harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } } & { = 0 = \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) } \\ & { + \cos \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) - 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) - e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) } \end{array}
- \frac { 1 } { 9 } S ^ { ( p ) } B _ { i j } ^ { ( p ) } B _ { k \ell } ^ { ( p ) } = - \phi _ { 1 } \left( \frac { 1 } { K _ { d _ { 1 } } } + \frac { 1 } { K _ { f } } - \frac { 1 } { K _ { 0 } } \right) \, Q _ { i j _ { 1 } } Q _ { k \ell _ { 1 } } - \dots - \phi _ { m } \left( \frac { 1 } { K _ { d _ { m } } } + \frac { 1 } { K _ { f } } - \frac { 1 } { K _ { 0 } } \right) \, Q _ { i j _ { m } } Q _ { k \ell _ { m } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial X ^ { [ j ] } } } & { { } = \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial R ^ { [ i + 1 ] } } \cdot \frac { \partial R ^ { [ i + 1 ] } } { \partial X ^ { [ j ] } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( 1 + \frac { \sigma } { g \rho } k ^ { 2 } \right) k ^ { 2 } f + \frac { \nu ^ { 2 } } { g } ( \kappa ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) ( \kappa ^ { 2 } + 2 k ^ { 2 } ) f ^ { \prime } - \frac { \nu ^ { 2 } } { g } ( \kappa ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) f ^ { \prime \prime \prime } = 0 \; . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { i n t } } = - i \sqrt { \frac { \gamma } { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \, [ \hat { \sigma } ^ { \dagger } ( \hat { a } _ { \omega } + \hat { b } _ { \omega } ) - \hat { \sigma } ( \hat { a } _ { \omega } ^ { \dagger } + \hat { b } _ { \omega } ^ { \dagger } ) ]
( a _ { 1 } - b _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( a _ { 2 } - b _ { 2 } ) ^ { 2 } + \cdots + ( a _ { n } - b _ { n } ) ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( a _ { i } - b _ { i } ) ^ { 2 } .
{ f _ { d , i } ^ { \Delta } } \Delta _ { z } + \left\langle \left[ \frac { \kappa U _ { a v g } ^ { \Delta } } { \log \left( \frac { \Delta _ { z } / 2 - \widetilde { \eta } } { z _ { 0 , \Delta } } \right) } \right] ^ { 2 } \frac { \widetilde { u } - \widetilde { u } _ { o r b } } { U _ { a v g } ^ { \Delta } } \right\rangle = { f _ { d , i } ^ { 2 \Delta } } \Delta _ { z } + \left\langle \left[ \frac { \kappa U _ { a v g } ^ { 2 \Delta } } { \log \left( \frac { \Delta _ { z } / 2 - \widehat { \widetilde { \eta } } } { z _ { 0 , 2 \Delta } } \right) } \right] ^ { 2 } \frac { \hat { \widetilde { u } } - \hat { \widetilde { u } } _ { o r b } } { U _ { a v g } ^ { 2 \Delta } } \right\rangle ,
B _ { r } ^ { \nu } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { m } , t ) = \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } \right) - \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial q _ { r } } - \sum _ { \mu = 1 } ^ { k } \frac { \partial \alpha _ { \mu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial q _ { m + \mu } }
\begin{array} { r } { C _ { l } ( \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { l 0 } \frac { \sin \alpha } { \sin \alpha _ { s } } } & { [ \alpha < \alpha _ { s } ] , } \\ { c _ { l } \frac { \sin 2 \alpha } { \sin 2 \alpha _ { s } } } & { [ \alpha _ { s } < \alpha < \pi - \alpha _ { s } ] , } \\ { - c _ { l 0 } \frac { \sin \alpha } { \sin \alpha _ { s } } } & { [ \alpha > \pi - \alpha _ { s } ] . } \end{array} \right. } \end{array}
\Bigl | \frac { \partial _ { R } \phi } { 1 + \epsilon R } \Bigr | + \Bigl | \frac { \partial _ { Z } \phi } { 1 + \epsilon R } \Bigr | \, \le \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \frac { C } { \sqrt { ( R { - } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \, | \eta ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) | \, \mathrm { d } X ^ { \prime } \, .
B _ { \varepsilon } ( x _ { 1 } , \, x _ { 2 } ) = \left\langle e ^ { | \varphi | } \right\rangle _ { I } \leqslant \operatorname* { s u p } \left\{ \langle \exp \{ | \psi | \} \rangle _ { I } \big | \, \psi \in \mathrm { B M O } _ { \varepsilon } \mathrm { ~ a n d ~ } ( \langle \psi \rangle _ { I } , \, \langle \psi ^ { 2 } \rangle _ { I } ) = ( x _ { 1 } , \, x _ { 2 } ) \right\} = \mathbb { B } _ { \varepsilon } ( x _ { 1 } , \, x _ { 2 } ) .
{ \tilde { T } } ^ { \mu \nu } = \frac 1 2 \left[ \nabla ^ { \mu } \Psi ^ { \dag } , \nabla ^ { \nu } \Psi \right] _ { + } + \frac 1 2 \left[ \nabla ^ { \nu } \Psi ^ { \dag } , \nabla ^ { \mu } \Psi \right] _ { + } - \frac 1 4 \nabla ^ { \mu } \nabla ^ { \nu } \left[ \Psi ^ { \dag } , \Psi \right] _ { + } \, ,
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( \left| \left( \sum _ { k = 1 } ^ { M } u _ { k } ^ { 2 } \right) - 1 \right| \geq N ^ { \varepsilon } N ^ { - \phi } \right) \leq \frac { \mathbb { E } \left| \sum _ { k = 1 } ^ { M } \left( u _ { k } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) \right| ^ { 2 p } } { N ^ { 2 p \varepsilon } N ^ { - 2 p \phi } } \leq C \frac { N ^ { - 2 p \phi } } { N ^ { p \varepsilon } N ^ { - 2 p \phi } } = C N ^ { - p \varepsilon } } \end{array}
p _ { 2 } = c _ { w } \rho _ { w } \xi \left( \left( c _ { i , 2 } \rho _ { i } u _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ } } + p _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ } } \right) - c _ { i , 2 } p _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ } } / c _ { i , 1 } \right) \ .
\mathrm { \hat { H } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { \Omega _ { 1 } ( t ) } { 2 } ( t ) } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { 1 } ( t ) } { 2 } } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { 2 } ( t ) } { 2 } } \\ { 0 } & { \frac { \Omega _ { 2 } ( t ) } { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I _ { h } ^ { 2 } } & { \leq c _ { \varepsilon } \, \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } ) ^ { * } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) + \varepsilon \, \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } , \Omega } \big ( h _ { \mathcal { T } } ^ { - 1 } ( e _ { h } - I _ { h } ^ { \textit { a v } } e _ { h } ) \big ) \, . } \end{array} } \end{array}
| L ^ { b } ( r , u , w ) | ^ { \circleddash } = \left| \sum _ { \lambda _ { i } \in Q ( r , u , w ) } ( - 1 ) ^ { \sum _ { k } ( \lambda _ { 0 } ^ { k } - \lambda _ { i } ^ { k } ) } | \varepsilon ^ { b } ( r , u , w , \lambda _ { i } ) | \right|
( 1 0 a _ { 5 } a _ { 3 } - 4 a _ { 4 } ^ { 2 } ) + 1 0 a _ { 5 } ( a _ { 2 } - \frac { a _ { 4 } a _ { 3 } } { 5 a _ { 5 } } ) ^ { 2 } = 0
\begin{array} { r l } { \dot { x _ { 1 } } = } & { g ( z _ { 1 } - x _ { 1 } - 1 - y _ { 1 } , x _ { 1 } + 1 , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { ( x _ { 1 } + 1 ) ( - x _ { 1 } ( - \epsilon - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) - ( x _ { 1 } + 1 ) ( - \epsilon + b ( x _ { 1 } + 1 ) + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } - 1 - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) - } \\ & { y _ { 1 } ( - \epsilon + b ( x _ { 1 } + 1 ) + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } - 1 - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) ) } \\ { \dot { y _ { 1 } } = } & { h ( z _ { 1 } - x _ { 1 } - 1 - y _ { 1 } , x _ { 1 } + 1 , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { y _ { 1 } ( - ( x _ { 1 } + 1 ) ( - \epsilon - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) - y _ { 1 } ( - \epsilon - y _ { 1 } - ( x _ { 1 } + 1 ) y _ { 1 } + z _ { 1 } ) + ( 1 - y _ { 1 } ) ( - \epsilon + b ( x _ { 1 } + 1 ) + } \\ & { ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } - 1 - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) ) } \\ { \dot { z _ { 1 } } = } & { f ( z _ { 1 } - x _ { 1 } - 1 - y _ { 1 } , x _ { 1 } + 1 , y _ { 1 } ) + g ( z _ { 1 } - x _ { 1 } - 1 - y _ { 1 } , x _ { 1 } + 1 , y _ { 1 } ) + h ( z _ { 1 } - x _ { 1 } - 1 - y _ { 1 } , x _ { 1 } + 1 , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { ( x _ { 1 } + 1 ) ( \epsilon ( - 1 + 2 ( x _ { 1 } + 1 ) + y _ { 1 } ) + ( x _ { 1 } + b ( x _ { 1 } + 1 ) + b y _ { 1 } ) ( y _ { 1 } - z _ { 1 } ) - \beta ( x _ { 1 } + 1 + y _ { 1 } ) ( x _ { 1 } + 1 + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + } \\ & { y _ { 1 } ( ( - 1 + y _ { 1 } ) ( \epsilon + b ( y _ { 1 } - z _ { 1 } ) - \beta ( x _ { 1 } + 1 + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + ( x _ { 1 } + 1 ) ( \epsilon + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) + y _ { 1 } ( \epsilon + y _ { 1 } + ( x _ { 1 } + 1 ) y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + } \\ & { ( x _ { 1 } + 1 + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ( \epsilon + ( 2 - b + \beta + x _ { 1 } ) y _ { 1 } ^ { 2 } - \epsilon z _ { 1 } + ( - 1 + z _ { 1 } ) z _ { 1 } + y _ { 1 } ( 1 + ( x _ { 1 } + 1 ) ^ { 2 } + ( x _ { 1 } + 1 ) ( 1 + \beta - z _ { 1 } ) + } \\ & { ( - 2 + b - \beta ) z _ { 1 } ) ) . } \end{array}
B R ( K ^ { + } \to \pi ^ { + } \nu \bar { \nu } ) = \left\{ \begin{array} { r c } { { ( 1 . 0 7 \pm 0 . 2 4 ) \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } } } & { { ( \mathrm { r a n g e ~ I I } ) } } \\ { { ( 1 . 0 3 \pm 0 . 1 5 ) \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } } } & { { ( \mathrm { r a n g e ~ I I I } ) } } \end{array} \right.
b ^ { 2 } e ^ { 2 b \sigma ( 0 ) } \left[ 1 - \frac { k _ { 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } e ^ { 2 b \sigma ( 0 ) } \right] = \frac { \gamma } { 1 6 2 } \frac { 1 } { ( k k _ { 1 } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \left\langle F \right\rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { C } \left\langle \int \mathcal { D } \, \Psi _ { b } ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \Psi _ { b } \, \mathcal { D } \, \Psi _ { f } ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \Psi _ { f } \, F \, e ^ { - \widetilde { S } _ { B } \left[ \Psi _ { b } ^ { \dagger } , \Psi _ { b } \right] } e ^ { - \widetilde { S } _ { B } \left[ \Psi _ { f } ^ { \dagger } , \Psi _ { f } \right] } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { k ^ { 2 } } { P ( k ) } = \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \frac { A _ { j } } { k - k _ { j } } , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } P ( k ) = \epsilon ^ { 2 } k ^ { 4 } + 2 \mathrm { i } \epsilon k ^ { 2 } + k ^ { 3 } + \beta k - 1 , \quad A _ { j } = \frac { 1 } { 3 + \beta / k _ { j } ^ { 2 } + 4 \mathrm { i } \epsilon / k _ { j } + 4 \epsilon ^ { 2 } k _ { j } } } \end{array}
- \mathrm { T r } \left( P _ { - } \Gamma _ { 7 } \frac { \mu ^ { 2 } + \hat { \phi } ^ { i } \hat { \phi } ^ { i } } { - ( \Gamma \cdot \Delta ) ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \right) = - \int d ^ { 3 } x \ \mathrm { t r } \left( P _ { - } \Gamma _ { 7 } \Gamma _ { \mu } { \partial } _ { \mu } \, \langle x | ( \Gamma \cdot \Delta + \mu ) ^ { - 1 } | x \rangle \right)
m ( \vec { x } _ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } , \mathbf { x } _ { \mathrm { ~ m ~ u ~ l ~ t ~ i ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ } } ) - m ( \vec { x } _ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } , \mathbf { x } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ g ~ l ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ } } )
\frac { \partial \bar { \rho } \widetilde { e _ { \mathrm { v i b } } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \bar { \rho } \widetilde { e _ { \mathrm { v i b } } } \widetilde { u _ { j } } \right) = \left( \left[ \frac { \bar { \mu } } { S _ { c , e _ { \mathrm { v i b } } } } + \frac { \mu _ { t } } { S _ { c , e _ { \mathrm { v i b } } } ^ { t } } \right] \frac { \partial \widetilde { e _ { \mathrm { v i b } } } } { \partial x _ { i } } \right) + { \dot { E } } _ { \mathrm { v i b } } ^ { p } - { \dot { R } } _ { \mathrm { V T } } ^ { p } \, \mathrm { , }
\begin{array} { r } { \mathcal { P } ( \eta ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d ^ { 2 } \boldsymbol { r } _ { 0 } \mathcal { P } ( \eta | \boldsymbol { r } _ { 0 } ) \rho ( \boldsymbol { r } _ { 0 } ) . } \end{array}
\nabla \cdot ( \overline { { n _ { e h } { { \bf v } _ { e h } } } } ) = - \frac { i \epsilon _ { 0 } \nabla ^ { 2 } \overline { { E _ { h } ^ { 2 } } } } { 2 m _ { e } ( \frac { \omega _ { c e } ^ { 2 } } { \omega _ { r f } } - \omega _ { r f } ) } \approx - \frac { i \epsilon _ { 0 } \omega _ { r f } \nabla ^ { 2 } \overline { { E _ { h } ^ { 2 } } } } { 2 m _ { e } \omega _ { c e } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 + \cos ( z ) } { ( z - \pi ) ^ { 3 } } } & { = \frac { 1 + \cos \bigl ( ( z - \pi ) + \pi \bigr ) } { ( z - \pi ) ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { 1 - \cos ( z - \pi ) } { ( z - \pi ) ^ { 3 } } } \\ & { = - \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } ( z - \pi ) ^ { 2 n } } { ( z - \pi ) ^ { 3 } } } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { ( 2 n ) ! } ( z - \pi ) ^ { 2 n - 3 } } \\ & { = \frac 1 { 2 ( z - \pi ) } - \frac 1 { 4 ! } ( z - \pi ) + \frac 1 { 6 ! } ( z - \pi ) ^ { 3 } - \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { Q _ { 1 } + q - } \frac { R _ { 1 } P _ { 2 } } { Q _ { 2 } + q - } \dots \frac { R _ { N - 1 } P _ { N } } { Q _ { N } + q } = \frac { \phi _ { N - 1 } ^ { N } ( q ) } { \phi _ { N } ^ { N } ( q ) } . } \end{array}
\boldsymbol { \Upsilon } = \left[ \begin{array} { l } { \left[ \begin{array} { l l l l } { u _ { 1 } ^ { 1 } } & { u _ { 2 } ^ { 1 } } & { \dots } & { u _ { l } ^ { 1 } } \\ { u _ { 1 } ^ { 2 } } & { u _ { 2 } ^ { 2 } } & { \dots } & { u _ { l } ^ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { u _ { 1 } ^ { n } } & { u _ { 2 } ^ { n } } & { \dots } & { u _ { l } ^ { n } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l } { \dot { u } _ { 1 } ^ { 1 } } & { \dot { u } _ { 2 } ^ { 1 } } & { \dots } & { \dot { u } _ { l } ^ { 1 } } \\ { \dot { u } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \dot { u } _ { 2 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \dot { u } _ { l } ^ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \dot { u } _ { 1 } ^ { n } } & { \dot { u } _ { 2 } ^ { n } } & { \dots } & { \dot { u } _ { l } ^ { n } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l } { \ddot { u } _ { 1 } ^ { 1 } } & { \ddot { u } _ { 2 } ^ { 1 } } & { \dots } & { \ddot { u } _ { l } ^ { 1 } } \\ { \ddot { u } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \ddot { u } _ { 2 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \ddot { u } _ { l } ^ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \ddot { u } _ { 1 } ^ { n } } & { \ddot { u } _ { 2 } ^ { n } } & { \ddots } & { \ddot { u } _ { l } ^ { n } } \end{array} \right] } \end{array} \right] ^ { T }
\begin{array} { r } { T = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \displaystyle h } { \displaystyle C ^ { \mathrm { S } } } + T _ { r } , } & { h < h ^ { \mathrm { s o l } } , } \\ { T ^ { \mathrm { s o l } } + \frac { \displaystyle h - h ^ { \mathrm { s o l } } } { \displaystyle h ^ { \mathrm { l i q } } - h ^ { \mathrm { s o l } } } ( T ^ { \mathrm { l i q } } - T ^ { \mathrm { s o l } } ) , } & { h ^ { \mathrm { s o l } } \le h \le h ^ { \mathrm { l i q } } , } \\ { T ^ { \mathrm { l i q } } + \frac { \displaystyle h - h ^ { \mathrm { l i q } } } { \displaystyle C ^ { \mathrm { L } } } , } & { h > h ^ { \mathrm { l i q } } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi \, \to \, \left( r - \frac { 1 } { r } \right) s i n \ \theta , \ \ \ \frac { \partial \Psi } { \partial r } \, \to \, \left( 1 + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \right) s i n \ \theta , } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \ \Phi \, \to \, 0 \ \ \ \mathrm { ~ a ~ s ~ } \ \ \ r \, \to \, \frac { R _ { \infty } } { R _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda ( f _ { \mathcal { W } ( \tau , 2 n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } ) ( 1 _ { 2 n } ) = \int _ { u _ { 0 } } \psi ( \mathrm { t r } ( x _ { 1 } ) ) } \\ { \times } & { f _ { \mathcal { W } ( \tau , 2 n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } \left( \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 2 n ( k - 2 ) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { c } & { 1 _ { 2 n ( k - 2 ) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { x _ { 1 } } & { 0 } & { z _ { 1 } } & { z _ { 2 } } & { b _ { 2 } ^ { \ast } } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { x _ { 3 } } & { x _ { 4 } } & { z _ { 3 } } & { z _ { 1 } ^ { \ast } } & { b _ { 1 } ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { x _ { 4 } ^ { \ast } } & { 0 } & { a _ { 2 } ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { x _ { 3 } ^ { \ast } } & { x _ { 1 } ^ { \ast } } & { a _ { 1 } ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \right) d u _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathfrak { G } _ { ( k ) , \, m l } ^ { [ s ] , \, a \omega } } { w } } & { = O ( r ^ { - ( | s | - k ) } ) \, , \quad \mathrm { a s ~ r \to ~ \infty ~ i f ~ s > 0 ~ } \, , } \\ { \frac { \mathfrak { G } _ { ( k ) , \, m l } ^ { [ s ] , \, a \omega } } { w } } & { = O ( \Delta ^ { | s | - k } ) \, , \quad \mathrm { a s ~ r \to ~ r _ + ~ i f ~ s < 0 ~ } \, . } \end{array}
{ \ensuremath { \boldsymbol } s } \ensuremath { \boldsymbol \cdot } \ensuremath { \boldsymbol \nabla } L ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ) + \beta L ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ) = \frac { \omega \beta } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } L ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ^ { \prime } ) ( 1 + \mathrm { A _ { 1 } } \cos { \theta } \cos { \theta ^ { \prime } } ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } \Omega ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \prod _ { n = 1 } ^ { m } \left( \frac { p _ { n } ^ { 2 k } } { p _ { n } ^ { 2 k } - 1 } \right) = } & { \left( 1 + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 k } } + \frac { 1 } { 5 ^ { 2 k } } + \frac { 1 } { 7 ^ { 2 k } } + \frac { 1 } { 9 ^ { 2 k } } \cdots + \frac { 1 } { ( 2 m + 1 ) ^ { 2 k } } + \cdots + \frac { 1 } { p _ { m } ^ { 2 k } } \right) } \\ & { + \mathrm { s u m ~ o f ~ n u m b e r s ~ g r e a t e r ~ t h a n ~ z e r o } } \\ & { > 1 + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 k } } + \frac { 1 } { 5 ^ { 2 k } } + \frac { 1 } { 7 ^ { 2 k } } + \frac { 1 } { 9 ^ { 2 k } } \cdots + \frac { 1 } { ( 2 m + 1 ) ^ { 2 k } } = \sum _ { n = 0 } ^ { m } \frac { 1 } { ( 2 n + 1 ) ^ { 2 k } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \, \Delta \psi _ { i } ^ { - k } \Delta \psi _ { j } ^ { k } \, \right\rangle = \frac { 2 \vert \boldsymbol { q } ^ { k } \vert ^ { 2 } } { V } \sum _ { n } \frac { \left( \bar { T } ^ { k } \right) _ { i n } ^ { - 1 } \left( T ^ { k } \right) _ { j n } ^ { - 1 } } { ( \bar { \lambda } _ { i } ^ { k } + \lambda _ { j } ^ { k } ) } \, . } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { A } } { \partial C } = \frac { 1 - \alpha } { \alpha ( \alpha + 1 ) E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial E } = \frac { - C ( 1 - \alpha ) } { \alpha ( \alpha + 1 ) E ^ { 2 } } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial \kappa } = 0 .
\begin{array} { r l } { U _ { 0 } ^ { T , \psi } ( x ) - \frac { d } { 2 } \log ( 2 \pi T ) } & { = - \log \int \exp \Big ( - \frac { | y - x | ^ { 2 } } { 2 T } - \frac { \alpha } { 2 } | y | ^ { 2 } - \hat { \psi } ( y ) \Big ) \mathrm { d } y } \\ & { = - \log \int \exp \Big ( - \frac { \alpha | x | ^ { 2 } } { 2 ( 1 + T \alpha ) } - \frac { 1 + T \alpha } { 2 T } | y - ( 1 + T \alpha ) ^ { - 1 } x | ^ { 2 } - \hat { \psi } ( y ) \Big ) \mathrm { d } y } \\ & { = \frac { \alpha | x | ^ { 2 } } { 2 ( 1 + T \alpha ) } + U _ { 0 } ^ { T / ( 1 + T \alpha ) , \hat { \psi } } ( ( 1 + T \alpha ) ^ { - 1 } x ) - \frac { d } { 2 } \log ( 2 \pi T / ( 1 + T \alpha ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B ^ { ( j ) } } & { : = } & { \mathcal { D } _ { n } ^ { j } B ( \mathcal { D } _ { n } ^ { j } ) ^ { * } = \alpha ^ { - j } T _ { - 1 } ^ { \mathcal { H } } - \alpha ^ { j } T _ { 1 } ^ { \mathcal { H } } } \\ { \quad C ^ { ( j ) } } & { : = } & { \mathcal { D } _ { n } ^ { j } C ( \mathcal { D } _ { n } ^ { j } ) ^ { * } = \alpha ^ { - 2 j } | \downarrow \rangle \langle \downarrow | \otimes T _ { - 1 } + \alpha ^ { 2 j } | \uparrow \rangle \langle \uparrow | \otimes T _ { 1 } . } \end{array}
H _ { p } = \frac { 1 } { \kappa } \int _ { S _ { + } } ^ { { } } d ^ { 2 } x N \sqrt { \sigma } \left( k - k ^ { 0 } \right) - \frac { 1 } { \kappa } \int _ { S _ { - } } d ^ { 2 } x N \sqrt { \sigma } \left( k - k ^ { 0 } \right) .
\mathbb { V } ^ { ( 2 ) } = \operatorname { s p a n } \left\{ \phi ^ { ( 2 ) } , \phi _ { i j } ^ { ( 2 ) } , \phi _ { i j k } ^ { ( 2 ) } \, \Big \vert \, i , j , k = 1 , 2 , 3 \right\} ,
- \nabla P = \frac { N _ { \mathrm { p } } } { V _ { \mathrm { s y s } } } \textbf { \textit { F } } _ { \mathrm { T } } = \frac { N _ { \mathrm { p } } } { V _ { \mathrm { s y s } } } ( \textbf { \textit { F } } _ { \mathrm { D } } + \textbf { \textit { F } } _ { \mathrm { B } } ) = \frac { N _ { \mathrm { p } } } { V _ { \mathrm { s y s } } } ( \textbf { \textit { F } } _ { \mathrm { D } } - V _ { \mathrm { p } } \nabla P ) ,
M _ { L R ; R L } ^ { U } ( s ) = - \left( \frac { E _ { l } - m _ { l } } { E _ { l } } \cdot \frac { E _ { l } ^ { \prime } - m _ { l } ^ { \prime } } { E _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 - \left( \frac { E _ { l } + m _ { l } } { E _ { l } - m _ { l } } \cdot \frac { E _ { l } ^ { \prime } + m _ { l } ^ { \prime } } { E _ { l } ^ { \prime } - m _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] y ,
< p ^ { \prime } | J _ { \mu } ^ { A } | p ^ { \prime } > = \overline { { \psi } } _ { p ^ { \prime } } \left[ g _ { 1 } ^ { \prime } ( k ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } + g _ { 2 } ^ { \prime } ( k ^ { 2 } ) i \sigma _ { \mu \nu } \gamma _ { 5 } k ^ { \nu } + g _ { 3 } ^ { \prime } ( k ^ { 2 } ) i \gamma _ { 5 } k _ { \mu } \right] \psi _ { p ^ { \prime } } .
\mathrm { { E i } } ( x ) = \gamma + \ln x + \exp { ( x / 2 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } x ^ { n } } { n ! \, 2 ^ { n - 1 } } } \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor ( n - 1 ) / 2 \rfloor } { \frac { 1 } { 2 k + 1 } }
\begin{array} { r l } & { \mathrm { v e c } ( B \cdot R ( A ) \circ ^ { - 1 } \vec { v } ) = ( I _ { b } \otimes B ) ( I _ { b } \otimes Q ( A ) ) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } \Gamma _ { i } ^ { T } \otimes A ^ { i } \right) ^ { - 1 } \mathrm { v e c } ( \vec { v } ) } \\ { = } & { ( I _ { b } \otimes Q ( A ) ) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } \Gamma _ { i } ^ { T } \otimes A ^ { i } \right) ^ { - 1 } ( I _ { b } \otimes B ) \mathrm { v e c } ( \vec { v } ) = \mathrm { v e c } ( R ( A ) \circ ^ { - 1 } ( B \vec { v } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { 1 } ^ { \prime \prime } } & { { } = 0 , } \\ { \theta _ { 2 } ^ { \prime \prime } } & { { } = - \pi , } \\ { \Phi ^ { \prime \prime } } & { { } = \Phi - \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } - \frac { \pi } { 2 } - k \pi . } \end{array}
\left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { P ^ { 2 } } { 4 m } } + \hbar { \frac { \lambda P } { 2 m } } \delta ( x ) \right) \chi _ { 2 } ( x ) = E _ { 2 } \chi _ { 2 } ( x ) .
\mathnormal { H } _ { 2 n + 1 } ^ { N _ { f } } ( x ) = ( - 1 ) ^ { n } ( \bar { h } _ { n } ^ { N _ { f } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } c ^ { \frac { 3 + N _ { f } } { 4 } } \ x \ \mathnormal { L } _ { n } ^ { \frac { N _ { f } + 1 } { 2 } } ( c x ^ { 2 } ) , \qquad \bar { h } _ { n } ^ { N _ { f } } = \frac { \Gamma ( \frac { N _ { f } } { 2 } + n + \frac { 3 } { 2 } ) } { n ! } ,