harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { c c c c c c } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { a _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { a _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { 5 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { a _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { a _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { 4 } } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { k } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \ell _ { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \ell _ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { - \ell _ { 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - \ell _ { 4 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d \theta } } & { { } = 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha I _ { \mathrm { L } } \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } \frac { \beta ^ { - 2 } } { k _ { i } ^ { 2 } } , \qquad \theta ^ { 2 } \ll \beta ^ { 2 } < \beta } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { x } \, [ F _ { 2 } ^ { \gamma p } ( x ) - F _ { 2 } ^ { \gamma n } ( x ) ] = \frac { 1 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, [ \overline { { u } } ( x ) - \overline { { d } } ( x ) ] \ \ \ .
e _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } = n _ { l _ { p } } \left\lVert \frac { r _ { i } } { s _ { \mathrm { ~ a ~ b ~ s ~ } } + s _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } \, \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ( | u _ { i } | , | \tilde { u } _ { i } | ) } \right\rVert _ { p } \, .
\begin{array} { r } { | \phi _ { k } ^ { \pm } \rangle _ { L } = \sqrt { \frac { 1 } { \pi } } \sum _ { x < 0 } \Big ( \pm \sin { k x } | x , A \rangle + \sin { ( k x + \theta _ { k } ) } | x , B \rangle \Big ) , } \end{array}
\delta \widehat { \Delta } _ { [ \overline { { { A } } } ] } ( r , k ) \; = \; \sum _ { n = 1 , \infty } \frac { 1 } { n ! } \, \left( g \overline { { { A } } } ( r ) \cdot \partial _ { k } \right) ^ { n } \widehat { \Delta } _ { [ \overline { { { 0 } } } ] } ( k ) \; \; \simeq \; \; g \overline { { { A } } } ( r ) \cdot \partial _ { k } \widehat { \Delta } _ { [ \overline { { { 0 } } } ] } ( k ) \; ,
\Gamma _ { T } ( k ^ { 2 } ) = - k ^ { 2 } + \left( \frac { g _ { 0 } } { 4 \pi } \right) ^ { 2 } \sum _ { M = A \ldots F } \, \, \Phi _ { T T } ^ { ( M ) } \left[ \Gamma _ { 2 } , \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { V V V T } \right] \, ,
\bar { \bar { \epsilon } } = \left[ \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { \sin \theta } \\ { - \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { e } } & { 0 } \\ { 0 } & { \epsilon _ { o } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { - \sin \theta } \\ { \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right] .
f ( p _ { n } ) = \frac { 1 } { 4 } \left[ 1 + \mathrm { e r f } \left( \frac { p _ { n } - p _ { 1 } } { w _ { 1 } } \right) \right] \left[ 1 - \mathrm { e r f } \left( \frac { p _ { n } - p _ { 2 } } { w _ { 2 } } \right) \right]
E _ { k i n } = - \sum _ { k n } \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 m } \psi _ { k n } ^ { 2 } = \sum _ { k n } \epsilon _ { k n } n _ { k n } - \sum _ { k n } \int V _ { e f f } ( r ) \psi _ { k n } ^ { 2 } ( r ) d r =
\begin{array} { r } { \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 1 } ( \mathbf { X } _ { 0 } ; t _ { 0 } ) \sim \frac { 1 } { 4 } \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } A ( t ) ^ { 2 } \left. \left\{ \mathbf { e } _ { x } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \right] + \mathbf { e } _ { y } \left[ - \frac { 2 ( x - t ) y } { r ^ { 4 } } \right] \right\} \right\vert _ { \mathbf { X } _ { 0 } } \, d t , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \langle 1 _ { q 1 } 1 _ { 1 2 } 1 _ { 2 3 } \cdots 1 _ { i , i + 1 } \cdots 1 _ { n \overline { { { q } } } } \mid T r ( Q G _ { 1 } G _ { 2 } \cdots G _ { n } ) \rangle } } \\ { { = N _ { c } ^ { n + 1 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } C _ { n } ^ { k } ( - 1 ) ^ { k } \frac 1 { N _ { c } ^ { k } } N _ { c } ^ { n - k + 1 } } } \\ { { = N _ { c } ^ { n + 1 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } C _ { n } ^ { k } ( - 1 ) ^ { k } N _ { c } ^ { n - 2 k + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ^ 3 \Delta _ { 1 } } & { : T _ { e } = 9 7 6 . 9 3 0 ~ \mathrm { c m } ^ { - 1 } \ , } \\ { ^ 3 \Delta _ { 2 } } & { : T _ { e } = 2 1 4 9 . 4 3 2 ~ \mathrm { c m } ^ { - 1 } \ , } \\ { ^ 3 \Pi _ { 0 ^ { - } } } & { : T _ { e } = 1 0 2 1 2 . 6 2 3 ~ \mathrm { c m } ^ { - 1 } \ , } \\ { ^ 3 \Pi _ { 0 ^ { + } } } & { : T _ { e } = 1 0 4 0 1 . 7 2 3 ~ \mathrm { c m } ^ { - 1 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( t ) } & { { } = \prod _ { j = 1 } ^ { N } \psi _ { j } ( t ) , } \\ { | \psi _ { j } ( t ) \rangle } & { { } = c _ { j g } ( t ) | g _ { j } \rangle + c _ { j e } ( t ) | e _ { j } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ^ { ( 2 ) } } & { = - [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] - [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] - [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \pmod 2 , } \\ { C ^ { ( 3 ) } } & { = - [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] - 2 [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] + 2 [ K _ { 1 } ^ { \prime ( 3 ) } ] + [ K _ { 2 } ^ { \prime ( 3 ) } ] \pmod 3 , } \\ { C ^ { ( 4 ) } } & { = 2 [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] + [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] - [ M _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ] - 2 [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \pmod 4 , } \\ { C ^ { ( 6 ) } } & { = - 8 [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] - 4 [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] + 3 [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \pmod 6 , } \end{array}
\langle \bar { B } _ { q } ^ { 0 } | Q _ { q } ^ { \Delta B = 2 } | B _ { q } ^ { 0 } \rangle = { \textstyle \frac { 8 } { 3 } } m _ { B _ { q } } ^ { 2 } f _ { B _ { q } } ^ { 2 } B _ { B _ { q } } .
\mathbf { a } _ { S } = - V _ { g } ^ { 2 } \: \frac { \alpha _ { S } } { m } \frac { 1 } { ( z - z _ { < } ) } \left( \frac { E _ { y } | _ { y = 0 } } { V _ { g } } \right) ^ { 2 } \: \mathbf { \hat { z } }
\begin{array} { r l } { \theta _ { a } \left( a ^ { - 1 } \right) \theta _ { a a ^ { - 1 } } \left( a \right) \theta _ { a } \left( a ^ { - 1 } \right) } & { = \theta _ { a } \left( a ^ { - 1 } a \right) \theta _ { a } \left( a ^ { - 1 } \right) = \theta _ { a } \left( a ^ { - 1 } a \right) \theta _ { a a ^ { - 1 } a } \left( a ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \theta _ { a } \left( a ^ { - 1 } a a ^ { - 1 } \right) = \theta _ { a } \left( a ^ { - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \tilde { \rho } _ { t } ( \tilde { \theta } ) } { \partial t } = \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot \Bigl [ \tilde { \rho } _ { t } P ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } _ { t } ) \nabla _ { \tilde { \theta } } \frac { \delta \tilde { \mathcal { E } } } { \delta \tilde { { \rho } } } \Bigr | _ { \tilde { \rho } = \tilde { \rho } _ { t } } \Bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ( a ) \cdot F ( b ) } & { = ( a - \mathbf T \cdot \partial ( a ) ) \cdot ( b - \mathbf T \cdot \partial ( b ) ) } \\ & { = a \cdot b - \mathbf T \cdot \partial ( a ) \cdot b - \mathbf T \cdot a \cdot \partial ( b ) + \mathbf T ^ { 2 } \cdot \partial ( a ) \cdot \partial ( b ) } \\ & { = a \cdot b - \mathbf T \cdot ( \partial ( a ) \cdot b + a \cdot \partial ( b ) - \mathbf T \cdot \partial ( a ) \cdot \partial ( b ) ) } \\ & { = a \cdot b - \mathbf T \cdot \partial ( a \cdot b ) } & { \mathrm { ( u s i n g ~ ( 5 ) ) } } \\ & { = F ( a \cdot b ) . } \end{array}
f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } ( \rho , \mathbf { u } ) = \mathrm { w } _ { i } \rho \left( 1 + \frac { \mathbf { e } _ { i } \cdot \mathbf { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { \left( \mathbf { u } \cdot \mathbf { e } _ { i } \right) ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \mathbf { u } \cdot \mathbf { u } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { m ^ { \omega } ( x , t , k ) = } & { \; I + \frac { Y m _ { 1 } ^ { P } ( y ) Y ^ { - 1 } } { t ^ { 1 / 3 } f _ { \omega } ( k ) } + \frac { Y m ^ { P } ( y , 0 ) m _ { 1 } ^ { W } ( \tilde { y } ) m ^ { P } ( y , 0 ) ^ { - 1 } Y ^ { - 1 } } { \frac { 2 ^ { 1 / 3 } } { 3 ^ { 1 / 1 2 } } t ^ { 1 / 2 } f _ { \omega } ( k ) } + \frac { Y m _ { 2 } ^ { P } ( y ) Y ^ { - 1 } } { t ^ { 2 / 3 } f _ { \omega } ( k ) ^ { 2 } } } \\ & { + Y \frac { \hat { m } _ { 1 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) \ln t + \hat { m } _ { 1 } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) } { t ^ { 2 / 3 } f _ { \omega } ( k ) } Y ^ { - 1 } + \frac { Y \hat { m } _ { 2 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) Y ^ { - 1 } \ln t } { t ^ { 5 / 6 } f _ { \omega } ( k ) } + O \big ( t ^ { - \frac { 5 } { 6 } } \big ) , } \end{array}
\mathbf { I } _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = \nabla _ { p } I _ { \mathrm { ~ i ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = \left( \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ i ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \vec { r } _ { p } ) } { \partial x _ { p } } , \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ i ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \vec { r } _ { p } ) } { \partial y _ { p } } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { R } ( k _ { i n } = k / 2 , k _ { o u t } = k / 2 ; z ) = } \\ & { } & { \iint { R ( x _ { i n } , x _ { o u t } ; z ) ~ e ^ { - i \frac { 1 } { 2 } k x _ { i n } } ~ e ^ { - i \frac { 1 } { 2 } k x _ { o u t } } ~ d x _ { o u t } d x _ { i n } } } \\ & { } & { = \iint { R ( x _ { i n } , x _ { o u t } ; z ) ~ e ^ { - i k \frac { x _ { i n } + x _ { o u t } } { 2 } } ~ d x _ { o u t } d x _ { i n } } } \end{array}
\begin{array} { r } { | \tilde { \mathbf { u } } ( t ; \tilde { \mathbf { u } } _ { 0 } ; \mathbf { u } _ { 0 } ) - \mathbf { u } ( t ; \mathbf { u } _ { 0 } ) | ^ { 2 } \leq | \tilde { \mathbf { u } } _ { 0 } - \mathbf { u } _ { 0 } | ^ { 2 } \exp \left( - \nu \lambda _ { K + 1 } t + \frac { c } { \nu } \int _ { 0 } ^ { t } \| \mathbf { u } ( \tau ; \mathbf { u } _ { 0 } ) \| ^ { 2 } d \tau \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \ell } _ { \mathrm { Z I } } } & { = U _ { \mathrm { N } } \; \bar { t } _ { \mathrm { Z I } } = ( 1 - \bar { \nu } ) \bar { \ell } _ { \mathrm { Z } } } \\ { \delta \bar { \ell } _ { \mathrm { Z R } } } & { = U _ { \mathrm { C J } } \; \delta \bar { t } _ { \mathrm { Z R } } = \bar { \nu } \bar { \ell } _ { \mathrm { Z } } } \\ { \bar { \nu } } & { = \frac { \delta \ell _ { \mathrm { Z R } } } { \bar { \ell } _ { \mathrm { Z } } } = \bar { y } \; \frac { v _ { \mathrm { C J } } } { \bar { v } _ { \mathrm { Z } } ( \bar { y } ) } . \quad } \end{array}
\sum _ { i } \left[ \Psi \right] _ { i } \left( a _ { \alpha i } \Delta p _ { \alpha } + b _ { \alpha i } ^ { \mu } \partial _ { \mu } \left( \Delta p _ { \alpha } \right) \right) \equiv - \sum _ { i } \partial _ { \mu } \left\{ \frac { \partial L } { \partial \left( \partial _ { \mu } \psi _ { i } \right) } \left( a _ { \alpha i } \Delta p _ { \alpha } + b _ { \alpha i } ^ { \mu } \partial _ { \mu } \left( \Delta p _ { \alpha } \right) \right) \right\} ,
\begin{array} { r l } { P ( \mathbf { s } _ { \mathcal { V } _ { i } } = x _ { \mathcal { V } _ { i } } ) = } & { \frac { 1 } { Z } \sum _ { \mathbf { s } \backslash \mathbf { s } _ { \mathcal { V } _ { i } } } e ^ { - \beta [ \sum _ { ( i j ) \in \mathcal { E } } E _ { i j } ( s _ { i } , s _ { j } ) + \sum _ { i \in \mathcal { V } } \theta _ { i } ( s _ { i } ) ] } } \\ { = } & { \frac { 1 } { Z } \sum _ { \mathbf { s } \backslash \mathbf { s } _ { \mathcal { V } _ { i } } } \prod _ { ( i j ) \in \mathcal { E } } e ^ { \beta J _ { i j } s _ { i } s _ { j } } \prod _ { i \in \mathcal { V } } e ^ { \beta h _ { i } s _ { i } } } \end{array}
\frac { Y _ { 3 / 2 } } { Y _ { 3 / 2 } ^ { \mathrm { R } } } \simeq 0 . 1 \, \hat { Y } _ { 3 / 2 } \, \left( \frac { H _ { \mathrm { I } } } { 1 0 ^ { 1 3 } \, \mathrm { G e V } } \right) \left( \frac { g _ { \ast s } } { 2 0 0 } \right) ^ { 3 / 2 } ,
\begin{array} { r l } & { C ( r , \tau ) = c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \left[ F _ { 1 } ( r , \tau ) + F _ { 2 } ( r , \tau ) \right] , } \\ & { F _ { 1 } ( r , \tau ) = \cos ( \tilde { \omega } _ { d } \tau ) \, g _ { \mathrm { r e } } ( r , \tau ) - \sin ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) \, g _ { \mathrm { i m } } ( r , \tau ) , } \\ & { F _ { 2 } ( r , \tau ) = \frac { \sin ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) } { 2 \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, g _ { \mathrm { r e } } ( r , \tau ) + \frac { \cos ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) } { 2 \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, g _ { \mathrm { i m } } ( r , \tau ) \, , } \\ & { g _ { \mathrm { r e } } ( r , \tau ) = \frac { \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) } { \pi ^ { ( d + 1 ) / 2 } } \, \frac { \sqrt { a _ { \Re } ^ { 2 } + a _ { \Im } ^ { 2 } } \, \cos \left( \frac { ( d + 1 ) \gamma } { 2 } - \phi \right) } { \left[ \left( a _ { \Re } ^ { 2 } + a _ { \Im } ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 a _ { \Im } ^ { 2 } \, r ^ { 2 } \right] ^ { ( d + 1 ) / 4 } } , } \\ & { g _ { \mathrm { i m } } ( r , \tau ) = \frac { \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) } { \pi ^ { ( d + 1 ) / 2 } } \, \frac { \sqrt { a _ { \Re } ^ { 2 } + a _ { \Im } ^ { 2 } } \, \sin \left( \frac { ( d + 1 ) \gamma } { 2 } - \phi \right) } { \left[ \left( a _ { \Re } ^ { 2 } + a _ { \Im } ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 a _ { \Im } ^ { 2 } \, r ^ { 2 } \right] ^ { ( d + 1 ) / 4 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X , X ^ { \prime } ) \ell ( Y , Y ^ { \prime } ) - 4 \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X , X ^ { \prime \prime } ) \ell ( Y , Y ^ { \prime } ) } \\ & { - 2 \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X , X ^ { \prime } ) \ell ( Y , Y ^ { \prime \prime } ) + 4 \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X , X ^ { \prime \prime } ) \ell ( Y , Y ^ { ( 3 ) } ) } \\ & { + 2 \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X ^ { \prime \prime } , X ^ { ( 3 ) } ) \ell ( Y , Y ^ { \prime } ) + 2 \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X ^ { \prime \prime } , X ^ { ( 3 ) } ) \ell ( Y , Y ^ { ( 3 ) } ) } \\ & { + 4 \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X ^ { \prime \prime } , X ^ { \prime } ) \ell ( Y , Y ^ { ( 3 ) } ) + \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X , X ^ { \prime } ) \ell ( Y ^ { \prime \prime } , Y ^ { ( 3 ) } ) } \\ & { - 8 \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X ^ { \prime \prime } , X ^ { ( 3 ) } ) \ell ( Y ^ { ( 4 ) } , Y ^ { \prime } ) - 4 \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X ^ { \prime \prime } , X ^ { \prime } ) \ell ( Y ^ { ( 4 ) } , Y ^ { ( 3 ) } ) } \\ & { + 4 \mathbb { E } k ( X , X ^ { \prime } ) k ( X ^ { \prime \prime } , X ^ { ( 3 ) } ) \ell ( Y ^ { ( 4 ) } , Y ^ { ( 5 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { | x _ { t } | } { \eta _ { 1 } ^ { ( n - t ) / 2 } } } & { = | \alpha \eta _ { 1 } ^ { - 3 n / 2 } + \beta \cos ( \gamma - \delta n ) | } \\ & { \ge | \beta \cos ( \gamma - \delta n ) | - | \alpha | \eta _ { 1 } ^ { - 3 n / 2 } } \\ & { \ge V \cos ( \delta / 2 ) - U \eta _ { 1 } ^ { - 3 n / 2 } } & { \ge M \eta _ { 1 } } \end{array}
[ L _ { m } ^ { \alpha } , \Phi ( z ) ] \ = \ z ^ { m } \ \sum _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } \frac { q ^ { \sigma m - \sigma \sigma ^ { \prime } \alpha m / 2 } } { 2 \omega ( q ^ { \sigma } ) } \, P h i ( z q ^ { - \alpha \sigma \sigma ^ { \prime } + \sigma } )
\begin{array} { r l } { \widetilde { \eta } ( \mathbf { e } ) = } & { U \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n _ { \eta } } } \right) e _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \eta } } \frac { U } { 2 ^ { i } } e _ { i } \; , } \\ { \widetilde { \alpha } ^ { j } ( \mathbf { a } ^ { j } ) = } & { U \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n _ { \alpha ^ { j } } } } \right) a _ { j 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \alpha ^ { j } } } \frac { U } { 2 ^ { i } } a _ { i } ^ { j } \; , } \\ { \widetilde { V } = } & { V - \sum _ { i \in \mathcal { A } } \frac { \widetilde { \rho } _ { i } } { n _ { \rho } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \bf k } ^ { C } } & { = \rho _ { \bf k } ( \omega _ { 0 } ^ { X } ) \kappa _ { \bf k } ^ { C } \kappa _ { \bf k } ^ { C } / \hbar , ~ ~ \gamma _ { \bf k } ^ { X } = \rho _ { \bf k } ( \omega _ { 0 } ^ { X } ) \kappa _ { \bf k } ^ { X } \kappa _ { \bf k } ^ { X } / \hbar , ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \gamma _ { \bf k } ^ { C X } = \gamma _ { \bf k } ^ { X C } = \sqrt { \gamma _ { \bf k } ^ { C } \gamma _ { \bf k } ^ { X } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { D } \mathscr { A } \mathrm { l g } _ { A [ t ^ { - 1 } ] } ( R _ { B / A } ^ { \operatorname { e x t } } , Q ) } & { \simeq \relax _ { \alpha } \mathrm { D } \mathscr { A } \mathrm { l g } _ { A [ t ^ { - 1 } ] } ( R _ { B _ { \alpha } / A } ^ { \operatorname { e x t } } , Q ) } \\ & { \simeq \relax _ { \alpha } \mathrm { D } \mathscr { A } \mathrm { l g } _ { A } ( B _ { \alpha } , Q / ( t ^ { - 1 } ) ) } \\ & { \simeq \mathrm { D } \mathscr { A } \mathrm { l g } _ { A } ( B , Q / ( t ^ { - 1 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \mathcal { C } ) } & { = } & { \left( d _ { ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) - 1 \right) t M _ { w } + d _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) } \\ & { = } & { \left( d _ { w , ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) - m _ { w } \right) t + d _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) . } \end{array}
E _ { 1 } ( x , t ) = 2 k _ { 1 R } ( x - { p _ { 0 } } / { 2 } ) + 2 ( k _ { 1 R } m _ { 1 R } - k _ { 1 I } m _ { 1 I } ) ( t - { r _ { 0 } } / { 2 } )
\begin{array} { r } { | \kappa _ { k , 1 - \alpha } ( \xi ) \langle \xi \rangle ^ { - ( 1 - \alpha ) } | = \left| \frac { \langle \xi \rangle ^ { \alpha - 1 } } { \lambda _ { \alpha } ( \xi ) - \lambda _ { \alpha } ( { \xi - k } ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) } \right| \le \frac { 1 } { \left| \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi + ( t - 1 ) k ) d t } { \langle \xi \rangle ^ { \alpha - 1 } } \right| - \frac { \lambda _ { \alpha } ( k ) } { \langle \xi \rangle ^ { \alpha - 1 } } } . } \end{array}
R = \frac { m _ { \sigma } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l } { { \infty , \qquad ( \lambda > 0 , B = 0 ) } } \\ { { 1 , \qquad ( \lambda < 0 , B = 0 ) . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \lambda ^ { 2 } \mathcal { G } _ { t } } { \rho ^ { 2 } } } & { = \frac { 1 } { \eta _ { t } ^ { 2 } } | | \tilde { x } _ { t } - \tilde { x } _ { t + 1 } | | ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } | | \bar { \nu } _ { t } - \nabla f ( \tilde { x } _ { t } ) | | ^ { 2 } = | | \tilde { d } _ { t } | | ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } | | \bar { e } _ { t } | | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega } \frac { 1 . 5 \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } - 2 v ^ { s } + 0 . 5 v ^ { s - 1 } } { \Delta t } \cdot w } & { + } & { 2 \int _ { \Omega } \mathbb { D } ( \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } ) \cdot \mathbb { D } ( w ) + \int _ { \Gamma } k ( \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } \cdot \tau ) ( w \cdot \tau ) } \\ & { = } & { \int _ { \Omega } p ^ { s + 1 , l } \nabla \cdot w + \int _ { \Gamma } g ( w \cdot \tau ) , \quad \forall w \in V _ { h } , } \\ { \int _ { \Omega } \nabla \phi ^ { l + 1 } \cdot \nabla q } & { = } & { - \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \Omega } q ( \nabla \cdot \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } ) , \quad \forall q \in Q _ { h } , } \\ { \int _ { \Omega } p ^ { s + 1 , l + 1 } q } & { = } & { \int _ { \Omega } ( p ^ { s + 1 , l } + 1 . 5 \phi ^ { l + 1 } - \nabla \cdot \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } ) q , \quad \forall q \in Q _ { h } , } \\ { \int _ { \Omega } v ^ { s + 1 , l + 1 } \cdot w } & { = } & { \int _ { \Omega } \tilde { v } ^ { s + 1 , l + 1 } \cdot w - \Delta t \phi ^ { l + 1 } ( \nabla \cdot w ) , \quad \forall w \in V _ { h } . } \end{array}
( \rho , u , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 , 1 0 0 0 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq x < 0 . 1 , } \\ { ( 1 , 0 , 0 . 0 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 1 \leq x < 0 . 9 , } \\ { ( 1 , 0 , 1 0 0 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 9 \leq x \leq 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \operatorname { E } [ W _ { 1 } W _ { 2 } ] - \operatorname { E } [ W _ { 1 } ] \operatorname { E } [ W _ { 2 } ] } { \sigma _ { W _ { 1 } } \sigma _ { W _ { 2 } } } } & { { } = \frac { 2 \, | s | ^ { 2 } } { 1 + 2 \, | s | ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N ^ { 1 - 2 \alpha } } \sum _ { i \in ( x _ { 1 } N ^ { \lambda _ { 1 } t } , x _ { 2 } N ^ { \lambda _ { 1 } t } ) } R ( N , i ) } & { \leq N ^ { - \lambda _ { 1 } t } \sum _ { i \in ( x _ { 1 } N ^ { \lambda _ { 1 } t } , x _ { 2 } N ^ { \lambda _ { 1 } t } ) } \frac { b _ { 1 } \omega ( i e ^ { - \lambda _ { 1 } t _ { N } } + 2 ) N ^ { 2 \alpha } } { ( i e ^ { - \lambda _ { 1 } t _ { N } } + 1 ) ^ { 2 } \lambda _ { 1 } } \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { k } ^ { N } ) k } \\ & { \leq ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \frac { b _ { 1 } \omega ( x _ { 2 } + 2 ) } { ( x _ { 1 } + 1 ) ^ { 2 } \lambda _ { 1 } } N ^ { 2 \alpha } \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { k } ^ { N } ) k , } \end{array}
h ( \theta _ { B } , \zeta _ { B } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { N \zeta _ { B } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } M = 0 } \\ { - \theta _ { B } + \frac { N } { M } \zeta _ { B } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } M \ne 0 . } \end{array} \right.
\Gamma _ { \mathrm { v i s } } = \sum _ { i = 1 , 2 , 3 } \Gamma ( X \rightarrow \nu _ { i } e ^ { - } e ^ { + } ) \, + \, \sum _ { i = 1 , 2 , 3 } \Gamma ( X \rightarrow \nu _ { i } \gamma ) \ \ \ .
\begin{array} { r l } { \Pi ^ { g } : \; } & { C ^ { \infty } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) \to \mathcal { D } ^ { \prime } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) , } \\ { \langle \Pi ^ { g } f , f ^ { \prime } \rangle } & { = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \int _ { - T } ^ { T } \langle f \circ \phi _ { t } , f ^ { \prime } \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V _ { x y } ( I _ { - x } ) \lvert { _ { H _ { y } = 0 } } = \Delta R _ { A H E } I _ { - x } \sqrt { - \frac { - H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } - 2 H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } + H _ { k } ^ { 2 } - H _ { y } ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } } \\ & { + \Delta R _ { A H E } I _ { - x } H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } \frac { \sqrt { \frac { - H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } - 2 H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } + H _ { k } ^ { 2 } - H _ { y } ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } } { { H _ { k } } ^ { 2 } \sqrt { 1 + \frac { - H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } - ( H _ { \mathrm { d l } } + H _ { x } ) ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } } + \mathcal { O } [ H _ { y } ] ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \partial a _ { 1 } } { \partial \tau } = i \left[ \frac { \partial } { \partial \zeta ^ { 2 } } ^ { 2 } - \left| a _ { 2 } \right| ^ { 2 } - \left| a _ { 1 } \right| ^ { 2 } \right] a _ { 1 } .
S _ { n p } = \frac { \lambda ^ { 5 } } { 4 8 } \frac { p ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { l ^ { 2 } ( l + p ) ^ { 2 } } G ( l | p ) ,
\mathrm { I m } ( \eta _ { \mathrm { ~ v ~ } } ) = \left( \frac { ( 1 - \beta ) } { \left| 1 + \lambda \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } \right| ^ { 2 } } + \beta \right) \mathrm { I m } ( \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } ) .