harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { \log \left[ { \epsilon } + \sqrt { { \epsilon } ^ { 2 } - \chi \{ \beta ( \overline { { \mu } } ) - \overline { { \chi } } \} ^ { 2 } } \right] - \log ( \sqrt \chi \{ \beta ( \overline { { \mu } } ) - \overline { { \chi } } \} ) } { \frac 1 { \sqrt { h } } \left[ \log \left\{ { \epsilon } + \sqrt { { \epsilon } ^ { 2 } - \{ \beta ( \overline { { \mu } } ) - \overline { { \chi } } \} ^ { 2 } } \right\} - \log ( \beta ( \overline { { \mu } } ) - \overline { { \chi } } ) \right] } \to \sqrt { h } } \\ & { ( \ell \to \infty ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { p r } ^ { \rho } ( u _ { \eta } ) \, * ^ { \rho } \, v _ { \mu } } & { = ( u _ { \eta } - \mathrm { p r } _ { \rho } ( u _ { \eta } ) ) * v _ { \mu } } \\ & { = u _ { \eta } * v _ { \mu } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mu = \eta } \\ { 0 } & { \mu \neq \eta , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { h _ { 1 } } & { = p _ { 1 } , } \\ { h _ { 2 } } & { = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } p _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } p _ { 2 } } & & { = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } ( p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ) , } \\ { h _ { 3 } } & { = \textstyle { \frac { 1 } { 6 } } p _ { 1 } ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 } } p _ { 1 } p _ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } p _ { 3 } } & & { = \textstyle { \frac { 1 } { 6 } } ( p _ { 1 } ^ { 3 } + 3 p _ { 1 } p _ { 2 } + 2 p _ { 3 } ) , } \\ { h _ { 4 } } & { = \textstyle { \frac { 1 } { 2 4 } } p _ { 1 } ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 4 } } p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } + { \frac { 1 } { 8 } } p _ { 2 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } p _ { 1 } p _ { 3 } + { \frac { 1 } { 4 } } p _ { 4 } } & & { = \textstyle { \frac { 1 } { 2 4 } } ( p _ { 1 } ^ { 4 } + 6 p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } + 3 p _ { 2 } ^ { 2 } + 8 p _ { 1 } p _ { 3 } + 6 p _ { 4 } ) , } \\ & { ~ ~ \vdots } \\ { h _ { k } } & { = \sum _ { m _ { 1 } + 2 m _ { 2 } + \cdots + k m _ { k } = k \atop m _ { 1 } \geq 0 , \ldots , m _ { k } \geq 0 } \prod _ { i = 1 } ^ { k } { \frac { p _ { i } ^ { m _ { i } } } { m _ { i } ! \, i ^ { m _ { i } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \mathbb { E } \left[ f ( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | ) \right] \leq - c ( k ) \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] \leq - c ( k ) \mathbb { E } \left[ f ( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | ) \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] , } \end{array}
- ( 1 + c _ { R } ^ { 2 } s _ { R } ^ { 2 } ) \Bigl ( \frac { s _ { W } } { s _ { R } c _ { R } } \Bigr ) ^ { 2 } \frac { M _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } < \rho - 1 < ( 1 + c _ { R } ^ { 4 } ) \Bigl ( \frac { s _ { W } } { s _ { R } c _ { R } } \Bigr ) ^ { 2 } \frac { M _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } .
p = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \Big ( \frac { 2 m _ { h } ^ { * } } { \hbar ^ { 2 } } \Big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { E _ { v } - E } ~ f _ { h } ( E ) \, d E ,
\begin{array} { c c l } { { \hat { H } } ^ { \mathrm { T C } } } & { = } & { \sum _ { j } ^ { N } h \nu _ { j } ( \mathbf R _ { j } ) \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } + \sum _ { k _ { z } } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \hslash \omega _ { \mathrm { c a v } } ( k _ { z } ) \hat { a } _ { k _ { z } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { z } } + } \\ & & { \sum _ { j } ^ { N } \sum _ { k _ { z } } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \hslash g _ { j } ( k _ { z } ) \left( \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { a } _ { k _ { z } } e ^ { i k _ { z } z _ { j } } + \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } \hat { a } _ { k _ { z } } ^ { \dagger } e ^ { - i k _ { z } z _ { j } } \right) + } \\ & & { \sum _ { i } ^ { N } V _ { \mathrm { S } _ { 0 } } ^ { \mathrm { m o l } } ( { \bf { R } } _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } } & { \longrightarrow \omega _ { G g ; G ^ { \prime } g ^ { \prime } } = ( E _ { | a N G g \rangle } - E _ { | b N G ^ { \prime } g ^ { \prime } \rangle } ) / { \hbar } } \\ { E _ { \overline { { \mu } } } } & { \longrightarrow E _ { | a N G g \rangle } = \langle a N G \, g | { H _ { 1 } } | a N G \, g \rangle } \\ { E _ { \overline { { \nu } } } } & { \longrightarrow E _ { | b N G ^ { \prime } g ^ { \prime } \rangle } = \langle b N G ^ { \prime } \, g ^ { \prime } | { H _ { 1 } } | b N G ^ { \prime } \, g ^ { \prime } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { 0 } } & { = \mathcal { L } _ { 3 } ( \mathbf { N } ^ { \top } ) \mathbf { w } _ { 3 } + \mathcal { L } _ { 4 } ( \mathbf { A } ^ { \top } ) \widetilde { \mathbf { w } } _ { 4 } } \\ & { - \frac { 9 \eta } { 4 } \mathrm { v e c } ( \mathbf { W } _ { 3 } ^ { \top } \mathbf { B } \mathbf { B } ^ { \top } \mathbf { W } _ { 3 } ) - \eta \mathrm { v e c } ( \mathbf { W } _ { 2 } ^ { \top } \mathbf { B } \mathbf { B } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { W } } _ { 4 } ) . } \end{array}
Z = { V _ { p + 1 } } { { \left( { \frac { \mathrm { T } } { 2 \pi } } \right) } ^ { ( p + 1 ) / 2 } } \int d \tau { \frac { \mathrm { d e t } ( \psi , B ) } { \sqrt { \mathrm { d e t } \hat { ( B , B ) } } } } { \frac { \sqrt { \mathrm { D e t } ^ { \prime } { \hat { P } ^ { \dagger } } \hat { P } } } { \mathrm { V o l } ( \mathrm { C K V } ) } } { { \left( { \frac { { \mathrm { D e t } _ { N } } ^ { \prime } \hat { \Delta } } { \int { d ^ { 2 } } \xi \sqrt { \hat { g } } } } \right) } ^ { - ( p + 1 ) / 2 } }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { g c d } ( 4 8 , 1 8 ) \quad } & { \to \quad \operatorname* { g c d } ( 1 8 , 4 8 { \bmod { 1 } } 8 ) = \operatorname* { g c d } ( 1 8 , 1 2 ) } \\ & { \to \quad \operatorname* { g c d } ( 1 2 , 1 8 { \bmod { 1 } } 2 ) = \operatorname* { g c d } ( 1 2 , 6 ) } \\ & { \to \quad \operatorname* { g c d } ( 6 , 1 2 { \bmod { 6 } } ) = \operatorname* { g c d } ( 6 , 0 ) . } \end{array} }
{ \cal D } _ { f } ( t , r ) = f ( t , 0 ) { \frac { 1 } { r } } \Big [ { \frac { \pi } { 2 } } - \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { 2 \ell + 1 } } \Big ( { \frac { \alpha } { r } } \Big ) ^ { 2 \ell + 1 } \Big ] .
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \lambda _ { k } ( c _ { k } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t \leq \lambda _ { k } ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \frac { 4 } { \beta _ { k } \gamma _ { k } ^ { 2 } } + 4 ( \alpha _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } \lambda _ { k } \left( \frac { 1 } { \beta _ { k } } + \frac { \beta _ { k } } { 4 \gamma _ { k } ^ { 2 } } \right) + \frac { 2 \lambda _ { k } } { \beta _ { k } \gamma _ { k } ^ { 2 } } T \int _ { 0 } ^ { T } f _ { k } ^ { 2 } ( s ) \, \mathrm d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle w , q m ^ { \perp } \right\rangle } & { } \\ { \quad - \left\langle \nabla \cdot w , \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { S } { 2 } \right\rangle - \left\langle \frac { D } { 2 } + b , \nabla \cdot \left( s w \right) \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , D _ { t } \right\rangle + \left\langle \phi , \nabla \cdot m \right\rangle = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \alpha , S _ { t } \right\rangle + \left\langle \alpha , \nabla \cdot ( s D ) \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \alpha \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , q D \right\rangle - \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u \right\rangle - \left\langle \gamma , f \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \beta , s D \right\rangle - \left\langle \beta , S \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \beta \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } . } \end{array}
\big ( G _ { 1 } \mathcal { S } [ ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } ] G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } = \sum _ { \sigma } \sigma \langle ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } E _ { \sigma } \rangle \big ( G _ { 1 } E _ { \sigma } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } w _ { n + 1 } } & { = \Delta w _ { n + 1 } + \mathrm { d i v } [ B _ { 1 } w _ { n + 1 } \, \nabla J * ( w _ { n } - v _ { n } ) ] + F ( \frac { 1 } { 2 } ( w _ { n } + v _ { n } ) ) , } \\ { \partial _ { t } v _ { n + 1 } } & { = \Delta v _ { n + 1 } + \mathrm { d i v } [ B _ { 2 } v _ { n + 1 } \, \nabla J * ( w _ { n } - v _ { n } ) ] + F ( \frac { 1 } { 2 } ( w _ { n } + v _ { n } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { b _ { 0 1 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) } & { = } & { \int d \tau _ { 1 } \ G _ { b u } ^ { i j } F _ { 0 1 u } ^ { j } + \int d \tau _ { 1 } \ G _ { b b } ^ { i j } F _ { 0 1 b } ^ { j } } \\ & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { \tau } \! \! \! d \tau _ { 1 } G _ { b u } ^ { i j } ( { \bf { k } } ; \tau , \tau _ { 1 } ) \left[ { - i k ^ { m } B ^ { m } u _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { k } } ; \tau ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \Dot { \theta } ^ { ( + ) } = 0 \iff L _ { \downarrow } ^ { k + 1 } \sin ( \theta ^ { ( + ) } ) = \frac { \omega ^ { ( + ) } } { \sigma ^ { \uparrow } } } \\ { \Dot { \theta } ^ { ( - ) } = 0 \iff L _ { \uparrow } ^ { k - 1 } \sin ( \theta ^ { ( - ) } ) = \frac { \omega ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } \, . } \end{array} \right. } \end{array}
\epsilon ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime \prime } , \omega ) = \delta ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) - \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime \prime } v ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ) \chi _ { 0 } ( \mathbf { r } ^ { \prime \prime } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega )
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { \Pi ^ { \bullet } ( A ^ { \bullet } , B ^ { \bullet } ) } & & { \triangleq } & & { \lambda ( f : \mathcal { S } . \mathsf { T m } ( 1 _ { \mathcal { S } } , \Pi ( A , B ) ) ) \mapsto ( \forall a \ a ^ { \bullet } \to B ^ { \bullet } ( a ^ { \bullet } , \mathsf { a p p } ( f , a ) ) ) , } \\ & { \mathsf { a p p } ^ { \bullet } ( f ^ { \bullet } , a ^ { \bullet } ) } & & { \triangleq } & & { f ^ { \bullet } ( a ^ { \bullet } ) , } \\ & { \mathsf { l a m } ^ { \bullet } ( b ^ { \bullet } ) } & & { \triangleq } & & { \lambda a ^ { \bullet } \mapsto b ^ { \bullet } ( a ^ { \bullet } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - k / 2 ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) , } \\ & { \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - k / 2 ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { 2 \mp 2 } ^ { c } = - \frac { \sqrt { 1 5 } } { 4 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \left( \cos i \mp 1 \right) ^ { 2 } } \\ & { \times \left( 2 \sin \gamma \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) + 3 \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \cos \gamma \right) \bar { C } _ { 2 2 } , } \end{array}
{ \frac { m } { 2 \pi } } \cosh \theta = \rho _ { 0 } ( \theta ) + \widetilde { \rho } _ { 0 } ( \theta ) - \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi _ { 0 k } ( \theta - \theta ^ { \prime } ) \rho _ { k } ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime }
y = \frac { | y _ { 1 } - y _ { 2 } | ^ { 2 } } { | y _ { 1 } - { \bar { y } _ { 2 } } | ^ { 2 } } ; \qquad z = \frac { | z _ { 1 } - z _ { 2 } | ^ { 2 } } { | z _ { 1 } - { \bar { z } _ { 2 } } | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \sum _ { t = 0 } ^ { T } ( f _ { t } ( x _ { t } ) - f _ { t } ( x _ { t } ^ { * } ) ) \leq \frac { L } { \left( 1 - \mu \right) ^ { 2 } } \hat { U } _ { 0 } + \frac { 2 L } { \left( 1 - \mu \right) ^ { 2 } } \left( \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \sigma _ { t } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 L \alpha ^ { 2 } } { \left( 1 - \mu \right) ^ { 2 } } \left( \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } c _ { t } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \forall k \in \{ 1 , 2 \} , \quad \left| \sin \left( \frac { f _ { k } ( \varphi ) - f _ { k } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) \right| } & { { } \leqslant | f _ { k } ( \varphi ) - f _ { k } ( \varphi ^ { \prime } ) | } \end{array}
I ( \sigma , \sigma _ { g } ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - ( \sigma _ { g } - i ) \sigma x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \sqrt { \frac { 2 \pi } { ( \sigma _ { g } - i ) \sigma } } \xrightarrow { \operatorname* { l i m } { \sigma _ { g } \rightarrow 0 } } \sqrt { \frac { 2 \pi } { - i \sigma } }
{ \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 1 } y _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { | z _ { 0 } | } & { = | z _ { 3 } ^ { \prime } z _ { 1 } ^ { \prime \prime } | = | ( 1 - z _ { 3 } ) ^ { - 1 } ( 1 - z _ { 1 } ) z _ { 1 } ^ { - 1 } | } \\ { | 1 - z _ { 0 } | } & { = | z _ { 0 } ^ { \prime } | ^ { - 1 } = | z _ { 2 } ^ { \prime } z _ { 3 } ^ { \prime \prime } | ^ { - 1 } = | ( 1 - z _ { 2 } ) ( 1 - z _ { 3 } ) ^ { - 1 } z _ { 3 } | . } \\ { | z _ { 4 } | } & { = | z _ { 2 } ^ { \prime } z _ { 1 } ^ { \prime \prime } | = | ( 1 - z _ { 2 } ) ^ { - 1 } ( 1 - z _ { 1 } ) z _ { 1 } ^ { - 1 } | } \\ { | 1 - z _ { 4 } | } & { = | z _ { 4 } ^ { \prime } | ^ { - 1 } = | z _ { 2 } ^ { \prime \prime } z _ { 3 } ^ { \prime } | ^ { - 1 } = | ( 1 - z _ { 2 } ) ^ { - 1 } z _ { 2 } ( 1 - z _ { 3 } ) | . } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \bar { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\left\langle { \frac { \rho ^ { \prime } } { \rho } } { \bf u } \cdot { \bf f } + { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } } { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf f ^ { \prime } } + { \frac { \rho ^ { \prime } } { \rho } } { \bf u } \cdot { \bf d } + { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } } { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf d ^ { \prime } } \right\rangle \simeq 0 \, .
\begin{array} { r } { \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } } \equiv \sum _ { n , m \in \mathbb { Z } } \sum _ { o } \delta _ { \vec { R } , n \vec { a } _ { 0 } + m \vec { a } _ { 1 } + \vec { r } _ { o } } , } \end{array}
\frac 1 { 2 \pi i } \int _ { c - i \infty } ^ { c + i \infty } d s \frac { ( - s ) } { \mu } \left( \frac { t } { \mu } \right) ^ { - s - 1 } \frac { 2 ^ { s - 1 } } { \sqrt { \pi } } \Gamma \left( \frac { s + 1 } 2 \right) \left[ \mu ^ { - s } \Gamma \left( \frac s 2 \right) \zeta \left( \frac s 2 , \frac { D _ { B } } { \mu ^ { 2 } } \right) \right] \, ,
\underline { { { f } } } _ { u } ( r _ { 0 } ) = \tilde { f } _ { u } ( r _ { 0 } ) , \; \; \; \underline { { { f } } } _ { u } ^ { \prime } ( r _ { 0 } ) = \tilde { f } _ { u } ^ { \prime } ( r _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { d ^ { 4 } } { d \rho ^ { 4 } } E _ { \nu _ { n } } [ \exp ( F ( \rho ) ) ] \bigg | _ { \rho = 0 } } \\ & { = E _ { \nu _ { \rho } } [ ( F ^ { \prime } ( \rho ) ) ^ { 4 } + 6 ( F ^ { \prime } ( \rho ) ) ^ { 2 } F ^ { \prime \prime } ( \rho ) + 3 ( F ^ { \prime \prime } ( \rho ) ) ^ { 2 } + 4 F ^ { \prime } ( \rho ) F ^ { ( 3 ) } ( \rho ) + F ^ { ( 4 ) } ( \rho ) ] } \\ & { = E _ { \nu _ { n } } [ \mathcal { M } _ { s , t } ^ { n } ( \varphi ) ^ { 4 } ] + 6 E _ { \nu _ { n } } [ \mathcal { M } _ { s , t } ^ { n } ( \varphi ) ^ { 2 } \langle \mathcal { M } ^ { n } ( \varphi ) \rangle _ { s , t } ] + 3 E _ { \nu _ { n } } [ \langle \mathcal { M } ^ { n } ( \varphi ) \rangle _ { s , t } ^ { 2 } ] } \\ & { \quad + 4 E _ { \nu _ { n } } \Big [ \mathcal { M } _ { s , t } ^ { n } ( \varphi ) \int _ { s } ^ { t } \mathcal { R } _ { 1 } ( r ) d r \Big ] + E _ { \nu _ { n } } \Big [ \int _ { s } ^ { t } \mathcal { R } _ { 2 } ( r ) d r \Big ] . } \end{array}
\bar { \Phi } = c _ { 0 } ( \sin \frac \vartheta 2 ) ^ { m } ( \cos \frac \vartheta 2 ) ^ { m } e ^ { i ( m \varphi - E t ) } \left( \begin{array} { c } { { c ( \cos \frac \vartheta 2 ) P _ { n } ^ { ( m - 1 / 2 , m + 1 / 2 ) } A ( r ) } } \\ { { c ( \sin \frac \vartheta 2 ) P _ { n } ^ { ( m + 1 / 2 , m - 1 / 2 ) } A ( r ) } } \\ { { ( \cos \frac \vartheta 2 ) P _ { n } ^ { ( m - 1 / 2 , m + 1 / 2 ) } B ( r ) } } \\ { { - ( \sin \frac \vartheta 2 ) P _ { n } ^ { ( m + 1 / 2 , m - 1 / 2 ) } B ( r ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { N } ( t ) = n ) } & { { } = \int _ { \mathbb { X } ^ { n } } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) d x _ { 1 } \cdot \cdot \cdot d x _ { n } } \end{array}
i + l = - \frac { i k ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \Sigma _ { y \eta } ^ { 2 } } { [ B D ] _ { y } } , \qquad b + j + k = \frac { [ B D ] _ { \sigma _ { r } } \Sigma _ { y \eta } ^ { 2 } } { 2 [ B D ] _ { y } } .
\begin{array} { r l } { X _ { u } ^ { \mathrm { L V } } } & { { } = - \left( \int _ { u _ { 0 } } ^ { u } \frac { \mathrm { d } z } { \alpha ( z - 1 ) ^ { 2 } \left( 1 + W \left[ - \exp \left( \alpha \left( z - \ln z \right) - H _ { \mathrm { L V } } \right) \right] \right) } \right) \partial _ { t } + \frac { 1 } { \alpha } \left( \frac { u } { u - 1 } \right) \partial _ { u } \, , } \\ { X _ { v } ^ { \mathrm { L V } } } & { { } = - \left( \int _ { v _ { 0 } } ^ { v } \frac { \mathrm { d } z } { \alpha ( z - 1 ) ^ { 2 } \left( 1 + W \left[ - \exp \left( \frac { 1 } { \alpha } \left( z - \ln z - H _ { \mathrm { L V } } \right) \right) \right] \right) } \right) \partial _ { t } + \frac { v } { 1 - v } \partial _ { v } \, . } \end{array}
S _ { f i } = - i \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t \langle \chi _ { \mathbf { p ^ { \prime } } } ( \mathbf { R } , t ) \Psi _ { 1 s } ( \mathbf { r } , t ) | V ( r , R ) | { \chi } _ { \mathbf { p } } ( \mathbf { R } , t ) \Psi _ { 1 s } ( \mathbf { r } , t ) \rangle \, ,
\begin{array} { r } { \tau b _ { 0 } \epsilon _ { A 0 } \Phi _ { 0 } = \left\langle \left( \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \beta _ { 0 } ^ { + } \delta \phi _ { s } ^ { * } \frac { \beta _ { + } } { \tau b _ { + } \epsilon _ { A + } } \delta \phi _ { s } \right\rangle _ { s } \Phi _ { 0 } + \delta \phi _ { - } \ \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ t ~ r ~ i ~ b ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } , } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n e ^ { - n \beta \hbar \omega } = - { \frac { \partial } { \partial ( \beta \hbar \omega ) } } \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - n \beta \hbar \omega } \right) = { \frac { e ^ { - \beta \hbar \omega } } { ( 1 - e ^ { - \beta \hbar \omega } ) ^ { 2 } } } .
\frac { \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } ( { \vec { x } } - { \vec { \mu } } ) ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 } \cdot ( { \vec { x } } - { \vec { \mu } } ) \right) } { ( 2 \pi ) ^ { N / 2 } \left| \Sigma \right| ^ { 1 / 2 } }
\begin{array} { r l } { \frac { 2 \sigma } { T } } & { \leq H \left( t _ { 1 } , x _ { 1 } , \frac \sigma { R } \nabla \phi ( x _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) \nabla _ { x } \, g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) ) \right) } \\ & { \qquad \qquad - H \left( s _ { 1 } , y _ { 1 } , - \frac \sigma { R } \nabla \phi ( y _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) \nabla _ { x } ^ { h } \, g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad + N h \Delta ^ { h } \left[ \frac { \sigma } { R } \phi ( y _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) ) \right] . } \end{array}
M = \frac { ( d - 2 ) \Sigma _ { k } r _ { + } ^ { d - 3 } } { 1 6 \pi G } \left( k + \frac { \tilde { \alpha } k ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } } + \frac { r _ { + } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \right) .
\mathrm { e r r o r } _ { 2 Q } = 1 - \left( \left\vert \mathrm { T r } [ U _ { \mathrm { s i m } } ^ { \dagger } \cdot U _ { \mathrm { i d e a l } } ] \right\vert ^ { 2 } / 4 + 1 \right) / 5 .
{ \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \left[ \begin{array} { c } { { Q _ { \alpha } } } \\ { { \tilde { Q } _ { \alpha } } } \end{array} \right] , \left[ Q _ { \beta } \ \tilde { Q } _ { \beta } \right] \right\} = \left[ \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right] M \delta _ { \alpha \beta } + \left[ \begin{array} { c c } { { p } } & { { q / g _ { s } } } \\ { { q / g _ { s } } } & { { - p } } \end{array} \right] { \frac { { L ( \Gamma ^ { 0 } \Gamma ^ { 1 } ) } _ { \alpha \beta } } { 2 \pi { \alpha ^ { \prime } } } } \ .
c _ { t } \frac { \partial f _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) } { \partial T } = \frac { \partial \Delta \epsilon } { \partial z } \frac { \partial z } { \partial T } + 2 c _ { 2 } \frac { z } { r ^ { 2 } } \frac { \partial z } { \partial T } = 0 ,
\overline { { { \psi } } } ^ { ( 1 ) } ( x ) P _ { + } \psi ^ { ( 1 ) } ( x ) \; \longleftrightarrow \; \frac { 1 } { 2 \pi } c ^ { ( 1 ) } : e ^ { - i a \Phi ^ { ( 1 ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( 1 ) } } : e ^ { - i b \Phi ^ { ( 2 ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( 2 ) } } \; e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { f ( t ) \propto } & { { } \int _ { \omega _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { \omega _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \exp \left\{ - \frac { V ( s ( \omega ) ) } { T _ { s } } \right\} \frac { T _ { x } } { \partial _ { s } \Delta U ( s ) } \omega e ^ { - \omega t } d \omega . } \end{array}
\frac { \partial \arg ( t ) } { \partial \Delta } ( \Delta _ { \pm } ) = \frac { 2 \beta \gamma \left( ( \beta - 1 ) \gamma ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \pm } ^ { 2 } \right) } { \left( \gamma ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \pm } ^ { 2 } \right) \left( ( \beta - 1 ) ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \pm } ^ { 2 } \right) } = 0
\begin{array} { r l } { | ( s , x ) ( t ) | } & { \leq ( s + x ) ( t ) } \\ & { \leq ( s + x + y ) ( t ) } \\ & { \leq | ( z ^ { * } - s - x - y ) ( t ) | + | z ^ { * } ( t ) | } \\ & { \leq | ( z ^ { * } - s - x - y ) ( 0 ) | e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D } + | z ^ { * } ( t ) | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \{ z ^ { * } ( 0 ) , ( s + x + y ) ( 0 ) \} + \overline { s } } \\ & { \leq z ^ { * } ( 0 ) + 6 \, \overline { s } + 3 \, \overline { s } p \left( 3 \, \overline { s } \right) \tau + \overline { s } } \\ & { = R _ { 0 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { d J _ { + } = 0 , \, J _ { + } = { \mathrm { c o n s t } } \quad { \mathrm { a l o n g } } \, \, C _ { + } \, : \, { \frac { d x } { d t } } = u + c , } \\ & { d J _ { - } = 0 , \, J _ { - } = { \mathrm { c o n s t } } \quad { \mathrm { a l o n g } } \, \, C _ { - } \, : \, { \frac { d x } { d t } } = u - c , } \end{array} }
\frac { 1 } { 2 } \int \int \mathrm { d } w \mathrm { d } x \left( \left( \partial _ { \mu } \tilde { y } \right) \left( \partial _ { \mu } \tilde { y } \right) + \left( \partial _ { \mu } \tilde { z } \right) \left( \partial _ { \mu } \tilde { z } \right) \right) = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } t \left( \tilde { y } \left( n . \partial \tilde { y } \right) + \tilde { z } \left( n . \partial \tilde { z } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = \frac { ( \kappa + 1 ) _ { m \vee ( n + \rho ) } ( m \wedge ( n + \rho ) ) ! } { ( \kappa + 1 ) _ { n + \rho } } \frac { z ^ { n } \overline { { z } } ^ { m } } { | z | ^ { 2 ( m \wedge ( n + \rho ) ) } } P _ { m \wedge ( n + \rho ) } ^ { ( \kappa , | m - n - \rho | ) } ( 2 | z | ^ { 2 } - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } ( k _ { 2 } ^ { n } ) ^ { i } \to 0 , \ \frac { \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } k _ { 1 } ^ { n } ( k _ { 2 } ^ { n } ) ^ { j } \to 0 , \frac { \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } ( k _ { 1 } ^ { n } ) ^ { 2 } \to 0 } \end{array}