harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) \right| y ^ { k - 2 } d y } & { \le C \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( S ( y ^ { 2 } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \delta } y ^ { k - 2 } d y } \\ & { = C \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { y ^ { 2 } } z ^ { - \frac { k } { 2 } } e ^ { \beta z } d z \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \delta } y ^ { k - 2 } d y } \\ & { \le C \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { y ^ { 2 } } z ^ { - \frac { k } { 2 } } d z \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \delta } y ^ { k - 2 } d y } \\ & { \le C \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { - 1 + \frac { k } { 2 } - \delta ^ { \prime } } d y < \infty \ \mathrm { a . s . } , } \end{array}
\left\langle { \bar { \psi } } ( k ^ { \prime } ) \psi ( k ) \right\rangle = \delta ( k + k ^ { \prime } ) { \frac { 1 } { \gamma \cdot k - m } } = \delta ( k + k ^ { \prime } ) { \frac { \gamma \cdot k + m } { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } } }
g ( l , \omega ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 6 0 } \left\{ 1 0 - 1 5 l + 6 l ^ { 2 } + 3 \left( - 5 \omega ^ { \prime } + 4 l \omega ^ { \prime } + 2 \omega ^ { 2 } \right) \right\}
\begin{array} { r l } { k _ { \frac { 1 } { 2 } , \lambda , \sigma _ { k } ^ { 2 } } ( u , u ^ { \prime } ) } & { = \sigma _ { k } ^ { 2 } \exp \left( - \frac { \| u - u ^ { \prime } \| _ { 2 } } { \lambda } \right) , } \\ { k _ { \frac { 3 } { 2 } , \lambda , \sigma _ { k } ^ { 2 } } ( u , u ^ { \prime } ) } & { = \sigma _ { k } ^ { 2 } \left( 1 + \sqrt { 3 } \frac { \| u - u ^ { \prime } \| _ { 2 } } { \lambda } \right) \exp \left( - \sqrt { 3 } \frac { \| u - u ^ { \prime } \| _ { 2 } } { \lambda } \right) . } \end{array}
h _ { d ^ { n } + \alpha } ( \underline { { \mathbf { x } } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sum _ { \substack { \beta ^ { 1 } , \dots , \beta ^ { n } \, | \beta ^ { 1 } | = \cdots = | \beta ^ { n } | = i \, \beta ^ { 1 } \wedge \cdots \wedge \beta ^ { n } = 1 ^ { i } } } ( - 1 ) ^ { i + 1 } h _ { ( d - i ) ^ { n } } ( \underline { { \mathbf { x } } } ) \cdot s _ { \underline { { \beta } } \cdot \alpha } ( \underline { { \mathbf { x } } } ) .
\begin{array} { r l } & { \theta _ { 1 } = ( 1 , 0 , \ldots , 0 ) ^ { \top } , \quad \theta _ { 2 } = ( - 1 , \ldots , - 1 ) ^ { \top } , \quad \theta _ { 3 } = ( - 1 , 1 , \ldots , 1 ) ^ { \top } , } \\ & { A _ { 1 } = \mathrm { d i a g } ( 1 , 2 , \ldots , d ) , \quad A _ { 2 } = \mathrm { d i a g } ( - d , 0 , \ldots , 0 , d ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal L ^ { \mathrm { H y } } } & { = \Xi + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { j = 2 } ^ { 3 } \frac { \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , j } \mathbf a _ { i , k , j } ^ { H } \mathbf W _ { i , j } \right) } { \Psi _ { k , j } ^ { t } \ln 2 } } \\ & { - \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { j = 2 } ^ { 3 } \alpha _ { k , j } \sum _ { i = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , j } \mathbf a _ { i , k , j } ^ { H } \mathbf W _ { i , j } \right) } \\ & { - \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \nu _ { k , j } \zeta \sum _ { i = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , j } \mathbf a _ { i , k , j } ^ { H } \mathbf W _ { i , j } \right) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { K } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \lambda _ { i , j } \mathrm { t r } \left( \mathbf W _ { i , j } \right) - \sum _ { i = 1 } ^ { K } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \mathrm { t r } \left( \mathbf W _ { i , j } \mathbf T _ { i , j } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { \d H _ { 1 } } { \d x } } & { = - \big ( H _ { 0 } ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 0 } } { \d x ^ { 3 } } \big ) ^ { \frac \alpha 2 } \ \stackrel = - B _ { 0 } ^ { - \alpha } } & & { \mathrm { a t } \quad x = 1 , } \\ { \omega } & { = s _ { 0 } ^ { - \frac { \alpha ( n + 3 ) - 4 } { 2 } } \ \stackrel { ( ) } = \big ( ( n + 4 ) B _ { 0 } ^ { 2 } t \big ) ^ { - \frac { \alpha ( n + 3 ) - 4 } { 2 ( n + 4 ) } } , } \end{array}
H ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \left\{ \vec { v } \in L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb R ^ { 2 } ) : \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { v } \in L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb R ) \right\} , } & { d = 2 , } \\ { \left\{ \vec { v } \in L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb R ^ { 3 } ) : \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { v } \in L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb R ^ { 3 } ) \right\} , } & { d = 3 , } \end{array} \right.
\mathrm { ~ \bf ~ q ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \to - \frac { 1 } { \omega _ { k } } \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \; \; ; \; \; \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \to \omega _ { k } \mathrm { ~ \bf ~ q ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| \xi ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } \leq } & { k _ { n } | \xi ^ { \prime } ( t _ { n } ) | ^ { 2 } + 2 \sqrt { 2 } L k _ { n } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } \| \xi ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } } \\ { \leq } & { k _ { n } | \xi ^ { \prime } ( t _ { n } ) | ^ { 2 } + \sqrt { 2 } L k _ { n } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } + \sqrt { 2 } L k _ { n } \| \xi ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } . } \end{array} } \end{array}
\mathcal { R } ^ { * } e _ { k , \ell } ^ { n } ( z ) = \sum _ { x \in \mathbb { Z } } \left( \frac { u _ { k } ( n ) } { \theta } \right) ^ { x } \frac { ( x ) _ { \ell } } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x - z } } { w ^ { x - z + 1 } } \psi ( w ) = \sum _ { m = 0 } ^ { \ell } { \binom { \ell } { m } } \frac { \mathrm { d } ^ { m } } { \mathrm { d } w ^ { m } } \psi ( w ) \Big | _ { w = u _ { k } ( n ) } e _ { k , \ell - m } ^ { n } ( z ) .
\sigma ( \mathbf { r } _ { C _ { 1 } } , \mathbf { r } _ { C _ { 2 } } ) = \| \mathbf { r } _ { C _ { 1 } } - \mathbf { r } _ { C _ { 2 } } \| _ { 2 } - d _ { C C } ^ { 0 } = 0
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } _ { f _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } } } ( n ) = \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { N } \biggl ( f _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } } ( n ) - \frac { 1 } { 2 } \biggr ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \nu = \sum _ { \overline { { \mu } } , \overline { { \nu } } } \left\langle \frac { \left| \langle \alpha | \overline { { \mu } } \rangle \langle \overline { { \nu } } | \beta \rangle \right| ^ { 2 } ( \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } - \omega _ { \alpha \beta } ) \tau } { 2 \pi T \, [ 1 + ( \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } - \omega _ { \alpha \beta } ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ] } \right\rangle , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { t ^ { { \vec { \Lambda } } _ { 1 } } = p ^ { { \vec { \Lambda } } _ { 1 } } + \mathrm { i } \, q _ { { \vec { \Lambda } } _ { 1 } } \, } } \\ { { { \bar { t } } _ { { \vec { \Lambda } } _ { 1 } } = p ^ { { \vec { \Lambda } } _ { 1 } } - \mathrm { i } \, q _ { { \vec { \Lambda } } _ { 1 } } \, } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \omega _ { 1 2 2 } = \omega _ { 1 3 3 } = \omega _ { 1 4 4 } = W _ { 1 } ( t ) , } \\ & { \omega _ { 2 3 4 } = - \omega _ { 2 4 3 } = \omega _ { 3 4 2 } = W _ { 2 } ( t ) , } \\ & { \omega _ { 2 3 3 } = \omega _ { 2 4 4 } = - \frac { \sqrt { 1 - k r ^ { 2 } } } { a ( t ) r } , } \\ & { \omega _ { 3 4 4 } = - \frac { \cos ( \theta ) } { a ( t ) r \sin ( \theta ) } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( d _ { E } ^ { C } ) = } & { \, \Bigl [ \Delta L ^ { 2 } \Bigl ( \sin \phi \, \sin \psi + \cos \phi \, \sin \theta \, \cos \psi \Bigr ) ^ { 2 } } \\ & { + L ^ { 2 } \Delta \phi ^ { 2 } \Bigl ( \cos \phi \, \sin \psi - \sin \phi \, \sin \theta \, \cos \psi \Bigr ) ^ { 2 } } \\ & { + L ^ { 2 } \Delta \theta ^ { 2 } \Bigl ( \cos \phi \, \cos \theta \, \cos \psi \Bigr ) ^ { 2 } } \\ & { + L ^ { 2 } \Delta \psi ^ { 2 } \Bigl ( \sin \phi \, \cos \psi - \cos \phi \, \sin \theta \, \sin \psi \Bigr ) ^ { 2 } \Bigr ] ^ { 1 / 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { \bar { t } _ { s } } ) - h ( \bar { x } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ) ] } & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 4 } E _ { t } - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } ] + 4 L ^ { 2 } \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } I _ { t } + \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \eta \alpha _ { t } A _ { t } } \\ & { \qquad + \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } 4 \tilde { L } ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } B _ { t } + 2 \tilde { L } ^ { 2 } I \eta ^ { 3 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { l } ^ { 2 } D _ { l } + 4 \tilde { L } ^ { 2 } I \gamma ^ { 2 } \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { l } ^ { 2 } G _ { l } } \\ & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 4 } E _ { t } - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } ] + 4 L ^ { 2 } \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } I _ { t } + \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \eta \alpha _ { t } A _ { t } } \\ & { \qquad + \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } 4 \tilde { L } ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } B _ { t } + \frac { \eta ^ { 3 } } { 1 2 8 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } + \frac { \gamma ^ { 2 } \eta } { 6 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { t } } \end{array}
l o g ( \kappa ( u ) ) ~ = ~ l o g \left( { \frac { \vartheta _ { 1 } ( \gamma ( u - 1 ) | \tau ) } { \vartheta _ { 1 } ( \gamma | \tau ) } } \right) ~ = ~ l o g \left( { \frac { [ u - 1 ] } { [ 1 ] } } \right) \ .
\begin{array} { r l } & { w _ { t + 1 } - w ^ { * } \; \; = \; \; w _ { t } - \eta \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in S } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } + \phi _ { t } \nu _ { t } \right) - w ^ { * } } \\ { = } & { \left( \mathbf { I } - \frac { \eta } { n } \sum _ { i \in G } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } \right) ( w _ { t } - w ^ { * } ) + \frac { \eta } { n } \sum _ { i \in G } x _ { i } z _ { i } + \frac { \eta } { n } \sum _ { i \in G } ( g _ { i } ^ { ( t ) } - \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } ) - \frac { \eta } { n } \sum _ { i \in S _ { \mathrm { b a d } } } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } - \eta \phi _ { t } \nu _ { t } \; . } \end{array}
\| V _ { \xi } ( \theta ) \cdot \nabla _ { \theta } u _ { \theta } - F [ u _ { \theta } ] \| _ { 2 } \le \| V _ { \xi } ( \theta ) \cdot \nabla _ { \theta } u _ { \theta } - V ( \theta ) \cdot \nabla _ { \theta } u _ { \theta } \| _ { 2 } + \| V ( \theta ) \cdot \nabla _ { \theta } u _ { \theta } - F [ u _ { \theta } ] \| _ { 2 } \le B \cdot \frac { \varepsilon } { 2 B } + \frac { \varepsilon } { 2 } = \varepsilon .
R _ { l } ( \beta ) = { \frac { \Gamma ( { \frac { 2 l } { \xi } } + { \frac { i \beta } { \pi \xi } } ) \Gamma ( 1 + { \frac { 2 l } { \xi } } + { \frac { i \beta } { \pi \xi } } ) } { \Gamma ( { \frac { 2 l + 1 } { \xi } } + { \frac { i \beta } { \pi \xi } } ) \Gamma ( 1 + { \frac { 2 l - 1 } { \xi } } + { \frac { i \beta } { \pi \xi } } ) } } \ .
\begin{array} { r l } { \dot { \phi } _ { A , B } } & { { } = - \nabla \cdot ( J _ { A , B } ^ { \mathrm { d } } + \sqrt { 2 \epsilon } \Lambda _ { A , B } ) , } \\ { J _ { A , B } ^ { \mathrm { d } } } & { { } = - \nabla \left( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \phi _ { A , B } } + \mu _ { A , B } ^ { a } \right) \, . } \end{array}
l _ { \mathcal { U } _ { k } } ^ { 2 } : = \sqrt { \frac { \sum _ { n } ^ { N } \mathopen | \mathopen | \mathcal { U } _ { \Theta , k } ( t , x _ { n } ) - \mathcal { U } _ { k } ( t , x _ { n } ) \mathclose | \mathclose | _ { 2 } } { \sum _ { n } ^ { N } \mathopen | \mathopen | \mathcal { U } _ { \Theta , k } ( t , x _ { n } ) \mathclose | \mathclose | _ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ T ~ R ~ A ~ } _ { { \mathbf x } ( t ) , v _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } , t _ { N } } } & { { } = \frac { 1 } { \Delta t } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \left| \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { N } } \mathbf { t r a } \; d t \right| _ { F r } } \\ { \overline { { \mathrm { ~ T ~ R ~ A ~ } } } _ { { \mathbf x } ( t ) , v _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } , t _ { N } } } & { { } = \frac { 1 } { \Delta t } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { N } } \left| \mathbf { t r a } \right| _ { F r } \, d t } \end{array}
T - P ^ { 3 } = \int d ^ { 3 } x \; { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { + } \varphi ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 3 } x \; \varphi \Bigg [ - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } \Bigg ] \varphi
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { y } \mathfrak { L } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) ( \bar { y } ) = 0 \ \Longrightarrow \ m ( \mathcal { O } y , \mathcal { O } \bar { y } ; \boldsymbol { \mu } ) + \left\langle \mathcal { A } ^ { * } ( \boldsymbol { \mu } ) p , \bar { y } \right\rangle _ { Y ^ { * } Y } = m \left( \mathcal { O } \bar { y } , z _ { d } ; \boldsymbol { \mu } \right) , } & { \forall \bar { y } \in Y , } \\ { D _ { u } \mathfrak { L } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) ( \bar { u } ) = 0 \ \Longrightarrow \ \alpha n ( u , \bar { u } ; \boldsymbol { \mu } ) + \left\langle \mathcal { C } ^ { * } ( \boldsymbol { \mu } ) p , \bar { u } \right\rangle _ { U ^ { * } U } = 0 , } & { \forall \bar { u } \in U , } \\ { D _ { p } \mathfrak { L } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) ( \bar { p } ) = 0 \ \Longrightarrow \ \langle \bar { p } , \mathcal { A } ( \boldsymbol { \mu } ) y + \mathcal { C } ( \boldsymbol { \mu } ) u \rangle _ { Q ^ { * } Q } = \langle \bar { p } , f ( \boldsymbol { \mu } ) \rangle _ { Q ^ { * } Q } , } & { \forall \bar { p } \in Q ^ { * } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ^ { \mu \nu } } & { = r ^ { \mu \nu } + P ^ { \mu \nu } \left( \tilde { n } \cdot \tilde { \mu } + \tilde { n } _ { \psi } \cdot \tilde { \mu } _ { \psi } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { ( q - 1 ) ! } n ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } + \frac { 1 } { ( q - 2 ) ! } ( n _ { \ell } ) ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu _ { \ell } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { ( p - 1 ) ! } \tilde { n } ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \tilde { \mu } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } + \frac { 1 } { p ! } ( \tilde { n } _ { \psi } ) ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \tilde { \mu } _ { \psi } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } , } \\ { r ^ { [ \mu \nu ] } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \varphi } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \Big ( \frac { I _ { \mathrm { H a l l } , 1 } ^ { z } ( t ) } { r _ { 1 } } + \frac { I _ { \mathrm { H a l l } , 2 } ^ { z } ( t ) } { r _ { 2 } } \Big ) } \\ & { \quad + \mathcal { O } \Big ( \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { i } } \Big ) ^ { 2 } + ( r _ { 2 } \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 4 } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } } & { = \tilde { A } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k } + \tilde { H } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { K } \; \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { B } \; \partial _ { t } \mathbf { d } _ { s } + \tilde { L } \; \mathbf { u } _ { i n } + \tilde { C } } \\ { \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } } & { = \tilde { A } _ { s } \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \tilde { K } _ { s } \; \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \tilde { B } _ { s } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { H } _ { s } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } } \\ { \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } } & { = \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \frac { \Delta t } { 2 } ( \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } + \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 0 0 } } & { = R _ { 0 \rightarrow 0 } ^ { - 3 / 2 } + R _ { 0 \rightarrow 0 } ^ { - 1 / 2 } + R _ { 0 \rightarrow 0 } ^ { + 1 / 2 } } \\ { R _ { 0 1 } } & { = R _ { 0 \rightarrow 1 } ^ { - 1 / 2 } + R _ { 0 \rightarrow 1 } ^ { + 1 / 2 } } \\ { R _ { 1 0 } } & { = R _ { 1 \rightarrow 0 } ^ { - 1 / 2 } + R _ { 1 \rightarrow 0 } ^ { + 1 / 2 } } \\ { R _ { 1 1 } } & { = R _ { 1 \rightarrow 1 } ^ { - 1 / 2 } + R _ { 1 \rightarrow 1 } ^ { + 1 / 2 } + R _ { 1 \rightarrow 1 } ^ { + 3 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } _ { \vec { i } } ^ { \mathrm { e x } } = \frac { 2 \, A } { \mu _ { 0 } \, M _ { s , \vec { i } } } \; \sum _ { \mathrm { k = x , y , z } } \frac { \vec { m } _ { \vec { i } + \vec { e } _ { k } } - 2 \, \vec { m } _ { \vec { i } } + \vec { m } _ { \vec { i } - \vec { e } _ { k } } } { \Delta _ { k } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum A _ { k } T _ { k } ( - 1 ) = \sum ( - 1 ) ^ { k } A _ { k } = \mathbf { v } _ { 1 } ^ { T } \mathbf { A } = 0 } \\ { \sum A _ { k } T _ { k } ( 1 ) = \sum A _ { k } = \mathbf { v } _ { 2 } ^ { T } \mathbf { A } = 0 } \\ { \sum A _ { k } T _ { k } ^ { \prime } ( - 1 ) = \sum ( - 1 ) ^ { k } k ^ { 2 } A _ { k } = \mathbf { v } _ { 3 } ^ { T } \mathbf { A } = 0 } \\ { \sum A _ { k } T _ { k } ^ { \prime } ( 1 ) = \sum k ^ { 2 } A _ { k } = \mathbf { v } _ { 4 } ^ { T } \mathbf { A } = 0 } \end{array}
v \in C ^ { 1 } ( \overline { { \mathcal { D } _ { r _ { * } } ^ { ( \theta _ { 1 } ) } } } ) \cap C ^ { 2 } ( \mathcal { D } _ { r _ { * } } ^ { ( \theta _ { 1 } ) } \cup \Gamma _ { \mathrm { s h o c k } } ^ { ( h ) } ) \cap C ^ { 3 } ( \mathcal { D } _ { r _ { * } } ^ { ( \theta _ { 1 } ) } )
\left( \sum _ { n } \mathbf { p } _ { n } \right) ^ { 2 } = \left( \sum _ { n } \mathbf { p } _ { n } \right) \cdot \left( \sum _ { k } \mathbf { p } _ { k } \right) = \sum _ { n , k } \mathbf { p } _ { n } \cdot \mathbf { p } _ { k } = 2 \sum _ { n < k } \mathbf { p } _ { n } \cdot \mathbf { p } _ { k } + \sum _ { n } \mathbf { p } _ { n } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \dot { y } _ { i } ^ { [ \alpha ] } = D ^ { [ \alpha ] } \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { i j } ^ { [ \alpha ] } \left( y _ { j } ^ { [ \alpha ] } - y _ { i } ^ { [ \alpha ] } \right) } \\ { \qquad \qquad + \sum _ { \beta = 1 } ^ { M } D ^ { [ \alpha , \beta ] } \left( y _ { i } ^ { [ \beta ] } - y _ { i } ^ { [ \alpha ] } \right) , } \end{array}
X ( x , y ) = \frac { 1 } { m n } \sum _ { j = - m / 2 } ^ { m / 2 - 1 } \sum _ { k = - n / 2 } ^ { n / 2 - 1 } e ^ { i ( x \mu _ { j } + y \nu _ { k } ) } Y _ { j + 1 , k + 1 } .
\left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { \partial c } { \partial t } } & { { } = D \nabla ^ { 2 } c - \gamma c + \omega \delta ( x ) } & { \quad \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ - L , L ] } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { L } } & { { } = \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { - L } = 0 } \\ { c ( x , 0 ) } & { { } = 0 } & { \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ - L , L ] } \end{array} \right.
A \otimes B = \left( \begin{array} { l l l } { a _ { 1 1 } B } & { \ldots } & { a _ { 1 n } B } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } B } & { \ldots } & { a _ { m n } B } \end{array} \right)
\sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 4 \pi ^ { 2 } ( l + w _ { i } ) ^ { 2 } \beta ^ { - 2 } t } = { \frac { \beta } { \sqrt { 4 \pi t } } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \eta _ { i } ^ { k } e ^ { - { \frac { \beta ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 4 t } } } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { J } } } & { = ( \mathbf { I } - \mathbf { P } ( h _ { \mathrm { b } } ) \mathbf { R } _ { \mathrm { b o t } } \mathbf { P } ( h _ { \mathrm { b } } ) \mathbf { P } ( h _ { \mathrm { t } } ) \mathbf { R } _ { \mathrm { t o p } } \mathbf { P } ( h _ { \mathrm { t } } ) ) ^ { - 1 } } \\ & { ( \mathbf { a } _ { \infty \mathrm { N W } } + \mathbf { P } ( h _ { \mathrm { b } } ) \mathbf { R } _ { \mathrm { b o t } } \mathbf { P } ( h _ { \mathrm { b } } ) \mathbf { b } _ { \infty \mathrm { N W } } ) } \end{array}
\Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \dots , \mathbf { r } _ { N } ) = \psi ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \psi ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \dots \psi ( \mathbf { r } _ { N } )
\begin{array} { r l } { R _ { u _ { 2 } } R _ { u _ { 1 } } ( x ) } & { = R _ { u _ { 1 } } ( x ) - 2 \langle R _ { u _ { 1 } } ( x ) , u _ { 2 } \rangle u _ { 2 } } \\ & { = x - 2 \langle x , u _ { 1 } \rangle u _ { 1 } - 2 ( \langle x , u _ { 2 } \rangle u _ { 2 } - 2 \langle x , u _ { 1 } \rangle \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle u _ { 2 } ) } \\ & { = x - 2 ( \langle x , u _ { 1 } \rangle u _ { 1 } + \langle x , u _ { 2 } \rangle u _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } [ \mathfrak { q } ] } & { = \left( \mathcal { T } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta , ( 0 , t - s ) } [ \mathfrak { q } ] + \mathcal { T } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta , ( t - s , 1 ) } [ \mathfrak { q } ] \right) ^ { \frac { 1 } { q ^ { \prime } } } } \\ & { \lesssim \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } \right] \left[ ( t - s ) ^ { \frac { \zeta + \beta } { \alpha } } \left( \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \right) + ( t - s ) ^ { \frac { \beta } { \alpha } } \right] } \\ & { \lesssim \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } ( t - s ) ^ { \frac { \beta } { \alpha } } \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } \right] \left[ ( t - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } \left( \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \right) + 1 \right] . } \end{array}
\operatorname { E S } _ { \alpha } ( X ) = - { \frac { 1 } { \alpha } } \operatorname { E } [ X ] + { \frac { 1 - \alpha } { \alpha } } \operatorname { E S } _ { \alpha } ( L ) { \mathrm { ~ a n d ~ } } \operatorname { E S } _ { \alpha } ( L ) = { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } \operatorname { E } [ L ] + { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \operatorname { E S } _ { \alpha } ( X ) .
\int _ { e } ^ { w } \! \! \! \int _ { t } ^ { t + \Delta t } \left( \rho c { \frac { \partial T } { \partial t } } \, \mathrm { d } t \right) \, \mathrm { d } V = \int _ { t } ^ { t + \Delta t } \left[ \left( k A { \frac { \partial T } { \partial x } } \right) _ { e } - \left( k A { \frac { \partial T } { \partial x } } \right) _ { w } \right] \, \mathrm { d } t + \int _ { t } ^ { t + \Delta t } { \bar { S } } \Delta V \, \mathrm { d } t
\begin{array} { r } { p _ { + } = R \rho \theta = R _ { 1 } \rho _ { 1 } \theta + R _ { 2 } \rho _ { 2 } \theta , } \\ { \alpha _ { k } = \frac { R _ { k } \rho _ { k } } { R \rho } , \ } \\ { a l p h a _ { k } p _ { + } = R _ { k } \rho _ { k } \theta , \ \ k = 1 , 2 . } \end{array}