harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
C _ { x y } ( \omega ) = \frac { | S _ { x y } ( \omega ) | ^ { 2 } } { S _ { x x } ( \omega ) S _ { y y } ( \omega ) } = \biggl ( 1 + \frac { S _ { w w } } { S _ { x x } ^ { 2 } | H | ^ { 2 } } \biggr ) ^ { - 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { w w } \gg S _ { x x } ^ { 2 } | H | ^ { 2 } \implies C _ { x y } \sim 0 } \\ { S _ { x x } ^ { 2 } | H | ^ { 2 } \gg S _ { w w } \implies C _ { x y } \sim 1 } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { f , i } } & { = \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } ( f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } - f _ { i } ) + \left( \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } - \frac { 1 } { \tau _ { 2 } } \right) ( f _ { i } ^ { \ast } - f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } ) , } \\ { \Omega _ { g , i } } & { = \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } ( g _ { i } ^ { \mathrm { e q } } - g _ { i } ) + \left( \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } - \frac { 1 } { \tau _ { 2 } } \right) ( g _ { i } ^ { \ast } - g _ { i } ^ { \mathrm { e q } } ) , } \end{array}
{ \cal L } _ { H \bar { t } t } = - ( m _ { t } / v ) \bar { t } ( A P _ { L } + A ^ { * } P _ { R } ) t H \; , \quad v = ( \sqrt { 2 } G _ { F } ) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \simeq 2 4 6 \mathrm { ~ G e V } \; .
\qquad \qquad = \quad - \; 9 \, u _ { 3 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 3 } \, + \, 1 8 \, u _ { 3 } x _ { 3 } x _ { 4 } ^ { 2 } \, - \, 9 \, x _ { 4 } ^ { 2 } x _ { 5 }
{ \bf B } _ { \operatorname* { m a x } } ( x _ { 1 } , \, x _ { 2 } , \, \lambda , \, \varepsilon ) = \frac { 1 } { | I | } \operatorname* { s u p } \left\{ \left| \left\{ s \in I \big | \, \varphi ( s ) \geqslant \lambda \right\} \right| \colon \varphi \in \mathrm { B M O } _ { \varepsilon } ( I ) , \, \langle \varphi \rangle = x _ { 1 } , \, \langle \varphi ^ { 2 } \rangle = x _ { 2 } \right\} ;
{ \bf { U } } _ { \mathrm { { i n } } } = { \bf { U } } _ { \mathrm { { i n } } } ^ { ( 0 ) } + \delta { \bf { U } } _ { \mathrm { { i n } } } = { \bf { U } } _ { \mathrm { { i n } } } ^ { ( 0 ) } + \frac { \gamma } { \beta } { \bf { B } } _ { \mathrm { { i n } } } ^ { ( 0 ) } .
g _ { c _ { 1 } c _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( t , \tau ) = \frac { \mathrm { T r } \left[ \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 } \exp ( \mathcal { L } \tau ) ( \hat { c } _ { 2 } \hat { \rho } \hat { c } _ { 2 } ^ { \dagger } ) \right] } { \mathrm { T r } ( \hat { c } _ { 1 } \hat { \rho } \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } ) \mathrm { T r } ( \hat { c } _ { 2 } \hat { \rho } \hat { c } _ { 2 } ^ { \dagger } ) } ,
H _ { t } \big ( C ( \mathbb { R } \mathbb { P } ^ { N - k - 1 } ) , C ( \mathbb { R } \mathbb { P } ^ { N - k - 1 } ) - \{ q \} \big ) \cong \widetilde { H } _ { t - 1 } \big ( \mathbb { R } \mathbb { P } ^ { N - k - 1 } \big ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { Z } , } & { \textrm { i f } t = N - k } \\ { \mathbb { Z } / 2 \mathbb { Z } , } & { \textrm { i f } 1 < t < N - k \textrm { e v e n } } \\ { 0 , } & { \textrm { e l s e . } } \end{array} \right.
B ( { \boldsymbol { \beta } } + \Delta { \boldsymbol { \beta } } ) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \gamma + \gamma ^ { 3 } \beta \Delta \beta _ { x } } & { - ( \gamma \beta + \gamma ^ { 3 } \Delta \beta _ { x } ) } & { - \gamma \Delta \beta _ { y } } & { 0 } \\ { - ( \gamma \beta + \gamma ^ { 3 } \Delta \beta _ { x } ) } & { \gamma + \gamma ^ { 3 } \beta \Delta \beta _ { x } } & { \left( { \frac { \gamma - 1 } { \beta } } \right) \Delta \beta _ { y } } & { 0 } \\ { - \gamma \Delta \beta _ { y } } & { \left( { \frac { \gamma - 1 } { \beta } } \right) \Delta \beta _ { y } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \rho ( \partial _ { t } \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } } & { = - \nabla p + \eta \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \nabla \cdot \mathbf { \sigma } ^ { ( a ) } } \\ { \partial _ { t } \mathbf { P } + ( \mathbf { u } + w \mathbf { P } ) \cdot \nabla \mathbf { P } } & { = \mathbf { \Omega } \cdot \mathbf { P } - \Gamma \mathbf { P } + D \nabla ^ { 2 } \mathbf { P } ; } \end{array}
T _ { s } = R _ { z } \left( \frac { \pi } { 4 } \right) T _ { n } R _ { z } \left( - \frac { \pi } { 4 } \right) = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { T _ { x } + T _ { y } } { 2 } } & { \frac { - T _ { x } + T _ { y } } { 2 } } \\ { \frac { - T _ { x } + T _ { y } } { 2 } } & { \frac { T _ { x } + T _ { y } } { 2 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { { \widehat { \theta } } _ { 2 } } & { { } = { \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } - Y _ { 3 } - Y _ { 4 } + Y _ { 5 } + Y _ { 6 } - Y _ { 7 } - Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 3 } } & { { } = { \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } - Y _ { 3 } - Y _ { 4 } - Y _ { 5 } - Y _ { 6 } + Y _ { 7 } + Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 4 } } & { { } = { \frac { Y _ { 1 } - Y _ { 2 } + Y _ { 3 } - Y _ { 4 } + Y _ { 5 } - Y _ { 6 } + Y _ { 7 } - Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 5 } } & { { } = { \frac { Y _ { 1 } - Y _ { 2 } + Y _ { 3 } - Y _ { 4 } - Y _ { 5 } + Y _ { 6 } - Y _ { 7 } + Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 6 } } & { { } = { \frac { Y _ { 1 } - Y _ { 2 } - Y _ { 3 } + Y _ { 4 } + Y _ { 5 } - Y _ { 6 } - Y _ { 7 } + Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 7 } } & { { } = { \frac { Y _ { 1 } - Y _ { 2 } - Y _ { 3 } + Y _ { 4 } - Y _ { 5 } + Y _ { 6 } + Y _ { 7 } - Y _ { 8 } } { 8 } } . } \\ { { \widehat { \theta } } _ { 8 } } & { { } = { \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } + Y _ { 3 } + Y _ { 4 } + Y _ { 5 } + Y _ { 6 } + Y _ { 7 } + Y _ { 8 } } { 8 } } . } \end{array}
\operatorname* { l i m i n f } _ { \delta \to 0 } \operatorname* { s u p } _ { W : | W | < \delta } \sum _ { i } \left( \frac { | W | } { | V _ { i } | } \right) ^ { q } \frac { | W _ { i } | } { | W | } \leq \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq p \leq 1 } \left( 2 \sqrt \frac { ( 1 - p ) \overline { { b } } _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { + } } { \overline { { c } } _ { \star } \overline { { a } } _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { - } } + 2 \sqrt { \frac { p \overline { { b } } _ { \diamond } } { \overline { { c } } _ { \diamond } \overline { { a } } \overline { { \gamma } } } } + 4 \sqrt { \frac { p \overline { { b } } h } { \overline { { c } } \overline { { a } } \overline { { \gamma } } } } \right)
\begin{array} { r l r } { \hat { C } ( t ) } & { { } = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( \langle I _ { k } ^ { 2 } \rangle - \langle I _ { k } \rangle ^ { 2 } ) \int _ { t } ^ { \infty } \psi _ { k } ( x ) d x , } \end{array}
J _ { \pm } ( z ) _ { f g } \; = \; \int \frac { d ^ { 4 } k d ^ { 4 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 8 } } \exp ( - i ( k - l ) z ) \, F ( k ^ { 2 } ) F ( l ^ { 2 } ) \, \psi _ { f } ^ { \dagger } ( k ) \frac 1 2 ( 1 \pm \gamma _ { 5 } ) \psi _ { g } ( l ) .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 0 } ( x , y , 0 ) } & { { } = k _ { 0 } z ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } k _ { 0 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + U _ { 0 } \exp ( - 2 x ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } ) + U _ { 0 } \exp ( - 2 x ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } ) , } \\ { \Phi _ { 1 } ( x , y , 0 ) } & { { } = k _ { 1 } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) + U _ { 0 } \exp ( - 2 x ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } ) - U _ { 0 } \exp ( - 2 x ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \delta _ { x ^ { \prime } } \phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } = \frac { \phi _ { j ^ { \prime } , g } ^ { n + 1 } - \phi _ { j , g } ^ { n + 1 } - \left( \tau _ { j , k } ^ { - } + \tau _ { j , k } ^ { + } \right) \left( \hat { \phi } _ { k , 2 , g } ^ { n + 1 } - \hat { \phi } _ { k , 1 , g } ^ { n + 1 } \right) } { l _ { j , k } ^ { - } + l _ { j , k } ^ { + } } , \; \; \delta _ { y ^ { \prime } } \phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } = \frac { \hat { \phi } _ { k , 2 , g } ^ { n + 1 } - \hat { \phi } _ { k , 1 , g } ^ { n + 1 } } { l _ { k } } } } \\ { { \delta _ { x ^ { \prime } } \rho _ { j , k , g } ^ { n + 1 } = \frac { \rho _ { j ^ { \prime } , g } ^ { n + 1 } - \rho _ { j , g } ^ { n + 1 } - \left( \tau _ { j , k } ^ { - } + \tau _ { j , k } ^ { + } \right) \left( \hat { \rho } _ { k , 2 , g } ^ { n + 1 } - \hat { \rho } _ { k , 1 , g } ^ { n + 1 } \right) } { l _ { j , k } ^ { - } + l _ { j , k } ^ { + } } , \; \; \delta _ { y ^ { \prime } } \rho _ { j , k , g } ^ { n + 1 } = \frac { \hat { \rho } _ { k , 2 , g } ^ { n + 1 } - \hat { \rho } _ { k , 1 , g } ^ { n + 1 } } { l _ { k } } } } \end{array}
\mathcal { Q } = Z _ { 3 } \mathcal { Q } ^ { \mathrm { R } } , \quad \mathcal { Q } ^ { \mathrm { R } } : = { \frac { 1 } { 2 } } a _ { \mu } ^ { \mathrm { R } } ( x ) a ^ { \mu } { } ^ { \mathrm { R } } ( x ) + \alpha ^ { \mathrm { R } } i \bar { C } ^ { \mathrm { R } } ( x ) C ^ { \mathrm { R } } ( x ) .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \left( L _ { \mathcal { D } } ( f ) - 1 . 0 1 L _ { S } ( f ) \right) \leq \alpha + \operatorname* { m a x } _ { l _ { \ell _ { f } } } ( \Vert l _ { \ell _ { f } } \Vert _ { L _ { 1 } ( \mu ) } - 1 . 0 1 \Vert l _ { \ell _ { f } } \Vert _ { L _ { 1 } ( \mu _ { n } ) } ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( L ( \theta _ { m + 1 } ) | \mathcal { L } _ { m - 1 } \right) \leq } & { L ( \theta _ { m } ) - \eta _ { m } \left| \nabla _ { \theta } L ( \theta _ { m } ) \right| ^ { 2 } \frac { Z _ { m } ^ { 3 } } { \widetilde { Z } _ { \lfloor m / N \rfloor * N } ^ { 3 } } } \\ & { + \frac { C \eta _ { m } ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } ( | G _ { m } | ^ { 2 } | \mathcal { L } _ { m - 1 } ) } \end{array}
\forall \alpha \in \mathbb { R } , \quad \forall \xi \in \mathbb { S } ^ { 2 } , \quad \overline { { \Omega } } _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } \big ( \mathcal { R } ( \alpha ) \xi \big ) = \overline { { \Omega } } _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } ( \xi ) .
\begin{array} { r l } { \bar { \lambda } _ { n , i } ^ { * } ( \infty ) \equiv \operatorname* { l i m } _ { \rho ^ { * } \to \infty } \bar { \lambda } _ { n , i } ^ { * } ( \rho ^ { * } ) } & { { } = \frac { \delta _ { n , i } \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda p _ { \lambda | n } \mathrm { d } \lambda } { \delta _ { n , i } \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { \lambda | n } \mathrm { d } \lambda } = E \left[ \lambda | n \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \langle J _ { D } = 5 / 2 , m _ { J , D } \rvert \hat { Q } _ { q = m _ { J , D } - m _ { J , S } } \lvert J _ { S } = 1 / 2 , m _ { J , S } \rangle } \\ & { = g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \langle J _ { S } = 1 / 2 , m _ { J , S } = 1 / 2 ; k = 2 , q = m _ { J , D } - m _ { J , S } \lvert J _ { D } = 5 / 2 , m _ { J , D } \rangle \langle J _ { D } \lvert \rvert \hat { Q } \rvert \lvert J _ { S } \rangle } \end{array}
G _ { + } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) \equiv \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left\langle \mathbf { r } \left| \frac { 1 } { E - H _ { 0 } + i \epsilon } \right| \mathbf { r } ^ { \prime } \right\rangle .
\begin{array} { r l r } { \tilde { v } _ { \perp } } & { { } = } & { v _ { \perp } \sqrt { B _ { 0 } / B } } \\ { \tilde { v } _ { z } } & { { } = } & { s \sqrt { v _ { z } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } \left( 1 - B _ { 0 } / B \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { = } & { \sum _ { \mu \in \{ x , y , z \} } P _ { \mu } A _ { \mathrm { W } } P _ { \mu } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } P _ { \mu } \overset \leftrightarrow { \Lambda } ( A _ { \mathrm { W } } \overset \leftrightarrow { \Lambda } P _ { \mu } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring { A } _ { j + 1 } ^ { w _ { j } , w _ { j + 1 } } = \mathring { A } _ { j + 1 } ^ { w _ { j } , w _ { j + 2 } } } & { + \mathcal { O } ( | w _ { j } - \bar { w } _ { j + 1 } | + | { w } _ { j } - \mathfrak { s } _ { j + 1 } { w } _ { j + 2 } | ) E _ { \mathfrak { s } _ { j + 1 } } } \\ & { + \mathcal { O } ( | w _ { j } - \bar { w } _ { j + 1 } | + | { w } _ { j } + \mathfrak { s } _ { j + 1 } \bar { w } _ { j + 2 } | ) E _ { - \mathfrak { s } _ { j + 1 } } \, , } \end{array}
E _ { v ^ { i } , v ^ { j } } ^ { k } = \operatorname { D r o p o u t } { ( \frac { < f _ { 1 } ( \mathrm { L N } ( h _ { r } ^ { i } ) , f _ { 2 } ( \mathrm { L N } ( h _ { r } ^ { j } ) ) > } { \sqrt { d _ { k } } } ) }
{ \tilde { S U } } ( 5 ) \rightarrow [ { \tilde { U } } ( 1 ) _ { 1 } \times { \tilde { U } } ( 1 ) _ { 2 } \times { \tilde { S U } } ( 2 ) \times { \tilde { U } } ( 1 ) ] / { \tilde { Z } } _ { 3 } \times { \tilde { Z } } _ { 2 } \nonumber
\begin{array} { r l } { \bigl [ W _ { D } ^ { - 1 , q } ( \Omega ) , W _ { D } ^ { 1 , q } ( \Omega ) \bigr ] _ { \theta } } & { = \Bigl [ \bigl [ W _ { D } ^ { - 1 , q } ( \Omega ) , W _ { D } ^ { 1 , q } ( \Omega ) \bigr ] _ { \frac 1 2 } , W _ { D } ^ { 1 , q } ( \Omega ) \Bigr ] _ { 2 \theta - 1 } } \\ & { = \bigl [ L ^ { q } ( \Omega ) , W _ { D } ^ { 1 , q } ( \Omega ) \bigr ] _ { 2 \theta - 1 } = H _ { D } ^ { 2 \theta - 1 , q } ( \Omega ) } \end{array}
\left( \nabla \cdot \vec { v } \right) _ { i } ^ { \mathrm { ~ a ~ r ~ t ~ i ~ f ~ i ~ c ~ i ~ a ~ l ~ } } = \frac { 1 } { \Delta t } \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \left\{ \frac { \hat { \rho } _ { i } - \rho _ { i } } { \rho _ { i } } , \gamma \right\} \, ,
\begin{array} { r } { U _ { 0 , 0 } = U _ { 1 , 1 } = e ^ { 2 i \phi } \left( \begin{array} { l l } { \cos 2 \phi } & { - i \sin 2 \phi } \\ { - i \sin 2 \phi } & { \cos 2 \phi } \end{array} \right) , \qquad U _ { 1 , 0 } = U _ { 0 , 1 } = e ^ { 2 i \phi } \left( \begin{array} { l l } { - i \sin 2 \phi } & { \cos 2 \phi } \\ { \cos 2 \phi } & { - i \sin 2 \phi } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } } { ( | { \boldsymbol { \alpha } } | + 1 ) ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { s } \frac { 1 } { ( | { \boldsymbol { \ell } } _ { j } | + 1 ) ^ { 2 | { \boldsymbol { k } } _ { j } | } } \leq 1 \, . } \end{array}
{ \frac { 1 } { k T } } { \frac { \delta ^ { s } \Delta F } { \delta n ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \dots \delta n ( \mathbf { r } _ { s } ) } } = c _ { s } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \dots , \mathbf { r } _ { s } ) .
\mathbf { V } _ { k } ^ { \mathrm { M M S E } } = \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \left( \mathbf { \hat { H } } _ { l } \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { \hat { H } } _ { l } ^ { H } + \mathbf { C } _ { l } ^ { \prime } \right) } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { I } _ { M L } \right) ^ { - 1 } \mathbf { \hat { H } } _ { k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } ,
H _ { 0 } = { h _ { 0 } } / { R } = 2 . 6 9 \Bar { U } ^ { 0 . 6 7 } \Bar { G } ^ { 0 . 5 3 } \Bar { W } ^ { - 0 . 0 6 7 } \left( 1 - 0 . 6 1 e ^ { - 0 . 7 3 } \right)
\begin{array} { r } { \left( - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \varepsilon _ { i } ( \mathbf { x } ) | \mathbf { q } | ^ { 2 } + \varepsilon _ { i } ( \mathbf { x } ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) \Gamma _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { i } } & { { } = \sin ( 2 \pi i / m ) + \xi _ { 1 } , } \\ { Y _ { i + l } } & { { } = X _ { i } + \xi _ { 2 } , } \\ { \xi _ { 1 } } & { { } \sim N ( \mu _ { 1 } , \delta _ { 1 } ) , } \\ { \xi _ { 2 } } & { { } \sim N ( \mu _ { 2 } , \delta _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ L ~ O ~ S ~ S ~ } ^ { k } = } & { { } \left( \ln ( \hat { \gamma _ { 1 } } ^ { k } ) - \ln ( \gamma _ { 1 } ^ { k } ) \right) ^ { 2 } + \left( \ln ( \hat { \gamma _ { 2 } } ^ { k } ) - \ln ( \gamma _ { 2 } ^ { k } ) \right) ^ { 2 } } & { + \lambda \cdot \left( x _ { 1 } ^ { k } \cdot \frac { \partial \ln ( \hat { \gamma _ { 1 } } ^ { k } ) } { \partial x _ { 1 } ^ { k } } + x _ { 2 } ^ { k } \cdot \frac { \partial \ln ( \hat { \gamma _ { 2 } } ^ { k } ) } { \partial x _ { 1 } ^ { k } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
| [ n _ { \alpha } ] \rangle _ { \mathrm { { B } } } = \left( { \frac { \prod _ { \alpha } n _ { \alpha } ! } { N ! } } \right) ^ { 1 / 2 } { \mathcal { S } } \bigotimes _ { \alpha } \psi _ { \alpha } ^ { \otimes n _ { \alpha } }
\begin{array} { r l } { I _ { 3 2 } = } & { 2 d s \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \partial _ { t } \overline { w } \nabla \varphi \cdot \nabla { w } \, d x d t } \\ { = } & { - 2 d s \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \overline { { w } } \nabla \varphi \cdot \nabla \partial _ { t } w \, d x d t - 2 d s \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \overline { { w } } \nabla \partial _ { t } \varphi \cdot \nabla w \, d x d t } \\ { = } & { - d s \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \overline { { w } } \nabla \partial _ { t } \varphi \cdot \nabla w \, d x d t + d s \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \Delta \varphi \overline { { w } } \partial _ { t } w \, d x d t } \\ & { - d s \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { \nu } \varphi \overline { { w } } \partial _ { t } w \, d \sigma d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \exp \left( - \lambda \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { x } \end{array} \right] ^ { \mathsf { T } } \left[ \begin{array} { l l } { q _ { 1 1 } } & { q _ { 1 2 } ^ { \mathsf { T } } } \\ { q _ { 1 2 } } & { Q _ { 2 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { x } \end{array} \right] \right) \leqslant \operatorname* { d e t } ( I _ { n } + 2 \lambda Q _ { 2 2 } ) ^ { - 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { P _ { R _ { 1 } } \rightarrow \mathcal { O } _ { P _ { R _ { 1 } } } ( Z ) \equiv \mathcal { O } _ { R _ { 1 } } ( Z ) } \\ & { } & { P _ { R _ { 2 } } \rightarrow ( \mathcal { O } _ { P _ { R _ { 2 } } } ( Z ) ) ^ { \dagger } \equiv \mathcal { O } _ { R _ { 2 } } ( Z ^ { \dagger } ) } \\ & { } & { P _ { R _ { 3 } } \rightarrow \mathcal { O } _ { P _ { R _ { 3 } } } ( B ) \equiv \mathcal { O } _ { R _ { 3 } } ( B ) } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } \, d r \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \theta \, d \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \, \psi _ { n \ell m } ^ { * } ( r , \theta , \varphi ) \psi _ { n ^ { \prime } \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( r , \theta , \varphi ) = \langle n , \ell , m | n ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } , m ^ { \prime } \rangle = \delta _ { n n ^ { \prime } } \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l } { \Tilde { R } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { k } _ { | | } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { k } _ { | | } ^ { \mathrm { i n } } ) } & { { } = \Tilde { R } ( \mathbf { k } _ { | | } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { k } _ { | | } ^ { \mathrm { i n } } ; z _ { \mathrm { f } } ) , } \\ { \phi _ { \mathrm { i n } } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) } & { { } = \phi _ { \mathrm { o u t } } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ^ { \prime } ( \vec { f } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \theta C _ { i } + \mathrm { l n } ( P _ { i } f _ { i } ) + 1 ] \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] } \\ & { < \mathrm { l n } \left( \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { d } - \overline { { \mathbb { A } } } D \overline { { \mathbb { F } } } ( x _ { 0 } ) \| _ { H _ { 1 } } } & { = \| I _ { d } - \overline { { \mathbb { B } } } \left( I _ { d } + \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { \phi ( \mathbb { L } ^ { - 1 } ( \cdot ) ) } \\ { \partial _ { \nu } \mathbb { F } ( x _ { 0 } ) } & { \partial _ { u } \mathbb { G } ( x _ { 0 } ) \mathbb { L } ^ { - 1 } } \end{array} \right) \right) \| _ { H _ { 2 } } } \\ & { = \| I _ { d } - \overline { { \mathbb { B } } } \left( I _ { d } + \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { \phi _ { 0 } ^ { * } } \\ { \partial _ { \nu } \mathbb { F } ( x _ { 0 } ) } & { \partial _ { u } \mathbb { G } ( x _ { 0 } ) \mathbb { L } ^ { - 1 } } \end{array} \right) \right) \| _ { H _ { 2 } } } \end{array}
\left\{ \left[ \! \! { \begin{array} { c } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { n } } \end{array} } \! \! \right] \in K ^ { n } : { \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l } { { 7 } x _ { 1 } } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { a _ { 1 1 } t _ { 1 } } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { a _ { 1 2 } t _ { 2 } } & { { } } & { \; + \cdots + \; } & { { } } & { a _ { 1 m } t _ { m } } & { { } } \\ { x _ { 2 } } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { a _ { 2 1 } t _ { 1 } } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { a _ { 2 2 } t _ { 2 } } & { { } } & { \; + \cdots + \; } & { { } } & { a _ { 2 m } t _ { m } } & { { } } \\ { \vdots \, } & { { } } & { } & { { } } & { \vdots \; \; \; } & { { } } & { } & { { } } & { \vdots \; \; \; } & { { } } & { } & { { } } & { \vdots \; \; \; } & { { } } \\ { x _ { n } } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { a _ { n 1 } t _ { 1 } } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { a _ { n 2 } t _ { 2 } } & { { } } & { \; + \cdots + \; } & { { } } & { a _ { n m } t _ { m } } & { { } } \end{array} } { \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } } t _ { 1 } , \ldots , t _ { m } \in K \right\} .
I ( \epsilon ) = \frac { d } l \int _ { \epsilon } d \rho \, d ^ { d } x \, \sqrt { \hat { g } } \, \rho ^ { - 1 - \frac { d } 2 } + \frac 2 l \int d ^ { d } x \sqrt { \hat { g } } \, \epsilon ^ { - \frac { d } 2 } ( \epsilon h - 1 ) .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } _ { 0 } } & { { } = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } g _ { 0 } ( r ) f _ { 0 } ( r ) d r } \\ { \mathcal { G } _ { - } ^ { ( a ) } } & { { } = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { r _ { a } } g _ { a , - } ( r ) f _ { a , - } ( r ) d r , } \\ { \mathcal { G } _ { a } } & { { } = } & { \mathcal { G } _ { - } ^ { ( a ) } + \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { r _ { a } } ^ { \infty } g _ { + } ( r ) f _ { + } ( r ) d r . } \end{array}
\zeta = \frac { \mathsf { V a r } Y } { \mathsf { V a r } X } = \frac { \sigma ^ { 2 } + \frac { H } { g ^ { 2 } } } { \sigma ^ { 2 } + \frac { H } { g ^ { 2 } } + \frac { \Delta H } { g ^ { 2 } } }
M ^ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \frac { - 5 } { 2 } } & { \frac { - 3 } { 2 } } & { \frac { - 1 } { 2 } } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 3 } { 2 } } & { \frac { 5 } { 2 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { Z [ j , { \bar { \varepsilon } } , \varepsilon ] } & { { } = \int [ d A ] [ d { \bar { c } } ] [ d c ] \exp \left\{ i S _ { F } [ \partial A , A ] + i S _ { g f } [ \partial A ] + i S _ { g } [ \partial c , \partial { \bar { c } } , c , { \bar { c } } , A ] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle = } & { - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle - \eta \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { + } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { - } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle } \\ { = } & { - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle + \eta \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { - } } \mathcal { M } ^ ( t ) ( v ; { \boldsymbol w } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle } \\ { \le } & { \eta . } \end{array}
\sigma ( t ) \approx \frac { 2 } { 5 } \frac { 1 } { \gamma t } \left( \frac { t } { t _ { i } } \right) ^ { 1 / 3 } \left[ 8 U ( v _ { s } \gamma ) ^ { 2 } + 2 \alpha ( \phi _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( U + T + I ^ { 2 } \right) - \left( U - T - I ^ { 2 } \right) - 2 \ln \left( \frac { r } { r _ { 0 } } \right) I ^ { 2 } \right]