harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } _ { \mathrm { B F } } } & { = } & { \frac { 1 } { V } \sum _ { \mathbf { k , q } } V _ { \mathbf { k q } } ^ { ( 1 ) } e ^ { i \left( \mathbf { k - q } \right) \cdot \hat { \mathbf { r } } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { q } } + \frac { 1 } { V } \sum _ { \mathbf { k , q } } V _ { \mathbf { k q } } ^ { ( 2 ) } e ^ { i \left( \mathbf { k + q } \right) \cdot \hat { \mathbf { r } } } \left( \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { q } } ^ { \dagger } + \hat { b } _ { \mathbf { - k } } \hat { b } _ { \mathbf { - q } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { J , \mathbf { k } } } & { = H _ { a } ( g _ { J , k _ { 1 } } ^ { \phi } ) \prod _ { \ell = 2 } ^ { p } H _ { n _ { \ell } } ( \mu _ { J , \widetilde { k } _ { \ell } } ) = \left( \sum _ { m = 0 } ^ { \lfloor a / 2 \rfloor } ( - 1 ) ^ { m } a _ { m } ^ { ( d ) } ( g _ { J , k _ { 1 } } ^ { \phi } ) ^ { d - 2 m } \right) \prod _ { \ell = 2 } ^ { p } H _ { n _ { \ell } } ( \mu _ { J , \widetilde { k } _ { \ell } } ) } \\ & { = \left( \sum _ { m = 0 } ^ { \lfloor a / 2 \rfloor } ( - 1 ) ^ { m } \sum _ { P _ { 1 } \in \mathcal { P } _ { m } ^ { ( a ) } } \prod _ { r = 1 } ^ { m } \mathbb { E } [ g _ { J , k _ { \ell _ { r } } } ^ { \phi } g _ { J , k _ { \ell _ { r } ^ { \prime } } } ^ { \phi } ] \prod _ { s = m + 1 } ^ { a - m } g _ { J , k _ { \ell _ { s } ^ { \prime \prime } } } ^ { \phi } \right) \times \ldots } \\ & { \qquad \ldots \times \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor ( d - a ) / 2 \rfloor } ( - 1 ) ^ { n } \sum _ { P _ { 2 } \in \mathcal { P } _ { n } ^ { [ \! [ a + 1 , d ] \! ] } } \, \prod _ { t = 1 } ^ { n } \mathbb { E } [ g _ { J , k _ { \ell _ { t } } } ^ { \phi } g _ { J , k _ { \ell _ { t } ^ { \prime } } } ^ { \phi } ] \prod _ { u = n + 1 } ^ { d - a - n } g _ { J , k _ { \ell _ { u } ^ { \prime \prime } } } ^ { \phi } \right) } \\ & { = \sum _ { v = 0 } ^ { \lfloor d / 2 \rfloor } ( - 1 ) ^ { v } \sum _ { m , n \, : \, m + n = v } \left( \sum _ { P \in \mathcal { P } _ { v , [ m , n ] } ^ { ( d , a ) } } \prod _ { r = 1 } ^ { v } \mathbb { E } [ g _ { J , k _ { \ell _ { r } } } ^ { \phi } g _ { J , k _ { \ell _ { r } ^ { \prime } } } ^ { \phi } ] \prod _ { s = v + 1 } ^ { d - v } g _ { J , k _ { \ell _ { s } ^ { \prime \prime } } } ^ { \phi } \right) , } \end{array}
\omega _ { P } = \omega _ { P } ^ { B } ( 1 - \frac { r \left( \frac 1 2 \right) } { 4 \ln 2 } \omega _ { P } ^ { B } ) \simeq \omega _ { P } ^ { B } ( 1 - 2 . 4 \omega _ { P } ^ { B } ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { L } \hat { W } ( u ) \log | u | \, d u } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { L } \int _ { 1 } ^ { 2 } W ( t ) \cos ( 2 \pi u t ) d t \log | u | \, d u } \\ & { = 2 \int _ { 1 } ^ { 2 } W ( t ) \biggl ( \Bigl [ \frac { \sin ( 2 \pi u t ) } { 2 \pi t } \log | u | \Bigr ] _ { 0 } ^ { L } - \frac { 1 } { 2 \pi t } \int _ { 0 } ^ { L } \frac { \sin ( 2 \pi u t ) } { u } d u \biggr ) } \\ & { \rightarrow \frac { - 1 } { 2 } \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { W ( t ) d t } { t } } \end{array}
\kappa _ { \omega } = \frac { 2 \Gamma ( \Delta _ { \omega } ) } { \pi \Gamma ( 1 - \Delta _ { \omega } ) } \left( \frac { \sqrt { \pi } \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - 2 \Delta _ { \omega } } \right) } { 2 \Gamma \left( \frac { \Delta _ { \omega } } { 2 - 2 \Delta _ { \omega } } \right) } \right) ^ { 2 - 2 \Delta _ { \omega } } \, .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol \rho ^ { \prime } ( t ) } & { = A _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } ) \boldsymbol \rho ( t ) + ( A _ { \mathrm { F } } ( t ) - A _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } ) ) \boldsymbol \rho ( t ) + \boldsymbol g _ { \mathrm { F } } ( t , \boldsymbol \rho ( t ) ) } \\ & { = A _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } ) \boldsymbol \rho ( t ) + \boldsymbol g _ { \mathrm { F } } ^ { k } ( t , \boldsymbol \rho ( t ) ) , } \\ { \boldsymbol \rho ( 0 ) } & { = \boldsymbol \rho _ { 0 } . } \end{array}
E ( t ) \approx \left( { \frac { \alpha _ { 3 } ( 0 ) } { \alpha _ { 3 } ( t ) } } \right) ^ { { \frac { a _ { 3 } ^ { u } } { b _ { 3 } } } } , ~ ~ ~ ~ ~ F ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \delta E ( w , f ) [ ( \dot { w } , \dot { f } ) ] = } & { - \frac 1 2 \operatorname { I m } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \left( w _ { \zeta } \overline { { \dot { w } } } + | w _ { z } | ^ { 2 } f _ { \zeta } \overline { { \dot { f } } } \right) \, d \zeta , } \\ { \delta p ( w , f ) [ ( \dot { w } , \dot { f } ) ] = } & { - \frac 1 2 \operatorname { I m } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \left( f _ { \zeta } \overline { { \dot { w } } } + \left( w _ { z } + \overline { { w _ { z } } } \right) f _ { \zeta } \overline { { \dot { f } } } \right) \, d \zeta , } \\ { \delta L ( w , f ) [ ( \dot { w } , \dot { f } ) ] = } & { \operatorname { I m } \int _ { \mathcal { D } _ { \rho } } \left( f | f _ { \zeta } | ^ { 2 } \dot { w } _ { z } - f _ { \zeta } \overline { { ( f w _ { z } \dot { f } ) _ { \zeta } } } + f w _ { z } f _ { \zeta } \overline { { \dot { f } _ { \zeta } } } \right) \, d \zeta . } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \cdots , m } \operatorname* { l i m s u p } _ { j \in \mathbb { N } } \operatorname* { m a x } _ { \substack { k = 1 , \dots , j - 1 \, \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \neq 0 } } \frac { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { l } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right| \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { l } \right\rangle \right| } { \kappa ^ { 2 } \, \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { j } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right) \right| \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right) \right| } < \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } ,
\sin ^ { n } \theta = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } { \binom { n } { \frac { n } { 2 } } } + { \frac { 2 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { k = 0 } ^ { { \frac { n } { 2 } } - 1 } ( - 1 ) ^ { \left( { \frac { n } { 2 } } - k \right) } { \binom { n } { k } } \cos { { \big ( } ( n - 2 k ) \theta { \big ) } }
\delta _ { j l } = \left\{ \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { \textrm { i f } \, \, \, j - l = 3 N } } & { { ( N \textrm { i s a n a r b i t r a r y i n t e g e r } ) } } \\ { { 0 } } & { { \textrm { o t h e r w i s e } } } & { { } } \end{array} \right.
^ { 7 6 } _ { 3 2 } \mathrm { G e } ( n , \gamma ) \rightarrow \ _ { 3 2 } ^ { 7 7 } \mathrm { G e } \xrightarrow { \beta ^ { - } , T _ { 1 / 2 } = 1 1 . 3 \mathrm { ~ h ~ } } \ _ { 3 3 } ^ { 7 7 } \mathrm { A s }
\begin{array} { r l } { \| x _ { t _ { j + 1 } } \| } & { \leq \kappa \rho ^ { t _ { j + 1 } - t _ { j } } \| x _ { t _ { j } } \| + \beta w _ { \operatorname* { m a x } } , } \\ { \| x _ { t _ { j + 1 } } \| ^ { 2 } } & { \leq 2 \kappa ^ { 2 } ( \rho ^ { 2 } ) ^ { t _ { j + 1 } - t _ { j } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } + 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } , } \\ { \| x _ { t _ { j + 1 } } \| ^ { 4 } } & { \leq 8 \kappa ^ { 4 } ( \rho ^ { 4 } ) ^ { t _ { j + 1 } - t _ { j } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } + 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } . } \end{array}
A ^ { \top } y ^ { * } + s ^ { * } = \left( \begin{array} { l l } { \hat { A } _ { B } ^ { \top } } & { d _ { B } } \\ { \hat { A } _ { N } ^ { \top } } & { d _ { N } } \\ { \hat { a } _ { n + 1 } ^ { \top } } & { d _ { n + 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { y } } \\ { 0 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \hat { s } _ { N } } \\ { s _ { n + 1 } ^ { * } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \hat { c } } \\ { \hat { a } _ { n + 1 } ^ { \top } \hat { y } + s _ { n + 1 } ^ { * } } \end{array} \right) = c .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { = - 2 g r _ { b } ( r _ { a } ^ { 2 } \hat { x } _ { a } ^ { 2 } - r _ { a } ^ { - 2 } \hat { p } _ { a } ^ { 2 } ) \hat { x } _ { b } - 2 g r _ { b } ^ { - 1 } ( \hat { x } _ { a } \hat { p } _ { a } + \hat { p } _ { a } \hat { x } _ { a } ) \hat { p } _ { b } } \\ & { = - 2 g _ { \mathrm { e f f } } \hat { x } _ { a } ^ { 2 } \hat { x } _ { b } + \mathcal { O } ( r _ { a } ^ { 0 } r _ { b } ^ { - 1 } ) + \mathcal { O } ( r _ { a } ^ { - 2 } r _ { b } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { ( g _ { a b } ) = \frac { j } { 2 \vert x \vert ^ { 4 } } \left( \begin{array} { l l l } { ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 3 } ) ^ { 2 } } & { - x ^ { 1 } x ^ { 2 } } & { - x ^ { 1 } x ^ { 3 } } \\ { - x ^ { 1 } x ^ { 2 } } & { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 3 } ) ^ { 2 } } & { - x ^ { 2 } x ^ { 3 } } \\ { - x ^ { 1 } x ^ { 3 } } & { - x ^ { 2 } x ^ { 3 } } & { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) = \frac { N - 1 } { 2 \vert x \vert ^ { 2 } } \left( \delta ^ { a b } - \frac { x ^ { a } } { \vert x \vert } \frac { x ^ { b } } { \vert x \vert } \right) } \end{array}
I _ { H } ^ { \pm } = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { H } ^ { \pm } } I _ { h _ { j } } ^ { \pm } \, , \, I _ { C } ^ { \pm } = \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { C } ^ { \pm } } I _ { c _ { j } } ^ { \pm } \, , \, I _ { W } ^ { \pm } = \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { W } ^ { \pm } } I _ { w _ { j } } ^ { \pm } \, \mathrm { a n d } \, I _ { S } ^ { \pm } = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { S } ^ { \pm } } I _ { y _ { j } } ^ { \pm }
\begin{array} { r l } { | c _ { \chi } - \widetilde { c _ { \chi } } | } & { = \frac { a - \widetilde { a } } { | G | } \Big \lvert \sum _ { g \in G } \frac { \overline { { \chi ( g ) } } } { \sqrt { f ( g ) - a } + \sqrt { f ( g ) - \widetilde { a } } } \Big \rvert } \\ & { \le \frac { a - \widetilde { a } } { | G | } \sum _ { g \in G , \chi ( g ) = 1 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { a - \widetilde { a } } } - \frac { 1 } { \sqrt { m - a } + \sqrt { m - \widetilde { a } } } \right) } \\ & { = \frac { a - \widetilde { a } } { 2 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { a - \widetilde { a } } } - \frac { 1 } { \sqrt { m - a } + \sqrt { m - \widetilde { a } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { I = I _ { 0 } e ^ { - \tau } , \ \tau ( r , \lambda ) = \int _ { r } ^ { \infty } \sigma \left( r , \lambda \right) \eta \left( r ^ { \prime } \right) \frac { d r ^ { \prime } } { \mu } \implies \tau _ { i , j } = \sum _ { i ^ { \prime } = i } ^ { \infty } \sigma _ { i ^ { \prime } , j } \eta _ { i ^ { \prime } } \Delta L _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { X _ { s } } [ n , m ] = } & { \frac { { \sqrt { { P _ { s } } } } } { { N M } } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } { \sum _ { l = 0 } ^ { M - 1 } { ( \sqrt { { \alpha _ { c } } } { x _ { c } } [ k , l ] + \sqrt { { \alpha _ { e } } } { x _ { e } } [ k , l ] ) } } } \\ & { \times \exp \Big \{ j 2 \pi \Big ( \frac { { n k } } { N } - \frac { { m l } } { M } \Big ) \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \varphi } \partial _ { E } p _ { \varphi } ( \theta , \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } = - \epsilon I _ { 2 } k _ { 2 } \sin \theta \int \frac { d ( \cos \varphi ^ { \prime } ) } { \sqrt { 2 I _ { 2 } ( 1 - U ^ { 2 } ) ( E - b U ) - ( m _ { \varphi } - m _ { \psi } U ) ^ { 2 } } } , } \end{array}
{ \cal R } = \left[ \frac { \epsilon \cdot p _ { f } } { k \cdot p _ { f } } ( T ^ { b } T ^ { a } ) _ { B B ^ { \prime } } - \frac { \epsilon \cdot p _ { i } } { k \cdot p _ { i } } ( T ^ { a } T ^ { b } ) _ { B B ^ { \prime } } \right] T _ { A A ^ { \prime } } ^ { a } .
\frac { \partial ^ { 2 } \tilde { q } _ { \mu } } { \partial \eta ^ { 2 } } = \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { q } _ { \zeta , n } } { \partial \eta ^ { 2 } } = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \tilde { q } _ { \zeta , n + 1 } - 2 \tilde { q } _ { \zeta , n } + \tilde { q } _ { \zeta , n - 1 } } { ( \delta \tau ) ^ { 2 } } ,
\partial _ { \mu } \langle { \mathcal J } _ { \ell } ^ { \mu } ( x ) \rangle _ { A } \; = \; 2 \, q \, { \mathcal A } ( x ) ~ , ~ ~ \partial _ { \mu } \langle { \mathcal J } _ { r } ^ { \mu } ( x ) \rangle _ { A } \; = \; - 2 \, q \, { \mathcal A } ( x ) ~ .
G ^ { - 1 } ( \vec { x } , \vec { y } ) = \int { \frac { d ^ { \nu } k } { ( 2 \pi ) ^ { \nu } } } { \frac { 1 } { { 2 g ( \vec { k } } ) } } e ^ { - i \vec { k } ( \vec { x } - \vec { y } ) } .
\small \mathcal { F } [ Q ] = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int \Big [ \| g ( x , t ) - \hat { f } ( x ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } + U _ { \mathcal { O } } ( x , t ) + \beta U _ { \mathcal { G } } ( x , t ) \Big ] \, q _ { t } ( x ) \, d x \, \mathrm { ~ d ~ } t .
\begin{array} { r } { B _ { j } : = \left( \begin{array} { l l l } { - d \sigma _ { j } + 1 } & { u _ { \pm } / v _ { \pm } } & { - u _ { \pm } / ( 1 + u _ { \pm } ) } \\ { - 1 } & { - \sigma _ { j } - u _ { \pm } / v _ { \pm } } & { u _ { \pm } / ( 1 + u _ { \pm } ) } \\ { \tau } & { 0 } & { - { \epsilon } \sigma _ { j } - \tau } \end{array} \right) , \quad j = 1 , 2 , \cdots . } \end{array}
\Biggl [ \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } + \omega ^ { 2 } ( t ) + \lambda \int d \! \! \! / ^ { 3 } p \, C ( p ) [ \chi _ { p } ^ { + } ( t ) \chi _ { p } ^ { - } ( t ) - 1 ] \Biggr ] \chi _ { k } ^ { \pm } ( t ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \Vert \nabla ^ { j } } & { \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , y - \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } } } \\ & { \lesssim \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } ( t - s ) ^ { \frac { \beta } { \alpha } } \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } \right] \left[ ( t - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } \left( \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \right) + 1 \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { S } \hat { A } \hat { U } _ { S } ^ { \dagger } = } & { \hat { A } + \left[ \hat { S } , \hat { A } \right] + \frac { 1 } { 2 ! } \left[ \hat { S } , \left[ \hat { S } , \hat { A } \right] \right] } \\ & { + \frac { 1 } { 3 ! } \left[ \hat { S } , \left[ \hat { S } , \left[ \hat { S } , \hat { A } \right] \right] \right] + \cdots . } \end{array}
\sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { s = 1 } ^ { m } l _ { j , s } \left( q _ { j , s } \left( ( x _ { 0 } , h ) , ( x _ { 1 } , h ) \right) + \delta \right) = \frac { 2 \pi } { n } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } j \sum _ { s = 1 } ^ { m } l _ { j , s } \right) + \delta \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { s = 1 } ^ { m } l _ { j , s } \right) = 0 \pmod { 2 \pi } .
\left( { \frac { c } { \pi } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { p } ^ { q } e ^ { - c x ^ { 2 } } d x = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \operatorname { e r f } ( q { \sqrt { c } } ) - \operatorname { e r f } ( p { \sqrt { c } } ) \right) .
\begin{array} { r } { R _ { n } ^ { [ 1 ] } = \left( \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes \Gamma _ { n } \right) + \tilde { Z } ^ { [ 1 ] } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \end{array} \right] + \tilde { Z } ^ { [ 1 ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \tau \in S _ { \mathbf { m } } } \chi _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( \tau ^ { - 1 } \alpha ) \chi _ { \mathbf { s } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } ( \tau ) } \\ & { = \frac { \mathbf { m } ! } { d _ { R } } \delta ^ { R S } \sum _ { \mathbf { t } , \mathbf { q } } \sum _ { j , k } \left[ \sum _ { i , l } \delta _ { l i } B _ { \mathbf { r } , \nu _ { 1 } ; \mathbf { t } } ^ { R ; i } B _ { \mathbf { s } , \mu _ { 2 } ; \mathbf { q } } ^ { S ; l } \right] D _ { k j } ^ { R } ( \alpha ) B _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } ; \mathbf { t } } ^ { R ; j } B _ { \mathbf { s } , \nu _ { 2 } ; \mathbf { q } } ^ { S ; k } } \\ & { = \frac { \mathbf { m } ! } { d _ { R } } \delta ^ { R S } \sum _ { j , k } \sum _ { \mathbf { t } , \mathbf { q } } \left[ \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \mathbf { t } \mathbf { q } } \delta _ { \nu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \right] D _ { k j } ^ { R } ( \alpha ) B _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } ; \mathbf { t } } ^ { R ; j } B _ { \mathbf { s } , \nu _ { 2 } ; \mathbf { q } } ^ { S ; k } } \\ & { = \frac { \mathbf { m } ! } { d _ { R } } \delta ^ { R S } \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \nu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \sum _ { j , k } \sum _ { \mathbf { t } } D _ { k j } ^ { R } ( \alpha ) B _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } ; \mathbf { t } } ^ { R ; j } B _ { \mathbf { s } , \nu _ { 2 } ; \mathbf { t } } ^ { S ; k } } \\ & { = \frac { \mathbf { m } ! } { d _ { R } } \delta ^ { R S } \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \nu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \chi _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 2 } } ^ { R } ( \alpha ) \, . } \end{array}
\nabla \cdot \left( \nabla \psi \otimes \nabla \psi \right) = \nabla ^ { 2 } \psi \nabla \psi + \frac { 1 } { 2 } \nabla \left| \nabla \psi \right| ^ { 2 } = - \frac { 1 } { \delta } \mu \nabla \psi + \nabla \left( \frac { 1 } { 2 } \left| \nabla \psi \right| ^ { 2 } + \frac { 1 } { \delta ^ { 2 } } F \left( \psi \right) \right) .
\int d ^ { 4 } x ( - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } { \hat { A } } _ { \nu } ^ { a } \, \partial ^ { \mu } { \hat { A } } ^ { a \nu } - \partial _ { \mu } { \hat { \overline { { { \eta } } } } } ^ { a } \, \partial ^ { \mu } { \hat { \eta } } ^ { a } - \frac { 1 } { 2 } B _ { \mu } ^ { a } { \mathcal { O } } _ { A } ^ { - 1 a b \mu \nu } B _ { \nu } ^ { b } + { \overline { { { \psi } } } } ^ { a } { \mathcal { O } } _ { \eta } ^ { - 1 a b } \psi ^ { b }
\begin{array} { r l } { \varphi } & { = - \gamma \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } B _ { z } ( \tau ) \, \mathrm { d } \tau } \\ & { = - \gamma \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } \left( \boldsymbol { G } \left( \tau \right) \cdot \boldsymbol { x } \left( \tau \right) + \frac { \Delta \omega ( \tau ) } { \gamma } \right) \, \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { n } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l } \big ) = } & { { } \mathcal { Q } _ { l } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( r ) } } ( \alpha _ { l } ) } \end{array}
{ \frac { \ddot { P } } { P } } + { \frac { 1 } { \rho } } \, { \frac { \dot { P } } { P } } + { \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } } { \frac { \ddot { \Phi } } { \Phi } } + k ^ { 2 } = 0
\operatorname* { l i m i n f } _ { \delta \to 0 } \operatorname* { s u p } _ { W : | W | < \delta } \sum _ { i } \left( \frac { | W | } { | V _ { i } | } \right) ^ { q } \frac { | W _ { i } | } { | W | } \leq \overline { { s } } \sqrt { \frac { \overline { { s } } ^ { 2 } } { \overline { { s } } ^ { 2 } + \overline { { t } } ^ { 2 } } } + \overline { { t } } \sqrt { \frac { \overline { { t } } ^ { 2 } } { \overline { { s } } ^ { 2 } + \overline { { t } } ^ { 2 } } } \approx 0 . 5 2 2 < 1
\Delta _ { s } \frac { \lambda ( s ) } { B _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ( s ^ { 2 } ) } = \frac { 1 } { B _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ( s ^ { 2 } ) } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { k _ { j } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial s _ { p j } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { s _ { p j } } \frac { \partial } { \partial s _ { p j } } - 4 D _ { p j } \right) \lambda ( s ) \ ,
\begin{array} { r l } { \int { \frac { d x } { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } } } & { { } = \int { \frac { a \cos \theta \, d \theta } { \sqrt { a ^ { 2 } - a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } } } \end{array}
4 ! \, \partial _ { m } F ^ { m j _ { 1 } \dots j _ { 4 } } - \varepsilon ^ { i _ { 1 } \dots i _ { 5 } j _ { 1 } \dots j _ { 4 } } \partial _ { [ i _ { 1 } } \dot { A } _ { i _ { 2 } \dots i _ { 5 } ] } = 0
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathbf { k } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathcal { E } _ { \mathbf { k } } ^ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { E } _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { V _ { \mathbf { k } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { V _ { \mathbf { k } } ^ { 1 } } & { V _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\beta _ { l } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( \mathrm { ~ i ~ f ~ \ \ } l = 1 ) } \\ { 1 . 7 ^ { l - L } } & { ( \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ) . } \end{array} \right.
d _ { A B C } \, h ^ { A } h ^ { B } h ^ { C } = 3 \Big \{ h ^ { 1 } \, \big ( h ^ { 2 } \big ) ^ { 2 } - h ^ { 1 } \, \big ( h ^ { \mu } \big ) ^ { 2 } - h ^ { 2 } \, \big ( h ^ { i } \big ) ^ { 2 } + \gamma _ { \mu i j } \, h ^ { \mu } \, h ^ { i } \, h ^ { j } \Big \} \ .
\begin{array} { r l } { s _ { + } ( x , y ) } & { = \langle s _ { + } ( x , \cdot ) | k _ { + } ( y , \cdot ) \rangle } \\ & { = k _ { + } ( x , y ) - \frac 1 m s ( x ) k ( 0 , y ) - \int _ { \mathbb { R } } \frac { s _ { + } ( x , t ) { k _ { + } ( t , y ) } - s ( x ) { k ( 0 , y ) } } { 2 ( \pi m t ) ^ { 2 } } d t } \\ & { = k _ { + } ( x , y ) - \frac 1 m s _ { + } ( x , 0 ) k ( 0 , y ) - \int _ { \mathbb { R } } s _ { + } ( x , t ) \frac { k _ { + } ( t , y ) - k ( 0 , y ) } { 2 ( \pi m t ) ^ { 2 } } d t } \\ & { \quad - k ( 0 , y ) \int _ { \mathbb { R } } \frac { s _ { + } ( x , t ) - s ( x ) } { 2 ( \pi m t ) ^ { 2 } } d t } \\ & { = k _ { + } ( x , y ) - \frac 1 m s ( x ) k ( 0 , y ) - \frac { k _ { + } ( x , y ) - k ( 0 , y ) } { 2 ( \pi m x ) ^ { 2 } } } \\ & { \quad - k ( 0 , y ) \frac { 1 - \pi x \sin ( \pi x ) - \cos ( \pi x ) } { 2 ( \pi m x ) ^ { 2 } } } \\ & { = k _ { + } ( x , y ) \bigg ( 1 - \frac 1 { 2 ( \pi m x ) ^ { 2 } } \bigg ) + k ( 0 , y ) \bigg ( - \frac 1 m s ( x ) + \frac { \pi x \sin ( \pi x ) + \cos ( \pi x ) } { 2 ( \pi m x ) ^ { 2 } } \bigg ) , } \end{array}
\kappa = \sqrt { \frac { 2 \sigma w _ { h } } { ( \Delta w ) ^ { 2 } R _ { * } ^ { 3 } } } + \frac { 1 } { c _ { s } ^ { 2 } } \frac { \sigma } { ( \Delta w ) ^ { 2 } R _ { * } ^ { 3 } } \left[ \frac { 4 } { 3 } \eta + \zeta \right] \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left[ w _ { t } \eta _ { t } \left( 1 - \frac { \eta _ { t } L } { 2 } \right) - v _ { t } \right] \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + w _ { T } \Delta _ { T + 1 } } & { \le w _ { 1 } \Delta _ { 1 } + \left( \sum _ { t = 2 } ^ { T } ( w _ { t } - w _ { t - 1 } ) \Delta _ { t } + 3 \sigma ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { w _ { t } \eta _ { t } ^ { 2 } L } { 2 } \right) + \log \frac { 1 } { \delta } } \end{array}
\mathcal { R } _ { b } = - \frac { \mathcal { G } \mu _ { 2 } m _ { 1 } m _ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \Gamma _ { 2 } ^ { 3 } } \alpha _ { 0 } b _ { \frac { 3 } { 2 } } ^ { ( p + 1 ) } ( \alpha _ { 0 } )
T ^ { M } ( z ) = \frac { A _ { 0 } + A _ { 1 } z + \cdots + A _ { p } z + \cdots + A _ { \frac { M - 1 } { 2 } } z ^ { \frac { M - 1 } { 2 } } } { 1 + B _ { 1 } z + \cdots + B _ { p } z + \cdots + B _ { \frac { M } { 2 } } z ^ { \frac { M } { 2 } } }
\jmath = \jmath ^ { \dagger } = a _ { q } M _ { q } \equiv a _ { q } \left( \begin{array} { r c l } { { m _ { u } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { d } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { s } } } \end{array} \right) \; .