harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \sqrt { \varepsilon ( t ) } } \left\langle x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) + \varepsilon ( t ) x ( t ) - \varepsilon ( t ) x ( t ) \right\rangle } \\ { \leq \ } & { \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \sqrt { \varepsilon ( t ) } } \Bigg ( \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) - \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ) - \frac { \varepsilon ( t ) } { 2 } \| x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \| ^ { 2 } } \\ & { - \ \varepsilon ( t ) \left\langle x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , x ( t ) \right\rangle \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \delta _ { q k + s } \| } & { \le \mathbb { E } \sqrt { \| \delta _ { q k } \| ^ { 2 } + \frac { s \epsilon ^ { 2 } } { B ^ { \prime } } } + \frac { \epsilon } { \sqrt { B ^ { \prime } } } \sum _ { u = 0 } ^ { s - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + u } ) \| } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \sqrt { \mathbb { E } \| \delta _ { q k } \| ^ { 2 } } + \epsilon \sqrt { \frac { q } { B ^ { \prime } } } + \frac { \epsilon } { \sqrt { B ^ { \prime } } } \sum _ { u = 0 } ^ { s - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + u } ) \| } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \frac { 1 } { \sqrt { B } } \big ( \Gamma \| \nabla f ( w _ { q k } ) \| + \Lambda \big ) + \epsilon \sqrt { \frac { q } { B ^ { \prime } } } + \frac { \epsilon } { \sqrt { B ^ { \prime } } } \sum _ { u = 0 } ^ { s - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + u } ) \| } \\ & { \le \frac { \Lambda } { \sqrt { B } } + \epsilon \sqrt { \frac { q } { B ^ { \prime } } } + \Big ( \frac { \epsilon } { \sqrt { B ^ { \prime } } } + \frac { \Gamma } { \sqrt { B } } \Big ) \sum _ { u = 0 } ^ { q - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + u } ) \| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W } & { { } = } & { 0 , \ T = \frac { \Delta } { 2 } \quad \textrm { i n } \ Z = 0 \ ( \textrm { b o t t o m } ) , } \\ { W } & { { } = } & { 0 , \ T = - \frac { \Delta } { 2 } \quad \textrm { i n } \ Z = H \ ( \textrm { t o p } ) , } \end{array}
= 2 \left\langle \tilde { \psi _ { 1 } } \nabla \psi _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } \hat { \boldsymbol { \rho } } \frac { 1 } { \Omega _ { e } } \frac { c } { e \rho } \right\rangle - 2 \left\langle \tilde { \psi _ { 1 } } \left\langle \nabla \psi _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { \rho } + \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) \frac { 1 } { \Omega _ { e } } \frac { c } { e \rho } \right\rangle \right\rangle .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { S W - M S } } } & { = \hbar \left( \Omega + \frac { \Delta \Omega } { 2 } \right) e ^ { i \eta ( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } ) } \hat { S } _ { + } \cos ( \delta t ) e ^ { i \phi _ { 1 } } } \\ & { - \hbar \left( \Omega - \frac { \Delta \Omega } { 2 } \right) e ^ { - i \eta ( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } ) } \hat { S } _ { + } \cos ( \delta t ) e ^ { i \phi _ { 2 } } + \mathrm { h . c . } } \\ & { = 2 \hbar \Omega e ^ { i \tilde { \phi } } \sin ( \eta ( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } ) + \Delta \phi ) \cos ( \delta t ) \hat { S } _ { + } } \\ & { + \hbar \Delta \Omega e ^ { i \tilde { \phi } - \frac { \pi } { 2 } } \cos ( \eta ( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } ) + \Delta \phi ) \cos ( \delta t ) \hat { S } _ { + } + \mathrm { h . c . } } \end{array}
P = { \bf P } _ { ( 1 ) } \cdot { \bf t } ( { \mathrm { \boldmath ~ \ a l p h a ~ } } ) + { \bf P } _ { ( 2 ) } \cdot { \bf t } ( { \mathrm { \boldmath ~ \ g a m m a ~ } } ) + \mathrm { t r } \, P _ { ( 3 ) } M \, ,
\begin{array} { r l } { \kappa _ { i j } } & { { } = ( w _ { i j } + w _ { i j ^ { \prime } } ) / r _ { i j } ^ { 2 } } \\ { m _ { i j } } & { { } = \omega ( r ) \frac { 1 6 D _ { 0 } } { 3 \alpha } ( w _ { i j } + w _ { i j ^ { \prime } } ) / r ^ { 2 } = \omega ( r ) \frac { E t ^ { 3 } } { 2 \alpha } ( w _ { i j } + w _ { i j ^ { \prime } } ) / r _ { i j } ^ { 2 } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \operatorname { R e } ( s ) \to - \infty } \operatorname { L i } _ { s } ( - e ^ { \mu } ) = \Gamma ( 1 - s ) \left[ ( - \mu - i \pi ) ^ { s - 1 } + ( - \mu + i \pi ) ^ { s - 1 } \right] \qquad ( \operatorname { I m } ( \mu ) = 0 )
- \Pi ( p ^ { + } = 0 , p ^ { - } = 0 , \vec { p } \rightarrow 0 ) = \frac { g ^ { 2 } } { 2 5 6 \sqrt { 2 } \pi ^ { 3 } T } \int d ^ { 3 } k \; \frac { 1 } { ( k ^ { + } ) ^ { 2 } } \mathrm { c o s e c h } ^ { 2 } \frac { \omega _ { k } ^ { 2 } + 2 ( k ^ { + } ) ^ { 2 } } { 4 \sqrt { 2 } k ^ { + } T }
\sum _ { i } \left( - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial q ^ { i } } } \mathrm { d } q ^ { i } + { \dot { q } } ^ { i } \mathrm { d } p _ { i } \right) - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial t } } \mathrm { d } t = \sum _ { i } \left( { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial q ^ { i } } } \mathrm { d } q ^ { i } + { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial p _ { i } } } \mathrm { d } p _ { i } \right) + { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial t } } \mathrm { d } t
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 1 0 } ^ { * } ( n ) q ^ { n } } & { = \left( \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } } \right) ^ { 4 } } \\ & { = 1 - 4 q + 6 q ^ { 2 } - 8 q ^ { 3 } + 1 7 q ^ { 4 } - 3 2 q ^ { 5 } + 5 4 q ^ { 6 } + \cdots . } \end{array}
{ \hat { \theta } } _ { \mathrm { M A P } } ( x ) = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \ f ( \theta \mid x ) = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \ { \frac { f ( x \mid \theta ) \, g ( \theta ) } { \displaystyle \int _ { \Theta } f ( x \mid \vartheta ) \, g ( \vartheta ) \, d \vartheta } } = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \ f ( x \mid \theta ) \, g ( \theta ) .
\begin{array} { r c c c l } { \dot { \underline { { s } } } } & { = } & { - \frac { k _ { 2 } e _ { 0 } \underline { { s } } } { K _ { M } + \underline { { s } } } } & { , } & { \underline { { s } } ( \widetilde t ) = \widetilde s ; } \\ { \dot { \overline { { s } } } } & { = } & { - ( 1 - \delta ) \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } \overline { { s } } } { K _ { M } + \overline { { s } } } } & { , } & { \overline { { s } } ( \widetilde t ) = \widetilde s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { e } ^ { - ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) } } { p _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { 3 , t } } ( K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { 3 , t } ) } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { = } \frac { \mathrm { e } ^ { - ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) } } { p _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { t } } ( K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { t } ) } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( b ) } } { \geq } \zeta _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { t } ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { t } ) . } \end{array}
v _ { r e l } = v _ { S ^ { \prime } / S } = \frac { v _ { S ^ { \prime } / S _ { V } } - v _ { S / S _ { V } } + V } { 1 - \frac { ( v _ { S ^ { \prime } / S _ { V } } ) ( v _ { S / S _ { V } } ) } { c ^ { 2 } } + \frac { ( v _ { S ^ { \prime } / S _ { V } } ) V } { c ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \hat { Q } _ { t } ^ { \mathrm { t m } } ( \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ) : = } & { \operatorname* { s u p } _ { \hat { \pi } _ { t + 1 } \in [ [ \hat { \Pi } _ { t + 1 } | \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ] ] } \hat { V } _ { t + 1 } ^ { \mathrm { t m } } ( \hat { \pi } _ { t + 1 } ) , } \\ { \hat { V } _ { t } ^ { \mathrm { t m } } ( \hat { \pi } _ { t } ) : = } & { \relax _ { u _ { t } \in \mathcal { U } _ { t } } \hat { Q } _ { t } ^ { \mathrm { t m } } ( \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ) , } \end{array}
\Pi ^ { ( n ) } ( Q ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) = \frac { N _ { c } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \, \int _ { m ^ { 2 } / ( z ( 1 - z ) ) } ^ { \infty } d s \, \frac { s + 2 m ^ { 2 } } { s } \frac { n ! } { ( s + Q ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } } .
\begin{array} { r } { \tau _ { q } = \frac { \varepsilon ( 1 - \varepsilon ) \rho _ { b } c _ { b } \rho _ { t } c _ { t } } { h ( \rho c ) _ { \textrm { e f f } } } , \quad \textrm { a n d } \quad \tau _ { T } = \frac { \varepsilon ( 1 - \varepsilon ) \rho _ { b } c _ { b } \lambda _ { t } } { h \lambda _ { \textrm { e f f } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M A E } & { { } = \frac { 1 } { n } \sum \left| y - \hat { y } \right| } \\ { R M S E } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { n } \sum \left( y - \hat { y } \right) ^ { 2 } } } \\ { F S } & { { } = 1 - \frac { R M S E _ { m o d e l } } { R M S E _ { r e f e r e n c e } } } \end{array}
a _ { A } ( k ) \, a _ { A } ^ { \dagger } ( k ^ { \prime } ) + q ^ { - 2 } \sum _ { l , l ^ { \prime } \in { \cal I } } { \hat { \cal R } } \left( k ^ { \prime } , l ; k , l ^ { \prime } \right) a _ { A } ^ { \dagger } ( l ^ { \prime } ) \, a _ { A } ( l ) = \delta _ { k \; k ^ { \prime } } \; ,
\begin{array} { r l r } { \left\langle E _ { p } ( r ^ { n } ) \right\rangle } & { { } = } & { \frac { \kappa } { 2 } \, \left\langle r ^ { n } r ^ { n } \right\rangle \; = \; \frac { 1 } { 2 } k _ { B } T } \end{array}
\rho = \frac { 1 } { 3 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \frac { 3 } { 4 } \mathrm { e } ^ { i \frac { \pi } { 2 } } } & { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { i \frac { 3 \pi } { 4 } } } \\ { \frac { 3 } { 4 } \mathrm { e } ^ { - i \frac { \pi } { 2 } } } & { 1 } & { \mathrm { e } ^ { i \frac { \pi } { 4 } } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { - i \frac { 3 \pi } { 4 } } } & { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \pi } { 4 } } } & { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \big ( \hat { S } - \lambda I _ { 2 n } \big ) y _ { i + 1 } } & { = \big ( S + X R X ^ { T } J ^ { T } S \big ) y _ { i + 1 } - \lambda y _ { i + 1 } } \\ & { = \big ( y _ { i } + \lambda y _ { i + 1 } \big ) + X R X ^ { T } J ^ { T } S y _ { i + 1 } - \lambda y _ { i + 1 } } \\ & { = y _ { i } - X R X ^ { T } J ( y _ { i } + \lambda y _ { i + 1 } ) = y _ { i } } \end{array}
F _ { \Omega , m ^ { \prime } m } = \int _ { \Omega } u _ { \boldsymbol { k } m ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) * } ( \boldsymbol { r } ) u _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } ( \boldsymbol { r } ) \mathrm { d } ^ { 2 } \boldsymbol { r } ,
\Theta : \mathbb { S } _ { \underline { { A } } } ^ { \underline { { ( a ) } } } \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { \underline { { A } } , \underline { { M } } } ^ { \underline { { \alpha ^ { \prime } } } \cdot \underline { { \beta } } } \to \mathbb { S } _ { \underline { { A } } , \underline { { M } } } ^ { \underline { { ( a ) } } \odot \underline { { \alpha ^ { \prime } } } \cdot \underline { { \beta } } }
\begin{array} { r l } & { u _ { \alpha } ( x _ { \alpha } , t ) = \langle w _ { \alpha } ( x _ { \alpha } , \zeta , t ) \rangle , \quad u ( x _ { \alpha } , t ) = \langle w ( x _ { \alpha } , \zeta , t ) \rangle , } \\ & { \psi _ { \alpha } ( x _ { \alpha } , t ) = \langle w _ { \alpha } ( x _ { \alpha } , \zeta , t ) \zeta \rangle / ( h / 1 2 ) , } \end{array}
\mathscr { G } _ { k } ( c , f _ { 1 } , f _ { 2 } ) ( \varphi ) \triangleq c \, \partial _ { \varphi } f _ { k } ( \varphi ) + \frac { \partial _ { \varphi } \Big ( \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) \big ) + \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } { \sin \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) \big ) } \cdot
d s _ { 4 } ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } - \frac { 3 } { \Lambda _ { 4 } } \sin ^ { 2 } \left( \sqrt { \frac { \Lambda _ { 4 } } { 3 } } t \right) ( d \chi ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \chi ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } ) ) .
\textstyle { \int } \, d x \, ( \sigma \, C _ { 2 } ) ^ { \ast } \, C _ { 1 } \vert _ { y = - \infty } ^ { y = + \infty } = \textstyle { \int } \, d \tilde { x } \, d y \, ( p _ { y } \, C _ { 2 } ) ^ { \ast } \, C _ { 1 } \vert _ { q = - q _ { 0 } } ^ { q = + q _ { 0 } } = 0 \; .
\begin{array} { r l } { \left\langle F _ { + } ^ { \prime } F _ { - } \right\rangle _ { M } } & { = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } k \, X _ { k } ^ { \ell , m } X _ { k } ^ { \ell , n } } \\ & { = \left\langle m \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \left( \frac { r } { a } \right) ^ { 2 \ell - 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( m - n ) \upsilon } - \frac { e \, \ell } { 2 \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \left( \frac { r } { a } \right) ^ { 2 \ell - 1 } \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( m - n + 1 ) \upsilon } - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( m - n - 1 ) \upsilon } \right) \right\rangle _ { M } } \\ & { = m \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } X _ { 0 } ^ { 2 \ell - 2 , m - n } - \frac { e \, \ell } { 2 \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \left( X _ { 0 } ^ { 2 \ell - 1 , m - n + 1 } - X _ { 0 } ^ { 2 \ell - 1 , m - n - 1 } \right) } \\ & { = \frac { m + n } { 2 } \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } X _ { 0 } ^ { 2 \ell - 2 , m - n } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { e ^ { ( t - s ) A } ( V ( s ) ) d W ( s ) } \\ { : = } & { \Bigl ( e ^ { ( t - s ) A _ { 1 } } ( S ( s ) ) d W _ { 1 } ( s ) , e ^ { ( t - s ) A _ { 2 } } ( E ( s ) ) d W _ { 2 } ( s ) , e ^ { ( t - s ) A _ { 3 } } ( I ( s ) ) d W _ { 3 } ( s ) , e ^ { ( t - s ) A _ { 4 } } ( R ( s ) ) d W _ { 4 } ( s ) \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\vert \nabla ^ { 2 } \theta _ { A \left( t \right) s } \right\vert } & { \leq } & { C e ^ { 3 C t \left\vert \xi \right\vert } \left( p _ { 0 } \left( p _ { 0 } ^ { 2 } + p _ { 1 } \right) + t p _ { 0 } ^ { 2 } \left\vert d \xi \right\vert + p _ { 0 } p _ { 1 } + t \left\vert \nabla d \xi \right\vert p _ { 0 } + \left\vert \nabla ^ { 2 } \theta _ { s } \right\vert + t \left\vert \nabla ^ { 2 } d \xi \right\vert \right) } \\ & { \leq } & { C e ^ { 3 C t \left\vert \xi \right\vert } \left( \left\vert \nabla ^ { 2 } \theta _ { s } \right\vert + \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert \left\vert \theta _ { s } \right\vert + \left\vert \theta _ { s } \right\vert ^ { 3 } + t \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert \left\vert d \xi \right\vert + t \left\vert \theta _ { s } \right\vert ^ { 2 } \left\vert d \xi \right\vert + t \left\vert \theta _ { s } \right\vert \left\vert \nabla d \xi \right\vert \right. } \\ & { } & { \left. + t \left\vert \nabla ^ { 2 } d \xi \right\vert + t ^ { 2 } \left\vert \theta _ { s } \right\vert \left\vert d \xi \right\vert ^ { 2 } + t ^ { 3 } \left\vert d \xi \right\vert ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { \mathrm { s a i l } } ^ { \mathrm { m e t a } } } & { = \rho _ { 1 } ( N _ { x } w _ { 1 } h _ { 1 } + N _ { x } w _ { 2 } h _ { 2 } ) N _ { x } \Lambda + \rho _ { 2 } N _ { x } ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } t } \\ & { = \left( \rho _ { 1 } w _ { 1 } h _ { 1 } / \Lambda + \rho _ { 1 } w _ { 2 } h _ { 2 } / \Lambda + \rho _ { 2 } t \right) A } \end{array}
f _ { M } ^ { n p } \left( q \right) = \frac { 4 \pi } { \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { 3 } d k \int _ { 0 } ^ { \pi } d \alpha \sin { } ^ { 2 } \alpha \frac { r _ { k _ { 1 } } ^ { n } r _ { k _ { 2 } } ^ { p } } { \left( k _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { k _ { 1 } } ^ { 4 } M ^ { 2 } \right) \left( k _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { k _ { 2 } } ^ { 4 } M ^ { 2 } \right) }
\nu = \left( \phi ^ { ( 1 ) } \frac { 1 } { \nu ^ { ( 1 ) } } + \phi ^ { ( 2 ) } \frac { 1 } { \nu ^ { ( 2 ) } } + \phi ^ { ( 3 ) } \frac { 1 } { \nu ^ { ( 3 ) } } \right) ^ { - 1 } = 0 . 1 2 8 2 \, .
= \underbrace { \pi ( \{ y _ { i j } \} _ { i = 1 , j = 1 } ^ { N , M _ { i } } | \{ \theta _ { l i } \} _ { i = 1 , l = 1 } ^ { N , K } , \sigma ^ { 2 } ) } _ { S t a g e 1 : I n d i v i d u a l - L e v e l M o d e l } \times \underbrace { \pi ( \{ \theta _ { l i } \} _ { i = 1 , l = 1 } ^ { N , K } | \{ \alpha _ { l } \} _ { l = 1 } ^ { K } , \{ \beta _ { l b } \} _ { l = 1 , b = 1 } ^ { K , P } , \{ \omega _ { l } \} _ { l = 1 } ^ { K } ) } _ { S t a g e 2 : P o p u l a t i o n M o d e l } \times \underbrace { p ( \sigma ^ { 2 } , \{ \alpha _ { l } \} _ { l = 1 } ^ { K } , \{ \beta _ { l b } \} _ { l = 1 , b = 1 } ^ { K , P } , \{ \omega _ { l } \} _ { l = 1 } ^ { K } ) } _ { S t a g e 3 : P r i o r }
{ \frac { d } { d \tau } } \mathbf { X } = \gamma { \frac { d } { d t } } \mathbf { X } = \gamma { \frac { d } { d t } } ( c t , { \vec { x } } ) = \gamma \left( { \frac { d } { d t } } c t , { \frac { d } { d t } } { \vec { x } } \right) = \gamma ( c , { \vec { u } } ) = \mathbf { U }
\begin{array} { r } { V _ { 5 } = - \frac { \tau } { \kappa } \left\lbrace \alpha _ { 1 } \left( \mathcal { Q } _ { \lambda , \nu } ( q ; \xi ) V _ { \xi } \right) \cdot \xi + \alpha _ { 2 } \left( \mathcal { Q } _ { \lambda , \nu } ( q ; \xi ) W _ { \xi } \right) \cdot \xi \right\rbrace \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ a ~ c ~ h ~ } ~ \xi \in \mathbb { S } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta r _ { x } ( \tilde { t } ) - \Delta r _ { x } ( t ) } & { { } = } & { v _ { 0 } \int _ { t } ^ { \tilde { t } } d \hat { t } \big [ \mathrm { c o s } ( \theta _ { 2 } ( \hat { t } ) ) - \mathrm { c o s } ( \theta _ { 1 } ( \hat { t } ) ) \big ] = - 2 v _ { 0 } \int _ { t } ^ { \tilde { t } } d \hat { t } \, \mathrm { s i n } { \frac { \tilde { c } } { 2 } } \, \mathrm { s i n } { \frac { \Delta ( \hat { t } ) } { 2 } } } \\ { \Delta r _ { y } ( \tilde { t } ) - \Delta r _ { y } ( t ) } & { { } = } & { v _ { 0 } \int _ { t } ^ { \tilde { t } } d \hat { t } \big [ \mathrm { s i n } ( \theta _ { 2 } ( \hat { t } ) ) - \mathrm { s i n } ( \theta _ { 1 } ( \hat { t } ) ) \big ] = 2 v _ { 0 } \int _ { t } ^ { \tilde { t } } d \hat { t } \, \mathrm { c o s } { \frac { \tilde { c } } { 2 } } \, \mathrm { s i n } { \frac { \Delta ( \hat { t } ) } { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle = } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle + \eta \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { + } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { - } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle } \\ { = } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle - \eta \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { - } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; \Omega _ { - } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle } \\ { \le } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle , } \end{array}
f _ { i } ^ { e q } ( \vec { x } , t ) = { w _ { i } } ( 1 + 3 \vec { e } _ { i } \cdot f _ { j } \vec { e } _ { j } + \frac { 9 } { 2 } ( \vec { e } _ { i } \cdot f _ { j } \vec { e } _ { j } ) ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } f _ { j } f _ { k } \vec { e } _ { j } \cdot \vec { e } _ { k } ) )
\begin{array} { r l } { F _ { + } ( k ) - F _ { - } ( k ) } & { = \mathbf { u } _ { + } ( k ) \Delta _ { 3 } ( k ) \overline { { \mathbf { u } _ { - } ( \bar { k } ) } } ^ { T } - \mathbf { u } _ { - } ( k ) \Delta _ { 3 } ( k ) \overline { { \mathbf { u } _ { + } ( \bar { k } ) } } ^ { T } } \\ & { = \mathbf { u } _ { - } ( k ) \Big ( v _ { 3 } ( k ) \Delta _ { 3 } ( k ) ( \overline { { v _ { 2 } ( \bar { k } ) } } ^ { - 1 } ) ^ { T } - \Delta _ { 3 } ( k ) \Big ) \overline { { \mathbf { u } _ { + } ( \bar { k } ) } } ^ { T } = 0 } \end{array}
S _ { s } = \sqrt { \left\langle \left| h _ { q } \right| ^ { 2 } \right\rangle } = \sqrt { \frac { { { L } _ { x } } } { { { L } _ { y } } } \frac { { { k } _ { B } } T } { \gamma { { q } ^ { 2 } } + \kappa q ^ { 4 } } } .
N C _ { p } \frac { \partial T _ { \mathrm { g } } } { \partial t } \simeq Q _ { \mathrm { i n } } - \frac { 8 \lambda _ { \mathrm { g } } ( T _ { \mathrm { g } } - T _ { \mathrm { n w } } ) } { R ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r } { C ( \mathbf { Q } ) \propto \int _ { \Lambda } \frac { d ^ { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { ( \lambda _ { q } \lambda _ { Q - q } \Gamma _ { 2 } ^ { q , Q - q ) } ) ^ { 2 } ( \Omega _ { q } + \Omega _ { Q - q } ) } { ( \Omega _ { q } + \Omega _ { Q - q } ) ^ { 2 } + Q _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma _ { 2 } } { \sigma _ { N } } = } & { \frac { 1 } { \hbar \omega } \bigg \{ \int _ { [ \Delta _ { g } - \hbar \omega , - \Delta _ { g } ] } ^ { \Delta _ { g } } g _ { 2 } ( 1 , 2 ) \operatorname { t a n h } \bigg ( \frac { \hbar \omega + E } { 2 k _ { B } T } \bigg ) d E } \\ & { + \int _ { \Delta _ { g } } ^ { \infty } \bigg [ g _ { 2 } ( 1 , 2 ) \operatorname { t a n h } \bigg ( \frac { \hbar \omega + E } { 2 k _ { B } T } \bigg ) } \\ & { + g _ { 2 } ( 2 , 1 ) \operatorname { t a n h } \bigg ( \frac { E } { 2 k _ { B } T } \bigg ) \bigg ] d E \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \nabla F ( x _ { t } ) , \gamma ) \| } & { \leq \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| + \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| \big ] \leq \frac { \sqrt { 2 M } m ^ { 1 / 4 } } { \sqrt { T } } + \frac { \sqrt { 2 M } } { T ^ { 1 / 4 } } ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat \mu _ { \operatorname* { m a x } } ^ { a s y } ( \overline { E } _ { \bullet } ) : = \operatorname* { l i m s u p } \frac { \widehat \mu _ { \operatorname* { m a x } } ( \overline { E } _ { n } ) } { n } , } \\ { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \operatorname* { i n f } } ( \overline { E } _ { \bullet } ) : = \operatorname* { l i m i n f } \frac { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( \overline { E } _ { n } ) } { n } , } \\ { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \operatorname* { i n f } } ( \overline { E } _ { \bullet } ) : = \operatorname* { l i m s u p } \frac { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( \overline { E } _ { n } ) } { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathbf R } ^ { 3 } } \left| | 1 + v | - 1 \right| ^ { 2 } \mathbf { 1 } _ { \{ | 1 + v | ^ { 2 } \geq 1 + \delta \} } \mathrm d x } & { \leq C \int _ { { \mathbf R } ^ { 3 } } \left( | 1 + v | ^ { 2 } - 1 \right) \mathbf { 1 } _ { \{ | 1 + v | ^ { 2 } \geq 1 + \delta \} } \mathrm d x } \\ & { \leq C _ { h } \int _ { { \mathbf R } ^ { 3 } } F ( | 1 + v | ^ { 2 } ) \mathbf { 1 } _ { \{ | 1 + v | ^ { 2 } \geq 1 + \delta \} } \mathrm d x } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathbf { Y } _ { < k } ) _ { j , s } } & { = \sum _ { s _ { 0 } , \ldots , s _ { k - 2 } } y _ { s _ { 0 } , s _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( \xi _ { 1 } ^ { j } ) \cdots y _ { s _ { k - 2 } , s } ^ { ( k - 1 ) } ( \xi _ { k - 1 } ^ { j } ) , } & { ( \xi _ { 1 } ^ { j } , \ldots , \xi _ { k - 1 } ^ { j } ) \in \Xi _ { < k } , } \\ { ( \mathbf { Y } _ { > k } ) _ { j , s } } & { = \sum _ { s _ { k + 1 } , \ldots , s _ { d } } y _ { s , s _ { k + 1 } } ^ { ( k + 1 ) } ( \xi _ { k + 1 } ^ { j } ) \cdots y _ { s _ { d - 1 } , s _ { d } } ^ { ( d ) } ( \xi _ { d } ^ { j } ) , } & { ( \xi _ { k + 1 } ^ { j } , \ldots , \xi _ { d } ^ { j } ) \in \Xi _ { > k } . } \end{array}
\hat { \sigma } _ { \gamma \gamma \rightarrow \gamma \gamma } ( s _ { \gamma \gamma } ) = \hat { \sigma } _ { \gamma \gamma \rightarrow \gamma \gamma } ^ { r } ( s _ { \gamma \gamma } ) + \hat { \sigma } _ { \gamma \gamma \rightarrow \gamma \gamma } ^ { b } ( s _ { \gamma \gamma } ) \; .
B _ { p , p } ^ { s } ( \mathbb { T } ^ { d } ) : = \left\{ \varphi \in \mathrm D ^ { \prime } ( \mathbb { T } ^ { d } ) \bigg | \; \sum _ { ( j , k , l ) \in \mathcal { I } _ { w } } 2 ^ { j p ( s + \frac { d + w } { 2 } - \frac { d } { p } ) } | ( \varphi , \psi _ { j + w , k } ^ { l } ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { d } ) } | ^ { p } < \infty \right\} .