harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { z _ { i + 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l } { x _ { i + 1 } } \\ { u _ { i + 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { x _ { i + 1 } } \\ { K _ { i + 1 } x _ { i + 1 } + u _ { i + 1 } ^ { p r } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { I _ { n } } \\ { K _ { i + 1 } } \end{array} \right] ( A _ { i } x _ { i } + B _ { i } u _ { i } ^ { p r } ) + } \\ & { \qquad \left[ \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { 0 } \\ { K _ { i + 1 } } & { ( i + 1 ) ^ { - 1 / 4 } I _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { w _ { i } } \\ { v _ { i + 1 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\Psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } \lesssim \sqrt { N \eta } + N \eta ^ { 2 } \Big ( \big ( G _ { 1 } A _ { 1 } | G _ { 2 } | A _ { 1 } ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } \big ( G _ { 4 } ^ { * } A _ { 3 } ^ { * } | G _ { 3 } | A _ { 3 } G _ { 4 } \big ) _ { \boldsymbol { y } \boldsymbol { y } } \langle | G _ { 2 } | A _ { 2 } | G _ { 3 } | A _ { 2 } ^ { * } \rangle \Big ) ^ { 1 / 2 } \, ,
\begin{array} { r l r l } { R } & { } & { = } & { \frac { I _ { e m i t t e d } } { \pi A _ { s a m p l e } } } \\ & { } & { = } & { \frac { I _ { m e a s u r e d } } { \pi A _ { s a m p l e } } \cdot \frac { V _ { s a m p l e } } { V _ { c o n e } } \cdot \frac { 4 \pi } { \Omega _ { f i b e r } } } \\ & { } & { = } & { \frac { I _ { m e a s u r e d } \cdot L } { \Omega _ { f i b e r } \cdot V _ { c o n e } } \left[ \frac { W } { s r \cdot m ^ { 2 } } \right] } \end{array}
P _ { r h } ^ { - } = { \frac { g ^ { 2 } L } { 4 \pi ^ { 2 } } } \left[ \sum _ { N \neq 0 } { \frac { C _ { N } ^ { 3 } C _ { - N } ^ { 3 } } { N ^ { 2 } } } + \sum _ { N } \left[ { \frac { C _ { N } ^ { + } C _ { - N } ^ { - } } { ( Z _ { R } + N ) ^ { 2 } } } + { \frac { C _ { N } ^ { - } C _ { - N } ^ { + } } { ( Z _ { R } - N ) ^ { 2 } } } \right] + \Pi _ { R } ^ { 2 } \right]
\mathrm { \bf S } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { - \partial _ { y } v } & { \partial _ { y } u } \\ { \partial _ { y } u } & { \partial _ { y } v } \end{array} \right) \; \mathrm { ~ s ~ o ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \; 2 | \mathrm { \bf S } | = \sqrt { ( \partial _ { y } u ) ^ { 2 } + ( \partial _ { y } v ) ^ { 2 } } .
g _ { \mu \nu } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \left( 1 - { \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } \right) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \left( 1 - { \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - r ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \end{array} \right] } \, ,
\begin{array} { r l } & { b _ { h } ^ { k } ( s , a ) + r _ { h } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { \phi } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) ) - r _ { h } ( s , a ) - O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { \phi } ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) ) } \\ & { \overset { ( 1 ) } { \geq } b _ { h } ^ { k } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { \phi } ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) ) - O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { \phi } ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) ) } \\ & { \overset { ( 2 ) } { \geq } b _ { h } ^ { k } ( s , a ) - \vert u ( - H + h ) \vert \sqrt { \frac { 2 \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s , a ) \} } } } \\ & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( m + 1 ) } ( 0 , \tau ) } & { = \sqrt { 1 - 2 \alpha } E ^ { ( m ) } ( L , \tau ) e ^ { - i \delta _ { 0 } } } \\ & { + \sqrt { \theta _ { + } } E _ { \mathrm { i n , + } } e ^ { - i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i ( \omega _ { 0 } - \omega _ { + } ) m t _ { \mathrm { R } } } } \\ & { + \sqrt { \theta _ { - } } E _ { \mathrm { i n , - } } e ^ { i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i ( \omega _ { 0 } - \omega _ { - } ) m t _ { \mathrm { R } } } , } \end{array}
( - \log u ) _ { s \bar { t } } = \frac { 1 } { m + 1 } \bigl ( \log G \bigr ) _ { s \bar { t } } + \frac { 1 } { m + 1 } \bigl ( \log H \bigr ) _ { s \bar { t } } - \Bigl ( \frac { \phi ^ { \prime } } { \phi } X _ { s \bar { t } } + \bigl ( \frac { \phi ^ { \prime } } { \phi } \bigr ) ^ { \prime } X _ { s } X _ { \bar { t } } \Bigr ) \quad \mathrm { f o r ~ a n y ~ 1 \leq ~ s , ~ t ~ \leq ~ m ~ } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c c c } { \boxed { J _ { 1 } } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { J _ { 2 } } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { J _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c } { - J _ { 2 } } & { J _ { 1 } } & { 0 } \\ { - J _ { 3 } } & { 0 } & { J _ { 1 } } \end{array} . } \end{array}
{ \mathrm { ~ \boldmath ~ \tilde { ~ } { ~ u ~ } ~ } } ^ { ( 1 ) } ( \phi = \phi _ { 0 } + \pi ) = { \mathrm { ~ \boldmath ~ \tilde { ~ } { ~ u ~ } ~ } } ^ { ( 2 ) } ( \phi = \phi _ { 0 } ) = 0 .
H = \hbar \omega _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \dag } a _ { 1 } + \hbar \omega _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \dag } a _ { 2 } + g ( a _ { 1 } ^ { \dag } a _ { 2 } + a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { \dag } ) .
\begin{array} { r } { \frac { \dot { \alpha } _ { s } } { \alpha _ { s } } = - \frac { \kappa ^ { 2 } d _ { g } ^ { ( 2 ) } \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \exp { \left( - \frac { \Gamma t } { 2 } \right) } \bigg ( \Gamma \cos \left( \theta - t \omega _ { d } \right) + 2 \omega _ { d } \sin \left( \theta - t \omega _ { d } \right) \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { H } \! = \! J \sum _ { \langle i , j \rangle } \! \hat { \mathbf { S } } _ { i } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { j } \! + \! J _ { p } \sum _ { \langle i , j ^ { \prime } \rangle } \! \hat { \mathbf { S } } _ { i } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { j ^ { \prime } } \! + \! \frac { 1 } { 4 } J _ { c } \sum _ { \langle i , j , k , l \rangle } \! [ \left( \hat { \mathbf { S } } _ { i } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { j } \right) \! \left( \hat { \mathbf { S } } _ { k } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { l } \right) \! } \\ { + \! \left( \hat { \mathbf { S } } _ { i } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { l } \right) \! \left( \hat { \mathbf { S } } _ { k } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { j } \right) \! - \! \left( \hat { \mathbf { S } } _ { i } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { k } \right) \! \left( \hat { \mathbf { S } } _ { j } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { l } \right) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { \mathrm { D } ^ { s } \varepsilon ^ { b } } { \mathrm { D } t } - \nabla \cdot ( \frac { k ^ { \varepsilon } } { \mu ^ { l } } \mathbf { \nabla } p ^ { l } ) + ( 1 - \varepsilon ^ { b } ) \nabla \cdot \mathbf { v ^ { s } } = 0 } \end{array}
\int x ^ { m } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x = { \frac { ( m + n ( 2 p - 1 ) + 1 ) x ^ { m + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } } { ( m + 1 ) ( m + n + 1 ) } } \, + \, { \frac { n \, p \, x ^ { m + 1 } \left( 2 a + b \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p - 1 } } { ( m + 1 ) ( m + n + 1 ) } } \, + \, { \frac { 2 c \, p \, n ^ { 2 } ( 2 p - 1 ) } { ( m + 1 ) ( m + n + 1 ) } } \int x ^ { m + 2 n } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p - 1 } d x
\begin{array} { r l } { \mu _ { N - 1 } } & { = { \frac { \sin ( \varphi _ { 1 } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } } \lambda _ { 1 } + { \frac { \sin ( \varphi _ { 2 } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } } \lambda _ { 2 } + { \frac { \sin ( \varphi _ { 3 } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } } \lambda _ { 3 } + \sum _ { 4 \leq j \leq N - 2 } { \frac { \sin ( \varphi _ { j } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } } \lambda _ { j } = \lambda _ { N - 1 } \, . } \end{array}
{ \cal L } _ { F } = \sum _ { j } \, \bar { \psi } _ { j } ^ { L } i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \psi _ { j } ^ { L } \, + \, \sum _ { j , \sigma } \, \bar { \psi } _ { j \sigma } ^ { R } i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \psi _ { j \sigma } ^ { R }
\prod _ { i = 1 } ^ { L } \int d ^ { d } k _ { i } \frac { \partial } { \partial k _ { r \mu } } \left\{ \left( \sum _ { l } x _ { l } \overline { { { k } } } _ { l \mu } \right) \prod _ { j = 1 } ^ { N } P _ { \overline { { { k } } } _ { j } , m _ { j } } ^ { \nu _ { j } } \right\} \equiv 0 ,
\begin{array} { r l } { \dot { l } ^ { a } } & { = - \sum _ { a , a ^ { \prime } , c } W _ { a ^ { \prime } a } ^ { c } p \left( a ^ { \prime } , c \right) \mathrm { l n } \frac { p \left( a ^ { \prime } , c \right) } { p \left( a , c \right) } } \\ & { = \gamma _ { c } \sum _ { a } [ p \left( a , c _ { 2 } \right) - p \left( a , c _ { 1 } \right) ] \mathrm { l n } \frac { p \left( a , c _ { 2 } \right) } { p \left( a , c _ { 1 } \right) } . } \end{array}
R _ { \hat { \frac 1 2 } \otimes j } ( u ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { \sin ( u + ( \frac { 1 } { 2 } + \hat { H } ) \eta ) } } & { { \sin ( \eta ) \hat { F } } } \\ { { \sin ( \eta ) \hat { E } } } & { { \sin ( u + ( \frac { 1 } { 2 } - \hat { H } ) \eta ) } } \end{array} \right) ,
\mathcal { P } _ { ( \mu , \delta ) } : = \left\{ \mathbb { P } \, | \, \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } \left( D _ { i } \right) = \mu _ { i } , \, \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } \left| D _ { i } - \mu _ { i } \right| = \delta _ { i } , \, \operatorname { s u p p } \left( D _ { i } \right) \subseteq \left[ a _ { i } , b _ { i } \right] , \, \forall i \right\} .
\begin{array} { r l } { - \kappa _ { z } ^ { 2 } \frac { \eta _ { c } \mu ^ { \prime } T T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } } \overline { { u } } + \kappa _ { z } ^ { 2 } \frac { \mu T } { 3 } \frac { \partial \overline { { u } } } { \partial \overline { { x } } } - \kappa _ { z } ^ { 2 } \frac { \eta _ { c } \mu T } { 6 \overline { { x } } } \frac { \partial \overline { { u } } } { \partial \eta } + \kappa _ { z } ^ { 2 } \mu ^ { \prime } T ^ { \prime } \overline { { v } } + \kappa _ { z } ^ { 2 } \frac { \mu } { 3 } \frac { \partial \overline { { v } } } { \partial \eta } } & { } \\ { + \left( - \mathrm { i } + \frac { 4 } { 3 } \kappa _ { z } ^ { 2 } \mu T \right) \overline { { w } } + F ^ { \prime } \frac { \partial \overline { { w } } } { \partial \overline { { x } } } - \left( \frac { F } { 2 \overline { { x } } } + \frac { \mu ^ { \prime } T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T } - \frac { \mu T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T ^ { 2 } } \right) \frac { \partial \overline { { w } } } { \partial \eta } - \frac { \mu } { 2 \overline { { x } } T } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { w } } } { \partial \eta ^ { 2 } } } & { } \\ { - \kappa _ { z } ^ { 2 } T \overline { { p } } + \kappa _ { z } ^ { 2 } \frac { \mu ^ { \prime } T ^ { \prime } F } { 3 \overline { { x } } } \overline { { \tau } } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } e ( \mathbf x , t ) = - \frac { 1 } { \rho ( \mathbf x ) } \nabla \cdot \mathbf q ( \mathbf x , t ) + \int \displaylimits _ { V } \psi ( \mathbf x , \mathbf y , t ) \rho ( \mathbf y ) \textrm { d } V , } \end{array}
F \rightarrow F + \frac { \Gamma ( - 1 / 2 ) } { ( 4 \pi ) ^ { 3 / 2 } R } [ \int _ { B ^ { 3 } } ( \frac { \lambda } { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } d v + \frac { 2 } { 3 R } \int _ { S ^ { 2 } } ( \frac { \lambda } { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } d s ]
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ( X , Z ) ^ { 2 } \right] } } & { = \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 1 } ( X , Z ) ^ { 2 } R _ { 1 } ( X , Z ) \right] } + \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 2 } ( X , Z ) ^ { 2 } R _ { 2 } ( X , Z ) \right] } } \\ & { + \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 3 } ( X , Z ) ^ { 2 } R _ { 3 } ( X , Z ) \right] } + \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 4 } ( X , Z ) ^ { 2 } R _ { 4 } ( X , Z ) \right] } , } \end{array}
\left( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } \right) ^ { 2 } = \left( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } - 1 + e ^ { j \varphi } \right) ^ { 2 } .
{ \frac { \partial u } { \partial t } } + u { \frac { \partial u } { \partial x } } + v { \frac { \partial u } { \partial y } } + w { \frac { \partial u } { \partial z } } = - { \frac { \partial p } { \partial x } } { \frac { 1 } { \rho } } + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } } \right) + f _ { x } ,
\sigma _ { i } = \frac { \sqrt { \left[ \sum _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \left( x _ { i j } \: \omega _ { i j } \right) \right] ^ { 2 } + \left[ \sum _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \left( y _ { i j } \: \omega _ { i j } \right) \right] ^ { 2 } + \left[ \sum _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \left( z _ { i j } \: \omega _ { i j } \right) \right] ^ { 2 } } } { \sum _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \omega _ { i j } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { U } } & { \! = \! } & { \frac { \hbar \omega _ { c } } { 2 } \left( \hat { \boldsymbol { \pi } } \! + \! \sum _ { \boldsymbol { q } } \boldsymbol { e } _ { \boldsymbol { q } } \left[ c _ { \boldsymbol { q } } \left( \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } } \! + \! \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } } ^ { \dagger } \right) \! - \! q l _ { B } \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } } ^ { \dagger } \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } } \right] \right) ^ { 2 } \! \! + \! \hat { H } _ { \mathrm { p o l } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { \alpha } ^ { \textrm { c l } } \left( \tilde { \sigma } _ { k } \right) : = \frac { 1 } { \left( \tilde { \sigma } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \alpha } - \left( \tilde { \sigma } _ { k } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \alpha } } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { 2 } \alpha } & { = \cos a = { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { e } _ { x } } { \Vert \mathbf { v } \Vert } } } & & { = { \frac { v _ { x } } { \sqrt { v _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } + v _ { z } ^ { 2 } } } } , } \\ { \beta } & { = \cos b = { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { e } _ { y } } { \Vert \mathbf { v } \Vert } } } & & { = { \frac { v _ { y } } { \sqrt { v _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } + v _ { z } ^ { 2 } } } } , } \\ { \gamma } & { = \cos c = { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { e } _ { z } } { \Vert \mathbf { v } \Vert } } } & & { = { \frac { v _ { z } } { \sqrt { v _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } + v _ { z } ^ { 2 } } } } . } \end{array} }
\left[ \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } \left( \omega \mathcal { P } - c ^ { 2 } \right) + \mathcal { B } \omega } & { k _ { x } k _ { y } \mathcal { B } \omega } & { k _ { x } k _ { z } \mathcal { B } \omega } \\ { k _ { x } k _ { y } \mathcal { B } \omega } & { \omega ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } \left( \omega \mathcal { P } - c ^ { 2 } \right) + \mathcal { B } \omega } & { k _ { y } k _ { z } \mathcal { B } \omega } \\ { k _ { x } k _ { z } \mathcal { B } \omega } & { k _ { y } k _ { z } \mathcal { B } \omega } & { \omega ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } \left( \omega \mathcal { P } - c ^ { 2 } \right) + \mathcal { B } \omega } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { u } } \\ { \hat { v } } \\ { \hat { w } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]
\mathbb { E } \left[ \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } \right] _ { \mathrm { r e c i p r o c a l } } = S _ { \eta \eta } ( \omega ) d \omega \frac { 8 \rho ^ { 2 } g ^ { 2 } } { k ^ { 6 } } \left( \frac { k d \sinh ( k d ) + 1 - \cosh ( k d ) } { \cosh ( k d ) } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { ( J _ { 1 } ^ { ' 2 } ( k a ) + Y _ { 1 } ^ { ' 2 } ( k a ) ) } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right]
S _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { n } d u _ { i } d v _ { i } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \theta ( \omega _ { i + 1 } - \omega _ { i } ) \right) { \cal S } ( u _ { 1 } , v _ { 1 } ) \dots { \cal S } ( u _ { n } , v _ { n } )
{ \begin{array} { r l } { U ( x , z ) } & { \propto W { \frac { \sin { \frac { \pi W x } { \lambda z } } } { \frac { \pi W x } { \lambda z } } } } \\ & { \propto W \operatorname { s i n c } { \frac { \pi W x } { \lambda z } } } \\ & { \propto W \operatorname { s i n c } { \frac { \pi W \sin \theta } { \lambda } } } \\ & { \propto W \operatorname { s i n c } ( k W \sin \theta / 2 ) } \end{array} }
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \boldsymbol { \mathrm J } = i \kappa ^ { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { \eta } & { \frac { 1 } { 2 } \xi e ^ { - 2 i \tau s } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \xi e ^ { + 2 i \tau s } } & { \eta } \end{array} \right] \boldsymbol { \mathrm J } \, .
\begin{array} { r l } { w _ { \uparrow , \downarrow } ( \mathbf { p } ) = } & { \frac { 1 } { 3 } w ^ { p _ { 0 } } ( \mathbf { p } , I _ { p } ^ { P _ { \frac { 1 } { 2 } } } ) + \frac { 2 } { 3 } w ^ { p _ { 0 } } ( \mathbf { p } , I _ { p } ^ { P _ { \frac { 3 } { 2 } } } ) } \\ & { + w ^ { p _ { \pm } } ( \mathbf { p } , I _ { p } ^ { P _ { \frac { 3 } { 2 } } } ) + \frac { 2 } { 3 } w ^ { p _ { \mp } } ( \mathbf { p } , I _ { p } ^ { P _ { \frac { 1 } { 2 } } } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 3 } w ^ { p _ { \mp } } ( \mathbf { p } , I _ { p } ^ { P _ { \frac { 3 } { 2 } } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ( t ) - \mathbb { E } \{ X ^ { \eta } ( t ) \} - \mathbb { E } \{ X ^ { \xi } ( t ) \} \| ^ { 2 } \} } \\ & { = \mathbb { E } \{ \| X ( t ) \| ^ { 2 } \} - 2 \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } ( \mathbb { E } \{ X ^ { \eta } ( t ) \} + \mathbb { E } \{ X ^ { \xi } ( t ) \} ) } \\ & { + \| \mathbb { E } \{ X ^ { \eta } ( t ) \} + \mathbb { E } \{ X ^ { \xi } ( t ) \} \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \{ \| X ( t ) \| ^ { 2 } \} - \| \mathbb { E } \{ X ^ { \eta } ( t ) \} \| ^ { 2 } - \| \mathbb { E } \{ X ^ { \xi } ( t ) \} \| ^ { 2 } . } \end{array}
\left( \Sigma _ { s } ^ { 0 } \right) _ { \sigma } = - \frac { g ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } m _ { \psi } \left[ \ln \left( \frac { m _ { \psi } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) + Z \right]
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \eta } h ( s ; \eta ) = \mathbb { E } \left[ \frac { s } { 2 } \left( \left( 1 - \frac { \eta \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) ^ { \frac { s } { 2 } - 1 } \left( - \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { b } X + \frac { 2 \eta \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X ^ { 2 } + \frac { 2 \eta \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\{ \phi ( X ( t ) , Z ( t ) , t ) \right\} } & { \leq \dot { \beta } e ^ { \beta } D _ { f } \left( x ^ { * } , X \right) + e ^ { \alpha + \beta } \left\langle \nabla f ( X ) , x ^ { * } - Z \right\rangle } \\ & { \quad + \dot { \beta } e ^ { \beta } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { * } \right) \right) + e ^ { \beta } \left\langle \nabla f ( X ) , \dot { X } \right\rangle } \\ & { = \dot { \beta } e ^ { \beta } D _ { f } \left( x ^ { * } , X \right) + e ^ { \alpha + \beta } \left\langle \nabla f ( X ) , x ^ { * } - X \right\rangle + \dot { \beta } e ^ { \beta } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { * } \right) \right) } \\ & { = \left( e ^ { \alpha } - \dot { \beta } \right) e ^ { \beta } \left\langle \nabla f ( X ) , x ^ { * } - X \right\rangle } \\ & { \leq \left( e ^ { \alpha } - \dot { \beta } \right) e ^ { \beta } \left( f \left( x ^ { * } \right) - f ( X ) \right) } \\ & { \leq 0 , } \end{array}
m _ { a _ { 1 } , \tilde { s } \tilde { s } } ^ { 2 } - m _ { \varphi } ^ { 2 } \simeq \frac 3 2 \left[ m _ { \sigma , \tilde { s } \tilde { s } } ^ { 2 } - \left( 2 m _ { K } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } \right) \right] .
\mathbf { b } _ { i } = \left[ \begin{array} { c } { a _ { E } ( \mathbf { p } _ { 1 } , \boldsymbol { \varphi } _ { i } ) } \\ { \vdots } \\ { a _ { E } ( \mathbf { p } _ { n _ { k } } , \boldsymbol { \varphi } _ { i } ) } \end{array} \right] , \quad \mathbf { s } _ { i } = \left[ \begin{array} { c } { s _ { i , 1 } } \\ { \vdots } \\ { s _ { i , n _ { k } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 3 , 1 } ^ { \{ 1 \} } } & { = - \Omega _ { 3 , 2 } ^ { \{ 1 \} } , \ \Omega _ { 3 , 2 } ^ { \{ 1 \} } = \frac { c _ { 3 } ^ { \{ S \} \times 2 } } { c _ { 2 } ^ { \{ S \} } } , \ \Omega _ { 4 , 1 } ^ { \{ 1 \} } = - \Omega _ { 4 , 2 } ^ { \{ 1 \} } , \ \Omega _ { 4 , 2 } ^ { \{ 1 \} } = \frac { c _ { 4 } ^ { \{ S \} \times 2 } } { c _ { 2 } ^ { \{ S \} } } , } \\ { \Omega _ { 5 , 1 } ^ { \{ 1 \} } } & { = - ( \Omega _ { 5 , 3 } ^ { \{ 1 \} } + \Omega _ { 5 , 4 } ^ { \{ 1 \} } ) , \ \Omega _ { 5 , 3 } ^ { \{ 1 \} } = - \frac { c _ { 4 } ^ { \{ S \} } c _ { 5 } ^ { \{ S \} \times 2 } } { c _ { 3 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 3 } ^ { \{ S \} } - c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \Omega _ { 5 , 4 } ^ { \{ 1 \} } = \frac { c _ { 3 } ^ { \{ S \} } c _ { 5 } ^ { \{ S \} \times 2 } } { c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 3 } ^ { \{ S \} } - c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ) } } \\ { \Omega _ { 6 , 1 } ^ { \{ 1 \} } } & { = - ( \Omega _ { 6 , 3 } ^ { \{ 1 \} } + \Omega _ { 6 , 4 } ^ { \{ 1 \} } ) , \ \Omega _ { 6 , 3 } ^ { \{ 1 \} } = - \frac { c _ { 4 } ^ { \{ S \} } c _ { 6 } ^ { \{ S \} \times 2 } } { c _ { 3 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 3 } ^ { \{ S \} } - c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \Omega _ { 6 , 4 } ^ { \{ 1 \} } = \frac { c _ { 3 } ^ { \{ S \} } c _ { 6 } ^ { \{ S \} \times 2 } } { c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 3 } ^ { \{ S \} } - c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ) } } \\ { \Omega _ { 7 , 1 } ^ { \{ 1 \} } } & { = - ( \Omega _ { 7 , 5 } ^ { \{ 1 \} } + \Omega _ { 7 , 6 } ^ { \{ 1 \} } ) , \ \Omega _ { 7 , 5 } ^ { \{ 1 \} } = - \frac { c _ { 6 } ^ { \{ S \} } } { c _ { 5 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 5 } ^ { \{ S \} } - c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \Omega _ { 7 , 6 } ^ { \{ 1 \} } = \frac { c _ { 5 } ^ { \{ S \} } } { c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 5 } ^ { \{ S \} } - c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ) } } \end{array}
\gamma = R _ { 3 2 } R _ { 3 1 } R _ { 4 2 } R _ { 1 4 } ^ { - 1 } = \sum _ { ( R ^ { 1 } ) , \ldots ( R ^ { 4 } ) } \! \! \! \bigl ( R _ { ( 2 ) } ^ { 2 } S ( R _ { ( 1 ) } ^ { 4 } ) \otimes R _ { ( 2 ) } ^ { 1 } R _ { ( 2 ) } ^ { 3 } \bigr ) \otimes \bigl ( R _ { ( 1 ) } ^ { 1 } R _ { ( 1 ) } ^ { 2 } \otimes R _ { ( 1 ) } ^ { 3 } R _ { ( 2 ) } ^ { 4 } \bigr ) \in A _ { 0 , 1 } ( H ) ^ { \otimes 2 }
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } P ( x , y ) = \frac { ( F ^ { \prime } ( x ) ) ^ { 2 } - F ^ { \prime \prime } ( x ) ( F ( x ) - F ( y ) ) } { ( F ( x ) - F ( y ) ) ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } P ( x , y ) = \frac { ( F ^ { \prime } ( y ) ) ^ { 2 } - F ^ { \prime \prime } ( y ) ( F ( y ) - F ( x ) ) } { ( F ( x ) - F ( y ) ) ^ { 2 } } , } \\ { f r a c { \partial ^ { 2 } } { \partial x \partial y } P ( x , y ) = - \frac { F ^ { \prime } ( x ) F ^ { \prime } ( y ) } { ( F ( x ) - F ( y ) ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\xi _ { i } = \frac { \bar { c } _ { i } } { c _ { i } } \, \frac { p } { q } = \frac { \langle n \overline { { { P ^ { 0 } } } } | T | i \rangle } { \langle n P ^ { 0 } | T | i \rangle } \, \frac { p } { q }
P _ { l } ( y ) = \frac { 1 } { 2 ^ { l } } \sum _ { k = 0 } ^ { [ l / 2 ] } \frac { ( - 1 ) ^ { k } \; ( 2 l - 2 k ) ! } { k ! \; ( l - k ) ! \; ( l - 2 k ) ! } \; y ^ { l - 2 k } \; ,
r _ { 0 } = 2 \int _ { 0 } ^ { R } d r \, \left[ \left( 1 - \frac { r } { a } \right) ^ { 2 } - \left( 1 - \frac { R } { a } \right) ^ { 2 } \frac { \sin ^ { 2 } ( k _ { 0 } r ) } { \sin ^ { 2 } ( k _ { 0 } R ) } \right] .
M _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } , j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { w _ { i \pm 1 , j } ^ { 3 } } { \mu _ { i \pm 1 , j } ^ { \prime } } + \frac { w _ { i , j } ^ { 3 } } { \mu _ { i , j } ^ { \prime } } \right) .