harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \partial _ { r } \Big [ e ^ { 4 \beta } \partial _ { u } \Big ( e ^ { - 4 \beta } r ^ { 2 } \gamma _ { A B } U ^ { B } \Big ) \Big ] + \partial _ { r } ( r ^ { 2 } \gamma _ { A B } ) \partial _ { u } U ^ { B } } } & { } & \\ & { = } & { \partial _ { r } \Big [ e ^ { 2 \beta } \partial _ { r } \Big ( r \gamma _ { A B } U ^ { B } V e ^ { 2 \beta } \Big ) - 2 r V \partial _ { r } ( \gamma _ { A B } U ^ { B } ) + r ^ { 2 } U ^ { B } \partial _ { u } \gamma _ { A B } \Big ] + 2 e ^ { 2 \beta } \partial _ { A } \partial _ { u } \beta } \\ & { } & { + \Big ( U ^ { B } \partial _ { r } \big ( r ^ { 2 } \gamma _ { A B } \big ) + 1 / 2 \gamma _ { A B } r ^ { 2 } \partial _ { r } U ^ { B } \Big ) e ^ { 4 \beta } \partial _ { u } e ^ { 4 \beta } - 2 \Lambda r ^ { 2 } e ^ { 2 \beta } \gamma _ { A B } U ^ { B } + F _ { A } \, , \phantom { x x x x x x } } \end{array}
\zeta _ { \bar { \cal V } } ( s ) = \frac { m L } { \sqrt { 8 \pi } } \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \beta \, \beta ^ { s - \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - 4 \beta } = \frac { m L } { \sqrt { 8 \pi } } \frac { 1 } { 4 ^ { s - \frac { 1 } { 2 } } } \frac { \Gamma ( s - \frac { 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( s ) }
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { ( 2 \ell + 1 ) } { \left[ ( 2 \ell + 1 ) ! ! \right] ^ { 2 } } k _ { 0 } ^ { 2 \ell + 1 } \cot \delta \rightarrow } } \\ & { } & { - \left( \frac { R _ { 0 } } { a _ { \mathrm { t w } } } \right) ^ { 2 \ell + 1 } = - \left( \frac { R _ { 0 } } { a _ { \mathrm { o p e n } } } \right) ^ { 2 \ell + 1 } \! \! \! \! \! \! \! + \frac { \beta ^ { 2 } } { \frac { R _ { 0 } ^ { 2 \ell + 1 } } { a _ { \mathrm { c l o s e d } } ^ { 2 \ell + 1 } } - \tilde { \kappa } _ { c } ^ { 2 \ell + 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { L } _ { \uparrow } = \left( \begin{array} { l l l } { L _ { \uparrow } ^ { 0 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { L _ { \uparrow } ^ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \, \boldsymbol { L } _ { \downarrow } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { L _ { \downarrow } ^ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { L _ { \downarrow } ^ { 2 } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
A _ { \pm } = \bigg ( \frac { \gamma _ { c } ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) \bigg ( \frac { ( \omega - \omega _ { m } ) ^ { 2 } + ( \alpha _ { m } + \gamma _ { m } ) ^ { 2 } } { [ ( \omega - \omega _ { \mp } ) ^ { 2 } + \delta \omega _ { \mp } ^ { 2 } ] [ \alpha _ { c } + \alpha _ { m } - \delta \omega _ { \mp } ] ^ { 2 } } \bigg )
i \Pi _ { \mu \nu } ^ { ( a b c d ) } ( p ) = \frac { i e ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \epsilon } \left( \frac { 2 0 } { 3 } - \frac { 8 N _ { f } } { 3 } \right) \left( \eta _ { \mu \nu } p ^ { 2 } - p _ { \mu } p _ { \nu } \right) + f i n i t e
\begin{array} { r } { \sigma _ { \hbar } ^ { 1 } ( w _ { 1 } , w _ { 2 } + w _ { 3 } ) \sigma _ { \hbar } ^ { 1 } ( w _ { 2 } , w _ { 3 } ) = \sigma _ { \hbar } ^ { 1 } ( w _ { 1 } + w _ { 2 } , w _ { 3 } ) \sigma _ { \hbar } ^ { 1 } ( w _ { 1 } , w _ { 2 } ) + \sigma _ { \hbar } ^ { 1 } ( w _ { 2 } , w _ { 1 } + w _ { 3 } ) \sigma _ { \hbar } ^ { 1 } ( w _ { 1 } , w _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { u _ { a } , v _ { a } } ( x , h , t ) = { } } & { { } \arctan { \left( \frac { ( h - u _ { a } ) ( v _ { a } - x ) } { t \sqrt { ( x - v _ { a } ) ^ { 2 } + t ^ { 2 } + ( h - u _ { a } ) ^ { 2 } } } \right) } . } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { a x ^ { 4 } + b x ^ { 3 } + c x ^ { 2 } + d x + f } \, d x = { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { f } \sum _ { \begin{array} { l } { n , m , p = 0 } \\ { n + p = 0 \mod 2 } \end{array} } ^ { \infty } { \frac { b ^ { n } } { n ! } } { \frac { c ^ { m } } { m ! } } { \frac { d ^ { p } } { p ! } } { \frac { \Gamma \left( { \frac { 3 n + 2 m + p + 1 } { 4 } } \right) } { ( - a ) ^ { \frac { 3 n + 2 m + p + 1 } { 4 } } } } .
\begin{array} { r l } { \dim \operatorname { K e r } ( \lambda - \theta , \mu - \theta ) = } & { \dim \operatorname { K e r } ( \lambda - \theta , ( \mu _ { 1 } - 1 ) \omega _ { 1 } ) = \underset { i = \operatorname* { m a x } \{ 0 , \mu _ { 1 } - \lambda _ { 2 } \} } { \overset { \mu _ { 1 } - 1 } { \sum } } \dim V ( \lambda - \theta - i \omega _ { 1 } - ( \mu _ { 1 } - 1 - 2 i ) \omega _ { 2 } ) } \end{array}
B _ { 7 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sigma ( - g _ { { } _ { \Sigma ^ { + } , \Lambda \pi ^ { + } } } + g _ { { } _ { \Xi ^ { - } , \Lambda K ^ { - } } } + \sqrt 3 g _ { { } _ { \Xi ^ { 0 } , \Xi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } } ) .
P _ { n } ( x ) = c _ { n } \, \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l } { m _ { 0 } } & { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { \cdots } & { m _ { n } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } & { \cdots } & { m _ { n + 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { m _ { n - 1 } } & { m _ { n } } & { m _ { n + 1 } } & { \cdots } & { m _ { 2 n - 1 } } \\ { 1 } & { x } & { x ^ { 2 } } & { \cdots } & { x ^ { n } } \end{array} \right] } ~ ,
V ( \varphi _ { 0 } , \beta ) = \frac { 2 } { \beta } \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \int \frac { d ^ { d } p } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { ( - 1 ) ^ { s } } { s } \frac { ( M + g \varphi _ { 0 } ) ^ { 2 s } } { ( \omega _ { n } ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) ^ { s } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \big \langle \theta _ { \ell } - \theta _ { 0 } , \theta _ { j } - \theta _ { 0 } \big \rangle } { \Delta ^ { 2 } } } & { = \frac { a ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } \bigg [ ( s - 2 ) \Big ( \sqrt { 1 - \frac { \Delta } { s - 1 } } - 1 \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 \Big ( \sqrt { 1 + \Delta } - 1 \Big ) \Big ( \sqrt { 1 - \frac { \Delta } { s - 1 } } - 1 \Big ) \bigg ] } \\ & { = - \frac { a ^ { 2 } } { 4 ( s - 1 ) } \Big ( 1 + \frac { 1 } { s - 1 } \Big ) + O ( \Delta ) . } \end{array}
t _ { q } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { s p } } } \frac { S } { k _ { B } } \frac { R } { c } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { s p } } } \frac { \pi c ^ { 2 } R ^ { 3 } } { \hbar G } \, ,
\begin{array} { l } { \frac { d S _ { i } } { d t } = - \beta \, S _ { i } ( t ) \, \sum _ { j } \, \left( A _ { j i } ^ { ( 1 ) } + A _ { j i } ^ { ( 2 ) } \right) \, I _ { j } ( t ) } \\ { \frac { d I _ { i } } { d t } = \beta \, S _ { i } ( t ) \, \sum _ { j } \, \left( A _ { j i } ^ { ( 1 ) } + A _ { j i } ^ { ( 2 ) } \right) \, I _ { j } ( t ) - \gamma I _ { i } ( t ) } \\ { \frac { d R _ { i } } { d t } = \gamma I _ { i } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { n s } = } & { { } \frac { 2 n _ { s } n _ { n } } { u \ensuremath { v _ { \mathrm { t h } _ { s } } } \sqrt { \pi } ( 1 + \delta _ { 1 2 } ) } \exp \left( - \frac { u ^ { 2 } } { \ensuremath { v _ { \mathrm { t h } _ { s } } } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\widetilde { K } ( s _ { x } , s _ { y } ) = \left\langle \frac { \big \langle v ( r , t ) v ( r + s , t ) \big \rangle _ { r } } { \big \langle v ^ { 2 } ( r , t ) \big \rangle _ { r } } \right\rangle _ { t } = \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow + \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i } + T } \frac { N ( s _ { x } , s _ { y } , t ) } { \sigma ^ { 2 } ( t ) } \mathop { } \! \mathrm { d } t
0 \to \Omega ^ { q } ( M ) \stackrel { \pi ^ { * } } { \to } \Omega ^ { q } ( Y ) \stackrel { \delta } { \to } \Omega ^ { q } ( Y ^ { [ 2 ] } ) \stackrel { \delta } { \to } \Omega ^ { q } ( Y ^ { [ 3 ] } ) \stackrel { \delta } { \to } \dots
u _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( r ) = - \frac { 1 } { 2 } K _ { \mathrm { ~ S ~ } } b _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 2 } \ln \left( 1 - \frac { r ^ { 2 } } { b _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 2 } } \right) + u _ { \mathrm { ~ \tiny ~ W ~ C ~ A ~ } } ( r ) ~ ,
\begin{array} { r l } { { { \cal M } _ { h e l } ( \lambda = \pm ) } } & { { } { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, \left[ \, \mp { \cal M } ( \lambda = 1 ) - i { \cal M } ( \lambda = 2 ) \, \right] \, , } } \\ { { { \cal M } _ { h e l } ( \lambda = 0 ) } } & { { } { { } = { \cal M } ( \lambda = 3 ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { k } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } & { : = } & { \frac { 1 } { \log \lambda } \int _ { ( \lambda \Pi ) ^ { 2 } } L ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) | u _ { k } | \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \frac { ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i x _ { j } u _ { j } } ) ( 1 - \mathrm e ^ { - \mathrm i y _ { j } u _ { j } } ) } { | u _ { j } | ^ { 2 } } \mathrm d \boldsymbol { u } , \quad k = 1 , 2 } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } { \frac { 1 } { T } } \left| { \hat { x } } _ { T } ( f ) \right| ^ { 2 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } { \frac { 1 } { T } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } x _ { T } ^ { * } ( t - \tau ) x _ { T } ( t ) d t \right] e ^ { - i 2 \pi f \tau } \ d \tau = \int _ { - \infty } ^ { \infty } R _ { x x } ( \tau ) e ^ { - i 2 \pi f \tau } d \tau
G ^ { ( d ) } ( \{ s _ { i } \} , \{ m _ { s } ^ { 2 } \} ) = \prod _ { i = 1 } ^ { L } \int d ^ { d } k _ { i } \prod _ { j = 1 } ^ { N } P _ { \overline { { { k } } } _ { j } , m _ { j } } ^ { \nu _ { j } } ,
\begin{array} { r } { | | \lesssim \varepsilon \langle \| \partial _ { t } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \rangle \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } + C \varsigma \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } + C _ { \eta } \| g _ { \alpha + 1 } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) \wedge \ast [ \eta , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) ] _ { 1 } = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) \wedge \ast \delta \big ( \eta \wedge d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \big ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \big ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } i _ { \mathcal { N } } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \big ) v _ { \Sigma } } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge e _ { \phi } ^ { j } , } \end{array}
\mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } ( \vec { u } , \, \vec { v } ) \, = \, 1 0 \log _ { 1 0 } \bigg ( \frac { \sum _ { i } ^ { n } \vec { u } _ { i } ^ { 2 } } { { \, \sum _ { i } ^ { n } ( \vec { u } _ { i } - { \vec { v } } _ { i } ) ^ { 2 } } } \bigg ) .
\begin{array} { r l } { v } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 5 4 2 3 } & { 0 . 1 3 2 7 } & { 0 . 3 2 5 0 } \end{array} \right] } \\ { K _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 0 4 4 4 } & { - 0 . 3 0 9 7 } & { 0 . 4 2 0 7 } \\ { - 0 . 0 0 1 0 } & { 0 . 2 9 1 0 } & { - 1 . 0 8 6 9 } \end{array} \right] } \\ { K _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { - 0 . 4 2 2 3 } & { 0 . 1 5 1 0 } & { 0 . 1 5 2 0 } \\ { 0 . 0 0 5 9 } & { - 0 . 0 1 7 1 } & { - 0 . 9 6 0 7 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { \mathcal Z \times \mathcal Z } \phi ( z ) d \pi _ { t } ( z , \tilde { z } ) } & { = \eta _ { t \normalcolor } \int _ { \mathcal Z \times \mathcal Z } \nabla _ { z , \tilde { z } } \phi ( z ) \cdot ( 0 , \nabla _ { \tilde { z } } \mathcal { U } _ { \pi } ) d \pi _ { t } ( z , \tilde { z } ) } \\ & { \quad + \kappa \int _ { \mathcal Z \times \mathcal Z } \phi ( z ) \left( \mathcal { U } _ { \pi } ( z , \tilde { z } ) - \int \mathcal { U } _ { \pi } ( z , \tilde { z } ^ { \prime } ) d \pi _ { t } ( \tilde { z } ^ { \prime } | z ) \right) d \pi _ { t } ( z , \tilde { z } ) } \\ & { = \kappa \int _ { \mathcal Z } \phi ( z ) \int _ { \mathcal { Z } } \left( \mathcal { U } _ { \pi } ( z , \tilde { z } ) - \int \mathcal { U } _ { \pi } ( z , \tilde { z } ^ { \prime } ) d \pi _ { t } ( \tilde { z } ^ { \prime } | x ) \right) d \pi _ { t } ( \tilde { z } | z ) d \pi _ { t , z } ( z ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\bar { \jmath } _ { \alpha } = - \bar { X } _ { \alpha } ^ { \mu } ( \xi ) \, [ \pi _ { \mu } + \kappa \, \lambda _ { \mu \rho } ( \xi ) \, \partial _ { x } \xi ^ { \rho } ] - \kappa \, c _ { \alpha \gamma } \, \bar { \theta } _ { \rho } ^ { \gamma } ( \xi ) \, \partial _ { x } \xi ^ { \rho } ,
\mathbf { s } = \arg \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { s } ^ { \prime } } \left\| \mathbf { s } ^ { \prime } \right\| _ { 0 } \quad \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \quad \mathbf { y } = \boldsymbol { \Theta } \mathbf { s } ^ { \prime }
\begin{array} { r } { \psi ( \mathbf { x } ) = A ( e ^ { i \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } } - B ) e ^ { \frac { - \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } , } \end{array}
\mathbf { u } \wedge \mathbf { v } \wedge \mathbf { w } \ = \ { \left| \begin{array} { l l l } { u _ { 1 } } & { v _ { 1 } } & { w _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } & { v _ { 2 } } & { w _ { 2 } } \\ { u _ { 3 } } & { v _ { 3 } } & { w _ { 3 } } \end{array} \right| } \left( \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } \right) .
S _ { 3 + 1 } \, = \, \int \, d ^ { 4 } x \, F ^ { 2 } \, + \, \int \, \phi ^ { N } \, d \sigma _ { \mu \nu \gamma } \, \Pi ^ { \mu \mu ^ { \prime } } \Pi ^ { \nu \nu ^ { \prime } } \Pi ^ { \gamma \gamma ^ { \prime } } \, A _ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { J } = \nabla F ( \boldsymbol { w } _ { t } ) - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \nabla f ( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { x } _ { i m } + \boldsymbol { n } _ { i m } , y _ { i m } ) C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { 2 \mathrm { D } } ^ { T } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle k _ { \parallel } ^ { - a } k _ { \perp } ^ { b } , } & { \displaystyle k _ { \parallel } \gtrsim k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } , } \\ { \displaystyle k _ { \perp } ^ { - c } k _ { \parallel } ^ { d } , } & { \displaystyle k _ { \parallel } \lesssim k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\Delta \omega _ { \beta } \approx - 2 \pi \left\{ \frac { ( r _ { \operatorname * { m a x } } + r _ { \operatorname * { m i n } } ) ^ { 2 } } { 2 \, r _ { \operatorname * { m a x } } r _ { \operatorname * { m i n } } } \, \varepsilon \right\} = - 2 \pi \left( \frac { 4 m | E | \beta } { 1 - e ^ { 2 } } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { B _ { 0 } ( l ) } & { { } = l ^ { - 2 + k } \theta ^ { 1 - k } e ^ { - l / \theta } / \Gamma ( k - 1 ) } \\ { \tilde { B } _ { 0 } ( l ) } & { { } = l \theta ^ { - 1 } / ( k - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d p _ { 1 } ^ { 1 } ( t ) = } & { \ q _ { 1 1 } ^ { 1 } ( t ) d W _ { 1 } ( t ) + q _ { 1 2 } ^ { 1 } ( t ) d W _ { 2 } ( t ) + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } r _ { 1 } ^ { 1 } ( t - , z ) \tilde { N } ( d t , d z ) + w _ { 1 } ^ { 1 } ( t ) d \tilde { \Phi } ( t ) , } \\ { p _ { 1 } ^ { 1 } ( T ) = } & { \ \lambda _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T ^ { 1 } ( I ) \cdot T ^ { 1 } ( n ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { F _ { 1 } , F _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N ^ { \prime } + F _ { 1 } + G } \left\{ \begin{array} { c c c } { G ^ { \prime } } & { N ^ { \prime } } & { F _ { 1 } } \\ { N } & { G } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - K } \sqrt { ( 2 N + 1 ) ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 1 } & { N ^ { \prime } } \\ { - K } & { 0 } & { K ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { G + S + 1 + I } \sqrt { ( 2 G + 1 ) ( 2 G ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { I } & { G ^ { \prime } } & { S } \\ { G } & { I } & { 1 } \end{array} \right\} \sqrt { I ( I + 1 ) ( 2 I + 1 ) } } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \phi - \frac { 1 } { c _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial t ^ { 2 } } + \frac 4 3 \frac { \eta } { \rho _ { 0 } c _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial t } \nabla ^ { 2 } \phi = 0 .
\operatorname { R M S E } \left( \mathbf { Y } ^ { ( t , W ) } , \hat { \mathbf { Y } } ^ { ( t , W ) } \right) = \sqrt { \frac { 1 } { W N D } \sum _ { i = t + 1 } ^ { t + W } \left( \hat { \mathbf { X } } ^ { ( i ) } - \mathbf { X } ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } }
\tau ^ { * } = C _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { g } } \sigma _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { g } } + C _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { c } } \sigma _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { c } } + ( D _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { c } } \sigma _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { c } } ) ^ { 2 }
f _ { 4 } = 4 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 2 1
\sigma _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) , \quad \sigma _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \sigma _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ S ^ { 2 } ] } & { = \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \big ( } X _ { i } - { \overline { { X } } } { \big ) } ^ { 2 } \right] = { \frac { n } { n - 1 } } \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \big ( } X _ { i } - { \overline { { X } } } { \big ) } ^ { 2 } \right] } \\ & { = { \frac { n } { n - 1 } } \left( 1 - { \frac { 1 } { n } } \right) \sigma ^ { 2 } = \sigma ^ { 2 } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime \prime } \, \langle I ( t ^ { \prime } ) I ( t ^ { \prime \prime } ) \rangle = \frac { 1 } { T } \left[ \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d t ^ { \prime \prime } \, e ^ { - t ^ { \prime } + t ^ { \prime \prime } } + \int _ { t ^ { \prime } } ^ { T } d t ^ { \prime \prime } \, e ^ { - t ^ { \prime \prime } + t ^ { \prime } } \right] = \frac { 1 } { T } \left[ 2 - e ^ { - t ^ { \prime } } - e ^ { - ( T - t ^ { \prime } ) } \right] , } \end{array}
u _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } } e ^ { i \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \hbar \omega = \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m }
d s _ { s t r . } ^ { 2 } = - \left( 1 - \frac { 2 \eta } { r } \right) ^ { \frac { m + \sigma } { \eta } } d t ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { 2 \eta } { r } \right) ^ { \frac { \sigma - m } { \eta } } d r ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { 2 \eta } { r } \right) ^ { 1 + \frac { \sigma - m } { \eta } } r ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 }
a _ { \mu } ( k ) = \sum _ { \beta = 0 } ^ { 3 } \alpha ^ { \beta } ( k ) \epsilon _ { \mu } ^ { \beta } ( k ) , \; \; \; \; a _ { \mu } ^ { + } ( k ) = \sum _ { \beta = 0 } ^ { 3 } \alpha ^ { + \beta } ( k ) \epsilon _ { \mu } ^ { \beta } ( k ) \; ,
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { y y ^ { ' } } \rho _ { y y ^ { ' } } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes | y \rangle \right) \hat { \rho } _ { \mathrm { X } } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes \langle y ^ { ' } | \right) } \\ & { = \sum _ { x x ^ { ' } y y ^ { ' } } \rho _ { x x ^ { ' } } \rho _ { y y ^ { ' } } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes | y \rangle \right) | x \rangle \langle x ^ { ' } | \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes \langle y ^ { ' } | \right) . } \end{array}
\Gamma = \frac { 1 } { \sqrt { - g } f } \left[ \begin{array} { c c } { { i \gamma ^ { ( 4 ) } - \frac { i g } { 4 } \epsilon _ { i j k l } \bar { \tilde { \cal H } } ^ { i } \tilde { \cal H } ^ { j } \gamma ^ { k l } } } & { { i \sqrt { - g } \bar { \tilde { \cal H } } ^ { i } v ^ { j } \gamma _ { i j } } } \\ { { - i \sqrt { - g } \tilde { \cal H } ^ { i } v ^ { j } \gamma _ { i j } } } & { { - i \gamma ^ { ( 4 ) } + \frac { i g } { 4 } \epsilon _ { i j k l } \tilde { \cal H } ^ { i } \bar { \tilde { \cal H } } ^ { j } \gamma ^ { k l } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { | \ \mathrm { H } \ \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \\ { | \ \mathrm { V } \ \rangle } & { = } & { \frac { - i } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) } \\ { | \ \mathrm { D } \ \rangle } & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { \pi } { 4 } i } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { i } \end{array} \right) } \\ { | \ \mathrm { A } \ \rangle } & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \pi } { 4 } i } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - i } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { B C E } } & { { } = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } c _ { i } \left( \ln y _ { i } \right) + \left( 1 - y _ { i } \right) \left( \ln \left( 1 - c _ { i } \right) \right) } \end{array}
\xi = | \mathbf { K } _ { f } - \mathbf { Q } _ { p } | ^ { 2 } - | \mathbf { K } _ { f } | ^ { 2 } = | \mathbf { Q } | _ { p } ^ { 2 } - 2 \mathbf { K } _ { f } \cdot \mathbf { Q } _ { p } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { t } ^ { r } \right) \right] } & { \le \mathbf { E } \left[ e ^ { \alpha \left| \Bar { X } _ { 0 } ^ { r } \right| ^ { 2 } } \right] e ^ { - 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) t } + 2 e ^ { 2 \alpha ( \Bar { b } + d / \beta ) / ( \Bar { m } - 2 \alpha / \beta ) } \left( 1 - e ^ { - 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } } & { = \frac { \lambda } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 2 } } \frac { Q _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( z ) , x ( z ) ) } { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( z ) , x ( z ) ) } } \\ & { + \frac { \lambda } { ( x ( v ) - x ( z ) ) } \frac { \partial } { \partial x ( w ) } \frac { Q _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( w ) , x ( z ) ) } { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( w ) , x ( z ) ) } \Big | _ { w = z } + \mathrm { r e g u l a r } , } \end{array}
E Q E \equiv \frac { n _ { p h 1 2 } \Gamma _ { o u t } } { n _ { p u m p } \Gamma _ { p } } = \Gamma _ { o u t } \frac { 1 + \frac { N B _ { n r 1 2 } n _ { p n 1 2 } X } { n _ { p u m p } \Gamma _ { p } } } { \Gamma _ { o u t } + N B _ { r 1 2 } ( 1 - X ) }
\hat { H } _ { \mathrm { b g } } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } + \hbar ^ { 2 } \frac { \Lambda ^ { 2 } + 1 5 / 4 } { 2 \mu \rho ^ { 2 } } + V _ { \mathrm { b g } } ,
< \frac { 1 } { 2 } , m _ { s } | { \psi } _ { + } ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } ( g ) > \equiv D _ { m _ { s } + \frac { 1 } { 2 } } ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } ( g ) = < g , l | T _ { m _ { s } + } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | g , l + \frac { 1 } { 2 } > ,
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 6 } ^ { \prime } } \\ { \lambda _ { 7 } ^ { \prime } } \end{array} \right) } & { { } = } & { { \mathcal R } \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 6 } } \\ { \lambda _ { 7 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { 1 } ^ { - } = c _ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { q } { \binom { q } { j } } ( 1 - v ) ^ { q - j } v ^ { j } \times } \\ { \sum _ { k = 0 } ^ { q - j } { \binom { q - j } { k } } ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { q - j - k } c _ { 1 } ^ { k } e _ { k , q } \sum _ { k = 0 } ^ { j } { \binom { j } { k } } ( 1 - c _ { 0 } ) ^ { j - k } c _ { 0 } ^ { k } e _ { k , q } , } \end{array}