harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
1 0 ^ { 3 } \ln ( \alpha _ { \mathrm { H _ { 2 } O - H _ { 2 } } } ) = \frac { 2 1 5 . 8 \times 1 0 ^ { 3 } } { T _ { \mathrm { a t m o s p h e r e } } } + 9 1 . 7 6 9 \left( \frac { 1 0 ^ { 3 } } { T _ { \mathrm { a t m o s p h e r e } } } \right) ^ { 2 } - 1 1 . 4 1 9 \left( \frac { 1 0 ^ { 3 } } { T _ { \mathrm { a t m o s p h e r e } } } \right) ^ { 3 } - 8 7 . 4 4 ,
\left( - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { x } \, \frac { d } { d x } \right) u ^ { ( 1 ) } ( x ) + \frac { ( 1 - \lambda ) \, \mathrm Ḋ e r f Ḍ ( x ) + \lambda } { x } \, \mathcal { N } = 0 .
\begin{array} { r l r } { P _ { A _ { 1 } A _ { 2 } } } & { { } = } & { \int \chi _ { A _ { 1 } } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \chi _ { A _ { 2 } } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \rho ( x ) \mathrm { D } x , } \\ { P _ { A } } & { { } = } & { \int \chi _ { A } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \rho ( x ) \mathrm { D } x = \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
R ( t ) \; = \; \frac { w ^ { ( 1 ) } ( t ) } { w ^ { ( 0 ) } ( t ) } \; = \; i \; \int d E _ { a } \; V _ { 1 } ( E _ { a } ) \; \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \; e ^ { i \omega _ { f a } \tau } \; \left( \frac { 1 \, - \, e ^ { i \omega _ { f i } ( t - \tau ) } } { 1 \, - \, e ^ { i \omega _ { f i } t } } \right) \; \; .
\begin{array} { r l } { \kappa _ { i j } } & { = ( w _ { i j } + w _ { i j ^ { \prime } } ) / r _ { i j } ^ { 2 } } \\ { m _ { i j } } & { = \omega ( r ) \frac { 1 6 D _ { 0 } } { 3 \alpha } ( w _ { i j } + w _ { i j ^ { \prime } } ) / r ^ { 2 } = \omega ( r ) \frac { E t ^ { 3 } } { 2 \alpha } ( w _ { i j } + w _ { i j ^ { \prime } } ) / r _ { i j } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbf { j } _ { p } ^ { } ( \mathbf { r } ) = \frac { i } { 2 } \sum _ { \mu \nu } D _ { \mu \nu } ^ { } ( \chi _ { \nu } ^ { } \nabla \chi _ { \mu } ^ { * } - \chi _ { \mu } ^ { * } \nabla \chi _ { \nu } ^ { } ) .
\begin{array} { r l } { \chi } & { { } = 2 k _ { 2 } r _ { 3 } ^ { 2 } , } \\ { \kappa _ { 0 } } & { { } = 2 k _ { 1 } r _ { 4 } \left[ r _ { 1 } - \frac { l _ { 1 } r _ { 1 } } { \sqrt { d _ { 1 } ^ { 2 } + ( r _ { 1 } - r _ { 4 } ) ^ { 2 } } } + \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } l _ { 1 } r _ { 4 } } { ( d _ { 1 } ^ { 2 } + ( r _ { 1 } - r _ { 4 } ) ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right] , } \\ { \kappa _ { 0 } - \kappa } & { { } = 2 k _ { 1 } r _ { 4 } \left[ r _ { 2 } - \frac { l _ { 1 } r _ { 2 } } { \sqrt { d _ { 1 } ^ { 2 } + ( r _ { 2 } - r _ { 4 } ) ^ { 2 } } } + \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } l _ { 1 } r _ { 4 } } { ( ( d _ { 1 } ^ { 2 } + ( r _ { 2 } - r _ { 4 } ) ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { \bf k } ( k _ { \parallel } ) = \frac { c } { n _ { \mathrm { c } } } \sqrt { k _ { \perp } ^ { 2 } + k _ { \parallel } ^ { 2 } } = \frac { c k _ { \perp } } { n _ { \mathrm { c } } } \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \le \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 \alpha \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \langle \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) , \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rangle + 4 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + \left( 3 0 \alpha \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) + 1 6 \alpha ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \right) \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 9 + 2 8 \tau ^ { 2 } } { N K } \alpha ^ { 2 } d _ { 2 } ^ { 2 } + 3 6 \left( 1 + \frac { 3 \tau } { 1 - \rho ^ { 2 } } \right) L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 4 } + 4 \alpha ^ { 3 } L _ { 1 } G ^ { 2 } + 2 \alpha ^ { 3 } L _ { 2 } G } \\ & { + \left( \frac { 4 \alpha } { \xi _ { 1 } } + 2 \alpha ^ { 3 } L _ { 1 } \right) \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } [ \Delta _ { t - \tau } ] + \alpha ( \frac { 9 } { \xi _ { 1 } } + 9 \xi _ { 1 } ) ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } [ \Delta _ { t } ] + 8 \alpha ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \tau \sum _ { s = 0 } ^ { \tau } E _ { t - 2 \tau } [ \Delta _ { t - s } ] } \\ & { + 4 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | L _ { 1 } ( j _ { 1 } , k ) - L _ { 1 } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \overset \le | j _ { 1 } - j _ { 2 } | | L _ { 2 } ( j _ { 1 } , k ) + m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } + k ) | ^ { 2 } } \\ & { \ + | j _ { 2 } + k | \left( L _ { 2 } ( j _ { 1 } , k ) + L _ { 2 } ( j _ { 2 } , k ) + m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } + k ) + m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 2 } + k ) \right) } \\ & { \times \left( L _ { 2 } ( j _ { 1 } , k ) - L _ { 2 } ( j _ { 2 } , k ) + m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } + k ) - m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 2 } + k ) \right) } \\ & { \overset { , , } { \le _ { \alpha } } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { 2 \alpha - 2 } . } \end{array}
I _ { 2 } ^ { ( n ) } = \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n - 1 } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r l } { | \mathbf z | ^ { 2 } } & { = \mathbf { a } ^ { H } \left( | C _ { 1 } | ^ { 2 } \overline { { \mathbf { b } } } _ { + } \mathbf { b } _ { + } ^ { \top } + | C _ { 2 } | ^ { 2 } \overline { { \mathbf { b } } } _ { - } \mathbf { b } _ { - } ^ { \top } \right) \mathbf { a } } \\ & { \quad + \mathbf { a } ^ { H } \left( \overline { { C } } _ { 1 } \overline { { \mathbf { b } } } _ { + } C _ { 2 } \mathbf { b } _ { - } ^ { \top } + \overline { { C } } _ { 2 } \overline { { \mathbf { b } } } _ { - } C _ { 1 } \mathbf { b } _ { + } ^ { \top } \right) \mathbf { a } } \\ & { \geq \mathbf { a } ^ { H } \left( | C _ { 1 } | ^ { 2 } \overline { { \mathbf { b } } } _ { + } \mathbf { b } _ { + } ^ { \top } + | C _ { 2 } | ^ { 2 } \overline { { \mathbf { b } } } _ { - } \mathbf { b } _ { - } ^ { \top } \right) \mathbf { a } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { x x } ( \Omega ) \right\} } \! \! } & { = } & { \! \pi \! \sum _ { s \neq s ^ { \prime } } \sum _ { \mathbf { k } } \frac { \theta \left( \mu - \epsilon _ { s ^ { \prime } } \right) - \theta \left( \mu - \epsilon _ { s } \right) } { \epsilon _ { s } - \epsilon _ { s ^ { \prime } } } } \\ & { \times } & { \! \! \delta \left( \hbar \Omega + \epsilon _ { s } - \epsilon _ { s ^ { \prime } } \right) \left| \left\langle \Psi _ { s } ( \mathbf { k } ) \left| j _ { x } ( \mathbf { k } ) \right| \Psi _ { s ^ { \prime } } ( \mathbf { k } ) \right\rangle \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\lambda _ { \boldsymbol { k } } , \theta _ { \boldsymbol { k } } , \rho _ { \boldsymbol { k } } , \alpha _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { \pm } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { \pm } , \xi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r } { { K } ^ { n + 1 } = \underline { { K } } ( { \Omega } ^ { n + 1 } , { \Omega } ^ { n + 1 } ) - \underline { { K } } ( { \Omega } ^ { n + 1 } , \underline { { \Omega } } ) \underline { { K } } ( \underline { { \Omega } } , \underline { { \Omega } } ) ^ { - 1 } \underline { { K } } ( \underline { { \Omega } } , { \Omega } ^ { n + 1 } ) } \end{array}
N ( t ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { n ( a , t ) \, \mathrm { d } a = \underbrace { \int _ { 0 } ^ { t } { R ( t - a ) S ( a ) \, \mathrm { d } a } } _ { \mathrm { c r e a t e d ~ a f t e r ~ } t = 0 } + \underbrace { \int _ { t } ^ { \infty } { { { n } _ { 0 } } ( a - t ) \tilde { S } ( { a , t } ) \, \mathrm { d } a } } _ { \mathrm { f r o m ~ i n o c u l u m } } } ,
{ \cal L } = \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { 4 } \mathrm { T r } \partial _ { \mu } U ^ { \dagger } \partial ^ { \mu } U + \frac { 1 } { 3 2 e ^ { 2 } } \mathrm { T r } \left( \left[ U ^ { \dagger } \partial _ { \mu } U , U ^ { \dagger } \partial _ { \nu } U \right] ^ { 2 } \right) ,
\oint _ { \mathcal { C } } \mathbf { A } \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l = \oint _ { \mathcal { C } ^ { + } } \mathbf { A } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l + \oint _ { \mathcal { C } ^ { - } } \mathbf { A } ^ { - } \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l - \int _ { \sigma } [ \mathbf { A } ] _ { - } ^ { + } \cdot \hat { \mathbf { t } } d l ~ ,
\begin{array} { r } { \vert E _ { 1 } ^ { ( p ) } - E _ { 0 } ^ { ( p ) } \vert \approx \hbar \omega _ { c } \ll \Delta _ { e } \approx \vert E _ { 1 } ^ { ( e c ) } - E _ { 0 } ^ { ( e c ) } \vert \quad , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( \tau ) } & { { } = \ln \left\{ \int D [ \hat { \mu } w m g ] \exp \left( i \hat { \mu } ( \tau + 1 ) \left[ N _ { t } \int d t \, m ( t , \tau + 1 ) g ( t , \tau + 1 ) + \sum _ { k \neq j } w _ { k j } ( \tau + 1 ) - \sum _ { k } \int d t \Big [ g x _ { k } + m \hat { f } _ { k } \Big ] _ { t , \tau + 1 } \right] \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { h ^ { \scriptscriptstyle ( < ) } ( r _ { * } ) = \frac { 2 } { \pi } \sqrt { \frac { 3 } { \sqrt { 5 } } } \, Q _ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \operatorname { t a n h } r _ { * } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle d \overline { { X } } _ { t } ^ { i } = - \alpha _ { t } ^ { i } d t + d W _ { t } ^ { i } , } \\ { d i s p l a y s t y l e , } \\ { d \overline { { Y } } _ { t } ^ { i } = - \big ( \frac { 1 } { n } D _ { x } L ^ { i } \big ( \overline { { X } } _ { t } ^ { i } , \alpha _ { t } ^ { i } \big ) + D _ { i } F ( \overline { \mathbf { X } } _ { t } ) + E _ { t } ^ { F , i } \big ) d t + \overline { { Z } } _ { t } ^ { i } d W _ { t } ^ { i } , } \\ { \overline { { X } } _ { 0 } ^ { i } = x ^ { i } , \quad \overline { { Y } } _ { T } ^ { i } = G ^ { i } ( \overline { { X } } _ { T } ) + E _ { T } ^ { G , i } , } \end{array} \right.
\langle \mathcal { A } ( t ) , s \rangle = \langle \mathcal { H } _ { K } e ^ { T } \Phi _ { 0 } , e ^ { - T ^ { \dag } } S \Phi _ { 0 } \rangle = \langle \mathcal { H } e ^ { T } \Phi _ { 0 } , e ^ { - T ^ { \dag } } S \Phi _ { 0 } \rangle
V _ { \substack { \scriptscriptstyle M a x \, S l o p e } } = I _ { 0 } R _ { m _ { 0 } } { \big ( \frac { e - 2 } { e } \big ) } \approx 0 . 2 6 4 \cdot I _ { 0 } R _ { m _ { 0 } } ~ .
\hat { \sigma } = - | \hat { q } | \frac { \hat { \gamma } } { \hat { \eta } } \frac { \theta _ { r } } { 1 - \theta _ { r } ^ { 2 } / 2 } \left( \frac { 3 } { \theta _ { r } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { y } { l _ { s } } \right) \hat { T } _ { Y } ^ { - 1 } \right) \approx - | \hat { q } | \frac { \hat { \gamma } } { \hat { \eta } } \frac { \theta _ { r } ^ { 3 } } { 3 \ln ( y / l _ { s } ) \hat { T } _ { Y } }
\langle J _ { 0 } ^ { [ n ] } \rangle _ { P , V } = \langle \varsigma _ { 1 } , ( 1 - \rho _ { \mathsf { n } } T ) ^ { - 1 } \rho _ { \mathsf { n } } \varsigma _ { n } \rangle - \nu \langle \varsigma _ { 1 } ( 1 - \rho _ { \mathsf { n } } T ) ^ { - 1 } \rho _ { \mathsf { n } } \rangle \langle \varsigma _ { n } ( 1 - \rho _ { \mathsf { n } } T ) ^ { - 1 } \rho _ { \mathsf { n } } \rangle .
\begin{array} { r } { \partial _ { j } \in \pi _ { 7 , 2 } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( v _ { 2 } ^ { - 1 } D ( \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j - 1 } ) \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } ) , } \\ { \partial _ { j } ^ { \prime } \in \pi _ { 7 , 2 } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( g ^ { - 1 } D ( \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j - 1 } ) \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } ) . } \end{array}
V ( \varphi , T ) \sim \frac { ( L \varphi ) ^ { 3 } } { \epsilon ^ { 2 } k T } \left\{ C _ { 1 } \ln ( \mu ^ { 2 } \epsilon ) + C _ { 2 } \ln \varphi ^ { 2 } + c \mathrm { - n u m b e r } \right\} \ .
S _ { \mathrm { f r e e } } \! = \! \frac { 1 } { 2 } \int \! \! d ^ { D } \! x [ ( \partial _ { x } \Phi ) ^ { 2 } \! - \! m ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } ] = \sum _ { j , k } \! \frac { 1 } { 2 } \int \! \! d ^ { D - 2 } \! { \bf x } [ ( \partial _ { \bf x } \phi _ { j k } ^ { * } ) ( \partial _ { \bf x } \phi _ { j k } ) \! - \! m _ { j } ^ { 2 } \phi _ { j k } ^ { * } \phi _ { j k } ] ,
= \frac { y ^ { 1 } z ^ { 1 } } { 1 ^ { a } 1 ^ { b } } + \frac { y ^ { 2 } z ^ { 1 } } { 2 ^ { a } 1 ^ { b } } + \frac { y ^ { 3 } z ^ { 1 } } { 3 ^ { a } 1 ^ { b } } + \frac { y ^ { 4 } z ^ { 1 } } { 4 ^ { a } 1 ^ { b } } + \frac { y ^ { 5 } z ^ { 1 } } { 5 ^ { a } 1 ^ { b } } + \frac { y ^ { 6 } z ^ { 1 } } { 6 ^ { a } 1 ^ { b } } + \frac { y ^ { 7 } z ^ { 1 } } { 7 ^ { a } 1 ^ { b } } + \cdots
2 \pi ^ { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { + } \cup S _ { 2 } ^ { - } \cup S _ { 3 } ^ { + } \cup S _ { 3 } ^ { - } } \varphi ^ { 2 } \, d x \le \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { + } \cup S _ { 2 } ^ { - } \cup S _ { 3 } ^ { + } \cup S _ { 3 } ^ { - } } ( \partial _ { x _ { 1 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x + \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { + } \cup S _ { 2 } ^ { - } } ( \partial _ { x _ { 3 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x + \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 3 } ^ { + } \cup S _ { 3 } ^ { - } } ( \partial _ { x _ { 2 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x .
\langle I ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } | \hat { H } | I , \gamma \rangle = \big ( E _ { I } ^ { \mathrm { i n t e r } } + E _ { \gamma } ^ { \mathrm { i n t r a } } \big ) \delta _ { I ^ { \prime } , I } \delta _ { \gamma ^ { \prime } , \gamma } + \langle I ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } | \Delta \hat { H } | I , \gamma \rangle .
\begin{array} { r } { \delta _ { 1 , c _ { 0 , 1 } , \alpha _ { 0 } } ^ { ( \nu ) } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \alpha _ { 1 } + 2 } { \alpha _ { 1 } + 1 } X _ { 1 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \frac { \alpha _ { 1 } + 2 } { \alpha _ { 1 } + 1 } X _ { 1 } \leq \frac { \alpha _ { 2 } + 2 } { \alpha _ { 2 } + 1 } X _ { 2 } } \\ { \alpha _ { 0 } \, \frac { \alpha _ { 1 } + 2 } { \alpha _ { 1 } + 1 } X _ { 1 } + ( 1 - \alpha _ { 0 } ) \frac { \alpha _ { 2 } + 2 } { \alpha _ { 2 } + 1 } X _ { 2 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \frac { \alpha _ { 1 } + 2 } { \alpha _ { 1 } + 1 } X _ { 1 } > \frac { \alpha _ { 2 } + 2 } { \alpha _ { 2 } + 1 } X _ { 2 } } \end{array} \right. ; } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 b _ { i j } \gamma _ { i j } } & { = } & { 2 b _ { i j } \bigg ( - \frac { 1 } { 2 } b _ { i j } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } + \frac { 3 } { 2 } b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } b _ { m n } \frac { K _ { m n k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \bigg ) } \\ & { = } & { - b _ { i j } b _ { i j } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - 2 b _ { i j } \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } + 3 b _ { i j } b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } b _ { m n } \frac { K _ { m n k l } } { A ^ { 3 / 2 } } } \\ & { = } & { - \bigg ( \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { i j } \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \bigg ) } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 + } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s < t \leq 1 , t - s \leq \varepsilon } { \frac { | w ( s ) - w ( t ) | } { \sqrt { 2 \varepsilon \log ( 1 / \varepsilon ) } } } = 1 , \qquad { \mathrm { a l m o s t ~ s u r e l y } } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { l } \varepsilon ^ { l } ) + \nabla \cdot ( \rho ^ { l } \varepsilon ^ { l } \mathbf { v } ^ { l } ) = 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { s } ( 1 - \varepsilon ^ { l } ) ) + \nabla \cdot ( \rho ^ { s } ( 1 - \varepsilon ^ { l } ) \mathbf { v ^ { s } } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { B } ( \mathbf { X } ) } & { = d ( \mathbf { X } ) - \Gamma , } \\ { Y _ { \mathbf { X } } ^ { n } ( \omega ) } & { = - X ^ { n } ( \omega ) + \frac { 1 } { \beta \alpha _ { n } } ( S ( \omega ) + d ( \mathbf { X } ) ) - \frac { 1 } { \alpha _ { n } } \log ( \frac { 1 } { \alpha _ { n } } ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } Q _ { \mathbf { X } } ^ { 1 } } { \mathrm { d } { \mathbb { P } } } } & { = \dots = \frac { \mathrm { d } Q _ { \mathbf { X } } ^ { N } } { \mathrm { d } { \mathbb { P } } } = \frac { \mathrm { d } Q _ { \mathbf { X } } } { \mathrm { d } { \mathbb { P } } } = \frac { \exp \left( - 2 S / \beta \right) } { \mathbb { E } \left[ \exp \left( - 2 S / \beta \right) \right] } , } \\ { \rho ^ { n } ( \mathbf { X } ) } & { = \mathbb { E } _ { Q _ { \mathbf { X } } } [ Y _ { \mathbf { X } } ^ { n } ] = \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } \left[ Y _ { \mathbf { X } } ^ { n } \cdot \frac { d Q _ { \mathbf { X } } } { d \mathbb { P } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \dot { \Delta } _ { W } ( t ) \right\Vert } & { = \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left\Vert \mu \nabla h ( X ) - \mu W - \nabla f ( X ) - \mu \nabla h \left( \bar { X } \right) + \mu \bar { W } + \nabla f \left( \bar { X } \right) \right\Vert } \\ & { \leq \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \mu \left\Vert \nabla h ( X ) - \nabla h \left( \bar { X } \right) \right\Vert + \mu \left\Vert W - \bar { W } \right\Vert + \left\Vert \nabla f ( X ) - \nabla f \left( \bar { X } \right) \right\Vert \right) } \\ & { \leq \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \left( \mu L _ { h } + L _ { f } \right) \left\Vert \Delta _ { X } \right\Vert + \mu \left\Vert \Delta _ { W } \right\Vert \right) } \\ & { \leq \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \left( \mu L _ { h } + L _ { f } \right) B ( t ) + \frac { \mu t ^ { 2 } } { 2 } A ( t ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { \pm } \int _ { 0 } ^ { \infty } k _ { 1 } ^ { 3 } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \left( - \frac { \alpha } { 6 \pi \varepsilon } \right) } \\ { \times \sum _ { n _ { 1 } } \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 1 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 1 } } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 2 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 2 } } | \Delta | \phi _ { n _ { a } } \rangle } { E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } \pm k _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { 2 I _ { 1 } } + \frac { p _ { \psi } ^ { 2 } } { 2 I _ { 3 } } + \frac { ( p _ { \varphi } - p _ { \psi } \cos \theta ) ^ { 2 } } { 2 I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta } . } \end{array}
\mathrm { P } _ { i , j ^ { ' } } ^ { \mathrm { c h a n } } = { \Phi } \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \sin \left[ \frac { ( j ^ { ' } - \frac { 1 } { 2 } ) \pi } { K _ { i } } \right] \cdot 1 0 ^ { \frac { \mathrm { S N R } } { 2 0 } } \right)
T ^ { \mu \nu } \otimes U ^ { \mu } U ^ { \mu } = \left( \begin{array} { c c c c } { \gamma ^ { 2 } \rho _ { 0 } } & { \gamma ^ { 2 } \rho _ { 0 } \beta } & { 0 } & { 0 } \\ { \gamma ^ { 2 } \rho _ { 0 } \beta } & { \gamma ^ { 2 } \rho _ { 0 } \beta ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\mathbb { E } \left[ \left| \nabla \phi _ { L } ^ { e } ( 0 , e ) \right| ^ { 2 } \right] \leq C + C \mathbb { E } \left[ V ^ { \prime } ( \nabla \phi _ { L } ( 0 , e ) ) ^ { 2 } + \left| \nabla \phi _ { L } ( 0 , e ) \right| ^ { 2 } \right] + \frac { C } { T } \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { L } } \mathbb { E } \left[ \left| u ( 0 , x ) \right| ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { e } & { = \frac { { 4 { \pi ^ { 2 } } r \cos \theta } } { { { \lambda ^ { 2 } } { \varepsilon _ { T } } } } \left[ \frac { { { D _ { T } } } } { r } \sin \theta - \frac { { \cos 2 \theta } } { 2 } \ln \left| { \frac { { \frac { { D _ { T } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } - \sin \theta \frac { { { D _ { T } } } } { r } + 1 } } { { \frac { { D _ { T } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } + \sin \theta \frac { { { D _ { T } } } } { r } + 1 } } } \right| \right. } \\ & { \left. { - \Delta _ { \mathrm { { s p a n } } } ^ { \mathrm { t } } \left( \frac { { { D _ { T } } } } { r } \right) } \sin 2 \theta \right] , } \end{array}
\Omega _ { \pm } ( \mathbf { k _ { | | } } ) = { S } _ { x x } ^ { 1 1 } ( \mathbf { k _ { | | } } ) \pm \textrm { s i g n } \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } \right) \sqrt { \left( { S } _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k _ { | | } } ) \right) ^ { 2 } + ( \delta _ { - } ) ^ { 2 } } + i \Gamma _ { a } / 2
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { i } ^ { t , l } } & { = \hat { h } _ { k _ { i } } ^ { t , l + 1 } + \frac { 1 } { | \mathcal { N } _ { i } ^ { l } | } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } ^ { l } } \kappa _ { \Theta _ { l } } ( e _ { i j } ^ { t , l } ) \check { h } _ { j } ^ { t , l } \qquad l = 1 , \, \dots , \, L - 1 } \\ { \hat { h } _ { i } ^ { t , L } } & { = \frac { 1 } { | \mathcal { N } _ { i } ^ { L } | } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } ^ { L } } \kappa _ { \Theta _ { L } } ( e _ { i j } ^ { t , L } ) \check { h } _ { j } ^ { t , L } } \end{array}
K = - \frac { 1 } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \left[ \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \left( \frac { \mathsf { G } _ { 2 , 1 } } { \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \right) _ { , 1 } + \left( \frac { \mathsf { G } _ { 1 , 2 } } { \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \right) _ { , 2 } \right] \, .
\sigma _ { i k } ^ { o } = - \eta _ { o } ( \delta _ { i 1 } \delta _ { k 1 } - \delta _ { i 3 } \delta _ { k 3 } ) \left( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 3 } } + \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial x _ { 1 } } \right) + \eta _ { o } \left( \delta _ { i 1 } \delta _ { k 3 } + \delta _ { i 3 } \delta _ { k 1 } \right) \left( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } - \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial x _ { 3 } } \right) ,
\overline { { \mathsf { P } } } = \hat { \mathsf { P } } _ { 0 } + \frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { b } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { b } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \, ,
L _ { 1 1 } ^ { ( \pm ) } = q ^ { \pm \frac { 1 } { 2 } } q ^ { \pm J } = q ^ { \pm \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } , \; \; L _ { 2 2 } ^ { ( \pm ) } = q ^ { \pm \frac { 1 } { 2 } } q ^ { \mp J } = q ^ { \pm \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) } , \; \;
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 1 } } & { { } = n _ { b } ^ { 2 } + \frac { N _ { 1 } } { \Delta + i } , } \\ { \epsilon _ { 2 } } & { { } = 1 } \\ { \epsilon _ { 3 } } & { { } = n _ { b } ^ { 2 } + \frac { N _ { 3 } } { \Delta + i } . } \end{array}
\Delta E _ { m a g n 1 - , c o r } ^ { + } = - \frac { Z \alpha } { 2 m ^ { 2 } M } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } [ - ( n - 1 ) \beta ] \{ < { n } | i \frac { \bf r _ { k } } { r } [ { \bf p } , V ] \frac { 4 \pi e ^ { i { \bf k r } } } { k ^ { 2 } } | { n } >
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega } \nabla \phi ^ { n + 1 } \cdot \nabla \omega - \alpha \int _ { \Omega } \phi ^ { n + 1 } \omega = \int _ { \partial \Omega _ { o } } g _ { 2 } ^ { n + 1 } \omega + \int _ { \partial \Omega _ { s } } \left[ - g _ { 3 } ^ { n + 1 } - \frac { \Theta ^ { \prime } ( \phi ^ { * , n + 1 } ) } { \lambda } \right] \omega - \int _ { \Omega } \psi ^ { n + 1 } \omega , \quad \forall \omega . } \end{array}
\Im \left( \frac { \Phi ( z _ { n } ) } { z _ { n } } \right) \ge \frac { 1 } { 2 } \int _ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 n } } ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 n } } e ^ { 4 \lambda \pi n y } \cos ( 4 \pi n y ) \log ^ { 2 } ( y ) d y \ge \frac { e ^ { \lambda \pi n } } { 2 4 n } \log ^ { 2 } \left( \frac { 3 } { 4 } \right) \to \infty .