harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \bar { \rho } A r ^ { 2 } \left( \frac { d U _ { p } ^ { * } } { d t ^ { * } } - \Omega _ { r } ^ { * } U _ { q } ^ { * } \right) } & { = - \frac { 4 } { \pi } F _ { p } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { p } ^ { * } + \cos \phi , } \\ { \bar { \rho } A r ^ { 2 } \left( \frac { d U _ { q } ^ { * } } { d t ^ { * } } + \Omega _ { r } ^ { * } U _ { p } ^ { * } \right) } & { = - \frac { 4 } { \pi } F _ { q } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { q } ^ { * } - \sin \phi , } \\ { \bar { \rho } A r ^ { 2 } J _ { q } ^ { * } \frac { d \Omega _ { r } ^ { * } } { d t ^ { * } } } & { = - \frac { 4 } { \pi } \left( T _ { i } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) U _ { p } ^ { * } U _ { q } ^ { * } + T _ { \Omega } ^ { * } ( R e _ { \Omega } ^ { * } , \chi ) \Omega _ { r } ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ^ { \prime } ( J ) } & { = \frac { 1 } d \sum _ { i \in [ d ] } q ( K _ { i } ^ { \prime } ( J ) ) } \\ & { \leq \frac { 1 } d \sum _ { i \in [ d ] } q ^ { * } ( k _ { i } ) } \\ & { \leq \frac { 1 } d \sum _ { i \in [ d ] } q ^ { * } ( m _ { i } ) } \\ & { \leq \frac { 1 } d \sum _ { i \in [ d ] } p ^ { * } ( m _ { i } ) } \\ & { = \frac { 1 } d \sum _ { i \in [ d ] } p ( K _ { i } ^ { \prime } ( B ) ) } \\ & { = p ^ { \prime } ( B ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ r ~ } } = \int _ { 0 } ^ { d } \Gamma _ { z z } ^ { E E } ( x _ { t } , x ) \xi _ { z } ^ { E } ( x ) d x + \int _ { 0 } ^ { d } \Gamma _ { z y } ^ { E H } ( x _ { t } , x ) \xi _ { y } ^ { H } ( x ) d x , } \end{array}
S [ \phi , h , B ] = \frac { 1 } { \pi } \int d ^ { 2 } x \{ - \frac { 1 } { 2 } \bar { \partial } \phi ^ { i } \partial \phi ^ { i } + \frac { 1 } { 2 } \partial \phi ^ { i } h \partial \phi ^ { i } + \frac { 1 } { 3 } B d ^ { i j k } \partial \phi ^ { i } \partial \phi ^ { j } \partial \phi ^ { k } \} .
\sigma _ { x } \eta _ { s p } \{ - t _ { 1 } \cos [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 2 } ( 2 K _ { x } ) [ K _ { x } + K _ { y } \cos ( \varphi ) ] - t _ { 2 } \cos ( q _ { x } b ) \{ J _ { 1 } ( K _ { x } ) J _ { 1 } ( K _ { y } ) [ K _ { y } + K _ { x } \cos ( \varphi ) ] +
\begin{array} { r l r } { \frac { \omega ^ { 2 } } { c _ { 0 } ^ { 2 } } { \bf H } ( { \bf r } , \omega ) } & { { } = } & { M _ { \mu } ( { \bf r } ) \nabla \times M _ { \epsilon } ( { \bf r } ) [ \nabla \times { \bf H } ( { \bf r } , \omega ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { H ( p , \epsilon ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { a } ^ { b } \frac { 1 } { ( \rho A ) ( z ) } p ( z ) ^ { 2 } + T ( z ) \epsilon ( z ) ^ { 2 } \, d z = \frac { 1 } { 2 } \int _ { a } ^ { b } \left[ \begin{array} { l l } { p ( z ) } & { \epsilon ( z ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { ( \rho A ) ( z ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { T ( z ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { p ( z ) } \\ { \epsilon ( z ) } \end{array} \right] \, d z . } \end{array}
\sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { M } \hat { \mathbf { e } } _ { m ^ { \prime } } \otimes \Big ( \bigotimes _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { L - 1 } \delta _ { l l ^ { \prime } } \hat { \mathbf { e } } _ { m } ^ { \top } \Big )
\mathrm { ~ R ~ D ~ } _ { { \mathbf x } _ { 1 } ( t ) , { \mathbf x } _ { 2 } ( t ) } ^ { t _ { 0 } , t _ { N } } = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { N } } \mathrm { ~ r ~ d ~ } \; d t = \ln \frac { | { \mathbf x } _ { 2 } ( t _ { N } ) - { \mathbf x } _ { 1 } ( t _ { N } ) | } { | { \mathbf x } _ { 2 } ( t _ { 0 } ) - { \mathbf x } _ { 1 } ( t _ { 0 } ) | } .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \vec { U } = } & { \left[ \begin{array} { l l l } { \vec { u } ( 0 ) ^ { \top } } & { \ldots } & { \vec { u } ( N - 1 ) ^ { \top } } \end{array} \right] ^ { \top } } & & { \in \mathcal { U } ^ { N } } \\ { { \mathcal { A } } ( k ) = } & { \left[ \begin{array} { l l l l l } { A ^ { k - 1 } } & { \ldots } & { A } & { I _ { n } } & { 0 _ { n \times ( N \! - \! k \! - \! 1 ) m } } \end{array} \right] } & & { \in \mathbb { R } ^ { n \times N n } } \\ { \boldsymbol { \mathcal { C } } = } & { \; \mathrm { b l k d i a g } \left( \boldsymbol { B } ( 0 ) , \ldots , \boldsymbol { B } ( N - 1 ) \right) } & & { \in \mathbb { R } ^ { N n \times N m } } \end{array}
\mathcal { L } f ( z ) = \left( \begin{array} { l l l } { Q _ { 0 } ( z ) } & { \hdots } & { Q _ { m } ( z ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { L _ { 0 , 0 } } & { \hdots } & { L _ { 0 , n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { L _ { m , 0 } } & { \hdots } & { L _ { m , n } } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { l } { \widehat { F } _ { 0 } } \\ { \vdots } \\ { \widehat { F } _ { n } } \end{array} \right) .
\| \nabla \eta \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } \cup \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } } W _ { \epsilon } \rho _ { \gamma } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, \le \, C _ { 1 0 } Q _ { \epsilon } [ \eta ] + C _ { 1 1 } \Bigl ( \mu ^ { 2 } + \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } } W _ { \epsilon } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \Bigr ) \, ,
m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \infty ) \! = \! m \! - \! m _ { c } \! - \! \frac { \lambda } { 2 } \! \int \! \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { S _ { F } ( \omega ) m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \infty ) } { 2 \frac { v _ { f } } { v _ { i } } [ \frac { v _ { f } } { v _ { i } } \omega ^ { 2 } + m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \infty ) ] } .
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { i } } { d t } } & { = \frac { 1 } { k _ { i } ( t ) } \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, ( x _ { j } - x _ { i } ) \, , } \\ { \frac { d w _ { i j } } { d t } } & { = \varepsilon \Big ( \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, f _ { i j } ^ { + } ( w _ { i j } ) + \big ( 1 - \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \big ) \, f _ { i j } ^ { - } ( w _ { i j } ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { \mathrm { i n } } = \frac { B _ { h } B _ { c } \sin { \theta _ { \mathrm { r o t } } } } { ( B _ { h } ^ { 2 } + B _ { c } ^ { 2 } + 2 B _ { h } B _ { c } \cos { \theta _ { \mathrm { r o t } } } ) ^ { 1 / 2 } } \, , } \end{array}
k ^ { - } = P ^ { - } - \frac { ( { \vec { P } _ { \perp } } - { \vec { k } _ { \perp } } ) ^ { 2 } } { 2 ( P ^ { + } - k ^ { + } ) } - \frac { ( P - k ) ^ { 2 } } { 2 ( P ^ { + } - k ^ { + } ) } .
I = m ( \mathbf { x } ^ { T } \mathbf { x } - \mathbf { \hat { n } } ^ { T } \mathbf { x } \mathbf { x } ^ { T } \mathbf { \hat { n } } ) = m \cdot \mathbf { \hat { n } } ^ { T } ( \mathbf { x } ^ { T } \mathbf { x } \cdot \mathbf { E _ { 3 } } - \mathbf { x } \mathbf { x } ^ { T } ) \mathbf { \hat { n } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \delta \hat { G } _ { i j } ( t ) = } & { \Big [ h ^ { \mathrm { H } } , \delta \hat { G } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ \delta \hat { U } ^ { \mathrm { H } } , G ^ { < } \Big ] _ { i j } ( t ) } \\ & { + \Big [ \delta \hat { U } ^ { \mathrm { H } } , \delta \hat { G } \Big ] _ { i j } ( t ) - \Big \langle \Big [ \delta \hat { U } ^ { \mathrm { H } } , \delta \hat { G } \Big ] _ { i j } ( t ) \Big \rangle \, . } \end{array}
m _ { 0 } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 + 2 \delta + 2 \delta ^ { \prime } } } & { { \delta ^ { \prime \prime } } } & { { \delta ^ { * } } } \\ { { \delta ^ { \prime \prime } } } & { { \delta } } & { { 1 + \delta } } \\ { { \delta ^ { * } } } & { { 1 + \delta } } & { { \delta } } \end{array} \right) ,
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } G _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \omega ) \approx \left( \frac { - k _ { c } ^ { 2 } r _ { 0 i } r _ { 0 j } } { 4 \pi | \mathbf { r _ { 0 } } | ^ { 3 } } \right) e ^ { \mathrm { i } k _ { c } \left( | \mathbf { r _ { 0 } } | + \frac { \mathbf { r _ { 0 } } } { | \mathbf { r _ { 0 } } | } \cdot \mathbf { \xi } \right) }
n _ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { r } _ { L } , t ) = n + \bar { n } _ { 2 } I ( \mathbf { r } _ { L } , t ) - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } ( \mathbf { r } _ { L } , t ) } { 2 \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \ddot { x } + \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } \dot { x } + \frac { \omega _ { \beta } ^ { 2 } } { 2 } \left[ 1 + \frac { \dot { z } } { c } \right] x } & { = \frac { a _ { 0 } c } { \gamma } \Bigg [ ( \omega _ { 0 } - k _ { z } \dot { z } ) J _ { 0 } ( k _ { \perp } x ) - \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } } { k _ { z } ^ { 2 } } k _ { z } \dot { z } J _ { 1 } ^ { \prime } ( k _ { \perp } x ) \Bigg ] \sin ( k _ { z } \xi ) , } \\ { \ddot { \zeta } + \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } ( \dot { \zeta } + c ) + \omega _ { \beta } ^ { 2 } \left[ \zeta - \frac { x \dot { x } } { 2 c } \right] } & { = - \frac { a _ { 0 } c } { \gamma } \Bigg \{ \frac { k _ { \perp } } { k _ { z } } \omega _ { 0 } J _ { 1 } ( k _ { \perp } x ) \cos ( k _ { z } \xi ) - k _ { z } \dot { x } \left[ J _ { 0 } ( k _ { \perp } x ) + \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } } { k _ { z } ^ { 2 } } J _ { 1 } ^ { \prime } ( k _ { \perp } x ) \right] \sin ( k _ { z } \xi ) \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { c } { \kappa _ { A r } = \frac { \theta _ { s } ( t ) } { \Delta \theta } \kappa _ { c r } + \frac { \Delta \theta - \theta _ { s } ( t ) } { \Delta \theta } \kappa _ { 2 } , \kappa _ { B r } = \frac { \theta _ { s } ( t ) } { \Delta \theta } \kappa _ { c r } + \frac { \Delta \theta - \theta _ { s } ( t ) } { \Delta \theta } \kappa _ { 1 } . } \\ { \frac { 1 } { \kappa _ { A \theta } } = \frac { \theta _ { s } ( t ) } { \Delta \theta } \frac { 1 } { \kappa _ { c \theta } } + \frac { \Delta \theta - \theta _ { s } ( t ) } { \Delta \theta } \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } , \frac { 1 } { \kappa _ { B \theta } } = \frac { \theta _ { s } ( t ) } { \Delta \theta } \frac { 1 } { \kappa _ { c \theta } } + \frac { \Delta \theta - \theta _ { s } ( t ) } { \Delta \theta } \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { f i } } & { { } \equiv \sum _ { a \neq f } \frac { ( \v { \hat { \varepsilon } } \cdot { \v { D } } _ { f a } ) ( \v { \hat { e } } \cdot { \v { D } } _ { a i } ) } { \Delta { E _ { f a } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { l , m } ( \lambda , \mu ) } & { = \sqrt { \frac { ( l + m ) ! ( l - m ) ! } { ( \lambda + \mu ) ! ( \lambda - \mu ) ! ( l - \lambda + m - \mu ) ! ( l - \lambda - m + \mu ) ! } } } \\ { \sigma _ { l , m } ^ { ( 1 ) } ( \lambda , \mu ) } & { = \sigma _ { l , m } ( \lambda , \mu ) \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , } & { \mu \neq 0 \land \mu \neq m \land m \neq 0 } \\ { 1 , } & { \textup { e l s e } } \end{array} \right. } \\ { \sigma _ { l , m } ^ { ( 2 ) } ( \lambda , \mu ) } & { = \sigma _ { l , m } ( \lambda , \mu ) \frac { ( - 1 ) ^ { \mu - m } } { 2 } \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { 2 } , } & { m \neq 0 } \\ { 1 , } & { m = 0 } \end{array} \right. } \\ { \sigma _ { l , m } ^ { ( 3 ) } ( \lambda , \mu ) } & { = \sigma _ { l , m } ^ { ( 2 ) } ( \lambda , \mu ) ( - 1 ) ^ { m } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \langle 0 | ( a _ { j _ { 2 } } ( t ) a _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } ( 0 ) + a _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } ( 0 ) a _ { j _ { 2 } } ( t ) ) | 0 \rangle | ^ { 2 } } \\ { = } & { | \langle 0 | a _ { j _ { 2 } } ( t ) a _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } ( 0 ) | 0 \rangle | ^ { 2 } } \\ { = } & { | \langle 0 | e ^ { \mathcal { L } ( \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ e ^ { \mathcal { L } ( 2 \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ . . . [ e ^ { \mathcal { L } ( t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ a _ { j _ { 2 } } ( 0 ) ] ] . . . ] ] | j _ { 1 } \rangle | ^ { 2 } } \\ { = } & { | T r [ e ^ { \mathcal { L } ( \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ e ^ { \mathcal { L } ( 2 \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ . . . [ e ^ { \mathcal { L } ( t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ a _ { j _ { 2 } } ( 0 ) ] ] . . . ] ] | j _ { 1 } \rangle \langle 0 | ] | ^ { 2 } } \\ { = } & { | T r [ a _ { j _ { 2 } } ( 0 ) e ^ { \mathcal { L } ( t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ . . . [ e ^ { \mathcal { L } ( 2 \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ e ^ { \mathcal { L } ( \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ | j _ { 1 } \rangle \langle 0 | ] ] ] . . . ] ] | ^ { 2 } } \\ { = } & { | T r [ a _ { j _ { 2 } } ( 0 ) e ^ { - i H _ { e f f } ( t ) \Delta t } . . . e ^ { - i H _ { e f f } ( 2 \Delta t ) \Delta t } e ^ { - i H _ { e f f } ( \Delta t ) \Delta t } | j _ { 1 } \rangle \langle 0 | ] | ^ { 2 } } \\ { = } & { | T r [ e ^ { - i H _ { e f f } ( t ) \Delta t } . . . e ^ { - i H _ { e f f } ( 2 \Delta t ) \Delta t } e ^ { - i H _ { e f f } ( \Delta t ) \Delta t } | j _ { 1 } \rangle \langle 0 | a _ { j _ { 2 } } ( 0 ) ] | ^ { 2 } } \\ { = } & { | \langle j _ { 2 } | e ^ { - i H _ { e f f } ( t ) \Delta t } . . . e ^ { - i H _ { e f f } ( 2 \Delta t ) \Delta t } e ^ { - i H _ { e f f } ( \Delta t ) \Delta t } | j _ { 1 } \rangle | ^ { 2 } . } \end{array}
P ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) = e ^ { \frac { c } { 2 } | y | } e ^ { - \frac { c ^ { 2 } } { 2 } t } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d k _ { 1 } } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d k _ { 2 } } { 2 \pi } \frac { i k _ { 1 } - i k _ { 2 } } { i k _ { 1 } - i k _ { 2 } + c } \, e ^ { - t ( k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) + i x ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) + \frac { i } { 2 } y ( k _ { 2 } - k _ { 1 } ) }
( \check { R } ( u , q ) \otimes I ) ( I \otimes \check { R } ( u + v , q ) ) ( \check { R } ( v , q ) \otimes I ) = ( I \otimes \check { R } ( v , q ) ) ( \check { R } ( u + v , q ) \otimes I ) ( I \otimes \check { R } ( u , q ) ) \, .
\frac { { \partial { A _ { z } } } } { { \partial t } } = - { \bf { u } } \cdot \nabla { A _ { z } } = - { u _ { x } } \frac { { \partial { A _ { z } } } } { { \partial x } } - { u _ { y } } \frac { { \partial { A _ { z } } } } { { \partial y } } .
\begin{array} { r l } { \delta _ { i + 1 } } & { = f _ { 1 1 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { > \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } - \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { P r } \left( \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } \right) } & { { } = - \nabla p + \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + R a ( T - C ) \hat { \mathbf { z } } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial T } { \partial t } + \zeta _ { 1 } \mathbf { u } \cdot \nabla T } & { { } = \nabla ^ { 2 } T , } \\ { \frac { \partial C } { \partial t } + \zeta _ { 2 } \mathbf { u } \cdot \nabla C } & { { } = \frac { 1 } { L e } \nabla ^ { 2 } C , } \end{array}
\begin{array} { r } { b _ { j } = \frac { 2 } { L } \int _ { 0 } ^ { L } [ \phi ( x ) - \phi ( 0 ) - \frac { \phi ( L ) - \phi ( 0 ) } { L } x ] \sin ( \frac { j \pi } { L } x ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { W \left( \Delta \vec { p } _ { k } , \Delta t \right) } \\ & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } P _ { n } \left( \Delta t \right) \, \Pi _ { j = 1 } ^ { n } \int d \Omega ^ { j } \, \omega ^ { j } \left( \Delta \vec { p } _ { k } ^ { \, j } \right) } \\ & { } & { \times \, \delta ^ { 3 } \left( \Delta \vec { p } _ { k } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Delta \vec { p } _ { k } ^ { \, j } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \tilde { \phi } _ { i } ( \mathbf { r } ) \tilde { \phi } _ { j } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 3 } \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 6 } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \exp \left[ \frac { - ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { \ell } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \exp \left[ \frac { - \left( \mathbf { r } - \left[ \frac { \mathbf { r } _ { k } + \mathbf { r } _ { \ell } } { 2 } \right] \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 8 \sqrt { \pi ^ { 3 } } \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 3 } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \exp \left[ \frac { - ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { \ell } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
{ \tilde { \epsilon } } = \int _ { r _ { h } } ^ { r _ { h } + \epsilon } d r \, \Delta ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = 2 \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \Delta _ { h } ^ { \prime } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + O ( \epsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { i n t } } = \Delta t \sum _ { \tau = \Delta t } ^ { t } } & { \left\lbrace k _ { 1 A } \tilde { \phi } _ { A } ( \tau ) + k _ { 1 B } \tilde { \phi } _ { B } ( \tau ) + k _ { 1 C } \tilde { \phi } _ { C } ( \tau ) + \right. } \\ & { \left. \phi _ { A } ( \tau _ { - } ) \phi _ { B } ( \tau _ { - } ) \left[ k _ { 3 } \tilde { \phi } _ { C } ( \tau ) - k _ { 3 } \tilde { \phi } _ { A } ( \tau ) - k _ { 3 } \tilde { \phi } _ { B } ( \tau ) - k _ { 3 } \tilde { \phi } _ { A } ( \tau ) \tilde { \phi } _ { B } ( \tau ) \right] \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { h } ^ { V M S } ( ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { g } } } } _ { h } ) , ( \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) ) = } & { \sum _ { T \in \mathcal { T } } \bigg ( \int _ { T } \frac { 1 } { 2 ( \nu + \nu _ { t } ) } \big ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } + 2 \nu _ { t } \underline { { \underline { { g } } } } _ { h } \big ) : ( \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } + 2 \nu _ { t } \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) \: d \underline { { x } } } \\ & { - \int _ { T } \underline { { \underline { { g } } } } _ { h } : ( 2 \nu _ { t } \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) \: d \underline { { x } } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { ~ s ~ l ~ o ~ w ~ } } } & { { } \leq - \log _ { 2 } \left[ ( 1 - \eta _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ) \eta _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ^ { \overline { { n } } ^ { \ast } } \right] - h \left( \overline { { n } } ^ { \ast } \right) , } \\ { \overline { { n } } ^ { \ast } } & { { } : = \bar { n } / ( 1 - \eta _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ) , } \end{array}
^ C _ { 0 } D _ { y ^ { + } } ^ { \alpha ( y ^ { + } ) } \overline { { U ^ { + } } } ~ = ~ \frac { d \overline { { U ^ { + } } } } { d y ^ { + } } - ( \overline { { u v } } ) ^ { + } ~ = ~ 1 ~ ; ~ \alpha ( y ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
\begin{array} { r l } { Q \left( \omega | \omega _ { t } \right) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { m } p _ { \omega _ { t } } \left( j | X _ { i } \right) \log p _ { \omega } \left( X _ { i } , j \right) } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { j } \right) \omega _ { t } ^ { ( j ) } } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { l } \right) \omega _ { t } ^ { ( l ) } } \log \left[ \phi \left( X _ { i } - \mu _ { j } \right) \omega ^ { ( j ) } \right] . } \end{array}
\int _ { \mathcal { B } } \sum _ { m , \ell \in \mathcal { C } } \left| \int _ { r ^ { \star } \! } ^ { \infty } e ^ { i \omega x ^ { \star } } H ( x ^ { \star } ) \, d x ^ { \star } \right| ^ { 2 } \, d \omega \leq B ( r ^ { \star } \! , C _ { \mathcal { B } } , C _ { \mathcal { C } } ) \left( \int _ { \Sigma _ { 0 } } | \partial \Psi | ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { S } [ { \widehat { u } } ] \right)
Z = \log e ^ { X } e ^ { Y } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } } { k } } \sum _ { s \in S _ { k } } { \frac { 1 } { i _ { 1 } + j _ { 1 } + \cdots + i _ { k } + j _ { k } } } { \frac { [ X ^ { ( i _ { 1 } ) } Y ^ { ( j _ { 1 } ) } \cdots X ^ { ( i _ { k } ) } Y ^ { ( j _ { k } ) } ] } { i _ { 1 } ! j _ { 1 } ! \cdots i _ { k } ! j _ { k } ! } } , ~ i _ { r } , j _ { r } \geq 0 , ~ i _ { r } + j _ { r } > 0 , ~ 1 \leq r \leq k .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } a _ { 0 } } & { { } = - ( 1 + i \zeta _ { 0 } ) a _ { 0 } + i | a _ { 0 } | ^ { 2 } a _ { 0 } + 2 i | b _ { 0 } | ^ { 2 } a _ { 0 } + i \beta b _ { 0 } + f } \\ { \partial _ { t } b _ { 0 } } & { { } = - ( 1 + i \zeta _ { 0 } ) b _ { 0 } + i | b _ { 0 } | ^ { 2 } b _ { 0 } + 2 i | a _ { 0 } | ^ { 2 } b _ { 0 } + i \beta a _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \varphi } _ { \pm } ( \rho ) \sim d \left( \rho , \mathcal { T } _ { \pm } \right) ^ { 2 } + \epsilon ; } \\ & { \pm ( \hat { \varphi } _ { \pm } ( \rho ) - \hat { \varphi } _ { \pm } ( F ( \rho ) ) + C _ { 0 } \epsilon \sim \hat { \varphi } _ { \pm } ( \rho ) ; } \\ & { \hat { \varphi } _ { + } ( \rho ) + \hat { \varphi } _ { - } ( \rho ) \sim \epsilon ; } \\ & { \partial ^ { \alpha } \hat { \varphi } _ { \pm } ( \rho ) = O \left( \hat { \varphi } _ { \pm } ( \rho ) ^ { 1 - | \alpha | / 2 } \right) . } \end{array}
X = { \left[ \begin{array} { l } { c t } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right] } \, , \quad B ( { \boldsymbol { \beta } } ) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \gamma } & { - \gamma \beta _ { x } } & { - \gamma \beta _ { y } } & { - \gamma \beta _ { z } } \\ { - \gamma \beta _ { x } } & { 1 + ( \gamma - 1 ) { \frac { \beta _ { x } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { \beta _ { x } \beta _ { y } } { \beta ^ { 2 } } } } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { \beta _ { x } \beta _ { z } } { \beta ^ { 2 } } } } \\ { - \gamma \beta _ { y } } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { \beta _ { y } \beta _ { x } } { \beta ^ { 2 } } } } & { 1 + ( \gamma - 1 ) { \frac { \beta _ { y } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { \beta _ { y } \beta _ { z } } { \beta ^ { 2 } } } } \\ { - \gamma \beta _ { z } } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { \beta _ { z } \beta _ { x } } { \beta ^ { 2 } } } } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { \beta _ { z } \beta _ { y } } { \beta ^ { 2 } } } } & { 1 + ( \gamma - 1 ) { \frac { \beta _ { z } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } } \end{array} \right] }
C = { \left( \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { A _ { 2 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { B _ { 1 } } \\ { B _ { 2 } } \end{array} \right) } = A _ { 1 } B _ { 1 } + A _ { 2 } B _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial I _ { 1 } } { \partial E _ { i j } } } & { = \delta _ { i j } , } \\ { \frac { \partial I _ { 2 } } { \partial E _ { i j } } } & { = I _ { 1 } \delta _ { i j } - E _ { j i } , } \\ { \frac { \partial I _ { 4 } } { \partial E _ { i j } } } & { = \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { f 0 } } \mathrm { e } _ { j } ^ { \mathrm { f 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { C } _ { 0 } } & { { } = - k C _ { 0 } } \\ { \dot { C } _ { \mu } } & { { } = k ( C _ { \mu - 1 } - C _ { \mu } ) \ , \ \forall \mu \geq 1 } \\ { \dot { C } _ { P } } & { { } = k C _ { L - 1 } } \end{array}
{ \cal L } _ { S Q E D } = - m ^ { 2 } \chi ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } F ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } A ^ { 2 } - \lambda \frac { 1 } { 2 } ( \partial A ) ^ { 2 } + ( \partial _ { \mu } - i e A _ { \mu } ) \chi ^ { * } ( \partial ^ { \mu } + i e A ^ { \mu } ) \chi ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { S } } } & { { } = \displaystyle \sum _ { F \in \mathcal { F } } A _ { F } ^ { ( 0 ) } \, \left( \tilde { c } _ { 1 } \bigg | \bigg | \frac { A _ { F } ^ { ( 0 ) } } { A _ { F } } \, \left( \nabla \frac { A } { A ^ { ( 0 ) } } \right) _ { F } \bigg | \bigg | ^ { 2 } + \tilde { c } _ { 2 } | ( \nabla \mu ) _ { F } | ^ { 2 } \right) } \end{array}