harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( \lambda - 2 ) v ^ { \prime } ( 0 ) = \frac { ( N + 2 ) v ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { \{ 2 V ^ { \prime } ( 0 ) + 2 \} ^ { 3 / 2 } } - 3 \frac { ( N + 2 ) v ^ { \prime } ( 0 ) V ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { \{ 2 V ^ { \prime } ( 0 ) + 2 \} ^ { 5 / 2 } } \quad .
\Gamma _ { \bf k } ^ { A B } ( \tau ) \simeq \frac { 1 } { \hbar } \rho _ { \bf k } ( \omega _ { 0 } ^ { X } ) \kappa _ { \bf k } ^ { A } \kappa _ { \bf k } ^ { B } \delta ( \tau ) \equiv \gamma _ { \bf k } ^ { A B } \delta ( \tau ) .
{ \begin{array} { r l } & { { \mathcal { L } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots ; \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \ldots ; c _ { 1 } , c _ { 2 } , \ldots ) } \\ { = } & { f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots ) + \lambda _ { 1 } ( c _ { 1 } - g _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots ) ) + \lambda _ { 2 } ( c _ { 2 } - g _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots ) ) + \cdots } \end{array} }
W _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \pi ) = \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ - u _ { 1 } J _ { 1 } ( \pi ) - u _ { 2 } M _ { 1 } ( \pi ) + M _ { 0 } ( \pi ) + \int J _ { 1 } M _ { 2 } ( \pi ) d u _ { 2 } + \int M _ { 1 } J _ { 2 } ( \pi ) d u _ { 2 } \right] .
\frac { \partial } { \partial x _ { i } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { \partial X _ { i } } - \frac { \partial } { \partial r _ { i } } ; \ \ \ \ \frac { \partial } { \partial x _ { i } ^ { + } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { \partial X _ { i } } + \frac { \partial } { \partial r _ { i } } ; \ \ \ \, f r a c { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { k } ^ { + } \partial x _ { k } ^ { + } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { k } \partial x _ { k } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial X _ { k } \partial X _ { k } } + 2 \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r _ { k } \partial r _ { k } }
A _ { 0 i _ { 2 } \ldots i _ { p } } = x _ { 0 } ^ { p - 1 } { \cal A } _ { 0 i _ { 2 } \ldots i _ { p } } , \quad A _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p } } = x _ { 0 } ^ { p } { \cal A } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p } } .
\begin{array} { r } { { \cal L } = \left( \partial _ { x } ^ { 2 } - 1 \right) \pmb { \sigma _ { 3 } } + \frac { 2 } { \cosh ^ { 2 } ( x ) } \left( 2 \pmb { \sigma _ { 3 } } + i \pmb { \sigma _ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \bar { A } } _ { + } ^ { ( 0 ) } } & { { } = \Lambda ( \omega ) \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { ( 0 ) } , } \\ { \mathbf { \bar { A } } _ { + } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \Lambda ( \omega ) \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \mathbf { \bar { A } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \Lambda ( \omega ) \left( \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { ( 0 ) } \mathbf { \mathcal { A } } _ { - } ^ { ( 1 ) } + \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { ( 1 ) } \mathbf { \mathcal { A } } _ { - } ^ { ( 0 ) } \right) , } \\ { \mathbf { \bar { A } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \Lambda ( \omega ) \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { ( 1 ) } \mathbf { \mathcal { A } } _ { - } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { \lambda } : \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) \longrightarrow \mathcal { P } _ { J } ( \ell _ { \infty } ^ { n } ) \, , \, \, D _ { \lambda } ( e _ { \alpha } ^ { * } ) = \lambda _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } } \\ & { D _ { \mu } : \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) ^ { * } \longrightarrow \mathcal { P } _ { J } ( \ell _ { \infty } ^ { n } ) \, , \, \, D _ { \mu } ( f _ { \alpha } ) = \mu _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } [ h , \zeta ] = } & { { } \int _ { 0 } ^ { R } \left[ \gamma \xi _ { h + \zeta } + \gamma _ { \mathrm { b l } } \xi _ { \zeta } + g _ { \mathrm { b r u s h } } - P ( h + \zeta ) \right] \mathrm { d } x } \end{array}
\mathrm { d e x p } _ { \tilde { \mathbf { x } } } ^ { - 1 } \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { B _ { i } } { i ! } \mathrm { a d } _ { \tilde { \mathbf { x } } } ^ { i } \left( \tilde { \mathbf { y } } \right)
\left\{ { { S } _ { { \lambda } _ { 1 } { f } _ { 1 } } } , { { S } _ { { \lambda } _ { 1 } { f } _ { 2 } } } , { { S } _ { { \lambda } _ { 2 } { f } _ { 1 } } } , { { S } _ { { \lambda } _ { 2 } { f } _ { 2 } } } , \cdots , { { S } _ { { \lambda } _ { n } { f } _ { n } } } \right\}
p r e s e n t s t h e c o n v e r g e n c e r a t e o f e x c e s s r i s k o f d i f f e r e n t i a l l y p r i v a t e r a n k i n g f u n c t i o n \widetilde { f } , q u a n t i f y i n g t h e e f f e c t o f s y n t h e t i c r a n k i n g a l g o r i t h m . F i r s t , i f a l l u s e r s c h o o s e a c o n s t a n t p r i v a c y , t h e c o n v e r g e n c e r a t e b e c o m e s s l o w e r b y a m u l t i p l i c a t i v e c o n s t a n t c o m p a r e d w i t h t h e n o n - p r i v a t e c a s e . C o r o l l a r y
| | \mathbf { P _ { \updownarrow } \cdot R ^ { - 1 } \cdot T \cdot R \cdot E _ { \leftrightarrow } } | | = | | \mathbf { P _ { \leftrightarrow } \cdot R ^ { - 1 } \cdot T \cdot R \cdot E _ { \updownarrow } } | | ,
\begin{array} { r l } { \frac { \sf T M w c [ 2 ] } { \sin \theta } = } & { { } - \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 9 } { 3 2 } \, b ( - k n ) \bigg [ \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } - \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
F _ { \nu } ^ { \mathrm { a c c } } = \frac { 2 \pi \nu ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { U } } \left[ 1 - \frac { ( k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { U } } ) ^ { 2 } } { 2 m c ^ { 2 } h \nu } \right] \sim \frac { h a \nu ^ { 2 } } { 2 \pi c ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { U } } } { 2 m c ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { D \boldsymbol { u } } { D t } } & { = - \nabla p - 2 R o ^ { - 1 } \boldsymbol { e } _ { z } \times \boldsymbol { u } + \left( \frac { P r } { R a } \right) ^ { 1 / 2 } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } + \boldsymbol { e } _ { z } \theta , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { u } } & { = 0 , } \\ { \frac { D \theta } { D t } } & { = \left( \frac { 1 } { R a P r } \right) ^ { 1 / 2 } \nabla ^ { 2 } \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { \lambda , \mu _ { \kappa } | _ { ( 0 , \kappa ^ { j } ] } } ( \mathrm B _ { l \kappa ^ { j } } \longleftrightarrow \partial \mathrm B _ { 2 l \kappa ^ { j } } ) } & { \leq c _ { d } l ^ { d - 1 } \mathbb { P } _ { \lambda , \mu _ { \kappa } | _ { ( 0 , \kappa ^ { j } ] } } ( \mathrm B _ { \kappa ^ { j } } \longleftrightarrow \partial \mathrm B _ { l \kappa ^ { j } } ) } \\ & { \leq c _ { d } l ^ { d - 1 } \exp ( - c _ { \kappa } l ) } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \left[ \frac 1 2 A A \right] } } \\ { { [ i \bar { C } C ] } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { Z _ { 1 } } } & { { Z _ { 2 } } } \\ { { Z _ { 3 } } } & { { Z _ { 4 } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { { \left[ \frac 1 2 A A \right] _ { \mathrm { R } } } } \\ { { [ i \bar { C } C ] _ { \mathrm { R } } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 - Z _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } } & { { - Z _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } } \\ { { - Z _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } } & { { 1 - Z _ { 4 } ^ { ( 1 ) } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \left[ \frac 1 2 A A \right] _ { \mathrm { R } } } } \\ { { [ i \bar { C } C ] _ { \mathrm { R } } } } \end{array} \right) ,
\Lambda ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { g } - 1 \right) = - \rho ^ { 2 } \ln \frac { ( \Lambda l ) ^ { 2 } } { 2 } + \gamma \rho ^ { 2 } + l ^ { - 2 } \ln \frac { ( \rho l ) ^ { 2 } } { 4 \pi } + 2 l ^ { - 2 } \ln \Gamma \left( \frac { \rho ^ { 2 } l ^ { 2 } } { 2 } \right) + O \left( \frac { 1 } { \Lambda } \right) ,
\sigma _ { s r } \left( t \right) = \mathcal { L } ^ { - 1 } \left[ \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \right] \left( t \right) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { p _ { 0 } - \mathrm { i } \infty } ^ { p _ { 0 } + \mathrm { i } \infty } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s .
\begin{array} { r l } { \mathrm { S W M S E } } & { = V \rho ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } V ( 1 - \rho ) ^ { 2 } } \\ & { = V ( \rho ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ) ^ { 2 } ) ) } \\ & { = ( \frac { \mathrm { M S E } } { \rho + \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ) } ) ( \rho ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ) ^ { 2 } ) } \\ & { = \frac { \rho ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ) ^ { 2 } } { \rho + \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ) } \cdot \mathrm { M S E } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { { } = e _ { 1 } ^ { 2 } - 3 e _ { 2 } , } \\ { S } & { { } = 2 e _ { 1 } ^ { 3 } - 9 e _ { 1 } e _ { 2 } + 2 7 e _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | q _ { 1 } | ^ { 2 } = \frac { 2 a _ { 1 } ^ { 2 } } { ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \times \frac { 1 } { c o s h [ 2 ( \theta _ { 1 } + l n \ \delta _ { 1 } ) ] - \frac { b _ { 1 } } { \sqrt { a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } } } } } \\ & { | q _ { 2 } | ^ { 2 } = \frac { 2 a _ { 2 } ^ { 2 } } { ( a _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \times \frac { 1 } { c o s h [ 2 ( \theta _ { 2 } + l n \ \rho _ { 2 } ) ] - \frac { b _ { 2 } } { \sqrt { a _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } } } } } \end{array}
\left| \Gamma _ { 1 2 } \right| ^ { 2 } = \frac { 4 \alpha ^ { 2 } } { 1 - 4 \alpha ^ { 2 } } \Delta M ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \frac { 1 } { 1 - 4 \alpha ^ { 2 } } \Delta \Gamma ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { n q _ { e } u _ { e } A } & { { } = I = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } , } \\ { \frac { \partial n } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial z } ( n u _ { i } ) } & { { } = 0 , } \\ { m _ { e } u _ { e } \frac { \partial u _ { e } } { \partial z } } & { { } = q _ { e } E - \frac { \kappa T _ { e } } { n } \frac { \partial n } { \partial z } - \frac { R _ { e i } } { n } , } \\ { m _ { i } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + u _ { i } \frac { \partial u _ { i } } { \partial z } \right) } & { { } = q _ { i } E - \frac { R _ { i e } } { n } . } \end{array}
2 \int \bar { v } _ { \theta } d r = \frac { \bar { \Gamma } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \bar { R } _ { v } } \frac { r } { \bar { R } _ { v } ^ { 2 } } d r = { b \bar { V } _ { b } } / ( { 2 \pi } )
\begin{array} { r l r } { \overline { { p } } _ { \theta } } & { { } = } & { a ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } - \omega _ { + } \right) \; + \; b ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } - \omega _ { - } \right) \; = \; 1 , } \\ { \overline { { \cal E } } } & { { } = } & { a ^ { 2 } \, \left( \omega _ { + } ^ { 2 } \; + \frac { } { } \epsilon \right) \; + \; b ^ { 2 } \, \left( \omega _ { - } ^ { 2 } \; + \frac { } { } \epsilon \right) \; = \; \sec \phi / \chi _ { 0 } - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \dot { \alpha } _ { s } } { \alpha _ { s } } = - \frac { \kappa d _ { g } ^ { ( 1 ) } \phi _ { 0 } } { 2 } \exp { \left( - \frac { \Gamma t } { 2 } \right) } \bigg ( \Gamma \cos \left( \theta - t \omega _ { d } \right) + 2 \omega _ { d } \sin \left( \theta - t \omega _ { d } \right) \bigg ) } \end{array}
\! \! \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } \! = \! \sum _ { n = 1 } ^ { N } \! \left( \hbar \omega _ { 0 } - \mathrm { i } \frac { \gamma } { 2 } \right) \! | n \rangle \! \langle n | \, + \! \! \sum _ { { m , \, n = 1 ; \, m \neq n } } ^ { N } \! \! \! \left( \Omega _ { m n } - \mathrm { i } \frac { \Upsilon _ { \! m n } } { 2 } \right) \! \left| m \rangle \! \langle n \right| ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb P \left[ \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { 0 . 9 } } \left( \mathrm { L F } ( l _ { i } , r _ { i } ) - \mathbb E [ \mathrm { L F } ( l _ { i } , r _ { i } ) ] \right) \right| > \frac { ( b - a ) ^ { 2 } n ^ { - 1 . 1 } } { 2 } \right] \le \exp \left( \frac { - 2 ( b - a ) ^ { 4 } n ^ { - 2 . 2 } } { 4 n ^ { 0 . 9 } ( b - a ) ^ { 4 } n ^ { - 3 . 6 } } \right) } \\ & { = \exp ( - n ^ { 0 . 5 } / 2 ) . } \end{array}
{ \cal H } ( v ) = \frac { \sqrt { M _ { H } } } { 2 } \left\{ \begin{array} { l l } { { \gamma _ { 5 } P _ { + } } } & { { 0 ^ { - } \mathrm { ~ m e s o n } } } \\ { { \slash { \epsilon } P _ { + } } } & { { 1 ^ { - } \mathrm { ~ m e s o n } } } \\ { { } } & { { \mathrm { w i t h ~ p o l a r i z a t i o n ~ } \epsilon . } } \end{array} \right.
\begin{array} { l l } { \frac { { \partial } { \bf { m } } } { { \partial } t } = } & { - \gamma { \mu } _ { 0 } \left( { \bf { m } } { \times } \left( { \bf { { H } } } _ { \bf { { K } } } { + } { \bf { { H } } } _ { \bf { { z } } } \right) \right) { + } \alpha \left( { \bf { m } } { \times } \frac { { \partial } { \bf { m } } } { { \partial } t } \right) } \\ & { { + } \gamma { \mu } _ { 0 } H _ { { S O T } } ^ { { D L } } \left( \left( { \bf { m } } { \times } { \bf { \sigma } } \right) { \times } { \bf { m } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle T _ { 0 } ^ { r = 0 } \rangle } & { { } = \frac { x _ { 0 } } { \lambda } + \frac { 2 D \left( \beta + \alpha e ^ { - \frac { x _ { 0 } \left( \sqrt { 4 D ( \alpha + \beta ) + \lambda ^ { 2 } } - \lambda \right) } { 2 D } } \right) } { \alpha \lambda \left( - \lambda + \sqrt { 4 D ( \alpha + \beta ) + \lambda ^ { 2 } } \right) } , } \\ { \langle T _ { 1 } ^ { r = 0 } \rangle } & { { } = \frac { x _ { 0 } } { \lambda } + \frac { 2 \beta D \left( - e ^ { - \frac { x _ { 0 } \left( \sqrt { 4 D ( \alpha + \beta ) + \lambda ^ { 2 } } - \lambda \right) } { 2 D } } + 1 \right) } { \alpha \lambda \left( - \lambda + \sqrt { 4 D ( \alpha + \beta ) + \lambda ^ { 2 } } \right) } . } \end{array}
( H _ { 1 } ) = \left( \begin{array} { l } { { H _ { 1 } ^ { 0 } } } \\ { { H _ { 1 } ^ { - } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left( \begin{array} { l } { { v _ { 1 } + \phi _ { 1 } + i \psi _ { 1 } } } \\ { { H _ { 1 } ^ { - } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \vert J _ { 1 , 1 } ^ { \alpha , \delta } ( t , x , \widetilde { \eta } ) \vert } & { \lesssim \Vert \partial _ { t } ^ { \delta } f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { 4 + \vert \alpha \vert + \frac { d } { 2 } + \kappa } } \left( 1 + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \vert \widetilde { k } \vert } { 1 + \vert \widetilde { k } \vert ^ { 2 } s ^ { 2 } } \, \mathrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \vert \widetilde { k } \vert ^ { 2 } s } { 1 + \vert \widetilde { k } \vert ^ { 3 } s ^ { 3 } } \, \mathrm { d } s \right) } \\ & { \lesssim \Vert \partial _ { t } ^ { \delta } f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma + 2 } ^ { 4 + \vert \alpha \vert + \frac { d } { 2 } + \kappa } } \left( 1 + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 1 + s ^ { 2 } } \, \mathrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { s } { 1 + s ^ { 3 } } \, \mathrm { d } s \right) , } \end{array}
\frac { \eta _ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } ( 1 - p ^ { 2 } / \Lambda _ { U V } ^ { 2 } ) } = \frac { \eta _ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } - \frac { \eta _ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } - \Lambda _ { U V } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \rho \, f _ { k ^ { \prime } } ^ { m } ( \rho ) f _ { k } ^ { m } ( \rho ) = \delta _ { k ^ { \prime } k } , } \\ { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \mathrm { d } \phi \int _ { - 1 } ^ { 1 } \! \mathrm { d } \eta \, Y _ { \ell ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } * } ( \eta , \phi ) Y _ { \ell } ^ { m } ( \eta , \phi ) = \delta _ { \ell ^ { \prime } \ell } \delta _ { m ^ { \prime } m } , } \end{array}
W ( | x - x _ { q } | , h ) = W ( ( | x - x _ { p } | , h ) + \Sigma _ { k = 1 } ^ { 3 } { W _ { y } ^ { ( k ) } | _ { y = x _ { p } } \frac { ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { k } } { k ! } } + { \cal O } ( ( x _ { p } - x _ { q } ) ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 0 } } & { { } \sim \mathcal { U } ( 0 . 2 4 , 0 . 4 ) ; } \\ { \Omega _ { b } } & { { } \sim \mathcal { U } ( 0 . 0 4 , 0 . 0 6 ) ; } \\ { h } & { { } \sim \mathcal { U } ( 0 . 6 1 , 0 . 7 3 ) ; } \\ { A _ { s } / 1 0 ^ { - 9 } } & { { } \sim \mathcal { U } ( 1 . 7 , 2 . 5 ) ; } \\ { n _ { s } } & { { } \sim \mathcal { U } ( 0 . 9 2 , 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { } & { 1 } \\ { e ^ { - i k _ { - } L } } & { } & { e ^ { - i k _ { + } L } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { A } \\ { B } \end{array} \right) = 0 . } \end{array}
C ^ { i j k l } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { C ^ { 1 1 } } & { C ^ { 1 2 } } & { C ^ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { * } & { C ^ { 1 1 } } & { C ^ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { * } & { * } & { C ^ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { * } & { * } & { * } & { C ^ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { * } & { * } & { * } & { * } & { C ^ { 4 4 } } & { 0 } \\ { * } & { * } & { * } & { * } & { * } & { C ^ { 4 4 } \, } \end{array} \right] .
( A ^ { ( 1 ) \mathrm { T } } Y ) _ { n } \approx \sqrt { \frac { 2 } { \mu } } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } \sqrt { n } } { \pi ^ { 2 } y ^ { 2 } ( 1 - y ) } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { \sin ^ { 2 } ( \pi m y ) } { m ^ { 2 } - n ^ { 2 } / y ^ { 2 } } \frac { \sqrt { \mu + \sqrt { \mu ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } } { \sqrt { \mu ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } + } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { - i { \cal C } \int d ^ { 3 } \mathbf { r } { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) \exp \left\{ \nu \ln ( \kappa r ) ) \right. } \\ & { + } & { \left. i \int _ { \eta _ { s } } d s \frac { Z \tilde { \varepsilon } ( s ) } { \tilde { \Lambda } c ^ { 2 } } \frac { 1 } { | \mathbf { r } + ( \mathbf { p } ( s - \eta _ { s } ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \frac { { \boldsymbol \alpha } ( \eta _ { s } ) } { \tilde { \Lambda } } + \mathbf { r } _ { k } ( s , \eta _ { s } ) | } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { \mu \nu } ^ { E ( j ) } } & { = \tilde { F } _ { \mu } ^ { K , ( j ) } \tilde { F } _ { \nu } ^ { K , ( j ) } \tilde { A } _ { \mu \nu } , } \\ { \varepsilon _ { \mu \nu } ^ { K ( j ) } } & { = \operatorname* { m a x } \left( \tilde { F } _ { \mu } ^ { K , ( j ) } , \tilde { F } _ { \nu } ^ { K , ( j ) } \right) \tilde { \phi } ^ { ( j ) } \tilde { A } _ { \mu \nu } , } \\ { \tilde { F } _ { \mu } ^ { K , ( j ) } } & { = \sum _ { \nu \in \mathcal { B } _ { j } } \vert D _ { \mu \nu } \vert \tilde { \Phi } _ { \nu } ^ { ( j ) } , } \end{array}
\Delta m _ { D } ( b ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) = \frac { G _ { F } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 6 \pi ^ { 2 } } f _ { D } ^ { 2 } B _ { D } m _ { D } \mathrm { R e } [ ( V _ { c b ^ { \prime } } ^ { * } V _ { u b ^ { \prime } } ) ^ { 2 } ] \eta _ { b ^ { \prime } b ^ { \prime } } ^ { D } S ( x _ { b ^ { \prime } } ) < 1 . 4 \times 1 0 ^ { - 1 0 } \quad \mathrm { M e V } ,
f _ { p } ^ { \prime } ( r ) \geq - \mu _ { 1 } g ( r ) \| h ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } f _ { p } ( r ) + \mu _ { 1 } p g ( r ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p - 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) h ( \sigma ) \partial _ { \sigma } \Psi ( t - r , \sigma ) d \sigma ,
\begin{array} { r l } & { \rho ^ { - n - 1 } \int _ { B _ { \rho } ( x ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } } d \xi _ { \varepsilon , + } } \\ & { \leq C \rho ^ { p _ { 3 } \gamma - n - 1 } \mu _ { \varepsilon } ( B _ { 2 \rho } ( x ) ) + \tilde { C } _ { k } \varepsilon \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \int _ { B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \tilde { C } _ { \beta } \varepsilon \rho ^ { \gamma - 2 } \left( 1 + \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap \Omega } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq C \rho ^ { p _ { 3 } \gamma - 1 } \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { 2 \rho } ( x ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } ) } { \rho ^ { n } } \right) + C \varepsilon \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \Lambda \varepsilon \rho ^ { ( 1 - \beta ) ( n - 1 ) } + C \varepsilon \rho ^ { \gamma - 2 } } \\ & { \leq C \rho ^ { p _ { 3 } \gamma - 1 } \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { 2 \rho } ( x ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } ) } { \rho ^ { n } } \right) + C \rho ^ { 2 - M \gamma - n - 1 + ( n - 1 ) - \beta ( n - 1 ) } + C \rho ^ { \gamma - 1 } } \\ & { \leq C \rho ^ { p _ { 3 } \gamma - 1 } + C \rho ^ { - 1 + \frac { 1 - M \gamma } { 2 } } + C \rho ^ { \gamma - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { m n } } & { { } = \int I ( x , y ) \left( \frac { x } { 2 \sigma } \right) ^ { m } \left( \frac { y } { 2 \sigma } \right) ^ { n } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \ d x d y . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { v _ { 3 N - 6 } } \end{array} \right] = \mathbf { U } ^ { - 1 } \ \mathbf { D } ^ { \dagger } \ \mathbf { M } \ \Delta \mathbf { q }
\begin{array} { r l } { \Delta { { A _ { \, q r t } } } } & { { } = \sqrt { \left( \frac { a } { \sqrt { I } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { b } { I } \right) ^ { 2 } + \left( c I ^ { e } \right) ^ { 2 } + d ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ x _ { 1 } , \dots , x _ { n - 1 } , a x _ { n } ] _ { n } } & { = \rho _ { n } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n - 1 } , a ) x _ { n } + a [ x _ { 1 } , \dots , x _ { n - 1 } , x _ { n } ] _ { n } , } \\ { \rho _ { n } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n - 1 } , a b ) } & { = \rho _ { n } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n - 1 } , a ) b + a \rho _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n - 1 } , b ) , } \\ { \rho _ { n } ( a x _ { 1 } , \dots , x _ { n - 1 } , b ) } & { = a \rho _ { n } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n - 1 } , b ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { t _ { 1 / 2 } } & { = { \frac { \ln ( 2 ) } { \lambda } } = \tau \ln ( 2 ) } \\ { A } & { = - { \frac { \mathrm { d } N } { \mathrm { d } t } } = \lambda N = { \frac { \ln ( 2 ) } { t _ { 1 / 2 } } } N } \\ { S _ { A } a _ { 0 } } & { = - { \frac { \mathrm { d } N } { \mathrm { d } t } } { \bigg | } _ { t = 0 } = \lambda N _ { 0 } } \end{array} }
\sim \frac { 1 } { A _ { 3 } ^ { 3 } } \cdot \frac { 1 } { 2 } N _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ n ~ } } \cdot \frac { 3 } { 4 } N _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 3 2 } N _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ n ~ } } ^ { 3 }
\begin{array} { l r } { { D = Z } } & { { \ \mathrm { f o r ~ } 2 z \leq u - v } } \\ { { D = \frac { 1 } { 2 } A \left[ 1 - \frac { 3 z } { 4 } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) + \frac { z ^ { 3 } } { 3 } + \frac { 3 } { 3 2 z } ( u ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] } } & { { \ \mathrm { f o r ~ } u - v \leq 2 z \leq u + v } } \\ { { D = 0 } } & { { \ \mathrm { f o r ~ } 2 z \geq u + v } } \end{array}
x _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad \mathrm { i f ~ - x _ { n - 1 } 2 ^ { n - 1 } ~ + ~ \displaystyle \sum _ { j = k + 1 } ^ { n - 2 } ~ x _ j ~ 2 ^ j ~ + ~ 2 ^ k ~ \leq ~ y ~ } , } \\ { 0 , \quad \mathrm { i f ~ - x _ { n - 1 } 2 ^ { n - 1 } ~ + ~ \displaystyle \sum _ { j = k + 1 } ^ { n - 2 } ~ x _ j ~ 2 ^ j ~ + ~ 2 ^ k ~ > ~ y ~ } . } \end{array} \right.
A _ { 1 } = { \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( c - a - b ) } { \Gamma ( c - a ) \Gamma ( c - b ) } } \, , \qquad A _ { 2 } = { \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( a + b - c ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) } } \, .
\langle \beta \ \mathrm { o u t } | \alpha \ \mathrm { i n } \rangle = \int \! \prod _ { j = 1 } ^ { n } \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { j } { \frac { i \mathrm { e } ^ { - i p _ { j } x _ { j } } } { \sqrt { Z } } } [ ( i { \partial \! \! \! / } _ { x _ { j } } + m ) u _ { { \textbf { p } } _ { j } } ^ { s _ { j } } ] _ { \alpha _ { j } } \prod _ { l = 1 } ^ { n ^ { \prime } } \mathrm { d } ^ { 4 } y _ { l } { \frac { i \mathrm { e } ^ { i k _ { l } y _ { l } } } { \sqrt { Z } } } [ { \bar { u } } _ { { \textbf { k } } _ { l } } ^ { \sigma _ { l } } ( - i { \partial \! \! \! / } _ { y _ { l } } + m ) ] _ { \beta _ { l } } \langle 0 | \mathrm { T } [ \Psi _ { \beta _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) . . . \Psi _ { \beta _ { n ^ { \prime } } } ( y _ { n ^ { \prime } } ) { \bar { \Psi } } _ { \alpha _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) . . . { \bar { \Psi } } _ { \alpha _ { n } } ( x _ { n } ) ] | 0 \rangle .
\begin{array} { r l } & { f _ { t } + ( f s ) _ { x } = 0 , } \\ & { s ( \lambda ; x , t ) = - 4 \mathrm { R e } \lambda + } \\ & { \frac { 1 } { \mathrm { I m } \lambda } \iint _ { \Lambda ^ { + } } \ln \left| \frac { \mu - \lambda ^ { * } } { \mu - \lambda } \right| [ s ( \lambda ; x , t ) - s ( \mu ; x , t ) ] f ( \mu ; x , t ) \mathrm { d } \xi \mathrm { d } \zeta , } \end{array}