harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
N = \int _ { t _ { \mathrm { i } } } ^ { t _ { \mathrm { f } } } d t H \simeq \frac { - 1 } { M _ { P l } ^ { 2 } \sqrt { 1 + 4 \alpha \Lambda _ { b } / 3 M ^ { 5 } } } \int _ { \phi _ { \mathrm { i } } } ^ { \phi _ { \mathrm { f } } } d \phi { \frac { V } { V ^ { \prime } } } \left[ 1 + { \frac { V } { 2 \Lambda _ { 2 } ^ { + } } } \right] \, .
\alpha = \left( \begin{array} { c c c } { { \omega _ { k } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \omega _ { k } ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \beta = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \omega _ { 2 k ^ { \prime } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \omega _ { 2 k ^ { \prime } } ^ { - 1 } } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \gamma = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { i } } \\ { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { A \succeq _ { \mathrm { r e g , 1 } } B \quad \mathrm { i f f } \quad ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } g ( u ( y _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) p _ { i } q _ { j } + ( 1 - \alpha ) \alpha { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } g ( u ( z _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) p _ { i } r _ { j } } \\ & { } & { + ( 1 - \alpha ) \alpha { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } g ( u ( y _ { j } ) - u ( z _ { i } ) ) q _ { j } r _ { i } \leq 0 . } \end{array}
\langle h ( x , y ) \rangle = h ( \langle x \rangle , \langle y \rangle ) + 1 / 2 h _ { x x } \sigma _ { x } ^ { 2 } + 1 / 2 h _ { y y } \sigma _ { y } ^ { 2 } + h _ { x y } \mathrm { c o v } ( x , y ) + \langle \mathrm { H . O . T . } \rangle ,
\begin{array} { r } { | u ^ { \prime } - u | _ { \infty , S ^ { \prime } } \lesssim \int _ { w } ^ { { \underline { { u } } } _ { * } } \left( \frac { \epsilon _ { 0 } } { { r } ^ { \frac { s - 1 } { 2 } } } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { r ^ { s - 1 } } \right) d w \lesssim \frac { \epsilon _ { 0 } } { { r } ^ { \frac { s - 3 } { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { b \left( T + \tau _ { 0 , m } + \tau _ { m } \right) } & { = } & { \sigma \left( \tau _ { m } \right) b \left( T + \tau _ { 0 , m } \right) , } \\ { \sigma \left( \tau _ { m } \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { s _ { d m } } & { - i s _ { a m } } \\ { - i s _ { a m } ^ { \ast } } & { s _ { d m } ^ { \ast } } \end{array} \right) , } \\ { s _ { d m } } & { = } & { \cos \frac { \Omega _ { r } \tau _ { m } } { 2 } + i \frac { \nu } { \Omega _ { r } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau _ { m } } { 2 } , } \\ { s _ { a m } } & { = } & { \frac { \Omega } { \Omega _ { r } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau _ { m } } { 2 } , } \\ { \Omega _ { r } } & { = } & { \sqrt { \left\vert \Omega \right\vert ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } . } \end{array}
I _ { 2 } = - \frac { d } { d s } \left( s g ( s ) \int _ { \Gamma } \frac { d z } { 2 \pi i } z ^ { s } \left( \frac { \operatorname { t a n h } ( \omega - z ) - \sigma } { \omega ^ { \prime } - 2 z } + \frac { \sigma } { \omega ^ { \prime } - 2 z } \right) \right) _ { s = 0 } \, .
S = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } \sigma \left[ \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \partial ^ { \alpha } X _ { \mu } - i \; \bar { \psi } ^ { \mu , j } \; \rho ^ { \alpha } \; \partial _ { \alpha } \; \psi _ { \mu , j } + i \; \bar { \phi } ^ { \mu , k } \; \rho ^ { \alpha } \; \partial _ { \alpha } \; \phi _ { \mu , k } \right]
\langle \mathbf { S } \rangle = \operatorname { R e } \! \left( { \frac { 1 } { 2 } } { \mathbf { E } _ { \mathrm { m } } } \times \mathbf { H } _ { \mathrm { m } } ^ { * } \right) = \operatorname { R e } \! \left( \mathbf { S } _ { \mathrm { m } } \right)
\tilde { \delta } _ { \mu \nu } = \delta _ { \mu \nu } - u _ { \mu } u _ { \nu } , \qquad \tilde { p } _ { \mu } = p _ { \mu } - ( u \cdot p ) u _ { \mu } , \qquad \overline { { { u } } } _ { \mu } = u _ { \mu } - \frac { u \cdot p } { p ^ { 2 } } p _ { \mu }
\mathrm { ~ L ~ e ~ } = \frac { \alpha } { \mathcal { D } } = \frac { k } { \rho c _ { p } \mathcal { D } } \Rightarrow \frac { \mathcal { D } \rho } { k } = \frac { 1 } { c _ { p } \mathrm { ~ L ~ e ~ } }
\begin{array} { r l } { \| \Phi _ { t } ( x ) ( \tau ) - w \| _ { X } } & { \leq C \| T ( \tau ) - I \| _ { X } + h _ { t } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , U ) } } \\ & { \quad + c _ { \tau } \big ( L ( K ) \| x \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , X ) } + \sigma ( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , U ) } ) + c \big ) } \\ & { \leq C \| T ( \tau ) - I \| _ { X } + h _ { t } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , U ) } } \\ & { \quad + c _ { t } \big ( L ( K ) K + \sigma ( C ) + c \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \left( \tau ^ { \left( q \right) } \right) } \\ { = } & { - \frac { \mathsf { d } } { \mathsf { d } \log \left( \tau ^ { \left( q \right) } \right) } S _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \left( \tau ^ { \left( q \right) } \right) , } \\ { = } & { - \left( \tau ^ { \left( q \right) } \right) ^ { 2 } \frac { \mathsf { d } } { \mathsf { d } \tau ^ { \left( q \right) } } \big \langle \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \rho } . } \end{array}
\sum _ { \lambda \vdash n } \lambda _ { 1 } ^ { \prime } = \sum _ { \lambda \vdash n } \lambda _ { 1 } = \sum { Q = 1 } ^ { n } Q ( P _ { Q } - P _ { Q - 1 } ) = n . P - \sum _ { Q = 1 } ^ { n - 1 } P _ { Q } { } .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { \hbar \omega \left[ \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } + \frac { 1 } { 2 } \right) + \left( \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } + \frac { 1 } { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathbb { A } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { n } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) , \mathbb { A } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { n } } ) \quad \mathrm { a n d } \quad \mathrm { ( } \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathbb { M } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { n } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) , \mathbb { M } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { n } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } ^ { ( i ) } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \boldsymbol { u } _ { f } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , t _ { 0 } ) ^ { * } } & { \cdots } & { \boldsymbol { u } _ { f } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { x } _ { N _ { g } } , t _ { 0 } ) ^ { * } } & { \cdots } & { \boldsymbol { u } _ { f } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { x } _ { N _ { g } } , t _ { N _ { t } - 1 } ) ^ { * } } \end{array} \right] ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { g , \mathrm { r n d } } ( \mathcal { G } ) \approx \frac { 1 } { \left| \mathcal { E } \right| } \sum _ { \mathcal { C } \in \mathcal { G } } | \mathcal { C } | I _ { c , \mathrm { r n d } } ( \mathcal { C } ) } \end{array}
\rho ^ { c } \otimes \rho ^ { c } \cong 2 ( 1 + \rho _ { v } ^ { c } + \wedge ^ { 2 } \rho _ { v } ^ { c } + \wedge ^ { 3 } \rho _ { v } ^ { c } ) + \wedge ^ { 4 } \rho _ { v } ^ { c } ,
U \; = \; \left( \begin{array} { l l l } { { c _ { x } c _ { z } } } & { { s _ { x } c _ { z } } } & { { s _ { z } } } \\ { { - c _ { x } s _ { y } s _ { z } - s _ { x } c _ { y } e ^ { - i \delta } } } & { { - s _ { x } s _ { y } s _ { z } + c _ { x } c _ { y } e ^ { - i \delta } } } & { { s _ { y } c _ { z } } } \\ { { - c _ { x } c _ { y } s _ { z } + s _ { x } s _ { y } e ^ { - i \delta } } } & { { - s _ { x } c _ { y } s _ { z } - c _ { x } s _ { y } e ^ { - i \delta } } } & { { c _ { y } c _ { z } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathsf { W } } \mathcal { F } \left( \rho \right) \left( \mu , \Sigma \right) } & { = \left[ \begin{array} { c } { \nabla _ { \mu } \delta \mathcal { L } \left( \rho \right) \left( \theta \right) } \\ { 2 \nabla _ { \Sigma } \delta \mathcal { L } \left( \rho \right) \left( \theta \right) } \end{array} \right] } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } ; \mu , \Sigma \right) } { \int \phi \left( X _ { i } ; \zeta \right) \rho \left( \mathrm { d } \zeta \right) } \left[ \begin{array} { c } { \Sigma ^ { - 1 } \left( X _ { i } - \mu \right) } \\ { \Sigma ^ { - 1 } \left( X _ { i } - \mu \right) \left( X _ { i } - \mu \right) ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 } - \Sigma ^ { - 1 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\delta T \in \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbb { C } \oplus z \mathbb { C } } \end{array} \right) } & { \qquad z _ { 1 } \neq z _ { 2 } } \\ { \left( \begin{array} { l l } { \mathbb { C } } & { \mathbb { C } } \\ { \mathbb { C } } & { \mathbb { C } } \end{array} \right) } & { \qquad z _ { 1 } = z _ { 2 } } \end{array} \right. \, .
Z [ j _ { 1 } , j _ { 2 } ] = T r \left[ \rho \bar { T } { e ^ { i \int d ^ { 4 } x ( H _ { s } + j _ { 2 } \phi _ { s } ^ { * } + j _ { 2 } ^ { * } \phi _ { s } ) } } T { e ^ { - i \int d ^ { 4 } x ( H _ { s } - j _ { 1 } \phi _ { s } ^ { \ast } - j _ { 1 } ^ { \ast } \phi _ { s } ) } } \right]
\begin{array} { r } { \tau _ { d } = \frac { 1 2 \rho _ { 0 } } { \eta _ { 0 } k _ { | | } ^ { 2 } ( a / v _ { A } ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - \beta } { 1 - 3 \beta } \right) ^ { 2 } , } \\ { L _ { d } = \frac { 1 2 \rho _ { 0 } v _ { A } } { \eta _ { 0 } k _ { | | } ^ { 2 } ( a / v _ { A } ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - \beta } { 1 - 3 \beta } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \left( \mathbf { v } _ { N } \cdot \nabla \Pi _ { N } \xi , \zeta _ { N } \right) \right| \leq c | \nabla \Pi _ { N } \xi | \, | \zeta _ { N } | ^ { 3 / 2 } \, | \nabla \zeta _ { N } | ^ { 1 / 2 } \leq \frac { \nu } { 6 } | \nabla \zeta _ { N } | ^ { 2 } + \frac { c } { \nu ^ { 1 / 3 } } | \nabla \xi | ^ { 4 / 3 } | \zeta _ { N } | ^ { 2 } , } \end{array}
\exp \left[ \zeta \left( - \sigma _ { + } \right) \right] \exp \left[ - \eta \left( \sigma _ { 3 } \right) \right] \exp \left[ \zeta ^ { \prime } \left( \sigma _ { - } \right) \right] = \exp \left[ \chi \left( - \sigma _ { + } \right) + \chi \left( \sigma _ { - } \right) + 2 \chi \left( \sigma _ { 3 } \right) \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { p } ( x , s ) = \exp \left[ - \frac { \beta x } { q } \right] c ( s , x _ { 0 } ) x ^ { \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } + \alpha - 3 q } { 2 q } } } \\ & { } & { L \left[ - \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } + q - \alpha } { 2 q } , \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } } { q } , \frac { \beta x } { q } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { I } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) = N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) N _ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) \kappa _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) + N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) N _ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) \kappa _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) . } \end{array}
{ \frac { K ( k ) } { 2 \pi } } = - { \frac { 1 } { 4 } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { q ^ { n } } { 1 + q ^ { 2 n } } } = - { \frac { 1 } { 4 } } + { \cfrac { 1 } { 1 - q + { \cfrac { \left( 1 - q \right) ^ { 2 } } { 1 - q ^ { 3 } + { \cfrac { q \left( 1 - q ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 1 - q ^ { 5 } + { \cfrac { q ^ { 2 } \left( 1 - q ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } { 1 - q ^ { 7 } + { \cfrac { q ^ { 3 } \left( 1 - q ^ { 4 } \right) ^ { 2 } } { 1 - q ^ { 9 } + \cdots } } } } } } } } } } ,
\begin{array} { r l } { | \tilde { \varphi } ( { b } ) | ^ { 2 } } & { = | \tilde { \varphi } ( l { b } r ) | ^ { 2 } \leq \tilde { \varphi } ( l ) \tilde { \varphi } ( r { b } ^ { * } { b } r ) \leq \tilde { \varphi } ( l ) \tilde { \varphi } ( \| { b } ^ { * } { b } \| r ) = \| { b } ^ { * } { b } \| \tilde { \varphi } ( l ) \tilde { \varphi } ( r ) = \| { b } \| ^ { 2 } \tilde { \varphi } ( l ) \tilde { \varphi } ( r ) } \\ & { = \tilde { \varphi } ( l ) \tilde { \varphi } ( r ) \leq \tilde { \varphi } ( l ) \tilde { \varphi } ( 1 - l ) = \tilde { \varphi } ( l ) ( 1 - \tilde { \varphi } ( l ) ) \leq 1 / 4 , } \end{array}
\mathcal { H } _ { \mathrm { r f } , k } = \hbar \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { \Omega ( 1 - \epsilon _ { k } ) e ^ { i \alpha } } { 2 \sqrt { 2 } } } & { \frac { \Omega ( 1 + \epsilon _ { k } ) e ^ { i \alpha } } { 2 \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { \Omega ( 1 - \epsilon _ { k } ) e ^ { - i \alpha } } { 2 \sqrt { 2 } } } & { - \delta _ { k } - \omega _ { B } } & { 0 } \\ { \frac { \Omega ( 1 + \epsilon _ { k } ) e ^ { - i \alpha } } { 2 \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { - \delta _ { k } + \omega _ { B } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { g _ { x } ( x , y ) = \varepsilon ^ { 2 } \, \tilde { Q } ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) - \varepsilon ^ { 2 } \, Q ( \varepsilon _ { \varepsilon } ^ { 2 } J ( y ) ) = 0 \qquad \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } \qquad Q ( \varepsilon ^ { 2 } x ) = Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( y ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { k } ( x , \alpha ) = \phi _ { k } ^ { + } ( x , \alpha ) + } & { { } \Big ( g _ { 1 } \langle g | \langle x , \alpha | G _ { o } ^ { R } | 0 , A \rangle | g \rangle } \\ { \psi _ { e } = \frac { 1 } { E - \omega _ { e } } \Big ( g _ { 1 } \psi _ { k } ( 0 } & { { } , A ) + g _ { 2 } \psi _ { k } ( \Delta x , B ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle } & { \left( \mathbf { C } \odot \mathbf { B } \right) _ { k } : = \sum _ { i j = 1 } ^ { 3 } \mathbf { C } _ { i j k } \mathbf { B } _ { i j } , } \\ { \displaystyle } & { \left( \mathbf { C } \odot \mathbf { D } \right) _ { k l } : = \sum _ { i j = 1 } ^ { 3 } \mathbf { C } _ { i j k } \mathbf { D } _ { i j l } , } \end{array}
r ( x ) = x ^ { \beta - \alpha } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \beta - \alpha \in ( d / 4 - 1 , \, 1 ) \subset \mathbb R \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad x \in ( \varepsilon , \, 1 ) \subset \mathbb R \, ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t } + c \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial x } = - i r \psi _ { 2 } } \\ { \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial t } - c \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial x } = - i r \psi _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \left( 1 + \sum _ { \zeta } \frac { \tilde { c } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } } { \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } ( - \omega ^ { 2 } + \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } ) } \right) \right] q _ { \mathrm { \mathbf { k } } } ( \omega ) + \lambda _ { \mathrm { c } } \omega _ { \mathbf { k } } \mathcal { S } ( \omega ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } [ M ( x ) ] _ { t } } & { = \varepsilon ^ { 2 } Z _ { t } ( x ) ^ { 2 } + \nabla ^ { + } Z _ { t } ( x ) \nabla ^ { - } Z _ { t } ( x ) + o ( \varepsilon ^ { 2 } ) Z _ { t } ( x ) ^ { 2 } , \quad \mathrm { f o r ~ a n y ~ } x > 0 } \\ { \frac { d } { d t } [ M ( 0 ) ] _ { t } } & { = \varepsilon ^ { 2 } Z _ { t } ( 0 ) ^ { 2 } - \varepsilon Z _ { t } ( 0 ) \nabla ^ { + } Z _ { t } ( 0 ) + o ( \varepsilon ^ { 2 } ) Z _ { t } ( 0 ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \partial _ { x } ^ { p } \tilde { c } _ { l , m } ( x ) \right| = } & { { \binom { m } { l } } \left| \sum _ { p _ { 1 } + p _ { 2 } = p } { \binom { p } { p _ { 1 } } } c _ { l } ^ { ( p _ { 1 } ) } ( x ) a _ { l - m } ^ { ( p _ { 2 } ) } ( s , x ) \right| } \\ & { \leq C _ { p , l , m } \operatorname* { s u p } _ { p _ { 1 } + p _ { 2 } = p } h ^ { \delta ( l - p _ { 1 } ) \delta } h ^ { - ( l - m + p _ { 2 } ) \delta } \leq C _ { p , l , m } h ^ { ( m - p ) \delta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { 1 } \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \tilde { \theta } _ { T } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } } & { \leq \frac { \nu _ { 1 } } { W } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( a + t ) \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { \nu _ { 1 } } { W } \sum _ { t = 1 } ^ { 2 \tau - 1 } ( a + t ) \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } + \frac { \nu _ { 1 } } { W } \sum _ { t = 2 \tau } ^ { T } ( a + t ) \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } } \\ & { \le \nu _ { 1 } \frac { ( 2 \tau - 1 ) ( a + 2 \tau - 1 ) G ^ { 2 } } { W } + \frac { \nu _ { 1 } } { W } \sum _ { t = 2 \tau } ^ { T } ( a + t ) \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { \le } \nu _ { 1 } \frac { ( 2 \tau - 1 ) ( a + 2 \tau - 1 ) G ^ { 2 } } { W } + \frac { \nu _ { 1 } ( a + 2 \tau ) ( a + 2 \tau + 1 ) G ^ { 2 } } { 2 W } } \\ & { + \frac { 1 } { W } \sum _ { t = 2 \tau } ^ { T } \left[ \frac { ( 9 + 2 8 \tau ^ { 2 } ) d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } ( a + t ) \alpha _ { t } + ( a + t ) \alpha _ { t } ^ { 2 } \left( 3 6 L _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 0 8 \tau } { 1 - \rho ^ { 2 } } L _ { 2 } ^ { 2 } + 4 L _ { 1 } G ^ { 2 } + 2 L _ { 2 } G \right) \right] } \\ & { + \frac { 1 } { W } \sum _ { t = 2 \tau } ^ { T } \frac { ( a + t ) \alpha ^ { 2 } c _ { 6 } } { K } \left[ c _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { 1 - \rho } + 8 c _ { 1 } ^ { 2 } ( K - 1 ) H ^ { 2 } \right] } \\ & { + \frac { 1 } { W } \sum _ { t = 2 \tau } ^ { T } \left[ 4 ( a + t ) B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + ( a + t ) \nu _ { 1 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d s _ { n } } { d t } } & { = } & { - \beta s _ { n } \sum _ { m } P _ { n m } \frac { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } i _ { k } } { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } } . } \\ { \frac { d i _ { n } } { d t } } & { = } & { + \beta s _ { n } \sum _ { m } P _ { n m } \frac { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } i _ { k } } { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } } - \gamma i _ { n } } \\ { \frac { d r _ { n } } { d t } } & { = } & { + \gamma i _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathscr { E } _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } } & { = \iint _ { [ - \frac { n } { 2 } , \frac { n } { 2 } ] ^ { 2 } } | \widehat { ( \mathscr { E } _ { n } h ) } _ { n } ( k , k ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d k d k ^ { \prime } } \\ & { = n \iint _ { [ - \frac { n } { 2 } , \frac { n } { 2 } ] ^ { 2 } } \big | e ^ { - \frac { 2 \pi \mathsf { i } k } { n } } - 1 \big | ^ { 2 } \frac { \Omega ( \frac { k } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) ^ { 2 } | \widehat { \varphi } _ { n } ( k + k ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } { \alpha _ { n } ^ { - 2 } \Lambda ( \frac { k } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) ^ { 2 } + \Omega ( \frac { k } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) ^ { 2 } } d k d k ^ { \prime } } \\ & { = 4 n \iint _ { [ - \frac { n } { 2 } , \frac { n } { 2 } ] ^ { 2 } } \frac { \sin ^ { 2 } ( \frac { \pi ( \xi - k ^ { \prime } ) } { n } ) \Omega ( \frac { \xi - k ^ { \prime } } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) ^ { 2 } | \widehat { \varphi } _ { n } ( \xi ) | ^ { 2 } } { \alpha _ { n } ^ { - 2 } \Lambda ( \frac { \xi - k ^ { \prime } } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) ^ { 2 } + \Omega ( \frac { \xi - k ^ { \prime } } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } ) ^ { 2 } } d \xi d k ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { = } & { { } } & { ( p _ { 0 } ^ { + \prime } / V _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \Sigma ( p _ { k } ^ { + \prime } / V _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma ( P _ { j } ^ { + \prime } / V _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal F } _ { E } = \rho _ { E } ^ { \prime } + 4 \frac { \rho _ { E } } { r } , \qquad { \cal F } _ { G } \approx - G ( \rho _ { \mathrm { m } } + p _ { \mathrm { m } } ) \frac { M _ { \mathrm { t o t } } + 4 \pi r ^ { 3 } ( p _ { \mathrm { m } } - \rho _ { \lambda } - \rho _ { E } ) } { r ^ { 2 } } . } \end{array}
\mathbf { A } _ { \mathbf { w } } ( ( { \boldsymbol \zeta } , { \mathbf { z } } ) , ( { \boldsymbol \tau } , { \mathbf { v } } ) ) : = \mathbf { A } ( ( { \boldsymbol \zeta } , { \mathbf { z } } ) , ( { \boldsymbol \tau } , { \mathbf { v } } ) ) + \mathbf { B } _ { \mathbf { w } } ( ( { \boldsymbol \zeta } , { \mathbf { z } } ) , ( { \boldsymbol \tau } , { \mathbf { v } } ) ) \, ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { R } ^ { \dag } \left( x \right) \, \overrightarrow { \sigma } \, \Phi _ { R } \left( x \right) } & { = \left( \begin{array} { c c } { \Phi _ { r } ^ { \dag } } & { \Phi _ { r ^ { \prime } } ^ { \dag } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \overrightarrow { \sigma } \, } & { 0 } \\ { 0 } & { \overrightarrow { \sigma } \, } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \Phi _ { r } } \\ { \Phi _ { r ^ { \prime } } } \end{array} \right) } \\ & { = \Phi _ { r } ^ { \dag } \, \overrightarrow { \sigma } \, \Phi _ { r } + \Phi _ { r ^ { \prime } } ^ { \dag } \, \overrightarrow { \sigma } \, \Phi _ { r ^ { \prime } } } \\ & { = 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { c c l } { \widehat { \nabla _ { \psi } \operatorname { E L B O } ( \phi , \psi | y ) } } & { = } & { - \frac { 1 } { n _ { \epsilon } n _ { \eta } n _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \epsilon } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \eta } } \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { t } } \nabla _ { \psi } h _ { \beta } ( y , g _ { \phi } ( \epsilon _ { i } ) , g _ { \psi } ( \eta _ { j } ) , t _ { k } ) + \nabla _ { \psi } \mathbb { H } [ q _ { \psi } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ S ~ u ~ p ~ } _ { i } ( P , Q ) = \left( \begin{array} { l l } { \lambda ( P , X _ { i } ) } & { \lambda ( P , Z _ { i } ) } \\ { \lambda ( Q , X _ { i } ) } & { \lambda ( Q , Z _ { i } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
V ^ { \mathrm { v e n , P } } = V ^ { \mathrm { t o t } } - V ^ { \mathrm { l v } } - V ^ { \mathrm { r v } } - V ^ { \mathrm { a r t , P } } - V ^ { \mathrm { a r t , S } } - V ^ { \mathrm { v e n , S } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { u } ^ { r } [ f ( u \pm v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) ] } & { = D _ { Q } ^ { r } f ( u \pm v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) } \\ { \partial _ { v } ^ { r } [ f ( u + v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) ] } & { = D _ { P } ^ { r } f ( u + v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) - D _ { S ^ { * } } ^ { r } f ( u + v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) } \\ { \partial _ { v } ^ { r } [ f ( u - v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) ] } & { = D _ { P ^ { * } } ^ { r } f ( u - v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) - D _ { S } ^ { r } f ( u - v , \mathbf { \hat { z } } + \boldsymbol { \hat { \omega } } _ { u , v } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathcal { G } } ^ { 2 } } & { { } \ll \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { m ^ { 4 } } { L ^ { 2 } n _ { p } } } \\ { \sigma _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } & { { } \ll \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { m ^ { 4 } } { L ^ { 2 } n _ { p } \left\lVert d { \boldsymbol { \theta } } ^ { \mathrm { ~ N ~ R ~ } } \right\rVert ^ { 2 } } < \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { m ^ { 6 } } { L ^ { 2 } n _ { p } \lVert \dot { \mathcal { G } } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \rVert ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal H } _ { B } } & { { } = } & { - t _ { h } \sum _ { i , \sigma } ( c _ { i , \sigma } ^ { \dagger } c _ { i + 1 , \sigma } + h . c . ) + \Delta / 2 \sum _ { i , \sigma } ( - 1 ) ^ { i } } \end{array}