harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { x x } ^ { \mathrm { ( i n t e r ) } } ( \Omega ) \right\} } = \frac { 2 \hbar v _ { F } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } } { \Omega } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \phi } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \, \left\{ f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + K \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + K \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] - \hbar \Omega \right) \right\} J ( K , \phi ) } \\ & { } & { \times \left\{ K \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] \left\{ K \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] - \hbar \Omega \right\} + K ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { ( \phi ) } - K \sin { ( \phi ) } \left\{ 2 K \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] - \hbar \Omega \right\} \right\} \frac { \delta \left( 2 K - \hbar \Omega \right) } { K ^ { 2 } } } \\ & { } & { = \frac { 2 \hbar v _ { F } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } } { \Omega } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \phi } { 2 \pi } \left\{ f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + \frac { \hbar \Omega } { 2 } \left[ \sin { ( \phi ) } - 1 \right] \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + \frac { \hbar \Omega } { 2 } \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] \right) \right\} J \left( \frac { \hbar \Omega } { 2 } , \phi \right) \sin ^ { 2 } { ( \phi ) } } \\ & { } & { = 4 \sigma _ { 0 } \sqrt { \frac { 2 g } { \hbar \Omega } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \phi } { 2 \pi } \sin ^ { 3 / 2 } { ( \phi ) } \left\{ f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + \frac { \hbar \Omega } { 2 } \left[ \sin { ( \phi ) } - 1 \right] \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + \frac { \hbar \Omega } { 2 } \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] \right) \right\} , } \end{array}
\mathcal { Q } _ { x } + \mathcal { Q } _ { x } ^ { T } = - E _ { s } ^ { T } E _ { s } + E _ { e } ^ { T } E _ { e } \quad E _ { s } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \end{array} \right) , \quad E _ { e } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
I ( k , \bar { k } ; \kappa , m _ { \mathrm { A } } ) = \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \ln \left[ k ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } ) - \kappa \bar { k } ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r } { \frac { \delta \mathcal { L } } { \delta \rho } = 0 = \frac { \delta T _ { s } } { \delta \rho } + v _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ( \mathbf { r } ) + \frac { \delta J } { \delta \rho } + \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } { \delta \rho } - \mu \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \mathbf { X } _ { 2 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } ; t _ { 0 } ) \sim - \frac { 1 } { 4 } \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } A ( t ) ^ { 2 } \left. \left\{ \mathbf { e } _ { x } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \right] + \mathbf { e } _ { y } \left[ - \frac { 2 ( x - t ) y } { r ^ { 4 } } \right] \right\} \right\vert _ { \mathbf { X } _ { 0 } } \, d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - | x | ^ { 2 } u } & { = - \frac { A } { L } e ^ { i \gamma + i L \beta \cdot y - i \frac { B } { 4 } | y | ^ { 2 } } \left| L y + X \right| ^ { 2 } v } \\ & { = \frac { A } { L ^ { 3 } } e ^ { i \gamma + i L \beta \cdot y - i \frac { B } { 4 } | y | ^ { 2 } } \left( - L ^ { 4 } | y | ^ { 2 } - 2 L ^ { 3 } X \cdot y - L ^ { 2 } | X | ^ { 2 } \right) v , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Dot { x _ { 1 } } = \xi \left( x _ { 1 } - \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \right) - \zeta \left( x _ { 2 } - \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } \right) - \left( x _ { 1 } - \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \right) \left( \left( x _ { 1 } - \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + \left( x _ { 2 } - \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) , } \\ & { \Dot { x _ { 2 } } = \zeta \left( x _ { 1 } - \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \right) + \xi \left( x _ { 2 } - \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } \right) - \left( x _ { 2 } - \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } \right) \left( \left( x _ { 1 } - \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + \left( x _ { 2 } - \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k \in \mathbb { Z } , k \notin [ - m / 2 , m / ( N _ { 0 } - 1 2 ) ] } 2 ^ { - k + 5 k _ { + } } \| e ^ { - i t \Lambda _ { a } } P _ { k } ( h _ { a } ( t ) ) \| _ { L ^ { \infty } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k \in \mathbb { Z } , \notin [ - m / 2 , m / ( N _ { 0 } - 1 2 ) ] } 2 ^ { - k + 5 k _ { + } } \operatorname* { m i n } \{ 2 ^ { 3 k } \| \widehat { h _ { a } } ( t , \xi ) \psi _ { k } ( \xi ) \| _ { L _ { \xi } ^ { \infty } } , 2 ^ { 3 k / 2 } \| \widehat { h _ { a } } ( t , \xi ) \psi _ { k } ( \xi ) \| _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \} } \\ & { \lesssim 2 ^ { - m } \epsilon _ { 1 } . } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { n } x _ { n } \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } x _ { n } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } x _ { n } \leq \operatorname* { s u p } _ { n } x _ { n }
\begin{array} { r } { \sum _ { m , n } \delta \mathcal { F } _ { m n } ( r , \theta , z , t ) = \sum _ { m , n } \delta \mathcal { F } _ { m n } ( r ) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( - m \theta + \frac { n } { R } z - \omega t \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \omega \pm \epsilon k _ { 0 } U _ { \mathrm { ~ A ~ } } \right) ^ { 2 } = \left( k \pm k _ { 0 } \right) ^ { 2 } U _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { 2 } - \left( 1 - \epsilon ^ { 2 } \right) k _ { 0 } ^ { 2 } U _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { 2 } , } \\ { k _ { 0 } \equiv \frac { j _ { \mathrm { ~ C ~ R ~ } } } { 2 B _ { g } c } , \quad \epsilon \equiv \frac { U _ { \mathrm { ~ A ~ } } } { v _ { \mathrm { ~ C ~ R ~ } } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { T _ { p } X } & { = \mathbb { R } { \Big \lbrace } { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } | _ { p } , \dots , { \frac { \partial } { \partial x _ { n } } } | _ { p } { \Big \rbrace } } \\ { T _ { p } Y } & { = \mathbb { R } { \Big \lbrace } { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } | _ { p } , \dots , { \frac { \partial } { \partial x _ { k } } } | _ { p } { \Big \rbrace } } \\ { { T _ { X / Y } } _ { p } } & { = \mathbb { R } { \Big \lbrace } { \frac { \partial } { \partial x _ { k + 1 } } } | _ { p } , \dots , { \frac { \partial } { \partial x _ { n } } } | _ { p } { \Big \rbrace } } \end{array} }
0 = \frac { 1 } { L ( c ) } \int _ { 0 } ^ { L ( c ) } ( P _ { g } ( \pi _ { 0 } ^ { * } f ) ) ( \phi _ { t } ( z ) ) \mathrm { d } t = \frac { 1 } { L ( c ) } \int _ { 0 } ^ { L ( c ) } \pi _ { 0 } ^ { * } \big ( f - \langle f , 1 \rangle _ { L _ { g } ^ { 2 } ( S ) } \big ) ( \phi _ { t } ( z ) \big ) \mathrm { d } t = I _ { 0 } ^ { g } \big ( f - \langle f , 1 \rangle _ { L _ { g } ^ { 2 } ( S ) } \big ) ( c ) .
\boldsymbol { B } = \left[ \begin{array} { l l l } { \boldsymbol { I _ { c } } } & { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { 0 } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { I _ { e } } } & { \boldsymbol { 0 } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { I _ { c } } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { Q = \sum _ { l = 1 } ^ { N } } & { \left( \prod _ { k = l + 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } \tau _ { k } } \right) \exp \left( - \int _ { t _ { l } + \tau _ { l } } ^ { t } \mathrm { i } \delta ( u ) d u \right) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Phi _ { l } } } \\ & { \times \left( 1 - \exp \left( - \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) \tau _ { l } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { d } ^ { \pm } = } & { { } \frac { i k _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi } \int \frac { d ^ { 2 } \mathbf { q } } { w _ { d } } \Big [ \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \left( 1 + r _ { \parallel } e ^ { i w _ { d } \left\vert z + z _ { d } \right\vert } \right) } \end{array}
\frac { \partial } { \partial k _ { \lambda } } [ k ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } - ( 1 + \xi ^ { - 1 } ) k ^ { \mu } k ^ { \nu } - \Pi ^ { H \mu \nu } ( k ) ] \frac { \partial I _ { \mu \nu } ^ { a b } } { \partial x ^ { \lambda } } =
{ \mathrm { R e } } = \{ 2 \times 1 0 ^ { 3 } , 5 \times 1 0 ^ { 3 } , 1 \times 1 0 ^ { 4 } , 2 \times 1 0 ^ { 4 } , 5 \times 1 0 ^ { 4 } , 1 \times 1 0 ^ { 5 } \}
\mathrm { d e t } \left( \underline { { \boldsymbol { \Phi } } } \right) = \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } = e ^ { \left[ \mathrm { t r } \left( \mathbf { \underline { { M } } } _ { 1 } T _ { \mathrm { m } } / 2 \right) + \mathrm { t r } \left( \mathbf { \underline { { M } } } _ { 2 } T _ { \mathrm { m } } / 2 \right) \right] } ,
{ \begin{array} { r l } { z ^ { 1 } - 1 } & { = z - 1 } \\ { z ^ { 2 } - 1 } & { = ( z - 1 ) ( z + 1 ) } \\ { z ^ { 3 } - 1 } & { = ( z - 1 ) ( z ^ { 2 } + z + 1 ) } \\ { z ^ { 4 } - 1 } & { = ( z - 1 ) ( z + 1 ) ( z ^ { 2 } + 1 ) } \\ { z ^ { 5 } - 1 } & { = ( z - 1 ) ( z ^ { 4 } + z ^ { 3 } + z ^ { 2 } + z + 1 ) } \\ { z ^ { 6 } - 1 } & { = ( z - 1 ) ( z + 1 ) ( z ^ { 2 } + z + 1 ) ( z ^ { 2 } - z + 1 ) } \\ { z ^ { 7 } - 1 } & { = ( z - 1 ) ( z ^ { 6 } + z ^ { 5 } + z ^ { 4 } + z ^ { 3 } + z ^ { 2 } + z + 1 ) } \\ { z ^ { 8 } - 1 } & { = ( z - 1 ) ( z + 1 ) ( z ^ { 2 } + 1 ) ( z ^ { 4 } + 1 ) } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { x = { \frac { c \pm { \sqrt { c ^ { 2 } - 4 a b } } } { 2 } } } \\ { y = - \left( { \frac { c \pm { \sqrt { c ^ { 2 } - 4 a b } } } { 2 a } } \right) } \\ { z = { \frac { c \pm { \sqrt { c ^ { 2 } - 4 a b } } } { 2 a } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u } & { = \left( \partial _ { \tau } u _ { \sigma } - v \partial _ { \sigma } u _ { \sigma } + ( \sigma \nabla _ { \! \bot } v \cdot J ^ { - 1 } - v _ { \bot } ) \cdot ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } + K u _ { \bot } ) \right) \widehat { n } } \\ & { + \left( \partial _ { \tau } u _ { \bot } - v \partial _ { \sigma } u _ { \bot } + ( \sigma \nabla _ { \! \bot } v \cdot J ^ { - 1 } - v _ { \bot } ) \cdot ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \bot } - K u _ { \sigma } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi } & { = - \frac { \sigma _ { c } ^ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) ( w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) - r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) + r _ { 1 } r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) ) } { \sigma _ { d } ^ { 2 } ( w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) - r _ { 1 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) ) } } \\ { \nu } & { = - \frac { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) - r _ { 1 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) } { \sigma _ { c } ^ { 2 } ( w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) - r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) + r _ { 1 } r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) ) } } \\ { \kappa } & { = w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) - r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) + r _ { 1 } r _ { 2 } w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) . } \end{array}
\xi _ { 1 2 q } ^ { \dot { \alpha } } = [ 1 2 ] \rho _ { q } ^ { \dot { \alpha } } + [ 2 q ] \rho _ { 1 } ^ { \dot { \alpha } } + [ q 1 ] \rho _ { 2 } ^ { \dot { \alpha } } \; , \qquad q = 3 , 4 \; .
f ^ { \prime \prime } ( x ) \approx { \frac { \nabla _ { h } ^ { 2 } [ f ] ( x ) } { h ^ { 2 } } } = { \frac { { \frac { f ( x ) - f ( x - h ) } { h } } - { \frac { f ( x - h ) - f ( x - 2 h ) } { h } } } { h } } = { \frac { f ( x ) - 2 f ( x - h ) + f ( x - 2 h ) } { h ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { d ^ { \nabla } \beta _ { 1 } \wedge \beta _ { 2 } } & { = } & { d ^ { \nabla } ( \alpha _ { 1 } \otimes \zeta _ { 1 } ) \wedge ( \alpha _ { 2 } \otimes \zeta _ { 2 } ) } \\ & { = } & { ( d \alpha _ { 1 } \otimes \zeta _ { 1 } + ( - 1 ) ^ { k _ { 1 } } \alpha _ { 1 } \wedge \nabla \zeta _ { 1 } ) \wedge ( \alpha _ { 2 } \otimes \zeta _ { 2 } ) } \\ & { = } & { \langle \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } \rangle \, d \alpha _ { 1 } \wedge \alpha _ { 2 } + \langle \nabla \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } \rangle \wedge \alpha _ { 1 } \wedge \alpha _ { 2 } . } \end{array}
Z ( \gamma ) = Z _ { m o n } ( \gamma ) Z _ { 0 } ( \gamma ) = { \cal N } ^ { \prime } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \exp \left[ - \frac { e ^ { 2 } } { 2 } V \left( \frac { S } { V } \nu + l \right) ^ { 2 } - \frac { e ^ { 2 } } { 2 } \nu ^ { 2 } \frac { S ( V - S ) } { V } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \mathrm { h e l p e r } } { d \eta _ { f } ^ { 2 } } ( \eta _ { f } , \lambda ) } & { = - \frac { 1 } { 2 \left( e ^ { - \eta _ { f } } + 1 \right) ^ { 3 } } \left( - 4 \sqrt { \pi } e ^ { - 2 \eta _ { f } } \sqrt { \lambda } \mathrm { e r f } \left( \frac { \lambda - \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } } { 2 \sqrt { \lambda } } \right) \right. } \\ & { + \left. 2 \sqrt { \pi } e ^ { - 2 \eta _ { f } } \left( e ^ { \eta _ { f } } + 1 \right) \sqrt { \lambda } \mathrm { e r f } \left( \frac { \lambda - \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } } { 2 \sqrt { \lambda } } \right) \right. } \\ & { + \frac { \eta _ { f } ^ { 2 } \left( e ^ { - \eta _ { f } } + 1 \right) ^ { 2 } e ^ { - \frac { \left( \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } - \lambda \right) ^ { 2 } } { 4 \lambda } } \left( \lambda - \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } \right) } { \lambda \left( \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 \right) } } \\ & { + \frac { 2 \left( e ^ { - \eta _ { f } } + 1 \right) ^ { 2 } e ^ { - \frac { \left( \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } - \lambda \right) ^ { 2 } } { 4 \lambda } } } { \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } } - \frac { 2 \eta _ { f } ^ { 2 } \left( e ^ { - \eta _ { f } } + 1 \right) ^ { 2 } e ^ { - \frac { \left( \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } - \lambda \right) ^ { 2 } } { 4 \lambda } } } { \left( \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 \right) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { \left. + \frac { 4 \left( e ^ { \eta _ { f } } + 1 \right) \eta _ { f } e ^ { - \frac { \left( \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } - \lambda \right) ^ { 2 } } { 4 \lambda } - 2 \eta _ { f } } } { \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } } \right) . } \end{array}
( - ) ^ { a } \sum _ { j = 0 } ^ { a } ( - 1 ) ^ { j } \left( \begin{array} { c } { { j } } \\ { { a } } \end{array} \right) \mathrm { e x p } \left[ 2 \pi i \frac { Q } { P } ( h _ { e _ { 1 } + P e , n _ { 1 } + P n - \frac { P } { a } j } - h _ { e _ { 1 } , n _ { 1 } } ) \right] | e _ { 1 } + P e , n _ { 1 } + P n - \frac { P } { a } j >
\left\{ \begin{array} { r l } { \varepsilon ( \mathbf { x } ) = } & { { } ( \varepsilon _ { c } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + ( \varepsilon _ { s } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { s } \setminus \overline { { \bigcup _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } B _ { l } } } ) } \\ { \quad \mu ( \mathbf { x } ) = } & { { } ( \mu _ { c } ( \mathbf { x } ) - \mu _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \mu _ { l } - \mu _ { 0 } ) \chi ( B _ { l } ) + \mu _ { 0 } , } \\ { \sigma ( \mathbf { x } ) = } & { { } \sigma _ { c } ( \mathbf { x } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } \sigma _ { l } \chi ( B _ { l } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \delta } { \delta \mathscr { s } _ { ( \pmb { y } , 1 ) } } \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { s } } \int _ { \Omega } d \pmb { x } ( \mathscr { s } _ { ( \pmb { x } , i ) } ) ^ { 2 } = 2 \mathscr { s } _ { ( \pmb { y } , 1 ) } \Rightarrow \frac { \delta } { \delta u } \int _ { \Omega } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + w ^ { 2 } ) = 2 u } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { ( \partial \rho / \partial x ) } \\ { ( \partial \rho u / \partial x ) } \\ { ( \partial \rho v / \partial x ) } \\ { ( \partial \rho E / \partial x ) } \\ { ( \partial \rho / \partial y ) } \\ { ( \partial \rho u / \partial y ) } \\ { ( \partial \rho v / \partial y ) } \\ { ( \partial \rho E / \partial y ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { d \rho } \\ { d \rho u } \\ { d \rho v } \\ { d \rho E } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \log L ( \{ t _ { i } , m _ { i } \} ) } & { = \sum _ { i } \left[ \log \lambda ^ { * } ( t _ { i } ) + \log f ^ { * } ( m _ { i } | t _ { i } ) - \int _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } } \lambda ^ { * } ( t ) d t \right] } \\ & { = \sum _ { i } \left[ \log \phi ( \tau _ { i } | \textbf { h } _ { i } ) + \log \psi ( m _ { i } | \tau _ { i } , \textbf { h } _ { i } ) - \int _ { 0 } ^ { t _ { i } - t _ { i - 1 } } \phi ( t | \textbf { h } _ { i } ) d t \right] } \\ & { = \sum _ { i } \left[ \log \frac { \partial } { \partial \tau } \Phi ( \tau _ { i } | \textbf { h } _ { i } ) + \log \frac { \partial } { \partial m } \Psi ( m _ { i } | \tau _ { i } , \textbf { h } _ { i } ) - \Phi ( \tau _ { i } | \textbf { h } _ { i } ) \right] . } \end{array}
\tilde { A } _ { \mathcal { D } } ( p ) \Delta p _ { \mathcal { D } } = y _ { \mathcal { D } , p } ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y _ { \mathcal { D } } ( p ) - y ^ { m } ) + \Sigma _ { p } ^ { - 1 } ( p ^ { 0 } - p ) , \quad \tilde { A } _ { \mathcal { D } } ( p ) : = y _ { \mathcal { D } , p } ( p ) ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } y _ { \mathcal { D } , p } ( p ) + \Sigma _ { p } ^ { - 1 } .
n _ { i , \mathrm { 3 D } } ^ { ( \pm ) } ( \rho , z ) = n _ { 0 , \mathrm { 3 D } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( i \frac { \lambda } { 2 \sigma _ { \mathrm { { O D T } } } } \right) ^ { 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \rho } { \sigma _ { \perp } } \right) ^ { 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { z \pm s / 2 } { \sigma _ { z } } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \Pi _ { N + 1 } ^ { \mathrm { ( i i ) } } ( \alpha ; \tau _ { 2 } ) = 1 - \sum _ { k = 0 } ^ { N } F _ { k } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; N ) \right] } \end{array}
U _ { e f f } = \left( \begin{array} { c c } { { \cos \bar { \theta } } } & { { \sin \bar { \theta } e ^ { i \bar { \omega } } } } \\ { { - \sin \bar { \theta } e ^ { - i \bar { \omega } } } } & { { \cos \bar { \theta } } } \end{array} \right) .
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l } { x _ { 0 } ^ { n } } & { x _ { 0 } ^ { n - 1 } } & { x _ { 0 } ^ { n - 2 } } & { \ldots } & { x _ { 0 } } & { 1 } \\ { x _ { 1 } ^ { n } } & { x _ { 1 } ^ { n - 1 } } & { x _ { 1 } ^ { n - 2 } } & { \ldots } & { x _ { 1 } } & { 1 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } & { \vdots } \\ { x _ { n } ^ { n } } & { x _ { n } ^ { n - 1 } } & { x _ { n } ^ { n - 2 } } & { \ldots } & { x _ { n } } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { n } } \\ { a _ { n - 1 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { 0 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { y _ { 0 } } \\ { y _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { y _ { n } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { a = } & { + [ ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 / 2 ) ] - [ ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 / 2 ) , ( 1 , 1 / 2 ) ] + } \\ & { + [ ( 0 , 1 / 2 ) , ( 1 , 1 / 2 ) , ( 1 , 1 ) ] - [ ( 0 , 1 / 2 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) ] \, , } \\ { b = } & { + [ ( 0 , 0 ) , ( 1 / 2 , 0 ) , ( 1 / 2 , 1 ) ] - [ ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 / 2 , 1 ) ] + } \\ & { + [ ( 1 / 2 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) ] - [ ( 1 / 2 , 0 ) , ( 1 / 2 , 1 ) , ( 1 , 1 ) ] \, . } \end{array}
\frac { \Delta C _ { \mathrm { c } } } { C _ { \mathrm { c } } } \equiv \frac { C _ { \mathrm { c } } ( p ) - C _ { \mathrm { c } } ( 0 ) } { C _ { \mathrm { c } } ( 0 ) } = \varepsilon _ { \mathrm { r } } - 1 + \varepsilon _ { \mathrm { r } } \kappa _ { \mathrm { e f f } } p .
\hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { O } } = \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { I } } + \frac { 1 } { i \hbar } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { C } \hat { \mathcal { C } } _ { \bf k } ( \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } ) + \frac { 1 } { i \hbar } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { X } \hat { \mathcal { X } } _ { \bf k } ( \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } ) .
\frac { D \omega _ { x } } { D t } = \omega _ { x } \frac { \partial u } { \partial x } + \omega _ { y } \frac { \partial u } { \partial y } + \omega _ { z } \frac { \partial u } { \partial z } - \omega _ { x } ( \boldsymbol { \nabla \cdot u } ) + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \partial \rho } { \partial y } \frac { \partial p } { \partial z } - \frac { \partial \rho } { \partial z } \frac { \partial p } { \partial y } \bigg )
\begin{array} { r l } { | \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( ( 1 + e ^ { i \varphi _ { _ 0 } } ) | \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle B } + ( 1 - e ^ { i \varphi _ { _ 0 } } ) | \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle A B } ) , } \\ { | \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle B } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \vert \omega _ { s } \rangle _ { a } \vert \omega _ { i } \rangle _ { a } + \vert \omega _ { s } \rangle _ { b } \vert \omega _ { i } \rangle _ { b } \right) , } \\ { | \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle A B } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \vert \omega _ { s } \rangle _ { a } \vert \omega _ { i } \rangle _ { b } + \vert \omega _ { s } \rangle _ { b } \vert \omega _ { i } \rangle _ { a } \right) , } \end{array}
\phi ( y ) = { \frac { 1 } { \beta } } \ln [ { - ( \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } k _ { i } \, | y - y _ { i } | + k _ { c } \, y ) + c } ] \, , \ \ \ \ \ A ( y ) = { \frac { 1 } { 6 \, \beta } } \phi ( y ) + h \, ,
\begin{array} { r l } { \Psi _ { i j } ( x ) : = \bigl | f \bigl ( \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } , \beta x \bigr ) - f \bigl ( \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } , \beta x \bigr ) \bigr | } & { \leq \operatorname* { m i n } \Bigl ( \frac { 2 \bigl | \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } - \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } \bigr | } { 1 - | \operatorname { t a n h } ( \beta x ) | } , 2 \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ( \widehat { L } ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } T \rho ( T | \widehat { L } ) \; d T \quad \mathrm { w i t h } \quad v ( \widehat { L } _ { a } ) = 0 \ , \ v ( \widehat { L } _ { b } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { | [ \alpha ] | = \frac { M ! } { \alpha ! } \le \frac { M ! } { \alpha _ { T } ! \alpha _ { E } ! } = \frac { M ! } { ( M - k ) ! k ! } \frac { k ! } { \alpha _ { T } ! } \frac { ( M - k ) ! } { \alpha _ { E } ! } = \binom { M } { k } | [ \alpha _ { T } ] | | [ \alpha _ { E } ] | \le 2 ^ { M } | [ \alpha _ { T } ] | | [ \alpha _ { E } ] | . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { { \cal J } _ { L \mu } ^ { i j } } } & { { = } } & { { \mathrm { T r } v _ { \mu } \bar { B } _ { v } \left[ \xi ^ { \dag } h _ { i j } \xi , B _ { v } \right] - 2 D \mathrm { T r } \bar { B } _ { v } S _ { v \mu } \left\{ \xi ^ { \dag } h _ { i j } \xi , B _ { v } \right\} } } \\ { { } } & { { } } & { { - 2 F \mathrm { T r } \bar { B } _ { v } S _ { v \mu } \left[ \xi ^ { \dag } h _ { i j } \xi , B _ { v } \right] } } \\ { { } } & { { } } & { { - v _ { \mu } \bar { T } _ { v } ^ { \nu } \left( \xi ^ { \dag } h _ { i j } \xi \right) T _ { v \nu } - 2 { \cal H } \bar { T } _ { v } ^ { \nu } S _ { v \mu } \left( \xi ^ { \dag } h _ { i j } \xi \right) T _ { v \nu } } } \\ { { } } & { { } } & { { - 2 { \cal C } \left( \bar { T } _ { v \mu } \left( \xi ^ { \dag } h _ { i j } \xi \right) B _ { v } + \bar { B } _ { v } \left( \xi ^ { \dag } h _ { i j } \xi \right) T _ { v \mu } \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { + i f _ { \pi } ^ { 2 } \mathrm { T r } \left( h _ { i j } ( \partial _ { \mu } \Sigma ) \Sigma ^ { \dag } \right) , } } \end{array}