harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { { H } ^ { ( 4 ) } : = { H } ^ { ( 3 ) } \circ \Phi ^ { ( 4 ) } = H _ { 2 } ^ { ( 3 ) } + { H } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } + { H } _ { 4 } ^ { ( 4 ) } + { H } _ { \ge 5 } ^ { ( 4 ) } , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } \quad { H } _ { 4 } ^ { ( 4 ) } = { H } _ { 4 } ^ { ( 3 ) } + \left\{ { H } _ { 2 } ^ { ( 3 ) } , F ^ { ( 4 ) } \right\} . } \end{array}
q _ { 1 } = { \frac { p _ { 1 } + p _ { 1 } ^ { \prime } } { 2 } } \, , \ \ \ \ q _ { 2 } = { \frac { p _ { 2 } + p _ { 2 } ^ { \prime } } { 2 } } \, , \ \ \ \ Q = p _ { 1 } ^ { \prime } - p _ { 1 } = p _ { 2 } - p _ { 2 } ^ { \prime } \, ,
\begin{array} { r } { \left[ 2 \left( i k _ { L } + \frac { \partial } { \partial \xi } \right) \frac { \partial } { \partial \eta } + \Delta _ { \perp } - k _ { p } ^ { 2 } \right] a ( r , \xi , \eta ) = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j \in - i } ( r _ { k } ^ { i j } + \bar { r } _ { k } ^ { i j } ) ( \bar { \delta } _ { k } ^ { j } ) ^ { 2 } - { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \big ( \sum _ { j \in - i } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + p _ { k } ^ { i } \big ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { k + 1 } ^ { i } ( \sigma _ { k } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ ( w _ { k } ) ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { 2 } \big ( \sum _ { j \in \mathsf { N } } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) } \\ & { \quad \times \big ( \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } ) + \beta _ { k + 1 } ^ { i } \big ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \beta _ { k + 1 } ^ { i } \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) + \gamma _ { k + 1 } ^ { i } - \gamma _ { k } ^ { i } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } ( G _ { k } ^ { i } + { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \bar { n } _ { k } ^ { i i } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { i } + \frac { 1 } { 2 } G _ { k } ^ { i } \bar { \delta } _ { k } ^ { i } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( f + g \right) \left( x _ { t } \right) - \left( f + g \right) \left( x _ { t + 1 } \right) } & { \geq \left( \frac { 1 } { \alpha _ { t } } - \frac { \rho } { 2 } - \frac { L _ { g } } { 2 } \right) \left\Vert x _ { t } - x _ { t + 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \varepsilon _ { t } - \sqrt { \frac { 2 \varepsilon _ { t } } { \alpha _ { t } } } \| x _ { t } - x _ { t + 1 } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - D _ { \mathrm { C V } } \ } & { + \overbrace { \int _ { S _ { _ \mathrm { I n l e t } } } p d A - \int _ { S _ { _ \mathrm { O u t l e t } } } p d A } ^ { \mathrm { P r e s s u r e \ F o r c e \ o n \ B o u n d a r i e s } } = } \\ & { \overbrace { \sum _ { i } \int _ { S _ { i } } \underbrace { \rho \tilde { u } ( \tilde { \mathbf { u } } \cdot \mathbf { n } ) } _ { M } d A _ { i } } ^ { \mathrm { M o m e n t u m } } } \end{array}
\delta T \in \left( \begin{array} { l l } { \Gamma ( \mathcal { O } ( - 2 ) _ { ( e _ { 1 } ) } ) } & { \Gamma ( \mathcal { O } ( 1 ) _ { ( e _ { 1 } , z _ { 2 } ) } ) \cdot \mathbb { C } ^ { 1 \times 2 } } \\ { \Gamma ( \mathcal { O } ( - 2 ) _ { ( e _ { 1 } , z _ { 2 } ) } ) \cdot \mathbb { C } ^ { 2 \times 1 } } & { \Gamma ( \mathcal { O } ( 1 ) _ { ( z _ { 2 } ) } ) \cdot \mathbb { C } ^ { 2 \times 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathbb { C } ^ { 1 \times 2 } \cdot z _ { 1 } } \\ { \mathbb { C } ^ { 2 \times 1 } \cdot \frac { 1 } { z _ { 1 } ^ { 2 } } } & { \mathbb { C } ^ { 2 \times 2 } \cdot z _ { 1 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { p ^ { - } } { p } } & { = \frac { p ^ { - } } { p ^ { - } + p ^ { + } } = \frac { 2 L ^ { - } / N ( N - 1 ) } { 2 L ^ { - } / N ( N - 1 ) + 2 L ^ { + } / N ( N - 1 ) } = \frac { 2 L ^ { - } / N ( N - 1 ) } { 2 L / N ( N - 1 ) } = \frac { L ^ { - } } { L } , } \\ { \frac { p ^ { + } } { p } } & { = \frac { p ^ { + } } { p ^ { - } + p ^ { + } } = \frac { 2 L ^ { + } / N ( N - 1 ) } { 2 L ^ { - } / N ( N - 1 ) + 2 L ^ { + } / N ( N - 1 ) } = \frac { 2 L ^ { + } / N ( N - 1 ) } { 2 L / N ( N - 1 ) } = \frac { L ^ { + } } { L } . } \end{array}
\kappa _ { p } ^ { T , T } = \frac { 1 } { 2 } ( \rlap / p \pm m ) ( 1 + 2 T \gamma _ { 5 } \rlap / k ) , \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ \kappa _ { p } ^ { T , - T } = \frac { 1 } { 2 } ( \rlap / p \pm m ) \gamma _ { 5 } \rlap / b _ { T } ,
\begin{array} { r l } & { { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \rho } [ h ( \omega ) ] = { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \rho } \left[ \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } \xi ( d x ) e ^ { - \delta \gamma | x | } | f _ { \zeta m } ( \omega ) | ^ { 2 } \right] = } \\ & { = { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \rho } \left[ \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \xi ( d x ) e ^ { - \delta \gamma | x | } | f _ { \zeta m } ( \omega ) | ^ { 2 } \right] + { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \rho } [ | f _ { \zeta m } ( \omega ) | ^ { 2 } ] } \\ & { \leq c ( \rho , \lambda , \delta , \gamma , \zeta , \beta ) , } \end{array}
\frac { \partial p _ { e } } { \partial t } = - \gamma \nabla \cdot ( p _ { e } { \bf { u _ { e } } } ) + ( \gamma - 1 ) { \bf { u _ { e } } } \cdot \nabla p _ { e } + ( \gamma - 1 ) ( - \nabla \cdot { \bf { Q _ { e } } } + H _ { e i } ) ,
a _ { \textbf { p } } ( t ) = - i \int _ { - \infty } ^ { t } ( { \textbf { E } } _ { X U V } ( t ^ { \prime } ) + { \textbf { E } } _ { I R } ( t ^ { \prime } ) ) \cdot { \textbf { d } } [ { \textbf { p } } + { \textbf { A } } _ { X U V } ( t ^ { \prime } ) + { \textbf { A } } _ { I R } ( t ^ { \prime } ) ] e ^ { + i ( I _ { P } t ^ { \prime } - S ( t , t ^ { \prime } ) ) } d t ^ { \prime } \quad ( 1 . 6 )
C : \quad \left( \gamma _ { \mu \nu } \, D _ { ( + ) } ^ { \mu } \, D _ { ( + ) } ^ { \nu } \, + \, m ^ { 2 } \right) \, u ( x ) \, = \, 0 \, \, \, \longrightarrow \, \, \, \left( \gamma _ { \mu \nu } \, D _ { ( - ) } ^ { \mu } \, D _ { ( - ) } ^ { \nu } \, - \, m ^ { 2 } \right) \, v ( x ) \, = \, 0 \quad ,
( \bar { A } \Gamma _ { \hat { a } } B ) ( \bar { C } \Gamma ^ { \hat { a } } D ) = - \frac { 1 } { 2 } ( \bar { A } \Gamma _ { \hat { a } } e _ { l } D ) ( \bar { B } \Gamma ^ { \hat { a } } e _ { l } C ) + \frac { 1 } { 2 } ( \bar { A } \Gamma _ { \hat { a } } e _ { l } C ) ( \bar { B } \Gamma ^ { \hat { a } } e _ { l } D ) ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathcal { P } _ { J } ( \ell _ { 2 } ^ { n } ) \big ) } & { = ( n - 1 ) \int _ { \mathbb { D } } \bigg | \sum _ { k : J ( k ) \neq \emptyset } \frac { ( n - 1 + k ) ! } { ( n - 1 ) ! \, k ! } \, z ^ { k } \bigg | \, ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { n - 2 } \, d A ( z ) } \\ & { = \frac { ( n - 1 ) } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Big | \sum _ { k : J ( k ) \neq \emptyset } \frac { ( n - 1 + k ) ! } { ( n - 1 ) ! \, k ! } \, r ^ { k } e ^ { i k \theta } \Big | \, d \theta \Big ) ( 1 - r ^ { 2 } ) ^ { n - 2 } \, r \, d r \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { 0 } ( O ) } & { { } = \mathbf { Z } / 2 \mathbf { Z } } \\ { \pi _ { 1 } ( O ) } & { { } = \mathbf { Z } / 2 \mathbf { Z } } \\ { \pi _ { 2 } ( O ) } & { { } = 0 } \\ { \pi _ { 3 } ( O ) } & { { } = \mathbf { Z } } \\ { \pi _ { 4 } ( O ) } & { { } = 0 } \\ { \pi _ { 5 } ( O ) } & { { } = 0 } \\ { \pi _ { 6 } ( O ) } & { { } = 0 } \\ { \pi _ { 7 } ( O ) } & { { } = \mathbf { Z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma } & { = \int _ { a } ^ { \infty } G ( x ) d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) } \\ & { = f _ { + } ^ { \prime } ( x ) G ( x ) | _ { a } ^ { \infty } - \int _ { a } ^ { \infty } f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \tilde { G } ( x ) d x } \\ & { = \int _ { a } ^ { \infty } - f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \tilde { G } ( x ) d x } \end{array}
( e ^ { 2 U } ) _ { h o r } = { \frac { 1 } { 3 } } ( X ^ { J } H _ { J } ) _ { h o r } = { \frac { 1 } { 3 } } ( X ^ { J } ) _ { h o r } ( { \frac { q _ { J } } { r ^ { 2 } } } ) = { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { Z _ { h o r } } { r ^ { 2 } } }
d s ^ { 2 } = \left( 1 + \frac { \tilde { k } _ { 3 } } { \hat { r } ^ { 5 } } \right) ^ { - 2 / 3 } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } \eta _ { \mu \nu } + \left( 1 + \frac { \tilde { k } _ { 3 } } { \hat { r } ^ { 5 } } \right) ^ { 1 / 3 } ( d z ^ { 2 } + d y ^ { \tilde { m } } d y ^ { \tilde { m } } ) .
\ln \Gamma ( 1 + z ) = - \ln ( 1 + z ) + ( 1 - \gamma ) z + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \Bigl [ \zeta ( n ) - 1 \Bigr ] \frac { z ^ { n } } { n } , \quad ( | z | < 2 ) ,
\begin{array} { r l } { D \sum _ { j } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( P \frac { \partial S } { \partial x _ { j } } \right) = } & { { } 0 } \\ { - D \sum _ { j } \frac { \partial S } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \ln q } { \partial x _ { j } } + U = } & { { } - \frac { \partial S } { \partial t } } \\ { D \sum _ { j } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( P \frac { \partial \ln q } { \partial x _ { j } } \right) = } & { { } \frac { \partial P } { \partial t } , } \end{array}
\mathrm { ~ F ~ L ~ O ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ F ~ O ~ M ~ } } = z _ { s } K ( a + b + \eta + \frac { 4 } { \ensuremath { N _ { v a r } } } ) \ensuremath { N _ { v a r } } ^ { 2 } \ensuremath { N _ { e l e m } }
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 0 , n + 1 } ( \varphi \, \widetilde { \otimes } \, x ) } & { = \sum _ { ( R ) } \Phi _ { 0 , 1 } \! \left( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( R _ { ( 1 ) } \bigr ) ( \varphi ) \right) \otimes \mathsf { D } _ { 0 , n } \bigl ( R _ { ( 2 ) } \bigr ) \Phi _ { 0 , n } ( x ) } \\ & { \in \Phi _ { 0 , 1 } \! \left( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( \Theta _ { ( 1 ) } \bigr ) ( \varphi ) \right) \otimes \mathsf { D } _ { 0 , n } \bigl ( \Theta _ { ( 2 ) } \bigr ) \Phi _ { 0 , n } ( x ) + \bigoplus _ { \lambda ^ { \prime } < \lambda } \, ( U _ { q } ) _ { \lambda ^ { \prime } } \otimes ( U _ { q } ) ^ { \otimes n } } \\ & { = \Phi _ { 0 , 1 } ( \varphi ) \otimes ( K _ { \lambda } ) ^ { \otimes n } \Phi _ { 0 , n } ( x ) + \bigoplus _ { \lambda ^ { \prime } < \lambda } \, ( U _ { q } ) _ { \lambda ^ { \prime } } \otimes ( U _ { q } ) ^ { \otimes n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { h } } & { = \{ K = \Gamma _ { h } \cap \overset { \circ } { T } \mid T \in \mathcal { T } _ { h } \} \cup \{ K = \Gamma _ { h } \cap F \mid F \in \mathcal { F } _ { h } \} , } \\ { \mathcal { E } _ { h } } & { = \{ E = K ^ { + } \cap K ^ { - } \mid K ^ { + } , K ^ { - } \in \mathcal { K } _ { h } \} . } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { S ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } , s ) \in S o S , \, Q ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } , s ) } L : \; \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 4 } \partial _ { \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } } Q + \frac { 1 } { \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \left[ ( 1 - s ^ { 2 } ) \partial _ { s s } Q - s \partial _ { s } Q \right] + f _ { i } \partial _ { i } Q + \phi - L \right] - S ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } , s ) ( 1 - s ^ { 2 } ) \in S o S .
\begin{array} { r l } { \big \| \pi _ { \rho ^ { \prime } , \frac { \rho } { 2 } } E _ { \rho , \rho ^ { \prime } } ( s , \lambda ) \pi _ { \rho ^ { \prime } , \frac { \rho } { 2 } } ^ { * } \big \| } & { \; \leq \; \kappa \| [ H , D _ { 0 } ] \| + 2 \lambda \| [ ( H ^ { * } \oplus H ) , G _ { \rho } ( D ) ] \| \cdot \| H ^ { s } \| } \\ & { \qquad + 2 | s | \big ( \frac { 1 } { 2 } \| \Im m ( H ) \| + { \lambda \| [ G _ { \rho } ( D ) } , ( - H ) ^ { * } \oplus H ] \| \big ) } \\ & { \; \leq \; \frac { 3 } { 4 } \, g ^ { 2 } \, + { 4 \, \| \Im m ( H ) \| \big ( \frac { 1 } { 2 } \| \Im m ( H ) \| + \frac { 8 } { \rho } \, N \big ) } } \\ & { \; \leq \; \frac { 3 } { 4 } \, g ^ { 2 } \, + 2 \, \| \Im m ( H ) \| ^ { 2 } + \frac { 3 2 \, c _ { \kappa } \, \| \Im m ( H ) \| \, g ^ { 2 } } { c _ { \rho } \, \| H \| \, ( 1 + g ^ { - 1 } \| \Im m ( H ) \| ) } } \\ & { \; \leq \; \frac { 3 } { 4 } \, g ^ { 2 } \, + 2 \, \| \Im m ( H ) \| ^ { 2 } + { \frac { 3 2 \, c _ { \kappa } } { c _ { \rho } } \, g ^ { 2 } } \; , } \end{array}
\delta \boldsymbol { \theta } \in \mathbb { R } ^ { 2 n \times 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \mathbf { H } ^ { T } \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } \right) ^ { - 1 } \mathbf { H } ^ { T } \mathbf { R } ^ { - 1 } \boldsymbol { \xi } , } & { \quad \mathrm { ~ o ~ v ~ e ~ r ~ - ~ d ~ e ~ t ~ e ~ r ~ m ~ i ~ n ~ e ~ d ~ : ~ } T m > 2 n , } \\ { \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } ^ { T } \left( \mathbf { H } \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } ^ { T } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { \xi } , } & { \quad \mathrm { ~ u ~ n ~ d ~ e ~ r ~ - ~ d ~ e ~ t ~ e ~ r ~ m ~ i ~ n ~ e ~ d ~ : ~ } T m < 2 n . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { 1 } } & { = \hat { K } \sin \big ( \omega { v } _ { 1 } \big ) e ^ { - \nu { v } _ { 1 } ^ { 2 } } - K F \big ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } \big ) , } \\ { \dot { x } _ { 1 } } & { = v _ { 1 } , } \\ { \dot { v } _ { 2 } } & { = \hat { K } \sin \big ( \omega { v } _ { 2 } \big ) e ^ { - \nu { v } _ { 2 } ^ { 2 } } + K F \big ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } \big ) , } \\ { \dot { x } _ { 2 } } & { = v _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \le C M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \eta _ { \Psi } r } . } \end{array}
\tilde { D } = \left( \begin{array} { c } { { D ^ { ( 1 ) } } } \\ { { D ^ { ( 2 ) } } } \end{array} \right) , ~ \tilde { E } = \left( \begin{array} { c } { { E ^ { ( 1 ) } } } \\ { { E ^ { ( 2 ) } } } \end{array} \right) , ~ \tilde { B _ { \mu } } = \left( \begin{array} { c } { { B _ { \mu } ^ { ( 1 ) } } } \\ { { B _ { \mu } ^ { ( 2 ) } } } \end{array} \right) , ~ \tilde { \psi _ { a } } = \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { a } ^ { ( 1 ) } } } \\ { { \psi _ { a } ^ { ( 2 ) } } } \end{array} \right)
G = \left[ \begin{array} { c } { e _ { \frac { s + 1 } { 2 } } + e _ { s - k + 1 } } \\ { e _ { 1 } + e _ { s - k + 2 } } \\ { e _ { 2 } + e _ { s - k + 3 } } \\ { \vdots } \\ { e _ { \frac { k + 1 } { 2 } - 1 } + e _ { s - k + \frac { k + 1 } { 2 } } } \\ { e _ { s - k + \frac { k + 1 } { 2 } } } \\ { e _ { s - k + \frac { k + 1 } { 2 } + 1 } } \\ { \vdots } \\ { e _ { s - 1 } } \\ { e _ { s } } \end{array} \right] ,
{ \frac { 1 } { \sqrt { g } } } { \frac { \delta } { \delta \phi ^ { i _ { 1 } } } } . . . . . . { \frac { 1 } { \sqrt { g } } } { \frac { \delta } { \delta \phi ^ { i _ { n } } } } S ~ = ~ < O _ { i _ { 1 } } . . . . . . O _ { i _ { n } } >
\begin{array} { r } { \lVert \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \rVert _ { \mathrm { B } _ { p , p } ^ { s - \frac { 1 } { p } } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \lesssim _ { p , s , n } \lVert u \rVert _ { { \dot { \mathrm { H } } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { { \dot { \mathrm { H } } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \! \! \left( \begin{array} { l } { \delta \vec { v } _ { m } } \\ { \delta \vec { v } _ { - m } } \end{array} \right) \equiv \mathcal { M } _ { m } \! \! \left( \begin{array} { l } { \delta \vec { v } _ { m } } \\ { \delta \vec { v } _ { - m } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { J } _ { m } } & { \mathbf { C } _ { m , - m } } \\ { \mathbf { C } _ { m , - m } } & { \mathbf { J } _ { - m } } \end{array} \right) \! \! \left( \begin{array} { l } { \delta \vec { v } _ { m } } \\ { \delta \vec { v } _ { - m } } \end{array} \right) } \end{array}
B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( U \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { { T } _ { 1 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { C _ { T } \mathrm { e } ^ { z } - b ^ { 2 } \frac { \gamma - 1 } { \gamma } ( T _ { b } - 1 ) \big \{ ( \nu - \gamma ) z + \frac { T _ { b } - 1 } { 2 } ( 2 \nu - \gamma ) \mathrm { e } ^ { z } \big \} \mathrm { e } ^ { z } } & { ( z < 0 ) } \\ { { T } _ { 1 + } } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \\ { { Y } _ { 1 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { C _ { Y } \mathrm { e } ^ { L e z } } & { ( z < 0 ) } \\ { 0 } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial n _ { 0 } / \partial t = C f _ { 0 1 2 } = C ( n _ { 1 } n _ { 2 } - n _ { 0 } n _ { 1 } - n _ { 0 } n _ { 2 } ) \approx C n _ { 2 } ( n _ { 1 } - n _ { 0 } ) > 0 , } \\ & { \partial n _ { 1 } / \partial t = - C f _ { 0 1 2 } = - C ( n _ { 1 } n _ { 2 } - n _ { 0 } n _ { 1 } - n _ { 0 } n _ { 2 } ) \approx - C n _ { 2 } ( n _ { 1 } - n _ { 0 } ) < 0 , } \\ & { \partial n _ { 2 } / \partial t = - C f _ { 0 2 1 } = - C ( n _ { 1 } n _ { 2 } - n _ { 0 } n _ { 1 } - n _ { 0 } n _ { 2 } ) \approx - C n _ { 2 } ( n _ { 1 } - n _ { 0 } ) < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { W } _ { h } ^ { 0 } ( \hat { K } _ { 3 } ) } & { { } = \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } ( \hat { K } _ { 2 } ) \otimes \mathbb { U } _ { h } ^ { 0 } ( \hat { K } _ { 1 } ) , } \\ { \mathbb { W } _ { h } ^ { 1 } ( \hat { K } _ { 3 } ) } & { { } = \underbrace { \hat { k } \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } ( \hat { K } _ { 2 } ) \otimes \mathbb { U } _ { h } ^ { 1 } ( \hat { K } _ { 1 } ) } _ { = \mathbb { W } _ { h } ^ { 1 , V } } \oplus \underbrace { \iota ( \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } ( \hat { K } _ { 2 } ) ) ^ { \perp } \otimes \mathbb { U } _ { h } ^ { 0 } ( \hat { K } _ { 1 } ) } _ { = \mathbb { W } _ { h } ^ { 1 , H } } , } \\ { \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } ( \hat { K } _ { 3 } ) } & { { } = \underbrace { \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } ( \hat { K } _ { 2 } ) \otimes \hat { k } \mathbb { U } _ { h } ^ { 0 } ( \hat { K } _ { 1 } ) } _ { = \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 , V } } \oplus \underbrace { \iota ( \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } ( \hat { K } _ { 2 } ) ) \otimes \mathbb { U } _ { h } ^ { 1 } ( \hat { K } _ { 1 } ) } _ { = \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 , H } } , } \\ { \mathbb { W } _ { h } ^ { 3 } ( \hat { K } _ { 3 } ) } & { { } = \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } ( \hat { K } _ { 2 } ) \otimes \mathbb { U } _ { h } ^ { 1 } ( \hat { K } _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \rho h \frac { \Bar { d } \; \overline { { v } } _ { x } } { \Bar { d t } } w _ { x } d \Omega } & { = - \int _ { \Omega } h \overline { { \sigma } } _ { x x } \frac { \partial w _ { x } } { \partial x } d \Omega - \int _ { \Omega } h \overline { { \sigma } } _ { x y } \frac { \partial w _ { x } } { \partial y } d \Omega - \int _ { \Omega } \tau _ { x z } w _ { x } d \Omega + \int _ { \Omega } b _ { x } \rho h w _ { x } d \Omega } \\ { \int _ { \Omega } \rho h \frac { \Bar { d } \; \overline { { v } } _ { y } } { \Bar { d t } } w _ { y } d \Omega } & { = - \int _ { \Omega } h \overline { { \sigma } } _ { x y } \frac { \partial w _ { y } } { \partial x } d \Omega - \int _ { \Omega } h \overline { { \sigma } } _ { y y } \frac { \partial w _ { y } } { \partial y } d \Omega - \int _ { \Omega } \tau _ { y z } w _ { y } d \Omega + \int _ { \Omega } b _ { y } \rho h w _ { y } d \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf { I } } _ { N _ { S } } } & { = ( { \bf { U } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \\ & { \quad ( { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { T } } { \bf { V } } _ { N _ { T } } - { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { R } } { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } { \bf { I } } _ { N _ { R } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } \Omega ^ { ( 1 ) } = \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } U ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \tilde { \bar { F } } _ { i i } + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i } \tilde { { F } } _ { i i j j } , } \end{array}
L \equiv \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } e _ { i i } + i \sum _ { i \neq j } w ( q _ { i } - q _ { j } ) e _ { i j } \; ; \; v ( q _ { i } - q _ { j } ) \equiv w ^ { 2 } ( q _ { i } - q _ { j } )
\begin{array} { r l } { | \mathtt { B } _ { 2 1 } ^ { N } ( j , k ) | } & { \overset = | j | | L _ { 3 } ( j , k ) | | L _ { 4 } ( j , k ) | + 2 k | L _ { 2 } ( j , k ) | ^ { 2 } + | L _ { 5 } ( j , k ) | + | L _ { 6 } ( j , k ) | } \\ & { \overset { , , , , } { \le _ { \alpha } } | k | ( | j | ^ { 2 \alpha - 2 } + | k | ^ { \alpha - 1 } | j | ^ { \alpha - 1 } + | k | ^ { 2 \alpha - 2 } ) } \\ & { \le _ { \alpha } | k | ( | j | ^ { 2 \alpha - 2 } + | k | ^ { 2 \alpha - 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { p , d } \fint _ { \partial B _ { r } } ( p - 1 ) | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y \, \mathrm { d } \sigma ( y ) } & { = \Delta _ { p } \phi ( x ) r ^ { p } , } \\ { \frac { ( p + d ) a _ { p , d } } { d } \fint _ { B _ { r } } ( p - 1 ) | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y \, \mathrm { d } y } & { = \Delta _ { p } \phi ( x ) r ^ { p } , } \end{array}
E _ { \epsilon } ^ { \mathrm { k i n } } [ \eta ] \, = \, \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { B _ { \epsilon } } \int _ { B _ { \epsilon } } K _ { \epsilon } ( R , R ^ { \prime } , Z , Z ^ { \prime } ) \, \eta ( R , Z ) \, \eta ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } X \, \mathrm { d } X ^ { \prime } \, ,
\sigma _ { s } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { * 2 } { } \, ^ { 1 } ( \sigma _ { s } ^ { * } \overline { { \sigma _ { p } } } ) \left( ^ 1 ( \overline { { \pi _ { x } } } \pi _ { x } ^ { * } ) + { } ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { y } } } \pi _ { y } ^ { * } ) \right)
\frac { 1 } { 8 \pi } \int ^ { r } d ^ { 3 } x ( K - K _ { 0 } ) = - \frac { \pi } { \kappa } \Biggl [ r - M + \frac { r ( r - r _ { + } ) ( r - r _ { - } ) } { R ^ { 2 } } - 2 [ ( r - r _ { + } ) ( r - r _ { - } ) ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Biggr ] \ .
\begin{array} { r } { \Delta \mathbf { X } _ { 2 , 0 } ( t _ { 0 } ) = \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } [ \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , t ) + \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) \cdot \nabla \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , t ) ] \, d t , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { \pm } = i \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k \langle u _ { k } ^ { \pm } | \partial _ { k } | u _ { k } ^ { \pm } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \big ( \theta _ { k = \pi } - \theta _ { k = - \pi } \big ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { z } & { a _ { 1 } } \\ { 0 } & { z } \end{array} \right) \, , \qquad \left( \begin{array} { c c c } { z } & { a _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { z } & { a _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { z } \end{array} \right) \, , \qquad \left( \begin{array} { c c c c } { z } & { a _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { z } & { z a _ { 3 } + a _ { 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { z } & { a _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { z } \end{array} \right) \, ,