harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { L } \{ C _ { l } \} = \pi \left( s \mathcal { L } \{ \alpha \} - a s ^ { 2 } \mathcal { L } \{ \alpha \} \right) + 2 \pi \left[ \mathcal { L } \left\{ \frac { \mathrm { ~ d ~ } \phi } { \mathrm { ~ d ~ } s _ { c } } \right\} \left( \mathcal { L } \{ \alpha \} + \left( \frac { 1 } { 2 } - a \right) s \mathcal { L } \{ \alpha \} \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \left\langle A _ { \beta \alpha } ( t + \tau ) A _ { p q } ( t ) \right\rangle } & { \equiv \sum _ { m , n } G _ { \alpha \beta , m n } ( \tau ) \left\langle A _ { n m } ( t ) A _ { p q } ( t ) \right\rangle } \\ & { = \sum _ { m , n } G _ { \alpha \beta , m n } ( \tau ) \left\langle A _ { n q } ( t ) \right\rangle \delta _ { m p } } \\ & { = \sum _ { m , n } G _ { \alpha \beta , m n } ( \tau ) \delta _ { m p } \rho _ { q n } ( t ) . } \end{array}
\langle M \rangle \approx \frac { 2 } { 3 ( q ^ { - 2 } + 1 ) ^ { 3 / 2 } } \lambda ( 2 \mu ) ^ { 3 / 2 } + \frac { 0 . 6 4 \lambda } { ( q ^ { - 2 } + 1 ) ^ { 3 / 2 } \beta ^ { 2 } \sqrt { 2 \mu } } .
{ \cal E } ( ( k _ { 0 } , { \bf k } ) , \lambda ) = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ( ( k _ { 0 } , { \bf k } ) , \lambda ) } & { \hat { \Sigma } _ { 1 2 } ( ( k _ { 0 } , { \bf k } ) , \lambda ) } \\ { \hat { \Sigma } _ { 2 1 } ( ( k _ { 0 } , { \bf k } ) , \lambda ) } & { \tilde { \Sigma } _ { 2 2 } ( ( k _ { 0 } , { \bf k } ) , \lambda ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { ( a _ { 0 } + a _ { 1 } \gamma + a _ { 2 } \gamma ^ { 2 } + . . . + a _ { n - 1 } \gamma ^ { n - 1 } + a _ { n } \gamma ^ { n } ) ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + b _ { 2 } \gamma ^ { 2 } + . . . + b _ { n - 1 } \gamma ^ { n - 1 } + b _ { n } \gamma ^ { n } ) \subseteq } \\ & { a _ { 0 } b _ { 0 } + \left( \sum _ { j = 0 } ^ { 1 } a _ { j } b _ { 1 - j } \right) \gamma + . . . + \left( \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } a _ { j } b _ { ( 2 n - 1 ) - j } \right) \gamma ^ { 2 n - 1 } + \left( \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n } a _ { j } b _ { 1 - j } \right) \gamma ^ { 2 n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \alpha \beta ^ { T } - \beta \alpha ^ { T } \rVert ^ { 2 } } & { = \lVert \left( \alpha \beta ^ { T } - \beta \alpha ^ { T } \right) ^ { \ast } \left( \alpha \beta ^ { T } - \beta \alpha ^ { T } \right) \rVert = \lVert \lVert \alpha \rVert ^ { 2 } \Bar \beta \beta ^ { T } + \lVert \beta \rVert ^ { 2 } \Bar \alpha \alpha ^ { T } \rVert } \\ & { = \lVert \alpha \rVert ^ { 2 } \lVert \beta \rVert ^ { 2 } \lVert \mathrm { d i a g } ( 1 , 1 , 0 , \dots , 0 ) \rVert = \lVert \alpha \rVert ^ { 2 } \lVert \beta \rVert ^ { 2 } . } \end{array}
\int d x \frac { \ln ( \beta + \alpha x ) } { x } = \ln \vert \beta \vert \ln \vert x \vert + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k ^ { 2 } } \Bigl ( \frac { \alpha x } { \beta } \Bigr ) ^ { k } .
V _ { \alpha \beta } ^ { \leftmoon } = - \mathcal { G } _ { \alpha \beta } \frac { e ^ { - m _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d _ { \leftmoon } } } { 4 \pi d _ { \leftmoon } } \times \left\{ \begin{array} { l l l } { N _ { e , \leftmoon } } & { , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = e , \mu ~ \mathrm { o r } ~ e , \tau } \\ { N _ { n , \leftmoon } } & { , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = \mu , \tau } \end{array} \right. \; ,
\frac { \Delta \Gamma _ { H _ { Q } } ^ { ( 1 ) } } { \Gamma _ { Q } } = \mu _ { \phi } ^ { 2 } \frac { 2 m _ { Q } m _ { q } } { ( m _ { Q } ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = - \frac { 8 \pi } { N _ { c } } m _ { \psi } \langle 0 | { \bar { \psi } } \psi | 0 \rangle \frac { m _ { Q } m _ { q } } { ( m _ { Q } ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \; .
R _ { j k } X ^ { j } Y ^ { k } = { \Big ( } { \widetilde { R } } _ { a b } { \frac { \partial { \widetilde { x } } ^ { a } } { \partial x ^ { j } } } { \frac { \partial { \widetilde { x } } ^ { b } } { \partial x ^ { k } } } { \Big ) } { \Big ( } { \widetilde { X } } ^ { c } { \frac { \partial x ^ { j } } { \partial { \widetilde { x } } ^ { c } } } { \Big ) } { \Big ( } { \widetilde { Y } } ^ { d } { \frac { \partial x ^ { k } } { \partial { \widetilde { x } } ^ { d } } } { \Big ) } = { \widetilde { R } } _ { a b } { \widetilde { X } } ^ { c } { \widetilde { Y } } ^ { d } { \Big ( } { \frac { \partial { \widetilde { x } } ^ { a } } { \partial x ^ { j } } } { \frac { \partial x ^ { j } } { \partial { \widetilde { x } } ^ { c } } } { \Big ) } { \Big ( } { \frac { \partial { \widetilde { x } } ^ { b } } { \partial x ^ { k } } } { \frac { \partial x ^ { k } } { \partial { \widetilde { x } } ^ { d } } } { \Big ) } = { \widetilde { R } } _ { a b } { \widetilde { X } } ^ { c } { \widetilde { Y } } ^ { d } \delta _ { c } ^ { a } \delta _ { d } ^ { b } = { \widetilde { R } } _ { a b } { \widetilde { X } } ^ { a } { \widetilde { Y } } ^ { b } .
\begin{array} { r l } { T } & { { } = \sum _ { a , . . . , k } A _ { a } B _ { b } C _ { c a } D _ { d b } E _ { e f c d } F _ { g f } E _ { h i e g } ^ { * } C _ { j h } ^ { * } D _ { k i } ^ { * } A _ { j } ^ { * } B _ { k } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( x ) } & { = \frac { N ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \exp \left( - \alpha _ { n } x ^ { n } \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( 1 - e ^ { - 2 \alpha _ { n } x ^ { n } } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n , m = 1 ; n \neq m } ^ { N } ( 1 - e ^ { - ( \alpha _ { n } x ^ { n } + \alpha _ { m } x ^ { m } ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \Vec { u } } ( \Vec { k } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { L } \int _ { 0 } ^ { L } \int _ { 0 } ^ { L } \Vec { u } ( \Vec { r } ) e ^ { - i \Vec { k } \cdot \Vec { r } } d x ~ d y ~ d z \approx } \\ { \approx \frac { 1 } { N ^ { 3 } } \sum _ { p = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { q = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { r = 0 } ^ { N - 1 } u ( x _ { p } , y _ { q } , z _ { r } ) e ^ { - i k _ { x } x _ { p } } e ^ { - i k _ { y } y _ { q } } e ^ { - i k _ { z } z _ { r } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( { \pmb v } ( { \pmb x } ) - { \pmb v } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) ) \cdot ( { \pmb I } - { \pmb n } ( { \pmb x } ) \otimes { \pmb n } ( { \pmb x } ) ) = \frac { \sqrt { k } } { \alpha } { \pmb \sigma } ( { \pmb x } ) \cdot ( { \pmb I } - { \pmb n } ( { \pmb x } ) \otimes { \pmb n } ( { \pmb x } ) ) } \\ { { \pmb v } ( { \pmb x } ) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) = { \pmb v } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) } \\ { p ( { \pmb x } ) = p ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) , \qquad { \pmb x } \in \partial D _ { b } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \eta ^ { 2 } \left( \boldsymbol { v } _ { h } , { q } _ { h } ; \tau \right) : = } & { \| R _ { 1 } \left( \boldsymbol { v } _ { h } , { q } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } + h _ { \tau } ^ { 2 } \left( \| R _ { 2 } \left( \boldsymbol { v } _ { h } , { q } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } + \| R _ { 3 } \left( \boldsymbol { v } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } \right) } \\ & { + \sum _ { e \in \partial \tau } h _ { e } \left( \| J _ { 1 } \left( { q } _ { h } \right) \| _ { 0 , e } ^ { 2 } + \| J _ { 2 } \left( \boldsymbol { v } _ { h } \right) \| _ { 0 , e } ^ { 2 } \right) + \kappa \sum _ { e \in \partial \tau } h _ { e } ^ { - 1 } \left\| J _ { 3 } ( \boldsymbol { v } _ { h } ) \right\| _ { 0 , e } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { d } ^ { ( 0 ) } ( x , y ) } & { = } & { { \mathbb E } _ { w } \Big [ \frac { 1 } { 2 \pi R } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \sin ^ { 2 } ( R \tau ) } { R \tau ^ { 2 } } e ^ { i \tau w ^ { \top } ( x - y ) } d \tau \Big ] } \\ & { = } & { \frac { 2 } { \mathrm { v o l } ( { \mathbb { S } } ^ { d - 1 } ) } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { { \mathbb { S } } ^ { d - 1 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \sin ^ { 2 } ( R \tau ) } { R \tau ^ { d + 1 } } e ^ { i \tau w ^ { \top } ( x - y ) } \tau ^ { d - 1 } d \tau d w } \\ & { = } & { \frac { 2 } { \mathrm { v o l } ( { \mathbb { S } } ^ { d - 1 } ) } \frac { 1 } { 2 \pi R } \int _ { \mathbb { { R } } ^ { d } } \frac { \sin ^ { 2 } ( R \| \omega \| _ { 2 } ) } { \| \omega \| _ { 2 } ^ { d + 1 } } e ^ { i \omega ^ { \top } ( x - y ) } d \omega \mathrm { ~ u s i n g ~ t h e ~ c h a n g e ~ o f ~ v a r i a b l e ~ } \omega = \tau w , } \\ & { = } & { \frac { \Gamma ( d / 2 ) } { \pi ^ { d / 2 } } \frac { 1 } { 2 \pi R } \int _ { \mathbb { { R } } ^ { d } } \frac { \sin ^ { 2 } ( R \| \omega \| _ { 2 } ) } { \| \omega \| _ { 2 } ^ { d + 1 } } e ^ { i \omega ^ { \top } ( x - y ) } d \omega } \\ & { = } & { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \int _ { \mathbb { { R } } ^ { d } } \frac { \Gamma ( d / 2 ) ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } } { \pi ^ { d / 2 } R } \frac { \sin ^ { 2 } ( R \| \omega \| _ { 2 } ) } { \| \omega \| _ { 2 } ^ { d + 1 } } e ^ { i \omega ^ { \top } ( x - y ) } d \omega . } \end{array}
d \sigma ^ { 2 } = \frac { L ^ { 2 } R ^ { 2 } } { \left( R ^ { 2 } - r ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } d r ^ { 2 } + \frac { L ^ { 2 } R ^ { 2 } } { R ^ { 2 } - r ^ { 2 } } d \theta ^ { 2 }
\left\langle \frac { \delta \ell _ { h } } { \delta X } , \delta X \right\rangle = \delta \ell _ { h } [ X ; \delta X ] = \left\langle \delta \bar { X } , \bar { X } \right\rangle = \left\langle \bar { \delta X } , \bar { X } \right\rangle , \quad \forall \delta X \in \mathfrak { g l } ( V _ { h } ^ { s } ) .
\hat { G } [ x , y ; E ] = \frac { e ^ { - \sqrt { 2 E } | x - y | } } { \sqrt { 2 E } } - \frac { \hat { v } ( E ) } { \sqrt { 2 E } ( \sqrt { 2 E } + \hat { v } ( E ) ) } e ^ { - \sqrt { 2 E } ( | x | + | y | ) } .
\Lambda \sim M _ { \mathrm { P l a n c k } } = \left( \frac { \hbar c } { G _ { \mathrm { N e w t o n } } } \right) ^ { 1 / 2 } \approx 1 . 2 2 \times 1 0 ^ { 1 9 } \mathrm { \; G e V } \; .
\begin{array} { r l } { u ( s _ { 1 } ) } & { \le S ^ { \ast } ( s _ { 1 } ) C ( s _ { 1 } ) } \\ & { \le L M \left( \begin{array} { c c } { \frac 1 2 } & { 1 } \\ { \frac 1 { 2 c } } & { 2 c } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 3 1 \pi c ( c \eta ) ^ { \gamma } } \\ { ( 5 + \frac { 1 6 \pi } \beta ) } \end{array} \right) } \\ & { \le L M ( c \eta ) ^ { \gamma } \left( \begin{array} { c } { 1 6 c + ( 5 + \frac { 1 6 \pi } \beta ) ( c \eta ) ^ { - \gamma } } \\ { 1 6 \pi } \end{array} \right) , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { E \to E _ { n } } \, G _ { E } ^ { R } ( 0 , 0 ) \, = \, \frac { \, \, \left| \Psi _ { n } ( 0 ) \right| ^ { 2 } } { E _ { n } - E - i \epsilon } + \frac { 4 } { 9 } \, \frac { M ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } + \frac { M ^ { 2 } \, \alpha } { 2 \, \pi } \, \bigg [ \, a _ { n } \, \bigg ] + { \cal { O } } ( E _ { n } - E ) \, .
\rho ( x , t ) = \frac { 1 } { \gamma t } \hat { \rho } ( \frac { x - \gamma t } { \sqrt { T t } } ) \quad , \quad \hat { \rho } ( y ) = \frac { e ^ { - \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } \left( 2 + \sqrt { \pi } e ^ { \frac { y ^ { 2 } } { 4 } } y \, \mathrm { e r f c } \left( - \frac { y } { 2 } \right) \right) } { 2 \pi \mathrm { e r f c } \left( - \frac { y } { 2 } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \Delta _ { 2 } ^ { 2 } \rightarrow \Delta _ { 1 } ^ { 2 } = - \left( \frac { 1 } { 2 \pi T } \right) \sum _ { \sigma = - 2 I } ^ { 2 I } \frac { W _ { \sigma } ( 1 + r _ { 1 } \sigma ) ^ { 3 } \phi ^ { 3 } } { 1 + ( 1 + r _ { 1 } \sigma ) ^ { 2 } \phi ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x ) } & { = \cos ( \rho x ) + \int _ { 0 } ^ { x } \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { g _ { n } ( x ) } { x } P _ { 2 n } \left( \frac { t } { x } \right) \right) \cos ( \rho t ) d t } \\ & { = \cos ( \rho x ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { g _ { n } ( x ) } { x } \int _ { 0 } ^ { x } P _ { 2 n } \left( \frac { t } { x } \right) \cos ( \rho t ) d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal A _ { k } + \mathcal A _ { k } ^ { * } ) \mathcal A _ { k } \mathfrak h _ { j } } & { = ( \mathcal A _ { k } ^ { * } + \mathcal A _ { k } ) \mathcal A _ { k } \mathcal A _ { j } ^ { * } \mathfrak h } \\ & { = ( \mathcal A _ { j } ^ { * } + \mathcal A _ { j } ) \mathfrak h } \\ & { = \mathfrak h _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { i j } ^ { m , k } \; \delta U _ { j } ^ { m , k } = - T _ { i } \left( U _ { 1 } ^ { m , k } , U _ { 2 } ^ { m , k } , \dots , U _ { n } ^ { m , k } \right) , \quad \quad A _ { i j } ^ { m , k } : = \frac { \partial } { U _ { j } } F _ { i } \left( U _ { 1 } ^ { m , k } , U _ { 2 } ^ { m , k } , \dots , U _ { n } ^ { m , k } \right) , } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { \lambda } } { d t ^ { 2 } } } \left( { \frac { d t } { d T } } \right) ^ { 2 } + { \frac { d x ^ { \lambda } } { d t } } { \frac { d ^ { 2 } t } { d T ^ { 2 } } } = - \Gamma _ { \nu \alpha } ^ { \lambda } { \frac { d x ^ { \nu } } { d t } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d t } } \left( { \frac { d t } { d T } } \right) ^ { 2 } .
- \frac { 1 } { \pi } \sum _ { n } ^ { } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! } h _ { J } \partial ^ { n - 1 } \left< \left[ \Phi _ { i } J \right] _ { n } ( x ) e ^ { - \frac { 1 } { \pi } \int { \bf h \cdot \Phi } } \right> .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 4 } \, } & { = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \Bigl \{ \sum _ { m = 1 } ^ { 4 } \bigl ( ( \beta _ { \epsilon } + L ) P _ { m } + Q _ { m } \bigr ) \eta _ { 4 - m } \, , \, \eta _ { 0 } \Bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 3 } \, , \eta _ { 1 } - R \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 2 } \, , \eta _ { 2 } - R \eta _ { 1 } + R ^ { 2 } \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ & { + \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 3 } - R \eta _ { 2 } + R ^ { 2 } \eta _ { 1 } - R ^ { 3 } \eta _ { 0 } \bigr \} - \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , R \eta _ { 3 } - R ^ { 2 } \eta _ { 2 } + R ^ { 3 } \eta _ { 1 } - R ^ { 4 } \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ & { - \frac { r _ { 0 } } { \Gamma } \Bigr ( \bigl ( \dot { \bar { r } } _ { 2 } - \dot { \bar { r } } _ { 0 } \bigr ) \partial _ { R } \eta _ { 1 } + \bigl ( \dot { \bar { z } } _ { 2 } - \dot { \bar { z } } _ { 0 } \bigr ) \partial _ { Z } \eta _ { 1 } + \dot { \bar { z } } _ { 0 } \partial _ { Z } \eta _ { 3 } \Bigr ) + \delta \partial _ { R } \bigl ( R \eta _ { 2 } - R ^ { 2 } \eta _ { 1 } + R ^ { 3 } \eta _ { 0 } \bigr ) + 2 \delta \eta _ { 2 } \, . } \end{array}
\nu = c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \left( \tau _ { \mathrm { N S } } ^ { + } - \frac { 1 } { 2 } \right) , \qquad \qquad \Lambda = \left( \tau _ { \mathrm { N S } } ^ { + } - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \tau _ { \mathrm { N S } } ^ { - } - \frac { 1 } { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { = } & { { } S \left( P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) - S \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \right) - \beta _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \left( U _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } - U _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \right) , } \\ { = } & { { } \Delta S - \frac { \Delta U } { T _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { m _ { 1 } m _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ^ { - 3 } - \lambda ) } & { = \sigma \, \frac { r _ { 3 4 } } { r _ { 1 2 } } } & { m _ { 3 } m _ { 4 } ( r _ { 3 4 } ^ { - 3 } - \lambda ) } & { = \sigma \, \frac { r _ { 1 2 } } { r _ { 3 4 } } } \\ { m _ { 1 } m _ { 3 } ( r _ { 1 3 } ^ { - 3 } - \lambda ) } & { = - \sigma \frac { r _ { 2 4 } } { r _ { 1 3 } } } & { m _ { 2 } m _ { 4 } ( r _ { 2 4 } ^ { - 3 } - \lambda ) } & { = - \sigma \frac { r _ { 1 3 } } { r _ { 2 4 } } } \\ { m _ { 1 } m _ { 4 } ( r _ { 1 4 } ^ { - 3 } - \lambda ) } & { = \sigma \frac { r _ { 2 3 } } { r _ { 1 4 } } } & { m _ { 2 } m _ { 3 } ( r _ { 2 3 } ^ { - 3 } - \lambda ) } & { = \sigma \frac { r _ { 1 4 } } { r _ { 2 3 } } . } \end{array}
= \frac { 1 } { 2 } \Big ( { R _ { 1 } } ^ { 2 } + { R _ { 2 } } ^ { 2 } - ( { R _ { 2 } } ^ { 2 } - { R _ { 1 } } ^ { 2 } ) \big ( \, \cos ^ { 2 } ( \frac { \Delta \phi } { 2 } ) - \sin ^ { 2 } ( \frac { \Delta \phi } { 2 } ) \, \big ) \Big )
P _ { \omega } = { \frac { 1 } { 2 } } \chi ^ { ( 3 ) } \varepsilon _ { 0 } E _ { 1 } E _ { 2 } E _ { 3 } ^ { * } e ^ { i ( \omega t - \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } ) } + { \mathrm { c . c . } }
\begin{array} { r l } { d \big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ) \big ) } & { = \ast \Big ( \big ( \ast e _ { \eta } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) \Big ) + d \Big ( \mathrm { l i } \big ( \tilde { e } _ { \Sigma } ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } \big ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \big ) \Big ) , } \\ { d \big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ^ { \prime } ( f _ { \phi } ) \big ) } & { = \ast \Big ( \big ( \ast e _ { \eta } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) \Big ) + d \Big ( \mathrm { l i } ^ { \prime } \big ( \tilde { e } _ { \Sigma } ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } ^ { \prime } \big ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \big ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { h } } & { { } = \int \frac { 1 } { 2 } \rho _ { h } \boldsymbol { v } _ { h } \cdot \boldsymbol { v } _ { h } \mathrm { d } \Omega } \\ { K _ { v } } & { { } = \int \frac { 1 } { 2 } \rho _ { h } w _ { h } ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega } \\ { P } & { { } = \int g z \rho _ { h } \mathrm { d } \Omega } \\ { I } & { { } = \int c _ { v } \rho _ { h } \theta _ { h } \Pi _ { h } \mathrm { d } \Omega , } \end{array}
W = \left[ \begin{array} { l l l l } { w _ { 1 1 } } & { w _ { 1 2 } } & { \cdots } & { w _ { 1 m } } \\ { w _ { 2 1 } } & { w _ { 2 2 } } & { \cdots } & { w _ { 2 m } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { w _ { n 1 } } & { w _ { n 2 } } & { \cdots } & { w _ { n m } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { { u ^ { ( 1 ) } } ^ { t } } \\ { { u ^ { ( 2 ) } } ^ { t } } \\ { \vdots } \\ { { u ^ { ( n ) } } ^ { t } } \end{array} \right] .
\langle \tilde { \zeta } _ { T } ^ { X | K } , \mathbf { 1 } _ { \{ ( n , s ) \} \times B } \rangle \xrightarrow [ K \to \infty ] { } \langle \tilde { \eta } _ { T } ^ { X } , \mathbf { 1 } _ { \{ ( n , s ) \} \times B } \rangle \; \; \mathrm { ~ a ~ l ~ m ~ o ~ s ~ t ~ s ~ u ~ r ~ e ~ l ~ y ~ } .
\mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { k } = ( \mathbf { r } _ { k } + \beta _ { k - 1 } \mathbf { p } _ { k - 1 } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { k } = { \frac { 1 } { \alpha _ { k } } } \mathbf { r } _ { k } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { k + 1 } ) = { \frac { 1 } { \alpha _ { k } } } \mathbf { r } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { k }
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( e _ { 1 1 } , e _ { 1 2 } , e _ { 2 2 } ) } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( e _ { 1 1 } , e _ { 1 2 } ) - [ e _ { 1 1 } , e _ { 2 1 } ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( e _ { 1 2 } , e _ { 2 2 } ) + \mu _ { 1 } ( e _ { 1 2 } , 0 ) + [ e _ { 2 1 } , e _ { 2 2 } ] + [ e _ { 1 2 } , 0 ] } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \Phi _ { t } } & { \geq - 6 \gamma \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } \frac { \mathbb E \operatorname { t a n h } ^ { 2 r } ( \beta y ) } { 2 r } = - 3 \gamma \mathbb E \ln \frac { 1 } { 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta y ) } = - 6 \gamma \mathbb E \ln \cosh ( \beta y ) \geq - 6 \beta \gamma \mathbb E | y | , } \end{array}
S = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \mathrm { T r } \Bigl ( \frac { 1 } { 4 } F _ { j k } F ^ { j k } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \alpha } [ \nabla _ { j } , \Phi ^ { \alpha } ] [ \nabla ^ { j } , \Phi ^ { \alpha } ] + V ( \Phi ) \Bigr )
\begin{array} { r l } { c | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } + c | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { F } ^ { 2 } \leq } & { \Big \{ c | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } + c | | \Delta _ { k } ^ { - } | | _ { F } ^ { 2 } \Big \} } \\ & { + \Big \{ c | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { F } ^ { 2 } + c | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { F } ^ { 2 } + c | | \Delta _ { k } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } \Big \} } \\ { = } & { 2 c | | \Delta _ { k } | | _ { F } ^ { 2 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \rho _ { j , g } ^ { n \mathrm { + 1 } } = \rho _ { j , g } ^ { n } - \frac { \Delta t } { V _ { j } } \sum _ { k } \Phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } + \frac { c \Delta t L _ { a } ^ { \varepsilon } } { \varepsilon } \left( 2 \pi \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j } ^ { n + 1 } \phi _ { j , g } ^ { n \mathrm { + 1 } } - \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j } ^ { n + 1 } \rho _ { j , g } ^ { n \mathrm { + 1 } } \right) } } \\ { { C _ { V } \frac { T _ { j } ^ { n + 1 } - T _ { j } ^ { n } } { \Delta t } = \frac { L _ { a } ^ { \varepsilon } } { \varepsilon } \sum _ { g = 1 } ^ { G } \left( \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j } ^ { n + 1 } \rho _ { j , g } ^ { n \mathrm { + 1 } } - 2 \pi \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j } ^ { n + 1 } \phi _ { j , g } ^ { n \mathrm { + 1 } } \right) } } \end{array} \right.
\ddot { r } - \frac { F ^ { \prime } } { 2 } \left( 1 - \dot { r } ^ { 2 } + L _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - H } \right) - \frac { H ^ { \prime } } { 2 } L _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - H } = 0
\begin{array} { r } { \mu ( \psi ) = \frac 1 2 \mu _ { \ell } ( 1 + \psi _ { \ell } ) + \frac 1 2 \mu _ { s } ( 1 + \psi _ { s } ) + \frac 1 2 \mu _ { a } ( 1 + \psi _ { a } ) \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F _ { 0 } } & { = \operatorname { T r } _ { 1 , 2 , \ldots , N } { \mathcal { H } } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , \ldots , \xi _ { N } ) P _ { 0 } ^ { ( N ) } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , \ldots , \xi _ { N } ) } \\ & { + k T \, \operatorname { T r } _ { 1 , 2 , \ldots , N } P _ { 0 } ^ { ( N ) } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , \ldots , \xi _ { N } ) \log P _ { 0 } ^ { ( N ) } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , \ldots , \xi _ { N } ) , } \end{array} }
H _ { e f f } = \left( \begin{array} { l l } { \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } } & { \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \omega _ { m } - i \gamma _ { e f f _ { 1 } } } & { - J } \\ { - J } & { \omega _ { m } + i \gamma _ { e f f _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { b } _ { 1 } } \\ { \hat { b } _ { 2 } } \end{array} \right)
d s ^ { 2 } = 2 d x ^ { + } d x ^ { - } - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } \left( \sum _ { I = 1 } ^ { 8 } { x _ { I } } ^ { 2 } \right) \left( d x ^ { + } \right) ^ { 2 } + \sum _ { I = 1 } ^ { 8 } { d x _ { I } } ^ { 2 } \, ,
2 ( q - 1 ) - \gamma \beta - ( q - 1 ) \beta = ( q - 1 ) \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( 2 - \frac { \beta } { q + 1 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( 2 q + 1 \aftergroup \egroup \right) \aftergroup \egroup \right) = 2 ( q - 1 ) \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( 1 - \frac { 2 q + 1 } { 2 q + 2 } \beta \aftergroup \egroup \right) = 8 \delta \, .
\begin{array} { r } { \mathbf { Y } _ { 6 } = \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , 0 , 1 \right) ^ { T } / \sqrt { 3 } . } \end{array}