harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \lambda _ { \mathrm { b } } \rightarrow \infty } A _ { \mathrm { b } } ^ { \left( \varsigma \right) } = \exp \left\{ - 2 \pi \lambda _ { \mathrm { u } } \left[ \int _ { H _ { \mathrm { u } } } ^ { \chi _ { \mathrm { b } , \mathrm { L } } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( H _ { \mathrm { b } } \right) } { p _ { \mathrm { L } } \left( x \right) x \, \mathrm { d } x } + \int _ { H _ { \mathrm { u } } } ^ { \chi _ { \mathrm { b } , \mathrm { N } } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( H _ { \mathrm { b } } \right) } { p _ { \mathrm { N } } \left( x \right) x \, \mathrm { d } x } \right] \right\} } \end{array}
\nabla \mathcal { L } ( \mathbf { x } ) = \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) + \frac { \beta } { 2 } \nabla \Vert \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) \Vert ^ { 2 } = \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) + \beta \nabla ^ { 2 } \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) \cdot \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) .
Z [ A _ { + } , \eta , { \bar { \eta } } ] = \int \! D \bar { \psi } D \psi \exp \{ i \int \! d ^ { 2 } x \, [ \bar { \psi } i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi + \psi _ { - } ^ { \dagger } A _ { + } \psi _ { - } + \eta \psi _ { + } ^ { \dagger } \psi _ { - } + { \ \bar { \eta } } \psi _ { - } ^ { \dagger } \psi _ { + } ] \} \quad .
i \int d ^ { 4 } x \, e ^ { i q x } \langle 0 | T ( V _ { \mu } ^ { a } ( x ) V _ { \nu } ^ { b } ( 0 ) ^ { \dagger } ) | 0 \rangle \, \equiv ( - g _ { \mu \nu } q ^ { 2 } + q _ { \mu } q _ { \nu } ) \, \Pi ^ { a b } ( q ^ { 2 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { ( a _ { 3 } ^ { \dagger } - a _ { 4 } ^ { \dagger } ) } & { \xrightarrow { M , \Phi } - e ^ { i \phi _ { 1 } } a _ { 3 } ^ { \dagger } + e ^ { i \phi _ { 2 } } a _ { 4 } ^ { \dagger } } \\ & { \xrightarrow { G } - \frac 1 2 ( e ^ { i \phi _ { 1 } } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } - a _ { 3 } ^ { \dagger } + a _ { 4 } ^ { \dagger } ) } \\ & { - e ^ { i \phi _ { 2 } } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } + a _ { 3 } ^ { \dagger } - a _ { 4 } ^ { \dagger } ) ) } \\ & { = - \frac 1 2 ( e ^ { i \phi _ { 1 } } - e ^ { i \phi _ { 2 } } ) ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } ) } \\ & { \ + \frac 1 2 ( e ^ { i \phi _ { 1 } } + e ^ { i \phi _ { 2 } } ) ( a _ { 3 } ^ { \dagger } - a _ { 4 } ^ { \dagger } ) } \\ & { = - C ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } ) + B ( a _ { 3 } ^ { \dagger } - a _ { 4 } ^ { \dagger } ) . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \mathcal { G } _ { N } ( t , s ) \, = \, N \, ( 1 - t ) ^ { N - 1 } \, \Phi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { c } { 1 - N , 1 } \\ { 2 } \end{array} \right| \frac t { t - 1 } , \frac { s t } { t - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { 1 } ( d ^ { 1 } , d ^ { 0 } , W ^ { 1 } , W ^ { 0 } , \rho _ { 1 } ^ { 1 } , \rho _ { 1 } ^ { 0 } , \rho _ { 2 } ^ { 1 } , \rho _ { 2 } ^ { 0 } ) = ( \rho _ { 1 * } ( d ^ { 1 } , d ^ { 0 } ) , \rho _ { 2 * } ( d ^ { 1 } , d ^ { 0 } ) ) , } \\ & { p _ { 2 } ( d ^ { 1 } , d ^ { 0 } , W ^ { 1 } , W ^ { 0 } , \rho _ { 1 } ^ { 1 } , \rho _ { 1 } ^ { 0 } , \rho _ { 2 } ^ { 1 } , \rho _ { 2 } ^ { 0 } ) = ( d ^ { 1 } , d ^ { 0 } , W ^ { 1 } , W ^ { 0 } ) , } \\ & { p _ { 3 } ( d ^ { 1 } , d ^ { 0 } , W ^ { 1 } , W ^ { 0 } ) = ( d ^ { 1 } , d ^ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \le C M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \eta _ { \Psi } r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i q _ { \rho } \widetilde { { M ^ { \pm } } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = } \\ & { i N _ { c } \frac { e _ { 1 } g _ { W } V _ { 1 2 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { 8 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } } \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { m _ { 1 } ( 1 - y ) + y m _ { 2 } } { ( 1 - y ) m _ { 1 } ^ { 2 } + y m _ { 2 } ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { - i N _ { c } \frac { e _ { 1 } g _ { W } V _ { 1 2 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { 8 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } } \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { m _ { 1 } ( 1 - y ) + y m _ { 2 } } { ( 1 - y ) m _ { 1 } ^ { 2 } + y m _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { + i N _ { c } \frac { e _ { 2 } g _ { W } V _ { 1 2 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { 8 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } } \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { m _ { 2 } ( 1 - y ) + y m _ { 1 } } { ( 1 - y ) m _ { 2 } ^ { 2 } + y m _ { 1 } ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { - i N _ { c } \frac { e _ { 2 } g _ { W } V _ { 1 2 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { 8 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } } \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { m _ { 2 } ( 1 - y ) + y m _ { 1 } } { ( 1 - y ) m _ { 2 } ^ { 2 } + y m _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\sum _ { m = 0 } ^ { M } \eta _ { m } \mathbb { E } \left( \left| \nabla _ { \theta } L ( \theta _ { m } ) \right| ^ { 2 } \right) \leq 2 C _ { r } ^ { 2 } L ( \theta _ { 0 } ) + C \sum _ { m = 0 } ^ { M } \frac { \eta _ { m } ^ { 2 } } { n } \, .
\begin{array} { r l } & { f ( x ) = 4 - \frac { 4 ( 2 \kappa + 1 ) } { x ^ { 2 } } + \frac { 2 ( 1 + 3 \kappa + 3 \kappa ^ { 2 } ) } { x ^ { 3 } } } \\ & { + \frac { \kappa ^ { 2 } e ^ { 1 / \kappa } } { x ^ { 3 } } \left[ \left( \frac { x ^ { 3 } } { \kappa ^ { 3 } } - \frac { x ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } + \frac { 2 x } { \kappa } - 6 \right) e ^ { - x / \kappa } - \frac { x ^ { 4 } E _ { 1 } ( x / \kappa ) } { \kappa ^ { 4 } } \right] , } \end{array}
F ( T ) = - \Delta n ^ { 2 } \frac { 3 } { 1 2 8 } \frac { T } { R } \left( \alpha + \ln \tau + \frac { 8 5 7 } { 3 4 5 6 0 \tau ^ { 2 } } \right) + { \cal O } ( T ^ { - 2 } ) \, { . }
\gamma ^ { ( 1 ) } \; = \; \frac { 1 } { 4 } \, \gamma _ { B J L W } ^ { ( 0 ) } \, , \qquad \mathrm { a n d } \qquad \gamma ^ { ( 2 ) } \; = \; \frac { 1 } { 1 6 } \, \gamma _ { B J L W } ^ { ( 1 ) } \, .
{ \begin{array} { r l } & { { \mathrm { r e p e a t ~ i n ~ t h e ~ l o o p : } } } \\ & { \qquad \mathbf { r } : = \mathbf { b } - \mathbf { A x } } \\ & { \qquad \gamma : = { \mathbf { r } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } } / { \mathbf { r } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A r } } } \\ & { \qquad \mathbf { x } : = \mathbf { x } + \gamma \mathbf { r } } \\ & { \qquad { \mathrm { i f ~ } } \mathbf { r } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } { \mathrm { ~ i s ~ s u f f i c i e n t l y ~ s m a l l , ~ t h e n ~ e x i t ~ l o o p } } } \\ & { { \mathrm { e n d ~ r e p e a t ~ l o o p } } } \\ & { { \mathrm { r e t u r n ~ } } \mathbf { x } { \mathrm { ~ a s ~ t h e ~ r e s u l t } } } \end{array} }
{ \mathcal { L } _ { \mathrm { { H _ { 2 } 0 } } } } \approx \frac { \Delta E } { \langle { l } _ { \mathrm { e f f } } \rangle } \cdot \mathcal { F } _ { \mathrm { { S i } \rightarrow \mathrm { { H _ { 2 } O } } } } \cdot \frac { \rho _ { \mathrm { { H _ { 2 } O } } } } { \rho _ { \mathrm { { S i } } } } ,
\begin{array} { r l } & { f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ > f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - \big ( f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) + f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) - \left( f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } \right) } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ > 0 . } \end{array}
H ^ { \mathrm { D C B , A M F } } \approx \sum _ { p q } ( h _ { p q } + g _ { p q } ^ { \mathrm { A M F } } ) \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k l } g _ { p q , r s } ^ { \mathrm { C , S F } } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r } ^ { \dagger } \hat { a } _ { s } \hat { a } _ { q }
\begin{array} { r l } { \Pi ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \cdot \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) } e ^ { - i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { D } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { B } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) \textbf { ) } \right] } \mathrm { d } t ^ { \prime } , } \\ { N _ { c } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \cdot \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) } \right] ^ { * } \Pi ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { D } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { B } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) \textbf { ) } \right] } \mathrm { d } t ^ { \prime } + \mathrm { c . c . } , } \\ { N _ { v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = N _ { v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t _ { 0 } ) - N _ { c } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { G } _ { h } \boldsymbol { w } _ { h } = ( G _ { h } \boldsymbol { w } _ { h } , \hat { G } _ { h } \boldsymbol { w } _ { h } ) \in M _ { h } \times \hat { S } _ { h } , \, \, \, \boldsymbol { \Delta } _ { h } \boldsymbol { w } _ { h } = ( \Delta _ { h } \boldsymbol { w } _ { h } , \hat { \Delta } _ { h } \boldsymbol { w } _ { h } ) \in M _ { h } \times \hat { S } _ { h } . } \end{array}
\{ \Psi _ { K , n } ( z , \bar { z } , Z , \bar { Z } , t ) = e ^ { - i \left( E _ { n } + K ^ { 2 } / 2 \mu \right) t } e ^ { i { \bf K } \cdot { \bf R } } \psi _ { n } ( z , \bar { z } ) \} .
\begin{array} { r l } { \underline { { \varepsilon } } } & { = - \frac { \sqrt { ( \zeta _ { \mathsf { b } } - \zeta _ { \mathsf { a } } ) ^ { 2 } + 4 \zeta _ { \mathsf { a } } \zeta _ { \mathsf { b } } ( 1 - \mu ) } + \zeta _ { \mathsf { a } } - \zeta _ { \mathsf { b } } } { 2 \zeta _ { \mathsf { a } } \zeta _ { \mathsf { b } } ( 1 - \mu ) } \ , } \\ { \overline { { \varepsilon } } } & { = \frac { \sqrt { ( \zeta _ { \mathsf { b } } - \zeta _ { \mathsf { a } } ) ^ { 2 } + 4 \zeta _ { \mathsf { a } } \zeta _ { \mathsf { b } } ( 1 - \mu ) } - \zeta _ { \mathsf { a } } + \zeta _ { \mathsf { b } } } { 2 \zeta _ { \mathsf { a } } \zeta _ { \mathsf { b } } ( 1 - \mu ) } \ , } \end{array}
\Sigma ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = ( - 2 \alpha k _ { 3 } ) \left( \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + 2 \alpha k _ { 3 } R ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right) ^ { - 1 } \mu ( \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \theta _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { k } \theta _ { i } + \sum _ { i = k + 1 } ^ { r } 0 = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \theta _ { i } \cdot { \mathcal { T } } ( k - i ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \sigma \Big ( \theta _ { i } + { \mathcal { T } } ( k - i ) - 1 \Big ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \sigma \Big ( { \mathcal { T } } ( \beta _ { i } - \frac { 1 } { 2 } ) + { \mathcal { T } } ( k - i ) - 1 \Big ) . } \end{array}
\bar { \eta } ^ { ( i ) } = ( \eta _ { 1 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 2 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 3 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 4 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 5 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 6 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 7 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 8 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 9 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 1 0 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 1 1 } ^ { ( i ) } , \eta _ { 1 2 } ^ { ( i ) } )
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } ^ { * } } & { = \ \underset { \mathbf { w } } { \mathrm { a r g m i n } } \biggl \{ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \mathbf { y _ { i } } - \mathbf { f ( x _ { i } } ) ) ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } R _ { \ell _ { 1 } , 1 } . . . } \\ & { \ \quad + \lambda _ { j + 1 } R _ { \ell _ { 1 } , j + 1 } + . . . + \lambda _ { L } R _ { \ell _ { 1 } , L } \biggr \} , } \end{array}
< \! { { T } _ { a } } ^ { b } ( \gamma ) \! > _ { \mathrm { ( A d S ) } } = { \frac { \pi ^ { 2 } N ^ { 2 } } { 8 { \beta } ^ { 4 } } } \left[ 4 u _ { a } u ^ { b } + { { \delta } _ { a } } ^ { b } \right]
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R H S } } & { = } & { \underset { i = 1 } { \overset { r _ { \infty } - 1 } { \sum } } \frac { 2 \alpha _ { 2 r _ { \infty } - 1 - 2 i } ^ { ( \mathbf { u } _ { k } ) } } { 2 r _ { \infty } - 1 - 2 i } \mathbf { e } _ { i } \overset { m = r _ { \infty } - i } { = } \underset { m = 1 } { \overset { r _ { \infty } - 1 } { \sum } } \frac { 2 \alpha _ { 2 m - 1 } ^ { ( \mathbf { u } _ { k } ) } } { 2 m - 1 } \mathbf { e } _ { r _ { \infty } - m } } \\ & { = } & { \underset { m = 1 } { \overset { r _ { \infty } - k - 2 } { \sum } } t _ { \infty , 2 m + 1 + 2 k } \mathbf { e } _ { r _ { \infty } - m } \overset { i = r _ { \infty } - m } { = } \underset { i = k + 2 } { \overset { r _ { \infty } - 1 } { \sum } } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 i + 1 + 2 k } \mathbf { e } _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { g } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { l } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { g } \big ) } \\ { = } & { \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { l } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { l } \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } \in Y _ { i j } ^ { g } | \Phi \in Y _ { i j } ^ { l } \big ) . } \end{array}
\frac { \mathrm { i } } { 2 } \frac { \langle M _ { 2 } A _ { 2 } ^ { \circ _ { 2 , 1 } } M _ { 1 } ^ { * } E _ { - } \rangle } { \langle M _ { 2 } E _ { - } M _ { 1 } ^ { * } E _ { - } \rangle } + \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \frac { \langle M _ { 2 } A _ { 2 } ^ { \circ _ { 2 , 1 } } M _ { 1 } E _ { - } \rangle } { \langle M _ { 2 } E _ { - } M _ { 1 } ^ { * } E _ { - } \rangle } \frac { 1 + \langle M _ { 2 } E _ { - } M _ { 1 } ^ { * } E _ { - } \rangle } { 1 + \langle M _ { 2 } E _ { - } M _ { 1 } E _ { - } \rangle } = 0 + \mathcal { O } \big ( | E _ { 1 } + E _ { 2 } | + \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } \big )
\gamma \cos \theta _ { \mathrm { L G } } + \gamma _ { \mathrm { b l } } \cos { \theta _ { \mathrm { B L } } } = [ \gamma + \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ( h _ { \mathrm { p } } , \zeta _ { \mathrm { w r } } ) ] \cos \theta _ { \mathrm { B G } } .
\bar { \nabla } _ { X } Y = \underbrace { \overset { * } { \nabla } _ { X } \overset { * } { Y } - A _ { Y _ { \xi } } ^ { * } X - A _ { Y _ { N } } X } _ { \in \Gamma ( S ( T M ) ) } + \underbrace { \overset { * } { h } ( X , \overset { * } { Y } ) + \nabla _ { X } ^ { * t } Y _ { \xi } } _ { \in \Gamma ( \mathrm { r a d } ( T M ) ) } + \underbrace { h ( X , \overset { * } { Y } ) + \nabla _ { X } ^ { t } Y _ { N } } _ { \in \Gamma ( \mathrm { t r } ( T M ) ) }
\left( X _ { 1 3 } , X _ { 3 1 } , X _ { 2 4 } , X _ { 4 2 } \right) , ~ \left( Y _ { 1 2 } , Y _ { 2 1 } , Y _ { 3 4 } , Y _ { 4 3 } \right) , ~ \left( Z _ { 1 4 } , Z _ { 4 1 } , Z _ { 2 3 } , Z _ { 3 2 } \right)
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { i n } } ( s ) } & { { } = V \cdot { \frac { 1 } { s } } } \\ { V _ { C } ( s ) } & { { } = V \cdot { \frac { 1 } { 1 + s R C } } \cdot { \frac { 1 } { s } } } \\ { V _ { R } ( s ) } & { { } = V \cdot { \frac { s R C } { 1 + s R C } } \cdot { \frac { 1 } { s } } \, . } \end{array}
\chi _ { a b } ^ { \mathrm { h a r d } } ( s , b ) = \frac { 1 } { 2 } \, r ^ { 2 } \int d y _ { 1 } \int d y _ { 2 } \, \, \chi _ { a b } ^ { \mathrm { s o f t } } ( e ^ { y _ { a } + y _ { b } } , b ) \, \, \sigma _ { \mathrm { h a r d } } ( e ^ { y - y _ { a } - y _ { b } } , q _ { 0 } ) ,
\langle { T _ { \ k } ^ { j } } \rangle - \langle T _ { _ { \oslash } k } ^ { \, j } \rangle \sim { \frac { \pi M ^ { 2 } } { 2 } } \Phi ^ { 2 } \Big ( { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } u ^ { j } u _ { k } - { \frac { c _ { _ \mathrm { S } } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \gamma _ { _ k } ^ { j } \Big ) \, \ln \Big \{ { \frac { w _ { \! _ { \odot } } } { w } } \Big \} .
\begin{array} { r l r } { J _ { 1 , \epsilon } + J _ { 2 , \epsilon } } & { \rightarrow } & { \iint _ { U _ { r } } \iint _ { B _ { r } \times B _ { r } } \mathcal { A } u ( v , w , x , t ) \left( \phi ( v , x , t ) - \phi ( w , x , t ) \right) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } w \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { } & { + 2 \iint _ { U _ { r } } \iint _ { \mathscr { C } B _ { r } \times B _ { r } } \mathcal { A } u ( v , w , x , t ) \phi ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } w \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { = : } & { J _ { 1 } + J _ { 2 } , } \end{array}
u _ { \mathrm { r e f } } ( x , t ) = 1 . 0 7 2 \ \mathrm { s e c h } ( x ) \exp \left[ \mathrm { i } \left( 0 . 2 3 6 \, \ln \left( 1 . 0 7 2 \, \mathrm { s e c h } ( x ) \right) - \omega t \right) \right]
\begin{array} { r l r } { f _ { c } \left( \mathbf { k , k } ^ { \prime } \right) } & { = } & { \cos \left[ \mathrm { a r g } f \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) - \mathrm { a r g } f \left( \mathbf { k } \right) \right] , } \\ { f _ { s } \left( \mathbf { k , k } ^ { \prime } \right) } & { = } & { \sin \left[ \mathrm { a r g } f \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) - \mathrm { a r g } f \left( \mathbf { k } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ P _ { \lambda } ( c _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , c _ { M } ^ { 2 } ; \theta ) \right] = } & { \sum _ { | v | + | \mu | = | \lambda | } \frac { H ( \lambda ) } { H ( v ) H ( \mu ) } \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \Gamma ( \theta ( N - i + 1 ) ) \Gamma ( \theta ( N - i + 1 ) + \lambda _ { i } ) } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \Gamma ( \theta ( N - i + 1 ) + v _ { i } ) \Gamma ( \theta ( N - i + 1 ) + \mu _ { i } ) } } \\ & { \frac { P _ { \lambda } ( 1 ^ { M } ; \theta ) } { P _ { v } ( 1 ^ { M } ; \theta ) P _ { \mu } ( 1 ^ { M } ; \theta ) } C _ { \lambda } ^ { v , \mu } ( \theta ) P _ { v } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , a _ { M } ^ { 2 } ; \theta ) P _ { \mu } ( b _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , b _ { M } ^ { 2 } ; \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { | \mathbf { G } | = 0 } ^ { \infty } e ^ { i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } _ { n } } \rho ( \mathbf { G } ) } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { G \leq \sqrt { 2 E _ { \mathrm { c u t } } } } e ^ { i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } } \rho ( \mathbf { G } ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { G > \sqrt { 2 E _ { \mathrm { c u t } } } } e ^ { i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } } \rho ( \mathbf { G } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \bf E } = \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 \epsilon V } } \left( ( \hat { a } _ { \mathrm { H } } \mathrm { e } ^ { i \beta } + \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf x } + ( \hat { a } _ { \mathrm { V } } \mathrm { e } ^ { i \beta } + \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf y } \right) , } \end{array}
\overline { { \mathsf { K } } } = \hat { \mathsf { K } } _ { 0 } + \frac { 1 } { 8 } \omega ^ { 2 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { a } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { a } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \, ,
\displaystyle \ell ( \boldsymbol { \theta } ; \mathbf y , \mathbf t ) = \lambda _ { \ell } \| \mathbf x _ { N } ( \boldsymbol \theta ; \mathbf A ^ { H } \mathbf y ) - \mathbf t \| _ { 2 } ^ { 2 } + \ell _ { \mathrm { U S t a b } } ( \boldsymbol { \theta } ; \mathbf y , \mathbf t ) ,
\begin{array} { r l r l r l } { \Sigma } & { \rightarrow K _ { 1 } \Sigma K _ { 1 } ^ { \intercal } + M _ { 1 } } & & { \rightarrow K ( K _ { 1 } \Sigma K _ { 1 } ^ { \intercal } + M _ { 1 } ) K ^ { \intercal } + M } & & { \rightarrow K _ { 2 } ( K ( K _ { 1 } \Sigma K _ { 1 } ^ { \intercal } + M _ { 1 } ) K ^ { \intercal } + M ) K _ { 2 } ^ { \intercal } + M _ { 2 } \; , } \\ { \vec { D } } & { \rightarrow K _ { 1 } \Vec { D } } & & { \rightarrow K K _ { 1 } \Vec { D } } & & { \rightarrow K _ { 2 } K K _ { 1 } \Vec { D } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathsf V } _ { \alpha _ { 0 } , \beta , \gamma _ { 0 } } } & { \hookrightarrow { \mathsf V } _ { \alpha _ { 1 } , \beta , \gamma _ { 1 } } \hookrightarrow { \mathsf V } _ { \alpha _ { 2 } , \beta , \gamma _ { 2 } } \hookrightarrow { \mathsf V } _ { \alpha _ { 3 } , \beta , \gamma _ { 3 } } \hookrightarrow { \mathsf V } _ { \alpha _ { 4 } , \beta , \gamma _ { 4 } } \hookrightarrow { \mathsf V } _ { \alpha _ { 5 } , \beta , \gamma _ { 5 } } \hookrightarrow { \mathsf V } _ { \alpha _ { 6 } , \beta , \gamma _ { 6 } } \hookrightarrow { \mathsf V } _ { \alpha _ { 7 } , \beta , \gamma _ { 7 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { \mathbb { F } ^ { n } } \int _ { \mathbb { F } ^ { n } } \phi ( x , y ) \, d x \, d y = \int _ { \mathbb { F } ^ { n } } \int _ { \mathfrak o _ { \mathbb { F } } ^ { \times } \backslash S ^ { n - 1 } } \int _ { \mathbb { F } ^ { \times } } \phi ( a x , y ) \, | a | ^ { n } \, \frac { d a } { | a | } \, \, d x \, d y } } \\ & { = } & { \int _ { \mathbb { F } ^ { n } } \int _ { \mathfrak o _ { \mathbb { F } } ^ { \times } \backslash S ^ { n - 1 } } \int _ { \mathbb { F } ^ { \times } } \phi ( a x , a ^ { - 1 } y ) \, \frac { d a } { | a | } \, \, d x \, d y \quad \mathrm { ~ ( S u b s t i t u t e ~ y ~ b y ~ a ^ { - 1 } y ~ ) } } \\ & { = } & { \int _ { \mathfrak o _ { \mathbb { F } } ^ { \times } \backslash S ^ { n - 1 } } \int _ { \mathbb { F } ^ { n } } \left( \int _ { \mathbb { F } ^ { \times } } \phi ( a x , a ^ { - 1 } y ) \, \frac { d a } { | a | } \right) \, d y \, d x \, . } \end{array}
F _ { c } [ G ] = \int \left[ d u _ { \alpha } ( x ) \, d u _ { \beta } ^ { * } ( x ) \, \delta \left( u _ { \gamma } ^ { * } ( x ) u _ { \gamma } ( x ) - 1 \right) \right] \exp \left[ - 2 \int d ^ { 2 } x \, u ^ { * } E ^ { i } D _ { i } u \right]
\begin{array} { r l } & { \mathbf { R _ { 1 } } : \sigma _ { 1 } \to \left( \rho ^ { - } e ^ { \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { 1 } } V ( h ( \sigma _ { 1 } ) ) d \sigma _ { 1 } } , h ^ { - } - \frac { \gamma } { 2 } \eta ( \rho ( \sigma _ { 1 } ) - \rho ^ { - } ) , c ^ { - } e ^ { \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { 1 } } \left( - V ( h ( \sigma _ { 1 } ) ) + \frac { \gamma } { 2 } \eta \rho V ^ { \prime } ( h ( \sigma _ { 1 } ) ) \right) d \sigma _ { 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w \ w _ { z } } & { { } = } & { \frac { \sqrt { P r } } { \sqrt { R a } } \ w _ { z z } } \\ { w \ \theta _ { z } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { P r R a } } \ \theta _ { z z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ \frac { 1 } { \mu _ { 0 } ^ { \Phi } } \Big ] } \\ & { \approx \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \exp \Big ( \! - \! z \! } \\ & { \qquad + \! \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } \frac { \eta } { F } \Big ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } \Big ) ^ { \delta - 1 } \theta ^ { \delta } \Gamma ( 1 \! - \! \delta ) \Gamma ( 1 \! + \! \delta ) \Gamma ( 1 \! + \! \epsilon ) z ^ { 1 \! - \! \epsilon } \! \Big ) \! \mathrm { d } z } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { { C _ { 2 } } ^ { n } } { n ! } \Gamma \big ( 1 + ( 1 - \epsilon ) n \big ) . } \end{array}