harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| | { \bf u } - { \bf u } _ { h } | | _ { \bf V } + | | \boldsymbol \lambda - \boldsymbol \lambda _ { h } | | _ { \boldsymbol \Lambda } \le C \big ( \operatorname* { i n f } _ { { \bf v } _ { h } \in { \bf V } _ { h } } | | { \bf u } - { \bf v } _ { h } | | _ { \bf V } + \operatorname* { i n f } _ { \boldsymbol \mu _ { h } \in \boldsymbol \Lambda _ { h } } | | \boldsymbol \lambda - \boldsymbol \mu _ { h } | | _ { \boldsymbol \Lambda } \big ) .
i \hbar \frac { \partial \Psi ^ { j } ( \textbf { x } _ { j } , t ) } { \partial t } = \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { j } } \Delta - G m _ { j } \sum _ { \underset { k \neq j } { k = 1 } } ^ { N } m _ { k } \int d ^ { 3 } \textbf { y } _ { k } \frac { \mid \Psi ^ { k } ( \textbf { y } _ { k } , t ) \mid ^ { 2 } } { \mid \textbf { x } _ { j } - \textbf { y } _ { k } \mid } \right) \Psi ^ { j } ( \textbf { x } _ { j } , t ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { d , d } ( 0 ) \cap \Omega _ { c , d } ( t ) } \int _ { 0 } ^ { t } } & { | V _ { \xi } ( s , \xi ) - V _ { \Delta x , \xi } ( s , \xi ) | d s d \xi } \\ & { = \int _ { \Omega _ { d , d } ( 0 ) \cap \Omega _ { c , d } ( t ) } \int _ { 0 } ^ { \tau ( \xi ) } \left| V _ { \xi } ( 0 , \xi ) - V _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d s d \xi } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega _ { d , d } ( 0 ) \cap \Omega _ { c , d } ( t ) } \int _ { \tau ( \xi ) } ^ { t } \left| ( 1 - \alpha ) V _ { \xi } ( 0 , \xi ) - V _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d s d \xi } \\ & { \leq \int _ { \Omega _ { d , d } ( 0 ) \cap \Omega _ { c , d } ( t ) } \int _ { 0 } ^ { t } \left| H _ { \xi } ( 0 , \xi ) - H _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d s d \xi } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega _ { d , d } ( 0 ) \cap \Omega _ { c , d } ( t ) } \int _ { \tau ( \xi ) } ^ { t } \alpha V _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) d s d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left. \frac { \partial S } { \partial b } \right| _ { b = 0 } } & { = } & { \frac { 2 I _ { 2 } \left. \frac { \partial } { \partial b } I _ { 1 } \right| _ { b = 0 } - 2 I _ { 1 } \left. \frac { \partial } { \partial b } I _ { 2 } \right| _ { b = 0 } } { \left. ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) ^ { 2 } \right| _ { b = 0 } } } \\ & { = } & { \frac { 2 I _ { 1 } \left. \frac { \partial } { \partial b } I _ { 1 } \right| _ { b = 0 } + 2 I _ { 1 } \left. \frac { \partial } { \partial b } I _ { 1 } \right| _ { b = 0 } } { \left. ( 2 I _ { 1 } ) ^ { 2 } \right| _ { b = 0 } } } \\ & { = } & { \frac { \left. \frac { \partial } { \partial b } I _ { 1 } \right| _ { b = 0 } } { \left. I _ { 1 } \right| _ { b = 0 } } } \end{array}
{ \cal J } _ { n l l ^ { \prime } } ( \Omega _ { 1 } ^ { \pm } , \Omega _ { n } ^ { \mp } , q ) \equiv { \cal J } _ { n l l ^ { \prime } } ( \pm \omega , q ) = { \cal J } _ { n l l ^ { \prime } , 1 s } ^ { a } ( \Omega _ { 1 } ^ { \pm } , q ) - { \cal J } _ { n l l ^ { \prime } , 1 s } ^ { b } ( \Omega _ { n } ^ { \mp } , q ) ,
\begin{array} { r } { \mathbb { P } ( \mathcal { N } ( t ) = n ) = \frac { \left( \int _ { \mathbb { X } } v ( t , x ) d x \right) ^ { n } } { n ! } \exp \left\{ - \int _ { \mathbb { X } } v ( t , x ) d x \right\} . } \end{array}
p _ { g } ( n , g ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } \left( \frac { n + g - 1 } { n + g } \right) ^ { n - k } \left( \frac { 1 } { n + g } \right) ^ { k } \frac { 1 } { k + 1 } ,
\pi = 4 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \cfrac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n + 1 } } = 4 \left( { \frac { 1 } { 1 } } - { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - { \frac { 1 } { 7 } } + - \cdots \right) \! = { \cfrac { 4 } { 1 + { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 2 + { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 2 + { \cfrac { 5 ^ { 2 } } { 2 + \ddots } } } } } } } }
S = \left( \begin{array} { c c c c } { { \frac { 1 } { 3 } } } & { { 0 } } & { { 2 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \frac { 2 } { 3 } } } & { { 0 } } & { { - 4 } } \\ { { \frac { 4 } { 9 } } } & { { 0 } } & { { - \frac { 1 } { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \frac { 8 } { 9 } } } & { { 0 } } & { { \frac { 2 } { 3 } } } \end{array} \right) \, .
\tau = { \frac { \cos \theta } { ( r - m ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } \quad A _ { 3 } = { \frac { Q ( r - m ) \sin ^ { 2 } \theta } { ( r - m ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { ( 1 ) } ^ { 2 } / \epsilon ^ { 2 } : \ \partial _ { x } ^ { 2 } f ( x ) } & { \approx \frac { f ( x + \epsilon ) - 2 f ( x ) + f ( x - \epsilon ) } { \epsilon ^ { 2 } } } \\ { \Delta _ { ( 2 ) } ^ { 2 } / \epsilon ^ { 2 } : \ \partial _ { x } ^ { 2 } f ( x ) } & { \approx \frac { - f ( x + 2 \epsilon ) + 1 6 \, f ( x + \epsilon ) - 3 0 \, f ( x ) + 1 6 \, f ( x - \epsilon ) - f ( x + 2 \epsilon ) } { 1 2 \, \epsilon ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { = \frac { - \hslash \sqrt { \gamma _ { 1 } } B } { m Z _ { m } ( \gamma _ { + } - i \Omega ) } \left( \frac { \sqrt 2 \xi \omega _ { 0 } } { \gamma _ { + } } \big [ \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, b _ { a } + \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, c _ { a } \big ] + \right. } \\ & { \quad \left. + \frac { \eta } { \sqrt 2 } \left[ \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, c _ { \phi } \right] \right) + \frac { F _ { s } + F _ { T } } { m Z _ { m } } , } \end{array}
S = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \left( \begin{array} { l l } { \eta ^ { 4 } - \eta } & { \eta ^ { 2 } - \eta ^ { 3 } } \\ { \eta ^ { 2 } - \eta ^ { 3 } } & { \eta - \eta ^ { 4 } } \end{array} \right) , T = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \left( \begin{array} { l l } { \eta ^ { 2 } - \eta ^ { 4 } } & { \eta ^ { 4 } - 1 } \\ { 1 - \eta } & { \eta ^ { 3 } - \eta } \end{array} \right) .
( \mathbf { P } _ { \mathcal { H } _ { 1 } } u , q ) _ { L ^ { 2 } } = \int _ { D _ { h } } u \cdot \nabla ^ { \perp } q \mathrm { d } x = \psi | _ { \Gamma _ { 2 } } \int _ { \Gamma _ { 2 } } \partial _ { n } q - \psi | _ { \Gamma _ { 1 } } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { n } q = \big ( \psi | _ { \Gamma _ { 2 } } - \psi | _ { \Gamma _ { 1 } } \big ) \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { n } q
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } f ( \Delta _ { k } ) + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho \sum _ { k < k ^ { \prime } } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { - \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( t r ( \Delta _ { k } ( \widehat { \Sigma } _ { k } - \Sigma _ { 0 k } ) ) \right) - t r ( \Delta _ { 2 } ( \widehat { \Sigma } _ { 2 } - \Sigma _ { 0 2 } ) ) + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho \sum _ { k < k ^ { \prime } } | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } . } \end{array}
\langle D ^ { * } ( v ) | { \cal V } ^ { \mu } | \bar { B } ^ { * } ( v ) \rangle = i \sqrt { 2 m _ { B ^ { * } } \, 2 m _ { D ^ { * } } } \, \overline { { { \epsilon ^ { \prime } } } } \cdot \epsilon \, v ^ { \mu } h _ { 1 } ( 1 ) .
{ \cal D } _ { D W } ^ { G } = i \gamma ^ { \mu } \left[ \partial _ { \mu } + \frac { 2 \pi } { L } \left( \frac { a _ { \mu } } { 2 } - g b _ { \mu } \right) + \frac { 2 \pi } { L } \hat { \eta } _ { \mu } ^ { ~ \nu } ( \frac { r } { 2 } a _ { \nu } ) \right] ,
{ \begin{array} { l } { \operatorname { c h } { u } = \operatorname { c h } { u _ { 1 } } \operatorname { c } h { u _ { 2 } } + \operatorname { s h } { u _ { 1 } } \operatorname { s h } { u _ { 2 } } \cos \alpha } \\ { \operatorname { c h } { u _ { i } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \left( { \frac { v _ { i } } { c } } \right) ^ { 2 } } } } , \ \operatorname { s h } { u _ { i } } = { \frac { v _ { i } } { \sqrt { 1 - \left( { \frac { v _ { i } } { c } } \right) ^ { 2 } } } } } \\ { v = { \sqrt { v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } - \left( { \frac { v _ { 1 } v _ { 2 } } { c } } \right) ^ { 2 } } } \ \left( a = { \frac { \pi } { 2 } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { k \to \infty } \left( \frac { 2 M S _ { 2 ( n + k ) \ell } \Gamma ( ( \varepsilon + 1 ) k + 1 ) ^ { 2 } } { \Gamma ( \varepsilon k ) ^ { 2 } \Gamma ( 2 k + 1 ) } \right) ^ { 1 / 2 k } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { k \to \infty } \left( 2 M S _ { 2 ( n + k ) \ell } \right) ^ { 1 / 2 k } \cdot \operatorname* { l i m s u p } _ { k \to \infty } \left( \frac { \Gamma ( ( \varepsilon + 1 ) k + 1 ) ^ { 2 } } { \Gamma ( \varepsilon k ) ^ { 2 } \Gamma ( 2 k + 1 ) } \right) ^ { 1 / 2 k } } \end{array}
\displaystyle \frac { d \Gamma _ { T } } { d q ^ { 2 } } = \displaystyle \frac { 1 } { 4 8 \pi ^ { 3 } } \left( \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } | V | ^ { 2 } \frac { \lambda \; q ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } [ ( \mid H _ { + } ^ { L } \mid ^ { 2 } + \mid H _ { - } ^ { L } \mid ^ { 2 } ) + ( \mid H _ { + } ^ { R } \mid ^ { 2 } + \mid H _ { - } ^ { R } \mid ^ { 2 } ) ] .
z = \frac { 2 } { \left( \omega ^ { 2 } - 2 \right) } \left( 1 + \sqrt { 1 - \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } \left( \omega ^ { 2 } - 2 \right) ^ { 2 } + \left( \omega ^ { 2 } - 2 \right) } \, \right) .
\dot { \omega } _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ a ~ c ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } } = - M W _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ a ~ c ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } } \cdot A \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( \frac { - E _ { A } / R _ { u } } { T } \right) \left[ \frac { \rho Y _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ a ~ c ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } } } { M W _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ a ~ c ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } } } \right] ^ { a } ,
\begin{array} { r l } { \left\| { X - ( \mathbb { E } A \otimes J _ { d } ) } \right\| _ { \mathrm { o p } } , \operatorname* { m a x } _ { i \in [ d ] } \left| \lambda _ { i } ( X ) - ( n - 1 ) p \right| , \operatorname* { m a x } _ { d + 1 \leq i \leq n d } \left| \lambda _ { i } ( X ) + p \right| } & { \leq C _ { 0 } \left( 1 + \sigma \sqrt { d } \right) \sqrt { n p } , } \\ { \operatorname* { m a x } _ { j \in [ n ] } \left\| { X _ { j } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \leq p \sqrt { n } + C _ { 0 } \left( 1 + \sigma \sqrt { d } \right) \sqrt { n p } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \frac 1 { n _ { k } } \Delta \tilde { u } _ { n _ { k } } , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } \to 0 \quad \mathrm { ~ f o r ~ a . a . ~ } ( t , \omega ) \in ( 0 , T ) \times \tilde { \Omega } .
\left\{ \begin{array} { l l } { G _ { J d , s } = 2 \mathrm { d i a g } ( T ) = 2 ( \epsilon I + \eta \Lambda + c I ) , \quad } & { \mathrm { d a m p e d ~ J a c o b i ~ p r e c o n d i t i o n e r } , } \\ { G _ { J p , s } = 2 \epsilon I + \eta \Lambda + c I + \delta _ { 0 } I , \quad } & { \mathrm { p e r t u r b e d ~ J a c o b i ~ p r e c o n d i t i o n e r } , } \\ { G _ { R , s } = \epsilon \lambda _ { s , \operatorname* { m a x } } I + \eta \Lambda + c I + \delta _ { 0 } I , \quad } & { \mathrm { g e n e r a l i z e d ~ R i c h a r d s o n ~ p r e c o n d i t i o n e r } . } \end{array} \right.
2 E _ { 0 } = \displaystyle \int _ { \mathbb T ^ { d } } | \nabla w | ^ { 2 } ( t , x ) \, { \mathrm { d } } x - \displaystyle \gamma ^ { 2 } \kappa \displaystyle \int _ { \mathbb T ^ { d } } \Sigma \star ( w + \overline { w } ) ( w + \overline { w } ) ( t , x ) \, { \mathrm { d } } x \ge ( 1 - 4 \gamma ^ { 2 } \kappa \| \Sigma \| _ { L ^ { 1 } } ) \int _ { \mathbb T ^ { d } } | \nabla w ( t , x ) | ^ { 2 } \, { \mathrm { d } } x .
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } ( \mathbf { r } ) \approx } & { } & { p _ { z } \frac { e ^ { j k _ { o } r } } { \sqrt { r } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi k _ { o } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \ell = - \ell _ { \mathrm { m a x } } } ^ { \ell _ { \mathrm { m a x } } } \bigg [ b _ { n \ell } } \\ & { } & { \times \left. e ^ { - j [ k _ { o } R _ { n } \cos ( \theta - \phi _ { n } ) + \ell ( \frac { \pi } { 2 } - \theta ) + \frac { \pi } { 4 } ] } \right] } \end{array}
\langle 0 | O _ { \cdot \cdot \cdot * } ^ { ( i ) } | \rho \rangle = f _ { \rho } ^ { 3 } ( e z ) ( p z ) \, \frac { 1 } { 2 } \left\{ A ^ { ( i ) } - \left( X _ { + } ^ { ( i ) } + Y _ { + } ^ { ( i ) } \right) \right\} .
H _ { P T } = k _ { x } \lambda _ { 1 } + i \epsilon ( \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 5 } ) + ( k _ { y } - i \epsilon ) \lambda _ { 6 } - ( k _ { y } + i \epsilon ) \lambda _ { 7 } - \frac { \epsilon ( \lambda _ { 3 } + \sqrt { 3 } \lambda _ { 8 } ) } { 2 } .
\theta _ { 1 2 } , \theta _ { 1 3 } , \theta _ { 2 3 } , \Delta { m } _ { 2 1 } ^ { 2 } , \Delta { m } _ { 3 1 } ^ { 2 } , \delta _ { \mathrm { C P } } , a _ { \alpha \beta } , \phi _ { \alpha \beta } ^ { a } , c _ { \alpha \beta } , \phi _ { \alpha \beta } ^ { c }
\begin{array} { r } { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle = \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \delta \phi _ { \mathrm { t } } ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 2 } } , - \delta \phi _ { \mathrm { p } } ) | \mathrm { P o r t \ 4 } \rangle , } \end{array}
p _ { U | \tilde { X } \in [ 0 , N [ } ( u ) ~ = ~ \frac { Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) } { \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) \right] ~ d t } = p _ { U | \tilde { Y } \in [ 0 , N [ } ( u ) , ~ ~ ~ u \in [ 0 , N [ ,
\frac { \gamma } { 6 \theta ^ { 2 } } - \frac { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \gamma } { \theta ^ { 4 } } \left( \frac { \xi _ { 1 } } { 4 } + \xi _ { 2 } \right) = 0 , \ \ \ \ \eta _ { 1 } = \frac { \gamma } { 6 } .
\chi = \pm \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \l } { \mu } - \frac { 1 } { 2 } \right) } \, \, a \operatorname { t a n h } \Biggl [ \frac { 1 } { 2 } \mu \sqrt { \frac { \l } { \mu } - \frac { 1 } { 2 } \, } \, \, a ^ { 2 } \, \, y \, \Biggr ] ~ .
\begin{array} { r l r } { \left. { \frac { \partial } { \partial z } \frac { 1 } { 2 } ( u _ { z } ) ^ { 2 } } \right| _ { r = 0 } } & { { } = } & { - \left. { \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial z } } \right| _ { r = 0 } } \end{array}
m _ { b } ^ { \overline { { \mathrm { D R } } } } ( m _ { Z } ^ { > } ) = m _ { b } ^ { \overline { { \mathrm { M S } } } } ( m _ { Z } ^ { > } ) \left( 1 - \frac { 1 } { 3 } \frac { \alpha _ { s } ^ { \overline { { \mathrm { M S } } } } ( m _ { Z } ) } { \pi } - \frac { 2 9 } { 7 2 } \left( \frac { \alpha _ { s } ^ { \overline { { \mathrm { M S } } } } ( m _ { Z } ) } { \pi } \right) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { \mathbf { D } _ { j } = \mathbf { I } _ { N } - \frac { \Delta t } { h _ { j } ^ { 2 } } \mathbf { G } _ { 1 } - \frac { \Delta t } { h _ { j } } \mathbf { G } _ { 2 } } \end{array}
g _ { Z } = { \frac { g } { 2 \cos \theta _ { W } } } \, \, , \gamma _ { R } = { \frac { 1 + \gamma _ { 5 } } { 2 } } \, \, \, , \, \, \, \gamma _ { L } = { \frac { 1 - \gamma _ { 5 } } { 2 } } ,
C _ { n } = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } C _ { k } C _ { n - 1 - k } + \delta _ { n , 0 } = C _ { 0 } C _ { n - 1 } + C _ { 1 } C _ { n - 2 } + \cdots + C _ { n - 1 } C _ { 0 } + \delta _ { n , 0 } , \ n \geq 0 ,
\begin{array} { r } { \widehat { \mathrm { v o l } } ( \overline { E } _ { \bullet } ) : = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow + \infty } \frac { \sum \operatorname* { m a x } ( \widehat { \mu } _ { i } ( \overline { E } _ { n } ) , 0 ) } { n ^ { d + 1 } / ( d + 1 ) ! } , } \\ { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \overline { E } _ { \bullet } ) : = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow + \infty } \frac { \sum \widehat { \mu } _ { i } ( \overline { E } _ { n } ) } { n ^ { d + 1 } / ( d + 1 ) ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( \neg } & { \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { r e g } } ^ { \prime } \cap { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } \cap \{ w _ { 0 } \in [ m _ { w } , 2 m _ { w } ) \} \big ) \big ) } \\ & { \le \mathbb { P } \big ( \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } \big ) + \mathbb { P } \big ( w _ { 0 } \notin [ m _ { w } , 2 m _ { w } ) \big ) + o ( 1 ) \le \mathbb { P } \big ( \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } \big ) + 1 - ( 1 - 2 ^ { - ( \tau - 1 ) } ) m _ { w } ^ { - ( \tau - 1 ) } + o ( 1 ) . } \end{array}
Z _ { n } ( \beta ; M ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \mathcal { K } \Omega _ { n } ( \mathcal { K } ) \exp ( - \beta \mathcal { K } ) = W _ { n } \beta ^ { - \frac { 3 n } { 2 } } \Gamma \Big ( \frac { 3 n } { 2 } \Big ) = \big ( 2 \pi \big ) ^ { \frac { 3 n } { 2 } } M ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \beta ^ { - \frac { 3 n } { 2 } } ,
\iint _ { S ( V ) } \mathbf { F } \cdot \mathbf { \hat { n } } \; d S = \operatorname* { l i m } _ { | V _ { \mathrm { i } } | \to 0 } \sum _ { V _ { \mathrm { i } } \subset V } \left( { \frac { 1 } { | V _ { \mathrm { i } } | } } \iint _ { S ( V _ { \mathrm { i } } ) } \mathbf { F } \cdot \mathbf { \hat { n } } \; d S \right) | V _ { \mathrm { i } } |
R ( \phi / \mathbf { F } ) = \operatorname* { m i n } \left\{ r \left| \exists f _ { i } \in \mathbf { A } ^ { * } , g _ { i } \in \mathbf { B } ^ { * } , w _ { i } \in \mathbf { C } , \forall \mathbf { a } \in \mathbf { A } , \mathbf { b } \in \mathbf { B } , \phi ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { r } f _ { i } ( \mathbf { a } ) g _ { i } ( \mathbf { b } ) w _ { i } \right. \right\}
{ \boldsymbol { \varepsilon } } \, = \, { \left[ \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { 1 1 } } & { \varepsilon _ { 1 2 } } & { \varepsilon _ { 1 3 } } \\ { \varepsilon _ { 2 1 } } & { \varepsilon _ { 2 2 } } & { \varepsilon _ { 2 3 } } \\ { \varepsilon _ { 3 1 } } & { \varepsilon _ { 3 2 } } & { \varepsilon _ { 3 3 } } \end{array} \right] } \, ; \qquad { \boldsymbol { \sigma } } \, = \, { \left[ \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 2 2 } } & { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 3 1 } } & { \sigma _ { 3 2 } } & { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} \right] }
\frac { \dot { a } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = H _ { 0 } ^ { 2 } \sum _ { i } \Omega _ { i } \left( \frac { a _ { 0 } } { a } \right) ^ { 3 ( 1 + w _ { i } ) } - \frac { k } { a ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { v _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ { ( 1 ) } = v _ { 1 ^ { \prime \prime } } , \quad v _ { 1 _ { r } ^ { \prime \prime } } ^ { ( 1 ) } = ( v _ { 9 _ { L } } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } v _ { 1 ^ { \prime \prime } } v _ { 3 } ^ { ( 1 ) } , \quad v _ { 4 _ { r } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } = v _ { 9 _ { R } } ^ { ( 1 ) } v _ { 4 ^ { \prime } } ( v _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } , \quad v _ { 4 ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } = v _ { 4 ^ { \prime } } ; } \end{array}
\begin{array} { r c l } { ^ \# \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } F ^ { \prime \prime } ( k ) } & { = } & { - \mathrm { e s s } ( F ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { - \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \frac { 1 } { x } \left( F ( x ) - F ( 0 ) + \frac { F ^ { \prime } ( x ) - F ^ { \prime } ( 0 ) } { 2 } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { B _ { 2 m } } { ( 2 m ) ! } ( F ^ { ( 2 m ) } ( x ) - F ^ { ( 2 m ) } ( 0 ) ) \right) } \\ & { = } & { - \displaystyle F ^ { \prime } ( 0 ) - \frac { F ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { 2 } - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { B _ { 2 m } F ^ { ( 2 m + 1 ) } ( 0 ) } { ( 2 m ) ! } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t t } u - \nabla \cdot ( c ^ { 2 } \nabla u ) } & { = f } & & { \mathrm { o n ~ } Q : = \Omega \times ( 0 , T ) , } \\ { u } & { = g _ { D } } & & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { D } : = \Gamma _ { D } \times ( 0 , T ) , } \\ { c ^ { 2 } \nabla u \cdot \mathbf { n } } & { = g _ { N } } & & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { N } : = \Gamma _ { N } \times ( 0 , T ) , } \\ { { \vartheta c \partial _ { t } u + c ^ { 2 } \nabla u \cdot \mathbf { n } } } & { = g _ { R } } & & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { R } : = \Gamma _ { R } \times ( 0 , T ) , } \\ { u } & { = u _ { 0 } } & & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { 0 } : = \Omega \times \{ 0 \} , } \\ { \partial _ { t } u } & { = u _ { 1 } } & & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } } & { < f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) + f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \left( 1 - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } \right) + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } . } \end{array}
\boldsymbol C = \left[ \begin{array} { c c c } { C ( y _ { 1 } , y _ { 1 } ) } & { \cdots } & { C ( y _ { 1 } , y _ { N } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { C ( y _ { N } , y _ { 1 } ) } & { \cdots } & { C ( y _ { N } , y _ { N } ) } \end{array} \right] \, , \qquad \boldsymbol D = \left[ \begin{array} { c c c } { \omega _ { 1 } } & { } & { } \end{array} \right] \, .
{ \cal L } _ { c t } = \gamma \left[ \left( - \frac { d - 1 } { \ell } + \frac { \Theta \left( d - 3 \right) d \left( d - 1 \right) } { 2 \ell ( d - 2 ) \cosh ^ { 2 } \left( \tau / \ell \right) } \right) + \frac { \Theta \left( d - 4 \right) d ( d - 1 ) } { 8 \ell ( d - 4 ) \cosh ^ { 4 } \left( \tau / \ell \right) } + \frac { \Theta \left( d - 5 \right) \left( d - 1 \right) d } { 1 6 \ell ( d - 6 ) \cosh ^ { 6 } \left( \tau / \ell \right) } \right]
\left( \begin{array} { c } { { p _ { 0 } ^ { \prime } } } \\ { { p _ { 1 } ^ { \prime } } } \end{array} \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - B _ { 0 1 } ^ { 2 } } } } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { - B _ { 0 1 } } } & { { 1 - B _ { 0 1 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { p _ { 0 } - B _ { 0 1 } p _ { 1 } } } \\ { { p _ { 1 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { \gamma p _ { 0 } - \gamma v p _ { 1 } } } \\ { { - v \gamma p _ { 0 } + \gamma p _ { 1 } } } \end{array} \right)
\left( \nabla ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } R \right) \varphi \rightarrow \left( \bar { \nabla } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \bar { R } \right) \bar { \varphi } = \frac { 1 } { \Omega ^ { 3 } } \left( \nabla ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } R \right) \varphi ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } ( \Delta _ { t } ; r ) _ { q > 1 } } & { = \frac { B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , 2 r - \frac { 1 } { 2 } \right) } { \sqrt { 2 r - 3 } \, \sigma _ { u } ^ { q G } B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , r - \frac { 1 } { 2 } \right) } } \\ & { \times \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( r , 2 r - \frac { 1 } { 2 } ; r + \frac { 1 } { 2 } ; - \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { 4 ( 2 r - 3 ) { \sigma _ { u } ^ { q G } } } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } \phi = - 4 \pi q _ { 0 } \updelta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } ) + \frac { 4 \pi e ^ { 2 } } { k _ { B } } \left( \frac { Z n _ { i } ^ { \infty } } { T _ { i } } + \frac { n _ { e } ^ { \infty } } { T _ { e } } \right) \phi = - 4 \pi q _ { 0 } \updelta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } ) + \frac { \phi } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } , } \end{array}
\mathrm { ~ d ~ i ~ m ~ } _ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( X ) = \operatorname* { l i m s u p } _ { \tilde { \alpha } \rightarrow \infty } \frac { \mathcal { I } \mathcal { J } \log \left( 2 \tilde { \alpha } \sqrt { \mathcal { I } \mathcal { J } \| \mathbf { A } \| _ { 1 } \| \mathbf { A } \| _ { \infty } } \right) } { \log ( \tilde { \alpha } ) }