harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } \big \{ \mathbf { k } ( t ) \big \vert \mathbf { F } ; \boldsymbol { \Omega } ^ { ( d - 1 ) } \big \} = } & { [ \mathbf { H } ^ { ( d - 1 ) } ] ^ { H } \mathbf { r } ( t ) , } \\ { \mathcal { D } \big \{ \mathbf { k } ( t ) \big \vert \mathbf { F } ; \boldsymbol { \Omega } ^ { ( d - 1 ) } \big \} = } & { \mathbf { O } ^ { ( d - 1 ) } - } \\ & { [ \mathbf { H } ^ { ( d - 1 ) } ] ^ { H } \mathbf { G } ^ { ( d - 1 ) } \mathbf { H } ^ { ( d - 1 ) } \succeq \mathbf { 0 } _ { V } , } \\ { \mathcal { E } \big \{ \mathbf { j } ( t ) \big \vert \mathbf { F } ; \boldsymbol { \Omega } ^ { ( d - 1 ) } \big \} = } & { \mathbf { Q } ^ { ( d - 1 ) } [ \mathbf { G } ^ { ( d - 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathbf { r } ( t ) , } \\ { \mathcal { D } \big \{ \mathbf { j } ( t ) \big \vert \mathbf { F } ; \boldsymbol { \Omega } ^ { ( d - 1 ) } \big \} = } & { \mathbf { Q } ^ { ( d - 1 ) } - } \\ & { \mathbf { Q } ^ { ( d - 1 ) } [ \mathbf { G } ^ { ( d - 1 ) } ] ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { ( d - 1 ) } \succeq \mathbf { 0 } _ { W } . } \end{array}
\frac { S } { n } = \frac { 4 \pi Z _ { b } ^ { 2 } Z _ { t } ^ { 2 } e ^ { 4 } } { m _ { t } v _ { p } ^ { 2 } } \mathrm { l n } ( \Lambda _ { n } ) + \frac { 4 \pi Z _ { b } ^ { 2 } e ^ { 4 } Z } { m _ { e } v _ { F } ^ { 3 } } v _ { p } \mathrm { l n } ( \Lambda _ { f } ) .
\frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 ^ { \alpha - 1 } ( \alpha + 1 ) ^ { 2 } } \left( \frac { s } { s _ { 0 } } \right) ^ { \alpha } \left[ \frac { 2 ( \alpha - 1 ) } { \sqrt { s _ { 0 } } } V _ { 2 } ( t ) + \frac { \sqrt { s _ { 0 } } ( \alpha + 1 ) } { 2 } V _ { 5 } ( t ) \right] ^ { 2 } .
\mathbf { z } = ( \tilde { u } ^ { ( 0 ) } , \tilde { v } ^ { ( 0 ) } , \tilde { w } ^ { ( 0 ) } , \tilde { b } ^ { ( 1 + \alpha ) } / \bar { N } , \frac { c _ { p } } { R } \bar { \theta } ^ { ( 0 ) } \tilde { \pi } ^ { ( 2 + \alpha ) } )
\begin{array} { r l } { \langle q _ { l i m } \rangle } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { X } ( \alpha ) \cdot \left[ { \pi } _ { 1 } ( \alpha ) + \sum _ { \mu = 2 } { \pi } _ { \mu } ( \alpha ) \cdot \prod _ { \phi = 2 } ^ { \mu } \Theta \left( \sum _ { \nu = 1 } ^ { \phi - 1 } { \pi } _ { \nu } ( \alpha ) - \frac { { \epsilon } _ { \phi } } { { \Lambda } _ { b } } \right) \right] \, d \alpha } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { t r } \left( { \int { d \Omega \; { y _ { j ^ { \prime } \, m ^ { \prime } } ^ { k ^ { \prime } } } ^ { \dagger } \; y _ { j \, m } ^ { k } } } \right) = \delta ^ { k \, k ^ { \prime } } \delta _ { j \, j ^ { \prime } } \delta _ { m \, m ^ { \prime } } .
Z [ A ] = \exp \left[ - V T { \frac { m ^ { 2 } } { 2 g ^ { 2 } } } + \mathrm { T r } \ln \Bigl [ \gamma _ { \mu } \bigl ( \partial _ { \mu } - i A _ { \mu } \bigr ) + m \Bigr ] \right] \Bigl ( 1 + O ( \mathrm { ~ 2 ~ - l o o p } ) \Bigr ) \equiv { \mathrm e } ^ { - V T { \mathrm { \Large ~ v ~ } } _ { \mathrm { T } } } \Bigl ( 1 + O ( \mathrm { ~ 2 ~ - l o o p } ) \Bigr ) \ ,
E \frac { { d \sigma } } { { d ^ { 3 } p } } ( S , p _ { T } , \theta ) = \frac { { 4 K } } { { \pi x _ { T } ^ { 2 } } } \sum _ { a , b , c } { \int _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } { d x _ { a } } \int _ { x _ { 2 } } ^ { 1 } { d x _ { b } F _ { { a \mathord { \left/ { \vphantom { a p } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } p } } ( x _ { a } ) F _ { { b \mathord { \left/ { \vphantom { b p } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } p } } ( x _ { b } ) \frac { { d \hat { \sigma } } } { { d t } } D _ { { { \pi ^ { 0 } } \mathord { \left/ { \vphantom { { \pi ^ { 0 } } c } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } c } } ( z ) \frac { \rho } { { \left( { 1 + \rho } \right) ^ { 2 } } } } }
S = \pi \left\{ ( m ^ { 2 } - | { \cal Z } _ { 1 } | ^ { 2 } ) + ( m ^ { 2 } - | { \cal Z } _ { 2 } | ^ { 2 } ) + 2 \sqrt { ( m ^ { 2 } - | { \cal Z } _ { 1 } | ^ { 2 } ) ( m ^ { 2 } - | { \cal Z } _ { 2 } | ^ { 2 } ) - J ^ { 2 } } \, . \right\} \, .
\mathbf { f } _ { O I } ( \mathbf { x } ) = \underset { \mathbf { f } } { \arg \operatorname* { m i n } } \ \int _ { \mathcal T _ { k } } \| \mathbf { F } \left( \mathbf { u } _ { h } ( \mathbf { x } ) \right) - \mathbf { f } ( \mathbf { x } ) \| _ { 2 } \ \mathrm { d } \mathbf { x } .
\begin{array} { r l r } { \left( t _ { 1 } ^ { - k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { 2 } ^ { k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 1 } } - t _ { 1 } ^ { \ell _ { 1 } k _ { 1 } } t _ { 2 } ^ { \ell _ { 2 } k _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - t _ { 1 } ^ { - a _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { 2 } ^ { a _ { 1 } ^ { 1 } } \right) ^ { 2 } } & { = } & { t _ { 1 } ^ { - 2 k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { 2 } ^ { 2 k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 1 } } \left( 1 - t _ { 1 } ^ { \ell _ { 1 } k _ { 1 } + k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { 2 } ^ { \ell _ { 2 } k _ { 1 } - k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 1 } } \right) ^ { 2 } \left( t _ { 1 } ^ { a _ { 1 } ^ { 2 } } - t _ { 2 } ^ { a _ { 1 } ^ { 1 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { t _ { 1 } ^ { - 2 k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { 2 } ^ { 2 k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 1 } } \left( 1 - t _ { 1 } ^ { a _ { 2 } ^ { 2 } } t _ { 2 } ^ { - a _ { 2 } ^ { 1 } } \right) ^ { 2 } \left( t _ { 1 } ^ { a _ { 1 } ^ { 2 } } - t _ { 2 } ^ { a _ { 1 } ^ { 1 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { t _ { 1 } ^ { - 2 k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { 2 } ^ { 2 k _ { 2 } a _ { 1 } ^ { 1 } - 2 a _ { 2 } ^ { 1 } } \left( t _ { 2 } ^ { a _ { 2 } ^ { 1 } } - t _ { 1 } ^ { a _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( t _ { 1 } ^ { a _ { 1 } ^ { 2 } } - t _ { 2 } ^ { a _ { 1 } ^ { 1 } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { P V } , \, ( \vec { E } ) } = \Gamma _ { 1 , \, \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { P V } , \, ( \vec { E } ) } + \Gamma _ { 2 , \, \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { P V } , \, ( \vec { E } ) } + \cdots
\begin{array} { r l } { \langle s _ { j } \rangle } & { = \frac { 1 } { N _ { j } } \sum _ { i } ^ { N _ { j } } s _ { i , j } \, , } \\ { \langle s _ { j } ^ { 2 } \rangle } & { = \frac { 1 } { N _ { j } } \sum _ { i } ^ { N _ { j } } s _ { i , j } ^ { 2 } \, } \\ { \Delta s _ { j } } & { = \sqrt { \langle s _ { j } ^ { 2 } \rangle - \langle s _ { j } \rangle ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 , 0 } ( Z _ { B } ^ { 2 } ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { x \in B } P _ { 0 , 0 } ( X _ { n } ^ { B } = Y _ { n } ^ { B } = x ) } \\ & { + 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = n + 1 } ^ { \infty } \sum _ { x \in B } \sum _ { y \in B } P _ { 0 , 0 } ( X _ { n } ^ { B } = Y _ { n } ^ { B } = x , X _ { m } ^ { B } = Y _ { m } ^ { B } = y ) } \\ & { = E _ { 0 , 0 } ( Z _ { B } ) + 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } P _ { 0 , 0 } ( X _ { n } ^ { B } = Y _ { n } ^ { B } = x ) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } P _ { x , x } ( X _ { n } ^ { B } = Y _ { n } ^ { B } = y ) } \\ & { \le G _ { B } ( 0 , 0 ) + 2 G _ { B } ( 0 , 0 ) \operatorname* { m a x } _ { x \in B } G _ { B } ( x , x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { \prime } } & { { } = \Omega J _ { z } + \Omega ^ { \prime } S _ { z } + ( g _ { x } - \theta _ { x y } \Omega - \theta _ { y x } \Omega ^ { \prime } ) S _ { x } J _ { x } + ( g _ { y } + \theta _ { y x } \Omega + \theta _ { x y } \Omega ^ { \prime } ) S _ { y } J _ { y } + g _ { z } S _ { z } J _ { z } } \end{array}
\operatorname * { d e t } ( { \cal M } _ { 0 } ^ { ( j ) } ( N ) ) = [ \alpha ( h - h _ { 0 } ^ { j } ) ] ^ { P _ { j } ( N ) } \operatorname * { d e t } ( { \cal M } ^ { ( j ) } ( N ) ) \operatorname * { d e t } ( { \cal M } ^ { ( K / 2 - j ) } ( N ) ) { } ~ .
\begin{array} { r l } { g _ { m } } & { = \int h _ { m } ^ { T h } ( \mathbf { r } ) f ^ { T h } ( \mathbf { r } ) ~ d ^ { 3 } r } \\ & { + \int h _ { m } ^ { R a } ( \mathbf { r } ) f ^ { R a } ( \mathbf { r } ) ~ d ^ { 3 } r + \psi _ { m } + n _ { m } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { k } ^ { T h } \int h _ { m } ^ { T h } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) ~ d ^ { 3 } r } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { k } ^ { R a } \int h _ { m } ^ { R a } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) ~ d ^ { 3 } r + \psi _ { m } + n _ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { F } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } ( r ) ( z ) } & { : = G _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { \left[ \overline { { \chi } } ^ { ( I ) } ( r ) \right] ^ { 2 } } { \widehat { H } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) + H _ { \mathrm { f } } + r - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z } G _ { 0 } ^ { 1 / 2 } , } \\ { \partial _ { r } \mathfrak { F } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } ( r ) ( z ) } & { = G _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { 2 \overline { { \chi } } ^ { ( I ) } ( r ) \partial _ { r } \overline { { \chi } } ^ { ( I ) } ( r ) } { \widehat { H } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) + H _ { \mathrm { f } } + r - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z } G _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad - G _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { \left[ \overline { { \chi } } ^ { ( I ) } ( r ) \right] ^ { 2 } } { ( \widehat { H } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) + H _ { \mathrm { f } } + r - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { 2 } } G _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } } & { { } = } & { \epsilon _ { w } \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } \kappa _ { D } w ^ { 2 } + \epsilon _ { p } [ \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ] R , } \\ { \mathcal { B } } & { { } = } & { [ \{ [ \epsilon _ { p } \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ) - \epsilon _ { w } \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ] w \} } \\ { \mathcal { C } } & { { } = } & { \epsilon _ { w } \{ \sigma _ { 1 } w ^ { 2 } \kappa _ { D } R ^ { 2 } + [ \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ] R } \\ { \mathcal { D } } & { { } = } & { \epsilon _ { p } [ \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { r } \partial _ { r } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { { } } & { \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n - m ) ! } } a ^ { - m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { 1 } ( t ) = \left\{ \forall a \in \boldsymbol { A } \ \mathrm { w i t h } \ t \ge \frac { 6 } { q _ { a } } \log \left( \frac { 2 n Z _ { a } } { \delta } \right) , | \hat { q } _ { a } ( t ) - q _ { a } | \le \sqrt { \frac { 6 q _ { a } } { t } \log \left( \frac { 2 n Z _ { a } } { \delta } \right) } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { L \cdot { c } \cdot ( g _ { n } \cdot \ensuremath { \partial } + 2 \ensuremath { \partial } { g _ { n } } ) } & { = \ensuremath { { \mathrm { E } } } \cdot { L _ { 0 } } \cdot ( g _ { n } \cdot \ensuremath { \partial } + 2 \ensuremath { \partial } { g _ { n } } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ensuremath { { \mathrm { E } } } \cdot { f _ { i } } \cdot \ensuremath { { \textstyle \int } } \cdot ( g _ { i } g _ { n } \cdot \ensuremath { \partial } + 2 g _ { i } \ensuremath { \partial } { g _ { n } } ) } \\ & { = \ensuremath { { \mathrm { E } } } \cdot { L _ { 1 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \ensuremath { { \mathrm { E } } } \cdot { f _ { i } } \cdot \ensuremath { { \textstyle \int } } \cdot ( g _ { i } \ensuremath { \partial } { g _ { n } } - ( \ensuremath { \partial } { g _ { i } } ) g _ { n } ) , } \end{array}
( A , B , C ) \mapsto [ A , B , C ] _ { \bullet _ { \hbar } } \equiv \sum _ { \sigma \in S _ { 3 } } \epsilon ( \sigma ) \Delta _ { \sigma _ { 1 } } A \bullet _ { \hbar } \Delta _ { \sigma _ { 2 } } B \bullet _ { \hbar } \Delta _ { \sigma _ { 3 } } C \; , \quad \forall A , B , C \in { \cal A } _ { \hbar } .
\begin{array} { r } { f _ { Y _ { 0 , k } ^ { \left( \varsigma \right) } } \left( r \right) = \frac { \bar { \lambda } _ { k } \left( r \right) } { A _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } } e ^ { - \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } { \bar { \Lambda } _ { \ell } \left( \left[ 0 , \chi _ { k , \ell } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( r \right) \right] \right) } } , \quad r \ge 0 , } \end{array}
f _ { l } ^ { I } ( t ) = { \frac { 4 } { \pi ( 4 - t ) } } \int _ { 4 } ^ { \infty } d s ^ { \prime } A _ { t } ^ { I } ( s ^ { \prime } , t ) Q _ { l } ( { \frac { 2 s ^ { \prime } } { 4 - t } } - 1 ) , \, l \geq 2 ,
\begin{array} { r } { Q ^ { + } = W ^ { Q , + } \hat { h } ^ { z } , K ^ { + } = W ^ { K , + } \hat { h } ^ { z } , } \\ { Q ^ { - } = W ^ { Q , - } \hat { h } ^ { z } , K ^ { - } = W ^ { K , - } \hat { h } ^ { z } , } \\ { W ^ { + } = \mathrm { ~ S ~ o ~ f ~ t ~ M ~ a ~ x ~ } ( \frac { Q ^ { + } ( K ^ { + } ) ^ { T } } { \sqrt { d } } ) , } \\ { W ^ { - } = \mathrm { ~ S ~ o ~ f ~ t ~ M ~ a ~ x ~ } ( \frac { Q ^ { - } ( K ^ { - } ) ^ { T } } { \sqrt { d } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \theta } ( t ) } & { = \int _ { \mathcal { D } } \left[ \boldsymbol { Q } ^ { * } ( \boldsymbol { x } , \theta ) \cdot \mathcal { N } ( \boldsymbol { q } ) + \epsilon \boldsymbol { Q } ^ { * } ( \boldsymbol { x } , \theta ) \cdot \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } , t ) \right] d \boldsymbol { x } } \\ & { \approx \Omega _ { n } + \epsilon \int _ { \mathcal { D } } \boldsymbol { Q } ^ { * } ( \boldsymbol { x } , \theta ) \cdot \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } , t ) d \boldsymbol { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \psi _ { N } \middle \vert H _ { N } \middle \vert \psi _ { N } \right\rangle } & { = E _ { 0 } + 2 \sum _ { j < k } \left\langle \psi _ { N } \middle \vert \left\vert \frac { \nabla f ( x _ { j } - x _ { k } ) } { f ( x _ { j } - x _ { k } ) } \right\vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x _ { j } - x _ { k } ) \middle \vert \psi _ { N } \right\rangle } \\ & { \qquad + 6 \sum _ { i < j < k } \left\langle \psi _ { N } \middle \vert \frac { \nabla f _ { i j } \nabla f _ { j k } } { f _ { i j } f _ { j k } } \middle \vert \psi _ { N } \right\rangle } \\ & { = E _ { 0 } + \iint \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 2 ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \left( \left\vert \frac { \nabla f ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } { f ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \right\vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \right) \, \textnormal { d } x _ { 1 } \, \textnormal { d } x _ { 2 } } \\ & { \qquad + \iiint \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 3 ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \frac { \nabla f _ { 1 2 } \nabla f _ { 2 3 } } { f _ { 1 2 } f _ { 2 3 } } \, \textnormal { d } x _ { 1 } \, \textnormal { d } x _ { 2 } \, \textnormal { d } x _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle S _ { + } \rangle = } & { { } \left[ - i \Omega _ { 0 } - i \gamma _ { \mathrm { R b } } B _ { \mathrm { a c } } \cos \left( { \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } } \right) - \Gamma _ { \mathrm { R b } } \right] \langle S _ { + } \rangle } \\ { + } & { { } i \gamma _ { \mathrm { R b } } b _ { c } ( t ) \langle S _ { z } \rangle } \end{array}
{ \bar { f } _ { i } } ( { \bf { x } } + { { \bf { e } } _ { i } } \Delta t , t + \Delta t ) = { \bar { f } _ { i } } ( { \bf { x } } , t ) - { \Lambda _ { i , k } } [ { \bar { f } _ { k } } - f _ { k } ^ { e q } ] { | _ { ( { \bf { x } } , t ) } } + ( { \bf { I } } - \frac { { { \Lambda _ { i , k } } } } { 2 } ) { \bar { F } _ { i } } ( { \bf { x } } , t ) \Delta t ,
\begin{array} { r l } { \langle D _ { \beta } ^ { * } f , D _ { \beta } ^ { * } f \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } & { = \langle \mathbb { D } _ { \beta } ^ { * } \mathfrak { f } , \mathbb { W } _ { m , n } \mathbb { D } _ { \beta } ^ { * } \mathfrak { f } \rangle = \langle \mathbb { W } _ { m , n } ^ { - 1 } \mathbb { D } _ { \beta } ^ { \top } \mathbb { W } _ { m , n } \mathfrak { f } , \mathbb { D } _ { \beta } ^ { \top } \mathbb { W } _ { m , n } \mathfrak { f } \rangle } \\ & { = \sum _ { \alpha \in A _ { m , n } } \frac { 1 } { w _ { \alpha } } \langle \mathfrak { f } , \mathbb { D } _ { \beta } ^ { \top } \mathbb { W } _ { m , n } e _ { \alpha } \rangle ^ { 2 } = \sum _ { \alpha \in A _ { m , n } } \frac { 1 } { w _ { \alpha } } \langle f , D _ { \beta } L _ { \alpha } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, , } \end{array}
{ { \bar { R } } _ { \mu \nu \lambda } } ^ { \; \; \; \; \; \; \kappa } = \partial _ { \mu } { \bar { \Gamma } } _ { \nu \lambda } ^ { \; \; \; \; \kappa } - \partial _ { \nu } { \bar { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \; \; \; \; \kappa } - [ \bar { \Gamma } _ { \mu } , \bar { \Gamma } _ { \nu } { ] _ { \lambda } } ^ { \kappa } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\{ \log \left( \sinh _ { p } ( T + t ) \right) - t \right\} } & { = \frac { \sinh _ { p } ^ { \prime } ( T + t ) } { \sinh _ { p } ( T + t ) } - 1 } \\ & { = \frac { \cosh _ { p } ( T + t ) } { \sinh _ { p } ( T + t ) } - 1 } \\ & { = \left( 1 + \frac { 1 } { \sinh _ { p } ^ { p } ( T + t ) } \right) ^ { 1 / p } - 1 } \\ & { \in \left[ 0 , \frac { 1 } { \sinh _ { p } ( T + t ) } \right] , } \end{array}
S ^ { - 1 } ( p ) = S _ { 0 } ^ { - 1 } ( p ) - e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \gamma ^ { \mu } S ( q ) \Delta _ { \mu \nu } ( k ) \Gamma ^ { \nu } ( p , q )
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \mathrm { S } } & { = - C ( \mathrm { S } - \mathrm { S } _ { d } ^ { \ast } ) \mathrm { d } t - B _ { d } r \mathrm { S } \mathrm { d } t + A \mathrm { d } W _ { t } } \\ { \mathrm { d } r ^ { 2 } } & { = F \mathrm { S } \mathrm { d } t , \mathrm { ~ } r ^ { 2 } > 0 } \\ { \mathrm { d } r ^ { 2 } } & { = 0 , \mathrm { ~ } r ^ { 2 } = 0 , \mathrm { ~ a n d ~ } \mathrm { S } ( t ) < 0 . } \end{array}
\sigma _ { T } ( t ) = 2 \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \sum _ { \bf K } \left( \mid X _ { \bf K } ^ { \mu } ( t ) \mid ^ { 2 } + \mid J _ { \mu , { \bf K } } ( t ) \mid ^ { 2 } \right) = 2 \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \sum _ { \bf K } \left( \mid X _ { \bf K } ^ { \mu } ( t ) \mid ^ { 2 } + \omega _ { \bf K } ^ { 2 } \mid \alpha _ { \mu , { \bf K } } ( t ) \mid ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { x ^ { 2 } + ( R - y ) ^ { 2 } } & { { } = R ^ { 2 } , } \\ { x ^ { 2 } + R ^ { 2 } - 2 R y + y ^ { 2 } } & { { } = R ^ { 2 } , } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & { { } = 2 R y . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exists x _ { 1 } , \dotsc , x _ { | B ^ { \prime } | } , x _ { 1 } ^ { \prime } , \dotsc , x _ { | B ^ { \prime } | } ^ { \prime } } \\ & { B ^ { \prime } ( x ) \wedge \bigwedge _ { i } B ^ { \prime } ( x _ { i } ) \wedge \bigwedge _ { i } B ^ { \prime } ( x _ { i } ^ { \prime } ) \wedge } \\ & { x _ { 1 } \rightarrow x _ { 2 } \rightarrow \dotsb \rightarrow x _ { | B ^ { \prime } | } \rightarrow x \rightarrow x _ { 1 } ^ { \prime } \rightarrow \dotsb \rightarrow x _ { | B ^ { \prime } | } ^ { \prime } } \end{array}
{ \cal G } _ { i j } ( \vec { r } , \eta ) = \langle 0 _ { k } | \hat { B } _ { i } ( \vec { x } , \eta ) \hat { B } _ { j } ( \vec { x } + \vec { r } , \eta ) | 0 _ { k } \rangle = \int d ^ { 3 } k { \cal G } _ { i j } ( k ) e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \mathbb { E } [ \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } ] } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { a } } } & { \le O _ { \texttt { P } } ( 1 ) \cdot \sum _ { k } \frac { 1 } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { 3 a - 2 c } } + O _ { \texttt { P } } ( \sigma _ { f } ^ { 2 } ) \cdot \sum _ { k } \frac { 1 } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { a + c } } } \\ & { \quad + O _ { \texttt { P } } ( \sigma _ { g } ^ { 2 } ) \cdot \sum _ { k } \frac { 1 } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { 3 c - a } } + O _ { \texttt { P } } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E [ \Psi _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { W F T } } , \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ] } & { = E _ { \textrm { s y s } } [ \Psi _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { W F T } } ] + E _ { \textrm { e n v } } [ \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ] } \\ & { + E _ { \textrm { i n t } } [ \rho _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { W F T } } , \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { = \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } , t ) , } & { \quad \boldsymbol { x } , t \in \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ { \mathcal { B } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { = \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } , t ) , } & { \quad \boldsymbol { x } , t \in \partial \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ { \mathcal { I } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , 0 ) } & { = \boldsymbol { h } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \Omega , } \end{array}
\psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } = \psi _ { 2 } ^ { i , j } + i \xi _ { \mu } \sum _ { k = 0 } ^ { i - 1 } [ \psi _ { 2 } ^ { i - k + 1 , j } - 2 \psi _ { 2 } ^ { i - k , j } + \psi _ { 2 } ^ { i - k - 1 , j } ] [ ( k + 1 ) ^ { 2 - \mu } - k ^ { 2 - \mu } ] - i \beta ( V _ { 2 } ^ { j } \psi _ { 1 } ^ { i , j } + V _ { 2 } ^ { j + 1 } \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { F ( x , \sigma ( x ) ) } & { : = \sum _ { i = 1 } ^ { N } f _ { i } ( x _ { i } , \sigma ( x ) ) } \\ { h ( u ) } & { : = \left[ \begin{array} { l l l } { h _ { 1 } ( u _ { 1 } ) ^ { \top } } & { \dots } & { h _ { N } ( u _ { N } ) ^ { \top } } \end{array} \right] ^ { \top } } \\ { F _ { \sigma , h } ( u ) } & { : = F ( h ( u ) , \sigma ( h ( u ) ) ) } \\ { G ( x ) } & { : = \nabla F ( v , \sigma ( v ) ) \mid _ { v = x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B | } & { \leqslant \mathbb { E } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } \sum _ { | \alpha | = 2 } | D ^ { \alpha } \psi ( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) | \times } \\ & { \qquad \left| \mathbb { E } ( ( X _ { t _ { n } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } - X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) ^ { \alpha } | \mathcal { F } _ { n - 1 } ) - \mathbb { E } \left( \left( W _ { t _ { n } } ^ { \tau , X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } , t _ { n } } - X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } \right) ^ { \alpha } | \mathcal { F } _ { n - 1 } \right) \right| } \\ & { \lesssim \| D ^ { 2 } \psi \| _ { \infty } \quad \mathbb { E } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } \theta c ( \varepsilon ) \lesssim c _ { \psi } ( \varepsilon ) T = c _ { \psi , T } ( \varepsilon ) . } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { g h o s t } } = \partial _ { \mu } { \bar { c } } ^ { a } \partial ^ { \mu } c ^ { a } + g f ^ { a b c } \left( \partial ^ { \mu } { \bar { c } } ^ { a } \right) A _ { \mu } ^ { b } c ^ { c } \; .
\ln \Gamma ( z ) \approx { \frac { 1 } { 2 } } \left( \ln ( 2 \pi ) - \ln z \right) + z \left( \ln \left( z + { \frac { 1 } { 1 2 z - { \frac { 1 } { 1 0 z } } } } \right) - 1 \right) .
d _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { k } } ^ { ( \ast ) \, \mu } \equiv d _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { k } } ^ { \mu } \partial _ { \alpha _ { 1 } } X ^ { \mu _ { 1 } } \ldots \partial _ { \alpha _ { k } } X ^ { \mu _ { k } } ,
\begin{array} { r l r l r l } & { c _ { 1 2 } = - r _ { 2 } ( \frac { 1 } { k } ) , } & & { c _ { 1 3 } = \hat { r } _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) , } & & { c _ { 2 3 } = r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) , } \\ & { c _ { 2 1 } = - r _ { 1 } ( \frac { 1 } { k } ) , } & & { c _ { 3 1 } = \hat { r } _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) , } & & { c _ { 3 2 } = r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) , } \end{array}
Y _ { g e n e 4 } ^ { G E P } = \frac { \widetilde { \omega } ^ { 2 } \mathit { S u b - E T _ { 1 } } + \mathit { S u b - E T _ { 2 } } } { \frac { \widetilde { \omega } ^ { 7 } } { R _ { T } ^ { 4 } } \mathit { S u b - E T _ { 3 } } + \mathit { S u b - E T _ { 4 } } }
W ^ { 1 2 } = \ldots + \theta _ { 3 } ^ { \alpha } \theta _ { 4 } ^ { \beta } \bar { \theta } _ { \dot { \alpha } } ^ { 1 } \bar { \theta } _ { \dot { \beta } } ^ { 2 } A _ { \alpha \beta } ^ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } + \ldots \ .
\frac { d ^ { 3 } N _ { 1 } } { d ^ { 3 } p _ { 1 } ^ { * } } = b \int \prod _ { i = 2 } ^ { n } \frac { d ^ { 3 } p _ { i } ^ { * } } { 2 E _ { i } ^ { * } } \delta ( \sum _ { i = 2 } ^ { N } p _ { i } ^ { * } - p _ { 1 } ^ { * } ) \delta ( \sum _ { i = 2 } ^ { N } E _ { i } ^ { * } - E _ { 1 } ^ { * } - M _ { R } ) ,