harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathbb { M } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) : = \dot { \mathrm { H } } _ { \gamma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \cap \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \mathrm { , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \theta , \phi ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } R _ { 0 , n } \cos ( - n _ { \mathrm { f p } } n \phi ) + \sum _ { m = 1 } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \sum _ { n = - n _ { \mathrm { m o d e } } } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } R _ { m , n } \cos ( m \theta - n _ { \mathrm { f p } } n \phi ) , } \\ { Z ( \theta , \phi ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } Z _ { 0 , n } \sin ( - n _ { \mathrm { f p } } n \phi ) + \sum _ { m = 1 } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \sum _ { n = - n _ { \mathrm { m o d e } } } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } Z _ { m , n } \sin ( m \theta - n _ { \mathrm { f p } } n \phi ) , } \end{array}
\mathfrak X _ { 1 } : = [ \overline { { \boldsymbol X } } _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ o ~ s ~ } } ^ { ( 1 ) } , \overline { { \boldsymbol X } } _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ o ~ s ~ } } ^ { ( 2 ) } , \cdots , \overline { { \boldsymbol X } } _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ o ~ s ~ } } ^ { ( N _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ o ~ s ~ } } ) } ] ^ { T }
\left( \tilde { \sigma } _ { i } ^ { ( k ) } , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l } { \tilde { v } _ { i } ^ { ( k ) } } \\ { \tilde { u } _ { i } ^ { ( k ) } } \end{array} \right] \right) , \ \left( - \tilde { \sigma } _ { i } ^ { ( k ) } , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l } { \tilde { v } _ { i } ^ { ( k ) } } \\ { - \tilde { u } _ { i } ^ { ( k ) } } \end{array} \right] \right) , i = 1 , 2 , \dots , p ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } N ^ { 3 \omega } } { \mathrm { d } k ^ { 0 } \mathrm { d } \varphi \mathrm { d } \! \sin \vartheta } = } & { { } \frac { \pi } { 8 } \left( \frac { 7 } { 4 5 } \right) ^ { 2 } \frac { \alpha ^ { 4 } } { m _ { e } ^ { 8 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 3 } w _ { 0 } ^ { 6 } \tau ^ { 4 } } { 9 H } \left( \frac { { \mathfrak E } } { 2 } \right) ^ { 6 } \left( 1 6 + 3 3 \sin ^ { 2 } \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { { \dot { \rho } } } _ { \mathbf { n } } } ( t ) = } & { { { L } _ { S } } { { \rho } _ { \mathbf { n } } } ( t ) + i \sum _ { k = 1 } ^ { K } { { { n } _ { k } } { { \gamma } _ { k } } { { \rho } _ { \mathbf { n } } } } ( t ) } \\ & { - i \left[ S , \sum _ { k = 1 } ^ { K } { { { \rho } _ { \mathbf { n } _ { k } ^ { + } } } ( t ) } \right] } \\ & { - i \sum _ { k = 1 } ^ { K } { { { n } _ { k } } \left( { { \alpha } _ { k } } { { S } } { { \rho } _ { \mathbf { n } _ { k } ^ { - } } } ( t ) - { { { \tilde { \alpha } } } _ { k } } { { \rho } _ { \mathbf { n } _ { k } ^ { - } } } ( t ) S \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 7 } \! \! } & { { } = } & { \! \! \! \frac { G ^ { 2 } } { 4 } \Bigg [ \frac { 1 } { \delta _ { 1 } { - } \Omega _ { 2 } } \left( m ^ { \dagger } m \sigma _ { z } { + } \sigma ^ { + } \sigma ^ { - } \right) { + } \frac { 1 } { \delta _ { 1 } { + } \Omega _ { 2 } } \left( - m ^ { \dagger } m \sigma _ { z } { + } \sigma ^ { - } \sigma ^ { + } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal J } _ { 2 1 0 } ( \omega , q ) } & { { } \simeq } & { - { q ^ { 2 } } \frac { 1 2 \sqrt { 6 } } { ( 9 / 4 + q ^ { 2 } ) ^ { 3 } } - q \; \omega \frac { \sqrt { 6 } ( 1 7 0 1 + 3 7 8 0 q ^ { 2 } - 3 3 6 q ^ { 4 } - 6 4 q ^ { 6 } ) } { 1 6 ( 9 / 4 + q ^ { 2 } ) ^ { 5 } } , } \\ { { \cal J } _ { 2 1 2 } ( \omega , q ) } & { { } \simeq } & { q ^ { 2 } \omega \frac { 1 8 \sqrt { 6 } ( 2 1 + 4 q ^ { 2 } ) } { ( 9 / 4 + q ^ { 2 } ) ^ { 5 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } | U | ^ { 2 } f _ { \zeta } \, d \zeta = } & { \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } U \overline { U } f _ { \zeta } \, d \zeta = \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \left[ \frac { 2 \overline { \xi } \mathcal { F } _ { 1 } } { \zeta - \zeta _ { k } } - \frac { \overline { { ( \zeta - \zeta _ { k } ) f _ { \zeta } U ^ { 2 } } } } { \zeta - \zeta _ { k } } \right] \, d \zeta . } \end{array}
\sum _ { K , L } B _ { k _ { 1 } } ^ { j _ { 1 } } \dots B _ { k _ { n } } ^ { j _ { n } } ( \mathcal { L } _ { \gamma ^ { - 1 } } ) _ { l _ { 1 } , \dots , l _ { n } } ^ { k _ { 1 } , \dots , k _ { n } } ( \mathcal { L } _ { \sigma _ { 1 } } ) _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { n } } ^ { l _ { 1 } , \dots , l _ { n } } = \sum _ { K } B _ { k _ { 1 } } ^ { j _ { 1 } } \dots B _ { k _ { n } } ^ { j _ { n } } ( \mathcal { L } _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } } ) _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { n } } ^ { k _ { 1 } , \dots , k _ { n } } \, .
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } q ^ { n } \sigma _ { a } ( n ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } n ^ { a } q ^ { j \, n } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { n ^ { a } q ^ { n } } { 1 - q ^ { n } } }
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 3 } + _ { 1 2 } } \\ & { = - \sum _ { w > m - n } \delta _ { i , j } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , w } ^ { ( 2 ) } + \sum _ { x \leq m - n } \delta _ { i , j } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = - \delta _ { i , j } ( W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } + \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) } \\ & { = - \delta _ { i , j } W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { i , j } \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \end{array}
P _ { \mu \mu } ^ { K 2 K } = ( U _ { \mu 1 } ^ { 2 } + U _ { \mu 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + U _ { \mu 3 } ^ { 4 } = ( 1 - U _ { \mu 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + U _ { \mu 3 } ^ { 4 } .
\begin{array} { r } { \delta _ { 1 } ( \zeta , \cdot ) : \mathbb { C } \setminus \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } \to \mathbb { C } , \quad \delta _ { 2 } ( \zeta , \cdot ) , \delta _ { 3 } ( \zeta , \cdot ) : \mathbb { C } \setminus \Gamma _ { 8 } ^ { ( 2 ) } \to \mathbb { C } , \quad \delta _ { 4 } ( \zeta , \cdot ) , \delta _ { 5 } ( \zeta , \cdot ) : \mathbb { C } \setminus \Gamma _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } \to \mathbb { C } } \end{array}
{ \frac { \mathrm { { d } } ^ { 2 } x ^ { \lambda } } { \mathrm { { d } } t ^ { 2 } } } + \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } { \frac { \mathrm { { d } } x ^ { \mu } } { \mathrm { { d } } t } } { \frac { \mathrm { { d } } x ^ { \nu } } { \mathrm { { d } } t } } = 0 \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { d } = } & { { } \frac { i k _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi } \int \frac { d ^ { 2 } \mathbf { q } } { w } \left[ t _ { \parallel } \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } + t _ { \perp } \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } \right] } \end{array}
\sqrt { n } \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \theta } } H _ { n } ( \boldsymbol { \theta } ) \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } \left( \boldsymbol { 0 } , \left( \tau + 1 \right) ^ { 2 } \boldsymbol { K } _ { \boldsymbol { \tau } } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right)
E _ { n } = { \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 m L ^ { 2 } } } n ^ { 2 } \implies \operatorname { d } \! E = { \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { m L ^ { 2 } } } n \operatorname { d } \! n = { \frac { \hbar \pi } { L } } { \sqrt { \frac { 2 E } { m } } } \operatorname { d } \! n \, .
{ \begin{array} { r l } { \pi _ { \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right) } ( J _ { i } ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sigma _ { i } \otimes 1 _ { ( 1 ) } + 1 _ { ( 2 ) } \otimes J _ { i } ^ { ( 0 ) } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { i } } \\ { \pi _ { \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right) } ( K _ { i } ) } & { = { \frac { - i } { 2 } } \left( 1 _ { ( 2 ) } \otimes J _ { i } ^ { ( 0 ) } - \sigma _ { i } \otimes 1 _ { ( 1 ) } \right) = { \frac { i } { 2 } } \sigma _ { i } } \\ { \pi _ { \left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) } ( J _ { i } ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( J _ { i } ^ { ( 0 ) } \otimes 1 _ { ( 2 ) } + 1 _ { ( 1 ) } \otimes \sigma _ { i } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { i } } \\ { \pi _ { \left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) } ( K _ { i } ) } & { = { \frac { - i } { 2 } } \left( 1 _ { ( 1 ) } \otimes \sigma _ { i } - J _ { i } ^ { ( 0 ) } \otimes 1 _ { ( 2 ) } \right) = { \frac { - i } { 2 } } \sigma _ { i } } \end{array} }
~ E _ { \mathrm { { R } } } = \left( { \frac { \hbar \omega } { 2 \epsilon _ { 0 } V } } \right) ^ { 1 / 2 } \! \! \! \cos ( \theta ) X \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad ~ E _ { \mathrm { { I } } } = \left( { \frac { \hbar \omega } { 2 \epsilon _ { 0 } V } } \right) ^ { 1 / 2 } \! \! \! \sin ( \theta ) X
{ \frac { d S } { d t } } = { \frac { \partial S } { \partial t } } + \sum _ { i } { \frac { \partial S } { \partial q _ { i } } } { \dot { q } } _ { i } = { \frac { \partial S } { \partial t } } + \sum _ { i } p _ { i } { \dot { q } } _ { i } = L .
\mathcal { P } _ { \mathrm { R K } } : = \left[ \! \! \begin{array} { c c } { U \otimes I _ { \hat { n } _ { x } } } & { \! \! 0 } \\ { 0 } & { \! \! U \otimes I _ { \hat { m } _ { x } } } \end{array} \! \! \right] \left[ \! \! \begin{array} { c } { I _ { s } \otimes \widehat { \mathbf { M } } + \tau \Sigma \otimes \mathbf { D } _ { 1 } } \\ { \tau \Sigma \otimes \mathbf { D } _ { 2 } } \end{array} \! \! \right] \left[ \! \! \begin{array} { c c } { V ^ { \top } \otimes I _ { \hat { n } _ { x } } } & { \! \! 0 } \\ { 0 } & { \! \! V ^ { \top } \otimes I _ { \hat { m } _ { x } } } \end{array} \! \! \! \right] \approx \widehat { \Theta } .
\begin{array} { r } { J _ { P } ( \xi , \mathbb { P } ^ { \nu } ) = \mathbb { E } ^ { \mathbb { P } ^ { \nu } } \left[ U _ { P } \left( - \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { T } X _ { t } ^ { 1 } ( k _ { 1 } - p ) + X _ { t } ^ { 2 } ( k _ { 2 } - p ) d t - \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { T } h ~ d \langle X _ { \cdot } ^ { 1 } + X _ { \cdot } ^ { 2 } \rangle _ { t } \right) \right] \; , } \end{array}
2 \int _ { r _ { w } } ^ { r _ { w } + l } \left( \pi r \right) ^ { d - 1 } \left( w \left( r , t \right) - w \left( r , 0 \right) \right) \mathrm { ~ d ~ } r = Q _ { 0 } t - U \left( P _ { w } \left( t \right) - P _ { w } \left( 0 \right) \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } } & { \supset } & { - 2 \left( 1 - \frac { 0 . 2 \, \kappa _ { s } } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } \right) \frac { \Delta \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } } \\ & { \simeq } & { - 2 \, \frac { \Delta \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } \, , } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \mathrm { P r o b } ( \hat { \mathbf { l } } \neq \mathbf { l } \vert T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } ) \leq p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } 2 ^ { - \left\lceil - \log _ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ } } \right\rceil } \leq \varepsilon _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ } } .
< \dot { \omega } \left( q \right) ~ \omega \left( f _ { 1 } \right) \cdots \omega \left( f _ { n } \right) > = c o n s t L ^ { 2 + \lambda } ~ \left\{ q _ { + } < \Delta | L _ { 1 } \omega \left( q \right) \cdots \omega \left( f _ { n } \right) | > - c . c . \right\} ~ + ~ O \left( L ^ { \lambda } \right)
p _ { t _ { i } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \tilde { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ) = p _ { \sigma } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } | \, \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) p _ { t _ { i } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } )
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { H } } _ { \mathrm { t r i } } } & { = \tilde { \mathbf { q } } ^ { ( j ) , \dagger } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { f } + \boldsymbol { \Sigma } _ { \infty } } & { \mathbf { W } } \\ { \mathbf { W } ^ { \dagger } } & { \mathbf { d } } \end{array} \right] \tilde { \mathbf { q } } ^ { ( j ) } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \mathbf { f } + \boldsymbol { \Sigma } _ { \infty } } & { \mathbf { L } } & & & & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { L } ^ { \dagger } } & { \mathbf { M } _ { 1 } } & { \mathbf { C } _ { 1 } } & & & \\ & { \mathbf { C } _ { 1 } ^ { \dagger } } & { \mathbf { M } _ { 2 } } & { \mathbf { C } _ { 2 } } & & \\ & & { \mathbf { C } _ { 2 } ^ { \dagger } } & { \mathbf { M } _ { 3 } } & { \ddots } & \\ & & & { \ddots } & { \ddots } & { \mathbf { C } _ { j - 1 } } \\ { \mathbf { 0 } } & & & & { \mathbf { C } _ { j - 1 } ^ { \dagger } } & { \mathbf { M } _ { j } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \sigma } } } \left( { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } \right) { \bar { \delta } } \varphi ^ { A } + { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } { \bar { \delta } } { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } = { \frac { \partial } { \partial x ^ { \sigma } } } \left( { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } { \bar { \delta } } \varphi ^ { A } \right) . } \end{array}
d s _ { 5 } ^ { 2 } = \Big [ 1 - ( { \frac { \mu } { r } } ) ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 3 } } \Big [ - ( 1 - ( { \frac { \mu } { r } } ) ^ { 2 } ) d t ^ { 2 } + ( 1 - ( { \frac { \mu } { r } } ) ^ { 2 } ) ^ { - 2 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } \Big ] .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \underbrace { \left[ \begin{array} { c } { \rho } \\ { \rho u _ { i } } \\ { \rho e _ { o } } \end{array} \right] } _ { \bf Q } = - \partial _ { x _ { j } } \underbrace { \left[ \begin{array} { c } { \rho u _ { j } } \\ { \rho u _ { j } u _ { i } } \\ { \rho u _ { j } e _ { o } } \end{array} \right] } _ { { \bf E } _ { j } ^ { ( c ) } } - \partial _ { x _ { j } } \underbrace { \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { P \delta _ { i j } } \\ { P u _ { j } } \end{array} \right] } _ { { \bf E } _ { j } ^ { ( p ) } } + \partial _ { x _ { j } } \underbrace { \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \tau _ { i j } } \\ { \tau _ { j k } u _ { k } + q _ { j } } \end{array} \right] } _ { { \bf E } _ { j } ^ { ( v ) } } = \mathcal { R } _ { \mathrm { o } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \mathrm { i } { ( \omega + n \Omega ) } \left( - \mathrm { i } \omega + \frac { \partial } { \partial t } \right) \left( \frac { 1 } { \kappa ( x , t ) } \right) \Hat { v } _ { n } - \left( \mathrm { i } \alpha + \frac { \partial } { \partial x } \right) \left( \frac { 1 } { \rho ( x , t ) } \left( \mathrm { i } \alpha + \frac { \partial } { \partial x } \right) \Hat { v } _ { n } \right) = 0 , } \\ & { x \mapsto \Hat { v } _ { n } ( x , \alpha ) \, \, \mathrm { i s } \, L \mathrm { - p e r i o d i c } , } \end{array}
Z _ { \mathrm { \scriptsize \textit { \textcent } } } = \frac { \sum _ { c ^ { \prime } \neq c } \delta _ { \mathrm { \scriptsize \textit { \textcent } } , \mathrm { \scriptsize \textit { \textcent } } ^ { \prime } } ( S _ { c ^ { \prime } c } + S _ { c ^ { \prime } c } ^ { * } ) ( P _ { c ^ { \prime } } + P _ { c ^ { \prime } } ^ { * } ) \sum _ { c ^ { \prime } \neq c } ( S _ { c ^ { \prime } c } + S _ { c ^ { \prime } c } ^ { * } ) ( P _ { c ^ { \prime } } + P _ { c ^ { \prime } } ^ { * } ) } ,
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { 2 } \nu } & { = \left( \frac { - 1 } { 4 \pi \langle T p ^ { 2 } \rangle } \right) \sum _ { { \mu } , { \nu } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { f _ { { \mu } \, { \nu } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) \left[ \phi _ { { \mu } { \nu } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) p \right] ^ { 3 } p } { p ^ { 2 } + \left[ \phi _ { { \mu } { \nu } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) p \right] ^ { 2 } } \, d \cos ( \theta ) , } \end{array}
Q _ { p , e } = \underbrace { \Bigg [ \sum _ { n } 2 C _ { 2 } \overline { { \gamma } } _ { n _ { p , e } } ( k _ { \perp } ) \overline { { k } } _ { \perp n } \bigg ( \frac { b _ { k n } ^ { 3 } } { b _ { k i } ^ { 3 } } \bigg ) \delta ( \mathrm { ~ l ~ n ~ } \overline { { k } } _ { \perp n } ) \Bigg ] } _ { \mathrm { ~ e ~ v ~ a ~ l ~ u ~ a ~ t ~ e ~ d ~ f ~ r ~ o ~ m ~ t ~ h ~ e ~ c ~ o ~ d ~ e ~ } } \frac { b _ { k i } ^ { 3 } } { \rho _ { p } } .
\frac { \partial x } { \partial t } = H _ { x } \left( s \frac { \partial ^ { 2 } x } { \partial \xi ^ { 2 } } - x \frac { \partial ^ { 2 } s } { \partial \xi ^ { 2 } } \right) = H _ { x } \left( ( 1 - y ) \frac { \partial ^ { 2 } x } { \partial \xi ^ { 2 } } + x \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial \xi ^ { 2 } } \right) .
u = \sum _ { i = 0 } ^ { n _ { 1 } } u _ { i , p } ^ { * } N _ { i , p } ( u ) , \quad u \in [ 0 , 1 ] , \quad u _ { i , p } ^ { * } = \frac { u _ { i + 1 } + \ldots + u _ { i + p } } { p } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ s ~ } _ { I + i } } & { { } = \mathbf { t } ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { I + i } = \mathbf { t } ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } + \mathbf { P } ) ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } \mathbf { P } + \underbrace { \mathbf { P } ^ { T } \mathbf { P } } _ { = \mathbf { I } } ) \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( \bar { X } _ { t } ) } & { = U ( x ) + \langle \nabla U ( x ) , \bar { X } _ { t } - x \rangle + \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle D ^ { 2 } U ( \xi _ { \lambda } ) ( \bar { X } _ { t } - x ) , \bar { X } _ { t } - x \rangle \mathrm { d } \lambda } \\ & { \le U ( x ) + \langle \nabla U ( x ) , \bar { X } _ { t } - x \rangle + \left| \bar { X } _ { t } - x \right| ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \bar { \lambda } _ { D ^ { 2 } U ( \xi _ { \lambda } ) } \mathrm { d } \lambda , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \mathcal M _ { q , G } h _ { 1 } , h _ { 1 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \geq \frac { 1 } { C _ { k _ { G } } } \| h _ { 1 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } } ^ { 2 } - C _ { k _ { G } } \varepsilon \langle \| \langle v \rangle ^ { \frac { 7 } { 2 } } G \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } \rangle ^ { 2 } \| h _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\left. { \begin{array} { l l l } { w [ 0 ] = 0 , } \\ { w [ n ] = \left( 1 + \exp \left( { \frac { \varepsilon N } { n } } - { \frac { \varepsilon N } { \varepsilon N - n } } \right) \right) ^ { - 1 } , \quad } & { 1 \leq n < \varepsilon N } \\ { w [ n ] = 1 , \quad } & { \varepsilon N \leq n \leq { \frac { N } { 2 } } } \\ { w [ N - n ] = w [ n ] , \quad } & { 0 \leq n \leq { \frac { N } { 2 } } } \end{array} } \right\}
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon \left( \dot { \mathcal { E } } ( t ) + \eta \dot { \mathcal { E } } ( t - 1 ) \right) = } & { \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ i \epsilon ^ { 2 } f \chi ( \epsilon \mathcal { D } ) - 1 - i \delta \right] \mathcal { E } ( t ) } \\ & { + \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \eta \left[ i \epsilon ^ { 2 } f \chi ( \epsilon \mathcal { D } ( t - 1 ) ) - 1 - i \delta \right] \mathcal { E } ( t - 1 ) } \\ & { + \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } h \eta \mathcal { E } ( t - 1 ) + \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } h \mathcal { Y } _ { 0 } \sqrt ( 1 - \eta ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \, \int \frac { \rho ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } \, \, d ^ { 3 } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \, , } \\ { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \, \int \frac { \boldsymbol { j } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } d ^ { 3 } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ n ~ o ~ s ~ c ~ } } ( q _ { B } ) } & { { } = } & { \frac { \left| C ^ { ( B ) } \right| ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { D + 2 } } | \mathfrak { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } | ^ { 2 } \mathcal { S } _ { D } \pi \left( 1 - \frac D 2 \right) ( 2 \mu _ { B } ) ^ { 1 + D / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { l n } } & { { } = - 2 \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } j _ { l } ( x \alpha _ { l n } ) f _ { l } ( x ) d x } { j _ { l - 1 } ( \alpha _ { l n } ) j _ { l + 1 } ( \alpha _ { l n } ) } , \; l > 0 } \\ { f _ { 0 n } } & { { } = - 2 n \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } j _ { 1 } ( n \pi x ) f _ { 0 } ( x ) d x \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { - } ( z ) } & { { } = } & { E _ { 0 } \exp \left[ i \frac { \omega } { c } \left( z + \frac { \alpha } { 2 } z ^ { 2 } + \beta _ { 2 } \right) \right] , } \\ { E _ { + } ( z ) } & { { } = } & { E _ { 0 } \exp \left[ i \frac { \omega } { c } \left( z + \frac { \alpha } { 2 } z ^ { 2 } + f ( z ) \right) \right] , } \end{array}
A _ { x } = \int _ { a } ^ { b } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\| { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial t } } \times { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial \theta } } \right\| \ d \theta \ d t = \int _ { a } ^ { b } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\| y \langle y \cos ( \theta ) { \frac { d x } { d t } } , y \sin ( \theta ) { \frac { d x } { d t } } , y { \frac { d y } { d t } } \rangle \right\| \ d \theta \ d t = \int _ { a } ^ { b } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } y { \sqrt { \cos ^ { 2 } ( \theta ) \left( { \frac { d x } { d t } } \right) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } ( \theta ) \left( { \frac { d x } { d t } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { d y } { d t } } \right) ^ { 2 } } } \ d \theta \ d t
\bar { I } ^ { ( d ) } = i ^ { - d } \left( \frac { m ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } - q ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \frac { \Gamma ( d - 2 ) } { \Gamma ( \frac { d } { 2 } - 1 ) } I ^ { d } ,
L = \frac { 1 } { \epsilon } \left( \Psi \, \vartheta ^ { \prime } \: - \: \psi \, \varphi ^ { \prime } \right) \; + \; \frac { 1 } { 2 } \left( r ^ { \prime 2 } + r ^ { 2 } \, \vartheta ^ { \prime 2 } + h ^ { 2 } \, \varphi ^ { \prime 2 } \right) ,