harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \langle \tilde { \zeta } _ { T } ^ { X | K } , \phi _ { \varepsilon } \rangle ] } & { \leq \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { X } } \mathbf { 1 } _ { \left\{ n _ { k } ^ { X } - s _ { k } ^ { X } ( 0 ) \geq i , \; | ( \tau _ { k , i } ^ { X } ( 0 ) - T ) - c | \leq \epsilon \right\} } \right] } \\ & { + \frac { C } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \nu ( [ c + ( T - t ) - \varepsilon , c + ( T - t ) + \varepsilon ] ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { p r } \: | 0 \rangle | 1 \rangle ^ { \otimes r } = \theta _ { p r } \: | 0 \rangle | 1 \rangle ^ { \otimes r } + \sqrt { 1 - \theta _ { p r } ^ { 2 } } \: | 1 \rangle ^ { \otimes r } | { 0 } \rangle , } \end{array}
K = C _ { K 1 } \varepsilon ^ { 2 / 3 } \ell _ { \textrm { C } } ^ { 2 / 3 } - C _ { K 2 } \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \ell _ { \textrm { C } } ^ { 4 / 3 } \frac { D \varepsilon } { D t } - C _ { K 3 } \varepsilon ^ { 1 / 3 } \ell _ { \textrm { C } } ^ { 1 / 3 } \frac { D \ell _ { \textrm { C } } } { D t } ,
) . A f t e r s u b s t i t u t i n g t h e a b o v e e x p a n s i o n s i n t o M a x w e l l - B l o c h E q s . ~ ( S 2 ) a n d ~ ( S 3 ) a n d c o m p a r i n g t h e c o e f f i c i e n t s o f
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { \partial } { \partial x _ { i , l } } \tilde { P } _ { i j } ( x , \beta ) \right| \le \frac { 2 N \bar { g } _ { i , j , l } } { \varepsilon } \tilde { P } _ { i j } ( x , \beta ) \left( \frac { 1 } { N } - \tilde { P } _ { i j } ( x , \beta ) \right) , } \\ & { x _ { i } = [ x _ { i , 1 } \ \cdots \ x _ { i , n } ] ^ { \top } , } \\ & { \bar { g } _ { i , j , l } : = \operatorname* { m a x } _ { k \neq j } | g _ { i , l } ^ { \top } ( x _ { j } ^ { \sf d } - x _ { k } ^ { \sf d } ) | , \ { \mathcal G } _ { i } = [ g _ { i , 1 } \ \cdots \ g _ { i , n } ] ^ { \top } . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { i n t } } ( x _ { j } - x _ { k } ) = \frac { m } { 2 N } ( \Omega ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) \, ( x _ { j } - x _ { k } ) ^ { 2 } = \frac { \alpha - 1 } { 2 N } ( x _ { j } - x _ { k } ) ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { Q ^ { \star } ( t ) : = \frac { \chi _ { \delta } ^ { \star } ( t ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { f } } \partial _ { t } ^ { k } \rho _ { f } ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \frac { ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) ^ { k } } { k ! } } { 1 - \chi _ { \delta } ^ { \star } ( t ) \rho _ { f } ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { X } _ { \widetilde { Q } _ { i } ^ { l } } \in I _ { \widetilde { Q } _ { i } ^ { l } } \subset ( 1 + \tau ) I _ { \widetilde { Q } _ { i } ^ { l } } \subset U _ { \widetilde { Q } _ { i } ^ { l } } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \hat { X } _ { \widetilde { P } _ { i } ^ { l } } \in I _ { \widetilde { P } _ { i } ^ { l } } \subset ( 1 + \tau ) I _ { \widetilde { P } _ { i } ^ { l } } \subset U _ { \widetilde { P } _ { i } ^ { l } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log c _ { X _ { n } } ( \alpha ) } & { = \alpha _ { 1 } \log \frac { 1 } { u _ { 1 } } + \ldots + \alpha _ { n } \log \frac { 1 } { u _ { n } } } \\ & { \geq \alpha _ { 1 } ^ { * } \Big ( \log \frac { 1 } { u _ { 1 } } \Big ) _ { * } + \ldots + \alpha _ { n } ^ { * } \Big ( \log \frac { 1 } { u _ { n } } \Big ) _ { * } } \\ & { = \alpha _ { 1 } ^ { * } \log \frac { 1 } { u _ { 1 } ^ { * } } + \ldots + \alpha _ { n } ^ { * } \log \frac { 1 } { u _ { n } ^ { * } } = \log \frac { 1 } { ( u ^ { * } ) ^ { \alpha ^ { * } } } \, , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { z } } ^ { \mathrm { H E R } } [ \mathrm { m m } ] = 6 . 0 2 1 1 + 1 . 3 7 1 1 \times \frac { I ^ { \mathrm { H E R } } [ \mathrm { m A } ] } { n _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { H E R } } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| e _ { 0 } \| ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \bigg \| \nu _ { 0 } - \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { 0 } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \bigg \| \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { 0 } ; \mathcal { B } _ { 0 } ^ { ( k ) } ) - \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { 0 } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } \frac { 1 } { K ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \bigg \| \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { 0 } ; \mathcal { B } _ { 0 } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { 0 } ) \bigg \| ^ { 2 } \overset { ( b ) } { \leq } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b K } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { \frac { d } { d z } } \arcsin ( z ) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } \; ; } & { z } & { \neq - 1 , + 1 } \\ { { \frac { d } { d z } } \operatorname { a r c c o s } ( z ) } & { = - { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } \; ; } & { z } & { \neq - 1 , + 1 } \\ { { \frac { d } { d z } } \arctan ( z ) } & { = { \frac { 1 } { 1 + z ^ { 2 } } } \; ; } & { z } & { \neq - i , + i } \\ { { \frac { d } { d z } } \operatorname { a r c c o t } ( z ) } & { = - { \frac { 1 } { 1 + z ^ { 2 } } } \; ; } & { z } & { \neq - i , + i } \\ { { \frac { d } { d z } } \operatorname { a r c s e c } ( z ) } & { = { \frac { 1 } { z ^ { 2 } { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } } } \; ; } & { z } & { \neq - 1 , 0 , + 1 } \\ { { \frac { d } { d z } } \operatorname { a r c c s c } ( z ) } & { = - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } } } \; ; } & { z } & { \neq - 1 , 0 , + 1 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \sum _ { p , m } { \frac { \log ( p ) } { p ^ { m / 2 } } } { \Big ( } F ( \log ( p ^ { m } ) ) + F ( - \log ( p ^ { m } ) ) { \Big ) } - { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \varphi ( t ) \Psi ( t ) \, d t } \end{array}
u _ { 1 , r } = \left. \frac { 1 } { r \sin \theta } \frac { \partial ( \varphi _ { e , 1 } \sin \theta ) } { \partial \theta } \right| _ { r = \zeta } = 0 ; ~ ~ ~ ~ u _ { 1 , \theta } = \left. - \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r \varphi _ { e , 1 } ) } { \partial r } \right| _ { r = \zeta } = 0 .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } } & { P \left( \Delta ; t \right) } \\ { = } & { \left\{ \begin{array} { l c c } { \delta \left( \Delta + 1 - q \right) } & { \mathrm { i f } } & { q < \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( \delta \left( \Delta - \frac { 1 } { 2 } \right) + \delta \left( \Delta + \frac { 1 } { 2 } \right) \right) } & { \mathrm { i f } } & { q = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \delta \left( \Delta - q \right) } & { \mathrm { i f } } & { q > \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \bar { A } ^ { \mathrm { g } } } { \partial z \partial t } = M \bar { A } ^ { \mathrm { s } } u ( z ) \iint d k _ { x } d k _ { y } \frac { k _ { y } ^ { 2 } } { 2 \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } } | \hat { j } _ { \mathrm { m o d e } } | ^ { 2 } \left( \frac { 2 \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + \Delta k ^ { 2 } } - \frac { e ^ { - \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } z } e ^ { - i \Delta k z } } { \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } + i \Delta k } \right)
\delta \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \! \int \! D \partial _ { t } S \, \mathrm { d } ^ { 2 } z = - \delta \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \! \int \! D \nabla S \cdot \boldsymbol { \cal X } \, \mathrm { d } ^ { 2 } z
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \delta } & { { } = v _ { p h } \partial _ { x } \delta + \nu _ { g } ~ \frac { | E * \nu _ { L } | } { 1 + \delta ^ { 2 } } , } \\ { \nu _ { g } } & { { } = \nu _ { g } ( k , \nu _ { e e } , | \hat { E } ^ { k } | ; \theta _ { g } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathrm { i } \omega \cdot l } & { - ( d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) ) | \le | \mathrm { i } \omega \cdot l - ( d _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) | } \\ & { \ + | ( d _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) - ( d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) | } \\ & { \overset < 2 \gamma _ { n + 1 } \langle l \rangle ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | } \\ & { \ + | ( d _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n + 1 } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) - ( d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) | . } \end{array}
\_ H _ { \/ R } = { \frac { E _ { 0 } } { 2 \mu } } \Big ( { \frac { j \beta } { \omega } } - { \frac { \chi } { c } } \Big ) ( \_ a _ { x } - j \_ a _ { y } ) e ^ { - j \beta z } e ^ { j \omega t } , \quad \_ H _ { \/ L } = - { \frac { E _ { 0 } } { 2 \mu } } \Big ( { \frac { j \beta } { \omega } } + { \frac { \chi } { c } } \Big ) ( \_ a _ { x } + j \_ a _ { y } ) e ^ { - j \beta z } e ^ { j \omega t } ,
\delta ( \Omega ^ { 2 } ) = 2 \Omega _ { 0 } g ^ { 2 } \bigg ( \frac { \Omega _ { 0 } + \Delta _ { \mathrm { p } } } { ( \Omega _ { 0 } + \Delta _ { \mathrm { p } } ) ^ { 2 } + ( \kappa / 2 ) ^ { 2 } } - \frac { \Omega _ { 0 } - \Delta _ { \mathrm { p } } } { ( \Omega _ { 0 } - \Delta _ { \mathrm { p } } ) ^ { 2 } + ( \kappa / 2 ) ^ { 2 } } \bigg ) ,
\textbf { N } = - \gamma \left[ \begin{array} { l } { \Tilde { \textbf { V } } \cdot \Tilde { \nabla } \Tilde { u } - \Tilde { u } \Tilde { v } \ \tan ( \varphi ) } \\ { \Tilde { \textbf { V } } \cdot \Tilde { \nabla } \Tilde { v } + \Tilde { u } ^ { 2 } \ \tan ( \varphi ) } \\ { \Tilde { \textbf { V } } \cdot \Tilde { \nabla } \Tilde { h } + \Tilde { h } \Tilde { \nabla } \cdot \Tilde { \textbf { V } } } \end{array} \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { F } = \left[ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { \tau _ { R } } \Tilde { u } } \\ { - \frac { 1 } { \tau _ { R } } \Tilde { v } } \\ { Q - \frac { 1 } { \tau _ { N } } \Tilde { h } } \end{array} \right] \, .
\int d ^ { 2 } z \frac { ( z - z _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \left[ - \partial ^ { 2 } \varphi + ( \partial \varphi ) ^ { 2 } \right] = - \chi ( 1 - \chi ) \int d ^ { 2 } z \frac { ( z - z _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \frac { 1 } { z ^ { 2 } }
{ \cal L } _ { \mathrm { B I C S } } = \tau \left[ \sqrt { \operatorname * { d e t } \eta _ { m n } } - \sqrt { \operatorname * { d e t } \left( \eta _ { m n } + \kappa F _ { m n } \right) } \right] + \frac { m } { 2 } \epsilon ^ { m n p } A _ { m } \partial _ { n } A _ { p } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \ell ( W , \hat { W } ) ] } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \operatorname* { s u p } _ { \alpha < 0 } \rho \exp \left( - \frac 1 \beta I _ { \alpha } ( W , X ^ { n } ) \right) \left( \left( 1 - \rho \sqrt \frac { 2 } { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } \right) ^ { + } \right) ^ { \frac 1 \beta } } \\ & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \operatorname* { s u p } _ { - \frac { \sigma ^ { 2 } } { n \sigma _ { W } ^ { 2 } } < \alpha < 0 } \rho \left( \sqrt { 1 - n | \alpha | \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \left( 1 - \rho \sqrt \frac { 2 } { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } \right) ^ { + } \right) ^ { \frac 1 \beta } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { 0 < \rho < \sqrt { \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } { 2 } } } \operatorname* { s u p } _ { - \frac { \sigma ^ { 2 } } { n \sigma _ { W } ^ { 2 } } < \alpha < 0 } \rho \left( \sqrt { 1 - n | \alpha | \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \left( 1 - \rho \sqrt \frac { 2 } { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } \right) \right) ^ { \frac 1 \beta } } \end{array}
M = g _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } \bigl [ \bar { v } ( p _ { 2 } ) \gamma ^ { \mu } ( v _ { b } ^ { \prime } - a _ { b } ^ { \prime } \gamma _ { 5 } ) u ( p _ { 1 } ) \bigr ] \frac { - g _ { \mu \nu } + k _ { \mu } k _ { \nu } / M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } + i M _ { Z ^ { \prime } } \Gamma _ { Z ^ { \prime } } } \bigl [ \bar { u } ( q ) \gamma ^ { \nu } ( v _ { q } ^ { \prime } - a _ { q } ^ { \prime } \gamma _ { 5 } ) v ( \bar { q } ) \bigr ] ,
\begin{array} { r } { \delta B _ { k , \pm } = B _ { 0 } \frac { \delta V _ { k , \pm } } { V _ { p h , \pm } } | \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \times \hat { \mathbf { \xi } } _ { \pm } | , } \\ { \delta N _ { k , \pm } = N _ { 0 } \frac { \delta V _ { k , \pm } } { V _ { p h , \pm } } \hat { \mathbf { k } } \cdot \hat { \mathbf { \xi } } _ { \pm } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { h } } } & { { } = - \partial _ { \tilde { x } } ^ { 2 } ( \tilde { h } + \tilde { \zeta } ) + \frac { 1 } { h ^ { 6 } } - \frac { 1 } { h ^ { 3 } } } \\ { \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { \zeta } } } & { { } = - \partial _ { \tilde { x } } ^ { 2 } ( \tilde { h } + \tilde { \zeta } ) - \tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } \partial _ { \tilde { x } } ^ { 2 } \tilde { \zeta } + \tilde { T } \left[ \sigma ^ { 2 } / c + c + \log ( 1 - c ) \right] , } \end{array}
\delta \, S _ { \mathrm { e f f } } ( A ) \big / \delta \, A _ { k } \left( \underline { { { x } } } , t \right) \; = \; \sigma _ { H } \; \varepsilon _ { k \ell } \; E ^ { \ell } \left( \underline { { { x } } } , t \right) ~ ,
\begin{array} { r l r } { I } & { { } = } & { L A - R A } \\ { I I } & { { } = } & { L L - R A } \\ { I I I } & { { } = } & { L L - L A } \\ { a V R } & { { } = } & { R A - \frac { 1 } { 2 } ( L A + L L ) } \\ { a V L } & { { } = } & { L A - \frac { 1 } { 2 } ( R A + L L ) } \\ { a V F } & { { } = } & { L L - \frac { 1 } { 2 } ( R A + L A ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ^ { 3 } = \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } \underbrace { \left( Q _ { M _ { 2 } } - Q _ { \omega } \right) } _ { = : M _ { 3 } } + \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } \underbrace { \left( W _ { \omega } - W _ { M _ { 2 } } \right) } _ { = : W _ { 0 } } + R _ { 3 } . } \end{array}
{ \bf a } ^ { \dag \mu \nu } ( p ) = \sum _ { i , j } C ^ { i j } ( b _ { i } ^ { \mu } b _ { j } ^ { \nu } + b _ { i } ^ { \nu } b _ { j } ^ { \mu } - 2 \eta ^ { \mu \nu } b _ { i } ^ { \lambda } b _ { j } ^ { \lambda } ) | 0 , p > .
\frac { 1 } { 3 } \mathrm { T r } [ \Tilde { G } _ { i j } ^ { T } ( \vec { r } , \omega ) ] = \frac { \mathrm { e } ^ { - \alpha r } } { 6 \pi \eta r } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { 1 } { 3 } \mathrm { T r } [ \Tilde { G } _ { i j } ^ { L } ( \vec { r } , \omega ) ] = \frac { \lambda ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda r } } { 1 2 \pi \eta r } \, ,
\begin{array} { r } { \overline { { V } } _ { t _ { n } + \frac { \delta } { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { V } _ { t _ { n } + \frac { \delta } { 2 } } \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } \tau _ { 2 } > \delta } \\ { R ( \overline { { X } } _ { t _ { n } + \frac { \delta } { 2 } } ) \tilde { V } _ { t _ { n } + \frac { \delta } { 2 } } \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } \tau _ { 2 } \leq \delta } \end{array} \right. } \end{array}
\varphi _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( u _ { 0 } , \mu ) = e ^ { ( t - t _ { 0 } ) \mathcal { A } _ { U } } u _ { 0 } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } J _ { s } ( \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( u _ { 0 } , \mu ) , \mu ) \, d s
\begin{array} { r } { E _ { x } [ \rho _ { L } ] \approx - \underbrace { \frac { \pi } { ( 3 \pi ^ { 2 } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } I _ { 0 } } _ { c _ { x } } \bar { \rho } ^ { \frac { 4 } { 3 } } | Q ^ { D } | L ^ { 3 } - \biggr ( \underbrace { \frac { 1 } { 6 } I _ { 0 } } _ { c _ { F M } } - \underbrace { \frac { 1 } { 1 2 \pi } I _ { 1 } } _ { c _ { F S } } + \underbrace { \frac { \log 2 } { 6 \pi } I _ { 1 } - \frac { 1 } { 3 \pi } I _ { 2 } } _ { c _ { B L } } \biggr ) \bar { \rho } | \partial Q ^ { D } | L ^ { 2 } . } \end{array}
R ( x ) \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - i Y \operatorname { a r c c o s } x } } & { ( x \in \mathbb { R } ) } \\ { e ^ { - i X \operatorname { a r c c o s } \mathrm { I m } ( x ) } e ^ { i Z \frac { \pi } { 2 } } } & { ( x \in \mathbb { C } \setminus \mathbb { R } ) , } \end{array} \right.
\frac { \partial \phantom { i i i } } { \partial x _ { i } ^ { a _ { i } } } \, X ^ { a _ { 1 } x _ { 1 } \ldots a _ { i } x _ { i } \, \ldots \, a _ { n } x _ { n } } = \bigl ( \, \delta ( x _ { i } - x _ { i - 1 } ) - \delta ( x _ { i } - x _ { i + 1 } ) \, \bigr ) X ^ { a _ { 1 } x _ { 1 } \ldots a _ { i - 1 } x _ { i - 1 } \, a _ { i + 1 } x _ { i + 1 } \ldots a _ { n } x _ { n } }
\begin{array} { r } { \frac { \partial T ^ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } ( x ) = \beta | x | ^ { \beta - 2 } ( x _ { 1 } \cos { ( \beta ( \arg x - \alpha ) ) } + x _ { 2 } \sin { ( \beta ( \arg x - \alpha ) ) } ) , } \\ { \frac { \partial T ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } ( x ) = \beta | x | ^ { \beta - 2 } ( x _ { 1 } \sin { ( \beta ( \arg x - \alpha ) ) } - x _ { 2 } \cos { ( \beta ( \arg x - \alpha ) ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { 1 } } & { = ( 1 - \alpha ) \, h _ { S _ { N } } + \alpha \, h } \\ { \varphi _ { 2 } } & { = ( 1 - \beta ) \, h _ { S _ { N } } + \beta \, h } \\ { \varphi _ { 3 } } & { = ( 1 - \alpha ) \, h _ { S _ { N } } + \alpha \, ( E ^ { 1 1 } \circ \pi _ { G _ { 0 } } ) } \\ { \varphi _ { 4 } } & { = ( 1 - \beta ) \, h _ { S _ { N } } + \beta \, ( E ^ { 1 1 } \circ \pi _ { G _ { 0 } } ) } \end{array}
H _ { 1 } = \frac { C } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { | V | } \sum _ { i < j = 0 } ^ { k - 1 } Z _ { n , i } Z _ { n , j } + \frac { D } { 2 } \sum _ { \{ n , m \} \in E } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } Z _ { n , i } Z _ { m , i } .
S _ { 0 } = \int d ^ { 4 } x \, \phi ( x ) \left[ \widetilde { M } _ { \kappa } ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { \widetilde { M } _ { \kappa } ^ { 2 } } { 4 \kappa ^ { 2 } } } \right) - m ^ { 2 } \right] \phi ( x )
\begin{array} { r } { u _ { x } ^ { \infty } = u _ { x } ^ { \infty , ( 0 ) } + C u ^ { 2 } u _ { x } ^ { \infty , ( 1 ) } + O ( C u ^ { 4 } ) } \\ { u _ { x } ^ { \infty , ( 0 ) } = 1 – y ^ { 2 } ; \qquad u _ { x } ^ { \infty , ( 1 ) } = \epsilon ( 1 - n ) ( 1 – y ^ { 4 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } l ( \mathfrak { s } _ { i } ) - l ( \langle \mathfrak { s } _ { 1 } \cdots \mathfrak { s } _ { k } \rangle ) , } & { \ \mathrm { i f } \ \mathfrak { s } _ { 1 } , \cdots , \mathfrak { s } _ { k } \ \mathrm { i s \ a \ c h a i n ; } } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { k } l ( \mathfrak { s } _ { i } ) - l ( [ \mathfrak { s } _ { 1 } \cdots \mathfrak { s } _ { k } ] ) , } & { \ \mathrm { i f } \ \mathfrak { s } _ { 1 } , \cdots , \mathfrak { s } _ { k } \ \mathrm { i s \ a \ c y c l e . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq F _ { N } ( x , \gamma ^ { * , N } ( x , \mu ) , \mu ) - F _ { N } ( x , \gamma ^ { * , N } ( z , \nu ) , \mu ) } \\ & { \geq \langle \nabla _ { a } F _ { N } ( x , \gamma ^ { * , N } ( z , \nu ) , \mu ) , \gamma ^ { * , N } ( x , \mu ) - \gamma ^ { * , N } ( z , \nu ) \rangle + \frac { \rho } { 2 } \| \gamma ^ { * , N } ( z , \nu ) - \gamma ^ { * , N } ( x , \mu ) \| ^ { 2 } } \end{array}
\mathcal J ^ { - 1 } \approx ( \mathcal J _ { 0 } + \mathcal J ^ { \prime } ) ^ { - 1 } = \mathcal J _ { 0 } ^ { - 1 } + \mathcal J _ { 0 } ^ { - 1 } \mathcal J ^ { \prime } \mathcal J _ { 0 } ^ { - 1 }
\hat { S } ( | \hat { \nabla } \hat { \psi } | ) = \frac { \hat { \tau } _ { y } } { \hat { H } } + \hat { \chi } ( | \hat { \nabla } \hat { \psi } | ) = \frac { \hat { \tau } _ { y } } { \hat { H } } + \frac { \hat { \tau } _ { w } ( | \hat { \nabla } \hat { \psi } | ) - \hat { \tau } _ { y } } { \hat { H } } .
\begin{array} { r l } { S ( \vec { Q } , \omega ) = } & { { } \sum _ { \substack { j , j ^ { \prime } = 1 } } ^ { N } { \overline { { b _ { j } } } \, \overline { { b _ { j ^ { \prime } } } } } S _ { j , j ^ { \prime } } ( \vec { Q } , \omega ) + \sum _ { j } ^ { N } { [ \overline { { b _ { j } ^ { 2 } } } - ( \overline { { b _ { j } } } ) ^ { 2 } ] } S _ { j , j } ( \vec { Q } , \omega ) } \\ { = } & { { } S _ { \mathrm { c o h } } ( \vec { Q } , \omega ) + S _ { \mathrm { i n c } } ( \vec { Q } , \omega ) } \end{array}
= \sum _ { \boldsymbol { R _ { \ell } } } \ \sum _ { \boldsymbol { R _ { n } } } b ^ { * } ( { \boldsymbol { R _ { n } } } ) \ \int d ^ { 3 } r \ \varphi ^ { * } ( { \boldsymbol { r - R _ { n } } } ) H _ { \mathrm { a t } } ( { \boldsymbol { r - R _ { \ell } } } ) \psi ( { \boldsymbol { r } } ) \ + \sum _ { \boldsymbol { R _ { n } } } b ^ { * } ( { \boldsymbol { R _ { n } } } ) \ \int d ^ { 3 } r \ \varphi ^ { * } ( { \boldsymbol { r - R _ { n } } } ) \Delta U ( { \boldsymbol { r } } ) \psi ( { \boldsymbol { r } } ) \ .
\mathbf { r } _ { s p } : = \mathrm { ~ o ~ n ~ e ~ - ~ d ~ i ~ m ~ e ~ n ~ s ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ } \mathcal { B } ( t _ { 0 } ) \cap \mathcal { W } , \ \ \gamma _ { s c } : = \mathrm { ~ t ~ w ~ o ~ - ~ d ~ i ~ m ~ e ~ n ~ s ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ } \mathcal { B } ( t _ { 0 } ) \cap \mathcal { W } .
\begin{array} { r } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \mathcal { G } _ { i j k l } ( t ) - \left[ h ^ { \mathrm { H F } , ( 2 ) } ( t ) , \mathcal { G } ( t ) \right] _ { i j k l } = \Psi _ { i j k l } ^ { \pm } ( t ) + \Pi _ { i j k l } ( t ) + \Lambda _ { j i k l } ^ { \mathrm { p h } } ( t ) + \Lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { p p } } ( t ) \, , } \end{array}
u _ { r } = \bar { u } _ { r } + a _ { r } \cos { \theta _ { r } } + a _ { r } ^ { 2 } u _ { 2 } \cos { 2 \theta _ { r } } + O ( a _ { r } ^ { 3 } ) , \quad \omega _ { r } ( k _ { r } , a _ { r } ) = \omega _ { 0 } + a _ { r } \omega _ { 1 } + a _ { r } ^ { 2 } \omega _ { 2 } + O ( a _ { r } ^ { 3 } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \textrm { L D } } ( t ) } & { { } = \frac { \hat { \mathbf { p } } ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + V _ { 0 } ( \hat { \mathbf { r } } ) + \frac { e } { m _ { e } } \mathbf { A _ { \textrm { d } } } ( t ) \cdot \hat { \mathbf { p } } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \overline { { { M } } } ^ { n } : ~ ~ 1 + \displaystyle \sum _ { i , j = 0 } ^ { n } \eta _ { j k } x ^ { j } x ^ { k } = 0 ~ , } } \\ { { 1 + \displaystyle \sum _ { i , j = 0 } ^ { n } \eta _ { j k } y ^ { j } y ^ { k } = 0 ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \delta \hat { \tilde { N } } _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { 7 } y } } } & { { = } } & { { 1 6 a \partial _ { [ \mu _ { 1 } } \hat { \Sigma } _ { \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { 7 } y ] } + \frac { 8 ! } { 3 \cdot 4 ! } \partial _ { [ \mu _ { 1 } } \hat { \chi } _ { \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } \hat { C } _ { \mu _ { 4 } \mu _ { 5 } \mu _ { 6 } } \left( i _ { \hat { k } } \hat { C } \right) _ { \mu _ { 7 } y ] } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + 3 \frac { 8 ! } { 6 ! } \partial _ { [ \mu _ { 1 } } \hat { \tilde { \chi } } _ { \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { 6 } } \left( i _ { \hat { k } } \hat { C } \right) _ { \mu _ { 7 } y ] } \, , } } \end{array}
{ \frac { \pi } { 4 } } = { \frac { 3 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } - 3 } } - { \frac { 1 } { 5 ^ { 3 } - 5 } } + { \frac { 1 } { 7 ^ { 3 } - 7 } } - \cdots