harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \nabla _ { u } j ^ { \gamma , \varepsilon , h } } & { = \nabla _ { u } j ^ { h } + \gamma \mathbb { E } \left[ \mathbf { S } _ { h } ^ { * } \cdot \mathrm { d i a g } ( g _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( \mathbf { S } _ { h } u - \mathbf { y } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { h } ) ) \cdot \mathbf { M } g _ { \varepsilon } ( \mathbf { S } _ { h } u - \mathbf { y } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { h } ) \right] , } \\ { \nabla _ { u u } j ^ { \gamma , \varepsilon , h } } & { = \nabla _ { u u } ^ { 2 } j ^ { h } + \gamma \mathbb { E } \left[ \mathbf { S } _ { h } ^ { * } \cdot \mathrm { d i a g } ( g _ { \varepsilon } ^ { \prime } ) \mathbf { M } \mathrm { d i a g } ( g _ { \varepsilon } ^ { \prime } ) \cdot \mathbf { S } _ { h } ^ { \prime } \right] } \\ & { + \gamma \mathbb { E } \left[ \mathbf { S } _ { h } ^ { * } \cdot ( \mathrm { t e n d i a g } ( g _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ) \times _ { 3 } ( \mathbf { M } g _ { \varepsilon } ) ) \cdot \mathbf { S } _ { h } ^ { \prime } \right] } \\ & { + \gamma \mathbb { E } \left[ \nabla _ { u } \mathbf { S } _ { h } ^ { * } \times _ { 3 } ( \mathrm { d i a g } ( g _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( \mathbf { S } _ { h } u - \mathbf { y } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { h } ) ) \cdot \mathbf { M } g _ { \varepsilon } ( \mathbf { S } _ { h } u - \mathbf { y } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { h } ) ) \right] , } \end{array}
\partial _ { n } , \; n \geq 0 , \, \; \mathrm { \boldmath ~ \ g a m m a ~ } = \sum _ { n \geq 0 } ( n + 1 ) t _ { n + 1 } \partial _ { n } , \, \; \mathrm { \boldmath ~ \ v a r s i g m a ~ } = \sum _ { n \geq 1 } n t _ { n } \partial _ { n } ,
\mathrm { ~ e ~ r ~ r ~ o ~ r ~ } = \frac { \| q _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ t ~ h ~ } } - q _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ i ~ c ~ t ~ } } \| } { \| q _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ t ~ h ~ } } \| } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } & { \sigma = \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } p _ { 1 } ^ { \prime } + \ldots + \sigma _ { a ^ { \prime } } \left( \prod _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { a ^ { \prime } - 1 } p _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } \right) , } \\ & { \rho = \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } q _ { 1 } ^ { \prime } + \ldots + \rho _ { b ^ { \prime } } \left( \prod _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { b ^ { \prime } - 1 } q _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r } { ( \gamma a _ { 1 } ) ( \gamma a _ { 2 } ) \dots ( \gamma a _ { m } ) } & { \equiv { \zeta _ { n } ^ { b ( 1 ) } a _ { \pi ( 1 ) } } { \zeta _ { n } ^ { b ( 2 ) } a _ { \pi ( 2 ) } } \dots { \zeta _ { n } ^ { b ( m ) } a _ { \pi ( m ) } } } & { { \pmod { \mathfrak { p } } } } \\ & { \equiv \zeta _ { n } ^ { b ( 1 ) + b ( 2 ) + \dots + b ( m ) } a _ { \pi ( 1 ) } a _ { \pi ( 2 ) } \dots a _ { \pi ( m ) } } & { { \pmod { \mathfrak { p } } } } \\ & { \equiv \zeta _ { n } ^ { b ( 1 ) + b ( 2 ) + \dots + b ( m ) } a _ { 1 } a _ { 2 } \dots a _ { m } } & { { \pmod { \mathfrak { p } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { i \sigma ^ { \mu } D _ { \mu } U \left( x , s ^ { \prime } \right) = a \left( s ^ { \prime } \right) U \left( x , s ^ { \prime } \right) \quad , \quad i \overline { { \sigma } } ^ { \mu } D _ { \mu } U \left( x , s ^ { \prime } \right) = a \left( s \right) U \left( x , s ^ { \prime } \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i } ^ { k + 1 } } & { = x _ { i } ^ { k } + v _ { i } ^ { k + 1 } } \\ { v _ { i } ^ { k + 1 } } & { = w v _ { i } ^ { k } + C _ { 1 } \left( y _ { i } ^ { k } - x _ { i } ^ { k } \right) \otimes \widehat \theta _ { i , 1 } ^ { k } + C _ { 2 } \left( \overline { y } ^ { \infty , k } - x _ { i } ^ { k } \right) \otimes \widehat \theta _ { i , 2 } ^ { k } } \end{array} \right.
( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } - p ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( 2 m q + 2 n p ) ^ { 2 } + ( 2 n q - 2 m p ) ^ { 2 } = ( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + p ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) ^ { 2 } .
R _ { c } = \left( R _ { c } \right) _ { S M } \left( 1 - 1 . 0 1 ( \delta g _ { L } ^ { b } ) ^ { E T C } + \left[ 0 . 5 0 5 s ^ { 4 } + 1 . 4 0 s ^ { 2 } c ^ { 2 } - 0 . 1 2 1 ( 1 - s ^ { 4 } ) \right] { \frac { 1 } { x } } \right)
\begin{array} { r } { \frac { n ^ { 2 } } { a _ { n p } ^ { 4 } } \operatorname { t r } ( { \mathbf S } ^ { 2 } ) - \frac { 2 n ( n + p - 2 ) } { a _ { n p } ^ { 4 } } \operatorname { t r } ( { \mathbf S } ) + \frac { n p ( n + p - 2 ) } { a _ { n p } ^ { 4 } } = \frac { 1 } { a _ { n p } ^ { 4 } } \sum _ { i = 1 } ^ { p } \sum _ { t = 1 } ^ { n } X _ { i t } ^ { 4 } + o _ { \P } ( 1 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( t , x , y , z ) } & { { } = \frac { \partial u } { \partial t } + \beta \left( u \frac { \partial u } { \partial x } + v \frac { \partial u } { \partial y } + w \frac { \partial u } { \partial z } \right) + \frac { \partial p } { \partial x } - \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } \right) } \\ { f _ { 2 } ( t , x , y , z ) } & { { } = \frac { \partial v } { \partial t } + \beta \left( u \frac { \partial v } { \partial x } + v \frac { \partial v } { \partial y } + w \frac { \partial v } { \partial z } \right) + \frac { \partial p } { \partial y } - \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial z ^ { 2 } } \right) } \\ { f _ { 3 } ( t , x , y , z ) } & { { } = \frac { \partial w } { \partial t } + \beta \left( u \frac { \partial w } { \partial x } + v \frac { \partial w } { \partial y } + w \frac { \partial w } { \partial z } \right) + \frac { \partial p } { \partial z } - \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial z ^ { 2 } } \right) } \end{array}
a _ { 3 } , \epsilon _ { 3 } , M , b _ { 1 } / a _ { 3 } , b _ { 2 } / a _ { 3 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \Omega _ { 2 } ^ { 2 } / \Omega _ { 1 } ^ { 2 } , \Omega _ { 3 } ^ { 2 } / \Omega _ { 2 } ^ { 2 }
a \rightarrow a + ( \frac { g _ { 2 } } { 8 } + \frac { 5 } { 6 } c ^ { 2 } ) t _ { 1 0 } , \; \; \; \; \alpha \rightarrow \alpha - \frac { \dot { g } _ { 2 } } { 8 } \delta t _ { 1 0 } ,
\nabla \cdot \mathbf { u } _ { m } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { q _ { i } } { \rho _ { i } } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \alpha _ { i } } { \rho _ { i } } \frac { D _ { i } \rho _ { i } } { D t } .
K ( \Phi , { \bar { \Phi } } ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \log \left( 1 - \Phi _ { T } ^ { ( i ) } { \bar { \Phi } } _ { T } ^ { ( i ) } \right) - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \log \left( 1 - \Phi _ { U } ^ { ( i ) } { \bar { \Phi } } _ { U } ^ { ( i ) } \right) .
\mathbf { v _ { 2 } } = \left[ - \left( \varepsilon \gamma _ { 0 } ( \zeta + 1 ) ^ { 2 } - ( \gamma _ { 1 } + \zeta ) ( 1 + \gamma _ { 0 } \zeta ) - S _ { 1 } \right) , 2 \gamma _ { 0 } ( \zeta + \zeta ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } & { { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \rho } \left[ \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } \xi ( d x ) c _ { 0 , x } ( x _ { 1 } - \nabla _ { x } f _ { \zeta m } ( \omega ) ) ^ { 2 } \right] = } \\ & { = { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \rho } \left[ \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \xi ( d x ) c _ { 0 , x } ( x _ { 1 } - \nabla _ { x } f _ { \zeta m } ( \omega ) ) ^ { 2 } \right] = \ensuremath { \mathcal C } _ { 1 } + \ensuremath { \mathcal C } _ { 2 } , } \end{array}
\Xi _ { \mathcal { M } } ^ { ( i ) } = 1 - ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) \sum _ { m \in \bar { \mathcal { M } } } \lambda _ { y } ^ { 2 m } + h ( \mathcal { M } , \eta _ { \mathcal { M } } ^ { ( i ) } ) , \quad h ( \mathcal { M } , \eta _ { \mathcal { M } } ^ { ( i ) } ) = \frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \eta _ { \mathcal { M } , \Phi } ^ { ( i ) } } \sum _ { m \in \bar { \mathcal { M } } } \lambda _ { y } ^ { 2 m } \sum _ { \Phi ^ { \prime } \in \mathcal { P } _ { m } } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi \cdot \Phi ^ { \prime } } ^ { ( i ) } .
x _ { P } G ^ { S C } ( x _ { P } , k _ { \perp } ^ { 2 } ) \, \, \, = \, \, \, \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \, \int _ { x _ { P } } ^ { 1 } \, \frac { d x ^ { \prime } } { x ^ { \prime } } \int _ { \frac { 1 } { k _ { \perp } ^ { 2 } } } ^ { \infty } \, \, \frac { d r ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \int d b _ { t } ^ { 2 } \{ \, \, 1 \, \, \, - \, \, \, e ^ { - \kappa ^ { D G L A P } ( x ^ { \prime } , r ^ { 2 } ) \, S ( b _ { t } ) } \, \, \} \, \,
\exp \left[ { \frac { 1 } { \epsilon } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d t } { 2 t } } ( \sqrt { 1 - 4 { \hat { \lambda } } t } - 1 ) \right] = \exp \left\{ { \frac { 1 } { \epsilon } } \left[ \sqrt { 1 - 4 { \hat { \lambda } } } - 1 + \log { \frac { 2 } { 1 + \sqrt { 1 - 4 { \hat { \lambda } } } } } \right] \right\}
\prod _ { k = 3 } ^ { m } \exp \Big ( \frac { \alpha ^ { k } } { k 2 ^ { k + 1 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { k } } \Bigl ( e ^ { i t \ln \bigl ( 1 + \prod _ { i \leq k } \operatorname { t a n h } ( \beta x _ { i } ) \bigr ) } - 1 - i t \prod _ { i \leq k } \operatorname { t a n h } ( \beta x _ { i } ) \Bigr ) \frac { 1 } { \prod _ { i \leq k } | x _ { i } | ^ { 1 + \alpha } } d x _ { 1 } \dots d x _ { k } \Big ) .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 3 b } ^ { ( 1 ) } } & { { } = 5 7 6 0 i D p ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { D } \varphi _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { D - 1 } \varphi _ { 2 } \cdots \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { 3 } \varphi _ { D - 2 } d \varphi _ { D - 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos \varphi _ { D - 1 } d \varphi _ { D - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \langle N | \hat { H } ^ { ( 0 ) } | N \rangle \right] } & { = } & { \left[ \langle N | \, \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \bar { F } _ { i i } Q _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } Q _ { i } ^ { 2 } Q _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i } F _ { i i i i } Q _ { i } ^ { 4 } | N \rangle \langle N | - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { k } ^ { 2 } } + V _ { \mathrm { r e f } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \omega _ { k } ^ { 2 } Q _ { k } ^ { 2 } | N \rangle \right] } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , k } \bar { F } _ { i i } \left[ \langle N | Q _ { i } ^ { 2 } | N \rangle \langle N | \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { k } ^ { 2 } } | N \rangle \right] + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , k } \bar { F } _ { i i } \omega _ { k } ^ { 2 } \left[ \langle N | Q _ { i } ^ { 2 } | N \rangle \langle N | Q _ { k } ^ { 2 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { + \left[ \langle N | \, \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } Q _ { i } ^ { 2 } Q _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i } F _ { i i i i } Q _ { i } ^ { 4 } | N \rangle \langle N | - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { k } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \omega _ { k } ^ { 2 } Q _ { k } ^ { 2 } | N \rangle \right] + \Omega ^ { ( 1 ) } V _ { \mathrm { r e f } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \lambda } ( x ) } & { = \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } \int _ { \Omega } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y } \\ & { = \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y } \\ & { \quad + \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 n } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) f \left( y ^ { \lambda } , { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right) \mathrm d y } \\ & { \quad + \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } \int _ { ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } \setminus ( \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) ) } { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 n } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) f \left( y ^ { \lambda } , { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right) \mathrm d y . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal Y } \left( \begin{array} { l } { ^ 1 { \bf c } ^ { M \times 1 } } \\ { ^ 2 { \bf c } ^ { 2 M \times 1 } } \\ { \vdots } \\ { ^ { L - 1 } { \bf c } ^ { 2 M \times 1 } } \\ { ^ { L } { \bf c } ^ { M \times 1 } } \end{array} \right) ^ { 2 M ( L - 1 ) \times 1 } = \left( \begin{array} { l } { - ^ { 1 } { \bf s } ^ { 2 M \times 1 } } \\ { - ^ { 2 } { \bf s } ^ { 2 M \times 1 } } \\ { \vdots } \\ { - { ^ { L - 2 } { \bf s } } ^ { 2 M \times 1 } } \\ { { ^ L { \bf s } } _ { i n w a r d } ^ { 2 M \times 1 } - { ^ { L - 1 } { \bf s } } ^ { 2 M \times 1 } } \end{array} \right) ^ { 2 M ( L - 1 ) \times 1 } , } \end{array}
\frac { d \mu _ { j } } { d t } = f ( \mu _ { j } , \eta _ { j } ) + \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \partial \Omega _ { j } } ( d _ { 1 } ^ { u } \, u - d _ { 2 } ^ { u } \, \mu _ { j } ) \; d S _ { \bf x } \, , \qquad \frac { d \eta _ { j } } { d t } = g ( \mu _ { j } , \eta _ { j } ) + \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \partial \Omega _ { j } } ( d _ { 1 } ^ { v } \, v - d _ { 2 } ^ { v } \, \eta _ { j } ) \; d S _ { \bf x } \, ,
\frac { \lambda } { p ^ { 2 } } \left( \frac { 3 ( \mu - \lambda ) p } { h _ { 0 } C } - \frac { \mu } { \mu - \lambda } \right) - a > \left( \frac { 3 ( \underline { { \mu } } - \bar { \lambda } ) \underline { { p } } } { h _ { 0 } C } - \frac { \underline { { \mu } } } { \underline { { \mu } } - \bar { \lambda } } \right) \frac { \underline { { \lambda } } } { \bar { p } ^ { 2 } } - a > 0 ,
\begin{array} { r } { \phi _ { i j } \Delta x ^ { 2 } = \frac 1 2 \kappa _ { i j } m _ { i j } \Delta x ^ { 2 } = \frac 1 2 \frac { E I \omega ( r _ { i j } ) } { \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) d x } \frac { ( u _ { i j } + u _ { i j ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } { r _ { i j } ^ { 4 } } \Delta x ^ { 2 } , } \end{array}
W _ { N + K } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { N } = 1 ) = \left. \frac { ( - 1 ) ^ { N + K } } { ( N + K ) ! } \frac { d ^ { N + K } } { d t ^ { N + K } } \log \left( \sum _ { i = 0 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { i } x _ { i } t ^ { i } \right) \right| _ { t = 0 } ,
\begin{array} { r l } { S _ { 1 2 } ^ { s h } } & { { } = - \frac { 8 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - R ) p ( 1 - p ) \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) , } \\ { S _ { 1 4 } ^ { s h } } & { { } = S _ { 2 3 } ^ { s h } = \frac { ( 1 + R ) } { 4 ( 1 - R ) } S _ { 1 2 } ^ { s h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { s } _ { t } ( x ) : = \int _ { \bar { M } } K _ { 2 } ( t , x , x ^ { \prime } ) s ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi t } } \int _ { | \lambda | \geqslant \delta } \exp \left( - \lambda ^ { 2 } / 4 t \right) [ 1 - \phi ( \lambda ) ] \exp ( i \lambda D _ { T } ) s ( x ) d \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( \eta ) } & { \simeq \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \varepsilon \, g ( \varepsilon ) \exp \left\lbrace - \beta \varepsilon \left[ \eta - f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) \right] + \beta \int _ { f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) } ^ { \eta } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta ) \mathrm { d } \eta \, \right\rbrace } \\ & { \quad \quad \quad \cdot \sqrt { \frac { \beta } { 2 \pi } } \left[ - \left. \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } \eta } \right| _ { \eta = f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
e ^ { 2 \alpha _ { T } \bar { \gamma } ^ { \ast } - 2 \alpha _ { T } ^ { \ast } \bar { \gamma } } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } = e ^ { 2 \alpha _ { T } \beta ^ { \ast } - 2 \alpha _ { T } ^ { \ast } \beta } e ^ { 2 \alpha _ { T } \gamma ^ { \ast } - 2 \alpha _ { T } ^ { \ast } \gamma } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \underrightarrow { \partial } _ { p _ { \bar { s } } } \rightarrow - \sqrt { \frac { \beta } { m _ { \bar { s } } } } \bar { b } _ { \bar { s } } , } \\ { \underleftarrow { \partial } _ { p _ { \bar { s } } } \rightarrow - \sqrt { \frac { \beta } { m _ { \bar { s } } } } \bar { b } _ { \bar { s } } ^ { \dagger } . } \end{array} \right. } \end{array}
( \partial _ { \sigma _ { c } } ^ { 2 } - \partial _ { \tau } ^ { 2 } ) \delta x _ { \perp } ^ { ( 2 ) } = U _ { \perp \perp } ^ { ( 2 ) } \delta x _ { \perp } ^ { ( 0 ) } + U _ { \perp \perp } ^ { ( 1 ) } \delta x _ { \perp } ^ { ( 1 ) } ,
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial } { \partial t } + \mathcal { L } ( 1 2 ) \right) g _ { i i } ( 1 2 ) } & { + \int \mathrm { d } ( 3 ) \; \mathcal { V } ^ { s } ( 1 3 ) \, f _ { i } ( 1 ) \, g _ { i i } ( 3 2 ) } \\ & { + \int \mathrm { d } ( 3 ) \; \mathcal { V } ^ { s } ( 3 2 ) \, f _ { i } ( 2 ) \, g _ { i i } ( 1 3 ) = - \mathcal { V } ^ { s } ( 1 2 ) \, f _ { i } ( 1 ) f _ { i } ( 2 ) \, , } \end{array}
d _ { 2 } ^ { T R F } = \frac { ( 2 m + \kappa + \beta Q \cos \theta ) ( \kappa ^ { 2 } + 2 \beta \kappa Q \cos \theta + \beta ^ { 2 } Q ^ { 2 } \cos 2 \theta ) } { 2 \surd 2 m ( m + \kappa + \beta Q \cos \theta ) }
S _ { m } ( F _ { l } , \theta _ { 0 } ^ { i } ) = \sum _ { k = - N / 2 } ^ { k = N / 2 - 1 } V _ { m } ( t _ { k } , \theta _ { 0 } ^ { i } ) \thinspace e ^ { - 2 i \pi F _ { l } t _ { k } } \thinspace d t
\partial _ { \lambda } g = \frac { \mu } { ( \mu - \lambda ) ^ { 2 } } , \partial _ { \mu } g = \frac { \lambda } { ( \mu - \lambda ) ^ { 2 } } , \partial _ { \lambda \lambda } ^ { 2 } g = \frac { 2 \mu } { ( \mu - \lambda ) ^ { 3 } } , \partial _ { \lambda \mu } ^ { 2 } g = - \frac { \mu + \lambda } { ( \mu - \lambda ) ^ { 3 } } , \partial _ { \mu \mu } ^ { 2 } g = \frac { 2 \lambda } { ( \mu - \lambda ) ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l r } { \left\langle \Delta X ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = } & { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } b B _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { z } \frac { P _ { x x } ^ { 2 D } ( k _ { x } , k _ { y } ) } { k _ { \perp } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S p e c ( \alpha , S ) } & { = S p e c ( \alpha , S \cap \cup _ { i = 0 } ^ { 2 } \mathcal { R } _ { i } ) \cup \big ( \cup _ { i = 0 } ^ { 2 } S p e c ( \alpha , z _ { i } ) \big ) = } \\ & { = \left[ \frac { \alpha ( S ) } { P ^ { s } ( S ) } , \frac { \alpha ( S ) } { C ^ { s } ( S ) } \right] \cup S p e c ( \alpha , z _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { s } } & { { } = } & { \frac { \eta ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } + \big ( \Delta + G ( N _ { \uparrow } + N _ { \downarrow } ) \big ) ^ { 2 } } , } \\ { N _ { \uparrow } } & { { } = } & { \frac { ( \alpha - \frac { \delta } { 2 } ) ^ { 2 } N _ { \downarrow } } { \big ( \frac { \Omega } { 2 } + G n _ { s } + \frac { 1 } { 4 } U N ( \varepsilon + 1 ) - \gamma \big ) ^ { 2 } + \big ( \frac { \Omega _ { z } } { 2 } \big ) ^ { 2 } } , } \\ { N _ { \downarrow } } & { { } = } & { \frac { ( \alpha - \frac { \delta } { 2 } ) ^ { 2 } N _ { \uparrow } } { \big ( \frac { \Omega } { 2 } + G n _ { s } + \frac { 1 } { 4 } U N ( \varepsilon + 1 ) - \gamma \big ) ^ { 2 } + \big ( \frac { \Omega _ { z } } { 2 } \big ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { R } = \sum _ { A \notin \gamma } \frac { | \Phi _ { A } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { A } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { A } ^ { ( 0 ) } } = \sum _ { A } ^ { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } \frac { | \Phi _ { A } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { A } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { A } ^ { ( 0 ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { ~ C ~ } \rightarrow \mathrm { ~ D ~ } } ^ { i \rightarrow i } \left( n _ { c } ^ { o } , n _ { d } ^ { o } ; n _ { c } ^ { m } , n _ { d } ^ { m } \right) } & { { } = p _ { c } P _ { \mathrm { ~ C ~ } } \left( n _ { c } ^ { o } , n _ { d } ^ { o } \right) P _ { M \operatorname* { m a x } } ^ { ( \mathrm { ~ C ~ } ) } \left( n _ { c } ^ { m } , n _ { d } ^ { m } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( \{ x _ { i } \} , \{ y _ { \alpha } \} ) } & { = } & { \prod _ { i = 1 } ^ { N } p _ { N } ^ { x _ { i } } ( 1 - p _ { N } ) ^ { 1 - x _ { i } } } \\ & { } & { \! \! \! \! \! \! \times \prod _ { \alpha = 1 } ^ { M } \Big ( p _ { H } ^ { [ m _ { \alpha } ] } \Big ) ^ { y _ { \alpha } } \Big ( 1 - p _ { H } ^ { [ m _ { \alpha } ] } \Big ) ^ { 1 - y _ { \alpha } } . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } + \frac { \sigma _ { \lambda } ^ { 2 } \ln 2 ( \ln 2 - 2 ) } { 4 \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \ln 2 } { 2 \lambda _ { 0 } } ( \Lambda - \lambda _ { 0 } ) = \frac { 1 } { z }
\begin{array} { r l } { S } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { - { \frac { 2 } { 3 } } \ p + { \frac { 1 } { 3 a } } \left( Q + { \frac { \Delta _ { 0 } } { Q } } \right) } } } \\ { Q } & { { } = { \sqrt [ [object Object] ] { \frac { \Delta _ { 1 } + { \sqrt { \Delta _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \Delta _ { 0 } ^ { 3 } } } } { 2 } } } } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { L } _ { q } } { \partial \phi } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \frac { d ^ { k } } { d x ^ { k } } ( \frac { \partial \mathcal { L } _ { q } } { \partial \phi ^ { ( k ) } } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \frac { d ^ { k } } { d t ^ { k } } ( \frac { \partial \mathcal { L } _ { q } } { \partial \phi ^ { [ k ] } } ) = 0 ,
\begin{array} { r } { \mathbf { D } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { B ^ { 1 } } & { 0 } \\ { D ^ { 0 } } & { 0 } & { B ^ { 2 } } \\ { 0 } & { D ^ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\tilde { v } _ { z } = \frac { \tilde { B } _ { \phi } ^ { 2 } } { 8 \pi \rho _ { 0 _ { i } } C _ { A _ { i } } } + A _ { 1 } \left( \xi \right) + A _ { 2 } \left( \xi \right) \ln \left( r \right) + A _ { 3 } \left( r \right) + A _ { 4 } \left( r \right) \xi ,
\frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial t } + \overline { { u } } _ { j } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { j } } + g _ { i } ,
w _ { 3 } = ( { \bf n } _ { 2 } \cdot { \bf n } _ { 1 } ) , ~ ~ w _ { 2 } = ( { \bf n } _ { 3 } \cdot { \bf n } _ { 1 } ) , ~ ~ \bar { w } _ { 3 } = ( { \bf n } _ { 2 } \cdot { \bf n } _ { 4 } ) , ~ ~ \bar { w } _ { 2 } = ( { \bf n } _ { 3 } \cdot { \bf n } _ { 4 } ) , ~ ~ w _ { 1 } = ( { \bf n } _ { 2 } \cdot { \bf n } _ { 3 } ) ,
\theta _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ m ~ } } = - \int _ { S ( \gamma ) } \left( \frac { 1 } { \mathsf { A } } d E \wedge \, d t + \sum _ { k = 2 } ^ { N } \frac { 1 } { \mathsf { A } } d p _ { k } \wedge \, d \psi _ { k } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma } } & { = } & { \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } G _ { j _ { l } j _ { l } } , } \\ { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \sigma } } & { = } & { \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \mathrm { R e } \{ a _ { l m } { b _ { l m } } ^ { * } \} G _ { h _ { l } h _ { l } } , } \\ { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { i n t } } ^ { \sigma } } & { = } & { \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \mathrm { R e } \{ \left( a _ { l m } + b _ { l m } \right) G _ { j _ { l } h _ { l } } \} . } \end{array}