harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\beta ( p , k ) = - \frac { ( T _ { 0 } ^ { \prime } - T _ { 0 } ) ^ { 2 } \omega _ { k } q } { 4 \pi } \sqrt { \frac { 1 } { \omega _ { k } \omega _ { p } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! d y \frac { \sin ( \frac { 2 p } { q } y ) } { \mathrm { c o s h } ^ { 2 } ( y ) } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( y ) \sin ( \frac { 2 k } { q } y ) .
\widetilde { \boldsymbol { \phi } } = \frac { 1 } { \bar { \rho } } \int \wp ( \boldsymbol { \phi } ; \boldsymbol { x } , t ) \rho \boldsymbol { \phi } d \boldsymbol { \phi } = \frac { 1 } { \bar { \rho } } \left( \alpha \rho ^ { m } \boldsymbol { \phi } ^ { m } + \beta \rho ^ { * } \boldsymbol { \phi } ^ { * } \right)
T = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } - s } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac { 1 } { 2 } + s } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ .
\sum _ { m } ( X _ { m _ { 1 } } ^ { J _ { 1 } } ) _ { l m } ( X _ { m _ { 2 } } ^ { J _ { 2 } } ) _ { m n } = \sum _ { J , M } \left( \begin{array} { c c c } { { J _ { 1 } } } & { { J _ { 2 } } } & { { J } } \\ { { m _ { 1 } } } & { { m _ { 2 } } } & { { M } } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { c c c } { { J _ { 1 } } } & { { J _ { 2 } } } & { { J } } \\ { { S } } & { { S } } & { { S } } \end{array} \right\} ( X _ { M } ^ { J } ) _ { l n } ,
\pi = 3 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n + 1 } { \frac { \binom { 2 n + 1 } { 1 } } { { \binom { 2 n + 1 } { 2 } } { \binom { 2 n + 2 } { 2 } } } }
i \frac { \kappa } { 4 \pi } \frac { 1 } { \mu } f ^ { a b c } [ \mu \epsilon _ { \mu \nu \lambda } - ( r - q ) _ { \mu } \delta _ { \nu \lambda } - ( q - p ) _ { \lambda } \delta _ { \mu \nu } - ( p - r ) _ { \nu } \delta _ { \lambda \mu } ]
\int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \sqrt { \left( { \frac { d r } { d t } } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( { \frac { d \theta } { d t } } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \left( { \frac { d \phi } { d t } } \right) ^ { 2 } } } d t .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial w } { \partial y } - \frac { \partial v } { \partial z } } & { { } = \frac { w _ { i + 1 , j , k } ^ { t } - w _ { i - 1 , j , k } ^ { t } } { y _ { i + 1 } - y _ { i - 1 } } - \frac { v _ { i , j + 1 , k } ^ { t } - v _ { i , j + 1 , k } ^ { t } } { z _ { j + 1 } - z _ { j - 1 } } } \\ { \frac { \partial u } { \partial z } - \frac { \partial w } { \partial x } } & { { } = \frac { u _ { i + 1 , j , k } ^ { t } - u _ { i - 1 , j , k } ^ { t } } { z _ { i + 1 } - z _ { i - 1 } } - \frac { w _ { i , j + 1 , k } ^ { t } - w _ { i , j + 1 , k } ^ { t } } { x _ { j + 1 } - x _ { j - 1 } } } \\ { \frac { \partial v } { \partial x } - \frac { \partial u } { \partial y } } & { { } = \frac { v _ { i + 1 , j , k } ^ { t } - v _ { i - 1 , j , k } ^ { t } } { x _ { i + 1 } - x _ { i - 1 } } - \frac { u _ { i , j + 1 , k } ^ { t } - u _ { i , j + 1 , k } ^ { t } } { y _ { j + 1 } - y _ { j - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { K } \frac { \theta ^ { s + 1 } - \theta ^ { s } } { \Delta t } \phi + \int _ { e \subseteq \partial K } ( v \cdot \hat { n } ) \theta ^ { s } \phi - \int _ { K } \theta ( v \cdot \nabla \phi ) = \int _ { K } \theta ( \nabla \cdot v ) \phi , \quad \forall \phi \in P ^ { M _ { D G } } ( K ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { S } _ { 2 } ( z ) } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c } { a \! \left( f _ { 2 } \right) } & { a \! \left( f _ { 1 } \right) } \end{array} \right] \mathcal { G } _ { 1 } ^ { - 1 } ( z ) \left[ \begin{array} { c } { a ^ { \dag } \! \left( f _ { 2 } \right) } \\ { a ^ { \dag } \! \left( f _ { 1 } \right) } \end{array} \right] , } \\ { \mathcal { G } _ { 2 } ( z ) } & { = } & { H _ { \mathrm { e e } } - z - \left[ \begin{array} { c c } { a \! \left( f _ { 2 } \right) } & { a \! \left( f _ { 1 } \right) } \end{array} \right] \mathcal { G } _ { 1 } ^ { - 1 } ( z ) \left[ \begin{array} { c } { a ^ { \dag } \! \left( f _ { 2 } \right) } \\ { a ^ { \dag } \! \left( f _ { 1 } \right) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { T } ( t ) = } & { H + S _ { \alpha } ( t ) z ^ { \alpha } = \frac { { \left( Q _ { 1 } + Q _ { 2 } + w _ { 1 } \right) } ^ { 2 } } { 2 \, C _ { J 2 } } } \\ & { + h _ { 1 } ( \Phi _ { 1 } ) + h _ { 2 } ( \Phi _ { 2 } ) + \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \, C _ { J 1 } } - ( Q _ { 1 } + w _ { 1 } ) V _ { e } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } } & { : = [ u _ { 1 } ^ { T } \; u _ { 2 } ^ { T } \; . . . \; u _ { N } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { \Delta u } } & { : = [ ( u _ { 1 } - u _ { 0 } ) ^ { T } \; \; ( u _ { 2 } - u _ { 1 } ) ^ { T } \; . . . \; ( u _ { N } - u _ { N - 1 } ) ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { w } } & { : = [ w _ { 1 } ^ { T } \; w _ { 2 } ^ { T } \; . . . \; w _ { N } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { x } } & { : = [ x _ { 2 } ^ { T } \; x _ { 3 } ^ { T } \; . . . \; x _ { N + 1 } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { y } } & { : = [ y _ { 2 } ^ { T } \; y _ { 3 } ^ { T } \; . . . \; y _ { N + 1 } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { r } } & { : = [ r _ { 2 } ^ { T } \; r _ { 3 } ^ { T } \; . . . \; r _ { N + 1 } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { e } } & { : = [ e _ { 2 } ^ { T } \; e _ { 3 } ^ { T } \; . . . \; e _ { N + 1 } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { \hat { Q } _ { e } } & { : = \textbf { b l k d i a g ( } \underbrace { Q _ { e } , Q _ { e } \; . . . \; Q _ { e } } _ { \times N } \textbf { ) } } \\ { \hat { R } _ { u } } & { : = \textbf { b l k d i a g ( } \underbrace { R _ { u } , R _ { u } \; . . . \; R _ { u } } _ { \times N } \textbf { ) } } \\ { \hat { R } _ { \Delta u } } & { : = \textbf { b l k d i a g ( } \underbrace { R _ { \Delta u } , R _ { \Delta u } \; . . . \; R _ { \Delta u } } _ { \times N } \textbf { ) } } \\ { \hat { C } } & { : = \textbf { b l k d i a g ( } \underbrace { C , C \; . . . \; C } _ { \times N } \textbf { ) } } \end{array}
\Delta ( \vec { x } , t ) = \langle \eta ( \vec { x } , t ) \eta ( 0 , t ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } ~ e ^ { i \vec { k } . \vec { x } } \mid \varphi _ { k } ^ { H } ( t ) \mid ^ { 2 } \coth \left[ \beta _ { o } \hbar { \cal { W } } _ { k } ( t _ { o } ) / 2 \right] ,
1 / 2 \; = \; \langle P , 1 / 2 \, | \, J _ { 3 } \, | \, P , 1 / 2 \rangle \; = \; \langle P , 1 / 2 \, | \, \int d ^ { 3 } x \, M _ { 0 1 2 } ( x ) \, | \, P , 1 / 2 \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \hat { m } ^ { ( 1 ) } ( x , t ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } \mathcal { A } ^ { - j } F ^ { ( 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { A } ^ { j } - \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } \mathcal { A } ^ { - j } \mathcal { B } F ^ { ( - 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { j } + O ( t ^ { - 1 } \ln t ) } \\ & { = - i k _ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } \mathcal { A } ^ { - j } Z ( \zeta , t ) \mathcal { A } ^ { j } + i k _ { 1 } ^ { - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } \mathcal { A } ^ { - j } \mathcal { B } Z ( \zeta , t ) \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { j } + O ( t ^ { - 1 } \ln t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } ( x , y , } & { { } \theta ) = Q G \left( x \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) + y \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ; q _ { x } , \beta _ { x } ^ { q G } \right) } \\ { \rho _ { 2 } ( x , y , } & { { } \theta ) = Q G \left( x \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) - y \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ; q _ { x } , \beta _ { x } ^ { q G } \right) } \end{array}
\hat { \cal I } _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } = { \it g _ { 2 } } \bigg ( \hat { \theta } _ { \rho } \big ( - i \tilde { F } _ { \lambda \gamma , \sigma } + F _ { \lambda \gamma } \hat { P } _ { \sigma } - { \sqrt 2 } i \hat { \theta } _ { 5 } F _ { \lambda \gamma , \sigma } \big ) + \hat { \theta } _ { \lambda } \big ( - i \tilde { F } _ { \rho \sigma , \gamma } + F _ { \rho \sigma } \hat { P } _ { \gamma } - { \sqrt 2 } i \hat { \theta } _ { 5 } F _ { \rho \sigma , \gamma } \big ) \bigg ) \, ,
\hat { q } ^ { 4 } = 6 \langle \hat { q } ^ { 2 } \rangle \hat { q } ^ { 2 } - 8 \langle \hat { q } ^ { 3 } \rangle \hat { q } + 6 \langle \hat { q } \rangle ^ { 4 } - 3 \langle \hat { q } ^ { 2 } \rangle ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { L M } } & { { } = \sum _ { k \in L } \Big ( t _ { k 1 } ( \theta ( t ) ) \hat { d } _ { k } ^ { \dagger } \hat { d } _ { 1 } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \Big ) , } \\ { \hat { H } _ { R M } } & { { } = \sum _ { k \in R } \Big ( t _ { k 2 } ( \theta ( t ) + \phi ) \hat { d } _ { k } ^ { \dagger } \hat { d } _ { 2 } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } } & { \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } = 2 \int _ { M } u ( t ) \partial _ { t } u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { = 2 \int _ { M } \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } u ( t ) \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } + 2 \int _ { M } u ( t ) \Delta _ { \bar { g } } u _ { 2 } ( t ) \bigl ( \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } - \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 2 } ( t ) } \bigr ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { \qquad - 2 \int _ { M } \bar { K } u ( t ) ( \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } - \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 2 } ( t ) } ) d \mu _ { \bar { g } } - \frac 2 A \int _ { M } f ( \mathrm { e } ^ { 2 u _ { 1 } ( t ) } - \mathrm { e } ^ { 2 u _ { 2 } ( t ) } ) d \mu _ { \bar { g } } \int _ { M } u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { \le 2 \int _ { M } \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } u ( t ) \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) + 2 \int _ { M } V ( t , x ) u ^ { 2 } ( t ) + 2 \rho ( t ) \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } \int _ { M } | u ( t ) | d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { \le 2 \left( - \int _ { M } \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } | \nabla _ { \bar { g } } u ( t ) | _ { \bar { g } } ^ { 2 } + 2 \int _ { M } \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } u ( t ) \langle \nabla _ { \bar { g } } u _ { 1 } ( t ) , \nabla _ { \bar { g } } u ( t ) \rangle _ { \bar { g } } d \mu _ { \bar { g } } \right) } \\ & { \qquad + 2 \| V ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 p ^ { \prime } } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + C \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le C \| \nabla _ { \bar { g } } u _ { 1 } ( t ) \| _ { L ^ { 4 } ( M , \bar { g } ) } \| u ( t ) \| _ { L ^ { 4 } ( M , \bar { g } ) } \| \nabla _ { \bar { g } } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \qquad + 2 \| V ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 p ^ { \prime } } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + C \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le C \Bigl ( \| u _ { 1 } ( t ) \| _ { H ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } \| u ( t ) \| _ { H ^ { 1 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + 2 \| V ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } \| u ( t ) \| _ { H ^ { 1 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } \Bigr ) } \\ & { \le C \Bigl ( \| u _ { 1 } ( t ) \| _ { H ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } + 2 \| V ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } + 1 \Bigr ) \| u \| _ { H ^ { 1 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
H _ { o p } = \int d ^ { 3 } r \; \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \equiv \int d ^ { 3 } r \; \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) h \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 1 } } & { { } \equiv \mu = \langle { A } \rangle { } } \\ { \kappa _ { 2 } } & { { } \equiv \sigma ^ { 2 } = \langle { A ^ { 2 } } \rangle { } - \langle { A } \rangle { } ^ { 2 } } \\ { \kappa _ { 3 } } & { { } = \langle { A ^ { 3 } } \rangle { } - 3 \langle { A ^ { 2 } } \rangle { } \langle { A } \rangle { } + 2 \langle { A } \rangle { } ^ { 3 } } \\ { \kappa _ { 4 } } & { { } = \langle { A ^ { 4 } } \rangle { } - 4 \langle { A ^ { 3 } } \rangle { } \langle { A } \rangle { } - 3 \langle { A ^ { 2 } } \rangle { } ^ { 2 } + 1 2 \langle { A ^ { 2 } } \rangle { } \langle { A } \rangle { } ^ { 2 } - 6 \langle { A } \rangle { } ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - a } & { { } = ( b - \ln K ) T + c T \ln T } \\ { - { \frac { a } { c } } } & { { } = \left( { \frac { b - \ln K } { c } } + L \right) e ^ { L } } \\ { - { \frac { a } { c } } e ^ { \frac { b - \ln K } { c } } } & { { } = \left( L + { \frac { b - \ln K } { c } } \right) e ^ { L + { \frac { b - \ln K } { c } } } } \\ { L } & { { } = W \left( - { \frac { a } { c } } e ^ { \frac { b - \ln K } { c } } \right) + { \frac { \ln K - b } { c } } } \\ { T } & { { } = \exp \left( W \left( - { \frac { a } { c } } e ^ { \frac { b - \ln K } { c } } \right) + { \frac { \ln K - b } { c } } \right) . } \end{array}
\hat { \tilde { \mathrm { H } } } \rightarrow \hat { \tilde { \mathrm { H } } } + \beta _ { \mathrm { H , 0 } } + \sum _ { p > 0 } ( \beta _ { \mathrm { H , + } } ( p ) \rho ( p ) + \beta _ { \mathrm { H , - } } ( p ) \rho ( - p ) )
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \tilde { X } , \tilde { Y } \in [ 0 , N [ ) } & { = \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( - \frac { u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] ^ { 2 } ~ p _ { U } ( u ) \, d u } \\ & { = \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( - \frac { u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] ^ { 2 } \, d u . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { R _ { + 1 } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = ( \alpha - \rho _ { 1 } ) \frac { 1 + h _ { 1 } } { 2 } ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) } \\ { R _ { - 1 } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = \rho _ { 1 } \frac { 1 - h _ { 1 } } { 2 } ( 1 - \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } ) } \\ { R _ { + 2 } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = ( 1 - \alpha - \rho _ { 2 } ) \frac { 1 + h _ { 2 } } { 2 } ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) } \\ { R _ { - 2 } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = \rho _ { 2 } \frac { 1 - h _ { 2 } } { 2 } ( 1 - \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } ) } \end{array} \right.
N _ { g } ^ { * } = \underset { j } { \mathrm { a r g \, m a x } } \; \{ j \; | \; \omega _ { j } \sqrt { \bar { \rho } _ { 1 } } \leq k _ { N y q u i s t } , \; \omega _ { j } \sqrt { \bar { \rho } _ { 2 } } \leq k _ { N y q u i s t } \}
\P \left\{ H = \Big \lfloor p \left( 1 + \lfloor n \delta \rfloor \right) \Big \rfloor \right\} = \P \left\{ H = n p \delta \right\} = \frac { { \binom { n \delta } { n p \delta } } \cdot { \binom { n ( 1 - \delta ) - 1 } { n p ( 1 - \delta ) } } } { { \binom { n - 1 } { n p } } } \approx \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n \delta ( 1 - \delta ) p ( 1 - p ) } } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { P } \left( \eta \right) { = } \frac { 2 } { \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 4 } } d ^ { 4 } \mathbf { v } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } d \phi \, \rho _ { G } ( \mathbf { v } | \boldsymbol { \mu } , \Sigma ) \delta \left[ \eta { - } \eta \left( \mathbf { v } , \phi \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { } & { \sum _ { j \in J } x _ { i j } } & { \le \overline { { s } } _ { i } , } & { \qquad } & { \forall i \in I , } \\ & { \underline { { d } } _ { j } \le } & { \ \sum _ { i \in I } x _ { i j } } & { \le \overline { { d } } _ { j } , } & & { \forall j \in J , } \\ & { } & { x _ { i j } } & { \ge 0 , } & & { \forall i \in I , j \in J . } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { 2 } ^ { \star } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ^ { ( 0 ) } = { \mathrm { i } } \, \hbar \, { \mathsf \Delta } _ { \textrm { \tiny B V } } \, \mathsf { H } ( \delta _ { x _ { 1 } } \odot _ { \star } \delta _ { x _ { 2 } } ) = - { \mathrm { i } } \, \hbar \, \mathsf { G } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) = - { \mathrm { i } } \, \hbar \, \int _ { k } \, \frac { { \mathrm { e } } ^ { - { \mathrm { i } } \, k \cdot ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } } { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \ , } \end{array}
{ \frac { \frac { d \sigma ^ { p p \to p + \pi + B } } { d \alpha _ { B } d ^ { 2 } p _ { t B } d \theta _ { c . m . } ( p \pi ) } } { { \frac { d \sigma ^ { p \pi \to p + \pi } } { d \theta _ { c . m . } } } ( s _ { p \pi } ) } } = { \frac { \frac { d \sigma ^ { \gamma _ { L } ^ { * } + p \to \pi + B } ( Q ^ { 2 } ) } { d \alpha _ { B } d ^ { 2 } p _ { t } } } { \sigma ^ { \gamma _ { L } ^ { * } + \pi \to \pi } ( Q ^ { 2 } ) } } .
\left( \begin{array} { l } { { \dot { b } ( t ) } } \\ { { \dot { c } ^ { \dagger } ( t ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { b ( t ) } } \\ { { c ^ { \dagger } ( t ) } } \end{array} \right)
E ( v q ) - E ( v ) E ( q ) = \frac { < \{ \hat { Q } , \hat { P } \} > _ { \psi } } { 2 } \, ; \; \; \; \; \; \hat { Q } = \hat { q } - < \hat { q } > _ { \psi } \, , \; \; \hat { P } = \frac { \hat { p } - < \hat { p } > _ { \psi } } { m } \, ,
\begin{array} { r l } { X \propto } & { \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { o u t } } } { \partial l } \propto B _ { \mathrm { R F } } \cdot \frac { 1 } { \left( \omega _ { \mathrm { R F } } - \Omega _ { L } \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } , } \\ { Y \propto } & { \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { i n } } } { \partial l } \propto B _ { \mathrm { R F } } \cdot \frac { \left( \omega _ { \mathrm { R F } } - \Omega _ { L } \right) / \gamma } { \left( \omega _ { \mathrm { R F } } - \Omega _ { L } \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } , } \\ { R = } & { \sqrt { X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } } = | X + i Y | \propto B _ { \mathrm { R F } } \cdot \left| \frac { 1 + i \left( \omega _ { \mathrm { R F } } - \Omega _ { L } \right) / \gamma } { \left( \omega _ { \mathrm { R F } } - \Omega _ { L } \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } \right| . } \end{array}
{ \cal L } _ { F } = - \frac { 1 } { 2 } \langle F _ { a } ^ { \prime } F _ { b } ^ { \prime } \{ T _ { a } ^ { \prime } , T _ { b } ^ { \prime } \} + F _ { a } F _ { b } \{ T _ { a } , T _ { b } \} \rangle _ { s } .
\langle \frac { \boldsymbol { F } } { m } \cdot \nabla _ { \boldsymbol { v } } g \rangle = \langle \boldsymbol { F } \rangle = \langle \boldsymbol { F } ^ { c o n t a c t } + \boldsymbol { F } ^ { d r a g } \rangle = \langle \boldsymbol { F } ^ { d r a g } \rangle = \langle \widetilde { \alpha } ^ { l } \left( \boldsymbol { u } _ { o } ^ { l } - \boldsymbol { v } ^ { l } \right) \left| \boldsymbol { u } _ { o } ^ { l } - \boldsymbol { v } ^ { l } \right| \rangle
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \ln \left( g _ { \alpha } ^ { \textrm { c l } } ( \tilde { \sigma } _ { k } ) \right) } { 1 - \alpha } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } \frac { 1 - \prod _ { k = 1 } ^ { n } g _ { p } ^ { \textrm { c l } } ( \tilde { \sigma } _ { k } ) } { \alpha - 1 } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathcal { S } ^ { \textrm { c l } } ( \tilde { \sigma } _ { k } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Im \left[ \left( \mathbf { E } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \chi } _ { s } \cdot \mathbf { E } \right) \mathbf { k } ^ { * } \right] } & { { } = \Im [ \left( \mathbf { E } ^ { * } \cdot ( \boldsymbol { \chi } _ { s } ) _ { H } \cdot \mathbf { E } \right) ( - i \boldsymbol { \kappa } _ { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { a } ^ { b } \left[ \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } | D \psi | ^ { 2 } + \frac { | \psi | ^ { 2 } } { r } + \frac { | \psi | ^ { 2 } } { V - c } \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) \right] d r } \\ { = \frac { 1 } { V _ { I } - c } \left[ \frac { 2 } { i \rho k ^ { 3 } } \left( i k c K _ { e } - D _ { e } \right) - \frac { D V _ { I } } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } } | \psi | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r } { \mathrm { d } X _ { t } ^ { ( 1 ) } = 5 X _ { t } ^ { ( 2 ) } \, \mathrm { d } t + 7 \varepsilon \sqrt { 1 + \left( X _ { t } ^ { ( 2 ) } \right) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { 1 } , } \\ { \mathrm { d } X _ { t } ^ { ( 2 ) } = 6 X _ { t } ^ { ( 1 ) } \, \mathrm { d } t + 8 \varepsilon \sqrt { 1 + \left( X _ { t } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left( \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { K } _ { 1 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] + j \omega \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { M } _ { 1 1 } } & { \mathbf { M } _ { 1 2 } } \\ { \mathbf { M } _ { 1 2 } ^ { \top } } & { \mathbf { M } _ { 2 2 } } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \varphi } _ { 1 } } \\ { \boldsymbol { \varphi } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { r } _ { 1 } } \\ { \mathbf { r } _ { 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \operatorname { \Pi } [ \nabla \boldsymbol { U } ] + \boldsymbol { B } ( \boldsymbol { U } \cdot \boldsymbol { \nu } ) , \operatorname { \Pi } [ \nabla \boldsymbol { \Psi } ] + \boldsymbol { B } ( \boldsymbol { \Psi } \cdot \boldsymbol { \nu } ) \rangle _ { \mathcal { S } } } & { } \\ { + \langle \boldsymbol { U } , \boldsymbol { \Psi } \rangle _ { \mathcal { S } } + C _ { N } \langle \boldsymbol { U } \cdot \boldsymbol { \nu } , \boldsymbol { \Psi } \cdot \boldsymbol { \nu } \rangle _ { \mathcal { S } } } & { = \langle \boldsymbol { f } , \boldsymbol { \Psi } \rangle _ { \mathcal { S } } } & { \forall \boldsymbol { \Psi } \in [ H ^ { 1 } ( \mathcal { S } ) ] ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { n } \right> } & { \overset { = } - \left< D _ { \gamma _ { k } } \left< \Lambda _ { \gamma _ { k } } A U , L \right> _ { N _ { 0 } } , \psi _ { n } \right> } \\ & { = - \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { 0 } } \tilde { \gamma } _ { k , l } A _ { L _ { l } } U \left< D _ { \gamma _ { k } } L _ { l } , \psi _ { n } \right> } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { f ^ { \prime } \! ( x ) } { f \! ( x ) } } { \frac { n p q } { n p \! \, - \! \, k } } \! } & { { } = { \frac { p \left( n , k + 1 \right) - p \left( n , k \right) } { p \left( n , k \right) } } { \frac { \sqrt { n p q } } { - c } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim \cal F _ { \lambda , \mu } = } & { \dim \cal F _ { ( \lambda _ { 1 } + 1 ) \omega _ { 1 } , ( \mu _ { 1 } - 1 ) \omega _ { 1 } } + \dim \operatorname { K e r } \phi ( \lambda , \mu ) } \\ { \leq } & { \dim \cal F _ { ( \lambda _ { 1 } + 1 ) \omega _ { 1 } , ( \mu _ { 1 } - 1 ) \omega _ { 1 } } + \dim V ( ( \lambda _ { 1 } - \mu _ { 1 } ) \omega _ { 1 } + \mu _ { 1 } \omega _ { 2 } ) . } \end{array}
\lambda _ { 1 } = \lambda _ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 } } ( g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } ) , ~ ~ \lambda _ { 3 } = - { \frac { 1 } { 4 } } g _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } g _ { 2 } ^ { 2 } , ~ ~ \lambda _ { 4 } = - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { 2 } ^ { 2 } , { } ~ ~ \lambda _ { 5 } = 0 .
\begin{array} { r } { \overline { { C } } _ { p } = \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \Delta t } \frac { c _ { y } \dot { y } ^ { 2 } + c _ { \theta } \dot { \theta } ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { \infty } ^ { 3 } b c } d t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { t } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) = \frac { ( n + \alpha + \beta + 2 ) ( m + \alpha + \beta + 1 ) } { 2 ( n ( n + \alpha + \beta + 2 ) - m ( m + \alpha + \beta + 1 ) ) } \; \cdot } \\ & { \Bigg ( \frac { t } { m + \alpha + \beta + 1 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 1 , \alpha , \beta , \alpha + 2 , \beta + 1 ) } { ( n - 1 , m ) } - \frac { t } { n + \alpha + \beta + 2 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 2 , \beta + 1 ) } { ( n , m - 1 ) } } \\ & { + \frac { 1 } { n + \alpha + \beta + 2 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 ) } { ( n , m - 1 ) } \Bigg ) , \quad t > 0 , } \end{array}