harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { C } \\ { D } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { a 1 } \oplus \left( \begin{array} { c } { A } \\ { A } \\ { B } \\ { B } \\ { A } \\ { B } \end{array} \right) _ { m a p } = \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { D } \\ { C } \\ { B } \\ { B } \end{array} \right) _ { b 2 } \xrightarrow { T _ { b 2 } ^ { C D } } \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { C } \\ { D } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { a 1 } \oplus \left( \begin{array} { c } { A } \\ { A } \\ { A } \\ { A } \\ { A } \\ { B } \end{array} \right) _ { m a p } = \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { C } \\ { D } \\ { B } \\ { B } \end{array} \right) _ { b 2 } } \end{array}
\Delta g _ { \bar { i } } ^ { \ ( \mathrm { A B B \, v s \, R B C } ) } \approx \frac { 2 } { 1 + k _ { \bar { i } } } \left( \mathrm { w } _ { i } C _ { \mathrm { w } } - \tilde { g } _ { i } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { | u ( x ) - u ( y ) | } { | x - y | ^ { \beta } } } & { = \left( \frac { | u ( x ) - u ( y ) | } { | x - y | ^ { \alpha } } \right) ^ { \frac { \beta } { \alpha } } \, | u ( x ) - u ( y ) | ^ { \frac { \alpha - \beta } { \alpha } } } \\ & { \le [ u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( \overline { { \Omega } } ) } ^ { \frac { \beta } { \alpha } } \, \left( | u ( x ) | ^ { \frac { \alpha - \beta } { \alpha } } + | u ( y ) | ^ { \frac { \alpha - \beta } { \alpha } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi _ { 0 } \vert \hat { T } [ \rho ( x , t ) \rho ( 0 , 0 ) ] \vert \Phi _ { 0 } \rangle } & { = } & { \theta ( t ) \langle \Phi _ { 0 } \vert e ^ { i H t } a ^ { \dagger } ( x ) a ( x ) e ^ { - i H t } a ^ { \dagger } ( 0 ) a ( 0 ) \vert \Phi _ { 0 } \rangle } \\ { \& + } & { \theta ( - t ) \langle \Phi _ { 0 } \vert a ^ { \dagger } ( 0 ) a ( 0 ) e ^ { i H t } a ^ { \dagger } ( x ) a ( x ) e ^ { - i H t } \vert \Phi _ { 0 } \rangle } \\ { \& = } & { \frac { N ( N - 1 ) } { V ^ { 2 } } + \frac { N } { V } \int \frac { \mathrm { d } k } { 2 \pi } [ \theta ( t ) \exp ( i k x - i t \frac { k ^ { 2 } } { 2 m } ) + \theta ( - t ) \exp ( - i k x + i t \frac { k ^ { 2 } } { 2 m } ) ] , } \end{array}
{ \frac { d f ( x ) } { d x } } = 0 \Rightarrow - { \frac { \left( x - \mu \right) } { \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \left( x - \mu \right) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } } - { \frac { \left( x + \mu \right) } { \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \left( x + \mu \right) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } } = 0
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { O } } [ f ( \underline { { t } } _ { 1 } , \underline { { t } } _ { 2 } ) ] } & { = \sum _ { \underline { { \tau } } , \mathcal { O } , \underline { { t } } } P _ { * } ( \underline { { \tau } } ) P _ { * } ( \mathcal { O } | \underline { { \tau } } ) P _ { * } ( \underline { { t } } | \mathcal { O } ) f ( \underline { { \tau } } , \underline { { t } } ) } \\ & { = \mathbb { E } [ f ( \underline { { \tau } } , \underline { { t } } ) ] } \end{array} } \end{array}
N \left( \chi _ { 2 } ^ { 0 } \chi _ { 2 } ^ { 0 } \right) = ( 0 . 3 2 ) ^ { 2 } \times ( \sigma _ { \tilde { g } \tilde { g } } \times ( 0 . 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { \tilde { g } \tilde { q } } \times 0 . 3 + \frac { 1 } { 4 } \sigma _ { \tilde { q } \tilde { q } ^ { \prime } } + \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { \tilde { q } ^ { \ast } \tilde { q } } ) L \approx 3 4 0 0 .
L _ { l o c } = d ( ( x _ { c } , y _ { c } , z _ { c } ) , ( \hat { x } _ { c } , \hat { y } _ { c } , \hat { z } _ { c } ) ) + \lambda ( \sqrt { w _ { c } ^ { 2 } - \hat { w } _ { c } ^ { 2 } } / w + \sqrt { h _ { c } ^ { 2 } - \hat { h } _ { c } ^ { 2 } } / h + \sqrt { d _ { c } ^ { 2 } - \hat { d } _ { c } ^ { 2 } } / d ) ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int \big \langle \mathbf { x } _ { 0 } \big \vert \mathbf { U } _ { \tau } ^ { \left( n \right) } \big \vert \mathbf { x } _ { 0 } \big \rangle \mathsf { d } \mathbf { x } _ { 0 } , } \\ { = } & { { } \int \Bigg \langle \mathbf { x } _ { 0 } \Bigg \vert \left( \oint _ { \Gamma } \exp \left( - \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \tau } - i \hbar \mathbf { L } ^ { \left( n \right) } \mathsf { d } \varepsilon \right) \mathsf { d } \mathbf { x } _ { \varepsilon } \right) \Bigg \vert \mathbf { x } _ { 0 } \Bigg \rangle \mathsf { d } \mathbf { x } _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { F } _ { t } } { \partial \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } } } & { = 0 } \\ { \implies \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } ^ { * } } & { = \sigma \left( \ln \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { o } _ { t } + \ln ( \mathbf { B } _ { \mathbf { u } _ { t - 1 } } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t - 1 } } ^ { * } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { D } _ { \alpha _ { 0 } } \hat { H } ( \hat { x } , \hat { p } ) \hat { D } _ { \alpha _ { 0 } } ^ { \dagger } } & { { } = } & { \frac { \beta } { 2 \pi } \int \int d k _ { x } d k _ { p } f _ { T } ( k _ { x } , k _ { p } ) \hat { D } _ { \alpha _ { 0 } } \exp [ i ( k _ { x } \hat { x } + k _ { p } \hat { p } ) ] \hat { D } _ { \alpha _ { 0 } } ^ { \dagger } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \gamma } _ { p \sigma , 0 } = \hat { X } _ { p , \sigma } \hat { Z } _ { p - 1 , \sigma } \cdots \hat { Z } _ { 0 , \sigma } , } \\ { \hat { \gamma } _ { p \sigma , 1 } = \hat { Y } _ { p , \sigma } \hat { Z } _ { p - 1 , \sigma } \cdots \hat { Z } _ { 0 , \sigma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 0 1 } } & { = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ { \sigma _ { 1 0 } } & { = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ { \sigma _ { 0 0 } } & { = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ { \sigma _ { 1 1 } } & { = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
H _ { \mathrm { c o l l } } = \frac { 1 } { 2 \alpha ^ { 2 } } \left( \mathrm { \boldmath ~ J ~ } ^ { \mathrm { s o l } } + \chi \left( k ^ { \prime } \right) \, \mathrm { \boldmath ~ K ^ { \prime } ~ } \right) ^ { 2 } \ .
\mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } [ z _ { 1 } ] = 2 \arctan \left( \frac { \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } [ z _ { 0 } ] - 2 \pi } { \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } [ z _ { 0 } ] - \pi } \right) + 2 \pi
\begin{array} { r l } { A } & { { } = r ^ { 2 } \left( \cot { \frac { \alpha } { 2 } } \cot { \frac { \beta } { 2 } } \cot { \frac { \gamma } { 2 } } \right) = r ^ { 2 } \left( { \frac { s - a } { r } } \cdot { \frac { s - b } { r } } \cdot { \frac { s - c } { r } } \right) } \end{array}
D = \frac { T ^ { 2 } } { 2 \pi } \left[ \underset { { \substack { \mathbf { x } \in X \, \omega \in \Omega } } } { \operatorname* { m a x } } \sum _ { r } \left| G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { r } , \omega ) \right| \right] \int _ { \Omega } \left| d _ { r , \omega , s } \right| d \omega
\mathcal { C } _ { 1 } = \operatorname { s p a n } \left\{ \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] \right\} , \mathcal { C } _ { 2 } = \operatorname { s p a n } \left\{ \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] \right\} .
M \left( \bar { q } q \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { M \left( \bar { u } u \right) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { M \left( \bar { d } d \right) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { M \left( \bar { s } s \right) } } \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ W _ { x } ^ { \delta } \big ] } & { = \mathbb { E } \big [ R _ { i } ^ { 2 \epsilon } \big ] \approx \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi \lambda _ { \mathrm { d } } u e ^ { - \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u ^ { 2 } } u ^ { 2 \epsilon } \mathrm { d } u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { t ^ { \epsilon } } { ( \lambda _ { \mathrm { d } } \pi ) ^ { \epsilon } } e ^ { - t } \mathrm { d } t = \frac { \Gamma ( \epsilon + 1 ) } { ( \lambda _ { \mathrm { d } } \pi ) ^ { \epsilon } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { \Delta _ { 2 } } = } & { { } \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } } \right) { \eta _ { 1 } } + \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 3 } } } \\ { + } & { { } \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } + \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 } } } \right) { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } . } \end{array}
L _ { g a u g e } = { \frac { \lambda _ { 1 } } { 4 } } F _ { \mu \nu } ^ { a } L _ { a b } \tilde { F } ^ { b \mu \nu } - { \frac { \lambda _ { 2 } } { 4 } } ( L M L ) _ { a b } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { \mu \nu b } { } ~ .
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { m ( S \otimes \mathrm { i d } ) \Delta ( H ) = S ( H ) + H = 0 ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { m ( S \otimes \mathrm { i d } ) \Delta ( X ^ { + } ) = S ( X ^ { + } ) q ^ { - H } + S ( q ^ { H } ) X ^ { + } = 0 ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { \mathbf { h } } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ - \bar { \mathbf { M } } \nabla ( \bar { \mu } + \omega p ) , \quad \quad \quad \quad } & { ( \mathrm { ~ M ~ o ~ d ~ e ~ l ~ I ~ } ) } \\ { \bar { \mathbf { h } } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ - \bar { \mathbf { M } } \nabla \left( \rho \bar { \upsilon } + \bar { \psi } \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { 2 } + \omega p \right) . \quad \quad \quad \quad } & { ( \mathrm { ~ M ~ o ~ d ~ e ~ l ~ I ~ I ~ } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq \tau } \| U ( s ) \| _ { p } ^ { p } + \int _ { 0 } ^ { \tau } \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \int _ { \mathbb T ^ { 3 } } | \nabla ( | U _ { j } ( s , x ) | ^ { p / 2 } ) | ^ { 2 } \, d x d s \right] \leq C _ { p } \mathbb E [ \| U _ { 0 } \| _ { p } ^ { p } + 1 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { { } = \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } P ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) d \mathbf { W } , \: \forall \: \mathbf { A } \in \mathbb { A } , } \\ { \langle C _ { \alpha } \rangle } & { { } = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) C _ { \alpha } ( \mathbf { W } ) d \mathbf { W } , \: \forall \: \alpha ; } \end{array}
Z [ J , K ] = e ^ { \frac { i } { \hbar } W [ J , K ] } = \int D \phi \: e ^ { \frac { i } { \hbar } \left[ S [ \phi ] + \int \phi ( y ) J ( y ) + \frac { 1 } { 2 } \int \int \phi ( y ) K ( y , z ) \phi ( z ) \right] } .
\begin{array} { r l r } & { } & { f _ { \tau } ( \tau ) = - \frac { g \Omega } { 2 \omega \gamma } \mathcal { S } ^ { y } ( \tau ) , } \\ & { } & { \left( \phi _ { \tau } ( \tau ) + \frac { G ( k ) } { \gamma } \right) f ( \tau ) = - \frac { g \Omega } { 2 \omega \gamma } \mathcal { S } ^ { x } , \; \; } \\ & { } & { \gamma = 1 - \frac { v _ { p } } { v } , \; \; v _ { p } = \frac { c _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega } k } \end{array}
\Gamma _ { \rho } ( q ^ { 2 } ) = \frac { \sqrt { q ^ { 2 } } } { 1 2 \pi g ^ { 2 } } \{ 1 + \frac { q ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } [ ( 1 - { \frac { 2 c } { g } } ) ^ { 2 } - 4 \pi ^ { 2 } c ^ { 2 } ] \} ^ { 2 } ( 1 - { \frac { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } .
\Delta I / I _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } \left( s , t \right) = g \left( \mathrm { ~ F ~ W ~ H ~ M ~ } , t \right) \ast \left[ H \left( t \right) \cdot \left( A \left( s \right) e ^ { - \frac { t } { \tau } } + B \left( s \right) \right) \right] .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H i g g s } ( { \mathcal X } ) } & { : = } & { \big \{ \mathrm { H i g g s ~ b u n d l e s ~ o n ~ { \mathcal ~ X } ~ } \big \} , } \\ { \mathrm { H i g g s } ^ { \mathrm { H \mathrm { - } s m } } ( { \mathcal X } ) } & { : = } & { \big \{ \mathrm { H i t c h i n - s m a l l ~ H i g g s ~ b u n d l e s ~ o n ~ { \mathcal ~ X } ~ } \big \} , } \\ { \mathrm { B u n } ( { \mathcal X } _ { v } ) } & { : = } & { \big \{ \mathrm { v - v e c t o r ~ b u n d l e s ~ o n ~ { \mathcal ~ X } ~ } \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } _ { x } ( T _ { x _ { n } } < \varepsilon _ { 0 } / 2 , T _ { x } > \varepsilon _ { 0 } ) } & { \leq \mathbf { P } _ { x } ( T _ { x _ { n } } < \varepsilon _ { 0 } / 2 , T _ { x } \circ \theta _ { T _ { x _ { n } } } > \varepsilon _ { 0 } / 2 ) } \\ & { = \mathbf { P } _ { x } ( T _ { x _ { n } } < \varepsilon _ { 0 } / 2 ) \mathbf { P } _ { x _ { n } } ( T _ { x } > \varepsilon _ { 0 } / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { \partial } { t } \left\langle D , f \right\rangle = \left\langle \frac { \partial } { \partial t } D , f \right\rangle + \left\langle D , \frac { \partial } { \partial t } f \right\rangle , } \end{array}
\mathcal { D B } ^ { ( j ) } = \left\{ \left( P _ { i } , \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \mathbf { U } _ { i } ^ { ( j ) } , \widehat { \mathbf { A } } _ { i } ^ { ( j ) } \right) \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { P } } \subset \mathsf { D } _ { \mathrm { t r a i n } } \times \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { N _ { x } ^ { 2 } \times r _ { j } } \times \mathbb { R } ^ { r _ { j } \times r _ { j } } .
\begin{array} { r l } { | \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 1 } ) | } & { \le | \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 1 } ) - \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) - d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) [ i _ { 1 } - i _ { 0 } ] | + | \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) + d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) [ i _ { 1 } - i _ { 0 } ] | } \\ & { \overset = | \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 1 } ) - \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) - d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) [ i _ { 1 } - i _ { 0 } ] | + \underbrace { | \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) - d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) [ ( d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) ) ^ { - 1 } [ \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) ] ] } _ { = 0 } } \\ & { \overset \lesssim \varepsilon | i _ { 1 } - i _ { 0 } | ^ { 2 } \overset \lesssim \varepsilon ( \varepsilon ^ { 6 - 2 b } \gamma ^ { - 1 } ) ^ { 2 } \overset = \varepsilon ^ { 1 3 - 8 b } . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 4 } ( F _ { \mu \nu } ^ { a } ) ^ { 2 } + \overline { { { \psi } } } _ { \mu } ^ { i } \left[ D \! \! \! \! \slash ^ { i j } \psi _ { \mu } ^ { j } - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { \alpha } D _ { \mu } ^ { i j } \psi _ { \alpha } ^ { j } - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { \mu } D _ { \alpha } ^ { i j } \psi _ { \alpha } ^ { j } + \frac { 3 } { 8 } \gamma _ { \mu } D \! \! \! \! \slash ^ { i j } \gamma _ { \alpha } \psi _ { \alpha } \right] .
\begin{array} { r } { R _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = \omega _ { i } \frac { \mathbf { c } _ { i } \cdot \left[ \partial _ { t } ( \phi \mathbf { u } ) + c _ { s } ^ { 2 } \frac { \nabla \phi } { | \nabla \phi | } \frac { 1 - \phi ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } W } \right] } { c _ { s } ^ { 2 } } . } \end{array}
\bigl | \iota _ { \varepsilon } \bigl ( \mathcal { R } ^ { \gamma } f - \bar { \mathcal { R } } ^ { \gamma } f \bigr ) ( \varphi _ { z } ^ { \lambda } ) \bigr | \lesssim ( \lambda \vee \mathfrak { e } ) ^ { \alpha \wedge \eta } \Big ( \Vert \bar { \Pi } ^ { \gamma } \Vert _ { \bar { K } } ^ { ( \mathfrak { e } ) } \ f ; \bar { f } \ _ { \zeta ; [ \varphi _ { z } ^ { \lambda } ] } ^ { ( \mathfrak { e } ) } + \Vert \Pi ^ { \gamma } - \bar { \Pi } ^ { \gamma } \Vert _ { \bar { K } } ^ { ( \mathfrak { e } ) } \ f \ _ { \zeta ; [ \varphi _ { z } ^ { \lambda } ] } ^ { ( \mathfrak { e } ) } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D ) } & { \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathsf { E } \Big [ ( 1 - \operatorname* { P r } \{ \pi ( Y ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq t | Y ^ { n } \} ) ^ { M } \Big ] \mathrm { d } t } \\ & { \leq \exp \left( - \frac { M } { \gamma } \right) + \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathsf { E } \Big [ \big | 1 - \gamma \operatorname* { P r } \{ \pi ( Y ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq t | Y ^ { n } \} \big | ^ { + } \Big ] \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { V _ { N } } \\ { I _ { N } } \end{array} \right] = \mathbf { F ^ { \prime } } \mathbf { T } ^ { N - 1 } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { Y } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( 1 - \frac { c } { 2 } ) N ( N - 1 ) | h ( 0 , 0 ) | x _ { 0 } ^ { N - 2 } \leq 3 a _ { 2 } ( \delta ) + ( 1 8 A C C _ { 5 } x _ { 0 } ^ { 2 } + 8 A C C _ { 6 } x _ { 0 } ) a _ { 2 } ( \delta ) } \\ & { } & { + x _ { 0 } ^ { N - 2 } N | h ( 0 , 0 ) | ( 1 8 A C C _ { 5 } x _ { 0 } ^ { 2 } + 8 A C C _ { 6 } x _ { 0 } ) } \\ & { \Rightarrow } & { N ( N - 1 ) | h ( 0 , 0 ) | x _ { 0 } ^ { N - 2 } [ ( 1 - \frac { c } { 2 } ) - \frac { 1 8 A C C _ { 5 } x _ { 0 } ^ { 2 } + 8 A C C _ { 6 } x _ { 0 } } { N - 1 } ] } \\ & { \leq } & { 3 a _ { 2 } ( \delta ) + ( 1 8 A C C _ { 5 } x _ { 0 } ^ { 2 } + 8 A C C _ { 6 } x _ { 0 } ) a _ { 2 } ( \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = ( \frac { l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) } { 1 - S _ { \infty } ^ { * } + l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) } ) ^ { - 1 } ( \frac { ( 1 - S _ { \infty } ^ { * } + l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) ) \cdot ( ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) ^ { - 1 } \frac { e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } } { e - 1 } ) - ( l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) ) \cdot ( - 1 + ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) ^ { - 1 } \frac { e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } } { e - 1 } ) } { ( 1 - S _ { \infty } ^ { * } + l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } ^ { * } } - 1 | } { e - 1 } ) ) ^ { 2 } } ) - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { V } & { = \sum _ { \mathbf { n } } \Big [ \big ( p ( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } ) k _ { \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } , \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } } - p ( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } ) k _ { \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } , \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } } \big ) \Delta x _ { 1 } ( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } ) \Big ] } \\ & { \quad + \sum _ { \mathbf { n } } \Big [ \big ( p ( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } ) k _ { \mathbf { n } , \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } } - p ( \mathbf { n } ) k _ { \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } , \mathbf { n } } \big ) \Delta x _ { 2 } ( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } ) \Big ] } \\ & { \quad - \sum _ { \mathbf { n } } \Big [ p ( \mathbf { n } ) \sum _ { i = n _ { \mathrm { p r e } } + n _ { \mathrm { m i d } } + 1 } ^ { N } \omega _ { \mathrm { o f f } } ( i , \mathbf { n } ) \Delta x _ { \mathrm { s l i p } } ( i , \mathbf { n } ) p ( i ) \Big ] } \\ & { \quad + \sum _ { \mathbf { n } } \Big [ p ( \mathbf { n } ^ { \prime } ) \sum _ { k = n _ { \mathrm { p r e } } + n _ { \mathrm { m i d } } + 1 } ^ { N } \omega _ { \mathrm { o n } } ^ { \prime } ( k , \mathbf { n } ^ { \prime } ) \Delta x _ { \mathrm { s l i p } } ( k , \mathbf { n } ) p ^ { \prime } ( k ) \Big ] , } \end{array}
\mathscr { P } ( \beta , v _ { e } , v _ { h } ) = \sqrt { \frac { \beta ^ { 3 } \Big ( 4 ( v _ { e } ^ { 4 } - v _ { e } ^ { 3 } v _ { h } + v _ { e } ^ { 2 } v _ { h } ^ { 2 } - v _ { e } v _ { h } ^ { 3 } + v _ { h } ^ { 4 } ) - 3 \beta ( v _ { e } ^ { 2 } - v _ { e } v _ { h } + v _ { h } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \Big ) } { ( v _ { e } ^ { 4 } + 2 v _ { e } ^ { 3 } v _ { h } - 5 v _ { e } ^ { 2 } v _ { h } ^ { 2 } + 2 v _ { e } v _ { h } ^ { 3 } + v _ { h } ^ { 4 } ) } } .
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal { N } _ { 1 } ( \psi _ { 1 } ) - \mathcal { N } _ { 1 } ( \psi _ { 2 } ) \right| } & { \leq C | \psi _ { 1 } | \left| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | \right| + \left| | \psi _ { 2 } | - 1 \right| \eta ( | \psi _ { 2 } | ) | \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } | , } \\ { \left| \mathcal { N } _ { 2 , \infty } ( \psi _ { 1 } ) - \mathcal { N } _ { 2 , \infty } ( \psi _ { 2 } ) \right| } & { \leq C \left| \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } \right| , } \\ { \left| \mathcal { N } _ { 2 , q } ( \psi _ { 1 } ) - \mathcal { N } _ { 2 , q } ( \psi _ { 2 } ) \right| } & { \leq C \left( | \psi _ { 1 } | ^ { 2 \alpha } + | \psi _ { 2 } | ^ { 2 \alpha } \right) \left| \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } \right| . } \end{array}
\mathcal { K } _ { N } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left\{ \frac { 2 \pi } { L } [ - N / 2 , . . . , 0 , . . . , N / 2 - 1 ] \right\} ^ { 3 } , } & { N \mathrm { ~ i ~ s ~ e ~ v ~ e ~ n ~ , ~ } } \\ { \left\{ \frac { 2 \pi } { L } [ - ( N - 1 ) / 2 , . . . , 0 , . . . , ( N - 1 ) / 2 ] \right\} ^ { 3 } , } & { N \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ d ~ d ~ , ~ } } \end{array} \right.
\tilde { \lambda } _ { 1 } = \operatorname { t r } ( \boldsymbol { S } ) , \; \tilde { \lambda } _ { 2 } = \operatorname { t r } ( \boldsymbol { S } ^ { 2 } ) , \; \tilde { \lambda } _ { 3 } = \operatorname { t r } ( \boldsymbol { S } ^ { 3 } ) , \; \tilde { \lambda } _ { 4 } = \operatorname { t r } ( \boldsymbol { R } ^ { 2 } ) , \; \tilde { \lambda } _ { 5 } = \operatorname { t r } ( \boldsymbol { S } \boldsymbol { R } ^ { 2 } ) , \; \tilde { \lambda } _ { 6 } = \operatorname { t r } ( \boldsymbol { S } ^ { 2 } \boldsymbol { R } ^ { 2 } ) , \; \tilde { \lambda } _ { 7 } = \operatorname { t r } ( \boldsymbol { S } ^ { 2 } \boldsymbol { R } ^ { 2 } \boldsymbol { S } \boldsymbol { R } )
\chi _ { n } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , t ) = \bigg [ \frac { 1 } { 1 + i ( t / \tau _ { n } ) } \bigg ] ^ { 3 / 2 } \exp \bigg [ - \frac { ( x _ { 1 } - \delta _ { n , 1 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \delta _ { n , 2 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 3 } - \delta _ { n , 3 } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { n } ^ { 2 } [ 1 + i ( t / \tau _ { n } ) ] } \bigg ] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial t } { u } _ { 1 } ( t ) } & { = } & { \; \frac { i } { 2 } { \Omega } _ { p } ( t ) u _ { 2 } ( t ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } { u } _ { 2 } ( t ) } & { = } & { - ( i \delta _ { p } + \gamma ) u _ { 2 } ( t ) + \; \frac { i } { 2 } { \Omega } _ { p } ( t ) u _ { 1 } ( t ) } \\ & { } & { + \; \frac { i } { 2 } { \Omega } _ { c } ( t ) u _ { 3 } ( t ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } { u } _ { 3 } ( t ) } & { = } & { - i ( \delta _ { p } - \delta _ { c } ) u _ { 3 } ( t ) + \; \frac { i } { 2 } { \Omega } _ { c } ( t ) u _ { 2 } ( t ) , } \end{array}