harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { x } { U _ { o } u _ { * } } U _ { e } u _ { * } \frac { d R e _ { x } ^ { - 1 } U _ { o 3 } } { d x } = - \frac { u _ { * } x R e _ { * } ^ { - 2 } } { u _ { * } } \frac { U _ { o 3 } } { \nu } ( u _ { * } ^ { 2 } + 2 x u _ { * } \frac { d u _ { * } } { d x } ) + } \\ { \frac { U _ { e } x u _ { * } } { U _ { e } u _ { * } } R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d U _ { o 3 } } { d y _ { o } } y U _ { e } ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } + \frac { - 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { d u _ { * } } { d x } ) - } \\ { = - R e _ { * } ^ { - 2 } U _ { o 3 } \big ( \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } } \frac { x } { \nu } + \frac { 2 x ^ { 2 } u _ { * } } { U _ { e } \nu } \frac { ( - u _ { * } ) } { x ( \frac { \kappa k U _ { e } } { u _ { * } } + 2 ) } \big ) + } \\ { = - R e _ { * } ^ { - 2 } U _ { o 3 } \big ( R e _ { * } + R e _ { * } \frac { - 2 } { \frac { \kappa U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d U _ { o _ { 3 } } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { I _ { \mathrm { e f f } } } { N } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } d t \ \rho _ { i } ( t ) \dot { \phi } _ { i } ( t ) } \\ & { \ + \frac { J _ { 0 } ^ { 2 } } { N } \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } d t _ { 1 } d t _ { 2 } \sum _ { i \neq j \neq k \neq l } \left[ \rho _ { j } ( t _ { 2 } ) \phi _ { i } ( t _ { 2 } ) - \rho _ { i } ( t _ { 2 } ) \phi _ { j } ( t _ { 2 } ) \right] \rho _ { i } ( t _ { 1 } ) \phi _ { j } ( t _ { 1 } ) \phi _ { k } ( t _ { 1 } ) \phi _ { k } ( t _ { 2 } ) \phi _ { l } ( t _ { 1 } ) \phi _ { l } ( t _ { 2 } ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \underline { { \mathsf { G } } } _ { [ x , \widehat { x } ] } ( w , \widehat { w } ) } \\ { \overline { { \mathsf { G } } } _ { [ x , \widehat { x } ] } ( w , \widehat { w } ) } \end{array} \right] \le _ { \mathrm { S E } } \left[ \begin{array} { l } { \underline { { \mathsf { G } } } _ { [ y , \widehat { y } ] } ( v , \widehat { v } ) } \\ { \overline { { \mathsf { G } } } _ { [ y , \widehat { y } ] } ( v , \widehat { v } ) } \end{array} \right] } \end{array}
\hat { x } _ { a 4 } ^ { 2 } = x _ { a 4 } ^ { 2 } - 4 i { \frac { ( a 4 ^ { - } ) } { ( a 4 ) } } \theta _ { 4 } ^ { + } x _ { a 4 } \bar { \theta } _ { 4 } ^ { + } + \ldots
\begin{array} { r } { p \left( x _ { c , w , h } ^ { i + 1 } \mid \hat { \mu } ^ { i + 1 } , \hat { \sigma } ^ { i + 1 } \right) = \mathcal { N } \left( \hat { \mu } _ { c , w , h } ^ { i + 1 } , \hat { \sigma } _ { c , w , h } ^ { i + 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( t ) - f _ { 1 } ( t ) + F _ { m 1 } ( t ) } & { { } = m _ { 1 } \, \ddot { x } _ { 1 } ( t ) \, , } \\ { t _ { 2 } ( t ) - t _ { 1 } ( t ) + T _ { m 1 } ( t ) } & { { } = I _ { m 1 } \, \ddot { \theta } _ { 1 } ( t ) \, , } \\ { f _ { 3 } ( t ) - f _ { 2 } ( t ) + F _ { m 2 } ( t ) } & { { } = m _ { 2 } \, \ddot { x } _ { 2 } ( t ) \, , } \\ { t _ { 3 } ( t ) - t _ { 2 } ( t ) + T _ { m 2 } ( t ) } & { { } = I _ { m 2 } \, \ddot { \theta } _ { 2 } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \Phi _ { 0 } ( x ) ^ { ( 0 ) } \left[ Q ^ { ( 1 ) } ( f ) \right] , e \right\rangle } & { = \left\langle Q ^ { ( 1 ) } \left( \Phi _ { 0 } ( x ) ^ { ( 0 ) } [ f ] \right) , e \right\rangle } \\ & { } \\ { \varrho ( x ) [ \langle Q [ f ] , e \rangle ] - \left\langle Q [ f ] , \nabla _ { x } ( e ) \right\rangle } & { = \rho ( e ) [ \varrho ( x ) ] , \qquad \mathrm { ( b y ~ L e m m a ~ ( \emph { 2 . } ) ) } } \\ & { } \\ { \varrho ( x ) [ \rho ( e ) ] [ f ] - \rho ( \nabla _ { x } ( e ) ) [ f ] } & { = \rho ( e ) [ \varrho ( x ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathcal { H } } _ { 2 } ( \rho _ { n } f ) } & { = \frac { 1 } { { \binom { n } { 2 } } } \sum _ { i < j } - \{ [ { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) \log ( { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) ] + [ ( 1 - { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) ) \log ( 1 - { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) ) ] \} . } \end{array}
Z ( T ) = \operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } e ^ { i h J T } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { \mathrm { P B C } } { { d \mu \left( { \xi _ { j } ^ { * } , \xi _ { j } } \right) } \exp \left\{ { 2 J { \ln \left( { { \frac { 1 + e ^ { - i \epsilon h } \xi _ { j } ^ { * } \xi _ { j - 1 } } { 1 + \xi _ { j } ^ { * } \xi _ { j } } } } \right) } } \right\} } \quad ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { m } \rho _ { a } ( \theta ) } & { = \nabla _ { m } \frac { 1 } { \sqrt { | 2 \pi C | } } \exp \Bigl \{ - \frac { 1 } { 2 } ( \theta - m ) C ^ { - 1 } ( \theta - m ) \Bigr \} } \\ & { = C ^ { - 1 } ( \theta - m ) \rho _ { a } ( \theta ) = - \nabla _ { \theta } \rho _ { a } ( \theta ) , } \\ { \nabla _ { C } \rho _ { a } ( \theta ) } & { = \rho _ { a } ( \theta ) \Bigl ( - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \log | C | } { \partial C } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ( \theta - m ) ^ { T } C ^ { - 1 } ( \theta - m ) } { \partial C } \Bigr ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \rho _ { a } ( \theta ) \Bigl ( C ^ { - 1 } - C ^ { - 1 } ( \theta - m ) ( \theta - m ) ^ { T } C ^ { - 1 } \Bigr ) = \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \rho _ { a } ( \theta ) . } \end{array}
[ { \pmb u } , { \pmb w } ^ { \prime } ] = \int _ { \partial D _ { \infty } } \left( { \pmb \sigma } \{ { \pmb u } ( { \pmb x } ) \} \cdot { \pmb w } ^ { \prime } ( { \pmb x } ) - { \pmb \sigma } \{ { \pmb w } ^ { \prime } ( { \pmb x } ) \} \cdot { \pmb u } ( { \pmb x } ) \right) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } )
\mathcal { Z } ( 1 - d _ { B } ) + ( a F _ { A 1 2 } / \mathcal { F } _ { A _ { 2 } } + \mathcal { Z } d _ { B } F _ { B 1 2 } / \mathcal { F } _ { B _ { 2 } } ) \kappa _ { 2 } F _ { A 1 1 } / \mathcal { F } _ { A _ { 4 } }
\hat { D } ( \boldsymbol { \lambda } ) \approx \frac { m \, \mathrm { R M S D } [ \mathbf { x } , \mathbf { y } ( \boldsymbol { \lambda } ) ] ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } + \frac { m } { 2 } \log \frac { \pi \sigma ^ { 2 } } { 2 \epsilon ^ { 2 } } .
\phi _ { X 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 2 1 , 4 } ^ { -- + + } = ( k _ { 1 ^ { \prime } } k _ { 1 } ) ^ { h _ { 1 } } ( k _ { 2 ^ { \prime } } k _ { 2 } ) ^ { h _ { 2 } } \int d c ( k _ { 2 } ^ { \prime } + k _ { 1 } + c ) ^ { - 1 - \varepsilon 2 h _ { 1 } - 2 h _ { 2 } } c ^ { - 1 - \varepsilon } ( k _ { 1 ^ { \prime } } k _ { 1 } + c ( k _ { 2 } ^ { \prime } + k _ { 1 } ^ { \prime } ) ) ^ { \varepsilon - 2 h _ { 1 } } .
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { L } _ { x } ^ { m } , \hat { L } _ { y } ^ { m } \right] } & { = } & { 2 i \hbar m \hat { L } _ { z } ^ { m } , } \\ { \left[ \hat { L } _ { y } ^ { m } , \hat { L } _ { z } ^ { m } \right] } & { = } & { 2 i \hbar m \hat { L } _ { x } ^ { m } , } \\ { \left[ \hat { L } _ { z } ^ { m } , \hat { L } _ { x } ^ { m } \right] } & { = } & { 2 i \hbar m \hat { L } _ { y } ^ { m } , } \end{array}
\frac { s ( t _ { u } ^ { \dagger } ( q ) ) } { s _ { 0 } } \geq \exp \left( - \frac { 1 } { q } \varepsilon _ { S S l } \log \left( 1 + \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \cdot \frac { C ^ { * } } { q } \right) \right) .
I _ { \mu \nu } ^ { ( i ) } = { \frac { ( - i ) ^ { d } } { N } } \sum _ { m } { e ^ { 2 \pi i { \frac { \mu - \nu } { N } } } 2 ^ { d } \prod _ { j } \sin { \frac { \alpha _ { j } m } { 2 } } } .
\langle Y _ { i } ^ { \# } , Y _ { j } \rangle = \lambda _ { i } \langle Y _ { i } , Y _ { j } \rangle = B ( Y _ { i } , Y _ { j } ) = \langle Y _ { j } ^ { \# } , Y _ { i } \rangle = \lambda _ { j } \langle Y _ { j } , Y _ { i } \rangle
\begin{array} { r l } { a _ { \mu , i } } & { = \sum _ { \nu = 1 } ^ { d } \gamma _ { \mu , \nu } t _ { \nu , i } = \gamma _ { \mu , i } t _ { i i } + \gamma _ { \mu , i + 1 } t _ { i + 1 , i } } \\ & { = \gamma _ { \mu , i } \lambda _ { i } + \gamma _ { \mu , i } ( \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { i } ) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { \mu - 1 } \gamma _ { \nu , i } t _ { \mu , \nu } ^ { ( \alpha ) } } \\ & { = \gamma _ { \mu , i } \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { \mu - 1 } \gamma _ { \nu , i } t _ { \mu , \nu } ^ { ( \alpha ) } = \sum _ { \nu = 1 } ^ { \mu } t _ { \mu , \nu } ^ { ( \alpha ) } \gamma _ { \nu , i } = b _ { \mu , i } . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \mathbf { A } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { A } } { \partial t ^ { 2 } } } = - \mu _ { 0 } \mathbf { J } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \nabla \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial t } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \| s _ { t , j } ^ { ( \ell ) } \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq } & { \sigma _ { j } ^ { 2 \nu - 2 \ell } c _ { \ell } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { \ell } } \left[ \overset { \ell } { \underset { k = 1 } { \prod } } f _ { X \star \psi _ { R , j } } ( \lambda _ { k } ) \right] | \widehat { \phi _ { J } } ( \lambda _ { 1 } + \cdots + \lambda _ { \ell } ) | ^ { 2 } d \lambda _ { 1 } \cdots \lambda _ { \ell } } \\ { = } & { 2 ^ { - J } \sigma _ { j } ^ { 2 \nu - 2 \ell } c _ { \ell } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } f _ { X \star \psi _ { R , j } } ^ { \star \ell } ( 2 ^ { - J } \eta ) | \widehat { \phi } ( \eta ) | ^ { 2 } d \eta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { f } _ { i , k , k ^ { ' } } ^ { n } } & { = \Psi _ { i } ^ { n } \left( \textbf { x } _ { i , k ^ { ' } } ^ { n - 1 } \right) , \forall v _ { i , k ^ { ' } } \in \mathcal { N } ( v _ { i , k } ) , } \\ { \textbf { m } _ { i , k } ^ { n } } & { = \Phi \left( \left\{ \textbf { f } _ { i , k , k ^ { ' } } ^ { n } | \forall v _ { i , k ^ { ' } } \in \mathcal { N } ( v _ { i , k } ) \right\} \right) , } \\ { \textbf { x } _ { i , k } ^ { n } } & { = \Omega _ { i } ^ { n } \left( \textbf { m } _ { i , k } ^ { n } , \textbf { x } _ { i , k } ^ { n - 1 } \right) , } \end{array}
\big ( \boldsymbol { \Phi } , \mathcal { D } \boldsymbol { \Phi } \big ) _ { \mathcal { P } } = - \epsilon \| \mathcal { D } _ { x } \boldsymbol { \Phi } \| _ { \mathcal { P } } ^ { 2 } - \epsilon \Phi _ { s } \Phi _ { s x } + \frac { 1 } { 2 } \Phi _ { s } ^ { 2 } + \epsilon \Phi _ { e } \Phi _ { e x } - \frac { 1 } { 2 } \Phi _ { e } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { t } \left[ \left\| \tilde { \nabla } _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } | u ^ { t + 1 } \right] - \left\| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \leq A \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) + ( B - 1 ) \left\| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } + C } \end{array}
\frac { d { \cal E } _ { \sigma , \mathrm { r e l } } } { d t } = \frac { 1 } { 3 } k _ { B } ( T _ { \parallel } - T _ { \perp } ) \left( - \nabla _ { \perp } \cdot { \bf u } _ { \perp } + 2 \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } \right) .
\langle 0 | \hat { F } _ { \gamma } ^ { ( n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } ) } ( 0 ) | P \rangle = f _ { \mathrm { N } } ( z \cdot P ) ^ { \, { n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } + 1 } } N _ { \gamma } \, F ^ { \, ( n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } ) } \; ,
\begin{array} { c c l } { | \psi _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ } } ^ { m } ( z _ { j } ) \rangle } & { = } & { \mathcal { F T } ^ { - 1 } \left[ \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { a } _ { p } | \psi ^ { m } \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \partial _ { t } { n _ { d } } + \nabla \cdot ( { u _ { d } } { n _ { d } } ) } \\ { 0 = } & { m _ { d } { n _ { d } } ( \partial _ { t } { u _ { d } } + { u _ { d } } \cdot \nabla { u _ { d } } ) - { n _ { d } } e Z \nabla \phi } \\ { 0 = } & { \partial _ { t } { n _ { i } } + \nabla \cdot ( { u _ { i } } { n _ { i } } ) } \\ { 0 = } & { m _ { i } { n _ { i } } ( \partial _ { t } { u _ { i } } + { u _ { i } } \cdot \nabla { u _ { i } } ) + { n _ { i } } e \nabla \phi + m _ { i } c _ { s i } ^ { 2 } \nabla { n _ { i } } } \\ { 0 = } & { { n _ { i } } - n _ { e } - Z { n _ { d } } } \\ { 0 = } & { \frac { c _ { s e } ^ { 2 } m _ { e } } { \gamma _ { e } } \nabla n _ { e } - n _ { e } e \nabla \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathscr { H } } ^ { 2 } \left( h _ { \gamma } , h _ { \gamma } \left( \, \cdot \, - \mu _ { t } \right) \right) } & { = \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma } \left[ \sqrt { h _ { \gamma } ( x ) } - \sqrt { h _ { \gamma } ( x - \mu _ { t } ) } \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x + 1 - H _ { \gamma } \left( - \frac { 1 } { \gamma } - \mu _ { t } \right) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s } \left[ \sqrt { \frac { e ^ { - \frac { 1 } { \gamma } \ln \left( 1 - \gamma e ^ { - \gamma s } \mu _ { t } \right) } } { 1 - \gamma e ^ { - \gamma s } \mu _ { t } } } - 1 \right] ^ { 2 } \mathrm { d } s + ( - \gamma \mu _ { t } ) ^ { - 1 / \gamma } . } \end{array}
P \left( x , g ( q ^ { 2 } ) \right) \; \; = \; \; \left( \frac { g ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } { 8 \pi ^ { 2 } } \right) \; P ^ { ( 0 ) } ( x ) \; + \; \left( \frac { g ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } { 8 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \; P ^ { ( 1 ) } ( x ) \; + \; \ldots \; ,
M ^ { U } = \left( \! { \begin{array} { c c c } { { { m _ { 1 1 } ^ { U } } } } & { { { m _ { 1 2 } ^ { U } } } } & { { e ^ { { - i { \phi _ { U } } } } { \rho _ { U } } { m _ { 1 2 } ^ { U } } } } \\ { { { m _ { 2 1 } ^ { U } } } } & { { { m _ { 2 2 } ^ { U } } } } & { { e ^ { { - i { \phi _ { U } } } } { \rho _ { U } } { m _ { 2 2 } ^ { U } } } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { { i { \phi _ { U } } } } { \rho _ { U } } { m _ { 3 3 } ^ { U } } } } & { { { m _ { 3 3 } ^ { U } } } } \end{array} } \! \right)
{ \cal M } _ { \tilde { f } } = \left[ \begin{array} { c c } { { M _ { \tilde { f } _ { L } } ^ { 2 } + M _ { f } ^ { 2 } } } & { { M _ { f } ( A _ { f } - \mu r _ { f } ) } } \\ { { M _ { f } ( A _ { f } - \mu r _ { f } ) } } & { { M _ { \tilde { f } _ { R } } ^ { 2 } + M _ { f } ^ { 2 } } } \end{array} \right] \, ,
x ^ { ( a + 3 ) } \equiv \frac { ( x _ { 1 } - x _ { a + 3 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) } { ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ( x _ { 2 } - x _ { a + 3 } ) } = \frac { x _ { a + 3 } } { x _ { 3 } } , \; \; \; a = 1 , \ldots N - 3 \; \; .
\begin{array} { r l } { \dot { C } ( t ) } & { = \mathrm { W i } \frac { \left[ C ^ { 3 } \left( \beta _ { 1 } \lambda ^ { 2 } - \beta _ { 2 } \lambda ^ { 2 } + \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \tau \cos ^ { 2 } \tau \right] } { 2 \left( \lambda ^ { 2 } C ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \tau + C ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \tau + 1 \right) } , } \\ { \dot { \tau } ( t ) } & { = \frac { \lambda } { 1 + \lambda ^ { 2 } } + \mathrm { W i } \left[ \frac { \sin \tau \cos \tau \left( 2 \beta _ { 1 } \lambda ^ { 2 } C ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \tau + \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) } { 2 C ^ { 2 } \left( \lambda ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \tau + \sin ^ { 2 } \tau \right) + 2 } - \frac { 1 } { 4 } ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) \sin 2 \tau \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { { x _ { p } } _ { 0 } \sim \mathcal { U } \left[ { { x _ { p } } _ { 0 } } _ { m i n } , \ { { x _ { p } } _ { 0 } } _ { m a x } \right] , \ \ \ { u _ { p } } _ { 0 } \sim \mathcal { U } \left[ { { u _ { p } } _ { 0 } } _ { m i n } , \ { { u _ { p } } _ { 0 } } _ { m a x } \right] . } \end{array}
\begin{array} { l } { { { \cal D } _ { - k } { \cal X } ^ { - k } = 1 + q ^ { - 2 } { \cal X } ^ { - k } { \cal D } _ { - k } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ k > 0 ~ , } } \\ { { { \cal D } _ { + k } { \cal X } ^ { + k } = 1 + q ^ { 2 } { \cal X } ^ { + k } { \cal D } _ { + k } ~ , } } \\ { { [ { \cal D } _ { i } , { \cal D } _ { j } ] = 0 ~ , ~ ~ ~ ~ ~ [ { \cal X } ^ { i } , { \cal X } ^ { j } ] = 0 ~ , } } \\ { { { \cal D } _ { i } { \cal X } ^ { j } = { \cal X } ^ { j } { \cal D } _ { i } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ i \not = j ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu } } & { { } = [ S 1 ] \times \operatorname { d i a g } ( - 1 , + 1 , + 1 , + 1 ) } \\ { { R ^ { \mu } } _ { \alpha \beta \gamma } } & { { } = [ S 2 ] \times \left( \Gamma _ { \alpha \gamma , \beta } ^ { \mu } - \Gamma _ { \alpha \beta , \gamma } ^ { \mu } + \Gamma _ { \sigma \beta } ^ { \mu } \Gamma _ { \gamma \alpha } ^ { \sigma } - \Gamma _ { \sigma \gamma } ^ { \mu } \Gamma _ { \beta \alpha } ^ { \sigma } \right) } \\ { G _ { \mu \nu } } & { { } = [ S 3 ] \times \kappa T _ { \mu \nu } } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { \gamma ^ { 0 0 } } } & { { \gamma ^ { 0 1 } } } & { { \gamma ^ { 0 2 } } } \\ { { \gamma ^ { 1 0 } } } & { { \gamma ^ { 1 1 } } } & { { \gamma ^ { 1 2 } } } \\ { { \gamma ^ { 2 0 } } } & { { \gamma ^ { 2 1 } } } & { { \gamma ^ { 2 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { \eta } } & { { \eta ^ { \prime } } } & { { \eta ^ { \prime } } } \\ { { \eta ^ { \prime } } } & { { \eta } } & { { \eta ^ { \prime } } } \\ { { \eta ^ { \prime } } } & { { \eta ^ { \prime } } } & { { \eta } } \end{array} \right)
\vec { \bf g } _ { s } = { \bf F } ^ { \dagger } \, \left( \vec { \pmb { { \Psi } } } _ { s } ^ { * } \circ { \bf F } \, [ { \bf F } ^ { \dagger } ( \vec { \pmb { { \Psi } } } _ { s } \circ \vec { \bf C } ) ] - \vec { \bf y } _ { s } \right)
\langle \Omega _ { \pm } | { \cal O } ^ { \prime } P _ { R } ^ { - } { \cal O } | \Omega _ { \pm } \rangle = \sum _ { N = - \infty } ^ { \infty } \langle V _ { N } | { \cal O } ^ { \prime } P _ { R } ^ { - } { \cal O } | V _ { N } \rangle \; .
\begin{array} { r l } { \left( \mathbf { \tilde { G } } _ { \mathrm { r d n } } ^ { \mathrm { s y m } } \mathbf { y } \right) _ { i \alpha } } & { = \sum _ { j \beta } \left( \mathbf { \tilde { G } } _ { \mathrm { r d n } } ^ { \mathrm { s y m } } \right) _ { i \alpha , j \beta } \mathbf { y } _ { j \beta } = \sum _ { j \beta } \sqrt { \frac { N _ { \alpha } N _ { \beta } } { N _ { i } N _ { j } } } \cdot \frac { \mathbf { R } _ { i j } } { N } \mathbf { x } _ { j } \sqrt { N _ { \beta } } = \frac { \sqrt { N _ { \alpha } } } { N } \sum _ { \beta } N _ { \beta } \sum _ { j } \mathbf { \tilde { C } } _ { i j } ^ { \mathrm { s y m } } \mathbf { x } _ { j } } \\ & { = \rho \sqrt { N _ { \alpha } } \mathbf { x } _ { i } = \rho \mathbf { y } _ { i \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \tilde { n } ) } & { = O ( \delta \tilde { n } \log ^ { 4 } \tilde { n } \log \log \tilde { n } ) + O \left( \frac { \tilde { n } } { \log ^ { 2 } \tilde { n } } \delta \log ^ { 7 } \tilde { n } \log \log \tilde { n } \right) } \\ & { = O ( \delta \tilde { n } \log ^ { 5 } \tilde { n } \log \log \tilde { n } ) . } \end{array}
\widetilde Y \equiv \tilde { e } _ { \mu } { } ^ { r } e _ { r } { } ^ { \rho } g ( \tilde { e } ) _ { \rho \nu } \, \mathrm { d } x ^ { \mu } \wedge \mathrm { d } x ^ { \nu } = - 2 m \, \mathrm { d } r \wedge \Sigma ^ { 3 } + \frac { 1 } { m } ( r + 2 m ) ( r + m ) \, \Sigma ^ { 1 } \wedge \Sigma ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { Y _ { t } ^ { j } } & { { } = W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t \wedge T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - t ) = 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) + 1 _ { \{ t \geq T _ { \xi } \} } W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - t ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sigma _ { G } ^ { 2 } } & { = 2 p q a ^ { 2 } + ( q - p ) 4 p q a d + 2 p q d ^ { 2 } + ( 2 p q ) ^ { 2 } d ^ { 2 } } \\ & { = \sigma _ { a } ^ { 2 } + ( { \mathrm { w e i g h t e d - c o v a r i a n c e } } ) _ { a d } + \sigma _ { d } ^ { 2 } + \sigma _ { D } ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \mathsf { D } } + { \frac { 1 } { 2 } } { \mathsf { F } } ^ { \prime } + { \frac { 1 } { 2 } } { \mathsf { H } } _ { 1 } + { \frac { 1 } { 4 } } { \mathsf { H } } _ { 2 } } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { r l } { \dot { z } _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { \varepsilon } ( x _ { 2 } ^ { * } + z _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } ( x _ { 2 } ^ { * } + z _ { 1 } ) ^ { M - 1 } ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) ^ { N - M } ( z _ { 2 } + 1 ) b - c ] , } \\ { \dot { z } _ { 2 } } & { = ( z _ { 2 } + 1 ) ( - z _ { 2 } ) [ u ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ] . } \end{array} \right.
\operatorname { K } _ { \mathbf { Z } \mathbf { Z } } = \operatorname { E } [ ( \mathbf { Z } - \operatorname { E } [ \mathbf { Z } ] ) ( \mathbf { Z } - \operatorname { E } [ \mathbf { Z } ] ) ^ { \mathrm { { H } } } ] = \operatorname { R } _ { \mathbf { Z } \mathbf { Z } } - \operatorname { E } [ \mathbf { Z } ] \operatorname { E } [ \mathbf { Z } ] ^ { \mathrm { { H } } }
\boldsymbol { \rho } ^ { * } = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { m } ( \Omega ) \left( 1 + \frac { \boldsymbol { \lambda } _ { 1 } ^ { * } \cdot \boldsymbol { m } ( \Omega ) } { K } \right) ^ { K } \, \mathrm { d } \Omega , \qquad \boldsymbol { \rho } ^ { * } = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { m } ( \Omega ) \left( 1 + \frac { \boldsymbol { \lambda } _ { 2 } ^ { * } \cdot \boldsymbol { m } ( \Omega ) } { K } \right) ^ { K } \, \mathrm { d } \Omega .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \| A w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \geq \delta \| ( \nabla w ) \varphi ^ { 1 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - C \Big ( \delta ^ { 2 } + \delta \mathsf { m } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \Big ) \| w \varphi ^ { 3 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - C \lambda \delta \| \nabla \varphi _ { 0 } \cdot \nabla w \| _ { L ^ { 2 } } \| w \varphi \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \Delta T \rightarrow \infty } R _ { I I } ( E , \Delta T , \xi ) = \sum _ { \mu } | Z | ^ { 2 } | f _ { \mu } ( \xi ) | ^ { 2 } ( \delta ( E - \omega _ { \mu } ) + \delta ( E + \omega _ { \mu } ) ) .
\widetilde { y } _ { n } \; = \; \frac { 1 } { 2 C _ { 0 } } \log \Big ( \frac { \Lambda ^ { n } ( D ^ { n } \cdot \widetilde { x } _ { 1 } ) } { \widetilde { x } _ { c } } \Big ) \; = \; \frac { 1 } { 2 C _ { 0 } } \log \Big ( \prod _ { j = N _ { ( 1 ) } + 1 } ^ { N _ { ( 1 ) } + n } e ^ { 2 C _ { 0 } \lambda } \kappa _ { j } ^ { 2 } \Big ) \; = \; \sum _ { j = N _ { ( 1 ) } + 1 } ^ { N _ { ( 1 ) } + n } ( \chi _ { j } + \lambda ) \, ,
( \eta _ { 0 , 1 } , \; \eta _ { 2 , 1 } , \; \eta _ { 2 , 2 } , \; \eta _ { 2 , 3 } ) = ( 0 . 3 9 7 6 5 , \; - 0 . 1 3 8 9 7 , \; 0 , \; 0 . 0 4 0 8 9 3 ) .
\overline { { \sigma } } ^ { ( r ) } : = \prod _ { j = 1 } ^ { r _ { 1 } } \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { d } } \| M _ { j } ( z ) \| , \quad \underline { { \sigma } } ^ { ( r ) } : = \prod _ { j = 1 } ^ { r _ { 1 } } \left( \operatorname* { l i m i n f } _ { \| z \| \to \infty } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } \big ( M _ { j } ( z ) \big ) \right) .
\begin{array} { r } { { { \tilde { { \Phi } } } } ^ { \mathrm H } { \mathbf { R } } _ { i } { { \tilde { { \Phi } } } } \geqslant 2 { \mathcal { R } } \{ { { \tilde { { \Phi } } } } ^ { \mathrm H } { \mathbf { R } } _ { i } { { \tilde { { \Phi } } } } ( t ) \} - { { \tilde { { \Phi } } } } ^ { \mathrm H } ( t ) { \mathbf { R } } _ { i } { { \tilde { { \Phi } } } } ( t ) , } \end{array}
\bar { I } _ { w i r e } = \underline { { \underline { { \alpha } } } } \bar { E } _ { w i r e } = \underline { { \underline { { \alpha } } } } \left( \bar { E } ^ { i n c } + \underline { { \underline { { G } } } } ( d ) \bar { I } _ { o t h e r - w i r e } \right)
\Delta \Sigma ^ { \mathrm { p n p } } = \exp \left( \int _ { 0 } ^ { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } { \frac { \gamma ( \alpha ) } { \beta ( \alpha ) } } { \frac { d \alpha } { 2 \alpha } } \right) \Delta \Sigma ( \mu ) \ ,