harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\rho _ { R } = 1 - \frac { 1 5 } { \pi ^ { 4 } k ^ { 4 } T _ { H } ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } E ^ { 3 } \left[ \frac { T _ { C } } { T _ { E } ( E ) } \Delta n ( E ) + n _ { E } ( E ) \right] d E
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E } { \partial \alpha } } & { { } = - 2 t \cos 2 \alpha - U \cos 2 \beta \sin 2 \alpha = 0 } \\ { \frac { \partial E } { \partial \beta } } & { { } = - 2 t \cos 2 \beta - U \cos 2 \alpha \sin 2 \beta = 0 } \end{array}
{ \mathrm { S U } } ( 2 ) = \left\{ { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { - { \overline { { b } } } } & { { \overline { { a } } } } \end{array} \right) } \ : \ | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } = 1 \right\} .
\phi _ { A } ^ { ( n ) } = ( \frac { m _ { B } q ^ { 2 } } { 2 m _ { A } ( m _ { A } + m _ { B } ) \hbar \omega } ) ^ { n / 2 } e x p ( - \frac { m _ { B } q ^ { 2 } } { 4 m _ { A } ( m _ { A } + m _ { B } ) \hbar \omega } ) ,
\frac { \partial \rho _ { k } \alpha _ { k } \mathbf { u } _ { k } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho _ { k } \alpha _ { k } \mathbf { u } _ { k } \mathbf { u } _ { k } \right) = - \nabla \cdot \left( \alpha _ { k } \boldsymbol { \tau } _ { k } \right) - \alpha _ { k } \nabla p + \alpha _ { k } \rho _ { k } \mathbf { g } + \mathbf { F } _ { k } , \qquad k = l , g ;
S = T r [ \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } ( \phi ^ { 1 } ) ^ { 2 } + \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } ( \phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 4 N } ( \phi ^ { 1 } ) ^ { 4 } + \frac { \lambda _ { 2 } } { 4 N } ( \phi ^ { 2 } ) ^ { 4 } + g \phi ^ { 1 } \phi ^ { 2 } ]
\langle T _ { o } ( t ) \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ a ~ c ~ e ~ , ~ t ~ i ~ m ~ e ~ } } = \frac { 1 } { n _ { \tau } n _ { x } n _ { y } } \sum _ { \tau = 0 } ^ { n _ { \tau } } \sum _ { i = 0 } ^ { n _ { x } } \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { y } } \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { o } } T _ { o , k } ( t _ { \tau } ) \phi _ { k } ( x _ { i } , y _ { j } )
\begin{array} { r } { K ( t , t ^ { \prime } ) = G _ { 0 } \exp \Big ( - \frac { G _ { 0 } } { 2 D _ { 0 } \eta _ { 0 } } \big ( \langle \Delta x ^ { 2 } \rangle ( t ) - \langle \Delta x ^ { 2 } \rangle ( t ^ { \prime } ) \big ) \Big ) . } \end{array}
d _ { v } S _ { D } = \sum _ { k } ( t _ { k + 1 } - t _ { k } ) d _ { v } { L _ { D } } ^ { ( k ) } , \qquad d _ { v } { L _ { D } } ^ { ( k ) } = { { \cal E } _ { D } } ^ { ( k ) } + \Delta _ { k } { \theta _ { D } } ^ { ( k ) } ,
\vert \gamma _ { \textbf { a } } ( z _ { 1 } ) - \gamma _ { \textbf { b } } ( z _ { 2 } ) \vert = \vert \gamma _ { \textbf { c } } ^ { \prime } ( \gamma _ { \textbf { a } _ { 1 } } ( z ) ) \vert ^ { 1 / 2 } \vert \gamma _ { \textbf { c } } ^ { \prime } ( \gamma _ { \textbf { b } _ { 1 } } ( z ) ) \vert ^ { 1 / 2 } \vert \gamma _ { \textbf { a } _ { 1 } } ( z ) - \gamma _ { \textbf { b } _ { 1 } } ( z ) \vert .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } { \int _ { \bar { \Delta } } } { \cal L } F ( m , x ) p _ { V } ( m , x ; s ) d m d x d s = - \int _ { 0 } ^ { t } { \int _ { \bar { \Delta } } } F ( m , x ) \partial _ { x ^ { k } } ( B ^ { k } p _ { V } ) ( m , x ; s ) d m d x d s } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } { \int _ { \bar { \Delta } } } \partial _ { x ^ { l } } F ( m , x ) \partial _ { x ^ { k } } [ \Sigma ^ { { k , l } } ( m , x ) p _ { V } ( m , x ; s ) ] d m d x d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } \left( F ( m , m , \tilde { x } ) B ^ { 1 } ( m , \tilde { x } ) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x ^ { k } } F ( m , m , \tilde { x } ) \Sigma ^ { 1 , k } ( m , \tilde { x } ) \right) p _ { V } ( m , m , \tilde { x } ; s ) d m d \tilde { x } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P = \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } P _ { 3 3 } } & { \omega \overline { { P _ { 1 3 } } } } & { P _ { 1 3 } } \\ { \omega ^ { 2 } P _ { 1 3 } } & { \omega P _ { 3 3 } } & { \overline { { P _ { 1 3 } } } } \\ { \omega ^ { 2 } \overline { { P _ { 1 3 } } } } & { \omega P _ { 1 3 } } & { P _ { 3 3 } } \end{array} \right) , \qquad Q = \left( \begin{array} { l l l } { \omega Q _ { 3 3 } } & { \omega ^ { 2 } \overline { { Q _ { 1 3 } } } } & { Q _ { 1 3 } } \\ { \omega Q _ { 1 3 } } & { \omega ^ { 2 } Q _ { 3 3 } } & { \overline { { Q _ { 1 3 } } } } \\ { \omega \overline { { Q _ { 1 3 } } } } & { \omega ^ { 2 } Q _ { 1 3 } } & { Q _ { 3 3 } } \end{array} \right) , } \end{array}
P = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { \rho _ { k } R T } { 1 - \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { N } b _ { k ^ { \prime } } \rho _ { k ^ { \prime } } } - \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { N } a _ { k k ^ { \prime } } \rho _ { k } \rho _ { k ^ { \prime } } .
\left[ \frac { E ( x ^ { 7 } b , x ^ { 6 0 } ) E ( x ^ { 1 3 } b , x ^ { 6 0 } ) E ( x ^ { 3 7 } / b , x ^ { 6 0 } ) E ( x ^ { 4 3 } / b , x ^ { 6 0 } ) } { E ( x ^ { 7 } / b , x ^ { 6 0 } ) E ( x ^ { 1 3 } / b , x ^ { 6 0 } ) E ( x ^ { 3 7 } b , x ^ { 6 0 } ) E ( x ^ { 4 3 } b , x ^ { 6 0 } ) } \right] ^ { N } = b ^ { 2 N } .
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\{ \langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } , \vec { \theta } _ { t } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right\} \right] } & { \le \mathbb E \left[ \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } f ( \tau _ { i + 1 } ^ { \prime } - \tau _ { i } ^ { \prime } ) \right] + \mathbb E \left[ \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } h ( \tau _ { i + 1 } ^ { \prime } - \tau _ { i } ^ { \prime } ) \cdot \sum _ { t = 1 } ^ { \tau _ { i + 1 } ^ { \prime } - \tau _ { i } ^ { \prime } } \lVert \mathbf Q _ { \tau _ { i } ^ { \prime } + t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } \geq | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } , } \\ & { | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } \leq | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } , } \\ & { | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } - \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } \leq | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \Theta _ { 0 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } - \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } . } \end{array}
{ \frac { \partial \rho } { \partial t } } = { \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial x ^ { 2 } } } \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { \Delta ^ { 2 } } { 2 \, \tau } } \cdot \varphi ( \Delta ) \, \mathrm { d } \Delta + { \mathrm { h i g h e r - o r d e r ~ e v e n ~ m o m e n t s . } }
\begin{array} { r l } { | x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } H } C x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } | } & { = | ( x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } - \widetilde { x } _ { * } ) ^ { H } C x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } + \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C ( x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } - \widetilde { x } _ { * } ) + \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C \widetilde { x } _ { * } | } \\ & { = | ( x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } - \widetilde { x } _ { * } ) ^ { H } C x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } + \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C ( x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } - \widetilde { x } _ { * } ) | } \\ & { \leq 2 \| C \| \| x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } - \widetilde { x } _ { * } \| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { U } ( t ) = \left( e ^ { - i \hat { H } _ { Z } \delta t } e ^ { - i \hat { H } _ { Y } \delta t } e ^ { - i \hat { H } _ { X } \delta t } \right) ^ { M } + { \mathcal O } \left( M \delta t ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\lbrack { H , G _ { r i } } \rbrack = 0 , \quad \lbrack { { \bf P } , Q _ { r i } } \rbrack = 0 , \quad \lbrack { { \bf P } , G _ { r i } } \rbrack = 0 , \quad \lbrack { G _ { r 1 } , N _ { 1 } } \rbrack = - \frac { 1 } { 4 } Q _ { r } ,
I _ { 2 } = \frac { M ^ { D } } { ( M ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \int \frac { d ^ { D } K ~ d ^ { D } l } { ( K - q / M ) ^ { 2 } K ^ { 2 } [ ( K - l / M ) ^ { 2 } - 1 ] ( q - l ) ^ { 2 } l ^ { 2 } } .
\widetilde { \mathbf { R } } _ { 2 } = \widetilde { \mathbf { R } } _ { 2 } ( \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ) , \qquad \widetilde { \mathbf { R } } _ { 2 } ^ { - 1 } = \widetilde { \mathbf { R } } _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 2 } + _ { 2 } + _ { 1 0 } } \\ & { = \delta _ { p , j } \delta ( q > m - n ) \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , x } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { p , j } \delta ( q \leq m - n ) \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , x } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta _ { p , j } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , x } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta _ { p , j } \delta ( q > m - n ) \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , x } ^ { ( 1 ) } ( e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } ) } \\ & { = \delta _ { p , j } \delta ( q > m - n ) \sum _ { x \leq m - n } W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { \quad _ { 2 } + _ { 4 } + _ { 1 1 } + _ { 1 3 } + _ { 4 } } \\ & { = - \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } \sum _ { w > m - n } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } + \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta _ { p , j } \alpha _ { 1 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta _ { p , j } ( m - n ) \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = - \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } ( W _ { i , q } ^ { ( 2 ) } + \alpha _ { 2 } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } & { { } = } & { S _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) , } \\ { \varphi _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } & { { } = } & { S _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) . } \end{array}
V = { \frac { m } { 2 } } \left( { \frac { g } { L _ { a } } } x _ { a } ^ { 2 } + { \frac { g } { L _ { b } } } x _ { b } ^ { 2 } + { \frac { k } { m } } ( x _ { b } - x _ { a } ) ^ { 2 } \right) .
\langle \Psi _ { m } [ u ] \rangle _ { t } = \frac { \big \langle \Psi _ { 0 } [ U ^ { ( m ) } ] \big ( \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \mathcal { X } _ { - j } [ U ^ { ( m ) } ] \big ) ^ { p - 1 } \big \rangle _ { \tau ^ { ( m ) } } } { \big \langle \big ( \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \mathcal { X } _ { - j } [ U ^ { ( m ) } ] \big ) ^ { - 1 } \big \rangle _ { \tau ^ { ( m ) } } } .
\langle | G _ { 1 } | A _ { 1 } | G _ { 2 } | A _ { 1 } ^ { * } \rangle = \frac { 4 } { \pi ^ { 2 } } \iint _ { 0 } ^ { \infty } \langle \mathrm { I m } \, G ( w _ { 1 , s } ) \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } \mathrm { I m } \, G ( w _ { 2 , t } ) ( \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } ) ^ { * } \rangle \, \frac { \mathrm { d } s \mathrm { d } t } { \sqrt { \eta _ { 1 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } \, ,
\int d \boldsymbol { r } h ( x , y , z ) \simeq \sum _ { I } \sum _ { j _ { x } , j _ { y } , j _ { z } } w _ { I , j _ { x } } ^ { x } w _ { I , j _ { y } } ^ { y } w _ { I , j _ { z } } ^ { z } h ( x _ { I , j _ { x } } , y _ { I , j _ { y } } , z _ { I , j _ { z } } ) ,
\left\{ \begin{array} { l } { { \widetilde { \phi } = c \phi + f ( q ^ { a } ) , } } \\ { { \widetilde { \pi _ { \phi } } = \pi _ { \phi } [ c + X _ { 1 } f ( q ^ { a } ) ] + X _ { 0 } f ( q ^ { a } ) , } } \end{array} \right.
\bar { H } _ { i j } = \sum _ { k , l } A _ { i k } H _ { k l } A _ { l j } ^ { - 1 } = \sum _ { k , l } \sqrt { \frac { n _ { i } } { \tau _ { i } } } \delta _ { i k } \left( \frac { \delta _ { k l } } { \tau _ { k } } - \frac { n _ { l } } { \tau _ { l } } \right) \sqrt { \frac { \tau _ { j } } { n _ { j } } } \delta _ { l j } = \frac { \delta _ { i j } - \sqrt { n _ { i } n _ { j } } } { \sqrt { \tau _ { i } \tau _ { j } } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { C } _ { ( \ell _ { 1 } m _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } m _ { 3 } ) } } & { = \sum _ { \ell _ { 2 } , m _ { 2 } , n _ { 2 } } A _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) } \delta _ { \ell _ { 1 } - \ell _ { 2 } } \delta _ { m _ { 1 } - m _ { 2 } } B _ { ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } ) } \delta _ { \ell _ { 2 } - \ell _ { 3 } } \delta _ { m _ { 2 } - m _ { 3 } } } \\ & { = \delta _ { \ell _ { 1 } - \ell _ { 3 } } \delta _ { m _ { 1 } - m _ { 3 } } \sum _ { \ell _ { 2 } , m _ { 2 } , n _ { 2 } } \delta _ { \ell _ { 1 } - \ell _ { 2 } } \delta _ { m _ { 1 } - m _ { 2 } } A _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) } B _ { ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } ) } . } \\ & { = \delta _ { \ell _ { 1 } - \ell _ { 3 } } \delta _ { m _ { 1 } - m _ { 3 } } \sum _ { \ell _ { 2 } , n _ { 2 } } \delta _ { \ell _ { 1 } - \ell _ { 2 } } A _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) } B _ { ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } ) } . } \end{array}
g ^ { ( 2 ) } ( 0 ) = \frac { G ^ { ( 2 ) } ( c e n t e r ) } { G ^ { ( 2 ) } ( \infty ) } { \approx } \frac { 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 . 1 } { 4 \cdot 1 } { = } 0 . 5 5
\begin{array} { r l } { \hat { H } ( t ) = } & { \hat { H } _ { 0 } + \hat { V } ( t ) } \\ { = } & { | \alpha \rangle \mathcal { E } _ { \alpha } ^ { 0 } \langle \alpha | + | \beta \rangle \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } \langle \beta | + | \gamma \rangle \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { 0 } \langle \gamma | } \\ & { - E _ { X } ^ { 0 } ( t ) \cos ( \omega _ { X } t ) ( \mu _ { \alpha \beta } ^ { 0 } | \alpha \rangle \langle \beta | + \mu _ { \beta \alpha } ^ { 0 } | \beta \rangle \langle \alpha | ) } \\ & { - E _ { I } ^ { 0 } ( t - \tau ) \cos ( \omega _ { I } t - \omega _ { I } \tau ) ( \mu _ { \beta \gamma } ^ { 0 } | \beta \rangle \langle \gamma | + \mu _ { \gamma \beta } ^ { 0 } | \gamma \rangle \langle \beta | ) , } \end{array}
\bar { G } ( \theta , \, p ) = e ^ { \frac { \delta ( 1 + \xi ) } { 8 \pi \xi } \, ( \theta + i \pi ) ^ { 2 } } \, \exp \bigg \{ \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, \frac { 1 } { n } \ \frac { \sin ^ { 2 } ( \delta n ( \theta + i \pi ) / 2 ) \, \sinh ( \pi \delta ( \xi + 1 ) n / 2 ) } { \sinh ( \pi \delta n ) \, \sinh ( \pi \delta \xi n / 2 ) \, \cosh ( \pi \delta n / 2 ) } \, \bigg \} \, ,
\begin{array} { r l } { \tilde { F } _ { 1 } ( k ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \, \left[ \mathrm { e } ^ { \jmath \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert } \, \tilde { I } _ { + } ( k ) + \mathrm { e } ^ { - \jmath \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert } \, \tilde { I } _ { - } ( k ) \right] , } \\ { \tilde { F } _ { 2 } ( k ) } & { = \frac { 1 } { 4 \jmath \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, \left[ \mathrm { e } ^ { \jmath \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert } \, \tilde { I } _ { + } ( k ) - \mathrm { e } ^ { - \jmath \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert } \, \tilde { I } _ { - } ( k ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { t _ { l } , t _ { l ^ { \prime } } , \xi } ( \zeta ) } & { = ( t _ { l } ^ { - m } - t _ { l ^ { \prime } } ^ { - m } ) ( - 1 ) ^ { m + 1 } \frac { { \phi } ^ { ( m ) } ( 0 ) } { m ! } \delta ^ { m } \biggl ( \frac { ( \xi _ { 1 } - \zeta _ { 1 } ) ^ { m + 2 } } { ( \xi _ { 2 } - \zeta _ { 2 } ) ^ { m + 1 } } + \frac { \zeta _ { 1 } ^ { m + 2 } } { \zeta _ { 2 } ^ { m + 1 } } \biggl ) + R ( t _ { l } , t _ { l ^ { \prime } } , \xi - \zeta , \zeta , \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \lambda } ( v ) } & { = \frac { 1 } { p } \int _ { \Omega _ { V } } | D v | ^ { p } d x - \frac { \lambda } { k } \int _ { \Omega _ { V } } V | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k } d x - \frac { \beta } { \alpha p ^ { * } } \int _ { \Omega _ { V } } K | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } } d x } \\ & { \le \frac { 1 } { p } r _ { j } ^ { p } - \frac \lambda k \biggl ( \frac 1 2 d _ { j } r _ { j } ^ { k } - c r _ { j } ^ { p ^ { * } } \biggr ) + \frac { \beta 2 ^ { ( p - 1 ) p ^ { * } } } { \alpha p ^ { * } } \| K \| _ { \infty } \int _ { \Omega _ { V } } | v | ^ { p ^ { * } } d x } \\ & { \le r _ { j } ^ { k } \biggl [ \frac { 1 } { p } r _ { j } ^ { p - k } - \frac { \lambda } { 2 k } d _ { j } + C r _ { j } ^ { p ^ { * } - k } \biggr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | { p _ { \ell } ( x ) } | } & { = | { \alpha ( x ) \lambda _ { 1 } ^ { \ell } + \beta ( x ) \lambda _ { 2 } ^ { \ell } } | \leq | { \alpha ( x ) \lambda _ { 1 } ^ { \ell } } | + | { \beta ( x ) \lambda _ { 2 } ^ { \ell } } | } \\ & { = | { \alpha ( x ) } | | { \lambda _ { 1 } } | ^ { \ell } + | { \beta ( x ) } | | { \lambda _ { 2 } } | ^ { \ell } } \\ & { = 2 \sqrt { \frac { x ( x - c d ) } { \Delta ( x ) \cdot ( c - 1 ) } } ( c - 1 ) ^ { \ell / 2 } ( d - 1 ) ^ { \ell / 2 } } \end{array}
R e \left[ \left( P + m _ { 3 } ^ { 2 } - i 0 \right) ^ { - 1 } \ast \left( P + m _ { 4 } ^ { 2 } - i 0 \right) ^ { - 1 } \right] = \left( P + m _ { 3 } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } \ast \left( P + m _ { 4 } ^ { 2 } \right) -
\gamma _ { 2 } \sum _ { a = 1 } ^ { k } \left[ 2 \nu _ { a } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \varphi _ { \theta } ^ { a } ( X _ { j } ^ { 0 } ) ^ { 2 } - 1 \right) - \nu _ { a } ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ } } } & { { } = J - \tilde { c } _ { \phi } { \star \tilde { A } } , } \\ { \tilde { J } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ } } ^ { \psi } } & { { } = \tilde { J } _ { \psi } + ( - ) ^ { q + 1 } c _ { \phi } \ell { \star \Phi } , } \\ { L _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ } } } & { { } = L + ( - ) ^ { p } \tilde { c } _ { \phi } { \star \tilde { A } _ { \psi } } , } \\ { \tilde { J } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ } } } & { { } = \tilde { J } - c _ { \phi } { \star A } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { \partial u ( \boldsymbol { x } ) } { \partial \boldsymbol { n } } \approx \frac { \partial \phi ( \boldsymbol { x ; \theta } ) } { \partial \boldsymbol { n } } , \quad } & { \boldsymbol { x } \in \Gamma _ { 1 } , } \\ & { u ( \boldsymbol { x } ) \approx \phi ( \boldsymbol { x ; \theta } ) , \quad } & { \boldsymbol { x } \in \Gamma _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl | \mathsf { E r r } _ { 4 , 3 } \bigr | } & { { } \leq \frac { \kappa _ { m - 1 } } { 2 4 } \bigl \| \nabla \partial ^ { \aa } V _ { m - 1 } ^ { ( i ) } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \Delta h _ { p } ^ { q } ] ^ { \sigma } = - \frac { 1 } { 2 } \bigg ( } & { { } \sum _ { \tau } [ \Delta U _ { p r } ^ { q s } ] ^ { \sigma \tau } [ \gamma _ { s } ^ { r } ] ^ { \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { 1 } } & { = } & { 1 - \frac { 2 } { 4 5 } \, \frac { \alpha } { \pi } \, \left( \frac { B _ { 0 } } { B _ { c } } \right) ^ { 2 } \, \, \; , } \\ { d _ { 1 } } & { = } & { \frac { 4 } { 4 5 } \, \frac { \alpha } { \pi } \, \frac { 1 } { B _ { c } ^ { 2 } } \, \; , } \\ { d _ { 2 } } & { = } & { \frac { 7 } { 4 5 } \, \frac { \alpha } { \pi } \, \frac { 1 } { B _ { c } ^ { 2 } } \, \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \left[ \xi _ { i } ^ { ( N ) } ( k ) \xi _ { j } ^ { ( N ) } \big | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( N ) } \right] = - p _ { i } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \left( 1 - p _ { i } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \right) p _ { j } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) } \\ & { \quad - p _ { j } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) p _ { i } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \left( 1 - p _ { j } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \right) } \\ & { \quad + \left( 1 - p _ { i } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) - \tilde { p } _ { i } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \right) p _ { i } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) p _ { j } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) } \\ & { = - p _ { i } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) p _ { j } ( k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) } \end{array}
W ( q _ { 2 } ^ { i } , t _ { 2 } , q _ { 1 } ^ { i } , t _ { 1 } ) = \int _ { ( q _ { 1 } , t _ { 1 } ) } ^ { ( q _ { 2 } , t _ { 2 } ) } ( p _ { i } d q ^ { i } - H _ { 0 } d t - \lambda ^ { a } G _ { a } d t )
\gamma _ { c } { \left( s , p _ { s } ; \tau \right) } = { \sqrt { 1 + p _ { s } ^ { 2 } + a _ { x } ^ { 2 } + a _ { y } ^ { 2 } } } - \varphi - \partial _ { \tau } \int \mathrm { d } s a _ { s } { \left( s ; \tau \right) } ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { a } { A } } } & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } - ( k + { \frac { 2 \pi n } { a } } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { 2 \alpha } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left[ { \frac { 1 } { ( k + { \frac { 2 \pi n } { a } } ) - \alpha } } - { \frac { 1 } { ( k + { \frac { 2 \pi n } { a } } ) + \alpha } } \right] } \\ & { = - { \frac { a } { 4 \alpha } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left[ { \frac { 1 } { \pi n + { \frac { k a } { 2 } } - { \frac { \alpha a } { 2 } } } } - { \frac { 1 } { \pi n + { \frac { k a } { 2 } } + { \frac { \alpha a } { 2 } } } } \right] } \\ & { = - { \frac { a } { 4 \alpha } } \left[ \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \pi n + { \frac { k a } { 2 } } - { \frac { \alpha a } { 2 } } } } - \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \pi n + { \frac { k a } { 2 } } + { \frac { \alpha a } { 2 } } } } \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tilde { \bf S } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l l } { U _ { n } } & { U _ { n + 1 } } & { U _ { n + 2 } } & { \cdots } \\ { U _ { n - 1 } } & { U _ { n } } & { U _ { n + 1 } } & { \cdots } \\ { U _ { n - 2 } } & { U _ { n - 1 } } & { U _ { n } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \psi _ { s } ( t ) = } & { } \\ { f r a c { \psi _ { s , \infty } \kappa ^ { * } } { \eta } i _ { e } e ^ { - \eta ( t - t _ { e } ) } } \\ { \delta \psi _ { i } ( t ) = } & { \ \frac { \psi _ { s , \infty } } { s _ { \infty } } i _ { e } e ^ { - \eta ( t - t _ { e } ) } } \\ & { \ + \left( \psi _ { i , e } - i _ { e } \frac { \psi _ { s , \infty } } { s _ { \infty } } \right) e ^ { - ( t - t _ { e } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \frac { \partial } { \partial t } \widetilde { \psi } _ { 2 } ( k , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } k ^ { 2 } \widetilde { \psi } _ { 2 } ( k , t ) + \gamma e ^ { - i \omega t } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { + } d b + d c } \\ { = \mathcal { H } _ { 1 } d \sigma ^ { ( 1 ) } + \mathcal { H } _ { 2 } d \sigma ^ { ( 2 ) } + \sqrt { d } \mathcal { P } ( - \langle \varepsilon _ { 0 k } d \rho _ { k } \rangle + d ( \rho \varepsilon ) ) } \end{array}
p ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \theta } ) = p ( E , \boldsymbol { F } _ { 1 } , . . . , \boldsymbol { F } _ { n } | ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , z _ { 1 } ) , . . . , ( \boldsymbol { r } _ { n } , z _ { n } ) , \boldsymbol { \theta } )
\ddot { x } = - \Phi ( x ) \Phi ^ { \prime } ( x ) - \Phi ^ { \prime \prime } ( x ) \overline { { { \psi } } } \, \psi , \qquad \dot { \psi } = - \mathrm { i } \Phi ^ { \prime } ( x ) \psi , \qquad \dot { \overline { { { \psi } } } } = \mathrm { i } \Phi ^ { \prime } ( x ) \overline { { { \psi } } } .
p _ { \mathrm { F } } ( E _ { i } ^ { { \tt A } } , N _ { i } ^ { { \tt A } } , E _ { i } ^ { { \tt B } } , N _ { i } ^ { { \tt B } } \, ; \, E _ { f } ^ { { \tt A } } , N _ { f } ^ { { \tt A } } , E _ { f } ^ { { \tt B } } , N _ { f } ^ { { \tt B } } )