harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U _ { k } = - } & { k _ { 2 } \frac { \mathcal { G } m _ { k } ^ { 2 } R ^ { 5 } } { 4 a _ { k } ^ { 3 } a _ { k } ^ { 3 } } \Bigg [ 1 + 3 \cos ( 2 \theta - 2 \theta ^ { \prime } - 2 \lambda _ { k } + 2 \lambda _ { k } ^ { \prime } ) } \\ & { - \frac { 3 } { 2 } I _ { k } ^ { 2 } \, \bigg ( 1 - \cos ( 2 \lambda _ { k } - 2 \Omega _ { k } ) + \cos ( 2 \theta - 2 \theta ^ { \prime } - 2 \lambda _ { k } + 2 \lambda _ { k } ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \quad - \cos ( 2 \theta - 2 \theta ^ { \prime } + 2 \lambda _ { k } ^ { \prime } - 2 \Omega _ { k } ) \bigg ) } \\ & { - \frac { 3 } { 2 } I _ { k } ^ { 2 } \, \bigg ( 1 - \cos ( 2 \lambda _ { k } ^ { \prime } - 2 \Omega _ { k } ^ { \prime } ) + \cos ( 2 \theta - 2 \theta ^ { \prime } - 2 \lambda _ { k } + 2 \lambda _ { k } ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \quad - \cos ( 2 \theta - 2 \theta ^ { \prime } - 2 \lambda _ { k } + 2 \Omega _ { k } ^ { \prime } ) \bigg ) } \\ & { + 3 I _ { k } I _ { k } ^ { \prime } \, \bigg ( \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } - 2 \lambda _ { k } + 2 \lambda _ { k } ^ { \prime } + \Omega _ { k } - \Omega _ { k } ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \quad + \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } - \Omega _ { k } + \Omega _ { k } ^ { \prime } ) \phantom { \bigg ) } } \\ & { \quad \quad - \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } - 2 \lambda _ { k } + \Omega _ { k } + \Omega _ { k } ^ { \prime } ) \phantom { \bigg ) } } \\ & { \quad \quad - \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } + 2 \lambda _ { k } ^ { \prime } - \Omega _ { k } - \Omega _ { k } ^ { \prime } ) \bigg ) \Bigg ] \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { i } } { d t } } & { = } & { \delta _ { i 4 1 } \Biggl ( n _ { e } \alpha _ { 1 4 } n _ { 4 3 } + \frac { Q _ { i n } } { V } \times 4 . 4 8 \times 1 0 ^ { 1 7 } + \frac { \gamma ^ { \prime } } { \tau } n _ { 1 } } \\ & { } & { \quad \quad + \sum _ { j = 4 2 } ^ { 4 3 } \zeta _ { m j } \left( \frac { \mu } { R } \right) ^ { 2 } D _ { A j } n _ { j } + \zeta _ { m H ^ { + } } \left( \frac { \mu } { R } \right) ^ { 2 } D _ { A H ^ { + } } n _ { H ^ { + } } \Biggr ) } \\ & { - } & { n _ { e } \left( \sum _ { k = 5 } ^ { 8 } \alpha _ { k } \delta _ { i 4 1 } n _ { i } + \sum _ { k = 9 } ^ { 1 2 } \alpha _ { k } \delta _ { i 4 2 } n _ { i } + \sum _ { k = 1 3 } ^ { 1 5 } \alpha _ { k } \delta _ { i 4 3 } n _ { i } \right) } \\ & { + } & { \delta _ { i 4 2 } ( n _ { e } \alpha _ { 8 } - n _ { 4 1 } \alpha _ { 1 6 } ) n _ { i } + \delta _ { i 4 3 } n _ { 4 1 } \alpha _ { 1 6 } n _ { 4 2 } - \delta _ { i 4 1 } \alpha _ { 1 6 } n _ { 4 2 } n _ { i } } \\ & { - } & { \frac { Q } { V } n _ { i } - ( 1 - \delta _ { i 4 1 } ) \left( \frac { \mu } { R } \right) ^ { 2 } D _ { A i } n _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 , \Upsilon } ( \Delta _ { 1 2 } ^ { k } ( \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 1 } } \partial _ { x } ^ { s _ { 2 } } a ) ) ( \varphi , x , \xi ) = \int _ { - \pi } ^ { \pi } | y | ^ { 2 - \alpha } \underbrace { \left( \frac { 2 - 2 \cos y } { | y | ^ { 2 } } \right) ^ { 1 - \frac { \alpha } 2 } \psi _ { 2 } ( y ) \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 1 } } \partial _ { x } ^ { s _ { 2 } } ( a ( \varphi , x , x - y ) ) } _ { = : f ( \varphi , x , y ) } e ^ { - \mathrm { i } \xi y } d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla f _ { \delta } ^ { n , t } \| _ { \mathrm { C } ^ { 0 , \alpha } } } & { \lesssim \| \rho _ { \delta } \| _ { \mathrm { C } ^ { 0 , \alpha } } ^ { \kappa } \| \mu ^ { n , t } - \rho _ { t } \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \stackrel { \lesssim } \delta ^ { - \kappa } \| \mu ^ { n , t } - \rho _ { t } \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \stackrel { \lesssim } \log ^ { \kappa \kappa _ { 1 } } ( n ) \| \mu ^ { n , t } - \rho _ { t } \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 4 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 5 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
U ^ { T } ( n _ { 1 } A + n _ { 2 } B ) U = U ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { u _ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ & { \frac { 1 } { 2 } u _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } u _ { n } } \end{array} \right] U = W ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { - \frac { 1 } { 2 U _ { n } \sqrt { U _ { 1 } } } } & { 0 } & { 0 } \\ & { \frac { 1 } { 2 U _ { n } \sqrt { U _ { 1 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 U _ { n } \sqrt { U _ { 1 } } } } \end{array} \right] W ,
\sum _ { j ^ { \prime } , \epsilon ^ { \prime } } \int A ( { \bf v } , j , \epsilon ; { \bf v } ^ { \prime } , j ^ { \prime } , \epsilon ^ { \prime } ) \varphi ( { \bf v } ^ { \prime } , j ^ { \prime } , \epsilon ^ { \prime } ) d \rho ( { \bf v } ^ { \prime } ) = \psi ( { \bf v } , j , \epsilon )
b _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } = \int \Phi ( r , \theta , \varphi ) \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( r ) \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( \theta ) J ( r , \theta ) \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \varphi
J ( \vec { b } , \vec { R } _ { 1 } , \vec { R } _ { 2 } ) = - { \frac { 1 } { N _ { c } ^ { 2 } } } \ { \frac { 1 } { 8 } } \ { \frac { 1 } { ( N _ { c } ^ { 2 } - 1 ) } } \bigg [ \chi ( \vec { b } , \vec { R } _ { 1 } , \vec { R } _ { 2 } ) \bigg ] ^ { 2 } ~ .
\begin{array} { r } { \Delta \epsilon _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \vec { w } } = \epsilon _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \vec { w } } - \epsilon _ { { \mathrm { ~ b ~ g ~ } } } = \frac { 1 } { n } \int \Delta n _ { 2 , \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \vec { w } } ( R ) \frac { d \vec { R } } { 2 R } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } v ) ( s ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { \pi _ { s } \in \Delta _ { \mathcal { A } } } \operatorname* { m i n } _ { { R , P \in \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } } \sum _ { a } \pi _ { s } ( a ) \Bigm [ R ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \pi _ { s } \in \Delta _ { \mathcal { A } } } \sum _ { a } \pi _ { s } ( a ) \Bigm [ - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { p } ( v ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \Bigm [ - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( y , z ) = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 2 } { \pi } \sum _ { m \geq 0 } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { 2 m + 1 } } & { \left[ \cos \left( \frac { ( 2 m + 1 ) \pi a z } { h } \right) \frac { \cosh \left( \sqrt { \lambda _ { 2 } } y \right) } { \cosh \left( \frac { \sqrt { \lambda _ { 2 } } \ell } { 2 a } \right) } \right. } \\ & { \left. + \cos \left( \frac { ( 2 m + 1 ) \pi a y } { \ell } \right) \frac { \cosh \left( \sqrt { \lambda _ { 1 } } z \right) } { \cosh \left( \frac { \sqrt { \lambda _ { 1 } } h } { 2 a } \right) } \right] , } \end{array}
I _ { j } ( \omega ) = | \mathcal { \widetilde E } _ { j } ( \omega ) | ^ { 2 } = { I } _ { 0 j } ( \omega ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { N \omega T } { 2 } \right) \sin ^ { - 2 } \left( \frac { \omega T } { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { 2 } = \cfrac { A s y m V a r ( \widetilde { B } _ { k } ) - A s y m V a r ( \breve { B } _ { k } ) } { 2 c \sigma ^ { 2 } } = \cfrac { \big ( 3 B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } - 8 A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } } \\ & { + \cfrac { \big ( 5 B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } \implies \cfrac { 8 \big ( B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } - A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } < \Delta _ { 2 } < \cfrac { 8 \big ( B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } - A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm d } ^ { ( \alpha ) } = E _ { \mathrm { k i n } } + \mathcal { E } \int \mathrm { d } \tilde { x } \, \frac 1 2 \alpha \, \tilde { x } ^ { 2 } \, \tilde { n } ( \tilde { x } ) \, , } \end{array}
\partial _ { \lambda } F ^ { \lambda \mu } ( x ) = 2 e \sum _ { a = 1 } ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau _ { a } \, { v } _ { a } ^ { \mu } ( \tau _ { a } ) \, \delta ^ { ( 2 ) } \Bigl ( x - z ( \tau _ { a } ) \Bigr ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Phi ( M , t ) } } & { \partial _ { 1 } ( \tilde { \psi } ( x , t ) x _ { 1 } ) F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Phi _ { c } ( M , t ) } \partial _ { 1 } ( \tilde { \psi } ( x , t ) x _ { 1 } ) F ^ { \prime } ( c ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } c } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } F ^ { \prime } ( c ) \sum _ { i = 1 } ^ { N ( t ; c ) } \left[ \tilde { \psi } ( p _ { i } ^ { + } ( t ; c ) , t ) p _ { i } ^ { + } ( t ; c ) - \tilde { \psi } ( p _ { i } ^ { - } ( t ; c ) , t ) p _ { i } ^ { - } ( t ; c ) \right] \mathrm { d } c } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } F ^ { \prime } ( c ) \sum _ { i = 1 } ^ { N ( t ; c ) } \left[ \tilde { \psi } ( p _ { i } ^ { \pm } ( t ; c ) , t ) p _ { i } ^ { \pm } ( t ; c ) - \tilde { \psi } ( p _ { i _ { * } } ^ { \mp } ( t ; c ) , t ) p _ { i _ { * } } ^ { \mp } ( t ; c ) \right] \mathrm { d } c } \\ & { = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } F ^ { \prime } ( c ) \sum _ { i = 1 } ^ { N ( t ; c ) } ( - 1 ) ^ { i } \tilde { \psi } ( p _ { i } ^ { \pm } ( t ; c ) , t ) \mathrm { d } c } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } { M _ { k } } } & { = \sum _ { s = 0 } ^ { 3 } \sqrt { - 1 } ^ { k s } \tilde { z } _ { s } \sum _ { t = 0 } ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { t } \sqrt { - 1 } ^ { k t } \tilde { z } _ { t } + \sum _ { s = 0 } ^ { 3 } \sqrt { - 1 } ^ { k s } \tilde { z } _ { s + 4 } \sum _ { t = 0 } ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { t } \sqrt { - 1 } ^ { k t } \tilde { z } _ { t + 4 } } \\ & { = \left\{ \tilde { z } _ { 0 } + ( - 1 ) ^ { k } \tilde { z } _ { 2 } \right\} ^ { 2 } - ( - 1 ) ^ { k } \left\{ \tilde { z } _ { 1 } + ( - 1 ) ^ { k } \tilde { z } _ { 3 } \right\} ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \left\{ \tilde { z } _ { 4 } + ( - 1 ) ^ { k } \tilde { z } _ { 6 } \right\} ^ { 2 } - ( - 1 ) ^ { k } \left\{ \tilde { z } _ { 5 } + ( - 1 ) ^ { k } \tilde { z } _ { 7 } \right\} ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal M } _ { W } ^ { 2 } \simeq \left( \begin{array} { l l l l } { { m _ { W } ^ { 2 } } } & { { \sqrt { 2 } m _ { W } ^ { 2 } s _ { \beta } ^ { 2 } } } & { { \sqrt { 2 } m _ { W } ^ { 2 } s _ { \beta } ^ { 2 } } } & { { \dots } } \\ { { \sqrt { 2 } m _ { W } ^ { 2 } s _ { \beta } ^ { 2 } } } & { { M _ { c } ^ { 2 } } } & { { } } & { { } } \\ { { \sqrt { 2 } m _ { W } ^ { 2 } s _ { \beta } ^ { 2 } } } & { { } } & { { ( 2 M _ { c } ) ^ { 2 } } } & { { } } \\ { { \vdots } } & { { } } & { { } } & { { \ddots } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \bar { \sigma } = \tau ) } & { = } & { \mathbb { P } ( \sigma ( n + 1 - i ) = n + 1 - \tau ( i ) \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in [ n ] ) } \\ & { = } & { \mathbb { P } ( \sigma ( i ) = n + 1 - \tau ( n + 1 - i ) \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in [ n ] ) } \\ & { = } & { \tilde { Z } _ { n , \beta _ { n } } ^ { - 1 } \exp \Big ( - \beta _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( n + 1 - \tau ( n + 1 - i ) - i ) ^ { 2 } \Big ) } \\ & { = } & { \tilde { Z } _ { n , \beta _ { n } } ^ { - 1 } \exp \Big ( - \beta _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \tau ( i ) - i ) ^ { 2 } \Big ) = \tilde { \mathbb { P } } _ { n , \beta _ { n } } ( \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { { } H _ { 1 } + H _ { 2 } + H _ { 3 } , } \\ { H _ { 1 } = } & { { } ~ \omega _ { \mathrm { o p } } a ^ { \dagger } a + \omega _ { \mathrm { a t } } \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } + g _ { A } ( \sigma _ { A } ^ { \dagger } a + a ^ { \dagger } \sigma _ { A } ) , } \\ { H _ { 2 } = } & { { } ~ \omega _ { \mathrm { o p } } b ^ { \dagger } b + \omega _ { \mathrm { a t } } \sigma _ { B } ^ { \dagger } \sigma _ { B } + g _ { B } ( \sigma _ { B } ^ { \dagger } b + b ^ { \dagger } \sigma _ { B } ) , } \\ { H _ { 3 } = } & { { } ~ \omega _ { \mathrm { o p } } ( | 2 \rangle \langle 2 | + | 3 \rangle \langle 3 | + 2 | 4 \rangle \langle 4 | ) } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { X ^ { I } } } \\ { { F _ { I } } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l } { { { \bf a } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { { { \bf a } ^ { t } } ^ { - 1 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { X ^ { I } } } \\ { { F _ { I } } } \end{array} \right) \ ,
{ \cal M } _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { \gamma } } ^ { \mathrm { t r e e } } = - i \frac { e _ { q } g m _ { q } } { \sqrt { \displaystyle 2 } \, m _ { W } } \left( \frac { 1 } { 2 p _ { 1 } \! \cdot \! k } + \frac { 1 } { 2 p _ { 2 } \! \cdot \! k } \right) \left\{ \begin{array} { l c l } { { \sin \theta \left[ \lambda _ { \gamma } ( 2 | { \bf p } | ^ { 2 } - E \omega ) + | { \bf p } | \omega \right] } } & { { , } } & { { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } = + + } } \\ { { \sin \theta \left[ \lambda _ { \gamma } ( 2 | { \bf p } | ^ { 2 } - E \omega ) - | { \bf p } | \omega \right] } } & { { , } } & { { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } = -- } } \\ { { m _ { q } \, \omega ( 1 + \lambda _ { \gamma } \cos \theta ) } } & { { , } } & { { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } = + - } } \\ { { m _ { q } \, \omega ( 1 - \lambda _ { \gamma } \cos \theta ) } } & { { , } } & { { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } = - + } } \end{array} \right. \, ,
p _ { t } \approx 0 . 5 0 \, ( q = 2 ) , 0 . 3 3 \, ( q = 3 ) , 0 . 2 5 \, ( q = 4 ) , 0 . 2 0 \, ( q = 5 ) , 0 . 1 7 \, ( q = 6 ) , 0 . 1 4 \, ( q = 7 ) , 0 . 1 2 \, ( q = 8 )
\epsilon _ { 0 } , \epsilon _ { N } \gets \frac { 1 } { 1 0 } p _ { k } ( \tilde { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ l ~ o ~ w ~ } , n + 1 } ) , \frac { 1 } { 1 0 } p _ { k } ( \tilde { u } _ { N } ^ { \mathrm { ~ l ~ o ~ w ~ } , n + 1 } )
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } } & { = { e ^ { - S } } H _ { \mathrm { t o t } } { e ^ { S } } = H _ { \mathrm { d r i v } } ^ { \mathrm { D C } } + ( H _ { \mathrm { i n t } } + [ H _ { \mathrm { d r i v } } ^ { \mathrm { D C } } , S ] ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } [ ( H _ { \mathrm { i n t } } + [ H _ { \mathrm { d r i v } } ^ { \mathrm { D C } } , S ] ) , S ] + \frac { 1 } { 2 } [ H _ { \mathrm { i n t } } , S ] + . . . , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { x } ( t _ { \mathrm { a r r i v a l } } ) } & { = \vec { v } t _ { \mathrm { a r r i v a l } } } \\ & { \pm \vec { c } t _ { \mathrm { a r r i v a l } } \sqrt { 1 - \frac { \log ( \left( 4 \pi D t _ { \mathrm { a r r i v a l } } \right) ^ { d / 2 } \frac { I _ { c } } { I _ { 0 } } ) } { ( \beta - \gamma ) t _ { \mathrm { a r r i v a l } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ M ~ } } ( k _ { 0 } ) } & { { } = \mathrm { ~ E ~ } _ { 0 } \, r _ { l } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } ( k _ { 0 } ) \, \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } \, i ^ { l } \, \left[ \delta _ { m , 1 } + \delta _ { m , - 1 } \right] } \\ { \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ M ~ } } ( k _ { 0 } ) } & { { } = \frac { \mathrm { ~ E ~ } _ { 0 } } { c } \, r _ { l } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } ( k _ { 0 } ) \, \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } \, i ^ { l + 1 } \, \left[ \delta _ { m , 1 } - \delta _ { m , - 1 } \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a } & { = { \frac { 1 } { 4 } } q ^ { 2 } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) ^ { 2 } , } \\ { b } & { = q ^ { 2 } u v ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) , } \\ { c } & { = { \frac { 1 } { 4 } } q ^ { 2 } ( 1 4 u ^ { 2 } v ^ { 2 } - u ^ { 4 } - v ^ { 4 } ) , } \\ { { \mathrm { A r e a } } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } q ^ { 2 } c u v ( v ^ { 2 } - u ^ { 2 } ) , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } \left\{ | \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } W _ { i , j } | ^ { \varrho } \right\} } & { = } & { { \mathbb { E } } \left\{ | \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } W _ { i , j } | ^ { \varrho } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ) \right\} + { \mathbb { E } } \left\{ | \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } W _ { i , j } | ^ { \varrho } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \right\} } \\ & { \lesssim } & { \zeta _ { 1 } ^ { - \varrho } \{ \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - \varrho / 2 } { \mathbb { E } } \{ | \Gamma _ { j } U _ { i } | ^ { \varrho } \} + \zeta _ { 1 } ^ { - \varrho } { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) } \\ & { \lesssim } & { { \mathbb { E } } \{ | \Gamma _ { j } U _ { i } | ^ { \varrho } \} + p ^ { \varrho / 2 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } \} . } \end{array}
\mathbf { A } _ { \perp } \left( \mathbf { x } , t \right) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r } \overset { . } { \mathbf { p } } \left( t - r / c \right) \cdot \left( \mathbf { I } - \mathbf { n n } \right) ,
{ \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } = \frac { \overline { { U _ { i } } } } { U _ { \tau } } ~ ; ~ { x _ { i } ^ { + } } = \frac { x _ { i } U _ { \tau } } { \nu } ~ ; ~ ( \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ) ^ { + } = \frac { \overline { { u _ { i } u _ { j } } } } { U _ { \tau } ^ { 2 } } ~ ; ~ { \overline { { P ^ { + } } } } = \frac { \overline { { P } } } { \rho U _ { \tau } ^ { 2 } } ~ ; ~ { \tau ^ { + } } = \frac { \tau } { \rho U _ { \tau } ^ { 2 } } .
\left( { K ^ { 0 } } ^ { 2 } - M _ { + } ^ { 2 } - K ^ { 0 } p _ { - } \mu _ { \beta } ^ { - 1 } \gamma _ { 5 } - K ^ { 0 } p _ { + } \gamma _ { 5 } + \mu _ { \beta } ^ { - 1 } p _ { - } p _ { + } \right) \psi _ { { \mathrm { \tiny ~ D L } } } = 0 .
R _ { \alpha \alpha _ { 1 } \beta } ^ { ( S \, \Omega ) } = 8 \pi \mu \, \varepsilon _ { \beta \gamma \gamma _ { 1 } } \gamma _ { \alpha \alpha _ { 1 } \delta \delta _ { 1 } } m _ { \delta \delta _ { 1 } \gamma \gamma _ { 1 } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } )
\begin{array} { r l } { \int _ { \partial \Omega ^ { \star } ( z ) } n \cdot ( \nabla T - u T ) } & { = \int _ { \gamma ^ { - } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) + \int _ { \gamma ^ { + } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { + } \cdot ( \nabla T - u T ) } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega \cap \{ y _ { 2 } = z \} } n _ { + } \cdot ( \nabla T - u T ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \rho _ { 0 } , u _ { 0 } \rangle = \int _ { \mathbb { R } } u _ { 0 } ( y ) \rho _ { 0 } ( y ) \, \mathrm { d } y = \mathbb { E } ( u _ { 0 } ( \overline { { Y } } _ { 0 } ) ) = \mathbb { E } ( \mathbb { E } ( G ( \overline { { Y } } _ { T _ { 1 } } ) | \, \sigma ( \mathcal { F } _ { 0 } ^ { W } , \sigma ( \overline { { Y } } _ { 0 } ) ) ) ) = \mathbb { E } ( G ( \overline { { Y } } _ { T _ { 1 } } ) ) . } \end{array}
\eta _ { i } = \frac { | 2 D f _ { i + 1 / 2 } D f _ { i - 1 / 2 } | + \varepsilon } { ( D f _ { i + 1 / 2 } ) ^ { 2 } + ( D f _ { i - 1 / 2 } ) ^ { 2 } + \varepsilon } , \qquad \varepsilon = \frac { 0 . 9 C _ { r } } { 1 - 0 . 9 C _ { r } } \xi ^ { 2 } , \qquad D f _ { i + 1 / 2 } = f _ { i + 1 } - f _ { i } ,
\frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime } ( z _ { 2 } ( x ) / \varepsilon ) \textrm { d } x = \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \beta ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \phi ^ { \prime } ( z _ { 2 } / \varepsilon ) J ( T ^ { - 1 } ) \textrm { d } z _ { 2 } \textrm { d } z _ { 1 } ,
B ( \delta ) = \int _ { m _ { B } ( 1 - \delta ) - m _ { b } } ^ { m _ { B } - m _ { b } } \! \mathrm { d } k _ { + } \, F ( k _ { + } ) \, B _ { \mathrm { p } } \! \left( 1 - \frac { m _ { B } ( 1 - \delta ) } { m _ { b } + k _ { + } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { Q ( r ) } & { = 2 \nu \left( 2 \nu + 1 \right) \alpha r ^ { 2 \nu - 2 } + o \left( r ^ { 2 \nu - 2 } \right) , } \\ & { \simeq 2 \nu \left( 2 \nu + 1 \right) \frac { T ( r ) - T _ { t a r g e t } } { r ^ { 2 } } , } \\ & { \simeq 2 \nu \left( 2 \nu + 1 \right) \left( T ( r ) - T _ { t a r g e t } \right) \left( \frac { T ^ { \prime } ( r ) } { 2 \nu \left( T ( r ) - T _ { t a r g e t } \right) } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { s } \bigg \vert E \big [ \varphi ( z + s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } Z _ { 1 } ) - \varphi ( z ) \big ] - s \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \delta _ { \lambda } \varphi ( z ) F _ { \mu } ( d \lambda ) \bigg \vert } \\ & { \leq \frac { 1 } { s } \bigg \vert E \big [ \delta _ { s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } Z _ { 1 } ^ { 2 } ) \big ] - s \int _ { \mathbb { R } } \delta _ { \lambda _ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) F _ { \mu } ^ { 1 } ( d \lambda _ { 1 } ) \bigg \vert } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + \frac { 1 } { s } \bigg \vert E \big [ \delta _ { s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { 2 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \big ] - s \int _ { \mathbb { R } } \delta _ { \lambda _ { 2 } } ^ { 2 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) F _ { \mu } ^ { 2 } ( d \lambda _ { 2 } ) \bigg \vert } \\ & { : = I + I I . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \tilde { \rho } } { d t } = \frac { i } { \hbar } [ \tilde { \rho } , \hat { H } _ { T } ( t ) ] - \Gamma _ { p } ( t ) ( \tilde { \rho } - \rho _ { \mathrm { i n } } ) - \gamma ( \tilde { \rho } - \rho _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 0 } ^ { + } - \gamma _ { 0 } ^ { - } = \frac { ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ( 1 - v ) } { ( v - 2 ) ^ { 3 } } \left[ 2 ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ^ { 2 } ( v - 1 ) ^ { 2 } + \right. } & { } \\ { \left. 6 c _ { 0 } v ( c _ { 0 } v + v - 2 ) - 3 ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ( v - 1 ) ( 2 c _ { 0 } v + v - 2 ) \right] + } & { } \\ { \frac { ( v c _ { 0 } ) ^ { 3 } } { ( v - 2 ) ^ { 3 } } \left[ 2 c _ { 0 } v + 3 ( v - 2 ) \right] - c _ { 0 } = 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 2 } } F _ { \mathrm { I R t o p } } ^ { \uparrow } \left( { \frac { 3 } { 2 } } \tau _ { \mathrm { t p } } + 1 \right) } & { = \sigma T _ { \mathrm { t p } } ^ { 4 } } \\ { \tau _ { \mathrm { t p } } } & { = \kappa _ { v } p ^ { * } ( T _ { \mathrm { t p } } ) { \frac { 1 } { g } } { \frac { m _ { v } } { \bar { m } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \tilde { F } ( t - t ^ { \prime } ) } & { \equiv } & { \mathbb { E } [ { \bf { V } } ( t ) \cdot { \bf { V } } ( t ^ { \prime } ) ] - ( \mathbb { E } [ { \bf { V } } ] ) ^ { 2 } \ , \ { \mathrm { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } } \\ { \tilde { G } ( t - t ^ { \prime } ) } & { \equiv } & { { \mathrm { T r } } \left\{ \mathbb { E } [ { \bf { M } ^ { T } } ( t ) { \bf { M } } ( t ^ { \prime } ) ] - \mathbb { E } [ { \bf { M } } ] { \bf { ^ T } } \mathbb { E } [ { \bf { M } } ] \right\} \ , \ } \end{array}
\Psi ( t ) = \left\{ \begin{array} { c l } { - 1 + \Psi _ { \mathrm { ~ a ~ u ~ t ~ o ~ p ~ h ~ o ~ b ~ i ~ n ~ g ~ } } , } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ r ~ o ~ - ~ d ~ e ~ w ~ e ~ t ~ t ~ i ~ n ~ g ~ } , } \\ { 1 + \Psi _ { \mathrm { ~ a ~ u ~ t ~ o ~ p ~ h ~ o ~ b ~ i ~ n ~ g ~ } } , } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ r ~ o ~ - ~ r ~ e ~ w ~ e ~ t ~ t ~ i ~ n ~ g ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Phi _ { R F } } & { = 2 k _ { 0 } n _ { 1 } \left( h + \mathbf { m } _ { r } \cdot \mathbf { r } + \Delta H \right) , } \\ { \Phi _ { R B _ { j } } } & { = 2 k _ { 0 } [ ( n _ { 1 } - j n _ { 2 } ) h + ( n _ { 1 } \mathbf { m } _ { r } - j n _ { 2 } \mathbf { m } _ { b } ) \cdot \mathbf { r } + n _ { 1 } \Delta H ] , } \\ { \Phi _ { F B _ { j } } } & { = 2 k _ { 0 } n _ { 2 } [ j h + j \mathbf { m } _ { b } \cdot \mathbf { r } ] , } \\ { \Phi _ { B _ { \ell } B _ { j } } } & { = 2 k _ { 0 } n _ { 2 } [ ( \ell - j ) h + ( \ell - j ) \mathbf { m } _ { b } \cdot \mathbf { r } ] , } \end{array}