harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \eta } _ { 1 , n } = \frac { 1 } { 2 \mathrm { L } } \exp \{ - \frac { i } { 2 } e _ { 1 } e _ { 2 } I _ { 1 } ( x _ { - } , x _ { + } ) - \frac { i } { 2 } ( E _ { 1 , n } + \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 1 } + e _ { 2 } ) b ) x _ { + }
J _ { 2 } ( z ) = \frac { \Omega } { 2 } d \sqrt { \pi } \exp { \bigg ( \frac { d ^ { 2 } } { 4 } + z _ { d } \bigg ) } \mathrm { E r f } \, { \bigg ( - \frac { d } { 2 } + \frac { z - z _ { d } } { d } \bigg ) }
\sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \left| \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } \cdots \sum _ { k _ { n } = 0 } ^ { k _ { n - 1 } } a _ { 1 , k _ { n } } a _ { 2 , k _ { n - 1 } - k _ { n } } \cdots a _ { n , k _ { 1 } - k _ { 2 } } \right|
\dot { \cal E } _ { \tiny R } = - \tilde { \chi } \tilde { v } ^ { 2 } - 3 \tilde { j } _ { i } \rho _ { i } + \frac { N } { 4 \pi ^ { 2 } } s _ { m } ^ { 3 } ( 2 n _ { s _ { m } } + 1 ) \omega _ { s _ { m } } - \frac { N s _ { m } ^ { 4 } } { 4 \pi ^ { 2 } } .
\Bar { T } = . 2 \Bar { T } _ { c } ^ { a } , \Bar { T } _ { 0 } , . 7 5 \Bar { T } _ { c } ^ { a } , \Bar { T } _ { c } ^ { a } , 1 . 5 \Bar { T } _ { c } ^ { a } , . 5 \Bar { T } _ { c } ^ { b } , \Bar { T } _ { c } ^ { b } , 1 . 4 \Bar { T } _ { c } ^ { b }
\begin{array} { r l } { | \tilde { \Phi } \rangle } & { { } = \Bigr [ ( | 0 2 0 \rangle + | 2 0 0 \rangle ) / \sqrt { 2 } + \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } \Delta _ { 0 } } ( 1 + \Delta _ { 2 } / \Delta _ { 0 } ) ( | 0 2 0 \rangle - | 2 0 0 \rangle ) + \frac { i \lambda C ^ { D / L } K ^ { 3 / 2 } } { 2 \hbar \omega _ { 0 } \Delta _ { 0 } } ( 1 + \Delta _ { 2 } / \Delta _ { 0 } ) } \\ { | \tilde { \Phi } ^ { \prime } \rangle } & { { } = \Bigr [ ( | 0 2 0 \rangle + | 2 0 0 \rangle ) / \sqrt { 2 } + \frac { - \lambda } { \sqrt { 2 } \Delta _ { 0 } } ( 1 + \Delta _ { 2 } / \Delta _ { 0 } ) ( | 0 2 0 \rangle - | 2 0 0 \rangle ) + \frac { - i \lambda C ^ { D / L } K ^ { 3 / 2 } } { 2 \hbar \omega _ { 0 } \Delta _ { 0 } } ( 1 + \Delta _ { 2 } / \Delta _ { 0 } ) } \\ { | \tilde { \Psi } \rangle } & { { } = \cos { \theta / 2 } | \tilde { \Phi } ^ { \prime } \rangle + \sin { \theta / 2 } | \tilde { \Phi } \rangle , \qquad K = \hbar / ( 2 m _ { e } \omega _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { c c l } { \widehat { \nabla _ { \psi } \operatorname { E L B O } ( \phi , \psi | y ) } } & { = } & { - \frac { 1 } { n _ { \epsilon } n _ { \eta } n _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \epsilon } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \eta } } \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { t } } \nabla _ { \psi } h _ { \beta } ( y , g _ { \phi } ( \epsilon _ { i } ) , g _ { \psi } ( \eta _ { j } ) , t _ { k } ) + \nabla _ { \psi } \mathbb { H } [ q _ { \psi } ] } \\ & & { + \frac { 1 } { n _ { \eta } n _ { t } n _ { \tilde { w } } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \eta } } \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { t } } \sum _ { s = 1 } ^ { n _ { \tilde { w } } } \nabla _ { \psi } h _ { \beta } ( \tilde { w } _ { j s } , t _ { k } | g _ { \psi } ( \eta _ { j } ) ) . } \end{array}
\lambda _ { 0 } ( M _ { \Gamma } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 } d ( X ) ^ { 2 } } & { \mathrm { i f } \quad \delta ( \Gamma ) \in \left[ 0 , \frac { 1 } { 2 } d ( X ) \right] , } \\ { \delta ( \Gamma ) ( d ( X ) - \delta ( \Gamma ) ) } & { \mathrm { i f } \quad \delta ( \Gamma ) \in \left[ \frac { 1 } { 2 } d ( X ) , d ( X ) \right] . } \end{array} \right.
A _ { i } = { \frac { 1 } { \sqrt { \rho } e ^ { \frac { E _ { i } } { 2 } } } } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { - B _ { i } } } & { { \rho e ^ { E _ { i } } } } \end{array} \right)
\phi ( \tilde { \tau } ) = \frac { 1 } { 2 i } \left\{ \frac { \pi \tilde { \tau } } { \omega _ { 2 } } \; \frac { \theta _ { 1 } ^ { \prime } } { \theta _ { 1 } } ( \frac { \pi a } { 2 \omega _ { 2 } } ) + \log \mid \frac { \theta _ { 1 } ( \frac { \pi ( \tilde { \tau } - a ) } { 2 \omega _ { 2 } } ) } { \theta _ { 1 } ( \frac { \pi ( \tilde { \tau } + a ) } { 2 \omega _ { 2 } } ) } \mid \right\} ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { { } = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
\left\{ r _ { k } \right\} = \left\{ \begin{array} { l l } { \{ \underbrace { \left. 3 , 3 , 3 , 4 , \ldots , \frac { K + 2 } { 2 } \right\} , } _ { 0 , \ldots , K - 3 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \bmod ( K , 2 ) = 0 , } \\ { \{ \underbrace { 3 , 3 , 3 , 4 , \ldots , \frac { K + 1 } { 2 } } _ { 0 , \ldots , K - 3 } \} , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \bmod ( K , 2 ) = 1 . } \end{array} \right.
\gamma _ { \rho \sigma \mu } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } ) = k _ { 2 } ^ { \nu } \gamma _ { \rho \sigma \mu \nu } ^ { ( 1 ) } = g _ { \rho \sigma } k _ { 2 \mu } - g _ { \sigma \mu } k _ { 2 \rho }
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } \\ { c _ { 2 } } & { d _ { 2 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { c c } { \frac { Y _ { 2 } - Y _ { 1 } } { Y _ { 2 } - Y _ { 1 } * } } & { \phi _ { 1 } } \\ { \phi _ { 1 } ^ { * } \frac { Y _ { 2 } - Y _ { 1 } } { Y _ { 2 } - Y _ { 1 } ^ { * } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\varepsilon _ { m } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { i f } } \ m \equiv 1 { \pmod { 4 } } , } \\ { i } & { { \mathrm { i f } } \ m \equiv 3 { \pmod { 4 } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { \rho _ { 0 } D \vec { v } / D z } \\ { \rho _ { 0 } D \vec { \Omega } / D z } \end{array} \right) } & { { } + \left( \begin{array} { c } { \nabla _ { X } \cdot \left[ \rho _ { 0 } R + \rho _ { 0 } \vec { \Omega } \otimes \vec { \Omega } \right] } \\ { \left( \rho _ { 0 } \vec { \Omega } \cdot \nabla _ { X } \right) \vec { v } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \rho _ { 0 } \nabla _ { X } g ( \vec { x } , z ) } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\arg \operatorname* { m a x } _ { \mu _ { D } } \operatorname* { m i n } _ { \mu _ { G } } L ( \mu _ { G } , \mu _ { D } ) = \arg \operatorname* { m a x } _ { \mu _ { D } } \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { \mathrm { r e f } } , y \sim \mu _ { D } ( x ) } [ \ln y ] + \operatorname* { i n f } _ { x } \mathbb { E } _ { y \sim \mu _ { D } ( x ) } [ \ln ( 1 - y ) ] .
\left. g ^ { ( 2 ) } ( b , Q ) \right| _ { S I D I S } = \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \left. g ^ { ( 2 ) } ( b , Q ) \right| _ { D Y } + \left. g ^ { ( 2 ) } ( b , Q ) \right| _ { e ^ { + } e ^ { - } } \Bigr ) .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i } } & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } \right] \right\} \right. } \\ & { \qquad \left. \times e ^ { \sum _ { k \in \partial i } x _ { i } ^ { t } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid x _ { i } ^ { t } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) . } \end{array}
\langle N ( p _ { 2 } ) | \bar { q } ( - z _ { - } ) q ( z _ { - } ) | N ( p _ { 1 } ) \rangle = \int d x \, \mathrm { e } ^ { - i x z _ { - } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) _ { + } } F ( x , \eta ) \, .
{ \mathcal H } _ { T ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left\langle \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \right\rangle \cong \mathbb { Z } _ { 2 } , } & { x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } \neq 0 ; } \\ { \left\langle \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \right\rangle \cong \mathbb { Z } _ { 2 } , } & { x _ { 1 } = x _ { 2 } \neq 0 ; } \\ { \left\langle \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \right\rangle \cong \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } , } & { x _ { 1 } = x _ { 2 } = 0 ; } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \phi _ { d } } & { { } = \frac { 2 \pi d } { \varphi } , } \\ { \theta _ { d } } & { { } = \operatorname { a r c c o s } \left( 1 - \frac { 2 ( d + \varepsilon ) } { D - 1 + 2 \varepsilon } \right) , } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { \delta _ { \Phi } S } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - g } \left\{ \left( R + 4 \, { \left( \nabla \Phi \right) } ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } \right) \delta e ^ { - 2 \Phi } + e ^ { - 2 \Phi } 4 \, \delta { \left( \nabla \Phi \right) } ^ { 2 } \right\} } } \\ { { } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - g } \left\{ - 2 e ^ { - 2 \Phi } \left( R + 4 { \left( \nabla \Phi \right) } ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } \right) - 8 \nabla . \left( e ^ { - 2 \Phi } \nabla \Phi \right) \right\} \delta \Phi } } \\ { { } } & { { = } } & { { { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - g } e ^ { - 2 \Phi } \left\{ - 2 \left( R + 4 { \left( \nabla \Phi \right) } ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } \right) \right. } } \\ { { } } & { { - } } & { { 8 \left. \left( \nabla ^ { 2 } \Phi - 2 { \left( \nabla \Phi \right) } ^ { 2 } \right) \right\} \delta \Phi = 0 \; , } } \end{array}
{ \cal M } ^ { \Delta } = - \frac { \omega \omega _ { \pi } } { E _ { \Delta } } \left[ \langle N _ { f } | h _ { \pi } ^ { c } | \Delta \rangle \langle \Delta | h ^ { m } | N _ { i } \rangle + \langle N _ { f } | h ^ { m } | \Delta \rangle \langle \Delta | h _ { \pi } ^ { c } | N _ { i } \rangle \right] ,
\cal { E } _ { \mathrm { g u e s s } } ( \left\vert \mathbf { k } , \mathbf { l } \right\rangle \left\langle \mathbf { k } , \mathbf { l } \right\vert ) = \vert \hat { \mathbf { l } } , \mathbf { l } \rangle \langle \hat { \mathbf { l } } , \mathbf { l } \vert ,
\sum _ { s = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ d , k \} } \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = k + 1 } ^ { n } \left| F ( t _ { E } ) ( { \underline { { u _ { i } } } } _ { | s } \cdot \nabla _ { t } ^ { s } ) d _ { x } \pi | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } ( { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } \lesssim 1
x _ { i } ^ { l } , \vec { \mu } _ { i } ^ { l } = \psi _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ n ~ g ~ } } \left( x _ { i } ^ { l - 1 } , \vec { \mu } _ { i } ^ { l - 1 } , \sum _ { j \in N ( i ) } M _ { i j } ^ { l - 1 } , \sum _ { j \in N ( i ) } \vec { M } _ { i j } ^ { l - 1 } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { \mathrm { s } } ^ { ' \mathrm { f f } } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } & { { } = \sum _ { \lambda ^ { \prime } \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } \int _ { 0 ^ { + } } ^ { + \infty } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \mathcal { B ^ { \prime } } _ { \lambda ^ { \prime } \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( \omega ^ { \prime } ) ( - \mathrm { i } ) ^ { \ell ^ { \prime } } } \end{array}
\pi = \operatorname { a r c c o s } { \frac { 4 } { 5 } } + \operatorname { a r c c o s } { \frac { 5 } { 1 3 } } + \operatorname { a r c c o s } { \frac { 1 6 } { 6 5 } } = \arcsin { \frac { 3 } { 5 } } + \arcsin { \frac { 1 2 } { 1 3 } } + \arcsin { \frac { 6 3 } { 6 5 } } .
D _ { i \alpha } \lambda ^ { j \beta } ( z ) = \delta _ { i } ^ { ~ j } ( \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \lambda } ( z ) \delta _ { \alpha } ^ { ~ \beta } - \tilde { \hat { \omega } } _ { \alpha } { } ^ { \beta } ( z ) ) - \hat { T } _ { i } ^ { ~ j } ( z ) \delta _ { \alpha } ^ { ~ \beta }
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { M C } } & { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } d \lambda \frac { ( 2 \pi { c } ) ^ { 4 } } { \lambda ^ { 5 } } P _ { D } ( \lambda ) ^ { 2 } } \\ & { } & { \textbf { I m } \left\{ \mathbf { K } ^ { * } ( \lambda ) ^ { - 1 } \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } * } ( \lambda ) \mathbf { v } _ { D } \cdot \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } } ( \lambda ) \mathbf { K } ( \lambda ) ^ { - 1 } \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } } ( \lambda ) \mathbf { v } _ { D } + \mathbf { K } ^ { * } ( \lambda ) ^ { - 1 } \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } * } ( \lambda ) \mathbf { v } _ { D } \cdot \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } } ( \lambda ) \mathbf { v } _ { D } \right\} , } \end{array}
\frac { \partial j _ { y } } { \partial t } = \frac { B _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } \left( \frac { \partial \omega _ { y } } { \partial x } + \frac { \partial } { \partial z } \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \frac { d \rho } { d z } \frac { \partial \psi } { \partial x } \right) + \eta \frac { \partial ^ { 2 } j _ { y } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \eta j _ { y } \; ,
{ \begin{array} { r l } { L _ { \mathrm { { E d d } } } } & { = { \frac { 4 \pi G M m _ { \mathrm { { p } } } c } { \sigma _ { \mathrm { { T } } } } } } \\ & { \cong 1 . 2 6 \times 1 0 ^ { 3 1 } \left( { \frac { M } { M _ { \bigodot } } } \right) \mathrm { { W } } = 1 . 2 6 \times 1 0 ^ { 3 8 } \left( { \frac { M } { M _ { \bigodot } } } \right) \mathrm { { e r g / s } } = 3 . 2 \times 1 0 ^ { 4 } \left( { \frac { M } { M _ { \bigodot } } } \right) L _ { \bigodot } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \tilde { D } } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l l l } { L } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { L } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 0 } & { L } & { 0 } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c } { C _ { L } = \frac { L i f t } { \frac { 1 } { 2 } \rho U ^ { 2 } A } } & { ; C _ { T } = \frac { T h r u s t } { \frac { 1 } { 2 } \rho U ^ { 2 } A } } \end{array} } \end{array}
\mathscr { A } _ { n } h \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j ^ { \prime } } { n } \bigg ) = n \bigg [ h \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j ^ { \prime } - 1 } { n } \bigg ) + h \bigg ( \frac { j - 1 } { n } , \frac { j ^ { \prime } } { n } \bigg ) - h \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j ^ { \prime } + 1 } { n } \bigg ) - h \bigg ( \frac { j + 1 } { n } , \frac { j ^ { \prime } } { n } \bigg ) \bigg ] ,
\mathbf { B } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } { \frac { 3 \mathbf { \hat { r } } ( \mathbf { \hat { r } } \cdot \mathbf { m } ) - \mathbf { m } } { | \mathbf { r } | ^ { 3 } } } .
\left[ \begin{array} { l l l } { - 0 . 1 1 8 6 9 4 } & { - 0 . 0 0 0 0 1 0 } & { 0 . 0 0 0 1 8 7 } \\ { - 0 . 0 5 0 8 0 7 } & { 0 . 7 3 3 3 6 9 } & { 0 . 6 6 2 3 8 2 } \\ { - 0 . 0 0 5 7 3 2 } & { - 0 . 6 7 1 4 2 3 } & { 0 . 7 4 0 8 4 2 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { r ( i , j + 1 ) - r ( i , j ) } & { = { \frac { F _ { 2 j + 3 } } { F _ { 2 j + 1 } } } - { \frac { F _ { 2 j + 1 } } { F _ { 2 j - 1 } } } } \\ & { = { \frac { F _ { 2 j + 3 } F _ { 2 j - 1 } - F _ { 2 j + 1 } ^ { 2 } } { F _ { 2 j + 1 } F _ { 2 j - 1 } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { { F _ { 2 j + 1 } F _ { 2 j - 1 } } } } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle x , y \rangle = } & { \langle x _ { 1 } v _ { 1 } + x _ { 2 } v _ { 2 } + x _ { 3 } v _ { 3 } , \ y _ { 1 } v _ { 1 } + y _ { 2 } v _ { 2 } + y _ { 3 } v _ { 3 } \rangle } \\ { = } & { \phantom { + } \langle x _ { 1 } v _ { 1 } , \ y _ { 1 } v _ { 1 } + y _ { 2 } v _ { 2 } + y _ { 3 } v _ { 3 } \rangle } \\ & { + \langle x _ { 2 } v _ { 2 } , \ y _ { 1 } v _ { 1 } + y _ { 2 } v _ { 2 } + y _ { 3 } v _ { 3 } \rangle } \\ & { + \langle x _ { 3 } v _ { 3 } , \ y _ { 1 } v _ { 1 } + y _ { 2 } v _ { 2 } + y _ { 3 } v _ { 3 } \rangle } \\ { = } & { \phantom { + } \langle x _ { 1 } v _ { 1 } , \ y _ { 1 } v _ { 1 } \rangle + \langle x _ { 1 } v _ { 1 } , \ y _ { 2 } v _ { 2 } \rangle + \langle x _ { 1 } v _ { 1 } , \ y _ { 3 } v _ { 3 } \rangle } \\ & { + \langle x _ { 2 } v _ { 2 } , \ y _ { 1 } v _ { 1 } \rangle + \langle x _ { 2 } v _ { 2 } , \ y _ { 2 } v _ { 2 } \rangle + \langle x _ { 2 } v _ { 2 } , \ y _ { 3 } v _ { 3 } \rangle } \\ & { + \langle x _ { 3 } v _ { 3 } , \ y _ { 1 } v _ { 1 } \rangle + \langle x _ { 3 } v _ { 3 } , \ y _ { 2 } v _ { 2 } \rangle + \langle x _ { 3 } v _ { 3 } , \ y _ { 3 } v _ { 3 } \rangle } \\ { = } & { \phantom { + } x _ { 1 } \overline { y } _ { 1 } \langle v _ { 1 } , v _ { 1 } \rangle + x _ { 1 } \overline { y } _ { 2 } \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle + x _ { 1 } \overline { y } _ { 3 } \langle v _ { 1 } , v _ { 3 } \rangle } \\ & { + x _ { 2 } \overline { y } _ { 1 } \langle v _ { 2 } , v _ { 1 } \rangle + x _ { 2 } \overline { y } _ { 2 } \langle v _ { 2 } , v _ { 2 } \rangle + x _ { 2 } \overline { y } _ { 3 } \langle v _ { 2 } , v _ { 3 } \rangle } \\ & { + x _ { 3 } \overline { y } _ { 1 } \langle v _ { 3 } , v _ { 1 } \rangle + x _ { 3 } \overline { y } _ { 2 } \langle v _ { 3 } , v _ { 2 } \rangle + x _ { 3 } \overline { y } _ { 3 } \langle v _ { 3 } , v _ { 3 } \rangle } \\ { = } & { \phantom { + } x _ { 1 } \overline { y } _ { 1 } \cdot 1 + x _ { 1 } \overline { y } _ { 2 } \cdot 0 + x _ { 1 } \overline { y } _ { 3 } \cdot 0 } \\ & { + x _ { 2 } \overline { y } _ { 1 } \cdot 0 + x _ { 2 } \overline { y } _ { 2 } \cdot 1 + x _ { 2 } \overline { y } _ { 3 } \cdot 0 } \\ & { + x _ { 3 } \overline { y } _ { 1 } \cdot 0 + x _ { 3 } \overline { y } _ { 2 } \cdot 0 + x _ { 3 } \overline { y } _ { 3 } \cdot 1 } \\ { = } & { x _ { 1 } \overline { y } _ { 1 } + x _ { 2 } \overline { y } _ { 2 } + x _ { 3 } \overline { y } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\{ \hat { \lambda } _ { i } , \hat { \lambda } _ { j } \right\} \hat { \lambda } _ { k } } & { { } = } & { \frac { 4 } { 3 } \delta _ { i j } \hat { \lambda } _ { k } + 2 D _ { i j k ^ { \prime } } \hat { \lambda } _ { k ^ { \prime } } \hat { \lambda } _ { k } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { - \left( { \frac { d t } { d x } } \right) ^ { - 3 } { \frac { d ^ { 2 } t } { d x ^ { 2 } } } = \left( { \frac { d t } { d x } } \right) ^ { - n } f ( x ) } \\ & { - \left( { \frac { d t } { d x } } \right) ^ { n - 3 } { \frac { d ^ { 2 } t } { d x ^ { 2 } } } = f ( x ) } \\ & { { \frac { d } { d x } } \left( { \frac { 1 } { 2 - n } } \left( { \frac { d t } { d x } } \right) ^ { n - 2 } \right) = f ( x ) } \\ & { \left( { \frac { d t } { d x } } \right) ^ { n - 2 } = ( 2 - n ) \int f ( x ) d x + C _ { 1 } } \\ & { t + C _ { 2 } = \int \left( ( 2 - n ) \int f ( x ) d x + C _ { 1 } \right) ^ { \frac { 1 } { n - 2 } } d x } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = \cos \Omega \cdot \cos \omega - \sin \Omega \cdot \cos i \cdot \sin \omega \ ; } \\ { x _ { 2 } } & { = \sin \Omega \cdot \cos \omega + \cos \Omega \cdot \cos i \cdot \sin \omega \ ; } \\ { x _ { 3 } } & { = \sin i \cdot \sin \omega ; } \\ { \, } \\ { y _ { 1 } } & { = - \cos \Omega \cdot \sin \omega - \sin \Omega \cdot \cos i \cdot \cos \omega \ ; } \\ { y _ { 2 } } & { = - \sin \Omega \cdot \sin \omega + \cos \Omega \cdot \cos i \cdot \cos \omega \ ; } \\ { y _ { 3 } } & { = \sin i \cdot \cos \omega \ ; } \\ { \, } \\ { z _ { 1 } } & { = \sin i \cdot \sin \Omega \ ; } \\ { z _ { 2 } } & { = - \sin i \cdot \cos \Omega \ ; } \\ { z _ { 3 } } & { = \cos i \ ; } \end{array} }
\widehat { \nabla _ { \phi } \operatorname { E L B O } ( \phi , \psi | y ) } = - \frac { 1 } { n _ { \epsilon } n _ { \eta } n _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \epsilon } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \eta } } \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { t } } \nabla _ { \phi } h _ { \beta } ( y , g _ { \phi } ( \epsilon _ { i } ) , g _ { \psi } ( \eta _ { j } ) , t _ { k } ) + \nabla _ { \phi } \mathbb { H } [ q _ { \phi } ] .
p _ { S | U } ( s _ { 0 } , t _ { 0 } \to s , t _ { 0 } + \Delta t ) | u _ { 0 } ) = p _ { S | U } ^ { \mathrm { s t } } + \sum _ { \nu } w _ { \nu } a ^ { ( \nu ) } = \delta _ { s , s _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } \left( \left[ \begin{array} { l } { + 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \\ { X _ { 1 } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } \left( \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \end{array} \right] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { r } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { ( 1 - \beta + ( 3 2 / 3 ) ( \mathrm { R e } ) ^ { - 2 } ) } { ( ( 1 - \beta ) ^ { 2 } + ( 6 4 / 9 ) ( \mathrm { R e } ) ^ { - 2 } ) } , } \\ { \alpha _ { i } } & { = } & { \frac { 2 } { 3 } \frac { ( 1 - 3 \beta ) ( \mathrm { R e } ) ^ { - 1 } } { ( ( 1 - \beta ) ^ { 2 } + ( 6 4 / 9 ) ( \mathrm { R e } ) ^ { - 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { F } _ { s } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Re \left[ \tilde { \rho } _ { s } \mathbf { \tilde { E } } ^ { * } + \frac { 1 } { c } \mathbf { \tilde { j } } _ { s } \times \mathbf { \tilde { B } } ^ { * } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { M } \nabla _ { i } h _ { j k } \nabla _ { j } h _ { k i } d V _ { g } } & { = - \int _ { M } h _ { j k } \nabla _ { i } \nabla _ { j } h _ { k i } d V _ { g } } \\ & { = - \int _ { M } h _ { j k } ( \nabla _ { j } \nabla _ { i } h _ { k i } - \mathring { R } ( h ) _ { j k } + R _ { j l } h _ { l k } ) d V _ { g } } \\ & { = \int _ { M } | \mathrm { d i v } h | ^ { 2 } + \langle \mathring { R } h , h \rangle - R _ { j l } h _ { j k } h _ { l k } d V _ { g } } \end{array}
\bigl ( \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i } ^ { 1 } ) , \ \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i + 1 } ^ { 1 } ) , \ \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i } ^ { 2 } ) , \ \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i + 1 } ^ { 2 } ) , \ \cdots \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i } ^ { k - 1 } ) , \ \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i + 1 } ^ { k - 1 } ) , \ \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i } ^ { k } ) \bigr )
A _ { D } = \frac { \Gamma ( D \to f ) - \Gamma ( { \bar { D } } \to { \bar { f } } ) } { \Gamma ( D \to f ) + \Gamma ( { \bar { D } } \to { \bar { f } } ) } \propto \mathrm { I m } ( A B ^ { * } ) \sin ( \delta _ { B } - \delta _ { A } ) .
\begin{array} { r } { E _ { \vartheta } ( \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } _ { i } , \omega ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi | \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } _ { i } | } \, \sin { \vartheta _ { d , i } } \, \, e ^ { i \omega | \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } _ { i } | / c } \, \hat { \ddot { d } } _ { z } ( \omega ; [ E _ { e x t } ( \boldsymbol { r } _ { i } ) ] ) \, . } \end{array}
A _ { \sigma \tau _ { 1 , 2 } } ( 1 - \alpha z _ { \sigma ( 1 ) } ) = - A _ { \sigma } ( ( 1 - \alpha z _ { \sigma ( 2 ) } ) + \alpha \beta \frac { z _ { \sigma ( 2 ) } ^ { L } \prod _ { k = 1 } ^ { M } ( z _ { k } - 1 ) } { ( z _ { \sigma ( 2 ) } - 1 ) ^ { M - 1 } ( z _ { \sigma ( 1 ) } - 1 ) } ( z _ { \sigma ( 1 ) } - z _ { \sigma ( 2 ) } \frac { b z _ { \sigma _ { 1 } } - 1 } { b z _ { \sigma _ { 2 } } - 1 } ) )