harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { u _ { i } ^ { ( \alpha ) } } & { { } = u _ { i } – u _ { i } ^ { \infty } } \\ { \tau _ { i j } ^ { N , ( \alpha ) } } & { { } = \tau _ { i j } ^ { N } - \tau _ { i j } ^ { N , \infty } } \\ { b _ { i } ^ { ( \alpha ) } } & { { } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \tau _ { i j } ^ { e x } - \tau _ { i j } ^ { e x , \infty } \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { x } & { : } & { { \frac { \partial u _ { x } } { \partial t } } + u _ { x } { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } + u _ { y } { \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } } + u _ { z } { \frac { \partial u _ { x } } { \partial z } } } & { = { \frac { 1 } { \rho } } \left( { \frac { \partial \sigma _ { x x } } { \partial x } } + { \frac { \partial \sigma _ { y x } } { \partial y } } + { \frac { \partial \sigma _ { z x } } { \partial z } } \right) + f _ { x } } \\ { y } & { : } & { { \frac { \partial u _ { y } } { \partial t } } + u _ { x } { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } + u _ { y } { \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } + u _ { z } { \frac { \partial u _ { y } } { \partial z } } } & { = { \frac { 1 } { \rho } } \left( { \frac { \partial \sigma _ { x y } } { \partial x } } + { \frac { \partial \sigma _ { y y } } { \partial y } } + { \frac { \partial \sigma _ { z y } } { \partial z } } \right) + f _ { y } } \\ { z } & { : } & { { \frac { \partial u _ { z } } { \partial t } } + u _ { x } { \frac { \partial u _ { z } } { \partial x } } + u _ { y } { \frac { \partial u _ { z } } { \partial y } } + u _ { z } { \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } } } & { = { \frac { 1 } { \rho } } \left( { \frac { \partial \sigma _ { x z } } { \partial x } } + { \frac { \partial \sigma _ { y z } } { \partial y } } + { \frac { \partial \sigma _ { z z } } { \partial z } } \right) + f _ { z } } \end{array} }
{ \partial ^ { I } L ^ { J } = \partial _ { 0 } ^ { \alpha _ { 0 } } \cdots \partial _ { 3 } ^ { \alpha _ { 3 } } L _ { 1 } ^ { \beta _ { 1 } } \cdots L _ { m } ^ { \beta _ { m } } , \quad \partial ^ { I } \Omega ^ { J } = \partial _ { 0 } ^ { \alpha _ { 0 } } \cdots \partial _ { 3 } ^ { \alpha _ { 3 } } \Omega _ { 1 } ^ { \beta _ { 1 } } \cdots \Omega _ { m } ^ { \beta _ { m } } , }
\hat { A } = 2 \left( \begin{array} { l l l } { t _ { A } - t _ { E } } & { x _ { E } - x _ { A } } & { y _ { E } - y _ { A } } \\ { t _ { B } - t _ { E } } & { x _ { E } - x _ { B } } & { y _ { E } - y _ { B } } \\ { t _ { C } - t _ { E } } & { x _ { E } - x _ { C } } & { y _ { E } - y _ { C } } \end{array} \right) = 2 \epsilon \left( \begin{array} { l l l } { \; \; \sqrt 2 } & { - 1 } & { 1 } \\ { - \sqrt 2 } & { \; \; 1 } & { 1 } \\ { \; \; \sqrt 2 } & { \; \; 1 } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \delta \mathbf { B } ( \mathbf { x } ) = \sum _ { \mathbf { k } } \delta B _ { \mathbf { k } } \hat { \xi } _ { \mathbf { k } } \cos ( \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } + \phi _ { \mathbf { k } } ) , } \end{array}
= - \frac { \beta } { \rho } \nabla p - g \beta _ { R } \nabla z _ { r } + ( p - p _ { R } ) \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \upsilon } { \partial \eta \partial S } ( \eta , S , p _ { \star } ) \nabla \eta + \frac { \partial ^ { 2 } \upsilon } { \partial S ^ { 2 } } ( \eta , S , p _ { \star } ) \nabla S \right] ,
\begin{array} { r l } & { ~ | \phi \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , d _ { 2 } } } \otimes | \psi _ { 2 , 2 , 4 } \rangle _ { \mathrm { A , B , C } } } \\ { = } & { ~ | \Phi ^ { + } \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , A } } | \Phi ^ { + } \rangle _ { \mathrm { d _ { 2 } , B } } ( c _ { 1 } | 1 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 2 } | 2 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 3 } | 3 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 4 } | 4 \rangle _ { \mathrm { C } } ) } \\ & { ~ + | \Phi ^ { + } \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , A } } | \Phi ^ { - } \rangle _ { \mathrm { d _ { 2 } , B } } ( c _ { 1 } | 1 \rangle _ { \mathrm { C } } - c _ { 2 } | 2 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 3 } | 3 \rangle _ { \mathrm { C } } - c _ { 4 } | 4 \rangle _ { \mathrm { C } } ) } \\ & { ~ . . . } \\ & { ~ + | \Psi ^ { - } \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , A } } | \Psi ^ { + } \rangle _ { \mathrm { d _ { 2 } , B } } ( - c _ { 4 } | 1 \rangle _ { \mathrm { C } } - c _ { 3 } | 2 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 2 } | 3 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 1 } | 4 \rangle _ { \mathrm { C } } ) } \\ & { ~ + | \Psi ^ { - } \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , A } } | \Psi ^ { - } \rangle _ { \mathrm { d _ { 2 } , B } } ( c _ { 4 } | 1 \rangle _ { \mathrm { C } } - c _ { 3 } | 2 \rangle _ { \mathrm { C } } - c _ { 2 } | 3 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 1 } | 4 \rangle _ { \mathrm { C } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. - \frac 1 2 ( { \mathbb P } _ { i j } - { \mathbb P } _ { j i } ) \right| _ { p = \dot { R } g } = - ( R ^ { T } \dot { R } ) _ { i j } = \hat { \Omega } _ { i j } = \epsilon _ { i j k } \Omega _ { k } , } \end{array}
\mu = \frac { M ^ { x _ { \beta } } ( 1 - \eta ) ^ { \frac { 1 } { x _ { \alpha } } } } { D ^ { x _ { \beta } } } \quad , \quad \lambda = \frac { M ^ { x _ { \alpha } } \eta ^ { \frac { 1 } { x _ { \beta } } } } { D ^ { x _ { \alpha } } } \, ,
{ \cal D } _ { l } ^ { + ( 1 ) } ( P ) { \cal A } = \frac { ( - 1 ) ^ { l } } { ( l + 1 ) } \frac { \Delta ( \lambda ( 1 ) ) } { \Delta ( \lambda ( 2 ) ) } : Q _ { l + 1 } ^ { ( + ) } [ j _ { 1 } ( P ) + \bar { j } _ { 1 } ( P ) ] : _ { - } \exp ( U )
\begin{array} { r l r } { \nu _ { \alpha , i } } & { \leq } & { C \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { - m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } / 2 } \sqrt { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } - 2 \widetilde { \Delta } I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } } \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } \\ & { \leq } & { C \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \left( 1 + \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert + \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert \right) e ^ { - m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } / 2 } \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } \\ & { \leq } & { C \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \int _ { 0 } ^ { \infty } R ^ { 2 } e ^ { - m _ { \beta } R ^ { 2 } / 2 } d R + C \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - m _ { \beta } R ^ { 2 } / 2 } \left( R ^ { 2 } + R ^ { 3 } \right) \, d R } \\ & { \leq } & { C \left( 1 + \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert \right) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( z , t ) } & { { } = \sum _ { n = - N } ^ { N } \mathbf { x } [ n ] ( z ) \textrm { e } ^ { \textrm { i } ( \omega + n \omega _ { m } ) t } , } \\ { y ( z , t ) } & { { } = \sum _ { n = - N } ^ { N } \mathbf { y } [ n ] ( z ) \textrm { e } ^ { \textrm { i } ( \omega + n \omega _ { m } ) t } , } \end{array}
\Gamma _ { \mu } = \bar { u } ( p _ { 2 } ) \Big [ \gamma _ { \mu } f ( p _ { 1 } , ~ p _ { 2 } ) - ( 1 / 2 m ) \sigma _ { \mu \nu } q _ { \nu } g ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) \Big ] u ( p _ { 1 } ) ~ ,
\tilde { H } _ { \mathrm { T B } } ( k ) = \left( \begin{array} { l l } { h - \sum _ { n \in \mathbb { Z } \backslash \{ 0 \} } e ^ { - i k 2 d n } G ( 2 d n ) } & { - e ^ { - i k d } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i ( 2 n - 1 ) k d } G \Bigl ( ( 2 n - 1 ) d \Bigr ) } \\ { - e ^ { i k d } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i ( 2 n - 1 ) k d } G \Bigl ( ( 2 n - 1 ) d \Bigr ) } & { - h - \sum _ { n \in \mathbb { Z } \backslash \{ 0 \} } e ^ { - i k 2 d n } G ( 2 d n ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } \cong G _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ e ~ x ~ t ~ ) ~ } } / G _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ e ~ x ~ t ~ ) ~ } } \cong \mathbb { R } \times S ^ { 1 } . } \end{array}
P = \frac { 8 \left( 2 \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } + \sqrt { 2 } \zeta _ { 1 } \right) \sqrt { \zeta _ { 4 } \sqrt { 2 } \zeta _ { 2 } } } { \left( \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { - 3 / 2 } A \zeta _ { 4 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \log \Big ( \frac { N ^ { * } ( z ) } { N ^ { * } ( 0 ) } \Big ) + \frac { R } { N _ { 0 , g } - R } \log \Big ( \frac { N _ { 0 , g } - N ^ { * } ( z ) } { N _ { 0 , g } - N ^ { * } ( 0 ) } \Big ) - } \\ & { } & { \frac { N _ { 0 , g } } { N _ { 0 , g } - R } \log \Big ( \frac { N ^ { * } ( z ) - R } { N ^ { * } ( 0 ) - R } \Big ) = \kappa N _ { 0 , g } R \ z , } \\ & { } & { 0 \le z \le L _ { g } . } \end{array}
\frac { \mathcal { A } _ { n } [ u ] } { \mathcal { A } _ { n - 1 } [ u ] } = \sqrt { \frac { \sum _ { j \ge 0 } \alpha ^ { j } | u _ { n - j } | ^ { 2 } } { \sum _ { j \ge 0 } \alpha ^ { j } | u _ { n - 1 - j } | ^ { 2 } } } = \sqrt { \frac { | u _ { n } | ^ { 2 } + \sum _ { j \ge 1 } \alpha ^ { j } | u _ { n - j } | ^ { 2 } } { \sum _ { j \ge 1 } \alpha ^ { j - 1 } | u _ { n - j } | ^ { 2 } } } = \sqrt { \alpha + \frac { \alpha | u _ { n } | ^ { 2 } } { \sum _ { j \ge 1 } \alpha ^ { j } | u _ { n - j } | ^ { 2 } } } .
A = \left( \begin{array} { c c c c } { \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } + \frac { ( l ^ { \prime } + 0 . 5 ) ^ { 2 } } { 2 } + r ( 1 ) ^ { 2 } ( v _ { e f f } ( 1 ) - \epsilon _ { i } + i \omega ) } & { - \frac { 1 } { 2 \Delta x ^ { 2 } } } & { 0 } & { . . . } \\ { - \frac { 1 } { 2 \Delta x ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } + \frac { ( l ^ { \prime } + 0 . 5 ) ^ { 2 } } { 2 } + r ( 2 ) ^ { 2 } ( v _ { e f f } ( 2 ) - \epsilon _ { i } + i \omega ) } & { - \frac { 1 } { 2 \Delta x ^ { 2 } } } & { . . . } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { 2 \Delta x ^ { 2 } } } & { . . . } & { . . . } \\ { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } \end{array} \right)
\frac { \mathrm { ~ d ~ } I _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { \mathrm { ~ d ~ } z } = - ( K _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } + S _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } ) I _ { \mathrm { ~ f ~ } } + S _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } I _ { \mathrm { ~ b ~ } } ; \, \, \, \, \, \, \, \frac { - \mathrm { ~ d ~ } I _ { \mathrm { ~ b ~ } } } { \mathrm { ~ d ~ } z } = - ( K _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } + S _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } ) I _ { \mathrm { ~ b ~ } } + S _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } I _ { \mathrm { ~ f ~ } } ;
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \right] } & { { } \equiv } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \langle n _ { i } | \hat { F } ( Q _ { i } ) | n _ { i } - \delta _ { i } \rangle \langle n _ { i } - \delta _ { i } | \hat { G } ( Q _ { i } ) | n _ { i } \rangle \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } } \end{array}
A ( \mathbf { x } ) = R _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ j ~ o ~ r ~ } } ( \mathbf { x } ) / R _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ o ~ r ~ } } ( \mathbf { x } ) \quad R _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ o ~ r ~ } } = \sqrt { \overline { { C } } _ { A } ( \mathbf { x } ) / \pi } \quad R _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ j ~ o ~ r ~ } ( \mathbf { x } ) } = \frac { V ( \mathbf { x } ) } { 2 \pi ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ o ~ r ~ } } ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) }
\begin{array} { r l r } { n _ { B } \, { \cal R } } & { \approx } & { \frac { n _ { B } \, b _ { p B \alpha } } { \nu _ { p e } \left( u _ { p e } \right) } \approx \frac { C _ { p e } \, \gamma _ { p e } ^ { 2 } \, u _ { \alpha } \, u _ { p e } ^ { 3 } } { \Lambda _ { p e } } \approx 4 \cdot 1 0 ^ { 2 6 } \, \mathrm { m } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \pi _ { j } ^ { a } \left( \xi _ { j } ^ { a } \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { i j , k } ^ { a } \left( b _ { j } , r _ { i j } ^ { a } , r _ { j j } ^ { a } , N _ { i j } ^ { I } , N _ { j j } ^ { I } \right) \left[ b _ { j } + \left( r _ { i j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) l _ { i j } ^ { a } - C _ { a v } \cdot w _ { i } ^ { a } \left( N _ { i j } ^ { I } \right) \right] } \\ { + } & { \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 1 } } \left( b _ { j } , r _ { i j } ^ { a } , r _ { j j } ^ { a } , N _ { i j } ^ { I } , N _ { j j } ^ { I } \right) \left[ b _ { j } + \left( r _ { i j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { i , k } ^ { b _ { 1 } } - C _ { a v } \cdot w _ { i } ^ { a } \left( N _ { i j } ^ { I } \right) \right] } \\ { + } & { \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 2 } } \left( b _ { j } , r _ { i j } ^ { a } , r _ { j j } ^ { a } , N _ { i j } ^ { I } , N _ { j j } ^ { I } \right) \left[ b _ { j } + \left( r _ { j j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { j , k } ^ { b _ { 2 } } - C _ { a v } \cdot w _ { j } ^ { a } \left( N _ { j j } ^ { I } \right) \right] } \\ { + } & { \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 3 } } \left( b _ { j } , r _ { i j } ^ { a } , r _ { j j } ^ { a } , N _ { i j } ^ { I } , N _ { j j } ^ { I } \right) \left[ 2 b _ { j } + \left( r _ { i j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { i , k } ^ { b _ { 3 } } + \left( r _ { j j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { j , k } ^ { b _ { 3 } } - C _ { a v } \cdot w _ { i } ^ { a } \left( N _ { i j } ^ { I } \right) - C _ { a v } \cdot w _ { j } ^ { a } \left( N _ { j j } ^ { I } \right) \right] } \\ { - } & { \frac { C _ { a v } } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } N _ { i j } ^ { I } , \quad j = 1 , \dots , M . } \end{array}
F _ { \theta \phi } = \sqrt { B ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 4 } } s i n \theta \ \ \Leftrightarrow \, B _ { r } = \sqrt { \frac { 1 - r _ { 0 } ^ { 4 } / r ^ { 4 } } { 1 + A ^ { 2 } / r ^ { 4 } } } \frac { A } { r ^ { 2 } }
A \, = \, \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { { \, \, } } } & { { \Theta _ { [ 1 ] } } } \\ { { \Theta _ { [ 1 ] } } } & { { { \, \, } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , \quad \Theta _ { [ 1 ] } \, = \, \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { { \, \, } } } & { { 0 } } & { { { \, \, } } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { { \, \, } } } & { { - 1 } } & { { { \, \, } } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { { \, \, } } } & { { 0 } } & { { { \, \, } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad ,
\tilde { x } ^ { 0 , 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } } } x ^ { 0 , 1 } , \qquad \tilde { x } ^ { 2 , \ldots , 5 } = \frac { 1 } { \epsilon \sqrt { \alpha _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } } } x ^ { 2 , \ldots , 5 }
\varepsilon ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( \frac { \tilde { \eta } } { \tilde { r } } \frac { \partial ( \tilde { r } \tilde { u } ) } { \partial \tilde { r } } \right) + \frac { \partial } { \partial \tilde { z } } \left( \tilde { \eta } \frac { \partial \tilde { u } } { \partial \tilde { z } } \right) = \frac { \partial \tilde { P } } { \partial \tilde { r } } ,
\begin{array} { r l } { u ( x , y , 0 ) } & { = u _ { 1 } ( x , y ) + u _ { 2 } ( x , y ) + u _ { 3 } ( x , y ) , \quad ( x , y ) \in [ 0 , 1 ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { u _ { 1 } ( x , y ) } & { = \frac { 1 } { 4 } ( 1 + \cos ( \pi q ( x , y ) ) ) , \quad q ( x , y ) = \operatorname* { m i n } ( \sqrt { ( x - \bar { x } ) ^ { 2 } + ( y - \bar { y } ) ^ { 2 } } , r _ { 0 } ) / r _ { 0 } , { ( \bar { x } , \bar { y } ) } = ( 0 . 2 5 , 0 . 5 ) , r _ { 0 } = 0 . 1 5 } \\ { u _ { 2 } ( x , y ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \frac { 1 } { r _ { 0 } } \sqrt { ( x - \bar { x } ) ^ { 2 } + ( y - \bar { y } ) ^ { 2 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( x - \bar { x } ) ^ { 2 } + ( y - \bar { y } ) ^ { 2 } \le r _ { 0 } ^ { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , \quad { ( \bar { x } , \bar { y } ) } = ( 0 . 5 , 0 . 2 5 ) , r _ { 0 } = 0 . 1 5 } \\ { u _ { 3 } ( x , y ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( x , y ) \in \mathrm { C } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
| g _ { R } ^ { \prime } ( r ) | \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \quad \mathrm { f o r } \; r \leq R , } \\ { \frac { 2 C _ { g } } { 2 R } \left( 1 - \frac { 1 } { ( 2 R ) ^ { \operatorname* { m a x } ( 0 , p - 4 ) } } \right) + \frac { 2 ^ { \operatorname* { m a x } ( 1 , p - 3 ) } \operatorname* { m i n } ( 0 , 4 - p ) } { ( 2 R ) ^ { \operatorname* { m a x } ( 1 , p - 3 ) } } \quad \mathrm { f o r } \; R \leq r \leq 2 R , } \\ { 0 \quad \mathrm { f o r } \, r \geq 2 R . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { 8 \pi \, m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = } \\ & { } & { \int _ { \partial D _ { b } } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } \sigma _ { \alpha b \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) - \int _ { \partial D _ { b } } p _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) v _ { b \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) } \\ & { } & { + \int _ { \partial D _ { b } } \, \left( v _ { \alpha \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \nabla _ { b } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } + n _ { \alpha } ( { \pmb x } ) v _ { c \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) \nabla _ { c } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } \right) d S ( { \pmb x } ) } \end{array}
d _ { v } ( x ) = x ^ { 0 . 5 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 3 } \left[ 0 . 0 7 2 + 0 . 2 0 6 ( 1 - x ^ { 2 } ) + 0 . 6 2 1 ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] \; .
\mathbf { r } ( t ) = \frac { v _ { 0 } \gamma _ { 0 } } { | B | } \left[ \sin \left( \frac { \gamma _ { 0 } q | B | t } { m } \right) \hat { x } + \left( - 1 + \cos \left( \frac { \gamma _ { 0 } q | B | t } { m } \right) \right) \hat { y } \right] .
w ^ { 2 } = \frac { \gamma _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T } { m } \left[ 1 + \frac { \beta _ { \mathrm { a } } } { R T } p + \frac { \gamma _ { \mathrm { a } } } { R T } p ^ { 2 } + \ldots \right] ,
x ^ { \alpha + \beta } \frac { d ^ { \beta } } { d x ^ { \beta } } \left( x ^ { \nu - \alpha + \beta } \mathcal { W } _ { \alpha , \beta , \nu + \beta } ( x ^ { \beta } ) \right) - 2 x ^ { \nu + \beta } \mathcal { W } _ { \alpha , \beta , \nu } ( x ^ { \beta } ) + x ^ { \alpha + \nu } \frac { d ^ { \alpha } } { d x ^ { \alpha } } \mathcal { W } _ { \alpha , \beta , \nu - \beta } ( x ^ { \beta } ) = 0 .
\begin{array} { r l } & { \underline { { X } } _ { i } u _ { i t } ^ { \mathrm { o } } \leq \underline { { x } } _ { i t } ^ { \mathrm { g } } \leq \overline { { x } } _ { i t } ^ { \mathrm { g } } \leq \overline { { X } } _ { i } u _ { i t } ^ { \mathrm { o } } } \\ & { \overline { { x } } _ { i t } ^ { \mathrm { g } } - \underline { { x } } _ { i \left( t - 1 \right) } ^ { \mathrm { g } } \leq X _ { i } ^ { \mathrm { r u } } u _ { i ( t - 1 ) } ^ { \mathrm { o } } + X _ { i } ^ { \mathrm { s u } } u _ { i t } ^ { \mathrm { u } } } \\ & { \overline { { x } } _ { i \left( t - 1 \right) } ^ { \mathrm { g } } - \underline { { x } } _ { i t } ^ { \mathrm { g } } \leq X _ { i } ^ { \mathrm { r d } } u _ { i t } ^ { \mathrm { o } } + X _ { i } ^ { \mathrm { s d } } u _ { i t } ^ { \mathrm { d } } } \end{array}
\begin{array} { r } { f ^ { \{ I \} } = \left[ \begin{array} { l } { \alpha _ { u } u _ { x x } } \\ { \alpha _ { v } v _ { x x } } \\ { \alpha _ { w } w _ { x x } } \end{array} \right] , \quad f ^ { \{ E \} } = \left[ \begin{array} { l } { \rho _ { u } u _ { x } } \\ { \rho _ { v } v _ { x } } \\ { \rho _ { w } w _ { x } } \end{array} \right] , \quad f ^ { \{ F \} } = \left[ \begin{array} { l } { r _ { u } ( a - ( w - 1 ) u + u ^ { 2 } v ) } \\ { r _ { v } ( w u - u ^ { 2 } v ) } \\ { r _ { w } ( \frac { b - w } { \varepsilon } - w u ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { J = \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { x } ^ { n + 1 } } | | ( \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { A } ) ^ { - 1 } \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { x } ^ { n + 1 } - \mathbf { x } ^ { n } | | } \end{array}
\{ e _ { 0 } = 0 . 0 0 1 , \Omega _ { 0 } = 4 8 . 2 ^ { \circ } , \omega _ { 0 } = 3 4 7 . 8 ^ { \circ } , \nu _ { 0 } = 8 5 . 3 ^ { \circ } \}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \epsilon _ { \nu } } { \partial N } = \int | \psi _ { \nu } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \left( ( - e ) \frac { \partial \left[ \phi ( \mathbf { r } ) - \phi _ { \mathrm { e l y t e } } \right] } { \partial N } + \frac { \partial \mu _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { r } ) } { \partial N } \right) \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 2 } } & { = \frac { \alpha ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \sum _ { i \in [ M ] } \left( g _ { i , t } ( \theta _ { t } ) - \bar { g } ( \theta _ { t } ) \right) + M \bar { g } ( \theta _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq \frac { 2 \alpha ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \sum _ { i \in [ M ] } \left( g _ { i , t } ( \theta _ { t } ) - \bar { g } ( \theta _ { t } ) \right) \right\Vert ^ { 2 } \right] + 2 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \bar { g } ( \theta _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] . } \end{array}
V ( r ) = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } M _ { 5 } ^ { 3 } R r } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \sin \left( \frac { r } { R } u \right) \frac { K _ { 2 } ( u ) } { 2 K _ { 1 } ( u ) - \frac { \lambda } { R } u K _ { 2 } ( u ) } .
\begin{array} { r l r } & { } & { i q _ { \rho } { M ^ { \pm } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = i N _ { c } \frac { e _ { 1 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { { T r } } \left[ \frac { p \! \! \! / + m _ { 1 } } { p ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } \gamma ^ { \mu } \frac { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } + m _ { 1 } } { ( p + k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } q \! \! \! / \gamma ^ { 5 } \frac { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } + m _ { 2 } } { ( p - k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } \gamma ^ { \nu } \right] } \\ & { } & { + i N _ { c } \frac { e _ { 2 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { \mathrm { T r } } \left[ \frac { p \! \! \! / + m _ { 2 } } { p ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } \gamma ^ { \nu } \frac { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 2 } + m _ { 1 } } { ( p + k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } q \! \! \! / \gamma ^ { 5 } \frac { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 1 } + m _ { 2 } } { ( p - k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } \gamma ^ { \mu } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { M \mathrm { ~ - ~ } H } } = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { \mathcal { A } ( \mathcal { S } ^ { \prime } \rightarrow \mathcal { S } ) } { \mathcal { A } ( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S } ^ { \prime } ) } \frac { \pi ( \mathcal { S } ^ { \prime } ) } { \pi ( \mathcal { S } ~ ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { i \hbar \frac { \partial \psi ( \mathbf { x } ) } { \partial t } = - \left( \frac { \nabla _ { N } ^ { 2 } } { 2 M } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \nabla _ { j } ^ { 2 } } { 2 m } \right) \psi ( \mathbf { x } ) + V ( \mathbf { x } ) \psi ( \mathbf { x } ) } \end{array}