harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { \mathbb J } _ { 1 } } & { \approx } & { { \mathbb L } _ { 3 } = { \mathbb X } _ { 4 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 2 } } & { \approx } & { { \mathbb K } _ { 2 } + { \mathbb L } _ { 1 } = { \mathbb X } _ { 2 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 3 } } & { \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 1 } + { \mathbb L } _ { 2 } = - \, { \mathbb X } _ { 1 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 4 } } & { \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 3 } = - \, { \mathbb X } _ { 3 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \oint _ { \Gamma } \left( \mathbf { M } \cdot \mu \mathbf { H } \right) d S } & { = 0 } \\ { \oint _ { \Gamma } \left( \mathbf { M } \times \mathbf { E } + { \frac { \mu } { c } } \, t _ { N } \, \mathbf { H } \right) d S } & { = 0 } \\ { \oint _ { \Gamma } \left( \mathbf { M } \times \mathbf { H } - { \frac { \varepsilon } { c } } \, t _ { N } \, \mathbf { E } \right) d S } & { = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial U ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } ^ { + } } \bigg | _ { \mathbf { x } ^ { - } = 0 } } & { = \frac { \partial U _ { + } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } ^ { + } } \bigg | _ { \mathbf { x } ^ { - } = 0 } = } \\ & { = ( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } ) ^ { + + } \mathbf { x } ^ { + } - ( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } ) ^ { + - } \mathbf { x } _ { 0 } ^ { - } . } \end{array}
A _ { 3 } = { \frac { q Q ( r - m ) \sin ^ { 2 } \theta } { T [ ( r - m ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta ] } } , \ \ \ A _ { 4 } = - { \frac { q s ( 1 - 8 { \frac { 1 } { I _ { 0 } ^ { 3 } } } e ^ { - \tau _ { 0 } \tau } ( 1 - { \frac { 2 m } { r } } ) ^ { 2 } g _ { 2 2 } ) } { 2 \sqrt { 2 } \, T } }
\begin{array} { r l } { \| ( \nabla \mathbf { y } _ { h } ^ { * } ) ^ { T } \nabla \mathbf { y } _ { h } ^ { * } } & { - I _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } = \| ( \nabla \mathbf { y } _ { h } ^ { * } ) ^ { T } \nabla \mathbf { y } _ { h } ^ { * } - ( \nabla \mathbf { y } ^ { * } ) ^ { T } \nabla \mathbf { y } ^ { * } \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } } \\ & { \leq ( \| \nabla \mathbf { y } ^ { * } \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } + \| \nabla \mathbf { y } _ { h } ^ { * } \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } ) \| \nabla ( \mathbf { y } _ { h } ^ { * } - \mathbf { y } ^ { * } ) \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } \le c \, \omega ( h _ { T } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { n } ^ { k } ( \vartheta ) = \mathcal { B } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } } & { b _ { m } \sum _ { l = 1 } ^ { L - 1 } \frac { \delta t } { 2 } \Big [ \mu _ { m } \left( t _ { l } ^ { k } \right) \mathcal { P } _ { m } ^ { n } \left( t _ { l } ^ { k } \right) } \\ & { + \mu _ { m } \left( t _ { l + 1 } ^ { k } \right) \mathcal { P } _ { m } ^ { n } ( t _ { l + 1 } ^ { k } ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } & { = \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - } ( R _ { 2 } ) ] \mathcal { H } ( R _ { 2 } ) - [ \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + } ( 0 ^ { + } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - } ( 0 ^ { - } ) ] . } \end{array}
t \partial _ { t } \eta _ { \mathrm { l i n } } - \frac { \epsilon \bar { r } } { \delta \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \eta _ { \mathrm { l i n } } + \dot { s } \, \partial _ { Z } \eta _ { \mathrm { l i n } } \Bigr ) \, = \, \mathcal { L } \eta _ { \mathrm { l i n } } + \partial _ { R } \Bigl ( \frac { \epsilon \eta _ { \mathrm { l i n } } } { 1 + \epsilon R } \Bigr ) \, ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { w h e r e : ~ } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a _ { \left| k \right| \left| j \right| } ^ { 2 } = a _ { \left| k \right| } a _ { \left| j \right| } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \varphi _ { h , \left| k \right| \left| j \right| } = \tilde { k } \phi _ { \left| k \right| } + h \tilde { j } \phi _ { \left| j \right| } } \end{array}
m ^ { ( v ) } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( \Delta < 0 ) } \\ { m _ { 0 } ^ { ( v ) } + ( \mathrm { c o n s t . } ) \Delta ^ { 1 / 2 } } & { ( 0 < \Delta \ll 1 ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { p _ { G _ { n } } ( x ) - p _ { G _ { * , n } } ( x ) } { \mathcal { Q } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } & { = } & { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) \biggr ( \sum _ { | \alpha | = 1 } ^ { 4 } { \frac { ( - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( - \Delta v _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { \alpha _ { 1 } ! \alpha _ { 2 } ! } \frac { \partial ^ { | \alpha | } { f } } { \partial { \mu ^ { \alpha _ { 1 } } } \partial { v ^ { \alpha _ { 2 } } } } ( x | \mu _ { n } ^ { * } , v _ { n } ^ { * } ) + R _ { 1 } ( x ) \biggr ) } } { \mathcal { Q } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } \\ & { + } & { \frac { \lambda _ { n } \biggr ( \sum _ { | \alpha | = 1 } ^ { 4 } { \frac { ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { \alpha _ { 1 } ! \alpha _ { 2 } ! } \frac { \partial ^ { | \alpha | } { f } } { \partial { \mu ^ { \alpha _ { 1 } } } \partial { v ^ { \alpha _ { 2 } } } } ( x | \mu _ { n } ^ { * } , v _ { n } ^ { * } ) + R _ { 2 } ( x ) \biggr ) } } { \mathcal { Q } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } \\ & { = } & { \sum _ { \beta = 1 } ^ { 8 } \sum _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } } { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( - \Delta v _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } + \lambda _ { n } ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { 2 ^ { \alpha _ { 2 } } \alpha _ { 1 } ! \alpha _ { 2 } ! \mathcal { Q } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } } \\ & { \times } & { \frac { \partial ^ { \beta } { f } } { \partial { \mu ^ { \beta } } } ( x | \mu _ { n } ^ { * } , v _ { n } ^ { * } ) + \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) R _ { 1 } ( x ) + \lambda _ { n } R _ { 2 } ( x ) } { \mathcal { Q } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } \end{array}
C ( Q ) = 1 + \frac { \int d ^ { 3 } { \bf p } _ { 1 } \; d ^ { 3 } { \bf p } _ { 2 } \; \exp \left( - \frac { | { \bf p } _ { 1 } + { \bf p } _ { 2 } | ^ { 2 } } { 4 P _ { 0 } ^ { 2 } } - R _ { 0 } ^ { 2 } | { \bf p } _ { 1 } - { \bf p } _ { 2 } | ^ { 2 } \right) \delta ( \tilde { Q } ( { \bf p } _ { 1 } , { \bf p } _ { 2 } ) - Q ) } { \int d ^ { 3 } { \bf p } _ { 1 } \; d ^ { 3 } { \bf p } _ { 2 } \; \exp \left( - \frac { | { \bf p } _ { 1 } | ^ { 2 } } { 2 P _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \exp \left( - \frac { | { \bf p } _ { 2 } | ^ { 2 } } { 2 P _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \delta ( \tilde { Q } ( { \bf p } _ { 1 } , { \bf p } _ { 2 } ) - Q ) } .
\begin{array} { r l r l } { \cos \theta _ { \mathrm { l g } } } & { = \frac { 1 } { \xi _ { h + \zeta } } , } & { \sin \theta _ { \mathrm { l g } } } & { = \frac { \partial _ { x } ( h + \zeta ) } { \xi _ { h + \zeta } } , } \\ { \cos \theta _ { \mathrm { b l } } } & { = \frac { 1 } { \xi _ { \zeta } } , \quad \mathrm { a n d } } & { \sin \theta _ { \mathrm { b l } } } & { = \frac { \partial _ { x } \zeta } { \xi _ { \zeta } } . } \end{array}
1 + { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 3 \times 4 } } - { \frac { 1 } { 3 \times 4 \times 3 4 } } = { \frac { 5 7 7 } { 4 0 8 } } = 1 . 4 1 4 2 1 { \overline { { 5 6 8 6 2 7 4 5 0 9 8 0 3 9 } } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta { u ^ { e } } - \frac { 1 } { 2 \mu } ( \vec { \nabla } u ^ { e } ) ^ { 2 } - \gamma u ^ { e } ( x ) - \lambda - V [ m ^ { e } ] } & { = 0 , } \\ { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta m ^ { e } + \frac { 1 } { \mu } \nabla \cdot ( m ^ { e } \nabla u ^ { e } ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { \operatorname* { s u p } } ( \alpha ) } & { = \operatorname* { s u p } \{ r | 1 - \Phi ( r ) \geq \alpha \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \bigg \{ r \bigg | 1 - \bigg [ 1 - \frac { ( c - r ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } \bigg ] \geq \alpha \bigg \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \bigg \{ r \bigg | \frac { ( c - r ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } \geq \alpha \bigg \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \{ r | ( c - r ) ^ { 2 } \geq \alpha ( c - a ) ( c - b ) \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { n m } \left( \rho , \varphi \right) } & { { } = \frac { 1 } { \lambda } \sqrt { \frac { \Gamma \left( n + L _ { m } + 1 \right) } { 2 ^ { L _ { m } + 1 } n ! \left[ \Gamma \left( L _ { m } + 1 \right) \right] ^ { 2 } \pi } } \left( \frac { \rho } { \lambda } \right) ^ { L _ { m } } e ^ { i m \varphi } e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { 4 \lambda ^ { 2 } } } } \end{array}
{ \cal S } _ { \mathrm { E f f } } ^ { \mathrm { E } } [ A _ { \mu } ] = \int d ^ { 4 } x \ \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } - \log { \tt d e t } \left( \frac { D [ A _ { \mu } ] + i m } { \mu } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { P } ( c _ { i } = 1 | I _ { i } = 1 ) } & { { } = \varepsilon = 1 - \alpha , } \\ { \mathsf { P } ( c _ { i } = 0 | I _ { i } = 1 ) } & { { } = \alpha , } \\ { \mathsf { P } ( c _ { i } = 1 | I _ { i } = 0 ) } & { { } = \beta , } \\ { \mathsf { P } ( c _ { i } = 0 | I _ { i } = 0 ) } & { { } = \eta = 1 - \beta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \theta } { 2 } \frac { | E _ { 1 } ( N ) \cap b H | } { N / \log N } } & { = \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { a \in b H } g ( a ) + o ( 1 ) = \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { a \in A \cap b H } g ( a ) + \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { a \in A ^ { c } \cap b H } g ( a ) + o ( 1 ) } \\ & { \leq \left( 1 + \frac { \varepsilon } { 2 0 } \right) \frac { | A \cap b H | } { \varphi ( q ) } + \frac { \varepsilon } { 1 0 Y } + o ( 1 ) \leq \frac { | A \cap b H | } { \varphi ( q ) } + \frac { \varepsilon } { 5 Y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W [ \tilde { \phi } ] } & { = \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \big ( \tilde { \phi } ( \mathbf { r } ) - \phi _ { 0 } \big ) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 3 / 2 } \kappa \sigma ^ { 3 } \phi _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { - ( \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } _ { j } ) ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) } + \frac { N } { 1 6 \pi ^ { 3 / 2 } \kappa \sigma ^ { 3 } \phi _ { 0 } } - \frac { N } { \kappa } + \frac { V \phi _ { 0 } } { 2 \kappa } . } \end{array}
f _ { n , l } ^ { k } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \left( \textbf { N } + \mathcal { F } \right) \left( \sum _ { k ^ { \prime } , \, n ^ { \prime } , \, l ^ { \prime } } \ \chi _ { n ^ { \prime } , \, l ^ { \prime } } ^ { k ^ { \prime } } \ \textbf { H } _ { n ^ { \prime } , \, l ^ { \prime } } ^ { k ^ { \prime } } \right) \cdot \left( \textbf { H } _ { n , l } ^ { k } \right) ^ { * } ( \lambda , \varphi ) \ d \varphi \ d \lambda \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \frac { \partial \ell } { \partial \Omega ^ { \alpha } } + \frac { \partial \ell } { \partial \Omega ^ { \beta } } \left( \gamma _ { \alpha I } ^ { \beta } \dot { r } ^ { I } + \gamma _ { \alpha \lambda } ^ { \beta } \Omega ^ { \lambda } \right) } & { = } & { Q _ { \alpha } } \\ { \frac { d } { d t } \frac { \partial \ell } { \partial \dot { r } ^ { I } } - \frac { \partial \ell } { \partial r ^ { I } } + \frac { \partial \ell } { \partial \Omega ^ { \beta } } \left( \gamma _ { I J } ^ { \beta } \dot { r } ^ { J } + \gamma _ { I \alpha } ^ { \beta } \Omega ^ { \alpha } \right) } & { = } & { Q _ { I } . } \end{array}
{ \bf { w } } _ { 1 0 0 } ( E _ { 1 } ^ { \pm } ; \mathbf { r } _ { 1 } ) = i ( 4 \pi ) ^ { - 1 / 2 } { \cal B } _ { 1 0 1 } ( E _ { 1 } ^ { \pm } ; { r } _ { 1 } ) \, \hat { \textbf { r } } _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { Q _ { T } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } \leq } & { \lVert | v _ { n } - v | ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } \cdot \lVert \chi _ { S _ { \epsilon } } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } + \left( \operatorname* { s u p } _ { ( x , t ) \in Q _ { T } \backslash S _ { \epsilon } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } \right) \cdot \lVert \chi _ { Q _ { T } \backslash S _ { \epsilon } } \rVert _ { L ^ { 1 } ( Q _ { T } ) } } \\ { \leq } & { \lVert v _ { n } - v \rVert _ { L ^ { 4 } ( Q _ { T } ) } ^ { 2 } \cdot \epsilon + C _ { 1 } \left( \operatorname* { s u p } _ { ( x , t ) \in Q _ { T } \backslash S _ { \epsilon } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } \right) } \end{array}
\left\vert \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \mathcal { W } _ { n , i } \widehat { \tilde { \theta } } _ { i } \right\vert - \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \mathcal { W } _ { i } [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] \mathcal { \tilde { Z } } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } \right\vert \right\vert = O _ { p } \left( \frac { ( \ln ( n ) ) ^ { 4 } } { \sqrt { n } } \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial ( \rho E ) _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { - \int _ { \Omega _ { n } } ( \rho _ { n } E _ { n } + P _ { n } ) \textbf { u } _ { n } \cdot \nabla \varphi _ { i } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { ( \rho _ { n } E _ { n } + P _ { n } ) \textbf { u } _ { n } } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S = } \\ & { = - \int _ { \Omega _ { n } } \nabla \varphi _ { i } \cdot ( \textbf { f } k + \sum _ { l = 1 } ^ { 2 } \rho _ { l } H _ { l } \textbf { a } _ { l } ) d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { ( \textbf { f } k + \sum _ { l = 1 } ^ { 2 } \rho _ { l } H _ { l } \textbf { a } _ { l } ) } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S . } \end{array}
\begin{array} { r l l } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \phi _ { \operatorname* { m a x } } } \cosh R _ { \operatorname* { m a x } } ( \phi ) d \phi } & { = } & { \displaystyle \cosh r \left[ \frac { \pi ( 1 - \mathrm { s i g n } ( \tan \phi _ { \operatorname* { m a x } } ) ) } { 2 } + \arctan \left( \cosh x \tan \phi _ { \operatorname* { m a x } } \right) \right] + \medskip } \\ & { + } & { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \sinh x \sin \phi _ { \operatorname* { m a x } } } \frac { \sqrt { \sinh ^ { 2 } r - u ^ { 2 } } } { 1 + u ^ { 2 } } d u = \medskip } \\ & { = } & { \displaystyle \cosh r \left[ \frac { \pi ( 1 - \mathrm { s i g n } ( \tan \phi _ { \operatorname* { m a x } } ) ) } { 2 } + \arctan \left( \cosh x \tan \phi _ { \operatorname* { m a x } } \right) \right] - \medskip } \\ & { - } & { \displaystyle \arctan \left[ \frac { \sinh x \sinh R } { \cosh r \cosh R - \cosh x } \sin \phi _ { \operatorname* { m a x } } \right] + \medskip } \\ & { + } & { \displaystyle \cosh r \arctan \left[ \cosh r \frac { \sinh x \sinh R } { \cosh r \cosh R - \cosh x } \sin \phi _ { \operatorname* { m a x } } \right] } \end{array}
\tilde { \Lambda } ^ { 2 \ell _ { c } } = { \frac { \Lambda _ { 1 } ^ { 2 n _ { c } } \, \Lambda _ { 2 } ^ { 2 n _ { c } } } { \operatorname * { d e t } ( A _ { m _ { c } } ^ { 2 } ) \operatorname * { d e t } ( v ^ { 2 } I _ { m _ { c } } + | A _ { m _ { c } } | ^ { 2 } ) \, v ^ { 2 \ell _ { c } } } } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \bigcup _ { R ^ { \prime } } \left( N \cdot D _ { N } ^ { * } \left( W _ { 1 } , W _ { 2 } , \ldots , W _ { N } ; R ^ { \prime } \right) > \lambda \right) \Big ) } \\ & { \leq ( 2 e ) ^ { d } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi d } } \cdot ( N + 1 ) ^ { d } \cdot \exp ( - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 \Sigma ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda } { 3 } } ) . } \end{array}
D ^ { \prime } = { \frac { D \left( 1 + \alpha ^ { 2 } \right) - 2 \alpha R } { 1 - \alpha ^ { 2 } } } , \quad R ^ { \prime } = { \frac { 2 \alpha D - R \left( 1 + \alpha ^ { 2 } \right) } { 1 - \alpha ^ { 2 } } } .
{ \frac { d \sigma } { d \Omega } } = { \frac { 1 } { 2 } } r _ { e } ^ { 2 } \left( { \frac { \lambda } { \lambda ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left[ { \frac { \lambda } { \lambda ^ { \prime } } } + { \frac { \lambda ^ { \prime } } { \lambda } } - 2 \sin ^ { 2 } ( \theta ) \cos ^ { 2 } ( \phi ) \right]
K _ { i a } ^ { \mathbf { k } } \leftarrow \sum _ { P Q } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } X _ { P Q } ^ { \mathbf { k } } u _ { a } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { Q } ) + \frac { \partial M } { \partial \theta _ { i a } ^ { \mathbf { k } } }
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \sum _ { p } \theta ( t _ { p _ { 1 } } > t _ { p _ { 2 } } > \cdots > t _ { p _ { n } } ) \varepsilon ( p ) A _ { p _ { 1 } } ( t _ { p _ { 1 } } ) A _ { p _ { 2 } } ( t _ { p _ { 2 } } ) \cdots A _ { p _ { n } } ( t _ { p _ { n } } ) } \end{array}
{ \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial t } } \times { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial \theta } } = \langle y \cos ( \theta ) { \frac { d x } { d t } } , y \sin ( \theta ) { \frac { d x } { d t } } , y { \frac { d y } { d t } } \rangle = y \langle \cos ( \theta ) { \frac { d x } { d t } } , \sin ( \theta ) { \frac { d x } { d t } } , { \frac { d y } { d t } } \rangle
S ( 1 ) = d _ { 3 - 1 - 1 } = d _ { 1 } = { \frac { 8 8 { \bmod { 6 } } ^ { 1 + 1 } - 8 8 { \bmod { 6 } } ^ { 1 } } { 6 ^ { 1 } } } = { \frac { 8 8 { \bmod { 3 } } 6 - 8 8 { \bmod { 6 } } } { 6 } } = { \frac { 1 6 - 4 } { 6 } } = { \frac { 1 2 } { 6 } } = 2
\left[ \mathbb { 1 } - \left[ \mathbb { 1 } + \frac { \mathbf { Z _ { t } } } { Z _ { 0 } } \right] ^ { - 1 } \cdot \left[ \frac { \mathbf { Z _ { t } } } { Z _ { 0 } } - \mathbb { 1 } \right] \odot \left( \mathbf { d } ( z ) \cdot \mathbf { d } ( z ) ^ { T } \right) \right] ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { a _ { E I } ( x ) = \mathbb { E } [ u ( x ) | x , D ] } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { f ^ { \prime } } ( f ^ { \prime } - f ) \mathcal { N } ( f ; \mu ( x ) , K ( x , x ) ) d f } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial v _ { j } } { \partial x _ { j } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial v _ { j } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial q _ { j } } { \partial x _ { j } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \theta } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \sigma _ { i j } } { \partial x _ { j } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d h } { d \mathcal { T } } } & { { } = g _ { 1 } ( h , \sin \alpha , \cos \alpha , \textbf { Q } ^ { \alpha T } \cdot \textbf { Q } ^ { T } \cdot \textbf { E } \cdot \textbf { Q } ^ { \alpha } \cdot \textbf { Q } ; \theta _ { g 1 } ) } \\ { \frac { d \alpha } { d \mathcal { T } } } & { { } = g _ { 2 } ( h , \sin \alpha , \cos \alpha , \textbf { Q } ^ { T } \cdot \textbf { E } \cdot \textbf { Q } ; \theta _ { g 2 } ) } \end{array}
= \int D j _ { \mu } D \lambda _ { \mu } \exp \left[ - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } x ^ { \prime } j _ { \mu } ( x ) \frac { 1 } { ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } j _ { \mu } ( x ^ { \prime } ) - i \int d ^ { 4 } x \lambda _ { \mu } j _ { \mu } + 2 \zeta \int d ^ { 4 } x \cos \left( \frac { \left| \lambda _ { \mu } \right| } { \Lambda } \right) \right] ,
\mathcal { F } _ { n } ( x , \eta ) = 1 + \bigg ( \frac { x } { 4 n ^ { 2 } } \bigg ) ^ { \alpha } s _ { 2 } ( n ) + \bigg ( \frac { x } { 4 n ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 \alpha } s _ { 4 } ( n ) + \cdots ,
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \left( \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \nabla w ^ { \varepsilon } \right) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { d } \nabla \left( \eta _ { r } \partial _ { x _ { i } } u \right) \cdot \left( \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \left( e _ { i } + ( \nabla \phi _ { n , e _ { i } } ) \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \right) - \bar { \mathbf { a } } e _ { i } \right) } \\ & { + \nabla \cdot \left( ( 1 - \eta _ { r } ) \left( \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) - \bar { \mathbf { a } } \right) \nabla u \right) + \nabla \cdot \left( \varepsilon \sum _ { i = 1 } ^ { d } \phi _ { e _ { i } } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \nabla ( \eta _ { r } \partial _ { x _ { i } } u ) \right) . } \end{array}
H _ { 1 } ^ { c } = H _ { 1 } ^ { n } = H _ { 1 } ^ { \prime } , \, \, H _ { i } ^ { c } = H _ { i } ^ { \prime } , \, \, H _ { i } ^ { n } = H _ { i } ^ { \prime } + N _ { i } ^ { \prime } , \, \, \mathrm { f o r ~ \quad ~ }
{ \sum _ { k \leqslant 0 } \Big ( \sum _ { Q \in \mathbb { D } _ { k } } | Q | \big ( \delta [ f ; 0 . 6 \ell ( Q ) ] ( c _ { Q } ) \big ) ^ { p } \Big ) ^ { \frac { q } { p } } \lesssim \sum _ { k \leqslant 0 } 2 ^ { \frac { d q ( p - 1 ) } { p } k } \| \mathfrak { A } ^ { N } \| _ { \ell _ { p } ^ { 2 ^ { d N } } } ^ { q } \lesssim \| \mathfrak { A } ^ { N } \| _ { \ell _ { p } ^ { 2 ^ { d N } } } ^ { q } }
{ \begin{array} { r l } { \arcsin ( z ) } & { = z + \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \frac { z ^ { 3 } } { 3 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 } } \right) { \frac { z ^ { 5 } } { 5 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 } } \right) { \frac { z ^ { 7 } } { 7 } } + \cdots } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { ( 2 n ) ! ! } } { \frac { z ^ { 2 n + 1 } } { 2 n + 1 } } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 2 n ) ! } { ( 2 ^ { n } n ! ) ^ { 2 } } } { \frac { z ^ { 2 n + 1 } } { 2 n + 1 } } \, ; \qquad | z | \leq 1 } \end{array} }
\left( \frac { \partial q ^ { s } } { \partial q ^ { c } } \right) \varphi = \frac { \rho } { \rho a } \left( \begin{array} { l l l l } { \Gamma k } & { - \Gamma u } & { - \Gamma v } & { \Gamma } \\ { - u a } & { a } & { 0 } & { 0 } \\ { - v a } & { 0 } & { a } & { 0 } \\ { \Gamma h - k } & { - \Gamma a } & { - \Gamma v } & { \Gamma } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { u } \\ { v } \\ { h } \end{array} \right) = \frac { \Gamma } { a } \left( \begin{array} { l } { h - k } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { h - k - \frac { a ^ { 2 } } { \Gamma } } \end{array} \right)
\begin{array} { r c l } { { ( e ) _ { A } ^ { 1 } } } & { { = } } & { { \displaystyle - i \sqrt { 2 } g ^ { 3 } \int T _ { \alpha \beta \gamma } ( k , p _ { i } ) D _ { k } ^ { A } D _ { k + p _ { 1 } } ^ { A } , } } \end{array}
\langle \, \partial _ { - } f ( \sigma ) \, \partial _ { + } f ( \sigma ^ { \prime } ) \, \rangle \, _ { \mathrm { { i n } } } = - \, \frac { 1 } { 4 \pi } \, \frac { p ^ { \prime } ( \sigma ^ { - } ) } { [ \: p ( \sigma ^ { - } ) - \sigma ^ { + } - i \epsilon \: ] ^ { 2 } } \, ,
v _ { \mathrm { t o p } } ^ { 2 } = \frac { N _ { c } } { 8 \pi ^ { 2 } } ( m _ { t } ^ { ( \mathrm { e x p } ) } ) ^ { 2 } \ln M ^ { 2 } / ( m _ { t } ^ { ( \mathrm { e x p } ) } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { w _ { k j ^ { \prime } } ^ { \psi } = 2 \sqrt { \left| \frac { \psi _ { k j ^ { \prime } } } { \Omega _ { k j ^ { \prime } } ^ { \prime } ( \psi ) } \right| } \approx 2 \sqrt { \left| \frac { \psi _ { k j ^ { \prime } } } { ( m + k j ^ { \prime } ) \omega _ { \theta } ^ { \prime } ( \psi ) } \right| } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { { } = \int d ^ { 3 } r \Big [ \frac { 1 } { 2 } \nu \left( \partial _ { i } v _ { j } + \partial _ { j } v _ { i } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \Gamma \left( 2 \Omega _ { i } - \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } v _ { k } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\frac { H } { J } \bar { \mathbf { u } } ^ { T } \mathbf { R } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } c _ { i } ^ { 2 } | | \bar { \mathbf { v } } _ { i } | | _ { \Omega } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \theta } \ell ( \theta ) \leq \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ell ( \theta _ { i } ) + 2 \mathcal { R } _ { N } \left( \mathcal { L } \right) + \sqrt { \frac { \log \frac { 1 } { \delta } } { 2 N } } , } \\ & { \mathbb { E } _ { \theta } \ell ( \theta ) \leq \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ell ( \theta _ { i } ) + 2 \hat { \mathcal { R } } _ { N } \left( \mathcal { L } \right) + 3 \sqrt { \frac { \log \frac { 2 } { \delta } } { 2 N } } . } \end{array}