harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g _ { \pm , x x } ^ { R R } = } & { \frac { 4 k _ { y } ^ { 2 } ( b ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) ( \alpha ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 2 ( \alpha \beta + a b ) k ^ { 2 } + ( \beta ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) k ^ { 4 } ) } { | \lambda | ^ { 2 } \left( 2 | \lambda | ^ { 2 } + | h _ { + } | ^ { 2 } + | h _ { - } | ^ { 2 } \right) } } \\ { g _ { \pm , x y } ^ { R R } = } & { g _ { \pm , y x } ^ { R R } = \frac { 4 k _ { x } k _ { y } ( b ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) ( \alpha ^ { 2 } + a ^ { 2 } - ( \beta ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) k ^ { 4 } ) } { | \lambda | ^ { 2 } \left( 2 | \lambda | ^ { 2 } + | h _ { + } | ^ { 2 } + | h _ { - } | ^ { 2 } \right) } } \\ { g _ { \pm , y y } ^ { R R } = } & { \frac { 4 k _ { x } ^ { 2 } ( b ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) ( \alpha ^ { 2 } + a ^ { 2 } + 2 ( \alpha \beta + a b ) k ^ { 2 } + ( \beta ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) k ^ { 4 } ) } { | \lambda | ^ { 2 } \left( 2 | \lambda | ^ { 2 } + | h _ { + } | ^ { 2 } + | h _ { - } | ^ { 2 } \right) } } \\ { \Omega _ { \pm } ^ { z , R R } = } & { \frac { 1 6 k _ { x } k _ { y } ( b ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) ( b \alpha - a \beta ) k ^ { 2 } } { | \lambda | ^ { 2 } \left( 2 | \lambda | ^ { 2 } + | h _ { + } | ^ { 2 } + | h _ { - } | ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \zeta _ { n } ( \Omega ) } & { = \frac { n } { n + 1 } F _ { n , \Omega } ( 1 ) \left( \Omega - \widehat \Omega _ { n } \right) + \int _ { 0 } ^ { 1 } \rho _ { n , \Omega } ( s ) s ^ { 2 n + 1 } \big ( f _ { 0 } ( s ) - 2 \Omega \big ) d s } \\ & { = : \zeta _ { n , 1 } ( \Omega ) + \zeta _ { n , 2 } ( \Omega ) , } \end{array}
V ( \sigma \cdot \sigma ^ { \prime } ) \equiv \sum _ { \tau _ { 1 } \cdots \tau _ { p } } \sum _ { \tau _ { 1 } ^ { \prime } \cdots \tau _ { p } ^ { \prime } } C _ { \tau _ { 1 } \cdots \tau _ { p } } ^ { \tau _ { 1 } ^ { \prime } \cdots \tau _ { p } ^ { \prime } } \big [ \sigma ( \tau _ { 1 } ) \cdot \sigma ^ { \prime } ( \tau _ { 1 } ^ { \prime } ) \big ] \cdots \big [ \sigma ( \tau _ { p } ) \cdot \sigma ^ { \prime } ( \tau _ { p } ^ { \prime } ) \big ] ,
\begin{array} { r l } { s _ { h } ( v , w ) } & { = s _ { h , F } ( v , w ) + s _ { h , \Gamma } ( v , w ) , } \\ { s _ { h , F } } & { = \sum _ { j = 1 } c _ { F , j } h ^ { 2 ( j - 1 + \gamma ) } ( [ \partial _ { n } ^ { j } v ] , [ \partial _ { n } ^ { j } w ] ) _ { \mathcal { F } _ { h } } , } \\ { s _ { h , \Gamma } } & { = \sum _ { j = 1 } c _ { \Gamma , j } h ^ { 2 ( j - 1 + \gamma ) } ( \partial _ { n } ^ { j } v , \partial _ { n } ^ { j } w ) _ { \Gamma _ { h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { v _ { 0 } v _ { L } } } & { = } & { \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } W _ { K } = L W _ { 0 } + \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 1 } ^ { I - 1 } W _ { K } } \\ & { = } & { L \left( 2 c ^ { H } - 1 \right) + \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 1 } ^ { I - 1 } 2 c ^ { H } \frac { 1 } { c ^ { K } } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \tilde { C } } _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 7 } z } ^ { ( 8 ) \prime } } } & { { = } } & { { ( i _ { k } N ^ { ( 8 ) } ) _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 7 } } + 7 ( i _ { k } N ^ { ( 7 ) } ) _ { [ \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 6 } } ( C _ { \mu _ { 7 } ] } ^ { ( 1 ) } - C _ { z } ^ { ( 1 ) } \frac { g _ { z \mu _ { 7 } ] } } { g _ { z z } } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + 3 5 ( C _ { [ \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 3 } } ^ { ( 3 ) } - 3 C _ { [ \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } z } ^ { ( 3 ) } \frac { g _ { z \mu _ { 3 } } } { g _ { z z } } ) C _ { \mu _ { 4 } \mu _ { 5 } z } ^ { ( 3 ) } C _ { \mu _ { 6 } \mu _ { 7 } z } ^ { ( 3 ) } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + 7 0 [ 2 C _ { [ \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 3 } } ^ { ( 3 ) } B _ { \mu _ { 4 } z } ^ { ( 2 ) } + 3 C _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } z } ^ { ( 3 ) } B _ { \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } } ^ { ( 2 ) } ] C _ { \mu _ { 5 } \mu _ { 6 } z } ^ { ( 3 ) } ( C _ { \mu _ { 7 } ] } ^ { ( 1 ) } - C _ { z } ^ { ( 1 ) } \frac { g _ { z \mu _ { 7 } ] } } { g _ { z z } } ) \, , } } \end{array}
\nu _ { \mathrm { ~ c ~ x ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } } = n _ { \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ x ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } ( v _ { \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } ) \right\rangle
\begin{array} { r l } & { \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \left| \frac { d \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } { d \alpha } \right| \le \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } | u _ { 1 } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) | \le \sqrt { \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } | u _ { 1 } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) | ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } 1 ^ { 2 } } \le | | u | | _ { 2 } \sqrt { | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } = \sqrt { | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } } \\ & { \sum _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \left| \frac { d \pi _ { 2 } ^ { \alpha } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) } { d \alpha } \right| \le \sum _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } | u _ { 2 } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) | \le \sqrt { \sum _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } | u _ { 2 } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) | ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } 1 ^ { 2 } } \le \sqrt { | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } } \\ & { \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \left| \frac { d ^ { 2 } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } \right| = 0 , \ \sum _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \left| \frac { d ^ { 2 } \pi _ { 2 } ^ { \alpha } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } \right| = 0 . } \end{array}
\frac { d { \bf X } _ { j } } { d t } = \frac { \partial { \bf X } _ { j } } { \partial t _ { 0 } } \frac { d t _ { 0 } } { d t } + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { \partial { \bf X } _ { j } } { \partial \gamma _ { i } } \frac { d \gamma _ { i } } { d t } \, , \quad j = p , q \, ,
\begin{array} { r l } { | S _ { k } | } & { \le \; | L _ { 1 } | + | L _ { 2 } | + | L _ { 3 } | + | L _ { 4 } | } \\ & { < \; \alpha + 3 + \frac { 1 } { \pi } + ( \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha + 2 ) \left( 1 + \frac { \pi } { 2 } + e ^ { \Re \left( - \frac { \alpha } { w _ { k } ( \alpha ) } + \alpha \log w _ { k } ( \alpha ) \right) } \sqrt { 4 \log ^ { 2 } \alpha + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } } . \right) } \end{array}
\int _ { \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m } } \varphi \, r \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z - \int _ { \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m - 1 } } \varphi \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t _ { m - 1 } ] ^ { - 1 } \, r \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z = \int _ { t _ { m - 1 } } ^ { t _ { m } } \int _ { \mathscr { R } _ { \pm } ^ { h } ( t ) } \varphi \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t ] ^ { - 1 } \nabla \cdot [ r \, \vec { W } ^ { m } \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t ] ^ { - 1 } ] \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z \mathrm { d } t .
\begin{array} { r l r } { \Phi ( x ) } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { Y } } \phi ( x , y ) } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { Y } } \operatorname* { i n f } _ { f , t , u } \left\{ f ^ { T } y + t ~ \middle | ~ P f + t p + Q u + R x \preceq _ { K } s \right\} } \\ & { = } & { \operatorname* { i n f } _ { f , t , u } \left\{ \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { Y } } \left( f ^ { T } y + t \right) ~ \middle | ~ P f + t p + Q u + R x \preceq _ { K } s \right\} } \\ & { = } & { \operatorname* { i n f } _ { f , t , u } \left\{ \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { Y } } \left( f ^ { T } y \right) + t ~ \middle | ~ P f + t p + Q u + R x \preceq _ { K } s \right\} } \\ & { = } & { \operatorname* { i n f } _ { f , t , u } \left\{ \operatorname* { i n f } _ { \lambda } \left\{ \lambda ^ { T } e ~ \middle | ~ \begin{array} { l } { C ^ { T } \lambda = f , \; D ^ { T } \lambda = 0 } \\ { \lambda \succeq _ { K ^ { * } } 0 } \end{array} \right\} ~ \middle | ~ P f + t p + Q u + R x \preceq _ { K } s \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 0 } } & { \le \tilde { O } \left( d \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { h = 1 } ^ { H } \sigma _ { h , k } ^ { 2 } } + d \right) } \\ & { \le \tilde { O } \left( d \sqrt { Q _ { 0 } } + d \sqrt { \check { S } _ { 0 } } + d \right) } \\ & { \le \tilde { O } \left( d \sqrt { Q _ { 0 } } + d \sqrt { \check { A } _ { 1 } + G + R _ { 0 } + A _ { 0 } } + d \right) } \\ & { \le \tilde { O } \left( d \sqrt { Q _ { 0 } } + d \sqrt { G + R _ { 0 } + \sqrt { Q _ { 0 } } + \sqrt { R _ { 0 } } } + d \right) } \\ & { \le \tilde { O } \left( d \sqrt { Q _ { 0 } } + d ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { C | D } - \pi _ { D | C } = } & { { } - c + w _ { I } b + \frac { 1 - w _ { I } } { k } ( k - 1 ) q _ { C | C } b - \frac { 1 - w _ { I } } { k } [ 1 + ( k - 1 ) q _ { C | D } ] b } \\ { = } & { { } - c + w _ { I } b , } \end{array}
k _ { 2 } { \frac { \delta } { \delta k _ { 2 } } } \bar { L } = \Lambda - \Lambda ^ { 2 } \left[ { \frac { 4 c _ { 1 } } { D ( D - 1 ) } } + { \frac { 2 c _ { 2 } } { D } } + 2 c _ { 3 } \right] - 1 2 c _ { 3 } \Lambda [ ( \dot { H } + 2 H ^ { 2 } + { \frac { k _ { 1 } } { a ^ { 2 } } } ) ] .
\begin{array} { r l } { ( { \cal T } ^ { L } \tilde { R } _ { I J K L } ) _ { ; M _ { 1 } \cdots M _ { r } } } & { = \tilde { R } _ { I J K M _ { 1 } ; M _ { 2 } \cdots M _ { r } } + ( { \cal T } ^ { L } \tilde { R } _ { I J K L , M _ { 1 } } ) _ { ; M _ { 2 } \cdots M _ { r } } } \\ & { = \tilde { R } _ { I J K M _ { 1 } ; M _ { 2 } \cdots M _ { r } } + \tilde { R } _ { I J K M _ { 2 } ; M _ { 2 } \cdots M _ { r } } + ( { \cal T } ^ { L } \tilde { R } _ { I J K L , M _ { 1 } M _ { 2 } } ) _ { ; M _ { 3 } \cdots M _ { r } } } \\ & { = \cdots } \\ & { = \tilde { R } _ { I J K M _ { 1 } ; M _ { 2 } \cdots M _ { r } } + \cdots + \tilde { R } _ { I J K M _ { r } ; M _ { 1 } \cdots M _ { r - 1 } } + { \cal T } ^ { L } \tilde { R } _ { I J K L ; M _ { 1 } \cdots M _ { r } } \, . } \end{array}
\begin{array} { l r c l } & { \iota ^ { \mathrm { P R } } : \overline { { M } } ^ { \mathrm { P R } } } & { \longrightarrow } & { \mathrm { G r } \times . . . \times \mathrm { G r } } \\ & { ( \mathscr { F } ^ { ( 1 ) } , . . . , \mathscr { F } ^ { ( e ) } ) } & { \longmapsto } & { ( \Lambda _ { \mathscr { F } ^ { ( 1 ) } } , \dots , \Lambda _ { \mathscr { F } ^ { ( e ) } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { ( F ) } ( { \bf k } ) } & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } \! \left\{ \! m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } + 2 { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \cos ( k _ { x } a ) + \cos ( k _ { y } a ) \right] \! \right\} \! C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { \! + \! t _ { z } \sum _ { j _ { z } } \! \left( \! C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } + C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \! \right) \! \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sum _ { j _ { z } } \! \left( \! C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } \! - \! C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } \gamma _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \! \right) \! } \\ & { \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { x } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { y } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { \! + \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \sum _ { n \in \mathrm { o d d } , n > 0 } \frac { 2 i \lambda _ { | | } { \cal J } _ { n } ^ { 2 } ( A ( z ) a ) } { n \hbar \omega } \sin \left( n \varphi \right) \left\{ 2 t _ { | | } \cos ( k _ { x } a ) \sin ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { 0 } ] + 2 t _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { 0 } , \gamma _ { y } ] \right. } \\ & { \left. - \lambda _ { | | } \cos ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { y } ] \right\} C _ { { \bf k } , j _ { z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \} | N \rangle \right] } & { = } & { \left[ \langle N | \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } | N \rangle \right] - \left[ \langle N | f _ { i } | N \rangle \right] } \\ & { = } & { \Big [ n _ { i } \Big ] - f _ { i } } \\ & { = } & { 0 , } \end{array}
F _ { ( J \neq 0 ) } \approx - \frac { l ^ { 3 } \zeta ( 3 ) } { \sqrt { 2 } \beta ^ { 3 } } \left( \frac { r _ { + } } { r _ { + } ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { r _ { + } } { \sqrt { \epsilon } } + \frac { l \Omega _ { H } } { \pi } \frac { r _ { - } } { r _ { + } ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { m } ^ { 3 } } - \frac { \zeta ( 3 ) } { ( \beta \Omega _ { H } ) ^ { 3 } } \frac { r _ { + } ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } } \right] \ln \left( \frac { r _ { + } } { \epsilon } \right) ~ ,
\frac { \partial \eta _ { n } } { \partial t } = - | \mathbf { k } _ { n } | ^ { 2 } \frac { \delta F _ { \eta } } { \delta \eta _ { n } ^ { * } } = - | \mathbf { k } _ { n } | ^ { 2 } \left( A ^ { \prime } \mathcal { G } _ { n } ^ { 2 } \eta _ { n } + \frac { \partial g ^ { \mathrm { s } } } { \partial \eta _ { n } ^ { * } } \right) ,
\begin{array} { r l } { K _ { \beta } } & { = \frac { 2 \pi } { \beta } \, \csc \frac { 2 \pi } { \beta } , } \\ { \mu ( z , u ) } & { = 2 \pi \lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } r \exp \bigl ( - \lambda \, \bigl [ \pi r ^ { 2 } - J ( r , z , u ) \bigr ] \bigr ) \, \mathrm { d } r , } \\ { J ( r , z , u ) } & { = 2 z \int _ { 0 } ^ { \pi } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { r } \frac { x } { z + { w _ { x , u , \phi } } ^ { \beta } } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } \phi , } \end{array}
( \mathbf { A } \bullet \mathbf { L } ) ( \mathbf { B } \otimes \mathbf { M } ) . . . ( \mathbf { C } \otimes \mathbf { S } ) ( c \otimes d ) = ( \mathbf { A } \mathbf { B } . . . \mathbf { C } c ) \circ ( \mathbf { L } \mathbf { M } . . . \mathbf { S } d )
\begin{array} { r l r } { A _ { 4 } } & { : = } & { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) \biggr \{ \frac { \Delta \mu _ { n } \Delta \mu _ { n } ^ { * } \biggr [ ( \Delta \mu _ { n } ) ^ { 2 } - 3 \Delta \mu _ { n } \Delta \mu _ { n } ^ { * } + 3 ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { 2 } \biggr ] } { 2 4 \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } \\ & { + } & { \frac { \Delta \mu _ { n } \Delta \mu _ { n } ^ { * } \Delta v _ { n } - 2 ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { 2 } \Delta v _ { n } - \Delta \mu _ { n } \Delta \mu _ { n } ^ { * } \Delta v _ { n } ^ { * } + \Delta v _ { n } \Delta v _ { n } ^ { * } } { 8 \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \biggr \} \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \hat { I } _ { 6 } | \, } & { \le \, C \epsilon \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } D _ { \epsilon } ^ { 1 / 2 } + C \Bigl ( \frac { \epsilon \beta _ { \epsilon } } { \delta } \, \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } + \mathfrak { R } _ { \epsilon } \Bigr ) \Bigl ( \delta \mathfrak { R } _ { \epsilon } \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } + \delta \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } D _ { \epsilon } ^ { 1 / 2 } \Bigr ) } \\ { \, } & { \le \, C \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } \bigl ( D _ { \epsilon } ^ { 1 / 2 } + \mathfrak { R } _ { \epsilon } \bigr ) \bigl ( \epsilon \beta _ { \epsilon } + \delta \mathfrak { R } _ { \epsilon } \bigr ) \, \le \, C \epsilon \beta _ { \epsilon } \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } \bigl ( D _ { \epsilon } ^ { 1 / 2 } + \mathfrak { R } _ { \epsilon } \bigr ) \, . } \end{array}
N ^ { \cal P } ~ = ~ \left( \frac { 2 } { k + 2 } \right) ~ \sum _ { l = 1 } ^ { k + 1 } s i n ^ { 2 } \theta _ { l } ~ \sum _ { m _ { 1 } = - j _ { 1 } } ^ { j _ { 1 } } \cdots \sum _ { m _ { p } = - j _ { p } } ^ { j _ { p } } \exp \{ 2 i ( \sum _ { n = 1 } ^ { p } m _ { n } ) ~ \theta _ { l } \} ~ ,
\begin{array} { r l r } { E _ { \vartheta } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r } \Big [ \ddot { d } _ { z } ( t ^ { \prime } ) \sin \vartheta - \ddot { d } _ { y } ( t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \sin \varphi - \ddot { d } _ { x } ( t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \cos \varphi \, \Big ] \, , } \\ { E _ { \varphi } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r } \Big [ \ddot { d } _ { x } ( t ^ { \prime } ) \sin \varphi - \ddot { d } _ { y } ( t ^ { \prime } ) \cos \varphi \, \Big ] \, , } \\ { E _ { r } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { 0 \, , } \end{array}
\frac { d u \left( \mathbf { r } , t \right) } { d t } + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } } \nabla \cdot \mathbf { p } _ { A } \left( \mathbf { r } , t \right) = - \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { d \varepsilon \left( t \right) } { d t } E ^ { 2 } \left( \mathbf { r } , t \right) + \frac { d \mu \left( t \right) } { d t } H ^ { 2 } \left( \mathbf { r } , t \right) \right]
K ^ { \Omega } ( t ) = \frac { 1 } { \left| \Omega \right| } \sum _ { x , y \in \Omega } \delta _ { x ^ { y } , x ^ { - 1 } } \prod _ { \xi \in \mathcal { O } _ { - } ( x , y ) } K \left( \frac { \lambda _ { \xi } ^ { 2 } t } { \left| \xi \right| } \right) \prod _ { \xi \in \mathcal { O } _ { + } ( x , y ) } Z \left( \frac { \left| \xi \right| } { 2 \lambda _ { \xi } ^ { 2 } i t } + \frac { \kappa _ { \xi } } { \lambda _ { \xi } } \right)
\begin{array} { r l } & { f ( s ) = - 1 + \frac { s } { \lambda } \Biggl ( - 1 + } \\ & { 2 \int _ { - \infty } ^ { 0 } s d x \; \rho ( s ( 1 - x ) ) \int _ { - \infty } ^ { x - 1 } d y \left( I ( x , y ) - 1 \right) + } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } s d x \; \rho ( s ( 1 - x ) ) \left( \int _ { 0 } ^ { x } d y \; I ( x , y ) + 2 \int _ { x - 1 } ^ { 0 } d y \; I ( x , y ) \right) } \\ & { + \int _ { - \infty } ^ { 0 } s d x \; \rho ( s ( 1 - x ) ) \left( \int _ { x } ^ { 0 } d y \; I ( x , y ) + 2 \int _ { x - 1 } ^ { x } d y \; I ( x , y ) \right) \Biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = - 2 \alpha _ { 4 } ( \sin \theta - 1 ) , } & { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = 2 \alpha _ { 3 } , } \\ & { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = 2 \alpha _ { 2 } , } & { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } = 2 \alpha _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ ( C _ { 1 } - C _ { 3 } ) a _ { 1 } + 1 \right] \cdot } & { \left[ ( C _ { 1 } ^ { 2 } - C _ { 3 } ^ { 2 } ) b _ { 1 } ^ { 2 } + 2 C _ { 1 } b _ { 1 } + 1 \right] \cdot } \\ & { \left[ ( C _ { 1 } C _ { 2 } + C _ { 2 } C _ { 3 } - 2 C _ { 5 } ^ { 2 } ) a _ { 1 } b _ { 1 } + ( C _ { 1 } + C _ { 3 } ) a _ { 1 } + C _ { 2 } b _ { 1 } + 1 \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb E _ { \varepsilon } \exp \left\{ \lambda \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W [ 0 , 2 ^ { k + 1 } r ] } \left[ P _ { n } \varepsilon \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) \right] - 4 ^ { k - 1 } \sigma \lambda r ^ { 2 } / 2 \right\} } \\ & { \leqslant \exp \left\{ 6 4 ( 1 + e ) \; 2 ^ { k + 1 } \lambda L r \sqrt { \frac { d } n } + \frac { e \cdot 4 ^ { k + 1 } \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } r ^ { 2 } } { 2 n } - 4 ^ { k - 1 } \sigma \lambda r ^ { 2 } / 2 \right\} } \\ & { = \exp \left\{ 1 2 8 ( 1 + e ) \; 2 ^ { k } \lambda L r \sqrt { \frac { d } n } + \frac { 2 e \cdot 4 ^ { k } \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } r ^ { 2 } } { n } - 4 ^ { k - 1 } \sigma \lambda r ^ { 2 } / 2 \right\} . } \end{array}
\tilde { g } ^ { I J } = \left( \begin{array} { c c c } { \frac { a ^ { 2 } } { \chi } } & { - \frac { ( 1 - a \cdot b ) a ^ { j } + a ^ { 2 } b ^ { j } } { t \chi } } & { \frac { 1 - a \cdot b } { t \chi } } \\ { - \frac { ( 1 - a \cdot b ) a ^ { i } + a ^ { 2 } b ^ { i } } { t \chi } } & { \frac { g ^ { i j } } { t ^ { 2 } } + \frac { ( 1 - a \cdot b ) ( a ^ { i } b ^ { j } + a ^ { j } b ^ { i } ) + a ^ { 2 } b ^ { i } b ^ { j } - ( c - b ^ { 2 } ) a ^ { i } a ^ { j } } { t ^ { 2 } \chi } } & { \frac { ( c - b ^ { 2 } ) a ^ { i } - ( 1 - a \cdot b ) b ^ { i } } { t ^ { 2 } \chi } } \\ { \frac { 1 - a \cdot b } { t \chi } } & { \frac { ( c - b ^ { 2 } ) a ^ { j } - ( 1 - a \cdot b ) b ^ { j } } { t ^ { 2 } \chi } } & { \frac { b ^ { 2 } - c } { t ^ { 2 } \chi } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { \frac { \frac { 1 } { 2 } j ^ { 2 } } { \frac { 1 } { s } + \frac { 1 } { 3 } \frac { j } { t } } \geq \frac { j } { j - 1 } \frac { j - 1 } { j - 2 } \ldots \frac { 2 } { 1 } \frac { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { s } + \frac { 1 } { 3 t } } = j \frac { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { s } + \frac { 1 } { 3 t } } . } \end{array}
\mathrm { R e } \, \Pi _ { \phi } ^ { 2 } \sim - { \frac { g ^ { 4 } \Phi ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \int { \frac { n _ { p } d ^ { 3 } p } { p _ { 0 } ~ \bigl ( { p _ { 0 } } ^ { 2 } - m ^ { 2 } \bigr ) } } \sim - { \frac { g n _ { \chi } } { \Phi } } \ .
\begin{array} { r } { \chi _ { p q r } ^ { ( 2 ) , R } ( \omega _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } ) = i \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { - i \omega _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } t } \langle \alpha _ { p q } ( t ) P _ { r } ( 0 ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { l } ^ { 2 } = \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } e ^ { - R \kappa } \left[ \left( 1 + R \kappa \right) \left( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 2 \cos R q } { R ^ { 2 } q ^ { 2 } } + \frac { 2 \sin R q } { R ^ { 3 } q ^ { 3 } } \right) \right. } \\ { \left. - \frac { \kappa ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } + q ^ { 2 } } \left( \cos R q + \frac { \kappa } { q } \sin R q \right) \right] , } \end{array}
\centering \left( \begin{array} { l } { Q _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { Q _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { Q _ { 3 } ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { - \frac { \gamma _ { 1 2 } } { V _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \gamma _ { 1 2 } } { V _ { 1 } } } & { - \frac { \gamma _ { 2 3 } } { V _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \gamma _ { 2 3 } } { V _ { 3 } ( t ) } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { Q _ { 1 } } \\ { Q _ { 2 } } \\ { Q _ { 3 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { a _ { \mathrm { L } } } & { { } = 1 2 \, 2 7 0 . 0 2 0 7 0 5 \, \mathrm { k m } , } \\ { a _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } } } & { { } = 1 2 \, 2 6 6 . 1 3 5 9 3 9 5 \, \mathrm { k m } , } \\ { e _ { \mathrm { L } } } & { { } = 0 . 0 0 4 0 3 , } \\ { e _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } } } & { { } = 0 . 0 0 0 2 7 , } \\ { I _ { \mathrm { L } } } & { { } = 1 0 9 . 8 4 6 9 \, \mathrm { d e g } , } \\ { I _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } } } & { { } = 7 0 . 1 6 1 5 \, \mathrm { d e g } . } \end{array}