harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ G ^ { \alpha \beta } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } F _ { \gamma \delta } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - B _ { x } } & { - B _ { y } } & { - B _ { z } } \\ { B _ { x } } & { 0 } & { E _ { z } / c } & { - E _ { y } / c } \\ { B _ { y } } & { - E _ { z } / c } & { 0 } & { E _ { x } / c } \\ { B _ { z } } & { E _ { y } / c } & { - E _ { x } / c } & { 0 } \end{array} \right] } }
\begin{array} { r } { \Psi _ { L } ( x ) = \frac { x ( 2 - 3 a + 4 a \lambda ) } { 2 ( 1 + a ( - 1 + \lambda ) ) ( - 2 + x + 2 a - 2 a \lambda ) } + \log \left| \frac { ( - 2 + x + 2 a - 2 a \lambda ) ( - a + 2 a \lambda ) } { ( - 2 + 2 a - 2 a \lambda ) ( x - a + 2 a \lambda ) } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left| \left( a _ { 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } W _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right) + \left( a _ { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } . ( I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , A } \, V _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right) + \left( a _ { 3 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } B _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right) \right| ^ { 2 + \delta } } \\ { \leq } & { 3 ^ { 1 + \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | a _ { 1 } | ^ { 2 + \delta } \mathbb { E } \left| \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } W _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right| ^ { 2 + \delta } } \\ { + } & { 3 ^ { 1 + \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | a _ { 2 } | ^ { 2 + \delta } \mathbb { E } \left| \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } . ( I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , A } \, V _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right| ^ { 2 + \delta } } \\ { + } & { 3 ^ { 1 + \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | a _ { 3 } | ^ { 2 + \delta } \mathbb { E } \left| \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } B _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right| ^ { 2 + \delta } } \\ { \leq } & { 3 ^ { 1 + \delta } m ^ { 1 + \delta } | a _ { 1 } | ^ { 2 + \delta } \sum _ { l = 1 } ^ { m } | \alpha _ { l } | ^ { 2 + \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left| W _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right| ^ { 2 + \delta } } \\ { + } & { 3 ^ { 1 + \delta } m ^ { 1 + \delta } | a _ { 2 } | ^ { 2 + \delta } \sum _ { l = 1 } ^ { m } | \alpha _ { l } | ^ { 2 + \delta } \mathbb { E } \left| ( I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , A } \right| ^ { 2 + \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left| V _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right| ^ { 2 + \delta } } \\ { + } & { 3 ^ { 1 + \delta } m ^ { 1 + \delta } | a _ { 3 } | ^ { 2 + \delta } \sum _ { l = 1 } ^ { m } | \alpha _ { l } | ^ { 2 + \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left| B _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right| ^ { 2 + \delta } } \\ & { \xrightarrow { n \to \infty } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( \vert \hat { \rho } \rangle \rangle ) } & { { } = O \left( N \left( \frac { \beta N ^ { \gamma } } { N } \right) ^ { 2 } \log _ { 2 } { \left( \frac { \beta N ^ { \gamma } } { N } \right) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta { E } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) = } & { - \frac { Z \alpha \lambda ( 2 \lambda \sqrt { C _ { 1 } } ) ^ { 2 \gamma } B _ { 1 } } { \gamma ^ { 2 } } } \\ & { \times _ { 2 } F _ { 1 } \left( 2 \gamma , 2 \gamma ; 1 + 2 \gamma ; - 2 \lambda \sqrt { C _ { 1 } } \right) \, , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { A } } ^ { ( i ) } = \frac { \mu _ { 0 } \hbar \gamma _ { \mathrm { N V } } \gamma _ { i } } { 4 \pi } \frac { 1 } { r _ { i } ^ { 3 } } ( 1 - 3 \cos ^ { 2 } { \theta _ { i } } ) \hat { T } _ { z } \hat { S } _ { z } ^ { ( i ) }
\begin{array} { r l } { M _ { t } ^ { i } } & { = \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( 0 ) Y _ { 0 } ^ { j } + \int _ { 0 } ^ { t } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) \textrm { d } Y _ { s } ^ { j } + \int _ { 0 } ^ { t } Y _ { s } ^ { j } \textrm { d } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) } \\ & { = \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( 0 ) Y _ { 0 } ^ { j } + \sqrt { 2 \nu } \int _ { 0 } ^ { t } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) 1 _ { \{ s < T _ { \xi } \} } \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \cdot \textrm { d } B _ { s } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) 1 _ { \{ s < T _ { \xi } \} } \left( A _ { k } ^ { j } W _ { \varepsilon } ^ { k } + g _ { \varepsilon } ^ { j } \right) ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \textrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { t } W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { s \wedge T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - s ) \textrm { d } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) } \\ & { = \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( 0 ) Y _ { 0 } ^ { j } + \sqrt { 2 \nu } \int _ { 0 } ^ { t } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) 1 _ { \{ s < T _ { \xi } \} } \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \cdot \textrm { d } B _ { s } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } 1 _ { \{ s < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) g _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \textrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } 1 _ { \{ s < T _ { \xi } \} } W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \left( - \tilde { Q } _ { k } ^ { i } ( s ) q _ { j } ^ { k } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \textrm { d } s + \textrm { d } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) \right) } \end{array}
W _ { \mu \nu } ^ { [ S ] } = \left( - g _ { \mu \nu } + \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } } { q ^ { 2 } } \right) W _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) + \left( P _ { \mu } - \frac { P \cdot q } { q ^ { 2 } } q _ { \mu } \right) \left( P _ { \nu } - \frac { P \cdot q } { q ^ { 2 } } q _ { \nu } \right) \frac { W _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } { m _ { p } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { a = } & { \left\{ \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } \right\} _ { [ - 1 , 1 ] } , \quad b = \left\{ - \frac { 1 } { 8 } , - \frac { 1 } { 4 } , \frac { 3 } { 4 } , - \frac { 1 } { 4 } , - \frac { 1 } { 8 } \right\} _ { [ - 1 , 3 ] } , } \\ { \tilde { a } = } & { \left\{ - \frac { 1 } { 8 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 3 } { 4 } , \frac { 1 } { 4 } , - \frac { 1 } { 8 } \right\} _ { [ - 2 , 2 ] } , \quad \tilde { b } = \left\{ - \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 4 } \right\} _ { [ 0 , 2 ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { ~ R ~ a ~ m ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ n ~ s ~ , ~ s ~ h ~ o ~ } } \approx } & { { } \frac { \hbar } { \Delta m _ { s } g _ { e } \mu _ { B } } \frac { 1 } { C e ^ { - \left( \tau / T _ { 2 } ^ { * } \right) ^ { p } } \sqrt { \mathscr { N } } } } \end{array}
{ \sqrt { - x ^ { 2 } + x + 2 } } = { \frac { 1 - 2 { \sqrt { 2 t } } } { t ^ { 2 } + 1 } } t + { \sqrt { 2 } } = { \frac { - { \sqrt { 2 } } t ^ { 2 } + t + { \sqrt { 2 } } } { t ^ { 2 } + 1 } }
\begin{array} { c c c c c c c c c c l } { { D 2 : } } & { { 1 } } & { { 2 } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \quad \mathrm { p r o b e } \nonumber } } \\ { { F 1 : } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { 4 } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \quad \mathrm { s o l i t o n } \nonumber } } \\ { { D 2 : } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { 3 } } & { { 4 } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \_ } } & { { \quad \mathrm { s o l i t o n . } } } \end{array}
T = \left( \begin{array} { l l } { | \langle { \Psi _ { u } ^ { \mathrm { ~ B ~ o ~ b ~ } } } | \hat { U } | { \Psi _ { v } ^ { \mathrm { ~ A ~ l ~ i ~ c ~ e ~ } } } \rangle | ^ { 2 } } & { | \langle { \Psi _ { u } ^ { \mathrm { ~ B ~ o ~ b ~ } } } | \hat { U } | { \Phi _ { v } ^ { \mathrm { ~ A ~ l ~ i ~ c ~ e ~ } } } \rangle | ^ { 2 } } \\ { | \langle { \Phi _ { u } ^ { \mathrm { ~ B ~ o ~ b ~ } } } | \hat { U } | { \Psi _ { v } ^ { \mathrm { ~ A ~ l ~ i ~ c ~ e ~ } } } \rangle | ^ { 2 } } & { | \langle { \Phi _ { u } ^ { \mathrm { ~ B ~ o ~ b ~ } } } | \hat { U } | { \Phi _ { v } ^ { \mathrm { ~ A ~ l ~ i ~ c ~ e ~ } } } \rangle | ^ { 2 } } \end{array} \right) , \quad u , \, v = \{ 0 0 , \, 0 1 , \, 1 0 , \, 1 1 \} .
\begin{array} { r l } { \theta _ { u _ { n } ; t _ { 0 } } ^ { t } ( v _ { 0 } ) - \theta _ { u _ { 0 } ; t _ { 0 } } ^ { t } ( v _ { 0 } ) } & { = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } D J _ { s } ( \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( u _ { n } ) ) [ \theta _ { u _ { n } ; t _ { 0 } } ^ { s } ( v _ { 0 } ) - \theta _ { u _ { 0 } ; t _ { 0 } } ^ { s } ( v _ { 0 } ) ] d s } \\ & { + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } \left( D J _ { s } ( \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( u _ { n } ) ) [ \theta _ { u _ { 0 } ; t _ { 0 } } ^ { s } ( v _ { 0 } ) ] - D J _ { s } ( \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( u _ { 0 } ) ) [ \theta _ { u _ { 0 } ; t _ { 0 } } ^ { s } ( v _ { 0 } ) ] \right) d s } \end{array}
F ( \phi ^ { 0 } ) = \frac { n ^ { f r } ( \phi ^ { 0 } ) } { P ( \phi ^ { 0 } ) } = \frac { n _ { f r } } { \Delta } \exp \left( - \frac { \left( \phi ^ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 2 } \frac { 1 - \Delta ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { h } & { { } = \left< \mathbf { M } \, , \, { \mathbf { u } } ^ { L } \right> + \alpha ^ { 2 } \left< N \, , \, \omega \right> - \bar { L } _ { M F } - \alpha ^ { 2 } \bar { L } _ { W } } \end{array}
[ x _ { i } , p _ { j } ] = i \delta _ { i j } , \quad [ \tilde { p } _ { i } , \tilde { p } _ { j } ] = \frac { i \kappa } { 4 } \, \epsilon _ { i j } , \quad [ x _ { i } , x _ { j } ] = [ p _ { i } , p _ { j } ] = [ x _ { i } , \tilde { p } _ { j } ] = [ p _ { i } , \tilde { p } _ { j } ] = 0 .
\begin{array} { r c l } { \Delta C _ { t } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \beta _ { t } \frac { S _ { t - 1 } } { N } I _ { t - 1 } ) } \\ { \Delta R c _ { t } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \gamma _ { t } I _ { t - 1 } ) } \\ { \Delta D _ { t } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \nu _ { t } I _ { t - 1 } ) } \\ { \Delta I _ { t } } & { = } & { \Delta C _ { t } - \Delta R c _ { t } - \Delta D _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { o r b } } & { = } & { E [ \rho ] - E [ \rho ^ { 0 } ] } \\ & { = } & { \sum _ { \mu , \nu } \Delta D _ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } [ \rho _ { o r b } ^ { T } ] + O ( \Delta D ^ { 3 } ) } \\ & { = } & { \sum _ { k } \sum _ { \mu , \nu } \Delta D _ { \mu \nu } ^ { ( k ) } F _ { \mu \nu } [ \rho _ { o r b } ^ { T } ] + O ( \Delta D ^ { 3 } ) } \\ & { = } & { \sum _ { k } E ^ { k } + O ( \Delta D ^ { 3 } ) , } \end{array}
\psi _ { a _ { 0 } } \rightarrow ( i ^ { n } ) \gamma _ { a _ { n } a _ { n - 1 } } ^ { \mu _ { n } } \gamma _ { a _ { n - 1 } a _ { n - 2 } } ^ { \mu _ { n - 1 } } \cdots \gamma _ { a _ { 1 } a _ { 0 } } ^ { \mu _ { 1 } } \partial _ { \mu _ { n } } \partial _ { \mu _ { n - 1 } } \cdots \partial _ { \mu _ { 1 } } \psi _ { a _ { 0 } } \, .
\alpha _ { 0 \to 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) } ( \omega _ { \mathrm { { I } } } ) _ { \rho \lambda } = - \frac { 1 } { \hbar } \sum _ { n } \left[ \frac { \langle \psi _ { 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) } | \hat { \mu } _ { \rho } | \psi _ { n } ^ { \prime } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { \prime } | \hat { \mu } _ { \lambda } | \psi _ { 0 } ^ { ( \bar { \nu } ) } \rangle } { \omega _ { \mathrm { { I } } } - \omega _ { n } ^ { \prime } + \omega _ { 0 } ^ { ( \bar { \nu } ) } + i \gamma } - \frac { \langle \psi _ { 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) } | \hat { \mu } _ { \lambda } | \psi _ { n } ^ { \prime } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { \prime } | \hat { \mu } _ { \rho } | \psi _ { 0 } ^ { ( \bar { \nu } ) } \rangle } { \omega _ { \mathrm { { I } } } + \omega _ { n } ^ { \prime } - \omega _ { 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) } - i \gamma } \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N ^ { s } } } & { \sum _ { \kappa = 0 } ^ { N - t } \binom { t + \kappa } { t } \binom { N } { \kappa + t } N ^ { s - 1 } ( \kappa + t ) \cdots ( \kappa + t + s ) C \lceil \ln N \rceil ^ { s } \left( \frac { C } { N } \right) ^ { ( \kappa + t ) ( 1 - \frac { 1 } { \ln N } ) } } \\ & { = \sum _ { \kappa = t } ^ { N } \frac { 1 } { N } \binom { N } { \kappa } \binom { \kappa } { t } \kappa \cdots ( \kappa + s ) C \lceil \ln N \rceil ^ { s } \left( \frac { C } { N } \right) ^ { \kappa ( 1 - \frac { 1 } { \ln N } ) } } \\ & { \leq \frac { C \lceil \ln N \rceil ^ { s } } { N } \sum _ { \kappa = 1 } ^ { N } \binom { N } { \kappa } \kappa \cdots ( \kappa + s + t ) \left( \frac { C } { N } \right) ^ { \kappa ( 1 - \frac { 1 } { \ln N } ) } } \\ & { \leq \frac { C \lceil \ln N \rceil ^ { s } } { N } ( s + t + 2 ) ( s + t + 1 ) ^ { 2 ( s + t + 1 ) } e ^ { C e } ( c e ) ^ { s + t + 1 } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \left( \cfrac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } { a _ { d } ( \kappa ) } - 1 \right) \psi _ { d } ( \beta ) } { \sqrt { 2 \mathrm { K L } ( \kappa , 0 ) } } = - \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \psi _ { d } ( \beta ) } { \sqrt { \cfrac { 2 \mathrm { K L } ( \kappa , 0 ) } { \alpha _ { d } ^ { 2 } ( \kappa ) } } } = 0 .
l _ { i } = \frac { 4 \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } } { { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } _ I ^ { 2 } } \langle B _ { \theta } ^ { 2 } \rangle _ { P } = \frac { 4 \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } R _ { 0 } } { { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } _ I ^ { 2 } R _ { 0 } } \langle B _ { \theta } ^ { 2 } \rangle _ { P } = \frac { 2 V } { { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } _ I ^ { 2 } R _ { 0 } } \langle B _ { \theta } ^ { 2 } \rangle _ { P } .
\Pi _ { \mu \nu } ^ { A B } ( p ) = [ \Pi ^ { \mathrm { T } } ( p ^ { 2 } ) P _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { T } } + \Pi ^ { \mathrm { L } } ( p ^ { 2 } ) P _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { L } } ] \delta ^ { A B } ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { G } _ { \textit { r e l } } = - \frac { \pi \mu L ^ { 3 } } { 3 \ln ( 2 \kappa ) } ( \mathbb { 1 } - \boldsymbol { p } \boldsymbol { p } ) . \boldsymbol { \Omega } _ { \textit { r e l } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \alpha } ( R ) } & { { } = \frac { 2 \alpha ^ { \perp } ( R ) + \alpha ^ { \parallel } ( R ) } { 3 } \, , } \\ { \Delta \alpha ( R ) } & { { } = \alpha ^ { \parallel } ( R ) - \alpha ^ { \perp } ( R ) \, . } \end{array}
\int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \left( \frac { \varepsilon } { c } \frac { \partial I } { \partial t } + \vec { \Omega } \cdot \nabla I \right) d \nu = \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \left[ L _ { a } ^ { \varepsilon } \sigma _ { a } \left( B \left( \nu , T \right) - I \right) \right] d \nu + \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \left[ L _ { s } ^ { \varepsilon } \sigma _ { s } \left( \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 4 \pi } I d \vec { \Omega } - I \right) \right] d \nu
\begin{array} { r } { \tilde { \mathrm { I } } = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ P _ { \tilde { S } , \tilde { u } _ { f } | \tilde { u } _ { 0 } } ( s | \tilde { \alpha } ) \partial _ { \tilde { \alpha } } ^ { 2 } \log P _ { \tilde { S } , \tilde { u } _ { f } | \tilde { u } _ { 0 } } ( s | \tilde { \alpha } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ P _ { \tilde { S } , \tilde { u } _ { f } | \tilde { u } _ { 0 } } ( s | \tilde { \alpha } ) s = \frac { \tilde { u } _ { f } - \tilde { u } _ { 0 } } { \tilde { \alpha } } . } \end{array}
\theta _ { F } ( \omega \sim \Delta ) \approx \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { a \sigma _ { y y } - i a \sigma _ { x y } } { a \sigma _ { y y } + i a \sigma _ { x y } } \right] \approx \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { - i a \sigma _ { x y } } { + i a \sigma _ { x y } } \right] = \frac { \pi } { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal H ( f ) } & { = \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \frac { 1 } { 2 } \left( ( v - \bar { v } ) ^ { \top } ( v - \bar { v } ) + \mathcal V ( r - \hat { r } ) \right) \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \mathrm d f ( t , r , v ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } f \ast \big ( v ^ { \top } v + \mathcal V ( r ) \big ) \mathrm d f ( t , r , v ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \omega \cdot \nabla _ { x } H _ { n } } & { = \sum _ { r = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { r } = n - 1 } \sum _ { \delta ^ { \jmath } \in \Delta ( k _ { \jmath } ) } \mathbf { c } _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { r } } [ H _ { \delta ^ { r } } , \ldots , [ H _ { \delta ^ { 1 } } , V - R _ { 1 } ^ { \prime } ] _ { \hbar } \cdots ] _ { \hbar } } \\ & { \quad - \sum _ { m = 2 } ^ { n - 1 } \sum _ { s = 1 } ^ { n - m } \sum _ { l _ { 1 } + \cdots + l _ { s } = n - m } \sum _ { \delta ^ { \iota } \in \Delta ( l _ { \iota } ) , \; \delta ^ { 0 } \in \Delta ( m ) } \mathbf { c } _ { l _ { 1 } , \ldots , l _ { s } } [ H _ { \delta ^ { s } } , \ldots , [ H _ { \delta ^ { 1 } } , R _ { \delta ^ { 0 } } ^ { \prime } ] _ { \hbar } \cdots ] _ { \hbar } - R _ { n } ^ { \prime } . } \end{array}
T _ { \mathrm { ~ L ~ } } ( x _ { i } + d x , V _ { j } ) = T _ { \mathrm { ~ L ~ } } ( x _ { i } , V _ { j } ) + \frac { q _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } \times d x } { k _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ } } \times 2 t _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ } } }
\begin{array} { r l r } { { \cal G } _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { \equiv } & { \frac { T } { 2 { \cal Z } ^ { 2 } } \biggl ( { \frac { \cal Z } { \mathrm { s i n } { \cal Z } } } \, \mathrm { e } ^ { - i { \cal Z } \dot { G } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } + i { \cal Z } \dot { G } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) - 1 \biggr ) } \\ { { \cal G } _ { F } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { \equiv } & { G _ { F } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) { \frac { \mathrm { e } ^ { - i { \cal Z } \dot { G } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } } { \mathrm { c o s } { \cal Z } } } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 1 } ^ { \tau } \sum _ { \iota _ { 1 } \in P _ { k _ { 1 } } , \iota _ { 2 } \in P _ { k _ { 2 } } } \prod _ { i = 1 , 2 } \sigma ( \iota _ { i } ) \, I _ { s } ^ { \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } } ( x , y ) = \sum _ { \iota _ { 1 } \in P , \iota _ { 2 } \in P } \prod _ { i = 1 , 2 } \sigma ( \iota _ { i } ) \, I _ { s } ^ { \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } } ( x , y ) ,
\begin{array} { r l } { \ddot { x } + \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } \dot { x } + \omega _ { \beta } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { e } { \omega _ { p } ^ { 2 } m } \frac { c - \dot { z } } { c } \frac { d ^ { 2 } \psi _ { 0 } } { d \zeta ^ { 2 } } \right] x } & { { } = \frac { F _ { x , l } } { \gamma m } , } \\ { \ddot { y } + \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } \dot { y } + \omega _ { \beta } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { e } { \omega _ { p } ^ { 2 } m } \frac { c - \dot { z } } { c } \frac { d ^ { 2 } \psi _ { 0 } } { d \zeta ^ { 2 } } \right] y } & { { } = \frac { F _ { y , l } } { \gamma m } , } \\ { \ddot { \zeta } + \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } ( \dot { \zeta } + c ) - \frac { \omega _ { \beta } ^ { 2 } e } { \omega _ { p } ^ { 2 } m } \left[ 2 \frac { d \psi _ { 0 } } { d \zeta } - \frac { x \dot { x } + y \dot { y } } { c } \frac { d ^ { 2 } \psi _ { 0 } } { d \zeta ^ { 2 } } \right] } & { { } = \frac { F _ { z , l } } { \gamma m } , } \end{array}
h _ { i , j } = \sum _ { k = k _ { c } - ( N _ { H } - 1 ) / 2 } ^ { k _ { c } + ( N _ { H } - 1 ) / 2 } \alpha _ { i , j , k } \Delta z \quad \mathrm { f o r } \quad \left\{ \begin{array} { l l } { i _ { c } - ( N _ { N } - 1 ) / 2 \le i \le i _ { c } + ( N _ { N } - 1 ) / 2 } \\ { j _ { c } - ( N _ { N } - 1 ) / 2 \le j \le j _ { c } + ( N _ { N } - 1 ) / 2 , } \end{array} \right.
M ^ { U } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { \lambda _ { 3 } v _ { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \lambda _ { 3 } v _ { 2 } } } \\ { { \lambda _ { 5 } w _ { 1 } } } & { { \lambda _ { 5 } w _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \Big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } e _ { \omega } ^ { 1 } \wedge d \ast \big ( ( \ast d e _ { \omega } ^ { 2 } ) \wedge \ast \omega \big ) + e _ { \omega } ^ { 1 } \wedge d \ast \big ( d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \wedge \ast \omega \big ) + e _ { \omega } ^ { 2 } \wedge f _ { \omega } ^ { 1 } } \\ & { + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast d e _ { \omega } ^ { 2 } ) \wedge ( \ast \omega ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \wedge ( \ast \omega ) } \\ & { + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \wedge \ast d ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { 1 } ) ) + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge \ast [ \delta N _ { \beta } ( \omega ) , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) ] _ { 1 } } \\ & { + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge \ast d \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \big ) \Big ) } \\ & { + \int _ { \Sigma } \Big ( - e _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } + e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 1 } \Big ) + \int _ { \Gamma } \Big ( - e _ { b } ^ { 1 } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } + \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { b } ^ { 1 } \Big ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } \circ \mathbb { W } ^ { + } = } & { } & { ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } + W _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ - i W _ { 1 } ^ { i + } + W _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } \circ \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } ) } \\ & { } & { + k _ { e g } \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } \circ ( i \textbf { W } _ { 2 0 } ^ { i + } + \textbf { W } _ { 2 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i W _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } + W _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
\sqrt { 1 - e ^ { 2 } } = \frac { \lambda \ell _ { 3 } ^ { \textrm { r } } + \tilde { a } _ { 1 } ^ { \textrm { r } } \tilde { a } _ { 2 } ^ { \textrm { i } } } { ( \ell _ { 3 } ^ { \textrm { r } } ) ^ { 2 } + ( \tilde { a } _ { 1 } ^ { \textrm { r } } ) ^ { 2 } } , \qquad e = \frac { \lambda \tilde { a } _ { 1 } ^ { \textrm { r } } - \ell _ { 3 } ^ { \textrm { r } } \tilde { a } _ { 2 } ^ { \textrm { i } } } { ( \ell _ { 3 } ^ { \textrm { r } } ) ^ { 2 } + ( \tilde { a } _ { 1 } ^ { \textrm { r } } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { ( \partial _ { t } \rho ) _ { i , j , k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \Delta t } ( \rho _ { i , j , 1 } - \rho _ { i , j , 0 } ) , } & { \mathrm { i f ~ k = 0 ~ } ; } \\ { \frac { 1 } { 2 \Delta t } ( \rho _ { i , j , k + 1 } - \rho _ { i , j , k - 1 } ) , } & { \mathrm { i f ~ 0 < k < n _ t - 1 ~ } ; } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } ( \rho _ { i , j , n _ { t } - 1 } - \rho _ { i , j , n _ { t } - 2 } ) , } & { \mathrm { i f ~ k = n _ t - 1 ~ } ; } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { N T } \ell ( t ) e ^ { i S ( t ) } \mathrm { d } t } \\ { \& = } & { { } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { n T } ^ { ( n + 1 ) T } \ell ( t ) e ^ { i S ( t ) } \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { s i n } ( n , m ) } & { { } = } & { \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \bigg [ \frac { ( - 1 ) ^ { p } 2 ^ { ( 2 p + 2 ) } n ^ { 2 p + 1 } \pi ^ { 2 p + 1 } ( t _ { 2 } ^ { ( 2 p + m + 2 ) } - t _ { 1 } ^ { ( 2 p + m + 2 ) } ) } { ( 2 p + m + 2 ) ( 2 p + 1 ) ! T ^ { 2 p + 2 } } \bigg ] } \end{array}