harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { S H G } , ( 1 ) , \mathbf { k } } ^ { \nu \mu \alpha \beta } ( \omega ) } & { = - \frac { i } { 2 } \sum _ { a , b } \Bigg ( v _ { a b } ^ { \mu } \frac { N _ { 1 , b a } ^ { \nu \alpha \beta } ( \omega ) } { 2 \omega - \epsilon _ { b a } } - \dot { Q } _ { a b } ^ { \nu \mu } \frac { N _ { 2 , b a } ^ { \alpha \beta } ( \omega ) } { 2 \omega - \epsilon _ { b a } } } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \frac { 1 } { 2 } v _ { a b } ^ { \mu } \frac { ( \dot { Q } _ { b a } ^ { \nu \alpha ; \beta } + \dot { Q } _ { b a } ^ { \nu \beta ; \alpha } ) f _ { a b } } { 2 \omega - \epsilon _ { a b } } } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \frac { 1 } { 2 } \dot { Q } _ { a b } ^ { \nu \mu } \frac { h _ { b a } ^ { \alpha \beta } f _ { a b } } { 2 \omega - \epsilon _ { a b } } + h _ { a b } ^ { \mu \alpha } \frac { \dot { Q } _ { b a } ^ { \nu \beta } f _ { a b } } { \omega - \epsilon _ { b a } } } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \left( \dot { Q } _ { a b } ^ { \nu \mu ; \alpha } + \dot { Q } _ { a b } ^ { \nu \alpha ; \mu } \right) \frac { v _ { b a } ^ { \beta } f _ { a b } } { \omega - \epsilon _ { b a } } \Bigg ) } \\ & { \, \, \, \, \, - \frac { i } { 4 } \sum _ { a } \left( \dot { Q } _ { a a } ^ { \nu \mu ; \alpha \beta } + \dot { Q } _ { a a } ^ { \nu \alpha ; \beta \mu } + \dot { Q } _ { a a } ^ { \nu \beta ; \mu \alpha } \right) f _ { a } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { s ( u , y ) } & { = \left( \begin{array} { l } { u } \\ { y } \end{array} \right) ^ { \top } \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { R } } & { \boldsymbol { S } } \\ { \boldsymbol { S } ^ { \top } } & { \boldsymbol { Q } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { u } \\ { y } \end{array} \right) , } & { V _ { 1 } ( x _ { 1 } ) } & { = x _ { 1 } ^ { \top } \boldsymbol { P } _ { 1 } x _ { 1 } , } & { V _ { 2 } ( x _ { 2 } ) } & { = x _ { 2 } ^ { \top } \boldsymbol { P } _ { 2 } x _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { q _ { 1 } } V _ { m } } { d t ^ { q _ { 1 } } } = } & { F _ { 1 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , \qquad \frac { d ^ { q _ { 2 } } n } { d t ^ { q _ { 2 } } } = F _ { 2 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , } \\ { \frac { d ^ { q _ { 3 } } m } { d t ^ { q _ { 3 } } } = } & { F _ { 3 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , \qquad \frac { d ^ { q _ { 4 } } h } { d t ^ { q _ { 4 } } } = F _ { 4 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , } \end{array}
\frac { \mathbb { P } _ { C _ { 0 } \cup D } ( \mathcal X _ { 0 } = x ) } { \mathbb { P } _ { C _ { 0 } } ( \mathcal X _ { 0 } = x ) } = \frac { | C _ { 0 } | } { | C _ { 0 } \cup D | } \prod _ { l = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \mu _ { C _ { l } \cup D , x _ { l } } ( x _ { l + 1 } ) } { \mu _ { C _ { l } , x _ { l } } ( x _ { l + 1 } ) } \prod _ { l = m } ^ { 2 m - 1 } \frac { \mu _ { \partial ( C _ { l } \cup D ) , x _ { l } } ( x _ { l + 1 } ) } { \mu _ { \partial C _ { l } , x _ { l } } ( x _ { l + 1 } ) } ,
\delta A _ { i } = \sqrt { 2 } \epsilon \psi _ { i } , \qquad \delta \psi _ { i } = \sqrt { 2 } i \sigma ^ { \mu } \bar { \epsilon } \partial _ { \mu } A _ { i } - \sqrt { 2 } m _ { i } \epsilon A _ { i } ^ { * } \qquad ( i = 1 , 2 ) .
N = 1 , \, \ell _ { 1 } = \ell _ { 1 2 } = 1 , \, \delta = 0 . 0 0 0 1 , \Omega = 0 . 0 5 , \, \varepsilon _ { \rho } = \varepsilon _ { \kappa } = 0 . 4 , \, \phi _ { \kappa , 1 } = \phi _ { \rho , i } = 0 , \, v _ { 0 } = v _ { \mathrm { r } } = 1
\begin{array} { r } { i ^ { * } = \frac { - c _ { b } - \sqrt { ( c _ { b } ) ^ { 2 } - 4 c _ { a } c _ { c } } } { 2 c _ { a } } , \ r ^ { * } = \frac { \alpha p _ { r } } { l _ { i } } i ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| { \overline { { \delta } } } _ { i } \right| } & { \leq { \tau } \left( { \mathrm { c } } _ { 2 5 } { \mathrm { c } } _ { 2 6 } { { \overline { { \vartheta } } } _ { i } } + { \mathrm { c } } _ { 2 2 } { \tau } ^ { 2 } \right) \left( { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } + { \overline { { \mu } } } _ { i } \right) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \left( { \mathrm { c } } _ { 2 5 } { \mathrm { c } } _ { 2 6 } , { \mathrm { c } } _ { 2 2 } \right) { \tau } \left( { \overline { { \vartheta } } } _ { i } + { \tau } ^ { 2 } \right) \left( { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } + { \overline { { \mu } } } _ { i } \right) } \\ & { = { \mathrm { c } } _ { 2 7 } { \tau } \left( { \overline { { \vartheta } } } _ { i } + { \tau } ^ { 2 } \right) \left( { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } + { \overline { { \mu } } } _ { i } \right) } \\ & { = { \mathrm { c } } _ { 2 7 } { \tau } \left[ \left( { \overline { { \vartheta } } } _ { i } { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } + { \overline { { \vartheta } } } _ { i } { \overline { { \mu } } } _ { i } \right) + { \tau } ^ { 2 } \left( { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } + { \overline { { \mu } } } _ { i } \right) \right] } \\ & { \leq { \mathrm { c } } _ { 2 7 } { \tau } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } + { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } + { \overline { { \mu } } } _ { i } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( { \tau } ^ { 4 } + { \left( { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } + { \overline { { \mu } } } _ { i } \right) } ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = { \mathrm { c } } _ { 2 7 } { \tau } \left[ { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } + \left( { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } ^ { 2 } + { \overline { { \mu } } } _ { i } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } { \tau } ^ { 4 } + { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } { \overline { { \mu } } } _ { i } \right] } \\ & { \leq { \mathrm { c } } _ { 2 7 } { \tau } \left[ { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } + \left( { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } ^ { 2 } + { \overline { { \mu } } } _ { i } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } { \tau } ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } ^ { 2 } + { \overline { { \mu } } } _ { i } ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = { \mathrm { c } } _ { 2 7 } { \tau } \left( { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } { \overline { { \mu } } } _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } { \tau } ^ { 4 } \right) \leq { \mathrm { c } } _ { 2 8 } { \tau } \left( { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } + { \overline { { \mu } } } _ { i } ^ { 2 } + { \overline { { \mu } } } _ { i + 1 } ^ { 2 } \right) + { \mathrm { c } } _ { 2 8 } { \tau } ^ { 5 } \, . } \end{array}
\dot { \eta } _ { i r r } = \frac { \kappa _ { T } c _ { p } | \nabla T | ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } + \frac { \varepsilon _ { s } + \varepsilon _ { p } } { T } , \qquad \varepsilon _ { s } = \frac { \partial \hat { \mu } } { \partial S } \frac { | { \bf J } _ { s } | ^ { 2 } } { \kappa _ { S } } , \qquad { \bf J } _ { \eta } = - \frac { \kappa _ { T } c _ { p } \nabla T } { T } + \frac { L } { L _ { s s } } { \bf J } _ { s } ,
2 b _ { i j } \mu _ { i j } = 2 b _ { i j } \bigg ( \frac { M _ { i j } } { A ^ { 2 } } - b _ { i j } b _ { k l } \frac { M _ { k l } } { A ^ { 2 } } \bigg ) = 2 \frac { b _ { k l } M _ { k l } } { A ^ { 2 } } - 2 b _ { i j } b _ { i j } \frac { b _ { k l } M _ { k l } } { A ^ { 2 } } = 0
\check { Q } _ { i b } ( \tau ) \check { \vec { A } } _ { a \perp } ( \tau , { \vec { \eta } } _ { i } ( \tau ) ) = Q _ { i a } ( \tau ) [ P \, e ^ { \Omega _ { s a } ^ { ( \hat { \gamma } ) } ( \eta ^ { ( A ) } ( \tau , - { \vec { \eta } } _ { i } ( \tau ) ) ) { \hat { T } } ^ { a } } ] _ { a b } \check { \vec { A } } _ { b \perp } ( \tau , { \vec { \eta } } _ { i } ( \tau ) ) ,
m _ { S } ^ { 2 } \alpha ( \sqrt { m _ { S } ^ { 2 } } ) = 2 \pi \left( { \frac { \sqrt { 3 } m \Lambda } { g _ { Y } } } \right) ^ { 4 } { \frac { 1 } { \langle \tilde { S } \rangle ^ { 2 } } } = 2 \pi \cdot 9 m \Lambda .
\begin{array} { r l } { \Gamma ( - l + \epsilon ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { l } } { l ! \epsilon } \left( 1 + \psi _ { 0 } ( l + 1 ) \epsilon + o \left( \epsilon ^ { 2 } \right) \right) } \\ { \psi _ { 0 } ( - l + \epsilon ) } & { = - \frac { 1 } { \epsilon } + \psi _ { 0 } ( l + 1 ) + \left( 2 \psi _ { 1 } ( 1 ) - \psi _ { 1 } ( l + 1 ) \right) \epsilon + o \left( \epsilon ^ { 2 } \right) } \\ { \psi _ { 1 } ( - l + \epsilon ) } & { = \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } - \psi _ { 1 } ( l + 1 ) + \psi _ { 1 } ( 1 ) + \zeta ( 2 ) + o \left( \epsilon \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { _ { I } \mathbf r _ { O Q } } \\ { 1 } \end{array} \right) = \mathbf H _ { \mathcal { I } \mathcal { K } } \left( \begin{array} { l } { _ { K } \mathbf r _ { P Q } } \\ { 1 } \end{array} \right) \, , \quad \mathrm { w i t h } \quad \mathbf H _ { \mathcal { I } \mathcal { K } } = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf A _ { I K } } & { _ { I } \mathbf r _ { O P } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 1 \times 3 } } & { 1 } \end{array} \right) \, .
\| | G _ { q } ( \psi _ { 1 } ) | | \nabla \psi _ { 1 } - \nabla \psi _ { 2 } | \| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { 2 } ) } \leq T ^ { \frac { 1 } { q _ { 1 } ^ { \prime } } } Z _ { T } ( \psi _ { 1 } ) ^ { 2 \alpha } \| \nabla \psi _ { 1 } - \nabla \psi _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { d U _ { p } ^ { * ( 0 ) } } { d t ^ { * } } } & { = \mathcal { A } \cos \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \frac { d U _ { q } ^ { * ( 0 ) } } { d t ^ { * } } } & { = - \mathcal { B } \sin \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \frac { d \Omega _ { r } ^ { * ( 0 ) } } { d t ^ { * } } } & { = - \mathcal { C } U _ { p } ^ { * ( 0 ) } U _ { q } ^ { * ( 0 ) } , } \\ { \frac { d \phi ^ { ( 0 ) } } { d t ^ { * } } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } \left( \frac 5 2 , 1 , 1 , \frac 1 2 \middle | \frac 3 2 , 2 , \frac 3 2 \right) \right| } & { = 4 \ , } \\ { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } \left( \frac 5 2 , 1 , 1 , \frac 1 2 \middle | \frac 5 2 , 2 , \frac 3 2 \right) \right| } & { = \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } \left( \frac 5 2 , 1 , 1 , \frac 1 2 \middle | \frac 3 2 , 2 , \frac 5 2 \right) \right| = 1 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { k } ^ { \mathrm { a v } } ( \boldsymbol { w } _ { k } , \boldsymbol { A } _ { k } ) } & { : = N \eta ^ { k / 2 } | \langle G _ { 1 } A _ { 1 } \cdots G _ { k } A _ { k } - M ( w _ { 1 } , A _ { 1 } , . . . , w _ { k } ) A _ { k } \rangle | \, , } \\ { \Psi _ { k } ^ { \mathrm { i s o } } ( \boldsymbol { w } _ { k + 1 } , \boldsymbol { A } _ { k } , \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } & { : = \sqrt { N \eta ^ { k + 1 } } \left\vert \big ( G _ { 1 } A _ { 1 } \cdots A _ { k } G _ { k + 1 } - M ( w _ { 1 } , A _ { 1 } , . . . , A _ { k } , w _ { k + 1 } ) \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \right\vert } \end{array}
g = g _ { \mu } \mu ^ { - \epsilon } \left[ 1 + \left( \frac { 1 1 } { 3 } - \frac { 2 n _ { f } } { 3 N } \right) \frac { g _ { \mu } ^ { 2 } N \Gamma ( 1 - \epsilon ) } { 2 \epsilon ( 4 \pi ) ^ { 2 + \epsilon } } \right] ~ .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \displaystyle \left. \frac { \partial { \cal L } _ { 1 } } { \partial \phi } \right| _ { \phi = \bar { \phi } } + J _ { 1 } } } & { { = } } & { { 0 , } } \\ { { \langle \phi \rangle _ { J } } } & { { = } } & { { \bar { \phi } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \rVert } & { ( L - \mathbb { D } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ^ { 1 } ) } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + ( \rVert Z \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \varepsilon ^ { - 1 } \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } ) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ^ { 1 } ) } . } \end{array}
F ( x , y , k ^ { -- } p ^ { - } ) = - 2 C _ { F } g ^ { 2 } P ^ { + } \psi ( y ) { \frac { \sqrt { x ( 1 - x ) } } { \sqrt { y ( 1 - y ) } } } { \frac { ( k ^ { -- } p ^ { - } ) } { { \cal E } - \omega ( 1 - x ) - \omega ( x ) + i \epsilon } } .
v = \frac { 1 } { d e t D } \sqrt { ( e ^ { \phi } \vec { \pi } . \vec { \pi } + 1 ) ( e ^ { - \phi } \vec { B } . \vec { B } + 1 ) - [ ( \vec { \pi } . \vec { B } ) ^ { 2 } + 2 \psi e ^ { \phi } ( \vec { \pi } . \vec { B } ) - \psi ^ { 2 } e ^ { \phi } \vec { B } . \vec { B } ] } .
\begin{array} { r } { \hat { E } _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } ^ { + } = \hat { a } _ { p _ { 1 } \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { p _ { 2 } \alpha } + \hat { a } _ { p _ { 1 } \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { p _ { 2 } \beta } \; \; \mathrm { a n d } \; \; \hat { E } _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { + } = \hat { b } _ { q _ { 1 } \alpha } ^ { \dagger } \hat { b } _ { q _ { 2 } \alpha } + \hat { b } _ { q _ { 1 } \beta } ^ { \dagger } \hat { b } _ { q _ { 2 } \beta } . } \end{array}
Q = - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \left( - k _ { 1 } \frac { R _ { 1 } } { R _ { 0 } } \right) \frac { - b _ { 1 } \xi _ { 1 } Q } { a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } \equiv \Pi ( Q ) ,
{ L } ^ { ( 0 ) } = \left[ m p _ { i } ( t ) - e A _ { i } ( t , \vec { q } ) \right] \dot { q } ^ { i } ( t ) - \theta \int d ^ { 2 } x \Pi _ { i } ( t , \vec { x } ) \dot { A } ^ { i } ( t , \vec { x } ) - V ^ { ( 0 ) }
\Delta ( \hbar ) \sim \Delta _ { \mathrm { R P I } } ( \hbar ) \left( 1 + \hbar \left( \Gamma _ { 1 } ^ { ( - ) } - \Gamma _ { 1 } ^ { ( + ) } \right) + \mathcal { O } \big ( \hbar ^ { 2 } \big ) \right)
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \end{array} \right) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c c } { \cos \theta _ { 3 } } & { - \sin \theta _ { 3 } } & { 0 } \\ { \sin \theta _ { 3 } } & { \cos \theta _ { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } [ e _ { 1 } , e _ { 3 } , e _ { 4 } ] = - e _ { 6 } , ~ ~ ~ ~ \frac { 1 } { 2 } [ e _ { 2 } , e _ { 6 } , e _ { 3 } ] = - e _ { 5 } , \ldots
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ \left| \nabla \Bar { U } _ { r } \left( Y _ { j \eta } \right) - G \left( Y _ { j \eta } , a _ { j \eta } \right) \right| ^ { 2 } \right] } & { \le \mathbf { E } \left[ 2 \left( \delta _ { \mathbf { b } , r , 2 } + \delta _ { \mathbf { v } , 2 } \right) \left| Y _ { j \eta } \right| ^ { 2 } + 2 \left( \delta _ { \mathbf { b } , r , 0 } + \delta _ { \mathbf { v } , 0 } \right) \right] } \\ & { \le 2 \delta _ { r , 2 } \kappa _ { \infty } + 2 \delta _ { r , 0 } . } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 2 } ^ { 2 } } } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - \tilde { g } } \left[ \Phi { \cal R } _ { \tilde { g } } + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \Phi \partial ^ { \mu } \Phi + \Lambda \Phi ^ { 1 - { \frac { \gamma } { \delta ^ { 2 } } } } e ^ { \frac { \Phi } { 2 } } \right] .
Z _ { \mathrm { F } } [ A ] = \int \! D { \bar { \psi } } D \psi e ^ { - \int \! d ^ { 2 } x \, [ \psi _ { 1 } ^ { \dagger } i \partial \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ^ { \dagger } i { \bar { \partial } } \psi _ { 2 } - \psi _ { 1 } ^ { \dagger } A \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ^ { \dagger } { \bar { A } } \psi _ { 2 } ] } \; ,
\hat { H } = \hat { H } _ { m a t t e r } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } \left( \hat { P } _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } \hat { Q } _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } ^ { 2 } \right) + \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } \left( \hat { S } _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } \hat { Q } _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } + \hat { C } _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } \hat { P } _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } \right) + \hat { H } _ { I 2 } + \hat { H } _ { I 3 }
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } c ( x , t ) = D \partial _ { x } ^ { 2 } c - \frac { 1 } { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } } & { \partial _ { x } } & { \left\{ \left[ \sigma _ { f } \frac { \cosh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x - x _ { b } ) \right] } { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x _ { b } ) \right] } - \sigma _ { b } \frac { \cosh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x ) \right] } { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x _ { b } ) \right] } \right] c ( x , t ) \right. } \\ & { } & { \left. + \tilde { \chi } \int _ { x _ { b } } ^ { x _ { f } } \ c ( x , t ) \partial _ { x } G ( x , x ^ { \prime } ) c ( x ^ { \prime } , t ) d x ^ { \prime } \right\} . } \end{array}
\mathscr { H } _ { 3 } ^ { t ^ { \prime } } ( V + S ) = \left\{ X = \left( \begin{array} { c c c } { y _ { 1 } } & { w } & { t _ { 1 } } \\ { w ^ { \flat } } & { y _ { 2 } } & { t _ { 0 } } \\ { t _ { 1 } ^ { \flat } } & { t _ { 0 } ^ { \flat } } & { y _ { 3 } } \end{array} \right) \ \mathrm { w i t h } \ y _ { i } \in \mathbb { K } , \ w \in V , t _ { i } \in S _ { i } \ \right\}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \emptyset \ne B \subseteq [ R ] } \operatorname* { m a x } _ { \sigma : \sigma _ { \mathcal { V } } \in \Sigma _ { \mathcal { V } } } \frac { e ^ { - H _ { N } ( f _ { B } ^ { - 1 } ( \sigma _ { \mathcal { V } } ) , \sigma _ { { \mathcal { V } } ^ { c } } ) } } { e ^ { - H _ { N } ( \sigma ) } } } & { \le \bigl ( 1 + e ^ { - 2 \beta 1 0 ^ { - 1 / \alpha } ( N / R ) ^ { 1 / \alpha } } \bigr ) ^ { R } - 1 \le e ^ { R e ^ { - 2 \beta 1 0 ^ { - 1 / \alpha } ( N / R ) ^ { 1 / \alpha } } } - 1 } \\ & { \le 2 e ^ { - 2 \beta 1 0 ^ { - 1 / \alpha } ( N / R ) ^ { 1 / \alpha } + \ln R } \le 2 e ^ { - 2 \beta 1 0 ^ { - 1 / \alpha } N ^ { 1 / ( 2 \alpha ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \tilde { C } } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } } & { { } = \left[ \tilde { A } - 2 G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { | \psi _ { L } \rangle = \frac { 2 \pi A } { i \hbar } \int d \omega _ { o } \int d \omega _ { e } \alpha ( \omega _ { o } + \omega _ { e } ) \Phi ( \omega _ { o } , \omega _ { e } ) | \omega _ { o } \rangle _ { o } | \omega _ { e } \rangle _ { e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ( x , s , t ; Y ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ; Y ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ( x , s , t ; Y ) \, d s \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ( x , s , t ; Y ) f ( x , s _ { \ast } , t ; Y ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \gamma \eta } { 2 } \partial _ { x } c ( x ; Y ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) V ( s _ { \ast } ) f ( x , s , t ; Y ) f ( x , s _ { \ast } , t ; Y ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \eta } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ( x , s , t ; Y ) \partial _ { x } f ( x , s _ { \ast } , t ; Y ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \gamma \eta ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x } c ( x ; Y ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) f ( x , s , t ) \partial _ { x } f ( x , s _ { \ast } , t ; Y ) \, d s \, d s _ { \ast } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \partial \langle n _ { X } \rangle } { \partial B _ { \rho } } \right| } & { \leq ( | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { S } \} | + | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { E S _ { 2 } } \} | } \\ & { ~ ~ ~ + | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { P } + n _ { E S _ { 2 } } \} | ) \operatorname { t a n h } \left( \frac { \mathcal { F } } { 4 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { E ( b , h ) = K _ { 0 } ( \sqrt { 4 \emph { b } } ) + E i ( - \sqrt { 4 h ^ { 2 } b } ) I _ { 0 } ( \sqrt { 4 b } ) } \\ & { } & { - \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \frac { m ! ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { [ ( m + 1 ) ! ] ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { h ^ { 2 ( m + 1 ) } } } \cdot \Gamma ( m + 3 / 2 , 0 ; 4 h ^ { 2 } b ) \cdot { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } } } \\ & { } & { + { \frac { \sqrt { b } } { h } } \big [ - 1 + ( I _ { 0 } ( \sqrt { 4 b } ) - 1 ) / b \big ] \cdot \exp ( - \sqrt { 4 h ^ { 2 } b } ) [ 1 + 1 / \sqrt { 4 h ^ { 2 } b } ] / 2 } \\ & { } & { - R ( q = 1 , p = 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { > \frac { A } { A + 1 } } \\ { \Rightarrow \displaystyle \left\lvert \frac { 1 } { \left( A + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { \varepsilon } } } \right\rvert ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { > A \displaystyle \left\lvert \frac { 1 } { \left( A + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { \varepsilon } } } \right\rvert ^ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } } \\ { \Rightarrow \displaystyle \left\lvert \frac { 1 } { \left( A + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 2 \varepsilon } } } \right\rvert } & { > A \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \displaystyle \left\lvert \frac { 1 } { \left( A + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { \varepsilon } } } \right\rvert ^ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } } \\ { \Rightarrow \displaystyle \left\lvert \frac { 1 } { \left( A + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 2 \varepsilon } } } - \frac { 1 } { 2 \left( A + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 2 \varepsilon } } } \right\rvert } & { > A \displaystyle \left\lvert \frac { 1 } { \left( A + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { \varepsilon } } } - \frac { 1 } { 4 \left( A + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { \varepsilon } } } \right\rvert ^ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \langle - u _ { 2 } , d r _ { j } \rangle = 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \langle u _ { 1 } , d r _ { j } \rangle = 0 . } \end{array}
\ddot { f } ^ { \mu } = \kappa ^ { 2 } ( f _ { 1 1 } ^ { \mu } f ^ { 2 } + f ^ { \mu } { f _ { 1 } } ^ { 2 } - ( f _ { 1 1 } . f ) f ^ { \mu } - ( f _ { 1 } . f ) { f ^ { \mu } } _ { 1 } )
G ^ { \mu \nu \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } = g ^ { \mu \mu ^ { \prime } } g ^ { \nu \nu ^ { \prime } } + g ^ { \mu \nu ^ { \prime } } g ^ { \nu \mu ^ { \prime } } - { \frac { 2 } { D } } g ^ { \mu \nu } g ^ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } + C g ^ { \mu \nu } g ^ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } \: .
\varepsilon = \frac { 2 | M _ { R } | ^ { 4 } } { \lambda _ { R } } \left\{ \frac 1 2 \eta _ { 0 } ^ { 2 } \; \left[ 1 + \frac 1 2 \eta _ { 0 } ^ { 2 } \right] \right\} \; .
S = { \frac { 1 } { 2 } } ( \phi _ { + } ^ { 2 } + \phi _ { - } ^ { 2 } ) - c ( p ) \phi _ { + } \phi _ { - } - { \frac { 1 } { 4 } } ( \phi _ { + } ^ { 4 } + \phi _ { - } ^ { 4 } )
\varepsilon _ { D R } \sim \frac { 2 r D _ { B } } { \left( r _ { f } - r _ { p } \right) } \frac { 1 } { U _ { 0 } 2 r } = \frac { D _ { B } } { ( r _ { f } - r _ { p ) } U _ { 0 } } = 2 P e ^ { - 1 } ( 1 - R ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { S _ { 1 2 } ^ { 2 } + S _ { 1 3 } ^ { 2 } + . . . + S _ { 1 n } ^ { 2 } } & { \leq ( S _ { 1 1 } S _ { 2 2 } ) + ( S _ { 1 1 } S _ { 3 3 } ) + . . . + ( S _ { 1 1 } S _ { n n } ) } \\ & { \leq S _ { 1 1 } ( S _ { 2 2 } + S _ { 3 3 } + . . . + S _ { n n } ) , } \\ { \sqrt { S _ { 1 2 } ^ { 2 } + S _ { 1 3 } ^ { 2 } + . . . + S _ { 1 n } ^ { 2 } } } & { \leq \sqrt { S _ { 1 1 } ( S _ { 2 2 } + S _ { 3 3 } + . . . + S _ { n n } ) } } \\ & { \leq \frac { S _ { 1 1 } + S _ { 2 2 } + S _ { 3 3 } + . . . + S _ { n n } } { 2 } , } \end{array}