harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \bar { Z } = \frac { Z } { \lambda } , ~ ~ \bar { R } = \frac { R } { a _ { 0 } } , ~ ~ \bar { U } = \frac { U } { c } , ~ \bar { V } = \frac { V } { c \delta } , ~ \delta = \frac { a _ { 0 } } { \lambda } , ~ \bar { P } = \frac { a _ { 0 } ^ { n + 1 } P } { \mu c ^ { n } \lambda } , ~ \bar { t } = \frac { c t } { \lambda } , ~ h = \frac { H } { a _ { 0 } } , ~ \phi = \frac { d } { a _ { 0 } } , } \\ { R e = \frac { \rho a _ { 0 } ^ { n } } { \mu c ^ { n - 2 } } , ~ \bar { \tau } _ { 0 } = \frac { \tau _ { 0 } } { \mu \left( \frac { c } { a _ { 0 } } \right) ^ { n } } , ~ \bar { \tau } _ { R Z } = \frac { \tau _ { R Z } } { \mu \left( \frac { c } { a _ { 0 } } \right) ^ { n } } , ~ \bar { \tau } _ { Z Z } = \frac { \tau _ { Z Z } } { \mu \delta \left( \frac { c } { a _ { 0 } } \right) ^ { n } } , ~ \bar { \tau } _ { R R } = \frac { \tau _ { R R } } { \mu \delta \left( \frac { c } { a _ { 0 } } \right) ^ { n } } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle m | | Z ^ { \mathrm { R P A } } | | a \rangle } & { = \left( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } + \omega \right) } \\ & { \times \sum _ { \mu } \frac { \mathrm { s i g n } \left( \omega ^ { \mu } \right) \, R _ { \mu } } { \omega - \omega _ { \mu } } X _ { m \left( b \rightarrow \kappa _ { n } \right) } ^ { \mu } \, , } \\ { \langle a | | Z ^ { \mathrm { R P A } } | | m \rangle } & { = \left( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } - \omega \right) \left( - 1 \right) ^ { m - a + J } } \\ & { \times \sum _ { \mu } \frac { \mathrm { s i g n } \left( \omega ^ { \mu } \right) \, R _ { \mu } } { \omega - \omega _ { \mu } } Y _ { m \left( b \rightarrow \kappa _ { n } \right) } ^ { \mu } \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c l } { \frac { \partial F } { \partial U } \bullet ( X ) } & { = } & { \left< \beta ( U , V ) , - ( U \odot V ) \Sigma ( X \odot V ) ^ { T } - ( X \odot V ) \Sigma ( U \odot V ) ^ { T } \right> , } \\ { \frac { \partial F } { \partial V } \bullet ( Y ) } & { = } & { \left< \beta ( U , V ) , - ( U \odot V ) \Sigma ( U \odot Y ) ^ { T } - ( U \odot Y ) \Sigma ( U \odot V ) ^ { T } \right> , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } [ \exp ( \theta T ( x ) ) ] \mathbf { v } _ { 1 } \right\rangle } & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\langle \mathbf { v } _ { 2 } , \exp ( \theta T ( x ) ) \mathbf { v } _ { 1 } \right\rangle \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\langle \mathbf { v } _ { 2 } , I + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { \theta ^ { k } } { k ! } T ( x ) ^ { k } \mathbf { v } _ { 1 } \right\rangle \right] . } \end{array}
W _ { M } ( r ; t ) \simeq T _ { 0 } \int _ { | { \bf k } | < M } d \! \! \! / ^ { D } k \, \frac { e ^ { i { \bf k } . { \bf x } } } { { \bf k } ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } } = \int _ { | { \bf k } | < M } d \! \! \! / ^ { D } k \, e ^ { i { \bf k } . { \bf x } } { \cal C } ( k ) .
A ^ { ( 0 ) } \equiv Q ( \boldsymbol { 0 } ) \, , \, A _ { i } ^ { ( 1 ) } \equiv \left. \frac { \partial Q ( \vec { \xi } ) } { \partial \xi _ { i } } \right| _ { \vec { \xi } = \vec { 0 } } \, , \, A _ { i j } ^ { ( 2 ) } \equiv \left. \frac { \partial ^ { 2 } Q ( \vec { \xi } ) } { \partial \xi _ { i } \partial \xi _ { j } } \right| _ { \vec { \xi } = \vec { 0 } } \, , \, A _ { i } ^ { ( 3 ) } \equiv \left. \frac { \partial ^ { 3 } Q ( \vec { \xi } ) } { \partial \xi _ { i } \partial \xi _ { j } \partial \xi _ { j } } \right| _ { \vec { \xi } = \vec { 0 } }
\Gamma ( b \rightarrow J / \psi + X ) = \frac { 1 } { 2 E _ { b } } \int \frac { d ^ { 3 } { \bf k } _ { \psi } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { \psi } } \frac { d ^ { 3 } { \bf p } _ { f } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { f } } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( p _ { b } - p _ { f } - k _ { \psi } ) | \bar { \cal M } | ^ { 2 } \, .
{ \frac { d } { d t } } f ( y _ { t } , \ t ) = { \frac { \partial } { \partial y } } f ( y _ { t } , \ t ) { \dot { y } } _ { t } + { \frac { \partial } { \partial t } } f ( y _ { t } , \ t ) = f _ { y } ( y _ { t } , \ t ) { \dot { y } } + f _ { t } ( y _ { t } , \ t ) : = { \ddot { y } } _ { t }
\mathrm { R e s } _ { z ^ { \prime } = z } ^ { \Psi } \partial ^ { \Psi } \! : \! \psi ( z ^ { \prime } ) \! : \, \bar { \partial } ^ { \Psi } \! : \! \phi ( z ) \! : = - : \! ( \phi _ { ; \mu \eta } - i C _ { \eta \nu \mu } \phi _ { ; \nu } ) \psi ^ { ; \eta } \bar { \partial } ^ { \Psi } \! X ^ { \mu } \! : + O ( \epsilon ^ { 5 } )
\dot { m } _ { s o n i c , w } = p _ { w } A _ { b l } \left( \frac { \gamma } { R T _ { w } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { \gamma + 1 } { 2 } \right) ^ { - \frac { \gamma + 1 } { 2 ( \gamma - 1 ) } }
\begin{array} { r } { [ \nabla _ { p } g ] _ { j } = \frac { d g } { d p _ { j } } = \frac { \partial g } { \partial p _ { j } } + \sum _ { k } \frac { \partial g } { \partial x _ { k } } \frac { \partial x _ { k } } { \partial p _ { j } } = [ \mathbf { g } _ { p } + \mathbf { g } _ { x } \mathbf { x } _ { p } ] _ { j } . } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } { \cal N } _ { \bf k } = { \frac { \dot { \omega } _ { \bf k } } { 2 \omega _ { \bf k } } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \, d t ^ { \prime } \, \left\{ { \frac { \dot { \omega } _ { \bf k } } { \omega _ { \bf k } } } ( t ^ { \prime } ) \left( 1 + 2 { \cal N } _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) \right) \cos \left[ 2 \Theta _ { \bf k } ( t ) - 2 \Theta _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) \right] \right\} \, ,
\langle m | \partial _ { \mu } n \rangle = { \frac { \langle m | \partial _ { \mu } H | n \rangle } { E _ { n } - E _ { m } } } , \qquad \langle \partial _ { \mu } m | n \rangle = { \frac { \langle m | \partial _ { \mu } H | n \rangle } { E _ { m } - E _ { n } } } .
i \frac { \partial \psi } { \partial z } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) \psi - \mathcal { R } ( x , y ) \psi - | \psi | ^ { 2 } \psi ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { j } \cfrac { \Delta t } { \Delta x _ { j } / 2 } \sigma \left( u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , - } , u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } \right) \leq 1 } \\ & { \operatorname* { m a x } _ { j } \cfrac { \Delta t } { \mu _ { + } \Delta x _ { j } / 2 } \sigma \left( u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , + } , u _ { j + 1 } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , - } \right) \leq 1 } \\ & { \operatorname* { m a x } _ { j } \cfrac { \Delta t } { \mu _ { + } \Delta x _ { j } / 2 } \sigma \left( u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } , u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , + } \right) \leq 1 } \end{array}
Z _ { 2 } = 1 + { \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi \Gamma ( 1 + \epsilon / 2 ) } } C _ { F } \left( { \frac { 1 } { 4 \pi } } \right) ^ { { \frac { \epsilon } { 2 } } } \left( { \frac { 2 } { \epsilon } } \right) \ .
\begin{array} { r l r l r } { 0 } & { = \tilde { \alpha } _ { \hphantom { ( } - n } ^ { ( d _ { \tilde { I } } ) } \quad ( n > L ^ { d _ { \tilde { I } } } ) , } & { 0 } & { = \tilde { \alpha } _ { \hphantom { ( } n } ^ { ( d _ { \tilde { I } } ) } \quad ( n > R ^ { d _ { \tilde { I } } } ) , } & { ( \tilde { I } \in \mathcal { I } \cup \{ r \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { H } } ^ { 0 } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } & { { } = E _ { n } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } \\ { \left( { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } } + V \right) \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } & { { } = E _ { n } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } \\ { p ^ { 2 } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } & { { } = 2 m _ { e } ( E _ { n } - V ) \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( \gamma \geq \beta \big ) } & { \leq \mathbb { P } \big ( P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } / P _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } \big [ \big ( \tilde { A } / \tilde { C } \big ) ^ { 2 } + \big ( \tilde { B } / \tilde { C } \big ) ^ { 2 } \big ] \geq \beta \big ) } \\ & { = \mathbb { P } \big ( \big ( \tilde { A } / \tilde { C } \big ) ^ { 2 } + \big ( \tilde { B } / \tilde { C } \big ) ^ { 2 } \geq \beta P _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } / P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } \big ) . } \end{array}
{ \cal L } = { \cal L } _ { k i n } + { \cal L } _ { P a u l i } + { \cal L } _ { t o r s i o n } + { \cal L } _ { 4 F e r m i } + \Delta { \cal L } _ { g a u g i n g } + \Delta { \cal L } _ { p o t e n t i a l } ,
S = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { p } g _ { s } } \int d ^ { p + 1 } x \left[ 1 - \sqrt { - \operatorname * { d e t } ( \eta _ { \mu \nu } + F _ { \mu \nu } ) } - \Sigma _ { p } e \phi \delta ( { \bf r } ) \right]
\begin{array} { r l } { \delta _ { Y , Z } \mu ^ { * } ( X ) } & { = \mu ^ { * } ( ( X \| Y ) \vert \setminus Z ) - \mu ^ { * } ( X ) } \\ & { = \sqrt [ N ] { \prod X * \prod Y * ( \prod Z ) ^ { - 1 } } - \sqrt [ N ] { \prod X } } \\ & { = \sqrt [ N ] { \prod X } \sqrt [ N ] { \frac { \prod Y } { \prod Z } } - \sqrt [ N ] { \prod X } } \\ & { = \sqrt [ N ] { \prod X } ( \sqrt [ N ] { \frac { \prod Y } { \prod Z } } - 1 ) } \\ & { = \mu ^ { * } ( X ) ( \frac { \mu ^ { * } ( Y ) ^ { M / N } } { \mu ^ { * } ( Z ) ^ { M / N } } - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { m } \left( \frac { k \rho } { \rho _ { c } } \right) \cos \left( \frac { k z } { \rho _ { c } } \right) } & { { } = \sum _ { { \nu } = 0 } ^ { \infty } \ \frac { ( - 1 ) ^ { { \nu } } } { ( 2 ( { \nu } + m ) ) ! } \ \times } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { q ^ { \mathrm { v e n } } } & { { } = \langle \frac { p ^ { \mathrm { v e n } } - p ^ { \mathrm { l v } } } { R ^ { \mathrm { v e n } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { a r t } } } & { { } = \langle \frac { p ^ { \mathrm { l v } } - p ^ { \mathrm { a r t } } } { R ^ { \mathrm { a r t } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { p e r } } } & { { } = \frac { p ^ { \mathrm { a r t } } - p ^ { \mathrm { v e n } } } { R ^ { \mathrm { p e r } } } , } \end{array} \right.
\eta = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ ( ~ s ~ t ~ a ~ b ~ l ~ e ~ f ~ i ~ x ~ e ~ d ~ p ~ o ~ i ~ n ~ t ~ ~ ~ ) ~ } , } \\ { \frac { g \alpha H } { C _ { p } } { \frac { 2 ( R / R _ { c } - 1 ) } { 3 ( R / R _ { c } ) - 2 } } } & { \mathrm { ~ ( ~ s ~ t ~ a ~ b ~ l ~ e ~ f ~ i ~ x ~ e ~ d ~ p ~ o ~ i ~ n ~ t ~ s ~ ~ ~ ) ~ } . } \end{array} \right.
\frac { B } { \sqrt { \rho _ { \mathrm { i } } \mu _ { 0 } } } = \frac { B } { 1 . 5 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \, \mathrm { T } } \, \frac { \, \mathrm { m } } { \, \mathrm { s } } ,
\centering \begin{array} { r l } & { G _ { k j } = \left( \begin{array} { l l } { g _ { k j x x } ^ { 2 } } & { g _ { k j x y } ^ { 2 } } \\ { g _ { k j y x } ^ { 2 } } & { g _ { k j y y } ^ { 2 } } \end{array} \right) = - N _ { k } \alpha \frac { \hbar \omega _ { k j } } { m _ { e } c ^ { 2 } } \omega _ { k j } ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { k j } - 1 } & { 3 \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } \\ { 3 \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } & { 3 \sin ^ { 2 } \theta _ { k j } - 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \gamma _ { k j } = \left( \begin{array} { l l } { \gamma _ { k j x x } } & { \gamma _ { k j x y } } \\ { \gamma _ { k j y x } } & { \gamma _ { k j y y } } \end{array} \right) = - N _ { k } \alpha \frac { \hbar \omega _ { k j } } { m _ { e } c ^ { 2 } } \omega _ { k j } \left( \begin{array} { l l } { 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { k j } - 1 } & { 3 \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } \\ { 3 \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } & { 3 \sin ^ { 2 } \theta _ { k j } - 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \eta _ { k j } = \left( \begin{array} { l l } { \eta _ { k j x x } } & { \eta _ { k j x y } } \\ { \eta _ { k j y x } } & { \eta _ { k j y y } } \end{array} \right) = - N _ { k } \alpha \frac { \hbar \omega _ { k j } } { m _ { e } c ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { - \sin ^ { 2 } \theta _ { k j } } & { \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } \\ { \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } & { - \cos ^ { 2 } \theta _ { k j } } \end{array} \right) , } \\ & { j , ~ k = 1 , ~ 2 , ~ . . . , ~ n , ~ \mathrm { a n d } ~ j \neq k . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathcal P } _ { y } ^ { \mathrm { H V } } } & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } { 2 } ( { \bf 1 } - \sigma _ { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } w _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \zeta _ { k - j } ^ { ( k ) } w _ { j } \ge } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( a _ { 0 } ^ { ( k ) } + a _ { k - 1 } ^ { ( k ) } ) w _ { k } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } a _ { 0 } ^ { ( j + 1 ) } w _ { j } ^ { 2 } } \\ { \ge } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \Big ( a _ { 0 } ^ { ( k ) } - a _ { 0 } ^ { ( k + 1 ) } \Big ) w _ { k } ^ { 2 } \ge 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { n + 1 } ^ { \alpha } ( \Delta _ { 1 } , \Lambda ; 1 ) } \\ { = } & { \Delta _ { 1 } + \beta + \alpha p \mathbb { E } [ V _ { n } ^ { \alpha } ( \Delta _ { 1 } + 1 , \Lambda ^ { \prime } ) ] } \\ & { + \alpha ( 1 - p ) \mathbb { E } [ V _ { n } ^ { \alpha } ( 1 , \Lambda ^ { \prime } ) ] } \\ { \geq } & { \Delta _ { 2 } + \beta + \alpha p \mathbb { E } [ V _ { n } ^ { \alpha } ( \Delta _ { 2 } + 1 , \Lambda ^ { \prime } ) ] } \\ & { + \alpha ( 1 - p ) \mathbb { E } [ V _ { n } ^ { \alpha } ( 1 , \Lambda ^ { \prime } ) ] } \\ { = } & { Q _ { n + 1 } ^ { \alpha } ( \Delta _ { 2 } , \Lambda ; 1 ) } \end{array}
\{ ( S , I + 1 ) : ( S , I ) \in \mathbb { S } , S + I < n _ { \operatorname* { m a x } } \} = \mathbb { S } \setminus \left\{ \{ ( S , I ) \in \mathbb { S } : I = 0 \} \cup \{ ( 1 , 1 ) \} \right\}
\left. \overline { { v } } _ { 1 } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } = \frac { A _ { v } } { \kappa _ { z } ^ { 2 } } \left( \frac { k _ { x } } { 2 x _ { 1 } R _ { \lambda } } \right) ^ { 1 / 2 } \left. \overline { { p } } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } = \frac { \overline { { A } } _ { v } p _ { 1 } } { \kappa _ { z } ^ { 2 } \left( 2 x _ { 1 } \right) ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } \rangle _ { n } } & { { } } & { = \frac { 4 ! } { 6 } \int _ { 0 } ^ { T } k c d t _ { 4 } e ^ { - k c t _ { 4 } } \left( 1 - e ^ { - k c t _ { 4 } } \right) ^ { 3 } C _ { C p r } ( T , t _ { 4 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { P } } _ { \mathrm { ~ h ~ c ~ } } } & { { } = \left[ \frac { 1 } { ( w - 1 ) \left\{ \frac { ( r + 1 ) \left[ N _ { I } ( 1 - r ) + r N _ { T } v _ { T } \right] } { N _ { T } v _ { T } \left[ r \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) + N _ { I } ( w - 1 ) \right] } - \frac { r } { w ^ { N _ { I } } - 1 } \right\} } \right. } \end{array}
\Sigma _ { \alpha \beta } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l c c r } { { ( i ( p _ { 4 } ^ { * } + k _ { 4 } ^ { * } ) } } & { { 0 } } & { { ( p _ { 3 } + k _ { 3 } ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - ( p _ { 3 } + k _ { 3 } ) } } & { { 0 } } & { { - i ( p _ { 4 } ^ { * } + k _ { 4 } ^ { * } ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
f _ { \pm } ( r ) = 1 - \frac { \omega _ { n } M } { r ^ { n - 1 } } + \frac { n \omega _ { n } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } { 8 ( n - 1 ) r ^ { 2 ( n - 1 ) } } - \frac { 2 \Lambda _ { \pm } r ^ { 2 } } { n ( n + 1 ) } .
\left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } n ^ { - s } \right) \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } b _ { n } n ^ { - s } \right) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k \ell = n } a _ { k } b _ { \ell } \right) n ^ { - s } ;
\begin{array} { r l } & { \rho _ { \mathrm { L G } } = \langle n _ { c } | \langle n _ { d } | \sum _ { p , q , p ^ { \prime } , q ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } M _ { p , q } ^ { \mathrm { L G } } ( c ) M _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { \mathrm { L G } } ( d ) } \\ & { \times \rho _ { 0 } { M _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { \mathrm { L G } } } ^ { \dagger } ( d ) { M _ { p , q } ^ { \mathrm { L G } } } ^ { \dagger } ( c ) | n _ { c } \rangle | n _ { d } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 4 ^ { N } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 1 } ^ { \prime } , k _ { 2 } ^ { \prime } = 0 } ^ { N } \sqrt { \binom { N } { k _ { 1 } } \binom { N } { k _ { 2 } } \binom { N } { k _ { 1 } ^ { \prime } } \binom { N } { k _ { 2 } ^ { \prime } } } } \\ & { { T _ { 3 } } ^ { 2 } R [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } - k _ { 1 } ^ { \prime } + k _ { 2 } ^ { \prime } ) \tau ] \sum _ { p = 0 } ^ { n _ { c } } \sum _ { q = 0 } ^ { n _ { d } } \frac { ( g T _ { 1 } ) ^ { p + q } } { p ! q ! } } \\ & { \times \{ \alpha ^ { 2 } \cos [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \tau ] \cos [ ( k _ { 1 } ^ { \prime } - k _ { 2 } ^ { \prime } ) \tau ] \} ^ { n _ { c } - p } } \\ & { \times \{ \alpha ^ { 2 } \sin [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \tau ] \sin [ ( k _ { 1 } ^ { \prime } - k _ { 2 } ^ { \prime } ) \tau ] \} ^ { n _ { d } - q } } \\ & { \times { T _ { 2 } } ^ { 2 ( n _ { c } - p + n _ { d } - q ) } \frac { n _ { c } ! } { { [ ( n _ { c } - p ) ! ] } ^ { 2 } } \frac { n _ { d } ! } { { [ ( n _ { d } - q ) ! ] } ^ { 2 } } | k _ { 1 } \rangle | k _ { 2 } \rangle \langle k _ { 1 } ^ { \prime } | \langle k _ { 2 } ^ { \prime } | } \\ & { = \frac { 1 } { 4 ^ { N } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 1 } ^ { \prime } , k _ { 2 } ^ { \prime } = 0 } ^ { N } \sqrt { \binom { N } { k _ { 1 } } \binom { N } { k _ { 2 } } \binom { N } { k _ { 1 } ^ { \prime } } \binom { N } { k _ { 2 } ^ { \prime } } } } \\ & { \frac { ( - g { T _ { 1 } } ) ^ { { n _ { c } } } U \left( - { n _ { c } } , 1 , - \frac { \alpha ^ { 2 } \cos [ ( { k _ { 1 } } - { k _ { 2 } } ) \tau ] \cos [ ( { k _ { 1 } ^ { \prime } } - { k _ { 2 } ^ { \prime } } ) \tau ] { T _ { 2 } } ^ { 2 } } { g { T _ { 1 } } } \right) } { { n _ { c } } ! } } \\ & { \frac { ( - g { T _ { 1 } } ) ^ { { n _ { d } } } U \left( - { n _ { d } } , 1 , - \frac { \alpha ^ { 2 } \sin [ ( { k _ { 1 } } - { k _ { 2 } } ) \tau ] \sin [ ( { k _ { 1 } ^ { \prime } } - { k _ { 2 } ^ { \prime } } ) \tau ] { T _ { 2 } } ^ { 2 } } { g { T _ { 1 } } } \right) } { { n _ { d } } ! } } \\ & { \times { T _ { 3 } } ^ { 2 } R [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } - k _ { 1 } ^ { \prime } + k _ { 2 } ^ { \prime } ) \tau ] | k _ { 1 } \rangle | k _ { 2 } \rangle \langle k _ { 1 } ^ { \prime } | \langle k _ { 2 } ^ { \prime } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } \{ f _ { 1 } \} h ( \varphi ) - I _ { 1 } \{ f _ { 2 } \} h ( \varphi ) = } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } K _ { 1 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \big ( f _ { 1 } ^ { \prime } ( \varphi ) - f _ { 1 } ^ { \prime } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } K _ { 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \big ( ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ^ { \prime } ( \varphi ) - ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ^ { \prime } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } K _ { 3 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \big ( f _ { 2 } ^ { \prime } ( \varphi ) - f _ { 2 } ^ { \prime } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { 0 . 9 8 0 \leq } } & { { { 2 m B / M _ { \pi } ^ { 2 } } } } & { { \leq 0 . 9 8 8 \ , } } \\ { { 1 8 . 3 \leq } } & { { x } } & { { \leq 2 0 . 9 \ , } } \\ { { 0 . 2 1 4 \ \mathrm { G e V } ^ { 2 } \leq } } & { { \vert v _ { 0 2 } \vert } } & { { \leq 0 . 2 3 9 \ \mathrm { G e V } ^ { 2 } \ , } } \\ { { 1 . 3 5 \ 1 0 ^ { - 3 } \leq } } & { { L _ { 8 } } } & { { \leq 1 . 5 7 \ 1 0 ^ { - 3 } \ , } } \\ { { - 0 . 1 6 4 \leq } } & { { v _ { 3 1 } } } & { { \leq - 0 . 1 6 1 \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { = } & { \left[ - i ( - \Delta _ { L } + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right] a _ { a s } ( k ) - i g _ { o m } b _ { a c } ( q ) + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { = } & { \left[ - i ( \omega _ { a c , 0 } + \Delta _ { 2 } ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \right] b _ { a c } ( q ) - i g _ { o m } a _ { a s } ( k ) + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( 1 + \varsigma C \right) \circ R _ { \eta } \left( y \right) } & { \leq 1 + \varsigma a _ { \varepsilon } C \left( y \right) + \varsigma K _ { \varepsilon } \left( 1 + a _ { \varepsilon } \right) } \\ & { = a _ { \varepsilon } \left( 1 + \varsigma C \left( y \right) \right) + \bar { K } _ { \varepsilon } \ , } \end{array}
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \sec \left( \sum _ { i } \theta _ { i } \right) } & { { } = { \frac { \prod _ { i } \sec \theta _ { i } } { e _ { 0 } - e _ { 2 } + e _ { 4 } - \cdots } } } \\ { \csc \left( \sum _ { i } \theta _ { i } \right) } & { { } = { \frac { \prod _ { i } \sec \theta _ { i } } { e _ { 1 } - e _ { 3 } + e _ { 5 } - \cdots } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ^ { 2 } } & { = } & { \left[ { \cal R } { \cal L } - \left( 1 + \frac { d _ { 1 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } \right) { \cal S } { \cal P } \right] ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \theta + 4 \left[ 1 - \chi ( \theta ) \right] { \cal S } ^ { 2 } { \cal P } ^ { 2 } + 4 \left[ 1 - \chi ( \theta ) \right] { \cal S } { \cal P } { \cal R } { \cal L } \sin ^ { 2 } \theta } \\ & { - } & { 4 \left[ 1 - \chi ( \theta ) + \frac { d _ { 1 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } \right] { \cal S } ^ { 2 } { \cal P } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + 4 \, \chi ( \theta ) \, { \cal P } ^ { 2 } { \cal D } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { g , \mathrm { s u r f } } ^ { \pm ^ { \prime } } = \hat { P } _ { \pm , \mathrm { 3 D } } H _ { g , \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } \hat { P } _ { \pm , \mathrm { 3 D } } = \pm i [ H _ { g , \mathrm { 2 D } } \mp i ( t _ { 2 } ^ { \prime } \sin k _ { y } + g ) \sigma _ { 0 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { i n } } ^ { ( 1 , 1 ) } } & { = \sqrt { \Gamma } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( 1 , 1 ) } \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { o u t } } ^ { ( L , 1 ) } } & { = \sqrt { \gamma } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( L , 1 ) } \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell , 1 ) } } & { = \sqrt { t ^ { ( \ell , 1 ) } } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 1 ) } \, \, , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \le \ell \le \left( L - 1 \right) \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { h o p } } ^ { ( \ell , 2 ) } } & { = \sqrt { t ^ { ( \ell , 2 ) } } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 2 ) } \sigma _ { 1 , 1 } ^ { ( \ell , 1 ) } \, \, , \ \ \ \ \ 2 \le \ell \le \left( L - 2 \right) \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { o v e } } ^ { ( \ell ) } } & { = \sqrt { o ^ { ( \ell ) } } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 1 ) } \sigma _ { 1 , 1 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \, \, , \ \ \ \ 1 \le \ell \le \left( L - 3 \right) \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { r e t } } ^ { ( \ell ) } } & { = \sqrt { r ^ { ( \ell ) } } \sigma _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { 0 , 1 } ^ { ( \ell , 2 ) } \sigma _ { 0 , 0 } ^ { ( \ell , 1 ) } \, \, , \ \ \ \ \ \ \ 2 \le \ell \le \left( L - 1 \right) \, , } \end{array}