harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
v ^ { 2 } \simeq { \frac { - m _ { 1 } ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } } , ~ ~ ~ u \simeq { \frac { - \mu _ { 1 2 } ^ { 2 } v } { m _ { 2 } ^ { 2 } + ( \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } ) v ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { | J _ { 1 } | } & { \le \frac 1 4 \| \tilde { u } _ { x x } \| ^ { 2 } + C \left( \| \tilde { v } \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } \| ^ { 2 } \right) } \\ & { \le \frac 1 4 \| \tilde { u } _ { x x } \| ^ { 2 } + C \left( \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
p _ { k } ( \tilde { u } _ { j } ^ { n + 1 } ) = p _ { k } ( \theta ( \tilde { u } _ { j } ^ { n + 1 } ) ^ { \mathrm { p r e v } } + ( 1 - \theta ) \tilde { u } _ { j } ^ { \mathrm { l o w } , n + 1 } ) \ge \theta p _ { k } ( ( \tilde { u } _ { j } ^ { n + 1 } ) ^ { \mathrm { p r e v } } ) + ( 1 - \theta ) p _ { k } ( \tilde { u } _ { j } ^ { \mathrm { l o w } , n + 1 } ) \ge \epsilon _ { j } , \qquad j = 0 , N
\begin{array} { r l } & { \langle R | _ { 4 } \otimes \langle p _ { 0 } | V _ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | R G R \rangle - | R R G \rangle ) \otimes | B \rangle _ { 4 } } \\ { \equiv } & { \langle B | _ { 4 } \otimes \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \langle R G R | - \langle R R G | ) V _ { 1 } | p _ { 0 } \rangle \otimes | R \rangle _ { 4 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { h y b } } & { = \tilde { f } _ { d } \left( { 1 + f _ { e } } \right) l _ { \mathrm { \tiny ~ R A N S } } + \left( { 1 - \tilde { f } _ { d } } \right) l _ { \mathrm { \tiny ~ L E S } } } \\ & { \mathrm { w i t h } \ \ \ \tilde { f } _ { d } = \operatorname* { m a x } { \{ ( 1 - f _ { d t } ) , f _ { B } \} } } \\ & { \mathrm { a n d } \ \ \ f _ { d t } = 1 - \operatorname { t a n h } { \left[ { \left( 1 6 r _ { d t } \right) } ^ { 3 } \right] } \ \ \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ln ( a _ { \uparrow \downarrow } / a ) = \sqrt { \frac { \pi } 2 } \left( \frac { a _ { z } } { a ^ { \mathrm { 3 D } } } - \frac { a _ { z } } { a _ { \uparrow \downarrow } ^ { \mathrm { 3 D } } } \right) . } \end{array}
\langle M _ { a p } ^ { 2 } \rangle ( \theta ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \theta } { \frac { \phi d \phi } { \theta ^ { 2 } } } \left[ \xi _ { + + } ( \phi ) + \xi _ { \times \times } ( \phi ) \right] T _ { + } \left( { \frac { \phi } { \theta } } \right) = \int _ { 0 } ^ { 2 \theta } { \frac { \phi d \phi } { \theta ^ { 2 } } } \left[ \xi _ { + + } ( \phi ) - \xi _ { \times \times } ( \phi ) \right] T _ { - } \left( { \frac { \phi } { \theta } } \right)
V ( m ) = \frac { N } { 4 \pi } \int ( 1 + \frac { g } { 4 \pi } \mathrm { l n } ( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } + 1 ) ) ( \mathrm { l n } ( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } + 1 ) - \frac { 2 } { 1 + \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } ) d m ^ { 2 } .
\beta _ { k } = \left( \frac { 1 7 . 3 } { R e _ { s , k } } + 0 . 3 3 6 \right) \frac { \rho _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } _ { k } | } { d _ { k } } \epsilon _ { k } \epsilon _ { g } ^ { - 1 . 8 } ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { x c } } = } & { \int f _ { \mathrm { x c } } ( \{ n _ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) \} , \{ \gamma _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } ) \} , } \\ & { \{ \tau _ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) \} , \{ \nabla ^ { 2 } n _ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) \} ) \mathrm { d } ^ { 3 } r . } \end{array}
x \equiv { \left\{ \begin{array} { l l } { \pm \; a ^ { ( n + 3 ) / 8 } { \pmod { n } } } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } a { \mathrm { ~ i s ~ a ~ q u a r t i c ~ r e s i d u e ~ m o d u l o ~ } } n } \\ { \pm \; a ^ { ( n + 3 ) / 8 } 2 ^ { ( n - 1 ) / 4 } { \pmod { n } } } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } a { \mathrm { ~ i s ~ a ~ q u a r t i c ~ n o n - r e s i d u e ~ m o d u l o ~ } } n } \end{array} \right. }
d s ^ { 2 } = - { \frac { r } { ( 2 M - r ) } } \, d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \, d \theta ^ { 2 } + { \frac { ( 2 M - r ) } { r } } \, d t ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \, d \phi ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } _ { u } \! \left( X [ 0 , M ] \cap A \neq \emptyset \ \mathrm { a n d } \ \not \exists 0 < j < \ell \leq \tau _ { A } : X _ { j } = X _ { \ell } \ \mathrm { a n d } \ \not \exists j \leq \tau _ { A } : X _ { j } \in y [ 0 , i M ] \cup ( T \setminus A ) \right) } \\ & { \leq \mathbb { P } _ { u } \! \left( X [ 0 , M ] \cap A \neq \emptyset \right) } \\ & { \leq \mathrm { C a p } _ { M } ( A ) + \frac { 3 | A | \log n \cdot t _ { \mathrm { m i x } } } { \delta n } \leq \mathrm { C a p } _ { M } ( A ) \left( 1 + \frac { { t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } } } { \delta ^ { 2 } M } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ g \right] _ { X } } & { = \left( \begin{array} { l l l l l l } { a _ { 0 0 } } & { a _ { 0 1 } } & { a _ { 0 2 } } & { a _ { 0 3 } } & { \dots } & { a _ { 0 m } } \\ { a _ { 1 0 } } & { a _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { a _ { 2 0 } } & { 0 } & { a _ { 2 2 } } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { a _ { m m } } \end{array} \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \prod _ { p \, \in \, \mathbb { P } } \left( { \frac { 1 } { 1 - { \frac { 1 } { p ^ { s } } } } } \right) } & { = \prod _ { p \ \in \ \mathbb { P } } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { p ^ { k s } } } \right) } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { s } } } = \zeta ( s ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \gamma = 0 \ \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ : ~ } } & { { } \quad \tilde { Q } ^ { * } ( \tilde { \omega } , \gamma = 0 , \kappa , \chi ) = \tilde { Q } ( \tilde { \omega } ^ { * } , \gamma = 0 , \kappa , \chi ) } \\ { \kappa = \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 m _ { 0 } } \gamma \ \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ : ~ } } & { { } \quad \sigma _ { x } \tilde { Q } ^ { \dagger } ( \tilde { \omega } , \kappa = \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 m _ { 0 } } \gamma , \chi ) \sigma _ { x } = \tilde { Q } ( \tilde { \omega } ^ { * } , \kappa = \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 m _ { 0 } } \gamma , \chi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 4 \pi } { | \mathbf v | } \frac { \partial J _ { \omega , 0 } } { \partial t } + \frac { 4 \pi } { 3 } \nabla \cdot \mathbf J _ { \omega , 1 } } & { { } = - \frac { 4 \pi } { | \mathbf v | \tau _ { \omega } } ( J _ { \omega , 0 } - I _ { \omega } ^ { 0 } ) , } \\ { \frac { 1 } { | \mathbf v | } \frac { \partial \mathbf J _ { \omega , 1 } } { \partial t } + \nabla J _ { \omega , 0 } } & { { } = - \frac { 1 } { | \mathbf v | \tau _ { \omega } } \mathbf J _ { \omega , 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { X } | } & { = \big | \sum _ { i j k \ell ( d i s t ) } \tilde { \Omega } _ { i j } \theta _ { j } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { i } \big | \lesssim \sum _ { i j k \ell } \tilde { \beta } _ { i } \theta _ { i } ^ { 2 } \beta _ { j } \theta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } . } \end{array}
\hat { B } _ { n m } ( \omega ) = - { \frac { 2 \coth ( { \frac { \omega } { 2 } } ) \sinh \Bigl ( { \frac { n \omega } { 2 } } \Bigr ) \sinh \Bigl ( { \frac { m \omega } { 2 } } \Bigr ) } { \sinh ( { \frac { \nu \omega } { 2 } } ) } } .
\begin{array} { r l } { \mathit { T T S ( t _ { s } ) } } & { = \mathit { t _ { s } } \cdot \mathit { R ( t _ { s } ) } , \mathrm { w i t h } } \\ { \mathit { R ( t _ { s } ) } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \ln ( 1 - \eta ) } { \ln ( 1 - p _ { s } ( t _ { s } ) ) } } & { p _ { s } ( t _ { s } ) \in ( 0 , \eta ) } \\ { 1 } & { p _ { s } ( t _ { s } ) \in [ \eta , 1 ] } \end{array} \right. . } \end{array}
. A s t h i s p a i r o f p o i n t s i s f u r t h e r a p a r t t h a n a n y o t h e r p a i r i n t h i s b i j e c t i o n , t h e b o t t l e n e c k d i s t a n c e f o r t h e t w o n e t w o r k s i s \emph { a t m o s t t h r e e } , s i n c e w e t a k e a n i n f i m u m o v e r a l l p o s s i b l e b i j e c t i o n s . C o n v e r s e l y , t h e r e i s n o i n t e r v a l i n t h e h e x a g o n a l p e r s i s t e n c e d i a g r a m t h a t i s c l o s e r t o
c { \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } g _ { 2 } ^ { 2 } } { g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } } } \left| { \tilde { \phi } _ { 2 } } ^ { \dagger } \phi _ { 1 } \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { W ( \xi _ { 1 } ) - W ( \xi _ { 2 } ) } } & { = - \frac { 2 } { \mathcal { C } _ { \alpha } } \frac { 1 } { \xi _ { 1 } | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } - \xi _ { 2 } | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } } + W _ { r , 2 } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) } \\ & { = - \frac { 2 } { \mathcal { C } _ { \alpha } } \mathtt { M } ^ { - \alpha } \frac { 1 } { i _ { \xi , 1 } | i _ { \xi , 1 } | ^ { \alpha - 1 } - i _ { \xi , 2 } | i _ { \xi , 2 } | ^ { \alpha - 1 } } + W _ { r , 2 } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \sigma } \left( \mathbf { k } \right) } & { \rightarrow \sigma N ^ { - 1 } k _ { x } / \sqrt { k _ { z } ^ { 2 } } } \\ { \Gamma _ { \alpha \beta \gamma } ^ { 2 } \rightarrow } & { \left( \sqrt { k _ { \alpha z } ^ { 2 } } + \sqrt { k _ { \beta z } ^ { 2 } } + \sqrt { k _ { \gamma z } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { n c C o M } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = } & { \nabla _ { p } \times \left( I _ { \mathrm { C o M } x } \mathbf { e } _ { p x } + I _ { \mathrm { C o M } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { p y } \right) } \\ { = } & { \frac { \partial } { \partial x _ { p } } I _ { \mathrm { C o M } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) - \frac { \partial } { \partial y _ { p } } I _ { \mathrm { C o M } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) } \\ { = } & { \frac { \partial x _ { 0 } } { \partial x _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } y } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial y _ { 0 } } { \partial x _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } y } } { \partial y _ { 0 } } - \frac { \partial x _ { 0 } } { \partial y _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } x } } { \partial x _ { 0 } } - \frac { \partial y _ { 0 } } { \partial y _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } x } } { \partial y _ { 0 } } } \\ { = } & { \cos \theta \left( \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } y } } { \partial x _ { 0 } } - \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } x } } { \partial y _ { 0 } } \right) - \sin \theta \left( \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } y } } { \partial y _ { 0 } } + \frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } x } } { \partial x _ { 0 } } \right) } \\ { = } & { I _ { \mathrm { c C o M } } ( \mathbf { r } _ { p } ) \cos \theta - I _ { \mathrm { d C o M } } ( \mathbf { r } _ { p } ) \sin \theta } \\ { = } & { - I _ { \mathrm { d C o M } } ( \mathbf { r } _ { p } ) \sin \theta } \end{array}
B _ { e f f } ( \vec { R } _ { p } ) = - 4 \pi \kappa \varepsilon _ { i j } \partial _ { i } a _ { j } ( \vec { R } _ { p } ) \; \; \; , \; \; \; \partial _ { i } \equiv \frac { \partial } { \partial R _ { p } ^ { i } } \; \; .
\frac { \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } e c } { \Omega _ { e } } \int \int d ^ { 3 } x \nabla _ { \perp } \boldsymbol { \cdot } \frac { v _ { g y , \parallel } } { c } F _ { e } ( x , v _ { g y , \parallel } ) \frac { 1 } { B ( \textbf { x } ) } \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } \hat { \chi } ( \textbf { x } ) d t d \Omega _ { g y }
\begin{array} { r } { C _ { i } = \rho _ { i } c _ { i } , \quad \tau \partial _ { t t } T _ { 1 } + \partial _ { t } T _ { 1 } = \Lambda \Delta T _ { 1 } + l ^ { 2 } \partial _ { t } \Delta T _ { 1 } - \gamma \Delta \Delta T _ { 1 } + Q _ { 1 } + Q _ { 2 } + \frac { C _ { 2 } } { h ( C _ { 1 } + C _ { 2 } ) } \partial _ { t } Q _ { 1 } - \frac { \lambda _ { 2 } } { h ( C _ { 1 } + C _ { 2 } ) } \Delta Q _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d \Gamma _ { \mathrm { \tiny ~ [ V M D , i n t ] } } } { d m _ { \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } } } } & { { = } } \\ { { f r a c { 1 } { 2 } \frac { 1 } { 2 5 6 \pi ^ { 3 } } \frac { m _ { \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } } { m _ { \phi } } \left( 1 - \frac { m _ { \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } } { m _ { \phi } ^ { 2 } } \right) \sqrt { 1 - \frac { 4 m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } } { m _ { \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } } } } } \\ { { } } & { { \times \ { \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } } d x A _ { \mathrm { [ V M D , i n t ] } } ( m _ { \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } , x ) \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k \colon 2 ^ { k } < 2 ^ { - j } / ( | y _ { 3 } | + | z _ { 3 } | ) } ( 2 ^ { k } | y _ { 2 } | ) ^ { \beta _ { 2 } + 1 } ( 2 ^ { k } | z _ { 2 } | ) ^ { \gamma _ { 2 } + 1 } ( 2 ^ { j + k } | y _ { 3 } | ) ^ { \beta _ { 3 } + 1 } ( 2 ^ { j + k } | z _ { 3 } | ) ^ { \gamma _ { 3 } + 1 } } \\ & { + \sum _ { k \colon 2 ^ { k } \ge 2 ^ { - j } / ( | y _ { 3 } | + | z _ { 3 } | ) \ge 2 ^ { - j } / ( 2 | y _ { 3 } | ) } ( 2 ^ { k } | y _ { 2 } | ) ^ { \beta _ { 2 } + 1 } ( 2 ^ { k } | z _ { 2 } | ) ^ { \gamma _ { 2 } + 1 } ( 2 ^ { j + k } | y _ { 3 } | ) ^ { \beta _ { 3 } + 1 - N } ( 2 ^ { j + k } | z _ { 3 } | ) ^ { \gamma _ { 3 } + 1 } } \\ & { + \sum _ { k \colon 2 ^ { k } \ge 2 ^ { - j } / ( | y _ { 3 } | + | z _ { 3 } | ) > 2 ^ { - j } / ( 2 | z _ { 3 } | ) } ( 2 ^ { k } | y _ { 2 } | ) ^ { \beta _ { 2 } + 1 } ( 2 ^ { k } | z _ { 2 } | ) ^ { \gamma _ { 2 } + 1 } ( 2 ^ { j + k } | y _ { 3 } | ) ^ { \beta _ { 3 } + 1 } ( 2 ^ { j + k } | z _ { 3 } | ) ^ { \gamma _ { 3 } + 1 - N } } \\ & { \lesssim \frac { | y _ { 2 } | ^ { \beta _ { 2 } + 1 } } { [ 2 ^ { j } ( | y _ { 3 } | + | z _ { 3 } | ) ] ^ { \beta _ { 2 } + 1 } } \cdot \frac { | z _ { 2 } | ^ { \gamma _ { 2 } + 1 } } { [ 2 ^ { j } ( | y _ { 3 } | + | z _ { 3 } | ) ] ^ { \gamma _ { 2 } + 1 } } \cdot \frac { | y _ { 3 } | ^ { \beta _ { 3 } + 1 } } { ( | y _ { 3 } | + | z _ { 3 } | ) ^ { \beta _ { 3 } + 1 } } \cdot \frac { | z _ { 3 } | ^ { \gamma _ { 3 } + 1 } } { ( | y _ { 3 } | + | z _ { 3 } | ) ^ { \gamma _ { 3 } + 1 } } = : I _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { F F T } [ \rho ( \mathbf { r } ) ] - \rho ( \mathbf { G } ) } & { = \Big ( \frac { 1 } { N } \sum _ { G ^ { \prime } } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { N } e ^ { - i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } _ { n } } e ^ { i \mathbf { G } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } _ { n } } \rho ( \mathbf { G } ^ { \prime } ) \Big ) - \rho ( \mathbf { G } ) } \\ & { = \sum _ { G ^ { \prime } > \sqrt { 2 E _ { \mathrm { c u t } } } } \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N } e ^ { - i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } _ { n } } e ^ { i \mathbf { G } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } _ { n } } \rho ( \mathbf { G } ^ { \prime } ) } \\ & { \lesssim \sum _ { G ^ { \prime } > \sqrt { 2 E _ { \mathrm { c u t } } } } \rho ( \mathbf { G } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\alpha _ { i k } ( \omega _ { j } ) = \frac { 1 } { \hbar } \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } p _ { i n } p _ { n k } \left( \frac { 1 } { W _ { n i } - \omega _ { j } } + \frac { 1 } { W _ { n k } + \omega _ { j } } \right) .
\widetilde { S _ { d } } = - 2 \widetilde { \alpha _ { 0 } } \kappa + \frac { 1 \rho _ { 0 } } { 3 \rho _ { u } } \left[ U _ { r , 0 } - \frac { r _ { 0 } } { r _ { i n } } \frac { d r _ { i n } } { d t } \right]
\{ v _ { \Delta } ^ { I } , v _ { \Delta } ^ { J } , v _ { \Delta } ^ { K } , v _ { \Delta } ^ { L 1 } , v _ { \Delta } ^ { L 2 } , v _ { \Delta } ^ { M 1 } , v _ { \Delta } ^ { M 2 } , v _ { \Delta } ^ { N 1 } , v _ { \Delta } ^ { N 2 } \}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \nu _ { \mathrm { c m } } } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } } & { = } & { \frac { d \nu _ { \mathrm { c m } } } { d ( y ^ { 2 } ) } \Big | _ { y _ { \mathrm { m a } } } \frac { d ( y ^ { 2 } ) } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } } \\ { \frac { d t _ { \mathrm { c m } } } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } } & { = } & { \frac { d t _ { \mathrm { c m } } } { d ( y ^ { 2 } ) } \Big | _ { y _ { \mathrm { m a } } } \frac { d ( y ^ { 2 } ) } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } } \end{array}
E = \frac { m _ { e } } { q _ { e } } \left( \frac { \partial u _ { e } } { \partial t } + u _ { e } \frac { \partial u _ { e } } { \partial z } \right) + \frac { 1 } { n q _ { e } } \frac { \partial P _ { e } } { \partial z } + \frac { R _ { e i } } { n q _ { e } } ,
\begin{array} { r l r } & { ( 2 ) } & { \sum _ { p = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \partial ^ { n - p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { n - p } } \sum _ { I } c _ { I } ( n - p - | I | ) A ^ { n - p - | I | - 1 } ( \frac { \partial A } { \partial u } ) ^ { i _ { 1 } + 1 } ( \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial u ^ { 2 } } ) ^ { i _ { 2 } } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } A } { \partial u ^ { p } } ) ^ { i _ { p } } , } \end{array}
{ \tilde { \mathcal { Q } } } _ { \alpha } ^ { t } = \left\{ Q \ll P : \operatorname { E } \left[ { \frac { d Q } { d P } } \mid { \mathcal { F } } _ { \tau + 1 } \right] \leq \alpha _ { t } ^ { - 1 } \operatorname { E } \left[ { \frac { d Q } { d P } } \mid { \mathcal { F } } _ { \tau } \right] \; \forall \tau \geq t { \mathrm { ~ a . s . } } \right\} .
\mathcal { A } _ { \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \beta } } ^ { \mathrm { a d i a b } } = \sum _ { j } U _ { m } ( x _ { 1 } ) _ { \beta j } \exp \left( - i \left\{ \delta _ { j } + \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { 1 } } \mathrm { d } x ^ { \prime } E _ { j } ( x ^ { \prime } ) \right\} \right) U _ { m } ^ { * } ( x _ { 0 } ) _ { \alpha j } \, .
V _ { \mathrm { 0 } } \left( P , t \right) = \left( V _ { \mathrm { 0 , t a r g } } \left( P \right) - V _ { \mathrm { 0 , i n i t } } \right) \left( 1 - e ^ { - t / \tau } \right) + V _ { \mathrm { 0 , i n i t } } ,
A _ { 1 } : = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 1 } & { 2 } & { 4 } \\ { 1 } & { 3 } & { 4 } \end{array} \right) , A _ { 2 } : = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 1 } & { 2 } & { 4 } \\ { 1 } & { 5 } & { 3 } \end{array} \right) , A _ { 3 } : = \left( \begin{array} { l l l } { 3 } & { 2 } & { 1 } \\ { 2 } & { 4 } & { 1 } \\ { 3 } & { 4 } & { 5 } \end{array} \right) , A _ { 4 } : = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 1 } & { 2 } & { 4 } \\ { 6 } & { 5 } & { 3 } \end{array} \right) , A _ { 5 } : = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 4 } \\ { 1 } & { 5 } & { 3 } \\ { 6 } & { 2 } & { 3 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { k _ { p , i } } & { = ( W _ { p , i } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } - ( W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { s \geq 0 } ( W _ { p , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { - 1 - s } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 + s } + W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { 1 - s } W _ { p , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s } ) } \\ & { \quad - \sum _ { s \geq 0 } ( W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - 1 - s } W _ { i , p } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 + s } + W _ { i , p } ^ { ( 2 ) } t ^ { 1 - s } W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d } \varepsilon ^ { d } } } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( w _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d } \varepsilon ^ { d } } } \\ & { \leq ( 1 + \eta ) ( 1 - 3 \theta ) ^ { d } \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( \overline { { u } } _ { x _ { 0 } } ^ { \textnormal { b u l k } } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d } \varepsilon ^ { d } } } \\ & { \ \ \ + ( 1 + \eta ) b \omega _ { d } ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { d } ( C _ { 1 , \theta } ( x _ { 0 } ) ) \left( 1 + ( 1 + K ) \psi _ { \varepsilon _ { 0 } } ^ { + } ( | \nabla u ( x _ { 0 } ) | ) \right) + \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta } & { = \mathcal { R } ( P _ { 1 } , P _ { 2 } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( - \pi - \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) / 2 } & { \mathrm { i f ~ P _ 1 < P _ 0 ~ , ~ P _ 2 < P _ 0 ~ , ~ ( I ) } } \\ { ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) / 2 } & { \mathrm { i f ~ P _ 1 ~ \le ~ P _ 0 ~ , ~ P _ 2 ~ \ge ~ P _ 0 ~ , ~ ( I I ) } } \\ { ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) / 2 } & { \mathrm { i f ~ P _ 1 ~ \ge ~ P _ 0 ~ , ~ P _ 2 ~ \ge ~ P _ 0 ~ , ~ ( I I I ) } } \\ { ( \pi - \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) / 2 } & { \mathrm { i f ~ P _ 1 > P _ 0 ~ , ~ P _ 2 < P _ 0 ~ , ~ ( I V ) } } \end{array} \right. , } \end{array}
G ( k _ { i } , p _ { i } ) \sim \frac { \psi ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) \; \bar { \psi } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } ) } { P ^ { 2 } + M ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { S e l } ^ { \mathrm { b a l } } ( \mathbf { Q } , { \mathbf { V } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } } ) } & { \simeq \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { r e l } , \mathrm { s t r } } } ( K , T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } ) \oplus \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { o r d } , \mathrm { o r d } } } ( K , T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { \parallel ^ { \prime } } } & { = \mathbf { E } _ { \parallel } } \\ { \mathbf { B } _ { \parallel ^ { \prime } } } & { = \mathbf { B } _ { \parallel } } \\ { \mathbf { E } _ { \bot ^ { \prime } } } & { = \gamma \left( \mathbf { E } _ { \bot } + { \boldsymbol { \beta } } \times \mathbf { B } _ { \bot } \right) = \gamma \left( \mathbf { E } + { \boldsymbol { \beta } } \times \mathbf { B } \right) _ { \bot } , } \\ { \mathbf { B } _ { \bot ^ { \prime } } } & { = \gamma \left( \mathbf { B } _ { \bot } - { \boldsymbol { \beta } } \times \mathbf { E } _ { \bot } \right) = \gamma \left( \mathbf { B } - { \boldsymbol { \beta } } \times \mathbf { E } \right) _ { \bot } , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 3 } \cdot 6 0 0 k c a l \cdot \frac { 4 2 0 0 J } { 1 k c a l } } & { { } = } & { 8 0 k g \cdot 1 0 \frac { J o u l e s } { k g \cdot m } \cdot h e i g h t } \\ { h e i g h t } & { { } \approx } & { 1 0 0 0 m } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta ^ { \prime } h _ { \mathrm { e f f } } = } \\ & { \mathrm { R e } \left[ 2 i k \sum _ { j \neq ( 0 , 0 ) } a _ { \mathrm { L O } } ^ { * } a _ { j } \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp } } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } | x _ { \perp } \rangle h ( x , y ) \langle x _ { \perp } | \mathrm { H G } _ { j } \rangle \right] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { G _ { J d , k } = 2 ( I + k ( \epsilon D + \eta \Lambda + c I ) ) , \quad } & { \mathrm { d a m p e d ~ J a c o b i ~ p r e c o n d i t i o n e r } , } \\ { G _ { J p , k } = I + k ( 2 \epsilon D + \eta \Lambda + c I ) + \delta _ { 0 } I , \quad } & { \mathrm { p e r t u r b e d ~ J a c o b i ~ p r e c o n d i t i o n e r } , } \\ { G _ { R , k } = I + k ( \epsilon \lambda _ { \operatorname* { m a x } } I + \eta \Lambda + c I ) + \delta _ { 0 } I , \quad } & { \mathrm { g e n e r a l i z e d ~ R i c h a r d s o n ~ p r e c o n d i t i o n e r } . } \end{array} \right.
\sigma _ { x } \{ [ t _ { 1 } \cos ( q _ { y } b ) + t _ { 3 } \cos ( q _ { x } b ) ] J _ { 0 } ( K _ { y 1 } ) J _ { 0 } ( K _ { y 2 } ) + t _ { 2 } \cos [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 0 } ( K _ { x 1 } ) J _ { 0 } ( K _ { x 2 } ) -