\begin{array} { r l } & { \left\lVert \rho _ { t } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } - \left\lVert \rho _ { 0 } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad = 2 \nu \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } W _ { s } + \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } + \rho _ { s } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad \quad - \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s - 2 \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle ( k * \zeta _ { s } ) \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad \quad + \nu ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left\lVert \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad = \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } + \rho _ { s } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s - 2 \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle ( k * \zeta _ { s } ) \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad \quad - \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle \sigma _ { s } ^ { 2 } \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad \le \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } + \rho _ { s } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s - 2 \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle ( k * \zeta _ { s } ) \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad \quad - \lambda \int _ { 0 } ^ { t } \left\lVert \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } s , } \end{array}