\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d E } { d t } } \\ & { = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ \tilde { \mu } _ { i } \frac { \partial C _ { i } } { \partial t } \right\} d x - \int _ { \partial \Omega } \phi \frac { \partial \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } } { \partial t } d S + \int _ { \Gamma } \mu _ { e } \frac { \partial C _ { e } } { \partial t } d S + \int _ { \Gamma } ( \phi - \phi _ { p } ) F \frac { \partial C _ { e } } { \partial t } d S } \\ & { = } & { - \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ \tilde { \mu } _ { i } \nabla \cdot \boldsymbol { j } _ { i } \right\} d x - \int _ { \partial \Omega } \phi \frac { \partial \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } } { \partial t } d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e } \frac { \partial C _ { e } } { \partial t } d S + \int _ { \Gamma } \phi F \frac { \partial C _ { e } } { \partial t } d S } \\ & { = } & { - \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ \tilde { \mu } _ { i } \nabla \cdot \boldsymbol { j } _ { i } \right\} d x - \int _ { \Gamma } \phi \frac { \partial } { \partial t } \left( \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } - F C _ { e } \right) d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e } ( j _ { e x } - \Delta z \mathcal { R } ) d S } \\ & { } & { - \int _ { \partial \Omega / \Gamma } \phi \frac { \partial \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } } { \partial t } d S } \\ & { = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ \nabla \tilde { \mu } _ { i } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } \right\} d x - \int _ { \Gamma } \phi \frac { \partial } { \partial t } \left( \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } - F C _ { e } \right) d S - \int _ { \Gamma } \sum _ { i } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e } ( - \Delta z \mathcal { R } ) d S } \\ & { } & { - \int _ { \partial \Omega / \Gamma } \phi \frac { \partial \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } } { \partial t } d S - \int _ { \partial \Omega / \Gamma } \sum _ { i } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e } j _ { e x } d S } \\ & { = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ \nabla \tilde { \mu } _ { i } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } \right\} d x - \int _ { \Gamma } \phi \frac { \partial } { \partial t } \left( \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } - F C _ { e } \right) d S + \int _ { \Gamma } \sum _ { i } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } \gamma _ { i } \mathcal { R } d S - \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e } ( \Delta z \mathcal { R } ) d S } \\ & { } & { - \int _ { \partial \Omega / \Gamma } \phi \frac { \partial \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } } { \partial t } d S - \int _ { \partial \Omega / \Gamma } \sum _ { i } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } d S + \int _ { \Gamma } ( \tilde { \mu } _ { e } - \tilde { \mu } _ { e x } ) j _ { e x } d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e x } j _ { e x } d S } \\ & { = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ \nabla \tilde { \mu } _ { i } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } \right\} d x - \int _ { \Gamma } ( - \sum _ { i } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } \gamma _ { i } + \tilde { \mu } _ { e } \Delta z ) \mathcal { R } d S - \int _ { \Gamma } \phi \frac { \partial } { \partial t } \left( \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } - F C _ { e } \right) d S } \\ & { } & { + \int _ { \Gamma } ( \tilde { \mu } _ { e } - \tilde { \mu } _ { e x } ) j _ { e x } d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e x } J _ { e x } d S - \int _ { \partial \Omega / \Gamma } \phi \frac { \partial \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } } { \partial t } d S - \int _ { \partial \Omega / \Gamma } \sum _ { i } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } d S } \\ & { = } & { - \Delta + P _ { E , \partial \Omega } . } \end{array}