harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
V _ { \mathrm { 0 , t a r g } } \left( P \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { V _ { \mathrm { 0 , m i n } } } & { \mathrm { i f ~ P ~ < ~ P _ { \mathrm { c r i t , m i n } } ~ } } \\ { m \cdot \left( P - P _ { \mathrm { c r i t , m i n } } \right) + V _ { \mathrm { 0 , m i n } } } & { \mathrm { i f ~ P _ { \mathrm { c r i t , m i n } } ~ \leq ~ P ~ \leq ~ P _ { \mathrm { c r i t , m i n } } ~ + ~ \Delta ~ P _ { \mathrm { m a x - m i n } } ~ } } \\ { V _ { \mathrm { 0 , m a x } } } & { \mathrm { i f ~ P ~ > ~ P _ { \mathrm { c r i t , m i n } } ~ + ~ \Delta ~ P _ { \mathrm { m a x - m i n } } ~ } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \mathbf { A } } & { = \operatorname* { l i m } _ { V \to 0 } { \frac { \iint _ { \partial V } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { S } } { \iiint _ { V } d V } } } \\ & { = { \frac { A _ { r } ( r + d r ) ( r + d r ) \, d \theta \, ( r + d r ) \sin \theta \, d \phi - A _ { r } ( r ) r \, d \theta \, r \sin \theta \, d \phi + A _ { \theta } ( \theta + d \theta ) \sin ( \theta + d \theta ) r \, d r \, d \phi - A _ { \theta } ( \theta ) \sin ( \theta ) r \, d r \, d \phi + A _ { \phi } ( \phi + d \phi ) r \, d r \, d \theta - A _ { \phi } ( \phi ) r \, d r \, d \theta } { d r \, r \, d \theta \, r \sin \theta \, d \phi } } } \\ & { = { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial ( r ^ { 2 } A _ { r } ) } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial ( A _ { \theta } \sin \theta ) } { \partial \theta } } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial A _ { \phi } } { \partial \phi } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \| \widehat { \mu } - \mu \| } & { = \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } \langle \widehat { \mu } - \mu , v \rangle } \\ & { \leqslant \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } | { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \operatorname { M e d } ( \langle X _ { 1 } , \theta \rangle , \ldots , \langle X _ { N } , \theta \rangle ) - \langle \widehat { \mu } , v \rangle | } \\ & { \quad + \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } | { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \operatorname { M e d } ( \langle X _ { 1 } , \theta \rangle , \ldots , \langle X _ { N } , \theta \rangle ) - \langle \mu , v \rangle | } \\ & { \leqslant 2 \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } | { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \operatorname { M e d } ( \langle X _ { 1 } , \theta \rangle , \ldots , \langle X _ { N } , \theta \rangle ) - \langle \mu , v \rangle | } \\ & { = 2 \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } | { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \operatorname { M e d } ( \langle X _ { 1 } - \mu , \theta \rangle , \ldots , \langle X _ { N } - \mu , \theta \rangle ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ^ { ( f ) } \left( \xi \right) } & { = } & { - \frac { c } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, r \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s , s ^ { \prime } } \sin \left( u _ { n , s } \xi / r _ { c } \right) \sin \left( u _ { n , s ^ { \prime } } \xi / r _ { c } \right) } \\ & { } & { \times \left[ \left( 1 + \delta _ { 0 n } \right) E _ { 1 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u _ { n , s } \right) H _ { 2 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u _ { n , s ^ { \prime } } \right) + \left( 1 - \delta _ { 0 n } \right) E _ { 2 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u _ { n , s } \right) H _ { 1 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u _ { n , s ^ { \prime } } \right) \right] , } \end{array}
M = - \frac { \gamma } { 2 } \int r ^ { 2 } \mathcal { V } \, d ^ { 2 } x = \gamma \int h \, d ^ { 2 } x - \pi \gamma \sum _ { s = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { s } x _ { i } ^ { s } + 4 \pi \gamma N .
\frac { 1 } { g ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l } { { \Gamma _ { 1 } } } \\ { { \Gamma _ { 2 } } } \\ { { \Gamma _ { 3 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { { B _ { 1 1 } } } & { { B _ { 1 2 } } } & { { B _ { 1 3 } } } \\ { { B _ { 2 1 } } } & { { B _ { 2 2 } } } & { { B _ { 2 3 } } } \\ { { B _ { 3 1 } } } & { { B _ { 3 2 } } } & { { B _ { 3 3 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \Gamma _ { 1 } } } \\ { { \Gamma _ { 2 } } } \\ { { \Gamma _ { 3 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 1 } ( i , j , k ) } & { { } = \frac { u _ { 1 } ( i + 1 , j , k ) - u _ { 1 } ( i - 1 , j , k ) } { 2 h } } \\ { \epsilon _ { 2 } ( i , j , k ) } & { { } = \frac { u _ { 2 } ( i , j + 1 , k ) - u _ { 2 } ( i , j - 1 , k ) } { 2 h } } \\ { \epsilon _ { 3 } ( i , j , k ) } & { { } = \frac { u _ { 3 } ( i , j , k + 1 ) - u _ { 3 } ( i , j , k - 1 ) } { 2 h } } \\ { \epsilon _ { 4 } ( i , j , k ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 h } \left[ u _ { 2 } ( i , j , k + 1 ) - u _ { 2 } ( i , j , k - 1 ) + u _ { 3 } ( i , j + 1 , k ) - u _ { 3 } ( i , j - 1 , k ) \right] } \\ { \epsilon _ { 5 } ( i , j , k ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 h } \left[ u _ { 1 } ( i , j , k + 1 ) - u _ { 1 } ( i , j , k - 1 ) + u _ { 3 } ( i + 1 , j , k ) - u _ { 3 } ( i - 1 , j , k ) \right] } \\ { \epsilon _ { 6 } ( i , j , k ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 h } \left[ u _ { 1 } ( i , j + 1 , k ) - u _ { 1 } ( i , j - 1 , k ) + u _ { 2 } ( i + 1 , j , k ) - u _ { 2 } ( i - 1 , j , k ) \right] } \end{array} .
P _ { \mathrm { c a l } } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { R _ { \mathrm { m a x } } } h _ { \mathrm { t o t } } ( r , \varphi ) j _ { \mathrm { m } } ( r , \varphi ) r \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \varphi
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \tilde { \rho } _ { \alpha } \| \mathbf { w } _ { \alpha } \| ^ { 2 } = } & { { } ~ - \frac { \rho \mathbf { J } _ { 1 } \cdot \mathbf { J } _ { 2 } } { \tilde { \rho } _ { 1 } \tilde { \rho } _ { 2 } } = \frac { \mathbf { J } \cdot \mathbf { J } } { 4 \tilde { \rho } _ { 1 } \tilde { \rho } _ { 2 } } = \frac { \rho \| \mathbf { J } \| ^ { 2 } } { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } ( 1 - \phi ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c } { E _ { x } ^ { ( \omega ) } } \\ { E _ { y } ^ { ( \omega ) } } \end{array} \right] = - E _ { 0 } \frac { \left| { k _ { z } } \right| } { k _ { G P s } } e ^ { - \left| { k _ { z } } \right| z } { \sum _ { \theta = - \frac { \pi } { 3 } , 0 , \frac { \pi } { 3 } } } { e ^ { i \phi _ { \theta } } } \left[ \begin{array} { c c } { \cos ( \theta ) } \\ { \sin ( \theta ) } \end{array} \right] \sin \{ k _ { G P s } [ \cos ( \theta ) x + \sin ( \theta ) y ] \}
\begin{array} { r l } & { \hat { v } ( k _ { i } , k _ { j } , y ) = F F T _ { 2 D } [ v ( x , y , z ) ] , \ \hat { \omega } _ { z } ( k _ { i } , k _ { j } , y ) = F F T _ { 2 D } [ \omega _ { z } ( x , y , z ) ] , \ \mathrm { a n d } } \\ & { \Phi _ { v \omega _ { z } } ( k _ { i } , k _ { j } , y ) : = \langle \hat { v } \hat { \omega } _ { z } ^ { * } \rangle , \ \mathrm { w h e r e } , \ i = \left\{ - { N _ { x } } / { 2 } + 1 , - { N _ { x } } / { 2 } + 2 , . . . - 1 , 0 , 1 , . . { N _ { x } } / { 2 } - 1 \right\} , } \\ & { j = \left\{ - { N _ { z } } / { 2 } + 1 , - { N _ { z } } / { 2 } + 2 , . . . - 1 , 0 , 1 , . . . { N _ { z } } / { 2 } - 1 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 b ) } ( \omega ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } p _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } p _ { 2 } \; p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } \phantom { x x x } } \\ { \times \left( \ensuremath { \mathbf { D } } V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) \right) ^ { 2 } \delta ^ { \prime \prime } \! ( \omega + E _ { 0 } ^ { \mathrm { H F } } - p _ { 1 } ^ { 2 } / 2 - p _ { 2 } ^ { 2 } / 2 - V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) ) } \\ { \times \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 1 } , p _ { 1 } ) \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 2 } , p _ { 2 } ) . \; \; } \end{array}
\begin{array} { r l } { e \phi } & { { } = \frac { T _ { i } T _ { e } } { T _ { i } + T _ { e } } \biggl [ \frac { U _ { C i } } { T _ { i } } + \log \frac { \tau _ { D i } } { \tau _ { D e } } - \log S \left( \chi , \frac { e \phi } { T _ { e } } \right) } \end{array}
\stackrel { P } { K } { } \! \! _ { n , 0 } ^ { ( \pm ) } \left( \begin{array} { c } { { \! \! \kappa ; k \! \! } } \\ { { \! \! \lambda , \sigma , \tau ; \ell , s , t \! \! } } \end{array} \right) = \stackrel { P ^ { l } } { K } { } \! \! _ { n , 0 } ^ { l ( \pm ) } \left( \begin{array} { c } { { \! \! \kappa ^ { l } ; k ^ { l } \! \! } } \\ { { \! \! \lambda ^ { l } , \sigma ^ { l } , \tau ^ { l } ; \ell ^ { l } , s ^ { l } , t ^ { l } \! \! } } \end{array} \right) \stackrel { P ^ { r } } { K } { } \! \! _ { n , 0 } ^ { r ( \pm ) } \left( \begin{array} { c } { { \! \! \kappa ^ { r } ; k ^ { r } \! \! } } \\ { { \! \! \lambda ^ { r } , \sigma ^ { r } , \tau ^ { r } ; \ell ^ { r } , s ^ { r } , t ^ { r } \! \! } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { | A | } & { = \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| + \left| B _ { 1 } \setminus A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } \\ & { \leqslant \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| + \frac { i _ { m } } { 3 } - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 9 } + 4 } \\ & { \leqslant \frac { 7 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 9 } + \frac { 7 n } { 5 4 } + \frac { \varepsilon n } { 3 } + 4 } \\ & { \leqslant \frac { 7 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 6 } + \frac { 7 n } { 5 4 } + \frac { \varepsilon n } { 3 } + 5 } \\ & { \leqslant \frac { 3 5 n } { 1 0 8 } + \frac { \varepsilon n } { 3 } + 2 3 } \end{array}
0 = \nu N _ { \mathrm { ~ p ~ i ~ x ~ } } + \mathbf { 1 } ^ { \top } T ^ { \top } \bar { u } _ { \lambda } + \frac { 1 } { \tau _ { \lambda } } ( N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } - \mathbf { 1 } ^ { \top } \lambda ) ,
\begin{array} { r l } { \langle t \rangle ^ { 3 } \| P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 2 } ) \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } } & { { } + \langle t \rangle ^ { 2 } \left\| ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 2 } ) \right\| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } } \end{array}
\tilde { \textbf { C } } ( u ) = \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { n } w _ { i } N _ { i , \tilde { k } } ( u ) \textbf { C } _ { i } } { \sum _ { j = 0 } ^ { n } w _ { j } N _ { j , \tilde { k } } ( u ) }
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \beta - \gamma \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \alpha + 2 \beta - \gamma \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta - \gamma - \nu } \sin \left( \left( \nu - \alpha \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) - \gamma - \nu } \sin \left( \left( \beta + \nu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \alpha + \gamma \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \beta - \gamma \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = } & { { } | \mathbf { u } _ { B } ^ { \varepsilon } - ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \theta ^ { 2 } ) \Delta ) ^ { - 1 } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } ( 1 - \underline { { \theta } } ^ { 2 } ) \Delta ) ( \mathbf { u } _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ( 1 - \frac { \varepsilon } { 2 } \eta _ { \Sigma } ^ { \varepsilon } ) ) | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { G } _ { 1 } : = \mathcal { G } ( K _ { 1 } , M _ { 1 } , 0 ) \; , } \\ { \mathcal { G } _ { 2 } : = \mathcal { G } ( K _ { 2 } , M _ { 2 } , 0 ) \; . } \end{array}
\widehat { \Pi } _ { \mu \nu } ( q ) \ = \ \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \, \frac { 1 1 c _ { A } } { 3 } \, ( q ^ { 2 } g _ { \mu \nu } q ^ { 2 } - q _ { \mu } q _ { \nu } ) \, \Big [ \, \ln \Big ( - \frac { q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \Big ) \, + \, C _ { U V } \, \Big ] \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial P } { \partial t } } & { = } & { - \frac { \partial J } { \partial x } - \gamma P , } \\ { \frac { \partial J } { \partial t } } & { = } & { - v ^ { 2 } \frac { \partial P } { \partial x } - ( \alpha + \gamma ) J , } \\ { \frac { \partial P _ { _ B } } { \partial t } } & { = } & { \gamma P , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { t } } & { { } = d _ { u } \nabla ^ { 2 } u - \nabla \cdot \left( u \, \nabla \chi ( v ) \right) , } \\ { v _ { t } } & { { } = d _ { v } \nabla ^ { 2 } v + a u - b v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathbf { k } } ( t ) = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { n } } { n ! } A _ { \alpha _ { 1 } } ( t ) \hdots A _ { \alpha _ { n } } ( t ) } \\ & { \times \Bigg ( \hat { \mathcal { D } } _ { \mathbf { k } } ^ { \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } \left[ \hat { \mathcal { H } } _ { \mathbf { k } } \right] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { j } ) _ { \nu } \hat { \mathcal { D } } _ { \mathbf { k } } ^ { \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { j - 1 } \alpha _ { j + 1 } \hdots \alpha _ { n } } \left[ \hat { \mathcal { H } } _ { \mathbf { k } } \right. , \left. \hat { Q } _ { \mathbf { k } } ^ { \nu \alpha _ { j } } \right] \Bigg ) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r } { = \phi _ { \beta } \left( z \right) \left( \Phi _ { n } \left( \overline { { \alpha } } \right) + \frac { \alpha z } { \overline { { \alpha } } - z } \left( \Phi _ { n } \left( \overline { { \alpha } } \right) - \Phi _ { n } \left( z \right) \right) \right) } \\ { = \phi _ { \beta } \left( z \right) \left( \frac { \overline { { \alpha } } \left( 1 - z \right) } { \overline { { \alpha } } - z } \Phi _ { n } \left( \overline { { \alpha } } \right) - \frac { \alpha z } { \overline { { \alpha } } - z } \Phi _ { n } \left( z \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { { } = e ^ { \mathrm { i } { \bf k . a _ { 1 } } } \rho ( C _ { 2 } ) \quad \mathrm { ~ ( ~ f ~ r ~ o ~ m ~ 1 ~ c ~ ) ~ } } \\ { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { { } = e ^ { \mathrm { i } { \bf k . a _ { 2 } } } \rho ( C _ { 2 } ) \quad \mathrm { ~ ( ~ f ~ r ~ o ~ m ~ 1 ~ d ~ ) ~ } } \\ { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { { } = e ^ { \mathrm { i } { \bf k . ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) } } \rho ( C _ { 2 } ) \quad \mathrm { ~ ( ~ f ~ r ~ o ~ m ~ 1 ~ b ~ ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial F } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { e ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { l } \int d \textbf { k } \frac { 1 } { p _ { \perp } } \left[ \left( 1 - \frac { k _ { \parallel } p _ { \parallel } } { \gamma m \omega } \right) \frac { \partial } { \partial p _ { \perp } } + \frac { k _ { \parallel } p _ { \perp } } { \gamma m \omega } \frac { \partial } { \partial p _ { \parallel } } \right] } \end{array}
\int \psi _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) p _ { k , \sigma } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \left[ - 2 \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \psi _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \psi _ { k , \sigma } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } + \eta _ { \sigma } \delta _ { i j } \right] \, .
\begin{array} { r l } & { ( 1 - p ) ( E [ c ( x , t ) ] - E [ c ( x , 0 ) ] ) + p \bigg ( E [ c ( x , y , t ) ] - v ^ { 2 } c ( x , y , 0 ) - v E \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } \int _ { 0 } ^ { y } K ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) } \\ & { u ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } , t ) u ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) d y ^ { \prime } d x ^ { \prime } - \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } K ( x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) u ( x , y , t ) u ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) d y ^ { \prime } d x ^ { \prime } \bigg ] \bigg ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } \hat { p } _ { \nu } ^ { ( L ) } } & { = \left( \bigotimes _ { r = L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { L ( \mu - 1 ) } \hat { Z } _ { r } \bigotimes _ { r ^ { \prime } = L ( \mu - 1 ) + 1 } ^ { \mu L } \hat { X } _ { r ^ { \prime } } \right) \left( \bigotimes _ { s = L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { L ( \nu - 1 ) } \hat { Z } _ { s } \bigotimes _ { s ^ { \prime } = L ( \nu - 1 ) + 1 } ^ { \nu L } \hat { X } _ { s ^ { \prime } } \right) } \\ & { = - i \left[ \bigotimes _ { r = ( \mu - 1 ) L + 1 } ^ { \mu L - 1 } \hat { X } _ { r } \hat { Y } _ { \mu L } \bigotimes _ { r ^ { \prime } = ( \mu + 1 ) L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { ( \nu - 1 ) L } \hat { Z } _ { r ^ { \prime } } \bigotimes _ { r ^ { \prime \prime } = ( \nu - 1 ) L + 1 } ^ { \nu L } \hat { X } _ { r ^ { \prime \prime } } \right] } \end{array}
\Vert w \Vert _ { \textbf { s } , \mathcal { T } } = \left( \sum _ { \kappa \in \mathcal { T } } \Vert w \Vert _ { H ^ { s _ { \kappa } } ( \kappa ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \quad \mathrm { a n d } \quad | w | _ { \textbf { s } , \mathcal { T } } = \left( \sum _ { \kappa \in \mathcal { T } } | w | _ { H ^ { s _ { \kappa } } ( \kappa ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
\left( \begin{array} { c } { \gamma ^ { u } } \\ { \gamma ^ { h } } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { c c } { \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { u } } & { \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { h } } \\ { \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { u } } & { \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { h } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c } { \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { p } } & { \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { T } } \\ { \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { p } } & { \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { T } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { p } _ { 0 , \psi } } \\ { \hat { T } _ { 0 , \psi } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { e ^ { ( a ) } ( U ) \mathcal { E } ^ { ( \digamma ) } \mathcal { F } _ { \pm } ^ { ( \digamma ) } \psi _ { \pm } ^ { ( \digamma ) } \left( C ^ { \mp 1 / 2 } H _ { 2 } ^ { 2 M _ { a \digamma } } V \right) ^ { - 1 } } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { | a | } U ^ { - 1 } V H _ { 2 } ^ { M _ { a \digamma } } \frac { \left( U V ^ { - 1 } H _ { 1 } ^ { - A _ { a \digamma } } H _ { 2 } ^ { - M _ { a \digamma } } ; q \right) _ { \infty } } { \left( U ^ { - 1 } V H _ { 1 } ^ { - A _ { a \digamma } } H _ { 2 } ^ { M _ { a \digamma } } ; q \right) _ { \infty } } \frac { \left( q U ^ { - 1 } V H _ { 1 } ^ { A _ { a \digamma } } H _ { 2 } ^ { M _ { a \digamma } } ; q \right) _ { \infty } } { \left( q U V ^ { - 1 } H _ { 1 } ^ { A _ { a \digamma } } H _ { 2 } ^ { - M _ { a \digamma } } ; q \right) _ { \infty } } } \\ & { \mathcal { F } _ { \pm } ^ { ( \digamma ) } \psi _ { \pm } ^ { ( \digamma ) } \left( C ^ { \mp 1 / 2 } H _ { 2 } ^ { 2 M _ { a \digamma } } V \right) ^ { - 1 } e ^ { ( a ) } ( U ) \mathcal { E } ^ { ( \digamma ) } + \dots , } \end{array}
V = \left( \begin{array} { l l } { V _ { e } } & { V _ { e o } } \\ { V _ { e o } } & { V _ { o } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { V _ { 1 1 } } & { 0 } & { \tilde { V } _ { 1 3 } } & { \tilde { V } _ { 1 4 } } \\ { 0 } & { V _ { 1 1 } } & { \tilde { V } _ { 1 4 } } & { - \tilde { V } _ { 1 3 } } \\ { \tilde { V } _ { 1 3 } } & { \tilde { V } _ { 1 4 } } & { V _ { 3 3 } } & { 0 } \\ { \tilde { V } _ { 1 4 } } & { - \tilde { V } _ { 1 3 } } & { 0 } & { V _ { 3 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \rho ^ { \nu } ( t ) | ^ { q } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } d x } & { \lesssim \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \rho _ { 0 } ^ { \nu } | ^ { q } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } d x + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | b ^ { \nu } | | \nabla _ { x } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } | | \rho ^ { \nu } | ^ { q } + \nu | \rho ^ { \nu } | ^ { q } | \Delta _ { x } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } | d x d t } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { H } } 2 \nu | \rho ^ { \nu } | ^ { q } r \left| \frac { \partial _ { r } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } } { r } \right| d r d z + \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | g ^ { \nu } | | \rho ^ { \nu } | ^ { q - 1 } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } d x d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal L ( w ( \vec { p } , \vec { q } ) ) = } & { - n w ( \vec { p } , \vec { q } ) + \frac 1 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left[ \Delta _ { X _ { k } } ( w ( \vec { p } , \vec { q } ) ) + \Delta _ { Z _ { k } } ( w ( \vec { p } , \vec { q } ) ) \right] } \\ { = } & { - n w ( \vec { p } , \vec { q } ) + \frac 1 2 \left( \sum _ { k : \; p _ { k } = 0 } 1 + \sum _ { k : \; q _ { k } = 0 } 1 \right) w ( \vec { p } , \vec { q } ) } \\ { = } & { - \frac 1 2 \interleave ( \vec { p } , \vec { q } ) \interleave w ( \vec { p } , \vec { q } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } e ^ { - \lambda _ { i } H } \bigg [ \lambda _ { i } ^ { 4 } } & { - ( s R e + 2 ) \lambda _ { i } ^ { 2 } \bigg ] C _ { i } ( s ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } e ^ { - \lambda _ { i } H } \mathscr { E } _ { i } ( s ) \bigg [ ( D + \lambda _ { i } ) ^ { 4 } } \\ & { - ( s R e + 2 ) ( D + \lambda _ { i } ) ^ { 2 } \bigg ] I _ { i } ( s , z = - H ) + R e \hat { \omega } ( z = - H , t = 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J ( r _ { 1 } , \sigma _ { 1 } , \cdots , r _ { N } , \sigma _ { N } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \chi ( r _ { i } ) + \sum _ { i < j } \omega ^ { \sigma _ { i } \sigma _ { j } } \big ( | r _ { i } - r _ { j } | \big ) \qquad \qquad \mathrm { w i t h } } \\ & { \chi ( r ) = \sum _ { I = 1 } ^ { M } \xi _ { I } \sqrt { 1 + | r - R _ { I } | ^ { 2 } } \quad \mathrm { a n d } \quad \omega ^ { \sigma \zeta } ( u ) = \frac { a ^ { \sigma \zeta } } { \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } } \big ( 1 - \exp ( - b ^ { \sigma \zeta } \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } ) \big ) , } \end{array}
\delta = \operatorname* { m a x } _ { \substack { n = 1 , \ldots , N _ { e l } \, t = 0 , \ldots , t _ { m a x } } } \bigg | \rho _ { n , n } ^ { K , L } ( t ) - \rho _ { n , n } ^ { K + 1 , L } ( t ) \bigg | < \Delta .
\begin{array} { r l r } { { \frac { d f } { d x } } } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } { \frac { f ( x ) - f ( x - \epsilon ) } { \epsilon } } } \\ { { \frac { d ^ { 2 } \! f } { d x ^ { 2 } } } } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } { \frac { f ( x ) - 2 f ( x - \epsilon ) + f ( x - 2 \epsilon ) } { \epsilon ^ { 2 } } } } \end{array}
D _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } ( x - y ) = \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { - i \cdot 4 ^ { n } } { p ^ { 4 n } } \bigg ( \frac { g _ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } - M ^ { 2 } } - \frac { 1 } { p ^ { 2 } - M ^ { 2 } } \bigg ( 1 - \frac { 1 } { \xi } \bigg ) \bigg ( \frac { 1 } { M ^ { 2 } - \frac { p ^ { 2 } } { \xi } } \bigg ) p _ { \mu } p _ { \nu } \bigg ) e ^ { - i p \cdot ( x - y ) } \, .
\begin{array} { r l r } { { \mathbb E } \left[ { \binom { n } { 2 } } - X _ { n } \right] ^ { 2 } } & { = } & { { \binom { n } { 2 } } - \mu _ { n } } \\ & { + } & { ( N - n + 1 ) ( N - n + 2 ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { ( i - 1 ) ( i - 2 ) } { ( N - i + 1 ) ( N - i + 2 ) } } \\ & { + } & { 2 ( N - n + 1 ) ( N - n + 2 ) \sum _ { 1 \leq i < j \leq n } \frac { ( i - 1 ) ( j - 1 ) } { ( N - i + 1 ) ( N - j + 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( t ) } & { { } = e ^ { t A } A B e ^ { - t A } + e ^ { t A } B ( - A ) e ^ { - t A } = e ^ { t A } [ A , B ] e ^ { - t A } , ~ ~ f ^ { \prime } ( 0 ) = [ A , B ] } \\ { f ^ { \prime \prime } ( t ) } & { { } = e ^ { t A } [ A , [ A , B ] ] e ^ { - t A } ~ ~ f ^ { \prime } ( 0 ) = [ A , [ A , B ] ] . } \end{array}