harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\rho ( \cdot , t ) = \rho _ { + } \mathscr { X } _ { \mathscr { R } _ { + } ( t ) } + \rho _ { - } \mathscr { X } _ { \mathscr { R } _ { - } ( t ) } , \qquad \mu ( \cdot , t ) = \mu _ { + } \mathscr { X } _ { \mathscr { R } _ { + } ( t ) } + \mu _ { - } \mathscr { X } _ { \mathscr { R } _ { - } ( t ) } ,
\begin{array} { r l r } { \left( A _ { \mathrm { 0 i } } + A _ { \mathrm { 0 r } } \right) \sin \theta _ { \mathrm { i } } } & { = } & { A _ { \mathrm { 0 t } } \sin \theta _ { \mathrm { t } } \, , } \\ { \left( A _ { \mathrm { 0 i } } - A _ { \mathrm { 0 r } } \right) \cos \theta _ { \mathrm { i } } } & { = } & { A _ { \mathrm { 0 t } } \cos \theta _ { \mathrm { t } } \, , } \end{array}
\frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } = - \frac { ( M \mp m _ { 1 } ) ( M \mp m _ { 2 } ) } { ( m _ { 2 } - m _ { 1 } ) [ m _ { 2 } \mp M \log ( m _ { 1 } ^ { 2 } / m _ { 2 } ^ { 2 } ) ] } \, .
{ \begin{array} { r l } { \exp { \left( \begin{array} { l l l l l } { . } & { . } & { . } & { . } & { . } \\ { 1 } & { . } & { . } & { . } & { . } \\ { . } & { 2 } & { . } & { . } & { . } \\ { . } & { . } & { 3 } & { . } & { . } \\ { . } & { . } & { . } & { 4 } & { . } \end{array} \right) } } & { = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { . } & { . } & { . } & { . } \\ { 1 } & { 1 } & { . } & { . } & { . } \\ { 1 } & { 2 } & { 1 } & { . } & { . } \\ { 1 } & { 3 } & { 3 } & { 1 } & { . } \\ { 1 } & { 4 } & { 6 } & { 4 } & { 1 } \end{array} \right) } } \\ { e ^ { \mathrm { c o u n t i n g } } } & { = { \mathrm { b i n o m i a l } } } \end{array} }
G ( s , x ) = 2 \left[ \psi _ { 1 } ( s ) \psi _ { 0 } ( x ) - \psi _ { 0 } ( s ) \psi _ { 1 } ( x ) \right] \Theta ( s - x ) + 2 \psi _ { 0 } ( s ) \psi _ { 1 } ( x ) \Theta ( - x ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ( a ) : } \ \ \nabla J _ { t } ^ { i } - \nabla J _ { t } ^ { i , \eta } = \left( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t } \right) \nabla \log \pi _ { \theta _ { t } } \left( a _ { t } ^ { i } | s _ { t } ^ { i } \right) } \\ & { \mathrm { ( b ) : } \ \ \nabla J _ { t } ^ { i , \eta } - \nabla J _ { t } ^ { i , \eta , w } = \langle \phi ( s _ { t } ^ { i + 1 } ) - \phi ( s _ { t } ^ { i } ) , \omega _ { t } - \omega _ { t } ^ { * } \rangle \nabla \log \pi _ { \theta _ { t } } \left( a _ { t } ^ { i } | s _ { t } ^ { i } \right) } \\ & { \mathrm { ( c ) : } \ \ \nabla J _ { t } ^ { i , \eta , w } - \nabla J _ { t } ^ { i , \eta , V } = \left[ \left( \langle \phi ( s _ { t } ^ { i + 1 } ) , \omega _ { t } ^ { * } \rangle - V _ { \theta _ { t } } ( s _ { t } ^ { i + 1 } ) \right) - \left( \langle \phi ( s _ { t } ^ { i } ) , \omega _ { t } ^ { * } \rangle - V _ { \theta _ { t } } ( s _ { t } ^ { i } ) \right) \right] \nabla \log \pi _ { \theta _ { t } } \left( a _ { t } ^ { i } | s _ { t } ^ { i } \right) } \end{array}
\sigma _ { 0 } \frac { r ^ { 2 } } { 4 R _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } = \frac { 4 \pi \alpha _ { s } } { 3 } \int \frac { d ^ { 2 } { \bf k } } { k ^ { 2 } } \left[ 1 - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \bf r \cdot k } } \right] { \cal F } _ { g } ^ { 1 } ( x , k ^ { 2 } ) ,
\left\langle N _ { \nu _ { \alpha _ { 1 } } } ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } , \cdots , N _ { \nu _ { \alpha _ { n } } } ^ { ( \alpha _ { n } ) } \right\vert \left. N _ { \nu _ { \alpha _ { 1 } } } ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } , \dots , N _ { \nu _ { \alpha _ { n } } } ^ { ( \alpha _ { n } ) } \right\rangle = { \cal A } ^ { \{ { \cal N } \} } \, .
\displaystyle g ( \lambda | \lambda _ { j } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { H } } \chi ( \lambda - h _ { k } ) - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { S } } \chi ( \lambda - y _ { k } ) - \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { C } } \chi ( \lambda - c _ { k } ) - \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { W } } \chi ( \lambda - w _ { k } ) _ { \mathrm { I I } } \: ,
G ( t - t ^ { \prime } , \tau ) = \frac { 1 } { a ^ { D } } \int _ { 1 / \Lambda ^ { 2 } } ^ { \infty } d s \frac { e ^ { - \frac { t - t ^ { \prime } } { 4 s } } } { ( 4 \pi s ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \phi _ { r } ( \tau ) | C ( r ) | ^ { 2 } e ^ { - \frac { s } { a ^ { 2 } } ( r ^ { 2 } + \rho _ { D } ^ { 2 } ) } d r \, ,
\frac { \partial v _ { 2 } } { \partial y _ { 2 } } \, , \frac { \partial v _ { 2 } } { \partial y _ { 3 } } \, , \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial y _ { 2 } } \, , \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial y _ { 3 } }
{ \frac { d V ( \phi , M ) } { d \phi } } = { \frac { \partial V } { \partial \phi } } = \phi \left[ m ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda } { 3 N } \phi ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda } { 3 N } F _ { \beta } ( M _ { \sigma } ) + \frac { 2 \lambda ( N - 1 ) } { 3 N } F _ { \beta } ( M _ { \pi } ) \right] = 0 ~ ,
\begin{array} { r l } { \textit { i n f l u e n c e } _ { i } } & { { } = 0 . 5 \cdot \textit { l o w e r - c l a s s - p e n a l t y } + 0 . 5 \cdot \textit { b l a c k - p e n a l t y } . } \end{array}
\pi ^ { i j } = { \sqrt { ^ { ( 4 ) } g } } \left( { ^ { ( 4 ) } } \Gamma _ { p q } ^ { 0 } - g _ { p q } { ^ { ( 4 ) } } \Gamma _ { r s } ^ { 0 } g ^ { r s } \right) g ^ { i p } g ^ { j q } ,
{ \frac { E _ { \mathrm { t o t } } } { c ^ { 2 } } } = { \frac { E _ { \mathrm { e m } } + E _ { \mathrm { p } } } { c ^ { 2 } } } = { \frac { E _ { \mathrm { e m } } + { \frac { E _ { \mathrm { e m } } } { 3 } } } { c ^ { 2 } } } = { \frac { 4 } { 3 } } { \frac { E _ { \mathrm { e m } } } { c ^ { 2 } } } = { \frac { 4 } { 3 } } m _ { \mathrm { e s } } = m _ { \mathrm { e m } }
\mathbf { m } _ { \mathbb H } \ltimes \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { M } _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W _ { 1 } ; \cdot , \ell ) \times \mathrm { Q D } _ { 0 , 1 } ( \gamma , \beta _ { W } ; \ell ) d \ell \right) = C \cdot \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta _ { 2 W _ { 1 } + W } , p ) } \times \mathrm { S L E } _ { \kappa , p } ^ { \mathrm { b u b b l e } } ( W , W _ { 1 } ) d p .
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { t , \sigma } ^ { ( A _ { 1 \ell } ) } } & { = \exp \left( \sum _ { p > k } [ \log \mathbf { U } _ { t } ^ { ( 1 \ell ) } ] _ { p k } ( \hat { E } _ { p k } ^ { \sigma } - \hat { E } _ { k p } ^ { \sigma } ) \right) , } \\ { \hat { G } _ { t , \tau } ^ { ( B _ { 1 \ell } ) } } & { = \exp \left( \sum _ { q > l } [ \log \mathbf { V } _ { t } ^ { ( 1 \ell ) } ] _ { q l } ( \hat { E } _ { q l } ^ { \tau } - \hat { E } _ { l q } ^ { \tau } ) \right) . } \end{array}
\Phi _ { E _ { 2 } , 0 ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \delta _ { \vec { r } , \vec { 0 } } \Big ( + 2 \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \Big ) \, \mathrm { ~ . ~ }
R _ { 1 } = \displaystyle \frac { e _ { 1 } \tilde { R } _ { 1 } } { \left( 1 - e _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } ; \quad R _ { 2 } = \displaystyle \frac { e _ { 2 } \tilde { R } _ { 2 } } { \left( 1 - e _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } .
\omega ( \bar { x } ) N ( \bar { x } , 0 ) \; d \bar { x } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \omega ( x _ { i } ) N ( x _ { i } , 1 ) d x _ { i } \equiv \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \omega ( x _ { i } ) N ( x _ { i } , 0 ) e ^ { - \Gamma \tau ( x _ { i } ) } d x _ { i } .
\mathbf { E } _ { R R } ( t ) = - { \frac { 4 \pi e } { V } } \sum _ { \mathbf { k } \lambda } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \left[ e _ { \mathbf { k } \lambda } \cdot \mathbf { \dot { x } } \left( t ^ { \prime } \right) \right] \cos \omega _ { k } \left( t ^ { \prime } - t \right)
\begin{array} { r l } { \| \nabla F ( x _ { 1 } ) - \nabla F ( x _ { 2 } ) \| } & { \le \left( l _ { f , 1 } + \frac { l _ { f , 0 } } { \mu _ { g } } l _ { g , 2 } + \frac { l _ { g , 1 } } { \mu _ { g } } l _ { g , 1 } \right) ( \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + \| y ^ { * } ( x _ { 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { 2 } ) \| ) } \\ & { \quad + l _ { g , 1 } l _ { f , 0 } \| \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) ^ { - 1 } - \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) ^ { - 1 } \| } \\ & { \le \left( l _ { f , 1 } + \frac { l _ { f , 0 } } { \mu _ { g } } l _ { g , 2 } + \frac { l _ { g , 1 } } { \mu _ { g } } \right) l _ { * , 0 } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + \frac { l _ { g , 1 } l _ { f , 0 } } { \mu _ { g } ^ { 2 } } l _ { g , 2 } l _ { * , 0 } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| . } \end{array}
E = { \frac { 2 \sqrt { \lambda } } { 3 } } F ^ { 2 } | Q | + { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ { \frac { d \phi } { d x } } + \sqrt { \lambda } ( \phi ^ { 2 } - F ^ { 2 } ) \right] ^ { 2 } d x ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \frac { e ( { \bf q } ( t ) ) } { e ( { \bf q } ( 0 ) ) } \right] } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \int _ { \| \boldsymbol { \theta } \| = 1 } R ( r ) \Theta ( \boldsymbol { \theta } ) \frac { \| { \bf M } _ { t } { \bf L } r \boldsymbol { \theta } \| ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } d \sigma ( \boldsymbol { \theta } ) } \end{array}
\widehat { H } ( t ) = \left( \begin{array} { c c } { \widehat { p } ^ { \, \mu } / ( 2 m ) } & { \gamma e ^ { i \omega t } } \\ { \gamma e ^ { - i \omega t } } & { \widehat { p } ^ { \, \mu } / ( 2 m ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \mathrm { n } ^ { * } ( p , q , \epsilon ) \gtrsim \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } \, \cdot \, d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p , q ) } , } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon \in ( 0 , 1 ] , } \\ { \frac { 1 } { e ^ { \epsilon } \, \cdot \, d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p , q ) } , } & { \mathrm { i f ~ } e ^ { \epsilon } \in \left( e , \frac { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } { d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p , q ) } \right] , } \\ { \frac { 1 } { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } , } & { \mathrm { i f ~ } e ^ { \epsilon } > \frac { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } { d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p , q ) } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \Theta } = - 3 \frac { \mathcal { D } _ { 1 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 1 3 } } } & { \bigg [ \Big ( \Gamma _ { 1 } + 6 p ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) - y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } \Big ) \, \omega } \\ & { - \Big ( \Gamma _ { 1 } + 6 p ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) - y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } \Big ) \, n _ { 1 } \bigg ] \, \tau } \\ { - 3 \frac { \mathcal { D } _ { 2 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 1 3 } } } & { \bigg [ \Big ( \Gamma _ { 2 } - 6 ( p + 2 ) ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) - y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } \Big ) \, \omega } \\ & { - \Big ( \Gamma _ { 2 } - 6 ( p + 2 ) ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) - y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } \Big ) \, n _ { 2 } \bigg ] \, \tau \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { \prime } ( s _ { \tau } ) } & { = - r ( r - 1 ) A _ { s _ { \tau } } \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \Gamma ( \frac 1 2 ) } \mathrm { B } ( \frac { r - 1 } { 2 } , \frac { 3 - r } { 2 } ) { _ 2 F _ { 1 } } ( \frac { 2 - r } { 2 } , 0 , \frac 1 2 ; 1 ) + \frac 1 \tau } \\ & { = - r ( r - 1 ) s _ { \tau } ^ { - ( 2 - r ) } \frac { \Gamma ( \frac 1 2 ) \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) } { \pi ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Gamma ( \frac 1 2 ) \Gamma ( \frac { 3 - r } { 2 } ) } \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \Gamma ( \frac 1 2 ) } \frac { \Gamma ( \frac { r - 1 } { 2 } ) \Gamma ( \frac { 3 - r } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 ) } + \frac 1 \tau } \\ & { = - r ( r - 1 ) s _ { \tau } ^ { - ( 2 - r ) } \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { r - 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac 1 2 ) } + \frac 1 \tau } \\ & { = - r ( r - 1 ) \frac { \frac { 1 } { 2 } \Gamma ( \frac 1 2 ) } { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { 1 + r } { 2 } ) r \tau } \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { r - 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac 1 2 ) } + \frac 1 \tau } \\ & { = - \frac { \frac { r - 1 } { 2 } \Gamma ( \frac { r - 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { 1 + r } { 2 } ) \tau } + \frac 1 \tau = - \frac { 1 } { \tau } + \frac 1 \tau = 0 . } \end{array}
\frac { \delta B ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \Lambda _ { 0 } \left( r / r _ { 0 } \right) ^ { \alpha _ { 1 } } } & { r \leq r _ { 1 } = 0 . 5 \mathrm { ~ a u } } \\ { \Lambda _ { 1 } \left( r / r _ { 0 } \right) ^ { \alpha _ { 2 } } } & { r _ { 1 } < r \leq r _ { 2 } = 2 . 0 \mathrm { ~ a u } } \\ { \Lambda _ { 2 } } & { r _ { 2 } < r } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \psi _ { C } ( { \bf { r } } , t ) } & { { } = \psi _ { C } ^ { s s } e ^ { - i \omega _ { p } t } ( 1 + \delta _ { C } ( { \bf { r } } , t ) ) , } \\ { \psi _ { X } ( { \bf { r } } , t ) } & { { } = \psi _ { X } ^ { s s } e ^ { - i \omega _ { p } t } ( 1 + \delta _ { X } ( { \bf { r } } , t ) ) . } \end{array}
\frac { \mathcal { A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mu \rightarrow e } \left( x _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 2 ) } \right) } { \mathcal { A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mu \rightarrow e } \left( x _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 1 ) } \right) } = \frac { \sin \frac { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 2 ) } } { 4 } \sin \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 2 ) } } { 4 } \sin \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 2 ) } } { 4 } } { \sin \frac { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 1 ) } } { 4 } \sin \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 1 ) } } { 4 } \sin \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } x _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 1 ) } } { 4 } } \; .
\mathbb { A } ^ { S } = \frac { ( \lambda ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } { 4 ( C - 3 \lambda ^ { 3 } + 3 \lambda + 2 C \lambda ^ { 2 } ) } , \; \; \mathbb { B } ^ { S } = \frac { - ( \lambda ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } ( C \lambda + \lambda ^ { 4 } - 3 \lambda ^ { 2 } + 2 ) } { 8 ( C + \lambda ^ { 3 } - \lambda - 2 C \lambda ^ { 2 } ) ( - 3 C \lambda + \lambda ^ { 4 } + \lambda ^ { 2 } - 2 ) } , \; \; \mathbb { C } ^ { S } = \frac { ( \lambda ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } { 2 ( 3 C + 2 \lambda ^ { 5 } - 7 \lambda ^ { 3 } + 5 \lambda ) } .
J _ { E } \: \tilde { \psi } \; : = \; - i f _ { E A A ^ { \prime } } \left( x _ { j A } \: \frac { \partial } { \partial x _ { j A ^ { \prime } } } \: + \: z _ { A } \: \partial _ { A ^ { \prime } } \: + \: \overline { { { z _ { A } } } } \: \overline { { { \partial _ { A ^ { \prime } } } } } \: + \: \lambda _ { \alpha A } \: \partial _ { \lambda _ { \alpha A ^ { \prime } } } \right) \tilde { \psi } \; = \; 0
\mathrm { K L } ( U , p _ { r } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { \mathrm { e } } } U ( r _ { j } ) \ln \left( \frac { U ( r _ { j } ) } { p _ { r } ( r _ { j } ) } \right) = - \frac { 1 } { N _ { \mathrm { e } } + 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { \mathrm { e } } } \ln \left( \left( N _ { \mathrm { e } } + 1 \right) p _ { r } ( r _ { j } ) \right) .
\begin{array} { r l r } { \mu ( \nu _ { i } ( a ) u _ { i j } ) } & { = } & { ( a \otimes 1 ) ( 1 \otimes u _ { i j } ) = \mu ( \nu _ { i } ( a ) ) s _ { v _ { i } } ( 1 \otimes e _ { j } ) = \mu ( \nu _ { i } ( a ) ) r _ { v _ { i } } ( 1 \otimes e _ { j } ) = ( a \otimes 1 ) ( 1 \otimes e _ { j } ) } \\ & { = } & { ( 1 \otimes e _ { j } ) ( a \otimes 1 ) = r _ { v _ { i } } ( 1 \otimes e _ { j } ) \mu ( \nu _ { i } ( a ) ) = s _ { v _ { i } } ( 1 \otimes e _ { j } ) \mu ( \nu _ { i } ( a ) ) } \\ & { = } & { ( 1 \otimes u _ { i j } ) \mu ( \nu _ { i } ( a ) ) = \mu ( u _ { i j } \nu _ { i } ( a ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { c _ { ( m - 3 ) \times k } } \\ { c _ { ( m - 3 ) \times k + 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { ( m - 3 ) \times k + ( k - 1 ) } } \\ { c _ { ( m - 2 ) \times k } } \\ { c _ { ( m - 2 ) \times k + 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { ( m - 2 ) \times k + ( k - 1 ) } } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k } } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k + 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k + ( k - 1 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { a _ { m - 3 , m - 3 } } & & { 0 } & & { a _ { m - 1 , m - 3 } } & \\ & { \frac { 1 } { 2 } a _ { m - 3 , m - 3 } { \bf I } } & & { \frac { 1 } { 2 } a _ { m - 2 , m - 2 } { \bf J } } & & { \frac { 1 } { 2 } a _ { m - 1 , m - 3 } { \bf I } } \\ & & { a _ { m - 2 , m - 2 } } & & { 0 } & \\ & & & { \frac { 1 } { 2 } a _ { m - 2 , m - 2 } { \bf I } } & & { \frac { 1 } { 2 } a _ { m - 1 , m - 1 } { \bf J } } \\ & & & & { a _ { m - 1 , m - 1 } } & \\ & & & & & { \frac { 1 } { 2 } a _ { m - 1 , m - 1 } { \bf I } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { d _ { 0 , m - 3 } } \\ { d _ { 1 , m - 3 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { k - 1 , m - 3 } } \\ { d _ { 0 , m - 2 } } \\ { d _ { 1 , m - 2 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { k - 1 , m - 2 } } \\ { d _ { 0 , m - 1 } } \\ { d _ { 1 , m - 1 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { k - 1 , m - 1 } } \end{array} \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { t r a p } } \propto \frac { I _ { 2 } w _ { 0 } } { w _ { \textrm { a } } ^ { 2 } k _ { \textrm { B } } T } \int _ { 0 } ^ { v _ { \textrm { m a x } } } \mathcal { V } ^ { ( \textrm { K E | P I | m m } ) } } & { { } \left( \frac { 1 - e ^ { - \gamma _ { 1 } w _ { 0 } / 2 v } } { v } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k } } & { \geqslant \ensuremath { \| w ( t ) w ( t ) ^ { \top } - w ( ( k + 1 ) \delta ) w ( ( k + 1 ) \delta ) ^ { \top } \| } } \\ & { \quad \quad + \ensuremath { \| w ( t ) w ( t ) ^ { \top } - w ( k \delta ) w ( k \delta ) ^ { \top } \| } } \\ & { \geqslant \ensuremath { \| w ( t ) w ( t ) ^ { \top } - w ( k \delta ) w ( k \delta ) ^ { \top } \| } . } \end{array}
f _ { \epsilon } ( u , v ) = \frac { \epsilon \cos { ( \beta ) } \sin { ( \beta ) } } { \left( ( t - v ) ^ { 2 } + ( w - u ) ^ { 2 } + ( 2 ( w - u ) + \epsilon ) \epsilon \cos { ( \beta ) } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \delta \mathbf { b } ^ { e } } & { = \left( \mathbf { S ( m ) } ^ { T } \mathbf { S ( m ) } + \mu \mathbf { I } \right) ^ { - 1 } \mathbf { S ( m ) } ^ { T } \delta \mathbf { d } ^ { * } ( \mathbf { m } ) = \mathbf { H } _ { s } ( \mathbf { m } ) ^ { - 1 } \mathbf { S ( m ) } ^ { T } \delta \mathbf { d } ^ { * } ( \mathbf { m } ) } \\ & { = \mathbf { S ( m ) } ^ { T } \left( \mathbf { S ( m ) } \mathbf { S ( m ) } ^ { T } + \mu \mathbf { I } \right) ^ { - 1 } \delta \mathbf { d } ^ { * } ( \mathbf { m } ) = \mathbf { S ( m ) } ^ { T } \mathbf { H } _ { d } ( \mathbf { m } ) ^ { - 1 } \delta \mathbf { d } ^ { * } ( \mathbf { m } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mu \| _ { 3 } ^ { 3 } } & { = \sum _ { j } \bigg ( \sum _ { k } ( \frac { n _ { k } \bar { N } _ { k } } { n \bar { N } } ) \mu _ { k j } \bigg ) ^ { 3 } \leq \sum _ { j } \sum _ { k } ( \frac { n _ { k } \bar { N } _ { k } } { n \bar { N } } ) \mu _ { k j } ^ { 3 } \leq \sum _ { k } \| \mu _ { k } \| _ { 3 } ^ { 3 } . } \end{array}
\varphi ( { \mathbf x } ^ { ( S ) } ) = f ( \widehat { \mathbf x } ^ { ( S ) } ) + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( S ) } - { \mathbf x } ^ { ( S ) } \| ^ { 2 } \leq f ( \widehat { \mathbf x } ^ { ( T ) } ) + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( T ) } - { \mathbf x } ^ { ( S ) } \| ^ { 2 } \leq f ( \widehat { \mathbf x } ^ { ( T ) } ) + \frac { \hat { \rho } D ^ { 2 } } { 2 } .
s a _ { 1 } = - d c _ { 1 } + a _ { 1 } c _ { 2 } + c _ { 1 } a _ { 2 } , s a _ { 2 } = - d c _ { 2 } + 2 a _ { 3 } c _ { 1 } + 2 c _ { 3 } a _ { 1 } ,
\begin{array} { r c l } { \nabla _ { i , \tilde { \beta } , t } } & { = } & { \left( \Delta C _ { i , t } - \lambda _ { i , \beta , t } \right) \tau _ { 1 , i } } \\ { \nabla _ { i , \tilde { \gamma } , t } } & { = } & { \left( \Delta R c _ { i , t } - \lambda _ { i , \gamma , t } \right) ( 1 - \gamma _ { i , t } ) \tau _ { 2 , i } } \\ { \nabla _ { i , \tilde { \nu } , t } } & { = } & { \left( \Delta D _ { i , t } - \lambda _ { i , \nu , t } \right) ( 1 - \nu _ { i , t } ) \tau _ { 3 , i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { H a l l } , 1 } ^ { z } ( t ) } & { = 2 \pi r _ { 1 } \alpha _ { 0 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) E _ { \varphi } ( r _ { 1 } , t ) , } \\ { I _ { \mathrm { H a l l } , 2 } ^ { z } ( t ) } & { = 2 \pi r _ { 2 } \alpha _ { 0 } ( \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } ) E _ { \varphi } ( r _ { 2 } , t ) , } \end{array}
\eta ^ { t - 1 } = \frac { G ^ { T } G } { ( \mathbf { B } G ) ^ { T } \left( \varLambda ^ { - 1 } ( \mathbf { B } G ) \right) } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } G \stackrel { \Delta } { = } \mathbf { B } ^ { T } \left( \varLambda ^ { - 1 } \left( \mathbf { B } \varphi ^ { t - 1 } - \Phi \right) \right) .
\begin{array} { r l } { g _ { 0 } ( z ) = z \left( \exp \int _ { 0 } ^ { z } \frac { \mathcal { P } _ { 0 } ( - t ) } { t } d t \right) } & { = z + \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } z ^ { 2 } - \frac { 8 } { 3 \pi ^ { 4 } } ( \pi ^ { 2 } - 1 2 ) z ^ { 3 } + \frac { 8 } { 1 3 5 \pi ^ { 6 } } ( 1 4 4 0 } \\ & { \quad - 3 6 0 \pi ^ { 2 } + 2 3 \pi ^ { 4 } ) z ^ { 4 } - \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos ( \theta ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { \cos ( \theta ) - \operatorname { t a n h } ( \xi ) } { 1 - \cos ( \theta ) \operatorname { t a n h } ( \xi ) } , } \\ { k ^ { \prime } } & { { } = k \big ( \cosh ( \xi ) - \cos ( \theta ) \sinh ( \xi ) \big ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { g ( t ) } \\ { g ^ { \prime } ( t ) } \end{array} \right] \sim \mathcal { N } \left( \left[ \begin{array} { l } { \mu ( t ) } \\ { \mu ^ { \prime } ( t ) } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { k ( t , t ) } & { k _ { y } ( t , t ) } \\ { k _ { x } ( t , t ) } & { k _ { x y } ( t , t ) } \end{array} \right] \right) .
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \Biggl \{ \bigg [ \bigg ( \frac { \Delta \phi } { \Delta \xi } \bigg ) _ { i + 1 / 2 , j } \bigg ( U _ { i + 1 , j } ^ { ( k ) } - U _ { i , j } ^ { ( k ) } \bigg ) - \bigg ( \frac { \Delta \phi } { \Delta \xi } \bigg ) _ { i - 1 / 2 , j } \bigg ( U _ { i , j } ^ { ( k ) } - U _ { i - 1 , j } ^ { ( k ) } \bigg ) \bigg ] } \\ & { + \bigg [ \bigg ( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \bigg ) _ { i , j + 1 / 2 } \bigg ( U _ { i , j + 1 } ^ { ( k ) } - U _ { i , j } ^ { ( k ) } \bigg ) - \bigg ( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \bigg ) _ { i , j - 1 / 2 } \bigg ( U _ { i , j } ^ { ( k ) } - U _ { i , j - 1 } ^ { ( k ) } \bigg ) \bigg ] \Biggr \} } \\ & { = \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } ( \Delta \xi \Delta \phi ) _ { i , j } \frac { \partial P _ { i , j } ^ { ( k ) } } { \partial z } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { T r } C _ { A , \mathrm { C h } , O ( 1 ) } ^ { n } \rangle } & { = \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } g _ { m } ^ { ( n ) } \left( \frac { 1 } { 4 } - f _ { m } \right) = \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n - 1 } } \binom { 2 n - 1 } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D ) } \\ { * } & { \leq \operatorname* { P r } \big \{ n R ( \hat { T } _ { X ^ { n } } , D ) + ( c _ { 1 } + | \mathcal { X } | ) \log n > \log M , ~ \hat { T } _ { X ^ { n } } \in \mathcal { A } _ { n } ( P _ { X } ) \big \} } \\ { * } & { \qquad + \operatorname* { P r } \big \{ \hat { T } _ { X ^ { n } } \notin \mathcal { A } _ { n } ( P _ { X } ) \big \} } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } | D , P _ { X } ) > \log M - ( c _ { 1 } + c _ { 2 } + | \mathcal { X } | ) \log n \Big \} + \frac { 2 | \mathcal { X } | } { n ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { r } ( x , y ) - \frac { I _ { s } ( x , y ) } { I _ { o b j } ( x , y ) } \approx D _ { \perp } ( x , y ) \nabla _ { \perp } [ I _ { r } ( x , y ) ] } \\ { \approx D _ { x } ( x , y ) \frac { \partial I _ { r } ( x , y ) } { \partial x } + D _ { y } ( x , y ) \frac { \partial I _ { r } ( x , y ) } { \partial y } } \end{array}
\overline { { \Omega } } = \bigcup _ { \mathrm { { P } = 1 } } ^ { n _ { \mathrm { { p a t c h } } } } \overline { { \Omega } } ^ { \mathrm { { P } } } \quad \Omega ^ { i } \cap \Omega ^ { j } = \varnothing \quad i \neq j .