harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\phi : z \mapsto \left( \begin{array} { l } { \cos \left( \frac { \gamma } { \sqrt { l } } ( \omega _ { 1 } \cdot z ) \right) } \\ { \sin \left( \frac { \gamma } { \sqrt { l } } ( \omega _ { 1 } \cdot z ) \right) } \\ { \vdots } \\ { \cos \left( \frac { \gamma } { \sqrt { l } } ( \omega _ { R } \cdot z ) \right) } \\ { \sin \left( \frac { \gamma } { \sqrt { l } } ( \omega _ { R } \cdot z ) \right) } \end{array} \right) ,
\tilde { A } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) \; = \; - \; \frac { 1 } { e } \; \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } } \; \left[ 1 + \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { ( x _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right]
( { \mathrm { ( m e a n ~ d e v i a t i o n ~ a r o u n d ~ m e a n ) } } ( X ) ) ( c - a ) = { \frac { 2 \alpha ^ { \alpha } \beta ^ { \beta } } { \mathrm { B } ( \alpha , \beta ) ( \alpha + \beta ) ^ { \alpha + \beta + 1 } } } ( c - a )
G _ { A } \left( Q ^ { 2 } \right) = \sum _ { a } \int \frac { d ^ { 2 } \vec { k } _ { \perp } d x } { 1 6 \pi ^ { 3 } } \sum _ { j } \tau _ { j } \lambda _ { j } \psi _ { a } ^ { \uparrow \star } \left( x _ { i } , \vec { k } _ { \perp i } ^ { \prime } , \lambda _ { i } \right) \psi _ { a } ^ { \uparrow } \left( x _ { i } , \vec { k } _ { \perp i } , \lambda _ { i } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( X \right) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t \ p ( T = t ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n ^ { 2 } \frac { 1 } { n ! } \left( \gamma t \right) ^ { n } e ^ { - \gamma t } - \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t \ p ( T = t ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n \frac { 1 } { n ! } \left( \gamma t \right) ^ { n } e ^ { - \gamma t } \right] ^ { 2 } = } \end{array}
U ( t ) V ( t ) = U ( 0 ) V ( 0 ) + \int _ { ( 0 , t ] } U ( s - ) \, d V ( s ) + \int _ { ( 0 , t ] } V ( s - ) \, d U ( s ) + \sum _ { u \in ( 0 , t ] } \Delta U _ { u } \Delta V _ { u } ,
\begin{array} { r l } { g _ { a , M } } & { = - \frac { \Delta - a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { \rho ^ { 2 } } d t ^ { 2 } - \frac { 4 M a r \sin ^ { 2 } \theta } { \rho ^ { 2 } } d t d \phi } \\ & { \qquad + \left( \frac { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \Delta a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { \rho ^ { 2 } } \right) \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } + \frac { \rho ^ { 2 } } { \Delta } d r ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } \, , } \end{array}
{ \cal M } \approx - \frac { \nabla \xi \cdot \nabla \rho } { | \nabla \rho | ^ { 2 } } = - \frac { \nabla _ { r } \xi _ { e } \cdot ( { \bf A } ^ { T } { \bf A } \nabla _ { r } \rho _ { e } ) } { \nabla _ { r } \rho _ { e } \cdot ( { \bf A } ^ { T } { \bf A } \nabla _ { r } \rho _ { e } ) }
- \mathbb { E } \left[ \Vert \hat { V } _ { { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } \right] \leq - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \Vert \hat { V } _ { \tilde { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } \right] + \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } \right] .
\left\| e ^ { t _ { k } X _ { i _ { k } } } \cdots e ^ { t _ { 1 } X _ { i _ { 1 } } } \right\| = \left\| e ^ { ( t _ { 1 } + \cdots + t _ { k } ) A _ { 0 } } \otimes \left( e ^ { t _ { k } B _ { i _ { k } } } \cdots e ^ { t _ { 1 } B _ { i _ { 1 } } } \right) \right\| = \left\| e ^ { t _ { k } B _ { i _ { k } } } \cdots e ^ { t _ { 1 } B _ { i _ { 1 } } } \right\|
\begin{array} { r l } { u } & { : = ( t , x , y , z ) \mapsto \mathrm { e } ^ { - t } \sin ( \pi x ) \sin ( \pi y ) \sin ( \pi z ) } \\ { v } & { : = ( t , x , y , z ) \mapsto \mathrm { e } ^ { - t } \left( x ^ { 2 } - x \right) \left( y ^ { 2 } - y \right) \left( z ^ { 2 } - z \right) } \\ { w } & { : = ( t , x , y , z ) \mapsto \mathrm { e } ^ { - t } \sin ( \pi x ) \sin ( \pi y ) \left( z ^ { 2 } - z \right) } \\ { p } & { : = ( t , x , y , z ) \mapsto \mathrm { e } ^ { - t } x y z } \end{array}
\frac { \partial \varepsilon } { \partial t } + u _ { j } \frac { \partial \varepsilon } { \partial x _ { j } } = - C _ { \varepsilon 1 } \frac { \varepsilon } { k } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( C _ { \varepsilon } \frac { k ^ { 2 } } { \varepsilon } + \nu \right) \frac { \partial \varepsilon } { \partial x _ { j } } \right] - C _ { \varepsilon 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { k } ,
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ F ( M _ { t } , X _ { t } ) \right] = \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } F ( x _ { 0 } ^ { 1 } + b , x _ { 0 } + a ) p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b , a ; t ) d b d a } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } \partial _ { m } F \left( x _ { 0 } ^ { 1 } + W _ { s } ^ { 1 } + b , x _ { 0 } + W _ { s } + a \right) { \mathbf 1 } _ { \{ W _ { s } ^ { 1 * } < W _ { s } ^ { 1 } + b \} } Z _ { s } B ^ { 1 } ( x _ { 0 } + W _ { s } ) p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b , a ; t - s ) d b d a \right] d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } { \partial _ { k } } F \left( x _ { 0 } ^ { 1 } + \operatorname* { m a x } \left( W _ { s } ^ { 1 * } , W _ { s } ^ { 1 } + b \right) , x _ { 0 } + W _ { s } + a \right) Z _ { s } B ^ { k } ( x _ { 0 } + W _ { s } ) p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b , a ; t - s ) d b d a \right] d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - n _ { E ^ { l } } = - \lambda \widetilde { n } _ { E ^ { l } } = - ( 1 + \mathcal { O } ( h ^ { 2 k _ { g } } ) ) \widetilde { n } _ { E ^ { l } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 + \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) } & { i = 1 , \ldots , d - 1 } \\ { - 1 + \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) } & { i = d , } \\ { n _ { \Gamma } ^ { d } + \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) } & { i = d + 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \partial c ^ { \prime } } { \partial t } + \frac { n M _ { 0 } \zeta \eta _ { s } ^ { 0 } } { \Pi _ { c } } \nabla _ { s } ^ { 2 } \mathbf { u } ^ { \prime } \boldsymbol { \cdot } \mathbf { F } _ { p } + M _ { 0 } \mathbf { F } _ { p } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } _ { s } c ^ { \prime } = D \nabla _ { s } ^ { 2 } c ^ { \prime } .
\Delta ( \pi ) = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( R _ { t , A _ { t } ^ { * } } - R _ { t , A _ { t } } ) \right] \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { T \rightarrow \infty } \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( R _ { t , A _ { t } ^ { * } } - R _ { t , A _ { t } } ) \right] \geq \frac { \sqrt { n k } } { 8 ( n + 1 ) } .
\begin{array} { r c l } { { f e } } & { { = } } & { { \langle e , S ( f ) \rangle \langle 1 , { \bar { t } } ^ { - 1 } \rangle 1 \cdot \bar { t } ^ { - 1 } } } \\ { { } } & { { } } & { { + \langle t , S ( 1 ) \rangle \langle 1 , \bar { t } ^ { - 1 } \rangle e f + \langle t , S ( 1 ) \rangle \langle e , f \rangle t \cdot 1 } } \\ { { } } & { { = } } & { { - \langle e , f \rangle { \bar { t } } ^ { - 1 } + e f + \langle e , f \rangle t ~ . } } \end{array}
\begin{array} { c } { { \phi _ { \omega } ( s ) = A _ { 1 } { \cal J } _ { l + 1 / 2 } ( z _ { 1 } ) + B _ { 1 } { \cal Y } _ { l + 1 / 2 } ( z _ { 1 } ) , \mathrm { \ f o r \ } s < a _ { 1 } , } } \\ { { \phi _ { \omega } ( s ) = A _ { 2 } { \cal J } _ { l + 1 / 2 } ( z _ { 2 } ) + B _ { 2 } { \cal Y } _ { l + 1 / 2 } ( z _ { 2 } ) , \mathrm { \ f o r \ } a _ { 1 } < s < s _ { 0 } , } } \end{array}
\nabla \, E ^ { \mu } \; = \; - \, \Gamma _ { \nu \lambda } ^ { \mu } \, E ^ { \nu } \otimes E ^ { \lambda } \in \Omega _ { D } ^ { 1 } ( { \mathcal A } _ { \alpha } ) \otimes _ { { \mathcal A } _ { \alpha } } \Omega _ { D } ^ { 1 } ( { \mathcal A } _ { \alpha } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \nabla ( \vec { \rho } _ { 1 } \cdot \nabla u ) \cdot \nabla \overline { { u } } } & { = \vec { \nabla } \rho _ { 1 } ( \nabla u , \nabla \overline { { u } } ) + \frac { 1 } { 2 } \vec { \rho } _ { 1 } \cdot \nabla ( | \nabla u | ^ { 2 } ) , } \\ { \nabla _ { \Gamma } ( \vec { \rho } _ { \Gamma , 1 } \cdot \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } ) \cdot \nabla _ { \Gamma } \overline { { u } } _ { \Gamma } } & { = \vec { \nabla } _ { \Gamma } \vec { \rho } _ { \Gamma , 1 } ( \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } , \nabla _ { \Gamma } \overline { { u } } _ { \Gamma } ) + \frac { 1 } { 2 } \vec { \rho } _ { \Gamma , 1 } \cdot \nabla _ { \Gamma } ( | \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } | ^ { 2 } ) , } \end{array}
\mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } \hat { q } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) = \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } \hat { p } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } N _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) \, .
{ \left| \begin{array} { l l l } { k a } & { b } & { c } \\ { k d } & { e } & { f } \\ { k g } & { h } & { i } \end{array} \right| } = k { \left| \begin{array} { l l l } { a } & { b } & { c } \\ { d } & { e } & { f } \\ { g } & { h } & { i } \end{array} \right| } .
\begin{array} { r l r l r l r l } & { c _ { 1 } = 0 , } & & { c _ { 2 } = e ^ { \frac { \pi \nu } { 4 } } , } & & { c _ { 3 } = e ^ { - \frac { 3 \pi \nu } { 4 } } e ^ { - \pi ( \nu _ { 4 } - 2 \nu _ { 2 } ) } , } & & { c _ { 4 } = 0 , } \\ & { c _ { 5 } = e ^ { - \frac { 3 \pi \nu } { 4 } } , } & & { c _ { 6 } = 0 , } & & { c _ { 7 } = 0 , } & & { c _ { 8 } = e ^ { \frac { \pi \nu } { 4 } } e ^ { \pi ( \nu _ { 4 } - 2 \nu _ { 2 } ) } . } \end{array}
A _ { C } \approx \ \frac { \epsilon a ^ { 3 } N [ 1 + ( R / a ) \epsilon ] } { 2 R ^ { 8 } ( 1 + \epsilon ) } \int d ^ { 3 } r _ { j } d ^ { 3 } r _ { k } \frac { r _ { j } \cos ^ { 2 } \theta _ { j } } { | \vec { r } _ { j } - \vec { r } _ { k } | ^ { 2 } } .
\left( \begin{array} { l l } { 1 } & { J _ { 1 } } \\ { J _ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \widehat { \theta } _ { N , T } - \theta _ { 0 } } \\ { \widehat { \beta } _ { N , T } - \beta _ { 0 } } \end{array} \right) = \sigma \left( \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { I _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 2 + \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d w _ { k } ( t ) } \\ { \frac { 1 } { I _ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 1 + \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d w _ { k } ( t ) } \end{array} \right) ,
\sigma _ { a b } = \left. \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } E ( \mathbf { M } ^ { A } , \mathbf { B } ) } { \mathrm { d } M _ { a } ^ { A } \mathrm { d } B _ { b } } \right| _ { \textbf { B } = 0 , \textbf { M } ^ { A } = 0 }
\frac { Y _ { \mathrm { e q } } ^ { \prime } } { \gamma } = \frac { H _ { z } | _ { y = 0 ^ { + } } - H _ { z } | _ { y = 0 ^ { - } } } { E _ { x } } - v \varepsilon _ { 0 } \frac { E _ { y } | _ { y = 0 ^ { + } } - E _ { y } | _ { y = 0 ^ { - } } } { E _ { x } }
\begin{array} { r } { \mathcal { U } _ { F } | F \pm \rangle = \exp \left( \pm i 2 \operatorname { a r c c o s } \sqrt { \frac { 1 - \langle \hat { F } / \lambda _ { F } \rangle } { 8 } } \right) | F { \pm } \rangle \, } \end{array}
\langle \Sigma ( y ) \rangle = { \frac { 1 } { 2 } } \xi _ { 0 } ^ { \prime } \mathrm { s g n } ( y ) + { \frac { 1 } { 2 } } \xi _ { \pi } ^ { \prime } ( \mathrm { s g n } ( y - \pi R ) + 1 ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial t } } & { { } = - \frac { \partial \bar { p } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( \bar { u } _ { i } \bar { u } _ { j } ) } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \overline { { u _ { i } u _ { j } } } - \bar { u } _ { i } \bar { u } _ { j } ) , } \\ { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = K + 1 } ^ { \infty } e ^ { \lambda _ { k } t } \frac { 1 } { \| u _ { k } \| ^ { 2 } } \frac { u _ { k } ( x ) u _ { k } ( y ) } { v _ { 1 } ( x ) v _ { 1 } ( y ) } \leqslant ( c _ ) ^ { 2 } e ^ { 2 \beta L } \sum _ { k = K + 1 } ^ { \infty } ( 1 + 2 | \lambda _ { k } | ) ^ { 4 } e ^ { \lambda _ { k } ( t - 2 ) } . } \end{array}
\epsilon _ { c r } \left( t \right) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { p _ { 0 } - \mathrm { i } \infty } ^ { p _ { 0 } + \mathrm { i } \infty } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s .
{ \hat { \Gamma } } \left\{ { \hat { \tilde { \rho } } } \right\} = - \frac { \gamma } { 2 } \left( { \hat { P } } ^ { ( e ) } { \hat { \tilde { \rho } } } + { \hat { \tilde { \rho } } } \, { \hat { P } } ^ { ( e ) } \right) + { \hat { \gamma } } \left\{ { \hat { \tilde { \rho } } } \right\} \, ,
{ \begin{array} { r l } { K ( x _ { f } , t _ { f } ; x _ { i } , t _ { i } ) } & { = Q e ^ { \frac { i S _ { \mathrm { c } } } { \hbar } } \prod _ { j = 1 } ^ { \infty } { \frac { j \pi } { \sqrt { 2 } } } \int d a _ { j } \exp { \left( { \frac { i } { 2 \hbar } } a _ { j } ^ { 2 } { \frac { m } { 2 } } \left( { \frac { ( j \pi ) ^ { 2 } } { t _ { f } - t _ { i } } } - \omega ^ { 2 } ( t _ { f } - t _ { i } ) \right) \right) } } \\ & { = e ^ { \frac { i S _ { \mathrm { c } } } { \hbar } } Q \prod _ { j = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - \left( { \frac { \omega ( t _ { f } - t _ { i } ) } { j \pi } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { T , \mathrm { s p h } } ( \omega ) } & { { } = \frac { 2 D } { 3 \eta L ^ { 3 } } \left[ \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( m + m _ { 0 } ) D \mathrm { e } ^ { - ( m + m _ { 0 } ) \alpha D } \right] - \frac { 2 } { 3 \eta \alpha ^ { 2 } L ^ { 3 } } } \\ { \Delta \Tilde { G } ^ { T , \mathrm { s p h } } ( \omega ) } & { { } = \frac { 2 D ^ { 2 } } { 3 \eta L ^ { 3 } } \left[ \frac { \mathrm { e } ^ { - \alpha D m _ { 0 } } [ - m _ { 0 } + e ^ { \alpha D } ( 1 + m _ { 0 } ) ] } { ( { e } ^ { \alpha D } - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } D ^ { 2 } } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname * { m i n } _ { t _ { H } ^ { b c } , p _ { H } ^ { b c } } \quad } & { \tau ^ { D L } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { t _ { H } ^ { b c } \geq t _ { H } ^ { \operatorname* { m i n } } , } \\ & { \zeta _ { H } { f _ { H } ^ { * } } ^ { 2 } L _ { H } Q _ { H } + p _ { H } ^ { b c } t _ { H } ^ { b c } \leq { { E } } _ { H } ^ { \operatorname* { m a x } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Delta L ( t ) + V p ( t ) } & { \leqslant B + V p ( t ) + \sum _ { i = 1 } ^ { K } Q _ { i } ( t ) y _ { i } ( t ) } \\ & { = B + V P ( \alpha ( t ) , \omega ( t ) ) + \sum _ { i = 1 } ^ { K } Q _ { i } ( t ) Y _ { i } ( \alpha ( t ) , \omega ( t ) ) } \\ & { \leqslant B + C + V P ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) + \sum _ { i = 1 } ^ { K } Q _ { i } ( t ) Y _ { i } ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( \Gamma _ { - } ( q ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) ) ( x ) } & { = \frac 1 2 q ^ { \prime } ( x + b ^ { \prime } ) } \\ & { = \frac 1 2 ( \Phi ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) } \\ & { = \frac 1 2 ( ( \Gamma _ { - } ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) + ( \Gamma _ { + } ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) ) } \\ & { \le \frac 1 2 \left( \frac 1 2 + \frac 1 2 \right) } \\ & { = \frac 1 2 . } \end{array}
J _ { f } \Big \rvert _ { \mathcal { C } _ { 0 } ^ { \pm } } = \left[ \begin{array} { l l } { - 2 \Delta _ { 1 } \left( \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \pm \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } \right) h \left( \rho _ { 1 } \right) } & { \Omega \rho _ { 1 } \left( \frac { 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } } { 3 \rho _ { 1 } ^ { 2 } + 1 } \right) } \\ { \frac { \Omega } { \rho _ { 1 } } \left( \frac { 3 \rho _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } { 3 \rho _ { 1 } ^ { 2 } + 1 } \right) } & { \pm \frac { 1 } { 2 } ( 3 \rho _ { 1 } ^ { 2 } + 1 ) h \left( \rho _ { 1 } \right) } \end{array} \right] ,
H = { \cal H } + ( i \hbar ) ^ { - 1 } [ \Omega , \bar { \cal P } _ { \alpha } ] \lambda ^ { \alpha } + \bar { \cal P } _ { \alpha } { \cal P } ^ { \alpha } + \pi _ { \alpha } \chi ^ { \alpha } + \bar { C } _ { \alpha } ( i \hbar ) ^ { - 1 } [ \chi ^ { \alpha } , \Omega ] .
\mathbf { A } ^ { \prime } \cdot \mathbf { B } ^ { \prime } = { A ^ { \prime } } ^ { 0 } { B ^ { \prime } } ^ { 0 } - { A ^ { \prime } } ^ { 1 } { B ^ { \prime } } ^ { 1 } - { A ^ { \prime } } ^ { 2 } { B ^ { \prime } } ^ { 2 } - { A ^ { \prime } } ^ { 3 } { B ^ { \prime } } ^ { 3 } = C ^ { \prime }
{ \bigg \langle } \Psi _ { \lambda } ( t ) { \bigg | } { \frac { \partial H _ { \lambda } } { \partial \lambda } } { \bigg | } \Psi _ { \lambda } ( t ) { \bigg \rangle } = i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } { \bigg \langle } \Psi _ { \lambda } ( t ) { \bigg | } { \frac { \partial \Psi _ { \lambda } ( t ) } { \partial \lambda } } { \bigg \rangle }
{ \cal D } _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { l l } { { \partial _ { t } ^ { 2 } + \beta _ { k } - i \alpha _ { k } } } & { { \gamma _ { k } \partial _ { t } + \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \dot { \gamma } _ { k } + i \alpha _ { k } } } \\ { { - \gamma _ { k } \partial _ { t } - \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \dot { \gamma } _ { k } + i \alpha _ { k } } } & { { - \partial _ { t } ^ { 2 } - \beta _ { k } - i \alpha _ { k } } } \end{array} \right) \, ,
F _ { g = 2 } ^ { \mathrm { r e g } } ( T ) = - \frac { 6 5 8 6 1 \, { \mathrm { i } } \, \sqrt { T } } { 7 2 5 5 9 4 1 1 2 \, \sqrt { 2 } } - \frac { 2 4 9 9 2 3 \, T } { 5 7 3 9 5 6 2 8 0 } - \frac { 1 5 3 4 2 6 3 4 1 \, { \mathrm { i } } \, T ^ { 3 / 2 } } { 6 6 1 1 9 7 6 3 4 5 6 \, \sqrt { 2 } } + \frac { 2 5 6 6 5 5 2 4 2 \, T ^ { 2 } } { 5 2 3 0 1 7 6 6 0 1 5 } + \cdots .
\begin{array} { r l } { \Phi ( J , t ) } & { { } = e ^ { - \left( \Gamma _ { \mathrm { ~ u ~ d ~ } } + \Gamma _ { \mathrm { ~ d ~ u ~ } } \right) t / 2 } \Big \{ \cos \big [ t \sqrt { ( 2 i \gamma + 2 J / N ) ^ { 2 } - \Gamma _ { \mathrm { ~ u ~ d ~ } } \Gamma _ { \mathrm { ~ d ~ u ~ } } } \big ] } \\ { \Psi ( J , t ) } & { { } = e ^ { - \left( \Gamma _ { \mathrm { ~ u ~ d ~ } } + \Gamma _ { \mathrm { ~ d ~ u ~ } } \right) t / 2 } t \left[ i ( 2 i \gamma + 2 J / N ) - 2 \gamma \right] } \end{array}
{ \cal Z } = \int D h _ { \mu \nu } \exp \left\{ - \int d ^ { 4 } x \left[ \frac { 1 } { 1 2 \eta ^ { 2 } } H _ { \mu \nu \lambda } ^ { 2 } + g _ { m } ^ { 2 } h _ { \mu \nu } ^ { 2 } - 2 \zeta \cos \left( \frac { \left| h _ { \mu \nu } \right| } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \right] \right\} .
\frac { d } { d t } \vec { p } = \mu \, \left( \vec { E } _ { g } \, + \, \vec { v } \times \vec { B } _ { g } \, + \, 2 \vec { v } \, \partial _ { t } \Psi \, - \, 2 v ^ { j } \, \partial _ { t } \, s _ { i j } \right) \, + \, { \cal O } ( v ^ { i } \, v ^ { j } ) .
\frac { d ^ { 2 } \gamma ^ { a } } { d \tau ^ { 2 } } \left( \frac { d \tau } { d s } \right) ^ { 2 } + \frac { d \gamma ^ { a } } { d \tau } \frac { d ^ { 2 } \tau } { d s ^ { 2 } } + \left( \frac { d \tau } { d s } \right) ^ { 2 } \sum _ { b , c } \tilde { \Gamma } _ { b c } ^ { a } \frac { d \gamma ^ { b } } { d \tau } \frac { d \gamma ^ { c } } { d \tau } = 0 .
\begin{array} { r l r } { 2 - 1 / 4 } & { < } & { d i s t ( H _ { g } ( \widetilde { y } ) , H _ { g } ( \widetilde { x } ) ) } \\ & { \leq } & { d i s t ( H _ { g } ( \widetilde { y } ) , H _ { g ^ { \prime } } ( \widetilde { y } ) ) + d i s t ( H _ { g ^ { \prime } } ( \widetilde { y } ) , H _ { g ^ { \prime } } ( \widetilde { x } ) ) + d i s t ( H _ { g ^ { \prime } } ( \widetilde { x } ) , H _ { g } ( \widetilde { x } ) ) } \\ & { \leq } & { 1 / 4 + d i s t ( H _ { g ^ { \prime } } ( \widetilde { y } ) , H _ { g ^ { \prime } } ( \widetilde { x } ) ) + 1 / 4 } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { m _ { \textrm { p h o t o n } } } & { { } = 0 } \\ { H | \mathbf { k } , \mu \rangle } & { { } = h \nu | \mathbf { k } , \mu \rangle } & { } & { { } { \mathrm { w i t h } } \quad \nu = c | \mathbf { k } | } \\ { P _ { \textrm { E M } } | \mathbf { k } , \mu \rangle } & { { } = \hbar \mathbf { k } | \mathbf { k } , \mu \rangle } \\ { S _ { z } | \mathbf { k } , \mu \rangle } & { { } = \mu | \mathbf { k } , \mu \rangle } & { } & { { } \mu = \pm 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varepsilon } & { = } & { \frac { n _ { S + } } { N _ { S } ^ { \prime } } \, = \, \mathsf { P } \, ( \mathcal { T } \, | \, \mathcal { H } ) \; \ldots \; \mathit { e f f i c i e n c y , s e n s i t i v i t y , s e l e c t | h i t \, r a t e } , } \\ { \alpha } & { = } & { \frac { n _ { S - } } { N _ { S } ^ { \prime } } \, = \, \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { T } } \, | \, \mathcal { H } ) \; \ldots \; \mathit { e r r o r \, t y p e \, I , s i g n i f i c a n c e , l o s s | m i s s \, r a t e } , } \\ { \beta } & { = } & { \frac { n _ { B + } } { N _ { B } ^ { \prime } } \, = \, \mathsf { P } \, ( \mathcal { T } \, | \, \bar { \mathcal { H } } ) \; \ldots \; \mathit { e r r o r \, t y p e \, I I , c o n t a m i n a t i o n | f a k e \, r a t e } , } \\ { \eta } & { = } & { \frac { n _ { B - } } { N _ { B } ^ { \prime } } \, = \, \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { T } } \, | \, \bar { \mathcal { H } } ) \; \ldots \; \mathit { t e s t \, p o w e r , s p e c i f i c i t y , r e j e c t \, r a t e } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \ell _ { + } } & { = } & { \frac { \varepsilon } { \beta } \; \ldots \; \mathit { p o s i t i v e \, l i k e l i h o o d \, r a t i o } , } \\ { \ell _ { - } } & { = } & { \frac { \alpha } { \eta } \; \ldots \; \mathit { n e g a t i v e \, l i k e l i h o o d \, r a t i o } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S F } , u , \vec { L } } = } & { \phantom { + } \frac { \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } } { | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } | } \int \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho _ { \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho _ { \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) ~ \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } \cdot } \\ & { \left[ \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right\} \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) + \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right\} \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \frac { f _ { \nabla } } { 2 } \frac { \left( \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } \right) \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } } { \Gamma } ~ \cdot } \\ & { \left[ \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right\} \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) + \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right\} \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { + \int } & { \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \tau _ { \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \tau _ { \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \frac { f _ { \tau } } { 2 } \frac { \tau _ { \textrm { m } } ^ { u } } { | \vec { \tau } _ { \textrm { m } } | } \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right] \cdot \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right] \textrm { d } ^ { 3 } r . } \end{array}