harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial a } { \partial t } } & { { } = D _ { a } \nabla ^ { 2 } a + r _ { a } \frac { s ( \textbf { r } , t ) ( a ^ { 2 } b ^ { - 1 } + b _ { a } ) } { ( s _ { c } + c ) ( 1 + s _ { a } a ^ { 2 } ) } - r _ { a } a , } \\ { \frac { \partial b } { \partial t } } & { { } = \frac { r _ { b } } { | \Gamma ( b ) | } \oint a \mathrm { ~ d ~ } x - r _ { b } b , } \\ { \frac { \partial c } { \partial t } } & { { } = D _ { c } \nabla ^ { 2 } c + b _ { c } a - r _ { c } c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial g _ { m T G D } ^ { \infty } } { \partial \mathbf { x } } ^ { T } \mathbf { D } \frac { \partial g _ { m T G D } ^ { \infty } } { \partial \mathbf { x } } } & { { } = \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } D _ { m T G D } \left( \frac { \partial g _ { m T G D } ^ { \infty } } { \partial y _ { 1 } ^ { \infty } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
b _ { h } \equiv \operatorname { E } { \bigg [ } \; ( { \widehat { \theta } } _ { \mathrm { m l e } } - \theta _ { 0 } ) _ { h } \; { \bigg ] } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { m } I ^ { h i } I ^ { j k } \left( { \frac { 1 } { 2 } } K _ { i j k } + J _ { j , i k } \right)
\hat { a } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] = H _ { 0 } [ \Omega ] \hat { a } _ { 0 } [ \Omega ] + H _ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] \hat { a } _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \dagger } [ \Omega ] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) } & { { } = \Bigg [ - i \sqrt { \pi } \mathfrak { L } _ { z } Y _ { 0 } ^ { 0 } + \Lambda \Bigg ( - \sqrt { \frac { 2 \pi } { 1 5 } } \mathfrak { L } _ { y } Y _ { 2 } ^ { - 1 } - \sqrt { \frac { 2 \pi } { 1 5 } } \mathfrak { L } _ { y } Y _ { 2 } ^ { 1 } + i \sqrt { \frac { 2 \pi } { 1 5 } } Y _ { 2 } ^ { - 2 } ( \mathfrak { L } _ { z } - 3 Y _ { n } ^ { m } ) + i \sqrt { \frac { 2 \pi } { 1 5 } } Y _ { 2 } ^ { 2 } ( \mathfrak { L } _ { z } + 3 Y _ { n } ^ { m } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \varphi } ( R , \theta ) } & { = \frac { \mu _ { 0 } I _ { s } \sin \ \theta _ { s } } { 2 \sqrt { i \sigma _ { e } \mu _ { 0 } \omega R R _ { 0 } } } } \\ & { \times \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } C _ { n } { I _ { n + \frac { 1 } { 2 } } \left( R \sqrt { i \sigma _ { e } \mu _ { 0 } \omega } \right) P _ { n } ^ { 1 } } \left( \cos \theta \right) , } \\ { C _ { n } } & { = \frac { 2 n + 1 } { n ( n + 1 ) } \left( \frac { R _ { 0 } } { R _ { s } } \right) ^ { n } \frac { P _ { n } ^ { 1 } \left( \cos \theta _ { s } \right) } { I _ { n - \frac { 1 } { 2 } } \left( R _ { 0 } \sqrt { i \sigma _ { e } \mu _ { 0 } \omega } \right) } , } \end{array}
\psi ( Z _ { e } ) = \overline { { \psi } } ( Z _ { e } ^ { 0 } ) = \overline { { \psi } } ( \overline { { H } } _ { e } ) \subseteq H _ { e } , \qquad \psi ( W _ { e , v } ^ { ( k ) } ) = \overline { { \psi } } ( W _ { e , v } ^ { ( k , 0 ) } ) = \overline { { \psi } } ( \overline { { H } } _ { f _ { e , v } ^ { ( k ) } } ) \subseteq H _ { e , v } ^ { ( k ) } .
( f _ { B _ { s } } / f _ { B _ { d } } ) / ( f _ { D _ { s } } / f _ { D _ { d } } ) \simeq 1 - 2 \bigg ( \frac { M _ { B _ { s } } - M _ { B _ { d } } } { M _ { B _ { d } } } - \frac { M _ { D _ { s } } - M _ { D _ { d } } } { M _ { D _ { d } } } \bigg ) + \frac { m _ { s } - m _ { d } } { m _ { b } } - \frac { m _ { s } - m _ { d } } { m _ { c } } .
\textbf { R } _ { 0 } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \textbf { B } _ { 0 } } & { \textbf { B } _ { 1 } } & { \textbf { B } _ { 2 } } & { \cdots } & { \textbf { B } _ { N _ { z } - 1 } } \\ { \textbf { B } _ { - 1 } } & { \textbf { B } _ { 0 } } & { \textbf { B } _ { 1 } } & { \cdots } & { \textbf { B } _ { N _ { z } - 2 } } \\ { \textbf { B } _ { - 2 } } & { \textbf { B } _ { - 1 } } & { \textbf { B } _ { 0 } } & { \cdots } & { \textbf { B } _ { N _ { z } - 3 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \textbf { B } _ { 1 - N _ { z } } } & { \textbf { B } _ { 2 - N _ { z } } } & { \textbf { B } _ { 3 - N _ { z } } } & { \cdots } & { \textbf { B } _ { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial t } } & { = \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left[ \left( f ( \widehat { L } ) - \frac { D } { P ( \widehat { L } , t ) } \frac { \partial P ( \widehat { L } , t ) } { \partial \widehat { L } } \right) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \right] } \\ & { + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \ , } \end{array}
( 6 6 ) H ( z , \bar { z } ) = \frac { \mu } { 4 } l ( l + 2 ) + l ( 1 + z \bar { z } ) ^ { - 1 } [ \xi ^ { 1 } ( z + \bar { z } ) - i \xi ^ { 2 } ( z - \bar { z } ) + \xi ^ { 3 } ( 1 - z \bar { z } ) ] .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) } & { { } = \frac { D } { \gamma } \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { 1 - \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { 1 - 3 \alpha + \beta } } \end{array}
M _ { i , i + 1 } ^ { \nu } = \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes . . . \otimes \mathbf { 1 } _ { i - 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - p } & { q e ^ { - \nu } } & { 0 } \\ { 0 } & { p e ^ { \nu } } & { - q } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { i + 2 } \otimes . . . \otimes \mathbf { 1 } _ { N }
\mathrm { e r r o r } = \frac { 1 } { \int _ { \omega _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \omega _ { \mathrm { m a x } } } \mathcal { A } _ { \mathrm { r e f } } ( \omega ) \mathrm { d } \omega } \int _ { \omega _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \omega _ { \mathrm { m a x } } } \big | \mathcal { A } ( \omega ) - \mathcal { A } _ { \mathrm { r e f } } ( \omega ) \big | \mathrm { d } \omega
W _ { \mu \nu } ^ { [ A ] } = \frac { 1 } { M ^ { 4 } } \varepsilon _ { \mu \nu \lambda \sigma } q ^ { \lambda } [ M ^ { 2 } s ^ { \sigma } G _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) + ( M p \cdot q s ^ { \sigma } - s \cdot q p ^ { \sigma } ) G _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) ] .
\frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } = \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d N _ { \phi } \big ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } \big ) .
\frac { d \sigma } { d ^ { 2 } { \bf k } _ { a \mathrm { T } } d ^ { 2 } { \bf k } _ { b \mathrm { T } } d y _ { a } d y _ { b } } = x _ { a } g ( x _ { a } , \mu ^ { 2 } ) \, x _ { b } g ( x _ { b } , \mu ^ { 2 } ) \, \frac { 4 N _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 2 } } { N _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } - 1 } \, \frac { 1 } { k _ { a \mathrm { T } } ^ { 2 } } \, 2 f ( { \bf q } _ { \mathrm { T } } , { \bf k } _ { \mathrm { T } } , y _ { a } - y _ { b } ) \, \frac { 1 } { k _ { b \mathrm { T } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } K ( j | i ) \frac { u ( j , t ) } { u ( i , t ) } [ S ( j , t ) - S ( i , t ) ] + U ( i ) = } & { { } - \frac { d S ( i , t ) } { d t } } \\ { \sum _ { j } K ( i | j ) \frac { v ( j , t ) } { v ( i , t ) } [ S ( i , t ) - S ( j , t ) ] + U ( i ) = } & { { } - \frac { d S ( i , t ) } { d t } } \\ { \sum _ { j } K ( i | j ) \frac { u ( i , t ) } { u ( j , t ) } P ( j , t ) - \sum _ { j } K ( j | i ) \frac { u ( j , t ) } { u ( i , t ) } } & { { } P ( i , t ) } \\ { = \frac { d P ( i , t ) } { d t } } & { { } } \end{array}
W \left( J \right) = - T a _ { 1 } a _ { 2 } \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \; \; D \left( k \right) \mid _ { k _ { 0 } = 0 } \; \exp \left( i { \vec { k } } \cdot \left( { \vec { x } } _ { 1 } - { \vec { x } } _ { 2 } \right) \right)
v ( p _ { \bar { c } } ) \, \bar { u } ( p _ { c } ) \to \hat { J } ( p _ { \psi } ) = { \frac { \psi ( 0 ) } { 2 \sqrt { \mathstrut m _ { \psi } } } } \, \hat { \epsilon } ( p _ { \psi } ) \, ( \hat { p } _ { \psi } + m _ { \psi } ) \, { \frac { 1 } { \sqrt { \mathstrut 3 } } } ,
e ^ { { \frac { i } { \hbar } } \lambda V ( t - t _ { 0 } ) } H _ { 0 } e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } \lambda V ( t - t _ { 0 } ) } | \psi _ { F } ( t ) \rangle = i \hbar { \frac { \partial | \psi _ { F } ( t ) \rangle } { \partial t } }
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \bf H } } { \partial t } = \mathrm { r o t } { \bf [ u \times H ] } - \mathrm { r o t } ( \nu _ { m } \mathrm { r o t } { \bf H } ) - \frac { \nu _ { m } } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \bf H } } { \partial t ^ { 2 } } \qquad \qquad } \\ { + \frac { \mathrm { g r a d } ( \nu _ { m } ) } { c } \times \frac { \partial { \bf E } } { \partial t } , \qquad \qquad } \\ { { { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } } \; \; \mathrm { r o t } ( \nu _ { m } \, \mathrm { r o t } { \bf H } ) = - \nu _ { m } \Delta { \bf H } \qquad \qquad } \\ { + \mathrm { g r a d } ( \nu _ { m } ) \times \mathrm { r o t } { \bf H } \qquad \qquad } \end{array}
\left\Vert x _ { t } - x _ { t + 1 } \right\Vert \leq \frac { \operatorname { d i s t } ( x _ { t } , S ) } { \sqrt { 1 - \alpha _ { t } L _ { g } } } \leq \frac { \operatorname { d i s t } ( x _ { t } , S ) } { \sqrt { 1 - \overline { { \alpha } } L _ { g } } } < \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \overline { { \alpha } } L _ { g } } } \left( \frac { 1 } { \sqrt { \xi } } \right) ^ { t - t _ { 0 } } \operatorname { d i s t } ( x _ { t _ { 0 } } , S ) ,
I _ { \nu } ( s ) = I _ { \nu } ( s _ { 0 } ) e ^ { - \tau _ { \nu } ( s _ { 0 } , s ) } + \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } j _ { \nu } ( s ^ { \prime } ) e ^ { - \tau _ { \nu } ( s ^ { \prime } , s ) } \, d s ^ { \prime }
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \cfrac { 1 } { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } } ~ \left[ \lambda _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 1 } } } ~ \mathbf { n } _ { 1 } \otimes \mathbf { n } _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 2 } } } ~ \mathbf { n } _ { 2 } \otimes \mathbf { n } _ { 2 } + \lambda _ { 3 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } } ~ \mathbf { n } _ { 3 } \otimes \mathbf { n } _ { 3 } \right]
\begin{array} { r l } { g ^ { - 1 } ( d r , P [ g , X ] ) } & { = \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) T ( \partial _ { \bar { t } } , b ( r ) \partial _ { r } ) + \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } T ( \partial _ { r } , b ( r ) \partial _ { r } ) } \\ & { = - \frac 1 2 \chi ( r ) \bigg ( \Big ( \frac { r ^ { 2 } } { \Delta _ { b } } - \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } \Big ) \lvert \partial _ { \bar { t } } u \rvert ^ { 2 } + \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } \lvert \partial _ { r } u \rvert ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \vert \partial _ { \theta } ^ { 2 } u \vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \vert \partial _ { \varphi } u \vert ^ { 2 } \bigg ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { x _ { p } - x _ { 1 } } & { x _ { p } - x _ { 2 } } & { x _ { p } - x _ { 3 } } & { x _ { p } - x _ { 4 } } \\ { ( x _ { p } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } & { ( x _ { p } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } & { ( x _ { p } - x _ { 3 } ) ^ { 2 } } & { ( x _ { p } - x _ { 4 } ) ^ { 2 } } \\ { ( x _ { p } - x _ { 1 } ) ^ { 3 } } & { ( x _ { p } - x _ { 2 } ) ^ { 3 } } & { ( x _ { p } - x _ { 3 } ) ^ { 3 } } & { ( x _ { p } - x _ { 4 } ) ^ { 3 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \beta _ { 1 } } \\ { \beta _ { 2 } } \\ { \beta _ { 3 } } \\ { \beta _ { 4 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { i \left( \begin{array} { c } { \dot { \psi } _ { a , k } } \\ { \dot { \psi } _ { b , k } } \end{array} \right) } & { { } = E a \left( i \frac { d } { d k } - \frac { N } { 4 } \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { a . k } } \\ { \psi _ { b . k } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { i } \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \nabla _ { x } f _ { i } ( x , y ) } \\ { - \nabla _ { y } f _ { i } ( x , y ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { A _ { i } x + B _ { i } y + a _ { i } } \\ { C _ { i } y - B _ { i } ^ { \intercal } x + c _ { i } } \end{array} \right) } \end{array}
\sigma _ { s c a t t } ( \omega ) = A \omega ^ { 4 } \left| \frac { ( \omega _ { X } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \omega \gamma _ { X } ) } { ( \omega _ { D } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \omega \gamma _ { D } ) ( \omega _ { X } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \omega \gamma _ { X } ) - \omega _ { X } \omega _ { D } g ^ { 2 } } \right| ^ { 2 }
\frac { \| \b { H } ( i \omega ) ^ { * } \b { v } \| _ { \mathcal { L } _ { 2 } } ^ { 2 } } { \| \b { v } \| _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { \| e ^ { \b { A } ^ { * } t } \b { v } \| _ { \mathcal { L } _ { 2 } } ^ { 2 } } { \| \b { v } \| _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { \b { v } ^ { * } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \b { A } t } e ^ { \b { A } ^ { * } t } ~ \mathrm { d } t ~ \b { v } } { \b { v } ^ { * } \b { v } } = \frac { \b { v } ^ { * } \b { W _ { c } } \b { v } } { \b { v } ^ { * } \b { v } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } \left( \varepsilon \right) } & { = J _ { \alpha _ { 1 } } \left( \pi + \varepsilon \right) J _ { \alpha _ { 2 } } \left( \pi + \varepsilon \right) J _ { \alpha _ { 3 } } \left( \pi + \varepsilon \right) } \\ & { \times J _ { \alpha _ { 4 } } \left( \pi + \varepsilon \right) J _ { \alpha _ { 5 } } \left( \pi / 2 + \varepsilon / 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { 0 } } & { = - \frac { \mathtt { k } ^ { 4 } } { 2 L ^ { 2 } } , } \\ { \mathcal { H } _ { 1 } } & { = - \mathtt { k } ^ { 2 } \sum _ { j = 2 } ^ { 6 } \frac { \mu _ { j } } { \mu _ { 5 } } \bigg ( \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { j } | } - \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { r } _ { j } } { | \mathbf { r } _ { j } | ^ { 3 } } \bigg ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { u ( y , z ) } & { = { \frac { G } { 2 \mu \left( { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { b ^ { 2 } } } \right) } } \left( 1 - { \frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { z ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) , } \\ { Q } & { = { \frac { \pi G a ^ { 3 } b ^ { 3 } } { 4 \mu \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { Z _ { \alpha \gamma ^ { * } } ( \omega ) } & { { } = \frac { ( \alpha ( \omega ) - \gamma ^ { * } ( \omega ) ) - \mu _ { \alpha \gamma ^ { * } } } { \sigma _ { \alpha \gamma ^ { * } } } } \\ { Z _ { \beta \delta ^ { * } } ( \omega ) } & { { } = \frac { ( \beta ( \omega ) - \delta ^ { * } ( \omega ) ) - \mu _ { \beta \delta ^ { * } } } { \sigma _ { \beta \delta ^ { * } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { k i n } } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) \, \left( \boldsymbol { \nabla } _ { \vec { r } } ^ { 2 } \, n ^ { ( 1 ) } ( \vec { r } ; \vec { r } ^ { \prime } ) \right) _ { \vec { r } ^ { \prime } = \vec { r } } } \end{array}
{ \begin{array} { l } { A } \\ { B } \\ { C } \\ { D } \end{array} } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 2 } & { 1 } & { 4 } & { 3 } \\ { 3 } & { 4 } & { 1 } & { 2 } \\ { 4 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right] } \quad { \begin{array} { l } { E } \\ { F } \\ { G } \\ { H } \end{array} } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 3 } & { 4 } & { 2 } \\ { 2 } & { 4 } & { 3 } & { 1 } \\ { 3 } & { 1 } & { 2 } & { 4 } \\ { 4 } & { 2 } & { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } \quad { \begin{array} { l } { I } \\ { J } \\ { K } \\ { L } \end{array} } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 4 } & { 2 } & { 3 } \\ { 2 } & { 3 } & { 1 } & { 4 } \\ { 3 } & { 2 } & { 4 } & { 1 } \\ { 4 } & { 1 } & { 3 } & { 2 } \end{array} \right] }
F ^ { \mu } = ( - g ) ^ { - \tau } \partial _ { \nu } \left( g ^ { \mu \nu } ( - g ) ^ { \tau } \right) + a _ { 1 } \bar { \Gamma } _ { ~ \alpha \beta } ^ { \mu } g ^ { \alpha \beta } + a _ { 2 } \bar { \Gamma } _ { ~ \alpha \nu } ^ { \nu } g ^ { \alpha \mu } + a _ { 3 } \bar { \Gamma } _ { ~ \nu \alpha } ^ { \nu } g ^ { \alpha \mu } + E _ { ~ ~ ~ ~ \sigma } ^ { \mu \rho \lambda ~ \alpha \beta } \nabla _ { \rho } \nabla _ { \lambda } \bar { \Gamma } _ { ~ \alpha \beta } ^ { \sigma }
\gamma _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { A } _ { m ; n n n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { A } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n n n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 1 } \\ { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { A } _ { m ; n n n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { A } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n n n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 2 } \\ { 3 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { C } _ { m ; n n n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } - \frac { \mathscr { C } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } I _ { m ; n n n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 3 } \\ { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { D } _ { m ; n n n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { D } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n n n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 4 } \end{array} \right. , \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } i = 5 ;
F ^ { k m } ( \delta _ { [ l _ { 1 } } ^ { k } \delta _ { l _ { 2 } } ^ { m } \delta _ { l _ { 3 } } ^ { k _ { 1 } } \delta _ { l _ { 4 } ] } ^ { k _ { 2 } } + \epsilon ^ { k m k _ { 1 } k _ { 2 } l _ { 1 } l _ { 2 } l _ { 3 } l _ { 4 } } ) = 0 .
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } E ( z , t ) } { \partial z ^ { 2 } } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } E ( z , t ) } { \partial t ^ { 2 } } = \frac { 4 \pi } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } P ( z , t ) } { \partial t ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { z } } & { { } = \frac { \partial H } { \partial p _ { z } } = p _ { z } \, , } \\ { \dot { \rho } } & { { } = \frac { \partial H } { \partial p _ { \rho } } = p _ { \rho } \, , } \\ { \dot { p _ { z } } } & { { } = - \frac { \partial H } { \partial z } = - \frac { 3 z \rho \left[ \frac { 1 } { \rho } - \frac { \rho } { ( z ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right] } { ( z ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } } \, , } \\ { \dot { p _ { \rho } } } & { { } = - \frac { \partial H } { \partial \rho } \ , } \end{array}
M \stackrel { d _ { 0 } } { \longrightarrow } M \oplus M \stackrel { d _ { 1 } } { \longrightarrow } M \oplus M \stackrel { d _ { 2 } } { \longrightarrow } M \stackrel { d _ { 3 } } { \longrightarrow } M \stackrel { d _ { 0 } } { \longrightarrow } M \oplus M \stackrel { d _ { 1 } } { \longrightarrow } \cdots
\mathbf { B } ( { \mathbf { r } } ) = \nabla \times { \mathbf { A } } = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \left( { \frac { 3 \mathbf { r } ( \mathbf { m } \cdot \mathbf { r } ) } { | \mathbf { r } | ^ { 5 } } } - { \frac { \mathbf { m } } { | \mathbf { r } | ^ { 3 } } } \right) .
\begin{array} { r } { ( m , n , \pi , a ) \in \mathfrak { g } ^ { * } \times T ^ { * } Q \times V ^ { * } \rightarrow ( m + \pi \diamond n , n , \pi , a ) = : ( \kappa , n , \pi , a ) \in \mathfrak { g } ^ { * } \times T ^ { * } Q \times V ^ { * } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { K S } } [ { \boldsymbol \rho } ] = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k , \sigma } f _ { k } ^ { \sigma } \langle \Phi _ { k } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) \vert \nabla ^ { 2 } \vert \Phi _ { k } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) \rangle } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \iint \frac { { \rho } ( { \bf r } ) { \rho } ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \vert { \bf r - r ^ { \prime } } \vert } + E _ { \mathrm { x c } } [ { \boldsymbol \rho } ] - T _ { e } { \cal S } [ { \bf f } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { n o d e } = \frac { N ^ { 2 } - 2 } { ( M N ) ^ { 2 } - 2 } } \\ { p _ { l a y e r } = \frac { 2 ( M ^ { 2 } - 1 ) } { ( M N ) ^ { 2 } - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \; d _ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ H e l l } } } ^ { 2 } ( \mu ^ { y } , \mu _ { \mathrm { m e a n } } ^ { y , N } ) } & { = \int _ { U } \left( 1 - \sqrt { \frac { \frac { 1 } { Z _ { N } ^ { \mathrm { m e a n } } } \exp \big ( - \mathbb { E } [ \Phi _ { N } ( u ) ] \big ) } { \frac { 1 } { Z } \exp \big ( - \Phi ( u ) \big ) } } \right) ^ { 2 } \mu ^ { y } ( \mathrm { d } u ) } \\ & { \leq 2 \int _ { U } \left( 1 - \exp \left( \frac { 1 } { 2 } ( \Phi ( u ) - \mathbb { E } [ \Phi _ { N } ( u ) ] ) \right) \right) ^ { 2 } \mu ^ { y } ( \mathrm { d } u ) \; + } \\ & { \qquad \qquad 2 \, Z \left( Z ^ { - 1 / 2 } - ( Z _ { N } ^ { \mathrm { m e a n } } ) ^ { - 1 / 2 } \right) ^ { 2 } \int _ { U } \exp \big ( ( \Phi ( u ) - \mathbb { E } [ \Phi _ { N } ( u ) ] ) \big ) \mu ^ { y } ( \mathrm { d } u ) } \\ & { = : I + I I . } \end{array}
\left< \mathrm { T r } U _ { \mathrm { a d j } } ( u ) \mathrm { T r } U _ { \mathrm { a d j } } ( v ) \right> = 1 + \left< \mathrm { T r } U ^ { 2 } ( u ) \mathrm { T r } U ^ { 2 } ( v ) \right> + \left< \mathrm { T r } U ^ { 2 } ( u ) \right> + \left< \mathrm { T r } U ^ { 2 } ( v ) \right> \ .
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \Lambda } _ { j } ( x ; \ell ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \Lambda } _ { j - 1 } ( x ; \ell ) } & { ( 0 \leq x \le 2 ( j - 1 ) \ell ) , } \\ { \boldsymbol { \Lambda } _ { 1 } ( x - 2 ( j - 1 ) \ell ; \ell ) } & { ( 2 ( j - 1 ) \ell \le x \le 2 j \ell ) , } \end{array} \right. } \\ & { \boldsymbol { V } _ { j } ( x ; \ell ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { V } _ { j - 1 } ( x ; \ell ) } & { ( 0 \leq x \le 2 ( j - 1 ) \ell ) , } \\ { \boldsymbol { V } _ { 1 } ( x - 2 ( j - 1 ) \ell ; \ell ) } & { ( 2 ( j - 1 ) \ell \le x \le 2 j \ell ) , } \end{array} \right. } \\ & { \boldsymbol { U } _ { j } ( x ; \ell ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { U } _ { j - 1 } ( x ; \ell ) } & { ( 0 \leq x \le ( 2 j - 1 ) \ell ) , } \\ { \boldsymbol { \Lambda } _ { 1 } ( x - ( 2 j - 1 ) \ell ; \ell ) } & { ( ( 2 j - 1 ) \ell \le x \le ( 2 j + 1 ) \ell ) , } \end{array} \right. } \\ & { \boldsymbol { N } _ { j } ( x ; \ell ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { N } _ { j - 1 } ( x ; \ell ) } & { ( 0 \leq x \le ( 2 j - 1 ) \ell ) , } \\ { \boldsymbol { V } _ { 1 } ( x - ( 2 j - 1 ) \ell ; \ell ) } & { ( ( 2 j - 1 ) \ell \le x \le ( 2 j + 1 ) \ell ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma \big | _ { \Delta p > \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } = } & { \, \frac { n _ { g } A } { 2 } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ( \overline { { v } } ^ { 2 } e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \int _ { \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \infty } \frac { d \Delta p } { m _ { g } } \bigg ( \frac { \Delta p ^ { 2 } } { m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } } - 2 \overline { { v } } \bigg ) \mathrm { e r f } \big ( \Delta p / 2 m _ { g } \overline { { v } } \big ) e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 4 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) . } \\ { = } & { \, \frac { n _ { g } A } { 2 } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ( 2 \overline { { v } } ^ { 2 } e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + \frac { \sqrt { \pi } \Delta p _ { \mathrm { m i n } } \overline { { v } } } { m _ { g } } \mathrm { e r f } \big ( \Delta p _ { \mathrm { m i n } } / 2 m _ { g } \overline { { v } } \big ) e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \big / 4 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) . } \end{array}