harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
n _ { d } = \frac { n _ { m d } } { N _ { A } } = \frac { 3 } { 4 } \frac { \left( n ^ { 2 } - 1 \right) } { \left( n ^ { 2 } + 2 \right) } \frac { 1 } { N _ { A } ^ { 2 } \alpha _ { e } \pi }
\begin{array} { r l r } & { } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( 1 - 2 ^ { - 1 } R _ { i } ^ { - 2 } \| \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } \| ^ { 2 } + \delta _ { 1 i } ) W _ { i } + n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 1 } ( W _ { i } ^ { \top } \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } ) W _ { i } } \\ & { = } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 1 } ( 1 + \delta _ { 1 i } + \delta _ { 2 i } ) \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } \, , } \end{array}
E _ { x 0 } ^ { * } \zeta ^ { 1 / 2 } = D _ { x 0 } \zeta ^ { 1 / 2 } / \epsilon - \frac { v } { 2 } B _ { y 0 } e ^ { - i k _ { z } \Delta z } ( e ^ { i k _ { z } \Delta z / 2 } + e ^ { - i k _ { z } \Delta z / 2 } ) ,
\Re e H _ { 1 } ^ { \prime } ( r ) = 6 \gamma ^ { 2 } - 3 \gamma - 6 \zeta ( 2 ) - { \frac { 9 } { 2 } } + { \frac { 3 } { r } } ( - 6 \gamma + 1 ) + { \cal O } \left( { \frac { \gamma ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \right)
\eta = \frac { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \int _ { 0 } ^ { \theta _ { N A } } d \theta \sin ( \theta ) I ( \theta , \phi ) } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } d \theta \sin ( \theta ) I ( \theta , \phi ) } .
S _ { \mathrm { \scriptsize ~ e f f } } = \int d ^ { \, 3 } x \left[ \, - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \, \right] - i \, \mathrm { T r } \log \left[ \, i ( i D \! \! \! \! / - m ) \, \right] .
\widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( 0 ) } ( z ) = \widetilde { \mathbf { E } } ^ { ( 0 ) } ( z ) \Phi ^ { ( \mathrm { B e s } ) } \left( x ^ { 2 } \varphi _ { 4 } ( z ) \right) \mathbf { K } ( z ) \left[ s _ { 1 } \left( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } \right) \right] ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } e ^ { - x ^ { 2 } g ( z ) \sigma _ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x y } ( \omega ) } & { = - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \hbar } \frac { \Delta } { \omega } \log \frac { \omega ^ { \prime } - \Delta } { \omega ^ { \prime } + \Delta } \ \ ; } \\ { \sigma _ { x x } ( \omega ) } & { = \frac { i \rho e ^ { 2 } } { 8 \pi \hbar \omega } \left[ \Delta + \frac { ( \omega ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } ) } { 2 \omega ^ { \prime } } \ \log \frac { \omega ^ { \prime } - \Delta } { \omega ^ { \prime } + \Delta } \right] \, , } \end{array}
1 = \frac { 1 } { H _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 8 \pi \, G } { 3 } \rho _ { 0 } + \frac { \Lambda } { 3 } - \frac { k } { R _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \; \equiv \; \left( \Omega _ { M } + \Omega _ { \Lambda } + \Omega _ { k } \right) \, ,
t _ { \mu \mu } ( \omega , \mathbf { k } ) = t _ { d } - ( t _ { d } \pm r _ { d } ) \frac { \gamma _ { \mu } ( \mathbf { k } ) } { i ( \omega - \omega _ { \mu } ( \mathbf { k } ) ) + \gamma _ { \mu } ( \mathbf { k } ) }
\begin{array} { r l } { { p _ { I I } } - { p _ { I } } } & { { } = { } \frac { 1 } { 2 } \rho \left( { v _ { I } } _ { t } ^ { 2 } \left( 1 - E ^ { 2 } \right) + { v _ { I } } _ { n } ^ { 2 } \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n m } \rightarrow P ( \vec { x } _ { n } , \vec { x } _ { m } ) d ^ { d } x _ { m } } & { { } = \frac { N ( \vec { x } _ { m } ) ^ { \zeta } G ( | \vec { x } _ { m } - \vec { x } _ { n } | ) d ^ { d } x _ { m } } { \int _ { \Omega } N ( \vec { x } _ { m } ) ^ { \zeta } G ( | \vec { x } _ { m } - \vec { x } _ { n } | ) d ^ { d } x _ { m } } . } \end{array}
\langle \hat { A } \rangle \approx \frac { \sum _ { k } W _ { k } ^ { n + m } \frac { \langle \tilde { \phi } _ { k } ^ { m } | \hat { A } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } { \langle \tilde { \phi } _ { k } ^ { m } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } } { \sum _ { k } W _ { k } ^ { n + m } } \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } = R \sin ( \beta _ { 3 } ) + \int _ { \beta _ { 3 } } ^ { \phi _ { 4 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 1 } } { B } [ \sin ( \phi _ { 4 } - \phi _ { 1 } ) - \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } , } \\ & { } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } = R - R \cos ( \beta _ { 3 } ) + \int _ { \beta _ { 3 } } ^ { \phi _ { 4 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 1 } } { B } [ \sin ( \phi _ { 4 } - \phi _ { 1 } ) - \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } , } \\ { R \sin \beta _ { 2 } } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } + \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) - P _ { 1 } \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } , } \\ { R - R \cos \beta _ { 2 } } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } + \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) - P _ { 1 } \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } , } \\ { L } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } + \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) - P _ { 1 } \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } } \\ & { } & { + R ( \beta _ { 3 } - \beta _ { 2 } ) + \int _ { \beta _ { 3 } } ^ { \phi _ { 4 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 1 } } { B } [ \sin ( \phi _ { 4 } - \phi _ { 1 } ) - \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } , } \\ & { } & { \frac { B } { 2 R ^ { 2 } } - P _ { 0 } \sin \phi _ { 2 } + P _ { 1 } \sin ( \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } ) = - P _ { 0 } \sin \phi _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \log p ( \mathbf { T _ { 1 \rho } } , \mathbf { T _ { 2 } } | \mathbf { f ^ { W } ( x ) } ) } & { \propto \frac { | \mathbf { T _ { 1 \rho } - \mathbf { f ^ { W } ( x ) } } | } { \mathbf { \sigma _ { 1 } } } + \frac { | \mathbf { T _ { 2 } - \mathbf { f ^ { W } ( x ) } } | } { \mathbf { \sigma _ { 2 } } } } \\ & { + \log ( 2 \mathbf { \sigma _ { 1 } } ) + \log ( 2 \mathbf { \sigma _ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { Q \in \mathcal { Q } } \sum _ { z \in Q } | b _ { Q } ( z ) | q ^ { - \alpha | z | } } & { \leq \sum _ { z \in \Omega } | f ( z ) | q ^ { - \alpha | z | } + \sum _ { Q \in \mathcal { Q } } \sum _ { z \in Q } | g ( z ) | q ^ { - \alpha | z | } } \\ & { \leq \| f \| _ { 1 , \alpha } + \mu _ { \alpha } ( \Omega ) C _ { \alpha } \lambda \lesssim \| f \| _ { 1 , \alpha } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { A } _ { e } = 0 } & { \mathrm { i f ~ } \uplambda _ { e } ^ { 0 } \le \uplambda _ { e } ^ { 1 } \, . } \\ { \null } & { \null } \\ { \begin{array} { l } { \tilde { A } _ { e } \mathrm { ~ b i g ~ e n o u g h ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ { e ^ { - ( \uplambda _ { e } ^ { 0 } - \uplambda _ { e } ^ { 1 } ) } \left( \frac { \uplambda _ { e } ^ { 0 } } { \uplambda _ { e } ^ { 1 } } \right) ^ { A _ { e } } > 1 } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ } \uplambda _ { e } ^ { 0 } > \uplambda _ { e } ^ { 1 } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l r l } { \boldsymbol { \Gamma _ { D } } } & { { } = \Bar { \varepsilon } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { r _ { x y } ^ { 2 } } \end{array} \right] , } & { \boldsymbol { \Gamma _ { C M } } } & { { } = \Bar { \rho _ { e } ^ { * } } \left[ \begin{array} { l l } { H } & { 0 } \\ { 0 } & { H r _ { x y } } \end{array} \right] , } & { \boldsymbol { \Gamma _ { C 1 } } } & { { } = \Bar { \rho _ { 1 } ^ { * } } \left[ \begin{array} { l l } { H } & { 0 } \\ { 0 } & { H r _ { x y } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { y } ) = \sum _ { j } \left\lVert \boldsymbol { x } _ { t _ { j } } - \boldsymbol { \mathcal { V } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \boldsymbol { y } _ { t _ { j } } ) \right\rVert ^ { 2 } , } \end{array}
d e t _ { n } { \hat { M } } = \frac { P ^ { 2 } - 1 } { P ^ { 4 } } \bigg ( \frac { P + 1 } { P - 1 } \bigg ) ^ { P } = \frac { D ^ { 2 } } { P ^ { 2 } } \bigg ( \frac { P + 1 } { P - 1 } \bigg ) ^ { P } .
\begin{array} { r l r } { { \cal C } _ { 1 } ( \omega _ { 1 } , q ) } & { = } & { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \left[ - \frac { f _ { e l } ^ { B _ { 1 } } } { 4 } + \frac { \omega _ { 1 } } { q ^ { 3 } } { \cal J } _ { 1 0 1 } ( \omega _ { 1 } , q ) \right] , } \\ { { \cal C } _ { 2 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , { q } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \left[ \frac { f _ { e l } ^ { B _ { 1 } } } { 2 } - \frac { \omega _ { 3 } } { q ^ { 3 } } { \cal J } _ { 1 0 1 } ( \omega _ { 3 } , q ) + \frac { \omega _ { 1 } \omega _ { 3 } } { q ^ { 4 } } { \cal Q } ( - \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , { q } ) \right] , } \\ { { \cal C } _ { 3 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , { q } ) } & { = } & { \frac { \omega _ { 1 } \omega _ { 3 } } { 8 \pi ^ { 2 } q ^ { 2 } } { \cal P } ( - \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , { q } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \mu = 1 } ^ { M } \sigma _ { e g } ^ { n , \mu } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { n } } , } \\ { \sigma _ { e g } ^ { n , \mu } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { \mathbf { k } } S _ { \mathbf { k } } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { n } } , } \end{array}
{ W _ { i } } _ { m } ^ { n } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { q _ { i } \varphi _ { m } ^ { n } ( x ) } & { \textrm { f o r } ( n , m ) \neq ( 1 , 0 ) , } \\ { \displaystyle q _ { i } \varphi _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) - \frac { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } { L } } & { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \beta _ { i } ( x ^ { \prime } ) } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } } \\ & { \textrm { f o r } ( n , m ) = ( 1 , 0 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \| I _ { d } - \overline { { \mathbb { B } } } \left( I _ { d } + \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { \phi _ { 0 } ^ { * } } \\ { \partial _ { \nu } \mathbb { F } ( x _ { 0 } ) } & { \displaystyle \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \mathbb { v } _ { \alpha } \mathbb { K } _ { \alpha } ^ { * } } \end{array} \right) \right) \| _ { H _ { 2 } } = \| I _ { d } - \overline { { A } } D \overline { { F } } ( \frac { \nu _ { 0 } } { \sqrt { | { \Omega _ { 0 } } | } } , U _ { 0 } ) \| _ { X _ { 1 } } . } \end{array}
\sigma _ { p } ( D _ { x _ { 3 } } ^ { \kappa + 1 } \tilde { H } ) \vert _ { H ^ { ( 0 ) } = \chi _ { \hat { \varepsilon } } } = ( - i ) ^ { \kappa } \kappa ! Y ^ { ( 1 ) } \chi _ { \hat { \varepsilon } } + ( - i ) ^ { \kappa - 1 } ( \kappa - 1 ) ! \left( B ^ { ( 1 ) } Y ^ { ( 0 ) } + Y ^ { ( 0 ) } B ^ { ( 1 ) } \right) \chi _ { \hat { \varepsilon } } .
\begin{array} { r c l } { \big | S _ { M } ( \rho ) - S _ { M } ( \sigma ) \big | } & { \leq } & { \big | H ( p ^ { \rho } ) - H ( p ^ { \sigma } ) \big | + \big | \textstyle \sum _ { i } ( p _ { i } ^ { \rho } - p _ { i } ^ { \sigma } ) \log V _ { i } \big | } \\ & { \leq } & { h ( \epsilon ) + \epsilon \, \log | M | + \epsilon \, \big \| \log V _ { i } \big \| _ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { 1 / 2 } ( F ) = } & { - h / 2 - ( 1 / 2 ) \# \{ \textrm { n o - } S _ { + } \textrm { n o n - c l o s e d c o m p o n e n t s o f } F \} } \\ & { + ( 1 / 2 ) \# \{ \textrm { n o - } S _ { - } \textrm { n o n - c l o s e d c o m p o n e n t s o f } F \} } \\ & { - ( 1 / 4 ) \# \{ S _ { + } \textrm { i n t e r v a l s } \} - ( 1 / 2 ) \# \{ S _ { + } \textrm { c i r c l e s } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \rho , v } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Omega } \rho ( t , x ) | v ( t , x ) | ^ { 2 } d x d t + \beta \int _ { \Omega } ( \rho ( 1 , x ) - \rho _ { 1 } ( x ) ) ^ { 2 } d x , } \\ & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho v ) = \nabla \cdot ( \sigma _ { 0 } \nabla \rho ) , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Vert ( { \bf u } ^ { n + 1 } , \textbf { u } _ { t } ^ { n + 1 } ) \Vert _ { C _ { N } } ^ { 2 } } & { = } & { ( \textbf { u } ^ { n + 1 } ) ^ { T } C _ { N } ( \textbf { u } ^ { n + 1 } ) + ( \textbf { u } _ { t } ^ { n + 1 } ) ^ { T } ( \textbf { u } _ { t } ^ { n + 1 } ) } \\ & { = } & { [ { \bf u } ^ { n } ] ^ { T } \bar { G } _ { 1 1 } { \bf u } ^ { n } + [ { \bf u } ^ { n } ] ^ { T } \bar { G } _ { 1 2 } { \bf u } _ { t } ^ { n } + [ { \bf u } _ { t } ^ { n } ] ^ { T } \bar { G } _ { 2 1 } { \bf u } ^ { n } + [ { \bf u } _ { t } ^ { n } ] ^ { T } \bar { G } _ { 2 2 } { \bf u } _ { t } ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) = \sum _ { j = - 1 } ^ { 1 } \frac { A _ { j } } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } \biggl ( } & { { } \cos ( \mathrm { ~ u ~ } _ { j } + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } ) \boldsymbol { e } _ { x } } \\ { + \epsilon \Lambda } & { { } \sin ( \mathrm { ~ u ~ } _ { j } + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } ) \boldsymbol { e } _ { y } \biggr ) , } \end{array}
( c _ { 0 } - v ( t ) ) \frac { d \Psi ( \Theta ) } { d \Theta } + \beta f ( t ) \Psi ( \Theta ) \frac { d \Psi ( \Theta ) } { d \Theta } + \sigma G ^ { 2 } ( t ) \frac { d ^ { 3 } \Psi ( \Theta ) } { d \Theta ^ { 3 } } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \tau } D \Phi ^ { ( 0 ) } + \bar { \rho } _ { i } ^ { 2 } \big ( \partial _ { u } \Phi ^ { ( 0 ) } \partial _ { v } D \Phi ^ { ( 0 ) } - \partial _ { v } \Phi ^ { ( 0 ) } \partial _ { u } D \Phi ^ { ( 0 ) } \big ) + } \\ & { + \bar { \rho } _ { i } ^ { 2 } \sum _ { n ^ { \prime } \neq 0 } \big ( \partial _ { u } \Phi ^ { ( - n ^ { \prime } ) } \partial _ { v } D \Phi ^ { ( n ^ { \prime } ) } - \partial _ { v } \Phi ^ { ( - n ^ { \prime } ) } \partial _ { u } D \Phi ^ { ( n ^ { \prime } ) } \big ) = 0 \, , } \end{array}
P _ { k } { } ^ { l } ( \hat { y } , \hat { \bar { y } } ) = - ( i ) ^ { \pi ( P _ { k } { } ^ { l } ) } \, \eta ^ { l u } P _ { u } { } ^ { v } ( i \hat { y } , i \hat { \bar { y } } ) \eta ^ { - 1 } { } _ { v k }
\begin{array} { r l } { { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \rho ^ { \prime } - v a r ; [ s , t ] ^ { 2 } } ^ { \frac { p } { 2 } } } & { \preceq { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \infty ; [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ^ { \frac { \rho ^ { \prime } - \rho } { \rho ^ { \prime } } \cdot \frac { p } { 2 } } { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ s , t ] ^ { 2 } } ^ { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } \cdot \frac { p } { 2 } } } \\ & { \preceq { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \infty ; [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ^ { \frac { \rho ^ { \prime } - \rho } { \rho ^ { \prime } } \cdot \frac { p } { 2 } } { \left\lVert { R _ { X } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ s , t ] ^ { 2 } } ^ { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } \cdot \frac { p } { 2 } } } \\ & { \preceq { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \infty ; [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ^ { \frac { \rho ^ { \prime } - \rho } { \rho ^ { \prime } } \cdot \frac { p } { 2 } } \left| t - s \right| ^ { \frac { p } { 2 \rho ^ { \prime } } } . } \end{array}
< F _ { \mu \alpha } ^ { \quad 2 } > \sim \sum _ { i = 1 } ^ { g } [ ( \partial _ { \mu } \tilde { v } _ { 1 } ^ { ( i ) } ) ^ { 2 } + ( \partial _ { \mu } \tilde { v } _ { 2 } ^ { ( i ) } ) ^ { 2 } ]
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ c ] V _ { t + \Delta { t } } } & { { } = ( 1 - \Theta ) V _ { t } + \Theta \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) } \\ { V _ { t + \Delta { t } } ^ { \ast } } & { { } = ( 1 - \Theta ) V _ { t } ^ { \ast } + \Theta \Psi _ { \ast } ( V _ { t } ^ { \ast } , V _ { t } , \omega ) . } \end{array} } \end{array}
\widehat { m } _ { I } \simeq - \widehat { \mu } ^ { ( L ) } \left( \widehat { m } _ { s } ^ { ( L ) } \right) ^ { - 1 } \widehat { \mu } ^ { ( L ) } \; , \; \widehat { m } _ { I I } \simeq \widehat { m } _ { s } ^ { ( L ) }
e ( x _ { e } ) = 1 , \, \, \, \, \, \, \, \, e ( x _ { m } ) = f _ { m } ^ { A } , \, \, \, \, \, \, \, \, \frac { \partial e ( x ) } { \partial x } \bigg | _ { x = x _ { 0 e } } = 0 , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac { \partial e ( x ) } { \partial x } \bigg | _ { x = x _ { m } } = 0 ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \, \mathrm { d } Y _ { t } ^ { i } = - ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } * \rho _ { t } ) ( Y _ { t } ^ { i } ) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , Y _ { t } ^ { i } ) \, \mathrm { d } B _ { t } ^ { i } + \nu \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad Y _ { 0 } ^ { i } = X _ { 0 } ^ { i } , } \\ { \rho _ { t } \; \mathrm { i s \, t h e \, c o n d i t i o n a l \, d e n s i t y \, o f } \, Y _ { t } ^ { i } \, \mathrm { g i v e n } \, \mathcal { F } _ { t } ^ { W } , } \end{array} \right. } \end{array}
A x ^ { * } = \left( \begin{array} { l l l } { \hat { A } _ { B } } & { \hat { A } _ { N } } & { \hat { a } _ { n + 1 } } \\ { d _ { B } ^ { \top } } & { d _ { N } ^ { \top } } & { d _ { n + 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { x } _ { B } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \hat { A } _ { B } \hat { x } _ { B } } \\ { d _ { B } ^ { \top } \hat { x } _ { B } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \hat { b } } \\ { d _ { B } ^ { \top } \hat { x } _ { B } } \end{array} \right) = b .
Z _ { 1 } = X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } , \quad Z _ { 2 } = X _ { 1 } X _ { 2 } , \quad Z _ { 3 } = X _ { 4 } X _ { 5 } , \quad U = X _ { 0 } X _ { 1 } X _ { 5 } , \quad V = - X _ { 0 } X _ { 3 } .
U ( \alpha , z ) \equiv e ^ { i \alpha \cdot q } z ^ { \alpha \cdot \pi ( 0 ) } e ^ { \alpha \cdot \sum _ { n > 0 } \frac { A ^ { \dag } ( n ) } { \sqrt { n } } z ^ { n } } e ^ { - \alpha \cdot \sum _ { n > 0 } \frac { a ( n ) } { \sqrt { n } } z ^ { - n } }
\begin{array} { r l } { - \nabla \cdot ( \exp ( k ) \nabla \phi ) + \nabla \cdot ( v \phi ) = 0 , } & { \qquad \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ { \phi = \phi _ { D } , } & { \qquad \mathrm { o n } \ \Gamma _ { \mathrm { w e s t } } , } \\ { - n \cdot \exp ( k ) \nabla \phi = 0 , } & { \qquad \mathrm { o n } \ \partial \Omega \setminus \Gamma _ { \mathrm { w e s t } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { h } ( { p } _ { h } , { q } _ { h } ) - b _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } , { q } _ { h } ) } & { = } & { \ell _ { 1 , h } ( { q } _ { h } ) + d _ { 1 , h } ( \boldsymbol { u } _ { h } , q _ { h } ) , \quad \forall { q } _ { h } \in \mathbb { Q } _ { h } , } \\ { d _ { h } ( \boldsymbol { v } _ { h } , { p } _ { h } ) + c _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { v } _ { h } ) } & { = } & { \ell _ { 2 , h } ( \boldsymbol { v } _ { h } ) + d _ { 2 , h } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { v } _ { h } ) , \quad \forall \boldsymbol { v } _ { h } \in \boldsymbol { U } _ { h } , } \end{array}
P ( ( f , 1 ) , s ^ { \prime } ) \! = \! \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { t } ( 1 - q ( ( f , 1 ) ) ) , } & { f ^ { \prime } \! = [ f \! + \! 1 ] _ { F } , g ^ { \prime } \! = 2 ; } \\ { p _ { r } ( 1 - q ( ( f , 1 ) ) ) , } & { f ^ { \prime } \! = [ f \! + \! 1 ] _ { F } , g ^ { \prime } \! = 1 ; } \\ { p _ { t } \! + \! ( 1 \! - p _ { t } ) q ( ( f , 1 ) ) , } & { f ^ { \prime } \! = g ^ { \prime } \! = 0 , } \end{array} \right.
\varepsilon _ { n } = \int w _ { n , \textbf { R } } ( \textbf { r } ) \left[ \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + V _ { l a t } ( \hat { r } ) \right] w _ { n , \textbf { R } } ^ { * } ( \textbf { r } ) \, d \textbf { r } ~ ,
\begin{array} { r l } { E _ { n + 1 } } & { \leq C ( 1 + T ) ^ { 1 + \beta _ { 2 } } E _ { n } ^ { 1 + \beta _ { 1 } } \Bigg [ \frac { 1 } { ( t _ { n + 1 } - t _ { n } ) ( \ell _ { n + 1 } - \ell _ { n } ) ^ { \gamma + 1 } } + \frac { 1 } { ( \ell _ { n + 1 } - \ell _ { n } ) ^ { \gamma } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { 1 + \ell _ { n + 1 } } { ( \ell _ { n + 1 } - \ell _ { n } ) ^ { \gamma + 1 } } + \frac { 1 + E _ { 0 } ^ { \beta _ { 0 } } + \ell _ { n + 1 } + \ell _ { n + 1 } ^ { 2 } } { ( \ell _ { n + 1 } - \ell _ { n } ) ^ { \gamma + 2 } } \Bigg ] } \\ & { = C ( 1 + T ) ^ { 1 + \beta _ { 2 } } E _ { n } ^ { 1 + \beta _ { 1 } } \Bigg [ \frac { 2 ^ { ( \gamma + 1 ) ( n + 1 ) } } { t K ^ { \gamma + 1 } } + \frac { 2 ^ { ( \gamma + 1 ) ( n + 1 ) } + 2 ^ { ( \gamma + 2 ) ( n + 1 ) } ( 1 - 2 ^ { - ( n + 1 ) } ) } { K ^ { \gamma + 1 } } + \frac { 2 ^ { ( \gamma + 2 ) ( n + 1 ) } ( 1 + E _ { 0 } ^ { \beta _ { 0 } } ) } { K ^ { \gamma + 2 } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { 2 ^ { \gamma ( n + 1 ) } + 2 ^ { ( \gamma + 1 ) ( n + 1 ) } \left( 1 - 2 ^ { - ( n + 1 ) } \right) + 2 ^ { ( \gamma + 2 ) ( n + 1 ) } \left( 1 - 2 ^ { - ( n + 1 ) } \right) ^ { 2 } } { K ^ { \gamma } } \Bigg ] } \\ & { \le C ( 1 + T ) ^ { 1 + \beta _ { 2 } } E _ { n } ^ { 1 + \beta _ { 1 } } \left[ \frac { 2 ^ { n ( \gamma + 1 ) } } { t K ^ { \gamma + 1 } } + \frac { 2 ^ { n ( \gamma + 2 ) } \left( 1 + E _ { 0 } ^ { \beta _ { 0 } } \right) } { K ^ { \gamma + 2 } } + \frac { 2 ^ { n ( \gamma + 2 ) } } { K ^ { \gamma + 1 } } + \frac { 2 ^ { n ( \gamma + 2 ) } } { K ^ { \gamma } } \right] . } \end{array}
\mu = m _ { \rho } = 7 7 0 \; \mathrm { M e V } , \; m _ { K } = 4 9 5 \; \mathrm { M e V } , \; m _ { \pi } = 0 . 2 8 \: m _ { K } , \; F _ { \pi } = 9 2 . 4 \; \mathrm { M e V , }
J { } _ { } ( \boldsymbol n ) = \omega _ { \rho } ^ { \mathrm { s s } } ( \boldsymbol n ) p _ { \mathrm { s s } } ( \boldsymbol n ) - \omega _ { - \rho \rho } ( \boldsymbol n + \boldsymbol { \nabla } _ { \rho } ) p _ { \mathrm { s s } } ( \boldsymbol n + \boldsymbol { \nabla } _ { \rho } ) \neq 0 \, ,
\begin{array} { r } { \partial _ { \mu } j _ { 5 } ^ { \mu } = \lambda \left[ \frac { M ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } + \frac { \lambda ^ { 2 } s _ { \mu } s ^ { \mu } } { \pi ^ { 2 } } - \frac { \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \right] \partial _ { \nu } s ^ { \nu } + \frac { \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left[ \frac { \lambda ^ { 2 } } { 3 } G _ { \mu \nu } G _ { \rho \sigma } + e ^ { 2 } F _ { \mu \nu } F _ { \rho \sigma } \right] \, , } \end{array}
\left| { \frac { V _ { u b } } { V _ { c b } } } \right| = \sqrt { { \frac { m _ { u } } { m _ { d } } } } \left( { \frac { 1 } { 1 - { \frac { m _ { u } ^ { 2 } } { m _ { d } ^ { 2 } } } } } \right) ^ { { \frac { 1 } { 8 } } } \left( { \frac { 1 } { Q } } \right) ^ { { \frac { 1 } { 4 } } } \left( { \frac { m _ { e } m _ { \mu } } { m _ { \tau } ^ { 2 } } } \right) ^ { { \frac { 1 } { 4 } } } \sqrt { { \frac { m _ { b } } { m _ { c } } } } \sqrt { { \frac { \eta _ { c } } { \eta _ { b } } } } \sqrt { y _ { t } } \, = 0 . 0 7 6 \sqrt { { \frac { m _ { u } } { m _ { d } } } } \left( { \frac { 1 } { 1 - { \frac { m _ { u } ^ { 2 } } { m _ { d } ^ { 2 } } } } } \right) ^ { { \frac { 1 } { 8 } } }
\begin{array} { r l r } { M } & { { } = } & { \frac { 1 } { 1 - ( 1 - \beta ) } + \frac { \frac { 1 } { C _ { f 0 } } \frac { H _ { F } } { L } } { 1 - \frac { \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } } } \frac { 2 ( 1 - \beta ) - ( 1 - \beta ) ^ { 2 } } { 1 - ( 1 - \beta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iota _ { M } ( a ) } & { = \left[ \lambda _ { M } \circ - _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } , \mathsf { q } _ { M } \right] ( a ) = \mathsf { q } _ { M } ( a ) = a } \\ { \iota _ { M } ( m ) } & { = \left[ \lambda _ { M } \circ - _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } , \mathsf { q } _ { M } \right] ( m ) = \lambda _ { M } ( - _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( \mathsf { d } ( m ) ) = \lambda _ { M } ( - \mathsf { d } ( m ) ) = - \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( m ) ) = - m } \end{array}