harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \overline { { \sin [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 1 } ) ] \sin [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 2 } ) ] } } | _ { \eta = 0 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \cos [ ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) \theta ] , } \\ { \overline { { \cos [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 1 } ) ] \cos [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 2 } ) ] } } | _ { \eta = 0 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \cos [ ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) \theta ] , } \\ { \overline { { \sin [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 1 } ) ] \cos [ \Psi _ { 1 } ( a _ { 2 } ) ] } } | _ { \eta = 0 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sin [ ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) \theta ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal { E } } _ { t } \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } K _ { \Lambda } ( x _ { i } - x _ { j } ) - 1 \right| \times \left| f _ { O } ( x _ { i } ) \right| , } \end{array}
\vec { F } = - \vec { \nabla } \Phi = - \vec { \nabla } \Phi _ { \mathrm { m } } - ( 3 w + 1 ) \, \frac { 1 } { r } \, \left( \frac { r _ { \mathrm { { o } } } } { r } \right) ^ { 3 w + 1 } \hat { e } _ { r } ,
\Delta { \bf n } = ( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } ) ^ { - 1 } { \bf K } _ { 0 } ( { \bf q } _ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] - { \bf n } ) ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ ~ ~ r ~ a ~ n ~ k ~ - ~ } m ~ \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ r ~ o ~ x ~ . ~ }
\left\{ \begin{array} { r l } & { K _ { j } = \frac { A ( x _ { j } ^ { \delta } - x _ { 0 } ) + b + \delta e + \xi _ { j } } { | A ( x _ { j } ^ { \delta } - x _ { 0 } ) + b + \delta e + \xi _ { j } | } , } \\ & { K = \frac { A ( \widehat { x } - x _ { 0 } ) + b + \delta e + \xi _ { \infty } } { | A ( \widehat { x } - x _ { 0 } ) + b + \delta e + \xi _ { \infty } | } , } \end{array} \right.
\mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { b } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } ) = T _ { 2 } \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { \alpha } _ { T _ { 1 } } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } ) \, \, , \, \, \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { a } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } ) = T _ { 2 } \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { \alpha } _ { T _ { 2 } } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } )
\begin{array} { r l } { g _ { 3 } } & { = \, 0 . 5 3 1 + 6 . 9 5 8 \cdot 1 0 ^ { - 7 } u _ { 2 } - 2 . 5 1 \cdot 1 0 ^ { - 1 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } + 3 . 0 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 8 } u _ { 2 } ^ { 3 } } \\ & { \, + \frac { 0 . 4 3 1 - 0 . 1 4 3 7 ( p r _ { x _ { 2 } } - p r _ { x _ { 2 , c r i t } } ) } { 1 + 7 . 3 5 3 ( p r _ { x _ { 2 } } - p r _ { x _ { 2 , c r i t } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { \pm } } & { = \frac { \xi ^ { - 3 } } { 4 n ^ { 2 } } \left[ S d \xi ^ { 4 } + 4 \left( b - 4 S ^ { 2 } \right) \xi ^ { 3 } + S \left( 3 \beta n ^ { 2 } + 2 S \right) \xi ^ { 2 } - \beta n ^ { 2 } S \xi \right] } \\ & { \quad \pm \frac { \xi ^ { - 2 } } { 4 n ^ { 2 } } ( 1 - \xi ) S \sqrt { \xi ^ { 4 } d ^ { 2 } + 4 \left( b - 2 S ^ { 2 } \right) \xi ^ { 3 } + 4 ( n ^ { 4 } \beta ^ { 2 } - 6 n ^ { 2 } S \beta - 2 S ^ { 2 } ) \xi ^ { 2 } - 4 \beta ^ { 2 } n ^ { 2 } S \xi } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { \left( 2 \pi i \right) ^ { n } } \int _ { C _ { 1 } } \dots \int _ { C _ { n } } \frac { \prod _ { r = 1 } ^ { n } \left( H _ { r } \left( z _ { r } \right) - H _ { r } \left( x _ { r } \right) \right) } { \prod _ { r = 1 } ^ { n } \left( z _ { r } - x _ { r } \right) H _ { r } \left( z _ { r } \right) } f \left( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } \right) d z _ { 1 } \dots d z _ { n } } \\ & { = } & { \sum _ { a _ { 1 } \in A _ { 1 } } \dots \sum _ { a _ { n } \in A _ { n } } \sum _ { k _ { n } = 0 } ^ { \nu _ { 1 } \left( a _ { 1 } \right) - 1 } \dots \sum _ { k _ { n } = 0 } ^ { \nu _ { n } \left( a _ { n } \right) - 1 } \ \prod _ { j = 1 } ^ { n } H _ { a _ { j } } ^ { k _ { j } } \left( x _ { j } \right) \frac { \partial ^ { { k } _ { n } + \dots + k _ { 1 } } } { \partial x _ { n } ^ { k _ { n } } \dots \partial x _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } } f \left( a _ { 1 } , \dots , a _ { n } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { \mathbf { a \in A } } \sum _ { \mathbf { k \in } \left[ \mathbf { 0 , } \nu \left( \mathbf { a } \right) - \mathbf { 1 } \right] } H _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { k } } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { k } } f . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 5 r _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) ^ { 2 } > 5 r _ { 2 } ^ { 2 } ( 3 - 2 K _ { 2 } ) ^ { 2 } , } & { \mathrm { e n t o n c e s } } & { 5 r _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) ^ { 2 } > r _ { 2 } ^ { 2 } ( 3 - 2 K _ { 2 } ) ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { e n t o n c e s } } & { 4 r _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 2 } ^ { 2 } + 4 r _ { 1 } r _ { 2 } K _ { 2 } ( 3 - 2 K _ { 2 } ) + 5 r _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { } & { > 4 r _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 2 } ^ { 2 } + 4 r _ { 1 } r _ { 2 } K _ { 2 } ( 3 - 2 K _ { 2 } ) + r _ { 2 } ^ { 2 } ( 3 - 2 K _ { 2 } ) ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { e n t o n c e s } } & { 4 r _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 2 } ^ { 2 } + 4 r _ { 1 } r _ { 2 } K _ { 2 } ( 3 - 2 K _ { 2 } ) + 5 r _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { } & { > ( 2 r _ { 1 } K _ { 2 } + r _ { 2 } ( 3 - 2 K _ { 2 } ) ) ^ { 2 } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { t } _ { \mu n } = } & { { } \bar { t } _ { \mu n } ^ { ( 0 ) } + \bar { t } _ { \mu n } ^ { ( 1 ) } + \bar { t } _ { \mu n } ^ { ( 2 ) } + \dots } \\ { = } & { { } \bar { t } _ { \mu n } ^ { ( 0 ) } + \int d \omega _ { 1 } Y _ { \mu n } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) e ^ { - i \omega _ { 1 } t } + \int d \omega _ { 1 } \int d \omega _ { 2 } Y _ { \mu n } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) e ^ { - i \omega _ { 1 } t - i \omega _ { 2 } t } + \dots } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { D _ { n } } & { = b _ { k } \cdots b _ { 0 } . a _ { 1 } \cdots a _ { n } } \\ & { = b _ { k } 1 0 ^ { k } + b _ { k - 1 } 1 0 ^ { k - 1 } + \cdots b _ { 0 } + { \frac { a _ { 1 } } { 1 0 } } + \cdots + { \frac { a _ { n } } { 1 0 ^ { n } } } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k } b _ { i } 1 0 ^ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { a _ { j } } { 1 0 ^ { j } } } } \end{array} }
\Gamma _ { e f f } ^ { I R } [ g ^ { ( 0 ) } ; \lambda ] = \sum _ { n = 0 } ^ { k - 1 } { \frac { \lambda ^ { 2 k - 2 n } } { 2 k - 2 n } } \int d ^ { 2 k } x \, \sqrt { g ^ { ( 0 ) } } \ b _ { n } ( x ) + \log \lambda \int d ^ { 2 k } x \, \sqrt { g ^ { ( 0 ) } } \, b _ { 2 k } ( x ) + { \cal O } ( \lambda ^ { 0 } )
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ( c a s e \, " } u _ { r } = 0 \mathrm { " ) } } & { \; \mathbf { v } _ { 0 } } & { \equiv ( \left. u _ { r } \right| _ { t = 0 } , \left. u _ { \theta } \right| _ { t = 0 } , \left. u _ { z } \right| _ { t = 0 } ) = ( 0 , 4 a r ( 1 - r ) z ^ { 2 } , 0 ) , } \\ { \mathrm { ( c a s e \, " } u _ { \theta } = 0 \mathrm { " ) } } & { \; \mathbf { v } _ { 0 } } & { = ( - a \sin ( 2 \pi z ) \sin ( \pi r ) , 0 , a \sin ( 2 \pi r ) \sin ( \pi z ) ) . } \end{array}
I = \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } J ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) \hat { w } ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) \sin ( \gamma _ { 2 } ) \mathrm { ~ d ~ } \gamma _ { 1 } \mathrm { ~ d ~ } \gamma _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { G _ { \{ i \} } } & { = \left( G _ { \{ j \} } \left( I ^ { N } \otimes \Omega _ { 1 } \right) \right) \left( I ^ { N } \otimes \Omega _ { 2 } \right) } \\ & { \Leftrightarrow \; G _ { \{ i \} } = G _ { \{ j \} } \left( I ^ { N } \otimes \left( \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } \right) \right) , } \\ { E _ { \{ i \} } } & { = \left( E _ { \{ j \} } \Theta _ { 1 } \right) \Theta _ { 2 } \; \Leftrightarrow \; E _ { \{ i \} } = E _ { \{ j \} } \left( \Theta _ { 1 } \Theta _ { 2 } \right) . } \end{array}
A _ { i } ^ { \prime \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { A _ { k } ^ { \prime } } \left( \prod _ { j } A _ { j } ^ { [ \epsilon _ { k j } ^ { \prime } ] _ { + } } + \prod _ { j } A _ { j } ^ { [ - \epsilon _ { k j } ^ { \prime } ] _ { + } } \right) } & { \mathrm { i f ~ i = k ~ } , } \\ { A _ { i } ^ { \prime } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
G ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } d n \, x ^ { - n } R _ { n } f ^ { g } ( n , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \exp [ Z _ { n } ( Q ^ { 2 } , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) ] .
\begin{array} { r l r l r } { F = \frac { \left| \mathrm { T r } \left( \tilde { U } ^ { \dagger } T \right) \right| ^ { 2 } } { \mathrm { T r } \left( \tilde { U } ^ { \dagger } \tilde { U } \right) \mathrm { T r } \left( T ^ { \dagger } T \right) } , } & { } & { P = \frac { \mathrm { T r } \left( \tilde { U } ^ { \dagger } \tilde { U } \right) } { \mathrm { T r } \left( T ^ { \dagger } T \right) } , } & { } & { C = - \mathrm { T r } \left\{ \left( u u ^ { \dagger } - \mathbb { 1 } \right) ^ { 2 } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { j } E _ { j + 1 } } & { = \varrho _ { j } { s _ { j } s _ { j } ^ { T } } ( I - \varrho _ { j + 1 } \bar { y } _ { j + 1 } s _ { j + 1 } ^ { T } ) } \\ & { = ( \frac { 1 } { \sigma s _ { j + 1 } ^ { T } \bar { y } _ { j } } ) \sigma ^ { 2 } s _ { j + 1 } s _ { j + 1 } ^ { T } ( I - \varrho _ { j + 1 } \bar { y } _ { j + 1 } s _ { j + 1 } ^ { T } ) } \\ & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \hat { \mu } ( \tau ) \, , \, \, \qquad \lambda = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \hat { \lambda } ( \tau ) = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \tilde { \lambda } ( \tau ) } \\ { x _ { * } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \tau , t \rightarrow \infty } x ( t , \tau ) \, , \quad \chi = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \hat { \chi } ( \tau ) \, , \quad \gamma = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \gamma _ { 0 } ( \tau ) = \lambda ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \| \boldsymbol { x } \| \rightarrow \infty } \exp ( - B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { x } ) = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \exp ( - B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { x } ) = [ 0 , \ldots , \underbrace { 1 } _ { m _ { 0 } } , \ldots , 0 ] ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \varepsilon r } ^ { 0 } - E _ { \varepsilon r } ( \Delta ) } & { = 2 \left[ ( \sigma _ { 0 } - \sigma ) r + \Phi _ { \sigma _ { 0 } } ( \beta _ { 0 } ) - \Phi _ { \sigma } ( \beta _ { \sigma } ) - \pi _ { 2 } ( \Delta ) \right] + \mathcal { O } ( \varepsilon ) } \\ & { = 2 \left[ R ( \sigma , r ) - \pi _ { 2 } ( \Delta ) \right] + \mathcal { O } ( \varepsilon ) , } \end{array}
I - \Lambda = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - \Lambda _ { 1 2 } } & { \hdots } & { - \Lambda _ { 1 n } } \\ { - \Lambda _ { 2 1 } } & { 1 } & { } & { \vdots } \\ { \vdots } & { } & { \ddots } & { } \\ { - \Lambda _ { n 1 } } & { \hdots } & { } & { 1 } \end{array} \right) \, . \medskip
{ \cal L } _ { \mathrm { t e n s o r } } = \eta \frac { g ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \left[ \bar { \psi } _ { m } \sigma ^ { \mu \nu } \left( V _ { T } ^ { m } - i A _ { T } ^ { m } \gamma _ { 5 } \right) \psi _ { m } \right] \; \left[ \bar { \psi } _ { n } \sigma _ { \mu \nu } \left( V _ { T } ^ { n } - i A _ { T } ^ { n } \gamma _ { 5 } \right) \psi _ { n } \right] \; ,
\psi _ { \ell } ( r ; \mathfrak { p } ) \approx r ^ { \ell } \sum _ { k = 0 } ^ { K } c _ { k } ( \mathfrak { p } ) r ^ { k } = c _ { 0 } ( \mathfrak { p } ) \, r ^ { \ell } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \widetilde { c } _ { k } ( \mathfrak { p } ) \, r ^ { k } ,
\chi _ { j } = \frac { K + K ^ { \prime } } { 2 K _ { \varphi } + K + K ^ { \prime } } \left( \sigma _ { j } - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } \right) \le \sigma _ { j } - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { p _ { t } } & { = } & { - \frac { 1 } { 6 r ^ { 4 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \left\lbrace \alpha e ^ { \mu ( - r ) } \left( 6 r ^ { 2 } e ^ { \mu r } \left( 9 r ^ { 3 } + 9 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } + r { r _ { 0 } } ( 2 { r _ { 0 } } - 3 ) + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. { r _ { 0 } } e ^ { \mu { r _ { 0 } } } \left( 1 8 \mu r ^ { 9 } + 9 r ^ { 8 } ( 3 \mu { r _ { 0 } } + 2 ) + r ^ { 7 } { r _ { 0 } } ( 1 3 \mu { r _ { 0 } } + 3 6 ) + 2 r ^ { 6 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( \mu { r _ { 0 } } + 1 1 ) \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. 4 r ^ { 5 } { r _ { 0 } } ^ { 3 } - 3 6 r ^ { 4 } - 5 4 r ^ { 3 } { r _ { 0 } } + 2 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ( 6 - 1 3 { r _ { 0 } } ) + 2 r { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( 1 - 2 { r _ { 0 } } ) - 2 { r _ { 0 } } ^ { 3 } \right) \right) \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } { A \left( i _ { 1 } , \ldots , i _ { d } \right) = \sum _ { \alpha _ { 0 } , \ldots , \alpha _ { d - 1 } , \alpha _ { d } } } & { { } G _ { 1 } \left( \alpha _ { 0 } , i _ { 1 } , \alpha _ { 1 } \right) G _ { 2 } \left( \alpha _ { 1 } , i _ { 2 } , \alpha _ { 2 } \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { i } ( q , t ) = D _ { i } \Delta _ { q } \rho _ { i } ( q , t ) + f _ { i } ( \rho ) + G _ { i } ( q ) \, , } & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } \quad \mathrm { Q } \times [ 0 , T ] \, , } \\ { \nabla _ { q } \rho _ { i } \cdot n ( q ) = 0 \, , } & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } \quad \partial \mathrm { Q } \times ( 0 , T ) \, , } \\ { \rho _ { i } ( 0 , q ) = \rho _ { 0 ; i } ( q ) \, , } & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } \quad \mathrm { Q } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathcal { P } = - \frac { \partial E } { \partial \mathcal { V } } \bigg \vert _ { N } = \frac { 1 5 ^ { 2 / 5 } } { 7 } m ^ { 1 / 5 } N \left( \frac { N a _ { s } } { \hbar } \right) ^ { 2 / 5 } \mathcal { V } ^ { - 7 / 5 } , } \end{array}
C _ { n _ { 1 } , \cdots , n _ { r } } ^ { m _ { 1 } , \cdots , m _ { r } } ( l _ { 1 } , \cdots , l _ { r } ) = C _ { n _ { 1 } + l _ { 1 } , \cdots , n _ { r } + l _ { r } } ^ { m _ { 1 } + l _ { 1 } , \cdots , m _ { r } + l _ { r } } ,
- \partial _ { 0 } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { \uparrow } } } \\ { { \psi _ { \downarrow } } } \end{array} \right) = D _ { ( \infty ) } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { \uparrow } } } \\ { { \psi _ { \downarrow } } } \end{array} \right) ,
{ \cal W } = g _ { k } ^ { u } ( \sum _ { i } ^ { 3 } Q _ { i } ^ { a } ) H _ { u } ^ { b } U _ { k } ^ { c } \epsilon _ { a b } + g _ { k } ^ { d } ( \sum _ { i } ^ { 3 } Q _ { i } ^ { a } ) H _ { d } ^ { b } D _ { k } ^ { c } \epsilon _ { a b } + \lambda _ { k } ^ { \prime } \sum _ { i , j } ^ { 3 } ( Q _ { i } ^ { a } L _ { j } ^ { b } ) D _ { k } ^ { c } \epsilon _ { a b } ~ ,
\begin{array} { r c c c c c l } { \dot { p } } & { = } & { k _ { 2 } g ( s ) } & { + } & { k _ { 2 } ( c - g ( s ) ) } & & \\ & { \leq } & { \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } s } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s } } & { + } & { \cfrac { 1 } { \sqrt 2 } \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } s _ { 0 } } { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s _ { 0 } ) } \cdot \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } } { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } & & \\ & { \leq } & { \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } s } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s } } & { + } & { \cfrac { 1 } { \sqrt 2 } k _ { 1 } e _ { 0 } s _ { 0 } \cdot \frac { k _ { - 1 } + k _ { 1 } s _ { 0 } } { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s _ { 0 } ) } \cdot \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } } { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } & { = } & { \widetilde U ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ F , G \} = } & { { } \ldots - \left\langle \frac { 1 } { D } \frac { \delta G } { \delta \theta } \nabla \theta , \frac { \delta F } { \delta u } \right\rangle + \left\langle \frac { 1 } { D } \frac { \delta F } { \delta \theta } \nabla \theta , \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle k | e ^ { - i S ^ { y } \theta / 2 } | k ^ { \prime } \rangle = \sqrt { k ^ { \prime } ! ( N - k ^ { \prime } ) ! k ! ( N - k ) ! } } \\ & { \times \sum _ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { n } \cos ^ { k - k ^ { \prime } + N - 2 n } ( \theta / 2 ) \sin ^ { 2 n + k ^ { \prime } - k } ( \theta / 2 ) } { ( k - n ) ! ( N - k ^ { \prime } - n ) ! n ! ( k ^ { \prime } - k + n ) ! } , } \end{array}
\frac { D s } { D t } = \frac { 1 } { q _ { v s } } \left( D _ { q } \nabla ^ { 2 } q _ { v } - C _ { d } \right) - \frac { s + 1 } { q _ { v s } } \frac { \epsilon } { p } \frac { L e _ { s } } { R _ { v } T ^ { 2 } } \left( \kappa \nabla ^ { 2 } T - \frac { g } { c _ { p } } w + \frac { L } { c _ { p } } C _ { d } \right) .
( V ^ { \dagger } V - { \bf 1 } ) _ { i j } ~ , ~ ( V V ^ { \dagger } - { \bf 1 } ) _ { i j } \sim ( m _ { u _ { i } } m _ { u _ { j } } / m _ { U } ^ { 2 } ) \epsilon _ { u { \mathrm { - } } U } ^ { 2 } + ( m _ { d _ { i } } m _ { d _ { j } } / m _ { D } ^ { 2 } ) \epsilon _ { d { \mathrm { - } } D } ^ { 2 } ~ ,
h _ { i } ( e ^ { \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } ) = \frac { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } { b _ { 1 } } \int _ { s } ^ { t _ { N } } \frac { 1 } { ( e ^ { \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - u ) } - \frac { d _ { 1 } } { b _ { 1 } } ) ^ { 2 } } \Big ( \frac { e ^ { \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - u ) } - 1 } { e ^ { \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - u ) } - \frac { d _ { 1 } } { b _ { 1 } } } \Big ) ^ { i - 1 } d u .
\begin{array} { r l r } { 4 \pi \cdot \Delta \nu \cdot \frac { d n _ { p h 1 3 } } { d t } = } & { { } } & { n _ { p u m p } \Gamma _ { p } - n _ { p h 1 3 } \Gamma _ { 1 3 } - } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { { \widehat { y } } } ( \mathbf { s } ) = \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { C } \frac { \operatorname { S i m } \big ( \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) , \mathbf { T } _ { \boldsymbol { y } , i } \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ K ~ } } ^ { \prime } \big ) } { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { C } \operatorname { S i m } \big ( \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) , \mathbf { T } _ { \boldsymbol { y } , i ^ { \prime } } \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ K ~ } } ^ { \prime } \big ) } ( \mathbf { T } _ { \boldsymbol { y } , i } \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ V ~ } } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | + \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 - \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } | 0 \rangle - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } | 1 \rangle } \\ { | - \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } | 0 \rangle + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 - \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } | 1 \rangle } \end{array}
\int _ { o } ^ { \infty } { \frac { k \; d k } { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } { \mathcal { J } } _ { 1 } ^ { 2 } \left( k r \right) = I _ { 1 } \left( m r \right) K _ { 1 } \left( m r \right) .
\frac { 1 } { \sqrt { - i } } \left( \frac { x ^ { - } } { x ^ { + } } \right) ^ { 2 } F ( x ^ { + } , x ^ { - } , 0 ) = \sum _ { \alpha } \frac { 1 } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 5 / 2 } } \frac { M _ { \alpha } ^ { 9 / 2 } } { \sqrt { r } } K _ { 9 / 2 } ( M _ { \alpha } r ) \frac { | \langle u | \alpha \rangle | ^ { 2 } } { l K ^ { 3 } | N _ { u } | ^ { 2 } }
\langle 0 | \varphi ( x ) | p \rangle = { \sqrt { Z } } \langle 0 | \varphi _ { \mathrm { i n } } ( x ) | p \rangle + \int \mathrm { d } ^ { 4 } y \Delta _ { \mathrm { r e t } } ( x - y ) \langle 0 | j ( y ) | p \rangle
{ \operatorname * { d e t } } ^ { \prime } M _ { \gamma } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \operatorname * { d e t } M _ { \gamma } \hfill } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \gamma = t , g , w , s , \sigma \hfill } } \\ { { \frac { \operatorname * { d e t } M _ { \gamma } } { { ( M _ { g a u g i n o } ^ { \gamma } ) ^ { 4 } } \hfill } } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \gamma = q , u , e , x \hfill } } \\ { { \operatorname * { d e t } M _ { d } ^ { \prime } } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \gamma = d } } \end{array} \right.
a ^ { 2 } s i n h ^ { 2 } \gamma + \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \nu ^ { 2 } / 3 = 1 , ~ ~ - \kappa _ { 5 } ^ { 2 } V _ { 0 } / 6 = 1 , ~ ~ \Lambda _ { b } ^ { 2 } \kappa _ { 5 } ^ { 2 } / 6 + V _ { 0 } = 6 a ^ { 2 } / ( \kappa _ { 5 } ^ { 2 } - \kappa _ { 5 } ^ { 4 } \nu ^ { 2 } / 3 ) ,
E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ n ] = \frac { 3 } { 4 } E _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ B ~ E ~ } } [ n ] + \frac { 1 } { 4 } E _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } [ n ] + E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ B ~ E ~ } } [ n ] .
\mathrm { I m } \mathrm { T r [ A , B ] ^ { 3 } } = \mathrm { I m } \mathrm { T r [ B , C ] ^ { 3 } } = \mathrm { I m } \mathrm { T r [ C , A ] ^ { 3 } } = \mathrm { I m } \mathrm { T r [ A ^ { p } , B ^ { q } ] C ^ { r } } = 0
\begin{array} { r } { N _ { \delta } ( \mathcal { U } ) = \operatorname* { m i n } \Bigg \{ N \in \mathbb N : \exists { \boldsymbol { Y } } _ { 1 } , \dots , { \boldsymbol { Y } } _ { N } \in \mathcal { U } \textrm { s . t . } \mathcal { U } \subseteq \bigcup _ { i = 1 } ^ { N } \mathcal { B } _ { m \times n } ( { \boldsymbol { Y } } _ { i } , \delta ) \Bigg \} . } \end{array}
g _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { e } _ { i } \Delta t , t + \Delta t ) = g _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { A D } } } \left( g _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - g _ { i } ^ { \mathrm { e q } } ( \mathbf { x } , t ) \right) .
{ \begin{array} { r l } { s } & { = ( 1 1 - ( ( ( 0 \times 1 0 ) + ( 3 \times 9 ) + ( 0 \times 8 ) + ( 6 \times 7 ) + ( 4 \times 6 ) + ( 0 \times 5 ) + ( 6 \times 4 ) + ( 1 \times 3 ) + ( 5 \times 2 ) ) \, { \bmod { \, } } 1 1 ) ) \, { \bmod { \, } } 1 1 } \\ & { = ( 1 1 - ( ( 0 + 2 7 + 0 + 4 2 + 2 4 + 0 + 2 4 + 3 + 1 0 ) \, { \bmod { \, } } 1 1 ) ) \, { \bmod { \, } } 1 1 } \\ & { = ( 1 1 - ( ( 1 3 0 ) \, { \bmod { \, } } 1 1 ) ) \, { \bmod { \, } } 1 1 } \\ & { = ( 1 1 - ( 9 ) ) \, { \bmod { \, } } 1 1 } \\ & { = ( 2 ) \, { \bmod { \, } } 1 1 } \\ & { = 2 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \sum _ { k } \left\| ( x ^ { k + 1 } - x ^ { k } , y ^ { k } - y ^ { k - 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } & { = \sum _ { k } \mathbb { E } \left[ \left\| ( x ^ { k + 1 } - x ^ { k } , y ^ { k } - y ^ { k - 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { k } \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \| ( x ^ { k + 1 } - x ^ { k } , y ^ { k } - y ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } | I ^ { k } \right] \right] } \\ & { = \sum _ { k } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { P } ( I ^ { k - 1 } = i ) \mathbb { E } \left[ \left\| T _ { i } ^ { \sigma _ { i } ^ { k } , \tau ^ { k + 1 } } ( x ^ { k + 1 } , y _ { i } ^ { k } ) - ( x ^ { k } , y _ { i } ^ { k - 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } \mathbb { E } \left[ \sum _ { k } \left\| T _ { i } ^ { \sigma _ { i } ^ { k } , \tau ^ { k + 1 } } ( x ^ { k + 1 } , y _ { i } ^ { k } ) - ( x ^ { k } , y _ { i } ^ { k - 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { < \infty . } \end{array}
e ^ { I } { } _ { i } ( \Phi ) D _ { \gamma c } D _ { \alpha a } \Phi ^ { i } - { \frac { 1 } { 4 } } ( \gamma ^ { I } { } _ { J } ) _ { a } { } ^ { b } e ^ { J } { } _ { j } ( \Phi ) D _ { \gamma c } D _ { \alpha b } \Phi ^ { j } = f ^ { I } { } _ { \gamma \alpha c a } ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { i r } } ( \alpha ) } & { = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } | \alpha | ^ { 2 } } \sum _ { f = 0 } ^ { n } \binom { n } { f } p ^ { n - f } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } } \\ & { \times \sum _ { m = 0 } ^ { f } \Big \{ F _ { m } [ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n + 1 ) ] - F _ { m } [ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) ] \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { 1 } \, : } & { = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } - \tilde { \phi } \bigr ) \partial _ { Z } \eta _ { * } \, \mathrm { d } X \, = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( W _ { \epsilon } \partial _ { Z } \eta _ { * } - \partial _ { Z } \phi _ { * } \bigr ) \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { = \, - \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } } ( \partial _ { Z } \Theta ) \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X + \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } \cup \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } } \bigl ( W _ { \epsilon } \partial _ { Z } \eta _ { * } - \partial _ { Z } \phi _ { * } \bigr ) \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X \, , } \end{array}