harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
g _ { a \gamma } \, = \, \left( \frac { \frac { S } { N } \, k _ { B } \, T _ { s y s } \, \left( 1 + \beta \right) ^ { 2 } } { \rho _ { a } \, C \, V \, \beta \, Q _ { 0 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { B _ { e } } \left( \frac { m _ { a } ^ { 3 } } { Q _ { a } \, \Delta t } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } }
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { R } } \frac { d \psi _ { + } } { d t } } & { { } = \biggl [ - \frac { t _ { \mathrm { R } } \Delta \omega } { 2 } + i \, g t _ { \mathrm { R } } \left( A ^ { \prime } | \psi _ { + } | ^ { 2 } + B ^ { \prime } | \psi _ { - } | ^ { 2 } \right) } \\ { t _ { \mathrm { R } } \frac { d \psi _ { - } } { d t } } & { { } = \biggl [ - \frac { t _ { \mathrm { R } } \Delta \omega } { 2 } + i \, g t _ { \mathrm { R } } \left( A ^ { \prime } | \psi _ { - } | ^ { 2 } + B ^ { \prime } | \psi _ { + } | ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P _ { x _ { A } } : } & { \mathcal { V } _ { A } \otimes \mathcal { V } _ { B } \to \mathcal { V } _ { B } , } \\ { P _ { x _ { A } } : } & { \sum _ { i } \lambda _ { i } a ^ { ( i ) } \otimes b ^ { ( i ) } \mapsto \sum _ { i } \lambda _ { i } \langle a ^ { ( i ) } , x _ { A } \rangle _ { 1 } b ^ { ( i ) } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ( x ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \left( 1 - \left( 1 + \frac { x } { \sigma } \right) ^ { - \alpha } \right) I [ 0 \leqslant x \leqslant - \sigma ] + I [ x > - \sigma ] , } & { \mathrm { i f ~ } 0 < G < \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \quad } \\ { \displaystyle \left( 1 - e ^ { - m x } \right) I [ x > 0 ] , } & { \mathrm { i f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \quad } \\ { \displaystyle \left( 1 - \left( 1 + \frac { x } { \sigma } \right) ^ { - \alpha } \right) I [ x > 0 ] , } & { \mathrm { i f ~ } \frac { 1 } { 2 } < G < 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \hat { \sigma } } _ { { \bar { q } } q } = { \frac { 2 { \sqrt 2 } G _ { F } M _ { Z } ^ { 2 } } { 9 { \hat { s } } ^ { 2 } } } \biggl ( { \frac { \hat { t } } { \hat { u } } } + { \frac { \hat { u } } { \hat { t } } } + { \frac { 2 { \hat { s } } M _ { 2 } ^ { 2 } } { { \hat { u } } { \hat { t } } } } \biggr ) \alpha _ { s } ( q ^ { 2 } ) ( v _ { i } ^ { 2 } + a _ { i } ^ { 2 } )
\mathbf { E } _ { x } = - \frac { k _ { 0 } \eta _ { 0 } } { 4 } I H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 0 } \sqrt { ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } } ) \hat { x } ,
( - \frac { 1 } { 2 r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } r + \frac { l ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) } { 2 r ^ { 2 } } + V _ { e f f } ( r ) - \epsilon _ { i } + i \omega ) u _ { i \mu , l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( r , i \omega ) = \sum _ { k = - m } ^ { k = m } c _ { i , k } ( \epsilon _ { i } ^ { ( 1 ) } \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { k m ^ { \prime } } - G _ { l ^ { \prime } L l } ^ { m ^ { \prime } M k } V _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( r ) ) u _ { i , l } ( r ) \, .
\begin{array} { r l } { u ( s ) - 1 } & { = - \frac K \beta \iint _ { - d \le \tau _ { 1 } \le \tau _ { 2 } \le s } d ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \frac { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } \exp ( - K ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 2 } ^ { 3 } - \tau _ { 1 } ^ { 3 } ) ) ) u ( \tau _ { 1 } ) } \\ & { = - \frac 1 \beta \int _ { - d \le \tau _ { 1 } \le s } d \tau _ { 1 } \ u ( \tau _ { 1 } ) \frac { 1 } { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } [ \exp ( - K ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 2 } ^ { 3 } - \tau _ { 1 } ^ { 3 } ) ) ) ] _ { \tau _ { 2 } = \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } = s } } \\ & { = - \frac 1 \beta \int _ { - d \le \tau _ { 1 } \le s } d \tau _ { 1 } \ u ( \tau _ { 1 } ) \frac { 1 } { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } ( 1 - \exp ( - K ( s - \tau _ { 1 } + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau _ { 1 } ^ { 3 } ) ) ) ) . } \end{array}
\frac { \partial \overline { { k } } } { \partial t } + \overline { { u _ { i } } } \frac { \partial \overline { { k } } } { \partial x _ { i } } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \nu + \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { k } } \right) \frac { \partial \overline { { k } } } { \partial x _ { j } } \right] + P _ { k - \epsilon } - \overline { { \epsilon } } ,
d s ^ { 2 } = - ( 1 - H ^ { 2 } f ^ { 2 } ) d t ^ { 2 } - 2 H f \; d t d f + d f ^ { 2 } + f ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + f ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { f ( t ) } & { { } = } & { f ( t - T ) + \Gamma \frac { 1 - R } { R } u ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } u ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { { } = } & { \frac { R } { \Gamma } \left[ - u ( t ) + g ( t ) f ( t ) - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } f ( t - T ) \right] , } \\ { \frac { \mathrm { d } g ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { { } = } & { - \Gamma g ( t ) + I ( 1 - f ^ { 2 } ( t ) - \Gamma f ( t ) u ( t ) ) . } \end{array}
\Sigma ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) = \left\langle V ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , \omega ) G _ { b } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } - \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \omega ) V ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \omega ) \right\rangle _ { c }
c _ { h ^ { + } } = \frac { \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { N V ^ { 0 } } } { \gamma _ { h ^ { + } } ^ { N V ^ { - } } c _ { N V ^ { - } } + \gamma _ { h ^ { + } } ^ { N ^ { 0 } } c _ { N ^ { 0 } } + \gamma _ { e h } c _ { e ^ { - } } }
\begin{array} { r l r } { H ( { \bf k } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 0 } \left\langle \hat { \bf u } _ { k } \cdot \hat { \bf b } _ { k } ^ { * } + \hat { \bf b } _ { k } \cdot \hat { \bf u } _ { k } ^ { * } \right\rangle = \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 0 } \left\langle k _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } \left[ \hat { \phi } _ { k } ^ { u } ( \hat { \phi } _ { k } ^ { b } ) ^ { * } + ( \hat { \phi } _ { k } ^ { u } ) * \hat { \phi } _ { k } ^ { b } \right] \right\rangle } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { 4 } \rho _ { 0 } \frac { k _ { \parallel } } { k } \left\langle \vert A _ { k } ^ { + } \vert ^ { 2 } - \vert A _ { k } ^ { - } \vert ^ { 2 } \right\rangle \, . } \end{array}
\delta T _ { i j } ^ { \left( 1 \right) } = { { \bar { \Delta } } ^ { 2 } } \left[ { | \bar { S } | \delta { { \bar { S } } _ { i j } } + \left( { \delta | \bar { S } | } \right) { { \bar { S } } _ { i j } } } \right] = { { \bar { \Delta } } ^ { 2 } } \left( { | \bar { S } | \frac { { \partial { { \bar { S } } _ { i j } } } } { { \partial { { \bar { u } } _ { k } } } } + \frac { { \partial | \bar { S } | } } { { \partial { { \bar { u } } _ { k } } } } { { \bar { S } } _ { i j } } } \right) \delta { { \bar { u } } _ { k } } ,
\left( \begin{array} { l } { v _ { r } } \\ { v _ { \theta } } \\ { v _ { z } } \\ { p } \\ { c } \end{array} \right) ( r , \theta , z , t ) = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \bar { v } _ { z } ( r ) } \\ { \bar { p } ( z ) } \\ { \bar { c } ( r ) } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { i \hat { v } _ { r } ( r ) } \\ { \hat { v } _ { \theta } ( r ) } \\ { \hat { v } _ { z } ( r ) } \\ { \hat { p } ( r ) } \\ { \hat { c } ( r ) } \end{array} \right) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( k z + \beta \theta - \omega t ) } .
\mathrm { ~ N ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } \bar { \mathbf { u } } ( t ) = \sqrt { \frac { 1 } { | \Omega | } | | \bar { \mathbf { u } } ( t ) - \bar { \mathbf { u } } ^ { \mathrm { ~ D ~ N ~ S ~ } } ( t ) | | _ { \Omega } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { c _ { \phi } } & { = \frac { \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 0 } } } { \gamma _ { + } - i \Omega } b _ { \phi } + \frac { \gamma _ { - } + i \Omega } { \gamma _ { + } - i \Omega } c _ { \phi } + } \\ & { + \mathcal { H } \frac { \gamma _ { 0 } \sqrt { \gamma _ { 1 } } } { Z } \frac { \gamma _ { + } ^ { 2 } } { \left( \gamma _ { + } - i \Omega \right) ^ { 2 } } \left( \sqrt { \gamma _ { 0 } } b _ { a } + \sqrt { \gamma _ { 1 } } c _ { a } \right) - } \\ & { - \sqrt { 2 \mathcal { H } } \frac { \gamma _ { + } } { \gamma _ { + } - i \Omega } \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } } { Z } \sqrt { \omega _ { m } } f _ { T } , } \\ { Z } & { = \omega _ { M } ^ { 2 } - \Omega - i \Omega \kappa _ { M } , } \\ { f _ { T } } & { = \frac { F _ { T } } { \sqrt { 2 \hbar m \omega _ { m } } } , } \\ { S _ { F _ { T } } } & { = 4 m \kappa _ { m } k _ { B } T . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V ( x , t ) } & { = } & { \sum _ { m = 0 } ^ { q } \frac { ( 2 ^ { m } q ! ) ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { q + m } } { ( 2 m ) ! ( q - m ) ! } \lambda ^ { q - m } x ^ { 2 m } - \sqrt { \pi } q ! \Bigg [ \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { q } } { \Gamma ( \frac { q } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) } + \frac { 1 - ( - 1 ) ^ { q } } { \Gamma ( \frac { q } { 2 } + 1 ) } \Bigg ] \cos ( q \tau ) x ^ { q } + 1 } \\ & { = } & { \sum _ { m = 0 } ^ { q } B _ { q , m } \lambda ^ { q - m } x ^ { 2 m } - C _ { q } \cos ( q \omega _ { 0 } t ) x ^ { q } + 1 . \ \ \ \ \ \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ^ { ( n ) } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l ^ { \prime } \right) } = } & { \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l } ( \varphi ) \mathrm { d } \varphi } \end{array}
\gamma , x : A ( \gamma ) , \underline { { y } } ^ { \prime } : B ( \textnormal { \texttt { f } } ^ { \prime } ( \gamma ) , f _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma , x ) ) \vdash g _ { 2 } ( \gamma , x , ( \alpha ( \gamma ) , \alpha _ { 1 } ( \gamma , x ) ) ^ { * } \underline { { y } } ^ { \prime } ) = g _ { 2 } ^ { \prime } ( \gamma , x , \underline { { y } } ^ { \prime } )
f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { m } \mid p _ { 1 } , p _ { 2 } , \ldots , p _ { m } ) = { \frac { n ! } { \Pi x _ { i } ! } } \Pi p _ { i } ^ { x _ { i } } = { \binom { n } { x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { m } } } p _ { 1 } ^ { x _ { 1 } } p _ { 2 } ^ { x _ { 2 } } \cdots p _ { m } ^ { x _ { m } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial n } { \partial t } + \nabla \cdot \left( n { \bf u } \right) } & { { } = } & { 0 \, , } \\ { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + \left( { \bf u } \cdot \nabla \right) { \bf u } } & { { } = } & { - \frac { e } { m } ( { \bf E } + { \bf u } \times { \bf B } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { < Y _ { 1 } , S A _ { 2 } ^ { T } A _ { 3 } > } } & { { = } } & { { < Y _ { 1 } S A _ { 2 } ^ { T } A _ { 3 } > } } \\ { { } } & { { = } } & { { < S A _ { 2 } ^ { T } ( R _ { 2 1 } ^ { - 1 } ) ^ { T _ { 2 } } Y _ { 1 } A _ { 3 } ( R _ { 1 2 } ^ { T _ { 2 } } ) ^ { - 1 } > } } \\ { { } } & { { = } } & { { < S A _ { 2 } ^ { T } ( R _ { 2 1 } ^ { - 1 } ) ^ { T _ { 2 } } A _ { 3 } R _ { 3 1 } Y _ { 1 } R _ { 1 3 } ( R _ { 1 2 } ^ { T _ { 2 } } ) ^ { - 1 } > } } \\ { { } } & { { = } } & { { ( R _ { 2 1 } ^ { - 1 } ) ^ { T _ { 2 } } R _ { 3 1 } R _ { 1 3 } ( R _ { 1 2 } ^ { T _ { 2 } } ) ^ { - 1 } , } } \\ { { \Rightarrow C _ { ( i j ) } { } ^ { ( k l ) } { } _ { ( m n ) } } } & { { = } } & { { \left( ( R _ { 2 1 } ^ { - 1 } ) ^ { T _ { 2 } } R _ { 3 1 } R _ { 1 3 } ( R _ { 1 2 } ^ { T _ { 2 } } ) ^ { - 1 } \right) ^ { i k l } { } _ { j m n } . } } \end{array}
x _ { A } ^ { \alpha \beta } = x ^ { \alpha \beta } - i \left( \theta ^ { 1 [ \alpha } \theta ^ { 4 \beta ] } + \theta ^ { 2 [ \alpha } \theta ^ { 3 \beta ] } \right) \, , \qquad \theta ^ { I \alpha } = \theta ^ { i \alpha } u _ { i } ^ { I }
{ \begin{array} { c } { k \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = k \left. \ \right| _ { \omega _ { 0 } } + \left. \ { \frac { \partial k } { \partial \omega } } \right| _ { \omega _ { 0 } } \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left. \ { \frac { \partial ^ { 2 } k } { \partial \omega ^ { 2 } } } \right| _ { \omega _ { 0 } } \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) ^ { 2 } \ + \ldots + { \frac { 1 } { p ! } } \left. \ { \frac { \partial ^ { p } k } { \partial \omega ^ { p } } } \right| _ { \omega _ { 0 } } \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) ^ { p } + \ldots } \end{array} }
K L ( p ( z \mid x ) \| q ( z ) ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \left( \mu _ { ( k ) } ^ { 2 } ( x ) + \sigma _ { ( k ) } ^ { 2 } ( x ) - \ln \sigma _ { ( k ) } ^ { 2 } ( x ) - 1 \right)
c \left( \boldsymbol { x } \right) \triangleq \iint p \left( \boldsymbol { y } ^ { r } | \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \theta } ^ { r } \right) p _ { \mathbf { \Theta } ^ { r } } \left( \boldsymbol { \theta } ^ { r } \right) e \left( \boldsymbol { \theta } ^ { r } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ^ { r } \right) d \boldsymbol { y } ^ { r } d \boldsymbol { \theta } ^ { r }
\begin{array} { r } { { \bf m } ^ { 2 } = I _ { 1 } ^ { 2 } \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + I _ { 2 } ^ { 2 } \Omega _ { 2 } ^ { 2 } + I _ { 3 } ^ { 2 } \Omega _ { 3 } ^ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { \boldsymbol { \pi } } ^ { ( k ) } } & { = \mathbf { x } \left( \mathbf { U \Sigma U } ^ { - 1 } \right) \left( \mathbf { U \Sigma U } ^ { - 1 } \right) \cdots \left( \mathbf { U \Sigma U } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \mathbf { x U \Sigma } ^ { k } \mathbf { U } ^ { - 1 } } \\ & { = \left( a _ { 1 } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } + a _ { 2 } \mathbf { u } _ { 2 } ^ { \mathsf { T } } + \cdots + a _ { n } \mathbf { u } _ { n } ^ { \mathsf { T } } \right) \mathbf { U \Sigma } ^ { k } \mathbf { U } ^ { - 1 } } \\ & { = a _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { k } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } + a _ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { k } \mathbf { u } _ { 2 } ^ { \mathsf { T } } + \cdots + a _ { n } \lambda _ { n } ^ { k } \mathbf { u } _ { n } ^ { \mathsf { T } } } & & { u _ { i } \bot u _ { j } { \mathrm { ~ f o r ~ } } i \neq j } \\ & { = \lambda _ { 1 } ^ { k } \left\{ a _ { 1 } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } + a _ { 2 } \left( { \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } } \right) ^ { k } \mathbf { u } _ { 2 } ^ { \mathsf { T } } + a _ { 3 } \left( { \frac { \lambda _ { 3 } } { \lambda _ { 1 } } } \right) ^ { k } \mathbf { u } _ { 3 } ^ { \mathsf { T } } + \cdots + a _ { n } \left( { \frac { \lambda _ { n } } { \lambda _ { 1 } } } \right) ^ { k } \mathbf { u } _ { n } ^ { \mathsf { T } } \right\} } \end{array} }
\bigl | G \left( \omega \right) \bigr | ^ { 2 } = \frac { 1 } { \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { 1 } { \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { S N R } \left( \omega \right) } \right) ^ { - m } = \left\{ \begin{array} { l l } { \bigl | G _ { \mathrm { i n v } } \left( \omega \right) \bigr | ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } m = 0 , } \\ { \bigl | G _ { \mathrm { W i e n e r } } \left( \omega \right) \bigr | ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } m = 1 , } \\ { \bigl | G _ { \mathrm { P S E } } \left( \omega \right) \bigr | ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } m = 2 . } \end{array} \right.
H _ { 0 } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \hbar \omega _ { k } a ( k ) ^ { \dag } a ( k ) ^ { \vphantom { \dag } } d k + \sum _ { j } \hbar \omega _ { 0 } b _ { j } ^ { \dag } b _ { j } ^ { \vphantom { \dag } } ,
S ( \mathbf { q } , t ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha } \sum _ { \mathbf { r } , \mathbf { r ^ { \prime } } } e ^ { - i \mathbf { q } \cdot ( \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } ) } C ^ { \alpha } ( \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } , t ) ,
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \nabla \times { \mathbf a } } & { = \nabla \cdot \left( { \mathbf i } \left( \frac { \partial a _ { z } } { \partial y } - \frac { \partial a _ { y } } { \partial z } \right) + { \mathbf j } \left( \frac { \partial a _ { x } } { \partial z } - \frac { \partial a _ { z } } { \partial x } \right) + { \mathbf k } \left( \frac { \partial a _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial a _ { x } } { \partial y } \right) \right) } \\ & { = \frac { \partial } { \partial x } \left( \frac { \partial a _ { z } } { \partial y } - \frac { \partial a _ { y } } { \partial z } \right) + \frac { \partial } { \partial y } \left( \frac { \partial a _ { x } } { \partial z } - \frac { \partial a _ { z } } { \partial x } \right) + \frac { \partial } { \partial z } \left( \frac { \partial a _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial a _ { x } } { \partial y } \right) } \\ & { = 0 } \end{array}
\frac { \partial \langle n _ { i } \rangle } { \partial \lambda } = \mathrm { V a r } \{ n _ { i } \} \frac { \partial } { \partial \lambda } \ln \left( \frac { [ X _ { i } ] _ { \mathrm { s s } } } { \sum _ { j \in \mathcal { S } \setminus \{ i \} } [ X _ { j } ] _ { \mathrm { s s } } } \right) .
\varepsilon ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) = \delta ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) - \int v ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 3 } ) \chi _ { 0 } ( \mathbf { r } _ { 3 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) d \mathbf { r } _ { 3 }
\begin{array} { r } { f _ { k } ^ { m } ( \rho ) = \sqrt { 2 \alpha _ { m } \frac { ( k - 1 ) ! } { ( k + m - 1 ) ! } } ( 2 \alpha _ { m } \rho ) ^ { m / 2 } \mathrm { e } ^ { - \alpha _ { m } \rho } L _ { k - 1 } ^ { m } ( 2 \alpha _ { m } \rho ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 3 , 1 , y } ^ { \sigma , e q } } & { { } = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , e q } v _ { i y } ( v _ { i \alpha } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { \sigma 2 } ) } \end{array} } \end{array}
\hat { \rho } ( t ) = e ^ { - i \hat { H } t } \hat { \rho } ( 0 ) e ^ { i \hat { H } t } = \hat { \cal { U } } e ^ { - i \hat { \widetilde { H } } t } \hat { \cal U } ^ { \dagger } \hat { \rho } ( 0 ) \hat { \cal { U } } e ^ { i \hat { \widetilde { H } } t } \hat { \cal { U } } ^ { \dagger } \ ,
\begin{array} { r l } { F ^ { \star } } & { \leq \mathop { \mathbb { E } } [ F ( { \mathbf x } _ { M } ) ] \le F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) + \mathop { \mathbb { E } } [ R _ { T } ( \mathbf { u } ^ { 1 } , \dots , \mathbf { u } ^ { K } ) ] + \sigma D K \sqrt { T } - D T \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathop { \mathbb { E } } \left[ \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F \left( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } \right) \right\| \right] ~ . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { - x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { g ( x , u ) = \left[ \begin{array} { l } { \displaystyle u _ { 1 } + u _ { 2 } + \frac { x _ { 2 } ^ { 2 } } { x _ { 1 } + u _ { 1 } } + \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { x _ { 2 } + u _ { 2 } } - 2 } \\ { x _ { 1 } u _ { 2 } + \displaystyle \frac { x _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + u _ { 1 } } - x _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] \geq 0 \quad \forall u \in U ( x ) , } \\ & { x \in X , } \end{array} \right.
\eta ( \tau ) = q ^ { 1 / 2 4 } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { n } ) = \sum _ { - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } q ^ { \frac { 3 } { 2 } ( n - 1 / 6 ) ^ { 2 } } = q ^ { 1 / 2 4 } ( 1 - q - q ^ { 2 } + \cdots ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { p ^ { 2 } ( p - 4 ) + \alpha ^ { 2 } p ( 1 - e ^ { 2 } ) + \kappa ^ { 2 } \left[ p ( 3 + e ^ { 2 } ) - \alpha ^ { 2 } ( 1 - e ^ { 2 } ) \right] - ( p - \alpha ^ { 2 } ) \left[ 2 p - \kappa ^ { 2 } ( 3 + e ) \right] ( 1 + e ) u _ { + } } \\ & { } & { \qquad + \, 2 \alpha \beta p \sqrt { 1 + e } \sqrt { ( 1 - e ) p ( p - \kappa ^ { 2 } ) + ( p - 1 + e ^ { 2 } ) \left[ 2 p - \kappa ^ { 2 } ( 3 + e ) \right] u _ { + } } = 0 . } \end{array}
( \boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { w } } ^ { * } ) _ { i , j , k } = w _ { 1 } ( \boldsymbol { R } _ { 1 } ) _ { i , j , k } + w _ { 2 } ( \boldsymbol { R } _ { 2 } ) _ { i , j , k } + \cdots + w _ { 9 } ( \boldsymbol { R } _ { 9 } ) _ { i , j , k } ,
\begin{array} { r l } { E ^ { \mathrm { a t o m } } } & { { } = \sum _ { \mu } P _ { \mu \mu } \varepsilon _ { \mu } ^ { \mathrm { f r e e } } + \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r } } \sum _ { \mu \kappa } \Delta P _ { \mu \mu } \Delta P _ { \kappa \kappa } } \end{array}
\left( \beta ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 3 } ^ { 2 } } + 2 \mathrm { i } k M \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } + k ^ { 2 } \right) G ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { y } , \omega ) = \delta ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { y } ) ,
\left[ \begin{array} { l } { E _ { k } ^ { + } } \\ { E _ { k } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z _ { k } } = \mathrm { ~ e ~ } ^ { \pm i k _ { z } ^ { \pm } \ell } \left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z _ { i } } = [ M _ { k i } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z _ { k } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { a } ( \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \left[ e ^ { i \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) t } + e ^ { i \left( \omega + \omega _ { 0 } \right) t } \right] d t \, } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \xi } ( \xi , \eta ) = J _ { 0 } \left\{ \begin{array} { l l } { \sin \bigg ( \displaystyle \frac { \pi \xi } { 2 L _ { 0 } } \bigg ) \sin ^ { 3 } \bigg ( \displaystyle \frac { \pi \eta } { L _ { 0 } } \bigg ) , } & { \mathrm { f o r ~ } \mathbf { n } \cdot \mathbf { e } _ { y } = 0 } \\ { 0 , } & { \mathrm { f o r ~ } \mathbf { n } \cdot \mathbf { e } _ { y } \ne 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { C } } & { { } = } & { [ \mathcal { B } , [ \mathcal { A } , \mathcal { B } ] ] = [ \mathcal { B } , \mathcal { A } \mathcal { B } - \mathcal { B } \mathcal { A } ] = 2 \mathcal { B } \mathcal { A } \mathcal { B } - \mathcal { B } \mathcal { B } \mathcal { A } - \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { B } , } \\ { \mathcal { D } } & { { } = } & { [ \mathcal { A } , [ \mathcal { B } , \mathcal { A } ] ] = 2 \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { A } - \mathcal { A } \mathcal { A } \mathcal { B } - \mathcal { B } \mathcal { A } \mathcal { A } . } \end{array}
B _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l l } { I } & { \mathfrak { b } _ { 1 } } & { \mathfrak { b } _ { 2 } } & { 0 } \\ { \mathfrak { b } _ { 1 } ^ { * } } & { I } & { 0 } & { \mathfrak { b } _ { 2 } } \\ { \mathfrak { b } _ { 2 } ^ { * } } & { 0 } & { I } & { \mathfrak { b } _ { 1 } } \\ { 0 } & { \mathfrak { b } _ { 2 } ^ { * } } & { \mathfrak { b } _ { 1 } ^ { * } } & { I } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { g _ { 2 } ( \gamma , x , \textnormal { e v } ( \alpha ( \gamma ) ^ { * } \underline { { z } } ^ { \prime } , f _ { 1 } ( \gamma , x ) ) ) } & { = g _ { 2 } ( \gamma , x , \alpha _ { 1 } ( \gamma , x ) ^ { * } \textnormal { e v } ( \alpha ( \gamma ) ^ { * } \underline { { z } } ^ { \prime } , \alpha ( \gamma ) ^ { * } f _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma , x ) ) ) } \\ & { = g _ { 2 } ( \gamma , x , \alpha _ { 1 } ( \gamma , x ) ^ { * } ( \alpha ( \gamma ) , r ( \alpha ( \gamma ) ^ { * } f _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma , x ) ) ) ^ { * } \textnormal { e v } ( \underline { { z } } ^ { \prime } , f _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma , x ) ) ) } \\ & { = g _ { 2 } ( \gamma , x , \alpha _ { 1 } ( \gamma , x ) ^ { * } \alpha ( \gamma ) ^ { * } \textnormal { e v } ( \underline { { z } } ^ { \prime } , f _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma , x ) ) ) } \\ & { = g _ { 2 } ( \gamma , x , ( \alpha ( \gamma ) , \alpha _ { 1 } ( \gamma , x ) ) ^ { * } \textnormal { e v } ( \underline { { z } } ^ { \prime } , f _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma , x ) ) ) } \\ & { = g _ { 2 } ^ { \prime } ( \gamma , x , \textnormal { e v } ( \underline { { z } } ^ { \prime } , f _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma , x ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { \mu } ^ { ( d ) } ( T _ { c } ) } & { = - \frac { \pi } { 2 b _ { \mu } ^ { ( d ) } ( \lambda ) } + o ( 1 ) \, , } \\ { m _ { \mu } ^ { ( d ) } ( T _ { c } ) } & { = \mu ^ { d / 2 - 1 } \left( \ln \left( \frac { \mu } { T _ { c } } \right) + \gamma + \ln \left( \frac { 2 c _ { d } } { \pi } \right) + o ( 1 ) \right) \, . } \end{array}