harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Q \sim \frac { 1 } { k _ { x } ^ { 2 } | - \beta ( b - b _ { c } ) + C k _ { x } ^ { 2 } | ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \beta k _ { x } ^ { 2 } ( k _ { x } + k _ { B I C } ) ^ { 2 } ( k _ { x } - k _ { B I C } ) ^ { 2 } } ,
h \left( \left[ \sigma _ { k } ^ { \left( i \right) , \ddag } r _ { T } ^ { \left( i \right) } \right] \right) = \left\{ \left[ \sigma _ { k } ^ { \left( i \right) , \ddag } \cdot r _ { R } ^ { \left( i \right) } \right] , \left[ \sigma _ { k } ^ { \left( i \right) , \ddag } \cdot r _ { P } ^ { \left( i \right) } \right] \right\}
- \frac { i } { 2 \mu } \left[ \epsilon ^ { i a b } k _ { a } ( - k ^ { 2 } \chi _ { b } ^ { j } + k _ { e } k ^ { j } \chi _ { b } ^ { e } ) ~ + ~ \epsilon ^ { j a b } k _ { a } ( - k ^ { 2 } \chi _ { b } ^ { i } + k _ { e } k ^ { i } \chi _ { b } ^ { e } ) \right] = 0 .
\times \left( \frac { 1 } { \sqrt { y _ { 1 } - x _ { 1 } } } \frac { 1 } { \sqrt { y _ { 2 } - x _ { 2 } } } + \frac { x _ { 1 } } { y _ { 1 } \sqrt { y _ { 1 } - x _ { 1 } } } \frac { x _ { 2 } } { y _ { 2 } \sqrt { y _ { 2 } - x _ { 2 } } } \right) \, .
T _ { z } ^ { \prime } C _ { \alpha } \otimes T _ { z } ^ { \prime } C _ { \beta } \cong \frac { d } { d ( \frac { z _ { 2 } } { z _ { 1 } } ) } \otimes \frac { d } { d ( \frac { w _ { 2 } } { w _ { 1 } } ) }
\ldots \left( { \frac { 1 0 } { 1 1 } } \right) \left( { \frac { 6 } { 7 } } \right) \left( { \frac { 4 } { 5 } } \right) \left( { \frac { 2 } { 3 } } \right) \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) \zeta ( 1 ) = 1
\left[ L _ { 1 2 } ^ { ( + ) } , L _ { 2 1 } ^ { ( - ) } \right] = ( q - q ^ { - 1 } ) \left( L _ { 1 1 } ^ { ( + ) } L _ { 2 2 } ^ { ( - ) } - L _ { 2 2 } ^ { ( + ) } L _ { 1 1 } ^ { ( - ) } \right)
\widehat { \Gamma } ^ { ( \mathbf { h } ) } ( \mathbf { \xi } ) : = \sum _ { \mathbf { k } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \Gamma _ { \textbf { k } } ^ { ( \mathbf { h } ) } e ^ { - i \langle \mathbf { k } , \mathbf { \xi } \rangle } = \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \left( \sum _ { k _ { \ell } = 0 } ^ { + \infty } \gamma _ { k _ { \ell } } ^ { ( h _ { \ell } - 1 / 2 ) } e ^ { i k _ { \ell } \mathbf { \xi } _ { \ell } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \beta _ { 0 } ( z ) } & { = \frac { j _ { \ell } ( z ) } { z ^ { 2 } } } \\ { \beta _ { 1 } ( z ) } & { = \frac { d } { d z } \left( \frac { j _ { \ell } ( z ) } { z } \right) } \\ { \beta _ { 2 } ( z ) } & { = \frac { d ^ { 2 } j _ { \ell } ( z ) } { d z ^ { 2 } } } \\ { \beta _ { 3 } ( z ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \beta _ { 2 } ( z ) + \left( \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { 2 } - 1 \right) \beta _ { 0 } ( z ) } \\ { \beta _ { 4 } ( z ) } & { = \beta _ { 2 } ( z ) - \frac { \sigma } { 1 - 2 \sigma } j _ { \ell } ( z ) } \\ { \beta _ { 5 } ( z ) } & { = \frac 1 z \frac { d } { d z } ( z j _ { \ell } ( z ) ) . } \end{array}
= | \mathbf { A } \, \mathbf { B } \, \mathbf { C } | = \left| { \begin{array} { c c c } { A _ { x } } & { B _ { x } } & { C _ { x } } \\ { A _ { y } } & { B _ { y } } & { C _ { y } } \\ { A _ { z } } & { B _ { z } } & { C _ { z } } \end{array} } \right|
r = 2 \sigma _ { r , \mathrm { e } ^ { - } } \sigma _ { r , \mathrm { e } ^ { + } } [ \log ( \sigma _ { r , \mathrm { e } ^ { - } } / \sigma _ { r , \mathrm { e } ^ { + } } ) / ( \sigma _ { r , \mathrm { e } ^ { - } } ^ { 2 } - \sigma _ { r , \mathrm { e } ^ { + } } ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 }
\sigma ( \omega ) = \lambda _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \alpha _ { i } - 1 ) \left\{ \log \left| \frac { \vartheta _ { 1 } ( \omega - \omega _ { i } | \tau ) } { \eta ( \tau ) } \right| - \frac { \pi } { \tau _ { 2 } } ( \omega _ { y } - \omega _ { i , y } ) ^ { 2 } \right\} .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } } & { = q \left( \begin{array} { l l } { 1 / ( \alpha { \tau _ { \mathrm { m } } } ) } & { 0 } \\ { - \gamma } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \mathcal { J } } & { = \left( \begin{array} { l l } { - 1 / { \tau _ { \mathrm { m } } } } & { 0 } \\ { \alpha \gamma } & { - 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } } \end{array} \right) , } \\ { \mathcal { B } } & { = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \langle \eta _ { m } ^ { 2 } \rangle } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { \langle \eta _ { x } ^ { 2 } \rangle } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ 1 - \lambda _ { s } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \right] \tau ^ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } \vec { w } _ { \parallel } - 4 \lambda _ { d } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \vec { w } _ { \parallel } + } \\ & { + 2 \left[ 1 - \left( \lambda _ { s } ^ { 2 } + \lambda _ { d } ^ { 2 } \right) \nabla ^ { 2 } - \frac { f \rho \gamma } { 3 a \zeta T } \right] \tau \partial _ { t } \vec { w } _ { \parallel } = 0 \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \partial _ { x } ^ { I } \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ) } } & { \lesssim \Vert p ^ { \prime } ( \varrho ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { \infty } ) } \Lambda ( T , R ) \Vert \partial _ { x } ^ { I } \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ) } + \Vert R ^ { I } [ \rho _ { f } ] \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ) } } \\ & { \lesssim \mathrm { C } ( \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m - 2 } ) } ) \Lambda ( T , R ) + \Lambda ( T , R ) } \\ & { \leq \Lambda ( T , R ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \pm } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } & { { } = - \Delta _ { x x } ^ { 1 1 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \frac { \Gamma _ { x x } ^ { 1 1 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } { 2 } \pm \textrm { s i g n } \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } \right) \sqrt { \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \frac { \Gamma _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } } + i \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } , } \\ { \Sigma _ { \pm } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 \pm \textrm { s i g n } \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } \right) \frac { - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \Gamma _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) / 2 } { \sqrt { \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \Gamma _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) / 2 \right) ^ { 2 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) ^ { 2 } / 4 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( \omega , x ) } & { = } & { \mathrm { C i } ( 2 \, k \, x ) \sin ( 2 \, k \, x ) - \left( \mathrm { s i } ( 2 \, k \, x ) - \frac { \pi } { 2 } \right) \cos ( 2 \, k \, x ) , } \\ { g ( \omega , x ) } & { = } & { \mathrm { - C i } ( 2 \, k \, x ) \cos ( 2 \, k \, x ) - \left( \mathrm { s i } ( 2 \, k \, x ) - \frac { \pi } { 2 } \right) \sin ( 2 \, k \, x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { Z } ^ { * } = } & { \mathrm { a r g } \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { Z } \in \mathcal { S } } \mathrm { R e } \left\langle \Pi _ { \mathcal { S } } \left( u v ^ { H } \right) , \mathbf { Z } \right\rangle } \\ & { \mathrm { s u b j . \; t o } \; \mathrm { R e } \left\langle \mathbf { \Delta } , \mathbf { Z } \right\rangle = 0 , \; \mathrm { a n d } \; \| \mathbf { \Delta } \| _ { F } = 1 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial } { \partial L } } \langle h ( r ) \rangle } & { = { \frac { \partial } { \partial L } } \left\{ { \frac { 1 } { T } } \int _ { 0 } ^ { T } h ( r ) \, d t \right\} } \\ & { = { \frac { \partial } { \partial L } } \left\{ { \frac { m } { L ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } r ^ { 2 } h ( r ) \, d \theta \right\} , } \end{array} }
\begin{array} { r } { A B + C D = v \frac { \sin k _ { x } } { 2 } \left( \mathrm { s g n } [ u + \gamma / 2 ] - \mathrm { s g n } [ u - \gamma / 2 ] \right) \sqrt { | u ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } / 4 | } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { x } } & { = a _ { z } \sin ( a _ { x } x ) \exp \left( \frac { - a _ { z } z } { s _ { 0 } } \right) ~ , } \\ { B _ { y } } & { = a _ { y } \sin { ( a _ { x } x ) } \exp \left( \frac { - a _ { z } z } { s _ { 0 } } \right) ~ , } \\ { B _ { z } } & { = s _ { 0 } a _ { x } \cos { ( a _ { x } x ) } \exp \left( \frac { - a _ { z } z } { s _ { 0 } } \right) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \tilde { g } \Vert _ { \tilde { H } _ { L } } ^ { 2 } } & { = \sum _ { \vert \alpha \vert \le s } \Vert \partial ^ { \alpha } ( \psi \cdot g ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { \delta _ { L } } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \Vert g \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { d _ { L } } ) } ^ { 2 } \Vert \psi \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { \delta _ { L - 1 } } ) } ^ { 2 } + \Vert g \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { d _ { L } } ) } ^ { 2 } \sum _ { \vert \alpha \vert = 1 } \Vert \partial ^ { \alpha } \psi \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { \delta _ { L - 1 } } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \sum _ { \vert \alpha \vert = 1 } \Vert \partial ^ { \alpha } g \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { d _ { L } } ) } ^ { 2 } \Vert \psi \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { \delta _ { L - 1 } } ) } ^ { 2 } + \Vert g \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { d _ { L } } ) } ^ { 2 } \sum _ { \vert \alpha \vert = 2 } \Vert \partial ^ { \alpha } \psi \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { \delta _ { L - 1 } } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 \bigg ( \sum _ { \vert \alpha \vert = 1 } \Vert \partial ^ { \alpha } g \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { d _ { L } } ) } ^ { 2 } \bigg ) \bigg ( \sum _ { \vert \alpha \vert = 1 } \Vert \partial ^ { \alpha } \psi \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { \delta _ { L - 1 } } ) } ^ { 2 } \bigg ) + \sum _ { \vert \alpha \vert = 2 } \Vert \partial ^ { \alpha } g \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { d _ { L } } ) } ^ { 2 } \Vert \psi \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { \delta _ { L - 1 } } ) } ^ { 2 } \cdots . } \end{array}
\omega _ { X } > \omega _ { c o } ^ { l } = \frac { 1 } { 2 } [ ( \omega _ { c e } ^ { 2 } + 4 \omega _ { e } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } - \omega _ { c e } ] \approx \omega _ { e } ^ { 2 } / \omega _ { c e }
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } ] } & { \leq 2 R ^ { 2 } ( 1 + T ) ^ { \nu } + 2 T R \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { \mathrm { m i x } } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) } \\ & { \qquad + L G _ { H } \left( \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } ] \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( 1 + t ) ^ { - 2 ( \sigma - \nu ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \qquad + L ^ { 2 } G _ { H } ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( 1 + t ) ^ { ( \nu - 2 \sigma ) } + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { \mathrm { m i x } } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { \operatorname* { m a x } } \right) \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( 1 + t ) ^ { - \nu } } \\ & { \leq { 2 R ^ { 2 } ( 1 + T ) ^ { \nu } } + \left[ L ^ { 2 } G _ { H } ^ { 2 } + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { \mathrm { m i x } } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { \operatorname* { m a x } } \right) \right] \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( 1 + t ) ^ { - \nu } } \\ & { \qquad + 2 T R \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { \mathrm { m i x } } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) } \\ & { \qquad + \left( \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } ] \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( L ^ { 2 } G _ { H } ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( 1 + t ) ^ { - 2 ( \sigma - \nu ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( R _ { 0 } + c ^ { - 1 } \Lambda _ { c } + 1 ) | \Omega | \ge } & { \int _ { M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } \frac { \big | \nabla ^ { 2 } \tilde { u } _ { \varepsilon , i } + f _ { \varepsilon , i } | \nabla \tilde { u } _ { \varepsilon , i } | g \big | ^ { 2 } } { | \nabla \tilde { u } _ { \varepsilon , i } | } d V } \\ { = } & { \int _ { M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } \frac { | \nabla ^ { 2 } \tilde { u } _ { \varepsilon , i } | ^ { 2 } } { | \nabla \tilde { u } _ { \varepsilon , i } | } - 3 f _ { \varepsilon , i } ^ { 2 } | \nabla u _ { \varepsilon , i } | d V } \\ { \ge } & { \int _ { M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } 4 | \nabla | \nabla \tilde { u } _ { \varepsilon , i } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } | ^ { 2 } d V - 3 C _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sqrt { { \mathcal { I } } ( p ) } } } & { { } = { \sqrt { \operatorname { E } \! \left[ \left( { \frac { d } { d p } } \ln ( { \mathcal { L } } ( p \mid H ) ) \right) ^ { 2 } \right] } } } \end{array}
\phi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) = \int _ { ( \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ) } ^ { ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) } \mathbf { k } _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } ) \cdot d \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } + \mathbf { k } _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } ) \cdot d \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } ,
\gamma ( p _ { 0 } , p ) \simeq + e ^ { 2 } T \int _ { \mathrm { s o f t } } { \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \int _ { - q } ^ { + q } { \frac { d q _ { 0 } } { q _ { 0 } } } \rho _ { t } ( q _ { 0 } , q ) \mathrm { I m } \, \hat { G } ^ { R } ( p _ { 0 } - q _ { 0 } , \vec { p } - \vec { q } ) .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { e } _ { r } \times \boldsymbol \alpha } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \mathbf { e } _ { r } \times \boldsymbol \sigma } \\ { \mathbf { e } _ { r } \times \boldsymbol \sigma } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { i , j } } & { = \left\lvert \phi _ { i , j + 1 } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { x } \right\rvert ^ { p - 2 } = \frac { \epsilon } { \left\lvert \phi _ { i , j + 1 } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { x } \right\rvert ^ { 2 - p } + \epsilon } , } \\ { V _ { i , j } } & { = \left\lvert \phi _ { i + 1 , j } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { y } \right\rvert ^ { p - 2 } = \frac { \epsilon } { \left\lvert \phi _ { i + 1 , j } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { y } \right\rvert ^ { 2 - p } + \epsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { B } ^ { 0 } ( x ) } & { = G ( x ) , x \in B , } \\ { e ^ { u _ { B } ^ { n + 1 } ( x ) } } & { = \operatorname* { m a x } ( e ^ { G ( x ) } , \mathbb { E } _ { x } \left[ 1 _ { \{ X _ { \delta } \in B \} } e ^ { \int _ { 0 } ^ { \delta } g ( X _ { s } ) d s + u _ { B } ^ { n } ( X _ { \delta } ) } + 1 _ { \{ X _ { \delta } \notin B \} } e ^ { \int _ { 0 } ^ { \delta } g ( X _ { s } ) d s + G ( X _ { \delta } ) } \right] , } \end{array}
p _ { i } ^ { \nu } = \frac { 1 } { 2 } \int f _ { i } ^ { 2 } \left\{ 3 a ( u ^ { \nu } s _ { \sigma } - s ^ { \nu } u _ { \sigma } ) + \Theta \delta _ { \sigma } ^ { \nu } + 3 ( \sigma _ { . \sigma } ^ { \nu } + \omega _ { . \sigma } ^ { \nu } ) \right\} d x ^ { \sigma } d V .
\Gamma ( { \bf p } ) = \frac { \lambda ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { 2 4 E ( { \bf p } ) n ( { \bf p } ) } \int d ^ { 3 } { \tilde { p } } _ { 1 } d ^ { 3 } { \tilde { p } } _ { 2 } d ^ { 3 } { \tilde { p } } _ { 3 } \delta ( p + p _ { 1 } - p _ { 2 } - p _ { 3 } ) ( 1 + n _ { 1 } ) \, n _ { 2 } \, n _ { 3 }
\frac { V _ { 3 \omega } } { V _ { 0 } } = \sqrt { S } \frac { T _ { \mathrm { ~ h ~ } , 2 \omega } } { 2 } + \beta \left( \frac { T _ { \mathrm { ~ h ~ } , 2 \omega } } { 2 } \right) ^ { 2 } { , }
\begin{array} { r l } { \psi ( x , t ) = \bigg [ \frac { 1 } { 1 + i ( t / \tau ) } \bigg ] ^ { 1 / 2 } \bigg \{ } & { { } e ^ { i \pi / 4 } \exp \Big ( - \frac { ( x - \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } [ 1 + i ( t / \tau ) ] } \Big ) + e ^ { - i \pi / 4 } \exp \Big ( - \frac { ( x + \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } [ 1 + i ( t / \tau ) ] } \Big ) \bigg \} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \hat { e } } ( t ) = ( { A _ { n + m } } - \beta { C _ { n + m } } ) \hat { e } ( t ) } \\ { \qquad \quad + \beta { C _ { n + m } } { e } ( t ) + { B _ { n + m } } b u ( t ) } \\ { \hat { e } _ { 1 } ( { t _ { 0 } } ) = { e _ { 1 } } ( { t _ { 0 } } ) } \\ { \hat { e } _ { i } ( { t _ { 0 } } ) = { e _ { i , 0 } } , \quad i = 2 , 3 , . . . , n + m } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r } { \Omega \ni x \mapsto ( \nu _ { x } , \lambda ^ { a } ( x ) \nu _ { x } ^ { \infty } ) \in \mathcal { M } _ { 1 } ^ { + } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \times \mathcal { M } ^ { + } ( \partial e _ { f _ { i } , i \in \mathbb { N } } ) \hookrightarrow \big ( ( T ^ { - 1 } e _ { f _ { i } , i \in \mathbb { N } } ) ^ { * } \big ) ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \infty } ( x , \varphi _ { n } , \lambda _ { n } ) } & { = \frac { 1 } { q _ { n } } \sum _ { j = 0 } ^ { q _ { n } - 1 } f ( T _ { \varphi _ { n } } ^ { j } x , \varphi _ { n } , \lambda _ { n } ) } \\ & { = \frac { 1 } { q _ { n } } \Big [ \sum _ { \nu = 0 } ^ { k _ { n } - 1 } \sum _ { \ell = 0 } ^ { q - 1 } f ( T _ { \varphi _ { n } } ^ { \ell } ( T _ { \nu q \varphi _ { n } } x ) , \varphi _ { n } , \lambda _ { n } ) + \sum _ { \ell = 0 } ^ { r _ { n } } f ( T _ { ( k _ { n } q + \ell ) \varphi _ { n } } , \varphi _ { n } , \lambda _ { n } ) \Big ] } \\ & { \le \frac { 1 } { q _ { n } } \Big [ \sum _ { \nu = 0 } ^ { k _ { n } - 1 } q ( \theta _ { \infty } ( \varphi , \lambda ) + \frac { \varepsilon } { 2 } ) + q C \Big ] \le \theta _ { \infty } ( \varphi , \lambda ) + \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k } ^ { { \epsilon } , \lambda } } & { = \Psi _ { k } ^ { { \epsilon } , \lambda } \Big | _ { \psi = r = 0 } = \Phi _ { k } ^ { \epsilon } + \lambda \; K _ { W ^ { \epsilon } } G _ { - } \mu _ { 2 } ( \Psi _ { k } ^ { \epsilon } , \Phi _ { 4 } ^ { \epsilon } ) \Big | _ { \psi = r = 0 } } \\ & { = \Phi _ { k } ^ { \epsilon } + \lambda \; C _ { W ^ { \epsilon } } ^ { t r o p } ( \Phi _ { k } ^ { \epsilon } , \Phi _ { 4 } ^ { \epsilon } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } \phi ( r - j ) = 1 , } & { { } \quad ( \romannumeral 1 ) } \\ { \sum _ { j \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } \phi ( r - j ) = \sum _ { j \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } \phi ( r - j ) = \frac { 1 } { 2 } , \quad n \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } & { { } \quad ( \romannumeral 2 ) } \\ { \sum _ { j } ( r - j ) ^ { \alpha } \phi ( r - j ) = 0 , \quad \alpha = 1 , \ldots , n , } & { { } \quad ( \romannumeral 3 ) } \\ { \sum _ { j } \phi ^ { 2 } ( r - j ) = C , } & { { } \quad ( \romannumeral 4 ) } \end{array}
Q _ { i - 1 / 2 } ^ { r } = { { P } ^ { A O \left( 5 , 3 \right) } } \left( { { x } _ { i - 1 / 2 } } \right) , Q _ { i + 1 / 2 } ^ { l } = { { P } ^ { A O \left( 5 , 3 \right) } } \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } \right) .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \delta \rho } { \partial t } = D \Delta \delta \rho - D \rho _ { 0 } \Delta \int c ^ { ( 2 ) } ( \left| \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } \right| ; \rho _ { 0 } ) \, \delta \rho ( \vec { r } ^ { \prime } , t ) \mathrm { d } \vec { r } ^ { \prime } \, , } \end{array}
K ^ { \mu } = \left( { \frac { \omega } { c } } , { \vec { k } } \right) = \left( { \frac { \omega } { c } } , { \frac { \omega } { c } } { \hat { n } } \right) = { \frac { \omega } { c } } \left( 1 , { \hat { n } } \right)
\begin{array} { r l r l } & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) = S _ { 1 } , } & & { A _ { U } ^ { ( 2 ) } ( 1 ) = X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } } \\ & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 2 ) = X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } , } & & { A _ { U } ^ { ( 2 ) } ( 2 ) = X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } } \\ & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 3 ) = X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } , } & & { A _ { U } ^ { ( 2 ) } ( 3 ) = X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } } \\ & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 4 ) = X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } , } & & { A _ { U } ^ { ( 2 ) } ( 4 ) = X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } } \\ & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 5 ) = X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } , } & & { A _ { U } ^ { ( 2 ) } ( 5 ) = X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } } \\ & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 6 ) = X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } , } & & { A _ { U } ^ { ( 2 ) } ( 6 ) = X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } } \\ & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 7 ) = X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } , } & & { A _ { U } ^ { ( 2 ) } ( 7 ) = X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } } \\ & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 8 ) = X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } , } & & { A _ { U } ^ { ( 2 ) } ( 8 ) = X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e } \left\{ \frac { i \omega _ { k } } { \omega - \omega _ { k } } + \frac { i \omega _ { k } ^ { * } } { \omega + \omega _ { k } ^ { * } } \right\} } & { { } = - \operatorname { I m } \left\{ \frac { \omega _ { k } } { \omega - \omega _ { k } } + \frac { \omega _ { k } ^ { * } } { \omega + \omega _ { k } ^ { * } } \right\} } \end{array}
{ R } _ { k } ( z , \bar { z } ) { R } _ { k ^ { \prime } } ( w , \bar { w } ) = { R } _ { 0 } ^ { \epsilon _ { k + k ^ { \prime } } } ( z , \bar { z } ) { R } _ { k + k ^ { \prime } \, \, \mathrm { m o d } \, n } ( w , \bar { w } ) ,
\prod _ { m = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } X ^ { i } = 1 \left( 1 + X \right) \left( 1 + X + X ^ { 2 } \right) \cdots \left( 1 + X + X ^ { 2 } + \cdots + X ^ { n - 1 } \right) ,
\begin{array} { r l } { ( D + r ^ { - 1 } ) \hat { u _ { r } } + } & { i n r ^ { - 1 } \hat { u _ { \varphi } } + i k \hat { u _ { z } } = 0 , } \\ { ( s + \frac { i n V } { r } ) \hat { u _ { r } } - \frac { 2 V } { r } \hat { u _ { \varphi } } = } & { - D \hat { p } + R o ^ { - 1 } \hat { u _ { \varphi } } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } ( \nabla ^ { 2 } \hat { u _ { r } } - \frac { \hat { u _ { r } } } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 i n \hat { u _ { \varphi } } } { r ^ { 2 } } ) } \\ & { - \frac { 2 ( 1 - \eta ) } { ( 1 + \eta ) } r [ ( 1 + \frac { 2 V } { R o ^ { - 1 } r } ) ^ { 2 } \hat { \theta } + \frac { 4 \Theta } { R o ^ { - 1 } r } ( 1 + \frac { 2 V } { R o ^ { - 1 } r } ) \hat { u _ { \varphi } } ] , } \\ { ( s + \frac { i n V } { r } ) \hat { u _ { \varphi } } + ( D V + \frac { V } { r } ) \hat { u _ { r } } = } & { - \frac { i n } { r } \hat { p } - R o ^ { - 1 } \hat { u _ { r } } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } ( \nabla ^ { 2 } \hat { u _ { \varphi } } - \frac { \hat { u _ { \varphi } } } { r ^ { 2 } } + \frac { 2 i n \hat { u _ { r } } } { r ^ { 2 } } ) , } \\ { ( s + \frac { i n V } { r } ) \hat { u _ { z } } = } & { - i k \hat { p } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 2 } \hat { u _ { z } } , } \\ { ( s + \frac { i n V } { r } ) \hat { \theta } + ( D \Theta ) \hat { u _ { r } } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } \nabla ^ { 2 } \hat { \theta } , } \end{array}
\mathbf { \Sigma } = \left( \begin{array} { l l l l } { \mathbf { \Sigma } _ { 1 1 } } & { \mathbf { \Sigma } _ { 1 2 } } & { \dots } & { \mathbf { \Sigma } _ { 1 k } } \\ { \mathbf { \Sigma } _ { 1 2 } ^ { \mathrm { T } } } & { \mathbf { \Sigma } _ { 2 2 } } & { \dots } & { \mathbf { \Sigma } _ { 2 k } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { \Sigma } _ { 1 k } ^ { \mathrm { T } } } & { \mathbf { \Sigma } _ { 2 k } ^ { \mathrm { T } } } & { \dots } & { \mathbf { \Sigma } _ { k k } } \end{array} \right) \in \mathbb { R } ^ { q \times q } ,