harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k , j , L } } \\ { \phi _ { k , j , R } } \\ { \phi _ { k + 1 / 2 , j , L } } \\ { \phi _ { k + 1 / 2 , j , R } } \end{array} \right] = \sum _ { n = 1 } ^ { N } w _ { n } \left[ \begin{array} { l } { \psi _ { n , k , j , L } } \\ { \psi _ { n , k , j , R } } \\ { \psi _ { n , k + 1 / 2 , j , L } } \\ { \psi _ { n , k + 1 / 2 , j , R } } \end{array} \right] \; ,
\mathcal { T } _ { \sigma _ { x } , \sigma _ { z } } \cdot [ ( u _ { x } , u _ { y } , u _ { z } , p ) ( x , y , z , t ) ] = ( u _ { x } , u _ { y } , u _ { z } , p ) ( x + \sigma _ { x } , y , z + \sigma _ { z } , t ) .
\mathscr { E } \left\{ \left\Vert \mathbf { h } _ { r , k } ^ { H } \Theta ^ { H } \mathbf { G } ^ { H } \mathbf { G } \bar { \Theta } \Theta \right\Vert ^ { 2 } \right\} = \frac { 1 } { \left( \rho _ { b } + 1 \right) ^ { 2 } \left( \rho _ { k } + 1 \right) } \mathscr { E } \left\{ \rho _ { r } \left\Vert \underset { \Delta _ { 1 } } { \underbrace { \mathbf { \bar { h } } _ { r , k } ^ { H } \mathbf { A } \bar { \Theta } } } \right\Vert ^ { 2 } + \left\Vert \underset { \Delta _ { 2 } } { \underbrace { \mathbf { \tilde { h } } _ { r , k } ^ { H } \mathbf { A } \bar { \Theta } } } \right\Vert ^ { 2 } \right\}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nabla \cdot { \pmb \sigma } ( { \pmb x } ) = \mu \Delta { \pmb v } ( { \pmb x } ) - \nabla s ( { \pmb x } ) = 0 } \\ { \nabla \cdot { \pmb v } ( { \pmb x } ) = 0 \qquad { \pmb x } \in D _ { f } } \\ { { \pmb v } ( { \pmb x } ) = { \pmb v } ^ { S } ( { \pmb x } ) , \ { \pmb \sigma } ( { \pmb x } ) = { \pmb \sigma } ^ { S } ( { \pmb x } ) \qquad { \pmb x } \in \partial D _ { b } } \\ { { \pmb v } ( { \pmb x } ) = { \pmb u } ( { \pmb x } ) \qquad { \pmb x } \rightarrow \infty } \end{array} \right.
a _ { [ 6 ] \times [ 4 ] } \rightarrow \left( \! \begin{array} { c c c c } { { u _ { 1 , 1 1 } } } & { { 0 } } & { { u _ { 2 , 1 1 } } } & { { 0 } } \\ { { u _ { 1 , 2 1 } } } & { { 0 } } & { { u _ { 2 , 2 1 } } } & { { 0 } } \\ { { a + \frac { 1 } { 2 } x _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { \alpha + \frac { 1 } { 2 } x _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \bar { \alpha } - \frac { 1 } { 2 } \bar { x } _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { \bar { a } + \frac { 1 } { 2 } \bar { x } _ { 0 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \! \right) + \left( \! \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { u _ { 1 , 1 2 } } } & { { 0 } } & { { u _ { 2 , 1 2 } } } \\ { { 0 } } & { { u _ { 1 , 2 2 } } } & { { 0 } } & { { u _ { 2 , 2 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { a - \frac { 1 } { 2 } x _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { \alpha - \frac { 1 } { 2 } x _ { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \bar { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \bar { x } _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { \bar { a } - \frac { 1 } { 2 } \bar { x } _ { 0 } } } \end{array} \! \right) ,
\begin{array} { r l r } { l } & { = } & { D ^ { t ( l _ { k } ) } l _ { k } , } \\ { b } & { = } & { \mathrm { f r a c } ( D ^ { t ( l _ { k } ) } b _ { k } ) = D ^ { t ( l _ { k } ) } b _ { k } - \left\lfloor D ^ { t ( l _ { k } ) } b _ { k } \right\rfloor , } \\ { v } & { = } & { \mathrm { f r a c } ( D ^ { t ( l _ { k } ) } \hat { v } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \bar { \boldsymbol { \sigma } } _ { B } } { \partial \mathcal { E } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \left| \mathcal { E } \right| \ge \sigma _ { o } / \gamma } \\ { 2 \gamma } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \left| \mathcal { E } \right| < \sigma _ { o } / \gamma \, . } \end{array} \right. } \end{array}
S = \int { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( D \theta ) ^ { 2 } = \int { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial \theta - H e A ) ^ { 2 } = \int { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial \theta - m A ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) = \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { o } ( \omega ) \! \! \prod _ { \alpha = 1 , 2 } \big | \tilde { \ddot { d } } _ { z } ^ { ( \alpha ) } ( \omega ) \big | \, \, \big | \hat { S } ( k _ { x } ^ { ( \alpha ) } , k _ { z } ^ { ( \alpha ) } ) \big | \, \cos \big [ \phi _ { d i p } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) - \phi _ { d i p } ^ { ( 2 ) } ( \omega ) + \Delta \theta _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) \big ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \epsilon _ { k } ( N _ { k } ) \leq } \\ & { \mathbb { P } \left[ \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { k } } i ( X _ { k } [ j ] ; Y _ { k } [ j ] ) - \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( N _ { j } - N _ { j - 1 } ) I ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) } { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( N _ { j } - N _ { j - 1 } ) V ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) } } \right. } \\ & { < \left. \frac { \log \frac { M _ { k } - 1 } { 2 } + s \log N _ { k } - \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( N _ { j } - N _ { j - 1 } ) I ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) } { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( N _ { j } - N _ { j - 1 } ) V ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) } } \right] } \\ & { + \frac { 1 } { ( N _ { k } ) ^ { s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ln \mathbb { E } ( e ^ { - 2 p h _ { i } r _ { ( n - i ) h } } | r _ { ( n - i - 1 ) h } ) } \\ & { \leq - 2 p h _ { i } e ^ { - \alpha h } \cdot r _ { ( n - i - 1 ) h } + c h \cdot h _ { i } + c h \cdot h _ { i } ^ { 2 } } \\ & { \leq - 2 p h _ { i } e ^ { - \alpha h } \cdot r _ { ( n - i - 1 ) h } + c i h ^ { 2 } + c i ^ { 2 } h ^ { 3 } } \end{array}
\alpha = - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \: \frac { ( 2 l + 1 ) } { e ^ { \beta z / R } - 1 } \frac { 2 z z ^ { \prime } } { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } \; j _ { l } ( z ^ { \prime } ) j _ { l } ^ { \prime } ( z ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ~ \hat { H } _ { \mathrm { I } } ( t ) = } \\ { = A \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t ^ { \prime } \int _ { - L / 2 } ^ { + L / 2 } d z \int d \omega _ { o } \int d \omega _ { e } \hat { a } _ { o } ^ { ( + ) } \hat { a } _ { e } ^ { ( + ) } } \\ { \int d \omega _ { p } \alpha ( \omega _ { p } ) } \\ { e ^ { - i \{ [ k _ { o } ( \omega _ { o } ) + k _ { e } ( \omega _ { e } ) - k _ { p } ( \omega _ { p } ) ] z - [ \omega _ { o } + \omega _ { e } - \omega _ { p } ] t \} } + c . c . } \end{array}
L _ { b _ { 2 } ( k ) } ^ { a _ { 2 } } ( \mu ) L _ { b _ { 1 } ( j ) } ^ { a _ { 1 } } ( \lambda ) = e ^ { - i \theta ( \hat { a } _ { 1 } - \hat { b } _ { 1 } ) ( \hat { a } _ { 2 } - \hat { b } _ { 2 } ) } L _ { b _ { 1 } ( j ) } ^ { a _ { 1 } } ( \lambda ) L _ { b _ { 2 } ( k ) } ^ { a _ { 2 } } ( \mu ) , \ll { b r a n y }
\begin{array} { r l } { \mathrm { T r } : \quad } & { \mathbb { C } [ ( U ( N ) \oplus L \oplus L ) ^ { \prime } / ( U ( N ) \oplus L \oplus L ) ] \rightarrow \mathbb { C } [ \mathbb { Z } ^ { 2 } / N \mathbb { Z } ^ { 2 } ] , } \\ & { \mathfrak { e } _ { ( a , b ) } \otimes \mathfrak { e } _ { \gamma } \otimes \mathfrak { e } _ { \delta } \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { \mathfrak { e } _ { ( a , b ) } : } & { \gamma = \delta ; } \\ { 0 : } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \mathrm { s a m p l e ~ e x c e s s ~ k u r t o s i s } } = { \frac { 6 } { 3 + { \hat { \alpha } } + { \hat { \beta } } } } \left( { \frac { ( 2 + { \hat { \alpha } } + { \hat { \beta } } ) } { 4 } } ( { \mathrm { s a m p l e ~ s k e w n e s s } } ) ^ { 2 } - 1 \right)
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } V _ { 1 } } & { { } = } & { n _ { 2 } V _ { 2 } , } \\ { n _ { 1 } m V _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 1 } k _ { B } T _ { \parallel 1 } } & { { } = } & { n _ { 2 } m V _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 2 } k _ { B } T _ { \parallel 2 } , } \\ { m \frac { V _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 3 k _ { B } T _ { \parallel 1 } + 2 k _ { B } T _ { \perp 1 } } { 2 } } & { { } = } & { m \frac { V _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 3 k _ { B } T _ { \parallel 2 } + 2 k _ { B } T _ { \perp 1 } } { 2 } . } \end{array}
f ( \lambda \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } + ( 1 - \lambda ) \bar { \nu } _ { \sigma } ^ { \gamma } , \lambda \bar { \mu } _ { \sigma } ^ { \gamma } + ( 1 - \lambda ) \bar { \mu } _ { \sigma } ^ { \gamma } ) \geq \lambda f ( \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } , \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } ) + ( 1 - \lambda ) f ( \bar { \nu } _ { \sigma } ^ { \gamma } , \bar { \mu } _ { \sigma } ^ { \gamma } )
\mu _ { p } \; = \; 3 \, \left[ \frac { 1 } { 2 7 } \, ( 4 \hat { \mu } _ { u } \, + \, \hat { \mu } _ { d } ) \, - \, \frac { 1 } { 1 0 8 } \, \hat { \mu } _ { d } \, - \, \frac { 1 } { 1 0 8 } \, \hat { \mu } _ { d } \right] \; = \; \frac { 1 } { 1 8 } \, \left( 8 \, \hat { \mu } _ { u } \, + \, \hat { \mu } _ { d } \right) \; \; \; ,
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } ( a ) _ { j k } } & { = \frac { \partial m } { \partial a _ { j } } ^ { T } C ^ { - 1 } \frac { \partial m } { \partial a _ { k } } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \Bigl ( C ^ { - 1 } \frac { \partial C } { \partial a _ { j } } C ^ { - 1 } \frac { \partial C } { \partial a _ { k } } \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \bar { H } [ u _ { 2 } , \mathbf { A } _ { 2 } ] - \bar { H } [ u _ { 1 } , \mathbf { A } _ { 1 } ] \right) \psi } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( - \mathrm { i } \mathbf { a } ( \mathbf { r } _ { j } ) \cdot \nabla _ { j } + \widetilde { U } ( \mathbf { r } _ { j } ) \right) \psi = ( E _ { 2 } - E _ { 1 } ) \psi . } \end{array}
( { \frac { 7 } { 5 } } ) = - 1 : \qquad { \frac { 1 } { 2 } } \left( 5 ( { \frac { 7 } { 5 } } ) + 3 \right) = - 1 , \quad { \frac { 1 } { 2 } } \left( 5 ( { \frac { 7 } { 5 } } ) - 3 \right) = - 4 .
{ \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } R _ { A ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \; { \frac { q ^ { \prime } ( q ^ { \prime } - R _ { D } ) } { d ^ { \prime } ( R _ { D } - d ^ { \prime } ) } } = { \frac { n ^ { 4 } d ^ { 4 } } { n ^ { 4 } d ^ { 4 } } } \; { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } R _ { A } ^ { 2 } } } \; { \frac { q ( q - R _ { D } ) } { d ( R _ { D } - d ) } } \, .
{ { L } _ { \pm } } \left( { { q } _ { x } } \right) = \pm \frac { { { M } _ { \pm } } \left( { { q } _ { x } } \right) } { { { q } _ { x } } \pm i { { q } _ { _ { y } } } } \pm \frac { { { M } _ { \pm } } \left( { { q } _ { x } } \right) - { { M } _ { \pm } } \left( \pm i { { q } _ { y } } \right) } { { { q } _ { x } } \mp i { { q } _ { _ { y } } } } \mp \frac { { { M } _ { \mp } } \left( \mp i { { q } _ { y } } \right) } { { { q } _ { x } } \pm i { { q } _ { _ { y } } } } .
\begin{array} { r } { Q = \frac { \pi S _ { \Lambda } C ^ { 3 } } { 2 } x \int \left[ 1 - \left( \frac { \omega _ { 2 } } { \omega } \right) ^ { y } \right] f \! \left( \! \sqrt { \frac { \omega _ { 2 } } { \omega } } \right) \frac { \omega _ { 2 } } { \sqrt { \omega } } \, \omega _ { 2 } ^ { - 2 x } \omega ^ { - 2 x } ( \omega ^ { x - 1 } - \omega _ { 2 } ^ { x - 1 } ) \, d \omega _ { 2 } , } \end{array}
Q ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } u \leq - 1 1 } \\ { - 5 . 0 \cdot 1 0 ^ { - 7 } x ^ { 5 } + 2 . 0 \cdot 1 0 ^ { - 6 } x ^ { 4 } + 2 . 4 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 3 } + 2 . 9 \cdot 1 0 ^ { - 3 } x ^ { 2 } - 0 . 1 1 x - 0 . 6 6 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } u > - 1 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { \leq c _ { \varepsilon } \, \| F _ { h } ^ { * } ( \cdot , \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { h } ( \cdot , \nabla u ) ) - F _ { h } ^ { * } ( \cdot , \boldsymbol { \mathcal { A } } ( \cdot , \nabla u ) ) \| _ { 2 , \omega _ { S } } ^ { 2 } + \varepsilon \, \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla u \vert } , \omega _ { S } } ( \lambda _ { S , T } ) } \\ & { \lesssim c _ { \varepsilon } \, \| \omega _ { p } ( h _ { \mathcal { T } } ) ^ { 2 } \, ( 1 + \vert \nabla u \vert ^ { p ( \cdot ) s } ) \| _ { 1 , \omega _ { S } } + \varepsilon \, \big [ \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } , \omega _ { S } } ( \lambda _ { S , T } ) + \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \omega _ { S } } ^ { 2 } \big ] \, . } \end{array}
G ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) = \frac { i } { 8 k _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 0 } | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } | ) - H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( i k _ { 0 } | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } | ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \delta \mathbf { W } _ { i , j } } { \mathrm { d t } } = } & { \left( \frac { \mathrm { d } \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathrm { d } { \mathbf { W } _ { i , j } } } \right) ^ { - 1 } \left[ - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } + \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } + \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } + \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { W } _ { i , j } \right. } \\ & { - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } - \mu _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \delta \mathbf { W } _ { i + 1 , j } - \left( \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { R } - \mu _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { W } _ { i , j + 1 } } \\ & { - \left( \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { L } - \mu _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \delta \mathbf { W } _ { i - 1 , j } - \left( \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { L } - \mu _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } \right) \delta \mathbf { W } _ { i , j - 1 } } \\ & { \left. + \mu _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { W } _ { i + 2 , j } + \mu _ { i , j + 1 / 2 } ^ { R } \delta \mathbf { W } _ { i , j + 2 } + \mu _ { i - 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { W } _ { i - 2 , j } + \mu _ { i , j - 1 / 2 } ^ { L } \delta \mathbf { W } _ { i , j - 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { E _ { \Delta x } \cap A ^ { c } } \left| u _ { \Delta x , x } ^ { 2 } ( y _ { \Delta x } ) - u _ { x } ^ { 2 } ( y ) \right| } & { f ( Z ) ( y ) y _ { \xi } y _ { \Delta x , \xi } d \xi } \\ & { \leq \int _ { E _ { \Delta x } \cap A ^ { c } } \left| u _ { \Delta x , x } ^ { 2 } ( y _ { \Delta x } ) - u _ { x } ^ { 2 } ( y ) \right| y _ { \xi } y _ { \Delta x , \xi } d \xi . } \end{array}
y _ { j } ^ { i P , Q } ( t _ { s } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f } \; | S _ { L } ^ { P , Q } ( t _ { s } ) | = 0 } \\ { \frac { 1 } { 2 | S _ { L } ^ { P , Q } ( t _ { s } ) | } } & { \mathrm { i f } \; | S _ { G } ^ { P , Q } ( t _ { s } ) | = 0 } \\ { \frac { 1 + 2 | S _ { G } ^ { P , Q } ( t _ { s } ) | } { 2 | S _ { L } ^ { P , Q } ( t _ { s } ) | } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { \psi _ { k j ^ { \prime } } ^ { 0 } = - m \hat { \Phi } J _ { k } ( \eta _ { j ^ { \prime } } ) \left( 1 + ( \iota m - n ) \frac { \omega _ { \zeta } } { \omega } \right) , } \\ { \displaystyle \psi _ { k j ^ { \prime } } ^ { \pm } = - \frac { m \hat { \Phi } J _ { k \pm 1 } ( \eta _ { j ^ { \prime } } ) } { 2 } ( \iota m - n ) \frac { \zeta _ { j ^ { \prime } } } { \omega } . } \end{array} \right. } \end{array}
\textrm { e r r } _ { \textrm { r } } : = \frac { \Vert \tilde { Z } \tilde { Q } _ { m - k } \tilde { K } _ { m - k } - \tilde { Q } _ { m - k } \tilde { H } _ { m - k } \Vert _ { 2 } } { \operatorname* { m a x } \left( \Vert \tilde { Z } \tilde { Q } _ { m - k } \tilde { K } _ { m - k } \Vert _ { 2 } , \Vert \tilde { Q } _ { m - k } \tilde { H } _ { m - k } \Vert _ { 2 } \right) } .
\begin{array} { r l } { \vec { E } _ { \mathrm { i n } } ^ { \prime } = } & { \frac { E _ { 0 } e ^ { i \varphi / 2 } } { 2 \sqrt 2 } \left[ \cos \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { i } \end{array} \right) - i \sin \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - i } \end{array} \right) \right] } \\ { = } & { - \frac { E _ { 0 } e ^ { i \varphi / 2 } } { 2 } \left[ \cos \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \vec { e } _ { + } + i \sin \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \vec { e } _ { - } \right] , } \end{array}
\mu _ { i j } = \frac { 1 } { 2 T } \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \varphi _ { i } ( \tau ) d \tau \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } \varphi _ { j } ( \tau ) d \tau \right) d t - \frac { 1 } { 2 T ^ { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } \varphi _ { i } ( \tau ) d \tau d t \right) \left( \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } \varphi _ { j } ( \tau ) d \tau d t \right)
\begin{array} { r } { { \mathbb { E } } [ \psi ( x ) \psi ( y ) ] = K ( \| x - y \| ; \lambda ) = \beta \left( 1 + \frac { \| x - y \| ^ { 2 } } { 2 \alpha \lambda ^ { 2 } } \right) ^ { - \alpha } } \end{array}
\partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } \left[ \; \; a _ { H } ^ { i j } ( { \bf x } , t ) - \frac { 1 } { 3 } \delta ^ { i j } \delta _ { k l } a _ { H } ^ { k l } ( { \bf x } , t ) \; \; \right] = - \int d ^ { 3 } y \; D ^ { i j , k l } ( { \bf x } - { \bf y } ) \theta _ { H , k l } ( { \bf y } , t ) .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { P } ( z ) \stackrel { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ d ~ e ~ f ~ } ~ } } { = } } & { { } \, g d + \omega \, ( { \psi } _ { \mathrm { s } } - { \psi } _ { \mathrm { b } } ) - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \left( W ^ { 2 } - { B } _ { \mathrm { s } } \right) , } \end{array}
k _ { i } ^ { \mu } = ( k _ { \mathrm { i T } } \, \cosh y _ { i } , { \bf k } _ { i } ) ~ ~ , ~ ~ { \bf k } _ { i } = ( k _ { \mathrm { i T } } \, \cos \psi _ { i } , k _ { \mathrm { i T } } \, \sin \psi _ { i } , k _ { \mathrm { i T } } \, \sinh y _ { i } ) ~ ,
{ \frac { \partial f } { \partial t } } + { \frac { \mathbf { p } } { m } } \cdot \nabla f + \mathbf { F } \cdot { \frac { \partial f } { \partial \mathbf { p } } } = \left( { \frac { \partial f } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { c o l l } }
\underline { { \hat { f } } } = \{ \underline { { f } } \} - \frac { U } { 2 } \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \Delta \rho } \\ { \Delta \rho u } \\ { \Delta \rho v } \\ { \Delta \rho E } \end{array} \right) } \end{array} - \delta U \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { \rho E } \end{array} \right) } \end{array} - \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \delta p \, n _ { x } } \\ { \delta p \, n _ { y } } \\ { \delta ( p U ) } \end{array} \right) } \end{array}
x + \frac { 2 ( y - M _ { l } ^ { 2 } / M _ { H } ^ { 2 } ) } { x + \sqrt { x ^ { 2 } - 4 M _ { l } ^ { 2 } / M _ { H } ^ { 2 } } } \le y _ { 0 } \le 1 + y - \frac { M _ { D } ^ { 2 } } { M _ { H } ^ { 2 } } \; .
\langle T _ { \mu } ^ { \mu } \rangle _ { \mathrm { Q F T } } = \frac { \hbar H ^ { 3 } } { 4 \pi c ^ { 2 } } \left( \frac { m c ^ { 2 } } { \hbar H } \right) ^ { 2 } \left\lbrack ( 1 - 6 \zeta ) - \left( \frac { m c ^ { 2 } } { \hbar H } \right) ^ { 2 } \right\rbrack ^ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \mathrm { c t g } \: \pi \left\lbrack ( 1 - 6 \zeta ) - \left( \frac { m c ^ { 2 } } { \hbar H } \right) ^ { 2 } \right\rbrack ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \frac { \rho u ^ { n + 1 } - \rho u ^ { n } } { \Delta t } } & { { } + \nabla \pi ^ { * , n + \frac { 1 } { 2 } } = - \frac { \left( \nabla \cdot ( \rho u u ) ^ { n } + \nabla \cdot ( \rho u u ) ^ { * , n + 1 } \right) } { 2 } } \\ { \nabla } & { { } \cdot u ^ { n + 1 } = 0 } \end{array}
T _ { r , s } ( X ) : = \left[ \sum _ { j = 0 } ^ { r } { \frac { 1 } { j ! } } ( X / s ) ^ { j } \right] ^ { s } , \quad | | \exp ( X ) - T _ { r , s } ( X ) | | \leq { \frac { | | X | | ^ { r + 1 } } { s ^ { r } ( r + 1 ) ! } } \exp ( | | X | | ) .
\rho ^ { \mathrm { T } } ( r , \theta ) = \frac { a _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } } { 2 \pi G r ^ { 2 } } R ( \theta ) , \quad \Phi ^ { \mathrm { T } } = \frac { a _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } r } { ( 4 { \pi } G ) ^ { 1 / 2 } } \phi ( \theta ) \ ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } ( x _ { n } ) } & { = \operatorname* { l i m i n f } ( x _ { n } + y _ { n } - y _ { n } ) } \\ & { \ge \operatorname* { l i m i n f } ( x _ { n } + y _ { n } ) + \operatorname* { l i m i n f } ( - y _ { n } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m i n f } ( x _ { n } + y _ { n } ) - \operatorname* { l i m s u p } ( y _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { I } ( t ; E _ { t } ) = } & { { } \hat { H } _ { 0 } ^ { \prime } + \hat { V } _ { I } ( t ) } \\ { = } & { { } | \beta \rangle \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } \langle \beta | + | \gamma \rangle \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { 0 } \langle \gamma | } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d } { d t } n ^ { C } ( X ) = - \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ c ~ } } \right] \cdot n _ { t } ^ { C } ( X ) \cdot n _ { t } ^ { G } ( X ) } \\ { \frac { d } { d t } n _ { t } ^ { I } ( X ) = \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ c ~ } } \right] \cdot n _ { t } ^ { C } ( X ) \cdot n _ { t } ^ { G } ( X ) } \\ { \quad \quad \quad \quad \quad - \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \right] \cdot \mathbb { E } \left[ U _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } } \left( W _ { \mathrm { ~ i ~ r ~ r ~ } } , T , n _ { t } ^ { G } ( X ) \right) \right] n _ { t } ^ { I } ( X ) } \\ { \frac { d } { d t } n _ { t } ^ { P L } ( X ) = \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \right] \cdot \mathbb { E } \left[ U _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } } \left( W _ { \mathrm { ~ i ~ r ~ r ~ } } , T , n _ { t } ^ { G } \right) \right] \cdot n ^ { I } ( X ) } \\ { \quad \quad \quad \quad \quad - \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \right] \mathbb { E } \left[ U _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \left( W _ { \mathrm { ~ i ~ r ~ r ~ } } , n _ { t } ^ { G } ( X ) \right) \right] n _ { t } ^ { P L } ( X ) } \\ { \frac { d } { d t } n _ { t } ^ { G } ( X ) = \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \right] \cdot \mathbb { E } \left[ U _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \left( W _ { \mathrm { ~ i ~ r ~ r ~ } } , n _ { t } ^ { G } ( X ) \right) \right] \cdot n _ { t } ^ { P L } ( X ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } A ^ { \prime } } & { { } = \pi - a , } & { \qquad B ^ { \prime } } & { { } = \pi - b , } & { \qquad C ^ { \prime } } & { { } = \pi - c , } \\ { a ^ { \prime } } & { { } = \pi - A , } & { b ^ { \prime } } & { { } = \pi - B , } & { c ^ { \prime } } & { { } = \pi - C . } \end{array}
t _ { k } = 2 \, { \sqrt { - { \frac { \, p \, } { 3 } } \; } } \, \cos \left[ \, { \frac { 1 } { 3 } } \, \operatorname { a r c c o s } \left( { \frac { \, 3 q \, } { 2 p } } \, { \sqrt { { \frac { - 3 \; } { p } } \, } } \, \right) - { \frac { \, 2 \pi k \, } { 3 } } \, \right] \qquad { \mathrm { f o r } } ~ k = 0 , 1 , 2 \; .
\Psi _ { \tau n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { k _ { z } k } e ^ { \mathrm { i } m \alpha } B _ { \tau n m j } ( \pm k _ { z } / k ) \Phi _ { j } ^ { \pm } ( \kappa , \alpha | \mathrm { r } ) \bigg ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } \quad \mathrm { f o r } \; z \gtrless 0 ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } D } & { { } = \rho U , } \\ { p _ { 0 } + \rho _ { 0 } D ^ { 2 } } & { { } = p + \rho U ^ { 2 } , } \\ { h _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } D ^ { 2 } } & { { } = h + \frac { 1 } { 2 } U ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \log ( 1 - F _ { n } ( \sqrt { n } \epsilon ) ) } { n } } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \log \mathbb { P } _ { 0 } \left( \widetilde { T } _ { n , \, \beta } \geq \sqrt { n } \epsilon \right) } { n } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \log \mathbb { P } _ { 0 } \left( \, \left\| \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } W _ { j } ( \cdot ) \, \right\| _ { \infty } \geq \epsilon \right) } { n } = - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { s u p } } \mathbb { E } W _ { 1 } ^ { 2 } ( b ) } + o ( \epsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}