harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tau \dot { v } _ { j } } & { = v _ { j } ^ { 2 } - ( v _ { \mathrm { r e s t } } + v _ { \mathrm { t h r e s } } + \tilde { g } ) v _ { j } + v _ { \mathrm { r e s t } } v _ { \mathrm { t h r e s } } + ( \tilde { I } _ { j } + \tilde { I } _ { \mathrm { s y n } } + g \tilde { I } _ { \mathrm { s y n } } ) ( v _ { \mathrm { t h r e s } } - v _ { \mathrm { r e s t } } ) / g _ { L } } \\ & { = : v _ { j } ^ { 2 } - \alpha v _ { j } + I _ { j } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { l l } { \left\langle \psi ^ { n + 1 } \big | H ^ { s } \big | \psi ^ { n + 1 } \right\rangle = } & { \left\langle \psi ^ { n } \bigg | \left[ e ^ { \textstyle - i H \Delta t / \hbar } + 2 i S _ { 2 M } \right] H ^ { s } \right. } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left. \times \left[ e ^ { \textstyle i H \Delta t / \hbar } - 2 i S _ { 2 M } \right] \bigg | \psi ^ { n } \right\rangle , } \end{array}
R _ { \tau } ^ { \mathrm { \scriptsize { p e r t } } } = \frac { 3 i } { 8 \pi } \int _ { C _ { 2 } } \frac { d s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } \biggl ( 1 - \frac { s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } \biggr ) ^ { 2 } \biggl [ \biggl ( 1 + 2 \frac { s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } \biggr ) \Pi ^ { T } ( s ) \biggr ] .
Q _ { \alpha , i } ^ { \alpha + m } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { s } ) : = Q _ { \alpha , i } ^ { \alpha + m - 1 } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { i - 1 } , x _ { i } + p _ { i \alpha + m } x _ { \alpha + m } , . . . , x _ { \alpha + m - 1 } + p _ { \alpha + m - 1 \alpha + m } x _ { \alpha + m } , x _ { \alpha + m } , . . . , x _ { s } ) / ( \left\{ Q _ { \alpha + m , \beta } ^ { \alpha + m } ( x ) \right\} _ { \beta = i } ^ { \alpha + m - 1 } )
\begin{array} { r } { \textstyle \mathcal { L } _ { \mathrm { l i k } } ( \theta ) : = \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \log p _ { \theta } ( x ^ { ( k ) } ( t + \tau ) | x ^ { ( k ) } ( t ) ) . } \end{array}
U _ { x } ( y ) = \frac { 3 } { 2 } \frac { R e ^ { W } } { R e ^ { E } } ( 1 - \frac { y ^ { 2 } } { L _ { y } ^ { 2 } } ) = \frac { 3 } { 2 } U _ { 0 } ( 1 - \frac { y ^ { 2 } } { L _ { y } ^ { 2 } } ) .
\rho _ { B } ( L ) = 5 1 2 \; \pi ^ { \frac { 1 5 } { 2 } } \; \frac { N \; \alpha } { \lambda ^ { 2 } } \; \frac { \mu ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \left\{ \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { L ^ { 4 } } \; \frac { \xi ( t _ { n l } ) } { 5 L } ~ ~ ; ~ ~ L \gg \xi ( t _ { n l } ) } } \\ { { \frac { 1 2 \sqrt { \pi } } { \xi ^ { 4 } ( t _ { n l } ) } ~ ~ ; ~ ~ L \ll \xi ( t _ { n l } ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ( \mathcal { D V } ) | \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) } & { \sim \mathfrak { N } ( \mu _ { l } ( \mathcal { D V } ) , \sigma _ { l } ^ { 2 } ( \mathcal { D V } ) ) } \\ { \mu _ { l } ( \mathcal { D V } ) } & { = \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } , \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } , \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) ^ { - 1 } \left( \mathcal { M } _ { \sf N U F E B } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) - \mu _ { 0 } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) + \mu _ { 0 } ( \mathcal { D V } ) \right) } \\ { \sigma _ { l } ^ { 2 } } & { = \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } , \mathcal { D V } ) - \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } , \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } , \mathcal { D V } _ { 1 : l } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { 0 } ( \mathcal { D V } _ { 1 : l } , \mathcal { D V } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ^ { 0 } = \frac { p _ { g } } { R \theta _ { 0 } } \left( \frac { p } { p _ { g } } \right) ^ { c _ { v } / c _ { p } } , \quad p = p _ { g } \left( 1 - \frac { g z } { c _ { p } \theta ^ { 0 } } \right) ^ { c _ { p } / R } , } \end{array}
\left( { \frac { \partial \theta _ { 1 } } { \partial \omega _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \partial \theta _ { 1 } } { \partial \omega _ { 2 } } } \right) \left( { \frac { \partial \theta _ { 2 } } { \partial \omega _ { 2 } } } \right) + \left( { \frac { \partial \theta _ { 2 } } { \partial \omega _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { ( \omega _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \theta _ { 2 } - 2 \theta _ { 1 } } { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \rho ( y ) } & { = e ^ { - \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } } \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - e ^ { - 2 \beta \hbar \omega } } } \cdot } \\ & { \cdot e ^ { - y ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { 2 e ^ { - \beta \hbar \omega } \left( e ^ { - \beta \hbar \omega } - 1 \right) } { 1 - e ^ { - 2 \beta \hbar \omega } } \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \, \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac 1 2 \| { \tilde { u } } _ { x t } \| ^ { 2 } } \\ { \le } & { \, C \big ( \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } + | \alpha ^ { \prime \prime } | \big ) \| { \tilde { u } } _ { t } \| ^ { 2 } + C \big ( \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } \| { \tilde { v } } _ { t } \| ^ { 2 } + \| { \tilde { v } } \| ^ { 2 } + \| { \tilde { v } } _ { t } \| ^ { 2 } + | \alpha ^ { \prime \prime } | \big ) } \\ { \le } & { \, C \big ( \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } + | \alpha ^ { \prime \prime } | \big ) \| { \tilde { u } } _ { t } \| ^ { 2 } + C \big ( \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } + \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } + | \alpha ^ { \prime \prime } | \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi ( p _ { b } ^ { u } ) = ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } ( h _ { 1 } ( p _ { b } ^ { u } ) - h _ { 2 } ( p _ { b } ^ { u } ) ) = ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } ( h _ { 3 } ^ { 2 } ( p _ { b } ^ { u } ) - h _ { 2 } ( p _ { b } ^ { u } ) ) = - ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } h _ { 2 } ( p _ { b } ^ { u } ) < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \textup { c o } ( \{ \mathcal { A } , \mathcal { B } \} ) } ( c ) } & { = \textup { s u p } \{ \sigma _ { \mathcal { A } } ( c ) , \sigma _ { \mathcal { B } } ( c ) \} } \\ { \mu _ { \textup { c o } ( \{ \mathcal { A } , \mathcal { B } \} ) } ( c ) } & { = \textup { i n f } \{ \mu _ { \mathcal { A } } ( c ) , \mu _ { \mathcal { B } } ( c ) \} . } \end{array}
R l ( \alpha _ { \mu } ; \beta _ { \nu } ) \delta ( \alpha ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) \delta ( \beta ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) \delta \left( ( \alpha \beta ) - q \right) = l ( \alpha _ { \mu } ; P _ { \rho } ^ { \sigma } ( \alpha ) \beta _ { \sigma } ) \delta ( \alpha ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) \delta ( \beta ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) \delta \left( ( \alpha \beta ) - q \right)
\mathbf { L } = \underbrace { \frac { 1 } { N _ { i } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { i } } \left( \frac { \partial \Phi ( \theta , \mathbf { x } _ { j } ) } { \partial t } + S ( \Phi ( \theta , \mathbf { x } _ { j } ) , a ( \mathbf { x } _ { j } ) ) \right) ^ { 2 } } _ { \mathrm { I n t e r i o r ~ P D E ~ l o s s } } + \underbrace { \frac { 1 } { N _ { b } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } \left( \mathcal { B } ( \Phi ( \theta , \mathbf { x } _ { i } ) ) - u _ { b } \left( \mathbf { x } _ { i } \right) \right) ^ { 2 } } _ { \mathrm { S u p e r i v s e d ~ l o s s ~ o n ~ b o u n d a r y } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { g } ( \omega , z ) = - g _ { L } + \frac { 1 } { 2 } \left( g _ { 0 } + g _ { L } \right) \left[ \operatorname { t a n h } \left\lbrace \rho \left[ \omega + \beta ( z ) + W / 2 \right] \right\rbrace \right. } \\ & { } & { \left. - \operatorname { t a n h } \left\lbrace \rho \left[ \omega + \beta ( z ) - W / 2 \right] \right\rbrace \right] . \! \! \! \! \! \! \! } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 1 - [ 1 - \varepsilon _ { 1 } ] _ { + } \ast ( 1 - \varepsilon _ { 2 } ) ( x ) } \\ { = } & { 1 - \int _ { 0 } ^ { x - \frac { [ \ln \alpha ] _ { + } } { \upsilon _ { 1 } } } \bigl ( 1 - \alpha e ^ { - \upsilon _ { 1 } ( x - y ) } \bigr ) \bigl ( \upsilon _ { 2 } e ^ { - \upsilon _ { 2 } y } \bigr ) d y } \\ { = } & { 1 - \upsilon _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { x - \frac { [ \ln \alpha ] _ { + } } { \upsilon _ { 1 } } } \! \! \! \! e ^ { - \upsilon _ { 2 } y } d y + \alpha \upsilon _ { 2 } e ^ { - \upsilon _ { 1 } x } \! \! \int _ { 0 } ^ { x - \frac { [ \ln \alpha ] _ { + } } { \upsilon _ { 1 } } } \! \! \! \! e ^ { ( \upsilon _ { 1 } - \upsilon _ { 2 } ) y } d y } \\ { = } & { e ^ { - \upsilon _ { 2 } \bigl ( x - \frac { [ \ln \alpha ] _ { + } } { \upsilon _ { 1 } } \bigr ) } + \frac { \alpha \upsilon _ { 2 } e ^ { - \upsilon _ { 1 } x } } { \upsilon _ { 1 } - \upsilon _ { 2 } } \biggl ( e ^ { ( \upsilon _ { 1 } - \upsilon _ { 2 } ) \bigl ( x - \frac { [ \ln \alpha ] _ { + } } { \upsilon _ { 1 } } \bigr ) } - 1 \biggr ) } \\ { = } & { [ \alpha ] _ { 1 } ^ { \frac { \upsilon _ { 2 } } { \upsilon _ { 1 } } } e ^ { - \upsilon _ { 2 } x } + \frac { \alpha \upsilon _ { 2 } } { \upsilon _ { 1 } - \upsilon _ { 2 } } \biggl ( [ \alpha ] _ { 1 } ^ { \frac { \upsilon _ { 2 } } { \upsilon _ { 1 } } - 1 } e ^ { - \upsilon _ { 2 } x } - e ^ { - \upsilon _ { 1 } x } \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \mathcal { E } _ { k } ( t ) + \mathcal { D } _ { k } ( t ) \leq C \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } \mathcal { D } _ { j } ( t ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \mathcal { E } _ { j } ^ { \frac { 5 } { 2 } } ( t ) ) \mathcal { E } _ { j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \mathcal { D } _ { j } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \partial _ { t } \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } , t \right) } & { { } = } & { \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } - i M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } \right) \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } , t \right) + \frac { \Omega _ { 2 } ^ { \ast } } { 2 } \exp \left[ i \left( \Delta _ { 2 } t + \phi _ { 2 } \left( t \right) \right) \right] f \left( t \right) \tilde { a } \left( o , \mathbf { p } + \hbar \mathbf { q } _ { 2 } , t \right) , } \\ { i \partial _ { t } \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } , t \right) } & { { } = } & { \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } - i M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } \right) \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } , t \right) + \frac { \Omega _ { 1 } ^ { \ast } } { 2 } \exp \left[ i \left( \Delta _ { 1 } t + \phi _ { 1 } \left( t \right) \right) \right] f \left( t \right) \tilde { a } \left( o , \mathbf { p } + \hbar \mathbf { q } _ { 1 } , t \right) , } \\ { i \partial _ { t } \tilde { a } \left( o , \mathbf { p } , t \right) } & { { } = } & { \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } - i M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } \right) \tilde { a } \left( o , \mathbf { p } , t \right) + \frac { \Omega _ { 1 } } { 2 } \exp \left[ - i \left( \Delta _ { 1 } t + \phi _ { 1 } \left( t \right) \right) \right] f \left( t \right) \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } - \hbar \mathbf { q } _ { 1 } , t \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \left( \tau ^ { \left( q \right) } \right) } & { { } = - \left( \tau ^ { \left( q \right) } \right) ^ { 2 } \frac { \mathsf { d } } { \mathsf { d } \tau ^ { \left( q \right) } } \big \langle \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Big [ \Big ( \int _ { k h _ { n } } ^ { t } ( \sigma _ { s } - \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ) \, d W _ { s } \Big ) ^ { 2 } \Big ] } & { = \mathbb { E } \Big [ \int _ { k h _ { n } } ^ { t } ( \sigma _ { s } - \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ) ^ { 2 } \, d s \Big ] } \\ & { = \int _ { k h _ { n } } ^ { t } \mathbb { E } \big [ ( \sigma _ { s } - \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ) ^ { 2 } \big ] \, d s \, , } \end{array}
\mathbf { g } _ { j } ^ { \mathrm { ( n e t ) } } = \sum _ { i \neq j } \mathbf { g } _ { i } = { \frac { 1 } { m _ { j } } } \sum _ { i \neq j } \mathbf { F } _ { i } = - G \sum _ { i \neq j } m _ { i } { \frac { \mathbf { \hat { R } } _ { i j } } { \left| \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } _ { j } \right| ^ { 2 } } } = - \sum _ { i \neq j } \nabla \Phi _ { i }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i j } \sqrt { \frac { \pi _ { j } } { \pi _ { i } } } R _ { i j } z _ { j } z _ { i } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { i j } \sqrt { \frac { \pi _ { j } } { \pi _ { i } } } R _ { i j } z _ { j } z _ { i } + \sum _ { i , j } \sqrt { \frac { \pi _ { i } } { \pi _ { j } } } R _ { j i } z _ { i } z _ { j } \right) } \\ & { = \sum _ { i , j } \sqrt { \frac { \pi _ { j } } { \pi _ { i } } } \left( R _ { i j } + \frac { \pi _ { i } } { \pi _ { j } } R _ { j i } \right) z _ { j } z _ { i } = \sum _ { i , j } \sqrt { \frac { \pi _ { j } } { \pi _ { i } } } z _ { j } z _ { i } = \sum _ { i , j } M _ { i , j } z _ { j } z _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I \left( z \right) } & { { } = I _ { 0 } \cosh \frac { l - z } { \lambda } \left( \cosh \frac { l } { \lambda } \right) ^ { - 1 } , } \\ { V \left( z \right) } & { { } = R I _ { 0 } \sinh \frac { l - z } { \lambda } \left( \cosh \frac { l } { \lambda } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\| \eta ^ { \delta } \| _ { \mathcal { Y } } \, = \, \bigl \| \bigl ( \delta ( \kappa - \mathcal { L } ) + \Lambda \bigr ) ^ { - 1 } f \bigr \| _ { \mathcal { Y } } \, \le \, \frac { 1 } { \kappa \delta } \, \| f \| _ { \mathcal { Y } } \, .
\mathsf { L } _ { \mathrm { e f f } } = \mathsf { K } _ { \mathrm { e f f } } - \mathsf { P } _ { \mathrm { e f f } } - \mathsf { W } _ { \mathrm { e f f } } , \qquad \mathsf { K } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { 1 } { 2 } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } , \qquad \mathsf { W } _ { \mathrm { e f f } } = \mathbf { F } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } _ { \mathrm { O } } \, ,
\begin{array} { r l } { i { \partial _ { \tau } C _ { c } ^ { R } } = } & { { } \sum _ { i a } f _ { i a } t _ { i } ^ { a } ( \tau ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j a b } v _ { i j } ^ { a b } t _ { i } ^ { a } ( \tau ) t _ { j } ^ { b } ( \tau ) } \\ { + } & { { } \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } v _ { i j } ^ { a b } t _ { i j } ^ { a b } ( \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , 1 } = } & { - 1 + \frac { \widetilde { \beta } _ { 2 } } { 2 } ( 1 - x _ { 1 } ) \left[ 1 + \epsilon _ { 2 } \right] } \\ & { - \frac { \widetilde { \beta } _ { 2 } } { 2 } [ x _ { 1 } + x _ { 2 } + \epsilon _ { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ] } \\ & { + \frac { \widetilde { \beta } _ { 3 } } { 2 } ( 1 - x _ { 1 } ) [ x _ { 1 } + x _ { 2 } + \epsilon _ { 3 } ( 3 x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ] } \\ & { - \frac { \widetilde { \beta } _ { 3 } } { 4 } [ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } + \epsilon _ { 3 } ( 3 x _ { 1 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } ) ] , } \end{array}
E _ { c } ^ { K } - E _ { c } ^ { K ^ { \prime } } = i \langle p _ { y } | \hat { H } _ { S O C } ^ { 0 } | p _ { x } \rangle - i \langle p _ { x } | \hat { H } _ { S O C } ^ { 0 } | p _ { y } \rangle \approx \lambda ,
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { L } = } & { { } \partial _ { \mu } \left( - \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { i } \psi ) } \partial _ { j } \psi \theta _ { l } \epsilon _ { j l i } \right) } \\ { = } & { { } \theta _ { i } \partial _ { \mu } \left( - \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { k } \psi ) } \partial _ { j } \psi \epsilon _ { j i k } \right) + \theta _ { i } \partial _ { \mu } \left( \epsilon _ { j i k } T ^ { j \mu } x _ { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \sum _ { k , j } \nabla \varphi _ { k , j } \odot w _ { k , j } \right\| _ { L ^ { 2 } ( q _ { 0 , i } ) } ^ { 2 } } & { \le \left\| \sum _ { q _ { 0 , j } \cap q _ { 0 , i } \neq \emptyset } \nabla \varphi _ { 0 , j } \odot ( w _ { 0 , j } - w _ { 0 , i } ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( q _ { 0 , i } ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \delta ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { q _ { 0 , j } \cap q _ { 0 , i } \neq \emptyset } \| e ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( q _ { 0 , j } ^ { \prime \prime } \cup q _ { 0 , i } ^ { \prime \prime } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { p } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } & { \leq } & { c a _ { 2 } ( \delta ) + N ( N - 1 ) \cdots ( N - p + 1 ) x _ { 0 } ^ { N - p } h ( 0 , 0 ) ( 1 - c ) } \\ & { \leq } & { c a _ { 2 } ( \delta ) - \frac { N ( N - 1 ) \cdots ( N - p + 1 ) | h ( 0 , 0 ) | ( 1 - c ) ^ { 2 } a _ { 2 } ( \delta ) } { N ( N - 1 ) ( 1 + c ) | h ( 0 , 0 ) | } } \\ & { = } & { - \left[ \frac { ( N - 2 ) \cdots ( N - p + 1 ) ( 1 - c ) ^ { 2 } } { 1 + c } - c \right] a _ { 2 } ( \delta ) } \\ & { \leq } & { - \left[ \frac { ( 1 - c ) ^ { 2 } } { 1 + c } - c \right] a _ { 2 } ( \delta ) , } \end{array}
\left< T _ { U U } \right> = { \frac { \mu } { 6 \pi U ^ { 2 } } } \ { \frac { 1 - 2 \mu } { ( 1 - 4 \mu ) ^ { 2 } } } ; \quad \left< T _ { V V } \right> = { \frac { \mu } { 6 \pi V ^ { 2 } } } \ { \frac { 1 - 2 \mu } { ( 1 - 4 \mu ) ^ { 2 } } } .
\widehat { \mathcal { I } } = \frac { \mathcal { I } } { \sum _ { i , j } ^ { n _ { x } , n _ { y } } \mathcal { I } _ { i , j } } \quad \mathrm { a n d } \quad \widehat { \mathcal { I } } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } = \frac { \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } { \sum _ { i , j } ^ { n _ { x } , n _ { y } } \mathcal { I } _ { \mathrm { r e f } , i , j } } .
\Gamma [ \sigma ] = \int d ^ { D } \! x \, \sqrt { - g } ( - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 0 } } ) - i \mathrm { T r } \mathrm { L n } [ - \sqrt { - g } ( \gamma ^ { \mu } \nabla _ { \mu } + \sigma ) ] + { \cal O } ( \frac { 1 } { N } ) .
( \delta _ { i k } + ( \epsilon _ { a } t _ { a } ) _ { i k } ) ( \delta _ { j m } + \epsilon _ { b } ( ( t _ { b } ) _ { j m } ) ^ { \ast } ) ( \delta _ { A B } + \epsilon _ { c } f _ { A c B } ) ( t _ { B } ) _ { k m } = ( t _ { A } ) _ { i j }
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { T } [ \mathcal { B } _ { j } ] = O _ { j } , \mathrm { ~ i . e . , ~ l o w e r ~ b o u n d ~ o f ~ O _ j ~ i n ~ t h e ~ t r e e ~ i s ~ O _ j ~ i t s e l f } ; } \\ { \mathcal { T } [ \mathcal { B } _ { j } - 1 ] \ni O _ { j } , \mathrm { ~ i . e . , ~ t h e ~ o c t a n t ~ o n ~ t h e ~ l e f t ~ o f ~ t h e ~ l o w e r ~ b o u n d ~ o f ~ O _ j ~ i s ~ t h e ~ p a r e n t ~ o f ~ O _ j ~ } ; } \\ { \mathcal { T } [ \mathcal { B } _ { j } ] - O _ { j } = 1 \ \mathrm { a n d } \ \mathcal { T } [ \mathcal { B } _ { j } - 1 ] \in O _ { j } , \mathrm { i . e . , ~ t h e ~ l o w e r ~ b o u n d ~ i s ~ t h e ~ f i r s t ~ c h i l d ~ o f ~ o c t a n t ~ O _ j ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\langle \textbf { k } - \mathbf { q } , \alpha ; \textbf { p } + \mathbf { q } , \beta \left| e ^ { 2 } \frac { e ^ { - \kappa r } } { r } \right| \textbf { k } \alpha ; \textbf { p } \beta \right\rangle = w \left( q \right) = - e ^ { 2 } \exp \left[ ( q ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } ) a ^ { 2 } \right] \mathrm { E i } \left( - ( q ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } ) a ^ { 2 } \right) , } \end{array}
T _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 4 \pi G _ { 4 } } \left( F _ { \mu \rho } F _ { \nu } \, ^ { \rho } - \frac { 1 } { 4 } h _ { \mu \nu } F _ { \rho \sigma } F ^ { \rho \sigma } \right) .
\begin{array} { r l r } { F } & { { } \equiv } & { \left\langle { \bf u } \cdot { \bf f ^ { \prime } } + { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf f } + { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } } { \bf u } \cdot { \bf f ^ { \prime } } + { \frac { \rho ^ { \prime } } { \rho } } { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf f } \right. } \\ { D } & { { } \equiv } & { \left\langle { \bf u } \cdot { \bf d ^ { \prime } } + { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf d } + { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } } { \bf u } \cdot { \bf d ^ { \prime } } + { \frac { \rho ^ { \prime } } { \rho } } { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf d } \right. } \end{array}
g _ { \mu \nu } \, = \, { \frac { 1 } { ( x ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } \delta _ { \mu \nu } \, \, , \, \, \sqrt { g } \, = \, { \frac { 1 } { ( x ^ { 0 } ) ^ { n + 1 } } } \, \, , \, \, g ^ { \mu \nu } \, = \, ( x ^ { 0 } ) ^ { 2 } \delta ^ { \mu \nu } \, \, .
\begin{array} { r } { \left( \mathbf { \dot { f } } _ { \mathrm { B S } , \pi _ { 1 } ( m ) } ^ { ( L ) } , \mathbf { \dot { f } } _ { \mathrm { U E } , \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { ( L ) } , \mathbf { \dot { e } } _ { ( \pi _ { 1 } ( m ) , \pi _ { 2 } ( k ) ) } ^ { ( L ) } \right) = } \\ { \left( \mathbf { f } _ { \mathrm { B S } , m } ^ { ( L ) } , \mathbf { f } _ { \mathrm { U E } , k } ^ { ( L ) } , \mathbf { e } _ { ( m , k ) } ^ { ( L ) } \right) , ~ ~ \forall m \in \mathcal { M } , ~ \forall k \in \mathcal { K } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) } & { = - \nabla p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) + \Theta ( x - t , y ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) , } \\ { \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ( T ) } } ( x - t , y ) } & { = - \nabla p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ( T ) } } ( x - t , y ) + \Theta ( x - t , y ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( T ) } } ( x - t , y ) . } \end{array}
\mathsf { f } _ { i , : } ^ { n , \star \star } = \mathsf { f } _ { i , : } ^ { n , \star } \mathsf { B } ^ { \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + \mathsf { H } _ { i } } \, , \quad \mathrm { w i t h } \quad \mathsf { B } _ { l k } ^ { a } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \alpha ( 2 a ) \, , } & { l = k + \mathrm { n } ( 2 a ) \, , } \\ { \alpha ( 2 a ) \, , } & { l = k + \mathrm { n } ( 2 a ) + 1 \, , } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle T ( M ) \rangle } & { = T ( \langle M \rangle ) + \frac { T ^ { \prime \prime } ( \langle M \rangle ) } { 2 } \left( \langle M ^ { 2 } \rangle - \langle M \rangle ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \mathrm { h i g h e r - o r d e r ~ t e r m s } } \\ & { = \frac { \log ( \Omega / n _ { 0 } ) } { \mu } + \frac { 1 } { 2 \mu n _ { 0 } } + O \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( { \mathbf { X } } , t ) = p _ { 0 } ( { \mathbf { X } } , t ) + \sum _ { j \geq 1 } \alpha ^ { j } \left( b _ { j } ( \epsilon { \mathbf { X } } , \epsilon t ) e ^ { i j \phi ( \epsilon { \mathbf { X } } , \epsilon t ) / \epsilon } + b _ { j } ^ { * } ( \epsilon { \mathbf { X } } , \epsilon t ) e ^ { - i j \phi ( \epsilon { \mathbf { X } } , \epsilon t ) / \epsilon } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } ^ { 2 } E ^ { * } \left( \left. \left( \prod _ { j = i } ^ { K } F _ { I - i , j } ^ { * } \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , l } ^ { * } - 1 \right) \right) ^ { 2 } \right| \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } ^ { 2 } E ^ { * } \left( \left. \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } - 2 \left( \prod _ { j = i } ^ { K } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \right) \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , l } ^ { * } \right) + \prod _ { j = i } ^ { K } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \right| \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x _ { K + 1 } - x ( t _ { K + 1 } ) \| \leqslant } & { ~ \prod _ { k = 0 } ^ { K } ( 1 + \alpha _ { k } M ) \| x _ { 0 } - x ( t _ { 0 } ) \| ~ + } \\ & { ~ \sum _ { k = 0 } ^ { K } \frac { M L \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 } \prod _ { l = k + 1 } ^ { K } ( 1 + \alpha _ { l } M ) } \\ { \leqslant } & { ~ \prod _ { l = 0 } ^ { K } ( 1 + \alpha _ { l } M ) \sum _ { k = 0 } ^ { K } \frac { M L \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \leqslant } & { ~ \left( 1 + \frac { M } { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \alpha _ { k } \right) ^ { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \frac { M L \bar { \alpha } \alpha _ { k } } { 2 } } \\ { \leqslant } & { ~ \left( 1 + \frac { M T } { K + 1 } \right) ^ { K + 1 } \frac { M L \bar { \alpha } T } { 2 } } \\ { \leqslant } & { ~ ~ \bar { \alpha } L M T e ^ { M T } / 2 } \\ { = } & { ~ ~ \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { R } ^ { ( n ) } ( x ) } & { { } = \sum _ { m = 0 } ^ { n } \frac { n ! } { m ! ( n - m ) ! } \ w ^ { m } ( 1 - w ) ^ { n - m } ( f _ { m } * g _ { n - m } * B ) ( x ) } \end{array}