harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \operatorname* { i n f } _ { \omega \in \mathcal R _ { \geq \rho } ( \Sigma ) } u ( r \omega ) \right) \int _ { \Omega } \varphi _ { \Omega } \, d \mu _ { \Sigma } ( \omega ) } & { \leq V ( r ) } \\ & { \leq r ^ { \kappa _ { n } ^ { * } } V ( 1 ) } \\ & { \leq r ^ { \kappa _ { n } ^ { * } } \left( \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \mathcal R _ { \geq \rho } ( \Sigma ) } u ( \omega ) \right) \int _ { \Omega } \varphi _ { \Omega } \, d \mu _ { \Sigma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } \wedge d ( \partial \phi ) = } & { \big \langle \ast \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } , d ( \partial \phi ) \big \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) \wedge \partial \phi _ { \partial } . } \end{array}
A ^ { \pm } = - i \sqrt { 2 } \cdot \alpha \left( x \right) \cdot e ^ { \pm \xi \left( x \right) } \left[ \sinh \rho _ { \frac { s } { 2 } } \left( x \right) \cosh \frac { i } { 2 } \frac { d } { d x } \mp \cosh \rho _ { \frac { s } { 2 } } \left( x \right) \sinh \frac { i } { 2 } \frac { d } { d x } \right]
\begin{array} { r l r } { \dot { \theta } _ { i } ^ { \sigma } } & { } & { = \omega _ { i } ^ { \sigma } + \frac { k _ { \sigma } } { N _ { \sigma } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \sigma } } \sin { \left( \theta _ { j } ^ { \sigma } - \theta _ { i } ^ { \sigma } - \beta _ { \sigma \sigma } \right) } + \frac { \mu } { N _ { \sigma ^ { \prime } } } \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { \sigma ^ { \prime } } } \sin { \left( \theta _ { l } ^ { \sigma ^ { \prime } } - \theta _ { i } ^ { \sigma } - \beta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \right) } , } \\ { \dot { \zeta } _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } } & { } & { = \varepsilon g ( R _ { \sigma } , R _ { \sigma ^ { \prime } } , \zeta _ { \sigma \sigma } , \zeta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \left[ \begin{array} { c } { 2 } \\ { 2 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 2 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { w i t h } \qquad } & { { } \Delta = \big ( ( c _ { g } - u _ { | | } ) ^ { 2 } - c _ { s , i } ^ { 2 } \big ) n _ { e , 0 } + \big ( ( c _ { g } - v _ { | | } ) ^ { 2 } - c _ { s , e } ^ { 2 } \big ) n _ { i , 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathbf { v } _ { e h } } { \partial t } + ( \mathbf { v } _ { e h } \cdot \triangledown ) \mathbf { v } _ { e h } - \overline { { ( \mathbf { v } _ { e h } \cdot \triangledown ) \mathbf { v } _ { e h } } } = - \frac { e } { m _ { e } } ( \mathbf { E } _ { h } + \mathbf { v } _ { e h } \times \mathbf { B _ { r } } ) - \frac { \triangledown p _ { e h } } { n _ { e } m _ { e } } - \frac { \triangledown \cdot { \bf \Pi } _ { e h } } { n _ { e } m _ { e } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \ddot { y } = \frac { C _ { f } \rho _ { g } U _ { \infty } ^ { 2 } } { C _ { b } \rho _ { l } R _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { C _ { k } \sigma } { \rho _ { l } R _ { 0 } ^ { 3 } } y - \frac { C _ { d } \mu _ { l } } { \rho _ { l } R _ { 0 } ^ { 3 } } \dot { y } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( x ) } & { = x ^ { \pi } } \\ { f _ { 2 } ( x ) } & { = c ^ { x } } \\ { f _ { 3 } ( x ) } & { = x ^ { x } } \\ { f _ { 4 } ( x ) } & { = x ^ { \frac { 1 } { x } } = { \sqrt [ { x } ] { x } } } \\ { f _ { 5 } ( x ) } & { = \log _ { c } x } \\ { f _ { 6 } ( x ) } & { = \sin { x } } \end{array} }
M _ { g } ( Q ^ { 2 } ) = C \left( \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) \right) ^ { \gamma _ { 1 } } \exp \left[ 2 \gamma _ { 0 } \sqrt { \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } ) } \right] ~ ~ ,
s i n \frac { \delta } { 2 } = \sqrt { \frac { s i n ^ { 2 } \theta _ { 1 } + s i n ^ { 2 } \theta _ { 2 } + s i n ^ { 2 } \theta _ { 3 } - 2 ( 1 - c o s \theta _ { 1 } c o s \theta _ { 2 } c o s \theta _ { 3 } ) } { 2 ( 1 + c o s \theta _ { 1 } ) ( 1 + c o s \theta _ { 2 } ) ( 1 + c o s \theta _ { 3 } ) } }
{ \begin{array} { r l } { d _ { { \frac { 3 } { 2 } } , { \frac { 3 } { 2 } } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \cos \theta ) \cos { \frac { \theta } { 2 } } } \\ { d _ { { \frac { 3 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } & { = - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } ( 1 + \cos \theta ) \sin { \frac { \theta } { 2 } } } \\ { d _ { { \frac { 3 } { 2 } } , - { \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } & { = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } ( 1 - \cos \theta ) \cos { \frac { \theta } { 2 } } } \\ { d _ { { \frac { 3 } { 2 } } , - { \frac { 3 } { 2 } } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } & { = - { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - \cos \theta ) \sin { \frac { \theta } { 2 } } } \\ { d _ { { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( 3 \cos \theta - 1 ) \cos { \frac { \theta } { 2 } } } \\ { d _ { { \frac { 1 } { 2 } } , - { \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } & { = - { \frac { 1 } { 2 } } ( 3 \cos \theta + 1 ) \sin { \frac { \theta } { 2 } } } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { - 2 ( 3 + 4 ) a + 2 ( 1 + 2 0 \hat { \lambda } ) c - 2 e = ( 2 5 + 2 4 \hat { \lambda } ) R _ { p } } \\ { ( - 5 + 1 2 \hat { \lambda } ) a + 8 4 \hat { \lambda } b - 3 ( 1 - 8 \hat { \lambda } ) c - 1 4 d - 4 e = 3 ( 5 + 1 6 \hat { \lambda } ) R _ { p } } \\ { ( 1 + 2 0 \hat { \lambda } ) a - ( 5 - 1 2 \hat { \lambda } ) c - 2 e = - ( 3 - 5 2 \hat { \lambda } ) R _ { p } } \\ { - 4 ( 1 + 6 \hat { \lambda } ) a + 4 2 \hat { \lambda } b + 6 ( 1 - \hat { \lambda } ) c - 7 d + e = 6 ( 2 - 9 \hat { \lambda } ) R _ { p } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { d _ { 0 } ( p , q ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { \eta > 0 } d _ { \eta } ( p , q ) \leq \operatorname* { s u p } _ { \eta } [ d _ { \eta } ( p , r ) + d _ { \eta } ( r , q ) ] } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \eta > 0 } d _ { \eta } ( p , r ) + \operatorname* { s u p } _ { \eta } d _ { \eta } ( r , q ) = d _ { 0 } ( p , r ) + d _ { 0 } ( r , q ) , } \end{array}
F = i \frac { d g _ { 1 } \wedge d \overline { { { g } } } _ { 1 } } { ( 1 - g _ { 1 } \overline { { { g } } } _ { 1 } ) ^ { 2 } } - i \frac { d g _ { 2 } \wedge d \overline { { { g } } } _ { 2 } } { ( 1 + g _ { 2 } \overline { { { g } } } _ { 2 } ) ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 } ( R _ { 2 } ^ { 1 } + R _ { 4 } ^ { 3 } ) ~ .
\begin{array} { r l } & { \big \vert \langle G _ { 1 } A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } G _ { 2 } E _ { - } \rangle \big \vert \prec 1 + \int _ { \mathbf { B } _ { \ell \kappa _ { 0 } } } \frac { \big \vert \big \langle \big ( G ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) - M ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) \big ) A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } E _ { - } \big \rangle \big \vert } { \big \vert \big ( x - e _ { 1 } - \mathrm { i } ( \eta _ { 1 } - \tilde { \eta } ) \big ) \, \big ( x + e _ { 2 } - \mathrm { i } ( \eta _ { 2 } - \tilde { \eta } ) \big ) \big \vert } \mathrm { d } x } \\ { \prec } & { 1 + \int _ { \mathbf { B } _ { \ell \kappa _ { 0 } } } \frac { \big \vert \big \langle \big ( G ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) - M ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) \big ) \big ( A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } E _ { - } \big ) ^ { \circ _ { x + \mathrm { i } \tilde { \eta } , x + \mathrm { i } \tilde { \eta } } } \big \rangle \big \vert } { \big \vert \big ( x - e _ { 1 } - \mathrm { i } ( \eta _ { 1 } - \tilde { \eta } ) \big ) \, \big ( x + e _ { 2 } - \mathrm { i } ( \eta _ { 2 } - \tilde { \eta } ) \big ) \big \vert } \mathrm { d } x \, , } \end{array}
\begin{array} { c } { { \prod _ { i = 1 } ^ { p } \left[ b ^ { * ( \rho _ { i } ) } c ^ { * ( \sigma _ { i } ) } + b ^ { * ( \sigma _ { i } ) } c ^ { * ( \rho _ { i } ) } \right] \left[ 2 \partial _ { B } t _ { A , C _ { 1 } , . . . , C _ { p } } - { \frac { \delta } { \delta x ^ { \nu } } } \partial _ { B } ^ { \nu } t _ { A , C _ { 1 } , . . . , C _ { p } } - ( A \leftrightarrow B ) \right] = \nonumber } } \\ { { { \frac { 1 } { n - p + 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \prod _ { i \not = j } \left[ b ^ { * ( \rho _ { i } ) } c ^ { * ( \sigma _ { i } ) } + b ^ { * ( \sigma _ { i } ) } c ^ { * ( \rho _ { i } ) } \right] \left[ \left( \partial _ { C _ { j } } ^ { \rho _ { j } } \partial _ { B } ^ { \sigma _ { j } } + \partial _ { C _ { j } } ^ { \sigma _ { j } } \partial _ { B } ^ { \rho _ { j } } \right) t _ { A , C _ { 1 } , . . . , \hat { C _ { j } } , . . . , C _ { p } } - ( A \leftrightarrow B ) \right] \nonumber } } \\ { { \quad ( p = 0 , . . . , n ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ u \cdot \nabla _ { x } , \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } ] [ \mathfrak { h } ] ( t , x ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \mathbb R ^ { d } } u _ { i } ( t , x ) \partial _ { i } ( \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] ) ( t , x ) - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ ( u _ { i } \partial _ { i } \mathfrak { h } ) ] ( t , x ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \mathbb R ^ { d } } u _ { i } ( t , x ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { x } ( \partial _ { i } \mathfrak { h } ) ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot G ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \mathbb R ^ { d } } u _ { i } ( t , x ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { x } \mathfrak { h } ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \partial _ { i } G ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \partial _ { i } \mathfrak { h } ( s , x - ( t - s ) v ) \nabla _ { x } u _ { i } ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot G ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } u _ { i } ( s , x - ( t - s ) v ) \nabla _ { x } ( \partial _ { i } \mathfrak { h } ) ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot G ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s } \\ & { = \mathrm { K } _ { ( u \cdot \nabla _ { x } ) G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] ( t , x ) - \mathrm { K } _ { ( G \cdot \nabla _ { x } ) \widetilde { u } } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] ( t , x ) } \\ & { \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { x } ( \partial _ { i } \mathfrak { h } ) ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \Big ( ( u _ { i } ( t , x ) - \widetilde { u } _ { i } ( s , t , x , v ) ) G ( t , x , v ) \Big ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial V ^ { 2 } } \right) _ { T } } & { } & { = - \left( \frac { \partial P } { \partial V } \right) _ { T } = \frac { 1 } { V \kappa _ { T } } \geq 0 \Longleftrightarrow \kappa _ { T } > 0 \Longleftrightarrow \left( \frac { \partial P } { \partial V } \right) _ { T } \leqslant 0 , } \end{array}
( c ) \qquad | K ( x , y ) - K ( x , y ^ { \prime } ) | \leq { \frac { C | y - y ^ { \prime } | ^ { \delta } } { { \bigl ( } | x - y | + | x - y ^ { \prime } | { \bigr ) } ^ { n + \delta } } } { \mathrm { ~ w h e n e v e r ~ } } | y - y ^ { \prime } | \leq { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname* { m a x } { \bigl ( } | x - y ^ { \prime } | , | x - y | { \bigr ) }
\prod _ { i < j } ^ { N } ( y _ { i } - y _ { j } ) ^ { 4 } = \operatorname * { d e t } \left[ \begin{array} { c c c c c c } { { Q _ { 0 } ( y _ { 1 } ) } } & { { Q _ { 1 } ( y _ { 1 } ) } } & { { } } & { { \ldots } } & { { } } & { { Q _ { 2 N - 1 } ( y _ { 1 } ) } } \\ { { \partial _ { y } Q _ { 0 } ( y _ { 1 } ) } } & { { \partial _ { y } Q _ { 1 } ( y _ { 1 } ) } } & { { } } & { { \ldots } } & { { } } & { { \partial _ { y } Q _ { 2 N - 1 } ( y _ { 1 } ) } } \\ { { Q _ { 0 } ( y _ { 2 } ) } } & { { Q _ { 1 } ( y _ { 2 } ) } } & { { } } & { { \ldots } } & { { } } & { { Q _ { 2 N - 1 } ( y _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \vdots } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \partial _ { y } Q _ { 0 } ( y _ { N } ) } } & { { \partial _ { y } Q _ { 1 } ( y _ { N } ) } } & { { } } & { { \ldots } } & { { } } & { { \partial _ { y } Q _ { 2 N - 1 } ( y _ { N } ) } } \end{array} \right] ,
\sigma _ { 0 } ^ { s } \equiv { \frac { d ^ { 3 } \sigma _ { 0 } } { d x d y d z } } = { \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { S x y } } [ F _ { 0 } ^ { u } \Sigma ^ { + } ( x , z ) + P _ { L } P _ { N } F _ { 0 } ^ { p } \Sigma ^ { - } ( x , z ) ]
\begin{array} { r l } { n } & { = n _ { 1 } + n _ { 2 } \ , } \\ { m } & { = \frac { n _ { 1 } m _ { 1 } + n _ { 2 } m _ { 2 } } { n _ { 1 } + n _ { 2 } } \ , \ \mathrm { a n d } } \\ { \sigma } & { = \sqrt { \frac { ( n _ { 1 } - 1 ) \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + ( n _ { 1 } - 1 ) \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { n _ { 1 } n _ { 2 } } { n _ { 1 } + n _ { 2 } } ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) ^ { 2 } } { n _ { 1 } + n _ { 2 } - 1 } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { E } x _ { k + 1 } ^ { 1 } } & { = ( A _ { 1 1 } - A _ { 1 2 } A _ { 2 2 } ^ { - 1 } A _ { 2 1 } ) x _ { k } ^ { 1 } + ( B _ { 1 } - A _ { 1 2 } A _ { 2 2 } ^ { - 1 } B _ { 2 } ) u _ { k } , } \\ { y _ { k } } & { = ( C _ { 1 } - C _ { 2 } A _ { 2 2 } ^ { - 1 } A _ { 2 1 } ) x _ { k } ^ { 1 } + ( D - C _ { 2 } A _ { 2 2 } ^ { - 1 } B _ { 2 } ) u _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \bf r } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) } & { = } & { { \bf v } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) , \mathrm { \ a n d } } \\ { { \mu } \dot { \bf v } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) } & { = } & { - \nabla _ { i } ^ { ( l ) } { \cal U } _ { n e t } + \frac { { \bf f } _ { l } ( t ) } { N } - \Gamma { \bf v } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) } \\ & { } & { \, \, \, \, + \Gamma \sqrt { 2 D } { \bf \Xi } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) , } \end{array}
A _ { l i n } = \frac { N ( \chi = \frac { \pi } { 4 } ) - N ( \chi = - \frac { \pi } { 4 } ) } { N ( \chi = \frac { \pi } { 4 } ) + N ( \chi = - \frac { \pi } { 4 } ) } = \frac { \langle \xi _ { 3 } \tilde { \xi } _ { 1 } \rangle + \langle \xi _ { 1 } \tilde { \xi } _ { 3 } \rangle } { 1 + \langle \xi _ { 2 } \tilde { \xi } _ { 2 } \rangle } { \cal A } _ { 2 } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \eta ^ { n + 1 } = \eta ^ { n } - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q _ { b } ^ { n } ) - \Delta t D _ { x } ( q ^ { n + 1 } ) , } \\ { q ^ { n + 1 } = q ^ { n } - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q ^ { n } u ^ { n } ) - \Delta t g h ^ { n } D _ { x } ( \eta ^ { n + 1 } ) , } \\ { z _ { b } ^ { n + 1 } = z _ { b } ^ { n } - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q _ { b } ^ { n } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } } ^ { \mathbf { C } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } , 0 } ^ { \mathbf { C } } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } \cdot \left( \ln \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } } ^ { \mathbf { C } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } , 0 } ^ { \mathbf { C } } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } - \ln \mathbf { C } \right) = \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } } ^ { \mathbf { D } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } , 0 } ^ { \mathbf { D } } } \cdot s ^ { \mathbf { D D } } \cdot \left( \ln \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } } ^ { \mathbf { D } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } , 0 } ^ { \mathbf { D } } } \cdot s ^ { \mathbf { D D } } - \ln \mathbf { C } \right) } \end{array}
\begin{array} { c c } { { h _ { t t } = - 4 G [ J ^ { 2 } ( \ln ( r / r _ { 0 } ) ) ^ { 2 } + ( U - T + J ^ { 2 } + \nu S ^ { 2 } ) \ln ( r / r _ { 0 } ) ] } } \\ { { h _ { z z } = - 4 G [ J ^ { 2 } \ln ( r / r _ { 0 } ) ) ^ { 2 } + ( U - T - J ^ { 2 } - \nu S ^ { 2 } ) \ln ( r / r _ { 0 } ) ] } } \\ { { h _ { i j } = - 2 G ( J ^ { 2 } + \nu S ^ { 2 } ) r ^ { 2 } \partial _ { i } \partial _ { j } \ln ( r / r _ { 0 } ) - 4 G \delta _ { i j } \left[ \left( U + T + J ^ { 2 } + \nu S ^ { 2 } ) \ln ( r / r _ { 0 } ) \right) + S ^ { 2 } \left( \ln \frac { r } { r _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right] . } } \end{array}
{ \mathrm { i f ~ } } \operatorname { E } _ { \theta } ( g ( T ) ) = 0 { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } \theta { \mathrm { ~ t h e n ~ } } \mathbf { P } _ { \theta } ( g ( T ) = 0 ) = 1 { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } \theta .
\begin{array} { r l } { \sigma } & { { } = ( z _ { + } F ) ^ { 2 } \mathcal { L _ { + + } } ( 1 - ( c _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } - c _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } ) c _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } \Delta \nu ) , } \\ { D _ { + } } & { { } = \mathcal { L _ { + + } } R T \frac { c _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { ( c _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } - c _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } ) c _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { A } ^ { n } ( \omega , \delta ) : = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \mathcal { G } ^ { n , K } - \delta \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } \times \mathcal { V } ^ { n , K } } & { \cdots } & { \mathcal { G } ^ { n , 0 } - \delta \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } \times \mathcal { V } ^ { n , 0 } } & { \cdots } & { \mathcal { G } ^ { n , - K } - \delta \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } \times \mathcal { V } ^ { n , - K } } \end{array} \right] , } \end{array}
\Big ( \big ( \boldsymbol { u } - \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { a } \big ) \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } - \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } ) + f _ { 0 } \boldsymbol { u } ^ { \perp } + g \boldsymbol { \nabla } h \Big ) \, \mathrm { d } t + \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } | } & { H ( t , \xi ) - H _ { \Delta x } ( t , \xi ) | y _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi } \\ & { \leq e ^ { \frac 1 2 t } \int _ { \mathbb { R } } | H ( 0 , \xi ) - H _ { \Delta x } ( 0 , \xi ) | y _ { \xi } ( 0 , \xi ) d \xi } \\ & { \quad + e ^ { \frac 1 2 t } \int _ { \mathbb { R } } | H ( 0 , \xi ) - H _ { \Delta x } ( 0 , \xi ) | H _ { \xi } ( 0 , \xi ) d \xi } \\ & { \leq e ^ { \frac 1 2 t } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \int _ { \hat { \xi } _ { 3 j } } ^ { \hat { \xi } _ { 3 j + 3 } } \vert G _ { 0 } ( x _ { 2 j + 2 } ) - G _ { 0 } ( x _ { 2 j } ) \vert y _ { \xi } ( 0 , \xi ) d \xi + 2 e ^ { \frac 1 2 t } H _ { \infty } ( 0 ) \Delta x } \\ & { = 2 e ^ { \frac 1 2 t } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } ( G _ { 0 } ( x _ { 2 j + 2 } ) - G _ { 0 } ( x _ { 2 j } ) ) \Delta x + 2 e ^ { \frac 1 2 t } G _ { \infty } ( 0 ) \Delta x } \\ & { = 4 e ^ { \frac 1 2 t } G _ { \infty } ( 0 ) \Delta x , } \end{array}
\frac { \partial \langle \phi \rangle } { \partial t } + \frac { \partial \bar { q } _ { p } v _ { w } \langle \phi \rangle } { \partial x } + \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { p } } \langle \phi \rangle M _ { j } v _ { j } \delta ( x \! - \! x _ { j } ) = 0 ,
{ \begin{array} { r l } { \Omega _ { 0 } ^ { \mathrm { S O } } } & { = \mathbb { Z } , } \\ { \Omega _ { 1 } ^ { \mathrm { S O } } } & { = 0 , } \\ { \Omega _ { 2 } ^ { \mathrm { S O } } } & { = 0 , } \\ { \Omega _ { 3 } ^ { \mathrm { S O } } } & { = 0 , } \\ { \Omega _ { 4 } ^ { \mathrm { S O } } } & { = \mathbb { Z } , } \\ { \Omega _ { 5 } ^ { \mathrm { S O } } } & { = \mathbb { Z } _ { 2 } . } \end{array} }
\langle 0 | \bar { Q } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } Q | \eta \rangle = \delta ^ { \mu 0 } \, \left[ C ( \alpha _ { s } ) \, \langle 0 | \chi ^ { \dagger } \psi | \eta \rangle + \frac { 1 } { 2 m ^ { 2 } } \, \langle 0 | \chi ^ { \dagger } \, \vec { D } ^ { \, 2 } \psi | \eta \rangle \right]
\begin{array} { r l } { r _ { k } ^ { - } } & { { } = - \frac { i } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } } = + \frac { i \omega _ { k } ^ { - } } { \omega _ { k } | \Phi _ { 2 } | \omega _ { k } ^ { - } } \approx \operatorname { R e } \left( \frac { 1 } { \omega _ { k } | \Phi _ { 2 } | \omega _ { k } ^ { - } } \right) i \omega _ { k } ^ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d r } \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { r } ) } { r ^ { n } } \right) = - \frac { 1 } { r ^ { n + 1 } } \xi ( B _ { r } ) + \frac { \varepsilon } { r ^ { n + 2 } } \int _ { \partial B _ { r } } \langle x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { n + 1 } } \int _ { B _ { r } } \langle x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle f _ { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { x ^ { T } L x } { ( 1 + \epsilon ) } \leq \, x ^ { T } \bar { L } x \leq \, ( 1 + \epsilon ) x ^ { T } L x \; \; \forall \, x \in \mathbb { R } ^ { n } , \; \; } \\ { \textrm { w h e r e } \; \vert V \vert = n , \epsilon \in ( 0 , 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) } & { { } = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { \exp [ - i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 1 + i A k - ( B / 2 ) k ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
[ M _ { \hat { a } \hat { b } } , M _ { \hat { c } \hat { d } } ] = \eta _ { \hat { b } \hat { c } } M _ { \hat { a } \hat { d } } - \eta _ { \hat { b } \hat { d } } M _ { \hat { a } \hat { c } } + \eta _ { \hat { a } \hat { d } } M _ { \hat { b } \hat { c } } - \eta _ { \hat { a } \hat { c } } M _ { \hat { b } \hat { d } } .
{ \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } } = { \frac { X _ { 1 } A _ { 3 } } { A _ { 3 } X _ { 2 } } } , \quad { \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 3 } } } = { \frac { X _ { 2 } A _ { 1 } } { A _ { 1 } X _ { 3 } } } , \quad { \frac { \lambda _ { 3 } } { \lambda _ { 1 } } } = { \frac { X _ { 3 } A _ { 2 } } { A _ { 2 } X _ { 1 } } }
\begin{array} { r l r l } { \frac { \d H _ { 1 } } { \d x } } & { { } = - \big ( H _ { 0 } ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 0 } } { \d x ^ { 3 } } \big ) ^ { \frac \alpha 2 } \ \stackrel { } = - B _ { 0 } ^ { - \alpha } } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 1 , } \\ { \omega } & { { } = s _ { 0 } ^ { - \frac { \alpha ( n + 3 ) - 4 } { 2 } } \ \stackrel { ( ) } = \big ( ( n + 4 ) B _ { 0 } ^ { 2 } t \big ) ^ { - \frac { \alpha ( n + 3 ) - 4 } { 2 ( n + 4 ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } r ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { r } v _ { \mathrm { H } } - \mathrm { i } \kappa v _ { \mathrm { H } } ) = 0 , \quad \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } r ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { r } v _ { \mathrm { M } } - \mathrm { i } \kappa v _ { \mathrm { M } } ) = 0 , \quad r = | x | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { \mathrm { b o t } } ^ { ( 4 ) } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { r _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { r _ { 2 1 } } & { r _ { 2 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { r _ { 3 1 } } & { 0 } & { r _ { 3 3 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { r _ { N 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { r _ { N N } } \end{array} \right] _ { \mathrm { b o t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } = } & { { } \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \mathcal { F } _ { S } } { \pi } \right) \left( \frac { \mathcal { F } _ { I } } { \pi } \right) \left( \frac { \mathcal { F } _ { P } } { \pi } \right) ^ { 2 } } \end{array}