harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { | \mathcal { K } | } \sum _ { s \in \mathcal { K } } \mathbb { E } \left[ \langle { \hat { \phi } _ { s } ^ { ( m ) } } | { \hat { \chi } _ { s } ^ { ( m ) } } \rangle \right] = \frac { 1 } { | \mathcal { K } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } } \mathbb { E } \left[ \langle { { \phi } _ { k } ^ { ( m ) } } | { { \chi } _ { k } ^ { ( m ) } } \rangle \right] \geq 1 - \epsilon \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } m \in \mathcal { M } . } \end{array}
F ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } , p _ { 4 } , r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } , r _ { 4 } ) = f ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } , p _ { 4 } ) \cdot ( - 1 ) ^ { p _ { 1 } r _ { 1 } + p _ { 2 } r _ { 2 } + p _ { 3 } r _ { 3 } + p _ { 4 } r _ { 4 } }
\begin{array} { r l } { R _ { B } } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \zeta , \gamma } \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \rho \left( 1 - \frac { \left( E _ { \gamma , \zeta } ( W , X ^ { n } ) + 2 \rho \gamma \right) } { \zeta } \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \zeta , \gamma } \frac { ( \zeta - E _ { \gamma , \zeta } ( W , X ^ { n } ) ) ^ { 2 } } { 8 \gamma \zeta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { + } = } & { x - \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \alpha ^ { i } \sum _ { \upsilon = 0 } ^ { \tau _ { i } - 1 } \big ( \widetilde { h } _ { i } ^ { D } ( x _ { \upsilon } ^ { i } , y _ { + } ) - \widetilde h _ { i } ^ { D } ( x _ { 0 } ^ { i } , y _ { + } ) + \widetilde h ^ { D } ( x ) - \widetilde { h } ^ { I } ( x ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathfrak { m } } ( B _ { l } ( \tilde { x } _ { 0 } ) ) \cdot \# ( D _ { R } ^ { \Gamma } ( \tilde { x } _ { 0 } ) ) } & { \leq \mathfrak { m } _ { Y } ( ( B _ { h } ( y _ { 0 } ) \cup C _ { h } ( y _ { 0 } ) ) \cap B _ { R + l } ( y _ { 0 } ) ) \cdot \mathcal { L } ^ { k } ( B _ { R + l } ( 0 ^ { k } ) ) } \\ & { \leq \big ( \mathfrak { m } _ { Y } ( B _ { h } ( y _ { 0 } ) ) + \mathfrak { m } _ { Y } ( C _ { h } ( y _ { 0 } ) \cap B _ { R + l } ( y _ { 0 } ) ) \big ) \omega _ { k } ( R + l ) ^ { k } } \\ & { = \omega _ { k } \mathfrak { m } _ { Y } ( B _ { h } ( y _ { 0 } ) ) ( R + l ) ^ { k } + \omega _ { k } f ( R + l ) ( R + l ) ^ { N - 1 } . \, \, ( * ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { W _ { p } ^ { 2 , 1 } ( \Omega _ { T } ) } } & { \le \| \hat { u } \| _ { W _ { p } ^ { 2 , 1 } ( \Omega _ { T } ) } + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , p } ( M , \bar { g } ) } \le C \left( \| \hat { d } \| _ { L ^ { p } ( \Omega _ { T } ) } + \| \hat { u } \| _ { L ^ { p } ( \Omega _ { T } ) } \right) + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , p } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le C \| \hat { d } \| _ { L ^ { p } ( \Omega _ { T } ) } + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , p } ( M , \bar { g } ) } \le C \left( \| d \| _ { L ^ { p } ( \Omega _ { T } ) } + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , p } ( M , \bar { g } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s [ \mathcal { A } , \theta , t , t + T ] = ~ } & { \frac { \pi \delta } { \epsilon } \sum _ { k } \bigg [ \int _ { t } ^ { t + T } \mathrm { d } t \, \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \mathcal { A } _ { B } ^ { k } \big ( \dot { \theta } _ { A } ^ { k } + \dot { \theta } _ { A } ^ { k } \big ) \sin \big ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } \big ) + \int _ { t } ^ { t + T } \mathrm { d } t \, \big ( \dot { \mathcal { A } } _ { B } ^ { k } \mathcal { A } _ { A } ^ { k } - \dot { \mathcal { A } } _ { A } ^ { k } \mathcal { A } _ { B } ^ { k } \big ) \cos \big ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } \big ) \bigg ] \, . } \end{array}
x { \frac { d ^ { 2 } g } { d x ^ { 2 } } } + ( { \frac { 1 + p } { 2 } } - x ) { \frac { d g } { d x } } + ( { \frac { { \tilde { \beta } } ^ { 2 } - 1 - p } { 4 } } ) g = 0 .
\langle \hat { \rho } ( \mathbf { k } _ { 1 } ) \hat { \rho } ^ { * } ( \mathbf { k } _ { 1 } ) \rangle = \langle \langle \hat { \rho } ( \mathbf { k } _ { 1 } ) \hat { \rho } ^ { * } ( \mathbf { k } _ { 1 } ) \rangle \rangle
\begin{array} { r } { \mathcal { F } [ \mathcal { R } _ { \tau } [ H _ { Q } ^ { ' ( T ) } ] ] ( k _ { x ^ { \prime } } ) = \mathcal { F } [ H _ { Q } ^ { ' ( T ) } ] ( k _ { x ^ { \prime } } , k _ { p ^ { \prime } } = 0 ) . } \end{array}
x ^ { i } { ' } x ^ { j } { ' } \tilde { R } _ { i k l j } n _ { R } ^ { k } n _ { S } ^ { l } = F \delta _ { R S } ( \frac { 1 } { 2 } \tilde { R } - \tilde { R } _ { i j } x ^ { i } { ' } x ^ { j } { ' } ) - \tilde { R } _ { i j } n _ { R } ^ { i } n _ { S } ^ { j } ,
{ \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { e } _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) } \\ { \mathbf { e } _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) } \end{array} \right] } = \left\Vert \gamma ^ { \prime } \left( t \right) \right\Vert { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \kappa ( t ) } \\ { - \kappa ( t ) } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { e } _ { 1 } ( t ) } \\ { \mathbf { e } _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right] }
E _ { n } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left[ \left( \frac { \pi n _ { 1 } } { l _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \pi n _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \pi n _ { 3 } } { l _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \right] .
A _ { U Q _ { 0 } } = \frac { \sum _ { a } e _ { a } ^ { 2 } \, \left[ \, f _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \, \bar { b } _ { 1 } ( x _ { 2 } ) + \bar { f } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \, b _ { 1 } ( x _ { 2 } ) \, \right] } { \sum _ { a } e _ { a } ^ { 2 } \, \left[ \, f _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \, \bar { f } _ { 1 } ( x _ { 2 } ) + \bar { f } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \, f _ { 1 } ( x _ { 2 } ) \, \right] } \, .
( u _ { r } , u _ { \theta } ) = \left( { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial \psi } { \partial \theta } } , - { \frac { \partial \psi } { \partial r } } \right) = \left( - { \frac { A } { r ^ { 2 } } } \cos \theta , - { \frac { A } { r ^ { 2 } } } \sin \theta \right) \, .
\begin{array} { r l r } { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } ( x ) } & { { } = } & { F ( x ; 1 ) , } \\ { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } & { { } = } & { F ( x ; { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) ) , } \\ { { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } & { { } = } & { F ( x ; { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) ) , } \\ { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } & { { } = } & { F ( x ; { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) ^ { 2 } ) , } \\ { { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) } & { { } = } & { F ( x ; { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) ) , } \\ { { f _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) } & { { } = } & { F ( x ; { W _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) ^ { 2 } ) , } \end{array}
{ \frac { \ddot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } } = - { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } G _ { 5 } ^ { 2 } } { 9 c ^ { 6 } } } ( 2 \varrho _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } c ^ { 4 } + \sigma \varrho _ { \mathrm { t o t } } c ^ { 2 } + 3 \sigma \wp _ { \mathrm { t o t } } + 3 \wp _ { \mathrm { t o t } } \varrho _ { \mathrm { t o t } } c ^ { 2 } ) - c ^ { 2 } { \frac { a _ { R \, 0 } ^ { \prime \prime } } { a _ { 0 } } } + { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } G _ { 5 } ^ { 2 } } { 9 c ^ { 6 } } } \sigma ^ { 2 } ,
\mathcal { G } \sim \left( \begin{array} { l l l } { \mathcal { G } _ { 1 , 1 } } & { \mathcal { G } _ { 1 , j + 1 } } & { \mathcal { G } _ { 1 , 4 } } \\ { \mathbb { O } } & { \mathcal { G } _ { i , j + 1 } ^ { ( 4 ) } } & { \mathbb { O } } \\ { 0 } & { \mathcal { G } _ { 4 , j + 1 } ^ { ( 4 ) } } & { \nu _ { 4 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \Pi ( \gamma ^ { \prime } , \xi ^ { \prime } ; \gamma , \xi ) \approx \frac 1 { \ln \Lambda } \frac { p ^ { 2 } } { 2 \pi p ^ { 2 } \, | \xi | } \frac { d \sigma ( \gamma ^ { \prime } , \gamma ) } { d p } \, \delta ( p ^ { \prime } - p ^ { * } ) , } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { 1 } { 2 } \int \left( \hat { x } _ { t } ^ { 2 } + \hat { y } _ { t } ^ { 2 } - \delta \hat { x } _ { t } \hat { y } ^ { 2 } - \frac { B } { J ( \hat { x } , \hat { y } ) } \right) d s d n .
\frac { \partial } { \partial t } ( \rho \mathbf { u } ) + \nabla \cdot ( \rho \mathbf { u } \mathbf { u } ) - \nabla \cdot ( \mu \nabla \mathbf { u } ) = - \nabla p ^ { \prime } - \nabla \rho ( \mathbf { g } \cdot \mathbf { x } ) + \nabla \cdot ( \mu ( \nabla \mathbf { u } ) ^ { T } ) + \mathbf { f } _ { \Sigma } ,
\sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \geq | \langle f \mid g \rangle | ^ { 2 } \geq \left( { \frac { \langle f \mid g \rangle - \langle g \mid f \rangle } { 2 i } } \right) ^ { 2 } = \left( { \frac { i \hbar } { 2 i } } \right) ^ { 2 } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } }
i \left( \begin{array} { l l } { { \langle U _ { \alpha } , \bar { U } _ { \bar { \beta } } \rangle } } & { { \langle U _ { \alpha } , V \rangle } } \\ { { \langle \bar { V } , \bar { U } _ { \bar { \beta } } \rangle } } & { { \langle \bar { V } , V \rangle } } \end{array} \right)
\nabla _ { \hat { X } } \log p ( \hat { X } ; { V } ) \approx \nabla _ { \hat { X } } \log q ( \hat { { X } } ; { X } , { V } ) \propto \frac { \hat { { X } } - { X } } { \sigma ^ { 2 } } \propto { \mathcal { E } } .
\frac { \bar { \alpha } _ { s } ( M ^ { 2 } ) } { \pi } = \frac { 4 } { 9 } \; \frac { 1 } { L } - \frac { 2 5 6 } { 7 2 9 } \; \frac { L L } { L ^ { 2 } } + \left[ 6 7 9 4 - 1 6 3 8 4 \; ( L L - L L ^ { 2 } ) \right] \; \frac { 1 } { 5 9 0 4 9 } \; \frac { 1 } { L ^ { 3 } } ,
{ \cal { H } } = \pi \partial _ { + } \phi - { \cal { L } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ f ^ { 2 } x ^ { 2 } \partial _ { - } \phi \partial _ { - } \phi + \partial _ { I } \phi \partial _ { I } \phi + m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho } { 6 } \| F ( x _ { 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \bar { U } + \frac { 1 } { 2 \rho } \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } + c _ { 0 } - \frac { \rho } { 6 } \| F ( x _ { 1 } ) \| ^ { 2 } - \langle \lambda _ { 0 } \; , \; F ( x _ { 1 } ) \rangle - f ( x _ { 1 } ) - \frac { \rho } { 6 } \| F ( x _ { 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \bar { U } + \frac { 1 } { 2 \rho } \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } + c _ { 0 } - \frac { \rho } { 6 } \| F ( x _ { 1 } ) + \frac { 3 \lambda _ { 0 } } { \rho } \| ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 \rho } \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } - f ( x _ { 1 } ) - \frac { \rho } { 6 } \| F ( x _ { 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { { \overset { { ( \rho \geq 3 \rho _ { 0 } ) } } { \leq } } \bar { U } + \frac { 1 } { 2 \rho } \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } + c _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 \rho } \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } - f ( x _ { 1 } ) - \frac { \rho _ { 0 } } { 2 } \| F ( x _ { 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { { \overset { } { \leq } } \bar { U } + \frac { 2 } { \rho } \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } + c _ { 0 } - \bar { L } { \overset { { ( \rho \geq 1 ) } } { \leq } } \bar { U } + c _ { 0 } - \bar { L } + { 2 } \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\sum _ { k _ { 1 } , \dots , k _ { n } = 0 } ^ { \infty } c _ { k _ { 1 } , \dots , k _ { n } } ( z _ { 1 } - a _ { 1 } ) ^ { k _ { 1 } } \cdots ( z _ { n } - a _ { n } ) ^ { k _ { n } }
\tilde { \pi } ^ { \phi } = 2 \gamma ^ { 1 / 2 } e ^ { - \frac { 3 } { 2 } ( \phi - \tilde { \phi } ) } \left[ \frac { 3 } { 2 } H + \frac { \partial H } { \partial \tilde { \phi } } \right] ~ ~ ~ .
\bar { U } _ { 1 } ( \vec { p } _ { 1 } ) [ \vec { S } _ { 1 } \times \vec { \Delta } ] U _ { 1 } ( \vec { q } _ { 1 } ) = [ \vec { S } _ { 1 } \times \vec { \Delta } ] - \frac { 1 } { 2 m _ { 1 } ^ { 2 } } \left\{ \vec { p ^ { \circ } } \left( \vec { S } _ { 1 } [ \vec { p ^ { \circ } } \times \vec { \Delta } ] \right) + [ \vec { p ^ { \circ } } \times \vec { S } _ { 1 } ] ( \vec { p ^ { \circ } } \vec { \Delta } ) \right\} .
\begin{array} { r l } { h _ { i } } & { { } = \textsc { S h o r t R a n g e D e s c r i p t o r } ( \vec { p } _ { i } ) } \\ { \epsilon _ { 2 } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) } & { { } = \textsc { S h o r t R a n g e I n t e r a c t i o n } ( h _ { i } , h _ { j } ) } \\ { \epsilon _ { 3 } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) } & { { } = \textsc { S h o r t R a n g e I n t e r a c t i o n } ( h _ { i } , h _ { j } , h _ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle I _ { h } \left( \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { w } ^ { k } \right) , \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \rangle } & { = - \langle \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } , \mathbf { w } ^ { k } \rangle , } \\ { \langle I _ { h } ( \mathbf { u } \cdotp \nabla \mathbf { w } ^ { k } ) , \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \rangle } & { = - \langle \mathbf { u } \cdotp \nabla \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } , \mathbf { w } ^ { k } \rangle , } \\ { \langle I _ { h } ( \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { u } ) , \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \rangle } & { = - \langle \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } , \mathbf { u } \rangle , } \end{array}
Y = X - ( z _ { 1 } + z _ { 2 } ) { \frac { X } { s } } + z _ { 1 } z _ { 2 } { \frac { X } { s ^ { 2 } } } + ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) { \frac { Y } { s } } - p _ { 1 } p _ { 2 } { \frac { Y } { s ^ { 2 } } } .
\mathcal { Z } _ { n _ { i } } ( T _ { \gamma } ) = \sum _ { v _ { i } = 0 } g _ { n _ { i } v _ { i } } ( \mathrm { H } _ { 2 } ^ { + } ) \, \mathrm { e } ^ { - \varepsilon _ { n _ { i } v _ { i } } / k _ { \mathrm { B } } T _ { \gamma } }
\nu _ { n } = \frac { \eta } { \lambda } - ( 2 n + 1 ) \frac { \pi } { 2 \lambda } , \qquad w _ { k } = \frac { \bar { \eta } } { \lambda } - ( 2 k + 1 ) \frac { \pi } { 2 \lambda } , \qquad \bar { \eta } = \pi ( \lambda + 1 ) - \eta \ .
\begin{array} { r l } { c _ { i + 1 } - c _ { i } = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { d } \left[ \binom { d + 1 } { 2 i + 2 - j } - \binom { d + 1 } { 2 i - j } \right] b _ { j } = \sum _ { j = 0 } ^ { d } r _ { j } b _ { j } } \\ { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { 2 ( 2 i + 2 - \frac { d + 3 } { 2 } ) } r _ { j } b _ { j } + \sum _ { j = 2 ( 2 i + 2 - \frac { d + 3 } { 2 } ) + 1 } ^ { d } r _ { j } b _ { j } } \\ { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { \lceil 2 i + 2 - \frac { d + 3 } { 2 } \rceil } r _ { \lfloor 2 i + 2 - \frac { d + 3 } { 2 } \rfloor + j } \left( b _ { \lfloor 2 i + 2 - \frac { d + 3 } { 2 } \rfloor + j } - b _ { \lceil 2 i + 2 - \frac { d + 3 } { 2 } \rceil - j } \right) } \\ & { + r _ { 2 i + 2 - \frac { d + 3 } { 2 } } b _ { 2 i + 2 - \frac { d + 3 } { 2 } } + \sum _ { j = 2 ( 2 i + 2 - \frac { d + 3 } { 2 } ) + 1 } ^ { d } r _ { j } b _ { j } , } \end{array}
X _ { f _ { j } } ^ { \omega } = X _ { f _ { j \epsilon } } ^ { \omega _ { \epsilon } } = \frac { \frac { \partial f _ { i } } { \partial I _ { 1 } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \mathcal { K } \hat { c } _ { i } } { I _ { 1 } ^ { i } } } \frac { \partial } { \partial \phi _ { 1 } } - \frac { \frac { \partial f _ { i } } { \partial \phi _ { 1 } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \mathcal { K } \hat { c } _ { i } } { I _ { 1 } ^ { i } } } \frac { \partial } { \partial I _ { 1 } } + \sum _ { j = 2 } ^ { n } \left( \frac { \partial f _ { i } ^ { \varepsilon } } { \partial I _ { j } } d I _ { j } + \frac { \partial f _ { i } ^ { \varepsilon } } { \partial \phi _ { j } } d \phi _ { j } \right)
\left( 2 \, { \cal M } _ { P } c ^ { 2 } \, \sinh \frac { E } { 2 { \cal M } _ { P } c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \, - c ^ { 2 } p ^ { 2 } e ^ { E / { \cal M } _ { P } c ^ { 2 } } = 0 .
g _ { \bar { i } } = \frac { { k _ { \mathrm { r } } C _ { \mathrm { e q } } - \tilde { g } _ { i } \left[ { { \frac { k _ { \mathrm { r } } } { 2 \mathrm { w } _ { i } } } - \left( 1 - { \frac { 1 } { 2 \tau _ { \mathrm { A D } } } } \right) \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } \right] } } { { { \frac { k _ { \mathrm { r } } } { 2 \mathrm { w } _ { i } } } - \left( 1 - { \frac { 1 } { 2 \tau _ { \mathrm { A D } } } } \right) \mathbf { e } _ { i } \cdot \mathbf { n } } } .
f ( \alpha ) = \tilde { f } ( \alpha , k \alpha ) , \qquad \tilde { f } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) = \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } \in \mathbb { Z } } \hat { f } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } e ^ { i ( j _ { 1 } \alpha _ { 1 } + j _ { 2 } \alpha _ { 2 } ) } , \qquad ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) \in \mathbb { T } ^ { 2 } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } _ { \mathbf { \mu } _ { k } , \mathbf { \Lambda } _ { k } } [ ( \mathbf { x } _ { n } - \mathbf { \mu } _ { k } ) ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { \Lambda } _ { k } ( \mathbf { x } _ { n } - \mathbf { \mu } _ { k } ) ] } & { = D \beta _ { k } ^ { - 1 } + \nu _ { k } ( \mathbf { x } _ { n } - \mathbf { m } _ { k } ) ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { W } _ { k } ( \mathbf { x } _ { n } - \mathbf { m } _ { k } ) } \\ { \ln { \widetilde { \Lambda } } _ { k } } & { \equiv \operatorname { E } [ \ln | \mathbf { \Lambda } _ { k } | ] = \sum _ { i = 1 } ^ { D } \psi \left( { \frac { \nu _ { k } + 1 - i } { 2 } } \right) + D \ln 2 + \ln | \mathbf { W } _ { k } | } \\ { \ln { \widetilde { \pi } } _ { k } } & { \equiv \operatorname { E } \left[ \ln | \pi _ { k } | \right] = \psi ( \alpha _ { k } ) - \psi \left( \sum _ { i = 1 } ^ { K } \alpha _ { i } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \rho ( x | y ) = N \Big ( \mu _ { X } ^ { \prime } ( y ) , \Sigma _ { X } ^ { \prime } \Big ) = N \Big ( \mu _ { X } + \Sigma _ { X Y } \Sigma _ { Y } ^ { - 1 } ( y - \mu _ { Y } ) , \Sigma _ { X } - \Sigma _ { X Y } ^ { T } \Sigma _ { Y } ^ { - 1 } \Sigma _ { X Y } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | f ( \mathcal { D } _ { n } ) - f ( \mathcal { D } _ { - n } ) \Big | } & { \leq C ^ { \prime } n ^ { - 1 } ( \omega _ { f } ( 2 | X | _ { \mathcal { C } ^ { \beta } } n ^ { - \delta } ) + \| f \| _ { \infty } n ^ { - \delta } ) } \\ & { \leq C ^ { \prime \prime } n ^ { - 1 } ( | f | _ { \mathcal { C } ^ { \epsilon } } n ^ { - \delta \epsilon } + \| f \| _ { \infty } n ^ { - \delta } ) . } \end{array}
D _ { m m ^ { \prime } } ^ { n } ( \alpha , \beta , \gamma ) = ( - 1 ) ^ { m + m ^ { \prime } } e ^ { \mathrm { i } m \alpha } e ^ { \mathrm { i } m ^ { \prime } \gamma } \widetilde { d } _ { m m ^ { \prime } } ^ { n } ( \beta ) .
\begin{array} { r l } { \sigma ( \xi ; k ^ { 2 } ) } & { = e ^ { \iota \xi _ { 1 } } + e ^ { - \iota \xi _ { 1 } } + e ^ { \iota \xi _ { 2 } } + e ^ { - \iota \xi _ { 2 } } + e ^ { \iota \xi _ { 1 } } e ^ { - \iota \xi _ { 2 } } + e ^ { - \iota \xi _ { 1 } } e ^ { \iota \xi _ { 2 } } - 6 + k ^ { 2 } } \\ & { = k ^ { 2 } - 6 + 2 \cos \xi _ { 1 } + 2 \cos \xi _ { 2 } + 2 \cos ( \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } ) . } \end{array}
W _ { K } [ \tilde { \phi } ] = \frac { \varepsilon } { 2 \phi _ { 0 } } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \tilde { \phi } _ { A } ( \mathbf { r } ) K ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) \tilde { \phi } _ { B } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) = \frac { \varepsilon } { 2 \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \left[ \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \tilde { \phi } _ { A } ( \mathbf { r } ) K ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right] \tilde { \phi } _ { B } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) .
\frac { \mathrm { B R } ( B _ { d } \to \mu ^ { + } \mu ^ { - } ) } { \mathrm { B R } ( B _ { s } \to \mu ^ { + } \mu ^ { - } ) } = \left[ \frac { \tau _ { B d } } { \tau _ { B _ { s } } } \right] \left[ \frac { M _ { B _ { d } } } { M _ { B _ { s } } } \right] \left[ \frac { f _ { B _ { d } } } { f _ { B _ { s } } } \right] ^ { 2 } \left| \frac { V _ { t d } } { V _ { t s } } \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \epsilon _ { k } \left| \left\langle U _ { t } ^ { * } ( k _ { z } - k _ { 0 } ) , e _ { k } \right\rangle \right| ^ { 2 } } & { = 2 \epsilon _ { k } \Re \left( \left\langle \frac { d } { d t } U _ { t } ^ { * } ( k _ { z } - k _ { 0 } ) , e _ { k } \right\rangle \overline { { \left\langle U _ { t } ^ { * } ( k _ { z } - k _ { 0 } ) , e _ { k } \right\rangle } } \right) } \\ & { = 2 \epsilon _ { k } \Re \left( \left\langle L _ { F } ^ { * } U _ { t } ^ { * } ( k _ { z } - k _ { 0 } ) , e _ { k } \right\rangle \overline { { \left\langle U _ { t } ^ { * } ( k _ { z } - k _ { 0 } ) , e _ { k } \right\rangle } } \right) } \\ & { = 2 \epsilon _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \Re \left( c _ { j } \bar { c } _ { k } \left\langle e _ { j } , L _ { F } e _ { k } \right\rangle \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 6 } ^ { * } ( 4 n ) q ^ { n } } & { \equiv \frac { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 5 } } { ( q ; q ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 5 } ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } \equiv \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } \pmod 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { \top } ( B D - C ) v _ { * } = } & { ~ \sum _ { j = 1 } ^ { n } x _ { j } ^ { \top } ( B _ { j } D - C _ { j } ) V _ { * , j } } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { p } \sum _ { p = 1 } ^ { k } \sum _ { q = 1 } ^ { k } \sum _ { ( i , j ) \in \Omega } ( x _ { j } ) _ { p } \cdot ( V _ { * , j } ) _ { q } \cdot ( H _ { j , i } ) _ { p , q } , } \end{array}
\partial ^ { \mu } a _ { \mu } ^ { \prime } = \partial _ { \mu } a ^ { \mu } - \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } \theta + \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } \theta _ { 0 } = \partial _ { \mu } j ^ { \mu } + \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } \theta _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - v _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \alpha _ { t + 1 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } + 2 \alpha _ { t + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 4 ( 1 - \alpha _ { t + 1 } ) ^ { 2 } L _ { g } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } \big ( \mathbb { E } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { F i b } ( \mathbf { r } ) } & { = } & { p \log \displaystyle \left( \frac { p } { p - q } \right) + q \log \displaystyle \left( \frac { p - q } { q } \right) ~ ~ ~ \textnormal { i f } p \geq \displaystyle \frac { 1 } { 2 } , } \\ & { = } & { - \infty ~ ~ ~ \textnormal { i f } p < \displaystyle \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ \tau + b , 1 - \tau - b ] } \left| \hat { \gamma } _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \gamma _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \frac { 1 } { n b _ { k } ^ { i , l } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } K _ { b _ { k } ^ { i , l } } ( t _ { j } - t ) e _ { j , k } ^ { i , l } \right| \right\| _ { q } = O ( ( n b \tau ) ^ { - 1 } + b ^ { 3 } ) = O ( a _ { n } ) , } \end{array}
R e _ { \tau } \in \left[ 1 8 0 , 1 0 ^ { 3 } , 2 \times 1 0 ^ { 3 } , 5 . 2 \times 1 0 ^ { 3 } , 1 0 ^ { 4 } , 1 0 ^ { 5 } , 1 0 ^ { 6 } , 1 0 ^ { 7 } , 1 0 ^ { 8 } , 1 0 ^ { 9 } , 1 0 ^ { 1 0 } \right]
\begin{array} { r l } { \| g ^ { * } \| _ { \mathcal { C } ^ { \alpha , \alpha \nu / 2 } ( \bar { \Omega } _ { 3 T _ { 0 } / 2 } ) } } & { \leq C [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) } + \| g \| _ { \mathcal { C } ^ { \alpha , \alpha \nu / 2 } ( \bar { \Omega } _ { T } ) } ] , } \\ { g ^ { * } ( x , t ) - \lambda f ^ { * } ( \mathcal { V } ) } & { = 0 \quad \mathrm { i f } \quad t \in [ 0 , T _ { 0 } / 2 ] , \quad x \in \bar { \Omega } , } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { K - 1 } \lambda _ { i } ( t ) = \operatorname* { m a x } _ { \phi _ { 0 } , \ldots , \phi _ { K - 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { K - 1 } \left\langle \phi _ { i } , \, \mathcal { K } ^ { t } \phi _ { i } \right\rangle _ { \mu } , \quad \mathrm { s . t . ~ } \left\langle \phi _ { i } , \, \phi _ { j } \right\rangle _ { \mu } = \delta _ { i j } .
\frac { \partial \Gamma _ { i } } { \partial x _ { k , j } } \approx \frac { \Gamma _ { i } \left( x _ { k } + e _ { j } \varepsilon x _ { k , j } \right) - \Gamma _ { i } \left( x _ { k } - e _ { j } \varepsilon x _ { k , j } \right) } { 2 \varepsilon x _ { k , j } }
\frac { \partial \mathcal { E } _ { s } } { \partial t } - q _ { s } n _ { s } \mathbf { u } _ { s } \cdot \mathbf { E } + \frac { 1 } { N } \nabla \cdot \Big ( \mathbf { u } _ { s } ( ( N + 2 ) \mathcal { E } _ { s } - m _ { s } n _ { s } u _ { s } ^ { 2 } ) \Big ) = 0 .