harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \xi } & { \stackrel { ( a ) } { = } \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) \mathbb { E } \Bigg [ \sum _ { u = 1 } ^ { n _ { U } ^ { \prime } } Z _ { | \mathcal { C } _ { u } | } ^ { ( i , u ) } \Bigg | r , n _ { R } , n _ { U } \Bigg ] } \\ & { \stackrel { ( b ) } { = } \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } \mathbb { E } \Bigg [ Z _ { | \mathcal { C } _ { u } | } ^ { ( i , u ) } \Bigg | r , n _ { R } , n _ { U } , n _ { U } ^ { \prime } \Bigg ] } \\ & { \stackrel { ( c ) } { = } \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } \sum _ { n _ { R } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } , r ) \mathbb { E } \Bigg [ Z _ { n _ { R } ^ { \prime } } ^ { ( i , u ) } \Bigg | r , n _ { R } , n _ { U } , n _ { R } ^ { \prime } \Bigg ] } \\ & { \stackrel { ( d ) } { = } \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } \sum _ { n _ { R } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } , r ) n _ { R } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( \phi , \varphi ) | ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } ^ { 2 } \, | \bigl ( \phi , f _ { n } \bigr ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { M } \sum _ { m \neq n } \alpha _ { n } \alpha _ { m } \bigl ( \phi , f _ { n } \bigr ) \bigl ( f _ { m } , \phi \bigr ) . } \end{array}
\int _ { \mathcal { X } } R \Pi _ { \eta } \widehat { R } _ { \eta } \, \psi _ { \eta } = \int _ { \mathcal { X } } R \Pi _ { 0 } \widehat { R } _ { 0 } \, \psi _ { 0 } + \eta \int _ { \mathcal { X } } R \left( \widehat { R } _ { 0 } \mathfrak { f } _ { 1 } + \Pi _ { 0 } \widetilde { R } \right) \psi _ { 0 } + \eta ^ { 2 } \widetilde { \mathcal { R } } _ { \eta } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \mathcal { F } } { \mathrm { d } t } = } & { \int \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \partial _ { t } h + \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \partial _ { t } \zeta \right] \mathrm { d } x } \\ { = } & { \int \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \left( - \partial _ { x } j _ { h } - j _ { M } \right) + \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \left( - \partial _ { x } j _ { \zeta } + j _ { M } \right) \right] \mathrm { d } x } \\ { \overset { ( * ) } { = } } & { - \int \frac { h ^ { 3 } } { 3 \eta } \left( \partial _ { x } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } x - \int D \zeta \left( \partial _ { x } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { - \int M \left( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } x + \int ( - U ) \left( h \partial _ { x } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } + \zeta \partial _ { x } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right) \mathrm { d } x } \\ { = : } & { - D _ { h } - D _ { \zeta } - D _ { M } + D _ { \mathrm { a d v } } \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { x x } ( \tau ) = } & { \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 0 } \tau ) \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { c o s } [ \frac { 1 } { \Omega _ { 0 } A _ { 0 } } \sqrt { \frac { k _ { B } T \Gamma _ { 0 } } { m } } W ( \tau ) ] \mathrm { d } t } \\ & { - \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { s i n } ( \Omega _ { 0 } \tau ) \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { s i n } [ \frac { 1 } { \Omega _ { 0 } A _ { 0 } } \sqrt { \frac { k _ { B } T \Gamma _ { 0 } } { m } } W ( \tau ) ] \mathrm { d } t } \\ & { = \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 0 } \tau ) \mathrm { e x p } ( - D t ) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { N } a _ { \sigma ( i ) } - A \right\| } & { { } = \left\| \sum _ { i \in \sigma ^ { - 1 } \left( \{ 1 , \dots , N _ { \varepsilon } \} \right) } a _ { \sigma ( i ) } - A + \sum _ { i \in I _ { \sigma , \varepsilon } } a _ { \sigma ( i ) } \right\| } \end{array}
H = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \mathbf { k } , \mu = \pm 1 } \hbar \omega \left( { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) a ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) + a ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) \right) = \sum _ { \mathbf { k } , \mu } \hbar \omega \left( { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) a ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \right)
\varphi ( z , u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - \vartheta ) z \, \varphi ( z , u - c ) + \vartheta z \, \varphi ( z , u + 1 ) \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } u > c , } \\ { ( 1 - \vartheta ) z + \vartheta z \, \varphi ( z , u + 1 ) } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Gamma = } & { { } \, \, B _ { \mathrm { g e } } \rho ( \omega _ { \mathrm { e g } } ) } \\ { = } & { { } \, \, \frac { \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } { \hbar \omega _ { \mathrm { e g } } ^ { 3 } } \frac { g _ { \mathrm { e } } } { g _ { \mathrm { g } } } A _ { \mathrm { e g } } \, \rho ( \omega _ { \mathrm { e g } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { k } ^ { m } ( y ) } & { = \frac { 1 } { \pi } \frac { 1 } { 4 k ^ { 2 } - ( 2 m + 1 ) ^ { 2 } } \frac { \sinh ( \sqrt { \lambda _ { 2 } } y ) } { \sqrt { \lambda _ { 2 } } \cosh \left( \sqrt { \lambda _ { 2 } } \frac { \ell } { 2 a } \right) } } \\ & { \quad \quad - \frac { a h ( - 1 ) ^ { m } \sqrt { \lambda _ { 1 } } } { 4 a ^ { 2 } \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } + h ^ { 2 } \lambda _ { 1 } } \frac { \ell } { ( 2 m + 1 ) ^ { 2 } \pi a } \operatorname { t a n h } \left( \sqrt { \lambda _ { 1 } } \frac { h } { 2 a } \right) \sin \left( \frac { ( 2 m + 1 ) \pi a y } { \ell } \right) . } \end{array}
\left\{ \left[ \left( \sigma _ { 1 } \sigma \right) \cdot \tilde { r } \right] , \left[ \left( \sigma _ { 2 } \sigma \right) \cdot \tilde { r } \right] , \cdots , \left[ \left( \sigma _ { m } \sigma \right) \cdot \tilde { r } \right] \right\} = \left\{ \left[ \sigma _ { 1 } \cdot r \right] , \left[ \sigma _ { 2 } \cdot r \right] , \cdots , \left[ \sigma _ { m } \cdot r \right] \right\} .
< H | T _ { \nu } ^ { \mu } | H > = ( \frac { 1 } { 3 8 4 \pi m ^ { 2 } } - \frac { \pi } { 2 4 a ^ { 2 } } ) \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 \ } } \end{array} \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { R _ { + 1 } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = \frac { 1 } { \alpha p _ { 1 1 } + ( 1 - \alpha ) p _ { 1 2 } } ( \alpha - \rho _ { 1 } ) \frac { 1 + h _ { 1 } } { 2 } ( p _ { 1 1 } \rho _ { 1 } + p _ { 1 2 } \rho _ { 2 } ) } \\ { R _ { - 1 } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = \frac { 1 } { \alpha p _ { 1 1 } + ( 1 - \alpha ) p _ { 1 2 } } \rho _ { 1 } \frac { 1 - h _ { 1 } } { 2 } [ p _ { 1 1 } ( \alpha - \rho _ { 1 } ) + p _ { 1 2 } ( 1 - \alpha - \rho _ { 2 } ) ] } \\ { R _ { + 2 } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = \frac { 1 } { \alpha p _ { 1 2 } + ( 1 - \alpha ) p _ { 2 2 } } ( 1 - \alpha - \rho _ { 2 } ) \frac { 1 + h _ { 2 } } { 2 } ( p _ { 1 2 } \rho _ { 1 } + p _ { 2 2 } \rho _ { 2 } ) } \\ { R _ { - 2 } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = \frac { 1 } { \alpha p _ { 1 2 } + ( 1 - \alpha ) p _ { 2 2 } } \rho _ { 2 } \frac { 1 - h _ { 2 } } { 2 } [ p _ { 1 2 } ( \alpha - \rho _ { 1 } ) + p _ { 2 2 } ( 1 - \alpha - \rho _ { 2 } ) ] } \end{array} \right.
F _ { \omega } ( Q _ { T } , Q ) = \tilde { F } _ { \omega } ^ { 0 } ( Q _ { T } , Q ; \mu ^ { 2 } ) + \overline { { { \alpha } } } _ { S } \int \frac { d ^ { 2 } q } { \pi q ^ { 2 } } \tilde { H } _ { \omega } ( Q , Q _ { T } , q ; \mu ^ { 2 } ) F _ { \omega } ( | \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { T } + \mathrm { \boldmath ~ q ~ } | , q ) \Theta ( q ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { s _ { p } ( \eta ) } & { { } \equiv } & { 2 J _ { - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { p - 1 } ( \eta ) + J _ { - p - 1 } ( \eta ) \right] , } \\ { d _ { p } ( \eta ) } & { { } \equiv } & { 2 J _ { - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { p - 1 } ( \eta ) - J _ { - p - 1 } ( \eta ) \right] , } \\ { s _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) } & { { } \equiv } & { 2 \sum _ { n \neq 0 } n ^ { - 1 } J _ { n - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { n + p - 1 } ( \eta ) + J _ { n - p - 1 } ( \eta ) \right] , } \\ { d _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) } & { { } \equiv } & { 2 \sum _ { n \neq 0 } n ^ { - 1 } J _ { n - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { n + p - 1 } ( \eta ) - J _ { n - p - 1 } ( \eta ) \right] , } \\ { k _ { p } ( \eta ) } & { { } \equiv } & { \frac { s _ { p } ( \eta ) } { d _ { p } ( \eta ) } , \quad k _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) = \frac { s _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) } { d _ { p } ( \eta ) } , } \\ { q _ { p } ( \eta ) } & { { } \equiv } & { \frac { d _ { p } ( \eta ) } { s _ { p } ( \eta ) } , \quad q _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) = \frac { d _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) } { s _ { p } ( \eta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { f _ { 1 } ( \alpha , a ) } } } & { \approx \overline { { A _ { 0 0 } + A _ { 1 0 } \alpha ^ { \prime } + A _ { 0 1 } a ^ { \prime } + A _ { 2 0 } { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } + A _ { 1 1 } \alpha ^ { \prime } a ^ { \prime } + A _ { 0 2 } { a ^ { \prime } } ^ { 2 } + A _ { 3 0 } { \alpha ^ { \prime } } ^ { 3 } + A _ { 2 1 } { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } a ^ { \prime } + A _ { 1 2 } \alpha ^ { \prime } { a ^ { \prime } } ^ { 2 } + A _ { 0 3 } { \alpha ^ { \prime } } ^ { 3 } } } } \\ & { = A _ { 0 0 } + A _ { 1 1 } \overline { { \alpha ^ { \prime } a ^ { \prime } } } + A _ { 0 2 } \overline { { { a ^ { \prime } } ^ { 2 } } } + A _ { 1 2 } \overline { { \alpha ^ { \prime } { a ^ { \prime } } ^ { 2 } } } + A _ { 0 3 } \overline { { { a ^ { \prime } } ^ { 3 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \nabla \cdot \bigl ( \bigl ( \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma \bigr ) \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } \bigr ) \bigr ) } \qquad } & { } \\ & { = \partial _ { t } { \Chi } _ { m , k } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } + \nabla \cdot \bigl ( \kappa _ { m } \bigl ( \nabla X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } - \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } \bigr ) \nabla { \Chi } _ { m , k } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) } \\ & { \qquad + \nabla \cdot \bigl ( \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } - \nabla X _ { m - 1 , l _ { k } } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) \bigl ( \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } { \psi } _ { m , k } \sigma + \kappa _ { m } \nabla { \Chi } _ { m , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) \, . } \end{array}
\frac { 1 } { 8 } \mathrm { T r } ^ { 2 } \left[ O + \left( \partial \! \! \! / B \! \! \! \! / \right) \right] - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left[ O + \left( \partial \! \! \! / B \! \! \! \! / \right) \right] ^ { 2 } = ( \partial _ { \lbrack \mu } B _ { \nu ] } ) ( \partial ^ { \lbrack \mu } B ^ { \nu ] } )
\begin{array} { r l r } & { f ( x ) = \operatorname* { m a x } \left\{ f _ { 1 } ( x ) , f _ { 2 } ( x ) \right\} , } & \\ & { \mathrm { w i t h } \quad f _ { 1 } ( x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \left( x _ { i } ^ { 2 } + ( x _ { i + 1 } - 1 ) ^ { 2 } + x _ { i + 1 } - 1 \right) , \quad f _ { 2 } ( x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \left( - x _ { i } ^ { 2 } - ( x _ { i + 1 } - 1 ) ^ { 2 } + x _ { i + 1 } + 1 \right) \; , } \\ & { ( x _ { 0 } ) _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 1 . 5 } & { \mathrm { i f } \; \mod ( i , 2 ) = 1 } \\ { \phantom { - } 2 . 0 } & { \mathrm { i f } \; \mod ( i , 2 ) = 0 \; } \end{array} \right. \qquad \mathrm { f o r } \quad i \in \{ 1 , \ldots , n \} \; . } \end{array}
a _ { p } ^ { 2 } a _ { T } ^ { 2 } - a _ { p T } ^ { 4 } = \varkappa ^ { 2 } v ^ { 4 } \mathrm { d e t } \left( \nabla _ { ( v , \eta ) } ^ { 2 } \varepsilon ( v , \eta ) \right) \geq 0
\begin{array} { r l } { | | v | | _ { - s } ^ { 2 } } & { = \langle ( 1 + \nabla ^ { \ast } \nabla ) ^ { - s } v , v \rangle \leq | | ( 1 + \nabla ^ { \ast } \nabla ) ^ { - s } v | | _ { s } \cdot | | \langle \mathrm { -- } , v \rangle | | _ { \mathrm { d u a l } } } \\ & { = | | v | | _ { - s } \cdot | | \langle \mathrm { -- } , v \rangle | | _ { \mathrm { d u a l } } , } \end{array}
{ \scriptstyle \Big ( z ^ { \beta _ { 1 } ^ { ( j ) } } \phi _ { 1 } ^ { ( j ) } ( z ) , z ^ { \beta _ { 2 } ^ { ( j ) } } \phi _ { 2 } ^ { ( j ) } ( z ) , \cdots , z ^ { \beta _ { i _ { j } } ^ { ( j ) } } \phi _ { i _ { j } } ^ { ( j ) } ( z ) \Big ) \cdot B _ { j } = \Big ( z ^ { \beta _ { 1 } ^ { ( j ) } } g _ { 1 } ^ { ( j ) } ( z ) , \, z ^ { \beta _ { 2 } ^ { ( j ) } } g _ { 2 } ^ { ( j ) } ( z ) , \, \cdots , \, z ^ { \beta _ { i _ { j } } ^ { ( j ) } } g _ { i _ { j } } ^ { ( j ) } ( z ) \Big ) , }
\begin{array} { r l } { Y _ { \mathrm { i n } } } & { = } \\ & { \frac { j Y _ { \mathrm { L } } \left[ B _ { 0 } B _ { 1 } + \left( B _ { 0 } + B _ { 1 } \right) Y _ { \mathrm { c } } \right] - B _ { 0 } B _ { 1 } Y _ { \mathrm { c } } + \left( B _ { 0 } + B _ { 1 } \right) Y _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } t } { Y _ { \mathrm { L } } \left[ B _ { 0 } t + Y _ { \mathrm { c } } \right] + j Y _ { \mathrm { c } } \left[ B _ { 0 } - Y _ { \mathrm { c } } t \right] } } \end{array}
{ \mathbb E } \{ S _ { 1 } ( x ) [ \lambda ] \} = c _ { 1 } | \lambda | ^ { - \zeta _ { 1 } } ~ ~ , ~ ~ { \mathbb E } \{ S _ { 2 } ( x ) [ \lambda ] \} = c _ { 2 } | \lambda | ^ { - \zeta _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { w _ { 1 } ( z ) } & { = - 0 . 5 z + 0 . 0 6 2 5 z ^ { 2 } - 0 . 0 3 1 2 5 z ^ { 3 } + 0 . 0 2 0 5 0 7 8 z ^ { 4 } + \cdots } \\ { w _ { 2 } ( z ) } & { = ( - 0 . 5 - 0 . 5 I ) z + ( 0 . 1 2 5 + 0 . I ) z ^ { 2 } - ( 0 . 0 6 2 5 - 0 . 0 1 5 6 2 5 I ) z ^ { 3 } + \cdots } \\ { w _ { 3 } ( z ) } & { = ( - 0 . 5 + 0 . 5 I ) z + ( 0 . 1 2 5 + 0 . I ) z ^ { 2 } - ( 0 . 0 6 2 5 + 0 . 0 1 5 6 2 5 I ) z ^ { 3 } + \cdots } \\ { w _ { 4 } ( z ) } & { = 4 + 1 . 5 z - 0 . 3 1 2 5 z ^ { 2 } + 0 . 1 5 6 2 5 z ^ { 3 } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = - \frac { i q E } { \omega - k p _ { z } / m } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial p _ { z } } } \\ { B _ { \pm } } & { = - i \frac { q \mu B _ { 0 } E / 4 m c } { \omega - k p _ { z } / m \mp \Delta \omega _ { c e } } \Big ( \sin \theta _ { s } + \cos \theta _ { s } \frac { \partial } { \partial _ { \theta _ { s } } } \Big ) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial p _ { \bot } } } \\ & { \pm i \frac { k \mu E p _ { \bot } / 4 m c } { \omega - k p _ { z } / m \mp \Delta \omega _ { c e } } \Big ( \sin \theta _ { s } + \cos \theta _ { s } \frac { \partial } { \partial _ { \theta _ { s } } } \Big ) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial p _ { z } } } \\ & { + i \frac { \mu E p _ { \bot } / 2 \hbar m c } { \omega - k p _ { z } / m \mp \Delta \omega _ { c e } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial \theta _ { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( \mathcal { M } - \lambda I ) \boldsymbol { \xi } _ { l } } & { { } = \bar { \boldsymbol { l } } , } & { } & { { } \boldsymbol { l } ^ { T } \boldsymbol { \xi } _ { l } = 0 } \\ { \left( \mathcal { M } ^ { T } - \lambda I \right) \boldsymbol { \xi } _ { r } } & { { } = 0 , } & { } & { { } \boldsymbol { r } ^ { T } \boldsymbol { \xi } _ { r } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 2 , k } : = \left\{ ( \mathbb E _ { k } - \mathbb E ) \left[ \phi _ { t , a } ^ { \top } \left( \tilde { Y } _ { t , a } ( \hat { \zeta } _ { t } ^ { ( k ) } , \hat { \overline { { \theta } } } _ { t + 1 , a } ^ { ( k ) } ) - \tilde { Y } _ { t , a } ( \zeta _ { t } ^ { * } , { \overline { { \theta } } } _ { t + 1 , a } ^ { * } ) \right) \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { + } = } & { \ 2 \omega - 2 U - \alpha r ^ { 2 } + \beta r ^ { 4 } , \quad U = 1 - g _ { 1 2 } n _ { 2 , 0 } } \\ { \alpha = } & { \ - g _ { 1 2 } n _ { 2 , 0 } ^ { \prime \prime } , \qquad \beta = \left( 4 n _ { 1 , 0 } ^ { \prime \prime \prime \prime } + 2 n _ { 2 , 0 } ^ { \prime \prime \prime \prime } \right) r ^ { 4 } / 4 ! } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nu ^ { n } : = \operatorname* { m i n } _ { V _ { 1 } , . . . , V _ { N } , \nu } \nu } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ } } & { V _ { 1 } , . . . , V _ { N } , \mathrm { p o l y n o m i a l s ~ o f ~ d e g r e e ~ n ~ } , } \\ & { V _ { N } ( s _ { N } , \lambda ) - r _ { N } ( s _ { N } , h , \lambda ) \in S O S ^ { n } ( g ^ { N } , \tilde { g } ^ { N } ) } \\ & { V _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) - r _ { k } ( s _ { k } , h , \lambda ) - V _ { k + 1 } ( f _ { k } ( s _ { k } , h , \lambda ) , \lambda ) \in S O S ^ { n } ( g ^ { k } , \tilde { g } ^ { k } ) , } \\ & { \nu - V _ { 1 } ( s _ { 1 } , \lambda ) \in S O S ^ { n } ( g ^ { 1 } , \tilde { g } ^ { 1 } ) . } \end{array}
I [ L , C _ { - } ] = I [ L ] + i \int d ^ { 2 } \xi d ^ { 2 } \theta \left[ \langle L ^ { - 1 } D _ { + } L , T ^ { a } \rangle E _ { a b } ^ { 0 } - \langle L ^ { - 1 } D _ { + } L , T _ { b } \rangle \right] C _ { - } ^ { b } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { b } _ { m \times m } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c } { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - 1 _ { i , i + \Delta } ^ { i \leq \Delta } } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 1 _ { i , i - \Delta } ^ { \Delta < i < = m - \Delta } } & { \cdots } & { \cdots } & { - 1 _ { i , i + \Delta } ^ { \Delta < i < = m - \Delta } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } & { 1 _ { i , i - \Delta } ^ { i > m - \Delta } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] , } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { 3 ! } } \varepsilon _ { b _ { 1 } b _ { 2 } b _ { 3 } } \overline { { { \psi } } } _ { 1 d _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) \overline { { { \psi } } } _ { 2 d _ { 2 } } ( y _ { 2 } ) \overline { { { \psi } } } _ { 3 d _ { 3 } } ( y _ { 3 } ) U ^ { d _ { 1 } b _ { 1 } } ( y _ { 1 } , y _ { M } ) U ^ { d _ { 2 } b _ { 2 } } ( y _ { 2 } , y _ { M } ) U ^ { d _ { 3 } b _ { 3 } } ( y _ { 3 } , y _ { M } ) | 0 \rangle
{ \frac { a _ { c } } { a _ { 0 } } } = { \frac { T _ { 0 } } { T _ { c } } } \sim 1 0 ^ { - 1 } \Bigr ( { \frac { g ^ { 4 } } { \lambda } } \Bigl ) ^ { 1 / 4 } \, \approx 1 0 ^ { - 1 } g \, \sqrt { \frac { \phi _ { 0 } } { m } } .
\lambda ( X _ { 1 } , \widetilde { T } - X _ { 1 } ) + \lambda ( X _ { 2 } , \widetilde { T } - X _ { 2 } ) = c a p ( \delta ( Y _ { 1 } ) ) + c a p ( \delta ( Y _ { 2 } ) ) \geq c a p ( \delta ( Y _ { 1 } \cap Y _ { 2 } ) ) + c a p ( \delta ( Y _ { 1 } \cup Y _ { 2 } ) ) \geq 0 + \lambda ( X _ { 1 } \sqcup X _ { 2 } , \widetilde { T } - ( X _ { 1 } \sqcup X _ { 2 } ) )
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } \left( \sum _ { m = 1 } ^ { n } \mathbb { E } [ C _ { n } ^ { 2 } X _ { n , m } ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { n , m - 1 } ] \right) } & { = 2 4 ^ { 2 } \sum _ { i < j < \ell } \big ( \sum _ { m > \operatorname* { m a x } ( i , j , \ell ) } \Omega _ { m i } ( 1 - \Omega _ { m i } ) \, \, \big ) ^ { 2 } \Omega _ { i j } ( 1 - \Omega _ { i j } ) \Omega _ { i \ell } ( 1 - \Omega _ { i \ell } ) } \\ & { \quad + 6 4 \sum _ { i < j } \big ( \sum _ { m > \operatorname* { m a x } ( i , j , \ell ) } \Omega _ { m i } ( 1 - \Omega _ { m i } ) \, \, \big ) ^ { 2 } ( 1 - 2 \Omega _ { i j } ) ^ { 2 } \Omega _ { i j } ( 1 - \Omega _ { i j } ) } \\ & { \lesssim n ^ { 2 } \cdot C _ { n } ^ { 2 } , } \end{array}
\xi _ { i } = V _ { 0 i } ^ { - 1 } z = \frac { ( z _ { i + 1 } - z _ { i - 1 } ) } { ( z _ { i + 1 } - z _ { i } ) } \cdot \frac { ( z - z _ { i } ) } { ( z - z _ { i - 1 } ) }
\vec { S } = \frac { 1 } { 1 0 } \int r ^ { 2 } \ \vec { r } \rho _ { Q } \ d ^ { 3 } r - \frac { 1 } { 6 Z } \int r ^ { 2 } d ^ { 3 } r \int \vec { r } \ \rho _ { Q } \ d ^ { 3 } r ,
{ \begin{array} { r l } { { \binom { n } { k } } p ^ { k } q ^ { n - k } } & { \simeq { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ \ln \left( \left( { \frac { n p } { k } } \right) ^ { k } \right) + \ln \left( \left( { \frac { n q } { n - k } } \right) ^ { n - k } \right) \right\} } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ - k \ln \left( { \frac { k } { n p } } \right) + ( k - n ) \ln \left( { \frac { n - k } { n q } } \right) \right\} } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ - k \ln \left( { \frac { n p + x { \sqrt { n p q } } } { n p } } \right) + ( k - n ) \ln \left( { \frac { n - n p - x { \sqrt { n p q } } } { n q } } \right) \right\} } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ - k \ln \left( { 1 + x { \sqrt { \frac { q } { n p } } } } \right) + ( k - n ) \ln \left( { 1 - x { \sqrt { \frac { p } { n q } } } } \right) \right\} \qquad p + q = 1 } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ - k \left( { x { \sqrt { \frac { q } { n p } } } } - { \frac { x ^ { 2 } q } { 2 n p } } + \cdots \right) + ( k - n ) \left( { - x { \sqrt { \frac { p } { n q } } } - { \frac { x ^ { 2 } p } { 2 n q } } } - \cdots \right) \right\} } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ \left( - n p - x { \sqrt { n p q } } \right) \left( { x { \sqrt { \frac { q } { n p } } } } - { \frac { x ^ { 2 } q } { 2 n p } } + \cdots \right) + \left( n p + x { \sqrt { n p q } } - n \right) \left( - x { \sqrt { \frac { p } { n q } } } - { \frac { x ^ { 2 } p } { 2 n q } } - \cdots \right) \right\} } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ \left( - n p - x { \sqrt { n p q } } \right) \left( x { \sqrt { \frac { q } { n p } } } - { \frac { x ^ { 2 } q } { 2 n p } } + \cdots \right) - \left( n q - x { \sqrt { n p q } } \right) \left( - x { \sqrt { \frac { p } { n q } } } - { \frac { x ^ { 2 } p } { 2 n q } } - \cdots \right) \right\} } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ \left( - x { \sqrt { n p q } } + { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } q - x ^ { 2 } q + \cdots \right) + \left( x { \sqrt { n p q } } + { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } p - x ^ { 2 } p - \cdots \right) \right\} } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } q - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } p - \cdots \right\} } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } ( p + q ) - \cdots \right\} } \\ & { \simeq { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } \right\} } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } e ^ { \frac { - ( k - n p ) ^ { 2 } } { 2 n p q } } } \end{array} }
{ \begin{array} { r l r } { G ( z ) } & { = ( 1 + z ) ^ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k + 1 } } { \binom { 2 k } { k } } \left( { \frac { - ( 1 + z ) } { z ^ { 2 } } } \right) ^ { k } } \\ & { = ( 1 + z ) ^ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } C _ { k } \, \left( { \frac { - ( 1 + z ) } { z ^ { 2 } } } \right) ^ { k } } & { { \mathrm { w h e r e ~ } } C _ { k } = k { \mathrm { t h ~ C a t a l a n ~ n u m b e r } } } \\ & { = ( 1 + z ) ^ { n } \, { \frac { 1 - { \sqrt { 1 + { \frac { 4 ( 1 + z ) } { z ^ { 2 } } } } } } { \frac { - 2 ( 1 + z ) } { z ^ { 2 } } } } } \\ & { = ( 1 + z ) ^ { n } \, { \frac { z ^ { 2 } - z { \sqrt { z ^ { 2 } + 4 + 4 z } } } { - 2 ( 1 + z ) } } } \\ & { = ( 1 + z ) ^ { n } \, { \frac { z ^ { 2 } - z ( z + 2 ) } { - 2 ( 1 + z ) } } } \\ & { = ( 1 + z ) ^ { n } \, { \frac { - 2 z } { - 2 ( 1 + z ) } } = z ( 1 + z ) ^ { n - 1 } \, . } \end{array} }