harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
R = { \left( \begin{array} { l l l } { \sin \theta \cos \varphi } & { \sin \theta \sin \varphi } & { \cos \theta } \\ { \cos \theta \cos \varphi } & { \cos \theta \sin \varphi } & { - \sin \theta } \\ { - \sin \varphi } & { \cos \varphi } & { 0 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l r l } { x _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } & { \bumpeq \left( \begin{array} { l l l } { u ( i _ { 1 } - 1 , i _ { 2 } ) } & { \cdots } & { u ( i _ { 1 } - r , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { u ( i _ { 1 } - 1 , i _ { 2 } - r ) } & { \cdots } & { u ( i _ { 1 } - r , i _ { 2 } - r ) } \end{array} \right) , } & { x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } & { \bumpeq \left( \begin{array} { l l l } { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } - 1 ) } & { \cdots } & { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } - r ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { u ( i _ { 1 } - r , i _ { 2 } - 1 ) } & { \cdots } & { u ( i _ { 1 } - r , i _ { 2 } - r ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { t ( u ) } ( \gamma ( u ) ) } & { = } & { 0 } \\ { ( p ( \gamma ( u ) ) - \overline { { p } } ( \gamma ( u ) ) ) t ^ { \prime } ( u ) + \nabla p _ { t ( u ) } ( \gamma ( u ) ) ( \gamma ^ { \prime } ( u ) ) } & { = } & { 0 } \\ { ( \overline { { p } } ( \gamma ( u ) ) - p ( \gamma ( u ) ) ) t ^ { \prime } ( u ) } & { = } & { \nabla p _ { t ( u ) } ( \gamma ( u ) ) ( N ^ { T } ( \gamma ( u ) ) ) } \\ { ( \overline { { p } } ( \gamma ( u ) ) - p ( \gamma ( u ) ) ) t ^ { \prime } ( u ) } & { > } & { 0 } \end{array}
\ m ^ { 2 } ( \beta ) = m _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } F ( D ) \left( m ( \beta ) \right) ^ { D - 2 } \int _ { m ( \beta ) \beta } ^ { \infty } d \tau \left( ( \frac { \tau } { m ( \beta ) \beta } ) ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { D - 3 } { 2 } } \frac { 1 } { e ^ { \tau } - 1 } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = S } ^ { \infty } r ^ { k ^ { 2 } } } & { { } \leq r ^ { S ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \Theta _ { _ { E } } [ 3 , 0 , r ] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { \mathrm { p a i r } } ^ { + } } { \mathrm { d } \varepsilon _ { + } \mathrm { d } t } = W _ { 0 } \bigg \{ \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ) + \frac { \varepsilon _ { - } ^ { 2 } + \varepsilon _ { + } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { - } \varepsilon _ { + } } \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ) - \frac { \varepsilon _ { \gamma } } { \varepsilon _ { + } } \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ) ( { \bf S } _ { + } \cdot \hat { { \bf b } } _ { + } ) } \\ & { } & { - \xi _ { 1 } \bigg [ \frac { \varepsilon _ { \gamma } } { \varepsilon _ { - } } \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ) ( { \bf S } _ { + } \cdot \hat { { \bf a } } _ { + } ) \bigg ] + \xi _ { 2 } \left[ \frac { \varepsilon _ { + } ^ { 2 } - \varepsilon _ { - } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { - } \varepsilon _ { + } } \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ) + \frac { \varepsilon _ { \gamma } } { \varepsilon _ { + } } \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ) \right] \times } \\ & { } & { \left. ( { \bf S } _ { + } \cdot \hat { \bf v } _ { + } ) \right] - \xi _ { 3 } \left[ \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ) - \frac { \varepsilon _ { \gamma } } { \varepsilon _ { - } } \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ) ( { \bf S } _ { + } \cdot \hat { { \bf b } } _ { + } ) \right] \bigg \} . } \end{array}
\rho _ { i } ( x , y , t = 0 ) = \frac { \rho _ { i , L } + \rho _ { i , V } } { 2 } - \frac { \rho _ { i , L } - \rho _ { i , V } } { 2 } \operatorname { t a n h } { \left\{ \frac { 2 \left[ \sqrt { \left( x - x _ { c } \right) ^ { 2 } + \left( y - y _ { c } \right) ^ { 2 } } - R \right] } { W } \right\} } ,
v _ { 1 } ^ { \prime } = \frac { v _ { 2 } \Delta ( v _ { 1 } ) } { \omega v _ { 1 } \Delta ( v _ { 2 } ) } , ~ ~ \Delta ( v _ { 1 } ^ { \prime } ) = \frac { \Delta ( v _ { 2 } / ( \omega v _ { 1 } ) ) } { \Delta ( v _ { 2 } ) } , ~ ~ v _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { \Delta ( v _ { 1 } ) } { \Delta ( v _ { 2 } ) } , ~ ~ \Delta ( v _ { 2 } ^ { \prime } ) = \frac { \omega v _ { 1 } \Delta ( v _ { 2 } / ( \omega v _ { 1 } ) ) } { \Delta ( v _ { 2 } ) } ;
{ \cal U } _ { R } = \left( \begin{array} { c c } { { ( I + x x ^ { \dag } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { ( M ^ { \dag } M + M ^ { \prime \dag } M ^ { \prime } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { - x } } \\ { { M ^ { \prime \dag } } } & { { M ^ { \dag } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \Delta \theta _ { A , B } ^ { k } } & { { } = \theta _ { A , B } ^ { k } - \theta _ { A , B } ^ { k , * } \, , } \\ { \Delta \mathcal { A } _ { A , B } ^ { k } } & { { } = \mathcal { A } _ { A , B } ^ { k } - \mathcal { A } _ { A , B } ^ { k , * } \, , } \end{array}
U ^ { ( \nu ) } = \left( \begin{array} { c c } { { { \cal O } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c c c } { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 2 } } { \xi _ { 1 } } } } } } & { { \displaystyle { - { \frac { \mu _ { 1 } } { \xi _ { 1 } } } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 3 } } { \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } } } } } } & { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } { \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } } } } } } & { { \displaystyle { - { \frac { \xi _ { 1 } } { \xi _ { 2 } } } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 4 } } { \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } } } } } } & { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 2 } \mu _ { 4 } } { \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } } } } } } & { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } } { \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } } } } } } & { { \displaystyle { - { \frac { \xi _ { 2 } } { \xi _ { 3 } } } } } } & { { 0 } } \\ { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 5 } } { \xi _ { 3 } \xi _ { 4 } } } } } } & { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 2 } \mu _ { 5 } } { \xi _ { 3 } \xi _ { 4 } } } } } } & { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 3 } \mu _ { 5 } } { \xi _ { 3 } \xi _ { 4 } } } } } } & { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 4 } \mu _ { 5 } } { \xi _ { 3 } \xi _ { 4 } } } } } } & { { \displaystyle { - { \frac { \xi _ { 3 } } { \xi _ { 4 } } } } } } \\ { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 1 } } { \xi _ { 4 } } } } } } & { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 2 } } { \xi _ { 4 } } } } } } & { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 3 } } { \xi _ { 4 } } } } } } & { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 4 } } { \xi _ { 4 } } } } } } & { { \displaystyle { { \frac { \mu _ { 5 } } { \xi _ { 4 } } } } } } \end{array} \right) ,
\alpha ^ { ( 1 ) } = - \frac { 2 \sqrt { 2 } \pi } { v ^ { 2 / 3 } } \left( \frac { \kappa } { 4 \pi } \right) ^ { 2 / 3 } \int _ { { \cal { C } } _ { \omega } } { ( ( 1 0 S + 5 ( r + 3 ) { \cal { E } } ) \sigma + 9 6 F ) } .
\frac { \partial \boldsymbol { \rho } } { \partial \mu _ { g y } } = \frac { 1 } { \Omega _ { e } } \frac { c } { e \rho } = \sqrt { \frac { m _ { e } c ^ { 2 } } { 2 e \mu _ { g y } B ( X _ { g y } ) } } ,
\begin{array} { r } { \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( n + 1 ) - \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( n ) = \frac { p _ { n o d e } } { L } \left( \frac { L _ { \alpha \beta } ( 0 ) - L _ { \lambda } \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( 0 ) } { L _ { \lambda } - 1 } \right) } \\ { + \frac { p _ { l a y e r } } { L } \left( \frac { L _ { i j } ( 0 ) - L _ { p } \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( 0 ) } { L _ { p } - 1 } \right) } \\ { + \frac { p _ { t e l } } { L } \left( \frac { ( ( L - L _ { \alpha \beta } ( 0 ) - L _ { i j } ( 0 ) ) - ( L _ { m a x } - \Delta L + 1 ) \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( 0 ) } { \L _ { m a x } - \Delta L } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \Phi _ { N } ( 0 ) | } & { \leqslant } & { \frac { \alpha _ { H } \sigma ^ { 2 } } { N T D _ { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } | b ^ { \prime } ( X _ { t } ^ { i } ) | \exp \left( I _ { N } \int _ { s } ^ { t } b ^ { \prime } ( X _ { u } ^ { i } ) d u \right) | t - s | ^ { 2 H - 2 } d s d t } \\ & { \leqslant } & { \frac { \alpha _ { H } \sigma ^ { 2 } } { T D _ { N } } \| b ^ { \prime } \| _ { \infty } M _ { N } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } | t - s | ^ { 2 H - 2 } d s d t \leqslant \frac { \sigma ^ { 2 } \| b ^ { \prime } \| _ { \infty } } { 2 T } T ^ { 2 H } \frac { M _ { N } } { D _ { N } } \leqslant \mathfrak c _ { 1 } \quad \mathrm { w i t h } \quad \mathfrak c _ { 1 } = \frac { \mathfrak c } { 2 T \overline { \alpha } _ { H } \| b ^ { \prime } \| _ { \infty } } . } \end{array}
{ \cal L } = { \frac { \bar { g } } { 4 } } \{ ( 1 - { \frac { 8 } { 3 } } \alpha ) \bar { t } \gamma _ { \mu } t + \bar { t } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } t \} Z ^ { \mu } - { \frac { \bar { g } } { 4 } } \{ ( 1 - { \frac { 4 } { 3 } } \alpha ) \bar { b } \gamma _ { \mu } b + \bar { b } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } b \} Z ^ { \mu } ,
I _ { a b } = \chi ( R _ { a } , R _ { b } ) = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { { 1 } } & { { 2 } } & { { 6 } } & { { 1 0 } } & { { 2 0 } } & { { 3 0 } } & { { 5 0 } } & { { 7 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 2 } } & { { 6 } } & { { 1 0 } } & { { 2 0 } } & { { 3 0 } } & { { 5 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 2 } } & { { 6 } } & { { 1 0 } } & { { 2 0 } } & { { 3 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 2 } } & { { 6 } } & { { 1 0 } } & { { 2 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 2 } } & { { 6 } } & { { 1 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 2 } } & { { 6 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 2 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\bar { \Omega } ^ { 2 } = \frac { | D _ { 2 } | } { \Lambda } \frac { Q } { P ( A ) } \frac { 1 } { \sinh ^ { 2 } \left[ \sqrt { D _ { 2 } } \left( \int \frac { d A } { P ( A ) } + \tilde { c } \right) \right] }
\epsilon _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ d ~ } } = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { x } \times N _ { y } - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } ( \epsilon _ { i j } - \overline { { \epsilon _ { i j } } } ) ^ { 2 } } .
\frac { d \Tilde y _ { i } } { d t } = \sum _ { j = i + 1 } ^ { m } \Tilde S _ { i j } \Tilde y _ { j } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i = 1 , \dots , m - 1 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { d \Tilde y _ { m } } { d t } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \hat { \tilde { u } } _ { i } } & { { } = \hat { l } _ { i j } \hat { E } _ { j } , } \\ { \left\langle { \hat { E } _ { m } ^ { * } \hat { E _ { j } } } \right\rangle \hat { l } _ { i j } } & { { } = \left\langle { \hat { E } _ { m } ^ { * } \hat { u } _ { i } } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { n } ( \omega ) \cong \ } & { J _ { n } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) \sum _ { l } \frac { \delta v _ { l } } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { e ^ { i \frac { \omega } { \Omega } \xi _ { l } } } { \omega _ { 0 } } \frac { a _ { n } } { 2 } \ \times } \\ & { \left[ \frac { e ^ { - i \frac { \Delta \omega } { \Omega } \sin { \xi _ { l } } } e ^ { i \frac { n \pi } { 2 } } e ^ { i n \xi _ { l } } } { \omega + \bar { \omega } _ { n } + i \Gamma / 2 } - \frac { e ^ { i \frac { \Delta \omega } { \Omega } \sin { \xi _ { l } } } e ^ { - i \frac { n \pi } { 2 } } e ^ { - i n \xi _ { l } } } { \omega - \bar { \omega } _ { n } + i \Gamma / 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { x } \Phi ( t ) \frac { d t } { f ^ { 2 } ( t ) } } & { = \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { 2 } D \left[ \frac { g ( t ) } { f ( t ) } \right] d t - ( 4 n - 4 ) \int _ { 0 } ^ { t } t \frac { g ( t ) } { f ( t ) } d t + 2 ( 2 n - 1 ) H _ { n } [ g ] ( t ) } \\ & { = x ^ { 2 } \frac { g ( x ) } { f ( x ) } - 2 ( 2 n - 1 ) \int _ { 0 } ^ { x } \left[ H _ { n } [ g ] ( t ) - t f ( t ) g ( t ) \right] d t . } \end{array}
\bar { H } _ { \mu \nu } ^ { 2 } = \bar { H } _ { \mu \alpha \beta } \bar { H } _ { \nu } { } ^ { \alpha \beta } , \ \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ \ \bar { H } ^ { 2 } = \bar { H } _ { \mu \alpha \beta } \bar { H } ^ { \mu \alpha \beta }
\begin{array} { r l r } { { \operatorname* { P r } ( X ^ { * } = 1 ) } \times \tau ( 1 ) } & { = } & { { \operatorname* { P r } ( Y = 1 ) - \operatorname* { P r } ( Y = 1 \mid X \leftarrow 0 ) } } \\ { { \operatorname* { P r } ( X ^ { * } = 0 ) } \times \tau ( 0 ) } & { = } & { { \operatorname* { P r } ( Y = 1 \mid X \leftarrow 1 ) - \operatorname* { P r } ( Y = 1 ) } } \\ { { \operatorname* { P r } ( X ^ { * } = 1 ) } \times \rho ( 1 ) } & { = } & { K - \operatorname* { P r } ( Y = 0 \mid X \leftarrow 0 ) } \\ { { \operatorname* { P r } ( X ^ { * } = 0 ) } \times \rho ( 0 ) } & { = } & { \operatorname* { P r } ( Y = 1 \mid X \leftarrow 1 ) - K } \end{array}
\int _ { X } r ( \alpha ) = \sum _ { F _ { i } ^ { ( 2 k ) } \subset F } \frac { \int _ { F _ { i } ^ { ( 2 k ) } } \alpha _ { n - k - 1 } ^ { ( 2 k ) } } { \prod \; n _ { j } ( F _ { i } ^ { ( 2 k ) } ) }
\Psi ( \omega ; \lambda ) \sim { \frac { 2 \omega ^ { D - 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { ( D - 1 ) / 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { \tilde { a } _ { n } ( \lambda ) } { \Gamma \left( { \frac { D - 1 } { 2 } } - n \right) } } \omega ^ { - 2 n } ,
\begin{array} { r l r } { p _ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { - 2 \mu r } \left( 1 2 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } e ^ { 2 \mu { r _ { 0 } } } + 2 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 0 , 0 } ^ { L } } & { = \frac { 1 - \operatorname { e r f } \left( - \frac { u _ { x } } { \sqrt { 2 } \eta } \right) } { 2 } } \\ { I _ { 1 , 0 } ^ { L } } & { = \frac { \eta e ^ { \frac { - u _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \\ { I _ { 2 , 0 } ^ { L } } & { = \frac { \eta ^ { 2 } \left( 1 - \operatorname { e r f } \left( - \frac { u _ { x } } { \sqrt { 2 } \eta } \right) \right) - \sqrt { 2 / \pi } \eta u _ { x } e ^ { \frac { - u _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } } } { 2 } } \\ { I _ { 3 , 0 } ^ { L } } & { = \frac { \eta \left( 2 \eta ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 2 } \right) e ^ { \frac { - u _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \\ { I _ { 0 , 1 } ^ { L } } & { = \frac { \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \sin \theta \cos \theta e ^ { \frac { - u _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } } } { \sqrt { 2 \pi } \eta } } \\ { I _ { 1 , 1 } ^ { L } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \sin \theta \cos \theta \left( \left( 1 - \operatorname { e r f } \left( - \frac { u _ { x } } { \sqrt { 2 } \eta } \right) \right) - \frac { \sqrt { 2 } u _ { x } e ^ { \frac { - u _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } } } { \sqrt { \pi } \eta } \right) } \\ { I _ { 2 , 1 } ^ { L } } & { = \frac { \sin \theta \cos \theta \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \left( 2 \eta ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 2 } \right) e ^ { \frac { - u _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } } } { \sqrt { 2 \pi } \eta } } \\ { I _ { 0 , 2 } ^ { L } } & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } \eta ^ { 3 } } \left( - \sqrt { 2 } \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta u _ { x } e ^ { \frac { - u _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } } + \right. } \\ { \phantom { = \; \; } } & { \left. \quad \left( 1 - \operatorname { e r f } \left( \frac { - u _ { x } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } \eta } \right) \right) \left( \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta + a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right) \sqrt { \pi } \eta \right) } \\ { I _ { 1 , 2 } ^ { L } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \eta ^ { 3 } } e ^ { \frac { - u _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } } \left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta \left( 2 \eta ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 2 } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) \right\| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { u } } ) } } & { = \left\| ( W _ { L } + \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { L } ) \circ \sigma ( W _ { L - 1 } + \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { L - 1 } ) \circ \cdots \circ \sigma ( W _ { 0 } + \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { 0 } ) ( a ) \right\| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { u } } ) } } \\ & { \leq ( C _ { w } + C _ { k } ) ^ { L + 1 } C _ { \sigma } ^ { L } C _ { a } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \mathcal { G } _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } ( t ) - \left[ h ^ { \mathrm { H F } , ( 2 ) } ( t ) , \mathcal { G } ( t ) \right] _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } } & { = \Psi _ { \mathbf { k p q } } ^ { \pm , \alpha \beta } ( t ) + \Pi _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Lambda | e ^ { \pm 2 i \phi _ { e } } | \Lambda ^ { \prime } \rangle } & { { } = \int \sin { \theta _ { e } } \mathrm { ~ d ~ } \theta _ { e } \mathrm { ~ d ~ } \phi _ { e } \sum _ { L , L ^ { \prime } } F _ { L } ^ { * } F _ { L ^ { \prime } } Y _ { L \Lambda } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) ^ { * } e ^ { \pm 2 i \phi _ { e } } Y _ { L ^ { \prime } \Lambda ^ { \prime } } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { \mathbb { E } } [ H _ { n + 1 } ] } & { \geq \sum _ { i = \{ \mathrm { l e f t , r i g h t , u p , d o w n } \} } \operatorname { \mathbb { E } } [ \mathbb { I } ( A _ { n + 1 } ^ { i } ) \mathbb { I } ( B _ { n } ^ { i } ) ] } \\ & { = \sum _ { i = \{ \mathrm { l e f t , r i g h t , u p , d o w n } \} } \operatorname { \mathbb { E } } [ \mathbb { I } ( B _ { n } ^ { i } ) ] / 4 = \operatorname { \mathbb { E } } [ \mathbb { I } ( B _ { n } ^ { \mathrm { r i g h t } } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { y _ { 1 } ( y ; 1 ) = \mathbb { P } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( y ) = - \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } , } \\ & { } & { y _ { 2 } ( y ; 1 ) = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { Q } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( y ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { - y } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } + \frac { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } { 2 } \ln \left( \frac { 1 - y } { 1 + y } \right) \right] } \end{array}
p \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p - 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) h ( \sigma ) \partial _ { \sigma } \Psi ( t - r , \sigma ) d \sigma \geq - p f _ { p } ^ { \frac { p - 1 } { p } } ( r ) \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \sigma | ^ { p \beta } | \partial _ { \sigma } \Psi ( t - r , \sigma ) | ^ { p } d \sigma \right] ^ { 1 / p } .
{ \cal A } = d y ^ { 0 } \wedge d y ^ { 1 } \wedge . . . \wedge d y ^ { q - 1 } \wedge [ d z _ { 1 } ^ { 1 } \wedge . . . \wedge d z _ { 1 } ^ { r _ { 1 } } h _ { 1 } e ^ { C _ { 1 } } + . . . + d z _ { n } ^ { 1 } \wedge . . . \wedge d z _ { n } ^ { r _ { n } } h _ { n } e ^ { C _ { n } } ] ,
\dot { Q } _ { e } ( \dot { g } , \dot { F } ) : = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { S } \frac { d } { d s } \Big \lvert _ { s = 0 } \star _ { g + s \dot { g } } ( F + s \dot { F } ) , \qquad \dot { Q } _ { m } ( \dot { F } ) : = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { S } \frac { d } { d s } \Big \lvert _ { s = 0 } ( F + s \dot { F } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { S } \dot { F } .
\begin{array} { r l } { \quad \operatorname* { s u p } _ { r > 1 } \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ( \cdot ) } - \frac { n } { q } } \| \chi _ { B ( 0 , 1 ) } \chi _ { B ( \cdot , r ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } & { \le \operatorname* { s u p } _ { r > 1 } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p _ { + } } - \frac { n } { q } } \left\| \| \chi _ { B ( 0 , 1 ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \cdot \chi _ { B ( 0 , r + 1 ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \operatorname* { s u p } _ { r > 1 } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p _ { + } } - \frac { n } { q } } ( r + 1 ) ^ { \frac { n } { q } } } \\ & { \lesssim \operatorname* { s u p } _ { r > 1 } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p _ { + } } } } \\ & { < \infty . } \end{array}
[ { \frac { \partial } { \partial a } } + \beta ( \xi _ { R } ) { \frac { \partial } { \partial \xi _ { R } } } + ( 3 - { \frac { n } { 2 } } ) ] \Gamma ^ { n } ( e ^ { - a } p _ { i } , e ^ { - 2 a } \omega _ { i } , \xi _ { R } , \mu ) = 0 .
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } \, } & { = \, \frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \phi } \bigl \{ \phi _ { * } \, , \, \tilde { \zeta } \bigr \} \, \mathrm { d } X - \frac { \epsilon \bar { r } \dot { \bar { z } } } { \delta \Gamma } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \phi } \, \partial _ { Z } \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X - \frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } - \tilde { \phi } \bigr ) \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \, \zeta _ { * } \bigr \} \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { = \, \frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \phi } \Bigl \{ \phi _ { * } - \frac { \bar { r } \dot { \bar { z } } } { 2 \Gamma } \, ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } \, , \, \tilde { \zeta } \Bigr \} \, \mathrm { d } X - \frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \tilde { \eta } \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \, \zeta _ { * } \bigr \} \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { = \, \frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \Bigl \{ \tilde { \phi } \, , \, \phi _ { * } - \frac { \bar { r } \dot { \bar { z } } } { 2 \Gamma } \, ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } \Bigr \} \tilde { \zeta } \, \mathrm { d } X - \frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } ( 1 + \epsilon R ) \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \, \zeta _ { * } \bigr \} \tilde { \zeta } \, \mathrm { d } X \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } ^ { A } = \sum _ { p q } ^ { 2 N _ { A } } h _ { p q } ^ { A } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } ^ { 2 N _ { A } } V _ { p q r s } ^ { A } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { r } ^ { \dagger } a _ { s } a _ { q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { s } _ { 2 } ( x ) } & { = \mathbf { P } _ { x } ( T _ { l _ { 1 } } < T _ { r _ { 1 } } ) \mathbf { P } _ { l _ { 1 } } ( T _ { r _ { 2 } } < T _ { l _ { 2 } } ) + \mathbf { P } _ { x } ( T _ { r _ { 1 } } < T _ { l _ { 1 } } ) \mathbf { P } _ { r _ { 1 } } ( T _ { r _ { 2 } } < T _ { l _ { 2 } } ) } \\ & { = ( c _ { r _ { 1 } } - c _ { l _ { 1 } } ) \mathbf { s } _ { 1 } ( x ) + c _ { l _ { 1 } } , } \end{array}
W ( \delta { \mathcal F } _ { e } , \delta { \mathcal F } _ { i } ) = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } x \mathrm { d } y \left( \frac { \tau _ { s } \beta _ { e } } { 2 } \sum _ { s } \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { d } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } \mathcal { J } _ { 0 s } \delta { \mathcal F } _ { s } ^ { 2 } + | \nabla _ { \perp } A _ { \parallel } | ^ { 2 } + d _ { i } ^ { 2 } | B _ { \parallel } | ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } } ( T \mathbf { v } ) } & { = \frac { \partial } { \partial \mathbf { v } } \left( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( T \mathbf { v } ) \right) } \\ & { = \frac { \partial } { \partial \mathbf { v } } \left( T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) \right) } \\ & { = T _ { r o t } \frac { \partial } { \partial \mathbf { v } } \left( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) \right) } \\ & { = T _ { r o t } J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } } ( \mathbf { v } ) } \end{array}