harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\delta _ { L L \chi _ { j } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \sum _ { J = 1 } ^ { 3 } \sum _ { K = 1 } ^ { 3 } ( 1 - \delta _ { J K } ) \frac { ( M _ { U i } ^ { 2 } - M _ { U } ^ { 2 } ) } { M _ { U } ^ { 2 } } Z _ { U } ^ { K i } V _ { s K } Z _ { U } ^ { J i * } V _ { b J } ^ { * }
\langle T v , T w \rangle = \langle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \langle v _ { i } , v \rangle T v _ { i } , \sum _ { j = 1 } ^ { m } \langle v _ { j } , w \rangle T v _ { j } \rangle = \sum _ { i , j } \overline { { \langle v _ { i } , v \rangle } } \langle v _ { j } , w \rangle \langle T v _ { i } , T v _ { j } \rangle = \sum _ { i , j } \overline { { \langle v _ { i } , v \rangle } } \langle v _ { j } , w \rangle \delta _ { i j } = \sum _ { i , j } \overline { { \langle v _ { i } , v \rangle } } \langle v _ { j } , w \rangle = \langle v , w \rangle .
\overline { { A } } _ { 2 } : = \frac { 1 } { n \Delta _ { n } } \sum _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } = 1 } ^ { n } \sum _ { i _ { 2 } , j _ { 2 } = 1 } ^ { n } K _ { \theta } \left( i _ { 1 } - j _ { 1 } \right) K _ { \theta } \left( i _ { 2 } - j _ { 2 } \right) \cdot \check { C } ( i _ { 1 } - i _ { 2 } ) \overline { { \check { C } ( j _ { 1 } - j _ { 2 } ) } } .
\displaystyle \frac { \left( a _ { \mathrm { E x p } } \omega ^ { b _ { \mathrm { E x p } } } - a _ { \mathrm { F E } } \omega ^ { b _ { \mathrm { F E } } } \right) } { a _ { \mathrm { E x p } } \omega ^ { b _ { \mathrm { E x p } } } } \times 1 0 0
\begin{array} { r l } & { A ^ { n + 1 } = A ^ { n } - \Delta t \sum _ { k = 1 } ^ { s } \tilde { b } _ { k } \, \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( k ) } } \\ & { ( A u ) ^ { n + 1 } = ( A u ) ^ { n } - \Delta t \sum _ { k = 1 } ^ { s } \tilde { b } _ { k } \partial _ { x } \frac { \left[ ( A u ) ^ { ( k ) } \right] ^ { 2 } } { A ^ { ( k ) } } - \Delta t \sum _ { k = 1 } ^ { s } \tilde { b } _ { k } \frac { A ^ { ( k ) } } { \rho } \partial _ { x } p ^ { ( k ) } } \\ & { p ^ { n + 1 } = p ^ { n } - \Delta t \sum _ { k = 1 } ^ { s } b _ { k } E _ { 0 } G ( A ^ { ( k ) } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( k ) } - \Delta t \sum _ { k = 1 } ^ { s } b _ { k } \frac { 1 } { \tau _ { r } } \left( p ^ { ( k ) } - F ( A ^ { ( k ) } ) \right) . } \end{array}
\alpha _ { E } ^ { p } = 1 0 \beta _ { M } ^ { p } = { \frac { 5 \alpha g _ { A } ^ { 2 } } { 9 6 \pi F _ { \pi } ^ { 2 } m _ { \pi } } } = 1 2 . 2 \times 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { f m } ^ { 3 }
2 \Delta u _ { s } = - 0 . 2 2 9 \pm 0 . 0 2 1 \quad 2 \Delta d _ { s } = - 0 . 2 5 7 \pm 0 . 0 3 3 \quad 2 \Delta s _ { s } = - 0 . 1 5 0 \pm 0 . 0 9 0
\begin{array} { r l } & { \int _ { I _ { n } } \left( \boldsymbol { \alpha } _ { h p } ^ { \prime \prime } , \varphi \right) d t = \int _ { I _ { n } } \left( \boldsymbol { \widetilde { \mathcal { F } } } ( t , \boldsymbol { \alpha } _ { h p } ) , \varphi \right) d t , \quad \forall \varphi \in P _ { r _ { n } - 2 } ( I _ { n } , \mathbb { R } ^ { M } ) , } \\ & { \boldsymbol { \alpha } _ { h p } | _ { I _ { n } } ( t _ { n - 1 } ) = \boldsymbol { \alpha } _ { h p } | _ { I _ { n - 1 } } ( t _ { n - 1 } ) , \quad \boldsymbol { \alpha } _ { h p } ^ { \prime } | _ { I _ { n } } ( t _ { n - 1 } ) = \boldsymbol { \alpha } _ { h p } ^ { \prime } | _ { I _ { n - 1 } } ( t _ { n - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( \tilde { X } _ { m } = p \, \cap \, \tilde { X } _ { n } = p - 1 ) = p \times \mathbb { P } ( X _ { m } = 2 ) , } \\ & { \mathbb { P } ( \tilde { X } _ { m } = p \, \cap \, \tilde { X } _ { n } = p ) = ( 1 - p ) \times \mathbb { P } ( X _ { m } = 2 ) , } \\ & { \mathbb { P } ( \tilde { X } _ { m } = p - 1 \, \cap \, \tilde { X } _ { n } = p - 1 ) = 1 - \mathbb P ( X _ { n } = 2 ) - p \, \mathbb { P } ( X _ { m } = 2 ) , } \\ & { \mathbb { P } ( \tilde { X } _ { m } = p - 1 \, \cap \, \tilde { X } _ { n } = p ) = \mathbb P ( X _ { n } = 2 ) - ( 1 - p ) \, \mathbb P ( X _ { m } = 2 ) . } \end{array}
\mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } - \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { E } } \big ( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E } \scriptscriptstyle \mathrm { E } } + \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S C } } \big ) ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E } \scriptscriptstyle \mathrm { T } }
\begin{array} { r l r } { D _ { 1 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { \omega _ { m } ^ { A } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \omega _ { m } ^ { A } } & { - \gamma _ { m } ^ { A } } & { \mu _ { A } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \kappa _ { A } } & { \Delta _ { A } } & { 0 } & { 0 } \\ { S _ { A } } & { 0 } & { \Delta _ { A } } & { - \kappa _ { A } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \omega _ { m } ^ { B } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \omega _ { m } ^ { B } } \end{array} \right) , \quad \quad D 2 = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { J } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - J } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \gamma _ { m } ^ { B } } & { \mu _ { B } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { D 3 } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { J } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - J } & { 0 } & { S _ { B } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \mu ^ { A } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \quad D 4 = \left( \begin{array} { l l l l l l } { - \kappa _ { B } } & { \Delta _ { B } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \Delta _ { B } } & { - \kappa _ { B } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \gamma _ { s m } ^ { A } } & { \Omega ^ { A } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Omega ^ { A } } & { - \gamma _ { s m } ^ { A } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \gamma _ { s m } ^ { B } } & { - \Omega ^ { B } } \\ { \mu ^ { B } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Omega ^ { B } } & { - \gamma _ { s m } ^ { B } } \end{array} \right) } \end{array}
\sigma _ { _ { X = Y } } = \frac { 2 \sqrt { - \zeta _ { 4 } \left( 2 \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } + \sqrt { 2 } \zeta _ { 1 } \right) } } { A \zeta _ { 4 } } + O ( \theta ^ { 2 } ) ,
{ \cal L } _ { m a s s } ^ { I = 0 } = { \cal L } _ { m a s s } ^ { I = 1 / 2 , 1 } - c \mathrm { T r } ( N ) \mathrm { T r } ( N ) - d \mathrm { T r } ( N ) \mathrm { T r } ( N { \cal M } ) - c ^ { \prime } \mathrm { T r } ( N ^ { \prime } ) \mathrm { T r } ( N ^ { \prime } ) - d ^ { \prime } \mathrm { T r } ( N ^ { \prime } ) \mathrm { T r } ( N ^ { \prime } { \cal M } ) - g G ^ { 2 }
e _ { i } + e _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { e _ { j + ( i - 3 ) / 2 } + e _ { 3 } } & { \mathrm { i f ~ 2 < ~ i \leq ~ 2 r + 1 ~ i s ~ o d d ~ a n d ~ } i + 2 j \leq 6 r + 3 } \\ { e _ { 3 r } + e _ { i + 2 j - 6 r } } & { \mathrm { i f ~ 2 < ~ i \leq ~ 2 r + 1 ~ i s ~ o d d ~ a n d ~ } i + 2 j > 6 r + 3 } \\ { e _ { j - 1 + i / 2 } + e _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ 2 \leq ~ i \leq ~ 2 r + 1 ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ } i + 2 j \leq 6 r + 2 } \\ { e _ { 3 r } + e _ { i + 2 j - 6 r } } & { \mathrm { i f ~ 2 \leq ~ i \leq ~ 2 r + 1 ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ } i + 2 j > 6 r + 2 } \\ { e _ { 3 r } + e _ { 2 i + 2 j - 8 r - 1 } } & { \mathrm { i f ~ 2 r + 1 < ~ i < 3 r ~ , ~ a n d ~ i + j \leq ~ 5 r + 1 ~ } } \\ { e _ { 3 r } + e _ { i + j - 3 r } } & { \mathrm { i f ~ 2 r + 1 < ~ i < 3 r ~ , ~ a n d ~ i + j > ~ 5 r + 1 ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { f _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } \left( \boldsymbol { x } + \boldsymbol { c } ^ { \alpha } \Delta { t } , t + \Delta { t } \right) } & { = } \\ { \hat { f } _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) - \frac { 1 } { \tau } } & { \left[ \hat { f } _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) - f _ { \mathrm { e q } , \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( } & { \xi ^ { ( 1 ) } ( t ) - \xi ^ { ( 3 ) } ( t ) \leq \lambda _ { t } \mathrm { ~ a n d ~ } \xi ^ { ( 1 ) } ( t ) > y _ { t } ) } \\ & { = \int _ { y _ { t } } ^ { \infty } \mathrm d \rho _ { t } ( \xi ) \mathbb { P } ( \Pi ( A _ { t } ( \xi ) ) = \varnothing ) \mathbb { P } ( | \Pi ( A _ { t } ( \xi - \lambda _ { t } ) ) \setminus \Pi ( A _ { t } ( \xi ) ) | \geq 2 ) } \\ & { \leq \int _ { y _ { t } } ^ { \infty } \mathrm d \rho _ { t } ( \xi ) \mathbb { P } ( \Pi ( A _ { t } ( \xi ) ) = \varnothing ) ( \pi ( A _ { t } ( \xi - \lambda _ { t } ) ) - \pi ( A _ { t } ( \xi ) ) ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \ln r _ { 1 } ] } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \ln r _ { 1 } f ( r _ { 1 } ) d r _ { 1 } } \\ & { \stackrel { { ( a ) } } { = } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ln ( r _ { 1 } ) 2 \pi \lambda _ { B S } r _ { 1 } e ^ { - \pi \lambda _ { B S } r _ { 1 } ^ { 2 } } d r _ { 1 } } \\ & { \stackrel { { ( b ) } } { = } \frac { 1 } { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - y } \ln y d y - \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - y } \ln ( \pi \lambda _ { B S } ) d y \right) } \\ & { = - \frac { \gamma + \ln \pi \lambda _ { B S } } { 2 } } \end{array}
J [ { \hat { \xi } } ] = { \frac { 1 } { 8 \pi G } } \oint _ { r = r _ { + } } \! \! d ^ { 2 } x \, \Bigl \{ n ^ { a } \nabla _ { a } { \hat { \xi } } ^ { t } \sqrt { \sigma } + { \hat { \xi } } ^ { a } \pi _ { a } { } ^ { r } \Bigr \} .
\overbrace { \underbrace { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } _ { \begin{array} { l } { { \mathrm { V a r i a t i o n } } } \end{array} } + \underbrace { ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } } _ { \begin{array} { l } { { \mathrm { C o n v e c t i o n } } } \end{array} } } ^ { \mathrm { I n e r t i a ~ ( p e r ~ v o l u m e ) } } \overbrace { - \underbrace { \nu \, \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } } _ { \mathrm { D i f f u s i o n } } = \underbrace { - \nabla w } _ { \begin{array} { l } { { \mathrm { I n t e r n a l } } } \\ { { \mathrm { s o u r c e } } } \end{array} } } ^ { \mathrm { D i v e r g e n c e ~ o f ~ s t r e s s } } + \underbrace { \mathbf { g } } _ { \begin{array} { l } { { \mathrm { E x t e r n a l } } } \\ { { \mathrm { s o u r c e } } } \end{array} } .
\frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } { T r _ { R } } F { ( - 1 ) } ^ { F } q ^ { L _ { o } - \frac { c } { 2 4 } } { \bar { q } } ^ { { \bar { L } } _ { o } - \frac { c } { 2 4 } } \; = \; - 2 i \frac { E _ { 4 } \; E _ { 6 } } { \Delta } ,
\begin{array} { r l r } { a _ { k l } } & { = } & { \frac { n _ { l } } { C _ { k l } \, \gamma _ { k l } ^ { 2 } } \, \Lambda _ { k l } \, , } \\ { \vec { b } _ { k l } } & { = } & { \frac { m _ { k } \vec { u } _ { k } + m _ { l } \vec { u } _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, , } \\ { u _ { k l } } & { = } & { \left| \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { l } \right| \, , } \\ { a _ { k m } } & { = } & { \frac { n _ { m } } { C _ { k m } \, \gamma _ { k m } ^ { 2 } } \, \Lambda _ { k m } \, , } \\ { \vec { b } _ { k m } } & { = } & { \frac { m _ { k } \vec { u } _ { k } + m _ { m } \vec { u } _ { m } } { m _ { k } + m _ { m } } \, , } \\ { u _ { k m } } & { = } & { \left| \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { m } \right| } \end{array}
\left\{ x \in \mathbb { R } ^ { d } ; \frac { \theta \underline { { c } } } { 3 ( 1 - r ) } ( U ^ { 1 - r } ( x ) - U ^ { 1 - r } ( x ^ { \star } ) ) - 8 d \sigma ^ { 2 } \theta \bar { c } U ^ { - r } ( x ) > M \right\} \bigcap \left\{ x \in \mathbb { R } ^ { d } ; U ( x ) \ge \frac { 8 \gamma K \sigma ^ { 2 } \bar { c } } { 1 - r } \right\} \subset { \cal C } _ { M } ^ { c } .
\begin{array} { r l r l r } { a _ { h } ^ { V M S } ( ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { g } } } } _ { h } ) , ( \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) ) } & { } & & { } \\ { + b _ { 2 h } ( \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } , ( \underline { { u } } _ { h } , \underline { { \hat { u } } } _ { h } , \underline { { \underline { { \gamma } } } } _ { h } ) ) } & { = 0 } & & { \forall ( \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) \in \Sigma _ { h } \times L _ { h } , } & \\ { ( \frac { \partial \underline { { u } } _ { h } } { \partial t } , \underline { { v } } _ { h } ) + b _ { 2 h } ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } , ( \underline { { v } } _ { h } , \underline { { \hat { v } } } _ { h } , \underline { { \underline { { \eta } } } } _ { h } ) ) } & { } & & { } \\ { + b _ { 1 h } ( \underline { { v } } _ { h } , p _ { h } ) + c _ { h } ( \underline { { u } } _ { h } , \underline { { u } } _ { h } , \underline { { v } } _ { h } ) } & { = ( \underline { { f } } , \underline { { v } } _ { h } ) } & & { \forall ( \underline { { v } } _ { h } , \underline { { \hat { v } } } _ { h } , \underline { { \underline { { \gamma } } } } _ { h } ) \in V _ { h } \times \hat { V } _ { h } \times W _ { h } , } & \\ { b _ { 1 h } ( \underline { { u } } _ { h } , q _ { h } ) } & { = 0 } & & { \forall q _ { h } \in Q _ { h } . } & \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { \hat { D } _ { \alpha _ { 0 } } \hat { x } \hat { D } _ { \alpha _ { 0 } } ^ { \dagger } = \hat { x } - x _ { 0 } \ \mathrm { w i t h } \ x _ { 0 } = \langle \alpha _ { 0 } | \hat { x } | \alpha _ { 0 } \rangle } \\ { \hat { D } _ { \alpha _ { 0 } } \hat { p } \hat { D } _ { \alpha _ { 0 } } ^ { \dagger } = \hat { p } - p _ { 0 } \ \mathrm { w i t h } \ p _ { 0 } = \langle \alpha _ { 0 } | \hat { p } | \alpha _ { 0 } \rangle . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x _ { k } ^ { \top } \left( Q + K _ { k } ^ { \top } R K _ { k } \right) x _ { k } + x _ { k + 1 } ^ { \top } P ^ { * } x _ { k + 1 } - x _ { k } ^ { \top } P ^ { * } x _ { k } } \\ { = } & { x _ { k } ^ { \top } \left[ Q + K _ { k } ^ { \top } R K _ { k } + ( A + B K _ { k } ) ^ { \top } P ^ { * } ( A + B K _ { k } ) - P ^ { * } \right] x _ { k } } \\ & { \quad + 2 s _ { k } ^ { \top } P ^ { * } ( A + B K _ { k } ) x _ { k } + s _ { k } ^ { \top } P ^ { * } s _ { k } } \\ { = } & { x _ { k } ^ { \top } ( K _ { k } - K ^ { * } ) ^ { \top } ( R + B ^ { \top } P ^ { * } B ) ( K _ { k } - K ^ { * } ) x _ { k } + } \\ & { \quad 2 s _ { k } ^ { \top } P ^ { * } ( A + B K _ { k } ) x _ { k } + s _ { k } ^ { \top } P ^ { * } s _ { k } , } \end{array}
= \int D \varphi \exp \left\{ - \int d ^ { 3 } x \left[ \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \left( \partial _ { \mu } \varphi - \frac 1 2 \partial _ { \mu } \eta \right) ^ { 2 } - 2 \zeta \cos \varphi \right] \right\} ,
\begin{array} { r l } { R ^ { { \tilde { W } _ { j } } } } & { = R ^ { M } - 2 \mathrm { R i c } ^ { M } \left( \partial _ { \tilde { r } } , \partial _ { \tilde { r } } \right) \sin ^ { 2 } \tilde { \theta } + ( n - 2 ) ( n - 1 ) \left( \frac { 1 } { \tilde { r } ^ { 2 } } + O ( 1 ) \right) \sin ^ { 2 } \tilde { \theta } } \\ & { \quad \quad - ( n - 1 ) \left( \frac { 1 } { \tilde { r } } + O ( r ) \right) \tilde { k } \sin \tilde { \theta } } \\ & { = R ^ { M } } \\ & { > \kappa - \frac { 1 } { j } . } \end{array}
\omega _ { q } ^ { 2 } = g q + \frac { \sigma _ { \mathrm { H e } } } { \rho _ { \mathrm { H e } } } q ^ { 3 } + \frac { \left( \varepsilon - 1 \right) ^ { 2 } } { 4 \pi \rho _ { \mathrm { H e } } \varepsilon \left( \varepsilon + 1 \right) } \left( \varepsilon E _ { | | } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta - E _ { \perp } ^ { 2 } \right) q ^ { 2 } ,
\ensuremath { \mathbb E } ( B - \ensuremath { \mathbb E } B ) ^ { 2 } \preceq \ensuremath { \mathbb E } B ^ { 2 } = \left[ \begin{array} { c c } { \ensuremath { \mathbb E } [ A A ^ { * } ] } & { 0 } \\ { 0 } & { \ensuremath { \mathbb E } [ A ^ { * } A ] } \end{array} \right] \preceq \left[ \begin{array} { c c } { V } & { 0 } \\ { 0 } & { V ^ { \prime } } \end{array} \right] = : V ^ { \prime \prime } .
\begin{array} { r } { \gamma _ { 0 } Q _ { t t } + [ ( \gamma _ { 1 } Q + \gamma _ { 2 } P ) _ { t } + ( \gamma _ { 3 } Q + \gamma _ { 4 } P ) _ { x x x } + ( \gamma _ { 5 } Q + \gamma _ { 6 } P ) Q _ { x } \qquad \qquad } \\ { + ( \gamma _ { 7 } Q + \gamma _ { 8 } P ) P _ { x } ] _ { x } + \gamma _ { 9 } Q _ { y y } + \gamma _ { 1 0 } Q _ { y t } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d ^ { 2 } W } { d \omega d \Omega } = \frac { c R ^ { 2 } } { \pi \mu _ { 0 } } | i \vec { k } \times \vec { A } _ { \omega } ( R ) | ^ { 2 } = \frac { c R ^ { 2 } } { \pi \mu _ { 0 } } | k A _ { \omega } ( R ) \sin \theta | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { H = \partial _ { ( x , u ) } h ( x , u ) \in \mathbb { R } ^ { N m \times ( N n _ { x } + n _ { u } ) } } & { \mathrm { \small ~ J a c o b i a n ~ o f ~ t h e ~ i n e q u a l i t y ~ c o n s . } } \\ & { G = \partial _ { ( x , u ) } g ( x , u ) \in \mathbb { R } ^ { N n _ { x } \times ( N n _ { x } + n _ { u } ) } } & { \mathrm { \small ~ J a c o b i a n ~ o f ~ t h e ~ e q u a l i t y ~ c o n s . } } \\ & { W = \nabla _ { ( x , u ) } ^ { 2 } L ( x , u , s ; \cdot ) \in \mathbb { R } ^ { ( N n _ { x } + n _ { u } ) \times ( N n _ { x } + n _ { u } ) } } & { \mathrm { \small ~ H e s s i a n ~ o f ~ L a g r a n g i a n . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { i \left( \Omega _ { \mathrm { R M P } } + n \Omega \right) \xi = v + ( \xi \cdot \nabla \Omega ) R \hat { \phi } , } \\ & { } & { i \rho \left( \Omega _ { \mathrm { R M P } } + n \Omega \right) v = - \nabla p + j \times B + J \times b - \rho [ 2 \Omega \hat { Z } \times v } \\ & { } & { \qquad + ( v \cdot \nabla \Omega ) R \hat { \phi } ] - \rho \kappa _ { \| } \left| k _ { \| } v _ { t h , i } \right| \left[ v + ( \xi \cdot \nabla ) V _ { 0 } \right] _ { \| } , } \\ & { } & { i \left( \Omega _ { \mathrm { R M P } } + n \Omega \right) b = \nabla \times ( v \times B ) + ( b \cdot \nabla \Omega ) R \hat { \phi } - \nabla \times ( \eta j ) , } \\ & { } & { i \left( \Omega _ { \mathrm { R M P } } + n \Omega \right) p = - v \cdot \nabla P - \Gamma P \nabla \cdot v , } \\ & { } & { j = \nabla \times b , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ( X _ { t } + d X _ { t } ) = g ( X _ { t } ) + d X _ { t } g ^ { \prime } ( X _ { t } ) + \frac { ( d X _ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } g ^ { \prime \prime } ( X _ { t } ) + \cdot \cdot \cdot } \\ & { + \frac { ( d X _ { t } ) ^ { ( n - 1 ) } } { ( n - 1 ) ! } g ^ { ( n - 1 ) } ( X _ { t } ) + \frac { ( d X _ { t } ) ^ { n } } { n ! } g ^ { ( n ) } ( X _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { D _ { ( s ) } ^ { + } } = \frac { \Gamma ( D _ { ( s ) } ^ { + } \to \tau ^ { + } \nu _ { \tau } ) } { \Gamma ( D _ { ( s ) } ^ { + } \to \mu ^ { + } \nu _ { \mu } ) } = \frac { m _ { \tau ^ { + } } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { m _ { \tau ^ { + } } ^ { 2 } } { m _ { D _ { ( s ) } ^ { + } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } { m _ { \mu ^ { + } } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { m _ { \mu ^ { + } } ^ { 2 } } { m _ { D _ { ( s ) } ^ { + } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\hat { \chi } = \sum _ { M = 1 } ^ { n } \left( \bar { z } _ { + } ^ { M } \, \, \bar { z } _ { - } ^ { M } \right) \Big ( \begin{array} { c c } { { \mathrm { e } ^ { V } } } \end{array} \Big ) \left( \begin{array} { c } { { z _ { + } ^ { M } } } \\ { { z _ { - } ^ { M } } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r } { u ( x , t ) = 2 \frac { e ^ { 2 \delta _ { d } } ( 1 - \sqrt { | \lambda | } ) ^ { 2 } + e ^ { - 2 \delta _ { d } } ( 1 + \sqrt { | \lambda | } ) ^ { 2 } + 2 \cosh ( 2 \sqrt { | \lambda | } \xi _ { 2 } ) + 2 | \lambda | \cosh ( 2 \xi _ { 1 } ) } { [ e ^ { - \sqrt { | \lambda | } \xi _ { 2 } } \cosh ( \xi _ { 1 } + \delta _ { d } ) + e ^ { \sqrt { | \lambda | } \xi _ { 2 } } \cosh ( \xi _ { 1 } - \delta _ { d } ) ] ^ { 2 } } , } \end{array}
{ { \varepsilon } _ { 0 } } = 2 { { \nu } _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { { { k } ^ { 2 } } { { E } ^ { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } } ( k ) d k } , { { \eta } _ { 0 } } = { { \left( { { { \nu } _ { 0 } } ^ { 3 } } / { { { \varepsilon } _ { 0 } } } \; \right) } ^ { { 1 } / { 4 } \; } } ,
\begin{array} { r } { \sigma ( \omega ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \sum _ { \mu \in \{ x , y , z \} } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | \ensuremath { \langle \Psi _ { 0 } \vert } \hat { P } _ { \mu } \ensuremath { \vert \Psi _ { n } \rangle } | ^ { 2 } \; \delta ( \omega - ( E _ { n } - E _ { 0 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { x } \varphi ( y , x ) } & { = D _ { x } \varphi ( y , x _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } D _ { x } ^ { 2 } \varphi ( y , ( 1 - s ) x _ { 0 } + s x ) ( x - x _ { 0 } ) \mathrm { d } s } \\ & { = D _ { x } \varphi ( y _ { 0 } , x _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } D _ { y } D _ { x } \varphi ( ( 1 - s ) y _ { 0 } + s y , x _ { 0 } ) ( y - y _ { 0 } ) \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } D _ { x } ^ { 2 } \varphi ( y , ( 1 - s ) x _ { 0 } + s x ) ( x - x _ { 0 } ) \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { N } \zeta \| _ { L _ { t , x } ^ { 1 } ( I ) } } & { \lesssim \| \psi ^ { 3 } \zeta \| _ { L _ { t , x } ^ { 1 } ( I ) } + \| \psi \zeta ^ { 3 } \| } \\ & { \lesssim \delta \| \zeta \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } ( I ) } ^ { 4 } + C _ { \delta } \| \psi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } ( I ) } ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { n _ { e } \, n _ { k } \, \sigma _ { C } ^ { k e } v _ { k } \approx 2 5 . 0 \cdot 1 0 ^ { 5 6 } \, \, \, 1 0 ^ { - 2 6 } \, \, \, 2 . 0 \cdot 1 0 ^ { 7 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } \, \mathrm { m } ^ { - 3 } \, \approx 5 . 0 \cdot 1 0 ^ { 8 } \, \mathrm { p s } ^ { - 1 } \, \mu \mathrm { m } ^ { - 3 } \, , } \\ & { } & { n _ { l } \, n _ { k } \, \sigma _ { C } ^ { k l } v _ { k } \approx 2 5 . 0 \cdot 1 0 ^ { 5 6 } \, \, \, 2 . 0 \cdot 1 0 ^ { - 2 8 } \, \, \, 2 . 0 \cdot 1 0 ^ { 7 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } \, \mathrm { m } ^ { - 3 } \, \approx 1 0 ^ { 7 } \, \mathrm { p s } ^ { - 1 } \, \mu \mathrm { m } ^ { - 3 } \, , } \\ & { } & { n _ { l } \, n _ { k } \, \sigma _ { R } ^ { k l } v _ { k } \approx 2 5 . 0 \cdot 1 0 ^ { 5 6 } \, \, \, 1 0 ^ { - 2 8 } \, \, \, 2 . 0 \cdot 1 0 ^ { 7 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } \, \mathrm { m } ^ { - 3 } \, \approx 5 . 0 \cdot 1 0 ^ { 6 } \, \mathrm { p s } ^ { - 1 } \, \mu \mathrm { m } ^ { - 3 } \, , } \\ & { } & { v _ { k } \approx 2 . 0 \cdot 1 0 ^ { 7 } \, \mathrm { m / s } \Rightarrow { \cal R } _ { k } \approx 2 . 0 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \, \mathrm { m } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \widehat { \gamma } _ { j , \mathtt { R B } } \widehat { \omega } _ { j } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \widehat { \gamma } _ { j , \mathtt { R B } } \mathbf { 1 } _ { j \in \mathcal { S } _ { \lambda } } \right] = \gamma _ { j } \omega _ { j } , \quad \omega _ { j } = 1 - \Phi \left( \frac { \lambda - \frac { \gamma _ { j } } { \sigma _ { X _ { j } } } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } } \right) + \Phi \left( \frac { - \lambda - \frac { \gamma _ { j } } { \sigma _ { X _ { j } } } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } } \right) , } \end{array}
\vert \Xi _ { i } ^ { \prime } \vert ^ { 2 } \leq \frac { ( \ensuremath { \mathrm { ~ K ~ n ~ } } \tau ) ^ { 2 } } { \operatorname* { m i n } _ { k } ( \lambda _ { k } - \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } \Xi _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathcal C _ { s } \mathcal C _ { s } ^ { \dagger } \Xi _ { i } ,