harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Z = \int \operatorname { t r } \left( \mathrm { e } ^ { - \beta { \hat { H } } } | x , p \rangle \langle x , p | \right) { \frac { d x \, d p } { h } } = \int \langle x , p | \mathrm { e } ^ { - \beta { \hat { H } } } | x , p \rangle { \frac { d x \, d p } { h } } .
\int d ^ { N } k _ { 2 } ~ ( p k _ { 2 } ) ^ { 2 n } f ( k _ { 2 } ^ { 2 } ) = \frac { \Gamma ( N / 2 ) \Gamma ( 1 / 2 + n ) } { \Gamma ( N / 2 + n ) \Gamma ( 1 / 2 ) } \int d ^ { N } k _ { 2 } ~ ( p ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { n } f ( k _ { 2 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \beta _ { s \pm } = \tau \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { s } F _ { \pm } + \sigma _ { * 0 } \sigma _ { * \pm } \left[ 1 + \frac { k _ { \parallel 0 } } { k _ { \parallel \pm } } \frac { ( \omega _ { * e } - \omega ) _ { s } } { \omega _ { 0 } } \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { y } & { = y _ { 0 } \left( 1 - { \frac { x - x _ { 0 } } { x _ { 1 } - x _ { 0 } } } \right) + y _ { 1 } \left( 1 - { \frac { x _ { 1 } - x } { x _ { 1 } - x _ { 0 } } } \right) } \\ & { = y _ { 0 } \left( 1 - { \frac { x - x _ { 0 } } { x _ { 1 } - x _ { 0 } } } \right) + y _ { 1 } \left( { \frac { x - x _ { 0 } } { x _ { 1 } - x _ { 0 } } } \right) } \\ & { = y _ { 0 } \left( { \frac { x _ { 1 } - x } { x _ { 1 } - x _ { 0 } } } \right) + y _ { 1 } \left( { \frac { x - x _ { 0 } } { x _ { 1 } - x _ { 0 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \gamma ^ { \star } ( x ) = \mathbf { 1 } \big ( x ^ { 2 } > l _ { \lambda } \big ) } \\ & { \eta ^ { \star } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f } \ \ y \in \{ \varnothing , \mathfrak { C } \} } \\ { x , } & { \mathrm { i f } \ \ y = x } \end{array} \right. } \\ & { \varphi ^ { \star } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { K _ { m } ^ { \prime } } \sum _ { s = 0 } ^ { K _ { m } ^ { \prime } - 1 } \langle { \hat { \phi } _ { s } ^ { ( m ) } } | { \hat { \chi } _ { s } ^ { ( m ) } } \rangle = c ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { K _ { m } ^ { \prime } - 1 } \langle \phi _ { f ^ { ( m ) } ( j ) } ^ { ( m ) } | \chi _ { f ^ { ( m ) } ( j ) } ^ { ( m ) } \rangle = c ^ { 2 } \sum _ { k \in \mathcal { I } _ { \mathcal { E } } ^ { ( m ) } } \langle { { \phi } _ { k } ^ { ( m ) } } | { { \chi } _ { k } ^ { ( m ) } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| v ( t ) - \textbf { 1 } \bar { v } \| ^ { 2 } } & { = \| v ( 0 ) - \textbf { 1 } \bar { v } \| ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } 2 ( v - \textbf { 1 } \bar { v } ) \cdot \frac { d } { d s } ( v - \textbf { 1 } \bar { v } ) \mathrm d s } \\ & { = \| v ( 0 ) - \textbf { 1 } \bar { v } \| ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } 2 ( v - \textbf { 1 } \bar { v } ) ( - \frac { \partial } { \partial r } \mathcal H ^ { N } ( z ) - \Psi ( z ) ( v - \textbf { 1 } \bar { v } ) ) \mathrm d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n - 1 \to n , \mathrm { ~ w ~ / ~ o ~ } \to 0 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { n - 2 } { n - 1 } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\Delta _ { \mu \nu } ^ { a b } ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d { \tau } e ^ { - \tau M _ { g } ^ { 2 } } \left[ \langle x | e ^ { - \tau \Pi ^ { 2 } } | y \rangle \right] ^ { a c } \left( e ^ { - 2 i \tau { \cal F } [ \mathrm { a d } ( T _ { 3 } ) ] } \right) _ { \mu \nu } ^ { c b } \ ,
k _ { s } ^ { 0 } = \Lambda _ { 0 } ^ { 0 } k _ { \mathrm { o b s } } ^ { 0 } + \Lambda _ { 1 } ^ { 0 } k _ { \mathrm { o b s } } ^ { 1 } + \Lambda _ { 2 } ^ { 0 } k _ { \mathrm { o b s } } ^ { 2 } + \Lambda _ { 3 } ^ { 0 } k _ { \mathrm { o b s } } ^ { 3 }
u ( r , t ) \sim t ^ { - \alpha } \sum _ { n = 0 } ^ { 8 } \Tilde { u } _ { n } \zeta ^ { n } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \rho ( r , t ) \sim t ^ { - \gamma } \sum _ { m = 0 } ^ { 8 } \Tilde { \rho } _ { m } \zeta ^ { m } \ .
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { k } = \left[ \begin{array} { c c } { \mathbf { f } _ { k } \mathbf { f } _ { k } ^ { \mathrm { H } } } & { \mathbf { f } _ { k } d _ { k } ^ { \ast } } \\ { d _ { k } \mathbf { f } _ { k } ^ { \mathrm { H } } } & { \vert d _ { k } \vert ^ { 2 } } \end{array} \right] , \mathbf { \overline { { R } } } _ { k } = \left[ \begin{array} { c c } { \mathbf { R } _ { k } \mathbf { R } _ { k } ^ { \mathrm { H } } } & { \mathbf { R } _ { k } \mathbf { h } _ { k } } \\ { \mathbf { h } _ { k } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { R } _ { k } ^ { \mathrm { H } } } & { \tilde { h } _ { k } } \end{array} \right] . } \end{array}
\frac { \mathcal P _ { \dagger } ^ { n + 1 } - \mathcal P _ { \dagger } ^ { n } } { \Delta t } = - \mathcal I _ { P \dagger } ^ { n + \frac 1 2 } \, , \quad \forall n = 0 , 1 , \hdots , n _ { t } - 1 \, .
\frac { 1 } { p } \left| \sum _ { \substack { j \in I ( i , x ( t ) ) \, j \neq i } } ( x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) ) \right| > \frac { 1 } { 2 d } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, .
\left\{ \begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { { } = \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } , t ) , } & { \quad \boldsymbol { x } , t \in \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ { \mathcal { B } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { { } = \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } , t ) , } & { \quad \boldsymbol { x } , t \in \partial \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ { \mathcal { I } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , 0 ) } & { { } = \boldsymbol { h } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \Omega , } \end{array} \right.
\frac { \partial } { \partial t } \mapsto \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial T _ { 1 } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \frac { \partial } { \partial z } \mapsto \frac { \partial } { \partial z } + \epsilon \frac { \partial } { \partial Z } .
\begin{array} { r } { \left( \frac { \partial } { \partial t } + \mathcal { O } ( 1 ) + \mathcal { O } ( 2 ) \right) U ( 1 3 , t ) U ( 2 4 , t ) = \delta ( t ) \delta ( 1 3 ) \delta ( 2 4 ) \, . } \end{array}
\{ f , g \} = { \frac { \partial f } { \partial \Pi } } \cdot { \frac { \partial g } { \partial \nabla ^ { 2 } X } } + { \frac { \partial f } { \partial P } } \cdot { \frac { \partial g } { \partial \dot { X } } } + { \frac { \partial f } { \partial p } } \cdot { \frac { \partial g } { \partial X } } - ( f \leftrightarrow g ) \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } \mathcal { Z } _ { \infty } ( \phi _ { j } , \Phi _ { k } , f _ { j , s } ) = } & { \sum _ { j } \int _ { N _ { n } ( \mathbb { A } _ { \infty } ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } _ { \infty } ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 } ( \mathbb { A } _ { \infty } ) } \phi _ { j , \psi , T } ( h ) } \\ { \times } & { \omega _ { \psi , \infty } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) \Phi _ { j } ( 1 _ { n } ) f _ { j , s } ( \eta u t ( 1 , h ) ) d u d h } \end{array}
S _ { \mu } ( T _ { \mathrm { S K } } ) = S ( T _ { \mathrm { S K } } ) - \frac { \overline { { { \sigma } } } _ { e } ( T _ { \mathrm { S K } } ) } { \overline { { { \sigma } } } _ { \mathrm { C C } } ( T _ { \mathrm { S N O } } ) } \; C ( T _ { \mathrm { S N O } } ) ~ .
\{ \chi _ { \mu \nu } \} = \left( \begin{array} { c c c c } { { - 2 i \mu \varepsilon _ { 0 } } } & { { - i \mu \varepsilon _ { 1 } } } & { { - i \mu \varepsilon _ { 2 } } } & { { - i \mu \varepsilon _ { 3 } } } \\ { { - i \mu \varepsilon _ { 1 } } } & { { \chi _ { 1 1 } } } & { { \chi _ { 1 2 } } } & { { \chi _ { 1 3 } } } \\ { { - i \mu \varepsilon _ { 2 } } } & { { \chi _ { 1 2 } } } & { { \chi _ { 2 2 } } } & { { \chi _ { 2 3 } } } \\ { { - i \mu \varepsilon _ { 3 } } } & { { \chi _ { 1 3 } } } & { { \chi _ { 2 3 } } } & { { \chi _ { 3 3 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \hat { \pi } = \sum _ { E = Q , \mathcal { E } } \left( \bigotimes _ { q = \mathsf { A } , \mathsf { B } } | E _ { q } \rangle \! \langle E _ { q } | _ { \mathsf { s i m } \, q , \mathsf { e n c } [ H _ { q } ] } \otimes \varrho ^ { q } ( E ) _ { \mathsf { p h a s e } \, q } \right) \otimes | \boldsymbol { 0 } \rangle \! \langle \boldsymbol { 0 } | _ { \mathsf { e n c } [ F ] } \, , } \\ & { \hat { \tau } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \mathcal { B } [ \hat { F } ] \right) _ { \mathsf { s i m \, A , \, s i m \, B , \, e n c } [ F ] } \otimes \bigotimes _ { q = \mathsf { A } , \mathsf { B } } | \boldsymbol { 0 } \rangle \! \langle \boldsymbol { 0 } | _ { \mathsf { e n c } [ H _ { q } ] } \, . } \end{array}
\Delta _ { \alpha } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \chi _ { x , m } \left( 1 - e ^ { - \left( 1 - \tau _ { x , y } \right) | \alpha | ^ { 2 } } \frac { g _ { x , y } } { \sqrt { 1 - \chi _ { y , m } ^ { 2 } } } \right) \left| m \middle > \middle < m \right| - \left( 1 - e ^ { - \left( 1 - \tau _ { x , y } \right) | \alpha | ^ { 2 } } g _ { x , y } \Omega _ { x , y } \right) \left| \sqrt { \tau _ { x , y } } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \sqrt { \tau _ { x , y } } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| .
\begin{array} { r l r } { \left\langle f \right\vert S - 1 \left\vert i \right\rangle } & { { } = } & { \left( - i \lambda \right) ^ { 2 } ( i ) \int d ^ { 4 } k \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial c _ { \omega } } { \partial t } + \omega ^ { - 1 } \frac { \partial c _ { \omega } } { \partial \tau } \right) } & { { } + \nabla _ { \mathbf x } \cdot [ - \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { \omega } + \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } c _ { \omega } ) + \mathrm { ~ P ~ e ~ } \mathbf v c _ { \omega } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 1 = \phi _ { m } ( 1 ) } & { \le } & { \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 } | v ( z ) \phi _ { m } ( z ) | d z - \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi _ { m } ( z ) d z } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 2 } \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } | v ( z ) \phi _ { m } ( z ) | d z } \\ & { = } & { 0 , } \end{array}
{ \frac { T } { W } } = { \frac { 3 , 8 2 0 \ \mathrm { k N } } { ( 5 , 3 0 7 \ \mathrm { k g } ) ( 9 . 8 0 7 \ \mathrm { m / s ^ { 2 } } ) } } = 0 . 0 7 3 4 0 \ { \frac { \mathrm { k N } } { \mathrm { N } } } = 7 3 . 4 0 \ { \frac { \mathrm { N } } { \mathrm { N } } } = 7 3 . 4 0
\begin{array} { r l } { S _ { n , 1 } } & { \leq C | \mathbb { B } | ^ { 2 } b ^ { - 1 } \theta _ { n } \exp \left\{ - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right\} \exp \left\{ - \frac { ( 1 - \rho ) x ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \rho ) } \right\} } \\ & { \leq C | \mathbb { B } | ^ { 2 } \theta _ { n } b ^ { ( 1 - \rho ) / ( 1 + \rho ) } \exp ( 2 c / ( 1 + \rho ) ) = o ( 1 ) . } \end{array}
\mathrm { d e t } \left[ { { \cal Y } ^ { \sigma } } _ { \alpha } \right] = \frac { ( j ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( { \tilde { j } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d e t } \left[ { { \cal Y } ^ { \sigma } } _ { \alpha } \right] \, = \frac { ( { \cal J } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( { \tilde { j } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d e t } \left[ { { \cal Y } ^ { \sigma } } _ { \alpha } \right] \, = a \frac { ( { \cal X } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } { ( { \tilde { j } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi ( R , T ) } { \partial T } } & { { } = \bigg [ - \nabla _ { \gamma } ^ { 2 } + \phi _ { g } ( R ) + \phi _ { i m a g e } ( R ) + \phi _ { E } ( R , T ) \bigg ] \psi ( R , T ) , } \end{array}
Z _ { \mathrm { i n t } } = \left\{ \begin{array} { l l } { R _ { \mathrm { r } } + \frac { R _ { \mathrm { O N } } } { 1 + j \omega R _ { \mathrm { O N } } C _ { \mathrm { O N } } } } & { \mathrm { f o r ~ O N ~ s t a t e , } } \\ { R _ { \mathrm { r } } + \frac { 1 } { j \omega C _ { \mathrm { O F F } } } } & { \mathrm { f o r ~ O F F ~ s t a t e , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { S _ { I I , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Delta _ { \mathrm { L O } } ) = } & { { } G _ { \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Delta _ { \mathrm { L O } } ) [ S _ { X X } \left( \omega _ { n } \right) + S _ { P P } \left( \omega _ { n } \right) } \end{array}
\widehat { \psi } ( y ; k _ { x } , k _ { z } , \omega ) : = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi ( x , y , z , t ) e ^ { - \mathrm { ~ i ~ } ( k _ { x } x + k _ { z } z + \omega t ) } \, d x \, d z \, d t
\begin{array} { r l } & { E _ { \Delta } = S _ { a 1 } ^ { 2 } + S _ { b 1 } ^ { 2 } - S _ { a 0 } ^ { 2 } - S _ { b 0 } ^ { 2 } , } \\ & { E _ { V } = ( S _ { a 1 } - S _ { a 0 } ) \bigg ( \sum _ { \langle a \rangle } S _ { i } - \sum _ { \langle b \rangle } S _ { i } \bigg ) , } \\ & { E _ { J } = ( \sigma _ { a 1 } - \sigma _ { a 0 } ) \bigg ( \sum _ { \langle a \rangle } \sigma _ { i } - \sum _ { \langle b \rangle } \sigma _ { i } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { x } R _ { \xi } r = \left( r _ { 0 } + \frac { 2 \xi \nu } { r _ { 0 } } - \frac { \xi g \nu } { 2 } \cos ( \phi _ { 0 } ) , 0 , \xi \sqrt { 1 + \left[ \frac { g \nu } { 2 } \sin ( \phi _ { 0 } ) \right] ^ { 2 } } \right) ^ { \mathrm { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { g } ( \theta ) } & { { } \propto \sum _ { t } ^ { T } \sum _ { k } \left[ x _ { k } ^ { i a } ( t ) \log ( p _ { k } ^ { i a } ( t ) ) + x _ { k } ^ { i b } ( t ) \log ( p _ { k } ^ { i b } ( t ) ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { K } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma \left( \kappa ( g ( z ) | \hat { { \cal Y } } _ { t + 1 } ) \bar { g } ( z ) \right) } & { z \in { \cal Z } \setminus { \cal Z } _ { t + 1 } ^ { o b s } , } \\ { \hat { K } _ { t + 1 , z } } & { z \in { \cal Z } _ { t + 1 } ^ { o b s } . } \end{array} \right. } \end{array}
\Pi _ { L } ^ { \mu \nu } = - \frac { 4 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { ( 1 + x ) ^ { 2 } } e x p [ \frac { x } { 1 + x } \frac { p ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } ] ( g ^ { \mu \nu } - \varepsilon ^ { \mu \nu } ) ,
\psi ( r , z ) \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \Omega } \sqrt { r \bar { r } } \, F \left( \frac { ( r - \bar { r } ) ^ { 2 } + ( z - \bar { z } ) ^ { 2 } } { r \bar { r } } \right) \omega _ { \theta } ( \bar { r } , \bar { z } ) \, \mathrm { d } \bar { r } \, \mathrm { d } \bar { z } \, ,
S _ { c } ^ { ( 1 ) } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } m ( { \dot { \phi } } _ { c } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } d \tau = s \sqrt \lambda ( 2 \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } - \alpha \pi + 2 \alpha \sin ^ { - 1 } \alpha ) ,
\begin{array} { r l r l } { \frac { d x } { d s } } & { = F _ { u ^ { \prime \prime } } \; , } & { \frac { d u } { d s } } & { = u ^ { \prime } F _ { u ^ { \prime \prime } } \; , } \\ { \frac { d u ^ { \prime } } { d s } } & { = u ^ { \prime \prime } F _ { u ^ { \prime \prime } } \; , \qquad } & { \frac { d u ^ { \prime \prime } } { d s } } & { = - F _ { x } - u ^ { \prime } F _ { u } - u ^ { \prime \prime } F _ { u ^ { \prime } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { g \in S _ { n } } \chi _ { \nu } ( g ) \chi _ { \mu } ( g ^ { - 1 } h ) } & { = \sum _ { g \in S _ { n } } \sum _ { i , j } \rho _ { \nu } ( g ) _ { i i } \rho _ { \mu } ( g ^ { - 1 } h ) _ { j j } } \\ & { = \sum _ { g \in S _ { n } } \sum _ { i j k } \rho _ { \nu } ( g ) _ { i i } \rho _ { \mu } ( g ^ { - 1 } ) _ { j k } \rho _ { \mu } ( h ) _ { k j } } \\ & { = \sum _ { i j k } \left( \sum _ { g \in S _ { n } } \rho _ { \nu } ( g ) _ { i i } \rho _ { \mu } ( g ) _ { j k } ^ { \dag } \right) \rho _ { \mu } ( h ) _ { k j } } \\ & { = \delta _ { \mu \nu } \sum _ { i j k } \delta _ { i j } \delta _ { i k } \frac { n ! } { d _ { \nu } } \rho _ { \mu } ( h ) _ { k j } = \delta _ { \mu \nu } \sum _ { i } \frac { n ! } { d _ { \nu } } \rho _ { \mu } ( h ) _ { i i } = \delta _ { \mu \nu } \frac { n ! } { d _ { \nu } } \chi _ { \mu } ( h ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } \textbf { B } } & { { } = 0 , } \\ { \, \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } \textbf { E } } & { { } = - \, \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } \textbf { P } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \psi _ { 2 } } } & { { } = \sigma _ { + } \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) \right] } \end{array}
. T h i s w i l l b e u s e d t o p r o v e T h e o r e m ~ . T h e r e a l i z a t i o n p r o b l e m f o r K 3 s u r f a c e s o f P i c a r d n u m b e r o n e w i l l a l s o b e s o l v e d i n t h i s s e c t i o n . I n S e c t i o n ~ , w e p r o v e T h e o r e m s ~ a n d d e s c r i b e t h e d i s t r i b u t i o n o f G e p n e r t y p e p o i n t s o n
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { p B } ^ { \, s } } & { \approx } & { \frac { m _ { p } \, \vec { u } _ { p } + m _ { B } \, \vec { u } _ { B } } { m _ { p } + m _ { B } } \, , } \\ { \vec { u } _ { p \alpha } ^ { \, s } } & { \approx } & { \frac { m _ { p } \, \vec { u } _ { p } + m _ { \alpha } \, \vec { u } _ { \alpha } } { m _ { p } + m _ { \alpha } } \, , } \\ { \vec { u } _ { B \alpha } ^ { \, s } } & { \approx } & { \frac { m _ { B } \, \vec { u } _ { B } + m _ { \alpha } \, \vec { u } _ { \alpha } } { m _ { B } + m _ { \alpha } } \, . } \end{array}
\langle \Psi , \Phi \rangle = \int _ { 0 } ^ { \infty } d H \Psi _ { + } ^ { * } ( H ) \Phi _ { + } ( H ) + \int _ { 0 } ^ { \infty } d H \Psi _ { - } ^ { * } ( H ) \Phi _ { - } ( H ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \Psi _ { n } ^ { * } \Phi _ { n } .
\mathbf { M _ { S ^ { 0 } } ^ { 2 } } = \left[ \begin{array} { c c } { { \mathbf { M _ { S S } ^ { 2 } } } } & { { \mathbf { M _ { S \widetilde { \nu } _ { R } } ^ { 2 } } } } \\ { { \mathbf { M _ { S \widetilde { \nu } _ { R } } ^ { 2 } } ^ { T } } } & { { \mathbf { M _ { \widetilde { \nu } _ { R } \widetilde { \nu } _ { R } } ^ { 2 } } } } \end{array} \right]
\frac { \partial \omega _ { 2 D } } { \partial \hat { t } } = \frac { 1 } { R e } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \omega _ { 2 D } } { \partial { \hat { x } } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \omega _ { 2 D } } { \partial { \hat { y } } ^ { 2 } } } \right) - \left( { \hat { u } \frac { \partial \omega _ { 2 D } } { \partial \hat { x } } + \hat { v } \frac { \partial \omega _ { 2 D } } { \partial \hat { y } } } \right)
a _ { n } \left( \sigma , W _ { L } \right) = \int _ { \frac { n - 1 } { W _ { L } } } ^ { \frac { n } { W _ { L } } } d x \ e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { s i n c } \left( W _ { L } x \right) .
\begin{array} { r } { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 3 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 4 } } J _ { 3 } P _ { 3 0 } ( \cos \theta ) \lesssim 1 . 5 6 \times 1 0 ^ { - 1 5 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 4 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 5 } } J _ { 4 } P _ { 4 0 } ( \cos \theta ) \lesssim 9 . 6 5 \times 1 0 ^ { - 1 6 } , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 5 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 6 } } J _ { 5 } P _ { 5 0 } ( \cos \theta ) \lesssim 1 . 2 1 \times 1 0 ^ { - 1 6 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 6 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 7 } } J _ { 6 } P _ { 4 0 } ( \cos \theta ) \lesssim 3 . 0 3 \times 1 0 ^ { - 1 6 } , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 7 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 8 } } J _ { 7 } P _ { 7 0 } ( \cos \theta ) \lesssim 2 . 7 1 \times 1 0 ^ { - 1 6 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 8 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 9 } } J _ { 8 } P _ { 8 0 } ( \cos \theta ) \lesssim 1 . 5 1 \times 1 0 ^ { - 1 6 } , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 9 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 1 0 } } J _ { 9 } P _ { 9 0 } ( \cos \theta ) \lesssim 8 . 0 4 \times 1 0 ^ { - 1 7 } , ~ ~ ~ ~ \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 1 0 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 1 1 } } J _ { 1 0 } P _ { 1 0 \, 0 } ( \cos \theta ) \lesssim 2 . 2 8 \times 1 0 ^ { - 1 6 } . } \end{array}
\frac { \partial { \bf { u } } ^ { \prime } } { \partial t } + ( { \bf { U } } \cdot \nabla ) { \bf { u } } ^ { \prime } = ( { \bf { B } } \cdot \nabla ) { \bf { b } } ^ { \prime } + ( { \bf { b } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { B } } - ( { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { U } } + \cdots ,
\begin{array} { r l } & { ( 1 - F _ { 1 } ( x , \tilde { p } + u _ { f } ) ( \tilde { p } + u _ { f } ) ) \partial _ { t } ^ { 2 } \tilde { p } - c ( x ) ^ { 2 } \Delta \tilde { p } + \langle b ( x ) , \nabla \tilde { p } \rangle + h \tilde { p } } \\ { = } & { - ( \partial _ { t } ^ { 2 } - c ( x ) ^ { 2 } \Delta + \langle b ( x ) , \nabla \rangle + h ) u _ { f } + F _ { 1 } ( x , \tilde { p } + u _ { f } ) ( \tilde { p } + u _ { f } ) \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { f } + F _ { 2 } ( x , \tilde { p } + u _ { f } ) ( \partial _ { t } \tilde { p } + u _ { f } ) ^ { 2 } . } \end{array}
q _ { c } ^ { 1 } ( z | \omega , \Delta _ { \omega } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } z \leq \omega } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( - \operatorname { t a n h } ( \frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } ) + 1 ) ; x = 2 \frac { z - \omega - 0 . 5 \Delta _ { \omega } } { \Delta _ { \omega } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega < z < \omega + \Delta _ { \omega } } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } z \geq \omega + \Delta _ { \omega } } \end{array} \right. \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ Y _ { n } Y _ { n } ^ { T } \big ] } & { \sim \frac { \Gamma ( n + 2 a ( \beta + 1 ) ) } { \Gamma ( n ) \Gamma ( 1 + 2 a ( \beta + 1 ) ) } \mathbb { E } \big [ Y _ { 1 } Y _ { 1 } ^ { T } \big ] + \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \frac { \mu _ { j } ^ { 2 } } { \beta + 1 } \cdot \frac { \prod _ { k = 1 } ^ { n - 1 } ( 1 + k ^ { - 1 } 2 a ( \beta + 1 ) ) } { \prod _ { k = 1 } ^ { j - 1 } ( 1 + k ^ { - 1 } 2 a ( \beta + 1 ) ) } \cdot \frac { 1 } { d } I d } \\ & { \sim \frac { \Gamma ( n + 2 a ( \beta + 1 ) ) } { \Gamma ( n ) \Gamma ( 1 + 2 a ( \beta + 1 ) ) } \cdot \frac { 1 } { d } I d + \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \frac { \mu _ { j } ^ { 2 } } { \beta + 1 } \cdot \frac { \Gamma ( n + 2 a ( \beta + 1 ) ) \Gamma ( j ) } { \Gamma ( j + 2 a ( \beta + 1 ) ) \Gamma ( n ) } \cdot \frac { 1 } { d } I d . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } & { i \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } \\ { i \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } & { \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { g _ { 0 0 } = \frac { - 1 } { g _ { 1 1 } } = f ( r ) = \frac { 1 } { \left( 1 + \xi \right) } - 2 M \, r ^ { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \sqrt { 9 + 8 \xi } \right) } - \frac { \Lambda } { 3 } \, r ^ { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \sqrt { 9 + 8 \xi } \right) } \quad , \quad g _ { 2 2 } = \frac { g _ { 3 3 } } { \sin ^ { 2 } \theta } = - r ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( y ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { q \in B _ { 2 L ^ { - 1 } \| g \| _ { \infty } } ( y ) } \left\{ g ( q ) - ( g ( q ) - g ( y ) ) \right\} \ge \operatorname* { s u p } _ { q \in B _ { 2 L ^ { - 1 } \| g \| _ { \infty } } ( y ) } \left\{ g ( q ) - \beta \left( 2 L ^ { - 1 } \| g \| _ { \infty } \right) \right\} } \\ & { \ge \operatorname* { s u p } _ { q \in B _ { 2 L ^ { - 1 } \| g \| _ { \infty } } ( y ) } \left\{ g ( q ) - L d _ { \mathbb { A } } ( y , y ^ { \prime } ) \right\} - \beta \left( 2 L ^ { - 1 } \| g \| _ { \infty } \right) = g _ { L } ( y ) - \beta \left( 2 L ^ { - 1 } \| g \| _ { \infty } \right) , } \end{array}
\mathbf { F } _ { c , n i } = ( \mathbf { I } - \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ) \mathbf { C } = - \mu m g \cos \alpha \operatorname { s g n } { \dot { y } } \left[ { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } - \cos ^ { 2 } \alpha { \left( \begin{array} { l } { - \tan \alpha } \\ { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { - \tan \alpha } & { 1 } \end{array} \right) } \right] = - \mu m g \cos \alpha \operatorname { s g n } { \dot { y } } { \left( \begin{array} { l } { \cos ^ { 2 } \alpha } \\ { \sin \alpha \cos \alpha } \end{array} \right) }