harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \underset { \left\{ \mathbf { F } \right\} } { \operatorname* { m a x } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 1 ) } \log _ { 2 } \left| \left( \mathbf { E } _ { k , ( 1 ) } ^ { \mathrm { o p t } } \right) ^ { - 1 } \right| } } \\ & { \mathrm { s } . \mathrm { t } . \left\| \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } \right\| ^ { 2 } \leqslant p _ { k } \, \, \forall k = 1 , \dots , K } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mu } = } & { ~ \frac { \partial \bar { \Psi } } { \partial \phi } - \mathrm { d i v } \left( \frac { \partial \bar { \Psi } } { \partial \nabla \phi } \right) , } \\ { \bar { \upsilon } = } & { ~ \frac { \partial \bar { \psi } } { \partial \phi } - \frac { 1 } { \rho } \mathrm { d i v } \left( \rho \frac { \partial \bar { \psi } } { \partial \nabla \phi } \right) . } \end{array}
\Delta _ { \mu \nu } ^ { ( \rho ) } ( p ^ { 2 } ) = \frac { - i } { p ^ { 2 } - m _ { \rho } ^ { 2 } + i m _ { \rho } \Gamma _ { \rho } } ( \delta _ { \mu \nu } - ( \propto \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { m _ { \rho } ^ { 2 } } ) \; \mathrm { t e r m } ) .
\tilde { \gamma } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p - 2 k - 1 } } ^ { ( 2 ) } \equiv \left\{ \begin{array} { l } { { \tilde { G } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p - 1 } } ^ { ( 2 ) } - \partial _ { \left[ i _ { 1 } \right. } ^ { } \pi _ { \left. i _ { 2 } \ldots i _ { p - 1 } \right] } , \; k = 0 , } } \\ { { - \left( p - 2 k \right) \partial ^ { i } \pi _ { i i _ { 1 } \ldots i _ { p - 2 k - 1 } } - \partial _ { \left[ i _ { 1 } \right. } ^ { } \pi _ { \left. i _ { 2 } \ldots i _ { p - 2 k - 1 } \right] } , \; k = 1 , \ldots , a , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \delta _ { 1 } ( t ) = } & { \alpha _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { E P } + \beta _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { E P } \mathrm { c o s } ( \Gamma t + \phi _ { 0 } ) , } \\ { \delta _ { 2 } ( t ) = } & { \alpha _ { 2 } \delta _ { 2 } ^ { E P } + \beta _ { 2 } \delta _ { 2 } ^ { E P } \mathrm { s i n } ( \Gamma t + \phi _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { ( p _ { 1 } ^ { \prime } - \varepsilon _ { P i _ { 1 } } + i 0 ) ( E - p _ { 1 } ^ { \prime } - \varepsilon _ { P i _ { 2 } } + i 0 ) } = \frac { 1 } { E - E _ { i } ^ { ( 0 ) } } \left( \frac { 1 } { p _ { 1 } ^ { \prime } - \varepsilon _ { P i _ { 1 } } + i 0 } + \frac { 1 } { E - p _ { 1 } ^ { \prime } - \varepsilon _ { P i _ { 2 } } + i 0 } \right) } \end{array}
I _ { 0 , s } = F ( s , I _ { r e f } ) = a _ { 0 } ^ { s } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { r _ { 1 } , \ldots , r _ { k } } a _ { r _ { 1 } , \ldots , r _ { k } } ^ { s } I _ { r e f , r _ { 1 } } \times \cdots \times I _ { r e f , r _ { k } } \, ,
M _ { i j } = n ^ { 2 } \delta _ { i j } - n _ { i } n _ { j } - \frac { \varepsilon _ { i j } } { \varepsilon _ { 0 } } - \frac { i } { \omega } \left( V _ { 0 } \epsilon _ { i k j } n ^ { k } + \epsilon _ { i k j } V ^ { k } \right) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { H } \quad } & { { } J ( f [ H ] ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad } & { { } \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } f + v \partial _ { x } f - ( H + E [ f ] ) \partial _ { v } f = 0 } \\ { E [ f ] = \partial _ { x } G \ast ( 1 - \rho _ { f } ) } \\ { f ( t = 0 , x , v ) = f _ { 0 } = f ^ { \mathrm { e q } } + \tilde { f } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \omega _ { \gamma } ^ { D } - \omega _ { \gamma } ^ { S } } { \omega _ { \gamma } ^ { D } } } & { { } = - \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { D } } \! \! d \lambda ^ { \prime } \, \partial _ { 0 } \big [ h _ { 0 0 } \! + \! 2 h _ { 1 0 } \! + \! h _ { 1 1 } \big ] _ { x ^ { \mu } = x _ { \lambda ^ { \prime } , 0 } ^ { \mu } } } \end{array}
{ \tilde { \epsilon } } _ { k } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Delta \Omega ( \theta ^ { \prime } ) \cdot \hat { k } _ { 0 0 } ( \theta ^ { \prime } ) e ^ { - i ( \nu _ { 0 } - k ) \theta ^ { \prime } } d \theta ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \left< \varphi \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } } & { { } = \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left[ \varphi \left( \mathbf { x } ^ { t } , \beta ^ { t } \right) \mid \left( \mathbf { x } ^ { 0 } , \beta ^ { 0 } \right) = \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \right] , } \end{array}
a ( 1 , 2 , 3 ) = x _ { 1 2 } ^ { 2 } g ( 1 , 2 , 3 ) + x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 1 3 } ^ { 2 } \; 2 \partial _ { 2 } \cdot \partial _ { 3 } f ( 1 , 2 , 1 , 3 ) + \mathrm { c y c l e } \ .
\begin{array} { r l } { | x \rangle } & { = \Gamma ( v ^ { ( k ) } ) \cdots \Gamma ( v ^ { ( 1 ) } ) | 0 ^ { n } \rangle } \\ & { = ( \rho _ { u _ { k } } \alpha \cdots \rho _ { u _ { 1 } } \alpha ) | e _ { \varnothing } \rangle } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \binom { k } { 2 } } ( \rho _ { u _ { k } } \cdots \rho _ { u _ { 1 } } ) | e _ { \varnothing } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ^ { i } [ p _ { i } ^ { * } f ] : } & { = p _ { i } ^ { * } ( X [ f ] ) , \; \forall \; f \in C ^ { \infty } ( M ) , } \\ { Z _ { e } ^ { i } [ \alpha ] : } & { = X [ \langle \alpha , e \rangle ] - \langle \alpha , \ell _ { 2 } ( \upsilon , e ) \rangle , \; \forall \; \alpha \in \Gamma ( E _ { - i } ^ { * } ) , \; e \in \Gamma ( E _ { - i } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { C } & { = { \frac { 6 \ln 2 } { \pi ^ { 2 } } } \left[ 3 \ln 2 + 4 \gamma - { \frac { 2 4 } { \pi ^ { 2 } } } \zeta ^ { \prime } ( 2 ) - 2 \right] - { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = { \frac { { 6 \ln 2 } ( ( 4 8 \ln A ) - ( \ln 2 ) - ( 4 \ln \pi ) - 2 ) } { \pi ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = 1 . 4 6 7 0 7 8 0 7 9 4 \ldots } \end{array} }
( \Gamma _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 } ) - f _ { 1 , Q } \gamma ) ( \Gamma _ { 1 } g _ { 0 , R } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 } ) - \gamma \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( J _ { 2 } ) ) > 0 ,
\begin{array} { r l } & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 \sigma } + C N ^ { - 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 1 1 } } \\ & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 \sigma } + C N ^ { - 2 k } ( \ln N ) ^ { 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 1 2 } } \\ & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 k } ( \ln N ) ^ { 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 2 1 } \cup \Omega _ { 2 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert u \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { 2 + s - \frac { 2 } { q } } ) } + \left\lVert ( \partial _ { t } u , \nabla ^ { 2 } u , \nabla \mathfrak { p } ) \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { q } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ) } \lesssim _ { p , q , n } ^ { s } \left\lVert f \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { q } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ) } + \left\lVert u _ { 0 } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { 2 + s - \frac { 2 } { q } } } . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { x \in I } \big | \widehat { \Gamma } _ { n } ^ { * } ( x ) - \widehat { \Gamma } _ { n } ( x ) \big | \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in I } \big | \widehat { \Gamma } _ { n } ^ { * } ( x ) - \bar { \Gamma } _ { n } ^ { * } ( x ) \big | + \operatorname* { s u p } _ { x \in I } \big | \bar { \Gamma } _ { n } ^ { * } ( x ) - \bar { \Gamma } _ { n } ( x ) \big | + \operatorname* { s u p } _ { x \in I } \big | \bar { \Gamma } _ { n } ( x ) - \widehat { \Gamma } _ { n } ( x ) \big |
| F _ { 0 } ( \omega , t _ { d } ) | ^ { 2 } = \frac { 2 5 6 } { \omega ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \left( \frac { t _ { d } \omega } { 8 } \right) \sin ^ { 6 } \left( \frac { t _ { d } \omega } { 8 } \right) .
\mathrm { ~ N ~ P ~ V ~ } ( t , t + T , n _ { G } ( t ) , \tau ) = - \frac { I _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ o ~ n ~ } } ( t + T ) } { 1 + g ^ { i } ( t , t + T , n _ { G } ( t ) ) } + \sum _ { s = t + T } ^ { \tau } \frac { R ( s - ( t + T - 1 ) ) } { 1 + g ^ { i } ( t , s , n _ { G } ( t ) ) }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ( i ) } \ \ \ \ f _ { u } ( u , v , f ( u , v ) ) } & { = } & { g _ { x } ( { x , y , g ( x , y ) } ) } \\ { \mathrm { ( i i ) } \ \ \ f _ { v } ( u , v , f ( u , v ) ) } & { = } & { g _ { y } ( { x , y , g ( x , y ) ) } ) } \\ { \mathrm { ( i i i ) } \ \ \ ( x - u ) f _ { u } ( u , v , f ( u , v ) ) } & { + } & { ( y + 1 - v ) f _ { v } ( u , v , f ( u , v ) ) } \\ & { + } & { f _ { u } ( u , v , f ( u , v ) ) - g ( x , y , g ( x , y ) ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { 0 , 1 } ^ { \prime } \rangle = } & { { } ~ ( | g \rangle _ { A } \langle g | _ { A } - | e \rangle _ { A } \langle e | _ { A } ) ( | g \rangle _ { B } \langle g | _ { B } - | e \rangle _ { B } \langle e | _ { B } ) | \psi _ { 0 , 1 } \rangle } \\ { = } & { { } ~ ( C _ { g g } | g g \rangle - C _ { e g } | e g \rangle - C _ { g e } | g e \rangle + C _ { e e } | e e \rangle ) \otimes | 1 \rangle , } \end{array}
\tilde { X } _ { t } ^ { \xi } = \xi - \int _ { 0 } ^ { t \wedge T } u ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \textrm { d } s + \sqrt { 2 \nu } \int _ { 0 } ^ { t \wedge T } \textrm { d } B _ { s } \quad \textrm { f o r a l l } t \geq 0 .
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } }
\Delta = \frac { 1 } { 2 } \left[ - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + W _ { + , \nu } ^ { 2 } + \nu - 1 - ( W _ { + , \nu } ^ { \prime } + \nu - 1 ) \right] \cdot J _ { 3 } ^ { 2 } ,
\mathbf { p } = { \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial \mathbf { q } } } = { \frac { \partial S } { \partial \mathbf { q } } } \, \rightarrow \, H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) + { \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial t } } = 0 \, \rightarrow \, H \left( \mathbf { q } , { \frac { \partial S } { \partial \mathbf { q } } } , t \right) + { \frac { \partial S } { \partial t } } = 0 .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( z \left( - \frac { m } { r } + 4 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d a } - 2 \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - z \frac { m } { r } - i k r \right) L _ { n } ^ { - m } ( a ) } \\ & { } & { = \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \left( \frac { w _ { 0 } } { \sqrt { 2 } r } \right) } \\ & { } & { \left( 2 \left( \frac { d } { d a } - m \right) L _ { n } ^ { - m } ( a ) - a L _ { n } ^ { - m } ( a ) - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { z } L _ { n } ^ { - m } ( a ) \right) } \\ & { } & { = 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } ( n - m ) \left( \frac { w _ { 0 } } { \sqrt { 2 } r } \right) L _ { n } ^ { - m - 1 } ( a ) } \\ & { } & { \left( 1 - \frac { a } { 2 } \frac { 1 } { n - m } \left( 1 + \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) \frac { L _ { n } ^ { | m | } ( a ) } { L _ { n } ^ { | m + 1 | } ( a ) } \right) , } \end{array}
\frac { d \tilde { m } _ { U } ^ { 2 } } { d t } = - \frac 1 { 8 \pi ^ { 2 } } \sum { c _ { i } ^ { U } M _ { i } ^ { 2 } g _ { i } ^ { 2 } } + 2 \frac { h _ { t } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } { \cal M } _ { U } ^ { 2 } - \frac 2 3 \frac { \alpha _ { 1 } } { 2 \pi } S \nonumber
\hat { \psi } ^ { ( 1 ) } ( x ) = \xi { \frac { C _ { F } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x ^ { \prime } \left\{ { \frac { \hat { \psi } ^ { ( 0 ) } ( x ^ { \prime } ) - \hat { \psi } ^ { ( 0 ) } ( x ) } { x - x ^ { \prime } } } \theta ( x - x ^ { \prime } ) + { \frac { \hat { \psi } ^ { { ( 0 ) } } ( x ^ { \prime } ) - \hat { \psi } ^ { ( 0 ) } ( x ) } { x ^ { \prime } - x } } \theta ( x ^ { \prime } - x ) \right\} ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( Y _ { \sigma _ { n } ( i ) } ^ { K _ { n } } } & { = y ^ { K _ { n } } | X _ { i } ^ { n } = x ^ { n } ) } \\ & { = \prod _ { j : S _ { j } \neq 0 } \operatorname* { P r } ( ( Y _ { \sigma _ { n } ( i ) , K _ { j - 1 } + 1 } , \dots , Y _ { \sigma _ { n } ( i ) , K _ { j } } ) = ( y _ { K _ { j - 1 } + 1 } , \dots , y _ { K _ { j } } ) | X _ { i , j } = x _ { j } ) } \\ & { = \prod _ { j : S _ { j } \neq 0 } \prod _ { s = 1 } ^ { S _ { j } } p _ { Y | X } ( y _ { K _ { j - 1 } + s } | x _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 2 } ^ { 3 } } & { = } & { 1 , } \\ { \alpha _ { j } ^ { 2 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { \beta ^ { 3 } } & { = } & { 1 , } \\ { ( \alpha _ { i } \alpha _ { i + 1 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 , } \\ { ( \alpha _ { i } \alpha _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 \quad \mathrm { a n d } \quad j \geq i + 2 , } \\ { ( \alpha _ { j } \delta ) ^ { 2 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { ( \beta \delta ^ { - 1 } \alpha _ { 3 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { = } & { 1 , } \\ { ( \beta \delta ^ { - 1 } \alpha _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 4 \leq j \leq n - 1 , } \\ { ( \alpha _ { 2 } ^ { - 1 } \beta ) ^ { 3 } } & { = } & { 1 , } \\ { ( \delta \beta \delta ^ { - 1 } \alpha _ { 2 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { = } & { 1 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \zeta _ { 0 } ( u , y ; s , v ) } & { : = - \{ a ^ { \prime } \} _ { \bar { t } + 0 } ^ { \bar { t } - 0 } ( \bar { t } - S ( u + s v ) ) \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { S ( u + s v ) , y } ^ { 3 } } , } \\ { \zeta _ { 1 } ( u , y ; s , v ) } & { : = \{ a ^ { \prime } \} _ { \bar { t } + 0 } ^ { \bar { t } - 0 } ( \bar { t } - S ( u + s v ) ) \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { S ( u + s v ) , y } ^ { 2 } } , } \\ { \zeta ( u , y ; s , v ) } & { : = \zeta _ { 0 } ( u , y ; s , v ) + \zeta _ { 1 } ( u , y ; s , v ) = \{ a ^ { \prime } \} _ { \bar { t } + 0 } ^ { \bar { t } - 0 } ( \bar { t } - S ( u + s v ) ) \left[ \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { S ( u + s v ) , y } ^ { 2 } } - \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { S ( u + s v ) , y } ^ { 3 } } \right] . } \end{array} \right.
C _ { A , B } ( \tilde { \lambda } ) = l i m _ { \Lambda \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } \mathcal O _ { A } \left[ \Psi ^ { ( m ) } ( \lambda - \tilde { \lambda } ) \right] \mathcal O _ { B } \left[ \Psi ^ { ( m ) } ( \lambda ) \right] d \lambda
\begin{array} { r l } & { \mathbb { A } _ { g + 1 , 0 } = \mathbb { A } _ { g , 0 } \otimes ^ { K _ { g } } \mathbb { A } _ { 1 , 0 } \quad \mathrm { w i t h ~ } K _ { g } = \bigl ( \Delta _ { \mathbb { U } _ { q } } ^ { ( 3 ) } \otimes ( \Delta _ { \mathbb { U } _ { q } } ^ { ( 3 ) } ) ^ { \odot g } \bigr ) ( R ^ { \prime } ) } \\ & { \mathcal { L } _ { g + 1 , 0 } = \mathcal { L } _ { g , 0 } \otimes ^ { K _ { g } } \mathcal { L } _ { 1 , 0 } . } \end{array}
\tilde { E } _ { \mathrm { w a v e } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { E _ { \mathrm { w a v e } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { E _ { \mathrm { p o l o } } ( k _ { h } , k _ { z } ) + E _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } ~ ~ ~ ~ \mathrm { w h e r e } ~ ~ ~ ~ E _ { \mathrm { w a v e } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \sum _ { \omega } ~ E _ { \mathrm { w a v e } } ( k _ { h } , k _ { z } , \omega ) .
\begin{array} { r l } { \varphi _ { | m { \pi ^ { * } ( - K _ { X } ) } | } \mathrm { ~ i s ~ b i r a t i o n a l } } & { \iff \varphi _ { | m { \pi ^ { * } ( - K _ { X } ) } | | _ { Z _ { n - 1 } } } \mathrm { i s ~ b i r a t i o n a l } } \\ & { \iff \cdots \iff \varphi _ { | m { \pi ^ { * } ( - K _ { X } ) } | | _ { Z _ { 1 } } } \mathrm { i s ~ b i r a t i o n a l } } \end{array}
e = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + E _ { 0 } ) \qquad e ^ { \prime } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + E _ { 3 } E _ { 0 } ) \qquad e ^ { \prime \prime } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + E _ { 1 } E _ { 2 } E _ { 3 } ) ,
\mu \left\{ \frac { \partial ^ { 2 } p _ { 1 } } { \partial \theta ^ { 2 } } + r \left[ \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial r } + r \left( 6 r \mu \sin \theta + \frac { \partial ^ { 2 } p _ { 1 } } { \partial r ^ { 2 } } \right) \right] \right\} = \frac { \partial \mu } { \partial \theta } \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial \theta } + r ^ { 2 } \frac { \partial \mu } { \partial r } \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial r } .
\begin{array} { r l } { \mu _ { \alpha } ^ { \kappa \lambda } ( \mathrm { c T } ) } & { = \langle 0 | \hat { L } _ { 2 } ( \kappa ) \hat { \mu } _ { \alpha } \hat { S } _ { 3 } ^ { - } \hat { R } _ { 1 } ( \lambda ) | 0 \rangle = \sum _ { a i } D _ { a i } ^ { \kappa \lambda } ( \mathrm { c T } ) \mu _ { a i ; \alpha } } \\ { D _ { a i } ^ { \kappa \lambda } ( \mathrm { c T } ) } & { = \langle 0 | \hat { L } _ { 2 } ( \kappa ) \{ a _ { a } ^ { \dagger } a _ { i } \} \hat { S } _ { 3 } ^ { - } \hat { R } _ { 1 } ( \lambda ) | 0 \rangle } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { e f m n o } l _ { n o } ^ { e f } ( \kappa ) s _ { i o n } ^ { a f m } r _ { m } ^ { e } ( \lambda ) - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { e f m n o } l _ { n o } ^ { e f } ( \kappa ) s _ { n o i } ^ { e f m } r _ { m } ^ { a } ( \lambda ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle x - z , x ^ { \circ 3 } - z ^ { \circ 3 } \rangle _ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } ^ { 4 } + z _ { i } ^ { 4 } - z _ { i } x _ { i } ^ { 3 } - x _ { i } z _ { i } ^ { 3 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - z _ { i } ) ^ { 2 } ( x _ { i } ^ { 2 } + z _ { i } ^ { 2 } + z _ { i } x _ { i } ) } \\ & { \geq \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - z _ { i } ) ^ { 2 } 0 . 5 ( x _ { i } ^ { 2 } + z _ { i } ^ { 2 } + 2 z _ { i } x _ { i } ) \geq 0 , } \end{array}
U ( R ) | j , k \rangle = | j , k \rangle - i { \frac { \theta } { \hbar } } { \hat { n } } \cdot { \vec { J } } | j , k \rangle + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } { \frac { \left( - i { \frac { \theta } { \hbar } } { \hat { n } } \cdot { \vec { J } } \right) ^ { k } } { k ! } } | j , k \rangle = e x p \left( { - i { \frac { \theta } { \hbar } } { \hat { n } } \cdot { \vec { J } } } \right) | j , k \rangle
H _ { D } ^ { F } = \tilde { \lambda } ^ { \mu } ( \tau ) \tilde { H } _ { \mu } ^ { * } ( \tau ) - \frac 1 2 \tilde { \lambda } ^ { \mu \nu } ( \tau ) \tilde { H } _ { \mu \nu } ^ { * } ( \tau ) + \int { d ^ { 3 } \sigma \Big [ - A _ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \Gamma ^ { * } ( \tau , \vec { \sigma } ) + \mu _ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \pi ^ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \Big ] } ,
\mathbf { E } \left( \mathbf { r } \right) = - { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \nabla _ { \mathbf { r } } \int { \frac { 1 } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } \ \mathbf { p } \cdot d \mathbf { A } _ { 0 } \ ,
\Phi _ { \alpha \beta } ( p , P ) \equiv \int d ^ { 4 } z \; e ^ { i ( p - { \frac { 1 } { 2 } } P ) \cdot z } \langle 0 | T \psi _ { \alpha } ^ { i } ( 0 ) P ^ { j i } ( z , 0 ) \bar { \psi } _ { \beta } ^ { j } ( z ) | P \rangle \; .
\frac { \partial } { \partial t } ( \hat { n } _ { l i n } , \hat { \mathbf { u } } _ { l i n } , \hat { T } _ { l i n } ) = \Theta \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol { \alpha } \Lambda \boldsymbol { \lambda } ) ( \Theta \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol { \alpha } \boldsymbol { \lambda } ) ) ^ { - 1 } ( \hat { n } _ { l i n } , \hat { \mathbf { u } } _ { l i n } , \hat { T } _ { l i n } ) .
| P ( t ) | e ^ { i \phi ( t ) } \simeq | P ( 0 ) | e ^ { i \phi ( 0 ) } e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } } e ^ { i \int _ { 0 } ^ { t } \lambda ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } } .
\Lambda _ { 1 } = \frac { \gamma _ { 1 } \tau _ { 3 } } { \mu } \, , \Lambda _ { 2 } = \frac { \gamma _ { 2 } \tau _ { 2 } } { 3 \mu } \, , \Lambda _ { 3 } = \frac { 2 \gamma _ { 3 } \tau _ { 2 } } { 3 \mu } , \, \Lambda _ { 4 } = \frac { \gamma _ { 4 } \tau _ { 1 } } { 3 \mu } \, , \Lambda _ { 5 } = \frac { \gamma _ { 5 } \tau _ { 0 } } { \mu } \, \, , \lambda _ { 1 } = \frac { \beta _ { 1 } \langle k \rangle } { \mu } \, , \lambda _ { 2 } = \frac { \beta _ { 2 } \eta \langle k \rangle } { \mu } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { B _ { 0 } ^ { + } = z } ( { \tau ^ { + } } = k ) } & { = \textstyle \frac { 1 } { k ! } \frac { \mathrm { d } ^ { k } } { \mathrm { d } p ( u ) ^ { k } } u ^ { 2 M - z - 1 } \Big | _ { u = 0 } , } \\ { \mathbb { P } _ { B _ { 0 } ^ { + } = z } ( { \tau ^ { + } } = \ell ) } & { = \textstyle \frac { 1 } { \ell ! } \frac { \mathrm { d } ^ { \ell } } { \mathrm { d } q ( u ) ^ { \ell } } \bigl ( \frac { q ( u ) } { p ( u ) } \bigr ) ^ { M } \Bigl ( u ^ { 2 M - z - 1 } - \mathbb { E } _ { B _ { 0 } ^ { + } = z } \bigl [ p ( u ) ^ { \tau ^ { + } } \mathbf { 1 } _ { { \tau ^ { + } } < M } \bigr ] \Bigr ) \Big | _ { u = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K L } \Big ( Q ( X _ { 0 : T } ) | | \mathrm { P } ( X _ { 0 : T } | \hat { f } ) \Big ) } & { = E _ { { Q } } \left[ \mathrm { l n } \left( \frac { d { Q } ( X _ { 0 : T } ) } { d { P } \left( X _ { 0 : T } \vert \hat { f } \right) } \right) \right] } \\ & { = E _ { { Q } } \left[ \left( - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } { { \| \hat { f } ( X _ { t } ) - g ( X _ { t } , t ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } } \mathrm { d } t } + \int _ { 0 } ^ { T } { \frac { \hat { f } ( X _ { t } ) - g ( X _ { t } , t ) } { { \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { d } \boldsymbol { \beta } _ { t } } \right) \right] } \\ & { = E _ { { Q } } \left[ \left( - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } { { \| \hat { f } ( X _ { t } ) - g ( X _ { t } , t ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } } \mathrm { d } t } + V _ { T } \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int \| g ( x , t ) - \hat { f } ( x ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } \, q _ { t } ( x ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t + \mathfrak { C } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + ( 2 j - 1 ) \frac { R } { 2 ^ { n } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \leq \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + ( j - 1 ) \frac { R } { 2 ^ { n - 1 } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + j \frac { R } { 2 ^ { n - 1 } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] , } \end{array}
{ \cal D } \bar { \cal M } \equiv { \cal D } \bar { B } _ { \mu \nu } { \cal D } \bar { B } _ { \mu 5 } { \cal D } \bar { B } _ { 5 5 } { \cal D } \bar { \zeta } _ { \mu } { \cal D } \bar { \zeta } _ { 4 } { \cal D } \bar { \zeta } _ { \mu , \theta } { \cal D } \bar { \zeta } _ { 4 , \theta } { \cal D } \bar { \eta } { \cal D } \bar { \eta } _ { , \theta } \, ,
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { N N } } ^ { K ^ { - } } } & { = \alpha _ { \nu } M _ { K } \left[ ( 2 \nu - 1 ) \cos ^ { 2 } \phi \cos ^ { 2 } \beta - \nu \right] , } \\ { M _ { \mathrm { E E } } ^ { K ^ { - } } } & { = \alpha _ { \nu } M _ { K } \left[ ( 2 \nu - 1 ) \sin ^ { 2 } \phi \cos ^ { 2 } \beta - \nu \right] , } \\ { M _ { \mathrm { U U } } ^ { K ^ { - } } } & { = \alpha _ { \nu } M _ { K } \left[ ( 2 \nu - 1 ) \sin ^ { 2 } \beta - \nu \right] , } \\ { M _ { \mathrm { N E } } ^ { K ^ { - } } } & { = \alpha _ { \nu } M _ { K } ( 2 \nu - 1 ) \sin \phi \cos \phi \cos ^ { 2 } \beta , } \\ { M _ { \mathrm { N U } } ^ { K ^ { - } } } & { = \alpha _ { \nu } M _ { K } ( 1 - 2 \nu ) \cos \phi \sin \beta \cos \beta , } \\ { M _ { \mathrm { E U } } ^ { K ^ { - } } } & { = \alpha _ { \nu } M _ { K } ( 1 - 2 \nu ) \sin \phi \sin \beta \cos \beta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \Delta U \sin ( 2 k Z _ { 0 } ) } \\ { \Delta U } & { { } = \mathcal { E } _ { z } \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } ( \mathtt { A } \alpha _ { Z Y } \mu _ { 0 X } + \mathtt { B } \alpha _ { X Z } \mu _ { 0 Y } + \mathtt { C } \alpha _ { Y X } \mu _ { 0 Z } ) , } \end{array}