harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } ^ { ( k + 1 ) } ( { \cal N } ) - \mathcal { P } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { ( k ) } ( { \cal N } ) } & { \geq \frac { n ^ { \alpha } ( 1 - p ) - 2 n ( k + 1 ) } { k ( k + 1 ) } } \\ & { = : f _ { n , p , \alpha } ( k ) > 0 , } \\ { \mathcal { Q } ^ { ( k + 1 ) } ( { \cal N } ^ { c } ) - \mathcal { P } ^ { ( k ) } ( { \cal N } ^ { c } ) } & { \geq \frac { n ^ { \alpha } p - 2 n ( k + 1 ) } { k ( k + 1 ) } } \\ & { = : f _ { n , p , a } ^ { c } ( k ) > 0 , } \end{array}
\int _ { A } H ^ { 2 } d A = \sum _ { i } \frac { 1 } { \sigma _ { i } } \left[ \sum _ { j ( i ) } \frac { \sigma _ { i j } } { d _ { i j } } ( \textbf { R } _ { i } - \textbf { R } _ { j } ) \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r c l } { { \nu } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { E _ { 0 } ^ { \prime } - E _ { 0 } ^ { \prime \prime } } { h c } + \displaystyle \frac { \nu _ { \mathrm { v i b } } ^ { \prime } } { 2 } \left[ 2 \left( v ^ { \prime } + { \frac { 1 } { 2 } } + c _ { 0 } + c _ { 1 } ( J + 1 ) ( J + 2 ) \right) \right] _ { \left< \left( \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 1 } ( J + 1 ) ( J + 2 ) \right) / 2 \right> } } } \\ { { } } & { { } } & { { - \displaystyle \frac { \nu _ { \mathrm { v i b } } ^ { \prime \prime } } { 2 } \left[ 2 \left( v ^ { \prime \prime } + { \frac { 1 } { 2 } } + c _ { 0 } + c _ { 1 } J ( J + 1 ) \right) \right] _ { \left< \left( \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 1 } J ( J + 1 ) \right) / 2 \right> } } } \\ { { } } & { { } } & { { + \left( B _ { e } ^ { \prime } ( J + 2 ) ( J + 1 ) - B _ { e } ^ { \prime \prime } J ( J + 1 ) \right) ~ ; } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Re \, \mathbf { Y } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \kappa } \Re \left[ \mathbf { E } ^ { * } \cdot \left( - \mathbf { E } - \mathbf { n } _ { r } \times \left( \mathbf { n } _ { r } \times \mathbf { E } \right) \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \kappa } \Re \left[ \mathbf { E } ^ { * } \cdot \mathbf { E } - \left( \mathbf { n } _ { r } \times \mathbf { E } ^ { * } \right) \cdot \left( \mathbf { n } _ { r } \times \mathbf { E } \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \kappa } \Re \left[ \mathbf { E } ^ { * } \cdot \mathbf { E } - \mathbf { B } ^ { * } \cdot \mathbf { B } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E \left\{ \sigma { _ { \mathrm P } } ^ { 2 } \right\} } & { { } = } & { E \left\{ { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( P _ { i } - \langle P \rangle \right) ^ { 2 } \right\} = E \left\{ { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \psi _ { i } - { \frac { 1 } { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi _ { j } \right) ^ { 2 } \right\} = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { 3 } { 2 } p _ { e } \right) = } & { - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , e } + \mathbf { v } _ { \perp , d + } \right) \frac { 5 } { 2 } p _ { e } \right] + v _ { | | , e } \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { e } } \\ & { + \nabla \left( \mathbf { b } \kappa _ { | | , e } \mathbf { b } \cdot \nabla T _ { e } \right) + \nabla \cdot \left( \chi _ { e } e n _ { e } \nabla _ { \perp } T _ { e } \right) } \\ & { - E _ { i z } + E _ { r c } - W _ { d + , e } } \end{array}
\frac { | D \varphi | ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( | D \varphi | , \varphi ) } \leq 1 - \delta \qquad \, \mathrm { ~ i ~ n ~ \overline { ~ } { ~ \Omega ~ } ~ \cap ~ \{ ~ \xi ~ \geq ~ 0 ~ \} ~ } \, ,
\begin{array} { r l } { b _ { 0 } F ( 0 ) - b _ { 1 } F ( 1 - \beta ) } & { = b _ { 1 } \left( G ( 0 ) - G \left( \frac { 1 - \beta } { \lambda } - 1 \right) \right) - \left( b _ { 1 } G ( 0 ) - b _ { 0 } G ( - 1 ) \right) } \\ & { = b _ { 1 } \left( G ( 0 ) - G \left( \frac { 1 - \beta } { \lambda } - 1 \right) \right) - \frac { b _ { 0 } f ( 0 ) \cos ^ { 2 } \theta } { \lambda } . } \end{array}
{ { J } _ { S u p e r O h m } } \left( \omega \right) = \sum _ { l = 1 } ^ { { { n } _ { l o r } } } { \frac { { { p } _ { l } } { { \omega } ^ { 3 } } } { \Upsilon \left( { { \Omega } _ { l , 1 } } , { { \Gamma } _ { l , 1 } } \right) \Upsilon \left( { { \Omega } _ { l , 2 } } , { { \Gamma } _ { l , 2 } } \right) } } .
\begin{array} { r l r l } { \alpha _ { 1 , n } = \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 2 } { R _ { n } } - \frac { 2 } { p _ { n } } , \frac { 1 } { 9 } \right) } & { , } & & { \beta _ { n } = \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { p _ { n } } \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { R _ { n } } \right) - \frac { 2 } { R _ { n } } , \alpha _ { 1 , n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { x , \pm } ^ { R } } & { = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \sigma _ { x } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \\ { S _ { y , \pm } ^ { R } } & { = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \sigma _ { y } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \\ { S _ { z , \pm } ^ { R } } & { = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \sigma _ { z } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \end{array}
\tilde { \omega } ^ { 2 } { = } \, { \omega _ { y } ^ { F } } ^ { 2 } \left( 1 \, { - } \, \frac { g _ { \mathrm { B F } } \alpha _ { \mathrm { B } } } { g _ { \mathrm { B B } } \alpha _ { \mathrm { F } } } \right)
\begin{array} { r l r l } { x < n } & { { } \; \; { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } } & { \lfloor x \rfloor } & { { } < n , } \\ { n < x } & { { } \; \; { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } } & { n } & { { } < \lceil x \rceil , } \\ { x \leq n } & { { } \; \; { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } } & { \lceil x \rceil } & { { } \leq n , } \\ { n \leq x } & { { } \; \; { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } } & { n } & { { } \leq \lfloor x \rfloor . } \end{array}
( 2 \pi { \bar { N } } \dot { \xi } ^ { 2 } ( s ) ) ^ { - 1 } { \cal D } ^ { \mu } ( s ) F _ { \mu } [ \xi | s ] = - [ { \cal D } ^ { \mu } ( s ) , { \cal D } ^ { \nu } ( s ) ] L _ { \mu \nu } [ \xi | s ] .
\begin{array} { r l } { E _ { r } } & { = \frac { 1 } { ( m ! ) ^ { 2 } } \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } \in S _ { m } } \mu _ { 1 } \sigma _ { 1 } ^ { ( r ) } \mu _ { 2 } \otimes \mu _ { 1 } \sigma _ { 2 } ^ { ( r ) } \mu _ { 2 } \otimes \mu _ { 1 } \sigma _ { 3 } ^ { ( r ) } \mu _ { 2 } } \\ & { = \frac { | \mathrm { A u t } _ { \mathcal { K } } ( r ) | } { ( m ! ) ^ { 2 } } \sum _ { a \in \mathrm { O r b } _ { \mathcal { K } } ( r ) } \sigma _ { 1 } ^ { ( r ) } ( a ) \otimes \sigma _ { 2 } ^ { ( r ) } ( a ) \otimes \sigma _ { 3 } ^ { ( r ) } ( a ) } \\ & { = \frac { 1 } { | \mathrm { O r b } _ { \mathcal { K } } ( r ) | } \sum _ { a \in \mathrm { O r b } _ { \mathcal { K } } ( r ) } \sigma _ { 1 } ^ { ( r ) } ( a ) \otimes \sigma _ { 2 } ^ { ( r ) } ( a ) \otimes \sigma _ { 3 } ^ { ( r ) } ( a ) \quad \in \mathcal { K } _ { \mathrm { u n } } ( m ) \, . } \end{array}
K ^ { i } ( - q ^ { 2 } ) \sim \left( g ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \right) ^ { ( \gamma _ { 0 } ^ { i } - \lambda d _ { i } / 2 ) / b _ { 0 } } \exp \left\{ - { \frac { d _ { i } } { 2 b _ { 0 } g ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } } \right\} \tilde { D } ^ { i } \, ,
\textbf { U } = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u _ { j } } \\ { \rho E } \end{array} \right] , \textbf { G } _ { i } = \left[ \begin{array} { l } { \rho u _ { i } } \\ { \rho u _ { i } u _ { j } + p \delta _ { i j } } \\ { ( \rho E + p ) u _ { i } } \end{array} \right] , \textbf { G } _ { v i s , i } = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \tau _ { i j } } \\ { \tau _ { i j } u _ { j } - q _ { i } } \end{array} \right]
S _ { G F } ^ { ( 0 ) } = - \frac { 1 } { 4 } \int d x ^ { 4 } \sqrt { - \bar { g } } \Bigl [ \bar { g } ^ { \mu \nu } \bar { g } ^ { \lambda \sigma } f _ { \mu \lambda } ^ { ( 0 ) } f _ { \nu \sigma } ^ { ( 0 ) } + \frac { I _ { 2 } } { I _ { 1 } } \bar { g } ^ { \mu \nu } a _ { \mu } ^ { ( 0 ) } a _ { \nu } ^ { ( 0 ) } \Bigr ] .
\begin{array} { r l } { B _ { \mathrm { m a x } } ( \omega ) \mathrm { d } \Omega = } & { \, \, \frac { S ( \omega ) } { A _ { \mathrm { T H } } } \frac { 2 } { \pi } \left( \frac { \omega w _ { 0 } } { 2 c } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega } \\ { = } & { \, \, S ( \omega ) \frac { 4 } { \lambda ^ { 2 } } \mathrm { d } \Omega } \\ { = } & { \, \, 4 B _ { \mathrm { P } } ( \omega ) \mathrm { d } \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle U ^ { 0 } \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) \Phi _ { 0 } , V ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle } & { = \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) \Phi _ { 0 } , ( U ^ { 0 } ) ^ { \dag } V ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle } \\ & { = \Bigg ( \sum _ { \alpha \in \Xi ( G ^ { 0 } ) } + \sum _ { \alpha \in \Xi ( G ^ { 0 } ) ^ { c } } \Bigg ) \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) \Phi _ { 0 } , \Phi _ { \alpha } \rangle \langle U ^ { 0 } \Phi _ { \alpha } , V ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle + \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) \langle U ^ { 0 } \Phi _ { 0 } , V ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle . } \end{array}
F _ { X } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { F ( x ) , } & { \mathrm { i f ~ } x \in X , } \\ { \lambda F ( x _ { - } ) + ( 1 - \lambda ) F ( x _ { + } ) , } & { \begin{array} { l } { \! \mathrm { i f ~ } x \notin X , \mathrm { f o r ~ } x = \lambda x _ { - } + ( 1 - \lambda ) x _ { + } , } \\ { \mathrm { w i t h ~ } \lambda \in ( 0 , 1 ) . } \end{array} } \end{array} \right.
\Delta _ { \Sigma } \mathbf { u } = \Delta \mathbf { u } - \nabla \cdot \left[ ( \mathbf { n } _ { \Sigma } \cdot \nabla \mathbf { u } ) \otimes \mathbf { n } _ { \Sigma } \right] - \kappa \left[ \left( \nabla \mathbf { u } - ( \mathbf { n } _ { \Sigma } \cdot \nabla \mathbf { u } ) \otimes \mathbf { n } _ { \Sigma } \right) \cdot \mathbf { n } _ { \Sigma } \right] ,
{ \cal H } = \int d ^ { 3 } { \vec { x } } \left( \Pi ^ { * } ( { \vec { x } } ) \Pi ( { \vec { x } } ) + \partial _ { j } \Phi ^ { * } ( { \vec { x } } ) \partial _ { j } \Phi ( { \vec { x } } ) + M ^ { 2 } \Phi ^ { * } \Phi \right) ,
\bar { \mathcal { H } } _ { t } ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } - \bar { \mathcal { H } } _ { C _ { 1 } L ^ { 2 } } ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } \geq c C _ { 2 } \Xi _ { t } ^ { - \frac { \beta + \gamma } { \alpha } } ( 1 + t ) ^ { - \frac { \gamma ( p - d ) } { 2 \alpha } } \mathscr { M } _ { 3 } ^ { \frac { \gamma } { \alpha } } \int _ { C _ { 1 } L ^ { 2 } } ^ { t } \mathcal { M } _ { 3 } ( s ) ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } \, d s .
D _ { j m } = \sum _ { \mathbf { R } \neq 0 } h _ { j } ^ { ( 1 ) } ( k R ) Y _ { j m } \left( \theta _ { - \mathbf { R } } , \phi _ { - \mathbf { R } } \right) e ^ { \mathrm { i \mathbf { k } _ { \parallel } \mathbf { R } } } \, .
\left( \begin{array} { l } { \varphi } \\ { \chi } \end{array} \right) = \sum _ { \mu = 1 } ^ { 2 N } \left[ A _ { \mu } \left( \begin{array} { l } { g _ { \mu } } \\ { \frac { 1 } { 2 c } \boldsymbol { \sigma } \mathbf { p } \, g _ { \mu } } \end{array} \right) + B _ { \mu } \left( \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { 2 c } \boldsymbol { \sigma } \mathbf { p } \, f _ { \mu } } \\ { f _ { \mu } } \end{array} \right) \right] .
\left[ \nabla \times \nabla \times - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \varepsilon ( \vec { r } , \omega ) \right] \bar { G } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) = \bar { I } \delta ( \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } )
{ \bf D } ^ { \perp } = \left( e ^ { \beta ( { \bf F } _ { 0 } ^ { \perp } - \mu _ { 0 } { \bf I } ) } + { \bf I } \right) ^ { - 1 } = { \bf Q } \left( e ^ { \beta ( { \bf E } - \mu _ { 0 } { \bf I } ) } + { \bf I } \right) ^ { - 1 } { \bf Q } ^ { T } , ~ ~ { \bf D } = { \bf Z } { \bf D } ^ { \perp } { \bf Z } ^ { T }
\begin{array} { r l r l } & { h _ { t } = h _ { t } ^ { \mathrm { { d } } } + s _ { t } ^ { \mathrm { i n } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } , \ } \\ & { d _ { t } = h _ { t } ^ { \mathrm { { d } } } + s _ { t } ^ { \mathrm { o u t } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } , } \\ & { s _ { t } ^ { \mathrm { { o u t } } } \leq S ^ { \mathrm { o u t } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } , } \\ & { p _ { t } ^ { \mathrm { { c } } } = K ^ { \mathrm { c } } s _ { t } ^ { \mathrm { { i n } } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } , } \\ & { s _ { t = 1 } = S ^ { \mathrm { i n i } } + s _ { t = 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } - s _ { t = 1 } ^ { \mathrm { o u t } } } & \\ & { s _ { t } = s _ { t - 1 } + s _ { t } ^ { \mathrm { { i n } } } - s _ { t } ^ { \mathrm { o u t } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } \setminus \{ 1 \} , } \\ & { s _ { t } \leq C ^ { \mathrm { { s } } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } . } \end{array}
F ( \omega ) \equiv \frac { \epsilon } { \omega ^ { 2 } - c _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } k ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( \omega - v _ { 0 } k ) ^ { 2 } - c _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } ( k - v _ { 0 } \omega / c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = 1 ,
\begin{array} { r l } { \omega \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { + \omega \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \phi ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf { x } } \cdot \left( \tilde { \textbf { D } } ^ { \star } \cdot \nabla _ { \mathbf x } \left\langle c _ { 0 } \right\rangle \right) } \\ & { + \omega ^ { 1 - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left( \left\langle \mathbf v _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \overline { { c } } _ { 1 } + \left\langle \mathbf v _ { 1 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } c _ { 0 } \right) + \omega ^ { \beta - \gamma } \mathcal { K ^ { \star } } \left( a \omega c _ { 0 } ^ { a - 1 } \langle c _ { 1 } \rangle _ { \mathcal I \Gamma } \right) = 0 . } \end{array}
\eta _ { \kappa } = \frac { \hat { g } _ { \kappa } { \cal I } _ { 0 } } { 1 + \hat { g } _ { \kappa } { \cal I } _ { 1 } } \, , \quad { \cal I } _ { 0 } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, \frac { \hat { m } ^ { \prime } ( y ) } { y ^ { 1 / 2 } \big ( 1 + \hat { m } ( y ) \big ) ^ { 2 } } \, , \quad { \cal I } _ { 1 } = \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, \frac { \hat { m } ( y ) } { y ^ { 3 / 2 } \big ( 1 + \hat { m } ( y ) \big ) ^ { 2 } } \, .
\forall n : \ \ \ \ \ \mathrm { i } \xi _ { n } \tilde { u } _ { n } = - \frac { \partial \tilde { p } _ { n } } { \partial x } + \frac { \delta _ { S t } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { u } _ { n } } { \partial y ^ { 2 } } , \ \ \ \ \ \mathrm { i } \xi _ { n } \tilde { w } _ { n } = - \frac { \partial \tilde { p } _ { n } } { \partial z } + \frac { \delta _ { S t } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { w } _ { n } } { \partial y ^ { 2 } } ,
{ \begin{array} { r l } { { \hat { p } } _ { x } \psi } & { = - i \hbar { \frac { \partial } { \partial x } } \psi = p _ { x } \psi } \\ { { \hat { p } } _ { y } \psi } & { = - i \hbar { \frac { \partial } { \partial y } } \psi = p _ { y } \psi } \\ { { \hat { p } } _ { z } \psi } & { = - i \hbar { \frac { \partial } { \partial z } } \psi = p _ { z } \psi } \end{array} } \,
\begin{array} { r } { \hat { p } _ { 1 } = b ^ { 2 } \nu \frac { d \hat { v } _ { 1 } } { d \eta } + P _ { 1 - } - b ^ { 2 } \nu \frac { d V _ { 0 } } { d z } \Big | _ { - } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { Q } [ { \bf Q } ] } & { = } & { \int \mathrm { d } { \bf r } \left\{ \frac { A } { 2 } \mathrm { T r } ( \boldsymbol { Q } ^ { 2 } ) + \frac { B } { 3 } \mathrm { T r } ( \boldsymbol { Q } ^ { 3 } ) + \frac { C } { 4 } [ \mathrm { T r } ( \boldsymbol { Q } ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } + \frac { L } { 2 } \left| \nabla { \bf Q } \right| ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
W ( \delta { \mathcal F } _ { e } , \delta { \mathcal F } _ { i } ) = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { ~ d ~ } x \mathrm { ~ d ~ } y \left( \frac { \tau _ { s } \beta _ { e } } { 2 } \sum _ { s } \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { ~ d ~ } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } \mathcal { J } _ { 0 s } \delta { \mathcal F } _ { s } ^ { 2 } + | \nabla _ { \perp } A _ { \parallel } | ^ { 2 } + d _ { i } ^ { 2 } | B _ { \parallel } | ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { H _ { x } ( t ) = \! \! \! \! \sum _ { i \in \{ p , q \} } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \Omega _ { i } ( t ) \eta _ { k } ^ { i } \mathrm { c o s } ( \mu t - \phi _ { i } ) ( a _ { k } e ^ { - i \omega _ { k } t } + h . c . ) \sigma _ { x } ^ { i } } \\ & { \mathrm { a n d } } \\ & { H _ { y } ( t ) = \! \! \! \! \! \! \sum _ { j \in \{ m , n \} } \! \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \Omega _ { j } ( t ) \eta _ { k ^ { \prime } } ^ { j } \mathrm { c o s } ( \mu ^ { \prime } t - \phi _ { j } ) ( b _ { k ^ { \prime } } e ^ { - i \omega _ { k ^ { \prime } } t } + h . c . ) \sigma _ { x } ^ { j } . } \end{array}
p _ { \mathbb { S } } ( \boldsymbol { \Lambda } ) = \frac { \boldsymbol { \Lambda } } { \lVert \boldsymbol { \Lambda } \rVert } = \frac { \boldsymbol { \Lambda } } { \sqrt { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } } = \hat { \boldsymbol { \Lambda } } .
\begin{array} { r l } & { j _ { k } ( x ) \bullet j _ { k } ( y ) = j _ { k } ( x \, \overline { { \, \cdot \, } } \, y ) \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } k , } \\ & { j _ { k } ( x ) \bullet j _ { l } ( y ) = j _ { k } ( x ) j _ { l } ( y ) \quad \mathrm { i f ~ } k < l , } \\ & { j _ { k } ( x ) \bullet j _ { l } ( y ) = q ^ { ( \lambda , \lambda ^ { \prime } ) } j _ { l } ( y ) j _ { k } ( x ) \quad \mathrm { i f ~ } k > l . } \end{array}
\xi ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \xi _ { m a x } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ z \in \Omega _ { s y m } ( L _ { s } , L _ { r } ) , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
G _ { T } W _ { \mathrm { e f f } ; a } ^ { \ast } \frac { \pi _ { \lambda } } { \pi _ { a } } \left( 1 - \alpha \right) = G _ { S } W _ { \mathrm { e f f } ; \lambda } ^ { \ast } \left( 1 - \alpha \right) + \beta X _ { B } + M ^ { 2 } \big | \frac { \pi _ { a } } { \Lambda } \big | ^ { 2 } ,
\tilde { \cal H } _ { r } = - 2 \omega \left[ u { \frac { d ^ { 2 } } { d u ^ { 2 } } } + ( 1 - u ) { \frac { d } { d u } } - { \frac { m ^ { 2 } } { 4 u } } \ell \left( \ell + { 2 g \brace g _ { e } + g _ { o } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { D _ { h } ( 1 ) u ( 1 ) } & { = D _ { h } ^ { 2 } ( 1 ) \frac { \partial x ( 1 ) } { \partial z _ { 1 } } u ( 1 ) + D _ { h } ^ { 2 } ( 2 ) \frac { \partial x ( 2 ) } { \partial z _ { 1 } } u ( 2 ) , } \\ { D _ { h } ( 2 ) u ( 2 ) } & { = D _ { h } ^ { 2 } ( 1 ) \frac { \partial x ( 1 ) } { \partial z _ { 2 } } u ( 1 ) + D _ { h } ^ { 2 } ( 2 ) \frac { \partial x ( 2 ) } { \partial z _ { 2 } } u ( 2 ) , } \\ { D _ { h } ( 1 ) v ( 1 ) } & { = D _ { h } ^ { 2 } ( 1 ) \frac { \partial x ( 1 ) } { \partial z _ { 1 } } v ( 1 ) + D _ { h } ^ { 2 } ( 2 ) \frac { \partial x ( 2 ) } { \partial z _ { 1 } } v ( 2 ) , } \\ { D _ { h } ( 2 ) v ( 2 ) } & { = D _ { h } ^ { 2 } ( 1 ) \frac { \partial x ( 1 ) } { \partial z _ { 2 } } v ( 1 ) + D _ { h } ^ { 2 } ( 2 ) \frac { \partial x ( 2 ) } { \partial z _ { 2 } } v ( 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } , \mathcal { P } ) } & { = \mathcal { L } _ { H } ( \pmb { \theta } , \mathcal { P } ) + \mathcal { L } _ { L } ( \pmb { \theta } ) } \\ & { = \underbrace { \frac { 1 } { N _ { H R } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } { \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H R } ^ { i } ) ; \mathcal { P } ) \right\| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N _ { H B } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H B } } { \left\| \mathcal { B } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H B } ^ { i } ) ; \mathcal { P } ) \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { H i g h - f i d e l i t y ~ p h y s i c s } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { N _ { H D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H D } } { \left\| \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { H D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { H i g h - f i d e l i t y ~ l a b e l e d ~ d a t a } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { N _ { L D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { L D } } { \left\| \mathbf { y } _ { L } ( \mathbf { x } _ { L D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { L D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { L o w - f i d e l i t y ~ l a b e l e d ~ d a t a } } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathbf { D } ) _ { i \alpha } = \textrm { d o f } _ { i } ( m _ { \alpha } ) , \quad i = 1 , . . . , N _ { { P } } ^ { \textrm { d o f } } , \quad \alpha = 1 , . . . , n _ { k } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \nabla \varphi } & { = \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial x } } , \, { \frac { \partial \varphi } { \partial y } } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { \nabla \times \varphi } & { = \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial y } } , \, - { \frac { \partial \varphi } { \partial x } } \right) ^ { \mathrm { T } } . } \end{array} }
- \kappa _ { 5 } \frac { ( \eta \cdot \zeta ) ( \eta ^ { \prime } \cdot \zeta ) } { 2 P _ { + } } \frac { \partial } { \partial \theta _ { \eta } ^ { \prime } } \psi = \frac { \kappa _ { 5 } } { 2 P _ { + } } ( \eta \cdot \zeta ) ( \eta ^ { \prime } \cdot \zeta ) \chi _ { \eta } + \kappa _ { 5 } \frac { \theta _ { \eta } } { 2 P _ { + } } ( \eta \cdot \zeta ) ( \eta ^ { \prime } \cdot \zeta ) B .
\begin{array} { r } { C _ { n m } \left( - \frac { 1 } { r } \mu _ { n } J _ { 1 } ( \mu _ { n } r ) - \frac { \mu _ { n } ^ { 2 } } { 2 } \Big ( J _ { 0 } ( \mu _ { n } r ) - J _ { 2 } ( \mu _ { n } r ) \Big ) - J _ { 0 } ( \mu _ { n } r ) \gamma _ { m } ^ { 2 } \right) \cos ( \gamma _ { m } z ) = B _ { n m } J _ { 0 } ( \mu _ { n } r ) \cos ( \gamma _ { m } z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B _ { d } | = } & { \frac { N _ { \mathrm { o u t } } | I | } { r _ { \mathrm { o u t } } [ 1 + ( d / r _ { \mathrm { o u t } } ) ^ { 2 } ] ^ { 3 / 2 } } } \\ { = } & { \frac { N _ { \mathrm { o u t } } Q | \Phi _ { a } | } { r _ { \mathrm { o u t } } [ 1 + ( d / r _ { \mathrm { o u t } } ) ^ { 2 } ] ^ { 3 / 2 } ( L _ { \mathrm { i n } } + L _ { \mathrm { o u t } } ) } , } \end{array}
( \partial _ { t } + \omega _ { b } \partial _ { \vartheta c } ) \delta g _ { B z } = - e ^ { i Q _ { z } } \left[ \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \partial _ { t } \delta \phi _ { z } + N . L . \right] _ { z } \; .
\boldsymbol { x } ( t ) \approx \sum _ { j = 1 } \boldsymbol { \phi _ { j } } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( \gamma _ { j } t ) b _ { j } = \boldsymbol { \Phi } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( \boldsymbol { \Gamma } t ) \boldsymbol { b } ,
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } ( w _ { t } ) - \hat { \Psi } ( w ) } & { \geq \Phi ( s _ { 0 } w _ { t } + u ^ { - } ) - \Phi ( s _ { 0 } w + u ^ { - } ) } \\ & { = \Phi ^ { \prime } \big ( s _ { 0 } [ w + \eta _ { t } ( w _ { t } - w ) ] + u _ { t } \big ) s _ { 0 } ( w _ { t } - w ) } \\ & { = s _ { 0 } \Phi ^ { \prime } ( u ) t z + o ( t ) \, \mathrm { ~ a s ~ } t \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { z \in G } | M _ { t } ^ { \infty } ( z ) - M _ { t } ^ { N } ( z ) | } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { z \in G } | M _ { t } ^ { \infty } ( z ) - M _ { t _ { 1 } } ^ { \infty } ( z ) | + \operatorname* { s u p } _ { z \in G } | M _ { t _ { 1 } } ^ { \infty } ( z ) - M _ { t _ { 1 } } ^ { N } ( z ) | + \operatorname* { s u p } _ { z \in G } | M _ { t _ { 1 } } ^ { N } ( z ) - M _ { t } ^ { N } ( z ) | , } \end{array}
\mathrm { ~ d ~ } | c _ { l m } | = L _ { r } ( \boldsymbol c , l , m ) \mathrm { ~ d ~ } t + \frac { 1 } { \tau _ { l m } } \left( \mu _ { l m } - | c _ { l m } | \right) \mathrm { ~ d ~ } t + \sigma _ { l m } \mathrm { ~ d ~ } B _ { l m } ^ { t } ,
e ^ { i \alpha Q _ { 5 } } \, | 0 > _ { \varphi } \otimes | \Omega _ { \theta } > = | z _ { 0 } > _ { \varphi } \otimes | \Omega _ { \theta } > \ \ \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \ \ \ z _ { 0 } = - \frac { \alpha \lambda \sqrt { 2 \mu } } { 2 \sqrt { \pi } \sqrt { L } } \ ,