harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \nu _ { \mathrm { c } } } & { = k _ { \mathrm { c } } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } \exp \left( - \alpha _ { \mathrm { c } } \eta \frac { F } { R T } \right) } & & { - k _ { \mathrm { c } } ^ { \prime } \exp \left( ( 1 - \alpha _ { \mathrm { c } } ) \eta \frac { F } { R T } \right) } \\ { \nu _ { \mathrm { o } } } & { = k _ { \mathrm { o } } C _ { \mathrm { O } _ { 2 } } \exp \left( - \alpha _ { \mathrm { o } } \eta \frac { F } { R T } \right) } & & { - k _ { \mathrm { o } } ^ { \prime } C _ { \mathrm { O H } ^ { - } } \exp \left( ( 1 - \alpha _ { \mathrm { o } } ) \eta \frac { F } { R T } \right) } \\ { \nu _ { \mathrm { h } } } & { = k _ { \mathrm { h } } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } \exp \left( - \alpha _ { \mathrm { h } } \eta \frac { F } { R T } \right) } & & { } \end{array}
\wp ( z ; \tau ) = \wp ( z ; 1 , \tau ) = { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } + \sum _ { n + m \tau \neq 0 } \left\{ { \frac { 1 } { ( z + m + n \tau ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { ( m + n \tau ) ^ { 2 } } } \right\} .
\mathbf { \hat { A } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { \hat { B } _ { 1 , 1 } } } & { \cdots } & { \mathbf { \hat { B } _ { 1 , N _ { y } } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { \hat { B } _ { N _ { y } , 1 } } } & { \cdots } & { \mathbf { \hat { B } _ { N _ { y } , N _ { y } } } } \end{array} \right] , \mathbf { \hat { B } } _ { i , i ^ { ' } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \hat { c } _ { i , i ^ { ' } } ^ { 1 , 1 } } & { \cdots } & { \hat { c } _ { i , i ^ { ' } } ^ { 1 , N _ { x } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \hat { c } _ { i , i ^ { ' } } ^ { N _ { x } , 1 } } & { \cdots } & { \hat { c } _ { i , i ^ { ' } } ^ { N _ { x } , N _ { x } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \widehat { x _ { m } x _ { n } f } ( \xi ) } & { = i \partial _ { \xi _ { m } } \left( \widehat { x f } \right) _ { n } = i \partial _ { \xi _ { m } } \left[ - i \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \frac { \xi _ { n } + i a _ { n } } { 2 z } E ( \xi , a , z ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 z } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left( \xi _ { n } + i a _ { n } \right) \left[ - \frac { \xi _ { m } + i a _ { m } } { 2 z } \right] E ( \xi , a , z ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 4 z ^ { 2 } } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left( \xi _ { n } + i a _ { n } \right) \left( \xi _ { m } + i a _ { m } \right) E ( \xi , a , z ) . } \end{array}
- { \frac { \partial ^ { 4 } \ln [ P _ { \mathrm { v a c } } ( x ^ { + } ) ] } { \partial x ^ { + } \partial x ^ { - } \partial ^ { 2 } x _ { \bot } } } = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { e E ( x ^ { + } ) } { n \pi } } \right) ^ { 2 } \exp \left[ - { \frac { n \pi m ^ { 2 } } { \vert e E ( x ^ { + } ) \vert } } \right] \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { j } ( t + \Delta t ) - x _ { j } ( t ) } & { = \frac { \mathbf { X } _ { j } ( t + \Delta t ) } { \mathbf { X } _ { 0 } ( t + \Delta t ) } - \frac { X _ { j } ( t ) } { X _ { 0 } ( t ) } = \frac { X _ { 0 } ( X _ { j } + \mathbf { X } _ { \Delta , j } ) - X _ { j } ( X _ { 0 } + \mathbf { X } _ { \Delta , j } ) } { X _ { 0 } ( X _ { 0 } + \mathbf { X } _ { \Delta , 0 } ) } = } \\ & { = \frac { \mathbf { X } _ { \Delta , j } - x _ { j } \mathbf { X } _ { \Delta , 0 } } { X _ { 0 } + \mathbf { X } _ { \Delta , 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \lambda _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ C ~ } } \right) = \frac { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \eta _ { y y } \right) } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( \eta _ { y y } \right) } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( \lambda _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ C ~ } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \left( \begin{array} { c } { \dot { \psi } _ { 1 , k } } \\ { \dot { \psi } _ { 2 , k } } \end{array} \right) _ { k } = } & { E a \left( i \frac { d } { d k } - \frac { N } { 4 } \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { 1 , k } } \\ { \psi _ { 2 , k } } \end{array} \right) } \\ & { + \left( \begin{array} { c c } { - v _ { k } } & { 0 } \\ { 0 } & { v _ { k } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { 1 , k } } \\ { \psi _ { 2 , k } } \end{array} \right) } \\ & { - E a \frac { \varphi _ { k } ^ { \prime } } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { 1 , k } } \\ { \psi _ { 2 , k } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t ^ { 2 } } ^ { 2 } \vec { x } = } & { \mathbf { B } ^ { - 1 } \frac { \partial \mathbf { C } _ { B } } { \partial _ { t } } \left( \mathbf { M } - \vec { 1 } \vec { x } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } \right) ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } } \\ & { + \mathbf { B } ^ { - 1 } \mathbf { C } _ { B } \Bigg [ \left( \mathbf { M } - \vec { 1 } \vec { x } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } \right) \Bigg ( \mathbf { G } _ { 0 } \frac { \partial \vec { x } } { \partial t } + \mathbf { \Delta } \tilde { \mathbf { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \left( \mathbf { V } \frac { \partial \vec { x } } { \partial t } - \mathbf { \Xi } \mathbf { V } \vec { x } \right) \Bigg ) \Bigg ] + \mathbf { B } ^ { - 1 } \mathbf { Z } \partial _ { t } \vec { u } } \end{array}
E _ { x } ^ { a } ( y , z = h ) = \left\{ \begin{array} { l l } { A ( \theta _ { \mathrm { i n } } ^ { a } ) \frac { e ^ { i \phi _ { \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } ( y , \theta _ { \mathrm { i n } } ^ { a } ) } } { [ f ^ { 2 } + ( y - f \tan { \theta _ { \mathrm { i n } } ^ { a } } ) ^ { 2 } ] ^ { { 1 } / { 4 } } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } | y | < \frac { D _ { \mathrm { o u t } } } { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. .
- \; \frac { m c } { 2 \pi } \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { \pi \! + \! g } \; \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } p d ^ { 2 } q \; \hat { C } _ { m _ { d } } ( p ) \hat { C } _ { m _ { d } } ( q ) \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } x \; e ^ { i p ( x - w ) } e ^ { i q ( x - z ) } \; 2 \cos ( \theta )
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } d _ { i , j } T _ { k } ^ { j } T _ { i } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \bigg ( \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } d _ { i , j } T _ { k } ^ { j } \bigg ) T _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \bigg ( \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \bigg [ \sum _ { \ell = 0 } ^ { j } d _ { i , j } a _ { j , \ell } T _ { \ell \times k } \bigg ] \bigg ) T _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \bigg ( \sum _ { \ell = 0 } ^ { m - 1 } \bigg [ \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } d _ { i , j } a _ { j , \ell } \bigg ] T _ { \ell \times k } \bigg ) T _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \bigg ( \sum _ { \ell = 0 } ^ { m - 1 } ( { \bf d } _ { i } ^ { T } { \bf a } _ { \ell } ) T _ { \ell \times k } \bigg ) T _ { i } \; , } \end{array}
\lambda _ { B } = \left< v _ { g } n _ { g } \sigma _ { B } \right> = { \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } } \int _ { \epsilon _ { o } } ^ { \infty } k ^ { 2 } d k \ e ^ { - { \frac { k } { T } } } \ \sigma _ { B } ( k ) ,
\begin{array} { r l } { g ( \theta ) } & { = - c ( \theta ) } \\ { f ( \theta ) } & { = ( \mathbb { E } [ x _ { 2 } ^ { 2 } ] - \mathbb { E } [ x _ { 1 } ^ { 2 } ] ) \cos \theta \sin \theta + \frac { \eta ( 2 c _ { 1 } ( \theta ) - c _ { 2 } ( \theta ) ) } { 2 } ( \cos ^ { 3 } \theta \sin \theta - \sin ^ { 3 } \theta \cos \theta ) } \\ & { + \frac { 3 \eta c _ { 3 } ( \theta ) } { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \theta . } \end{array}
\mu \frac { d } { d \mu } { \cal F } _ { \zeta } ^ { a } ( X ; \mu ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \sum _ { b } \, W _ { \zeta } ^ { a b } ( X , Z ; g ) \, { \cal F } _ { \zeta } ^ { b } ( Z ; \mu ) \, d Z \, ,
\begin{array} { r } { \mathrm { E x p } ( \mathcal { M } ) _ { s , t } ^ { n } = \exp \bigg ( \rho \mathcal { M } _ { s , t } ^ { n } ( \varphi ) - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 ! } \langle \mathcal { M } ^ { n } ( \varphi ) \rangle _ { s , t } - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { \rho ^ { 2 + i } } { ( 2 + i ) ! } \int _ { s } ^ { t } \mathcal { R } _ { i } ( r ) d r \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \mathrm { T r } \, A B ^ { T } A B ^ { T } \rangle = \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , i _ { 3 } , i _ { 4 } = 1 } ^ { N } \int d O O _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } O _ { i _ { 3 } i _ { 2 } + N } O _ { i _ { 3 } i _ { 4 } } O _ { i _ { 1 } i _ { 4 } + N } } \\ & { \qquad = \sum _ { \lbrace i _ { k } , j _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N } \int d O O _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } O _ { i _ { 2 } , j _ { 2 } + N } O _ { i _ { 3 } j _ { 3 } } O _ { i _ { 4 } , j _ { 4 } + N } \delta _ { i _ { 1 } i _ { 4 } } \delta _ { i _ { 2 } i _ { 3 } } \delta _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \delta _ { j _ { 3 } j _ { 4 } } } \\ & { \qquad = \sum _ { \sigma \in M _ { 4 } , \tau \in M _ { 4 } ^ { \prime } } \mathrm { W g } ^ { \mathrm { O } } ( 2 N ; \sigma , \tau ) \left[ \sum _ { \lbrace i _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N } \delta _ { i _ { \sigma ( 1 ) } i _ { \sigma ( 2 ) } } \delta _ { i _ { \sigma ( 3 ) } i _ { \sigma ( 4 ) } } \delta _ { i _ { 1 } i _ { 4 } } \delta _ { i _ { 2 } i _ { 3 } } \right] \left[ \sum _ { \lbrace j _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N } \delta _ { j _ { \tau ( 1 ) } j _ { \tau ( 2 ) } } \delta _ { j _ { \tau ( 3 ) } j _ { \tau ( 4 ) } } \delta _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \delta _ { j _ { 3 } j _ { 4 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ( \psi \phi ) } & { { } = \phi \, \nabla \psi + \psi \, \nabla \phi } \\ { \nabla ( \psi \mathbf { A } ) } & { { } = ( \nabla \psi ) ^ { \mathbf { T } } \mathbf { A } + \psi \nabla \mathbf { A } \ = \ \nabla \psi \otimes \mathbf { A } + \psi \, \nabla \mathbf { A } } \\ { \nabla \cdot ( \psi \mathbf { A } ) } & { { } = \psi \, \nabla { \cdot } \mathbf { A } + ( \nabla \psi ) \, { \cdot } \mathbf { A } } \\ { \nabla { \times } ( \psi \mathbf { A } ) } & { { } = \psi \, \nabla { \times } \mathbf { A } + ( \nabla \psi ) { \times } \mathbf { A } } \\ { \nabla ^ { 2 } ( f g ) } & { { } = f \, \nabla ^ { 2 \! } g + 2 \, \nabla \! f \cdot \! \nabla g + g \, \nabla ^ { 2 \! } f } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { L ^ { - 1 } } \left[ { { { \left( { s I - { A ^ { * } } } \right) } ^ { - 1 } } { e ^ { - { t _ { 0 } s } } } } \right] } \\ { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { { { { ( t - { t _ { 0 } } ) } ^ { k } } } } { { k ! } } { A ^ { * } } ^ { k } } } \\ { = } & { { e ^ { { A ^ { * } } ( t - { t _ { 0 } } ) } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { C ( F , \tau ) } & { = D \left[ N ( d _ { + } ) F - N ( d _ { - } ) K \right] } \\ { d _ { + } } & { = { \frac { 1 } { \sigma { \sqrt { \tau } } } } \left[ \ln \left( { \frac { F } { K } } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \tau \right] } \\ { d _ { - } } & { = d _ { + } - \sigma { \sqrt { \tau } } } \end{array} }
\begin{array} { c c l } { \langle \psi ^ { \alpha } | \hat { H } ^ { \mathrm { ~ T ~ C ~ } } | \psi ^ { \beta } \rangle } & { = } & { \sum _ { i } \sum _ { j } \langle \psi ^ { \alpha } | \phi _ { i } \rangle \langle \phi _ { i } | \hat { H } ^ { \mathrm { ~ T ~ C ~ } } | \phi _ { j } \rangle \langle \phi _ { j } | \psi ^ { \beta } \rangle } \end{array}
\dot { a } _ { i } ^ { R } ( t ) = C _ { i } + \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } L _ { i j } a _ { j } ^ { R } ( t ) + \displaystyle \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } Q _ { i j k } a _ { j } ^ { R } ( t ) a _ { k } ^ { R } ( t )
\begin{array} { r } { \mathcal { V } \left[ \frac { 1 + c a } { 1 + c b } \right] \approx c ^ { 2 } \left[ \frac { \mathcal { V } \left[ a \right] } { \left( 1 + c \mathcal { E } \left[ b \right] \right) ^ { 2 } } - 2 \frac { 1 + c \mathcal { E } \left[ a \right] } { \left( 1 + c \mathcal { E } \left[ b \right] \right) ^ { 3 } } \mathcal { C } \left[ a , b \right] + \frac { \left( 1 + c \mathcal { E } \left[ a \right] \right) ^ { 2 } } { \left( 1 + c \mathcal { E } \left[ b \right] \right) ^ { 4 } } \mathcal { V } \left[ b \right] \right] = } \\ { = \frac { 2 ( \nu - 2 ) n \left( \nu - n \overline { { \mathrm { T r } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } } ^ { 2 } + \overline { { \mathrm { T r } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } } ( \nu + n - 2 ) - 2 ( \nu - 2 ) \overline { { \mathrm { T r } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } } - 2 \right) } { ( \nu - 4 ) ( \nu + n - 2 ) ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \widetilde { Y } _ { i j } ] } & { = \frac { 1 } { \sqrt { F _ { g } N } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ( w ) g \left( w - \sqrt { N \lambda } { \boldsymbol u } _ { i } { \boldsymbol v } _ { j } ^ { T } \right) \mathrm { d } w } \\ & { = - \frac { 1 } { \sqrt { F _ { g } N } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { g ^ { \prime } ( w ) } { g ( w ) } \left[ g \left( w - \sqrt { N \lambda } { \boldsymbol u } _ { i } { \boldsymbol v } _ { j } ^ { T } \right) - g ( w ) \right] \mathrm { d } w . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a = \frac { j \left( P _ { 1 } e ^ { j k x _ { 2 } } - P _ { 2 } e ^ { j k x _ { 1 } } \right) } { 2 \sin ( k | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ) } } \\ & { b = \frac { j \left( P _ { 2 } e ^ { - j k x _ { 1 } } - P _ { 1 } e ^ { - j k x _ { 2 } } \right) } { 2 \sin ( k | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ) } } \\ & { c = \frac { j \left( P _ { 3 } e ^ { j k x _ { 4 } } - P _ { 4 } e ^ { j k x _ { 3 } } \right) } { 2 \sin ( k | x _ { 3 } - x _ { 4 } | ) } } \\ & { d = \frac { j \left( P _ { 4 } e ^ { - j k x _ { 3 } } - P _ { 3 } e ^ { - j k x _ { 4 } } \right) } { 2 \sin ( k | x _ { 3 } - x _ { 4 } | ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { r } \frac { d ^ { 2 } ( r \Phi _ { \textrm { I } } ( r ) ) } { d r ^ { 2 } } + { \kappa _ { D } } ^ { 2 } \Phi _ { \textrm { I } } ( r ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { \textrm { i n t e r } } ( \omega ) = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \hbar } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \pi } \arctan \left( \frac { \hbar \omega - 2 E _ { F } } { 2 k _ { B } T } \right) } \\ { - \frac { i } { 2 \pi } \ln \left[ \frac { ( \hbar \omega + 2 E _ { F } ) ^ { 2 } } { ( \hbar \omega - 2 E _ { F } ) ^ { 2 } + ( 2 k _ { B } T ) ^ { 2 } } \right] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \sigma } _ { a b } } & { = } & { - \rho \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { b } q _ { d c } } \nabla _ { a } q _ { d c } + q _ { a d } h _ { b d } - q _ { b d } h _ { a d } } \\ & { } & { + \rho \frac { \partial ( d + p ) } { \partial d _ { a b } } + \rho \frac { \partial ( d + p ) } { \partial w _ { a b } } - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { c } \left( \rho \frac { \partial ( d + p ) } { \partial \zeta _ { c } } \right) \epsilon _ { a b } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = \emptyset } \\ { 1 } & { = s ( 0 ) = s ( \emptyset ) = \emptyset \cup \{ \emptyset \} = \{ \emptyset \} = \{ 0 \} } \\ { 2 } & { = s ( 1 ) = s ( \{ 0 \} ) = \{ 0 \} \cup \{ \{ 0 \} \} = \{ 0 , \{ 0 \} \} = \{ 0 , 1 \} } \\ { 3 } & { = s ( 2 ) = s ( \{ 0 , 1 \} ) = \{ 0 , 1 \} \cup \{ \{ 0 , 1 \} \} = \{ 0 , 1 , \{ 0 , 1 \} \} = \{ 0 , 1 , 2 \} } \end{array} }
\{ e _ { m } ^ { ( j ) } , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { ( \bar { j } ) } \epsilon \} = \sum _ { k } \tilde { \lambda } _ { j , \bar { j } , k } C _ { m , \bar { m } ; m + \bar { m } } ^ { j , \bar { j } ; j + \bar { j } - k } e _ { m + \bar { m } } ^ { ( j - \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { 2 } , \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { 2 } ) } \epsilon ,
r \theta = { r { \frac { \sin \theta } { \cos \theta } } } - { \frac { r } { 3 } } { \frac { \sin ^ { 3 } \theta } { \cos ^ { 3 } \theta } } + { \frac { r } { 5 } } { \frac { \sin ^ { 5 } \theta } { \cos ^ { 5 } \theta } } - { \frac { r } { 7 } } { \frac { \sin ^ { 7 } \theta } { \cos ^ { 7 } \theta } } + \cdots
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } P _ { \mathrm { I N T } } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { I N T } } ^ { \ast } ( f - f _ { 1 } - f _ { 2 } + 2 f _ { \mathrm { c } } ^ { h } ) P _ { \mathrm { I N T } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { I N T } } ^ { \ast } ( 2 f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - f _ { 2 } ) \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f )
\frac { \langle \mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } \rangle _ { \theta , \phi , \Psi _ { + } } } { \mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } ( \theta = 0 , \Psi _ { + } = \pi / 2 ) } = 0 . 5 5 \frac { 2 } { \pi }
{ \cal L } _ { \cal F } + 2 { \cal F } { \cal L } _ { { \cal F } { \cal F } } = - \frac { 6 \beta { \cal F } } { ( 1 + 2 \beta { \cal F } ) ^ { 3 } } , ~ ~ ~ ~ { \cal L } _ { { \cal F } { \cal F } } = \frac { 4 \beta } { ( 1 + 2 \beta { \cal F } ) ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { T _ { l i q } } & { = \ 1 0 1 1 + 0 . 5 0 [ A l F _ { 3 } ] - 0 . 1 3 [ A l F _ { 3 } ] ^ { 2 . 2 } } \\ & { \ - \frac { 3 . 4 5 [ C a F _ { 2 } ] } { 1 + 0 . 0 1 7 3 [ C a F _ { 2 } ] } } \\ & { \ + 0 . 1 2 4 [ C a F _ { 2 } ] [ A l F _ { 3 } ] - 0 . 0 0 5 4 2 \left( [ C a F _ { 2 } ] [ A l F _ { 3 } ] \right) ^ { 1 . 5 } } \\ & { \ - \frac { 7 . 9 3 [ A l _ { 2 } O _ { 3 } ] } { 1 + 0 . 0 9 3 6 [ A l _ { 2 } O _ { 3 } ] - 0 . 0 0 1 7 [ A l _ { 2 } O _ { 3 } ] ^ { 2 } - 0 . 0 0 2 3 [ A l F _ { 3 } ] [ A l _ { 2 } O _ { 3 } ] } } \\ & { \ - \frac { 8 . 9 0 [ L i F ] } { 1 + 0 . 0 0 4 7 [ L i F ] + 0 . 0 0 1 0 [ A l F _ { 3 } ] ^ { 2 } } } \\ & { \ - 3 . 9 5 [ M g F _ { 2 } ] - 3 . 9 5 [ K F ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { Z _ { 2 } ( t , T , X ) = \frac { i e ^ { - 2 i \omega _ { * } t } \left( \beta \sigma - 2 i ( 3 \beta + \sigma ) \omega _ { * } \right) \left( A _ { 1 } ( T , X ) { } ^ { * } \right) { } ^ { 2 } } { 6 \sqrt { 6 } \beta \omega _ { * } } + A _ { 2 } ( T , X ) \exp \left( i \omega _ { * } t \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } ^ { ( \alpha , \beta ) } } & { ( 1 , 2 ) = r _ { 1 , 2 } ^ { 1 } t I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 1 , \alpha , \beta , \alpha + 2 , \beta + 1 ) } { ( 0 , 2 ) } } \\ & { - r _ { 1 , 2 } ^ { 2 } t I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 2 , \beta + 1 ) } { ( 1 , 1 ) } + r _ { 1 , 2 } ^ { 3 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 ) } { ( 1 , 1 ) } , \quad t > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t ^ { [ n ] } { } _ { i j } ^ { a b } } & { { } = \check { t } ^ { [ n ] } { } _ { i j } ^ { a b } - \check { t } ^ { [ n ] } { } _ { j i } ^ { a b } = \check { t } ^ { [ n ] } { } _ { i j } ^ { a b } - \check { t } ^ { [ n ] } { } _ { i j } ^ { b a } } \\ { \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { i j } ^ { a b } } & { { } = \frac { g _ { i j } ^ { a b } } { \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } } } \\ { \check { t } ^ { [ 2 ] } { } _ { i j } ^ { a b } } & { { } = \frac { \sum _ { k l } g _ { k l } ^ { i j } \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { k l } ^ { a b } + \sum _ { c d } g _ { c d } ^ { a b } \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { i j } ^ { c d } + \sum _ { c k } ( g _ { j c } ^ { b k } - g _ { c j } ^ { b k } ) ( \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { i k } ^ { a c } - \check { t } ^ { [ 1 ] } { } _ { k i } ^ { a c } ) } { ( \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \langle \hat { c } _ { 0 } \rangle ^ { } ( t ) | ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 + e ^ { - \frac { 2 \gamma } { \hbar } t } - 2 e ^ { - \frac { \gamma } { \hbar } t } \cos [ \frac { \tilde { \Omega } } { \hbar } t ] } { \gamma ^ { 2 } } \gamma ^ { C } \gamma ^ { X } , } \\ { | \langle \hat { x } _ { 0 } \rangle ^ { } ( t ) | ^ { 2 } } & { { } = \frac { \frac { \gamma ^ { C } } { \gamma ^ { X } } + \frac { \gamma ^ { X } } { \gamma ^ { C } } e ^ { - \frac { 2 \gamma } { \hbar } t } + 2 e ^ { - \frac { \gamma } { \hbar } t } \cos [ \frac { \tilde { \Omega } } { \hbar } t ] } { \gamma ^ { 2 } } \gamma ^ { C } \gamma ^ { X } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j } ^ { T } \wedge S ] } \| u ^ { j } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } \leq \| u _ { 0 } ^ { j } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j } ^ { T } \wedge S } ( 1 + \| u ^ { j } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) d t + C _ { \rho , \kappa } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j } ^ { T } \wedge S ] } \Big | \int _ { 0 } ^ { t } A d W \Big | , } \end{array}
\beta ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { G } _ { s } } { \partial y _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \bar { G } _ { s } } { \partial y _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \bar { G } _ { s } } { \partial y _ { 3 } ^ { 2 } } + \left( \frac { k } { \beta } \right) ^ { 2 } \bar { G } _ { s } = 0 ,
\begin{array} { r l } { | { \mathcal { L } } ( P ) | \cdot | { \operatorname { S t a b } } ( \ell ) | } & { = | \mathcal { B K } _ { P } | } \\ { \frac { n ! } { n _ { 1 } ! \cdots n _ { r } ! } \cdot | { \operatorname { S t a b } } ( \ell ) | } & { = n ! } \\ { | { \operatorname { S t a b } } ( \ell ) | } & { = n _ { 1 } ! \cdots n _ { r } ! = | { \mathfrak { S } } _ { n _ { 1 } } \times { \mathfrak { S } } _ { n _ { 2 } } \times \dots \times { \mathfrak { S } } _ { n _ { r } } | . } \end{array}
\frac { g } { \pi } = \frac { 1 } { 2 \beta ^ { 2 } } - 1 ; \ J ^ { \nu } \equiv \overline { { { \Psi } } } \gamma ^ { \nu } \Psi = - \frac { \beta } { 2 \pi } \epsilon ^ { \nu \mu } \partial _ { \mu } \varphi
\begin{array} { r l } { S _ { k , n } ( b ) } & { = \mathop { \sum _ { x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \neq 0 } } _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q ^ { k } } ^ { * } } \psi \left( \operatorname { T r } _ { k } \left( \frac { 1 } { x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } } \right) \right) } \\ & { = \mathop { \sum _ { z \left( x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \right) = 1 } } _ { z , \ x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q ^ { k } } ^ { * } } \psi \left( \operatorname { T r } _ { k } \left( z \right) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { q ^ { k } } \mathop { \sum _ { z , \ x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q ^ { k } } ^ { * } } } _ { y \in \mathbb { F } _ { q ^ { k } } } \psi \left( \operatorname { T r } _ { k } \left( z + y \left( 1 - z \left( x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \right) \right) \right) \right) } \\ & { = - \frac { ( q ^ { k } - 1 ) ^ { n } } { q ^ { k } } + \frac { 1 } { q ^ { k } } S _ { k } ^ { * } ( f ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { [ 2 3 ] } = } & { - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 2 3 ] } - \theta _ { [ 1 2 ] } ) + \sin ( \theta _ { [ 2 3 ] } + \theta _ { [ 1 3 ] } - \theta _ { [ 3 4 ] } ) \right) } \\ & { - \sigma ^ { \uparrow } \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } - \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 2 3 ] } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { 4 } ^ { \bot } N : } & { = \left\{ x \in X : \left\langle x , n ^ { \prime } \right\rangle = 0 { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } n ^ { \prime } \in N \right\} } \\ & { = \left\{ x \in X : N ( x ) = \{ 0 \} \right\} \qquad { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } N ( x ) : = \left\{ n ^ { \prime } ( x ) : n ^ { \prime } \in N \right\} } \end{array} }
D = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { z } } \left( \left. \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } \right| _ { y = 1 } - 1 \right) + \left( \left. \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } \right| _ { y = - 1 } - 1 \right) d x d z ,
\begin{array} { r l r } { g _ { x x } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } & { = } & { 2 a _ { 2 } ( \delta ) + 6 a _ { 3 } ( \delta ) x _ { 0 } + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 3 } } \\ & { } & { + x _ { 0 } ^ { N - 2 } [ N ( N - 1 ) h _ { \delta } + 2 N x _ { 0 } ( h _ { \delta } ) _ { x } + x _ { 0 } ^ { 2 } ( h _ { \delta } ) _ { x x } ] } \\ & { } & { + y _ { 0 } [ 2 ( i _ { \delta } ) _ { x } + x _ { 0 } ( i _ { \delta } ) _ { x x } + y _ { 0 } ( j _ { \delta } ) _ { x x } ] . } \end{array}