\begin{array} { r l } & { \sum _ { k \in \{ a , b \} } \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \frac { \big ( Y _ { t } ^ { k } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { k } - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \ \ \ + \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } - \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \ \ \ + 2 \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \leq \tilde { C } _ { 0 } \sum _ { k \in \{ a , b \} } \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \frac { \big ( Y _ { t } ^ { k } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) \big ) } { \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } } - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { k } - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) } { \sqrt { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } } \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \ \ \ + \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } - \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \ \ \ + 2 \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \leq \tilde { C } _ { 1 } \sum _ { k \in \{ a , b \} } \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \sqrt { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } \big ( Y _ { t } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) \big ) - \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } \big ( Y _ { t } - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \ \ \ + \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } - \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \ \ \ + 2 \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \leq \widetilde { C } _ { 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { 1 } \mathbb { E } _ { P } \left[ \Big | \sqrt { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) - \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \Big | \right] } \\ & { \ \ \ + \widetilde { C } _ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { 1 } \mathbb { E } _ { P } \left[ \Big | \sqrt { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } - \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } \Big | \right] + \widetilde { C } _ { 3 } \sum _ { k = 0 } ^ { 1 } \mathbb { E } _ { P } \left[ \Big | \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \Big | \right] . } \end{array}