harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { F } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { F _ { 0 } } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right] , \qquad \mathbf { \hat { F } } = \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } \hat { F } _ { e p } \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { 1 \left[ p = - Q - \Omega / \omega _ { m } \right] + \frac { \sin { \left( \pi \left( \Omega / \omega _ { m } + p + Q \right) \right) } } { \pi \left( \Omega / \omega _ { m } + p + Q \right) } \left[ p \neq - Q - \Omega / \omega _ { m } \right] } \\ { \vdots } \\ { 1 \left[ p = - 1 - \Omega / \omega _ { m } \right] + \frac { \sin { \left( \pi \left( \Omega / \omega _ { m } + p + 1 \right) \right) } } { \pi \left( \Omega / \omega _ { m } + p + 1 \right) } \left[ p \neq - 1 - \Omega / \omega _ { m } \right] } \\ { 1 \left[ p = - \Omega / \omega _ { m } \right] + \frac { \sin { \left( \pi \left( \Omega / \omega _ { m } + p \right) \right) } } { \pi \left( \Omega / \omega _ { m } + p \right) } \left[ p \neq - \Omega / \omega _ { m } \right] } \\ { 1 \left[ p = 1 - \Omega / \omega _ { m } \right] + \frac { \sin { \left( \pi \left( \Omega / \omega _ { m } + p - 1 \right) \right) } } { \pi \left( \Omega / \omega _ { m } + p - 1 \right) } \left[ p \neq 1 - \Omega / \omega _ { m } \right] } \\ { \vdots } \\ { 1 \left[ p = Q - \Omega / \omega _ { m } \right] + \frac { \sin { \left( \pi \left( \Omega / \omega _ { m } + p - Q \right) \right) } } { \pi \left( \Omega / \omega _ { m } + p - Q \right) } \left[ p \neq Q - \Omega / \omega _ { m } \right] } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \hat { \sigma } _ { i } ^ { x } } & { = 1 - 2 \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { i } } \\ { \hat { \sigma } _ { i } ^ { y } } & { \simeq - i ( \hat { b } _ { i } - \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } ) } \\ { \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } } & { \simeq - ( \hat { b } _ { i } + \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta _ { \lambda ^ { \prime } } ( \omega ) | } & { \geq \frac { c _ { 1 } } { 2 } \log ( j ) ^ { \frac { d } { 2 } } 2 ^ { - j ^ { \prime } H \left( \frac { k ^ { \prime } + 1 } { 2 ^ { j ^ { \prime } } } \right) } } \\ & { \geq \frac { c _ { 1 } } { 2 } \log ( j ) ^ { \frac { d } { 2 } } M ^ { - H \left( \frac { k ^ { \prime } + 1 } { 2 ^ { j ^ { \prime } } } \right) } 2 ^ { - j H \left( \frac { k ^ { \prime } + 1 } { 2 ^ { j ^ { \prime } } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( N = n ) } & { = c _ { G } ( n , r ) \prod _ { i \in V } ( 1 + w _ { i } ^ { \mathcal { G } } ) ^ { - r } \prod _ { i \in V } \left[ w _ { i } ^ { \mathcal { G } } \prod _ { j \in \mathfrak { c h } ( i ) } ( 1 + w _ { j } ^ { \mathcal { G } } ) \right] ^ { n _ { i } } } \\ & { = c _ { G } ( n , r ) \prod _ { i \in V } ( w _ { i } ^ { \mathcal { G } } ) ^ { n _ { i } } ( 1 + w _ { i } ^ { \mathcal { G } } ) ^ { | n _ { \mathfrak { p a } ( i ) } | - r } } \end{array}
J _ { \alpha a } = \partial _ { a } \phi _ { \alpha } - 2 i ( \partial _ { a } X ^ { \mu } ) \Gamma _ { \mu \alpha \beta } \theta ^ { \beta } - \frac { 2 } { 3 } ( \partial _ { a } \theta ^ { \beta } ) \Gamma _ { \beta \delta } ^ { \mu } \theta ^ { \delta } \Gamma _ { \mu \alpha \epsilon } \theta ^ { \epsilon } \nonumber
\Delta Q _ { x , y } ^ { N _ { 6 } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { L } \frac { \partial \langle N _ { 6 } \rangle } { \partial J _ { x , y } } d s = \frac { 1 } { 9 } \cdot \frac { 1 } { 6 4 \pi } \; K _ { 6 } L \frac { \partial } { \partial J _ { x , y } } \left( J _ { x } ^ { 3 } \beta _ { x } ^ { 3 } - 9 J _ { x } ^ { 2 } J _ { y } \beta _ { x } ^ { 2 } \beta _ { y } + 9 J _ { x } J _ { y } ^ { 2 } \beta _ { x } \beta _ { y } ^ { 2 } - J _ { y } ^ { 3 } \beta _ { y } ^ { 3 } \right)
F ( { \boldsymbol \mu } ^ { \mathrm { s t e d } } ) = \mathrm { d i a g } ( \frac { 1 } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { s t e d } } } , \cdots , \frac { 1 } { \mu _ { m } ^ { \mathrm { s t e d } } } )
\begin{array} { r } { I _ { 2 } = \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \Big ( \frac { 1 } { h _ { 2 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 2 } } ) \Big ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { h _ { 1 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 1 } } ) \frac { 1 } { h _ { 2 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 2 } } ) d x . } \end{array}
r ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } \ln | \chi | + \frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } \left( \sin \theta \: \frac { \partial } { \partial \theta } \ln | \chi | \right) = 1 - \chi ^ { 2 } .
\Delta ^ { * } \psi + \boldsymbol { \nabla } \ln \sigma \cdot \boldsymbol { \nabla } \psi = - \frac { 4 \pi R ^ { 2 } } { \sigma } \frac { \partial P _ { \parallel } } { \partial \psi } - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \frac { \partial G } { \partial \psi }
C ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 \xi \sinh ( 1 / \xi ) } \cdot \left( \begin{array} { c c c c c c c } { e ^ { 1 / \xi } } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 \cosh ( 1 / \xi ) } & { - 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { } & { } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { - 1 } & { 2 \cosh ( 1 / \xi ) } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { \dots } & { 0 } & { - 1 } & { e ^ { 1 / \xi } } \end{array} \right) .
\frac { f ( x , k _ { T } ^ { 2 } ) } { ( k _ { T } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \sim \frac { ( x / x _ { 0 } ) ^ { - \lambda } } { [ 2 \pi \lambda ^ { \prime \prime } \mathrm { l o g } ( x _ { 0 } / x ) ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \mathrm { e x p } \left( \frac { - \mathrm { l o g } ^ { 2 } ( k _ { T } ^ { 2 } / \bar { k } _ { T } ^ { 2 } ) } { 2 \lambda ^ { \prime \prime } \mathrm { l o g } ( x _ { 0 } / x ) } \right)
\frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 3 } } { \partial \tilde { r } ^ { 2 } } + \left( \tilde { u } _ { 0 } - \frac { 1 } { \tilde { h } _ { 0 } } \frac { \partial \tilde { h } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } \right) \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 3 } } { \partial r } = 4 \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } } { \partial t } - \tilde { u } _ { 1 } \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } } { \partial \tilde { r } } - \tilde { u } _ { 2 } \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } - \frac { 1 } { \tilde { h } _ { 0 } } \left( \frac { \tilde { h } _ { 1 } } { \tilde { h } _ { 0 } } \frac { \partial \tilde { h } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } - \frac { \partial \tilde { h } _ { 1 } } { \partial \tilde { r } } \right) \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } - \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } = : \mathcal { V } ( \tilde { r } , t )
\phantom { } _ { l } \xi _ { n } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { t < 0 , } \\ { 1 - \phantom { } _ { l } \tau _ { n } ( t ) \cos \left( 2 \pi \phantom { } _ { l } f _ { n } t \right) , } & { t \geq 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { x = \frac { \Gamma _ { 1 } ( E + i \Gamma _ { 2 } ) } { z } , x ^ { \prime } = \frac { \Gamma _ { 2 } ( E + i \Gamma _ { 1 } ) } { z } , } \\ { y = \frac { E _ { M } \sqrt { \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } } } { z } , z = E _ { M } ^ { 2 } - ( E + i \Gamma _ { 1 } ) ( E + i \Gamma _ { 2 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , \tau ) } & { { } = i \Delta \omega _ { { e g } } \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , \tau ) + i \sum _ { s } \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , \tau ) \left( \sum _ { e ^ { \prime } } T _ { { g e ^ { \prime } } s } \rho _ { { e ^ { \prime } e } } ( \textbf { r } , \tau ) - \sum _ { g ^ { \prime } } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { g ^ { \prime } e } s } \right) } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } ^ { + } \} } } \operatorname* { s u p } _ { ( v , \{ r _ { m } \} , \{ \mathfrak { q } _ { k , m } \} ) \in H } \; \left\{ v - \sum _ { m = 0 } ^ { M } \lambda _ { m } r _ { m } - \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { m } \int _ { [ 0 , 1 ] } \mu _ { k , m } ^ { + } ( \alpha ) \; \mathrm { d } \mathfrak { q } _ { k , m } \right\} \leq \bar { V } .
\frac { d f ( \vec { { \bf p } } _ { 1 } ) } { d t } = \frac { \pi ^ { 4 } } { m ^ { 4 } } \int | M _ { f i } | ^ { 2 } F ( f ) \delta ^ { 4 } ( \sum _ { i } p _ { \mu i } ) \prod _ { i = 2 } ^ { 4 } \frac { d ^ { 3 } \vec { { \bf p } } _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } ~ ,
\begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } = } & { { } - \frac { d } { d t } \int f \ln f d x d v = - \int \ln f \frac { \partial f } { \partial t } d x d v } \\ { = } & { { } - \int \ln f \left( \frac { \partial f } { \partial t } \bigr \rvert _ { c o l l } - v \frac { \partial f } { \partial x } + E \frac { \partial f } { \partial v } \right) d x d v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \dot { \psi _ { j } } } & { { } \approxeq \frac { E a } { 2 } \left( j - \frac { N } { 2 } \right) \psi _ { j } - t _ { j - 1 , j } \psi _ { j - 1 } - t _ { j , j + 1 } \psi _ { j + 1 } . } \end{array}
{ \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial r } } = { \left[ \begin{array} { l } { \sin \theta \, \cos \varphi } \\ { \sin \theta \, \sin \varphi } \\ { \cos \theta } \end{array} \right] } , \quad { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial \theta } } = { \left[ \begin{array} { l } { r \cos \theta \, \cos \varphi } \\ { r \cos \theta \, \sin \varphi } \\ { - r \sin \theta } \end{array} \right] } , \quad { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial \varphi } } = { \left[ \begin{array} { l } { - r \sin \theta \, \sin \varphi } \\ { r \sin \theta \, \cos \varphi } \\ { 0 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { v _ { B } ^ { \tau } } & { = } & { - \frac { d _ { B } } { d _ { A } } ( v _ { A } ^ { \tau } - v _ { s } - v _ { C } ^ { \tau } ) + v _ { s } + v _ { C } ^ { \tau } } \\ & { = } & { \frac { b - d _ { B } } { b + d _ { A } } v _ { A } ^ { \tau } + \frac { d _ { A } + d _ { B } } { b + d _ { A } } v _ { C } ^ { \tau } , } \\ { v _ { B } ^ { n } } & { = } & { - \frac { d _ { B } } { d _ { A } } ( v _ { A } ^ { n } - v _ { C } ^ { n } ) + v _ { C } ^ { n } . } \end{array}
\lambda _ { \mu } = - \lambda - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } Z _ { 0 } ( \mu ^ { 2 } , m ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) \lambda ^ { 2 } + O ( \lambda ^ { 3 } ) .
{ \bf V } _ { \mathrm { ~ D ~ i ~ x ~ } } ^ { 2 } = { \bf Q } _ { 1 } ^ { - 1 } { \bf C } _ { 0 } { \bf Q } _ { 1 } ^ { - T } = v _ { 0 } ^ { 2 } \left[ { \bf Q } _ { F } \right] ^ { - 2 } \, .
\begin{array} { r l } { A = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( Z - } & { { } X ) , \quad E = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } ( X - 2 Y + Z ) , } \\ { T } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } ( X + Y + Z ) . } \end{array}
{ \cal Q } = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } : L _ { - n } c _ { n } : - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m , n = - \infty } ^ { \infty } ( m - n ) : c _ { m } c _ { n } b _ { m + n } : - c _ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { \int _ { L } B _ { n } \: d l \approx \boldsymbol { \lambda } ^ { * T } \boldsymbol { B } _ { n } ^ { * } + \boldsymbol { \lambda } ^ { T } \boldsymbol { B } _ { n } . } \end{array}
T _ { 0 } ^ { t } h _ { 3 k , 3 k + 1 } ( q , J ) T _ { 0 } = \frac { J } { 4 } \xi ^ { 2 } [ \sigma _ { k } ^ { x } \sigma _ { k + 1 } ^ { x } + \sigma _ { k } ^ { y } \sigma _ { k + 1 } ^ { y } + \frac { q + q ^ { - 1 } } { 2 } \sigma _ { k } ^ { z } \sigma _ { k + 1 } ^ { z }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u ( t , x ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \partial _ { x } ^ { 2 } u ( t , x ) \quad \mathrm { f o r ~ } ( t , x ) \in [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \\ { u ( 0 , x ) } & { = \sin ( \pi x ) \qquad \; \, \mathrm { f o r ~ } x \in [ 0 , 1 ] } \\ { u ( t , x ) } & { = 0 \qquad \qquad \quad \mathrm { f o r ~ } ( t , x ) \in [ 0 , 1 ] \times \{ 0 , 1 \} . } \end{array}
\dot { a } _ { i } = \left( C _ { i } + C _ { i } ^ { c a l } \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { p o d } } ( L _ { i j } + L _ { i j } ^ { c a l } ) a _ { j } + \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { p o d } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { p o d } } Q _ { i j k } a _ { j } a _ { k } = f _ { i } ( L ^ { c a l } , C ^ { c a l } , \mathbf { a } )
{ \begin{array} { r l } { \varphi ( \tau ) } & { = { \sqrt { 2 } } e ^ { \pi i \tau / 8 } { \frac { \sum _ { j \in \mathbb { Z } } e ^ { ( 2 j ^ { 2 } + j ) \pi i \tau } } { \sum _ { j \in \mathbb { Z } } e ^ { j ^ { 2 } \pi i \tau } } } } \\ & { = { \sqrt { 2 } } e ^ { \pi i \tau / 8 } ( 1 - e ^ { \pi i \tau } + 2 e ^ { 2 \pi i \tau } - 3 e ^ { 3 \pi i \tau } + 4 e ^ { 4 \pi i \tau } - 6 e ^ { 5 \pi i \tau } + 9 e ^ { 6 \pi i \tau } - \cdots ) , \quad \operatorname { I m } \tau > 0 } \\ { \psi ( \tau ) } & { = { \frac { \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( - 1 ) ^ { j } e ^ { 2 j ^ { 2 } \pi i \tau } } { \sum _ { j \in \mathbb { Z } } e ^ { j ^ { 2 } \pi i \tau } } } } \\ & { = 1 - 2 e ^ { \pi i \tau } + 2 e ^ { 2 \pi i \tau } - 4 e ^ { 3 \pi i \tau } + 6 e ^ { 4 \pi i \tau } - 8 e ^ { 5 \pi i \tau } + 1 2 e ^ { 6 \pi i \tau } - \cdots , \quad \operatorname { I m } \tau > 0 } \end{array} }
\left( N _ { A } , \frac { \partial N _ { B } } { \partial x } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \pm \frac { 1 } { 2 } , } & { B = A \pm 1 } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\langle \Delta \theta _ { i } ^ { 2 } \rangle = - { \frac { \Gamma ^ { 2 } } { 4 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { t } ^ { t + \tau } d \tilde { t } \int _ { t } ^ { t + \tau } d t ^ { \prime } g ( \tilde { t } - t ^ { \prime } ) \langle ( \tilde { z } _ { j } \tilde { z } _ { i } ^ { * } - \tilde { z } _ { i } \tilde { z } _ { j } ^ { * } ) ( z _ { j } z _ { i } ^ { * } - z _ { i } z _ { j } ^ { * } ) \rangle
\sum _ { j } \; { \frac { t _ { j } ^ { k } \, d t _ { j } } { s _ { j } } } = 4 \, d \tau \, u ( \lambda ) \, \sum _ { j } \; ( - 1 ) ^ { N - 1 - j } { \frac { t _ { j } ^ { k } } { t _ { j } - \lambda } } { \frac { D _ { j } } { D } } = - 4 \, { \frac { \lambda ^ { k } } { \prod _ { l } \, ( \lambda - a _ { l } ) } } \, d \tau
\begin{array} { r l } { \gamma _ { c , { { { \bf { \bar { x } } } } _ { c , k } } } ^ { { t _ { 2 } } } } & { = \frac { { { \rho _ { s } } } } { { { { \big [ { { \big ( { \bf { H } } { { _ { s c } ^ { { t _ { 2 } } H } } } { \bf { H } } _ { s c } ^ { { t _ { 2 } } } \big ) } ^ { - 1 } } \big ] } _ { k , k } } } } = \frac { { { \rho _ { s } } M N } } { { \varTheta _ { s c } ^ { { t _ { 2 } } } } } } \\ { \gamma _ { e , { { \bf { x } } _ { e , k } } } ^ { { t _ { 2 } } } } & { = \frac { { { \rho _ { r } } } } { { { { \big [ { { \big ( { \bf { H } } { { _ { r e } ^ { { t _ { 2 } } H } } } { \bf { H } } _ { r e } ^ { { t _ { 2 } } } \big ) } ^ { - 1 } } \big ] } _ { k , k } } } } = \frac { { { \rho _ { r } } M N } } { { \varTheta _ { r e } ^ { { t _ { 2 } } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \Omega , } \\ { \mathcal { B } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \partial \Omega , } \end{array}
R _ { i } = 1 - e ^ { - e ^ { \mathrm { l o g } ( I _ { 0 } \alpha _ { 0 } \eta _ { 0 } ) + \mathrm { l o g } ( I _ { n } ^ { 0 } ) + \mathrm { l o g } ( \alpha _ { j } ^ { 0 } ) + \mathrm { l o g } ( \eta _ { k } ^ { 0 } ) } }
H _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } = - \Gamma _ { 0 } \sum _ { i j \neq i , \sigma \sigma ^ { \prime } } G _ { i j } ^ { \parallel } \left( b _ { s i \sigma } ^ { \dagger } b _ { p i \sigma } \right) \left( b _ { p j \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } b _ { s j \sigma ^ { \prime } } \right) \, .
G ^ { \prime } ( x ) = \left( { \frac { \partial F } { \partial x } } \left( x , b ( x ) \right) + { \frac { \partial F } { \partial y } } \left( x , b ( x ) \right) b ^ { \prime } ( x ) \right) - \left( { \frac { \partial F } { \partial x } } \left( x , a ( x ) \right) + { \frac { \partial F } { \partial y } } \left( x , a ( x ) \right) a ^ { \prime } ( x ) \right)
\begin{array} { r l } { \tilde { f } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } & { = \mathrm { K n } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } f ^ { ( 0 ) } + \mathrm { K n } ^ { 2 } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathcal { A } ^ { ( 1 1 ) } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } f ^ { ( 0 ) } } \\ & { \quad + \mathrm { K n } ^ { 3 } ( [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathcal { A } ^ { ( 1 1 ) } ) ^ { 2 } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } f ^ { ( 0 ) } } \\ & { \quad + \mathrm { K n } ^ { 3 } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 1 2 ) } [ \mathcal { L } ^ { ( 2 2 ) } ] ^ { - 1 } \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 1 ) } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } f ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
k \sim \frac { 1 } { \log ( 1 - \tilde { C } N _ { L } ^ { - 2 / d } ) } \log \left( \frac { \epsilon _ { \operatorname* { m a x } } } { \| \bar { \vec { u } } _ { L } ^ { ( 0 ) } - \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { L } ^ { \star } \| } \right) \sim \mathcal { O } \left( N _ { L } ^ { 2 / d } \log \left( \frac { \epsilon _ { \operatorname* { m a x } } } { \| \bar { \vec { u } } _ { L } ^ { ( 0 ) } - \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { L } ^ { \star } \| } \right) \right)
S ^ { \mathrm { a d d } } = ( p + 1 ) e _ { a } \int d ^ { p + 1 } \xi _ { a } D _ { a } ^ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { p } } B _ { b \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { p } } ,
\begin{array} { r l } { E ( \theta ) } & { { } = \langle \Psi ( \theta ) | \hat { H } | \Psi ( \theta ) \rangle = \langle \Psi ( \theta ) | \sum _ { i } { c _ { i } \hat { P } _ { i } } | \Psi ( \theta ) \rangle } \end{array}
\Theta ( R , Z , t ) \, = \, \phi _ { * } ( R , Z , t ) - \frac { { \bar { r } } \dot { \bar { z } } } { 2 \Gamma } \, ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } - \Phi _ { \epsilon } \biggl ( \frac { \eta _ { * } ( R , Z , t ) } { 1 + \epsilon R } \biggr ) \, , \qquad ( R , Z ) \in \Omega _ { \epsilon } \, .
\begin{array} { r l } & { \left| \int _ { \Omega } { \bf T } { \bf u } : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } \right| = \left| 2 \mu \int _ { \Omega } { \bf D } { \bf u } : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } + \lambda \int _ { \Omega } ( \mathrm { d i v } { \bf u } ) ( \mathrm { d i v } { \bf v } ) \, d { \bf x } \right| \le ( \lambda + 2 \mu ) \, \| { \bf u } \, \| _ { H ^ { 1 } } \, \| { \bf v } \, \| _ { H ^ { 1 } } \, . } \end{array}
V _ { 0 } = V _ { 0 } ( H _ { 1 } ^ { 0 } , H _ { 2 } ^ { 0 } ) + V _ { 0 } ( N , \Phi ) + V _ { 0 } ( \nu , N , \Phi , H _ { 1 } ^ { 0 } , H _ { 2 } ^ { 0 } ) .
\begin{array} { r } { \Phi _ { 0 } ( [ x , y ] _ { \mathfrak { g } } ) - [ \Phi _ { 0 } ( x ) , \Phi _ { 0 } ( y ) ] _ { \mathfrak { h } } = ( - 1 ) ^ { ( \lvert x \rvert - 1 ) \lvert y \rvert ) } \Phi _ { 1 } ( \mathrm { d } _ { \mathfrak g } ( y ) \cdot x ) - ( - 1 ) ^ { \lvert x \rvert } \left( \Phi _ { 1 } ( \mathrm { d } _ { \mathfrak { g } } ( x ) \cdot y ) - \mathrm { d } _ { \mathfrak { h } } ( \Phi _ { 1 } ( x \cdot y ) ) \right) . } \end{array}
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) | ^ { 2 } \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) \mu ^ { * } ( f _ { 1 } , f _ { 1 } - f _ { 2 } - f , f ) d f _ { 1 } d f _ { 2 }
\Psi = { \beta ( x ) } ^ { \nu } e ^ { - \frac { Y ^ { 2 } } { 2 } } { \tau _ { 2 } } ^ { \alpha } \exp ( - \frac { a } { 2 } \tau _ { 2 } ^ { 2 } - b \tau _ { 2 } ) \left\{ \begin{array} { c } { { p _ { n } ^ { \{ k \} } ( \tau _ { 2 } ) \ , \ k = 0 , 1 , 2 , \ldots n } } \\ { { \phi _ { \{ k \} } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 3 } , \ldots ) } } \end{array} \ , \right.
\begin{array} { r l } { A ^ { * } ( \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } ) } & { = \int _ { 1 , 3 \mathrm { ~ s m a l l } } T _ { \vec { k } \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } \vec { k } _ { 3 } } b _ { \mathbf 1 } b _ { \mathbf 3 } ^ { * } \delta ( \vec { k } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 3 } ) d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 3 } } \\ & { = \int _ { 1 , 3 \mathrm { ~ s m a l l } } T _ { \vec { k } \vec { k } _ { 3 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } \vec { k } _ { 1 } } b _ { \mathbf 3 } b _ { \mathbf 1 } ^ { * } \delta ( \vec { k } + \vec { k } _ { 3 } - \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 1 } ) d \vec { k } _ { 3 } d \vec { k } _ { 1 } } \\ & { = A ( \vec { k } , \vec { k } _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { * d ( \beta _ { 0 } \wedge * \beta _ { 1 } ) } & { = } & { * \big ( d ^ { \nabla } \beta _ { 0 } \wedge * \beta _ { 1 } + ( - 1 ) ^ { k } \beta _ { 0 } \wedge ( d ^ { \nabla } * \beta _ { 1 } ) \big ) } \\ & { = } & { \langle d ^ { \nabla } \beta _ { 0 } , \beta _ { 1 } \rangle + ( - 1 ) ^ { n } * \big ( \beta _ { 0 } \wedge * ( * d ^ { \nabla } * \beta _ { 1 } \big ) } \\ & { = } & { \langle d ^ { \nabla } \beta _ { 0 } , \beta _ { 1 } \rangle - ( - 1 ) ^ { n ( k + 1 ) } \langle \beta _ { 0 } , \delta ^ { \nabla } \beta _ { 1 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 , \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \sigma } \left\{ \left( \int _ { \sigma _ { 1 } < \sigma } p ( \sigma _ { 1 } | D , K ) \textup { d } \sigma _ { 1 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { \sigma _ { 2 , \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \sigma } \left\{ \left( \int _ { \sigma _ { 2 } < \sigma } p ( \sigma _ { 2 } | D , K ) \textup { d } \sigma _ { 2 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { \sigma _ { 3 , \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \sigma } \left\{ \left( \int _ { \sigma _ { 3 } < \sigma } p ( \sigma _ { 3 } | D , K ) \textup { d } \sigma _ { 3 } \right) > \alpha \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Pi _ { n m } ( \Omega + i 0 ; \mathbf { 0 } ) } & { { } = } & { e ^ { 2 } \frac { T } { \hbar } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \mathrm { ~ t ~ r ~ } \Big [ v _ { n } G ( i \omega _ { l } ; \mathbf { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } S } & { { } = D \nabla ^ { 2 } S + \mu N ( 1 - p ) - \mu S - \beta ( t ) \frac { I } { N } S , } \\ { \partial _ { t } I } & { { } = D \nabla ^ { 2 } I + \beta ( t ) \frac { I } { N } S - ( \nu + \mu ) I , } \\ { \partial _ { t } R } & { { } = D \nabla ^ { 2 } R + \nu I - \mu R , } \\ { \partial _ { t } V } & { { } = D \nabla ^ { 2 } V + \mu N p - \mu V , } \\ { \partial _ { t } N } & { { } = D \nabla ^ { 2 } N , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } ^ { R ^ { \star } } } & { { } = \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } F _ { 1 } ^ { \star } \cos \gamma ^ { \star } } \\ { c _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } ^ { I ^ { \star } } } & { { } = - \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } F _ { 1 } ^ { \star } \sin \gamma ^ { \star } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { W } ^ { + } = } & { { } } & { ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } + W _ { 1 0 } ^ { + } + i \textbf { W } _ { 1 } ^ { i + } + \textbf { W } _ { 1 } ^ { + } ) } \end{array}
\eta \equiv \frac { \delta z } { z _ { \mathrm { ~ M ~ } } } = - \frac { W ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) + \frac { 1 } { 2 } z _ { \mathrm { ~ M ~ } } } { z _ { \mathrm { ~ M ~ } } \, \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { \prime } ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) } .