harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | \pi ( u , v ) | } & { = \displaystyle \left| \int _ { Q } ( y ( v ) - y ( 0 ) ) ( y ( u ) - y ( 0 ) ) \, d x d t + N \int _ { 0 } ^ { T } u v \; d t \right| } \\ & { = \displaystyle \left| \int _ { Q } z ( v ) z ( u ) \, d x \, d t + N \int _ { 0 } ^ { T } u v \; d t \right| } \\ & { \leq \| z ( v ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q ) } \| z ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + N \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } } \\ & { \leq \left( \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } ( \beta _ { 0 } , q _ { 0 } ) } + \frac { 2 ( b - a + 1 ) } { \operatorname* { m i n } ( \beta _ { 0 } , q _ { 0 } ) ^ { 2 } } \right) \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } + N \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } } \\ & { \leq \left[ \left( \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } ( \beta _ { 0 } , q _ { 0 } ) } + \frac { 2 ( b - a + 1 ) } { \operatorname* { m i n } ( \beta _ { 0 } , q _ { 0 } ) ^ { 2 } } \right) + N \right] \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( t ) } & { = \underbrace { 2 \int _ { 0 } ^ { t } { R ( t - a ) \beta ( a ) S ( a ) \, \mathrm { d } a } } _ { \mathrm { c r e a t e d ~ a f t e r ~ } t = 0 \mathrm { ~ } } + 2 \underbrace { \int _ { t } ^ { \infty } { { { n } _ { 0 } } ( a - t ) \beta ( a ) \tilde { S } ( { a , t } ) \, \mathrm { d } a } } _ { \mathrm { f r o m ~ i n o c u l u m } } } \\ & { = 2 \int _ { 0 } ^ { t } { R ( t - a ) \mathrm { P } _ { \mathrm { D T } } ( a ) \, \mathrm { d } a } + F ( t ) , } \end{array}
\theta _ { l } \leftarrow \theta _ { l } - \eta \frac { 1 } { \beta } \sum _ { k } \nabla _ { \theta _ { l } } ^ { \mathrm { ( k ) } } V ^ { \theta } ( 0 , X _ { 0 } ) , \ \phi \in \arg \operatorname* { m i n } _ { \phi } \frac { 1 } { \beta } \sum _ { k } \sum _ { i , t _ { i } < \tau ^ { \mathrm { ( k ) } } } \left| \mathcal { V } _ { \phi } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } ^ { \pi , \mathrm { ( k ) } } ) - \widetilde { \mathcal { U } } _ { \varphi } ( t _ { i + 1 } , X _ { t _ { i + 1 } } ^ { \pi , \mathrm { ( k ) } } ) \right| ^ { 2 }
\tau _ { 1 } ( t _ { f } ) - \tau _ { 1 } ( t _ { i } ) \equiv \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } \frac { d s } { a _ { 1 } ^ { 2 } ( s ) } = \frac { 1 } { \alpha ( \alpha t _ { i } + \beta ) } - \frac { 1 } { \alpha ( \alpha t _ { f } + \beta ) } = \frac { T } { a ( t _ { f } ) a ( t _ { i } ) } ,
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { G } ^ { \tt S } ( \vec { x } ) } & { = } & { - k \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } \frac { 4 } { c ^ { 3 } } ( k _ { \epsilon } w _ { \mathrm { E } } ^ { \epsilon } ( \tau ^ { \prime } ) ) d \tau ^ { \prime } = - k \frac { 2 G M _ { \oplus } } { c ^ { 3 } } ( { \vec { S } } _ { \oplus } \cdot [ { \vec { k } } \times \vec { b } ] ) \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } \frac { d \tau ^ { \prime } } { r ^ { 3 } } = - k \frac { 2 G M _ { \oplus } } { c ^ { 3 } } \frac { ( { \vec { S } } _ { \oplus } \cdot [ { \vec { k } } \times \vec { m } ] ) } { b } \big ( \vec { k } \cdot ( \vec { n } - \vec { n } _ { 0 } ) \big ) . ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\frac { \partial D } { \partial t } + \big \{ D , { \langle \widehat { H } \rangle } \big \} = 0 , \qquad \qquad i \hbar \frac { \mathrm { d } \hat { \rho } } { \mathrm { d } t } = \bigg [ \int \! D \widehat { H } \, \mathrm { d } q \mathrm { d } p , \hat { \rho } \bigg ] \, ,
p _ { i } = \frac { \sum _ { j \in E _ { i } } m _ { j } ^ { i n t } } { \sum _ { j \in E _ { i } } m _ { j } } { = \frac { \sum _ { j \in E _ { i } } m _ { j } ^ { i n t } } { \sum _ { j \in E _ { i } } ( m _ { j } ^ { i n t } + m _ { j } ^ { e x t } ) } } ,
\langle 0 | { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( ^ { 1 } S _ { 0 } ) | 0 \rangle + { \frac { 3 . 5 } { m _ { c } ^ { 2 } } } \langle 0 | { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( ^ { 3 } P _ { 0 } ) | 0 \rangle = 4 . 3 8 \pm 1 . 1 5 _ { - 0 . 7 4 } ^ { + 1 . 5 2 } \; \times 1 0 ^ { - 2 } \; \mathrm { G e V } ^ { 3 } \; .
\ddot { C } \big | _ { \tau = 0 } = - { \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } \, { \frac { d ^ { 2 } } { d \tau ^ { 2 } } } \langle \theta _ { i } ^ { 2 } \rangle \big | _ { \tau = 0 }
Y - \mathbf { O } \mathbf { M } \mathbf { m } _ { \theta } - \mathbf { O } \widetilde { \delta } ^ { \dagger } = ( \mathbf { O } \mathbf { M } \widetilde { \theta } ^ { \dagger } + \mathbf { O } \widetilde { \delta } ^ { \dagger } + \varepsilon ) - \mathbf { O } \mathbf { M } \mathbf { m } _ { \theta } - \mathbf { O } \widetilde { \delta } ^ { \dagger } = \mathbf { O } \mathbf { M } ( \widetilde { \theta } ^ { \dagger } - \mathbf { m } _ { \theta } ) + \varepsilon ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { n } \bar { V } ^ { m } } & { = \sqrt { | g _ { m m } | } \nabla _ { n } V ^ { m } } \\ & { = \sqrt { | g _ { m m } | } ( \partial _ { n } V ^ { m } + \Gamma _ { n k } ^ { m } V ^ { k } ) } \\ & { = \sqrt { | g _ { m m } | } \partial _ { n } \left( \frac { \bar { V } ^ { m } } { \sqrt { | g _ { m m } | } } \right) + \sqrt { \left\lvert \frac { g _ { m m } } { g _ { k k } } \right\rvert } \Gamma _ { n k } ^ { m } \bar { V } ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \Delta t } \rho _ { i } ^ { n + 1 } \overline { { l } } _ { i } ^ { n + 1 } - \sum _ { j } ( \overline { { \mu } } \nabla \overline { { l } } ^ { n + 1 } ) _ { i , j } \cdot \textbf { A } _ { j } = \frac { 1 } { \Delta t } \rho _ { i } ^ { n + 1 } { l } _ { i } ^ { n + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathbb { R } ^ { d } } \operatorname* { m a x } _ { Y \in \mathbb { R } ^ { t N } } f ( x , Y ) \; { : = } \; g ( x ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( \langle y _ { i \tau } , A _ { i \tau } ^ { \top } x \rangle - \phi _ { i \tau } ^ { * } ( y _ { i \tau } ) ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( u _ { t } , v _ { t } , w _ { t } , p _ { t } , \theta _ { t } , \phi _ { t } , \mu _ { t } \right) \left( x , y , z , t \right) = } \\ { \left[ U ( y ) , 0 , 0 , P ( x ) , \Theta _ { 0 } ( y ) , \Phi _ { 0 } ( y ) , \mu _ { 0 } ( y ) \right] + } \\ { \left( \hat { u } , \hat { v } , \hat { w } , \hat { p } , \hat { \theta } , \hat { \phi } , \hat { \mu } \right) \left( y \right) \exp [ { \mathrm { i } \left( \alpha x + \beta z - \alpha c t \right) } ] . } \end{array}
\lambda ^ { \gamma } \mathcal { L } ^ { d } ( \{ x \in B _ { 1 } \setminus E _ { h } : \ u _ { \lambda } ( x ) \neq u ( x ) \} ) \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { k \to + \infty } \lambda ^ { \gamma } \mathcal { L } ^ { d } ( \{ x \in B _ { 1 } \setminus E _ { h } : \ u _ { k } ^ { \lambda } ( x ) \neq v _ { k } ( x ) \} | \leq \Lambda _ { h } \left( \frac { C } { \lambda ^ { \gamma } } \right) .
\left. { \begin{array} { l c r c c } { { \{ A _ { _ { q , L } } , A _ { _ { q ^ { \prime } , L } } ^ { \dagger } \} } } & { { = } } & { { \{ A _ { _ { - q , L } } ^ { \prime } , A _ { _ { - q ^ { \prime } , L } } ^ { \prime \dagger } \} } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { \{ A _ { _ { q , L } } , A _ { _ { q ^ { \prime } , L } } \} } } & { { = } } & { { \{ A _ { _ { - q , L } } ^ { \prime } , A _ { _ { - q ^ { \prime } , L } } ^ { \prime } \} } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { \eta _ { q } ^ { * } \, \{ A _ { _ { q , L } } , A _ { _ { - q ^ { \prime } , L } } ^ { \prime } \} } } & { { = } } & { { - \eta _ { q } \, \{ A _ { _ { q , L } } ^ { \dagger } , A _ { _ { - q ^ { \prime } , L } } ^ { \prime \dagger } \} } } & { { = } } & { { - i \delta _ { \vec { q } , \vec { q ^ { \prime } } } } } \end{array} } \right\}
T ^ { \alpha \beta } = { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( \eta ^ { \alpha \nu } F _ { \nu \gamma } F ^ { \gamma \beta } + { \frac { 1 } { 4 } } \eta ^ { \alpha \beta } F _ { \gamma \nu } F ^ { \gamma \nu } \right)
D ^ { < } ( \vec { k } , \omega ) \, + \, D ^ { > } ( \vec { k } , \omega ) \, \approx \, \left( - \frac { i \pi } { \omega _ { \vec { k } } ^ { 0 } } \right) \left( 1 \, + \, 2 n _ { B } ( \omega _ { \vec { k } } ^ { 0 } ) \right) \left( \delta ( \omega - \omega _ { \vec { k } } ^ { 0 } ) \, + \, \delta ( \omega + \omega _ { \vec { k } } ^ { 0 } ) \right) \, .
\begin{array} { r } { \phi _ { 1 } ( \mathbf { s } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { s } _ { L } ) \chi _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { r } _ { M } ) + \phi _ { 2 } ( \mathbf { s } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { s } _ { L } ) \chi _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { r } _ { M } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { y } ( \pm ) = 0 , v ( \pm y _ { w } ) = 0 , \partial _ { y } v ( \pm y _ { w } ) = 0 } \\ { U _ { 0 0 } ( \pm y _ { w } ) = \pm U _ { w } , W _ { 0 0 } ( \pm y _ { w } ) = 0 . } \end{array}
\| { \bf R } _ { 1 } u \| _ { s , 0 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \lesssim _ { s } \sqrt { \varepsilon } \big ( \| u \| _ { s , 0 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| { \mathfrak I } \| _ { { \cal X } ^ { s } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \| u \| _ { s _ { 0 } , 0 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \big ) \, , \quad \forall \, s _ { 0 } \leq s \leq S / 2 - \sigma \, .
\begin{array} { r l } { \Omega } & { { } = [ - 2 0 , 2 0 ] \times [ - 2 0 , 2 0 ] \times [ - 2 0 , 2 0 ] , } \\ { \Omega } & { { } = [ - 4 0 , 4 0 ] \times [ - 4 0 , 4 0 ] \times [ - 4 0 , 4 0 ] , } \\ { \Omega } & { { } = [ - 8 0 , 8 0 ] \times [ - 8 0 , 8 0 ] \times [ - 8 0 , 8 0 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { - d Y ( s ) = } & { \ \biggl ( b ( s , \alpha ( s ) ) Y ( s ) + \bar { b } ( s , \alpha ( s ) ) E [ Y ( s + \delta ) | \mathcal { F } _ { s } ] } \\ & { + \sigma ( s , \alpha ( s ) ) Z ( s ) + \bar { \sigma } ( s , \alpha ( s ) ) E [ Z ( s + \delta ) | \mathcal { F } _ { s } ] } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } Q ( s , z ) \eta ( s , \alpha ( s - ) , z ) \nu ( d z ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } E [ Q ( s + \delta , z ) | \mathcal { F } _ { s } ] \bar { \eta } ( s , \alpha ( s - ) , z ) \nu ( d z ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { D } V ^ { j } ( s ) \gamma ^ { j } ( s , \alpha ( s - ) ) \lambda _ { j } ( s ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { D } E [ V ^ { j } ( s + \delta ) | \mathcal { F } _ { s } ] \bar { \gamma } ^ { j } ( s , \alpha ( s - ) ) \lambda _ { j } ( s ) + l ( s , \alpha ( s ) ) \biggr ) d t } \\ & { - Z ( s ) d W ( s ) - \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } Q ( s , z ) \tilde { N } ( d s , d z ) - V ( s ) d \tilde { \Phi } ( s ) , \ s \in [ t , T ] , } \end{array}
{ \cal T } _ { s } ^ { H } ( G ^ { 0 } G ^ { 0 } ) \ = \ - i \Gamma _ { 0 } ^ { H G ^ { 0 } G ^ { 0 } } \, \Delta _ { H } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) \, \Big ( \frac { g _ { w } m } { 2 M _ { W } } \Big ) \, \bar { v } ( p _ { 2 } ) u ( p _ { 1 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( U _ { t } ) ) } & { { } : = \left\{ g \in L ^ { 2 } ( \mathcal { U } ) : g ( \cdot , t ) \in H ^ { s } ( U _ { t } ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ . ~ e ~ . ~ \ } t \in ( 0 , T ) , \| g ( \cdot , t ) \| _ { H ^ { s } ( U _ { t } ) } \in L ^ { 2 } ( 0 , T ) \right\} , } \\ { \| g \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( U _ { t } ) ) } } & { { } : = \left( \int _ { 0 } ^ { T } \| g ( \cdot , t ) \| _ { H ^ { s } ( U _ { t } ) } ^ { 2 } \, d t \right) ^ { \frac 1 2 } , } \\ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( \Gamma _ { t } ) ) } & { { } : = \left\{ g \in L ^ { 2 } ( \Gamma ) : g \circ X _ { 0 } \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) \right\} , } \\ { \| g \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( \Gamma _ { t } ) ) } } & { { } : = \| g \circ X _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { s } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } ^ { N } ( t , x ) } & { = \sum _ { \mod { n } \geq N + 1 } a _ { n } P ^ { N } ( n ) e ^ { ( \bar { u } i n - \bar { \omega } ) ( T - t ) } e ^ { i n x } , } \\ { \sigma ^ { N } ( t , x ) } & { = \sum _ { \mod { n } \geq N + 1 } a _ { n } P ^ { N } ( n ) e ^ { \nu _ { n } ^ { h } ( T - t ) } e ^ { i n x } , } \\ { v ^ { N } ( t , x ) } & { = \sum _ { \mod { n } \geq N + 1 } a _ { n } P ^ { N } ( n ) \frac { \beta _ { 1 } ^ { n } } { \alpha _ { 1 } ^ { n } } e ^ { \nu _ { n } ^ { h } ( T - t ) } e ^ { i n x } , } \\ { \varphi ^ { N } ( t , x ) } & { = \sum _ { \mod { n } \geq N + 1 } a _ { n } P ^ { N } ( n ) \frac { \gamma _ { 1 } ^ { n } } { \alpha _ { 1 } ^ { n } } e ^ { \nu _ { n } ^ { h } ( T - t ) } e ^ { i n x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( 1 ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac { f ( 1 + h ) - \overbrace { f ( 1 ) } ^ { = 0 } } { h } } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac { \frac 1 2 \int _ { 1 } ^ { 1 + h } \left( 1 + | \sin ( ( 1 + h ) t ^ { 2 } ) | \right) \, d t } { h } } \\ & { = \frac { 1 + \sin ( 1 ) } { 2 } } \end{array}
\prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle g _ { j } \rangle _ { K ^ { 1 } } - \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle g _ { j } \rangle _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } = - \sum _ { l ^ { 1 } = 0 } ^ { k ^ { 1 } - 1 } \Big ( \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle g _ { j } \rangle _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } ) } } - \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle g _ { j } \rangle _ { ( I _ { 3 } ^ { 1 } ) ^ { ( l ^ { 1 } + 1 ) } } \Big )
\begin{array} { r l } { ( { \bf d } _ { i } ^ { T } { \bf a } _ { \ell } ) T _ { \ell \times k - i } } & { { } = ( { \bf d } _ { i } ^ { T } { \bf a } _ { \ell } ) T _ { ( { \ell - 1 } ) \times k + k - i } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { U } ^ { \delta x _ { 0 } } ( x , z ) \approx \mathcal { U } _ { n } + \mathrm { i } \frac { \delta x _ { 0 } } { w _ { 0 } } \left( \sqrt { n + 1 } \mathcal { U } _ { n + 1 } e ^ { - \mathrm { i } \Psi } + \sqrt { n } \mathcal { U } _ { n - 1 } e ^ { \mathrm { i } \Psi } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< j _ { 1 } j _ { 2 } m _ { j _ { 1 } } m _ { j _ { 2 } } | j _ { 1 } j _ { 2 } j m _ { j } \right> } & { { } = } & { \delta ( m _ { j } , m _ { j _ { 1 } } + m _ { j _ { 2 } } ) \sqrt { \frac { \left( j _ { 1 } + j _ { 2 } - j \right) ! \left( j + j _ { 1 } - j _ { 2 } \right) ! \left( j + j _ { 2 } - j _ { 1 } \right) ! ( 2 j + 1 ) } { \left( j + j _ { 1 } + j _ { 2 } + 1 \right) ! } } } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { \lbrack \gamma \rbrack = - 1 ; \quad J _ { s l ( 2 ) } ^ { 0 } = 0 } } \\ { { J _ { s l ( 2 ) } ^ { - } = 1 ; \quad J _ { s l ( 2 ) } ^ { + } = - 1 , } } \end{array}
( K , K _ { \rho } , K _ { \rho \sigma } ) = \int { \frac { d ^ { D } k } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } { \frac { ( 1 , k _ { \rho } , k _ { \rho } k _ { \sigma } ) } { [ ( k - p _ { 1 } ) ^ { 2 } - M ^ { 2 } ] [ ( k + p _ { 2 } ) ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ] [ k ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } ] } } ,
R _ { \infty } = L _ { \mathrm { ~ c ~ } } + 2 L _ { \mathrm { ~ c ~ } } ( 1 - r _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ) ^ { \tau _ { \mathrm { ~ b ~ } } } + 2 L _ { \mathrm { ~ c ~ } } ( 1 - r _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ) ^ { 2 \tau _ { \mathrm { ~ b ~ } } } + \cdots
\mathrm { d } S = { \frac { \delta Q } { T } } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, { \mathrm { ( a c t u a l l y ~ p o s s i b l e ~ q u a s i s t a t i c ~ i r r e v e r s i b l e ~ p r o c e s s ~ w i t h o u t ~ c o m p o s i t i o n ~ c h a n g e ) . } }
\begin{array} { r l } { S _ { h _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } } } & { ( \Omega ) = } \\ & { \frac { 2 a _ { 1 } ^ { 2 } } { w _ { D } ^ { 2 } } \left| \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp } } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } | x _ { \perp } \rangle \langle x _ { \perp } | \mathrm { H G } _ { 0 1 } \rangle \frac { \partial h ( x , y ) } { \partial y } \right| ^ { 2 } S _ { \delta x _ { c } } ( \Omega ) } \\ { + } & { \frac { 2 a _ { 1 } ^ { 2 } } { w _ { D } ^ { 2 } } \left| \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp } } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } | x _ { \perp } \rangle \langle x _ { \perp } | \mathrm { H G } _ { 0 1 } \rangle \frac { \partial h ( x , y ) } { \partial x } \right| ^ { 2 } S _ { \delta y _ { c } } ( \Omega ) , } \end{array}
T _ { 1 } = O ( \Lambda _ { 0 } { } ^ { 4 } / m ^ { 2 } ) , \quad T _ { 2 } = - 2 \Lambda _ { 0 } { } ^ { 2 } + O ( \Lambda _ { 0 } { } ^ { 4 } / m ^ { 2 } ) , \quad T _ { 3 } = 2 \Lambda _ { 0 } { } ^ { 2 } + O ( \Lambda _ { 0 } { } ^ { 4 } / m ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { f ( x _ { i } , { \boldsymbol { \beta } } ) } & { { } = f ^ { k } ( x _ { i } , { \boldsymbol { \beta } } ) + \sum _ { j } { \frac { \partial f ( x _ { i } , { \boldsymbol { \beta } } ) } { \partial \beta _ { j } } } \left( \beta _ { j } - { \beta _ { j } } ^ { k } \right) } \end{array}
a _ { n } ^ { R } = \sqrt { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 n \Omega _ { n } } } \alpha _ { n } ^ { R } , \; \; \; \; \tilde { a } _ { n } ^ { R } = \sqrt { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 n \Omega _ { n } } } \tilde { \alpha } _ { n } ^ { R } , \; \; \; \; \; \; \mathrm { f o r ~ a l l } \; \; n > 0
\begin{array} { r l } { \left\| A _ { \sigma ( m ) } \cdots A _ { \sigma ( 1 ) } v \right\| } & { \geq \left\| \left( A _ { \sigma ( m ) } \cdots A _ { \sigma ( n _ { k } + 1 ) } \right) ^ { - 1 } \right\| ^ { - 1 } \cdot \left\| A _ { \sigma ( n _ { k } ) } \cdots A _ { \sigma ( 1 ) } v \right\| } \\ & { \geq \left( \operatorname* { m i n } \left\{ \left\| A _ { 1 } ^ { - 1 } \right\| ^ { - 1 } , \left\| A _ { 2 } ^ { - 1 } \right\| ^ { - 1 } \right\} \right) ^ { n _ { k } - m } \cdot k } \\ & { \geq \frac { \left( \operatorname* { m i n } \left\{ \left\| A _ { 1 } ^ { - 1 } \right\| ^ { - 1 } , \left\| A _ { 2 } ^ { - 1 } \right\| ^ { - 1 } \right\} \right) ^ { - ( 2 M - 1 ) } } { 2 M } \cdot m . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { C _ { \mu } } { 2 } \int | P _ { 0 , T } ( \nabla _ { x } f ( x , \cdot ) ) ( x ) | ^ { 2 } ( P _ { 0 , T } f ( x , \cdot ) ) ^ { - 1 } ( x ) \mu ( \mathrm { d } x ) } \\ & { \leq \frac { C _ { \mu } } { 2 } \int P _ { 0 , T } \Big ( | \nabla _ { x } f ( x , \cdot ) | ^ { 2 } / f ( x , \cdot ) \Big ) ( x ) \mu ( \mathrm { d } x ) } \\ & { = \frac { C _ { \mu } } { 2 } \int | \nabla _ { x } f ( x , y ) | ^ { 2 } / f ( x , y ) \pi ( \mathrm { d } x \mathrm { d } y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \psi } = \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { - R ^ { \top } L R } & { 0 } \\ { 0 } & { - R ^ { \top } L R } \end{array} \right] \psi + \! \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } \! \! \left[ \begin{array} { l l } { - R ^ { \top } L } & { 0 } \\ { 0 } & { - R ^ { \top } L } \end{array} \right] \! \! \! \left[ \begin{array} { l } { \phi ( x ) } \\ { G _ { 2 } ( x , \left[ \begin{array} { l l } { R } & { 0 } \end{array} \right] \psi + \phi ( x ) ) } \end{array} \right] \! \! . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho ^ { \prime } } & { { } = - \bar { \rho } \partial _ { x } u _ { x } ^ { \prime } - \bar { u } _ { x } \partial _ { x } \rho ^ { \prime } , } \\ { \partial _ { t } u _ { x } ^ { \prime } } & { { } = - \bar { u } _ { x } \partial _ { x } u _ { x } ^ { \prime } - \frac { \varsigma ^ { 2 } } { \bar { \rho } } \partial _ { x } \rho ^ { \prime } + 2 \nu A \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { x } ^ { \prime } + \frac { \nu B } { \bar { \rho } ^ { 2 } \varsigma ^ { 2 } } \partial _ { x } ^ { 2 } \rho ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r } { b = - \frac { 1 } { 3 } \frac { \kappa \beta \zeta } { \gamma ^ { 2 } } , } \\ { \beta \Xi ^ { 2 } = - \frac { 5 } { 3 } P _ { 0 } \gamma + \frac { \gamma } { \zeta } + \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha } { \kappa \beta \zeta } , } \\ { P _ { 0 } = \frac { 3 } { 4 } \frac { 1 - \frac { 1 } { 2 } c \pm \sqrt { \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } c \right) ^ { 2 } - \frac { 4 \zeta \sigma } { \kappa } } } { \zeta } . } \end{array}
\Gamma _ { \upalpha , \upbeta } \approx N ^ { - 1 } \frac { \hbar } { 2 } \int \left[ R n _ { \upalpha , \upbeta } ( \textbf { r } ) - \gamma _ { c } \right] | \psi _ { \upalpha , \upbeta } ( \textbf { r } ) | ^ { 2 } \mathrm { d ^ { 2 } } \textbf { r }
\frac { \Delta m _ { s } } { \Delta m _ { d } } = \left| \frac { V _ { t s } } { V _ { t d } } \right| ^ { 2 } \frac { m _ { B _ { s } } } { m _ { B _ { d } } } \xi ^ { 2 } , \quad \xi ^ { 2 } = \frac { f _ { B _ { s } } ^ { 2 } B _ { B _ { s } } } { f _ { B _ { d } } ^ { 2 } B _ { B _ { d } } } .
{ \frac { \Gamma ( E \rightarrow \tau Z ) } { \Gamma ( E \rightarrow \nu _ { \tau } W ) } } = { \frac { | U _ { E \tau } | ^ { 2 } } { 2 \cos ^ { 2 } \theta _ { W } | U _ { E \nu _ { \tau } } | ^ { 2 } } } { \frac { ( m _ { E } ^ { 2 } - 2 m _ { Z } ^ { 2 } + m _ { E } ^ { 4 } / m _ { Z } ^ { 2 } ) ( m _ { E } ^ { 2 } - m _ { Z } ^ { 2 } ) } { ( m _ { E } ^ { 2 } - 2 m _ { W } ^ { 2 } + m _ { E } ^ { 4 } / m _ { W } ^ { 2 } ) ( m _ { E } ^ { 2 } - m _ { W } ^ { 2 } ) } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } x ( \tau ) } & { { } = 2 k _ { x } ( \tau ) , \quad \partial _ { \tau } k _ { x } ( \tau ) = - \frac { 1 } { \delta _ { a } ^ { 3 } } , } \\ { \partial _ { \tau } y ( \tau ) } & { { } = 2 k _ { y } ( \tau ) , \quad \partial _ { \tau } k _ { x } ( \tau ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \left< \hat { \mathcal X } \right> } & { { } \equiv } & { \Omega _ { a } \left. \frac { d } { d \Omega _ { a } } \left< \hat { \mathcal X } \right> \right| _ { \Omega _ { a } = 0 } } \end{array}
\mathcal { R } _ { 1 } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 0 } ; \hbar ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \sum _ { k _ { 1 } = 6 - j } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k _ { 1 } , 2 , j } } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { 1 } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k _ { 1 } - 2 } } \mathcal { E } _ { 2 , j } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 1 } , 0 , \boldsymbol { x } _ { 1 } , \iota , \frac { t } { \tau _ { 0 } } ; \hbar ) .
\left. \partial _ { \Phi } V ( \Phi , y ) \right| _ { \Phi = \Phi _ { 0 } } = \left. \partial _ { \Phi } U ( \Phi ) \right| _ { \Phi = \Phi _ { 0 } ( 0 ) + \alpha ( y ) + i \beta ( y ) } - i m _ { \Lambda } ^ { 2 } \, y = 0 \; .
\begin{array} { r l r } { \hat { h } _ { I } } & { { } = } & { \sum _ { p , j , { \bf k } } ( g _ { p } ( j , { \bf k } ) \hat { a } _ { j , p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \bf k } , p } + g _ { p } ^ { * } ( j , { \bf k } ) \hat { a } _ { { \bf k } , p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j , p } ) } \\ { g _ { p } ( j , { \bf k } ) } & { { } = } & { - \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } L } \sqrt { \omega _ { j } } D _ { j , p } e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf r } _ { j } } , } \end{array}
M _ { Q } = Q m _ { \psi } ( 1 - f _ { _ Q } \frac { \alpha ^ { 2 } } { 8 } ) , \qquad \alpha = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \frac { { A ^ { \prime } } ^ { 2 } } { m _ { \psi } ^ { 2 } } .
V _ { 4 } { } ^ { i j } \equiv \Phi ^ { i j } = - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 U } \epsilon _ { i j m } \partial _ { m } \left( \ln \chi ^ { ( 1 ) } \chi ^ { ( 2 ) } \right) \qquad V _ { 4 } { } ^ { i 4 } \equiv \Phi ^ { i 4 } = { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 U } \partial _ { i } \left( \ln { \frac { \chi ^ { ( 1 ) } } { \chi ^ { ( 2 ) } } } \right)
I _ { \mathrm { C L A S S } } ( \mathbf { r } _ { \parallel } ) = \left| \sum _ { \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } } e ^ { i \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } \cdot \mathbf { r } _ { \parallel } } \Tilde { \psi } _ { \mathrm { C L A S S } } ^ { ( N + 1 ) } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } ) \right| ^ { 2 } = \left| \sum _ { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } } e ^ { i ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } - \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) \cdot \mathbf { r } _ { \parallel } } \Tilde { R } ^ { ( N + 1 ) } ( { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) \right| ^ { 2 } .
\bar { g } _ { m } = \frac { 1 } { \sqrt { \eta _ { m } } } \boldsymbol { r } _ { m } ^ { \sf H } \boldsymbol { y } _ { m } ^ { \mathrm { u l } } = \frac { 1 } { \sqrt { \eta _ { m } } } \boldsymbol { r } _ { m } ^ { \sf H } \sum _ { k \in \mathcal { K } } \bar { \boldsymbol { h } } _ { m , k } b _ { k } s _ { k } ^ { \mathrm { u l } } + \frac { \boldsymbol { r } _ { m } ^ { \sf H } \boldsymbol { n } _ { m } ^ { \mathrm { u l } } } { \sqrt { \eta _ { m } } } ,