harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } ^ { \prime } } & { { } = \sqrt { 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } } \simeq 4 e ^ { - \pi \ell _ { 0 } / 2 w } \ll 1 , } \\ { 1 - \gamma ^ { 2 } } & { { } \simeq 1 6 e ^ { - \pi \ell _ { 0 } / w } \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \pi s } { 2 w } \right) , } \\ { \frac { k _ { 2 } } { k _ { 2 } ^ { \prime } } } & { { } = \frac { k _ { 1 } } { k _ { 1 } ^ { \prime } } ( 1 - \gamma ^ { 2 } ) \simeq 4 e ^ { - \pi \ell _ { 0 } / 2 w } \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \pi s } { 2 w } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { 1 } = - \frac { 1 + a _ { 1 } \left( C _ { 1 } + C _ { 3 } \right) } { C _ { 2 } + a _ { 1 } \left( C _ { 1 } C _ { 2 } + C _ { 2 } C _ { 3 } - 2 \, C _ { 5 } ^ { \, 2 } \right) } , \quad } & { \mathrm { ( T E ~ / ~ s - p o l a r i z e d ~ i n c i d e n c e ) } } \\ { a _ { 1 } = - \frac { 1 + b _ { 1 } \left( C _ { 1 } + C _ { 3 } \right) } { C _ { 2 } + b _ { 1 } \left( C _ { 1 } C _ { 2 } + C _ { 2 } C _ { 3 } - 2 \, C _ { 5 } ^ { \, 2 } \right) } \quad } & { \mathrm { ( T M ~ / ~ p - p o l a r i z e d ~ i n c i d e n c e ) } . } \end{array}
| \nabla \psi | = \frac { \displaystyle { n \left( H \chi \right) ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } \left( ( n + 1 ) H \chi + ( n + 2 ) Y \right) } } { ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( \chi + Y / H ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \Gamma ( w , t ) = \frac { d \, { \Omega } ( w , t ) } { d t } + 2 \, \mathrm { R e } \left[ \partial _ { w } h _ { t } ( w , t ) \right] } \\ & { = \partial _ { t } \Omega ( w , t ) + 2 \, \mathrm { R e } \left[ h _ { t } ( w , t ) \, \partial _ { w } \Omega ( w , t ) \right] + 2 \, \mathrm { R e } \left[ \partial _ { w } h _ { t } ( w , t ) \right] . } \end{array}
0 = \int _ { \Gamma _ { i } \bigcup \Gamma _ { 1 } \bigcup \Gamma _ { o } \bigcup \Gamma _ { 2 } } ( \tilde { \phi } - \tilde { \psi } ) \mathbf { S } \cdot \mathbf { n } ~ d \Gamma - \int _ { \Omega } \mathbf { S } \cdot \nabla ( \tilde { \phi } - \tilde { \psi } ) ~ d \Omega .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \epsilon _ { n } ( x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } } & { = \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } \langle \phi _ { n , x _ { 0 } } | h _ { o p } ( x _ { 0 } ) | \phi _ { n , x _ { 0 } } \rangle = } \\ & { = \langle \frac { \partial \phi _ { n , x _ { 0 } } } { \partial x _ { 0 } } | h _ { o p } ( x _ { 0 } ) | \phi _ { n , x _ { 0 } } \rangle + \langle \phi _ { n , x _ { 0 } } | h _ { o p } ( x _ { 0 } ) | \frac { \partial \phi _ { n , x _ { 0 } } } { \partial x _ { 0 } } \rangle + \langle \phi _ { n , x _ { 0 } } | \frac { \partial h _ { o p } } { \partial x _ { 0 } } | \phi _ { n , x _ { 0 } } \rangle = } \\ & { = \epsilon _ { n } ( x _ { 0 } ) \left[ \langle \frac { \partial \phi _ { n , x _ { 0 } } } { \partial x _ { 0 } } | \phi _ { n , x _ { 0 } } \rangle + \langle \phi _ { n , x _ { 0 } } | \frac { \partial \phi _ { n , x _ { 0 } } } { \partial x _ { 0 } } \rangle \right] + \langle \phi _ { n , x _ { 0 } } | \frac { \partial h _ { o p } } { \partial x _ { 0 } } | \phi _ { n , x _ { 0 } } \rangle = \langle \phi _ { n , x _ { 0 } } | \frac { \partial h _ { o p } } { \partial x _ { 0 } } | \phi _ { n , x _ { 0 } } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { C \frac { \mathrm { d } V _ { \mathrm { m } } ( t ) } { \mathrm { d } t } = I ( t ) - \sum _ { i \in \left\{ + , - , \mathrm { s } \right\} } g _ { i } ( V _ { i } ( t ) , t ) \left( V _ { \mathrm { m } } ( t ) - E _ { i } \right) , } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { k } { \varphi ( k ) } } = { \frac { 3 1 5 \, \zeta ( 3 ) } { 2 \pi ^ { 4 } } } n - { \frac { \log n } { 2 } } + O \left( ( \log n ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right)
\begin{array} { r l } { v _ { k + 1 , r } = } & { - \eta \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { r } } \sum _ { l \in \mathcal { L } _ { i } \cap \mathcal { L } _ { r } } \nabla ^ { 2 } B _ { l } \Big ( \sum _ { j : l \in \mathcal { L } _ { j } } \widehat x _ { k , j } \Big ) v _ { k , i } } \\ & { + \big ( 1 - \epsilon + \eta \nabla _ { x } ^ { 2 } U _ { r } ( \widehat x _ { k , r } ; \alpha _ { k , r } ) \big ) v _ { k , r } - \underbrace { \eta \nabla \widetilde U _ { r } ( \widehat x _ { k , r } ) } _ { \mathrm { u s e r ~ f e e d b a c k } } , } \end{array}
\frac { x } { U _ { e } u _ { x } } ( U - U _ { e } ) \frac { \partial U } { \partial x } = \frac { x } { U _ { e } u _ { * } } u _ { * } U _ { o } \frac { \partial U } { \partial x } = \frac { x } { U _ { e } } U _ { o } \frac { \partial U } { \partial x }
f _ { \mathrm { R M T } } ( \lambda ) = \frac { Q } { 2 \pi } \frac { \sqrt { \left( \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \mathrm { R M T } } - \lambda \right) \left( \lambda - \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \mathrm { R M T } } \right) } } { \lambda } ,
f ( M ) \sim \mathcal { O } ( M ^ { n } ) \; \Rightarrow \; \exists \; c _ { f } \in \mathbb { R } \; \textrm { s . t . } \; \forall \varepsilon > 0 \; \exists \; \delta > 0 \; \textrm { s . t . } \; | f ( M ) - c _ { f } M ^ { n } | < \varepsilon \; \forall \: M < \delta
U = | G ( \phi _ { i } ) | ^ { 2 } + | p | ^ { 2 } \sum _ { i } i \left| \frac { \partial G } { \partial \phi _ { i } } \right| ^ { 2 } + \frac { D } { 2 e ^ { 2 } } + 2 | \sigma | ^ { 2 } \left( \sum _ { i } Q _ { i } ^ { 2 } | \phi _ { i } | ^ { 2 } + Q _ { p } ^ { 2 } | p | ^ { 2 } \right) \ .
\begin{array} { r } { \hat { \gamma } _ { \textsc { q } , 0 } = \hat { X } _ { \textsc { q } , } \hat { Z } _ { \textsc { q } - 1 , } \cdots \hat { Z } _ { 0 , } , } \\ { \hat { \gamma } _ { \textsc { q } , 1 } = \hat { Y } _ { \textsc { q } , } \hat { Z } _ { \textsc { q } - 1 , } \cdots \hat { Z } _ { 0 , } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } \sum _ { k = 3 } ^ { \infty } \frac { \left| 2 \gamma \lambda _ { s } t \right| ^ { k } } { k } } & { \leq \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } \sum _ { k = 3 } ^ { \infty } \frac { | \lambda _ { s } | ^ { k } } { 4 ^ { k } \| \mathsf { H } ^ { \circ } \| ^ { k } k } \leq \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } \sum _ { k = 3 } ^ { \infty } \frac { 1 } { s ^ { \frac { 3 } { 2 } } 4 ^ { k } k } < \infty , } \end{array}
\{ \varepsilon _ { i _ { 0 } } ^ { m _ { 0 } } \alpha _ { i _ { 0 } , i _ { 1 } } ^ { ( g _ { 1 } ) } \varepsilon _ { i _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } \alpha _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ^ { ( g _ { 2 } ) } \cdots \varepsilon _ { i _ { n - 1 } } ^ { m _ { n - 1 } } \alpha _ { i _ { n - 1 } , i _ { n } } ^ { ( g _ { n } ) } \varepsilon _ { i _ { n } } ^ { m _ { n } } \mid i _ { k } \in I , 0 \le m _ { k } < r \ell / d _ { i _ { k } } , 1 \le g _ { k } \le g _ { i _ { k - 1 } , i _ { k } } \} .
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } ( t ) } & { = \mathcal { L } _ { a c } \rho ( t ) + \mathcal { L } _ { p } ( t ) \rho _ { 0 1 } ( t ) } \\ { \dot { \rho } _ { 0 1 } ( t ) } & { = \mathcal { L } _ { a c } \rho _ { 0 1 } ( t ) - i \sqrt { \frac { \gamma _ { e g } } { 2 } } \tilde { \xi } ^ { * } ( t ) [ \sigma _ { g e } , \rho _ { 0 0 } ( t ) ] , } \\ { \dot { \rho } _ { 0 0 } ( t ) } & { = \mathcal { L } _ { a c } \rho _ { 0 0 } ( t ) , } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 2 } ^ { 2 } } } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - g } \left[ \bar { \phi } { \cal R } _ { g } + g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \bar { \phi } \partial _ { \nu } \bar { \phi } + 4 \lambda ^ { 2 } e ^ { \bar { \phi } } \right] ,
\psi ( \boldsymbol { x } ) = \sum _ { \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { n - 1 } } M _ { x _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } } \cdots M _ { x _ { n } } ^ { \alpha _ { n - 1 } \alpha _ { n } } = \sum _ { \boldsymbol { \alpha } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } M _ { x _ { i } } ^ { \alpha _ { i - 1 } \alpha _ { i } } ,
V _ { p } = - ( 1 + \frac { 2 \mu } { z ^ { 7 - p } } ) ^ { \alpha + \beta _ { + } } ( 1 + \frac { \mu } { z ^ { 7 - p } } ) ^ { 2 ( p - 8 ) / ( 7 - p ) } + \frac { ( 8 - p ) ( 6 - p ) } { 4 z ^ { 2 } } - \mu ^ { 2 } \frac { ( 7 - p ) ^ { 2 } } { z ^ { 2 } ( z ^ { 7 - p } + 2 \mu ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { - \int _ { \Omega } ( \underline { { S } } ^ { E } \underline { { \sigma } } - \underline { { d } } ^ { T } \nabla \phi ) : \delta \underline { { \sigma } } \, d \Omega + \langle \underline { { \varepsilon } } ( \vec { u } ) , \delta \underline { { \sigma } } \rangle + \langle \underline { { \varepsilon } } ( \delta \vec { u } ) , \underline { { \sigma } } \rangle + \int _ { \Omega } ( \underline { { d } } \underline { { \sigma } } - \underline { { \epsilon } } ^ { \sigma } \nabla \phi ) \cdot \delta \nabla \phi \, d \Omega = } & { } \\ { - \int _ { \Omega } \underline { { \varepsilon } } ( \underline { { \sigma } } , \vec { E } ) : \delta \underline { { \sigma } } \, d \Omega + \langle \underline { { \varepsilon } } ( \vec { u } ) , \delta \underline { { \sigma } } \rangle + \langle \underline { { \varepsilon } } ( \delta \vec { u } ) , \underline { { \sigma } } \rangle - \int _ { \Omega } \vec { D } \cdot \delta \vec { E } \, d \Omega = } & { } \\ { = \int _ { \Omega } \vec { f } \cdot \delta \vec { u } \, d \Omega + \int _ { \Gamma _ { 2 } } \vec { t } _ { n t } \cdot \delta \vec { u } _ { t } \, d \Gamma + \int _ { \Gamma _ { 4 } } q _ { 0 } \, \delta \phi \, d \Gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta S _ { \mathrm { R P } } } & { { } = - \frac { \partial \Delta F _ { \mathrm { R P } } } { \partial T } = k _ { \mathrm { B } } \ln \frac { Z _ { \mathrm { P } } } { Z _ { \mathrm { R } } } + k _ { \mathrm { B } } T \left[ \frac { \partial \ln Z _ { \mathrm { P } } } { \partial T } - \frac { \partial \ln Z _ { \mathrm { R } } } { \partial T } \right] } \end{array}
H _ { n m } ^ { \{ { \bf R } \} } ( 0 , 0 ) = \frac { m ! n ! ( - 1 ) ^ { \frac { m + n } 2 } } { 2 ^ { \frac { | m - n | } 2 } \left( \frac { m + n } 2 \right) ! } \left[ R _ { 1 1 } ^ { n } R _ { 2 2 } ^ { m } \left( r ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \mu _ { m n } } \right] ^ { \frac 1 2 } P _ { \mu _ { m n } } ^ { ( \frac { | m - n | } 2 , \frac { | m - n | } 2 ) } \left( \frac r { \sqrt { r ^ { 2 } - 1 } } \right) ,
\hat { H } _ { T C } = \hbar \omega _ { c } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \omega _ { x g } \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } + \frac { g } { 2 } ( \hat { a } ^ { \dagger } + \hat { a } ) ( \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } + \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } ) \right] .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \mathbb { E } ( \mathbb { X } _ { s , t } ^ { k ; i , j } - \mathbb { X } _ { s , t } ^ { i , j } ) ^ { 2 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } { \left\lVert { \mathbb { X } _ { s , t } ^ { k ; i , j } - \mathbb { X } _ { s , t } ^ { i , j } } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) \otimes L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } { \left\lVert { P _ { L _ { k } ^ { 2 } \otimes L _ { k } ^ { 2 } } ( \mathbb { X } _ { s , t } ^ { i , j } ) - \mathbb { X } _ { s , t } ^ { i , j } } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) \otimes L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { S } } = } & { { } T _ { \mathrm { n u c } } + V _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + \epsilon _ { 1 } ( x _ { 1 } ) d _ { 1 } ^ { + } d _ { 1 } ^ { - } + \epsilon _ { 2 } ( x _ { 1 } ) d _ { 2 } ^ { + } d _ { 2 } ^ { - } } \end{array}
\phi _ { 3 } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } , \vec { q } _ { 3 } , \vec { n } ) = \frac { g \phi _ { 2 } ( q ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) } { ( s _ { 1 2 3 } - m ^ { 2 } ) ( 1 - x _ { 2 } ) } + \frac { g \phi _ { 2 } ( q ^ { \prime \prime } , z ^ { \prime \prime } ) } { ( s _ { 1 2 3 } - m ^ { 2 } ) ( 1 - x _ { 3 } ) } \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ i \hbar \partial _ { t } - \xi \sigma _ { z } - \Delta \left( \cos \phi \sigma _ { x } + \sin \phi \sigma _ { y } \right) \right] } \\ & { } & { \left[ i \hbar \partial _ { t } + \xi \sigma _ { z } + \Delta \left( \cos \phi \sigma _ { x } + \sin \phi \sigma _ { y } \right) \right] \psi _ { z } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { i } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } & { = \int d \mathbf { r _ { 2 } } \, \left( \chi _ { i } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 2 } } ) \right) ^ { * } \, \tilde { K } _ { 1 2 } \, \phi _ { i } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 2 } } ) \mathrm { , } } \\ { \mathcal { K } _ { i } ^ { \sigma } \phi _ { a } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } & { = \int d \mathbf { r _ { 2 } } \, \left( \chi _ { i } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 2 } } ) \right) ^ { * } \, \tilde { K } _ { 1 2 } \, \phi _ { a } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 2 } } ) \, \phi _ { i } ^ { \sigma } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { k l } \, \sigma _ { R } ^ { k l } } & { = } & { \left( \frac { m _ { k l } } { 2 \, k _ { B } T } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, \int d ^ { 3 } u \, u \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u \right) } \\ & { } & { \times \, \exp \left( - \frac { m _ { k l } \, \vec { u } ^ { \, 2 } } { 2 \, k _ { B } T } \right) } \\ & { = } & { \frac { 4 \pi } { \sqrt { 2 \, m _ { k l } \, \left( k _ { B } T \right) ^ { 3 } } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d \epsilon \, \epsilon \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( \epsilon \right) } \\ & { } & { \times \, \exp \left( - \frac { \epsilon } { k _ { B } T } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) | _ { L o n g , r o u n d } } & { { } = } & { \Delta \nu _ { x , S C } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } ] I _ { 0 } \left( \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( 1 - p / 2 ) ^ { t } \bar { \mathcal { S } } _ { n _ { j } } ( y , z _ { j } ) } & { \longrightarrow \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } v \, e ^ { - \frac { 1 } { 3 } \mathbf { t } v ^ { 3 } - \mathbf { x } _ { j } v ^ { 2 } - ( u _ { j } - z ) v } } \\ & { = \mathbf { S } _ { - \mathbf { t } , - \mathbf { x } _ { j } } ( z , u _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { d } { d h } \langle \mathcal { A } ( t + h u ) , v \rangle \right| _ { h = 0 } } & { = \left. \frac { d } { d h } \langle e ^ { - T - h U } \mathcal { H } _ { K } e ^ { T + h U } \Phi _ { 0 } , V \Phi _ { 0 } \rangle \right| _ { h = 0 } } \\ & { = \left. \langle e ^ { - T - h U } ( \mathcal { H } _ { K } U - U \mathcal { H } _ { K } ) e ^ { T + h U } \Phi _ { 0 } , V \Phi _ { 0 } \rangle \right| _ { h = 0 } } \\ & { = \langle e ^ { - T } ( \mathcal { H } _ { K } U - U \mathcal { H } _ { K } ) e ^ { T } \Phi _ { 0 } , V \Phi _ { 0 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \dot { \psi } _ { j } } & { { } = \frac { E a } { 2 } \left( j - \frac { N } { 2 } \right) \psi _ { j } - t _ { j - 1 , j } \psi _ { j - 1 } - t _ { j , j + 1 } \psi _ { j + 1 } } \end{array}
g ( E ) = { \frac { 1 } { V } } { \frac { \partial N ( E ) } { \partial E } } = { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } } \left( { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } \right) ^ { 3 / 2 } { \sqrt { E - E _ { 0 } } }
W = - { \frac { X { \, \mathrm { P f \, } } L - \frac 1 4 W \cdot L } { \Lambda ^ { 3 } } } - { \frac { R { \, \mathrm { P f \, } } W - \frac 1 2 M ^ { 2 } \cdot W } { \Lambda ^ { 7 } } } ,
\begin{array} { r } { \left\| \bar { A } _ { i } - \mathbb { E } \left[ A _ { i } \left( O _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } \right) \mid \mathcal { F } _ { k _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } } \right] \right\| \leq L _ { 1 } \rho ^ { ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) K + k _ { 2 } - k _ { 1 } } \And \left\| \bar { A } _ { i } - \mathbb { E } _ { t _ { 1 } } \left[ A _ { i } \left( O _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } \right) \right] \right\| \leq L _ { 1 } \rho ^ { ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) K + k _ { 2 } } , } \\ { \left\| \mathbb { E } \left[ { Z } _ { i } \left( O _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } \right) \mid \mathcal { F } _ { k _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } } \right] \right\| \leq L _ { 2 } \rho ^ { ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) K + k _ { 2 } - k _ { 1 } } \And \left\| \mathbb { E } _ { t _ { 1 } } \left[ { Z } _ { i } \left( O _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } \right) \right] \right\| \leq L _ { 2 } \rho ^ { ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) K + k _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \{ 0 < \pm ( \tau - r _ { * } ( \tau , z ) ) < \lambda \} } | \partial _ { \tau } u ( \tau , z ) | d \tau \, d z } & { = \lambda ^ { - 1 } \int _ { \{ 0 < \pm ( \tau - r _ { * } ( \tau , z ) ) < \lambda \} } \lambda | \partial _ { \tau } u ( \tau , z ) | d \tau \, d z } \\ & { \leq \int _ { \{ 0 < \pm ( \tau - r _ { * } ( \tau , z ) ) < \lambda \} } \delta \lambda ^ { - 1 } + C \delta ^ { - 1 } \lambda ^ { - 1 } \Psi _ { 0 } ( \lambda \, \partial _ { \tau } u ) ) d \tau \, d z } \\ & { \leq \int _ { \Sigma } \delta | \nu _ { t } | d \mathcal { H } ^ { d } + C \delta ^ { - 1 } \frac { 1 } { \lambda } \int _ { A _ { \pm } \cap \{ \mathfrak { t } ( ( \tau , z ) , \Sigma ) \leq \lambda \} } \Psi _ { 0 } ( \lambda \, \partial _ { \tau } u ) \ d \tau \, d z } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { c _ { 1 , i } } \\ { c _ { 2 , i } } \\ { c _ { 3 , i } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { \Omega } { 2 } \frac { \lambda _ { i } + i \kappa } { \lambda _ { i } } } \\ { \lambda _ { i } + i \kappa } \\ { g } \end{array} \right) \quad \textrm { a n d } \quad \Xi = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \Omega } { 2 } \frac { \lambda _ { 1 } + i \kappa } { \lambda _ { 1 } } } & { \frac { \Omega } { 2 } \frac { \lambda _ { 2 } + i \kappa } { \lambda _ { 2 } } } & { \frac { \Omega } { 2 } \frac { \lambda _ { 3 } + i \kappa } { \lambda _ { 3 } } } \\ { \lambda _ { 1 } + i \kappa } & { \lambda _ { 2 } + i \kappa } & { \lambda _ { 3 } + i \kappa } \\ { g } & { g } & { g } \end{array} \right) ,
{ \begin{array} { r l } { c } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \, \operatorname { t r } \, M \, , { \begin{array} { r l r l } & { } & { a _ { k } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \, \operatorname { t r } \, \sigma ^ { k } \, M ~ . } \end{array} } } \\ { \therefore ~ ~ 2 \, M } & { = I \, \operatorname { t r } \, M + \sum _ { k } \sigma ^ { k } \, \operatorname { t r } \, \sigma ^ { k } M ~ , } \end{array} }
\frac { \delta \rho } { \rho } = \frac { a ( \eta = 0 ) ^ { 2 } } { 9 a ^ { 2 } } \left\{ \left[ \ell ( \ell + 2 ) - 3 \right] \left( \lambda + \mu \right) + 3 \frac { a ^ { \prime } \mu ^ { \prime } } { a } \right\} Q
\begin{array} { r l } { \sum _ { k > n _ { a } ^ { + } } h _ { a } u _ { a } ( k h _ { a } ) } & { \leq \int _ { n _ { a } ^ { + } } ^ { \infty } h _ { a } w _ { a } ( x h _ { a } ) \, e ^ { - \alpha _ { a } ( x h _ { a } ) s } \, \mathrm { d } x = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } \sqrt [ 4 ] { a } } \int _ { n _ { a } ^ { + } h _ { a } } ^ { \infty } \Bigl ( 1 - 2 e ^ { \frac { x } { 2 } } F \bigl ( e ^ { \frac { x } { 2 } } \bigr ) \Bigr ) e ^ { \frac { x } { 2 } - c e ^ { x } } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } \sqrt [ 4 ] { a } } \left( \sqrt { \pi } \frac { \sqrt { c } } { c + 1 } \operatorname { e r f c } \Bigl ( \sqrt { c } e ^ { \frac { n _ { a } ^ { + } h _ { a } } { 2 } } \Bigr ) - \frac { 2 } { c + 1 } e ^ { - c e ^ { n _ { a } ^ { + } h _ { a } } } F \Bigl ( e ^ { \frac { n _ { a } ^ { + } h _ { a } } { 2 } } \Bigr ) \right) } \\ & { \leq \frac { \sqrt { s } } { s + \sqrt { a } } \operatorname { e r f c } \biggl ( \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { a } } e ^ { \frac { n _ { a } ^ { + } h _ { a } } { 2 } } \biggr ) < \delta \frac { \sqrt { s } } { s + \sqrt { a } } } \end{array}
\mathbf { x } _ { \mathrm { i + 1 } } = \mathbf { x } _ { \mathrm { i } } + { \frac { \mathbf { F } ( \mathbf { x } _ { \mathrm { i } } ) } { | \mathbf { F } ( \mathbf { x } _ { \mathrm { i } } ) | } } d s
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { \mathcal { S } } } \\ { \vec { \mathbf S } } \\ { 1 } \end{array} \right] } & { { } = \left( \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { A _ { 1 } } \otimes \mathbf { 1 } + \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { A _ { 1 } } } & { \vec { \mathbf c } \otimes \mathbf { 1 } + \mathbf { 1 } \otimes \vec { \mathbf c } } & { \mathbf 0 } \\ { \mathbf 0 } & { \mathbf { A _ { 1 } } } & { \vec { \mathbf c } } \\ { \mathbf 0 } & { \mathbf 0 } & { 0 } \end{array} \right] \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \frac { N _ { z } } { B ^ { 2 } } \bigg \rangle - \bigg \langle \frac { B ^ { 2 } } { N _ { z } } \bigg \rangle ^ { - 1 } } & { { } = 2 \epsilon ( \epsilon + \delta ) + \frac { \delta ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { 1 - \Bigg \langle \frac { B ^ { 2 } } { N _ { z } } \Bigg \rangle } & { { } = \epsilon \delta + \frac { \delta ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array}
\underset { t \rightarrow \infty } { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } \, \tilde { h } _ { 0 } ( t ) = \frac { \bar { \tau } ( \tilde { h } _ { x } ^ { 2 } + \tilde { h } _ { y } ^ { 2 } ) t } { F ^ { 2 } ( \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } ) } + \tilde { h } _ { 0 } ( 0 ) ,
\begin{array} { r l } { { \scriptstyle \hat { S } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } } } & { { \scriptstyle = g - b ^ { ( 0 ) } \coth ( ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) h ) ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) + \tau ^ { ( 0 ) } ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { { \scriptstyle = \frac { g } { k } \left( k + \frac { k ^ { 2 } - 1 } { \coth ( k h ) - k \coth ( h ) } \coth ( ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) h ) ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) + \frac { \coth ( h ) - k \coth ( k h ) } { \coth ( k h ) - k \coth ( h ) } ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) ^ { 2 } \right) . } } \end{array}
\frac { 1 } { \alpha ^ { \mu } ( \omega ) } \mathbf { p } _ { n } ^ { \mu } = \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ( \mathbf { R } _ { n } ^ { \mu } ) + \sideset { } { ' } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { \nu = 1 } ^ { M } \frac { k ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } } \hat { \mathbf { G } } ( \mathbf { R } _ { n } ^ { \mu } , \mathbf { R } _ { m } ^ { \nu } ) \mathbf { p } _ { m } ^ { \nu } \, .
\Delta N _ { \ell } = \frac { \left( \tau _ { 2 1 } ^ { ( \ell ) } - \tau _ { 1 0 } ^ { ( \ell ) } \right) \Gamma _ { \mathrm { ~ p ~ u ~ m ~ p ~ } } ^ { ( \ell ) } } { 1 + \left( \tau _ { 3 2 } ^ { ( \ell ) } + \tau _ { 2 1 } ^ { ( \ell ) } + \tau _ { 1 0 } ^ { ( \ell ) } \right) \Gamma _ { \mathrm { ~ p ~ u ~ m ~ p ~ } } ^ { ( \ell ) } } \bar { N } _ { 0 } ^ { ( \ell ) } , \qquad \ell = 1 , 2
\begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { w } } _ { L } ^ { ( k ) } } & { = ( T _ { L } + P _ { L } U _ { L } ^ { - 1 } D _ { L } ) \bar { \mathbf { w } } _ { L } ^ { ( k - 1 ) } + P _ { L } U _ { L } ^ { - 1 } E _ { L } \bar { \mathbf { w } } _ { R } ^ { ( k - 1 ) } , } \\ { \bar { \mathbf { w } } _ { R } ^ { ( k ) } } & { = ( T _ { R } + P _ { R } U _ { R } ^ { - 1 } D _ { R } ) \bar { \mathbf { w } } _ { r } ^ { ( k - 1 ) } + P _ { R } U _ { R } ^ { - 1 } E _ { R } \bar { \mathbf { w } } _ { L } ^ { ( k - 1 ) } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \frac { 1 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 4 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 4 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { - \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \tau _ { t } \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t - 1 } ) + \eta _ { t } \mathrm { K L } ( p _ { t } \| p _ { t - 1 } ) + \mu _ { t } \iint ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t - 1 } - q _ { t } ) ( y ) d x d y \right] } \\ { \leq } & { - \sum _ { t = 2 } ^ { k } \left[ \gamma _ { t } \tau _ { t } \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t - 1 } ) + \gamma _ { t - 1 } \eta _ { t - 1 } \mathrm { K L } ( p _ { t - 1 } \| p _ { t - 2 } ) - \gamma _ { t } \mu _ { t } \| p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } \| _ { T V } \| q _ { t - 1 } - q _ { t } \| _ { L ^ { 1 } } \right] } \\ & { - \gamma _ { k } \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) } \\ { \leq } & { - \gamma _ { k } \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) , } \end{array}
\sum _ { j = d , s , b } \; \left( | \mathbf { V } _ { \! u j } | ^ { 2 } \, + \, | \mathbf { V } _ { \! c j } | ^ { 2 } \right) \; = \; 2 . 0 3 9 \pm 0 . 0 2 5 \; .