harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ e ~ r ~ v ~ e ~ d ~ f ~ r ~ e ~ q ~ u ~ e ~ n ~ c ~ y ~ } } { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ e ~ r ~ n ~ a ~ l ~ f ~ r ~ e ~ q ~ u ~ e ~ n ~ c ~ y ~ } } = \ \frac { p } { q } \ \in \mathbf { Q }
\begin{array} { r l } { s _ { \mathrm { m } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { p \longrightarrow \infty } \Delta \nu / p } \\ & { = \sum _ { \overline { { \mu } } , \overline { { \nu } } } \left\langle \frac { \left| \langle \alpha | \overline { { \mu } } \rangle \langle \overline { { \nu } } | \beta \rangle \right| ^ { 2 } ( \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } - \omega _ { \alpha \beta } ) \tau } { 2 \pi T p } \right\rangle , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { N _ { R R E A } ^ { 3 } = N _ { 0 } ( \nu _ { e ^ { - } } ^ { 2 } + 2 \nu _ { e ^ { - } } \nu _ { e ^ { - } \gamma } \nu _ { \gamma e ^ { - } } + \nu _ { \gamma e ^ { - } } ^ { 2 } \nu _ { e ^ { - } \gamma } ^ { 2 } ) , } \\ { N _ { \gamma } ^ { 3 } = N _ { 0 } ( \nu _ { e ^ { - } \gamma } \nu _ { e ^ { - } } ^ { 2 } + 2 \nu _ { e ^ { - } } \nu _ { e ^ { - } \gamma } ^ { 2 } \nu _ { \gamma e ^ { - } } + \nu _ { \gamma e ^ { - } } ^ { 2 } \nu _ { e ^ { - } \gamma } ^ { 3 } ) } \end{array} \right.
\operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } { \frac { F } { N \varepsilon } } = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } - { \frac { \beta ^ { - 1 } } { N \varepsilon } } \log \left[ { \frac { 1 - ( g e ^ { - \beta \varepsilon } ) ^ { N + 1 } } { 1 - g e ^ { - \beta \varepsilon } } } \right] = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - T / T _ { c } , } & { T > T _ { c } } \\ { 0 , } & { T \leq T _ { c } } \end{array} \right. }
\delta c _ { m a x } ( t = 0 ) < \delta c _ { m a x } ( t = T ) \qquad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \qquad \operatorname* { m a x } _ { t \in [ 0 . T ] } \delta c _ { m a x } ( t ) > 1 0 \delta c _ { m a x } ( t = 0 ) .
\hat { \theta } _ { i , t } = \texttt { a t a n 2 } ( \pmb { x } _ { i , t + 1 } ^ { y } - \pmb { x } _ { i , t } ^ { y } , \pmb { x } _ { i , t + 1 } ^ { x } - \pmb { x } _ { i , t } ^ { x } )
\begin{array} { r } { \mathbf { Q } _ { k } ^ { \left( p \right) } = \sum _ { \omega _ { k } ^ { \left( p \right) } } I _ { \Omega _ { k } ^ { \left( p \right) } } \left( \omega _ { k } ^ { \left( p \right) } \right) \omega _ { k } ^ { \left( p \right) } \big \vert \omega _ { k } ^ { \left( p \right) } \big \rangle \big \langle \omega _ { k } ^ { \left( p \right) } \big \vert , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { J } _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ a ~ t ~ i ~ a ~ l ~ } } \approx - \frac { L _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } } { 4 } \left[ 1 - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } \! \left( 4 \kappa _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } L _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } \right) \right] \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | } & { \leq | G _ { y } ( ( \tilde { \tilde { \psi } } ^ { [ M ] } ) _ { y } ^ { \lambda 2 ^ { M + 1 } } ) | + | G _ { x } ( ( \tilde { \psi } ^ { [ M ] } ) _ { x } ^ { \lambda 2 ^ { M } } ) | } \\ & { \leq \mathrm { c s t } \, \| G \| _ { \mathcal { G } _ { \mathrm { h o m } ; K , \bar { \lambda } ^ { \prime } , r } ^ { \gamma } } ( \lambda 2 ^ { M } ) ^ { \gamma } } \\ & { \leq \mathrm { c s t ^ { \prime } } \, \| F \| _ { \check { \mathcal { G } } _ { \mathrm { h o m } ; K , \bar { \lambda } ^ { \prime } , r } ^ { \gamma } } \lambda ^ { 0 } ( \lambda + | y - x | ) ^ { \gamma - 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c c } { \rho _ { t } + ( \rho V ( t , x ) ) _ { x } = S _ { \mathrm { o n } } \left( t , x , q _ { \mathrm { o n } } , \rho , R _ { \mathrm { o n } } \right) - S _ { \mathrm { o f f } } \left( t , x , q _ { \mathrm { o f f } } , \rho \right) } \\ { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { e } } _ { n } } & { = \frac { 2 E _ { n } } { V _ { n } } } \\ & { = 2 \frac { 2 ^ { n } E _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } ( 4 ^ { n } - 2 ^ { n } ) F _ { 0 } + \left( \frac { 1 1 } { 6 } 2 ^ { n } - 3 \cdot 4 ^ { n } + \frac { 7 } { 6 } 8 ^ { n } \right) T _ { 0 } } { V _ { 0 } + ( 2 ^ { n } - 1 ) E _ { 0 } + \left( \frac { 1 } { 2 } 4 ^ { n } - \frac { 3 } { 2 } 2 ^ { n } + 1 \right) F _ { 0 } + \left( \frac { 1 1 } { 6 } 2 ^ { n } - 4 ^ { n } + \frac { 1 } { 6 } 8 ^ { n } - 1 \right) T _ { 0 } } . } \end{array}
\beta ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } G _ { s } } { \partial y _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } G _ { s } } { \partial y _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } G _ { s } } { \partial y _ { 3 } ^ { 2 } } - 2 \mathrm { i } k M \frac { \partial G _ { s } } { \partial y _ { 1 } } + k ^ { 2 } G _ { s } = 0 ,
\overline { { \mathsf { L } } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \omega ^ { 2 } \frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { \widetilde { M } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \overline { { \mathsf { P } } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } - \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \, .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } = \sigma _ { 1 } \otimes \tau _ { 0 } , \quad \gamma _ { 2 } = } & { { } \sigma _ { 2 } \otimes \tau _ { 2 } , \quad \gamma _ { 3 } = \sigma _ { 3 } \otimes \tau _ { 0 } } \\ { \gamma _ { 4 } = \sigma _ { 2 } \otimes \tau _ { 3 } , } & { { } \quad \gamma _ { 5 } = \sigma _ { 2 } \otimes \tau _ { 1 } . } \end{array}
c _ { 0 } ^ { \pm } = - \omega d + { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } k ^ { - 1 } \omega \operatorname { t a n h } ( k d ) \pm { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } k ^ { - 1 } \sqrt { \omega ^ { 2 } \operatorname { t a n h } ( k d ) ^ { 2 } + 4 g k \operatorname { t a n h } ( k d ) } ,
p _ { m } ^ { \mu \lambda } = p _ { m } ^ { ( \mu \lambda ) } + p _ { m } ^ { [ \mu \lambda ] } = \frac 1 2 ( p _ { m } ^ { \mu \lambda } + p _ { m } ^ { \lambda \mu } ) + \frac 1 2 ( p _ { m } ^ { \mu \lambda } - p _ { m } ^ { \lambda \mu } ) .
\begin{array} { r } { q _ { i j } = 2 . 1 \times 1 0 ^ { - 8 } \sqrt { \frac { 1 3 . 6 \mathrm { ~ e ~ V ~ } } { k T } } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \frac { E _ { i j } } { k T } \right) \frac { \Upsilon _ { i j } } { w _ { i } } \mathrm { ~ c ~ m ~ } ^ { 3 } \mathrm { ~ s ~ } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { \mathrm { T I R } } = \frac { 1 } { 2 \left\vert w _ { 2 } \right\vert } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i n c } } - n _ { 2 } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( t ) } & { { } = \Delta _ { d } + i \frac { \kappa } { 2 } - \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \left( \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle e ^ { i \omega _ { z } t } + \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { - } \right\rangle e ^ { - i \omega _ { z } t } \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \dot { \boldsymbol { e _ { j } } } } = \sum _ { k = 1 } ^ { d } { \frac { \partial } { \partial q _ { k } } } { \boldsymbol { e _ { j } } } { \dot { q } } _ { k } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { d } \sum _ { i = 1 } ^ { d } { \Gamma ^ { k } } _ { i j } { \dot { q } } _ { i } { \boldsymbol { e _ { k } } } \ , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { l ( \gamma ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } c ( v _ { k } ) + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } w ( [ v _ { k } , v _ { k + 1 } ] ) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { k } ) + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { k } ) + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } w ( [ v _ { k } , v _ { k + 1 } ] ) } \\ & { = \left( \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { n } ) + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { k } ) \right) + \left( \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { 0 } ) + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { k + 1 } ) \right) + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } w ( [ v _ { k } , v _ { k + 1 } ] ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { n } ) + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \left( w ( [ v _ { k } , v _ { k + 1 } ] ) + \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { k } ) + \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { k + 1 } ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } c ( v _ { n } ) + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } w ^ { \prime } ( [ v _ { k } , v _ { k + 1 } ] ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \operatorname* { m a x } _ { \{ \mathbf { x } \} \in \mathcal { X } } } & { \frac { \sum _ { l k } r _ { l k } } { L K p _ { c } + \eta \sum _ { l k } \mathbf { x } _ { l k } ^ { H } \mathbf { x } _ { l k } } } & { \mathrm { s . t . } \, \, } & { r _ { l k } \geq r _ { l k } ^ { t h } } & { \forall l , k . } \end{array}
\{ e _ { { v _ { s } } ( 1 ) , { v _ { t } } ( 1 ) } , e _ { { v _ { s } } ( 2 ) , { v _ { t } } ( 2 ) } , \ldots , e _ { { v _ { s } } ( i ) , { v _ { t } } ( i ) } , \ldots , e _ { { v _ { s } } ( M ) , { v _ { t } } ( M ) } \}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { l m n , l ^ { \prime } m ^ { \prime } n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } } & { \propto \delta _ { l , | m \pm n | } \delta _ { l ^ { \prime } , | m ^ { \prime } \pm n ^ { \prime } | } , } \\ { \mathcal { A } _ { r l m n , r ^ { \prime } l ^ { \prime } m ^ { \prime } n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } } & { \propto \delta _ { | m \pm r | , | n \pm l | } \delta _ { | m ^ { \prime } \pm r ^ { \prime } | , | n ^ { \prime } \pm l ^ { \prime } | } , } \end{array}
\vec { p } _ { a } + \vec { p } _ { b } - { \tilde { L } } _ { p } ( E _ { a } \vec { p } _ { b } + E _ { b } \vec { p } _ { a } ) / c - \vec { p } _ { c } - \vec { p } _ { d } + { \tilde { L } } _ { p } ( E _ { c } \vec { p } _ { d } + E _ { d } \vec { p } _ { c } ) / c \simeq 0 ~ .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { X \to \infty } \mathbb { E } _ { n \leq X } ^ { \log } f _ { 1 } ( \lfloor \alpha _ { 1 } n + \beta _ { 1 } \rfloor ) f _ { 2 } ( \lfloor \alpha _ { 2 } n + \beta _ { 2 } \rfloor ) = \operatorname* { l i m } _ { X \to \infty } \Big ( \mathbb { E } _ { n \leq X } ^ { \log } f _ { 1 } ( n ) \Big ) \cdot \operatorname* { l i m } _ { X \to \infty } \Big ( \mathbb { E } _ { n \leq X } ^ { \log } f _ { 2 } ( n ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x , \mathbf { \hat { x } } _ { j } ) } & { = ( x _ { 1 } , \dots , x _ { j - 1 } , x , x _ { j + 1 } , \dots , x _ { N } ) , } \\ { ( x , y , \mathbf { \hat { x } } _ { j k } ) } & { = ( x _ { 1 } , \dots , x _ { j - 1 } , x , x _ { j + 1 } , \dots , x _ { k - 1 } , y , x _ { k + 1 } , \dots , x _ { N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | n \rangle \langle m | } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \hat { \sigma } _ { n m } ^ { x } + \mathrm { i } \, \hat { \sigma } _ { n m } ^ { y } \right) } \\ { | m \rangle \langle n | } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \hat { \sigma } _ { n m } ^ { x } - \mathrm { i } \, \hat { \sigma } _ { n m } ^ { y } \right) , } \end{array}
\int d ^ { 4 } x \left[ \delta A _ { i } \frac { \delta S _ { 0 } } { \delta A _ { i } } + \delta A _ { i , \theta } \frac { \delta S _ { 0 } } { \delta A _ { i , \theta } } + \delta A _ { i , \lambda } \frac { \delta S _ { 0 } } { \delta A _ { i , \lambda } } \right] = 0
\dot { \mathbf { u } } = \nabla _ { \theta } \mathbf { \Psi } ( \theta ) \nabla _ { u } \Lambda ( \mathbf { u } ) \dot { \mathbf { u } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \dot { \theta } = \nabla _ { u } \Lambda ( \mathbf { u } ) \nabla _ { \theta } \mathbf { \Psi } ( \theta ) \dot { \theta } .
{ \cal L } _ { e f f } = i \bigg ( T _ { G W } ^ { \mu \nu \rho \sigma } G _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } ~ + ~ T _ { R W } ^ { \rho \sigma } \Phi ^ { ( n ) } \bigg ) \bigg [ W _ { \rho } ^ { + } W _ { \sigma } ^ { - } + \frac { 1 } { 2 } ~ Z _ { \rho } Z _ { \sigma } + \frac { 1 } { 2 } ~ A _ { \rho } A _ { \sigma } \bigg ] \ .
\begin{array} { r l } { u \wedge ( \tilde { A } \mathcal { U } ) } & { = u _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \tilde { a } _ { n j } \mathcal { U } _ { j } - u _ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \tilde { a } _ { ( n - 1 ) j } \mathcal { U } _ { j } + \dots + ( - 1 ) ^ { n + 1 } u _ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \tilde { a } _ { 1 j } \mathcal { U } _ { j } } \\ & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i + 1 } \tilde { a } _ { ( n + 1 - i ) j } u _ { i } \mathcal { U } _ { j } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i + 1 } ( - 1 ) ^ { n - i + j } a _ { ( n + 1 - j ) i } u _ { i } \mathcal { U } _ { j } } \\ & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { n + 1 + j } a _ { ( n + 1 - j ) i } u _ { i } \mathcal { U } _ { j } = \sum _ { i , k = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } a _ { k i } u _ { i } \mathcal { U } _ { n + 1 - k } , } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \nu ( \overline { { { s } } } ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \int _ { M } c _ { n } ( F / F _ { 0 } \ominus E ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle \int _ { M } c _ { n } ( F ) . } } \end{array}
A d j ( \mathscr { W } ) _ { 1 , 6 } = - \exp { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 1 } \right) z } \left| \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \lambda _ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } } & { \lambda _ { 6 } } \\ { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 2 } } \\ { \lambda _ { 2 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 3 } } \\ { \lambda _ { 2 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 4 } } \end{array} \right| = \exp { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 1 } z \right) } \mathscr { E } _ { \lambda , 1 } ( s )
\begin{array} { r l r } { \frac { d \delta u } { d t } } & { = } & { - i \tilde { \Delta } _ { w } \delta u - i g _ { d } \delta v - i g \delta \rho } \\ { \frac { d \delta v } { d t } } & { = } & { - \xi \delta v - i g _ { d } \delta u - i g _ { c } \delta \rho } \\ { \frac { d \delta \rho } { d t } } & { = } & { - i \tilde { \Delta } _ { c } \delta \rho - i g \delta u - i g _ { c } \delta v + \sqrt { \kappa } A _ { p } e ^ { - i ( \omega _ { p } - \omega _ { d } ) t } , } \end{array}
\frac { d \tau _ { \mathrm { C } } } { d t _ { \mathrm { T T } } } = \frac { d \tau _ { \mathrm { C } } } { d t } \frac { d t } { d t _ { \mathrm { T T } } } = 1 + L _ { \mathrm { G } } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } { \vec { v } } _ { \mathrm { C } } ^ { 2 } + U _ { \mathrm { E } } ( { \vec { x } } _ { \mathrm { C } } ) \Big ] + { \cal O } ( c ^ { - 4 } ) .
\begin{array} { r } { B ( z ) B ( 0 ) \sim \frac { 1 } { z } \left( B ( 0 ) + ( m _ { 3 } ) B \tilde { B } ( 0 ) + ( m _ { 4 } ) B \tilde { B } \tilde { B } ( 0 ) \dots \right) , } \\ { \tilde { B } ( z ) \tilde { B } ( 0 ) \sim \frac { 1 } { z } \left( \tilde { B } ( 0 ) + ( m _ { 3 } ) \tilde { B } \tilde { B } ( 0 ) + ( m _ { 4 } ) \tilde { B } \tilde { B } \tilde { B } ( 0 ) \dots \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { = ( \mathbf { E } _ { A } + e ^ { i \delta } \mathbf { E } _ { B } ) \cdot ( \mathbf { E } _ { A } ^ { \ast } + e ^ { - i \delta } \mathbf { E } _ { B } ^ { \ast } ) } \\ & { = | \mathbf { E } _ { A } | ^ { 2 } + | \mathbf { E } _ { B } | ^ { 2 } + 2 \mathrm { R e } \left\{ e ^ { - i \delta } ( \mathbf { E } _ { A } \cdot \mathbf { E } _ { B } ^ { \ast } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert L ^ { + } - R \vert + \vert R ^ { + } - L \vert } & { = \vert ( L ^ { + } - R ) \cup ( R ^ { + } - L ) \vert + \vert ( L ^ { + } - R ) \cap ( R ^ { + } - L ) \vert } \\ & { = \vert L ^ { + } \cup R ^ { + } \cup B \vert + \vert ( L ^ { + } - R ) \cap ( R ^ { + } - L ) \vert } \\ & { = \vert L ^ { + } \vert + \vert R ^ { + } \vert + \vert B \vert + \vert ( L ^ { + } - R ) \cap ( R ^ { + } - L ) \vert } \\ & { < \vert G \vert + \alpha p ^ { n - 1 } , } \end{array}
J _ { D } ^ { \mu } = T ^ { \mu \nu } x _ { \nu } + { \frac { \partial { \cal L } _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \partial _ { \mu } \phi _ { i } } } \Big ( \Sigma ^ { \mu \rho } + g ^ { \mu \rho } d _ { \phi } \Big ) _ { i j } \phi _ { j } - { \frac { \epsilon } { 2 } } \left( F _ { \mu \nu } A ^ { \nu } + \xi ^ { - 1 } ( \partial \cdot A ) A _ { \mu } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \psi } { \partial p _ { j , \ell } } ( \mathcal { P } , \alpha ) } & { = - \Re \left( \tau , \frac { d } { d p _ { j , \ell } } \bigg ( \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) ^ { * } \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { m } ^ { F W I } , \mathcal { P } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) \bigg ) \right) _ { \Omega } . } \end{array}
\bigl [ T _ { \pm } ( p _ { 1 } , q _ { 1 } ) , T _ { \pm } ( p _ { 2 } , q _ { 2 } ) \bigr ] = \pm 2 i \ s i n \frac { 1 } { \hbar } ( p _ { 1 } q _ { 2 } - q _ { 1 } p _ { 2 } ) T _ { \pm } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } , q _ { 1 } + q _ { 2 } )
\delta = \frac { n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \left[ ( n _ { e } ^ { - } ( 0 ) - n _ { e } ^ { - } ( B ) ) \sigma _ { e } ^ { - } + ( n _ { s } ^ { - } ( 0 ) - n _ { s } ^ { - } ( B ) ) \sigma _ { s } ^ { - } \right] } { \left( n _ { e } ^ { - } ( 0 ) \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } ( 0 ) \sigma _ { s } ^ { - } \right) \left( n _ { e } ^ { - } ( B ) \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } ( B ) \sigma _ { s } ^ { - } + n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \right) }
( z , w ) \mapsto ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = ( z { \bar { z } } + w { \bar { w } } , z { \bar { z } } - w { \bar { w } } , z { \bar { w } } + w { \bar { z } } , i ^ { - 1 } ( z { \bar { w } } - w { \bar { z } } ) )
S _ { 1 2 } = \frac { 3 ( \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } ^ { ( 1 ) } \cdot { \bf r } ) ( \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } ^ { ( 2 ) } \cdot { \bf r } ) } { r ^ { 2 } } - \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } ^ { ( 1 ) } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } ^ { ( 2 ) }
\left\{ \begin{array} { l l } { e _ { 2 } = - ( 1 - q _ { 2 } ) [ b ( 1 - q _ { 2 } ) + c ] q _ { 4 } - c ( 1 - q _ { 2 } ) ^ { 2 } , } \\ { e _ { 1 } = 2 ( 1 - q _ { 2 } ) [ b ( 1 - q _ { 2 } ) p _ { 2 } + b + c ] q _ { 4 } + 2 c ( 1 - q _ { 2 } ) ^ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { F _ { \Delta x , \mathrm { a c } } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 } \left( 1 \mp 1 \right) ^ { 2 } ( x + \frac { 1 } { 2 } ) , } & { - \frac { 1 } { 2 } < x \leq 0 , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \mp \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \left( 1 \pm 1 \right) ^ { 2 } x , } & { 0 < x \leq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { x , } & { \frac { 1 } { 2 } < x \leq 1 , } \\ { x , } & { 1 < x \leq \frac { 3 } { 2 } , } \\ { \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \left( - 1 \mp 1 \right) ^ { 2 } ( x - \frac { 3 } { 2 } ) , } & { \frac { 3 } { 2 } < x \leq 2 , } \\ { \frac { 7 } { 4 } \pm \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \left( - 1 \pm 1 \right) ^ { 2 } ( x - 2 ) , } & { 2 < x \leq \frac { 5 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\aligned \| ( \textbf { u } ^ { k } \cdot \nabla ) \textbf { u } ^ { k } \| ^ { 2 } \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } { 6 4 } \| \Delta \tilde { \textbf { u } } ^ { k } \| ^ { 2 } + C \| \textbf { u } ^ { k } \| ^ { 2 } \| \nabla \tilde { \textbf { u } } ^ { k } \| ^ { 4 } , \ \ d = 2 , } \\ { \frac { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } { 6 4 } \| \Delta \tilde { \textbf { u } } ^ { k } \| ^ { 2 } + C \| \nabla \tilde { \textbf { u } } ^ { k } \| ^ { 6 } , \ \ d = 3 . } \end{array} \right. \endaligned
\mathrm { e i t h e r } \; \; \tilde { { \cal S } } ^ { a b } = - \frac { i } { 4 } [ d x ^ { a } \; \wedge + \; e ^ { a } , \; d x ^ { b } \; \wedge + \; e ^ { b } ] = - \frac { i } { 4 } [ \tilde { \gamma } ^ { a } , \tilde { \gamma } ^ { b } ] , \quad \mathrm { o r } \quad \tilde { \tilde { \cal S } } { } ^ { a b } = \frac { i } { 4 } [ d x ^ { a } \; \wedge - \; e ^ { a } , \; d x ^ { b } \; \wedge - \; e ^ { b } ] .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P _ { k } ( \boldsymbol { \theta } ) } { \partial \theta _ { i } } } & { = \left( \frac { 1 } { \det ( \tilde { \Gamma } + \mathbb { I } ) } \right) } \\ & { \times \left[ { [ ( \tilde { \Gamma } ^ { - 1 } + \mathbb { I } ) ^ { - 1 } \tilde { \Gamma } ^ { - 1 } \frac { \partial \tilde { \Gamma } } { \partial \theta _ { i } } \tilde { \Gamma } ^ { - 1 } ( \tilde { \Gamma } ^ { - 1 } + \mathbb { I } ) ^ { - 1 } ] _ { k k } } \right. } \\ & { - \left. [ ( \tilde { \Gamma } ^ { - 1 } + \mathbb { I } ) ^ { - 1 } ] _ { k k } \operatorname { T r } \left( ( \tilde { \Gamma } + \mathbb { I } ) ^ { - 1 } \frac { \partial \tilde { \Gamma } } { \partial \theta _ { i } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { j k } ^ { ( \texttt { c } , n ) } ( t | x ) = \frac { p _ { j k } ^ { \texttt { c } } ( t , x ) } { g ^ { ( n ) } ( x ) } + \frac { a _ { n } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { d } \frac { \partial ^ { 2 } p _ { j k } ^ { \texttt { c } } ( t , x ) } { \partial x _ { m } ^ { 2 } } \, \frac { \int u _ { m } ^ { 2 } \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) g ( u ) \, \lambda ( \mathrm { d } u ) } { g ^ { ( n ) } ( x ) } + o ( a _ { n } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { C } \approx \ } & { { } \frac { a ^ { 2 } [ 1 + ( R / a ) \epsilon ] } { N R ^ { 2 } ( 1 + \epsilon ) } \int \frac { d ^ { 3 } r _ { j } } { R ^ { 3 } / N } \cos \theta _ { j } \Bigg [ 1 + } \end{array}
\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { \left( \frac { t } { t + 2 } \right) ^ { k } \left( \left( \left( p _ { 1 } + 1 \right) ^ { p _ { 1 } + 1 } \right) ^ { k } \left( \left( p _ { 2 } + 1 \right) ^ { p _ { 2 } + 1 } \right) ^ { k } \left( \frac { x } { m _ { 1 } } \right) ^ { ( k + 1 ) \left( p _ { 1 } + 1 \right) - 1 } \left( \frac { y } { m _ { 2 } } \right) ^ { ( k + 1 ) \left( p _ { 2 } + 1 \right) - 1 } \right) } { \Gamma \left( \left( p _ { 1 } + 1 \right) ( k + 1 ) \right) \Gamma \left( \left( p _ { 2 } + 1 \right) ( k + 1 ) \right) }
\begin{array} { r l } { J ( | u | ^ { 2 p } u ) ( \overline { { J u } } ) = } & { \ x ^ { 2 } | u | ^ { 2 p + 2 } - 2 i t x | u | ^ { 2 p } u \overline { { u } } _ { x } + 2 i t x ( | u | ^ { 2 p } ) _ { x } | u | ^ { 2 } + 4 t ^ { 2 } ( | u | ^ { 2 p } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } } \\ & { \ + 2 i t x | u | ^ { 2 p } \overline { { u } } u _ { x } + 4 t ^ { 2 } | u | ^ { 2 p } | u _ { x } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \! \cdot \! [ \bar { a } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } ) ) + \bar { b } D ^ { 3 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ] } & { { } = \bar { a } \nabla \! \cdot \! [ D ^ { 3 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ] + \bar { b } \nabla \! \cdot \! [ D ^ { 3 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ] + O ( \beta ) } \end{array}
G _ { v h } = \frac { ( 1 \! - \! 2 \nu _ { h } ) } { 2 ( 1 \! - \! \nu _ { h } ) } \biggl [ \frac { 1 } { E _ { v } } - \frac { 2 \nu _ { h } ^ { 2 } } { ( 1 \! - \! \nu _ { h } ) E _ { h } } \biggr ] ^ { - 1 } = \frac { E _ { h } } { 2 ( 1 \! + \! \nu _ { h } ) } \biggl [ 1 + \frac { 1 \! - \! \nu _ { h } } { ( 1 \! + \! \nu _ { h } ) ( 1 \! - \! 2 \nu _ { h } ) } \Bigl ( \frac { E _ { h } } { E _ { v } } - 1 \Bigr ) \biggr ] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { I _ { t } ( x , y ) } & { = \sum _ { \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } \in P \cup P ^ { 0 } } I _ { t } ^ { \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } } ( x , y ) } \\ & { \ge \sum _ { \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } \in P } I _ { t } ^ { \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } } ( x , y ) = I _ { t } ^ { + , + } ( x , y ) + I _ { t } ^ { - , - } ( x , y ) + I _ { t } ^ { + , - } ( x , y ) + I _ { t } ^ { - , + } ( x , y ) . } \end{array}
\int _ { { \mathbb { R } } ^ { 2 } } { \bf W } ^ { t } ( { \bf x } _ { \mathrm { H } } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { A } ) { \bf N } { \bf W } ( { \bf x } _ { \mathrm { H } } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { B } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { \mathrm { H } }