harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { { 2 } T } & { = 2 \pi { \sqrt { \frac { \ell } { g } } } \left( 1 + \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { \frac { \theta _ { 0 } } { 2 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 } } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 4 } { \frac { \theta _ { 0 } } { 2 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 } } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 6 } { \frac { \theta _ { 0 } } { 2 } } + \cdots \right) } \\ & { = 2 \pi { \sqrt { \frac { \ell } { g } } } \cdot \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \left( { \frac { ( 2 n ) ! } { ( 2 ^ { n } \cdot n ! ) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \cdot \sin ^ { 2 n } { \frac { \theta _ { 0 } } { 2 } } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { e ^ { \alpha | x | ^ { 2 } } D ^ { 2 } \psi ( x ) } & { = - 4 \alpha ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { x _ { 1 } ^ { 2 } } & { x _ { 1 } x _ { 2 } } & { \dots } & { x _ { 1 } x _ { n } } \\ { x _ { 2 } x _ { 1 } } & { x _ { 2 } ^ { 2 } } & { \dots } & { x _ { 2 } x _ { n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { x _ { n } x _ { 1 } } & { \dots } & { \dots } & { x _ { n } ^ { 2 } } \end{array} \right) + 2 \alpha \mathrm { I d } } \\ & { = 2 \alpha \mathrm { I d } - 4 \alpha ^ { 2 } x x ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \underline { { { 1 0 } } } _ { 1 } ( { \bf + 2 } ) } } & { { \underline { { { 1 0 } } } _ { 2 } ( { \bf + 1 } ) } } & { { \underline { { { 1 0 } } } _ { 3 } ( { \bf 0 } ) } } \\ { { \underline { { { 5 } } } _ { 1 } ^ { * } ( { \bf 0 } ) } } & { { \underline { { { 5 } } } _ { 2 } ^ { * } ( { \bf 0 } ) } } & { { \underline { { { 5 } } } _ { 3 } ^ { * } ( { \bf 0 } ) } } \\ { { \underline { { { 1 } } } _ { 1 } ( { \bf 0 } ) } } & { { \underline { { { 1 } } } _ { 2 } ( { \bf 0 } ) } } & { { \underline { { { 1 } } } _ { 3 } ( { \bf 0 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \left| \mathfrak { H } ^ { T } ( s , x ; t + \beta , y ) - \mathfrak { H } ^ { T } ( s , x ; t , y ) \right| \geq K \beta ^ { 1 / 8 } \right) } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \left( \left| \mathfrak { H } ^ { T } ( 0 , 0 ; \tau + \beta , z ) - \mathfrak { H } ^ { T } ( 0 , 0 ; \tau , ( \tau + \beta ) ^ { - 1 } \tau z ) \right| \geq 2 ^ { - 1 } K \beta ^ { 1 / 8 } \right) } \\ & { + \mathbb { P } \left( \left| \mathfrak { H } ^ { T } ( 0 , 0 ; \tau , ( \tau + \beta ) ^ { - 1 } \tau z ) - \mathfrak { H } ^ { T } ( 0 , 0 ; \tau , z ) \right| \geq 2 ^ { - 1 } K \beta ^ { 1 / 8 } \right) . } \end{array}
H _ { \mathrm { 1 - q u b i t } } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { E _ { R } } { 2 } } & { \sqrt { \frac { \pi } { 1 2 8 } } ( U _ { 0 } + U _ { 1 } \cos ( ( E _ { R } + \Delta ) t ) ) } \\ { \sqrt { \frac { \pi } { 1 2 8 } } ( U _ { 0 } + U _ { 1 } \cos ( ( E _ { R } + \Delta ) t ) ) } & { - \frac { E _ { R } } { 2 } } \end{array} \right] ,
F ( \theta ) = { \frac { ( \sin ^ { n _ { 1 } - 1 } \theta ) ( \cos ^ { n _ { 2 } - 1 } \theta ) } { { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { B } ( { \frac { n _ { 1 } } { 2 } } , { \frac { n _ { 2 } } { 2 } } ) } } \, d \theta .
\begin{array} { r l } { \underset { v , r } { \mathrm { m i n } } \quad } & { \begin{array} { r l } { [ t ] } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \rho ( t , x ) \big ( \left\lVert v ( t , x ) \right\rVert ^ { 2 } } \\ & { + \alpha \chi ( t , x ) r ( t , x ) ^ { 2 } \big ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { + \beta \int _ { \Omega } ( \rho ( T , x ) - \rho _ { 1 } ^ { i m g } ( x ) ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \end{array} } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho v ) = \sigma \Delta \rho + \chi \rho r , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ^ { i m g } ( x ) } \end{array}
\mu = \frac { \Omega ^ { 2 } + 3 } { 2 c - \Omega } , \; \ \nu = \frac { 1 } { 2 c - \Omega } \left( \frac { c ^ { 2 } } { 3 } - B \right) , \; \ \gamma = - \frac { F _ { E } ^ { 2 } } { 2 c - \Omega } .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { V a r } [ f ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { * } ) ] \le \mathbb { E } [ \nabla _ { \mathbf { x } } f ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { * } ) ^ { T } \mathbf { \Omega } \nabla _ { \mathbf { x } } f ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { * } ) ^ { * } ] } \\ & { + \mathbb { E } [ \nabla _ { \mathbf { x } ^ { * } } f ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { * } ) ^ { H } \mathbf { \Omega } \nabla _ { \mathbf { x } ^ { * } } f ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { * } ) ] , } \end{array}
I ( \omega ) = K \omega _ { I } \omega _ { s } ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 1 } { \mathcal { Z } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \! d t \, e ^ { - j \omega t } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \! d x \, \left< x \middle | e ^ { - \beta \widehat { H _ { a } } } \left( \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger } ( \omega _ { I } ) + \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger * } ( - \omega _ { I } ) \right) e ^ { \frac { j } { \hbar } t \widehat { H _ { a } } } \left( \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) + \widehat { \mathcal { P } } ^ { * } ( - \omega _ { I } ) \right) e ^ { - \frac { j } { \hbar } t \widehat { H _ { a } } } \middle | x \right>
{ \frac { M _ { 1 2 } - M _ { 2 1 } } { 1 - M _ { 1 1 } } } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { E X _ { o e } E ^ { - 1 } } } \\ { { E ^ { - 1 } X _ { e o } E } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
{ \mathcal P } ( \cdot ) = | 1 \rangle \langle 1 | \hat { \rho } _ { b , 1 } T r \left\{ | 1 \rangle \langle 1 | ( \cdot ) \right\} + | 2 \rangle \langle 2 | \hat { \rho } _ { b , 2 } T r \left\{ | 2 \rangle \langle 2 | ( \cdot ) \right\} ,
\hat { F } ( \lambda ) = e ^ { \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } - \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } e ^ { \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } } & { = \bigcup _ { i = 1 } ^ { N } ( \varphi _ { { \boldsymbol { X } } _ { i } } ( \mathcal { U } _ { { \boldsymbol { X } } _ { i } } ) \cap \mathcal { K } ) } \\ & { = \bigcup _ { i = 1 } ^ { N } \varphi _ { i } ( \mathcal { U } _ { i } ) } \\ & { = \bigcup _ { i = 1 } ^ { N } \varphi _ { i } ( \overline { { \mathcal { U } } } _ { i } ) , } \end{array}
g ^ { - 1 } = - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \kappa ^ { \frac { 2 } { 3 } } } { f } } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { \epsilon + \chi \psi } } & { { - 2 \sqrt 2 \psi } } \\ { { \epsilon + \chi \psi } } & { { f ^ { 2 } + ( \epsilon + \chi \psi ) ^ { 2 } - f \chi ^ { 2 } \kappa ^ { - 2 } } } & { { 2 \sqrt 2 [ f \chi \kappa ^ { - 2 } - \psi ( \epsilon + \chi \psi ) ] } } \\ { { - 2 \sqrt 2 \psi } } & { { 2 \sqrt 2 [ f \chi \kappa ^ { - 2 } - \psi ( \epsilon + \chi \psi ) ] } } & { { - 8 ( f \kappa ^ { - 2 } - \psi ^ { 2 } ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \dot { \rho } _ { r } ^ { \langle \mu \nu \rangle } } & { = } & { C _ { r - 1 } ^ { \langle \mu \nu \rangle } + 2 \alpha _ { r } ^ { ( 2 ) } \sigma ^ { \mu \nu } + \frac { 2 } { 1 5 } \left[ ( r - 1 ) m ^ { 4 } \rho _ { r - 2 } - ( 2 r + 3 ) m ^ { 2 } \rho _ { r } + ( r + 4 ) \rho _ { r + 2 } \right] \sigma ^ { \mu \nu } + r \rho _ { r - 1 } ^ { \mu \nu \lambda } \dot { u } _ { \lambda } + } \\ & { + } & { \frac { 2 } { 5 } \left[ r m ^ { 2 } \rho _ { r - 1 } ^ { \langle \mu } - ( r + 5 ) \rho _ { r + 1 } ^ { \langle \mu } \right] \dot { u } ^ { \nu \rangle } - \frac { 2 } { 5 } \nabla ^ { \langle \mu } \left( m ^ { 2 } \rho _ { r - 1 } ^ { \nu \rangle } - \rho _ { r + 1 } ^ { \nu \rangle } \right) + 2 \rho _ { r } ^ { \lambda \langle \mu } \omega ^ { \nu \rangle } _ { \lambda } + ( r - 1 ) \rho _ { r - 2 } ^ { \mu \nu \alpha \beta } \sigma _ { \alpha \beta } + } \\ & { + } & { \frac { 2 } { 7 } \left[ ( 2 r - 2 ) m ^ { 2 } \rho _ { r - 2 } ^ { \lambda \langle \mu } - ( 2 r + 5 ) \rho _ { r } ^ { \lambda \langle \mu } \right] \sigma _ { \lambda } ^ { \nu \rangle } + \frac { 1 } { 3 } \left[ ( r - 1 ) m ^ { 2 } \rho _ { r - 2 } ^ { \mu \nu } - ( r + 4 ) \rho _ { r } ^ { \mu \nu } \right] \theta - \Delta _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } \nabla _ { \lambda } \rho _ { r - 1 } ^ { \alpha \beta \lambda } . } \end{array}
f ( \nu ) = - i e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { n } k } { { ( 2 \pi ) } ^ { n } } \, p _ { \alpha } D _ { F } ^ { \alpha \beta } ( k ) p _ { \beta } \int _ { 0 } ^ { \nu } d \nu ^ { \prime } \, \int _ { 0 } ^ { \nu ^ { \prime } } d \nu ^ { \prime \prime } \, e ^ { i \nu ^ { \prime \prime } ( k . p ) } \, \, .
{ \mathcal P } _ { \mathcal M } ^ { c } ( t ) : = \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \phi ( d ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } , \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ) ) \| P _ { i j } \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j } - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } \| _ { \scriptsize \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } ^ { 2 } + \displaystyle \frac { \kappa _ { 1 } } { 4 N } \sum _ { \substack { j , i = 1 \, i \neq j } } ^ { N } \left( \frac { d } { d t } d ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } , \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ) \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \langle \Theta , \Phi | \mathrm { B l o c h } \rangle } & { = } & { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \Phi } { 2 } } \cos ( \Theta / 2 ) \langle m | \mathrm { B l o c h } \rangle } \\ & { } & { + \mathrm { e } ^ { + i \frac { \Phi } { 2 } } \sin ( \Theta / 2 ) \langle - m | \mathrm { B l o c h } \rangle } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \Phi / 2 } \cos ( \Theta / 2 ) \ } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \Phi / 2 } \sin ( \Theta / 2 ) \ } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathbf { n } = { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial x } } \times { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial y } } = \left( 1 , 0 , { \frac { \partial f } { \partial x } } \right) \times \left( 0 , 1 , { \frac { \partial f } { \partial y } } \right) = \left( - { \frac { \partial f } { \partial x } } , - { \frac { \partial f } { \partial y } } , 1 \right) ;
0 = C _ { + } ( j _ { 1 } , m _ { 1 } - 1 ) \langle j _ { 1 } \, ( m _ { 1 } - 1 ) \, j _ { 2 } \, m _ { 2 } | J \, J \rangle + C _ { + } ( j _ { 2 } , m _ { 2 } - 1 ) \langle j _ { 1 } \, m _ { 1 } \, j _ { 2 } \, ( m _ { 2 } - 1 ) | J \, J \rangle
\begin{array} { r l r } { \kappa ^ { ( { \bf I } ) } ( \lambda ) } & { = } & { 1 7 2 8 \cot \left( \frac { \pi } { 4 } + \frac { \pi \lambda } { 1 2 } \right) } \\ & { \times } & { \frac { \Gamma \left( \frac { 7 } { 1 2 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 6 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 3 } { 1 2 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 3 } { 2 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 7 } { 1 2 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 6 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( - \frac { 1 } { 3 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 1 2 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { E _ { x } ^ { \prime } } & { = E _ { x } } & { \qquad B _ { x } ^ { \prime } } & { = B _ { x } } \\ { E _ { y } ^ { \prime } } & { = \gamma \left( E _ { y } - v B _ { z } \right) } & { B _ { y } ^ { \prime } } & { = \gamma \left( B _ { y } + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } E _ { z } \right) } \\ { E _ { z } ^ { \prime } } & { = \gamma \left( E _ { z } + v B _ { y } \right) } & { B _ { z } ^ { \prime } } & { = \gamma \left( B _ { z } - { \frac { v } { c ^ { 2 } } } E _ { y } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { I ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { 2 4 0 i \pi ^ { 2 } } { 4 0 m _ { \mathrm { H } } ^ { 8 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s d u d v \delta ( x + y + r + s + u + v - 1 ) \frac { 1 } { ( u + v ) ^ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \varepsilon ( t ) - \varepsilon ( t + h ) } { h } \left\langle x _ { \varepsilon ( t + h ) , \lambda ( t + h ) } , \frac { x _ { \varepsilon ( t + h ) , \lambda ( t + h ) } - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } } { h } \right\rangle \ \geq \ \varepsilon ( t ) \left\| \frac { x _ { \varepsilon ( t + h ) , \lambda ( t + h ) } - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } } { h } \right\| ^ { 2 } } \\ & { + \ \left\langle \frac { \nabla \Phi _ { \lambda ( t + h ) } ( x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ) - \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ) } { h } , \frac { x _ { \varepsilon ( t + h ) , \lambda ( t + h ) } - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } } { h } \right\rangle . } \end{array}
+ \frac { G _ { F } m _ { Z } ^ { 3 } } { 8 \sqrt { 2 } \pi } \left( \sum _ { q = 1 } ^ { 5 } ( 2 I _ { q } ^ { ( 3 ) } - 4 Q _ { q } s _ { W } ^ { 2 } ) \right) ^ { 2 } \left[ - . 4 1 3 1 8 \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) ^ { 3 } \right]
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \chi ( \omega _ { p } ) } & { { } = } & { \frac { \rho _ { N } \left| \boldsymbol d _ { 1 , 2 } \right| ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } \hbar \Omega _ { p } } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \; \frac { c _ { 1 } } { c _ { 2 } + i \sigma \Gamma ( - i c _ { 2 } / \sigma ) } , } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \int d ^ { 2 } \theta \; \left( y _ { u } ^ { \prime } { \cal U } _ { Q ^ { \prime } } { \cal U } _ { U ^ { \prime } } ^ { c } H _ { u } + y _ { d } ^ { \prime } { \cal D } _ { Q } { \cal D } _ { D } ^ { c } H _ { d } + \cdots \right) + \mathrm { h . c . } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \frac { \partial { \mathcal N } ( a , t ) ) } { \partial a } + \frac { \partial { \mathcal N } ( a , t ) } { \partial t } + \delta ( a ) { \mathcal N } ( 0 , t ) \right] \int _ { 0 } ^ { \epsilon } { \mathrm e } ^ { - U ^ { \epsilon } ( x ) / k _ { B } T } d x } \\ & { } & { = \gamma ^ { - 1 } \left[ \partial _ { x } U ^ { \epsilon } ( \epsilon ) Q ( \epsilon , a , t ) - \partial _ { x } U ^ { 0 } ( \epsilon ) Q ( 0 , a , t ) \right] } \\ & { } & { \quad + D \partial _ { x } Q ( \epsilon , a , t ) - D \partial _ { x } Q ( 0 , a , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \alpha A _ { n + 1 } ^ { ( q ) } + \beta B _ { n } ^ { ( q ) } \right) X = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { ( ( q - 1 ) \alpha + \beta ) B _ { n - 1 } ^ { ( q ) } ( X ^ { 1 } + X ^ { 2 } ) = 0 } \\ { - q \alpha B _ { n - 1 } ^ { ( q ) } X ^ { 1 } + ( ( q - 1 ) \alpha + \beta ) A _ { n } ^ { ( q ) } X ^ { 2 } = 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { A } _ { n } = \frac { \partial \mathbf { H } } { \partial \mathbf { U } } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } = ( \frac { \partial \mathbf { f } } { \partial \mathbf { U } } - \omega _ { 1 } \mathbf { I } , \frac { \partial \mathbf { g } } { \partial \mathbf { U } } - \omega _ { 2 } \mathbf { I } ) \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } ,
\mathbb { L } _ { \mathrm { C D C } ^ { + } } = \{ \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathrm { ~ \ensuremath ~ { ~ \mathbb ~ { ~ L ~ } ~ } ~ } : r _ { D } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ) \in \mathbb { L } _ { \mathrm { C D C } ^ { - } } \} .
\Omega _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { I _ { d } } } & { { \gamma } } \\ { { 0 } } & { { I _ { d } } } \end{array} \right) \quad \Omega _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { I _ { d } } } & { { 0 } } \\ { { \alpha } } & { { I _ { d } } } \end{array} \right) \quad \Omega _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { { A ^ { - 1 } } ^ { T } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { A } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { P \big ( \{ x \} , \{ f \} \big ) } & { = \int D \hat { x } D \hat { f } \prod _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \exp \Big \{ i \int d t \Big [ \hat { x } \big ( \partial _ { t } + 1 \big ) x + i \sigma ^ { 2 } \hat { x } ^ { 2 } - \hat { x } \, \mathrm { t a n h } ( f ) + \hat { f } \big ( f - m _ { * } \hat { \mu } ( \tau ) - \tilde { h } \big ) \Big ] \right. } \\ & { - \left. \alpha \int d t d t ^ { \prime } \Big [ \tilde { \lambda } ( \tau ) ^ { 2 } \frac { C ( t , t ^ { \prime } ) } { 2 } \hat { f } ( t ) \hat { f } ( t ^ { \prime } ) + i \gamma _ { 0 } G ( t ^ { \prime } , t ) x ( t ) \hat { f } ( t ^ { \prime } ) \Big ] \Big \} \right] } \\ & { = \int D \eta \prod _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta \big ( f - m _ { * } \hat { \mu } ( \tau ) - \alpha \gamma _ { 0 } \int d t ^ { \prime } G ( t , t ^ { \prime } ) x ( t ^ { \prime } ) - \eta - \tilde { h } \big ) \delta \Big [ \big ( \partial _ { t } + 1 \big ) x - \, \mathrm { t a n h } ( f ) - \xi \Big ] \right. } \\ & { \times \int D \hat { f } \left. \exp \Big \{ - \alpha \int d t d t ^ { \prime } \tilde { \lambda } ( \tau ) ^ { 2 } \frac { C ( t , t ^ { \prime } ) } { 2 } \hat { f } ( t ) \hat { f } ( t ^ { \prime } ) + i \int d t \hat { f } ( t ) \eta ( t ) \Big \} \right] } \\ & { = \int D \eta P ( \eta ) \prod _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta \big ( f - m _ { * } \hat { \mu } ( \tau ) - \alpha \gamma _ { 0 } \int d t ^ { \prime } G ( t , t ^ { \prime } ) x ( t ^ { \prime } ) - \eta - \tilde { h } \big ) \delta \Big [ \big ( \partial _ { t } + 1 \big ) x - \, \mathrm { t a n h } ( f ) - \xi \Big ] \right] } \end{array}
\int d ^ { 2 } z \frac { ( z - z _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } ( - i ) \partial ^ { 2 } \alpha _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } z \frac { ( z - z _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \frac { 1 } { ( z - z _ { i } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } z \frac { 1 } { | z - z _ { i } | ^ { 3 } }
S _ { i , k } ^ { T } = 1 - \frac { \sum _ { \boldsymbol { \alpha } \in \mathcal { A } _ { i = 0 } ^ { \star } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \prime } } \phi _ { k j } \, a _ { j , \boldsymbol { \alpha } } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { \boldsymbol { \alpha } \in \mathcal { A } ^ { \star } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \prime } } \phi _ { k j } \, a _ { j , \boldsymbol { \alpha } } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { T ^ { \frac { 3 } { 2 } } \geq \frac { \rho } { C \| F ( t ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty } } } \geq \frac { C _ { 0 } e ^ { - \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t } } { C e ^ { \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t } \| F _ { 0 } \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty } } } \geq C M _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 2 \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t } . } \end{array}
{ \bf { y } } = { a _ { 1 } } \cdot { \bf { x } } + { a _ { 2 } } \cdot \sigma \left( { { \bf { w } } \cdot { \bf { x } } + { \bf { b } } } \right) \cdot { \left( { { g _ { \operatorname* { m a x } } } \times { \bf { m a s } } { { \bf { k } } _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) ^ { T } }
Q _ { 2 } ( e , M ) = \pi _ { i } { e ^ { i } } _ { \alpha } \lambda ^ { \alpha } + i E _ { \alpha i j } \lambda ^ { \alpha } \psi ^ { i } \psi ^ { j } - \frac { i } { 3 } M _ { \alpha \beta \gamma } \lambda ^ { \alpha } \lambda ^ { \beta } \lambda ^ { \gamma } \quad .
\begin{array} { r l } { \dot { I } ^ { J _ { 2 } } } & { = \frac { 3 } { 2 } \, n _ { \mathrm { b } } \, J _ { 2 } \, \left( \frac { R } { p } \right) ^ { 2 } \, \left[ \cos \delta \cos \eta \, \left( - \cos I \, \sin \delta + \cos \delta \, \sin I \, \sin \eta \right) \right] , } \\ { \dot { \Omega } ^ { J _ { 2 } } } & { = - \frac { 3 } { 2 } \, n _ { \mathrm { b } } \, J _ { 2 } \, \left( \frac { R } { p } \right) ^ { 2 } \, \csc I \, \left( \sin I \, \sin \delta + \cos I \, \cos \delta \, \sin \eta \right) \, \left( \cos I \, \sin \delta - \cos \delta \, \sin I \, \sin \eta \right) , } \\ { \dot { \omega } ^ { J _ { 2 } } } & { = - \frac { 3 } { 8 } \, n _ { \mathrm { b } } \, J _ { 2 } \, \left( \frac { R } { p } \right) ^ { 2 } \, \left[ - 4 + \left( 1 - 5 \, \cos 2 I \right) \, \sin ^ { 2 } \delta + \left( 3 - 5 \, \cos 2 I \right) \, \cot I \, \sin 2 \delta \, \sin \eta + \right. } \\ & { \left. + 2 \, \cos ^ { 2 } \delta \, \left( 3 \, \cos ^ { 2 } \eta + 5 \, \cos ^ { 2 } I \, \sin ^ { 2 } \eta \right) \right] . } \end{array}
S = - \sum { \mathrm { T r } ( { { U } _ { \mu } { U } _ { \nu } { U } _ { \mu } ^ { \dagger } { U } _ { \nu } ^ { \dagger } } ) } + \frac { i } { 2 } \mathrm { T r } { { \bar { \psi } } { \Gamma ^ { \mu } } ( U _ { \mu } \psi U _ { \mu } ^ { \dagger } - U _ { \mu } ^ { \dagger } \psi U _ { \mu } ) } ,
\begin{array} { r } { \frac { d } { d y ^ { + } } \left( \frac { d \overline { { U ^ { + } } } } { d y ^ { + } } - ( \overline { { u v } } ) ^ { + } \right) = - \frac { \partial \overline { { P ^ { + } } } } { \partial x ^ { + } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a a } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } - \Gamma _ { 1 } \Tilde { \rho } _ { a a } + \frac { \Gamma _ { e } \Tilde { \rho } _ { e e } } { 3 } } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a b } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } - \frac { \Tilde { \rho } _ { a b } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { c } ) } \\ { \dot { \Tilde { \rho } } _ { a c } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a b } - \frac { \Tilde { \rho } _ { a c } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { c } ) } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a e } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { e e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a a } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a b } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { a c } } \\ { \dot { \Tilde { \rho } } _ { b b } } & { { } = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } - \Gamma _ { 2 } \Tilde { \rho } _ { b b } + \frac { \Gamma _ { 4 } \Tilde { \rho } _ { e e } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { e } ) } \end{array}
A ^ { \prime } ( s ) = C _ { 9 } ^ { \mathrm { e f f } } ( s ) f _ { + } ^ { K , \eta } ( s ) + \frac { 2 m _ { b } } { m _ { B } + m _ { K , \eta } } C _ { 7 } ^ { \mathrm { e f f } } f _ { T } ^ { K , \eta } ( s )
Z _ { j } = 1 - \frac { 1 } { \epsilon } \Bigg ( \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \xi _ { j } ^ { ( 0 ) } ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \xi _ { j } ^ { ( 1 ) } ( x ) + \ldots \Bigg ) + O \left( \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } \right) \; .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { \i } \partial _ { t } \psi ( \mathbf { x } , t ) = - \frac { 1 } { 2 } \Delta \psi ( \mathbf { x } , t ) + V ( \mathbf { x } ) \psi ( \mathbf { x } , t ) + \beta | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } \psi ( \mathbf { x } , t ) , } \\ & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } d \mathbf { x } = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { A b } } & { { } = M _ { 0 } \cos \alpha , } \\ { M _ { A b } ^ { 2 } } & { { } = M _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \alpha = M _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - \sin ^ { 2 } \alpha ) , } \\ { \left\langle { M _ { A b } } \right\rangle } & { { } \approx M _ { 0 } - \frac { M _ { 0 } } { 2 } \left\langle { \sin ^ { 2 } \alpha } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \log L _ { n } ( U _ { n 1 } , \ldots , U _ { n n } ) } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \log \left( 1 + \frac { h ( U _ { n j } ) } { \sqrt { n } } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left\{ \frac { h ( U _ { n j } ) } { \sqrt { n } } - \frac { h ^ { 2 } ( U _ { n j } ) } { 2 n } + R _ { n , j } \right\} , } \end{array}