harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { c } { { N _ { L } } } \\ { { N _ { R } } } \\ { { N _ { V } } } \\ { { N _ { C } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { 2 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) n _ { 3 } + \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 3 } } \end{array} \right) n _ { 8 } + \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) n _ { H } + \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { \frac 3 2 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) n _ { L } + \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { \frac 1 2 } } \\ { { \frac 3 4 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ( n _ { e ^ { c } } + n _ { \nu ^ { c } } ) .
\left( { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } } \frac { \Delta Q _ { j } } { P _ { j } } \right) + \frac { \Delta Q _ { \mathrm { ~ \tiny ~ l ~ e ~ a ~ k ~ e ~ d ~ } } } { P _ { \mathrm { ~ \tiny ~ l ~ e ~ a ~ k ~ e ~ d ~ } } } = 0 \qquad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \qquad { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } } \frac { \Delta Q _ { j } } { P _ { j } } = - \frac { \Delta Q _ { \mathrm { ~ \tiny ~ l ~ e ~ a ~ k ~ e ~ d ~ } } } { P _ { \mathrm { ~ \tiny ~ l ~ e ~ a ~ k ~ e ~ d ~ } } } > 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \log M _ { 1 } } & { \geq I ( Q _ { X } , Q _ { \hat { X } _ { 1 } | X } ) - \xi _ { 1 , n } , } \\ { \frac { 1 } { n } \log M _ { 2 } } & { \geq H ( Q _ { Y } ) - \xi _ { 2 , n } , } \\ { \frac { 1 } { n } \log M _ { 1 } M _ { 2 } } & { \geq H ( Q _ { Y } ) + I ( Q _ { Y } , Q _ { \hat { X } _ { 1 } | Y } ) } \\ { * } & { \qquad + I ( Q _ { X | Y } , Q _ { \hat { X } _ { 1 } \hat { X } _ { 2 } | X Y } | Q _ { Y } ) - \xi _ { 1 , n } - \xi _ { 2 , n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { t } + u ^ { ( 2 ) } ~ \Gamma _ { x } + \Gamma \biggl ( u _ { x } ^ { ( 2 ) } + u _ { y } ^ { ( 2 ) } \, f _ { x } ^ { ( 2 ) } \biggr ) = \mathcal { D } _ { s } \Gamma _ { x x } ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ } ~ ~ ~ ~ ~ y = f ^ { ( 2 ) } ( x , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ S ~ R ~ M ~ : ~ } \omega _ { o s } ^ { 2 } } & { { } = - \frac { W _ { i n } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \eta \xi } { m \gamma _ { + } ^ { 2 } ( \gamma _ { + } - i \Omega ) } , } \\ { \mathrm { ~ P ~ R ~ M ~ : ~ } \omega _ { o s } ^ { 2 } } & { { } = - \frac { W _ { i n } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 0 } \eta \xi } { m \gamma _ { + } ^ { 2 } ( \gamma _ { + } - i \Omega ) } , } \\ { \gamma _ { + } } & { { } = \frac { \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 0 } } { 2 } , \quad \gamma _ { - } = \frac { \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 0 } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { M ^ { - 1 } 3 t C _ { \epsilon , R } ( t ) ( | | K _ { \epsilon , R } ^ { n } | | _ { \infty } + | | K _ { \epsilon , R } | | _ { \infty } ) \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \int _ { \{ a \geq M \} } a ( g _ { 1 } ( \eta , s ) + g _ { 2 } ( \eta , s ) ) \textup { d } \eta \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } ( g _ { 1 } ( \eta , s ) + g _ { 2 } ( \eta , s ) ) \textup { d } \eta ^ { \prime } . } \end{array}
F ^ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } , \lambda _ { 5 } \lambda _ { 6 } } = ( F ^ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } , F ^ { \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } } , F ^ { \lambda _ { 5 } \lambda _ { 6 } } ) =
{ \begin{array} { r l r l r l } { a _ { 1 } } & { = 1 , 4 4 8 . 9 6 , } & { a _ { 2 } } & { = 4 . 5 9 1 , } & { a _ { 3 } } & { = - 5 . 3 0 4 \times 1 0 ^ { - 2 } , } \\ { a _ { 4 } } & { = 2 . 3 7 4 \times 1 0 ^ { - 4 } , } & { a _ { 5 } } & { = 1 . 3 4 0 , } & { a _ { 6 } } & { = 1 . 6 3 0 \times 1 0 ^ { - 2 } , } \\ { a _ { 7 } } & { = 1 . 6 7 5 \times 1 0 ^ { - 7 } , } & { a _ { 8 } } & { = - 1 . 0 2 5 \times 1 0 ^ { - 2 } , } & { a _ { 9 } } & { = - 7 . 1 3 9 \times 1 0 ^ { - 1 3 } , } \end{array} }
C _ { m n } ( \phi ) \mid 0 \rangle = \tilde { D } _ { n m } ( \tilde { \phi } ) \mid 0 \rangle = i [ \tilde { \pi } _ { n } , F _ { m } ] \mid 0 \rangle = i [ \pi _ { m } , \tilde { F } _ { n } ] \mid 0 \rangle .
d _ { | s \rangle , | s ^ { \prime } \rangle , p } = \alpha _ { | s \rangle , | s ^ { \prime } \rangle , p } \sqrt { \frac { 2 J + 1 } { 2 J ^ { \prime } + 1 } } \langle J | | e \mathbf { r } | | J ^ { \prime } \rangle ,
\begin{array} { r l } & { a _ { 1 } = \frac { 1 } { \rho } \frac { { \partial \rho } } { { \partial x } } - { a _ { 2 } } U - { a _ { 3 } } V - { a _ { 4 } } W - \frac { 1 } { 2 } { a _ { 5 } } \left( { { { \vec { U } } ^ { 2 } } + \frac { 3 } { { 2 { \lambda _ { t } } } } } \right) - \frac { 1 } { 2 } { a _ { 6 } } \frac { { { K _ { r } } } } { { 2 { \lambda _ { r } } } } - { a _ { 7 } } \frac { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } { 4 \lambda _ { v } } , } \\ & { a _ { 2 } = \frac { \lambda _ { t } } { \rho } R _ { 1 } - a _ { 5 } U , } \\ & { a _ { 3 } = \frac { \lambda _ { t } } { \rho } R _ { 2 } - a _ { 5 } V , } \\ & { a _ { 4 } = \frac { \lambda _ { t } } { \rho } R _ { 3 } - a _ { 5 } W , } \\ & { a _ { 5 } = \frac { 4 \lambda _ { t } ^ { 2 } } { 3 \rho } \left( B - U R _ { 1 } - V R _ { 2 } - W R _ { 3 } \right) , } \\ & { a _ { 6 } = \frac { 4 \lambda _ { r } ^ { 2 } } { K _ { r } \rho } \left( \frac { 4 } { K _ { r } } \frac { \partial ( \rho E _ { r } ) } { \partial x } - \frac { 1 } { \lambda _ { r } } \frac { \partial \rho } { \partial x } \right) , } \\ & { a _ { 7 } = \frac { 4 e ^ { 2 \Theta _ { v } R \lambda _ { v } } \lambda _ { v } ^ { 2 } } { ( 4 \lambda _ { v } R \Theta _ { v } + K _ { v } ( \lambda _ { v } ) ) \rho } \left( \frac { 4 } { K _ { v } ( \lambda _ { V } ) } \frac { \partial ( \rho E _ { v } ) } { \partial x } - \frac { 1 } { \lambda _ { v } } \frac { \partial \rho } { \partial x } \right) , } \end{array}
\textstyle \frac { 1 } { N } \operatorname { A v g } \operatorname { T r } ( \hat { g } _ { i _ { 1 } } ^ { \dag } \hat { g } _ { i _ { 2 } } ) = \eta ^ { j - i _ { 1 } } \, \frac { 2 } { d ^ { 3 } ( m ^ { 2 } d + 1 ) } \, \operatorname { T r } ( \operatorname { T r } _ { 1 } ^ { 2 } \hat { h } ) + \mathcal { O } ( \eta ^ { L - i _ { 1 } } ) .
\begin{array} { r } { \operatorname { e r f c } ^ { - 1 } ( z ) \approx \operatorname { s g n } ( 1 - z ) \sqrt { \sqrt { ( \frac { 2 } { a \pi } + \frac { \ln z ( 2 - z ) } { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { \ln z ( 2 - z ) } { a } } - ( \frac { 2 } { a \pi } + \frac { \ln z ( 2 - z ) } { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { 2 } ( T ) = \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k + 1 } \left( 1 - e ^ { - \frac { \left( k ^ { 2 } + k + 1 \right) ( k _ { - } T ) } { k + 1 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \ensuremath { \mathbb P } } _ { p } [ \ensuremath { \mathcal I } ( D [ 1 / ( B p ^ { \alpha } ) ] ) ] \ge } & { p ^ { C ^ { 3 } + N W R | \ensuremath { \mathcal S } | } \prod _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \prod _ { u \in \ensuremath { \mathcal S } } \exp \left( \left( c ^ { i + 1 } - c ^ { i } \right) a _ { u } \log \left( 1 - e ^ { - p ^ { \alpha ( u ) } c ^ { i } } \right) \right) } \\ { \ge } & { e ^ { C \log ^ { 2 } ( 1 / p ) } \exp \left( \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { u \in \ensuremath { \mathcal S } } C c ^ { i } \log \left( 1 - e ^ { - p ^ { \alpha ( u ) } c ^ { i } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta _ { \mathrm { s } , \mathrm { R B B R } , n _ { \mathrm { t } } } \rangle } & { = - \frac { a } { 8 } \left[ \Psi ( 1 ) - \Psi ( 3 ) \right] } \\ & { + \frac { g } { 2 } \left( \frac { a } { 2 } - \frac { b } { a } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( 1 - g ) ^ { m - 1 } f _ { \Delta m , \mathrm { R B B R } , n _ { \mathrm { t } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { r _ { j } ^ { s p - n } \iint _ { U _ { j } } \, [ \texttt { w } _ { j } \varphi _ { j } ( \cdot , x , t ) ] _ { W ^ { s , p } ( B _ { j } ) } ^ { p } \, \mathrm { d } \mu _ { j } + \iiint _ { Q _ { j } } ( \texttt { w } _ { j } \varphi _ { j } ) ^ { p } \, \mathrm { d } \nu _ { j } } \\ & { } & { \qquad \le c \, \delta ^ { 1 - p } 2 ^ { j ( n + s p + p - 1 ) } \iiint _ { Q _ { j } } \omega _ { j } ^ { p } \, \mathrm { d } \nu _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o n s t } ~ \approx ~ \vec { L } ^ { 2 } ~ = ~ } & { ( \vec { r } \times \vec { p } ) ^ { 2 } ~ = ~ r ^ { 2 } \vec { p } _ { \perp } ^ { 2 } ~ = ~ m ^ { 2 } r ^ { 2 } \dot { \vec { r } } _ { \perp } ^ { 2 } } \\ { ~ = ~ } & { m ^ { 2 } r ^ { 4 } \left( \dot { \theta } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta ~ \dot { \phi } ^ { 2 } \right) ~ = ~ p _ { \theta } ^ { 2 } + \frac { p _ { \phi } ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \psi _ { s 0 } ^ { 2 } r _ { s } ^ { 2 } \left( \frac { d \phi _ { s } } { d \xi } \right) + \left[ 2 \delta d _ { s } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \delta } + \frac { d d _ { s } } { d \xi } \right] \frac { \psi _ { s 0 } ^ { 2 } r _ { s } ^ { 4 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K r o n } _ { 2 } } & { = \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \, \rho _ { \alpha \alpha } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \, \rho _ { \alpha \beta } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \, \rho _ { \beta \alpha } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \, \rho _ { \beta \beta } } \end{array}
d \mathbf { P } _ { m a x } ( N , N _ { 0 } ) = \frac { d } { d p } \mathbf { P } ( N , N _ { 0 } , p ) \bigg | _ { p = p _ { 0 } } = N \, \binom { N - 1 } { N _ { 0 } - 1 } p _ { 0 } ^ { N _ { 0 } - 1 } ( 1 - p _ { 0 } ) ^ { N - N _ { 0 } } \, ,
\begin{array} { r } { \mu _ { \infty } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = 0 } ^ { \infty } \left( f _ { h } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { h } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } \right) \right) \sum _ { i = 0 } ^ { K } \sum _ { k = K + 1 } ^ { \infty } \sigma _ { k } ^ { 2 } \leq \mu _ { \infty } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = 0 } ^ { \infty } \left( f _ { h } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { h } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } \right) \right) \sum _ { k = K + 1 } ^ { \infty } ( k + 1 ) \sigma _ { k } ^ { 2 } < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ( h ) } & { = } & { \operatorname* { m i n } _ { \Gamma } \, \mathrm { T r } _ { N } \left[ ( h + W ) \Gamma \right] } \\ { \& = } & { \operatorname* { m i n } _ { \gamma } \, \left[ \mathrm { T r } _ { 1 } [ h _ { 1 } \gamma ] + \operatorname* { m i n } _ { \Gamma \mapsto \gamma } \mathrm { T r } _ { N } [ W \Gamma ] \right] } \\ & { \equiv } & { \operatorname* { m i n } _ { \gamma } \, \left[ \mathrm { T r } _ { 1 } [ h _ { 1 } \gamma ] + \mathcal { F } ( \gamma ) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \ell ; N , S , J , M | T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , S ) e ^ { - 2 i q \phi } } & { { } | \ell ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , J ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
( A _ { n } ^ { + } ) _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } i \mathrm { ~ a n d ~ } i ^ { \prime } \mathrm { ~ h a v e ~ d i f f e r e n t ~ p a r i t y ~ a n d ~ } \sigma \cup \sigma ^ { \prime } \in Y , } \\ { - 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } i \mathrm { ~ a n d ~ } i ^ { \prime } \mathrm { ~ h a v e ~ s a m e ~ p a r i t y ~ a n d ~ } \sigma \cup \sigma ^ { \prime } \in Y , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { n } ^ { \gamma } } { \mathrm { d } s \mathrm { d } \phi } = - \frac { \alpha m } { 2 \pi } \left\{ A _ { 0 } ^ { 2 } ( n , x , y ) + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } \left[ 2 + \frac { s ^ { 2 } } { 1 - s } \right] \left[ A _ { 0 } ( n , x , y ) A _ { 2 } ( n , x , y ) - A _ { 1 } ^ { 2 } ( n , x , y ) \right] \right\}
\begin{array} { r } { | \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } a _ { i } \| _ { 2 } - \| ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } b _ { i } \| _ { 2 } | \leq \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } a _ { i } - ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } b _ { i } \| _ { 2 } \leq 1 0 0 \epsilon _ { 0 } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( A ) ^ { - 1 } \kappa ( A ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 2 2 } ^ { q } = S _ { 3 3 } ^ { q } = S _ { 4 4 } ^ { q } = } & { { } \left( 2 ( 1 - p ) ( 2 - p - R + ( 1 - p ) R ^ { 2 } ) + ( 1 - p ) ( p + R - ( 1 - p ) R ^ { 2 } ) \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigoplus _ { k = 1 } ^ { K } C ^ { k } ( \mathcal X ) = \mathrm { I m } \, \boldsymbol { \delta } \oplus \mathrm { k e r } \, \boldsymbol { L } \oplus \mathrm { I m } \, \boldsymbol { d } \, . } \end{array}
D _ { g \to H ( \lambda ) } ( z ) \; = \; \delta ( 1 - z ) { \frac { \pi \alpha _ { s } \mu ^ { 2 \epsilon } } { 3 2 ( N - 1 ) m _ { c } ^ { 4 } } } \; \left( \delta ^ { i j } - { \hat { z } } ^ { i } { \hat { z } } ^ { j } \right) \langle \chi ^ { \dagger } \sigma ^ { j } T ^ { a } \psi \, { \cal P } _ { H ( \lambda ) } \, \psi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } T ^ { a } \chi \rangle .
\Hat { H } = \sum _ { p q } h _ { q } ^ { p } \Hat { p } ^ { \dag } \Hat { q } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { p q r s } v _ { r s } ^ { p q } \Hat { p } ^ { \dag } \Hat { q } ^ { \dag } \Hat { s } \Hat { r } ,
\mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\int _ { \epsilon / \tilde { \delta } } ^ { 1 } \frac { A _ { 1 } } { u - u _ { 1 } } d u = \frac { u _ { 1 } \log ( 1 + u _ { 1 } ) } { 3 u _ { 1 } ^ { 2 } + 1 + a ( \epsilon ^ { 2 } ) } - \frac { u _ { 1 } \log ( \epsilon ( 1 / \tilde { \delta } - u _ { 1 } / \epsilon ) ) } { 3 u _ { 1 } ^ { 2 } + 1 + a ( \epsilon ^ { 2 } ) } = - u _ { 1 } \log \epsilon + R ( \epsilon , \tilde { \delta } ) ,
{ \frac { 1 } { 2 } } F _ { \Lambda } ^ { a b } + { L _ { \Lambda } } ^ { 3 } G ^ { - a b } + { L _ { \Lambda } } ^ { i } G _ { i } ^ { + a b } + { ( L ^ { - 1 } ) _ { 3 } } ^ { \Pi } J _ { \Pi \Lambda } G ^ { + a b } - { ( L ^ { - 1 } ) _ { i } } ^ { \Pi } J _ { \Pi \Lambda } G ^ { i - a b } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| \nabla f ( \widetilde x ^ { \mathrm { o u t } } ) \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \ O \left( \frac { L + K \zeta + \frac { \sqrt { K } } { \sqrt { b } } L } { K R } \right) + \widetilde O \left( \frac { K \sqrt { T } L \sigma _ { 2 } \sqrt { d } + \sqrt { K } L \sigma _ { 3 } \sqrt { d } } { K R } + \frac { R G ^ { 2 } d } { T n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { \ O \left( \frac { \frac { L } { K } + \zeta + \frac { L } { \sqrt { K b } } } { R } \right) + \widetilde O \left( \frac { \sqrt { T } L \sigma _ { 2 } \sqrt { d } + \frac { L \sigma _ { 3 } \sqrt { d } } { \sqrt { K } } } { R } + \frac { R G ^ { 2 } d } { T n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { \ O \left( \frac { \frac { L } { K } + \zeta + \frac { L } { \sqrt { K b } } } { R } \right) + \widetilde O \left( \frac { \frac { \sqrt { T R } L \sqrt { d } } { n _ { \mathrm { m i n } } P \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } + \frac { L \sqrt { R } \sqrt { d } } { n _ { \mathrm { m i n } } \sqrt { P } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } + \frac { L \sqrt { d } } { \sqrt { K } b \sqrt { \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } } } { R } + \frac { R G ^ { 2 } d } { T n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { \ \left( O \left( \frac { L } { K } + \zeta + \frac { L } { \sqrt { K } b } \right) + \widetilde O \left( \frac { L \sqrt { d } } { \sqrt { K } b \sqrt { \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } } \right) \right) \frac { 1 } { R } + \widetilde O \left( \frac { \sqrt { T } L \sqrt { d } } { n _ { \mathrm { m i n } } P \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } + \frac { L \sqrt { d } } { n _ { \mathrm { m i n } } \sqrt { P } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } \right) \frac { 1 } { \sqrt { R } } + \widetilde O \left( \frac { R G ^ { 2 } d } { T n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { { \mathcal E } _ { \phi } ( m , n ) } ^ { - 1 } = C _ { Y Y _ { \varphi } ( m , n ) } \sum _ { i = 0 } ^ { 1 5 } p _ { i } ( m , n ) \mathrm { s g n } \left[ q _ { i } ( m , n ) \right] R _ { P _ { i } } , } \end{array}
u _ { r } = U ^ { 1 } \frac { r _ { i + 1 } - r _ { i - 1 } } { 2 \overline { { \triangle } } _ { r } } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } u _ { \theta } = U ^ { 2 } \frac { \sin \triangle _ { \theta } } { \overline { { \triangle } } _ { r } } r _ { i } .
\begin{array} { r } { \sum _ { i } \left| \frac { \tilde { \nu } ( E _ { i } - x ) } { M \tilde { \mu } ( x ) } \right| ^ { 2 } | \langle E _ { i } | \psi \rangle | ^ { 2 } = \sum _ { i } p _ { i } \frac { \nu ( E _ { i } - x ) } { | M | ^ { 2 } \mu ( x ) } = \frac { ( p \ast \nu ) ( x ) } { | M | ^ { 2 } \mu ( x ) } . } \end{array}
\frac { \partial p } { \partial t } + \frac { E _ { 0 } } { W A } \left( m \alpha ^ { m } - n \alpha ^ { n } \right) \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } = - \frac { 1 } { \tau _ { r } } \left( p - p _ { 0 } \right) .
\phi _ { 3 } \, = \, \sum _ { m = 0 } ^ { 3 } \mathrm { B S } _ { m } [ \eta _ { 3 - m } ] \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \, L \eta _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } \Bigl ( ( \beta _ { \epsilon } + L ) P _ { m } + Q _ { m } \Bigr ) \eta _ { 3 - m } \, ,
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { t r d } } } & { \approx \frac { 1 } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ( F ) } \left( \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \right) \left( \frac { \alpha \Gamma ( \alpha / 2 ) } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \right) ^ { 2 \alpha / 3 } \left( \sqrt { \frac { B ( F ) } { 2 } } \frac { 4 L } { A ( F ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 \alpha / 3 } \propto \frac { \left[ ( L / b ) \cosh ( q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ) \right] ^ { 2 \alpha / 3 } } { \gamma _ { \mathrm { r } } \left[ \sinh ( q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ) \right] ^ { 4 \alpha / 3 } } } \\ & { \propto ( L / b ) ^ { 2 \alpha / 3 } \left[ 2 k _ { \mathrm { B } } T / ( q F b ) \right] ^ { 4 \alpha / 3 } / \gamma _ { \mathrm { r } } \mathrm { ~ f o r ~ } q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) < 1 . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \mu ( B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } \leq \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } < + \infty .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { v } } & { = r { \frac { d \mathbf { u } _ { r } } { d t } } } \\ & { = r { \frac { d } { d t } } \left( \cos \theta \ { \hat { \mathbf { i } } } + \sin \theta \ { \hat { \mathbf { j } } } \right) } \\ & { = r { \frac { d \theta } { d t } } { \frac { d } { d \theta } } \left( \cos \theta \ { \hat { \mathbf { i } } } + \sin \theta \ { \hat { \mathbf { j } } } \right) } \\ & { = r { \frac { d \theta } { d t } } \left( - \sin \theta \ { \hat { \mathbf { i } } } + \cos \theta \ { \hat { \mathbf { j } } } \right) } \\ & { = r { \frac { d \theta } { d t } } \mathbf { u } _ { \theta } } \\ & { = \omega r \mathbf { u } _ { \theta } } \end{array} }
\begin{array} { l } { { { \Gamma ^ { m } } _ { \alpha \beta } \equiv \left[ \left( \begin{array} { c c } { { - \tilde { \Gamma } ^ { M \, A B } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { { \Gamma ^ { M } } _ { A B } } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { { \bf 1 } _ { 1 6 } } } \\ { { { \bf 1 } _ { 1 6 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \right] , } } \\ { { \tilde { \Gamma } ^ { m \, \alpha \beta } \equiv \left[ \left( \begin{array} { c c } { { { \Gamma ^ { M } } _ { A B } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \tilde { \Gamma } ^ { M \, A B } } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - { \bf 1 } _ { 1 6 } } } \\ { { - { \bf 1 } _ { 1 6 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \nabla _ { \epsilon } \nabla _ { \varepsilon } \phi \right) ^ { 2 } \equiv \nabla _ { \epsilon } \nabla _ { \varepsilon } \phi \nabla ^ { \varepsilon } \nabla ^ { \epsilon } \phi } \\ & { \left( \nabla _ { \epsilon } \nabla _ { \varepsilon } \phi \right) ^ { 3 } \equiv \nabla _ { \epsilon } \nabla _ { \varepsilon } \phi \nabla ^ { \varepsilon } \nabla ^ { \rho } \phi \nabla _ { \rho } \nabla ^ { \epsilon } \phi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \gamma } { \partial t } } & { = } & { \beta \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \gamma } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \gamma } { \partial z ^ { 2 } } } \right) - \alpha \tau \left( { \frac { \partial U } { \partial x } \frac { \partial A } { \partial x } - \frac { \partial U } { \partial z } \frac { \partial A } { \partial z } } \right) } \\ & { } & { + \beta \tau \left( { \frac { \partial U } { \partial x } \frac { \partial B } { \partial x } - \frac { \partial U } { \partial z } \frac { \partial B } { \partial z } } \right) - \gamma \tau \left[ { \left( { \frac { \partial U } { \partial x } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \partial U } { \partial z } } \right) ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { Z ( \lambda _ { k + 1 } ) } { Z ( \lambda _ { k } ) } = \frac { \sum _ { C \subseteq A } \lambda _ { k + 1 } ^ { N _ { C } } ( 1 - \lambda _ { k + 1 } ) ^ { N _ { A } - N _ { C } } Z _ { C } } { \sum _ { C \subseteq A } \lambda _ { k } ^ { N _ { C } } ( 1 - \lambda _ { k } ) ^ { N _ { A } - N _ { C } } Z _ { C } } } \\ & { = \frac { \sum _ { C \subseteq A } \left( \frac { \lambda _ { k + 1 } } { \lambda _ { k } } \right) ^ { N _ { C } } \left( \frac { 1 - \lambda _ { k + 1 } } { 1 - \lambda _ { k } } \right) ^ { N _ { A } - N _ { C } } \lambda _ { k } ^ { N _ { C } } \left( 1 - \lambda _ { k } \right) ^ { N _ { A } - N _ { C } } Z _ { C } } { \sum _ { C \subseteq A } \lambda _ { k } ^ { N _ { C } } \left( 1 - \lambda _ { k } \right) ^ { N _ { A } - N _ { C } } Z _ { C } } } \\ & { = \langle \left( \frac { \lambda _ { k + 1 } } { \lambda _ { k } } \right) ^ { N _ { C } } \left( \frac { 1 - \lambda _ { k + 1 } } { 1 - \lambda _ { k } } \right) ^ { N _ { A } - N _ { C } } \rangle _ { \lambda _ { k } } . } \end{array}
\mathrm { c o m p r e s s i b l e : \quad } \partial _ { \eta } \dot { \mathbf { W } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) \vert _ { \eta = 0 } = \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { u u \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } & { \partial _ { v u \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } \\ { \partial _ { u v \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } & { \partial _ { v v \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } \end{array} \right) ,
\mathbf { M } ( x ) = \left( \mathbf { M } _ { + } - \mathbf { M } _ { - } \right) \left( \frac { \operatorname { t a n h } \left( \frac { x } { T / 2 } \right) - \operatorname { t a n h } \left( \frac { x _ { - } } { T / 2 } \right) } { \operatorname { t a n h } \left( \frac { x _ { + } } { T / 2 } \right) - \operatorname { t a n h } \left( \frac { x _ { - } } { T / 2 } \right) } - \frac { 1 } { 2 } \right) + \frac { \mathbf { M } _ { + } + \mathbf { M } _ { - } } { 2 }