harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Z _ { 4 a , 1 } ^ { * } ) } & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \big ( \sum _ { i k \ell } \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } + \sum _ { i k \ell k ^ { \prime } } \beta _ { k } \beta _ { k ^ { \prime } } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { k ^ { \prime } } ^ { 2 } \big ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } , } \end{array}
\left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { C M } = \frac { \lambda ^ { 4 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } s } \left[ \frac { \left( s + u \right) ^ { 2 } } { \left( t - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - \frac { s ^ { 2 } + s \left( t + u \right) } { \left( t - m ^ { 2 } \right) \left( u - m ^ { 2 } \right) } + \frac { \left( s + t \right) ^ { 2 } } { \left( u - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \right] .
G _ { N _ { s } } = \frac { 1 } { 2 } \tilde { M } _ { N _ { s } m n } \Delta \tilde { r } _ { m } \Delta \tilde { r } _ { n } + \tilde { w } _ { N _ { s } } \bar { \varepsilon } + \frac { 1 } { 2 } B _ { N _ { s } } ^ { ( 2 ) } \bar { \gamma } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { ( \vec { u } , \vec { v } ) _ { H ^ { \operatorname { c u r l } ; 1 } ( Q ) } : = ( \vec { u } , \vec { v } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + ( \partial _ { t } \vec { u } , \partial _ { t } \vec { v } ) _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( Q ) } + ( \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { u } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { v } ) _ { L _ { \mu } ^ { 2 } ( Q ) } } \end{array}
| \bar { M } | ^ { 2 } = e ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { u } { t } + \frac { u } { s } + \frac { u ^ { 2 } } { s t } - \frac { t } { 2 s } - \frac { s } { 2 t } \right] .
{ \hat { \boldsymbol D } } _ { l , m } ^ { m a x } = c g _ { a , \gamma \gamma } a _ { 0 } \boldsymbol B _ { l , m ; 0 } \mathcal K _ { m , n } \left\{ \begin{array} { l l } { m _ { a } ^ { 2 } R _ { B } ^ { 2 } } & { m _ { a } R _ { B } \ll 1 } \\ { 1 } & { m _ { a } R _ { B } \gg 1 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r } { P _ { z } ^ { \mathrm { t o t } } \left( z = z _ { 0 } < - h \right) = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \Lambda / 2 } ^ { \Lambda / 2 } \Re \left\{ E _ { y } H _ { x } ^ { * } \right\} d y = 0 } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { A _ { i } \epsilon ^ { i } = C _ { i } \epsilon ^ { i } + D _ { i } \epsilon ^ { - i } = 0 , } & \\ { B _ { i } \epsilon ^ { i } = E _ { i } \epsilon ^ { i } + F _ { i } \epsilon ^ { - i } = 0 } & \\ { A _ { i } \epsilon ^ { i } = C _ { i } \epsilon ^ { i } - D _ { i } \epsilon ^ { - i } = 0 , } & \\ { B _ { i } \epsilon ^ { i } = E _ { i } \epsilon ^ { i } - F _ { i } \epsilon ^ { - i } = 0 , } & \end{array} \right.
( v ^ { 1 } - u ^ { 1 } ) ( v _ { 1 } - u _ { 1 } ) + ( v ^ { 2 } - u ^ { 2 } ) ( v _ { 2 } - u _ { 2 } ) = h K _ { 0 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } | z | ^ { 2 } = 4 K _ { 0 } \eta | z | ^ { 2 } / ( R ^ { 2 } + | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 }
\frac { \partial N _ { 1 , k } } { \partial t } = \frac { N _ { 2 , k } ( t ) } { \tau _ { ( 2 1 ) , ( 3 2 ) } } - \frac { ( \mathbf { j } \cdot \mathbf { E } ) _ { k } } { \hbar \omega _ { a } } - \frac { N _ { 1 , k } } { \tau _ { 1 3 } } \mathrm { , ~ } \frac { \partial N _ { 2 , k } } { \partial t } = \frac { N _ { 1 , k } ( t ) } { \tau _ { 1 2 } } + \frac { ( \mathbf { j } \cdot \mathbf { E } ) _ { k } } { \hbar \omega _ { a } } - \frac { N _ { 2 , k } } { \tau _ { 0 2 } } \mathrm { , }
\hat { \rho } _ { \mathrm { ~ B ~ } } = \mathrm { ~ t ~ r ~ } _ { \mathrm { ~ E ~ } } \left[ \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ B ~ E ~ } } \right] , \quad \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ E ~ } } = \mathrm { ~ t ~ r ~ } _ { \mathrm { ~ B ~ } } \left[ \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ B ~ E ~ } } \right] ,
T _ { a , \mathcal { H } } ^ { i _ { 1 } j _ { 1 } , i _ { 3 } j _ { 3 } } ( x , \boldsymbol { \eta } ) \delta ^ { i _ { 2 } j _ { 2 } } T _ { b , \mathcal { H } } ^ { j _ { 2 } i _ { 2 } , j _ { 3 } k _ { 3 } } ( x , \boldsymbol { \eta } ) \delta ^ { j _ { 1 } i _ { 1 } } = T _ { a , \mathcal { H } } ^ { j _ { 1 } j _ { 1 } , i _ { 3 } j _ { 3 } } ( x , \boldsymbol { \eta } ) T _ { b , \mathcal { H } } ^ { j _ { 2 } j _ { 2 } , j _ { 3 } k _ { 3 } } ( x , \boldsymbol { \eta } )
\begin{array} { r l r } { \frac { d \rho _ { 1 2 } } { d t } } & { { } = } & { i \omega _ { 0 } \rho _ { 1 2 } + i \frac { \mu } { \hbar } E w - \frac { \rho _ { 1 2 } } { T _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { p \Bigg ( s _ { i } ( t + 1 ) = 1 \Bigg | \begin{array} { l } { s _ { i } ( t ) = 0 , s _ { j } ( t ) = 0 , s _ { j } ( t + 1 ) = 1 , j \in e } \\ { \mathrm { ~ w h e r e ~ e ~ i s ~ a ~ s e l e c t e d ~ ( k , l ) ~ e d g e } ) } \end{array} \Bigg ) = b ( l - k ) } \\ { p \Bigg ( s _ { i } ( t + 1 ) = 0 \Bigg | \begin{array} { l } { s _ { i } ( t ) = 1 , s _ { j } ( t ) = 1 , s _ { j } ( t + 1 ) = 0 , j \in e } \\ { \mathrm { ~ w h e r e ~ e ~ i s ~ a ~ s e l e c t e d ~ ( k , l ) ~ e d g e } ) } \end{array} \Bigg ) = b k } \end{array} ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { e r r } _ { k } ( r ) = \mathsf { e r r } _ { k } ( r _ { q } ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { q } \left[ \prod _ { k = j + 1 } ^ { q } \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { k } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \right] \left( \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \right) . } \end{array}
f _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) = \frac { 1 } { c _ { t } } [ \epsilon _ { 0 } + \Delta \epsilon ( T ) + \frac { c _ { 2 } z ( T ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } t ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } ] ,
F ( x , Q ^ { 2 } ) \sim \sum _ { n } \bar { \alpha } ^ { n } \frac { ( \ln 1 / x ) ^ { n } } { n ! } \frac { ( \ln Q ^ { 2 } ) ^ { n } } { n ! } \approx \exp ( 2 \sqrt { \bar { \alpha } \ln Q ^ { 2 } \ln 1 / x } ) .
\begin{array} { r l } { { \bf H 1 : } } & { \quad \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \vec { \varphi } _ { \mathrm { o l d } } ( t ) = \alpha \, \Delta _ { ( 1 ) } ^ { 2 } \, \vec { \varphi } _ { \mathrm { o l d } } ( t ) } \\ { { \bf H 2 : } } & { \quad \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \vec { \varphi } _ { \mathrm { o l d } } ( t ) = \alpha \, \Delta _ { ( 2 ) } ^ { 2 } \, \vec { \varphi } _ { \mathrm { o l d } } ( t ) } \\ { { \bf H 3 : } } & { \quad \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \vec { \varphi } _ { \mathrm { o l d } } ( t ) = \alpha \, D ^ { 2 } \, \vec { \varphi } _ { \mathrm { o l d } } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { n } ^ { ( m ) } } & { = \prod _ { j = 1 } ^ { d } f _ { j } ( T ^ { a _ { j } n } x ) - \prod _ { j = 1 } ^ { d } g _ { j , m } ( T ^ { a _ { j } n } x ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } f _ { j } ( T ^ { a _ { j } n } x ) \cdot ( f _ { i } ( T ^ { a _ { i } n } x ) - g _ { i , m } ( T ^ { a _ { i } n } x ) ) \cdot \prod _ { l = i + 1 } ^ { d } g _ { l , m } ( T ^ { a _ { l } n } x ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { { 4 } } & { S _ { k } ^ { - } = - \partial _ { z _ { k } } , \qquad } & & { S _ { k } ^ { 0 } = z _ { k } \partial _ { z _ { k } } + s _ { k } , \qquad } & & { S _ { k } ^ { + } = z _ { k } ^ { 2 } \partial _ { z _ { k } } + 2 s _ { k } z _ { k } , } & \\ & { \bar { S } _ { k } ^ { - } = - \partial _ { \bar { z } _ { k } } , \qquad } & & { \bar { S } _ { k } ^ { 0 } = \bar { z } _ { k } \partial _ { \bar { z } _ { k } } + \bar { s } _ { k } , \qquad } & & { \bar { S } _ { k } ^ { + } = \bar { z } _ { k } ^ { 2 } \partial _ { \bar { z } _ { k } } + 2 \bar { s } _ { k } \bar { z } _ { k } . } & \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { A } _ { 0 , 1 } ^ { \{ 2 \} } = \left( \begin{array} { l l } { O } & { O } \\ { A _ { 0 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { O } \end{array} \right) , \quad \hat { A } _ { 0 , 0 } ^ { \{ 2 \} } = \left( \begin{array} { l l } { A _ { 0 , 0 } ^ { \{ 2 \} } } & { A _ { 0 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } \\ { A _ { 0 , - 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { A _ { 0 , 0 } ^ { \{ 2 \} } } \end{array} \right) , \quad \hat { A } _ { 0 , - 1 } ^ { \{ 2 \} } = \left( \begin{array} { l l } { O } & { A _ { 0 , - 1 } ^ { \{ 2 \} } } \\ { O } & { O } \end{array} \right) , } \\ { \hat { A } _ { 1 , 1 } ^ { \{ 2 \} } = \left( \begin{array} { l l } { O } & { O } \\ { O } & { O } \end{array} \right) , \quad \hat { A } _ { 1 , 0 } ^ { \{ 2 \} } = \left( \begin{array} { l l } { A _ { 1 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { O } \\ { A _ { 1 , 0 } ^ { \{ 2 \} } } & { A _ { 1 , 1 } ^ { \{ 2 \} } } \end{array} \right) , \quad \hat { A } _ { 1 , - 1 } ^ { \{ 2 \} } = \left( \begin{array} { l l } { A _ { 1 , - 1 } ^ { \{ 2 \} } } & { A _ { 1 , 0 } ^ { \{ 2 \} } } \\ { O } & { A _ { 1 , - 1 } ^ { \{ 2 \} } } \end{array} \right) . } \end{array}
\left[ \psi _ { a , b } ^ { \left[ A , B \right] } ( x ) , \psi _ { a ^ { ^ { \prime } } , b ^ { ^ { \prime } } } ^ { \left[ A , B \right] } ( y ) \right] _ { \pm } = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, f o r \, \, \, \, \, ( \, x - y ) ^ { 2 } < 0
\mathbf { \varepsilon } = \varepsilon _ { 0 } { \left[ \begin{array} { l l l } { n _ { x } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { n _ { y } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { n _ { z } ^ { 2 } } \end{array} \right] }
\Omega = \sqrt { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } m r _ { c } ^ { 2 } } } = { \frac { e \pi Q ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } J _ { 1 } ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { { \bar { \sigma } } ^ { 2 } } } = { \frac { \pi m Q ^ { 4 } } { 2 \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } J _ { 1 } ^ { 3 } } } ~ .
\begin{array} { r l } { c _ { { \bf x x } ^ { \prime } } } & { = \frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } I _ { i } ( { \bf x } ) I _ { i } ( { \bf x } ^ { \prime } ) - \bar { I } ( { \bf x } ) \bar { I } ( { \bf x } ^ { \prime } ) , } \\ { \bar { I } ( { \bf x } ) } & { = \frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } I _ { i } ( { \bf x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin ( x + 2 k \pi ) } & { { } = \sin x } \\ { \cos ( x + 2 k \pi ) } & { { } = \cos x } \\ { \tan ( x + k \pi ) } & { { } = \tan x } \\ { \cot ( x + k \pi ) } & { { } = \cot x } \\ { \csc ( x + 2 k \pi ) } & { { } = \csc x } \\ { \sec ( x + 2 k \pi ) } & { { } = \sec x . } \end{array}
{ \cal D } _ { n ^ { \prime } n } ^ { q ^ { \prime } q } ( \mathrm { \bf ~ k } ) \; = \; ( - 1 ) ^ { n ^ { \prime } - n } \Bigl \{ { \cal D } _ { n \, n ^ { \prime } } ^ { - q \, - q ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ k } ) \Bigr \} ^ { \ast } \; \; ,
- E ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \ell ( \theta ; Y _ { 1 : n } ) } { \partial \theta \partial \theta ^ { t } } \right] = \sum _ { t = 1 } ^ { n } E ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \frac { 1 } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } \frac { \partial \sigma _ { t } ^ { 2 } } { \partial \theta } \frac { \partial \sigma _ { t } ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { t } } \right] .
\begin{array} { r l } { ( - 1 ) ^ { \nu ( E ) } } & { = \frac { \mathrm { P f } [ ( H ( \pi ) - E ) T ] } { \mathrm { P f } [ ( H ( 0 ) - E ) T ] } \times \left[ \frac { | \operatorname* { d e t } ( H ( \pi ) - E ) T | } { | \operatorname* { d e t } ( H ( 0 ) - E ) T | } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \frac { \partial } { \partial \theta } \mathrm { a r g } \operatorname* { d e t } [ ( H ( \theta ) - E ) T ] \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { 1 } ( 0 ) = - \frac { | { \bf m } | b } { m _ { 2 } } \sin k _ { 0 } , \quad \gamma _ { 2 } ( 0 ) = \frac { m _ { 2 } c } { { \bf m } ^ { 2 } } - \frac { m _ { 3 } b } { m _ { 2 } } \cos k _ { 0 } , \quad \gamma _ { 3 } ( 0 ) = b \cos k _ { 0 } + \frac { m _ { 3 } c } { { \bf m } ^ { 2 } } . } \end{array}
\alpha _ { i } ^ { I I } = \alpha _ { i _ { 0 0 } } - \alpha _ { f _ { 0 0 } } \frac { w _ { d } } { w _ { u } } \, , \textrm { a n d } \; \; \alpha _ { f } ^ { I I } = \alpha _ { f } = \alpha _ { f _ { 0 0 } } \; .
\begin{array} { r l } { C ( \gamma ; \mu ^ { 0 } , \gamma _ { 1 } ^ { j } , \lambda ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \| x _ { k } ^ { 0 } \| ^ { 2 } ( \gamma _ { 0 } ) _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { i } ^ { j } \| ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } ) _ { i } - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \sum _ { k ^ { \prime } \in D } x _ { k } ^ { 0 } \cdot x _ { i } ^ { j } \, \hat { \gamma } _ { k , k ^ { \prime } } \frac { \gamma _ { k ^ { \prime } , i } ^ { j } } { \hat { \gamma } _ { k ^ { \prime } , k ^ { \prime } } ^ { j } } + \lambda ( | p ^ { 0 } | + | \gamma _ { 1 } ^ { j } | - 2 | \gamma | ) , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { N \to \infty } { \cal W } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } = \sqrt { \frac 2 { \hat { g } ^ { 2 } \AA } } J _ { 1 } \Bigl ( \sqrt { 2 \hat { g } ^ { 2 } \AA } \Bigr ) ;
\begin{array} { r } { \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial t } + \underbrace { i m \Omega _ { d } \delta f _ { m } } _ { \mathrm { p a r t i c l e ~ s t r e a m i n g } } = \underbrace { \frac { A _ { m } r } { B _ { 0 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } - \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m } } { 2 1 B _ { 0 } } - i m \frac { \mu A _ { m } } { q B _ { 0 } \gamma } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } } _ { \mathrm { L i n e a r ~ w a v e - p a r t i c l e ~ i n t e r a c t i o n } } \underbrace { - \sum _ { m ^ { \prime } } \mathcal { Q } [ S , A _ { m - m ^ { \prime } } ; \delta f _ { m ^ { \prime } } ] . } _ { \mathrm { N o n l i n e a r ~ w a v e - p a r t i c l e ~ i n t e r a c t i o n } } } \end{array}
\begin{array} { r } { p \mathrm { d i v } \mathbf { u } = p \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathrm { d i v } ( \phi _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } ) = p \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \cdot \nabla \phi _ { \alpha } + \phi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { j } ^ { \mathrm { t o t a l } } } & { \approx \frac { \sum _ { { \boldsymbol { u } } \in { \mathcal { I } } _ { j } ^ { \mathrm { t o t a l } } } c _ { \boldsymbol { u } } ^ { 2 } } { \sum _ { { \boldsymbol { u } } \in { \mathcal { I } } _ { d } \setminus \{ { \boldsymbol { 0 } } \} } c _ { \boldsymbol { u } } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial G ^ { ( n ) } } { \partial r } \right) - \frac { n ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } G ^ { ( n ) } + \frac { \partial ^ { 2 } G ^ { ( n ) } } { \partial x ^ { 2 } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 3 } \! \! } & { = } & { \! \! \frac { 1 } { 2 } G m \left[ \left( \sigma _ { + + } { - } \sigma _ { -- } \right) e ^ { i \delta _ { 1 } t } - \sigma _ { + - } e ^ { - i ( \delta _ { 2 } - \delta _ { 1 } ) t } + \sigma _ { - + } e ^ { i ( \delta _ { 2 } + \delta _ { 1 } ) t } \right] } \\ & { } & { \! \! + \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { 2 } \left[ \left( \sigma _ { + + } { - } \sigma _ { -- } \right) e ^ { i \delta _ { 2 } t } - \sigma _ { + - } + \sigma _ { - + } e ^ { i 2 \delta _ { 2 } t } \right] + \mathrm { H . c . } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma ^ { 1 } = \frac { E } { ( 1 + \nu ) ( 1 - 2 \nu ) } \bigg [ ( 1 - \nu ) \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x } + \nu \bigg ( \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial y } + \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial z } \bigg ) \bigg ] \qquad \quad \tau ^ { 1 2 } = \frac { E } { 2 ( 1 + \nu ) } \bigg ( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial y } + \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x } \bigg ) } \\ & { \sigma ^ { 2 } = \frac { E } { ( 1 + \nu ) ( 1 - 2 \nu ) } \bigg [ ( 1 - \nu ) \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial y } + \nu \bigg ( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x } + \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial z } \bigg ) \bigg ] \qquad \quad \tau ^ { 1 3 } = \frac { E } { 2 ( 1 + \nu ) } \bigg ( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial z } + \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial x } \bigg ) } \\ & { \sigma ^ { 3 } = \frac { E } { ( 1 + \nu ) ( 1 - 2 \nu ) } \bigg [ ( 1 - \nu ) \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial z } + \nu \bigg ( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x } + \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial y } \bigg ) \bigg ] \qquad \quad \tau ^ { 2 3 } = \frac { E } { 2 ( 1 + \nu ) } \bigg ( \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial z } + \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial y } \bigg ) . } \end{array}
{ \widehat \mu } ( \xi , \zeta | { a } , { c } ) = \frac { w ( \xi , \zeta | { a } , { c } ) p ( \xi , \zeta ) } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } w ( \xi ^ { \prime } , \zeta ^ { \prime } | { a } , { c } ) p ( \xi ^ { \prime } , \zeta ^ { \prime } ) d \xi ^ { \prime } d \zeta ^ { \prime } } \; ,
\frac { ( q ^ { m N } - 1 ) ( q ^ { m ( N - 1 ) } - 1 ) } { ( q ^ { m k } - 1 ) ( q ^ { m ( k - 1 ) } - 1 ) } - \frac { 1 } 2 \sum _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { t } = 2 } ^ { m } \frac { 1 } { q ^ { m } - 1 } \prod _ { r = 1 } ^ { t } { \binom { m } { i _ { r } } } _ { q } \prod _ { j _ { r } = 0 } ^ { i _ { r } - 1 } ( q ^ { n _ { r } } - q ^ { j _ { r } } ) \left( \frac { q ^ { m i _ { r } } - 1 } { q ^ { m } - 1 } - 1 \right)
d _ { 3 4 4 } = d _ { 3 5 5 } = - d _ { 3 6 6 } = - d _ { 3 7 7 } = - d _ { 2 4 7 } = d _ { 1 4 6 } = d _ { 1 5 7 } = d _ { 2 5 6 } = { \frac { 1 } { 2 } } ~ .
\frac { \partial ( \rho \textbf { U } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \textbf { U U } ) = - \nabla p + \nabla \cdot \mu ( \nabla \textbf { U } + \nabla \textbf { U } ^ { T } ) + \textbf { F } _ { b d y } + \textbf { F } _ { c a p } .
\langle Q _ { e l } \rangle ^ { n } = \frac { 3 2 \hbar q _ { r } ^ { 4 } } { m B _ { p } q _ { T } ^ { 2 } } e ^ { - q _ { r } ^ { 2 } / q _ { T } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \alpha } \int _ { 1 / \left( | A _ { p } | \alpha \right) } ^ { \infty } { \frac { d x } { x ^ { 2 } + 1 } } .
\begin{array} { r } { \beta = \left[ \frac { X ( \tau ) } { X _ { 0 } } \right] ^ { \frac { M + 1 } { \frac { P } { 1 - P } - M } } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \gamma = 1 - ( M + 1 ) ( 1 - P ) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
N ( t ) = \left\{ \frac { 2 } { 3 } \left[ \frac { 3 } { 2 } N _ { 0 } ^ { 2 / 3 } + \frac { 2 \pi d D } { \phi ^ { 1 / 3 } } \left( \rho _ { 0 } - \rho _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \right) t \right] \right\} ^ { 3 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { { R _ { P } } ( u ) = } & { \frac { { 8 \cos { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \left( { - 3 3 + 4 5 \cos \left[ u \right] - 3 3 \cos \left[ { 2 u } \right] - 1 5 \cos \left[ { 3 u } \right] } \right) \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } } } { { 3 { u ^ { 2 } } } } } \\ { + } & { \frac { { 8 \cos { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 8 1 \sin \left[ u \right] + 2 7 \sin \left[ { 2 u } \right] - 3 \sin \left[ { 3 u } \right] } \right) } } { { 3 u } } } \\ { + } & { \frac { { 8 \cos { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 7 5 \sin \left[ u \right] + 3 3 \sin \left[ { 2 u } \right] + 1 5 \sin \left[ { 3 u } \right] } \right) } } { { 3 { u ^ { 3 } } } } } \\ { + } & { \frac { 8 } { 3 } \cos { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \left[ \begin{array} { l } { 2 0 + 4 \cos \left[ u \right] + 1 6 8 \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ u \right] - 2 4 0 \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) { \mathrm { C i } } \left[ { 2 u } \right] + } \\ { 2 4 \left( { 3 \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ { 3 u } \right] + \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \log \left[ { \frac { { 1 0 2 4 } } { { 2 7 } } } \right] + 3 \sin \left[ u \right] \left( { { \mathrm { S i } } \left[ u \right] - 2 \mathrm { { S i } } \left[ { 2 u } \right] + { \mathrm { S i } } \left[ { 3 u } \right] } \right) } \right) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { 0 } ^ { ( i ) } ( q _ { i } ^ { \prime } ) } & { = } & { C ^ { ( i ) } \mathfrak { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } 2 \sqrt { \operatorname { R e } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } + \operatorname { I m } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } } } \\ & { \times } & { \left( \frac { q _ { i } ^ { \prime } } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 1 - D } \cos \left[ s _ { 0 } \ln \left( \frac { q _ { i } ^ { \prime } } { \sqrt { 2 } \kappa _ { 0 } ^ { * } } \right) \right] \, , \ \ \ } \end{array}
\vec { A } _ { L } ( t ) = \mathrm { ~ e ~ } ^ { - t / \lambda _ { 0 } } \vec { F } ^ { T } ( t ) \cdot \vec { A } _ { L } ( 0 ) \cdot \vec { F } ( t ) + \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } } \vec { F } ^ { T } ( t ) \cdot \int _ { 0 } ^ { t } \vec { F } ^ { - T } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \left( t ^ { \prime } \right) \mathrm { ~ e ~ } ^ { - ( t - t ^ { \prime } ) / \lambda _ { 0 } } ~ \mathrm { d } t ^ { \prime } \cdot \vec { F } ( t ) .
\begin{array} { r l } & { \frac { \lVert \tilde { z } _ { i } - \bar { z } _ { i } \lVert } { \lVert \tilde { z } _ { i } \lVert } \leq \frac { \kappa ( C ) \tau } { 1 - \kappa ( C ) \tau } \Big ( 2 + \frac { \kappa ( C ) \lVert \tilde { r } _ { i } \lVert } { \lVert C \lVert \lVert \tilde { z } _ { i } \lVert } \Big ) , } \\ & { \lVert \tilde { r } _ { i } - \bar { r } _ { i } \lVert \leq 2 \kappa ( C ) \lVert \tilde { u } _ { i } \lVert \tau = 2 \kappa ( C ) \tau . } \end{array}
\phi \phi ^ { T } = \frac { 1 } { 1 6 } \left( ( \phi ^ { T } \phi ) I _ { 1 6 \times 1 6 } + ( \phi ^ { T } \Gamma _ { 9 } \phi ) \Gamma _ { 9 } + \frac { 1 } { 4 ! } ( \phi ^ { T } \Gamma ^ { \mu \nu \alpha \beta } \phi ) \Gamma _ { \mu \nu \alpha \beta } \right) .
A _ { 0 } ( x ) = ( 2 \pi ) ^ { - 3 / 2 } \int \frac { d ^ { 3 } p } { \sqrt { 2 p ^ { 0 } } } [ a _ { 0 } ( \vec { p } ) e ^ { - i p x } - a _ { 0 } ^ { + } ( \vec { p } ) e ^ { i p x } ] \quad ,
z _ { a b } ^ { V } = \left( \begin{array} { c c c c } { { z _ { W } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { z _ { W } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { z _ { Z } \cos \theta _ { Z } } } & { { - z _ { A } \sin \theta _ { A } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { z _ { Z } \sin \theta _ { Z } } } & { { z _ { A } \cos \theta _ { A } } } \end{array} \right)
s ^ { \mathrm { t h r } } = ( m + 2 M _ { \pi } ) ^ { 2 } , \quad s _ { 1 } ^ { \mathrm { t h r } } = s _ { 2 } ^ { \mathrm { t h r } } = ( m + M _ { \pi } ) ^ { 2 } , \quad t _ { 1 } ^ { \mathrm { t h r } } = t _ { 2 } ^ { \mathrm { t h r } } = - M _ { \pi } ^ { 2 } \, { \frac { 2 m + M _ { \pi } } { m + 2 M _ { \pi } } } \, \, .
\begin{array} { r l r } { S _ { a \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } & { = } & { \frac { \delta _ { a \alpha } } { r } + \frac { ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { a } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \alpha } } { r ^ { 3 } } } \\ { P _ { \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } & { = } & { 2 \frac { ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \alpha } } { r ^ { 3 } } } \\ { \Sigma _ { a b \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } & { = } & { 6 \frac { ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { a } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { b } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \alpha } } { r ^ { 5 } } } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { \nu } } \right) ^ { - { \frac { \nu + 1 } { 2 } } } \, d x = { \frac { { \sqrt { \nu \pi } } \ \Gamma \left( { \frac { \nu } { 2 } } \right) } { \Gamma \left( { \frac { \nu + 1 } { 2 } } \right) } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { c } { p _ { \varphi } = I _ { 1 } \dot { \varphi } \sin ^ { 2 } \theta + I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] \cos \theta , } \\ { p _ { \psi } = I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] , } \end{array} \qquad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \qquad \begin{array} { c } { \dot { \varphi } = \frac { p _ { \varphi } - p _ { \psi } \cos \theta } { I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ { \dot { \psi } = \frac { p _ { \psi } } { I _ { 3 } } - \frac { ( p _ { \varphi } - p _ { \psi } \cos \theta ) \cos \theta } { I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta } . } \end{array} } \end{array}