harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\omega _ { i \pm } \approx \pm \sqrt { \frac { P } { m } } \Re ( \lambda _ { \mathrm { i } } ^ { 1 / 2 } ) + i \Big ( \pm \sqrt { \frac { P } { m } } \Im ( \lambda _ { \mathrm { i } } ^ { 1 / 2 } ) + \frac { \xi _ { i } } { 2 m } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { m _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( x | \mu , \lambda ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } w _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( x \vert t ) \, d G ( t \vert \mu , \lambda ) } \\ & { = \frac { \lambda ^ { \mu } } { \Gamma ( \mu ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } w _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( x \vert t ) \, t ^ { \mu - 1 } e ^ { - \lambda t } \, d t } \\ & { \equiv \frac { \lambda ^ { \mu } } { \Gamma ( \mu ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \{ \rho _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } \star f _ { \alpha } ( \cdot \vert t ) \} ( x ) \, t ^ { \gamma + \mu - 1 } e ^ { - \lambda t } \, d t } \\ & { = \frac { \lambda ^ { \mu } } { \Gamma ( \mu ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \{ \rho _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } \star f _ { \alpha } \} ( x t ^ { - 1 / \alpha } ) \, t ^ { ( \beta - 1 ) / \alpha + \mu - 1 } e ^ { - \lambda t } \, d t } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } \circ \mathbb { L } ^ { + } = } & { } & { ( L _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } - i L _ { 1 } ^ { i + } + L _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } \circ \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } ) } \\ & { } & { + k _ { e g } \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } \circ ( \textbf { L } _ { 2 0 } ^ { + } + i L _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ L 2 i + \} } + L _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ L 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { g g } = } & { \ - \Omega _ { p } I m ( \rho _ { g e } ) + \Gamma _ { g e } \rho _ { e e } + \Gamma _ { g r } \rho _ { r r } } \\ { \dot { \rho } _ { e e } = } & { \ + \Omega _ { p } I m ( \rho _ { g e } ) - \Omega _ { c } I m ( \rho _ { e r } ) - \Gamma _ { g e } \rho _ { e e } + \Gamma _ { e r } \rho _ { r r } } \\ { \dot { \rho } _ { r r } = } & { \ + \Omega _ { c } I m ( \rho _ { e r } ) - ( \Gamma _ { g r } + \Gamma _ { e r } ) \rho _ { r r } } \\ { \dot { \rho } _ { g e } = } & { \ - \frac { i } { 2 } \Omega _ { p } ( \rho _ { e e } - \rho _ { g g } ) + \frac { i } { 2 } \Omega _ { c } \rho _ { g r } - i \Delta _ { p } \rho _ { g e } - \frac { \Gamma _ { g e } } { 2 } \rho _ { g e } } \\ { \dot { \rho } _ { e r } = } & { \ - \frac { i } { 2 } \Omega _ { c } ( \rho _ { r r } - \rho _ { e e } ) - \frac { i } { 2 } \Omega _ { p } \rho _ { g r } - i \left( \Delta _ { c } - V ( \rho _ { r r } ) ^ { \beta } \right) \rho _ { e r } } \\ & { \ - \frac { \Gamma _ { g e } + \Gamma _ { e r } + \Gamma _ { g r } } { 2 } \rho _ { e r } } \\ { \dot { \rho } _ { g r } = } & { \ - \frac { i } { 2 } \Omega _ { p } \rho _ { e r } + \frac { i } { 2 } \Omega _ { c } \rho _ { g e } - \frac { \Gamma _ { g r } + \Gamma _ { e r } } { 2 } \rho _ { g r } - i \left( \Delta _ { p } + \Delta _ { c } - V ( \rho _ { r r } ) ^ { \beta } \right) \rho _ { r g } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { t - J _ { z } } = \sum _ { x , \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } { - t _ { x , x + 1 } { \left( d _ { x , \sigma } d _ { x + 1 , \sigma } ^ { \dagger } + h . c . \right) } } } \\ & { + \sum _ { x , \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } J _ { x , x + 1 } ^ { z } S _ { x } ^ { z } S _ { x + 1 } ^ { z } } \\ & { + \sum _ { x } { h _ { x } S _ { x } ^ { z } + g _ { x } ( S _ { x } ^ { z } ) ^ { 2 } , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { t } \rho _ { k } + \delta ^ { * } \big ( [ \rho _ { k } ] ( [ u ] - \widehat { w } ) \big ) = 0 , \ \ k = 1 , 2 , } \\ { \delta _ { t } ( \rho u ) + \delta ^ { * } \big ( [ \rho ] ( [ u ] - \widehat { w } ) [ u ] + [ p ] \big ) = \delta ^ { * } \widehat { \Pi } , } \\ { \delta _ { t } \big ( \frac 1 2 \rho u ^ { 2 } + \rho \varepsilon \big ) } \\ { + \delta ^ { * } \big \{ \big ( \frac 1 2 \rho u _ { - } u _ { + } + [ \rho \varepsilon ] + [ p ] \big ) ( [ u ] - \widehat { w } ) - \frac 1 4 h ^ { 2 } ( \delta p ) \delta u \big \} } \\ { = \delta ^ { * } ( \varkappa \delta \theta + \widehat { \Pi } [ u ] ) + [ Q ] ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 3 , 2 } ^ { * } } & { { } = \frac { C _ { 3 , 2 } ^ { * } } { \sum _ { q = 0 } ^ { 2 } ( 3 - q ) C _ { 3 , q } ^ { * } } ~ , } \\ { W _ { 2 , 1 } ^ { * ( \mathrm { n e s t e d } ) } } & { { } = \frac { \sum _ { q = 1 } ^ { 2 } q ( 3 - q ) C _ { 3 , q } ^ { * } } { 2 \sum _ { q = 0 } ^ { 2 } ( 3 - q ) C _ { 3 , q } ^ { * } } ~ , } \\ { W _ { 2 , 1 } ^ { * ( \mathrm { f r e e } ) } } & { { } = 1 - \frac { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } ( m _ { 3 } + k ^ { ( 3 ) } ) S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } } { 2 m _ { 3 } } ~ . } \end{array}
{ \mathrm { u p ~ q u a r k } } \rightarrow { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } , \qquad { \mathrm { d o w n ~ q u a r k } } \rightarrow { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } , \qquad { \mathrm { s t r a n g e ~ q u a r k } } \rightarrow { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) }
{ \cal F } _ { \cal B } ^ { h s } = { \cal F } \; \; _ { 2 } F _ { 2 } ( 1 , 1 ; 2 , \frac { 3 } { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } { \cal F } ) \; \left[ \; \exp \left( { \cal F } _ { \cal A } \right) - 1 \right]
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \hat { s } _ { k } } { \partial t } } & { { } = } & { - \gamma k ^ { 2 } \hat { s } _ { k } + \sigma \, \zeta ( t ) } \\ { \langle \zeta ( t ) \rangle } & { { } = } & { 0 } \\ { \langle \zeta ^ { * } ( t ) \zeta ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = } & { \delta ( t - t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { Q _ { T } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } = } & { { } \int _ { S _ { \epsilon } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } + \int _ { Q _ { T } \backslash S _ { \epsilon } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } } \\ { = } & { { } \int _ { Q _ { T } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } \chi _ { S _ { \epsilon } } + \int _ { Q _ { T } } | v _ { n } - v | ^ { 2 } \chi _ { Q _ { T } \backslash S _ { \epsilon } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { F I M \approx \frac { 2 } { \sigma _ { \epsilon _ { n } } ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial a ^ { 2 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial a \partial \omega } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial a \partial \beta } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial a \partial \phi } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \omega \partial a } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \omega ^ { 2 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \omega \partial \beta } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \omega \partial \phi } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \beta \partial a } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \beta \partial \omega } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \beta ^ { 2 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \beta \partial \phi } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \phi \partial a } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \phi \partial \omega } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \phi \partial \beta } } & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( t ) } { \partial \phi ^ { 2 } } } \end{array} \right] _ { t = t _ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \partial } } _ { B r } ^ { d i s c } : \mathcal { M } _ { \Gamma } \times \mathrm { M a p s } _ { \delta } ^ { k , p } ( \Sigma _ { i n } , \mathbb { C } ^ { n } , T _ { \gamma } ) \times \mathrm { M a p s } _ { \delta } ^ { k , p } ( \Sigma _ { 1 } , \mathbb { R } \times S ^ { 2 n - 1 } , \mathbb { R } \times \Lambda ) } \\ { \times \dots \mathrm { M a p s } _ { \delta } ^ { k , p } ( \Sigma _ { o u t } , \widehat M _ { o u t } , L _ { o u t } ) \to } & { \mathcal { E } _ { i n } \times \dots \mathcal { E } _ { o u t } } \end{array}
\langle \phi _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge \phi _ { i _ { n } } | \Lambda ^ { n } ( T ) \left( \phi _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge \phi _ { i _ { n } } \right) \rangle = \langle Q _ { n } \left( \phi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \phi _ { i _ { n } } \right) | \Lambda ^ { n } ( T ) Q _ { n } \left( \phi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \phi _ { i _ { n } } \right) \rangle
t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } = - \frac { C + \langle \tilde { \mathbf { o } } , \mathbf { n } \rangle } { \langle \tilde { \hat { \mathbf { d } } } , \mathbf { n } \rangle } , \quad \mathbf { n } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { \partial _ { u } T } \end{array} \right) \times \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { \partial _ { v } T } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { A } \\ { B } \\ { - 1 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \omega _ { 3 } ^ { 2 } } & { { } = \frac { N ^ { 2 } ( k _ { 3 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } ) + f ^ { 2 } m _ { 3 } ^ { 2 } } { k _ { 3 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } } , } \\ { ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 3 } ) ^ { 2 } } & { { } = \frac { N ^ { 2 } ( ( k _ { 1 } - k _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( l _ { 1 } - l _ { 3 } ) ^ { 2 } ) + f ^ { 2 } ( m _ { 1 } - m _ { 3 } ) ^ { 2 } } { ( k _ { 1 } - k _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( l _ { 1 } - l _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( m _ { 1 } - m _ { 3 } ) ^ { 2 } } , } \\ { ( \omega _ { 5 } - \omega _ { 3 } ) ^ { 2 } } & { { } = \frac { N ^ { 2 } ( ( k _ { 5 } - k _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( l _ { 5 } - l _ { 3 } ) ^ { 2 } ) + f ^ { 2 } ( m _ { 5 } - m _ { 3 } ) ^ { 2 } } { ( k _ { 5 } - k _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( l _ { 5 } - l _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( m _ { 5 } - m _ { 3 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \| { \boldsymbol u } _ { h } ^ { \ell } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + k \sum _ { m = 0 } ^ { \ell - 1 } \| \nabla { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { \le } & { \displaystyle \| { \boldsymbol u } _ { h } ^ { 0 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + K \frac { F ( n _ { h } ^ { 0 } , c _ { h } ^ { 0 } ) } { D ( n _ { h } ^ { 0 } ) } T \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & & { \displaystyle + K \Big ( T + \frac { F ( n _ { h } ^ { 0 } , c _ { h } ^ { 0 } ) } { D ( n _ { h } ^ { 0 } ) } \Big ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( x , t ) } & { = \sqrt { \frac { 1 } { L } } \sum _ { k } \left[ Q _ { k } ( t ) \sin k x + \frac { P _ { k } ( t ) } { v | k | } \cos k x \right] } \\ { \pi ( x , t ) } & { = \sqrt { \frac { 1 } { L } } \sum _ { k } \left[ P _ { k } ( t ) \sin k x - v | k | Q _ { k } ( t ) \cos k x \right] \; , \; k = \frac { 2 \pi \nu } { L } \; , \; \nu = \pm 1 , \pm 2 , . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ) } & { : = \operatorname* { m a x } \{ \mathcal { Q } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ) , \mathcal { Q } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ^ { c } ) \} , } \\ { \mathcal { Q } _ { \mathrm { t o t } } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ) } & { : = \mathcal { Q } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ) + \mathcal { Q } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ^ { c } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d ( a ) \, = \, \frac { 1 } { \emph { v o l } \, S O _ { 3 } } \int \displaylimits _ { R \in S O _ { 3 } } \widehat { d } ( R \cdot a ) \, d \mu = } \\ { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \pi } } & { \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 2 \pi } \widehat { d } ( R _ { z } ( \alpha ) \times R _ { x } ( \beta ) \times R _ { z } ( \gamma ) \times a ) \sin \beta \, d \gamma \, d \beta \, d \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \widetilde { v } } _ { c z } = V [ \widetilde { z } ] \, J _ { 0 } [ k \widetilde { r } ] , } \\ { { \widetilde { T } _ { c } } = \Theta [ \widetilde { z } ] \, J _ { 0 } [ k \widetilde { r } ] \ , \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P \left( t \right) } { \partial t } } & { + \left[ - E _ { \Vert } \left( t \right) \xi - \frac { 1 + p ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \right] \frac { \partial P \left( t \right) } { \partial p } - \left( \frac { 1 - \xi ^ { 2 } } { p } \right) E _ { \Vert } \left( t \right) \frac { \partial P \left( t \right) } { \partial \xi } } \\ & { = - \frac { \nu _ { D } } { 2 } \frac { \partial } { \partial \xi } \left[ \left( 1 - \xi ^ { 2 } \right) \frac { \partial P \left( t \right) } { \partial \xi } \right] - \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial p } \left[ p ^ { 2 } C _ { A } \frac { \partial P \left( t \right) } { \partial p } \right] , } \end{array}
( M _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { c _ { L } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { s _ { L } ^ { 2 } } { m _ { 3 } ^ { 2 } } } } & { { c _ { L } s _ { L } \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } m _ { 3 } ^ { 2 } } } } \\ { { c _ { L } s _ { L } \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } m _ { 3 } ^ { 2 } } } } & { { \frac { s _ { L } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { c _ { L } ^ { 2 } } { m _ { 3 } ^ { 2 } } } } \end{array} \right) \ \ .
\begin{array} { r l } { \mathsf { A } _ { \parallel } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } } & { { } = \lambda _ { \varepsilon \perp } \mathsf { A } _ { \parallel } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } . } \end{array}
\mathcal { A } _ { \rho } = \ln \left( \frac { j _ { + \rho } } { j _ { - \rho } } \right) = \ln \left( \frac { k _ { + \rho } } { k _ { - \rho } } \right) - \sum _ { \sigma } S _ { \rho } ^ { \sigma } \, \ln z _ { \sigma } .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \left| \eta _ { y y } \right| } \left( \begin{array} { l l l } { \mathrm { R e } \left( \eta _ { y y } \right) } & & { \mathrm { I m } \left( \eta _ { y y } \right) } \\ { - \mathrm { I m } \left( \eta _ { y y } \right) } & & { \mathrm { R e } \left( \eta _ { y y } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathrm { R e } \left( \lambda _ { \mathrm { P B C } } \right) } \\ { \mathrm { I m } \left( \lambda _ { \mathrm { P B C } } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
[ \tau \psi _ { \beta } ] _ { 2 } = \left( 1 + \sum _ { \alpha \in \Phi } ( \alpha \beta / 2 k - ( \alpha \beta ) ^ { 2 } / 2 k ^ { 2 } + N _ { \alpha , \beta } N _ { - \alpha , \alpha + \beta } ) \right) \psi _ { \beta } , \; ( \beta \in \Phi ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 2 \pi \eta \alpha ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \Delta \Tilde { G } ^ { L , \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { { } = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) / ( 4 \epsilon ^ { 2 } ) } } { k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } } } \end{array}
S _ { x } ( G ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - 1 + \frac { 3 } { 4 q _ { F } } G - \frac { 1 } { 1 6 q _ { F } ^ { 3 } } G ^ { 3 } , } & { G \leq 2 q _ { F } } \\ { 0 , } & { G > 2 q _ { F } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { h ( r , t ) } & { \sim ( 1 - t ) \left[ \mathcal { H } _ { 0 } ( \mathrm { B o } ) + \mathcal { H } _ { 1 } ( \mathrm { B o } ) r ^ { 2 } + o ( r ^ { 2 } ) \right] , } \\ { u ( r , t ) } & { \sim \frac { 1 } { ( 1 - t ) } \left[ \mathcal { U } _ { 0 } ( \mathrm { B o } ) r + \mathcal { U } _ { 1 } ( \mathrm { B o } ) r ^ { 3 } + o ( r ^ { 3 } ) \right] } \end{array}
\frac { \partial \boldsymbol v } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \, \boldsymbol \nabla | \boldsymbol v | ^ { 2 } = \boldsymbol v \times \boldsymbol \xi - { \boldsymbol \nabla } p + \nu \, \boldsymbol \nabla ^ { 2 } \boldsymbol v \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol v = 0 \ ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { D } _ { t } v - \mathcal { L } _ { 1 } v - \mathcal { K } * \mathcal { L } _ { 2 } v = G ( x , t ) - \lambda F ( v ) \quad \mathrm { i n } \, \Omega _ { T } , } \\ { v ( x , 0 ) = 0 \quad \mathrm { i n } \quad \bar { \Omega } , } \\ { v ( x , t ) = 0 \quad \mathrm { o n } \quad \partial \Omega _ { T } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \nu } & { { } = d \psi ( s ) , } \\ { \beta } & { { } = F ( s ) d x \wedge d y + d G ( s ) \wedge d \varphi } \\ { \vartheta } & { { } = \iota _ { u } \mu = K ( s ) d x \wedge d y + d L ( s ) \wedge d \varphi , } \end{array}
\begin{array} { r } { c = ( \sigma ^ { ( 1 ) } p _ { * 2 } + \sigma ^ { ( 2 ) } p _ { * 1 } ) c _ { V } \rho \theta } \\ { + ( \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } p _ { * 2 } - \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } p _ { * 1 } ) \Delta _ { * } - p _ { * 1 } p _ { * 2 } . } \end{array}
F ( z _ { 1 } , \dots , z _ { d } ) = \sum _ { \rho \in \Sigma ( 1 ) } z _ { 1 , \rho } \sum _ { \eta ^ { \rho } \in \Sigma ^ { \rho } ( 1 ) } z _ { 2 , \eta ^ { \rho } } ^ { \rho } \operatorname { M V o l } _ { \Sigma ^ { \rho , \eta } , \omega ^ { \rho , \eta } , * ^ { \rho , \eta } } ( z _ { 3 } ^ { \rho , \eta } , \dots , z _ { d } ^ { \rho , \eta } ) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf e } _ { 1 } } & { { } = } & { \cos \varphi \hat { \bf e } _ { p } + e ^ { i \delta } \sin \varphi \hat { \bf e } _ { s } , } \\ { \hat { \bf e } _ { 2 } } & { { } = } & { \sin \varphi \hat { \bf e } _ { p } - e ^ { i \delta } \cos \varphi \hat { \bf e } _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathrm { \boldmath ~ n ~ } } { \partial t } = \gamma \frac { 1 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \left( \mathrm { \boldmath ~ n ~ } \times \mathrm { \boldmath ~ B ~ } _ { \mathrm { e f f } } + \alpha \mathrm { \boldmath ~ n ~ } \times \left( \mathrm { \boldmath ~ n ~ } \times \mathrm { \boldmath ~ B ~ } _ { \mathrm { e f f } } \right) \right) , } \end{array}
\widetilde { C } _ { - \omega } ( k , \tau ) = { c _ { 0 } } \, \mathrm { e } ^ { - \lvert \tau \rvert \, \left( 1 + \xi k \right) / 2 \tilde { \tau } _ { c } - \epsilon \, k } \, \left[ \cos \left( \tilde { \omega } _ { d } \left( 1 + \xi k \right) \tau \right) + \frac { \sin \left( \tilde { \omega } _ { d } \left( 1 + \xi k \right) \lvert \tau \rvert \right) } { 2 \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \right] \, .
e ^ { - W ( J , \xi ) } = \int { \cal D } \phi _ { i } { \cal D } \eta { \cal D } \overline { { { \eta } } } e ^ { - S - \frac 1 { 2 \xi } \int d ^ { d } x F ^ { 2 } + \int d ^ { d } x \overline { { { \eta } } } ( x ) \frac { \delta F } { \delta \phi _ { i } ( x ) } \Delta _ { i } \eta ( x ) + \int d ^ { d } x J _ { i } ( x ) \phi _ { i } ( x ) } ,
\begin{array} { r l } { I I } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } } e ^ { i \tau t } [ 1 - \psi ( 2 ^ { - j } ( c 2 ^ { d k } + 1 ) ^ { - 1 } \tau ) ] \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } e ^ { i ( y - z ) \cdot \xi - i x \xi _ { 1 } } } \\ & { \quad \times \int _ { \mathbb { R } } \int _ { \mathbb { R } } e ^ { - i \tau s - i s ^ { a _ { 2 } } c 2 ^ { d k } \xi _ { 2 } - i s ^ { a _ { 2 } - d a _ { 1 } } x ^ { d } \phi ( \frac { x } { 2 ^ { k } s ^ { a _ { 1 } } } ) \xi _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { a _ { 1 } } } \tilde { \rho } ( \frac { x } { s ^ { a _ { 1 } } } ) d x \rho ( s ) \beta ( 2 ^ { - j } | \delta _ { s } \xi | ) d s d \xi d \tau f ( z ) d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { 0 } ^ { \mathrm { r o t } } = } & { - v _ { 0 } \sum _ { \langle i j \rangle \sigma } \left\{ \mathcal { A } _ { i j } ^ { ( 0 ) } \hat { g } _ { i j \sigma } + [ \mathcal { B } _ { i j } ^ { ( 0 ) } \hat { h } _ { i j \sigma } ^ { \dagger } + h . c . ] \right\} } \\ & { + \Delta U \sum _ { j } \hat { n } _ { j \uparrow } \hat { n } _ { j \downarrow } . } \end{array}
\delta \psi ^ { A } = \frac { - 1 } { 2 } { \cal F } _ { i j } \gamma _ { d = 4 } ^ { i j } \epsilon _ { B } \epsilon ^ { A B } + \frac { - 1 } { 2 } { \cal F } _ { m n } \Gamma ^ { m n } \epsilon _ { B } \epsilon ^ { A B } - i \epsilon ^ { A B } \left( \begin{array} { c c } { { D } } & { { - \sqrt { 2 } i F ^ { * } } } \\ { { \sqrt { 2 } i F } } & { { - D } } \end{array} \right) _ { B } ^ { ~ ~ ~ C } \epsilon _ { C } + \cdots ,
\begin{array} { r l } { ( v _ { m } - v _ { f } ) \alpha B _ { 0 } = - v _ { f } B _ { 0 } } & { { } \iff \alpha = \frac { v _ { f } } { v _ { f } - v _ { c } } } \\ { ( v _ { m } - v _ { f } ) n _ { 2 } = - v _ { f } n _ { 0 } } & { { } \iff \alpha = \frac { n _ { 2 } } { n _ { 0 } } \ , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { M \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathbb { R } ^ { d } } I _ { h } \varphi _ { h } ( y ) \le \operatorname* { m a x } _ { x \in \Omega _ { h } } \varphi _ { h } ( x ) \le \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathbb { R } ^ { d } } I _ { h } \varphi _ { h } ( y ) + C M h ^ { \alpha } \right) = 1 ,
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { P , Q N M } } ^ { \mathrm { L D O S } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) = 1 + \frac { \mathbf { d } \cdot \mathrm { I m } [ \mathbf { G } ^ { \mathrm { Q N M } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) ] \cdot \mathbf { d } } { \mathbf { d } \cdot \mathrm { I m } [ \mathbf { G } _ { \mathrm { B } } ( \omega ) ] \cdot \mathbf { d } } , } \end{array}
R _ { 2 } = \left[ \left( \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 v _ { p } } + \frac { v _ { r } ^ { 2 } } { v _ { g } } \right) \frac { \omega } { \Omega _ { i } } - v _ { r } \right] \frac { \partial \Omega _ { i } } { \partial s } ,
\begin{array} { r l } { L _ { 1 } [ Q _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } } , Q _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ a ~ c ~ t ~ } } ] } & { { } \equiv \int \mathrm { ~ d ~ } ^ { d } x \; | Q _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } } ( x ) - Q _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ a ~ c ~ t ~ } } ( x ) | } \end{array}
A \left[ B ^ { 0 } \stackrel { t _ { B } } { \rightarrow } D \stackrel { t _ { D } } { \rightarrow } [ f ] _ { D } \right] = A _ { B ^ { 0 } \rightarrow D _ { \mathrm { i n t o \, } f _ { D } } } \left[ g _ { + } ^ { B } + \lambda _ { B \rightarrow D _ { \mathrm { i n t o \, } f _ { D } } } g _ { - } ^ { B } \right] \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } ( \mathbf { x } ) = } & { - \frac { 1 } { 2 } f _ { \mathbf { R } _ { 0 } } ( \mathbf { x } ) \mathrm { T r } \left( \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { H } \right) \alpha ( \mathbf { x } ) - \frac { 1 } { 2 } f _ { \mathbf { R } _ { 0 } } ( \mathbf { x } ) \mathbf { x } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { D } \mathbf { x } \alpha ( \mathbf { x } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } f _ { \mathbf { R } } ( \mathbf { x } ) \mathrm { T r } \left( \left( \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } - \mathbf { R } ^ { - 1 } \right) \mathbf { H } \right) \alpha ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) + \frac { 1 } { 2 } f _ { \mathbf { R } } ( \mathbf { x } ) \mathbf { x } ^ { \mathrm { T } } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } \mathbf { R } ^ { - 1 } + \mathbf { D } \right) \mathbf { x } \alpha ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { \varphi } = k _ { 2 } p _ { \theta } \sin \varphi - U _ { \theta } ^ { \prime } \tilde { p } _ { \varphi } + m _ { \psi } U , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad U _ { \theta } ^ { \prime } \equiv \frac { \partial U } { \partial \theta } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \rho _ { u } \, \Lambda _ { l } ^ { ( 2 ) } { \cal V } _ { l } ^ { - 1 } { \cal U } _ { N } } } \\ { { \rho _ { u } \, { \cal U } _ { N } ^ { - 1 } { \cal V } _ { l } \Lambda _ { l } ^ { ( 2 ) } } } & { { { \cal U } _ { N } ^ { - 1 } N { \cal U } _ { N } } } \end{array} \right) .