harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial P _ { \mathrm { l } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) } { \partial \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } } = \frac { e ^ { 2 L / \lambda } \left( - e ^ { L / \lambda } S _ { \mathrm { r } } + \xi S _ { \mathrm { l } } \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } \right) } { \xi \left( e ^ { 2 L / \lambda } - \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } } \ .
W _ { m u t } = \displaystyle - \frac { G M _ { 1 } M _ { 2 } } { h } \left\lbrace 1 + \frac { e _ { 1 } ^ { 2 } } { 5 x _ { s } } + \frac { e _ { 2 } ^ { 2 } } { 5 x _ { s } n _ { s } ^ { 2 } } + \frac { e _ { 1 } ^ { 2 } e _ { 2 } ^ { 2 } } { 5 x _ { s } ^ { 2 } n _ { s } ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 1 } { 5 x _ { s } } + \frac { 1 } { x _ { s } ^ { 2 } } \right) + . . . \right\rbrace .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } _ { 4 3 2 1 } = s _ { 1 0 . } + s _ { 4 2 } + s _ { 4 3 } + s _ { 6 1 } + s _ { 6 2 } + s _ { 7 1 } + s _ { 8 1 } + s _ { 3 1 1 } + s _ { 4 1 1 } + s _ { 5 1 1 } + s _ { 1 1 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 5 3 2 1 } = s _ { 1 1 . } + s _ { 4 3 } + s _ { 5 2 } + s _ { 5 3 } + s _ { 6 2 } + s _ { 7 1 } + s _ { 7 2 } + s _ { 8 1 } + s _ { 9 1 } } \\ & { \qquad \qquad + s _ { 3 2 1 } + s _ { 4 1 1 } + s _ { 4 2 1 } + s _ { 5 1 1 } + s _ { 6 1 1 } + s _ { 2 1 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 5 4 2 1 } = s _ { 1 2 . } + s _ { 4 4 } + s _ { 5 3 } + s _ { 6 2 } + s _ { 6 3 } + s _ { 7 2 } + s _ { 8 1 } + s _ { 8 2 } + s _ { 9 1 } + s _ { 1 0 . 1 } } \\ & { \qquad \qquad + s _ { 3 3 1 } + s _ { 4 2 1 } + s _ { 5 1 1 } + s _ { 5 2 1 } + s _ { 6 1 1 } + s _ { 7 1 1 } + s _ { 3 1 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 5 4 3 1 } = s _ { 1 3 . } + s _ { 5 4 } + s _ { 6 3 } + s _ { 7 2 } + s _ { 7 3 } + s _ { 8 2 } + s _ { 9 1 } + s _ { 9 2 } + s _ { 1 0 . 1 } + s _ { 1 1 . 1 } } \\ & { \qquad \qquad + s _ { 4 3 1 } + s _ { 5 2 1 } + s _ { 6 1 1 } + s _ { 6 2 1 } + s _ { 7 1 1 } + s _ { 8 1 1 } + s _ { 4 1 1 1 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 6 4 2 1 } = s _ { 1 3 . } + s _ { 5 3 } + s _ { 5 4 } + s _ { 6 3 } + 2 s _ { 7 2 } + s _ { 7 3 } + s _ { 8 2 } + s _ { 9 1 } + s _ { 9 2 } + s _ { 1 0 . 1 } + s _ { 1 1 . 1 } } \\ & { \qquad \qquad + s _ { 4 2 1 } + s _ { 4 3 1 } + 2 s _ { 5 2 1 } + s _ { 6 1 1 } + s _ { 6 2 1 } + s _ { 7 1 1 } + s _ { 8 1 1 } + s _ { 2 2 1 1 } + s _ { 4 1 1 1 } . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \alpha _ { 1 } \to \alpha _ { 1 } + \omega _ { 1 } \alpha _ { 2 } , } } & { { \ \ \ } } & { { \beta _ { 1 } \to c ~ \beta _ { 1 } + \omega _ { 2 } \beta _ { 2 } } } \\ { { \alpha _ { 2 } \to c ~ \alpha _ { 2 } \phantom { \omega _ { 2 } c \alpha _ { 2 } } , } } & { { \ \ \ \ \ \ \ } } & { { \beta _ { 2 } \to \beta _ { 2 } \phantom { n n c + \omega _ { 2 } ( \beta _ { 2 } + 1 ) } . } } \end{array}
{ V _ { \mathrm { a v g } } ^ { \epsilon } } ^ { \prime } = \int _ { - \epsilon } ^ { \epsilon } d x \, V ( x ) | \psi ^ { \prime } | ^ { 2 } = { \frac { \epsilon ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } { 1 + { \frac { 4 } { 3 } } | c | ^ { 2 } \epsilon ^ { 3 } } } \int _ { - \epsilon } ^ { \epsilon } d x \, V ( x ) \simeq 2 \epsilon ^ { 3 } | c | ^ { 2 } V ( 0 ) + \cdots ,
\begin{array} { r l } { \! \! \! \! m _ { 1 } } & { = \frac { 1 + \sum _ { i > 1 } ( - 1 ) ^ { i - 1 } \lambda _ { i } ( 0 ) \hat { e } _ { i } ( 0 ) { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \hat { e } _ { i } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } _ { 0 } ( 0 ) } { \hat { e } _ { \perp } ( 0 ) { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) } , } \\ { \! \! \! \! m _ { i } } & { = \lambda _ { i } \frac { \hat { e } _ { i } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } _ { 0 } ( 0 ) } { \sqrt { 1 - | \hat { e } _ { i } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } _ { 0 } | ^ { 2 } } } \, , ~ i > 1 \, . } \end{array}
f - \Bigl ( \delta \bigl ( \kappa - \mathcal { L } \bigr ) + \Lambda \Bigr ) \sum _ { m = 0 } ^ { N } \delta ^ { m } \hat { \eta } _ { m } \, = \, \delta ^ { N + 1 } \bigl ( \mathcal { L } - \kappa \bigr ) \hat { \eta } _ { N } \, = \, \mathcal { O } _ { \mathcal { Z } } ( \delta ^ { N + 1 } ) \, , \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \delta \to 0 \, .
\Pi ^ { H , \ell } = - 2 \ell ^ { 2 } \overline { { S } } _ { \omega , i j } ^ { \ell } \overline { { A } } _ { i k } ^ { \ell } \overline { { A } } _ { j k } ^ { \ell } - 2 \int _ { 0 } ^ { \ell ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ~ \overline { { S } } _ { \omega , i j } ^ { \ell } \tau ^ { \phi } \left( \overline { { A } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { A } } _ { k j } ^ { \sqrt { \theta } } \right) .
\begin{array} { r l } & { k _ { 0 } = - 2 ( 1 + 2 \tilde { \delta } ) ^ { 2 } , } \\ & { k _ { 1 } = 2 \left[ 1 + \chi + 4 \tilde { \delta } ( \tilde { \delta } + \chi + 1 ) \right] , } \\ & { k _ { 2 } = 2 ( \chi + 1 ) - \tilde { \delta } ( \chi + 3 ) , } \\ & { k _ { 3 } = - ( \tilde { \delta } + 2 \chi + 4 ) , } \\ & { k _ { 4 } = 2 ; } \end{array}
x \wedge y \mapsto \varphi _ { x \wedge y } , \quad \varphi _ { x \wedge y } ( v ) = 2 ( \langle y , v \rangle x - \langle x , v \rangle y ) , \quad x \wedge y \in \wedge ^ { 2 } V , \quad x , y , v \in V , \quad \varphi _ { x \wedge y } \in { \mathfrak { s o } } ( n , \mathbb { C } ) ,
p _ { r } = - \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } - \frac { g _ { p } } { 2 n _ { 0 } } \frac { \delta ( \delta ^ { 2 } - 3 ) T _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 + \delta ^ { 2 } ) ^ { 3 } }
{ V } _ { \mathrm { e f f } } = { \frac { \lambda } { 4 } } ( | \vec { \phi } | ^ { 2 } - f _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - f _ { \pi } m _ { \pi } ^ { 2 } \sigma - { \cal L } _ { \mathrm { e m } } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \sum _ { u = 1 } ^ { \alpha N } \binom { m } { u } \binom { \binom { u } { 2 } } { 4 u / 3 } s ^ { 8 u / 3 } \left( \frac { 2 } { N } \right) ^ { 4 u / 3 } } & { \le \sum _ { u = 1 } ^ { \alpha N } \left( \frac { e C N } { u } \right) ^ { u } \left( \frac { 3 e } { 8 } u \right) ^ { 4 u / 3 } s ^ { 8 u / 3 } \left( \frac { 2 } { N } \right) ^ { 4 u / 3 } } \\ & { < \sum _ { u = 1 } ^ { \alpha N } \left( 1 0 C s ^ { 8 / 3 } \right) ^ { u } \left( \frac { u } { N } \right) ^ { u / 3 } } \\ & { \le \sum _ { u = 1 } ^ { \alpha N } \left( 1 0 C s ^ { 8 / 3 } \right) ^ { u } \alpha ^ { u / 3 } = \sum _ { u = 1 } ^ { \alpha N } 1 0 ^ { - u } < 1 / 4 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } } & { = } & { R \sin ( \beta _ { 3 } ) + \int _ { \beta _ { 3 } } ^ { \phi _ { 4 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 1 } } { B } [ \sin ( \phi _ { 4 } - \phi _ { 1 } ) - \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } , } \\ { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } } & { = } & { R - R \cos ( \beta _ { 3 } ) + \int _ { \beta _ { 3 } } ^ { \phi _ { 4 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 1 } } { B } [ \sin ( \phi _ { 4 } - \phi _ { 1 } ) - \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } . } \end{array}
\Omega _ { s } ^ { L } ( t ) = \{ \mathbf { x } \in \Omega _ { s } \, s . t . \, O ( t , \mathbf { x } ) \in [ \varphi _ { O } ^ { - 1 } ( 1 . 0 ) , \varphi _ { O } ^ { - 1 } ( 0 . 7 ) ) \} \setminus O _ { s } ^ { N } ( t )
g _ { \mu \nu \kappa \lambda } \lesssim \frac { 2 ^ { l _ { \mu \kappa } } \pi ^ { 5 / 2 } N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } N _ { \lambda } e ^ { - s ^ { * } } \theta _ { \mu \nu \kappa \lambda \omega } ^ { 3 / 2 } ( \theta _ { \nu \lambda \omega } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) ^ { l _ { \mu \nu } + l _ { \kappa \lambda } - 2 } } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { l _ { \mu } + 3 / 2 } \alpha _ { \kappa \lambda } ^ { l _ { \kappa } + 3 / 2 } \alpha _ { \nu } ^ { l _ { \nu } } \alpha _ { \lambda } ^ { l _ { \lambda } } } f _ { l _ { \mu \nu \kappa \lambda } } ( \theta _ { \mu \nu \kappa \lambda \omega } ^ { - 1 } \theta _ { \nu \lambda \omega } ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { t } d t _ { 0 } \frac { \partial } { \partial t } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = \int _ { - \infty } ^ { t } d t _ { 0 } \left( - \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( f ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \right) + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \right) \ . } \end{array}
\mathcal { C } = \frac { \sum _ { i , j } ( \phi _ { r } ( i , j ) - \bar { \phi _ { r } } ) ( \phi ( i , j ) - \bar { \phi } ) } { \sqrt { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \phi _ { r } ] \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \phi ] } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial f } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \mu v \hat { b } f \right) + \frac { \partial } { \partial \mu } \left( \frac { 1 - \mu ^ { 2 } } { 2 L } v f \right) } & { = } & { \frac { \partial } { \partial \mu } \left( D _ { \mu \mu } \frac { \partial f } { \partial \mu } \right) } \\ & { + } & { \nabla \cdot \left( \mathbf { D } _ { \perp } ^ { ( x ) } \cdot \nabla f \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 2 } \propto \cos \left[ \Delta \omega t + \tilde { \psi } _ { 2 } ( t ) - \tilde { \psi } _ { 2 } ( t + \tau ) + \tilde { \phi } _ { \mathrm { A O M } } ( t ) - \tilde { \phi } _ { \mathrm { f i b e r } } ( t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \lambda ^ { \eta } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \lambda } ^ { 0 } } & { , \mathrm { ~ i ~ f ~ } i = 1 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } s = 1 . } \\ { \boldsymbol { \lambda } ^ { ( i , N _ { s } ) } } & { , \mathrm { ~ i ~ f ~ } i \neq 1 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } s = 1 . } \\ { \boldsymbol { \lambda } ^ { ( i + 1 , s - 1 ) } } & { , \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\langle \mathcal { K } _ { \mathrm { K P } } ( t ^ { 1 } , \lambda ) , s ^ { 1 } \rangle = \langle e ^ { - T ^ { 0 } } \mathcal { H } _ { K } e ^ { T ^ { 0 } + \lambda T ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , S ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle + \langle e ^ { - T ^ { 1 } } \mathcal { H } _ { K } e ^ { T ^ { 1 } } \Phi _ { 0 } , S ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle ,
\begin{array} { r l r } { E _ { K S } [ \rho ^ { f } ] } & { { } = } & { E _ { K S } [ \rho ^ { T } ] + \sum _ { k l } \left( \frac { \partial E [ \rho ] } { \partial D _ { k l } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( D _ { k l } ^ { f } - D _ { k l } ^ { T } ) + } \\ { E _ { K S } [ \rho ^ { i } ] } & { { } = } & { E _ { K S } [ \rho ^ { T } ] + \sum _ { k l } \left( \frac { \partial E [ \rho ] } { \partial D _ { k l } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( D _ { k l } ^ { i } - D _ { k l } ^ { T } ) + } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E \left\{ \phi _ { n } ^ { 2 } \right\} } & { = } & { E \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \psi _ { i } \psi _ { j } - { \frac { 2 n } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \psi _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi _ { j } + { \frac { n ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi _ { i } \psi _ { j } \right\} = } \\ & { = } & { n \Psi ^ { 2 } - { \frac { 2 n ^ { 2 } } { N } } \Psi ^ { 2 } + { \frac { n ^ { 2 } } { N } } \Psi ^ { 2 } = n \left( 1 - { \frac { n } { N } } \right) \Psi ^ { 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } ^ { h } } { \partial x ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } ^ { h } } { \partial y ^ { 2 } } + u _ { x } ^ { h } \frac { \partial u _ { x } ^ { h } } { \partial x } + u _ { y } ^ { h } \frac { \partial u _ { x } ^ { h } } { \partial y } + \frac { \partial p ^ { h } } { \partial x } \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } ) = f _ { x } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } \in \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \mathcal { E } = \frac { 1 } { 2 } v ^ { 2 } + \frac { Z e \Phi } { m } , } & { { } } & { \psi _ { \ast } = \psi - \frac { I v _ { \parallel } } { \Omega } , } & { { } } & { \mu = \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 B } . } \end{array}
\Gamma _ { \mu \to \nu } \ { \overset { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } | c _ { \nu } ( t ) | ^ { 2 } = { \frac { 2 \pi } { \hbar } } | M _ { \mu \nu } | ^ { 2 } { \frac { \sin { \big [ } ( E _ { \mu } ^ { S } - E _ { \nu } ^ { T } ) { \frac { t } { \hbar } } { \big ] } } { \pi ( E _ { \mu } ^ { S } - E _ { \nu } ^ { T } ) } } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { \mathrm { g p h } \, F \! = \! ( \bar { x } , \bar { y } ) + \Big \{ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \mu _ { j } ( u _ { j } , v _ { j } ) \; \big | \; } & { \lambda _ { i } \geq 0 , \, \forall i = 1 , \ldots , k , \, \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } = 1 , } \\ & { \mu _ { j } \geq 0 , \, \forall j = 1 , \ldots , \ell \Big \} \! + \! W _ { 0 } . } \end{array} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial u } { \partial t } - f _ { 0 } v = - g \frac { \partial h } { \partial x } } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } + f _ { 0 } u = - g \frac { \partial h } { \partial y } } \\ { \frac { \partial h } { \partial t } + H ( \frac { \partial u } { \partial x } + \frac { \partial v } { \partial y } ) = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { \bf { m } } = [ { k _ { 0 0 0 } } , { k _ { 1 0 0 } } , { k _ { 0 1 0 } } , { k _ { 0 0 1 } } , { k _ { 1 1 0 } } , { k _ { 1 0 1 } } , { k _ { 0 1 1 } } , { k _ { 2 0 0 } } + { k _ { 0 2 0 } } + { k _ { 0 0 2 } } , { k _ { 2 0 0 } } - { k _ { 0 2 0 } } , } \\ { { k _ { 2 0 0 } } - { k _ { 0 0 2 } } , { k _ { 1 2 0 } } , { k _ { 1 0 2 } } , { k _ { 2 1 0 } } , { k _ { 2 0 1 } } , { k _ { 0 1 2 } } , { k _ { 0 2 1 } } , { k _ { 2 2 0 } } , { k _ { 2 0 2 } } , { k _ { 0 2 2 } } { ] ^ { \mathrm { { T } } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { 2 } = \phi _ { 2 } ( a ) + \frac { \phi _ { 2 } ( b ) - \phi _ { 2 } ( a ) } { L } ( x - a ) + \sum _ { i = 1 } ^ { m } c _ { i } \sin ( i \pi \frac { x } { L } ) . } \end{array}
\partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } - \nabla ^ { 2 } = { \frac { { \partial _ { t } } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } - \nabla ^ { 2 }
\begin{array} { r l r l } { \frac { a ^ { n + 1 } - a ^ { n } } { \Delta t } } & { = f ( b ^ { n + 1 } ) } & { a , b } & { \colon \mathbb R _ { 0 } ^ { + } \to \mathbb R } \\ { \frac { b ^ { n + 1 } - b ^ { n } } { \Delta t } } & { = g _ { 1 } ( a ^ { n + 1 } ) + g _ { 2 } ( b ^ { n } ) } & { f , g _ { 1 } , g _ { 2 } } & { \colon \mathbb R \to \mathbb R \mathrm { ~ g i v e n } } \end{array}
m _ { \pi } ^ { 2 } = m _ { \sigma } ^ { 2 } = m _ { \Phi } ^ { 2 } = - \lambda f _ { \pi } ^ { 2 } + \Pi _ { \Phi } = \frac { N + 2 } { 1 2 } \lambda \left( T ^ { 2 } - T _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \right) \, .
S = \int d ^ { 2 } x \sqrt { g } e ^ { - 2 \phi } \left[ R + 4 g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \phi + \frac { 1 } { 8 } g ^ { \mu \nu } T r ( \partial _ { \mu } { \cal M } ^ { - 1 } \partial _ { \nu } { \cal M } ) \right] ,
c _ { n } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { \sqrt { k + 1 } } } \cdot { \frac { ( - 1 ) ^ { n - k } } { \sqrt { n - k + 1 } } } = ( - 1 ) ^ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \frac { 1 } { \sqrt { ( k + 1 ) ( n - k + 1 ) } } }
\begin{array} { r l } { r e m _ { 1 , N } } & { = - \| \sum _ { \alpha \notin Z _ { N } } \nabla U _ { \alpha } \| _ { L ^ { 2 } ( E _ { N } ) } ^ { 2 } - 2 \int _ { E _ { N } } N ^ { 1 / 3 } \nabla v _ { p e r } ( N ^ { 1 / 3 } x ) : \sum _ { \alpha \notin Z _ { N } } \nabla U _ { \alpha } \, \mathrm { d } x } \\ { r e m _ { 2 , N } } & { = \| \sum _ { i \in I _ { N } } \nabla U _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb R ^ { 3 } \setminus E _ { N } ) } ^ { 2 } + \| \sum _ { i \notin I _ { N } } \nabla U _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb R ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \nabla v _ { N , 1 } : \sum _ { i \notin I _ { N } } \nabla U _ { i } \, \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { t , 1 } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) = { 2 ^ { \alpha + \beta + 3 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } P _ { n - 1 } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 ) } ( \cos \theta ) P _ { m } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( \cos \theta ) \left( \sin \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 2 \alpha + 3 } \left( \cos \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 2 \beta + 3 } d \theta } \\ & { = { 2 ^ { \alpha + \beta + 3 } } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } F _ { n - 1 } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 ) } ( \theta ) F _ { m } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( \theta ) \left( \sin \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 2 \alpha + 3 } \left( \cos \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 2 \beta + 3 } d \theta } \\ & { + \gamma _ { m } ^ { - \alpha } \frac { \Gamma ( m + \alpha + 1 ) } { \Gamma ( m + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } F _ { n - 1 } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 ) } ( \theta ) \left( \frac { \theta } { \sin \theta } \right) ^ { 1 / 2 } J _ { \alpha } ( \gamma _ { m } \theta ) \left( \sin \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { \alpha + 3 } \left( \cos \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { \beta + 3 } d \theta } \\ & { + \gamma _ { n } ^ { - \alpha - 1 } \frac { \Gamma ( { n + \alpha } ) } { \Gamma ( n ) } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } F _ { m } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( \theta ) \left( \frac { \theta } { \sin \theta } \right) ^ { 1 / 2 } J _ { \alpha + 1 } ( \gamma _ { n } \theta ) \left( \sin \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { \alpha + 2 } \left( \cos \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { \beta + 2 } d \theta } \\ & { + \frac { \gamma _ { n } ^ { - \alpha - 1 } \gamma _ { m } ^ { - \alpha } \Gamma ( { n + \alpha } ) \Gamma ( m + \alpha + 1 ) } { { 2 } \Gamma ( n ) \Gamma ( m + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } \theta J _ { \alpha + 1 } ( \gamma _ { n } \theta ) J _ { \alpha } ( \gamma _ { m } \theta ) \sin \frac { \theta } { 2 } \cos \frac { \theta } { 2 } d \theta \Bigg ] } \\ & { : = \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } H _ { t , 1 , j } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) , \qquad t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \pi _ { C | C } - \pi _ { D | C } ) q _ { C | C } = } & { \left\{ - c + w _ { I } b + \frac { 1 - w _ { I } } { k } [ 1 + ( k - 1 ) q _ { C | C } ] b - \frac { 1 - w _ { I } } { k } [ 1 + ( k - 1 ) q _ { C | D } ] b \right\} } \\ & { \times \left( \frac { k - 2 } { k - 1 } p _ { C } + \frac { 1 } { k - 1 } \right) } \\ { = } & { \left( - c + w _ { I } b + \frac { 1 - w _ { I } } { k } b \right) \left( \frac { k - 2 } { k - 1 } p _ { C } + \frac { 1 } { k - 1 } \right) . } \end{array}
\sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left\langle \frac { P _ { n } ( x _ { 1 } ) \tilde { Q } _ { m } ( y _ { 1 } ) } { x _ { 1 } - \phi _ { a } } \right\rangle \left\langle \frac { P _ { m } ( x _ { 2 } ) \tilde { Q } _ { n } ( y _ { 2 } ) } { y _ { 2 } - \chi _ { b } } \right\rangle = \left\langle \frac { P _ { n } ( x _ { 1 } ) \tilde { Q } _ { n } ( y _ { 1 } ) } { ( x _ { 1 } - \phi _ { a } ) ( y _ { 1 } - \chi _ { b } ) } \right\rangle
\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } [ w _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } , w _ { j , j } ^ { ( 2 ) } t ] w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ & { = \delta ( j > i ) \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } - \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } w _ { i , u } ^ { ( 2 ) } t ^ { - s } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ & { \quad + \delta _ { i , j } \alpha _ { 1 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } ( s + 1 ) w _ { j , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { : = \left\{ p \mid p \equiv - 3 \: ( \mathrm { m o d } \: 8 ) \: \mathrm { i s ~ a ~ p r i m e ~ n u m b e r } \right\} , } \\ { P ^ { \prime } } & { : = \left\{ p \mid p \equiv - 1 \: \: ( \mathrm { m o d } \: 4 ) \: \: \mathrm { i s ~ a ~ p r i m e ~ n u m b e r } \right\} , } \\ { A } & { : = \left\{ ( 8 k - 3 ) ( 8 l - 3 ) ( 4 m - 1 ) ^ { 2 } \mid k , m \in \mathbb { Z } , \: m \geq 1 , \: 8 l - 3 \in P , \: k + l \equiv m \: \: ( \mathrm { m o d } \: 2 ) \right\} } \\ & { \subsetneq \{ 1 6 m - 7 \mid m \in \mathbb { Z } \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { a } = c q \sqrt { \frac { d r _ { 0 } \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } \epsilon _ { i } ^ { 2 ( q - 1 ) } } { m ^ { 2 } } } , \qquad C _ { b } = c ( q / 2 ) \sqrt { \frac { d r _ { 0 } \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } \epsilon _ { i } ^ { 2 ( q - 1 ) } } { m ^ { 2 } } } , \qquad C _ { c } = q ( 2 t _ { 0 } ) ^ { q - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left\langle \rho ( t , \cdot ) , f ( t , \cdot ) \right\rangle _ { ( H ^ { 1 } ) ^ { \prime } , H ^ { 1 } } d t + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } u ( t , x ) g ( t , x ) d x d t } \\ & { = \left\langle ( \rho _ { 0 } ( \cdot ) , u _ { 0 } ( \cdot ) ) , ( \sigma ( 0 , \cdot ) , v ( 0 , \cdot ) ) \right\rangle _ { L ^ { 2 } \times L ^ { 2 } } + \int _ { 0 } ^ { T } \left[ b \overline { { \sigma ( t , 2 \pi ) } } + \bar { u } \overline { { v ( t , 2 \pi ) } } + \mu _ { 0 } \overline { { v _ { x } ( t , 2 \pi ) } } \right] q ( t ) d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } \phi ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } 2 c _ { 0 } ^ { 2 } | \nabla \phi | ^ { 2 } + \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } c _ { 0 } \phi ^ { 2 } C _ { c _ { 0 } } } \\ & { + \frac { 4 C _ { n } ( q _ { 0 } - 1 ) c _ { 0 } ^ { n } } { q _ { 0 } ^ { 2 } } \Lambda _ { 0 } + \frac { 1 } { 4 } \operatorname* { m a x } \left\{ \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } \phi ^ { 2 } | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } , 1 \right\} . } \end{array}
\Vert { \cal H } ^ { \prime } ( t ) \Vert \leq 8 \, \bar { f } ( t ) \, \operatorname * { m a x } _ { \bf x } \left\{ \, \frac { g } { 2 } \, \Bigl \vert W _ { i } ^ { a } ( { \bf x } , T _ { 0 } ) \Bigr \vert \ , \ \frac { \sqrt { 2 } } { v } \, m _ { f } \, \Bigl \vert \rho ( { \bf x } , T _ { 0 } ) - v / \sqrt { 2 } \Bigr \vert \, \right\} \ .