harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { l e n . } } ^ { \mu \alpha } ( \omega ) } & { = - \frac { e ^ { 2 } } { \hslash } \int [ d \mathbf { k } ] \, \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { r } ^ { \alpha } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \right\} } \\ & { = - \frac { e ^ { 2 } } { \hslash } \int [ d \mathbf { k } ] \left( \sum _ { a b } f _ { a b } \frac { v _ { a b } ^ { \mu } \mathcal { A } _ { b a } ^ { \alpha } } { \omega - \epsilon _ { b a } } + \sum _ { a } \frac { i v _ { a a } ^ { \mu } \partial ^ { \alpha } f _ { a } } { \omega } \right) \mathrm { . } } \end{array}
\left( \boldsymbol { A } - \boldsymbol { \textbf { B } } \right) ^ { - 1 } = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \left( \boldsymbol { A } ^ { - 1 } \boldsymbol { \textbf { B } } \right) ^ { l } \boldsymbol { A } ^ { - 1 }
\left\{ \begin{array} { c } { G _ { 1 } = - \alpha H _ { { S O T \ } } ^ { D L } c o s { \theta } _ { H } c o s \beta s i n { \varphi } _ { H } - H _ { S O T } ^ { D L } \left( { c o s } ^ { 3 } { \theta } _ { H } c o s { \varphi } _ { H } c o s \beta - { s i n \beta c o s } ^ { 2 } { \theta } _ { H } s i n { \theta } _ { H } \right) + { \alpha c o s } ^ { 4 } { \theta } _ { H } s i n { \theta } _ { H } H _ { k { \ } } } \\ { { G _ { 2 } = - \alpha H _ { S O T } ^ { D L } \left( { c o s } ^ { 2 } { \theta } _ { H } c o s { \varphi } _ { H } c o s \beta - s i n \beta c o s { \theta } _ { H } s i n { \theta } _ { H } \right) - H _ { S O T } ^ { D L } c o s } ^ { 2 } { \theta } _ { H } c o s \beta S i n { \varphi } _ { H } - { c o s } ^ { 3 } { \theta } _ { H } s i n { \theta } _ { H } H _ { K { \ } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbf q ( \mathbf x , t ) = - \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { t } \kappa ( t - s ) \nabla T ( \mathbf x , s ) \textrm { d } s , \quad \kappa ( s ) = \frac { \lambda } { \tau _ { q } } \exp ( - s / \tau _ { q } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { i , j } ^ { ( x ) } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - \delta } ( 1 + v _ { i , j } ) , } & { i \textrm { e v e n } , } \\ { 1 + v _ { i , j } \: , } & { i \textrm { o d d } , } \end{array} \right. } \\ { t _ { i , j } ^ { ( y ) } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - \delta } ( 1 + w _ { i , j } ) , } & { j \textrm { e v e n } , } \\ { 1 + w _ { i , j } \: , } & { j \textrm { o d d } . } \end{array} \right. } \end{array}
P _ { d } = + { \frac { 1 } { D - 1 } } \; \rho _ { d } ~ ~ , ~ ~ \gamma _ { d } = { \frac { D } { D - 1 } } ~ ~ \mathrm { w i t h ~ } \rho _ { d } = d \; R ^ { - D } ~ ~ , ~ ~ R \to 0 ~ ~ ,
S = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad C = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\kappa = \sqrt { \frac { \sqrt { \bigg ( \mu \epsilon \omega ^ { 2 } - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } + ( \mu \sigma \omega ) ^ { 2 } } - \bigg ( \mu \epsilon \omega ^ { 2 } - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \bigg ) } { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \vec { v _ { i } } ^ { 0 } } & { { } = \frac { \Gamma } { 2 \pi } \sum _ { i \neq j } ^ { N _ { v } } \kappa _ { j } \hat { z } \times \frac { \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } } { \left| \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } \right| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \Gamma } { 2 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v } } \kappa _ { j } \hat { z } \times \frac { \vec { r } _ { i } - \vec { 0 } } { \left| \vec { r } _ { i } - \vec { 0 } \right| ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { J } & { { } = \parallel \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } - \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } \parallel _ { \mathsf { P } } ^ { 2 } + \parallel \mathsf { y } _ { j } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } - \mathcal { H } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } [ \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } ] \parallel _ { \mathsf { R } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } } ^ { 2 } } \\ { \mathsf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } } & { { } = [ \mathsf { y } ^ { u } , \mathsf { y } ^ { k } ] \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 1 } = M _ { r r } } & { { } = - \left[ D k _ { r } ^ { 2 } + i \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { r } + \chi \right] - } \\ { M _ { 1 2 } = M _ { r - r } } & { { } = - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } B _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( - \Gamma _ { r } + i \Theta _ { r } ) , } \\ { M _ { 2 1 } = M _ { - r - r } } & { { } = - \left( - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \right) \frac { k _ { r } \bar { B } _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { r } + i \Theta _ { r } ) = \bar { M } _ { 1 2 } , } \\ { M _ { 2 2 } = M _ { - r - r } } & { { } = - \left[ D k _ { r } ^ { 2 } - i \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { r } + \chi \right] - } \end{array}
\epsilon ^ { \mu \nu \rho \lambda \sigma } \Lambda \cdot x ( \tilde { H } _ { \mu \nu } g _ { 1 } + ( \tilde { H } ^ { 3 } ) _ { \mu \nu } g _ { 2 } ) \partial _ { \rho } ( \tilde { H } _ { \lambda \sigma } g _ { 1 } + ( \tilde { H } ^ { 3 } ) _ { \lambda \sigma } g _ { 2 } )
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ^ { \sigma } = \sum _ { \sigma ^ { \prime } = p , s } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } E _ { 0 , \mathbf { k } _ { \| } } ^ { \sigma ^ { \prime } } e ^ { i \mathbf { k } _ { \| } \cdot \mathbf { r } _ { \| } } e ^ { i k _ { z } z } \, , } \\ { E _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ^ { \sigma } = \sum _ { \sigma ^ { \prime } = p , s } r _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { k } _ { \| } ) E _ { 0 , \mathbf { k } _ { \| } } ^ { \sigma ^ { \prime } } e ^ { i \mathbf { k } _ { \| } \cdot \mathbf { r } _ { \| } } e ^ { - i k _ { z } z } \, , } \end{array}
B = \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { N } { k ^ { 2 } } = \frac { N g ^ { 2 } } { 8 \pi } \log { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } }
U ^ { F E N E } = - \frac { 1 } { 2 } k ( l _ { 0 } - d ) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \ln \left[ { 1 - \left( \frac { r _ { i , i + 1 } - l _ { 0 } } { l _ { 0 } - d } \right) ^ { 2 } } \right] .
\bigg [ - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + v ( \mathbf { r } ) + v _ { H } ( \mathbf { r } ) + v _ { X C } ( \mathbf { r } ) \bigg ] \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) = \epsilon _ { i } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) ,
\begin{array} { r l r } { f ( i , r ) } & { { } = } & { i \big ( \left( \bar { \beta } + u i \right) ( 1 - i - r ) - \alpha \big ) } \\ { g ( i , r ) } & { { } = } & { \left( i \alpha p _ { r } - r l _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { r _ { 1 } = } } & { { [ 3 ( 1 - \chi / 3 ) ] ^ { 1 / 2 } } } & { { \sin \theta \ \cos \phi } } \\ { { r _ { 2 } = } } & { { [ 3 ( 1 - \chi / 3 ) ] ^ { 1 / 2 } } } & { { \sin \theta \ \sin \phi } } \\ { { r _ { 3 } = } } & { { [ 3 ( 1 - \chi / 3 ) ] ^ { 1 / 2 } } } & { { \cos \theta } } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( \{ s _ { i } \} | h _ { \mu } ( t ) ) = \frac { 1 } { Z ( h _ { \mu } ( t ) ) } \exp \left( - \eta \sum _ { \mu = 1 } ^ { N _ { F } } s _ { i } J _ { i \mu } h _ { \mu } ( t ) - \epsilon s _ { i } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( H _ { 2 , e f f } ) _ { a b } = \langle \psi _ { a } | V _ { 2 } | \psi _ { b } \rangle = \langle \psi _ { a } | \mathcal P \mathcal K V _ { 2 } \mathcal P \mathcal K | \psi _ { b } \rangle = \langle \psi _ { a } | ^ { \ast } ( \mathcal P V _ { 2 } \mathcal P ) | \psi _ { b } \rangle ^ { \ast } = ( \langle \psi _ { a } | V _ { 2 } | \psi _ { b } \rangle ) ^ { \ast } = ( H _ { 2 , e f f } ) _ { a b } ^ { \ast } , \quad ( a , b = 1 , 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { d _ { \widehat { \gamma } } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } ^ { s } \left( \xi \right) \exp \left( 2 \pi i \langle x _ { t + \varepsilon } , \xi \rangle \right) \mathsf { d } \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { u _ { 1 } } \quad } & { \mathbb { E } _ { \epsilon _ { 1 } } \left[ 2 \left[ u _ { 1 } ( x _ { 0 } ) - \alpha _ { 1 } x _ { 0 } - \epsilon _ { 1 } \right] ^ { + } + \left[ \alpha _ { 1 } x _ { 0 } + \epsilon _ { 1 } - u _ { 1 } ( x _ { 0 } ) \right] ^ { + } \right] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { u _ { 1 } ( x _ { 0 } , ) \leq 2 0 0 , } \end{array}
\alpha _ { 1 } = \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } \, , \, \alpha _ { 2 } = \epsilon _ { 2 } - \epsilon _ { 3 } \, , \, . . . . . . , \alpha _ { k } = \epsilon _ { k } - \epsilon _ { k + 1 } \, , \, \alpha _ { k + 1 } = \epsilon _ { k + 1 }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \mathcal { E } _ { x } ^ { ' } } \\ { \mathcal { E } _ { y } ^ { ' } } \end{array} \right) = R _ { z } ( - { \it \Delta \Psi } ) \left( \begin{array} { c } { \mathcal { E } _ { x } } \\ { \mathcal { E } _ { y } } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \omega _ { \lambda { \bar { \lambda } } } } = { \partial _ { \lambda } } { \partial _ { \bar { \lambda } } } V ( \lambda { \bar { \lambda } } ) , \omega = { \omega _ { \lambda { \bar { \lambda } } } } d \lambda \wedge d { \bar { \lambda } } + { \omega _ { { \bar { \lambda } } { \lambda } } } d { \bar { \lambda } } \wedge d { \lambda }
H ^ { 1 } ( d P _ { 9 } , { \cal O } _ { d P _ { 9 } } ( 3 \sigma | _ { d P _ { 9 } } - 6 F ) ) | _ { b _ { - 6 } } \stackrel { m _ { 3 } } { \rightarrow } H ^ { 1 } ( d P _ { 9 } , { \cal O } _ { d P _ { 9 } } ( 6 \sigma | _ { d P _ { 9 } } - F ) ) | _ { c _ { - 3 } } .
| V _ { c b } | \left( \frac { \tau _ { B } } { 1 . 4 9 \, \mathrm { p s } } \right) ^ { 1 / 2 } = 0 . 0 3 6 \pm 0 . 0 0 2 \pm 0 . 0 0 1 \pm 0 . 0 0 2 ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } ^ { t } } & { { } = } & { - { \bf N } \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } { \bf N } ^ { - 1 } , } \\ { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } ^ { \dagger } } & { { } = } & { - { \bf K } { \, \, \, \bar { \mathrm { ~ \! ~ \! ~ \! ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } } } { \bf K } ^ { - 1 } , } \\ { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } ^ { * } } & { { } = } & { { \bf J } { \, \, \, \bar { \mathrm { ~ \! ~ \! ~ \! ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } } } { \bf J } ^ { - 1 } , } \end{array}
S _ { 1 2 } ( \lambda - \mu ) K _ { 1 } ( \lambda ) S _ { 2 1 } ( \lambda + \mu ) K _ { 2 } ( \mu ) = K _ { 2 } ( \mu ) S _ { 1 2 } ( \lambda + \mu ) K _ { 1 } ( \lambda ) S _ { 2 1 } ( \lambda - \mu )
\begin{array} { r l } { \| A \| _ { \frac { 2 p } { p - 1 } , \frac { 2 p } { p + 1 } } } & { \ge \| A \frac { \xi _ { 0 } } { n ^ { ( p - 1 ) / 2 p } } \| _ { 2 p / ( p + 1 ) } = n ^ { ( 1 - p ) / 2 p } \| \alpha \xi _ { 0 } \| _ { 2 p / ( p + 1 ) } } \\ & { = \alpha n ^ { ( 1 - p ) / 2 p } n ^ { ( p + 1 ) / 2 p } = \alpha n ^ { 1 / p } . } \end{array}
\Psi ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } ( \xi ) = \frac { 1 } { 4 } \sqrt { \xi + 1 } + \frac { 3 } { 4 } \xi ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \log { \left( \sqrt { \xi } + \sqrt { \xi + 1 } \right) } - 1 ,
\operatorname* { i n f } _ { n \in { \mathbb { N } } } y _ { n } n ^ { \alpha } = \operatorname* { i n f } _ { k \in { \mathbb { N } } } \operatorname* { m i n } _ { n \in [ n _ { k } , n _ { k + 1 } ) } y _ { n } n ^ { \alpha } = \operatorname* { i n f } _ { k \in { \mathbb { N } } } \operatorname* { m i n } _ { n \in [ n _ { k } , n _ { k + 1 } ) } \frac { n ^ { \alpha } } { 2 ^ { n _ { k } } } = \operatorname* { i n f } _ { n \in { \mathbb { N } } } \frac { n ^ { \alpha } } { 2 ^ { n } } = 0 .
\begin{array} { r } { \hat { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { s f } ) = \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { f } } d } \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } } { \sqrt { N } } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \hat { \bf x } + \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { s } } d } \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } } { \sqrt { N } } \hat { a } _ { \mathrm { V } } \hat { \bf y } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ { \mathbb X } _ { 1 } , { \mathbb X } _ { 3 } ] } & { = } & { - \, { \mathbb X } _ { 1 } , } \\ { [ { \mathbb X } _ { 5 } , { \mathbb X } _ { 1 } ] } & { = } & { - \, { \mathbb X } _ { 3 } , } \\ { [ { \mathbb X } _ { 3 } , { \mathbb X } _ { 5 } ] } & { = } & { - \, { \mathbb X } _ { 1 } - \, { \mathbb X } _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \varphi } J _ { 1 , 1 } \{ f \} ( \varphi ) } & { = \frac { \omega _ { N } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { f ^ { \prime } ( \varphi ) \cos \big ( \theta ^ { \prime } + \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { D ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { \sin \big ( \theta ^ { \prime } + \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) } { D ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad - \frac { \omega _ { N } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { \sin \big ( \theta ^ { \prime } + \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { D ^ { 2 } \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \partial _ { \varphi } \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ { \triangleq } & { J _ { 1 , 1 , 1 } \{ f \} ( \varphi ) + J _ { 1 , 1 , 2 } \{ f \} ( \varphi ) + J _ { 1 , 1 , 3 } \{ f \} ( \varphi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \cdots , \lambda _ { n - 1 } } \quad } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { \lambda _ { k } } { k + 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { k } B _ { j } ^ { ( i ) } + z _ { 1 - \alpha / 2 } \Delta _ { \lambda } } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad } & { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \cdots , \lambda _ { n - 1 } \ge 0 ; \ \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \lambda _ { k } \le 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 e ^ { - ( 1 - \delta ) \zeta } \Big ( \frac { 1 } { \xi ( \Lambda _ { n } ) } \sum _ { x \in \Lambda _ { n } \cap \xi } \sum _ { i \in { \ensuremath { \mathbb Z } } \setminus \{ 0 \} } \sum _ { y \in \Lambda _ { n } ^ { i } \cap \xi } e ^ { - \delta | x - y | } | f _ { \zeta m } ( \tau _ { y } \omega ) | ^ { 2 } + } \\ & { + \frac { 1 } { \xi ( \Lambda _ { n } ) } \sum _ { x \in \Lambda _ { n } \cap \xi } \sum _ { y \in \Lambda _ { n } \cap \xi } e ^ { - \delta | x - y | } | f _ { \zeta m } ( \tau _ { y } \omega ) | ^ { 2 } \Big ) } \end{array}
W _ { n m } = - \, \left\{ \frac { \kappa \frac { \Xi _ { m } } { \Xi _ { n } ^ { ( r ) } } - \frac { \partial _ { \xi } \Xi _ { m } } { \partial _ { \xi } \Xi _ { n } ^ { ( r ) } } } { \kappa \frac { \Xi _ { n } } { \Xi _ { n } ^ { ( r ) } } - \frac { \partial _ { \xi } \Xi _ { n } } { \partial _ { \xi } \Xi _ { n } ^ { ( r ) } } } \right\} _ { \xi = \xi _ { 0 } }
x = \frac { 1 } { h } \big ( \hat { \eta } _ { \boldsymbol 0 } ^ { \mathrm { s } } - \hat { \eta } _ { \boldsymbol 0 } ^ { \mathrm { b } } \big ) \alpha + x _ { 0 } - \sum _ { \boldsymbol j \neq \boldsymbol 0 } i \frac { \cosh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle ( \beta + h ) \big ) } { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) } \hat { \eta } _ { \boldsymbol j } ^ { \mathrm { s } } e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \alpha } + \sum _ { \boldsymbol j \neq \boldsymbol 0 } i \frac { \cosh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \beta \big ) } { \sinh \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) } \hat { \eta } _ { \boldsymbol j } ^ { \mathrm { b } } e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \alpha } .
\begin{array} { r l } { e _ { i j } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } S _ { i j k \ell } \sigma _ { k \ell } + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 3 } S ^ { ( p ) } B _ { i j } ^ { ( p ) } p _ { f } ^ { ( p ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( p ) } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } S ^ { ( p ) } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } B _ { k \ell } ^ { ( p ) } \sigma _ { k \ell } + S ^ { ( p ) } p _ { f } ^ { ( p ) } + \sum _ { q = 1 } ^ { n } S ^ { ( p , q ) } p _ { f } ^ { ( q ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle v \rangle ^ { q } ( \Gamma _ { 2 } ( f ) - \Gamma _ { 2 } ( g ) ) } & { = \langle v \rangle ^ { q } ( \Gamma _ { 2 } ( f , f , f , f ) - \Gamma _ { 2 } ( f , f , f , g ) ) + \langle v \rangle ^ { q } ( \Gamma _ { 2 } ( f , f , f , g ) - \Gamma _ { 2 } ( f , f , g , g ) ) } \\ & { \quad + \langle v \rangle ^ { q } ( \Gamma _ { 2 } ( f , f , g , g ) - \Gamma _ { 2 } ( f , g , g , g ) ) + \langle v \rangle ^ { q } ( \Gamma _ { 2 } ( f , g , g , g ) - \Gamma _ { 2 } ( g , g , g , g ) ) } \\ & { : = I + I I + I I I + I V . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \, \frac { { \bf k } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } - \epsilon _ { 2 2 } ( B _ { 0 } ) \, \mu _ { 3 3 } ( B _ { 0 } ) \, \right] e _ { 0 2 } = 0 \; , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { H _ { x } ^ { 0 } } \\ { H _ { y } ^ { 0 } } \\ { H _ { z } ^ { 0 } } \end{array} \right] _ { R } = B \left[ \begin{array} { c } { \left( - i I _ { 1 2 } \right) \cos \phi } \\ { \left( i I _ { 1 2 } \right) \sin \phi } \\ { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \mathrm { V a r } \left( S _ { \infty | - \infty } \right) = \left\langle S _ { \infty | - \infty } \right\rangle ^ { 2 } - 8 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r \ \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \mathrm { d } \varphi \ r \mathrm { e r f c } \left[ \frac { r ^ { 3 } } { \sqrt { 2 } } \sin \varphi \cos \varphi \right] e ^ { - \frac { 1 } { 4 8 } r ^ { 6 } ( 5 + 3 \cos ( 4 \varphi ) ) - 2 \alpha r ^ { 2 } } = : S ( \alpha ) , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 m _ { p + 1 } } } \, { \frac { \partial S _ { 0 } } { \partial \sigma _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p + 1 } } } } { \frac { \partial S _ { 0 } } { \partial \sigma ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p + 1 } } } } - \frac { m _ { p + 1 } } { 2 } \, p = { \frac { \partial S _ { 0 } } { \partial \Omega _ { p + 1 } } } \ .
\begin{array} { r } { \| \omega ^ { \lambda } \| _ { L ^ { q } ( \Omega _ { \lambda } ^ { + } ) } \leq C \left\| h _ { \lambda } \omega ^ { \lambda } \right\| _ { L ^ { \frac { n q } { n + 2 s q } } ( \Omega _ { \lambda } ^ { + } ) } \leq C \left\| h _ { \lambda } \right\| _ { L ^ { \frac { n } { 2 s } } ( \Omega _ { \lambda } ^ { + } ) } \cdot \| \omega ^ { \lambda } \| _ { L ^ { q } ( \Omega _ { \lambda } ^ { + } ) } . } \end{array}
\Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ) } = \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { 1 } \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { 2 } \otimes . . . \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } ) } ^ { M } ,
\log { \cal D } \mathrm { e t } ( \bar { P } ^ { \dag } \bar { P } ) = - \frac { d } { d s } Z ( 0 ) = - \frac { d } { d s } \left[ \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! d t \: t ^ { s - 1 } \mathrm { T r } ( e ^ { - t \bar { P } ^ { \dag } \bar { P } } ) \right]
\operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \left[ { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d s \, { \frac { \delta ^ { 2 } } { \delta \sigma ^ { \mu \nu } ( s - \epsilon / 2 ) \delta \sigma _ { \mu \nu } ( s + \epsilon / 2 ) } } - m ^ { 4 } \right] \Psi [ C ] = 0 \ ,
\begin{array} { r l r } { \dot { \rho } _ { r } ^ { \langle \mu \nu \alpha \beta \rangle } } & { = } & { C _ { r - 1 } ^ { \langle \mu \nu \alpha \beta \rangle } + r \dot { u } _ { \lambda } \rho _ { r } ^ { \mu \nu \alpha \beta \lambda } + 4 \dot { u } ^ { \langle \mu } \left[ \frac { r m ^ { 2 } } { 9 } \rho _ { r - 1 } ^ { \nu \alpha \beta \rangle } - \left( 1 + \frac { r } { 9 } \right) \rho _ { r + 1 } ^ { \nu \alpha \beta \rangle } \right] - \frac { 4 } { 9 } \nabla ^ { \langle \mu } \left( m ^ { 2 } \rho _ { r - 1 } ^ { \nu \alpha \beta \rangle } - \rho _ { r + 1 } ^ { \nu \alpha \beta \rangle } \right) - \Delta _ { \sigma \gamma \psi \rho } ^ { \mu \nu \alpha \beta } \nabla _ { \lambda } \rho _ { r - 1 } ^ { \sigma \gamma \psi \rho \lambda } + } \\ & { + } & { \frac { 4 } { 2 1 } \sigma ^ { \langle \mu \nu } \left[ ( r - 1 ) m ^ { 4 } \rho _ { r - 2 } ^ { \alpha \beta \rangle } - ( 2 r + 7 ) m ^ { 2 } \rho _ { r } ^ { \alpha \beta \rangle } + ( r + 8 ) \rho _ { r + 2 } ^ { \alpha \beta \rangle } \right] + 4 \rho _ { r } ^ { \lambda \langle \mu \nu \alpha } \omega ^ { \beta \rangle } _ { \lambda } + ( r - 1 ) \sigma _ { \lambda \sigma } \rho _ { r - 2 } ^ { \mu \nu \alpha \beta \lambda \sigma } + } \\ & { + } & { \frac { 4 } { 1 1 } \sigma _ { \lambda } ^ { \langle \mu } \left[ ( 2 r - 2 ) m ^ { 2 } \rho _ { r - 2 } ^ { \nu \alpha \beta \rangle \lambda } - ( 2 r + 9 ) \rho _ { r } ^ { \nu \alpha \beta \rangle \lambda } \right] + \frac { 1 } { 3 } \left[ ( r - 1 ) m ^ { 2 } \rho _ { r - 2 } ^ { \mu \nu \alpha \beta } - \left( r + 6 \right) \rho _ { r } ^ { \mu \nu \alpha \beta } \right] \theta . } \end{array}
\underline { { \delta } } ( L , \overline { { \ell } } ) = ( E _ { I } , \overline { { b } } _ { I } ) \wedge \delta \phi ^ { I } + \underline { { \mathrm { d } } } ( \Theta , \overline { { \theta } } ) \& = ( E _ { I } \wedge \delta \phi ^ { I } , \overline { { b } } _ { I } \wedge \delta \phi ^ { I } ) + ( \mathrm { d } \Theta , \jmath ^ { * } \Theta - \mathrm { d } \overline { { \theta } } ) ,
\begin{array} { r } { \mathrm { S R } ( 0 . 2 4 ) - \mathrm { S R } ( 0 . 2 6 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \phantom { - } 0 . 5 , \quad } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ 0 . 2 3 0 4 ~ } , } \\ { \phantom { - 0 . } 0 , \quad } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ 0 . 4 9 9 2 ~ } , } \\ { - 0 . 5 , \quad } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ 0 . 2 7 0 4 ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
V ( \phi ) = { \frac { \lambda } { 4 } } ( \phi ^ { 2 } - { v } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \equiv V ( 0 ) - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi ^ { 2 } + { \frac { \lambda } { 4 } } \phi ^ { 4 } \ ,
{ \boldsymbol { \mathrm { P } } } = { \frac { \mathrm { { d } } \mathbf { \tau } } { \mathrm { { d } } t } } = \mathbf { r } \times \mathbf { Y } = { \frac { \mathrm { { d } } ( \mathbf { I } \cdot { \boldsymbol { \alpha } } ) } { \mathrm { { d } } t } }
\left| \delta { { X } _ { I } } \mathrm { ~ + ~ } i \delta { { P } _ { I } } \right\rangle = \left| \delta { { X } _ { N } } + \delta { { X } _ { E } } + i \left( \delta { { P } _ { N } } + \delta { { P } _ { E } } \right) \right\rangle .
f _ { E } ( x ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathsf P ( K _ { e } = k ) \underbrace { \frac { \mathsf E _ { \theta } ( e ^ { - H } H ^ { k } \phi ( x ; \mu + k / g , \sigma ^ { 2 } ) ) } { \mathsf E _ { \theta } ( e ^ { - H } H ^ { k } ) } } _ { f _ { E | K _ { e } } ( x | k ) } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } \mathcal { E } = } & { \left[ \frac { - i \delta } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } - 2 f \frac { I _ { 0 } - i R _ { 0 } } { ( 1 + i \delta ) ^ { 2 } } - 1 + \eta e ^ { i \theta } \right] \mathcal { E } + h \mathcal { Y } _ { 0 } \frac { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } { 1 + i \delta } } \\ & { - \frac { 1 - 3 \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 3 } \mathcal { E } + \epsilon \frac { 2 f ( i R _ { 1 } - I _ { 1 } ) } { 1 + i \delta } \mathcal { D } \mathcal { E } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { \bar { W } ^ { p , p } } & { \bar { W } ^ { p , v } } \\ { \bar { W } ^ { v , p } } & { \bar { W } ^ { v , v } } \end{array} \right) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { W ^ { p , p * } } & { - W ^ { p , v * } } \\ { - W ^ { v , p * } } & { W ^ { v , v * } } \end{array} \right) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array}