harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { P _ { t h e r m o } } & { { } = } & { \frac { 2 } { 3 \mathcal { V } } \displaystyle \left( E _ { t r a n s } ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ e ~ q ~ u ~ i ~ l ~ i ~ b ~ r ~ i ~ u ~ m ~ } \right) = \frac { 2 } { 3 \mathcal { V } } \left( \frac { 3 } { f } E _ { t o t a l } \right) } \\ { P _ { { t h e r m o } } } & { { } = } & { \frac { 2 ~ E _ { t o t a l } } { f \mathcal { V } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( \mathfrak { g } , \xi ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \left[ \begin{array} { l } { \dot { p } } \\ { \Omega _ { B } } \\ { \Omega _ { i } } \end{array} \right] ^ { \top } \mathbf { J } _ { i } ( \mathfrak { g } ) \left[ \begin{array} { l } { \dot { p } } \\ { \Omega _ { B } } \\ { \Omega _ { i } } \end{array} \right] , } \\ { U ( \mathfrak { g } ) } & { = - \sum _ { i \in \{ B , 1 , 2 , 3 , 4 \} } m _ { i } \mathrm { g } e _ { 3 } ^ { \top } \left( p + A _ { B } \left( \mu _ { i } + A _ { i } \kappa _ { i } \right) \right) , } \end{array}
V ^ { i j } ( z , w ) = e ^ { u ^ { i } / w + u ^ { j } / z } \left[ { \frac { \delta ^ { i j } } { z + w } } + \sum _ { k , l = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k + l } \, V _ { k l } ^ { i j } \, w ^ { k } z ^ { l } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \log L ( \{ t _ { i } , m _ { i } \} ) } & { { } = \sum _ { i } \left[ \log \lambda ^ { * } ( t _ { i } ) + \log f ^ { * } ( m _ { i } | t _ { i } ) - \int _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } } \lambda ^ { * } ( t ) d t \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } P } & { { } = \left( - \gamma \left( P - P _ { \mathrm { t h } } \right) + \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) P + \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) + \sigma _ { P } \left( P \right) \mathcal { F } _ { P } \left( t \right) \right) \, \mathrm { d } t } \\ { \mathrm { d } \phi } & { { } = \left( \Omega _ { 0 } + \frac { \alpha _ { H } } { 2 } \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) + \frac { \sigma _ { P } \left( P \right) } { 2 P } \mathcal { F } _ { \phi } \left( t \right) \right) \, \mathrm { d } t } \\ { \mathrm { d } N } & { { } = \left( \frac { \eta I } { q } - R \left( N \right) - \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) P - \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) + \sigma _ { N } \left( N \right) \mathcal { F } _ { N } \left( t \right) \right) \, \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr C _ { i , e } } & { : = \left( \mathscr D _ { i - 1 } \circ \mathscr D _ { i - 2 } \circ \cdots \circ \mathscr D _ { e } \right) } \\ { \mathscr C _ { i , e } ( \lambda ) ( \bullet ) } & { : = \left( \mathscr D _ { i - 1 } \circ \mathscr D _ { i - 2 } \circ \cdots \circ \mathscr D _ { e } \right) ( { \mathbb C } _ { m _ { e } ( \lambda ) \Lambda _ { e } } \otimes \bullet ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { \, i } } - \frac { 2 \pi i \rho \, e ^ { - 2 i ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) a } } { ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) k _ { \mathrm { m } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! S ( 0 ) \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { \, e } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { n ^ { \prime } , i ^ { \prime } } \frac { \partial F _ { n , i } ^ { \lambda } } { \partial G _ { n ^ { \prime } , i ^ { \prime } } ^ { \lambda ^ { \prime } } } v _ { n ^ { \prime } , i ^ { \prime } } ^ { \lambda ^ { \prime } } \mathrm { d } \lambda ^ { \prime } = \Lambda v _ { n , i } ^ { \lambda } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { \psi , \psi } ( q ) } & { = } & { - \frac { K } { \frac { 1 } { \epsilon _ { e } - 1 } \left( \frac { \epsilon _ { w } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } + q ^ { 2 } \right) + q ^ { 2 } } } \\ { \chi _ { i j } ( q ) } & { = } & { \chi _ { \parallel } ( q ) \frac { q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } } + \chi _ { \perp } \left( \delta _ { i j } - \frac { q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } } \right) , \quad \chi _ { \parallel } ( q ) = \frac { \epsilon _ { w } - 1 } { \epsilon _ { w } } \frac { \frac { \epsilon _ { w } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } + q ^ { 2 } } { \frac { 1 } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } + q ^ { 2 } } , \quad \chi _ { \perp } ( q ) = \frac { 1 } { K + \kappa _ { t } q ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H y d r o g e n ~ H : ~ } \frac { \sigma _ { H } } { 1 u * 1 . 6 6 * 1 0 ^ { - 2 7 } k g / u } } & { = } & { 1 . 1 8 3 * 1 0 ^ { 6 } m ^ { 2 } / k g } \\ { \mathrm { H e l i u m ~ H e : ~ } \frac { \sigma _ { H e } } { 4 u * 1 . 6 6 * 1 0 ^ { - 2 7 } k g / u } } & { = } & { 4 . 2 6 * 1 0 ^ { 5 } m ^ { 2 } / k g } \\ { \mathrm { C a r b o n ~ C : ~ } \frac { \sigma _ { C } } { 1 2 u * 1 . 6 6 * 1 0 ^ { - 2 7 } k g / u } } & { = } & { 7 . 7 3 * 1 0 ^ { 5 } m ^ { 2 } / k g } \\ { \mathrm { S i l i c i u m ~ S i : ~ } \frac { \sigma _ { S i } } { 2 8 u * 1 . 6 6 * 1 0 ^ { - 2 7 } k g / u } } & { = } & { 8 . 1 8 * 1 0 ^ { 5 } m ^ { 2 } / k g } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } - p _ { \phi , m } ^ { ( \mathrm { c h e b } ) } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } \right\| _ { F } } & { \leq \left\| \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } - p _ { \phi , m } ^ { ( \mathrm { c h e b } ) } ( \mathbf { L } ) \right\| _ { 2 } \left\| \mathrm { E } _ { W } \right\| _ { F } } \\ & { = \sqrt { N } \operatorname* { m a x } _ { \lambda \; \mathrm { e i g ~ o f ~ \mathbf { L } ~ } } | \phi ( \lambda ) - p _ { \phi , m } ^ { ( \mathrm { c h e b } ) } ( \lambda ) | } \\ & { \leq \sqrt { N } \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , \Lambda ] } | \phi ( \lambda ) - p _ { \phi , m } ^ { ( \mathrm { c h e b } ) } ( \lambda ) | } \\ & { \leq \sqrt { N } \left( 2 + \textstyle \frac { 2 } { \pi } \log ( m + 1 ) \right) E _ { m } ( \phi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } h _ { \psi , x } : U _ { x } \times V _ { \sigma } ^ { \mathcal { O } _ { b } } } & { \to \mathbb { C } , } & { \qquad h _ { \psi , x } ( g H , v ) } & { = \langle \rho ( g ) ^ { - 1 } \psi , F _ { x } ( g ) v \rangle , } \\ { \widetilde { h } _ { \psi , x } : \widetilde { U } _ { x } \times V _ { \sigma } ^ { \mathcal { O } _ { b } } } & { \to \mathbb { C } , } & { \qquad \widetilde { h } _ { \psi , x } ( g , v ) } & { = \langle \rho ( g ) ^ { - 1 } \psi , F _ { x } ( g ) v \rangle . } \end{array}
( u _ { j 1 } ^ { 1 } ) c _ { 1 } ^ { 2 } = ( u _ { j 1 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } \implies c _ { 1 } = 1 \implies u _ { 1 1 } ^ { 0 } = u _ { 1 1 } ^ { 1 } \, ,
T _ { f i } ^ { p w } ( \mathbf { q } ) = \frac { - 2 } { q ^ { 2 } } \langle \psi _ { \mathbf { k } _ { e } } ^ { - } | e ^ { i \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } } - 1 | \Phi _ { j } ( \mathbf { r } ) \rangle ,
\begin{array} { r } { \| F _ { j } ^ { k } ( f \otimes f ) ( y , t _ { l } ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } } ^ { 2 } \times E _ { j , k } ) } = \biggl \| \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } e ^ { - i \{ \tilde { \Phi } ( t _ { l } , \xi - \zeta , \delta ) + \tilde { \Phi } ( t _ { l } , \zeta , \delta ) ) } a _ { j , k } ( t _ { l } , \xi - \zeta , \zeta ) \hat { f } ( \xi - \zeta ) \hat { f } ( \zeta ) d \zeta \biggl \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } } ^ { 2 } \times E _ { j , k } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { \mu \tau } { 2 } ) ( 1 - \mu \tau ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| \bar { u } _ { t } - u _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \bigg ( 1 + \frac { 2 } { \mu \tau } \bigg ) \frac { \tau ^ { 2 } L _ { y ^ { 2 } } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i - 1 } \sigma ( E _ { i } ) } & { = \sum _ { \nu = 1 } ^ { d } \gamma _ { \nu , i - 1 } ( \lambda _ { \nu } ^ { \alpha } - \lambda _ { i - 1 } ) E _ { \nu } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { d } \gamma _ { \nu , i - 1 } \sum _ { \mu = \nu + 1 } ^ { d } t _ { \mu , \nu } ^ { ( \alpha ) } E _ { \mu } } \\ & { = \sum _ { \nu = 1 } ^ { d } \tilde { \gamma } _ { \nu , i } E _ { \nu } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { \mathbf { q } } ^ { L } = \mathcal { N } \delta _ { \mathbf { q } , \mathbf { k } _ { \parallel } } \eta ^ { L } \left[ \frac { \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } - \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma ( \mathbf { q } ) } { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } q _ { z } \ell } } { ( \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } ) ^ { 2 } + \frac { \widetilde \Gamma ( \mathbf { q } ) ^ { 2 } } { 4 } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } q _ { z } \ell } } \right] , \qquad \beta _ { \mathbf { q } } ^ { R } = \mathcal { N } \delta _ { \mathbf { q } , \mathbf { k } _ { \parallel } } \eta ^ { L } \left[ \frac { \left( \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } - \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma ( \mathbf { q } ) } { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { z } \ell } } { ( \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } ) ^ { 2 } + \frac { \widetilde \Gamma ( \mathbf { q } ) ^ { 2 } } { 4 } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } q _ { z } \ell } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { T _ { N } ^ { \mu \nu } } } & { { = \displaystyle { \frac { \partial { \cal L } } { \partial A _ { \lambda , \mu } ^ { a } } A _ { \lambda } ^ { a , \nu } - \eta ^ { \mu \nu } { \cal L } } } } \\ { { { } } } & { { { } } } \\ { { { } } } & { { = - \Pi ^ { a \mu \lambda } A _ { \lambda } ^ { a , \nu } - \eta ^ { \mu \nu } { \cal L } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { n } } & { { } = \frac { 2 } { L } \int _ { 0 } ^ { L } \left[ - \sin \left( \frac { n \pi y } { L } \right) \frac { \sinh \left( \sqrt i W \frac { y } { L } \right) } { \sinh ( \sqrt i W ) } \right] \mathrm { d } y , } \end{array}
\hat { H } _ { i j } = \frac { 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { i j } } { R ^ { 3 } } \left[ \frac { J _ { \perp } } { 2 } \left( \hat { S } _ { i } ^ { + } \hat { S } _ { j } ^ { - } + \mathrm { { h . c . } } \right) + J _ { z } \hat { S } _ { i } ^ { z } \hat { S } _ { j } ^ { z } \right. \left. + W \left( \hat { \mathbb { I } } _ { i } \hat { S } _ { j } ^ { z } + \hat { S } _ { i } ^ { z } \hat { \mathbb { I } } _ { j } \right) + V \hat { \mathbb { I } } _ { i } \hat { \mathbb { I } } _ { j } \vphantom { \frac { J _ { \perp } } { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { - \dot { \lambda } = \, } & { I \lambda ^ { b } \left( \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } - 1 - a \right) ^ { x } H ( F _ { i g } - f ) \, + } \\ & { G _ { 1 } \lambda ^ { c } f ^ { d } p ^ { y } H ( F _ { G _ { 1 } } - f ) \, + } \\ & { G _ { 2 } \lambda ^ { e } f ^ { g } p ^ { z } H ( f - F _ { G _ { 2 } } ) } \\ { f = \, } & { 1 - \lambda } \end{array}
D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \geqslant 0 \qquad \textnormal { a n d } \qquad D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \theta = \theta ^ { \prime } \textnormal { a n d } \big ( \varphi = \varphi ^ { \prime } \textnormal { o r } \theta \in \{ 0 , \pi \} \textnormal { o r } \theta ^ { \prime } \in \{ 0 , \pi \} \big ) .
\left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u _ { t } \right\rangle = - f \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u ^ { \perp } \right\rangle = f \left\langle \gamma , \nabla \cdot u \right\rangle = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } .
\begin{array} { r l } { P ( \{ \tilde { u } _ { 0 } , \ldots , \tilde { u } _ { M } \} | \tilde { \alpha } ) } & { { } = P ( \tilde { u } _ { 0 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( s _ { i } - s _ { i - 1 } ) } } e ^ { - \left( \tilde { u } _ { i } - \tilde { u } _ { i - 1 } - \tilde { \alpha } \left( s _ { i } - s _ { i - 1 } \right) \right) ^ { 2 } / \left( 2 \left( s _ { i } - s _ { i - 1 } \right) \right) } = } \end{array}
\sigma _ { i n c o m p } ^ { ( \ell ) } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { M } \frac { \int d r \, ( \partial _ { r } \phi _ { 0 } ^ { ( a ) } ) ^ { 2 } r ^ { 2 \ell - 2 } } { \int d r \, \partial _ { r } \rho _ { 0 } ^ { ( a ) } r ^ { 2 \ell + 1 } }
\begin{array} { r l } { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i i ) } } \big ( \alpha \big ) } & { { } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } | \alpha | ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { m = 0 } ^ { k } \Big \{ F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n + 1 ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { \mathcal { F } _ { n n } } ^ { \ell _ { \infty } } ( P , Q ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim P } [ D _ { \omega } ( X ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim Q } [ D _ { \omega } ( X ) ] \Big ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { W } _ { 1 } , \dots , \mathbf { w } _ { k } } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim P } [ D _ { \omega } ( X ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim Q } [ D _ { \omega } ( X ) ] \Big ) } \\ & { \overset { ( i ) } { = } \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { W } _ { 1 } , \dots , - \mathbf { w } _ { k } } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim P } [ \sigma \left( - f _ { \omega } ( x ) \right) ] - \mathbb { E } _ { X \sim Q } [ \sigma \left( - f _ { \omega } ( x ) \right) ] \Big ) } \\ & { \overset { ( i i ) } { = } \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { W } _ { 1 } , \dots , \mathbf { w } _ { k } } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim P } [ 1 - \sigma \left( f _ { \omega } ( x ) \right) ] - \mathbb { E } _ { X \sim Q } [ 1 - \sigma \left( f _ { \omega } ( x ) \right) ] \Big ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { W } _ { 1 } , \dots , \mathbf { w } _ { k } } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim Q } [ \sigma \left( f _ { \omega } ( x ) \right) ] - \mathbb { E } _ { X \sim P } [ \sigma \left( f _ { \omega } ( x ) \right) ] \Big ) } \\ & { = d _ { \mathcal { F } _ { n n } } ^ { \ell _ { \infty } } ( Q , P ) , } \end{array}
{ \frac { a _ { D } } { a _ { S } } } \bigg | _ { b _ { 1 } \to \omega \pi } = + { \frac { 2 ^ { 3 / 2 } } { 3 ^ { 2 } } } \; { \frac { x ^ { 2 } } { \big ( 1 - { \frac { 2 } { 9 } } \, x ^ { 2 } \big ) } } \ .
\frac { \gamma ^ { 2 } \varepsilon ^ { 6 } } { 1 2 8 } \log { \left( \frac { \sqrt [ ] { \gamma \epsilon ^ { 4 } } } { 8 } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \gamma ( \gamma + 1 ) \varepsilon ^ { 6 } \right) } \leq \frac { \gamma ^ { 2 } \varepsilon ^ { 6 } } { 3 2 \pi } \log { \left( \sqrt [ ] { \frac { \gamma \varepsilon ^ { 4 } } { 8 \pi } } \right) } .
\begin{array} { r l } { y _ { - } \left( \frac { 1 } { y _ { - } \left( e ^ { i \theta } \right) } \right) } & { = e ^ { - i \theta } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow c ( \alpha ) ^ { + } } y _ { - } ( e ^ { i \theta } ) } & { = 1 = \operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow - c ( \alpha ) ^ { - } } y _ { - } ( e ^ { i \theta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp \left[ - \frac { x ^ { 2 } } { w _ { e } ^ { 2 } } \right] } & { = ( U _ { G } ^ { ( \pm ) } ) ^ { \dag } \exp \left[ \chi \left( \frac { 1 } { 2 } \left( a ^ { \dag } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( a ^ { \dag } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( a a ^ { \dag } + a ^ { \dag } a \right) \right) \right] U _ { G } ^ { ( \pm ) } , } \\ & { = ( U _ { G } ^ { ( \pm ) } ) ^ { \dag } \exp \left[ \chi \left( K _ { + } + K _ { - } + 2 K _ { 0 } \right) \right] U _ { G } ^ { ( \pm ) } , } \\ { \chi } & { = - \frac { w ^ { 2 } } { 2 w _ { e } ^ { 2 } } , } \end{array}
\hat { H } ( t ) = \frac { \Omega ( t ) } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { \sigma } _ { i } ^ { x } - \delta ( t ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { n } _ { i } + \sum _ { i > j } \frac { C } { | \mathbf r _ { i j } | ^ { 6 } } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j }
\begin{array} { r l } { \dot { L } _ { \beta } } & { = \mathcal { K } _ { 1 } \cdot ( \dot { s _ { \beta } } - \dot { \varphi _ { i } } ) } \\ & { = \mathcal { K } _ { 1 } \cdot ( \kappa _ { s } ( \delta ^ { * } ( \varphi _ { \beta } , s _ { \beta } ) - \delta ^ { * } ( s _ { \beta } , \varphi _ { i } ) ) - \int _ { E _ { i } } { \frac { \partial f ( d ( \varphi _ { i } , \theta ) ) } { \partial \varphi _ { i } } \rho ( \theta ) d \theta } ) } \\ & { = \mathcal { K } _ { 1 } \cdot ( \kappa _ { s } ( \delta ^ { * } ( \varphi _ { \beta } , s _ { \beta } ) - \delta ^ { * } ( s _ { \beta } , \varphi _ { i } ) ) - \int _ { E _ { i } ^ { 3 } } { \frac { \partial f ( d ( \varphi _ { i } , \theta ) ) } { \partial \varphi _ { i } } \rho ( \theta ) d \theta } - \int _ { E _ { i } ^ { 2 } } { \frac { \partial f ( d ( \varphi _ { i } , \theta ) ) } { \partial \varphi _ { i } } \rho ( \theta ) d \theta } ) } \end{array}
\psi \circ \phi = \left( \mathcal { U } _ { \psi \circ \phi } , \mathcal { D } _ { \psi \circ \phi } , c _ { \psi \circ \phi } \right) = \left( c _ { \phi } ^ { - 1 } \left( \mathcal { U } _ { \psi } \cap \mathcal { D } _ { \phi } \right) , c _ { \psi } \left( \mathcal { U } _ { \psi } \cap \mathcal { D } _ { \phi } \right) , c _ { \psi } \circ c _ { \phi } \right) .
\begin{array} { r l } { - \dot { \lambda } = \, } & { { } I \lambda ^ { b } \left( \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } - 1 - a \right) ^ { x } H ( F _ { i g } - f ) \, + } \\ { f = \, } & { { } 1 - \lambda } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { k } { \binom { j + m } { j } } { \binom { n - m - j } { k - j } } } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { j } { \binom { - m - 1 } { j } } ( - 1 ) ^ { k - j } { \binom { m + 1 + k - n - 2 } { k - j } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k } { \binom { k - n - 2 } { k } } = ( - 1 ) ^ { k } { \binom { k - ( n + 1 ) - 1 } { k } } = { \binom { n + 1 } { k } } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { f _ { i } ^ { e q } = w _ { i } \rho ( 1 + 3 \frac { \vec { e } _ { i } \cdot \vec { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { 9 } { 2 } ( \frac { \vec { e } _ { i } \cdot \vec { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } ) ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } \frac { \vec { u } ^ { 2 } } { c _ { s } ^ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \varepsilon ) = \big \{ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : } \\ { * } & { \quad \Psi ( L _ { 1 } + L _ { 2 } , L _ { 2 } ; \mathbf { 0 } _ { 2 } , \mathbf { V } _ { 2 } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) ) \geq 1 - \varepsilon \big \} . } \end{array}
G ( x , y ) = \exp \{ \gamma \frac { \partial } { \partial \Gamma } \} \int _ { 0 } ^ { \infty } d T \int d \chi { \cal N } ( T ) \exp \{ - \frac { i } { 2 } ( m ^ { 2 } T + m \chi ) \} \int D x D \xi \exp \{ i S [ x , \xi ] \} ,
\begin{array} { r l } { \bar { h } _ { j } [ u , \mathbf { A } ] } & { = - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { j } ^ { 2 } - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \{ \nabla _ { j } , \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { j } ) \} + u ( \mathbf { r } _ { j } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { j } ^ { 2 } - \mathrm { i } \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { j } ) \cdot \nabla _ { j } - \frac { \mathrm { i } } { 2 } ( \nabla _ { j } \cdot \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { j } ) ) + u ( \mathbf { r } _ { j } ) . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \Phi - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial t } } \left[ { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } + { \frac { \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi } { 2 } } \right] - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \nabla \Phi \cdot \nabla \left[ { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } + { \frac { \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi } { 2 } } \right] = 0
\begin{array} { r l } { e ^ { + } = } & { \ \big [ I _ { m _ { x } } - B _ { \eta } ^ { \lambda } ( t , j ) \big ] e - \Xi _ { d } ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) \tilde { \theta } - \Gamma _ { d } ^ { + } ( t , j ) \Delta ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) \eta } \\ { \tilde { \theta } ^ { + } = } & { \ \Big [ I _ { m _ { \theta } } - \Sigma ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) \Big ] \tilde { \theta } + \Delta ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) \eta , } \\ { \eta ^ { + } = } & { \ \big [ I _ { m _ { x } } - B _ { \eta } ^ { \lambda } ( t , j ) \big ] \eta } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \omega ( V _ { 0 } , . . . , V _ { k } ) } & { { } = { \frac { 1 } { k + 1 } } \sum _ { i } ( - 1 ) ^ { i } d _ { { } _ { V _ { i } } } \left( \omega \left( V _ { 0 } , \ldots , { \hat { V } } _ { i } , \ldots , V _ { k } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { R e _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { \delta _ { \tau _ { 0 } } } \int _ { y = 0 } ^ { { \beta } \delta _ { \tau _ { 0 } } } \frac { y } { \delta _ { \tau _ { 0 } } } \mathrm { d } y + \frac { 1 } { \kappa \delta _ { \tau _ { 0 } } } \int _ { y = { \beta } \delta _ { \tau _ { 0 } } } ^ { H } \left[ \ln \left( \frac { y } { \delta _ { \tau _ { 0 } } } \right) + \kappa B \right] \mathrm { d } y , } \\ & { = \beta \left( \frac { 1 } { \kappa } - B + \frac { { \beta } } { 2 } - \frac { \ln ( { \beta } ) } { \kappa } \right) + R e _ { \tau _ { 0 } } \left[ \frac { \ln \left( R e _ { \tau _ { 0 } } \right) } { \kappa } + B - \frac { 1 } { \kappa } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { t o t . W } } ^ { 2 } } & { { } = p _ { \mathrm { _ W } } ^ { 2 } , \mathrm { ~ \quad ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { { M _ { \mathrm { W } } ^ { * } } ^ { 2 } } & { { } = \mathcal { E } _ { \mathrm { t o t . W } } ^ { 2 } - p _ { \mathrm { t o t . W } } ^ { 2 } } \end{array}
R _ { \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { 2 } } ^ { 0 } ( \theta ) = ( 1 + A \sinh ( \theta / 2 ) ) M ( \theta ) \quad ; \qquad R _ { \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } ( \theta ) = ( 1 - A \sinh ( \theta / 2 ) ) M ( \theta )
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathcal { B } _ { < } } } } & { \sum _ { \ell } \mathbf { 1 } _ { | \widetilde { \omega } | \geq z _ { 0 } ^ { - 1 } | m | ( r - 1 ) } ( r - 1 ) ( | u | ^ { 2 } + | \widetilde { \omega } | ^ { - 2 } | u ^ { \prime } | ^ { 2 } ) ( r ) \, d \widetilde { \omega } } \\ { \leq } & { \: C _ { m } B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 4 } W _ { 0 } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } } \Delta ^ { \frac { 1 - \epsilon } { 2 } } r ^ { - 1 + \epsilon } r ^ { 2 } | F _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau + \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \delta } \Delta ^ { \frac { 1 - \epsilon } { 2 } } r ^ { - 1 + \epsilon } r ^ { 2 } | G _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \varpi = - e ^ { - \varpi } \left[ ( 1 + 2 \rho \partial _ { \rho } ) \partial _ { \rho } \left( A _ { d } k ^ { d + 2 } e ^ { - \varpi } \right) - 2 k ^ { 2 } \right] \, . } \end{array}
\tilde { E } _ { x } ( \tau , \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z e \frac { \tau ( x - x _ { 0 } ) \cosh ( \eta - \eta _ { 0 } ) } { 4 \pi { [ ( r _ { \bot } - r _ { \bot 0 } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta _ { 0 } ) ] } ^ { 3 / 2 } } , } & { \mathrm { i f ~ } \tau _ { 0 } < \tau _ { f } ( \mathbf { x } ; \mathbf { x } _ { 0 } ) < \tau } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\Gamma _ { t } ^ { ( 4 ) } ( { \bf { q } } _ { 1 } , { \bf { q } } _ { 2 } , { \bf { q } } _ { 3 } , { \bf { q } } _ { 4 } ) - g _ { t } \sim g _ { t } ^ { 2 } \gamma ^ { ( 4 ) } ( { \bf { q } } _ { 1 } , { \bf { q } } _ { 2 } , { \bf { q } } _ { 3 } , { \bf { q } } _ { 4 } ) + O ( g _ { t } ^ { 3 } ) \; .
\frac { s ^ { 2 } V \mu ^ { \prime } } { E ^ { \prime } w _ { a } ^ { 3 } } = g _ { \delta } \left( \frac { K _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } ( s ) s ^ { 1 / 2 } } { E ^ { \prime } w _ { a } } , \frac { 2 s ^ { 1 / 2 } C ^ { \prime } } { w _ { a } V ^ { 1 / 2 } } \right) .