harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Big [ n _ { i } ^ { 2 } \Big ] } & { = } & { \frac { 1 } { z _ { i } ^ { ( 0 ) } } \frac { \partial ^ { 2 } z _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \partial ( - \beta \omega _ { i } ) ^ { 2 } } = 2 f _ { i } ^ { 2 } + f _ { i } , } \\ { \Big [ { n _ { i } ^ { 3 } } \Big ] } & { = } & { \frac { 1 } { z _ { i } ^ { ( 0 ) } } \frac { \partial ^ { 3 } z _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \partial ( - \beta \omega _ { i } ) ^ { 3 } } = 6 f _ { i } ^ { 3 } + 6 f _ { i } ^ { 2 } + f _ { i } , } \\ { \Big [ { n _ { i } ^ { 4 } } \Big ] } & { = } & { \frac { 1 } { z _ { i } ^ { ( 0 ) } } \frac { \partial ^ { 4 } z _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \partial ( - \beta \omega _ { i } ) ^ { 4 } } = 2 4 f _ { i } ^ { 4 } + 3 6 f _ { i } ^ { 3 } + 1 4 f _ { i } ^ { 2 } + f _ { i } . } \end{array}
j ^ { 1 } ( x , t ) \Bigm | _ { x = 0 } = \frac { 1 } { 2 } ( \psi _ { 1 } ^ { \dagger } ( 0 ) \psi _ { 1 } ( 0 ^ { - } ) - \psi _ { 2 } ^ { \dagger } ( 0 ) \psi _ { 2 } ( 0 ^ { - } ) + \psi _ { 1 } ^ { \dagger } ( 0 ^ { - } ) \psi _ { 1 } ( 0 ) - \psi _ { 2 } ^ { \dagger } ( 0 ^ { - } ) \psi _ { 2 } ( 0 ) ) = 0 ,
\begin{array} { r } { F ( \psi _ { 0 } ) = - r _ { 1 } + \frac { t _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 1 } e ^ { - i \psi _ { 0 } } } { 1 - r _ { 1 } r _ { 2 } e ^ { - i \psi _ { 0 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { Q } _ { U } ( \mathfrak n \in T ) } & { = \mathbb { Q } _ { U } ( \mathfrak m _ { | \mathfrak n | - 1 } \in T , \; U _ { j , k } \le \beta ) } \\ & { = \mathbb { Q } _ { U } ( \mathfrak m _ { | \mathfrak n | - 1 } \in T , \; U _ { j , \mathfrak I _ { d , j } ^ { 2 } \circ \mathfrak I _ { d , j } ^ { 1 } ( \mathfrak n ) } \le \beta ) } \\ & { = \mathbb { Q } _ { U } ( \mathfrak m _ { | \mathfrak n | - 2 } \in T , \; U _ { j - 1 , \mathfrak I _ { d , j - 1 } ^ { 2 } \circ \mathfrak I _ { d , j - 1 } ^ { 1 } ( \mathfrak m _ { | \mathfrak n | - 1 } ) } \le \beta , \; U _ { j , \mathfrak I _ { d , j } ^ { 2 } \circ \mathfrak I _ { d , j } ^ { 1 } ( \mathfrak n ) } \le \beta ) } \\ & { = \mathbb { Q } _ { U } ( U _ { 1 , \mathfrak I _ { d , 1 } ^ { 2 } \circ \mathfrak I _ { d , 1 } ^ { 1 } ( \mathfrak m _ { 1 } ) } \le \beta , \dots , U _ { j , \mathfrak I _ { d , j } ^ { 2 } \circ \mathfrak I _ { d , j } ^ { 1 } ( \mathfrak n ) } \le \beta ) } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { j } \mathcal { P } _ { U } ( U _ { i , \mathfrak I _ { d , i } ^ { 2 } \circ \mathfrak I _ { d , i } ^ { 1 } ( \mathfrak m _ { i } ) } \le \beta ) } \\ & { = \beta ^ { j } . } \end{array}
V ( \varphi , \chi ) = \frac { 1 } { 2 } m _ { \varphi } ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } \chi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda \left( \chi ^ { 2 } - v ^ { 2 } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \left. \frac { \mathrm { d } } { \alpha } \frac { M ^ { \prime } ( \alpha ) } { \mathrm { d } M ( \alpha ) ^ { 2 } } \right| _ { \alpha = 0 } = 0 } \\ { - \left. \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } \alpha ^ { 2 } } \frac { M ^ { \prime } ( \alpha ) } { M ( \alpha ) ^ { 2 } } \right| _ { \alpha = 0 } < 0 . } \end{array}
\partial _ { \phi } W = { \frac { 3 ( \chi \xi - 1 ) \phi ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } ( \chi - \xi ) \phi - 1 } { 3 \, [ \phi ( 1 + \sqrt { 3 } \chi \phi + \phi ^ { 2 } ) ] ^ { \frac { 4 } { 3 } } } } \ .
\begin{array} { r l } { \overline { { \theta } } _ { \alpha } ^ { s } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { d \rightarrow 0 } \mathrm { ~ } \theta _ { \alpha } ^ { s } ( x , d ) , } \\ { \underline { { \theta } } _ { \alpha } ^ { s } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { d \rightarrow 0 } \mathrm { ~ } \theta _ { \alpha } ^ { s } ( x , d ) , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \theta _ { H } \rightarrow 0 } q _ { T } ^ { 2 } = Q ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { x } - 1 \right) \left( \frac { \theta _ { H } ^ { 2 } } { 4 } + . . . \right) \rightarrow 0 .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \langle \epsilon \rangle / \nu } & { { } = 2 \langle S _ { i j } S _ { i j } \rangle = 1 5 \langle A _ { 1 1 } ^ { 2 } \rangle \ , } \\ { \langle \Omega \rangle } & { { } = 2 \langle R _ { i j } R _ { i j } \rangle = 1 5 \langle A _ { 1 1 } ^ { 2 } \rangle \ . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = \frac { \gamma s ^ { 2 } } { 1 + \gamma s ^ { 2 } } } \\ { x _ { 2 } } & { { } = \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { x x } } & { } & { \varepsilon _ { x y } } \\ { \varepsilon _ { y x } } & { } & { \varepsilon _ { y y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { \perp } \cos ^ { 2 } \theta + \varepsilon _ { \parallel } \sin ^ { 2 } \theta } & { } & { \left( \varepsilon _ { \perp } - \varepsilon _ { \parallel } \right) \cos \theta \sin \theta } \\ { \left( \varepsilon _ { \perp } - \varepsilon _ { \parallel } \right) \cos \theta \sin \theta } & { } & { \varepsilon _ { \parallel } \cos ^ { 2 } \theta + \varepsilon _ { \perp } \sin ^ { 2 } \theta } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { f i } } & { { } = - \ensuremath { \langle \delta f | } \ensuremath { \boldsymbol { { \mathbfcal { E } } } } _ { L } \cdot { \v { D } } \ensuremath { | i \rangle } - \ensuremath { \langle f | } \ensuremath { \boldsymbol { { \mathbfcal { E } } } } _ { L } \cdot { \v { D } } \ensuremath { | \delta i \rangle } = { { \mathcal { E } } } _ { L } { { \mathcal { E } } } _ { S } a _ { f i } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( 2 b ^ { | W _ { M } | \cdots | W _ { M - n _ { 3 } ( H ) + 1 } | + 7 + | W _ { M + 1 } | } + 1 \right) ^ { n _ { 3 } ( H ) } } \\ & { \leq \left( 3 b ^ { | W _ { M } | \cdots | W _ { M - n _ { 3 } ( H ) + 1 } | + 7 + | W _ { M + 1 } | } \right) ^ { n _ { 3 } ( H ) } } \\ & { \leq 3 ^ { n _ { 3 } ( H ) } b ^ { 7 n _ { 3 } ( H ) } b ^ { n _ { 3 } ^ { 2 } ( H ) \operatorname* { m a x } \left\{ | W _ { M + 1 - k } | \ : \ 0 \leq k \leq n _ { 3 } ( H ) \right\} } . } \end{array}
\langle { \frac { d { \cal { E } } } { d t } } \rangle _ { 1 } = { \frac { 2 \pi ^ { 3 / 2 } \alpha _ { s } \langle E ^ { 2 } \rangle \tau _ { c } } { 3 m } } ( { \frac { 1 - v _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 + v _ { 0 } ^ { 2 } } } ) ^ { 3 / 2 } { \frac { Q _ { 0 } ^ { 2 } } { N _ { c } ^ { 2 } - 1 } }
\begin{array} { r } { \partial _ { x } q ( 0 , 0 _ { + } ) = \Delta _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } \approx \frac { 1 } { \Delta x } \left( q _ { i + 1 } ^ { n } - q _ { i } ^ { n } \right) , } \\ { \partial _ { x } \left( \alpha \partial _ { x } q \right) \left( 0 , 0 _ { + } \right) \ = \left( \Delta \alpha \Delta \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } } \\ { \approx \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \left[ \alpha _ { i + 1 } ^ { n } \left( q _ { i + 2 } ^ { n } - q _ { i + 1 } ^ { n } \right) - \alpha _ { i } ^ { n } \left( q _ { i } ^ { n } - q _ { i - 1 } ^ { n } \right) \right] } \end{array}
\frac { d } { d t } \rho _ { r w a } = - \frac { i } { \lambda } [ \hat { H } _ { F \gamma } ^ { ( T ) } , \rho _ { r w a } ] + \kappa \Big ( \hat { a } \rho _ { r w a } \hat { a } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \{ \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } , \rho _ { r w a } \} \Big ) + \eta \Big ( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \rho _ { r w a } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \frac { 1 } { 2 } \{ ( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } ) ^ { 2 } , \rho _ { r w a } \} \Big ) .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { U _ { y } } ^ { j m } ( t ) \equiv - i ( 1 - T ) \mathrm { I m } \{ \Delta _ { m } ^ { * } ( t ) U _ { y } ^ { j m } ( t ) \Delta _ { j } ( t ) \} - } \\ { - \Big ( \frac { \kappa ^ { 2 } } { a _ { x } ^ { 2 } } \Big ) [ U _ { x } ^ { m l } ( t ) U _ { y } ^ { l i } ( t ) U _ { x } ^ { i j } ( t ) U _ { y } ^ { j m } ( t ) \cdot } \\ { \cdot U _ { x } ^ { m n } ( t ) U _ { y } ^ { n k } ( t ) U _ { x } ^ { k j } ( t ) U _ { y } ^ { j m } ( t ) - 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } X _ { \alpha , i } ^ { { r _ { I } } , N } ( t ) } & { = - \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { S } } N ^ { - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla { V _ { \alpha \beta } ^ { r _ { I } } } \left( X _ { \alpha , i } ^ { { r _ { I } } , N } ( t ) - X _ { \beta , j } ^ { { r _ { I } } , N } ( t ) \right) \, \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \sigma _ { \alpha } } \, \mathrm { d } B _ { \alpha , i } ( t ) } \\ { X _ { \alpha , i } ^ { { r _ { I } } , N } ( 0 ) } & { = \eta _ { \alpha , i } , \qquad \alpha = 1 , \ldots , { n _ { S } } , \quad i = 1 , \ldots , N . } \end{array}
\left( - \partial _ { r } ^ { 2 } - { \frac { \partial _ { r } } { r } } + { \frac { ( j - 1 / 2 ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } + f ^ { 2 } \right) h _ { 4 } = \omega ^ { 2 } h _ { 4 }
\begin{array} { r l } { \rho _ { _ { 1 } } } & { { } = I _ { 1 z } - I _ { 2 z } ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ \rho _ { S _ { 0 } } = - \mathbf { I } _ { 1 } \cdot \mathbf { I } _ { 2 } , } \end{array}
\sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } z ^ { n } q ^ { n ^ { 2 } } = \prod _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( 1 - q ^ { 2 n + 2 } \right) ~ \left( 1 + z q ^ { 2 n + 1 } \right) ~ \left( 1 + z ^ { - 1 } q ^ { 2 n + 1 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \rho _ { e g } ( \mathbf { r } ) } & { \approx } & { \rho _ { e g } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { p } ( \mathbf { r } ) + \rho _ { e g } ^ { ( 3 1 ) } | \Omega _ { p } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \Omega _ { p } ( \mathbf { r } ) } \\ & { + } & { N _ { a } { \int } \rho _ { e g } ^ { ( 3 2 ) } ( \mathbf { r } _ { \bot } - \mathbf { r _ { \bot } ^ { \prime } } ) | \Omega _ { p } ( \mathbf { r _ { \bot } ^ { \prime } } , z ) | ^ { 2 } d \mathbf { r } _ { \bot } ^ { \prime } \Omega _ { p } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
| \beta _ { 2 } | ^ { 2 N } \approx | \frac { 1 - 2 \Delta \beta _ { 2 } + \Delta _ { - } \beta _ { 2 } } { 1 - 2 \Delta \Delta _ { - } + \Delta _ { - } \beta _ { 2 } } \frac { 1 - 2 \Delta \beta _ { 2 } + \Delta _ { - } ^ { - 1 } \beta _ { 2 } } { 1 - 2 \Delta \Delta _ { - } ^ { - 1 } + \Delta _ { - } \beta _ { 2 } } | .
\Gamma ^ { - 1 } ( \overline { { { \nu } } } K ^ { + } ) _ { n e w } ^ { M e d i a n } \, \approx \, ( 0 . 7 \, \mathrm { - } \, 5 ) \times 1 0 ^ { 3 3 } \, \mathrm { y r s . } \, \, \mathrm { ( S O ( 1 0 ) o r ~ s t r i n g ~ G ( 2 2 4 ) ) } ( \mathrm { ~ I n d e p . ~ o f ~ } \tan \beta ) .
M _ { u , d } = c _ { u , d } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { e ^ { i r } } } & { { 1 } } \\ { { e ^ { i q } } } & { { 1 } } & { { e ^ { i ( q - r ) } } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { n _ { k } = \frac { \mu } { A _ { k } } \prod _ { 1 \leq j \leq k } \left( 1 + \frac { \mu } { A _ { j } } \right) ^ { - 1 } } & { \sim \frac { \mu } { k } \exp \left[ - \int _ { 1 } ^ { k } \ln \left( 1 + \frac { \mu } { j } \right) \, d j \right] } \\ & { \sim \frac { \mu } { k } \exp \left[ - \mu \int _ { 1 } ^ { k } \frac { d j } { j } \right] } \\ & { \sim k ^ { - ( 1 + \mu ) } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \gamma } \sin \left( \left( 2 \alpha + \gamma - \mu \right) \pi \right) } \end{array}
\Delta u _ { i } ( j ) = \sum _ { d = 1 } ^ { D _ { b } } b _ { d } \operatorname* { m a x } ( e _ { j d } - e _ { i d } , 0 ) - \big \| { \mathbf { c } } _ { \alpha } \circ ( { \mathbf { e } } _ { j } - { \mathbf { e } } _ { i } ) \big \| _ { 2 } .
R ^ { - 2 } \bar { g } = 2 d x ^ { + } d x ^ { - } - 4 \left( \sum _ { a } \lambda _ { a } ^ { 2 } x ^ { a } x ^ { a } \right) ( d x ^ { - } ) ^ { 2 } + \sum _ { a } d x ^ { a } d x ^ { a } ~ ,
\begin{array} { r l } { c _ { s } ^ { + } } & { { } = u _ { y } + \frac { \partial _ { u _ { y } } P _ { y y } ^ { * } } { 2 \rho } + \sqrt { { \left( \frac { \partial _ { u _ { y } } P _ { y y } ^ { * } } { 2 \rho } \right) } ^ { 2 } + { \varsigma } ^ { 2 } + \partial _ { \rho } P _ { y y } ^ { * } } , } \\ { c _ { s } ^ { - } } & { { } = u _ { y } + \frac { \partial _ { u _ { y } } P _ { y y } ^ { * } } { 2 \rho } - \sqrt { { \left( \frac { \partial _ { u _ { y } } P _ { y y } ^ { * } } { 2 \rho } \right) } ^ { 2 } + { \varsigma } ^ { 2 } + \partial _ { \rho } P _ { y y } ^ { * } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] J = } & { { } \parallel \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } - \boldsymbol { w } ^ { i } \parallel _ { \mathsf { P } } ^ { 2 } + \parallel \mathsf { y } ^ { \boldsymbol { u } } - \mathcal { H } [ \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } ] \parallel _ { \mathsf { R } } ^ { 2 } } \end{array}
\hat { \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } } _ { r } = \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \; \hbar \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \; \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha }
\begin{array} { r } { S _ { 0 } ( { \bf k } , \omega ) = } \\ { \left( \frac { m } { 2 \pi k ^ { 2 } k _ { \mathrm { B } } T } \right) ^ { 1 / 2 } \exp \left[ - \frac { m } { 2 k ^ { 2 } k _ { \mathrm { B } } T } \left( \omega - \frac { \hbar k ^ { 2 } } { 2 m } \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\mathbb { E } [ ( \mathrm { B O } ) ] \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { O } \left( \epsilon ^ { - 2 } \right) } & { \mathrm { u n d e r ~ \mathrm { T S } ~ w i t h ~ p r i o r ~ } k < 1 , } \\ { \mathcal { O } \left( \epsilon ^ { - \operatorname* { m a x } ( 2 , k + 1 ) } \right) } & { \mathrm { u n d e r ~ \mathrm { T S } \mathrm { - } \mathrm { T } ~ w i t h ~ p r i o r ~ } k \in \mathbb { R } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \left( 1 - \delta \right) \left( \gamma \psi , \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } \right) _ { Q _ { T } } } \\ { = } & { - \frac { 1 } { 1 - \delta } \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 1 - \delta } , \psi \right) _ { Q _ { T } } - \frac { 1 } { 2 - \delta } \left( \partial _ { x } \left( \gamma \psi \right) , \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 - \delta } \right) _ { Q _ { T } } + \left( \psi g _ { 0 } , \tilde { u } _ { n } ^ { 1 - \delta } \right) _ { Q _ { T } } - \left( \psi g _ { 0 } , \frac { 1 } { n } \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } . } \end{array}
\left[ \phi _ { 1 } + \phi _ { 1 ^ { \prime } } + \, \phi _ { 2 1 } + \phi _ { 2 1 ^ { \prime } } + \phi _ { 2 2 } + \phi _ { 2 2 ^ { \prime } } + F ( r , z ) \right] \big | _ { { \upSigma } _ { b 2 } } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { \Phi } ^ { ( n ) } ( x , \lambda ) } & { = } & { \boldsymbol { \sigma } ^ { ( n ) } ( x , \lambda ) \cdot \mathbf { \Phi } ^ { ( n - 1 ) } ( x , \lambda ) , } \\ { \sigma _ { m l } ^ { ( n ) } ( x , \lambda ) } & { = } & { \delta _ { m l } + \frac { \lambda _ { n } - \lambda _ { n } ^ { * } } { \lambda - \lambda _ { n } } \frac { q _ { n m } ^ { * } q _ { n l } } { | \mathbf { q _ { n } } | ^ { 2 } } , } \end{array}
\mathcal { L } ( \mathrm { Y } , \hat { \mathrm { Y } } ) = \alpha \mathcal { L } _ { L ^ { 1 } } ( \mathrm { Y } , \hat { \mathrm { Y } } ) + \beta \mathcal { L } _ { \mathrm { S S I M } } ( \mathrm { Y } , \hat { \mathrm { Y } } ) + \gamma \mathcal { L } _ { \mathrm { s m o o t h } } ( \mathrm { Y } , \hat { \mathrm { Y } } ) + \delta \mathcal { L } _ { \boldsymbol { E } } ( \mathrm { Y } , \hat { \mathrm { Y } } ) ,
\begin{array} { r l } { u } & { { } = { \frac { I } { n A q } } } \\ { u } & { { } = { \frac { 1 { \mathrm { C } } / { \mathrm { s } } } { \left( 8 . 5 \times 1 0 ^ { 2 8 } { \mathrm { m } } ^ { - 3 } \right) \left( 3 . 1 4 \times 1 0 ^ { - 6 } { \mathrm { m } } ^ { 2 } \right) \left( 1 . 6 \times 1 0 ^ { - 1 9 } { \mathrm { C } } \right) } } } \\ { u } & { { } = 2 . 3 \times 1 0 ^ { - 5 } { \mathrm { m } } / { \mathrm { s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { n } } & { { } = E _ { n } ^ { ( 0 ) } + \lambda E _ { n } ^ { ( 1 ) } + \lambda ^ { 2 } E _ { n } ^ { ( 2 ) } + \cdots } \\ { | n \rangle } & { { } = \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle + \lambda \left| n ^ { ( 1 ) } \right\rangle + \lambda ^ { 2 } \left| n ^ { ( 2 ) } \right\rangle + \cdots } \end{array}
\, \, { \boldsymbol { \sigma } } = - p \, { \boldsymbol { I } } + 2 \mu \, { \dot { \boldsymbol { \varepsilon } } } + \lambda \, { \mathrm { t r } } ( { \dot { \boldsymbol { \varepsilon } } } ) \, { \boldsymbol { I } } \,
\begin{array} { r l r } { c p _ { 2 } } & { = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } - c \left( p _ { y } + p _ { 2 } \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) \right) } & { \mathrm { S u b s t i t u t i o n ~ o f ~ } \mathrm { ~ i n ~ } } \\ { c p _ { 2 } + c p _ { 2 } \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } & { = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } - c p _ { y } } & \\ { c p _ { 2 } } & { = \frac { 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } - c p _ { y } } { 1 + \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } } & \\ & { \approx m _ { 0 } c ^ { 2 } - 0 . 5 c p _ { y } } & { \mathrm { W i t h ~ } \cos ( \phi ) \approx 1 . 0 , \cos ( \psi ) \approx 1 . 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \hat { X } ^ { n } | Y ^ { n } } ( \hat { x } ^ { n } | y ^ { n } ) } & { = \frac { \sum _ { x ^ { n } , s } P _ { X } ^ { n } ( x ^ { n } ) P _ { Y | X } ^ { n } ( y | x ^ { n } ) P _ { S | Y ^ { n } } ( s | y ^ { n } ) P _ { \hat { X } ^ { n } | S } ( \hat { x } ^ { n } | s ) } { P _ { Y } ^ { n } ( y ^ { n } ) } } \\ & { = \frac { \sum _ { s } P _ { Y } ^ { n } ( y ^ { n } ) P _ { S | Y ^ { n } } ( s | y ^ { n } ) P _ { \hat { X } ^ { n } | S } ( \hat { x } ^ { n } | s ) } { P _ { Y } ^ { n } ( y ^ { n } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = \hat { H } _ { \mathrm { m } } ^ { \mathrm { t o t } } + \hat { H } _ { \mathrm { c } } - \hat { \mathrm { \mathbf { E } } } _ { \mathrm { c } } \hat { \mathbf { \upmu } } ^ { \mathrm { t o t } } + \hat { H } _ { \mathrm { s d } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla \Delta \varphi \| ^ { 2 } = } & { \| \nabla \Psi ( u , \varphi ) \| ^ { 2 } \leq c ( \| \nabla \varphi _ { t } \| ^ { 2 } + \| \nabla \varphi \| ^ { 2 } ) + C \| \nabla \phi \| _ { 1 } ^ { 2 } \| \nabla u \| _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { + C ( 1 + \| \varphi \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \| \varphi \| _ { 2 } ^ { 4 } + \| u \| _ { 1 } ^ { 2 } \| \nabla u \| _ { 1 } ^ { 2 } ) } \\ { \leq } & { c ( \| \nabla \varphi _ { t } \| ^ { 2 } + \| \nabla \varphi \| ^ { 2 } ) + C ( 1 + \mathcal { E } _ { 0 } ( t ) ) \mathcal { E } _ { 0 } ( t ) \mathcal { D } _ { 0 } ( t ) } \end{array}
\mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } = \frac { \overrightarrow { d ( t ) } ^ { \dag } C ^ { - 1 } \overrightarrow { h _ { \Delta } ( t ) } } { \sqrt { \overrightarrow { h _ { \Delta } } ^ { \dag } C ^ { - 1 } \overrightarrow { h _ { \Delta } ( t ) } } }
\alpha _ { n } ( u ) = \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = \pm 1 } \left[ 1 + \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { 0 } } \frac { I _ { n + l } ( \gamma _ { 0 } u ) K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u ) } { I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u ) K _ { n + l } ( \gamma _ { 1 } u ) } \right] ^ { - 1 } .
\int _ { { \cal C } _ { 0 } } \left( B _ { ( 2 ) } \, + \, 2 \pi \alpha ^ { \prime } { \cal F } \right) = - 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } \, \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \, \tilde { b } _ { 1 } \right) + 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } = 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } \, \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \, \tilde { b } _ { 1 } \right)
V _ { u s } \simeq { \frac { h _ { 2 } ^ { \prime } } { h _ { 2 } } } , ~ ~ V _ { u b } \simeq { \frac { h _ { 3 } ^ { \prime \prime } } { h _ { 3 } } } , ~ ~ V _ { c b } \simeq { \frac { h _ { 3 } ^ { \prime } } { h _ { 3 } } } .
S _ { E } = - \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { d - 1 } } \int _ { \Sigma } d ^ { d - 1 } x \sqrt { g } [ R - \frac { 4 } { d - 3 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - m e ^ { \frac { 4 \phi } { \sqrt { d - 2 } ( d - 3 ) } } - \frac { 1 } { 4 } e ^ { \frac { - 4 \sqrt { d - 2 } } { d - 3 } \phi } F ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } { E ( \mathbf { z } ; \boldsymbol { \eta } ) } & { { } = \mathrm { N N } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { z } ; \boldsymbol { \eta } ) + \mathrm { N N } _ { \boldsymbol { \theta } } \left( R _ { x } ( \mathbf { z } ) ; \boldsymbol { \eta } \right) + \mathrm { N N } _ { \boldsymbol { \theta } } \left( R _ { y } ( \mathbf { z } ) ; \boldsymbol { \eta } \right) + \mathrm { N N } _ { \boldsymbol { \theta } } \left( R _ { x } \left( R _ { y } ( \mathbf { z } ) \right) ; \boldsymbol { \eta } \right) } \end{array}
\begin{array} { l } { { \delta \theta _ { \alpha } = \epsilon ^ { \alpha } , \qquad \delta \bar { \theta } _ { \alpha } = \bar { \epsilon } ^ { \alpha } , } } \\ { { \delta x ^ { \bar { \mu } } = - i \bar { \epsilon } _ { \alpha } \tilde { \Gamma } ^ { \bar { \mu } \alpha \beta } \bar { \theta } _ { \beta } - i \epsilon ^ { \alpha } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \bar { \mu } } \theta ^ { \beta } , \qquad \delta x ^ { 1 1 } = 0 , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 7 } ( x , t ) } & { { } = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 4 k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) } & { = E ( \epsilon _ { j + k , i } - \epsilon _ { j , i } ) ( \epsilon _ { j + k , l } - \epsilon _ { j + k - h , l } ) } \\ & { = \gamma _ { 0 } ^ { i , l } ( t _ { j + k } ) + \gamma _ { k - h } ^ { i , l } ( t _ { j } ) - \gamma _ { - h } ^ { i , l } ( t _ { j + k } ) - \gamma _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) \approx \gamma _ { 0 } ^ { i , l } ( t _ { j } ) - \gamma _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) . } \end{array}
{ \cal H } _ { 0 } ^ { 1 + 1 f l o w } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } \left( \Pi ^ { - } \right) ^ { 2 } + \frac { M ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } } \psi _ { + } ^ { \dag } \frac { 1 } { i \partial _ { - } } * \psi _ { + } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } ( \rho u _ { i } u _ { i } ) = u _ { i } \partial _ { t } ( \rho u _ { i } ) - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 2 } \partial _ { t } \rho = - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x _ { j } } \rho u _ { j } u _ { i } u _ { i } - u _ { i } \partial _ { x _ { i } } P + u _ { i } \partial _ { x _ { j } } \tau _ { i j } \ . } \end{array}
\left[ { \frac { \alpha } { \mathfrak { p } } } \right] _ { 2 } \equiv \alpha ^ { \frac { \mathrm { N } { \mathfrak { p } } - 1 } { 2 } } { \bmod { \mathfrak { p } } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \alpha \not \in { \mathfrak { p } } { \mathrm { ~ a n d ~ } } \exists \eta \in { \mathcal { O } } _ { k } { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \alpha - \eta ^ { 2 } \in { \mathfrak { p } } } \\ { - 1 } & { \alpha \not \in { \mathfrak { p } } { \mathrm { ~ a n d ~ t h e r e ~ i s ~ n o ~ s u c h ~ } } \eta } \\ { 0 } & { \alpha \in { \mathfrak { p } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { c } { { \tilde { a } _ { \mu \vec { k } \sigma } ( t ) = \frac { \sqrt { 2 \epsilon _ { \mu \vec { k } } } } { H _ { \vec { k } \sigma } ^ { \mu \mu } } u _ { \vec { k } \sigma } ^ { \mu \dagger } ( \Lambda ( U , t ) ^ { \dagger } \bar { \varphi } _ { \vec { k } } ( t ) \Lambda ( U , t ) ) _ { \mu } = } } \\ { { = \sum _ { j } \frac { \sqrt { 2 \epsilon _ { \mu \vec { k } } } } { H _ { \vec { k } \sigma } ^ { \mu \mu } } u _ { \vec { k } \sigma } ^ { \mu \dagger } U _ { \mu j } \varphi _ { j \vec { k } } ( t ) , } } \\ { { \tilde { b } _ { \mu - \vec { k } - \sigma } ( t ) = \sum _ { j } \frac { \sqrt { 2 \epsilon _ { \mu \vec { k } } } } { H _ { \vec { k } \sigma } ^ { \mu \mu } } U _ { \mu j } ^ { * } \varphi _ { j \vec { k } } ^ { \dagger } ( t ) v _ { - \vec { k } - \sigma } ^ { \mu } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \rho } ( \gamma ^ { - 1 } x \gamma ) = \widetilde { \rho ( \gamma ) } ^ { - 1 } \widetilde { \rho } ( x ) \widetilde { \rho ( \gamma ) } \circ T ^ { - n } , } \\ { \widetilde { \rho } ( \gamma ^ { - 1 } y \gamma ) = \widetilde { \rho ( \gamma ) } ^ { - 1 } \widetilde { \rho } ( y ) \widetilde { \rho ( \gamma ) } \circ T ^ { - m } . } \end{array}
\hat { R } _ { \kappa } = 1 + \frac { 1 } { \kappa } [ \frac { 1 } { 2 } ( L _ { 3 } - D ) \wedge P _ { + } - ( M _ { 1 } - L _ { 2 } ) \wedge P _ { 2 } + ( M _ { 2 } + L _ { 1 } ) \wedge P _ { 1 } ] + O ( \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } )