harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { t _ { r , L } ^ { T } q _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } q _ { l } } & { = t _ { r , L } ^ { T } D _ { r } \varphi _ { r } - t _ { r , L } ^ { T } M _ { r } ^ { - 1 } t _ { r , L } \left( - \frac { 1 } { 2 } ( t _ { r , L } ^ { T } \varphi _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } \varphi _ { l } ) + \frac { \sqrt { T _ { r } } } { 2 } ( t _ { r , L } ^ { T } q _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } q _ { l } ) \right) } \\ & { \quad - t _ { l , R } ^ { T } D _ { l } \varphi _ { l } - t _ { l , R } ^ { T } M _ { l } ^ { - 1 } t _ { l , R } \left( \frac { 1 } { 2 } ( t _ { r , L } ^ { T } \varphi _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } \varphi _ { l } ) + \frac { \sqrt { T _ { r } } } { 2 } ( t _ { r , L } ^ { T } q _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } q _ { l } ) \right) . } \end{array}
e ^ { - \lambda / 2 } \sim f _ { \mathrm { e f f } } ( d ) = \left( { \frac { 1 } { ( D + 2 ) ( D + 4 ) } } - { \frac { 1 } { ( d + 2 ) ( d + 4 ) } } + { \frac { 2 } { d } } \left( { \frac { 1 } { d + 4 } } - { \frac { 1 } { D + 4 } } \right) \right) .
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } }
\frac { \partial u ^ { i } } { \partial t } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } u ^ { j } \frac { \partial u ^ { i } } { \partial x _ { j } } - \nu \Delta u ^ { i } + \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } - F ^ { i } = 0 \quad \textrm { i n } D
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { k _ { 1 } } & { - k _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - k _ { 1 } } & { k _ { 1 } + k _ { 2 } } & { - k _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - k { n - 2 } } & { k _ { n - 2 } + k _ { n - 1 } } & { - k _ { n - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - k _ { n - 1 } } & { k _ { n - 1 } } \end{array} \right) \quad \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( 0 ) } \\ { x _ { 2 } ( 0 ) } \\ { x _ { 3 } ( 0 ) } \\ { \vdots } \\ { x _ { n - 1 } ( 0 ) } \\ { x _ { n } ( 0 ) } \end{array} \right) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l } { ( \sum _ { j = 2 } ^ { n } m _ { j } ) g } \\ { m _ { 2 } g } \\ { m _ { 3 } g } \\ { \vdots } \\ { m _ { n - 1 } g } \\ { m _ { n } g } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } { \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } - \frac { \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right| } \\ & { \leq \left| \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h \right| \left| \frac { 1 } { \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } - \frac { 1 } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right| + \frac { 1 } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \left| \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t \right| } \\ & { = \left| \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h \right| \left| \frac { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } - \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } { \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right| + \frac { 1 } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \left| \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t \right| , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } = \log \left\lVert E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } ,
\begin{array} { r l } { \Delta m _ { i j } ( t ) } & { = \left| \frac { m _ { i j } ^ { ( N ) } ( t ) - ( m _ { i j } ^ { \prime } ) ^ { ( N ) } ( t ) } { ( m _ { i j } ^ { \prime } ) ^ { ( N ) } ( t ) } \right| , } \\ { \Delta u _ { i k } ( t ) } & { = \left| \frac { u _ { i k } ^ { ( N ) } ( t ) - ( u _ { i k } ^ { \prime } ) ^ { ( N ) } ( t ) } { ( u _ { i k } ^ { \prime } ) ^ { ( N ) } ( t ) } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb { E } \left[ - f ^ { \prime } ( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | ) \frac { Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } } { | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | } \cdot \left( \nabla U ^ { \xi _ { k } } ( \bar { X } _ { T _ { k } } ) - \nabla U ^ { \xi _ { k } } ( \bar { Y } _ { T _ { k } } ) \right) \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ - f ^ { \prime } ( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | ) \frac { Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } } { | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | } \cdot \left( \nabla U ^ { \xi _ { k } } ( \bar { X } _ { T _ { k } } ) - \nabla U ^ { \xi _ { k } } ( \bar { Y } _ { T _ { k } } ) \right) \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] } \\ & { \quad - \mathbb { E } \left[ - f ^ { \prime } ( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | ) \frac { Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } } { | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | } \cdot \left( \nabla U ^ { \xi _ { k } } ( \bar { X } _ { T _ { k } } ) - \nabla U ^ { \xi _ { k } } ( \bar { Y } _ { T _ { k } } ) \right) \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \textbf { 1 } _ { \{ t \geq \tau _ { j } \} } \right] = B _ { 1 } + B _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { s } ( r _ { s } , \zeta ) = } & { t _ { s } ( r _ { s } ) \frac { ( 1 + \zeta ) ^ { 5 / 3 } + ( 1 - \zeta ) ^ { 5 / 3 } } { 2 } : = t _ { s } ( r _ { s } ) f _ { s } ( \zeta ) \; , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { x } } ( r _ { s } , \zeta ) = } & { \epsilon _ { \mathrm { x } } ( r _ { s } ) \frac { ( 1 + \zeta ) ^ { 4 / 3 } + ( 1 - \zeta ) ^ { 4 / 3 } } { 2 } : = \epsilon _ { \mathrm { x } } ( r _ { s } ) f _ { \mathrm { x } } ( \zeta ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] } & { { } = | H _ { 0 } ^ { q } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { q q } ^ { 0 } [ \Omega ] + | H _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { q } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] } \\ { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] } & { { } = | H _ { 0 } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { p p } ^ { 0 } [ \Omega ] + | H _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \to 0 } \tilde { j } _ { \parallel } ( k , t ) = } & { \exp \left( - \frac { 6 \nu } { h ^ { 2 } \kappa } \right) \times } \\ & { \left[ \cosh \left( - \frac { 6 \nu } { h ^ { 2 } \kappa } \right) + \sinh \left( - \frac { 6 \nu } { h ^ { 2 } \kappa } \right) \right] } \\ { = } & { \exp \left( - \frac { 1 2 \nu } { h ^ { 2 } \kappa } \right) = \tilde { j } _ { \perp } ( k , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \textbf { \em E } } } & { { } = } & { \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ { \bf E } \exp ( i k _ { 0 } \zeta - i \omega _ { 0 } t ) ] , } \\ { { \textbf { \em D } } } & { { } = } & { \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ { \bf D } \exp ( i k _ { 0 } \zeta - i \omega _ { 0 } t ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \xi } & { = } & { \frac { - b - \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { \sqrt { f ( \theta _ { k + 1 } ) + C } - \sqrt { ( \tilde { r } _ { k + 1 } ) ^ { 2 } + ( \tilde { r } _ { k + 1 } - r _ { k } ) ^ { 2 } + \eta \mathcal { G } ( \theta _ { k + 1 } , \theta _ { k } ) } } { \sqrt { f ( \theta _ { k + 1 } ) + C } - \tilde { r } _ { k + 1 } } } \\ & { = } & { \frac { \sqrt { f ( \theta _ { k + 1 } ) + C } - \sqrt { ( 1 - \eta ) \tilde { r } _ { k + 1 } ^ { 2 } + \eta r _ { k } ^ { 2 } + ( 1 - \eta ) ( \tilde { r } _ { k + 1 } - r _ { k } ) ^ { 2 } } } { \sqrt { f ( \theta _ { k + 1 } ) + C } - \tilde { r } _ { k + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \rho , \theta , \zeta , t ) = \sum _ { n , m } f _ { m n } ^ { s } ( \rho , t ) s i n ( m \theta + n \zeta ) } \\ { + \sum _ { n , m } f _ { m n } ^ { c } ( \rho , t ) c o s ( m \theta + n \zeta ) } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) = \sum _ { \mathbf { k } } \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \omega } { \left( \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 2 } \omega ^ { 2 } } , } \end{array}
= - { \frac { 1 } { \sqrt { Z } } } \int \! \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { 1 } ( \partial _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i p _ { 1 } \cdot x _ { 1 } } \eta ( x _ { 1 } ) + \mathrm { e } ^ { i p _ { 1 } \cdot x _ { 1 } } \partial _ { 0 } \eta ( x _ { 1 } ) { \big ) } \gamma ^ { 0 } u _ { { \textbf { p } } _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } ,
P _ { o u t } \, = \frac { 2 \sigma _ { y } } { 3 } \left\{ 1 + \ln \left( \frac { 2 E } { 3 \sigma _ { y } } \right) \right\} + 2 \int _ { 1 } ^ { \left( \frac { 2 E } { 3 \sigma _ { y } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \, h _ { \sigma } \left\{ \frac { 2 } { 3 } \ln \left( \frac { t ^ { 3 } } { t ^ { 3 } - 1 } \right) \right\} \frac { d t } { t }
\begin{array} { r l } & { A _ { U } ^ { \langle 1 \rangle } = \{ c ( X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + u _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } ) , c ( X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + u _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } ) , c ( X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + u _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } ) , c ( X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + u _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } ) \} } \\ & { A _ { U } ^ { \langle 2 \rangle } = \{ c ( X _ { 1 } ^ { \langle 2 \rangle } + u _ { 1 } ^ { \langle 2 \rangle } ) , c ( X _ { 2 } ^ { \langle 2 \rangle } + u _ { 2 } ^ { \langle 2 \rangle } ) , c ( X _ { 3 } ^ { \langle 2 \rangle } + u _ { 3 } ^ { \langle 2 \rangle } ) , c ( X _ { 4 } ^ { \langle 2 \rangle } + u _ { 4 } ^ { \langle 2 \rangle } ) \} } \\ & { A _ { U } ^ { \langle 3 \rangle } = \{ c ( X _ { 1 } ^ { \langle 3 \rangle } + u _ { 1 } ^ { \langle 3 \rangle } ) , c ( X _ { 2 } ^ { \langle 3 \rangle } + u _ { 2 } ^ { \langle 3 \rangle } ) , c ( X _ { 3 } ^ { \langle 3 \rangle } + u _ { 3 } ^ { \langle 3 \rangle } ) , c ( X _ { 4 } ^ { \langle 3 \rangle } + u _ { 4 } ^ { \langle 3 \rangle } ) \} } \\ & { A _ { U } ^ { \langle 4 \rangle } = \{ c ( X _ { 1 } ^ { \langle 4 \rangle } + u _ { 1 } ^ { \langle 4 \rangle } ) , c ( X _ { 2 } ^ { \langle 4 \rangle } + u _ { 2 } ^ { \langle 4 \rangle } ) , c ( X _ { 3 } ^ { \langle 4 \rangle } + u _ { 3 } ^ { \langle 4 \rangle } ) , c ( X _ { 4 } ^ { \langle 4 \rangle } + u _ { 4 } ^ { \langle 4 \rangle } ) \} } \end{array}
\bar { W } _ { 2 1 } ( \nu = 1 ) = \frac { 2 n } { 2 n + 1 } R _ { n } \left( \mu \right) \left[ \frac { \mu ( 1 - \mu ) ^ { 2 } } { 2 - \mu } \right] ^ { 2 } \bar { S ^ { 2 } } \, .
K = \sum _ { \alpha } \left( p _ { \alpha } ^ { \bar { z } } \dot { z } _ { \alpha } + p _ { \alpha } ^ { z } \dot { { \bar { z } } } _ { \alpha } + J _ { \alpha } \cos \theta _ { \alpha } \dot { \phi } _ { \alpha } \right) + \int d ^ { 2 } z { \frac { \kappa } { 2 } } \left( \dot { A } _ { z } ^ { a } A _ { \bar { z } } ^ { a } - \dot { A } _ { \bar { z } } ^ { a } A _ { z } ^ { a } \right)
\begin{array} { r } { \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \mathbf { J } _ { i } ^ { T } \delta \mathbf { d } _ { i } \right] _ { j } = - [ \mathbf { S } ^ { T } \Delta \mathbf { d } \mathbf { U } ] _ { j j } , } \end{array}
A _ { T T } ^ { Z } = \frac { \sum _ { q } ^ { } ( b _ { q } ^ { 2 } - a _ { q } ^ { 2 } ) h _ { 1 } ^ { q } ( x _ { a } , M _ { Z } ^ { 2 } ) h _ { 1 } ^ { \bar { q } } ( x _ { b } , M _ { Z } ^ { 2 } ) + ( a \leftrightarrow b ) } { \sum _ { q } ^ { } ( b _ { q } ^ { 2 } + a _ { q } ^ { 2 } ) q ( x _ { a } , M _ { Z } ^ { 2 } ) \bar { q } ( x _ { b } , M _ { Z } ^ { 2 } ) + ( a \leftrightarrow b ) } ,
- \; \frac { \partial } { \partial x } \left[ \left( \frac { \partial \phi _ { \mathbf { x } } } { \partial x } - \Psi _ { \mathbf { x } } ^ { x } \right) \left\lvert \frac { \partial \phi _ { \mathbf { x } } } { \partial x } - \Psi _ { \mathbf { x } } ^ { x } \right\rvert ^ { p - 2 } \right] - \; \frac { \partial } { \partial y } \left[ \left( \frac { \partial \phi _ { \mathbf { x } } } { \partial y } - \Psi _ { \mathbf { x } } ^ { y } \right) \left\lvert \frac { \partial \phi _ { \mathbf { x } } } { \partial y } - \Psi _ { \mathbf { x } } ^ { y } \right\rvert ^ { p - 2 } \right] = 0 ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \hat { \rho } } & { { } = - i \sum _ { s = 1 } ^ { N } \omega _ { s } \left[ \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } , \hat { \rho } \right] + i \sum _ { s , s ^ { \prime } = 1 } ^ { 2 } \Omega _ { s s ^ { \prime } } \left[ \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } , \hat { \rho } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| q _ { 1 } - q _ { 2 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| q _ { 1 } - p _ { 1 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } + \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| p _ { 2 } - q _ { 2 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad + \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| p _ { 1 } - p _ { 2 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \epsilon / 2 + \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| p _ { 1 } - p _ { 2 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = \epsilon / 2 + \operatorname { W F R } ( \mu _ { p _ { 1 } } , \mu _ { p _ { 2 } } ) } \\ & { \leq \epsilon / 2 + \operatorname { W F R } ( \mu _ { q _ { 1 } } , \mu _ { p _ { 1 } } ) + \operatorname { W F R } ( \mu _ { p _ { 2 } } , \mu _ { q _ { 2 } } ) + \operatorname { W F R } ( \mu _ { q _ { 1 } } , \mu _ { q _ { 2 } } ) } \\ & { \leq \epsilon + \operatorname { W F R } ( \mu _ { q _ { 1 } } , \mu _ { q _ { 2 } } ) } \\ { \mathrm { a n d } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \hat { \sigma } _ { i } ^ { 2 } ( p ) - \sigma _ { i } ^ { 2 } | } & { = | \mu _ { i } ^ { 2 } - \hat { \mu } _ { i } ^ { 2 } ( p ) | + | ( \mu _ { i } ^ { 2 } + \sigma _ { i } ^ { 2 } ) - \hat { M } _ { 2 , i } ( p ) | } \\ { * } & { \leq 2 \cdot \mathrm { l i l } ( T _ { i } ( p ) , \omega _ { \mathrm { v } } ) + \mathrm { l i l } ( T _ { i } ( p ) , \omega _ { \mathrm { v } } ) = \beta _ { \mathrm { u } } ( T _ { i } ( p ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { e ^ { ( a ) } ( U ) = e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } e ^ { ( a ) } ( U ) - ( - 1 ) ^ { | a | } H _ { 1 } ^ { A _ { a \digamma } } e ^ { ( a ) } ( U ) e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } , } \\ & { f ^ { ( a ) } ( U ) = \frac { 1 } { H _ { 1 } ^ { A _ { a \digamma } } - H _ { 1 } ^ { - A _ { a \digamma } } } \left( f ^ { ( a ) } ( U ) f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } - ( - 1 ) ^ { | a | } H _ { 1 } ^ { - A _ { a \digamma } } f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } f ^ { ( a ) } ( U ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \tilde { \gamma } \cdot \tilde { \gamma } } \\ & { = \tilde { \pi } _ { + } \cdot \tilde { \pi } _ { + } + \tilde { \pi } _ { - } \cdot \tilde { \pi } _ { - } + 2 \tilde { \pi } _ { + } \cdot \tilde { \pi } _ { - } } \\ & { = ( - m _ { \pi } ^ { 2 } ) \ + \ ( - m _ { \pi } ^ { 2 } ) \ + \ 2 \tilde { \pi } _ { + } \cdot \tilde { \pi } _ { - } } \\ & { = \quad \ \ - 2 m _ { \pi } ^ { 2 } \quad \ \ + 2 \tilde { \pi } _ { + } \cdot \tilde { \pi } _ { - } } \end{array}
\phi _ { p o l e } ( { \vec { x } } , t ) = - { \frac { Z \delta _ { i } } { 2 \pi } } { \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } \cosh [ \vartheta _ { r } ] } { \tau } } \; J _ { 2 } ( M _ { 0 } \tau ) \, \theta ( \tau ^ { 2 } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { I , \mathrm { d i r } } = } & { g \left[ \sum _ { b = 0 , 1 } \sum _ { s \in \{ \mathrm { L } , \mathrm { M } , \mathrm { R } \} } U _ { s } ^ { b } \hat { n } _ { s \uparrow } ^ { b } \hat { n } _ { s \downarrow } ^ { b } \right. } \\ & { + \left. \sum _ { s \in \{ \mathrm { L } , \mathrm { M } , \mathrm { R } \} } J _ { s } ^ { 0 1 } ( \hat { n } _ { s \uparrow } ^ { 0 } \hat { n } _ { s \downarrow } ^ { 1 } + \hat { n } _ { s \uparrow } ^ { 1 } \hat { n } _ { s \downarrow } ^ { 0 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \lambda ^ { \prime } \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \ell } } & { { } = 2 ^ { 4 - \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } } \frac { \pi ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \eta _ { 0 } } ( - \mathrm { i } ) ^ { \ell ^ { \prime } - \ell } \Omega _ { \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } \Omega _ { \ell m ^ { \prime } } ^ { * } } \end{array}
E = \frac { m ^ { 3 } } { \lambda ^ { 2 } \sqrt { 2 } } \int d x \left\{ \frac { 1 } { 2 } \frac { d \vec { q } } { d x } \cdot \frac { d \vec { q } } { d x } + V ( \vec { q } ) \right\} < + \infty ;
\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbb { P } \left\{ \mathfrak { x } _ { t } \in A , \mathfrak { l } _ { t } > z | \mathfrak { x } _ { 0 } = x , \mathfrak { l } _ { 0 } = v \right\} = \frac { \int _ { \mathcal { M } } \nu _ { 2 } \left( d x \right) \left[ \mathbf { 1 } _ { A } \left( x \right) \int _ { z } ^ { \infty } d s \left( 1 - F _ { \tau } ^ { \varepsilon } \left( s ; x \right) \right) \right] } { \int _ { \mathcal { M } } \nu _ { 2 } \left( d x \right) \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \left( 1 - F _ { \tau } ^ { \varepsilon } \left( s ; x \right) \right) \right] } \; , \; \mathbb { P } \mathrm { - a . s . \ , }
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { c e l l } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } \frac { \cosh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) + 1 } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } ( \sigma _ { f } - \sigma _ { b } ) + \frac { \tilde { \chi } } { 2 } \int _ { x _ { b } } ^ { x _ { f } } \frac { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x ^ { \prime } ) \right] - \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x ^ { \prime } - x _ { b } ) \right] } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } c ( x ^ { \prime } , t ) d x ^ { \prime } } \\ & { } & { + \frac { v _ { p } ^ { + } - v _ { p } ^ { - } } { 2 } . } \end{array}
\left| \bar { \mathbf { S } } \right| = \frac { - \tau _ { i } \rho \Delta x ^ { 2 } / \Delta t + \sqrt { ( \tau _ { i } \rho ) ^ { 2 } \Delta x ^ { 4 } / \Delta t ^ { 2 } + 1 8 \sqrt { 2 } \rho C _ { \mathrm { s m a g } } \delta ^ { 2 } Q ^ { 1 / 2 } } } { 6 \rho C _ { \mathrm { s m a g } } \Delta ^ { 2 } } ,
g _ { 1 } ^ { \gamma ( \mathrm { B o x } ) } ( x , Q ^ { 2 } , P ^ { 2 } ) = ( 2 x - 1 ) \frac { 3 \alpha } { \pi } n _ { f } \langle e ^ { 4 } \rangle \ln \frac { Q ^ { 2 } } { P ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { B ( u ^ { * } , v ) } & { = \omega ^ { 2 } \int _ { S _ { R } } ( u \cdot \bar { v } ) ( h \cdot n ) \, \mathrm { d } s } \\ & { - ( \lambda + \mu ) \int _ { S _ { R } } ( \nabla \cdot u ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) ( n \cdot h ) \, \mathrm { d } s - \mu \int _ { S _ { R } } ( h \cdot n ) ( \nabla u : \nabla \bar { v } ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ( a ) . } \ \operatorname* { l i m } _ { M \theta \rightarrow \gamma , N \theta \rightarrow q \gamma } \frac { \partial ^ { l } } { \partial z _ { i } ^ { l } } l n ( G _ { M , N ; \theta } ) \Bigr | _ { z _ { 1 } = , . . . , z _ { M } = 0 } = ( l - 1 ) ! \cdot k _ { l } , \ \mathrm { f o r } \ \mathrm { a l l } \ l , i \in \mathbb { Z } _ { \ge 1 } . } \\ & { \mathrm { ( b ) . } \ \operatorname* { l i m } _ { M \theta \rightarrow \gamma , N \theta \rightarrow q \gamma } \frac { \partial } { \partial z _ { i _ { 1 } } } . . . \frac { \partial } { \partial z _ { i _ { r } } } l n ( G _ { M , N ; \theta } ) \Bigr | _ { z _ { 1 } , . . , z _ { M } = 0 } = 0 , \ \mathrm { f o r } \ \mathrm { a l l } \ r \ge 2 , \ \mathrm { a n d } \ i _ { 1 } , . . . , i _ { r } \in \mathbb { Z } _ { \ge 1 } \ \mathrm { s u c h \ t h a t } } \\ & { \mathrm { t h e \ s e t } \ \{ i _ { 1 } , . . . , i _ { r } \} \mathrm { i s \ o f \ c a r d i n a l i t y \ a t \ l e a s t \ t w o } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal { E } _ { \Omega ^ { * } } ( F ( \mathbf { q } ) , \mathcal { K } _ { \mathbf { q } } ) + | \Omega ^ { * } | \xi \right| } & { { } \leqslant C N _ { \mathbf { k } } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ t ] } & { 0 . 8 2 \cdot 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 2 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 4 } 5 g _ { 9 / 2 } ^ { 1 } + } \\ & { 0 . 0 8 \cdot 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 1 } 7 d _ { 3 / 2 } ^ { 2 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 3 } 5 g _ { 9 / 2 } ^ { 1 } + } \\ & { 0 . 0 5 \cdot 7 d _ { 3 / 2 } ^ { 2 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 4 } 5 g _ { 9 / 2 } ^ { 1 } } \end{array}
K [ H _ { 3 } , \rho = 1 ] ( x , \sigma ; x _ { 0 } 0 ) = \int d ( \Delta \theta ) \exp ( i \nu \Delta \theta ) K [ H _ { 2 } , \rho = \sqrt { g } ] ( x \theta \sigma ; x _ { 0 } \theta _ { 0 } 0 )
= { \frac { e ^ { 4 } } { ( k - k ^ { \prime } ) ^ { 4 } } } \left( \sum _ { r ^ { \prime } } { \bar { v } } _ { k ^ { \prime } } \gamma ^ { \mu } ( \sum _ { r } v _ { k } { \bar { v } } _ { k } ) \gamma ^ { \nu } v _ { k ^ { \prime } } \right) \left( \sum _ { s } { \bar { u } } _ { p } \gamma _ { \mu } ( \sum _ { s ^ { \prime } } { u _ { p ^ { \prime } } { \bar { u } } _ { p ^ { \prime } } } ) \gamma _ { \nu } u _ { p } \right)
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { m - 1 } ( s ) } & { = \Sigma _ { m - 1 } ^ { p } ( s ) + \kappa _ { m - 1 } \widetilde { p } _ { m } ( a _ { m - 1 } , s | a _ { m - 1 } ) \Sigma _ { m - 1 } ( s ) } \\ & { + \kappa _ { m - 2 } \widetilde { p } _ { m - 1 } ( a _ { m - 1 } , s | a _ { m - 2 } ) \Sigma _ { m - 2 } ( s ) + \kappa _ { m - 1 } \widetilde { p } _ { m - 1 } ( a _ { m - 1 } , s | a _ { m - 1 } ) \Sigma _ { m - 1 } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { \mathrm { o u t } ~ k _ { \mathrm { u } } , k _ { \mathrm { d } } ; k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } } } \\ { = } & { \sum _ { n _ { \mathrm { l o s s } } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { m a x } } } \rho _ { \mathrm { i n } ~ k _ { u } + k _ { d } + n _ { \mathrm { l o s s } } , k _ { u } ^ { \prime } + k _ { d } ^ { \prime } + n _ { \mathrm { l o s s } } } O ( \mu ^ { \frac { k _ { \mathrm { u } } + k _ { \mathrm { d } } + k _ { \mathrm { u } } ^ { \prime } + k _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } } { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( R _ { i j } , p _ { i j } ) \Leftrightarrow ( R _ { i j } , { \mathbb P } _ { ( i j ) } , \hat { \Omega } _ { i j } ) \Leftrightarrow ( R _ { i j } , { \mathbb P } _ { ( i j ) } , \Omega _ { k } ) . } \end{array}
H _ { a _ { j } } ^ { k _ { j } } \left( x _ { j } \right) = H _ { a _ { j } } \left( x _ { j } \right) \frac { \left( x _ { j } - a _ { j } \right) ^ { k _ { j } } } { k _ { j } ! } \sum _ { t = 0 } ^ { \nu \left( a _ { j } \right) - k _ { j } - 1 } \frac { \left( x _ { j } - a _ { j } \right) ^ { t } } { t ! } \frac { d ^ { t } } { d x _ { j } ^ { t } } \left( \frac { 1 } { H _ { a _ { j } } \left( x _ { j } \right) } \right) \left( a _ { j } \right) \in \Bbbk [ x ] .
R _ { B } \simeq \left( \frac { M _ { B _ { S } } } { M _ { B } } \right) \left\{ 1 + \frac { 3 } { 2 } \frac { m _ { s } } { M _ { b } } \left( 1 - \frac { M _ { b } ^ { 2 } } { t _ { c } } \right) + \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { M _ { b } ^ { 3 } } < \bar { s } s - \bar { d } d > \right\} .