harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { Q } _ { t } } & { = \mathbf { A } _ { t } ^ { \top } \mathbf { J } _ { t } \mathbf { A } _ { t } = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \mathbf { A } _ { t } ^ { \top } \boldsymbol { \Delta } _ { h , t } \mathbf { \Delta } _ { h , t } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t } } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \left[ \mathbf { A } _ { t - 1 } ^ { \top } , \mathbf { a } _ { t } \right] \left[ \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } ^ { \top } , \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \right] ^ { \top } { \left[ \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } ^ { \top } , \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \right] \left[ \mathbf { A } _ { t - 1 } ^ { \top } , \mathbf { a } _ { t } \right] ^ { \top } } } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \left( \mathbf { A } _ { t - 1 } ^ { \top } \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } + \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \mathbf { a } _ { t } \right) \left( \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t - 1 } + \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \mathbf { a } _ { t } ^ { \top } \right) } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \left( \mathbf { A } _ { t - 1 } ^ { \top } \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } \mathbf { \Delta } _ { h , t - 1 } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t - 1 } + \right. } \\ & { \left. \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \left( \mathbf { a } _ { t } \mathbf { \Delta } _ { h , t - 1 } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t - 1 } + \mathbf { A } _ { t - 1 } ^ { \top } \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } \mathbf { a } _ { t } ^ { \top } + \mathbf { a } _ { t } \mathbf { a } _ { t } ^ { \top } \right) \right) } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \left( \mathbf { M } _ { h , t - 1 } + \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \left( \mathbf { a } _ { t } \mathbf { m } _ { h , t - 1 } ^ { \top } + \mathbf { m } _ { h , t - 1 } \mathbf { a } _ { t } ^ { \top } + \mathbf { a } _ { t } \mathbf { a } _ { t } ^ { \top } \right) \right) } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \mathbf { M } _ { h , t } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { J } [ \mathbf { \Psi } ] } & { { } = } & { \int D \big [ x \hat { x } f \hat { f } h \hat { h } \big ] \left( \sum _ { \{ \mathbf { J } ( 0 ) \} } \cdots \sum _ { \{ \mathbf { J } ( T ) \} } e ^ { \mathcal { L } } \right) } \\ { \mathcal { L } } & { { } = } & { \mathcal { L } _ { 0 } + \mathcal { L } _ { J } \, , \qquad \mathcal { L } _ { 0 } = \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } L ( \tau ) } \\ { L ( \tau ) } & { { } = } & { i \sum _ { k } \int d t E _ { k } ( t , \tau ) + \sum _ { k \neq j } i \hat { h } _ { k j } ( \tau ) \big [ h _ { k j } ( \tau ) - \theta _ { k j } ( \tau ) \big ] - \sum _ { k \neq j } \ln \big ( 2 \mathrm { c o s h } \, [ \beta h _ { k j } ( \tau ) ] \big ) } \\ { \mathcal { L } _ { J } } & { { } = } & { \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \sum _ { k \neq j } J _ { k j } ( \tau + 1 ) \Big \{ \Psi _ { k j } ( \tau + 1 ) + \beta h _ { k j } ( \tau ) - i \int d t \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) x _ { j } ( t , \tau ) \Big \} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi \cdot V ^ { \prime } } & { { } = 0 , } \\ { p _ { \rho } V _ { 1 } + p _ { \theta } V _ { 5 } } & { { } = 0 , } \\ { \xi \cdot V ^ { \prime \prime } } & { { } = 0 , } \\ { \tau \mathcal { Q } _ { \lambda , \nu } ( q ; \xi ) V ^ { \prime } + \kappa V _ { 5 } \xi } & { { } = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \times ( \mathbf { a } \times \mathbf { c } ) } & { = ( \mathbf { a } \cdot ( \mathbf { b } \times \mathbf { c } ) ) \mathbf { a } } \\ { ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \cdot ( \mathbf { c } \times \mathbf { d } ) } & { = \mathbf { b } ^ { \mathrm { T } } \left( \left( \mathbf { c } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { a } \right) I - \mathbf { c } \mathbf { a } ^ { \mathrm { T } } \right) \mathbf { d } } \\ & { = ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { c } ) ( \mathbf { b } \cdot \mathbf { d } ) - ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { d } ) ( \mathbf { b } \cdot \mathbf { c } ) } \end{array} }
\mathbf { p } _ { R } = ( p _ { r } , p _ { \psi } , p _ { z } ) ^ { T } = ( \sin { \tilde { \theta } } \cos { \tilde { \phi } } , \sin { \tilde { \theta } \sin { \tilde { \phi } } } , \cos { \tilde { \theta } } ) ^ { T } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { X } \operatorname* { l i m } _ { H \rightarrow \infty } \frac { 1 } { H ^ { k } } \sum _ { \underline { { h } } \in [ H ] ^ { k } } c _ { \underline { { h } } } ( x ) d \mu ( x ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { H \rightarrow \infty } \frac { 1 } { H ^ { k } } \sum _ { \underline { { h } } \in [ H ] ^ { k } } \int _ { X } \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } } a _ { n + \underline { { h } } \cdot \underline { { \epsilon } } } ( x ) d \mu ( x ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { H \rightarrow \infty } \frac { 1 } { H ^ { k } } \sum _ { \underline { { h } } \in [ H ] ^ { k } } \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { X } \prod _ { j = 1 } ^ { d } T ^ { a _ { j } n } ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } } T ^ { a _ { j } ( \underline { { h } } \cdot \underline { { \epsilon } } ) } f _ { j } ) d \mu ( x ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { H \rightarrow \infty } \frac { 1 } { H ^ { k } } \sum _ { \underline { { h } } \in [ H ] ^ { k } } \int _ { X ^ { d } } ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } } T ^ { a _ { 1 } ( \underline { { h } } \cdot \underline { { \epsilon } } ) } f _ { 1 } ) \otimes \cdots \otimes ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k } } T ^ { a _ { d } ( \underline { { h } } \cdot \underline { { \epsilon } } ) } f _ { d } ) d \mu _ { d } ^ { \mathcal { A } } ( \textbf { x } ) . } \end{array}
C _ { 0 1 2 } = \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { [ k ^ { 2 } + i o ] [ D _ { 1 } - 2 ( p _ { 1 } \cdot k ) ] [ D _ { 2 } + 2 ( p _ { 2 } \cdot k ) ] } .
\mathcal { L } = \frac 1 2 \rho _ { 0 } ( \vec { \nabla } \dot { \psi } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 c _ { 0 } ^ { 2 } } \rho _ { 0 } \ddot { \psi } ^ { 2 } + \frac 2 3 \frac { \eta } { c _ { 0 } ^ { 2 } } \vec { \nabla } \dot { \psi } \cdot \vec { \nabla } \ddot { \psi } .
M _ { 0 c } ^ { a } M _ { 0 b } ^ { c } = ( M _ { 0 } ^ { 2 } ) _ { b } ^ { a } = \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } [ A _ { \mu } , A _ { \nu } ] \psi ^ { \mu } \psi ^ { \nu } + \overline { { { T } } } T } } & { { - i \sqrt { \alpha ^ { \prime } } ( \overline { { { T } } } A _ { \mu } ^ { \prime } - A _ { \mu } \overline { { { T } } } ) \psi ^ { \mu } } } \\ { { - i \sqrt { \alpha ^ { \prime } } ( T A _ { \mu } - A _ { \mu } ^ { \prime } T ) \psi ^ { \mu } } } & { { - \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } [ A _ { \mu } ^ { \prime } , A _ { \nu } ^ { \prime } ] \psi ^ { \mu } \psi ^ { \nu } + T \overline { { { T } } } } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r } { \mathbf { P } _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 3 } ) = \chi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 3 } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \mathbf { E } ( \omega _ { 1 } ) \mathbf { E } ( \omega _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D \perp } } & { = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } \times \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } ) = p _ { \mathbb { S } } ( \nu , 1 - \nu , \nu ) , } \\ { \hat { \mathbf { n } } ^ { D K \perp } } & { = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } \times \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } ) = p _ { \mathbb { S } } ( 1 , 2 \nu , 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } ( F _ { 0 } ) \leq \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \delta } { 8 C _ { q } \overbar { M } ^ { n } e ^ { C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t _ { * } } N ^ { 6 } ( \lambda ^ { - 2 } + N ^ { 3 } ) } , \left( \frac { \delta } { 8 C _ { q } \overbar { M } ^ { n } e ^ { C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t _ { * } } N ^ { \frac { 1 5 } { 2 } } ( \lambda ^ { - 2 } + N ^ { 3 } ) } \right) ^ { 2 } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { i } \left( \mathbf { x } + \mathbf { c } _ { i } \Delta t , t + \Delta t \right) = g _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - \frac { 1 } { \tau _ { g } } \left[ g _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - g _ { i } ^ { \mathrm { e q } } ( \mathbf { x } , t ) \right] + \Delta t \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \tau _ { g } } \right) G _ { i } ( \mathbf { x } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \langle \Delta { { \psi } _ { i } ^ { - k } } \Delta { \psi } _ { j } ^ { k } \rangle = } & { { } ( \bar { \lambda } _ { i } ^ { k } + \lambda _ { j } ^ { k } ) \langle \, \Delta \psi _ { i } ^ { - k } \Delta \psi _ { j } ^ { k } \, \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { A , x } S _ { B , y } } & { { } \mapsto } & { + S _ { A , x } S _ { B , y } , } \\ { S _ { A , x } S _ { B , z } } & { { } \mapsto } & { - S _ { A , x } S _ { B , z } , } \\ { S _ { A , y } S _ { B , z } } & { { } \mapsto } & { - S _ { A , y } S _ { B , z } . } \end{array}
\frac { d \Gamma } { d y } \propto \Theta ( 1 - y - \rho ) \left[ 2 + \frac { \lambda _ { 1 } } { ( m _ { Q } ( 1 - y ) ) ^ { 2 } } \left( \frac { \rho } { 1 - \rho } \right) ^ { 2 } \left\{ 3 - 4 \left( \frac { \rho } { 1 - \rho } \right) \right\} \right] ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { + } ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } } & { \geq | \nabla Q _ { k } ^ { + } ( x _ { k } ) | ^ { p } - | \nabla Q _ { k } ^ { - } ( x _ { k } ) | ^ { p } } \\ & { = \alpha _ { k } ^ { p } - \beta _ { k } ^ { p } + p \epsilon _ { k } \left( \alpha _ { k } ^ { p } s - \beta _ { k } ^ { p } t \right) + o ( \epsilon _ { k } ) } \\ & { = \lambda _ { + } ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } + p \epsilon _ { k } \left( \alpha _ { k } ^ { p } s - \beta _ { k } ^ { p } t \right) + o ( \epsilon _ { k } ) . } \end{array}
\delta ^ { ( 2 ) } S _ { \phi } = - \frac { 3 } { 8 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int \sqrt { - g _ { 0 } } \left( \frac { { \cal L } _ { \phi } } { 3 } h _ { a b } h ^ { a b } + ( \partial \delta \phi ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial \phi ^ { 2 } } \delta \phi ^ { 2 } + 2 h ^ { a b } \partial _ { a } \delta \phi \partial _ { b } \phi \right)
\begin{array} { r } { k _ { \perp + } ^ { 2 } \left[ - k _ { \parallel 0 } ^ { 2 } \delta \psi _ { + } + \frac { \omega _ { + } ^ { 2 } } { V _ { A } ^ { 2 } } \delta \phi _ { + } \right] = - i \frac { c } { B _ { 0 } } k _ { Z } k _ { \theta 0 } \left( k _ { Z } ^ { 2 } - k _ { \perp 0 } ^ { 2 } \right) \frac { \omega _ { 0 } } { V _ { A } ^ { 2 } } \delta \phi _ { 0 } \left( \delta \phi _ { Z } - \delta \psi _ { Z } \right) . } \end{array}
\chi _ { ( \psi ) , a i } = p _ { ( \psi ) , a i } + i g _ { i j } \bar { \psi } _ { a } ^ { j } , \quad \mathrm { a n d } \quad \chi _ { ( \bar { \psi } ) , i } ^ { a } = p _ { ( \bar { \psi } ) , i } ^ { a } + i g _ { i j } \psi ^ { a j } ,
\bigg \{ \sum _ { i } ( c \alpha _ { i } \mathbf { p } _ { i } + \beta _ { i } m c ^ { 2 } + V _ { i } ) + \sum _ { i < j } [ \beta _ { i } \beta _ { j } g _ { S , i j } + ( 1 - \alpha _ { i } \cdot \alpha _ { j } ) g _ { V , i j } ] \bigg \} \psi ( \mathbf { r } 1 , . . . , \mathbf { r } _ { N } ) = E \psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , . . . , \mathbf { r } _ { N } ) ,
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { ( 1 ) } } & { = \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { n } + \Delta t \mathcal { L } _ { i j } ( \overline { { \mathbf { U } } } ^ { n } ) , } \\ { \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { 3 } { 4 } \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { n } + \frac { 1 } { 4 } \left( \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { ( 1 ) } + \Delta t \mathcal { L } _ { i j } ( \overline { { \mathbf { U } } } ^ { ( 1 ) } ) \right) , } \\ { \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { n + 1 } } & { = \frac { 1 } { 3 } \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { n } + \frac { 2 } { 3 } \left( \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { ( 2 ) } + \Delta t \mathcal { L } _ { i j } ( \overline { { \mathbf { U } } } ^ { ( 2 ) } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { t } = } & { { } \left( \frac { 8 . 5 ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) } { 2 ( 7 . 5 + M _ { t } ^ { 2 } ) M _ { t } } \right) ^ { 2 } \cdot \frac { 8 m _ { i } } { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \cdot \frac { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } } \\ { n _ { t } = } & { { } \left( \frac { 8 ( 7 . 5 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } M _ { t } ^ { 2 } } { 8 . 5 ^ { 2 } ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right) \cdot \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 2 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 3 } } { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } } \\ { \Gamma _ { t } = } & { { } \left( \frac { 4 ( 7 . 5 + M _ { t } ^ { 2 } ) M _ { t } ^ { 2 } } { 8 . 5 ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) \cdot \frac { \gamma _ { 0 } } { 8 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } { q _ { \parallel , u } } } \end{array}
P ( k ) = \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \binom { d } { k _ { 1 } } ( 1 - p ) ^ { k _ { 1 } } p ^ { d - k _ { 1 } } \frac { \lambda ^ { k _ { 2 } } } { k _ { 2 } ! } e ^ { - \lambda } ,
v _ { c } ^ { 2 } \approx \frac { g \ell ^ { 2 } } { 8 } \left[ \alpha \left( \partial _ { r } T _ { \mathrm { a d } } - \partial _ { r } T \right) { \frac { \mathrm { P e } } { C + \mathrm { P e } } } - \beta \partial _ { r } X \right] \, .
\begin{array} { r l } { \phi _ { 0 } ( z ) } & { = 1 7 2 8 \frac { ( E _ { 2 } ( z ) E _ { 4 } ( z ) - E _ { 6 } ( z ) ) ^ { 2 } } { E _ { 4 } ( z ) ^ { 3 } - E _ { 6 } ( z ) ^ { 2 } } , } \\ { \psi _ { I } ( z ) } & { = 1 2 8 \left( \frac { \theta _ { 3 } ( z ) ^ { 4 } + \theta _ { 4 } ( z ) ^ { 4 } } { \theta _ { 2 } ( z ) ^ { 8 } } + \frac { \theta _ { 4 } ( z ) ^ { 4 } - \theta _ { 2 } ( z ) ^ { 4 } } { \theta _ { 3 } ( z ) ^ { 8 } } \right) , } \end{array}
\frac { c \hat { b } } { e B _ { \parallel } } \times \frac { e } { c } { v } _ { g y \parallel } \nabla \left< A _ { 1 \parallel } \right> \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { g y } F _ { e } = \frac { \hat { b } } { B _ { \parallel } } \times { v } _ { g y \parallel } \nabla _ { \perp } A _ { 1 \parallel } \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { \perp } \delta F _ { e } = 0 .
\boldsymbol { \mathcal { A } _ { \mu } } = \left( \mathcal { A } _ { \tau } , \boldsymbol { \mathcal { A } _ { r } } \right) = ( - i \rho _ { s } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \partial _ { \tau } \hat { \varsigma } - \rho _ { n } ( \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \partial _ { \tau } \hat { \varsigma } ) ^ { 2 } , - i \rho _ { s } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \partial _ { \boldsymbol { r } } \hat { \varsigma } - i \zeta \boldsymbol { \sigma } )
\mathbf { B } ( \mathbf { r } , \mathbf { t } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \left( { \frac { q c ( { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \times \mathbf { n } _ { s } ) } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) ^ { 3 } | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | ^ { 2 } } } + { \frac { q \mathbf { n } _ { s } \times { \Big ( } \mathbf { n } _ { s } \times { \big ( } ( \mathbf { n } _ { s } - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) \times { \dot { { \boldsymbol { \beta } } _ { s } } } { \big ) } { \Big ) } } { ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) ^ { 3 } | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | } } \right) _ { t = t _ { r } } = { \frac { \mathbf { n } _ { s } ( t _ { r } ) } { c } } \times \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \mathbf { t } )
\Phi ( \theta _ { \mathrm { m o d } } ) = \int _ { - \alpha / 2 } ^ { \alpha / 2 } \int _ { - \beta / 2 } ^ { \beta / 2 } I ( \theta _ { \mathrm { m o d } } ) A ^ { \prime } ( \theta , \phi ) \sin ( \theta ) \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \phi .
T ( r , t ) = \frac { p _ { 0 } } { \pi \kappa l } \Re { [ K _ { 0 } ( q r ) e ^ { i \omega t } ] } \approx \frac { p _ { 0 } } { \pi \kappa l } \Re \left[ \sqrt { \frac { \pi } { 2 q r } } e ^ { - q r } e ^ { i \omega t } \right]
\begin{array} { r l } { \| \nabla ( \psi + u ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { \leq 2 \| \nabla \psi \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { d } ) } ^ { 2 } + 2 \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { d } ) } ^ { 2 } , } \\ { \| | \psi + u | - 1 \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { \leq 2 \| | \psi | - 1 \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { d } ) } ^ { 2 } + 2 \| u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { d } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { x } \left( t + T \right) } & { = } & { \textbf { x } ( t ) + \int _ { t } ^ { t + T } \textbf { f } \left( \textbf { x } ( t ^ { \prime } ) \right) d t ^ { \prime } + \int _ { t } ^ { t + T } { \chi } ( t ^ { \prime } ) K \textsf { C } \cdot \mathbf { g } ( \textbf { x } ( t ^ { \prime } ) ) d t ^ { \prime } . } \end{array}
\langle \eta _ { 0 } ^ { X } , \mathbf { i } _ { T , 0 } \rangle = \langle \eta _ { 0 , \varepsilon } ^ { X } , \mathbf { i } _ { T , 0 } \rangle = \mathrm { e } ^ { - \gamma T } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \pi _ { n } ^ { X } \sum _ { s = 0 } ^ { n } \binom { n } { s } ( 1 - \varepsilon ) ^ { s } \varepsilon ^ { n - s } ( n - s ) = \mathrm { e } ^ { - \gamma T } \varepsilon n ^ { X } .
\begin{array} { r l } & { \partial _ { x _ { k } ^ { \prime } } f _ { L , H _ { 0 } } ( \beta , x ) = - \frac { \beta } { 2 } \, \operatorname { t r } \Big [ L \big \{ \Phi _ { H ( x ) + H _ { 0 } } ( \partial _ { x _ { k } ^ { \prime } } ( H ( x ) ) ) , \sigma ( \beta , x , H _ { 0 } ) \big \} \Big ] + } \\ & { \beta \operatorname { t r } ( \partial _ { x _ { k } ^ { \prime } } ( H ( x ) ) \sigma ( \beta , x , H _ { 0 } ) ) \, \operatorname { t r } ( L \sigma ( \beta , x , H _ { 0 } ) ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \operatorname* { d e t } \{ K ( x _ { i } , y _ { j } ) \} _ { i , j = 1 } ^ { n } = } } \\ & { } & { \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \ldots , k _ { n } } L ( x _ { 1 } , k _ { 1 } ) L ( x _ { 2 } , k _ { 2 } ) \cdots L ( x _ { n } , k _ { n } ) \operatorname* { d e t } \{ M ( k _ { i } , y _ { j } ) \} _ { i , j = 1 } ^ { n } ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { 1 5 0 \frac { \epsilon _ { k } \left( 1 - \epsilon _ { g } \right) \mu _ { g } } { \epsilon _ { g } \left( d _ { k } ^ { * } \right) ^ { 2 } } + 1 . 7 5 \frac { \epsilon _ { k } \rho _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } _ { k } | } { d _ { k } ^ { * } } , } & { 0 \le \epsilon _ { g } \le 0 . 8 , } \\ & { \frac { 5 } { 7 2 } C _ { d } \left( R e _ { s , k } ^ { * } \right) \frac { \epsilon _ { k } \epsilon _ { g } \rho _ { g } } { d _ { k } ^ { * } \left( 1 - \epsilon _ { g } \right) ^ { 0 . 2 9 3 } } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } _ { k } | , } & { 0 . 8 < \epsilon _ { g } \le 0 . 9 3 3 , } \\ & { \frac { 3 } { 4 } C _ { d } \left( R e _ { s , k } \right) \frac { \epsilon _ { k } \epsilon _ { g } \rho _ { g } } { d _ { k } } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } _ { k } | \epsilon _ { g } ^ { - 2 . 6 5 } , } & { 0 . 9 3 3 < \epsilon _ { g } \le 0 . 9 9 0 , } \\ & { \frac { 3 } { 4 } C _ { d } \left( R e _ { s , k } \right) \frac { \epsilon _ { k } \rho _ { g } } { d _ { k } } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } _ { k } | , } & { 0 . 9 9 0 < \epsilon _ { g } \le 1 . 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( x _ { \alpha } ) = E _ { 0 } \frac { w _ { 0 } } { w ( x _ { \alpha } ^ { \parallel } ) } \exp \left( \frac { - ( x _ { \alpha } ^ { \perp } ) ^ { 2 } } { w ( x _ { \alpha } ^ { \parallel } ) ^ { 2 } } \right) \exp \left( - i \left( k x _ { \alpha } ^ { \parallel } + k \frac { ( x _ { \alpha } ^ { \perp } ) ^ { 2 } } { 2 R ( x _ { \alpha } ^ { \parallel } ) } - \varphi ( x _ { \alpha } ^ { \parallel } ) \right) \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } G _ { n + 2 } ( t - t ^ { \prime } ) a _ { 1 } a _ { 3 } k _ { n } ^ { 2 } u _ { n } ^ { < } ( t ^ { \prime } ) \left\langle u _ { n + 1 } ^ { * > } ( t ) u _ { n + 1 } ^ { > } ( t ^ { \prime } ) \right\rangle } \\ & { = } & { a _ { 1 } a _ { 3 } k _ { n } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } G _ { n + 2 } ( t - t ^ { \prime } ) \bar { C } _ { n + 1 } ( t - t ^ { \prime } ) u _ { n } ^ { < } ( t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\eta _ { t } = \frac { - ( \epsilon - q ^ { 2 } ) ( e ^ { ( \delta ^ { + } - \delta ^ { - } ) ( T - t ) } - 1 ) - c ( \delta ^ { + } e ^ { ( \delta ^ { + } - \delta ^ { - } ) ( T - t ) } - \delta ^ { - } ) } { ( \delta ^ { - } e ^ { ( \delta ^ { + } - \delta ^ { - } ) ( T - t ) } - \delta ^ { + } ) - c ( e ^ { ( \delta ^ { + } - \delta ^ { - } ) ( T - t ) } - 1 ) } .
\begin{array} { r } { \lambda _ { 3 , 1 } ^ { U _ { 3 } U _ { 3 } U _ { 3 } } = \frac { 1 } { 4 } \sqrt { \rho } ( 3 ( 1 + i \sqrt { 3 } ) e ^ { i ( \eta + \gamma ) } ( \rho - 1 ) + 3 i ( i + \sqrt { 3 } ) e ^ { 2 i ( \eta + \gamma ) } ( \rho - 1 ) + 2 \rho - 2 e ^ { 3 i ( \eta + \gamma ) } \rho ) , } \end{array}
\mathbf { B } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \\ { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \end{array} \right) ,
c _ { \mathrm { b u l k } } ( \rho ) = { \frac { 8 } { \pi } } \left( \ln \sqrt { \frac { S } { \rho } } + \ln { \frac { 2 ^ { 5 / 2 } } { \pi } } + C _ { E } - { \frac { \pi } { 4 } } \right) - 4 \rho \left( { \frac { 2 \eta } { \vartheta _ { 2 } + \vartheta _ { 3 } + \vartheta _ { 4 } } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 6 } { \pi } } { \frac { \vartheta _ { 2 } \ln \vartheta _ { 2 } + \vartheta _ { 3 } \ln \vartheta _ { 3 } + \vartheta _ { 4 } \ln \vartheta _ { 4 } } { \vartheta _ { 2 } + \vartheta _ { 3 } + \vartheta _ { 4 } } }
{ \mathfrak { g } } \geq [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] \geq [ [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] , [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] ] \geq [ [ [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] , [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] ] , [ [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] , [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] ] ] \geq . . .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ M ~ R ~ E ~ } = \operatorname* { m a x } _ { i } \left\{ \frac { | k _ { i } ^ { + } ( \mathbf A ^ { * } ) - \langle k _ { i } ^ { + } \rangle | } { k _ { i } ^ { + } ( \mathbf A ^ { * } ) } , \: \frac { | k _ { i } ^ { - } ( \mathbf A ^ { * } ) - \langle k _ { i } ^ { - } \rangle | } { k _ { i } ^ { - } ( \mathbf A ^ { * } ) } \right\} } \end{array}
V _ { 1 } = { \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } \mathrm { S t r } { \cal M } ^ { 4 } \left( \ln { \frac { { \cal M } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } - { \frac { 3 } { 2 } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ^ { B _ { 0 } C _ { b } } \colon } & { ( \ldots , C _ { 2 d - b } , B _ { d - b } , C _ { d } , B _ { 0 } , C _ { b } , B _ { b - d } , \ldots ) } \\ { \mathcal { C } ^ { B _ { 0 } C _ { c } } \colon } & { ( \ldots , C _ { a } , A _ { a } , A _ { 0 } , B _ { 0 } , C _ { c } , A _ { c } , \ldots ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { m _ { 0 } } ( t ) d t : = } & { { } \; C _ { m _ { 0 } } \, \phi ( t ) \, d t , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ t ~ > ~ 0 ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { C _ { m _ { 0 } } = } & { { } \; K _ { 0 } \, e ^ { \alpha ( m _ { 0 } - m _ { t r } ) } , } \\ { \phi ( t ) = } & { { } \; \theta \, t _ { 0 } ^ { \theta } \, \frac { 1 } { t ^ { 1 + \theta } } H ( t - t _ { 0 } ) . } \end{array}