harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathbf { B } ( \mathbf { k } ) } & { = } & { \frac { \Omega _ { R } ^ { 2 } } { 4 E ^ { 2 } } \Bigg [ \hat { k } _ { x } \sin ( k _ { y } ) \sin ( k _ { z } ) \left( \mathrm { T r } \{ \rho _ { n } \sigma _ { x } \} - \frac { \Omega _ { R } \sin ( k _ { x } ) } { E } \right) - \hat { k } _ { y } \cos ( k _ { x } ) \sin ( k _ { z } ) \left( \mathrm { T r } \{ \rho _ { n } \sigma _ { y } \} - \frac { \Omega _ { R } \cos ( k _ { y } ) } { E } \right) } \\ & { } & { \; \; - \hat { k } _ { z } \cos ( k _ { x } ) \sin ( k _ { y } ) \left( \mathrm { T r } \{ \rho _ { n } \sigma _ { z } \} - \frac { \Omega _ { R } \cos ( k _ { z } ) } { E } \right) \Bigg ] } \\ & { = } & { \frac { - \hat { k } _ { x } \sin ( k _ { x } ) \sin ( k _ { y } ) \sin ( k _ { z } ) \sigma _ { x } + \hat { k } _ { y } \cos ( k _ { x } ) \cos ( k _ { y } ) \sin ( k _ { z } ) \sigma _ { y } + \hat { k } _ { z } \cos ( k _ { x } ) \sin ( k _ { y } ) \cos ( k _ { z } ) \sigma _ { z } } { 2 \left( \sin ^ { 2 } k _ { x } + \cos ^ { 2 } k _ { y } + \cos ^ { 2 } k _ { z } \right) ^ { 3 / 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } ( \tau _ { 2 } ; \boldsymbol { \alpha } ) = \mathcal { Q } \left( \boldsymbol { \alpha } \right) + \frac { 1 - \mathcal { Q } \left( \boldsymbol { \alpha } \right) } { \tau _ { \mathrm { d } } } \tau _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \zeta _ { \mu } ^ { \lambda } - ( \lambda _ { 2 } + a _ { 1 } - 2 a _ { 2 } + \mu _ { 2 } - \lambda _ { 2 } - \ell ) \omega _ { 1 } - ( \mu _ { 1 } + a _ { 2 } - 2 a _ { 1 } + \mu _ { 2 } - \lambda _ { 2 } - \ell ) \omega _ { 2 } } \\ { = \zeta _ { \mu } ^ { \lambda } - ( \lambda _ { 2 } + b _ { 1 } - 2 b _ { 2 } + \mu _ { 2 } - \lambda _ { 2 } - \ell - s ) \omega _ { 1 } - ( \mu _ { 1 } + b _ { 2 } - 2 b _ { 1 } + \mu _ { 2 } - \lambda _ { 2 } - \ell - s ) \omega _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { = - \Delta _ { 1 } \left( \frac { 1 + \rho _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } k _ { 1 } \left( 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } \right) , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 + 3 \rho _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \left( 2 \Delta _ { 1 } - k _ { 1 } ( 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } ) \right) , } \end{array}
R _ { 2 \pi } ^ { \mathrm { i n t } } ( \tau ) = { \frac { 2 | \epsilon | } { \cos \delta \phi } } | \rho _ { 1 2 } ^ { r } ( 0 ) | e ^ { - \Gamma \tau } \cos ( \Delta m \tau - \phi - \delta \phi - \phi _ { 1 2 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { I _ { j } } & { = \left\vert G \right\vert ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( l \Omega t + \theta \right) + \left\vert F \right\vert ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( l \Omega t + \theta \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } i ( G ^ { \ast } F - G F ^ { \ast } ) \sin 2 ( l \Omega t + \theta ) , } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \left\vert G \right\vert ^ { 2 } - \left\vert F \right\vert ^ { 2 } \right) \cos 2 ( l \Omega t + \theta ) } \\ & { + \frac { \left\vert G \right\vert ^ { 2 } + \left\vert F \right\vert ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } i ( G ^ { \ast } F - G F ^ { \ast } ) \sin 2 ( l \Omega t + \theta ) , } \end{array}
\hat { n } _ { i } | n _ { i } \rangle = \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } | n _ { i } \rangle = \sqrt { n _ { i } } \; \hat { a } _ { i } ^ { + } | n _ { i } - 1 \rangle = n _ { i } | n _ { i } \rangle
m ( p ) = \frac { 3 i } { \pi } \int d ^ { 3 } { \hat { k } } d k _ { 0 } m _ { q } \alpha _ { s } [ \omega _ { 0 } ^ { 2 } { \nabla _ { \hat { k } } } ^ { 2 } + C _ { 0 } ] \delta ^ { 3 } ( { \hat { k } } ) \frac { m ( p ^ { 2 } ) } { [ p ^ { \prime } 2 + m ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) ] }
V _ { \mathrm { F } } = { \frac { \lambda } { 4 } } \left( 1 6 | \Phi _ { 2 } | ^ { 2 } | \Phi _ { 3 } | ^ { 2 } - 8 v ^ { 2 } | \Phi _ { 2 } | | \Phi _ { 3 } | \cos ( \theta + \bar { \theta } ) + v ^ { 4 } \right) + 4 \lambda | \Phi _ { 2 } | ^ { 2 } \left( | \Phi _ { 2 } | ^ { 2 } + | \Phi _ { 3 } | ^ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r } { \vec { \mathfrak { x } } ( \alpha , t ) \cdot \vec { e } _ { 1 } = 0 \quad \forall \alpha \in \partial \mathbb { I } , } \\ { \vec { \mathfrak { x } } _ { \alpha } ( \alpha , t ) \cdot \vec { e } _ { 2 } = 0 \quad \forall \alpha \in \partial \mathbb { I } , } \end{array}
\eta ^ { \dagger } = ( \eta ( \dot { \gamma } ) ^ { \mathrm { P E O 4 } } - \eta _ { \infty } ^ { \mathrm { P E O 8 } } ) / ( \eta _ { 0 } ^ { \mathrm { P E O 8 } } - \eta _ { \infty } ^ { \mathrm { P E O 8 } } ) \, .
\begin{array} { r } { M \big ( ( - 1 ) ^ { n } \, \mathtt { Q } \big ) ^ { - n \, \frac { m \, \epsilon _ { 1 2 } \, \epsilon _ { 1 3 } \, \epsilon _ { 2 3 } } { \epsilon _ { 1 } \, \epsilon _ { 2 } \, \epsilon _ { 3 } \, \epsilon _ { 4 } } - \frac { n ^ { 2 } - 1 } { n } \, \frac { m \, \epsilon _ { 1 2 } } { \epsilon _ { 1 } \, \epsilon _ { 2 } } } \ \prod _ { 0 < p \leq s < n } \, \widetilde { M } \big ( ( - 1 ) ^ { p - s + 1 } \, \mathtt { q } _ { [ p , s ] } , ( - 1 ) ^ { n } \, \mathtt { Q } \big ) ^ { - \frac { m \, \epsilon _ { 1 2 } } { \epsilon _ { 3 } \, \epsilon _ { 4 } } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \boldsymbol { u } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) \boldsymbol { u } + \frac { 1 } { \mathrm { R o } } f \boldsymbol { u } ^ { \perp } } & { { } = - \frac { \alpha } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \nabla ( ( 1 + \mathfrak { s } b ) \zeta ) + \frac { \mathfrak { s } } { 2 \, \mathrm { F r } ^ { 2 } } ( \alpha \zeta - h ) \nabla b , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \eta + \nabla \cdot ( \eta \boldsymbol { u } ) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } b + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) b } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U ^ { * } \left( \theta _ { a } ^ { * } - \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * } \right) ^ { T } } & { = ( p - q ) \left( \sum _ { j : z _ { j } ^ { * } = a } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) - \sum _ { j : z _ { j } ^ { * } = z _ { i } ^ { * } , j \neq i } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) \right) . } \end{array}
\hat { g } ( k _ { m } ) = \frac { 1 } { L } \int _ { x = 0 } ^ { L } \, g ( x ) \, e ^ { - i k _ { m } \, x } \, d x \quad , \quad k _ { m } = \frac { 2 \pi m } { L } \quad , m = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \ldots
C ( \mathrm { \ t a u } ) = \frac { \operatorname { C o v } \left( \mathrm { x } _ { \mathrm { t } } , \mathrm { x } _ { \mathrm { t } + \mathrm { \ t a u } } \right) } { \sqrt { \operatorname { V a r } \left( \mathrm { x } _ { \mathrm { t } } \right) \operatorname { V a r } \left( \mathrm { x } _ { \mathrm { t } + \mathrm { \ t a u } } \right) } } ,
\begin{array} { r l r } { S ( x _ { 0 } , x _ { f } ) } & { = } & { P \exp \left( i \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { f } } d x ^ { \mu } \, A _ { \mu } \right) } \\ & { = } & { 1 + i \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { f } } d x ^ { \mu } \, A _ { \mu } } \\ & { - } & { \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { f } } d x ^ { \mu } \, \int _ { x } ^ { x _ { f } } d x ^ { \nu } \, A _ { \nu } ( x ^ { \prime } ) A _ { \mu } ( x ) + \cdots } \end{array}
\left\{ H _ { \mathrm { e x t } } , \rho \right\} _ { \parallel } = \sum _ { k } { \frac { n _ { k } } { i } \left( ( \mathcal { P } \ \mathcal { V } _ { \mathrm { e x t } } \phi _ { \parallel k } ) \phi _ { \parallel k } ^ { * } - ( \mathcal { P } \ \mathcal { V } _ { \mathrm { e x t } } \phi _ { \parallel k } ^ { * } ) \phi _ { \parallel k } \right) } \neq 0 \quad \mathrm { l i k e w i s e } \ \left\{ H _ { \mathrm { H } } , \rho \right\} _ { \parallel } \neq 0 \quad \mathrm { a n d } \ \left\{ H _ { \mathrm { X C } } , \rho \right\} _ { \parallel } \neq 0 .
\mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } = \left( - \frac { ( L _ { 2 } ^ { L } ) ^ { 2 } } { M _ { 2 } ^ { L } k _ { 2 } ^ { L } } ( \cosh u _ { 1 } ^ { L } - 1 ) , 0 \right) , \ \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } = \left( \frac { M _ { 1 } ^ { L } k _ { 1 } ^ { L } } { L _ { 1 } ^ { L } } \frac { \sinh u _ { 1 } ^ { L } } { \cosh u _ { 1 } ^ { L } - 1 } , 0 \right) , \ \frac { \partial \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } } { \partial G _ { 1 } ^ { L } } = \left( 0 , \frac { M _ { 1 } ^ { L } k _ { 1 } ^ { L } } { ( L _ { 1 } ^ { L } ) ^ { 2 } } \frac { \cosh u _ { 1 } ^ { L } } { \cosh u _ { 1 } ^ { L } - 1 } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { T } } \nabla _ { z } H ( i ) ( x ) z ( x ) d x } & { = \frac { d } { d t } H ( i + t ( 0 , 0 , z ( x ) ) ) \bigg | _ { t = 0 } , } \\ { \int _ { \mathbb { T } } \nabla _ { z } ^ { 2 } H ( i ) [ z _ { 0 } ] ( x ) z ( x ) d x } & { = \frac { d ^ { 2 } } { d t d s } H ( i + ( 0 , 0 , t z _ { 0 } + s z ) ) \bigg | _ { t = s = 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi _ { \mathrm { e q } } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \, \, \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \theta \leq \theta ^ { \mathrm { s } } + \frac { \sigma _ { 3 } } { 4 } \, , } \\ { 0 } & { \, \, \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \theta \geq \theta ^ { \mathrm { s } } + \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } \, , } \end{array} \right. \qquad \chi _ { \mathrm { e q } } ^ { \prime } ( \theta ) \leq 0 \, \, \, \, \mathrm { ~ o ~ n ~ \mathbb ~ { ~ R ~ } ~ } \, . } \end{array}
P _ { r , \varphi , \psi } = \langle p _ { r , \varphi , \psi } \rangle = 1 + \frac { 1 - r ^ { 2 } } { 2 r ( 1 - r \cos \varphi ) } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } r ^ { k } \Big [ e ^ { - i ( \varphi + k \psi ) } Z _ { k } + e ^ { i ( \varphi + k \psi ) } Z _ { k } ^ { * } \Big ] .
\begin{array} { r l r } { { c _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { 1 , } \\ { { c _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { p _ { i } \left( \frac { 1 } { 2 } - h { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } ( x ) \right) , } \\ { { c _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { q _ { i } \left( \frac { 1 } { 2 } - h { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } ( x ) \right) , } \\ { { c _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } & { = } & { \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 4 } - 2 p _ { i } h { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) , } \\ { { c _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { \frac { p _ { i } q _ { i } } { 4 } - q _ { i } h { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) - p _ { i } h { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) , } \\ { { c _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } - 2 q _ { i } h { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } ^ { t } } & { = } & { - { \bf N } \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } { \bf N } ^ { - 1 } , } \\ { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } ^ { \dagger } } & { = } & { - { \bf K } { \, \, \, \bar { \mathrm { \! \! \! \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } } } { \bf K } ^ { - 1 } , } \\ { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } ^ { * } } & { = } & { { \bf J } { \, \, \, \bar { \mathrm { \! \! \! \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } } } { \bf J } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E ( u ) - E ( u ^ { * } ) } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 4 } | u | ^ { 4 } \right) - \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u ^ { * } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u ^ { * } | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 4 } | u ^ { * } | ^ { 4 } \right) } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \right) - \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u ^ { * } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u ^ { * } | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad + \int _ { \Omega } \left( \frac { \beta } { 4 } | u | ^ { 4 } - \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | u | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 4 } | u ^ { * } | ^ { 4 } \right) } \\ { \geq } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \right) - \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u ^ { * } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u ^ { * } | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert G _ { 3 , i } ^ { \beta } ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { \ell + 1 } } } & { \lesssim C _ { T } \Vert p ^ { \prime } ( \varrho ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m - 2 } ) } \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { m - 1 } ) } \leq \Lambda ( T , R ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \tilde { r } ( s ) - \tilde { r } _ { \alpha } ( 0 ) } { f ( s ) } d s } } } & { = \frac { n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) } { Y ( t , x ) ^ { \alpha } } e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \tilde { r } ( s ) - \tilde { r } ( 0 ) } { f ( s ) } d s } } \; Y ( t , x ) ^ { \alpha } e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) } { f ( s ) } } d s } . } \end{array}
| F _ { \pi } ( m ) | ^ { 2 } = \frac { m _ { \rho } ^ { 4 } } { ( m ^ { 2 } - m _ { \rho } { } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + m _ { \rho } ^ { 2 } \Gamma _ { \rho } ^ { 2 } } \; .
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \left( 2 n \atop n \right) } \frac { 1 } { n ^ { c } } \prod _ { a , b , i , j } \left[ \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { m ^ { a } } \right] ^ { i } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } \frac { 1 } { k ^ { b } } \right] ^ { j }
\begin{array} { r l } & { E K ^ { 1 / 2 } = q ^ { - 1 } K ^ { 1 / 2 } E ; \quad E L ^ { 1 / 2 } = q L ^ { 1 / 2 } E ; \quad F K ^ { 1 / 2 } = q K ^ { 1 / 2 } F ; \quad F L ^ { 1 / 2 } = q ^ { - 1 } L ^ { 1 / 2 } F ; } \\ & { x y = y x \mathrm { , ~ f o r ~ a l l ~ } x , y \in \{ K ^ { \pm 1 / 2 } , L ^ { \pm 1 / 2 } \} ; \quad K ^ { 1 / 2 } K ^ { - 1 / 2 } = L ^ { 1 / 2 } L ^ { - 1 / 2 } = 1 ; } \\ & { E F - F E = \frac { K - L } { q - q ^ { - 1 } } . } \end{array}
\Delta K = m \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \dot { v } } v d t = { \frac { m } { 2 } } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { d } { d t } } v ^ { 2 } d t = { \frac { m } { 2 } } v ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) - { \frac { m } { 2 } } v ^ { 2 } ( t _ { 1 } ) ,
\left[ \begin{array} { l } { I ^ { c } } \\ { I _ { x } ^ { s _ { x } } } \\ { I _ { y } ^ { s _ { x } } } \\ { I _ { z } ^ { s _ { x } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { G ^ { \uparrow \uparrow } + G ^ { \downarrow \downarrow } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 \mathrm { R e } G ^ { \uparrow \downarrow } } & { 2 \mathrm { I m } G ^ { \uparrow \downarrow } } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 \mathrm { I m } G ^ { \uparrow \downarrow } } & { 2 \mathrm { R e } G ^ { \uparrow \downarrow } } \end{array} \right]
\begin{array} { c } { { \alpha ^ { \prime } s _ { 2 } \sim \alpha ^ { \prime } s _ { 2 ^ { \prime } } \sim 1 } } \\ { { \left. \Phi _ { 3 } \right| _ { _ { \left| k ^ { \bot } \right| ^ { 2 } \ll \frac 1 { \alpha ^ { \prime } } } ^ { \frac { s _ { 1 } } s \rightarrow \infty } } = \Gamma \left( - \alpha \left( t \right) \right) \left( \frac { l p _ { 2 } } { s _ { 2 } } + \frac { l p _ { 3 } } { s _ { 2 ^ { \prime } } } \right) \left( l _ { 2 } ^ { \bot ^ { \prime } } q \right) \frac { 2 \pi \alpha ^ { \prime } s _ { 2 } } { \sin \pi \alpha ^ { \prime } s _ { 2 } } } } \end{array}
\left| \begin{array} { c c c } { { W ^ { 1 1 } } } & { { W ^ { 1 2 } } } & { { W ^ { 1 3 } } } \\ { { W ^ { 2 1 } } } & { { W ^ { 2 2 } } } & { { W ^ { 2 3 } } } \\ { { W ^ { 3 1 } } } & { { W ^ { 3 2 } } } & { { W ^ { 3 3 } } } \end{array} \right| \geq 0 ,
\sigma _ { { t _ { \mathrm { c o g } } } } = \sqrt { \overline { { t _ { \mathrm { c o g } } ^ { 2 } } } - \overline { { t _ { \mathrm { c o g } } } } ^ { 2 } } = \sqrt { \frac { 4 } { 1 8 0 } \frac { d ^ { 2 } } { v _ { e } ^ { 2 } } - \frac { 7 } { 1 8 0 } \frac { d ^ { 2 } } { v _ { e } v _ { h } } + \frac { 4 } { 1 8 0 } \frac { d ^ { 2 } } { v _ { h } ^ { 2 } } } ,
\int _ { - \infty } ^ { t } \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } ( s ) \zeta _ { m , k } ( s ) \exp \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } \kappa } { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } ( s - t ) \aftergroup \egroup \right) \, d s \leq \int _ { - \infty } ^ { t - \frac 1 { 1 2 } \tau _ { m } } \exp \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } \kappa } { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } ( s - t ) \aftergroup \egroup \right) \, d s = \frac { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \kappa } \exp \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( - \frac { \pi ^ { 2 } \kappa \tau _ { m } } { 3 \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } \aftergroup \egroup \right) \, .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { X } \log p ( t , X ) } & { = \frac { B \nabla _ { X } B } { 4 A \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) } - \frac { X } { 1 - e ^ { - t } } } \\ & { = \frac { 4 \sigma ^ { 4 } e ^ { - t } X + 4 \mu \sigma ^ { 2 } e ^ { - \frac { t } { 2 } } ( 1 - e ^ { - t } ) } { 4 \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - t } ) ( \sigma ^ { 2 } e ^ { - t } + 1 - e ^ { - t } ) } - \frac { X } { 1 - e ^ { - t } } } \\ & { = \big [ \frac { \sigma ^ { 2 } e ^ { - t } } { ( 1 - e ^ { - t } ) ( \sigma ^ { 2 } e ^ { - t } + 1 - e ^ { - t } ) } - \frac { 1 } { 1 - e ^ { - t } } \big ] X + \frac { \mu e ^ { - \frac { t } { 2 } } } { \sigma ^ { 2 } e ^ { - t } + 1 - e ^ { - t } } } \\ & { = \frac { - X + \mu e ^ { - \frac { t } { 2 } } } { \sigma ^ { 2 } e ^ { - t } + ( 1 - e ^ { - t } ) } . } \end{array}
z _ { j } = d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \mathscr { E } \left\Vert \mathbf { h } _ { e _ { j } , r } \tilde { \Theta } \right\Vert ^ { 2 } = d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \frac { \varrho ^ { 2 } } { \rho _ { e _ { j , } r } + 1 } \left( \rho _ { e _ { j , } r } \mathscr { E } \left( \mathbf { \bar { h } } _ { e _ { j } , r } ^ { H } \mathbf { \bar { h } } _ { e _ { j } , r } \right) + \mathscr { E } \left( \mathbf { \tilde { h } } _ { e _ { j } , r } ^ { H } \mathbf { \tilde { h } } _ { e _ { j } , r } \right) \right)
\mathcal { L } \{ C _ { l } \} = G _ { \ddot { \alpha } } \mathcal { L } \{ \ddot { \alpha } \} = \left( \frac { \pi } { s } - \pi a + \frac { 2 \pi } { s ^ { 2 } } \left[ C ( s ) \left( 1 + \left( \frac { 1 } { 2 } - a \right) s \right) \right] \right) \mathcal { L } \{ \ddot { \alpha } \} .
\begin{array} { r l } { H _ { i j } ^ { \sigma } [ { \bf n } ] } & { = \int \phi _ { i } ( { \bf r } ) \left( - \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 } + V _ { \mathrm { H } } [ n ] ( { \bf r } ) \right) \phi _ { j } ( { \bf r } ) d { \bf r } } \\ & { + \int \phi _ { i } ( { \bf r } ) \left( + v _ { \mathrm { x c } } ^ { \sigma } [ { \bf n } ] ( { \bf r } ) + v ( { \bf R , r } ) \right) \phi _ { j } ( { \bf r } ) d { \bf r } . } \end{array}
i s t h e m a g n i t u d e o f t h e a c t i v i t y . E q . ( ) i s t h e ( p a s s i v e ) e l a s t i c s t r e s s , w h i l e E q . ( ) i s t h e a c t i v e s t r e s s w h i c h p r o d u c e s p u s h e r (
\begin{array} { r l } & { \hat { A } _ { \mathrm { o u t } } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , z ; t ) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d ^ { 2 } \mathbf { r } ^ { \prime } T ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; z ; z _ { \mathrm { a p } } ) \hat { A } _ { \mathrm { i n } } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , z ; t ) + \hat { C } ( \mathbf { r } , z ; t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) = \left( \begin{array} { c c c } { C ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - C ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { C ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - C ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) } \end{array} \right) , } \\ & { ( C ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - C ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ) _ { i j } = \int _ { \Omega } \left( f \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { k } N _ { e } } \widetilde { U } _ { I , k } ^ { n + 1 } \phi _ { k } \right) - f \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { k } N _ { e } } \widetilde { U } _ { I I , k } ^ { n + 1 } \phi _ { k } \right) \right) \phi _ { j } \phi _ { i } d \Omega } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { k } N _ { e } } ( \widetilde { U } _ { I , k } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I , k } ^ { n + 1 } ) \int _ { \Omega } f ^ { \prime } ( \xi _ { 2 } ^ { n + 1 } ) \phi _ { k } \phi _ { j } \phi _ { i } d \Omega , \ i , j , k \in \{ 1 , \cdots , N _ { k } N _ { e } \} , \xi _ { 2 } ^ { n + 1 } \in ( U _ { h , I } ^ { n + 1 } , U _ { h , I I } ^ { n + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { \mathrm { H O M } } ^ { ( 2 ) } ( \tau ) = } & { { } } & { \ c _ { 1 } ^ { 2 } g _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ( 0 ) + c _ { 2 } ^ { 2 } g _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( 0 ) + 2 c _ { 1 } c _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { C } = \sum _ { j _ { C } = 0 } ^ { N - 1 } \binom { N - 1 } { j _ { C } } x ^ { j _ { C } } ( 1 - x ) ^ { N - j _ { C } } P _ { C } \, , } \\ { f _ { D } = \sum _ { j _ { C } = 0 } ^ { N - 1 } \binom { N - 1 } { j _ { C } } x ^ { j _ { C } } ( 1 - x ) ^ { N - j _ { C } } P _ { D } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( \ensuremath { \mathbf d } | \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { N / 2 } \sqrt { | \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { n } } } | } } } \exp \Big ( - { \frac { 1 } { 2 } } \| \mathbf f ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) - \ensuremath { \mathbf d } \| _ { \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { n } } } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p } & { = \sum _ { ( m , n ) = ( 0 , 0 ) } ^ { ( \infty , \infty ) } \alpha ^ { m } \beta ^ { n } p _ { m , n } } \\ & { \equiv p _ { 0 , 0 } + \alpha p _ { 1 , 0 } + \beta p _ { 0 , 1 } + \alpha ^ { 2 } p _ { 2 , 0 } + \alpha \beta p _ { 1 , 1 } + \beta ^ { 2 } p _ { 0 , 2 } + \mathrm { c u b i c ~ a n d ~ h i g h e r - o r d e r ~ t e r m s } , } \end{array}
\widetilde { { \mathbf x } } ( t ) = \left( \begin{array} { l } { e ^ { t } } \\ { - 2 \; t } \\ { 0 } \end{array} \right) \; \; \; , \; \; \; \widetilde { { \mathbf v } } ( \widetilde { { \mathbf x } } , t ) = \left( \begin{array} { l } { \widetilde { x } } \\ { - 2 } \\ { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \underset { \mathbf { w } } { \mathop { \operatorname* { m i n } } } } & { { } ~ ~ \mathcal { L } _ { G S T } = \frac { 1 } { S \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { S } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } | | y _ { s , n } - \tilde { y } _ { s , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { \pm } } & { { } = \pm \frac { i \mu | { \bf { a } } \times { \bf { c } } | } { 4 \omega } \cos \varphi + ( S _ { + } + i S _ { - } ) \; , } \\ { \tilde { n } _ { \pm } } & { { } = \pm \frac { i \mu | { \bf { a } } \times { \bf { c } } | } { 4 \omega } \cos \varphi - ( S _ { + } + i S _ { - } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { p a i r } } ^ { \mathrm { r i n g } } = } & { \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { N L } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \mathcal { F } _ { S } } { \pi } \right) \left( \frac { \mathcal { F } _ { I } } { \pi } \right) \left( \frac { \mathcal { F } _ { P } } { \pi } \right) ^ { 2 } } \\ & { \times \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } } \left( \omega _ { S } \omega _ { I } \right) \frac { L ^ { 2 } } { 4 } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( \zeta ^ { 1 } , \zeta ^ { 2 } , \zeta ^ { 3 } , \zeta ^ { 4 } ) } & { = C ( \zeta ^ { 1 } , \zeta ^ { 2 } , \zeta ^ { 3 } , \zeta ^ { 4 } ) \beta _ { 2 } ^ { 3 } + D ( \zeta ^ { 1 } , \zeta ^ { 2 } , \zeta ^ { 3 } , \zeta ^ { 4 } ) \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } + \beta _ { 4 } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 s ^ { 3 } } ( 4 \beta _ { 2 } ^ { 3 } - 3 \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } ) + \frac { 7 } { 2 s ^ { 2 } } ( 4 \beta _ { 2 } ^ { 3 } - 3 \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } ) + \frac { 1 } { 4 s } ( 4 0 \beta _ { 2 } ^ { 3 } - 9 \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } ) + \mathcal { O } ( 1 ) , } \end{array}