harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathbf { m } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) = } & { - \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } \times \Delta \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } - \alpha \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } \times \left( \left( \tilde { h } \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } - \Delta \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } \right) \times \mathbf { e } _ { z } \right) } \\ & { + \sigma ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } \times \mathbf { e } _ { y } . } \end{array}
| \bar { D ^ { 0 } } _ { \mathrm { p h y s } } ( t ) > = \frac { 1 } { 2 } \left[ ~ \frac { p } { q } ( e _ { 1 } - e _ { 2 } ) | D ^ { 0 } > + ( e _ { 1 } + e _ { 2 } ) | \bar { D ^ { 0 } } > ~ \right]
\begin{array} { r l } { Q _ { k } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { L } } \int _ { 0 } ^ { L } d x [ \phi ( x ) \sin k x - \frac { 1 } { \omega _ { k } } \pi ( x ) \cos k x ] } \\ { P _ { k } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { L } } \int _ { 0 } ^ { L } d x [ \pi ( x ) \sin k x + \omega _ { k } \phi ( x ) \cos k x ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } g ( x ) x ^ { s - 1 } \, d x } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { \frac { 1 } { n + 1 } } ^ { \frac { 1 } { n } } ( x ( n + 1 ) - 1 ) x ^ { s - 1 } \, d x } \end{array}
a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { \mathcal { J } } _ { h } ( w _ { h } ) , \boldsymbol { v } _ { h } ) = a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { \mathcal { J } } _ { h } ( w _ { h } ) , \boldsymbol { v } _ { h } - \overline { { \boldsymbol { v } _ { h } } } ) = ( w _ { h } , v _ { h } - \overline { { v _ { h } } } ) _ { \Omega } = ( w _ { h } , v _ { h } ) _ { \Omega } .
a _ { \nu } ^ { ( N + 2 ) } = \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } b _ { \nu } ^ { ( 1 ) } = \frac { \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } } { \mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 1 1 ) } }
\langle \mathbf { x } _ { i } ^ { ( k + 1 ) } | \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta \boldsymbol { \pi } _ { i } ^ { 2 } } { 2 m P } } | \mathbf { x } _ { i } ^ { ( k ) } \rangle = \frac { P ^ { 3 / 2 } } { \Lambda ^ { 3 } } \exp \left( - \frac { \pi P } { \Lambda ^ { 2 } } \left| \mathbf { x } _ { i } ^ { ( k + 1 ) } - \mathbf { x } _ { i } ^ { ( k ) } \right| ^ { 2 } \right) ,
\rho _ { j , l } = \frac { 4 } { J L } \sum _ { m = 1 } ^ { J - 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { L - 1 } { \breve { \rho } } _ { m , n } \sin \frac { \pi j m } { J } \sin \frac { \pi l n } { L } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } ( \theta _ { 2 } ) } & { = - \frac { \omega _ { S } } { \sin ( \theta _ { 2 } ) } \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 2 } ) \big ) - \widetilde { \gamma } \sin ( \theta _ { 2 } ) } \\ & { = - \omega _ { S } \cot \big ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \big ) - \widetilde { \gamma } \sin ( \theta _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | G \rangle \equiv | \nu _ { \mathrm { L } } ^ { 1 } \rangle . . . \otimes . . . | \nu _ { \mathrm { L } } ^ { j } \rangle \otimes . . . | \nu _ { \mathrm { L } } ^ { N } \rangle , } \\ & { | \nu _ { j } \rangle \equiv | \nu _ { \mathrm { L } } ^ { 1 } \rangle . . . \otimes . . . | \nu _ { \mathrm { L } } ^ { j } \rangle \otimes . . . | \nu _ { \mathrm { L } } ^ { N } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| T _ { j } f \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } \lesssim 2 ^ { ( \operatorname* { m a x } \{ k _ { Q } , 0 \} - j ) \varepsilon } , \quad j \geq \operatorname* { m a x } \{ k _ { Q } + 1 , 1 \} , } \\ & { \| T _ { j } f \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } \lesssim 2 ^ { ( j - k _ { Q } ) \varepsilon } , \quad \quad \quad \; \; 1 \leq j \leq \operatorname* { m a x } \{ k _ { Q } , 0 \} . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla \cdot ( \varrho u ) + \mathfrak { g } ^ { - 1 } \varrho ^ { \prime } \partial _ { 1 } ( q + \mathfrak { g } \eta ) = g } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { - \gamma ^ { 2 } \varrho \partial _ { 1 } u + \varrho \nabla ( q + \mathfrak { g } \eta ) - \gamma \nabla \cdot \mathbb { S } ^ { \varrho } u = f } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { - ( \varrho q - \gamma \mathbb { S } ^ { \varrho } u ) e _ { n } - \varsigma \Delta _ { \| } \eta e _ { n } = k } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u \cdot e _ { n } + \partial _ { 1 } \eta = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { 0 } , } \end{array} \right.
C _ { 3 } = { \frac { s \sqrt { E _ { p } - M } \sqrt { p + s p _ { 3 } } } { \sqrt { 2 E _ { p } } \sqrt { 2 p } } } , \; C _ { 4 } = { \frac { i \sqrt { E _ { p } - M } \sqrt { p - s p _ { 3 } } } { \sqrt { 2 E _ { p } } \sqrt { 2 p } } } \, ,
\Pi ^ { ( n ) } ( Q ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) = \frac { n ! } { \pi } \int _ { 4 m ^ { 2 } } ^ { \infty } d s \frac { \mathrm { I m } \, \Pi ( s , m ^ { 2 } ) } { ( s + Q ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } } .
\Psi _ { \nu = 1 } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N } ) = { \cal { A } } \prod _ { i > j } ^ { N } ( z _ { i } - z _ { j } ) e ^ { - \sum _ { i } ^ { N } | z _ { i } | ^ { 2 } / 4 l _ { B } ^ { 2 } } ,
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \lambda ^ { i } \right| \frac { | 1 - \lambda | } { | \lambda | ^ { n } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| \frac { 1 - \lambda ^ { n } } { 1 - \lambda } \right| \frac { | 1 - \lambda | } { | \lambda | ^ { n } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } | \lambda ^ { - n } - 1 | = 1 .
\mathbf { A } + ( - 1 ) \mathbf { B } = ( A ^ { 0 } , A ^ { 1 } , A ^ { 2 } , A ^ { 3 } ) + ( - 1 ) ( B ^ { 0 } , B ^ { 1 } , B ^ { 2 } , B ^ { 3 } ) = ( A ^ { 0 } - B ^ { 0 } , A ^ { 1 } - B ^ { 1 } , A ^ { 2 } - B ^ { 2 } , A ^ { 3 } - B ^ { 3 } )
S = \int d ^ { 2 } x \left\{ { \frac 1 2 } { \partial } _ { \mu } { \phi } { \partial } ^ { \mu } { \phi } + \frac { 1 } { 2 ( { \partial } _ { \nu } a ) ( { \partial } ^ { \nu } a ) } \left[ { \partial } ^ { \mu } a ( { \partial } _ { \mu } { \phi } - { \epsilon } _ { { \mu } { \sigma } } { \partial } ^ { \sigma } { \phi } ) \right] ^ { 2 } \right\} ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal T } \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega _ { \mathrm { g a p } } t } } & { = } & { \mathrm { e } ^ { i k z + i \omega _ { \mathrm { g a p } } t } , } \\ { \hat { \mathcal T } \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega _ { \mathrm { g a p l e s s } } t } } & { = } & { \mathrm { e } ^ { i k z + i \omega _ { \mathrm { g a p l e s s } } t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle T _ { 0 } ^ { r = 0 } \rangle } & { = \frac { x _ { 0 } } { \lambda } + \frac { 2 D \left( \beta + \alpha e ^ { - \frac { x _ { 0 } \left( \sqrt { 4 D ( \alpha + \beta ) + \lambda ^ { 2 } } - \lambda \right) } { 2 D } } \right) } { \alpha \lambda \left( - \lambda + \sqrt { 4 D ( \alpha + \beta ) + \lambda ^ { 2 } } \right) } , } \\ { \langle T _ { 1 } ^ { r = 0 } \rangle } & { = \frac { x _ { 0 } } { \lambda } + \frac { 2 \beta D \left( - e ^ { - \frac { x _ { 0 } \left( \sqrt { 4 D ( \alpha + \beta ) + \lambda ^ { 2 } } - \lambda \right) } { 2 D } } + 1 \right) } { \alpha \lambda \left( - \lambda + \sqrt { 4 D ( \alpha + \beta ) + \lambda ^ { 2 } } \right) } . } \end{array}
\phi - \phi _ { 0 } = \pm \sqrt { \frac { 2 \Omega _ { \phi } } { 3 \Omega _ { B } } } F \left[ \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { 1 - \sinh ( a _ { 0 } t ) } { 1 + \sinh ( a _ { 0 } t ) } \right) , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right] ,
V _ { b } = \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \frac { 1 } { { q ^ { + } } ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { q ^ { + } } \frac { d k ^ { + } } { q ^ { - } - \frac { m ^ { 2 } } { 2 k ^ { + } } - \frac { m ^ { 2 } } { 2 ( q ^ { + } - k ^ { + } ) } } \stackrel { q ^ { + } \rightarrow 0 } { \longrightarrow } - \frac { e ^ { 2 } } { \pi } \frac { 1 } { 6 m ^ { 2 } } \frac { 1 } { { q ^ { + } } ^ { 2 } }
\partial _ { k _ { i } } | u _ { \mathbf { k } } \rangle \approx ( | u _ { \mathbf { k } + \Delta k _ { i } \hat { \mathbf { k } } _ { i } } \rangle - | u _ { \mathbf { k } } \rangle ) / \Delta k _ { i } + \mathcal { O } ( \Delta k _ { i } )
\begin{array} { r l r } { \mathcal { J } _ { 1 \alpha } ^ { \prime } ( g ) ( t ) } & { = } & { \phi ( \ell , t ; g , \xi ) + \alpha g ^ { \prime } ( t ) , \ \forall g \in \mathcal { G } _ { 1 } } \\ { \mathcal { J } _ { 2 \alpha } ^ { \prime } ( g ) ( t ) } & { = } & { \varphi ( \ell , t ; g , \theta ) + \alpha g ^ { \prime \prime \prime } ( t ) , \ \forall g \in \mathcal { G } _ { 3 } , } \end{array}
F ( \omega ) = - \frac { 1 } { \pi } \mathrm { I m } \left( \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { G _ { m } ( \lambda ) } { \left( \left( ( \omega - i \epsilon ) \pm \sqrt { ( \omega - i \epsilon ) ^ { 2 } - 4 \lambda ^ { 2 } } \right) / 2 \right) ^ { m + 1 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ E ~ } [ p _ { m } , p _ { r } ] } & { { } = B \sum _ { k = \mathcal { M } _ { C } } ^ { N - 1 } { \binom { N - 1 } { k } } p _ { r } ^ { k } ( 1 - p _ { r } ) ^ { N - 1 - k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } ( \rho _ { t } - \tilde { \rho } _ { t } ) = } & { \; \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { 2 } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \rho _ { t } - \tilde { \rho } _ { t } ) \, \mathrm { d } t + ( \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \rho _ { t } - \tilde { \rho } _ { t } ) \, \mathrm { d } t + \frac { 1 } { 2 } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) ( \rho _ { t } - \tilde { \rho } _ { t } ) \, \mathrm { d } t } \\ & { + \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k * \zeta _ { t } ) \rho _ { t } ) \, \mathrm { d } t - \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k * \tilde { \zeta _ { t } } ) \tilde { \rho } _ { t } ) \, \mathrm { d } t - \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \rho _ { t } - \tilde { \rho } _ { t } ) \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad t \in [ 0 , T ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { m } ^ { * } = } & { \frac { q _ { m } } { 1 + m r ^ { * } } \; , } \\ { ( i + 1 ) G _ { n , i + 1 } ^ { \lambda \; * } = } & { \lbrace i + ( n - i ) \left[ \lambda i + \rho ^ { * } \right] \rbrace G _ { n , i } ^ { \lambda \; * } \; , } \\ & { - ( n - i + 1 ) \left[ \lambda ( i - 1 ) + \rho ^ { * } \right] G _ { n , i - 1 } ^ { \lambda \; * } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { I _ { \mathrm { V } } ^ { ( \pm ) } } { I _ { 0 } } } & { { } = } & { \frac { \ln [ ( 1 + \alpha ) / ( 1 - \alpha ) ] } { 2 \alpha } \biggl [ \frac { 2 W } { e \xi _ { L , R } } } \\ { \frac { I _ { \mathrm { A V } } ^ { ( \pm ) } } { I _ { 0 } } } & { { } = } & { \frac { \ln [ ( 1 + \alpha ) / ( 1 - \alpha ) ] } { 2 \alpha } \biggl [ \frac { 2 W } { e \xi _ { R , L } } } \end{array}
\psi _ { P } ( \phi _ { 0 } ) = \frac { 2 \left( \pi \mu / b ^ { 2 } \right) ^ { - i P / b } } { \Gamma \left( - 2 i P / b \right) } K _ { 2 i P / b } \left( 2 \sqrt { \pi \mu / b ^ { 2 } } e ^ { b \phi _ { 0 } } \right)
\Lambda ( \Omega ) = 2 \sqrt { \left( \alpha P _ { 0 } - \chi P _ { 0 } \Omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \left( \alpha P _ { 0 } + m \Omega ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 4 } } { 2 4 } \Omega ^ { 4 } + \frac { \beta _ { 6 } } { 7 2 0 } \Omega ^ { 6 } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { A \big ( \beta _ { 0 } + \alpha \big ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 0 } \big ) \big ) } & { = \log \left( 1 + \frac { \theta _ { 0 } ^ { 1 - \alpha } \theta _ { 1 } ^ { \alpha } } { ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } } \right) } \\ & { = \log \left( \frac { \theta _ { 0 } ^ { 1 - \alpha } \theta _ { 1 } ^ { \alpha } + ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } } { ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } } \right) . } \end{array}
{ \cal A } _ { N } ^ { 0 , - } = < \prod _ { i = 1 } ^ { N - 1 } { V } _ { j _ { i } , m _ { i } } ^ { \omega _ { i } } ( z _ { i } ) \tilde { V } _ { j _ { N } , j _ { N } } ^ { \omega _ { N } ( 0 ) , ( - ) } ( z _ { N } ) \prod _ { n = 1 } ^ { s _ { + } } { \cal S }
{ \vec { Q } } \rightarrow { \vec { Q } } ^ { N } \equiv \left( \begin{array} { l } { { t _ { ( 1 , 1 , 1 ) } ^ { 0 } } } \\ { { t _ { ( 1 , 1 , 1 5 ) } ^ { 1 } } } \\ { { t _ { ( 1 , 1 , 1 5 ) } ^ { 2 } } } \\ { { t _ { ( 1 , 1 , 1 5 ) } ^ { 3 } } } \\ { { 0 } } \\ { { \dots } } \\ { { 0 } } \\ { { { \bar { t } } _ { { \bar { ( } 1 , 1 , 1 ) } } ^ { 0 } } } \\ { { { \bar { t } } _ { { \bar { ( } 1 , 1 , 1 5 ) } } ^ { 1 } } } \\ { { { \bar { t } } _ { { \bar { ( } 1 , 1 , 1 5 ) } } ^ { 2 } } } \\ { { { \bar { t } } _ { { \bar { ( } 1 , 1 , 1 5 ) } } ^ { 3 } } } \\ { { 0 } } \\ { { \dots } } \\ { { 0 } } \end{array} \right)
{ 1 } + { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } + \cdots + { \frac { 1 } { 2 p - 1 } } = { \frac { 1 } { 2 } } \, \gamma + { \frac { 1 } { 2 } } \ln p + \ln 2 + o ( 1 ) .
\left[ \begin{array} { l l l } { 1 - { x } _ { 2 } + 2 { x } _ { 1 } ( r - p { x } _ { 3 } ) - { \mu } _ { 1 } } & { - { x } _ { 1 } } & { - p { x } _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { { x } _ { 2 } } & { - 1 + { x } _ { 1 } - { \mu } _ { 2 } } & { 0 } \\ { 2 p { x } _ { 1 } x _ { 3 } } & { 0 } & { - q + p { x } _ { 1 } ^ { 2 } - { \mu } _ { 3 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { u ( \vec { x } , t ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { \vec { a } } \mathbb { E } \left\{ \int _ { t } ^ { T } \mathcal { L } ( \vec { x } , \tau ) [ m ] e ^ { \gamma ( t - \tau ) } d \tau + e ^ { \gamma ( t - T ) } c _ { T } ( \vec { x } _ { T } ) \right\} } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \vec { a } } \mathbb { E } \left\{ \int _ { t } ^ { t + d t } \mathcal { L } ( \vec { x } , \tau ) [ m ] e ^ { \gamma ( t - \tau ) } d \tau + e ^ { - \gamma d t } \left( \int _ { t + d t } ^ { T } \mathcal { L } ( \vec { x } , \tau ) [ m ] e ^ { \gamma ( t + d t - \tau ) } d \tau + e ^ { \gamma ( t + d t - T ) } c _ { T } ( \vec { x } _ { T } ) \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi } & { = \sum _ { i } c _ { i } \phi _ { i } ( \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) , } \\ { \phi _ { i } } & { = ( 1 \pm \mathcal { P } _ { A \leftrightarrow B } ) ( 1 \pm \mathcal { P } _ { 1 \leftrightarrow 2 } ) } \\ & { \times e ^ { - a _ { 1 2 } r _ { 1 2 } ^ { 2 } - a _ { 1 A } r _ { 1 A } ^ { 2 } - a _ { 1 B } r _ { 1 B } ^ { 2 } - a _ { 2 A } r _ { 2 A } ^ { 2 } - a _ { 2 B } r _ { 2 B } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle R _ { c v } ^ { c } \rangle = \mathcal { R } _ { c } | P _ { c v } | ^ { 2 } \int _ { E _ { g } } ^ { + \infty } \frac { \mathcal { G } _ { B F } ( E - \hbar \omega ) } { 1 - e ^ { - 2 \pi \sqrt { \frac { R ^ { * } } { E - E _ { g } } } } } d E , } \end{array}
\gamma = \alpha \quad \mathrm { ~ ( ~ 0 ~ . ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ ) ~ } , \qquad \beta = \delta - \frac { 3 } { 2 } \frac { \alpha } { \epsilon } \quad \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ . ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ ) ~ } , \qquad \delta = \frac { \alpha ( 2 \epsilon + 3 ) } { 4 \epsilon } \quad \mathrm { ~ ( ~ 2 ~ . ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ ) ~ } .
\left. \begin{array} { r c l } { { Q _ { n } ^ { + } } } & { { = } } & { { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \theta \ e ^ { - n \theta } A _ { + } ( \theta ) ^ { \dagger } A _ { - } ( \theta ) } } \\ { { Q _ { n } ^ { - } } } & { { = } } & { { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \theta \ e ^ { - n \theta } A _ { - } ( \theta ) ^ { \dagger } A _ { + } ( \theta ) } } \end{array} \right\} \, , \qquad n { \mathrm { ~ o d d } } \, ,
{ \begin{array} { r l r } { \pm 8 . 1 2 3 { \overline { { 4 5 6 7 } } } } & { = \pm \left( 8 + { \frac { 1 2 3 } { 1 0 ^ { 3 } } } + { \frac { 4 5 6 7 } { ( 1 0 ^ { 4 } - 1 ) \times 1 0 ^ { 3 } } } \right) } & { { \mathrm { f r o m ~ a b o v e } } } \\ & { = \pm { \frac { 8 \times ( 1 0 ^ { 4 } - 1 ) \times 1 0 ^ { 3 } + 1 2 3 \times ( 1 0 ^ { 4 } - 1 ) + 4 5 6 7 } { ( 1 0 ^ { 4 } - 1 ) \times 1 0 ^ { 3 } } } } & { { \mathrm { c o m m o n ~ d e n o m i n a t o r } } } \\ & { = \pm { \frac { 8 1 2 2 6 4 4 4 } { 9 9 9 9 0 0 0 } } } & { { \mathrm { m u l t i p l y i n g , ~ a n d ~ s u m m i n g ~ t h e ~ n u m e r a t o r } } } \\ & { = \pm { \frac { 2 0 3 0 6 6 1 1 } { 2 4 9 9 7 5 0 } } } & { { \mathrm { r e d u c i n g } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { W } & { { } = } & { \frac { 4 } { \rho _ { l } - \rho _ { v } } \sqrt { \frac { \kappa } { 2 A } } , } \\ { \sigma } & { { } = } & { \frac { { ( \rho _ { l } - \rho _ { v } ) } ^ { 3 } } { 6 } \sqrt { 2 A \kappa } . } \end{array}
\Phi _ { n + 1 } ^ { i } = T _ { N } ( \Phi _ { n } ^ { i } ) + \frac { a } { 2 } \left( s T _ { N } ^ { b } ( \Phi _ { n } ^ { i - 1 } ) - 2 T _ { N } ( \Phi _ { n } ^ { i } ) + s T _ { N } ^ { b } ( \Phi _ { n } ^ { i + 1 } ) \right) .
\begin{array} { r } { z _ { 1 } ( \Delta ) = \alpha _ { \sigma } , \qquad \qquad \Delta \in \partial _ { 1 } \Sigma , } \\ { z _ { 2 } ( \Delta ) = \beta _ { \sigma } , \qquad \qquad \Delta \in \partial _ { 2 } \Sigma , } \\ { z _ { 1 } ( \Delta ) = z _ { 2 } ( \Delta ) = \zeta _ { \sigma } , \qquad \qquad \Delta \in \partial _ { 3 } \Sigma . } \end{array}
{ \cal P } _ { \alpha _ { 1 } \, \alpha _ { 2 } \, \alpha _ { 3 } } ^ { a \, b } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ; k ^ { 2 } ) = \int d ^ { n } p \, d ^ { n } q \, \frac { ( p \cdot k ) ^ { a } ( q \cdot k ) ^ { b } } { ( p ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { \alpha _ { 1 } } \, ( q ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { \alpha _ { 2 } } \, [ ( r + k ) ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } ] ^ { \alpha _ { 3 } } } ~ ~ .
\begin{array} { r } { \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime \prime } } \| \dot { { \boldsymbol x } } ( s ) \| \, \mathrm { ~ d ~ } s \leq \int _ { \Phi ( { \boldsymbol x } ( t ^ { \prime \prime } ) ) } ^ { \Phi ( { \boldsymbol x } ( t ^ { \prime } ) ) } \frac { 1 } { c | \zeta - \Phi ( { \boldsymbol x } _ { 0 } ) | ^ { \mu } } d \zeta . } \end{array}
\; \; ( \sqrt { Q } - U _ { 1 . } U _ { 1 2 } U _ { 2 1 } ) U _ { 1 . } U _ { 2 . } , \; \; ( \sqrt { Q } - U _ { 2 . } U _ { 1 2 } U _ { 2 1 } ) U _ { 1 . } U _ { 2 . } \}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \nabla _ { X _ { S } } ^ { \varepsilon } X _ { S } , N ^ { \varepsilon } \rangle _ { \varepsilon } } & { = \frac { - X _ { 1 } X _ { 1 } \delta - X _ { 2 } X _ { 2 } \delta + c _ { 1 2 } ^ { 1 } ( X _ { 2 } \delta ) - c _ { 1 2 } ^ { 2 } ( X _ { 1 } \delta ) } { \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 2 } ( X _ { \theta } \delta ) ^ { 2 } } } } \\ & { \quad - \varepsilon ^ { 2 } ( X _ { \theta } \delta ) \frac { ( X _ { 2 } \delta ) ^ { 2 } c _ { \theta 1 } ^ { 1 } + ( X _ { 1 } \delta ) ^ { 2 } c _ { \theta 2 } ^ { 2 } - ( X _ { 1 } \delta ) ( X _ { 2 } \delta ) ( c _ { \theta 2 } ^ { 1 } + c _ { \theta 1 } ^ { 2 } ) } { \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 2 } ( X _ { \theta } \delta ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { L } } & { = } & { w _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { \bf g } } _ { T } + \overline { { \bf g } } _ { j } \right) \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) , } \\ { w _ { R } } & { = } & { w _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { \bf g } } _ { T } + \overline { { \bf g } } _ { k } \right) \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \frac { \partial { \mathcal { R } } } { \partial \bar { u } _ { - } } \right] = } & { { } - i ( 1 + \phi ^ { \prime \prime } ) \bar { u } + \left( ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | \bar { u } | ^ { 2 } - \phi ^ { \prime \prime } \right) v _ { s } - ( v _ { s } ) ^ { 2 } \bar { u } ^ { * } - ( \bar { u } ) ^ { 2 } v _ { s } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { s } ^ { \vec { w } } [ n ] : = } & { \sum _ { k } f _ { k } ^ { \vec { w } } \int \frac { 1 } { 2 } | \nabla \phi _ { k } ( \boldsymbol { r } ) | ^ { 2 } d \boldsymbol { r } \; , } \\ { E _ { \mathrm { H } } ^ { \vec { w } } [ n ] : = } & { \sum _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } w _ { \operatorname* { m a x } ( \kappa , \kappa ^ { \prime } ) } U [ n _ { s , \kappa \kappa ^ { \prime } } ] \; , } \\ { E _ { \mathrm { x } } ^ { \vec { w } } [ n ] : = } & { - \sum _ { k k ^ { \prime } } f _ { \operatorname* { m a x } ( k , k ^ { \prime } ) } ^ { \vec { w } } U [ \phi _ { k } \phi _ { k ^ { \prime } } ^ { * } ] } \end{array}
\bigl \{ A ( q , p ) , \cdots \bigr \} = \frac { \partial A } { \partial q _ { i } } \, \bigl \{ q _ { i } , \cdots \bigr \} + \frac { \partial A } { \partial p _ { i } } \, \bigl \{ p _ { i } , \cdots \bigr \} \, ,
\begin{array} { r l } { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { b c } } & { = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } - \frac { \Tilde { \rho } _ { b c } } { 2 } ( \Gamma _ { b } + \Gamma _ { c } ) } \\ & { + i \Tilde { \rho } _ { b c } ( \omega _ { c } - \omega _ { b } - \omega _ { P } + \omega _ { C } ) } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { b e } } & { = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { e e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a b } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b b } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \tilde { \rho } _ { b c } } \\ & { - \frac { \Tilde { \rho } _ { b e } } { 2 } ( \Gamma _ { b } + \Gamma _ { e } ) + i \Tilde { \rho } _ { b e } ( \omega _ { e } - \omega _ { b } - \omega _ { P } ) } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { c c } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } - \Gamma _ { 3 c } \Tilde { \rho } _ { c c } + \frac { \Gamma _ { e } \Tilde { \rho } _ { e e } } { 3 } } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { c e } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { e e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a c } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b c } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c c } } \\ & { - \frac { \Tilde { \rho } _ { c e } } { 2 } ( \Gamma _ { c } + \Gamma _ { e } ) + i \Tilde { \rho } _ { c e } ( \omega _ { e } - \omega _ { c } - \omega _ { C } ) } \\ { \dot { \Tilde { \rho } } _ { e e } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } + \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } + \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } } \\ & { - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } ^ { * } - \Gamma _ { 4 } \Tilde { \rho } _ { e e } . } \end{array}
e ^ { K / M _ { P } ^ { 2 } } = 1 + \frac { 1 } { M _ { P } ^ { 2 } } \left[ \theta ^ { 2 } K _ { i } F ^ { i } + \bar { \theta } ^ { 2 } K _ { i ^ { * } } F ^ { i ^ { * } } + \theta ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { 2 } ( K _ { i j ^ { * } } + \frac { K _ { i } K _ { j ^ { * } } } { M _ { P } ^ { 2 } } ) F ^ { i } F ^ { j ^ { * } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \Gamma ( r , t ) = } & { - \rho _ { \epsilon } \sum _ { j = - 1 } ^ { 1 } \frac { D _ { j } } { C _ { j } } \sin ( C _ { j } \mathrm { u } + \phi _ { \mathrm { c e p } } - \Lambda \varphi _ { p } ^ { ( \epsilon ) } ) - \alpha \frac { 1 - \epsilon ^ { 2 } } { 1 + \epsilon ^ { 2 } } \sum _ { j = - 1 } ^ { 1 } \frac { D _ { j } ^ { 2 } } { 2 C _ { j } } \sin ( 2 C _ { j } \mathrm { u } + 2 \phi _ { \mathrm { c e p } } ) } \\ & { - 2 \alpha \sum _ { ( i , j ) = ( 0 , - 1 ) , ( 0 , 1 ) , ( - 1 , 1 ) } \left[ \frac { 1 - \epsilon ^ { 2 } } { 1 + \epsilon ^ { 2 } } \frac { D _ { i } D _ { j } } { C _ { i } + C _ { j } } \sin \Bigl ( ( C _ { i } + C _ { j } ) \mathrm { u } + 2 \phi _ { \mathrm { c e p } } \Bigr ) - \frac { D _ { i } D _ { j } } { C _ { i } - C _ { j } } \sin \Bigl ( ( C _ { i } - C _ { j } ) \mathrm { u } \Bigr ) \right] } \\ & { - \alpha \sum _ { j = - 1 } ^ { 1 } D _ { j } ^ { 2 } u } \end{array}