harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { y [ m ] } & { { } = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } x _ { L } \left[ { \bigl \lfloor } { \frac { m } { L } } { \bigr \rfloor } L - k L \right] \cdot h { \Bigl [ } \overbrace { m - { \bigl \lfloor } { \frac { m } { L } } { \bigr \rfloor } L + k L } ^ { r } { \Bigr ] } } \end{array}
g = ( 1 \ 2 \ 5 ) ( 3 \ 4 ) = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 2 } & { 5 } & { 4 } & { 3 } & { 1 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l } { \frac { \partial \Delta } { \partial C } } & { = \frac { ( \phi - 1 ) K _ { f } } { \phi K _ { s } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + c s \phi } \right) \frac { \partial K _ { s } } { \partial C } , } \\ { \frac { \partial K _ { s } } { \partial C } } & { = K _ { c } - K _ { q } , \qquad } & & { \frac { \partial G _ { s } } { \partial C } = G _ { c } - G _ { q } , } \\ { \frac { \partial K _ { D } } { \partial C } } & { = \frac { 1 - \phi } { 1 + c s \phi } \frac { \partial K _ { s } } { \partial C } , \qquad } & & { \frac { \partial G _ { D } } { \partial C } = \frac { 1 - \phi } { 1 + \frac { 3 } { 2 } c s \phi } \frac { \partial G _ { s } } { \partial C } , } \\ { \frac { \partial \rho _ { s } } { \partial C } } & { = ( \rho _ { c } - \rho _ { q } ) . } \end{array} } \end{array}
| \delta { h _ { \omega } } | = \sqrt { H _ { 0 } / M _ { s } } z _ { e q } ^ { - 1 / 4 } z _ { o u t } ^ { 1 / 2 } \exp { ( \frac { 1 } { 2 } \phi _ { e n d } ) } \; ( { \frac { \omega } { \omega _ { m a x } } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \ln ( { \frac { \omega } { \omega _ { m a x } } } )
\mu \frac { d } { d \mu } { \cal O } _ { a } ( 0 , z ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { b } B _ { a b } ( u , v ) { \cal O } _ { b } ( u z , \bar { v } z ) \, \theta ( u + v \leq 1 ) \, d u \, d v \, ,
D _ { \mu \nu } ^ { i } ( k ) = \frac { - i g _ { \mu \nu } } { \Bigl [ k ^ { 2 } - m _ { i } ^ { 2 } \Bigr ] } + \frac { i ( 1 - 1 / \xi _ { i } ) k _ { \mu } k _ { \nu } } { \Bigl [ k ^ { 2 } - m _ { i } ^ { 2 } / \xi _ { i } \Bigr ] \Bigl [ k ^ { 2 } - m _ { i } ^ { 2 } \Bigr ] } \; ,
\operatorname * { l i m } _ { { \mathrm { \boldmath ~ \ v a r e p s i l o n ~ } } \to 0 } \left( \frac { \mathrm { { \boldmath ~ \ v a r e p s i l o n ^ { i } ~ } } \mathrm { { \boldmath ~ \ v a r e p s i l o n ^ { j } ~ } } } { { \mathrm { \boldmath ~ \ v a r e p s i l o n ~ } } ^ { 2 } } \right) = \frac { 1 } { 3 } \delta ^ { i j } .
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { d } } ( \tau _ { \mathrm { ~ d ~ } } ) } & { { } = \big ( 3 ( \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { d } } ^ { - 1 } ) + \big ( 3 ( \gamma - 1 ) ( \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { d } } ^ { - 1 } ) + 2 ( 2 - \tau _ { \mathrm { d } } ^ { - 1 } ) \big ) h \big ) h + ( 1 + \tau _ { \mathrm { d } } ^ { - 1 } ) \big ( \tau _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } ( \tau _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } - 1 ) ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 h \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 4 ( \nu _ { i } - \varepsilon ) } \Big ( \sum _ { n \geq 1 } | b _ { n , i } ( \cdot ) | \, | g _ { n , i } ( \cdot , y ) | \Big ) ^ { 2 } + \frac 1 2 \| ( g _ { n , i } ( \cdot , y ) ) _ { n \geq 1 } \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq N _ { i } ( t , x , y ) } & { } & { \mathrm { ( g r o w t h ~ c o n d i t i o n ) , } } \end{array}
v ( \varepsilon , \theta , \gamma ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 2 \pi \log ( 1 / \varepsilon ) ) ^ { - 1 / 4 } \varepsilon ^ { \frac { d - | \gamma | ^ { 2 } } { 2 } } \left( \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } e ^ { | \gamma | ^ { 2 } \ell _ { \theta } ( z ) } \mathrm { d } z \right) ^ { 1 / 2 } \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } \gamma \in { \ensuremath { \mathcal P } } _ { \mathrm { I I / I I I } } , } \\ { \sqrt { \Sigma _ { d - 1 } } \left( \frac { 2 \log ( 1 / \varepsilon ) } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } \gamma = \sqrt { d / 2 } ( i + 1 ) } \end{array} \right.
K _ { l ( 2 ) } = - \, \frac { r _ { l } [ \alpha _ { l } ^ { 2 } e ^ { - i \delta } + ( \alpha _ { l } ^ { * } ) ^ { 2 } e ^ { i \delta } ] } { \mid \alpha _ { l } \mid ^ { 4 } - 2 r _ { l } \mid \alpha _ { l } \mid ^ { 2 } [ \alpha _ { l } ^ { 2 } e ^ { - i \delta } + ( \alpha _ { l } ^ { * } ) ^ { 2 } e ^ { i \delta } ] } .
\int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \kappa \, \rho _ { \textsf { f i n } } ( \kappa ) \beta ( \kappa ) = \operatorname * { l i m } _ { L \to \infty } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { L } \frac { 1 } { 4 n } - \sum _ { n = 1 } ^ { 2 L } \frac { n } { 4 n ^ { 2 } - 1 } \right] = \frac { 1 } { 4 } - \frac { 3 \log 2 } { 4 } \, .
\begin{array} { r l } { \| \Phi ( v ) \| _ { X } } & { \le T \left( | \bar { K } | \mathrm { e } ^ { 2 R } + \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } \left( 1 + \frac { \mathrm { e } ^ { 2 R } } { A } \right) \right) + \| u _ { 0 } ^ { + } \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le 1 + \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } = R , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| K _ { k } ^ { \prime } * \varphi _ { Q , N } \| _ { \ell ^ { 2 } ( \mathbb { Z } ) } } & { \leq \mathbf { C } _ { \epsilon } \cdot Q ^ { \epsilon - 1 / d } \cdot Q ^ { - 1 / 2 } \cdot \frac { N } { 2 ^ { d k / 2 } } } \\ & { \qquad = \mathbf { C } _ { \epsilon } \cdot Q ^ { \epsilon - 1 / d } \cdot ( N / 2 ^ { d k } ) ^ { 1 / 2 } \cdot ( N / Q ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \qquad \qquad \leq \mathbf { C } _ { \epsilon } \cdot Q ^ { \epsilon - 1 / d } \cdot ( N / 2 ^ { d k } ) ^ { 1 / 2 } \cdot \| \varphi _ { Q , N } \| _ { \ell ^ { 2 } ( \mathbb { Z } ) } } \end{array}
\tilde { H } _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ } } ( k ) = \left( \begin{array} { l l } { h - \sum _ { n \in \mathbb { Z } \backslash \{ 0 \} } e ^ { - i k 2 d n } G ( 2 d n ) } & { - e ^ { - i k d } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i ( 2 n - 1 ) k d } G \Bigl ( ( 2 n - 1 ) d \Bigr ) } \\ { - e ^ { i k d } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i ( 2 n - 1 ) k d } G \Bigl ( ( 2 n - 1 ) d \Bigr ) } & { - h - \sum _ { n \in \mathbb { Z } \backslash \{ 0 \} } e ^ { - i k 2 d n } G ( 2 d n ) } \end{array} \right) .
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 1 3 9 } & { 1 1 3 } & { 1 5 1 } & { 1 3 1 } & { 8 3 } & { 1 2 7 } \\ { 2 2 3 } & { 1 4 9 } & { 8 9 } & { 4 7 } & { 1 5 7 } & { 7 9 } \\ { 1 7 3 } & { 1 0 3 } & { 1 8 1 } & { 1 6 7 } & { 5 9 } & { 6 1 } \\ { 6 7 } & { 1 3 7 } & { 5 3 } & { 9 7 } & { 2 1 1 } & { 1 7 9 } \\ { 1 0 1 } & { 1 9 9 } & { 7 3 } & { 1 0 9 } & { 7 1 } & { 1 9 1 } \\ { 4 1 } & { 4 3 } & { 1 9 7 } & { 1 9 3 } & { 1 6 3 } & { 1 0 7 } \end{array} \right] }
y ( t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { p _ { 1 } = 0 } ^ { R _ { 1 } } \ldots \sum _ { p _ { n } = 0 } ^ { R _ { n } } c _ { p _ { 1 } \ldots p _ { n } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { p _ { i } } \frac { \beta _ { p _ { i } , k } } { k ! } t ^ { k } e ^ { - a _ { i } t } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { \ell } } \gamma _ { p _ { i } , \ell } e ^ { \lambda _ { \ell } t } \right)
\begin{array} { r l } { p _ { i j } ^ { - } } & { \equiv \frac { e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { y _ { i } y _ { j } } { x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } , } \\ { p _ { i j } ^ { + } } & { \equiv \frac { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } } { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { x _ { i } x _ { j } } { x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } . } \end{array}
\langle . . . \rangle = \frac { 1 } { Z ( t ) } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \omega _ { n } ^ { 2 } t } e ^ { - k ^ { 2 } t / 2 } . . . e ^ { - k ^ { 2 } t / 2 } ,
a _ { - } = - | b c + { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { \frac { ( 2 k - 1 ) } { 2 } } \partial ( \phi - i X ) | ^ { 2 } { } ~ ~ e x p { \frac { ( \phi + i X ) } { \sqrt { 2 ( 2 k - 1 ) } } } \quad .
{ \cal C } ( { \cal Y } ) = 2 \left( \frac { T _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } } + \sum _ { j = 1 } ^ { J } \frac { T _ { j } } { \gamma _ { j } } \right) \lesssim \frac { T _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } } 2 ^ { \frac { J } { 2 } } \lesssim _ { r , \delta , \kappa } \frac { \mathfrak { C } \sqrt { \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 2 , 1 ) } } } \varepsilon ^ { - 3 } } { \sqrt { \gamma _ { 0 } } } .
f _ { d } = 1 - \operatorname { t a n h } \left[ \left( 1 6 r _ { d } \right) ^ { 3 } \right] , \quad r _ { d } = \frac { \tilde { v } } { k ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } \sqrt { U _ { i , j } U _ { i , j } } }
\begin{array} { r } { \bar { A } _ { j } ^ { i } = \left( \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { j } } \right) \quad \Rightarrow \quad \left[ \boldsymbol { \bar { A } } \right] = \left( \begin{array} { l l l } { \xi _ { x } } & { \xi _ { y } } & { \xi _ { z } } \\ { \eta _ { x } } & { \eta _ { y } } & { \eta _ { z } } \\ { \gamma _ { x } } & { \gamma _ { y } } & { \gamma _ { z } } \end{array} \right) , \quad \frac { 1 } { J } = d e t \left( \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { j } } \right) = d e t \left[ \boldsymbol { \bar { A } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } \circ \mathbb { L } ^ { + } = } & { { } } & { ( L _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } + i L _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } \circ \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } - L _ { 1 } ^ { + } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( x | y \right) _ { r } } & { \geq \left( x | z \right) _ { r } - \delta } \\ { \mathsf { d } \left( x , r \right) + \mathsf { d } \left( y , r \right) - \mathsf { d } \left( x , y \right) } & { \geq \mathsf { d } \left( x , r \right) + \mathsf { d } \left( z , r \right) - \mathsf { d } \left( x , z \right) - 2 \delta } \\ { \mathsf { d } \left( y , r \right) - \mathsf { d } \left( x , y \right) } & { \geq \mathsf { d } \left( z , r \right) - \mathsf { d } \left( x , z \right) - 2 \delta } \\ { \mathsf { d } \left( y , r \right) - \mathsf { d } \left( z , r \right) + 2 \delta } & { \geq \mathsf { d } \left( x , y \right) - \mathsf { d } \left( x , z \right) } \\ { \mathsf { d } \left( y , r \right) - \mathsf { d } \left( z , r \right) + 2 \delta } & { \geq \mathsf { d } \left( y , z \right) } \\ { \mathsf { d } \left( y , z \right) } & { \leq \left| \mathsf { d } \left( y , r \right) - \mathsf { d } \left( z , r \right) \right| + 2 \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { Y _ { \mathrm { N R } } = Y ( 0 ) - \sum _ { p } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } \frac { \alpha ( Y , p , - m ) } { ( - p ) ^ { m } } + \frac { \alpha ( Y , \omega _ { 0 } , - 1 ) } { \omega _ { 0 } } , } \\ & { Y _ { \mathrm { R } } ( \omega ) = \sum _ { p } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } \frac { \alpha ( Y , p , - m ) } { ( w - p ) ^ { m } } + \frac { \alpha ( Y , \omega _ { 0 } , - 1 ) } { \omega - \omega _ { 0 } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { ( 2 ) } } & { = \Gamma _ { ( 2 ) } ^ { 0 } } \\ { \Gamma _ { ( 3 ) } } & { = \Gamma _ { ( 3 ) } ^ { 0 } + \Gamma _ { ( 3 ) } ^ { 1 } u ^ { - 1 } } \\ { \dots } \\ { \Gamma _ { ( \ell ) } } & { = \Gamma _ { ( \ell ) } ^ { 0 } + \Gamma _ { ( \ell ) } ^ { 1 } u ^ { - 1 } + \dots + \Gamma _ { ( \ell ) } ^ { \ell - 2 } u ^ { - \ell + 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \approx } & { { } } & { \exp \left[ \nu \int _ { 0 } ^ { 1 } d \sigma \left( \frac { \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } \left( 2 \delta \kappa ^ { 2 } - ( \sigma - 1 ) ^ { 2 } R _ { E } ^ { 2 } \right) } { 2 ( \sigma - 1 ) ^ { 2 } R _ { E } } + \frac { 1 } { \sigma - 1 } \right) \right] } \\ { \approx } & { { } } & { \left[ \delta \kappa ^ { 2 } \left( 1 / R _ { E } - \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } \right) \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } \right] ^ { \nu } + { \cal O } ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } ) } \\ { \approx } & { { } } & { \left( \delta \kappa / r _ { E } \right) ^ { \nu } + { \cal O } ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } ) . } \end{array}
\sigma _ { s _ { 1 } } \left( \begin{array} { l } { \int _ { \Gamma } f ^ { - s } x ^ { \nu } b _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \int _ { \Gamma } f ^ { - s } x ^ { \nu } b _ { \chi } } \end{array} \right) = A ( s , \nu ) \left( \begin{array} { l } { \int _ { \Gamma } f ^ { - s } x ^ { \nu } b _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \int _ { \Gamma } f ^ { - s } x ^ { \nu } b _ { \chi } } \end{array} \right)
\left( \begin{array} { l l l l } { g _ { 0 0 } } & { g _ { 0 1 } } & { g _ { 0 2 } } & { g _ { 0 3 } } \\ { g _ { 1 0 } } & { g _ { 1 1 } } & { g _ { 1 2 } } & { g _ { 1 3 } } \\ { g _ { 2 0 } } & { g _ { 2 1 } } & { g _ { 2 2 } } & { g _ { 2 3 } } \\ { g _ { 3 0 } } & { g _ { 3 1 } } & { g _ { 3 2 } } & { g _ { 3 3 } } \end{array} \right)
\varphi ( 2 m ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \varphi ( m ) } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } m { \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } } \\ { \varphi ( m ) } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } m { \mathrm { ~ i s ~ o d d } } } \end{array} \right. }
T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) , { \mu } _ { r } ^ { \eta } } u \mathbf 1 _ { { \mathbf \Upsilon } ^ { k } ( B _ { r } ) } = \mathbf 1 _ { { \mathbf \Upsilon } ^ { k } ( B _ { r } ) } T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) , { \mu } _ { r } ^ { \eta } } u \, \, \mathrm { , } \; \, \quad u \in L ^ { 2 } ( { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) , { \mu } _ { r } ^ { \eta } ) \, \, \mathrm { . }
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \left| k ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \omega \in I _ { j } \cap I _ { k } } \omega \right| } & { \leq } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \sum _ { \omega \in I _ { j } \cap I _ { k } } \left| k ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \omega \right| } \\ & { \leq } & { \sum _ { \omega \in I _ { j } } | \omega | \sum _ { k \in I _ { \omega } } \left| k ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \right| } \\ & { \leq } & { \sum _ { \omega \in I _ { j } } | \omega | \sum _ { \eta \in I _ { 0 } } \left| ( \omega + \eta ) ( \overline { { p } } ( \omega + \eta ) ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \right| . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 1 - \Phi \left( x \right) } & { = \left( { \frac { 0 . 3 9 8 9 4 2 2 8 0 4 0 1 4 3 2 6 8 } { x + 2 . 9 2 6 7 8 6 0 0 5 1 5 8 0 4 8 1 5 } } \right) \left( { \frac { x ^ { 2 } + 8 . 4 2 7 4 2 3 0 0 4 5 8 0 4 3 2 4 0 x + 1 8 . 3 8 8 7 1 2 2 5 7 7 3 9 3 8 4 8 7 } { x ^ { 2 } + 5 . 8 1 5 8 2 5 1 8 9 3 3 5 2 7 3 9 1 x + 8 . 9 7 2 8 0 6 5 9 0 4 6 8 1 7 3 5 0 } } \right) } \\ & { \left( { \frac { x ^ { 2 } + 7 . 3 0 7 5 6 2 5 8 5 5 3 6 7 3 5 4 1 x + 1 8 . 2 5 3 2 3 2 3 5 3 4 7 3 4 6 5 2 5 } { x ^ { 2 } + 5 . 7 0 3 4 7 9 3 5 8 9 8 0 5 1 4 3 7 x + 1 0 . 2 7 1 5 7 0 6 1 1 7 1 3 6 3 0 7 9 } } \right) \left( { \frac { x ^ { 2 } + 5 . 6 6 4 7 9 5 1 8 8 7 8 4 7 0 7 6 5 x + 1 8 . 6 1 1 9 3 3 1 8 9 7 1 7 7 5 7 9 5 } { x ^ { 2 } + 5 . 5 1 8 6 2 4 8 3 0 2 5 7 0 7 9 6 3 x + 1 2 . 7 2 3 2 3 2 6 1 9 0 7 7 6 0 9 2 8 } } \right) } \\ & { \left( { \frac { x ^ { 2 } + 4 . 9 1 3 9 6 0 9 8 8 9 5 2 4 0 0 7 5 x + 2 4 . 1 4 8 0 4 0 7 2 8 1 2 7 6 2 8 2 1 } { x ^ { 2 } + 5 . 2 6 1 8 4 2 3 9 5 7 9 6 0 4 2 0 7 x + 1 6 . 8 8 6 3 9 5 6 2 0 0 7 9 3 6 9 0 8 } } \right) \left( { \frac { x ^ { 2 } + 3 . 8 3 3 6 2 9 4 7 8 0 0 1 4 6 1 7 9 x + 1 1 . 6 1 5 1 1 2 2 6 2 6 0 6 0 3 2 4 7 } { x ^ { 2 } + 4 . 9 2 0 8 1 3 4 6 6 3 2 8 8 2 0 3 3 x + 2 4 . 1 2 3 3 3 7 7 4 5 7 2 4 7 9 1 1 0 } } \right) e ^ { - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { D } \left( + 1 , + 1 , \boldsymbol { + 1 } \right) } & { = \frac { d } { d z } } & & { \equiv \mathcal { D } _ { m } , } \\ { \mathcal { D } \left( + 1 , - 1 , \boldsymbol { + 1 } \right) } & { = \hphantom { - } b + ( 1 + z ) \frac { d } { d z } } & & { \equiv \mathcal { D } _ { s } , } \\ { \mathcal { D } \left( - 1 , + 1 , \boldsymbol { + 1 } \right) } & { = - a + ( 1 - z ) \frac { d } { d z } } & & { \equiv - \mathcal { D } _ { s } ^ { \dagger } , } \\ { \mathcal { D } \left( - 1 , - 1 , \boldsymbol { + 1 } \right) } & { = - ( 1 + z ) a + ( 1 - z ) b + ( 1 - z ^ { 2 } ) \frac { d } { d z } } & & { \equiv - \mathcal { D } _ { m } ^ { \dagger } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ ` ~ ` ~ a ~ v ~ a ~ i ~ l ~ a ~ b ~ l ~ e ~ m ~ e ~ t ~ a ~ l ~ s ~ ' ~ ' ~ } } & { { } = } & { 3 * 1 0 ^ { 5 } m / s * 4 . 8 * 1 0 ^ { 1 6 } s * 1 0 ^ { - 1 4 } m ^ { 2 } * 3 . 1 * 1 0 ^ { - 3 0 } k g / m ^ { 3 } } \end{array}
8 R _ { 2 } ( w ) = 1 2 l n ^ { 2 } ( w ) + 6 8 . 6 6 7 l n ( w ) + \left( 9 3 . 5 5 3 + \frac { 2 } { 3 } l n \left( \frac { s } { M _ { H } ^ { 2 } } \right) \right) .
F = \sqrt 2 u \left[ f ^ { 2 } + g _ { \alpha } ^ { 2 } \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \cos \alpha \left( - { \frac { 1 } { \sqrt 6 } } \cos \alpha + { \frac { 1 } { \sqrt { 1 0 } } } \sin \alpha \right) \right] .
\begin{array} { r l } { J } & { : = \int _ { \Omega } \nabla v \cdot \nabla v _ { t } } \\ & { = - \int _ { \Omega } ( \Delta v ) ^ { 2 } - \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 } - \int _ { \Omega } u \Delta v } \\ & { \leq - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } ( \Delta v ) ^ { 2 } - \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } u ^ { 2 } } \\ & { \leq - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } ( \Delta v ) ^ { 2 } - \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 } + \epsilon \int _ { \Omega } u ^ { 2 } \ln ^ { k - p } ( u + e ) + c ( \epsilon ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( \tau , \alpha ) } & { = \int _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 0 , \alpha _ { 1 } ) } ( q _ { r } \mathrm { d } r + q _ { \theta } \mathrm { d } \theta ) + \int _ { ( 0 , \alpha _ { 1 } ) } ^ { ( \tau , \alpha ) } ( q _ { r } \mathrm { d } r + q _ { \theta } \mathrm { d } \theta ) , } \\ { S _ { 1 } ( r , \theta ) } & { = q _ { \theta } \theta _ { 1 } + q _ { \theta } ( \theta - \theta _ { 1 } ) + \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } q _ { r } ^ { \mathrm { i n c } } ( r ^ { \prime } ) \mathrm { d } r ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { L + Q } ( t ) } & { = \psi ^ { n } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) } \\ & { \qquad + \psi ^ { n - 2 } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) \left[ \frac { \iota t } { \vartheta } \mathbb { E } \exp ( \frac { \iota t } { \vartheta n } ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } ) ) q _ { 1 2 } + \frac { ( i t ) ^ { 2 } } { 2 \vartheta ^ { 2 } } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \mathbb { E } \exp ( \frac { \iota t } { \vartheta n } ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } ) ) q _ { 1 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \iota t } { \vartheta } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \right] ^ { 2 } \psi ^ { n - 3 } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) \binom { n } { 3 } \mathbb { E } \exp ( \frac { \iota t } { \vartheta n } ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } + \ell _ { 3 } ) ) q _ { 1 3 } q _ { 2 3 } } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \iota t } { \vartheta } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \right] ^ { 2 } \psi ^ { n - 4 } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) \binom { n } { 4 } \left[ \mathbb { E } \exp ( \frac { \iota t } { \vartheta n } ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } ) ) q _ { 1 2 } \right] ^ { 2 } } \\ & { \qquad + O \left[ \left( \frac { | t | } { \vartheta n ^ { 2 } } \right) ^ { 2 + \delta } \Pi _ { 2 + \delta } ( n ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { l _ { t } ( x ) } { h _ { \gamma } ( x ) } } & { \leq \frac { h _ { \gamma } ( s ( t ) x + t ) } { h _ { \gamma } ( x ) } \frac { s ( t ) } { 1 - F ( t ) } \left[ 1 + \kappa \left\lbrace 1 - H _ { \gamma } ( s ( t ) x + t ) \right\rbrace ^ { \delta } \right] } \\ & { \leq \left[ \frac { 1 + \gamma x } { ( 1 + \gamma t ) / s ( t ) + \gamma x } \right] ^ { 1 + 1 / \gamma } \frac { 1 + \epsilon } { ( s ( t ) ) ^ { 1 / \gamma } ( 1 - F ( t ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { T } _ { p p } = \vert \tilde { S } _ { p p } \vert ^ { 2 } , ~ ~ \tilde { T } _ { h p } = \frac { C _ { h 1 } } { C _ { p 1 } } \vert \tilde { S } _ { h p } \vert ^ { 2 } , } \\ & { } & { \tilde { T } _ { h h } = \vert \tilde { S } _ { h h } \vert ^ { 2 } , ~ ~ \tilde { T } _ { p h } = \frac { C _ { p 1 } } { C _ { h 1 } } \vert \tilde { S } _ { p h } \vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta a _ { i } ( t ) } & { = \alpha \delta m _ { i } ( t ) - \beta \delta \ell ( t ) , } \\ { \delta \dot { m } _ { i } } & { = - \delta a _ { i } ( t ) / ( \alpha { \tau _ { \mathrm { m } } } ) + \eta _ { m _ { i } } ( t ) , } \\ { \delta \dot { x } ^ { \ast } } & { = \gamma \sum _ { i = 1 } ^ { R _ { \mathrm { T } } } \delta a _ { i } ( t ) - \delta x ^ { \ast } ( t ) / { \tau _ { \mathrm { r } } } + \eta _ { x } ( t ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } = } & { - \nabla \phi _ { \mathrm { e } } - { \frac { \partial \mathbf { A } _ { \mathrm { e } } } { \partial t } } - { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } } } \nabla \times \mathbf { A } _ { \mathrm { m } } } \\ { \mathbf { B } = } & { - \mu _ { 0 } \nabla \phi _ { \mathrm { m } } - \mu _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { A } _ { \mathrm { m } } } { \partial t } } + \nabla \times \mathbf { A } _ { \mathrm { e } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \| f ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - r ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } } & { \leq \| \mathbf b \| _ { 2 } \| f ( \mathbf { A } ) - r ( \mathbf { A } ) \| _ { 2 } = \| \mathbf b \| _ { 2 } \cdot \| r - f \| _ { \mathcal I } , \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { \| \mathsf { l a n } _ { k } ( r ) - \mathsf { l a n } _ { k } ( f ) \| _ { 2 } } & { = \| \mathbf { Q } r ( \mathbf T ) \mathbf { Q ^ { \top } b } - \mathbf { Q } f ( \mathbf T ) \mathbf { Q ^ { \top } b } \| _ { 2 } \leq \| r ( \mathbf T ) - f ( \mathbf T ) \| _ { 2 } \cdot \| \mathbf b \| _ { 2 } \leq \| \mathbf b \| _ { 2 } \cdot \| r - f \| _ { \mathcal I } . } \end{array}
\frac { 1 } { n _ { j } } \sum _ { m _ { j } = 1 } ^ { n _ { j } } c o t h \frac { 1 } { 2 } K \bigl ( r \pm i ( t - c _ { j } - 2 \pi k _ { j } ^ { - 1 } m _ { j } ) \bigr ) = c o t h \frac { 1 } { 2 } k _ { j } \bigl ( r \pm i ( t - c _ { j } ) \bigr )
{ \frac { \alpha _ { t } ( \mu ) } { \alpha _ { t } ( M ) } } = \Bigg ( { \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \alpha _ { s } ( M ) } } \Bigg ) ^ { 8 / 7 } \Bigg \{ 1 + { \frac { 9 } { 2 } } \, { \frac { \alpha _ { t } ( M ) } { \alpha _ { s } ( M ) } } \Bigg [ \Bigg ( { \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \alpha _ { s } ( M ) } } \Bigg ) ^ { 1 / 7 } - 1 \Bigg ] \Bigg \} ^ { - 1 } \, ,
f _ { V } ( E _ { \gamma } ) = f _ { A } ( E _ { \gamma } ) = \frac { f _ { B } m _ { B } } { 2 E _ { \gamma } } \left( Q _ { q } R - \frac { Q _ { b } } { m _ { b } } \right) + { \cal O } ( \Lambda ^ { 2 } / E _ { \gamma } ^ { 2 } )
{ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \eta \omega K } \\ { - \eta \omega K } & { 0 } \end{array} \right] } { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { L } } \\ { - \eta \omega \psi _ { L } ^ { * } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { L } } \\ { - \eta \omega \psi _ { L } ^ { * } } \end{array} \right) }
\frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d x } \ln ^ { 2 } ( x ) \ln ^ { 2 } ( 1 - x ) = \frac { \ln ( x ) } { x } \ln ^ { 2 } ( 1 - x ) - \ln ^ { 2 } ( x ) \frac { \ln ( 1 - x ) } { 1 - x } .
\begin{array} { r l } & { \left| \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle \left\langle { G _ { 2 } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle \right| } \\ & { \prec \left| \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle \right| \left( \left\langle { G _ { 2 } } \right\rangle \left| \left\langle { A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle \right| + \left| \left\langle { G _ { 2 } \left( A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } \right) ^ { \circ } } \right\rangle \right| \right) } \\ & { \prec \left( 1 + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { \sqrt { L } } \right) \left( 1 + \frac { \Lambda _ { k + 1 } } { \sqrt { N L } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { N L } \right) \prec \left( 1 + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { \sqrt { L } } \right) \left( 1 + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { \sqrt { N L } } \right) } \\ & { \prec 1 + \frac { \Lambda _ { k + 4 } ^ { 2 } } { \sqrt { L } } . } \end{array}