harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { b _ { a p a t } } & { = \left[ \begin{array} { l } { S _ { a p a t - m } ( \lambda ) } \end{array} \right] } \\ { M } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { c _ { 0 } S _ { b g - m } ( \lambda + \Delta \lambda _ { 0 } ) } & { c _ { 1 } S _ { 1 - m } ( \lambda + \Delta \lambda _ { 1 } ) } & { \ldots } & { c _ { 1 6 } S _ { 1 6 - m } ( \lambda + \Delta \lambda _ { 1 6 } ) } \end{array} \right] } \\ { a _ { a p a t } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \ldots } & { 1 } \end{array} \right] ^ { T } } \\ { \operatorname* { m i n } _ { c _ { i } , \Delta \lambda _ { i } } } & { \parallel M a _ { a p a t } - b _ { a p a t } \parallel ^ { 2 } } \end{array}
\langle \beta \ \mathrm { o u t } | { \bar { \Psi } } _ { \alpha _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) | \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \rangle = \langle \beta ^ { \prime } \ \mathrm { o u t } | b _ { { \textbf { k } } _ { 1 } , \mathrm { o u t } } ^ { \sigma _ { 1 } } { \bar { \Psi } } _ { \alpha _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) - { \bar { \Psi } } _ { \alpha _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) b _ { { \textbf { k } } _ { 1 } , \mathrm { i n } } ^ { \sigma _ { 1 } } | \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \rangle .
\{ \{ F , G \} , H \} = \sum \int _ { \Omega } D _ { I + J } \Biggl ( E _ { A } ^ { I } \biggl ( D _ { K + L } \bigl ( E _ { C } ^ { K } ( f ) I _ { C D } E _ { D } ^ { L } ( g ) \bigr ) \biggr ) I _ { A B } E _ { B } ^ { J } ( h ) \Biggr )
\begin{array} { r } { \mathrm { K L } \big ( \mathcal { H } _ { T } ^ { ( 0 ) } , \mathcal { H } _ { T } ^ { ( 1 ) } \big ) = \sum _ { i \in P _ { 1 } } \mathbb { E } _ { 0 } [ N _ { i } ( T ) ] \cdot \big ( \nu _ { i } ^ { ( 0 ) } , \nu _ { i } ^ { ( 1 ) } \big ) \overset { ( a ) } { \le } K \cdot \mathbb { E } _ { 0 } [ M _ { 1 } ( t ) ] \cdot d ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 1 } ) = K \cdot \frac { T } { L _ { 0 } } \cdot d ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { a _ { [ 1 , \infty ] } } \mathbb { F } ( c _ { [ 1 , \infty ] } | s _ { 1 } ) } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \Big \{ C ( s _ { 1 } , a _ { 1 } ) + \gamma \lambda \eta _ { 2 } + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } } \Big [ \operatorname* { m i n } _ { a _ { 2 } , \eta _ { 3 } } \Big \{ \frac { \lambda } { \alpha } [ C ( s _ { 2 } , a _ { 2 } ) - \eta _ { 2 } ] _ { + } } \\ & { + ( 1 - \lambda ) C ( s _ { 2 } , a _ { 2 } ) + \gamma \lambda \eta _ { 3 } + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { 3 } } ^ { s _ { 2 } } \Big [ \operatorname* { m i n } _ { a _ { 3 } , \eta _ { 4 } } \Big \{ \frac { \lambda } { \alpha } [ C ( s _ { 3 } , a _ { 3 } ) - \eta _ { 3 } ] _ { + } } \\ & { + ( 1 - \lambda ) C ( s _ { 3 } , a _ { 3 } ) + \gamma \lambda \eta _ { 4 } + \cdots \Big \} \Big ] \Big \} \Big ] \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { E } ( r , \omega , z = L ) = \frac { \omega } { i c L } e ^ { - i \omega L / c } \int r ^ { \prime } d r ^ { \prime } \tilde { E } _ { 0 } ( r ^ { \prime } , \omega ) \times . . . } \\ { J _ { 0 } \bigg ( \frac { \omega r r ^ { \prime } } { c L } \bigg ) \exp { \bigg [ \frac { i \omega ( r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) } { 2 c L } + i \theta ( r ^ { \prime } , \omega ) \bigg ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \hat { H } , \tau ] f } & { = [ \hat { T } , \tau ] f } \\ & { = \hat { T } ( \tau f ) - \tau \hat { T } f } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \boldsymbol { \nabla } _ { i } \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } ( \tau f ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \tau \nabla _ { i } ^ { 2 } f } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \boldsymbol { \nabla } _ { i } \cdot ( \tau \boldsymbol { \nabla } _ { i } f + f \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \tau \nabla _ { i } ^ { 2 } f } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ( \tau \nabla _ { i } ^ { 2 } f + f \nabla _ { i } ^ { 2 } \tau + 2 \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } f ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \tau \nabla _ { i } ^ { 2 } f } \\ & { = \Big ( - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \nabla _ { i } ^ { 2 } \tau - \sum _ { i } \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } \Big ) f } \end{array}
T = \frac { r _ { + } } { 2 \pi l ^ { 2 } } + \frac { l _ { 0 } ^ { 2 } Q ^ { 2 } \ln ( r _ { + } ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 2 \pi r _ { + } ( r _ { + } ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) } - \frac { Q ^ { 2 } ( r _ { + } ^ { 2 } - l _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 2 \pi r _ { + } ( r _ { + } ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) } - \frac { l _ { 0 } ^ { 2 } r _ { + } } { 2 \pi ( r _ { + } ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) l ^ { 2 } } .
\boldsymbol \kappa = \kappa _ { 0 } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial x _ { 0 } } / \frac { \partial y _ { 1 } } { \partial y _ { 0 } } , \frac { \partial y _ { 1 } } { \partial y _ { 0 } } / \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial x _ { 0 } } \right)
\begin{array} { r l } { \left< X _ { n } ( t ) X _ { m } ( 0 ) \right> } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { p = 1 } ^ { N } S _ { n m } S _ { n p } \left< \mathcal { X } _ { m } ( t ) \mathcal { X } _ { p } ( 0 ) \right> } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { N } S _ { n m } ^ { 2 } \left< \mathcal { X } _ { m } ( t ) \mathcal { X } _ { m } ( 0 ) \right> } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { N } S _ { n m } ^ { 2 } \frac { k _ { B } T } { \kappa \lambda _ { m } } e ^ { - \frac { \kappa } { \zeta } \Lambda _ { m } t } . } \end{array}
\tilde { W } _ { n m } ( \tau ) = \delta _ { n m } + \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } \int _ { \tau } ^ { t } d t ^ { \prime } \, K _ { n n ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } ) \tilde { W } _ { n ^ { \prime } m } ( t ^ { \prime } )
\sum _ { j \not = i } \sum _ { \pm } \int _ { B _ { i , \pm } } \big ( 1 + f _ { j } ( \partial _ { j } u ) \big ) ^ { \frac { 1 + \omega _ { i } ^ { \pm } } { \omega _ { i } ^ { \pm } - \beta _ { i } } } \Gamma ^ { ( \delta _ { i } - 1 ) \frac { 1 + \omega _ { i } ^ { \pm } } { \omega _ { i } ^ { \pm } - \beta _ { i } } } ( | \partial _ { j } u | ) \, \mathrm { d } x \leq c \, ,
\operatorname * { l i m } _ { t \rightarrow - \infty } f ( x , t ) = 4 \tan ^ { - 1 } \left[ \exp { ( \frac { \mu ( x + v t - \delta ) } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } } } ) } - \exp { ( - \frac { \mu ( x - v t + \delta ) } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } } } ) } \right] ,
{ \begin{array} { r l } & { { \mathrm { M i n i m i z e ~ } } \sum _ { x \in \mathbf { X } , y \in \mathbf { Y } } \gamma _ { x y } c _ { x y } + \varepsilon \gamma _ { x y } \ln \gamma _ { x y } } \\ & { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o : ~ } } } \\ & { \gamma \geq 0 } \\ & { \sum _ { y \in \mathbf { Y } } \gamma _ { x y } = \mu _ { x } , \forall x \in \mathbf { X } } \\ & { \sum _ { x \in \mathbf { X } } \gamma _ { x y } = \nu _ { y } , \forall y \in \mathbf { Y } } \end{array} }
( d g _ { 2 } ^ { t } ) _ { ( 0 , 0 ) } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] + t \left[ \begin{array} { l l } { p } & { q } \\ { r } & { s } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { h _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } } & { h _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } } \\ { h _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } } & { h _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { x ( t ^ { \prime } ) } & { = } & { \sqrt { 2 \, \chi ( t ^ { \prime } ) } \; \cos \theta ( t ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { b ( \epsilon , \phi ) \left[ \cos ( \omega _ { - } t ^ { \prime } ) \; - \frac \tan ( \phi / 2 ) \; \cos ( \omega _ { + } t ^ { \prime } ) \right] , } \\ { y ( t ^ { \prime } ) } & { = } & { \sqrt { 2 \, \chi ( t ^ { \prime } ) } \; \sin \theta ( t ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { b ( \epsilon , \phi ) \left[ \tan ( \phi / 2 ) \; \sin ( \omega _ { + } t ^ { \prime } ) \; - \frac \sin ( \omega _ { - } t ^ { \prime } ) \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left\| f _ { 1 } \cdots f _ { n } \right\| _ { r } } & { \leq \left\| f _ { 1 } \cdots f _ { n - 1 } \right\| _ { r } \left\| f _ { n } \right\| _ { \infty } } \\ & { \leq \left\| f _ { 1 } \right\| _ { p _ { 1 } } \cdots \left\| f _ { n - 1 } \right\| _ { p _ { n - 1 } } \left\| f _ { n } \right\| _ { \infty } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { w ( { \bf x } ) = w _ { j } + { \nabla } w _ { j } \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) + \frac { 1 } { 2 } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) ^ { t } { \nabla } ^ { 2 } w _ { j } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon \nabla ^ { 2 } \psi } & { = - e ( c _ { + } - c _ { - } ) , } \\ { \partial _ { t } c _ { \pm } } & { = - \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { j } _ { \pm } , } \\ { \boldsymbol { j } _ { \pm } } & { = - D \left( \boldsymbol { \nabla } c _ { \pm } \pm c _ { \pm } \beta e \boldsymbol { \nabla } \psi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \log \gamma } { d Y _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } } } } & { { } = \frac { 1 } { c _ { p } } \left( c _ { p _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } } } - c _ { p _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } } } \frac { ( W ) _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } } } { ( W ) _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } } } \right) - \frac { 1 } { c _ { v } } \left( c _ { v _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } } } - c _ { v _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } } } \frac { ( W ) _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } } } { ( W ) _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } } } \right) . } \end{array}
P ^ { \prime \prime } { } ^ { i j } = - \langle { u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } u ^ { \prime \prime } { } ^ { \ell } } \rangle \frac { \partial \langle { u } \rangle ^ { i } } { \partial x ^ { \ell } } - \langle { u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } u ^ { \prime \prime } { } ^ { \ell } } \rangle \frac { \partial \langle { u } \rangle ^ { j } } { \partial x ^ { \ell } } ,
A = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \frac { r ( 1 + | \beta | ^ { 2 } r ^ { 2 } ) } { ( 1 + | \beta | ^ { 2 } r ^ { 2 } + | \lambda | ^ { 2 } r ^ { 4 } ) ^ { 2 } } .
\frac { d } { d t } \Delta \theta ( t ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r } } } \left[ \frac { Q } { m \omega _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } h ( A _ { \mathrm { r s s } } ) \theta _ { \mathrm { d } } ( t ) + \theta _ { \mathrm { t h } } ( t ) \right] + \frac { d } { d t } \theta _ { \mathrm { d } } ( t ) .
\begin{array} { r l } { V _ { L } ( t ) } & { { } = L { \frac { \mathrm { d } I _ { L } } { \mathrm { d } t } } , } \\ { I _ { C } ( t ) } & { { } = C { \frac { \mathrm { d } V _ { C } } { \mathrm { d } t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| g \| _ { 2 , { \alpha } } ^ { 2 } } & { = \sum _ { z \in F } | g ( z ) | ^ { 2 } q ^ { - \alpha | z | } + \sum _ { z \in \Omega } | g ( z ) | ^ { 2 } q ^ { - \alpha | z | } } \\ & { = \sum _ { z \in F } | f ( z ) | ^ { 2 } q ^ { - \alpha | z | } + \sum _ { Q \in \mathcal { Q } } \sum _ { z \in Q } \left| \frac 1 { \mu _ { \alpha } ( Q ) } \sum _ { x \in Q } f ( x ) q ^ { - \alpha | x | } \right| ^ { 2 } q ^ { - \alpha | z | } } \\ & { \leq \sum _ { z \in F } \lambda | f ( z ) | q ^ { - \alpha | z | } + \mu _ { \alpha } ( \Omega ) C _ { \alpha } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \leq ( 1 + C _ { \alpha } ^ { 2 } ) \lambda \| f \| _ { 1 , \alpha } < + \infty , } \end{array}
z _ { \mathrm { s p a r s e } } \simeq \frac { k _ { 1 } } { N ( s _ { p } ^ { * } ) ^ { 2 } } \simeq \frac { k _ { 1 } } { \alpha ^ { 2 } } \, N ^ { 2 \eta - 1 } , \quad 0 < \eta < { 1 } / { 2 } ,
{ U _ { L } } _ { a \alpha } ( x ) \equiv \operatorname * { l i m } _ { y \to x } { \frac { \left| x - y \right| ^ { \gamma _ { m } } } { \kappa } } \epsilon ^ { i j } \epsilon _ { a b c } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } \psi _ { L i } ^ { b \beta } ( - \vec { v } _ { F } , x ) \psi _ { L j } ^ { c \gamma } ( \vec { v } _ { F } , y ) ,
\eta _ { m i n } ^ { \ell m _ { \ell } , \ell ^ { \prime } m _ { \ell } ^ { \prime } } = \arctan \left( \frac { \left| T _ { m _ { 1 A } m _ { 2 B } \ell m _ { \ell } \rightarrow f \ell ^ { \prime } m _ { \ell } ^ { \prime } } \right| } { \left| T _ { m _ { 2 A } m _ { 1 B } \ell m _ { \ell } \rightarrow f \ell ^ { \prime } m _ { \ell } ^ { \prime } } \right| } \right)
- \left( \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) ^ { 2 } k ^ { 2 } \kappa ^ { 4 } + \left( - 2 k ^ { 4 } \nu _ { o } \nu _ { 4 } + 2 k ^ { 4 } \nu _ { 4 } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) \kappa ^ { 2 } - k ^ { 2 } \left( k ^ { 2 } \nu _ { 4 } - \omega \right) \left( k ^ { 2 } \nu _ { 4 } + \omega \right)
\omega _ { a } = \sqrt { m _ { \pi } ^ { 2 } + Q _ { f } ^ { 2 } + q ^ { 2 } / 4 - Q _ { f } q z } \quad \mathrm { a n d } \quad \omega _ { b } = \sqrt { m _ { \pi } ^ { 2 } + Q _ { f } ^ { 2 } + q ^ { 2 } / 4 + Q _ { f } q z } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \psi } ^ { * } = \ } & { \frac { 1 } { \sqrt { - 2 \ln ( r _ { 1 } r _ { 3 } ) } } \left( \sqrt { - 2 \ln r _ { 1 } } \cos ( 2 \pi r _ { 2 } ) + \sqrt { - 2 \ln r _ { 1 } } \sin ( 2 \pi r _ { 2 } ) \boldsymbol { i } \right. } \\ & { + \left. \sqrt { - 2 \ln r _ { 3 } } \cos ( 2 \pi r _ { 4 } ) \boldsymbol { j } + \sqrt { - 2 \ln r _ { 3 } } \sin ( 2 \pi r _ { 4 } ) \boldsymbol { k } \right) } \end{array}
\operatorname* { m i n } \mathcal { J } ( \mathbf { q } ^ { 0 } , \dots , \mathbf { q } ^ { K } , \ensuremath { \mathbf { x } } ) \ \qquad \mathrm { s . t . } \qquad \ R ( \mathbf { q } ^ { i - 2 } , \mathbf { q } ^ { i - 1 } , \mathbf { q } ^ { i } , \ensuremath { \mathbf { x } } ) = 0 \ \forall \ i \in \{ 1 , \dots , K \} ,
\begin{array} { r l } { ( { \mathrm { i } } \, \hbar \, { \mathsf \Delta } _ { \textrm { \tiny B V } } \, \mathsf { H } ) ^ { 2 } \big ( \mathtt { v } _ { \sigma } \, \mathtt { e } ^ { p _ { 1 } } \odot _ { \star } \mathtt { u } _ { r } \, \mathtt { e } ^ { p _ { 2 } } \odot _ { \star } \bar { \mathtt { u } } _ { s ^ { \prime } } \, \mathtt { e } ^ { k _ { 2 } } \odot _ { \star } \delta _ { x _ { 2 } } ^ { A _ { \nu } } \big ) } & { = - \hbar ^ { 2 } \, \langle \mathtt { v } _ { \sigma } \, \mathtt { e } ^ { p _ { 1 } } , \mathsf { D } \, \mathsf { \Pi } ( \delta _ { x _ { 2 } } ^ { A _ { \nu } } ) \rangle _ { \star } \, \langle \mathsf { S } ( \mathtt { u } _ { r } \, \mathtt { e } ^ { p _ { 2 } } ) , \bar { \mathtt { u } } _ { s ^ { \prime } } \, \mathtt { e } ^ { k _ { 2 } } \rangle _ { \star } } \\ & { = - \hbar ^ { 2 } \, ( 2 \pi ) ^ { 4 } \, \delta ( p _ { 2 } + k _ { 2 } ) \, { \mathrm { e } } ^ { \, { \mathrm { i } } \, p _ { 1 } \cdot x _ { 2 } } \, \tilde { \mathsf { D } } ( p _ { 1 } ) \, \tilde { \mathsf { \Pi } } _ { \sigma \nu } ( p _ { 1 } ) \, \tilde { \mathsf { S } } _ { s ^ { \prime } r } ^ { + } ( k _ { 2 } ) } \end{array}
m _ { t } ( \mu ) = m _ { t } \left[ 1 - \left( { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } - { \frac { 3 \alpha _ { t } } { 1 6 \pi } } \right) \, \ln \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { M _ { t } ^ { 2 } } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { T _ { 2 } a } & { \leq \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \operatorname* { m i n } \{ 1 , \delta \} \right) + \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } \right| \geq \operatorname* { m i n } \{ 1 , \delta \} \right) } \\ & { + \mathbb { P } \left( \left[ \left| \gamma _ { p j } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p j } ^ { \mathrm { i n } } \right| + \left| \gamma _ { p j } ^ { \mathrm { o u t } } - \overline { { \gamma } } _ { p j } ^ { \mathrm { o u t } } \right| \right] \frac { L _ { 1 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ( [ \mathbf { p } _ { j } ] _ { i } , [ w _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } ) \right| \left( 1 + \| ( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } ) \| \right) \geq \epsilon \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 4 } ^ { q } = S _ { 1 4 } ^ { t h } = S _ { 2 3 } ^ { q } = S _ { 2 3 } ^ { t h } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } ( 1 + R ) , } } \\ { { S _ { 1 2 } ^ { q } = S _ { 1 2 } ^ { t h } = S _ { 3 4 } ^ { q } = S _ { 3 4 } ^ { t h } = \frac { 1 - R } { 1 + R } S _ { 1 4 } ^ { q } , } } \\ { { S _ { 1 3 } ^ { q } = S _ { 1 3 } ^ { s h } = S _ { 2 4 } ^ { q } = S _ { 2 4 } ^ { s h } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R T \bigg ( e V } { \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] } } \\ { { - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) } . } \end{array}
A ^ { \mu } = S _ { W } A _ { 3 } ^ { \mu } + C _ { W } \left[ \frac { T _ { W } } { \sqrt { 3 } } A _ { 8 } ^ { \mu } + ( 1 - T _ { W } ^ { 2 } / 3 ) ^ { 1 / 2 } B ^ { \mu } \right] ,
\displaystyle \psi ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j } , \mathbf { x } _ { k } ) = \frac { s ( \lambda | \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { k } | ) } { z _ { i } } \cdot \frac { ( \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { i } ) + ( \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { x } _ { i } ) } { 2 }
\bar { R } ( \bar { y } ) \sim \bigg [ \bar { A } _ { { R } } + \frac { 1 } { 2 } \Big ( \frac { \pi } { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { 2 } \bigg ] \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \bar { y } } + \cdots - \frac { \delta _ { 2 } } { 4 } \bigg ( \log ( 2 ) + \gamma + \log ( - \bar { y } ^ { 2 } ) + \cdots \bigg ) ,
\omega ( v _ { i } , v _ { j } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { j - i = n { \mathrm { ~ w i t h ~ } } 1 \leqslant i \leqslant n } \\ { - 1 } & { i - j = n { \mathrm { ~ w i t h ~ } } 1 \leqslant j \leqslant n } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \| v ^ { ( 3 ) } - v ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \| _ { L ^ { 1 } ( \mathcal { X } _ { 2 } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 } \ln t , } \\ { \| v ^ { ( 3 ) } - v ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { X } _ { 2 } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 / 2 } \ln t , } \end{array} \right. \qquad \zeta \in \mathcal { I } , \ t \geq 2 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { T _ { 6 } ( n ^ { 2 } + n ) + T _ { 5 } ( n ^ { 2 } + 3 n ) + ( n + 1 ) T _ { 4 } + T _ { 1 } + T _ { 2 } + T _ { 3 } + T _ { 7 } \leq k ( n ^ { 2 } + n ) + k ( n ^ { 2 } + 3 n ) + k n + 5 k } \\ { = } & { 2 k n ^ { 2 } + 5 k n + 5 k \leq 2 k n ^ { 2 } + 5 k n ^ { 2 } + 5 k n ^ { 2 } \ ( { \mathrm { f o r ~ } } n \geq 1 ) = 1 2 k n ^ { 2 } } \end{array} }
E _ { 1 } ( x ) = { \frac { e ^ { - x } } { G + ( 1 - G ) e ^ { - { \frac { x } { 1 - G } } } } } \ln \left[ 1 + { \frac { G } { x } } - { \frac { 1 - G } { ( h + b x ) ^ { 2 } } } \right] ,
\Gamma ^ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 9 } \langle M _ { u } \rangle \Delta u _ { Q M } + \frac { 4 } { 9 } \langle M _ { d } \rangle \Delta d _ { Q M } + \frac { 1 } { 9 } \langle M _ { s } \rangle \Delta s _ { Q M } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial { f ( p , \gamma ) } } { \partial { p } } = \frac { 1 - \gamma } { \gamma - p } - \log \frac { 1 - p } { \gamma - p } \geq 0 , } \\ & { \frac { \partial { f ( p , \gamma ) } } { \partial { \gamma } } = \frac { p ( \gamma - 1 ) } { \gamma ( \gamma - p ) } \left\{ \begin{array} { l l } { \leq 0 } & { \ \mathrm { i f } \ \gamma < 1 , } \\ { \geq 0 } & { \ \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\operatorname* { m i n } \left\{ \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i \leq r } \left| \frac { d _ { i } ^ { a } + 1 } { d _ { i } ^ { a } } + \frac { \Omega _ { B } ( x ) } { a _ { i } - \Omega _ { B } ( x ) } \right| , \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq \mu - N \leq s } \left| \frac { d _ { \mu } ^ { b } + 1 } { d _ { \mu } ^ { b } } + \frac { \Omega _ { A } ( x ) } { b _ { \mu } - \Omega _ { A } ( x ) } \right| \right\} \geq C \gamma .
Y _ { \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} } = V _ { \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 2 \} , \{ 3 , 4 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 2 \} , \{ 3 , 4 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 3 \} , \{ 2 , 4 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 3 \} , \{ 2 , 4 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 4 \} , \{ 2 , 3 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 4 \} , \{ 2 , 3 \} } \oplus B _ { \{ 2 , 3 \} , \{ 1 , 4 \} } \oplus T _ { \{ 2 , 3 \} , \{ 1 , 4 \} } \oplus B _ { \{ 2 , 4 \} , \{ 1 , 3 \} } \oplus T _ { \{ 2 , 4 \} , \{ 1 , 3 \} } \oplus B _ { \{ 3 , 4 \} , \{ 1 , 2 \} } \oplus T _ { \{ 3 , 4 \} , \{ 1 , 2 \} }
\mu _ { u } | u | \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \phantom { \rho } \partial _ { x x } p } \\ { \rho \partial _ { x x } u } \\ { \rho \partial _ { x x } v } \\ { \phantom { \rho } \partial _ { x x } s } \end{array} \right) } \end{array} + \delta U \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \gamma p } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array} + \delta p \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\_ E _ { \leftarrow } ^ { r } = { \frac { 1 } { 2 } } \Bigg [ M ^ { r } + \frac { \sqrt { \epsilon } } { \sqrt { \mu } } \frac { V } { c \epsilon _ { \/ { M D } } } - \frac { V } { c \sqrt { \mu _ { \/ { M D } } \epsilon _ { \/ { M D } } } } \Bigg ] \_ a _ { x } , \quad \_ E _ { \leftarrow } ^ { t } = { \frac { 1 } { 2 } } \Bigg [ M ^ { t } + \frac { \sqrt { \epsilon } } { \sqrt { \mu } } \frac { V } { c \epsilon _ { \/ { M D } } } + \frac { V } { c \sqrt { \mu _ { \/ { M D } } \epsilon _ { \/ { M D } } } } \Bigg ] \_ a _ { x } ,
\begin{array} { r l } { \binom { L } { K } \left( 1 - \frac { \binom { L - i } { K } } { \binom { L } { K } } \right) } & { \leq d < \binom { L } { K } \left( 1 - \frac { \binom { L - ( i + 1 ) } { K } } { \binom { L } { K } } \right) , } \\ { \implies \frac { \binom { L - ( i + 1 ) } { K } } { \binom { L } { K } } } & { < 1 - \frac { d } { \binom { L } { K } } \leq \frac { \binom { L - i } { K } } { \binom { L } { K } } . } \end{array}
{ \tilde { \rho _ { 1 } } } ^ { 1 2 } = { \tilde { \rho _ { 2 } } } ^ { 1 2 } = { \tilde { \rho _ { 3 } } } ^ { 1 2 } = { \tilde { \rho _ { 4 } } } ^ { 2 } = { \tilde { \rho _ { 4 } } } { \tilde { \rho _ { 5 } } } ^ { 2 } = \mathrm { i d e n t i t y } .
j ^ { \mu } = \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \left( \partial _ { \mu } \chi \right) } \Delta \chi + a ^ { \nu } \left[ \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \left( \partial _ { \mu } \chi \right) } \partial _ { \nu } \chi - { \cal L } \delta ^ { \mu } { } _ { \nu } \right]
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \sum _ { k = 1 } ^ { n + m } } & { \int _ { a _ { k } } ^ { b _ { k } } { u } _ { h k } \, \mathrm { d } x + \sum _ { i = 1 } ^ { n } H _ { i } - \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } H _ { j } + \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } H \big ( { u } _ { h j } ^ { - } ( b _ { j } ) , { u } _ { D j } \big ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } H \big ( { u } _ { D i } , { u } _ { h i } ^ { + } ( a _ { i } ) \big ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( x \cdot ^ { ' } y , z ) = } & { \Psi ( \alpha ^ { - 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( y ) , z ) = \Psi ( \alpha ^ { - 1 } ( x ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( y ) , \alpha ( \alpha ^ { - 1 } ( z ) ) ) } \\ { = } & { \Psi ( \alpha ( \alpha ^ { - 1 } ( x ) ) , \alpha ^ { - 1 } ( y ) \cdot \alpha ^ { - 1 } ( z ) ) = \Psi ( x , y \cdot ^ { ' } z ) , } \end{array}
Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) = \left\{ \begin{array} { r l r } { \quad } & { \sqrt { 2 } R e y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) , \quad } & { m > 0 } \\ { \quad } & { y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) , \quad } & { m = 0 } \\ { \quad } & { - \sqrt { 2 } I m y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) , \quad } & { m < 0 } \end{array} \right.
+ \left\{ \frac { k } { r ^ { 2 } } - \frac { k ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { \left[ \left( 1 - 2 \varepsilon \right) V _ { c o n f . } \left( r \right) - V _ { O G E } \left( r \right) \right] ^ { \prime } } { \left( E + \left( 1 - 2 \varepsilon \right) V _ { c o n f . } \left( r \right) - V _ { O G E } \left( r \right) + m \right) } \frac { k } { r } + \right.
- \frac { c _ { 0 } ^ { ( r ) } } { 2 } \delta _ { 0 i } + \delta _ { 2 i } = \sum _ { \ell = 1 } ^ { r } \ell ^ { i } c _ { \ell } ^ { ( r ) } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad ( i = 0 , 1 , \dots , r ) .