harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { X } _ { i } ^ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } - \mathbf { a } _ { n } } & { \xrightarrow [ ] { d } \mathbf { X } _ { t _ { 2 } } - \mathbf { X } _ { t _ { 1 } } \quad { \mathbb P } ( \| \mathbf { A } _ { n } \mathbf { X } _ { n } ^ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } \| \geq \varepsilon ) \rightarrow 0 , } \end{array}
2 | \omega _ { S } | > \omega _ { N } , \qquad \textnormal { i . e . } \qquad 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) > \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) .
\begin{array} { l } { { a c T _ { r } ^ { 4 } = \int _ { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } I d \nu d \vec { \Omega } = \sum _ { g = 1 } ^ { G } \int _ { 4 \pi } I _ { g } d \vec { \Omega } = \sum _ { g = 1 } ^ { G } \rho _ { g } , } } \\ { { \sigma _ { a , g } = \frac { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \sigma _ { a } B \left( \nu , T _ { r } \right) d \nu } { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } B \left( \nu , T _ { r } \right) d \nu } , \; \; \sigma _ { s - o u t , g } = \frac { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \sigma _ { s } B \left( \nu , T _ { r } \right) d \nu } { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } B \left( \nu , T _ { r } \right) d \nu } , } } \\ { { \sigma _ { s - i n , g } = \frac { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \sigma _ { s } \left( \int _ { 4 \pi } B \left( \nu , T _ { r } \right) d \vec { \Omega } \right) d \nu } { \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \left( \int _ { 4 \pi } B \left( \nu , T _ { r } \right) d \vec { \Omega } \right) d \nu } = \frac { 4 \pi \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \sigma _ { s } B \left( \nu , T _ { r } \right) d \nu } { 4 \pi \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } B \left( \nu , T _ { r } \right) d \nu } = \sigma _ { s - o u t , g } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \frac { i } { 2 } \left[ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \hat { V } ( t ) \right] } & { { } = \frac { i } { 2 } \left[ \sum _ { m \neq 0 } \frac { 1 } { i m } \hat { V } _ { m } e ^ { i m \omega t } , \sum _ { m ^ { \prime } \neq 0 } \hat { V } _ { m ^ { \prime } } e ^ { i m ^ { \prime } \omega t } \right] } \end{array}
S _ { \Psi T } = \int \sqrt { g } { \bar { \Psi } } \gamma ^ { \mu } \left( \partial _ { \mu } + \omega _ { \mu } + \mu ^ { 2 } K ^ { \alpha \beta } { } _ { \mu } [ \gamma _ { \alpha } , \gamma _ { \beta } ] \right) \Psi d ^ { 4 } x ,
- 2 \xi ^ { 2 } \int d ^ { 2 } x d ^ { 2 } y \cos \left( \sqrt { K } \chi ( { \bf x } ) \right) { \mathcal K } ^ { ( 2 ) } ( { \bf x } - { \bf y } ) \cos \left( \sqrt { K } \chi ( { \bf y } ) \right) .
\psi _ { \mathrm { c c } } = \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { b b } } + e ^ { i \phi } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { b a } } + e ^ { i \phi } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a b } } + e ^ { 2 i \phi } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a a } }
\widetilde \omega ^ { 2 } \cdot \frac { \widetilde { \omega } ^ { - 1 . 7 } \beta ^ { 1 . 7 2 } M ^ { - 0 . 7 2 } } { \widetilde { \omega } ^ { 1 . 9 9 } + \Delta \left( \frac { \widetilde { \omega } ^ { 4 . 9 8 } H ^ { 8 . 8 1 } } { R _ { T } ^ { 4 . 2 8 } + \beta ^ { 5 . 6 3 } } + 1 \right) }
\Gamma _ { 1 , 2 } ~ = ~ \frac { 1 } { 2 } ( \Gamma \pm \Gamma ^ { \prime } ) , \Gamma _ { 3 } ~ = ~ \frac { i } { 2 } [ \Gamma , \Gamma ^ { \prime } ] , \Gamma _ { 0 } ~ = ~ \frac { 1 } { 2 } \{ \Gamma , \Gamma ^ { \prime } \} .
m _ { i \setminus j } ^ { t } = \frac { \sum _ { x _ { i } ^ { t } } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) x _ { i } ^ { t } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } { \sum _ { x _ { i } ^ { t } } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } = \frac { \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) } { \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) + \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) } ,
\xi ^ { 2 } \equiv M _ { \mathrm { P } } ^ { 4 } \frac { V ^ { \prime } ( d ^ { 3 } V / d \phi ^ { 3 } ) } { V ^ { 2 } } \, , ~ ~ ~ ~ \sigma ^ { 3 } \equiv M _ { \mathrm { P } } ^ { 6 } \frac { V ^ { \prime 2 } ( d ^ { 4 } V / d \phi ^ { 4 } ) } { V ^ { 3 } } \, .
\begin{array} { r } { \sum _ { n , u } F _ { \alpha \mathbf { k } } ^ { ( n u ) } e ^ { i n \Omega t } \left[ \frac { ( \hat { \mathbf { p } } + \hbar \mathbf { k } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + V ( \hat { \mathbf { r } } ) - \frac { e E _ { \textrm { d } } } { m _ { e } \Omega } \sin ( \Omega t ) \hat { \mathbf { e } } _ { \textrm { d } } \cdot ( \hat { \mathbf { p } } + \hbar \mathbf { k } ) + n \hbar \Omega \right] | u \mathbf { k } \rangle } \\ { = E _ { \alpha \mathbf { k } } \sum _ { n , u } F _ { \alpha \mathbf { k } } ^ { ( n u ) } e ^ { i n \Omega t } | u \mathbf { k } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \hat { C } \hat { D } ] _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = C _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) e ^ { ( i \hbar / 2 ) \overset \leftrightarrow { \Lambda } } D _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { u _ { 1 } ( x ) } & { u _ { 2 } ( x ) } \\ { u _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { u _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { A ^ { \prime } ( x ) } \\ { B ^ { \prime } ( x ) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { f } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { n ( \mathbf { r } ) } & { = 2 \mathrm { T r } \left[ f \left( \hat { H } _ { \mathrm { D F T } } , \mu , T \right) \delta ( \hat { \mathbf { r } } - \mathbf { r } ) \right] } \\ & { = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { k } } \omega _ { k } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { K S } } } f \left( \varepsilon _ { i k } , \mu , T \right) \left| \phi _ { i k } ( \mathbf { r } ) \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\Psi _ { m , \widetilde { m } } ( \overrightarrow { p _ { 1 } } , \, \overrightarrow { p _ { 2 } } ) = C _ { m , { \widetilde m } } \; \; \int d ^ { 2 } k \; \left[ { \frac { k \, ( P - k ) } { p _ { 1 } - k } } \right] ^ { { \widetilde m } - 1 } \; \left[ { \frac { k ^ { * } ( P ^ { * } - k ^ { * } ) } { p _ { 1 } ^ { * } - k ^ { * } } } \right] ^ { m - 1 } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } } & { = \ln Q ( \mathbf { W } ^ { * } | \mathbf { A } ^ { * } ) = - H ( \mathbf { W } ^ { * } ) - \ln Z _ { \mathbf { A } ^ { * } } = } \\ & { = - H ( \mathbf { W } ^ { * } ) - \ln \left[ \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } ^ { * } } } e ^ { - H ( \mathbf { W } ) } d \mathbf { W } \right] = } \\ & { = \sum _ { i < j } H _ { i j } ( w _ { i j } ^ { * } ) - \ln \prod _ { i < j } \zeta _ { i j } ^ { a _ { i j } } = \sum _ { i < j } [ H _ { i j } ( w _ { i j } ^ { * } ) - a _ { i j } ^ { * } \ln \zeta _ { i j } ] } \end{array}
\frac { \Delta m _ { B } } { m _ { B } } \approx \frac { G _ { F } ^ { 2 } f _ { B } ^ { 2 } B _ { B } } { 6 \pi ^ { 2 } } \left| V _ { t b } V _ { t d } \right| ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } S ( \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } ) = 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 4 }
R _ { 0 } ^ { - 1 } ( \tau , \cdot ) : \mu ^ { * } = \Gamma ^ { 1 , 0 } ( \tau ) + \Sigma ( \tau , \cdot ) : \mu ^ { * } + \sum _ { j \geq 2 } \frac { 1 } { j ! } \Gamma ^ { 1 , j } ( \tau , \ldots ) : ( \mu ^ { * } ) ^ { j }
\begin{array} { r l } { \nabla \times ( \nabla \times { \mathbf a } ) = } & { \left| \begin{array} { c c c } { { \mathbf i } } & { { \mathbf j } } & { { \mathbf k } } \\ { \frac { \partial } { \partial x } } & { \frac { \partial } { \partial y } } & { \frac { \partial } { \partial z } } \\ { \frac { \partial a _ { z } } { \partial y } - \frac { \partial a _ { y } } { \partial z } } & { \frac { \partial a _ { x } } { \partial z } - \frac { \partial a _ { z } } { \partial x } } & { \frac { \partial a _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial a _ { x } } { \partial y } } \end{array} \right| } \\ { = } & { { \mathbf i } \left( \frac { \partial ^ { 2 } a _ { y } } { \partial x \partial y } - \frac { \partial ^ { 2 } a _ { x } } { \partial y ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } a _ { x } } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { z } } { \partial x \partial z } \right) } \\ & { + { \mathbf j } \left( \frac { \partial ^ { 2 } a _ { z } } { \partial y \partial z } - \frac { \partial ^ { 2 } a _ { y } } { \partial z ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } a _ { y } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { x } } { \partial x \partial y } \right) } \\ & { + { \mathbf k } \left( \frac { \partial ^ { 2 } a _ { x } } { \partial x \partial z } - \frac { \partial ^ { 2 } a _ { z } } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } a _ { z } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { y } } { \partial y \partial z } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial h _ { i j } } { \partial q _ { i j } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial q _ { i j } ^ { 2 } } - \sum _ { k , l } \delta _ { k l } q _ { l j } \frac { \partial \varphi } { \partial q _ { l k } } - \sum _ { k , l } \delta _ { i l } q _ { i k } \frac { \partial \varphi } { \partial q _ { l k } } - \sum _ { k , l } q _ { i k } q _ { l j } \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial q _ { i j } q _ { l k } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial q _ { i j } ^ { 2 } } - \sum _ { l } q _ { l j } \frac { \partial \varphi } { \partial q _ { l j } } - \sum _ { k } q _ { i k } \frac { \partial \varphi } { \partial q _ { i k } } - \sum _ { k , l } q _ { i k } q _ { l j } \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial q _ { i j } q _ { l k } } \right) , } \end{array}
\tilde { \kappa } _ { \delta \boldsymbol { A } } ( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { b } ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \operatorname* { s u p } _ { \Vert \delta \boldsymbol { A } \Vert = \epsilon } \left( \left. \frac { \Vert ( \boldsymbol { A } + \delta \boldsymbol { A } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { b } - \boldsymbol { x } \Vert } { \Vert \boldsymbol { x } \Vert } \right/ \frac { \Vert ( \boldsymbol { I } + \delta \boldsymbol { A } \boldsymbol { A } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { b } - \boldsymbol { b } \Vert } { \Vert \boldsymbol { b } \Vert } \right) .
\sum _ { k } \xi _ { k } \left[ c _ { k } ^ { \dag } c _ { k } , n _ { k ^ { \prime } , q + q ^ { \prime } } \right] = \left( \xi _ { k ^ { \prime } + q + q ^ { \prime } } - \xi _ { k } ^ { \prime } \right) n _ { k ^ { \prime } , q + q ^ { \prime } } = \omega _ { k ^ { \prime } , q + q ^ { \prime } } n _ { k ^ { \prime } , q + q ^ { \prime } }
E _ { \mathrm { J T } } ^ { ( 2 ) } = m _ { A A } + 2 m _ { B A } = - 2 \frac { \Omega ^ { 2 } } { \omega } \left[ \frac { \Gamma ( \eta , 0 , - \eta ) } { ( - \eta e ) ^ { \eta } } + \frac { \Gamma \left( \eta , 0 , - \frac { \eta } { 4 } \right) } { \left( - \frac { \eta e } { 4 } \right) ^ { \eta } } \right] ,
\sin \left( { \frac { \pi } { 8 0 } } \right) = \sin \left( 2 . 2 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { \frac { 5 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } \Gamma _ { j } ^ { n + 1 } ( y ) d y d x \leq } & { \left( 1 + C _ { \gamma } \alpha \int _ { 0 } ^ { 1 } \rho _ { 0 } ( x ) d x \right) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } ( x _ { j + 1 } - x ) R _ { j } ^ { n + 1 } ( x ) d x } \\ & { + o ( { \varDelta } x ) . } \end{array}
| \Delta ^ { \prime } ( s ) | \leq 2 { \big | } u ( \mathbf { X } ( s ) ) - U ( s ) { \big | } { \Big ( } { \big \| } \mathbf { a } ( \mathbf { X } ( s ) , U ( s ) ) - \mathbf { a } ( \mathbf { X } ( s ) , u ( \mathbf { X } ( s ) ) ) { \big \| } \ \| \nabla u ( \mathbf { X } ( s ) ) \| + { \big | } c ( \mathbf { X } ( s ) , U ( s ) ) - c ( \mathbf { X } ( s ) , u ( \mathbf { X } ( s ) ) ) { \big | } { \Big ) }
\, \, \, g _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l l } { { \frac { \mu e ^ { 2 \pi i \beta } - e ^ { 2 \pi i \beta ^ { \prime } } } { \mu - 1 } } } & { { \frac { \mu ( e ^ { 2 \pi i \beta } - e ^ { 2 \pi i \beta ^ { \prime } } ) } { ( \mu - 1 ) ^ { 2 } } } } \\ { e ^ { 2 \pi i \beta ^ { \prime } } - e ^ { 2 \pi i \beta } } & { { \frac { \mu e ^ { 2 \pi i \beta ^ { \prime } } - e ^ { 2 \pi i \beta } } { \mu - 1 } } } \end{array} \right) } ,
\Psi _ { S = 0 , \, M _ { S } = 0 } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } ( \mathrm { d e t } | \tilde { \phi } _ { H } \alpha , \tilde { \phi } _ { L } \beta | + \mathrm { d e t } | \tilde { \phi } _ { H } \beta , \tilde { \phi } _ { L } \alpha | )
\begin{array} { r l r } { \left\{ \Phi _ { T ( + 3 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { { } = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 3 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} } \\ { \left\{ \Phi _ { T ( + 1 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { { } = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 2 ) \dots ( n _ { j } - 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { h _ { a } ( q _ { 2 } ) = ( b q _ { 2 } - c ) ( 1 - q _ { 2 } ) / [ b ( 1 - q _ { 2 } ) + c ] , } \\ { h _ { A a } ( q _ { 2 } ) = ( b - c ) ( 1 - q _ { 2 } ) / c , } \\ { h _ { A } ( q _ { 2 } ) = ( \ast ) / ( \ast \ast ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathrm { V } _ { \mathrm { R F J } } ^ { \Omega , \, \mathrm { I } } = \frac { m _ { \alpha } \alpha } { \Theta _ { m } \Theta _ { c } } \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 n + 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = \exp \left\{ - \int _ { \mathbb { X } } v ( t , x ) d x \right\} \frac { 1 } { n ! } v ( t , x _ { 1 } ) \cdot \cdot \cdot v ( t , x _ { n } ) , \quad t \geq 0 , ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) \in \mathbb { X } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho X } & { = \sum _ { i } w _ { i } \prod _ { \alpha = x , y } Z ^ { c _ { i , \alpha } } , } \\ { \rho u _ { x } X } & { = \sum _ { i } w _ { i } c _ { i , x } \prod _ { \alpha = x , y } Z ^ { c _ { i , \alpha } } , } \\ { \rho u _ { y } X } & { = \sum _ { i } w _ { i } c _ { i , y } \prod _ { \alpha = x , y } Z ^ { c _ { i , \alpha } } . } \end{array}
J = \left( x _ { \xi } y _ { \eta } z _ { \zeta } + x _ { \eta } y _ { \zeta } z _ { \xi } + x _ { \zeta } y _ { \xi } z _ { \eta } - x _ { \xi } y _ { \zeta } z _ { \eta } - x _ { \eta } y _ { \xi } z _ { \zeta } - x _ { \zeta } y _ { \eta } z _ { \xi } \right) ^ { - 1 } \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \tau \to - \infty } \phi ( \gamma ( \tau ) ) } \\ & { \quad = \operatorname* { l i m } _ { \tau \to - \infty } \left( \operatorname { t a n h } \big ( ( 1 - a ) \tau \big ) + \operatorname { t a n h } \big ( ( 1 + a ) \tau \big ) , \operatorname { t a n h } \big ( ( 1 + a ) \tau \big ) - \operatorname { t a n h } \big ( ( 1 - a ) \tau \big ) \right) } \\ & { \quad = ( - 2 , 0 ) } \\ & { \quad = i ^ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { a r s i n h } x } & { { } = x - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 } } \right) { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } - \left( { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 } } \right) { \frac { x ^ { 7 } } { 7 } } \pm \cdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \mu \| ^ { 4 } \gg \operatorname* { m a x } \Big \{ \, \big ( \frac { \| \mu \| _ { 2 } ^ { 2 } } { n ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } } + \frac { \| \mu \| _ { 2 } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } \bar { M } _ { 2 } ^ { 2 } } \big ) , \, \big ( \frac { \| \mu \| _ { 3 } ^ { 3 } } { n \bar { N } } + \frac { \| \mu \| _ { 3 } ^ { 3 } } { m \bar { M } } \big ) \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ) = } & { - \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \log \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } + a b \left( R _ { 2 } ^ { 2 } \log \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } - \frac { R _ { 2 } ^ { 2 } - R _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \right) + } \\ & { + \frac { 1 } { 8 } \left( a ^ { 2 } + \frac { b A } { 4 } \right) \left( R _ { 2 } ^ { 4 } - R _ { 1 } ^ { 4 } \right) + \frac { a A } { 9 6 } \left( R _ { 2 } ^ { 6 } - R _ { 1 } ^ { 6 } \right) + \frac { A ^ { 2 } } { 3 0 7 2 } \left( R _ { 2 } ^ { 8 } - R _ { 1 } ^ { 8 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \pm } \Pi _ { 0 } ^ { \epsilon } v } & { = G _ { \pm } \Pi _ { 0 } v + G _ { \pm } \sum \left( { \epsilon } v _ { k } ^ { 1 } \; { v _ { k } ^ { 0 } } ^ { \ast } + v _ { k } ^ { 0 } \; { { \epsilon } v _ { k } ^ { 1 } } ^ { \ast } \right) v } \\ & { = \sum ( G _ { \pm } \; { \epsilon } v _ { k } ^ { 1 } ) \; { v _ { k } ^ { 0 } } ^ { \ast } + \sum ( G _ { \pm } v _ { k } ^ { 0 } ) \; { { \epsilon } v _ { k } ^ { 1 } } ^ { \ast } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( T _ { 1 } , T _ { 2 } , \cos { \theta } ) = } & { ( T _ { 1 } + 1 ) ^ { 2 } ( T _ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } \times } \\ & { \delta ( T _ { 0 } - T _ { 1 } - T _ { 2 } ) ( 1 - \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \cos { \theta } ) , } \\ { \beta _ { i } = } & { \frac { \sqrt { T _ { i } ( T _ { i } + 2 ) } } { T _ { i } + 1 } , } \end{array}
\boxed { r _ { \perp } = \frac { E _ { s , R } } { E _ { s , i } } = \cfrac { n _ { i } \cos ( \theta _ { i } ) - n _ { T } \cos ( \theta _ { T } ) } { n _ { i } \cos ( \theta _ { I } ) + n _ { T } \cos ( \theta _ { T } ) } }
\textstyle { { \frac { 2 } { 3 } } \div { \frac { 2 } { 5 } } = { \frac { 2 } { 3 } } \times { \frac { 5 } { 2 } } = { \frac { 1 0 } { 6 } } = { \frac { 5 } { 3 } } }
\begin{array} { r l } { \Xi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } : = N ^ { - ( | \boldsymbol { l } | + \sum ( J \cup J _ { * } ) + 1 ) / 2 } } & { \sum _ { a b } R _ { a b } \big | \partial ^ { \boldsymbol { l } } \big [ ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) _ { \boldsymbol { x } a } \big ( G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } \big ) _ { b \boldsymbol { y } } \big ] \big | } \\ & { \times \prod _ { \boldsymbol { j } \in J } \big | \partial ^ { \boldsymbol { j } } \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big | \prod _ { \boldsymbol { j } \in J _ { * } } \big | \partial ^ { \boldsymbol { j } } \big ( G _ { 3 } ^ { * } \mathring { A } _ { 2 } ^ { * } G _ { 2 } ^ { * } \mathring { A } _ { 1 } ^ { * } G _ { 2 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { y } \boldsymbol { x } } \big | \, . } \end{array}
l ^ { 2 } \tilde { R } _ { \, j } ^ { i } + ( d - 2 ) h _ { \, j } ^ { i } + h _ { \, k } ^ { k } \delta _ { \, j } ^ { i } - y ( 2 \partial _ { y } h _ { \, j } ^ { i } + h _ { \, k } ^ { k } h _ { \, j } ^ { i } ) = 0
f _ { k } ( t _ { 0 } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \omega _ { k } } } \; , \; \; \dot { f } _ { k } ( t _ { 0 } ) = \left( - \dot { a } ( t _ { 0 } ) - i \omega _ { k } \right) f _ { k } ( t _ { 0 } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } } & { = - i a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \tau ^ { 2 } } - i b _ { 1 } \zeta _ { 3 } \Phi - i c _ { 0 } \zeta _ { 4 } | \Phi | ^ { 2 } \Phi } \\ & { - i c _ { _ { _ { 1 , X X } } } \zeta _ { 5 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial X ^ { 2 } } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi - i c _ { _ { _ { 2 , Y Y } } } \zeta _ { 6 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Y ^ { 2 } } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi . } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ E ~ } = \sqrt { \frac { 1 } { m } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( x _ { k } ( t _ { i } ) - y _ { i k } \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( y _ { i k } - \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } y _ { j k } \Big ) ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Gamma } d y \sin \left( \left( y - y _ { 0 } \right) t \right) \frac { \sin \left( y t \right) } { y } g \left( y \right) } & { = \int d y \sin \left( \left( y - y _ { 0 } \right) t \right) \frac { d } { d y } \int _ { c } ^ { y } \frac { \sin \left( y ^ { \prime } t \right) } { y ^ { \prime } } d y ^ { \prime } g \left( y \right) } \\ & { = - \int d y \frac { d } { d y } \left( \sin \left( \left( y - y _ { 0 } \right) t \right) g \left( y \right) \right) \int _ { c } ^ { y } \frac { \sin \left( y ^ { \prime } t \right) } { y ^ { \prime } } d y ^ { \prime } } \\ & { = - \int d y \left( - t \cos \left( \left( y - y _ { 0 } \right) t \right) g \left( y \right) + \sin \left( \left( y - y _ { 0 } \right) t \right) g _ { y } \left( y \right) \right) \int _ { c } ^ { y } \frac { \sin \left( N y ^ { \prime } t \right) } { y ^ { \prime } } d y ^ { \prime } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { u _ { 1 } \left( 0 , { { x } _ { 2 } } , t \right) = u _ { 1 } \left( 2 \pi , { { x } _ { 2 } } , t \right) = - \sin ( x _ { 2 } ) } \\ & { u _ { 1 } \left( { { x } _ { 2 } } , 0 , t \right) = u _ { 1 } \left( { { x } _ { 1 } } , 2 \pi , t \right) = 0 } \\ & { u _ { 2 } \left( 0 , { { x } _ { 2 } } , t \right) = u _ { 2 } \left( 2 \pi , { { x } _ { 2 } } , t \right) = 0 } \\ & { u _ { 2 } \left( { { x } _ { 1 } } , 0 , t \right) = u _ { 2 } \left( { { x } _ { 1 } } , 2 \pi , t \right) = \sin ( x _ { 1 } ) } \end{array} \right.
\zeta _ { \bar { \cal V } } ( s ) = \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } \frac { m _ { d } L } { \sqrt { 4 \pi } } \sum _ { a = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \beta \beta ^ { s - \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - \beta \bar { v } _ { a } ^ { 2 } } + B _ { \bar { \cal V } } ( s ) \quad ,
\begin{array} { r } { S = 0 \mathrm { ~ a n d ~ } T \geq \frac { 8 M ^ { 2 } \left( f ( { \mathbf x } ^ { ( 0 ) } ) - \underline { f } + 3 M ^ { 2 } / ( 2 \hat { \rho } ) \right) } { \hat { \rho } ( 1 + \Lambda ^ { \prime } ) \nu \epsilon ^ { 2 } \operatorname* { m i n } \left\{ \epsilon ^ { 2 } / M , \nu / ( 4 \rho ) \right\} } = O ( 1 / \epsilon ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { g _ { k } ( t ) ^ { 2 } } { 2 } - \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) d s + \alpha _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) ^ { 2 } d s = 0 , \quad t \geq 0 } \end{array}