harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \| u _ { \ell } ( t _ { 1 } ) - u _ { \ell } ( t _ { 2 } ) \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s ^ { \prime } } } } \\ & { = \left\| \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { Z } } \left| 2 ^ { j s ^ { \prime } } \Delta _ { j } \sum _ { j = - \infty } ^ { \ell } \Delta _ { k } ( u ( t _ { 1 } ) - u ( t _ { 2 } ) ) \right| \right\| _ { { L } ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim \left\| \left( \operatorname* { s u p } _ { - 1 \leq j \leq \ell + 1 } 2 ^ { j ( 1 - s + s ^ { \prime } ) } \right) \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { Z } } \left| 2 ^ { j ( s - 1 ) } \Delta _ { j } ( u ( t _ { 1 } ) \! - \! u ( t _ { 2 } ) ) \right| \right\| _ { { L } ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim | t _ { 1 } - t _ { 2 } | , } \end{array}
V ^ { q } ( \psi \otimes \bar { w } , z ) \; ( \chi \otimes \bar { v } ) : = \sum _ { \bar { w } ^ { \prime } , \bar { v } ^ { \prime } } \left( \widetilde { F } ^ { - 1 } \right) _ { \bar { w } ^ { \prime } , \bar { v } ^ { \prime } } ^ { \bar { w } , \bar { v } } V ( \psi \otimes \bar { w } ^ { \prime } , z ) \; ( \chi \otimes \bar { v } ^ { \prime } ) ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \omega \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { W } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - y } { x \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + y \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 } d x \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { x } { x \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + y \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 } d y \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } ( t , \hbar ) \leq } & { C ^ { | \alpha | + | \tilde { \alpha } | } \hbar ^ { \frac 2 7 } \frac { ( \hbar ^ { - 1 } t ) ^ { 2 k - 2 - n } } { ( k - m _ { 2 } + m _ { 1 } ) ! ( k - m _ { 2 } + m _ { 1 } - n ) ! ( m _ { 2 } - m _ { 1 } - 1 ) ! ( m _ { 2 } - m _ { 1 } - 1 ) ! } \sum _ { m = 1 } ^ { k } \alpha _ { m } \sum _ { m = 1 } ^ { k } \tilde { \alpha } _ { m } } \\ { \leq } & { C ^ { | \alpha | + | \tilde { \alpha } | } \hbar ^ { \frac 2 7 } \frac { 2 ^ { 2 k - 2 - n } ( \hbar ^ { - 1 } t ) ^ { 2 k - 2 - n } } { ( k - 1 ) ! ( k - 1 - n ) ! } \sum _ { m = 1 } ^ { k } \alpha _ { m } \sum _ { m = 1 } ^ { k } \tilde { \alpha } _ { m } . } \end{array}
\ln ( 1 + u ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n } } u ^ { n } = u - { \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { u ^ { 3 } } { 3 } } - \cdots
V = q \left( { { \cal A } _ { 0 } \left( y \right) - { \cal A } _ { 0 } \left( { y ^ { \prime } } \right) } \right) = \frac { { q ^ { 2 } \sqrt \pi } } { { 2 g } } \sqrt { \frac { a - 1 } { { a } } } \left( { 1 - e ^ { - \frac { g } { { \sqrt \pi } } \sqrt { \frac { a } { { a - 1 } } } | y - y ^ { \prime } | } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x , y } [ \left| \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| ] = } & { e ^ { - \left( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } \lambda _ { y } ^ { 2 } \right) | \alpha | ^ { 2 } } ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) \Omega _ { x , y } \left| \lambda _ { x } \lambda _ { y } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \lambda _ { x } \lambda _ { y } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| } \\ & { + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \chi _ { x , m } \left( 1 - e ^ { - \left( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } \lambda _ { y } ^ { 2 } \right) | \alpha | ^ { 2 } } \frac { ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) } { \sqrt { 1 - \chi _ { y , m } ^ { 2 } } } \right) \left| m \middle > \middle < m \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { M = H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) \operatorname* { d e t } \left[ \begin{array} { l } { H _ { \nu } ^ { \mu } ( V , \xi ) - \frac { H _ { \parallel } ^ { \mu } ( V , \xi ) H _ { \nu } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } { H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } } \end{array} \right] } \\ & { } & { = H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) \operatorname* { d e t } \left[ A \delta _ { \nu } ^ { \mu } + U _ { 1 } ^ { \mu } l _ { \nu } + U _ { 2 } ^ { \mu } \xi _ { \nu } \right] } \\ & { } & { = A ^ { 2 } H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) \Big [ A ^ { 2 } + A \left( U _ { 1 } ^ { \mu } l _ { \mu } + U _ { 2 } ^ { \mu } \xi _ { \mu } \right) + U _ { 1 } ^ { \mu } l _ { \mu } U _ { 2 } ^ { \nu } \xi _ { \nu } - U _ { 1 } ^ { \mu } \xi _ { \mu } U _ { 2 } ^ { \nu } l _ { \nu } \Big ] \; , } \end{array}
Q = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { \frac { - \cos { \psi } } { \rho a } } & { 0 } & { - \sin { \psi } } & { 0 } & { \frac { \cos { \psi } } { \rho a } } \\ { \frac { - \sin { \psi } } { \rho a } } & { 0 } & { \cos { \psi } } & { 0 } & { \frac { \sin { \psi } } { \rho a } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
{ \hat { \bar { \Psi } } } \ = \ \sum _ { j = | k | - 1 / 2 } ^ { \infty } \sum _ { | m | \le j } [ { \bar { a } } _ { - k m } ^ { j + } { \hat { D } } _ { - k - 1 / 2 , m } ^ { j } a \ + \ { \bar { a } } _ { - k m } ^ { j - } { \hat { D } } _ { - k + 1 / 2 , m } ^ { j } a ^ { * } ] \ \in \ { \hat { \cal S } } _ { - k } \ ,
\lambda _ { 2 } ( g ) = \lambda ^ { ( 2 , 0 ) } \; \frac { g ^ { 2 } } { 2 } + \lambda ^ { ( 2 , 1 ) } \; \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \log ( g ) + O ( g ^ { 3 } , g ^ { 3 } \log ( g ) ) .
\begin{array} { r l } { W _ { i } ( G _ { f } ) } & { = W _ { i } ( \{ ( x , f ( x ) ) : x \in [ x _ { 0 } , x _ { N } ] \} ) } \\ & { = \{ ( L _ { i } ( x ) , F _ { i } ( x , f ( x ) ) ) : x \in [ x _ { 0 } , x _ { N } ] \} } \\ & { = \{ ( L _ { i } ( x ) , f ( L _ { i } ( x ) ) ) : x \in [ x _ { 0 } , x _ { N } ] \} } \\ & { = \{ ( x , f ( x ) ) : x \in [ x _ { i - 1 } , x _ { i } ] \} . } \end{array}
\left( - { \frac { 3 } { 4 } } \omega - { \frac { 9 } { 3 2 } } \right) ^ { 2 } > { \frac { 9 } { 1 0 2 4 } } \left( - 6 4 \omega { \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } + 9 - 6 4 { \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \omega ^ { 2 } \right) \, ,
E = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \, \left( \left( \left| G \left( \omega \right) H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } - 1 \right) S _ { x , x } \left( \omega \right) + \left| G \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \lVert a b - b a \rVert _ { 2 , K } } & { \le \lVert a b - E ( a ) b \rVert _ { 2 , K } + \lVert b E ( a ) - b a \rVert _ { 2 , K } } \\ & { \le \lVert a - E ( a ) \rVert _ { 2 , K } \lVert b \rVert + \lVert b \rVert \lVert E ( a ) - a \rVert _ { 2 , K } } \\ & { \le 2 \lVert E ( a ) - a \rVert _ { 2 , K } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } } & { = \textstyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { n ^ { \prime } = 1 , n ^ { \prime } \neq n } ^ { N } \bar { g } _ { n } \bar { g } _ { n ^ { \prime } } ^ { * } \bar { h } _ { n } \bar { h } _ { n ^ { \prime } } ^ { * } R _ { \psi _ { n } \psi _ { n ^ { \prime } } } [ \tau ] \; + } \\ & { + \textstyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \left| \bar { g } _ { n } \right| ^ { 2 } + \alpha _ { g _ { n } } ^ { | \tau | } \sigma _ { g _ { n } } ^ { 2 } \right) \left( \left| \bar { h } _ { n } \right| ^ { 2 } + \alpha _ { h _ { n } } ^ { | \tau | } \sigma _ { h _ { n } } ^ { 2 } \right) R _ { \psi _ { n } \psi _ { n } } [ \tau ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = \psi _ { x x } + k _ { y } ^ { 2 } \phi _ { \zeta \zeta } + c _ { x } \psi _ { x } - k _ { x } c _ { x } \psi _ { \zeta } , \quad x < 0 , \zeta \in \mathbb { R } , } & \\ { 0 } & { = \psi ( x , \zeta + 2 \pi ) - \psi ( x , \zeta ) , \qquad x \leq 0 , \zeta \in \mathbb { R } } & \\ { 0 } & { = \psi _ { x } - g _ { \mathrm { S H } } ( \psi + \zeta ) + k _ { x } , \quad x = 0 , \zeta \in \mathbb { R } } & \\ { 0 } & { = \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow - \infty } \psi ( x , \zeta ) , \qquad \zeta \in \mathbb { R } . } & \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r } { \partial _ { t } f ( \mathbf { p } , t ) } & { = \nabla _ { p } \cdot \left( \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { k } ^ { d } } W ( \mathbf { k } , t ) \Phi ( \mathbf { p } , \mathbf { k } ) d \mathbf { k } \right] \cdot \nabla _ { p } f ( \mathbf { p } , t ) \right) , } & { \mathrm { ( V e d e n o v ~ e t ~ a l . } ) } \\ { \partial _ { t } W ( \mathbf { k } , t ) } & { = \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { p } ^ { d } } \left( \nabla _ { p } f ( \mathbf { p } , t ) \right) \cdot \Phi ( \mathbf { p } , \mathbf { k } ) \cdot \left( \nabla _ { p } E ( \mathbf { p } ) \right) d \mathbf { p } \right] W ( \mathbf { k } , t ) , } & { \mathrm { ( L a n d a u ) } } \end{array} \right.
= - \int _ { \Sigma _ { t } } \bar { J } ^ { \mu } ( t ) d \Sigma _ { \mu } + { \frac { \bar { \kappa } } { 2 \pi } } \bar { S } + \int _ { C _ { \infty } } \sqrt { \gamma } d ^ { 2 } y \bar { B } \bar { N } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \theta ( x , } & { { } t _ { k } ) = \frac { T _ { w } } { \pi } \left( \tan ^ { - 1 } \left( \frac { L - x _ { 1 } } { x _ { 2 } } \right) + \tan ^ { - 1 } \left( \frac { L + x _ { 1 } } { x _ { 2 } } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { d I } { d \epsilon } \right) _ { b } } & { { } = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { d I } { d \epsilon } \right) _ { s p } \frac { Q } { 2 \pi \sigma _ { \perp } ^ { 2 } e } e ^ { - \frac { r _ { \beta } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \perp } ^ { 2 } } } r _ { \beta } d r _ { \beta } } \end{array}
B _ { G G } = \left( \begin{array} { l l l } { \cos { \frac { 2 \pi } { 3 } } } & { i \sin { \frac { 2 \pi } { 3 } } } & { 0 } \\ { i \sin { \frac { 2 \pi } { 3 } } } & { \cos { \frac { 2 \pi } { 3 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { 2 \pi i / 3 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \ { \zeta _ { T H z } } \left( { \theta , \varphi } \right) \propto \int { { \left| { { \mathbf { E } _ { T H z } } \left( { \theta , \varphi , t } \right) } \right| ^ { 2 } } } \textrm { d } t } \end{array}
\textrm { E f f i c i e n c y } = \frac { N _ { \mathrm { t r a c k s } } ^ { \mathrm { m a t c h e d } } } { N _ { \mathrm { t r a c k s } } ^ { \mathrm { g e n e r a t e d } } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \textrm { F a k e r a t e } = \frac { N _ { \mathrm { t r a c k s } } ^ { \mathrm { f a k e } } } { N _ { \mathrm { t r a c k s } } ^ { \mathrm { r e c o n s t r u c t e d } } } \, .
\begin{array} { r l r l r l } & { r c = 2 } & & { c r = 1 + \psi } & & { 2 \eta = 0 } \\ & { r \psi = r } & & { \psi ^ { 2 } = \mathrm { i d } \, } & & { \eta ^ { 3 } = 0 } \\ & { \psi c = c } & & { \psi \beta _ { \scriptscriptstyle U } = - \beta _ { \scriptscriptstyle U } \psi } & & { \xi = r \beta _ { \scriptscriptstyle U } ^ { 2 } c } \end{array}
R _ { \mathrm { r e g } } ( s , \tau _ { 0 } ) = 1 + { \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \mathrm { d } u \, { \frac { \sin ( \pi u ) } { \pi u } } \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \infty } \! \mathrm { d } \tau \, \widehat w _ { D } ( \tau ) \, \bigg ( { \frac { \tau s } { \Lambda _ { V } ^ { 2 } } } \bigg ) ^ { - u } \, .
\begin{array} { r l } { e _ { i j } } & { { } = b _ { i j } ^ { ( 1 ) } p _ { f } ^ { ( 1 ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( 1 ) } } & { { } = a _ { 2 2 } p _ { f } ^ { ( 1 ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( 2 ) } } & { { } = a _ { 2 3 } p _ { f } ^ { ( 1 ) } \, } \end{array}
{ \frac { \partial \mathbf { f } } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } = \left( { \frac { \partial \mathbf { f } _ { 1 } } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } \right) \times \mathbf { f } _ { 2 } ( \mathbf { v } ) + \mathbf { f } _ { 1 } ( \mathbf { v } ) \times \left( { \frac { \partial \mathbf { f } _ { 2 } } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } \right)
B = \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \hat { B } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, .
\small \left\{ \begin{array} { r l } & { \textbf { G } = ( \textbf { G } _ { 2 D } , G _ { z } ) = \textbf { T } + \nabla \left( \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } \right) \times \boldsymbol { \omega } ^ { * , n + 1 } , \qquad \textbf { Y } = \textbf { G } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla P ^ { n + 1 } , } \\ & { \textbf { J } = ( \textbf { J } _ { 2 D } , J _ { z } ) = \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } \textbf { n } \times \boldsymbol { \omega } ^ { * , n + 1 } , \quad \textbf { K } = \left( \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } - \nu _ { m } \right) \boldsymbol { \omega } ^ { * , n + 1 } , \quad \textbf { L } = \left( \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } - \nu _ { m } \right) \textbf { n } \times \boldsymbol { \omega } ^ { * , n + 1 } . } \end{array} \right.
\left\langle A _ { 1 } \left( d , \lambda , t _ { 1 } \right) A _ { 2 } \left( d , \lambda , t _ { 2 } \right) \right\rangle = \left\vert G ^ { ( 1 ) } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } \right) \right\vert ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { H _ { E \mathrm { g c } 2 } } & { { } = } & { - \, q \left( \Phi ^ { \prime } G _ { 2 } ^ { \psi } + \Phi _ { 1 } ^ { \prime } G _ { 1 } ^ { \psi } \right) - B _ { 0 } \, G _ { 1 } ^ { \mu } } \end{array}
\mathcal { J } ( \mathbf { q } ^ { 0 } , \dots , \mathbf { q } ^ { K } , \ensuremath { \mathbf { x } } ) = \overline { { \Delta p _ { 0 } ( \mathbf { q } ^ { K _ { 0 } } , \dots , \mathbf { q } ^ { K } ) } } + \alpha \left\| u _ { t } ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) \right\| ,
\alpha _ { i } = \frac { \alpha _ { i } ^ { 0 } } { 1 + b _ { i } \alpha _ { i } ^ { 0 } t } , \ \ \ \ Y _ { k } = \frac { Y _ { k } ^ { 0 } u _ { k } } { 1 + a _ { k k } Y _ { k } ^ { 0 } \int _ { 0 } ^ { t } u _ { k } } ,
\mathcal { F } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) = ( E _ { x } , E _ { y } , 0 ) \, w ^ { 2 } \, e ^ { - \frac { w ^ { 2 } } { 4 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } & { N \ge } \\ & { \frac { { P _ { { \mathrm { B S - A } } } ^ { \operatorname* { m a x } } } } { { P _ { { \mathrm { B S - P } } } ^ { \operatorname* { m a x } } } } \frac { { P _ { \mathrm { A } } ^ { \operatorname* { m a x } } { \sigma ^ { 2 } } } } { { P _ { \mathrm { A } } ^ { \operatorname* { m a x } } \sigma _ { v } ^ { 2 } \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \! { { { \left| { { f _ { n } } } \right| } ^ { 2 } } } \! + \! { \sigma ^ { 2 } } \left( { P _ { { \mathrm { B S } } } ^ { \operatorname* { m a x } } \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \! { { \left| { { g _ { n } } } \right| } ^ { 2 } } \! + \! \sigma _ { v } ^ { 2 } } \right) } } } \\ & { \approx \frac { { P _ { { \mathrm { B S - A } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } } } { { P _ { { \mathrm { B S - P } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } } } \frac { { P _ { \mathrm { A } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } { \sigma ^ { 2 } } } } { { \left( { P _ { \mathrm { A } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } \sigma _ { v } ^ { 2 } \varrho _ { f } ^ { 2 } + P _ { { \mathrm { B S - A } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } { \sigma ^ { 2 } } \varrho _ { g } ^ { 2 } + { \sigma ^ { 2 } } \sigma _ { v } ^ { 2 } } \right) } } , } \end{array}
\psi ( t + \tau ) - \psi _ { e c } ( t + \tau ) = \left( e ^ { \tau \left( S _ { 1 } + S _ { 2 } \right) } - e ^ { \tau S _ { 1 } } e ^ { \tau S _ { 2 } } \right) \psi ( t ) = \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 } \left( S _ { 2 } S _ { 1 } - S _ { 1 } S _ { 2 } \right) + O \left( \tau ^ { 3 } \right) .
2 7 a _ { 4 } a _ { 1 } ^ { 2 } - 7 2 a _ { 4 } a _ { 2 } a _ { 0 } + 2 a _ { 2 } ^ { 3 } - 9 a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } + 2 7 a _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 0 } = 0
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 1 } } & { = \langle \hat { \mathcal { P } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { { D } } } \hat { A } - \hat { A } \hat { \mathcal { P } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { { D } } } - \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } \hat { A } + \hat { A } \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } \rangle _ { 0 } } \\ & { = \langle \Psi _ { 0 } | \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { { D } } } \hat { A } | \Psi _ { 0 } \rangle + \langle \Psi _ { 0 } | \hat { A } \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } | \Psi _ { 0 } \rangle . } \end{array}
\delta { \hat { W } } _ { n k u } \simeq \frac { \pi \alpha _ { E } } { 2 ^ { 5 / 2 } } ( 1 - \lambda _ { 0 } B _ { 0 } / 2 ) { \bar { \omega } } \left[ 2 - { \bar { \omega } } \ln \left( \frac { { \bar { \omega } } + 1 } { { \bar { \omega } } - 1 } \right) \right] ,
\begin{array} { r l r } { S _ { \mathrm { o n } } ( t , x , \rho , \rho * \omega _ { \eta , \delta } ) } & { = } & { \mathbf { 1 } _ { \mathrm { o n } } ( x ) q _ { \mathrm { o n } } ( t ) \left( 1 - \frac { \rho } { \rho _ { \operatorname* { m a x } } } \right) \left( 1 - \frac { \rho * \omega _ { \eta , \delta } } { \rho _ { \operatorname* { m a x } } } \right) , } \\ { S _ { \mathrm { o f f } } ( t , x , \rho ) } & { = } & { \mathbf { 1 } _ { \mathrm { o f f } } ( x ) q _ { \mathrm { o f f } } ( t ) \frac { \rho } { \rho _ { \operatorname* { m a x } } } , } \end{array}
\mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { v \neq w \in \mathcal { N } _ { L ^ { 2 } } ^ { L } } \mathbb { P } _ { x _ { v } } \left( N _ { t N - L ^ { 2 } } ^ { ( v ) } > 0 \right) \mathbb { P } _ { x _ { w } } \left( N _ { t N - L ^ { 2 } } ^ { ( w ) } > 0 \right) \right] \leqslant 1 6 C L ^ { 2 } h ( 0 , x ) a ( t N - 2 L ^ { 2 } ) ^ { 2 } { Q _ { x } ^ { 2 , L ^ { 2 } } ( r ( \zeta _ { v } ) h ( | v | , \zeta _ { v } ) ) , }
\begin{array} { r l r } { { \cal A } _ { n l } ( q ) } & { = } & { ( 2 l + 1 ) \; { \cal I } _ { n l } ^ { 2 } ( q ) , } \\ { { \cal B } _ { n l } ( \omega , q ) } & { = } & { { \cal I } _ { n l } ( q ) \left[ ( l + 1 ) { \cal J } _ { n l l + 1 } ( \omega , q ) - l { \cal J } _ { n l l - 1 } ( \omega , q ) \right] , } \\ { { \cal C } _ { n l } ( \omega , q ) } & { = } & { \frac { l ( l + 1 ) } { 2 l + 1 } \left[ { \cal J } _ { n l l + 1 } ( \omega , q ) + { \cal J } _ { n l l - 1 } ( \omega , q ) \right] ^ { 2 } , } \\ { { \cal D } _ { n l } ( \omega , q ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 l + 1 } \left\{ { l ( l - 1 ) } [ { \cal J } _ { n l l - 1 } ( \omega , q ) J _ { N - 1 } ( X _ { q } ) + { \cal J } _ { n l l - 1 } ( - \omega , q ) J _ { N + 1 } ( X _ { q } ) ] ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { + ( l + 1 ) ( l + 2 ) [ { \cal J } _ { n l l + 1 } ( \omega , q ) J _ { N - 1 } ( X _ { q } ) + { \cal J } _ { n l l + 1 } ( - \omega , q ) J _ { N + 1 } ( X _ { q } ) ] ^ { 2 } } \\ & { } & { - { 6 l ( l + 1 ) } [ { \cal J } _ { n l l + 1 } ( \omega , q ) J _ { N - 1 } ( X _ { q } ) + { \cal J } _ { n l l + 1 } ( - \omega , q ) J _ { N + 1 } ( X _ { q } ) ] } \\ & { } & { \times \left. [ { \cal J } _ { n l l - 1 } ( \omega , q ) J _ { N - 1 } ( X _ { q } ) + { \cal J } _ { n l l - 1 } ( - \omega , q ) J _ { N + 1 } ( X _ { q } ) ] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } } & { = - \frac { \alpha t } { 1 5 } + \sum _ { m \ge 0 } \pi \Big ( \sigma b _ { m } ^ { 2 } \lambda _ { m } X _ { m } - b _ { m } ^ { 1 } \delta _ { m } C _ { m } \Big ) \sigma ^ { 2 m } \, , } \\ { \Psi _ { 2 } } & { = \sum _ { m \ge 0 } b _ { m } ^ { 1 } \delta _ { m } Z _ { m } \sigma ^ { 2 m } \, , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { R } \mathrm { d } r \, \left[ u _ { 1 \epsilon \kappa } \left( r \right) u _ { 1 \epsilon ^ { \prime } \kappa } \left( r \right) + u _ { 2 \epsilon \kappa } \left( r \right) u _ { 2 \epsilon ^ { \prime } \kappa } \left( r \right) \right] = \frac { u _ { 1 \epsilon \kappa } \left( R \right) u _ { 2 \epsilon ^ { \prime } \kappa } \left( R \right) - u _ { 1 \epsilon ^ { \prime } \kappa } \left( R \right) u _ { 2 \epsilon \kappa } \left( R \right) } { \epsilon - \epsilon ^ { \prime } } \, .
\begin{array} { r l } { \left( { \frac { - 1 } { p } } \right) } & { { } = ( - 1 ) ^ { \frac { p - 1 } { 2 } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { p \equiv 1 { \bmod { 4 } } } \\ { - 1 } & { p \equiv 3 { \bmod { 4 } } } \end{array} \right. } } \\ { \left( { \frac { 2 } { p } } \right) } & { { } = ( - 1 ) ^ { \frac { p ^ { 2 } - 1 } { 8 } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { p \equiv 1 , 7 { \bmod { 8 } } } \\ { - 1 } & { p \equiv 3 , 5 { \bmod { 8 } } } \end{array} \right. } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c h } \left( \sum _ { j } ^ { n } ( - 1 ) ^ { j } V \otimes \Lambda ^ { j } { \overline { { T ^ { * } X } } } \right) } & { = \operatorname { c h } ( V ) \prod _ { j } ^ { n } \left( 1 - e ^ { x _ { j } } \right) ( T X ) } \\ { \operatorname { T d } ( T X \otimes \mathbb { C } ) = \operatorname { T d } ( T X ) \operatorname { T d } \left( { \overline { { T X } } } \right) } & { = \prod _ { i } ^ { n } { \frac { x _ { i } } { 1 - e ^ { - x _ { i } } } } \prod _ { j } ^ { n } { \frac { - x _ { j } } { 1 - e ^ { x _ { j } } } } ( T X ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { C _ { i , j } } & { = \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } ( s + 1 ) \alpha _ { 1 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } , } \\ { - C _ { j , i } } & { = - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } ( s + 1 ) \alpha _ { 1 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s } & { { } = { \bigl ( } F ( f ) \circ \pi _ { \operatorname { d o m } ( f ) } { \bigr ) } _ { f \in \operatorname { H o m } ( J ) } } \\ { t } & { { } = { \bigl ( } \pi _ { \operatorname { c o d } ( f ) } { \bigr ) } _ { f \in \operatorname { H o m } ( J ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | L _ { \kappa , \rho , \rho ^ { \prime } } ( H ; \lambda ) - \imath \, s \, 1 _ { \rho ^ { \prime } } | ^ { 2 } \; \geq \; } & { { } \kappa ^ { 2 } \, D _ { \rho ^ { \prime } } ^ { 2 } \, + \, g ^ { 2 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ^ { 4 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } \, + \, E _ { \rho , \rho ^ { \prime } } ( s , \lambda ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { i \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t _ { 1 } } \frac { w _ { 2 } } { w _ { 1 } } \frac { 1 } { b ^ { 3 } } - \frac { m } { 2 } \frac { w _ { 2 } } { w _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { b ^ { 3 } } ( x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } ) \psi _ { 1 } - l \omega _ { 1 } \frac { w _ { 2 } } { w _ { 1 } } \frac { 1 } { b ^ { 3 } } \psi _ { 1 } = - \frac { w _ { 2 } } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { b ^ { 3 } } - \frac { w _ { 2 } } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { 1 } } { \partial y _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { b ^ { 3 } } . } \end{array}
S _ { f _ { i } } = \left( 1 - \frac { \Delta t } { 2 \tau } \right) \hat { F _ { i } } = \left( 1 - \frac { \Delta t } { 2 \tau } \right) w _ { i } \left[ \frac { \mathbf { c _ { i } } - \mathbf { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { ( \mathbf { c _ { i } } \cdot \mathbf { u } ) \mathbf { c _ { i } } } { c _ { s } ^ { 4 } } \right] \cdot \mathbf { F }
\pi _ { m } ^ { ( \Psi ) } ( x , \lambda + \Delta \lambda ) = \pi _ { m } ^ { ( \Psi ) } ( x , \lambda + 0 . 5 \Delta \lambda ) - 0 . 5 s ( \lambda + \Delta \lambda ) \mathcal { E } ^ { ( m ) } ( x , \lambda + \Delta \lambda ) \Delta \lambda