harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\omega f ( \omega , \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } ) = g _ { r } ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 2 } \kappa _ { 1 } ^ { \prime } d ^ { 2 } \kappa _ { 2 } ^ { \prime } } { | \kappa _ { 1 } ^ { \prime } | ^ { 2 } | \kappa _ { 2 } ^ { \prime } | ^ { 2 } } K ( \kappa _ { 1 } ^ { \prime } , \kappa _ { 2 } ^ { \prime } , \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } ) f ( \omega , \kappa _ { 1 } ^ { \prime } , \kappa _ { 2 } ^ { \prime } ) .
\phi ( \mathbf { r } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { 1 } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } \ \mathbf { p } \cdot d \mathbf { A } _ { 0 } \ ,
\begin{array} { r l } { D _ { t } ^ { ( 0 ) } \rho } & { { } = D _ { t } ^ { E } \rho , } \\ { D _ { t } ^ { ( 0 ) } u _ { \alpha } } & { { } = D _ { t } ^ { E } u _ { \alpha } , } \\ { D _ { t } ^ { ( 0 ) } T } & { { } = D _ { t } ^ { E } T . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { e } ^ { \langle \chi _ { a } ( u ) \chi _ { b } ( v ) \rangle } = \frac { \left( q H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } H _ { 2 } ^ { - M _ { a b } } U ^ { - 1 } V ; q \right) _ { \infty } } { \left( q H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } H _ { 2 } ^ { - M _ { a b } } U ^ { - 1 } V ; q \right) _ { \infty } } , } \\ & { \mathrm { e } ^ { \langle \xi _ { a } ( u ) \xi _ { b } ( v ) \rangle } = \frac { \left( q H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } H _ { 2 } ^ { - M _ { a b } } U ^ { - 1 } V ; q \right) _ { \infty } } { \left( q H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } H _ { 2 } ^ { - M _ { a b } } U ^ { - 1 } V ; q \right) _ { \infty } } , } \\ & { \mathrm { e } ^ { \langle \chi _ { a } ( u ) \xi _ { b } ( v ) \rangle } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf v } _ { g } } & { { } = \frac { \displaystyle \frac { { \bf k } ^ { \prime } } { \mu \omega } + i \, \frac { \omega \epsilon ^ { \prime \prime } \, \hat { { \bf k } } } { 2 k ^ { \prime } } } { \displaystyle \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) + i \left( \epsilon ^ { \prime \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime \prime } } { \partial \omega } \right) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { S } _ { x } } & { { } = } & { \hat { \mathcal { D } } \left( { \bf \hat { y } } , \frac { \pi } { 4 } \right) \hat { S } _ { z } \hat { \mathcal { D } } ^ { \dagger } \left( { \bf \hat { y } } , \frac { \pi } { 4 } \right) } \end{array}
C ( s , t , u ) = \left( \frac { s - u } { s + u } \right) \! \left\{ ( t - 2 m _ { \pi } ^ { 2 } ) [ I _ { 2 } ( t ) - I _ { 2 } ( m _ { \pi } ^ { 2 } ) ] + 2 m _ { \pi } ^ { 4 } I _ { 3 } ( q _ { 1 } , q _ { 3 } ) \right\} + ( t \leftrightarrow u ) .
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) } & { = - \frac { \gamma _ { 2 } } \gamma ( \frac { k _ { 0 } } { 2 ( k _ { 0 } + 1 ) } ) ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } u _ { 1 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac c \gamma ( \frac { k _ { 0 } } { 2 ( k _ { 0 } + 1 ) } ) ^ { \gamma _ { 2 } } u _ { 2 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { \approx - 4 c ^ { 2 } u _ { 1 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + c u _ { 2 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) , } \\ { r _ { 2 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) } & { = \frac { \gamma _ { 1 } } \gamma ( \frac { k _ { 0 } } { 2 ( k _ { 0 } + 1 ) } ) ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } u _ { 1 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) - \frac c \gamma ( \frac { k _ { 0 } } { 2 ( k _ { 0 } + 1 ) } ) ^ { \gamma _ { 1 } } u _ { 2 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { \approx u _ { 1 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) - \frac c 2 u _ { 2 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ - L , L ] } & { = \left[ - L , x ^ { * } - \sqrt { \varepsilon } \right] \cup \left( x ^ { * } - \sqrt { \varepsilon } , x ^ { * } + \sqrt { \varepsilon } \right) \cup \left[ x ^ { * } + \sqrt { \varepsilon } , x ^ { * * } - \sqrt { \varepsilon } \right] } \\ & { \qquad \cup \left( x ^ { * * } - \sqrt { \varepsilon } , x ^ { * * } + \sqrt { \varepsilon } \right) \cup \left[ x ^ { * * } + \sqrt { \varepsilon } , L \right] } \\ & { = : I _ { 1 } \cup I _ { 2 } \cup I _ { 3 } \cup I _ { 4 } \cup I _ { 5 } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \phi _ { j } \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u ^ { N } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u ^ { N } ) } \nabla u ^ { N } \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x d t } \\ & { } & { - \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \phi _ { j } \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \sqrt { M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } d x d t } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \phi _ { j } \left( \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u ^ { N } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u ^ { N } ) } \nabla u ^ { N } - \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \right) \cdot \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x d t } \\ & { } & { + \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \phi _ { j } \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \cdot \left( \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } - \sqrt { M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \right) d x d t } \\ & { = } & { I I _ { 1 } + I I _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x ( t ^ { \prime } ) } & { = } & { a \, \cos ( \omega _ { + } t ^ { \prime } + \alpha ) \; + \; b \, \cos ( \omega _ { - } t ^ { \prime } + \beta ) , } \\ { y ( t ^ { \prime } ) } & { = } & { - \, a \, \sin ( \omega _ { + } t ^ { \prime } + \alpha ) \; - \; b \, \sin ( \omega _ { - } t ^ { \prime } + \beta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { s , x } ( t , y ) } & { \geq C - \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \left| \int _ { s } ^ { t } \int \frac { p ^ { m } ( u - s , z - x ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , z - x ) } b ^ { m } ( u , z ) \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , z - x ) \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - z ) \mathrm { d } z \mathrm { d } u \right| } \\ & { \gtrsim 1 - \int _ { s } ^ { t } \Vert h _ { s , x } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } } \Vert b ^ { m } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } \mathfrak { L } ( u , s , t , \rho ) \left[ \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - u ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + 1 \right] \mathrm { d } u . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R e } & { { } \sim } & { ( { \ell } / { L } ) ^ { 3 } \, P r ^ { - 1 } R a , } \\ { N u - 1 } & { { } \sim } & { ( { \ell } / { L } ) ^ { 4 } \, R a . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { \beta \lesssim 1 } } & { { } = } & { \sum _ { a , b } p ( a , b ) \ln p ( a , b ) - ( 1 - \beta ) \sum _ { a , b } p ( a , c ) p ( b | c ) \ln \sum _ { c } p ( a , c ) p ( b | c ) + { \cal O } ( [ 1 - \beta ] ^ { 2 } ) } \end{array}
p _ { 0 } = 0 , \quad \boldsymbol { v } _ { 0 } = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ^ { T } , \quad \boldsymbol { w } _ { 0 \dag } = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , \quad \boldsymbol { w } _ { 0 \ddag } = ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) ,
\underline { { \underline { { \Lambda } } } } ( \phi ) = - \frac { \lambda } { \lambda _ { c } } \left( \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { 2 ( \phi _ { 1 } ^ { * } - \phi ) } + \frac { 1 } { \phi _ { 0 } ^ { * } - \phi } } & { \frac { 1 } { 2 ( \phi _ { 1 } ^ { * } - \phi ) } } \\ { \frac { 1 } { 2 ( \phi _ { 1 } ^ { * } - \phi ) } } & { \frac { 1 } { 2 ( \phi _ { 1 } ^ { * } - \phi ) } + \frac { 1 } { \phi _ { 2 } ^ { * } - \phi } } \end{array} \right) ,
f \mapsto \partial _ { \varphi } \Big ( ( \partial _ { \theta } \Psi ) \{ f \} \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) \quad \textnormal { a n d } \quad f \mapsto \partial _ { \varphi } \Big ( d _ { f } \Psi _ { p } \{ f \} [ h ] \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big )
\frac { \mathrm { d e n s i t y \, \, o f \, \, a \, \, n u c l e o n } } { \mathrm { d e n s i t y \, \, o f \, \, t h e \, \, U n i v e r s e } } = \frac { { \cal N } _ { 2 } ^ { 2 } } { { \cal N } _ { 1 } } = { \cal N }
4 \pi \int _ { 0 } ^ { r } r ^ { 2 } \rho d r = m _ { M } + \frac { q } { 2 \beta } \left[ r \ln \left( 1 + \frac { \beta q } { r ^ { 2 } } \right) - 2 \sqrt { \beta q } \arctan \left( \frac { \sqrt { \beta q } } { r } \right) \right] ,
\int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \delta \rho _ { a } ^ { 2 } \right) _ { k } \frac { \sin { k r } } { k r } d \ln k = \left\langle V \left( \psi ( \vec { x } ) \right) V \left( \psi ( \vec { x } + \vec { r } ) \right) \right\rangle - \left\langle V \left( \psi ( \vec { x } ) \right) \right\rangle ^ { 2 }
\operatorname* { s u p } _ { r , \theta } \left( v ^ { 4 } \left\lVert \rho ^ { 2 } \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { r } \right\rVert _ { { \mathbb { W } _ { \! \omega \! , m } ^ { 1 \! , 1 \! ; { - \! q } } } [ 0 ] } ^ { 2 } \chi _ { \underline { { r } } ^ { \sharp } \! , \overline { { r } } ^ { \sharp } } \right) \iint _ { \mathcal { A } } \left\lVert \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \right\rVert _ { { \mathbb { H } _ { \! \omega \! , m } ^ { 0 ; { q } } } [ 0 ] } ^ { 2 } \chi _ { \underline { { r } } ^ { \sharp } \! , \overline { { r } } ^ { \sharp } } \lesssim \lVert \mathbf { B } _ { \mathcal { T } } \rVert _ { [ \alpha ] } ^ { 2 } \left( \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + \int \left| v ^ { 2 } \chi _ { \underline { { r } } ^ { \sharp } \! , \overline { { r } } ^ { \sharp } } W _ { 0 } \left( \frac { H _ { \chi } } { v ^ { 2 } } \right) \right| ^ { 2 } \right) .
{ \mathcal L } [ \mu , \phi ] : = \frac { 1 } { 2 } \int \mu ^ { 2 } ( x ) \rho _ { \mathcal R } ( d x ) + \int \left[ \phi ( x + \mu ( x ) ) \rho _ { \mathcal R } ( d x ) - \phi ( x ) \rho _ { \mathcal B } ( d x ) \right]
\begin{array} { r l } { \big | \mathbb { E } [ \lambda _ { \ell } ( \omega ) - \lambda _ { \ell - 1 } ( \omega ) ] \big | } & { = \big | \mathbb { E } [ \lambda _ { \ell } ( \omega ) - \lambda ( \omega ) + \lambda ( \omega ) - \lambda _ { \ell - 1 } ( \omega ) ] \big | } \\ & { \leq \mathbb { E } [ | \lambda ( \omega ) - \lambda _ { \ell } ( \omega ) | ] + \mathbb { E } [ | \lambda ( \omega ) - \lambda _ { \ell - 1 } ( \omega ) | ] } \\ & { \leq C _ { \lambda } \Big ( h ^ { 2 } + \frac { h ^ { 2 } } { 4 } \Big ) = 5 C _ { \lambda } h _ { \ell } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { D _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { \ t e x t i t { i n c . f l u i d } } } } { D _ { 0 } } = 1 + \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 H ^ { 2 } } \frac { 3 \mathrm { P e } ^ { 2 } - 1 } { \mathrm { P e } ^ { 2 } + 1 } , } \\ & { \frac { V _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { \ t e x t i t { i n c . f l u i d } } } } { { v _ { \mathrm { w a l l } } } } = \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 H ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { ~ \langle ~ ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { = } & { ~ \langle ~ ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { \ge } & { ~ \langle ~ ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { s } } \mathcal { M } _ { p } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { \ge } & { ~ \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin \left( x + y \right) } & { { } = \sin x \cos y + \cos x \sin y , } \\ { \cos \left( x + y \right) } & { { } = \cos x \cos y - \sin x \sin y , } \\ { \tan ( x + y ) } & { { } = { \frac { \tan x + \tan y } { 1 - \tan x \tan y } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A _ { \gamma } ( \boldsymbol u _ { \tau , h } ( t _ { n } ) , \boldsymbol u _ { \tau , h } ( t _ { n } ) ) + \langle \rho \boldsymbol v _ { \tau , h } ( t _ { n } ) , \boldsymbol v _ { \tau , h } ( t _ { n } ) \rangle + \langle c _ { 0 } p _ { \tau , h } ( t _ { n } ) , p _ { \tau , h } ( t _ { n } ) \rangle + 2 Q _ { n } \big ( B _ { \gamma } ( p _ { \tau , h } , p _ { \tau , h } ) \big ) } \\ & { \quad + A _ { \gamma } ( \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) ) + \langle \rho \boldsymbol v _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol v _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle + \langle c _ { 0 } p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle = 0 \, . } \end{array}
{ \widetilde { R } } _ { a b } \equiv \partial _ { c } { \widetilde { \Gamma } } _ { a b } ^ { c } - \partial _ { b } { \widetilde { \Gamma } } _ { c a } ^ { c } + { \widetilde { \Gamma } } _ { c d } ^ { c } { \widetilde { \Gamma } } _ { a b } ^ { d } - { \widetilde { \Gamma } } _ { b d } ^ { c } { \widetilde { \Gamma } } _ { a c } ^ { d }
\begin{array} { r l } { { \operatorname* { d e t } } _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \big ( } & { ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 2 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 3 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 3 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 2 } ^ { * } ) } \\ & { - ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 3 } ^ { * } ) } \\ & { + ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } - e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } + e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) } \\ & { + ( e _ { 2 } ^ { * } - e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } + e _ { 3 } ^ { * } ) } \\ & { - ( e _ { 2 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) } \\ & { + ( e _ { 3 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 2 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 2 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 3 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) } \\ & { + ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 2 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 3 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 3 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 2 } ^ { * } ) } \\ & { - ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 3 } ^ { * } ) } \\ & { + ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } + e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } - e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) } \\ & { + ( e _ { 2 } ^ { * } + e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } - e _ { 3 } ^ { * } ) } \\ & { - ( e _ { 2 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) } \\ & { + ( e _ { 3 } ^ { * } + e _ { 4 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 2 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 } ^ { * } - e _ { 2 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 3 } ^ { * } - e _ { 4 } ^ { * } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal J } ^ { \alpha \beta { \dot { \alpha } } { \dot { \beta } } } { \mathcal J } _ { \alpha \beta { \dot { \alpha } } \dot { \gamma } } { \mathcal J } ^ { \gamma \dot { \gamma } } { \mathcal J } _ { \gamma \dot { \beta } } ~ , ~ ~ ~ { \mathcal J } ^ { \alpha \beta { \dot { \alpha } } { \dot { \beta } } } { \mathcal J } _ { \alpha \gamma { \dot { \alpha } } \dot { \beta } } { \mathcal J } ^ { \gamma \dot { \gamma } } { \mathcal J } _ { \beta \dot { \gamma } } ~ , ~ ~ ~ { \mathcal J } ^ { \alpha \beta { \dot { \alpha } } { \dot { \beta } } } { \mathcal J } _ { \alpha \gamma { \dot { \alpha } } \dot { \gamma } } { \mathcal J } ^ { \gamma \dot { \gamma } } { \mathcal J } _ { \beta \dot { \beta } } ~ , } \\ & { { \mathcal J } ^ { \alpha \beta { \dot { \alpha } } } { \mathcal J } _ { \alpha \beta { \dot { \alpha } } } { \mathcal J } ^ { \gamma { \dot { \beta } } \dot { \gamma } } { \mathcal J } _ { \gamma { \dot { \beta } } \dot { \gamma } } ~ , ~ ~ ~ { \mathcal J } ^ { \alpha \beta { \dot { \alpha } } } { \mathcal J } _ { \alpha \gamma { \dot { \beta } } } { \mathcal J } ^ { \gamma { \dot { \beta } } \dot { \gamma } } { \mathcal J } _ { \beta { \dot { \alpha } } \dot { \gamma } } ~ , } \end{array}
R _ { p , n } ^ { \mathrm { ( m ) } } ( u , r / r _ { c } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \gamma _ { 0 } K _ { n + p } ( \gamma _ { 1 } u ) I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u r / r _ { c } ) , } & { r < r _ { c } } \\ { - \gamma _ { 1 } I _ { n + p } ( \gamma _ { 0 } u ) K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u r / r _ { c } ) , } & { r > r _ { c } } \end{array} \right. ,
\mathbf { X } ( s , \phi ) = \cos ( \alpha ) { \left[ \begin{array} { l } { A \cosh \left( { \frac { s } { A } } \right) \cos \left( \phi \right) } \\ { - A \cosh \left( { \frac { s } { A } } \right) \sin \left( \phi \right) } \\ { s } \end{array} \right] } + \sin ( \alpha ) { \left[ \begin{array} { l } { A \sinh \left( { \frac { s } { A } } \right) \sin \left( \phi \right) } \\ { A \sinh \left( { \frac { s } { A } } \right) \cos \left( \phi \right) } \\ { A \phi } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \nabla \times { \bf f } _ { i } } & { = \phi _ { l _ { i } } \nabla _ { t } \times { \bf e } _ { t , n _ { i } } + \frac { d \phi _ { l _ { i } } } { d z } \hat { \bf z } \times { \bf e } _ { t , n _ { i } } , } \\ { \nabla \times { \bf g } _ { i } } & { = \psi _ { l _ { i } } \nabla _ { t } \times { \bf e } _ { z , n _ { i } } , } \end{array}
g \left( \vec { x } \right) = \left( \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } e ^ { - \frac { \left( x - x _ { c } \right) ^ { 2 } + \left( y - y _ { c } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
\vec { \xi } ( \vec { x } _ { k + 1 } - \vec { x } _ { k } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { \psi } } } e ^ { - ( \vec { x } _ { k + 1 } - \vec { x } _ { k } ) / ( 2 \sigma _ { \psi } ) }
\begin{array} { r l r } { \langle f | \hat { H } _ { I 1 } | i \rangle } & { { } = } & { \langle 0 | \, \langle 1 _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } , \{ 0 _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } } \} | \hat { H } _ { I 1 } | \{ 0 _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} \rangle \, | n \rangle = } \end{array}
\langle g ^ { 2 } F _ { \mu \nu } ^ { a } ( x ) F _ { \rho \lambda } ^ { b } ( 0 ) \rangle = { \frac { 1 } { 9 6 } } \delta ^ { a b } ( \delta _ { \mu \rho } \delta _ { \nu \lambda } - \delta _ { \mu \lambda } \delta _ { \nu \rho } ) \langle g ^ { 2 } F ^ { 2 } ( 0 ) \rangle e ^ { - \vert x \vert / T _ { g } } .
+ \frac { c \hat { b } } { e B _ { \parallel } ^ { * } } \times \left( \mu _ { g y } \nabla _ { g y } B ( X _ { g y } ) + \varepsilon _ { \delta } e \nabla \left< \phi _ { 1 } \right> - \varepsilon _ { \delta } \frac { e } { c } { v } _ { g y , \parallel } \nabla \left< A _ { 1 \parallel } \right> \right) \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { g y } F
\begin{array} { r l } { \left| \left( G _ { \infty } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { \infty } ( \psi _ { n } ) \right) \right| \, | \nabla \psi _ { 1 } | } & { \rightarrow 0 \quad \mathrm { a . e . ~ i n } \quad [ 0 , T _ { 2 } ] \times { \mathbf R } ^ { 2 } , } \\ { | G _ { q } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { q } ( \psi _ { n } ) | \, | \nabla \psi _ { 1 } | } & { \rightarrow 0 \quad \mathrm { a . e . ~ i n } \quad [ 0 , T _ { 2 } ] \times { \mathbf R } ^ { 2 } . } \end{array}
2 \theta \frac { s } { d } \left( \overline { { u } } ^ { \left( 0 \right) } - \overline { { u } } ^ { \left( 1 \right) } \right) + \left( 1 - \theta \right) \frac { s - 1 } { d - 1 } \left( \overline { { u } } ^ { \left( 0 \right) } - \overline { { u } } ^ { \left( 2 \right) } \right) > 0 .
\int _ { - \pi } ^ { \pi } w ( \theta - \theta ^ { \prime } ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { i \mu \theta ^ { \prime } } d \theta ^ { \prime } = \lambda _ { \mu } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { i \mu \theta } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { M M D } ( \mathcal { F } , p , q ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \left( \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } [ f ( x _ { 0 } ) ] - \mathbf { E } _ { x _ { 1 } } [ f ( x _ { 1 } ) ] \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \| f \| _ { \mathcal { H } } \leq 1 } \left( \langle f , \mu _ { p } \rangle _ { \mathcal { H } } - \langle f , \mu _ { q } \rangle _ { \mathcal { H } } \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \| f \| _ { \mathcal { H } } \leq 1 } \left( \langle f , \mu _ { p } - \mu _ { q } \rangle _ { \mathcal { H } } \right) } \\ & { = \left\langle \frac { \mu _ { p } - \mu _ { q } } { \| \mu _ { p } - \mu _ { q } \| _ { \mathcal { H } } } , \mu _ { p } - \mu _ { q } \right\rangle _ { \mathcal { H } } } \\ & { = \| \mu _ { p } - \mu _ { q } \| _ { \mathcal { H } } } \end{array}
\hat { \mathbf { S } } ^ { \mu \nu } ( \mathbf { k } _ { | | } ) = \sideset { } { ' } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \hat { \mathbf { G } } ( \mathbf { R } _ { m } + \mathbf { T } ^ { \nu } - \mathbf { T } ^ { \mu } ) e ^ { - i \mathbf { k } _ { | | } \mathbf { R } _ { m } }
a r e t h e e l e c t r i c f i e l d a n d m a g n e t i c f i e l d o n t h e l e f t a n d r i g h t s i d e s o f t h e r e g i o n I , r e s p e c t i v e l y . E q u a t i o n ( 1 0 ) r e g a r d s t h e r e g i o n I a s a t w o - p o r t n e t w o r k , a n d t h e s y s t e m r e s o n a n c e a n d l o s s d i s t r i b u t i o n o f t h e r e g i o n I c a n b e e f f e c t i v e l y m a n i p u l a t e d b y a d j u s t i n g t h e v a l u e s o f
U = \left( \begin{array} { l l l } { c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } & { s _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } & { s _ { 1 3 } e ^ { - i \delta _ { \mathrm { C P } } } } \\ { - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { C P } } } } & { c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { C P } } } } & { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } \\ { s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { C P } } } } & { - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { C P } } } } & { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } \end{array} \right) \; ,
_ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { D } + \, _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { D } \rightarrow \, _ { 1 } ^ { 3 } \mathrm { T } \left( 1 . 0 \, \mathrm { M e V } \right) + \, _ { 1 } ^ { 1 } \mathrm { p } \left( 3 . 0 \, \mathrm { M e V } \right)
\left( \mu { \frac { \partial } { \partial \mu } } + \beta ( \lambda ) { \frac { \partial } { \partial \lambda } } + m \gamma _ { m } ( \lambda ) { \frac { \partial } { \partial { m } } } - \gamma _ { \phi } ( \lambda ) \right) \Gamma ^ { ( 2 ) } ( p , \lambda , m , \mu , T ) = 0