harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c } { { \displaystyle \left\langle \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , . . . , \alpha _ { 2 N } , t \right| U _ { + } \left| \alpha _ { 1 } ^ { \prime } , \alpha _ { 2 } ^ { \prime } , . . . , \alpha _ { 2 N } ^ { \prime } , t \right\rangle = _ { i n } \left\langle \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , . . . , \alpha _ { 2 N } \right| \left. \alpha _ { 1 } ^ { \prime } , \alpha _ { 2 } ^ { \prime } , . . . , \alpha _ { 2 N } ^ { \prime } \right\rangle _ { o u t } = } } \\ { { = _ { i n } \left\langle \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } \right. \left| \alpha _ { 1 } ^ { \prime } , \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \right\rangle _ { o u t } . . . _ { i n } \left\langle \alpha _ { 2 N - 1 } , \alpha _ { 2 N } \right. \left| \alpha _ { 2 N - 1 } ^ { \prime } , \alpha _ { 2 N } ^ { \prime } \right\rangle _ { o u t } = } } \\ { { = \prod _ { i = 1 , . . . , N } S _ { ( \alpha _ { 2 i - 1 } , \alpha _ { 2 i } ) _ { i n } , ( \alpha _ { 2 i - 1 } ^ { \prime } , \alpha _ { 2 i } ^ { \prime } ) _ { o u t } } ^ { \dagger } } } \end{array}
\tilde { K } = K _ { 0 } + \partial _ { e } K _ { 0 } A ^ { - 1 } \bar { \sigma } + K _ { p } p + K _ { \varphi } \varphi \; , \quad \tilde { K } ^ { \prime } = K _ { p } p ^ { \prime } + K _ { \varphi } \varphi ^ { \prime } \; ,
Z _ { C } [ J , \zeta , \bar { \zeta } ] = \int { \cal D } A _ { \mu } { \cal D } \psi { \cal D } \bar { \psi } \delta \left( \partial _ { \mu } A ^ { \mu } - C ( x ) \right) d e t { \cal M } _ { L } e ^ { i S + i \int d x ( J ^ { \mu } A _ { \mu } + \bar { \psi } \zeta + \bar { \zeta } \psi ) } .
\int _ { \Omega } - \left( \sigma _ { x x } ^ { o } t e s t ( u _ { x } ) + \sigma _ { x y } ^ { o } t e s t ( u _ { y } ) + \sigma _ { y x } ^ { o } t e s t ( v _ { x } ) + \sigma _ { y y } ^ { o } t e s t ( v _ { y } ) \right)
f _ { \gamma / q } ( x ) = \frac { e _ { q } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 + ( 1 - x ) ^ { 2 } } { x } \log \frac { t _ { \mathrm { { m a x } } } } { t _ { \mathrm { { m i n } } } } .
\begin{array} { r l } { P ( } & { \Delta t _ { k } | \lambda ) = \Bigg [ \sum _ { n = 0 } ^ { N } \frac { \lambda } { 2 } \mathrm { e r f c } \left( \frac { \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k } - n T + \lambda \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { I R F } } \sqrt { 2 } } \right) } \\ { \times } & { \exp \left( \frac { \lambda } { 2 } \left( 2 ( \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k } - n T ) + \lambda \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } \right) \right) \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { \mathrm { e } } = 1 \, \mathrm { e V ^ { 2 } } , } & { { } } & { w _ { \mathrm { f } } = 0 . 0 1 \, \mathrm { ( e V / \mathrm { ~ \ A A ~ } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\tan \theta _ { 1 3 } ^ { \nu } = \frac { B } { \sqrt { 2 } } - \frac { B } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { B ^ { 2 } \kappa } { B ^ { 2 } + 2 } \right) \epsilon \, .
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { u } } & { { } \sim } & { \frac { U ^ { 3 } } { d } \mathrm { R a } ^ { - 0 . 2 } , } \\ { \epsilon _ { T } } & { { } \sim } & { \frac { U ( T _ { b } - T _ { t } ) ^ { 2 } } { d } \mathrm { R a } ^ { - 0 . 2 } . } \end{array}
u _ { 2 } = - \frac { h } { H } \ v \ e ^ { - \frac { x _ { 1 } } { R } } \cos { \left( k ( x _ { 2 } + v t ) + \phi _ { 0 } \right) } , \qquad \eta = h \ e ^ { - \frac { x _ { 1 } } { R } } \cos { \left( k ( x _ { 2 } + v t ) + \phi _ { 0 } \right) } ,
E ( \mathbf { x , } t ) \equiv \exp \left( - \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { x _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { t ^ { 2 } } { 2 \tau _ { c } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { c c } { i g \beta - t } & { i g \beta ^ { - 1 } - t } \\ { t \beta ^ { L + 1 } } & { t \beta ^ { - ( L + 1 ) } } \end{array} \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \Big ( \| \widetilde { \sigma } _ { A } - \mathbb { E } [ \widetilde { \sigma } _ { A } ] \| _ { 1 } \ge s \Big ) \le 2 ^ { r + 1 } \, \exp \left( \frac { - t s ^ { 2 } / 2 ^ { 2 r + 1 } } { 3 ^ { r } + ( 2 ^ { r } + 1 ) s / ( 3 . 2 ^ { r } ) } \right) \le 2 ^ { r + 1 } \, \exp \Big ( \frac { - 3 t s ^ { 2 } } { 8 . 1 2 ^ { r } } \Big ) \, . } \end{array}
F ^ { \Lambda } = { \cal F } ^ { \Lambda } \, + \, L ^ { \Lambda } \bar { \psi } ^ { A } \wedge \psi ^ { B } \, \epsilon _ { A B } \, + \, \bar { L } ^ { \Lambda } \bar { \psi } _ { A } \wedge \psi _ { B } \, \epsilon ^ { A B }
\begin{array} { r } { i \partial _ { t } \psi = \hat { H } _ { \perp } \psi , ~ ~ ~ \hat { H } _ { \perp } = \frac { \left[ \hat { \vec { p } } _ { \perp } - e \vec { A } ( t ) \right] ^ { 2 } } { 2 m } . } \end{array}
\mu _ { \varepsilon } \left( f \right) : = \frac { \int _ { \left[ - 1 , 1 \right] } \lambda _ { \varepsilon } \left( d \eta \right) \int _ { \mathcal { M } } \nu _ { 2 } ^ { \varepsilon } \left( d x \right) \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \eta } \left( x \right) } d s } { \int \nu _ { 2 } ^ { \varepsilon } \left( d x \right) \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \left( 1 - F _ { \tau } ^ { \varepsilon } \left( s ; x \right) \right) \right] } f \circ \Phi _ { \eta } ^ { s } \left( x \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { c } } & { { } = \underbrace { \sum _ { \lambda , k } ^ { 2 N _ { c } } \left( \frac { \hat { p } _ { \lambda k } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \omega _ { k } ^ { 2 } } { 2 } x _ { \lambda k } ^ { 2 } \right) } _ { = \hat { T } _ { c } + V _ { c } ( \underline { { x } } ) } \quad , } \end{array}
\dot { \varrho } _ { \mathrm { p h } } = - \frac { i } { \hbar } [ \tilde { H } _ { \mathrm { p h } } , \varrho _ { \mathrm { p h } } ] , \quad \dot { \varrho } _ { \mathrm { e l } } = - \frac { i } { \hbar } [ \tilde { H } _ { \mathrm { e l } } , \varrho _ { \mathrm { e l } } ] + \mathcal { L } [ \varrho _ { \mathrm { e l } } ]
\alpha ( k , q ) = \frac { 2 g ( k , q ) } { M \left( \Delta _ { k , q } ^ { 2 } - \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) \right) } \mathrm { ~ , ~ \quad ~ } \beta ( k , q ) = \frac { 2 g ( k , q ) \Delta _ { k , q } } { \left( \Delta E _ { k , q } ^ { 2 } - \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) \right) } \mathrm { ~ , ~ \quad ~ w ~ i ~ t ~ h ~ \quad ~ } \Delta E _ { k , q } = \frac { \Delta E _ { k } + \Delta E _ { k + q } } { 2 } .
\begin{array} { r } { \varphi \left( s \right) = \frac { N \lvert \textbf { F } _ { \mathrm { e x t } } ^ { * } \rvert } { L ^ { * 2 } \left( 1 - e ^ { - \lvert \textbf { F } _ { \mathrm { e x t } } ^ { * } \rvert L ^ { * } } \right) } e ^ { - \lvert \textbf { F } _ { \mathrm { e x t } } ^ { * } \rvert s } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { B ^ { \mathrm { T } } U _ { 1 } } \\ { \Sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \Gamma _ { 1 } ^ { \mathrm T } } \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array} { c } { H _ { 2 } H _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } ( B ^ { \mathrm { T } } U _ { 1 } ) } \\ { \Sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \Gamma _ { 1 } ^ { \mathrm T } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { U _ { 2 } } & \\ & { V _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \Gamma _ { 2 } } \\ { \Sigma _ { 2 } } \end{array} \right] Y _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } .
\begin{array} { r l } { \left< \mathcal O \left[ \Psi ^ { ( m ) } \right] \right> _ { \Gamma } = } & { \frac { \int \mathcal O \left[ \Psi ^ { ( m ) } \right] e x p \left[ - \left( S ^ { m } [ \Psi ^ { ( m ) } ] \right) / \hbar \right] \, D \left[ \Psi \right] } { \int e x p \left[ - \left( S ^ { m } [ \Psi ^ { ( m ) } ] \right) / \hbar \right] \, D \left[ \Psi \right] } } \end{array}
[ x ] [ y ] = \big [ \operatorname* { m i n } \big ( \underline { { x } } \underline { { y } } , \underline { { x } } \overline { { y } } , \overline { { x } } \underline { { y } } , \overline { { x } } \overline { { y } } \big ) , \operatorname* { m a x } \big ( \underline { { x } } \underline { { y } } , \underline { { x } } \overline { { y } } , \overline { { x } } \underline { { y } } , \overline { { x } } \overline { { y } } \big ) \big ] .
\begin{array} { r l } { G ( \bar { \xi } ) } & { { } = \big ( 1 - h ( \bar { \xi } ) \big ) G ^ { \mathrm { ~ S ~ E ~ } } + h ( \bar { \xi } ) G ^ { \mathrm { ~ M ~ } } , } \\ { K ( \bar { \xi } ) } & { { } = \big ( 1 - h ( \bar { \xi } ) \big ) K ^ { \mathrm { ~ S ~ E ~ } } + h ( \bar { \xi } ) K ^ { \mathrm { ~ M ~ } } , } \end{array}
\kappa = \frac { - 4 \pi g M _ { 0 } \phi _ { 0 } } { Y _ { 0 } ( \omega R / c ) J _ { 1 } ( \sqrt { \varepsilon } \omega R / c ) - \sqrt { \varepsilon } J _ { 0 } ( \sqrt { \varepsilon } \omega R / c ) Y _ { 1 } ( \omega R / c ) } \, .
\begin{array} { r l } { n } & { = M _ { 0 } , } \\ { \mathbf { u } } & { = \frac { \mathbf { M } _ { 1 } } { M _ { 0 } } , } \\ { \frac { k _ { B } } { m } T } & { = \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } _ { 2 } } { M _ { 0 } } - \frac { | \mathbf { M } _ { 1 } | ^ { 2 } } { M _ { 0 } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\mathcal K _ { \mathcal Q ^ { ( \mathfrak l , \mathfrak l ^ { \prime } ) } } = ( \mathcal K _ { \mathcal Q ^ { ( \mathfrak l , \mathfrak l ^ { \prime } ) } } ) _ { \mathrm { a p p } } + \mathscr R _ { \mathcal Q ^ { ( \mathfrak l , \mathfrak l ^ { \prime } ) } } , \quad \mathcal K _ { \mathcal T ^ { ( \mathfrak m ) } } ^ { * } = ( \mathcal K _ { \mathcal T ^ { ( \mathfrak m ) } } ^ { * } ) _ { \mathrm { a p p } } + \mathscr R _ { \mathcal T ^ { ( \mathfrak m ) } } ^ { * } ,
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( z ) = \frac { e ^ { i k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ( z - z _ { \ell } ) } } { - i k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ( z - z _ { \ell } ) } \, S _ { \ell } ( 0 ) \vec { E } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ e ~ } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { N } ( \nu ) } & { { } \approx \frac { 8 \pi ( \nu ^ { 2 } + 2 \nu \Delta \nu ) } { c ^ { 3 } } \, \frac { 1 } { \exp ( u ( 1 + \frac { \Delta \nu } { \nu } ) ) - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { m ^ { \prime } m } } & { { } = } & { \binom { \bar { k } _ { m a x } } { m } ^ { - 1 } \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \bar { k } _ { m a x } } \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { \bar { k } _ { m a x } } \sum _ { n _ { 3 } = 0 } ^ { \bar { k } _ { m a x } } \sum _ { n _ { 4 } = 0 } ^ { \bar { k } _ { m a x } } \delta ( n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } + n _ { 4 } , { \bar { k } _ { m a x } } ) \delta ( n _ { 3 } + n _ { 4 } , m ) \delta ( n _ { 2 } + n _ { 4 } , m ^ { \prime } ) \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } v _ { 0 1 } } & { { } = \boldsymbol { w } _ { 0 \dag } M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } = i B _ { 0 } \ell ^ { \prime } [ 1 + \ell ^ { 2 } + \Delta \eta ^ { - 2 } ( B _ { 0 } ^ { 2 } - \nu \eta - 2 \eta ^ { 2 } ) ] v _ { 0 4 } , } \\ { p _ { 1 } v _ { 0 4 } } & { { } = \boldsymbol { w } _ { 0 \ddag } M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } = i B _ { 0 } \ell ^ { \prime } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ^ { - 1 } v _ { 0 1 } . } \end{array}
\stackrel { \wedge } { h } \left( x + \frac { 2 \pi } { \omega } \, , \cosh \frac { i } { 2 } \frac { d } { d x } \right) = \stackrel { \wedge } { h } \left( x \, , \cosh \frac { i } { 2 } \frac { d } { d x } \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \frac { \partial \rho v } { \partial x } = 0 , } \\ & { \frac { \partial \rho v } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } \left( \rho v ^ { 2 } + p + \Pi - \sigma \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { 1 } { 2 } \rho v ^ { 2 } + \rho \varepsilon \right) + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \left( \frac { 1 } { 2 } \rho v ^ { 2 } + \rho \varepsilon + p + \Pi - \sigma \right) v + q \right\} = 0 , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \left\{ \rho v ^ { 2 } + 3 ( p + \Pi ) \right\} + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \left[ \rho v ^ { 2 } + 5 ( p + \Pi ) - 2 \sigma \right] v + 2 Q \right\} = - 3 \left( \frac { \Pi _ { 1 } } { \tau _ { 1 } } + \frac { \Pi _ { 2 } } { \tau _ { 2 } } \right) , } \\ & { \frac { \partial \rho _ { 1 } } { \partial t } + \frac { \partial \rho _ { 1 } v _ { 1 } } { \partial x } = 0 , } \\ & { \frac { \partial \rho _ { 1 } v _ { 1 } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \rho _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 1 } + \Pi _ { 1 } \right\} = \hat { m } _ { 1 } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \rho _ { 1 } \varepsilon _ { 1 } \right) + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \left[ \rho v _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \rho _ { 1 } \varepsilon _ { 1 } + 2 p _ { 1 } + 2 \Pi _ { 1 } \right] v _ { 1 } \right\} = 2 ( \hat { e } _ { 1 } + \hat { m } _ { 1 } v ) , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \left\{ \rho _ { 1 } ( v _ { 1 } ) ^ { 2 } + 3 ( p _ { 1 } + \Pi _ { 1 } ) \right\} + \frac { \partial } { \partial x } \left\{ \left[ \rho _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + 5 ( p _ { 1 } + \Pi _ { 1 } ) \right] v _ { 1 } \right\} = - \frac { 3 \Pi _ { 1 } } { \tau _ { 1 } } + 2 ( \hat { \omega } _ { 1 } + \hat { m } _ { 1 } v ) , } \end{array}
s _ { \mathbf { a } } = k _ { \mathrm { B } } \left[ n _ { \mathbf { a } } \log n _ { \mathbf { a } } + ( 1 - n _ { \mathbf { a } } ) \log ( 1 - n _ { \mathbf { a } } ) \right] / n _ { \mathbf { a } } .
\hat { \Phi } ( x ^ { 0 } , x ^ { 1 } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { 0 ^ { + } } ^ { \infty } d k ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { k ^ { 1 } } } \left[ \hat { \Lambda } ( k ^ { 1 } ) \, e ^ { - i k ^ { 1 } ( x ^ { 0 } + x ^ { 1 } ) } \, \, + \, \, \hat { \Lambda } ^ { \dagger } ( k ^ { 1 } ) \, e ^ { i k ^ { 1 } ( x ^ { 0 } + x ^ { 1 } ) } \right] ,
g ( \boldsymbol { \kappa , \lambda , \mu , \nu } ) = \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { u , v , w , z , x } } \mathcal { L } ( \{ \mathbf { u , v , w , z , x } \} , \{ \boldsymbol { \kappa , \lambda , \mu , \nu } \} )
\begin{array} { r l r } { f ( { \bf x } ) } & { \! = \! } & { { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } \exp \Big [ \! - { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } \\ & { } & { \times \left( 1 - { \frac { 1 } { 2 } } B _ { i j k } \, C _ { i j } ^ { - 1 } C _ { k l } ^ { - 1 } \, x _ { l } + { \frac { 1 } { 6 } } B _ { i j k } \, C _ { i l } ^ { - 1 } C _ { j m } ^ { - 1 } C _ { k n } ^ { - 1 } \, x _ { l } x _ { m } x _ { n } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( 2 M ) > 0 } & { \Rightarrow 2 L ( S + 1 ) \log ( 2 M ) + 4 C _ { n , 2 } M ^ { 2 } + \log ( \eta / C _ { 3 } ) - C _ { 6 } - \log ( n ) > 0 } \\ & { \Rightarrow C _ { n , 2 } - \frac { \log ( n ) } { 4 M ^ { 2 } } > \frac { 1 } { 4 M ^ { 2 } } \left( C _ { 6 } - 2 L ( S + 1 ) \log ( 2 M ) - \log ( \eta / C _ { 3 } ) \right) } \end{array}
l A _ { u } = b ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { L / k } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) b , \ \ l \psi _ { u } = b ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { { Q / k } } \\ { { 0 } } \end{array} \right)
\operatorname { G } _ { \kappa } = 1 - { \frac { \alpha + \kappa } { \alpha + { \frac { 1 } { 2 } } \kappa } } { \frac { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { \kappa } } - { \frac { 1 } { 2 \alpha } } { \Big ) } } { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { \kappa } } + { \frac { 1 } { 2 \alpha } } { \Big ) } } } { \frac { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { 1 } { 2 \alpha } } { \Big ) } } { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { 1 } { 2 \alpha } } { \Big ) } } }
\begin{array} { r l } { \left\Vert \int _ { 0 } ^ { s } d \tau \int _ { \mathbb R _ { + } } d v P _ { t - \tau } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , v ) \mathcal Z _ { \tau } ( v ) \xi ( \tau , v ) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { s } d \tau \int _ { \mathbb R _ { + } } d v P _ { t - \tau } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , v ) ^ { 2 } \mathbb E \left[ \mathcal Z _ { \tau } ( v ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leqslant C \int _ { 0 } ^ { s } d \tau \int _ { \mathbb R _ { + } } d v P _ { t - \tau } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , v ) ^ { 2 } d P _ { \tau } ( v , 0 ) ^ { 2 } } \\ & { = C \int _ { 0 } ^ { s } d \tau G _ { t } ( \tau ) } \\ & { \leqslant C \sqrt { \frac { t } { t - s } } \int _ { 0 } ^ { s } d \tau \frac { 1 } { \sqrt { \tau } } \, d P _ { t } ( u , 0 ) ^ { 2 } } \\ & { \leqslant C \sqrt { \frac { s t } { t - s } } \, d P _ { t } ( u , 0 ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \left| i { \lambda } ^ { 1 - \ell } \int _ { 0 } ^ { l _ { 1 } } e _ { 7 } ( s ) G ^ { 2 } ( s ) d s \right| \leq \left| \frac { i { \lambda } ^ { 1 - \ell } b _ { + } b _ { - } G ^ { 2 } ( l _ { 1 } ) } { \varkappa _ { - } \varkappa _ { + } ( b _ { + } - b _ { - } ) } \left[ \frac { \varkappa _ { + } } { \varkappa _ { - } } \cos ( l _ { 1 } \varkappa _ { - } ) - \frac { \varkappa _ { - } } { \varkappa _ { + } } \cos ( l _ { 1 } \varkappa _ { + } ) \right] \right| } \\ { \displaystyle + \left| \frac { i { \lambda } ^ { 1 - \ell } b _ { + } b _ { - } } { \varkappa _ { - } \varkappa _ { + } ( b _ { + } - b _ { - } ) } \int _ { 0 } ^ { l _ { 1 } } \left[ \frac { \varkappa _ { + } } { \varkappa _ { - } } \cos ( s \varkappa _ { - } ) - \frac { \varkappa _ { - } } { \varkappa _ { + } } \cos ( s \varkappa _ { + } ) \right] G _ { s } ^ { 2 } ( s ) d s \right| \leq o ( { \lambda } ^ { - ( 1 + \ell ) } ) , } \\ { \displaystyle \left| i { \lambda } ^ { 1 - \ell } \int _ { 0 } ^ { l _ { 1 } } e _ { 8 } ( s ) G ^ { 4 } ( s ) d s \right| \leq \left| \frac { i { \lambda } ^ { 1 - \ell } G ^ { 4 } ( l _ { 1 } ) } { \varkappa _ { - } \varkappa _ { + } ( b _ { + } - b _ { - } ) } \left[ b _ { + } \frac { \varkappa _ { - } } { \varkappa _ { + } } \cos ( l _ { 1 } \varkappa _ { + } ) - b _ { - } \frac { \varkappa _ { + } } { \varkappa _ { - } } \cos ( l _ { 1 } \varkappa _ { - } ) \right] \right| } \\ { \displaystyle + \left| \frac { i { \lambda } ^ { 1 - \ell } } { \varkappa _ { - } \varkappa _ { + } ( b _ { + } - b _ { - } ) } \int _ { 0 } ^ { l _ { 1 } } \left[ b _ { + } \frac { \varkappa _ { - } } { \varkappa _ { + } } \cos ( s \varkappa _ { + } ) - b _ { - } \frac { \varkappa _ { + } } { \varkappa _ { - } } \cos ( s \varkappa _ { - } ) \right] G _ { s } ^ { 4 } ( s ) d s \right| \leq o ( { \lambda } ^ { - ( 1 + \ell ) } ) . } \end{array}
\mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } ^ { \prime } > \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \{ \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } , + } ^ { \prime } , \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } , - } ^ { \prime } \}
\langle f ( x _ { I } , y , z _ { K } ) g ( x _ { I } , y , z _ { K } ) \rangle = \langle f g \rangle ( y ) = \sum _ { n _ { x } , n _ { z } } \Re \langle \tilde { f } ( n _ { x } , y , n _ { z } ) \tilde { g } ^ { * } ( n _ { x } , y , n _ { z } ) \rangle
\begin{array} { r l } { 0 \; \rightarrow \; K _ { 1 } \rightarrow { } } & { { } A _ { 1 } \; \rightarrow \; K _ { 2 } \; \rightarrow \; 0 \; , } \\ { \vdots \, \, \, \, } \\ { 0 \; \rightarrow \; K _ { n - 1 } \rightarrow { } } & { { } A _ { n - 1 } \rightarrow \; K _ { n } \; \rightarrow \; 0 \; , } \\ { 0 \; \rightarrow K _ { n } \rightarrow { } } & { { } A _ { n } } \end{array}
\eta _ { j } ^ { i } E ^ { j } = \chi _ { j } ^ { i } E ^ { j } = \tilde { E } ^ { i } \, , \ \ \ \ \, e t a _ { j } ^ { i } \, \tilde { \varepsilon } _ { i } = \chi _ { j } ^ { i } \, \tilde { \varepsilon } _ { i } = \varepsilon _ { j } \, ,
\begin{array} { r l } { N } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } N _ { i } = N _ { 1 } - \lambda _ { 2 } N _ { 1 } + \lambda _ { 2 } N _ { 2 } - \lambda _ { 3 } N _ { 1 } + \dots - \lambda _ { n } N _ { 1 } + \lambda _ { n } N _ { n } } \\ & { = [ N _ { 1 } , \lambda _ { 2 } N _ { 1 } , \lambda _ { 2 } N _ { 2 } , \lambda _ { 3 } N _ { 1 } , \dots , \lambda _ { n } N _ { 1 } , \lambda _ { n } N _ { n } ] , } \end{array}
{ \cal L } ^ { ( 2 ) } ( \vec { x } , \eta ) = \frac { 1 } { 2 } \biggl [ { \psi ^ { \prime } } ^ { 2 } - 2 { \cal H } \psi \psi ^ { \prime } + { \cal H } ^ { 2 } \psi ^ { 2 } - ( \partial _ { i } \psi ) ^ { 2 } \biggr ] .
\varepsilon _ { \alpha } ^ { \pm } ( { { q } _ { x } } ) = \varepsilon _ { a p p } ^ { \pm } ( { { q } _ { x } } ) \exp \left\{ \pm \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { d u \, \ln \frac { { { \varepsilon } _ { \alpha } } ( u ) } { { { \varepsilon } _ { \mathrm { a p p } } } ( u ) } } { u - { { q } _ { x } } \pm i { { 0 } ^ { + } } } } \right\} = \frac { \pm { { q } _ { x } } + \sqrt { q _ { p \alpha } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } } { { { q } _ { p \alpha } } } \exp \left\{ \pm \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { d u \, \ln \left[ 1 + \sqrt { \frac { { { u } ^ { 2 } } + q _ { y } ^ { 2 } } { q _ { p \alpha } ^ { 2 } } } \right] } { u - { { q } _ { x } } \pm i { { 0 } ^ { + } } } } \right\} ,
c _ { k } ^ { j i } \left( \beta \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { N } p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } \left( - \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } C _ { j \ell } ^ { \left[ \beta \right] } + B _ { j j } ^ { \left[ \beta \right] } + p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } C _ { j \ell } ^ { \left[ \beta \right] } - \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } p _ { i \ell } ^ { \left[ \beta \right] } B _ { j \ell } ^ { \left[ \beta \right] } \right) } & { \displaystyle k = j , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { N } p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } \left( B _ { k j } ^ { \left[ \beta \right] } + p _ { i k } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } C _ { k \ell } ^ { \left[ \beta \right] } - \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } p _ { i \ell } ^ { \left[ \beta \right] } B _ { k \ell } ^ { \left[ \beta \right] } \right) } & { \displaystyle k \neq j . } \end{array} \right.
\rho ( \widetilde G ^ { - 1 } ) \rho ( \widetilde S ( t ) ) = \sigma ( \widetilde G ^ { - 1 } ) \sigma ( \widetilde S ( t ) ) \geq \sigma ( \widetilde G ^ { - 1 } \widetilde S ( t ) ) = \rho ( \widetilde G ^ { - 1 } \widetilde S ( t ) )
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { c ^ { 2 } ( x ) } \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { 0 } ( t , x ) - \Delta u _ { 0 } ( t , x ) } & { = 0 , } & { \ } & { \mathrm { i n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega , } \\ { u _ { 0 } ( t , x ) } & { = f _ { 0 } , } & { \ } & { \mathrm { o n ~ } ( 0 , T ) \times \partial \Omega , } \\ { u _ { 0 } ( t , x ) = { \partial _ { t } u _ { 0 } ( t , x ) } } & { = 0 , } & { \ } & { \mathrm { o n ~ } \{ t = 0 \} . } \end{array}
( \rho ^ { \prime } ) ^ { 2 } = \bigl ( \rho ^ { 2 } - \rho _ { 0 } ^ { 2 } \bigr ) ^ { 2 } [ { \frac { m v } { \hbar } } \lambda - { \frac { m ^ { 2 } v ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } } ] .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { r } ^ { \Pi } } & { { } = \mathcal { A } _ { \Pi } J _ { r , 0 } + \mathcal { A } _ { \Pi } J _ { r + 1 , 0 } + \mathcal { C } _ { \Pi } J _ { r + 2 , 0 } , } \\ { \gamma _ { r } ^ { n } } & { { } = - \frac { J _ { 4 1 } J _ { r + 2 , 1 } } { D _ { 3 1 } } + \frac { J _ { 3 1 } J _ { r + 3 , 1 } } { D _ { 3 1 } } , } \\ { \gamma _ { r } ^ { \pi } } & { { } = \frac { J _ { r + 4 , 2 } } { J _ { 4 , 2 } } , \, \gamma _ { r } ^ { \Omega } = \frac { J _ { r + 6 , 3 } } { J _ { 6 , 3 } } , \, \gamma _ { r } ^ { \Theta } = \frac { J _ { r + 8 , 4 } } { J _ { 8 , 4 } } , } \end{array}