harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { + \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \phi ^ { - 1 } \omega ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf { x } } \cdot \left[ \left( \omega ^ { 1 - \gamma } \left\langle \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi \right\rangle + \omega ^ { 1 - \alpha } \left\langle \boldsymbol \chi \mathbf k \right\rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \right) \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } \right] } \\ & { + \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left( \left\langle \mathbf v _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \overline { { c } } _ { 1 } + \left\langle \mathbf v _ { 1 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } c _ { 0 } \right) + \omega ^ { \beta - \gamma } \mathcal { K ^ { \star } } a c _ { 0 } ^ { a - 1 } \langle c _ { 1 } \rangle _ { \mathcal I \Gamma } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { \mathrm { L } \mu } } & { = \sum _ { \eta } \left[ \left( \mathbf { S } ^ { \mathrm { L } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] _ { \mu \eta } \tilde { a } _ { \mathrm { L } \eta } , } \\ { a _ { \mathrm { G } \mu } } & { = \sum _ { \eta } \left[ \left( \mathbf { S } ^ { \mathrm { G } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] _ { \mu \eta } \tilde { a } _ { \mathrm { G } \eta } , } \end{array}
m _ { r } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \frac { R _ { c } ^ { 2 } V ^ { \prime \prime } ( R _ { c } ) } { e ^ { \alpha } M _ { * } ^ { d + 2 } R _ { c } ^ { d } } \simeq \frac { 1 } { R _ { c } ^ { 2 } } \ ,
n _ { 1 } = 0 , ~ ~ n _ { 2 } = - { \frac { 3 } { 4 } } , ~ ~ n _ { 3 } = { \frac { 3 } { 4 } } , ~ ~ n _ { 4 } = 1 , ~ ~ n _ { 5 } = { \frac { 5 } { 4 } } , ~ ~ n _ { 6 } = { \frac { 1 } { 4 } } .
\delta \Bigl [ \epsilon ^ { \mu \nu } ( \cosh \beta - 1 ) \partial _ { \nu } \alpha \Bigr ] - \partial _ { \nu } \Bigl [ \epsilon ^ { \mu \nu } ( \cosh \beta - 1 ) \delta \alpha \Bigr ] = \frac { - 1 } { 2 } \gamma ^ { \mu \nu } \Bigl ( \partial _ { \alpha } \gamma _ { \nu \beta } + \partial _ { \beta } \gamma _ { \nu \alpha } - \partial _ { \nu } \gamma _ { \alpha \beta } \Bigr ) \delta \gamma ^ { \alpha \beta }
{ \bf \ddot { n } } ^ { ( 0 ) } = - \omega ^ { 2 } \left( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } \right) ^ { - 1 } { \bf K } _ { 0 } \left( { \boldsymbol \rho } _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 0 ) } [ { \bf n } ^ { ( 0 ) } ] - { \bf n } ^ { ( 0 ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { L _ { = < , \varepsilon } ^ { \star } } & { \approx \mathbb { E } [ \mathrm { P o i s s o n } ( \varepsilon x \bar { \alpha } ) ] + \mathbb { E } \left[ \mathcal { L } _ { < } \left( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } \cap \left( [ \varepsilon x , x ] \times [ 0 , t ] \right) \right) \right] } \\ & { \approx x \varepsilon \bar { \alpha } + 2 \sqrt { x ( 1 - \varepsilon ) \lambda t } - x ( 1 - \varepsilon ) \lambda } \\ & { = 2 \sqrt { x \lambda t } - x \lambda - \sqrt { x t \lambda } \delta ( \varepsilon ) , } \end{array}
\frac { g ^ { 2 } } { 4 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { ( 2 k + p ) _ { i } ( 2 k + p ) _ { j } } { ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ( ( k + p ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } .
\mathcal { R } \mathrm { d } { * } F = \mathcal { R } \mathrm { d } \mathcal { R } ^ { - 1 } \mathcal { R } { * } F = \mathcal { R } { * } \mathrm { d } \mathcal { R } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { * } } \mathscr { B } , - { \boldsymbol { * } } \mathscr { E } ) = \mathcal { R } { * } \mathrm { d } \mathcal { R } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { * } } \mathscr { B } , - { \boldsymbol { * } } \mathscr { E } ) = ( - \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \mathscr { B } - L _ { e _ { 0 } } { \boldsymbol { * } } \mathscr { E } , - \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \mathscr { E } ) .
\begin{array} { r l } & { \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) = e ^ { - \chi _ { 2 } ( \zeta , k ) } t ^ { - \frac { i \nu _ { 2 } } { 2 } } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { i \nu _ { 2 } } \hat { z } _ { 2 } ^ { - i \nu _ { 2 } } z _ { 2 , \star } ^ { - i \nu _ { 2 } } , } \\ & { \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) = e ^ { - i \nu _ { 3 } \ln _ { i } ( k - i ) } e ^ { - \chi _ { 3 } ( \zeta , k ) } t ^ { - \frac { i \nu _ { 4 } } { 2 } } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { i \nu _ { 4 } } \hat { z } _ { 2 } ^ { - i \nu _ { 4 } } z _ { 2 , \star } ^ { - i \nu _ { 4 } } , } \\ & { \delta _ { 4 } ( \zeta , k ) = t ^ { \frac { i \nu _ { 4 } } { 2 } } z _ { 2 } ^ { - i \nu _ { 4 } } \hat { z } _ { 2 } ^ { i \nu _ { 4 } } z _ { 2 , \star } ^ { i \nu _ { 4 } } e ^ { - \tilde { \chi } _ { 4 } ( \zeta , k ) } , } \\ & { \delta _ { 5 } ( \zeta , k ) = t ^ { \frac { i \nu _ { 5 } } { 2 } } z _ { 2 } ^ { - i \nu _ { 5 } } \hat { z } _ { 2 } ^ { i \nu _ { 5 } } z _ { 2 , \star } ^ { i \nu _ { 5 } } e ^ { - \tilde { \chi } _ { 5 } ( \zeta , k ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { 1 } ( z ) } & { { } = } & { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } z ^ { 2 } \, , } \\ { \phi _ { 1 } ( x , y , z ) } & { { } = } & { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 \omega } z \left( 1 - \omega ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { \Psi ^ { \mathcal { O } _ { \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \sigma } } } } & { : } & { \mu ^ { - 1 } ( \xi _ { \mathcal { O } _ { \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \sigma } } } ) } & { \to } & { \mathcal { V } _ { \overline { { \mathcal { O } } } _ { \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \sigma } } } } \\ & & { \phi } & { \mapsto } & { \left( A _ { 1 } , B _ { 1 } , \dots , A _ { g } , B _ { g } , X _ { 1 } , \dots , X _ { k } \right) } \end{array} .
C _ { c e } ( \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { 0 } , T ) = \frac { ( \mathrm { \boldmath ~ v ~ } ^ { e } - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { 0 } ) \cdot ( \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { 0 } - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } ^ { c } ) } { \| \mathrm { \boldmath ~ v ~ } ^ { e } - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { 0 } \| \| \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { 0 } - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } ^ { c } \| } ,
\int _ { \mathcal { S } } n _ { j } v _ { i } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { i j } ^ { a u x } d S = \int _ { \mathcal { S } } n _ { j } v _ { i } ^ { a u x } \sigma _ { i j } ^ { ( 1 ) } d S + \int _ { V } \tau _ { i j } ^ { e x , ( 0 ) } \frac { \partial v _ { i } ^ { a u x } } { \partial x _ { j } } d V ,
L ( N _ { \mathrm { C S } } ) = \Bigl ( 1 - \beta ( q ) \Bigr ) C _ { \mathrm { e } } ^ { \sigma } ( N _ { \mathrm { C S } } ) + \beta ( q ) \Bigl ( C _ { \mathrm { b i } } + { \frac { q _ { \mathrm { b i } } - q } { c } } ( \eta _ { A } , \eta _ { B } , \eta _ { C } , \eta _ { H } , \eta _ { K } ) \Bigr ) _ { \theta ( q ) } \ ,
M _ { A D M } = P _ { 1 } = P _ { 2 } = - \frac 1 2 P _ { 3 } = - \frac 1 2 P _ { 4 } = P _ { 5 } = \frac { l _ { 3 } l _ { 4 } \hat { e } } { \sqrt { 2 } \kappa }
\begin{array} { r l r } { \vec { n } _ { 0 } } & { { } = } & { ( 0 , 0 ) , } \\ { \vec { n } _ { k } } & { { } = } & { \left( \operatorname { a r c c o s } { \scriptstyle \left[ - \sqrt { \frac 2 3 } \right] } , \ \ \varphi _ { k } \right) , } \end{array}
P ( x ) = { ( a _ { n + 1 } ) } { ( { x } { [ { x ^ { n } } - { ( { r _ { 1 } } + { r _ { 2 } } + { \cdots } + { r _ { n } } ) { x ^ { n - 1 } } } + { \cdots } + { { ( - 1 ) ^ { n } } { ( { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } { \cdots } { r _ { n } } ) } } ] } { - r _ { n + 1 } } { [ { x ^ { n } } - { ( { r _ { 1 } } + { r _ { 2 } } + { \cdots } + { r _ { n } } ) { x ^ { n - 1 } } } + { \cdots } + { { ( - 1 ) ^ { n } } { ( { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } { \cdots } { r _ { n } } ) } } ] } ) }
\begin{array} { r l } { \frac { ( \widehat B ^ { x } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat B ^ { x } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \left( ( \widehat E ^ { z } ) ^ { n } \frac { t _ { y } - 1 } { \Delta y } \boxed { \frac { t _ { x } + 1 } { 2 } \frac { t _ { z } + 1 } { 2 } } - ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n } \frac { t _ { z } - 1 } { \Delta z } \boxed { \frac { t _ { x } + 1 } { 2 } \frac { t _ { y } + 1 } { 2 } } \right) } \\ { \frac { ( \widehat B ^ { y } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat B ^ { y } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \left( ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n } \frac { t _ { z } - 1 } { \Delta z } \boxed { \frac { t _ { x } + 1 } { 2 } \frac { t _ { y } + 1 } { 2 } } - ( \widehat E ^ { z } ) ^ { n } \frac { t _ { x } - 1 } { \Delta x } \boxed { \frac { t _ { y } + 1 } { 2 } \frac { t _ { z } + 1 } { 2 } } \right) } \\ { \frac { ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \left( ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n } \frac { t _ { x } - 1 } { \Delta x } \boxed { \frac { t _ { y } + 1 } { 2 } \frac { t _ { z } + 1 } { 2 } } - ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n } \frac { t _ { y } - 1 } { \Delta y } \boxed { \frac { t _ { x } + 1 } { 2 } \frac { t _ { z } + 1 } { 2 } } \right) } \\ { \frac { ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { y } - 1 } { t _ { y } \Delta y } \boxed { \frac { t _ { x } + 1 } { 2 t _ { x } } \frac { t _ { z } + 1 } { 2 t _ { z } } } - ( \widehat B ^ { y } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { z } - 1 } { t _ { z } \Delta z } \boxed { \frac { t _ { x } + 1 } { 2 t _ { x } } \frac { t _ { y } + 1 } { 2 t _ { y } } } } \\ { \frac { ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = ( \widehat B ^ { x } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { z } - 1 } { t _ { z } \Delta z } \boxed { \frac { t _ { x } + 1 } { 2 t _ { x } } \frac { t _ { y } + 1 } { 2 t _ { y } } } - ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { x } - 1 } { t _ { x } \Delta x } \boxed { \frac { t _ { y } + 1 } { 2 t _ { y } } \frac { t _ { z } + 1 } { 2 t _ { z } } } } \\ { \frac { ( \widehat E ^ { z } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat E ^ { z } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = ( \widehat B ^ { y } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { x } - 1 } { t _ { x } \Delta x } \boxed { \frac { t _ { y } + 1 } { 2 t _ { y } } \frac { t _ { z } + 1 } { 2 t _ { z } } } - ( \widehat B ^ { x } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { y } - 1 } { t _ { y } \Delta y } \boxed { \frac { t _ { x } + 1 } { 2 t _ { x } } \frac { t _ { z } + 1 } { 2 t _ { z } } } } \end{array}
x ^ { - } = K \frac { n \left( \frac { \delta } { x ^ { + } - x ^ { - } + \delta } \right) ^ { \beta } \operatorname { t a n h } { x ^ { + } } + ( m - 1 ) \operatorname { t a n h } { x ^ { - } } } { n \left( \frac { \delta } { x ^ { + } - x ^ { - } + \delta } \right) ^ { \beta } + m - 1 } \; .
\begin{array} { r l } & { \langle ( \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { A } ) ^ { \top } \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { A } f , f \rangle } \\ & { = \sum _ { [ v , w ] \in \mathcal { V } } \frac { 1 } { \deg v - 1 } \cdot f ^ { 2 } ( [ v , w ] ) + \sum _ { [ v , w ] \ne [ v , w ^ { \prime } ] \in \mathcal { V } } 2 \cdot \frac { \deg v - 2 } { ( \deg v - 1 ) ^ { 2 } } \cdot f ( [ v , w ] ) f ( [ v , w ^ { \prime } ] ) } \\ & { = \sum _ { [ v , w ] \in \mathcal { V } } \frac { 1 } { ( \deg v - 1 ) ^ { 2 } } \cdot f ^ { 2 } ( [ v , w ] ) + \sum _ { v \in V } \left( \sum _ { w \sim v } f ( [ v , w ] ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \ge \sum _ { [ v , w ] \in \mathcal { V } } \frac { 1 } { ( \deg v - 1 ) ^ { 2 } } \cdot f ^ { 2 } ( [ v , w ] ) } \\ & { \ge \frac { 1 } { ( \Delta - 1 ) ^ { 2 } } \langle f , f \rangle . } \end{array}
\left[ C _ { I J } \right] = \left( \begin{array} { l l l l l l } { c _ { 1 1 } } & { c _ { 1 2 } } & { c _ { 1 3 } } & { c _ { 1 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { c _ { 1 2 } } & { c _ { 1 1 } } & { c _ { 1 3 } } & { - c _ { 1 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { c _ { 1 3 } } & { c _ { 1 3 } } & { c _ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { c _ { 1 4 } } & { - c _ { 1 4 } } & { 0 } & { c _ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 4 4 } } & { c _ { 1 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 1 4 } } & { \frac { c _ { 1 1 } - c _ { 1 2 } } { 2 } } \end{array} \right) =
\int _ { u } ^ { T } \mathrm { C o v } \left( G _ { s } ^ { \gamma } , G _ { u } ^ { \gamma } \right) \mathrm { d } s \lesssim _ { r , \delta , \kappa } ( \gamma L ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } ( \underline { { c } } ^ { - \frac { 3 } { 2 } - \frac { \delta } { 1 - \delta } } \vee \underline { { c } } ^ { - \frac { 3 + \kappa } { 2 } - \frac { \delta } { 1 - \delta } } ) ^ { \frac { 2 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } \bar { \Psi } ^ { 1 + \left( 4 - \frac { 2 } { \kappa } \right) r + \varepsilon ( \delta , \kappa ) r } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { x x } ( \Omega ) \right\} } = - \frac { 2 \hbar v _ { F } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } } { \Omega } \sum _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } = \pm } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \phi } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \, \left[ f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + K \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + K \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] - \hbar \Omega \right) \right] } \\ & { } & { \times J ( K , \phi ) \left\{ K \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] \left\{ K \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] - \hbar \Omega \right\} + K ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { ( \phi ) } - K \sin { ( \phi ) } \left\{ 2 K \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] - \hbar \Omega \right\} \right\} } \\ & { } & { \times \frac { \delta \left( ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) K - \hbar \Omega \right) } { \eta _ { 1 } \eta _ { 2 } K ^ { 2 } } . } \end{array}
Y _ { l k } ( \theta , \Phi ) = \sqrt { \frac { 2 l + 1 } { \pi } } \; \left( \sin \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { | k | } \; P _ { \: l - | \frac { k } { 2 } | } ^ { ( | k | , 0 ) } \! \Big ( \cos \theta \Big ) \; \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \, k \, \Phi } \; .
\frac { 2 ( \boldsymbol { N } _ { \theta } ) _ { j } } { M _ { 1 } M _ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } } \left( \boldsymbol { \mathcal { P } } _ { r } \left( \boldsymbol { D } \right) \right) _ { j } \sim \chi _ { 2 ( \boldsymbol { N } _ { \theta } ) _ { j } } ^ { 2 } \left( \frac { 2 ( \boldsymbol { N } _ { \theta } ) _ { j } } { M _ { 1 } M _ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } } \left( \left( \boldsymbol { \mathcal { P } } _ { r } \circ \boldsymbol { \mathcal { J } } \right) \left( u \right) \right) _ { j } \right) \, .
\mathsf { T O C } ( T _ { \varepsilon } ) \leq { \cal O } \left( \left( \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } + \log _ { 1 / \gamma } \frac { \alpha _ { 0 } } { \bar { \alpha } } \right) \cdot \left( \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 4 } } + \frac { M _ { c } } { \varepsilon ^ { 2 } } + \frac { M _ { v } } { \varepsilon ^ { 4 ( 1 + \omega ) \log _ { 2 q } ( \gamma ) } } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { - \left\langle \nabla _ { N } V _ { 1 } , J N \right\rangle ( 0 , p ) } & { = - \left\langle \nabla _ { V _ { 1 } } N + \left[ N , V _ { 1 } \right] + \mathrm { T o r } \left( N , V _ { 1 } \right) , J N \right\rangle ( 0 , p ) } \\ & { = \left\langle \nabla _ { J N } N + \mathrm { T o r } \left( N , J N \right) , J N \right\rangle ( 0 , p ) . } \end{array}
\hat { \psi } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \epsilon ^ { n } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \log { ( n ) } + \frac { \gamma - \log { ( 2 ) } } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \log { ( 1 + Y ) } \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } } } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { \frac { \epsilon ^ { n } } { 2 } \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } } } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } , } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { \sigma : \mathbf { R } ^ { 2 } \to \mathbf { R } ^ { 2 } \times \mathbf { R } } \\ { \sigma ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = \left( p ^ { 1 } , p ^ { 2 } , p ^ { 1 } ( p ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { F _ { i } ^ { j } , \ f _ { i } : { \mathbb R } _ { + } \times \Omega \times \mathbb { T } ^ { d } \times { \mathbb R } \to { \mathbb R } , } & { } \\ { g _ { i } : = ( g _ { n , i } ) _ { n \geq 1 } : { \mathbb R } _ { + } \times \Omega \times \mathbb { T } ^ { d } \times { \mathbb R } \to \ell ^ { 2 } , } & { } \end{array}
b _ { j 1 } \left( t \right) = - \frac { c _ { j } } M \int _ { 0 } ^ { t } a _ { 2 } \left( t ^ { \prime } \right) \cos \omega _ { j } \left( t - t ^ { \prime } \right) d t ^ { \prime } , \; b _ { j 1 } \left( t \right) = -
\Gamma ^ { a } \Gamma ^ { b } \nabla _ { a } \nabla _ { b } = - \nabla ^ { a } \nabla _ { a } + \frac { 1 } { 4 } [ \Gamma ^ { a } , \Gamma ^ { b } ] \, [ \nabla _ { a } , \nabla _ { b } ] = - \nabla ^ { a } \nabla _ { a } + { \cal R } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ | | \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) | | ^ { 2 } \right] } & { \leq \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } , } \\ { \mathbb { E } \left[ | | \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) | | ^ { 2 } | \mathcal { F } ^ { k } \right] \leq \tilde { D } _ { f } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 2 } ( v ) } & { = \int _ { v _ { 0 } / v } ^ { v ^ { - ( 1 - \beta ) } } + \int _ { v ^ { - ( 1 - \beta ) } } ^ { 1 } \gamma z ^ { \gamma - 1 } \left[ \exp \left\lbrace - \int _ { z } ^ { 1 } \frac { A ( v u ) } { u } \mathrm { d } u \right\rbrace - 1 \right] \mathrm { d } z } \\ & { = : \mathcal { R } _ { 2 , 1 } ( v ) + \mathcal { R } _ { 2 , 2 } ( v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle j \, k \, m | \hat { H } _ { \mathrm { r o t } } | j \, k \, m \rangle } & { = \frac { B + C } { 2 } \left( j ( j + 1 ) - k ^ { 2 } \right) + A \, k ^ { 2 } \, , } \\ { \langle j \, k \, m | \hat { H } _ { \mathrm { r o t } } | j \, k \pm 2 \, m \rangle } & { = \frac { B - C } { 4 } f _ { \pm } ( j , k ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial { E } _ { k , \sigma } ^ { i j } } } & { = \frac { 1 } { k _ { B } T } \left( \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } + e ^ { \frac { - \left( \mathbf { E } _ { k , \sigma } - \mu _ { \sigma } \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } \right) } { k _ { B } T } } \right) ^ { - 1 } e ^ { \frac { - \left( \mathbf { E } _ { k , \sigma } - \mu _ { \sigma } \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } \right) } { k _ { B } T } } \left( \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } + \frac { [ \mathbf { E } _ { k , \sigma } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] } { 2 k _ { B } T } \right) } \\ & { \left( \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } + e ^ { \frac { - \left( \mathbf { E } _ { k , \sigma } - \mu _ { \sigma } \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } \right) } { k _ { B } T } } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { 0 } ^ { \prime \prime } + \left( | u _ { 0 } | ^ { 2 } - \Delta - ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) u _ { 0 } + 2 i \phi ^ { \prime } u _ { 0 } ^ { \prime \prime } = - i ( 1 + \phi ^ { \prime \prime } ) u _ { 0 } + i u _ { \mathrm { i n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } } & { = \sum _ { j \in \mathcal { N } } e _ { i j } ^ { \circ } \left( \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { j } ^ { \left[ \gamma \right] } + \left( 1 - \sum _ { j \in \mathcal { N } } e _ { j i } ^ { \circ } \left( \beta \right) \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } ; } \\ { \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } } & { = 1 } \end{array}
( \widetilde { \mathbf { R } } _ { \mathrm { C a t } } ^ { T } , \widetilde { \mathbf { R } } _ { \mathrm { A d } } ^ { T } ) \sim p _ { \mathrm { s i m p l e } } ( \mathbf { R } _ { \mathrm { C a t } } , \mathbf { R } _ { \mathrm { A d } } )
{ \frac { d ^ { 2 } \breve { \phi } _ { \pm } } { d u ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { u } } { \frac { d \breve { \phi } _ { \pm } } { d u } } + \left[ 1 - { \frac { \nu ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } } \right] \breve { \phi } _ { \pm } = 0
\begin{array} { r l } { \bar { z } _ { j , \mathbb { P } _ { q } , w } ^ { ( i + 1 , s ) } } & { { } = \frac { \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } | \mathbb { P } _ { q } , E _ { 0 } ^ { w } ) \mathrm { P r } ( \mathbb { P } _ { q } , E _ { 0 } ^ { w } | \boldsymbol { \lambda } ^ { ( \boldsymbol { \eta } ) } ) } { \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } ^ { \prime } \in S _ { s } ^ { \P } } \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } | \mathbb { P } ^ { \prime } , E _ { 0 } ^ { w } ) \mathrm { P r } ( \mathbb { P } ^ { \prime } , E _ { 0 } ^ { w } | \boldsymbol { \lambda } ^ { ( \boldsymbol { \eta } ) } ) } ; j \in S _ { s } ^ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { v } & { = \zeta \left( - \chi \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { z - z _ { i } } \right) Q } \\ & { = \zeta e ^ { - \varphi } \left( - \chi \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { z - z _ { i } } \right) \left( \frac { z - z _ { i } } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \right) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle S _ { + } \rangle = } & { { } \left[ - i \Omega _ { 0 } - i \gamma _ { \mathrm { R b } } B _ { \mathrm { a c } } \cos \left( { \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } } \right) - \Gamma _ { \mathrm { R b } } \right] \langle S _ { + } \rangle } \\ { + } & { { } i \gamma _ { \mathrm { R b } } b ^ { + } e ^ { i \omega t } \langle S _ { z } \rangle } \end{array}
\mathcal { D } ^ { \partial } = \left\{ ( t _ { i } , x _ { i } , \mathcal { B } ( u _ { i } ) ) , \quad \mathrm { s . t } \quad ( t _ { i } , x _ { i } ) \in \Omega ^ { \partial } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { B } ( u _ { i } ) : = \mathcal { B } ( u ( t _ { i } , x _ { i } ) ) + \xi _ { b } ( t _ { i } , x _ { i } ) , \, i = 1 . . . N ^ { \partial } \right\}
\begin{array} { r l } & { \| b _ { \tau } \chi \| _ { 0 , \tau } \lesssim \| \chi \| _ { 0 , \tau } , } \\ & { \| \chi \| _ { 0 , \tau } \lesssim \| b _ { \tau } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \chi \| _ { 0 , \tau } , } \\ & { \| \nabla \left( b _ { \tau } \chi \right) \| _ { 0 , \tau } \lesssim h _ { \tau } ^ { - 1 } \| \chi \| _ { 0 , \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { 2 } ( t ) = \frac { \gamma } { \sqrt { ( E _ { 1 } - E _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } } \bigg ( E _ { \alpha } \left( \gamma _ { + } t ^ { \alpha } / i ^ { \alpha } \right) - E _ { \alpha } \left( \gamma _ { - } t ^ { \alpha } / i ^ { \alpha } \right) \bigg ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ( \Delta ) } & { = } & { - \varepsilon \left( q - \Delta \right) \left( 1 - q + \Delta \right) \left( 2 \Delta \varepsilon - \left( 1 - 2 q \right) ( 1 + \varepsilon ) \right) , } \\ { D ( \Delta ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 N } \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } \right) \left( q - \Delta \right) \left( 1 - q + \Delta \right) . } \end{array}
\{ i _ { \tau } , i _ { \tau } + 1 \} \times \{ j _ { \tau } , j _ { \tau } + 1 \} \subset \mathcal { L } _ { \tau } \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad i _ { \tau } = \lfloor i _ { \tau - 1 } / 3 \rfloor , \quad j _ { \tau } = \lfloor j _ { \tau - 1 } / 3 \rfloor .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 1 - y - z } } & { = \frac { 1 } { 1 - \frac { q } { z } - z } = \frac { - z } { z ^ { 2 } - z + q } = \frac { - z } { ( z - P ( q ) ) \big ( z - ( 1 - P ( q ) ) \big ) } } \\ & { = \frac { 1 } { ( 1 - 2 P ( q ) ) \big ( 1 - \frac { z } { 1 - P ( q ) } \big ) } + \frac { P ( q ) } { z ( 1 - 2 P ( q ) ) \big ( 1 - \frac { P ( q ) } { z } \big ) } . } \end{array}
z g ( z , k ^ { 2 } ) \; \sim \; \exp \left( 2 \left[ \bar { \alpha } _ { s } \log \left( \frac { k ^ { 2 } } { Q _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \log \frac { 1 } { z } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right)
\frac { 1 } { | f | ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 1 + | \beta | ^ { 2 } r ^ { 2 } + | \lambda | ^ { 2 } r ^ { 4 } } - \frac { \lambda \gamma ^ { * } z ^ { 2 } + \lambda ^ { * } \gamma z ^ { * 2 } } { ( 1 + | \beta | ^ { 2 } r ^ { 2 } + | \lambda | ^ { 2 } r ^ { 4 } ) ^ { 2 } } + O ( \vert \gamma \vert ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { H = \omega _ { + } c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 1 } + \omega _ { - } c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 2 } + g V ( t ) ( c _ { 1 } ^ { \dag } c _ { 2 } + c _ { 2 } ^ { \dag } c _ { 1 } ) } \end{array}