harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { { D } } | A w + B w | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x = \int _ { { D } } \left( | A w | ^ { 2 } + | B w | ^ { 2 } + 2 A w B w \right) \, \mathrm { d } x \geq \int _ { D } \left( | A w | ^ { 2 } + 2 A w B w \right) \, \mathrm { d } x .
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { x } f ^ { \prime } ( t ) \cdot 1 \, d t } & { = \int _ { a } ^ { x } u ( t ) \cdot v ^ { \prime } ( t ) \, d t } \\ & { = u ( t ) \cdot v ( t ) \bigg \rvert _ { a } ^ { x } - \int _ { a } ^ { x } u ^ { \prime } ( t ) \cdot v ( t ) \, d t } \\ & { = \left( f ^ { \prime } ( x ) \cdot 0 - f ^ { \prime } ( a ) \cdot ( a - x ) \right) - \int _ { a } ^ { x } f ^ { \prime \prime } ( t ) \cdot ( t - x ) \, d t } \\ & { = ( x - a ) f ^ { \prime } ( a ) + \int _ { a } ^ { x } ( x - t ) f ^ { \prime \prime } ( t ) \, d t } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { N , \{ \ n u _ { j } \} } } = \frac { \hbar } { 2 } \left( - \frac { \lambda } { 4 } \right) ^ { \mathrm { N _ { 1 } + N _ { 2 } } } \left[ \Phi \cdots \Phi \right] _ { \star _ { \mathrm { N _ { 1 } } } } \left( - P \right) \widetilde { { \cal K } } _ { \mathrm { N } - d / 2 } \left( P \circ P + 1 / \Lambda ^ { 2 } \right) \left[ \Phi \cdots \Phi \right] _ { \star _ { \mathrm { N _ { 2 } } } } ( + P ) ~ ,
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } ( 1 ) } & { = 3 C ^ { 2 } \Bar { S } ^ { ( n ) } - 3 C ^ { 2 } \Bar { Y } ^ { ( n ) } - 6 C \Bar { S } ^ { ( n ) } - 3 C \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] - 3 C \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] + 6 C ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + 6 C \Bar { Y } ^ { ( n ) } + 2 \Bar { S } ^ { ( n ) } } \\ & { + 3 \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } ] + 6 \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] \Bar { Y } ^ { ( n ) } + 3 \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] - \mathbb { E } [ ( Y ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } ] - 6 ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 3 } - 6 ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } - 2 \Bar { Y } ^ { ( n ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { n } = - \eta _ { p } = 0 . 7 \frac { \sqrt { 2 } } { G _ { F } m _ { \pi } ^ { 2 } } g \left( - \frac { N - Z } { N + Z } \bar { g } _ { 0 } + \bar { g } _ { 1 } + 2 \frac { N - Z } { N + Z } \bar { g } _ { 2 } \right) , } \end{array}
d \Gamma = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { 3 2 M ^ { 3 } } } | { \cal M } | ^ { 2 } \, d q ^ { 2 } \, d t , \qquad { \cal M } = { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } V _ { c b } l ^ { \mu } h _ { \mu } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { - } ( \mathbf { x } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ^ { \top } \mathbf { V } _ { 2 } \mathbf { x } + \mathcal { E } _ { c } ^ { h } ( \mathbf { x } ) , } \\ { \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { + } ( \mathbf { x } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ^ { \top } \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { x } + \mathcal { E } _ { o } ^ { h } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
{ \cal L } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } \{ ( \partial \vec { A } ) ^ { 2 } + \bar { \vec { \psi } } i \partial \llap / \vec { \psi } \} + { \frac { g ^ { 2 } } { 8 N } } ( \bar { \vec { \psi } } \vec { \psi } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 5 } ^ { \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 7 } ^ { \prime \prime } } \end{array} \right) } & { = } & { { \mathcal R } \left( - \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 5 } ^ { \prime } } \\ { \lambda _ { 7 } ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \bf u } _ { \bf 3 D } } { \partial t } + ( { \bf u } _ { \bf 2 D } \cdot { \bf \nabla } ) { \bf u } _ { \bf 3 D } + ( { \bf u } _ { \bf 3 D } \cdot { \bf \nabla } ) { \bf u } _ { \bf 2 D } = - \frac { 1 } { \rho } { \bf \nabla } p _ { 3 D } + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } _ { \bf 3 D } + 2 \Omega ( { \bf u } _ { \bf 3 D } \times { \bf e } _ { z } ) - \mu { \bf u } _ { \bf 3 D } } \end{array}
\begin{array} { l l l l } & { \widetilde { S } ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp ( \frac { \operatorname* { m i n } ( x , t ) - t } { d _ { 0 } } ) [ f ( 1 - \widetilde { S } ) u + g ( 1 - \widetilde { S } ) v ] d t , } \\ & { u ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp ( \frac { \operatorname* { m i n } ( x , t ) - t } { d _ { 1 } } ) [ f ( 1 - \widetilde { S } ) u + \beta ( u , v ) v - \frac { 1 } { y _ { u } } \alpha ( u , v ) u ] d t , } \\ & { v ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp ( \frac { \operatorname* { m i n } ( x , t ) - t } { d _ { 2 } } ) [ g ( 1 - \widetilde { S } ) v + \alpha ( u , v ) u - \frac { 1 } { y _ { v } } \beta ( u , v ) v ] d t . } \end{array}
\underset { \b { \tilde { B } } \in \mathbb R ^ { N \times { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | } } \colon \b { \tilde { B } } \, ( 2 m + 1 ) ^ { d } \mathrm { - s p a r s e ~ } } { \mathrm { M i n i m i z e ~ } } \ \big \| \boldsymbol A ^ { * } \b { \tilde { B } } \boldsymbol F \boldsymbol D - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } \Delta e ^ { - \mathsf { m } \varphi } w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \geq C \mathsf { m } \lambda ^ { 2 } \left( \delta ^ { \prime } \lambda - C ^ { \prime } \right) \| ( \nabla w ) \varphi ^ { 1 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + C \mathsf { m } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } \left( ( 1 - C ^ { \prime } \delta ^ { \prime } ) \mathsf { m } - C ^ { \prime } ( \delta ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) \| w \varphi ^ { 3 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad + C \mathsf { m } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \| ( \nabla \varphi _ { 0 } \cdot \nabla w ) \varphi \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - C \delta ^ { \prime } \mathsf { m } \lambda ^ { 3 } \| \nabla \varphi _ { 0 } \cdot \nabla w \| _ { L ^ { 2 } } \| w \varphi \| _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
\left( \mathrm { m } _ { i } F _ { p } \right) \left( \phi _ { 0 } , \cdots , \hat { \phi } _ { i - 1 } , \phi _ { i } , \cdots , \phi _ { p } \right) = F _ { p } \left( \phi _ { 0 } , \cdots , \phi _ { i - 2 } , \phi _ { i } , \phi _ { i } , \cdots , \phi _ { p } \right) + O ( \hbar )
\hat { O } ^ { 2 } \approx N [ \Omega _ { 1 } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } + \hat { c } _ { 1 } ) - \Omega _ { - 1 } ( \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } + \hat { c } _ { - 1 } ) ] ^ { 2 } ,
\begin{array} { c c } { { p ^ { - 1 } = p ^ { \dagger } = p ^ { t } \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ p c p ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) = j \, , } } \end{array}
( \phi _ { n } ( g ) P ) { \left( \begin{array} { l } { z _ { 1 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right) } = \left[ \phi _ { n } { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) } P \right] { \left( \begin{array} { l } { z _ { 1 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right) } = P \left( { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) } ^ { - 1 } { \left( \begin{array} { l } { z _ { 1 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right) } \right) , \qquad P \in \mathbf { P } _ { n } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ | \mathcal { G } _ { n } | ^ { \theta } ] = 2 ^ { \theta } \sigma ^ { \theta } \Big ( \int _ { 0 } ^ { \infty } | H _ { n } ( r ) | ^ { \alpha } \mathrm { d } r \Big ) ^ { \frac { \theta } { \alpha } } \frac { \Gamma ( \frac { 1 + \theta } { 2 } ) \Gamma ( 1 - \frac { \theta } { \alpha } ) } { \sqrt { \pi } \Gamma ( 1 - \frac { \theta } { 2 } ) } . } \end{array}
p \left( O _ { i } ^ { \tau _ { o _ { i } } } \mid t _ { i } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( 1 - f _ { \mathrm { F P R } } \right) \theta \left[ t _ { i } - \left( \tau _ { o _ { i } } + 1 \right) \right] + f _ { \mathrm { F N R } } \theta \left[ \tau _ { o _ { i } } - t _ { i } \right] } & { \mathrm { i f ~ } O _ { i } ^ { \tau _ { o _ { i } } } = 0 } \\ { f _ { \mathrm { F P R } } \theta \left[ t _ { i } - \left( \tau _ { o _ { i } } + 1 \right) \right] + \left( 1 - f _ { \mathrm { F N R } } \right) \theta \left[ \tau _ { o _ { i } } - t _ { i } \right] } & { \mathrm { i f ~ } O _ { i } ^ { \tau _ { o _ { i } } } = 1 } \end{array} \right.
{ \cal H } _ { \mathrm { e f f } } = - \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { t s } ^ { * } V _ { t b } \biggr [ \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \; C _ { i } ( \mu ) O _ { i } ( \mu ) + C _ { 7 \gamma } ( \mu ) O _ { 7 \gamma } ( \mu ) + C _ { 8 G } ( \mu ) O _ { 8 G } ( \mu ) + C _ { 9 } ( \mu ) O _ { 9 } ( \mu ) + C _ { 1 0 } ( \mu ) O _ { 1 0 } ( \mu ) \biggr ] \; .
\begin{array} { r } { [ A ] ( p ) = \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } \end{array} \right] ( p ) \equiv \frac { a _ { 1 1 } p + a _ { 1 2 } } { a _ { 2 1 } p + a _ { 2 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { n } ) } & { \mapsto \frac { n } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } ( a _ { j } + a _ { n } ) ^ { 2 } + \left( a _ { n } - \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } a _ { j } \right) ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { = \cdots } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi / n } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { a _ { n } } { 1 / \sqrt { n } } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { \times \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { n - 1 } / n } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } a _ { j } ^ { 2 } + \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } a _ { j } \right) ^ { 2 } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 2 } } \check { q } _ { 1 } } & { = } & { - \frac { \check { p } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } } { 2 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) } - \frac { \hbar } { 4 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) } , } \\ { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 2 } } \check { q } _ { 2 } } & { = } & { \frac { \check { p } _ { 2 } \check { q } _ { 1 } } { 2 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) } + \frac { \hbar } { 4 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) } , } \\ { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 2 } } \check { p } _ { 1 } } & { = } & { - \frac { \check { q } _ { 2 } ( \check { p } _ { 1 } ^ { 2 } - \check { p } _ { 2 } ^ { 2 } ) } { 4 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { \hbar ( \check { p } _ { 1 } - \check { p } _ { 2 } ) } { 4 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { \check { q } _ { 2 } ( 5 \check { q } _ { 1 } ^ { 4 } + 4 \check { q } _ { 1 } ^ { 3 } \check { q } _ { 2 } + 3 \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \check { q } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } ^ { 3 } + \check { q } _ { 2 } ^ { 4 } ) } { 4 } } \\ & { } & { - \frac { \check { q } _ { 2 } ( 2 \check { q } _ { 1 } + \check { q } _ { 2 } ) } { 4 } \tau _ { \infty , 1 } - \frac { \check { q } _ { 2 } ( 3 \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \check { q } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } + \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } ) } { 4 } \tau _ { \infty , 2 } - \frac { \check { q } _ { 2 } } { 1 6 } \tau _ { \infty , 2 } ^ { 2 } - \frac { \check { q } _ { 2 } ( 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) } { 4 } , } \\ { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 2 } } \check { p } _ { 2 } } & { = } & { \frac { \check { q } _ { 1 } ( \check { p } _ { 1 } ^ { 2 } - \check { p } _ { 2 } ^ { 2 } ) } { 4 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { \hbar ( \check { p } _ { 1 } - \check { p } _ { 2 } ) } { 4 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { \check { q } _ { 1 } ( 5 \check { q } _ { 2 } ^ { 4 } + 4 \check { q } _ { 2 } ^ { 3 } \check { q } _ { 1 } + 3 \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \check { q } _ { 2 } \check { q } _ { 1 } ^ { 3 } + \check { q } _ { 1 } ^ { 4 } ) } { 4 } } \\ & { } & { - \frac { \check { q } _ { 1 } ( 2 \check { q } _ { 2 } + \check { q } _ { 1 } ) } { 4 } \tau _ { \infty , 1 } - \frac { \check { q } _ { 1 } ( 3 \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \check { q } _ { 2 } \check { q } _ { 1 } + \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } ) } { 4 } \tau _ { \infty , 2 } - \frac { \check { q } _ { 1 } } { 1 6 } \tau _ { \infty , 2 } ^ { 2 } - \frac { \check { q } _ { 1 } ( 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) } { 4 } } \\ & { } & \end{array}
C ( x , z , t = \Delta t _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 } \left\{ 1 - \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { z - z _ { 0 } - \zeta _ { 0 } ( x ) } { \gamma _ { d } \Delta z _ { m i n } } \right) \right\} \, ,
I \left( \begin{array} { c } { { B ^ { 0 } } } \\ { { \overline { { { B } } } ^ { 0 } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 2 } | A | ^ { 2 } e ^ { - \Gamma t } \left[ 1 \pm Q _ { \perp } ^ { \prime } \cos ( \Delta m t + \delta ) \right] ~ ~ ~ ,
( \hat { C } ^ { - 1 } ) _ { \hat { a } \hat { b } } = { \frac { 1 } { K } } \, \left[ \hat { \eta } _ { \hat { a } \hat { b } } + \, { \frac { 1 } { 4 } } ( \hat { { \cal H } } ^ { 2 } ) _ { \hat { a } \hat { b } } \right] \, .
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } ) \propto \left\vert E _ { \mathrm { e x } , x } \right\vert ^ { 2 } + \left\vert E _ { \mathrm { e x } , y } \right\vert ^ { 2 } + \left\vert E _ { \mathrm { e x } , z } \right\vert ^ { 2 } . } \end{array}
t _ { m n } ^ { ( \rho ) } ( g ) : = t _ { \eta ^ { m } , v _ { n } } ^ { ( \rho ) } ( g ) = \eta ^ { m } ( \rho ( g ) v _ { n } ) = \left< v _ { m } ; \rho ( g ) v _ { n } \right> = { \rho ( g ) } _ { m n } ,
\frac 1 { \pi e ^ { 2 } } \, \mathrm { I m } \, T ^ { \mathrm { a s } } ( p , q ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { I m } \ t _ { a } ( x p , q ) \, f ( x ) \, d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 ( p q ^ { \prime } ) } \, \delta ( x - \zeta ) \, f ( x ) \, d x = \frac { f ( \zeta ) } { 2 ( p q ^ { \prime } ) } = \frac { 1 } { 2 ( p q ^ { \prime } ) } \, \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } ( 1 - \zeta ) \, .
\hat { \gamma } ^ { - 1 } ( k ) = \frac 1 k \sum _ { j = 1 } ^ { k } \ln \frac { \hat { I } _ { \operatorname* { m a x } } ( k ) - x _ { ( k + 1 ) } } { \hat { I } _ { \operatorname* { m a x } } ( k ) - x _ { ( j ) } } .
\mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { v t , e x , c t 1 , c t 2 } ) } = \frac { \mathbf { \widetilde { K } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { v t , e x , c t 1 , c t 2 } ) } } { \epsilon _ { i j } }
\hat { f } ^ { K e } ( x , y , \delta _ { K e } , \delta _ { P e } , \delta _ { F e } ) = ( 1 - x ) \Gamma _ { 1 } ^ { K e } + ( 1 - z ) x \Gamma _ { P } ^ { K e } \theta ( m _ { e } ^ { c u t } - m _ { P } ) + z x \Gamma _ { F } ^ { K e } \theta ( m _ { e } ^ { c u t } - m _ { F } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( \hat { \rho } \right) = } & { { } \frac { \kappa } { 2 } \left( 2 \hat { a } \hat { \rho } \hat { a } ^ { \dagger } - \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \hat { \rho } - \hat { \rho } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right) } \end{array}
S _ { n } ( \sigma , \lambda , \hat { g } _ { \mu \nu } ) = { \frac { N ^ { 2 } \pi } { 2 } } \int d ^ { 2 } x \sqrt { \hat { g } } ( \lambda - { \frac { \sigma } { 2 \pi } } ) \hat { \triangle } ( \lambda - { \frac { \sigma } { 2 \pi } } ) .
\vert u ( t , x ) - \bar { u } _ { M , t , x } \vert \leq 2 C _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { \frac { 5 } { 2 } } e ^ { C _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 2 } } e ^ { r T } \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \ldots , d } \{ 1 , \vert x _ { i } \vert \} M ^ { - 1 } \leq 2 C _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { \frac { 5 } { 2 } } e ^ { C _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 2 } } e ^ { r T } \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \ldots , d } \{ 1 , \vert x _ { i } \vert \} M _ { d , { \varepsilon } } ^ { - 1 } \leq { \varepsilon } .
R ( x ) \propto \frac { | G ( x , 0 ) | } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { x } | G ( x , x ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \, d x ^ { \prime } + \int _ { x } ^ { L } | G ( x , x ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \, d x ^ { \prime } } } \; ,
\mathbf { E } _ { 0 } ( \mathbf { r } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int _ { \Omega } \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } } { \left\| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right\| ^ { 3 } } } \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \equiv { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int _ { \Omega } e ( \mathbf { r , \mathbf { r } ^ { \prime } } ) { \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } }
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \alpha } ^ { s h } } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E \bigg ( \sum _ { \gamma } T _ { \alpha \gamma } ( f _ { \gamma } - f _ { \alpha } ) + M _ { \alpha } f _ { \alpha } ^ { 2 } } \\ { - \sum _ { \gamma , \delta } f _ { \gamma } f _ { \delta } T r ( s _ { \alpha \gamma } ^ { \dagger } s _ { \alpha \delta } s _ { \alpha \delta } ^ { \dagger } s _ { \alpha \gamma } ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { D = - \left\langle T _ { i } \frac { i \lambda } { 2 n _ { i } } \; \int \tilde { g } ( { \bf v } ) \tilde { g } ^ { * } ( { \bf v } ^ { \prime } ) \; \eta \omega _ { \ast } \left( \frac { v ^ { 2 } } { v _ { t h } ^ { 2 } } \right) J _ { 0 } J _ { 0 } ^ { \prime } d ^ { 3 } v d ^ { 3 } v ^ { \prime } \right\rangle + \mathrm { c . c . } , } \\ { K _ { \| } = - \left\langle T _ { i } \frac { \lambda } { 2 n _ { i } } \; \int \tilde { g } ^ { * } ( { \bf v } ^ { \prime } ) \left( v _ { \| } \frac { \partial \tilde { g } ( { \bf v } ) } { \partial l } \right) J _ { 0 } J _ { 0 } ^ { \prime } d ^ { 3 } v d ^ { 3 } v ^ { \prime } \right\rangle + \mathrm { c . c . } , } \\ { K _ { d } = - \left\langle T _ { i } \frac { i \lambda } { 2 n _ { i } } \; \int \tilde { g } ^ { * } ( { \bf v } ^ { \prime } ) \omega _ { d } \tilde { g } ( { \bf v } ) J _ { 0 } J _ { 0 } ^ { \prime } d ^ { 3 } v d ^ { 3 } v ^ { \prime } \right\rangle + \mathrm { c . c . } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { \prime } \colon T _ { 1 } } & { \longrightarrow \mathbb { P } \Big ( a _ { 2 } , a _ { \xi } - 1 , \iota _ { X } - 1 , \iota _ { X } - 1 , 1 , 1 \Big ) } \\ { ( u , \xi , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } , x _ { 2 } ) } & { \longmapsto ( u x _ { 2 } ^ { a _ { 3 } } : \xi x _ { 2 } ^ { d _ { 1 } / 2 } : x _ { 0 } x _ { 2 } : x _ { 1 } x _ { 2 } : x _ { 4 } : x _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 0 } } & { : = \{ \mathcal { I } \in [ n ] ^ { m } \mid \mathcal { I } _ { i } \neq 1 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i \in [ m ] \} , } \\ { S _ { 1 } } & { : = \{ \mathcal { I } \in [ n ] ^ { m } \mid \mathcal { I } _ { i } = 1 \mathrm { ~ f o r ~ b e t w e e n ~ 1 ~ a n d ~ } b \mathrm { ~ m a n y ~ } i \in [ m ] \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( v , t ) } & { { } = } & { { \frac { e ^ { - { \frac { m ( { \frac { - ( 1 - e ^ { - { \frac { \gamma t } { m } } } ) f } { \gamma } } + v ) ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - { \frac { 2 \gamma t } { m } } } ) T } } } \sqrt { { \frac { m } { ( 1 - e ^ { - { \frac { 2 \gamma t } { m } } ) } t } } } } { \sqrt { 2 \pi } } } . } \end{array}
G _ { 2 } ^ { ( K ^ { - } \pi ^ { 0 } K ^ { 0 } ) } = \mathrm { B W } _ { A _ { 1 } } ( Q ^ { 2 } ) \left( \frac { 1 } { 3 } T _ { K ^ { \star } } ( s _ { 1 } ) + \cdots \right) ,
s _ { m - 1 } = \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { \varepsilon _ { m } } { \varepsilon _ { m - 1 } } \aftergroup \egroup \right) ^ { \! \beta } \varepsilon _ { m } ^ { - \gamma } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { - \gamma } \cdots _ { m } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \varepsilon _ { m } ^ { 2 \gamma } + \frac { 1 } { s _ { m } ^ { 2 } } \aftergroup \egroup \right) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \Phi _ { \tau + 1 } - \Phi _ { \tau } ] } & { \leq - \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \left( \frac { 5 \rho \eta _ { \tau + 1 , i } } { 8 \lambda } - \frac { \eta _ { \tau + 1 , i } ^ { 2 } L } { 2 } \right) \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 2 \rho } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \tau + 1 , i } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } \rho } { 1 6 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \tau + 1 , i } ^ { 3 } + { \frac { 5 \lambda I ( I - 1 ) } { 4 K \rho } } \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { \tau + 1 , i } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \tau + 1 , i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r c l r c l } { { G z ^ { \mu } } } & { { = } } & { { \rho ^ { \mu } , \qquad \hfil G \bar { z } ^ { \bar { \mu } } = 0 , \hfil } } & { { G \bar { \eta } ^ { \bar { \mu } } } } & { { = } } & { { d \bar { z } ^ { \bar { \mu } } , } } \\ { { G \chi _ { \mu } } } & { { = } } & { { \kappa t g _ { \mu \bar { \mu } } * d \bar { z } ^ { \bar { \mu } } - \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } \rho ^ { \nu } \chi _ { \lambda } , } } & { { G \rho ^ { \mu } } } & { { = } } & { { - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \nu \lambda } ^ { \mu } \rho ^ { \nu } \rho ^ { \lambda } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { N } - 1 ) ! ( g _ { \mathcal { N } } ( s _ { 2 } ) - g _ { \mathcal { N } } ( s _ { 1 } ) ) = } & { \; \bigg ( \frac { 1 } { ( s _ { 2 } - b ) ^ { \mathcal { N } } } - \frac { 1 } { ( s _ { 1 } - b ) ^ { \mathcal { N } } } \bigg ) \int _ { b } ^ { s _ { 2 } } ( g _ { 0 } ^ { ( \mathcal { N } ) } ( t ) - g _ { 0 } ^ { ( \mathcal { N } ) } ( b ) ) ( s _ { 2 } - t ) ^ { \mathcal { N } - 1 } d t } \\ & { + \frac { 1 } { ( s _ { 1 } - b ) ^ { \mathcal { N } } } \int _ { b } ^ { s _ { 2 } } ( g _ { 0 } ^ { ( \mathcal { N } ) } ( t ) - g _ { 0 } ^ { ( \mathcal { N } ) } ( b ) ) [ ( s _ { 2 } - t ) ^ { \mathcal { N } - 1 } - ( s _ { 1 } - t ) ^ { \mathcal { N } - 1 } ] d t } \\ & { - \frac { 1 } { ( s _ { 1 } - b ) ^ { \mathcal { N } } } \int _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } } ( g _ { 0 } ^ { ( \mathcal { N } ) } ( t ) - g _ { 0 } ^ { ( \mathcal { N } ) } ( b ) ) ( s _ { 1 } - t ) ^ { \mathcal { N } - 1 } d t . } \end{array}
\delta ^ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { x x } , \ ( \varepsilon \eta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } v ^ { 2 } v _ { x x x x } , \, v a r e p s i l o n ^ { \frac { 1 } { 2 } } v _ { x x x } , \ \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( v ^ { - 1 } ) _ { x } \in L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) ,
\begin{array} { r } { \dot { A } _ { 1 } = i I _ { 2 3 } A _ { 2 } A _ { 3 } \mathrm { \, , } } \\ { \dot { A } _ { 2 } = i I _ { 1 3 } A _ { 1 } A _ { 3 } ^ { * } \mathrm { \, , } } \\ { \dot { A } _ { 3 } = i I _ { 1 2 } A _ { 1 } A _ { 2 } ^ { * } \mathrm { \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { i + 1 } ^ { 0 } ( 1 ) } & { = \left( \frac { \frac { 1 } { 2 } \rho d + 2 i + 1 } { \frac { 1 } { 2 } \rho d + 2 i - 1 } \right) \left( \frac { \frac { 1 } { 2 } d ( \rho - 1 ) + i } { \frac { 1 } { 2 } d + i } \right) \left( \frac { \frac { 1 } { 2 } \rho d + i - 1 } { i + 1 } \right) Q _ { i } ^ { 0 } ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial x } = 2 u _ { * } \frac { d u _ { * } } { d x } \overline { { u v } } _ { i } + u _ { * } ^ { 2 } \frac { d \overline { { u v } } _ { i } } { d y ^ { + } } \frac { d y ^ { + } } { d x } = 2 u _ { * } \frac { u _ { * } } { x } \frac { - 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \overline { { u v _ { i } } } + u _ { * } ^ { 2 } \frac { d \overline { { u v _ { i } } } } { d y ^ { + } } \frac { y } { \nu } \frac { d u _ { * } } { d x } , } \end{array}
v ^ { * } ( b ) = - 1 + \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \sum _ { b ^ { \prime } \in \mathcal { B } ( b , a ) } \operatorname* { P r } ( b ^ { \prime } \! \mid \! b , a ) v ^ { * } ( b ^ { \prime } ) \qquad \forall b \neq b ^ { \Omega }