harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \bigg [ L _ { 0 } ( Y ) \log { ( n ) } + Q _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } L _ { 1 } ( Y ) + } & { \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { \chi ^ { n / 2 - 1 } } \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { \bigg [ R _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } M _ { 1 } ( Y ) + \frac { R _ { 1 } ( Y ) } { n } + } & { \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { \chi ^ { ( n - 1 ) / 2 } } \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 0 } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } ) = } & { ( x _ { 1 } - i y _ { 1 } ) ( x _ { 2 } + i y _ { 2 } ) e ^ { - r _ { 1 } ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } } \\ & { e ^ { - r _ { 2 } ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } e ^ { - \vert \textbf { r } _ { 2 } - \textbf { r } _ { 1 } \vert ^ { 2 } / 2 \delta ^ { 2 } } . } \end{array}
\mathbf { H } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 2 m } } + { \frac { 1 } { 2 } } m \omega ^ { 2 } \sum _ { \{ i j \} ( n n ) } ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } ~ ,
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, r \Bigl ( \mathrm { e } ^ { - { \frac { \phi ( { \bf r } _ { i j } ) } { k T } } } - 1 \Bigr ) = { \frac { 2 } { N } } \Bigl \{ b - { \frac { a } { ( R T ) ^ { 2 } } } \Bigr \} \ .
\frac { | \Delta m ^ { 2 } | } { \mathrm { e V } ^ { 2 } } \sin 2 \theta _ { 0 } \ll 2 \times 1 0 ^ { - 7 } \ ( 6 \times 1 0 ^ { - 8 } ) \left( \frac { T } { \mathrm { M e V } } \right) ^ { 6 } ,
\begin{array} { r } { \langle 0 | \rho _ { s , 0 B } ^ { ( 1 ) , L } ( t , t _ { 1 } ) | A \rangle \to \mathrm { e } ^ { i \omega _ { 1 } ( t - t _ { 1 } ) } \langle 0 | \rho _ { s , 0 B } ^ { ( 1 ) , L } ( t , t _ { 1 } ) | A \rangle , } \end{array}
\alpha _ { 0 } ^ { 1 2 } = { \frac { 3 \, L _ { 1 } ^ { 4 } \, M _ { 2 } ^ { 3 } \, \mu _ { 2 } ^ { 6 } } { 8 \, M _ { 1 } ^ { 2 } \, \delta _ { 1 } ^ { 3 } \, \mu _ { 1 } ^ { 4 } } } , \quad \alpha _ { 1 } ^ { 1 2 } = - { \frac { 3 \, L _ { 1 } ^ { 4 } \, M _ { 2 } ^ { 3 } \, \mu _ { 2 } ^ { 6 } } { 8 \, M _ { 1 } ^ { 2 } \, \delta _ { 1 } ^ { 4 } \, \mu _ { 1 } ^ { 4 } } } , \quad \tilde { \alpha } _ { 2 } = { \frac { 3 \, L _ { 1 } ^ { 4 } \, M _ { 2 } ^ { 3 } \, \mu _ { 2 } ^ { 6 } } { 4 \, M _ { 1 } ^ { 2 } \, \delta _ { 1 } ^ { 5 } \, \mu _ { 1 } ^ { 4 } } } .
\frac { \partial e ( T ) } { \partial t } = c f \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 4 \pi } \sigma _ { a } ( \nu ^ { \prime } , T ) I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } , t ) \boldsymbol { d \Omega } ^ { \prime } d \nu ^ { \prime } - \sigma _ { a , p } ( T ) a T ^ { 4 } \right) .
\boldsymbol { \textbf { B } } = h t s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \left( \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } + \frac { t } { 2 } [ \boldsymbol { E } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] \right) + \mathcal { O } ( h ^ { 2 } )
T _ { A B } = - \frac { \partial E } { \partial c } = - \sigma \frac { \sum _ { \Delta _ { c } } c ( a _ { 0 } ^ { 2 } + b _ { 0 } ^ { 2 } - c _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 8 S _ { 0 } ( \Delta _ { c } ) } ,
\Delta _ { q } = ( q _ { 1 } \ q _ { 2 } ) \mathcal { M } _ { 0 } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { { q _ { 1 } } } \\ { { q _ { 2 } } } \end{array} \right) = e ^ { \phi _ { 0 } } ( q _ { 2 } \chi _ { 0 } - q _ { 1 } ) ^ { 2 } + e ^ { - \phi _ { 0 } } q _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { ( E _ { 1 } + \hat { B } _ { 1 } ) | 1 \rangle \langle 1 | + ( E _ { 2 } + \hat { B } _ { 2 } ) | 2 \rangle \langle 2 | } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d } { d a } } \int { \psi ^ { \dagger } ( x - a ) \hat { p } _ { x } \psi ( x - a ) d x } } & { = { \frac { d } { d a } } \int { ( \hat { T } ( a ) \psi ( x ) ) ^ { \dagger } \hat { p } _ { x } \hat { T } ( a ) \psi ( x ) d x } } \\ & { = { \frac { d } { d a } } \int { \psi ( x ) \big ( \hat { T } ( - a ) \hat { p } _ { x } \hat { T } ( a ) \big ) \psi ( x ) d x } } \\ & { = \int { \psi ( x ) { \frac { d } { d a } } \big ( e ^ { a { \frac { \partial } { \partial x } } } \hat { p } _ { x } e ^ { - a { \frac { \partial } { \partial x } } } \big ) \psi ( x ) d x } = 0 } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d u } { d t } = \alpha _ { 1 } v + \alpha _ { 2 } u ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } u v + \alpha _ { 4 } u ^ { 2 } v + \alpha _ { 5 } u ^ { 3 } + O ( { | u , v | ^ { 4 } } ) , } \\ { \frac { d v } { d t } = \beta _ { 1 } u ^ { 2 } + \beta _ { 2 } u v + \beta _ { 3 } v ^ { 2 } + \beta _ { 4 } u ^ { 2 } v + \beta _ { 5 } u ^ { 3 } + O ( { | u , v | ^ { 4 } } ) , } \end{array} \right.
\mathbb { B } _ { \alpha } : = \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , \ \forall \boldsymbol { x } \in \mathbb { B } \right\} \ \ \textup { a n d } \ \ \mathbb { B } _ { 3 } : = \left\{ x _ { 3 } , \ \forall \boldsymbol { x } \in \mathbb { B } \right\} .
\operatorname* { l i m s u p } _ { \delta \rightarrow 0 ^ { + } } \delta ^ { \epsilon ^ { \prime } } \frac { \int \chi _ { F _ { \delta } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) \chi _ { G _ { \delta } } ( \tilde { \gamma } _ { t } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) ) d x _ { 0 } d x _ { 1 } d t } { | F _ { \delta } | ^ { 1 / q _ { b } ^ { \prime } } | G _ { \delta } | ^ { 1 / p _ { b } } } > 0 .
U = \left( \begin{array} { l l } { { p _ { e } w + q _ { e } w ^ { \bot } } } & { { r _ { e } v } } \\ { { p _ { \mu } w } } & { { r _ { \mu } v + s _ { \mu } v ^ { \bot } } } \\ { { p _ { \tau } w + q _ { \tau } w ^ { \bot } } } & { { r _ { \tau } v + s _ { \tau } v ^ { \bot } } } \\ { { p _ { s } w + q _ { s } w ^ { \bot } } } & { { r _ { s } v + s _ { s } v ^ { \bot } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { p } } & { = } & { \frac { \kappa } { 2 } \, \sqrt { \left\langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \right\rangle - \left\langle r ^ { n } r ^ { n } \right\rangle ^ { 2 } } \; = \; \frac { k _ { B } T } { \sqrt { 2 } } \, \sqrt { \frac { \frac { 1 } { 2 } X ^ { 4 } \left[ 3 - \Gamma _ { 4 } \right] + \frac { 1 } { 4 } X ^ { 3 } \left[ 7 - \Gamma _ { 4 } \right] + \frac { 1 } { 4 } ( X ^ { 2 } + X + 1 ) \left[ 1 + \Gamma _ { 4 } \right] } { X ^ { 3 } + X ^ { 2 } + X + 1 } } \, . } \end{array}
\mathbf { M } _ { x } = \int _ { A } \left( - y \sigma _ { x x } \mathbf { e } _ { z } + y \sigma _ { x z } \mathbf { e } _ { x } + z \sigma _ { x x } \mathbf { e } _ { y } - z \sigma _ { x y } \mathbf { e } _ { x } \right) d A = : M _ { x x } \, \mathbf { e } _ { x } + M _ { x y } \, \mathbf { e } _ { y } + M _ { x z } \, \mathbf { e } _ { z } \, .
\begin{array} { r l } { q _ { 3 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) = } & { { } ( \frac { 1 } { 1 8 } ) ^ { 1 / 4 } \frac { 1 } { 1 2 6 0 \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } [ 1 0 3 ( \zeta _ { n } ^ { 2 } - \zeta _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array}
n _ { \mathbf { k } } ^ { \sigma } ( t ) = n _ { \mathbf { k } } ^ { \sigma } ( t _ { 0 } ) + \lambda ^ { 2 } \, \mathcal { R } _ { \sigma } [ \omega _ { \mathbf { k } } , \mathbf { k } ; \mathcal { N } _ { j } ( t _ { 0 } ) ] ( t - t _ { 0 } ) + \mathrm { n o n s e c u l a r ~ t e r m s } .
\begin{array} { r l r l } { \tau _ { i } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { p ^ { i } \tau } & { \mathrm { i f ~ } f ( p ^ { i } \tau ^ { * } ) \geq 1 } \\ { p ^ { i } \tau ^ { * } } & { \mathrm { i f ~ } f ( p ^ { i } \tau ^ { * } ) = 0 } \end{array} \right. , } & { b _ { i } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { p ^ { i } b } & { \mathrm { i f ~ } f ( p ^ { i } \tau ^ { * } ) \geq 1 } \\ { - p ^ { i } b } & { \mathrm { i f ~ } f ( p ^ { i } \tau ^ { * } ) = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( { \bf v } | \mathbf { d } ) } & { { } = } & { \int P ( { \bf v } | \boldsymbol { \theta } _ { v } ) P ( \boldsymbol { \theta } _ { v } | \mathbf { d } ) d \boldsymbol { \theta } _ { v } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { v } ^ { \mathrm { p o l } } } & { { } = \sum _ { s } \Big ( \pmb { \mu } _ { s } ^ { \mathrm { i n d } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] \Bigr ) ^ { T } \ \pmb { \varepsilon } _ { \mathrm { A } , s } ^ { \mathrm { e } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \lambda ( t ) - \eta \rVert _ { Y } ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \big ( \mathrm { e } ^ { - ( \alpha - \delta ) t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \\ { \lVert \dot { \lambda } ( t ) \rVert _ { Y } ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \big ( \mathrm { e } ^ { - ( \alpha - \delta ) t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } , } \end{array}
\dot { S } _ { R / L } ( t ) \equiv \int _ { 0 } ^ { \ell } \mathrm { d } x ~ \dot { s } _ { R / L } ( x , t ) \equiv \int _ { 0 } ^ { \ell } \mathrm { d } x ~ \frac { J _ { R / L } ^ { 2 } ( x , t ) } { D P _ { R / L } ( x , t ) }
E _ { a s } = - { \frac { \cos { \pi s } } { \pi } } \mu ^ { 2 s } \sum _ { l } ( l + \frac 1 2 ) \int _ { m } ^ { \infty } d k [ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 - s } \frac { \partial } { \partial k } \ln f _ { l } ^ { a s } ( i k ) - E _ { \varphi } ^ { d i v } ,
\psi ( x ) \longrightarrow \psi ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) = e ^ { \frac { 1 } { 2 } \vec { \alpha } \cdot \vec { \varphi } } \psi ( x ^ { \prime } ) = e ^ { \lambda \vec { s } \cdot \vec { \varphi } } \psi ( x ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } { ( - \beta ) B _ { U } ^ { ( n ) } } & { = } & { \frac { ( - \beta ) ^ { 2 } } { 2 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } B _ { L } ^ { ( i ) } B _ { L } ^ { ( n - i ) } } \\ & { } & { + \frac { ( - \beta ) ^ { 3 } } { 3 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - i - 1 } B _ { L } ^ { ( i ) } B _ { L } ^ { ( j ) } B _ { L } ^ { ( n - i - j ) } } \\ & { } & { + \cdots + \frac { ( - \beta ) ^ { n } } { n ! } \left( B _ { L } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { n } . } \end{array}
\dot { M } \simeq - A R _ { p } \Big [ \frac { ( \frac { B _ { p } } { B _ { s w } } ) ^ { 2 } } { 1 + \frac { C } { B _ { p } ^ { 2 } } ( \frac { B _ { p } } { B _ { s w } } ) ^ { 2 } } \Big ] ^ { 1 / 6 } + B
| V _ { T } ( m _ { T } ) - \hat { V } _ { T } ( \hat { \sigma } _ { T } ( m _ { T } ) ) | = | \operatorname* { m i n } _ { u _ { T } \in \mathcal { U } _ { T } } Q _ { T } ( m _ { T } , u _ { T } ) - \operatorname* { m i n } _ { u _ { t } \in \mathcal { U } _ { T } } \hat { Q } _ { T } ( \hat { \sigma } _ { T } ( m _ { T } ) , u _ { T } ) | \leq \operatorname* { m a x } _ { u _ { T } \in \mathcal { U } _ { T } } | Q _ { T } ( m _ { T } , u _ { T } ) - \hat { Q } _ { T } ( \hat { \sigma } _ { T } ( m _ { T } ) , u _ { T } ) | \leq \epsilon _ { T }
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \mathrm { A } } } & { { } = \frac { \sqrt { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } - \sqrt { \left( \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } } } { \sqrt { 2 } } , } \\ { \Omega _ { \mathrm { B } } } & { { } = \frac { \sqrt { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } + \sqrt { \left( \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } } } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { n } } = } & { { } - P _ { 0 } \delta _ { \alpha \beta } + 2 \xi \left( Q _ { \alpha \beta } + \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { 3 } \right) Q _ { \gamma \epsilon } H _ { \gamma \epsilon } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { S } u , u \rangle _ { L ^ { 2 } ( d x ) } = \langle \rho _ { P } ^ { 1 / 2 } \mathcal { A } \rho _ { P } ^ { - 1 / 2 } u , u \rangle _ { L ^ { 2 } ( d x ) } } & { = \langle \mathcal { A } v , \rho _ { P } v \rangle _ { L ^ { 2 } ( d x ) } = \langle \mathcal { A } v , v \rangle _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { P } ) } \geqslant 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { k } \left( \vec { u } _ { k } \right) } & { { } = } & { \left( \frac { m _ { k } } { 2 \pi k _ { B } T } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, \exp \left( - \frac { m _ { k } \, \vec { u } _ { k } ^ { \, 2 } } { 2 \, k _ { B } T } \right) \, , } \\ { f _ { l } \left( \vec { u } _ { l } \right) } & { { } = } & { \left( \frac { m _ { l } } { 2 \pi k _ { B } T } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, \exp \left( - \frac { m _ { l } \, \vec { u } _ { l } ^ { \, 2 } } { 2 \, k _ { B } T } \right) \, . } \end{array}
H _ { j \gamma } ^ { ' } = \left\langle u _ { j 0 } \right| { \frac { \hbar } { m _ { 0 } } } \mathbf { k } \cdot \left( \mathbf { p } + { \frac { \hbar } { 4 m _ { 0 } c ^ { 2 } } } { \bar { \sigma } } \times \nabla V \right) \left| u _ { \gamma 0 } \right\rangle \approx \sum _ { \alpha } { \frac { \hbar k _ { \alpha } } { m _ { 0 } } } p _ { j \gamma } ^ { \alpha } .
\displaystyle { M _ { + } = \left( \begin{array} { c c c } { { ( w + \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \lambda + i \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \psi ) \, p _ { + } } } & { { - i a { \cdot \tilde { \sigma } } \, \tau _ { + } } } & { { 2 \bar { \varepsilon } _ { b } \, p _ { + } } } \\ { { - i b { \cdot \sigma } \, \tau _ { - } } } & { { ( \tilde { w } - \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \lambda + i \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \psi ) \, p _ { - } } } & { { 2 \rho _ { b } \, \tau _ { - } } } \\ { { 2 \bar { \rho } ^ { a } \, p _ { + } } } & { { 2 \varepsilon ^ { a } \, \tau _ { + } } } & { { ( t _ { ~ b } ^ { a } + i \phi \, \delta _ { ~ b } ^ { a } ) \, p _ { + } } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { I = } & { \frac { 1 } { \sqrt { a } } e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \int _ { \frac { 2 a x _ { 1 } - b } { 2 \sqrt { a } } } ^ { \frac { 2 a x _ { 2 } - b } { 2 \sqrt { a } } } e ^ { - u ^ { 2 } } \ d u } \\ { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { a } } e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \left( \int _ { 0 } ^ { \frac { 2 a x _ { 2 } - b } { 2 \sqrt { a } } } e ^ { - u ^ { 2 } } \ d u - \int _ { 0 } ^ { \frac { 2 a x _ { 1 } - b } { 2 \sqrt { a } } } e ^ { - u ^ { 2 } } \ d u \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { a } } e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \left[ \mathrm { e r f } \left( { \frac { 2 a x - b } { 2 \sqrt { a } } } \right) \right] _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } . } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { \gamma , \sigma _ { \epsilon } } \log p ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { x } , \gamma , \sigma _ { \epsilon } ) = \operatorname* { m a x } _ { \gamma , \sigma _ { \epsilon } } \left( - \frac { 1 } { 2 } \left[ \boldsymbol { y } ^ { T } \Sigma ^ { - 1 } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ) \boldsymbol { y } + \log \left( \operatorname* { d e t } \Sigma ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ) \right) + n \log 2 \pi \right] \right) .
n ! _ { ( \alpha ) } = { \left\{ \begin{array} { l l } { n \cdot ( n - \alpha ) ! _ { ( \alpha ) } } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } n > \alpha \, ; } \\ { n } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } 1 \leq n \leq \alpha \, ; { \mathrm { a n d } } } \\ { ( n + \alpha ) ! _ { ( \alpha ) } / ( n + \alpha ) } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } n \leq 0 { \mathrm { ~ a n d ~ i s ~ n o t ~ a ~ n e g a t i v e ~ m u l t i p l e ~ o f ~ } } \alpha \, ; } \end{array} \right. }
\int _ { \mathcal { S } ( t ) } \left( \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } + \mathbf { \nabla } \times \mathbf { E } \right) \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S = \int _ { \sigma } [ \mathbf { E } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } ] _ { - } ^ { + } \cdot \hat { \mathbf { t } } d l ~ .
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 , j } } & { = } & { J _ { 3 , j } + J _ { 4 , j } , \quad H _ { 2 , j } = 2 J _ { 3 , j } , } \\ { E _ { 1 , j } } & { = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } [ J _ { 1 , j } - J _ { 8 , j } + i ( J _ { 2 , j } - J _ { 7 , j } ) ] , } \\ { E _ { 2 , j } } & { = } & { - ( J _ { 5 , j } + i J _ { 6 , j } ) , } \\ { E _ { 3 , j } } & { = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } [ J _ { 1 , j } + J _ { 8 , j } + i ( J _ { 2 , j } + J _ { 7 , j } ) ] , } \\ { F _ { 1 , j } } & { = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } [ J _ { 1 , j } - J _ { 8 , j } - i ( J _ { 2 , j } - J _ { 7 , j } ) ] , } \\ { F _ { 2 , j } } & { = } & { - ( J _ { 5 , j } - i J _ { 6 , j } ) , } \\ { F _ { 3 , j } } & { = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } [ J _ { 1 , j } + J _ { 8 , j } - i ( J _ { 2 , j } + J _ { 7 , j } ) ] . } \end{array}
{ \cal H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { S D } ( b \to s \gamma ) = - \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \frac { e } { 1 6 \pi ^ { 2 } } F _ { 2 } V _ { t b } V _ { t s } ^ { * } F _ { \mu \nu } ~ \left[ m _ { b } \bar { s } ~ \sigma ^ { \mu \nu } ~ ( 1 + \gamma _ { 5 } ) ~ b + m _ { s } \bar { s } ~ \sigma ^ { \mu \nu } ~ ( 1 - \gamma _ { 5 } ) ~ b \right] \; ,
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { - i { \cal C } \int d ^ { 3 } \mathbf { r } { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) } \\ & { \times } & { \exp \left\{ i \int _ { \eta _ { 0 } - i \Lambda / \kappa ^ { 2 } } \frac { Z \varepsilon ( s ) / ( c ^ { 2 } \Lambda ) \, \, d s } { | \mathbf { p } _ { m a x } ( s - \eta _ { 0 } ) + { \boldsymbol \alpha } ( s ) - { \boldsymbol \alpha } ( \eta _ { 0 } ) + \mathbf { r } _ { k } ( s , \eta _ { 0 } ) | } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] } & { = | H _ { 0 } ^ { q } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { q q } ^ { 0 } [ \Omega ] + | H _ { \mathrm { G } } ^ { q } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { G } } [ \Omega ] } \\ { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] } & { = | H _ { 0 } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { p p } ^ { 0 } [ \Omega ] + | H _ { \mathrm { G } } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { G } } [ \Omega ] . } \end{array}
\phi ( r ) = \int _ { 0 } ^ { r } \left( \frac 1 { r _ { 1 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r _ { 1 } } n ( r _ { 2 } ) r _ { 2 } ^ { 2 } d r _ { 2 } \right) d r _ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { r _ { s } } n ( r _ { 1 } ) r _ { 1 } d r _ { 1 } \, .
\bar { l } \equiv \sqrt { \frac { d } { 2 e } } \sqrt { \frac { 4 \pi D } { \beta - \gamma } } \left( \frac { I _ { c } } { I _ { 0 } } \right) ^ { 1 / d } = \sqrt { \frac { 2 \pi } { e } } \sqrt { \frac { R _ { 0 } \langle x ^ { 2 } \rangle } { R _ { 0 } - 1 } } \left( \frac { I _ { c } } { I _ { 0 } } \right) ^ { 1 / d } .
\omega _ { } ( \boldsymbol n ) p _ { \mathrm { e q } } ( \boldsymbol n ) = \omega _ { - \rho \rho } ( \boldsymbol n + \boldsymbol { \nabla } _ { \rho } ) p _ { \mathrm { e q } } ( \boldsymbol n + \boldsymbol { \nabla } _ { \rho } ) \, ,
\frac { \mathrm { d } E } { \mathrm { d } t } = U \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \left[ \frac { \partial \psi } { \partial r } \right] ^ { 2 } - \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } \right] ^ { 2 } \right) \cos \theta - \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } \frac { \partial \psi } { \partial r } \sin \theta \right] _ { r = R } \! \! \! \! R \, \textrm { d } \theta \, \textrm { d } z ,
r = \frac { M ^ { - 1 } \sum _ { i } ^ { M } j _ { i } k _ { i } - [ M ^ { - 1 } \sum _ { i } ^ { M } \frac { 1 } { 2 } ( j _ { i } + k _ { i } ) ] ^ { 2 } } { M ^ { - 1 } \sum _ { i } ^ { M } \frac { 1 } { 2 } ( j _ { i } ^ { 2 } + k _ { i } ^ { 2 } ) - [ M ^ { - 1 } \sum _ { i } ^ { M } \frac { 1 } { 2 } ( j _ { i } + k _ { i } ) ] ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \gamma R \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { T ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
- c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) + \frac { \omega _ { C } - \omega _ { S } } { 2 \mathbf { m } } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \widetilde { \gamma } = \frac { \omega _ { N } } { 4 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { S } } { 4 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } + \omega _ { S } - 2 \omega _ { C } } { 4 \mathbf { m } } + \kappa \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \Delta _ { \mathbf { m } } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { | \Delta _ { 1 } | } & { \leq \left| \frac { p _ { \alpha } ( t - s , w - x ) - p _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } \right| + p _ { \alpha } ( t - s , y - x ) \left| \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } - \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right| } \\ & { \leq \left| \frac { p _ { \alpha } ( t - s , w - x ) - p _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } \right| + \left| \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) - \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r } { S S I M = \frac { ( 2 \mu _ { x } \mu _ { y } + ( k _ { 1 } L ) ^ { 2 } ) ( 2 \sigma _ { x y } + ( k _ { 2 } L ) ^ { 2 } ) } { ( \mu _ { x } ^ { 2 } + \mu _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { 1 } L ) ^ { 2 } ) ( \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { 2 } L ) ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \bf e } _ { \pm } ^ { \mathrm { ( T E ) } } ( x ) = \left[ e ^ { - q _ { \mathrm { T i } } \left( x - \frac { d } { 2 } \right) } \Theta \left( x - \frac { d } { 2 } \right) + \right. } \\ & { } & { \left. \pm e ^ { q _ { \mathrm { T i } } \left( x + \frac { d } { 2 } \right) } \Theta \left( - x - \frac { d } { 2 } \right) + \right. } \\ & { } & { \left. + { \cal C } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( T E ) } } \frac { i \omega } { q _ { \mathrm { A l } } c } f _ { \mathrm { A l } } ^ { ( \pm ) } ( x ) \Theta _ { \mathrm { i n } } ( x ) \right] \hat { e } _ { y } , } \\ & { } & { { \bf b } _ { \pm } ^ { \mathrm { ( T E ) } } ( x ) = - \left[ \frac { \beta c } { \omega } \hat { e } _ { x } + \frac { q _ { \mathrm { T i } } c } { i \omega } \hat { e } _ { z } \right] e ^ { - q _ { \mathrm { T i } } \left( x - \frac { d } { 2 } \right) } \Theta \left( x - \frac { d } { 2 } \right) + } \\ & { } & { + \left[ \mp \frac { \beta c } { \omega } \hat { e } _ { x } \pm \frac { q _ { \mathrm { T i } } c } { i \omega } \hat { e } _ { z } \right] e ^ { q _ { \mathrm { T i } } \left( x + \frac { d } { 2 } \right) } \Theta \left( - x - \frac { d } { 2 } \right) + } \\ & { } & { + { \cal C } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( T E ) } } f _ { \mathrm { A l } } ^ { ( \mp ) } ( x ) \Theta _ { \mathrm { i n } } ( x ) \left[ \hat { e } _ { z } - \frac { i \beta } { q _ { \mathrm { A l } } } \hat { e } _ { x } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( u _ { s } , \mathbf { A } _ { s } ) } & { { } = ( u , \mathbf { A } ) + \nabla F _ { \varepsilon } [ \rho _ { \varepsilon } , \mathbf { j } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { p } } ] - \nabla F _ { \varepsilon } ^ { 0 } [ \rho _ { \varepsilon } , \mathbf { j } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { p } } ] } \end{array}