harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { J ( \boldsymbol x ) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c c c } { r \, ( x g ^ { \prime } ( x ) + g ( x ) ) } & { - q _ { 1 } x } & { - q _ { 2 } x } & { \hdots } & { - q _ { n } x } \\ { - q _ { 1 } y _ { 1 } - q _ { 2 } y _ { 2 } } & & & & \\ { - \hdots - q _ { n } y _ { n } } & & & & \\ { c _ { 1 } q _ { 1 } y _ { 1 } } & { c _ { 1 } q _ { 1 } x - \mu _ { 1 } } & { - m _ { 1 2 } y _ { 1 } } & { \hdots } & { - m _ { 1 n } y _ { 1 } } \\ & { - 2 m _ { 1 1 } y _ { 1 } - m _ { 1 2 } y _ { 2 } } & & & \\ & { - \hdots - m _ { 1 n } y _ { n } } & & & \\ { c _ { 2 } q _ { 2 } y _ { 2 } } & { - m _ { 2 1 } y _ { 2 } } & { c _ { 2 } q _ { 2 } x - \mu _ { 2 } } & { \hdots } & { - m _ { 2 n } } \\ & & { - m _ { 2 1 } y _ { 1 } - 2 m _ { 2 2 } y _ { 2 } } & & \\ & & { - \hdots - m _ { 2 n } y _ { n } } & & \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { c _ { n } q _ { n } y _ { n } } & { - m _ { n 1 } y _ { n } } & { - m _ { n 2 } y _ { n } } & { \hdots } & { c _ { n } q _ { n } x - \mu _ { n } } \\ & & & & { - m _ { n 1 } y _ { 1 } - m _ { n 2 } y _ { 2 } } \\ & & & & { - \hdots - 2 m _ { n n } y _ { n } } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \cal { L } } _ { i j } ^ { B R } = \delta _ { i j } d _ { j } ^ { B R } - { \cal A } _ { i j } ^ { B R } , \; \; { \cal { L } } _ { i j } ^ { R B } = \delta _ { i j } d _ { j } ^ { R B } - { \cal A } _ { i j } ^ { R B } .
\rho ( \zeta ) \sim - \frac { E _ { 0 } } { 4 \pi \alpha } \left[ \left( \alpha ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } \right) e ^ { - \alpha \zeta } + k _ { p } ^ { 2 } ( \alpha \zeta - 1 ) \right] , \alpha \to \infty ,
\begin{array} { r l } & { \rho ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { h _ { 2 } - h _ { 1 } } { h _ { 1 } h _ { 2 } } \alpha - \frac { 1 - h _ { 1 } } { h _ { 1 } } \bigg ) } \\ & { \Delta ^ { * } = \frac { 1 } { h _ { 1 } - h _ { 2 } } \bigg ( 1 + \frac { \alpha ^ { 2 } h _ { 1 } ^ { 2 } + ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } - h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \alpha ( 1 - \alpha ) h _ { 1 } h _ { 2 } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \psi _ { m } } { \partial t } = \Bigg ( - \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 M } + U ( \vec { r } ) } & { - p m + q m ^ { 2 } + c _ { 0 } n \Bigg ) \psi _ { m } } \\ & { + c _ { 1 } \sum _ { m ^ { \prime } = - 1 } ^ { 1 } \vec { F } . \vec { f } _ { m m ^ { \prime } } \psi _ { m ^ { \prime } } , } \end{array}
C \left\| h _ { \lambda } \right\| _ { L ^ { \frac { n } { 2 s } } ( \Omega _ { \lambda } ^ { + } ) } \leq C \left\| h _ { \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 } } \right\| _ { L ^ { \frac { n } { 2 s } } ( \Omega _ { \lambda } ^ { + } ) } \leq \frac { 1 } { 2 } , \, \, \quad \, \forall \, \, \lambda \in [ \lambda _ { 0 } - \varepsilon _ { 3 } , \lambda _ { 0 } ] ,
\begin{array} { r l } { W _ { n } ^ { + } } & { { } = \sum _ { q } w _ { q } \chi _ { q } ( x _ { n - 1 } ) } \\ { V _ { n } } & { { } = v _ { n } - \sum _ { p } f _ { p } \chi _ { p } ( x _ { n - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \lambda _ { b } } \frac { \partial S _ { \mathrm { i c h ~ a } } } { \partial \lambda _ { b } } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { a } ^ { - 4 } \sum _ { p = 1 } ^ { N } \mu _ { p } \alpha _ { p } \left( ( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 2 } { \alpha _ { p } } ) \tilde { \lambda } _ { a } ^ { \alpha _ { p } } + ( \frac { 1 } { 9 } + \frac { 2 } { 3 \alpha _ { p } } ) \sum _ { c = 1 } ^ { 3 } \tilde { \lambda } _ { c } ^ { \alpha _ { p } } \right) } & { a = b , } \\ { \lambda _ { a } ^ { - 2 } \lambda _ { b } ^ { - 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { N } \mu _ { p } \alpha _ { p } \left( - \frac { 1 } { 3 } \tilde { \lambda } _ { b } ^ { \alpha _ { p } } - \frac { 1 } { 3 } \tilde { \lambda } _ { a } ^ { \alpha _ { p } } + \frac { 1 } { 9 } \sum _ { c = 1 } ^ { 3 } \tilde { \lambda } _ { c } ^ { \alpha _ { p } } \right) } & { a \neq b . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { \| } } & { { } = - \sigma \left( i k { \mu _ { \perp } } - i k A _ { t } ^ { \perp } - i \omega A _ { \| } \right) , } \\ { j _ { \perp } } & { { } = i \omega \sigma A _ { \perp } , } \\ { \ell j _ { \ell } ^ { \| } } & { { } = \Gamma \big ( n _ { \| } - \chi A _ { t } ^ { \| } + i \omega \chi \Phi _ { \| } \big ) - \ell \sigma _ { \ell } \left( i k \mu _ { \ell } - i k \ell \Phi _ { t } ^ { \perp } \right) , } \\ { \ell j _ { \ell } ^ { \perp } } & { { } = \Gamma \big ( n _ { \perp } - \chi A _ { t } ^ { \perp } + i \omega \chi \Phi _ { \perp } \big ) . } \end{array}
M ^ { 2 } ( \phi ) = m _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 0 } } { 6 } \left( \frac { \phi ^ { 2 } } { N } + F ( \phi ) \right) + \frac { \eta _ { 0 } } { 5 ! } \left( \frac { \phi ^ { 2 } } { N } + F ( \phi ) \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { A _ { n } } & { : = \left\{ \eta , \: \int p _ { \eta } ^ { n } ( x ) ^ { \alpha _ { n } } p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( x ) ^ { 1 - \alpha _ { n } } d \mu ( x ) \leq e ^ { - 4 n \alpha _ { n } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } \right\} } \\ & { = \left\{ \eta , \: - \frac { 1 } { n ( 1 - \alpha _ { n } ) } \log ( \int p _ { \eta } ^ { n } ( x ) ^ { \alpha _ { n } } p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( x ) ^ { 1 - \alpha _ { n } } d \mu ( x ) ) \geq 4 \frac { \alpha _ { n } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } { 1 - \alpha _ { n } } \right\} } \\ & { = \left\{ \eta , \: \frac { 1 } { n } D _ { \alpha _ { n } } ( p _ { \eta } ^ { n } , p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ) \geq 4 \frac { \alpha _ { n } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } { 1 - \alpha _ { n } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { N L } } & { = } & { \mathcal { B } \Bigg ( e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 8 } } + e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } ( R + x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 8 } } } \\ & { - } & { e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } ( R + x _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 8 } } - e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } ( R - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 8 } } \Bigg ) , } \end{array}
{ \frac { d P } { d \Omega } } \approx { \frac { 1 } { 2 k ^ { 2 } } } \left| \sum _ { l , m } ( - i ) ^ { l + 1 } \left[ a _ { E } ( l , m ) \mathbf { \Phi } _ { l , m } \times \mathbf { \hat { r } } + a _ { M } ( l , m ) \mathbf { \Phi } _ { l , m } \right] \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \tau } \int d ^ { 2 } { \bf R } \int _ { 0 } ^ { \tau } d t \, | \psi ( { \bf r } , t ) | ^ { 2 } = \pi | \psi _ { 0 } | ^ { 2 } R _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } , } \end{array}
\Gamma ( R ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( \rho ( r ) - \rho _ { v } ) r d r d \varphi - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { R } ( \rho _ { l } - \rho _ { v } ) r d r d \varphi ,
\begin{array} { r } { 0 = \oint _ { C _ { 0 } } \frac { d z } { \sqrt { ( z - a ) ( z - b ) } } = \oint _ { C _ { [ a b ] } } \frac { d z } { \sqrt { ( z - a ) ( z - b ) } } + \oint _ { C _ { \infty } } \frac { d z } { \sqrt { ( z - a ) ( z - b ) } } , } \end{array}
\delta _ { \alpha { \mathbf i } } { \cal R } ^ { \mu } = 1 6 i \left\{ \frac { 1 } { 1 9 2 } \left[ \frac { 3 } { 2 } J _ { \alpha { \mathbf i } } ^ { \mu } + \sigma _ { \alpha } ^ { \mu \nu \beta } J _ { \nu \beta { \mathbf i } } \right] - \frac { 3 } { 4 } ( 8 + a ) \partial ^ { \mu } D _ { \alpha { \mathbf i } } T | + \frac { 1 } { 2 } ( a - 2 4 ) \sigma _ { \alpha } ^ { \mu \nu \beta } \partial _ { \nu } D _ { \beta { \mathbf i } } T | \right\} .
\begin{array} { r l } & { \textrm { C r e s t p h a s e d i s p l a c e m e n t : \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } x ^ { \textnormal { L , c r e s t } } = \bigg [ \frac { \epsilon } { \pi } \mathcal { C } _ { \alpha } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } ( 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } ) \bigg ] \frac { 2 \pi } { k } , } \\ & { \textrm { T r o u g h p h a s e d i s p l a c e m e n t : \, \, \, } x ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } = \bigg [ \! - \frac { \epsilon } { \pi } \mathcal { C } _ { \alpha } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } ( 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } ) \bigg ] \frac { 2 \pi } { k } . } \end{array}
Z _ { k } ^ { \pm } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( X ^ { 2 k - 1 } \pm i X ^ { 2 k } ) , \quad \psi _ { k } ^ { \pm } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \chi ^ { 2 k - 1 } \pm i \chi ^ { 2 k } ) \quad ( k = 1 , 2 , 3 ) ,
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 5 } ^ { 2 } ( r , \theta ) \rangle } & { { } = \frac { k _ { B } T } { \gamma } \frac { 1 } { \pi } \Big [ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \frac { Z ^ { p } ( \ell _ { c } , 0 , \alpha ) } { 2 K _ { 0 , \alpha } } \psi _ { 0 , \alpha } ^ { 2 } ( r ) } \end{array}
\overline { { \overline { { B } } } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } = \sqrt { \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } ^ { 2 } + \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ^ { 2 } ( 1 + \frac { \omega _ { M } } { \omega _ { H } } ) } .
\cos { \frac { \pi } { 4 2 9 4 9 6 7 2 9 5 \times 2 ^ { 0 } } } = { \frac { \sqrt { 2 + 2 \cos ( { \frac { \pi } { 6 5 5 3 5 } } - { \frac { \pi } { 6 5 5 3 7 } } ) } } { 2 } }
i \frac { d } { d t } \langle \psi ^ { ( 0 ) } | \hat { x } ^ { m } \hat { p } ^ { n } | \psi ^ { ( 0 ) } \rangle = \langle \psi ^ { ( 0 ) } | \left[ \hat { x } ^ { m } \hat { p } ^ { n } , \frac { 1 } { 2 \mu } \hat { p } ^ { 2 } + V ( \hat { x } ) \right] | \psi ^ { ( 0 ) } \rangle = 0 .
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) } & { = } & { \textrm { T r } \left[ \boldsymbol { \tau } ( \vec { r } ) \right] = \textrm { T r } \left[ \boldsymbol { \tau } ( \vec { r } , \vec { r } ) \right] , } \\ { \vec { \tau } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) } & { = } & { \textrm { T r } \left[ \vec { \boldsymbol { \sigma } } \boldsymbol { \tau } ( \vec { r } ) \right] = \textrm { T r } \left[ \vec { \boldsymbol { \sigma } } \boldsymbol { \tau } ( \vec { r } , \vec { r } ) \right] , } \end{array}
z ( h , \theta _ { \mathrm { z e n } } ) = \sqrt { R _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } + R _ { \mathrm { G } } ^ { 2 } ( \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { z e n } } - 1 ) } - R _ { \mathrm { G } } \cos \theta _ { \mathrm { z e n } } ,
\partial _ { { t } } { \phi } = \frac { 1 } { 2 m } \left[ - \frac { \Gamma ^ { - 1 } } { 2 m } \partial _ { { x } } ^ { 4 } { \phi } + \alpha \partial _ { { x } } ^ { 2 } { \phi } - ( \partial _ { { x } } { \phi } ) ^ { 2 } \right] + \sqrt { \frac { D ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) } { n _ { 0 } } } { \xi _ { 1 } } ,
( \delta v _ { \mathrm { ~ L ~ } } ) ^ { 2 } = v _ { \mathrm { ~ L ~ } } ^ { 2 } - \frac { 2 G m _ { \rightmoon } } { R _ { \rightmoon } } \Big ( 1 - \frac { R _ { \rightmoon } } { r _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ H ~ } ~ } , { \rightmoon } } } \Big ) = v _ { \mathrm { ~ L ~ } } ^ { 2 } - 0 . 9 7 v _ { { \rightmoon } , \mathrm { ~ e ~ s ~ c ~ } } ^ { 2 }
- g ^ { 2 } m : u ( x ) \Phi ( x ) [ \partial _ { \mu } \phi ( x ) , \phi ( y ) ] A _ { \nu } ( y ) A ^ { \nu } ( y ) : = i g ^ { 2 } m : u ( x ) \Phi ( x ) A _ { \nu } ( y ) A ^ { \nu } ( y ) : \partial ^ { \mu } D _ { m _ { H } } ( x - y ) .
V = - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \left[ e ^ { \sqrt { 3 } y - \varphi } \left( J _ { \mu } + \chi K _ { \mu } \right) \left( J _ { \nu } + \chi K _ { \nu } \right) + e ^ { - 2 \varphi } K _ { \mu } K _ { \nu } \right] .
A _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \delta _ { i , j } } & { ~ \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ C _ { i , j } \geq k ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ d ( i , j ) \leq \eta } \\ { 0 } & { ~ \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { c } { \textbf { E } ^ { t } } \\ { - \sqrt { \varepsilon _ { 0 } } \textbf { E } ^ { t } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \hat { M } _ { 1 1 } } & { \hat { M } _ { 1 2 } } \\ { \hat { M } _ { 2 1 } } & { \hat { M } _ { 2 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \textbf { E } ^ { i n } + \textbf { E } ^ { r } } \\ { - \sqrt { \varepsilon _ { 0 } } \textbf { E } ^ { i n } + \sqrt { \varepsilon _ { 0 } } \textbf { E } ^ { r } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { A _ { 1 } } } { \mathrm { d } t } = } & { \hat { A _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \cdot } \\ & { \bigl [ \underbrace { \eta ^ { 2 } \cdot \bigl ( \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 1 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) } _ { \textbf { I n t e g r a l A } } } \\ & { + \underbrace { \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) \cdot e ^ { - i p _ { 1 } \eta } } _ { \textbf { I n t e g r a l B } } \bigr ) } \\ & { + \underbrace { \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) e ^ { - i p _ { 1 } ( 2 \eta + \chi ) } \cdot \eta ( \eta + u _ { 1 } ( \eta + \chi ) ) } _ { \textbf { I n t e g r a l C } } \bigr ] \cdot e ^ { - \hat { \nu } ( 2 \eta + \chi ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf e } _ { p } } & { = } & { \frac { k _ { x } k _ { z } } { k k _ { \perp } } \hat { \bf e } _ { x } + \frac { k _ { y } k _ { z } } { k k _ { \perp } } \hat { \bf e } _ { y } - \frac { k _ { \perp } } { k } \hat { \bf e } _ { z } , } \\ { \hat { \bf e } _ { s } } & { = } & { - \frac { k _ { y } } { k _ { \perp } } \hat { \bf e } _ { x } + \frac { k _ { x } } { k _ { \perp } } \hat { \bf e } _ { y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \ne j \in c } h _ { i , j } \mathcal { Y } _ { \tau } = } & { \prod _ { c ^ { \prime } \ne c } \mathcal { Q } _ { c ^ { \prime } } \sum _ { i \ne j \in c } ( i , j ) \sum _ { q \in S _ { c } } \mathrm { s g n } ( q ) q \prod _ { r \in \tau } \mathcal { P } _ { r } } \\ { = } & { - \prod _ { c ^ { \prime } \ne c } \mathcal { Q } _ { c ^ { \prime } } \sum _ { i \ne j \in c } \sum _ { q ^ { \prime } \in S _ { c } } \mathrm { s g n } ( q ^ { \prime } ) q ^ { \prime } \prod _ { r \in \tau } \mathcal { P } _ { r } } \\ { = } & { - \binom { l _ { c } } { 2 } \mathcal { Y } _ { \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { x } ^ { 2 } } & { { } = } & { \sigma _ { x } \cos ^ { 2 } \phi + \sigma _ { y } \sin ^ { 2 } \phi \cos \phi \sin \phi \left( \sigma _ { x } \sigma _ { y } + \sigma _ { y } \sigma _ { x } \right) } \\ { \alpha _ { x } \sigma _ { z } } & { { } = } & { \sigma _ { x } \sigma _ { z } \cos \phi \sigma _ { y } \sigma _ { z } \sin \phi = - \sigma _ { z } \left( \sigma _ { x } \cos \phi \sigma _ { y } \sin \phi \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i , j } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } } \equiv \frac { \Delta _ { + } } { \Delta _ { - } } \mathbf { U } _ { i , j } } \\ & { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i + 2 , j } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } } \equiv \frac { \Delta _ { - } } { \Delta _ { + } } \mathbf { U } _ { i + 1 , j } } \end{array} ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \hat { a } } { d t } } & { { } = } & { - i ( \tilde { \omega } _ { w } \hat { a } + g _ { d } \hat { b } + g \hat { c } ) } \\ { \frac { d \hat { b } } { d t } } & { { } = } & { - i ( \tilde { \omega } _ { d } \hat { b } + g _ { d } \hat { a } + g _ { c } \hat { c } ) } \\ { \frac { d \hat { c } } { d t } } & { { } = } & { - i ( \tilde { \omega } _ { c } \hat { c } + g \hat { a } + g _ { c } \hat { b } + i \sqrt { \kappa } A _ { p } e ^ { - i \omega _ { p } t } + i \sqrt { \kappa } A _ { d } e ^ { - i \omega _ { d } t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \nabla ^ { 2 } u ( \boldsymbol { x } ) } & { = f ( \boldsymbol { x } ) , } & { \boldsymbol { x } \in \Omega , } \\ { u ( \boldsymbol { x } ) } & { = \bar { u } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \boldsymbol { x } \in \Gamma _ { 1 } , } \\ { \frac { \partial u ( \boldsymbol { x } ) } { \partial \boldsymbol { n } } } & { = \bar { q } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \boldsymbol { x } \in \Gamma _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } } { r ^ { 3 } } ( - I _ { 1 3 } \hat { x } _ { 2 } \hat { x } _ { 3 } + I _ { 2 3 } \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 3 } ) \right\rangle _ { M , \varpi } = } & { } & \\ { \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } ^ { 2 } R ^ { 5 } } { 3 2 i a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \sum _ { k } 2 K ( \omega - k n ) \Big [ \left( ( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + \cos \theta ) ^ { 2 } + ( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } ) ^ { 2 } ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 } \right) + 4 ( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } ) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \Big ] } \end{array}
{ \bf E } _ { \mathrm { r o t } } ( \mathrm { t ) = \mathcal { E } _ { \mathrm { r o t } } ( \hat { x } c o s ( \ o m e g a _ { \mathrm { r o t } } t ) + \tilde { \cal R } \hat { y } s i n ( \ o m e g a _ { \mathrm { r o t } } t ) ) , }
\tau _ { 0 } = \frac 1 2 \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , \quad \tau _ { 1 } = - \frac 1 2 \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , \quad \tau _ { 2 } = \frac 1 2 \left( \begin{array} { c c } { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \,
\begin{array} { r } { G _ { \nu } ^ { \mu } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { g ( r ) } { r ^ { 2 } } + \frac { g ^ { \prime } ( r ) } { r } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { g ( r ) } { r ^ { 2 } } + \frac { g ^ { \prime } ( r ) } { r } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { g ^ { \prime } ( r ) } { r } + \frac { g ^ { \prime \prime } ( r ) } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { g ^ { \prime } ( r ) } { r } + \frac { g ^ { \prime \prime } ( r ) } { 2 } } \end{array} \right] = \kappa T _ { \nu } ^ { \mu } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \arctan ( x ) = } \\ & { \enspace \quad \mathrm { s g n } ( x ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } \right) ^ { n / 2 } \left[ - \mathrm { s g n } ( x ) ^ { n - 1 } \frac { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { n / 2 } } { 2 i } \left( \frac { 1 } { ( x + i ) ^ { n } } - \frac { 1 } { ( x - i ) ^ { n } } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bar { \Theta } _ { k } } } & { { = { \sum } _ { | I | = k } \prod _ { i \in I } e ^ { 2 \pi i \tilde { z } _ { i } } { \prod _ { j \in { \bar { I } } } } { \frac { 1 } { | a _ { i j } | } } = { \sum } _ { | I | = k } \prod _ { i \in I } e ^ { 2 \pi i \tilde { z } _ { i } } \left( { \prod _ { j \in { \bar { I } } } } { \frac { 1 } { | a _ { i j } | } } { \prod _ { j \in I \setminus \{ i \} } } { \frac { 1 } { | a _ { i j } | } } { \prod _ { j \in I \setminus \{ i \} } } | a _ { i j } | \right) } } \\ { { } } & { { = { \sum } _ { | I | = k } \prod _ { i \in I } \left( e ^ { Z _ { i } } { \prod _ { j \in I \setminus \{ i \} } } | a _ { i j } | \right) = { \sum } _ { | I | = k } \prod _ { i \in I } e ^ { Z _ { i } } { \prod _ { i \ne j \in I } } | a _ { i j } | = { \sum } _ { | I | = k } \prod _ { i \in I } e ^ { Z _ { i } } { \prod _ { i < j ; \ i , j \in I } } a _ { i j } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { G } ( Y _ { 2 } ) } & { = C _ { C _ { G } ( z ) } ( Y _ { 2 } ) = 2 ^ { 3 } \times F _ { 4 } ( K ) , } \\ { C _ { G } ( Y _ { 3 } ) } & { = C _ { C _ { G } ( z ) } ( Y _ { 3 } ) = 2 ^ { 3 } \times \mathrm { P S p } _ { 8 } ( K ) , } \\ { C _ { G } ( Y _ { 4 } ) } & { = C _ { C _ { G } ( z ) } ( Y _ { 4 } ) = 2 ^ { 3 } \times \mathrm { P } \Omega _ { 8 } ^ { + } ( K ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 2 } { 1 - \nu } \partial _ { x } ^ { 2 } v _ { e } + \frac { 2 \nu } { 1 - \nu } \partial _ { x y } ^ { 2 } v _ { n } + \partial _ { y } ^ { 2 } v _ { e } + \partial _ { x y } ^ { 2 } v _ { n } } & { { } = - f _ { e } \delta ( x - x _ { 0 } ) \delta ( y - y _ { 0 } ) } & { } \\ { \partial _ { x y } ^ { 2 } v _ { e } + \partial _ { x } ^ { 2 } v _ { n } + \frac { 2 \nu } { 1 - \nu } \partial _ { x y } ^ { 2 } v _ { e } + \frac { 2 } { 1 - \nu } \partial _ { y } ^ { 2 } v _ { n } } & { { } = - f _ { n } \delta ( x - x _ { 0 } ) \delta ( y - y _ { 0 } ) } & { } \end{array}
{ \frac { m } { r _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } } } - { \frac { M } { r ^ { 2 } } } \left( 1 + 2 { \frac { r _ { \mathrm { H } } } { r } } \right) + { \frac { M } { r ^ { 2 } } } \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { H } } } { r } } \right) = { \frac { m } { r _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } } } - { \frac { M } { r ^ { 2 } } } \left( 3 { \frac { r _ { \mathrm { H } } } { r } } \right) \approx 0 .
\begin{array} { r l } { \left\langle \partial _ { j } \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \partial _ { j } \overline { { u } } _ { k } ^ { \ell } \overline { { S } } _ { k i } ^ { \ell } \right\rangle = } & { { } \left\langle \partial _ { j } \left[ \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \partial _ { j } \overline { { u } } _ { k } ^ { \ell } \overline { { S } } _ { k i } ^ { \ell } \right] \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \eta ( \xi , \mu ) } ^ { \xi } \frac { d z } { \sqrt { 2 ( G ( \eta ( \xi , \mu ) ; \mu ) - G ( z ; \mu ) ) } } } \\ & { \quad = \int _ { \eta ( \xi , \mu ) } ^ { \alpha ( \mu ) } \frac { d z } { \sqrt { 2 ( G ( { \eta ( \xi , \mu ) } ; \mu ) - G ( z ; \mu ) ) } } } \\ & { \qquad + \int _ { \alpha ( \mu ) } ^ { \xi } \frac { d z } { \sqrt { 2 ( G ( { \eta ( \xi , \mu ) } ; \mu ) - G ( z ; \mu ) ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \psi ^ { ( t h ) } ( t , z ) | = \sqrt { 2 } \eta ( z ) \left[ ( 1 - \eta ( z ) ^ { 2 } / \eta _ { m } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \cosh ( 2 x ) + 1 \right] ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { { } \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 7 } k _ { 1 } } k _ { 2 } n I _ { 0 } \csc ( k _ { 2 } ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ) J _ { 1 } ( k _ { 1 } r ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) } { \pi l \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { 0 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ( \cos ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) - \sin ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) ) } , } \\ { E _ { z } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { { } \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 9 } k _ { 1 } } k _ { 2 } n I _ { 0 } \csc ( k _ { 2 } ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ) J _ { 1 } ( k _ { 1 } r ) } { \pi l ( \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { 3 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } ( \sin ( 2 k _ { 1 } r _ { 1 } ) - 1 ) } \Big [ k _ { 3 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) ( \cos ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) - \sin ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { x = \Phi ( y ) = \left( \begin{array} { l } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } - h ( y _ { 1 } ) } \end{array} \right) , \qquad y = \Psi ( x ) = \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 1 } + h ( x _ { 1 } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { l _ { n } ( a _ { 0 } \otimes x _ { 0 } , \bar { a } _ { 1 } \epsilon \otimes x _ { 1 } , . . . , \bar { a } _ { n - 1 } \epsilon \otimes x _ { n - 1 } ) } \\ { = } & { \sum _ { \sigma \in S _ { n - 1 } } m _ { n } ( a _ { 0 } , \bar { a } _ { \sigma ( 1 ) } \epsilon , . . . , \bar { a } _ { \sigma ( n - 1 ) } \epsilon ) [ . . . [ [ x _ { 0 } , x _ { \sigma ( 1 ) } ] , x _ { \sigma ( 2 ) } ] , . . . , x _ { \sigma ( n - 1 ) } ] , } \end{array}
{ \cal F } ^ { ( 4 ) } ( \vec { X } ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } { \cal F } _ { k , n } ( | \phi | , \omega ) \exp \left( i k \left( \sigma + n \theta + \frac { \theta \omega } { 2 \pi } \right) \right)
c _ { f } \equiv \frac { 2 ( 3 / 4 ) ^ { 1 / 8 } } { \pi ^ { 3 / 2 } } \Gamma ( 3 / 8 ) \Gamma ( 9 / 8 ) \left( c _ { 1 } k \right) ^ { - 1 / 4 } \simeq 0 . 7 7 3 5 \left( c _ { 1 } k \right) ^ { - 1 / 4 } .
{ \cal M } _ { \mathrm { B o r n } } ^ { \mu \nu } = F \left( q ^ { 2 } \right) \left[ \frac { ( 2 p _ { i } + q ) ^ { \mu } ( 2 p _ { f } + q ^ { \prime } ) ^ { \nu } } { s _ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } + \frac { ( 2 p _ { f } - q ) ^ { \mu } ( 2 p _ { i } - q ^ { \prime } ) ^ { \nu } } { u _ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } - 2 g ^ { \mu \nu } \right] ,