harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } ( \hat { K } \neq K ) } & { \leq \sum _ { i = 0 } ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \binom { m } { i } \mathrm { P r } ( \hat { K } _ { 1 } ^ { \prime } \neq K ) \times \cdots \times \mathrm { P r } ( \hat { K } _ { m - i } ^ { \prime } \neq K ) } \\ & { \times \mathrm { P r } ( \hat { K } _ { m - i + 1 } ^ { \prime } = K ) \times \cdots \times \mathrm { P r } ( \hat { K } _ { m } ^ { \prime } = K ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 0 } ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \binom { m } { i } \gamma ^ { m - i } 1 ^ { i } } \\ & { \leq \sum _ { i = 0 } ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \binom { m } { i } \gamma ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } } \\ & { \leq ( 2 \sqrt { \gamma } ) ^ { m } . } \end{array}
C = 4 \, { \left( { \chi } ^ { 3 } - { \chi } { \tau } ^ { 2 } + { \chi } \right) } \sqrt { { \chi } ^ { 2 } + 2 \, { \chi } { \tau } + { \tau } ^ { 2 } + 1 } \sqrt { { \chi } ^ { 2 } - 2 \, { \chi } { \tau } + { \tau } ^ { 2 } + 1 }
\hat { \boldsymbol u } ^ { m + 1 } = ( \Delta t \hat { V } ( \hat { \boldsymbol f } ^ { m + 1 / 2 } , \hat { \boldsymbol u } ^ { m + 1 / 2 } ) + ( 1 - \frac { \mu \Delta t | \boldsymbol k | ^ { 2 } } { 2 \rho } ) \hat { \boldsymbol u } ^ { m } ) / ( 1 + \frac { \mu \Delta t | \boldsymbol k | ^ { 2 } } { 2 \rho } )
\phi _ { 0 , 0 } \left( u \right) = { \bf E } \left( u ^ { \tau _ { 0 , 0 } } \right) = \frac { \alpha b _ { 0 } u z \left( u \right) } { \alpha b _ { 0 } u z \left( u \right) + \overline { { \alpha } } \left( 1 - z \left( u \right) \right) } \mathrm { ~ , ~ }
\frac { h } { \bar { h } } = \left[ 1 + \frac { 1 } { \bar { h } } \frac { \partial \ln { a _ { + } } } { \partial \ln { c _ { + } } } \frac { k _ { B } T } { e } \frac { \partial \bar { h } } { \partial \eta } ( 1 - c _ { + } ) \right] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { { } = } & { \left[ - i ( - \Delta _ { L } + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right] a _ { a s } - i g _ { \mathrm { o m } } b _ { a c } + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { { } = } & { \left[ - i ( \Omega _ { \mathrm { B } } + \Delta _ { 2 } ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \right] b _ { a c } - i g _ { \mathrm { o m } } a _ { a s } + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } , } \end{array}
I ( r , z , t ) = I ( 0 , 0 ; 0 ) \frac { w _ { 0 } } { w ( z ) } \exp { \frac { - 2 r ^ { 2 } } { w ^ { 2 } ( z ) } } \exp { \frac { - 4 t ^ { 2 } \ln 2 } { \tau ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { d } W _ { | I | + 1 } ^ { ( 1 ) } ( \hat { z } ^ { k } ; I ) } & { = - D _ { I } ^ { 0 } \frac { \lambda } { 8 ( x ( z ) - x ( 0 ) ) ^ { 3 } } } \\ & { - \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } D _ { I \setminus u _ { j } } \Big \{ \frac { \lambda ^ { 2 } \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) r e g } ( u _ { j } , u _ { j } ) } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 3 } } - \frac { \lambda W _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( u _ { j } ) } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial ( x ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) } \Big \} } \end{array}
T _ { p r o b e } = \frac { 1 } { p _ { p r o b e } \cdot w _ { e } ^ { 2 } \cdot \pi } \int _ { V } \, d r \, d \theta \, d z \, \cdot \, r \cdot T ( r , \, \theta , \, z ) \cdot e ^ { - \frac { ( r - r _ { 0 } ) ^ { 2 } } { w _ { e } ^ { 2 } } } \cdot e ^ { - \frac { 2 z } { p _ { p r o b e } } }
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { v } \oplus \mathbf { u } ^ { \prime } \equiv \mathbf { u } } & { = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ \mathbf { v } + { \frac { \mathbf { u } ^ { \prime } } { \gamma _ { v } } } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { 1 + \gamma _ { v } } } ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { v } \right] } \\ & { = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { 1 + \gamma _ { v } } } \mathbf { v } \times ( \mathbf { v } \times \mathbf { u } ^ { \prime } ) \right] , } \end{array} }
\hat { \mu } = \mu _ { 0 } \left( { \begin{array} { l l l } { { \mu } } & { { i \mu _ { a } } } & { { 0 } } \\ { { - i \mu _ { a } } } & { { \mu } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} } \right) .
J ^ { 2 } = g _ { a b } s ^ { a } s ^ { b } \stackrel { ! } { = } - 1 \quad \Leftrightarrow \quad ( s ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( s ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( s ^ { 3 } ) ^ { 2 } = - 1 .
\begin{array} { r } { \sigma _ { \small \textsc { { R E V } } } ^ { 2 } = \underbrace { { \mathbb E } [ ( p ^ { * } - { \small \textsc { { R E V } } } ^ { * } ) ^ { 2 } ] } _ { { \mathrm { { I } } } _ { t } } + \underbrace { ( { \bar { \mu } ^ { * } } ) ^ { \top } ( { \mathcal { P } } { \mathcal { H } } { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } \Omega ( { \mathcal { P } } { \mathcal { H } } { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } { \bar { \mu } ^ { * } } } _ { { \mathrm { { I I } } } _ { t } } } \\ { + \underbrace { 2 { \mathbb E } [ ( p ^ { * } - { \small \textsc { { R E V } } } ^ { * } ) ( x ^ { * } \odot v - { \bar { \mu } ^ { * } } ) ] ^ { \top } ( { \mathcal { P } } { \mathcal { H } } { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } { \bar { \mu } ^ { * } } } _ { { \mathrm { { I I I } } } _ { t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 2 } z \frac { ( z - z _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \left[ - i \partial ^ { 2 } \alpha _ { 0 } + i \partial \alpha _ { 0 } \partial \varphi - \partial ^ { 2 } \varphi + ( \partial \varphi ) ^ { 2 } \right] } \\ { I _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 2 } z \frac { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( z - z _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \left[ - i \bar { \partial } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } + i \bar { \partial } \alpha _ { 0 } \bar { \partial } \varphi + \bar { \partial } ^ { 2 } \varphi - ( \bar { \partial } \varphi ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { c _ { 0 } } & { c _ { 1 } } & { c _ { 2 } } & { c _ { 3 } } \\ { c _ { 0 } ^ { 2 } } & { c _ { 1 } ^ { 2 } } & { c _ { 2 } ^ { 2 } } & { c _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { c _ { 0 } ^ { 3 } } & { c _ { 1 } ^ { 3 } } & { c _ { 2 } ^ { 3 } } & { c _ { 3 } ^ { 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f _ { 0 } ^ { \mathrm { e q } } } \\ { f _ { 1 } ^ { \mathrm { e q } } } \\ { f _ { 2 } ^ { \mathrm { e q } } } \\ { f _ { 3 } ^ { \mathrm { e q } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u _ { x } } \\ { \rho \left( u _ { x } ^ { 2 } + \frac { k _ { B } T } { m } \right) } \\ { \rho u _ { x } \left( u _ { x } ^ { 2 } + 3 \frac { k _ { B } T } { m } \right) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { = u - \sqrt { g h } - \beta \frac { \sqrt { g h } } { 2 ( 1 - F _ { r } ) } + O ( \beta ^ { 2 } ) } \\ { \lambda _ { 2 } } & { = \frac { \beta g h u } { g h - u ^ { 2 } } + O ( \beta ^ { 2 } ) = \beta u / ( 1 - F _ { r } ^ { 2 } ) + O ( \beta ^ { 2 } ) } \\ { \lambda _ { 3 } } & { = u + \sqrt { g h } + \beta \frac { \sqrt { g h } } { 2 ( 1 + F _ { r } ) } + O ( \beta ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l l } { a ( \theta ) a ( \theta + \frac { \tau } { 2 } ) + b ( \theta ) - \alpha } & { \beta } & { a ( \theta ) b ( \theta + \frac { \tau } { 2 } ) } & { 0 } \\ { - \beta } & { a ( \theta ) a ( \theta + \frac { \tau } { 2 } ) + b ( \theta ) - \alpha } & { 0 } & { a ( \theta ) b ( \theta + \frac { \tau } { 2 } ) } \\ { a ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) } & { 0 } & { b ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) - \alpha } & { \beta } \\ { 0 } & { a ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) } & { - \beta } & { b ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) - \alpha } \end{array} \right) } \\ { \cdot \left( \begin{array} { l } { \phi _ { \Re } ( \theta ) } \\ { \phi _ { \Im } ( \theta ) } \\ { \phi _ { \Re } ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) } \\ { \phi _ { \Im } ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \Re } ( \theta ) } \\ { \psi _ { \Im } ( \theta ) } \\ { \psi _ { \Re } ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) } \\ { \psi _ { \Im } ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x ( t ) } & { { } = } & { x _ { m } \, \sin ( \Omega _ { 0 } t ) , } \\ { z ( t ) } & { { } = } & { c t \beta _ { 0 } - \frac { x _ { m } ^ { 2 } \Omega _ { 0 } } { 8 c } \, \sin ( 2 \Omega _ { 0 } t ) , } \\ { \beta _ { 0 } } & { { } = } & { \langle \beta _ { z } \rangle = 1 - ( 2 \gamma ^ { 2 } ) ^ { - 1 } - \langle \beta _ { \perp } ^ { 2 } \rangle / 2 , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \nu _ { 0 } ( \beta ) = R M e ^ { \beta } - l o g \left[ \bar { K } _ { P } ( \beta ) K _ { P } ( \beta ) \right] , } } \\ { { \nu _ { 1 } ( \beta ) = - l o g K _ { K } ( \beta ) . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { V _ { n , l , \sigma = + 1 } } & { = \mathcal { E } \frac { \Omega _ { + } } { \omega } \sqrt { \frac { J } { \Omega } } J _ { l + n } \left( k \sqrt { \frac { 2 D } { \Omega } } \right) J _ { l } \left( k \sqrt { \frac { 2 J } { \Omega } } \right) } \\ & { \qquad - \mathcal { E } \frac { \Omega _ { - } } { \omega } \sqrt { \frac { D } { \Omega } } J _ { l + 1 + n } \left( k \sqrt { \frac { 2 D } { \Omega } } \right) J _ { l + 1 } \left( k \sqrt { \frac { 2 J } { \Omega } } \right) , } \\ { V _ { n , l , \sigma = - 1 } } & { = \mathcal { E } \frac { \Omega _ { - } } { \omega } \sqrt { \frac { D } { \Omega } } J _ { l - 1 + n } \left( k \sqrt { \frac { 2 D } { \Omega } } \right) J _ { l - 1 } \left( k \sqrt { \frac { 2 J } { \Omega } } \right) } \\ & { \qquad - \mathcal { E } \frac { \Omega _ { + } } { \omega } \sqrt { \frac { J } { \Omega } } J _ { l + n } \left( k \sqrt { \frac { 2 D } { \Omega } } \right) J _ { l } \left( k \sqrt { \frac { 2 J } { \Omega } } \right) , } \\ { V _ { n , l , \sigma = 0 } } & { = \phi J _ { l + n } \left( k \sqrt { \frac { 2 D } { \Omega } } \right) J _ { l } \left( k \sqrt { \frac { 2 J } { \Omega } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } [ w _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } , w _ { j , j } ^ { ( 2 ) } t ] w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } } \\ & { = - \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = 1 } ^ { i } w _ { j , u } ^ { ( 2 ) } t ^ { - s + 1 } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } + \delta ( j \leq i ) \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { - s + 1 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } } \\ & { \quad - \delta _ { i , j } \alpha _ { 1 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = 1 } ^ { i } s w _ { j , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } s w _ { j , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } } \\ & { \quad - \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { x \leq m - n } s w _ { x , x } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ \frac { \lambda L ^ { 2 } d } { \sigma n } \left( 1 2 8 ( 1 + e ) \; 2 ^ { k } - 4 ^ { k - 2 } \right) \right\} } \\ & { \leqslant \sum _ { k = 0 } ^ { 1 3 } \exp \left\{ \frac { \lambda L ^ { 2 } d } { \sigma n } \left( 1 2 8 ( 1 + e ) \; 2 ^ { k } - 4 ^ { k - 2 } \right) \right\} + \sum _ { k = 1 4 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \frac { 4 ^ { k } \lambda L ^ { 2 } d } { 3 2 \sigma n } \right\} . } \end{array}
g ( x _ { c } , t + \Delta t ) = [ \Phi _ { 1 } \Phi _ { 2 } ] \left[ \begin{array} { l } { | | s i n ( x _ { c } + c t ) | | \; c o s ( c \Delta t ) } \\ { | | c o s ( x _ { c } + c t ) | | \; s i n ( c \Delta t ) } \end{array} \right] f ( x _ { c } )
\iota ( m ) = \left\{ \begin{array} { l l } { m } & { \mathrm { i f ~ m < ~ m _ { 1 , 2 } ~ } } \\ { m _ { 1 , 1 } } & { \mathrm { i f ~ m = ~ m _ { 1 , 2 } ~ } } \\ { m - 1 } & { \mathrm { i f ~ m _ { 1 , 2 } < m < m _ { 2 , 2 } ~ } } \\ { m _ { 2 , 1 } } & { \mathrm { i f ~ m = ~ m _ { 2 , 2 } ~ } } \\ { m - 2 } & { \mathrm { i f ~ m > m _ { 2 , 2 } ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } ( \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) ^ { T } ) } \\ & { \quad = { \mathbb { E } } ( ( \sum _ { k = 0 } ^ { n } \beta ^ { n - k } \nabla E _ { k } ( \mathbf { x } ) ) ( \sum _ { k = 0 } ^ { n } \beta ^ { n - k } \nabla E _ { k } ( \mathbf { x } ) ) ^ { T } ) } \\ & { \quad = \sum _ { p = 0 } ^ { n } \beta ^ { 2 n - 2 p } \underbrace { { \mathbb { E } } ( \nabla E _ { p } ( \mathbf { x } ) \nabla E _ { p } ( \mathbf { x } ) ^ { T } ) } _ { { \mathbb { C } } + \nabla E ( \mathbf { x } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) ^ { T } \mathrm { f r o m ~ } } + \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sum _ { j = 0 , j \neq i } ^ { n } \beta ^ { 2 n - i - j } \underbrace { { \mathbb { E } } ( \nabla E _ { i } ( \mathbf { x } ) \nabla E _ { j } ( \mathbf { x } ) ^ { T } ) } _ { \nabla E ( \mathbf { x } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) ^ { T } } } \\ & { \quad = ( { \mathbb { C } } + \nabla E ( \mathbf { x } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) ^ { T } ) \frac { ( 1 - \beta ^ { 2 k + 2 } ) } { ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } + \nabla E ( \mathbf { x } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) ^ { T } [ ( \frac { 1 - \beta ^ { k + 1 } } { 1 - \beta } ) ^ { 2 } - \frac { 1 - \beta ^ { 2 k + 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } ] } \\ & { \quad = \frac { 1 - \beta ^ { 2 k + 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } { \mathbb { C } } + ( \frac { 1 - \beta ^ { k + 1 } } { 1 - \beta } ) ^ { 2 } \nabla E ( \mathbf { x } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = | m | } ^ { s + | m | } \left( - \frac { \omega ^ { 2 } } { 8 } \mathcal { T } _ { j k } + \frac { \gamma ^ { 2 } } { 8 \omega ^ { 2 } } ( \mathcal { R } ^ { 3 } ) _ { j k } + { \mathcal V } _ { j k } \right. \qquad \qquad } \\ { \left. - { \widetilde { E } } ^ { ( s ) } \; { \mathcal { R } } _ { j k } \right) C _ { k } ^ { ( s ) } = 0 , } \end{array}
\small q _ { \mu } = \frac { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } \left[ \ell _ { \hat { \boldsymbol { \psi } } } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) - \ell _ { \hat { \boldsymbol { \psi } } } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) , \quad \ell _ { \boldsymbol { \theta } \hat { \boldsymbol { \psi } } } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) \right] } { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } \left[ \ell _ { \boldsymbol { \psi } \hat { \boldsymbol { \psi } } } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) \right] } \left( \frac { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } [ j _ { \boldsymbol { \psi } \boldsymbol { \psi } } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) ] } { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } [ j _ { \boldsymbol { \theta } \boldsymbol { \theta } } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) ] } \right) ^ { 1 / 2 } \, ,
{ \bar { \Pi } } _ { \ell } ^ { m } ( z ) = \left[ { \frac { ( \ell - m ) ! } { ( \ell + m ) ! } } \right] ^ { 1 / 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \left\lfloor ( \ell - m ) / 2 \right\rfloor } ( - 1 ) ^ { k } 2 ^ { - \ell } { \binom { \ell } { k } } { \binom { 2 \ell - 2 k } { \ell } } { \frac { ( \ell - 2 k ) ! } { ( \ell - 2 k - m ) ! } } \; r ^ { 2 k } \; z ^ { \ell - 2 k - m } .
\begin{array} { r } { \delta L _ { g } : = e ^ { \boldsymbol { \rho } \cdot \nabla _ { \mathbf { X } } } \delta L : = e ^ { \boldsymbol { \rho } \cdot \nabla _ { \mathbf { X } } } \left( \delta \phi - \frac { v _ { \parallel } } { c } \delta A _ { \parallel } \right) , \qquad \delta A _ { \parallel } : = \delta \mathbf { A } \cdot \mathbf { B } _ { 0 } / B _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \phi _ { f } } ^ { i f } } & { { } = \Big ( - \frac { i } { \hbar } \Big ) ^ { 2 } \Big [ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \Big \langle \phi _ { f } \Big \vert T [ { \cal V } _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 1 } ) { \cal V } _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 2 } ) ] \Big \vert \phi _ { i } \Big \rangle } \end{array}
\biggl ( \begin{array} { c c } { P ( E , r ) } \\ { Q ( E , r ) } \end{array} \biggr ) = \biggl ( \begin{array} { c c } { \sqrt { m _ { e } c ^ { 2 } + E } } \\ { - \sqrt { m _ { e } c ^ { 2 } - E } } \end{array} \biggr ) e ^ { i k r } \rho ^ { i \tau } \biggl ( \begin{array} { c c } { f _ { 1 } ( E , r ) } \\ { f _ { 2 } ( E , r ) } \end{array} \biggr )
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \left[ \begin{array} { l } { p } \\ { \epsilon } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \frac { \partial } { \partial z } } \\ { \frac { \partial } { \partial z } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \frac { \delta H } { \delta p } ( p , \epsilon ) } \\ { \frac { \delta H } { \delta \epsilon } ( p , \epsilon ) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { x } \, \tilde { \psi } _ { j } ( x ) = \sqrt { \frac { j + 1 } { 2 } } \tilde { \psi } _ { j + 1 } ( \tilde { x } ) + \sqrt { \frac { j } { 2 } } \tilde { \psi } _ { j - 1 } ( \tilde { x } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ H _ { 1 } , E _ { 1 } ] = 2 E _ { 1 } , \quad [ H _ { 1 } , F _ { 1 } ] = - 2 F _ { 1 } , \quad [ E _ { 1 } , F _ { 1 } ] = H _ { 1 } , } \\ & { [ H _ { 2 } , E _ { 2 } ] = 2 E _ { 2 } , \quad [ H _ { 2 } , F _ { 2 } ] = - 2 F _ { 2 } , \quad [ E _ { 2 } , F _ { 2 } ] = H _ { 2 } , } \\ & { [ H _ { 2 } - H _ { 1 } , E _ { 3 } ] = 2 E _ { 3 } , \quad [ H _ { 2 } - H _ { 1 } , F _ { 3 } ] = - 2 F _ { 3 } , } \\ & { [ E _ { 3 } , F _ { 3 } ] = H _ { 2 } - H _ { 1 } , \quad [ H _ { 1 } , E _ { 2 } ] = E _ { 2 } , \quad [ H _ { 1 } , E _ { 3 } ] = - E _ { 3 } , } \\ & { [ H _ { 2 } , E _ { 1 } ] = E _ { 1 } , \quad [ H _ { 2 } , E _ { 3 } ] = E _ { 3 } , \quad [ H _ { 1 } , F _ { 2 } ] = - F _ { 2 } } \\ & { [ H _ { 1 } , F _ { 3 } ] = F _ { 3 } , \quad [ H _ { 2 } , F _ { 1 } ] = - F _ { 1 } , \quad [ H _ { 2 } , F _ { 3 } ] = - F _ { 3 } , } \\ & { [ F _ { 1 } , F _ { 2 } ] = 0 , \quad [ F _ { 2 } , F _ { 3 } ] = 0 , \quad [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] = 0 , \quad [ E _ { 1 } , E _ { 3 } ] = 0 . } \end{array}
\mathrm { R e } \, \sigma _ { x y } ( \omega ) = \frac { v ^ { 2 } } { 4 b \hbar \omega \xi } \sum _ { s = + , - } ( 1 - 4 b m + s \xi ) \mathrm { a r c c o t h } \Bigg [ \frac { 2 \frac { ( b \hbar ) ^ { 2 } k \omega } { v ^ { 3 } } \sqrt { 1 + \big ( \frac { m v } { \hbar k } - \frac { b \hbar k } { v } \big ) ^ { 2 } } } { s ( 1 - 4 b m ) + ( 1 - 2 b m + \frac { 2 b ^ { 2 } k ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } ) \xi } \Bigg ] \Bigg | _ { 0 } ^ { \infty }
\sum _ { a } { \frac { g ^ { 2 } } { M _ { a } ^ { 2 } } } J ^ { a \mu } J _ { \mu } ^ { a } \, = \sum _ { a } { \frac { g ^ { 2 } } { M _ { a } ^ { 2 } } } ( \bar { d _ { L } ^ { \prime } } \bar { \gamma } _ { \mu } T _ { L } ^ { \prime a } d _ { L } ^ { \prime } + \bar { d _ { R } ^ { \prime } } \bar { \gamma } _ { \mu } T _ { d _ { R } } ^ { \prime a } d _ { R } ^ { \prime } ) ^ { 2 }
Z _ { M N } = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { { 0 } } & { { - w _ { 9 } } } & { { - k _ { 9 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { w _ { 9 } } } & { { 0 } } & { { - k _ { 1 0 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { k _ { 9 } } } & { { k _ { 1 0 } } } & { { 0 } } & { { p _ { 0 } } } & { { p _ { 1 } } } & { { \cdots } } & { { p _ { 8 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - p _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - p _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - p _ { 8 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\rho ^ { 2 } = \frac { \mathcal { A } ^ { 2 } \mathrm { T } _ { \mathrm { o b s } } \sin ^ { 2 } ( f _ { \mathrm { g w } } / f _ { \ast } ) } { 4 S _ { n } ( f _ { \mathrm { g w } } ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( T _ { N } ) } & { \le q _ { N } \left( \sum _ { \lambda \in \mathcal { V } ( Q ) } \left( r ( \lambda , \mathcal { T } _ { N } ^ { \prime } ) + 1 \right) + \sum _ { \lambda \in \mathcal { V } ( Q ) } \sum _ { \mu \prec \lambda } \frac { e ( \lambda ) } { e ( \mu ) } \right) } \\ & { = q _ { N } \left( \sum _ { \lambda \in \mathcal { V } ( Q ) } ( r ( \lambda , \mathcal { T } _ { N } ^ { \prime } ) + 1 ) + \sum _ { \mu \in ( Q \backslash \mathcal { V } ( Q ) ) } \frac { \sum _ { \lambda \in \mathcal { V } ( \mathcal { J } _ { \mu } \cap Q ) } e ( \lambda ) } { e ( \mu ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 3 } } w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) \, \frac { h _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \left( M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } } \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 3 } } w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \right. ) \, \frac { h _ { \beta , j \ast } } { M _ { \beta , j \ast } ^ { 1 / 2 } } \, \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { 0 } ( S ) } & { = } & { \left| \, { 0 , \: 1 } \, \right\rangle = \left[ \, { 0 , \: 1 } \, \right) , } \\ { \Phi _ { 1 } ( S ) } & { = } & { \left| \, { b _ { 0 } + c ( 2 ) l _ { 0 } , \: p ( 2 ) l _ { 0 } } \, \right\rangle = \left| \, { 0 + 0 . 7 \times 1 , \: 0 . 2 \times 1 } \, \right\rangle = \left[ \, { 0 . 7 , \: 0 . 9 } \, \right) , } \\ { \Phi _ { 2 } ( S ) } & { = } & { \left| \, { b _ { 1 } + c ( 1 ) l _ { 1 } , \: p ( 1 ) l _ { 1 } } \, \right\rangle = \left| \, { 0 . 7 + 0 . 2 \times 0 . 2 , \: 0 . 5 \times 0 . 2 } \, \right\rangle = \left[ \, { 0 . 7 4 , \: 0 . 8 4 } \, \right) , } \\ & { \vdots } & \\ { \Phi _ { 6 } ( S ) } & { = } & { \left| \, { b _ { 5 } + c ( 3 ) l _ { 5 } , \: p ( 3 ) l _ { 5 } } \, \right\rangle = \left| \, { 0 . 7 4 2 6 , \: 0 . 0 0 0 2 } \, \right\rangle = \left[ \, { 0 . 7 4 2 6 , \: 0 . 7 4 2 8 } \, \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \ensuremath { \boldsymbol } u } \ensuremath { \boldsymbol \cdot } { \hat { \ensuremath { \boldsymbol } z } } } & { = } & { 0 \qquad \mathrm { o n } \quad z = 0 , 1 , } \\ { { \ensuremath { \boldsymbol } F } \ensuremath { \boldsymbol \cdot } { \hat { \ensuremath { \boldsymbol } z } } } & { = } & { 0 \qquad \mathrm { o n } \quad z = 0 , 1 . } \end{array}