harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { { \partial ( \rho { u _ { i } } ) } } { { \partial t } } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } ( \rho { u _ { i } } { u _ { j } } ) = - \frac { { \partial p } } { { \partial { x _ { i } } } } + \frac { { \partial { \sigma _ { i j } } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial { \tau _ { i j } } } } { { \partial { x _ { j } } } } ,
\begin{array} { r l r l } { H ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } H } { \d x ^ { 3 } } } & { { } = B ^ { 2 } x } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad ( 0 , 1 ) , } \\ { \frac { \d H } { \d x } } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 0 , } \\ { H } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 1 , } \\ { \left( \frac { \d H } { \d x } \right) ^ { 2 } } & { { } = D ^ { 2 } ( H ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } H } { \d x ^ { 3 } } ) ^ { \alpha } \stackrel { ( ) } = D ^ { 2 } B ^ { 2 \alpha } } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 1 , } \\ { \int _ { 0 } ^ { 1 } H ( x ) \d x } & { { } = 1 , } & { } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \right\} } K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi } ) \right] \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \xi } \circ \tau _ { t } ) \} } K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi } ) G ( X _ { s } ^ { \xi } , s ) \right] \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \\ & { + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \xi } \circ \tau _ { t } ) \} } K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi } ) \theta _ { + } ( X _ { s } ^ { \xi } , s ) \phi ^ { \prime \prime } ( X _ { s } ^ { \xi } / \varepsilon ) \right] \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \\ & { + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \xi } \circ \tau _ { t } ) \} } K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi } ) \theta _ { - } ( X _ { s } ^ { \xi } , s ) \phi ^ { \prime \prime } ( X _ { s } ^ { \xi } / \varepsilon ) \right] \textrm { d } \xi \textrm { d } s , } \end{array}
S = \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } x \left\{ \partial \varphi \bar { \partial } \varphi + e ^ { - \sqrt { \frac { 2 } { k } } \varphi } \left( ( \partial _ { t } \tilde { \gamma } ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \partial _ { x } \tilde { \gamma } ^ { 1 } ) ^ { 2 } \right) + 2 i \partial _ { t } \tilde { \gamma } ^ { 1 } \right\} ,
\varphi _ { 2 } ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \Phi _ { \varepsilon } ^ { 1 } ( - x ) , \qquad } & { x \in [ a , h _ { 1 } - x _ { 2 } ^ { \varepsilon } ] , } \\ { \Phi _ { \varepsilon } ^ { i + 1 } ( ( - 1 ) ^ { i + 1 } x ) , } & { x \in [ h _ { i } + y _ { i + 1 } ^ { \varepsilon } , h _ { i + 1 } + y _ { i } ^ { \varepsilon } ] \quad \mathrm { ~ a n d ~ } i = 1 , \dots , N - 1 , } \\ { ( - 1 ) ^ { N } , } & { x \in [ h _ { N } + y _ { N - 1 } ^ { \varepsilon } , b ] . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l } { { \frac { \varepsilon } { c } \frac { \partial I _ { g } } { \partial t } + \mu ^ { \prime } \frac { \partial I _ { g } } { \partial x ^ { \prime } } + \xi ^ { \prime } \frac { \partial I _ { g } } { \partial y ^ { \prime } } = L _ { a } ^ { \varepsilon } \left( \sigma _ { e , g } \phi _ { g } - \sigma _ { a , g } I _ { g } \right) + L _ { s } ^ { \varepsilon } \sigma _ { s , g } \left( \frac { \rho _ { g } } { 2 \pi } - I _ { g } \right) } } \\ { { \left. I _ { g } \left( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t \right) \right| _ { t = t _ { n } } = I _ { g } \left( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t _ { n } \right) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \overline { { j } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = - \imath _ { \xi } \big ( \overline { { \ell } } _ { \mathtt { G H Y } } ^ { \mathtt { ( m ) } } + \jmath ^ { * } ( \imath _ { Z } \mathrm { v o l } _ { g } ) \big ) - \imath _ { \mathrm { X } _ { \xi } } ( \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) } \\ & { = \overline { { j } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \jmath ^ { * } ( \imath _ { \xi } \imath _ { Z } \mathrm { v o l } _ { g } ) . } \end{array}
\frac { 8 \nu ^ { 2 } } { \pi r ^ { 2 } } \left( \frac { r ^ { 2 } } { P ^ { 2 } b c } \right) ^ { - 2 i \nu } [ \log 4 P + O ( \nu ) ] \simeq \frac { 2 i \nu } { \pi r ^ { 2 } } \left( \frac { r ^ { 2 } } { P ^ { 2 } b c } \right) ^ { - 2 i \nu } \left[ ( 1 6 P ^ { 2 } ) ^ { - 2 i \nu } - 1 + O ( \nu ^ { 2 } ) \right] .
\langle \Upsilon ( z _ { 0 } ) \rangle _ { \Sigma } ^ { \Psi } = \left\langle \Upsilon ( z _ { 0 } ) \exp \frac { 1 } { \pi } \int _ { \Sigma } \Psi ( z ) \, d ^ { 2 } \! z \right\rangle _ { \Sigma } .
S _ { + } ( \eta ) = \left( \begin{array} { l l l l } { { \cosh \eta } } & { { \sinh \eta } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \sinh \eta } } & { { \cosh \eta } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cosh \eta } } & { { \sinh \eta } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sinh \eta } } & { { \cosh \eta } } \end{array} \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 0 = d _ { S _ { j } } \Delta S _ { j } + d _ { S } \sum _ { k \neq j } \left( \frac { L _ { j k } \bar { S } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } S _ { j } \right) - \displaystyle \frac { \beta _ { j } S _ { j } I _ { j } } { S _ { j } + I _ { j } } + \gamma _ { j } I _ { j } , } & { x \in \Omega _ { j } , j \in \Omega , } \\ { \displaystyle 0 = d _ { I _ { j } } \Delta I _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \neq j } \left( \frac { L _ { j k } \bar { I } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } I _ { j } \right) + \displaystyle \frac { \beta _ { j } S _ { j } I _ { j } } { S _ { j } + I _ { j } } - \gamma _ { j } I _ { j } , } & { x \in \Omega _ { j } , j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial S _ { j } } { \partial \nu } = \displaystyle \frac { \partial I _ { j } } { \partial \nu } = 0 , } & { x \in \partial \Omega _ { j } , j \in \Omega , } \\ { \sum _ { j \in \Omega _ { j } } ( \bar { S } _ { j } + \bar { I } _ { j } ) = N . } \end{array} \right.
L _ { D } ^ { \ast } = \int _ { X } d ^ { 3 } x \varepsilon ^ { i j k } \bigg \{ - { \frac { 3 } { 4 a } } ( a \partial _ { i } B _ { j A B } + b G _ { i j A B } ) [ { \bf R } ^ { - 1 } ] _ { k n } ^ { A B C D } \varepsilon ^ { l m n } ( a \partial _ { l } B _ { m C D } + b G _ { l m C D } ) + c \alpha _ { i } ^ { A B } G _ { j k A B } \bigg \} ,
\begin{array} { r } { | \mathfrak { a } ( \omega ) \mathfrak { b } ( \omega ) | _ { m + m ^ { \prime } , s , \eta } \le _ { \eta , s , m , m ^ { \prime } } | \mathfrak { a } ( \omega ) | _ { m , s , \eta } | \mathfrak { b } ( \omega ) | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } , \eta } + | \mathfrak { a } ( \omega ) | _ { m , s _ { 0 } , \eta } | \mathfrak { b } ( \omega ) | _ { m ^ { \prime } , s , \eta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { ( 1 ) } ^ { 2 } \, \varphi _ { \mathrm { o l d } } ^ { ( \omega , k ) } } & { = ( 2 \cos ( k ) - 2 ) \ \varphi _ { \mathrm { o l d } } ^ { ( \omega , k ) } } \\ { \Delta _ { ( 2 ) } ^ { 2 } \, \varphi _ { \mathrm { o l d } } ^ { ( \omega , k ) } } & { = \frac { 1 } { 1 2 } ( - 2 \cos ( 2 k ) + 3 2 \cos ( k ) - 3 0 ) \ \varphi _ { \mathrm { o l d } } ^ { ( \omega , k ) } } \\ { D ^ { 2 } \, \varphi _ { \mathrm { o l d } } ^ { ( \omega , k ) } } & { = - k ^ { 2 } \ \varphi _ { \mathrm { o l d } } ^ { ( \omega , k ) } } \\ { D \, \varphi _ { \mathrm { o l d } } ^ { ( \omega , k ) } } & { = \mathrm { i } k \ \varphi _ { \mathrm { o l d } } ^ { ( \omega , k ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { g } \operatorname { t r } _ { g } \sigma ^ { \varepsilon , \delta } = \, } & { - K \, \eta _ { \delta } ^ { \prime \prime } \, \rho _ { \varepsilon } + K \, \eta _ { \delta } ^ { \prime } \, \rho _ { \varepsilon } \, \sum _ { i , \, j = 1 } ^ { n - 1 } g ^ { i j } \, \Gamma ( g ) _ { i j } ^ { n } - K \, \eta _ { \delta } \, \sum _ { i , j = 1 } ^ { n - 1 } g ^ { i j } \, \left[ \partial _ { i } \partial _ { j } \rho _ { \varepsilon } - \sum _ { \ell = 1 } ^ { n - 1 } \Gamma ( g ) _ { i j } ^ { \ell } \, \partial _ { \ell } \rho _ { \varepsilon } \right] } \\ { = \, } & { - K \, \eta _ { \delta } ^ { \prime \prime } \, \rho _ { \varepsilon } - K \, \eta _ { \delta } \, \sum _ { i , j = 1 } ^ { n - 1 } \left[ g ^ { i j } \, \partial _ { i } \partial _ { j } \rho _ { \varepsilon } - \sum _ { \ell = 1 } ^ { n - 1 } g ^ { i j } \, \Gamma ( g ) _ { i j } ^ { \ell } \, \partial _ { \ell } \rho _ { \varepsilon } \right] + K \, o ( \eta _ { \delta } ^ { \prime } \, \rho _ { \varepsilon } ) . } \end{array}
{ \frac { d N _ { \ell ^ { + } \ell ^ { - } } ^ { \mathrm { B o l t z } } } { d ^ { 4 } x \, d M ^ { 2 } } } = { \frac { g _ { a b } } { 3 2 \pi ^ { 4 } } } \int d s \, \lambda ( s , m _ { a } ^ { 2 } , m _ { b } ^ { 2 } ) { \frac { K _ { 1 } ( \sqrt { s } / T ) } { ( \sqrt { s } / T ) } } { \frac { d \sigma _ { h h \ell ^ { + } \ell ^ { - } } } { d M ^ { 2 } } } ,
< \bar { q } q > = - \operatorname * { l i m } _ { m \to 0 } \operatorname * { l i m } _ { L \to \infty } \frac { 1 } { L ^ { 4 } } < < \sum _ { n } \frac { m } { m ^ { 2 } + \lambda _ { n } ^ { 2 } } > >
\begin{array} { r l } { \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } N ( d , l ) \| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { { o p } } } } & { \leq 1 + c _ { 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { [ T _ { n } ] } N ( d , l ) l ^ { \alpha } \exp ( \gamma \cdot l ^ { \beta } ) } \\ & { \leq \mathrm { ( c o n s t . ) } T _ { n } ^ { \alpha + d } \exp ( \gamma \cdot T _ { n } ^ { \beta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot \left( \rho \pmb { u } \right) } & { = 0 } \\ { \partial _ { t } ( \rho \pmb { u } ) + \nabla \cdot \left( \pmb { u } \otimes \rho \pmb { u } + p \mathbb { I } \right) } & { = - \rho \nabla \Phi - 2 \left( \pmb { \Omega } \cdot \hat { r } \right) \hat { r } \times \rho \pmb { u } - k _ { v } \left( \mathbb { I } - \hat { r } \otimes \hat { r } \right) \rho \pmb { u } } \\ { \partial _ { t } ( \rho e ) + \nabla \cdot \left( \pmb { u } \left( p + \rho e \right) \right) } & { = - k _ { T } \rho c _ { v } \left( T - T _ { \mathrm { e q u i l i b r i u m } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { O _ { A } } & { = \left( | 1 , 2 \rangle \langle 1 , 2 | + | 2 , 1 \rangle \langle 2 , 1 | \right) \otimes \left| - i k \sqrt { \frac { 1 + \alpha } { 2 } } \right\rangle \langle 0 | } \\ & { + \sum _ { l = 2 } ^ { M } | l , l + 1 \rangle \langle l , l + 1 | \otimes \left| - i k \sqrt { \frac { l } { 2 } } \right\rangle \langle 0 | } \\ & { + \sum _ { l = 3 } ^ { M + 1 } | l , l - 1 \rangle \langle l , l - 1 | \otimes \left| - i k \sqrt { \frac { l - 1 } { 2 } } \right\rangle \langle 0 | } \\ & { + \sum _ { l = 3 } ^ { M + 1 } | l , l \rangle \langle l , l | \otimes | ( l - 1 ) \nu \rangle \langle 0 | . } \end{array}
W _ { C L } = \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { 2 } \ \boldsymbol { I } \cdot \mathbb { E } [ \boldsymbol { I } ] = \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { 2 } \frac { 3 \textup { E } } { 1 - 2 \nu } ,
\begin{array} { r } { \eta _ { j } = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { - \lambda ^ { 2 } - V _ { 1 } - V _ { 2 } \pm \sqrt { ( \lambda ^ { 2 } + V _ { 1 } + V _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 V _ { 1 } V _ { 2 } } } \, , } \end{array}
\frac { \partial P _ { \mathrm { l } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) } { \partial S _ { \mathrm { l } } } = \frac { e ^ { 2 L / \lambda } } { e ^ { 2 L / \lambda } - \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } } \ ,
\begin{array} { r } { w r + u x = w r _ { 0 } + u x _ { 0 } + ( u ^ { 2 } - w ^ { 2 } ) t , } \\ { r = \frac { r _ { 0 } ( 1 + \alpha \cos \theta _ { 0 } ) + ( \alpha ^ { 2 } - 1 ) w t } { ( 1 + \alpha \cos \theta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ( x , } & { t _ { k } ) = \frac { T _ { w } } { \pi } \left( \tan ^ { - 1 } \left( \frac { L - x _ { 1 } } { x _ { 2 } } \right) + \tan ^ { - 1 } \left( \frac { L + x _ { 1 } } { x _ { 2 } } \right) \right) } \\ & { - \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( Y _ { t _ { j } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( Y _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \cdot R ( x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ; 0 ) \varTheta _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } \leq } & { \frac { 2 f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - 2 f ^ { * } } { T ( \eta K - 3 2 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } - 6 \eta ^ { 2 } K L ) } } \\ & { + \frac { \frac { \eta L ^ { 2 } K C _ { 1 } } { 2 } + \eta ^ { 4 } K L ^ { 3 } C _ { 3 } ( 1 6 \eta K L + 3 ) \Big ( \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } m ^ { 2 ( Q - 1 ) } } + \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ^ { Q } ) ^ { 2 } } \Big ) + \frac { 3 \eta ^ { 2 } K L } { 2 } \left( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } \right) } { \eta K - 3 2 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } - 6 \eta ^ { 2 } K L } . } \end{array}
\langle \Omega | T \left( \sin ( g L a _ { 3 } \left( x _ { \perp } \right) / 2 ) \sin ( g L a _ { 3 } \left( y _ { \perp } \right) / 2 ) \right) | \Omega \rangle \quad \sim \quad \langle \Omega | T \left[ u \left( x _ { \perp } \right) u \left( y _ { \perp } \right) \right] | \Omega \rangle \ . \nonumber \,
P _ { T H \mathrm { ~ D ~ e ~ b ~ y ~ e ~ } } ( V , T ) = \frac { 9 R T \gamma _ { D } } { V } \left( \frac { T } { \Theta _ { D } } \right) ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { D } / T } \frac { z ^ { 3 } } { e ^ { z } - 1 } d z .
\vert \Xi _ { 0 , p } [ \alpha , \beta ] \vert ^ { 2 } = \frac { \prod _ { j = 3 } ^ { p - 1 } ( - 1 ) ^ { 2 m _ { \beta _ { j } } } q ^ { 4 i m _ { \beta _ { j } } \rho _ { \beta _ { j } } } } { { \psi } _ { 2 } { } _ { ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta _ { 3 } ) } \prod _ { j = 3 } ^ { p - 2 } { \psi } _ { 2 } { } _ { ( \beta _ { j } , \alpha _ { j } , \beta _ { j + 1 } ) } { \psi } _ { 2 } { } _ { ( \beta _ { p - 1 } , \alpha _ { p - 1 } , \alpha _ { p } ) } } \Xi _ { 0 , p } [ \alpha , \beta ] ^ { 2 }
\langle L _ { 2 } ( \tau ) \rangle = \frac { ( 7 \alpha - 3 ) ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } } { 4 ( 3 \alpha - 1 ) \gamma } \qquad \mathrm { f o r } \ \alpha < 0 \ .
\int _ { X \times Y } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } ( x , y ) = \int _ { X } \left( \int _ { Y } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } y \right) \, { \mathrm { d } } x = \int _ { Y } \left( \int _ { X } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } x \right) \, { \mathrm { d } } y
\begin{array} { r } { \mathbb E ^ { e p } = \omega ( r ) \Big ( \left( \begin{array} { l l } { c _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { c _ { 2 } } \end{array} \right) - \frac { 1 } { a ^ { 2 } c _ { 1 } + b ^ { 2 } c _ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } } & { a b c _ { 1 } c _ { 2 } \mathrm { ~ s i g n } ( \tau ) } \\ { a b c _ { 1 } c _ { 2 } \mathrm { ~ s i g n } ( \tau ) } & { b ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ( \mathbf { x } , t ) = } & { { } \overbrace { e \left[ \frac { \mathbf { n } - \boldsymbol { \beta } } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \boldsymbol { \beta } \cdot \mathbf { n } ) ^ { 3 } R ^ { 2 } } \right] _ { \mathrm { r e t } } } ^ { \mathrm { ~ V ~ e ~ l ~ o ~ c ~ i ~ t ~ y ~ f ~ i ~ e ~ l ~ d ~ } } } \\ { + } & { { } \overbrace { \frac { e } { c } \left[ \frac { \mathbf { n } \times \{ ( \mathbf { n } - \boldsymbol { \beta } ) \times \dot { \boldsymbol { \beta } } \} } { ( 1 - \boldsymbol { \beta } \cdot \mathbf { n } ) ^ { 3 } R } \right] _ { \mathrm { r e t } } } ^ { \mathrm { ~ A ~ c ~ c ~ e ~ l ~ e ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ f ~ i ~ e ~ l ~ d ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\vert \theta _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert } & { \leq } & { e ^ { C \tau \left\vert \xi \right\vert } p _ { 0 } \left( \tau \right) } \\ { \left\vert \nabla \theta _ { A \left( t \right) s } \right\vert } & { \leq } & { C e ^ { 2 C \tau \left\vert \xi \right\vert } p _ { 1 } \left( \tau \right) . } \end{array}
p ( \mathrm { S t } ; \mathrm { S t } _ { \mathrm { M E D } } , \sigma ) = \frac { 1 } { \mathrm { S t } \sigma ( 2 \pi ) ^ { 1 / 2 } } \exp \left[ - \frac { ( \ln \mathrm { S t } - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } & { \lesssim ( \| \mu _ { q _ { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mu _ { \gamma } \| _ { \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } } + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mu _ { q _ { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mu _ { \gamma } \| _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } ) ( \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ) } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mu _ { q _ { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mu _ { \gamma } \| _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } } \end{array}
\frac { 4 \pi ^ { 2 } } { N g _ { Y M } ^ { 2 } } = \rho \operatorname { t a n h } \rho ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ \frac { 2 \rho } { \sinh 2 \rho } = \frac { \Lambda ^ { 3 } } { \mu ^ { 3 } }
E _ { T } : = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \Vert x ^ { T } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] + \gamma _ { T - 1 } \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { T } ) - \operatorname* { i n f } F \right] + \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \gamma _ { t } ( 1 - 4 \gamma _ { t } L _ { \operatorname* { m a x } } ) \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } F \right] - 2 \sigma _ { F } ^ { * } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \gamma _ { t } ^ { 2 } ,
| \eta _ { 4 } ( x ^ { i } , v ) h _ { 4 ( 0 ) } ( x ^ { i } ) | = h _ { [ 0 ] } ^ { 2 } h _ { 5 ( 0 ) } ( x ^ { i } ) \left[ \left( \sqrt { | \eta _ { 5 } ( x ^ { i } , v ) | } \right) ^ { \ast } \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { p _ { x } ^ { 1 } } & { = } & { [ \beta _ { \mathrm { e f f } } ] _ { x x } ^ { 1 1 } [ E _ { \mathrm { i n c } } ] _ { x } ^ { 1 } + [ \beta _ { \mathrm { e f f } } ] _ { x x } ^ { 1 2 } [ E _ { \mathrm { i n c } } ] _ { x } ^ { 2 } \, , } \\ { p _ { x } ^ { 2 } } & { = } & { [ \beta _ { \mathrm { e f f } } ] _ { x x } ^ { 2 1 } [ E _ { \mathrm { i n c } } ] _ { x } ^ { 1 } + [ \beta _ { \mathrm { e f f } } ] _ { x x } ^ { 2 2 } [ E _ { \mathrm { i n c } } ] _ { x } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 2 } ( a , c , W \rightarrow 0 ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l c l } { - \frac { 1 } { 2 } \cos 2 \theta } & { , } & { d = 0 } \\ { \frac { \pi } { 4 } \sin 2 \theta \cos 2 \theta - \cos 2 \theta + \ln [ | \tan \theta | ^ { \sin ^ { 2 } 2 \theta / 2 } ] } & { , } & { d = 2 } \\ { - \cos 2 \theta } & { , } & { d = 4 } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \cos 2 \theta \left[ 1 + 2 4 ( 1 9 + 5 \cos 4 \theta ) ^ { - 1 } \right] } & { , } & { d = 6 } \\ { - ( 5 3 \cos 2 \theta + 7 \cos 6 \theta ) ( 3 9 + 2 1 \cos 4 \theta ) ^ { - 1 } } & { , } & { d = 8 } \end{array} \right. , } \end{array}
\hat { L } ^ { \lambda } = \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { B _ { 1 } } { 4 } \left( \delta ^ { \mu \nu \alpha \beta } g ^ { \tau \lambda } + 2 g ^ { \nu \beta } \left( g ^ { \mu \tau } g ^ { \alpha \lambda } - g ^ { \alpha \tau } g ^ { \mu \lambda } \right) \right) } } & { { - \frac { B _ { 1 } } { 4 } g ^ { \mu \tau } g ^ { \nu \lambda } } } & { { \left( \frac { B _ { 2 } } { 2 } - A \right) g ^ { \mu \tau } g ^ { \nu \lambda } } } \\ { { \frac { B _ { 1 } } { 4 } g ^ { \alpha \tau } g ^ { \beta \lambda } } } & { { - \frac { B _ { 1 } } { 1 6 } g ^ { \tau \lambda } } } & { { \left( \frac { A } { 4 } - \frac { 5 } { 8 } B _ { 2 } \right) g ^ { \tau \lambda } } } \\ { { \left( A - \frac { B _ { 2 } } { 2 } \right) g ^ { \alpha \tau } g ^ { \beta \lambda } } } & { { \left( \frac { B _ { 2 } } { 8 } - \frac { A } { 4 } \right) g ^ { \tau \lambda } } } & { { \left( \frac { B _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 B } - A \right) _ { 1 } g ^ { \tau \lambda } } } \end{array} \right) ( \nabla _ { \tau } \phi )
\begin{array} { r l r } { F _ { \alpha } } & { = } & { - { R } _ { \alpha \beta } ^ { ( F U ) } U _ { \beta } - { R } _ { \alpha \beta } ^ { ( F \Omega ) } \Omega _ { \beta } - { R } _ { \alpha \beta \beta _ { 1 } } ^ { ( F E ) } E _ { \beta \beta _ { 1 } } } \\ { T _ { \alpha } } & { = } & { - { R } _ { \alpha \beta } ^ { ( T U ) } U _ { \beta } - { R } _ { \alpha \beta } ^ { ( T \Omega ) } \Omega _ { \beta } - { R } _ { \alpha \beta \beta _ { 1 } } ^ { ( T E ) } E _ { \beta \beta _ { 1 } } } \\ { \mathsf { S } _ { \alpha \alpha _ { 1 } } } & { = } & { - { R } _ { \alpha \alpha _ { 1 } \beta } ^ { ( S U ) } U _ { \beta } - { R } _ { \alpha \alpha _ { 1 } \beta } ^ { ( S \Omega ) } \Omega _ { \beta } - { R } _ { \alpha \alpha _ { 1 } \beta \beta _ { 1 } } ^ { ( S E ) } E _ { \beta \beta _ { 1 } } } \end{array}
{ \cal M } = { \frac { 4 \gamma \, \pi _ { \gamma } ^ { 2 } } { \lambda } } \, e ^ { 2 \phi } - { \frac { ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \lambda \gamma } } \, e ^ { - 2 \phi } + \lambda \, e ^ { - 2 \phi } ~ .
f ( a _ { 3 } ) = 4 \pi \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { ( t ^ { 2 } - 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d t } { \mathrm { e } ^ { 2 \pi c t / \sqrt { a _ { 3 } } } - 1 } } \, ,
\begin{array} { r } { \hat { U } ( t ) = \exp \left[ - i \sum _ { i , m } \hat { B } _ { i , m } ( t ) \hat { \sigma } _ { i } ^ { \alpha } + i \sum _ { i < j } \Theta _ { i , j } ( t ) \hat { \sigma } _ { i } ^ { \alpha } \hat { \sigma } _ { j } ^ { \alpha } \right] , } \end{array}
E _ { p , N _ { s } } ^ { ( q ) } ( F ( t ) ) = \frac { q } { 2 } F ( t ) \partial _ { z } Y _ { p , N _ { s } } ( t ) + \frac { \epsilon ( F ) } { 2 } [ D F ( t ) ] D Y _ { p , N _ { s } } ( t ) + [ \partial _ { z } F ( t ) ] Y _ { p , N _ { s } } ( t ) .
\begin{array} { r l r } { h ( \lambda ) } & { { } \! = \! } & { \int _ { - a _ { n } } ^ { b _ { n } } d x _ { n } \, { \frac { \exp \Big [ \! - \! { \frac { \lambda } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } \ = \ { \frac { \exp \Big [ \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n - 1 } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { S } ^ { \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) = 2 z S _ { c } - 2 z p _ { c } S _ { c } ^ { 1 / 2 } + 1 = 0 } \\ & { f _ { p } ^ { \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) = - 2 S _ { c } / p _ { c } \neq 0 } \\ & { f _ { S S } ^ { \prime \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) = - z p _ { c } S _ { c } ^ { - 1 / 2 } + 2 z \neq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta \lambda ( E ; \{ p \} ) = Q ( \alpha , n _ { \mathrm { d f } } ) \sqrt { \chi ^ { 2 } / n _ { \mathrm { d f } } } \, \sqrt { ( \mathbf { J } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { C } \mathbf { J } ) } , } \\ & { \mathbf { J } = \{ J _ { k } \} , k = 1 , . . . , n _ { p } , \ J _ { k } = \partial \lambda ( E ; \{ p \} ) / \partial p _ { k } , } \end{array}
N = ( N _ { J } , \mathbb { 0 } _ { 4 } ) , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad N _ { J } = \mathrm { D i a g } ( \sqrt { \eta _ { e } \kappa _ { e } } , \sqrt { \eta _ { e } \kappa _ { e } } , \sqrt { \eta _ { o } \kappa _ { o } } , \sqrt { \eta _ { o } \kappa _ { o } } ) ,