harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { m _ { t } \ddot { x } + m d \ddot { \theta } \cos \theta - m d \dot { \theta } ^ { 2 } \sin \theta + c \dot { x } } & { = } & { F _ { x } } \\ { m _ { t } \ddot { z } + m d \ddot { \theta } \sin \theta + m d \dot { \theta } ^ { 2 } \cos \theta + c \dot { z } + m _ { t } g } & { = } & { F _ { z } } \\ { m d \ddot { x } \cos \theta + m d \ddot { z } \sin \theta + I _ { A } \ddot { \theta } + c _ { t } \dot { \theta } + m g d \sin \theta + \bar { M } _ { w } } & { = } & { M _ { y } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { j k } ^ { i } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \mathrm { d e v } ( \boldsymbol \sigma ) _ { i 1 } } { \partial \overline { { V } } _ { e , j k } } } \\ { B _ { i } ^ { l } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \mathrm { d e v } ( \boldsymbol \sigma ) _ { i 1 } } { \partial ( \rho ^ { l } \phi ^ { l } ) } } \\ { C _ { i } ^ { l } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \mathrm { d e v } ( \boldsymbol \sigma ) _ { i 1 } } { \partial \phi ^ { l } } } \end{array}
Q ( X _ { 0 : T } ) : \qquad \mathrm { ~ d ~ } X _ { t } = g ( X _ { t } , t ) \mathrm { ~ d ~ } t + \sigma \mathrm { ~ d ~ } W _ { t } = \left( \hat { f } ( X _ { t } ) + \sigma ^ { 2 } u ( X _ { t } , t ) \right) \mathrm { ~ d ~ } t + \sigma \mathrm { ~ d ~ } W _ { t } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } ( { \bf Z } _ { i } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) } & { { } = } & { - \big ( { \bf A J + \frac { 1 } { 2 } \kappa I } \big ) ( { \bf Z } _ { i } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) } \end{array}
\int _ { r _ { + } } ^ { r _ { 0 } } \int _ { \mathbb { R } } \left| \frac { d u _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } } { d r _ { * } } + i \widetilde { \omega } u _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } \right| ^ { 2 } \, d \omega d r + \int _ { r _ { 1 } } ^ { \infty } \int _ { \mathbb { R } } \left| \frac { d u _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } } { d r _ { * } } - i \omega u _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } \right| ^ { 2 } \, d \omega d r < \infty .
2 \kappa a ^ { 2 } \left( K + \frac { U _ { 0 } ^ { 2 } } 4 a ^ { 4 } \right) \left( \frac { d \phi } { d a } \right) ^ { 2 } + C ^ { 2 } e ^ { - 4 \phi } - U _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { 4 } = 2 \kappa \phi _ { 0 } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { I F R } } & { \equiv \exp { \big [ - \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { o n } + \tau } \mu ( m = 0 , s ) d s \big ] } - \exp { \big [ - \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { o n } + \tau } \mu ( m , s ) d s \big ] } } \\ & { \equiv S _ { c } ( t _ { o n } , t _ { o n } + \tau ) - S _ { d } ( t _ { o n } , t _ { o n } + \tau ) } \end{array}
\mathcal { A } ( \vec { x } , v ) \propto \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 / w _ { \textrm { a } } ^ { 2 } k _ { \textrm { B } } T ) e ^ { - m ( v - v _ { 0 } ) ^ { 2 } / ( 2 k _ { \textrm { B } } T ) } } & { | \vec { x } | < w _ { \textrm { a } } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \chi ( \vec { q } , i \Omega _ { m } ) = \chi _ { 0 } ( \vec { q } , i \Omega _ { m } ) + \frac { T ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } \sum _ { k , k ^ { \prime } } G ^ { \prime } ( k ) G ^ { \prime } ( k + q ) \Gamma _ { m } ^ { k , k ^ { \prime } ; q } G ^ { \prime } ( k ^ { \prime } + q ) G ^ { \prime } ( k ^ { \prime } ) \; , } \end{array}
\left. + \frac { 1 } { 8 N _ { c } } ( \psi _ { L f _ { 1 } } ^ { \dagger } ( k _ { 1 } ) \sigma _ { \mu \nu } \psi _ { L } ^ { g _ { 1 } } ( l _ { 1 } ) ) ( \psi _ { L f _ { 2 } } ^ { \dagger } ( k _ { 2 } ) \sigma _ { \mu \nu } \psi _ { L } ^ { g _ { 2 } } ( l _ { 2 } ) ) + \left( L \rightarrow R \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \lambda ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) } & { = \operatorname* { m i n } \{ \lambda _ { P } ( x , \mathbf { \hat { x } } ) , \, \lambda _ { S ^ { * } } ( x , \mathbf { \hat { x } } ) , \, \lambda _ { P ^ { * } } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) , \, \lambda _ { S } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \} , } \\ { \pi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) } & { = \operatorname* { m i n } \{ \lambda _ { Q } ( x , \mathbf { \hat { x } } ) , \, \lambda _ { Q } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { \varphi \varphi } ^ { y } = \frac { J ( \cos ^ { 2 } { \left( \phi \right) } - \sin ^ { 2 } { \left( \phi \right) } ) } { L } + \frac { J L ^ { \prime } \sin { \left( \phi \right) } \cos { \left( \phi \right) } } { L ^ { 2 } } , } \\ & { \Gamma _ { \varphi \varphi } ^ { \theta } = \frac { J m \sin ^ { 3 } { \left( \phi \right) } } { I L } - \frac { J m L ^ { \prime } \sin ^ { 2 } { \left( \phi \right) } \cos { \left( \phi \right) } } { I L ^ { 2 } } , } \\ & { \quad + \frac { \left( - I J - J m \sin ^ { 2 } { \left( \phi \right) } \right) \sin { \left( \phi \right) } } { I L } - \frac { \left( - I J - J m \sin ^ { 2 } { \left( \phi \right) } \right) L ^ { \prime } \cos { \left( \phi \right) } } { I L ^ { 2 } } , } \\ & { \Gamma _ { \varphi \varphi } ^ { \varphi } = - \frac { m \sin ^ { 2 } { \left( \phi \right) } } { L } - \frac { 2 m \sin { \left( \phi \right) } \cos { \left( \phi \right) } } { L } + \frac { m \cos ^ { 2 } { \left( \phi \right) } } { L } , } \\ & { \quad + \frac { m L ^ { \prime } \sin { \left( \phi \right) } \cos { \left( \phi \right) } } { L ^ { 2 } } + \frac { \left( - I J - J m \sin ^ { 2 } { \left( \phi \right) } \right) L ^ { \prime } } { J L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { H } , \, \mathrm { C L } } = e ^ { 2 } \sum _ { \pm } \int \frac { d ^ { d } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 1 } } \frac { d - 1 } { d } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \left\langle \phi _ { a } \left| p _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } \left[ p _ { i } \left( - \frac { \alpha } { 6 \pi \varepsilon } \Delta \right) + \frac { \alpha } { 8 \pi } \gamma _ { 0 } \sigma _ { i j } \nabla ^ { j } \right] \right| \phi _ { a } \right\rangle . } \end{array}
L ^ { \prime } = L ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , { \dot { \mathbf { r } } } _ { 1 } , { \dot { \mathbf { r } } } _ { 2 } , \ldots , t ) + \sum _ { i = 1 } ^ { C } \lambda _ { i } ( t ) f _ { i } ( \mathbf { r } _ { k } , t ) \, .
\begin{array} { r l } & { e _ { x , n } ^ { \mathrm { T M } } = \frac { B _ { p q } } { k _ { p q } } k _ { x p } \cos ( k _ { x p } \tilde { x } ) \sin ( k _ { y q } \tilde { y } ) , } \\ & { e _ { y , n } ^ { \mathrm { T M } } = \frac { B _ { p q } } { k _ { p q } } k _ { y q } \sin ( k _ { x p } \tilde { x } ) \cos ( k _ { y q } \tilde { y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { d \pm } \equiv \pm \frac { d \pi ^ { 1 / 2 } \Gamma \left( \frac { d } { 2 } + 1 \right) } { \Gamma \left( \frac { d - 1 } { 2 } + 1 \right) } \frac { \left( c _ { s 0 } ^ { \left( d \right) } \right) ^ { d } } { \left( c _ { s \pm } ^ { \left( d \right) } \right) ^ { d - 1 } L } \, , } \\ & { \omega _ { D 0 } ^ { \left( d \right) } \equiv 2 \pi ^ { 1 / 2 } c _ { s 0 } ^ { \left( d \right) } \left[ \Gamma \left( \frac { d } { 2 } + 1 \right) \rho _ { d } \right] ^ { \frac { 1 } { d } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbb { P } } & { = \{ \epsilon \} , } & { \mathbb { P } ^ { i + 1 } } & { = \left\{ p _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } p _ { 2 } \; | \; ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) \in \mathbb { P } ^ { i } \times \mathbb { P } \right\} \quad \forall i \geq 0 , } \\ { \mathbb { P } ^ { \star } } & { = \bigcup _ { i \geq 0 } \mathbb { P } ^ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ^ { R } } & { = E ^ { R } f ^ { R } , h ^ { P } = E ^ { P } f ^ { P } , } \\ { h ^ { R } } & { = \mathrm { T r a n s f o r m e r E n c o d e r } ( h ^ { R } ) , } \\ { h ^ { P } } & { = \mathrm { T r a n s f o r m e r E n c o d e r } ( h ^ { P } ) , } \\ { h ^ { z } } & { = \mathrm { T r a n s f o r m e r D e c o d e r } ( h ^ { R } , h ^ { P } ) , } \\ { \hat { h } ^ { z } } & { = h ^ { R } + h ^ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \bf K } _ { N } ) _ { i , j } } & { = { \mathbb E } \left[ \int _ { a _ { i } } ^ { a _ { i + 1 } } \int _ { a _ { j } } ^ { a _ { j + 1 } } N ( r ) N ^ { * } ( r ^ { \prime } ) \mathrm { d } r \mathrm { d } r ^ { \prime } \right] } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( a _ { i + 1 } - a _ { i } ) \frac { n _ { 0 } } { 2 } } & { i = j } \\ { 0 } & { i \ne j } \end{array} \right. . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \frac { m _ { \mathrm { o , t o t } } } { \mathcal { W } _ { \mathrm { o } } } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { d _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } L _ { \mathrm { T } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { \nu _ { \mathrm { l } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \nu _ { \mathrm { v } } } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { - 4 } { \pi } } & { d _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } - D _ { \mathrm { d t } } ^ { 2 } + d _ { \mathrm { d t } } ^ { 2 } } \\ { \frac { 4 } { \pi } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { V _ { \mathrm { l } } } \\ { n _ { \mathrm { l } } } \\ { n _ { \mathrm { v } } } \\ { V _ { \mathrm { v } } } \\ { L _ { \mathrm { d t } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { l l r } { { } } & { { \bar { \beta } ^ { i } \equiv 0 \ \ \ \ \forall i \ \ } } & { { \mathrm { ( ~ i ~ n u m e r a t e s ~ a l l ~ b a c k g r o u n d ~ f i e l d s ~ ) } , } } \\ { { \mathrm { w i t h } : \ \ \ \ } } & { { \bar { \beta } _ { \mu \nu } ^ { G } = \beta _ { \mu \nu } ^ { G } + D _ { ( \mu } M _ { \nu ) } \ \ , \ \ } } & { { M _ { \nu } = 2 \alpha ^ { \prime } \partial _ { \nu } \phi + W _ { \nu } \ , } } \\ { { } } & { { \bar { \beta } ^ { \phi } = \beta ^ { \phi } + \frac { 1 } { 2 } M ^ { \mu } \partial _ { \mu } \phi \ , } } & { { } } \\ { { } } & { { \bar { \beta } ^ { T } = \beta ^ { T } - 2 T + \frac { 1 } { 2 } M ^ { \mu } \partial _ { \mu } T \ . } } & { { } } \end{array}
\ddot { f } _ { i } ( x _ { 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { 2 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \cdots \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { m } ) = x _ { 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \cdots \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { q - 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \ddot { f } _ { i } ( x _ { q } ) \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { q + 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \cdots \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { m }
\tilde { u } _ { n } = \frac { \mathrm { i } } { \xi _ { n } } \frac { \partial \tilde { p } _ { n } } { \partial x } \, F _ { n } \left( y \right) , \ \ \ \ \ \tilde { w } _ { n } = \frac { \mathrm { i } } { \xi _ { n } } \frac { \partial \tilde { p } _ { n } } { \partial z } \, F _ { n } \left( y \right) , \ \ \ \ \ F _ { n } \left( y \right) = \left( 1 - \frac { \cosh { \left( 1 + \mathrm { i } \right) y / \delta _ { n } } } { \cosh { \left( 1 + \mathrm { i } \right) / 2 \delta _ { n } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { \deg ( P _ { 1 } ) = k } 1 \sum _ { \deg ( P _ { 2 } ) = N - k } 1 = } & { \sum _ { k > \log N } ^ { N - \log N } \sum _ { \deg ( P _ { 1 } ) = N - k } 1 \sum _ { \deg ( P _ { 2 } ) = k } 1 + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \log N } \sum _ { \deg ( P _ { 1 } ) = N - k } 1 \sum _ { \deg ( P _ { 2 } ) = k } 1 } \\ { = } & { \sum _ { k > \log N } ^ { N - \log N } \frac { q ^ { k } } { k } \left( 1 + O \left( q ^ { - \frac { k } { 2 } } \right) \right) \frac { q ^ { N - k } } { N - k } \left( 1 + O \left( q ^ { - \frac { N - k } { 2 } } \right) \right) } \\ { + } & { O \left( \frac { q ^ { N } } { N } \log \log N \right) } \\ { = } & { \frac { q ^ { N } } { N } \sum _ { k > \log N } ^ { N - \log N } \left( \frac { 1 } { k } + \frac { 1 } { N - k } \right) \left( 1 + O \left( q ^ { - \frac { k } { 2 } } \right) + O \left( q ^ { - \frac { N - k } { 2 } } \right) \right) } \\ { + } & { O \left( \frac { q ^ { N } } { N } \log \log N \right) } \\ { = } & { \frac { 2 q ^ { N } } { N } \left( \log N + O \left( \log \log N \right) \right) \left( 1 + O \left( q ^ { - \frac { \log N } { 2 } } \right) \right) + O \left( \frac { q ^ { N } } { N } \log \log N \right) } \\ { = } & { \frac { 2 q ^ { N } } { N } \log N + O \left( \frac { q ^ { N } \log N } { N ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) + O \left( \frac { q ^ { N } \log \log N } { N } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \eta } \left( \hat { \theta } _ { 1 } + \frac { q } { L e } \hat { c } _ { 1 } \right) = \frac { d } { d z } \left( { T } _ { 0 } + \frac { q } { L e } { Y } _ { 0 } \right) \Big | _ { - } . } \end{array}
\varepsilon ( E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) < \frac { 3 2 \pi ^ { 2 } \theta _ { \mu \mu \kappa \omega } 2 ^ { l _ { \kappa } + 3 / 4 } ( 2 E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) ^ { l _ { \mu } + ( l _ { \kappa } - 1 ) / 2 } } { ( 4 l _ { \mu } - 1 ) ! ! \sqrt { ( 4 l _ { \kappa } - 1 ) ! ! } } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \kappa } } \Big ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } e ^ { - \frac { E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { 2 \theta _ { \mu \mu \kappa \omega } } } < \tau .
m _ { d } \frac { d ^ { 2 } \tilde { z } _ { 1 } } { d t ^ { 2 } } = - m _ { d } \omega _ { v } ^ { 2 } \tilde { z } _ { 1 } - \frac { Q ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r \lambda _ { D } } \right] \exp { \left( - r / \lambda _ { D } \right) } \sin \theta
\begin{array} { r l } { D ( \rho _ { \ast } , \rho _ { \ast N } ) } & { = D ( \rho _ { \ast } , \mathcal { N } ^ { - 1 } \rho _ { \ast } ) = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left\vert ( 1 - \mathcal { N } ^ { - 1 } ) \rho _ { \ast } \right\vert } \\ & { = \frac { \mathcal { N } ^ { - 1 } - 1 } { 2 } \mathrm { T r } \rho _ { \ast } = \frac { 1 - \mathrm { T r } \rho _ { \ast } } { 2 } , } \end{array}
- \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \psi \frac { \partial \psi } { \partial z } \right] _ { z = 0 } \! \! r \, \textrm { d } r = \frac { U ^ { 2 } a ^ { 3 } } { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { A ^ { 2 } ( \xi ) } { \xi ^ { 2 } } \, \textrm { d } \xi = U ^ { 2 } a ^ { 3 } \sin ^ { 2 } \theta \, \, \frac { a _ { m } B _ { m n } a _ { n } } { 2 } ,
\theta ^ { 2 } \Delta E _ { n } ^ { ( 1 ) } ( e v e n ) = \frac { \theta ^ { 2 } V _ { 0 } } { 6 } [ 1 - 4 m a ^ { 2 } V _ { 0 } ( V _ { 0 } - n \pi - \frac { \pi } { 2 } ) ( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 2 ( n + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } ) ] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \underline { { \psi } } } } & { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \ln Q ( \mathbf { W } ^ { * } | \mathbf { A } ) } \\ & { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) [ - H ( \mathbf { W } ^ { * } ) - \ln Z _ { \mathbf { A } } ] } \\ & { = - H ( \mathbf { W } ^ { * } ) - \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \ln \left[ \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } ^ { * } } } e ^ { - H ( \mathbf { W } ) } d \mathbf { W } \right] = \langle \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } \rangle } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \mathbf { f } ^ { x } } \\ { \mathbf { f } ^ { y } } \\ { \mathbf { f } ^ { z } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { A } ^ { x x } } & { \mathbf { A } ^ { x y } } & { \mathbf { A } ^ { x z } } \\ { \mathbf { A } ^ { x y } } & { \mathbf { A } ^ { y y } } & { \mathbf { A } ^ { y z } } \\ { \mathbf { A } ^ { x z } } & { \mathbf { A } ^ { y z } } & { \mathbf { A } ^ { z z } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u } ^ { x } } \\ { \mathbf { u } ^ { y } } \\ { \mathbf { u } ^ { z } } \end{array} \right]
\sigma ( E _ { \nu } , E _ { e } ) = { \frac { G ^ { 2 } } { 2 \pi } } \cos ^ { 2 } \theta _ { C } p _ { e } E _ { e } \delta ( E _ { \nu } - E _ { e } - E _ { f i } ) \int _ { - 1 } ^ { 1 } d ( \cos \, \theta ) M _ { \beta } ~ ,
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } B _ { n } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } 0 \leq x < 1 , } \\ { \log x } & { \mathrm { i f ~ } 1 \leq x < 2 , } \\ { 2 \log x - \log 2 } & { \mathrm { i f ~ } 2 \leq x < 3 , } \\ { \qquad \vdots } \\ { k \log x - \log k ! } & { \mathrm { i f ~ } k \leq x < k + 1 . } \end{array} \right.
\rho ^ { ( l ) } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { l } } \Delta a _ { i } ^ { ( l ) } \cdot \Delta b _ { i } ^ { ( l ) } } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { l } } \Delta { a _ { i } ^ { ( l ) } } ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { l } } \Delta { b _ { i } ^ { ( l ) } } ^ { 2 } } } .
\left( i \hbar ( 1 + \beta p ^ { 2 } ) \partial _ { p } - \langle { \bf { x } } \rangle + i \hbar \frac { 1 + \beta ( \Delta p ) ^ { 2 } + \beta \langle { \bf { p } } \rangle ^ { 2 } } { 2 ( \Delta p ) ^ { 2 } } ( p - \langle { \bf { p } } \rangle ) \right) \psi ( p ) = 0
\begin{array} { r l } { f _ { e q } ( v ) = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { a _ { 1 } } { v _ { t h \; 1 } } e ^ { - \frac { v ^ { 2 } } { 2 v _ { t h \; 1 } ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { a _ { 2 } } { v _ { t h \; 2 } } } \\ & { \times \left[ e ^ { - \frac { \left( v - v _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 2 v _ { t h \; 2 } ^ { 2 } } } + e ^ { - \frac { \left( v + v _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 2 v _ { t h \; 2 } ^ { 2 } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle j _ { 1 } \, m \, 1 \, 0 | ( j _ { 1 } + 1 ) \, m \rangle } & { { } = { \sqrt { \frac { ( j _ { 1 } - m + 1 ) ( j _ { 1 } + m + 1 ) } { ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( j _ { 1 } + 1 ) } } } } \\ { \langle j _ { 1 } \, m \, 1 \, 0 | j _ { 1 } \, m \rangle } & { { } = { \frac { m } { \sqrt { j _ { 1 } ( j _ { 1 } + 1 ) } } } } \\ { \langle j _ { 1 } \, m \, 1 \, 0 | ( j _ { 1 } - 1 ) \, m \rangle } & { { } = - { \sqrt { \frac { ( j _ { 1 } - m ) ( j _ { 1 } + m ) } { j _ { 1 } ( 2 j _ { 1 } + 1 ) } } } } \end{array}
\mathbf { v } _ { 1 } = { \frac { d \mathbf { r } _ { 1 } } { d t } } , \mathbf { v } _ { 2 } = { \frac { d \mathbf { r } _ { 2 } } { d t } } , \ldots , \mathbf { v } _ { N } = { \frac { d \mathbf { r } _ { N } } { d t } }
\begin{array} { r } { \big ( \mathcal { J } ^ { k } \big ) _ { i j } ^ { \prime } = \sum _ { n m } \big ( T ^ { k } \big ) _ { i n } ^ { - 1 } \mathcal { J } _ { n m } ^ { k } T _ { m j } ^ { k } = \lambda _ { i } ^ { k } \delta _ { i j } \, . } \end{array}
{ D _ { c \rightarrow \eta _ { c } } ( z , 3 m _ { c } ) \; = \; { \frac { 6 4 } { 8 1 \pi } } \; \alpha _ { s } ( 3 m _ { c } ) ^ { 2 } \; { \frac { | R ( 0 ) | ^ { 2 } } { M _ { \eta _ { c } } ^ { 3 } } } \; { \frac { z ( 1 - z ) ^ { 2 } ( 4 8 + 8 z ^ { 2 } - 8 z ^ { 3 } + 3 z ^ { 4 } ) } { ( 2 - z ) ^ { 6 } } } \; . }
V ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( - { \frac { m _ { i } ^ { 2 } } { 2 } } \phi _ { i } ^ { 2 } + { \frac { \lambda _ { i } } { 4 } } \phi _ { i } ^ { 4 } \right) - { \frac { \alpha } { 2 } } \phi _ { 1 } ^ { 2 } \phi _ { 2 } ^ { 2 } + \beta _ { 1 } \, \phi _ { 1 } ^ { 3 } \phi _ { 2 } + \beta _ { 2 } \, \phi _ { 2 } ^ { 3 } \phi _ { 1 }
\lambda ( R ) = - { \frac { 1 } { 2 A _ { 2 } ^ { 2 } } } \left( 1 + g A _ { 2 } ^ { 2 } - \sum _ { p \ge 1 } p A _ { p } \left( 1 - { \frac { p - 2 } { p + 2 } } g A _ { 2 } ^ { 2 } \right) ( c _ { p } - c _ { 2 } + \bar { \tau } \cdot \bar { g } _ { p } ) \right) \ .
d _ { F } ( \phi ^ { \prime } ( \rho ( \gamma _ { i _ { m + 1 } } \cdots \gamma _ { i _ { 1 } } ) y ) , \phi ( \rho ( \gamma _ { i _ { n + 1 } } \cdots \gamma _ { i _ { 1 } } ) y ) ) = d _ { F } ( \phi ( \rho ( \gamma _ { i _ { m + 1 } } \cdots \gamma _ { i _ { 1 } } ) x ) , \phi ( \rho ( \gamma _ { i _ { m + 1 } } \cdots \gamma _ { i _ { 1 } } ) y ) ) \ge \epsilon .
O _ { \nu } ^ { T } M _ { \nu } O _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { 1 } } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { i m _ { 2 } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { m _ { 3 } } } \end{array} \right) ,
\vartheta [ \begin{array} { c } { { \frac { k } { d } } } \\ { { 0 } } \end{array} ] = \vartheta [ \begin{array} { c } { { \frac { k } { d } } } \\ { { 0 } } \end{array} ] ( \mathrm { z } , \tau ) \ , \ k = 0 , \ldots , d - 1 .
p ( \mathcal { G } | \hat { \mathcal { G } } ) = p ( N , V , E , A | \hat { \mathcal { G } } ) = p ( N | \hat { \mathcal { G } } ) \, \cdot \, p ( V | N , \hat { \mathcal { G } } ) \, \cdot \, p ( E | N , V , \hat { \mathcal { G } } ) \, \cdot \, p ( A | N , V , E , \hat { \mathcal { G } } )
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim \| b \| _ { H _ { x } ^ { s - 1 } } \| \langle \xi \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha } ^ { ( s - 1 ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \varepsilon ( 1 + \| \partial _ { t } a \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } + | \dot { \gamma } | + \| \partial _ { t } \psi \| _ { H _ { x } ^ { s } } ) \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho \equiv T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } \, , \quad p \equiv - \frac { ~ \mathrm { T r } \big [ \, T _ { \, \, \, j } ^ { i } \, \big ] ~ } { 3 } = - \frac { ~ \sum \, T _ { \, \, \, i } ^ { i } ~ } { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 0 } = v _ { 0 } ^ { \prime } ~ , } \\ & { p _ { 0 } ^ { + } = p _ { 0 } ^ { + \prime } ~ , } \\ & { L _ { 1 0 } ^ { + } = L _ { 1 0 } ^ { + \prime } ~ , } \\ & { W _ { 1 0 } ^ { + } = W _ { 1 0 } ^ { + \prime } ~ , } \\ & { W _ { 1 0 } ^ { i + } = W _ { 1 0 } ^ { i + \prime } ~ , } \\ & { N _ { 1 0 } ^ { + } = N _ { 1 0 } ^ { + \prime } ~ , } \\ & { N _ { 1 0 } ^ { i + } = N _ { 1 0 } ^ { i + \prime } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { Q _ { i } } = \frac { 1 } { Q _ { c } } + \frac { 1 } { Q _ { d } } = \frac { R _ { s } ^ { g p } } { \Gamma _ { c } ^ { g p } } + \frac { R _ { s } ^ { c s } } { \Gamma _ { c } ^ { c s } } + \frac { \tan \! \delta } { \Gamma _ { d } } } \end{array}
\mathbf { \hat { f } } ^ { \sigma , e q } = ( \hat { f } _ { 1 } ^ { \sigma , e q } , \hat { f } _ { 2 } ^ { \sigma , e q } , \cdots , \hat { f } _ { N _ { \mathrm { { m o m e n t } } } } ^ { \sigma , E S } ) ^ { T }
L ( A , { \tilde { A } } ) = \int \sum _ { i , j } \left\{ { \tilde { A } } _ { i } \lambda _ { i , j } { \tilde { A } } _ { j } - { \widetilde { A } } _ { i } \left\{ \delta _ { i , j } { \frac { d A _ { j } } { d t } } - k _ { B } T \left[ A _ { i } , A _ { j } \right] { \frac { d { \mathcal { H } } } { d A _ { j } } } + \lambda _ { i , j } { \frac { d { \mathcal { H } } } { d A _ { j } } } - { \frac { d \lambda _ { i , j } } { d A _ { j } } } \right\} \right\} d t .
\mathcal { M } \left( \partial _ { M } \partial ^ { M } A ^ { N } - M ^ { 2 } A ^ { N } \right) + \delta ( x ^ { \perp } ) \eta ^ { N } { } _ { \nu } \left( \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } + \partial ^ { \nu } \partial _ { \perp } A ^ { \perp } \right) = - \delta ( x ^ { \perp } ) \eta ^ { N } { } _ { \nu } j ^ { \nu } .
\begin{array} { r l } { \mathcal K ( \tau _ { 1 } \mu _ { 1 } + \tau _ { 2 } \mu _ { 2 } \ | \ \mu ) } & { + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \tau _ { i } \mathcal K ( \mu _ { i } \ | \ \tau _ { 1 } \mu _ { 1 } + \tau _ { 2 } \mu _ { 2 } ) } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \tau _ { i } \int \log \left( \frac { d ( \tau _ { 1 } \mu _ { 1 } + \tau _ { 2 } \mu _ { 2 } ) } { d \mu } \times \frac { d \mu _ { i } } { d ( \tau _ { 1 } \mu _ { 1 } + \tau _ { 2 } \mu _ { 2 } ) } \right) d \mu _ { i } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \tau _ { i } \mathcal K ( \mu _ { i } \ | \ \mu ) \, . } \end{array}
U _ { i , i - 1 } ~ \mathrm { e x p } \left( \int _ { t _ { 0 } + \varepsilon ( i - 1 ) } ^ { t _ { 0 } + \varepsilon i } \mathrm { d } \tau U _ { i - 1 } ^ { \dagger } ( \tau ) H _ { s b } ( \tau ) U _ { i - 1 } ( \tau ) \right) \approx U _ { i , i - 1 } + \varepsilon \cdot U _ { i , i - 1 / 2 } H _ { s b } ( t _ { 0 } + \varepsilon ( i - 1 / 2 ) ) U _ { i - 1 / 2 , i - 1 } = : U _ { i , i - 1 } + \varepsilon \cdot U _ { s b } ^ { ( 1 ) } ( i )