harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
G _ { 2 } = \{ g \in S O ( 7 ) : g ^ { * } \varphi = \varphi , \varphi = \omega ^ { 1 2 3 } + \omega ^ { 1 4 5 } + \omega ^ { 1 6 7 } + \omega ^ { 2 4 6 } - \omega ^ { 2 5 7 } - \omega ^ { 3 4 7 } - \omega ^ { 3 5 6 } \}
\frac { d } { d t } \left( \frac { \delta { \cal L } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R , \dot { R } } , n ^ { ( 0 ) } , { \dot { n } ^ { ( 0 ) } } ) ) } { \delta { \dot { n } } ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) } \right) = \frac { \delta { \cal L } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R , \dot { R } } , n ^ { ( 0 ) } , { \dot { n } ^ { ( 0 ) } } ) ) } { \delta n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) }
\begin{array} { r l } & { n \, \sum _ { l = 1 } ^ { n } \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , n \left( \frac { q } { p } \right) ^ { l } + \frac { 2 \sqrt { p q } } { ( 1 - 2 \sqrt { p q } ) ^ { 2 } } ( 2 q ) ^ { l } \right\} \cdot \mathsf { o c } _ { 1 , 2 } ( \bar { \alpha } \gamma ^ { l } ) + n \, \mathsf { o c } _ { 1 , 2 } ( \bar { \alpha } ) } \\ & { \leq n \underbrace { \sum _ { l = 1 } ^ { n } \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , n \left( \frac { q } { p } \right) ^ { l } \right\} \cdot \mathsf { o c } _ { 1 , 2 } ( \bar { \alpha } \gamma ^ { l } ) } _ { = : A } + \frac { 2 n \sqrt { p q } } { ( 1 - 2 \sqrt { p q } ) ^ { 2 } } \underbrace { \sum _ { l = 1 } ^ { n } \left( 2 q \right) ^ { l } \cdot \mathsf { o c } _ { 1 , 2 } ( \bar { \alpha } \gamma ^ { l } ) } _ { = : B } + n \mathsf { o c } _ { 1 , 2 } ( \bar { \alpha } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 1 } < t < \tau _ { 2 } } } ^ { \mathbf { D } } = \mathbf { b } _ { \tau _ { 1 } } ^ { \mathbf { D } } + \frac { 1 } { 2 } \eta ( s ^ { \mathbf { D D } } \otimes s ^ { \mathbf { C C } } ) ( t - \tau _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { w _ { b 1 } = w _ { x } \sin \theta ^ { 2 } + w _ { z } \cos \theta ^ { 2 } } \\ & { + \left( m _ { 1 1 } m _ { 3 1 } w _ { e } ^ { 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 3 2 } w _ { n } ^ { 2 } + m _ { 1 3 } m _ { 3 3 } w _ { u } ^ { 2 } + ( m _ { 1 1 } m _ { 3 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 3 1 } ) w _ { e } w _ { n } \right) \frac { \sin { 2 \theta } } { 2 } , } \\ & { w _ { b 2 } = w _ { x } \sin \theta ^ { 2 } + w _ { z } \cos \theta ^ { 2 } } \\ & { - \left( m _ { 1 1 } m _ { 3 1 } w _ { e } ^ { 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 3 2 } w _ { n } ^ { 2 } + m _ { 1 3 } m _ { 3 3 } w _ { u } ^ { 2 } + ( m _ { 1 1 } m _ { 3 2 } + m _ { 1 2 } m _ { 3 1 } ) w _ { e } w _ { n } \right) \frac { \sin { 2 \theta } } { 2 } , } \\ & { w _ { b 3 } = w _ { y } \sin \theta ^ { 2 } + w _ { z } \cos \theta ^ { 2 } } \\ & { - \left( m _ { 2 1 } m _ { 3 1 } w _ { e } ^ { 2 } + m _ { 2 2 } m _ { 3 2 } w _ { n } ^ { 2 } + m _ { 2 3 } m _ { 3 3 } w _ { u } ^ { 2 } + ( m _ { 2 1 } m _ { 3 2 } + m _ { 2 2 } m _ { 3 1 } ) w _ { e } w _ { n } \right) \frac { \sin { 2 \theta } } { 2 } , } \\ & { w _ { b 4 } = w _ { y } \sin \theta ^ { 2 } + w _ { z } \cos \theta ^ { 2 } } \\ & { + \left( m _ { 2 1 } m _ { 3 1 } w _ { e } ^ { 2 } + m _ { 2 2 } m _ { 3 2 } w _ { n } ^ { 2 } + m _ { 2 3 } m _ { 3 3 } w _ { u } ^ { 2 } + ( m _ { 2 1 } m _ { 3 2 } + m _ { 2 2 } m _ { 3 1 } ) w _ { e } w _ { n } \right) \frac { \sin { 2 \theta } } { 2 } , } \\ & { w _ { b 5 } = w _ { z } . } \end{array}
+ n ^ { 4 } \, \Theta ( y _ { 0 } - x _ { 0 } ) \, W _ { e } ( y , x ) ^ { 2 } + e ^ { 2 \, \alpha ^ { * } } \, n ^ { 4 } \, \Theta ( y _ { 0 } - x _ { 0 } ) \, W _ { e } ( y , x ^ { A } ) ^ { 2 }
\tilde { m } _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } = m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } + i \tilde { \Gamma } ( p ) = m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } \big [ \Lambda ^ { 2 } - 2 m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } \ln \left( \frac { \Lambda } { m _ { \mathrm { H } } } \right) + \mathcal { O } \left( \frac { m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \big ] + \mathcal { O } ( \lambda ^ { 4 } ) .
{ \begin{array} { r l r } { e ^ { x } } & { = 1 + x + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } } + \dotsb } & { { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } x } \\ & { = 1 + x + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + O ( x ^ { 3 } ) } & { { \mathrm { a s ~ } } x \to 0 } \\ & { = 1 + x + O ( x ^ { 2 } ) } & { { \mathrm { a s ~ } } x \to 0 } \end{array} }
\begin{array} { r } { L _ { d } = \frac { 1 } { N ( \Omega _ { d } ) T _ { 0 } ^ { 2 } } \sum _ { j \in \Omega _ { d } } \vert T ( x _ { j } , z _ { j } , t _ { j } ) - T _ { j } ^ { r } \vert ^ { 2 } , } \end{array}
\langle \hat { S } _ { z } \rangle = \frac { \sum _ { m = - s } ^ { s } \hbar m \exp ( \beta g { \ensuremath { \mu _ { \mathrm { B } } } } m B _ { z } ) } { \sum _ { m = - s } ^ { s } \exp ( \beta g { \ensuremath { \mu _ { \mathrm { B } } } } m B _ { z } ) } .
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( z ) g ( x - z , t ) \ d z } \\ & { = \frac { 1 } { 2 c \sqrt { \pi t } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( z ) \exp \left( - \frac { ( x - z ) ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } t } \right) \ d z } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x - 2 c \tau \sqrt { t } ) \ e ^ { - \tau ^ { 2 } } \ d \tau } \\ & { = \frac { u _ { 0 } } { \sqrt { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { x / ( 2 c \sqrt { t } ) } e ^ { - \tau ^ { 2 } } d \tau } \\ & { = \frac { u _ { 0 } } { \sqrt { \pi } } \left( \int _ { - \infty } ^ { 0 } e ^ { - \tau ^ { 2 } } d \tau \ + \ \int _ { 0 } ^ { x / ( 2 c \sqrt { t } ) } e ^ { - \tau ^ { 2 } } d \tau \right) } \\ & { = \frac { u _ { 0 } } { 2 } \left( 1 + e r f \left( \frac { x } { 2 c \sqrt { t } } \right) \right) } \end{array}
\left. \begin{array} { l } { G ^ { 1 } = 0 . 1 8 9 3 I _ { 1 } + 0 . 2 2 2 9 I _ { 2 } + 0 . 1 1 7 6 } \\ { G ^ { 2 } = - 0 . 1 0 3 6 I _ { 1 } I _ { 2 } ^ { 3 } - 0 . 0 5 1 8 2 I _ { 1 } ^ { 2 } I _ { 2 } ^ { 2 } + 0 . 1 7 1 8 I _ { 1 } ^ { 2 } - 0 . 2 3 3 3 } \\ { G ^ { 3 } = - 2 . 5 1 4 I _ { 1 } I _ { 2 } ^ { 4 } - 3 . 5 1 4 I _ { 2 } ^ { 3 } - 0 . 0 1 1 0 5 I _ { 2 } ^ { 2 } - 2 I _ { 1 } I _ { 2 } + 2 . 9 8 I _ { 2 } } \end{array} \right\} .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } U _ { i } + U _ { j } \partial _ { j } U _ { i } + \overline { { u _ { j } \partial _ { j } u _ { i } } } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { i } P + g + \nu \partial _ { j j } ^ { 2 } U _ { i } } \\ { \partial _ { t } U _ { i } + U _ { j } \partial _ { j } U _ { i } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { i } P + g + \nu \partial _ { j j } ^ { 2 } U _ { i } - \partial _ { j } \overline { { ( u _ { j } u _ { i } ) } } } \end{array}
{ \scriptstyle { \begin{array} { c c } { { \begin{array} { r l } { u ( T ) } & { = { \frac { u _ { 0 } \gamma _ { 0 } + \alpha T } { \sqrt { 1 + \left( { \frac { u _ { 0 } \gamma _ { 0 } + \alpha T } { c } } \right) ^ { 2 } } } } \quad } \\ & { = c \operatorname { t a n h } \left\{ \operatorname { a r s i n h } \left( { \frac { u _ { 0 } \gamma _ { 0 } + \alpha T } { c } } \right) \right\} } \\ { X ( T ) } & { = X _ { 0 } + { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left( { \sqrt { 1 + \left( { \frac { u _ { 0 } \gamma _ { 0 } + \alpha T } { c } } \right) ^ { 2 } } } - \gamma _ { 0 } \right) } \\ & { = X _ { 0 } + { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left\{ \cosh \left[ \operatorname { a r s i n h } \left( { \frac { u _ { 0 } \gamma _ { 0 } + \alpha T } { c } } \right) \right] - \gamma _ { 0 } \right\} } \\ { c \tau ( T ) } & { = c \tau _ { 0 } + { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \ln \left( { \frac { { \sqrt { c ^ { 2 } + \left( u _ { 0 } \gamma _ { 0 } + \alpha T \right) ^ { 2 } } } + u _ { 0 } \gamma _ { 0 } + \alpha T } { \left( c + u _ { 0 } \right) \gamma _ { 0 } } } \right) } \\ & { = c \tau _ { 0 } + { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left\{ \operatorname { a r s i n h } \left( { \frac { u _ { 0 } \gamma _ { 0 } + \alpha T } { c } } \right) - \operatorname { a r t a n h } \left( { \frac { u _ { 0 } } { c } } \right) \right\} } \end{array} } } & { { \begin{array} { r l } { u ( \tau ) } & { = c \operatorname { t a n h } \left\{ \operatorname { a r t a n h } \left( { \frac { u _ { 0 } } { c } } \right) + { \frac { \alpha \tau } { c } } \right\} } \\ { X ( \tau ) } & { = X _ { 0 } + { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left\{ \cosh \left[ \operatorname { a r t a n h } \left( { \frac { u _ { 0 } } { c } } \right) + { \frac { \alpha \tau } { c } } \right] - \gamma _ { 0 } \right\} } \\ { c T ( \tau ) } & { = c T _ { 0 } + { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left\{ \sinh \left[ \operatorname { a r t a n h } \left( { \frac { u _ { 0 } } { c } } \right) + { \frac { \alpha \tau } { c } } \right] - { \frac { u _ { 0 } \gamma _ { 0 } } { c } } \right\} } \end{array} } } \end{array} } }
\Delta O _ { n } = \frac { \partial ^ { 2 } O _ { n } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } O _ { n } } { \partial y ^ { 2 } } = - \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \left[ \left( 2 \pi q _ { x } \right) ^ { 2 } + \left( 2 \pi q _ { y } \right) ^ { 2 } \right] \mathcal { F } \left( O _ { n } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \big ( d _ { f } \Psi _ { p } \{ 0 \} [ h ] \big ) ( \theta _ { 0 } , \varphi ) } & { { } = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \sin ( \theta _ { 0 } ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h ( \varphi ^ { \prime } ) \log \Big ( 1 - \cos ^ { 2 } ( \theta _ { 0 } ) - \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 0 } ) \cos ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) \Big ) d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { U } _ { e } } & { = - \tilde { \alpha } e ^ { - t _ { e } / \tilde { \tau } _ { e c o n } } \Big [ \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } i _ { e } \, \left( \frac { 1 } { 1 / \tilde { \tau } _ { e c o n } + \eta } \right) } \\ & { + \left( \psi _ { i , e } - i _ { e } \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } \right) \, \left( \frac { 1 } { \tilde { \tau } _ { e c o n } + 1 } \right) \Big ] } \end{array}
\left( \left[ \begin{array} { l l } { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { - a \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } \\ { - a ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } \end{array} \right] - \omega ^ { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } } \\ { \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } - { a _ { 0 } } - { \frac { a _ { 1 } } { 2 } } + { \frac { a _ { 3 } } { 2 } } - { \frac { a _ { 5 } } { 2 } } - { a _ { 6 } } - { \frac { 3 a _ { 7 } } { 2 } } + { d _ { 5 } } + { d _ { 7 } } } \end{array}
J = { \frac { \partial \left( x _ { s + 1 } ^ { + } , x _ { s + 1 } ^ { - } \right) } { \partial \left( x _ { s } ^ { + } , x _ { s } ^ { - } \right) } } = { \frac { \partial x _ { s + 1 } ^ { + } } { \partial x _ { s } ^ { + } } } { \frac { \partial x _ { s + 1 } ^ { - } } { \partial x _ { s } ^ { - } } } = \left( { \frac { x _ { s + 1 } ^ { + } } { x _ { s } ^ { + } } } \right) ^ { 2 }
{ \begin{array} { r l r l } { \pi _ { 1 } \otimes \pi _ { 2 } ( X ) } & { = \pi _ { 1 } ( X ) \otimes \mathrm { I d } _ { V } + \mathrm { I d } _ { U } \otimes \pi _ { 2 } ( X ) } & & { X \in { \mathfrak { g } } } \\ { \pi _ { 1 } \otimes \pi _ { 2 } ( X , Y ) } & { = \pi _ { 1 } ( X ) \otimes \mathrm { I d } _ { V } + \mathrm { I d } _ { U } \otimes \pi _ { 2 } ( Y ) } & & { ( X , Y ) \in { \mathfrak { g } } \oplus { \mathfrak { g } } } \end{array} }
H _ { S S H } = \sum _ { j } \left[ v c _ { 2 j - 1 } ^ { \dag } c _ { 2 j } + w c _ { 2 j } ^ { \dag } c _ { 2 j + 1 } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } + C ( n _ { 2 j - 1 } + n _ { 2 j } ) \right] + D \left( n _ { 1 } + n _ { 2 N } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { K } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( t , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { { } \triangleq \frac { \sin \big ( ( 1 + t ) \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) + t f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { D ^ { 2 } \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , t ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin ^ { 2 } \big ( t ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) ) \big ) \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) } \end{array}
\delta ( \varepsilon ) \theta _ { \alpha \beta \gamma } ^ { + + \, \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } = \left( P _ { \theta } ^ { + } E P _ { \theta } ^ { - } \right) _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } + \left( P _ { \theta } ^ { + } E P _ { \theta } ^ { - } \right) _ { \, \, \, \, \, \, \, \, \quad \alpha \beta \gamma } ^ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } }
M ( f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) ) = { \frac { M f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) } { 2 } } s ^ { 2 } y ^ { 2 } + { \frac { M f ^ { \prime \prime \prime } ( x _ { 0 } ) } { 6 } } s ^ { 3 } y ^ { 3 } + \cdots = - \pi y ^ { 2 } + O \left( { \frac { 1 } { \sqrt { M } } } \right) .
| I _ { 0 } ^ { p } ( Q ) | ^ { 2 } = 2 \int d ^ { 2 } \rho \; d ^ { 2 } R \; d ^ { 2 } R ^ { \prime } \; | \Psi ( \rho ) | ^ { 2 } \frac { \rho \; { \mathrm { e } } ^ { i Q \cdot R } } { | R - \rho / 2 | | R + \rho / 2 | } \frac { \rho \; { \mathrm { e } } ^ { - i Q \cdot R ^ { \prime } } } { | R ^ { \prime } - \rho / 2 | | R ^ { \prime } + \rho / 2 | }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| p ( z ^ { \Lambda } ) - \eta \| ^ { 2 } } & { \leq } & { 3 \mathbb { E } \| { \cal T } _ { q } ( t _ { i + 1 } - s _ { i } ) ( { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , z _ { s _ { i } } ^ { \Lambda } ) - { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , z _ { s _ { i } } ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { } & { + 3 \mathbb { E } \left\| \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) ( { \cal F } ( e , z _ { e } ^ { \Lambda } ) - { \cal F } ( e ) ) d e \right\| ^ { 2 } } \\ & { } & { + 3 \mathbb { E } \left\| \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) ( { \cal G } ( e , z _ { e } ^ { \Lambda } ) - { \cal G } ( e ) ) d \hat { \cal W } ( e ) \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { A _ { a f } } { D _ { a } ( m _ { f } ^ { 2 } ) } \approx \frac { A _ { a f } } { D _ { f } ( m _ { a } ^ { 2 } ) } \approx \frac { i A _ { a f } } { m _ { a } \Gamma _ { a } } \approx - 0 . 0 7 i .
\begin{array} { r l } { i \int _ { \mathbb { R } } \overline { { u } } _ { x } u _ { x t } d x - \int _ { \mathbb { R } } | u _ { x x } | ^ { 2 } d x = } & { \int _ { \mathbb { R } } ( | u | ^ { 2 p } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } d x + \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 p } | u _ { x } | ^ { 2 } d x + \beta \int _ { \mathbb { R } } ( | u | ^ { p - 1 } ) _ { x } | v | ^ { p + 1 } u \overline { { u } } _ { x } d x } \\ & { + \beta \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p - 1 } ( | v | ^ { p + 1 } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } d x + \beta \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } | u _ { x } | ^ { 2 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbb { E } [ \exp \{ \lambda \| \widehat { H ( f ) } \| _ { \infty } \} ] = \mathcal { O } ( T ) , } & { } & & { \mathrm { i f ~ } \lambda \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ d e p e n d ~ o n ~ n , p ~ , } } \\ { \mathbb { E } [ \exp \{ \lambda \| \widehat { H ( f ) } \| _ { \infty } \} ] = \mathcal { O } ( T L ^ { m } ) , } & { } & & { \mathrm { i f ~ } \lambda = c m \mathrm { ~ f o r ~ } c \in ( 0 , K ) . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ Y _ { p } ^ { i } Y _ { n } ^ { j } \right] = \mathbb { E } \left[ e ^ { i X _ { p } } e ^ { j X _ { n } } \right] = \mathrm { M G F } _ { B V N } \left( \big [ \begin{array} { l } { i } \\ { j } \end{array} \big ] \right) = \mathbb { E } \left[ Y _ { p } ^ { i } \right] \mathbb { E } \left[ Y _ { n } ^ { j } \right] e ^ { i j \pmb { \Sigma } _ { ( 1 , 2 ) } }
\left\{ \begin{array} { r l } & { - \frac { { \partial } v } { { \partial } t } + \frac 1 2 { \sigma } _ { H } ^ { 2 } \Big ( \frac { { \partial } ^ { 2 } v } { { \partial } \xi ^ { 2 } } + \frac { { \partial } v } { { \partial } \xi } \Big ) + \delta \Big ( \frac { { \partial } v } { { \partial } \xi } + v \Big ) = 0 , \quad \xi > \hat { \eta } ( t ) , } \\ & { - \frac { { \partial } v } { { \partial } t } + \frac 1 2 { \sigma } _ { L } ^ { 2 } \Big ( \frac { { \partial } ^ { 2 } v } { { \partial } \xi ^ { 2 } } + \frac { { \partial } v } { { \partial } \xi } \Big ) + \delta \Big ( \frac { { \partial } v } { { \partial } \xi } + v \Big ) = 0 , \quad \xi < \hat { \eta } ( t ) , } \\ & { v ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) = v ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) = \gamma , \quad v _ { \xi } ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) = v _ { \xi } ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) . } \end{array} \right.
\pi _ { E , \pm } ( B ( f ) ) = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \langle e _ { 0 } , f \rangle Q _ { E } ( - 1 ) + \pi _ { E } ( B ( ( E + \overline { { { E } } } ) f ) , \qquad f \in { \cal K } ,
\mathbf { C } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { c _ { 1 } } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { c _ { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { c _ { 3 } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 1 } & { c _ { m } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { n \cdot n ^ { - 1 / 2 } \nu _ { n } [ g ( \cdot , \beta _ { n } ) - g ( \cdot , \beta ^ { 0 } ) ] } & { = n ^ { 1 / 2 } ( \beta _ { n } - \beta ^ { 0 } ) ^ { T } \nu _ { n } \triangle ( \cdot , \beta ^ { 0 } ) + n ^ { 1 / 2 } \Vert ( \beta _ { n } - \beta ^ { 0 } ) \Vert \nu _ { n } r ( \cdot , \beta _ { n } ) } \\ & { = u ^ { T } \nu _ { n } \triangle ( \cdot , \beta ^ { 0 } ) + \Vert u \Vert \nu _ { n } r ( \cdot , \beta ^ { 0 } + u / \sqrt { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { \mathfrak { p } } } & { = \left\{ 0 _ { I _ { 0 } } \oplus \alpha _ { 1 } ( \mathbf { 1 } _ { I _ { 1 } ^ { + } } - \mathbf { 1 } _ { I _ { 1 } ^ { - } } ) \oplus . . . \oplus \alpha _ { m } ( \mathbf { 1 } _ { I _ { m _ { \mathfrak { p } } } ^ { + } } - \mathbf { 1 } _ { I _ { m _ { \mathfrak { p } } } ^ { - } } ) : \alpha _ { i } \in K _ { i } , i = 1 , . . , m _ { \mathfrak { p } } \right\} } \\ & { = S _ { \mathfrak { p } } \left\{ \alpha _ { 1 } \mathbf { 1 } _ { I _ { 1 } } \oplus . . . \oplus \alpha _ { m } \mathbf { 1 } _ { I _ { m } } : \alpha _ { i } \in K _ { i } , i = 1 , . . , m _ { \mathfrak { p } } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \alpha } + p _ { \alpha } - \frac { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { N } } \left( \mu _ { N } + p _ { N } \right) } & { ~ = 0 , \quad \mathrm { ~ f o r ~ } \alpha = 1 , \dots , N - 1 , } \\ { \phi _ { \alpha } \nabla \left( p _ { \alpha } + \mu _ { \alpha } + \frac { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } { \mathbb { F } \mathrm { r } ^ { 2 } } y \right) } & { = ~ 0 , \quad \mathrm { ~ f o r ~ } \alpha = 1 , \dots , N . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } = } & { { } ~ 2 \mathbf { K } _ { \alpha } \mathbf { D } _ { \alpha } - ( \pi _ { \alpha } + p \phi _ { \alpha } ) \mathbf { I } - \tilde { \rho } _ { \alpha } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathbb { S } } ^ { \left( c \right) } \left( t , \mathbf { x } \right) = R _ { 1 } ^ { \left( c \right) } \langle T ^ { \left( p \right) } \rangle _ { Y } - R _ { 2 } ^ { \left( c \right) } \langle T ^ { \left( c \right) } \rangle _ { Y } + R _ { 3 } ^ { \left( c \right) } q ^ { \left( p w \right) } \left( t , \mathbf { x } \right) + R _ { 4 } ^ { \left( c \right) } \overline { { \Pi } } \left( \langle T ^ { \left( c \right) } \rangle _ { Y } , \mathbf { x } \right) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { k _ { 1 } ^ { \mu } T _ { \rho \sigma \mu \nu } ^ { ( 4 ) a b c d } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = C _ { 1 } \gamma _ { \rho \sigma \nu } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 1 } ) + C _ { 2 } \gamma _ { \rho \sigma \nu } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 1 } ) } } \\ { { + C _ { 3 } \gamma _ { \rho \sigma \nu } ^ { ( 3 ) } ( k _ { 1 } ) } } \end{array}
Y _ { 1 } ( \omega ) = \frac { 1 } { \mathrm { j } \, Z _ { c 1 } } \, \left[ \frac { 1 - { \alpha } _ { g 1 } } { k \, x _ { 1 } } - \frac { \left( 1 + { \alpha } _ { f 1 } \right) \left( \frac { 1 - { \alpha } _ { g 2 } } { k \, x _ { 2 } } - \mathrm { j } \, \frac { Z _ { c 2 } } { Z _ { 2 } } \right) + \left( 1 + { \alpha } _ { f 1 } \right) \left( 1 + { \alpha } _ { f 2 } \right) \tan ( \sigma ) } { \left( 1 + { \alpha } _ { f 2 } \right) - \left( \frac { 1 - { \alpha } _ { g 2 } } { k \, x _ { 2 } } - \mathrm { j } \, \frac { Z _ { c 2 } } { Z _ { 2 } } \right) \tan ( \sigma ) } \right] .
\begin{array} { r } { \Psi _ { \alpha , \beta } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \varphi _ { \alpha } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) \right) \times \psi _ { \beta } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { S _ { 1 } ^ { 7 } } } & { { { \bf O } _ { + } } } & { { { \bf O } _ { v } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - { \bf O } _ { + } ^ { \dagger } } } & { { S _ { 2 } ^ { 7 } } } & { { { \bf O } _ { - } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - { \bf O } _ { v } ^ { \dagger } } } & { { - { \bf O } _ { - } ^ { \dagger } } } & { { - S _ { 1 } ^ { 7 } - S _ { 2 } ^ { 7 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { l } { { \dot { \bf Q } } \cdot { \bf X } _ { r } = \frac { d } { d t } \frac { \partial T ^ { * } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } - \frac { \partial T ^ { * } } { \partial q _ { r } } - \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial T ^ { * } } { \partial q _ { m + \nu } } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } _ { r } } } - \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { m + \nu } } \left( \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } \right) - \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial q _ { r } } - \sum _ { \mu = 1 } ^ { k } \frac { \partial \alpha _ { \mu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial q _ { m + \mu } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathfrak { J } _ { n - 1 , \tau } } & { = \mathbf { 1 } ( p < \bar { \tau } ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathfrak { J } _ { n - 1 , \tau - 1 } } & { = \mathbf { 1 } ( p < \bar { \tau } ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathfrak { K } _ { n - 1 , \tau , \kappa } } & { = \mathbf { 1 } ( \bar { \tau } \le p \le \bar { \kappa } ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathfrak { K } _ { n - 1 , \tau - 1 , \kappa - 1 } } & { = \mathbf { 1 } ( \bar { \tau } \le p \le \bar { \kappa } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Phi _ { g , n } \bigl ( x _ { 1 } \, \widetilde { \otimes } \, \ldots \, \widetilde { \otimes } \, x _ { g } \, \widetilde { \otimes } \, \varphi _ { 1 } \, \widetilde { \otimes } \, \ldots \, \widetilde { \otimes } \, \varphi _ { n } \bigr ) } \\ { = \: } & { \Phi _ { g , n } \bigl ( j _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \bigr ) \ldots \Phi _ { g , n } \bigl ( j _ { g } ( x _ { g } ) \bigr ) \Phi _ { g , n } \bigl ( j _ { g + 1 } ( \varphi _ { 1 } ) \bigr ) \ldots \Phi _ { g , n } \bigl ( j _ { g + n } ( \varphi _ { n } ) \bigr ) . } \end{array}
\hat { \psi } _ { d } ( z , s ) = \frac { \hat { \Psi } ( s ) \cosh [ \sqrt { s R _ { p } C } ( z / \ell _ { p } - 1 ) ] } { \xi ^ { - 1 } \sqrt { s R _ { p } C } \sinh \sqrt { s R _ { p } C } + \cosh \sqrt { s R _ { p } C } } \, .