harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \left( \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } } { 2 \Delta x } - \frac { ( E ^ { x } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i , j - 1 } ^ { n } } { 2 \Delta y } \right) } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \frac 1 2 \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - 2 ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n } + ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } } { \Delta x } + \frac 1 2 \frac { ( B ^ { z } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - 2 ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n } + ( B ^ { z } ) _ { i , j - 1 } ^ { n } } { \Delta y } } \\ { \phantom { m } } \\ { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = \frac { ( B ^ { z } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - ( B ^ { z } ) _ { i , j - 1 } ^ { n } } { 2 \Delta y } } \\ & { + \frac 1 2 \frac { ( E ^ { x } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - 2 ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i , j - 1 } ^ { n } } { \Delta y } } \\ { \phantom { m } } \\ { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } } { 2 \Delta x } } \\ & { + \frac 1 2 \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - 2 ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } + ( E ^ { y } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } } { \Delta x } } \end{array}
\alpha _ { \ell } : = \operatorname* { s u p } _ { k \geq 1 } \operatorname* { s u p } \bigg \{ \frac { \mathrm { c o v } ( f , g ) } { \| f \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \| g \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } } , \quad f \in \mathrm { L } ^ { \infty } ( \sigma \{ X _ { j } , j \leq k \} ) \quad \mathrm { a n d } \quad g \in \mathrm { L } ^ { \infty } ( \sigma \{ X _ { j } , j \geq \ell + k \} ) \bigg \} ,
E _ { n , l } = \left\{ \begin{array} { l } { { \pm \frac { j _ { n - \alpha , l } } { R } \qquad , \quad n = 0 , \ldots \infty \quad l = 1 \ldots \infty } } \\ { { \pm \frac { j _ { n + \alpha , l } } { R } \qquad , \quad n = 0 , \ldots \infty \quad l = 1 \ldots \infty } } \end{array} \right. \qquad \mathrm { f o r } \, \alpha < \frac { 1 } { 2 }
\begin{array} { r l } { \rho } & { = t ^ { * } ( \omega ^ { 1 } { \, { \wedge } \; } \theta _ { 2 } + \omega ^ { 2 } { \, { \wedge } \; } \theta _ { 1 } ) } \\ & { = - \mathrm { d } p { \, { \wedge } \; } \mathrm { d } b _ { 1 } - \frac 1 6 F _ { p p p } \mathrm { d } p { \, { \wedge } \; } \mathrm { d } y + ( b _ { 2 } b _ { 1 } + \textstyle { \frac 1 2 } F _ { p p } + b _ { 1 } F _ { p } - \frac 1 6 p F _ { p p p } ) \mathrm { d } x { \, { \wedge } \; } \mathrm { d } p + ( b _ { 1 } p + 1 ) \mathrm { d } x { \, { \wedge } \; } \mathrm { d } b _ { 2 } } \\ & { + ( p b _ { 2 } + F ) \mathrm { d } x { \, { \wedge } \; } \mathrm { d } b _ { 1 } + ( - \frac 1 6 F _ { x p p } + \frac 2 3 F _ { y p } + b _ { 1 } F _ { y } - \frac 1 6 p F _ { y p p } ) \mathrm { d } x { \, { \wedge } \; } \mathrm { d } y - b _ { 1 } \mathrm { d } y { \, { \wedge } \; } \mathrm { d } b _ { 2 } - b _ { 2 } \mathrm { d } y { \, { \wedge } \; } \mathrm { d } b _ { 1 } } \end{array}
\omega _ { u } \left( \left( \omega _ { u } \partial _ { u } + \omega _ { v } \partial _ { v } \right) \zeta _ { v } - \left( \zeta _ { u } \partial _ { u } + \zeta _ { v } \partial _ { v } \right) \omega _ { v } \right) = \omega _ { v } \left( \left( \omega _ { u } \partial _ { u } + \omega _ { v } \partial _ { v } \right) \zeta _ { u } - \left( \zeta _ { u } \partial _ { u } + \zeta _ { v } \partial _ { v } \right) \omega _ { u } \right) .
\langle H _ { i j } H _ { m n } ^ { * } \rangle = \langle H _ { i j } H _ { n m } \rangle = { \frac { 1 } { n } } \delta _ { i m } \delta _ { j n } + { \frac { 2 - \beta } { n \beta } } \delta _ { i n } \delta _ { j m }
\begin{array} { r l } { ( 1 + \alpha _ { 4 } ) ( 1 + 2 \gamma _ { x } ) ^ { 2 } \frac { 1 + \alpha ^ { 2 } } { 2 } \leq } & { ~ \frac { 2 + \alpha ^ { 2 } } { 3 } + \alpha _ { 4 } = \frac { 3 + \alpha ^ { 2 } } { 4 } , } \\ { ( 1 + \alpha _ { 4 } ^ { - 1 } ) 8 \gamma _ { x } ^ { 2 } + ( 1 + \alpha _ { 4 } ) ( 1 + 2 \gamma _ { x } ) ^ { 2 } \frac { 1 6 } { 1 - \alpha ^ { 2 } } \leq } & { ~ \frac { 1 3 } { 1 - \alpha ^ { 2 } } \frac { 8 } { 6 2 5 } + \frac { 1 3 } { 1 2 } \frac { 7 } { 6 } \frac { 1 6 } { 1 - \alpha ^ { 2 } } \leq \frac { 2 1 } { 1 - \alpha ^ { 2 } } , } \\ { ( 1 + \alpha _ { 4 } ) ( 1 + 2 \gamma _ { x } ) ^ { 2 } \frac { 8 } { 1 - \alpha ^ { 2 } } \leq } & { ~ \frac { 1 3 } { 1 2 } \frac { 7 } { 6 } \frac { 8 } { 1 - \alpha ^ { 2 } } \leq \frac { 1 1 } { 1 - \alpha ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { i j } ^ { l } } & { { } = \phi _ { m } \left( h _ { i } ^ { l } , h _ { j } ^ { l } , e _ { i j } ^ { l } , \psi ( \Vert { x _ { i } ^ { l } - x _ { j } ^ { l } } \Vert ^ { 2 } ) , \psi ( \langle x _ { i } ^ { l } , x _ { j } ^ { l } \rangle ) \right) } \\ { e _ { i j } ^ { l } } & { { } = \phi _ { e } \left( \psi ( \Vert { x _ { i } ^ { l } - x _ { j } ^ { l } } \Vert ^ { 2 } ) , \psi ( \langle x _ { i } ^ { l } , x _ { j } ^ { l } \rangle ) , e _ { i j } ^ { l - 1 } \right) } \end{array}
B _ { x } ( y ) = B _ { 0 , x } \left[ - 1 + \operatorname { t a n h } \left( \frac { y - 0 . 2 5 L _ { y } } { \delta } \right) + \operatorname { t a n h } \left( - \frac { y - 0 . 7 5 L _ { y } } { \delta } \right) \right]
\mathbf { C } : ( \mathbf { N } _ { i } \otimes \mathbf { N } _ { i } ) = \lambda _ { i } ^ { 2 } ~ ; ~ ~ ~ ~ { \cfrac { \partial \mathbf { C } } { \partial \mathbf { C } } } = { \mathsf { I } } ^ { ( s ) } ~ ; ~ ~ ~ ~ { \mathsf { I } } ^ { ( s ) } : ( \mathbf { N } _ { i } \otimes \mathbf { N } _ { i } ) = \mathbf { N } _ { i } \otimes \mathbf { N } _ { i } .
\begin{array} { r l } { G ( \theta _ { B } ) = } & { { } \; \alpha _ { 1 } - 2 \alpha _ { 2 } + 2 \alpha _ { 3 } + 8 + 2 \alpha _ { 5 } + 2 \alpha _ { 6 } - \alpha _ { 1 } \cos ( 4 \theta _ { B } ) } \\ { F ( \theta _ { B } ) = } & { { } \; \alpha _ { 1 } ( - \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } + 8 + 2 \alpha _ { 5 } + 2 \alpha _ { 6 } ) - \alpha _ { 2 } ( 8 + \alpha _ { 5 } + 3 \alpha _ { 6 } ) } \end{array}
J ( k , \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = { \frac { \pi ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 8 f ^ { 2 } ( y ) } { y ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { y } f ^ { 2 } ( x ) \ x ^ { 3 } \ d x + 1 6 \int _ { y } ^ { \infty } f ^ { 4 } ( x ) \ x \ d x - 8 y ^ { 2 } \int _ { y } ^ { \infty } \frac { 1 } { x } f ^ { 4 } ( x ) \ d x \right] \equiv { \frac { \pi ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } R ( y ) .
\begin{array} { r l } { t _ { E } } & { = \kappa _ { E } \Big [ \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \Big ] } \\ { G _ { E } } & { = 2 D b _ { \varepsilon } \kappa _ { E } \Big [ \varepsilon + 3 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \Big ] } \\ & { = 2 D b _ { \varepsilon } t \left( 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert } \right) , } \end{array}
H = - \frac { 1 } { 2 \mu } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial R ^ { 2 } } + V ( R , r ) - \frac { 1 } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { C _ { s p h } ( x _ { b } ) } & { = \theta _ { \mu } ^ { s } ( x _ { b } , D ) \leq \frac { \mu _ { k } ( B ( x _ { b } , d _ { k } ^ { \ast } ) ) } { ( 2 D ) ^ { s } } = \Big ( \frac { d _ { k } ^ { \ast } } { D } \Big ) ^ { s } \theta _ { \mu _ { k } } ^ { s } ( x _ { b } , d _ { k } ^ { \ast } ) \leq \Big ( \frac { D + 2 ^ { - k } } { D } \Big ) ^ { s } \theta _ { \mu _ { k } } ^ { s } ( x _ { b } , d _ { k } ^ { \ast } ) } \\ & { \leq \Big ( 1 + \frac { 2 ^ { - k } } { D } \Big ) ^ { s } \theta _ { \mu _ { k } } ^ { s } ( x _ { b } , D _ { k } ) \leq ( 1 + 2 ^ { 2 - k } \sqrt { 3 } ) ^ { s } C _ { s p h } ^ { k } ( x _ { b } ) = \overline { { C } } _ { s p h } ^ { k } ( x _ { b } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { L _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { C _ { 0 } ^ { 2 } } { \kappa _ { 0 } r _ { 0 } } ( C _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) \left( \frac { 2 \ell ^ { 6 } } { 9 r _ { 0 } } \ ( 1 + T ) \right) ^ { 2 } , } \\ & { } & { L _ { 3 } ^ { 2 } = \Big ( \frac { C _ { 7 } ^ { 2 } \ell ^ { 3 } T C _ { 6 } ^ { 2 } } { 3 r _ { 0 } } \exp ( T / \rho _ { 0 } ) \Big ) \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \rho _ { 0 } } \left[ 3 C _ { 5 } ^ { 2 } \exp ( C _ { 5 } ^ { 2 } T ) + C _ { 1 } ^ { 2 } \ell ^ { 3 } ( 1 + T ) \right] \right) , } \end{array}
F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
R = \mathbb { Z } \left[ { \sqrt { - 3 } } \, \, \right] , \quad a = 4 = 2 \cdot 2 = \left( 1 + { \sqrt { - 3 } } \, \, \right) \left( 1 - { \sqrt { - 3 } } \, \, \right) , \quad b = \left( 1 + { \sqrt { - 3 } } \, \, \right) \cdot 2 .
\begin{array} { r l } { C ^ { \mathrm { a d v } } ( \delta ) } & { \triangleq \operatorname* { s u p } \{ R : \forall I _ { \mathrm { d e l } } = ( i _ { 1 } , \dots , i _ { n \delta } ) \subseteq [ n ] , \operatorname* { P r } ( \hat { \sigma } _ { n } ( J ) \neq \sigma _ { n } ( J ) ) \overset { n \to \infty } { \longrightarrow } 0 , J \sim \mathrm { U n i f } ( [ m _ { n } ] ) ) \} } \end{array}
h _ { r e l } ( \tau _ { 2 } ) = - 2 J _ { 2 , 2 } ^ { 0 } J _ { 2 } ^ { - } - 4 J _ { 2 , 2 } ^ { 0 } - b _ { 2 } J _ { 2 } ^ { - } + 2 V ^ { * } ( \tau _ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } _ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } ) \propto \int _ { 0 } ^ { \Theta } d \theta \sin \theta \sqrt { \cos \theta } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi } \\ & { \left[ E _ { 0 , \parallel } ( \rho , \phi ) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } + E _ { 0 , \perp } ( \rho , \phi ) \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { \prime } \right] \exp \left( i \mathbf { k } _ { \mathrm { e x } } \cdot \mathbf { r } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \left( \frac { y ^ { 2 } } { x } \right) } & { = } & { \frac { y } { x ^ { 2 } } \left( 2 \dot { y } x - y \dot { x } \right) } \\ & { = } & { \frac { y } { x ^ { 2 } } \left( y ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y \dot { x } \right) } \\ & { = } & { \frac { y } { x ^ { 2 } } \left( y \dot { x } - x ^ { 2 } - y \dot { x } \right) } \\ & { = } & { - y } \\ & { = } & { - \dot { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j } } { M _ { R } } _ { \boldsymbol x _ { \ge j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } } \left( { M _ { R } } _ { \boldsymbol x _ { \ge j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } ^ { \prime } } \right) ^ { * } } & { { } = \sum _ { x _ { j } } \sum _ { \alpha _ { j } , \alpha _ { j } ^ { \prime } } M _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } \alpha _ { j } } \left( M _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } ^ { \prime } \alpha _ { j } ^ { \prime } } \right) ^ { * } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j + 1 } } { M _ { R } } _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j + 1 } } ^ { \alpha _ { j } } \left( { M _ { R } } _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j + 1 } } ^ { \alpha _ { j } ^ { \prime } } \right) ^ { * } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( X ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } { \frac { 1 } { 6 } } \left( i - { \frac { 7 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { 6 } } \left( ( - 5 / 2 ) ^ { 2 } + ( - 3 / 2 ) ^ { 2 } + ( - 1 / 2 ) ^ { 2 } + ( 1 / 2 ) ^ { 2 } + ( 3 / 2 ) ^ { 2 } + ( 5 / 2 ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = { \frac { 3 5 } { 1 2 } } \approx 2 . 9 2 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \lVert S ( u ) - S ( v ) \rVert _ { - \nu , 0 } } & { = \lVert T ( \partial _ { t } ^ { 2 } P _ { \mathrm { n l } } ( u ) - \partial _ { t } ^ { 2 } P _ { \mathrm { n l } } ( v ) \bigr ) \rVert _ { - \nu , 0 } } \\ & { \le K \bigl ( \lVert \partial _ { t } ^ { 2 } P _ { \mathrm { n l } } ( u ) - \partial _ { t } ^ { 2 } P _ { \mathrm { n l } } ( v ) \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert \Pi _ { 0 } P _ { \mathrm { n l } } ( u ) - \Pi _ { 0 } P _ { \mathrm { n l } } ( v ) \rVert _ { - \nu , 0 } \bigr ) } \\ & { \le 2 K C \bigl ( \lVert u \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert v \rVert _ { - \nu , 0 } \bigr ) \lVert u - v \rVert _ { - \nu , 0 } } \\ & { \le 4 K C \varepsilon \lVert u - v \rVert _ { - \nu , 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { V ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { c } } ) = \frac { I _ { \mathrm { m a x } } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { c } } ) - I _ { \mathrm { m i n } } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { c } } ) } { I _ { \mathrm { m a x } } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { c } } ) + I _ { \mathrm { m i n } } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { c } } ) } , } \end{array}
- ( { \dot { x } } _ { 1 } - { \dot { x } } _ { 2 } ) ( { \dot { x } } _ { 1 } + { \dot { x } } _ { 2 } ) - ( { \dot { y } } _ { 1 } - { \dot { y } } _ { 2 } ) ( { \dot { y } } _ { 1 } + { \dot { y } } _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \mu _ { x , y } ^ { m , n } ( d \gamma ) = } & { \frac { 1 } { Z _ { x , y } ^ { m , n } } e ^ { - A ^ { m , n } ( \gamma ) } \mathcal { M } _ { x , y } ^ { m , n } ( d \gamma ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { Z _ { x , y } ^ { m , n } } e ^ { - \sum _ { k = m } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma ) - \sum _ { k = m } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma _ { k } ) } \mathcal { M } _ { x , y } ^ { m , n } ( d \gamma ) , } \end{array}
\tilde { x } = { \frac { \sqrt { 1 + 2 \epsilon } - 1 } { \epsilon } } \, \tilde { t } - { \frac { 2 } { \epsilon } } \, \mathrm { l n } \left[ { \frac { 2 \sqrt { 1 + 2 \epsilon } } { 1 + \sqrt { 1 + 2 \epsilon } } } \right]
I _ { w } = - 2 { \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } u \, \mathrm { e } ^ { - u / a _ { s } } [ \widehat B ( u ) - \sum _ { 0 } ^ { 2 } \hat { b } _ { n } u ^ { n } ] } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } u \, \mathrm { e } ^ { - u / a _ { s } } [ u ^ { 2 } - C _ { 1 } ^ { 2 } w ^ { 2 } ] } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n f , i } ^ { + } = } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ \Psi _ { i } ( f ^ { e q } ) _ { i n t e r i o r } } \\ { = } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ ( \hat { f } _ { i } ^ { e q } ) _ { i n t e r i o r } } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { y \in [ a _ { 2 n + 2 } , \varrho a _ { 2 n + 1 } ] } \, \operatorname* { s u p } _ { h > 0 : \, y + h \le a _ { 1 } } \, \frac { F ( y + h ) - F ( y ) } { h } = \frac { F ( a _ { 2 n } ) - F ( \varrho a _ { 2 n + 1 } ) } { a _ { 2 n } - \varrho a _ { 2 n + 1 } } = \frac { ( 1 - q ) \alpha _ { 2 } + q ( 1 - \varrho ) \alpha _ { 1 } } { 1 - q \varrho } .
f _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n _ { 0 } ] ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , t - t ^ { \prime } ) = \frac { \delta v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ( { \bf r } , t ) } { \delta n ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) }
\tilde { \psi } _ { \alpha } ^ { j } ( t , \vec { x } ) = \sum _ { s = 1 , 2 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } \sqrt { 2 E ( \vec { k } ) } } \left\{ u _ { s } ( \vec { k } ) a _ { \alpha , \, s } ^ { j } ( \vec { k } ) \exp ( - i k x ) + v _ { s } ( \vec { k } ) b _ { \alpha , \, s } ^ { j \, \dagger } ( \vec { k } ) \exp ( i k x ) \right\} ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { S } ^ { \dag } \left( x \right) \, \overrightarrow { B } \, \Phi _ { S } \left( x \right) } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { \Phi _ { s } ^ { \dag } } & { \Phi _ { s } ^ { c \, \dag } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \overrightarrow { B } \, } & { 0 } \\ { 0 } & { \overrightarrow { B } \, } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \Phi _ { s } } \\ { \Phi _ { s } ^ { c } } \end{array} \right) } \end{array}
\sum _ { \substack { M _ { 1 } , \ldots , M _ { 2 k } \leq x \, M _ { k + 1 } , \ldots , M _ { 2 k } \leq ( 2 P ) ^ { 1 / k } \, M _ { i } = ( 1 + \delta ) ^ { \ell _ { i } } , \ell _ { i } \geq 0 } } c _ { M _ { 1 } , \ldots , M _ { 2 k } } \sum _ { \substack { M _ { i } \leq \textnormal { N } ( n _ { i } ) < ( 1 + \delta ) M _ { i } , 1 \le i \le 2 k \, \textnormal { N } ( n _ { 1 } \cdots n _ { 2 k } ) \leq x } } ( \log \textnormal { N } ( n _ { 1 } ) ) \prod _ { j = k + 1 } ^ { 2 k } \mu ( n _ { j } ) \cdot f ( n _ { 1 } \cdots n _ { 2 k } ) ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } ( \Delta _ { t } ; r ) _ { q > 1 } } & { = \frac { \sqrt { r \, \beta ^ { q G } } } { { C ^ { q G } } ^ { 2 } } } \\ & { \times \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { - r } \frac { d ^ { i } } { d t ^ { i } } \left( 1 + t ^ { 2 } \right) ^ { - r } \, d t \right] \frac { \Delta _ { t } ^ { i } } { i ! } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { X } ^ { \left( q \right) } = \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \Big \langle \frac { \beta ^ { \left( q \right) } \left( i \right) + 1 } { \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) } \Big \rangle _ { i } + \nu , \; \exists \nu \in \left[ 0 , \infty \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { R } } & { , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { R } } & { , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { \delta } } & { , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , j } ) , { x } ^ { t , j } - { z } \rangle - \langle \nabla f ( { x } ^ { t , i } ) , { x } ^ { t , i } - { z } \rangle } \\ { = \ } & { \sum _ { k = i + 1 } ^ { j } \left( \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { z } \rangle \right) } \end{array}
C ( x , t ) = \frac { 6 0 } { t ^ { \frac { 1 } { 2 } } } e ^ { - \frac { - x ^ { 2 } } { 4 t } } - \frac { 0 . 0 0 1 } { t ^ { \frac { 3 } { 2 } } } e ^ { - \frac { - x ^ { 2 } } { 4 t } } \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 2 t } \right) ,
\prod _ { d | \mathfrak { p } ^ { r } } \Delta _ { d } ^ { r _ { d } } = \left( \frac { \Delta _ { \mathfrak { p } ^ { r } } } { \Delta _ { \mathfrak { p } ^ { r - 2 } } } \right) ^ { | \mathfrak { p } | } \left( \frac { \Delta _ { \mathfrak { p } ^ { r - 1 } } } { \Delta _ { \mathfrak { p } ^ { r } } } \right) ^ { | \mathfrak { p } | ^ { 2 } + | \mathfrak { p } | } .
\frac { \Gamma _ { p , | v _ { 1 } = v | } } { \Gamma ^ { f } } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi } \left( \tilde { u } ^ { 2 } + u ^ { 2 } - 2 \tilde { u } u \cos \theta \right) ^ { 5 / 2 } \sin \theta d \theta u ^ { 2 } e ^ { - u ^ { 2 } } d u } { 2 4 \sqrt { 3 } }
{ \mathrm { . . . . . . . } } \left( - { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } \right) { \sqrt [ [object Object] ] { { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } + 6 + 3 \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 5 + 3 ( { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } - { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { - 3 + 3 ( { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } - { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } ) } } \right) } }
H ( \alpha ) = \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } \alpha ^ { 2 } + \sum _ { k } \left( E _ { 2 , k } b _ { 2 , k } ^ { \dagger } b _ { 2 , k } + E _ { 1 , k } b _ { 1 , k } ^ { \dagger } b _ { 1 , k } + 2 g \alpha \left[ b _ { 2 , k } ^ { \dagger } b _ { 1 , k } + b _ { 1 , k } ^ { \dagger } b _ { 2 , k } \right] \right) .
\delta h _ { s } = 1 - \langle \Psi ( t ) | \hat { n } _ { s } ^ { 0 \dagger } | \Psi ( t ) \rangle + \langle \Psi ( t ) | \hat { n } _ { s \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { n } _ { s \downarrow } ^ { 0 \dagger } | \Psi ( t ) \rangle \approx 0
\begin{array} { r l } & { \mathcal A ( ( s , e ] , \rho , \lambda ) = \bigg \{ \operatorname* { m a x } _ { t = s + \rho + 1 } ^ { e - \rho } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } | \widetilde F _ { t , h } ^ { s , e } ( x ) - \widetilde f _ { t } ^ { s , e } ( x ) | \le \lambda \bigg \} ; } \\ & { \mathcal B ( \widetilde { r } , \rho , \lambda ) = \bigg \{ \operatorname* { m a x } _ { N = \rho } ^ { T - \widetilde { r } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \bigg | \frac { 1 } { \sqrt N } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + N } F _ { t , h } ( x ) - \frac { 1 } { \sqrt N } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + N } f _ { t } ( x ) \bigg | \le \lambda \bigg \} \bigcup } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \bigg \{ \operatorname* { m a x } _ { N = \rho } ^ { \widetilde { r } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \bigg | \frac { 1 } { \sqrt N } \sum _ { t = \widetilde { r } - N + 1 } ^ { \widetilde { r } } F _ { t , h } ( x ) - \frac { 1 } { \sqrt N } \sum _ { t = \widetilde { r } - N + 1 } ^ { \widetilde { r } } f _ { t } ( x ) \bigg | \le \lambda \bigg \} . } \end{array}
Z \, [ \, J ^ { A } \, , \, \phi ^ { \ast \, A } \, ] \, = \, \int \, { \cal D } \phi \, \, e x p { \frac { i } { \hbar } } \, \{ S [ \phi \, , \, \phi ^ { \ast } \, ] \, + \, J ^ { A } \, \phi ^ { A } \, \, \}
\rho ( R , z ) = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi G q ^ { 2 } } \frac { ( 2 q ^ { 2 } + 1 ) R _ { c } ^ { 2 } + R ^ { 2 } + ( 2 - q ^ { - 2 } ) z ^ { 2 } } { ( R _ { c } ^ { 2 } + R ^ { 2 } + z ^ { 2 } q ^ { - 2 } ) ^ { 2 } } ,
{ \bf M } _ { N } = \left[ \begin{array} { c c c c c } { { M ^ { \prime } } } & { { 0 } } & { { - \frac 1 2 g ^ { \prime } v _ { 1 } } } & { { \frac 1 2 g ^ { \prime } v _ { 2 } } } & { { - \frac 1 2 g ^ { \prime } v _ { 3 } } } \\ { { 0 } } & { { M } } & { { \frac 1 2 g v _ { 1 } } } & { { - \frac 1 2 g v _ { 2 } } } & { { \frac 1 2 g v _ { 3 } } } \\ { { - \frac 1 2 g ^ { \prime } v _ { 1 } } } & { { \frac 1 2 g v _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { - \mu } } & { { x 0 } } \\ { { \frac 1 2 g ^ { \prime } v _ { 2 } } } & { { - \frac 1 2 g v _ { 2 } } } & { { - \mu } } & { { 0 } } & { { \epsilon _ { 3 } } } \\ { { - \frac 1 2 g ^ { \prime } v _ { 3 } } } & { { \frac 1 2 g v _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { \epsilon _ { 3 } } } & { { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } G _ { 2 } \right] } & { = } & { 1 6 m ^ { 7 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \, \cos \theta \cdot u } \\ & { } & { - 4 m ^ { 7 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) ( \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } + 1 ) [ 1 + ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta \cdot u ^ { 2 } ] } \\ & { } & { + 4 m ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) [ d ^ { 2 } k ^ { 2 } - ( 2 k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( m ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } \nu ^ { 4 } ] \, \cos ^ { 2 } \theta \cdot u ^ { 2 } } \\ & { } & { - 4 m ^ { 7 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) ( \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } - 1 ) [ 1 + ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } ) ( \sin ^ { 2 } \theta - \cos ^ { 2 } \theta ) \cdot u ^ { 2 } ] } \\ & { } & { + 8 m ^ { 7 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \, \cos \theta \, [ 1 + \frac { 1 } { 2 } ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 2 ) \sin ^ { 2 } \theta \cdot u ^ { 2 } ] \, + \, { \cal O } ( u ^ { 3 } ) , } \end{array}
\langle \bar { O } _ { m , - m } ^ { J } O _ { 0 } ^ { J _ { 1 } } O _ { 0 } ^ { J _ { 2 } } \rangle _ { t o r u s } = Q _ { 1 } ^ { ' } + Q _ { 2 } ^ { ' } + Q _ { 3 } ^ { ' } = \frac { 1 } { 6 } ( R _ { 1 } ^ { ' } + R _ { 2 } ^ { ' } + R _ { 3 } ^ { ' } )
\begin{array} { r } { \gamma _ { \mathrm { S R S } } \approx \frac { 1 } { 4 } c k _ { e } ( \omega _ { e } / \omega _ { s } ) ^ { 1 / 2 } | \textbf { a } _ { i } ^ { \mathrm { i n } } | - \frac { 1 } { 2 } ( \gamma _ { e } + \gamma _ { s } ) , } \end{array}