harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
m _ { \nu _ { \tau } } \approx { \frac { \left[ \mu ^ { \prime } v _ { 2 } A _ { D } - v _ { 1 } ^ { \prime } \left( m _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } + M _ { Q } ^ { 2 } + M _ { D } ^ { 2 } + A _ { D } ^ { 2 } \right) \right] ^ { 2 } } { \Big [ 2 v _ { 1 } ^ { \prime } v _ { 2 } - 4 M M ^ { \prime } \mu ^ { \prime } / ( g ^ { 2 } M + g ^ { 2 } M ^ { \prime } ) \Big ] \mu ^ { \prime } m _ { \tilde { \nu } _ { \tau } ^ { 0 } } ^ { 2 } } } \left( { \frac { \epsilon _ { 3 } \mu } { \mu ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { 3 h _ { b } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } \ln { \frac { M _ { G U T } } { m _ { Z } } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \, \mathrm { d } Y _ { t } = - ( k * \rho _ { t } ) ( Y _ { t } ) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , Y _ { t } ) \, \mathrm { d } B _ { t } + \nu \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad Y _ { 0 } = X _ { 0 } , } \\ { \rho _ { t } \; \mathrm { i s \, t h e \, c o n d i t i o n a l \, d e n s i t y \, o f } \, Y _ { t } \, \mathrm { g i v e n } \, \mathcal { F } _ { t } ^ { W } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \lambda ( [ y _ { 2 i , 2 j } , y _ { 2 k , 2 l } ] ) } & { = 0 , } & { \lambda ( [ y _ { 2 i - 1 , 2 j - 1 } , y _ { 2 k - 1 , 2 l - 1 } ] ) } & { = 0 , } \\ { \lambda ( [ \theta _ { 2 i , 2 j } , \theta _ { 2 k , 2 l } ] ) } & { = 0 , } & { \lambda ( [ \theta _ { 2 i - 1 , 2 j - 1 } , \theta _ { 2 k - 1 , 2 l - 1 } ] ) } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c } { { \bf S } = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { - g _ { s } \, { h } - g _ { c } \, { h } \, \frac { \partial { H } } { \partial { x } _ { 1 } } } \\ { - g _ { c } \, { h } \, \frac { \partial { H } } { \partial { x } _ { 2 } } } \end{array} \right] \, , } & { \frac { \partial { \bf S } } { \partial { \bf V } _ { e } } = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - g _ { s } - g _ { c } \, \frac { \partial { H } } { \partial { x } _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { - g _ { c } \, \frac { \partial { H } } { \partial { x } _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \hat { \bf N } _ { V } \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { I } = \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left\langle \partial _ { c } ^ { 2 } \left( x - \mu ( c ) \right) ^ { 2 } \right\rangle = \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \left\langle \left( \mu ^ { \prime } ( c ) \right) ^ { 2 } - \mu ^ { \prime \prime } ( c ) \left( x - \mu ( c ) \right) \right\rangle = \left( \frac { \mu ^ { \prime } ( c ) } { \sigma } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { \lambda / \lambda ; a , b } ( x / y ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \gamma _ { \lambda ; b } ( x _ { i } , y _ { i } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \prod _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 - b _ { j - \lambda _ { j } ^ { \prime } } x _ { i } } { 1 - b _ { j } x _ { i } } \frac { 1 + b _ { \lambda _ { j } - j + 1 } y _ { i } } { 1 + b _ { - j + 1 } y _ { i } } , } \\ { \widehat { s } _ { \lambda / \lambda ; a , b } ( x / y ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \gamma _ { \lambda ; a } ( x _ { i } , y _ { i } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \prod _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 - a _ { j - \lambda _ { j } ^ { \prime } } x _ { i } } { 1 - a _ { j } x _ { i } } \frac { 1 + a _ { \lambda _ { j } - j + 1 } y _ { i } } { 1 + a _ { - j + 1 } y _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ - \frac { 1 } { r ^ { 2 K } } \frac { d } { d r } \left( r ^ { 2 K } \frac { d } { d r } \right) + \frac { j \left( j + \bar { d } - 2 \right) } { r ^ { 2 } } - 1 \right] R \left( r \right) = 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ M ~ C ~ - ~ p ~ e ~ r ~ f ~ } ( { p _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } } | \mathcal X ) = \exp \left( - \frac { L ( \mathcal X , \theta _ { p _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } } ) } { L _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \right) \exp \left( - \frac { p _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } } { k } \right) } \end{array}
{ \frac { - \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \left( i \mathbf { k } \cdot \left( i \mathbf { k } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) \right) + i \mathbf { k } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla ^ { 2 } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) \right) + U ( \mathbf { x } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) = E _ { \mathbf { k } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } )
\begin{array} { r l } { \| \left( \mathbf { I } - \mathbf { Q Q } ^ { T } \right) \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } \| _ { 2 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { z } \in \mathbb { C } ^ { k } } \| \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } - \mathbf { Q z } \| _ { 2 } } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { y } \in \mathcal { K } _ { k } ( \mathbf { A } , \mathbf { b } ) } \| \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } - \mathbf { y } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { A _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } M _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) - A _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } M _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } , { \pmb \xi } ) = [ { \pmb u } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) ] - [ { \pmb u } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) , { \pmb v } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) ] } \\ & { } & { = [ { \pmb u } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb u } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) ] + [ { \pmb u } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb w } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) ] - [ { \pmb u } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) , { \pmb u } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) ] - [ { \pmb u } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) , { \pmb w } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) ] } \\ & { } & { = [ { \pmb u } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb w } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) ] - [ { \pmb u } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) , { \pmb w } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) ] } \end{array}
\mathcal { E } _ { \alpha \beta \beta _ { 1 } } = - \frac { \mathcal { F } _ { \alpha \beta \beta _ { 1 } } + \mathcal { F } _ { \alpha \beta _ { 1 } \beta } } { 2 } + \frac { \mathcal { F } _ { \alpha \gamma \gamma } \delta _ { \beta \beta _ { 1 } } } { 3 }
\int d ^ { 3 } \vec { q } \: d q _ { 0 } = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } d Q ^ { 2 } \int _ { m _ { \pi } Q } ^ { - m _ { \pi } Q } { \frac { d \nu } { m _ { \pi } ^ { 2 } } } \sqrt { m _ { \pi } ^ { 2 } Q ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } } \ \ ,
\begin{array} { r l } { { \bf d } _ { i } ^ { T } { \bf a } _ { \ell } } & { { } = a _ { 0 , \ell } d _ { i , 0 } + a _ { 1 , \ell } d _ { i , 1 } + \cdots + a _ { m - 1 , \ell } d _ { i , m - 1 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { r } = \nu _ { e ^ { - } } + \nu _ { e ^ { - } \gamma } \nu _ { \gamma e } + \frac { 1 } { 2 } \ast \left( ( \nu _ { e ^ { - } } + \nu _ { e ^ { - } \gamma } \nu _ { \gamma e } ) + \sqrt { [ ( \nu _ { e ^ { - } } + \nu _ { e ^ { - } \gamma } \nu _ { \gamma e } ) ^ { 2 } + 4 \nu _ { e ^ { - } } \ast \nu _ { e ^ { - } \gamma } \nu _ { \gamma e } ] } \right) } \end{array}
g _ { i j } ( \pmb \theta ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { \partial \log \hat { p } } { \partial \theta _ { i } } \frac { \partial \log \hat { p } } { \partial \theta _ { j } } \hat { p } \, \mathrm d \mathbf x = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { 1 } { \hat { p } ( \mathbf x , \pmb \theta ) } \frac { \partial \hat { p } } { \partial \theta _ { i } } ( \mathbf x , \pmb \theta ) \frac { \partial \hat { p } } { \partial \theta _ { j } } ( \mathbf x , \pmb \theta ) \mathrm d \mathbf x .
\Delta v _ { 1 } ( r , m , \mu ) = v _ { 1 } ( r , m , \mu ) - v _ { 1 } ( r , 0 , \mu ) = \frac 2 3 T _ { F } \left[ \ln ( \sqrt { a _ { 0 } } m r ) + \gamma _ { E } + E _ { 1 } ( \sqrt { a _ { 0 } } m r ) \right] .
\frac { \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathrm { t r } \left[ \mathbf { V } ^ { - 1 } ( \mathbf { X } - \mathbf { M } ) ^ { T } \mathbf { U } ^ { - 1 } ( \mathbf { X } - \mathbf { M } ) \right] \right) } { ( 2 \pi ) ^ { n p / 2 } | \mathbf { V } | ^ { n / 2 } | \mathbf { U } | ^ { p / 2 } }
S _ { 1 } = 2 \, \frac { \sqrt { ( | y | ^ { 2 } + | x _ { 0 } | ^ { 2 } ) ^ { 3 } + ( | y | ^ { 2 } + | x _ { 0 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } I _ { 2 } + ( | y | ^ { 2 } + | x _ { 0 } | ^ { 2 } ) ( I _ { 2 } ^ { 2 } - I _ { 4 } ) / 2 + | I _ { 3 } | ^ { 2 } } } { | y | ^ { 2 } + | x _ { 0 } | ^ { 2 } } \, ,
u _ { \rho 0 C } ^ { \delta } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { \Gamma _ { + } \delta _ { 0 z } ( 2 - 4 \cos ^ { 2 } \theta ) } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 2 } ( 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) } \, d \theta = \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { \Gamma _ { + } \delta _ { 0 z } } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 3 } } \bigg ( I _ { 1 A } ^ { \delta } - I _ { 2 A } ^ { \delta } \bigg )
\begin{array} { r } { V _ { 5 } = - \frac { \tau } { \kappa } \lambda ^ { + } \left\lbrace \alpha _ { 1 } \left( \xi _ { 1 } q _ { 2 } - \xi _ { 2 } q _ { 1 } \right) + \alpha _ { 2 } \left( \xi _ { 1 } q _ { 3 } - \xi _ { 3 } q _ { 1 } \right) \right\rbrace \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ n ~ y ~ } ~ q = ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } . } \end{array}
{ \mathrm { S } } _ { X X } = \sum _ { j } { { \left( \bar { X } - { X } _ { j } \right) } ^ { 2 } } \, , \quad { \mathrm { S } } _ { X Y } = \sum _ { j } { \left( \bar { X } - { X } _ { j } \right) \left( \bar { Y } - { Y } _ { j } \right) } \, , \quad { \mathrm { S } } _ { Y Y } = \sum _ { j } { { \left( \bar { Y } - { Y } _ { j } \right) } ^ { 2 } } \, .
\delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { n } - \Delta \boldsymbol { r } _ { n } ) = \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { n } ) - \Delta \boldsymbol { r } _ { n } \cdot \nabla \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { n } ) + \ldots ,
\begin{array} { r l } & { H ( \Phi ) } \\ { = } & { - \int _ { \mathcal { I } } \Phi ( e ^ { i \theta } ) \log \Phi ( e ^ { i \theta } ) \frac { \breve { \Phi } ( e ^ { i \theta } ) } { \breve { \Phi } ( e ^ { i \theta } ) } d \theta } \\ { = } & { - K L \left( \Phi \| \breve { \Phi } \right) - \int _ { \mathcal { I } } \Phi ( e ^ { i \theta } ) \log \breve { \Phi } ( e ^ { i \theta } ) d \theta } \\ { \leq } & { - \int _ { \mathcal { I } } \Phi ( e ^ { i \theta } ) \log \breve { \Phi } ( e ^ { i \theta } ) } \\ { = } & { - \int _ { \mathcal { I } } \Phi ( e ^ { i \theta } ) \left( - 1 - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } e ^ { i k \theta } \right) d \theta } \\ { = } & { 2 \pi r _ { 0 } + 2 \pi \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } r _ { k } } \end{array}
( - ) ^ { N - 1 } \; C _ { 2 N } < O _ { 2 N } > = 4 \pi ^ { 2 } \; \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \; d s \, \, s ^ { N - 1 } \; \frac { 1 } { \pi } \; I m \Pi _ { 0 } ( s ) | _ { R E S } - \frac { s _ { 0 } ^ { N } } { N } \; ,
\begin{array} { r } { \mathrm { I } _ { 2 } = \frac { \kappa _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } - 2 \kappa _ { 3 } \kappa _ { 1 } ^ { \prime } \kappa _ { 2 } ^ { \prime } + \left( 2 \kappa _ { 2 } ^ { 2 } + \kappa _ { 4 } \right) \left( \kappa _ { 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { 2 \kappa _ { 2 } ^ { 3 } - \kappa _ { 3 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } \kappa _ { 4 } } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty , \varepsilon \to 0 } { x \to \infty } } I ( \Gamma ) = \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty , \varepsilon \to 0 } { x \to \infty } } I ( \Gamma _ { 1 } ) + \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } I ( \Gamma _ { R } ) + \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty , \varepsilon \to 0 } { x \to \infty } } I ( \Gamma _ { 2 } ) + \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { \varepsilon \to 0 } { x \to \infty } } I ( \Gamma _ { \varepsilon } ) .
\langle \theta \rangle \equiv \frac { \langle B \rangle } { N _ { \mathrm { s i t e s } } } = \frac { \langle M \rangle } { N _ { \mathrm { s i t e s } } } = \frac { c _ { \mathrm { L } } } { K _ { \mathrm { d } } ( \varepsilon ) + c _ { \mathrm { L } } } ,
\begin{array} { r l } { z _ { j } ^ { \prime } } & { = ( - 1 ) ^ { j - 1 } \tilde { \mathcal { Y } } _ { n } ^ { \prime } = ( - 1 ) ^ { j - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \tilde { a } _ { ( n + 1 - j ) k } \tilde { \mathcal { Y } } _ { k } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { j - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { n + k - j } a _ { ( n + 1 - k ) j } ( - 1 ) ^ { n - k } z _ { n + 1 - k } = - \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { ( n + 1 - k ) j } z _ { n + 1 - k } , } \end{array}
h = \bar { h } + \frac { \partial h } { \partial \tilde { c } } \bigg | _ { \tilde { c } = 1 } ( \tilde { c } - 1 ) + \mathcal { O } ( \tilde { c } ^ { 2 } ) \approx \bar { h } + \frac { c ( 1 - \tilde { c } ) } { ( \tilde { c } - 1 ) ^ { 2 } } \frac { \partial \mu _ { c } } { \partial c } \frac { \partial \bar { h } } { \partial \eta } .
( m \mathbb { I } + \mathbb { A } ) \frac { \mathrm { d } \mathbf { U } } { \mathrm { d } t } + \boldsymbol { \Omega } \times ( ( m \mathbb { I } + \mathbb { A } ) \mathbf { U } ) = \mathbf { F } ^ { \omega } + ( m - \rho V ) \mathbf { g } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } 2 _ { \varepsilon } } & { = \int _ { \O } \Big ( A _ { + } ( x ) | \nabla V _ { { \varepsilon } ^ { + } } | ^ { p - 2 } \nabla V _ { { \varepsilon } ^ { + } } \cdot \nabla ( U _ { { \varepsilon } ^ { + } } - V _ { { \varepsilon } ^ { + } } ) \Big ) \, d x } \\ & { = \int _ { \O } \Big ( A _ { + } ( x ) \Big ( | \nabla u | ^ { p - 2 } \nabla u \Big ) \cdot \Big ( \psi ^ { + } ( u ) ^ { p - 1 } \nabla ( U _ { { \varepsilon } ^ { + } } - V _ { { \varepsilon } ^ { + } } ) \Big ) \Big ) \, d x } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb P \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ 0 , \tau _ { j } ^ { T } \wedge S \right] } \left\| u ^ { j } ( t ) \right\| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } > \left\| u _ { 0 } ^ { j } \right\| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } + 1 \right) = \mathbb P \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ 0 , \tau _ { j } ^ { T } \wedge S \right] } \left\| u ^ { j } ( t ) \right\| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } - \left\| u _ { 0 } ^ { j } \right\| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } > 1 \right) } \\ { \leq } & { \mathbb P \left( C _ { \rho , \kappa } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j } ^ { T } \wedge S } ( 1 + \| u ^ { j } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) d t + C _ { \rho , \kappa } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j } ^ { T } \wedge S ] } \Big | \int _ { 0 } ^ { t } A d W \Big | > 1 \right) . } \end{array}
p _ { \phi } ( E ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac 1 { \bar { E } } e ^ { - E / \bar { E } } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } E \geq 0 \, , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } E < 0 \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { - \frac { I _ { \mathrm { f } } \omega _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { f } } ) \sin \varphi } \\ { \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { f } } ) \cos \varphi } \\ { 0 } \end{array} \right) = - m _ { \mathrm { f } } \left( \begin{array} { l } { B _ { \mathrm { r } , z } \sin \theta _ { \mathrm { f } } \sin \varphi } \\ { B _ { \mathrm { r } , z } \sin \theta _ { \mathrm { f } } \cos \varphi + B _ { \mathrm { r } , \perp } \cos \theta _ { \mathrm { f } } } \\ { B _ { \mathrm { r } , \perp } \sin \theta _ { \mathrm { f } } \sin \varphi } \end{array} \right) + \frac { \zeta _ { \mathrm { r o t } } \omega _ { \mathrm { r } } } { 2 } \left( \begin{array} { l } { - \sin 2 \theta _ { \mathrm { f } } \cos \varphi } \\ { \sin 2 \theta _ { \mathrm { f } } \sin \varphi } \\ { 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { f } } } \end{array} \right) . } \end{array}
F ( \alpha ) = \varepsilon _ { 0 } + \alpha ^ { 2 } \varepsilon _ { 2 } + \alpha ^ { 3 } \varepsilon _ { 3 } + \alpha ^ { 4 } \ln ( \alpha ) \varepsilon _ { 4 } ^ { \prime } + \alpha ^ { 4 } \varepsilon _ { 4 }
\overline { { \mathcal { L } } } ( \boldsymbol { p } , \eta _ { \mathrm { c } } ) = \prod _ { k = 1 } ^ { K } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \tilde { \eta } _ { k } ^ { 2 } ( \eta _ { \mathrm { c } } ) } } \exp { \left( - \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \overline { { y } } _ { k } ( \vec { p } ) - t _ { k } \right) ^ { 2 } } { \tilde { \eta } _ { k } ^ { 2 } ( \eta _ { \mathrm { c } } ) } \right) } \, .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } [ H _ { Q } ^ { ' ( T ) } ] ( k _ { x ^ { \prime } } , k _ { p ^ { \prime } } ) = \int \int H _ { Q } ^ { ' ( T ) } ( x ^ { \prime } , p ^ { \prime } ) e ^ { - i ( k _ { x ^ { \prime } } x ^ { \prime } + k _ { p ^ { \prime } } p ^ { \prime } ) } d x ^ { \prime } d p ^ { \prime } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { 4 } \Phi \circ \Psi ~ } & { ~ { \stackrel { \scriptscriptstyle { \mathrm { d e f } } } { = } } ~ \left\{ ( x , z ) : { \mathrm { ~ t h e r e ~ e x i s t s ~ } } y \in X { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } ( x , y ) \in \Psi { \mathrm { ~ a n d ~ } } ( y , z ) \in \Phi \right\} } \\ & { = ~ \bigcup _ { y \in X } \{ ( x , z ) ~ : ~ ( x , y ) \in \Psi { \mathrm { ~ a n d ~ } } ( y , z ) \in \Phi \} } \end{array} }
\frac { 2 } { m _ { 1 } + 2 } \frac { 1 } { M _ { 2 } ^ { L } k _ { 2 } ^ { L } } ( 2 L _ { 2 } ^ { L } \ell _ { 2 } ^ { L } d L _ { 2 } ^ { L } + ( L _ { 2 } ^ { L } ) ^ { 2 } d \ell _ { 2 } ^ { L } ) - \frac { 1 } { M _ { 1 } ^ { L } k _ { 1 } ^ { L } } ( 2 L _ { 1 } ^ { L } \ell _ { 1 } ^ { L } d L _ { 2 } ^ { L } + ( L _ { 1 } ^ { L } ) ^ { 2 } d \ell _ { 1 } ^ { L } ) = 0 .
\mathbf { { U } } _ { d + 1 } ^ { K } \simeq \mathbf { { R } } _ { 1 } \mathbf { { U } } _ { 1 } ^ { K - d } + \mathbf { { R } } _ { 2 } \mathbf { { U } } _ { 2 } ^ { K - ( d - 1 ) } + . . . + \mathbf { { R } } _ { d } \mathbf { { U } } _ { d } ^ { K - 1 }
\begin{array} { r } { \partial _ { \theta } V ( s ) = \partial _ { s } V ( s ) \times \frac { d s ( \theta ) } { d \theta } \, ; \quad \frac { d s ( \theta ) } { d \theta } = - \frac { T _ { x } / \theta } { \partial _ { s } \Delta U ( s ) } \, . } \end{array}
\nu _ { 2 } \, \simeq \, \mathrm { c o s } \theta \nu _ { \mu } - \mathrm { s i n } \theta \nu _ { \tau } \qquad \nu _ { 3 } \, \simeq \, \mathrm { s i n } \theta \nu _ { \mu } + \mathrm { c o s } \theta \nu _ { \tau } \, ,
\begin{array} { r l } { f _ { + , \omega } ^ { \mathrm { ~ A ~ d ~ d ~ } } = } & { { } \left[ - \kappa _ { s x } \kappa _ { d x } + \sigma _ { s x } \sigma _ { d x } e ^ { i \Delta \phi } \right] f _ { - , \omega } ^ { \mathrm { ~ A ~ d ~ d ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 2 } } & { = \frac { \mathrm { T r } \left\{ | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \hat { P } _ { 1 } \otimes \hat { P } _ { 2 } \right\} } { \mathrm { T r } \left\{ | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \right\} } = \frac { \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \hat { P } _ { 1 } \otimes \hat { P } _ { 2 } | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle } { \langle \psi ^ { \mathrm { o u t } } | \psi ^ { \mathrm { o u t } } \rangle } } \\ & { \approx \frac { 1 } { 4 } \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) \Big [ | F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } + | F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } + 2 \mathrm { R e } \Big [ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \phi } \Big ] \Big ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left\{ 1 + \mathrm { R e } \Big [ \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \phi } \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \Big ] \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathrm { l . o . t } | \leq C \left( \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { \infty } } + \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| w _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \partial _ { x } ^ { 4 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } \right) \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \right\| _ { L ^ { 2 } } \leq C \mathcal { E } ( t ) ^ { 3 / 2 } . } \end{array}
\left( \omega ^ { 2 } \mathbf { \hat { m } } + \omega \left( \omega _ { m } \mathbf { Q _ { 1 } } \circ \mathbf { \hat { m } } - i c \mathbf { I } \right) + \omega _ { m } ^ { 2 } \mathbf { Q _ { 2 } } \circ \mathbf { \hat { m } } - k \mathbf { I } - i c \omega _ { m } \mathbf { Q _ { 3 } } \right) \mathbf { \hat { v } } = \mathbf { 0 } _ { ( 2 Q + 1 ) \times 1 } ,
\left\{ \begin{array} { l } { A = \left[ \overbrace { \sum \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { 1 } + \beta \sum G ( k ) \right] ^ { - 1 } = \left[ 1 + \beta \sum G ( k ) \right] ^ { - 1 } } \\ { \pi _ { 1 } ( k _ { \mathrm { p e a k } } ) = A [ \pi _ { 2 } ( k _ { \mathrm { p e a k } } ) + \beta \underbrace { G ( k _ { \mathrm { p e a k } } ) } _ { 1 } ] = A [ \pi _ { 2 } ( k _ { \mathrm { p e a k } } ) + \beta ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { \dot { v } _ { z } ^ { i } } & { = - 1 - v _ { z } ^ { i } / v _ { s } , } \\ { \dot { v } _ { x } ^ { i } } & { = ( u _ { x } - v _ { x } ^ { i } ) / v _ { s } , } \\ { \kappa ^ { 2 } ( z + z _ { 0 } ) ^ { 2 } u _ { x } ^ { \prime } | u _ { x } ^ { \prime } | } & { = u _ { \ast } ^ { 2 } [ 1 - \tau _ { g } ( z ) / \tau ] , } & { u _ { x } ( 0 ) } & { = 0 . } \end{array}
\mathbf { u } \left( x , y , z , t \right) = e ^ { \mu _ { F } t } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \tilde { \mathbf { u } } _ { n } \left( x , y , z \right) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( n + \alpha / \Omega \right) t } = e ^ { \mu _ { F } t } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \tilde { \mathbf { u } } _ { n } \left( x , y , z \right) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \xi _ { n } t } ,
- \, { \frac { 2 ( k ! ) ^ { 2 } } { ( 2 k - 2 ) ! k ^ { 2 k - 3 } t ^ { 2 } } } N ( 2 k , 2 k - 2 , ( k , k ) ) + { \frac { \delta _ { 0 } ^ { k } \delta _ { 0 } ^ { k } } { k t ^ { 2 } } } \propto N _ { c } ( 2 k , 2 k - 2 , ( k , k ) ) = 0 ,
= \int _ { 0 } ^ { N } \frac { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \exp \Bigl ( - \frac { ( y - u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \Bigr ) } { Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) } \cdot \frac { \left[ Q \left( \frac { i - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - u } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] } { \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { i - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - t } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) \right] \, d t } \, d u .
1 = { \frac { Q ( \infty , s ) } { 2 \pi N } } \equiv { \frac { 2 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } N } } \left[ \left( 1 - { \frac { ( 0 . 1 2 5 ) ^ { 2 } } { ( 0 . 1 2 5 ) ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } \right) { \frac { \pi } { 2 s } } - { \frac { 0 . 1 2 5 } { ( 0 . 1 2 5 ) ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } \ln \left( { \frac { s } { 0 . 1 2 5 } } \right) \right] .
\mathcal { L } \{ C _ { l } \} = \left( \pi s - \pi a s ^ { 2 } + 2 \pi \left[ s \phi ( s ) \left( 1 + \left( \frac { 1 } { 2 } - a \right) s \right) \right] \right) \mathcal { L } \{ \alpha \} .
P _ { \mathbf { a } } = \mathbf { a } \mathbf { a } ^ { \textsf { T } } = { \left[ \begin{array} { l } { a _ { x } } \\ { a _ { y } } \\ { a _ { z } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { x } } & { a _ { y } } & { a _ { z } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { x } ^ { 2 } } & { a _ { x } a _ { y } } & { a _ { x } a _ { z } } \\ { a _ { x } a _ { y } } & { a _ { y } ^ { 2 } } & { a _ { y } a _ { z } } \\ { a _ { x } a _ { z } } & { a _ { y } a _ { z } } & { a _ { z } ^ { 2 } } \end{array} \right] }