harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r } { \partial _ { y } P _ { 1 } ( \theta , y , z ) = \varepsilon ( \nabla _ { v } ( H _ { 3 , 2 } ( v _ { \varepsilon } ( \theta , y ) + z ) - H _ { 3 , 2 } ( v _ { \varepsilon } ( \theta , 0 ) + z ) ) , \partial _ { y } v _ { \varepsilon } ( \theta , y ) ) _ { L _ { x } ^ { 2 } } = \varepsilon ( R ( z , z ) , \partial _ { y } v _ { \varepsilon } ( \theta , y ) ) _ { L _ { x } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I I } & { = \left| \sum _ { { n } = 1 } ^ { { N _ { \ell } } } { \alpha _ { n } ^ { ( \ell ) } } k ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ { \vec { x } _ { M _ { \ell } ^ { ( 2 ) } } ^ { ( \ell , n ) } } ] ) - \sum _ { { n } = 1 } ^ { { N _ { \ell } } } { \alpha _ { n } ^ { ( \ell ) } } k ^ { [ { M _ { \ell } ^ { ( 2 ) } } ] } ( \vec { x } , { \vec { x } _ { M _ { \ell } ^ { ( 2 ) } } ^ { ( \ell , n ) } } ) \right| } \\ & { \leq \sum _ { { n } = 1 } ^ { { N _ { \ell } } } | { \alpha _ { n } ^ { ( \ell ) } } | | k ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ { \vec { x } _ { M _ { \ell } ^ { ( 2 ) } } ^ { ( \ell , n ) } } ] ) - k ^ { [ { M _ { \ell } ^ { ( 2 ) } } ] } ( \vec { x } , { \vec { x } _ { M _ { \ell } ^ { ( 2 ) } } ^ { ( \ell , n ) } } ) | } \\ & { \leq \sum _ { { n } = 1 } ^ { { N _ { \ell } } } | { \alpha _ { n } ^ { ( \ell ) } } | \left( \operatorname* { s u p } _ { \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } \in X ^ { { M _ { \ell } ^ { ( 2 ) } } } } | k ^ { [ { M _ { \ell } ^ { ( 2 ) } } ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } ) - k ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] ) | \right) } \\ & { \leq \sum _ { { n } = 1 } ^ { { N _ { \ell } } } | { \alpha _ { n } ^ { ( \ell ) } } | \frac { \epsilon _ { \ell } } { 3 ( | { \alpha _ { 1 } ^ { ( \ell ) } } | + \ldots + | { \alpha _ { N _ { \ell } } ^ { ( \ell ) } } | + 1 ) } \leq \frac { \epsilon _ { \ell } } { 3 } . } \end{array}
P = \frac { \rho e - \bigg ( \frac { \gamma _ { 1 } P _ { 1 } ^ { \infty } } { \gamma _ { 1 } - 1 } \phi _ { 1 } + \frac { \gamma _ { 2 } P _ { 2 } ^ { \infty } } { \gamma _ { 2 } - 1 } \phi _ { 2 } \bigg ) } { \bigg ( \frac { \phi _ { 1 } } { \gamma _ { 1 } - 1 } + \frac { \phi _ { 2 } } { \gamma _ { 2 } - 1 } \bigg ) } ,
\begin{array} { r l } & { \beta = 0 : \quad \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } = 0 , \quad \hat { v } _ { r } = 0 , \quad \hat { v } _ { \theta } = 0 , \quad \frac { \mathrm { d } \hat { p } } { \mathrm { ~ d } r } = 0 , \quad \frac { \mathrm { d } \hat { c } } { \mathrm { ~ d } r } = 0 , } \\ & { \beta = 1 : \quad \hat { v } _ { z } = 0 , \quad \hat { v } _ { r } + \hat { v } _ { \theta } = 0 , \quad 2 \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { r } } { \mathrm { ~ d } r } + \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { \theta } } { \mathrm { d } r } = 0 , \quad \hat { p } = 0 , \quad \hat { c } = 0 , } \\ & { \beta \geqslant 2 : \quad \hat { v } _ { z } = 0 , \quad \hat { v } _ { r } = 0 , \quad \hat { v } _ { \theta } = 0 , \quad \hat { p } = 0 , \quad \hat { c } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } } & { = \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } \left( A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { k } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { i } \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { k } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { i } \left( A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { k } ^ { \prime } \right) \underbrace { \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { s _ { i } ( c ) } ^ { \prime } \right] } _ { \Psi } } \end{array}
\Phi _ { A B } * L _ { B } ^ { > } ( x ) \simeq \Big ( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d y } { 2 \pi } \Phi _ { A B } ( y ) \Big ) L _ { B } ^ { > } ( x ) = N _ { A B } L _ { B } ^ { > } ( x ) ,
\begin{array} { r l } { Q ( \mathbf { r } ) = } & { r _ { 1 2 } r _ { 3 4 } ( - r _ { 1 2 } ^ { 2 } - r _ { 3 4 } ^ { 2 } + r _ { 2 3 } ^ { 2 } + r _ { 1 4 } ^ { 2 } + r _ { 1 3 } ^ { 2 } + r _ { 2 4 } ^ { 2 } ) } \\ & { + r _ { 1 4 } r _ { 2 3 } ( r _ { 1 2 } ^ { 2 } r _ { 3 4 } ^ { 2 } - r _ { 2 3 } ^ { 2 } - r _ { 1 4 } ^ { 2 } + r _ { 1 3 } ^ { 2 } + r _ { 2 4 } ^ { 2 } ) } \\ & { - r _ { 1 3 } r _ { 2 4 } ( r _ { 1 2 } ^ { 2 } + r _ { 3 4 } ^ { 2 } + r _ { 2 3 } ^ { 2 } + r _ { 1 4 } ^ { 2 } - r _ { 1 3 } ^ { 2 } - r _ { 2 4 } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } + E \cdot \nabla _ { v } ) F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } + [ \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } , E \cdot \nabla _ { v } ] F _ { + } } \\ & { = \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ Q ( F _ { + } , F _ { + } ) + Q _ { - + } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ) \} . } \end{array}
\hat { H } \simeq \frac { 2 } { 3 \hat { t } ^ { \prime } } , \quad \hat { t } ^ { \prime } \equiv \hat { t } - \hat { t } _ { 0 } + \frac { 2 } { 3 } \hat { H } ( \hat { t } _ { 0 } ) ^ { - 1 } , \hat { t } \geq \hat { t } _ { 0 } \quad \cdot
\begin{array} { r l } { \tau _ { x x } = \frac { 2 } { 3 } \mu \left( 2 \frac { \partial u } { \partial x } - \frac { \partial v } { \partial y } \right) , } & { { } \quad \tau _ { x y } = \tau _ { y x } = \mu \left( \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } \right) , \quad \tau _ { y y } = \frac { 2 } { 3 } \mu \left( 2 \frac { \partial v } { \partial y } - \frac { \partial u } { \partial x } \right) , } \\ { q _ { x } } & { { } = - k \frac { \partial T } { \partial x } , \quad q _ { y } = - k \frac { \partial T } { \partial y } , \quad T = \frac { \gamma p } { ( \gamma - 1 ) C _ { p } \rho } , } \end{array}
\Delta ( S ^ { \pm } ) = S ^ { \pm } \otimes q ^ { - S ^ { 3 } } + q ^ { S ^ { 3 } } \otimes S ^ { \pm } \, , \qquad \Delta ( S ^ { 3 } ) = S ^ { 3 } \otimes 1 + 1 \otimes S ^ { 3 } \, .
\begin{array} { r } { \frac { d ^ { 2 } \hat { v } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } \nu } \frac { \hat { p } _ { 0 } } { \hat { v } _ { 0 } } \frac { d \hat { v } _ { 1 } } { d \eta } = \frac { \hat { \rho } _ { 0 } } { b ^ { 2 } \nu } \frac { d \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta } . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \displaystyle \left( \partial / \partial \theta \right) A } } & { { } } & { { \mathrm { f o r \ l e f t \ d e r i v a t i v e } , } } \\ { { \displaystyle \partial A / \partial \theta } } & { { } } & { { \mathrm { f o r \ r i g h t \ d e r i v a t i v e } . } } \end{array}
\mathrm { s o l v } \bigl ( { \frac { \mathrm { O } ( 5 , Q ) } { \mathrm { O } ( 5 ) \times \mathrm { O } ( Q ) } } \bigr ) = \mathrm { s o l v } \bigl ( { \frac { \mathrm { O } ( 1 , Q ) } { \mathrm { O } ( Q ) } } \bigr ) + \mathrm { s o l v } \bigl ( { \frac { \mathrm { O } ( 4 , Q ) } { O ( 4 ) \times \mathrm { O } ( Q ) } } \bigr )
\rho ( \lambda ) \sigma ( \lambda ) + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \lambda ^ { \prime } \frac { K _ { 2 } ( \lambda - \lambda ^ { \prime } ) } { 2 \pi } \rho ( \lambda ^ { \prime } ) \sigma ( \lambda ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \mathrm { ~ I ~ m ~ } [ \theta _ { 2 } ( \lambda - x _ { 0 } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda + x _ { 0 } ) ] .
\begin{array} { r } { { \bf V } _ { E } \simeq c \left( 1 - \frac { 1 } { 4 k _ { 0 } ^ { 2 } w ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 1 6 k _ { 0 } ^ { 4 } w ^ { 2 } l ^ { 2 } } + \frac { 9 } { 6 4 k _ { 0 } ^ { 4 } w ^ { 4 } } \right) \! \bar { \bf z } \, , } \\ { { \bf V } \simeq c \left( 1 - \frac { 1 } { 4 k _ { 0 } ^ { 2 } w ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 k _ { 0 } ^ { 4 } w ^ { 2 } l ^ { 2 } } + \frac { 1 1 } { 6 4 k _ { 0 } ^ { 4 } w ^ { 4 } } \right) \! \bar { \bf z } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle { { \Theta } ^ { 2 } } \right\rangle = } & { 2 n _ { \beta } | \vec { v } _ { \alpha } | \tau _ { h } \underbrace { \frac { \mu ^ { 2 } } { m _ { \alpha } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { p } } ^ { \theta _ { n } } ( 1 - \cos ( \theta ) ) \sigma ( \theta ) \sin ( \theta ) \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \varphi } _ { \mathrm { m o m e n t u m ~ t r a n s f e r ~ c r o s s - s e c t i o n } } } \\ { = } & { 4 \pi n _ { \beta } | \vec { v } _ { \alpha } | \tau _ { h } b _ { 0 } ^ { 2 } \left. \ln \left[ \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right] \right| _ { \theta _ { p } } ^ { \theta _ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { t = 0 } ^ { T } \sqrt { \hat { U } _ { t } } \le \sum _ { t = 0 } ^ { T } \gamma ^ { t } \sqrt { \hat { U } _ { 0 } } + \frac { 1 } { 1 - \gamma } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } u _ { t } \le \frac { 1 } { 1 - \gamma } \sqrt { \hat { U } _ { 0 } } + \frac { 1 } { 1 - \gamma } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } u _ { t } . } \end{array}
u _ { j } = \partial _ { x } \varphi _ { j } ( x , z ) = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } H _ { j } ( z ) ^ { 2 n } \partial _ { x } ^ { 2 n } \partial _ { x } \varphi _ { 0 \, j } ( x ) = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } H _ { j } ( z ) ^ { 2 n } \partial _ { x } ^ { 2 n } u _ { 0 \, j } ( x ) \, ,
S \ = \ \int d ^ { 4 } x \ \left( \ ( \partial _ { \mu } m ) ^ { 2 } + ( \partial _ { \mu } n ) ^ { 2 } \ + \ \frac { 1 } { e _ { m } ^ { 2 } } ( f ^ { a b c } \partial _ { \mu } m ^ { b } \partial _ { \nu } m ^ { c } ) ^ { 2 } \ + \ \frac { 1 } { e _ { n } ^ { 2 } } ( f ^ { a b c } \partial _ { \mu } n ^ { b } \partial _ { \nu } n ^ { c } ) ^ { 2 } \ \right)
\begin{array} { r l } { 0 = \{ F , C \} } & { = - \int _ { \Omega } \frac { \delta F } { \delta \omega } \nabla \cdot \left( q \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta \omega } + r \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta b } \right) } \\ & { \quad + \frac { \delta F } { \delta D } \nabla \cdot \left( q \nabla \frac { \delta C } { \delta \omega } + \nabla \frac { \delta C } { \delta \eta } + r \nabla \frac { \delta C } { \delta b } \right) } \\ & { \quad + \frac { \delta F } { \delta b } \nabla \cdot \left( r \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta \omega } \right) \, d \mu \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { i } ^ { 2 } \int _ { a } ^ { b } \frac { k ^ { 2 } r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } | D g | ^ { 2 } d r + \int _ { a } ^ { b } | g | ^ { 2 } \left[ \frac { k ^ { 2 } c _ { i } ^ { 2 } } { r } - \frac { k ^ { 2 } r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \frac { D V ^ { 2 } c _ { i } ^ { 2 } } { 4 | V - c | ^ { 2 } } \right] d r } \\ { = \frac { - 2 c _ { i } } { \rho | V - c | } \left( c _ { i } K _ { e } + \frac { D _ { e } } { k } \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { Q \epsilon _ { N } } } \\ { { P \lambda _ { N } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \left( \Pi _ { 0 } ^ { p } \: \gamma _ { p } + C \: \Pi _ { 1 } ^ { p } \: \gamma _ { p } \right) Q \: \delta _ { N M } } } & { { S \: \left( \Pi _ { 1 } ^ { 2 } \: \gamma _ { 2 } \: \delta _ { N M } - i \: \Pi _ { \alpha } ^ { i } \: K _ { ( t ) M N } ^ { i } \right) P } } \\ { { S \: \left( \Pi _ { 1 } ^ { 2 } \: \gamma _ { 2 } \: \delta _ { N M } - i \: \Pi _ { \alpha } ^ { i } \: K _ { ( t ) M N } ^ { i } \right) Q } } & { { \left( \Pi _ { 0 } ^ { p } \: \gamma _ { p } - C \: \Pi _ { 1 } ^ { p } \: \gamma _ { p } \right) P \: \delta _ { N M } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { P \kappa _ { M 0 } } } \\ { { Q \lambda _ { M 0 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \lambda _ { a + \epsilon _ { 2 } } } { \lambda _ { a } } B _ { a + \epsilon _ { 2 } , a , a + \epsilon _ { 1 } , a } } & { = \frac { \lambda _ { a + \epsilon _ { 2 } } } { \lambda _ { a } } B _ { b , b + \epsilon _ { - 2 } , b + \epsilon _ { 1 } + \epsilon _ { - 2 } , b + \epsilon _ { - 2 } } } \\ & { = \frac { - 1 } { \sqrt { [ 4 ] ! } } \frac { \lambda _ { a + \epsilon _ { 2 } } } { \lambda _ { a } } \frac { [ \overline { { b } } _ { 1 } - \overline { { b } } _ { - 2 } - 1 ] } { [ \overline { { b } } _ { 1 } - \overline { { b } } _ { - 2 } ] } \sqrt { \frac { \lambda _ { b + \epsilon _ { 1 } + \epsilon _ { - 2 } } } { \lambda _ { b } } } } \\ & { = \frac { - 1 } { \sqrt { [ 4 ] ! } } \frac { \lambda _ { a + \epsilon _ { 2 } } } { \lambda _ { a } } \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] } \sqrt { \frac { \lambda _ { a + \epsilon _ { 1 } } } { \lambda _ { a + \epsilon _ { 2 } } } } } \\ & { = \frac { - 1 } { \sqrt { [ 4 ] ! } } \frac { 1 } { \lambda _ { a } } \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] } \sqrt { \lambda _ { a + \epsilon _ { 1 } } \lambda _ { a + \epsilon _ { 2 } } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { 4 + 1 } \cdot 1 \cdot B _ { a , a + \epsilon _ { 2 } , a , a + \epsilon _ { 1 } } . } \end{array}
{ \frac { \langle ( \Delta P ) ^ { 2 } \rangle } { P ^ { 2 } } } = { \frac { \kappa } { \kappa - 1 } } { \frac { T } { P V } } = { \frac { \kappa ^ { 2 } } { \kappa - 1 } } { \frac { 1 } { S } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \frac { e ( { \bf q } ( t ) ) } { e ( { \bf q } ( 0 ) ) } \right] } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } R ( r ) \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) \frac { \| { \bf M } _ { t } { \bf L } r \boldsymbol { \theta } \| ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } R ( r ) d r \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) \| { \bf M } _ { t } { \bf L } \boldsymbol { \theta } \| ^ { 2 } d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ & { = \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) \| { \bf M } _ { t } { \bf L } \boldsymbol { \theta } \| ^ { 2 } d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) \mathrm { , } } \end{array}
\mathrm { P r } _ { \mathrm { m } } = { \frac { \mathrm { R e _ { m } } } { \mathrm { R e } } } = { \frac { \nu } { \eta } } = { \frac { \mathrm { v i s c o u s ~ d i f f u s i o n ~ r a t e } } { \mathrm { m a g n e t i c ~ d i f f u s i o n ~ r a t e } } }
\begin{array} { r } { \langle \delta N ( k , l , t + 1 ) \rangle = \frac { 1 } { 3 } \Bigg ( \frac { b ( l - k + 1 ) ^ { 2 } } { l } H ( \frac { k - 1 } { l } - 1 + \gamma ) p ( k - 1 , l , t - 1 ) + } \\ { + \frac { b ( 1 + k ) ^ { 2 } } { l } H ( \gamma - \frac { k + 1 } { l } ) p ( k + 1 , l , t - 1 ) - } \\ { - \bigg ( \frac { b ( l - k ) ^ { 2 } } { l } H ( \frac { k } { l } - 1 + \gamma ) + \frac { b k ^ { 2 } } { l } H ( \gamma - \frac { k } { l } ) + \frac { b k ^ { 2 } } { l } H ( \frac { k } { l } - \gamma ) H ( 1 - \gamma - \frac { k } { l } ) \bigg ) p ( k , l , t - 1 ) \Bigg ) , } \end{array}
\mathcal { \hat { H } } = \sum _ { \mathbf { k } } \omega _ { \mathbf { k } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \frac { \hat { \mathbf { P } } ^ { 2 } } { 2 m } + n V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { k } = 0 ) + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } \sum _ { \mathbf { k } } V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \hat { \mathbf { r } } } \left( \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \hat { b } _ { - \mathbf { k } } ^ { \dagger } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \overline { { \pi } } _ { r } ^ { R N } \ge \pi _ { r } ^ { R N } \ge \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { r } ^ { R N } } \pi _ { r , n } ^ { R N , G } , } \\ & { \pi _ { r , n } ^ { R N , G } \ge a _ { r , n , i } ^ { R N , G } P _ { r , n } ^ { R N , G } + b _ { r , n , i } ^ { R N , G } , \forall n , i , } \\ & { \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { r } ^ { R N } } P _ { r , n } ^ { R N , G } = \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { r } ^ { R N } } P _ { r , n } ^ { R N , D } + \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { r } ^ { R N , B } } P _ { r , n } ^ { R N , B } , } \\ & { \begin{array} { r l } { - \overline { { F } } _ { r , l } ^ { R N } \leq } & { \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { r } ^ { R N } } T _ { r , l , n } P _ { r , n } ^ { R N , G } - \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { r } ^ { R N } } T _ { r , l , n } P _ { r , n } ^ { R N , D } } \\ & { - \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { r } ^ { R N , B } } T _ { r , l , n } P _ { r , n } ^ { R N , B } \leq \overline { { F } } _ { r , l } ^ { R N } , \forall l , } \end{array} } \\ & { \underline { { P } } _ { r , n } ^ { R N , G } \leq P _ { r , n } ^ { R N , G } \leq \overline { { P } } _ { r , n } ^ { R N , G } , \forall n . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { R _ { 1 2 1 2 } = R _ { 1 3 1 3 } = R _ { 1 4 1 4 } = \frac { W _ { 2 , t } a + a _ { , t } W _ { 2 } } { a } , } \\ & { R _ { 1 2 3 4 } = R _ { 1 3 2 4 } = R _ { 1 4 2 3 } = 2 W _ { 1 } W _ { 2 } , } \\ & { R _ { 2 3 1 4 } = R _ { 2 4 1 3 } = R _ { 3 4 1 2 } = \frac { W _ { 1 , t } a + a _ { , t } W _ { 1 } } { a } , } \\ & { R _ { 2 3 2 3 } = R _ { 2 4 2 4 } = R _ { 3 4 3 4 } = \frac { W _ { 1 } ^ { 2 } a ^ { 2 } - W _ { 2 } ^ { 2 } a ^ { 2 } - k } { a ^ { 2 } } , } \end{array} } \end{array}
\delta _ { 9 9 } = 0 . 3 6 5 9 \frac { x u _ { * } } { U _ { e } } , \ \ y _ { o } = \frac { y U _ { e } } { x u _ { * } } = 0 . 3 6 5 9 \frac { y } { \delta _ { 9 9 } } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ^ { ( v ) } } & { { } ( z , t + 1 ) = \sum _ { z ^ { \prime } \ge \operatorname* { m a x } \lbrace z , k \rbrace } P ^ { ( v ) } ( z ^ { \prime } , t ) T _ { z ^ { \prime } z } ^ { ( v ) } ( t ) \, , } \\ { P ^ { ( e ) } } & { { } ( n , t + 1 ) = \sum _ { n ^ { \prime } \ge \operatorname* { m a x } \lbrace n , q \rbrace } P ^ { ( e ) } ( n ^ { \prime } , t ) T _ { n ^ { \prime } n } ^ { ( e ) } ( t ) \, , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } n _ { ( S , I , R ) } ^ { X } } & { = - \left( \lambda _ { X } S I + \frac { \tau _ { n } ^ { X } } { m _ { n } ^ { X } } S + \gamma I \right) n _ { ( S , I , R ) } ^ { X } } \\ & { + \gamma ( I + 1 ) n _ { ( S , I + 1 , R - 1 ) } ^ { X } \mathbf { 1 } _ { \left\{ R \geq 1 \right\} } } \\ & { + \left( \lambda _ { X } ( S + 1 ) ( I - 1 ) + \frac { \tau _ { n } ^ { X } } { m _ { n } ^ { X } } ( S + 1 ) \right) n _ { ( S + 1 , I - 1 , R ) } ^ { X } \mathbf { 1 } _ { \left\{ I > 1 \right\} } . } \end{array}
{ \mathbb E } _ { y } ( { \bf r } , t ) \propto \exp \! \left[ - \frac { ( z - c t ) ^ { 2 } } { 2 l ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 2 } } { 2 ( w ^ { 2 } + i c t / k _ { 0 } ) } + i k _ { 0 } ( z - c t ) \right] ,
\begin{array} { r } { e ^ { - } + 2 \mathrm { A r } ( 3 p ^ { 6 } \ ^ { 1 } S _ { 0 } ) \rightarrow \mathrm { A r } ^ { * - } ( 3 p ^ { 5 } 4 p ^ { 2 } \ ^ { 4 } S _ { 3 / 2 } ^ { O } ) + \mathrm { A r } \; , } \\ { e ^ { - } + \mathrm { A r } _ { 2 } ( \mathrm { X } \, ^ { 1 } \Sigma _ { g } ^ { + } ) \rightarrow \mathrm { A r } ^ { * - } ( 3 p ^ { 5 } 4 p ^ { 2 } \ ^ { 4 } S _ { 3 / 2 } ^ { O } ) + \mathrm { A r } \; , } \\ { \mathrm { A r } ^ { * - } ( 3 p ^ { 5 } 4 p ^ { 2 } \ ^ { 4 } S _ { 3 / 2 } ^ { O } ) + 2 \mathrm { A r } \rightarrow \mathrm { A r } _ { 2 } ^ { * - } ( b \ ^ { 4 } \Sigma _ { u } ^ { - } ) + \mathrm { A r } \; , } \\ { \mathrm { A r } ^ { * - } ( 3 p ^ { 5 } 4 p ^ { 2 } \ ^ { 4 } S _ { 3 / 2 } ^ { O } ) \rightarrow \mathrm { A r } ^ { * - } ( 3 p ^ { 5 } 4 s 4 p \ ^ { 4 } S _ { 3 / 2 } ) + h \nu \; , } \\ { \mathrm { A r } ^ { * - } ( 3 p ^ { 5 } 4 s 4 p \ ^ { 4 } S _ { 3 / 2 } ) + 2 \mathrm { A r } \rightarrow \mathrm { A r } _ { 2 } ^ { * - } ( a \ ^ { 4 } \Sigma _ { g } ^ { + } ) + \mathrm { A r } \; , } \\ { \mathrm { A r } _ { 2 } ^ { * - } ( b \ ^ { 4 } \Sigma _ { u } ^ { - } ) \rightarrow e ^ { - } + 2 \mathrm { A r } \; , } \\ { \mathrm { A r } _ { 2 } ^ { * - } ( a \ ^ { 4 } \Sigma _ { g } ^ { + } ) \rightarrow e ^ { - } + 2 \mathrm { A r } \; . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l } { { \mathsf { T i m e \ d o m a i n } } \quad } & { \ f \quad } & { = \quad } & { f _ { _ { R E } } \quad } & { + \quad } & { f _ { _ { R O } } \quad } & { + \quad i \ } & { f _ { _ { I E } } \quad } & { + \quad } & { \underbrace { i \ f _ { _ { I O } } } } \\ & { { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { \ \ { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { \ \ { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { \ \ { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } \\ { { \mathsf { F r e q u e n c y \ d o m a i n } } \quad } & { { \hat { f } } \quad } & { = \quad } & { { \hat { f } } _ { R E } \quad } & { + \quad } & { \overbrace { i \ { \hat { f } } _ { I O } } \quad } & { + \quad i \ } & { { \hat { f } } _ { I E } \quad } & { + \quad } & { { \hat { f } } _ { R O } } \end{array} }
\begin{array} { r l r l r l } { \sinh x } & { = \frac { e ^ { x } - e ^ { - x } } { 2 } , } & { \sinh x } & { \sim x \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \sinh x } & { \sim \frac { e ^ { x } } { 2 } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty } \\ { \cosh x } & { = \frac { e ^ { x } + e ^ { - x } } { 2 } , } & { \cosh x } & { \sim 1 \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \cosh x } & { \sim \frac { e ^ { x } } { 2 } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty } \\ { \operatorname { t a n h } x } & { = \frac { \sinh x } { \cosh x } , } & { \operatorname { t a n h } x } & { \sim x \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \operatorname { t a n h } x } & { \sim 1 \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty } \\ { \coth x } & { = \frac { \cosh x } { \sinh x } , } & { \coth x } & { \sim \frac { 1 } { x } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \coth x } & { \sim 1 \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty } \\ { \operatorname { s e c h } x } & { = \frac { 1 } { \cosh x } , } & { \operatorname { s e c h } x } & { \sim 1 \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \operatorname { s e c h } x } & { \sim 2 e ^ { - x } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty } \\ { \operatorname { c s c h } x } & { = \frac { 1 } { \sinh x } , } & { \operatorname { c s c h } x } & { \sim \frac { 1 } { x } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \operatorname { c s c h } x } & { \sim 2 e ^ { - x } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty . } \end{array}
f _ { i } ( R ( t ) , t ) = \frac { v _ { a , i } \psi _ { i } ^ { * } ( t ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } v _ { a , i } \psi _ { i } ^ { * } ( t ) } , \ i = 1 , . . . , n , \ t > 0 , \ \sigma _ { a } ( t ) - \sigma _ { d } ( t ) > 0 ,
\begin{array} { r l r } { \lbrace C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } C _ { x _ { 3 } x _ { 4 } } \rbrace _ { 3 } } & { = } & { C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } C _ { x _ { 3 } x _ { 4 } } + C _ { x _ { 1 } x _ { 3 } } C _ { x _ { 2 } x _ { 4 } } } \\ & { + } & { C _ { x _ { 1 } x _ { 4 } } C _ { x _ { 2 } x _ { 3 } } } \\ { \lbrace C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } C _ { x _ { 3 } x _ { 4 } x _ { 5 } } \rbrace _ { 1 0 } } & { = } & { C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } C _ { x _ { 3 } x _ { 4 } x _ { 5 } } + C _ { x _ { 1 } x _ { 3 } } C _ { x _ { 2 } x _ { 4 } x _ { 5 } } } \\ & { + } & { C _ { x _ { 1 } x _ { 4 } } C _ { x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 5 } } + C _ { x _ { 1 } x _ { 5 } } C _ { x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } } } \\ & { + } & { C _ { x _ { 2 } x _ { 3 } } C _ { x _ { 1 } x _ { 4 } x _ { 5 } } + C _ { x _ { 2 } x _ { 4 } } C _ { x _ { 1 } x _ { 3 } x _ { 5 } } } \\ & { + } & { C _ { x _ { 2 } x _ { 5 } } C _ { x _ { 1 } x _ { 3 } x _ { 4 } } + C _ { x _ { 3 } x _ { 4 } } C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 5 } } } \\ & { + } & { C _ { x _ { 3 } x _ { 5 } } C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 4 } } + C _ { x _ { 4 } x _ { 5 } } C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } } \end{array}