harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { d \nabla ^ { k } \theta _ { A \left( t \right) s } } { d t } } & { = } & { \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } = k } \left( \nabla ^ { k _ { 1 } } b _ { A \left( t \right) s } \right) \left( \nabla ^ { k _ { 2 } } \xi , \nabla ^ { k _ { 3 } } \theta _ { A \left( t \right) s } \right) + \nabla ^ { k } d \xi } \\ { \nabla ^ { k } \theta _ { A \left( 0 \right) s } } & { = } & { \nabla ^ { k } \theta _ { s } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { n } ^ { 2 } = { \binom { n } { 2 } } - \mu _ { n } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( i - 1 ) \left( \frac { N - n + 1 } { N - i + 1 } \right) ^ { 2 } + ( N - n + 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { ( i - 1 ) ( i - 2 ) ( n - i ) } { ( N - i + 2 ) ( N - i + 1 ) ^ { 2 } } } \\ { 2 ( N - n + 1 ) \sum _ { 1 \leq i < j \leq n } \frac { ( i - 1 ) ( j - 1 ) ( n - j ) } { ( N - i + 1 ) ( N - j + 1 ) ( N - j + 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d P _ { x } ( \omega ) } { d t } = } & { \omega P _ { y } ( \omega ) + \alpha \bar { P } _ { x } P _ { z } ( \omega ) - \frac { P _ { x } ( \omega ) } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d P _ { y } ( \omega ) } { d t } = } & { - \omega P _ { x } ( \omega ) + \alpha \bar { P } _ { y } P _ { z } ( \omega ) - \frac { P _ { y } ( \omega ) } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d P _ { z } ( \omega ) } { d t } = } & { - \alpha \left[ \bar { P } _ { x } P _ { x } ( \omega ) + \bar { P } _ { y } P _ { y } ( \omega ) \right] - \frac { P _ { z } ( \omega ) } { T _ { 1 } } + G \left[ P _ { 0 } - P _ { z } ( \omega ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | } & { = \left| A _ { [ \frac { 1 } { 2 } ] } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| = \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } \\ & { = \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + \left| B _ { [ \frac { 1 } { 2 } ] } ^ { 0 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 0 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| } \\ & { = \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + \left| A \cap ( 3 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| } \end{array}
{ \cal D } _ { V v } ^ { \mathrm { s y m } ( l ) } \equiv { \cal D } _ { V v } ^ { ( l ) } - r ^ { ( 1 ) } \bigl ( 4 { \cal D } _ { e } ^ { ( l + 1 ) } + 8 l ( { \cal N } _ { V } ^ { ( l + 1 ) } - 8 ( l + 1 ) r ^ { ( 1 ) } \delta { \cal N } _ { V } ^ { ( l + 2 ) } ) \bigr ) .
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial u } { \partial x } } } & { { } = { \frac { \partial u } { \partial r } } { \frac { \partial r } { \partial x } } + { \frac { \partial u } { \partial \varphi } } { \frac { \partial \varphi } { \partial x } } , } \\ { { \frac { \partial u } { \partial y } } } & { { } = { \frac { \partial u } { \partial r } } { \frac { \partial r } { \partial y } } + { \frac { \partial u } { \partial \varphi } } { \frac { \partial \varphi } { \partial y } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mu } _ { 1 } } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { v \in S } \mu ( J _ { x } f _ { 1 } ( v ) ) = \operatorname* { m a x } _ { v \in S } \operatorname* { m a x } \{ - 1 - 1 . 9 v _ { 1 } + 0 . 1 v _ { 2 } , \, 2 + 0 . 1 v _ { 1 } - 1 . 9 v _ { 2 } \} = 7 / 3 , } \\ { \hat { \mu } _ { 2 } } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { v \in S } \mu ( J _ { x } f _ { 2 } ( v ) ) = \operatorname* { m a x } _ { v \in S } \operatorname* { m a x } \{ 3 - 1 . 9 v _ { 1 } + 0 . 1 v _ { 2 } , \, - 1 + 0 . 1 v _ { 1 } - 1 . 9 v _ { 2 } \} = 2 9 / 9 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ r ~ } _ { + } } & { { } = N _ { - } \left( 1 - p \right) \, \frac { 4 \prod _ { i = 0 } ^ { 2 } \left( N _ { + } - i \right) } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } + \frac { 2 \, N _ { - } \, p } { N } , } \\ { \mathrm { ~ P ~ r ~ } _ { - } } & { { } = N _ { + } \left( 1 - p \right) \frac { 4 \prod _ { i = 0 } ^ { 2 } \left( N _ { - } - i \right) } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } + \frac { 2 \, N _ { + } \, p } { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi = \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } m } { 4 e } \left[ \big ( 1 + \beta ( r _ { b } ) \big ) r _ { b } ^ { 2 } - r ^ { 2 } \right] , } \\ & { \phi _ { b } = \phi _ { 0 } ( \zeta ) - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } m } { 4 e } r ^ { 2 } , } \\ & { A _ { z , b } = A _ { z , 0 } ( \zeta ) , } \\ & { A _ { r , b } = \frac { r } { 2 c } \frac { d \psi _ { 0 } } { d \zeta } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { + 1 } & { { } , } & { L ( x , y , t _ { i } ) - L ( x , y , t _ { i - 1 } ) > C , } \\ { - 1 } & { { } , } & { L ( x , y , t _ { i } ) - L ( x , y , t _ { i - 1 } ) < - C , } \end{array}
b _ { k } ^ { \mathrm { s } } = \epsilon _ { k i j } \partial _ { i } a _ { j } ^ { \mathrm { s } } = \epsilon _ { k i j } \partial _ { i } \left( \frac { 1 } { 2 i g } \mathrm { t r } \, \tau _ { 3 } \, \Omega _ { \mathrm { D } } \partial _ { j } \Omega _ { \mathrm { D } } ^ { \dagger } \right) ,
S ( { \underline { { x } } } , Y ) = e ^ { - { \frac { c } { 2 } } ( { \frac { \alpha \cdot N _ { c } } { \pi } } ) ^ { 2 } ( Y - Y _ { 0 } ) ^ { 2 } } S ( { \underline { { x } } } , Y _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \langle \phi , B _ { L } \psi \rangle } & { { } = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Bar { \phi } B _ { L } \psi = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Bar { \phi } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \Delta \psi + \frac { 1 } { 2 } \lvert u \rvert ^ { 2 } \psi + i u \cdot \nabla \psi \right] } \end{array}
Z _ { e y } = \frac { \left\langle E _ { z } \right\rangle } { \left\langle H _ { x } \right\rangle } = \frac { \int _ { - 0 . 5 a } ^ { 0 . 5 a } E _ { z } d x } { \int _ { - 0 . 5 a } ^ { 0 . 5 a } H _ { x } d x } ,
{ \begin{array} { r l } { \ell _ { j } ^ { \prime } ( x ) } & { = \sum _ { \begin{array} { l } { i = 0 } \\ { i \not = j } \end{array} } ^ { k } { \Biggl [ } { \frac { 1 } { x _ { j } - x _ { i } } } \prod _ { \begin{array} { l } { m = 0 } \\ { m \not = ( i , j ) } \end{array} } ^ { k } { \frac { x - x _ { m } } { x _ { j } - x _ { m } } } { \Biggr ] } } \\ & { = \ell _ { j } ( x ) \sum _ { \begin{array} { l } { i = 0 } \\ { i \not = j } \end{array} } ^ { k } { \frac { 1 } { x - x _ { i } } } . } \end{array} }
\mathrm { ~ H ~ A ~ E ~ I ~ } ( \boldsymbol { x } ) = \mathrm { ~ E ~ I ~ } ( \boldsymbol { x } ) \Bigg ( 1 - \frac { \gamma } { \hphantom { e } \vphantom { \big | } \sqrt { k + \gamma ^ { 2 } } \hphantom { e } } \Bigg ) .
\| u \| _ { \mathcal { C } ^ { 2 + \alpha , \frac { 2 + \alpha } { 2 } \nu } ( \bar { \Omega } _ { T } ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu _ { i } } u \| _ { \mathcal { C } ^ { \alpha , \frac { \alpha } { 2 } \nu } ( \bar { \Omega } _ { T } ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \mu _ { j } } u \| _ { \mathcal { C } ^ { \alpha , \frac { \alpha } { 2 } \nu } ( \bar { \Omega } _ { T } ) } \leq C [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { \mathcal { C } ^ { 2 + \alpha } ( \bar { \Omega } ) } + \| g \| _ { \mathcal { C } ^ { \alpha , \frac { \alpha } { 2 } \nu } ( \bar { \Omega } _ { T } ) } ] ,
\Gamma _ { { k _ { 1 } } , { k _ { 2 } } , { { k } _ { 1 } ^ { \prime } } , { { k } _ { 2 } ^ { \prime } } } ^ { \alpha , \beta , \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } } \overline { { \gamma } } _ { \alpha , { k } _ { 1 } } \overline { { \gamma } } _ { \beta , { k } _ { 2 } } \gamma _ { \beta ^ { \prime } , { k } _ { 2 } ^ { \prime } } \gamma _ { \alpha ^ { \prime } , { k } _ { 1 } ^ { \prime } } \delta ( \{ k \} ) ,
\begin{array} { r } { C _ { L } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \frac { 2 D \Gamma ( \frac { \gamma } { D } + 2 ) ^ { 2 } \left( \sqrt { \tau ^ { \prime } } \tau ^ { - \frac { \gamma } { D } - 2 } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) ^ { \frac { \gamma } { D } + \frac { 5 } { 2 } } \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { \gamma } { D } + 2 , \frac { \gamma } { D } + 2 ; \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } ; \frac { \tau ^ { \prime } } { \tau } \right) - \sqrt { \tau ^ { \prime } \tau } \right) } { \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { k _ { B } T } { 2 } = \frac { \gamma \pi } { 2 } K _ { n , \alpha } \langle C _ { n , \alpha } ^ { 2 } \rangle = \frac { \gamma \pi } { 2 } K _ { n , \alpha } \langle D _ { n , \alpha } ^ { 2 } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } H _ { k } ( v ) \frac { e ^ { - \frac { v ^ { 2 } } { 2 } } } { v - z } \, d v } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } \left[ \left( - \frac { d } { d v } \right) ^ { k } e ^ { - \frac { v ^ { 2 } } { 2 } } \right] \frac { d v } { v - z } = \frac { ( - 1 ) ^ { k } k ! } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } e ^ { - \frac { v ^ { 2 } } { 2 } } \frac { d v } { ( v - z ) ^ { k + 1 } } } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { d ^ { k } } { d z ^ { k } } \int _ { \mathbb { R } } e ^ { - \frac { v ^ { 2 } } { 2 } } \frac { d v } { v - z } = ( - 1 ) ^ { k } \frac { d ^ { k } Z } { d z ^ { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { ( --- ) } } & { = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( --- ) } = \frac { \mathrm { T r } [ ( \mathbf { A } ^ { - } ) ^ { 3 } ] } { 6 } , } \\ { T ^ { ( + + - ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( + + - ) } = \frac { \mathrm { T r } [ ( \mathbf { A } ^ { + } ) ^ { 2 } \mathbf { A } ^ { - } ] } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( t ) = \mathbb { P } ( \mathcal { N } ( t ) = 0 ) } & { { } = \exp \left\{ - \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } d _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { { } = 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { y - 2 d / 3 - 0 . 1 d \sin \left( 2 \pi x / d \right) } { \epsilon / 2 } , } \\ { \phi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { { } = \left[ 1 - \phi _ { 1 } \left( x , y \right) \right] \left[ 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { y + 2 d / 3 + 0 . 1 d \sin \left( 2 \pi x / d \right) } { \epsilon / 2 } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( { \frac { \partial A _ { z } } { \partial y } } - { \frac { \partial A _ { y } } { \partial z } } \right) } & { { \hat { \mathbf { x } } } } \\ { + \left( { \frac { \partial A _ { x } } { \partial z } } - { \frac { \partial A _ { z } } { \partial x } } \right) } & { { \hat { \mathbf { y } } } } \\ { + \left( { \frac { \partial A _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } \right) } & { { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \Xi _ { \overline { { X } } _ { i } } ( \phi _ { i } ^ { ( n ) } , \psi _ { i } ^ { ( n ) } ) \leq \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { i } | } } \\ & { \quad \times \{ 1 + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 1 } | } + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 2 } | } \} \Pi _ { \overline { { X } } } ( R _ { i } ) . } \end{array}
\mathcal { S } ^ { * } [ q _ { i } ( t ) ] = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { R } _ { i } \mathcal { R } _ { i } d t , \quad \mathcal { R } _ { i } \equiv \ddot { q } _ { i } - f _ { i } ( q _ { j } , \dot { q } _ { j } , t ) = 0 , \quad i , j = 1 , 2 , . . . , n ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon \rho _ { b } c _ { b } \left( \partial _ { t } T _ { b } + \mathbf v _ { b } \cdot \nabla T _ { b } \right) } & { { } = \nabla \cdot ( \lambda _ { b } \nabla T _ { b } ) + h ( T _ { t } - T _ { b } ) , } \\ { ( 1 - \varepsilon ) \rho _ { t } c _ { t } \partial _ { t } T _ { t } } & { { } = \nabla \cdot ( \lambda _ { t } \nabla T _ { t } ) - h ( T _ { t } - T _ { b } ) + ( 1 - \varepsilon ) q _ { \textrm { m e t } } , } \end{array}
\Delta \varphi _ { X } = \sum _ { i = 0 } ^ { L - 1 } x _ { i } \Delta \varphi _ { i } = \sum _ { i = 0 } ^ { L - 1 } x _ { i } | 2 ^ { i } | _ { m } \frac { 2 \pi } { m } = \frac { 2 \pi } { m } \sum _ { i = 0 } ^ { L - 1 } | 2 ^ { i } x _ { i } | _ { m } = \frac { 2 \pi } { m } | X | _ { m }
\begin{array} { r } { P ( \vec { x } , t ) \simeq \frac { 1 } { ( 4 \pi t ) ^ { N / 2 } } e ^ { - \frac { t } { 4 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( z _ { j } - c ( 2 j - N - 1 ) ) ^ { 2 } } \prod _ { 1 \leq a < b \leq N } \frac { z _ { b } - z _ { a } } { z _ { b } - z _ { a } + 2 c } \quad , \quad \mathrm { f o r } \, \, z _ { 1 } \leq z _ { 2 } \dots \leq z _ { N } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } z _ { i } ( \mathbf { u } ) + \lambda _ { i } \partial _ { x } z _ { i } ( \mathbf { u } ) } & { = \nabla z _ { i } \partial _ { t } ( \mathbf { u } ) + \lambda _ { i } \nabla z _ { i } \partial _ { x } ( \mathbf { u } ) } \\ & { = \nabla z _ { i } ( \partial _ { t } ( \mathbf { u } ) + \lambda _ { i } \partial _ { x } ( \mathbf { u } ) ) } \\ & { = \mathbf { l _ { i } } ( \partial _ { t } ( \mathbf { u } ) + \lambda _ { i } \partial _ { x } ( \mathbf { u } ) ) } \\ & { = \mathbf { l _ { i } } ( \partial _ { t } ( \mathbf { u } ) + A \partial _ { x } ( \mathbf { u } ) ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( d _ { m } + d _ { n } ) \cdot h _ { m } ( \frac { d _ { m } z _ { m } + d _ { n } z _ { n } } { d _ { m } + d _ { n } } ) } & { = d _ { m } \cdot h _ { m } ( z _ { m } ) + d _ { n } \cdot h _ { m } ( z _ { n } ) } \\ & { = ( d _ { m } + d _ { n } ) \cdot h _ { m } ( \frac { d _ { m } z _ { m } } { d _ { m } + d _ { n } } ) + ( d _ { m } + d _ { n } ) \cdot h _ { m } ( \frac { d _ { n } z _ { n } } { d _ { m } + d _ { n } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V = } & { \{ s , v _ { 1 } , v _ { 2 } , \ldots , v _ { n } , t \} , \quad n = 2 k , k \in \mathbb { N } } \\ { E = } & { \{ ( s , v _ { 1 } ) , ( s , v _ { 2 } ) , } \\ & { \; ( v _ { 1 } , v _ { 3 } ) , ( v _ { 1 } , v _ { 4 } ) , ( v _ { 2 } , v _ { 3 } ) , ( v _ { 2 } , v _ { 4 } ) , } \\ & { \; ( v _ { 3 } , v _ { 5 } ) , ( v _ { 3 } , v _ { 6 } ) , ( v _ { 4 } , v _ { 5 } ) , ( v _ { 4 } , v _ { 6 } ) , } \\ & { \; \ldots , } \\ & { \; ( v _ { n - 5 } , v _ { n - 3 } ) , ( v _ { n - 5 } , v _ { n - 2 } ) , ( v _ { n - 4 } , v _ { n - 3 } ) , ( v _ { n - 4 } , v _ { n - 2 } ) , } \\ & { \; ( v _ { n - 3 } , v _ { n - 1 } ) , ( v _ { n - 3 } , v _ { n } ) , ( v _ { n - 2 } , v _ { n - 1 } ) , ( v _ { n - 2 } , v _ { n } ) , } \\ & { \; ( v _ { n - 1 } , t ) , ( v _ { n } , t ) \} } \end{array}
R \mathcal { H } o m _ { Y ^ { \prime } } ( \mathscr { O } _ { X ^ { \prime } } [ q ] , \mathscr { O } _ { Y ^ { \prime } } [ q + c ] ) ) \simeq \mathcal E \! x t _ { Y ^ { \prime } } ^ { c } ( \mathscr { O } _ { X ^ { \prime } } , \mathscr { O } _ { Y ^ { \prime } } ) \simeq \operatorname* { d e t } ( \mathscr { I } _ { X ^ { \prime } } / \mathscr { I } _ { X ^ { \prime } } ) ^ { \vee }
\begin{array} { r l r } { \langle 1 _ { \mp } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { \pm } ^ { \prime } \rangle } & { = } & { \langle 1 _ { \mp } | \left( 1 - \hat { H } _ { \mathrm { Z e e } } \hat { Q } _ { 1 } \right) \hat { V } _ { j } \left( 1 - \hat { Q } _ { 1 } \hat { H } _ { \mathrm { Z e e } } \right) | 1 _ { \pm } \rangle + \mathcal { O } ( B ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { \langle 1 _ { \mp } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { \pm } \rangle - \langle 1 _ { \mp } | \left( \hat { V } _ { j } \hat { Q } _ { 1 } \hat { H } _ { \mathrm { Z e e } } + \hat { H } _ { \mathrm { Z e e } } \hat { Q } _ { 1 } \hat { V } _ { j } \right) | 1 _ { \pm } \rangle + \mathcal { O } ( B ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { - \langle 1 _ { \mp } | { \hat { W } _ { j } } | 1 _ { \pm } \rangle + \mathcal { O } ( B ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial t } + ( u \cdot \nabla ) u + 2 \Omega \times u + \nabla p - b \hat { k } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial b } { \partial t } + ( u \cdot \nabla ) b } & { { } = 0 , } \\ { \nabla \cdot u } & { { } = 0 , } \end{array}
\Big ( \mathrm { F } _ { 1 } ^ { * } \phi ( \mathbf { H } _ { m } ) \mathrm { F } _ { 1 } + \gamma N \mathbf { I } _ { N } \Big ) \underbrace { \left[ \begin{array} { l } { c _ { 1 } ^ { ( \mathrm { c b l } ) } } \\ { c _ { 2 } ^ { ( \mathrm { c b l } ) } } \\ { \vdots } \\ { c _ { N } ^ { ( \mathrm { c b l } ) } } \end{array} \right] } _ { \mathrm { c } ^ { ( \mathrm { c b l } ) } } = \left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { y _ { N } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { Z ( t ) } & { = Z _ { \ast } ( t ) + \lambda \zeta _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \kappa s } d s , } \\ & { = \left( 1 + \frac { \lambda } { \kappa } \right) B ( t ) - \frac { \lambda } { \kappa } Z _ { 0 } ( t ) + \lambda \zeta _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \kappa s } d s , ~ ~ ~ t \in [ 0 , T ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A ( t ) } & { = } & { \frac { \gamma } { \left[ \tau ( t ) \right] ^ { \gamma } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { T _ { \eta } } \dot { \tau } \left( u \right) \left[ \tau ( u ) \right] ^ { \gamma - 1 } a ( u ) d u + \frac { \gamma } { \left[ \tau ( t ) \right] ^ { \gamma } } \int _ { T _ { \eta } } ^ { t } \dot { \tau } \left( u \right) \left[ \tau ( u ) \right] ^ { \gamma - 1 } a ( u ) d u } \\ & { \leq } & { \frac { \gamma } { \left[ \tau ( t ) \right] ^ { \gamma } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { T _ { \eta } } \dot { \tau } \left( u \right) \left[ \tau ( u ) \right] ^ { \gamma - 1 } a ( u ) d u + \eta \tau ( t _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } = } & { - 2 \mathrm { K n } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial v _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i j } \frac { \partial v _ { \ell } } { \partial x _ { \ell } } \right] } \\ & { - 2 \alpha _ { 0 } \mathrm { K n } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial q _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial q _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i j } \frac { \partial q _ { \ell } } { \partial x _ { \ell } } \right] , } \\ { q _ { i } = } & { - \frac { c _ { p } \mathrm { K n } } { \mathrm { P r } } \left( \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } + \alpha _ { 0 } \frac { \partial \sigma _ { i j } } { \partial x _ { j } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { r ^ { p - 1 } Y _ { p - 1 } ( \hat { \phi } ) F , } } & { { r ^ { p - 2 } Y _ { p - 2 } ( \hat { \phi } ) F ^ { 2 } , } } & { { r ^ { p - 2 } Y _ { p - 2 } ( \hat { \phi } ) F \bar { F } , } } \\ { { r ^ { p - 3 } Y _ { p - 3 } ( \hat { \phi } ) F ^ { 2 } \bar { F } , } } & { { r ^ { p - 4 } Y _ { p - 4 } ( \hat { \phi } ) F ^ { 2 } \bar { F } ^ { 2 } } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { \mathrm { ~ \textsc ~ { ~ P ~ E ~ } ~ } } = \frac { e } { \hbar \omega _ { 0 } } \int _ { z _ { 0 } } ^ { \infty } E _ { \mathrm { p } , z } ( z ) \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega _ { 0 } ( z - z _ { 0 } ) / v } \, \mathrm { d } z , } \end{array}
\tan ^ { - 1 } \left( \frac { { \sqrt { 4 \xi - 1 } } } { 3 } \right) = \frac { { \sqrt { 4 \xi - 1 } } } { 3 } - \frac { ( 4 \xi - 1 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 2 7 } + O ( 4 \xi - 1 ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } .
, i n a c o m p l e t e l y a n a l o g o u s w a y t o t h e l i n k b e t w e e n s e l f - i n t e g r a l s a n d u n i q u e l y - d e f i n e d s t o c h a s t i c i n t e g r a l s i n T h e o r e m . T h i s a p p r o a c h c a n a l s o b e u s e d w h e n m u l t i p l y i n g o t h e r s t o c h a s t i c s t r u c t u r e s w i t h w e l l - d e f i n e d d e t e r m i n i s t i c a n a l o g u e : t e m p e r e d d i s t r i b u t i o n s w i t h s m o o t h f u n c t i o n s w i t h p o l y n o m i a l l y b o u n d e d d e r i v a t i v e s , p r i m i t i v e s o f m e a s u r e s w i t h
\sum _ { \nu = 1 } ^ { N } [ m C _ { l } ^ { \nu } \ddot { Q _ { \nu } } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } k _ { l n } C _ { n } ^ { \nu } Q _ { \nu } ] = \sum _ { \nu = 1 } ^ { N } m C _ { l } ^ { \nu } [ \ddot { Q _ { \nu } } + \omega _ { \nu } ^ { 2 } Q _ { \nu } ] = 0
\begin{array} { r l } { \langle \phi , B _ { L } \psi \rangle = \int _ { \Omega } \Bar { \phi } B _ { L } \psi } & { { } = \int _ { \Omega } \Bar { \phi } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \Delta \psi + \frac { 1 } { 2 } \lvert u \rvert ^ { 2 } \psi + i u \cdot \nabla \psi \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle ( \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) - p _ { * 1 } p _ { * 2 } } \\ { = \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ( p _ { * 1 } ^ { 2 } + p _ { * 2 } ^ { 2 } ) + ( \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } - 1 ) p _ { * 1 } p _ { * 2 } } \\ { = \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ( p _ { * 1 } - p _ { * 2 } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\widetilde { S } ( t , \omega ) ( { \rho } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \mathrm { i } \sigma _ { z } ^ { ( j ) } \sigma _ { z } ^ { ( k ) } { \rho } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega = ( j , k , 1 ) , } \\ { \mathrm { i } { \rho } \sigma _ { z } ^ { ( j ) } \sigma _ { z } ^ { ( k ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega = ( j , k , 2 ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { Q _ { \mathcal { T } , \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 4 ) } = \frac { 1 } { 4 } \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + 2 [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] + 3 [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { I ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \omega ^ { 2 } } \left( \Gamma \left( \frac { m } { 2 } \right) M \left( \frac { m } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \omega ^ { 2 } \right) + 2 \omega \Gamma \left( \frac { m + 1 } { 2 } \right) M \left( \frac { m + 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } , \omega ^ { 2 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { \mathrm { n c } } ( \Lambda _ { p } ^ { d } ) } & { = Q _ { \mathrm { n c } } ^ { d } ( \Lambda _ { p } ^ { d } ) - Q _ { \mathrm { c o h } } ^ { d } ( \Lambda _ { p } ^ { d } ) \geq P ^ { d } ( \Lambda _ { p } ^ { d } ) - Q _ { \mathrm { c o h } } ( \Lambda _ { p } ^ { d } ) } \\ & { \geq P ^ { d } ( \Lambda _ { p } ^ { d } ) - P _ { 1 } ( \Lambda _ { p } ^ { d } ) = \xi ^ { P } ( \Lambda _ { p } ^ { d } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle \mathbf { g } _ { n } , \mathbf { u } _ { n } \rangle \right] } & { \le \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\langle \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) , \mathbf { u } ^ { k } \right\rangle \right] + \mathop { \mathbb { E } } \left[ D \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) - \mathbf { g } _ { n } ) \right\| \right] } \\ & { \le \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\langle \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) , \mathbf { u } ^ { k } \right\rangle \right] + D \sigma K \sqrt { T } } \\ & { = \mathop { \mathbb { E } } \left[ - \sum _ { k = 1 } ^ { K } D T \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F \left( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } \right) \right\| \right] + D \sigma K \sqrt { T } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { q _ { \parallel , t } } { q _ { \parallel , u } } \cdot \frac { R _ { t } } { R _ { u } } } & { = e x p \left( \int _ { u } ^ { t } \frac { S _ { p w r } } { q _ { \parallel } } d s \right) \equiv } \\ { ~ } & { \equiv 1 - f _ { c o o l i n g } } \\ { \frac { p _ { t o t , t } } { p _ { t o t , u } } } & { = e x p \left( \int _ { u } ^ { t } \left[ \frac { S _ { m o m } } { p _ { t o t } } - \frac { \kappa } { R } \partial _ { s } ( R ) \right] d s \right) \equiv } \\ { ~ } & { \equiv 1 - f _ { m o m - l o s s } } \end{array}
a ^ { 2 } = M _ { Z } ^ { 2 } \frac { \Phi + \frac { 1 } { 4 } } { C _ { 3 } } , b ^ { 2 } = M _ { Z } ^ { 2 } \frac { \Phi + \frac { 1 } { 4 } } { C _ { 1 } } , ~ ~ c ^ { 2 } = M _ { Z } ^ { 2 } \frac { \Phi + \frac { 1 } { 4 } } { C _ { 2 } ^ { \prime } }