harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \left( \rho \mathbf { u } \right) , } \\ { \frac { \partial \rho \mathbf { u } } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \left[ \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } + ( p + { p _ { r } } ) \mathbf { I } \right] , } \\ { \frac { \partial \rho e _ { t } } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \left[ \left( \rho e _ { t } + ( p + { p _ { r } } ) \right) \mathbf { u } \right] + { p _ { r } \nabla \cdot \mathbf { u } } + { \sigma _ { E } c E _ { r } } - { \sigma _ { p } a c T ^ { 4 } } , } \\ { \frac { \partial E _ { r } } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \left( E _ { r } \mathbf { u } \right) - { p _ { r } \nabla \cdot \mathbf { u } } + \nabla \cdot D \nabla E _ { r } - { \sigma _ { E } c E _ { r } } + { \sigma _ { p } a c T ^ { 4 } } , } \end{array}
G _ { 1 } ^ { ( m , k ) } = \Phi ( \vec { x } _ { r } , \vec { x } _ { s } ) \left( \frac { 1 } { \mathcal { S } _ { + } } - \frac { 1 } { \mathcal { S } _ { - } } \right) = \Phi ( \vec { x } _ { r } , \vec { x } _ { s } ) \left( \frac { \sinh \mathcal { U } } { \cosh \mathcal { U } - \cos \mathcal { T } } \right) \; .
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \mathbf { X } } \cdot \left( K _ { 2 } \left( \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { X } \right) \right) + 2 \nabla _ { \mathbf { X } } \cdot \left[ P \left( \mathbf { X } \right) \nabla _ { \mathbf { Y } } \cdot \left( \sigma _ { 1 2 } \left( \mathbf { Y } , \mathbf { X } , t \right) \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) \right] } \\ & { + \nabla _ { \mathbf { X } } ^ { 2 } \left( \sigma _ { 2 2 } \left( \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) \right) = 0 } \end{array}
\rho _ { m , l } ^ { ( N ) } ( x , t ) : = \frac { 1 } { N } \sum _ { \substack { i : B _ { i m } ^ { ( N ) } = 1 , \, C _ { i l } ^ { ( N ) } ( t ) = 1 } } \delta ( x - x _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) )
\psi ^ { 0 } ( z ) = \sum _ { m \in { \bf Z } } d _ { m } ^ { 0 } z ^ { - m - \frac { 1 } { 2 } } ~ , \quad \widetilde { \psi } ^ { 0 } ( \overline { { { z } } } ) = \sum _ { m \in { \bf Z } } d _ { m } ^ { 0 } \overline { { { z } } } ^ { - m - \frac { 1 } { 2 } } ~ ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 7 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 6 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 3 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 2 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
- \frac { 2 \pi } { \varepsilon ^ { 2 } } h _ { e } ^ { 4 } \log { h ^ { \ast } } \leq - \frac { \gamma ^ { 2 } \varepsilon ^ { 6 } } { 3 2 \pi } \log { \left( 1 + \sqrt { \frac { 8 \pi } { \gamma \varepsilon ^ { 4 } } } h _ { e } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \gamma ( \gamma + 1 ) \varepsilon ^ { 6 } \right) } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { a c } \rho ( t ) = } & { - i [ H _ { a } + H _ { c } , \rho ( t ) ] - \frac { \gamma _ { e g } + \gamma _ { e s } } { 2 } \{ | e \rangle \langle e | , \rho ( t ) \} } \\ & { + \gamma _ { e g } \sigma _ { g e } \rho ( t ) \sigma _ { g e } ^ { \dagger } + \gamma _ { e s } \sigma _ { g e } \rho ( t ) \sigma _ { g e } ^ { \dagger } , } \end{array}
\tilde { \Gamma } _ { p } \equiv \tilde { \Delta } _ { p } ^ { - 1 } - \Sigma _ { p } = m + { \frac { r } { 2 } } \hat { p } ^ { 2 } + i \gamma \cdot \bar { p } + \Sigma _ { p } ^ { ( a ) } + \Sigma _ { p } ^ { ( b ) }
\sigma _ { - 2 l _ { 1 } - j } \left( \left( A _ { 1 } - \lambda \right) ^ { - 1 } \right) ( x , - \xi , \lambda ) = \left( - 1 \right) ^ { j } \sigma _ { - 2 l _ { 1 } - j } \left( \left( A _ { 1 } - \lambda \right) ^ { - 1 } \right) ( x , \xi , \lambda ) .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ( \mathrm { R H } , T ) } & { { } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } a _ { 1 } + a _ { 2 } ( \mathrm { R H } - \overline { { \mathrm { R H } } } ) + a _ { 3 } ( T - \overline { { T } } ) + \frac { a _ { 4 } } { 2 } ( \mathrm { R H } - \overline { { \mathrm { R H } } } ) ^ { 2 } + \frac { a _ { 5 } } { 2 } ( T - \overline { { T } } ) ^ { 2 } ( \mathrm { R H } - \overline { { \mathrm { R H } } } ) } \\ { I _ { 2 } ( \partial _ { z } \mathrm { R H } ) } & { { } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } a _ { 6 } ^ { 3 } \left( \partial _ { z } \mathrm { R H } + \frac { 3 a _ { 7 } } { 2 } \right) \left( \partial _ { z } \mathrm { R H } \right) ^ { 2 } } \\ { I _ { 3 } ( q _ { c } , q _ { i } ) } & { { } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \frac { - 1 } { q _ { c } / a _ { 8 } + q _ { i } / a _ { 9 } + \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert F \right\vert ^ { 2 } } & { = F F ^ { \ast } } \\ & { = \sum _ { m , m ^ { \prime } } \left( A _ { m - l } - A _ { m + l } \right) \left( A _ { m ^ { \prime } - l } ^ { \ast } - A _ { m ^ { \prime } + l } ^ { \ast } \right) e ^ { i \left( m - m ^ { \prime } \right) \left( \phi + \Omega t \right) } . } \end{array}
S : \left( \begin{array} { c } { { a _ { D } } } \\ { { a } } \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { a _ { D } } } \\ { { a } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { a } } \\ { { - a _ { D } } } \end{array} \right) .
I C E _ { a m e n i t y } ( a ) = \frac { 1 } { 1 0 0 } \sum _ { x = 1 } ^ { 1 0 0 } \frac { | \textbf { C } _ { a , h i } ^ { x } | - | \textbf { C } _ { a , l o } ^ { x } | } { | \textbf { C } _ { a } ^ { x } | }
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { A } _ { - 1 } = ( - \gamma _ { 1 } + i \Delta _ { 1 } + i \Omega ) A _ { - 1 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } A _ { 0 } , \quad } \\ & { } & { \dot { A } _ { 0 } = - \gamma _ { 0 } A _ { 0 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } \left( A _ { 1 } + A _ { - 1 } \right) , \quad } \\ & { } & { \dot { A } _ { 1 } = ( - \gamma _ { 1 } + i \Delta _ { 1 } - i \Omega ) A _ { 1 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } A _ { 0 } , \quad } \end{array}
\begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } _ { \tilde { \Phi } } } & { - H ( \tilde { \Phi } ) } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } } & { \tilde { \Phi } ( e ^ { i \theta } ) \geq 0 } \\ & { \int _ { \mathcal { I } } e ^ { i k \theta } \tilde { \Phi } ( e ^ { i \theta } ) d \theta = r _ { k } + r _ { w , k } } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ } k = 1 , \cdots , n . } \end{array}
\sum _ { k = { m _ { \mathrm { m a x } } } + 1 } ^ { \infty } \| { \mathcal { G } } _ { \alpha _ { k } } ( u _ { k } ) \| _ { H } ^ { 2 } \leq ( { m _ { \mathrm { m a x } } } + 1 ) C _ { G } ^ { 4 { m _ { \mathrm { m a x } } } + 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \| { \mathcal { G } } _ { { \alpha } _ { \nu \left( k \right) - 1 } } ( u _ { \nu \left( k \right) - 1 } ) \| _ { H } < \infty .
\begin{array} { r l } { S ^ { u } = } & { { \nu } \omega \omega ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { d ^ { r } } } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } & { \overline { { d ^ { g } } } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + \overline { { d ^ { b } } } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } \\ { u ^ { r } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } & { u ^ { g } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + u ^ { b } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } \\ & { e ^ { + } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } { S ^ { d } = } & { { \overline { { \nu } } } \omega ^ { \dagger } \omega + } \\ { { d } ^ { r } { \alpha _ { 1 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } & { { d } ^ { g } { \alpha _ { 2 } } \omega ^ { \dagger } \omega + { d } ^ { b } { \alpha _ { 3 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } \\ { \overline { { u ^ { r } } } { \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 2 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } & { \overline { { u ^ { g } } } { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 3 } } \omega ^ { \dagger } \omega + \overline { { u ^ { b } } } { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } \omega ^ { \dagger } \omega + } \\ & { e ^ { - } { \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } \omega ^ { \dagger } \omega } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { k } ^ { \prime } } & { = } & { w _ { k } + \overline { { \bf g } } _ { T } \cdot ( { \bf x } _ { T } + ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) - { \bf x } _ { k } ) , } \\ { w _ { j } ^ { \prime } } & { = } & { w _ { j } + \overline { { \bf g } } _ { T } \cdot ( { \bf x } _ { T } + ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { k } ) - { \bf x } _ { j } ) , } \end{array}
\vec { \phi } = \vec { n } _ { \mathrm { c } } ( t ) \int _ { 0 } ^ { t } { \left( \vec { \omega } _ { \mathrm { i } } ( t ^ { \prime } ) - \vec { \omega } _ { \mathrm { j } } ( t ^ { \prime } ) \right) \vec { n } _ { \mathrm { c } } ( t ^ { \prime } ) \mathrm { d } t ^ { \prime } } \, .
| N _ { n } ( \{ \sigma \} \rangle \langle N _ { m } \{ \sigma ^ { \prime } \} ) | = \prod _ { i } ^ { n } { \bf A } ^ { \dag } ( \sigma _ { i } ) | { \cal O } \rangle \langle { \cal O } | \prod _ { i } ^ { n ^ { \prime } } { \bf A } ( \sigma _ { i } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \gamma ^ { 2 } ( \Delta \vec { P } ) ^ { 2 } \left( ( \Delta \vec { P } ) ^ { 2 } \vec { P } - ( \vec { P } \cdot \Delta \vec { P } ) \Delta \vec { P } \right) = } \\ & { } & { \imath \gamma \Delta \vec { P } \cdot \left( ( \vec { P } \cdot \Delta \vec { P } ) ^ { 2 } - \vec { P } ^ { 2 } ( \Delta \vec { P } ) ^ { 2 } \right) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sigma } _ { i j } = \rho \Bigg \{ } & { { } 2 \eta \left( d _ { i j } + d _ { k k } \delta _ { i j } \right) + \beta \hat { { q } } _ { i j } + { \sigma } _ { i j } ^ { \mathrm { a c t } } - L \bigg [ \nabla _ { i } q _ { k l } \nabla _ { j } q _ { k l } } \end{array}
D _ { 1 } = - \frac { C _ { 2 } } { 3 C _ { 1 } } , \; \; \; D _ { 2 } = \sqrt { \frac { C _ { 2 } ^ { 2 } } { 9 C _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { C _ { 3 } } { 2 C _ { 1 } } } , \; \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; \; W = \frac { 1 } { \sqrt { C _ { 1 } } } .
\begin{array} { r l } { S ( \zeta ) } & { = \underbrace { \sum _ { m } g _ { m } ( \phi _ { 0 } , \zeta , \omega _ { p e } ) f ( m \omega _ { p e } ) H _ { 0 } ( \zeta + m \tau ) + H _ { 0 } ( \zeta ) } _ { \mathrm { D C ~ p e a k } } } \\ & { + \underbrace { \sum _ { k } J _ { k } ( \phi _ { 0 } ) \mathcal { F } ( k \omega _ { p e } ) H _ { 0 } ( t - \Delta \zeta + k \tau ) + \mathrm { c . c . } } _ { \mathrm { S i d e b a n d s + s a t e l l i t e s } } , } \end{array}
{ S } _ { { j } , { i } } = \left\langle \Psi ( \boldsymbol { R } ) \left| \frac { \partial ^ { 2 } \widehat { { H } } ( \boldsymbol { R } ) } { \partial \boldsymbol { R } _ { { j } } \partial \boldsymbol { R } _ { { i } } } \right| \Psi ( \boldsymbol { R } ) \right\rangle .
\begin{array} { r l } { { D _ { N , T } } } & { \leq C \eta _ { T } ^ { - 1 } \Bigg \{ \psi _ { N } ^ { 2 } \Bigg [ \ell _ { N } \ell _ { T } \sqrt { \phi _ { N , T } } + \ell _ { N } \ell _ { T } \xi _ { N , T } \psi _ { N } ^ { 2 } + \left( T \phi _ { N , T } + ( N T ) ^ { 2 / m } \right) \left( \frac { \ell _ { N } ^ { 3 / 2 } \ell _ { T } } { \sqrt { T } } + \frac { \ell _ { N } ^ { 2 } \ell _ { T } ^ { 2 } } { T } \right) \Bigg ] } \\ & { + \frac { \psi _ { N } N ^ { 1 / m } \ell _ { N } ^ { 3 / 2 } \ell _ { T } } { \sqrt { T } } + \frac { \psi _ { N } ^ { m } N \ell _ { N } ^ { 3 m / 2 - 4 } \ell _ { T } \ell _ { N T } } { T ^ { m / 2 - 1 } } + \left[ \left( \frac { \sqrt { \ell _ { N } } } { \sqrt { T } } \psi _ { N } \right) ^ { m } N K \left( \sqrt { T \phi _ { N , T } } ^ { m } + N T \right) \right] ^ { \frac { 1 } { m + 1 } } \Bigg \} . } \end{array}
T _ { \phi \phi } = \frac { 1 } { ( k - 2 ) } g _ { a b } { \large : } J _ { \phi } ^ { a } ( z ) J _ { \phi } ^ { b } ( z ) { \large : } = \frac { 1 } { k - 2 } \Sigma { \large : } J _ { n - m } ^ { a } J _ { m } ^ { a } { \large : } z ^ { - n - 2 } = \Sigma L _ { n } z ^ { - n - 2 } ,
L _ { o r t h o } ( { \mathbb G } , \{ \mathbf x _ { i } \} ) = \sum _ { \alpha < \beta } ^ { N _ { g } } \left[ \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( { \mathbb G } _ { \alpha } ^ { T } { \mathbb G } _ { \beta } ) \right] ^ { 2 } .
{ \frac { \mathrm { d } J _ { \varepsilon } } { \mathrm { d } \varepsilon } } { \bigg | } _ { \varepsilon = 0 } = \int _ { a } ^ { b } \left[ \eta ( x ) { \frac { \partial F } { \partial f } } + \eta ^ { \prime } ( x ) { \frac { \partial F } { \partial f ^ { \prime } } } \, \right] \, \mathrm { d } x = 0 \ .
\begin{array} { r l } & { | E _ { 1 1 } - 1 | \leq \kappa _ { 4 } \epsilon ^ { 2 } , \quad | E _ { 1 2 } | \leq \kappa _ { 4 } \epsilon ^ { 2 } , \quad \| r _ { 1 } \| \leq \kappa _ { 4 } \epsilon ^ { 2 } , \quad | E _ { 1 2 } | ^ { 2 } + \| r _ { 1 } \| ^ { 2 } \leq \kappa _ { 4 } ^ { 2 } \epsilon ^ { 4 } , } \\ & { | E _ { 2 2 } - 1 | \leq \kappa _ { 4 } \epsilon ^ { 2 } , \quad | E _ { 2 1 } | \leq \kappa _ { 4 } \epsilon ^ { 2 } , \quad \| r _ { 2 } \| \leq \kappa _ { 4 } \epsilon ^ { 2 } , \quad | E _ { 2 1 } | ^ { 2 } + \| r _ { 2 } \| ^ { 2 } \leq \kappa _ { 4 } ^ { 2 } \epsilon ^ { 4 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle d u ( t ) = \left( \mathcal { A } u ( t ) + \mathcal { F } ^ { M } ( u ( t ) \right) d t + \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { G } ( z , x , u ( t - ) ) \tilde { N } ( d t , d z ) , } \\ { u ( 0 ) = u _ { 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { c } { \widehat { \mathbf { v } } _ { p } = { \alpha } _ { p } ^ { n } \mathbf { v } _ { p } ^ { n } } \\ { \widehat { \mathbf { E } } _ { p } = { \alpha } _ { p } ^ { n } \mathbf { E } _ { p } ^ { n + \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \nabla \widehat { n } } & { { } = J ^ { - 1 } \cdot \nabla _ { \! \bot } \widehat { n } , } & { \nabla \widehat { t } _ { i } } & { { } = J ^ { - 1 } \cdot \nabla _ { \! \bot } \widehat { t } _ { i } . } \end{array}
\left| Q ^ { ( 1 ) } \vert E , p ^ { 3 } \rangle \right| ^ { 2 } = \langle E , p ^ { 3 } \vert \left( Q ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \vert E , p ^ { 3 } \rangle = \langle E , p ^ { 3 } \vert H ^ { \prime } - P ^ { 3 } \vert E , p ^ { 3 } \rangle = E - p ^ { 3 } = 0 .
\left( \hat { f } _ { i } ^ { C } \right) _ { \xi } = \left( \hat { f } _ { i } \right) _ { \xi } + \left[ \hat { f } _ { i - 1 / 2 } ^ { \mathrm { c o m } } - \hat { f } _ { i } ( - 1 ) \right] g _ { \mathrm { L B } } ^ { \prime } + \left[ \hat { f } _ { i + 1 / 2 } ^ { \mathrm { c o m } } - \hat { f } _ { i } ( 1 ) \right] g _ { \mathrm { R B } } ^ { \prime } ,
\{ { \cal F } , { \cal G } \} _ { \mathrm { g c } } \; = \; \frac { 1 } { \partial B _ { \| } ^ { * } } \frac { \partial } { Z ^ { \alpha } } \left( B _ { \| } ^ { * } \frac { } { \partial } { \cal F } \; \left\{ Z ^ { \alpha } , \; { \cal G } \right\} _ { \mathrm { g c } } \right) ,
\begin{array} { r } { H ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { h _ { 1 } / h _ { 2 } } & { \mathrm { f o r } \; h _ { 2 } \neq 0 , } \\ { \infty } & { \mathrm { f o r } \; h _ { 2 } = 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta } & { \Big ( \Lambda _ { n } ^ { \mathbf { c } } , \Lambda _ { n ^ { \prime } } ^ { \mathbf { c } ^ { \prime } } \Big ) ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l l } { R 2 ^ { k + 1 } \gamma , } & { ( n , \mathbf { c } ) = ( n ^ { \prime } , \mathbf { c } ^ { \prime } ) , \tau = 0 , } \\ { 0 , } & { \begin{array} { r l } & { ( n , \mathbf { c } ) \neq ( n ^ { \prime } , \mathbf { c } ^ { \prime } ) , 0 \leq | \tau | < \gamma . } \end{array} } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { \Gamma } \! d E \, E \, \Delta g _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { ( 1 ) } ( E ) = \frac { \varepsilon _ { i } } { \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { k } } \langle \psi _ { i } | \mathrm { P } ( \varepsilon _ { i } ) | \psi _ { k } \rangle + \frac { \varepsilon _ { k } } { \varepsilon _ { k } - \varepsilon _ { i } } \langle \psi _ { i } | \mathrm { P } ( \varepsilon _ { k } ) | \psi _ { k } \rangle \, , } \\ { P _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { \Gamma } \! d E \, \Delta g _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { ( 1 ) } ( E ) = \frac { 1 } { \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { k } } \langle \psi _ { i } | \mathrm { P } ( \varepsilon _ { i } ) | \psi _ { k } \rangle + \frac { 1 } { \varepsilon _ { k } - \varepsilon _ { i } } \langle \psi _ { i } | \mathrm { P } ( \varepsilon _ { k } ) | \psi _ { k } \rangle \, . } \end{array}
\frac { \delta r _ { 0 } } { r _ { 0 } } = 1 . 8 \frac { \delta m _ { \pi } } { m _ { \pi } } - 4 . 8 \frac { \delta m _ { p } } { m _ { p } } = 1 . 2 \frac { \delta m _ { \pi } } { m _ { \pi } }
{ \begin{array} { r l } { A : = } & { { \cfrac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ~ { \cfrac { \sigma _ { c } \sigma _ { t } \sigma _ { b } ( \sigma _ { t } + 8 \sigma _ { b } - 3 \sigma _ { c } ) } { ( \sigma _ { c } + \sigma _ { t } ) ( 2 \sigma _ { b } - \sigma _ { c } ) ( 2 \sigma _ { b } + \sigma _ { t } ) } } } \\ { B : = } & { { \cfrac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ~ { \cfrac { ( \sigma _ { c } - \sigma _ { t } ) ( \sigma _ { b } \sigma _ { c } + \sigma _ { b } \sigma _ { t } - \sigma _ { c } \sigma _ { t } - 4 \sigma _ { b } ^ { 2 } ) } { ( \sigma _ { c } + \sigma _ { t } ) ( 2 \sigma _ { b } - \sigma _ { c } ) ( 2 \sigma _ { b } + \sigma _ { t } ) } } } \\ { C : = } & { { \cfrac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ~ { \cfrac { 3 \sigma _ { b } \sigma _ { t } - \sigma _ { b } \sigma _ { c } - 2 \sigma _ { c } \sigma _ { t } } { ( \sigma _ { c } + \sigma _ { t } ) ( 2 \sigma _ { b } - \sigma _ { c } ) ( 2 \sigma _ { b } + \sigma _ { t } ) } } } \end{array} }
t _ { j } = \frac { 1 } { 2 \cos ^ { 2 } ( \frac { \pi j } { 2 H } ) } \prod _ { i = 1 } ^ { j } \frac { \tan ( \frac { \pi ( 2 w _ { r } + 2 i - 1 ) } { 4 H } ) \tan ( \frac { \pi ( 2 w _ { r } - 2 i + 1 ) } { 4 H } ) } { \tan ^ { 2 } \left( \frac { \pi i } { 2 H } \right) } .
\begin{array} { r l r } { \xi _ { x } ( \alpha _ { x } , \alpha _ { y } ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; [ H _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) - H _ { 1 } ( \alpha _ { x } u ) ] H _ { 0 } ( \alpha _ { y } u ) } \\ { \xi _ { y } ( \alpha _ { x } , \alpha _ { y } ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; H _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) [ H _ { 0 } ( \alpha _ { y } u ) - H _ { 1 } ( \alpha _ { y } u ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { \rho } ) } & { { } = \frac { \int d \boldsymbol { r } ^ { \prime } \left\langle \langle \hat { \psi } _ { a , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \langle \hat { \psi } _ { b , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { b , L } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \rangle \hat { \psi } _ { a , L } ( \boldsymbol { r } ) \rangle \right\rangle } { \langle \hat { \psi } _ { a , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { a , L } ( \boldsymbol { r } ) \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \epsilon } _ { c r } \left( t \right) } & { = \mathcal { \epsilon } _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \left( - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } \right) } \\ & { = \mathcal { \epsilon } _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \rho _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { \xi } } \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \xi \pi } \bar { \phi } _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) + \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \xi \pi } \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) \bar { \phi } _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \left\vert \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) \right\vert ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \rho _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u = d i v ( ( \eta _ { \epsilon } + z ^ { 2 } ) \nabla u ) - ( u - g ) \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times U } \\ { \partial _ { t } z = 2 \epsilon \Delta z - z | \nabla u | ^ { 2 } + \frac { 1 - z } { 2 \epsilon } \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times U } \\ { \frac { \partial } { \partial n } u = \frac { \partial } { \partial n } z = 0 \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \partial U } \\ { u ( 0 , \cdot ) = u _ { 0 } \mathrm { ~ a n d ~ } z ( 0 , \cdot ) = z _ { 0 } \mathrm { ~ i n ~ } \{ 0 \} \times U } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { j ^ { \prime } ( \bar { u } ) v } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } j ^ { \prime } ( \bar { u } ) v _ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } [ j _ { h _ { n } } ^ { \prime } ( \bar { u } _ { h _ { n } } ) v _ { n } + ( j ^ { \prime } ( \bar { u } _ { h _ { n } } ) - j _ { h _ { n } } ^ { \prime } ( \bar { u } _ { h _ { n } } ) ) v _ { n } + ( j ^ { \prime } ( \bar { u } ) - j ^ { \prime } ( \bar { u } _ { h _ { n } } ) ) v _ { n } ] } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } j _ { h _ { n } } ^ { \prime } ( \bar { u } _ { h _ { n } } ) v _ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { s _ { n } } [ j _ { h _ { n } } ^ { \prime } ( \bar { u } _ { h _ { n } } ) ( u _ { h _ { n } } - \bar { u } ) + j _ { h _ { n } } ^ { \prime } ( \bar { u } _ { h _ { n } } ) ( \bar { u } _ { h _ { n } } - u _ { h _ { n } } ) ] . } \end{array}
D ^ { \rho } h ^ { \mu \nu } = ( r ^ { - 1 } ) _ { b } ^ { \mu } r ^ { a \nu } r ^ { c \rho } S _ { a c } ^ { b } + ( r ^ { - 1 } ) _ { b } ^ { \nu } r ^ { a \mu } r ^ { c \rho } S _ { a c } ^ { b } .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { B i L i n } _ { f } \left( ( p _ { t } ^ { * } - p _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mu _ { t } ( p _ { t - 1 } ^ { * } - p _ { t - 2 } ^ { * } ) , q _ { t } ^ { * } - q \right) } \\ & { - \mathrm { B i L i n } _ { f } \left( ( p _ { t } - p _ { t - 1 } ) - \mu _ { t } ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) , q _ { t } - q \right) } \\ { \leq } & { 8 \left[ \sqrt { \delta _ { t , 1 } } + \sqrt { \delta _ { t - 1 , 1 } } + \sqrt { \delta _ { t - 2 , 1 } } + \sqrt { \delta _ { t , 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu \left( \left( a , X ^ { P } \right) \in \Gamma \right) } & { = \int _ { \Gamma _ { 1 } } \int _ { \Gamma _ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { d } ( P | a ) _ { T } } { \mathrm { d } ( Q | a ) _ { T } } ( \mathrm { d } w ) ( Q | a ) _ { T } ( \mathrm { d } w ) \right) \mu _ { a } ( \mathrm { d } a ) } \\ & { = \int _ { \Gamma _ { 1 } } \int _ { \Gamma _ { 2 } } \frac { \mathrm { d } ( P | a ) _ { T } } { \mathrm { d } ( Q | a ) _ { T } } ( \mathrm { d } w ) \left( \mu _ { a } \times ( Q | a ) _ { T } \right) ( \mathrm { d } a \mathrm { d } w ) } \\ & { = \int _ { \Gamma } \frac { \mathrm { d } ( P | a ) _ { T } } { \mathrm { d } ( Q | a ) _ { T } } ( \mathrm { d } w ) Q _ { T } ( \mathrm { d } a \mathrm { d } w ) . } \end{array}