harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { \boldsymbol { \Sigma } } _ { j k } = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { n } \sum _ { l _ { i } = 1 } ^ { n } \mathbf { x } _ { l _ { i } , j } ^ { ( i ) } \mathbf { x } _ { l _ { i } , k } ^ { ( i ) } = \frac { 1 } { m n } \sum _ { ( i , l _ { i } ) = ( 1 , 1 ) } ^ { ( m , n ) } \mathbf { x } _ { l _ { i } , j } ^ { ( i ) } \mathbf { x } _ { l _ { i } , k } ^ { ( i ) }
\alpha \approx 0 . 6 6 4 ~ y ^ { - 0 . 0 8 0 5 } + 0 . 1 6 4 6 ~ \exp [ - ( y / R e _ { \tau } ) ^ { - 0 . 6 6 9 4 } ] ~ ( y ) ^ { - 0 . 0 8 0 5 }
\begin{array} { r } { \mathbb { G } _ { p } ( x , z ) = - \frac { 1 } { \mu k _ { s } ^ { 2 } } \nabla _ { x } \nabla _ { x } ^ { \top } \Phi _ { p } ( x , z ) , \quad \mathbb { G } _ { s } ( x , z ) = \frac { 1 } { \mu } \left( \mathbb { I } _ { d } + \frac { 1 } { k _ { s } ^ { 2 } } \nabla _ { x } \nabla _ { x } ^ { \top } \right) \Phi _ { s } ( x , z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } ( \| u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \| \phi \| ^ { 2 } + ( \gamma \lambda + 1 ) \| \nabla \phi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \phi \| ^ { 2 } ) } \\ & { + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \| u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \nabla \phi \| ^ { 2 } + \| \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \phi \| ^ { 2 } + \| \nabla \phi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { - \langle K _ { u } , u _ { t } + u \rangle + \langle K _ { \phi } \, , \Delta \phi - \phi _ { t } - \phi \rangle - \langle \nabla K _ { \phi } \, , \nabla \phi _ { t } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle \rho ^ { \prime } ( \phi ) \phi _ { t } , | u | ^ { 2 } \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } } & { = c _ { 1 } - \frac { c _ { 2 } d _ { 1 } } { d _ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } d _ { 1 } ^ { 2 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } , k _ { 2 } = \frac { c _ { 2 } } { d _ { 2 } } - \frac { 2 c _ { 3 } d _ { 1 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } , k _ { 3 } = \frac { c _ { 3 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } , k _ { 4 } = \frac { c _ { 4 } } { d _ { 2 } } - \frac { 2 c _ { 5 } d _ { 1 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { 3 c _ { 7 } d _ { 1 } ^ { 2 } } { d _ { 2 } ^ { 3 } } , } \\ { k _ { 5 } } & { = \frac { c _ { 5 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { 3 c _ { 7 } d _ { 1 } } { d _ { 2 } ^ { 3 } } , k _ { 6 } = c _ { 6 } - \frac { c _ { 4 } d _ { 1 } } { d _ { 2 } } + \frac { c _ { 5 } d _ { 1 } ^ { 2 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { c _ { 7 } d _ { 1 } ^ { 3 } } { d _ { 2 } ^ { 3 } } , k _ { 7 } = \frac { c _ { 7 } } { d _ { 2 } ^ { 3 } } , } \\ { h _ { 1 } } & { = d _ { 3 } + \frac { d _ { 4 } d _ { 1 } ^ { 2 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { d _ { 1 } d _ { 5 } } { d _ { 2 } } , h _ { 2 } = \frac { d _ { 5 } } { d _ { 2 } } - \frac { 2 d _ { 1 } d _ { 4 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } , h _ { 3 } = \frac { d _ { 4 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } , h _ { 4 } = \frac { d _ { 6 } } { d _ { 2 } } + \frac { 3 d _ { 1 } ^ { 2 } d _ { 9 } } { d _ { 2 } ^ { 3 } } - \frac { 2 d _ { 1 } d _ { 7 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } , } \\ { h _ { 5 } } & { = \frac { d _ { 7 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { 3 d _ { 1 } d _ { 9 } } { d _ { 2 } ^ { 3 } } , h _ { 6 } = \frac { d _ { 7 } d _ { 1 } ^ { 2 } } { d _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { d _ { 1 } d _ { 6 } } { d _ { 2 } } + d _ { 8 } - \frac { d _ { 1 } ^ { 3 } d _ { 9 } } { d _ { 2 } ^ { 3 } } , h _ { 7 } = \frac { d _ { 9 } } { d _ { 2 } ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 4 } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } R _ { \mu \nu } ^ { \ \ \ \alpha \beta } R _ { \rho \sigma \alpha \beta } = - \frac { 2 \Omega f ^ { \prime } ( z ) \left[ \left( 1 - r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( z ) - 8 \Omega ^ { 2 } \left( 1 - f ( z ) \right) \right] } { ( 1 - r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \, . } \end{array}
\phi ^ { \prime \prime } ( x ) = - \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } - \pi \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { z d z } { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } \frac { 1 } { \sinh ^ { 2 } ( \pi x z ) } .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } C o v ( \boldsymbol { Z } _ { t } ( x ) , \boldsymbol { Z } _ { t + \tau } ( x ) ) \, d \tau } & { = \frac { c \beta ^ { \alpha } V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) } { 2 ( \alpha - 2 ) ( \alpha - 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( \beta + \tau ) ^ { - ( \alpha - 2 ) } \, d \tau } \\ & { = \frac { c \beta ^ { 3 } V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) } { 2 ( \alpha - 1 ) ( \alpha - 2 ) ( \alpha - 3 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D \omega } { D t } } & { = \mathrm { P r } \, \nabla ^ { 2 } \omega + \mathrm { P r } \, \mathrm { R a } \, \frac { \partial \theta } { \partial x } , } \\ { - \nabla ^ { 2 } \psi } & { = \omega , \ \ \mathbf { u } = \nabla _ { \perp } \psi , } \\ { \frac { D \theta } { D t } } & { = \nabla ^ { 2 } \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( \xi , \mu ) } & { = \frac 1 { \sqrt 2 } ( { \mathcal I } _ { 1 } + { \mathcal I } _ { 2 } ) , } \\ { { \mathcal I } _ { 1 } } & { : = \int _ { \eta ( \xi , \mu ) } ^ { \zeta } \frac { d z } { \sqrt { G ( \eta ( \xi , \mu ) ; \mu ) - G ( z ; \mu ) } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( \zeta - \eta ( \xi , \mu ) ) d \tau } { \sqrt { G ( \eta ( \xi , \mu ) ; \mu ) - G ( \eta ( \xi , \mu ) + \tau ( \zeta - \eta ( \xi , \mu ) ) ; \mu ) } } , } \\ { { \mathcal I } _ { 2 } } & { : = \int _ { \zeta } ^ { \xi } \frac { d z } { \sqrt { G ( { \eta ( \xi , \mu ) } ; \mu ) - G ( z ; \mu ) } } = \int _ { \zeta } ^ { \xi } \frac { d z } { \sqrt { G ( \xi ; \mu ) - G ( z ; \mu ) ) } } . } \end{array}
\mathbf { X } = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 . 0 0 0 0 } & { 1 . 0 7 9 8 } & { 1 . 1 0 2 1 } & { 1 . 4 1 0 8 } \\ { 1 . 5 5 4 5 } & { 1 . 8 2 9 2 } & { 1 . 8 6 4 1 } & { 1 . 6 9 9 5 } \\ { 1 . 7 6 5 9 } & { 1 . 4 6 7 0 } & { 1 . 4 2 5 3 } & { 1 . 4 2 1 1 } \\ { 1 . 0 0 0 0 } & { 1 . 1 0 7 8 } & { 1 . 0 9 3 1 } & { 1 . 1 0 8 7 } \end{array} \right) ,
- \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } \left( \omega + q \omega _ { m } - p \omega _ { m } \right) ^ { 2 } \hat { m } _ { p } \hat { v } _ { q - p } + \left( k + i c \left( \omega + q \omega _ { m } \right) \right) \hat { v } _ { q } \, = 0 .
\! \begin{array} { r l r l r l } { J _ { + } E _ { 1 } = E _ { 2 } , } & { \quad J _ { + } E _ { 2 } = - E _ { 1 } , } & & { J _ { + } E _ { 3 } = E _ { 4 } , } & & { J _ { + } E _ { 4 } = - E _ { 3 } , } \\ { J _ { - } E _ { 1 } = E _ { 2 } , } & { \quad J _ { - } E _ { 2 } = - E _ { 1 } , } & & { J _ { - } E _ { 3 } = - E _ { 4 } , } & & { J _ { - } E _ { 4 } = E _ { 3 } . } \end{array}
{ \frac { s ( 1 / 1 0 0 ) } { 1 0 0 } } = { \frac { 1 } { 9 8 9 9 } } = . 0 0 0 1 0 1 0 2 0 3 0 5 0 8 1 3 2 1 3 4 5 5 \ldots
\frac { 1 } { r _ { d } } \frac { 2 { \sigma } _ { a w } } { R _ { 0 } } { \sim } { \mu } _ { a } \frac { < V > } { { h _ { 0 } } ^ { 2 } } = \frac { { \mu } _ { a } } { { h _ { 0 } } ^ { 2 } } \frac { d r _ { d } } { d t }
J ^ { a _ { 1 } b _ { 1 } } J ^ { a _ { 2 } b _ { 2 } } \cdots J ^ { a _ { n } b _ { n } } \partial _ { b _ { 1 } } \partial _ { b _ { 2 } } \cdots \partial _ { b _ { n } } \ J ^ { c d } = 0 \qquad ( n \geq 3 )
\begin{array} { r c l c r c l } { { A _ { L L } ^ { \mathrm { S M } } ( q ) } } & { { = } } & { { \displaystyle e ^ { 2 } \sum _ { i = \gamma , Z } \frac { L _ { i } ( \mu ) L _ { i } ( q ) } { \hat { t } - m _ { i } ^ { 2 } } } } & { { \qquad } } & { { A _ { L R } ^ { \mathrm { S M } } ( q ) } } & { { = } } & { { \displaystyle e ^ { 2 } \sum _ { i = \gamma , Z } \frac { L _ { i } ( \mu ) R _ { i } ( q ) } { \hat { t } - m _ { i } ^ { 2 } } } } \\ { { A _ { R L } ^ { \mathrm { S M } } ( q ) } } & { { = } } & { { \displaystyle e ^ { 2 } \sum _ { i = \gamma , Z } \frac { R _ { i } ( \mu ) L _ { i } ( q ) } { \hat { t } - m _ { i } ^ { 2 } } } } & { { } } & { { A _ { R R } ^ { \mathrm { S M } } ( q ) } } & { { = } } & { { \displaystyle e ^ { 2 } \sum _ { i = \gamma , Z } \frac { R _ { i } ( \mu ) R _ { i } ( q ) } { \hat { t } - m _ { i } ^ { 2 } } } } \\ { { L _ { \gamma } ( f ) } } & { { = } } & { { \displaystyle e _ { f } } } & { { } } & { { R _ { \gamma } ( f ) } } & { { = } } & { { \displaystyle e _ { f } } } \\ { { L _ { Z } ( f ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { I _ { 3 f } - \sin ^ { 2 } \theta _ { W } e _ { f } } { \sin \theta _ { W } \cos \theta _ { W } } } } & { { } } & { { R _ { Z } ( f ) } } & { { = } } & { { \displaystyle - \tan \theta _ { W } e _ { f } } } \end{array}
Z = \sum _ { N = 1 } ^ { \infty } e ^ { - \beta \frac { N \hbar } { 2 R } } \int \left( \prod _ { k , \lambda } d \Pi _ { \lambda } ^ { k } \right) \left( \prod _ { l , \mu } d \theta _ { \mu } ^ { l } \right) < \Pi _ { \lambda } ^ { k } \theta _ { \mu } ^ { a } | e ^ { - \beta H \left( \Pi _ { \lambda } ^ { k } , Y _ { \lambda } ^ { k } , \theta _ { \mu } ^ { a } \right) } | \Pi _ { \lambda } ^ { k } \theta _ { \mu } ^ { a } >
\begin{array} { r l r } { a _ { \mathrm { N } _ { 2 } } } & { = } & { 1 0 5 . 2 8 ~ \frac { \mathrm { m } ^ { 5 } } { \mathrm { k g } \mathrm { s } ^ { 2 } } , } \\ { b _ { \mathrm { N } _ { 2 } } } & { = } & { 0 . 0 0 1 0 7 ~ \frac { \mathrm { m } ^ { 3 } } { \mathrm { k g } } , } \\ { r _ { \mathrm { N } _ { 2 } } } & { = } & { 2 3 0 . 9 9 ~ \frac { \mathrm { m } ^ { 2 } } { \mathrm { s } ^ { 2 } K } . } \end{array}
\tilde { v _ { x } } ^ { ( 2 ) } = - \frac { e ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } c } \frac { E _ { m w 0 } ^ { 2 } } { ( \omega _ { m w } ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } ) } ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) e x p ( - 2 i \omega _ { m w } t )
I _ { r _ { 1 } , \ldots , r _ { N } } ( x ) = \int \prod _ { \lambda = 1 } ^ { r _ { 1 } + \ldots + r _ { N } } [ d x _ { \lambda } x _ { \lambda } ^ { \epsilon _ { \lambda } } ] ( x - \sum _ { \lambda } x _ { \lambda } ) ^ { \alpha _ { \mathrm { r e m n } } } \theta ( x - \sum _ { \lambda } x _ { \lambda } ) \theta \left( 1 - ( x - \sum _ { \lambda } x _ { \lambda } ) \right) ,
\begin{array} { r l r } { \mu _ { t } ^ { n } ( \mathrm { d } x ) = \big ( 1 - c _ { 0 } ^ { n } ( t ) \big ) \delta _ { 0 } ( \mathrm { d } x ) + p ^ { n } ( t , x ) \mathrm { d } x } & { \mathrm { a n d } } & { c _ { 0 } ^ { n } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } p ^ { n } ( t , x ) \mathrm { d } x , ~ ~ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } t \ge 0 . } \end{array}
P \left( y \mid x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) = \frac { P \left( x _ { 1 } \mid y \right) P \left( x _ { 2 } \mid y \right) \ldots P \left( x _ { n } \mid y \right) P ( y ) } { P \left( x _ { 1 } \right) P \left( x _ { 2 } \right) \ldots P \left( x _ { n } \right) }
g _ { m } = \frac { - a _ { 2 } ( \kappa ) + \sqrt { a _ { 2 } ^ { 2 } ( \kappa ) - 4 a _ { 1 } ( \kappa ) a _ { 3 } ( \kappa ) + 4 a _ { 3 } ( \kappa ) \Gamma } } { 2 a _ { 3 } ( \kappa ) } .
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \kappa _ { D } , w \right) = } & { \frac { \kappa _ { D } w } { ( 2 \mu + ( \kappa _ { D } w ) ) ^ { 2 } } \bigg ( ( \mu - 1 ) \left[ ( \kappa _ { D } w ) ( \mu - 1 ) - \mu \right] \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \mu ( ( \kappa _ { D } w ) + 1 ) ( \mu - 1 ) \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } + } \\ & { + \left[ ( \kappa _ { D } w ) ^ { 3 } + ( \kappa _ { D } w ) ^ { 2 } ( 4 \mu - 1 ) + ( \kappa _ { D } w ) ( 5 \mu ^ { 2 } - 4 \mu + 1 ) - \mu ( \mu - 1 ) \right] \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \bigg ) } \end{array}
K ^ { \mu } = \left( { \frac { \omega } { c } } , { \vec { k } } \right) = \left( { \frac { \omega } { c } } , { \frac { \omega } { v _ { p } } } { \hat { n } } \right) = \left( { \frac { 2 \pi } { c T } } , { \frac { 2 \pi { \hat { n } } } { \lambda } } \right)
x _ { i } ^ { \prime } = { \frac { x _ { i } } { 1 - \Delta } } \, , \qquad { \vec { k } } _ { \perp i } ^ { \prime } = { \vec { k } } _ { \perp i } + { \frac { x _ { i } } { 1 - \Delta } } { \vec { q } } _ { \perp }
\begin{array} { r l r } { \cos { \theta } \cos { \psi } } & { = } & { \frac { \xi _ { 1 } } { \sqrt { a _ { 1 } } } , \quad \; \; \; \sin { \theta } \cos { \psi } = \frac { \dot { \xi } _ { 1 } } { \sqrt { a _ { 1 } } } , } \\ { \sin { \psi } } & { = } & { - \frac { \ddot { \xi } _ { 1 } } { \sqrt { a _ { 1 } } } , \quad \theta ( 0 ) = 0 , \quad \psi ( 0 ) = 0 . } \end{array}
J _ { n n ^ { \prime } } ( r ) \equiv \sum _ { m = 0 } ^ { \mathrm { m i n } ( n , n ^ { \prime } ) } \frac { n ! n ^ { \prime } ! } { m ! ( n - m ) ! ( n ^ { \prime } - m ) ! } [ i ~ \mathrm { s g n } ( e H ) r ] ^ { n + n ^ { \prime } - 2 m } .
\begin{array} { r l } { p _ { a } ( x ^ { k } ) = } & { \sum _ { U _ { S | X } \in \mathcal { U } } \sum _ { s ^ { k } \in \mathcal { T } _ { U } ( x ^ { k } ) } P _ { S ^ { k } | X ^ { k } } ( s ^ { k } | x ^ { k } ) p _ { c } ( s ^ { k } , x ^ { k } ) } \\ { \overset { ( c ) } { = } } & { \sum _ { U _ { S | X } \in \mathcal { U } } \sum _ { s ^ { k } \in \mathcal { T } _ { U } ( x ^ { k } ) } \prod _ { ( a , b ) \in ( \mathcal { S } \times \mathcal { X } ) } P _ { S | X } ( a | b ) ^ { N ( ( a , b ) | ( s ^ { k } , x ^ { k } ) ) } p _ { c } ( s ^ { k } , x ^ { k } ) } \\ { = } & { \sum _ { U _ { S | X } \in \mathcal { U } } \left\vert \mathcal { T } _ { U } \left( x ^ { k } \right) \right\vert \exp \left\{ - k \mathbb { E } _ { Q _ { X } \times U _ { S | X } } \left[ - \log P _ { S | X } ( S | X ) \right] \right\} p _ { c } ( s ^ { k } , x ^ { k } ) } \\ { \overset { ( d ) } { = } } & { \sum _ { U _ { S | X } \in \mathcal { U } } \left\vert \mathcal { T } _ { U } \left( x ^ { k } \right) \right\vert \exp \left\{ - k H ( U _ { S | X } \vert Q _ { X } ) \right\} \exp \left\{ - k D \left( \left. U _ { S | X } \right\Vert \left. P _ { S | X } \right\vert Q _ { X } \right) \right\} p _ { c } ( s ^ { k } , x ^ { k } ) } \\ { \overset { ( e ) } { \geq } } & { \sum _ { U _ { S | X } \in \mathcal { U } } ( k + 1 ) ^ { - | \mathcal { S } | | \mathcal { X } | } \exp \left\{ - k D \left( \left. U _ { S | X } \right\Vert \left. P _ { S | X } \right\vert Q _ { X } \right) \right\} p _ { c } ( s ^ { k } , x ^ { k } ) . } \end{array}
I _ { g } | _ { \boldsymbol { r } \in \partial \Gamma } = I _ { g } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \ \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \ \boldsymbol { \Omega } \cdot \boldsymbol { n } _ { \Gamma } < 0 , \quad I _ { g } | _ { t = 0 } = I _ { g } ^ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l } { 0 = } & { - \frac { \pi a _ { 0 } } { 9 } - \frac { a _ { 0 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } a _ { 0 } } { 3 } + \frac { a _ { 2 } } { 3 } - \frac { \pi a _ { 4 } } { 9 } - \frac { a _ { 4 } } { 6 } + } \\ & { \frac { \sqrt { 3 } a _ { 4 } } { 3 } - a _ { 5 } - \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 0 } } { 9 } - \frac { \pi d _ { 0 } } { 9 } - \frac { \sqrt { 3 } d _ { 0 } } { 6 } + \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 0 } } { 2 7 } - } \\ & { \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 1 } } { 5 4 } + \frac { \pi d _ { 1 } } { 3 6 } + \frac { \sqrt { 3 } d _ { 1 } } { 1 2 } + \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 1 } } { 9 } - \frac { \pi d _ { 2 } } { 9 } + } \\ & { \frac { \sqrt { 3 } d _ { 2 } } { 3 } - \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 3 } } { 5 4 } + \frac { \pi d _ { 3 } } { 3 6 } + \frac { \sqrt { 3 } d _ { 3 } } { 1 2 } + \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 3 } } { 9 } - } \\ & { \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 4 } } { 9 } - \frac { \pi d _ { 4 } } { 9 } - \frac { \sqrt { 3 } d _ { 4 } } { 6 } + \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 4 } } { 2 7 } - \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 5 } } { 2 7 } - } \\ & { \frac { \sqrt { 3 } d _ { 5 } } { 6 } + \frac { 5 \pi d _ { 5 } } { 1 8 } - \frac { \pi } { 3 } + \frac { 4 \sqrt { 3 } \pi } { 9 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { k _ { 2 } } & { = f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) = f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } k _ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \\ & { = f \left( y _ { t } , \ t \right) + { \frac { h } { 2 } } { \frac { d } { d t } } f \left( y _ { t } , \ t \right) } \\ { k _ { 3 } } & { = f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 2 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) = f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } k _ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \\ & { = f \left( y _ { t } , \ t \right) + { \frac { h } { 2 } } { \frac { d } { d t } } \left[ f \left( y _ { t } , \ t \right) + { \frac { h } { 2 } } { \frac { d } { d t } } f \left( y _ { t } , \ t \right) \right] } \\ { k _ { 4 } } & { = f \left( y _ { t + h } ^ { 3 } , \ t + h \right) = f \left( y _ { t } + h f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } k _ { 2 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) , \ t + h \right) } \\ & { = f \left( y _ { t } + h f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } f \left( y _ { t } , \ t \right) , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) , \ t + h \right) } \\ & { = f \left( y _ { t } , \ t \right) + h { \frac { d } { d t } } \left[ f \left( y _ { t } , \ t \right) + { \frac { h } { 2 } } { \frac { d } { d t } } \left[ f \left( y _ { t } , \ t \right) + { \frac { h } { 2 } } { \frac { d } { d t } } f \left( y _ { t } , \ t \right) \right] \right] } \end{array} }
\Delta \omega _ { c } ( \vec { r } ) \approx - \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \frac { ( \varepsilon _ { p } - 1 ) | \vec { E } ( \vec { r } ) | ^ { 2 } V _ { p } } { \int _ { P C N C } \varepsilon _ { m } ( \vec { r } ^ { \prime } ) | \vec { E } ( \vec { r } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d V ^ { \prime } + \int _ { a i r } | \vec { E } ( \vec { r } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d V ^ { \prime } }
[ \phi _ { i } ^ { \pm } ( z ) , \phi _ { j } ^ { \pm } ( z ^ { \prime } ) ] = 0 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ [ \phi _ { i } ^ { \pm } ( z ) , \phi _ { j } ^ { \mp } ( z ^ { \prime } ) ] = - \frac { i \hbar } { 4 } \delta _ { i j } h ^ { \pm } ( z - z ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { d _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } & { { } = D _ { \mathrm { ~ f ~ } } , } \\ { d _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } & { { } = D _ { \mathrm { ~ f ~ } } \left( \displaystyle \frac { \gamma - 2 } { \gamma - 1 } \right) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { s _ { c } } d s \, v _ { 1 } ( s ) = \int _ { 0 } ^ { s _ { c } } d s \, [ a _ { 0 } ( s ) + a _ { 1 } ( s ) ] = \frac { s _ { c } } { 2 } ( 1 + \delta _ { 0 } ) \, ,
A = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { 4 ( a ^ { 2 } b ^ { 2 } + a ^ { 2 } c ^ { 2 } + b ^ { 2 } c ^ { 2 } ) - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } }
\mathrm { X } \left( { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i \theta } } \end{array} \right) } \right) = e ^ { i m \theta } + e ^ { i ( m - 2 ) \theta } + \cdots e ^ { - i ( m - 2 ) \theta } + e ^ { - i m \theta } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial T } \rho ( T | \widehat { L } ) = - f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \rho ( T | \widehat { L } ) - \frac { D ( \widehat { L } ) } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } \rho ( T | \widehat { L } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { k , i } ( \vec { x } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } m _ { i } n _ { i } ( \vec { x } ) \left[ V _ { i , x } ( \vec { x } ) ^ { 2 } + V _ { i , y } ( \vec { x } ) ^ { 2 } + V _ { i , z } ( \vec { x } ) ^ { 2 } \right] } \\ { u _ { t h , i } ( \vec { x } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } n _ { i } ( \vec { x } ) k _ { B } \left[ T _ { i , x } ( \vec { x } ) + T _ { i , y } ( \vec { x } ) + T _ { i , z } ( \vec { x } ) \right] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ I ~ f ~ } ~ | F _ { s b } | > G + F _ { b } + F _ { d } + F _ { a } + F _ { h } , } & { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ b ~ o ~ u ~ n ~ c ~ e ~ s ~ e ~ v ~ e ~ n ~ w ~ i ~ t ~ h ~ o ~ u ~ t ~ j ~ e ~ t ~ ; ~ } } \\ { \mathrm { ~ I ~ f ~ } ~ | F _ { s b } | \leq G + F _ { b } + F _ { d } + F _ { a } + F _ { h } , } & { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ c ~ o ~ u ~ l ~ d ~ n ~ o ~ t ~ b ~ o ~ u ~ n ~ c ~ e ~ w ~ i ~ t ~ h ~ o ~ u ~ t ~ j ~ e ~ t ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { f \left( x \right) } & { { } : } & { = { \bf E } \left( X _ { n + 1 } - x \mid X _ { n } = x \right) = { \bf E } \left( S \left( x \right) \right) - x + { \bf E } \left( \beta \right) = - x + \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } \left( 1 - \overline { { \alpha } } ^ { x } \right) + { \bf E } \left( \beta \right) } \\ { \sigma ^ { 2 } \left( x \right) } & { { } : } & { = \sigma ^ { 2 } \left( \left( X _ { n + 1 } - x \right) \mid X _ { n } = x \right) = \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } \left( 1 - \overline { { \alpha } } ^ { x } \right) \left[ 1 + \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } \left( 1 + \overline { { \alpha } } ^ { x } \right) \right] - 2 \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } x \overline { { \alpha } } ^ { x } + \sigma ^ { 2 } \left( \beta \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi ( \mathbf { x } ) = \frac { j } { \epsilon \omega } \int _ { S ^ { \prime } } \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } ^ { \mathrm { o s c } } ( q _ { B } ) } & { = } & { \frac { \left| C ^ { ( B ) } \right| ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { D + 2 } } \cos \left[ 2 s _ { 0 } \log \left( \frac { q _ { B } } { \sqrt { 2 \mu _ { B } } \kappa _ { 0 } ^ { * } } \right) \right] | \mathfrak { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } | ^ { 2 } } \\ & { \times } & { \mathcal { S } _ { D } \pi \left( 1 - \frac D 2 \right) \left[ \operatorname { R e } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } + \operatorname { I m } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \times } & { ( 2 \mu _ { B } ) ^ { 1 + D / 2 } \csc \left( \frac { D \pi } { 2 } \right) , } \end{array}
S ( \textbf { w } _ { h } , \textbf { v } _ { h } ) = \alpha \displaystyle { \sum _ { E \in \mathcal { T } _ { h } } S ^ { E } ( \textbf { w } _ { h } , \textbf { v } _ { h } ) } , \quad S ^ { E } ( \textbf { w } _ { h } , \textbf { v } _ { h } ) = h _ { E } \displaystyle { \int _ { E } \partial _ { s } \textbf { w } _ { h } \cdot \partial _ { s } \textbf { v } _ { h } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ R ( T ) ] = \mathbb { P } [ \tilde { \mathcal { E } } _ { g } ] R _ { g } + ( 1 - \mathbb { P } [ \tilde { \mathcal { E } } _ { g } ] ) R _ { b } } \\ & { \leq R _ { g } + 6 | \mathcal { D } | \beta L \cdot 2 B \kappa T } \\ & { \leq 2 B \kappa + 1 6 \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } T ^ { 1 - \alpha / 2 } + 8 \sigma C _ { 1 } C \sqrt { 2 \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) T ^ { 1 - \alpha } } + 3 2 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } T } } \\ & { + 4 C _ { 2 } G _ { 1 } \gamma _ { T } \sqrt { 2 \log ( 1 / \beta ) } T ^ { 1 - \alpha } + 1 2 B \kappa | \mathcal { D } | \beta L T } \\ & { = 2 B \kappa + 1 6 T ^ { 1 - \alpha / 2 } \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( | \mathcal { D } | T ) } + 8 \sigma C _ { 1 } C \sqrt { 2 \gamma _ { T } T ^ { 1 - \alpha } \log ( | \mathcal { D } | T ) } + 3 2 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } T } } \\ & { + 4 C _ { 2 } G _ { 1 } \gamma _ { T } \sqrt { 2 \log ( | \mathcal { D } | T ) } T ^ { 1 - \alpha } + 1 2 B \kappa \log ( 2 T ) } \\ & { = O ( T ^ { 1 - \alpha / 2 } \sqrt { \log ( | \mathcal { D } | T ) } ) + O ( \sqrt { \gamma _ { T } T ^ { 1 - \alpha } \log ( | \mathcal { D } ) T ) } + O ( G _ { 1 } \gamma _ { T } T ^ { 1 - \alpha } \sqrt { \log ( | \mathcal { D } | T ) } ) + O ( \sqrt { \gamma _ { T } T } ) . } \end{array}
{ \frac { \sin \theta \cos \theta \phi ^ { 2 } } { \sqrt { \theta ^ { 2 } + \phi ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } } = { \frac { d } { d t } } { \frac { \theta ^ { \prime } } { \sqrt { \theta ^ { 2 } + \phi ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } } .
\frac { \partial u _ { d } } { \partial t } \sim \frac { \nabla p } { \rho _ { d } } \sim \frac { p } { D \rho _ { d } } ; \frac { \partial u _ { d } } { \partial t } \sim \frac { D } { \tau ^ { 2 } } ; p \sim \frac { \sigma } { D } \Rightarrow \tau \sim \sqrt { \frac { \rho _ { d } D ^ { 3 } } { \sigma } } ~ ( \textrm { l o w v i s c o s i t y , l o w s p e e d } )