harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { ( \; T _ { s _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } , T _ { \sigma _ { i } ( s _ { 1 } ) } ^ { m _ { 2 } } , . . . , T _ { \sigma _ { i } ^ { p } ( s _ { 1 } ) } ^ { m _ { p } } , T _ { \sigma _ { i } ^ { p + 1 } ( s _ { 1 } ) } ^ { m _ { 1 } } , . . . , T _ { \sigma _ { i } ^ { q - 1 } ( s _ { 1 } ) } ^ { m _ { p } } , . . . , T _ { s _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } , . . . , T _ { \sigma _ { i } ^ { q - 1 } ( s _ { 1 } ) } ^ { m _ { p } } \; ) } & { } & { \mathrm { i f } \; \; q > p } \\ { ( \; T _ { s _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } , T _ { s _ { 2 } } ^ { \sigma _ { k } ( m _ { 1 } ) } , . . . , T _ { s _ { q } } ^ { \sigma _ { k } ^ { q } ( m _ { 1 } ) } , T _ { s _ { 1 } } ^ { \sigma _ { k } ^ { q + 1 } ( m _ { 1 } ) } , . . . T _ { s _ { q } } ^ { \sigma _ { k } ^ { p - 1 } ( m _ { 1 } ) } , . . . , T _ { s _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } , . . . , T _ { s _ { q } } ^ { \sigma _ { k } ^ { p - 1 } ( m _ { 1 } ) } \; ) } & { } & { \mathrm { i f } \; \; q < p } \end{array}
\Gamma _ { h a d , q } ^ { N S } = \frac { G _ { F } M _ { Z } ^ { 3 } } { 2 \pi \sqrt { 2 } } \sum _ { q } \{ ( g _ { V } ^ { q } ) ^ { 2 } + ( g _ { A } ^ { q } ) ^ { 2 } \} \left[ 1 + \frac { 3 } { 4 } C _ { F } \frac { \alpha _ { \Gamma , q } ^ { N S } ( s ) } { \pi } \right]
\partial _ { + } ( e ^ { \sqrt { 2 } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) - 2 \rho } \Omega ^ { 5 / 3 } F _ { + - } ) = \partial _ { - } ( e ^ { \sqrt { 2 } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) - 2 \rho } \Omega ^ { 5 / 3 } F _ { + - } ) = 0 .
\frac { d \bar { B } } { d r ^ { * } } = - \Omega \bar { B } ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Omega \equiv \frac { d F } { d r } + \frac { 2 i a \cos \theta } { \rho ^ { 2 } } + \frac { F } { \rho }
\lambda ( n ) = \phi ( n ) { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } n = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , 2 , 4 ; } \\ { 3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 , \ldots { \mathrm { ~ ( t h a t ~ i s , ~ } } p ^ { k } { \mathrm { , ~ w h e r e ~ } } p { \mathrm { ~ i s ~ a n ~ o d d ~ p r i m e ) } } ; } \\ { 6 , 1 0 , 1 4 , 1 8 , \ldots { \mathrm { ~ ( t h a t ~ i s , ~ } } 2 p ^ { k } { \mathrm { , ~ w h e r e ~ } } p { \mathrm { ~ i s ~ a n ~ o d d ~ p r i m e ) } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \beta } & { { } = \frac { 4 N \varepsilon ^ { 2 } } { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } , } \\ { \gamma } & { { } = \frac { 2 N \varepsilon } { 1 - \varepsilon } \left( 1 - 2 q \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { h } _ { I } \vec { \phi } _ { p } ( t ) } & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { W _ { j , p } ^ { * } } \\ { W _ { j , p } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { c _ { p } ( t , { \bf r } _ { j } ) } \\ { c _ { j , p } ( t ) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { V ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { - \mathrm { i } W _ { j , p } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { i } W _ { j , p } } \end{array} \right) V \left( \begin{array} { l } { c _ { p } ( t , { \bf r } _ { j } ) } \\ { c _ { j , p } ( t ) } \end{array} \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \rho \left( { \partial _ { t } u _ { r } } + u _ { r } { \partial _ { r } u _ { r } } + u _ { z } { \partial _ { z } u _ { r } } \right) } & { = - { \partial _ { r } p } + \mu \left( { \frac { 1 } { r } } \partial _ { r } \left( r { \partial _ { r } u _ { r } } \right) + { \partial _ { z } ^ { 2 } u _ { r } } - { \frac { u _ { r } } { r ^ { 2 } } } \right) + \rho g _ { r } } \\ { \rho \left( { \partial _ { t } u _ { z } } + u _ { r } { \partial _ { r } u _ { z } } + u _ { z } { \partial _ { z } u _ { z } } \right) } & { = - { \partial _ { z } p } + \mu \left( { \frac { 1 } { r } } \partial _ { r } \left( r { \partial _ { r } u _ { z } } \right) + { \partial _ { z } ^ { 2 } u _ { z } } \right) + \rho g _ { z } } \\ { { \frac { 1 } { r } } \partial _ { r } \left( r u _ { r } \right) + { \partial _ { z } u _ { z } } } & { = 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { n } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l } \big ) = \mathcal { Q } _ { l } } & { \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( r ) } } ( \alpha _ { l } ) } \\ & { + \left[ 1 - \mathcal { Q } _ { l } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) \right] \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i ) } } \big ( \alpha _ { l } \big ) , } \end{array}
\int x ^ { m } \operatorname { a r c o t h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \operatorname { a r c o t h } ( a x ) } { m + 1 } } + { \frac { a } { m + 1 } } \int { \frac { x ^ { m + 1 } } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } - 1 } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \eta _ { t } } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } } & { = \frac { 1 } { k } \big ( ( m + t ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } - ( m + t - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \big ) \leq \frac { 1 } { 3 k ( m + t - 1 ) ^ { 2 / 3 } } \leq \frac { 1 } { 3 k \big ( m / 2 + t \big ) ^ { 2 / 3 } } } \\ & { \leq \frac { 2 ^ { 2 / 3 } } { 3 k ( m + t ) ^ { 2 / 3 } } = \frac { 2 ^ { 2 / 3 } } { 3 k ^ { 3 } } \frac { k ^ { 2 } } { ( m + t ) ^ { 2 / 3 } } = \frac { 2 ^ { 2 / 3 } } { 3 k ^ { 3 } } \eta _ { t } ^ { 2 } \leq \frac { 2 } { 3 k ^ { 3 } } \eta _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { A } _ { n + 1 } = \mathbf { A } _ { n } + ( d _ { A } \nabla ^ { 2 } \mathbf { A } _ { n } - \mathbf { A } _ { n } \mathbf { B } _ { n } ^ { 2 } + f \, ( 1 - \mathbf { A } _ { n } ) ) \, \Delta t } \\ { \mathbf { B } _ { n + 1 } = \mathbf { B } _ { n } + ( d _ { B } \nabla ^ { 2 } \mathbf { B } _ { n } + \mathbf { A } _ { n } \mathbf { B } _ { n } ^ { 2 } - ( k + f ) \, \mathbf { B } _ { n } ) \, \Delta t } \end{array}
\mathbf { F } _ { \mathrm { O } } ( t ) = | \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } | \cos ( \omega t + \phi _ { \mathrm { O } } ) = \frac { 1 } { 2 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } \mathrm { e } ^ { i \omega t } + \mathrm { c . c . } , \qquad \mathbf { F } _ { \mathrm { I } } ( t ) = | \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } | \cos ( \omega t + \phi _ { \mathrm { I } } ) = \frac { 1 } { 2 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } \mathrm { e } ^ { i \omega t } + \mathrm { c . c . } \, ,
\begin{array} { r l } { p _ { o } ^ { a } } & { = \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { x _ { 0 } - \Delta x / 2 } ^ { x _ { 0 } + \Delta x / 2 } p ^ { a } ( x ) d x } \\ & { \approx \frac { 1 } { 6 } \left[ 4 p ^ { a } ( x _ { 0 } ) + p ^ { a } \left( x _ { 0 } + \frac { \Delta x } { 2 } \right) + p ^ { a } \left( x _ { 0 } - \frac { \Delta x } { 2 } \right) . \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { k } ^ { p m } ( r , \theta , k , \eta ) = \alpha _ { k } ^ { p m } ( k ) \exp [ - i \tilde { k } _ { k } ^ { p m } ( k ) \eta ] \mathrm { L G } _ { p m } ( r , \theta ) \, , } \\ & { \tilde { k } _ { k } ^ { p m } ( k ) = \frac { 2 } { k _ { L } w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 2 p + | m | + 1 + n _ { 0 0 } / \Delta n } { 1 + k / k _ { L } } \, , } \\ & { \mathrm { L G } _ { p m } ( r , \theta ) = } \\ & { \sqrt { \frac { p ! } { ( p + | m | ) ! } } \left( \frac { \sqrt { 2 } \, r } { w _ { 0 } } \right) ^ { | m | } \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } + i m \theta \right) L _ { p } ^ { | m | } \left( \frac { 2 r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \, . } \end{array}
\partial _ { \theta } E = \left( - i \, d _ { 2 } \, \partial _ { \sigma } ^ { 2 } + d _ { 3 } \, \partial _ { \sigma } ^ { 3 } \right) E + \left( \mathcal { L } + \mathcal { N } D \right) \, E + h \, Y _ { 0 } \frac { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } { 1 + i \delta } \, .
{ \begin{array} { r l l l } { { \mathrm { m e a n } } } & { = e ^ { \mu + \sigma ^ { 2 } / 2 } } & { = e ^ { 0 + 1 ^ { 2 } / 2 } } & { \approx 1 . 6 4 9 } \\ { { \mathrm { m o d e } } } & { = e ^ { \mu - \sigma ^ { 2 } } } & { = e ^ { 0 - 1 ^ { 2 } } } & { \approx 0 . 3 6 8 } \\ { { \mathrm { m e d i a n } } } & { = e ^ { \mu } } & { = e ^ { 0 } } & { = 1 } \end{array} }
\alpha = \frac { P _ { \mathrm { n t h } } } { P _ { \mathrm { t o t } } } = \left[ 1 + \frac { 3 k _ { \mathrm { { B } } } T } { \mu m _ { \mathrm { { H } } } \sigma _ { \mathrm { 3 D } } ^ { 2 } } \right] ^ { - 1 } = \frac { \beta _ { \mathrm { 3 D } } } { 1 + \beta _ { \mathrm { 3 D } } } .
h _ { \mu \nu } = h _ { \mu \nu } ^ { V V } + h _ { \mu \nu } ^ { A A } + h _ { \mu \nu } ^ { A V } + h _ { \mu \nu } ^ { V A } = { \frac { 1 } { 2 \, M _ { H _ { Q } } } } < H _ { Q } | T _ { \mu \nu } ^ { V V } + T _ { \mu \nu } ^ { A A } + T _ { \mu \nu } ^ { A V } + T _ { \mu \nu } ^ { V A } | H _ { Q } > \, .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { x } + d \mathbf { x } } & { = \mathbf { X } + d \mathbf { X } + \mathbf { u } ( \mathbf { X } + d \mathbf { X } ) } \\ { d \mathbf { x } } & { = \mathbf { X } - \mathbf { x } + d \mathbf { X } + \mathbf { u } ( \mathbf { X } + d \mathbf { X } ) } \\ & { = d \mathbf { X } + \mathbf { u } ( \mathbf { X } + d \mathbf { X } ) - \mathbf { u } ( \mathbf { X } ) } \\ & { = d \mathbf { X } + d \mathbf { u } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \rho \tilde { v } ) } { \partial t } + \frac { \partial \left( \rho \tilde { v } u _ { j } \right) } { \partial x _ { j } } = c _ { b 1 } \tilde { S } \rho \tilde { v } + \frac { 1 } { \sigma } \left[ \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \biggl [ ( \rho v + \rho \tilde { v } ) \frac { \partial \tilde { v } } { \partial x _ { j } } \right] } \\ { + c _ { b 2 } \rho \left( \frac { \partial \tilde { v } } { \partial x _ { j } } \right) ^ { 2 } \biggl ] - c _ { w 1 } f _ { w } \rho \left( \frac { \tilde { v } } { \tilde { d } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { R \to \infty } \int _ { - R } ^ { R } \exp ( - i t x ) f ( x ) \mathrm { d } x = 2 \pi \tilde { f } ( t ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { R \to \infty } \int _ { - R + i \zeta } ^ { R + i \zeta } \exp ( - i t x ) f ( x ) \mathrm { d } x } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { R \to \infty } \int _ { - R } ^ { R } \exp ( i t ( x + i \zeta ) ) f ( x + i \zeta ) \mathrm { d } x . } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { R \to \infty } \int _ { - R } ^ { R } \exp ( - i t x - t \zeta ) ) \exp ( - ( x + i \zeta ) ^ { 4 } ) \mathrm { d } x . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] \leq \left( \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } ( 1 - \beta _ { k , t } \mu _ { g } ) \right) \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] + \frac { 4 ( \sigma _ { g , 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } { n S } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \beta _ { k , t } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \| x _ { i } - x _ { j } \| ^ { \alpha } + \| x _ { i } - y _ { j } \| ^ { \alpha } + \| y _ { i } - x _ { j } \| ^ { \alpha } + \| y _ { i } - y _ { j } \| ^ { \alpha } = } \\ & { \| x _ { i } ^ { * } - x _ { j } ^ { * } \| ^ { \alpha } + \| x _ { i } ^ { * } - y _ { j } ^ { * } \| ^ { \alpha } + \| y _ { i } ^ { * } - x _ { j } ^ { * } \| ^ { \alpha } + \| y _ { i } ^ { * } - y _ { j } ^ { * } \| ^ { \alpha } \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq i < j \leq 1 2 } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { A ( \Omega _ { 1 } \cap \Omega _ { 2 } ) \! = \! \Big \{ \! \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } ( A ( u _ { i } ) ) \! + \! \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \mu _ { j } ( A ( v _ { j } ) ) \ \big | } & { \lambda _ { i } \geq 0 , \, \forall i = 1 , \ldots , k , \ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } = 1 , } \\ & { \mu _ { j } \geq 0 , \, \forall j = 1 , \ldots , \ell \Big \} \! + \! \big ( X _ { 0 } \times ( Y _ { 1 , 0 } + Y _ { 2 , 0 } ) \big ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { | x _ { 1 } ^ { T } J x _ { 2 } | ^ { 2 } } & { \Vert \hat { S } _ { j } - S \Vert _ { F } ^ { 2 } = \textnormal { t r } \big ( Y ^ { H } Y \tilde { R } _ { j } \overline { { ( Y ^ { H } Y ) } } \tilde { R } _ { j } ^ { H } \big ) } \\ { \quad } & { = \textnormal { t r } \left( \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { x _ { 1 } ^ { H } x _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } ^ { H } x _ { 1 } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \eta _ { j } } \\ { \eta _ { j } - d } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { x _ { 2 } ^ { H } x _ { 1 } } \\ { x _ { 1 } ^ { H } x _ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \overline { { \eta } } _ { j } - \overline { { d } } } \\ { \overline { { \eta } } _ { j } } & { 0 } \end{array} \right] \right) } \\ & { = | x _ { 1 } ^ { H } x _ { 2 } | ^ { 2 } \overline { { \eta } } _ { j } ( \eta _ { j } - d ) + | \eta _ { j } | ^ { 2 } + | \eta _ { j } - d | ^ { 2 } + | x _ { 1 } ^ { H } x _ { 2 } | ^ { 2 } \eta _ { j } ( \overline { { \eta } } _ { j } - \overline { { d } } ) } \\ & { = | \eta _ { j } | ^ { 2 } + | \eta _ { j } - d | ^ { 2 } + 2 | x _ { 1 } ^ { H } x _ { 2 } | ^ { 2 } \cdot \mathfrak { R } ( \eta _ { j } ( \overline { { \eta } } _ { j } - \overline { { d } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ^ { - \chi } \ln ( r ^ { ( 1 - \chi ) } / a ) \dot { z } } & { = A - B \frac { r ^ { \chi } } { \overline { { z } } } , } \\ { \ln [ ( 1 - \chi ) \tilde { r } / a ] \frac { d } { d t } \tilde { z } } & { = A e ^ { - i \frac { \chi } { 1 - \chi } \tilde { \phi } } - \frac { B } { 1 - \chi } \frac { 1 } { \overline { { \tilde { z } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial { q } _ { t } ( x ) } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \Bigg [ \Big ( \sigma ^ { 2 } \nabla \ln \rho _ { T - t } ( x ) - f ( x , T - t ) \Big ) { q } _ { t } ( x ) \Bigg ] + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \nabla ^ { 2 } { q } _ { t } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) \right] _ { ( c ) } } & { { } = - \int _ { \omega , q } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 1 ) } ( \omega , q , - \omega - \varpi , - p - q ) \bar { C } _ { \kappa } ( \omega + \varpi , p + q ) \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p + q , - \omega , - q ) \; \tilde { \partial } _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) } \end{array}
U _ { g \xi } \ = \ \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { r ( \xi ) } { r } \right) \ , \ \ \ \ \ \ \ \ T _ { g \xi } \ = \ \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { f ( r ( \xi ) ) } { f ( r ) } \right) \ .
S _ { w f } = \frac { 2 C _ { F } } { \beta _ { 0 } } \ln \frac { Q ^ { 2 } } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { \ln Q ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } } { \ln 1 / ( b ^ { 2 } \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } ) } \right) + \mathrm { N L } \, , \ \ \ \ \beta _ { 0 } = \frac { 1 1 } { 3 } N _ { c } - \frac { 2 } { 3 } N _ { f } \, ,
\begin{array} { l } { { \displaystyle M _ { I } { \bf \ddot { R } } _ { I } = - \frac { \partial { \cal U } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) } { \partial { \bf R } _ { I } } \Big \vert _ { n ^ { ( 0 ) } } + { \cal O } \left( \omega ^ { - 4 } \right) + { \cal O } \left( \mu \right) } , } \end{array}
\psi _ { \lambda _ { n } } ( x ) : = ( 2 \pi ) ^ { - 1 / 2 } \exp \{ i \lambda _ { n } ( \alpha ) x \} ; ~ ~ ~ ~ \lambda _ { n } ( \alpha ) : = \frac { \alpha } { 2 \pi } + n ; ~ ~ ~ ~ n = 0 , \pm 1 , \ldots
\begin{array} { r l r } { { \cal G } = \{ v \in { \cal P } ( { \cal P } ( \mathbb { X } ) \times \mathbb { U } ) : } & { } & { \exists \gamma \in \Gamma _ { S } , v ( A ) = \int _ { \pi , u } P ^ { \gamma } ( ( \pi _ { t + 1 } , u _ { t + 1 } ) \in A | x ) v ( d x , d u ) , } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad A \in { \cal B } ( { \cal P } ( \mathbb { X } ) \times \mathbb { U } ) \} } \end{array}
x = \frac { 1 } { h } \big ( \hat { \eta } _ { \boldsymbol 0 } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } - \hat { \eta } _ { \boldsymbol 0 } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \big ) \alpha + x _ { 0 } - \sum _ { \boldsymbol j \neq \boldsymbol 0 } i \frac { \cosh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle ( \beta + h ) \big ) } { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) } \hat { \eta } _ { \boldsymbol j } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \alpha } + \sum _ { \boldsymbol j \neq \boldsymbol 0 } i \frac { \cosh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \beta \big ) } { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) } \hat { \eta } _ { \boldsymbol j } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \alpha } .
\begin{array} { r l } { { \bf P } _ { a } \times \nabla B _ { a } = } & { { } ( { \bf P } _ { h } - \nabla B _ { r } ) \times \nabla ( B _ { h } - B _ { r } ) } \\ { = } & { { } { \bf P } _ { h } \times \nabla B _ { h } + ( \nabla B _ { h } - { \bf P } _ { h } ) \times \nabla B _ { r } } \\ { = } & { { } { \bf P } _ { h } \times \nabla B _ { h } + \left( \nabla \frac { { \bf v } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { \rho } \nabla _ { h } p \right) \times \nabla B _ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { x } = \frac { \Delta x } { \Delta u } \left( 1 + \varepsilon \bar { f } _ { + } ( \Delta u ) \right) + \varepsilon \bar { f } _ { \times } ( \Delta u ) \frac { \Delta y } { \Delta u } , \qquad p _ { y } = \frac { \Delta y } { \Delta u } \left( 1 - \varepsilon \bar { f } _ { + } ( \Delta u ) \right) + \varepsilon \bar { f } _ { \times } ( \Delta u ) \frac { \Delta x } { \Delta u } , } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ b ~ e ~ r ~ a ~ d ~ a ~ } } = ( m _ { ^ 2 \mathrm { ~ H ~ } } + m _ { ^ 3 \mathrm { ~ H ~ } } - m _ { ^ 4 \mathrm { ~ H ~ e ~ } } - m _ { n } ) \, c ^ { 2 } .
I = \int d ^ { 4 } x \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 } v ( 1 + \frac { 1 } { 2 } F ^ { m n } F _ { m n } - \frac { 1 } { 1 6 } ( { \cal { F } } ^ { m n } F _ { m n } ) ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 v } \right] .
\begin{array} { r l } { d _ { 1 } } & { = \omega ^ { 4 } \xi ^ { 2 } \mu ^ { 2 } ( \omega ^ { 4 } - \xi ^ { 2 } \mu ( 2 \omega ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } \mu ) ) - ( \zeta \xi \mu \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 0 , } \\ { d _ { 2 } } & { = \xi ^ { 6 } \omega ^ { 4 } \mu ^ { 2 } ( \omega ^ { 4 } - \xi ^ { 2 } \mu ( 2 \omega ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } \mu ) ) + \xi ^ { 6 } \omega ^ { 4 } \mu ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } - 2 \xi ^ { 6 } \mu ^ { 2 } \omega ^ { 4 } \zeta ^ { 2 } = 0 , } \\ { d _ { 3 } } & { = \xi ^ { 1 0 } \zeta ^ { 2 } \omega ^ { 4 } \mu ^ { 2 } - ( \xi ^ { 3 } \omega ^ { 4 } \zeta - \xi ^ { 3 } \omega ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = \int _ { 0 } ^ { \Theta } d \theta \sin \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \mathbf { E } _ { 0 } ( \theta , \phi ) \exp \left( i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } \right) ,
\begin{array} { r } { \mathcal { C } ^ { \alpha } = \left( \begin{array} { l l } { a + i b } & { 0 } \\ { 0 } & { a - i b } \end{array} \right) C _ { \alpha } = \left( \begin{array} { l l } { a + i b } & { 0 } \\ { 0 } & { a - i b } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { C _ { 1 1 } ( \alpha ) } & { C _ { 1 2 } ( \alpha ) } \\ { \overline { { C _ { 1 2 } ( \alpha ) } } } & { C _ { 1 1 } ( \alpha ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d I } { d t } = } & { \left. \frac { \partial I } { \partial t } \right| _ { \{ x \} , \{ p \} , H } \! \! \! \! + \left. \frac { \partial H } { \partial t } \frac { \partial I } { \partial H } \right| _ { \{ x \} , \{ p \} , t } } \\ { + \sum _ { i } \bigg ( \dot { x } _ { i } } & { \left. \frac { \partial I } { \partial x _ { i } } \right| _ { \{ p \} , t , H } + \dot { p } _ { i } \left. \frac { \partial I } { \partial p _ { i } } \right| _ { \{ x \} , t , H } \bigg ) = 0 \, . } \end{array}
\displaystyle \boldsymbol { \varphi } = \bigl [ \begin{array} { l } { 2 . 5 0 } \\ { 0 . 5 0 } \end{array} \bigr ] , \boldsymbol { \phi } = \bigl [ \begin{array} { l l } { 0 . 2 0 } & { 0 . 1 0 } \\ { 0 . 0 2 } & { 0 . 1 0 } \end{array} \bigr ]
\begin{array} { r l } & { \frac { d \rho ( \mathbf { r } ) } { d e _ { \beta } } \equiv \rho _ { \beta } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) } \\ & { \approx \tilde { \rho } _ { \beta } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { i , \sigma , \mathbf { U } } c _ { i \sigma \beta } \phi _ { i \sigma } ( \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { i } + \mathbf { T } ( \mathbf { U } ) ) . } \end{array}
\chi _ { k } ^ { n } ( \tau ) = { \frac { 1 } { ( \eta ( \tau ) ) ^ { 3 } } } \cdot 2 ( k + 2 ) \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \left( m + { \frac { n + 1 } { 2 ( k + 2 ) } } \right) e ^ { 2 \pi i ( k + 2 ) \tau \left( m + { \frac { n + 1 } { 2 ( k + 2 ) } } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 1 } + \mathcal { F } _ { 2 } = \frac { 1 } { \gamma ( p + p _ { * 1 } ) ( p + p _ { * 2 } ) } } \\ { \times \Big \{ \gamma ( p + \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) } \\ { - \Big [ ( \gamma - 1 ) ( p + \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) - \frac { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \Delta _ { * } ^ { 2 } } { c _ { V } \rho \theta } \Big ] \Big \} } \\ { = \frac { p - p _ { - } } { \gamma ( p + p _ { * 1 } ) ( p + p _ { * 2 } ) } = \frac { 1 } { \rho c _ { s } ^ { 2 } } , } \end{array}
G _ { 1 j } ^ { i } = - \frac { 1 } { 4 } \tilde { \eta } _ { a b } ^ { j } F _ { a b } ^ { i } \ , \quad G _ { 2 j } ^ { i } = \frac { 1 } { 4 } \eta _ { a b } ^ { j } F _ { a b } ^ { i } \ .
\widetilde \rho _ { N } ^ { ( N _ { f } ) } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ; m ) = c _ { N } ^ { ( N _ { f } ) } ( m ) \Delta _ { N } ^ { 2 } ( x ) \prod _ { i = 1 } ^ { N } e ^ { - x _ { i } / 4 N } \prod _ { f = 1 } ^ { N _ { f } } ( x _ { i } + m _ { f } ^ { 2 } ) \: ,
\begin{array} { r l } & { K ^ { ( M , N ) } : = ( K _ { 1 } ^ { ( m _ { 1 } , n _ { 1 } ) } , . . . , K _ { L } ^ { ( m _ { L } , n _ { L } ) } ) , \quad K _ { l } ^ { ( m _ { l } , n _ { l } ) } : = ( k _ { l } ^ { ( m _ { l } ) } , \widetilde { k } _ { l } ^ { ( n _ { l } ) } ) , } \\ & { r _ { l } : = \Sigma [ \widetilde { K } _ { 1 } ^ { ( n _ { 1 } ) } ] + \cdots + \Sigma [ \widetilde { K } _ { l - 1 } ^ { ( n _ { l - 1 } ) } ] + \Sigma [ { K } _ { l + 1 } ^ { ( m _ { l + 1 } ) } ] + \cdots + \Sigma [ { K } _ { L } ^ { ( m _ { L } ) } ] , } \\ & { \widetilde { r } _ { l } : = \Sigma [ \widetilde { K } _ { 1 } ^ { ( n _ { 1 } ) } ] + \cdots + \Sigma [ \widetilde { K } _ { l } ^ { ( n _ { l } ) } ] + \Sigma [ { K } _ { l + 1 } ^ { ( m _ { l + 1 } ) } ] + \cdots + \Sigma [ { K } _ { L } ^ { ( m _ { L } ) } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c } { \mathcal { H } = \mathcal { H } _ { 0 } + \mathcal { H } _ { i n t } , } \\ { \mathcal { H } _ { 0 } = \frac { ( { \mathbf { P } } - \hat { \mathbf { P } } _ { \mathrm { B } } ) ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { \mathbf { k } } \omega _ { \mathbf { k } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { k } } , } \\ { \mathcal { H } _ { i n t } = n V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } = 0 ) + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } \sum _ { \mathbf { k \neq 0 } } V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } \left( \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \hat { b } _ { - \mathbf { k } } ^ { \dagger } \right) , } \end{array} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { c _ { i , j } ^ { A } = \| x _ { i } - x _ { j } \| ^ { \alpha } + \| x _ { i } - y _ { j } \| ^ { \alpha } + \| y _ { i } - x _ { j } \| ^ { \alpha } + \| y _ { i } - y _ { j } \| ^ { \alpha } \quad } & { \forall i , j \in A } \\ { c _ { i , j } ^ { P } = \| x _ { i } - x _ { j } \| ^ { \alpha } + \| x _ { i } - y _ { j } \| ^ { \alpha } , \quad c _ { i + n , j } ^ { P } = \| y _ { i } - x _ { j } \| ^ { \alpha } + \| y _ { i } - y _ { j } \| ^ { \alpha } \quad } & { \forall i \in U , j \in A } \\ { c _ { i , j } ^ { U } = \| x _ { i } - x _ { j } \| ^ { \alpha } , \quad c _ { i , j + n } ^ { U } = \| x _ { i } - y _ { j } \| ^ { \alpha } , } & \\ { c _ { i + n , j } ^ { U } = \| y _ { i } - x _ { j } \| ^ { \alpha } , \quad c _ { i + n , j + n } ^ { U } = \| y _ { i } - y _ { j } \| ^ { \alpha } \quad } & { \forall i , j \in U } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 3 } ^ { n } | \vartheta _ { n - k } | } & { \le \tau \sum _ { k = 3 } ^ { n } \left( \frac { 2 } { 1 1 } \right) ^ { \frac { n - k } { 2 } } \le \tau \sum _ { k = 3 } ^ { \infty } \left( \frac { 2 } { 1 1 } \right) ^ { \frac { n - k } { 2 } } \le \frac { \tau } { 1 - \sqrt { \frac { 2 } { 1 1 } } } \le \frac { 2 2 } { 9 } \tau . } \end{array}