harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { ( 1 - i \Delta y K _ { y } - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta y ) ^ { 2 } K _ { y } ^ { 2 } ) ( 1 - i \Delta x K _ { x } - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta x ) ^ { 2 } K _ { x } ^ { 2 } ) \times } \\ & { } & { \times ( 1 + i \Delta y K _ { y } - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta y ) ^ { 2 } K _ { y } ^ { 2 } ) ( 1 + i \Delta x K _ { x } - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta x ) ^ { 2 } K _ { x } ^ { 2 } ) \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) = } \\ & { } & { = ( 1 + \Delta x \Delta y [ K _ { x } \, , \, K _ { y } ] ) \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) = \left[ 1 + 2 \pi i ( \Delta \Phi / \Phi _ { 0 } ) \right] \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) } \end{array}
A _ { ( 0 ) } = \frac { 1 } { R _ { T } ^ { 2 } } \frac { ( d - 3 ) ^ { 2 } } { k _ { d } ^ { \frac { 2 } { d - 3 } } } \frac { F _ { d - 2 } ^ { 2 \frac { d - 2 } { d - 3 } } } { ( \partial _ { r } F _ { d - 2 } ) ^ { 2 } + ( \partial _ { z } F _ { d - 2 } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \bar { V } } { \partial t } = \bigg ( } & { \frac { \dddot { f _ { 2 } } } { c ^ { 2 } } - \frac { 3 \ddot { f } _ { 2 } \, \dot { c } + \dot { f } _ { 2 } \, \ddot { c } } { c ^ { 3 } } + \frac { 3 \dot { f } _ { 2 } \, \dot { c } ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } \bigg ) \sum _ { i } { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } x _ { i } ^ { 2 } + } \\ { \bigg ( } & { \frac { \dot { f } _ { 2 } } { c } - \frac { f _ { 2 } \, \dot { c } } { c ^ { 2 } } \bigg ) \, V + \frac { f _ { 2 } } { c } \frac { \partial V } { \partial t } + \frac { \dot { f } _ { 2 } } { 2 c } \sum _ { i } x _ { i } \frac { \partial V } { \partial x _ { i } } = 0 \, . } \end{array}
\Delta ^ { \prime } ( r _ { 0 } ) = - { \frac { 1 } { r _ { 0 } } } ( \sinh ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \cosh ^ { 2 } \gamma _ { p } + \cosh ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \sinh ^ { 2 } \gamma _ { p } ) ,
\mathrm { ~ R ~ P ~ S ~ S ~ } _ { \mathrm { ~ w ~ e ~ i ~ g ~ h ~ t ~ e ~ d ~ } } = \frac { \mathrm { ~ R ~ P ~ S ~ } _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ w ~ e ~ i ~ g ~ h ~ t ~ e ~ d ~ } } - \mathrm { ~ R ~ P ~ S ~ } _ { \mathrm { ~ w ~ e ~ i ~ g ~ h ~ t ~ e ~ d ~ } } } { \mathrm { ~ R ~ P ~ S ~ } _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ w ~ e ~ i ~ g ~ h ~ t ~ e ~ d ~ } } - \mathrm { ~ R ~ P ~ S ~ } _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } } ,
\begin{array} { r l } { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } + ( - ) ^ { p } k _ { 0 } ^ { 2 } { * } \Big ) { * n } } & { = 0 , } \\ { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } + ( - ) ^ { q } k _ { 0 } ^ { 2 } { * } \Big ) n _ { \ell } } & { = 0 , } \\ { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } + ( - ) ^ { q } \tilde { k } _ { 0 } ^ { 2 } { * } \Big ) { * \tilde { n } } } & { = 0 , } \\ { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } + ( - ) ^ { p } \tilde { k } _ { 0 } ^ { 2 } { * } \Big ) \tilde { n } _ { \ell } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { 0 } \nabla ^ { 2 } \psi } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { - \rho ( \boldsymbol { r } ) / \varepsilon _ { \mathrm { i n } } } & { \textrm { f o r } r < R } \\ { - \rho ( \boldsymbol { r } ) / \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } } & { \textrm { f o r } r > R } \end{array} \right. , } \\ { \nabla \cdot \overleftrightarrow { \boldsymbol { \sigma } } } & { = } & { 0 , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { u } } & { = } & { 0 , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { j } _ { + } } & { = } & { 0 , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { j } _ { - } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\tilde { w } ( \tilde { z } ) = w ( \tilde { z } ) \left( \frac { s R _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu } \right) ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 4 } \left( \tilde { R } ^ { 2 } - | \tilde { z } | ^ { 2 } \right) + \alpha \frac { \tilde { R } ^ { 2 } } { N } \tau ( \tilde { z } ) ,
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { 1 1 } } & { = - 2 \gamma _ { 1 } \rho _ { 1 1 } , } \\ { \dot { \rho } _ { 1 3 } } & { = - i \omega _ { 1 3 } \rho _ { 1 3 } - \gamma _ { 1 } \rho _ { 1 3 } , } \\ { \dot { \rho } _ { 3 3 } } & { = 2 \gamma _ { 1 } \rho _ { 1 1 } , \quad e t c . , \: 2 \gamma _ { 1 } = \sum _ { k s } | g _ { k s } | ^ { 2 } \delta ( \omega _ { 1 3 } - \omega _ { k s } ) . } \end{array}
\frac { \partial S \phi } { \partial t } + \frac { \partial S \phi v _ { x } } { \partial x } + \frac { \partial S \phi v _ { z } } { \partial z } = 0 , \qquad S = \sqrt { 1 \! - \! \frac { 4 z ^ { 2 } } { d _ { w } ^ { 2 } } } ,
\check { q } ^ { P } \overset { d e f } { = } \left\{ \begin{array} { l l } { \check { q } ^ { P 1 } ( z ^ { ( 1 ) } ) , } & { z ^ { ( 1 ) } \in [ - 1 , 1 ] } \\ { \check { q } ^ { P 2 } ( z ^ { ( 2 ) } ) , } & { z ^ { ( 2 ) } \in [ - 1 , 1 ] } \end{array} \right. .
\rho _ { 1 } ( L _ { i _ { 1 } } \cdots L _ { i _ { n } } ) = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { ( i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } ) } \Bigl ( L _ { i _ { 1 } } \rho _ { 1 } ( L _ { i _ { 2 } } \cdots L _ { i _ { n } } ) + P ( L _ { i _ { 1 } } , L _ { i _ { 2 } } \cdots L _ { i _ { n } } ) \Bigr ) .
\int { ( \cdot ) \mathrm { d } \vec { \Xi } } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \boldsymbol { u } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } { \vec { \xi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { ( \cdot ) \mathrm { d } { \varepsilon _ { v } } } ,
J _ { a } + J _ { b } + J _ { c } + J _ { d } = { \frac { e ^ { 2 } } { 2 } } \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \, { \frac { ( k ^ { 2 } - \xi e ^ { 2 } \phi ^ { 2 } ) } { D ( k ) } } \, \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \, { \frac { ( \xi p ^ { 2 } - e ^ { 2 } v ^ { 2 } ) } { D ( p ) } } \, + \cdots \, .
e T _ { \mu \nu } = e \Theta _ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu } \left( { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L } \frac { \delta { S } ^ { - } } { \delta { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L } } + { \tilde { \Psi } } _ { L } \frac { \delta { S } ^ { - } } { \delta { \tilde { \Psi } } _ { L _ { 0 } } } \right) .
M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } = \left( \begin{array} { c c } { M _ { t , 0 0 } ^ { i \setminus j } } & { M _ { t , 0 1 } ^ { i \setminus j } } \\ { M _ { t , 1 0 } ^ { i \setminus j } } & { M _ { t , 1 1 } ^ { i \setminus j } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 0 \right) } & & { \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } \right] p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 0 \right) } \\ { r _ { i } ^ { t } e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { i k } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 1 \right) } & & { \left( 1 - r _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 1 \right) } \end{array} \right)
\langle A ^ { * } ( \omega , { \bf q } ) A ( \omega ^ { \prime } , { \bf q } ^ { \prime } ) \rangle \sim { \frac { g ^ { 2 } T ^ { 3 } q } { q ^ { 6 } + c ^ { 2 } g ^ { 4 } T ^ { 4 } \omega ^ { 2 } } } \cdot \delta ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \delta ( { \bf q } - { \bf q } ^ { \prime } ) \, .
{ \alpha } ^ { \prime } ( t ) = { { \alpha } _ { 0 } } ( { { M } _ { a } } + i { { M } _ { p } } ) \left[ { { e } ^ { i 2 \pi ( { { f } _ { 0 } } + { { f } _ { i } } ) t } } + { { e } ^ { i 2 \pi ( { { f } _ { 0 } } - { { f } _ { i } } ) t } } \right] ,
V ^ { \mathrm { R i c h } } ( q ^ { 2 } ) = - \frac { 4 } { 3 } \; \frac { 4 \pi } { q ^ { 2 } } \; \biggl ( \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } } \; \frac { \mu _ { g } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } + \frac { 2 \pi } { \beta _ { 0 } } \biggr ) + O ( 1 ) \; .
\begin{array} { r l } { G _ { p } ^ { t , e } ( z _ { p } ) : = } & { \langle f _ { p } ^ { \prime } ( z _ { p } ^ { t , e } ) , z _ { p } \rangle + \textstyle \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } } \\ & { + \textstyle \frac { \rho ^ { t } } { 2 } \| w ^ { t + 1 } - z _ { p } + \frac { 1 } { \rho ^ { t } } ( \lambda _ { p } ^ { t } - \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } ) \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { \theta } ^ { S t k } [ \theta , z ] = \frac { 1 } { 8 \pi \eta _ { 2 d } R } \left( - \frac { z \sin \alpha _ { 0 } \sin \theta } { \cos \theta - \cosh \frac { z } { R } } + \cos \alpha _ { 0 } \left( - | z | \frac { e ^ { - \frac { | z | } { R } } - \cos \theta } { \cos \theta - \cosh \frac { | z | } { R } } - R ~ \log \left[ 1 - 2 e ^ { - \frac { | z | } { R } } \cos \theta + e ^ { - \frac { 2 | z | } { R } } \right] + \sqrt { 2 R \lambda } ~ e ^ { - \frac { \sqrt { 2 } | z | } { \sqrt { \lambda R } } } \right) \right) } \\ & { v _ { z } ^ { S t k } [ \theta , z ] = \frac { 1 } { 8 \pi \eta _ { 2 d } R } \left( - \frac { z \cos \alpha _ { 0 } \sin \theta } { \cos \theta - \cosh \frac { z } { R } } + \sin \alpha _ { 0 } \left( | z | \frac { e ^ { - \frac { | z | } { R } } - \cos \theta } { \cos \theta - \cosh \frac { | z | } { R } } - R ~ \log \left[ 1 - 2 e ^ { - \frac { | z | } { R } } \cos \theta + e ^ { - \frac { 2 | z | } { R } } \right] \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \mathrm { R o T } } ^ { \mathrm { G } } } & { = \left[ \frac { 4 } { L / 2 ( n + 2 ) } \right] ^ { \frac { 1 } { n + 4 } } , } \\ { h _ { \mathrm { R o T } } ^ { \mathrm { S T } } } & { = \left[ \frac { 1 6 ( \nu - 2 ) ^ { 2 } ( 1 + n + \nu ) ( 3 + n + \nu ) } { ( 2 + n ) ( n + \nu ) ( 2 + n + \nu ) ( n + 2 \nu ) ( 2 + n + 2 \nu ) L / 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { n + 4 } } . } \end{array}
\mathrm { T r } \big [ \phi _ { i } ^ { \dagger } F _ { i \alpha } ^ { \dagger } \phi _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \tilde { F } _ { i a } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] = \sum _ { c = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } [ \mathcal { R } _ { i } ] _ { c \alpha } \dag , [ \Delta _ { i } ( \mathbf { 1 } - \Delta _ { i } ) ] _ { c a } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \dag , .
m _ { e } = \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { 6 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { \tau }
k _ { 2 } \frac { 4 F _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + \nu _ { 1 } ( 1 - F _ { 2 } ^ { 2 } ) x _ { 1 } + 4 F _ { 2 } \mu _ { 1 } } { ( 1 - F _ { 2 } ^ { 2 } ) x _ { 1 } ^ { 2 } - F _ { 2 } \nu _ { 1 } x _ { 1 } + \mu _ { 1 } ( 1 - F _ { 2 } ^ { 2 } ) } = k _ { 2 } \frac { 4 t _ { 2 } w _ { 1 } + 2 \nu _ { 1 } } { 2 w _ { 1 } - \nu _ { 1 } t _ { 2 } } \quad \mathrm { a n d } \quad y _ { 3 } + \frac { \mu _ { 2 } } { y _ { 3 } } = k _ { 3 } \frac { 2 w _ { 3 } + 4 t _ { 3 } } { 2 - t _ { 3 } w _ { 3 } } .
\begin{array} { l l } { { \{ \Phi ( \sigma ) , \Pi ( \sigma ^ { \prime } ) \} = \delta ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) } } \\ { { \{ \Phi ( \sigma ) , \Phi ( \sigma ^ { \prime } ) \} = \{ \Pi ( \sigma ) , \Pi ( \sigma ^ { \prime } ) \} = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { \mathrm { g c } } } & { { } = } & { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \, K _ { \mathrm { g c } } + { \bf E } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \; + \; | { \bf B } | ^ { 2 } / 8 \pi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( t ) } & { { } = \mathrm { T r } _ { R } [ U ( t ) \rho ( 0 ) \otimes | 1 _ { \mathrm { F S } } \rangle \langle 1 _ { \mathrm { F S } } | \otimes | 0 _ { b } \rangle \langle 0 _ { b } | U ^ { \dagger } ( t ) ] , } \\ { \rho _ { 0 1 } ( t ) } & { { } = \mathrm { T r } _ { R } [ U ( t ) \rho ( 0 ) \otimes | 0 _ { a } \rangle \langle 1 _ { \mathrm { F S } } | \otimes | 0 _ { b } \rangle \langle 0 _ { b } | U ^ { \dagger } ( t ) ] , } \\ { \rho _ { 0 0 } ( t ) } & { { } = \mathrm { T r } _ { R } [ U ( t ) \rho ( 0 ) \otimes | 0 _ { a } \rangle \langle 0 _ { a } | \otimes | 0 _ { b } \rangle \langle 0 _ { b } | U ^ { \dagger } ( t ) ] , } \end{array}
u ^ { 2 } = { \frac { f _ { s } ^ { 2 } } { f _ { t } ^ { 2 } } } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad m ^ { 2 } = { \frac { m _ { q } f _ { m } ^ { 2 } } { f _ { s } ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l r } { w _ { L } } & { = } & { w _ { j } + \nabla w \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) - ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) ^ { t } { \nabla } ^ { 2 } w _ { j } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) + \frac { 1 } { 2 } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) ^ { t } { \nabla } ^ { 2 } w _ { j } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) } \\ & { = } & { w _ { j } + \nabla w \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) - \frac { 1 } { 2 } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) ^ { t } { \nabla } ^ { 2 } w _ { j } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) , } \end{array}
\theta = \frac { \delta T } { \Delta T } = \frac { T - T _ { m } } { T _ { \mathrm { b o t } } - T _ { \mathrm { t o p } } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Tilde { T } _ { m } = \frac { T _ { m } } { \Delta T } = \frac { T _ { m } } { T _ { \mathrm { b o t } } - T _ { \mathrm { t o p } } } \, ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \kappa \subset \overline { { \Omega } } _ { 1 1 } } \Vert ( P _ { h } u - u ) ^ { + } - ( P _ { h } u - u ) ^ { - } \Vert _ { \partial _ { - } \kappa / \Gamma } ^ { 2 } } & { \le C \Vert P _ { h } u - u \Vert _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { 1 1 } ) } ^ { 2 } N ^ { 2 } N ^ { - 1 } \le C N ^ { - ( 2 k + 1 ) } . } \end{array}
\theta _ { u _ { 0 } ; t _ { 0 } } ^ { t } ( v _ { 0 } ) = e ^ { ( t - t _ { 0 } ) \mathcal { A } _ { U } } v _ { 0 } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } D J _ { s } ( \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( u _ { 0 } ) ) [ \theta _ { u _ { 0 } ; t _ { 0 } } ^ { s } ( v _ { 0 } ) ] \, d s
| b | ^ { 2 } = \left( 2 \lambda - \frac { \chi _ { _ { D C } } } { 4 } f ^ { 2 } - \frac { 3 \nu _ { _ { D C } } - \xi _ { _ { D C } } } { 4 } | a | ^ { 2 } \right) \left( \frac { 4 } { \nu _ { _ { D C } } + \xi _ { _ { D C } } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { u } ( \mu ) } { \partial { t } } = - \varepsilon ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } u ( \mu ) + \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \Delta F ^ { \prime } ( u ( \mu ) ) , } & { } & { \mathrm { ~ i n ~ } { { \mathcal { D } } } ( \mu ) \times [ 0 , T ] , } \\ { \partial _ { n } u ( \mu ) = \partial _ { n } ( - \varepsilon ^ { 2 } \Delta u ( \mu ) + \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } F ^ { \prime } ( u ( \mu ) ) ) = g _ { N } ( \mu ) , } & { } & { \mathrm { ~ o n ~ } { \Gamma } ( \mu ) \times [ 0 , T ] , } \\ { u ( \cdot , 0 ) = u _ { 0 } ( \cdot ) , } & { } & { \mathrm { ~ i n ~ } { \mathcal { D } } ( \mu ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \iint _ { \Omega \times Y } B \left( \frac { \left\vert \mathcal { T } _ { \varepsilon } \left( \varphi \right) \left( x , y \right) - \varphi \left( x \right) \right\vert } { k } \right) d x d y = \iint _ { \widehat { \Omega } _ { \varepsilon } \times Y } B \left( \frac { \left\vert \mathcal { T } _ { \varepsilon } \left( \varphi \right) \left( x , y \right) - \varphi \left( x \right) \right\vert } { k } \right) d x d y } \\ { = \sum _ { \xi \in \Xi _ { \varepsilon } } \iint _ { ( \varepsilon \xi + \varepsilon Y ) \times Y } B \left( \frac { \left\vert \varphi \left( \varepsilon \xi + \varepsilon y \right) - \varphi \left( x \right) \right\vert } { k } \right) d x d y \leq \sum _ { \xi \in \Xi _ { \varepsilon } } \iint _ { ( \varepsilon \xi + \varepsilon Y ) \times Y } B \left( \frac { \left\vert m _ { \varphi } \left( \varepsilon \right) \right\vert } { k } \right) d x d y . } \end{array}
b _ { n } = b _ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf { y } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { y } + { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ^ { \mathrm { { T } } } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ^ { \mathrm { { T } } } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { n } { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ) .
T : \Upsilon _ { l , \, m } = - i \sigma _ { y } \Upsilon _ { l , \, m } ^ { * } = \left( \begin{array} { r } { { - \beta _ { l , \, m } ^ { * } } } \\ { { \alpha _ { l , \, m } ^ { * } } } \end{array} \right) = ( - 1 ) ^ { l - m } \, \left( \begin{array} { c } { { \alpha _ { l , \, - m } } } \\ { { \beta _ { l , \, - m } } } \end{array} \right) .
A _ { + } = - \frac { m } { { \partial } _ { - } } \tilde { \Sigma } - \frac { n _ { - } x ^ { - } { \partial } _ { + } } { m ^ { 2 } - n _ { - } { \partial } _ { + } ^ { \; \; 2 } } B + \mathrm { i n t e g r a t i o n \; c o n s t a n t } .
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( r , \tau ) = } & { { \mathrm { I F T } } _ { { \bf k } } \left[ \, \mathrm { e } ^ { - k \left( \epsilon + \frac { \xi \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } \right) } \right] , } \\ { C _ { 2 } ( r , \tau ) = } & { { \mathrm { I F T } } _ { { \bf k } } \left[ \, k \, \mathrm { e } ^ { - k \left( \epsilon + \frac { \xi \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } \right) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { i j } ^ { - } } & { \equiv \frac { e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } { 1 + e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { y _ { i } y _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } , } \\ { p _ { i j } ^ { + } } & { \equiv \frac { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } } { 1 + e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { x _ { i } x _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } } \end{array}
f _ { i / \gamma } \! \left( x , M _ { \gamma } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } \right) = f _ { i / \gamma } ^ { \mathrm { V D M } } \! \left( x , M _ { \gamma } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } \right) + f _ { i / \gamma } ^ { \mathrm { p o i n t } } \! \left( x , M _ { \gamma } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } \right) .
\left( ( 5 h _ { ( p , r ; q , s ) } + 1 ) \, h _ { ( p , r ; q , s ) } \; Q _ { - 2 } - 1 2 q _ { ( p , r ; q , s ) } \; L _ { - 1 } ^ { 2 } + 6 q _ { ( p , r ; q , s ) } \, ( h _ { ( p , r ; q , s ) } + 1 ) \; L _ { - 2 } \right) \phi _ { ( p , r ; q , s ) } .
\begin{array} { r } { \widetilde { f } _ { \alpha } ^ { B } = \operatorname* { d e t } \left( \widetilde { f } _ { \alpha _ { i } \to j } ^ { B } \right) _ { 1 \leq i , j \leq n } , } \\ { \widetilde { f } _ { \alpha } ^ { C } = \operatorname* { d e t } \left( \widetilde { f } _ { \alpha _ { i } \to j } ^ { C } \right) _ { 1 \leq i , j \leq n } , } \end{array}
= b _ { m } ^ { * } ( \mathbf { 0 } ) b _ { m } ( \mathbf { 0 } ) \ N \int d ^ { 3 } r \ \varphi _ { m } ^ { * } ( \mathbf { r } ) H _ { \mathrm { a t } } ( \mathbf { r } ) \varphi _ { m } ( \mathbf { r } ) + b _ { m } ^ { * } ( 0 ) \sum _ { \mathbf { R } _ { n } } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R } _ { n } } \ \int d ^ { 3 } r \ \varphi _ { m } ^ { * } ( \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { n } ) \Delta U ( \mathbf { r } ) \psi _ { m } ( \mathbf { r } )
\begin{array} { r l } & { E _ { X } ^ { \mathrm { H F } } = E _ { \mathrm { C B S } } ^ { \mathrm { H F } } + a e ^ { - b X } } \\ & { E _ { X } ^ { \mathrm { c o r r } } : = E _ { X } ^ { \mathrm { H F } } - E _ { X } ^ { \mathrm { C C S D ( T ) } } = E _ { \mathrm { C B S } } ^ { \mathrm { c o r r } } + c X ^ { - 3 } } \\ & { E _ { \mathrm { C B S } } ^ { \mathrm { C C S D ( T ) } } = E _ { \mathrm { C B S } } ^ { \mathrm { H F } } + E _ { \mathrm { C B S } } ^ { \mathrm { c o r r } } } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \varrho \frac { \partial \vec { u } } { \partial t } = A \frac { \partial \vec { \sigma } } { \partial r } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial { \vec { \sigma } } } { \partial \phi } + \displaystyle \frac { 1 } { r } \left( A - D \right) \vec { \sigma } + \vec { F } \left( r , \phi , z ; t \right) ; } \\ { \displaystyle M \frac { \partial \vec { \sigma } } { \partial t } = A ^ { T } \frac { \partial \vec { u } } { \partial z } + \frac { 1 } { r } B ^ { T } \frac { \partial \vec { u } } { \partial \phi } + C ^ { T } \frac { \partial { \vec { u } } } { \partial z } + \frac { 1 } { r } D ^ { T } \vec { u } + \vec { G } ( r , \phi , z ; t ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \nabla F ( x _ { t } ) , \gamma ) \| } & { \leq \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| + \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| \big ] } \\ & { \leq \frac { \sqrt { 2 M } ( m + T ) ^ { 1 / 4 } } { \sqrt { T } } \leq \frac { \sqrt { 2 M } m ^ { 1 / 4 } } { \sqrt { T } } + \frac { \sqrt { 2 M } } { T ^ { 1 / 4 } } . } \end{array}
\delta ( { \cal Y } ) \, \left\{ \frac { \partial { \cal Y } } { \partial P _ { \mu } } \, \frac { \partial N _ { X P } } { \partial X ^ { \mu } } \; - \; \frac { \partial { \cal Y } } { \partial X _ { \mu } } \, \frac { \partial N _ { X P } } { \partial P ^ { \mu } } \right\} = 0 \; .
\begin{array} { r l } & { \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi \left( x , \frac { | \mathfrak { u } _ { \varepsilon } ^ { \psi } ( x ) - \textnormal { m e d } ( \overline { { u } } _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) | } { \varepsilon } \right) \, d x } \\ & { \leq C \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi _ { \varepsilon } ^ { - } \left( | \nabla u ( x ) - \nabla u ( x _ { 0 } ) | \right) \, d x + \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi _ { \varepsilon _ { 0 } } ^ { + } \left( \frac { | \overline { { u } } _ { \varepsilon } ( x ) - \textnormal { m e d } ( \overline { { u } } _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) | } { \varepsilon } \wedge \sigma \right) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { F } _ { I J } ^ { \mathrm { c o m p . } } = \hat { F } _ { I a } ^ { \mathrm { d e r i v } } \widehat { \left( \left. \hat { F } _ { a b } ^ { \mathrm { s t n d } } \right. ^ { - 1 } \right) } \hat { F } _ { b J } ^ { \mathrm { d e r i v } } } \end{array}
\dot { \delta } _ { i } = \frac { \delta _ { i } } { \tau _ { \delta } } - \frac { \delta _ { i } ^ { 3 / 2 } } { \tau _ { \delta } \sqrt { \delta _ { 0 } } } + f _ { \delta } ( t ) + \dot { \delta } _ { \kappa , i } \ .
\begin{array} { r l } { \kappa _ { - } } & { = | \kappa _ { + } | \leq 2 \alpha _ { + } + \frac { 1 } { 4 \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \operatorname* { m i n } \left\lbrace 1 , \sqrt { \alpha _ { + } } \right\rbrace } \\ & { \leq 2 \alpha _ { + } + \frac { 1 } { 4 } \operatorname* { m i n } \left\lbrace \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } , \frac { \sqrt { \alpha _ { + } + \alpha _ { - } } } { ( 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } } \right\rbrace , } \end{array}
\frac { ( \rho _ { 0 } \phi ) ^ { k + 1 } - ( \rho _ { 0 } \phi ) ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } { \Delta t } = - \nabla \cdot [ ( \rho _ { 0 } \boldsymbol { u } ) ^ { n + 1 } \phi ^ { n + 1 } ] + \nabla \cdot [ \rho _ { 0 } \mathcal { D } _ { \phi } ^ { n + 1 } \nabla \phi ^ { n + 1 } ] + S _ { \phi } ( \phi ^ { n + 1 } , \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } ) ,
\begin{array} { r } { g _ { \mathrm { r } } ( x , x _ { \mathrm { i } } , t ) = g _ { 0 } ( x - x _ { \mathrm { i } } , t ) + g _ { 0 } ( x + x _ { \mathrm { i } } , t ) - \frac { 2 A } { B } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \xi g _ { 0 } ( x + x _ { \mathrm { i } } + \xi , t ) \exp \left( - \frac { A } { B } \xi \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \det \left[ S ^ { \prime \prime } \right] = \frac { \partial \omega } { \partial \textrm { K } _ { 0 x } ^ { s t } } \mathcal { H } _ { 1 } - \frac { \partial \omega } { \partial \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } } \mathcal { H } _ { 2 } - E \left( t _ { r } \right) \frac { \partial \omega } { \partial \textrm { K } _ { 0 x } ^ { s t } } \mathcal { H } _ { 3 } . } \end{array}
f _ { \omega } ( x ) = \int \frac { d k } { 2 \pi } e ^ { i k x } f _ { k \omega } = - \frac { i \phi _ { \omega } } { 2 \pi v _ { x } } \int d k \frac { e ^ { i k ( x - l ) } } { k - \frac { \omega + i \eta } { v _ { x } } } .
L = \pi ^ { i j } \dot { g } _ { i j } - N ^ { \mu } T _ { \mu } + P _ { \mu } \dot { N } ^ { \mu } + \bar { \tilde { C } } _ { \mu } \dot { \tilde { C } } ^ { \mu } + \bar { C } _ { \mu } \{ \dot { C } ^ { \mu } - U _ { \alpha \beta } ^ { \mu } N ^ { \alpha } C ^ { \beta } - \tilde { C } ^ { \mu } \} .