harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { 0 } } \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } U _ { n } ( f ) - \mathbb { E } \big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } U _ { n } ( f ) \big ) \geq 1 / 2 M ( i , j ) \Big ) } \\ { \leq } & { \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { 0 } } T _ { 1 } \exp \Big \{ - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \Big ( \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ( 2 ^ { i - 1 } ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } - ( \lambda _ { n } J _ { 0 } ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ( 2 ^ { j - 1 } - 1 ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } \Big ) \Big \} } \\ { \leq } & { \sum _ { i = 2 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } T _ { 1 } \exp \Big \{ - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \Big ( \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } i - ( \lambda _ { n } J _ { 0 } ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ( j - 1 ) \big ) \Big ) \Big \} } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } T _ { 1 } \exp \Big \{ \Big ( - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \Big ( \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } - ( \lambda _ { n } J _ { 0 } ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ( j - 1 ) \Big ) \Big \} } \\ { \leq } & { T _ { 1 } \frac { \exp ( - 2 T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ) } { 1 - \exp ( - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ) ) } \frac { 1 } { 1 - \exp ( - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) ) ( \lambda _ { n } J _ { 0 } ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ) } } \\ & { + T _ { 1 } \exp ( - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ) \frac { 1 } { 1 - \exp ( - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) ) ( \lambda _ { n } J _ { 0 } ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } ) } } \\ { \leq } & { 6 T _ { 1 } \exp \Big ( - T _ { 6 } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \delta _ { n } ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { W _ { ( \mathcal { C } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } ) = \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } ^ { \bot } } f ( \boldsymbol { u } ) = \frac { 1 } { | \mathcal { C } | } \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } } \hat { f } ( \boldsymbol { u } ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { | \mathcal { C } | } \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } } \sum _ { ( \boldsymbol { v _ { 1 } , v _ { 2 } } ) \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { n } } \chi ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { v } ) x ^ { ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } , \pi ) } ( \boldsymbol { v } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } , \pi ) } ( \boldsymbol { v } ) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { | \mathcal { C } | } \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } } \sum _ { \boldsymbol { v } \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { n } } \chi ( \boldsymbol { u _ { 1 } } \cdot \boldsymbol { v _ { 1 } } ) \chi ( \boldsymbol { u _ { 2 } } \cdot \boldsymbol { v _ { 2 } } ) x ^ { ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 1 } } ) - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } , \pi _ { 2 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 2 } } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 1 } } ) + w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } , \pi _ { 2 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 2 } } ) } } \\ & { = } & { \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { 1 } { | \mathcal { C } _ { i } | } \sum _ { \boldsymbol { u _ { i } } \in \mathcal { C } _ { i } } \sum _ { \boldsymbol { v _ { i } } \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { n _ { i } } } \chi ( \boldsymbol { u _ { i } } \cdot \boldsymbol { v _ { i } } ) x ^ { s _ { i } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { i } , \pi _ { i } ) } ( \boldsymbol { v _ { i } } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { i } , \pi _ { i } ) } ( \boldsymbol { v _ { i } } ) } } \\ & { = } & { W _ { ( \mathcal { C } _ { 1 } ^ { \bot } , \pi _ { 1 } ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } ) W _ { ( \mathcal { C } _ { 2 } ^ { \bot } , \pi _ { 2 } ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } _ { 2 } ) . } \end{array}
s _ { X } ( T ) = s _ { X } ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { T } \left( \lambda _ { X } \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \lambda _ { \overline { { X } } } \frac { s _ { X } ( t ) } { s _ { \overline { { X } } } ( t ) } \langle \eta _ { t } ^ { \overline { { X } } } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \beta _ { G } \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } s _ { X } ( t ) \right) d t .
\begin{array} { r l } { \langle z - ( x + \gamma _ { S } ( x ) \eta ^ { S } ) , x - ( x + \gamma _ { S } ( x ) \eta ^ { S } ) \rangle } & { = \langle z - x - \gamma _ { S } ( x ) \eta ^ { S } , - \gamma _ { S } ( x ) \eta ^ { S } \rangle } \\ & { = - \gamma _ { S } ( x ) \left( \langle z , \eta ^ { S } \rangle - \langle x , \eta ^ { S } \rangle - \gamma _ { S } ( x ) \langle \eta ^ { S } , \eta ^ { S } \rangle \right) } \\ & { = - \gamma _ { S } ( x ) \left( z ( S ) - x ( S ) - \gamma _ { S } ( x ) \lVert \eta ^ { S } \rVert ^ { 2 } \right) } \\ & { = - \gamma _ { S } ( x ) \left( e ( S , x ) - e ( S , x ) \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { = - \frac { \alpha ^ { 2 } } \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \omega ^ { 2 } \, \alpha _ { 1 } ^ { 3 } ( \mathrm { i } \omega ) ~ d \omega , } \\ { Z _ { 2 , 3 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { = - \frac { \alpha ^ { 2 } } \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \omega ^ { 2 } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ( \mathrm { i } \omega ) \alpha _ { 2 } ( \mathrm { i } \omega ) ~ d \omega , } \\ { Z _ { 4 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { = - \frac { \alpha ^ { 2 } } \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \omega ^ { 2 } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ( \mathrm { i } \omega ) \beta _ { 1 } ^ { - } ( \mathrm { i } \omega ) ~ d \omega , } \end{array}
\lambda f ( \kappa ) = \bar { \alpha } \int _ { \kappa _ { m i n } } ^ { \kappa } f ( \kappa ^ { \prime } ) d \kappa ^ { \prime } + e ^ { ( \lambda + 1 ) \kappa } \int _ { \kappa } ^ { \kappa _ { m a x } } \bar { \alpha } f ( \kappa ^ { \prime } ) e ^ { - ( \lambda + 1 ) \kappa ^ { \prime } } d \kappa ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \gamma \left( x _ { t } \right) + \chi \left( x _ { t } \right) \nabla \gamma \left( x _ { t } \right) } & { = \nu \Delta \gamma \left( x _ { t } \right) + \psi \left( x _ { t } \right) , } \\ & { x _ { t } \in \left( 0 , 1 \right) ^ { 2 } \times \left( 0 , \infty \right) , } \\ { \nabla \chi \left( x _ { t } \right) } & { = 0 , \; x _ { t } \in \left( 0 , 1 \right) ^ { 2 } \times \left( 0 , \infty \right) , } \\ { \gamma \left( x _ { 0 } \right) } & { = \gamma _ { I } , \; x _ { 0 } \in \left( 0 , 1 \right) \times \{ 0 \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { \varepsilon } ( x , t ) = } & { { } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , x ) \hat { \omega ^ { \varepsilon } } ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } p _ { \nu } ( s , \eta , t , x ) \hat { F } ( \eta , s ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { f } } { \rho _ { p } ^ { 2 } } } & { \approx } & { a \, \epsilon _ { f } ^ { D T } \, \frac { n _ { D } \, n _ { T } } { m _ { p } ^ { 2 } \, n _ { p } ^ { 2 } } \, u _ { D T } \, \sigma _ { R 0 } ^ { D T } } \\ & { } & { + a \, \epsilon _ { f } ^ { p B } \, \frac { n _ { p } \, n _ { B } } { m _ { p } ^ { 2 } \, n _ { p } ^ { 2 } } \, u _ { p B } \, \sigma _ { R 0 } ^ { p B } \, , } \end{array}
C _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { K _ { 1 1 } ^ { p q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { 1 i } ^ { p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { 1 i } ^ { p q } ) } } & { \cdots } & { \frac { K _ { M 1 } ^ { p q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { M i } ^ { p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { M i } ^ { p q } ) } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \frac { K _ { 1 N } ^ { p q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { 1 i } ^ { p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { 1 i } ^ { p q } ) } } & { \cdots } & { \frac { K _ { M N } ^ { p q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { M i } ^ { p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { M i } ^ { p q } ) } } \end{array} \right) ,
\mathrm { I m } A = 4 \pi ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } \sum _ { m } \int ~ d ^ { D } Q ~ \Pi ( Q ) B _ { L , m } B _ { R , \tilde { m } } \delta \left( ( P Q ) + 2 ( Q L ) + 4 m \right) \delta \left( Q ^ { 2 } \right) \, ,
\frac { R e _ { S } ^ { \mathrm { e f f } } ( t ) } { R e _ { \Gamma _ { 0 } } } = - \frac { \Phi _ { S } ( t ) } { d K / d t } , \quad \quad \frac { R e _ { W } ^ { \mathrm { e f f } } ( t ) } { R e _ { \Gamma _ { 0 } } } = - \frac { \Phi _ { W } ( t ) } { d K / d t } ,
H ^ { 1 } ( X , { \mathcal { O } } _ { X } ) \longrightarrow H ^ { 1 } ( X , { \mathcal { O } } _ { X } ^ { * } ) \longrightarrow H ^ { 2 } ( X , \mathbb { Z } ) \longrightarrow H ^ { 2 } ( X , { \mathcal { O } } _ { X } )
\begin{array} { r l } & { B _ { h } ( x , l ) = \left. \left\{ y = x + k ( x - \frac { x } { | x | } e ^ { \psi i } ) \, \right| \, \psi \in [ 0 , 2 \pi ) , \quad 0 \leq k < k _ { 1 } ( \psi ) \vphantom { \frac { 1 } { 1 } } \right\} , } \\ & { k _ { 1 } ( \psi ) = \frac { ( 1 - | x | ^ { 2 } ) ( e ^ { l } - 1 ) } { 1 - | x | ^ { 2 } + e ^ { l } ( 1 + | x | ^ { 2 } - 2 | x | \cos ( \psi ) ) } } \end{array}
[ g _ { C + i } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ] ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { A ^ { - 1 } + A ^ { - 1 } B \left( D - C A ^ { - 1 } B \right) ^ { - 1 } C A ^ { - 1 } } & { - A ^ { - 1 } B \left( D - C A ^ { - 1 } B \right) ^ { - 1 } } \\ { - \left( D - C A ^ { - 1 } B \right) ^ { - 1 } C A ^ { - 1 } } & { \left( D - C A ^ { - 1 } B \right) ^ { - 1 } } \end{array} \right] ,
\frac { d E _ { z } } { d \xi } = D ^ { \prime } \left( r _ { b } \right) r _ { b } \frac { d ^ { 2 } r _ { b } } { d \xi ^ { 2 } } + F ^ { \prime } \left( r _ { b } \right) \left( \frac { d r _ { b } } { d \xi } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { R _ { \mathrm { e f f } } } { R _ { 0 } } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { \mu R _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { a _ { \mathrm { t w } } } { R _ { 0 } } \right) ^ { 2 \ell } } } \end{array}
{ \boldsymbol { I } } _ { \boldsymbol { D } } = \iint _ { \mathcal { S } } { \boldsymbol { J } } _ { \boldsymbol { D } } \cdot \operatorname { d } \! { \boldsymbol { S } } = \iint _ { \mathcal { S } } { \frac { \partial { \boldsymbol { D } } } { \partial t } } \cdot \operatorname { d } \! { \boldsymbol { S } } = { \frac { \partial } { \partial t } } \iint _ { \mathcal { S } } { \boldsymbol { D } } \cdot \operatorname { d } \! { \boldsymbol { S } } = { \frac { \partial \Phi _ { D } } { \partial t } }
\begin{array} { r l r } & { } & { L I S ( \sigma ) \geq 2 \sqrt { n } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \Big ( \int _ { Q _ { \Gamma _ { 0 } , l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } - C ^ { \prime } ( T ^ { - 4 } n ^ { 1 \slash 2 } + T ^ { 1 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) } \\ & { } & { \quad \quad - C ^ { \prime } T ^ { - 1 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } ( x _ { l } ( \Gamma _ { 0 } ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma _ { 0 } ) + y _ { l } ( \Gamma _ { 0 } ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma _ { 0 } ) ) } \\ & { } & { \geq 2 \sqrt { n } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \Big ( \int _ { Q _ { \Gamma _ { 0 } , l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } - C ^ { \prime } ( T ^ { - 1 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } + T ^ { 1 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } ( 0 , 0 , 0 ) } & { = } & { 2 \Big \langle \frac { 1 } { \sigma _ { y } / \sigma _ { x } + 1 } \Big \rangle _ { s } \Delta \nu _ { x , S C } , \; \; \; \; \Delta \nu _ { y } ( 0 , 0 , 0 ) = 2 \Big \langle \frac { 1 } { \sigma _ { X } / \sigma _ { y } + 1 } \Big \rangle _ { s } \Delta \nu _ { y , S C } } \end{array}
T _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] = \gamma \frac { \partial E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] } { \partial \gamma } - E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] \geq 0 \, .
d { \cal H } = - { \frac { 1 } { 2 } } d \bar { \theta } \psi ^ { 2 } d \theta \rightarrow - { \frac { 1 } { 2 } } d \bar { \theta } \psi ^ { 2 } d \theta + d \bar { \theta } \Gamma _ { 1 1 } \psi d \theta C ,
\mathcal M _ { 1 } : = \int _ { \mathcal D _ { 2 } } \bigg | \sum _ { ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \in \mathbb Z _ { L } ^ { 2 d } } \chi _ { 0 } ( { x _ { 1 } - a _ { 1 } } ) \chi _ { 0 } ( { y _ { 1 } - b _ { 1 } } ) e ^ { \pi i \left[ x _ { 1 } \cdot \xi _ { 1 } + y _ { 1 } \cdot \rho _ { 1 } + \delta L ^ { 2 \gamma } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } ) ( x _ { 1 } \cdot y _ { 1 } ) + \delta L ^ { 2 \gamma } t _ { 1 } r \cdot \zeta _ { 1 } \right] } \bigg | \, \mathrm { d } t _ { 1 } \mathrm { d } s _ { 1 }
\begin{array} { r l } { F _ { \mathbb { E } _ { \xi } \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q _ { t } ) - F _ { \mathbb { E } _ { \xi } \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q ) = } & { F _ { \mathbb { E } _ { \xi } \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q _ { t } ) - F _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { \bar { \xi } _ { n } } } ^ { y } ( q _ { t } ) + F _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { \bar { \xi } _ { n } } } ^ { y } ( q ) - F _ { \mathbb { E } _ { \xi } \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q ) } \\ & { + \underbrace { F _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { \bar { \xi } _ { n } } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) - F _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { \bar { \xi } _ { n } } } ^ { y } ( q ) + F _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { \bar { \xi } _ { n } } } ^ { y } ( q _ { t } ) - F _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { \bar { \xi } _ { n } } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) } _ { \mathrm { a } } } \\ { \underset { \mathrm { b } } { \leq } } & { \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { n } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { n } } ^ { y } ( q ) + \tau _ { t } \left[ \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } ^ { * } | | q _ { t - 1 } ^ { * } ) \right] } \\ & { - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ^ { * } ) + \left[ \lambda _ { 2 } + \frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { q _ { t } ^ { * } } } \right] \delta _ { t , 2 } + \left[ 1 2 + \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( q _ { t } ^ { * } ) } { \sqrt { \alpha _ { q _ { t } ^ { * } } } } \right] \sqrt { \delta _ { t , 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) = \sum _ { j = - 1 } ^ { 1 } \frac { A _ { j } } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } \biggl ( } & { \cos ( \mathrm { u } _ { j } + \phi _ { \mathrm { c e p } } ) \boldsymbol { e } _ { x } } \\ { + \epsilon \Lambda } & { \sin ( \mathrm { u } _ { j } + \phi _ { \mathrm { c e p } } ) \boldsymbol { e } _ { y } \biggr ) , } \end{array}
| \nu _ { e } ( t ) \rangle \equiv e ^ { - i H t } | \nu _ { e } ( 0 ) \rangle = e ^ { - i \omega _ { 1 } t } \left( \cos \theta \; | \nu _ { 1 } \rangle \; + \; e ^ { - i ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) t } \; \sin \theta \; | \nu _ { 2 } \rangle \; \right) ,
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } ) } & { { } = X _ { 1 } + X _ { 2 } + X _ { 3 } + X _ { 4 } , } \\ { e _ { 2 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } ) } & { { } = X _ { 1 } X _ { 2 } + X _ { 1 } X _ { 3 } + X _ { 1 } X _ { 4 } + X _ { 2 } X _ { 3 } + X _ { 2 } X _ { 4 } + X _ { 3 } X _ { 4 } , } \\ { e _ { 3 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } ) } & { { } = X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } + X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 4 } + X _ { 1 } X _ { 3 } X _ { 4 } + X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } , } \\ { e _ { 4 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } ) } & { { } = X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } . \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } ( \mathbf { g } ) _ { r } } & { = \big \{ \, \sum _ { i = 0 } ^ { m } \sigma _ { i } g _ { i } : \sigma _ { i } \in \Sigma [ \mathbf { x } ] , ~ \mathrm { d e g } ( \sigma _ { i } g _ { i } ) \leq r , \quad i = 0 , 1 , \dots , m \, \big \} , } \\ { \mathcal { T } ( \mathbf { g } ) _ { r } } & { = \big \{ \, \sum _ { I \subseteq [ m ] } \sigma _ { I } g _ { I } : \sigma _ { I } \in \Sigma [ \mathbf { x } ] , ~ \mathrm { d e g } ( \sigma _ { I } g _ { I } ) \leq r , \quad I \subseteq [ m ] \, \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { G } _ { 0 } \backslash \mathcal { G } _ { 1 } | } & { \overset \le \sum _ { l \in \mathbb { Z } ^ { \nu } , \ j , k \in S _ { \mathtt { M } } ^ { \perp } \cup \left\{ 0 \right\} , j \ne k } | R _ { l j k } ( i _ { 0 } ) | } \\ & { \overset { L e m m a ~ } \le \sum _ { l \in \mathbb { Z } ^ { \nu } , | j | , | k | \le C _ { \mathtt { p _ { e } } } \left( | l | ^ { \frac { 1 } { \alpha - 1 } } + 1 \right) } | R _ { l j k } ( i _ { 0 } ) | } \\ & { \overset { L e m m a ~ } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \sum _ { l \in \mathbb { Z } ^ { \nu } } \varepsilon ^ { 2 ( \nu - 1 ) } \gamma \langle l \rangle ^ { - \tau } \langle l \rangle ^ { \frac { 2 } { \alpha - 1 } } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 2 ( \nu - 1 ) } \gamma \sum _ { l \in \mathbb { Z } ^ { \nu } } \langle l \rangle ^ { - \nu - 2 } } \\ & { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 2 ( \nu - 1 ) } \gamma . } \end{array}
F = c _ { a _ { 1 } } ^ { * } Z ^ { a _ { 1 } } + c _ { a } ^ { * } \phi _ { i } ^ { * } f ^ { i a } + \frac { 1 } { 3 } \phi _ { i } ^ { * } \phi _ { j } ^ { * } \phi _ { k } ^ { * } X ^ { i j k } \ ,
( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) + ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) ^ { \mathsf { T } } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) = ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } + { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } ) ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ) + \mathbf { y } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { y } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } + { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } ) { \boldsymbol { \mu } } _ { n } + { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { c _ { \psi } ^ { \pm } } & { : = \hat { \sigma } _ { \pm } \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) \right] } \\ & { - \frac { \left( 1 - \Gamma _ { \pm } \right) \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { \pm } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } { \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { \pm } } \sigma _ { 0 } \left[ 1 + \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \tau \left( 1 - \frac { F _ { 1 } } { \sigma _ { 0 } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \vartheta _ { \tau } } { d Z } } & { { } = A ^ { 2 } \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } \frac { 1 } { k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } + 8 a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \frac { \vartheta _ { \tau } } { \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } u _ { s } \: d x = \bar { u } _ { s } + 2 \sqrt { 2 } \sqrt { a _ { s } } + \epsilon \sqrt { 2 } a _ { s } ^ { 3 / 2 } \left( 2 c _ { 6 } + \frac { 4 } { 3 } c _ { 7 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { { \rho _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { { c _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) - { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) , } \\ { { \rho _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { { c _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) - { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) , } \\ { { \rho _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } & { = } & { { c _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) - 2 { c _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) - { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) ^ { 2 } , } \\ { { \rho _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { { c _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) - { c _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) - { c _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } \\ & { } & { - { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) , } \\ { { \rho _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { { c _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) - 2 { c _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) - { W _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ I ~ f ~ } | a _ { i } ( t ) - a _ { j } ( t ) | < \epsilon \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { i } ( t + 1 ) = a _ { i } ( t ) + \mu ( a _ { j } ( t ) - a _ { i } ( t ) ) , } \\ { a _ { j } ( t + 1 ) = a _ { j } ( t ) + \mu ( a _ { i } ( t ) - a _ { j } ( t ) ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\qquad - \; { \frac { \kappa } { 8 \pi } } T r \Bigl ( [ u ^ { - 1 } \delta u ] ( 0 ) \; \delta { \cal M } { \cal M } ^ { - 1 } \; + \; [ \delta v v ^ { - 1 } ] ( 0 ) \; { \cal M } ^ { - 1 } \delta { \cal M } \Bigr ) \quad ,
\left( \boldsymbol { \mathcal { D } } \left( u \right) \right) _ { j k } = \frac { M _ { 1 } M _ { 2 } } { L _ { 1 } L _ { 2 } } \int _ { \Omega _ { j k } } u ( \boldsymbol { s } ) \, d \boldsymbol { s } \, , \quad \Omega _ { j k } = \left[ \left( j - 1 \right) L _ { 1 } / M _ { 1 } , j L _ { 1 } / M _ { 1 } \right] \times \left[ \left( k - 1 \right) L _ { 2 } / M _ { 2 } , k L _ { 2 } / M _ { 2 } \right] \, .
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathbf { v } } & { { } = } & { 0 } \\ { \rho \left[ \frac { \partial \v } { \partial t } + ( \mathbf { v } \cdot \nabla ) \mathbf { v } \right] } & { { } = } & { - \nabla p + \mu \Delta \mathbf { v } + \rho \mathbf { b } . } \end{array}
W [ { \Phi } ] = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { + } \int _ { 0 } ^ { L } d x _ { 1 } ^ { - } \int _ { 0 } ^ { L } d x _ { 2 } ^ { - } { \Phi } ^ { \star , + + } ( x _ { 1 } ^ { - } , x ^ { + } | x _ { 2 } ^ { - } , x ^ { + } ) \cdot ( p _ { ( 1 ) } ^ { - } + p _ { ( 2 ) } ^ { - } +
\begin{array} { r l } { \| \Pi _ { g } ( \psi ) \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega , g ) } } & { \leq \| \psi \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega , g ) } + \| \psi ^ { \perp } \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega , g ) } \leq \| \psi \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega , g ) } + C \| \psi ^ { \perp } \| _ { L _ { \rho ^ { - 1 } } ^ { 2 } ( \Omega , g ) } } \\ & { \leq \| \psi \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega , g ) } + C \| \psi \| _ { L _ { \rho ^ { - 1 } } ^ { 2 } ( \Omega , g ) } \leq ( 1 + C ) \| \psi \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega , g ) } . } \end{array}