harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Delta R _ { \mathrm { n o i s e } } ( t ) } & { = \Delta R _ { 0 , \mathrm { n o i s e } } + \left( \sum _ { n } \tilde { \gamma } _ { n } ( t ) \right) } \\ { \Delta R _ { 0 , \mathrm { n o i s e } } } & { \sim \mathcal { N } \left( \mu = 0 , \sigma = 0 . 1 \right) } \\ { \tilde { \gamma } _ { n } ( t ) } & { = \frac { 1 } { 1 + e ^ { - 4 / \tilde { l } _ { n } \cdot ( t - \tilde { d } _ { n } ) } } \cdot \Delta \tilde { \gamma } _ { n } } \\ { \Delta \tilde { \gamma } _ { n } } & { \sim \mathcal { N } \left( 0 , \sigma _ { \Delta \tilde { \gamma } } \right) } \\ { \sigma _ { \Delta \tilde { \gamma } } } & { \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } \left( 0 . 2 \right) } \\ { \tilde { l } _ { n } } & { = \log \left( 1 + \exp ( \tilde { l } _ { n } ^ { \dagger } ) \right) } \\ { \tilde { l } _ { n } ^ { \dagger } } & { \sim \mathcal { N } \left( 4 , 1 \right) \quad \forall n \quad \mathrm { ( u n i t ~ i s ~ d a y s ) } } \\ { \tilde { d } _ { n } } & { = 2 7 ^ { \mathrm { t h } } \mathrm { ~ M a y ~ 2 0 2 1 } + 1 0 \cdot n + \Delta \tilde { d } _ { n } \quad \mathrm { f o r ~ } n = { 0 , \dots , 9 } } \\ { \Delta \tilde { d } _ { n } } & { \sim \mathcal { N } \left( 0 , 3 . 5 \right) \quad \forall n \quad \mathrm { ( u n i t ~ i s ~ d a y s ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma ( - n , z ) = { \frac { 1 } { n ! } } \left( { \frac { e ^ { - z } } { z ^ { n } } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { k } ( n - k - 1 ) ! \, z ^ { k } + ( - 1 ) ^ { n } \Gamma ( 0 , z ) \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { i j } ^ { * } ( t ) } & { = } & { e ^ { \tilde { \pi } _ { i j } ( t ) } [ ( \widehat { \alpha } _ { i } ( t ) - \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) ) ^ { 2 } + ( \widehat { \beta } _ { j } ( t ) - \beta _ { j } ^ { * } ( t ) ) ^ { 2 } + 2 ( \widehat { \alpha } _ { i } ( t ) - \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) ) ( \widehat { \beta } _ { j } ( t ) - \beta _ { j } ^ { * } ( t ) ) ] } \\ & { } & { + 2 e ^ { \tilde { \pi } _ { i j } ( t ) } Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } ( \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ( t ) ) ( \widehat { \alpha } _ { i } ( t ) - \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) + \widehat { \beta } _ { j } ( t ) - \beta _ { j } ^ { * } ( t ) ) } \\ & { } & { + e ^ { \tilde { \pi } _ { i j } ( t ) } ( \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ( t ) ) ^ { \top } Z _ { i j } ( t ) Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } ( \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) ) . } \end{array}
\gamma _ { j } ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \left( { ^ { Q Q } \! { \gamma } _ { j } ^ { \mathrm { D } ( 0 ) } } + { ^ { G G } \! { \gamma } _ { j } ^ { \mathrm { D } ( 0 ) } } \pm \sqrt { \left( { ^ { Q Q } \! { \gamma } _ { j } ^ { \mathrm { D } ( 0 ) } } - { ^ { G G } \! { \gamma } _ { j } ^ { \mathrm { D } ( 0 ) } } \right) ^ { 2 } + 4 { ^ { G Q } \! { \gamma } _ { j } ^ { \mathrm { D } ( 0 ) } } { ^ { Q G } \! { \gamma } _ { j } ^ { \mathrm { D } ( 0 ) } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 3 } \int _ { - 2 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 4 x + 4 y + 4 z d V } & { { } = \int _ { - 2 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 1 2 y + 1 2 z + 1 8 d y d z } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { 0 } > \mathrm { t a n h } ( a _ { 0 } ) } \\ { \Leftrightarrow a _ { 0 } > 0 } \\ { \leftrightarrow 0 < a k _ { 0 } \cos \theta < 1 } \\ { \Leftrightarrow a k _ { 0 } < 1 } \\ { \Leftrightarrow v : = a \omega _ { 0 } < c } \end{array}
V ( \phi , \eta _ { e v } ) = V _ { 0 } - \mu ^ { 2 } \phi \eta _ { e v } - \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } \eta _ { e v } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } \phi ^ { 3 } \eta _ { e v } + \frac { 3 } { 2 } \lambda ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \eta _ { e v } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { R ^ { ( 1 , \pm ) } = } & { \, \frac { \alpha \, m ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { \prime } } \sum _ { n \geq n _ { 0 } ^ { \pm } } ^ { \infty } \int _ { 1 } ^ { u _ { \tilde { n } ^ { \pm } } } \! \! \! \frac { d u } { u \sqrt { u ( u - 1 ) } } \Bigg [ \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \tilde { z } ^ { \pm \, 2 } J _ { n } ^ { 2 } + \tilde { z } _ { \alpha } ^ { 2 } J _ { n \mp \sigma } ^ { 2 } - 2 \tilde { z } ^ { \pm } \tilde { z } _ { \alpha } J _ { n } J _ { n \mp \sigma } \bigg ) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } \bigg ( \xi ^ { 2 } \Big [ \tilde { z } ^ { \pm \, 2 } \big ( J _ { n + 1 } ^ { 2 } + J _ { n - 1 } ^ { 2 } - 2 J _ { n } ^ { 2 } \big ) + \tilde { z } _ { \alpha } ^ { 2 } \big ( J _ { n } ^ { 2 } + J _ { n \mp 2 \sigma } ^ { 2 } - 2 J _ { n \mp \sigma } ^ { 2 } \big ) - 2 \tilde { z } ^ { \pm } \tilde { z } _ { \alpha } \big ( J _ { n \pm \sigma } J _ { n } + J _ { n \mp \sigma } J _ { n \mp 2 \sigma } - 2 J _ { n } J _ { n \mp \sigma } \big ) \Big ] } \\ & { - 4 \xi \tilde { \xi } \Big [ \tilde { z } ^ { \pm } J _ { n } \big ( J _ { n + \sigma } - J _ { n - \sigma } \big ) \mp \tilde { z } _ { \alpha } \big ( J _ { n } ^ { 2 } - J _ { n \mp \sigma } ^ { 2 } \big ) \Big ] + 4 \tilde { \xi } ^ { \, 2 } J _ { n } ^ { 2 } \bigg ) ( 2 u - 1 ) \Bigg ] } \end{array}
\gamma ^ { 3 } = i \left( \begin{array} { c c } { { 0 \; } } & { { I } } \\ { { I \; } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \, \, \gamma ^ { 5 } = i \left( \begin{array} { c c } { { 0 \; } } & { { I } } \\ { { - I \; } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\varphi ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 9 6 } } \, \left\{ ( - 3 9 - 5 4 \cos 2 \varphi + 4 2 \cos 2 \theta ) \sin \varphi + ( 5 0 \cos 2 \theta - 1 ) \sin 3 \varphi \right\} .
\frac { \ddot { a } } { a } = - \left( \frac { 4 \pi G } { 3 } \left( 4 P \left( 1 - 2 \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) + \rho \left( 1 - 4 \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) \right) - \frac { \Lambda } { 3 } \right)
R _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { \quad 1 2 } = R _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } = \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { 1 } { 4 } r ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } = R _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } = R _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 1 } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } _ { p } ^ { \mathrm { b a l } } ( { \mathbb { V } ^ { \dagger } } ) / \mathscr { F } _ { p } ^ { 3 } ( { \mathbb { V } ^ { \dagger } } ) \simeq \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , - } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) } & { \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) } \\ & { \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } ^ { \mathbf { c } } \Psi _ { W } ^ { \mathbf { c } - 1 } \bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { G ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } = \ln \biggl ( \frac { 2 W } { \pi \xi } \cos \frac { \pi X } { W } \biggr ) } \\ & { } & { \mp \frac { B } { B _ { \phi } } \biggl ( 1 - 4 \frac { X ^ { 2 } } { W ^ { 2 } } \biggr ) \mp \frac { I } { I _ { 0 } } \biggl [ \frac { X } { W } \pm \frac { \mathrm { s g n } ( I ) } { 2 } \biggr ] } \end{array}
\langle n \rangle = { \mathrm { T r } } \{ \rho a ^ { \dagger } a \} = { \frac { 1 } { Z } } { \mathrm { T r } } \{ D ^ { \dagger } ( \alpha ) a ^ { \dagger } D ( { \alpha } ) D ^ { \dagger } ( \alpha ) a D ( \alpha ) e ^ { - \beta \hbar \omega a ^ { \dagger } a } \} = { \frac { 1 } { Z } } { \mathrm { T r } } \{ ( a ^ { \dagger } + \alpha ^ { * } ) ( a + \alpha ) e ^ { - \beta \hbar \omega a ^ { \dagger } a } \} =
\begin{array} { r l r } { x ( \phi ^ { ' } ) } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi ^ { ' } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi = \sqrt { \frac { 2 B } { P _ { 0 } } [ \sin \phi ^ { ' } - \sin \phi _ { 0 } ] } , } \\ { y ( \phi ^ { ' } ) } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi ^ { ' } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X _ { k , i } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } } & { = } & { \alpha _ { i } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } + ( Y _ { k } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } , \widetilde X _ { k , - i } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } ) \gamma _ { i } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } + \eta _ { k , i } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } , \quad ( k = 1 , \dots , n _ { 1 } ) } \\ { X _ { k , i } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } } & { = } & { \alpha _ { i } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } + ( Y _ { k } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } , \widetilde X _ { k , - i } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } ) \gamma _ { i } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } + \eta _ { k , i } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } , \quad ( k = 1 , \dots , n _ { 2 } ) } \end{array}
{ \cal W } _ { 0 } = \frac { 1 } { N } \exp \left[ - g ^ { 2 } \frac { { \cal A } ( A - { \cal A } ) } { 4 A } \right] \, L _ { N - 1 } ^ { 1 } ( g ^ { 2 } \frac { { \cal A } ( A - { \cal A } ) } { 2 A } ) .
\begin{array} { r l } { g ( \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) } & { : = \mathrm { R e s } [ g _ { 1 } ( E _ { i } , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) , g _ { 2 } ( E _ { i } , \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) , E _ { i } ] } \\ & { = ( - 3 6 \tilde { \Delta } + 3 6 \tilde { \gamma } ^ { 2 } \tilde { \Delta } + 4 \tilde { \Delta } ^ { 3 } + 2 7 \tilde { \Omega } ^ { 2 } + 9 \tilde { \Delta } \tilde { \Omega } ^ { 2 } ) ^ { 6 } / 6 4 = 0 , } \end{array}
y ^ { 2 } \left( 1 - \epsilon \right) ^ { 2 } { \frac { d ^ { 2 } u _ { k } } { d y ^ { 2 } } } + 2 y \epsilon \left( \epsilon - \eta \right) { \frac { d u _ { k } } { d y } } + \left[ y ^ { 2 } - F \left( \epsilon , \eta , \xi \right) \right] u _ { k } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( A _ { i } ^ { - } > t ) \mathrm { d } t } & { = \int _ { 0 } ^ { T } { \mathbb { P } } ( A _ { i } ^ { - } > t ) \mathrm { d } t + \int _ { T } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( A _ { i } ^ { - } > t ) \mathrm { d } t } \\ & { \geq \int _ { 0 } ^ { T } \left( e ^ { - \varepsilon } { \mathbb { P } } ( { A _ { i } ^ { \prime } } ^ { - } > t ) - \delta \right) \mathrm { d } t + \int _ { T } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( A _ { i } ^ { - } > t ) \mathrm { d } t } \\ & { \geq \int _ { 0 } ^ { T } { \mathbb { P } } ( { A _ { i } ^ { \prime } } ^ { - } > t ) \mathrm { d } t - 2 \varepsilon \int _ { 0 } ^ { T } { \mathbb { P } } ( { A _ { i } ^ { \prime } } ^ { - } > t ) - \delta T + \int _ { T } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( A _ { i } ^ { - } > t ) \mathrm { d } t } \\ & { \geq \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( { A _ { i } ^ { \prime } } ^ { - } > t ) \mathrm { d } t - 2 \varepsilon \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( { A _ { i } ^ { \prime } } ^ { - } > t ) - \delta T . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { k } ) - \nabla { \mathcal L } _ { n } ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) , { \boldsymbol { \beta } } ^ { k } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \rangle \geq \frac { 2 \alpha } { 3 } \| { \boldsymbol { \beta } } ^ { k } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \omega _ { \gamma } ^ { D } - \omega _ { \gamma } ^ { S } } { \omega _ { \gamma } ^ { D } } } & { { } = \frac { h _ { + } } { 2 } \Bigg \{ \cos \varphi _ { 0 } - \omega _ { g } L \sin ( \omega _ { g } L + \varphi _ { 0 } ) } \end{array}
| \mathsf { R } _ { F } ( t ) - \mathsf { R } _ { G } ( t ) | \leq 2 \pi \varepsilon ( \| F ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , 1 ) } + \| G ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , 1 ) } ) t ,
\begin{array} { r l } { \xi _ { \textnormal { s m a l l } , 0 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) + \xi _ { \textnormal { s m a l l } , \geq 1 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) + \xi _ { \geq 1 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) } & { = 0 , } \\ { \xi _ { \textnormal { s m a l l } , 0 } ^ { 3 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) + \xi _ { \textnormal { s m a l l } , \geq 1 } ^ { 3 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) + \xi _ { \geq 1 } ^ { 3 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S = V _ { \mathrm { r } } ( B , t ) - V _ { \mathrm { l , r } } - ( V _ { \mathrm { n } } - V _ { \mathrm { l , n } } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { { } } \\ { = G \bigl [ \frac { N _ { \mathrm { r } } ( B , t ) } { t _ { \mathrm { r } } } - \frac { N _ { \mathrm { l , r } } } { t _ { \mathrm { r } } } - \frac { N _ { \mathrm { n } } } { t _ { \mathrm { n } } } + \frac { N _ { \mathrm { l , n } } } { t _ { \mathrm { n } } } \bigr ] . } \end{array}
\Gamma _ { M _ { 1 } \cdots M _ { p } } \equiv \frac { 1 } { p ! } \left( \Gamma _ { M _ { 1 } } \Gamma _ { M _ { 2 } } \cdots \Gamma _ { M _ { p } } - \Gamma _ { M _ { 2 } } \Gamma _ { M _ { 1 } } \cdots \Gamma _ { M _ { p } } + \cdots \right)
\mathrm { { C o n s t } } = \int _ { r } ^ { \infty } { \frac { d s } { \sqrt { s ^ { 4 } + a ^ { 4 } } } } + \int _ { 0 } ^ { r } { \frac { d s } { \sqrt { s ^ { 4 } + a ^ { 4 } } } } = \frac { 1 } { a } \mathrm { K } ( \frac { 1 } { 2 } )
\begin{array} { l l } { { A _ { E ( n ) } : \quad } } & { { \frac { 1 } { ( 1 - x ) ^ { 4 } } ( 2 - 9 x + 1 8 x ^ { 2 } - 1 8 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 3 } \log x ) } } \\ { { A _ { E ( c ) } : \quad } } & { { \frac { 1 } { ( 1 - x ) ^ { 4 } } ( 1 6 - 4 5 x + 3 6 x ^ { 2 } - 7 x ^ { 3 } + 6 ( 2 - 3 x ) \log x ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { V } _ { n , ( i ) } \equiv \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } \mathcal { S } _ { n } ( i , i ) \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } \mathrm { ~ \ a n d ~ \ } \mathcal { V } _ { ( i ) } \equiv \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } \mathcal { S } ( i , i ) \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } } \\ & { } & { \sigma _ { n , ( i ) } ^ { 2 } ( \lambda ) \equiv \lambda ^ { \prime } \mathcal { V } _ { n , ( i ) } \lambda \mathrm { ~ \ a n d ~ } \sigma _ { i } ^ { 2 } ( \lambda ) \equiv \lambda ^ { \prime } \mathcal { V } _ { ( i ) } \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { + } ( \lambda ) - G _ { - } ( \lambda ) } & { = \frac { 1 } { | \lambda + 1 | ^ { 2 / 3 } } \mathbf { u } ^ { 2 } ( k ) \big ( \Delta _ { 3 } ( k ) ( \overline { { \mathcal { B } v _ { 8 } ( \bar { k } ) ^ { - 1 } } } ) ^ { T } - v _ { 8 } ( k ) \mathcal { B } \Delta _ { 2 } ( 1 / k ) \big ) \overline { { \mathbf { u } ^ { 2 } ( k ) } } ^ { T } } \\ & { = \frac { 1 } { | \lambda + 1 | ^ { 2 / 3 } } \mathbf { u } ^ { 2 } ( k ) Q _ { 1 } ( k ) \overline { { \mathbf { u } ^ { 2 } ( k ) } } ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \rho c ) _ { \textrm { e f f } } = \varepsilon \rho _ { b } c _ { b } + ( 1 - \varepsilon ) \rho _ { t } c _ { t } , \quad \lambda _ { \textrm { e f f } } = \varepsilon \lambda _ { b } + ( 1 - \varepsilon ) \lambda _ { t } , \quad \alpha _ { \textrm { e f f } } = \frac { \lambda _ { \textrm { e f f } } } { ( \rho c ) _ { \textrm { e f f } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } m _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \dot { m } _ { \mathrm { O 2 , k i n } } = \dot { m } _ { \mathrm { O 2 , d i f f } } , } \\ { \dot { m } _ { \mathrm { O 2 , k i n } } } & { { } = Y _ { \mathrm { O 2 } , s } A _ { p } k _ { \infty } \, \mathrm { e x p } \left( - \frac { T _ { a } } { T _ { p } } \right) , } \\ { \dot { m } _ { \mathrm { O 2 , d i f f } } } & { { } = \varrho _ { f } \, A _ { p } \frac { \mathrm { S h } \, D _ { \mathrm { O 2 } , f } } { d _ { p } } \mathrm { l n } \left( 1 + B _ { m } \right) , } \\ { B _ { m } } & { { } = B _ { t } = \frac { Y _ { \mathrm { O 2 } , s } - Y _ { \mathrm { O 2 } , g } } { 1 - Y _ { \mathrm { O 2 } , s } } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { m _ { Q } v ^ { + } + i D ^ { + } } } = { \frac { 1 } { v ^ { + } } } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Big ( { \frac { 1 } { m _ { Q } } } \Big ) ^ { n } \Big ( - i { \frac { D ^ { + } } { v ^ { + } } } \Big ) ^ { n - 1 } .
\begin{array} { r } { p _ { f } = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 } & { , } & { \epsilon _ { s } \le \epsilon _ { s , c r i t } , } \\ & { 0 . 1 \epsilon _ { s } \frac { \left( \epsilon _ { s } - \epsilon _ { s , c r i t } \right) ^ { 2 } } { \left( \epsilon _ { s , m a x } - \epsilon _ { s } \right) ^ { 5 } } } & { , } & { \epsilon _ { s } > \epsilon _ { s , c r i t } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \nu } & { = \sum _ { \overline { { \mu } } , \overline { { \nu } } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left\langle \frac { f _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) ( \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ( \theta ) - \omega _ { \alpha \beta } ) \tau } { 4 \pi T [ 1 + ( \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ( \theta ) - \omega _ { \alpha \beta } ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ] } \right\rangle d \cos ( \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( U _ { h } \circ f _ { h } ) ( e ^ { i \varphi } ) = \int _ { \mathbb { D } } | f _ { h } ^ { \prime } ( y ) | ^ { 2 } \, \ln | f _ { h } ( e ^ { i \varphi } ) - f _ { h } ( y ) | \, d y = \int _ { \mathbb { D } } | f _ { h } ^ { \prime } ( e ^ { i \varphi } y ) | ^ { 2 } \, \ln | f _ { h } ( e ^ { i \varphi } ) - f _ { h } ( e ^ { i \varphi } y ) | \, d y . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 3 } } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { - 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { F } _ { ( \xi , \eta ) \rightarrow ( x , y ) } ^ { - 1 } } & { \big [ \underbrace { \frac { i \nabla _ { \eta } \Phi _ { + , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } { | \nabla _ { \eta } \Phi _ { + , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) | ^ { 2 } } \otimes \circ \cdots \circ \otimes \frac { i \nabla _ { \eta } \Phi _ { + , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } { | \nabla _ { \eta } \Phi _ { + , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) | ^ { 2 } } } _ { \mathrm { ~ n ~ - t i m e s ~ } } \varphi _ { l ; - m / 2 + \delta m } ( l _ { \mu , \nu } ( \xi , \eta ) ) \big ( i \nabla _ { \xi } \Phi _ { + , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) \big ) ^ { \gamma _ { 1 } } } \\ & { \times \psi _ { k _ { 1 } } ( \xi - \eta ) \psi _ { k _ { 2 } } ( \eta ) \psi _ { k } ( \xi ) q _ { + , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) \big ] \| _ { L _ { x , y } ^ { 1 } } \lesssim 2 ^ { - ( 6 + \delta ) l - ( n - 1 ) l + | \gamma _ { 1 } | l / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \! \! \begin{array} { c } { a _ { m } ^ { + } } \\ { a _ { m } ^ { - } } \end{array} \! \! \right) } & { { } = \sum _ { q } T _ { m q } \left( \! \! \begin{array} { c } { c _ { q } ^ { + } } \\ { c _ { q } ^ { - } } \end{array} \! \! \right) } \end{array}
S _ { f e r m i o n } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } ~ \{ g ^ { \mu \nu } ~ \partial _ { \nu } Y ^ { M } ~ E _ { ~ M } ^ { A } ~ \{ \overline { { { \psi } } } ~ i \Gamma _ { A } D _ { \mu } \psi + . . . \} .
\nu ^ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ } } = \sqrt { \operatorname* { d e t } \mathbf { V } _ { A | y } ^ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ } } } = \sqrt { \mu ^ { 2 } - \frac { \mu \tau ( \mu ^ { 2 } - 1 ) } { b } } .
< \{ 1 + i ( k + \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha A ( p ) e ^ { i \alpha p X ( z ) } ) X ( z ) + \frac { i ^ { 2 } } { 2 ! } [ ( k + \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha A ( p ) e ^ { i \alpha p X ( z ) } ) X ( z ) ] ^ { 2 } \}
\int _ { S } u _ { i } ^ { ( \alpha ) } \tau _ { i j } ^ { N , ( \chi ) } n _ { j } d S + \int _ { V } u _ { i } ^ { ( \alpha ) } b _ { i } ^ { ( \chi ) } d V = \int _ { S } u _ { i } ^ { ( \chi ) } \tau _ { i j } ^ { N , ( \alpha ) } n _ { j } d S + \int _ { V } u _ { i } ^ { ( \chi ) } b _ { i } ^ { ( \alpha ) } d V
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle } { d t } } & { = } & { [ i \Delta - \frac { \Gamma } { 2 } ] \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle + i \frac { \Omega } { 2 } ( 2 \langle \hat { e } \rangle - 1 ) } \\ { \frac { d \langle \hat { e } \rangle } { d t } } & { = } & { - \Gamma \langle \hat { e } \rangle + i \frac { \Omega ^ { * } } { 2 } \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle - i \frac { \Omega } { 2 } \langle \hat { \sigma } ^ { + } \rangle } \end{array}
{ } _ { x _ { \mu } ^ { \prime } } \langle 0 _ { B } , 0 _ { F } | \exp \{ - i H T \} | 0 _ { B } , 0 _ { F } \rangle _ { x _ { \mu } } = e ^ { i \Gamma ( x _ { \mu } ^ { \prime } , x _ { \mu } , \theta ^ { 3 } ) }
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 } { K } \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \frac { 2 } { K } \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { K - 1 } { 2 } } \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - j \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + j \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \right) } \\ & { \leq \left( \frac { 1 } { K } + \frac { 2 } { K } \frac { K - 1 } { 2 } \right) \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - \frac { K + 1 } { 2 } \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + \frac { K + 1 } { 2 } \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \right) } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - \frac { K + 1 } { 2 } \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + \frac { K + 1 } { 2 } \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] , } \end{array}
\mathcal G _ { P R } ^ { w } \equiv \mathcal G _ { P R } ( \Psi ^ { w } ) = \frac { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \hat { a } _ { P } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } | \Psi ^ { w } \rangle } { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi ^ { w } \rangle }
\left. \frac { d \sigma _ { e \gamma \to e \, \pi \pi } } { d Q ^ { 2 } \, d W ^ { 2 } \, d ( \cos \theta ) \, d \varphi } \right| _ { I } = - 2 e _ { l } \, \frac { \alpha ^ { 3 } } { 1 6 \pi } \, \frac { \beta } { s _ { e \gamma } ^ { 2 } } \, \frac { \sqrt { 2 } \beta } { \sqrt { W ^ { 2 } Q ^ { 2 } \epsilon ( 1 - \epsilon ) } } \, \Big ( C _ { 0 } + C _ { 1 } \, \cos \varphi + C _ { 2 } \cos 2 \varphi + C _ { 3 } \cos 3 \varphi \Big )
A _ { 0 1 } , A _ { 0 2 } , A _ { 0 3 } , A _ { 1 1 } , A _ { 1 2 } , A _ { 1 3 } , A _ { 2 1 } , A _ { 2 2 } , A _ { 2 3 } , B _ { 1 1 } , B _ { 1 2 } , B _ { 1 3 } , B _ { 2 1 } , B _ { 2 2 } , B _ { 2 3 } , C _ { t } \& C _ { R }
\begin{array} { r } { \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { ( \omega \, k \, \ell \, m ) } ( t , q , x , y , z ) = Y _ { \ell m } ( x , y , z ) \ \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( \mathrm { i } \omega t + \mathrm { i } k q ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { T } ^ { d } } \left\{ \left| \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( x ) \right| \right\} } & { \geq \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \left| \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( x ) \right| d x } \\ & { \geq \left\vert \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \Phi ( N , n ) e ^ { 2 \pi i n m \cdot \alpha } \right\vert \vert \widehat { f } ( m ) \vert . } \end{array}
g \left( q ^ { i } , p _ { i } , z ^ { a } , \overline { { { p } } } _ { a } \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac 1 { k ! \lambda ^ { k } } \left[ C _ { a _ { 1 } } ^ { 0 } , \left[ C _ { a _ { 2 } } ^ { 0 } , \ldots , \left[ C _ { a _ { k } } ^ { 0 } , \tilde { H } \right] \ldots \right] \right] z ^ { a _ { 1 } } \ldots z ^ { a _ { k } } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } n _ { ( S , I , R ) } ^ { X } } & { { } = - \left( \lambda _ { X } S I + \frac { \tau _ { n } ^ { X } } { m _ { n } ^ { X } } S + \gamma I \right) n _ { ( S , I , R ) } ^ { X } } \end{array}
L _ { \alpha } = \prod _ { i = 1 } ^ { k } p _ { a _ { i } } ( t ) = p _ { 0 } ^ { k } \prod _ { a _ { r } \neq 0 } \frac { a _ { r } ^ { - 1 } } { \mathrm { B } ( a _ { r } , \alpha _ { r } ) } \left( 1 + \frac { 1 } { \beta } \right) ^ { - a _ { r } } ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { u } ^ { t + 1 } } & { = } & { \mathbf { u } ^ { t } + \alpha \mathbf { A } \mathbf { u } ^ { t + 1 } } \\ { \left( \mathbb { I } - \alpha \mathbf { A } \right) \mathbf { u } ^ { t + 1 } } & { = } & { \mathbf { u } ^ { t } } \\ { \left[ \mathbb { I } - \alpha \mathbf { D } - \alpha ( \mathbf { L } + \mathbf { U } ) \right] \mathbf { u } ^ { t + 1 } } & { = } & { \mathbf { u } ^ { t } } \end{array}