harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { V ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \xi \leq - 1 } \\ { \frac { 4 } { 3 } \big ( - | \bar { y } ( \xi ) | ^ { \frac { 1 } { 3 } } + 1 \big ) , } & { - 1 < \xi < \xi ( t ) , } \\ { \frac { 4 } { 3 } \big ( - ( 1 - \alpha ) \bigl | \bar { y } ( \xi ) \bigr | ^ { \frac { 1 } { 3 } } + 1 - \frac { 1 } { 3 } \alpha t \big ) , } & { \xi ( t ) \leq \xi \leq \frac { 4 } { 3 } , } \\ { \frac { 4 } { 3 } \big ( | \bar { y } ( \xi ) | ^ { \frac { 1 } { 3 } } + 1 - \frac { 1 } { 3 } \alpha t \big ) , } & { \frac { 4 } { 3 } < \xi \leq \frac { 1 1 } { 3 } , } \\ { \frac { 4 } { 3 } \big ( 2 - \frac { 1 } { 3 } \alpha t \big ) , } & { \frac { 1 1 } { 3 } < \xi . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { d } { d t } L _ { n } ^ { m } ( t ) \tau ^ { n } - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { d } { d t } L _ { n } ^ { m } ( t ) \tau ^ { n + 1 } = - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } L _ { n } ^ { m } ( t ) \tau ^ { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { q } | _ { m , s , 0 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 5 } + \varepsilon ^ { 3 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ { | d _ { i } \mathfrak { q } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , s , 0 } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\langle \Lambda _ { c 1 } ( \vec { v } ^ { \prime } ) | c ^ { \dag } b | \Lambda _ { b } ( \vec { v } ) \rangle = K _ { 1 } u _ { c } ^ { \dag } ( \vec { v } ^ { \prime } ) u _ { b } ( \vec { v } ) \left( 1 + { \cal O } ( \lambda ^ { 3 / 2 } ) \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \tau _ { w } = \mu \frac { d U } { d \protect \overrightarrow { n } } } \\ & { L = \int d F _ { x } = \sum p \protect \overrightarrow { n _ { x } } d S + \sum \tau _ { w } \protect \overrightarrow { t _ { x } } d S } \\ & { D = \int d F _ { y } = \sum p \protect \overrightarrow { n _ { y } } d S + \sum \tau _ { w } \protect \overrightarrow { t _ { y } } d S } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { { } = \frac { e ^ { - x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } } } { \pi } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } \mathcal { G } ^ { ( A ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } \end{array}
C _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { n } } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , \cdots , s _ { n } ) = \langle X _ { i _ { 1 } } ( s _ { 1 } ) X _ { i _ { 2 } } ( s _ { 2 } ) \cdots X _ { i _ { n } } ( s _ { n } ) \rangle .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \Delta } _ { w } A + g _ { d } B + g C } & { { } = } & { 0 } \\ { - i \xi B + g _ { d } A } & { { } = } & { 0 } \\ { \tilde { \Delta } _ { c } C + g A + i \sqrt { \kappa } A _ { d } } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \sum _ { i j } \mathsf { f } _ { i j } ^ { n , \star \star } \left[ ( 1 - \alpha ( v _ { j } ) ) \mathsf { g } _ { i - \mathrm { n } ( v _ { j } ) , j } ^ { n + 1 } + \alpha ( v _ { j } ) \mathsf { g } _ { i - \mathrm { n } ( v _ { j } ) - 1 , j } ^ { n + 1 } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } | \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t } & { \leq \sqrt { ( L + 2 \varepsilon ) ^ { 2 } - \operatorname* { m a x } ( 0 , L | \cos \theta | - 2 \varepsilon ) ^ { 2 } } } \\ & { + \sqrt { ( L + \varepsilon ) ^ { 2 } - L ^ { 2 } | \cos ^ { 2 } \theta | } } \\ & { - 2 \operatorname* { m a x } ( 0 , L | \sin \theta | - 2 \varepsilon ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | N , \alpha , \delta \rangle } & { = } & { | \alpha _ { \mathrm { H } } , \alpha _ { \mathrm { V } } \rangle } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \mathrm { H } } \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } } \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \mathrm { V } } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \mathrm { V } } \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } } | 0 \rangle } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { N } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \sqrt { N } ( \cos \alpha \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } + \mathrm { e } ^ { i \delta } \sin \alpha \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } ) } | 0 \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u ^ { t } - u ^ { ( h ) } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega ^ { t } ) } } & { \leq \| u ^ { t } - u ^ { ( h ) } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } + \| u ^ { t } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega ^ { t } \setminus \varOmega _ { h } ) } } \\ & { \leq C h ^ { r + 1 } \| f \| _ { L ^ { p } ( \varOmega ^ { t } ) } + C h ^ { r + 1 } \| u ^ { t } \| _ { W ^ { 1 , \infty } ( \varOmega ^ { t } ) } } \\ & { \leq C h ^ { r + 1 } \| f \| _ { L ^ { p } ( \varOmega ^ { t } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu ( \chi , k _ { m } , \theta _ { J } ) \equiv \frac { \frac { - k _ { m } ^ { 2 } + k _ { m } + \chi ^ { 2 } } { ( k _ { m } - 1 ) \chi ^ { 2 } } + \cos ^ { 2 } \theta _ { J } } { \sin \theta _ { J } \, \left( \frac { 1 } { \chi } + \cos \theta _ { J } \right) } \leq \mu _ { s } \, . } \end{array}
H = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } x ( \pi _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { m ^ { 2 } } ( \partial _ { i } \pi _ { i } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } A _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } F _ { i j } ^ { 2 } ) \nonumber
\begin{array} { r } { R _ { 1 } = \frac { 2 } { \ln \frac { \mathbf { C } _ { 3 } } { \mathbf { C } _ { 4 } } + 2 - \sqrt { ( \ln \frac { \mathbf { C } _ { 4 } } { \mathbf { C } _ { 3 } } - 2 ) ^ { 2 } - 8 ( - \ln \frac { \mathbf { C } _ { 4 } } { 2 \sqrt { \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 2 } } } - \frac { 1 } { 5 } ) } } - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { a } ( \boldsymbol r ) , \hat { \pi } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) \right] } & { = } & { i \hbar ^ { 2 } c ^ { 3 } \delta ( \boldsymbol r - \boldsymbol r ^ { \prime } ) , } \\ { \left[ \hat { A } _ { \alpha } ( \boldsymbol r ) , \hat { B } _ { \beta } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) \right] } & { = } & { 0 , } \\ { \left[ \hat { A } _ { \alpha } ( \boldsymbol r ) , \tilde { E } _ { c , \beta } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) \right] } & { = } & { - \frac { \hbar } { \epsilon _ { 0 } } \cdot \delta _ { \alpha , \beta } ^ { \perp } \left( \boldsymbol r - \boldsymbol r ^ { \prime } \right) , } \\ { \left[ \hat { B } _ { \alpha } ( \boldsymbol r ) , \tilde { E } _ { c , \beta } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) \right] } & { = } & { \frac { \hbar } { \epsilon _ { 0 } } \epsilon _ { \alpha , \beta , \gamma } \frac { d } { d x _ { \gamma } } \delta \left( \boldsymbol r - \boldsymbol r ^ { \prime } \right) , } \end{array}
+ b ( u ^ { \prime } v ^ { 2 } + 2 u v ^ { \prime } v ^ { \prime \prime } - u ^ { 3 } - 2 u u ^ { \prime } u ^ { \prime \prime } - 2 u ^ { \prime } v ^ { 2 } - 2 u ^ { \prime \prime } v v ^ { \prime } - 2 u ^ { \prime } v v ^ { \prime \prime } ) + a ( - v ^ { \prime } u ^ { 2 } - 2 v u ^ { \prime } u ^ { \prime \prime } + v ^ { 3 } + 2 v v ^ { \prime } v ^ { \prime \prime } + 2 v ^ { \prime } u ^ { 2 } + 2 v ^ { \prime \prime } u u ^ { \prime } + 2 v ^ { \prime } u u ^ { \prime \prime } )
\begin{array} { r l } { S _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { r l o s s } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm d } \omega \frac { 2 A _ { \mu } ( \omega ) A _ { \eta } ^ { * } ( \omega ) } { \pi \sqrt { \omega _ { \mu } \omega _ { \eta } } } [ I _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { r l o s s } } ( \omega ) + I _ { \eta \mu } ^ { \mathrm { r l o s s * } } ( \omega ) ] , } \\ { S _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { n l o s s } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm d } \omega \frac { 2 A _ { \mu } ( \omega ) A _ { \eta } ^ { * } ( \omega ) } { \pi \sqrt { \omega _ { \mu } \omega _ { \eta } } } I _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { n l o s s } } ( \omega ) , } \\ { S _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { G } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm d } \omega \frac { 2 A _ { \mu } ^ { * } ( \omega ) A _ { \eta } ( \omega ) } { \pi \sqrt { \omega _ { \mu } \omega _ { \eta } } } I _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { G } } ( \omega ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F _ { n } ( x ) - F ( x ) } & { \leq F _ { n } ( x _ { j } ) - F ( x _ { j - 1 } ) = F _ { n } ( x _ { j } ) - F ( x _ { j } ) + { \frac { 1 } { m } } , } \\ { F _ { n } ( x ) - F ( x ) } & { \geq F _ { n } ( x _ { j - 1 } ) - F ( x _ { j } ) = F _ { n } ( x _ { j - 1 } ) - F ( x _ { j - 1 } ) - { \frac { 1 } { m } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \Phi _ { v \omega _ { z } } ( k _ { i } , k _ { j } , y ) \Delta k _ { x } \Delta k _ { z } } & { { } = \langle v \omega _ { z } \rangle ( y ) , \ w h e r e , \ \Delta k _ { x } = \frac { 2 \pi } { L _ { x } } , \Delta k _ { z } = \frac { 2 \pi } { L _ { z } } . } \end{array}
\left| \, \mathfrak { f } \, \right) = \frac { 1 } { | \mathrm { S } _ { n } ^ { p } | } \sum _ { \sigma \in \mathrm { S } _ { n } ^ { p } } \frac { | \mathrm { S } _ { n } ^ { p } | } { | \mathrm { S } _ { n } | } \sum _ { [ { \pi } ] \in \mathrm { S } _ { n } / \mathrm { S } _ { n } ^ { p } } \sum _ { \left\lbrace I \right\rbrace } \mathfrak { f } _ { \left\lbrace I \right\rbrace } \bigotimes _ { l = 1 } ^ { n } \left| \eta ( \mathcal { S } _ { c _ { \pi ( l ) } } ^ { I _ { \sigma \circ \pi ( l ) } } ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \tau } \left( \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \Psi _ { 3 } ( \tau ) ) \right) } & { = - \partial _ { x } \mathcal { A } \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \Psi _ { 3 } ( \tau ) ) + \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \partial _ { x } \mathcal { A } \Psi _ { 3 } ( \tau ) ) } \\ & { = - \partial _ { x } \mathcal { A } \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \Psi _ { 3 } ( \tau ) ) + \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \partial _ { x } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } ) \Psi _ { 3 } ( \tau ) + \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \partial _ { x } \mathcal { A } \mathcal { D } _ { \omega } ( \Psi _ { 3 } ( \tau ) ) } \\ & { = - \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \partial _ { x } \mathcal { A } \mathcal { D } _ { \omega } \Psi _ { 3 } ( \tau ) + \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathcal { D } _ { \omega } \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( \tau ) + \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \partial _ { x } \mathcal { A } \mathcal { D } _ { \omega } ( \Psi _ { 3 } ( \tau ) ) } \\ & { = \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathcal { D } _ { \omega } \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( \tau ) } \\ & { = : \partial _ { x } S ( \tau ) . } \end{array}
f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { k } { \lambda } } { \Big ( } { \frac { x } { \lambda } } { \Big ) } ^ { k - 1 } e ^ { - ( x / \lambda ) ^ { k } } } & { { \mathrm { i f ~ } } x \geq 0 , } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } x < 0 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { - i \hbar \partial _ { t } \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega _ { 0 } t } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ^ { * } } \left[ \partial _ { z } ^ { 2 } - \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { t } ^ { 2 } \right] \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega _ { 0 } t } . } \end{array}
\hat { \mathbf { r } } \approx \underset { \mathbf { r } ^ { \prime } } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } } D = \underset { \mathbf { r } ^ { \prime } } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } } \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } d _ { l } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { A _ { i a , j b } } & { { } = \left( \epsilon _ { a } - \epsilon _ { i } \right) \delta _ { i j } \delta _ { a b } + \mathcal { K } _ { i a , b j } } \\ { B _ { i a , j b } } & { { } = \mathcal { K } _ { i a , j b } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { G } ( \sigma , \sigma _ { \ast } ) } & { { } \leq \frac { 1 } { p } D ( \rho , \rho _ { \ast } ) + \frac { 1 - \mathrm { T r } \rho _ { \ast } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 p } D _ { G } ( \rho , \rho _ { \ast } ) } \end{array}
y _ { A } ^ { ( j ) } = f ( A ( j , : ) ) \in \mathbb { R } , \qquad y _ { B } ^ { ( j ) } = f ( B ( j , : ) ) \in \mathbb { R } \qquad \mathrm { a n d } \qquad y _ { C ^ { ( i ) } } ^ { ( j ) } = f ( { C ^ { ( i ) } } ( j , : ) ) \in \mathbb { R } ,
\frac { \Gamma } { V _ { 3 } } \simeq 2 \left( \frac { \Delta S _ { E } } { 2 \pi } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left[ \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } \Delta U _ { e f f } - 4 \pi R ^ { 2 } \left( { \cal S } _ { 0 } + { \cal S } _ { 1 } \right) \right] \; ,
0 = \frac { d \ln S ^ { k } } { d k } = \ln ( \beta \alpha _ { s } ) + \ln \ln z _ { 0 } + \frac { k } { z _ { 0 } \ln z _ { 0 } } \frac { d z _ { 0 } } { d k } - \frac { 1 } { c } \frac { d z _ { 0 } } { d k }
\begin{array} { r l } { G _ { L } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | } } \\ { G _ { Y } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { e ^ { - \kappa | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | } } { 4 \pi | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | } } \end{array}
( { \alpha } _ { + } P ^ { 1 } + { \alpha } _ { - } p ^ { 1 } + { \beta } _ { 1 } m _ { 1 } c + { \beta } _ { 2 } m _ { 2 } c ) { \Phi } = \frac { 1 } { c } ( E + \tilde { \phi } ) { \Phi } ,
\begin{array} { r l } { \| \tilde { \mathcal { N } } u - \tilde { \mathcal { N } } u ^ { * } \| } & { = \| E ^ { - 1 } \{ v E ( N ( u ) ) \} - E ^ { - 1 } \{ v E ( N ( u ^ { * } ) ) \} \| } \\ & { = \left\| \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { v ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( N u - N u ^ { * } ) e ^ { - t v } d t \right) e ^ { t v } v d v \right\| } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { v } \int _ { 0 } ^ { \infty } \delta \| u - u ^ { * } \| e ^ { - t v } d t \right) e ^ { t v } d v } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { v } \mathcal { L } ( \delta \| u - u ^ { * } \| ) e ^ { t v } d v } \\ & { = \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { 1 } { v ^ { 2 } } \mathcal { L } ( \delta \| u - u ^ { * } \| ) \right\} \leq \delta t _ { 0 } \| u - u ^ { * } \| \mathrm { ~ f o r ~ a ~ s u i t a b l e ~ } t _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma u ^ { \ast } v } & { = u ^ { \ast } \Bar Z \Bar u = ( u ^ { \ast } \Bar Z \Bar u ) ^ { T } = u ^ { \ast } \Bar Z ^ { T } \Bar u = - u ^ { \ast } \Bar Z \Bar u \Rightarrow u ^ { \ast } v = 0 , } \\ { - \sigma ^ { - 1 } \overline { { Z v } } } & { = - \sigma ^ { - 2 } \overline { { Z \Bar Z \Bar u } } = - \sigma ^ { - 2 } \Bar Z Z u = \sigma ^ { - 2 } Z ^ { \ast } Z u = u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 ; } \\ { \rho \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + u _ { j } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } \right) } & { = - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \mu \nabla ^ { 2 } u _ { i } } \\ { \rho c _ { p } \left( \frac { \partial T } { \partial t } + u _ { j } \frac { \partial T } { \partial x _ { j } } \right) } & { = k \nabla ^ { 2 } T + S } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { F } ( T ) = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty , \Delta t = T / n } \bigg [ \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } ( \mathbb { 1 } + \Delta t \mathbb { A } ( s \Delta t ) ) \bigg ] \mathbf { F } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } X x ( t ) \right] } & { = 2 \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } X [ A x ( t ) + f ( x ( t ) ) ] \right] + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } N _ { i } ^ { \top } X N _ { j } x ( t ) \right] k _ { i j } } \\ & { \leq 2 \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } X [ A x ( t ) + c _ { 2 } I x ( t ) ] \right] + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } N _ { i } ^ { \top } X N _ { j } x ( t ) \right] k _ { i j } } \\ & { = \mathbb E \bigg [ x ( t ) ^ { \top } \Big ( ( A + c _ { 1 } I ) ^ { \top } X + X ( A + c _ { 1 } I ) + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } N _ { i } ^ { \top } X N _ { j } k _ { i j } \Big ) x ( t ) \bigg ] } \\ & { \quad + 2 ( c _ { 2 } - c _ { 1 } ) \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } X x ( t ) \right] } \\ & { = 2 ( c _ { 2 } - c _ { 1 } ) \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } X x ( t ) \right] - \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } Y x ( t ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { T \eta \hat { \rho } \epsilon ^ { 2 } ( \hat { \rho } - \rho ) } { 1 + \Lambda } > } & { ~ \frac { \hat { \rho } D ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } T \eta ^ { 2 } M ^ { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} \sqrt { T } \eta ^ { 2 } M ^ { 2 } } \\ & { + 2 \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } \hat { \rho } \sqrt { T } \eta M D , } \end{array}
\langle x , T P y \rangle = \langle x , P T P y \rangle = \langle P x , T P y \rangle = \langle T ^ { * } P x , P y \rangle = \langle P T ^ { * } P x , y \rangle = \langle T ^ { * } P x , y \rangle = \langle P x , T y \rangle = \langle x , P T y \rangle
\begin{array} { r l } & { \Delta V ( k , z ^ { r } ) = ( z ^ { r } ) ^ { \top } ( M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } Q ( k + 1 ) M _ { f } ^ { r } ( k ) - Q ( k ) ) z ^ { r } } \\ & { ~ ~ - 2 h ( z ^ { r } ) ^ { \top } M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } z ^ { r } } \\ & { ~ ~ ~ + h ^ { 2 } ( z ^ { r } ) ^ { \top } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) Q ( k + 1 ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } z ^ { r } . } \end{array}
\langle \sigma _ { a n n } v \rangle \ \sim \ \frac { y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } \ \frac { m ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 4 } } \ \frac { g _ { Z \nu \nu } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \ = \ \frac { y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } \ \left( \frac { m } { 1 \, \mathrm { G e V } } \right) ^ { 2 } \times 0 . 4 \times 1 0 ^ { - 3 7 } \, \mathrm { c m } ^ { 2 } \ \qquad \mathrm { f o r ~ } m \ll M
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb R ^ { n } } f ( x ) W _ { n } ( x ) \delta \bigg ( \frac { x _ { 1 } + \ldots + x _ { n } } { n } \bigg ) \, d x } \\ & { \quad = \int _ { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } \int _ { \mathbb { R } } f ( x + ( x _ { n } , \ldots , x _ { n } , 0 ) ) W _ { n } ( x + ( x _ { n } , \ldots , x _ { n } , 0 ) ) } \\ & { \quad \qquad \cdot \delta \bigg ( \frac { x _ { 1 } + \ldots + x _ { n - 1 } } { n } + x _ { n } \bigg ) \, d x _ { n } d x _ { 1 } \cdots d x _ { n - 1 } } \\ & { \quad = \int _ { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } f ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n - 1 } , 0 ) W _ { n } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n - 1 } , 0 ) \, d x _ { 1 } \cdots d x _ { n - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \dot { u } _ { 1 } } & { = ( 1 + | u _ { 1 } | ^ { 2 } ) ( u _ { 2 } + u _ { 4 } ) ( 1 + i \gamma ) , } \\ { i \dot { u } _ { 2 } } & { = ( 1 + | u _ { 2 } | ^ { 2 } ) \left[ u _ { 3 } + u _ { 1 } + i \gamma ( u _ { 3 } - u _ { 1 } ) \right] , } \\ { i \dot { u } _ { 3 } } & { = ( 1 + | u _ { 3 } | ^ { 2 } ) \left[ u _ { 4 } + u _ { 2 } + i \gamma ( u _ { 4 } - u _ { 2 } ) \right] , } \\ { i \dot { u } _ { 4 } } & { = ( 1 + | u _ { 4 } | ^ { 2 } ) ( u _ { 1 } + u _ { 3 } ) ( 1 - i \gamma ) . } \end{array}
\lambda _ { \mathrm { ~ d ~ B ~ } } = ( 2 \pi \hbar ^ { 2 } / m k _ { B } T _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ - ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } ) ^ { 1 / 2 } = 3 . 0 ( 2 ) \times 1 0 ^ { - 8 }
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { H } } = \sum _ { \sigma } \int d ^ { 3 } \textbf { r } \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { \dagger } ( \textbf { r } ) [ - \frac { \hbar } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + V ( \textbf { r } ) ] \hat { \psi } _ { \sigma } ( \textbf { r } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \sigma { \sigma } ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } \textbf { r } d ^ { 3 } { \textbf { r } } ^ { \prime } \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { \dagger } ( \textbf { r } ) \hat { \psi } _ { { \sigma } ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( { \textbf { r } } ^ { \prime } ) \frac { e ^ { 2 } } { | \textbf { r } - { \textbf { r } } ^ { \prime } | } \hat { \psi } _ { { \sigma } ^ { \prime } } ( \textbf { r } ) \hat { \psi } _ { { \sigma } } ( { \textbf { r } } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \quad \hat { M } \cdot \hat { \rho } \cdot \hat { N } } & { = \sum _ { i j } \rho _ { i j } \hat { M } | i \rangle \langle j | \hat { N } } \\ & { = \sum _ { i j } \rho _ { i j } \left( \sum _ { k } | k \rangle \langle k | \right) \hat { M } | i \rangle \langle j | \hat { N } \left( \sum _ { l } | l \rangle \langle l | \right) } \\ & { = \sum _ { i j k l } \rho _ { i j } | k \rangle \langle k | \hat { M } | i \rangle \langle j | \hat { N } | l \rangle \langle l | } \\ & { = \sum _ { i j k l } \rho _ { i j } M _ { k i } N _ { j l } | k \rangle \langle l | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widehat { \bf R } ^ { ( 0 ) } ( s ) } & { = } & { - { \bf Q } ^ { [ 1 , 0 ] } ( { \bf Q } ^ { [ 0 , 0 ] } - s { \bf I } ) ^ { - 1 } , } \\ { \widehat { \bf R } ^ { ( n ) } ( s ) } & { = } & { - { \bf Q } ^ { [ n + 1 , n ] } ( \widehat { \bf R } ^ { ( n - 1 ) } ( s ) { \bf Q } ^ { [ n - 1 , n ] } + { \bf Q } ^ { [ n , n ] } - s { \bf I } ) ^ { - 1 } , } \end{array}
D _ { 2 } = \frac { 1 } { r } - \frac { i } { r } \epsilon _ { _ { i j k } } \sigma _ { _ { i } } x _ { _ { j } } \partial _ { _ { k } } = \sqrt { 2 \lambda } ( \sigma _ { _ { 1 } } I _ { _ { 1 } } + \sigma _ { _ { 2 } } I _ { _ { 2 } } + \alpha \sigma _ { _ { 3 } } I _ { _ { 3 } } + \alpha I ) ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { \mathrm { - } 1 } ^ { R } } { d t } } & { = - c _ { \mathrm { - } 1 } ^ { R } + \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } F _ { 1 } \cos { \gamma } } \\ { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { \mathrm { - } 1 } ^ { I } } { d t } } & { = - c _ { \mathrm { - } 1 } ^ { I } - \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } F _ { 1 } \sin { \gamma } } \end{array}
\frac { d r _ { s } } { d \tau } = v _ { r } ( r = r _ { s } ) = - q _ { \infty } \frac { 1 + | \Delta \, q | } { r _ { s } } \Rightarrow - \frac { r _ { s } ^ { 2 } ( z = z _ { j e t } ) } { 2 \, q _ { \infty } } = - \tau - \int _ { 0 } ^ { \tau } | \Delta \, q ( z = z _ { j e t } ( \tau ) ) | \, d \tau ^ { \prime } \, .
\begin{array} { r l } { \theta _ { l e x } ( r ) } & { \leq 2 \Bigg ( 2 C o v \left( \boldsymbol { Z } _ { 0 } ( 0 , 0 ) , \boldsymbol { Z } _ { 0 } \left( r \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { c } { \sqrt { 2 } } \right) , r \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { c } { \sqrt { 2 } } \right) \right) \right) } \\ & { \qquad + 2 C o v \left( \boldsymbol { Z } _ { 0 } ( 0 , 0 ) , \boldsymbol { Z } _ { 0 } \left( r \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { c } { \sqrt { 2 } } \right) , - r \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { c } { \sqrt { 2 } } \right) \right) \right) \Bigg ) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { n ^ { \vec { w } } ( \boldsymbol { r } ) : = } & { { } \sum _ { k } f _ { k } ^ { \vec { w } } n _ { k } ( \boldsymbol { r } ) \; , } & { f _ { k } ^ { \vec { w } } : = } & { { } \sum _ { \kappa } w _ { \kappa } \theta _ { k } ^ { \kappa } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } + \rho \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } } & { { } = 0 , } \\ { \rho \dot { v } _ { i } + \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \Pi } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 , } \\ { \dot { T } + \frac { 2 m } { D k _ { \textrm { B } } \rho } \Big ( p + \Pi \Big ) \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } } & { { } = 0 , } \\ { \tau _ { \Pi } \dot { \Pi } + \Pi + \eta \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } + \frac { 5 D - 6 } { 3 D } \Pi \tau _ { \Pi } \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } } & { { } = 0 , } \end{array}