harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
x _ { B } G _ { 2 N } ( x _ { B } , Q ^ { 2 } ) \sim \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \right) ^ { N } \exp N \sqrt { \frac { \alpha _ { S } N _ { c } } { 4 \pi } \ln Q ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } \ln 1 / x _ { B } }
\overline { { U _ { j } ^ { + } } } \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } = - \frac { \partial \overline { { P ^ { + } } } } { \partial x _ { i } ^ { + } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } ^ { + } } \left( ^ M D _ { x _ { j } ^ { + } } ^ { \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } ( \overline { { U _ { i } ^ { + } } } ) \right) ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3 ~ ; ~ \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
\begin{array} { r l } { \gamma _ { k , e f f } } & { { } \equiv \mathrm { m a x } ( 0 , \gamma _ { k } - \omega _ { Z F } ) } \\ { \omega _ { Z F } } & { { } \equiv \beta \mathrm { m a x } ( \gamma _ { k } ) , ~ \mathrm { f o r } ~ k _ { y } < 0 . 5 } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \phi _ { i } ^ { ( \alpha ) } \phi _ { j } ^ { ( \alpha ) } \epsilon _ { i j } - \log ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { ( \alpha ) } ) - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { ( \alpha ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi _ { i } ^ { ( \alpha ) } } { L _ { i } } = 0 .
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } \equiv \frac { \mathbf { q } _ { \alpha } } { \theta } - \frac { 1 } { \theta } \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \phi _ { \alpha } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \hat { \gamma } _ { \alpha } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } } & { = \epsilon _ { 0 } \{ \mathbf { E } \} + \epsilon _ { 0 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbf { E } _ { k } \delta ^ { ( k ) } + \mathbf { P } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \delta ( z ) ^ { ( 0 ) } \right] \cdot \nabla } \\ { \mathbf { B } } & { = \mu _ { 0 } \left( \{ \mathbf { H } \} + \epsilon _ { 0 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbf { H } _ { k } \delta ^ { ( k ) } + \mathbf { M } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) \right] \cdot \nabla \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in \mathcal { A } } R _ { i } } & { \geq \sum _ { i \in \mathcal { A } } H ( U _ { i } ) - H ( \{ U _ { i } , i \in \mathcal { A } \} | S ) , \quad \mathcal { A } \subseteq \{ 1 , 2 , \ldots , M \} , } \\ { D _ { \mathcal { A } } } & { \geq \mathrm { ~ { \mathbb ~ E } ~ } [ d ( S , f _ { \mathcal { A } } ( U _ { i } , i \in \mathcal { A } ) ) ] , \quad \mathcal { A } \subseteq \{ 1 , 2 , \ldots , M \} . } \end{array}
f _ { \mathscr P + \mathscr D } ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \phi ( x - n ; \mu _ { \mathscr D } , \sigma _ { \mathscr D } ) \frac { e ^ { - \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } ^ { n } } { n ! } ,
\psi _ { 1 } ^ { ' \pm } = \gamma ^ { \mp } \left[ \begin{array} { c } { { \mp \sin \theta ( 1 + \xi ^ { 2 } ) } } \\ { { 0 } } \\ { { i ( 1 - \xi ^ { 2 } + 2 i \xi _ { 3 } ) ( 1 \mp \cos \theta ) } } \\ { { - 2 ( 1 \mp \cos \theta ) ( \xi _ { 1 } - i \xi _ { 2 } ) } } \end{array} \right]
L = { \frac { g } { \omega _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } } } \approx { \frac { 9 . 8 1 \ \mathrm { m / s ^ { 2 } } } { ( 3 . 1 4 \ \mathrm { r a d / s } ) ^ { 2 } } } \approx 0 . 9 9 \ \mathrm { m } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in \circ } ( \lambda _ { i } , w ^ { - p } \alpha _ { c } ) m _ { i } } & { = \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 2 } \frac { \sin \bigl ( ( 1 + 2 p ) \theta _ { 1 } \bigr ) } { \sin \theta _ { 1 } } \ m _ { c } \, , } \\ { \sum _ { i \in \bullet } ( \lambda _ { i } , w ^ { - p } \alpha _ { c } ) m _ { i } } & { = \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 2 } \frac { \sin \bigl ( 2 p \theta _ { 1 } \bigr ) } { \sin \theta _ { 1 } } \ m _ { c } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \hat { \rho } = - \frac { i } { \hbar } [ \hat { H } , \hat { \rho } ] + \bigg [ \hat { L } _ { \mathrm { c a v } } \hat { \rho } \hat { L } _ { \mathrm { c a v } } ^ { \dag } - \frac { 1 } { 2 } \{ \hat { L } _ { \mathrm { c a v } } ^ { \dag } \hat { L } _ { \mathrm { c a v } } , \hat { \rho } \} \bigg ] + \sum _ { j n } \bigg [ \hat { L } _ { j , n } \hat { \rho } \hat { L } _ { j , n } ^ { \dag } - \frac { 1 } { 2 } \{ \hat { L } _ { j , n } ^ { \dag } \hat { L } _ { j , n } , \hat { \rho } \} \bigg ] ,
\begin{array} { r } { ~ \Omega _ { m } = \frac { ( \cos \theta _ { + } - \cos \theta _ { - } ) \Omega _ { E } } { 2 } + \frac { ( \epsilon _ { 1 2 9 } - \rho \epsilon _ { 1 3 1 } ) A \cos \phi } { 1 - \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \ddot { e } _ { i } ( x y ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \ddot { e } _ { i } ( x ) \cdot y } & { \mathrm { i f ~ \ddot { \varepsilon } _ i ~ ( y ) ~ = ~ 0 ~ } } \\ { x \cdot \ddot { e } _ { i } ( y ) } & { \mathrm { i f ~ \ddot { \varepsilon } _ i ~ ( y ) ~ > ~ 0 ~ , } } \end{array} \right. } & & { } & { \ddot { f } _ { i } ( x y ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \ddot { f } _ { i } ( x ) \cdot y } & { \mathrm { i f ~ \ddot { \varphi } _ i ~ ( x ) ~ > ~ 0 ~ } } \\ { x \cdot \ddot { f } _ { i } ( y ) } & { \mathrm { i f ~ \ddot { \varphi } _ i ~ ( x ) ~ = ~ 0 ~ , } } \end{array} \right. } \\ { \ddot { \varepsilon } _ { i } ( x y ) } & { = \ddot { \varepsilon } _ { i } ( x ) + \ddot { \varepsilon } _ { i } ( y ) , } & & { \mathrm { a n d } } & { \ddot { \varphi } _ { i } ( x y ) } & { = \ddot { \varphi } _ { i } ( x ) + \ddot { \varphi } _ { i } ( y ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { r \frac { u _ { 1 } ( i + 1 ) } { u _ { 1 } ( i ) } [ S _ { 1 } ( i + 1 ) - S _ { 1 } ( i ) ] + r \frac { u _ { 2 } ( i - 1 ) } { u _ { 1 } ( i ) } [ 1 + S _ { 2 } ( i - 1 ) - S _ { 1 } ( i ) ] = - \frac { d S _ { 1 } ( i ) } { d t } } \\ { r \frac { u _ { 2 } ( i - 1 ) } { u _ { 2 } ( i ) } [ S _ { 2 } ( i - 1 ) - S _ { 2 } ( i ) ] + r \frac { u _ { 1 } ( i + 1 ) } { u _ { 2 } ( i ) } [ 1 + S _ { 1 } ( i + 1 ) - S _ { 2 } ( i ) ] = - \frac { d S _ { 2 } ( i ) } { d t } } \\ { r \frac { v _ { 1 } ( i - 1 ) } { v _ { 1 } ( i ) } [ S _ { 1 } ( i ) - S _ { 1 } ( i - 1 ) ] + r \frac { v _ { 2 } ( i - 1 ) } { v _ { 1 } ( i ) } [ 1 + S _ { 1 } ( i ) - S _ { 2 } ( i - 1 ) ] = - \frac { d S _ { 1 } ( i ) } { d t } } \\ { r \frac { v _ { 2 } ( i + 1 ) } { v _ { 2 } ( i ) } [ S _ { 2 } ( i ) - S _ { 2 } ( i + 1 ) ] + r \frac { v _ { 1 } ( i + 1 ) } { v _ { 2 } ( i ) } [ 1 + S _ { 2 } ( i ) - S _ { 1 } ( i + 1 ) ] = - \frac { d S _ { 2 } ( i ) } { d t } } \\ { r u _ { 1 } ( i ) v _ { 1 } ( i - 1 ) + r u _ { 1 } ( i ) v _ { 2 } ( i - 1 ) - r u _ { 1 } ( i + 1 ) v _ { 1 } ( i ) - r u _ { 2 } ( i - 1 ) v _ { 1 } ( i ) = \frac { d [ u _ { 1 } ( i ) v _ { 1 } ( i ) ] } { d t } } \\ { r u _ { 2 } ( i ) v _ { 2 } ( i + 1 ) + r u _ { 2 } ( i ) v _ { 1 } ( i + 1 ) - r u _ { 1 } ( i + 1 ) v _ { 2 } ( i ) - r u _ { 2 } ( i - 1 ) v _ { 2 } ( i ) = \frac { d [ u _ { 2 } ( i ) v _ { 2 } ( i ) ] } { d t } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( - 1 ) ^ { p } = ( - 1 ) ^ { \frac { M } { 2 } \left( \frac { M } { 2 } - 1 \right) / 2 } \mathrm { ~ P ~ f ~ } ( i \mathcal { V } _ { C } ^ { \dagger } \Gamma r ( 0 ) \mathcal { V } _ { C } ) , } \end{array}
\eta \equiv \kappa ^ { 2 } \left( { \frac { H ^ { \prime } \left( \phi \right) } { H \left( \phi \right) } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 3 } { 2 } } \left[ 1 \mp \sqrt { 1 - { \frac { 2 } { 3 } } \left( { \frac { m ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } } { M ^ { 4 } } } \right) } \right] \equiv r _ { \pm } .
\widehat { \mathbf { B } } _ { i j } ( x , y ) = \overline { { \mathbf { B } } } _ { i j } + ( \widehat { \mathbf { B } } _ { x } ) _ { i j } ( x - x _ { i } ) + ( \widehat { \mathbf { B } } _ { y } ) _ { i j } ( y - y _ { j } ) , \qquad ( x , y ) \in I _ { i j } .
\begin{array} { r l } { B _ { p } ^ { s } \hookrightarrow B _ { q } ^ { t } } & { \quad \mathrm { i f ~ 1 \le ~ p \le ~ q < \infty ~ a n d ~ s - \frac { d } { p } \ge ~ t - \frac { d } { q } ~ } , } \\ { B _ { p } ^ { s } \hookrightarrow B _ { \infty } ^ { t } = \mathcal { C } ^ { t } } & { \quad \mathrm { f o r ~ t \in \left( 0 , s - \frac { d } { p } \right] ~ , } } \end{array}
n _ { \vec { p } } ( t _ { 0 } ) = { \cal Z } _ { \vec { p } } ( \tau , t _ { 0 } ) \; n _ { \vec { p } } ( \tau ) ~ , \quad { \cal Z } _ { \vec { p } } ( \tau , t _ { 0 } ) = 1 + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 3 } \; z _ { \vec { p } } ^ { ( 1 ) } ( \tau , t _ { 0 } ) + \cdots ~ ,
\begin{array} { r l } { { \cal U } ( { \bf R , n } ) = } & { { } \operatorname* { m i n } _ { D ^ { \sigma } } \left\{ { \cal F } _ { \mathrm { K S } } [ { \boldsymbol \rho } , { \bf n } ] + \int v ( { \bf R , r } ) \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } \right. } \end{array}
\Phi = \Phi _ { \infty } + \frac { D } { r } + \frac { D M } { r ^ { 2 } } + \frac { 8 M ^ { 2 } D - D ^ { 3 } } { 6 r ^ { 3 } } + O ( \frac { 1 } { r ^ { 4 } } ) \; .
{ \begin{array} { r l } { \sin ^ { 2 } \! A } & { = 1 - \left( { \frac { \cos a - \cos b \, \cos c } { \sin b \, \sin c } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { \left( 1 - \cos ^ { 2 } \! b \right) \left( 1 - \cos ^ { 2 } \! c \right) - \left( \cos a - \cos b \, \cos c \right) ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \! b \, \sin ^ { 2 } \! c } } } \\ { { \frac { \sin A } { \sin a } } } & { = { \frac { \left[ 1 - \cos ^ { 2 } \! a - \cos ^ { 2 } \! b - \cos ^ { 2 } \! c + 2 \cos a \cos b \cos c \right] ^ { 1 / 2 } } { \sin a \sin b \sin c } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( \Delta P ) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { \tau } \int d \nu \, N ( \hbar \omega ) ^ { 2 } V ( n ) } \\ & { = \frac { 1 } { \tau } \int d \nu \, N ( \hbar \omega ) ^ { 2 } V [ | \alpha | ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { 1 } { \tau } \int d \nu \, N ( \hbar \omega ) ^ { 2 } V \left[ n | E [ | \alpha | ^ { 2 } ] \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \rho _ { i i } ^ { ( 1 ) } } { d t } = 2 \sum _ { l } \vec { d } _ { i l } \cdot \vec { E } ( t ) \, \mathrm { I m } \left( \rho _ { l i } ^ { ( 1 ) } ( t ) \right) + \Gamma _ { i i } ^ { ( 1 ) } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j \in V ^ { \circ } } \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \ne \widetilde { \sigma } _ { i } \widetilde { \sigma } _ { j } ) } & { \ge \frac { | V ^ { \circ } | ^ { 2 } } { 2 | E | p } \biggl ( 1 - \frac { 1 } { | V ^ { \circ } | } - \frac { C ( | V ^ { \circ } | p ^ { - \beta } + | B | ^ { 2 } p ^ { - 2 \delta } ) } { | V ^ { \circ } | ^ { 2 } } \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { B _ { 0 } ^ { + } = z } ( { \tau ^ { + } } = k ) } & { = \textstyle \Bigl ( \frac { \alpha - \theta } { ( 1 + \theta ) ^ { \kappa } } \Bigr ) ^ { k } \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \frac { ( 1 + \kappa \theta u ) ^ { k - 1 } u ^ { 2 M - z - 1 } } { [ u ( \alpha - \theta u ) ] ^ { k + 1 } } ( \alpha - 2 \theta u - \kappa \theta ^ { 2 } u ^ { 2 } ) } \\ & { = \textstyle \theta ^ { - 2 M + z + k + 1 } \Bigl ( \frac { \alpha - \theta } { ( 1 + \theta ) ^ { \kappa } } \Bigr ) ^ { k } \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \frac { ( 1 + \kappa u ) ^ { k - 1 } u ^ { 2 M - z - 1 } } { [ u ( \alpha - u ) ] ^ { k + 1 } } ( \alpha - 2 u - \kappa u ^ { 2 } ) , \qquad } \end{array}
c _ { k } = \sum _ { m = 0 } ^ { k - 1 } { \frac { c _ { m } c _ { k - 1 - m } } { ( m + 1 ) ( 2 m + 1 ) } } = \left\{ 1 , 1 , { \frac { 7 } { 6 } } , { \frac { 1 2 7 } { 9 0 } } , { \frac { 4 3 6 9 } { 2 5 2 0 } } , { \frac { 3 4 8 0 7 } { 1 6 2 0 0 } } , \ldots \right\} .
\begin{array} { r l } { \| u - \check { I } _ { h } u \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega ) } = } & { \| u \circ \Phi _ { h } - I _ { h } ( u \circ \Phi _ { h } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } } \\ { \geq } & { \| u - I _ { h } u \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } - C \| u - u \circ \Phi _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } } \\ { \geq } & { \| u - I _ { h } u \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } - C \| u \| _ { W ^ { 1 , \infty } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \| \Phi _ { h } - \mathrm { I d } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } } \\ { \geq } & { \| u - I _ { h } u \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } - C h ^ { r + 1 } \| u \| _ { W ^ { 1 , \infty } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } } \\ { \geq } & { \| u - I _ { h } u \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } - C h ^ { r + 1 } \| f \| _ { L ^ { p } ( \varOmega ^ { t } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } & { m _ { 2 } \cos ( \vartheta ) } \\ { m _ { 2 } \cos ( \vartheta ) } & { m _ { 2 } } \end{array} \right] \! \! \left( \begin{array} { l } { \ddot { z } ( t ) } \\ { \ddot { s } ( t ) } \end{array} \right) \! + \! \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { k s ( t ) + d s ( t ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { u ( t ) } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { t } ^ { m o d } = } & { { } \frac { 8 m _ { i } } { \gamma ^ { 2 } } \cdot \frac { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ^ { S } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ^ { S } ) ^ { 2 } } } \\ { n _ { t } ^ { m o d } = } & { { } \frac { \gamma ^ { 2 } } { 3 2 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 3 } } { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ^ { S } ) ^ { 3 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ^ { S } ) ^ { 2 } } } \\ { \Gamma _ { t } ^ { m o d } = } & { { } \frac { \gamma } { 8 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } { q _ { \parallel , u } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ^ { S } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ^ { S } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { p } \\ { \partial ^ { \top } p } \end{array} \right] \sim \mathcal { G P } \left( \left[ \begin{array} { l } { m _ { p } ( x ) } \\ { \partial ^ { \top } m _ { p } ( x ) } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { k _ { p } ( x , x ^ { \prime } ) } & { \partial _ { x ^ { \prime } } k _ { p } ( x , x ^ { \prime } ) } \\ { \partial _ { x } ^ { \top } k _ { p } ( x , x ^ { \prime } ) } & { \partial ^ { 2 } k _ { p } ( x , x ^ { \prime } ) } \end{array} \right] \right) , } \end{array}
{ F ^ { i } } _ { L } ^ { \alpha a } = ( { \bf 4 } , { \bf 2 } , { \bf 1 } ) = \left( \begin{array} { c c } { { u ^ { \alpha } } } & { { \nu } } \\ { { d ^ { \alpha } } } & { { e } } \end{array} \right) ^ { i }
\begin{array} { r l } { M } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 1 - i \zeta _ { 1 } ( \omega ) } & { - i \zeta _ { 1 } ( \omega ) } \\ { i \zeta _ { 1 } ( \omega ) } & { 1 + i \zeta _ { 1 } ( \omega ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { i \Phi } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i \Phi } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 - i \zeta _ { 2 } } & { - i \zeta _ { 2 } } \\ { i \zeta _ { 2 } } & { 1 + i \zeta _ { 2 } } \end{array} \right] } \\ & { = e ^ { i \Phi } \left[ \begin{array} { l l } { ( 1 - i \zeta _ { 1 } ( \omega ) ) ( 1 - i \zeta _ { 2 } ) + \zeta _ { 2 } \zeta _ { 1 } ( \omega ) e ^ { - i 2 \Phi } } & { - i \zeta _ { 2 } ( 1 - i \zeta _ { 1 } ( \omega ) ) - i \zeta _ { 1 } ( \omega ) ( 1 + i \zeta _ { 2 } ) e ^ { - i 2 \Phi } } \\ { i \zeta _ { 1 } ( \omega ) ( 1 - i \zeta _ { 2 } ) + i \zeta _ { 2 } ( 1 + i \zeta _ { 1 } ( \omega ) ) e ^ { - i 2 \Phi } } & { \zeta _ { 1 } ( \omega ) \zeta _ { 2 } + ( 1 + i \zeta _ { 2 } ) ( 1 + i \zeta _ { 1 } ( \omega ) ) e ^ { - i 2 \Phi } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ) - \psi _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i + 1 } ) } \\ & { \leq - \frac { 1 } { \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { 0 } ^ { ( k ) } ) + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } + \tilde { x } _ { i + 1 } - 2 x _ { 0 } ^ { ( k ) } ) } \\ & { \leq - \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - c _ { 0 } } ^ { c _ { 0 } } \! e ^ { - i t _ { b , * } \sigma } \MakeUppercase { \romannumeral 2 } \, d \sigma } & { = \int _ { 0 } ^ { c _ { 0 } } \! e ^ { - i t _ { b , * } \sigma } \chi ( t _ { b , * } \sigma ) \psi ^ { + } ( \sigma ) \, d \sigma + \int _ { 0 } ^ { c _ { 0 } } \! e ^ { - i t _ { b , * } \sigma } ( 1 - \chi ( t _ { b , * } \sigma ) ) \psi ^ { + } ( \sigma ) \, d \sigma } \\ & { \quad + \int _ { - c _ { 0 } } ^ { 0 } \! e ^ { - i t _ { b , * } \sigma } \chi ( t _ { b , * } \sigma ) \psi ^ { - } ( \sigma ) \, d \sigma + \int _ { - c _ { 0 } } ^ { 0 } \! e ^ { - i t _ { b , * } \sigma } ( 1 - \chi ( t _ { b , * } \sigma ) ) \psi ^ { - } ( \sigma ) \, d \sigma } \\ & { : = \MakeUppercase { \romannumeral 2 } _ { 1 } ^ { + } + \MakeUppercase { \romannumeral 2 } _ { 2 } ^ { + } + \MakeUppercase { \romannumeral 2 } _ { 1 } ^ { - } + \MakeUppercase { \romannumeral 2 } _ { 2 } ^ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \mathcal { C } _ { i } } u ( t , \mathbf { x } ) ^ { 2 } \left( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \right) \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \, \textup { d } \mathbf { x } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Gamma _ { i } ^ { + } } w _ { i } ^ { 2 } \left( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \right) \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \, \textup { d } \mathbf { x } . } \end{array}
\dot { z } _ { 1 } = - N ^ { z } ( z _ { 1 } ) = - g ( z _ { 1 } ) = - \frac { z _ { 1 } } { P _ { z } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) } ; ~ ~ ~ \dot { z } _ { 2 } = - \frac { z _ { 2 } } { P _ { z } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) }
\begin{array} { r l } { H ( t , x ) } & { = H _ { 0 } ( x ) + \big ( ( n + 4 ) B _ { 0 } ^ { 2 } t \big ) ^ { - \beta } H _ { 1 } ( x ) + O ( t ^ { - 2 \beta } ) , \qquad \beta = \frac { \alpha ( n + 3 ) - 4 } { 2 ( n + 4 ) } , } \\ { s ( t ) } & { = \big ( ( n + 4 ) B _ { 0 } ^ { 2 } t \big ) ^ { \frac { 1 } { n + 4 } } \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + O ( t ^ { - \beta } ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ } \alpha \ne 2 \frac { n + 6 } { n + 3 } , } \\ { \big ( 1 + O ( t ^ { - 1 } \log t ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ } \alpha = 2 \frac { n + 6 } { n + 3 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ I ~ } _ { 2 } = \frac { \kappa _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } - 2 \kappa _ { 3 } \kappa _ { 1 } ^ { \prime } \kappa _ { 2 } ^ { \prime } + \left( 2 \kappa _ { 2 } ^ { 2 } + \kappa _ { 4 } \right) \left( \kappa _ { 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { 2 \kappa _ { 2 } ^ { 3 } - \kappa _ { 3 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } \kappa _ { 4 } } . } \end{array}
V _ { t } ( H ) = { \frac { 6 N _ { c } } { \pi ^ { 6 } R ^ { 4 } } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { \cos [ ( 2 k + 1 ) \pi R \, m _ { t } ( H ) ] } { ( 2 k + 1 ) ^ { 5 } } } .
\begin{array} { r } { \hat { q } _ { \bf k } = \sqrt { \hbar / 2 \omega _ { \bf k } } ( \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { \bf k } ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \hat { p } _ { \bf k } = i \sqrt { \hbar \omega _ { \bf k } / 2 } ( \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { \bf k } ) , } \end{array}
\begin{array} { c } { { c _ { 3 } ( 0 ) = a _ { 3 } = b _ { 3 } = 0 , } } \\ { { c _ { 4 } ( 0 ) = - 0 . 3 , } } \\ { { c _ { 5 } ( 0 ) = 1 . 2 , } } \\ { { a _ { 4 } = a _ { 5 } = - 1 . 2 1 , } } \\ { { b _ { 4 } = b _ { 5 } = 2 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \langle T \rangle } { d t } } & { { } = - \frac { 2 m } { 3 k _ { B } } \sum _ { i } \left[ \omega _ { i } ^ { 2 } \dot { \sigma } _ { i } ( t ) \sigma _ { i } ( t ) + \ddot { \sigma } _ { i } ( t ) \dot { \sigma } _ { i } ( t ) \right] . } \end{array}
\Phi ^ { ( b ) } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , \ldots , u _ { b } , g , h ) = \sum _ { G = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \{ k _ { j } \} , n = 0 } ^ { \infty } h ^ { G } { \cal N } _ { G } ^ { ( b ) } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , \ldots , k _ { b } ; n ) \; g ^ { n } u _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } u _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } u _ { 3 } ^ { k _ { 3 } } \cdots u _ { b } ^ { k _ { b } }
\operatorname* { d e t } \left( { \vec { x } } \! - \! { \vec { f } } \! _ { 0 } , { \vec { f } } \! _ { 2 } \right) ^ { 2 } - \operatorname* { d e t } \left( { \vec { f } } \! _ { 1 } , { \vec { x } } \! - \! { \vec { f } } \! _ { 0 } \right) ^ { 2 } - \operatorname* { d e t } \left( { \vec { f } } \! _ { 1 } , { \vec { f } } \! _ { 2 } \right) ^ { 2 } = 0 .
1 . 3 . 5 \cdots 1 9 = \prod _ { k = 0 } ^ { 9 } ( 1 + 2 k ) = 2 ^ { 1 0 } \cdot { \frac { \Gamma \left( { \frac { 1 } { 2 } } + 1 0 \right) } { \Gamma \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) } }
\begin{array} { r l } { z _ { 1 } } & { = 2 W _ { 1 } + 6 W _ { 2 } + 3 W _ { 3 } + W _ { 4 } + 2 W _ { 5 } , \ \ \ z _ { 2 } = 4 W _ { 1 } + 5 W _ { 2 } + 2 W _ { 3 } + 3 W _ { 5 } , } \\ { z _ { 3 } } & { = W _ { 1 } + 2 W _ { 2 } + W _ { 3 } + 2 W _ { 6 } , \ \ \ z _ { 4 } = W _ { 2 } + 2 W _ { 4 } + 4 W _ { 5 } + W _ { 6 } , } \\ { z _ { 5 } } & { = 2 W _ { 1 } + W _ { 4 } + 3 W _ { 5 } + 2 W _ { 6 } , \ \ \ z _ { 6 } = 2 W _ { 2 } + 5 W _ { 5 } + 3 W _ { 6 } } \\ { z _ { 7 } } & { = W _ { 2 } + 2 W _ { 4 } + 4 W _ { 6 } , \ \ \ z _ { 8 } = 2 W _ { 1 } + 4 W _ { 5 } + 5 W _ { 6 } } \end{array}
\langle \nabla _ { Y ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } Y ^ { \varepsilon } , N ^ { \varepsilon } \rangle _ { \varepsilon } = \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } ( X _ { \theta } \delta ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \langle \nabla _ { ( X _ { \theta } \delta ) N - X _ { \theta } } ^ { \varepsilon } ( ( X _ { \theta } \delta ) N - X _ { \theta } ) , N + \varepsilon ^ { 2 } ( X _ { \theta } \delta ) X _ { \theta } \rangle _ { \varepsilon } .
\frac { 1 } { 4 \sinh ^ { 2 } ( z / 2 ) } = \sum _ { m = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { ( z - 2 \pi m \mathrm { i } ) ^ { 2 } } = - \partial _ { z } \sum _ { m = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { z - 2 \pi m \mathrm { i } }
\begin{array} { r } { \vert \mathbf { A } _ { 0 } ( t , x , \gamma , \tau , k ) \vert + \vert \mathbf { B } _ { 0 } ( t , x , \gamma , \tau , k ) \vert \leq C \left( \left\Vert \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ^ { \mathrm { i n } } ) \varrho ^ { \mathrm { i n } } } { 1 - \rho _ { f ^ { \mathrm { i n } } } } \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } + 1 \right) T \Lambda \left( T , R \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { { \bf v } _ { L } + { \bf v } _ { R } } { 2 } \cdot \hat { \bf N } _ { B } } & { { } = } & { \frac { { \bf v } _ { L } + { \bf v } _ { L } - 2 ( { \bf v } _ { L } \cdot \hat { \bf N } _ { B } ) \hat { \bf N } _ { B } } { 2 } \cdot \hat { \bf N } _ { B } } \end{array}