harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { f _ { k } \delta \phi _ { k } ^ { \prime \prime \prime \prime } + \left( \frac { 2 f _ { k } } { r } + \partial _ { r } f _ { k } \right) \delta \phi _ { k } ^ { \prime \prime \prime } + \left( D _ { A { k } } + \frac { \partial _ { r } f _ { k } } { r } - \frac { 2 \left( m ^ { 2 } + 1 \right) f _ { k } } { r ^ { 2 } } \right) \delta \phi _ { k } ^ { \prime \prime } } \\ & { + \left( \frac { \partial _ { r } \left( r D _ { A { k } } \right) } { r } - \frac { m ^ { 2 } \partial _ { r } f _ { { k } } } { r ^ { 2 } } + \frac { \left( 6 m ^ { 2 } + 1 \right) f _ { k } } { r ^ { 3 } } \right) \delta \phi _ { k } ^ { \prime } } \\ & { + \left( \frac { \partial _ { r } k _ { \parallel } ^ { 2 } } { r } - \frac { m ^ { 2 } D _ { A { k } } } { r ^ { 2 } } + \frac { \left( m ^ { 4 } - 5 m ^ { 2 } \right) f _ { { k } } } { r ^ { 4 } } \right) \delta \phi _ { k } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( g , \mu ) \mapsto } & { \phi _ { 0 } ^ { \prime } ( 1 ) \, \partial _ { r } \bar { \phi } ( 1 , \varphi ) - \phi _ { 0 } ^ { \prime } ( 1 ) ^ { 2 } \mathrm { \normalfont ~ R e } [ g ^ { \prime } ( e ^ { i \varphi } ) ] } \\ & { - \Omega _ { 0 } ^ { 2 } \, \mathrm { \normalfont ~ R e } \left[ e ^ { - i \varphi } g ( e ^ { i \varphi } ) \right] + D _ { h } ( U _ { h } \circ f _ { h } ) \mid _ { h = 0 } [ g ] ( e ^ { i \varphi } ) - \mu . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X } & { = } & { W ^ { \left( k - 1 \right) , r } \left( T ^ { \ast } M \otimes \mathcal { A } \right) } \\ { Y } & { = } & { K ^ { \perp } \cap W ^ { k , r } \left( \mathcal { A } \right) } \\ { Z } & { = } & { K ^ { \perp } \cap W _ { A _ { 1 } } ^ { \left( k - 2 \right) , r } \left( \mathcal { A } \right) . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l } { A _ { 1 , 1 } } & { A _ { 2 , 1 } } & { b _ { 1 } } \\ { A _ { 1 , 2 } } & { A _ { 2 , 2 } } & { b _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { 1 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { ( G _ { 1 } \vee G _ { 3 } ) \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) } & { = ( G _ { 1 } \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) ) \vee ( G _ { 3 } \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) ) } \\ & { = ( G _ { 1 } \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) ) \vee G _ { 3 } } \\ & { = ( G _ { 1 } \wedge G _ { 2 } ) \vee ( G _ { 1 } \wedge G _ { 3 } ) \vee G _ { 3 } \, ( \textrm { b y n e s t e d - n e s s o f } \{ G _ { 2 } , G _ { 3 } \} ) } \\ & { \leq \mathrm { d } ( G _ { 1 } ) \vee G _ { 3 } \, ( \textrm { b y L e m m a } ) . } \end{array}
( y , x ) \equiv ( 5 . 0 0 6 , ~ ~ 1 . 0 3 6 ) , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, a = - 1 , \, \, ( y , x ) \equiv ( 6 . 9 6 1 , ~ ~ 0 . 7 9 2 ) , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, a = 1 , \, \,
\begin{array} { r l } { h _ { 1 } ( \psi ) , h _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \psi ) q ^ { \frac { 1 } { 2 } \alpha } ( \psi ) } & { \preceq h _ { 1 } ( \xi ) } \\ { h ^ { ( 1 ) } ( \psi ) q ^ { \frac { 1 } { 2 } \alpha } ( \psi ) = [ h _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \psi ) h _ { 2 } ( \psi ) + h _ { 1 } ( \psi ) h _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( \psi ) ] q ^ { \frac { 1 } { 2 } \alpha } ( \psi ) } & { \preceq h ( \xi ) } \end{array}
U _ { \phi } = \prod _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } e ^ { i \frac { \pi } { 2 } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { g ( \cos \theta _ { 0 } x - \sin \theta _ { 0 } y , \sin \theta _ { 0 } x + \cos \theta _ { 0 } y ) } \\ & { = } & { a ( \cos \theta _ { 0 } x - \sin \theta _ { 0 } y ) ^ { 2 } - b ( \sin \theta _ { 0 } x + \cos \theta _ { 0 } y ) ^ { 2 } + } \\ & { } & { ( \cos \theta _ { 0 } x - \sin \theta _ { 0 } y ) ^ { 3 } c + ( \cos \theta _ { 0 } x - \sin \theta _ { 0 } y ) ^ { 2 } ( \sin \theta _ { 0 } x + \cos \theta _ { 0 } y ) d } \\ & { } & { + ( \cos \theta _ { 0 } x - \sin \theta _ { 0 } y ) ( \sin \theta _ { 0 } x + \cos \theta _ { 0 } y ) ^ { 2 } e + ( \sin \theta _ { 0 } x + \cos \theta _ { 0 } y ) ^ { 3 } f } \\ & { = } & { - 2 \sqrt { a b } x y + ( a - b ) y ^ { 2 } } \\ & { } & { + x ^ { 3 } \left[ ( \cos \theta _ { 0 } ) ^ { 3 } c + ( \cos \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } \sin \theta _ { 0 } d + \cos \theta _ { 0 } ( \sin \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } e + ( \sin \theta _ { 0 } ) ^ { 3 } f \right] } \\ & { } & { + x ^ { 2 } y \left[ 3 ( \cos \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } \sin \theta _ { 0 } c + \cos \theta _ { 0 } ( 1 - 3 ( \sin \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } ) d + \sin \theta _ { 0 } ( 3 ( \cos \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } - 1 ) e + 3 ( \sin \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } \cos \theta _ { 0 } f \right] } \\ & { } & { + x y ^ { 2 } \left[ - 3 \cos \theta _ { 0 } ( \sin \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } c + ( ( \cos \theta _ { 0 } ) ^ { 3 } - 2 ( \cos \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } \sin \theta _ { 0 } ( d + e ) + 3 \sin \theta _ { 0 } ( \cos \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } f \right] } \\ & { } & { + y ^ { 3 } \left[ - ( \sin \theta _ { 0 } ) ^ { 3 } c + ( \sin \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } \cos \theta _ { 0 } d - \sin \theta _ { 0 } ( \cos \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } e + ( \cos \theta _ { 0 } ) ^ { 3 } f \right] } \end{array}
\left( \rho ^ { 3 } \right) _ { B } = \rho _ { \pi \pi } ^ { 3 } + \rho _ { \pi G } ^ { 3 } + \rho _ { S } ^ { 3 } + \rho _ { A } ^ { 3 } \; \; \; , \; \; \; \left( \rho ^ { 3 } \right) _ { B ^ { * } } = \rho _ { \pi \pi } ^ { 3 } - \frac { 1 } { 3 } \rho _ { \pi G } ^ { 3 } + \rho _ { S } ^ { 3 } - \frac { 1 } { 3 } \rho _ { A } ^ { 3 } \; \; .
e ^ { - \hat { a } _ { u , 1 , 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { u , 1 , 1 } - \hat { a } _ { u , 1 , 2 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { u , 1 , 2 } } = e ^ { - \hat { n } _ { u , 1 , 1 } } e ^ { - \hat { n } _ { u , 1 , 2 } } .
\tilde { \Phi } _ { 1 } = \Phi _ { 1 } + \delta _ { 1 } \frac { \bar { \Lambda } } { 2 m _ { c } } , \qquad \tilde { \Phi } _ { 2 } = \Phi _ { 2 } + \delta _ { 2 } \frac { \bar { \Lambda } } { 2 m _ { c } } .
\begin{array} { r } { \left\vert \mathcal { E } _ { j , k } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert \leq 2 \pi \left\| \mathcal { F } ( I ) \right\| _ { L ^ { 1 } ( \Omega _ { 0 , 0 } ) } \left\| \eta _ { j , k } - \eta _ { 0 , 0 } \right\| _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { 0 , 0 } ) } + \left\| \delta _ { j , k } \right\| _ { L ^ { 1 } ( \Omega _ { 0 , 0 } ) } + \left\| \delta _ { 0 , 0 } \right\| _ { L ^ { 1 } ( \Omega _ { 0 , 0 } ) } \, , } \end{array}
\biggl ( M _ { H } ^ { 2 } - M _ { 0 } ^ { 2 } \biggr ) \Psi ^ { S S _ { z } } ( x , \kappa _ { \bot } , \lambda _ { i } ) = \int \frac { \, d x ^ { \prime } d ^ { 2 } \kappa _ { \bot } ^ { \prime } \, } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } x ^ { \prime } } \sum _ { \lambda _ { i } ^ { \prime } } V _ { e f f } ( x , \kappa _ { \bot } , \lambda _ { i } ; x ^ { \prime } , \kappa _ { \bot } ^ { \prime } , \lambda _ { i } ^ { \prime } ) { \Psi } ^ { S S _ { z } } ( x ^ { \prime } , k _ { \bot } ^ { \prime } , \lambda _ { i } ^ { \prime } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { ( 1 - t ) \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) - t f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) } & { { } \geqslant C \big | \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) - t \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \big | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , * } | _ { \alpha - 3 , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 5 } + \varepsilon ^ { 3 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ & { | d _ { i } \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , * } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { \alpha - 3 , s , \eta _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } ^ { 4 } \langle \ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ \varphi ~ } } _ { 1 } \rangle } & { { } = \sin 2 \theta ~ \rho ( r ) \ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ { ~ \phi ~ } ~ } ~ } } , ~ ~ ~ ~ r \geq 1 , } \\ { \rho ( r ) } & { { } = \frac { 1 } { 1 6 r ^ { 4 } } ~ \left( r ^ { 3 } J ^ { ( 3 ) } + r ^ { 2 } J ^ { ( 2 ) } - 6 r J ^ { ( 1 ) } + 6 J \right) J ^ { * } + c . c . } \\ { J ( r ) } & { { } = 3 \frac { h _ { 1 } ( m r ) } { m h _ { 0 } ( m ) } - r - \frac { h _ { 2 } ( m ) } { r ^ { 2 } h _ { 0 } ( m ) } ~ . } \end{array}
E _ { \mathrm { p h } } ^ { \prime } ( \theta ) = E _ { 0 } ^ { \prime } - \frac { E _ { 0 } ^ { \prime } } { \gamma ^ { 2 } } \frac { A \gamma ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } { 2 \gamma ^ { 2 } \left( 1 - \beta \right) + X } + A \ O ( \gamma ^ { 4 } \theta ^ { 4 } ) ,
\mathbf { Y } ( \mathbf { \sigma } ( \epsilon , \mathfrak { u } _ { \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } } ( t , \mathfrak { u } _ { 0 } ) ) ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \epsilon ^ { n } } { n ! } \mathfrak { L } _ { \mathbf { P } } ^ { ( n ) } \overline { { \mathbf { X } } } _ { E } \Big \vert _ { \mathfrak { u } _ { \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } } ( t , \mathfrak { u } _ { 0 } ) } .
u _ { T } ^ { s i g n a l } = \frac { \int _ { 0 } ^ { E _ { T } } R ^ { s i g n a l } ( T ) d T } { \int _ { 0 } ^ { E _ { m a x } } R ^ { s i g n a l } ( T ) d T } \qquad u _ { T } ^ { b a c k g r o u n d } = \frac { \int _ { 0 } ^ { E _ { T } } R ^ { b a c k g r o u n d } ( T ) d T } { \int _ { 0 } ^ { E _ { m a x } } R ^ { b a c k g r o u n d } ( T ) d T }
a \ b = { \begin{array} { l } { a \ \ \bullet } \\ { \bullet \ \ b } \end{array} } = { \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} } = { \begin{array} { l } { \bullet \ \ a } \\ { b \ \ \bullet } \end{array} } = b \ a = { \begin{array} { l } { b \ \ \bullet } \\ { \bullet \ \ a } \end{array} } = { \begin{array} { l } { b } \\ { a } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { h } _ { t } = ( \phi ( a ) , \phi ( b ) , b _ { 1 } , \cdots , b _ { n } , \phi _ { 2 } ( a ) , \phi _ { 2 } ( b ) , c _ { 1 } , \cdots , c _ { m } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { g } ( \theta ) } & { \propto \sum _ { t } ^ { T } \sum _ { k } \left[ x _ { k } ^ { i a } ( t ) \log ( p _ { k } ^ { i a } ( t ) ) + x _ { k } ^ { i b } ( t ) \log ( p _ { k } ^ { i b } ( t ) ) \right] } \\ & { - \left[ 1 + \sum _ { j } x _ { j } ^ { i a } ( t ) + x _ { j } ^ { i b } ( t ) \right] * \log \left( \sum _ { j } p _ { j } ^ { i a } ( t ) + p _ { j } ^ { i b } ( t ) \right) } \end{array}
\frac { \delta g _ { \alpha \beta } ( p ) } { \delta g _ { \mu \nu } ( - q ) } = \delta ^ { 4 } ( p + q ) \left[ \delta _ { \alpha } ^ { \mu } \delta _ { \beta } ^ { \nu } + \delta _ { \alpha } ^ { \nu } \delta _ { \beta } ^ { \mu } \right] .
\begin{array} { r l } & { \rho \left( \partial _ { t } u _ { i } + \mathbf { u } \cdot \nabla u _ { i } \right) = \mu \Delta u _ { i } - \partial _ { x _ { i } } p - \rho g \delta _ { i 3 } , \quad \left. u _ { i } \right| _ { \partial \Omega } = 0 , \quad i = 1 , 2 , 3 , \quad \nabla \cdot \mathbf { u } = 0 , } \\ & { \partial _ { t } \rho + \mathbf { u } \cdot \nabla \rho = \kappa _ { s } \Delta \rho , \quad \left. \partial _ { \mathbf { n } } \rho \right| _ { \partial \Omega } = 0 , \quad \left. \rho \right| _ { | x _ { 3 } | \rightarrow \infty } = \rho _ { 0 } - \Gamma x _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial K } { \partial S _ { w } } } & { { } = \frac { \left( 1 - \frac { ( 1 + \phi ) K _ { D } } { K _ { s } } \right) \frac { \partial K _ { f } } { \partial S _ { w } } } { \phi ( 1 + \Delta ) } - } \\ { \frac { \partial G } { \partial S _ { w } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial S _ { w } } } & { { } = \phi ( \rho _ { w } - \rho _ { h } ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { l l r } { { } } & { { \bar { \beta } ^ { i } \equiv 0 ~ ~ ~ ~ \forall i ~ ~ } } & { { \mathrm { ( ~ i ~ n u m e r a t e s ~ a l l ~ b a c k g r o u n d ~ f i e l d s ~ ) } , } } \\ { { \mathrm { w i t h } : \quad } } & { { \bar { \beta } _ { \mu \nu } ^ { G } = \beta _ { \mu \nu } ^ { G } + D _ { ( \mu } M _ { \nu ) } ~ ~ , ~ ~ } } & { { M _ { \nu } = 2 \alpha ^ { \prime } \partial _ { \nu } \phi + W _ { \nu } ~ , } } \\ { { } } & { { \bar { \beta } _ { \mu \nu } ^ { B } = \beta _ { \mu \nu } ^ { B } + H _ { \mu \nu \lambda } M ^ { \lambda } + \partial _ { [ \mu } K _ { \nu ] } ~ , } } \\ { { } } & { { \bar { \beta } ^ { \phi } = \beta ^ { \phi } + \frac { 1 } { 2 } M ^ { \mu } \partial _ { \mu } \phi ~ , } } & { { } } \\ { { } } & { { \bar { \beta } ^ { T } = \beta ^ { T } - 2 T + \frac { 1 } { 2 } M ^ { \mu } \partial _ { \mu } T ~ . } } & { { } } \end{array}
\bar { H } = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } ( \nabla \psi \times \hat { z } ) , \quad \bar { E } = \frac { 1 } { j \omega \mu _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ d ~ i ~ u ~ m ~ } } } \nabla \times ( \nabla \psi \times \hat { z } ) .
{ \cal M } _ { N } ( { \zeta } , \mu ) = \zeta ^ { N } \, N ! \, ( N + 1 ) ! \sum _ { n = 0 } ^ { N } \frac { ( - 1 ) ^ { n } 2 ( 2 n + 3 ) } { ( N + n + 3 ) ! ( N - n ) ! } \, \left[ \frac { \ln \mu _ { 0 } / \Lambda } { \ln \mu / \Lambda } \right] ^ { \gamma _ { n } / \beta _ { 0 } } \, \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { k } ( k + n + 2 ) ! } { 2 \zeta ^ { k } \, k ! \, ( k + 1 ) ! \, ( n - k ) ! } \, { \cal M } _ { k } ( { \zeta } , \mu _ { 0 } ) \, .
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { F } _ { N } = - \frac { M m } { r ^ { 3 } } x \boldsymbol { \hat { x } } - \frac { M m } { r ^ { 3 } } y \boldsymbol { \hat { y } } \, , } \\ & { \boldsymbol { F } _ { L } = q v _ { y } B _ { 0 } \boldsymbol { \hat { x } } - q v _ { x } B _ { 0 } \boldsymbol { \hat { y } } } \\ & { \boldsymbol { F } _ { R R } = - \frac { 2 q ^ { 3 } } { 3 m ^ { 2 } } \Bigg ( \left( q v _ { x } B _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { M m } { r ^ { 3 } } y B _ { 0 } \right) \boldsymbol { \hat { x } } \, , } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \left( q v _ { y } B _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { M m } { r ^ { 3 } } y B _ { 0 } \right) \boldsymbol { \hat { y } } \Bigg ) \, , } \\ & { \boldsymbol { F } _ { \mathrm { t a i l } } = \frac { q ^ { 2 } M } { r ^ { 3 } } \Bigg ( \left( \frac { x } { r } - \frac { 2 } { 3 } v _ { x } \right) \boldsymbol { \hat { x } } + \left( \frac { y } { r } - \frac { 2 } { 3 } v _ { y } \right) \boldsymbol { \hat { y } } \Bigg ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { 0 } ^ { 0 } = 1 , \quad P _ { l } ^ { l } = - \, ( 2 l - 1 ) \, \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } \, P _ { l - 1 } ^ { l - 1 } , } \\ & { P _ { l } ^ { l - 1 } = ( 2 l - 1 ) \, t \, P _ { l - 1 } ^ { l - 1 } , } \\ & { P _ { l } ^ { m } = [ ( 2 l - 1 ) \, t \, P _ { l - 1 } ^ { m } - ( l + m - 1 ) \, P _ { l - 2 } ^ { m } ] / ( l - m ) . } \end{array}
- m _ { D } ^ { 2 } = \frac { g H } { \pi ^ { 2 } } \beta ^ { 2 } \frac { \partial } { \beta ^ { 2 } } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } [ 8 \frac { K _ { 1 } ( ( g H ) ^ { 1 / 2 } \beta l ) } { l ( g H ) ^ { 1 / 2 } \beta } + 4 K _ { 0 } ( ( g H ) ^ { 1 / 2 } \beta l ) + O ( \beta ) ] .
\begin{array} { r l } & { M ^ { ( n ) } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l ^ { \prime } \right) } = \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l } ( \varphi ) \mathrm { d } \varphi } \\ { = } & { \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l ^ { \prime } \right) } \sum _ { a = - p } ^ { p } \exp \left( { \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n a } \right) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l ^ { \prime } + a } ( \varphi ) \mathrm { d } { \varphi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { g l a s s } } ^ { + } } \\ { \mathcal { P } _ { \mathrm { g l a s s } } ^ { - } } \end{array} \right] } & { { } = I ^ { 0 , 1 } \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { r e s } } ^ { + } } \\ { \mathcal { P } _ { \mathrm { s o u r c e } } ^ { - } } \end{array} \right] } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = \vec { \mathcal { B } } _ { \mathrm { l a b } } \cdot \mathbf { M } \cdot \vec { I } + \vec { I } \cdot \mathbf { Q } \cdot \vec { I } - D \hat { n } \cdot \vec { \mathcal { E } } _ { \mathrm { l a b } } + W _ { T } \vec { I } \cdot \hat { n } .
\frac { \mathrm { d } I _ { \mathrm { R E } } } { \mathrm { d } t } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } ~ V ^ { \prime } \left\langle \frac { R _ { 0 } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right\rangle \frac { G _ { R 0 } } { B _ { \mathrm { m i n } } } \frac { \mathrm { d } j _ { \mathrm { R E } } } { \mathrm { d } t } \mathrm { d } r ,
\boldsymbol { \mathcal { M } } _ { F } \boldsymbol { \mathcal { M } } _ { H } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathcal { Q } } \boldsymbol { \mathcal { D } } \dot { \boldsymbol { \mathcal { X } } } _ { g e n } = \boldsymbol { \mathcal { K } } ,
\frac { \overline { { E } } ^ { n + 1 } - \overline { { E } } ^ { n } } { \Delta t } | K | = \, - \int _ { \partial K } \hat { F } _ { E } ^ { n } \cdot \mathbf { n } \, d l + \int _ { K } \nabla \cdot D ^ { n } \nabla E _ { r } ^ { n + 1 } \, d \mathbf { x } .
A ( \Sigma ^ { + } \rightarrow p \eta _ { 8 } ) = \left( - \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 6 } } \right) ~ b + \left( \frac { 1 } { 6 \sqrt { 6 } } + \frac { 1 } { 3 \sqrt { 6 } } \right) ~ c
\begin{array} { l l l l l l c c l } { { } } & { { p } } & { { s } } & { { t } } & { { u } } & { { v } } & { { x } } & { { y } } & { { w } } \\ { { \lambda \ } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { n } } & { { 0 } } & { { 2 ( n + 2 ) } } & { { 3 ( n + 2 ) } } & { { 0 } } \\ { { \mu \ } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 4 } } & { { 6 } } & { { 0 } } \\ { { \nu \ } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 2 } } & { { 3 } } & { { 1 } } \\ { { \sigma \ } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { q } } & { { 0 } } & { { 2 ( q + 2 ) } } & { { 3 ( q + 2 ) } } & { { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { V } _ { u } ( x ) } & { \leq } & { - \alpha ( \| x \| _ { X } ) + \sigma ( \| u ( 0 ) \| _ { U } ) } \\ & { \leq } & { - \omega ( \| x \| _ { X } ) \sigma ( \| x \| _ { X } ) + \sigma ( \| u ( 0 ) \| _ { U } ) } \\ & { \leq } & { - \omega \circ \psi _ { 2 } ^ { - 1 } ( V ( x ) ) \cdot \sigma \circ \psi _ { 1 } ^ { - 1 } ( V ( x ) ) + \sigma ( \| u ( 0 ) \| _ { U } ) } \\ & { \leq } & { - \tilde { \alpha } ( V ( x ) ) + \sigma ( \| u ( 0 ) \| _ { U } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { c d } ^ { ( 2 ) } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol { k } \int d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \mathcal { N } ^ { 2 } | \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) | ^ { 2 } | \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \cos { \left[ 2 m \left( \tilde { \varphi } + \tilde { \varphi } ^ { \prime } \right) \right] } e ^ { i ( k _ { z } - k _ { z } ^ { \prime } ) z _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ^ { ( v ) } } & { { } = \sum _ { r = k } ^ { \infty } \sum _ { z = r } ^ { \infty } P ^ { ( v ) } ( z ) \binom { z } { r } ( 1 - H ) ^ { r } H ^ { z - r } , } \\ { m ^ { ( e ) } } & { { } = \sum _ { s = q } ^ { \infty } \sum _ { n = s } ^ { \infty } P ^ { ( e ) } ( n ) \binom { n } { s } ( 1 - R ) ^ { s } R ^ { n - s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \ell } \tilde { \zeta } _ { k } ( i ) } & { = \left| \left\{ j \in { \mathbb { N } } \ ; \ T _ { \ell } J _ { k , j } = i - k \right\} \right| } \\ & { = \left| \left\{ j \in { \mathbb { N } } \ ; \ J _ { k , j } + ( k \wedge \ell ) = i - k \right\} \right| } \\ & { = \tilde { \zeta } _ { k } \left( i - ( k \wedge \ell ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { k } ^ { i , l } ( t ) = \mathrm { C o v } ( \epsilon _ { \lfloor n t \rfloor , i } , \epsilon _ { \lfloor n t \rfloor + k , l } ) , \quad \sigma _ { i , l } ^ { 2 } ( t ) = \gamma _ { 0 } ^ { l , l } ( t ) \gamma _ { 0 } ^ { i , i } ( t ) , \quad \rho _ { k } ^ { i , l } ( t ) = \gamma _ { k } ^ { i , l } ( t ) / \sigma _ { i , l } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \eta } _ { 2 } = - \eta _ { 2 } ( \eta _ { 2 } + 1 ) [ u ( 1 - \frac { u } { 1 + u } - \eta _ { 1 } + \frac { \gamma _ { 1 2 } } { \gamma _ { 1 1 } } \eta _ { 2 } ) - \frac { u } { 1 + u } - \eta _ { 1 } + \frac { \gamma _ { 1 2 } } { \gamma _ { 1 1 } } \eta _ { 2 } ] . } \end{array}
\gamma _ { \pm } \equiv 2 \mu _ { \pm } + \frac { 1 } { 2 } = 1 \pm \frac { 1 } { 2 } \quad , \quad \alpha _ { a , b } ^ { \pm } \equiv \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \mathcal { E } _ { a , b } + \omega _ { a , b } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \beta _ { a , b } ^ { \pm } \equiv \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \mathcal { E } _ { a , b } + \omega _ { a , b } } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { M } ( \Phi _ { 1 } ( x , t ) - x ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle u _ { 1 } \rangle _ { x _ { 1 } } ( x _ { 2 } , t ) F ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 2 } } \end{array}
= \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & & { t _ { 2 c e } e ^ { i ( x _ { 1 a e } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 2 } ) + x _ { 2 a c } { \bf a } _ { 2 } ) } } & & { t _ { 2 b e } e ^ { i ( x _ { 1 a e } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 2 } ) + x _ { 2 a b } { \bf a } _ { 1 } ) } } \\ { t _ { 2 b d } e ^ { i ( - x _ { 1 c d } ( { \bf a } _ { 2 } - { \bf a } _ { 3 } ) + x _ { 2 b c } { \bf a } _ { 3 } ) } } & & { 0 } & & { t _ { 2 a d } e ^ { i ( - x _ { 1 c d } ( { \bf a } _ { 2 } - { \bf a } _ { 3 } ) - x _ { 2 a c } { \bf a } _ { 2 } ) } } \\ { t _ { 2 a f } e ^ { i ( - x _ { 1 b f } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 3 } ) - x _ { 2 a b } { \bf a } _ { 1 } ) } } & & { t _ { 2 c f } e ^ { i ( - x _ { 1 b f } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 3 } ) + x _ { 2 b c } { \bf a } _ { 3 } ) } } & & { 0 } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r c l } { W _ { k } ( I ) } & { = } & { \displaystyle R _ { k } ( I ) \frac { 1 } { i \left( k _ { 1 } \left( \frac { u _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \hat { q } _ { i } } { I _ { 1 } ^ { i } } } { \sum _ { j = 1 } ^ { m } \frac { c _ { j } } { I _ { 1 } ^ { j } } } \right) + \sum _ { j = 2 } ^ { n } k _ { j } u _ { j } \right) } } \\ & { = } & { \displaystyle R _ { k } ( I ) \frac { 1 } { i \left( k _ { 1 } \left( \frac { u _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \hat { q } _ { i } } { I _ { 1 } ^ { i } } } { \sum _ { j = 1 } ^ { m } \frac { c _ { j } } { I _ { 1 } ^ { j } } } \right) + \bar { k } \bar { u } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \operatorname* { m i n } ~ } & { - \sum _ { i \in M } \sum _ { j \in N } p _ { j } x _ { i j } } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { \sum _ { j \in S _ { k } } w _ { j } x _ { i j } \leq C _ { i } y _ { i k } , } & & { i \in M , ~ k \in K , } \\ & { \sum _ { i \in M } x _ { i j } \leq 1 , } & & { j \in N , } \\ & { \sum _ { k \in K } y _ { i k } \leq 1 , } & & { i \in M , } \\ & { x \in \{ 0 , 1 \} ^ { M \times N } , ~ y \in \{ 0 , 1 \} ^ { M \times K } . ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \dot { \chi } = \omega _ { \chi } + \sum _ { j \ne 0 } \chi _ { j } \cos ( j \chi ) , } \\ { \displaystyle \dot { \zeta } = \omega _ { \zeta } + \sum _ { j \ne 0 } \zeta _ { j } \cos ( j \chi ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ \, ~ \, ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } x _ { + } ( t ) } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { + j } ( x _ { j } - x _ { + } ) \leq 0 , } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ \, ~ \, ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } x _ { - } ( t ) } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { - j } ( x _ { j } - x _ { - } ) \geq 0 , } \end{array}