harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle \beta \ \mathrm { o u t } | \alpha \ \mathrm { i n } \rangle = \int \! \prod _ { j = 1 } ^ { n } \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { j } { \frac { i \mathrm { e } ^ { i p _ { j } x _ { j } } } { \sqrt { Z } } } [ ( i { \partial \! \! \! / } _ { x _ { j } } + m ) u _ { { \textbf { p } } _ { j } } ^ { s _ { j } } ] _ { \alpha _ { j } } \prod _ { l = 1 } ^ { n ^ { \prime } } \mathrm { d } ^ { 4 } y _ { l } { \frac { i \mathrm { e } ^ { - i k _ { l } y _ { l } } } { \sqrt { Z } } } [ { \bar { u } } _ { { \textbf { k } } _ { l } } ^ { \sigma _ { l } } ( - i { \partial \! \! \! / } _ { y _ { l } } + m ) ] _ { \beta _ { l } } \langle 0 | \mathrm { T } [ \Psi _ { \beta _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) . . . \Psi _ { \beta _ { n ^ { \prime } } } ( y _ { n ^ { \prime } } ) { \bar { \Psi } } _ { \alpha _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) . . . { \bar { \Psi } } _ { \alpha _ { n } } ( x _ { n } ) ] | 0 \rangle .
| \{ N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} > = \prod _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } | N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } > = \prod _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \frac { ( \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { \dagger } ) ^ { N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } } } { ( N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ! ) ^ { 1 / 2 } } | 0 >
( X _ { t + \Delta } \mid X _ { t } = x ) = \left( \phi _ { \Delta / 2 } ^ { ( 2 ) } \circ \phi _ { \Delta } ^ { ( 1 ) } \circ \phi _ { \Delta / 2 } ^ { ( 2 ) } \right) ( x ) = \phi _ { \Delta / 2 } ^ { ( 2 ) } \left( e ^ { - \alpha ( \lambda _ { t } ) \Delta } \phi _ { \Delta / 2 } ^ { ( 2 ) } ( x ) + \mu ( \lambda _ { t } ) ( 1 - e ^ { - \alpha ( \lambda _ { t } ) \Delta } ) + \xi _ { t } \right) ,
\begin{array} { r l r l } { \boldsymbol { u } _ { f } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { { } = \boldsymbol { u } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Gamma _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , } \\ { p _ { f } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Gamma _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , } \\ { \boldsymbol { u } _ { f } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Gamma _ { f s } \cup \Gamma _ { t } \cup \Gamma _ { b } \cup \Gamma _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ d ~ e ~ s ~ } } . } \end{array}
X _ { i } \sim \mathcal { N } ( f _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ p ~ } } ^ { x } ( \theta , t _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) , \, \, Y _ { i } \sim \mathcal { N } ( f _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ p ~ } } ^ { y } ( \theta , t _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) , \, \, V _ { 1 i } \sim \mathcal { N } ( f _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ p ~ } } ^ { v _ { 1 } } ( \theta , \bar { t } _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) , \, \, V _ { 2 i } \sim \mathcal { N } ( f _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ p ~ } } ^ { v _ { 2 } } ( \theta , \tilde { t } _ { i } ) , \sigma _ { i } ^ { 2 } ) ,
m r \left( { \frac { 2 \pi } { T } } \right) ^ { 2 } = G { \frac { m M } { r ^ { 2 } } } \rightarrow T ^ { 2 } = \left( { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { G M } } \right) r ^ { 3 } \rightarrow T ^ { 2 } \propto r ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { \tilde { f } ( \tilde { \theta } ; \tilde { \rho } , \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) } & { = A P ( \theta , \rho ) \nabla _ { \theta } \phi ( \theta ; \rho , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) } \\ & { = A P ( \theta , \rho ) A ^ { T } \nabla _ { \tilde { \theta } } \phi ( \theta ; \rho , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) } \\ & { = P ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } ) \nabla _ { \tilde { \theta } } \phi ( \theta ; \rho , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t _ { i j \dots } ^ { a b \dots } ( \tau + \Delta \tau ) } & { = } & { t _ { i j \dots } ^ { a b \dots } ( \tau ) + \frac { i } { 2 } \Delta \tau ( \langle \Phi _ { i j \dots } ^ { a b \dots } | \bar { H } _ { N } ( \tau ) | \Phi \rangle } \\ & { } & { + \langle \Phi _ { i j \dots } ^ { a b \dots } | \bar { H } _ { N } ( \tau + \Delta \tau ) | \Phi \rangle ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \underline { { \theta } } , \underline { { \delta } } ) - L ( \underline { { \theta } } , \underline { { \delta } } _ { \alpha } ) = } & { p _ { 1 } [ W ( \delta _ { 1 } - \theta _ { 1 } ) - W ( \alpha \delta _ { 1 } + ( 1 - \alpha ) \delta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) ] } \\ & { + p _ { 2 } \left[ W ( \delta _ { 2 } - \theta _ { 2 } ) - W \left( \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) \delta _ { 1 } + ( 1 - \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) ) \delta _ { 2 } - \theta _ { 2 } \right) \right] } \\ { = } & { p _ { 1 } ( 1 - \alpha ) ( \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } ) \bigg \{ \frac { W ( \delta _ { 1 } - \theta _ { 1 } ) - W ( \alpha \delta _ { 1 } + ( 1 - \alpha ) \delta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) } { ( 1 - \alpha ) ( \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } ) } } \\ & { \; - \frac { W ( \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) \delta _ { 1 } + ( 1 - \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) ) \delta _ { 2 } - \theta _ { 2 } ) - W ( \delta _ { 2 } - \theta _ { 2 } ) } { ( 1 - \alpha ) \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } ) } \bigg \} } \\ { > } & { \; 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i } P _ { i , \nu } d Q _ { i , \nu } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ ( P _ { k } - P _ { - k } ) d ( Q _ { k } - Q _ { - k } ) - ( Q _ { k } + Q _ { - k } ) d ( P _ { k } + P _ { - k } ) \right] = } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } [ P _ { k } d Q _ { k } + P _ { - k } d Q _ { - k } - P _ { k } d Q _ { - k } - P _ { - k } d Q _ { k } - } \\ & { } & { - \; Q _ { k } d P _ { k } - Q _ { - k } d P _ { - k } - Q _ { k } d P _ { - k } - Q _ { - k } d P _ { k } ] = } \\ & { = } & { P _ { k } d Q _ { k } + P _ { - k } d Q _ { - k } - \frac { 1 } { 2 } ( P _ { k } d Q _ { k } + P _ { - k } d Q _ { - k } + Q _ { k } d P _ { k } + Q _ { - k } d P _ { - k } ) - } \\ & { } & { - \; \frac { 1 } { 2 } ( P _ { k } d Q _ { - k } + P _ { - k } d Q _ { k } + Q _ { k } d P _ { - k } + Q _ { - k } d P _ { k } ) = } \\ & { = } & { P _ { k } d Q _ { k } + P _ { - k } d Q _ { - k } - \frac { 1 } { 2 } d ( P _ { k } Q _ { k } + P _ { - k } Q _ { - k } - P _ { k } Q _ { - k } - P _ { - k } Q _ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Q - o _ { e } \| ^ { 2 } } & { = \| Q - S \| ^ { 2 } + \| S - o _ { e } \| ^ { 2 } = \| Q - S \| ^ { 2 } + \| \mu ( f _ { e } - o _ { e } ) + o _ { e } - o _ { e } \| ^ { 2 } } \\ & { = \| Q - S \| ^ { 2 } + | \mu | ^ { 2 } \| ( f _ { e } - o _ { e } ) \| ^ { 2 } \leq \| Q - S \| ^ { 2 } + | ( \mu - \lambda ) | ^ { 2 } \| ( f _ { e } - o _ { e } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \| Q - S \| ^ { 2 } + \| \mu ( f _ { e } - o _ { e } ) + o _ { e } - ( \lambda ( f _ { e } - o _ { e } ) + o _ { e } ) \| ^ { 2 } = \| Q - S \| ^ { 2 } + \| S - X \| ^ { 2 } } \\ & { = \| Q - X \| ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { F _ { - 1 } = F _ { + 2 } + F _ { + 3 } } \\ { F _ { - 2 } = F _ { + 1 } + F _ { + 3 } } \\ { F _ { - 3 } = F _ { + 1 } + F _ { + 2 } , } \end{array} \right.
\hat { \mathsf { K } } _ { 0 } = \frac { \omega ^ { 2 } } { 8 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } \, , \qquad \mathbf { M } _ { a } = \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } , \qquad \mathbf { F } _ { a } = \omega ^ { 2 } \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } \mathbf { A } \mathbf { F } _ { \mathrm { I } } \, .
{ \begin{array} { r l } { d \mathbf { X } ^ { 2 } } & { = d \mathbf { X } \cdot d \mathbf { X } } \\ & { = \mathbf { F } ^ { - 1 } \cdot d \mathbf { x } \cdot \mathbf { F } ^ { - 1 } \cdot d \mathbf { x } } \\ & { = d \mathbf { x } \cdot \mathbf { F } ^ { - T } \mathbf { F } ^ { - 1 } \cdot d \mathbf { x } } \\ & { = d \mathbf { x } \cdot \mathbf { c } \cdot d \mathbf { x } } \end{array} } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad { \begin{array} { r l } { ( d X ) ^ { 2 } } & { = d X _ { M } \, d X _ { M } } \\ & { = { \frac { \partial X _ { M } } { \partial x _ { r } } } { \frac { \partial X _ { M } } { \partial x _ { s } } } \, d x _ { r } \, d x _ { s } } \\ & { = c _ { r s } \, d x _ { r } \, d x _ { s } } \end{array} }
\mathsf { R } _ { F } ( t ) : = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 1 } F ^ { \prime } ( c ) \sum _ { i = 1 } ^ { N ( s ; c ) } ( - 1 ) ^ { i } \tilde { \psi } ( p _ { i } ^ { \pm } ( s ; c ) , s ) \mathrm { d } c \mathrm { d } s .
{ \begin{array} { r l } { \left( A _ { r } { \frac { \partial B _ { r } } { \partial r } } + { \frac { A _ { \theta } } { r } } { \frac { \partial B _ { r } } { \partial \theta } } + { \frac { A _ { \varphi } } { r \sin \theta } } { \frac { \partial B _ { r } } { \partial \varphi } } - { \frac { A _ { \theta } B _ { \theta } + A _ { \varphi } B _ { \varphi } } { r } } \right) } & { { \hat { \mathbf { r } } } } \\ { + \left( A _ { r } { \frac { \partial B _ { \theta } } { \partial r } } + { \frac { A _ { \theta } } { r } } { \frac { \partial B _ { \theta } } { \partial \theta } } + { \frac { A _ { \varphi } } { r \sin \theta } } { \frac { \partial B _ { \theta } } { \partial \varphi } } + { \frac { A _ { \theta } B _ { r } } { r } } - { \frac { A _ { \varphi } B _ { \varphi } \cot \theta } { r } } \right) } & { { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } \\ { + \left( A _ { r } { \frac { \partial B _ { \varphi } } { \partial r } } + { \frac { A _ { \theta } } { r } } { \frac { \partial B _ { \varphi } } { \partial \theta } } + { \frac { A _ { \varphi } } { r \sin \theta } } { \frac { \partial B _ { \varphi } } { \partial \varphi } } + { \frac { A _ { \varphi } B _ { r } } { r } } + { \frac { A _ { \varphi } B _ { \theta } \cot \theta } { r } } \right) } & { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } } & { = \frac { ( C _ { 2 } - i C _ { 1 } ) c _ { 2 } + ( 2 r _ { 2 , 1 } ( \xi ) - i r _ { 1 , 2 } ( \xi ) - r _ { 2 , 2 } ( \xi ) ) c _ { 2 } } { ( C _ { 1 } + i C _ { 2 } ) c _ { 1 } + r _ { 1 , 2 } ( \xi ) c _ { 1 } + r _ { 2 , 2 } ( \xi ) i c _ { 1 } } } \\ & { = - \frac { i c _ { 2 } } { c _ { 1 } } + \frac { 2 ( r _ { 2 , 1 } ( \xi ) - r _ { 2 , 2 } ( \xi ) ) c _ { 2 } } { ( C _ { 1 } + i C _ { 2 } + r _ { 1 , 2 } ( \xi ) + i r _ { 2 , 2 } ( \xi ) ) c _ { 1 } } . } \end{array}
\mathrm { N S D } _ { k } = \sqrt { \frac { 1 } { R - 1 } \sum _ { r = 1 } ^ { R } { \left( \frac { \hat { { \lambda } } _ { r k } } { \lambda _ { k } } - \frac { 1 } { R } \sum _ { r ^ { \prime } = 1 } ^ { R } \frac { \hat { { \lambda } } _ { r ^ { \prime } k } } { \lambda _ { k } } \right) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } h ^ { + } ( X _ { t } , t ) } & { = } & { 1 } \\ { \mathbb { E } \left[ h ^ { + } ( X _ { t } , t ) \exp \left( - \int _ { 0 } ^ { t } d W _ { s } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \log h ^ { + } ( X _ { t } , t ) ^ { 2 } d s \right) \right] } & { = } & { 1 } \\ { \exp \left[ \mathbb { E } \left( \log h ^ { + } ( X _ { t } , t ) - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { x } \log h ^ { + } ( x , s ) _ { x = X _ { s } ^ { + } } ) ^ { 2 } d s \right) \right] } & { \geq } & { 1 } \\ { \exp \left[ K L ( P , Q ^ { + } ) - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { x } \log h ^ { + } ( x , s ) _ { x = X _ { s } ^ { + } } ) ^ { 2 } d s \right] } & { \geq } & { 1 } \end{array}
W = \int \frac { 2 d ^ { 1 0 } \tilde { p } _ { 1 } } { \tilde { p } _ { 1 } ^ { 2 } \tilde { p } _ { 2 } ^ { 2 } } \sum _ { ( \lambda , \lambda ^ { \prime } ) } \hat { A } _ { ( 0 ) } ( \{ p , \epsilon \} _ { ( i ) } , \tilde { p } _ { 1 } \lambda , \lambda ^ { \prime } ) \hat { A } _ { ( n - 1 ) } ( \lambda , \lambda ^ { \prime } ; \tilde { p } _ { 1 } , \{ p , \epsilon \} _ { ( f ) } ) \, ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d f } { d \varphi } } } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { \partial } { \partial \varphi } } \left( e ^ { \varphi \cos \theta } \cos ( \varphi \sin \theta ) \right) \, d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { \varphi \cos \theta } \left( \cos \theta \cos ( \varphi \sin \theta ) - \sin \theta \sin ( \varphi \sin \theta ) \right) \, d \theta . } \end{array} }
S = \alpha Q _ { \mathrm { ~ o ~ } } \sqrt { \frac { 1 + 4 ( \nu Q _ { \mathrm { ~ o ~ } } / f _ { \mathrm { ~ o ~ } } ) ^ { 2 } } { 1 + 4 ( \nu Q _ { \mathrm { ~ o ~ } } / f _ { \mathrm { ~ o ~ } } ) ^ { 4 } } } ,
{ \cal E } _ { n l } = - g ^ { 2 } \left( n ^ { - 2 } + 2 v _ { 0 } g ^ { - 1 } + 2 v _ { 1 } \langle 1 \rangle g ^ { - 2 } + 2 v _ { 2 } \langle 2 \rangle g ^ { - 3 } \right) + O \left( 1 / g ^ { 2 } \right) .
\mathrm { d } ^ { 4 } x \, \equiv \, - { \frac { 1 } { 4 ! } } \, \varepsilon _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 4 } } \, d x ^ { \mu _ { 1 } } \, \wedge \, \dots \, \wedge d x ^ { \mu _ { 4 } } \ ,
\begin{array} { r l r } { I ( 0 ; k ) } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 \atop \theta = \pi / 2 } \oint r H _ { \phi 0 } \, d \phi = 2 \pi \frac { V _ { g } ( \omega ) } { \eta } A _ { 0 } ( k ) ( 1 - \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( k ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb { E } _ { k } \| h _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { k } \left\| h _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } - \mathbb { E } _ { k } [ u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ] + \mathbb { E } _ { k } [ u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ] - ( u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { k } \left\| h _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } - \mathbb { E } _ { k } [ u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ] \right\| ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { k } \left\| \mathbb { E } _ { k } [ u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ] - ( u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { k } \left\| h _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } - \mathbb { E } _ { k } [ u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ] \right\| ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { k } \| u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } - \left\| \mathbb { E } _ { k } [ u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ] \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \beta ) \mathbb { E } _ { k } \| h _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } + \left( 1 + \frac { 1 } { \beta } - 1 \right) \left\| \mathbb { E } _ { k } [ u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ] \right\| ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { k } \| u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 - \delta _ { 1 } ) ( 1 + \beta ) \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { \beta } \left\| \mathbb { E } _ { k } [ u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ] \right\| ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { k } \| u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { = \left( 1 - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \right) \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 ( 1 - \delta _ { 1 } ) } { \delta _ { 1 } } \left\| \mathbb { E } _ { k } [ u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } ] \right\| ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { k } \| u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \big ( \partial _ { t } h _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } h _ { t } \big ) \mathrm d \mu _ { t } \mathrm d t + \int _ { \mathbb R ^ { d } } h _ { 0 } \mathrm d \hat { \mu } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \Big ( \int \psi ( | y - x | ) ( w - v ) - \nabla \mathcal V ( y - x ) \mathrm d \mu _ { t } ( y , w ) \cdot \nabla _ { v } h \, \mathrm d \mu _ { t } \mathrm d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { S P } ( C s ) } & { = } & { 0 . 0 5 2 } \\ { E _ { S P } ( A r ) } & { \approx } & { 0 . 1 0 } \\ { r _ { S P } ( C s ) } & { \approx } & { 4 . 4 } \\ { r _ { S P } ( A r ) } & { \approx } & { 2 . 1 } \\ { C _ { 6 } } & { \approx } & { 3 7 0 } \\ { C _ { 6 } ^ { * } } & { \approx } & { 1 2 0 0 } \\ { C _ { 9 } } & { \approx } & { 9 1 0 0 } \\ { C _ { 9 } ^ { * } } & { \approx } & { 5 4 0 0 0 } \end{array}
F _ { \{ { e \atop h } \} } ( { \bf r } ; \zeta ) = \sum _ { \ell = 1 , 3 } ^ { \infty } \frac { j ^ { \ell } u _ { \ell } ^ { \{ { E \atop H } \} } ( k r ) c _ { \ell } P _ { \ell } ^ { 1 } ( \cos \theta ) } { \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( \zeta ) + j \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( \zeta ) }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } } & { \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { j } q _ { i } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { i = j } ^ { n } p _ { j } q _ { i } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { j } \sum _ { i = j } ^ { n } q _ { i } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) \geq \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { j } \sum _ { i = j } ^ { n } p _ { i } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { i } p _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle E _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { \omega ^ { 2 } \langle \mathcal { E } \rangle } { \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } \varepsilon _ { 0 } } \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \phi \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \sin ( \theta ) | \eta ( \theta ) | ^ { 2 } , } \\ { \langle \mathcal { E } \rangle } & { { } = \frac { \hbar \omega } { e ^ { \hbar \omega / k _ { \mathrm { B } } T } - 1 } , } \end{array}
f _ { A } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) = f _ { B } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { K } W _ { i k } ( f _ { O } ( \boldsymbol { x } _ { k } ) - f _ { B } ( \boldsymbol { x } _ { k } ) )
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { \tilde { w } } \mathcal { C } _ { w } h = } & { \; \mathcal { C } _ { + } ( ( \mathcal { C } _ { + } ( h w ^ { - } ) + \mathcal { C } _ { - } ( h w ^ { + } ) ) \tilde { w } ^ { - } ) + \mathcal { C } _ { - } ( ( \mathcal { C } _ { + } ( h w ^ { - } ) + \mathcal { C } _ { - } ( h w ^ { + } ) ) \tilde { w } ^ { + } ) } \\ { = } & { \; \mathcal { C } _ { + } ( ( h w ^ { - } + \mathcal { C } _ { - } ( h w ^ { - } ) + \mathcal { C } _ { - } ( h w ^ { + } ) ) \tilde { w } ^ { - } ) + \mathcal { C } _ { - } ( ( \mathcal { C } _ { + } ( h w ^ { - } ) - h w ^ { + } + \mathcal { C } _ { + } ( h w ^ { + } ) ) \tilde { w } ^ { + } ) } \\ { = } & { \; T _ { w } h + \mathcal { C } _ { + } ( h w ^ { - } \tilde { w } ^ { - } ) - \mathcal { C } _ { - } ( h w ^ { + } \tilde { w } ^ { + } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { j } _ { c } } & { { } = - \mathcal { D } _ { c } ^ { \prime \prime } \, \nabla \frac { \widetilde { \mu } _ { c } } { T } } & { \mathrm { ~ F ~ i ~ c ~ k ~ ' ~ s ~ + ~ O ~ h ~ m ~ ' ~ s ~ l ~ a ~ w ~ s ~ ( ~ t ~ h ~ e ~ r ~ m ~ o ~ d ~ y ~ n ~ a ~ m ~ i ~ c ~ ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 2 , 3 } } & { = \frac { 1 } { 2 \beta } \left( \left( W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } + W _ { 3 } ^ { ( 0 ) } \right) + i \gamma \left( W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } \tau _ { 2 } + W _ { 3 } ^ { ( 0 ) } \tau _ { 3 } \right) \pm \sqrt { \Delta } \right) , } \\ { \Delta } & { = - 4 \gamma ^ { 2 } | \kappa | ^ { 2 } W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } W _ { 3 } ^ { ( 0 ) } } \\ & { = + \left[ \left( W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } - W _ { 3 } ^ { ( 0 ) } \right) + i \gamma \left( W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } \tau _ { 2 } - W _ { 3 } ^ { ( 0 ) } \tau _ { 3 } \right) \right] ^ { 2 } . } \end{array}
\tau _ { i j } = \frac { 1 } { 1 - \theta } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } p _ { i k } ^ { \left( 1 \right) } \tau _ { k j } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } p _ { j k } ^ { \left( 1 \right) } \tau _ { i k } ,
p _ { r } = \frac { 2 } { \mu _ { 1 0 0 } } \sqrt { \mathcal { Q } ^ { 2 } + \mathcal { U } ^ { 2 } } ; \psi _ { r } = \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \frac { \mathcal { U } } { \mathcal { Q } } \right) .
F _ { p } ^ { x } = \left( \sigma _ { x x } + { \frac { \partial \sigma _ { x x } } { \partial x } } d x \right) d y \, d z - \sigma _ { x x } d y \, d z + \left( \sigma _ { y x } + { \frac { \partial \sigma _ { y x } } { \partial y } } d y \right) d x \, d z - \sigma _ { y x } d x \, d z + \left( \sigma _ { z x } + { \frac { \partial \sigma _ { z x } } { \partial z } } d z \right) d x \, d y - \sigma _ { z x } d x \, d y
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { R } _ { 1 } \right) _ { m p , n q } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { 1 } { \mathrm { T } _ { 1 } } \right) _ { i } ( \mathrm { I } _ { i \alpha } ) _ { m n } ( \mathrm { I } _ { i \alpha } ^ { \mathrm { T } } ) _ { p q } } \end{array}
\beta ~ = ~ \frac { { 2 \eta _ { \mathrm { ~ S ~ } } \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { 3 } } } { { 4 \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { 3 } + \Gamma _ { 3 } | \Omega _ { \mathrm { ~ P ~ } } ( 0 ) | ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } | \Omega _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( 0 ) | ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { T } & { = 9 } & { n _ { T } } & { = 3 0 0 } & { \alpha _ { 1 } = \alpha _ { 2 } } & { = 5 \cdot 1 0 ^ { - 2 } } & { \gamma } & { = 1 0 } & { \zeta } & { = 1 0 ^ { - 2 } } & { \mu } & { = 5 \cdot 1 0 ^ { - 2 } } \\ { \varepsilon } & { = 1 0 ^ { - 5 } } & { \delta _ { 1 } } & { = 0 . 2 } & { \delta _ { 2 } } & { = 0 . 1 } & { \delta _ { 3 } } & { = 1 0 ^ { - 2 } } & { \delta _ { 4 } } & { = 0 . 1 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } & { { \underset { \mathbf { x } \in \mathbb { Z } ^ { n } } { \mathrm { m a x i m i z e } } } } & & { \mathbf { c } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { x } } \\ & { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } } & & { A \mathbf { x } + \mathbf { s } = \mathbf { b } , } \\ & { } & & { \mathbf { s } \geq \mathbf { 0 } , } \\ & { } & & { \mathbf { x } \geq \mathbf { 0 } , } \end{array} }
\mathbf { M } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \Delta _ { 3 } } & { \beta _ { 2 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \beta _ { 2 3 } } & { \Delta _ { 2 } } & { \beta _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \beta _ { 1 2 } } & { \Delta _ { 1 } } & { \beta _ { p } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \beta _ { p } ^ { * } } & { - \Delta _ { 1 } ^ { * } } & { - \beta _ { 1 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \beta _ { 1 2 } } & { - \Delta _ { 2 } ^ { * } } & { - \beta _ { 2 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \beta _ { 2 3 } } & { - \Delta _ { 3 } ^ { * } } \end{array} \right] .
\Delta S = ( S _ { I I } + S _ { I I I } ) - S _ { I } = - \, M ^ { 2 } \tau _ { f } ~ \frac { 2 } { \pi r ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 \pi - \sigma _ { 0 } } \right) { \sin } ^ { 2 } \, \frac { r \sigma _ { 0 } } { 2 }
\begin{array} { r l } { u _ { 0 , s } ( \mathbf { x } , \omega ) \overline { { \widetilde { q } _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) } } } & { = \widetilde { \alpha } _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) e ^ { i \widetilde { \theta } _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) } } \\ & { = \alpha _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) e ^ { i \theta _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) } \rho ( \mathbf { x } , \omega ) e ^ { i \varphi ( \mathbf { x } , \omega ) } \; . } \end{array}
\mathrm { P } \left[ \sum _ { k \in I _ { n } ^ { 1 } } \xi _ { k } ^ { 4 } \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ \frac { U _ { \xi _ { k } } } { \xi _ { k } ^ { 2 } } - 2 \vartheta _ { k } \right] > \frac { \delta a _ { n } ^ { 4 } } { 2 } \right] \leq \mathrm { P } \left[ \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \xi _ { k } ^ { 4 } } { a _ { n } ^ { 4 } } > \frac { \delta } { 2 \varepsilon } \right] .
l _ { a 1 } = \frac { \widetilde { A A } + \widetilde { A B } - \widetilde { B A } - \widetilde { B B } } { 2 } \, , \qquad l _ { b 2 } = \frac { \widetilde { A A } + \widetilde { B A } - \widetilde { A B } - \widetilde { B B } } { 2 }