harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
W _ { \epsilon } ( R , Z ) \, = \, \chi _ { 1 } ( \epsilon R ) \times \left\{ \begin{array} { l l } { \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } \bigl ( \zeta _ { * } ( R , Z ) \bigr ) } & { \mathrm { i n } ~ \, \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } \, , } \\ { \exp \bigl ( \epsilon ^ { - 2 \sigma _ { 1 } } / 4 \bigr ) } & { \mathrm { i n } ~ \, \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } \, , } \\ { \exp \bigl ( \rho ^ { 2 \gamma } / 4 \bigr ) } & { \mathrm { i n } ~ \, \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } \, , } \end{array} \right.
\mathbf { S } ^ { \prime } \equiv \left( { S ^ { \prime } } ^ { 0 } , { S ^ { \prime } } ^ { 1 } , { S ^ { \prime } } ^ { 2 } , { S ^ { \prime } } ^ { 3 } \right) = \left( 0 , s _ { x } ^ { \prime } , s _ { y } ^ { \prime } , s _ { z } ^ { \prime } \right)
\begin{array} { r l } & { \iint _ { \partial S - \partial C _ { \epsilon } } \left( U ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \frac { \partial G ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } { \partial n } - \frac { \partial U ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } { \partial n } G ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \right) \; d \boldsymbol { r ^ { \prime } } } \\ & { = \iint _ { S - C _ { \epsilon } } U ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \nabla ^ { 2 } G ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) - G ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \nabla ^ { 2 } U ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \; d \boldsymbol { r ^ { \prime } } } \\ & { = \iint _ { S - C _ { \epsilon } } U ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) ( \nabla ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) - G ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) ( \nabla ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) U ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \; d \boldsymbol { r ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 1 \ge \operatorname* { s u p } \Phi _ { p } ( \Omega ) \ge \operatorname* { s u p } _ { a > 0 } \left( \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } \Phi _ { p } ( \Omega _ { n } ^ { a } ) \right) \ge \operatorname* { s u p } _ { a > 0 } \frac { \int _ { B _ { 1 } } w _ { p , a ^ { p - 1 } } ( x ) d x } { | B _ { 1 } | \| w _ { p , a ^ { p - 1 } } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } } \\ & { \ge \operatorname* { l i m } _ { a \to + \infty } \frac { \int _ { B _ { 1 } } a w _ { p , a ^ { p - 1 } } ( x ) d x } { | B _ { 1 } | \| a w _ { p , a ^ { p - 1 } } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } \ge 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( Q ^ { - 1 } \right) ^ { a b c d } } & { : = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( q ^ { a c } q ^ { b d } + q ^ { a d } q ^ { b c } - 2 q ^ { a b } q ^ { c d } \right) , } \\ { Q _ { a b c d } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( q _ { a c } q _ { b d } + q _ { a d } q _ { b c } - \frac { 2 } { n - 2 } q _ { a b } q _ { c d } \right) , \quad \quad \; } \end{array}
\tilde { \Psi } \left( \boldsymbol { F } , \phi , \boldsymbol { \upalpha } \right) = \int _ { \Omega _ { 0 } } g ( \phi ) \left[ W _ { \mathrm { e } } \left( \boldsymbol { F } _ { \mathrm { e } } \right) + W _ { \mathrm { p } } ( \boldsymbol { F } , \boldsymbol { \upalpha } ) \right] + \mathcal { G } _ { c } ^ { 0 } \Gamma _ { c } \left( \phi , \nabla \phi \right) \ \mathrm { d } \Omega _ { 0 }
\begin{array} { r l r } { v _ { x } } & { = } & { \frac { v _ { F } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 1 / 2 } & { 1 / 2 } \\ { 1 / 2 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 / 2 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { v _ { y } } & { = } & { \frac { v _ { F } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { - i / 2 } & { i / 2 } \\ { i / 2 } & { 0 } & { - i } \\ { - i / 2 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \frac { d } { d x } } F _ { f } ^ { 2 } ( x ) = \frac { N _ { c } } { 4 \pi ^ { 2 } } { \frac { x B ( x ) [ B ( x ) - { \frac { x } { 2 } } B ^ { \prime } ( x ) ] } { ( x + B ^ { 2 } ( x ) ) ^ { 2 } } }
D _ { \mu \nu } ^ { a b \, ( n ) } ( x - y ) = \delta ^ { a b } D _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } ( x - y ) = \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { - i \cdot 4 ^ { n } \delta ^ { a b } g _ { \mu \nu } } { p ^ { 2 + 4 n } } \bigg ( g _ { \mu \nu } - ( 1 - \xi ) \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } \bigg ) e ^ { - i p \cdot ( x - y ) } \, .
\begin{array} { r l r } { \rho C _ { V } } & { { } = } & { a T _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } } ^ { 3 } H \left( 1 + \alpha + \left( T + \chi \right) \frac { \partial \alpha } { \partial T } \right) } \\ { \alpha } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \chi / T } \left( \sqrt { 1 + 4 e ^ { \chi / T } } - 1 \right) } \\ { \frac { \partial \alpha } { \partial T } } & { { } = } & { \frac { \chi } { T ^ { 2 } } \left( \alpha - 1 / \sqrt { 1 + 4 e ^ { \chi / T } } \right) } \end{array}
\sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow \gamma \gamma \rightarrow i + j \rightarrow Q \bar { Q } ) ( s ) = \int _ { z _ { m i n } } ^ { z _ { m a x } } d z ~ \frac { d L _ { i j } } { d z } \hat { \sigma } ( i + j \rightarrow Q \bar { Q } ) ( \hat { s } = z ^ { 2 } s )
\Gamma \left( { \bf { r } } _ { 1 } , { \bf { r } } _ { \mathrm { p } } \right) = \frac { { { \mathrm P } _ { 2 } } { { \mathcal { F } } ^ { - 1 } } \left[ { { { \tilde { S _ { 1 } } } } } \left( \boldsymbol { \kappa } \right) - { { { \tilde { S _ { 0 } } } } } \left( \boldsymbol { \kappa } \right) \right] - { { \mathrm P } _ { 1 } } { { \mathcal { F } } ^ { - 1 } } \left[ { { { \tilde { S _ { 2 } } } } } \left( \boldsymbol { \kappa } \right) - { { { \tilde { S _ { 0 } } } } } \left( \boldsymbol { \kappa } \right) \right] } { { { \mathrm P } _ { 1 } } ^ { * } { { \mathrm P } _ { 2 } } - { { \mathrm P } _ { 2 } } ^ { * } { { \mathrm P } _ { 1 } } } ,
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { 1 } { { P r } } ( \partial _ { t } \tilde { \omega } _ { \pm } + u \cdot \nabla \tilde { \omega } _ { \pm } ) - \Delta \tilde { \omega } _ { \pm } } & { = { \mathrm { R a } } \partial _ { 1 } T } & { \textnormal { i n } } & { \Omega } \\ { \tilde { \omega } _ { \pm } } & { = \pm \Lambda } & { \textnormal { o n } } & { \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } } \\ { \tilde { \omega } _ { \pm , 0 } } & { = \pm | \omega _ { 0 } | } & { \textnormal { i n } } & { \Omega \, , } \end{array}
\cot { \frac { A } { 2 } } = { \frac { s - a } { \zeta } } ~ ; \qquad \cot { \frac { B } { 2 } } = { \frac { s - b } { \zeta } } ~ ; \qquad \cot { \frac { C } { 2 } } = { \frac { s - c } { \zeta } } ~ .
\begin{array} { r l } { L ( Y ) = } & { \frac { \Lambda _ { \mathrm { L } } } { Y } , \qquad R ( Y ) = \frac { \Lambda _ { \mathrm { R } } } { Y } , } \\ { Q ( Y ) = } & { \frac { \Lambda _ { \mathrm { Q } } } { Y } + \frac { \Lambda _ { \mathrm { R } } } { 2 Y } \log ( 1 + Y ) - \frac { \Lambda _ { \mathrm { L } } } { Y } \log { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\tilde { \mathbf { f } } _ { \nu , l } ^ { ( \beta ) } = \frac { \left( - \epsilon _ { l } ^ { ( \beta ) } + \frac { 1 } { N _ { t r } } \sum _ { \alpha \nu } \mathbf { f } _ { \nu , l } ^ { ( \alpha ) } \cdot \dot { \mathbf { R } } _ { \nu } ^ { ( \alpha ) } + \epsilon _ { l } ^ { ( \alpha ) } \right) } { 2 E _ { k i n } ^ { ( \beta ) } / M _ { \nu } } \dot { \mathbf { R } } _ { \nu } ^ { ( \beta ) }
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { \omega } _ { k } ^ { 2 } ( t ) \approx \left[ \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } + ( c k ) ^ { 2 } \right] + m ( t ) } \\ & { ~ } & { + { \int _ { \vec { k } } } \left[ \Sigma \left( \sqrt { \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } + ( c k ) ^ { 2 } + m ( t ) } \right) - \Sigma ( \sqrt { \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } + ( c k ) ^ { 2 } } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } = \sum _ { i < j } [ - \beta _ { i j } \hat { w } _ { i j } + a _ { i j } ^ { * } \ln \beta _ { i j } ] \quad } & { { } \Longrightarrow \quad \beta _ { i j } = \frac { a _ { i j } ^ { * } } { \hat { w } _ { i j } } } \\ { \mathcal { G } _ { \underline { { \psi } } } = \sum _ { i < j } [ - \beta _ { i j } \hat { w } _ { i j } + p _ { i j } \ln \beta _ { i j } ] \quad } & { { } \Longrightarrow \quad \beta _ { i j } = \frac { p _ { i j } } { \hat { w } _ { i j } } } \\ { \langle \beta _ { i j } \rangle = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \beta _ { i j } ( \mathbf { A } ) = } \\ { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \frac { a _ { i j } } { \hat { w } _ { i j } } \quad } & { { } \Longrightarrow \quad \langle \beta _ { i j } \rangle = \frac { p _ { i j } } { \hat { w } _ { i j } } } \end{array}
C ( l ) { = } \sum _ { i j } [ \vec { u } _ { i } ^ { \prime } ( \vec { r } _ { i } { + } l ) { \cdot } \vec { u } _ { j } ^ { \prime } ( \vec { r } _ { j } ) \delta ( l { - } l _ { i j } ) ] / [ C _ { 0 } \sum _ { i j } \delta ( l { - } l _ { i j } ) ]
E _ { c r } \approx { \frac { 1 1 } { 1 0 8 } } \lambda v ^ { 4 } - { \frac { 4 } { 8 1 \pi ^ { 2 } } } \left( \lambda ^ { 2 } + { \frac { 3 e ^ { 4 } } { 1 0 } } \right) v ^ { 4 } .
{ \cal { L } } _ { \mathrm { m a s s } } \simeq - \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { M _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } } { M _ { \mathrm { R } } } \right] _ { i j } \bar { \eta } _ { 1 i } \eta _ { 1 j } - \frac { 1 } { 2 } [ M _ { \mathrm { R } } ] _ { i j } \bar { \eta } _ { 2 i } \eta _ { 2 j } ~ .
\begin{array} { r } { \psi = \check { \psi } \, + \, \sum _ { | k | \leq c } ( - 1 ) ^ { | k | } \mathbb { X } _ { 0 } ^ { k } ( \psi ) 2 ^ { - M | k | } ( \partial ^ { k } \eta ) ^ { 2 ^ { M } } \, + \, \sum _ { n = 1 } ^ { M } \sum _ { | k | \leq c } ( - 1 ) ^ { | k | } \mathbb { X } _ { 0 } ^ { k } ( \psi ) 2 ^ { - n | k | } ( \partial ^ { k } \varphi ) ^ { 2 ^ { n } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \left( \tilde { u } _ { n } , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { x } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( g _ { 0 } \tilde { u } _ { n } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( x , 0 ) \right) _ { \Omega ^ { * } } } \\ { = } & { T _ { 1 } + T _ { 2 } + T _ { 3 } , } \end{array}
V _ { e f f } ( \sigma ) = { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \lambda } } + { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 3 / 2 } } } \int _ { 1 / \Lambda ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d s } { s ^ { 5 / 2 } } } e ^ { - s \sigma ^ { 2 } } ( e B s ) \coth ( e B s )
K _ { 0 } - K _ { 1 } = L \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } - 1 \right\} + \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \left( \frac { E _ { \gamma _ { + } } } c - \frac { E _ { \gamma _ { - } } } c \right) v ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( \overline { { X } } ) } & { = \operatorname { V a r } \left( \frac 1 N \sum _ { i = 1 } ^ { N } X _ { i } \right) } \\ & { = \frac 1 N \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname { V a r } ( X _ { i } ) + \sum _ { i \neq j } \operatorname { C o v } ( X _ { i } , X _ { j } ) \right) } \\ & { = \frac 1 N \left( N + \sum _ { i \neq j } \operatorname { C o v } ( X _ { i } , X _ { j } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) - S _ { 3 } ( t , m = 0 ) - \delta \bigg ( \frac { d } { d t } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) + b e ^ { \beta t _ { e n d } } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) \bigg ) d t } \\ & { = \delta S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \bigg ( - S _ { 3 } ( t , m = 0 ) \bigg | _ { t s } ^ { \infty } - \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) d t \bigg ) } \\ & { = \delta S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \bigg ( 1 - \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) d t \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \widehat { t } _ { s } } & { { } = \mathcal { A } \, \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { \sigma } + \mathcal { B } \, \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { \theta } , } \\ { \nabla \widehat { t } _ { \sigma } } & { { } = - \mathcal { A } \, \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { s } + \mathcal { C } \, \widehat { t } _ { \theta } \otimes \widehat { t } _ { \theta } , } \\ { \nabla \widehat { t } _ { \theta } } & { { } = - \mathcal { B } \, \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { s } - \mathcal { C } \, \widehat { t } _ { \theta } \otimes \widehat { t } _ { \sigma } , } \end{array}
t E _ { \epsilon } ^ { \prime } ( t ) \, \le \, - c _ { 1 } E _ { \epsilon } ( t ) + c _ { 2 } \Bigl ( \epsilon ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 \gamma _ { 3 } } } { \delta ^ { 2 } } \Bigr ) \, , \qquad t \in ( 0 , T _ { \mathrm { a d v } } \delta ^ { - \sigma } ) \, ,
\begin{array} { r l } { M _ { \eta } ^ { ( \gamma ) } ( k , d t ) } & { { } : = \frac { 1 } { 2 \pi Z _ { \eta } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \; e ^ { - i k x } e ^ { \gamma Y } \; W _ { 1 } ( d x , d t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } } & { { } = \sqrt { \frac { N + 1 } { 2 } } } & { { \Sigma } _ { j = 0 } ^ { q _ { c } - 1 } ( \sqrt { \frac { \hat { I } } { 2 ^ { j } } + { \Sigma } _ { k = 0 } ^ { j - 1 } ( \frac { \hat { n } _ { k , i } } { 2 ^ { k } } ) } \hat { \sigma } _ { j , i } ^ { + } \bigotimes _ { k = j + 1 } ^ { q _ { c } - 1 } ( \hat { \sigma } _ { k , i } ^ { - } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { \nu } ( x ) : = \phi _ { ( k , s ) } ( x ) : = \mathscr { L } _ { k } \bigg ( \frac { 2 } { \pi } \arctan \Big ( \frac { r } { L } \Big ) \bigg ) \cdot \chi _ { s } ( \sigma ) \quad \mathrm { f o r } ~ x = ( r , \sigma ) \in \mathbb { R } \times \mathbb { Z } _ { m } , } \end{array}
\mathbf { A } ^ { + } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { \mu _ { m } + \Delta x _ { j } \Sigma _ { j } } { 2 } } & { \frac { \mu _ { m } } { 2 } } & { \frac { \Delta x _ { j } } { 2 v \Delta t } } & { 0 } \\ { - \frac { \mu _ { m } } { 2 } } & { \frac { \mu _ { m } + \Delta x _ { j } \Sigma _ { j } } { 2 } } & { 0 } & { \frac { \Delta x _ { j } } { 2 v \Delta t } } \\ { - \frac { \Delta x _ { j } } { v \Delta t } } & { 0 } & { \frac { \Delta x _ { j } } { v \Delta t } + \frac { \mu _ { m } + \Delta x _ { j } \Sigma _ { j } } { 2 } } & { \frac { \mu _ { m } } { 2 } } \\ { 0 } & { - \frac { \Delta x _ { j } } { v \Delta t } } & { - \frac { \mu _ { m } } { 2 } } & { \frac { \Delta x _ { j } } { v \Delta t } + \frac { \mu _ { m } + \Delta x _ { j } \Sigma _ { j } } { 2 } } \end{array} \right]
\bar { \phi } _ { A } = \kappa \sigma _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \otimes . . \otimes \sigma _ { 2 A - 1 } ^ { ( 3 ) } \sigma \otimes \sigma _ { 2 A } ^ { ( + ) } \otimes 1 _ { 2 A + 1 } . . \otimes 1 _ { 2 n + 1 } ,
{ \frac { \partial R } { \partial E ^ { \prime } } ( E ^ { \prime } ) } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathop { d E _ { T } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathop { d E _ { 0 } } \Theta ( E _ { T } - \delta ) \varepsilon ( E ^ { \prime } , E _ { T } , E _ { 0 } ) P ( E ^ { \prime } , E _ { T } | E _ { 0 } ) \frac { \partial R } { \partial E _ { 0 } } ( E _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r } { E ( C \cdot e ^ { - \kappa } , { \boldsymbol { \theta } } ) = \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } H ( C \cdot e ^ { - \kappa } ) \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } = \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } e ^ { \hat { \kappa } } H ( C ) e ^ { - \hat { \kappa } } \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( u ) } & { { } \approx \int ( u _ { t } + u u _ { x } ) ^ { 2 } \mathrm { d } V + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( u ( x _ { i } , t _ { i } ) - u _ { i } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \cup _ { j = 1 } ^ { N } A _ { j } \right| } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { k - 1 } \sum _ { 1 \le j _ { 1 } < \ldots < j _ { k } \le N } | A _ { j _ { 1 } } \cap \ldots \cap A _ { j _ { k } } | } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { k - 1 } \sum _ { 1 \le j _ { 1 } < \ldots < j _ { k } \le N } \binom { \binom { N - k } { 2 } } { M } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { k - 1 } \binom { N } { k } \binom { \binom { N - k } { 2 } } { M } . } \end{array}
= \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 0 0 \rangle + | 1 1 \rangle )
\int \operatorname { a r c o s h } ( a x ) ^ { 2 } \, d x = 2 x + x \operatorname { a r c o s h } ( a x ) ^ { 2 } - { \frac { 2 { \sqrt { a x + 1 } } { \sqrt { a x - 1 } } \operatorname { a r c o s h } ( a x ) } { a } } + C
\mathrm { T r } \ln \hat { \cal F } = \operatorname * { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \frac { i } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \int _ { 1 / L ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { \frac { d } { 2 } + 1 } } \int d ^ { d } x \mathrm { T r } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( i s ) ^ { n } \hat { a } _ { n } ( x ) ,
1 2 \chi ^ { 2 } [ c _ { 0 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } , c _ { 3 } ] = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ R _ { 3 } - ( c _ { 0 } - c _ { 1 } l n w + c _ { 2 } l n ^ { 2 } w - c _ { 3 } l n ^ { 3 } w ) \right] ^ { 2 } d w ,
\begin{array} { r } { T _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { y _ { 1 } } & { y _ { n } } & { \ldots } & { y _ { 2 } } \\ { y _ { 2 } } & { y _ { 1 } } & { \ddots } & { } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { y _ { n } } \\ { y _ { n } } & { \ldots } & { y _ { 2 } } & { y _ { 1 } } \end{array} \right) \, , \quad U _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { - x _ { n } } & { \ldots } & { - x _ { 2 } } \end{array} \right) } \\ { T _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c c } { x _ { 1 } } & { x _ { n } } & { \ldots } & { x _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } } & { x _ { 1 } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { x _ { n } } \\ { x _ { n } } & { \ldots } & { x _ { 2 } } & { x _ { 1 } } \end{array} \right) \, , \quad U _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { y _ { n } } & { \ldots } & { y _ { 2 } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 2 } } & { { } = } & { - \sum _ { l ^ { \prime } } \overline { { e ^ { - i l \vartheta _ { c } } \left[ e ^ { i Q _ { G } } \left( \delta \dot { \theta } _ { G } \partial _ { \theta } + \delta \dot { \cal E } _ { G } \partial _ { \cal E } \right) ^ { * } \right] e ^ { i l ^ { \prime } \vartheta _ { c } } } } \frac { 1 } { ( \omega _ { G I I } - l ^ { \prime } \omega _ { b } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x y } ( \omega ) } & { { } = - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \hbar } \frac { \Delta } { \omega } \log \frac { \omega ^ { \prime } - \Delta } { \omega ^ { \prime } + \Delta } \ \ ; } \\ { \sigma _ { x x } ( \omega ) } & { { } = \frac { i \rho e ^ { 2 } } { 8 \pi \hbar \omega } \left[ \Delta + \frac { ( \omega ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } ) } { 2 \omega ^ { \prime } } \ \log \frac { \omega ^ { \prime } - \Delta } { \omega ^ { \prime } + \Delta } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { F } ( { \mathbf { Q } ^ { \prime } } , \mathbf { Q } ; \beta ) = \int } & { } & { \rho _ { F } ( { \mathbf { Q } ^ { \prime } } , \mathbf { Q } ( ( M - 1 ) \tau ) ; \tau ) \cdots \rho _ { F } ( \mathbf { Q } ( \tau ) , \mathbf { Q } ; \tau ) \times } \\ & { } & { \prod _ { j = 1 } ^ { M - 1 } \sqrt { \tilde { g } _ { ( j ) } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \, d q _ { i } ^ { 1 } ( j \tau ) \wedge d q _ { i } ^ { 2 } ( j \tau ) ~ , } \end{array}
\langle \Psi \rangle _ { \rho _ { \varepsilon } ^ { t } } = \int \, \mathrm { d } \rho _ { \varepsilon } ( \boldsymbol { x } , t ) \Psi ( \boldsymbol { x } ) = \langle \Psi \rangle _ { 0 } + \delta ^ { ( 1 ) } [ \Psi ] ( t ) + h . o . t .
\begin{array} { r l } { \hat { H } ^ { \mathrm { ~ L ~ a ~ s ~ e ~ r ~ } } ( t ) = - \frac { \hbar } { 2 } \Omega ( t ) } & { { } ( \vert g \rangle \langle x _ { H } \vert + \vert g \rangle \langle x _ { V } \vert } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { a } ( \omega ) } & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \left[ e ^ { i \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) t } + e ^ { i \left( \omega + \omega _ { 0 } \right) t } \right] d t \, } \\ & { = \frac { T } { 2 \sqrt { 2 \pi } } \left[ s i n c \left( \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) \frac { T } { 2 } \right) + s i n c \left( \left( \omega + \omega _ { 0 } \right) \frac { T } { 2 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } } & { { } = - \frac { 1 } { n \nu } \left| Z _ { f } \right| J _ { 0 } / k _ { 0 } , } \\ { F _ { 0 } } & { { } = - i Z _ { 0 } J _ { 0 } / k _ { 0 } , } \\ { G _ { 0 } } & { { } = - i \frac { 1 } { \nu } \left| Z _ { f } \right| J _ { 0 } . } \end{array}
\hat { \boldsymbol f } ( \boldsymbol k ) = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \int _ { \boldsymbol x \in \Omega _ { L } } \boldsymbol f ( \boldsymbol x ) \exp ( - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol x ) d \boldsymbol x = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \int _ { \boldsymbol \theta \in \Gamma } \boldsymbol F ( \boldsymbol \theta ) \exp ( - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol X ( \boldsymbol \theta ) ) d \boldsymbol \theta , \quad \boldsymbol k \in \mathcal { K } ,
\rho _ { r } ( \eta _ { - 1 } , \eta _ { - 1 } ^ { \prime } ) = { \cal N } \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 \hbar } } \left[ \alpha ( \eta _ { - 1 } ^ { 2 } + \eta _ { - 1 } ^ { ' 2 } ) + 2 \gamma \eta _ { - 1 } \eta _ { - 1 } ^ { \prime } \right] \right\}
\begin{array} { r l } { e _ { l } ^ { ( j , \bar { j } ) } } & { = \sum _ { m } \lambda _ { j , \bar { j } , 0 } ^ { - 1 } C _ { l - m , m ; l } ^ { j , \bar { j } ; j + \bar { j } } e _ { l - m } ^ { ( j ) } \bar { e } _ { m } ^ { ( \bar { j } ) } } \\ & { = \sum _ { m } ( - 1 ) ^ { \bar { j } - m } \frac { \sqrt { ( 2 j + 2 \bar { j } + 1 ) ( 2 j ) ! ( 2 \bar { j } ) ! ( j + \bar { j } + l ) ! ( j + \bar { j } - l ) } } { ( j + l - m ) ! ( j - l + m ) ! ( \bar { j } - m ) ! ( \bar { j } + m ) ! } w _ { 1 } ^ { j + l - m } w _ { 2 } ^ { j - l + m } \bar { w } _ { 1 } ^ { \bar { j } - m } \bar { w } _ { 2 } ^ { \bar { j } + m } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { e } = \left( \frac { 3 } { 2 } k _ { B } { T _ { e } } + \frac { m _ { e } ^ { * } { v _ { D } ^ { 2 } } } { 2 } + I _ { p } \right) { N _ { e } } } \end{array}
\bigl | D ^ { k } \bigl ( K ^ { \gamma , \delta , n } - K ^ { \gamma , n } \bigr ) ( z ) \bigr | \leq C \delta ^ { \theta } 2 ^ { n ( 3 + \theta + | k | _ { \mathfrak { s } } ) } , \qquad \bigl | D ^ { k } \bigl ( \widetilde { K } ^ { \gamma , \delta , n } - \widetilde { K } ^ { \gamma , n } \bigr ) ( z ) \bigr | \leq C \delta ^ { \theta } 2 ^ { n ( 3 + \theta + | k | _ { \mathfrak { s } } ) } ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = \epsilon \int d ^ { 2 } k \ { \sqrt { v ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } e ^ { - v ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } } \cos ( \omega t - k \cdot x ) , } \\ { A _ { 2 } } & { = - \epsilon \int d ^ { 2 } k \ { \sqrt { v ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } e ^ { - v ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } } \cos ( \omega t - k \cdot x - \varphi ( k ) ) , } \end{array}
\Delta \rho ( u ) \sim \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { [ g ^ { 2 } ( u ) ] ^ { \xi _ { n } } } { u ^ { 2 ( n + 1 ) } } \, \sum _ { n } ^ { ( \nu ) } [ g ^ { 2 } ( u ) ] ^ { \nu } \, .