harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\partial _ { \hat { p } } \hat { H } ( \hat { p } , \hat { y } ) = \hat { p } \hat { H } ( \hat { p } , \hat { y } ) \int _ { \omega } \frac { \cos ( \hat { y } \hat { \omega } / p ^ { z _ { * } } ) - 1 } { \hat { \omega } ^ { 2 } } \hat { J } _ { * } ( \hat { \omega } ) \, .
\left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \frac { 1 } { r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } r + \frac { L ^ { 2 } } { 2 m r ^ { 2 } } + V ( r ) \right) \psi ( r , \theta , \phi ) = E \psi ( r , \theta , \phi ) .
\hat { \mathrm { H } } _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p h y s } } = \hat { \mathrm { H } } _ { 0 , + } + \hat { \mathrm { H } } _ { 0 , - } - \frac { 1 } { 2 } ( \xi _ { + } + \xi _ { - } ) - \frac { \pi } { \pi } { L } { \hbar } ( 1 + \mathrm { N } ^ { 2 } ) ( [ \frac { e _ { + } b \mathrm { L } } { 2 { \pi } { \hbar } } ] ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { A = \left[ \begin{array} { l l l l } { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 6 } \\ { 7 } & { 8 } & { 9 } & { 1 0 } \\ { 1 1 } & { 1 2 } & { 1 3 } & { 1 4 } \\ { 1 5 } & { 1 6 } & { 1 7 } & { 1 8 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 2 } & { 1 } & { 0 } \\ { 2 } & { - 3 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 4 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 4 } & { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { - 3 } & { - 2 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] ^ { - 1 } = U ^ { - 1 } D V ^ { - 1 } . } \end{array}
f _ { \mathrm { r h o } } \frac { \varepsilon _ { \mathrm { r h o } } - \varepsilon _ { \mathrm { m i x } } } { \varepsilon _ { \mathrm { r h o } } + 2 \varepsilon _ { \mathrm { m i x } } } + f _ { \mathrm { V O } } \frac { \varepsilon _ { \mathrm { V O } } - \varepsilon _ { \mathrm { m i x } } } { \varepsilon _ { \mathrm { V O } } + 2 \varepsilon _ { \mathrm { m i x } } } = 0 .
\hat { f } _ { p q } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \sigma } \hat { a } _ { p _ { \sigma } } [ \hat { H } , \hat { a } _ { q _ { \sigma } } ^ { \dagger } ] - \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } [ \hat { H } , \hat { a } _ { q _ { \sigma } } ] = h _ { p q } + \sum _ { r s } \hat { E } _ { r s } \left[ ( p q | r s ) - \frac { 1 } { 2 } ( p r | q s ) \right]
\begin{array} { r l r l } & { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) + r _ { 2 } ( \omega k ) + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 } ( \frac { 1 } { k } ) = 0 , } & & { k \in \partial { \mathbb D } \setminus \{ \pm \omega \} , } \\ & { r _ { 2 } ( k ) = \tilde { r } ( k ) \overline { { r _ { 1 } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \qquad \tilde { r } ( k ) : = \frac { \omega ^ { 2 } - k ^ { 2 } } { 1 - \omega ^ { 2 } k ^ { 2 } } , } & & { k \in \hat { \Gamma } _ { 4 } \setminus \{ 0 , \pm \omega ^ { 2 } \} , } \\ & { r _ { 1 } ( 1 ) = r _ { 1 } ( - 1 ) = 1 , \qquad r _ { 2 } ( 1 ) = r _ { 2 } ( - 1 ) = - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { F } } & { { } = [ 1 - i ( | E _ { 1 } | ^ { 2 } + B | E _ { 2 } | ^ { 2 } - \Delta ) ] E _ { 1 } , } \\ { \sqrt { F } } & { { } = [ 1 - i ( | E _ { 2 } | ^ { 2 } + B | E _ { 1 } | ^ { 2 } - \Delta ) ] E _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { F _ { z } } { 2 4 \mu \theta Z ^ { 2 } } } & { = \frac { \dot { X } } { 2 } \left( \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { 2 Z ^ { 2 } \theta ^ { 3 } } - \frac { 1 } { Z ^ { 2 } \theta ^ { 3 } } \right) + \dot { Z } \left( \frac { 1 } { Z ^ { 2 } \theta ^ { 4 } } - \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { 2 Z ^ { 2 } \theta ^ { 4 } } \right) + \frac { \dot { \theta } } { 2 } \left( \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { Z \theta ^ { 5 } } - \frac { L } { 2 Z ^ { 2 } \theta ^ { 4 } } \right) \, , } \\ { \frac { G } { 2 4 \mu \theta Z ^ { 2 } } } & { = \frac { \dot { X } } { 4 } \left( \frac { L } { 2 Z ^ { 2 } \theta ^ { 3 } } - \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { Z \theta ^ { 4 } } \right) + \frac { \dot { Z } } { 2 } \left( \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { Z \theta ^ { 5 } } - \frac { L } { 2 Z ^ { 2 } \theta ^ { 4 } } \right) + \frac { \dot { \theta } } { 4 } \left( \frac { [ \ln ( L \theta / Z ) ] ^ { 2 } } { \theta ^ { 6 } } - \frac { L ^ { 2 } } { 4 Z ^ { 2 } \theta ^ { 4 } } \right) \, , } \\ { \frac { F _ { x } + \theta F _ { z } } { 2 4 \mu \theta Z ^ { 2 } } } & { = \dot { X } \left( \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { 1 2 Z ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 Z ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } \right) + \frac { \dot { Z } } { 2 } \left( \frac { 1 } { Z ^ { 2 } \theta ^ { 3 } } - \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { 2 Z ^ { 2 } \theta ^ { 3 } } \right) + \frac { \dot { \theta } } { 4 } \left( \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { Z \theta ^ { 4 } } - \frac { L } { 2 Z ^ { 2 } \theta ^ { 3 } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { i } ^ { l a t } = } & { { } - \frac { b _ { l a t } ^ { 2 } \overline { { \triangle } } _ { r } ^ { 2 } } { 2 r _ { i } ^ { 2 } } + 2 a _ { l a t } b _ { l a t } \log \frac { r _ { i } } { \overline { { \triangle } } _ { r } M } + \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { l a t } ^ { 2 } + \frac { b _ { l a t } A _ { l a t } } { 4 } \right) \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { \overline { { \triangle } } _ { r } ^ { 2 } } + } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 \rightarrow K _ { 1 } \rightarrow } & { A _ { 1 } \rightarrow K _ { 2 } \rightarrow 0 , } \\ { 0 \rightarrow K _ { 2 } \rightarrow } & { A _ { 2 } \rightarrow K _ { 3 } \rightarrow 0 , } \\ & { \ \, \vdots } \\ { 0 \rightarrow K _ { n - 1 } \rightarrow } & { A _ { n - 1 } \rightarrow K _ { n } \rightarrow 0 , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { - \alpha _ { J } ( \bar { \rho _ { J } } ) \frac { \rho _ { I } ( r _ { I J } ) } { \bar { \rho _ { J } } } \vec { e } _ { I J } \times \vec { e } _ { I J } } & { \; \; ( I \ne J ) } \\ & { \alpha _ { I } ( \bar { \rho _ { I } } ) \sum _ { K \ne I } \frac { \rho _ { K } ( r _ { I K } ) } { \bar { \rho _ { I } } } \vec { e } _ { I K } \times \vec { e } _ { I K } } & { \; \; ( I = J ) } \end{array}
q ( x ) = ( x - a _ { 1 } ) ^ { j _ { 1 } } \cdots ( x - a _ { m } ) ^ { j _ { m } } ( x ^ { 2 } + b _ { 1 } x + c _ { 1 } ) ^ { k _ { 1 } } \cdots ( x ^ { 2 } + b _ { n } x + c _ { n } ) ^ { k _ { n } }
\tilde { \phi } _ { k t } = \exp \{ - { \pi } \left| r _ { k t } \right| ^ { 2 } / M \} \exp \Biggl \{ - \frac { 1 } { 2 M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \biggl ( \phi \Bigl ( \Bigl | r _ { t k } \frac { 2 j } { M } + r _ { k t } + ( \zeta _ { j } ^ { k } - \zeta _ { j } ^ { t } ) \Bigr | \Bigr ) - \phi \Bigl ( \Bigl | r _ { k t } + ( \zeta _ { j } ^ { k } - \zeta _ { j } ^ { t } ) \Bigr | \Bigr ) \biggr ) \Biggr \} ,
\begin{array} { r l } { i _ { s x } ^ { + } ( \textbf { a } _ { 1 } , \ldots , \textbf { a } _ { k } ; y ) } & { : = \log _ { 2 } \frac { 1 } { \mathcal { P } ( \textbf { a } _ { 1 } \cup \ldots \cup \textbf { a } _ { k } ) } } \\ { i _ { s x } ^ { - } ( \textbf { a } _ { 1 } , \ldots , \textbf { a } _ { k } ; y ) } & { : = \log _ { 2 } \frac { \mathcal { P } ( y ) } { \mathcal { P } ( y \cap ( \textbf { a } _ { 1 } \cup \ldots \cup \textbf { a } _ { k } ) ) } } \\ { i _ { s x } ( \textbf { a } _ { 1 } , \ldots , \textbf { a } _ { k } ; y ) } & { = i _ { s x } ^ { + } ( \textbf { a } _ { 1 } , \ldots , \textbf { a } _ { k } ; y ) - i _ { s x } ^ { - } ( \textbf { a } _ { 1 } , \ldots , \textbf { a } _ { k } ; y ) } \end{array}
R _ { 4 } = \frac { R _ { 3 } ^ { 2 } / R _ { 2 } } { 1 + \delta _ { 4 } } = \frac { R _ { 3 } ^ { 2 } \left[ 3 + ( a + b ) \right] } { R _ { 2 } \left[ 3 - A + ( a + b ) \right] } = \frac { R _ { 3 } ^ { 2 } \left[ R _ { 2 } ^ { 3 } + R _ { 1 } R _ { 2 } R _ { 3 } - 2 R _ { 1 } ^ { 3 } R _ { 3 } \right] } { R _ { 2 } \left[ 2 R _ { 2 } ^ { 3 } - R _ { 1 } ^ { 3 } R _ { 3 } - R _ { 1 } ^ { 2 } R _ { 2 } ^ { 2 } \right] }
\begin{array} { r l } { \textbf { R } ( \theta ) \vec { E } } & { = \left( \begin{array} { c c } { \cos 2 \theta } & { \sin 2 \theta } \\ { - \sin 2 \theta } & { \cos 2 \theta } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { x } \\ { y } \end{array} \right) } \\ & { = \textbf { R } ( - \alpha / 2 ) \left( \begin{array} { c c } { \sin \alpha } \\ { \cos \alpha } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { K } \left( \mathcal { L } \left( ( R _ { I , n } - \widehat { R } _ { I , n } ) _ { 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } \right) , \mathcal { L } ^ { + } \left( ( R _ { I , n } ^ { + } - \widehat { R } _ { I , n } ^ { + } ) _ { 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { + } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) \right) \longrightarrow 0 \quad \mathrm { i n ~ p r o b . . } } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { \textup { W } } ( Z _ { 1 } , Z _ { 2 } ) = { \operatorname* { s u p } } \left\{ \left| \mathbb { E } \left[ h ( Z _ { 1 } ) \right] - \mathbb { E } \left[ h ( Z _ { 2 } ) \right] \right| \mid h : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \ \textup { i s L i p s c h i t z a n d } \ \| h \| _ { \textup { L i p } } \leq 1 \ \right\} } \end{array}
( \mathbf { e } _ { 1 2 } + \mathbf { e } _ { 3 4 } ) ^ { 2 } = \mathbf { e } _ { 1 2 } \mathbf { e } _ { 1 2 } + \mathbf { e } _ { 1 2 } \mathbf { e } _ { 3 4 } + \mathbf { e } _ { 3 4 } \mathbf { e } _ { 1 2 } + \mathbf { e } _ { 3 4 } \mathbf { e } _ { 3 4 } = - 2 + 2 \mathbf { e } _ { 1 2 3 4 } .
\begin{array} { c c c c c } { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 \! } } & { { } } & { { \! 0 } } & { { } } \\ { { 1 \! } } & { { \! } } & { { 2 0 } } & { { \! } } & { { \! 1 } } \\ { { } } & { { 0 \! } } & { { } } & { { \! 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \end{array} .
\begin{array} { r l } & { \Vert \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , \cdot ) \star \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \nabla p _ { \alpha } ( t - u , \cdot - y ) \Vert _ { L ^ { p ^ { \prime } } } ^ { q ^ { \prime } } } \\ & { \lesssim \frac { \bar { p } _ { \alpha } ^ { q ^ { \prime } } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j q ^ { \prime } } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k q ^ { \prime } } { \alpha } } } \left[ v ^ { q ^ { \prime } ( \frac { \zeta } { \alpha } - 1 ) } \left( \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta q ^ { \prime } } { \alpha } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta q ^ { \prime } } { \alpha } } } \right) + \frac { 1 } { ( t - s ) ^ { q ^ { \prime } } } \right] \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } \right] . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { F _ { 1 } } & { F _ { 2 } } \\ { P _ { 1 } } & { P _ { 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right] } \leq { \left[ \begin{array} { l } { L } \\ { F } \\ { P } \end{array} \right] } , \, { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right] } \geq { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { n _ { k } = \frac { \mu } { A _ { k } } \prod _ { 1 \leq j \leq k } \left( 1 + \frac { \mu } { A _ { j } } \right) ^ { - 1 } } & { { } \sim \frac { \mu } { k } \exp \left[ - \int _ { 1 } ^ { k } \ln \left( 1 + \frac { \mu } { j } \right) \, d j \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \overline { { P } } _ { t } V ( x , v ) } { V ( x , v ) } \leq ( \gamma _ { 0 } t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } ) ^ { \lvert \{ i : v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x + v t ) > 0 \} \rvert } e ^ { - \beta _ { 1 } M t \lvert \{ i : v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x + v t ) < 0 \} \rvert } } \\ & { + \sum _ { w \in \{ \pm 1 \} ^ { d } \setminus \{ v \} } \! t ^ { | \{ i : w _ { i } \neq v _ { i } \} | } \! \prod _ { i : w _ { i } = v _ { i } , v _ { i } \partial _ { i } \psi > 0 } ( \gamma _ { 0 } t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } ) \prod _ { i : w _ { i } = v _ { i } , v _ { i } \partial _ { i } \psi < 0 } e ^ { - \beta _ { 1 } t M } . } \end{array}
\xi _ { a , b } ^ { ( 1 ) } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { J _ { \alpha _ { a , b } } ( y ) } & { \tilde { E } \neq 0 } \\ { y ^ { \alpha _ { a , b } } } & { \tilde { E } = 0 } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \xi _ { a , b } ^ { ( 2 ) } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { H _ { \alpha _ { a , b } } ^ { ( 1 ) } ( y ) } & { \tilde { E } \neq 0 } \\ { \left\{ \begin{array} { l l } { y ^ { - \alpha _ { a , b } } } & { \alpha _ { a , b } \neq 0 } \\ { \ln { y } } & { \alpha _ { a , b } = 0 } \end{array} \right. } & { \tilde { E } = 0 } \end{array} \right. \; ,
\left. \begin{array} { r l } & { \tau _ { j } ^ { i } \geq 0 } \\ & { \tau _ { j } ^ { i } \leq 9 5 } \\ & { \tau _ { j } ^ { i } \geq t _ { a } ^ { i } + d ^ { i } } \\ & { \tau _ { j } ^ { i } \leq t _ { c } ^ { i } + d ^ { i } } \\ & { t _ { d } ^ { i } \geq t _ { c } ^ { i } + d ^ { i } } \\ & { \tau _ { j } ^ { i } < \tau _ { j + 1 } ^ { i } } \end{array} \right\} \begin{array} { r l } & { \forall i \in [ 1 , N ] , } \\ & { \forall j \in [ 1 , M ^ { i } ] } \end{array}
\bar { \sigma } _ { l k } = \bar { \sigma } _ { l } \lambda _ { l k } , \; \bar { \sigma } _ { l } = \frac { 1 } { 2 l + 1 } , \; \lambda _ { l k } = \frac { ( l + k + 1 / 2 ) ! } { k ! ( 1 / 2 ) ! } .
\begin{array} { r } { f _ { \mathbf q g , k } ^ { w } = - i \sqrt { \tau } \frac { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \hat { \mathfrak L } _ { \mathbf q g } | \Psi _ { k } ^ { w } \rangle } { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi _ { k } ^ { w } \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { K = ( K _ { 1 } , . . . , K _ { s } ) = \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \left( ( K _ { 1 \beta } ^ { ( 3 ) } , . . . , K _ { s \beta } ^ { ( 3 ) } ) - ( K _ { 1 \beta } ^ { ( 1 ) } , . . . , K _ { s \beta } ^ { ( 1 ) } ) + ( K _ { 1 \beta } ^ { ( 2 ) } , . . . , K _ { s \beta } ^ { ( 2 ) } ) \right) \mathrm { , } } \\ & { } & { \mathrm { w i t h ~ } K _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } = \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { \beta } } ( K _ { \alpha \beta , 1 j } ^ { ( i ) } , . . . , K _ { \alpha \beta , r _ { \alpha } j } ^ { ( i ) } ) \mathrm { f o r ~ } i \in \left\{ 1 , 2 , 3 \right\} \mathrm { a n d } \left\{ \alpha , \beta \right\} \subseteq \left\{ 1 , . . . , s \right\} \! \mathrm { , } } \end{array}
{ \cal A } _ { 3 3 } = \frac { 3 g ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { \pi ( p _ { 1 } , \ldots p _ { 6 } ) } \bar { u } ( p _ { \pi _ { 1 } } ) \gamma _ { \mu } u ( p _ { \pi _ { 4 } } ) \bar { u } ( p _ { \pi _ { 2 } } ) \gamma ^ { \mu } \frac { i } { p _ { \pi _ { 1 } } \! \! \! \! \! \! \! / + p _ { \pi _ { 2 } } \! \! \! \! \! \! \! / - p _ { \pi _ { 4 } } \! \! \! \! \! \! \! / - m } \gamma _ { \nu } u ( p _ { \pi _ { 5 } } ) \bar { u } ( p _ { \pi _ { 3 } } ) \gamma ^ { \nu } u ( p _ { \pi _ { 6 } } )
\Omega ^ { 1 , 2 } ( \tau ) | _ { \alpha } = \frac { 1 } { 2 ! } ( - 2 \alpha k _ { 3 } ) ( \Delta t ) ^ { 2 } \sum _ { \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } } \frac { \delta _ { \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } } } { \Delta t } \frac { \delta _ { \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } } } { \Delta t } \mu ( \tau ^ { \prime } ) \mu ( \tau ^ { \prime \prime } ) = - \alpha k _ { 3 } \mu ^ { 2 } ( \tau _ { - } )
{ \begin{array} { r l } & { r _ { a } + r _ { b } + r _ { c } + r = { \overline { { A H } } } + { \overline { { B H } } } + { \overline { { C H } } } + 2 R , } \\ & { r _ { a } ^ { 2 } + r _ { b } ^ { 2 } + r _ { c } ^ { 2 } + r ^ { 2 } = { \overline { { A H } } } ^ { 2 } + { \overline { { B H } } } ^ { 2 } + { \overline { { C H } } } ^ { 2 } + ( 2 R ) ^ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \langle \phi _ { k - 1 } , \tilde { w } ( s _ { k } ) - \tilde { w } ( s _ { k - 1 } ) \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| e ^ { i t \Delta } \mathcal { R } \phi _ { k - 1 } \| _ { L _ { t } ^ { 2 } L _ { y _ { \alpha } } ^ { \frac { 2 m } { m - 2 } , 2 } L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } } \| \textbf { 1 } _ { [ - s _ { k } , - s _ { k - 1 } ] } \mathcal { R } ( F ( s ) ) \| _ { L _ { t } ^ { 2 } L _ { y _ { \alpha } } ^ { \frac { 2 m } { m + 2 } , 2 } L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| \phi _ { k - 1 } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \| V \| _ { L _ { y } ^ { \frac { m } { 2 } , \infty } L _ { z } ^ { 2 } } \| \textbf { 1 } _ { [ - s _ { k } , - s _ { k - 1 } ] } \mathcal { R } ( u ) \| _ { L _ { t } ^ { 2 } L _ { y _ { \alpha } } ^ { \frac { 2 m } { m - 2 } , 2 } L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| \phi _ { k - 1 } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \| V \| _ { L _ { y } ^ { \frac { m } { 2 } , \infty } L _ { z } ^ { 2 } } \| \textbf { 1 } _ { [ - s _ { k } , - s _ { k - 1 } ] } ( u ) \| _ { V _ { \Delta _ { x } } ^ { p } } } \\ & { \lesssim \| V \| _ { L _ { y } ^ { \frac { m } { 2 } , \infty } L _ { z } ^ { 2 } } \big \| \| \phi _ { k - 1 } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \big \| _ { l ^ { p ^ { ' } } } \cdot \big \| \| \textbf { 1 } _ { [ - s _ { k } , - s _ { k - 1 } ] } ( u ) \| _ { V _ { \Delta _ { x } } ^ { p } } \big \| _ { l ^ { p } } } \\ & { \lesssim \| V \| _ { L _ { y } ^ { \frac { m } { 2 } , \infty } L _ { z } ^ { 2 } } \big \| \| \textbf { 1 } _ { [ - s _ { k } , - s _ { k - 1 } ] } ( u ) \| _ { V _ { \Delta _ { x } } ^ { p } } \big \| _ { l ^ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( d _ { i } | \xi ) } & { = \mathrm { V a r } ( \sum _ { j \neq i } A _ { i j } | \xi ) = \sum _ { j \neq i } \mathrm { V a r } ( A _ { i j } | \xi ) } \\ & { = \sum _ { j \neq i } \rho _ { n } g ( \xi _ { i } ) g ( \xi _ { j } ) ( 1 - \rho _ { n } g ( \xi _ { i } ) g ( \xi _ { j } ) ) } \\ & { \leq \rho _ { n } ( n - 1 ) g _ { m a x } ^ { 2 } . } \end{array}
\langle N \rangle _ { \mathrm { T } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \, \theta ^ { \prime } - \sqrt { \frac { 2 m T } { \pi } } \, e ^ { - m / T } \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \, \mathrm { s i n h } \left( \frac { \theta ^ { \prime } } { 2 T } \right) + \dots
t _ { \mathsf { a g e } } ( \varphi ; \mathsf { E } ) : = \operatorname* { i n f } \left\{ T > 0 \ : \ \gamma _ { \cdot } : [ 0 , T ] \mapsto { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } \quad \gamma _ { 0 } = \mathrm { i d } , \ \gamma _ { T } = \varphi , \quad \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \| \dot { \gamma } _ { \tau } \| _ { L ^ { 2 } ( M ) } ^ { 2 } \mathrm { d } \tau \leq \mathsf { E } \right\} .
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { \mathrm { t r u n c } } \leq \frac { h } { \sqrt { 2 \pi t } } \sum _ { | j | \geq J / 2 } | \psi _ { 0 } ( j h ) | \leq \frac { 2 h } { \sqrt { 2 \pi t } } \sum _ { j = J / 2 } ^ { \infty } \Big [ e ^ { - \frac { ( j h - \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } + e ^ { - \frac { ( j h + \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \Big ] } \end{array}
\partial _ { t } f _ { m } + \ensuremath { \mathbf { e } } _ { m } \cdot \ensuremath { \mathbf { \nabla } } f _ { m } = - \frac { 1 } { \tau \, \ensuremath { \mathrm { ~ K ~ n ~ } } } ( f _ { m } - f _ { m } ^ { \mathrm { e q } } ) , \quad m = 1 , \dots , Q ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left( J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( T \mathbf { v } ) ) \right) } & { = \operatorname* { d e t } \left( T _ { r o t } J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) T _ { r o t } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \operatorname* { d e t } \left( T _ { r o t } ^ { - 1 } T _ { r o t } J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) \right) } \\ & { = \operatorname* { d e t } \left( J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) \right) } \end{array}
h ( y ) = { \frac { \lambda } { ( 1 - 4 g c ) ^ { 2 } } } h ( x ) = - { \frac { 1 } { 2 \beta ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } } + V ( y ) \qquad \mathrm { w h e r e }
{ \begin{array} { r l } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } - \sigma _ { 3 } ^ { 2 } - 2 \sigma _ { 2 } \sigma _ { \mathrm { n } } + 2 \sigma _ { 3 } \sigma _ { \mathrm { n } } } & { = 0 } \\ { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } - \sigma _ { 3 } ^ { 2 } - 2 \sigma _ { \mathrm { n } } \left( \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 3 } \right) } & { = 0 } \\ { \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } } & { = 2 \sigma _ { \mathrm { n } } } \end{array} }
\langle 0 | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } | n \rangle = \int d ^ { 3 } r ( 1 - i \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } + . . . ) \langle 0 | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | n \rangle = \langle 0 | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } _ { 0 } | n \rangle - i \int d ^ { 3 } r \, ( \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \langle 0 | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | n \rangle + . . .
p = \pm B _ { 0 } \ell \left[ \frac { k ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, \frac { P [ \nu ^ { 2 } ( P + 2 ) - P ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } ] } { \nu ^ { 2 } ( \nu ^ { 2 } + P B _ { 0 } ^ { 2 } ) } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } - \frac { 1 } { 2 } \nu ( 1 + P ^ { - 1 } ) ( k ^ { 2 } + \ell ^ { 2 } ) + O ( k ^ { 2 } , \ell ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { { \mathbf { L } } \Psi ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } ) } & { { } = } & { ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } ) \sum _ { k } \psi _ { k } ( { \mathbf { X } } ) \, \phi _ { k } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \sigma } \left( L _ { u _ { \sigma } } ( I - P _ { \sigma } ) v + \mathrm { i } \varepsilon V ( u _ { \sigma } ^ { \prime } + v ^ { \prime } ) - N ( v , \sigma ) \right) } & { = 0 , } \\ { \langle \mathrm { i } \varepsilon V u _ { \sigma } ^ { \prime } , \phi _ { \sigma } ^ { * } \rangle _ { L ^ { 2 } } + \langle \mathrm { i } \varepsilon V v ^ { \prime } - N ( v , \sigma ) , \phi _ { \sigma } ^ { * } \rangle _ { L ^ { 2 } } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \kappa ^ { 4 } E I w _ { 0 } - \omega ^ { 2 } \rho A w _ { 0 } + \frac { K } { a } ( w _ { 0 } - v _ { 0 } ) = 0 , - \omega ^ { 2 } M v _ { 0 } - K ( w _ { 0 } - v _ { 0 } ) = 0 . } \end{array}
B _ { p } = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } { \cal P } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left[ \frac { ( f _ { p } ( \vec { \cal P } - \frac { 1 } { 2 } \vec { \cal Q } ) + f _ { \overline { { p } } } ( \vec { \cal P } - \frac { 1 } { 2 } \vec { \cal Q } ) } { \Omega - \vec { v } _ { \cal P } \cdot \vec { \cal Q } } + ( q \rightarrow - q ) \right] \, .
\begin{array} { r } { \tau _ { p } = \frac { \rho _ { p } d _ { p } ^ { 2 } } { 1 8 \mu _ { f } } \left( 1 + 0 . 1 5 R e _ { p } ^ { 0 . 6 8 7 } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { p _ { i } } ^ { 2 } = } & { { } \left( \frac { \partial p _ { i } } { \partial \bar { P } _ { f _ { 0 } ^ { i } } } \sigma _ { \bar { P } } \right) ^ { 2 } + \sum _ { j } \left( \frac { \partial p _ { i } } { \partial P _ { \mathrm { r e f } } ^ { i } } \frac { \partial P _ { \mathrm { r e f } } ^ { i } } { \partial j } \sigma _ { j } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { { } \left( \frac { \sigma _ { \bar { P } } } { P _ { \mathrm { r e f } } ^ { i } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \delta _ { i } ^ { 2 } \sum _ { j } F _ { j } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { q } ^ { \times } ( \mathcal { P } _ { 1 } , \mathcal { P } _ { 2 } ) \leq \sum _ { p _ { 1 } , q _ { 1 } \in \mathcal { P } _ { 1 } , p _ { 2 } \in \mathcal { P } _ { 2 } , n _ { 2 } \leq q } \, \, \sum _ { d \mid n _ { 2 } } \lambda _ { d } ^ { + } 1 _ { p _ { 1 } p _ { 2 } \equiv q _ { 1 } n _ { 2 } \pmod q } . } \end{array}
\varphi ( - \vec { r } _ { 1 } , - \vec { r } _ { 2 } , - t ) \longrightarrow \chi ( \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } , t ) , \chi ( - \vec { r } _ { 1 } , - \vec { r } _ { 2 } , - t ) \longrightarrow \varphi ( \vec { r } , \vec { r } , t )