harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\texttt { V a r } \left( r _ { j } ^ { ( i ) } \right) = \underbrace { \texttt { E } \left[ \texttt { V a r } \left( r _ { j } ^ { ( i ) } | \tau _ { j } ^ { ( i ) } \right) \right] } _ { \operatorname { S V } ( \beta _ { i - 1 } , \beta _ { i - 1 } - \beta _ { i } ) } + \texttt { V a r } \left[ \underbrace { \texttt { E } \left( r _ { j } ^ { ( i ) } | \tau _ { j } ^ { ( i ) } \right) } _ { = \tau _ { j } ^ { ( i ) } } \right] \, ,
\begin{array} { r } { N \ge \frac { 2 B ^ { 2 } C _ { g } ^ { m } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log \frac { 2 } { \delta } = \mathrm { p o l y } \left( \frac { 1 } { \varepsilon } , \ B , \ \log \frac { 1 } { \delta } \right) , } \end{array}
u ( x , t ) = \int _ { 0 } ^ { t } { \frac { x } { \sqrt { 4 \pi k ( t - s ) ^ { 3 } } } } \exp \left( - { \frac { x ^ { 2 } } { 4 k ( t - s ) } } \right) h ( s ) \, d s , \qquad \forall x > 0
\begin{array} { r l } { \textbf { B } _ { i } ^ { \prime } ( t ) } & { = - 3 ( 1 - t ) ^ { 2 } \textbf { P } _ { i 0 } + 3 ( 3 t ^ { 2 } - 4 t + 1 ) \textbf { P } _ { i 1 } + 3 t ( 2 - 3 t ) \textbf { P } _ { i 2 } + 3 t ^ { 2 } \textbf { P } _ { i 3 } , } \\ { \textbf { B } _ { i } ^ { \prime \prime } ( t ) } & { = 6 ( 1 - t ) \textbf { P } _ { i 0 } + 6 ( 3 t - 2 ) \textbf { P } _ { i 1 } + 6 ( 1 - 3 t ) \textbf { P } _ { i 2 } + 6 t \textbf { P } _ { i 3 } , } \end{array}
L _ { \mathrm { g r a v } } \approx \dot { M } _ { c } g H _ { P } \, \Delta X _ { \mathrm { m e l t } } \, { \frac { \chi _ { X } } { X \chi _ { \rho } } } \approx \dot { M } _ { c } g H _ { P } \, \Delta X _ { \mathrm { m e l t } } \, \left( { \frac { 3 \chi _ { X } } { 5 X } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 2 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } } & { { } = \lambda _ { \varepsilon \perp } \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } . } \end{array}
\tilde { \phi } ( \mathtt { u } ( a \ast b ) ) = \mathtt { u } ^ { \prime } ( \tilde { \phi } ( a \ast b ) ) = \mathtt { u } ^ { \prime } ( \tilde { \phi } ( a ) \star \tilde { \phi } ( b ) ) = \mathtt { u } ^ { \prime } ( \tilde { \phi } ( a ) ) \star \tilde { \phi } ( b ) = \tilde { \phi } ( \mathtt { u } ( a ) ) \star \tilde { \phi } ( b ) = \tilde { \phi } ( \mathtt { u } ( a ) \ast b )
\begin{array} { r } { G _ { -- } ^ { ( 2 ) } ( 0 ) = \frac { 1 } { U ^ { 2 } } \left| \sum _ { i j } \Sigma _ { i } ^ { + } ( \Omega ) [ \Sigma ^ { - 1 } ( \Omega ) ] _ { i j } g _ { j } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { \mathrm { P E } } = \frac { 1 } { \sqrt { P _ { p } P _ { s } } \operatorname* { m a x } { | \vec { u } | } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } E _ { i , p } ^ { * } \delta \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { P E } } E _ { j , s } } \\ & { f _ { \mathrm { R O } } = \frac { 1 } { \sqrt { P _ { p } P _ { s } } \operatorname* { m a x } { | \vec { u } | } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } E _ { i , p } ^ { * } \delta \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { R O } } E _ { j , s } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } f _ { \kappa } ( x ) \sim ( 2 \kappa \beta ) ^ { - 1 / \kappa } ( 1 + \kappa \nu ) ( 2 \kappa ) ^ { \nu } { \frac { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } } { \frac { \alpha \beta ^ { \nu } } { \Gamma { \big ( } \nu { \big ) } } } x ^ { \alpha \nu - 1 - \alpha / \kappa }
a ^ { - 1 } ( U _ { \mathrm { s h o r t } } ^ { ( c ) } + U _ { \mathrm { b o n d } } ^ { ( c ) } ) \approx U _ { \mathrm { s h o r t } } + U _ { \mathrm { b o n d } } \approx b ^ { - 1 } ( U _ { \mathrm { s h o r t } } ^ { ( s ) } + U _ { \mathrm { b o n d } } ^ { ( c ) } )
E _ { A D M } = \left. { \Delta } \left[ { \lambda } \sqrt { \kappa } ( { \psi } _ { 0 } - { \psi } _ { 1 } ) + \sqrt { \kappa } ( { \psi } _ { 0 } - { \psi } _ { 1 } ) { \phi } ^ { \prime } - \frac { \sqrt { \kappa } } { 2 } ( { \psi } _ { 0 } ^ { \prime } - { \psi } _ { 1 } ^ { \prime } ) \right] \right| _ { - \infty } ^ { \infty }
V ( \alpha ^ { * } , \alpha ) = \frac { g } { 3 ! } \left( V _ { a b c } \hat { a } ^ { a } \hat { a } ^ { b } \hat { a } ^ { c } + 3 \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } V _ { \; \; b c } ^ { a } \hat { a } ^ { b } \hat { a } ^ { c } + 3 \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } V _ { \quad c } ^ { a b } \hat { a } ^ { c } + \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { c } ^ { \dagger } V ^ { a b c } \right)
\begin{array} { r } { \Psi = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \chi _ { h 1 } } \end{array} \right) e ^ { - i \omega _ { h 1 } ( t - t _ { 0 } ) } , } & { \quad \mathrm { i f ~ t < t _ 0 ~ } } \\ { S _ { h h } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \chi _ { h 2 } } \end{array} \right) e ^ { - i \omega _ { h 2 } ( t - t _ { 0 } ) } + S _ { p h } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \chi _ { p 2 } } \end{array} \right) e ^ { - i \omega _ { p 2 } ( t - t _ { 0 } ) } , } & { \quad \mathrm { i f ~ t \ge ~ t _ 0 ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
B ( t | \gamma , \alpha ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 2 } ^ { t } \frac { d u } { \gamma ^ { 2 } + u ^ { 2 } - 4 } \bigg ( \frac { u - \sqrt { u ^ { 2 } - 4 } } { 2 } \bigg ) ^ { 2 \alpha }
\begin{array} { r l } { \{ y \in E \mid \psi _ { \operatorname* { m a x } } ( y ) < 0 \} } & { = \{ y \in E \mid \psi ( y ) < 0 , \psi ( - y ) < 0 \} } \\ & { = \{ y \in E \mid \psi ( y ) < 0 \} \cap \{ y \in E \mid \psi ( - y ) < 0 \} } \\ & { = ( - \mathrm { i c o r } \, K ) \cap ( \mathrm { i c o r } \, K ) = \ell ( P _ { 0 } ) \setminus \{ 0 \} . } \end{array}
q _ { 1 } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { 1 } ^ { - } t + \log | p _ { 1 } ^ { - } - p _ { 2 } ^ { - } | , } \\ { p _ { 2 } ^ { - } t + \log | p _ { 1 } ^ { - } - p _ { 2 } ^ { - } | , } \end{array} \right. q _ { 2 } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { 2 } ^ { - } t - \log | p _ { 1 } ^ { - } - p _ { 2 } ^ { - } | , } & { \quad t \to - \infty , } \\ { p _ { 1 } ^ { - } t - \ \log | p _ { 1 } ^ { - } - p _ { 2 } ^ { - } | , } & { \quad t \to \infty . } \end{array} \right.
\langle \rho ( k ) \rho ( - k ) \rangle = \left( { \frac { e } { 2 \pi } } \right) ^ { 2 } \left( k ^ { 2 } - { \frac { k ^ { 4 } } { M ^ { 2 } + k ^ { 2 } } } \right) = \left( { \frac { e } { 2 \pi } } \right) ^ { 2 } { \frac { M ^ { 2 } k ^ { 2 } } { M ^ { 2 } + k ^ { 2 } } } \ .
\begin{array} { r l } { W _ { t _ { i } ^ { n } } - W _ { k h _ { n } } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { i - \lfloor k n h _ { n } \rfloor } \tilde { U } _ { j } , ~ \tilde { U } _ { j } \stackrel { i i d } { \sim } \mathcal { N } ( 0 , n ^ { - 1 } ) , j \ge 2 , \tilde { U } _ { 1 } \sim \mathcal { N } \big ( 0 , t _ { \lfloor k n h _ { n } \rfloor + 1 } ^ { n } - k h _ { n } \big ) \, , } \\ & { U _ { j } = h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \tilde { U } _ { j } \stackrel { i i d } { \sim } \mathcal { N } \big ( 0 , ( n h _ { n } ) ^ { - 1 } \big ) , j \ge 2 , U _ { 1 } \sim \mathcal { N } \big ( 0 , h _ { n } ^ { - 1 } \big ( t _ { \lfloor k n h _ { n } \rfloor + 1 } ^ { n } - k h _ { n } \big ) \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } V } { \mathrm { d } t } } & { = - \frac { I _ { \mathrm { c a p } } } { C _ { \mathrm { c a p } } } - \frac { V _ { \mathrm { c a p } } } { R _ { \mathrm { c a p } } C _ { \mathrm { c a p } } } } \\ { \frac { \mathrm { d } I } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { V _ { \mathrm { c a p } } - V - R _ { l } I } { L _ { l } } . } \end{array}
A _ { I ( i ) } ^ { x } ( \boldsymbol { r } ) = A _ { I ^ { \prime } ( i ) } ^ { x } ( - \boldsymbol { r } ) , \ A _ { I ( i ) } ^ { y } ( \boldsymbol { r } ) = - A _ { I ^ { \prime } ( i ) } ^ { y } ( - \boldsymbol { r } ) , \ A _ { I ( i ) } ^ { \theta } ( \boldsymbol { r } ) = - A _ { I ^ { \prime } ( i ) } ^ { \theta } ( - \boldsymbol { r } )
\begin{array} { r l } { \operatorname { t r } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) } & { { } = \operatorname { t r } ( \mathbf { A } ) + \operatorname { t r } ( \mathbf { B } ) , } \\ { \operatorname { t r } ( c \mathbf { A } ) } & { { } = c \operatorname { t r } ( \mathbf { A } ) , } \\ { \operatorname { t r } ( \mathbf { A } \mathbf { B } ) } & { { } = \operatorname { t r } ( \mathbf { B } \mathbf { A } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t = \frac { 1 } { D V ^ { \ast } } \Bigg [ } & { \frac { \partial \bar { F } } { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } \frac { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } { \partial \varepsilon } + \frac { \partial \bar { F } } { \partial \varepsilon } } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 \beta \bar { F } ^ { \prime \prime } } \left( \frac { \partial \bar { F } ^ { \prime \prime } } { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } \frac { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } { \partial \varepsilon } + \frac { \partial \bar { F } ^ { \prime \prime } } { \partial \varepsilon } \right) \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { 2 } L ( \mathbf { r } ; \lambda , \sigma ) = } & { \operatorname { d i a g } ( f _ { 1 2 } ( \mathbf { r } ) , f _ { 1 3 } ( \mathbf { r } ) , f _ { 1 4 } ( \mathbf { r } ) , f _ { 2 3 } ( \mathbf { r } ) , f _ { 2 4 } ( \mathbf { r } ) , f _ { 3 4 } ( \mathbf { r } ) ) } \\ & { + \operatorname { a d i a g } ( \sigma , - \sigma , \sigma , \sigma , - \sigma , \sigma ) } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } | D _ { N } ( t ) | \, d t \geq { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { \left| \sin \left( ( N + { \frac { 1 } { 2 } } ) t \right) \right| } { t / 2 } } \, d t \to \infty .
\overline { { G } } _ { 1 } = \overline { { A } } _ { 1 } \overline { { D } } _ { 1 } - \sigma ^ { 2 } ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) \overline { { C } } \overline { { A } } _ { 1 } ^ { 2 } = \overline { { A } } _ { 1 } \overline { { B } } _ { 1 } + \sigma ^ { 2 } ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) \overline { { A } } _ { 1 } \overline { { C } } = \frac { t _ { 1 } \delta \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) ( t _ { 1 } \gamma + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { 1 } \delta ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) } { \Delta }
{ \boldsymbol { E } } ( { \boldsymbol { x } } _ { 0 } ) = { \frac { \boldsymbol { F } } { q _ { 0 } } } = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { q _ { 1 } } { ( { \boldsymbol { x } } _ { 1 } - { \boldsymbol { x } } _ { 0 } ) ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { r } } } _ { 1 , 0 }
Z = \left( \begin{array} { l l } { { M _ { f } ^ { L L } + m _ { f } ^ { 2 } } } & { { m _ { f } ( M _ { f } ^ { L R } ) ^ { * } } } \\ { { m _ { f } M _ { f } ^ { L R } } } & { { M _ { f } ^ { R R } + m _ { f } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
N ^ { \mathrm { E S } } = \int _ { { E _ { \mathrm { t h } } ^ { \mathrm { E S } } } } \sum _ { \ell = e , \mu , \tau } \sigma _ { \nu _ { \ell } e } ( E ) \mathrm { P } _ { \nu _ { e } \to \nu _ { \ell } } ( E ) \, X ( E ) \, { \mathrm { d } } E \, \Phi _ { \mathrm { B } } \; ,
\psi _ { \mp } ^ { \mu } | p , \pm \rangle _ { R R } ^ { 0 } = \psi _ { \pm } ^ { i } | p , \pm \rangle _ { R R } ^ { 0 } = 0 \, , \qquad \psi _ { \pm } ^ { \alpha } \equiv { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \psi _ { 0 } ^ { \alpha } \pm i \tilde { \psi } _ { 0 } ^ { \alpha } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \left( \frac { d \boldsymbol { P } _ { r } } { d t } \right) _ { i } = \frac { d } { d t } \left< \Phi ^ { T } \Omega _ { h } \boldsymbol { e } _ { i } , \boldsymbol { a } \right> } & { = - \left< \Phi ^ { T } \Omega _ { h } \boldsymbol { e } _ { i } , \Phi ^ { T } M \boldsymbol { c } ( \boldsymbol { a } ) \right> + \nu \left< \Phi ^ { T } \Omega _ { h } \boldsymbol { e } _ { i } , D _ { r } \boldsymbol { a } \right> } \\ & { = - \left< \boldsymbol { e } _ { i } , M \boldsymbol { c } ( \boldsymbol { a } ) \right> + \nu \left< \boldsymbol { e } _ { i } , D _ { h } \Phi \boldsymbol { a } \right> } \\ & { = 0 . } \end{array}
( F _ { 0 } , F _ { \pi } ) \equiv ( \frac { 1 } { \pi } | \varepsilon | , \frac { 1 } { \pi } \sqrt { ( | \mathrm { R e } \varepsilon | - \pi ) ^ { 2 } + ( \mathrm { I m } \varepsilon ) ^ { 2 } } )
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } ( t ) } & { = a x _ { 1 } ( t ) - b x _ { 1 } ( t ) x _ { 2 } ( t ) , } \\ { \dot { x } _ { 2 } ( t ) } & { = b x _ { 1 } ( t ) x _ { 2 } ( t ) - c x _ { 2 } ( t ) - d x _ { 2 } ( t ) x _ { 3 } ( t ) , } \\ { \dot { x } _ { 3 } ( t ) } & { = d x _ { 2 } ( t ) x _ { 3 } ( t ) - e x _ { 3 } ( t ) , } \\ { Y ( t ) } & { = x ( t ) + \sigma _ { y } V ( t ) . } \end{array}
I _ { k } ( \overline { { { b } } } , \sigma _ { b } ) \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \ \sigma _ { b } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } b ^ { k } \, e x p \left[ - b - \frac { ( b - \overline { { { b } } } ) ^ { 2 } } { 2 \, \sigma _ { b } ^ { 2 } } \right] \, m a t h r m { d } b \, .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } \left[ F _ { i , d } ^ { \mathrm { o b s } } , F _ { i , d } ^ { \mathrm { o b s } } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \mathrm { V a r } \left[ F _ { i , d } ^ { \mathrm { o b s } } , F _ { i , d } ^ { \mathrm { o b s } } | \theta \right] \right] } \\ & { \phantom { = } + \mathrm { V a r } \left[ \mathbb { E } \left[ F _ { i , d } ^ { \mathrm { o b s } } | \theta \right] , \mathbb { E } \left[ F _ { i , d } ^ { \mathrm { o b s } } | \theta \right] \right] } \\ & { = \underbrace { \mathbb { E } _ { \theta } \left[ \sigma _ { \theta , F _ { i } } ^ { 2 } ( x ) \right] } _ { \mathrm { a l e a t o r i c } } + \underbrace { \mathrm { V a r } _ { \theta } \left( - \frac { \partial E _ { \theta } ( x ) } { \partial r _ { i , d } } , - \frac { \partial E _ { \theta } ( x ) } { \partial r _ { i , d } } \right) } _ { \mathrm { e p i s t e m i c } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { n } = \left( n _ { \mathrm { p r e } } , n _ { \mathrm { m i d } } , n _ { \mathrm { p o s t } } , n _ { \mathrm { d e t } } , n _ { \mathrm { r e c } } \right) , } \\ & { \mathbf { n } ^ { \prime } = \left( n _ { \mathrm { p r e } } , n _ { \mathrm { m i d } } , n _ { \mathrm { p o s t } } - 1 , n _ { \mathrm { d e t } } + 1 , n _ { \mathrm { r e c } } \right) , } \\ & { \mathbf { n } ^ { \prime \prime } = \left( n _ { \mathrm { p r e } } , n _ { \mathrm { m i d } } , n _ { \mathrm { p o s t } } - 1 , n _ { \mathrm { d e t } } , n _ { \mathrm { r e c } } + 1 \right) , } \\ & { \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } = \left( n _ { \mathrm { p r e } } + 1 , n _ { \mathrm { m i d } } , n _ { \mathrm { p o s t } } - 1 , n _ { \mathrm { d e t } } , n _ { \mathrm { r e c } } \right) , } \\ & { \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } = \left( n _ { \mathrm { p r e } } , n _ { \mathrm { m i d } } + 1 , n _ { \mathrm { p o s t } } - 1 , n _ { \mathrm { d e t } } , n _ { \mathrm { r e c } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ Z _ { j , k } ^ { ( \delta ) } Z _ { j , k ^ { \prime } } ^ { ( \delta ) } ] } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i ( k - k ^ { \prime } ) \xi } | 1 - e ^ { - i \xi } | ^ { - 2 \delta } \, d \xi } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i ( k - k ^ { \prime } ) \xi } \left| 2 \sin \left( \frac { \xi } { 2 } \right) \right| ^ { - 2 \delta } \, d \xi . } \end{array}
\mathbf { e } _ { 3 } ( t ) = { \frac { { \overline { { \mathbf { e } _ { 3 } } } } ( t ) } { \| { \overline { { \mathbf { e } _ { 3 } } } } ( t ) \| } } , \quad { \overline { { \mathbf { e } _ { 3 } } } } ( t ) = { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime \prime \prime } ( t ) - { \bigr \langle } { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime \prime \prime } ( t ) , \mathbf { e } _ { 1 } ( t ) { \bigr \rangle } \, \mathbf { e } _ { 1 } ( t ) - { \bigl \langle } { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime \prime \prime } ( t ) , \mathbf { e } _ { 2 } ( t ) { \bigr \rangle } \, \mathbf { e } _ { 2 } ( t )
P ( k ) = \frac { 1 } { 2 } \tilde { \Vec { u } } ( \Vec { k } ) \tilde { \Vec { u } } ^ { * } ( \Vec { k } ) \quad \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \quad k = \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \alpha ( \overline { D } + ( 0 , h ) ) ) } & { = \widehat { \mathrm { v o l } } ( \alpha ( \overline { D } + ( 0 , h ) ) ) } \\ & { = \alpha ^ { d + 1 } \widehat { \mathrm { v o l } } ( \overline { D } + ( 0 , h ) ) = \alpha ^ { d + 1 } \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \overline { D } + ( 0 , h ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { \mu , \nu } ^ { ( 2 ) } ( \tau ) = \frac { \langle { a _ { \mu } ^ { \dag } ( t ) } { a _ { \nu } ^ { \dag } ( t + \tau ) } { a _ { \nu } ( t + \tau ) } { a _ { \mu } ( t ) } \rangle } { \langle { a _ { \mu } ^ { \dag } ( t ) } { a _ { \mu } ( t ) } \rangle \langle { a _ { \nu } ^ { \dag } ( t + \tau ) } { a _ { \nu } ( t + \tau ) } \rangle } . } \end{array}
V ^ { \mathrm { g r a v } } ( r ) = ( 2 \kappa _ { 1 0 } ) ^ { 2 } \, { \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } } { 7 \, \Omega _ { 8 } \, r ^ { 7 } } } \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \, v ^ { 2 } + o ( v ^ { 2 } ) \, \right) ~ ~ ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb P \left( C _ { \rho , \kappa } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j } ^ { T } \wedge S } ( 1 + \| u ^ { j } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) d t + C _ { \rho , \kappa } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j } ^ { T } \wedge S ] } \Big | \int _ { 0 } ^ { t } A d W \Big | > 1 \right) } \\ { \leq } & { C _ { \rho , \kappa } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j } ^ { T } \wedge S } C _ { \rho , \kappa } ( 1 + \| u ^ { j } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) d t + C _ { \rho , \kappa } \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j } ^ { T } \wedge S ] } \Big | \int _ { 0 } ^ { t } A d W \Big | } \\ { \leq } & { C _ { \rho , \kappa } S + C _ { \rho , \kappa } \mathbb E \left( \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j } ^ { T } \wedge S } ( 1 + \| u ^ { j } \| _ { \tilde { s } } ^ { 4 } ) d t \right) ^ { \frac 1 2 } \leq C _ { \rho , \kappa } S + C _ { \rho , \kappa } S ^ { \frac 1 2 } \to 0 \quad \mathrm { ~ a s ~ } S \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } g ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \cdots , \beta _ { K } ) } { \partial \beta _ { k } ^ { 2 } } = \frac { - \frac { 2 } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } | \tilde { h } _ { k ^ { \prime } } | ^ { 2 } + 2 } { c _ { \beta } ^ { 2 } \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } | \tilde { h } _ { k ^ { \prime } } | ^ { 2 } \ln 2 } \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { k } } & { = \frac { \frac { 2 \sqrt { s } } { \mathbf { t } _ { k + 1 } } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) - \mu s } { 1 - \mu s } } \\ { \delta _ { k } } & { = \frac { \sqrt { s } \mathbf { t } _ { k + 1 } } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 2 } ^ { t h } = S _ { 3 4 } ^ { t h } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - R ) ( 1 - p ) 2 k _ { B } \mathcal { T } , } } \\ { { S _ { 1 4 } ^ { t h } = S _ { 2 3 } ^ { t h } = \frac { ( 1 + R ) } { ( 1 - R ) } S _ { 1 2 } ^ { t h } . } } \end{array}
\hat { \psi } _ { ( 1 , 0 ) } ( \hat { y } ) \sim - \frac { 1 } { 2 } \log { ( \hat { y } ) } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \Gamma { ( k ) } } { ( 2 \hat { y } ) ^ { k } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \hat { \psi } _ { ( 2 , 1 ) } ( \hat { y } ) \sim \frac { 1 } { 2 } \log { ( \hat { y } ) } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \Gamma { ( k ) } } { ( 2 \hat { y } ) ^ { k } } .
\begin{array} { r l } { b _ { \lambda } ^ { \lambda } \cdot c _ { F _ { M , N ; \theta } } ^ { \lambda } + } & { \sum _ { v : \ | v | = 2 k , \ l ( v ) > l ( \lambda ) , \ \mu \mathrm { \ i s \ e v e n } } b _ { v } ^ { \lambda } \cdot c _ { F _ { M , N ; \theta } } ^ { v } } \\ { = } & { M ^ { - l ( \lambda ) } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } P _ { \lambda _ { i } } \right] \exp \Big ( F _ { M , N ; \theta } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) \Big ) \Bigr | _ { z _ { 1 } = . . . z _ { M } = 0 } - L ( c _ { F _ { M , N ; \theta } } ^ { ( i ) } , 1 \le i \le 2 k - 1 ) } \\ & { \quad \quad \quad - R _ { 1 } ( c _ { F _ { M , N ; \theta } } ^ { v } , | v | < 2 k ) - M ^ { - 1 } R _ { 2 } ( c _ { F _ { M , N ; \theta } } ^ { v } , | v | \le 2 k ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { E \left[ \widehat { f } _ { c , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { c , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { c } } | \mathcal { B } _ { I , n } ( c ) \right] = \frac { \sigma _ { c } ^ { 2 } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - c - 1 } C _ { k , c } } + f _ { c } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { c } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { c } } \leq f _ { c } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { c } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { c } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | ( f _ { i } - G _ { i } w ) ( \tilde { y } _ { i } ) | \leq | ( f _ { i } - G _ { i } w ) ( \Pi _ { i } ^ { \delta } \tilde { y } _ { i } ) | + | f _ { i } ( ( \mathrm { I d } - \Pi _ { i } ^ { \delta } ) \tilde { y } _ { i } ) | } \\ & { \leq \| \Pi _ { i } ^ { \delta } \tilde { y } _ { i } \| _ { Y _ { i } ^ { \delta } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \neq y _ { i } \in Y _ { i } ^ { \delta } } \frac { | ( f _ { i } - G _ { i } w ) ( y _ { i } ) | } { \| y _ { i } \| _ { Y _ { i } ^ { \delta } } } + \| ( \mathrm { I d } - { \Pi _ { i } ^ { \delta } } ^ { \prime } ) f _ { i } \| _ { Y _ { i } ^ { \prime } } \| \tilde { y } _ { i } \| _ { Y _ { i } } } \\ & { \leq \Big ( \| \Pi _ { i } ^ { \delta } \| _ { \mathcal L ( Y _ { i } , Y _ { i } ) } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( K _ { i } ^ { \delta } A _ { i } ^ { \delta } ) ^ { - \frac 1 2 } \operatorname* { s u p } _ { 0 \neq y _ { i } \in Y _ { i } ^ { \delta } } \frac { | ( f _ { i } - G _ { i } w ) ( y _ { i } ) | } { \| y _ { i } \| _ { Y _ { i } ^ { \delta } } } + \| ( \mathrm { I d } - { \Pi _ { i } ^ { \delta } } ^ { \prime } ) f _ { i } \| _ { Y _ { i } ^ { \prime } } \Big ) \| \tilde { y } _ { i } \| _ { Y _ { i } } . } \end{array}
M = \left( \begin{array} { l l l } { - \eta k ^ { 2 } } & { k } & { i k \tilde { B } _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } \\ { - \frac { 1 } { 2 } k } & { - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) } & { i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } \\ { \; \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } ( - 1 + k ^ { 2 } ) \; } & { \; i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) \; } & { \; - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) \; } \end{array} \right) , \quad \boldsymbol { v } = \left( \begin{array} { l } { H _ { 0 } } \\ { H _ { - } } \\ { G _ { + } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { R _ { \nu \mu \lambda } ^ { \gamma } } & { \rightarrow R _ { \nu \mu \lambda } ^ { \gamma } + 2 c _ { 2 } \delta _ { \lambda } ^ { \gamma } \partial _ { [ \nu } P _ { \mu ] } + 2 c _ { 1 } \delta _ { [ \mu } ^ { \gamma } \stackrel { \{ \} } { \nabla } _ { \nu ] } P _ { \lambda } + 2 c _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { [ \nu } ^ { \gamma } P _ { \mu ] } P _ { \lambda } } \\ & { = R _ { \nu \mu \lambda } ^ { \gamma } + 2 c _ { 2 } \delta _ { \lambda } ^ { \gamma } \stackrel { \{ \} } { \nabla } _ { [ \nu } P _ { \mu ] } + 2 c _ { 1 } \delta _ { [ \mu } ^ { \gamma } \stackrel { \{ \} } { \nabla } _ { \nu ] } P _ { \lambda } + 2 c _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { [ \nu } ^ { \gamma } P _ { \mu ] } P _ { \lambda } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { ( \omega _ { - } ; T _ { s } , T _ { i } ) \propto \sum _ { e , e ^ { \prime } } \sum _ { e ^ { \prime \prime } } \iint d t d \tau e ^ { - i \omega _ { e ^ { \prime \prime } e ^ { \prime } } ( t - \tau ) } \rho _ { e e ^ { \prime } } ( \tau ) } \\ & { \qquad \qquad \times \Big [ \tilde { \Phi } ^ { * } ( t - T _ { i } , \tau - T _ { i } ) \tilde { \Phi } ( \tau - T _ { s } , t - T _ { i } ) } \\ & { \qquad \qquad + \tilde { \Phi } ^ { * } ( \tau - T _ { s } , t - T _ { s } ) \tilde { \Phi } ( t - T _ { s } , \tau - T _ { i } ) \Big ] } \end{array}