ( x ) | \mathrm { d } x \leq 1 \} } \\ & { \leq 2 \operatorname* { i n f } \{ \lambda \in \mathbb { R } ^ { + } : \ s _ { 1 } \leq 1 / 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \ s _ { 2 } \leq 1 / 2 \} , } \\ & { \leq 2 \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { i n f } \{ \lambda \in \mathbb { R } ^ { + } : \ s _ { 1 } \leq 1 / 2 \} , \operatorname* { i n f } \{ \lambda \in \mathbb { R } ^ { + } : \ s _ { 2 } \leq 1 / 2 \} \} , } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { V A E } } = \frac { 1 } { 2 \gamma } | | S - \mu _ { \theta } ( \hat { z } , \overline { { q } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m , i , j } \left( \sigma _ { \phi } ^ { 2 } + \mu _ { \phi } ^ { 2 } - 1 - \ln ( \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ) \right) _ { m , i , j } ,
u = \int \exp ( A \delta ( \frac { y } { \delta } + \exp ( - \frac { y } { \delta } ) ) d x = A _ { 1 } \left[ \exp ( \frac { y } { \delta } + \exp ( \frac { y } { \delta } ) ) - E i ( \exp ( - \frac { y } { \delta } ) ) \right] + A _ { 2 } .
\mathbf { p } _ { T } = \sqrt { - \frac { Q _ { 1 } ^ { 4 } } { \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } s } + Q _ { 1 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { M _ { Z } ^ { 2 } } { \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } s } \right) } ~ \mathbf { n } _ { T } ,
r _ { \mathrm { c s } } \equiv \frac { \left\langle | \nabla \times \boldsymbol { v } | ^ { 2 } \right\rangle } { \left\langle | \nabla \cdot \boldsymbol { v } | ^ { 2 } \right\rangle + \left\langle | \nabla \times \boldsymbol { v } | ^ { 2 } \right\rangle } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { T } _ { \lambda _ { \mathrm { s } } , \lambda _ { \mathrm { i } } , \ell } } & { { } = a _ { \ell } + \lambda _ { \mathrm { i } } \lambda _ { \mathrm { s } } b _ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( \omega ) = } & { H ( \omega ) \times g ( \omega ) } \\ { = } & { \exp \left( i \{ \Lambda ( \tau \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } + t _ { 0 } ( \omega - \Omega ) - [ \varphi - \Omega t _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \arg ( 1 + i 2 \Lambda \tau ^ { 2 } ) ] \} \right) } \\ & { \times \sqrt { \frac { \tau } { \tau _ { 0 } } } \sqrt { 2 \pi \tau _ { 0 } ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\bar { \mathbf { F } } _ { i } ^ { f } = - \operatorname* { m i n } ( \gamma _ { f } | \bar { \bf { v } } _ { i } ^ { s } | , ~ \mu _ { f } | \bar { \mathbf { F } } _ { i } ^ { r } | ) \frac { \bar { \mathbf { v } } _ { i } ^ { s } } { | \bar { \mathbf { v } } _ { i } ^ { s } | }
( \Delta \Gamma _ { \mu } \Delta ) ^ { M } ( p ^ { \prime } , p ; k ) = \int \bar { d } ^ { 4 } \! k ^ { \prime } \frac { ( p + p ^ { \prime } - 2 k ^ { \prime } ) _ { \mu } E ^ { M } ( k ^ { \prime } ) } { [ ( p ^ { \prime } - k ^ { \prime } ) - m ^ { 2 } ] [ ( p - k ^ { \prime } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] } .
\begin{array} { r } { d x = - \left[ \lambda _ { 1 } \cdot \mathrm { s i g n } ( x ) x ^ { 2 } - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \cdot \nabla _ { x } \log p _ { t } ( x ) \right] d t + \lambda _ { 2 } d w . } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { \mathbf { Q } } \left( \mathcal { R } ^ { d } + \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { x } } \end{array} \right) \right) = P \Theta _ { \mathbf { Q } } P ^ { - 1 } \left( \mathcal { R } ^ { d } + \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { x } } \end{array} \right) \right) \subseteq \Theta _ { \mathbf { Q } } \mathcal { R } ^ { d } + P \Theta _ { \mathbf { Q } } \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { x } } \end{array} \right) } \end{array}
\frac { \phi _ { c w } ^ { \mathrm { H } } ( x _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \phi _ { c w } ^ { \mathrm { H } } ( x _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) } { \phi _ { c w } ^ { \mathrm { H } } ( x _ { 1 } ) \phi _ { c w } ^ { \mathrm { H } } ( x _ { 2 } ) } \approx \left( \frac { x _ { 1 } ^ { \prime \prime } x _ { 2 } ^ { \prime \prime } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } \right) ^ { - \gamma _ { c w } } .