harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\dot { p } \left( y _ { 1 } , x \right) = \sum _ { y _ { 2 } } \dot { p } \left( y _ { 1 } , y _ { 2 } , x \right) = \sum _ { y _ { 1 } ^ { \prime } } J _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } ,
\begin{array} { r l } { \left\lVert \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq N } \left\lvert \frac { x _ { j , t } } { \sigma _ { j } } \right\rvert \right\rVert _ { L _ { m } } } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { j } \left\lvert 1 / \sigma _ { j } \right\rvert \left\lVert \operatorname* { m a x } _ { j } x _ { j , t } \right\rVert _ { L _ { m } } } \\ & { \leq C \left\lVert \operatorname* { m a x } _ { j } \mathcal { B } ( 1 ) _ { j } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \right\rVert _ { L _ { m } } \leq C \left\lVert \mathcal { B } ( 1 ) \right\rVert _ { \infty } \left\lVert \operatorname* { m a x } _ { j } \left\lvert \epsilon _ { j , t } \right\rvert \right\rVert _ { L _ { m } } \leq C \tilde { S } d _ { N } . } \end{array}
\tilde { \bf \Gamma } _ { 2 2 } ( { \bf x } , { \bf s } , x _ { 3 , S } ) = \tilde { \bf G } _ { 2 2 } ( { \bf x } , { \bf s } , x _ { 3 , S } ) \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } )
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { T } \| \partial _ { t } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \, d t } \\ { \leq } & { } & { C \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \Big ( \| \partial _ { t } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \Big ) \, d t . } \end{array}
\beta _ { 6 0 } = { \frac { 3 2 \lambda _ { 6 0 } } { N \pi ^ { 2 } ( 1 + r ) ^ { 3 } } } \left[ 4 ( 1 + r ) ^ { 2 } - 9 \lambda _ { 6 0 } r ( 1 - r ^ { 2 } ) - 9 \lambda _ { 6 0 } ^ { 2 } r ^ { 3 } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal E _ { K } ( \mu _ { * } ) } & { = \mathcal E _ { K } \left( \tilde { \mu } + \frac 1 2 \mu _ { * } - \frac 1 2 O _ { \# } \mu _ { * } \right) } \\ & { = \mathcal E _ { K } ( \tilde { \mu } ) + \mathcal E _ { K } \left( \frac 1 2 \mu _ { * } - \frac 1 2 O _ { \# } \mu _ { * } \right) - \frac 1 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( \| x - y \| _ { 2 } ^ { r } - \| x - O y \| _ { 2 } ^ { r } ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( x ) \, \mathrm { d } \mu _ { * } ( y ) } \\ & { = \mathcal E _ { K } ( \tilde { \mu } ) + \frac 1 4 \mathcal E _ { K } ( \mu _ { * } - O _ { \# } \mu _ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { \textrm { S } } ( t ) = } & { { } i [ H _ { \textrm { s } } ( t ) , \sum _ { j } \mathbf { R } _ { j } S _ { j } ^ { z } ( t ) ] } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } \textrm { s g n } ( \sigma ) \frac { \partial \epsilon _ { a b } ( \mathbf { k } , t ) } { \partial \mathbf { k } } c _ { \mathbf { k } a \sigma } ^ { \dagger } ( t ) c _ { \mathbf { k } b \sigma } ( t ) . } \end{array}
\hat { a } ( \hat { \textbf { u } } , \hat { \textbf { v } } ; y ) = \sum _ { r = 1 } ^ { R } \int _ { \hat { D } ^ { r } } \nu ( y ) \sum _ { i , j , j ^ { \prime } , j ^ { \prime \prime } } \frac { \partial \hat { u _ { i } } } { \partial \hat { x } _ { j ^ { \prime } } } \big ( G _ { j ^ { \prime } j } ^ { r } ( y ) G _ { j ^ { \prime \prime } j } ^ { r } ( y ) \operatorname* { d e t } ( G ^ { r } ( y ) ^ { - 1 } ) \big ) \frac { \partial \hat { v _ { i } } } { \partial \hat { x } _ { j ^ { \prime \prime } } } \ d \hat { \mathbf { x } } , \mathrm { ~ \forall ~ \hat { \textbf { v } } ~ \in ~ \hat { V } ~ } ,
\begin{array} { r l } { I _ { j } } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { 2 \Sigma } \iiint _ { V _ { j } } \left( \nabla \phi _ { j } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \Sigma ~ \mathrm { d } z - \frac { 1 } { \Sigma } \iint \frac { 1 } { | \nabla \Gamma | } \frac { \partial \xi } { \partial t } \left. \phi _ { j } \right| _ { z = \xi } \mathrm { d } \Sigma } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { 2 \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ( - 1 ) ^ { j + 1 } \int _ { h _ { j } } ^ { \xi } \mathrm { d } z ~ \left( \nabla \phi _ { j } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { \Sigma } \iint \frac { 1 } { | \nabla \Gamma | } \frac { \partial \xi } { \partial t } \left. \phi _ { j } \right| _ { z = \xi } \mathrm { d } \Sigma . } \end{array}
T _ { \nu } ^ { \mu } = \delta _ { \nu } ^ { \mu } f _ { 0 } ( \rho ) , \quad T _ { \rho } ^ { \rho } = f _ { \rho } ( \rho ) , \quad \mathrm { a n d } \quad T _ { \theta } ^ { \theta } = f _ { \theta } ( \rho ) ~ ,
\begin{array} { r } { \mathrm { A C C } ( v , l ) = \frac { \sum _ { m , n } w _ { \mathrm { L a t } } ( m ) \tilde { { X } } _ { \mathrm { p r e d } } ( l ) \left[ v , m , n \right] \tilde { { X } } _ { \mathrm { t r u e } } ( l ) \left[ v , m , n \right] } { \sqrt { \sum _ { m , n } w _ { \mathrm { L a t } } ( m ) \left( \tilde { { X } } _ { \mathrm { p r e d } } ( l ) \left[ v , m , n \right] \right) ^ { 2 } \sum _ { m , n } w _ { \mathrm { L a t } } ( m ) \left( \tilde { { X } } _ { \mathrm { t r u e } } ( l ) \left[ v , m , n \right] \right) ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { \xi } } & { = } & { | U | + a \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } \, \mathrm { , } } \\ { \lambda _ { \xi } } & { = } & { | V | + a \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } \, \mathrm { , } } \\ { \lambda _ { \xi } } & { = } & { | W | + a \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } \, \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { X } } \quad } & { \mathbf { x } ^ { \top } \mathbf { Q } _ { \mathbf { x } _ { 0 } } \mathbf { x } + \mathbf { y } ^ { \top } \mathbf { y } } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { t } _ - \mathbf { y } \preccurlyeq 0 , \quad \forall i \in \mathcal { I } } \\ { \textrm { w i t h } \quad } & { \mathbf { C } \mathbf { y } = \mathbf { a } _ - \mathbf { D } \mathbf { x } } \end{array}
\hat { A } _ { \hat { \mu } } ( x ^ { \nu } , x ^ { 5 } ) = e ^ { M x ^ { 5 } } A _ { \hat { \mu } } ( x _ { \nu } ) , \qquad \hat { \mu } , \hat { \nu } = 1 , \dots 5 , \; \; \mu , \nu = 1 , \dots 4 .
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle { \mathcal D } _ { t } ^ { \gamma } y ^ { i , \tau } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i , \tau } ) + q ^ { i } y ^ { i , \tau } } & { = } & { f ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i , \tau } ( \cdot , a ^ { + } ) = I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { j , \tau } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i , \tau } ( a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { 1 } ( \cdot , b _ { 1 } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i , \tau } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { u ^ { i , \tau } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 2 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i , \tau } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { u ^ { i , \tau } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle y ^ { i , \tau } ( 0 , \cdot ; u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Delta \nu } & { { } = \sum _ { \overline { { \mu } } , \overline { { \nu } } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left\langle \frac { f _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) ( \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ( \theta ) - \omega _ { \alpha \beta } ) \tau } { 4 \pi T [ 1 + ( \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ( \theta ) - \omega _ { \alpha \beta } ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ] } \right\rangle d \cos ( \theta ) , } \end{array}
P ^ { s c a t } ( \textbf { x } ^ { \prime } ) = \int _ { \mathcal { V } } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } ( \textbf { x } ) G _ { 0 } ( \textbf { x } ^ { \prime } , \textbf { x } ) \chi ^ { c } ( \textbf { x } ) P ^ { i n c } ( \textbf { x } ) d \textbf { x } .
\frac { 1 } { k _ { B } T } \left( \frac { 1 } { \mu } { \cal V } _ { \Delta x } ( t ) + \mu { \cal V } _ { \Sigma _ { F } } ( t ) \right) = 2 t + \frac { 2 } { k _ { B } T } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \left( C _ { x F } ( t ^ { \prime } ) - C _ { F x } ( t ^ { \prime } ) \right) \, .
\begin{array} { r l } { C _ { i } ( j ^ { 1 } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) = } & { \left( \delta _ { A _ { j } } ^ { j ^ { 1 } } + \sum _ { l \in \partial j \backslash i } \delta _ { A _ { j } } ^ { l ^ { 1 } } \right) } \\ & { \times \prod _ { k \in \partial i \backslash j } \left[ \delta _ { A _ { k } } ^ { 0 } + \delta _ { A _ { k } } ^ { i ^ { 1 } } + \sum _ { l \in \partial k \backslash i } \delta _ { A _ { k } } ^ { l ^ { 1 } } + \sum _ { t = 2 } ^ { T } \left( \delta _ { A _ { k } } ^ { k ^ { t } } + \sum _ { l \in \partial k \backslash i } \delta _ { A _ { k } } ^ { l ^ { t } } \right) \right] } \\ & { \times \Theta \left\{ K - 2 - \sum _ { k \in \partial i \backslash j } \left[ \sum _ { l \in \partial k \backslash i } \delta _ { A _ { k } } ^ { l ^ { 1 } } + \sum _ { t = 2 } ^ { H } \left( \delta _ { A _ { k } } ^ { k ^ { t } } + \sum _ { l \in \partial k \backslash i } \delta _ { A _ { k } } ^ { l ^ { t } } \right) \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { t } ^ { ( 1 ) } + \mathscr { N } N ^ { ( 1 ) } } & { = - \mathscr { L } ( N ^ { ( 0 ) } \mathscr { N } N ^ { ( 0 ) } ) - U ^ { ( 0 ) } U _ { x } ^ { ( 0 ) } + \mathscr { N } N ^ { ( 0 ) } \mathscr { L } N ^ { ( 0 ) } } \\ & { = - U ^ { ( 0 ) } U _ { x } ^ { ( 0 ) } - \left[ \mathscr { L } , \mathscr { N } N ^ { ( 0 ) } \right] N ^ { ( 0 ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \pi G = { \frac { 1 } { 2 } } \varpi = { \frac { 1 } { 4 } } \mathrm { B } { \bigl ( } { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 2 } } { \bigr ) } , } \\ { B } & { = { \frac { 1 } { 2 G } } = { \frac { 1 } { 4 } } \mathrm { B } { \bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 3 } { 4 } } { \bigr ) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { t r } ( B _ { i } Y ( \epsilon ) ) = \mathrm { t r } ( B _ { i } U ( I + \epsilon D ) U ^ { T } ) = \mathrm { t r } ( B _ { i } Y ) \in [ a _ { i } ^ { l } , a _ { i } ^ { u } ] , ~ i = 1 , \cdots , k , } \\ & { } & { Y ( \epsilon ) _ { [ 1 : n ] } = { U ( I + \epsilon D ) U ^ { T } } _ { [ 1 : n ] } = { U U ^ { T } } _ { [ 1 : n ] } = I _ { n } , } \\ & { } & { Y ( \epsilon ) _ { [ n + 1 : n + p ] } = { U ( I + \epsilon D ) U ^ { T } } _ { [ n + 1 : n + p ] } = { U U ^ { T } } _ { [ n + 1 : n + p ] } = I _ { p } , } \\ & { } & { Y ( \epsilon ) = U ( I + \epsilon D ) U ^ { T } = Y ( \epsilon ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigcap _ { i \in I ( x ) } \partial { M } _ { i } = \big \{ x \in X : \forall i } & { \in I ( x ) , \ \forall j \notin I ( x ) \ \sigma _ { i } ^ { - 1 } ( V _ { i } ( x _ { i } ) ) > \sigma _ { j } ^ { - 1 } ( V _ { j } ( x _ { j } ) ) } \\ & { \forall i , j \in I ( x ) \ \sigma _ { i } ^ { - 1 } ( V _ { i } ( x _ { i } ) ) = \sigma _ { j } ^ { - 1 } ( V _ { j } ( x _ { j } ) ) \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \delta } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \mathbf { m } . } \end{array}
n ^ { \mu } = { \frac { 1 } { N } } \left( - 1 , N ^ { z } , N ^ { \bar { z } } \right) = \left( - 1 - { \frac { 1 } { 2 } } h _ { t t } , 2 e ^ { 2 t } h _ { t \bar { z } } , 2 e ^ { 2 t } h _ { t z } \right) .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ^ { q \zeta , q ^ { \prime } \zeta ^ { \prime } } } & { = \frac { 2 } { 1 - \bar { \omega } _ { q } ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 1 - \bar { \omega } _ { q ^ { \prime } } ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 1 - ( \bar { \omega } _ { q } - \bar { \omega } _ { q ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } - 2 , } \\ { A _ { 2 } ^ { q \zeta , q ^ { \prime } \zeta ^ { \prime } } } & { = \frac { 1 } { 1 - \bar { \omega } _ { q } } + \frac { 1 } { 1 - \bar { \omega } _ { q ^ { \prime } } } + \frac { 1 } { 1 - ( \bar { \omega } _ { q } + \bar { \omega } _ { q ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } - 1 , } \\ { A _ { 3 } ^ { q \zeta , q ^ { \prime } \zeta ^ { \prime } } } & { = \delta _ { q q ^ { \prime } } \delta _ { \zeta \zeta ^ { \prime } } \left( \frac { 2 } { 1 + \bar { \omega } _ { q } } - 1 \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \theta ( n ) ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { 2 ( k _ { * } - 2 ) } \bigg ( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \| \mathscr { A } _ { n } h _ { n } \| _ { 2 , n } ^ { 2 } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \| \mathscr { E } _ { n } h _ { n } \| _ { 2 , n } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \theta ( n ) } \| h _ { n } \| _ { 2 , n } ^ { 2 } \bigg ) = 0 .
R _ { n } ^ { 1 } = \left[ \begin{array} { l } { N ( u ( t _ { n } + c _ { 1 } h ) ) } \\ { \vdots } \\ { N ( u ( t _ { n } + c _ { s } h ) ) } \end{array} \right] - D \left[ \begin{array} { l } { N ( u ( t _ { n - 1 } + c _ { 1 } h ) ) } \\ { \vdots } \\ { N ( u ( t _ { n - 1 } + c _ { s } h ) ) } \end{array} \right] - N ( u ( t _ { n } ) ) \left[ \begin{array} { l } { \theta _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \theta _ { s } } \end{array} \right] .
{ \begin{array} { r l r l } { \mathbf { J } } & { = - D { \frac { \partial \rho } { \partial x } } } & & { { \mathrm { ( F i c k ' s ~ l a w ~ o f ~ d i f f u s i o n ) } } } \\ { \mathbf { q } } & { = - k _ { t } { \frac { \partial T } { \partial x } } } & & { { \mathrm { ( F o u r i e r ' s ~ l a w ~ o f ~ h e a t ~ c o n d u c t i o n ) } } } \\ { \tau } & { = \mu { \frac { \partial u } { \partial y } } } & & { { \mathrm { ( N e w t o n ' s ~ l a w ~ o f ~ v i s c o s i t y ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l } { \delta u } & { = } & { V _ { 0 } \sin \left( \frac { x } { L } \right) \cos \left( \frac { y } { L } \right) \cos \left( \frac { z } { L } \right) } \\ { \delta v } & { = } & { - V _ { 0 } \cos \left( \frac { x } { L } \right) \sin \left( \frac { y } { L } \right) \cos \left( \frac { z } { L } \right) } \\ { \delta P } & { = } & { \frac { \rho _ { \infty } V _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 } \left[ \cos \left( \frac { 2 x } { L } \right) + \cos \left( \frac { 2 y } { L } \right) \right] \left[ \cos \left( \frac { 2 z } { L } \right) + 2 \right] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { u } _ { p } } & { = - \frac { \beta \lambda } { k \pi \mathrm { \textit { C r } } } \sin ( k \pi \mathrm { \textit { C r } } ) \sin ( k \phi ) - \lambda u _ { p } + \sigma \dot { W } , } \\ { \dot { \phi } } & { = r u _ { p } + \frac { 2 \gamma } { k ^ { 2 } \pi } \sin ( k \pi \mathrm { \textit { C r } } ) \sin ( k \phi ) - \frac { \gamma } { 2 k ^ { 2 } \pi } \sin ( 2 k \pi \mathrm { \textit { C r } } ) \sin ( 2 k \phi ) . } \end{array}
\mathbb { E } \Bigg \Vert \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { G } ( z , x , u ( s - ) ) \tilde { N } ( d s , d z ) \Bigg \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathbb { E } \Vert \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { G } ( z , x , u ( s ) ) \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ^ { 2 } \nu ( d z ) d s .
L _ { n } ^ { l + 1 / 2 } ( x ^ { 2 } ) = \sum _ { m = 0 } ^ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { m } \; \Gamma ( n + l + 3 / 2 ) } { m ! \; ( n - m ) ! \; \Gamma ( m + l + 3 / 2 ) } \; x ^ { 2 m } \; ,
\begin{array} { r } { X = \left[ \frac { V } { V _ { 0 } } \right] ^ { \frac { 1 } { 3 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \eta = \frac { 3 } { 2 } \left( B _ { 0 } ^ { \prime } - 1 \right) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { 2 \gamma _ { t } } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } - ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \gamma _ { 1 } } \mathbb { E } [ ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } ] + \sum _ { t = 2 } ^ { T } \left( \frac { 1 } { 2 \gamma _ { t } } - \frac { 1 } { 2 \gamma _ { t - 1 } } \right) \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } ] - \frac { 1 } { 2 \gamma _ { T } } \mathbb { E } [ ( \eta _ { T + 1 } - \eta _ { T + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } ] } \\ & { \leq \frac { R ^ { 2 } } { \gamma _ { T } } , } \end{array}
m _ { n } ^ { ( k _ { 0 } , \bar { k } _ { 1 } , \dots , \bar { k } _ { n - 1 } ) } ( Y _ { 0 } , \dots , \bar { Y } _ { n - 1 } \epsilon ) = p \tilde { h } ^ { \bar { k } _ { n - 1 } } M ( \tilde { h } ^ { \bar { k } _ { n - 2 } } h M ( \dots \tilde { h } ^ { \bar { k } _ { 2 } } h M ( \tilde { h } ^ { \bar { k } _ { 1 } } h M ( \tilde { h } ^ { k _ { 0 } } ( Y _ { 0 } ) , \bar { Y } _ { 1 } \epsilon ) , \bar { a } _ { 2 } \epsilon ) , \dots , \bar { Y } _ { n - 1 } \epsilon ) )
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 3 2 1 } ^ { ( 5 ) } } & { = ( s _ { 6 } + s _ { 3 1 } + s _ { 4 1 } + s _ { 1 1 1 } ) \otimes s _ { 1 1 1 1 1 } } \\ & { \qquad + ( s _ { 2 } + s _ { 3 } + s _ { 4 } + s _ { 1 1 } + s _ { 2 1 } ) \otimes s _ { 2 2 1 } + ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \otimes s _ { 3 2 } } \\ & { \qquad + ( e _ { 1 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { 3 2 1 } ) \otimes s _ { 2 1 1 1 } + ( e _ { 2 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { 3 2 1 } ) \otimes s _ { 3 1 1 } + ( e _ { 3 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { 3 2 1 } ) \otimes s _ { 4 1 } , } \end{array}
\left[ L _ { 1 2 } ^ { ( + ) } , L _ { 2 1 } ^ { ( - ) } \right] = ( q ^ { - 1 } - q ) \left( L _ { 1 1 } ^ { ( + ) } L _ { 2 2 } ^ { ( - ) } - L _ { 2 2 } ^ { ( + ) } L _ { 1 1 } ^ { ( - ) } \right)
\vec { E } _ { 1 } ^ { [ 2 ] } = \vec { E } _ { 1 a } ^ { [ 2 ] } + \vec { E } _ { 1 b } ^ { [ 2 ] } = k \left( \frac { 1 } { c } \right) ^ { 2 } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } \left[ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t ) \hat { R } - \partial _ { t } \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t ) R ^ { - 1 } \right]
\begin{array} { r l } { | | v ( \cdot , t ) | | ^ { 2 } \le } & { 4 \bigg ( \eta _ { 5 } + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 1 } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 2 } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \eta ( x ) ^ { 2 } d x \bigg ) \big ( \| \hat { u } ( \cdot , t ) \| ^ { 2 } } \\ & { + | | \alpha ( \cdot , t ) | | ^ { 2 } + | | \beta ( \cdot , t ) | | ^ { 2 } + | { X } ( t ) | ^ { 2 } \big ) , } \\ { | | \hat { u } ( \cdot , t ) | | ^ { 2 } \le } & { 4 \eta _ { 6 } ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } + 1 ) \bigg ( 1 + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 1 } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { 2 } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \eta ( x ) ^ { 2 } d x \bigg ) \big ( | | v ( \cdot , t ) | | ^ { 2 } } \\ & { + \| z ( \cdot , t ) \| ^ { 2 } + \| w ( \cdot , t ) \| ^ { 2 } + | X ( t ) | ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
- \nabla ^ { \mu } \nabla _ { \mu } V _ { \nu } = \left[ - \nabla ^ { K } \nabla _ { K } + \left( { \frac { \partial } { \partial r } } + { \frac { d - 1 } { r } } \right) \left( { \frac { \partial } { \partial r } } - { \frac { 1 } { r } } \right) - { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \right] V _ { \nu } ~ ~ ~
\begin{array} { r l } { \langle ( G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } - M _ { 1 2 } ^ { A _ { 1 } } ) A _ { 2 } \rangle = \ } & { \langle M _ { 1 } A _ { 1 } ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ A _ { 2 } ] \rangle - \langle M _ { 1 } \underline { { W G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } } } { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ A _ { 2 } ] \rangle } \\ & { + \langle M _ { 1 } \mathcal { S } [ G _ { 1 } - M _ { 1 } ] G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ A _ { 2 } ] \rangle } \\ & { + \langle M _ { 1 } \mathcal { S } [ G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ] ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ A _ { 2 } ] \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { \omega } L ( \omega ) , ~ L ( \omega ) } & { { } = } & { | E ^ { \scriptsize { \textrm { t a r g e t } } } - E ^ { \scriptsize { \textrm { D e e P K S } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] | ^ { 2 } } \end{array}
\frac { \partial \overline { { \mathbf { V } } } _ { e } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \overline { { \mathbf { V } } } _ { e } \otimes \mathbf { u } ) = \nabla \mathbf { u } \overline { { \mathbf { V } } } _ { e } + \frac { 2 } { 3 } ( \nabla \cdot { \mathbf { u } } ) \overline { { \mathbf { V } } } _ { e } - \boldsymbol \Phi
m a k e t h e m u n a f f o r d a b l e f o r t h e m u l t i - d a y s t o r a g e o b j e c t i v e s r e q u i r e d t o c o m p l e t e l y d e c a r b o n i z e t h e g r i d . C o n c e n t r a t e d s o l a r p o w e r w i t h t h e r m a l e n e r g y s t o r a g e ( C S P - T E S ) h a s b e e n s e e n a s a p r o m i s i n g o p t i o n , b u t m a j o r p r o j e c t s a r o u n d t h e w o r l d h a v e b e e n p l a g u e d b y d e l a y s , c o s t o v e r r u n s a n d m e c h a n i c a l i s s u e s , a n d i n t e r e s t h a s w a n e d i n r e c e n t y e a r s . S t u d i e s s u g g e s t t h a t a c h i e v i n g c o s t - e f f i c i e n t m u l t i - d a y s t o r a g e r e q u i r e s a c a p i t a l c o s t r e d u c t i o n t o U S \ 3 - 3 0 k W h
\frac { \partial \hat { A } _ { 2 } } { \partial C } = \frac { 1 } { 2 \lambda ^ { 2 } } \left( \frac { - 2 \kappa } { a ^ { 3 } } + \frac { \lambda - 1 } { \mathcal { A } ^ { 2 } } \right) \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial C } ,
0 \equiv \sum _ { i } \left[ \frac { \partial L } { \partial \left( \partial _ { \mu } \psi _ { i } \right) } b _ { \alpha i } ^ { \mu } + \frac { \partial L } { \partial \left( \partial _ { \nu } \psi _ { i } \right) } b _ { \alpha i } ^ { \nu } \right] .
\partial _ { t } \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) = \mathbf { M } ( \mathbf { m } ( \mathbf { x } ) ) \left( \mathbf { D } \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) + \mathbf { b } ( \mathbf { x } , t ) \right) ,
\begin{array} { r l } { R ^ { x , y } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { x _ { 1 } + y _ { 2 } } & & & \\ & { x _ { 2 } + y _ { 2 } } & { y _ { 2 } - y _ { 1 } } & \\ & { x _ { 1 } - x _ { 2 } } & { x _ { 1 } + y _ { 1 } } & \\ & & & { x _ { 2 } + y _ { 1 } } \end{array} \right) , } \\ { R ^ { x } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y ) } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { x _ { 1 } + y } & & & \\ & { x _ { 2 } + y } & { 0 } & \\ & { x _ { 1 } - x _ { 2 } } & { x _ { 1 } + y } & \\ & & & { x _ { 2 } + y } \end{array} \right) , } \\ { R ^ { y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; x ) } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { x + y _ { 2 } } & & & \\ & { x + y _ { 2 } } & { y _ { 2 } - y _ { 1 } } & \\ & { 0 } & { x + y _ { 1 } } & \\ & & & { x + y _ { 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\left( - t p + \frac { i } { 2 } \frac { \partial } { \partial p } \sqrt { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } + \sqrt { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \frac { i } { 2 } \frac { \partial } { \partial p } \right) \varphi _ { \nu } = - \nu \varphi _ { \nu }
\begin{array} { r l r } { \cal { L } } & { = } & { - \frac { 1 } { 4 } \mathrm { t r } W _ { \mu \nu } W ^ { \mu \nu } + ( D _ { \mu } X ) ^ { \dagger } D ^ { \mu } X + V ( \operatorname* { d e t } X ) } \\ { W _ { \mu \nu } } & { = } & { \partial _ { \mu } W _ { \nu } - \partial _ { \nu } W _ { \mu } + i g \left[ W _ { \mu } , W _ { \nu } \right] } \\ { D _ { \mu } } & { = } & { \partial _ { \mu } + g W _ { \mu } } \end{array}