harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { a } _ { i } = \sum _ { \sigma } \int d ^ { 3 } r \, \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma ) \; \; , \; \; \hat { a } _ { i } ^ { + } = \sum _ { \sigma } \int d ^ { 3 } r \, \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) u _ { i } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma )
P _ { \lambda , q } ^ { ( d ) } ( k ) = \frac { \{ 1 + ( 1 - q ) \lambda k \} ^ { \frac { 1 } { 1 - q } } } { ( ( q - 1 ) \lambda ) ^ { \frac { 1 } { 1 - q } } H u r w i t z Z e t a \left[ \frac { 1 } { q - 1 } , 1 + \frac { 1 } { \lambda ( q - 1 ) } \right] } .
\begin{array} { r l r } { \rho _ { i , j , k } ^ { n + 1 / 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Delta V } \sum _ { r } W ( \mathbf { x } _ { r } ^ { n } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { v } ^ { n + 1 / 2 } \Delta t ) q _ { r } , } \\ { \rho _ { i , j , k } ^ { n - 1 / 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Delta V } \sum _ { r } W ( \mathbf { x } _ { r } ^ { n } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { v } ^ { n } \Delta t ) q _ { r } , } \\ { \delta ^ { n } \rho } & { { } = } & { \rho ^ { n + 1 / 2 } - \rho ^ { n - 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mathcal { E } } _ { 2 , 2 } ^ { \mathrm { r e c } } ( s _ { k + 1 } , k , \boldsymbol { x } , \alpha , l , t , \iota ; \hbar ) = \int _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k } } \boldsymbol { 1 } _ { [ s _ { k + 1 } , t ] } ( s _ { k } ) V _ { \hbar , x _ { l } } ^ { s _ { k + 1 } } \prod _ { m = 1 } ^ { k } \Theta _ { \alpha _ { m } } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { \iota ( m + k _ { 1 } ) } ; V , \hbar ) \, d \boldsymbol { s } _ { k , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t ) . } \end{array}
C ^ { \sharp } = ( 1 - \alpha \varrho _ { \mathfrak { s } } T ) ^ { - 1 } \varrho _ { \mathfrak { s } } - \big \langle ( 1 - \alpha \varrho _ { \mathfrak { s } } T ) ^ { - 1 } \varrho _ { \mathfrak { s } } \big \rangle ^ { - 1 } \big | ( 1 - \alpha \varrho _ { \mathfrak { s } } T ) ^ { - 1 } \varrho _ { \mathfrak { s } } \big \rangle \big \langle ( 1 - \alpha \varrho _ { \mathfrak { s } } T ) ^ { - 1 } \varrho _ { \mathfrak { s } } \big | ,
\varphi ( w , z ) = { \left[ \begin{array} { l l } { u ^ { * } } & { v ^ { * } } \end{array} \right] } K _ { p , q } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] } + j { \left[ \begin{array} { l l } { u } & { - v } \end{array} \right] } K _ { p , q } { \left[ \begin{array} { l } { y } \\ { x } \end{array} \right] } = \varphi _ { 1 } ( w , z ) + \mathbf { j } \varphi _ { 2 } ( w , z ) , \quad K _ { p , q } = \mathrm { d i a g } \left( I _ { p , q } , I _ { p , q } \right)
\alpha ^ { 2 } t \cdot L ^ { - 2 d } \sum _ { k _ { 1 } - k _ { 2 } + k _ { 3 } = k } n _ { \mathrm { i n } } ( k _ { 1 } ) n _ { \mathrm { i n } } ( k _ { 2 } ) n _ { \mathrm { i n } } ( k _ { 3 } ) \cdot t \bigg | \frac { \sin ( \pi \Omega t ) } { \pi \Omega t } \bigg | ^ { 2 } ; \quad \Omega : = \omega ( k _ { 1 } ) - \omega ( k _ { 2 } ) + \omega ( k _ { 3 } ) - \omega ( k ) ,
= { \frac { ( 4 . 1 3 5 \ 6 6 7 \ 5 1 6 \times 1 0 ^ { - 1 5 } \, { \mathrm { e V } } \, { \mathrm { s } } ) ( 2 9 9 \ 7 9 2 \ 4 5 8 \, { \mathrm { m / s } } ) } { \lambda } }
\begin{array} { r l } & { E [ | E [ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } ( X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } ) ^ { i _ { 1 } } \{ b ^ { i _ { 2 } } ( X _ { s } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) - b ^ { i _ { 2 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) \} \, \mathrm { d } s | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] | ] } \\ & { \leq \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } E [ | X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } | ^ { 2 } + | X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } | | H ( X _ { s - \cdot } ) - H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) | ] \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } E [ ( | X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } | + | H ( X _ { s - \cdot } ) - H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) | ) ^ { 2 } ] \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq 2 \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } E [ | X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } | ^ { 2 } + | H ( X _ { s - \cdot } ) - H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) | ^ { 2 } ] \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq 4 \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \bigg [ ( s - t _ { k - 1 } ) ^ { 2 } ( \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } \leq u \leq t _ { k } } E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \varepsilon ^ { 2 } ( s - t _ { k - 1 } ) ( \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ 1 + | X _ { u } | ^ { p } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { p } \right] \right\} ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \delta ^ { 2 } ( s - t _ { k - 1 } ) ^ { 2 } ( \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] \right\} ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \varepsilon ^ { 2 } \delta ^ { 2 } ( s - t _ { k - 1 } ) ( \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ 1 + | X _ { u } | ^ { p } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { p } \right] \right\} ) ^ { 2 } \bigg ] \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq \frac { 4 } { 3 } n ^ { - 3 } \left( ( \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } \leq u \leq t _ { k } } E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] ) ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } ( \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] \right\} ) ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + 2 \varepsilon ^ { 2 } n ^ { - 2 } \bigg ( ( \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ 1 + | X _ { u } | ^ { p } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { p } \right] \right\} ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \delta ^ { 2 } ( \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ 1 + | X _ { u } | ^ { p } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { p } \right] \right\} ) ^ { 2 } \bigg ) } \end{array}
( R ^ { - 1 } R ) _ { X , Y } = c _ { X , Y } ^ { - 1 } F ( \Psi _ { X , Y } ^ { - 1 } ) c _ { Y , X } \Psi _ { F ( X ) , F ( Y ) } ^ { \mathrm { V e c } } \Psi _ { F ( X ) , F ( Y ) } ^ { \mathrm { V e c } - 1 } c _ { Y , X } ^ { - 1 } F ( \Psi _ { X , Y } ) c _ { X , Y } = c _ { X , Y } ^ { - 1 } c _ { X , Y } = \Delta ( 1 ) _ { X , Y }
\begin{array} { r l } { \hat { { \textbf A } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \hat { { \textbf A } } _ { 1 1 } } & { \hat { { \textbf A } } _ { 1 2 } } \\ { \hat { { \textbf A } } _ { 2 1 } } & { \hat { { \textbf A } } _ { 2 2 } } \end{array} \right] , \qquad \hat { { \textbf B } } = \left[ \begin{array} { l } { \hat { { \textbf B } } _ { 1 } } \\ { \hat { { \textbf B } } _ { 2 } } \end{array} \right] , \qquad \hat { { \textbf C } } = \left[ \begin{array} { l l } { \hat { { \textbf C } } _ { 1 } } & { \hat { { \textbf C } } _ { 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\left\langle \Lambda _ { c } ( v ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) \right\vert \bar { c } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } b \left\vert \Lambda _ { b } ( v , s ) \right\rangle \equiv \bar { u } _ { \Lambda _ { c } } ( v ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) ( G _ { 1 } \gamma _ { \mu } + G _ { 2 } v _ { \mu } + G _ { 3 } v _ { \mu } ^ { \prime } ) \gamma _ { 5 } u _ { \Lambda _ { b } } ( v , s ) \; ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { t } ^ { \varepsilon } } & { = \; \left\{ \begin{array} { c l } { \alpha _ { t } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \; 0 \leq t \leq \tau _ { \varepsilon } ^ { \alpha } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \; \tau _ { \varepsilon } ^ { \alpha } < t \leq \bar { \tau } } \\ { \overline { { a } } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \; \bar { \tau } < t \leq T , } \end{array} \right. } \end{array}
i \frac { \partial \psi } { \partial s } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \xi ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \eta ^ { 2 } } \right) + \frac { \beta } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \tau ^ { 2 } } + g | \psi | ^ { 2 } \psi + V _ { \textrm { O L } } ( \xi , \eta ) \psi , \eqno { ( \textrm { S 8 } ) }
Z _ { 1 } \approx - \gamma \tilde { u } - \frac { \delta \gamma e } { \gamma } k _ { x } ^ { 2 } - i \frac { a ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } { 2 \tilde { u } ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } } k _ { x } ^ { 6 } ,
{ \begin{array} { r l } { r ^ { 2 } } & { = { \overline { { H A } } } \times { \overline { { H D } } } = { \overline { { H B } } } \times { \overline { { H E } } } = { \overline { { H C } } } \times { \overline { { H F } } } } \\ & { = - 4 R ^ { 2 } \cos A \cos B \cos C } \\ & { = 4 R ^ { 2 } - { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 2 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { c c c c c c c } { \boxed { 1 } } & & { 1 } & { 1 } & & & \\ & { 2 } & & & { 1 } & & \\ { n } & { 2 n + 2 } & & & & { 1 } & \\ & { 2 } & { 1 } & & & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c } { \boxed { 2 } } & & & { 1 } & & \\ { 2 n + 2 } & { - n } & { - n } & & { 1 } & \\ { 2 } & { 1 } & & & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c } { - 2 n } & { - 2 n } & { - 2 n - 2 } & { 2 } & \\ { 2 } & & { - 2 } & & { 2 } \end{array} } \\ & { = \begin{array} { c c c c c } { \boxed { n } } & { n } & { n + 1 } & { - 1 } & \\ { 1 } & & { - 1 } & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c } & { - n } & { - 2 n - 1 } & { 1 } & { n } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } ( \Psi _ { u } ) \mathbb { E } ^ { \frac { \alpha } { \gamma + 2 } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \big ( | \Theta | n ^ { - 1 } \log ( n / | \Theta | ) \big ) ^ { \frac { \alpha ( \gamma + 1 ) } { \gamma + 2 } } \asymp ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \big ( | \Theta | ( \epsilon ^ { 2 } n ) ^ { - 1 } \log ( n / | \Theta | ) \big ) ^ { \frac { \alpha ( \gamma + 1 ) } { \gamma + 2 } } . } \end{array}
\epsilon _ { k } ^ { n + 1 } \rho _ { k } E _ { k } ^ { * * * } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { k } ^ { n + 1 } \rho _ { k } \textbf { U } _ { k } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } \epsilon _ { k } ^ { n + 1 } \rho _ { k } \theta _ { k } ^ { * * * }
\left[ \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { A } } & { { B } } \\ { { A } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { B } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \begin{array} { c } { { \longrightarrow } } \\ { { \theta _ { 2 3 } } } \end{array} \left[ \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \begin{array} { c } { { \longrightarrow } } \\ { { \theta _ { 1 2 } } } \end{array} \left[ \begin{array} { c c c } { { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] .
\sum _ { s = 1 } ^ { j } \Delta _ { s } \mathrm { e } ^ { L _ { f } ( t _ { j } - t _ { s } ) } = \Delta \sum _ { s = 1 } ^ { j } \mathrm { e } ^ { L _ { f } ( j - s ) \Delta } = \frac { \Delta ( 1 - \mathrm { e } ^ { L _ { f } j \Delta } ) } { 1 - \mathrm { e } ^ { L _ { f } \Delta } } .
m _ { \sigma } ^ { 2 } = \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 2 } \times \bigg [ \frac { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - x ^ { 2 } + x ^ { 3 } t a n ^ { - 1 } ( \frac { 1 } { x } ) } { \frac { 1 } { 6 } \frac { 1 } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 1 6 } x t a n ^ { - 1 } ( \frac { 1 } { x } ) + \frac { 3 } { 1 6 } \frac { x ^ { 2 } } { ( 1 + x ^ { 2 } ) } + \frac { 1 } { 8 } \frac { x ^ { 2 } } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \bigg ] .
\tilde { \mathbf { z } } = \{ z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } , . . , z _ { m } \} = \{ h _ { \operatorname* { m i n } } , h _ { \operatorname* { m i n } } + \Delta h , h _ { \operatorname* { m i n } } + 2 \Delta h , . . , h _ { \operatorname* { m a x } } \}
\begin{array} { r l } { \bar { \mu } ( u ) ( Y _ { \mathrm { t e s t } } ) } & { = \frac { 1 } { M } \sum _ { k = 1 } ^ { M } G _ { \theta _ { k } } ( u ) ( Y _ { \mathrm { t e s t } } ) , } \\ { \bar { \sigma } _ { e } ( u ) ( Y _ { \mathrm { t e s t } } ) } & { = \frac { 1 } { M } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \left( G _ { \theta _ { k } } ( u ) ( Y _ { \mathrm { t e s t } } ) - \bar { \mu } ( u ) ( Y _ { \mathrm { t e s t } } ) \right) . } \end{array}
\theta ^ { \prime } \Psi ^ { \prime } + \theta \Psi ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { 2 } ( v - v _ { 0 } ) g ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 2 } \mathcal { G } ^ { \prime } \left( \theta - \theta _ { 0 } \right) ^ { 2 } - \mathcal { G } \theta ^ { \prime } \left( \theta - \theta _ { 0 } \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \dot { t } = } & { { } \frac { { \cal A } - 2 a M r \zeta } { \Delta \rho ^ { 2 } } , \quad \rho ^ { 4 } \dot { r } ^ { 2 } = { \cal R } ^ { 2 } , } \\ { \rho ^ { 4 } \dot { \theta } ^ { 2 } = } & { { } \Theta ^ { 2 } , \quad \dot { \phi } = \frac { 2 a M r + ( \rho ^ { 2 } - 2 M r ) \zeta \csc ^ { 2 } \theta } { \Delta \rho ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \sin ^ { n } ( x ) \mathrm { d } x } & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { u ^ { n } } { \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } } \mathrm { d } u } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( b ) } } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } ( 1 - t ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } y } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( c ) } } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { B e t a } \left( \frac { n + 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { = \frac { \sqrt { \pi } \Gamma \left( \frac { n + 1 } { 2 } \right) } { 2 \Gamma \left( \frac { n } { 2 } + 1 \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x _ { k + 1 } - x ( t _ { k + 1 } ) \| = } & { ~ \| x _ { k } - \alpha _ { k } \nabla f ( x _ { k } ) - x ( t _ { k + 1 } ) \| } \\ { \leqslant } & { ~ \| x _ { k } - \alpha _ { k } \nabla f ( x _ { k } ) - [ x ( t _ { k } ) - \alpha _ { k } \nabla f ( x ( t _ { k } ) ) ] \| ~ + } \\ & { ~ \| x ( t _ { k } ) - \alpha _ { k } \nabla f ( x ( t _ { k } ) ) - x ( t _ { k + 1 } ) \| } \\ { \leqslant } & { ~ \| x _ { k } - x ( t _ { k } ) \| + \alpha _ { k } \| \nabla f ( x _ { k } ) - \nabla f ( x ( t _ { k } ) ) \| ~ + } \\ & { ~ M L \alpha _ { k } ^ { 2 } / 2 } \\ { \leqslant } & { ~ ( 1 + \alpha _ { k } M ) \| x _ { k } - x ( t _ { k } ) \| + M L \alpha _ { k } ^ { 2 } / 2 . } \end{array}
{ \mathcal { H } } ^ { ( 0 ) } = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \left( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } \right) - { \frac { e ^ { 2 } } { r _ { 1 } } } - { \frac { e ^ { 2 } } { r _ { 2 } } }
\mathrm { m i n m o d } ( x , y , z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { s i g n } ( x ) \mathrm { m i n } ( | x | , | y | , | z | ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathrm { s i g n } ( x ) = \mathrm { s i g n } ( y ) = \mathrm { s i g n } ( z ) } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } } & { = - \, \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 3 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t } } \\ & { = - \, \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 3 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 6 + 4 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \Big ) ^ { 2 } } \, \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 6 + 4 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t } . } \end{array}
I _ { \mathrm { ~ J ~ J ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } / I _ { \mathrm { ~ J ~ J ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \approx 1 + Q _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } / Q _ { \mathrm { ~ J ~ J ~ } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \ddot { x } } { \sigma } + \dot { x } = \rho x - x z - \frac { \dot { x } } { \sigma } - x \implies z = - \frac { 1 } { \sigma } \frac { \ddot { x } } { x } - \Big ( 1 + \frac { 1 } { \sigma } \Big ) \frac { \dot { x } } { x } + \rho - 1 . } \end{array}
j ( \tau ) = q ^ { - 1 } + 7 4 4 + 1 9 6 8 8 4 q + 2 1 4 9 3 7 6 0 q ^ { 2 } + 8 6 4 2 9 9 9 7 0 q ^ { 3 } + 2 0 2 4 5 8 5 6 2 5 6 q ^ { 4 } + \cdots
\sigma _ { \pi \pi } ^ { \mathrm { F S I } } = \frac { { \cal S } \sqrt { 1 - x } } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } s } \left[ \left| f _ { 0 0 \, \pi \pi } ^ { \mathrm { F S I } } \right| ^ { 2 } + \sum _ { L \geq 2 , \mathrm { e v e n } } ^ { \infty } \left[ \left| f _ { L 0 \, \pi \pi } ^ { \mathrm { F S I } } \right| ^ { 2 } + \left| f _ { L 2 \, \pi \pi } ^ { \mathrm { F S I } } \right| ^ { 2 } \right] \right] .
\widetilde e ^ { 1 } = - e ^ { - ( \Phi - \Phi _ { 0 } ) } 2 ^ { - 1 / 2 } ( d v + i d u ) , \qquad \widetilde e ^ { 2 } = - e ^ { - ( \Phi - \Phi _ { 0 } ) } 2 ^ { - 1 / 2 } ( d v - i d u ) ,
\hat { H } _ { i j } = \frac { 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { i j } } { R ^ { 3 } } \left[ \frac { J _ { \perp } } { 2 } \left( \hat { S } _ { i } ^ { + } \hat { S } _ { j } ^ { - } + \mathrm { h . c . } \right) + J _ { z } \hat { S } _ { i } ^ { z } \hat { S } _ { j } ^ { z } \right. \left. + W \left( \hat { \mathbb { I } } _ { i } \hat { S } _ { j } ^ { z } + \hat { S } _ { i } ^ { z } \hat { \mathbb { I } } _ { j } \right) + V \hat { \mathbb { I } } _ { i } \hat { \mathbb { I } } _ { j } \vphantom { \frac { J _ { \perp } } { 2 } } \right] ,
g ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { x } { 1 - \alpha } } } & { { \mathrm { i f ~ } } 0 \leq x < 1 - \alpha , } \\ { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } 1 - \alpha \leq x \leq 1 . } \end{array} \right. } \quad
\begin{array} { r l r } { \oint _ { \cal C } \frac { e ^ { \tau s } } { s P _ { 2 n } ( s ) } d s } & { { } = } & { \oint _ { \cal \tilde { C } } \frac { e ^ { z } } { z P _ { 2 n } ( \frac { z } { \tau } ) } d z } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } \rangle } & { { } \mapsto | { 0 } \rangle ^ { \otimes M } , } \\ { \mathbf { P } _ { p } ^ { \dagger } } & { { } \mapsto \sigma _ { p } ^ { + } , } \\ { \mathbf { N } _ { p } } & { { } \mapsto I - { Z } _ { p } . } \end{array}
( f _ { n \mathbf k + \mathbf q } ^ { 0 } - f _ { n \mathbf k } ^ { 0 } ) / ( \epsilon _ { n \mathbf k + \mathbf q } - \epsilon _ { n \mathbf k } ) = \partial f _ { n \mathbf k } ^ { 0 } / \partial \epsilon _ { n \mathbf k }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { B } - \boldsymbol { u } ^ { B } \| ] \ge } & { \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \left| \frac { 1 - e ^ { j i \theta } } { 1 - e ^ { j \theta } } \right| ^ { 2 } \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & \\ { = } & { \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \frac { 1 - \cos i \theta } { 1 - \cos \theta } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \delta u _ { m } | \right] } & \\ { = } & { \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \frac { 1 } { ( 1 - \cos \theta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( N _ { t } - \frac { \sin \frac { N _ { t } + 1 } { 2 } \theta - \sin \frac { 1 } { 2 } \theta } { 2 \sin \frac { 1 } { 2 } \theta } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \delta u _ { m } | \right] } & \\ { \ge } & { \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \frac { N _ { t } - \frac { 1 } { \sin \frac { 1 } { 2 } \theta } } { 1 - \cos \theta } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \delta u _ { m } | \right] } & \\ { = } & { \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } , } & { \quad { \scriptstyle ( \sqrt { N _ { t } - z } \ge \sqrt { 1 - z } \sqrt { N _ { t } } \; \mathrm { f o r } \; z \in [ 0 , 1 ) ) } } \end{array}
\sum _ { i } \left( - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial q ^ { i } } } \mathrm { d } q ^ { i } + { \dot { q } } ^ { i } \mathrm { d } p _ { i } \right) - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial t } } \, \mathrm { d } t \ = \ \sum _ { i } \left( { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial q ^ { i } } } \mathrm { d } q ^ { i } + { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial p _ { i } } } \mathrm { d } p _ { i } \right) + { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial t } } \, \mathrm { d } t \ .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { q } ^ { 2 } } & { = \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } ( { \sigma _ { k } ^ { 2 } ) } ^ { - 1 } \right] ^ { - 1 } } \\ & { = 8 \tau \frac { N } { m } \frac { V _ { \mathrm { n o } } } { \alpha ^ { 2 } } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \cos \left( 2 k \pi / N \right) \right] ^ { - 1 } } \\ & { = \tau \frac { 1 6 } { m } \frac { V _ { \mathrm { n o } } } { \alpha ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { f _ { k } } \mathscr { G } _ { k } ( c , 0 , 0 ) [ h _ { k } ] ( \varphi ) } & { = c \, \partial _ { \varphi } h _ { k } ( \varphi ) + \frac { 1 } { \sin ( \theta _ { k } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta _ { k } ) h _ { k } ( \varphi ) + \big ( d _ { f _ { k } } \Psi _ { p , 2 } \{ 0 , 0 \} [ h _ { k } ] \big ) ( \theta _ { k } , \varphi ) \Big ) , } \\ { d _ { f _ { 3 - k } } \mathscr { G } _ { k } ( c , 0 , 0 ) [ h _ { 3 - k } ] ( \varphi ) } & { = \frac { 1 } { \sin ( \theta _ { k } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \big ( d _ { f _ { 3 - k } } \Psi _ { p , 2 } \{ 0 , 0 \} [ h _ { 3 - k } ] \big ) ( \theta _ { k } , \varphi ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p H _ { 0 } } & { { } = - \eta k ^ { 2 } H _ { 0 } + k H _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } \, ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \, G _ { + } , } \\ { p H _ { - } } & { { } = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { - } - \frac { 1 } { 2 } k H _ { 0 } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } G _ { + } , } \\ { p G _ { + } } & { { } = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) G _ { + } + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { - } + \frac { 1 } { 2 } { i k \tilde { B } _ { 0 } } ( - 1 + k ^ { 2 } ) H _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 6 4 g ^ { 2 } \eta ^ { 2 } ( \eta - 1 ) ^ { 2 } \, \partial _ { \eta } ^ { 2 } \mathcal { F } + 1 6 g \eta ( \eta - 1 ) \, \left[ ( - 1 4 g ^ { 2 } + 2 3 g - 6 ) \eta + 2 g ( 1 - 4 g ) \right] \, \partial _ { \eta } \mathcal { F } } \\ & { + ( 3 g - 2 ) \, \left[ + 3 ( 5 g - 6 ) ( 1 - 2 g ) ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 2 g ( 1 - 2 g ) \eta + 1 6 g ^ { 2 } ( g - 1 ) \right] \, \mathcal { F } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { X ( t ) + \varepsilon } } & { - \sqrt { x _ { 0 } + \varepsilon } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { b X ( s ) } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon } } d s - \frac { \sigma } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \sqrt { X ( s ) } } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon } } d W ( s ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( \frac { a } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon } } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } \frac { X ( s ) } { ( X ( s ) + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) d s } \end{array}
\mathrm { I m } Z _ { t d } \approx - { \frac { m _ { c } } { m _ { d } } } { \frac { | V _ { c d } | ^ { 2 } } { \cos ^ { 2 } 2 \theta } } \sin 2 \theta \sin ( \alpha _ { d } - \alpha _ { c } + \delta ) \; .
\begin{array} { r l } { h _ { \beta } ( w , t | \lambda ) } & { { } : = T \beta \left\Vert \dot { \hat { x } } \left( t ; w , x _ { 0 } \right) - f \left( \hat { x } \left( t ; w , x _ { 0 } \right) , t ; \theta \right) \right\Vert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c } { - \Delta \tilde { u } + W ^ { \prime } ( \tilde { u } ) = \tilde { f } } & { \mathrm { ~ i n ~ B _ R ~ } , } \\ { | \tilde { u } | \leq c _ { 0 } } & { \mathrm { ~ i n ~ B _ R ~ } , } \\ { \| \tilde { f } \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { R } ) } \leq \omega , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( \lambda _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ C ~ } } \right) = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( \eta _ { y y } \right) s ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \lambda _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ C ~ } } \right) = \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \eta _ { y y } \right) s ^ { 2 } . } \end{array}