harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { C _ { a , C \left( 4 \right) } } & { { } : = \frac { a _ { a , C O _ { 2 } } } { \gamma _ { a , C O _ { 2 } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , C O _ { 3 } ^ { 2 - } } } { \gamma _ { a , C O _ { 3 } ^ { 2 - } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , H C O _ { 3 } ^ { - } } } { \gamma _ { a , H C O _ { 3 } ^ { - } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , C a H C O _ { 3 } ^ { + } } } { \gamma _ { a , C a H C O _ { 3 } ^ { + } } \left( \mu \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Bigg \{ \begin{array} { l } { \xi _ { i } ^ { x } } \\ { \xi _ { j } ^ { y } } \end{array} \Bigg \} = \Bigg \{ \begin{array} { l } { x _ { i , \tau _ { i } , \alpha _ { i } } } \\ { y _ { j , \tau _ { j } , \alpha _ { j } } } \end{array} \Bigg \} = \operatorname* { d e t } \Big [ \ \delta _ { \tau _ { i } \tau _ { j } } [ C _ { j , \tau } ( x _ { i } - y _ { j } ) ] \ \Big ] _ { \alpha _ { i } , \alpha _ { j } } . } \end{array}
U = h ^ { 2 } \, g \left( \int _ { - h _ { 2 } } ^ { \zeta } \rho _ { 2 } z \, \mathrm { d } z + \int _ { \zeta } ^ { h _ { 1 } } \rho _ { 1 } z \, \mathrm { d } z \right) = \frac 1 2 h ^ { 2 } \left( g ( \rho _ { 2 } - \rho _ { 1 } ) \zeta ^ { 2 } - \frac 1 2 g ( \rho _ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } - \rho _ { 1 } h _ { 1 } ^ { 2 } ) \right) \, ,
\left\langle F _ { + } F _ { - } \right\rangle _ { M } = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } X _ { k } ^ { \ell , m } X _ { k } ^ { \ell , n } = \left\langle \left( \frac { r } { a } \right) ^ { 2 \ell } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( m - n ) \upsilon } \right\rangle _ { M } = X _ { 0 } ^ { 2 \ell , m - n } \ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial S } { \partial b } } & { { } = } & { \frac { ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) \frac { \partial } { \partial b } ( I _ { 1 } - I _ { 2 } ) - ( I _ { 1 } - I _ { 2 } ) \frac { \partial } { \partial b } ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) } { ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \tilde { d s } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { W ^ { - \frac { 2 } { 1 + a ^ { 2 } } } d t ^ { 2 } - W ^ { + \frac { 2 } { 1 + a ^ { 2 } } } d \vec { x } ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { e ^ { \varphi } } } & { { = } } & { { W ^ { + \frac { a } { 1 + a ^ { 2 } } } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { F _ { \underline { { { i } } } \underline { { { j } } } } } } & { { = } } & { { \mp \sqrt { \frac { 2 } { 1 + a ^ { 2 } } } } } \\ { { e p s i l o n _ { i j k } \partial _ { \underline { { { k } } } } W \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { u } _ { 0 , 1 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 , } \\ { 0 . 5 , } \end{array} \right. \quad { u } _ { 0 , 2 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 7 5 , } \\ { 0 , } \end{array} \right. \quad { u } _ { 0 , 3 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 2 5 , } & { x \in [ 1 , 1 . 5 ] , } \\ { 0 , } & { x \in ( 1 . 5 , 2 ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { y } _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { y } _ { i _ { 1 } } } \\ { \mathbf { y } _ { i _ { 1 } + 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { y } _ { i _ { 2 } } } \end{array} \right] , \; \; Y _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ^ { ( l ) } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { y } _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } & { \mathbf { y } _ { i _ { 1 } + 1 , i _ { 2 } + 1 } } & { \ldots } & { \mathbf { y } _ { i _ { 1 } + l , i _ { 2 } + l } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { h _ { + } ^ { ( 1 ) } } { h _ { + } ^ { ( 2 ) } } A - } & { R _ { + + } } \\ & { = \frac { [ \alpha ] - [ 2 + ] } { [ 1 + ] - [ \alpha ] } + \frac { [ 2 + ] - [ 2 - ] } { [ 1 + ] - [ 2 - ] } } \\ & { = \frac { ( [ 1 + ] - [ 2 - ] ) ( [ \alpha ] - [ 2 + ] ) + ( [ 2 + ] - [ 2 - ] ) ( [ 1 + ] - [ \alpha ] ) } { ( [ 1 + ] - [ \alpha ] ) ( [ 1 + ] - [ 2 - ] ) } } \\ & { = \frac { [ 1 + ] [ \alpha ] + [ 2 - ] [ 2 + ] - [ 2 + ] [ \alpha ] - [ 2 - ] [ 1 + ] } { ( [ 1 + ] - [ \alpha ] ) ( [ 1 + ] - [ 2 - ] ) } } \\ & { = \frac { - [ 2 + ] ( [ \alpha ] - [ 2 - ] ) + [ 1 + ] ( [ \alpha ] - [ 2 - ] ) } { ( [ 1 + ] - [ \alpha ] ) ( [ 1 + ] - [ 2 - ] ) } } \\ & { = \frac { ( [ 1 + ] - [ 2 + ] ) ( [ \alpha ] - [ 2 - ] ) } { ( [ 1 + ] - [ \alpha ] ) ( [ 1 + ] - [ 2 - ] ) } = T _ { + - } \frac { [ \alpha ] - [ 2 - ] } { [ 1 + ] - [ \alpha ] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( t N , x ) } & { \geq \mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { v \in \mathcal { N } _ { L ^ { 2 } } ^ { L } } \mathbb { P } _ { x _ { v } } \left( Z _ { t N - L ^ { 2 } } ^ { ( v ) } > 0 \right) \right] - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { v \neq w \in \mathcal { N } _ { L ^ { 2 } } ^ { L } } \mathbb { P } _ { x _ { v } } \left( Z _ { t N - L ^ { 2 } } ^ { ( v ) } > 0 \right) \mathbb { P } _ { x _ { w } } \left( Z _ { t N - L ^ { 2 } } ^ { ( w ) } > 0 \right) \right] } \\ & { \geq \mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { v \in \mathcal { N } _ { L ^ { 2 } } ^ { L } } \mathbb { P } _ { x _ { v } } \left( Z _ { t N } ^ { ( v ) } > 0 \right) \right] - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { v \neq w \in \mathcal { N } _ { L ^ { 2 } } ^ { L } } \mathbb { P } _ { x _ { v } } \left( Z _ { t N - L ^ { 2 } } ^ { ( v ) } > 0 \right) \mathbb { P } _ { x _ { w } } \left( Z _ { t N - L ^ { 2 } } ^ { ( w ) } > 0 \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( { \mathcal { R } } ^ { ( 1 ) } < \frac { 5 s } { 8 } \right) } & { \leq \frac { 2 5 6 c ^ { 2 } } { ( a + b ) ( 1 - c ^ { 2 } ) } + \frac { 6 4 ( 1 - c ) } { 1 + c } \cdot \frac { 1 - s } { s } , } \\ { \mathbb { P } \left( { \mathcal { R } } ^ { ( 2 ) } > \frac { 5 s } { 8 } \right) } & { \leq \frac { 2 5 6 c ^ { 2 } } { ( a + b ) ( 1 - c ^ { 2 } ) } \left( 1 + \frac { ( 1 - c ) ( 1 - s ) } { 2 s ( 1 + c ) } \right) . } \end{array}
\mathbf { v } _ { e } ^ { ( 0 ) } = \mathbf { v } _ { E } + \mathbf { v } _ { * } = - \frac { 1 } { B _ { 0 } } \mathbf { b } \times { \bf E } - \frac { 1 } { e n _ { e 0 } B _ { 0 } } \mathbf { b } \times \triangledown p _ { e } .
\begin{array} { r l } { \int _ { M } } & { { } \Phi _ { 1 } ( x , t ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x - \int _ { M } \Phi _ { 1 } ( x , t ) G ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { l } } & { \geq } & { - 4 C _ { 3 } K _ { 0 } T \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } + \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ( 1 - L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } = } & { { } \frac { 1 } { 4 \pi } \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ^ { \pi } ( \rho ) = } & { \mathbb { E } _ { s _ { 1 } \sim \rho } [ J ^ { \pi } ( s _ { 1 } ) ] } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { s _ { 1 } \sim \rho } \mathbb { E } _ { ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) \sim \pi _ { 1 } ( \cdot , \cdot | s _ { 1 } ) } [ Q ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { j } ^ { \prime } \right\rangle = } & { { } \left( \frac { \mathcal { I } _ { u j } \left( \nu , \eta , \Omega , k _ { \ell } \right) } { \mathcal { I } _ { u b } \left( \nu , \eta , \Omega , k _ { \ell } \right) } \frac { D _ { 0 } ^ { 2 } } { D _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \frac { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { b } ^ { \prime } \right\rangle } { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime 2 } \right\rangle } \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { w } ^ { \prime } \right\rangle } \\ { \sim } & { { } \, \, \frac { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { b } ^ { \prime } \right\rangle } { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime 2 } \right\rangle } \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { w } ^ { \prime } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } = } & { { } \left( \begin{array} { l l } { \delta _ { 1 } + \Omega _ { 1 } - \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } i } & { \Omega } \\ { \Omega } & { \delta _ { 2 } + \Omega _ { 2 } - \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } i } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \ ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \rangle } \\ & { \quad = \sigma \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } \big ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ) ^ { * } ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad = \sigma \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , i ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ^ { * } ( \check { g } _ { 1 } ^ { * } , \check { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad \quad + \sigma ^ { 2 } \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \frac { 1 } { 2 } ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } ( \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ) ^ { * } ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad = \sigma \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , i \big ( I - ( \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } ) ^ { * } V _ { b } ^ { * } \big ) ( \check { g } _ { 1 } ^ { * } , \check { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad \quad + \sigma \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , i \big ( ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } - ( \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } ) ^ { * } \big ) \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ^ { * } ( \check { g } _ { 1 } ^ { * } , \check { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad \quad \quad + \sigma ^ { 2 } \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \frac { 1 } { 2 } ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } ( \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ) ^ { * } ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } & { { } = | | \tilde { \eta } _ { n _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } - \tilde { \eta } _ { n _ { 2 } } ^ { ( 0 ) } | | _ { 2 } } \end{array}
N _ { 1 } ( N \! + \! 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { N _ { 1 } ( N ) } & { \qquad \mathrm { p r o b a b i l i t y } \quad \frac { N _ { 1 } } { N } } \\ { N _ { 1 } ( N ) + 1 } & { \qquad \mathrm { p r o b a b i l i t y } \quad 1 - \frac { N _ { 1 } } { N } \, . } \end{array} \right.
Z = \int { \cal D } A ^ { \mu } { \cal D } \pi _ { \mu } { \cal D } \rho { \cal D } \pi _ { \rho } \prod _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \delta ( \tilde { \Omega } _ { i } ) \delta ( \Gamma _ { j } ) d e t \mid \{ \tilde { \Omega } _ { i } , \Gamma _ { j } \} \mid e ^ { i S } ,
\sum _ { s p i n } | \frac { 1 } { 2 } { \cal M } _ { B o r n } | ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } e ^ { 4 } \kappa ^ { 2 } \left( 1 + g _ { H } ^ { 2 } \frac { g _ { V } ^ { 2 } + g _ { A } ^ { 2 } } { ( 1 - m _ { Z } ^ { 2 } / s ) ^ { 2 } } - \frac { 2 g _ { H } g _ { V } } { 1 - m _ { Z } ^ { 2 } / s } \right) s i n ^ { 2 } \theta ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { O } } [ f ( \underline { { t } } _ { 1 } , \underline { { t } } _ { 2 } ) ] } & { { } = \sum _ { \underline { { \tau } } , \mathcal { O } , \underline { { t } } } P _ { * } ( \underline { { \tau } } ) P _ { * } ( \mathcal { O } | \underline { { \tau } } ) P _ { * } ( \underline { { t } } | \mathcal { O } ) f ( \underline { { \tau } } , \underline { { t } } ) } \end{array} } \end{array}
\theta _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \theta _ { j k } , \quad \theta ^ { 2 } = \theta _ { i } \theta _ { i } , \quad E _ { i } = F _ { 0 i } , \quad B _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } F _ { j k }
\operatorname* { l i m s u p } _ { \delta \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \left| \int \chi _ { F _ { \delta } ^ { \prime } } ( x ) \chi _ { G _ { \delta } ^ { \prime \prime } } ( \gamma _ { t } ( x ) ) \eta ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) d x d t \right| } { | F _ { \delta } ^ { \prime } | ^ { 1 / q ^ { \prime } } | G _ { \delta } ^ { \prime \prime } | ^ { 1 / p } } = \infty
\begin{array} { r l r } { \Delta \Delta E _ { \mathrm { s o l v } } } & { = } & { E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ + \ a d a t o m \ w i t h \ s o l v e n t } } - E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ w i t h \ s o l v e n t } } } \\ & { } & { - ( E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ + \ a d a t o m \ w i t h o u t \ s o l v e n t } } - E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ w i t h o u t \ s o l v e n t } } ) } \end{array}
\Phi _ { m } ^ { \prime \prime } - \frac { a _ { m } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \left( 2 \Phi _ { m } - \Phi _ { m + 1 } - \Phi _ { m - 1 } \right) = 0 , \qquad m = 1 , \ldots , N - 1 .
\begin{array} { l l l } { x = L \hat { x } , } & { \quad ( y , h ) = H ( \hat { y } , \hat { h } ) , } & { \quad ( u , v ) = U ( \hat { u } , \delta \hat { v } ) , } \\ { t = ( L / U ) \hat { t } , } & { \quad ( p , \Pi ) = ( \mu U L / H ^ { 2 } ) ( \hat { p } , \hat { \Pi } ) , } & { \quad ( \psi , \phi ) = \Psi _ { 0 } ( \hat { \psi } , \hat { \phi } ) , } \\ { ( \Gamma , \Gamma _ { \infty } ) = \Gamma _ { 0 } ( \hat { \Gamma } , \hat { \Gamma } _ { \infty } ) , } & { \quad ( \sigma _ { 0 } , \sigma ) = \left( \mu U L / H \right) ( \hat { \sigma } _ { 0 } , \hat { \sigma } ) , } & \end{array}
\begin{array} { r } { f ( x | \mu _ { 1 , n } , \Sigma _ { 1 , n } ) - f ( x | \mu _ { 2 , n } , \Sigma _ { 2 , n } ) = \sum _ { | \alpha | = 1 } { \frac { ( \mu _ { 1 , n } - \mu _ { 2 , n } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( \Sigma _ { 1 , n } - \Sigma _ { 2 , n } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { \alpha _ { 1 } ! \alpha _ { 2 } ! } \frac { \partial { f } } { \partial { \mu ^ { \alpha _ { 1 } } } \partial { \Sigma ^ { \alpha _ { 2 } } } } ( x | \mu _ { 2 , n } , \Sigma _ { 2 , n } ) } } \\ { + \sum _ { | \alpha | = 1 } { \frac { ( \mu _ { 1 , n } - \mu _ { 2 , n } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( \Sigma _ { 1 , n } - \Sigma _ { 2 , n } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { \alpha _ { 1 } ! \alpha _ { 2 } ! } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial { f } } { \partial { \mu ^ { \alpha _ { 1 } } } \partial { \Sigma ^ { \alpha _ { 2 } } } } ( x | \mu _ { 2 , n } + t ( \mu _ { 1 , n } - \mu _ { 2 , n } ) , \Sigma _ { 2 , n } + t ( \Sigma _ { 1 , n } - \Sigma _ { 2 , n } ) ) d t } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { 0 } \left( S _ { k } \right) = a _ { 2 , k } S _ { k } ^ { 2 } + 2 a _ { 1 , k } S _ { k } + a _ { 0 , k } , } \\ { \alpha _ { - 1 } \left( S _ { k } \right) = b _ { 2 , k } S _ { k } ^ { 2 } + 2 b _ { 1 , k } S _ { k } + b _ { 0 , k } , } \end{array}
\frac { \partial f _ { i } ^ { \sigma } } { \partial t } + v _ { i \alpha } \cdot \frac { \partial f _ { i } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \alpha } } = - \frac { 1 } { \tau ^ { \sigma } } ( f _ { i } ^ { \sigma } - f _ { i } ^ { \sigma , s e q } ) - \frac { 1 } { \tau ^ { \sigma } } ( f _ { i } ^ { \sigma , s e q } - f _ { i } ^ { \sigma , e q } ) ,
\begin{array} { r l } { U _ { p } ^ { * ( 0 ) } } & { = \mathcal { A } t ^ { * } \cos \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { U _ { q } ^ { * ( 0 ) } } & { = - \mathcal { B } t ^ { * } \sin \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \Omega _ { r } ^ { * ( 0 ) } } & { = \frac { \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } } { 3 } t ^ { * 3 } \cos \phi ^ { ( 0 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \phi ^ { ( 0 ) } } & { = \phi ( t ^ { * } = 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { ~ L ~ G ~ } } = } & { { } \langle n _ { c } | \langle n _ { d } | \sum _ { p , q , p ^ { \prime } , q ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } M _ { p , q } ^ { \mathrm { ~ L ~ G ~ } , c } ( t ) M _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ L ~ G ~ } , d } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ( g , \mathcal { L } , \mathbb { R } ^ { d } ) : = } & { \left\{ p : \mathbb { R } ^ { d } \rightarrow \mathbb { R } ^ { + } \left| p \leq g \mathrm { ~ a . e . ~ o n ~ } \mathbb { R } ^ { d } , \, p \in \mathcal { B } ( \mathcal { L } ) , \, \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } p ( x ) \mathrm { d } x = 1 \right. \right\} , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \varphi _ { L } ( t ) } { \partial t ^ { 2 } } + 3 \Bigl ( \frac { \partial a ( t ) / \partial t } { a ( t ) } \Bigr ) \frac { \partial \varphi _ { L } ( t ) } { \partial t } + \frac { \delta ^ { 2 } V ( \hat { \phi } ) } { \delta \hat { \phi } ^ { 2 } } \varphi _ { L } ( t ) = 0 .
0 = \frac { \delta M } { \delta \Omega ( m ) } = \frac { \delta } { \delta \Omega ( m ) } \sum _ { n , \mu } \left\{ \Omega ( n ) U _ { \mu } \Omega ^ { \dagger } ( n + 1 ) \sigma _ { 3 } \Omega ( n + 1 ) U _ { \mu } ^ { \dagger } \Omega ^ { \dagger } ( n ) \sigma _ { 3 } \right\}
\begin{array} { r } { \widehat { f } _ { j , n } = \frac { \sum _ { k = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { k , j + 1 } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { k , j } } \quad \mathrm { a n d } \quad \widehat { f } _ { j , n } ^ { * } = \frac { \sum _ { k = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { k , j } F _ { k , j } ^ { * } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { k , j } } . } \end{array}
\mathbf { A } = { \frac { 1 } { 2 } } | x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 1 } y _ { 3 } |
\begin{array} { r l } { r _ { \perp } } & { = \frac { n _ { \star } ^ { 2 } - w _ { \star } } { n _ { \star } ^ { 2 } + w _ { \star } } , \qquad r _ { \parallel } = \frac { 1 - w _ { \star } } { 1 + w _ { \star } } , } \\ { t _ { \perp } } & { = \frac { 2 n _ { \star } } { n _ { \star } ^ { 2 } + w _ { \star } } , \qquad t _ { \parallel } = \frac { 2 } { 1 + w _ { \star } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left\{ \underbrace { \operatorname* { m a x } _ { y _ { 2 } \in Y ^ { * } ( x _ { 2 } ) } \operatorname* { m i n } _ { y _ { 1 } \in Y ^ { * } ( x _ { 1 } ) } \Vert y _ { 1 } - y _ { 2 } \Vert } _ { ( a ) } , \quad \underbrace { \operatorname* { m a x } _ { y _ { 1 } \in Y ^ { * } ( x _ { 1 } ) } \operatorname* { m i n } _ { y _ { 2 } \in Y ^ { * } ( x _ { 2 } ) } \Vert y _ { 1 } - y _ { 2 } \Vert } _ { ( b ) } \right\} . } \end{array}
\underset { \mathrm { c o l u m n ~ v e c t o r s } } { \underbrace { F \big | _ { N } : = \left[ \begin{array} { l } { F \left( x _ { 1 } \right) } \\ { \vdots } \\ { F \left( x _ { N } \right) } \end{array} \right] } } , \; \mathrm { a n d } \quad \underset { \mathrm { m a t r i x ~ o f ~ a ~ r a n k - 1 ~ o p e r a t o r } } { \underbrace { Q _ { N } : = \left| F \big | _ { N } \left\rangle \right\langle F \big | _ { N } \right| } } ,
\lambda ( s ) = 1 + 2 \langle Y \rangle s ^ { 2 } + \frac { 9 } { 1 0 } \langle Y ^ { 2 } \rangle s ^ { 4 } + \frac { 1 4 9 } { 5 0 0 } \langle Y ^ { 3 } \rangle s ^ { 6 } + O ( s ^ { 8 } ) \, .
\begin{array} { r } { \rVert O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) h \rVert _ { H _ { x } ^ { s } } ^ { 2 } \le _ { s } \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \left( \left( \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \langle k - j \rangle ^ { s } | \widehat { \mathfrak { b } } ( k - j , j ) | | h _ { j } | \right) ^ { 2 } + \left( \sum _ { j \in \mathbb { Z } } | \widehat { \mathfrak { b } } ( k - j , j ) | \langle j \rangle ^ { s } | h _ { j } | \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\sigma _ { d i f f } ^ { h A } = \int d ^ { 2 } b \Bigg ( \int d \sigma P _ { h } ( \sigma ) \sum _ { n } | \langle h | F ( \sigma , b ) | n \rangle | ^ { 2 } - \Big ( \int d \sigma P _ { h } ( \sigma ) | \langle h | F ( \sigma , b ) | h \rangle | \Big ) ^ { 2 } \Bigg ) \ ,
\begin{array} { r } { \langle n ^ { \prime } | e ^ { i ( k _ { x } \hat { x } + k _ { p } \hat { p } ) } | m ^ { \prime } \rangle = e ^ { - \frac { \lambda } { 4 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } ) } \Big [ \sqrt { \frac { \lambda } { 2 } } ( k _ { p } + i k _ { x } ) \Big ] ^ { m ^ { \prime } - n ^ { \prime } } \sqrt { \frac { n ^ { \prime } ! } { m ^ { \prime } ! } } L _ { n ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } - n ^ { \prime } } \big [ \frac { \lambda } { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } ) \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cot \theta _ { p } } & { { } = } & { - \tan \left[ \left( \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } \right) + q _ { p } \delta + q _ { p } ^ { \prime } \zeta ^ { - 1 } \right] } \end{array}
Q _ { i j } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { c c c c } { { \; \; \; \ln \frac { 3 ^ { 6 } } { 2 ^ { 8 } x } + \frac { 4 0 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } \; \; \; } } & { { \; \; \; \ln \frac { 3 ^ { 3 } } { 2 ^ { 4 } x } - \frac { 4 0 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } \; \; \; } } & { { - \frac { 2 1 6 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } & { { \frac { 2 1 6 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } \\ { { \ln \frac { 3 ^ { 3 } } { 2 ^ { 4 } x } - \frac { 4 0 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } & { { \ln \frac { 3 ^ { 6 } } { 2 ^ { 8 } x } + \frac { 4 0 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } & { { \frac { 2 1 6 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } & { { - \frac { 2 1 6 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } \\ { { - \frac { 2 1 6 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } & { { \frac { 2 1 6 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } & { { \; \; \; \ln \frac { 3 ^ { 6 } } { 2 ^ { 8 } x } + \frac { 4 0 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } \; \; \; } } & { { \; \; \; \ln \frac { 3 ^ { 3 } } { 2 ^ { 4 } x } - \frac { 4 0 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } \; \; \; } } \\ { { \frac { 2 1 6 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } & { { - \frac { 2 1 6 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } & { { \ln \frac { 3 ^ { 3 } } { 2 ^ { 4 } x } - \frac { 4 0 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } & { { \ln \frac { 3 ^ { 6 } } { 2 ^ { 8 } x } + \frac { 4 0 x ^ { 2 } } { 7 2 9 - 2 5 x ^ { 2 } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \pi } _ { a _ { } } } & { { } = \Delta t { } \! \int _ { \gamma } ^ { a _ { } } \! \exp \left( \mathbf { y } _ { \alpha { } , a _ { } } ^ { } \right) \mathbf { f } _ { \alpha { } } \, \mathrm { d } \alpha + \exp \left( \mathbf { y } _ { \gamma , a _ { } } ^ { } \right) \boldsymbol { \pi } _ { \gamma } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Upsilon _ { 1 , m } } & { = } & { \tau + \Theta _ { 1 , m } , } \\ { \Upsilon _ { 2 , m } } & { = } & { \left\{ \begin{array} { c } { \tau + \Theta _ { 2 , m } , \mathrm { ~ f o r ~ } - 2 n \leq m \leq 0 } \\ { 3 \tau + \Theta _ { 2 , m } , \mathrm { ~ f o r ~ } 0 < m \leq 2 n } \end{array} \right. , } \\ { \Upsilon _ { 3 , m } } & { = } & { 3 \tau + \Theta _ { 3 , m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { \alpha } u ( { \bf x } , t ) } { \partial t ^ { \alpha } } } & { \approx \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \sum _ { j = 0 } ^ { k } \frac { u ( { \bf x } , \, t _ { j + 1 } ) - u ( { \bf x } , \, t _ { j } ) } { \Delta t } \int _ { j \Delta t } ^ { ( j + 1 ) \Delta t } \frac { d t ^ { \prime } } { ( t _ { k + 1 } - t ^ { \prime } ) ^ { \alpha } } } \\ & { = \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \sum _ { j = 0 } ^ { k } \frac { u ( { \bf x } , \, t _ { j + 1 } ) - u ( { \bf x } , \, t _ { j } ) } { \Delta t } \int _ { ( k - j + 1 ) \Delta t } ^ { ( k - j ) \Delta t } t ^ { - \alpha } d t ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \sum _ { j = 0 } ^ { k } \frac { u ( { \bf x } , \, t _ { k + 1 - j } ) - u ( { \bf x } , \, t _ { k - j } ) } { \Delta t } \int _ { j \Delta t } ^ { ( j + 1 ) \Delta t } t ^ { - \alpha } d t ^ { \prime } } \\ & { = \frac { ( \Delta t ) ^ { 1 - \alpha } } { \Gamma ( 2 - \alpha ) } \sum _ { j = 0 } ^ { k } \frac { u ( { \bf x } , \, t _ { k + 1 - j } ) - u ( { \bf x } , \, t _ { k - j } ) } { \Delta t } r _ { j } ^ { \alpha } , } \end{array}