harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { \epsilon } d k ^ { + } \big ( B _ { 1 } - C _ { 1 } - C _ { 2 } \big ) = A + B \ln { \frac { p _ { 1 } ^ { + } } { \epsilon } } + C \ln { \frac { p _ { 2 } ^ { + } } { \epsilon } } + D \ln { \frac { q ^ { + } } { \epsilon } } \, ,
I _ { - 2 } , I _ { - 1 } , I _ { 0 } , I _ { 1 } , I _ { 2 } = [ - 1 , 1 - 2 a ] , [ 1 - 2 a , - 1 + a ] , [ - 1 + a , 1 - a ] , [ 1 - a , - 1 + 2 a ] , [ - 1 + 2 a , 1 ]
\begin{array} { r l } { { { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } + i { \bf { \Gamma } } } \right) } ^ { - 1 } } \left( { { \bf { K } } + { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } m _ { 0 } } \right) { \left| \psi \right\rangle } } & { = \omega { \left| \psi \right\rangle } } \\ { { { \left( { 1 + \frac { { i { \bf { \Gamma } } } } { { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } } } } \right) } ^ { - 1 } } { { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } } m _ { 0 } \right) } ^ { - 1 } } \left( { { \bf { K } } + { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } m _ { 0 } } \right) { \left| \psi \right\rangle } } & { = \omega { \left| \psi \right\rangle } } \\ { \left( { 1 - \frac { { i { \bf { \Gamma } } } } { { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } } } } \right) \left( { \frac { { \bf { K } } } { { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } } } + \frac { { { \omega _ { 0 } } } } { 2 } } \right) { \left| \psi \right\rangle } } & { = \omega { \left| \psi \right\rangle } } \\ { \left( { \frac { { { \omega _ { 0 } } } } { 2 } - \frac { { i { \bf { \Gamma } } } } { 4 m _ { 0 } } + \frac { { \bf { K } } } { { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } } } - \frac { { i { \bf { \Gamma } \mathbf { K } } } } { { 4 { ( \omega _ { 0 } m _ { 0 } ) } ^ { 2 } } } } \right) { \left| \psi \right\rangle } } & { = \omega { \left| \psi \right\rangle } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { M } _ { n m } ( k , \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { e } _ { r } = 0 } \\ { \mathbf { M } _ { n m } ( k , \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { e } _ { \theta } = \mathrm { i } Z _ { n } ^ { 0 } ( k r ) T _ { n m } ^ { 1 } ( \theta ) e ^ { \mathrm { i } m \phi } } \\ { \mathbf { M } _ { n m } ( k , \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { e } _ { \phi } = - Z _ { n } ^ { 0 } ( k r ) T _ { n m } ^ { 3 } ( \theta ) e ^ { \mathrm { i } m \phi } , } \end{array} \right.
H _ { i } ( X ; \mathbf { Z } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { Z } } & { i = 0 { \mathrm { ~ o r ~ } } i = n { \mathrm { ~ o d d , } } } \\ { \mathbf { Z } / 2 \mathbf { Z } } & { 0 < i < n , \ i \ { \mathrm { o d d , } } } \\ { 0 } & { { \mathrm { e l s e . } } } \end{array} \right. }
\frac { \frac { V _ { + 0 , + 0 } } { V _ { 0 + , 0 + } } + \frac { V _ { + - , 0 0 } } { V _ { - + , 0 0 } } } { \frac { V _ { 0 + , 0 + } } { V _ { + 0 , + 0 } } + \frac { V _ { - + , 0 0 } } { V _ { + - , 0 0 } } } = \frac { \left( V _ { + - , - + } - V _ { + + , + + } \right) \frac { V _ { + 0 , + 0 } } { V _ { 0 + , 0 + } } + V _ { + - , + - } } { \left( V _ { + - , - + } - V _ { + + , + + } \right) \frac { V _ { 0 + , 0 + } } { V _ { + 0 , + 0 } } + V _ { - + , - + } } \; .
{ \cal { M } } _ { ( \eta ) } ^ { \vec { \alpha } } ( { \bf { r } } ) = \prod _ { m = 1 } ^ { \eta } { \textstyle \frac { \partial _ { j } } { \partial ^ { 2 } } \overline { { { { \cal A } _ { j } ^ { \alpha [ m ] } } } } ( { \bf r } ) } = \prod _ { m = 1 } ^ { \eta } \overline { { { { \cal Y } ^ { \alpha [ m ] } } } } ( { \bf { r } } ) = \overline { { { { \cal Y } ^ { \alpha [ 1 ] } } } } ( { \bf { r } } ) \, \overline { { { { \cal Y } ^ { \alpha [ 2 ] } } } } ( { \bf { r } } ) \, \cdots \overline { { { { \cal Y } ^ { \alpha [ \eta ] } } } } ( { \bf { r } } ) \; ,
{ \mathrm { C N O T } } = { \mathrm { C X } } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { V _ { M 0 } } \\ { V _ { 0 } Y } \end{array} \right] } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { V _ { 0 } } \\ { V _ { 0 } Y } \end{array} \right] . } \end{array}
| \langle \varphi \rangle _ { _ { \scriptstyle J _ { - } } } - \langle \varphi \rangle _ { _ { \scriptstyle J _ { + } } } | \leq | \langle \varphi \rangle _ { _ { \scriptstyle J _ { - } } } - \langle \varphi \rangle _ { _ { \scriptstyle J } } | + | \langle \varphi \rangle _ { _ { \scriptstyle J _ { + } } } - \langle \varphi \rangle _ { _ { \scriptstyle J } } | \leq 2 \sqrt { 2 } \xi ( | J | ) = 2 \sqrt { 2 } \xi ( 2 | J _ { - } | ) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 - \beta _ { k } } { \sqrt { s } } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { s } } \left( 1 - \left( 1 - \tau _ { k } \right) \left( 1 - \mu \delta _ { k } \right) \frac { \tau _ { k + 1 } } { \tau _ { k } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { s } } \left( 1 - \left( 1 - \sqrt { s } \tau \left( t _ { k } \right) \right) \left( 1 - \mu \sqrt { s } \delta \left( t _ { k } \right) \right) \left( 1 + \frac { \dot { \tau } \left( t _ { k } \right) s + \sqrt { s } o \left( \sqrt { s } \right) } { \tau \left( t _ { k } \right) \sqrt { s } } \right) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { s } } \left( \sqrt { s } \tau \left( t _ { k } \right) + \mu \sqrt { s } \delta \left( t _ { k } \right) - \sqrt { s } \frac { \dot { \tau } \left( t _ { k } \right) } { \tau \left( t _ { k } \right) } + o \left( \sqrt { s } \right) \right) } \\ & { = \tau \left( t _ { k } \right) + \mu \delta \left( t _ { k } \right) - \frac { \dot { \tau } \left( t _ { k } \right) } { \tau \left( t _ { k } \right) } + \frac { o \left( \sqrt { s } \right) } { \sqrt { s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \mathbf { \Gamma } } ( \mathcal { I } ) = + 1 } & { { } , \quad \rho _ { G } ^ { \mathbf { X } } ( \mathcal { I } ) = + 1 \qquad ( 1 a ) , } \\ { \rho _ { G } ^ { \mathbf { \Gamma } } ( \mathcal { I } ) = + 1 } & { { } , \quad \rho _ { G } ^ { \mathbf { X } } ( \mathcal { I } ) = - 1 \qquad ( 1 b ) . } \end{array}
a _ { \bar { K } N } \equiv \left[ f _ { 0 } ^ { \frac 1 2 } ( s = ( m _ { K } + M _ { N } ) ^ { 2 } ) \right] _ { \bar { K } N \leftarrow \bar { K } N } = \left( - 1 . 2 0 \pm 0 . 0 9 + \mathrm { i } ~ 1 . 2 9 \pm 0 . 0 9 \right) \quad \mathrm { f m }
\begin{array} { r l } & { \tilde { H } [ u ] = \sum _ { i , j \in \mathcal { B } } \, \, \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } h _ { i j } \, a _ { j , \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i , \sigma } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k , l \in \mathcal { B } } \, \, \sum _ { \sigma , \lambda = \uparrow , \downarrow } \big ( V _ { i j } ^ { k l } - { K } _ { i j } ^ { k l } \big ) \, a _ { k , \sigma } ^ { \dagger } a _ { l , \lambda } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j , \lambda } \hat { a } _ { i , \sigma } } \\ & { - \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i , j , m , k , l , n \in \mathcal { B } } \, \, \sum _ { \sigma , \lambda , \kappa = \uparrow , \downarrow } { L } _ { i j m } ^ { k l n } \, a _ { k , \sigma } ^ { \dagger } a _ { l , \lambda } ^ { \dagger } a _ { n , \kappa } ^ { \dagger } \hat { a } _ { m , \kappa } \hat { a } _ { j , \lambda } \hat { a } _ { i , \sigma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \frac { \partial } { \partial \tau } \tilde { v } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , \tau ) = \widetilde { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { e f f } } \tilde { v } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , \tau ) , } \\ & { \tilde { v } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , 0 ) = f _ { 1 } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
R _ { i \alpha , j \beta } = R _ { i j } \left( \begin{array} { l l l } { q _ { 1 } P _ { 1 } } & { p _ { i 1 , j 2 } } & { p _ { i 1 , j 3 } } \\ { p _ { i 2 , j 1 } } & { q _ { 2 } P _ { 2 } } & { p _ { i 2 , j 3 } } \\ { p _ { i 3 , j 1 } } & { p _ { i 3 , j 2 } } & { q _ { 3 } P _ { 3 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } & { { } = \sum _ { x _ { i } ^ { t - 1 } } \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t - 1 } \right) M _ { x _ { i } ^ { t - 1 } x _ { i } ^ { t } } ^ { i \setminus j } } & { \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; t \in } & { { } \{ 1 , \ldots , T \} } \\ { \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } & { { } = \sum _ { x _ { i } ^ { t + 1 } } \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } \right) M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } } & { \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; t \in } & { { } \{ 0 , \ldots , T - 1 \} , } \end{array}
\begin{array} { l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { n } H _ { m n } \frac { D } { { { r ^ { 2 } } } } \frac { \partial } { { \partial r } } ( { r ^ { 2 } } \frac { { \partial R _ { n } ^ { o } ( r , \omega ) } } { { \partial r } } ) P _ { n m } ( \cos \theta ) \cos ( m ( \varphi - \varphi _ { \mathrm { t x } } ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { n } H _ { m n } R _ { n } ^ { o } ( r , \omega ) \frac { D } { { { r ^ { 2 } } \sin \theta } } \frac { \partial } { { \partial \theta } } ( \sin \theta \frac { { \partial P _ { n m } ( \cos \theta ) } } { { \partial \theta } } ) + } \\ { \frac { D } { { { r ^ { 2 } } { { \sin } ^ { 2 } } \theta } } \frac { { { \partial ^ { 2 } } ( \cos ( m ( \varphi - \varphi _ { \mathrm { t x } } ) ) ) } } { { \partial { \varphi ^ { 2 } } } } - ( { i \omega } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { n } H _ { m n } R _ { n } ^ { o } ( r , \omega ) P _ { n m } ( \cos \theta ) \cos ( m ( \varphi - \varphi _ { \mathrm { t x } } ) ) } \\ { = - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { n } L _ { m } \frac { { 2 n + 1 } } { 2 } \frac { { ( n - m ) ! } } { { ( n + m ) ! } } \times { P _ { n m } ( \cos \theta ) P _ { n m } ( \cos { \theta _ { \mathrm { t x } } } ) } { \cos ( m ( \varphi - \varphi _ { \mathrm { t x } } ) ) } \delta ( \bar { r } - \bar { r } _ { \mathrm { t x } } ) , } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { \kappa \to 0 } \, \kappa \| \nabla \theta ^ { \kappa } \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } ) } ^ { 2 } \geq \varrho ^ { 2 } \| \theta _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } ) } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { F ( \alpha ) } & { { } = \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } \alpha ^ { 2 } - \frac { 1 } { \beta } \sum _ { k } \ln \left( 1 + e ^ { - \beta \left( E _ { k } ^ { + } ( \alpha ) + E _ { k } ^ { - } ( \alpha ) - 2 \mu \right) } + e ^ { - \beta \left( E _ { k } ^ { + } ( \alpha ) - \mu \right) } + e ^ { - \beta \left( E _ { k } ^ { - } ( \alpha ) - \mu \right) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { P } _ { \mathrm { S E I , e l } } = 2 \mathbf { F } _ { \mathrm { S E I } } \frac { \partial \rho _ { \mathrm { 0 , S E I } } \varphi _ { \mathrm { S E I } } } { \partial \mathbf { C } _ { \mathrm { S E I } } } } \\ & { = \mathbf { F } _ { \mathrm { S E I } } \mathbf { F } _ { \mathrm { S E I , p l } } ^ { - \mathrm { T } } \mathbf { F } _ { \mathrm { S E I , p l } } ^ { - 1 } \left( \lambda _ { \mathrm { S E I } } \operatorname { t r } ( \mathbf { E } _ { \mathrm { S E I , e l } } ) \mathbf { I d } + 2 G _ { \mathrm { S E I } } \mathbf { E } _ { \mathrm { S E I , e l } } \right) } \end{array}
\frac { d ( \exp _ { x } ^ { - 1 } ) _ { * } \nu _ { x } ^ { \delta _ { n } } } { d \tilde { \mu } _ { x } ^ { \delta _ { n } } } ( w ) = \frac { d \nu _ { x } ^ { \delta _ { n } } } { d \bar { \mu } _ { x } ^ { \delta _ { n } } } ( \exp _ { x } w ) = \frac { e ^ { - V ( \exp _ { x } w ) } } { \int _ { \tilde { B } _ { \delta } ( x ) } e ^ { - V ( \exp _ { x } w ^ { \prime } ) } d \tilde { \mu } ( w ^ { \prime } ) } = 1 + O ( \delta )
\begin{array} { r l } & { \mathrm { B i a s } = \frac { 1 } { D } \sum _ { i = 1 } ^ { D } \left( X _ { \mathrm { m o d } , i } - X _ { \mathrm { o b s } , i } \right) . } \\ & { \mathrm { R M S E } = \sqrt { \frac { 1 } { D } \sum _ { i = 1 } ^ { D } \left( X _ { \mathrm { m o d } , i } - X _ { \mathrm { o b s } , i } \right) ^ { 2 } } . } \\ { * } & { \mathrm { N R M S E } = \sqrt { \frac { 1 } { D } \sum _ { i = 1 } ^ { D } \left( X _ { \mathrm { m o d } , i } - X _ { \mathrm { o b s } , i } \right) ^ { 2 } } \Bigg / \frac { 1 } { D } \sum _ { i = 1 } ^ { D } X _ { \mathrm { o b s } , i } . } \\ & { R = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { D } \left( X _ { \mathrm { m o d } , i } - \frac { 1 } { D } \sum _ { i = 1 } ^ { D } X _ { \mathrm { m o d } , i } \right) \left( X _ { \mathrm { o b s } , i } - \frac { 1 } { D } \sum _ { i = 1 } ^ { D } X _ { \mathrm { o b s } , i } \right) } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { D } \left( X _ { \mathrm { m o d } , i } - \frac { 1 } { D } \sum _ { i = 1 } ^ { D } X _ { \mathrm { m o d } , i } \right) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { D } \left( X _ { \mathrm { o b s } , i } - \frac { 1 } { D } \sum _ { i = 1 } ^ { D } X _ { \mathrm { o b s } , i } \right) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 - 2 p < \frac { d ^ { \frac { 1 } { 2 } } r \left| \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( z _ { 1 } ^ { * } ) \right| + d r ^ { 2 } \left| \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( z _ { 1 } ^ { * } ) \right| } { d ^ { \frac { 1 } { 2 } } r \left| \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime \prime } } ( z _ { \infty } ^ { * } ) \right| + d r ^ { 2 } \left| \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime \prime \prime } } ( z _ { \infty } ^ { * } ) \right| } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { 2 , c _ { 0 , 2 } , \alpha } ^ { ( \beta ) } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { 2 , c _ { 0 , 2 } } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { i f } \; \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) \leq \delta _ { 2 , c _ { 0 , 2 } } ( \underline { { X } } ) } \\ { \alpha \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) + ( 1 - \alpha ) \delta _ { 2 , c _ { 0 , 2 } } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { i f } \; \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) > \delta _ { 2 , c _ { 0 , 2 } } ( \underline { { X } } ) } \end{array} \right. , \; \; \alpha \in [ 0 , 1 ] , } \end{array}
E _ { \mathrm { K } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { 2 } } \, m _ { i } \mathbf { v } _ { i } \cdot \mathbf { v } _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { 2 } } \, m _ { i } \left( \omega r _ { i } \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \, \omega ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } r _ { i } ^ { 2 } .
\frac { \partial \vec { Q } } { \partial t } + \vec { \nabla } \cdot \vec { \mathcal { F } } ( \vec { Q } , \overrightarrow { \nabla Q } ) \equiv \frac { \partial \vec { Q } } { \partial t } + \vec { \nabla } \cdot \left[ \vec { \mathcal { F } } _ { e } ( \vec { Q } ) - \vec { \mathcal { F } } _ { v } ( \vec { Q } , \overrightarrow { \nabla Q } ) \right] = 0 \mathrm { ~ , }
\Delta n _ { \ell , 1 } \sim { \bf B } \left( n _ { \ell } ( t ) , 1 - e ^ { - \mu \Delta t } \right) , \quad \quad \Delta { n } _ { \ell , 0 } \sim { \bf B } \left[ s _ { \ell } ( t ) , 1 - \exp \left( { - \beta \frac { n _ { \ell } ( t ) } { n _ { \ell } ( t ) + s _ { \ell } ( t ) } \Delta t } \right) \right] ,
\frac 1 r \partial _ { r } ( r \partial _ { r } p ) + \partial _ { z } ^ { 2 } p \ = \ 2 \big [ \partial _ { r } v _ { r } \partial _ { z } v _ { z } - \partial _ { r } v _ { z } \partial _ { z } v _ { r } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } v _ { r } ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { 4 } } \big ( v _ { \theta } ^ { 2 } - \frac { r } { 2 } \partial _ { r } v _ { \theta } ^ { 2 } \big ) \big ] \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { s _ { j } \in \{ \mathrm { C } , \mathrm { D } \} , } & { \mathrm { i f } ~ ~ \pi _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } ( s _ { j } ) \leq \pi _ { i } ( s _ { i } ) } \\ { s _ { j } = s _ { i } , } & { \mathrm { i f } ~ ~ \pi _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } ( s _ { j } ) > \pi _ { i } ( s _ { i } ) } \end{array} \right. ,
\left. \begin{array} { l } { \displaystyle ( \hat { x } , \hat { z } , \hat { \xi } , \hat { \zeta } ) = \hat { R } _ { 0 } ( x , \epsilon z , \epsilon \xi , \epsilon \zeta ) , \quad \hat { t } = \frac { \hat { R } _ { 0 } } { { \hat { U } } } t ; } \\ { \displaystyle \hat { \sigma } = \hat { \sigma } _ { 0 } \sigma , \quad ( \hat { p } _ { l } , \hat { p } _ { s } , \hat { \Pi } ) = \frac { \hat { \eta } _ { l } { \hat { U } } } { \epsilon ^ { 2 } \hat { R } _ { 0 } } ( p _ { l } , p _ { s } , \Pi ) ; } \\ { \displaystyle ( \hat { u } _ { x } , \hat { u } _ { z } ) = \hat { R } _ { 0 } ( u _ { x } , \epsilon u _ { z } ) , \quad ( \hat { v } _ { x } , \hat { v } _ { z } ) = \hat { U } ( v _ { x } , \epsilon v _ { z } ) ; } \\ { \displaystyle \hat { T } = \hat { T } _ { r e f } + T \Delta \hat { T } , \quad \hat { J } = \frac { \hat { \lambda } \Delta \hat { T } } { \hat { L } _ { v } \hat { h } _ { 0 } } J , \quad \hat { \rho ^ { v } } = \hat { \rho } _ { r e f } ^ { v } \rho ^ { v } . } \end{array} \right\}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge \ast [ \eta , d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) ] _ { 1 } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { P } _ { N } ( \mathbb { H } ) : \quad \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { q } , r , \gamma } \quad \gamma } \\ & { \quad \mathrm { s . t . ~ } \operatorname* { m a x } _ { ( \mathbf { w } , d ) \in \mathbb { H } } G ( \mathbf { z } ( \mathbf { q } , r , \mathbf { w } , d ) , \mathbf { w } , d , \gamma ) \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \biggl ( \lambda ^ { \frac { 3 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda x } d F ( \sqrt { x } ) \biggr ) ^ { \alpha } \lesssim \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { \frac { 3 \alpha } { 2 } } \mathbb { E } \bigl ( F \biggl ( \sqrt { \frac { n + 1 } { \lambda } } \biggr ) ^ { \alpha } \bigr ) e ^ { - \alpha n } \lesssim \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( n + 1 ) ^ { \frac { 3 \alpha } { 2 } } e ^ { - \alpha n } , } \end{array}
P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } = - \mu ^ { \sigma } ( \frac { \partial u _ { \alpha } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \beta } } + \frac { \partial u _ { \beta } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \alpha } } - \frac { 2 } { D + I ^ { \sigma } } \frac { \partial u _ { \gamma } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \gamma } } \delta _ { \alpha \beta } ) ,
\begin{array} { r } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = D ( L ) \ \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \int ^ { L ^ { \prime } } \frac { 2 f ( L ^ { \prime \prime } ) } { D ( L ^ { \prime \prime } ) } d L ^ { \prime \prime } } H ( L ^ { \prime } ) \right) \ , } \end{array}
\eta ^ { 2 } = \frac { ( \omega ^ { 2 } - \widetilde { \omega } _ { L } ^ { 2 } ) ( \omega ^ { 2 } - \widetilde { \omega } _ { R } ^ { 2 } ) } { \omega ^ { 2 } ( \omega ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } - \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } ) } \left[ \frac { 2 p + c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } / \beta ^ { 2 } } { 2 p + ( 2 p - 1 ) c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } / \beta ^ { 2 } } \right] \, ,
\begin{array} { r l } & { d \partial _ { z } v ^ { k } = - ( \partial _ { z } u ^ { k } \partial _ { x } v ^ { k } + u ^ { k } \partial _ { x z } v ^ { k } + \partial _ { z } w ^ { k } \partial _ { z } v ^ { k } + w ^ { k } \partial _ { z z } v ^ { k } ) d t + \partial _ { z z } \sigma ( u ^ { k } ) d W : = B _ { 1 } d t + B _ { 2 } d W . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { k + 1 } } & { = \left( 1 - \alpha _ { k } \right) \gamma _ { k } + \mu \alpha _ { k } } \\ { y _ { k } } & { = \frac { 1 } { \gamma _ { k } + \mu \alpha _ { k } } \left( \alpha _ { k } \gamma _ { k } z _ { k } + \gamma _ { k + 1 } x _ { k } \right) } \\ { x _ { k + 1 } } & { = y _ { k } - s \nabla f \left( y _ { k } \right) } \\ { z _ { k + 1 } } & { = \frac { 1 } { \gamma _ { k + 1 } } \left( \left( 1 - \alpha _ { k } \right) \gamma _ { k } z _ { k } + \mu \alpha _ { k } y _ { k } - \alpha _ { k } \nabla f \left( y _ { k } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j = 1 } ^ { K } \frac 1 4 \bigg [ ( ( p _ { j } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 ( ( p _ { j } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } \\ { + } & { | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) p _ { j } ^ { ( n ) } ( p _ { j } - p _ { j } ^ { ( n ) } ) - ( p _ { j } ^ { 2 } - | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ { + } & { 4 ( ( p _ { j } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) ( \mathcal R ( \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ^ { ( n ) } \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ) - | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } ) \bigg ] } \\ & { + { \sigma ^ { 2 } } \leq { \beta _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \zeta } ( k ) } { \partial t ^ { 2 } } + i \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ) + \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ) \right] \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k ) } { \partial t } - \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ) \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ) \tilde { \zeta } ( k ) } \\ & { } & { + \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { 1 } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \tilde { \zeta } ( k ^ { \prime } ) \tilde { \zeta } ( k - k ^ { \prime } ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { 2 } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \left( \tilde { \zeta } ( k ^ { \prime } ) \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k - k ^ { \prime } ) } { \partial t } + \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k ^ { \prime } ) } { \partial t } \tilde { \zeta } ( k - k ^ { \prime } ) \right) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { 3 } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \left( \tilde { \zeta } ( k ^ { \prime } ) \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k - k ^ { \prime } ) } { \partial t } - \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k ^ { \prime } ) } { \partial t } \tilde { \zeta } ( k - k ^ { \prime } ) \right) } \\ & { } & { + \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { 4 } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k ^ { \prime } ) } { \partial t } \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k - k ^ { \prime } ) } { \partial t } = 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ l _ { i } ^ { c } ] _ { s } } & { = - [ l _ { i } ] _ { s } - \sum _ { c , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \frac { \partial } { \partial \left[ d _ { i } ^ { 0 } \right] _ { s } } \left( \left[ \Delta _ { i } \left( \mathbf { 1 } - \Delta _ { i } \right) \right] _ { c b } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \mathcal { D } _ { i } ^ { 0 } \right] _ { b c } + \mathrm { c . c . } \right) \dag } & { = - [ l _ { i } ] _ { s } - \sum _ { c , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \frac { \partial } { \partial \left[ d _ { i } ^ { 0 } \right] _ { s } } \left( \left[ \Delta _ { i } \left( \mathbf { 1 } - \Delta _ { i } \right) \right] _ { c b } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \mathcal { D } _ { i } \right] _ { b \alpha } \left[ \mathcal { R } _ { i } \right] _ { c \alpha } + \mathrm { c . c . } \right) \dag , , } \end{array}
R _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \| \mathbf { X } _ { i } - \mathbf { X } _ { j } \| \leq \varepsilon } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \| \mathbf { X } _ { i } - \mathbf { X } _ { j } \| > \varepsilon . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \vec { j } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \, g _ { m } ( \vec { r } , \vec { R } ) \bigg \{ 4 m ( \vec { r } - \vec { R } ) ^ { - 2 } \bigg [ - ( y - Y _ { 0 } ) \, \hat { x } + ( x - X _ { 0 } ) \, \hat { y } \, \bigg ] + \alpha \bigg [ ( x - X _ { 0 } ) \, \hat { x } - ( y - Y _ { 0 } ) \, \hat { y } \bigg ] } \end{array}