harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \Big [ L ( Y ) \log { ( n ) } + Q ( Y ) \Big ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { [ \chi ( Y ) ] ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { R ( Y ) \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 1 } ) } { [ \chi ( Y ) ] ^ { n / 2 + \alpha _ { 1 } } } } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array} \right.
{ \boldsymbol { \Sigma } } ^ { x } = E [ ( \mathbf { x } - { \boldsymbol { \mu } } ) \otimes ( \mathbf { x } - { \boldsymbol { \mu } } ) ] = { \left( \begin{array} { l l l l } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } & { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 1 3 } } & { \cdots } \\ { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } & { \sigma _ { 2 3 } } & { \cdots } \\ { \sigma _ { 3 1 } } & { \sigma _ { 3 2 } } & { \sigma _ { 3 } ^ { 2 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { x } } & { { \Sigma } _ { 1 2 } ^ { x } } & { { \Sigma } _ { 1 3 } ^ { x } } & { \cdots } \\ { { \Sigma } _ { 2 1 } ^ { x } } & { { \Sigma } _ { 2 2 } ^ { x } } & { { \Sigma } _ { 2 3 } ^ { x } } & { \cdots } \\ { { \Sigma } _ { 3 1 } ^ { x } } & { { \Sigma } _ { 3 2 } ^ { x } } & { { \Sigma } _ { 3 3 } ^ { x } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { 0 } ( r _ { 0 } ) } & { = e ^ { - \frac { r _ { 0 } } { 2 } \left( \hat { a } _ { 0 } ^ { 2 } - \hat { a } _ { 0 } ^ { \dagger 2 } \right) } } \\ { \hat { S } _ { \mathrm { G } } ( r _ { \mathrm { G } } ) } & { = e ^ { - \frac { r _ { \mathrm { G } } } { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { G } } ^ { 2 } - \hat { a } _ { \mathrm { G } } ^ { \dagger 2 } \right) } } \\ { \hat { S } _ { \mathrm { E } } ( r _ { \mathrm { E } } ) } & { = e ^ { \frac { r _ { \mathrm { E } } } { 2 } \left( \hat { a } _ { 0 } \hat { a } _ { \mathrm { G } } - \hat { a } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { G } } ^ { \dagger } \right) } . } \end{array}
\frac { k _ { u } } { k _ { 1 } } \approx \frac { 1 + K _ { 0 } ^ { 2 } / 2 } { 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { K _ { 0 } ^ { 2 } \alpha y } { 1 + K _ { 0 } ^ { 2 } / 2 } - 2 \eta \right] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { b _ { j } , \xi _ { j j } ^ { a } , j \in \mathcal { V } _ { x } } \quad } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \pi _ { i , \mathcal { V } _ { x } } ^ { a ^ { * } } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { b _ { j } = b _ { j ^ { \prime } } \quad \forall j , j ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { x } } \end{array}
f _ { i } + f _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { j + ( i - 3 ) / 2 } + f _ { 3 } } & { \mathrm { i f ~ 2 \leq ~ i \leq ~ 2 r + 1 ~ i s ~ o d d ~ a n d ~ } i + 2 j \leq 6 r + 3 } \\ { f _ { 3 r } + f _ { i + 2 j - 6 r } } & { \mathrm { i f ~ 2 \leq ~ i \leq ~ 2 r + 1 ~ i s ~ o d d ~ a n d ~ } i + 2 j > 6 r + 3 } \\ { f _ { j - 1 + i / 2 } + f _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ 2 \leq ~ i \leq ~ 2 r + 1 ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ } i + 2 j \leq 6 r + 2 } \\ { f _ { 3 r } + f _ { i + 2 j - 6 r } } & { \mathrm { i f ~ 2 \leq ~ i \leq ~ 2 r + 1 ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ } i + 2 j > 6 r + 2 } \\ { f _ { 3 r } + f _ { 2 i + 2 j - 8 r - 1 } } & { \mathrm { i f ~ 2 r + 1 < ~ i ~ < ~ 3 r ~ a n d ~ i + j ~ \leq ~ 5 r + 1 ~ } } \\ { f _ { 3 r } + f _ { i + j - 3 r } } & { \mathrm { i f ~ 2 r + 1 < ~ i ~ < ~ 3 r ~ a n d ~ i + j ~ > ~ 5 r + 1 ~ } } \end{array} \right.
\langle x ^ { \prime \prime } | ( E - \hat { H } _ { \pm } ) ^ { - 1 } | x ^ { \prime } \rangle \simeq \frac { 1 } { \mathrm { i } \hbar \, \sqrt { | \dot { x } ^ { \prime } \dot { x } ^ { \prime \prime } | } } \sum _ { x _ { \mathrm { q c } } } ^ { \mathrm { f i x e d } \, E } \exp \left\{ \frac { \mathrm { i } } { \hbar } \, W [ x _ { \mathrm { q c } } ] \mp \mathrm { i } \varphi [ x _ { \mathrm { q c } } ] - \mathrm { i } ( n _ { R } + n _ { L } ) \frac { \pi } { 2 } \right\}
{ \mathrm { . . . . . . . } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } } \right) { \sqrt [ [object Object] ] { 2 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } + 6 + 3 \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 1 2 + 3 ( { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 2 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 1 1 + 3 ( { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 2 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } ) } } \right) } }
\begin{array} { r l r } & { } & { v ( x , x _ { 0 } ) = \frac { \psi ( x , x _ { 0 } ) } { \ln { | x - x _ { 0 } | } } = s _ { 0 } ( x , x _ { 0 } ) , } \\ & { } & { \nabla { v ( x , x _ { 0 } ) } \cdot \nu ( x ) = \frac { \psi _ { 1 } ( x , x _ { 0 } ) } { \ln { | x - x _ { 0 } | } } - \frac { \psi ( x , x _ { 0 } ) } { \ln { | x - x _ { 0 } | } } \frac { \partial } { \partial \nu } ( \ln { | x - x _ { 0 } | } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \leq H ( Y _ { 1 } ^ { n } , S _ { 1 } ^ { n } | Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } ) + I ( Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } ; M _ { 2 } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } H ( S _ { 1 , i } | Y _ { 1 } ^ { n } , Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } , M _ { 1 } , M _ { 2 } , S _ { 1 } ^ { i - 1 } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } H ( Y _ { 1 } ^ { n } , S _ { 1 } ^ { n } | Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } ) + \delta _ { n } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } H ( S _ { 1 , i } | Y _ { 1 } ^ { i } , Y _ { 2 } ^ { i } , S _ { 2 } ^ { i } , M _ { 1 } , M _ { 2 } , S _ { 1 } ^ { i - 1 } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \overset { ( c ) } { = } H ( Y _ { 1 } ^ { n } , S _ { 1 } ^ { n } | Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } ) + \delta _ { n } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } H ( S _ { 1 , i } | Y _ { 1 , i } , Y _ { 2 , i } , S _ { 2 , i } , V _ { i } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( H ( Y _ { 1 , i } , S _ { 1 , i } | Y _ { 2 , i } , S _ { 2 , i } ) - H ( S _ { 1 , i } | Y _ { 1 , i } , Y _ { 2 , i } , S _ { 2 , i } , V _ { i } ) ) \big ) + n \epsilon _ { n } + \delta _ { n } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { L } \operatorname* { s u p } _ { x \in \Lambda } \vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x , z ) \vert ^ { 2 } d z > \int _ { 0 } ^ { L } \vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ) , z ) \vert ^ { 2 } \, d z ,
\frac { 1 } { 2 } ( N _ { \mathrm { v i r , a c t } } + 1 ) N _ { \mathrm { v i r , a c t } } + N _ { \mathrm { v i r , a c t } } ( N _ { \mathrm { v i r } } - N _ { \mathrm { v i r , a c t } } ) + \frac { 1 } { 2 } ( N _ { \mathrm { o c c , a c t } } + 1 ) N _ { \mathrm { o c c , a c t } } + N _ { \mathrm { o c c , a c t } } ( N _ { \mathrm { o c c } } - N _ { \mathrm { o c c , a c t } } ) ,
{ \bf \chi } = \left( \begin{array} { c } { { \chi ^ { - } } } \\ { { \chi ^ { -- } } } \\ { { \chi ^ { 0 } } } \end{array} \right) \sim \left( { \bf 3 } , { \bf - 1 } \right) , \quad { \bf \rho } = \left( \begin{array} { c } { { \rho ^ { + } } } \\ { { \rho ^ { 0 } } } \\ { { \rho ^ { + + } } } \end{array} \right) \sim \left( { \bf 3 } , { \bf 1 } \right) , \quad { \bf \eta } = \left( \begin{array} { c } { { \eta ^ { 0 } } } \\ { { \eta _ { 1 } ^ { - } } } \\ { { \eta _ { 2 } ^ { + } } } \end{array} \right) \sim \left( { \bf 3 } , { \bf 0 } \right) .
\left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 9 7 7 \, c _ { \theta } } } & { { 0 . 9 7 7 \, s _ { \theta } } } & { { 0 . 2 1 1 } } \\ { { - 0 . 9 9 8 \, s _ { \theta } - 0 . 0 1 6 \, c _ { \theta } } } & { { 0 . 9 9 8 \, c _ { \theta } - 0 . 0 1 6 \, s _ { \theta } } } & { { 0 . 0 6 9 } } \\ { { 0 . 0 7 1 \, s _ { \theta } - 0 . 2 \, c _ { \theta } } } & { { - 0 . 0 7 1 \, c _ { \theta } - 0 . 2 1 1 \, s _ { \theta } } } & { { 0 . 9 7 5 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \| p \| _ { H ^ { 1 } } \leq C \left[ \mathrm { { R a } } + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 2 } } + \left( \frac { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { { P r } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \right) \| u \| _ { H ^ { 1 } } \right] \, . } \end{array}
{ \frac { | u _ { n } ( x ) - u _ { n } ( y ) | } { | x - y | ^ { \alpha } } } = \left( { \frac { | u _ { n } ( x ) - u _ { n } ( y ) | } { | x - y | ^ { \beta } } } \right) ^ { \frac { \alpha } { \beta } } \left| u _ { n } ( x ) - u _ { n } ( y ) \right| ^ { 1 - { \frac { \alpha } { \beta } } } \leq | u _ { n } | _ { 0 , \beta } ^ { \frac { \alpha } { \beta } } \left( 2 \| u _ { n } \| _ { \infty } \right) ^ { 1 - { \frac { \alpha } { \beta } } } = o ( 1 ) .
\mathcal { P } _ { \mathrm { r a d } } ^ { ( \mathrm { s } ) } = - \frac { \left( \varepsilon _ { 2 } - \varepsilon _ { 1 } \right) } { 2 } t _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { i } } ) E _ { 0 } ^ { 2 } ,
\mu ^ { 2 } = m _ { 0 } ^ { 2 } C _ { 1 } + A _ { 0 } ^ { 2 } C _ { 2 } + m _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } C _ { 3 } + m _ { \frac { 1 } { 2 } } A _ { 0 } C _ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 5 } \frac { t ^ { 2 } + 1 } { t ^ { 2 } - 1 } S _ { 0 } p
\bar { S } _ { 1 } ( 0 , Q ^ { 2 } ) \! \stackrel { \mathrm { ~ H ~ B ~ } } { = } \! - \frac { 3 \, \alpha \, g _ { A } ^ { 2 } } { 1 6 f _ { \pi } ^ { 2 } } \, m _ { \pi } \! \left[ 1 - ( 1 + \tau _ { \pi } ) \frac { \arctan \sqrt { \tau _ { \pi } } } { \sqrt { \tau _ { \pi } } } \right] \! .
G ( x _ { 1 } \ldots x _ { n } ) = Z _ { 0 } ^ { - 1 } \int \! { \cal D } \phi \, \phi ( x _ { 1 } ) \ldots \phi ( x _ { n } ) \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \delta S } { \delta \phi } } - j \right) \cdot N ^ { - 1 } \cdot \left( { \frac { \delta S } { \delta \phi } } - j \right) \right)
\mathbf { \dot { u } } _ { i } = \mathbf { L } _ { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } ( \mathbf { u } _ { i } ) - \langle \mathbf { L } _ { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } ( \mathbf { u } _ { i } ) , \mathbf { u } _ { i } \rangle \mathbf { u } _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } [ \langle \mathbf { L } _ { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } ( \mathbf { u } _ { i } ) , \mathbf { u } _ { j } \rangle + \langle \mathbf { L } _ { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } ( \mathbf { u } _ { j } ) , \mathbf { u } _ { i } \rangle ] \mathbf { u } _ { j } ,
\begin{array} { r } { \Psi _ { 5 } ( \tau ) - I = \varepsilon \tau O p ( \rho _ { 1 , 1 } ) + \frac { ( \varepsilon \tau ) ^ { 2 } } { 2 } O p ( \rho _ { 1 , 1 } ) \circ O p ( \rho _ { 1 , 1 } ) + ( \varepsilon \tau ) ^ { 3 } \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } ( \varepsilon \tau ) ^ { n - 3 } \frac { 1 } { n ! } \left( O p ( \rho _ { 1 , 1 } ) \right) ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nu _ { \pm } \simeq \pi \left( \frac { \Omega _ { c i } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \sum _ { n _ { s } } \lvert A _ { n _ { s } } \rvert ^ { 2 } \left[ \left( \tau + \frac { \sigma _ { s } } { 2 \Gamma _ { s } } \right) \frac { \partial \Gamma _ { s } } { \partial b _ { \theta s } } \right] ^ { 2 } \frac { b _ { \theta s } \hat { s } ^ { 2 } } { \sigma _ { \pm s } ^ { 2 } z _ { \pm } } \left\lvert \frac { \partial \Phi _ { s } } { \partial z _ { s } } \right\rvert _ { z _ { \pm } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \theta } { \partial t } - \frac { \xi } { r _ { 0 } } \left( \frac { d r _ { 0 } } { d t } - \frac { U _ { r } } { \xi } \right) \frac { \partial \theta } { \partial \xi } = \frac { \alpha _ { 0 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \xi } \frac { \partial \theta } { \partial \xi } + \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial \xi ^ { 2 } } \right] - \frac { q w } { \rho C _ { p } ( T _ { 0 } - T _ { u } ) } } \end{array}
a _ { n _ { 1 } n _ { 2 } \cdots n _ { j } } = \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { j } } { \binom { n _ { 1 } } { k _ { 1 } } } \cdots { \binom { n _ { j } } { k _ { j } } } ( - 1 ) ^ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { j } } b _ { k _ { 1 } k _ { 2 } \cdots k _ { j } } \quad \longleftrightarrow \quad b _ { n _ { 1 } n _ { 2 } \cdots n _ { j } } = \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { j } } { \binom { n _ { 1 } } { k _ { 1 } } } \cdots { \binom { n _ { j } } { k _ { j } } } ( - 1 ) ^ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { j } } a _ { k _ { 1 } k _ { 2 } \cdots k _ { j } } .
\int _ { \Omega } d \phi _ { t } \wedge d \big ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \big ) = \langle \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } , \delta \ast d \phi _ { t } \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { n - 2 } ( \Omega ) } + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \mathrm { t r } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } ) \wedge \mathrm { t r } ( d \phi _ { t } ) = 0
\begin{array} { r l } { \hat { r } = } & { \frac { \frac { \partial \vec { r } } { \partial r } } { \big | \frac { \partial \vec { r } } { \partial r } \big | } = \left( \begin{array} { l } { \cos \bigg [ \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \triangle _ { \theta } \bigg ] } \\ { \sin \bigg [ \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \triangle _ { \theta } \bigg ] } \end{array} \right) ; } \\ { \hat { \theta } = } & { \frac { \frac { \partial \vec { r } } { \partial \theta } } { \big | \frac { \partial \vec { r } } { \partial \theta } \big | } = \left( \begin{array} { l } { - \sin \bigg [ \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \triangle _ { \theta } \bigg ] } \\ { \cos \bigg [ \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \triangle _ { \theta } \bigg ] } \end{array} \right) , } \end{array}
M ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , q _ { 1 } , q _ { 2 } ) = \mathrm { T r } \left[ \Gamma ^ { \dagger } ( p _ { 2 } , q _ { 2 } ) \gamma ^ { \mu } \Gamma ( p _ { 1 } , q _ { 1 } ) \cal { O } _ { \mu } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { F } _ { n , m , + } : = \{ ( ( 0 , x _ { n - 2 } , \ldots , x _ { 0 } ) , ( x _ { - 1 } , \ldots , x _ { - m } ) ) : x _ { n - 2 } , \ldots , x _ { - m } \in \{ 0 , 1 \} \} , \quad \mathrm { a n d } } \\ & { \mathbb { F } _ { n , m , - } : = \{ ( ( 1 , x _ { n - 2 } , \ldots , x _ { 0 } ) , ( x _ { - 1 } , \ldots , x _ { - m } ) ) : x _ { n - 2 } , \ldots , x _ { - m } \in \{ 0 , 1 \} \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { y } ) \| _ { \infty } } & { { } = \sum _ { m = 0 } ^ { M _ { \eta } - 1 } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { y } ) \| _ { \infty } + \sum _ { m = M _ { \eta } } ^ { \infty } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { y } ) \| _ { \infty } } \end{array}
\beta \simeq ( 2 \pi \rho ) ^ { 4 } \left( n _ { 4 } - \bar { n } _ { 4 } \right) \left[ \frac { 1 } { 1 2 } + \left( \ln \frac { L ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right] .
{ \begin{array} { r l } { \left| \left| { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { z \, \in \, \mathrm { r a n g e } ( f ) } ( ( - 1 ) ^ { j \cdot x _ { 1 } } + ( - 1 ) ^ { j \cdot x _ { 2 } } ) | z \rangle \right| \right| ^ { 2 } } & { = \left| \left| { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { z \, \in \, \mathrm { r a n g e } ( f ) } ( ( - 1 ) ^ { j \cdot x _ { 1 } } + ( - 1 ) ^ { j \cdot ( x _ { 1 } \oplus s ) } ) | z \rangle \right| \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| \left| { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { z \, \in \, \mathrm { r a n g e } ( f ) } ( ( - 1 ) ^ { j \cdot x _ { 1 } } + ( - 1 ) ^ { j \cdot x _ { 1 } \oplus j \cdot s } ) | z \rangle \right| \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| \left| { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { z \, \in \, \mathrm { r a n g e } ( f ) } ( - 1 ) ^ { j \cdot x _ { 1 } } ( 1 + ( - 1 ) ^ { j \cdot s } ) | z \rangle \right| \right| ^ { 2 } } \end{array} }
U = U _ { e } + u _ { * } \Big \{ \frac { 1 } { \kappa } \ln y _ { o } + C + A _ { u } y _ { o } + B _ { u } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y _ { o } + A _ { u } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y _ { o } \ln y _ { o } + C _ { u } R e _ { * } ^ { - 1 } y _ { o } ^ { - 1 } + A _ { u } \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } y _ { o } \ln ^ { 2 } y _ { o } + . . . \Big \} ,
\begin{array} { r } { \frac { d \mathbf { X } _ { 1 } } { d t } = - C _ { X } ( \mathbf { P } _ { 1 } ) ( D _ { 1 , 2 } - D _ { 0 , 1 } ) \left[ { \frac { \bar { H } _ { m } ^ { 3 } ( \mathbf { P } _ { 2 } - \mathbf { P } _ { 1 } ) } { D _ { 1 , 2 } D _ { 0 , 1 } } } + { \frac { \beta \mu } { 6 } } ( 2 \mathbf { P } _ { 1 } + \mathbf { P } _ { 2 } - 3 \mathcal { P } _ { * } ) \right] , } \\ { \frac { d \mathbf { X } _ { 2 } } { d t } = - C _ { X } ( \mathbf { P } _ { 2 } ) ( D _ { 0 , 1 } - D _ { 1 , 2 } ) \left[ { \frac { \bar { H } _ { m } ^ { 3 } ( \mathbf { P } _ { 1 } - \mathbf { P } _ { 2 } ) } { D _ { 0 , 1 } D _ { 1 , 2 } } } + { \frac { \beta \mu } { 6 } } ( \mathbf { P } _ { 1 } + 2 \mathbf { P } _ { 2 } - 3 \mathcal { P } _ { * } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } ( t , x ) } & { : = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { x } [ \mathrm { J } _ { \varepsilon } h ] ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \big [ ( v \cdot \nabla _ { x } ) ( p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) \nabla _ { v } f ( t , x , v ) ) \big ] \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s } \\ & { = \mathrm { K } _ { ( v \cdot \nabla _ { x } ) ( p ^ { \prime } ( \varrho ) \nabla _ { v } f ) } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathrm { J } _ { \varepsilon } h ] . } \end{array}
L _ { \Omega _ { 1 } } ^ { \textnormal { P I N N s } } ( \hat { u } _ { 1 } ) = \frac { 1 } { N _ { \Omega _ { 1 } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \Omega _ { 1 } } } \left| - \nabla \cdot \big ( c _ { 1 } \nabla \hat { u } _ { 1 } ( x _ { n } ^ { \Omega _ { 1 } } ; \theta _ { 1 } ) \big ) + \hat { u } _ { 1 } ( x _ { n } ^ { \Omega _ { 1 } } ; \theta _ { 1 } ) - f ( x _ { n } ^ { \Omega _ { 1 } } ) \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { f _ { X Y Z } } & { ( x , y , z , t \vert x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) = f _ { X } ( x , t \vert x _ { 0 } ) \cdot f _ { Y } ( y , t \vert y _ { 0 } ) \cdot f _ { Z } ( z , t \vert z _ { 0 } ) = } \\ & { = \frac { 1 } { ( \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t ) ^ { 3 } } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace } \end{array}
\sum _ { k \in \mathsf { K } _ { l } } { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \big ( ( \bar { m } _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in - i } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \delta _ { k } ^ { j } ) \mathbb { E } [ x _ { k } ] + \bar { n } _ { k } ^ { i i } \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] + \sum _ { j \in - i } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + p _ { k } ^ { i } \big )
W _ { n } ^ { ( + ) } ( a ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { e } ^ { - t } \, w ^ { n } ( t a ) \, \mathrm { d } t \, + { 2 \mathrm { i } } \, \mathrm { e } ^ { - { \frac { 2 } { a } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { e } ^ { - t } \, f _ { n } ( t a ) \, \mathrm { d } t \, , \quad - \pi / 2 < \psi < 0 \, .
2 P ( z , L _ { 0 } ) \ln \Delta \bigl [ 2 ( L _ { s } - 1 ) - ( L _ { 0 } ^ { \prime } - 1 ) - ( L _ { 0 } - 1 ) + \ln \frac { \theta _ { 0 } ^ { 2 } { \theta ^ { \prime } } _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 } \bigr ] \ ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial w } { \partial t } - \rho \frac { \partial w } { \partial x } + \lambda L ( t ) \int _ { 0 } ^ { \infty } [ w ( x + y , t ) - w ( x , t ) ] p ( y ) d y } \\ & { = c \bar { L } ( t ) ( 1 - e ^ { - \alpha x } ) e ^ { - c \int _ { t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s } + \lambda \bar { L } ( t ) e ^ { - c \int _ { t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s } e ^ { - \alpha x } \int _ { 0 } ^ { \infty } [ e ^ { - \alpha y } - 1 ] p ( y ) d y } \\ & { = c \bar { L } ( t ) e ^ { - c \int _ { t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s } , } \end{array}
E _ { \mathrm { Q C D } } ^ { j m } \left( z , Q _ { 0 } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } \right) = \delta _ { j } ^ { m } \; \delta ( 1 - z ) \, \Delta ^ { j } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) + \bar { E } _ { \mathrm { Q C D } } ^ { j m } \left( z , Q _ { 0 } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } \right) ,
\left( \begin{array} { c c c } { { 3 . 0 1 \times 1 0 ^ { - 3 } } } & { { ( 6 . 3 6 + 0 . 1 1 e ^ { - i \delta } ) \times 1 0 ^ { - 3 } } } & { { ( - 0 . 2 4 + 2 . 9 7 e ^ { - i \delta } ) \times 1 0 ^ { - 3 } } } \\ { { ( 6 . 3 6 + 0 . 1 1 e ^ { i \delta } ) \times 1 0 ^ { - 3 } } } & { { 0 . 0 3 1 0 } } & { { 0 . 0 3 6 2 } } \\ { { ( - 0 . 2 4 + 2 . 9 7 e ^ { i \delta } ) \times 1 0 ^ { - 3 } } } & { { 0 . 0 3 6 2 } } & { { 0 . 9 9 8 6 } } \end{array} \right) \ \ ,
d s _ { 8 } ^ { 2 } = F ( x ) d \zeta _ { 1 } ^ { 2 } - 2 d \zeta _ { 1 } d t + d \zeta _ { 2 } ^ { 2 } + \delta _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } , \qquad i , j = 1 , . . . , 5 ,
\begin{array} { r l } { \underset { \hat { \mathcal { P } } } { \mathrm { m i n } } } & { \, f \left( \mathbf { P } , \hat { \phi } ^ { \hat { \mathcal { P } } } \right) } \\ { f \left( \mathbf { P } , \hat { \phi } ^ { \hat { \mathcal { P } } } \right) } & { = \sum _ { i } ^ { n _ { \mathrm { s a m p } } } \frac { c ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { s a m p } } } \log \left( 1 + \left( \frac { P _ { i } - \hat { \phi } ^ { \hat { \mathcal { P } } } \left( \mathbf { x } _ { i } \right) } { c } \right) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int e ^ { - \frac { G ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } } \rho _ { \mu \nu } ( G , \theta , \varphi ) \rho _ { \lambda \kappa } ( G , \theta , \varphi ) ^ { * } \sin \theta d G d \theta d \varphi .
G _ { r s } ^ { a b , \mu \nu } ( x , y ) \equiv \mathrm { T r } \Bigl [ T _ { C } ( A _ { r } ^ { a , \mu } ( x ) A _ { s } ^ { b , \nu } ( y ) ) \rho \Bigr ] \equiv \langle T _ { C } ( A _ { r } ^ { a , \mu } ( x ) A _ { s } ^ { b , \nu } ( y ) ) \rangle .
\Theta ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = - \imath \log \left( - \frac { e _ { 2 } } { e _ { 1 } } \; \; \frac { ( 1 + 1 / e ) e _ { 2 } - \epsilon } { ( 1 + 1 / e ) e _ { 1 } - \epsilon } \right) , \; E \neq 0 .
\begin{array} { r l } { Q ( \Bar { w } , w ) : = } & { \lambda _ { 1 } \mathbb { E } _ { \Bar { p } } [ \| x \| ^ { 2 } ] + \lambda _ { 2 } { \cal E } ( \Bar { p } ) + \mathbb { E } _ { ( \Bar { p } , q ) } [ f ( x , y ) ] - \lambda _ { 1 } \mathbb { E } _ { q } [ \| y \| ^ { 2 } ] - \lambda _ { 2 } { \cal E } ( q ) } \\ & { - [ \lambda _ { 1 } \mathbb { E } _ { p } [ \| x \| ^ { 2 } ] + \lambda _ { 2 } { \cal E } ( p ) + \mathbb { E } _ { ( p , \Bar { q } ) } [ f ( x , y ) ] - \lambda _ { 1 } \mathbb { E } _ { \Bar { q } } [ \| y \| ^ { 2 } ] - \lambda _ { 2 } { \cal E } ( \Bar { q } ) ] , } \\ { { \cal Q } _ { x } ( C ) : = } & { \left\{ p ( x ) \in \mathcal { P } _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { m } ) \left| p ( x ) \propto e ^ { - l _ { 1 } ( x ) - \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } \| x \| ^ { 2 } } ; \| l _ { 1 } \| _ { \infty } \leq \frac { C } { \lambda _ { 2 } } \right. \right\} , } \\ { { \cal Q } _ { y } ( C ) : = } & { \left\{ q ( y ) \in { \cal P } _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \left| q ( y ) \propto e ^ { - l _ { 2 } ( y ) - \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } \| y \| ^ { 2 } } ; \| l _ { 2 } \| _ { \infty } \leq \frac { C } { \lambda _ { 2 } } \right. \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { k l m } } & { : = \big | c _ { k l } \big | \, \mathbf { 1 } \big \{ m = k + l \big \} \mathbf { 1 } \big \{ | k | \sim K \big \} \mathbf { 1 } \big \{ | l | \sim L \big \} \mathbf { 1 } \big \{ | m | \sim M \big \} } \\ & { \times \mathbf { 1 } \big \{ - \sigma _ { 1 } | m | + \sigma _ { 2 } | k | + \sigma ^ { \prime } | l | \in [ \mu , \mu + 1 ) \big \} } \end{array}
\hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } = - \left( \begin{array} { l l l l } { \Delta } & { g _ { A } ( k ) } & { 0 } & { t _ { y } } \\ { g _ { A } ^ { * } ( k ) } & { - \Delta } & { t _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { y } } & { - \Delta } & { g _ { A } ^ { * } ( k ) } \\ { t _ { y } } & { 0 } & { g _ { A } ( k ) } & { \Delta } \end{array} \right) \mathrm { ~ , ~ }