harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { i \hbar \frac { { \partial { \cal N } ( { \bf { r } } , t ) } } { { \partial t } } = \left( { \sqrt { E _ { 0 } ^ { 2 } - { \hbar ^ { 2 } } \Delta } } \right) { \cal N } ( { \bf { r } } , t ) + e \phi ( { \bf { r } } ) { \cal N } ( { \bf { r } } , t ) - \mu { \cal N } ( { \bf { r } } , t ) , } \\ & { \Delta \phi ( { \bf { r } } ) = 4 \pi e \left[ { | { \cal N } ( { \bf { r } } ) { | ^ { 2 } } - { n _ { 0 } } } \right] . } \end{array}
\{ J _ { a } ( \phi ) , J _ { b } ( \phi ^ { \prime } ) \} = - f _ { ~ a b } ^ { c } J _ { c } ( \phi ) \delta ( \phi - \phi ^ { \prime } ) - \frac { k } { 4 \pi } \eta _ { a b } \partial _ { \phi } \delta ( \phi - \phi ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { 2 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k ; \hbar ) = \frac { i \lambda } { \hbar } } & { \sum _ { l = 1 } ^ { k - 4 } \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - 2 } } \sum _ { \alpha ^ { 1 } \in \mathbb { N } ^ { k _ { 1 } } } \int _ { [ 0 , t ] ^ { \beta + k + 1 } } U _ { \hbar , \lambda } ( - s _ { k _ { \beta + k + 1 } } ) U _ { \hbar , 0 } ( s _ { k _ { \beta + k + 1 } } ) V _ { \hbar , x _ { l } } ^ { s _ { k + \beta + 1 } } } \\ & { \times \tilde { \Theta } _ { \beta } ^ { \mathrm { d o b } } ( \boldsymbol { s } _ { \beta + k , k } ; V , \hbar ) \prod _ { m = 1 } ^ { k } \Theta _ { \alpha _ { m } ^ { 1 } } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { \iota ( m ) } ; V , \hbar ) \, d \boldsymbol { s } _ { k , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { \sum _ { I , J , K , Q } f _ { l } ( A , A ^ { \dagger } ; \vec { i } , \vec { j } , \vec { k } , \vec { q } ; \sigma _ { 1 } ) \langle ( Z _ { 1 } ) _ { k _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } } \dots ( Z _ { 1 } ) _ { k _ { m _ { 1 } } } ^ { i _ { m _ { 1 } } } \dots ( Z _ { l } ) _ { k _ { \mathbf { m } - m _ { l } } } ^ { i _ { \mathbf { m } - m _ { l } } } \dots ( Z _ { l } ) _ { k _ { \mathbf { m } } } ^ { i _ { \mathbf { m } } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times ( Z _ { 1 } ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { q _ { 1 } } \dots ( Z _ { 1 } ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m _ { 1 } ) } } ^ { q _ { m _ { 1 } } } \dots ( Z _ { l } ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { m } - m _ { l } ) } } ^ { q _ { \mathbf { m } - m _ { l } } } \dots ( Z _ { l } ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { m } ) } } ^ { q _ { \mathbf { m } } } \rangle } \end{array}
\mathrm { ~ s ~ } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ i ~ b ~ } } : = \sqrt { \sum _ { p } ( p - p _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ) ^ { 2 } } \; \; , \quad p \in \{ 0 . 1 , \dots , 0 . 9 \}
{ \frac { f _ { \theta _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) } { f _ { \theta _ { 0 } } ( x _ { 1 } ) } } \geq { \frac { f _ { \theta _ { 1 } } ( x _ { 0 } ) } { f _ { \theta _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) } } ,
\sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \to \bar { \nu } _ { e } \nu _ { e } H ) \to \frac { G _ { F } ^ { 3 } M _ { W } ^ { 4 } } { 4 \sqrt { 2 } \pi ^ { 3 } } \left[ \log \frac { s } { M _ { H } ^ { 2 } } - 2 \right] ~ .
\begin{array} { r l } { D \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } - \lambda \frac { \partial \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } } & { { } - ( s + \alpha + r ) \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { 0 } ) + \alpha \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { 0 } ) } \\ { D \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } - \lambda \frac { \partial \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } } & { { } - ( s + \beta + r ) \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { 0 } ) + \beta \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { 0 } ) } \end{array}
1 0 0 \sqrt { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \mathrm { t e s t } } } ( x _ { \mathrm { m e a n } , k } ^ { \mathrm { o u t } } - x _ { k } ^ { \mathrm { t e s t } } ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \mathrm { t e s t } } } ( x _ { k } ^ { \mathrm { t e s t } } ) ^ { 2 } } }
\hat { u } = u \, , \; \; \hat { v } = v \frac { u _ { \mathrm { R M S } } } { v _ { \mathrm { R M S } } } \, , \; \; \hat { w } = w \frac { u _ { \mathrm { R M S } } } { w _ { \mathrm { R M S } } } \, ,
\begin{array} { r } { u ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l c r } { u _ { k } + \frac { u _ { k + 1 } - u _ { k } } { F ( ( \xi _ { k + 1 } - v _ { k } ) / a _ { k } ) - F ( ( \xi _ { k } - v _ { k } ) / a _ { k } ) } ( F ( ( \xi - v _ { k } ) / a _ { k } ) - F ( ( \xi _ { k } - v _ { k } ) / a _ { k } ) ) } & { , } & { a _ { k } > 0 , } \\ { u _ { k } } & { , } & { a _ { k } = 0 , } \end{array} \right. } \\ { \xi _ { k } < \xi < \xi _ { k + 1 } , \ k = 0 , \ldots , d , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { \cal G H } } & { ( x | \lambda , \alpha , \beta , \delta , \mu ) = } \\ & { a ( \lambda , \alpha , \beta , \delta , \mu ) \left( \delta ^ { 2 } + ( x - \mu ) ^ { 2 } \right) ^ { ( \lambda - \frac { 1 } { 2 } ) / 2 } } \\ & { \times K _ { \lambda - 1 / 2 } \left( \alpha \sqrt { \delta ^ { 2 } + ( x - \mu ) ^ { 2 } } \right) \exp \left[ \beta ( x - \mu ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { K L } ( P | | \hat { P } ) } & { = - \log ( 1 - \eta ) - \frac { \eta } { l n \; 2 } \sum _ { i } \pi _ { i } \times } \\ & { \left\{ \sum _ { j } A _ { i j } \sum _ { l } \frac { 1 } { k _ { i } ^ { o u t } } A _ { i l } \frac { 1 } { k _ { l } ^ { o u t } } A _ { l j } \right\} + \mathcal { O } ( \eta ^ { 2 } ) . } \end{array}
e ^ { x } = { \sqrt { \frac { 1 + \operatorname { t a n h } x } { 1 - \operatorname { t a n h } x } } } = { \frac { 1 + \operatorname { t a n h } { \frac { x } { 2 } } } { 1 - \operatorname { t a n h } { \frac { x } { 2 } } } }
j ^ { \alpha } = - e ^ { 2 } \int d ^ { 4 } p \; \left( \frac { \delta ^ { \alpha \gamma } p ^ { \beta } } { p \cdot \partial } - \partial ^ { \gamma } \frac { p ^ { \alpha } p ^ { \beta } } { ( p \cdot \partial ) ^ { 2 } } \right) F _ { \beta \gamma } \, f ^ { 0 } \; .
\mathbf { A } = \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { A } _ { e , e } } & { \mathbf { A } _ { e , e p } } & { \mathbf { A } _ { e , p } } \\ { \mathbf { A } _ { e p , e } } & { \mathbf { A } _ { e p , e p } } & { \mathbf { A } _ { e p , p } } \\ { \mathbf { A } _ { p , e } } & { \mathbf { A } _ { p , e p } } & { \mathbf { A } _ { p , p } } \end{array} \right) .
\tilde { g } ^ { \prime \prime } ( 1 ) = \frac { 2 \tilde { \varkappa } ^ { 4 } } { \sqrt { \tilde { \varkappa } ^ { 4 } + 4 } } - 4 \tilde { \varkappa } ^ { 2 } + \left( \tilde { \varkappa } ^ { 2 } + 3 \right) ^ { 2 } - \left( \tilde { \varkappa } ^ { 2 } + 3 \right) \left( \sqrt { \tilde { \varkappa } ^ { 4 } + 4 } + 1 \right)
\hat { \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } } _ { r } = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } r \, \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left[ \hat { E } _ { T , j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \nabla \hat { A } _ { T , j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + h . c . \right]
\begin{array} { r l } { q ( g ^ { k + 1 } ) } & { = q ( g g ^ { k } ) \overset { = } \beta _ { q } ( g , g ^ { k } ) q ( g ) q ( g ^ { k } ) \overset { = } q ( g ^ { 2 } ) ^ { k } q ( g ) ^ { - 2 k } q ( g ) q ( g ^ { k } ) } \\ & { \overset { , } { = } q ( g ) ^ { 3 k } q ( g g _ { 0 } ) ^ { k } q ( g ) ^ { - 2 k } q ( g ) q ( g ) ^ { k ^ { 2 } - \textnormal { s u m } _ { < } ( k ) } q ( g g _ { 0 } ) ^ { \textnormal { s u m } _ { < } ( k ) } } \\ & { = q ( g ) ^ { k } q ( g ) ^ { k ^ { 2 } - \textnormal { s u m } _ { < } ( k ) + 1 } q ( g g _ { 0 } ) ^ { \textnormal { s u m } _ { < } ( k ) + k } } \\ & { = q ( g ) ^ { k ^ { 2 } + k + 1 - \textnormal { s u m } _ { < } ( k ) } q ( g g _ { 0 } ) ^ { \textnormal { s u m } _ { < } ( k + 1 ) } } \\ & { = q ( g ) ^ { k ^ { 2 } + k + 1 - ( \textnormal { s u m } _ { < } ( k + 1 ) - k ) } q ( g g _ { 0 } ) ^ { \textnormal { s u m } _ { < } ( k + 1 ) } } \\ & { = q ( g ) ^ { ( k + 1 ) ^ { 2 } - \textnormal { s u m } _ { < } ( k + 1 ) } q ( g g _ { 0 } ) ^ { \textnormal { s u m } _ { < } ( k + 1 ) } , } \end{array}
\Pi _ { \mathrm { u c } } ^ { ( 2 ) } ( Q ) = \frac { e _ { 4 } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { \pi \Lambda ^ { 2 } } { 6 M _ { c } ^ { 2 } } + \frac { \pi Q ^ { 2 } } { 3 0 M _ { c } ^ { 2 } } \left( \log ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) + \gamma - \frac { 7 7 } { 3 0 } \right) \right) \, ~ ,
f _ { ( \eta ) } ^ { \vec { \alpha } \beta \gamma } = f ^ { \alpha [ 1 ] \beta b [ 1 ] } \, \, f ^ { b [ 1 ] \alpha [ 2 ] b [ 2 ] } \, f ^ { b [ 2 ] \alpha [ 3 ] b [ 3 ] } \, \cdots \, \, f ^ { b [ \eta - 2 ] \alpha [ \eta - 1 ] b [ \eta - 1 ] } f ^ { b [ \eta - 1 ] \alpha [ \eta ] \gamma } \; ,
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { n } ^ { G W , \mathrm { 2 C } } ( C B S ) = } & { \epsilon _ { n } ^ { G W , \mathrm { s c a l a r } } ( C B S ) + \Delta _ { n } ^ { 2 C } ( Q Z 6 P ) } \\ { \epsilon _ { n } ^ { G W + G 3 W 2 , \mathrm { 2 C } } ( C B S ) = } & { \epsilon _ { n } ^ { G W , \mathrm { 2 C } } ( C B S ) + \Sigma _ { n n } ^ { G 3 W 2 } ( Q Z 6 P ) \; . } \end{array}
A _ { 0 } = W _ { u u } , \quad A _ { i } = \left[ \begin{array} { l l l l } { W _ { x _ { i } x _ { i } } + \Sigma _ { x _ { i } } } & { 0 } & { G _ { x _ { i } } ^ { \top } } & { H _ { x _ { i } } ^ { \top } } \\ { 0 } & { \Sigma _ { s _ { i } } } & { 0 } & { I } \\ { G _ { x _ { i } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { H _ { x _ { i } } } & { I } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \quad B _ { i } = \left[ \begin{array} { l } { W _ { x _ { i } u } } \\ { ( G _ { u } ^ { i } ) ^ { \top } } \\ { ( H _ { u } ^ { i } ) ^ { \top } } \end{array} \right] ^ { \top } \; .
\left( { \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) ^ { - 1 } = \left( { \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { - 1 } \\ { - 1 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r } { \frac { d S } { d S _ { 0 } } = \left| \begin{array} { c c } { \frac { \partial x } { \partial x _ { 0 } } } & { \frac { \partial x } { \partial y _ { 0 } } } \\ { \frac { \partial y } { \partial x _ { 0 } } } & { \frac { \partial y } { \partial y _ { 0 } } } \end{array} \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \rho } ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { ( \Delta { \sf t } ) ^ { N + 1 } } \int _ { 0 } ^ { \Delta { \sf t } } d { \sf t ^ { v } } \int _ { 0 } ^ { t } \dots \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { 1 } \dots d t _ { N } \, \times } \\ { ~ ~ } & { \times } & { w ( { \sf t ^ { v } } ; t _ { 1 } , \dots , t _ { N } ) \, | \Psi _ { t _ { 1 } \dots t _ { N } } ( t ; { \sf t ^ { v } } ) \rangle \langle \Psi _ { t _ { 1 } \dots t _ { N } } ( t ; { \sf t ^ { v } } ) | \, , } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { g ^ { 2 } } { g ^ { 2 } ( t ) } H ^ { 2 } + ( a _ { 1 } + \frac { 1 } { 6 } a _ { 3 } - \frac { 6 2 \, t } { 7 2 0 ( 4 \pi ) ^ { 2 } } ) R ^ { 2 }
\operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \widetilde { m } ^ { 2 } - ( E - U _ { 0 } ) ^ { 2 } } } { \hbar v _ { 1 } } L \right) = - \frac { E ( E - U _ { 0 } ) \sqrt { \widetilde { m } ^ { 2 } - ( E - U _ { 0 } ) ^ { 2 } } \sqrt { \widetilde { m } ^ { 2 } - E ^ { 2 } } } { ( E - U _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \widetilde { m } ^ { 2 } - E ^ { 2 } ) + \widetilde { m } ^ { 2 } U _ { 0 } \left( E - \frac { U _ { 0 } } { 2 } \right) } .
\begin{array} { r l } { Q _ { t } ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } } & { = \; \left\{ \begin{array} { c l } { Q _ { t } ^ { \alpha } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \; 0 \leq t \leq \tau _ { \varepsilon } ^ { \alpha } } \\ { B - \varepsilon } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \; \tau _ { \varepsilon } ^ { \alpha } < t \leq \bar { \tau } } \\ { B - \varepsilon + \overline { { a } } ( t - \bar { \tau } ) } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \; \bar { \tau } < t \leq T . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { n B } { v _ { s } } ( m _ { i } v _ { s } ^ { 2 } + T ^ { * } ) \partial _ { s } \left( \frac { v _ { s } } { B } \right) + ( m _ { i } v _ { s } ^ { 2 } + T ^ { * } ) \frac { S _ { p a r } } { v _ { s } } = } \\ { = - n B \partial _ { s } \left( \frac { m _ { i } v _ { s } ^ { 2 } + T ^ { * } } { B } \right) } \\ { ~ ~ ~ - \frac { n T ^ { * } } { B } \partial _ { s } ( B ) + S _ { m o m } } \end{array}
M = { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { a _ { 1 3 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } } \\ { a _ { 3 1 } } & { a _ { 3 2 } } & { a _ { 3 3 } } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } ^ { \mathrm { W } } ( \rho _ { A } , \rho _ { B } ) ^ { 2 } } & { = \operatorname* { i n f } _ { \rho _ { t } } \Bigl \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { \rho _ { t } } ^ { \mathrm { W } } ( \partial _ { t } { \rho } _ { t } , \partial _ { t } { \rho } _ { t } ) \mathrm { d } t : \, \rho _ { 0 } = \rho _ { A } , \rho _ { 1 } = \rho _ { B } \Bigr \} } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \psi _ { t } \in \mathsf { L } } \Bigl \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } t \int \rho _ { t } | \nabla _ { \theta } \psi _ { t } | ^ { 2 } \mathrm { d } \theta \Bigr \} , } \end{array}
x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + { \frac { 2 ( v _ { 1 } - v _ { 2 } ) } { u _ { 1 } v _ { 2 } - u _ { 2 } v _ { 1 } } } x - { \frac { 2 ( u _ { 2 } - u _ { 1 } ) } { u _ { 1 } v _ { 2 } - u _ { 2 } v _ { 1 } } } y + 1 = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \bar { \textbf { f } } _ { * } } & { = k ( \textbf { x } _ { * } , \textbf { x } ) \left[ k ( \textbf { x } , \textbf { x } ) + \sigma _ { n } ^ { 2 } \textbf { I } \right] ^ { - 1 } \textbf { y } } \\ { c o v ( \textbf { f } _ { * } ) } & { = k ( \textbf { x } _ { * } , \textbf { x } _ { * } ) - k ( \textbf { x } _ { * } , \textbf { x } ) \left[ k ( \textbf { x } , \textbf { x } ) + \sigma _ { n } ^ { 2 } \textbf { I } \right] ^ { - 1 } k ( \textbf { x } , \textbf { x } _ { * } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } S _ { f } \left[ \left( v _ { \parallel } - v _ { \parallel f } + \frac { v _ { \parallel f } + u _ { f } } { S _ { f } } \right) ^ { 2 } - \left( v _ { \parallel f } - \frac { v _ { \parallel f } + u _ { f } } { S _ { f } } \right) ^ { 2 } \right] + \left( \mu B _ { f } - v _ { \parallel f } u _ { f } \right) \left( \frac { B } { B _ { f } } - 1 \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( 2 - S _ { f } ) v _ { \parallel f } ^ { 2 } + u _ { f } v _ { \parallel f } - \frac { Z e } { m } \left( \phi _ { \theta } - \phi _ { \theta f } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { r } ( t , \overline { { c } } ) = { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } [ A _ { t } | { \mathcal F } _ { t } ] { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } [ \left( \overline { { c } } - c _ { T _ { 0 } } \right) ^ { + } | { \mathcal F } _ { t } ] , \ u _ { p } ( t , \overline { { c } } ) = { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } [ A _ { t } | { \mathcal F } _ { t } ] { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } [ \left( c _ { T _ { 0 } } - \overline { { c } } \right) ^ { + } | { \mathcal F } _ { t } ] . } \end{array}
{ \cal G } _ { \mathrm { r e l } } = C _ { A B } d { \bf r } _ { A } \cdot d { \bf r } _ { B } + \frac { g ^ { 4 } \lambda _ { A } \lambda _ { B } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } ( C ^ { - 1 } ) _ { A B } D \psi _ { A } D \psi _ { B }
\Phi ( r , \omega ) + \frac { 1 } { 2 \gamma _ { d } } \frac { 1 } { d ( \mu _ { { \mathrm a } } ( r ) + \mu _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } ( r ) ) } \alpha \frac { \partial \Phi ( r , \omega ) } { \partial \hat { n } } = \left\{ \begin{array} { l } { \frac { Q ( r , \omega ) } { \gamma _ { d } } , \, r \in s } \\ { 0 , \, r \in \partial \Omega \setminus s } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \left( \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } } { \Delta x } - \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i , j - 1 } ^ { n } } { \Delta y } \right) } \\ { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = \frac { ( B ^ { z } ) _ { i , j + 1 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } } { \Delta y } } \\ { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + 1 , j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } } { \Delta x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \mathcal { N } _ { u } } ^ { k } } & { = \mathrm { A G G } _ { k } \left( \{ h _ { v } ^ { k - 1 } , \forall v \in \mathcal { N } _ { u } \} \right) \, , } \\ { h _ { u } ^ { k } } & { = \sigma \left( W ^ { k } \cdot \mathrm { C O N C A T } ( h _ { u } ^ { k } , h _ { \mathcal { N } _ { u } } ^ { k } ) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \langle \Psi | { \cal H } ( { \bf x } ) | \Psi \rangle } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \Lambda ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } B ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } c _ { N } \{ \frac { 1 1 } { 3 } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 3 } \} g ^ { 2 } B ^ { 2 } \ln \frac { \Lambda ^ { 2 } } { B } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { + } } & { { \frac { 6 } { ( 6 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } c _ { 2 } ^ { 2 } c _ { N } ^ { 2 } B ^ { 2 } ( 1 - \frac { \beta } { 3 } ) ^ { 2 } g ^ { 4 } \ln ^ { 2 } \frac { \Lambda ^ { 2 } } { B } + ( \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } ) ^ { 2 } c _ { 2 } c _ { N } \Lambda ^ { 2 } \mathrm { T r } \langle { \bf x } | G _ { F } | { \bf x } \rangle , } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \partial _ { t t } u - \nabla \cdot ( b \nabla u ) } & { = f ( u ) } & & { \mathrm { i n } ~ ~ \Omega \times I , } \\ { u } & { = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } ~ ~ \partial \Omega \times I , } \\ { u ( \cdot , 0 ) } & { = u _ { 0 } \quad } & & { \mathrm { i n } ~ ~ \Omega , } \\ { \partial _ { t } u ( \cdot , 0 ) } & { = u _ { 1 } \quad } & & { \mathrm { i n } ~ ~ \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \forall a _ { 1 } \cdots \forall a _ { d } \exists r _ { 1 } \cdots \exists r _ { m } , } \\ & { \bigg ( a _ { 1 } \in [ p , q ] \land \cdots \land a _ { d } \in [ p , q ] \bigg ) \implies \sum _ { i = 1 } ^ { m } r _ { i } \boldsymbol { g } _ { i } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { d } ) \in \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \Psi ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N } ) } & { = } & { { \cal { A } } \prod _ { j = 1 , k = 1 ; j < m o d ( j , x _ { 1 } , 1 ) + ( k - 1 ) x _ { 1 } } ^ { N ^ { \prime } , N / x _ { 1 } } } \end{array}
F _ { r } ^ { ( \pm ) } ( x , | \mathbf { k } _ { T } | ^ { 2 } ) = N _ { c } ^ { m _ { r } } \left[ G _ { r } ^ { ( \pm ) } ( x N _ { c } , | \mathbf { k } _ { T } | ^ { 2 } ) + O \left( \frac { 1 } { N _ { c } } \right) \right] \, ,
\textbf { A } = - \frac { 1 } { c } \sum e \textbf { v } ( \textbf { r } \nabla \frac { 1 } { R _ { o } } ) = \frac { 1 } { c R _ { o } ^ { 3 } } \sum e \textbf { v } ( \textbf { r R } _ { o } )
\sigma _ { x } \eta _ { s p } \{ - t _ { 1 } \sin [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 1 } ( 2 K _ { x } ) K _ { y } \sin ( \varphi ) - t _ { 2 } \sin ( q _ { x } b ) \sin ( \varphi ) \{ K _ { y } J _ { 0 } ( K _ { y } ) J _ { 1 } ( K _ { x } ) + K _ { x } J _ { 1 } ( K _ { y } ) J _ { 2 } ( K _ { x } ) -
\begin{array} { r l } { \vert c ( { \ensuremath { \mathcal { A } } } , \boldsymbol { \omega } ) \vert } & { \leq \vert f \vert + \sum _ { i \in { \ensuremath { \mathcal { A } } } } \vert \omega _ { i } g _ { i } \vert + \sum _ { i \in { \ensuremath { \mathcal { A } } } ^ { c } } \vert \omega _ { i } g _ { i } \vert } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } \vert f \vert + \sum _ { i \in { \ensuremath { \mathcal { A } } } } \eta \vert g _ { i } \vert + \sum _ { i \in { \ensuremath { \mathcal { A } } } ^ { c } } \vert g _ { i } \vert , } \end{array}
\hat { R } \ = \ \frac { 8 ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) [ 1 + \cos ( 2 a x ) \cos ( 2 b y ) ] } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } F ^ { 2 } [ \cos ( 2 a x ) + \cos ( 2 b y ) ] ^ { 3 } } ~ .
\begin{array} { r } { J ( g ) = \frac { 1 } { 2 } \| \theta ( T ) \| _ { ( H ^ { 1 } ( \Omega ) ) ^ { \prime } } ^ { 2 } + \frac { \gamma } { 2 } \| g \| _ { U _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ } } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { { } = \sum _ { i } \left[ f _ { ( 0 0 0 ) } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( t _ { i } ) - f _ { ( 0 0 0 ) } ( t _ { i } ) \right] ^ { 2 } + \sum _ { i } \left[ f _ { ( 0 1 0 ) } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( t _ { i } ) - f _ { ( 0 1 0 ) } ( t _ { i } ) \right] ^ { 2 } } \end{array}
{ \frac { \Gamma _ { B ^ { - } } } { \Gamma _ { B ^ { 0 } } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 . 2 8 , \; \; \; \; \; \; \; \; } } & { { \delta = 0 , } } \\ { { 0 . 9 0 , \; \; \; \; \; \; \; \; } } & { { \delta = - 0 . 5 , } } \\ { { 0 . 5 9 , } } & { { \delta = - 1 , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { e } ^ { 2 \Gamma J _ { S } } = { \frac { \mathrm { s i n h } \beta } { 1 + \mathrm { s i n h } ^ { 2 } \beta } } { \frac { 1 + \mu ^ { 2 } } { \mu } } = { \frac { \mathrm { s i n } \Delta ( t _ { 0 } ) } { \mathrm { s i n } \Delta ( t ) } } } \\ & { } & { = 1 + \varepsilon \left[ { \frac { \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } } } { \mu } } - { \frac { 2 \mu } { \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } } } } \right] + \varepsilon ^ { 2 } { \frac { \mu ^ { 2 } - 5 } { 2 ( 1 + \mu ^ { 2 } ) } } + O ( S c ^ { 3 } ) } \\ & { } & { = 1 - 2 \, \mathrm { s g n } ( \Gamma ) \, S c \, \mathrm { c o s } \phi \, \mathrm { s g n } \left( \mathrm { t a n } { \frac { \Delta } { 2 } } \right) \, \left\{ 2 \mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } - { \frac { 1 } { \mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } } } \right\} } \\ & { } & { + 2 \, S c ^ { 2 } \, \mathrm { c o s } ^ { 2 } \phi { \frac { \mu ^ { 2 } - 5 } { 1 + \mu ^ { 2 } } } + O ( S c ^ { 3 } ) } \end{array}
- i f _ { \, \hat { \alpha } \hat { \beta } } ^ { Y } \hat { \gamma } ^ { \hat { \alpha } } \hat { \nabla } ^ { \hat { \beta } } = - \frac { x ^ { i } } { r } Q _ { i } + \frac { 2 i } { \mu \sqrt { V } } \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \lambda - V } } \\ { { 1 - \lambda } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l r } { { \cal J } _ { n l l ^ { \prime } , 1 s } ^ { b } ( \tau , q ) } & { = } & { \frac { \tau } { q } \; \frac { 2 ^ { 2 l ^ { \prime } + \tau + 2 } \; n ^ { \tau - 1 } } { ( 2 l ^ { \prime } + 1 ) ! } \left[ \frac { ( n + l ) ! } { ( n - l - 1 ) ! } \right] ^ { 1 / 2 } \mathrm { R e } \left\{ \sum _ { k = - 1 , 1 } d _ { \; n , l } ^ { \; l ^ { \prime } , - k } \right. } \\ & { } & { \times \sum _ { p = 0 } ^ { l ^ { \prime } } \frac { i ^ { p - l ^ { \prime } - 1 } } { ( 2 q ) ^ { p } } \frac { ( l ^ { \prime } + p ) ! } { p ! ( l ^ { \prime } - p ) ! } \sum _ { \nu = 0 } ^ { n - l ^ { \prime } - 1 - k } \frac { ( 4 ) ^ { \nu } } { \nu ! } ( l ^ { \prime } + 1 - p + \nu ) ! } \\ & { } & { \times \sum _ { \mu = 0 } ^ { n - l ^ { \prime } - 1 - k - \nu } \left( \frac { - 1 } { 2 n } \right) ^ { \mu } \frac { ( l ^ { \prime } + 1 + k - n ) _ { \mu + \nu } } { b \; ( 2 l ^ { \prime } + 2 ) _ { \nu } \mu ! } } \\ & { } & { \times \frac { ( n + \tau ) ^ { k + 2 \mu - n - \tau } } { ( n - \tau ) ^ { k + \mu + \nu - n + l ^ { \prime } + 1 } } \left( \frac { \tau } { 1 + \tau - i q \tau } \right) ^ { 2 + l ^ { \prime } - p + \nu } } \\ & { } & { \times \left. F _ { 1 } ( b , - n - \tau + 1 + k + \mu , 2 + l ^ { \prime } - p + \nu , b + 1 , x _ { n } , y _ { n } ) \right\} , } \end{array}
\Vert \mathcal { E } _ { 2 , 2 } ( t _ { n } ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b _ { 0 } - 1 } } \lesssim \Vert \mathcal { E } _ { 2 , 2 } ( t _ { n } ) \Vert _ { l _ { \tau } ^ { 2 } L ^ { 2 } } \lesssim \tau ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \vartheta \in [ 0 , \tau ] } \| u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \| _ { l _ { \tau } ^ { 1 0 } L ^ { 1 0 } } ^ { 5 } .
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \operatorname { a r c c o s } { \frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 b c } } } \\ { \beta } & { { } = \operatorname { a r c c o s } { \frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a c } } . } \end{array}