harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { L } _ { D K ^ { - } } } & { = \{ \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } : \hat { \mathbf { n } } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { \Lambda } } < 0 , \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } \cdot \hat { \boldsymbol { \Lambda } } > 0 \} , } \\ { \mathbb { L } _ { 1 ^ { - } D } } & { = \{ \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } : \hat { \mathbf { n } } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { \Lambda } } < 0 , \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } \cdot \hat { \boldsymbol { \Lambda } } > 0 \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) , \mathrm { X B } } = \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { t r } } [ \ensuremath { \mathbf { j } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { e l } } } ( x ) \ensuremath { \mathbf { j } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x , } \end{array}
\mu ^ { 2 } - \frac { \mu } { 2 } = 0 \Rightarrow \mu _ { \pm } = \frac { 1 \pm 1 } { 4 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \nu ^ { 2 } + \frac { \mathcal { E } _ { a , b } } { 4 } = 0 \Rightarrow \nu _ { a , b } = - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { - \mathcal { E } _ { a , b } } \; ,
d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + \tilde { R } ^ { 2 } ( \tilde { x } ^ { 5 } ) d \Omega _ { k } ^ { 2 } + e ^ { \tilde { \mu } ( \tilde { x } ^ { 5 } ) } [ d \tilde { x } ^ { 5 } + \kappa \tilde { A _ { 0 } } ( t ) d t ] ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { | P _ { 1 } ( r _ { \circ } ^ { ( w ^ { - p } \alpha _ { c } ) } ) | = \frac { \sin ( ( 1 + 2 p ) \theta _ { 1 } ) } { \sin \theta _ { 1 } } | P _ { 1 } ( \alpha _ { c } ) | \, , } \\ & { | P _ { 1 } ( r _ { \bullet } ^ { ( w ^ { - p } \alpha _ { c } ) } ) | = \frac { \sin ( 2 p \theta _ { 1 } ) } { \sin \theta _ { 1 } } | P _ { 1 } ( \alpha _ { c } ) | \, . } \end{array}
G ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , \boldsymbol { x } _ { 2 } ; \omega ) = \sum _ { \nu } \frac { \phi _ { \nu } ( \boldsymbol { x } _ { 1 } ) \phi _ { \nu } ^ { * } ( \boldsymbol { x } _ { 2 } ) } { \omega - \epsilon _ { \nu } + \mathrm { ~ i ~ } \eta \, \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( \epsilon _ { \nu } - \mu ) }
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ v ~ } } ( G ) = \mathbb { E } _ { x \sim p _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( x ) } | | 1 - D _ { Y , \mathrm { ~ i ~ m ~ g ~ } } ( G ( x ) ) | | _ { 2 } + \mathbb { E } _ { x \sim p _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( x ) } | | 1 - D _ { Y , \mathrm { ~ F ~ F ~ T ~ } } ( G ( x ) ) | | _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow - c _ { \mathrm { i } } k - 0 } F ( \omega ) = \infty , } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow - c _ { \mathrm { i } } k + 0 } F ( \omega ) = - \infty , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow c _ { \mathrm { i } } k - 0 } F ( \omega ) = - \infty , } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow c _ { \mathrm { i } } k + 0 } F ( \omega ) = \infty , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow ( v _ { 0 } \ominus c _ { \mathrm { e } } ) k - 0 } F ( \omega ) = \infty , } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow ( v _ { 0 } \ominus c _ { \mathrm { e } } ) k + 0 } F ( \omega ) = - \infty , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow ( v _ { 0 } \oplus c _ { \mathrm { e } } ) k - 0 } F ( \omega ) = - \infty , } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow ( v _ { 0 } \oplus c _ { \mathrm { e } } ) k + 0 } F ( \omega ) = \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K L } \left( q _ { \phi } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) \| p ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) \right) } & { { } = \int _ { z } q _ { \phi } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) \log \frac { q _ { \phi } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) } { p ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) } d \mathbf { z } } \end{array}
M _ { \mathrm { { i r r } } } = { \sqrt { \frac { { \sqrt { M ^ { 4 } - { \frac { J ^ { 2 } c ^ { 2 } } { G ^ { 2 } } } } } + M ^ { 2 } } { 2 } } } \longrightarrow M = 2 { \sqrt { \frac { M _ { \mathrm { { i r r } } } ^ { 4 } } { 4 M _ { \mathrm { { i r r } } } ^ { 2 } - { \frac { a ^ { 2 } c ^ { 4 } } { G ^ { 2 } } } } } } .
\begin{array} { r } { f \left( \mathbf { x } , t ; \frac { \partial u } { \partial x _ { 1 } } , \ldots , \frac { \partial u } { \partial x _ { N } } , \frac { \partial u } { \partial t } ; \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } , \ldots , \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { N } } , \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 1 } \partial t } ; \ldots ; \boldsymbol { \Lambda } \right) = 0 , \quad \mathbf { x } = \left( x _ { 1 } , \cdots , x _ { N } \right) \in \Omega , \quad t \in [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] . } \end{array}
\sum _ { j _ { m } = 1 } ^ { n } | z _ { j _ { m } } | \sum _ { \mathbf { i } \in \mathcal J ( m - 1 , j _ { m } ) } | z _ { \mathbf { i } } | | [ \mathbf { i } ] | ^ { \frac { 1 } { r } } \prec _ { C ^ { m } } \Vert z \Vert _ { \ell _ { r , s } } ^ { m - 1 } \sum _ { j _ { m } = 1 } ^ { n } | z _ { j _ { m } } | \left( \frac { n } { m } \right) ^ { ( m - 1 ) / r ^ { \prime } } \prec _ { C ^ { m } } \Vert z \Vert _ { \ell _ { r , s } } ^ { m - 1 } \left( \frac { n } { m } \right) ^ { m / r ^ { \prime } } .
\textstyle \frac { 1 } { N } \operatorname { A v g } \operatorname { T r } ( \hat { g } _ { i _ { 1 } } ^ { \dag } \hat { g } _ { i _ { 2 } } ) = \frac { 1 } { N } \operatorname { A v g } \operatorname { T r } ( \hat { g } _ { j } ^ { \dag } \hat { g } _ { j - 1 } ) = \frac { 2 } { d ^ { 3 } ( m ^ { 2 } d + 1 ) } \, \operatorname { T r } ( \operatorname { T r } _ { 1 } ^ { 2 } \hat { h } ) + \mathcal { O } ( \eta ^ { L - i _ { 1 } } )
\langle Q \rangle _ { \psi } = \langle \psi | Q | \psi \rangle = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi ^ { \ast } ( x ) \, x \, \psi ( x ) \, \mathrm { d } x = \int _ { - \infty } ^ { \infty } x \, p ( x ) \, \mathrm { d } x
\begin{array} { r l } { c ( r , z , t , T ) } & { = c _ { 0 } ( r , z , t , T ) + \epsilon ^ { 2 } c _ { 1 } ( r , z , t , T ) + \epsilon ^ { 4 } c _ { 2 } ( r , z , t , T ) + \hdots , } \\ { p ( r , z , t , T ) } & { = p _ { 0 } ( r , z , t , T ) + \epsilon ^ { 2 } p _ { 1 } ( r , z , t , T ) + \epsilon ^ { 4 } p _ { 2 } ( r , z , t , T ) + \hdots , } \\ { u _ { z } ( r , z , t , T ) } & { = u _ { z 0 } ( r , z , t , T ) + \epsilon ^ { 2 } u _ { z 1 } ( r , z , t , T ) + \epsilon ^ { 4 } u _ { z 2 } ( r , z , t , T ) + \hdots , } \\ { u _ { r } ( r , z , t , T ) } & { = u _ { r 0 } ( r , z , t , T ) + \epsilon ^ { 2 } u _ { r 1 } ( r , z , t , T ) + \epsilon ^ { 4 } u _ { r 2 } ( r , z , t , T ) + \hdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { j } ^ { ( n ) } ( t ) = - \frac { 2 \pi } { n } \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { m } \cos \Big [ m ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) \Big ] - \frac { \pi } { n ^ { 2 } } \cos \Big [ n ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) \Big ] , } \\ & { T _ { j } ^ { ( n ) } ( t ) = - \frac { 1 } { n } \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } m \cos \Big [ m ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) \Big ] - \frac { 1 } { 2 } \cos \Big [ n ( t - \zeta _ { j } ^ { ( n ) } ) \Big ] . } \end{array}
\overline { { \mathsf { L } } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \omega ^ { 2 } \frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \overline { { \mathsf { P } } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \, .
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \sigma } } ^ { 2 } \ } & { = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( x _ { i } - \mu \right) ^ { 2 } } { N } } } \\ { { \hat { \sigma } } _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } & { = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \left( x _ { i } - \mu ^ { * } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } } } } \end{array} }
\frac { M - 1 } { T - M + 1 } \left[ \frac { \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left\{ \frac { \left( \ln ( K _ { m } ) - \ln ( K _ { m ^ { * } } ^ { * } ) \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { K } ^ { 2 } } + \frac { \left( \ln ( p _ { m } ) - \ln ( p _ { m ^ { * } } ^ { * } ) \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { p } ^ { 2 } } + \frac { \left( \ln ( \lambda _ { m } ) - \ln ( \lambda _ { m ^ { * } } ^ { * } ) \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { \lambda } ^ { 2 } } \right\} \right) } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \sigma _ { K } \sigma _ { p } \sigma _ { \lambda } \left[ \Phi \left( \ln \lceil \rho N \rceil ; \ln K _ { m ^ { * } } ^ { * } , \sigma _ { K } ^ { 2 } \right) - \Phi \left( \ln \underset { \{ t : z _ { t } ^ { * } = m ^ { * } \} } { \operatorname* { m a x } } C _ { t } ; \ln K _ { m ^ { * } } ^ { * } , \sigma _ { K } ^ { 2 } \right) \right] \left[ \Phi \left( 0 ; \ln p _ { m ^ { * } } ^ { * } , \sigma _ { p } ^ { 2 } \right) - \Phi \left( - \infty ; \ln p _ { m ^ { * } } ^ { * } , \sigma _ { p } ^ { 2 } \right) \right] } \right]
\left( \begin{array} { l } { \bar { \phi } _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 0 ~ ) ~ } } ( r ) } \\ { \bar { \phi } _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ ) ~ } } ( r ) } \end{array} \right) \propto \left( \begin{array} { l l } { u _ { 0 0 } } & { u _ { 0 1 } } \\ { u _ { 1 0 } } & { u _ { 1 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { j _ { \ell } ( q r ) } \\ { \eta _ { \ell } ( q r ) } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { P _ { \alpha \beta } ^ { ( 0 ) } ( i \tau ) = - 2 i c _ { \mu \nu \alpha } } & { { } \left\{ G _ { \mu \kappa , \uparrow \uparrow } ^ { > ^ { R } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \uparrow \uparrow } ^ { < ^ { R } } ( i \tau ) - G _ { \mu \kappa , \uparrow \uparrow } ^ { > ^ { I } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \uparrow \uparrow } ^ { < ^ { I } } ( i \tau ) \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l r } { \operatorname { a t a n 2 } ( y _ { 1 } , x _ { 1 } ) \pm \operatorname { a t a n 2 } ( y _ { 2 } , x _ { 2 } ) } & { = \operatorname { a t a n 2 } ( y _ { 1 } , x _ { 1 } ) + \operatorname { a t a n 2 } ( \pm y _ { 2 } , x _ { 2 } ) } & { { \mathrm { b y ~ ( 1 ) } } } \\ & { = \operatorname { A r g } ( x _ { 1 } + i y _ { 1 } ) + \operatorname { A r g } ( x _ { 2 } \pm i y _ { 2 } ) } & { { \mathrm { b y ~ ( 2 ) } } } \\ & { = \operatorname { A r g } e ^ { i ( \operatorname { A r g } ( x _ { 1 } + i y _ { 1 } ) + \operatorname { A r g } ( x _ { 2 } \pm i y _ { 2 } ) ) } } & { { \mathrm { b y ~ ( 3 ) } } } \\ & { = \operatorname { A r g } ( e ^ { i \operatorname { A r g } ( x _ { 1 } + i y _ { 1 } ) } e ^ { i \operatorname { A r g } ( x _ { 2 } \pm i y _ { 2 } ) } ) } \\ & { = \operatorname { A r g } ( ( x _ { 1 } + i y _ { 1 } ) ( x _ { 2 } \pm i y _ { 2 } ) ) } & { { \mathrm { b y ~ ( 4 ) } } } \\ & { = \operatorname { A r g } ( x _ { 1 } x _ { 2 } \mp y _ { 1 } y _ { 2 } + i ( y _ { 1 } x _ { 2 } \pm y _ { 2 } x _ { 1 } ) ) } \\ & { = \operatorname { a t a n 2 } ( y _ { 1 } x _ { 2 } \pm y _ { 2 } x _ { 1 } , x _ { 1 } x _ { 2 } \mp y _ { 1 } y _ { 2 } ) } & { { \mathrm { b y ~ ( 2 ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { A _ { \lambda } ^ { n } \pi _ { \lambda } } & { = ( \lambda I + N _ { \lambda } ) ^ { n } \pi _ { \lambda } = \lambda ^ { n } \sum _ { i = 0 } ^ { d _ { \lambda } } \lambda ^ { - i } { \binom { n } { i } } N _ { \lambda } ^ { i } \pi _ { \lambda } } \\ { \sum _ { 0 \le l \le m } A _ { 1 } ^ { l } \pi _ { 1 } } & { = \sum _ { 0 \le l \le m } ( I + N _ { 1 } ) ^ { l } \pi _ { 1 } = \sum _ { 0 \le l \le m } \sum _ { i = 0 } ^ { l } { \binom { l } { i } } N _ { 1 } ^ { i } \pi _ { 1 } = \sum _ { i = 0 } ^ { d _ { 1 } } N _ { 1 } ^ { i } \sum _ { l = i } ^ { m } { \binom { l } { i } } \pi _ { 1 } , } \end{array}
x _ { p } = { \frac { x _ { b } } { 1 + { \sqrt { 1 - x _ { b } ^ { 2 } - y _ { b } ^ { 2 } } } } } , \ \ y _ { p } = { \frac { y _ { b } } { 1 + { \sqrt { 1 - x _ { b } ^ { 2 } - y _ { b } ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } { f ( \boldsymbol { E } + h \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ) } & { = \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \right) ^ { - 1 } + \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \right) ^ { - 1 } \left( h t s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \left( \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } + \frac { t } { 2 } [ \boldsymbol { E } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] \right) \right) \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \right) ^ { - 1 } } \\ & { + \mathcal { O } ( h ^ { 2 } ) \, . } \end{array}
\delta \psi ( r , \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - ( 1 + \lambda ) E r \cos \theta } & { \textrm { f o r } r < R } \\ { \displaystyle - \left( 1 + \lambda \frac { R ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } \right) E r \cos \theta } & { \textrm { f o r } r > R } \end{array} \right. .
\begin{array} { r } { ( \frac { \delta c } { c } ) _ { n } = \frac { \sqrt { \langle C _ { P r } ^ { 2 } \rangle _ { n } - \langle C _ { P r } \rangle _ { n } ^ { 2 } } } { c \frac { d \langle C _ { P r } \rangle _ { n } } { d c } } } \end{array}
\mathbf { u } = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u _ { x } } \\ { \rho u _ { y } } \\ { E } \end{array} \right] , \qquad \mathrm { a n d } ~ \mathcal F ( \mathbf { u } ) = \left[ \begin{array} { l l } { \rho u _ { x } } & { \rho u _ { y } } \\ { \rho u _ { x } ^ { 2 } + p } & { \rho u _ { x } u _ { y } } \\ { \rho u _ { x } u _ { y } } & { \rho u _ { y } ^ { 2 } + p } \\ { u _ { x } ( E + p ) } & { u _ { y } ( E + p ) } \end{array} \right] ,
\frac { \alpha P _ { e q } \, } { \omega ^ { 2 } } = \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { \gamma a } \displaystyle \left[ \frac { 4 } { 3 } \mu + \frac { ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } } { \gamma } \frac { M \kappa } { R } + \mu _ { b } \right]
{ L } = \frac 1 2 ( \partial _ { \nu } \sigma ( x ) ) ^ { 2 } - \frac 1 2 m _ { \sigma } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac 1 2 | \partial _ { \nu } \Phi ( x ) | ^ { 2 } - \frac 1 2 m _ { \Phi } ^ { 2 } | \Phi | ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 2 4 } | \Phi | ^ { 4 } - \frac 1 2 g ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } | \Phi | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { f _ { m } ( \alpha , m ) = } & { \, 1 0 ( 5 \alpha ^ { 3 } - 6 \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha ) m ^ { 4 } - 8 ( 1 2 3 \alpha ^ { 3 } - 1 5 6 \alpha ^ { 2 } + 6 0 \alpha - 4 ) m ^ { 3 } + 1 2 ( 5 1 7 \alpha ^ { 3 } - 6 5 0 \alpha ^ { 2 } } \\ & { + 2 5 4 \alpha - 2 0 ) m ^ { 2 } - 8 ( 1 7 8 3 \alpha ^ { 3 } - 2 0 0 8 \alpha ^ { 2 } + 6 6 4 \alpha - 1 6 ) m + 2 ( 5 3 7 7 \alpha ^ { 3 } - 5 0 1 4 \alpha ^ { 2 } } \\ & { + 1 2 0 2 \alpha + 1 3 6 ) , } \\ { f _ { m m } ( \alpha , m ) = } & { \, 4 0 ( 5 \alpha ^ { 3 } - 6 \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha ) m ^ { 3 } - 2 4 ( 1 2 3 \alpha ^ { 3 } - 1 5 6 \alpha ^ { 2 } + 6 0 \alpha - 4 ) m ^ { 2 } + 2 4 ( 5 1 7 \alpha ^ { 3 } - 6 5 0 \alpha ^ { 2 } } \\ & { + 2 5 4 \alpha - 2 0 ) m - 8 ( 1 7 8 3 \alpha ^ { 3 } - 2 0 0 8 \alpha ^ { 2 } + 6 6 4 \alpha - 1 6 ) , } \\ { f _ { m m m } ( \alpha , m ) = } & { \, 1 2 0 ( 5 \alpha ^ { 3 } - 6 \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha ) m ^ { 2 } - 4 8 ( 1 2 3 \alpha ^ { 3 } - 1 5 6 \alpha ^ { 2 } + 6 0 \alpha - 4 ) m + 2 4 ( 5 1 7 \alpha ^ { 3 } - 6 5 0 \alpha ^ { 2 } } \\ & { + 2 5 4 \alpha - 2 0 ) . } \end{array}
f _ { \alpha , i \ast } = f _ { \alpha , i } \left( t , \mathbf { x } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right) \mathrm { , ~ } f _ { \alpha , i } ^ { \prime } = f _ { \alpha , i } \left( t , \mathbf { x } , \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } \right) \mathrm { , ~ a n d ~ } f _ { \alpha , i \ast } ^ { \prime } = f _ { \alpha , i } \left( t , \mathbf { x } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } \right)
\begin{array} { r l } { \mathsf { D } _ { 1 } } & { : = \left\{ v \in \mathbb { R } ^ { d } : | u _ { f } - u _ { g } | > r _ { f } + r _ { g } \right\} , } \\ { \mathsf { D } _ { 2 } } & { : = \left\{ v \in \mathbb { R } ^ { d } : \left| r _ { f } - r _ { g } \right| \le | u _ { f } - u _ { g } | \le r _ { f } + r _ { g } \quad \mathrm { a n d } \quad | u _ { f } - u _ { g } | ^ { 2 } > \left| r _ { f } ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } \right| \right\} , } \\ { \mathsf { D } _ { 3 } } & { : = \left\{ v \in \mathbb { R } ^ { d } : | r _ { f } - r _ { g } | \le | u _ { f } - u _ { g } | \le r _ { f } + r _ { g } \quad \mathrm { a n d } \quad | u _ { f } - u _ { g } | ^ { 2 } \le \left| r _ { f } ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } \right| \right\} , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathsf { D } _ { 4 } } & { : = \left\{ v \in \mathbb { R } ^ { d } : | u _ { f } - u _ { g } | \le | r _ { f } - r _ { g } | \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \xi } ( t + 1 ) \| ^ { 2 } | X ( t ) \} } \\ & { = \mathbb { E } \{ X ( t ) ^ { T } Q ( t ) ^ { T } \xi \xi ^ { T } Q ( t ) X ( t ) | X ( t ) \} + 2 \mathbb { E } \{ X ( t ) ^ { T } Q ( t ) ^ { T } } \\ & { \xi \xi ^ { T } R ( t ) z ^ { s } | X ( t ) \} + \mathbb { E } \{ ( z ^ { s } ) ^ { T } R ( t ) ^ { T } \xi \xi ^ { T } R ( t ) z ^ { s } | X ( t ) \} } \\ & { = X ( t ) ^ { T } \mathbb { E } \{ Q ( t ) ^ { T } \xi \xi ^ { T } Q ( t ) \} X ( t ) + 2 X ( t ) ^ { T } \mathbb { E } \{ Q ( t ) ^ { T } \xi \xi ^ { T } } \\ & { R ( t ) \} z ^ { s } + ( z ^ { s } ) ^ { T } \mathbb { E } \{ R ( t ) ^ { T } \xi \xi ^ { T } R ( t ) \} z ^ { s } , } \end{array}
\frac { 8 \pi d N _ { q \overline { { { q } } } \gamma } } { d \Omega _ { \vec { n } } } \; = \; \frac { 2 } { a _ { + } } \; N _ { q } ^ { \prime } ( Y _ { q + } , Y _ { q } ) \: + \: \frac { 2 } { a _ { - } } \; N _ { q } ^ { \prime } ( Y _ { \overline { { { q } } } - } , Y _ { \overline { { { q } } } } ) \: + \: 2 I _ { + - } \: N _ { q } ^ { \prime } ( Y ) ,
J _ { h } ( x ) = \operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d k } { 2 \pi } \, e ^ { i k \left\{ x - ( 1 - \beta ^ { 2 } ) \varepsilon \ln \left[ \frac { A } { N } \sin \frac { \pi \beta ^ { 2 } } { 2 ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } \right] \right\} } \, \frac { N \varepsilon \pi k \, \sinh \left( \pi k \beta ^ { 2 } - \frac { \pi k } { 2 } - \varepsilon i \pi \beta ^ { 2 } \right) } { R \sin \pi \beta ^ { 2 } \, \cosh k \frac { \gamma } { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 4 } ^ { 2 } ( r , \theta ) \rangle } & { { } = \frac { k _ { B } T } { \gamma } \frac { 1 } { \pi } \Big [ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \frac { Z ^ { 9 0 } ( \ell _ { c } , 0 , \alpha ) } { 2 S _ { 0 , \alpha } } \chi _ { 0 , \alpha } ^ { 2 } ( r ) } \end{array}
\Phi = \frac { S _ { d } } { B l } \left[ \frac { ( \mu _ { M } - 1 ) M _ { m s } \cdot s + ( \mu _ { R } - 1 ) R _ { m s } + ( \mu _ { C } - 1 ) / ( C _ { m c } \cdot s ) } { \mu _ { M } M _ { m s } \cdot s + \mu _ { R } R _ { m s } + \mu _ { C } / ( C _ { m c } \cdot s ) } \right]
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \xi \xi } } & { = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } R ( \xi - \xi ^ { \prime } , \eta - \eta ^ { \prime } ) ( \xi - \xi ^ { \prime } ) ^ { 2 } d \xi ^ { \prime } d \eta ^ { \prime } } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } R ( \xi ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } ) d \xi ^ { \prime } d \eta ^ { \prime } } , } \\ { \gamma _ { \eta \eta } } & { = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } R ( \eta - \eta ^ { \prime } , \xi - \xi ^ { \prime } ) ( \eta - \eta ^ { \prime } ) ^ { 2 } d \eta ^ { \prime } d \xi ^ { \prime } } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } R ( \eta ^ { \prime } , \xi ^ { \prime } ) d \eta ^ { \prime } d \xi ^ { \prime } } , } \end{array}
a _ { \pm } ^ { 2 } ( \varrho ) = - ( \varrho ^ { 2 } - \frac 2 3 \varrho + \frac { 2 } { 2 7 } ) \pm \frac { 2 } { 2 7 } ( 1 - 6 \varrho ) ^ { 3 / 2 } ,
F ^ { \prime } \, ^ { \mu \nu } = \partial ^ { \prime } \, ^ { \mu } A ^ { \nu } - \partial ^ { \prime } \, ^ { \nu } A ^ { \mu } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { E _ { x } / c } & { E _ { y } / c } & { E _ { z } / c } \\ { - E _ { x } / c } & { 0 } & { B _ { z } } & { - B _ { y } } \\ { - E _ { y } / c } & { - B _ { z } } & { 0 } & { B _ { x } } \\ { - E _ { z } / c } & { B _ { y } } & { - B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] }
\omega _ { \textup { r e d } } = \int _ { - \frac { \textup { H } } { 2 } } ^ { \frac { \textup { H } } { 2 } } \int _ { - \frac { \textup { \textup { H } } } { 2 } } ^ { \frac { \textup { H } } { 2 } } \omega ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \eta } ) \ \textup { d } x _ { 3 } \textup { d } x _ { 3 } ^ { \prime } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } n _ { \omega } ( t ) = } & { \frac { 4 \pi ^ { 3 } } { \sqrt { \omega } } \int \operatorname* { m i n } \left( \sqrt { \omega } , \sqrt { \omega _ { 1 } } , \sqrt { \omega _ { 2 } } , \sqrt { \omega _ { 3 } } \right) n _ { \omega } n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } } \\ & { \times \left( n _ { \omega } ^ { - 1 } + n _ { 1 } ^ { - 1 } - n _ { 2 } ^ { - 1 } - n _ { 3 } ^ { - 1 } \right) \delta ( \omega _ { 2 3 } ^ { 0 1 } ) \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \mathrm { d } \omega _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { c o v } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } ) = } & { \left[ w _ { 1 } ( \textbf { r } _ { 1 } ) w _ { 2 } ( \textbf { r } _ { 2 } ) + w _ { 1 } ( \textbf { r } _ { 2 } ) w _ { 2 } ( \textbf { r } _ { 1 } ) \right] \left[ \chi _ { \uparrow } ( \textbf { r } _ { 1 } ) \chi _ { \downarrow } ( \textbf { r } _ { 2 } ) - \chi _ { \downarrow } ( \textbf { r } _ { 1 } ) \chi _ { \uparrow } ( \textbf { r } _ { 2 } ) \right] , } \\ { \Psi _ { i o n } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } ) = } & { \left[ w _ { 1 } ( \textbf { r } _ { 1 } ) w _ { 1 } ( \textbf { r } _ { 2 } ) + w _ { 2 } ( \textbf { r } _ { 1 } ) w _ { 2 } ( \textbf { r } _ { 2 } ) \right] \left[ \chi _ { \uparrow } ( \textbf { r } _ { 1 } ) \chi _ { \downarrow } ( \textbf { r } _ { 2 } ) - \chi _ { \downarrow } ( \textbf { r } _ { 1 } ) \chi _ { \uparrow } ( \textbf { r } _ { 2 } ) \right] . } \end{array}
Q ^ { N _ { p } / 2 } = Q ^ { N _ { n - h } / 2 } Q ^ { N _ { h } / 2 } = \sum _ { \{ \epsilon _ { i } = \pm 1 \} } \cos \left[ \frac { \pi } { 2 } e _ { 0 } \sum _ { i } \epsilon _ { i } \right] \sum _ { \{ \epsilon _ { j } = \pm 1 \} } \exp \left[ 4 i \lambda \sum _ { j } \epsilon _ { j } \right]
\int { \cal D } X ^ { 1 } ( \sigma ) { \cal D } X ^ { 2 } ( \sigma ) { \cal D } X ^ { 3 } ( \sigma ) \, \Delta ( X ^ { 1 } ( \sigma ) + X ^ { 2 } ( \sigma ) - X ^ { 3 } ( \sigma ) ) \psi ( X ^ { 1 } ) \psi ( X ^ { 2 } ) \psi ^ { * } ( X ^ { 3 } ) .
\frac { { \partial \phi } } { { \partial t } } + \nabla \cdot ( \phi \mathbf { u } ) = \nabla \cdot M _ { \phi } \left( \nabla \phi - \frac { \nabla \phi } { | \nabla \phi | } \frac { 1 - \phi ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } W } \right) .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i } } & { { } \sim \mathcal { N } ( \mu _ { \alpha } , \sigma _ { \alpha } ) } \\ { \beta _ { i } } & { { } \sim \mathcal { N } ( \mu _ { \beta } , \sigma _ { \beta } ) } \\ { \theta _ { i } } & { { } \sim \mathcal { N } ( \mu _ { \theta } , \sigma _ { \theta } ) } \end{array}
h _ { 1 } ( i , j , n ) \equiv \Gamma [ - f ^ { \prime } ( \hat { \phi } ( i , j , n ) ) + \kappa \Delta _ { 2 } \hat { \phi } ( i , j , n ) ] \Delta t + \sqrt { 2 \Gamma T } \frac { \sqrt { \Delta t } } { \Delta x } \eta ( i , j , n ) ,
\begin{array} { r l } { \rho e } & { { } = ( c _ { v d } \rho _ { d } + c _ { v v } \rho _ { v } + c _ { l } ( \rho _ { c } + \rho _ { r } ) ) ( T - T _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) + \rho _ { v } ( L _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } - R _ { v } T _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) , } \\ { \rho _ { v } } & { { } = \operatorname* { m i n } \left( \frac { e _ { s } ( T ) } { R _ { v } T } , \rho _ { m } \right) , } \\ { \rho _ { c } } & { { } = \rho _ { m } - \rho _ { v } , } \end{array}