harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { H } & { { } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } h _ { i j } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } \dag } & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { A } } h _ { i j } ^ { A A } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } + \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { B } } h _ { i j } ^ { B B } \dag , a _ { i + n _ { A } } ^ { \dagger } a _ { j + n _ { A } } \dag } & { { } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { A } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { B } } \left[ h _ { i j } ^ { A B } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j + n _ { A } } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } \right] \dag , . } \end{array}
M _ { I 1 } ( \sigma , \bar { \sigma } , \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) = M _ { I 1 } ^ { \gamma } ( \sigma , \bar { \sigma } , \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) + M _ { I 1 } ^ { Z } ( \sigma , \bar { \sigma } , \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \hat { A } _ { 1 1 } = } & { C _ { 1 2 } ^ { 3 } \, { \frac { 5 4 \, \left( L _ { 1 } ^ { 2 } - 3 \, \hat { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } \right) \, \left( L _ { 1 } ^ { 2 } + \hat { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { L _ { 1 } ^ { 6 } \, \delta _ { 1 } ^ { 1 1 } } } + \cdots } \\ { \hat { A } _ { 2 2 } = } & { - C _ { 1 2 } ^ { 2 } \, C _ { 2 3 } \, { \frac { 3 6 \, \hat { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } \, \left( 1 2 \, \delta _ { 1 } ^ { 2 } - 2 0 \right) } { L _ { 1 } ^ { 4 } \, \delta _ { 1 } ^ { 8 } \, \delta _ { 2 } ^ { 3 } } } + \cdots } \\ { \hat { A } _ { 3 3 } = } & { - C _ { 1 2 } ^ { 2 } \, \alpha _ { \mathrm { K e p } } \frac { 1 0 8 \, \hat { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 4 } \, \delta _ { 1 } ^ { 6 } } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { x } ( x ) } & { { } = 2 E _ { \omega } \cos { ( \alpha ) } \cos { \left( k \sin { \alpha } \ x \right) } e ^ { - x ^ { 2 } / w ^ { 2 } } , } \\ { E _ { y } ( x ) } & { { } = 2 E _ { \omega } \sin { ( \alpha ) } \sin { \left( k \sin { \alpha } \ x \right) } e ^ { - x ^ { 2 } / w ^ { 2 } } , } \\ { E _ { z } ( x ) } & { { } = E _ { 2 \omega } e ^ { - x ^ { 2 } / w ^ { 2 } } , } \\ { \phi ( x ) } & { { } = \phi _ { 2 \omega } + 2 k \sin { ( \alpha ) } \ x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ( ( 1 - \phi ) { H } ( { \rho } _ { f } ) ) } & { + \mathrm { d i v } ( ( 1 - \phi ) { H } ( { \rho } _ { f } ) { \bf u } ) } \\ & { + ( { \rho } _ { f } { H } ^ { \prime } ( { \rho } _ { f } ) - { H } ( { \rho } _ { f } ) ) \mathrm { d i v } \, { \bf u } = { H } ^ { \prime } ( { \rho } _ { f } ) \mathrm { d i v } \big ( \kappa ( \phi ) { \rho } _ { f } { Q } ^ { \prime } ( { \rho } _ { f } ) \nabla { \rho } _ { f } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { q } _ { 1 } ( x _ { 3 } ) = \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } \psi ^ { * d } ( x _ { 3 } , \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } , \eta _ { 3 } ) \eta _ { 1 } d \Omega , } \\ { \hat { q } _ { 2 } ( x _ { 3 } ) = \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } \psi ^ { * d } ( x _ { 3 } , \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } , \eta _ { 3 } ) \eta _ { 2 } d \Omega , } \\ { \hat { q } _ { 3 } ( x _ { 3 } ) = \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } \psi ^ { * d } ( x _ { 3 } , \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } , \eta _ { 3 } ) \eta _ { 3 } d \Omega . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf x = \displaystyle \frac { \mathbf X } { L } , \, \, \, t = r _ { 2 } \tau , \, \, \, n = \displaystyle \frac { q N } { r _ { 2 } } , \, \, \, p = \displaystyle \frac { q P } { b r _ { 2 } ^ { 2 } } , \, \, \, \mu = \displaystyle \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } , \, \, \, \rho = \displaystyle \frac { k b r _ { 2 } ^ { 2 } } { q } , } \\ { \delta = \displaystyle \frac { q } { r _ { 2 } } , \, \, \, \sigma = \displaystyle \frac { b r _ { 2 } } { a q } , \, \, \, \Phi = \displaystyle \frac { \alpha b r _ { 2 } } { a q } , \, \, \, \xi = \displaystyle \frac { b c r _ { 2 } ^ { 2 } } { a q } , \, \, \, \theta = b \beta , \, \, \, \nu = \displaystyle \frac { \gamma q } { r _ { 2 } } } \end{array} \right.
\tilde { H } _ { v } - \tilde { E } _ { v } = 2 \int _ { \cal B } d \sigma _ { \nu } \zeta _ { \mu } \nabla _ { \rho } \nabla _ { \sigma } \left( { \frac { \partial { \tilde { L } } _ { v } } { \partial R _ { \mu \sigma \rho \nu } } } + { \frac { \partial { \tilde { L } } _ { v } } { \partial R _ { \nu \sigma \rho \mu } } } \right) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d \eta } { d z } = \left[ 2 g _ { L } \left( e ^ { - 2 V _ { 0 } } - e ^ { - 2 V } \right) + \frac { 4 } { 3 } \epsilon _ { 3 } \left( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 8 } { 3 } \epsilon _ { 3 } \eta _ { 0 } ^ { 2 } \left( e ^ { - 2 V _ { 0 } } - e ^ { - 2 V } \right) \right] \eta . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { T _ { \scriptscriptstyle } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 4 } \left( T _ { 1 } + T _ { 1 0 } + T _ { 1 9 } + T _ { 2 8 } + T _ { 3 7 } + T _ { 4 6 } + T _ { 5 5 } + T _ { 6 4 } \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { \left. + i \left( T _ { 6 5 } + T _ { 7 4 } + T _ { 8 3 } + T _ { 9 2 } + T _ { 1 0 1 } + T _ { 1 1 0 } + T _ { 1 1 9 } - T _ { 1 2 8 } \right) \right) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { n } ( \omega ) = } & { { } J _ { n } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) \sum _ { l } \frac { \delta v _ { l } } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { 1 } { w _ { 0 } } e ^ { i \omega t _ { l } } \int _ { t _ { l } } ^ { \tau } e ^ { - \frac { \Gamma } { 2 } \left( t - t _ { l } \right) } e ^ { i \omega \left( t - t _ { l } \right) } } \end{array}
\tau _ { e } = \frac { 2 } { 6 3 \pi } Q ^ { \prime } \bigg ( \frac { M } { M _ { 2 } } \bigg ) \bigg ( \frac { M + M _ { 2 } } { M } \bigg ) ^ { \frac { 5 } { 3 } } \frac { P _ { o r b } ^ { \frac { 1 3 } { 3 } } } { P _ { d y n } ^ { \frac { 1 0 } { 3 } } } .
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \lambda _ { k } ( c _ { k } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t + \int _ { 0 } ^ { T } ( c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t \leq ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \frac { 4 } { \sqrt { \kappa _ { 0 } } } + ( \alpha _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } \lambda _ { k } \frac { 4 } { \sqrt { \kappa _ { 0 } } } + \frac { 2 } { \sqrt { \kappa _ { 0 } } } T \| f _ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \theta _ { t } } { \mathrm { d } t } = \Bigl [ P _ { t } A _ { t } + P _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] C _ { t } A _ { t } \Bigr ] ( \theta _ { t } - m _ { t } ) + b _ { t } P _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] .
A _ { 1 } = \frac { \Delta x \nabla _ { h } \cdot \widehat { \mathbf { B } } _ { i j } } { 2 ( 1 + ( \Delta x / \Delta y ) ^ { 2 } ) } , \qquad A _ { 2 } = \frac { \Delta y \nabla _ { h } \cdot \widehat { \mathbf { B } } _ { i j } } { 2 ( 1 + ( \Delta y / \Delta x ) ^ { 2 } ) }
\Delta _ { \mathrm { ~ A ~ E ~ P ~ } } ( \epsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } , | \mathcal { L } | ) : = 4 \log _ { 2 } \left( 2 \sqrt { | \mathcal { L } | } + 1 \right) \sqrt { \log ( 2 / \epsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { 2 } ) } .
g _ { 0 } = g _ { L } \left[ \frac { 1 } { \operatorname { t a n h } ( V _ { 0 } ) } - 1 \right] + \frac { 4 \epsilon _ { 3 } \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 \operatorname { t a n h } ( V _ { 0 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { k } ^ { T h } } & { { } = \frac { \int d ^ { 3 } r ~ f ^ { T h } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) } { \int d ^ { 3 } r ~ \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) } , } \\ { \lambda _ { k } ^ { R a } } & { { } = \frac { \int d ^ { 3 } r ~ f ^ { R a } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) } { \int d ^ { 3 } r ~ \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) } , } \end{array}
u _ { 0 } = \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } c _ { 0 } } \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial x } + \frac { 1 } { 8 } ( - 1 + 4 y ^ { 2 } ) \frac { \partial p _ { 0 } } { \partial x } .
{ \cal L } _ { 3 } = \frac { F ^ { 2 } } { 4 } \langle u _ { \mu } u ^ { \mu } \rangle - \frac { 1 } { 4 } \langle \overline { { V } } _ { \mu \nu } \overline { { V } } ^ { \mu \nu } \rangle + \frac { M ^ { 2 } } { 2 } \langle ( \overline { { V } } _ { \mu } - \frac { i } { g } \Gamma _ { \mu } ) ^ { 2 } \rangle
\begin{array} { r l } { \int _ { D } ( \nabla \cdot h ) ( u \cdot \bar { v } ) + u \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) \, \mathrm { d } x } & { = \int _ { D } \nabla \cdot ( ( u \cdot \bar { v } ) h ) - ( h \cdot \nabla u ) \cdot \bar { v } \, \mathrm { d } x } \\ & { = - \int _ { D } ( h \cdot \nabla u ) \cdot \bar { v } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } f + \boldsymbol { v } \cdot \nabla f + \frac { e } { m } ( { \boldsymbol E } + \boldsymbol { v } \times { \boldsymbol B } ) \cdot \nabla _ { \boldsymbol { v } } f = 0 \, , } \\ & { } & { \textbf { E } = - \textbf { u } \times \textbf { B } + \frac { 1 } { e n _ { e } } \textbf { J } \times \textbf { B } - \frac { \nabla P _ { e } } { e n _ { e } } \, , } \\ & { } & { \partial _ { t } { \boldsymbol B } = - \nabla \times { \boldsymbol E } \, , \quad \nabla \cdot { \boldsymbol B } = 0 \, , } \\ & { } & { \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \partial _ { t } { \boldsymbol E } = \nabla \times { \boldsymbol B } - \mu _ { 0 } { \boldsymbol J } \, , } \\ & { } & { \nabla \cdot { \boldsymbol E } = \epsilon _ { 0 } ^ { - 1 } \sigma \, , } \\ & { } & { P _ { e } = n _ { e } k _ { B } T _ { e } \, . } \end{array}
\hat { C } ^ { \prime } = C ^ { \prime } ( { \mathbf { v } , \mathbf { v } ^ { \prime } } ) = - m _ { D } ^ { 2 } { \frac { g ^ { 2 } N T } { 2 } } ( { \Phi ^ { \prime } } _ { ( 3 g ) } ( { \mathbf { v } , \mathbf { v } ^ { \prime } } ) + { \Phi ^ { \prime } } _ { ( 4 g ) } ( { \mathbf { v } , \mathbf { v } ^ { \prime } } ) )
\left( \epsilon ^ { 0 1 2 3 } = \eta ^ { 0 \mu } \eta ^ { 1 \nu } \eta ^ { 2 \rho } \eta ^ { 3 \sigma } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } = \eta ^ { 0 0 } \eta ^ { 1 1 } \eta ^ { 2 2 } \eta ^ { 3 3 } \epsilon _ { 0 1 2 3 } = - 1 \right)
\alpha \equiv a r g ( - \frac { V _ { t d } V _ { t b } ^ { * } } { V _ { u d } V _ { u b } ^ { * } } ) \; \; \; \; \; \; \beta \equiv a r g ( - \frac { V _ { c d } V _ { c b } ^ { * } } { V _ { t d } V _ { t b } ^ { * } } ) \; \; \; \; \; \; \gamma \equiv a r g ( - \frac { V _ { u d } V _ { u b } ^ { * } } { V _ { c d } V _ { c b } ^ { * } } )
\begin{array} { r } { b = f - a \in \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \cap ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) + \mathrm { Y } _ { \mathcal { N } } ) \subset \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \cap \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { k - 1 } ( \phi ) } & { = \epsilon \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k - 1 } } c _ { k - 1 , i } ( s ) \overline { { h } } _ { k - 1 , i } ( t / \epsilon ) \right] \phi + \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { k - 1 } } d _ { k - 1 , i } ( s ) \overline { { p } } _ { k - 1 , i } ( t / \epsilon ) \right] \phi ^ { 2 } - \phi ^ { 3 } } \\ & { = \epsilon \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k - 1 } } c _ { k - 1 , i } ( s ) \overline { { h } } _ { k - 1 , i } ( t / \epsilon ) \right] \left( \epsilon ^ { k } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { k } } b _ { k , 0 , j } ( s ) \overline { { f } } _ { k , 0 , j } ( t / \epsilon ) + \tilde { \phi } \right) } \\ & { \; \; \; + \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { k - 1 } } d _ { k - 1 , i } ( s ) \overline { { p } } _ { k - 1 , i } ( t / \epsilon ) \right] \left( \epsilon ^ { k } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { k } } b _ { k , 0 , j } ( s ) \overline { { f } } _ { k , 0 , j } ( t / \epsilon ) + \tilde { \phi } \right) ^ { 2 } } \\ & { \; \; \; - \left( \epsilon ^ { k } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { k } } b _ { k , 0 , j } ( s ) \overline { { f } } _ { k , 0 , j } ( t / \epsilon ) + \tilde { \phi } \right) ^ { 3 } } \end{array}
{ \cal H } _ { 1 } = \left( { \cal V } ^ { ( n ) } ( 0 ) \right) ^ { - 1 } \dot { \cal V } ^ { ( n ) } ( 0 ) = \sum _ { i = 0 } ^ { n } 1 \otimes \cdots \otimes h _ { i , i + 1 } \otimes \cdots \otimes 1 ~ ,
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 0 } I _ { p } } & { = } & { \oint _ { L } \vec { B } \cdot d \vec { l } \approx \oint _ { L } \left( B _ { t } ^ { \mathrm { M P } } - B _ { t } ^ { \mathrm { P F } } \right) \: d l } \\ & { \approx } & { \left[ \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { m } } \Delta l _ { m } ^ { * } \left( B _ { t , m } ^ { * \mathrm { M P } } - B _ { t , m } ^ { * \mathrm { P F } } \right) + \right. } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { i } } \Delta l _ { i } \left( B _ { t , i } ^ { \mathrm { M P } } - B _ { t , i } ^ { \mathrm { P F } } \right) \right] } \\ & { = } & { \boldsymbol { \lambda } ^ { * T } \left( \boldsymbol { B } _ { t } ^ { * \mathrm { M P } } - \boldsymbol { B } _ { t } ^ { * \mathrm { P F } } \right) + } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \boldsymbol { \lambda } ^ { T } \left( \boldsymbol { B } _ { t } ^ { \mathrm { M P } } - \boldsymbol { B } _ { t } ^ { \mathrm { P F } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \xi _ { p } ^ { \nu + 1 } - \xi _ { p } ^ { \nu } } { \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } } = \left( \frac { v _ { z } } { J _ { \xi } } \right) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } , } \\ & { \frac { v _ { z , p } ^ { \nu + 1 } - v _ { z , p } ^ { \nu } } { \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } } = a ^ { v + 1 / 2 } = \frac { q _ { p } } { m _ { p } } \left( \frac { E _ { \xi } } { J _ { \xi } } \right) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } - \Tilde { \mu } _ { p } \frac { B _ { p } ^ { \nu + 1 } - B _ { p } ^ { \nu } } { v _ { z , p } ^ { n + 1 / 2 } \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { V ( r , \theta , \phi ) = \frac { 3 \omega _ { \mathrm { r } } + \omega _ { \mathrm { f } } } { 2 } B _ { 0 } \sin \theta \cos \theta \cos \phi \cdot \left\{ \begin{array} { l l } { r ^ { 2 } } & { r \leq R _ { \mathrm { f } } } \\ { r ^ { - 3 } R _ { \mathrm { f } } ^ { 5 } } & { r \geq R _ { \mathrm { f } } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { z } _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { \varepsilon } ( x _ { 2 } ^ { * } + z _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } ( x _ { 2 } ^ { * } + z _ { 1 } ) ^ { M - 1 } ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) ^ { N - M } ( z _ { 2 } + 1 ) b - c ] , } \\ { \dot { z } _ { 2 } } & { = ( z _ { 2 } + 1 ) ( - z _ { 2 } ) [ u ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \phi } \Bigl ( \mathcal { L } \tilde { \eta } + \epsilon \partial _ { R } \tilde { \zeta } \Bigr ) \, \mathrm { d } X \, } & { = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \eta } \Bigl ( \Delta \tilde { \phi } - \frac { \epsilon \partial _ { R } \tilde { \phi } } { 1 + \epsilon R } \Bigr ) \, \mathrm { d } X - \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \eta } \bigl ( R \partial _ { R } + Z \partial _ { Z } \bigr ) \tilde { \phi } \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { = \, - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \eta } ^ { 2 } ( 1 + \epsilon R ) \, \mathrm { d } X - \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \eta } \bigl ( R \partial _ { R } + Z \partial _ { Z } \bigr ) \tilde { \phi } \, \mathrm { d } X \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int \frac { v ^ { * } ( x ) \nabla \widetilde { \phi } _ { k } ( x ) \widetilde { \phi } _ { k } ^ { * } ( y ) u ( y ) } { | x - y | } d x d y \right| } & { \leq \left( \int | \nabla \widetilde { \phi } _ { k } ( x ) | ^ { 2 } | u ( y ) | ^ { 2 } d x d y \right) ^ { 1 / 2 } \left( \int \frac { | \widetilde { \phi } _ { k } ( y ) | ^ { 2 } | v ( x ) | ^ { 2 } } { | x - y | ^ { 2 } } d x d y \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq 2 \| u \| _ { \mathcal { H } } \| v \| _ { \mathcal { H } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { y } ^ { \mathrm { l o c } } \left( y = 0 , z = - h \right) = } \\ & { \, \, \, \, \left[ E _ { y } ^ { \mathrm { e x t } } \left( y , z \right) + E _ { y } ^ { \mathrm { i n t r a } } \left( y , z \right) + E _ { y } ^ { \mathrm { i m a g e } } \left( y , z \right) \right] _ { \left( y , z \right) = \left( 0 , - h \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { L d G } ( \gamma ) = \frac { A _ { 0 } } { 2 } \left( 1 - \frac { \gamma } { 3 } \right) Q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } - \frac { A _ { 0 } \gamma } { 3 } Q _ { \alpha \beta } Q _ { \beta \gamma } Q _ { \gamma \alpha } } \\ & { + \frac { A _ { 0 } \gamma } { 4 } ( Q _ { \alpha \beta } Q _ { \alpha \beta } ) ^ { 2 } + \frac { L } { 2 } ( \partial _ { \gamma } Q _ { \alpha \beta } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { \prime } } & { = \Omega J _ { z } + \Omega ^ { \prime } S _ { z } + g _ { z } S _ { z } J _ { z } + \frac { g _ { x } ^ { 2 } \Omega + g _ { x } g _ { y } \Omega ^ { \prime } } { 2 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } S _ { x } ^ { 2 } J _ { z } + \frac { g _ { y } ^ { 2 } \Omega + g _ { x } g _ { y } \Omega ^ { \prime } } { 2 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } S _ { y } ^ { 2 } J _ { z } - \frac { g _ { x } ^ { 2 } \Omega ^ { \prime } + g _ { x } g _ { y } \Omega } { 2 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } S _ { z } J _ { x } ^ { 2 } } \\ & { \quad - \frac { g _ { y } ^ { 2 } \Omega ^ { \prime } + g _ { x } g _ { y } \Omega } { 2 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } S _ { z } J _ { y } ^ { 2 } + \frac { g _ { x } g _ { z } \Omega + g _ { y } g _ { z } \Omega ^ { \prime } } { \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } } ( - S _ { z } S _ { x } J _ { x } + S _ { y } J _ { y } J _ { z } ) - \frac { g _ { y } g _ { z } \Omega + g _ { x } g _ { z } \Omega ^ { \prime } } { \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } } ( S _ { z } S _ { y } J _ { y } - S _ { x } J _ { x } J _ { z } ) + . . . } \end{array}
Q _ { 2 } ( p ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } , n _ { 2 } ) = ( \frac { \alpha _ { n _ { 2 } } ( p ^ { 2 } ) } { \alpha _ { n _ { 2 } } ( \mu ^ { 2 } ) } ) ^ { \frac { 2 } { b ( n _ { 2 } ) } }
\begin{array} { r l } & { \alpha - \iota _ { x y } ( \alpha ) - \iota _ { x z } ( \alpha ) + \iota _ { y z } ( \alpha ) = 0 , } \\ & { \alpha - \iota _ { x y } ( \alpha ) + \iota _ { x z } ( \alpha ) - \iota _ { y z } ( \alpha ) = 0 , } \\ & { \alpha + \iota _ { x y } ( \alpha ) - \iota _ { x z } ( \alpha ) - \iota _ { y z } ( \alpha ) = 0 . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \beta , \mu } ( E ) = { \cal L } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \beta , \mu } ( 0 ) - \frac { ( e E ) ^ { 2 } } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \frac { | \mu - e A _ { 0 } | } { \sqrt { ( \mu - e A _ { 0 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \, \theta \left( | \mu - e A _ { 0 } | - m \right) \ ,
\begin{array} { r } { U _ { L J } ^ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { L } \int _ { | x - x ^ { \prime } | \geq \frac { a _ { i } + a _ { j } } { 2 } } - 4 \pi \epsilon _ { i j } c _ { i } ( x ^ { \prime } ) . . } \\ { . . c _ { j } ( x ) \left[ \frac { \sigma _ { i j } ^ { 6 } } { 2 ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i j } ^ { 1 2 } } { 5 ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 1 0 } } \right] d x d x ^ { \prime } } \end{array}
F _ { q } ( T , R ) = - 6 T \sum _ { j = 1 / 2 , 3 / 2 , . . } ^ { \infty } ( 2 j + 1 ) \sum _ { l = j \pm 1 / 2 } \sum _ { n } \ln ( 1 + e ^ { - E _ { j l n } / T } )
\left[ \frac { r \Delta } { \sigma } ( r \Delta ) ^ { \prime } \right] ^ { \prime } - 2 ( \frac { 2 r \Delta } { \sigma } \Delta ^ { \prime } + \frac { \Delta ^ { 2 } } { \sigma } ) + \sigma = - 2 r ^ { 2 } \frac { \Delta ^ { 2 } } { \sigma } { \phi ^ { \prime } } ^ { 2 } + 2 r ^ { 2 } \sigma e ^ { - 2 \phi } ( f ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) ~ ~ ,
| 2 S \rangle _ { s } = | P _ { 1 \bar { 4 } } P _ { 2 \bar { 3 } } \rangle _ { s } \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \| 2 T \rangle _ { s } = | { \bf V } _ { 1 \bar { 4 } } \cdot { \bf V } _ { 2 \bar { 3 } } \rangle _ { s } .
g ( x , p ) = n _ { 0 } \cdot ( \frac { 1 } { \pi R ^ { 2 } } ) ^ { 3 / 2 } e x p ( - r ^ { 2 } / R ^ { 2 } ) ( \frac { 1 } { \pi \Delta ^ { 2 } } ) ^ { 3 / 2 } e x p ( - p ^ { 2 } / \Delta ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \psi _ { 1 } ( x , t ) = \Xi _ { 1 } ( t ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { \prime } { \cal { G } } _ { \mu } ( x - x ^ { \prime } , t ) \varphi _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) , } \end{array}
\mathbf { E } _ { s c } ( \omega , \mathbf { r } ) = \sum _ { \tau = 1 , 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } f _ { \tau l m } \mathbf { u } _ { \tau l m } ( \kappa ( \mathbf { r } ) ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } | u | ^ { q + 1 } } & { \leq c \left( \int _ { \Omega } | \xi ( u ) - | u | | ^ { q + 1 } + \int _ { \Omega } | \xi ( u ) | ^ { q + 1 } \right) } \\ & { \leq \frac { c } { G ( N ) } \int _ { \Omega } | \nabla u ^ { q / 2 } | ^ { 2 } \int _ { \Omega } | u | G ( u ) + C \left( \int _ { \Omega } | u | \right) ^ { q + 1 } + ( 2 N ) ^ { q } \int _ { \Omega } | u | . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d } \mathrm { E } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } u = \mathrm { E } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } \mathrm { d } u \qquad \mathrm { ( r e s p . ~ } \delta \mathrm { E } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } u = \mathrm { E } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } \mathrm { d } ^ { \ast } u \mathrm { ) . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { E L B O } \left( \phi , \psi \vert y \right) = - \operatorname { \mathbb { E } } _ { w \sim q _ { \phi } , \lambda \sim q _ { \psi } , t \sim \mathcal { U } ( [ 0 , T ] ) } \left[ h _ { \beta } ( y , w , \lambda , t ) \right] + \mathbb { H } \left[ q _ { \phi } \right] + \mathbb { H } \left[ q _ { \psi } \right] - \mathbb { E } _ { \lambda \sim q _ { \psi } } \left[ \log \left( Z _ { \beta } \left( \lambda \right) \right) \right] . } \end{array}
\tilde { t } ^ { 2 } - \tilde { w } ^ { 2 } - \tilde { x } ^ { 2 } - \tilde { y } ^ { 2 } - \tilde { z } ^ { 2 } = \left( \frac { \tilde { t } - \tilde { w } } { \lambda } \right) k _ { 1 } \left[ h ^ { - 1 } \left( \frac { \tilde { t } - \tilde { w } } { \lambda } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \epsilon } \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { N _ { n , \epsilon } ( x ) } { n } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \epsilon } \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \left| \Delta \arg _ { x < t < x + \epsilon } p ( \zeta ( t ) ) \right| } { \pi n } . } \\ & { = \frac { 1 } { \pi } \ln \left| \frac { ( z _ { 1 } + \zeta ( x ) ) ( z _ { 2 } + \zeta ( x ) ) } { ( z _ { 1 } - \zeta ( x ) ) ( z _ { 2 } - \zeta ( x ) ) } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ y ~ } ~ m , n } } & { { } = \sum _ { n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \sum _ { k , l } K _ { m , k } ^ { ( n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } ) } \rho _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ~ k , l } K _ { l , n } ^ { ( n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } ) \dag } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ( t ) } & { : = \mathrm { ~ n u m b e r ~ o f ~ m o l e c u l e s ~ a t ~ t i m e ~ t ~ } , } \\ { \rho _ { 0 } ( t ) } & { : = \mathbb { P } ( \mathcal { N } ( t ) = 0 ) } \\ { \int _ { A } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) d x _ { 1 } \cdot \cdot \cdot d x _ { n } } & { : = \mathbb { P } \left( \{ \mathcal { N } ( t ) = n \} \cap \{ ( X _ { 1 } ( t ) , . . . , X _ { n } ( t ) ) \in A \} \right) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } ~ | \Phi ^ { + } \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , A } } | \Phi ^ { + } \rangle _ { \mathrm { d _ { 2 } , B } } ( c _ { 1 } | 1 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 2 } | 2 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 3 } | 3 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 4 } | 4 \rangle _ { \mathrm { C } } ) } \end{array}
\pi { \frac { N ^ { 1 / 2 } } { 4 } } \left( 1 + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots \right) = \pi { \frac { \sqrt { N } } { 4 } } \left( 2 + { \sqrt { 2 } } \right) ,