harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\xi c _ { \beta } \approx 1 0 ^ { - 6 } \left( \frac { M _ { 1 / 2 } } { M _ { Z } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { m _ { \nu _ { 3 } } } { 0 . 0 5 \, \mathrm { e V } } \right) ^ { 1 / 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle q \rangle } { d t ^ { \prime } } } & { { } = } & { - \langle b _ { i j } \mu _ { j i } \rangle - \langle b _ { i j } \gamma _ { j i } \rangle - \frac { 1 } { 2 } \langle D _ { i j k l } D _ { j i k l } \rangle } \\ { \frac { d \langle r \rangle } { d t ^ { \prime } } } & { { } = } & { - \langle b _ { i k } b _ { k j } \mu _ { j i } \rangle - \langle b _ { i k } b _ { k j } \gamma _ { j i } \rangle - \langle b _ { i j } D _ { j k m n } D _ { k i m n } \rangle } \end{array}
{ \bf F } = \frac { e ( { \bf r } - { \bf R } _ { \mathrm { a m } } ) } { | { \bf r } - { \bf R } _ { \mathrm { a m } } | ^ { 3 } } + \frac { e \mathbf { R } _ { \mathrm { a m } } } { \mathrm { R } _ { \mathrm { a m } } ^ { 3 } }
\begin{array} { r l r } { { \bf S } _ { \mathrm { g c } } } & { { } = } & { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \, K _ { \mathrm { g c } } \, \dot { \bf X } \; + \; \frac { c \, { \bf E } } { 4 \pi } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf H } _ { \mathrm { g c } } } \end{array}
\mathcal { L } _ { D I C E } = \frac { 1 } { C N } \sum _ { c } ^ { C } \sum _ { i } ^ { N } \left( 1 - \frac { p _ { i c } g _ { i c } } { p _ { i c } g _ { i c } + ( 1 - p _ { i c } ) g _ { i c } + p _ { i c } ( 1 - g _ { i c } ) } \right) ,
\mathcal { L } _ { \mathrm { { f o r } } } ( \theta _ { b } ^ { \mathrm { { f o r } } } , \theta _ { t } ^ { \mathrm { { f o r } } } ; T , \hat { T } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( T _ { i } - \hat { T } _ { i } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { - \lambda t + \frac { v ( k t , \frac { \lambda } { k } ) } { 2 k } \lambda ^ { 2 } } & { = - { \beta I ( k t ) } + \frac { v ( k t , \frac { \beta I ( k t ) } { k t } ) \beta ^ { 2 } I ( k t ) ^ { 2 } } { 2 k t ^ { 2 } } } \\ & { = - \beta I ( k t ) \left( 1 - \frac { v ( k t , \frac { \beta I ( k t ) } { k t } ) \beta I ( k t ) } { 2 k t ^ { 2 } } \right) } \\ & { = - \beta c ( t , \beta , k ) I ( k t ) } \\ & { = - \beta \operatorname* { m a x } ( \frac { 1 } { 2 } , c ( t , \beta , k ) ) I ( k t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { R 1 . a } } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \mathbb { E } _ { t } \Vert \mathbb { E } [ \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } ] - \nabla F _ { i } ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq 8 L ^ { 2 } \mathbf { c } ^ { t } + \frac { 8 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 3 } } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) + 2 \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \sigma _ { l } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 8 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Vert ^ { 2 } + 6 \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } + 6 \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 8 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 3 } } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) + 2 \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \sigma _ { l } ^ { 2 } + 6 \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 8 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Vert ^ { 2 } + \frac { 6 4 \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K } { m \gamma } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + 3 0 7 2 \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + 6 \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + 6 4 \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K ( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { u } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \sum _ { \bf p } \Im \left[ { \bf \{ k \cdot u ( q ) \} \{ u ( p ) \cdot u ^ { * } ( k ) \} } \right] , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \Re [ { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) \cdot { \bf u } ^ { * } ( { \bf k } ) ] , } \\ { D _ { u } ( \mathbf { k } ) } & { { } = } & { 2 \nu k ^ { 2 } E _ { u } ( { \bf k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 2 } } | x _ { 2 } [ j ] | ^ { 2 } = } & { \frac { 1 } { N _ { 2 } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 1 } } | x _ { 2 } [ j ] | ^ { 2 } + \sum _ { j = N _ { 1 } + 1 } ^ { N _ { 2 } } | x _ { 2 } [ j ] | ^ { 2 } \right) } \\ { \leq } & { \frac { N _ { 1 } } { N _ { 2 } } P _ { 2 , 1 } + \frac { N _ { 2 } - N _ { 1 } } { N _ { 2 } } P _ { 2 , 2 } = P _ { 2 } . } \end{array}
\hat { T } = \sum _ { i } ^ { \mathrm { o c c } } \sum _ { a } ^ { \mathrm { v i r } } \theta _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } + \sum _ { i j } ^ { \mathrm { o c c } } \sum _ { a b } ^ { \mathrm { v i r } } \theta _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } + \cdots
\int _ { ( \sqrt { t } + m ) ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d s } { ( s - s _ { i } - i \epsilon ) ^ { 2 } } \frac { \sqrt { \lambda ( s , t , m ^ { 2 } ) } } { s } = \frac { \partial B _ { 0 } ( s _ { i } ; t , m ^ { 2 } ) } { \partial s _ { i } } \, .
\begin{array} { r l } { W } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { m + i \gamma } & { b } \\ { b ^ { * } } & { - m + i \gamma } \end{array} \right] , } \\ { V } & { { } = V ^ { \dagger } = \left[ \begin{array} { l l } { \lambda } & { c } \\ { c ^ { * } } & { - \lambda } \end{array} \right] , } \end{array}
- \lambda \frac { \partial n _ { i 3 } } { \partial \xi } + \frac { \partial n _ { i 1 } } { \partial \tau } + \frac { \partial } { \partial \xi } ( v _ { i 1 } n _ { i 2 } + n _ { i 1 } v _ { i 2 } + v _ { i 3 } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { C R L B } = } \\ & { \left[ \begin{array} { c c c } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \sigma _ { \theta } ^ { 2 } \frac { \sin ^ { 2 } \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi _ { m } } } + \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \frac { \sin ^ { 2 } \phi _ { m } \cos ^ { 2 } \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } } } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \sigma _ { \theta } ^ { 2 } \frac { \sin ^ { 2 } \phi _ { m } \sin \theta _ { m } \cos \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } } - \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \frac { \sin \theta _ { m } \cos \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi _ { m } ^ { 2 } } } } & { - \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \frac { \sin \phi _ { m } \cos \phi _ { m } \cos \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi _ { m } ^ { 2 } } } } \\ { \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \sigma _ { \theta } ^ { 2 } \frac { \sin ^ { 2 } \phi _ { m } \sin \theta _ { m } \cos \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } } - \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \frac { \sin \theta _ { m } \cos \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi _ { m } ^ { 2 } } } } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \sigma _ { \theta } ^ { 2 } \frac { \cos ^ { 2 } \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi _ { m } } + \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \frac { \sin ^ { 2 } \phi _ { m } \sin ^ { 2 } \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } } } } & { - \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \frac { \sin \phi _ { m } \cos \phi _ { m } \sin \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi _ { m } ^ { 2 } } } } \\ { - \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \frac { \sin \phi _ { m } \cos \phi _ { m } \cos \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi _ { m } ^ { 2 } } } } & { - \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \frac { \sin \phi _ { m } \cos \phi _ { m } \sin \theta _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi _ { m } ^ { 2 } } } } & { \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \frac { \cos ^ { 2 } \phi _ { m } } { d _ { m } ^ { 2 } } } } \end{array} \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { R a m } } ^ { \mathrm { e n s } } } & { \approx \underbrace { \frac { \hbar } { \Delta m _ { s } g _ { e } \mu _ { B } } \frac { 1 } { \sqrt { N \tau } } } _ { \mathrm { S p i n ~ p r o j e c t i o n ~ l i m i t } } \; \underbrace { \frac { 1 } { e ^ { - \left( \tau / T _ { 2 } ^ { * } \right) ^ { p } } } } _ { \mathrm { S p i n ~ d e p h a s i n g } } \; \underbrace { \sqrt { 1 \! + \! \frac { 1 } { C ^ { 2 } n _ { \mathrm { a v g } } } } } _ { \mathrm { R e a d o u t } } \; } \\ & { \quad \times \underbrace { \sqrt { \frac { t _ { \mathrm { I } } \! + \! \tau \! + \! t _ { \mathrm { R } } \! + \! t _ { \mathrm { D } } } { \tau } } } _ { \mathrm { O v e r h e a d ~ t i m e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { M } } = \sum _ { \alpha _ { 0 } , \dots , \alpha _ { M } = 0 } ^ { \chi - 1 } } & { { } \Gamma _ { \alpha _ { 0 } \alpha 1 } ^ { [ 1 ] i _ { 1 } } \lambda _ { \alpha _ { 1 } } ^ { [ 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { 1 } \alpha 2 } ^ { [ 2 ] i _ { 2 } } \lambda _ { \alpha _ { 2 } } ^ { [ 2 ] } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { 0 } ( q ) = \langle q | \psi _ { 0 } \rangle } & { { } = \langle q | e ^ { - \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } e ^ { \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } | \psi _ { 0 } \rangle = e ^ { - \frac { m \omega } { 2 \hbar } q ^ { 2 } } \langle q | e ^ { \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } | 0 \rangle = e ^ { - \frac { m \omega } { 2 \hbar } q ^ { 2 } } \langle 0 _ { q } | e ^ { \frac { i } { \hbar } q \hat { p } } \underbrace { e ^ { \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } | \psi _ { 0 } \rangle } _ { \hat { p } ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ n ~ i ~ h ~ i ~ l ~ a ~ t ~ e ~ s ~ t ~ h ~ i ~ s ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { t , \sigma } ^ { ( A ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { p > k } [ \log \mathbf { U } _ { t } ^ { ( v ) } ] _ { p k } ( \hat { E } _ { p k } ^ { \sigma } - \hat { E } _ { k p } ^ { \sigma } ) \right) , } \\ { \hat { G } _ { t , \tau } ^ { ( B ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { q > l } [ \log \mathbf { V } _ { t } ^ { ( v ) } ] _ { q l } ( \hat { E } _ { q l } ^ { \tau } - \hat { E } _ { l q } ^ { \tau } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { p } ^ { ( \pm ) } } & { { } = } & { \frac { \pm \Delta _ { \mathrm { R b } } + \omega } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \mp \frac { d _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) } { d _ { p } ( \eta ) } \frac { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } { \omega _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f ^ { \prime } ( \theta ) | } & { \leq \mathbb { I } ( L \cos \theta > 2 \varepsilon ) \frac { L \sin \theta ( L \cos \theta - 2 \varepsilon ) } { \sqrt { ( L + 2 \varepsilon ) ^ { 2 } - ( L \cos \theta - 2 \varepsilon ) ^ { 2 } } } + \frac { L ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta } { \sqrt { ( L + \varepsilon ) ^ { 2 } - L ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } + L \cos \theta } \\ & { \leq 3 L \cos \theta } \\ & { \leq 3 L , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl \{ \phi _ { 2 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 1 } - R \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 2 } } & { { } - R \eta _ { 1 } + R ^ { 2 } \eta _ { 0 } \bigr \} - \frac { r _ { 0 } } { \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } _ { 0 } \, \partial _ { R } \eta _ { 1 } + \dot { \bar { z } } _ { 0 } \, \partial _ { Z } \eta _ { 1 } \Bigr ) } \\ { \, } & { { } = \, \delta \Bigl [ \bigl ( \mathcal { L } - 1 \bigr ) \eta _ { 2 } + \partial _ { R } ( \eta _ { 1 } - R \eta _ { 0 } ) - t \partial _ { t } \eta _ { 2 } \Bigr ] \, . } \end{array}
T = \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega L _ { \mathrm { C } } / c } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { i e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega L _ { \mathrm { A } } / c } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { - e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega L _ { \mathrm { B } } / c } \sin ^ { 2 } ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } \\ { i e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega L _ { \mathrm { C } } / c } \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega L _ { \mathrm { A } } / c } \cos ^ { 2 } ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { i e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega L _ { \mathrm { B } } / c } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } \\ { 0 } & { i e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega L _ { \mathrm { A } } / c } \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega L _ { \mathrm { B } } / c } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } \end{array} \right)
{ \begin{array} { r l } { ( f \ast g ) ( a b ) } & { = \sum _ { d | a b } f ( d ) g \left( { \frac { a b } { d } } \right) } \\ & { = \sum _ { d _ { 1 } | a } \sum _ { d _ { 2 } | b } f ( d _ { 1 } d _ { 2 } ) g \left( { \frac { a b } { d _ { 1 } d _ { 2 } } } \right) } \\ & { = \sum _ { d _ { 1 } | a } f ( d _ { 1 } ) g \left( { \frac { a } { d _ { 1 } } } \right) \times \sum _ { d _ { 2 } | b } f ( d _ { 2 } ) g \left( { \frac { b } { d _ { 2 } } } \right) } \\ & { = ( f \ast g ) ( a ) \cdot ( f \ast g ) ( b ) . } \end{array} }
\mathrm { t r } \ \mathrm { l n } \biggl [ \Sigma ^ { a b } + \overline { { \psi } } _ { 0 } \biggl ( \Omega ^ { a b } \biggr ) \psi _ { 0 } \biggr ] = \mathrm { l n } \ \mathrm { d e t } \ \Sigma ^ { a b } + \mathrm { t r } \ [ ( \Sigma ^ { a c } ) ^ { - 1 } \overline { { \psi } } _ { 0 } \Omega ^ { c b } \psi _ { 0 } ] ,
\begin{array} { r l } { { } } & { { G ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } } \\ { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } \left[ \int \frac { d ^ { 4 } p _ { j } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } i P _ { \lambda _ { j } } ( p _ { j } ) \exp ( - i p _ { j } \cdot x _ { j } ) \right] } } \\ { { } } & { { \displaystyle \times ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } + p _ { 3 } ) \sum _ { \pi _ { 3 } } \exp [ - i ( p _ { \pi ( 1 ) \lambda _ { \pi ( 1 ) } } , p _ { \pi ( 2 ) \lambda _ { \pi ( 2 ) } } , p _ { \pi ( 3 ) \lambda _ { \pi ( 3 ) } } ) ] . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 2 0 } = } & { - \left[ 1 + \frac { ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } { ( 3 + \eta ^ { 4 } ) I _ { 2 } ^ { 2 } } \right] p _ { 2 } + \frac { 3 \eta } { 2 } \frac { 1 - \eta ^ { 4 } } { 3 + \eta ^ { 4 } } \delta + \eta ^ { 2 } \left( \frac { 4 + \eta ^ { 4 } } { 3 + \eta ^ { 4 } } - \frac { I _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 4 } } \right) , } \\ { = } & { - \left[ 1 + \frac { ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } { 4 \eta ^ { 4 } I _ { 2 } ^ { 2 } } \right] p _ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } \frac { \eta ^ { 4 } - 1 } { \eta ^ { 4 } } \Delta _ { x } + \eta ^ { 2 } \left( \frac { 1 + 4 \eta ^ { 4 } } { 4 \eta ^ { 4 } } - \frac { I _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 4 } } \right) , } \\ { = } & { 2 \Delta _ { x } \left[ 1 + \frac { ( 3 + \eta ^ { 4 } ) I _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } \right] + \frac { \eta } { 2 } \left[ 1 + \frac { 4 \eta ^ { 4 } I _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } \right] \delta + \eta ^ { 2 } \left( 1 - \frac { ( 2 + \eta ^ { 4 } ) I _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { | B | } & { = 1 \cdot { \left| \begin{array} { l l } { 5 } & { 6 } \\ { 8 } & { 9 } \end{array} \right| } - 2 \cdot { \left| \begin{array} { l l } { 4 } & { 6 } \\ { 7 } & { 9 } \end{array} \right| } + 3 \cdot { \left| \begin{array} { l l } { 4 } & { 5 } \\ { 7 } & { 8 } \end{array} \right| } } \\ & { = 1 \cdot ( - 3 ) - 2 \cdot ( - 6 ) + 3 \cdot ( - 3 ) = 0 . } \end{array} }
\left\langle f \right\rangle = \frac { 1 } { V } \int _ { r _ { i } } ^ { r _ { o } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } f \; r ^ { 2 } \; \sin { \theta } \; d \theta \; d \phi \; d r ,
\begin{array} { r } { { \bf E } ( { \bf r } ) = \mathcal { E } _ { 0 } \, \left( \hat { \bf e } _ { 0 } ^ { + } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { z } z } + R \; \hat { \bf e } _ { 0 } ^ { - } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k _ { z } z } \right) \; \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { x } x } , \quad \quad \quad z < 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \mathrm { v a r } \left\{ { \bf h } _ { k } ^ { H } { \bf w } _ { k } \right\} } \\ { = } & { \frac { K } { { \sum _ { j = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } ( { \bf R } _ { j } ) } } \mathbb E \left\{ \left| \frac { 1 } { M } { \bf h } _ { k } ^ { H } { \bf h } _ { k } - \frac { 1 } { M } \mathrm { t r } ( { \bf R } _ { k } ) \right| ^ { 2 } \right\} \xrightarrow { M \rightarrow \infty } 0 , } \end{array}
H ^ { \mathrm { o o } } = - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { i < j } \left( \frac { \mathbf { p } _ { i } \cdot \mathbf { p } _ { j } } { r _ { i j } } + \frac { \mathbf { r } _ { i j } \cdot ( \mathbf { r } _ { i j } \cdot \mathbf { p } _ { j } ) \, \mathbf { p } _ { i } } { r _ { i j } ^ { 3 } } \right) .
( \cdots ) \frac { g _ { s } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int d x _ { 1 } d x _ { 2 } \frac { 2 ( 1 - 2 x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } ) } { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ( 1 - x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } H _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } & { R _ { 1 } : C + C \xrightarrow { k _ { 1 } } C + C + 2 r G _ { c } , } \\ & { R _ { 2 } : C + D \xrightarrow { k _ { 2 } } C + D + \tau G _ { d } + s G _ { c } , } \\ & { R _ { 3 } : D + C \xrightarrow { k _ { 3 } } C + D + \tau G _ { d } + s G _ { c } , } \\ & { R _ { 4 } : D + D \xrightarrow { k _ { 4 } } D + D + 2 p G _ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \Omega } } & { = } & { \Omega + \Omega _ { \ell } \quad \mathrm { i f } \quad \Omega _ { \ell } / \Omega > - c _ { v 2 } \, , } \\ { \tilde { \Omega } } & { = } & { \Omega \Bigg \{ 1 + \frac { c _ { v 2 } ^ { 2 } \Omega + c _ { v 3 } \Omega _ { \ell } } { ( c _ { v 3 } - 2 c _ { v 2 } ) \Omega - \Omega _ { \ell } } \Bigg \} \quad \mathrm { o t h e r w i s e , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { J } \overline { { \partial } } u } & { = \sum u _ { \overline { { j i } } } J ^ { - 1 } d \overline { { z ^ { i } } } \wedge d \overline { { z ^ { j } } } ; } \\ { \partial \overline { { \partial _ { J } } } u } & { = \sum u _ { i j } d z ^ { j } \wedge J ^ { - 1 } d z ^ { i } ; } \\ { \partial \overline { { \partial } } u } & { = \sum u _ { i \overline { { j } } } d z ^ { i } \wedge d \overline { { z ^ { j } } } ; } \\ { \partial _ { J } \overline { { \partial _ { J } } } u } & { = \sum u _ { i \overline { { j } } } J ^ { - 1 } d \overline { { z ^ { j } } } \wedge J ^ { - 1 } d z ^ { i } ; } \end{array}
\rho \frac { d } { d t } ( \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { u } ) / 2 = \rho \mathbf { u } ^ { T } \frac { d } { d t } \mathbf { u } = \mathbf { u } ^ { T } \frac { d } { d t } ( \rho \mathbf { u } ) - \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { u } \frac { d } { d t } \rho
\left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) = \frac 1 4 \left[ \left( \begin{array} { l l } { + } & { + } \\ { + } & { + } \end{array} \right) \! - \! \left( \begin{array} { l l } { + } & { - } \\ { + } & { - } \end{array} \right) \! + \! \left( \begin{array} { l l } { + } & { + } \\ { - } & { - } \end{array} \right) \! - \! \left( \begin{array} { l l } { + } & { - } \\ { - } & { + } \end{array} \right) \right] .
\left| \alpha - { \frac { p } { q } } \right| = { \frac { \left| f ( \alpha ) - f ( { \frac { p } { q } } ) \right| } { | f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) | } } = \left| { \frac { f ( { \frac { p } { q } } ) } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } } \right|
{ \frac { d } { d z } } \left[ z ^ { 1 - a _ { p } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) \right] = - z ^ { - a _ { p } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { a _ { 1 } , \dots , a _ { p - 1 } , a _ { p } - 1 } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) , \quad n
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { U _ { x } } ^ { j k } ( t ) \equiv - i ( 1 - T ) \mathrm { I m } \{ \Delta _ { k } ^ { * } ( t ) U _ { x } ^ { j k } ( t ) \Delta _ { j } ( t ) \} - } \\ { - \Big ( \frac { \kappa ^ { 2 } } { a _ { y } ^ { 2 } } \Big ) [ U _ { y } ^ { k n } ( t ) U _ { x } ^ { n m } ( t ) U _ { y } ^ { m j } ( t ) U _ { x } ^ { j k } ( t ) \cdot } \\ { \cdot U _ { y } ^ { k h } ( t ) U _ { x } ^ { h g } ( t ) U _ { y } ^ { g j } ( t ) U _ { x } ^ { j k } ( t ) - 1 ] , } \end{array}
{ \cal I } = \frac { 1 } { k _ { T } ^ { 2 } } [ f _ { g } ( x ; k _ { T } ^ { 2 } ) - ( 1 + \alpha _ { k } ) ^ { 3 } f _ { g } ( x ; \frac { k _ { T } ^ { 2 } } { ( 1 + \alpha _ { k } ) ^ { 2 } } ) + \alpha _ { k } ^ { 3 } f _ { g } ( x ; \frac { k _ { T } ^ { 2 } } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } ) ] .
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 0 } ^ { N } \mu ( D ( y , e ^ { - k } ) \setminus D ( y , e ^ { - k - 1 } ) ) ( k + 1 ) ^ { \alpha } = \sum _ { k = 0 } ^ { N } \left( \mu ( D ( y , e ^ { - k } ) ) - \mu ( D ( y , e ^ { - k - 1 } ) ) \right) ( k + 1 ) ^ { \alpha } } \\ { = \mu ( D ( y , 1 ) ) - \mu ( D ( y , e ^ { - N - 1 } ) ) ( N + 1 ) ^ { \alpha } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mu ( D ( y , e ^ { - k } ) ) ( ( k + 1 ) ^ { \alpha } - k ^ { \alpha } ) . } \end{array}
A _ { x _ { | | } } ^ { 2 1 } = 4 \pi i \kappa x _ { \perp } \int _ { \tilde { T } ^ { 2 } } d ^ { 2 } z K _ { + } ( - \omega , z ; x ) e ^ { - 2 \phi ( z ) } g _ { + } ( z , \omega ; x ) .
\operatorname { E } \left[ \left[ ( D \varphi ) ( \operatorname { E } [ X \mid { \mathfrak { G } } ] ) \cdot ( X - \operatorname { E } [ X \mid { \mathfrak { G } } ] ) \right] \mid { \mathfrak { G } } \right] = ( D \varphi ) ( \operatorname { E } [ X \mid { \mathfrak { G } } ] ) \cdot \operatorname { E } [ \left( X - \operatorname { E } [ X \mid { \mathfrak { G } } ] \right) \mid { \mathfrak { G } } ] = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \kappa \frac { d } { d t } \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } \frac { | \partial _ { s } \tilde { h } | ^ { 2 } } 2 \, d s + \kappa ^ { 2 } \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } c _ { \kappa } | \partial _ { s } ^ { 2 } \tilde { h } | ^ { 2 } \, d s = \kappa \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } a _ { \kappa } \partial _ { s } \tilde { h } \partial _ { s } ^ { 2 } \tilde { h } \, d s - \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } ( \partial _ { s } g + \tilde { b } _ { \kappa } \tilde { h } ) \kappa \partial _ { s } ^ { 2 } h \, d s } \end{array}