harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \varepsilon \bigg ( \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { K } } } & { \tau _ { \sigma } \mathrm { D } _ { K , \sigma } w _ { i } ^ { \varepsilon } - \operatorname { m } ( K ) w _ { i , K } ^ { \varepsilon } \bigg ) } \\ & { = \frac { \rho } { \Delta t } \operatorname { m } ( K ) \bigg ( \frac 3 2 w _ { i , K } ^ { \varepsilon } - 2 u _ { i , K } ^ { k - 1 } + \frac 1 2 u _ { i , K } ^ { k - 2 } \bigg ) + \rho \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { K } } { \mathcal F } _ { i , K , \sigma } ^ { + } ( w ^ { \varepsilon } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } \right] _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ r ~ e ~ c ~ t ~ } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } D ( \theta ) d \theta } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \pi \mathcal { D } _ { \omega } \hat { \psi } = 2 \pi g _ { 1 } + \underbrace { ( K _ { 2 0 } + K _ { 1 1 } ^ { T } \mathcal { L } _ { \omega } ^ { - 1 } \partial _ { x } ( K _ { 1 1 } ) ) [ \langle \hat { \eta } \rangle ] } _ { = : M _ { 1 } ( \varphi ) [ \langle \hat { \eta } \rangle ] } + \underbrace { ( K _ { 2 0 } + K _ { 1 1 } ^ { T } \mathcal { L } _ { \omega } ^ { - 1 } \partial _ { x } ( K _ { 1 1 } ) ) [ \mathcal { D } _ { \omega } ^ { - 1 } g _ { 2 } ] } _ { = M _ { 1 } ( \varphi ) [ \mathcal { D } _ { \omega } ^ { - 1 } g _ { 2 } ] } + \underbrace { K _ { 1 1 } ^ { T } \mathcal { L } _ { \omega } ^ { - 1 } [ g _ { 3 } ] } _ { = : M _ { 2 } ( \varphi ) [ g _ { 3 } ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( t ) } & { { } = \sum _ { i } P _ { i } \sum _ { \rho } \left\langle i \right\rvert e ^ { i H _ { g } t / \hbar } \mu _ { \rho } ^ { * } e ^ { - i H _ { e } t / \hbar } \mu _ { \rho } \left\lvert i \right\rangle } \\ { F ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \tau ) } & { { } = \sum _ { i } P _ { i } \sum _ { \rho \xi } \left\langle i \right\rvert e ^ { - i H _ { g } t _ { 2 } / \hbar } \mu _ { \xi } ^ { * } e ^ { i H _ { e } t _ { 2 } / \hbar } \mu _ { \rho } e ^ { - i H _ { g } \tau / \hbar } \mu _ { \rho } ^ { * } e ^ { - i H _ { e } t _ { 1 } / \hbar } \mu _ { \xi } e ^ { i H _ { g } t _ { 1 } / \hbar } e ^ { i H _ { g } \tau / \hbar } \left\lvert i \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { 1 } ( \rho , \phi , t ) = N \left( \frac { \rho } { \rho _ { H } } \right) ^ { | l | } } & { \mathcal { L } _ { n } ^ { | l | } \left[ \frac { 2 \rho ^ { 2 } } { \rho _ { H } ^ { 2 } } \right] \times } \\ & { \exp \left[ - \frac { \rho ^ { 2 } } { \rho _ { H } ^ { 2 } } + i l \phi - i \varepsilon _ { \perp } t \right] , } \end{array}
( q _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { n * } ) _ { c l } = \pm \kappa \left( \frac { T _ { i \pm 1 } + T _ { i } } { 2 } \right) ^ { 5 / 2 } \frac { T _ { i \pm 1 } - T _ { i } } { h } , \; \;
S W _ { m } : \left\{ \begin{array} { l c l } { z _ { 1 } ^ { ( k ) } } & { = } & { x ^ { ( k ) } - \left[ w ^ { ( k ) } , x ^ { ( k ) } ; F \right] ^ { - 1 } F \left( x ^ { ( k ) } \right) , } \\ { z _ { 2 } ^ { ( k ) } } & { = } & { z _ { 1 } ^ { ( k ) } - H \left( t ^ { ( k ) } \right) \left[ w ^ { ( k ) } , x ^ { ( k ) } ; F \right] ^ { - 1 } F \left( z _ { 1 } ^ { ( k ) } \right) , } \\ & { \vdots } & \\ { z _ { m - 1 } ^ { ( k ) } } & { = } & { z _ { m - 2 } ^ { ( k ) } - H \left( t ^ { ( k ) } \right) \left[ w ^ { ( k ) } , x ^ { ( k ) } ; F \right] ^ { - 1 } F \left( z _ { m - 2 } ^ { ( k ) } \right) , } \\ { x ^ { ( k + 1 ) } } & { = } & { z _ { m - 1 } ^ { ( k ) } - H \left( t ^ { ( k ) } \right) \left[ w ^ { ( k ) } , x ^ { ( k ) } ; F \right] ^ { - 1 } F \left( z _ { m - 1 } ^ { ( k ) } \right) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { T _ { 1 } \to 0 } \langle \dot { \sigma } \rangle } & { = \infty } \\ { \operatorname* { l i m } _ { T _ { 1 } \to \infty } \langle \dot { \sigma } \rangle } & { = \left( \frac { 1 } { r _ { 1 } } + \frac { 1 } { r _ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \frac { \epsilon } { T _ { 2 } } \left( e ^ { \frac { \epsilon } { T _ { 2 } } } - 1 \right) \ln \left( \frac { r _ { 1 } + r _ { 2 } e ^ { \frac { \epsilon } { T _ { 2 } } } } { r _ { 1 } + r _ { 2 } } \right) } \\ & { : = \langle \dot { \sigma } \rangle ^ { \dagger } ( T _ { 2 } ) \geq 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p } & { = { \frac { 5 a c - 2 b ^ { 2 } } { 5 a ^ { 2 } } } } \\ { q } & { = { \frac { 2 5 a ^ { 2 } d - 1 5 a b c + 4 b ^ { 3 } } { 2 5 a ^ { 3 } } } } \\ { r } & { = { \frac { 1 2 5 a ^ { 3 } e - 5 0 a ^ { 2 } b d + 1 5 a b ^ { 2 } c - 3 b ^ { 4 } } { 1 2 5 a ^ { 4 } } } } \\ { s } & { = { \frac { 3 1 2 5 a ^ { 4 } f - 6 2 5 a ^ { 3 } b e + 1 2 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } d - 2 5 a b ^ { 3 } c + 4 b ^ { 5 } } { 3 1 2 5 a ^ { 5 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \sqrt { I + n + 1 } ( R _ { I , n } ^ { + } - \widehat { R } _ { I , n } ^ { + } ) _ { 2 } ^ { ( 1 ) } | \left( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { + } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) \overset { d } { \longrightarrow } \left\langle \mathcal { Q } _ { I , \infty } , \mathbf { Y } _ { \infty } ^ { ( 1 ) } \right\rangle \sim \mathcal { G } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \mathcal { L } _ { \phi _ { t } } } { \partial \dot { x } _ { i } } \right) - \frac { \partial \mathcal { L } _ { \phi _ { t } } } { \partial x _ { i } } = \rho \dot { y } _ { i } \biggr [ \underset { i \neq j } { \sum _ { j } } \left( I _ { x _ { i j } } - I _ { y _ { i j } } \right) - \Gamma _ { i } \biggr ] .
\frac { P _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \mathrm { i } } ) } { P _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \infty } ) } \approx \frac { c _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \mathrm { i } } ) } { c _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \infty } ) } \approx 1 - \frac { M _ { \mathrm { w } } \cdot \Delta H _ { \mathrm { v a p } } } { { \cal R } } \frac { T _ { \infty } - T _ { \mathrm { i } } } { T _ { \infty } ^ { 2 } } .
W = \left[ \begin{array} { l l l l } { W _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } } & & & { W _ { x _ { 1 } u } } \\ & { \ddots } & & { \vdots } \\ & & { W _ { x _ { N } x _ { N } } } & { W _ { x _ { N } u } } \\ { W _ { u x _ { 1 } } } & { \hdots } & { W _ { u x _ { N } } } & { W _ { u u } } \end{array} \right] , \quad G = \left[ \begin{array} { l l l l } { G _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } } & & & { G _ { u } ^ { 1 } } \\ & { \ddots } & & { \vdots } \\ & & { G _ { x _ { N } } ^ { N } } & { G _ { u } ^ { N } } \end{array} \right] \; .
\hat { L } ( t ) = l _ { 0 } ( t ) \mathbf { 1 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 } { n ! } \right) ^ { 2 } l _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ( t ) ( \hat { E } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ) ^ { \dagger }
\begin{array} { r l } { X _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } } & { { } = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \left( \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } x _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } \cos \left[ { \frac { \pi } { N _ { 2 } } } \left( n _ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) k _ { 2 } \right] \right) \cos \left[ { \frac { \pi } { N _ { 1 } } } \left( n _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) k _ { 1 } \right] } \end{array}
\dot { \ell } _ { \widehat { m } } ^ { \left[ V \right] } \sim V _ { o } ^ { 1 / 2 } \varDelta \gamma ^ { 1 / 2 } / \left( E ^ { \prime 1 / 6 } \mu ^ { \prime 1 / 3 } t ^ { 2 / 3 } \right) \propto t ^ { 1 / 3 }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } \left| { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \theta ^ { \mathsf { T } } ( { \Sigma } - \widehat { \Sigma } ) \theta \right| } \\ & { \leqslant \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \left| \sqrt { \theta ^ { \top } { \Sigma } \theta } - \sqrt { \theta ^ { \top } \widehat { \Sigma } \theta } \right| \left| \sqrt { \theta ^ { \top } { \Sigma } \theta } + \sqrt { \theta ^ { \top } \widehat { \Sigma } \theta } \right| } \\ & { \leqslant c _ { 1 } \sqrt { \| \Sigma \| } \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \left| \sqrt { \theta ^ { \top } { \Sigma } \theta } - \sqrt { \theta ^ { \top } \widehat { \Sigma } \theta } \right| } \\ & { \leqslant c _ { 1 } \sqrt { \| \Sigma \| } \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \left| \operatorname { M e d } \left( | \langle X _ { 1 } , \theta \rangle | , \ldots , | \langle X _ { N } , \theta \rangle | \right) / ( \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) ) - \sqrt { \theta ^ { \top } \widehat { \Sigma } \theta } \right| } \\ & { \qquad + c _ { 1 } \sqrt { \| \Sigma \| } \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \left| \operatorname { M e d } \left( | \langle X _ { 1 } , \theta \rangle | , \ldots , | \langle X _ { N } , \theta \rangle | \right) / ( \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) ) - \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \right| } \\ & { \leqslant 2 c _ { 1 } \sqrt { \| \Sigma \| } \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \left| \operatorname { M e d } \left( | \langle X _ { 1 } , \theta \rangle | , \ldots , | \langle X _ { N } , \theta \rangle | \right) / ( \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) ) - \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \int _ { \Omega } \theta u \cdot \nabla \eta } & { { } = \frac { 1 } { \delta } \int _ { 0 } ^ { \Gamma } \int _ { h ( y _ { 1 } ) } ^ { h ( y _ { 1 } ) + \delta } \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \theta u \cdot n _ { - } \ d y _ { 2 } \ d y _ { 1 } } \end{array}
\frac { \| r ( \hat { \sigma } _ { i } ^ { ( k ) } , \hat { u } _ { i } ^ { ( k ) } , \hat { v } _ { i } ^ { ( k ) } ) \| } { \| A \| } = \frac { \| r _ { i , C } ^ { ( k ) } \| } { \hat { \sigma } _ { i } ^ { ( k ) } \| A \| } \leq \frac { \| r _ { C } ^ { ( k ) } \| } { \hat { \sigma } _ { i } ^ { ( k ) } \| A \| } \leq \frac { 2 \| A \| } { \hat { \sigma } _ { i } ^ { ( k ) } } \epsilon _ { k } \sim \frac { \| A \| } { \sigma _ { i } } \mathcal { O } ( \epsilon _ { \mathrm { m a c h } } )
\begin{array} { r l } { f _ { B ^ { - } } ( x ) } & { = f ( x - 2 B ) + f ( x - 2 B - 2 A ) + f ( x - 2 B - 2 A - 2 B ) + . . . = } \\ & { = f ( x - 2 ( x - ( - L ) ) ) + f ( x - 2 ( x - ( - L ) ) - 2 ( L - x ) ) + . . . } \\ & { = f ( - x - 2 L ) + f ( x - 4 L ) + f ( - x - 6 L ) + . . . } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } f ( ( - 1 ) ^ { k } x - 2 k L ) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { ( ( - 1 ) ^ { k } x - 2 k L ) - x _ { 0 } } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( M \varphi ) ( \boldsymbol { X } ) = } & { \varphi ^ { \prime } ( \boldsymbol { X } ) ( A \boldsymbol { X } + \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { X } , \varphi ( \boldsymbol { X } ) ) } \\ & { - B \varphi ( \boldsymbol { X } ) - \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { \varphi } ( \boldsymbol { X } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { h } ( \, \mathrm { d } \varphi _ { h } ) } & { = \frac { 1 } { Z _ { h } } \exp \left( - \frac 1 2 \| \varphi _ { h } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } \right) \prod _ { x \in \Omega _ { h } } \, \mathrm { d } \varphi _ { h } ( x ) \prod _ { x \in h \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \Omega _ { h } } \delta _ { 0 } ( \, \mathrm { d } \varphi _ { h } ( x ) ) } \\ & { = \frac { 1 } { Z _ { h } } \exp \left( - \frac 1 2 \sum _ { x \in \Omega _ { h } } h ^ { d } \varphi _ { h } ( x ) ( - \Delta _ { h } ) ^ { s } \varphi _ { h } ( x ) \right) \prod _ { x \in \Omega _ { h } } \, \mathrm { d } \varphi _ { h } ( x ) \prod _ { x \in h \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \Omega _ { h } } \delta _ { 0 } ( \, \mathrm { d } \varphi _ { h } ( x ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } : d \bigl ( u ; G , F \bigl ) } & { { } = 1 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ u ~ \in ~ [ ~ 0 ~ , ~ 1 ~ ] ~ } , \quad \mathrm { ~ v ~ e ~ r ~ s ~ u ~ s ~ } } \\ { \quad H _ { 1 } : d \bigl ( u ; G , F \bigl ) } & { { } \neq 1 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ o ~ m ~ e ~ u ~ \in ~ [ ~ 0 ~ , ~ 1 ~ ] ~ } } \end{array}
( t \partial _ { z } + z ^ { - 1 } ( D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { + } D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { - } - 2 \jmath _ { 0 } D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { 0 } ) ) - ( \tilde { J } ^ { + } ( z ) D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { - } + 2 \tilde { J } ^ { 0 } ( z ) D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { 0 } + \tilde { J } ^ { - } ( z ) D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { + } )
\begin{array} { r } { \bar { \Sigma } _ { 1 } : \dot { \bar { x } } ( t ) = \hat { A } _ { 1 } \vec { \circ } \bar { x } ( t ) + \bar { B } _ { 1 } u _ { 1 } ( t ) , \quad \bar { x } \in \bar { \mathbb { R } } ^ { p } , } \\ { \bar { \Sigma } _ { 2 } : \dot { \bar { y } } ( t ) = \hat { A } _ { 2 } \vec { \circ } \bar { y } ( t ) + \bar { B } _ { 2 } u _ { 2 } ( t ) , \quad \bar { y } \in \bar { \mathbb { R } } ^ { q } , } \end{array}
R _ { c o n t } ( s ) = 2 \theta ( s - s _ { 1 } ) + \frac { 4 } { 3 } \theta ( s - 4 m _ { c } ^ { 2 } ) ( 1 + \frac { 2 m _ { c } ^ { 2 } } { s } ) \sqrt { ( 1 - \frac { 4 m _ { c } ^ { 2 } } { s } ) } + \frac { 1 } { 3 } \theta ( s - 4 m _ { b } ^ { 2 } ) ( 1 + \frac { 2 m _ { b } ^ { 2 } } { s } ) \sqrt { ( 1 - \frac { 4 m _ { b } ^ { 2 } } { s } ) }
\begin{array} { l l } { { I } } & { { \mathrm { L a r g e \; m i x i n g \; f r o m } \; M _ { \nu } } } \\ { { } } & { { ( 1 ) \; \; \mathrm { N o n \; s e e \; s a w } } } \\ { { } } & { { ( 2 ) \; \; \mathrm { S e e \; s a w } } } \\ { { } } & { { \; \; \; \; \; \mathrm { A . \; L a r g e \; m i x i n g \; f r o m } \; M _ { R } } } \\ { { } } & { { \; \; \; \; \; \mathrm { B . \; L a r g e \; m i x i n g \; f r o m } \; N } } \\ { { } } & { { \; \; \; \; \; \mathrm { C . \; L a r g e \; m i x i n g \; f r o m } \; - N ^ { T } M _ { R } ^ { - 1 } N } } \\ { { I I } } & { { \mathrm { L a r g e \; m i x i n g \; f r o m } \; L } } \\ { { } } & { { ( 1 ) \; \; \mathrm { C K M \; s m a l l \; b y \; c a n c e l l a t i o n } } } \\ { { } } & { { ( 2 ) \; \; \mathrm { l o p s i d e d } \; L . } } \end{array}
\bigl | \big \langle | f | ^ { 2 } | g \circ X ^ { - 1 } | ^ { 2 } \big \rangle - \bigl \langle | f | ^ { 2 } \bigr \rangle \, \bigl \langle | g | ^ { 2 } \bigr \rangle \bigr | \leq C C _ { f } ^ { 2 } \, \bigl \langle | g | ^ { 2 } \bigr \rangle \exp \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( - \frac { N r } { C R ( r + d C _ { X } ) } \aftergroup \egroup \right) .
\begin{array} { r } { e ^ { - \bar { \epsilon } } \ \textbf { p d f } \big ( z _ { p \ell } ^ { t , e + 1 } ( \mathcal { D } _ { p } ^ { \prime } ) = \psi \big ) \leq \textbf { p d f } \big ( z _ { p \ell } ^ { t , e + 1 } ( \mathcal { D } _ { p } ) = \psi \big ) \leq e ^ { \bar { \epsilon } } \ \textbf { p d f } \big ( z _ { p \ell } ^ { t , e + 1 } ( \mathcal { D } _ { p } ^ { \prime } ) = \psi \big ) , \ \forall \psi \in \mathbb { R } ^ { J \times K } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { r = 0 } ^ { + \infty } c _ { d } c _ { 1 } ^ { \prime } ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ^ { d } e ^ { - a _ { \mathrm { l r } } ( \delta _ { 1 } + r ) / 2 } \, d r } & { { } = c _ { 1 } ^ { \prime } c _ { d } e ^ { - a _ { \mathrm { l r } } \delta _ { 1 } / 2 } \int _ { r = 0 } ^ { + \infty } ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ^ { d } e ^ { - a _ { \mathrm { l r } } r / 2 } \, d r } \end{array}
\lambda \Phi _ { t } = \nabla . ( \beta \nabla \Phi ) + \kappa \Phi - f + b \delta \{ ( x - x ^ { * } ) ( y - y ^ { * } ) \} \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \times ( 0 , \infty ) , \quad ( x ^ { * } , y ^ { * } ) \in \Gamma
\begin{array} { r l } { \bigoplus _ { \infty } \mathcal { L } \big ( X _ { n } , \mathcal { P } _ { J _ { k } ^ { \flat } } ( X _ { n } ) \big ) } & { \hookrightarrow \bigoplus _ { \infty } \mathcal { L } \big ( X _ { n } , \bigoplus _ { \infty } \mathcal { P } _ { J _ { k } ^ { \flat } } ( X _ { n } ) \big ) } \\ & { = \ell _ { \infty } ^ { m } \otimes _ { \varepsilon } \big [ X _ { n } ^ { \ast } \otimes _ { \varepsilon } \bigoplus _ { \infty } \mathcal { P } _ { J _ { k } ^ { \flat } } ( X _ { n } ) \big ] } \\ & { = \big [ \ell _ { \infty } ^ { m } \otimes _ { \varepsilon } X _ { n } ^ { \ast } \big ] \otimes _ { \varepsilon } \bigoplus _ { \infty } \mathcal { P } _ { J _ { k } ^ { \flat } } ( X _ { n } ) } \\ & { = \big ( \ell _ { 1 } ^ { m } \otimes _ { \pi } X _ { n } \big ) ^ { \ast } \otimes _ { \varepsilon } \bigoplus _ { \infty } \mathcal { P } _ { J _ { k } ^ { \flat } } ( X _ { n } ) = \mathcal { L } \big ( \ell _ { 1 } ^ { m } ( X _ { n } ) , \bigoplus _ { \infty } \mathcal { P } _ { J _ { k } ^ { \flat } } ( X _ { n } ) \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { n } _ { c } ^ { i } } & { = } & { \nu _ { s } ^ { i } \left[ ( 1 - 2 \alpha ) ( n _ { l } ^ { i } + n _ { r } ^ { i } ) - 2 \alpha n _ { c } ^ { i } \right] } \\ & { } & { - ( \nu _ { R F , c l } + \nu _ { R F , c r } ) n _ { c } ^ { i } + \nu _ { R F , l c } n _ { l } ^ { i } + \nu _ { R F , r c } n _ { r } ^ { i } } \\ { \dot { n } _ { l } ^ { i } } & { = } & { \nu _ { s } ^ { i } \left[ \alpha ( n _ { r } ^ { i } + n _ { c } ^ { i } ) - ( 1 - \alpha ) n _ { l } ^ { i } \right] - \nu _ { t } ^ { i } n _ { l } ^ { i } + \nu _ { t } ^ { i + 1 } n _ { l } ^ { i + 1 } } \\ & { } & { - \nu _ { R F , l c } n _ { l } ^ { i } + \nu _ { R F , c l } n _ { c } ^ { i } } \\ { \dot { n } _ { r } ^ { i } } & { = } & { \nu _ { s } ^ { i } \left[ \alpha ( n _ { l } ^ { i } + n _ { c } ^ { i } ) - ( 1 - \alpha ) n _ { r } ^ { i } \right] - \nu _ { t } ^ { i } n _ { r } ^ { i } + \nu _ { t } ^ { i - 1 } n _ { r } ^ { i - 1 } } \\ & { } & { - \nu _ { R F , r c } n _ { r } ^ { i } + \nu _ { R F , c r } n _ { c } ^ { i } \; } \end{array}
_ { g h } = - i \ln { \it d e t } \left( g _ { \mu \nu } \nabla ^ { 2 } + R _ { \mu \nu } \right) - i \ln { \it d e t } \left( ( f _ { 1 } + f _ { 2 } + 4 f _ { 3 } ) g _ { \mu \nu } ( - g ) ^ { \alpha } \right)
\begin{array} { r l } { X ^ { ( 6 ) } } & { = - i e ^ { i \pi J _ { x } ^ { ( 6 ) } } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \sin t } { t } } \, d t } & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s t } { \frac { \sin t } { t } } \, d t = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } { \mathcal { L } } \left[ { \frac { \sin t } { t } } \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \int _ { s } ^ { \infty } { \frac { d u } { u ^ { 2 } + 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \arctan u { \Biggr | } _ { s } ^ { \infty } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \left[ { \frac { \pi } { 2 } } - \arctan ( s ) \right] = { \frac { \pi } { 2 } } . } \end{array} }
f _ { i , p } \left( \mathbf { x } + \mathbf { c } _ { i } \Delta t , t + \Delta t \right) = f _ { i , p } \left( \mathbf { x } , t \right) - \Lambda _ { i j } ^ { p } \left[ f _ { i , p } \left( \mathbf { x } , t \right) - f _ { i , p } ^ { e q } \left( \mathbf { x } , t \right) \right] + \Delta t \left( \delta _ { i j } - \frac { \Lambda _ { i j } ^ { p } } { 2 } \right) R _ { j , p } \left( \mathbf { x } , t \right) , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 1 \leq p \leq N ,
\mathcal { L } _ { s p } = \frac { \mathcal { L } } { N _ { b } I _ { b + } I _ { b - } } \approx \frac { 1 } { 2 \pi e ^ { 2 } f \Sigma _ { y } \Sigma _ { z } \tan \frac { \theta _ { c } } { 2 } } ,
P ( x , y ) = I _ { 1 } \mathrm { e x p } \left( - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \right) ^ { 6 } + I _ { 2 } \mathrm { e x p } \left( - \left| \frac { x ^ { 2 } } { \omega _ { x } ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { \omega _ { y } ^ { 2 } } \right| \right) ^ { 2 }
\left| ~ _ { y ^ { + } } { } ^ { C } D _ { 2 R e _ { \tau } } ^ { ( \alpha , { \lambda } ) } f ( x ) ~ ~ - ~ ~ { } _ { y ^ { + } } { } ^ { C } D _ { 2 R e _ { \tau } } ^ { ( \alpha , { \delta ^ { + } } ) } f ( x ) ~ \right| < \epsilon
\begin{array} { r l } { a _ { 1 s } } & { { } = \frac { ( - i \Delta _ { a } + \kappa _ { 2 } ) ( - i g _ { m a } m _ { s } + \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { l } ) } { ( i \Delta _ { a } + \kappa _ { 1 } ) ( - i \Delta _ { a } + \kappa _ { 2 } ) - J ^ { 2 } } , } \\ { m _ { s } } & { { } = \frac { - i g _ { m a } a _ { 1 s } } { i \Delta _ { m } ^ { \prime } + \kappa _ { m } } , } \\ { b _ { s } } & { { } = \frac { - i g _ { m b } | m _ { s } | ^ { 2 } } { i \omega _ { b } + \kappa _ { b } } , } \\ { a _ { 2 s } } & { { } = \frac { i J a _ { 1 s } } { ( - i \Delta _ { a } + \kappa _ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { T _ { \beta } ^ { \alpha } \, | u \rangle = { \cal T } _ { \beta } ^ { \alpha } ( u ) \, | u \rangle } } \\ { { { \cal T } _ { \beta } ^ { \alpha } ( u ) = N \left( u ^ { \alpha } \bar { u } _ { \beta } - { \frac { 1 } { m } } \delta _ { \beta } ^ { \alpha } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { \left[ \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) \beta _ { \bar { N } } \leq 3 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } \right] = \mathbb { P } \left[ \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) \leq 3 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } \beta _ { \bar { N } } ^ { - 1 } \right] } \\ & { = \mathbb { P } \left[ - \Gamma ( \omega ) \leq \log \left( 3 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } \beta _ { \bar { N } } ^ { - 1 } \right) \right] = \mathbb { P } \left[ \Gamma ( \omega ) \geq \log \left( \frac { \beta _ { \bar { N } } } { 3 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } } \right) \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l r } { { 9 } \, } & { } & { { \mathcal { D } } ( U \times V ) } & { \to \, } & & { { \mathcal { D } } ( V ) } & & { \quad { \mathrm { ~ a n d ~ } } \quad } & & { \, } & { { \mathcal { D } } ( U \times V ) } & { } & { \to \, } & { } & { { \mathcal { D } } ( U ) } \\ & { } & { f \ } & { \mapsto \, } & & { \langle S , f ^ { \bullet } \rangle } & & { } & & { } & { f \ } & { } & { \mapsto \, } & { } & { \langle T , f _ { \bullet } \rangle } \end{array} }
\begin{array} { r l } { J \circ \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } } : \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \mapsto \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) } & { { } = B ( \tau , q / a ) * _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ } } \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \delta ( q / a - n ) \ \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( \tau , n ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 + x ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } x - { \frac { 1 } { 8 } } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 1 6 } } x ^ { 3 } - { \frac { 5 } { 1 2 8 } } x ^ { 4 } + { \frac { 7 } { 2 5 6 } } x ^ { 5 } - \ldots , } \\ { ( 1 + x ) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { } = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } x + { \frac { 3 } { 8 } } x ^ { 2 } - { \frac { 5 } { 1 6 } } x ^ { 3 } + { \frac { 3 5 } { 1 2 8 } } x ^ { 4 } - { \frac { 6 3 } { 2 5 6 } } x ^ { 5 } + \ldots . } \end{array}
V _ { \mathrm { 3 b } } ^ { \mathrm { l r } } = C _ { 9 } ( 1 + \cos \alpha _ { 1 } \cos \alpha _ { 2 } \cos \alpha _ { 3 } ) / ( r _ { 1 } ^ { 3 } r _ { 2 } ^ { 3 } r _ { 3 } ^ { 3 } )
\begin{array} { r l } { \beta \frac { \kappa _ { 1 , \sigma } ( w _ { u } , w _ { v } ) } { \| x _ { u } - x _ { v } \| ^ { d } } } & { \le \beta C _ { \beta } ^ { - \gamma d ( \sigma + 1 ) } \frac { \operatorname* { m a x } \{ ( 1 - \nu ) t , \nu t \} ^ { \gamma d } \operatorname* { m i n } \{ ( 1 - \nu ) t , \nu t \} ^ { \sigma \gamma d } } { t ^ { d } } \le \beta C _ { \beta } ^ { - \gamma d ( \sigma + 1 ) } t ^ { d ( \gamma ( \sigma + 1 ) - 1 ) } . } \end{array}
f = { \frac { a _ { e } - a _ { p } } { a } } = { \frac { 5 } { 4 } } { \frac { \omega ^ { 2 } a ^ { 3 } } { G M } } = { \frac { 1 5 \pi } { 4 } } { \frac { 1 } { G T ^ { 2 } \rho } }