harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
0 . 3 2 + 0 . 1 6 5 e ^ { - 1 3 t } + 0 . 1 6 3 e ^ { - 1 5 6 t } + 0 . 1 7 2 e ^ { - 2 . 0 1 e + 0 3 t } + 0 . 1 8 e ^ { - 3 . 3 9 e + 0 4 t }
A ^ { 2 D } ( x ) = \frac { 4 \pi \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ \sigma ^ { 2 D } ( x ) ] } { c } \times \frac { | E _ { x } ( x , z _ { 1 } ) | ^ { 2 } } { \int _ { 0 } ^ { a _ { G } } | E _ { 0 } | ^ { 2 } d x } ,
H _ { F } = 1 + \sum _ { i } { \frac { Q _ { i } } { [ | \vec { x } - \vec { x } _ { 0 \, i } | ^ { 2 } + 4 Q | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | ] ^ { 3 } } } , \ \ \ H _ { p } = { \frac { Q } { | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | } } ,
f _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 \pi } \, \sigma } \left[ e ^ { - ( v - v _ { 0 } ) ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } + e ^ { - ( v + v _ { 0 } ) ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r } { \underbrace { \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( { \varepsilon } \boldsymbol { \nabla } p \right) } _ { \mathrm { P } o i s e u i l l e \; T e r m } = \underbrace { \boldsymbol { \nabla } \cdot \left[ \theta \left( { \rho _ { e } ^ { * } } \boldsymbol { u _ { m } } + { \rho _ { 1 } ^ { * } } \boldsymbol { u _ { 1 } } \right) \right] } _ { \mathrm { C } o u e t t e \; T e r m } \; + \underbrace { \frac { \partial \left( \theta \rho _ { e } \right) } { \partial t } } _ { \mathrm { T } r a n s i e n t \; T e r m } , } \end{array}
\mathcal { L } = - \ln \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \alpha _ { i } ( \mathbf { x } ) } { \left( 2 \pi \right) ^ { m / 2 } \sigma _ { i } ( \mathbf { x } ) } \exp { \left[ - \frac { | \mathbf { E } - \mu ( \mathbf { x } ) | ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i } ( \mathbf { x } ) ^ { 2 } } \right] } \right) ,
\displaystyle { 1 + \sqrt { \frac { 2 \pi } { g _ { n c } ^ { 2 } \theta } } \sum _ { l = 1 } ^ { + \infty } \frac { \exp ( - \frac { \pi l } { g _ { n c } ^ { 2 } \theta } ) } { \sqrt { l } } \left( 1 - \exp \left[ i \frac { L x } { \theta } + \frac { 1 } { l } \frac { g _ { n c } ^ { 2 } L ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 3 } \theta } \right] \right) } .
m _ { \mu \nu } { } ^ { i } { } _ { k } m _ { \rho \sigma } { } ^ { k } { } _ { j } - m _ { \rho \sigma } { } ^ { i } { } _ { k } m _ { \mu \nu } { } ^ { k } { } _ { j } = - \eta _ { \mu [ \rho } m _ { \sigma ] \nu } { } ^ { i } { } _ { j } + \eta _ { \nu [ \rho } m _ { \sigma ] \mu } { } ^ { i } { } _ { j } \ .
f \approx \frac { \omega } { \pi } \approx 5 9 4 \mathrm { { H z } } { \left( { \frac { { 6 G M } } { { { c ^ { 2 } } r } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \left( { \frac { { 7 . 4 { M _ { \odot } } } } { M } } \right) ,
{ \cal B } _ { i j } ^ { M L } = - { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { 2 } C _ { F } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d s \int _ { - 1 } ^ { 1 } d t \Delta _ { \mu \nu } ^ { M L } ( \gamma _ { i } ( s ) - \gamma _ { j } ( t ) ) \dot { \gamma } _ { i } ^ { \mu } ( s ) \dot { \gamma } _ { j } ^ { \nu } ( t ) \ .
I _ { m , n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { - { \frac { \cos ^ { m - 1 } { a x } } { a ( n - 1 ) \sin ^ { n - 1 } { a x } } } - { \frac { m - 1 } { n - 1 } } I _ { m - 2 , n - 2 } } \\ { - { \frac { \cos ^ { m + 1 } { a x } } { a ( n - 1 ) \sin ^ { n - 1 } { a x } } } - { \frac { m - n + 2 } { n - 1 } } I _ { m , n - 2 } } \\ { { \frac { \cos ^ { m - 1 } { a x } } { a ( m - n ) \sin ^ { n - 1 } { a x } } } + { \frac { m - 1 } { m - n } } I _ { m - 2 , n } } \end{array} \right. } \,
\begin{array} { r l } & { \int _ { \theta _ { i } ^ { k - 1 } } ^ { \theta _ { i } ^ { k } } \int _ { \Theta _ { - i } } f _ { i } ( \sigma _ { i } ( \theta _ { i } ) , H ( \sigma _ { i } ( \theta _ { i } ) , \hat { \bar { \sigma } } _ { - i } ^ { * } ( \theta _ { - i } ) ) , \theta _ { i } ^ { k } ) p ( \theta _ { i } , \theta _ { - i } ) d \theta _ { i } d \theta _ { - i } } \\ { \geq } & { \int _ { \theta _ { i } ^ { k - 1 } } ^ { \theta _ { i } ^ { k } } \int _ { \Theta _ { - i } } f _ { i } ( \sigma _ { i } ( \theta _ { i } ) , H ( \sigma _ { i } ( \theta _ { i } ) , \hat { \bar { \sigma } } _ { - i } ^ { * } ( \theta _ { - i } ) ) , \theta _ { i } ^ { k } ) \frac { \int _ { \theta _ { i } ^ { k - 1 } } ^ { \theta _ { i } ^ { k } } p ( \theta _ { i } ^ { \prime } , \theta _ { - i } ) d \theta _ { i } ^ { \prime } } { \theta _ { i } ^ { k } - \theta _ { i } ^ { k - 1 } } d \theta _ { i } d \theta _ { - i } } \\ & { - M L _ { p } ( \theta _ { i } ^ { k } - \theta _ { i } ^ { k - 1 } ) \mu ( \Theta _ { - i } ) \epsilon _ { 0 } } \\ { = } & { \hat { U } _ { i } ( \sigma _ { i } , H ( \sigma _ { i } , \hat { \bar { \sigma } } _ { - i } ^ { * } ) , \theta _ { i } ^ { k } ) \hat { P } _ { i } ( \theta _ { i } ^ { k } ) - M L _ { p } ( \theta _ { i } ^ { k } - \theta _ { i } ^ { k - 1 } ) \mu ( \Theta _ { - i } ) \epsilon _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta ^ { 3 / 2 } \operatorname* { m a x } \{ \Theta ( \mathbf { x } ) : \mathbf { x } \in \mathbb { R } ^ { k } , \| \mathbf { x } \| ^ { 2 } = 1 \} } & { = \operatorname* { m a x } \{ \Theta ( \mathbf { x } ) : \mathbf { x } \in [ 0 , \infty ) ^ { k } , \| \mathbf { x } \| _ { 2 } ^ { 2 } = \beta \} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ g ( \mathbf { x } , 0 , \mathbf { x } ) : \mathbf { x } \in [ 0 , \infty ) ^ { k } , \| \mathbf { x } \| _ { 2 } ^ { 2 } = \beta \} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ g ( \mathbf { x } , 0 , \mathbf { x } ) : ( \mathbf { x } , 0 , \mathbf { x } ) \in D _ { \beta } \} , } \end{array}
\tilde { u } ( \tilde { x } , \tilde { y } ) = u _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } ) + \boldsymbol { N } ^ { T } \mathbf { D } \boldsymbol { b } = u _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } ) + \boldsymbol { N } ^ { T } \boldsymbol { b } ^ { \prime } ,
\begin{array} { c l } { \left| \begin{array} { c c c c c c } { a _ { m } } & { a _ { m - 1 } } & { \cdots } & { a _ { 0 } } & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { a _ { m } } & { a _ { m - 1 } } & { \cdots } & { a _ { 0 } } \\ { b _ { l } } & { b _ { l - 1 } } & { \cdots } & { b _ { 0 } } & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { b _ { l } } & { b _ { l - 1 } } & { \cdots } & { b _ { 0 } } \end{array} \right| } & { \begin{array} { l } { \left. \rule { 0 mm } { 8 mm } \right\} l } \\ { \left. \rule { 0 mm } { 8 mm } \right\} m } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \tau } } & { = \mathcal { F } _ { \tau } ^ { ( 1 ) } + s _ { 3 1 } \otimes e _ { \rho ( { 1 } ) } + s _ { 2 1 } \otimes ( e _ { \rho ( { 1 1 } ) } + e _ { \rho ( { 2 } ) } ) } \\ & { \qquad \quad + s _ { 1 1 } \otimes ( e _ { \rho ( { 1 1 1 } ) } + e _ { \rho ( { 3 } ) } + e _ { \rho ( { 2 2 } ) } ) . } \end{array}
{ \cal M } _ { a t } ^ { ( 1 ) } \left( \Omega _ { 1 } ^ { + } , \Omega _ { n } ^ { - } , \mathbf { q } \right) = \langle \psi _ { n l m } | F ( \mathbf { q } ) | \boldsymbol { \varepsilon } \cdot { \mathbf { w } } _ { 1 0 0 } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } ) \rangle + \langle \boldsymbol { \varepsilon } ^ { * } \cdot { \mathbf { w } } _ { n l m } ( \Omega _ { n } ^ { - } ) | F ( \mathbf { q } ) | \psi _ { 1 0 0 } \rangle ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 1 } ^ { \infty } u ( s ) f _ { \infty } ( s ) \mathrm { d } s = \int _ { 1 } ^ { \infty } u ( s ) T f _ { \infty } ( s ) \mathrm { d } s } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } u ( s ) \Big ( 1 - \Big ( 1 - \frac 1 { s } \Big ) ^ { \theta } \Big ) \mathrm { d } s + \int _ { 1 } ^ { \infty } f _ { \infty } ( t ) \left( \theta \int _ { 1 } ^ { \infty } ( s - 1 ) ^ { \theta } ( s + t - 1 ) ^ { - \theta - 1 } u ( s ) \mathrm { d } s \right) \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { s b } } & { { } = } & { \displaystyle \sideset { } { ' } \sum _ { s } \, \overline { { \phi } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s ^ { \prime } \right) \widetilde { a } \left( s \right) \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) + \displaystyle \sideset { } { ' } \sum _ { a _ { 1 } \left( s \right) > 0 } \overline { { F } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s \right) \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) } \\ { Z _ { s b } ^ { L } } & { { } = } & { \int \mathcal { D } \, \overline { { \phi } } _ { b } ^ { \dag } \, \left( s ^ { \prime } \right) \mathcal { D } \, \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) \, \mathcal { D } \, \overline { { F } } _ { b } ^ { \dag } \, \left( s \right) \mathcal { D } \, \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) \, \, e ^ { i S _ { s b } } } \end{array}
V _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) = V _ { 0 } ( t ) \bigg ( c + \displaystyle \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } V _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) ^ { - 1 } \, b ( t ^ { \prime } ) \, \mathrm { ~ d ~ } t ^ { \prime } \bigg ) .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \bf W } _ { \alpha 1 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } & { = } & { - { \bf J } _ { \alpha \alpha } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { \alpha } ^ { * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } \{ \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) \} ^ { - 1 } \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) } \\ & { + } & { \tilde { \bf F } _ { \alpha } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) \{ \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) \} ^ { - 1 } \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) , } \\ { \tilde { \bf W } _ { \alpha 2 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } & { = } & { { \bf J } _ { \alpha \alpha } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { \alpha } ^ { * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } \{ \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) \} ^ { - 1 } } \\ & { - } & { \tilde { \bf F } _ { \alpha } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) \{ \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) \} ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 c ) } ( \omega ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 8 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \; p ^ { 2 } \phantom { x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x } } \\ { \times \; \left( V ^ { \prime } ( q ) ^ { 2 } + V ^ { \prime \prime } ( q ) ( \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } / q ) ^ { 2 } + V ^ { \prime } ( q ) ( p ^ { 2 } - ( \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } / q ) ^ { 2 } ) / q \right) } \\ { \times \; \delta ^ { \prime \prime \prime } \! \left( \omega + E _ { 0 } - p ^ { 2 } / 2 - V ( q ) \right) \rho _ { 0 , \mathrm { W } } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) , \; \; \; \; } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } d g _ { E } } & { { } = \quad \ \left( { \frac { V f } { \Lambda ^ { 3 } } } \right) { \frac { 1 } { 2 } } ~ \beta ^ { 3 } E ^ { 2 } ~ d E } \\ { P _ { E } ~ d E } & { { } = { \frac { 1 } { N } } \left( { \frac { V f } { \Lambda ^ { 3 } } } \right) { \frac { 1 } { 2 } } ~ { \frac { \beta ^ { 3 } E ^ { 2 } } { \Phi ( E ) } } ~ d E } \end{array}
x ^ { - } \rightarrow \tilde { x } ^ { - } \, = \, x ^ { - } \, - \, \epsilon ^ { - } \quad \mathrm { a n d } \quad \delta \, g _ { \alpha \beta } \, = \, - \, g _ { \alpha \beta } \, \partial _ { - } \, \epsilon ^ { - } \; \; .
\begin{array} { r } { \mathcal { O } ( 1 ) \, a ( 1 ) = \mathcal { L } ( 1 ) \, a ( 1 ) + \int \mathrm { d } ( 3 ) \; \mathcal { V } ^ { s } ( 1 3 ) \, f _ { i 0 } ( 1 ) \, a ( 3 ) } \end{array}
A ( t _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ o ~ l ~ } } ) = A ( t _ { r } ) e ^ { - \lambda t _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ o ~ l ~ } } } = \sigma _ { 0 } \bar { \phi } N _ { 0 } ( 1 - e ^ { - \lambda t _ { r } } ) e ^ { - \lambda t _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ o ~ l ~ } } } ,
D _ { p , q } ^ { f } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \hat { A } _ { p , q } } & { \mathrm { i f ~ \mathbf { x } _ p \in \Omega _ { b r } ~ , ~ \mathbf { x } _ q \in \mathbf { v } _ p ~ } } \\ { \sum _ { \mathbf { x } _ { s } \in \mathbf { v } _ { p } } \hat { A } _ { p , s } } & { \mathrm { i f ~ \mathbf { x } _ p \in \Omega _ { b r } ~ , ~ q = p ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\int _ { 1 0 } \hat { F } _ { ( 5 ) } { } ^ { \star } \hat { F } _ { ( 5 ) } \; = \; \int _ { 9 } \left[ K ^ { - \frac { 3 } { 4 } } F _ { ( 5 ) } { } ^ { \star } F _ { ( 5 ) } - K ^ { \frac { 3 } { 4 } } F _ { ( 4 ) } { } ^ { \star } F _ { ( 4 ) } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ^ { \pm } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } \frac { \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \sigma _ { 0 } } { \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { \pm } } \Bigg \{ \Bigg [ 1 + \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \tau - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \frac { \tau F _ { 1 } } { \sigma _ { 0 } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } \Bigg ] \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) } \end{array}
p _ { \ell } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } , \mathbf { b } _ { k } ^ { * } ) = w _ { 3 } ( \mathbf { b } _ { k } ^ { * } ) - \left[ w _ { 2 } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) - v _ { \ell } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) \right] \geq w _ { 3 } ( { \mathbf { b } _ { k } ^ { \ell } } ^ { * } ) - \left[ w _ { 2 } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) - v _ { \ell } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) \right] .
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , c r - W } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \end{array}
{ \cal L } ^ { { \cal O } _ { 3 } } = f _ { a b } L _ { a } ^ { i } Q _ { b } ^ { j } \epsilon _ { i j } \bar { \Omega } _ { 1 } + g _ { a b } L _ { a } ^ { i } d _ { b } ^ { c } \Omega _ { 2 i } + \mu \bar { \Omega } _ { 1 } \Omega _ { 2 } ^ { i } \bar { H } _ { i } + h . c .
\begin{array} { r c l } { { Z [ J _ { \Phi } , J _ { \Sigma } , K _ { \Phi } , K _ { \Sigma } ] \! \! } } & { { = } } & { { \! \! \int { \cal D } \Phi \, { \cal D } \Sigma \, \exp [ i \int _ { x } L ( \Phi , \Sigma ) + i \int _ { x } ( J _ { \Phi } \Phi + J _ { \Sigma } \Sigma ) } } \\ { { } } & { { } } & { { { } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i \int _ { x , y } ( \Phi K _ { \Phi } \Phi / 2 + \Sigma K _ { \Sigma } \Sigma / 2 ) ] ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho ( x , y ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 , \quad } & { \mathrm { i f } \quad 0 . 2 5 < y < 0 . 7 5 } \\ { 1 , \quad } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ { u ( x , y ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 , \quad } & { \mathrm { i f } \quad 0 . 2 5 < y < 0 . 7 5 } \\ { - 0 . 5 , \quad } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ { v ( x , y ) } & { = } & { w _ { 0 } \sin ( 4 \pi x ) \left\{ \exp \left[ - \frac { ( y - 0 . 2 5 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] + \exp \left[ - \frac { ( y - 0 . 7 5 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] \right\} } \\ { p ( x , y ) } & { = } & { 2 . 5 } \end{array}
\begin{array} { r } { \d _ { t } E = - \int _ { \partial \Omega } \d \mathbf { n } \cdot \left( \mathbf { J } _ { q } + p \mathbf { v } - \Pi \mathbf { v } + \rho e \mathbf { v } \right) = { \dot { Q } } \, , } \end{array}
d \mu _ { p } ^ { ( m ) } = \mathcal { L } _ { p } ^ { ( m - 1 ) } \circ \mathcal { L } _ { p } ^ { ( m - 2 ) } \circ \cdots \circ \mathcal { L } _ { p } ^ { ( 1 ) } [ d \mu _ { p } ^ { ( 1 ) } ] .
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { K L } } = - \int _ { \mathcal { M } } } & { \rho ( \xi ; \mathbb { X } ) \Big [ \frac { 1 } { \rho ( \xi ; \mathbb { X } ) } \frac { \partial \rho ( \xi ; \mathbb { X } ) } { d \xi ^ { \mu } } d \xi ^ { \mu } - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } ( \xi ; \mathbb { X } ) } \frac { \partial \rho ( \xi ; \mathbb { X } ) } { d \xi ^ { \mu } } \frac { \partial \rho ( \xi ; \mathbb { X } ) } { d \xi ^ { \nu } } d \xi ^ { \mu } d \xi ^ { \nu } \Big ] d \mathbb { X } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { 4 k n - j } = } & { \eta _ { - j } \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { s - \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - j + 4 \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor - 4 r } } \right) ( \frac { 1 - ( - 1 ) ^ { s - \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } } { 2 } ) } { - ( - 1 ) ^ { s - \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - j + 4 \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor - 4 r } } \right) ( \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { s - \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } } { 2 } ) } } \\ { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \eta _ { - j } , \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ e v e n ~ } } \\ { \eta _ { - j } \left[ { - 1 + b \left( \prod _ { r = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - j + 4 \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor - 4 r } } \right) } \right] ^ { ( - 1 ) ^ { \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor + 1 } } , \mathrm { ~ i f ~ n ~ i s ~ o d d } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } } & { { } = \cos \left( \frac { t } { 2 } \right) , } \\ { C _ { i } } & { { } = \alpha _ { i } \sin \left( \frac { t } { 2 } \right) , \, 1 \le i \le M . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } & { \ell _ { 1 } \cup \ell _ { 2 } , } & & { \ell _ { 3 } \cup \ell _ { 4 } \cup \ell _ { 5 } \cup \ell _ { 6 } , } & & { \ell _ { 1 2 } , } & & { \ell _ { 3 5 } \cup \ell _ { 4 6 } , } & & { \ell _ { 1 3 } \cup \ell _ { 2 4 } \cup \ell _ { 1 5 } \cup \ell _ { 2 6 } , } & & { \ell _ { 1 4 } \cup \ell _ { 2 5 } \cup \ell _ { 1 6 } \cup \ell _ { 2 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \vert \tilde { \ell } _ { 1 } ( \boldsymbol { q } ) \vert \leq \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| \mu \nabla \times \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { p } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } \| \boldsymbol { q } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| \mu \nabla \times ( \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } - \boldsymbol { u } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } \| \boldsymbol { q } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } } \\ & { \lesssim } & { \bigg ( \big ( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } + \big ( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| \nabla \times ( \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } - \boldsymbol { u } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } \bigg ) \| \boldsymbol { q } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle 1 _ { i } | 1 _ { i } \rangle } & { = } & { \langle 0 | \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle = \langle 0 | 1 - \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } | 0 \rangle = 1 } \\ { \langle 0 | 1 _ { i } \rangle } & { = } & { \langle 0 | \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle = 0 \; \; \; \; , \; \; \; \; \hat { a } _ { i } ^ { + } | 1 _ { i } \rangle = ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { 2 } | 0 \rangle = 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { } & { X _ { n } \ \xrightarrow { d } \ X , \ \ X _ { n } \ \xrightarrow { \mathcal { D } } \ X , \ \ X _ { n } \ \xrightarrow { \mathcal { L } } \ X , \ \ X _ { n } \ \xrightarrow { d } \ { \mathcal { L } } _ { X } , } \\ & { X _ { n } \rightsquigarrow X , \ \ X _ { n } \Rightarrow X , \ \ { \mathcal { L } } ( X _ { n } ) \to { \mathcal { L } } ( X ) , } \end{array} }
M _ { C } = \left( \begin{array} { c c c c } { { h ^ { e } v _ { d } } } & { { - h ^ { e } v } } & { { 0 } } & { { - g _ { 2 } v _ { u } } } \\ { { - h ^ { e } V } } & { { h ^ { e } \langle \tilde { N } _ { 1 } ^ { 0 } \rangle } } & { { - g _ { 2 } v _ { u } } } & { { 0 } } \\ { { - g _ { 2 } v } } & { { - g _ { 2 } v _ { d } } } & { { M _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { - g _ { 2 } \langle \tilde { N } _ { 1 } ^ { 0 } \rangle } } & { { - g _ { 2 } V } } & { { 0 } } & { { M _ { 2 } } } \end{array} \right) .
\sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } = 1 \atop i _ { 1 } < i _ { 2 } } ^ { n } m _ { i _ { 1 } } ^ { 2 } m _ { i _ { 2 } } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } ^ { 2 } a _ { j } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } ^ { 4 } a _ { j } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } ^ { 6 } a _ { j } = 0 .
L _ { \mathrm { c o l } } = \frac { 1 } { 4 } \, b \, v _ { \mathrm { r e l } } \, m _ { 4 } \, N _ { \mathrm { H e } } = 2 ^ { - 7 / 3 } \, \tilde { b } \, v _ { \mathrm { r e l } } \, m _ { 4 } \, r _ { 0 } \, N _ { \mathrm { H e } } ^ { 4 / 3 } ,
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { n , \alpha } ^ { 1 } ( r , \theta ) } & { { } = \cos ( n \theta ) \chi _ { n , \alpha } ( r ) , } \\ { \Upsilon _ { n , \alpha } ^ { 2 } ( r , \theta ) } & { { } = \sin ( n \theta ) \chi _ { n , \alpha } ( r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ^ { k \to i } ( t + 1 ) } & { = \theta ^ { k \to i } ( t ) - \beta ^ { k i } \phi ^ { k \to i } ( t ) } \\ { P _ { S } ^ { k \to i } ( t + 1 ) } & { = P _ { S } ^ { k } ( 0 ) \prod _ { t ^ { \prime } = 0 } ^ { t } ( 1 - \nu ^ { k } ( t ^ { \prime } ) ) \prod _ { j \in \partial k / i } \theta ^ { j \to k } ( t + 1 ) } \\ { \phi ^ { k \to i } ( t + 1 ) } & { = ( 1 - \beta ^ { k i } ) ( 1 - \gamma ^ { k } ) \phi ^ { k \to i } ( t ) } \\ & { - [ P _ { S } ^ { k \to i } ( t + 1 ) - P _ { S } ^ { k \to i } ( t ) ] } \end{array}
{ \frac { x - x ^ { * } } { 2 } } = x _ { 1 } \, e _ { 1 } + x _ { 2 } \, e _ { 2 } + x _ { 3 } \, e _ { 3 } + x _ { 4 } \, e _ { 4 } + x _ { 5 } \, e _ { 5 } + x _ { 6 } \, e _ { 6 } + x _ { 7 } \, e _ { 7 } .
\begin{array} { r l } & { \pi _ { 1 } = ( 1 - p ) \pi _ { 2 } + p \pi _ { m } , \qquad \pi _ { 2 } = \pi _ { 1 } + ( 1 - p ) \pi _ { 3 } , } \\ & { \pi _ { 3 } = p \pi _ { 2 } + ( 1 - p ) \pi _ { 4 } , } \\ & { \cdots \cdots } \\ & { \pi _ { K - 2 } = p \pi _ { K - 3 } + ( 1 - p ) \pi _ { K - 1 } , \qquad \pi _ { K - 1 } = p \pi _ { K - 2 } , } \\ & { \pi _ { K } = p \pi _ { K - 1 } + ( 1 - p ) \pi _ { K + 1 } , \qquad \pi _ { K + 1 } = \pi _ { K } + ( 1 - p ) \pi _ { K + 2 } , } \\ & { \pi _ { K + 2 } = p \pi _ { K + 1 } + ( 1 - p ) \pi _ { K + 3 } , } \\ & { \cdots \cdots } \\ & { \pi _ { m - 1 } = p \pi _ { m - 2 } + ( 1 - p ) \pi _ { m } , \qquad \pi _ { m } = p \pi _ { m - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta f _ { m } ( r , t ) = \underbrace { \delta f _ { m } ( r , 0 ) e ^ { - i m \Omega _ { d } t } } _ { \mathrm { ~ B ~ a ~ l ~ l ~ i ~ s ~ t ~ i ~ c ~ r ~ e ~ s ~ p ~ o ~ n ~ s ~ e ~ } } \underbrace { - \frac { \partial f _ { 0 } ( r ) } { \partial r } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \ e ^ { i m \Omega _ { d } ( t ^ { \prime } - t ) } \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m } ( t ^ { \prime } ) } { 2 1 B _ { 0 } } - i m \frac { \mu A _ { m } ( t ^ { \prime } ) } { q B _ { 0 } \gamma } \right) } _ { \mathrm { ~ L ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ w ~ a ~ v ~ e ~ - ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ r ~ e ~ s ~ p ~ o ~ n ~ s ~ e ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i } \Bigl [ \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 2 } } ( t - t ^ { \prime } ) \cos \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) } \\ & { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 3 } } \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) \Bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \mathcal { U } _ { i } ( x , t ) \mathcal { U } _ { j } ( y , t ) ] = U _ { i } ( x , t ) U _ { j } ( y , t ) + f ( x , y ) K ( \| x - y \| ; \lambda ) U _ { i } ( x , t ) U _ { j } ( y , t ) } \end{array}
b _ { s 2 1 } = { q } _ { s } ^ { T } \left( f _ { 3 0 0 } p _ { s 1 } | p _ { s 1 } | ^ { 2 } + f _ { 0 3 0 } p _ { s 2 } | p _ { s 2 } | ^ { 2 } + f _ { 2 1 0 } ( p _ { s 1 } ^ { 2 } \bar { p } _ { s 2 } + 2 p _ { s 2 } | p _ { s 1 } | ^ { 2 } ) + f _ { 1 2 0 } ( p _ { s 2 } ^ { 2 } \bar { p } _ { s 2 } + 2 p _ { s 1 } | p _ { s 2 } | ^ { 2 } ) \right)