harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { x c } } \ensuremath { [ n ] } } & { = \frac { \ensuremath { N _ { \mathrm { e } } } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } u \, 4 \pi u ^ { 2 } \frac { \langle \bar { n } _ { \mathrm { x c } } ( u ) \rangle } { u } } \\ & { = \frac { \ensuremath { N _ { \mathrm { e } } } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \ensuremath { u } \, \varepsilon _ { \mathrm { x c } } ( u ) } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 m } } \left( { \frac { d S _ { z } } { d z } } \right) ^ { 2 } + U _ { z } ( z ) + { \frac { 1 } { 2 m a ^ { 2 } \left( \sinh ^ { 2 } \mu + \sin ^ { 2 } \nu \right) } } \left[ \left( { \frac { d S _ { \mu } } { d \mu } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { d S _ { \nu } } { d \nu } } \right) ^ { 2 } + 2 m a ^ { 2 } U _ { \mu } ( \mu ) + 2 m a ^ { 2 } U _ { \nu } ( \nu ) \right] = E .
{ \frac { t ^ { 4 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda ( 1 - \lambda ) { \frac { 1 } { ( n ^ { 2 } + \lambda t ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } = - \left( 2 \sqrt { n ^ { 2 } + t ^ { 2 } } - 2 n - { \frac { t ^ { 2 } } { n } } \right) = { \frac { t ^ { 4 } } { 4 n ^ { 3 } } } - { \frac { t ^ { 6 } } { 8 n ^ { 5 } } } + { \frac { 5 t ^ { 8 } } { 6 4 n ^ { 7 } } } + \ldots
H [ O O ] \ = \ \frac { 1 } { 2 i \lambda _ { - } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 2 } ^ { \infty } ( 2 i \lambda _ { + } h _ { + } ) ^ { n } ( 2 i \lambda _ { - } h _ { - } ) ^ { m } \frac { ( n + m - 2 ) ! } { n ! ( m - 2 ) ! ( n + m ) ! } \ ,
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla f _ { i } ( x ) - \nabla f _ { i } ( x ^ { \prime } ) \right\Vert _ { 2 } } & { = \left\Vert \mathbb { E } _ { \xi } F _ { i } ( x ; \xi ) - \mathbb { E } _ { \xi } F _ { i } ( x ^ { \prime } ; \xi ) \right\Vert _ { 2 } } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { \xi } \left\Vert \nabla F _ { i } ( x ; \xi ) - F _ { i } ( x ^ { \prime } ; \xi ) \right\Vert _ { 2 } } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { \xi } L ( \xi ) \left\Vert x - x ^ { \prime } \right\Vert _ { 2 } ^ { \beta } . } \end{array}
w _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { v _ { | u | - 1 } } } \\ { \frac { 1 } { v _ { | u | - 1 } } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { v _ { | u | - 2 } } } \\ { \frac { 1 } { v _ { | u | - 2 } } } & { 0 } \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { v _ { 0 } } } \\ { \frac { 1 } { v _ { 0 } } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } p _ { i } ^ { t } } & { = \frac { 2 \cdot | E ( S _ { k } , S _ { k } ) | } { 2 \cdot | E | } } \\ & { = \frac { | E ( S _ { k } , V ) | - | E ( S _ { k } , V \setminus S _ { k } ) | } { 2 \cdot | E | } } \\ & { \leq \frac { | S _ { k } | \cdot d - | S _ { k } | \cdot \Phi \cdot d } { n d } = ( 1 - \Phi ) \cdot \frac { k } { n } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { i \beta } } \int _ { A ^ { \prime } } { \frac { d z } { \sin { \frac { \pi } { \beta } } z } } ~ { \frac { \cos \frac z 2 } { \sin ^ { 4 } \frac z 2 } } = - { \frac { 1 } { 1 8 0 } } ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) ( 7 \gamma ^ { 2 } + 1 7 ) ~ ~ ~ ,
{ \cal E } = \frac { \sqrt { 1 - \lambda _ { 9 } ^ { 2 } } } { \lambda _ { 9 } } \left( u - i v \right) = \frac { ( 1 - \lambda _ { 9 } ^ { 2 } ) { \cal E } _ { 0 } } { 1 - \lambda _ { 9 } ^ { 2 } R e { \cal E } _ { 0 } } , \; \; \; z = \frac { i } { \left( 1 - \lambda _ { 9 } ^ { 2 } { \cal E } _ { 0 } \right) } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { b } _ { \mathrm { t o t , S M M } } } & { { } = \mathrm { a } _ { \mathrm { t o t , S M M } } ^ { \mathrm { J } } r _ { 1 1 , \mathrm { t o p } } \mathrm { e } ^ { i 2 h _ { \mathrm { t } } \beta _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( v _ { p h } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } - { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \right) \mathbf { E } } & { { } = \mathbf { 0 } } \\ { \left( v _ { p h } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } - { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \right) \mathbf { B } } & { { } = \mathbf { 0 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { R _ { \frac { \lambda } { 2 } } } & { { } = 6 0 \operatorname { C i n } ( 2 \pi ) = 6 0 \left[ \ln ( 2 \pi \gamma ) - \operatorname { C i } ( 2 \pi ) \right] = 1 2 0 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \frac { \cos \left( { \frac { \pi } { 2 } } \cos \theta \right) ^ { 2 } } { \sin \theta } } d \theta , } \end{array} } \,
\begin{array} { r } { H ^ { s } ( \mathbb R ) \triangleq \left\{ f \in L ^ { 2 } ( \mathbb R ) : \| f \| _ { H ^ { s } ( \mathbb R ) } ^ { 2 } = \int _ { \mathbb R } ( 1 + \xi ^ { 2 } ) ^ { s } | \widehat { f } ( \xi ) | ^ { 2 } < + \infty \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega [ a _ { f } ] \lesssim \Vert ( 1 + t ) f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } \big ( \mathbb R ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { 3 + d + \frac { d } { 2 } + \kappa } \big ) } + \Vert ( 1 + t ) \partial _ { t } f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } \big ( \mathbb R ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { 3 + d + \frac { d } { 2 } + \kappa } \big ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \, \int \frac { \rho ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } \, \, d ^ { 3 } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \, , } \\ { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \, \int \frac { \boldsymbol { j } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } d ^ { 3 } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \int _ { \mathbb { R } } e ^ { - \lambda | x | ^ { \beta } } \theta _ { t } ( d x ) \vert \theta _ { 0 } ] = } & { \int _ { \mathbb { R } } \mathbb { E } [ e ^ { - \lambda | x + B _ { t } - \alpha t | ^ { \beta } } ] \theta _ { 0 } ( d x ) } \\ { \leq } & { \int _ { \mathbb { R } } C _ { t } e ^ { - \lambda | x | ^ { \beta } + K _ { t } | x | ^ { 2 \beta - 2 } } \theta _ { 0 } ( d x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta _ { 1 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega k _ { 4 } } ^ { i } \frac { \ln ( 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } s ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } s ) ) } { s - k } d s \bigg \} , } \\ & { \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { i } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \frac { \ln ( 1 + r _ { 1 } ( s ) r _ { 2 } ( s ) ) } { s - k } d s \bigg \} , \quad \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { i } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \frac { \ln f ( s ) } { s - k } d s \bigg \} , } \\ & { \delta _ { 4 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ^ { \omega } \frac { \ln f ( s ) } { s - k } d s \bigg \} , \quad \delta _ { 5 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ^ { \omega } \frac { \ln f ( \omega ^ { 2 } s ) } { s - k } d s \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf u } ( { \bf k } ) \equiv \hat { \bf u } _ { k } } & { = } & { \hat { \phi } _ { k } ^ { u } ( k ^ { 2 } { \bf e _ { \parallel } } - k _ { \parallel } { \bf k } ) + i \hat { \xi } _ { k } { \bf k } \, , } \\ { \hat { \bf b } ( { \bf k } ) \equiv \hat { \bf b } _ { k } } & { = } & { \hat { \phi } _ { k } ^ { b } ( k ^ { 2 } { \bf e _ { \parallel } } - k _ { \parallel } { \bf k } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { i } } & { = U _ { i } ^ { F a x e n } + \frac { 1 } { R _ { i i } ^ { F U } } F _ { i } ^ { p o l y } \qquad \mathrm { ( n o ~ s u m m a t i o n ~ o v e r ~ i ) } } \\ { \Omega _ { i } } & { = \Omega _ { i } ^ { F a x e n } + \frac { 1 } { R _ { i i } ^ { T \Omega } } T _ { i } ^ { p o l y } \qquad \mathrm { ( n o ~ s u m m a t i o n ~ o v e r ~ i ) } } \end{array}
\tilde { F } _ { x } = q \tilde { E } _ { x } \left( 1 - \bar { \beta } _ { z } ^ { n } \sqrt { \frac { [ k _ { z } ] _ { E } } { [ k _ { z } ] _ { B } } } \cos \frac { \omega \Delta t } { 2 } \right) \tilde { S } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { k } \| u _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { R _ { m } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { k } \left\| y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k + 1 } - y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { R _ { m } ^ { 2 } } { m ^ { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
q _ { 1 } , q _ { 2 } \in Q , w \in \Sigma _ { \epsilon } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { m } \in \Gamma ^ { * } , m \geq 0 , y _ { 1 } , y _ { 2 } , \ldots , y _ { n } \in \Gamma ^ { * } , n \geq 0
\begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { R } d ^ { 2 } z \; \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \varphi } & { = { \frac { \lambda _ { i } ^ { 2 } } { 2 \pi } } \int _ { R } d ^ { 2 } z \cot ^ { 2 } ( \lambda _ { i } \log | \rho _ { i } | ) { \frac { | \partial \rho _ { i } | ^ { 2 } } { | \rho _ { i } | ^ { 2 } } } + \cdots \, . } \end{array}
{ \cal I } _ { n } = \int _ { \Delta } \mathrm { d } x _ { 1 } \cdots \mathrm { d } x _ { n } \int \mathrm { d } ^ { 2 } k _ { \perp 1 } \cdots \mathrm { d } ^ { 2 } k _ { \perp n } { \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } x _ { 1 } \cdots x _ { n } ( 1 - \sum x _ { i } ) \left( 2 p ^ { + } p ^ { - } - \beta ^ { - 1 } - \alpha \right) } } \ \ ,
\begin{array} { r l } { ( d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) - d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { \delta } ) ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } & { = ( d _ { i } X _ { P } ( i _ { 0 } ) - d _ { i } X _ { P } ( i _ { \delta } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d } { d t } ( d _ { i } X _ { P } ( t ( i _ { 0 } - i _ { \delta } ) + i _ { \delta } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { y } d _ { i } X _ { P } ( t ( i _ { 0 } - i _ { \delta } ) + i _ { \delta } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \cdot ( y - y _ { \delta } ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \hbar } \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } } { \partial { ( \omega t _ { n } ) } ^ { 2 } } = } & { 2 n \cot [ \omega ( \tau _ { n } - 2 t _ { n } ) ] , } \\ { \frac { 1 } { \hbar } \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( \tau ) } } { \partial { ( \omega \tau _ { n } ) } ^ { 2 } } = } & { \frac { n } { 2 } [ \frac { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) + \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) } { \omega \tau _ { n } \alpha ( \omega \tau _ { n } ) \beta ( \omega \tau _ { n } ) } + 1 ] \cot [ \omega ( \tau _ { n } - 2 t _ { n } ) ] } \\ & { + \frac { n } { 2 } [ \frac { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) - \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) } { 2 \alpha ( \omega \tau _ { n } ) \beta ( \omega \tau _ { n } ) } ] ^ { 2 } \tan [ \omega ( 2 t _ { n } - \tau _ { n } ) ] } \\ & { + \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \frac { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) - \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) } { \omega \tau _ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - i \nabla \times \mathbf { E } } & { { } = i \mu _ { 0 } \partial _ { t } \mathbf { H } , } \\ { i ( \nabla \times \mathbf { H } - \mathbf { j } ) } & { { } = i \epsilon _ { 0 } \partial _ { t } \mathbf { E } , } \end{array}
\nu _ { \mathrm { p e a k } } = { \frac { x k } { h } } T = ( { 0 . 0 5 8 7 8 9 2 3 8 1 1 3 6 0 8 5 5 ~ { \mathrm { T H z } } { \cdot } { \mathrm { K } } ^ { - 1 } } ) \cdot { T } .
B = - \frac { 2 } { 3 \pi } \frac { 1 } { \beta ^ { 4 } } ( 4 + \beta ^ { 2 } m ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } + \frac { { \vert e \vert } ^ { 2 } H ^ { 2 } } { 1 2 \pi } \frac { 1 } { ( 4 + \beta ^ { 2 } m ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \hat { \Pi } _ { \mu j } ( \vec { r } , t ) } & { { } = \left( i ( \Delta _ { \mu } - \Delta _ { j } ) - \frac { \gamma } { 2 } \right) \hat { \Pi } _ { \mu j } ( \vec { r } , t ) } \\ { \partial _ { t } \hat { \Pi } _ { j \mu } ( \vec { r } , t ) } & { { } = \left( - i ( \Delta _ { \mu } - \Delta _ { j } ) - \frac { \gamma } { 2 } \right) \hat { \Pi } _ { j \mu } ( \vec { r } , t ) } \end{array}
\mathbf { g } = 2 { \mathbf { J } _ { \mathbf { r } } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } , \quad \mathbf { H } \approx 2 { \mathbf { J } _ { \mathbf { r } } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { J _ { r } } .
\begin{array} { r } { H _ { \textrm { c i r } } \left( t \right) = i \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c c c c c c } { - \frac { 1 } { C _ { 0 } R _ { 0 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { e ^ { f \left( t \right) } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 6 7 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 0 } R _ { 0 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { e ^ { f \left( t \right) / 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 6 7 } } } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 5 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 0 } R _ { 0 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \omega _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 5 } } } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 5 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 0 } R _ { 0 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { e ^ { - f \left( t \right) / 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 5 } } } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 6 7 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 0 } R _ { 0 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { e ^ { - f \left( t \right) } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 6 7 } } } \\ { \frac { \omega _ { 0 } } { e ^ { f \left( t \right) } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 \gamma ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \omega _ { 0 } } { e ^ { f \left( t \right) / 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \gamma ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \omega _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \omega _ { 0 } } { e ^ { - f \left( t \right) / 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \gamma ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \omega _ { 0 } } { e ^ { - f \left( t \right) } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 \gamma ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 6 7 } } } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 6 7 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 5 } } } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 5 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 5 } } } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 5 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 6 7 } } } & { - \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 0 . 6 7 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { x } } & { = } & { \frac { 1 } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z - z ^ { \prime } } \left[ \left\langle b _ { x } ( 0 , 0 , 0 ) b _ { x } ( \Delta x ^ { \prime } - X , \Delta y ^ { \prime } - Y , \Delta z ^ { \prime } ) \right\rangle _ { L } \right. } \\ & { } & { \left. + \left\langle b _ { x } ( 0 , 0 , 0 ) b _ { x } ( \Delta x ^ { \prime } + X , \Delta y ^ { \prime } + Y , \Delta z ^ { \prime } ) \right\rangle _ { L } \right] d \Delta z ^ { \prime } d { z } ^ { \prime } . } \end{array}
I _ { 2 } \leq C \left\{ \begin{array} { l l } { ( \ln ( N ) ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } N ^ { \frac { 1 } { \alpha } - 1 } , \, } & { \mathrm { i f } \quad d = 1 , 2 \quad \mathrm { o r } \quad d \geq 3 \, \, \mathrm { a n d } \, \, \alpha < \frac { d } { d - 1 } , } \\ { N ^ { - \frac 1 d } , \, } & { \mathrm { i f } \quad d \geq 3 \, \, \mathrm { a n d } \, \, \alpha > \frac { d } { d - 1 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } ^ { k } \cap W _ { 1 } ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) } \frac { \int _ { \Omega _ { h } } \left( \widetilde p \nabla w _ { h } \cdot \nabla v _ { h } + \widetilde q w _ { h } v _ { h } \right) d x } { \| v _ { h } \| _ { W _ { 1 } ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) } } } & { \geq C _ { p , q } \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } ^ { k } \cap W _ { 1 } ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) } \frac { \int _ { \Omega _ { h } } \left( \nabla w _ { h } \cdot \nabla v _ { h } + w _ { h } v _ { h } \right) d x } { \| v _ { h } \| _ { W _ { 1 } ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) } } } \\ & { = C _ { p , q } \| w _ { h } \| _ { W _ { \infty } ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) } . } \end{array}
\Omega _ { n } = \frac { 1 6 \varrho n \left( n + 1 \right) c } { \pi ^ { 2 } \left( 2 n + 1 \right) ^ { 2 } L } \left[ \frac { k \left( \delta _ { \mathrm { C } } - \delta _ { \mathrm { S c } } \right) } { 2 N \sigma _ { 0 } } + \frac { 2 \Delta _ { t } } { 1 + 4 \Delta _ { t } ^ { 2 } } \right] .
\int _ { x _ { i - 1 / 2 } } ^ { x _ { i + 1 / 2 } } \boldsymbol { S } \left( \tilde { \vec { U } } \right) \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 6 } \left( \boldsymbol { S } ( \tilde { \vec { U } } _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } ) + 4 \boldsymbol { S } ( \tilde { \vec { U } } _ { i } ) + \boldsymbol { S } ( \tilde { \vec { U } } _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } ) \right) + \textit { O } ( \Delta x ^ { 5 } ) ,
\begin{array} { r l } { f _ { X _ { 1 } ^ { n } } ( x _ { 1 } ^ { n } ) } & { { } = \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { \theta } } \, e ^ { { \frac { - 1 } { \theta } } x _ { i } } = { \frac { 1 } { \theta ^ { n } } } \, e ^ { { \frac { - 1 } { \theta } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega ^ { \alpha } } & { = A _ { \beta } ^ { \alpha } \left( s ^ { \alpha } \right) \dot { s } ^ { \beta } + \mathcal { A } _ { I } ^ { \alpha } ( r ^ { J } ) \dot { r } ^ { I } } \\ { \dot { s } ^ { \alpha } } & { = B _ { \beta } ^ { \alpha } \left( s ^ { a } \right) \Omega ^ { \beta } - B _ { \beta } ^ { \alpha } \left( s ^ { a } \right) \mathcal { A } _ { I } ^ { \beta } ( r ^ { J } ) u ^ { I } } \end{array}
[ V ( t _ { 2 } ) , V ( t _ { 1 } ) ] = - \frac { i } { { \cal H } } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } _ { \perp } V ( t _ { 2 } ) \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } _ { \perp } V ( t _ { 1 } ) .
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { \hat { g } } \Bigl \{ \hat { R } + \frac { 2 \hat { \nabla } _ { \mu } \Psi \hat { \nabla } ^ { \mu } \Psi ^ { \dagger } } { ( \Psi - \Psi ^ { \dagger } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 8 } T r \bigl ( { \cal L } \hat { \nabla } { \cal M } \bigr ) ^ { 2 } + \frac { i } { 1 6 } \Psi \hat { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { - T } { \cal M } \hat { \cal F } ^ { - \mu \nu } - \frac { i } { 1 6 } \Psi ^ { \dagger } \hat { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { + T } { \cal M } \hat { \cal F } ^ { + \mu \nu } \Bigr \}
\begin{array} { r l } & { R _ { 1 2 3 } \equiv \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( 1 - \alpha _ { 4 } ) ^ { 2 } } { - 2 \alpha _ { 4 } ( \sin \theta - 1 ) } = \frac { 1 - \sin \theta } { 2 \sin \theta } = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } s , } \\ & { R _ { 1 2 4 } \equiv \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( 1 - \alpha _ { 3 } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { 3 } } = - \frac { 1 } { 4 } ( \frac { 1 } { \sin \theta } + \frac { 1 } { \cos \theta - 1 } ) - 1 - \frac { ( \cos \theta - 1 ) \sin \theta } { ( \cos \theta - 1 ) + \sin \theta } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = \frac { 1 } { 8 s ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 8 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } \frac { 1 } { s } - 1 + ( 1 + \frac { 1 } { \cos \theta } ) s ^ { 2 } + ( \frac { 2 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { \cos \theta } ) s ^ { 3 } , } \\ & { R _ { 1 3 4 } \equiv \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( 1 - \alpha _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { 2 } } = R _ { 1 2 4 } , } \\ & { R _ { 2 3 4 } \equiv \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 \cos \theta ( \cos \theta - 1 ) } = - \frac { 1 } { 4 \cos \theta } \frac { 1 } { s ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { q ( \gamma _ { 1 } ^ { 1 } + \gamma _ { 3 } ^ { 1 } + \cdots + \gamma _ { 2 n + 1 } ^ { 1 } ) } \\ & { = } & { q ( \gamma _ { 1 } ^ { 1 } ) + q ( \gamma _ { 3 } ^ { 1 } ) + \cdots + q ( \gamma _ { 2 n + 1 } ^ { 1 } ) } \\ & { = } & { n + 1 } \\ & { = } & { 1 \quad \mathrm { i n ~ } \mathbb { Z } _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { i } = A _ { 1 } ( 1 - X _ { 1 } ^ { i } ) - A _ { 2 } ( 1 - X _ { 2 } ^ { i } ) , 1 \leq i \leq n , i \delta t \leq \tau } \\ & { p _ { n + j } = A _ { 1 } ( X _ { 1 } ^ { j } - X _ { 1 } ^ { n + j } ) - } \\ & { \qquad \qquad - A _ { 2 } ( X _ { 2 } ^ { j } - X _ { 2 } ^ { n + j } ) , 1 \leq j \leq m , ( n + j ) \delta t > \tau } \end{array}
\begin{array} { r } { - R e _ { \delta } ^ { - 1 } U _ { i } \big ( \frac { \overline { { u v _ { i } } } } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + y ^ { + } \frac { d \overline { { u v _ { i } } } } { d y ^ { + } } \big ) + R e _ { \delta } ^ { - 1 } V _ { i } \frac { d \overline { { u v _ { i } } } } { d y ^ { + } } = - \overline { { \Big ( u \frac { \partial p } { \partial y } + v \frac { \partial p } { \partial x } \Big ) } } _ { i } } \\ { - \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } \Big ( \frac { d U _ { i 1 } } { d y ^ { + } } + R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { d U _ { i 2 } } { d y ^ { + } } + R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { u _ { * } } { \kappa U _ { e } } \frac { d U _ { i 3 } } { d y ^ { + } } \Big ) + \frac { d ^ { 2 } \overline { { u v } } _ { i 1 } } { d y ^ { + 2 } } + R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { d ^ { 2 } \overline { { u v } } _ { i 2 } } { d y ^ { + 2 } } + R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { u _ { * } } { \kappa U _ { e } } \frac { d ^ { 2 } \overline { { u v } } _ { i 3 } } { d y ^ { + 2 } } . } \end{array}
\partial _ { s } \hat { w } _ { \kappa } = \hat { w } _ { \kappa } \, ( 1 - \hat { w } _ { \kappa } ) \, \big ( 2 \eta _ { \kappa } - 1 \big ) \, , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \; \eta _ { \kappa } \propto \hat { w } _ { \kappa } \, .
\langle \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } , \Psi _ { 3 } \rangle = ( - 1 ) ^ { g n ( \Psi _ { 3 } ) * ( g n ( \Psi _ { 2 } ) + g n ( \Psi _ { 1 } ) ) } \langle \Psi _ { 3 } , \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } \rangle
\begin{array} { r l } { \leq } & { { } C _ { 1 } ( \Omega , T ) \lVert \left( \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u \right) ^ { 2 s } \rVert _ { L ^ { \rho ^ { \prime } } ( Q _ { T } ) } \cdot \left( \lVert \chi \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | > \varepsilon \} - \chi \{ | u - u _ { \nu } | > \varepsilon \} \rVert _ { L ^ { \rho } ( Q _ { T } ) } + \lVert \chi \{ | u - u _ { \nu } | > \varepsilon \} \rVert _ { L ^ { \rho } ( Q _ { T } ) } \right) } \\ { = } & { { } B _ { 2 } ( n , \nu , \varepsilon ) } \end{array}