harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { p _ { \mathrm { C } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { C } } } { \mathrm { d } t } = \frac { 1 } { m _ { \mathrm { C } } } \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { C } } } { \mathrm { d } t } + \frac { 1 } { T _ { \mathrm { C } } } \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { C } } } { \mathrm { d } t } - \frac { 1 } { V _ { \mathrm { C } } } \frac { \mathrm { d } V _ { \mathrm { C } } } { \mathrm { d } t } - \frac { 1 } { \mathcal { W } _ { \mathrm { C } } } \frac { \mathrm { d } \mathcal { W } _ { \mathrm { C } } } { \mathrm { d } t }
\begin{array} { r } { R _ { n } ^ { [ 2 ] } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } \end{array} \right] + \Tilde { Z } ^ { [ 2 ] } , \quad R _ { n } ^ { [ 3 ] } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } \\ { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \end{array} \right] + \Tilde { Z } ^ { [ 3 ] } , } \end{array}
x = 1 + { \sqrt [ [object Object] ] { 2 } } - \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 2 } } \right) ^ { 2 } + \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 2 } } \right) ^ { 3 } - \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 2 } } \right) ^ { 4 } .
\begin{array} { r l } { p _ { k ( t ) } = } & { { } \frac { i } { \hbar \omega } { \bf d } \cdot { \bf F } _ { \mathrm { N I R } } \sum _ { n \, \mathrm { e v e n } } \Psi _ { P } ( n ) e ^ { - i ( \Omega + n \omega ) t } , } \end{array}
\delta [ d { \boldsymbol { \theta } } ^ { \mathrm { ~ N ~ R ~ } } ] = \mathcal { H } ^ { - 1 } \cdot [ - \delta \boldsymbol { \mathcal { G } } + \delta \mathcal { H } \cdot d { \boldsymbol { \theta } } ^ { \mathrm { ~ N ~ R ~ } } ] ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \psi } { \partial p _ { j , \ell } } ( \mathcal { P } , \alpha ) \ = \ } & { \frac { 1 } { N _ { m ^ { \prime } } } \sum _ { \boldsymbol { m } ^ { \prime } \in \mathcal { M ^ { \prime } } } \sum _ { s \in \mathcal { S } } \sum _ { \omega \in \mathcal { W } } \Re \, a _ { \ell } ( \boldsymbol { m } ^ { F W I } , \omega , s , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ; p _ { j } ) . } \end{array}
T = \left( \begin{array} { l l l l } { p _ { C C } \cdot q _ { C C } } & { p _ { C C } \cdot \bar { q } _ { C C } } & { \bar { p } _ { C C } \cdot q _ { C C } } & { \bar { p } _ { C C } \cdot \bar { q } _ { C C } } \\ { p _ { C D } \cdot q _ { D C } } & { p _ { C D } \cdot \bar { q } _ { D C } } & { \bar { p } _ { C D } \cdot q _ { D C } } & { \bar { p } _ { C D } \cdot \bar { q } _ { D C } } \\ { p _ { D C } \cdot q _ { C D } } & { p _ { D C } \cdot \bar { q } _ { C D } } & { \bar { p } _ { D C } \cdot q _ { C D } } & { \bar { p } _ { D C } \cdot \bar { q } _ { C D } } \\ { p _ { D D } \cdot q _ { D D } } & { p _ { D D } \cdot \bar { q } _ { D D } } & { \bar { p } _ { D D } \cdot q _ { D D } } & { \bar { p } _ { D D } \cdot \bar { q } _ { D D } } \end{array} \right) ,
{ I } _ { Z } ^ { + } ( \lambda , \mu ) : = \begin{array} { l } { \left\lbrace x _ { \alpha _ { 1 } } ^ { - } ( r , s ) , x _ { \alpha _ { 2 } } ^ { - } ( r ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) : r , s , r ^ { \prime } , s ^ { \prime } \in \mathbb N , \, r + s \geq 1 + r + \mu _ { 1 } , r ^ { \prime } + s ^ { \prime } \geq 1 + r ^ { \prime } + \lambda _ { 2 } \right\rbrace } \\ { \cup \{ x _ { \theta } ^ { - } ( r , s ) : r , s \in \mathbb N , \, r + s \geq 1 + r + \mu _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \} . } \end{array}
\mathbf { I } _ { L } = [ B _ { 0 } ^ { ( - P ) } , D _ { 0 } ^ { ( - P ) } , B _ { 0 } ^ { ( - P + 1 ) } , D _ { 0 } ^ { ( - P + 1 ) } , \cdots , B _ { 0 } ^ { ( P ) } , D _ { 0 } ^ { ( P ) } ] ^ { T } ,
H _ { f } = 4 \int \frac { d ^ { 3 } P } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \; \left( E _ { f } - { \frac { m _ { f } ^ { 2 } } { 2 E _ { f } } } \right) { \frac { d } { d E _ { f } } } ( f _ { f } - f _ { \bar { f } } ) \, .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { N S } } = } & { - \hat { \mathbf { V } } + \frac { 3 a } { 4 } \left( \mathbf { G } + \frac { a ^ { 2 } } { 3 } \mathbf { D } \right) \cdot \hat { \mathbf { V } } } \\ & { - \hat { \lambda } \frac { 3 a } { 1 6 } \left( \mathbf { G } ^ { \mathrm { e } } + \frac { a ^ { 2 } } { 3 } \mathbf { D } ^ { \mathrm { e } } \right) \cdot ( \mathbf { e } _ { z } \times \hat { \mathbf { V } } ) , } \end{array}
( g ^ { \alpha \beta } ) _ { \alpha , \beta = 0 , 1 , 2 , 3 } \, = \left( { \begin{array} { l l l l } { - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right)
\frac { 1 } { T ^ { \mathrm { { o n } } } ( p ) } = - \frac { M } { 4 \pi } \left( - \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { 2 } r _ { e } p ^ { 2 } + O ( { p ^ { 4 } } ) - i p \right) ,
\Delta _ { \mu \nu } ( p ) = \frac { 4 \pi } { \kappa } \frac { m } { p ^ { 2 } ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } ( m \varepsilon _ { \mu \nu \rho } p ^ { \rho } + \delta _ { \mu \nu } p ^ { 2 } - p _ { \mu } p _ { \nu } ) .
\begin{array} { r l } { L ( t , X , X _ { 0 } ) } & { : = \frac { \| X - X _ { 0 } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } + \frac { \| X _ { 0 } - \mu \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \sigma ^ { 2 } \| X - X _ { 0 } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } + \| X _ { 0 } - \mu \| ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } { 2 \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } } \\ & { = \frac { A ( t ) \| X _ { 0 } \| ^ { 2 } - B ( t , X ) X _ { 0 } + \sigma ^ { 2 } \| X \| ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } { 2 \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } } \\ & { = \frac { \sigma ^ { 2 } \| X \| ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } { 2 \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } + \frac { A \| X _ { 0 } - \frac { B } { 2 A } \| ^ { 2 } - \frac { B ^ { 2 } } { 4 A } } { 2 \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } } \\ & { = \frac { \sigma ^ { 2 } \| X \| ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } { 2 \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } - \frac { B ^ { 2 } } { 8 A \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } + \frac { A \| X _ { 0 } - \frac { B } { 2 A } \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } , } \end{array}
{ \frac { \partial u } { \partial t } } + u { \frac { \partial u } { \partial x } } + v { \frac { \partial u } { \partial y } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial p } { \partial x } } + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } } \right) + f _ { x } ( x , y , t )
\left[ - \frac { 1 } { 2 \mu } \frac { d ^ { 2 } } { d R ^ { 2 } } + \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } } { 2 \mu R ^ { 2 } } + V ( R ; \theta , \phi ) \right) \right] \psi _ { \upsilon ^ { \prime } } ( R ; \Omega ) = E \psi _ { \upsilon ^ { \prime } } ( R ; \Omega ) ,
\overline { { { I } } } _ { e f f } [ \overline { { { A } } } , a ] \; \equiv \; \left[ \frac { } { } I \left[ A \right] \; + \; I \left[ a \right] \; + \; I \left[ A , a \right] \right] _ { A = \overline { { { A } } } , \, { \cal K } = 0 } \; .
. B o t h ( c ) a n d ( d ) a r e s h o w n o n t h e s a m e s p a t i a l s c a l e a s ( a ) . ( e ) S p e c t r a l f l o w o f t h e r e a l p a r t s o f t h e 2 0 e i g e n v a l u e s o f
I m { \cal J } _ { C E } = \xi { \cal H } _ { g } ^ { \prime } ( \xi , \xi ) + \frac { \alpha _ { s } N _ { c } } { \pi } \int _ { \xi } ^ { 1 } \frac { d y } { y + \xi } { \cal H } _ { g } ( y , \xi ) \, ,
\partial _ { t } g _ { t } ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 s , } & { Q _ { \mu _ { 0 } } ( s ) < q \mathrm { ~ a n d ~ } t < \frac { q - Q _ { \mu _ { 0 } } ( s ) } { 2 s } , } \\ { 2 s - 2 , } & { Q _ { \mu _ { 0 } } ( s ) > q \mathrm { ~ a n d ~ } t < \frac { Q _ { \mu _ { 0 } } ( s ) - q } { 2 - 2 s } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { L ( { _ m \theta } ; Y _ { 0 : n } ) = \sum _ { x _ { 0 } = 1 } ^ { l } \cdots \sum _ { x _ { n } = 1 } ^ { l } \pi _ { _ m \theta } ( i _ { 0 } ) f ( Y _ { 0 } ; { _ m \theta } | x _ { 0 } ) \prod _ { j = 1 } ^ { n - m + 1 } p _ { _ m \theta } ( i _ { j - 1 } , i _ { j } ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } f ( Y _ { j } ; { _ m \theta } | x _ { j } , Y _ { j - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { y _ { \mathrm { e x p } } ( x _ { \mathrm { c a l } } , z _ { \mathrm { c a l } } ) = y ( x _ { \mathrm { c a l } } , z _ { \mathrm { c a l } } ) + e ( x _ { \mathrm { c a l } } , z _ { \mathrm { c a l } } ) = h _ { \mathrm { o b s } } ( x _ { \mathrm { c a l } } , \theta , z _ { \mathrm { c a l } } ) + e ( x _ { \mathrm { c a l } } , z _ { \mathrm { c a l } } ) , } \end{array}
H _ { o p } = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } r \left[ \mathrm { \bf ~ E } _ { o p } ^ { 2 } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + c ^ { 2 } ( \nabla \times \mathrm { \bf ~ A } _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ) ^ { 2 } \right] + \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 m _ { a } } \left[ - i \hbar \nabla _ { a } - q _ { a } \mathrm { \bf ~ A } _ { o p } ( \hat { \mathrm { \bf ~ r } } _ { a } ) \right] ^ { 2 } \; .
T _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] \leq - \gamma \bigg ( \frac { \partial E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] } { \partial \gamma } \Bigr | _ { \gamma \to 0 } \bigg ) + E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] \, ,
Z [ \, h \, ] = \int [ \, { \cal D } A \, ] _ { h } \, [ \, J _ { F P } \, ] _ { A , h } \, \exp i S [ \, h , A \, ] \left( \, d e t \; F _ { h } \, \right) ^ { - 1 } [ \, J _ { F P } \, ] _ { h } \, G ( h ) \,
\begin{array} { r } { \psi _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ e ~ r ~ } } \sim 1 - \epsilon \log { ( \epsilon ) } + \epsilon \bigg [ - \frac { \log { ( \hat { y } ) } } { 2 } + \frac { 1 } { 4 \hat { y } } + \cdots \bigg ] + \frac { \epsilon ^ { 2 } \log ^ { 2 } { ( \epsilon ) } } { 2 } \qquad \qquad \qquad \quad } \\ { + \epsilon ^ { 2 } \log { ( \epsilon ) } \bigg [ \frac { \log { ( \hat { y } ) } } { 2 } - \frac { 1 } { 4 \hat { y } } + \cdots \bigg ] + \epsilon ^ { 2 } \bigg [ \frac { \log ^ { 2 } { ( \hat { y } ) } } { 8 } - \frac { \log { ( \hat { y } ) } } { 8 \hat { y } } + \frac { 1 } { 8 \hat { y } } + \cdots \bigg ] + \cdots . } \end{array}
\eta _ { 1 } \frac { J _ { 0 } ^ { \prime } ( k _ { 1 } R ) } { J _ { 0 } ( k _ { 1 } R ) } = \frac { \frac { 2 i } { \pi } k _ { h } R [ \ln { ( k _ { h } R / 2 ) + \gamma ] + 1 + i \eta _ { h } \sigma _ { m } \eta _ { 0 } ^ { - 1 } \left( \frac { 2 i } { \pi } \right) } ] } { \frac { 2 i } { \pi } \eta _ { h } ^ { - 1 } + i \sigma _ { e } \eta _ { 0 } k _ { h } R \left[ \frac { 2 i } { \pi } \left( \ln { ( k _ { h } R / 2 ) + \gamma } \right) + 1 \right] }
( \Phi _ { 1 } ^ { 2 } , \cdots , \Phi _ { k } ^ { 2 } , \cdots , \Phi _ { n _ { c } - \tilde { n } _ { c } } ^ { 2 } ) = \Lambda ^ { 2 } ( \omega , \cdots , \omega ^ { 2 k - 1 } , \cdots , \omega ^ { 2 ( n _ { c } - \tilde { n } _ { c } ) - 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 1 } ^ { + } ( \Delta t ) } & { { } = \phi _ { B } ( \Delta t ) \circ \phi _ { A } ( \Delta t ) , } \\ { \Phi _ { 1 } ^ { - } ( \Delta t ) } & { { } = \phi _ { A } ( \Delta t ) \circ \phi _ { B } ( \Delta t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda = } & { { } \ - 2 p / q , } \\ { p = } & { { } \ x _ { 1 } ( - v _ { 2 } w _ { 3 } + v _ { 2 } w _ { 4 } + v _ { 3 } w _ { 2 } - v _ { 3 } w _ { 4 } - v _ { 4 } w _ { 2 } + v _ { 4 } w _ { 3 } ) + y _ { 1 } ( u _ { 2 } w _ { 3 } - u _ { 2 } w _ { 4 } - u _ { 3 } w _ { 2 } + u _ { 3 } w _ { 4 } + u _ { 4 } w _ { 2 } - u _ { 4 } w _ { 3 } ) } \\ { q = } & { { } \ ( - y _ { 2 } z _ { 3 } + y _ { 2 } z _ { 4 } + y _ { 3 } z _ { 2 } - y _ { 3 } z _ { 4 } - y _ { 4 } z _ { 2 } + y _ { 4 } z _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } z _ { 3 } - x _ { 2 } z _ { 4 } - x _ { 3 } z _ { 2 } + x _ { 3 } z _ { 4 } + x _ { 4 } z _ { 2 } - x _ { 4 } z _ { 3 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { h } ^ { ( r ) } ( s ) } & { = \frac { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ( 1 - p + ( 2 p - 1 ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ) } { 2 ( 1 - ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ) } } \\ & { \qquad + \frac { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ( 1 - p + ( 2 p - 1 ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ) } { 2 ( 1 - ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ) } , } \end{array}
\varphi _ { 2 } V _ { 2 } ( \varphi ) ( x ) - \upsilon _ { 2 } V _ { 2 } ( \upsilon ) ( x ) = V _ { 2 , m a x } \left( \left( 1 - \tilde { \varphi } ( x ) \right) \left[ \varphi _ { 2 } ( x ) - \upsilon _ { 2 } ( x ) \right] + \upsilon _ { 2 } ( x ) \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \left[ \varphi _ { i } ( x ) - \upsilon _ { i } ( x ) \right] \right) , \quad x \in \Omega .
m _ { G } ^ { 2 } \; = \; - 2 e ^ { 2 } \int _ { { \mathcal R } } \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \, \frac { \partial } { \partial p _ { \mu } } ( \frac { p _ { \mu } } { p ^ { 2 } } ) + 2 e ^ { 2 } \int _ { { \mathcal R } } \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \, \frac { \partial } { \partial p _ { \mu } } ( \frac { p _ { \mu } } { p ^ { 2 } + \Lambda ^ { 2 } } ) \; ,
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { Q } ( 1 ) } ( t , t ^ { \prime } ) = \frac { - 1 } { \omega N } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } \frac { \delta v _ { a b \sigma } ^ { ( \textrm { Q } ) y } ( \mathbf { k } , t ) } { \delta A _ { \textrm { p r o b } } ^ { x } ( t ^ { \prime } ) } G _ { b \sigma a \sigma } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t , t ) , } \\ & { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { Q } ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) = \frac { - 1 } { \omega N } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } v _ { a b \sigma } ^ { ( \textrm { Q } ) y } ( \mathbf { k } , t ) \frac { \delta G _ { b \sigma a \sigma } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t , t ) } { \delta A _ { \textrm { p r o b } } ^ { x } ( t ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { t + k , 1 } } & { = \Phi _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } Y _ { t + k - 1 , 1 } + \cdots + \Phi _ { d , 1 } ^ { ( 1 ) } Y _ { t + k - 1 , d } + \cdots + \Phi _ { 1 , 1 } ^ { ( k ) } Y _ { t , 1 } + \cdots + \Phi _ { d , 1 } ^ { ( k ) } Y _ { t , d } + Y _ { t , 1 } ^ { B _ { 1 } } \varepsilon _ { t , 1 } } \\ & { = \left( \Phi _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } \alpha _ { k - 1 , 1 } + \cdots + \Phi _ { d , 1 } ^ { ( 1 ) } \alpha _ { k - 1 , d } + \cdots + \Phi _ { 1 , 1 } ^ { ( k ) } + \cdots + \Phi _ { d , 1 } ^ { ( k ) } \alpha _ { 0 , d } \right) Y _ { t , 1 } + o _ { p } ( Y _ { t , 1 } ) } \end{array}
\int _ { D _ { 0 } ^ { 2 } } \big ( | \widetilde { \partial } _ { r } \mathbf { u } | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } | K ^ { \star } \mathbf { u } | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } | \partial _ { \theta } \mathbf { u } | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } | \partial _ { \phi } \mathbf { u } | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } | \mathbf { u } | ^ { 2 } \big ) \, \sin \theta \, d r \, d \theta \, d \phi \, d t \lesssim \int _ { \widetilde { \Sigma } _ { 0 } } \mathbf { J } _ { \mu } ^ { N } n _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } ^ { \mu } \, d V _ { \widetilde { \Sigma } _ { 0 } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] = \mathbb { E } \left[ \left( \left( 1 - \frac { \eta _ { i } \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) ^ { s / 2 } \right] , } \\ & { \mathbb { E } \left[ \log \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert \right] = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \log \left( \left( 1 - \frac { \eta _ { i } \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \bigg | _ { t = 0 } A _ { \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( u _ { t } ) } & { = 2 \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \dot { u } \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( u ) d \xi , } \\ { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \bigg | _ { t = 0 } A _ { \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( u _ { t } ) } & { = 2 \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \dot { u } \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( \dot { u } ) d \xi + 2 \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \ddot { u } \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( u ) d \xi . } \end{array}
{ \dot { y } } _ { ( \alpha ) } = \{ H , \ { y } _ { ( \alpha ) } \} = \{ E + U , \ { y } _ { ( \alpha ) } \} = { \frac { p _ { ( \alpha ) } } { E } } - { \frac { s \epsilon _ { ( \alpha ) ( \beta ) ( \gamma ) } p _ { ( \gamma ) } } { E ^ { 3 } } } { \frac { \partial U } { \partial { y } _ { ( \beta ) } } } ,
\begin{array} { r l } { \phi } & { { } = \sum _ { i } c _ { i } \phi _ { i } ( \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) , } \\ { \phi _ { i } } & { { } = ( 1 \pm \mathcal { P } _ { A \leftrightarrow B } ) ( 1 \pm \mathcal { P } _ { 1 \leftrightarrow 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - z ^ { 2 } \partial _ { r } ^ { 2 } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { } & { - 2 \frac { z ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m ) ! } } a ^ { m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \\ & { } & { \cdot [ m ( m - 1 ) \frac { 1 } { a } L _ { n } ^ { m } \left( a \right) + 2 L _ { n } ^ { m + 1 } \left( a \right) } \\ & { } & { - ( 4 n + 2 m + 3 ) L _ { n } ^ { m } \left( a \right) + a L _ { n } ^ { m } \left( a \right) ] , } \end{array}
\left. \begin{array} { r c l } { \widehat { \rho } } & { \equiv } & { \cos \theta \; \widehat { \sf 1 } \; - \; \sin \theta \; \widehat { \sf 2 } } \\ { \widehat { \bot } } & { \equiv } & { - \; \sin \theta \; \widehat { \sf 1 } \; - \; \cos \theta \; \widehat { \sf 2 } } \end{array} \right\} ,
\begin{array} { r } { \left[ \hat { T } _ { R } + V _ { j \ell , j \ell } ^ { J } ( R ) + \epsilon _ { j } - E _ { n } ^ { J } \right] \psi _ { j \ell , n } ^ { J } ( R ) } \\ { = - \sum _ { j ^ { \prime } \ell ^ { \prime } } ^ { ' } V _ { j \ell , j ^ { \prime } \ell ^ { \prime } } ^ { J } ( R ) \psi _ { j ^ { \prime } \ell ^ { \prime } , n } ^ { J } ( R ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 1 } ( \delta , v ) } & { = \sum _ { \mathbf { J } \in \operatorname { \mathbf { a d } } ( \gamma ) } \chi ( \mathbf { J } ) \prod _ { c \in A } ( i \omega \cdot \gamma _ { \mathbf { J } } ( c ) ) ^ { - 1 } , } \\ { \Omega _ { 2 } ( \delta , v ) } & { = \sum _ { \mathbf { J } \in \operatorname { \mathbf { a d } } ^ { * } ( \gamma ) } \chi ( \mathbf { J } ) \prod _ { c \in A \setminus \{ n \} } ( i \omega \cdot \gamma _ { \mathbf { J } } ( c ) ) ^ { - 1 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Theta _ { \Lambda _ { 2 4 } } ( \tau ) } & { = E _ { 1 2 } ( \tau ) - { \frac { 6 5 5 2 0 } { 6 9 1 } } \Delta ( \tau ) } \\ & { = 1 + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { 6 5 5 2 0 } { 6 9 1 } } \left( \sigma _ { 1 1 } ( m ) - \tau ( m ) \right) q ^ { m } } \\ & { = 1 + 1 9 6 5 6 0 q ^ { 2 } + 1 6 7 7 3 1 2 0 q ^ { 3 } + 3 9 8 0 3 4 0 0 0 q ^ { 4 } + \cdots , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } } & { { } = \hat { K } \sin \big ( \omega \dot { x } _ { 1 } \big ) e ^ { - \nu \dot { x } _ { 1 } ^ { 2 } } - K F \big ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } \big ) , } \\ { \ddot { x } _ { 2 } } & { { } = \hat { K } \sin \big ( \omega \dot { x } _ { 2 } \big ) e ^ { - \nu \dot { x } _ { 2 } ^ { 2 } } + K F \big ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } \big ) . } \end{array}
z _ { \mathrm { m i n } } = \frac { \displaystyle \frac { y _ { 0 } } { 2 } - y + \frac { M _ { c } ^ { 2 } } { M _ { B } ^ { 2 } } - \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } - 4 \alpha } } \left[ - \frac { y _ { 0 } } { 2 } + \frac { y } { x } + \frac { \alpha } { x } \right] } { \displaystyle 1 - \frac { y _ { 0 } } { 2 } - \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } - 4 \alpha } } \left[ - \frac { y _ { 0 } } { 2 } + \frac { y } { x } + \frac { \alpha } { x } \right] } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) } & { = p ^ { 2 } \int _ { \omega } \Bigg \{ - \left[ \frac { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) } { \omega } \right] ^ { 2 } \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega - \varpi , p ) } \\ & { + \frac 1 { 2 \omega ^ { 2 } } \Bigg [ \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi + \omega , p ) - 2 \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) + \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi - \omega , p ) \Bigg ] \Bigg \} \times \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { \nu } } & { { } = \cos ( \chi ) \big ( \! \sin ( \alpha ) \cos ( \beta ) \cos ( \psi ) + \cos ( \alpha ) \sin ( \psi ) \big ) } \\ { y _ { \nu } } & { { } = \sin ( \chi ) \big ( \! \sin ( \alpha ) \cos ( \beta ) \cos ( \psi ) + \cos ( \alpha ) \sin ( \psi ) \big ) } \end{array}
J _ { \Omega _ { \sigma } } = \frac { \mathrm { d } N _ { \Omega _ { \sigma } } } { \mathrm { d } \tau \mathrm { d } S } = \frac { 2 \varepsilon _ { 0 } c _ { 0 } \mathcal { E } _ { \sigma } ^ { ( + ) } \mathcal { E } _ { \sigma } ^ { ( - ) } } { \hbar \omega _ { 0 } } = \frac { \Omega _ { \sigma } ^ { ( + ) } \Omega _ { \sigma } ^ { ( - ) } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { r } } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \| v _ { x } ^ { \prime } \| _ { \infty , \: h } } { \overline { { v _ { x } } } } \sim \frac { \| v _ { y } ^ { \prime } \| _ { \infty , \: h } } { \overline { { v _ { y } } } } = \mathcal { O } ( \varepsilon ) . } \end{array}
A _ { a } ^ { ( 1 , \alpha ) \mu } ( X ) = - G _ { r } ^ { \mu \mu ^ { \prime } } ( X , X _ { 1 } ) \ g f _ { a b c } \ A _ { b } ^ { ( 0 ) \sigma } ( X _ { 1 } ) \ [ \ \partial _ { \mu ^ { \prime } } A _ { \sigma } ^ { ( 0 ) c } - \partial _ { \sigma } A _ { \mu ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) c } ( X ) \ ] ( X _ { 1 } )
\gamma \frac { \partial \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ( r _ { s } / \gamma ) } { \partial \gamma } \geq - \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ( \infty ) + \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ( r _ { s } / \gamma ) \, .
\Delta \theta _ { \mathrm { { T } } } \approx \frac { < p _ { \bot } ^ { \mathrm { { H } } } > } { < p _ { \parallel } ^ { \mathrm { { H } } } > } \approx 9 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \approx 1 5 ^ { \prime \prime } .
F ^ { - 1 } \simeq 1 + { \frac { m _ { 0 } } { R ^ { 3 } } } \, , \qquad \omega _ { i } d x ^ { i } \simeq { \frac { m _ { 0 } a ( x ^ { 1 } d x ^ { 2 } - x ^ { 2 } d x ^ { 1 } ) } { R ^ { 5 } } } \, .
{ \frac { D \mathbf { u } } { D t } } = - { \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } } \nabla p + \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \rho ^ { \prime } \mathbf { g } + 2 \mathbf { \Omega } \times \mathbf { u } + \mathbf { \Omega } \times \mathbf { \Omega } \times \mathbf { R } + { \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } } \mathbf { J } \times \mathbf { B } ,