harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 } } & { = \big | \mathbf { M _ { \mathrm { e f f } } } \big | = - M _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \omega ) + M _ { 1 1 } ( \omega ) M _ { 2 2 } ( \omega ) \, , } \\ { Q _ { 2 } } & { = b ^ { \pm } ( - K _ { t } M _ { 1 1 } ( \omega ) + 2 K _ { c } M _ { 1 2 } ( \omega ) - K M _ { 2 2 } ( \omega ) ) \, , } \\ { Q _ { 3 } } & { = ( b ^ { \pm } ) ^ { 2 } \big | \mathbf { K _ { \mathrm { G } } } \big | = - ( b ^ { \pm } ) ^ { 2 } ( K _ { c } ^ { 2 } - K K _ { t } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt n } \mathbb { E } \left[ { \mathcal { W } } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) \right] } & { \simeq - \frac 1 n \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ v _ { 1 j } w _ { 1 k } v _ { 2 j } w _ { 2 k } R _ { i i } ^ { 1 1 } ( \lambda _ { 1 } ) \right] - \frac 1 n \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ u _ { 1 i } u _ { 2 i } w _ { 2 k } ^ { 2 } Q _ { j j } ^ { 2 2 } ( \lambda _ { 2 } ) \right] - \frac 1 n \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ u _ { 1 i } v _ { 2 j } ^ { 2 } u _ { 2 i } Q _ { k k } ^ { 3 3 } ( \lambda _ { 2 } ) \right] } \\ & { \xrightarrow [ n \to \infty ] - \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle \langle w _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle r _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } ) - \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle q _ { 2 } ( \lambda _ { 2 } ) - \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle q _ { 3 } ( \lambda _ { 2 } ) } \\ & { = - \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle \langle w _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle r _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } ) - \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle \left[ q _ { 2 } ( \lambda _ { 2 } ) + q _ { 3 } ( \lambda _ { 2 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { E } } & { = } & { S _ { c o n d } + S _ { b } + S _ { f } + S _ { i n t } } \\ { S _ { c o n d } } & { = } & { \int d ^ { D } x \, \left[ \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial _ { M } \Psi _ { 0 } ^ { \dagger } \partial _ { M } \Psi _ { 0 } - \mu _ { 0 } \Psi _ { 0 } ^ { \dagger } \Psi _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } b \left( \Psi _ { 0 } ^ { \dagger } \Psi _ { 0 } \right) ^ { 2 } \right] } \\ { S _ { b } } & { = } & { \int d ^ { D } x \, \left[ \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial _ { M } \Psi _ { b } ^ { \prime \, \dagger } \partial _ { M } \Psi _ { b } ^ { \prime } \, \, + \left( V _ { 0 } - \mu _ { 0 } \right) \, \Psi _ { b } ^ { \prime \, \dagger } \Psi _ { b } ^ { \prime } \, + \frac { 1 } { 2 } b \left( \Psi _ { b } ^ { \prime \, \dagger } \Psi _ { b } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \right] } \\ { S _ { f } } & { = } & { \int d ^ { D } x \, \left[ \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial _ { M } \Psi _ { f } ^ { \dagger } \partial _ { M } \Psi _ { f } \, \, + \left( V _ { 0 } - \mu _ { 0 } \right) \, \Psi _ { f } ^ { \dagger } \Psi _ { f } \, + \frac { 1 } { 2 } b \left( \Psi _ { f } ^ { \dagger } \Psi _ { f } \right) ^ { 2 } \right] } \\ { S _ { i n t } } & { = } & { \int d ^ { D } x \, b \left( \Psi _ { f } ^ { \dagger } \Psi _ { f } \right) \left( \Psi _ { b } ^ { \prime \, \dagger } \Psi _ { b } ^ { \prime } \right) } \\ { V _ { 0 } } & { = } & { b \, \Psi _ { 0 } ^ { \dagger } \Psi _ { 0 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] } & { { } = \frac { 1 } { 2 } | H _ { 0 } [ \Omega ] | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 - \eta \, e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } } { 1 - \eta } \right) | H _ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] | ^ { 2 } , } \\ { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] } & { { } = \frac { 1 } { 2 } | H _ { 0 } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | H _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { K L } ( p _ { t _ { i - 1 } } \times p _ { t _ { i } } | | \, p _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } \times p _ { t _ { i } } ) + \mathrm { K L } ( p _ { t _ { i } } \times p _ { t _ { i + 1 } } | | \, p _ { t _ { i } } \times p _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { E { \left( \operatorname { s n } ( u ; k ) ; k \right) } = \int _ { 0 } ^ { u } \operatorname { d n } ^ { 2 } ( w ; k ) \, d w } & { = u - k ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { u } \operatorname { s n } ^ { 2 } ( w ; k ) \, d w } \\ & { = \left( 1 - k ^ { 2 } \right) u + k ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { u } \operatorname { c n } ^ { 2 } ( w ; k ) \, d w . } \end{array} }
p ^ { \mathrm { c a v } } = - \int _ { \lambda _ { \mathrm { i n } } } ^ { \lambda _ { \mathrm { o u t } } } \frac { 1 } { \lambda ^ { 3 } - 1 } \frac { \partial \psi ^ { \mathrm { p a s } } } { \partial \lambda } \ \mathrm { ~ d ~ } \lambda ,
\tilde { W } _ { 1 } ^ { B W } ( \beta , \alpha , y , \epsilon ) = { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( \alpha + { \frac { 1 } { \alpha } } \right) \ln { \frac { 2 \pi \alpha \epsilon } { \beta } } - \frac 1 2 \ln { \frac { \pi \alpha } { \ln { ( \beta / 2 \pi \alpha \epsilon ) } } }
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \int _ { \mathbb R _ { + } } ( x - m _ { f } ) ^ { 2 } f ( x , t ) d x = \int _ { \mathbb R _ { + } } ( x - m _ { f } ) R _ { \chi } ^ { \alpha } ( f ) d x + } \\ & { \qquad \int _ { \mathbb R _ { + } ^ { 2 } } \frac { 1 + y } { \epsilon } \left\langle ( x ^ { \prime } - m _ { f } ) ^ { 2 } - ( x - m _ { f } ) ^ { 2 } \right\rangle f ( x , t ) g ( y , t ) d x \, d y = } \\ & { ( \sigma m _ { g } - 2 \alpha \chi - 2 \beta m _ { g } ) v _ { f } + m _ { f } ^ { 2 } \sigma m _ { g } + \epsilon \beta ^ { 2 } \int _ { \mathbb R _ { + } ^ { 2 } } \frac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { 1 + y } f ( x , t ) g ( y , t ) d x \, d y . } \end{array}
\Delta V _ { \mathrm { w a l l } } = \left( \frac { \mathrm { d } _ { \mathrm { w a l l } } } { \mathrm { h } _ { \mathrm { F S } } } \right) \left( \mathrm { h } _ { \mathrm { F S } } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { V _ { 0 } } \right) 1 0 0 \; [ \
\begin{array} { r l } { b _ { i j k } ^ { p } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \left( \begin{array} { l } { p } \\ { i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p - i } \\ { j } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p - i - j } \\ { k } \end{array} \right) ( 1 - \xi - \eta - \zeta ) ^ { p - i - j - k } \zeta ^ { k } \eta ^ { j } \xi ^ { i } } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { p } \\ { i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p - i } \\ { j } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p - i - j } \\ { k } \end{array} \right) ( 1 - \alpha - ( 1 - \alpha ) \beta - ( 1 - \alpha ) ( 1 - \beta ) \gamma ) ^ { p - i - j - k } } \\ & { \qquad \cdot ( 1 - \alpha ) ^ { k } ( 1 - \beta ) ^ { k } \gamma ^ { k } ( 1 - \alpha ) ^ { j } \beta ^ { j } \alpha ^ { i } } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { p } \\ { i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p - i } \\ { j } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p - i - j } \\ { k } \end{array} \right) ( 1 - \alpha ) ^ { p - i - j - k } ( 1 - \beta ) ^ { p - i - j - k } ( 1 - \gamma ) ^ { p - i - j - k } } \\ & { \qquad \cdot ( 1 - \alpha ) ^ { k } ( 1 - \beta ) ^ { k } \gamma ^ { k } ( 1 - \alpha ) ^ { j } \beta ^ { j } \alpha ^ { i } } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { p } \\ { i } \end{array} \right) ( 1 - \alpha ) ^ { p - i } \alpha ^ { i } \left( \begin{array} { l } { p - i } \\ { j } \end{array} \right) ( 1 - \beta ) ^ { p - i - j } \beta ^ { j } \left( \begin{array} { l } { p - i - j } \\ { k } \end{array} \right) ( 1 - \gamma ) ^ { p - i - j - k } \gamma ^ { k } } \\ & { = b _ { i } ^ { p } ( \alpha ) b _ { j } ^ { p - i } ( \beta ) b _ { k } ^ { p - i - j } ( \gamma ) \, , } \end{array}
\frac { d \sigma _ { \lambda _ { t } , \lambda _ { \bar { t } } } } { d M _ { t \bar { t } } } = \sum _ { i j = q \bar { q } , g g } \frac { 2 } { M _ { t \bar { t } } } \hat { \sigma } _ { i j } ( \hat { s } = \tau S , \lambda _ { t } , \lambda _ { \bar { t } } ) \; \tau \frac { d L _ { i j } } { d \tau }
c _ { 1 } = \frac { \frac { 2 1 7 } { 6 4 } + \frac { 1 5 1 } { 8 \sqrt { 2 } Z } + \frac { 9 } { 2 Z ^ { 2 } } } { 1 + \frac { 6 1 } { 8 \sqrt { 2 } Z } + \frac { 9 } { 2 Z ^ { 2 } } } , \: \: \: \: c _ { 2 } = \frac { \frac { 5 } { 2 } \left( \frac { 3 3 } { 1 6 } + \frac { 4 5 } { 8 \sqrt { 2 } Z } \right) } { 1 + \frac { 6 1 } { 8 \sqrt { 2 } Z } + \frac { 9 } { 2 Z ^ { 2 } } } , \: \: \: \: c _ { 3 } = \frac { \frac { 2 5 } { 4 } \left( \frac { 1 3 } { 4 } + \frac { 4 5 } { 8 \sqrt { 2 } Z } \right) } { 1 + \frac { 6 1 } { 8 \sqrt { 2 } Z } + \frac { 9 } { 2 Z ^ { 2 } } } - \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } & { \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( { \bf k } ) \tau _ { c } ( { \bf k } ) = \tilde { \omega } _ { 0 } ^ { 2 } \, \tilde { \tau } _ { c } B ( { \bf k } ) , } \\ & { \omega _ { d } ( { \bf k } ) \tau _ { c } ( { \bf k } ) = \tilde { \tau } _ { c } \tilde { \omega } _ { d } , } \\ & { \frac { \sigma ^ { 2 } ( { \bf k } ) } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( { \bf k } ) \tau _ { c } ( { \bf k } ) } = \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { \tilde { \omega } _ { 0 } ^ { 2 } \, \tilde { \tau } _ { c } } \frac { A ( { \bf k } ) } { B ( { \bf k } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi _ { 1 } ( A ) \rangle } & { = \left( \sum _ { k _ { d } = 1 } ^ { N } A _ { d k _ { d } } \hat { a } _ { k _ { d } } ^ { \dagger } \right) \ldots \left( \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 1 k _ { 1 } } \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } \right) | \textrm { v a c } \rangle } \\ & { = \sum _ { k _ { d } , \ldots , k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { d k _ { d } } \ldots A _ { 1 k _ { 1 } } \hat { a } _ { k _ { d } } ^ { \dagger } \ldots \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } | \textrm { v a c } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } { \bf u ( k ) } } & { { } = } & { - i \sum _ { \bf p } \{ { \bf k \cdot u ( q ) } \} { \bf u ( p ) } - i { \bf k } p ( { \bf k } ) / \rho - N ( \cos ^ { 2 } \theta ) { \bf u ( k ) } } \\ { { \bf k \cdot u ( k ) } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { Q } _ { e r } } & { { } = } & { 2 \bar { u } _ { r } ^ { 3 } + 3 \left( \bar { u } _ { r } - \frac { 1 } { 4 } k _ { r } ^ { 2 } \right) a _ { r } ^ { 2 } + \epsilon \left[ \frac { 1 } { 4 } \left( c _ { 1 } + 3 c _ { 2 } - 6 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { r } ^ { 4 } \right. } \end{array}
\Phi ( \boldsymbol { y } ) = \big [ M ( \boldsymbol { y } , G ( \boldsymbol { y } ) ) \big ] ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { d _ { 1 , 2 , 3 } ( \boldsymbol { y } , G ( \boldsymbol { y } ) ) } \\ { d _ { 2 , 3 , 1 } ( \boldsymbol { y } , G ( \boldsymbol { y } ) ) ) } \\ { d _ { 3 , 1 , 2 } ( \boldsymbol { y } , G ( \boldsymbol { y } ) ) ) } \end{array} \right) ,
\delta | B \rangle = i \int [ d P ] \int d \sigma \delta A _ { i } ( P ) \partial _ { \sigma } P ^ { i } e ^ { \frac { i } { 2 } \int d \sigma P ^ { i } \partial _ { \sigma } P ^ { j } \omega _ { i j } - i \int d \sigma p _ { i } P ^ { i } } | B \rangle _ { - 1 } ,
g ( t ) = \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ^ { 2 } ( t ) - \dot { \varepsilon } ( t ) + \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } + \gamma ( 2 a + c \gamma ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left( \frac { 2 \dot { \lambda } ( t ) } { \lambda ( t ) } - \frac { \dot { \varepsilon } ( t ) } { \varepsilon ( t ) } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { p ( x ) = \sigma _ { 0 } ( x ) + \textstyle \sum _ { i } { \sigma _ { i } ( x ) g _ { i } ( x ) } + \textstyle \sum _ { j } { \theta _ { j } ( x ) h _ { j } ( x ) } } \\ & { \exists \sigma _ { 0 } ( x ) \in \Sigma [ x ] , \quad \sigma _ { i } ( x ) \in \Sigma [ x ] , \quad \phi _ { j } \in \mathbb { R } [ x ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \operatorname { d i v } \big ( y ^ { \alpha } \mathfrak { A } _ { x } \nabla \mathcal { U } \big ) } & { = 0 \qquad \mathrm { i n ~ \mathbb { R } ^ { d } ~ \times ~ \mathbb { R } ^ + ~ } , } \\ { d _ { \beta } ^ { - 1 } \partial _ { \nu ^ { \alpha } } \mathcal { U } + s \mathrm { t r _ { 0 } } \mathcal { U } } & { = f \qquad \mathrm { i n ~ \mathbb { R } ^ { d } ~ } , } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { u } ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \mathbf { u } ^ { * } \cdot \nabla \mathbf { u } ^ { * } = - \nabla P ^ { * } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ^ { * } + T ^ { * } \tilde { \mathbf { y } } ,
E [ r _ { n } ^ { 2 } ] = E [ ( \sum _ { i = 1 } ^ { L } e ^ { - \frac { ( i - n ) ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } } Z _ { i } ) ^ { 2 } ] = \sum _ { i = 1 } ^ { L } e ^ { - \frac { 2 ( i - n ) ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } } E [ Z _ { i } ^ { 2 } ] = \frac { \sqrt { \pi } } { 2 \sqrt { 2 } } \xi \sigma _ { Z } ^ { 2 } [ \operatorname { e r f } ( \frac { \sqrt { 2 } n } { \xi } ) + \operatorname { e r f } ( \frac { \sqrt { 2 } ( L - n ) } { \xi } ]
u _ { h } ( \Uparrow ) = \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \, , \quad u _ { h } ( \Downarrow ) = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \, , \quad v _ { \ell } ( \uparrow ) = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \, , \quad v _ { \ell } ( \downarrow ) = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \, .
P ^ { N } \left( \rho ^ { N } \partial _ { t } u ^ { N } + \rho ^ { N } u ^ { N } \cdot \nabla u ^ { N } - \nu \Delta u ^ { N } \right) = - 2 \lambda P ^ { N } \left( \Im \left( \nabla \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } \right) + u ^ { N } \Re \left( \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { = \left( \int \left( \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , z - w ) | \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \mathbb { 1 } _ { | w - z | \geq \frac { 1 } { 2 } ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \lesssim \left( \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \right) ^ { q ^ { \prime } } \times } \\ & { \qquad \left( \int \left( \int \frac { 1 } { v } \bar { p } _ { \alpha } ( v , z - w ) \frac { | w - z | ^ { \zeta } } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \mathbb { 1 } _ { | w - z | \geq \frac { 1 } { 2 } ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \lesssim \left( \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { v ( u - s ) ^ { \frac { \zeta + j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \right) ^ { q ^ { \prime } } \left( \int \left( \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \int \bar { p } _ { \alpha } ( v , z - w ) | w - z | ^ { \zeta } \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \underset { ( ) } { \lesssim } \left( \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { v ( u - s ) ^ { \frac { \zeta + j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \right) ^ { q ^ { \prime } } \left( \int \left( \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) v ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \underset { ( ) } { \lesssim } \left( \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta + j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \right) ^ { q ^ { \prime } } v ^ { q ^ { \prime } ( \frac { \zeta } { \alpha } - 1 ) } \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } . } \end{array}
\omega _ { n p q } = | k _ { n p q } | = \pi \sqrt { \frac { n ^ { 2 } } { L _ { x } ^ { 2 } } + \frac { p ^ { 2 } } { L _ { y } ^ { 2 } } + \frac { q ^ { 2 } } { L _ { z } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { d _ { i } { \psi } _ { n } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 - 4 b } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 1 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } \psi _ { n } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 - 4 b } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } . } \end{array}
\epsilon _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { N } } \epsilon ^ { \beta _ { 1 } \ldots \beta _ { N + 1 } } A _ { \beta _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 1 } } \ldots A _ { \beta _ { N } } ^ { \alpha _ { N } } \qquad \mathrm { o r } \qquad
\begin{array} { r l } { 0 \leq v _ { \underline { { \beta } } _ { 2 } } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) } & { = - a r - \frac { \hat { \alpha } } { 4 } r ^ { 2 } + \frac { \hat { \alpha } } { 4 } r ^ { 2 } - \eta x _ { 1 } \left( r + \frac { h } { \eta } \right) + a r } \\ & { = - \eta x _ { 1 } \left( r + \frac { h } { \eta } \right) < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } U + H a ^ { 2 } \left( \cos { \theta } \frac { \partial } { \partial r } - \frac { \sin { \theta } } { r } \frac { \partial } { \partial \theta } \right) M _ { z } = R e K , } \\ { \nabla ^ { 2 } M _ { z } + \left( \cos { \theta } \frac { \partial } { \partial r } - \frac { \sin { \theta } } { r } \frac { \partial } { \partial \theta } \right) U = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { } & { { \frac { \partial A _ { \rho } } { \partial \rho } } { \hat { \boldsymbol { \rho } } } \otimes { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + \left( { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial A _ { \rho } } { \partial \varphi } } - { \frac { A _ { \varphi } } { \rho } } \right) { \hat { \boldsymbol { \rho } } } \otimes { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } + { \frac { \partial A _ { \rho } } { \partial z } } { \hat { \boldsymbol { \rho } } } \otimes { \hat { \mathbf { z } } } } \\ { + } & { { \frac { \partial A _ { \varphi } } { \partial \rho } } { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } \otimes { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + \left( { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial A _ { \varphi } } { \partial \varphi } } + { \frac { A _ { \rho } } { \rho } } \right) { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } \otimes { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } + { \frac { \partial A _ { \varphi } } { \partial z } } { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } \otimes { \hat { \mathbf { z } } } } \\ { + } & { { \frac { \partial A _ { z } } { \partial \rho } } { \hat { \mathbf { z } } } \otimes { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial A _ { z } } { \partial \varphi } } { \hat { \mathbf { z } } } \otimes { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } + { \frac { \partial A _ { z } } { \partial z } } { \hat { \mathbf { z } } } \otimes { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { J ( x _ { 0 } , 0 , u ) } & { = \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - 2 t } + \frac { 1 } { 2 } \left( x _ { 0 } e ^ { - t } + \sqrt { 2 \nu } W _ { t } \right) ^ { 2 } \, d t + \frac { 1 } { 2 } \left( x _ { 0 } e ^ { - T } + \sqrt { 2 \nu } W _ { T } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } x _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - 2 t } + x _ { 0 } e ^ { - t } \sqrt { 2 \nu } W _ { t } + \nu W _ { t } ^ { 2 } \, d t \right] } \\ & { \qquad + \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - 2 T } + x _ { 0 } e ^ { - T } \sqrt { 2 \nu } W _ { T } + \nu W _ { T } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } x _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - 2 t } + x _ { 0 } e ^ { - t } \sqrt { 2 \nu } \mathbb { E } [ W _ { t } ] + \nu \mathbb { E } [ W _ { t } ^ { 2 } ] \, d t } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - 2 T } + x _ { 0 } e ^ { - T } \sqrt { 2 \nu } \mathbb { E } [ W _ { T } ] + \nu \mathbb { E } [ W _ { T } ^ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \boldsymbol { s } _ { i } \right] } & { = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \Biggl \{ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \hat { h } _ { i } ^ { t } e ^ { - \mathrm { i } s _ { i } ^ { t } \hat { h } _ { i } ^ { t } } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] } \\ & { \qquad \times \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { x _ { k } ^ { t } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d s _ { k } ^ { t } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { s } _ { k } \right] e ^ { - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \hat { h } _ { k } ^ { t } } { 2 \pi } e ^ { \mathrm { i } \hat { h } _ { k } ^ { t } \left( s _ { k } ^ { t } - \nu _ { i k } ^ { t } x _ { i } ^ { t } \right) } \right] \Biggr \} } \\ & { = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \Biggl \{ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \hat { h } _ { i } ^ { t } e ^ { - \mathrm { i } s _ { i } ^ { t } \hat { h } _ { i } ^ { t } } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] } \\ & { \qquad \times \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { x _ { k } ^ { t } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d s _ { k } ^ { t } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { s } _ { k } \right] e ^ { - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \delta \left( s _ { k } ^ { t } - \nu _ { i k } ^ { t } x _ { i } ^ { t } \right) \right] \Biggr \} } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { t } \mathbf { v } _ { i } } & { { } = \hat { \lambda } _ { i } ( t ) \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } \mathbf { v } _ { i } , } & { \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { L } \mathbf { v } _ { i } } & { { } = \hat { \kappa } _ { i } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } \mathbf { v } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { N } ( t ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { i } \sum _ { t ^ { \prime } \in A } \mathrm { t r } ( | \psi _ { i } \rangle \! \langle \psi _ { i } | M _ { t ^ { \prime } | t } ) , } \\ { \mu _ { k } ( t ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { i } \sum _ { t ^ { \prime } } \mathrm { t r } ( | \psi _ { i } \rangle \! \langle \psi _ { i } | M _ { t ^ { \prime } | t } ) \mu _ { k + 1 } ( t ^ { \prime } ) , } \\ { e _ { I } } & { = \mu _ { 1 } ( t _ { 1 } ) . } \end{array}
\hat { U } _ { 1 / 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { e ^ { - i \frac { \hat { H } _ { 1 } } { 3 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { - i \frac { \hat { H } _ { 2 } } { 3 } } } \\ { e ^ { - i \frac { \hat { H } _ { 3 } } { 3 } } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \left( \alpha _ { 0 } \delta p \right) } & { { } = \frac { \alpha _ { 0 } } { \Delta t } \left[ \nabla \cdot ( \widehat { \rho _ { 0 } \vec { u } } ) - \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \mathbf { u } ) ^ { k + 1 } \right] } \end{array}