harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { m } & { = } & { ( 8 0 K _ { 2 } ( K _ { 2 } ( r _ { 1 } - 2 r _ { 2 } ) + 3 r _ { 2 } ) ) ^ { - 1 } ( ( r _ { 1 } ^ { 4 } K _ { 2 } ^ { 4 } ( 4 - 4 5 c _ { 1 } ) ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } K _ { 2 } ^ { 2 } ( 4 5 c _ { 1 } ( 4 1 - 8 8 K _ { 2 } + 9 6 K _ { 2 } ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + 3 2 K _ { 2 } ( 1 + 8 K _ { 2 } ) - 1 2 4 ) + r _ { 2 } ^ { 4 } ( 3 1 - 8 K _ { 2 } ( 1 + 8 K _ { 2 } ) ) ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } ( - 9 6 K _ { 2 } ^ { 2 } + 8 8 K _ { 2 } - 4 1 ) } \\ & { } & { + 8 r _ { 1 } r _ { 2 } K _ { 2 } ( 2 K _ { 2 } - 3 ) - r _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 2 } ^ { 2 } ( 4 + 4 5 c _ { 1 } ) ) . } \end{array}
V _ { e } = { \frac { \lambda ^ { 2 } } { R } } \Delta ( 0 , \pi R ) ( ( \phi _ { 2 } ^ { * } + \bar { \phi } _ { 2 } ) T ^ { a } ( \phi _ { 2 } + \bar { \phi } _ { 2 } ^ { * } ) ) ( ( \phi _ { 1 } ^ { * } + \bar { \phi } _ { 1 } ) T ^ { a } ( \phi _ { 1 } + \bar { \phi } _ { 1 } ^ { * } ) )
\begin{array} { r } { p ^ { \mathrm { ~ s ~ e ~ l ~ } } \bigl [ y ^ { \prime } | X ( \tau ) \bigr ] = \frac { \exp \bigl \{ - \beta [ U _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ a ~ s ~ } } ( r ( y ^ { \prime } ) ) ] \bigr \} } { \sum _ { i = 0 } ^ { \tau / \Delta t } \exp \bigl \{ - \beta [ U _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ a ~ s ~ } } ( r ( x _ { i \Delta t } ) ) ] \bigr \} } } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \phi _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { * } ( \vec { r } ) } = \int _ { \Omega } \left[ \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial A ( \vec { r } ^ { \prime } , \vec { k } ^ { \prime } ) } \exp { \left( j \vec { k } ^ { \prime } ( \vec { r } ^ { \prime } - \vec { r } ) \right) } \right] ^ { * } \mathrm { d } s ( \vec { r } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r } { E _ { i } } & { { } \approx } & { \frac { 3 \pi L \, k T _ { i } } { 2 \rho _ { p } ^ { 2 } } \, \left( n _ { p } + n _ { B } + n _ { D } + n _ { T } \right) \, \left( \rho _ { p } R \right) ^ { 2 } \, , } \\ { E _ { f } } & { { } \approx } & { \frac { \pi L \, \epsilon _ { f } ^ { D T } } { m _ { p } \, \rho _ { p } } \, \frac { \left( \rho _ { p } R \right) ^ { 3 } } { H _ { D T } \left( k T _ { i } , u ^ { s } \right) + \rho _ { p } R } } \end{array}
\Gamma ^ { \mathrm { c d } } \left( \xi \right) = \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { N / 2 } \alpha _ { m } ^ { * } \alpha _ { n } \psi _ { \mathrm { c d } } \left( \mathrm { H } _ { 2 m } \right) \psi _ { \mathrm { d c } } \left( \mathrm { H } _ { 2 n } \right)
{ \begin{array} { r l r l r } { M _ { 0 } } & { \equiv O } & { c _ { n } } & { = 1 \qquad } & { ( k = 0 ) } \\ { M _ { k } } & { \equiv A M _ { k - 1 } - { \frac { 1 } { k - 1 } } ( \operatorname { t r } ( A M _ { k - 1 } ) ) I \qquad \qquad } & { c _ { n - k } } & { = - { \frac { 1 } { k } } \operatorname { t r } ( A M _ { k } ) \qquad } & { k = 1 , \ldots , n ~ . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { e f f } , i } } & { = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \xi ^ { 2 } \partial _ { \xi } C _ { i } ( \xi ) \mathrm { d } \xi - \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \xi \partial _ { \xi } C _ { i } ( \xi ) \mathrm { d } \xi \right) ^ { 2 } } { 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \partial _ { \xi } C _ { i } ( \xi ) \mathrm { d } \xi } . } \end{array}
\mathrm { U ( 1 ) } _ { Y } : \quad \widehat { H } _ { 1 } \, ( - 1 ) , \ \widehat { H } _ { 2 } \, ( 1 ) , \, w i d e h a t { S } \, ( 0 ) , \ \widehat { Q } \, ( 1 / 3 ) , \ \widehat { U } \, ( - 4 / 3 ) , \, w i d e h a t { D } \, ( 2 / 3 ) , \ \widehat { L } \, ( - 1 ) , \ \widehat { E } \, ( 2 ) \, ,
\begin{array} { r l r } { f ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } , m ) } & { { } = } & { - ( 1 + 3 \cos ( 2 \theta _ { 1 } ) + 3 \cos ( 2 \theta _ { 2 } ) + 9 \cos ( 2 \theta _ { 3 } ) ) } \\ { f ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } , m ) } & { { } = } & { ( 5 - 3 \cos ( 2 \theta _ { 1 } ) - 3 \cos ( 2 \theta _ { 2 } ) + 9 \cos ( 2 \theta _ { 3 } ) ) / 4 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { j } ( \gamma ) } & { = \mathrm { l e n g t h } ( I _ { j } \cap [ \gamma , \infty ) ) + \mathrm { l e n g t h } ( I _ { j } \cap [ \gamma , 0 ] ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { l e n g t h } ( [ \gamma , \infty ) \cap I _ { j } ) } & { \gamma \ge 0 } \\ { \mathrm { l e n g t h } ( I _ { j } \cap [ 0 , \infty ) ) + 2 \cdot \mathrm { l e n g t h } ( I _ { j } \cap [ \gamma , 0 ] ) } & { \gamma < 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( X ^ { n } ; Y ^ { K _ { n } } , A ^ { n } ) } & { \le I ( X ^ { n } ; Y ^ { K _ { n } } , M _ { r } , A ^ { n } ) } \\ & { = I ( X ^ { n } ; Y _ { 1 } ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { r } S _ { j } } , Y _ { \sum _ { j = 1 } ^ { r } S _ { j } + 1 } ^ { K _ { n } } , A ^ { n } ) } \\ & { = I ( X _ { 1 } ^ { r } , X _ { r + 1 } ^ { n } ; Y _ { 1 } ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { r } S _ { j } } , Y _ { \sum _ { j = 1 } ^ { r } S _ { j } + 1 } ^ { K _ { n } } , A _ { 1 } ^ { r } , A _ { r + 1 } ^ { n } ) } \\ & { = I ( X _ { 1 } ^ { r } ; Y _ { 1 } ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { r } S _ { j } } , A _ { 1 } ^ { r } ) + I ( X _ { r + 1 } ^ { n } ; Y _ { \sum _ { j = 1 } ^ { r } S _ { j } + 1 } ^ { K _ { n } } , A _ { r + 1 } ^ { n } ) } \end{array}
e ^ { - 2 \phi ^ { \prime } } F ^ { 2 } = \frac { Q ^ { 2 } } { \rho ^ { 4 } } \Bigl ( 1 - \frac { 2 G M } { \rho } \Bigr ) ^ { - 1 } \rightarrow \frac { 2 G ^ { 2 } M ^ { 2 } } { \rho ^ { 3 } ( 2 G M - \rho ) } \propto \frac { 1 } { x }
\frac { 2 } { M _ { 1 } M _ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } } \left( \boldsymbol { \mathcal { P } } \left( \boldsymbol { D } \right) \right) _ { j k } \sim \chi _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { 2 } { M _ { 1 } M _ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } } \left( \left( \boldsymbol { \mathcal { P } } \circ \boldsymbol { \mathcal { J } } \right) \left( u \right) \right) _ { j k } \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { \! \! \! \frac { 1 } { v } \cdot \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \int _ { 0 } ^ { v } \tau _ { 2 } ( s w , \lambda , \beta ) \; \mathrm { d } w } \\ & { = \frac { 1 } { v } \cdot \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \int _ { 0 } ^ { v } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 - \frac { \pi \lambda } { 1 + K _ { z , \beta } ^ { - 1 } } s ^ { 2 } w ^ { 2 } } { ( 1 + z ) ( 1 + K _ { z , \beta } ) } \mathrm { d } z \mathrm { d } w + o ( v ^ { 2 } ) \; \; a s \; \; v \rightarrow 0 } \\ & { \approx - \frac { 2 } { 3 } s v ^ { 2 } \pi \lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { K _ { z , \beta } } { ( 1 + z ) ( 1 + K _ { z , \beta } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } z . } \end{array}
I _ { C W Z W } [ \alpha ] = \int d x ^ { 0 } \left( - \sum _ { n \neq 0 } \frac { \dot { \alpha } _ { 0 } ^ { a } \alpha _ { a \: n } } { i k n } + \sum _ { n \ge 1 } \frac { 2 \dot { \alpha } _ { - n } ^ { a } \alpha _ { a \: n } } { i k n } + \tau L _ { 0 } - 2 \pi \alpha _ { 0 } ^ { 3 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { * } \psi } & { { } = - \mu _ { 0 } r J _ { \phi } } \\ { J _ { \phi } } & { { } = r P ^ { \prime } ( \psi ) + \frac { F F ^ { \prime } ( \psi ) } { \mu _ { 0 } r } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { M e a n : } } \quad } & { \lambda = { \frac { ( 1 - p ) r } { p } } \quad \Rightarrow \quad p = { \frac { r } { r + \lambda } } , } \\ { { \mathrm { V a r i a n c e : } } \quad } & { \lambda \left( 1 + { \frac { \lambda } { r } } \right) > \lambda , \quad { \mathrm { t h u s ~ a l w a y s ~ o v e r d i s p e r s e d } } . } \end{array} }
\left( \begin{array} { l l } { e ^ { - i k _ { 1 } a / 2 } } & { e ^ { i k _ { 1 } a / 2 } } \\ { i k _ { 1 } e ^ { - i k _ { 1 } a / 2 } } & { - i k _ { 1 } e ^ { i k _ { 1 } a / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \alpha } \\ { \beta } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - i k _ { 2 } a / 2 } } & { e ^ { i k _ { 2 } a / 2 } } \\ { i k _ { 2 } e ^ { - i k _ { 2 } a / 2 } } & { - i k _ { 2 } e ^ { i k _ { 2 } a / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { C } \\ { D } \end{array} \right)
h _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { s . p . } } [ y ( \xi ) ] = \frac { i m ^ { 3 } } { 8 \pi g _ { m } ^ { 2 } } \int d \sigma _ { \mu \nu } ( y ( \xi ^ { \prime } ) ) \frac { K _ { 1 } \left( m \left| y ( \xi ) - y ( \xi ^ { \prime } ) \right| \right) } { \left| y ( \xi ) - y ( \xi ^ { \prime } ) \right| } ,
M ^ { 2 } = m ^ { 2 } + \frac { \alpha } { 6 } \: I _ { f } ( M ^ { 2 } ) = m ^ { 2 } + \frac { \alpha \: N \: A } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \frac { | { \bf k } _ { * } | ^ { 2 } } { \sqrt { | { \bf k } _ { * } | ^ { 2 } + M ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { x g r a p h } } & { \rightarrow \mathbf { x g p r e f e r e n c e s } \, \, ( c h e c k s \, i n p u t s ) } \\ & { \rightarrow \mathbf { x m u l t i g r a p h } \leftrightarrow \mathbf { x r e d u c e \leftrightarrow \mathbf { x c o m p r e s s } } \, \, ( s t r u c t u r e s \, d a t a \, a r r a y s ) } \\ & { \rightarrow \mathbf { x i m a g e s } \rightarrow \mathbf { x t r a n s v e r s e } \rightarrow \mathbf { x p l o t 3 } \rightarrow \mathbf { x p l o t 2 } \, \, ( g r a p h s \, a l l \, d a t a ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial v _ { 0 , r } } { \partial r } \right| _ { r = 1 } } & { = 0 } \\ { \left. \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial v _ { 0 , r } } { \partial \theta } + \frac { \partial v _ { 0 , \theta } } { \partial r } - \frac { v _ { 0 , \theta } } { r } \right) \right| _ { r = 1 } } & { = \sin { \theta } ~ F ( m ) ~ e ^ { - i t } + c . c . } \end{array}
\frac { \partial s } { \partial \boldsymbol { x } } \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } = 0 , \quad \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } \, ( \rho \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } ) = 0 , \quad \frac { d ( \tilde { \delta } \boldsymbol { x } ) } { d t } - \frac { \partial { \boldsymbol v } } { \partial \boldsymbol { x } } \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } = \boldsymbol { 0 }
\sigma ( s ) = \int _ { 0 } ^ { s } d s _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { ( \sqrt { s } - \sqrt { s _ { 1 } } ) ^ { 2 } } d s _ { 2 } \; \rho ( s _ { 1 } ) \rho ( s _ { 2 } ) \; \sigma _ { 0 } ( s , s _ { 1 } , s _ { 2 } ) \; \left[ 1 + { \frac { \alpha } { 2 \beta } } \delta _ { C } \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { \rho ^ { n + 1 } - \rho ^ { n } } { \Delta t } } & { { } = - \nabla \cdot \left( \rho ^ { n } \mathbf { u } ^ { n } \right) , } \\ { \frac { \rho ^ { n + 1 } \mathbf { u } ^ { n + 1 } - \rho ^ { n } \mathbf { u } ^ { n } } { \Delta t } } & { { } = - \nabla \cdot \left[ \rho ^ { n } \mathbf { u } ^ { n } \otimes \mathbf { u } ^ { n } + ( p ^ { n } + p _ { r } ^ { n } ) \mathbf { I } \right] , } \\ { \frac { \rho ^ { n + 1 } e _ { t } ^ { * } - \rho ^ { n } e _ { t } ^ { n } } { \Delta t } } & { { } = - \nabla \cdot \left[ ( \rho ^ { n } e _ { t } ^ { n } + p ^ { n } + p _ { r } ^ { n } ) \mathbf { u } ^ { n } \right] + p _ { r } ^ { n } \nabla \cdot \mathbf { u } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { \cal Z } = \int d \psi \langle \psi | e ^ { - \beta H } | \psi \rangle = } \\ { \displaystyle \int \, d ^ { 2 } c _ { - 2 } d ^ { 2 } c _ { - 1 } d ^ { 2 } c _ { 0 } d ^ { 2 } c _ { 1 } d ^ { 2 } c _ { 2 } \, } \\ { \displaystyle \delta ( | c _ { - 2 } | ^ { 2 } + | c _ { - 1 } | ^ { 2 } + | c _ { 0 } | ^ { 2 } + | c _ { 1 } | ^ { 2 } + | c _ { 2 } | ^ { 2 } - 1 ) \, e ^ { - \beta H ( c ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { S M T } } ( { \bf r } ) = E _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf r } , t = 0 ; { \bf r } _ { \mathrm { i n } } = { \bf r } ) } & { = \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega } e ^ { i ( { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { s a m } } - { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { s a m } } ) \cdot { \bf r } } R ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) } \\ { R ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) } & { \equiv e ^ { - i ( k _ { z , \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { a i r } } - k _ { z , \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } ) ( h ^ { \mathrm { g l a s s } } + z ^ { \mathrm { a i r } } ) + i ( { k } _ { z , \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { g l a s s } } - { k } _ { z , \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { g l a s s } } ) h ^ { \mathrm { g l a s s } } } R ^ { \prime } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) . } \end{array}
\nu ^ { 2 } \left\lVert u ^ { \nu } ( 0 ) \right\rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } + \nu ^ { \frac 1 4 } \left\lVert f ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } + \left\lVert f ^ { \nu } - \bar { f } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } \to 0
\frac { d \, h \left( t , \frac { { D _ { B } } ^ { \frac 1 2 } } { \mu } \right) } { d t } = \sum _ { k = 0 } ^ { d } ( - k ) \frac { 1 } { 2 \mu } \frac { \Gamma \left( \frac { k + 1 } 2 \right) } { \Gamma \left( \frac 1 2 \right) } a _ { d - k } \left( \frac { t } { 2 \mu } \right) ^ { - k - 1 } +
\begin{array} { l } { { { \displaystyle | F _ { \nu } \left( \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } | n | \tau , \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } | n | \tau _ { 0 } \right) | ^ { 2 } \sim } } } \\ { { \sim { \displaystyle \frac { 2 ^ { 2 \nu } } { \Gamma ^ { 2 } ( 1 - \nu ) } \left( \frac { 2 \pi | n | } { \sigma _ { 0 } } \right) ^ { 2 - 2 \nu } ( - \tau _ { 0 } ) ~ J _ { \nu } ^ { 2 } \left( - \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } | n | \tau _ { 0 } \right) ( - \tau ) ^ { 1 - 2 \nu } } } } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \left\{ \langle 0 | \hat { \psi } _ { a } ^ { + } \left( t \right) \hat { \psi } _ { b } \left( 0 \right) | 0 \rangle + \langle 0 | \hat { \psi } _ { b } \left( 0 \right) \hat { \psi } _ { a } ^ { + } \left( t \right) | 0 \rangle \right\} = \delta _ { a b , } ^ { }
\Gamma _ { V \to \rho P } ( s ) = \frac { G _ { \rho P V } ^ { 2 } } { 8 \pi } \, f r a c { I F \ ( 2 I _ { \rho } + 1 ) } { ( 2 I _ { V } + 1 ) ( 2 J _ { V } + 1 ) } \int _ { 2 m _ { \pi } } ^ { M ^ { m a x } } \frac { M d M } { \pi } \ A _ { \rho } ^ { 0 } ( M ) \ 2 q _ { c m } ^ { 3 } \ F _ { \rho P V } ( q _ { c m } ) ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r } { r ( \rho , \theta ) : = \left( p _ { \rho } + \frac { \theta p _ { \theta } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } e _ { \theta } } + \frac { \kappa } { \rho e _ { \theta } \tau } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad m ( \rho , \theta ) : = \sqrt { \left( p _ { \rho } + \frac { \theta p _ { \theta } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } e _ { \theta } } + \frac { \kappa } { \rho e _ { \theta } \tau } \right) ^ { 2 } - \frac { 4 p _ { \rho } \kappa } { \rho e _ { \theta } \tau } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { e , \mathrm { c h } } } & { = j _ { e , \mathrm { t i p } } , } \\ { v \epsilon _ { 0 } ( E _ { \mathrm { m a x } } - E _ { \mathrm { c h } } ) } & { = \int _ { z _ { \mathrm { c h } } } ^ { z _ { \mathrm { t i p } } } e ( j _ { e , \mathrm { t i p } } - j _ { e } ) \, d z , } \\ { R ( E _ { \mathrm { m a x } } - E _ { \mathrm { b g } } ) } & { = L \left( E _ { \mathrm { b g } } - E _ { \mathrm { c h } } \right) , } \\ { \frac { n _ { e , \mathrm { t i p } } } { n _ { i , \mathrm { c h } } } } & { = F ( v , R , E _ { \mathrm { m a x } } , E _ { \mathrm { b g } } ) . } \end{array}
\phi ( x ) \sim { \frac { \alpha _ { 0 } } { B } } \int _ { \partial M } d ^ { d } x ^ { \prime } \left( \frac { z } { z ^ { 2 } + | \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } | ^ { 2 } } \right) ^ { \Delta } \int _ { 0 } ^ { \epsilon } d x _ { 0 } ^ { \prime } \, { z } ^ { \Delta - d - 1 } J ( x ^ { \prime } ) .
\frac { \partial S _ { \mathrm { s u s y - P l } } ^ { ( \lambda , \gamma ) } } { \partial \lambda } = \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } \theta \, \mathcal { O } _ { T ^ { 2 } } ~ , \qquad \frac { \partial S _ { \mathrm { s u s y - P l } } ^ { ( \lambda , \gamma ) } } { \partial \gamma } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } \theta \, \mathcal R ~ .
\oint _ { C } { \frac { 1 } { 4 ! \; z } } \, d z = { \frac { 1 } { 4 ! } } \oint _ { C } { \frac { 1 } { z } } \, d z = { \frac { 1 } { 4 ! } } ( 2 \pi i ) = { \frac { \pi i } { 1 2 } } .
\boldsymbol { \mathsf { W } } _ { r s w } = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \mathsf { C } } } & { - g \boldsymbol { \mathsf { G } } } \\ { H \boldsymbol { \mathsf { G } } ^ { \top } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \partial F _ { u } ^ { h } } { \partial \boldsymbol { u } ^ { h } } } & { \frac { \partial F _ { u } ^ { h } } { \partial h ^ { h } } } \\ { \frac { \partial F _ { h } ^ { h } } { \partial \boldsymbol { u } ^ { h } } } & { \frac { \partial F _ { h } ^ { h } } { \partial h ^ { h } } } \end{array} \right] ,
F \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) = F \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , 1 - \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } c ^ { 2 } } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon } \right) } \right) = - \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( 1 \right) } ,
\begin{array} { r l } { S _ { u u } } & { = K _ { u u } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \big [ ( G _ { u } ^ { i } ) ^ { \top } ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - \top } K _ { x _ { i } u } + K _ { u x _ { i } } ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - 1 } ( G _ { u } ^ { i } ) - ( G _ { u } ^ { i } ) ^ { \top } ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - \top } K _ { x _ { i } x _ { i } } ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - 1 } G _ { u } ^ { i } \big ] } \\ & { = Z ^ { \top } K Z \; . } \end{array}
\frac { Y _ { 3 / 2 } } { Y _ { 3 / 2 } ^ { \mathrm { R } } } \simeq 2 \times 1 0 ^ { 5 } \hat { Y } _ { 3 / 2 } \left( \frac { H _ { \mathrm { I } } } { 1 0 ^ { 1 3 } \, \mathrm { G e V } } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { T _ { \mathrm { R } } } { 1 0 ^ { 9 } \, \mathrm { G e V } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { g _ { \ast s } } { 2 0 0 } \right) ^ { 5 / 4 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } \left( n \Delta t , \mathbf { r } _ { p } \right) } & { { } = \mathcal { E } _ { p } ^ { ( n ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 1 } } e _ { i } ^ { ( n ) } w _ { i } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { p } ) , } \\ { \mathcal { B } ( ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \Delta t , \mathbf { r } _ { p } ) } & { { } = \mathcal { B } _ { p } ^ { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 2 } } b _ { i } ^ { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } w _ { i } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } _ { p } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( t ^ { \prime } , \vec { x } ^ { \prime } , t , \vec { x } ) \equiv \langle { { t ^ { \prime } , \vec { x } ^ { \prime } } | { t , \vec { x } } } \rangle } & { = \int \frac { \mathrm { d } k ^ { 3 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 \omega _ { k } } { \mathrm { e } } ^ { i \Big ( \omega _ { k } \cdot ( t ^ { \prime } - t ) - \vec { k } \cdot ( \vec { x } ^ { \prime } - \vec { x } ) \Big ) } } \\ & { = \int \frac { \mathrm { d } k ^ { 3 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 \omega _ { k } } { \mathrm { e } } ^ { i k ^ { \mu } ( x _ { \mu } ^ { \prime } - x _ { \mu } ) } } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { M _ { s } } { 2 \gamma \omega _ { e x } } \left[ \dot { \theta } ^ { 2 } - c ^ { 2 } \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta ( \dot { \phi } ^ { 2 } - c ^ { 2 } \phi ^ { 2 } ) \right] - w _ { a } ( \theta , \phi ) ,
\Omega t _ { \mathrm { e q } } \simeq 7 \: \chi \: \tau _ { \mathrm { e s } } ^ { - 1 } \left( \frac { \Theta _ { e } } { 0 . 2 } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { \ln { \Lambda _ { e } } } { 2 3 } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { R } { 1 0 \: R _ { \mathrm { g } } } \right) ^ { - 1 / 2 } ,
W ^ { \mu \nu } ( q ) = e _ { f } ^ { 2 } { \frac { 2 V _ { l a b } P _ { l a b } } { 4 \pi } } \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } T r \gamma ^ { \mu } { \bf G } _ { 1 0 } ( p + q ) \gamma ^ { \nu } { \bf G } _ { 0 1 } ( p ) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 1 } \bigr \} \, } & { = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \Bigl ( \bigl \{ L \eta _ { 1 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ L \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 1 } \bigr \} \Bigr ) + \bigl \{ \mathrm { B S } _ { 1 } [ \eta _ { 0 } ] \, , \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ { \, } & { = \, \Lambda \eta _ { 1 } + \frac { \beta _ { \epsilon } - 1 } { 2 \pi } \, \bigl \{ P _ { 1 } \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \frac { 1 } { 2 \pi } \bigl \{ L P _ { 1 } \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle G [ A _ { 1 } ^ { \circ _ { - , 1 } } E _ { - } ] G ^ { * } [ E _ { - } { E } _ { + } ^ { \circ _ { - , 2 } } ] \rangle } & { \langle ( G - M ) ^ { * } E _ { - } ( { \mathcal { X } } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M ) ^ { \circ } E _ { - } \rangle } \\ & { - \langle G \mathring { A } _ { 1 } E _ { - } G ^ { * } \rangle \langle ( G - M ) ^ { * } E _ { - } [ ( { \mathcal { X } } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M ) ^ { \circ } E _ { - } ] ^ { \circ _ { - } } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { \mathrm { d } } = \frac { 2 F _ { i } \delta _ { i 1 } } { \rho A V _ { 1 } } \quad \quad \mathrm { a n d } \quad \quad c _ { \mathrm { l } } = \frac { 2 F _ { i } \delta _ { i 2 } } { \rho A V _ { 1 } } \qquad \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \qquad F _ { i } = \int _ { \Gamma ^ { \mathrm { C } } } \left[ p \delta _ { \mathrm { i k } } - \mu 2 S _ { i k } \right] n _ { \mathrm { k } } \, \mathrm { d } \Gamma \, . } \end{array}
\left( \left( 1 + \frac { \nu D _ { u } } { d _ { 1 } ^ { u } } \right) I + 2 \pi \nu \mathcal { G } _ { u , \lambda } \right) { \bf c } ^ { u } = - \frac { \nu d _ { 2 } ^ { u } } { d _ { 1 } ^ { u } } \, { \bf \xi } \, , \qquad \left( \left( 1 + \frac { \nu D _ { v } } { d _ { 1 } ^ { v } } \right) I + 2 \pi \nu \mathcal { G } _ { v , \lambda } \right) { \bf c } ^ { v } = - \frac { \nu d _ { 2 } ^ { v } } { d _ { 1 } ^ { v } } \, { \bf \zeta } \, ,
\begin{array} { r } { | \mathbb { E } Z _ { 5 a } | = | \mathbb { E } \tilde { Z } _ { 5 a } | \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \sum _ { j k } \theta _ { j } ( \beta _ { k } \theta _ { k } ) \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 3 } \| \theta \| _ { 2 } \cdot \theta _ { j } \theta _ { k } \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \left( { \frac { d r } { d \tau } } \right) } ^ { 2 } = { \frac { E ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } } - \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) \left( c ^ { 2 } + { \frac { L ^ { 2 } } { m ^ { 2 } r ^ { 2 } } } \right) \, ,
S _ { \mathrm { s u r f } } = - { \frac { i } { 8 \pi } } \int d \psi \, 4 \pi r ^ { 2 } \left[ { \frac { \sqrt { M ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } } { r ^ { 2 } } } + { \frac { Q ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { t _ { f } ^ { 1 } } & { { } = \frac { ( l + 1 ) ( l - 2 ) } { 2 l + 1 } \hat { \gamma } f } \\ { t _ { f } ^ { 3 } } & { { } = - \frac { l ( l + 3 ) } { 2 l + 1 } \hat { \gamma } f . } \end{array}
\frac { \mathrm { D } \tau } { \mathrm { D } t } = - \frac 1 { s _ { v } } \, \frac { \mathrm { D } s _ { v } } { \mathrm { D } t } \, \tau - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \mathrm { d } \big ( p - \frac { s _ { v } } { 2 } \big ) \ .
s _ { i } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \theta _ { x _ { i } } ^ { \mathrm { o u t } } - \theta _ { x _ { i } } ^ { \mathrm { i n } } \right) ^ { 2 } + \left( \theta _ { y _ { i } } ^ { \mathrm { o u t } } - \theta _ { y _ { i } } ^ { \mathrm { i n } } \right) ^ { 2 } \right] \; .
\begin{array} { r } { \left\langle \nabla \cdot w , g \eta \right\rangle = \left\langle \nabla \cdot w , f \psi \right\rangle = - \left\langle w , f \nabla \psi \right\rangle = \left\langle w , f u ^ { \perp } \right\rangle , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \end{array}