harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { \mathcal O } ( \theta ^ { 2 } ) } & { = } & { - \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \langle \mathrm { I } | \hat { X } _ { a } ^ { 2 } \hat { X } _ { b } | \mathrm { I } \rangle + \theta ^ { 2 } \langle \mathrm { I } | \hat { X } _ { a } \hat { X } _ { b } \hat { X } _ { a } | \mathrm { I } \rangle } \\ & { } & { - \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \langle \mathrm { I } | \hat { X } _ { b } ^ { 2 } \hat { X } _ { a } | \mathrm { I } \rangle } \\ & { = } & { - \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \langle \mathrm { I } | ( \hat { X } _ { a } ^ { 2 } \hat { X } _ { b } - 2 \hat { X } _ { a } \hat { X } _ { b } \hat { X } _ { a } + \hat { X } _ { b } ^ { 2 } \hat { X } _ { a } | \mathrm { I } \rangle } \\ & { = } & { - \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \langle \mathrm { I } | ( \hat { X } _ { a } ^ { 2 } \hat { X } _ { b } } \\ & { } & { - 2 \hat { X } _ { a } ( \hat { X } _ { a } \hat { X } _ { b } - i \sum _ { c } f _ { a b c } \hat { X } _ { c } ) } \\ & { } & { + \hat { X } _ { a } ^ { 2 } \hat { X } _ { b } - i \sum _ { c } f _ { a b c } ( \hat { X } _ { a } \hat { X } _ { c } + \hat { X } _ { c } \hat { X } _ { a } ) ) | \mathrm { I } \rangle } \\ & { = } & { - \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \langle \mathrm { I } | ( 2 i \sum _ { c } f _ { a b c } \hat { X } _ { a } \hat { X } _ { c } ) ) | \mathrm { I } \rangle } \\ & { = } & { - i \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { c } \langle \mathrm { I } | ( f _ { a b c } \hat { X } _ { a } \hat { X } _ { c } + f _ { c b a } \hat { X } _ { c } \hat { X } _ { a } ) ) | \mathrm { I } \rangle } \\ & { = } & { - i \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { c } f _ { a b c } \langle \mathrm { I } | [ \hat { X } _ { a } , \hat { X } _ { c } ] | \mathrm { I } \rangle } \\ & { = } & { \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { c d } f _ { a b c } f _ { a c d } \langle \mathrm { I } | \hat { X } _ { d } | \mathrm { I } \rangle } \\ & { = } & { \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { c } ( \hat { F } _ { a } ^ { 2 } ) _ { b c } \langle \mathrm { I } | \hat { X } _ { c } | \mathrm { I } \rangle , } \end{array}
\hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \mathrm Z } = \mathbf { 1 } _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \partial \langle n _ { X } \rangle } { \partial B _ { \rho } } \right| } & { { } \leq ( | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { S } \} | + | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { E S _ { 2 } } \} | } \end{array}
\sigma = \frac { 3 k _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { 2 k _ { 1 } } \tilde { \gamma } + \left( 1 + \frac { 3 } { \mathrm { ~ R ~ m ~ } } \right) \frac { k _ { 1 } } { k _ { \mathrm { ~ f ~ } } } .
H _ { p , p } ^ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } = \hslash \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } ( 2 \pi p / L _ { z } ) + \sum _ { j } ^ { N } V _ { \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } ( { \bf { R } } _ { j } )
\begin{array} { r } { \beta ( z ) = \beta ( 0 ) - \frac { \epsilon _ { R } \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { 5 \epsilon _ { 3 } } \left\{ \ln \left[ \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } ( 0 ) + \eta ^ { 2 } ( 0 ) \exp \left( 8 \epsilon _ { 3 } \eta _ { 0 } ^ { 2 } z / 3 \right) } { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } \right] \right. } \\ { \left. + \frac { \eta ^ { 2 } ( 0 ) } { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \eta ^ { 2 } ( 0 ) } { \eta ^ { 2 } ( 0 ) + \left[ \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } ( 0 ) \right] \exp \left( - 8 \epsilon _ { 3 } \eta _ { 0 } ^ { 2 } z / 3 \right) } \right\} . } \end{array}
t \dot { \epsilon } \, = \, \frac { \epsilon } { 2 } - \frac { \epsilon t \dot { \bar { r } } } { \bar { r } } \, = \, \frac { \epsilon } { 2 } - \frac { \epsilon t } { \bar { r } } \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \epsilon ^ { m } \, \dot { \bar { r } } _ { m } \, .
\frac { \partial H } { \partial t } + \left( \frac { \partial X } { \partial t } + U _ { H } \right) \frac { \partial H } { \partial X } + \left( \frac { \partial Y } { \partial t } + V _ { H } \right) \frac { \partial H } { \partial Y } - W _ { H } = \frac { \partial Z } { \partial t } , \quad \textrm { a t } ~ Z = H ,
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { 1 1 } = S _ { 1 1 } \sigma _ { 1 1 } + S _ { 1 3 } \sigma _ { 3 3 } , \, \, \varepsilon _ { 1 3 } = S _ { 4 4 } \sigma _ { 1 3 } , } \\ { \varepsilon _ { 3 3 } = S _ { 3 3 } \sigma _ { 3 3 } + S _ { 1 3 } \sigma _ { 1 1 } , \qquad \qquad \qquad \, } \end{array}
\mathcal { H } _ { L + T _ { \mathrm { i n i } } } ( w _ { \mathrm { e x t } } ) = \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { H } _ { L + T _ { \mathrm { i n i } } } ( u _ { \mathrm { h } } ) } \\ { \mathcal { H } _ { L + T _ { \mathrm { i n i } } } ( y ) } \\ { \mathcal { H } _ { L + T _ { \mathrm { i n i } } } ( u _ { \mathrm { n l } } ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { U _ { \mathrm { h } } } \\ { Y } \\ { U _ { \mathrm { n l } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { R _ { 2 } = R _ { \mathrm { v } } + \overline { { R } } _ { \mathrm { v } } } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \operatorname* { m i n } \{ [ I ( V ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } , U ) \! - \! I ( V ; Y _ { 2 } | S _ { 2 } , U ) ] ^ { + } \! + \! H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } , V ) , \quad ( I ( V ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) \! - \! R _ { 1 } ) \} \! - \! 3 \epsilon } \end{array}
R = \frac { \Gamma _ { M } ( B \longrightarrow X _ { s } \gamma ) } { \Gamma _ { S M } ( B \longrightarrow X _ { s } \gamma ) } \approx \frac { | V _ { t b } V _ { t s } ^ { * } ( C ( m _ { t } ) + C ^ { \prime } ) + V _ { t ^ { M } b } V _ { t ^ { M } s } ^ { * } C ( m _ { t ^ { M } } ) | ^ { 2 } } { | V _ { t b } ^ { S M } V _ { t s } ^ { S M * } | ^ { 2 } ( C ( m _ { t } ) + C ^ { \prime } ) ^ { 2 } } ,
\overline { { A } } = \left( \begin{array} { r r r r r r r r } { a _ { 0 0 } } & { a _ { 0 1 } } & { a _ { 0 2 } } & { a _ { 0 3 } } & { a _ { 0 4 } } & { a _ { 0 5 } } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 1 0 } } & { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { a _ { 1 3 } } & { a _ { 1 4 } } & { a _ { 1 5 } } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 2 0 } } & { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } } & { a _ { 2 4 } } & { a _ { 2 5 } } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 3 0 } } & { a _ { 3 1 } } & { a _ { 3 2 } } & { a _ { 3 3 } } & { a _ { 3 4 } } & { a _ { 3 5 } } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 4 0 } } & { a _ { 4 1 } } & { a _ { 4 2 } } & { a _ { 4 3 } } & { a _ { 4 4 } } & { a _ { 4 5 } } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 5 0 } } & { a _ { 5 1 } } & { a _ { 5 2 } } & { a _ { 5 3 } } & { a _ { 5 4 } } & { a _ { 5 5 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
A ( \boldsymbol { x } ) = - \frac { 1 } { \beta } \frac { 1 } { 4 \pi R } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k R / \beta } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { k M } { \beta ^ { 2 } } x _ { 1 } } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \rho } } & { = V ( h ) \rho , } \\ { \dot { h } } & { = - \frac { \gamma } { 2 } \eta \dot { \rho } , } \\ { \dot { c } } & { = c \left( \rho \frac { \gamma } { 2 } \eta V ^ { \prime } ( h ) - V ( h ) \right) , } \end{array} \right. } \end{array}
\gamma _ { n \ell } = \sqrt { \frac { 2 } { \pi k _ { o } } } J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) e ^ { - j \left[ k _ { o } R _ { n } \cos \left( \theta - \phi _ { n } \right) + \ell ( \pi / 2 - \theta ) + \pi / 4 \right] }
\begin{array} { r } { \hat { a } ^ { n } ( a ^ { i } , z ) = \frac { 1 } { q _ { n } } \left( z _ { n } ^ { n } - l _ { n } - \frac 1 2 \varepsilon a ^ { i } \right) \; , \quad \quad \quad { a } ^ { S B , n } ( z ) = \frac { q _ { i } } { Q _ { C } } ( z _ { n } ^ { n } - l _ { n } ) - \frac { \varepsilon } { 2 Q _ { C } } ( z _ { i } ^ { i } - l _ { i } ) \; . } \end{array}
\omega ( \mathbf { e } _ { q } ) = ( \mathbf { e } _ { p } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { q } ) ^ { - 1 } d ( \mathbf { e } _ { p } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { q } ) + ( \mathbf { e } _ { p } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { q } ) ^ { - 1 } \omega ( \mathbf { e } _ { p } ) ( \mathbf { e } _ { p } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { q } ) .
j = F \iota ( c _ { s } ) \left[ e ^ { \frac { \alpha _ { a } F } { R T } \left( \Delta \phi - u _ { e q } \right) } \left( \frac { k _ { c } c _ { e } ( c _ { s , m a x } - c _ { s } ) } { k _ { a } c _ { s } } \right) ^ { - \frac { \alpha _ { a } } { \alpha _ { a } + \alpha _ { c } } } - e ^ { \frac { \alpha _ { c } F } { R T } \left( \Delta \phi - u _ { e q } \right) } \left( \frac { k _ { c } c _ { e } ( c _ { s , m a x } - c _ { s } ) } { k _ { a } c _ { s } } \right) ^ { \frac { \alpha _ { c } } { \alpha _ { a } + \alpha _ { c } } } \right] ,
\prod _ { d | \mathfrak { p } ^ { r } } \Delta _ { d } ^ { r _ { d } } = \left( \frac { \Delta _ { \mathfrak { p } ^ { r - 1 } } } { \Delta _ { \mathfrak { p } ^ { r - 3 } } } \right) ^ { | \mathfrak { p } | } \left( \frac { \Delta _ { \mathfrak { p } ^ { r - 2 } } } { \Delta _ { \mathfrak { p } ^ { r } } } \right) ^ { | \mathfrak { p } | ^ { 2 } + 1 } \left( \frac { \Delta _ { \mathfrak { p } ^ { r } } } { \Delta _ { \mathfrak { p } ^ { r - 1 } } } \right) ^ { | \mathfrak { p } | + 1 } .
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| \chi _ { D _ { k } } - \chi _ { D _ { k , n } } \| _ { 1 } = 0 , \quad \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { \Omega } \theta d | D \chi _ { D _ { k , n } } | = \int _ { \Omega } \theta d | D \chi _ { D _ { k } } | .
\begin{array} { r l } { M ( \Gamma ; x , y ) } & { = \sum _ { i \leq j } \chi _ { i j } x ^ { i } y ^ { j } = 6 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 4 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + x ^ { 3 } y ^ { 3 } , } \\ { N M ( \Gamma ; x , y ) } & { = \sum _ { i \leq j } \chi _ { ( i j ) } x ^ { i } y ^ { j } = 2 x ^ { 4 } y ^ { 4 } + 4 x ^ { 4 } y ^ { 5 } + 4 x ^ { 5 } y ^ { 7 } + x ^ { 7 } y ^ { 7 } , } \\ { C N M ( \Gamma ; x , y ) } & { = \sum _ { i \leq j } \chi _ { [ i j ] } x ^ { i } y ^ { j } = 2 x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 4 x ^ { 6 } y ^ { 7 } + 4 x ^ { 7 } y ^ { 1 0 } + x ^ { 1 0 } y ^ { 1 0 } . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { H } _ { L } ^ { - 1 } - \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) = \frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } ^ { - 1 } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } - \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) = \boldsymbol { 0 } \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \vec { H } _ { L } = \vec { F } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { T } .
\boldsymbol { e } _ { \boldsymbol { k } } = \frac { \boldsymbol { k } } { k } , ~ ~ ~ ~ \boldsymbol { e } _ { p \boldsymbol { k } } = \frac { \boldsymbol { k } \times ( \boldsymbol { k } \times \boldsymbol { e } _ { z } ) } { | \boldsymbol { k } \times ( \boldsymbol { k } \times \boldsymbol { e } _ { z } ) | } , ~ ~ ~ ~ \boldsymbol { e } _ { t \boldsymbol { k } } = \frac { \boldsymbol { e } _ { z } \times \boldsymbol { k } } { | \boldsymbol { e } _ { z } \times \boldsymbol { k } | } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } } & { = - \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( \beta \Delta T ) ^ { k } \right] \sum _ { ( m , n ) = ( 0 , 0 ) } ^ { ( \infty , \infty ) } \alpha ^ { m } \beta ^ { n } \nabla p _ { m , n } } \\ & { \equiv \sum _ { ( m , n ) = ( 0 , 0 ) } ^ { ( \infty , \infty ) } \alpha ^ { m } \beta ^ { n } \mathbf { u } _ { m , n } } \\ & { \equiv \mathbf { u } _ { 0 , 0 } + \alpha \mathbf { u } _ { 1 , 0 } + \beta \mathbf { u } _ { 0 , 1 } + \alpha ^ { 2 } \mathbf { u } _ { 2 , 0 } + \alpha \beta \mathbf { u } _ { 1 , 1 } + \beta ^ { 2 } \mathbf { u } _ { 0 , 2 } + \mathrm { c u b i c ~ a n d ~ h i g h e r - o r d e r ~ t e r m s } . } \end{array}
a _ { ( n ) } ( \mu ) = a _ { ( n ) } ( \mu _ { 0 } ) \; \biggl [ \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \alpha _ { s } ( \mu _ { 0 } ) } \biggr ] ^ { \frac { 1 6 } { 3 \beta _ { 0 } } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } + \ldots + \frac { 1 } { n + 1 } \biggr ] } ,
| \texttt { l . o . t } | \leq C \left( \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { \infty } } + \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| w _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \partial _ { x } ^ { 4 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } \right) \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \right\| _ { L ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } } & { \frac { - \frac { \lambda _ { n } } { \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } } { \big ( 1 - \frac { 4 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \kappa _ { 0 } ^ { 2 } - \lambda _ { n } ) ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } ( \theta ) \big ) \sqrt { 1 - p _ { n } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \theta ) } } \, d \theta } \\ & { = - \frac { \lambda _ { n } } { \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { ( 1 + \tan ^ { 2 } ( \theta ) ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \big ( \tan ^ { 2 } ( \theta ) + 1 - \frac { 4 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \kappa _ { 0 } ^ { 2 } - \lambda _ { n } ) ^ { 2 } } \big ) \sqrt { \tan ^ { 2 } ( \theta ) + 1 - p _ { n } ^ { 2 } } } \, d \theta } \\ & { = - \frac { \lambda _ { n } } { \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \sqrt { 1 + \vartheta ^ { 2 } } } { \big ( \vartheta ^ { 2 } + 1 - \frac { 4 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \kappa _ { 0 } ^ { 2 } - \lambda _ { n } ) ^ { 2 } } \big ) \sqrt { \vartheta ^ { 2 } + 1 - p _ { n } ^ { 2 } } } \, d \vartheta } \\ & { \leq - \frac { \lambda _ { n } } { \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \big ( \vartheta ^ { 2 } + 1 - \frac { 4 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \kappa _ { 0 } ^ { 2 } - \lambda _ { n } ) ^ { 2 } } \big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, d \vartheta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } } & { { } = { \cal B } _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ } } ( E _ { a } ) - \frac { B _ { \mathrm { ~ F ~ N ~ } } \varphi _ { m } ^ { 3 / 2 } } { E _ { a } } \left[ E _ { a } \frac { d \nu _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } + x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } \frac { d \nu _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } } { d x _ { m } } \Big | _ { x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } } \right] } \end{array}
\mathbb { P } \Big \{ \hat { \rho } [ r ^ { \epsilon } ( \beta ) ] \leq \hat { \rho } [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) ] + \Big ( K L ( \hat { \rho } | | \pi _ { p } ) + \log \Big ( \frac { 1 } { \delta } \Big ) + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) \, l ^ { 1 - 2 \alpha } } \Big ) \frac { 1 } { \sqrt { l } } + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \pi _ { p } \Big [ 1 + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } \Big ] \Big ) \Big \} \geq 1 - \delta
\begin{array} { r l r l } { F } & { = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { i } \end{array} \right) , } & { S } & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { F ^ { \mathrm { M C } } } & { = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) , } & { S ^ { \mathrm { M C } } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\sqrt { - h } e ^ { - 2 \varphi } h ^ { \bar { \mu } \bar { \mu } ^ { \prime } } h ^ { \bar { \nu } \bar { \nu } ^ { \prime } } ( M L ) _ { i j } { \cal F } _ { \bar { \mu } ^ { \prime } \bar { \nu } ^ { \prime } } ^ { j } = \epsilon ^ { \bar { \mu } \bar { \nu } \bar { \rho } } \partial _ { \bar { \rho } } \psi ^ { i } ,
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } \ll } & { ( q T _ { 1 } ) ^ { 2 ( 1 - \frac { 1 } { 2 } ) + \epsilon } \ll ( q T _ { 1 } ) ^ { 1 + \epsilon } , } \\ { I _ { 2 } \ll } & { \left( \operatorname* { m a x } _ { T _ { 1 } \leq t \leq 2 T _ { 1 } } \mid L ^ { 3 } ( 1 / 2 + \epsilon + i t , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 2 } f \otimes \chi ) \mid ^ { 2 } \right) \times } \\ & { \qquad \left( \int _ { T _ { 1 } } ^ { 2 T _ { 1 } } \mid L ( 1 / 2 + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi ) \mid ^ { 2 } \ \mathrm { d } t \right) } \\ { \ll } & { ( q T _ { 1 } ) ^ { 6 \times \frac { 6 7 } { 4 6 } \times \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } ( q T _ { 1 } ) ^ { \frac { 5 } { 2 } + \epsilon } } \\ { \ll } & { ( q T _ { 1 } ) ^ { \frac { 3 1 6 } { 4 6 } + \epsilon } . } \end{array}
\int \frac { p ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { y } ) p ( \vec { \mathbf { x } } , \mathbf { y } ) } { p ( \mathbf { x } _ { 1 } ) p ( \vec { \mathbf { x } } ) } = \mathbb { E } _ { p ( \vec { \mathbf { x } } , \mathbf { y } ) } \left[ \frac { p ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { y } ) } { p ( \mathbf { x } _ { 1 } ) p ( \vec { \mathbf { x } } ) } \right] \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { p ( ( \mathbf { x } _ { 1 } ) _ { j } , \mathbf { y } _ { j } ) } { p ( ( \mathbf { x } _ { 1 } ) _ { j } ) p ( \vec { \mathbf { x } } _ { j } ) } .
t = { \frac { { \overline { { X } } } - \mu } { S / { \sqrt { n } } } } = { \frac { { \frac { 1 } { n } } ( X _ { 1 } + \cdots + X _ { n } ) - \mu } { \sqrt { { \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } } \left[ ( X _ { 1 } - { \overline { { X } } } ) ^ { 2 } + \cdots + ( X _ { n } - { \overline { { X } } } ) ^ { 2 } \right] } } } \sim t _ { n - 1 } .
\begin{array} { r l r l } { Q E _ { ( T \rightarrow 0 ) } } & { } & { \equiv } & { \frac { n _ { p h 1 2 } \Gamma _ { o u t } - ( \alpha - 1 ) n _ { p u m p } \Gamma _ { p } } { \alpha \cdot n _ { p u m p } \Gamma _ { p } } } \\ & { } & { = } & { \frac { E Q E _ { ( T \rightarrow 0 ) } } { \alpha } - \frac { 1 - \alpha } { \alpha } } \\ & { } & { = } & { \frac { X } { 1 + \frac { N B _ { r 1 2 } } { \Gamma _ { o u t } } ( 1 - X ) } } \end{array}
\boldsymbol { \tau } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { V _ { \textrm { F B Z } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \textrm { F B Z } } ^ { \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } < \epsilon _ { \textrm { F } } } \left( \vec { \nabla } \vec { \psi } _ { i } { ^ { \vec { k } } } ( \vec { r } ) \right) \left( \vec { \nabla } \vec { \psi } _ { i } { ^ { \vec { k } } } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \right) ^ { \dagger } \mathrm { d } ^ { 3 } k .
{ \frac { 1 } { 4 \sqrt { \mu } } } { \mathcal E } _ { 1 , \mu } ( z _ { 3 } , \tau _ { 2 } ) \Big | _ { | c | , | d | \leq 1 } = { \frac { 1 } { \sqrt { \tau _ { 2 } } } } K _ { 1 } ( 2 \pi \sqrt { \mu \tau _ { 2 } } ) + \sqrt { \tau _ { 2 } } K _ { 1 } ( 2 \pi \sqrt { \mu / \tau _ { 2 } } ) + { \frac { 2 } { \sqrt { \tau _ { 2 } + 1 / \tau _ { 2 } } } } K _ { 1 } ( 2 \pi \sqrt { \mu ( \tau _ { 2 } + 1 / \tau _ { 2 } ) } ) \; .
\begin{array} { r l } { ( f _ { 1 } ( \phi ^ { n + 1 } ) - } & { f _ { 2 } ( \phi ^ { n } ) , \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } ) + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } ( \| \nabla _ { h } ( \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \nabla _ { h } \phi ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| \nabla _ { h } \phi ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } ) } \\ & { + s \| \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - s ( A _ { h } \phi ^ { n } \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } p \Delta p } & { { } = - \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \int _ { \Omega } p ( \nabla u ) ^ { T } \colon \nabla u + \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } p \partial _ { 2 } T } \end{array}
\psi ( x , t ) = { \frac { 1 } { Z } } \int _ { \mathbf { x } ( 0 ) = x } e ^ { - S _ { \mathrm { E u c l i d e a n } } ( \mathbf { x } , { \dot { \mathbf { x } } } ) / \hbar } \psi _ { 0 } ( \mathbf { x } ( t ) ) \, { \mathcal { D } } \mathbf { x }
\zeta _ { \mathrm { T } } ^ { - 1 } ( Q ^ { 2 } , K ^ { 2 } ) = N _ { c } \sum _ { f } e _ { f } ^ { 2 } { \frac { \alpha _ { \mathrm { e m } } } { 3 \pi } } \left[ \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 1 2 } } \right] .
\begin{array} { r l r } { c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } & { { } = } & { c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } ^ { * } - c _ { R } } \\ { c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } } & { { } = } & { c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } ^ { * } + c _ { R } } \\ { c _ { \mathrm { N } ^ { + } } } & { { } = } & { c _ { \mathrm { N } ^ { + } } ^ { * } - c _ { R } } \end{array}
\rho ^ { \mathrm { t o t } } = \rho + { \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 \lambda } } + { \frac { \widetilde { \kappa } ^ { 4 } { \cal U } } { \kappa ^ { 6 } } } + { \frac { \Lambda } { \kappa ^ { 2 } } } , p ^ { \mathrm { t o t } } = p + { \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 \lambda } } + { \frac { \rho p } { \lambda } } - { \frac { \widetilde { \kappa } ^ { 4 } { \cal U } } { 3 \kappa ^ { 6 } } } - { \frac { \Lambda } { \kappa ^ { 2 } } } \, .
S _ { m n } = - { \frac { 1 } { \sqrt { m n } } } \, \ointop { \frac { d w } { 2 \pi i } } \, \ointop { \frac { d z } { 2 \pi i } } { \frac { 1 } { z ^ { n } w ^ { m } ( 1 + z ^ { 2 } ) ( 1 + w ^ { 2 } ) ( \tan ^ { - 1 } ( z ) - \tan ^ { - 1 } ( w ) ) ^ { 2 } } } \, .
\sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \delta _ { h } ( x - j L ) = \frac { 1 } { L } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \tilde { \delta } _ { h } \left( \frac { 2 \pi k } { L } \right) e ^ { 2 \pi i k \frac { x } { L } } = \frac { 1 } { L } \sum _ { k = - \frac { N - 1 } { 2 } } ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } e ^ { 2 \pi i k \frac { x } { L } } = \delta _ { L , N } ( x ) ,
\begin{array} { r l } { \bar { n } _ { \mathrm { e x , w c } } ^ { \mathrm { T L O } } } & { \simeq \Theta _ { \mathrm { e l } } / \tau _ { \mathrm { m i n } } , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { e x , w c } } ^ { \mathrm { L L O } } } & { \simeq \Theta _ { \mathrm { e l } } + \pi \tau _ { \mathrm { m a x } } \sigma _ { x } ^ { 2 } C ^ { - 1 } l _ { \mathrm { W } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S = \int d t ~ ~ \frac 1 2 g _ { i j } \dot { R } _ { k i } \dot { R } _ { k j } - \frac 1 2 \lambda _ { i j } \left[ R _ { k i } R _ { k j } - \delta _ { i j } \right] \equiv \int d t ~ ~ \frac 1 2 \mathrm { ~ t ~ r ~ } [ { \dot { R } g \dot { R } ^ { T } ] - \frac 1 2 \mathrm { ~ t ~ r ~ } [ \lambda ( R ^ { T } R - { \bf 1 } ) } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { s } ( \theta , \hat { t } ) } & { = \hat { s } _ { 0 } ( \hat { t } ) + \varepsilon \hat { \gamma } _ { n } ( \hat { t } ) \cos n \theta + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 2 } ) , } \\ { \hat { p } ( \hat { r } , \theta , \hat { t } ) } & { = \hat { p } _ { 0 } ( \hat { r } , \hat { t } ) + \varepsilon \hat { A } _ { n } ( \hat { r } , \hat { t } ) \cos n \theta + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 2 } ) , } \end{array}
Y _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { x _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } \\ { { 0 } } & { { x _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { \cdots } } \\ { { \vdots } } & { { 0 } } & { { x _ { 1 } } } & { { \cdots } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { 0 } } & { { \ddots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \mathcal { H } = \Omega _ { R } [ \mathrm { s i n } ( \Omega _ { 1 } t + \phi _ { 1 } ) \sigma _ { x } + \mathrm { s i n } ( \Omega _ { 2 } t + \phi _ { 2 } ) \sigma _ { y } } \\ { + \{ m - \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 1 } t + \phi _ { 1 } ) - \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 2 } t + \phi _ { 2 } ) \} \sigma _ { z } ] } \end{array}