harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
m _ { \phi } ^ { 2 } ( t ) = \left[ \frac { \alpha ( t ) } { \alpha ( 0 ) } \right] ^ { \gamma _ { m } } \left\{ m _ { \phi } ^ { 2 } ( 0 ) - 2 m _ { \psi } ^ { 2 } ( 0 ) \left[ \left( \frac { \alpha ( t ) } { \alpha ( 0 ) } \right) ^ { - \gamma _ { m } } - 1 \right] \right\}
\hat { f } _ { i } ^ { e q } = \left\{ \begin{array} { c c } { f _ { + , i } ^ { e q } , } & { \lambda _ { i } - \delta \lambda _ { i } \leq v \leq \lambda _ { i } + \delta \lambda _ { i } , } \\ { f _ { - , i } ^ { e q } , } & { - \lambda _ { i } - \delta \lambda _ { i } \leq v \leq - \lambda _ { i } + \delta \lambda _ { i } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { I } | } & { { } \le \frac { 1 } { 4 } \bigg | \operatorname* { l i m } _ { R \to \infty } 2 \pi R \sqrt { \frac { 2 } { \pi k R } } \exp [ i ( k R - \pi / 4 ) ] } \end{array}
v _ { \parallel f } + u _ { f } = \pm \sqrt { ( v _ { \parallel } + u ) ^ { 2 } - 2 S \left[ ( \mu B - u v _ { \parallel } ) \left( \frac { B _ { f } } { B } - 1 \right) + \frac { Z e } { m } ( \phi _ { \theta f } - \phi _ { \theta } ) \right] } .
{ \cal X } = 4 \operatorname * { l i m } _ { H } \int _ { \partial \Omega } \left\{ J ^ { \alpha \mu \beta \nu } \nabla _ { \alpha } ( f _ { \mu \nu } ) n _ { \beta } \right\} \sqrt { { } _ { 3 } g } \; d ^ { 3 } x .
\begin{array} { r l r } { \rho _ { + } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { \frac { 1 } { \pi \sqrt { 2 - ( x - v _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \left( \frac { \ln 2 } { 4 } - v _ { 0 } x + \frac { 1 } { 4 } ( v _ { 0 } + x ) \sqrt { ( v _ { 0 } + x ) ^ { 2 } - 2 } - \frac { 1 } { 2 } \ln ( v _ { 0 } + x + \sqrt { ( v _ { 0 } + x ) ^ { 2 } - 2 } ) \ \right) } \\ & { \underset { x \to v _ { 0 } + \sqrt { 2 } } { = } } & { \frac { I _ { 0 } } { \pi 2 ^ { 3 / 4 } \sqrt { v _ { 0 } + \sqrt { 2 } - x } } + \frac { 1 } { \pi } \left( \frac { I _ { 0 } } { 8 \times 2 ^ { 1 / 4 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 3 / 4 } } ( v _ { 0 } - \sqrt { v _ { 0 } ( v _ { 0 } + \sqrt { 2 } \ ) } \ ) \right) \sqrt { v _ { 0 } + \sqrt { 2 } - x } + O ( ( v _ { 0 } + \sqrt { 2 } - x ) ^ { 3 / 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( \mathbf { x } ) = \underset { c \in \mathcal Y } { \arg \operatorname* { m a x } } ~ \mathbb P ( f ( \mathbf { x } + \epsilon ) = c ) , \quad \epsilon \sim \mathcal N ( 0 , \sigma ^ { 2 } I ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { g ( \phi , \theta , \psi ) = g _ { \phi } g _ { \theta } g _ { \psi } } & { = { \left( \begin{array} { l l l } { \cos \phi } & { - \sin \phi } & { 0 } \\ { \sin \phi } & { \cos \phi } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \theta } & { - \sin \theta } \\ { 0 } & { \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { \cos \psi } & { - \sin \psi } & { 0 } \\ { \sin \psi } & { \cos \psi } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l l } { \cos \phi \cos \psi - \cos \theta \sin \phi \sin \psi } & { - \cos \phi \sin \psi - \cos \theta \sin \phi \cos \psi } & { \sin \phi \sin \theta } \\ { \sin \phi \cos \psi + \cos \theta \cos \phi \sin \psi } & { - \sin \phi \sin \psi + \cos \theta \cos \phi \cos \psi } & { - \cos \phi \sin \theta } \\ { \sin \psi \sin \theta } & { \cos \psi \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right) } , } \end{array} }
\mathbf { B } _ { s ^ { \ast } } ^ { - 1 } \triangleq \mathbf { S } ^ { \ast } \left[ \mathbf { S } ^ { \ast T } ( \mathbf { I } - z _ { s } \ensuremath { \Delta \mathrm { ~ t ~ } } \mathbf { J } ) \mathbf { S } \right] ^ { - 1 } \mathbf { S } ^ { \ast T }
{ \begin{array} { l c l } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to p } ( f ( x ) + g ( x ) ) } & { = } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) + \operatorname* { l i m } _ { x \to p } g ( x ) } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to p } ( f ( x ) - g ( x ) ) } & { = } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) - \operatorname* { l i m } _ { x \to p } g ( x ) } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to p } ( f ( x ) \cdot g ( x ) ) } & { = } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) \cdot \operatorname* { l i m } _ { x \to p } g ( x ) } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to p } ( f ( x ) / g ( x ) ) } & { = } & { \displaystyle { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) / \operatorname* { l i m } _ { x \to p } g ( x ) } } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) ^ { g ( x ) } } & { = } & { \displaystyle { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } f ( x ) ^ { \operatorname* { l i m } _ { x \to p } g ( x ) } } } \end{array} }
R _ { a b } = \frac { 1 } { 6 } F _ { a c d e f } F _ { b } ^ { ~ c d e f } + \frac { 1 } { 8 } \left( G _ { a c d } G _ { b } ^ { * c d } + G _ { a c d } ^ { * } G _ { b } ^ { ~ c d } - \frac { 1 } { 6 } g _ { a b } G _ { c d e } G ^ { * c d e } \right) ,
\frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { u _ { 0 } - i \infty } ^ { u _ { 0 } + i \infty } \! \mathrm { d } u \, | \widehat b _ { X } ( u ) | ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { u _ { 0 } - i \infty } ^ { u _ { 0 } + i \infty } \! \mathrm { d } u \, \left| \frac { \widehat B _ { X } ( u ) } { \sin \pi u } \right| ^ { 2 } < \infty \, ,
\cos \beta \, p \left( { \frac { a } { r } } \right) p \left( { \frac { s } { r } } \right) = q \left( { \frac { a } { r } } \right) q \left( { \frac { s } { r } } \right) - q \left( { \frac { \lambda } { r } } \right) , \quad \left[ { \frac { e ^ { t } - e ^ { - t } } { 2 } } = p ( t ) , \ { \frac { e ^ { t } + e ^ { - t } } { 2 } } = q ( t ) \right]
\mathrm { d } \equiv \mathrm { d } z ^ { { \cal A } } \frac { \partial ~ } { \partial z ^ { { \cal A } } } = e ^ { { \cal A } } D _ { { \cal A } } = e ^ { A } \partial _ { A } + \mathrm { d } \theta ^ { i \alpha } D _ { i \alpha } + \mathrm { d } \tilde { \theta } _ { \alpha } ^ { \tilde { \imath } } { \tilde { D } } _ { \tilde { \imath } } ^ { \alpha }
w _ { t - \tau : t - 1 } = \big ( 1 , z _ { 1 } , \dots , z _ { d _ { 3 } } , x _ { t - 1 } ^ { ( 1 ) } , \dots , x _ { t - \tau } ^ { ( 1 ) } , \dots , x _ { t - 1 } ^ { ( d _ { 2 } ) } , \dots , x _ { t - \tau } ^ { ( d _ { 2 } ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( 1 ) } , \dots , y _ { t - \tau } ^ { ( 1 ) } , \dots , y _ { t - 1 } ^ { ( d _ { 1 } ) } , \dots , y _ { t - \tau } ^ { ( d _ { 1 } ) } \big ) ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = } & { \frac { u _ { 1 } } { 2 N _ { 1 } } \left[ ( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } ) ^ { 2 } + ( \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } ) ^ { 2 } \right] + \frac { u _ { 2 } } { 2 N _ { 2 } } \left[ ( \hat { b } _ { L } ^ { \dagger } \hat { b } _ { L } ) ^ { 2 } + ( \hat { b } _ { R } ^ { \dagger } \hat { b } _ { R } ) ^ { 2 } \right] - \frac { v _ { 1 } } { 2 } \left( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } + \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } \right) - \frac { v _ { 2 } } { 2 } \left( \hat { b } _ { L } ^ { \dagger } \hat { b } _ { R } + \hat { b } _ { R } ^ { \dagger } \hat { b } _ { L } \right) } \\ & { } & { + \frac { u _ { 1 2 } } { \sqrt { N _ { 1 } N _ { 2 } } } \left( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } \hat { b } _ { L } ^ { \dagger } \hat { b } _ { L } + \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } \hat { b } _ { R } ^ { \dagger } \hat { b } _ { R } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { y } + 2 \delta \dot { y } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } y } & { { } = u ( t ) \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \delta = 0 . 0 5 \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \omega _ { 0 } = 1 . 0 , } \\ { \dot { y } } & { { } = u ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \varphi } = \int d ^ { 4 } x \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { \varphi } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { \varphi } = \varphi ^ { \dagger } A _ { \varphi } \varphi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s = 2 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) ] } & { \leq } & { ( n \beta _ { n } \slash L ) ( C L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) ) } \\ & { \leq } & { C L ^ { - 1 \slash 2 } n \sqrt { \beta _ { n } } + C L n \beta _ { n } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { v _ { y } } { v } } } & { = { \frac { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } v _ { y } ^ { \prime } } { 1 + { \frac { V } { c ^ { 2 } } } v _ { x } ^ { \prime } } } { \frac { \sqrt { v ^ { 2 } + V ^ { 2 } + 2 V v ^ { \prime } \cos \theta ^ { \prime } - ( { \frac { V v ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } } { c } } ) ^ { 2 } } } { 1 + { \frac { V } { c ^ { 2 } } } v ^ { \prime } \cos \theta ^ { \prime } } } } } \\ & { = { \frac { c { \sqrt { 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \sin \theta ^ { \prime } } { \sqrt { c ^ { 2 } + V ^ { 2 } + 2 V c \cos \theta ^ { \prime } - V ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ^ { \prime } } } } } \\ & { = { \frac { c { \sqrt { 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \sin \theta ^ { \prime } } { \sqrt { c ^ { 2 } + V ^ { 2 } + 2 V c \cos \theta ^ { \prime } - V ^ { 2 } ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ^ { \prime } ) } } } = { \frac { c { \sqrt { 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \sin \theta ^ { \prime } } { \sqrt { c ^ { 2 } + 2 V c \cos \theta ^ { \prime } + V ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta ^ { \prime } } } } } \\ & { = { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \sin \theta ^ { \prime } } { 1 + { \frac { V } { c } } \cos \theta ^ { \prime } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { J _ { \infty } \big ( ( \gamma , \eta ) , \varphi \big ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathcal { J } _ { n } \big ( ( \gamma , \eta ) , \varphi \big ) } \\ { = } & { \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] \varphi + c \mathbf { P } ( U = 1 ) - d \varphi } \\ & { + ( 1 - \varphi ) \cdot \Big [ \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { 1 } ( p \le \bar { \kappa } ) } \\ & { \qquad \qquad \quad + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] \mathbf { 1 } ( p > \bar { \kappa } ) \Big ] } \end{array}
\zeta ( - n ) = - { \frac { 1 } { n + 1 } } { \widetilde { \mathcal { M } } } [ F _ { \zeta } ] ( - n - 1 ) = { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n + 1 } } F _ { \zeta } ^ { ( n + 1 ) } ( 0 ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { - { \frac { 1 } { 2 } } , } & { n = 0 ; } \\ { \infty , } & { n = 1 ; } \\ { - { \frac { B _ { n + 1 } } { n + 1 } } , } & { n \geq 2 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { k + \ell } p _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } ^ { f } ( x _ { i } , y _ { j } ) } { \partial x ^ { k } \, \partial y ^ { \ell } } = } & { \, \, \frac { \partial ^ { k + \ell } f ( x _ { i } , y _ { j } ) } { \partial x ^ { k } \, \partial y ^ { \ell } } , } \\ { \frac { \partial ^ { k + \ell } p _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } ^ { f } ( x _ { i } , y _ { j + 1 } ) } { \partial x ^ { k } \, \partial y ^ { \ell } } = } & { \, \, \frac { \partial ^ { k + \ell } f ( x _ { i } , y _ { j + 1 } ) } { \partial x ^ { k } \, \partial y ^ { \ell } } , } \\ { \frac { \partial ^ { k + \ell } p _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } ^ { f } ( x _ { i + 1 } , y _ { j } ) } { \partial x ^ { k } \, \partial y ^ { \ell } } = } & { \, \, \frac { \partial ^ { k + \ell } f ( x _ { i + 1 } , y _ { j } ) } { \partial x ^ { k } \, \partial y ^ { \ell } } , } \\ { \frac { \partial ^ { k + \ell } p _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } ^ { f } ( x _ { i + 1 } , y _ { j + 1 } ) } { \partial x ^ { k } \, \partial y ^ { \ell } } = } & { \, \, \frac { \partial ^ { k + \ell } f ( x _ { i + 1 } , y _ { j + 1 } ) } { \partial x ^ { k } \, \partial y ^ { \ell } } , } \end{array}
g ( \tau ) = \frac { \mathrm { T r } \left( e ^ { - \hat { H } _ { 0 } / T } J ( \hat { \psi } ( \tau ) ) J ( \hat { \psi } ( 0 ) ) ] \right) } { \mathrm { T r } \left( e ^ { - \hat { H } _ { 0 } / T } \right) } \,
\nonumber M = \left( \begin{array} { l l l } { { m _ { u } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { d } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { s } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } { \cal E } _ { h } ^ { ( 0 ) } ( t ) + \alpha \| u _ { h } \| ^ { 2 } + \epsilon \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } \hat { u } _ { h } \| ^ { 2 } } & { + } & { \epsilon ( u _ { h } ^ { \prime } , \hat { u } _ { h } ) + \frac { \alpha \epsilon } { 2 } \frac { d } { d t } \| \hat { u } _ { h } \| ^ { 2 } = ( u _ { 1 , h } , u _ { h } ) + \alpha ( u _ { 0 , h } , u _ { h } ) } \\ & { } & { + \epsilon ( u _ { 1 , h } , \hat { u } _ { h } ) + \epsilon \alpha ( u _ { 0 , h } , \hat { u } _ { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { m } \ddot { y } _ { 1 } = { } } & { { } F _ { L } ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) - F _ { L } ( y _ { 1 } ) } \\ { + } & { { } { \eta } ( \dot { y } _ { 2 } - \dot { y } _ { 1 } ) - { \eta } \dot { y } _ { 1 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { R } } _ { 1 } ( G , G ) = 1 } \\ { \overline { { R } } _ { 2 } ( G , G ) = 1 } \\ { \overline { { R } } _ { 1 } ( G , B ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B ) + \overline { { R } } _ { 1 } ( B , G ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( B , G ) > 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { D ^ { \pm } \equiv T ^ { 2 2 } \pm \mathrm { i } T ^ { 2 3 } = 1 - \frac { k ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } + \sum _ { s } \chi _ { s } ^ { \pm } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \hat { \rho } } { \partial t } = \mathcal { L } \hat { \rho } = } & { - \frac { i } { \hbar } \left[ \hat { H } _ { \mathrm { J C } } + \hat { H } _ { \mathrm { p u m p } } , \hat { \rho } \right] + \kappa \mathcal { D } [ \hat { a } ] \hat { \rho } + \Gamma \mathcal { D } [ \hat { \sigma } _ { - } ] \hat { \rho } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { J ( \ t h e t a ) } } & { = \mathrm { Q W P \left( \frac { \ p i } { 4 } \right) } \cdot \mathrm { H W P \left( \ t h e t a \right) } \cdot \mathrm { Q W P \left( - \frac { \ p i } { 4 } \right) } } \\ & { = - \frac { i } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - i } \\ { - i } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \cos ^ { 2 } \theta - \sin ^ { 2 } \theta } & { 2 \sin \theta \cos \theta } \\ { 2 \sin \theta \cos \theta } & { \sin ^ { 2 } \theta - \cos ^ { 2 } \theta } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { e ^ { - i 2 \theta } } \\ { - e ^ { i 2 \theta } } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V ( x , y , z ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { N e } { \pi ^ { 1 / 2 } \gamma } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \; \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } + q ) ( 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } + q ) ( 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + q ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \widetilde { \mathcal { K } } _ { g } ( f ) ( \varphi ) \right| } & { { } \leqslant C \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | | \varphi - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
s _ { a } = 2 \frac { ( s \xi ) } { \zeta ^ { 2 } } \xi _ { a } + 2 \frac { ( s \bar { \xi } ) } { \zeta ^ { 2 } } \bar { \xi } _ { a } - ( s n ) n _ { a } , \qquad \zeta = 1 - z \bar { z }
\begin{array} { r l } { f _ { k } : = } & { \sqrt { \mathrm { g } ( X , X ) - 2 k \tau ( \mathrm { I m } ( x ) - \frac { k \tau } { 2 } ) } + \sqrt { | 2 k \mu \mathrm { R e } ( x ) | } } \\ & { + k \sqrt { | \frac { \mu } { 2 } ( | x | ^ { 2 } + \bar { y } ^ { \top } y - k \tau \mathrm { I m } ( x ) + 2 \mu ) | } + k | \mu | \sqrt { \frac { k | \mathrm { R e } ( x ) | } { 2 } } , } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { \tau \in \mathcal { T } } O T \left( \mu , \nu , \lVert \cdot - \tau ( \cdot ) \rVert ^ { 2 } \right) = \operatorname* { i n f } _ { \tau \in \mathcal { T } } \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Pi ( \mu , \nu ) } \int _ { \mathcal { X } \times \mathcal { Y } } \lVert x - \tau ( y ) \rVert ^ { 2 } \mathrm { d } \pi ( x , y ) .
\frac { \partial ( \varphi \Sigma _ { p } S _ { p } \rho _ { p } X _ { p } ^ { w a t e r } ) } { \partial t } = - \nabla . [ F ^ { w a t e r } | _ { a d v } + F ^ { w a t e r } | _ { d i f } ] + q ^ { w a t e r }
G _ { 2 \mu \nu } ^ { h } ( x , \ldots ) = \partial _ { \mu } G _ { \nu } ^ { h } ( x , \ldots ) + \partial _ { \mu } G _ { \mu } ^ { h } ( x , \ldots ) - \frac { 2 } { D } \delta _ { \mu \nu } \partial _ { \lambda } G _ { \lambda } ^ { h } ( x , \ldots ) ,
\begin{array} { r l } { \overline { { f ^ { \prime } g ^ { \prime } } } } & { { } = \overline { { \tilde { f } _ { \varphi } \tilde { g } _ { \varphi } } } ^ { \varphi } + \overline { { f ^ { \prime \prime } g ^ { \prime \prime } } } , } \\ { \langle { f ^ { \prime } g ^ { \prime } } \rangle _ { \varphi } } & { { } = \langle { \tilde { f } _ { \varphi } \tilde { g } _ { \varphi } } \rangle _ { \varphi } + \langle { f ^ { \prime \prime } g ^ { \prime \prime } } \rangle _ { \varphi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { H } _ { 2 } ^ { s } ( \gamma ) } & { = \mathrm { H } _ { 3 } ^ { s } ( \varphi _ { 2 } ( \gamma ) ) = \mathrm { H } _ { 3 } ^ { s } ( x _ { 2 , 1 } \cdot \varphi _ { 1 } ( \gamma ) \cdot y _ { 1 , 2 } ) } \\ & { = \mathrm { H } _ { 3 } ^ { s } ( y _ { 1 , 2 } ) \circ \mathrm { H } _ { 3 } ^ { s } ( \varphi _ { 1 } ( \gamma ) ) \circ \mathrm { H } _ { 3 } ^ { s } ( x _ { 2 , 1 } ) } \\ & { = \mathrm { H } _ { 3 } ^ { s } ( y _ { 1 , 2 } ) \circ \mathrm { H } _ { 1 } ^ { s } ( \gamma ) \circ \mathrm { H } _ { 3 } ^ { s } ( x _ { 2 , 1 } ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \vec { F } ^ { ( 1 ) } } } \\ { { - \vec { F } ^ { ( 2 ) } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \vec { F ^ { R } } } } \\ { { \vec { F } ^ { L } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { c } { { \widetilde { x } = x - \displaystyle \hat { \gamma } \, { \Theta } ( \tau , \widetilde { x } ) \operatorname { t a n h } \gamma + \displaystyle \hat { \gamma } \big ( \displaystyle \hat { \gamma } \cdot x \big ) \left( \displaystyle \frac { 1 - \cos \gamma } { \cos \gamma } \right) , \hfill } } \\ { { \tilde { \Theta } = \displaystyle \frac { \Theta ( \tau , \widetilde { x } ) - ( \hat { \gamma } \cdot x ) \sin \gamma } { \cosh \gamma } , \hfill } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { A A } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = - \frac { \delta _ { \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } } } { \Delta t } \alpha k _ { 3 } \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } R _ { A A } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) R _ { B B } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u = d i v ( ( \eta _ { \epsilon } + z ^ { 2 } ) \nabla u ) - ( u - g ) \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times U } \\ { \partial _ { t } z = 2 \epsilon \Delta z - z | \nabla u | ^ { 2 } + \frac { 1 - z } { 2 \epsilon } ) \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times U } \\ { \frac { \partial } { \partial n } u = \frac { \partial } { \partial n } z = 0 \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \partial U } \\ { u ( 0 , \cdot ) = u _ { 0 } \mathrm { ~ a n d ~ } z ( 0 , \cdot ) = z _ { 0 } \mathrm { ~ i n ~ } \{ 0 \} \times U . } \end{array} \right.
\delta _ { n u } ^ { Z Z H } = \left[ 1 - { \frac { ( m _ { t } ^ { 0 } ) ^ { 2 } \partial } { \partial ( m _ { t } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right] { \frac { \Pi _ { Z Z } ( 0 ) } { ( M _ { Z } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { E _ { x } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j \in \mathrm { o c c } } \frac { 1 } { \Omega } \frac { 4 \pi } { | { \bf k } _ { i } - { \bf k } _ { j } | ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k } ^ { R } } & { { } = \left\{ f \in H ^ { 1 } ( \Omega ) : \ f = \Re { \widehat { F } _ { k } ( y ) } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { w } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } f = 0 \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { c } \right\} , } \\ { V _ { k } ^ { I } } & { { } = \left\{ f \in H ^ { 1 } ( \Omega ) : \ f = \Im { \widehat { F } _ { k } ( y ) } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { w } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } f = 0 \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { c } \right\} , } \\ { V _ { k } } & { { } = V _ { k } ^ { R } \times V _ { k } ^ { I } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \left( \left( ( \Phi _ { m ^ { - 1 } } ^ { M } ) ^ { \prime } \circ T _ { \rho _ { M } } \right) ( f _ { v } ) \right) ( m ^ { - 1 } m _ { 1 } ) \right) ( m ^ { \prime \prime } ) } & { = \left( \sigma ( m ^ { - 1 } ) \cdot \left( \left( T _ { \rho _ { M } } ( f _ { v } ) \right) ( m _ { 1 } ) \right) \right) ( m ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = \left( \left( \sigma ( m ^ { - 1 } ) \circ \sigma _ { 1 } ( m _ { 1 } ) \right) \cdot \left( \left( T _ { \rho _ { M } } ( f _ { v } ) \right) ( 1 ) \right) \right) ( m ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = \left( \sigma ( m ^ { - 1 } m _ { 1 } ) \cdot f _ { v , 1 } \right) ( m ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = \left( \sigma ( m ^ { - 1 } m _ { 1 } ) \cdot \widetilde { f _ { v } } \right) ( m ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = \widetilde { f _ { v } } ( m ^ { \prime \prime } m ^ { - 1 } m _ { 1 } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \widetilde { \rho _ { M } } ( m ^ { \prime \prime } m ^ { - 1 } m _ { 1 } ) \cdot v } & { ( m ^ { \prime \prime } m ^ { - 1 } m _ { 1 } \in \widetilde { K _ { M } } ) , } \\ { 0 } & { ( \mathrm { o t h e r w i s e } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { S } ^ { d } } | \tilde { f } _ { X } ( x ) - \mathrm { E } ( \tilde { f } _ { X } ( x ) ) | \right) } \\ { \leq } & { \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \sqrt { \frac { N ( d , l ) } { \nu ( \mathbb { S } ^ { d } ) } } \cdot \| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { o p } } \left( \sum _ { r = 1 } ^ { N ( d , l ) } \mathrm { E } \left( \left| n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \overline { { B _ { r } ^ { l } ( Z _ { i } ) } } - \phi _ { r } ^ { l } ( f _ { Z } ) \right| ^ { 2 } \right) \right) ^ { 1 / 2 } } \\ { \leq } & { n ^ { - 1 / 2 } \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \sqrt { \frac { N ( d , l ) } { \nu ( \mathbb { S } ^ { d } ) } } \cdot \| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { o p } } \left( \sum _ { r = 1 } ^ { N ( d , l ) } \mathrm { E } ( | B _ { r } ^ { l } ( Z ) | ^ { 2 } ) \right) ^ { 1 / 2 } } \\ { = } & { ( \nu ( \mathbb { S } ^ { d } ) ) ^ { - 1 } n ^ { - 1 / 2 } \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } N ( d , l ) \| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | q _ { 1 } | ^ { 2 } = \frac { 2 a _ { 1 } ^ { 2 } } { ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \times \frac { 1 } { c o s h [ 2 ( \theta _ { 1 } + l n \ \rho _ { 1 } ) ] - \frac { b _ { 1 } } { \sqrt { a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } } } } } \\ & { | q _ { 2 } | ^ { 2 } = \frac { 2 a _ { 2 } ^ { 2 } } { ( a _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \times \frac { 1 } { c o s h [ 2 ( \theta _ { 2 } + l n \ \delta _ { 2 } ) ] - \frac { b _ { 2 } } { \sqrt { a _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \textrm { m i n i m i z e } } _ { \left\{ { M _ { n } } , { f _ { n } ^ { e } } , { t _ { n } } \right\} } \ \ \ } & { \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } \mathcal { F } _ { 1 , n } ( { M _ { n } } , { f _ { n } ^ { e } } , { t _ { n } } ) , } \\ { \textrm { s u b j e c t t o } \ \ \ \ } & { , \ , \ , \ . } \end{array}
\mathcal { C } ( \kappa , \omega ) : = \mathcal { D } \kappa ^ { 4 } - \left( \rho \mathcal { A } + \frac { m _ { 0 } } { a } \frac { 1 } { 1 - \omega ^ { 2 } / \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \omega ^ { 2 } = 0 .