harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \delta { \sf S } } & { { } = } & { ( e / c ) \, { \bf A } ^ { * } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf X } \; + \; J \, \delta \Theta \; - \; W ^ { * } \; \delta t , } \\ { \delta \Phi } & { { } = } & { { \bf E } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf X } \; - \; c ^ { - 1 } \partial \delta \varphi / \partial t , } \\ { \delta { \bf A } } & { { } = } & { { \bf E } \; c \, \delta t \; + \; \delta { \bf X } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf B } \; + \; \nabla \delta \varphi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { j } } & { { } = 1 - ( \tau _ { r _ { j - 1 } } + \Delta t _ { j } ) ^ { c _ { 1 } } \exp ( c _ { 0 } + \frac { c _ { 2 } } { R T _ { j } } ) } \\ { \tau _ { r _ { j - 1 } } } & { { } = ( 1 - r _ { j - 1 } ) ^ { - 1 / c _ { 1 } } \exp ( - \frac { 1 } { R T _ { j } } \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } + \frac { c _ { 0 } } { c _ { 1 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { L } _ { j A } } & { = \sqrt { g J } \, \hat { c } _ { j , A } ^ { \dagger } , \qquad \hat { L } _ { j B } = \sqrt { g J } \, \hat { c } _ { j , B } , } \\ { \hat { L } _ { j C } } & { = \sqrt { g J } \, \hat { c } _ { j , C } , \qquad \hat { L } _ { j D } = \sqrt { g J } \, \hat { c } _ { j , D } ^ { \dagger } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } { \langle \Delta \psi \rangle } / 2 \pi = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { N + 1 } { 3 N } = \frac { 1 } { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp \Bigg \{ \int _ { - \infty } ^ { c } \left( q ( t ; \alpha , \kappa ) + 2 t + \frac { 2 \alpha } { t } \right) d t + \mathrm { P . V . } \int _ { c } ^ { d } q ( t ; \alpha , \kappa ) \, d t + \int _ { d } ^ { + \infty } q ( t ; \alpha , \kappa ) \, d t \Bigg \} } \\ & { \qquad = \frac { ( - 1 ) ^ { N _ { + } - N _ { - } } \sqrt { \pi } e ^ { - c ^ { 2 } } | c | ^ { - 2 \alpha } 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } + \alpha } } { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } + \alpha ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P S F } ( \mathbf { o _ { p } } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { s p p } } & { { } u _ { k } \cdot \sigma ( | ( \mathbf { o _ { p } } - \mathbf { o _ { k } } ) \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { x } | / L ) } \end{array}
V _ { i } = \frac { ( \lambda _ { 1 } + \phi _ { 0 } ) V _ { 1 } - ( \lambda _ { 2 } + \phi _ { 0 } ) V _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } + \frac { ( \lambda _ { 1 } + \phi _ { 0 } ) ( \lambda _ { 2 } + \phi _ { 0 } ) ( V _ { 1 } - V _ { 2 } ) } { ( \lambda _ { i } + \phi _ { 0 } ) ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } ) } + V _ { i } ^ { ( 0 ) }
\begin{array} { r l } { P ( a + b = 2 ) } & { { } = \epsilon _ { l } \epsilon _ { r } \, , } \\ { P ( a + b = 1 ) } & { { } = \epsilon _ { l } ( 1 - \epsilon _ { r } ) + ( 1 - \epsilon _ { l } ) \epsilon _ { r } = \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } - 2 \epsilon _ { l } \epsilon _ { r } \, , } \\ { P ( a + b = 0 ) } & { { } = ( 1 - \epsilon _ { l } ) ( 1 - \epsilon _ { r } ) \, . } \end{array}
p _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { 2 } } \approx \frac { Z _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { 2 } } } { Z _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { 0 } } + Z _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { 2 } } } = \frac { w \, [ D ] _ { \mathrm { f , A T P } } ^ { 2 } / K _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } } { 1 + w \, [ D ] _ { \mathrm { f , A T P } } ^ { 2 } / K _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } } = \frac { [ D ] _ { \mathrm { f , A T P } } ^ { 2 } } { \left( \frac { K _ { \mathrm { D } } } { \sqrt { w } } \right) ^ { 2 } + [ D ] _ { \mathrm { f , A T P } } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { V \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } D _ { i } \exp \left[ a _ { i } \left( x _ { 1 } - X _ { i } \right) ^ { 2 } + b _ { i } \left( x _ { 1 } - X _ { i } \right) \left( x _ { 2 } - Y _ { i } \right) + c _ { i } \left( x _ { 2 } - Y _ { i } \right) ^ { 2 } \right] + \gamma \sin \left( 2 k \pi x _ { 1 } \right) \sin \left( 2 k \pi x _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { \textup { K o l } } \left( \mathbf { F } , \mathbf { N } \right) \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { O } ( 2 ^ { - \frac { J } { 6 } } ) } & { \ \textup { f o r } \ A ( r ) = r ^ { \nu } \ \textup { w i t h } \ \nu \in 2 \mathbb { N } , } \\ { \mathcal { O } ( J ^ { - \frac { \nu } { 6 } - \frac { 1 } { 1 2 } + \varepsilon } ) } & { \ \textup { f o r } \ A ( r ) = r ^ { \nu } \ \textup { w i t h } \ \nu \in ( 0 , \infty ) \setminus 2 \mathbb { N } , } \\ { \mathcal { O } ( J ^ { - \frac { 1 } { 1 2 } } ) } & { \ \textup { f o r } \ A ( r ) = \ln ( r ) } \end{array} \right. } \end{array}
L _ { r } = \left( \begin{array} { l l l l } { - ( n - 1 ) } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { 1 } & { - ( n - 1 ) } & { \cdots } & { 1 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { - ( n - 1 ) } \end{array} \right)
\theta _ { i n } ( z ) = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \int _ { 0 } ^ { z } \left( \cosh { \left( \sqrt { \frac { R a } { P r } } \ \frac { z ^ { \prime } } { 4 } \right) } \right) ^ { - 2 P r } d z ^ { \prime } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \cosh { \left( \sqrt { \frac { R a } { P r } } \ \frac { z ^ { \prime } } { 4 } \right) } \right) ^ { - 2 P r } d z ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { M _ { n } ( d ) } & { = \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { ( - t _ { d } ) ^ { k } } { k ! } \left( \sum _ { V \in \pi } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { f _ { l + 1 } ( | V | ) } { d ^ { l } } \right) ^ { k } \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) } \\ & { = \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { ( - t _ { d } ) ^ { k } } { k ! } \prod _ { j = 1 } ^ { k } \left( \sum _ { V \in \pi } \sum _ { l _ { j } = 1 } ^ { \infty } \frac { f _ { l _ { j } + 1 } ( | V | ) } { d ^ { l _ { j } } } \right) \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { ( - t _ { d } ) ^ { k } } { k ! } \sum _ { l _ { 1 } , \dots , l _ { k } = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { d ^ { l _ { 1 } + \cdots + l _ { k } } } \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \left( \sum _ { V \in \pi } f _ { l _ { 1 } + 1 } ( | V | ) \right) \cdots \left( \sum _ { V \in \pi } f _ { l _ { k } + 1 } ( | V | ) \right) \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ S ~ M ~ } } = \frac { e } { \sin \theta _ { W } \cos \theta _ { W } } Z _ { \mu } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \bar { l } _ { \alpha } \gamma ^ { \mu } P _ { L } l _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \bar { \nu } _ { \alpha } \gamma ^ { \mu } P _ { L } \nu _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \bar { u } \gamma ^ { \mu } P _ { L } u - \frac { 1 } { 2 } \bar { d } \gamma ^ { \mu } P _ { L } d \right] \; ,
| \, \overline { { u ^ { \textnormal { L , c r e s t } } } } \, | - | \, \overline { { u ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } } } \, | = c \bigg ( 1 - \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } \bigg ) \epsilon ^ { 2 } > 0 .
\Theta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \boldsymbol { k } } ^ { ( \mathrm { 2 p h } ) } = - \frac { 2 \pi } { \hbar } \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { \alpha _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { \alpha _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { \boldsymbol { q } + \boldsymbol { p } = \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } } \sum _ { \nu \mu } \tilde { \Theta } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } \nu , \boldsymbol { p } \mu } ^ { ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) }
\mathrm { R e } \left[ \ensuremath { \langle { 0 } \rvert } U ^ { \dag } ( \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { 0 } ) G _ { 0 \to 1 } U ( \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { 1 } ) \ensuremath { \lvert { 0 } \rangle } \right] = : \omega _ { \mathcal { C } }
\begin{array} { r l } { \psi ( r , \phi , z ) = } & { { } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { p ! } { ( p + | m | ) ! } } \frac { 1 } { w } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w } \right) ^ { | m | } L _ { p } ^ { | m | } \left( 2 \left( \frac { r } { w } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
I ( x ) = \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \Delta _ { \perp } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } { \tilde { p } } ^ { x - 1 } { \tilde { q } } ^ { x - 1 } \left( s + s _ { p } { \tilde { p } } ^ { 3 - x } + s _ { q } { \tilde { q } } ^ { 3 - x } \right) \left( s + s _ { p } { \tilde { p } } ^ { - 2 x - 2 } + s _ { q } { \tilde { q } } ^ { - 2 x - 2 } \right)
f ( \kappa , J ) = - ( - 1 ) ^ { 2 J } \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \mathrm { T r } \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { t } \{ \kappa Q ( { \bf p } , J ) \} ^ { t }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\langle \hat { a } \right\rangle } & { = i ( \Delta _ { d } + i \kappa / 2 ) \left\langle \hat { a } \right\rangle - i \alpha _ { d } \sqrt { \kappa _ { 1 } } - i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \left( \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle e ^ { i \omega _ { z } t } + \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { - } \right\rangle e ^ { - i \omega _ { z } t } \right) \left\langle \hat { a } \right\rangle , } \\ { \frac { d } { d t } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle } & { = i \left( \alpha _ { d } ^ { * } \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left\langle \hat { a } \right\rangle - \alpha _ { d } \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \right\rangle \right) - \kappa \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \alpha } ( 1 ) } & { { } = N _ { \alpha } \int \mathrm { d } ( 2 3 \ldots ) \rho ( 1 2 \ldots ) \, , } \\ { f _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) } & { { } = N _ { \alpha } ( N _ { \beta } - \delta _ { \alpha \beta } ) \int \mathrm { d } ( 3 4 \ldots ) \rho ( 1 2 \ldots ) \, , } \\ { f _ { \alpha \beta \gamma } ( 1 2 3 ) } & { { } = N _ { \alpha } ( N _ { \beta } - \delta _ { \alpha \beta } ) ( N _ { \gamma } - \delta _ { \alpha \gamma } - \delta _ { \beta \gamma } ) \int \mathrm { d } ( 4 5 \ldots ) \rho ( 1 2 \ldots ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { l , r } } { \partial t } } & { = - \frac { i } { \hbar } J ( \rho _ { l + 1 , r } + \rho _ { l - 1 , r } - \rho _ { l , r + 1 } - \rho _ { l , r - 1 } ) } \\ & { - \frac { i } { 2 \hbar } \sum _ { n } [ ( \beta _ { l n } + \beta _ { n l } ) \rho _ { n , r } - ( \beta _ { n r } + \beta _ { r n } ) \rho _ { l , n } ] . } \end{array}
| { \frac { \partial L _ { \nu _ { \alpha } } } { \partial T } } | \stackrel { < } { \sim } | { \frac { \Gamma _ { \nu _ { \alpha } } ^ { 2 } } { 2 } } { \frac { d t } { d T } } { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } G _ { F } n _ { \gamma } } } | \simeq { \frac { y _ { \alpha } ^ { 2 } M _ { P } G _ { F } ^ { 3 } 4 . 1 T ^ { 4 } } { 2 2 \sqrt { 2 } } } \simeq 4 \times 1 0 ^ { - 1 1 } \left( { \frac { T } { \mathrm { M e V } } } \right) ^ { 4 } { \frac { 1 } { \mathrm { M e V , } } }
\mathcal { U } ( 0 , x ) : = \mathcal { U } _ { 0 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 0 } ( x ) = 1 . 0 \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ \, ~ x ~ \leq ~ 0 ~ . ~ 5 ~ , ~ } \quad \rho _ { 0 } ( x ) = 0 . 1 2 5 \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \\ { u _ { 0 } ( x ) = 0 . 5 \quad \forall x } \\ { p _ { 0 } ( x ) = 1 . 0 \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ \, ~ x ~ \leq ~ 0 ~ . ~ 5 ~ , ~ } \quad p _ { 0 } ( x ) = 0 . 1 \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { \bf { H } } ( \hat { \bf { q } } , \hat { \bf { p } } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \hat { \bf { p } } ^ { \intercal } \hat { \bf { p } } + \frac { 1 } { 2 } \hat { \bf { q } } ^ { \intercal } \boldsymbol { K } \hat { \bf { q } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \hat { \bf { q } } ^ { \intercal } \boldsymbol { Y } \hat { \bf { p } } + \hat { \bf { p } } ^ { \intercal } \boldsymbol { Y } \hat { \bf { q } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { + } ) \quad \vec { n } ( t ) \mapsto } & { \vec { n } ( t + d t ) : = \frac { \overline { { \vec { n } } } ( t + d t ) } { | \overline { { \vec { n } } } ( t + d t ) | } \quad \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } 1 - \mathcal { O } ( \alpha ) \, d t \, , } \\ { { - } ) \quad \vec { n } ( t ) \mapsto } & { \vec { n } ( t + d t ) : = \mathbf { - } \, \frac { \overline { { \vec { n } } } ( t + d t ) } { | \overline { { \vec { n } } } ( t + d t ) | } \quad \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } \mathcal { O } ( \alpha ) \, d t \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { + } ( t , z ) + W _ { - } ( t , z ) } & { = \frac { \omega _ { 0 } } { 2 \pi } \sum _ { l \in \mathbb { Z } } \bigg [ e ^ { i l \omega _ { 0 } t _ { 0 } ( z ) } + e ^ { - i l \omega _ { 0 } t _ { 0 } ( z ) } \bigg ] e ^ { i m \omega _ { 0 } t } , } \\ & { = \frac { \omega _ { 0 } } { \pi } \sum _ { l \in \mathbb { Z } } \cos ( l \omega _ { 0 } t _ { 0 } ( z ) ) e ^ { i l \omega _ { 0 } t } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \frac { \partial u } { \partial t } } & { = r _ { u } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } - u v ^ { 2 } + f ( 1 - u ) , } & { ( x , t ) } & { \in [ - L , L ] \times [ 0 , T ] } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } } & { = r _ { v } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + u v ^ { 2 } - ( f + k ) v , } & { ( x , t ) } & { \in [ - L , L ] \times [ 0 , T ] } \\ { u ( x , 0 ) } & { = 1 - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } ( \pi \frac { x - L } { 2 L } ) , } & { x } & { \in [ - L , L ] } \\ { v ( x , 0 ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \sin ^ { 2 } ( \pi \frac { x - L } { 2 L } ) , } & { x } & { \in [ - L , L ] } \\ { u ( x , t ) } & { = u ( x + 2 L , t ) , } & { ( x , t ) } & { \in \mathbb { R } \times [ 0 , T ] } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } & { \left| Z _ { ( \frac { 2 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 } ] } ^ { 1 ( 2 ) } \right| + \big | A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \cap ( 1 + 2 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \big | + \left| Z _ { ( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 } ] , G } \right| + \big | A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \cap ( 2 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \big | \leqslant \frac { n } { 4 } + 4 . } \end{array}
\omega _ { r } ^ { 2 } = \omega _ { B A E } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { \omega _ { A } ^ { 2 } } { \omega _ { B A E } ^ { 2 } } \left( k _ { \parallel n 0 } ^ { 2 } q _ { m i n } ^ { 2 } R _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { n } { \left| k _ { \parallel n 0 } q _ { m i n } R _ { 0 } \right| } \frac { \left( \delta { \hat { W } } _ { n f } + \mathrm { R e } ( \delta { \hat { W } } _ { n k } ( \omega _ { r } ) ) \right) ^ { 2 } } { S ^ { 2 } } \right) \right] ,
\frac { B } 2 [ ( \gamma \zeta ) \gamma _ { x } + \gamma ( \gamma \zeta ) _ { x } ] - \frac { B ^ { 2 } } { 4 } ( \gamma \sigma ) ( \gamma \sigma ) _ { x } + \lambda \frac { B } { 2 } [ ( \gamma \sigma ) \gamma _ { x } + \gamma ( \gamma \sigma ) _ { x } ] + ( A - \lambda ^ { 2 } ) \gamma \gamma _ { x } + \kappa \gamma \gamma _ { x x x } = 0 \, .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } ( \Omega _ { 1 } + i \Omega _ { 2 } ) = - \phi \Omega _ { 3 } ( \Omega _ { 1 } + i \Omega _ { 2 } ) + i \frac { b } { I _ { 2 } } K _ { 3 } ; } \\ { \frac { d } { d t } ( K _ { 1 } + i K _ { 2 } ) = - i \Omega _ { 3 } ( K _ { 1 } + i K _ { 2 } ) + i ( \Omega _ { 1 } + i \Omega _ { 2 } ) K _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu } & { { } = d \psi ( z ) , } \\ { B } & { { } = a ( z ) \partial _ { \theta _ { 1 } } + b ( z ) \partial _ { \theta _ { 2 } } , } \\ { u } & { { } = c ( z ) \partial _ { \theta _ { 1 } } + d ( z ) \partial _ { \theta _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { i + 1 } } & { = f _ { 9 } ( c _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { > \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 1 0 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } - \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } \cdot \left( 1 + \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } \right) - ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } - ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { > \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } - \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { \mathrm { c } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \, \sum _ { n } ^ { \varepsilon _ { n } > 0 } \ensuremath { \langle \psi _ { i } \psi _ { n } | } { R } _ { \mathrm { c } } \ensuremath { | \psi _ { n } \psi _ { k } \rangle } - \sum _ { n } ^ { \varepsilon _ { n } < 0 } \ensuremath { \langle \psi _ { i } \psi _ { n } | } { R } _ { \mathrm { c } } \ensuremath { | \psi _ { n } \psi _ { k } \rangle } \right] \, . } \end{array}
\boldsymbol f ( \overline { { \boldsymbol X } } _ { t } ) = \left\{ \begin{array} { c l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \boldsymbol r \leq \boldsymbol d } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \boldsymbol r > \boldsymbol d } \end{array} \right.
{ \frac { \partial S _ { 0 } } { \partial \Omega _ { p + 1 } } } = - { \frac { B } { 2 \Omega _ { p + 1 } \, ( p + 1 ) ! } } \left( \, \sigma _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p + 1 } } - \sigma _ { 0 ) \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p + 1 } } \right) ^ { 2 } - \frac { m _ { p + 1 } } { 2 } \, p \, \Omega _ { p + 1 } \,
\boldsymbol { \phi } _ { L } ( \boldsymbol { x } ) = \left[ \phi _ { 1 } ^ { L } ( \boldsymbol { x } ) , . . . \phi _ { N _ { L } } ^ { L } ( \boldsymbol { x } ) , p _ { 1 } ^ { L } ( \boldsymbol { x } ) , . . . p _ { N _ { L } ^ { P } } ^ { L } ( \boldsymbol { x } ) \right] ^ { T }
\frac { 4 } { 3 } r _ { y , y ^ { \prime } } - | \delta _ { y , y ^ { \prime } } ( y ^ { * } ) - \delta _ { y , y ^ { \prime } } ( y ^ { \prime } ) | > \frac { 4 } { 3 } r _ { y , y ^ { \prime } } - r _ { y , y ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 3 } r _ { y , y ^ { \prime } } > 0 \Rightarrow \bar { \delta } _ { y , y ^ { \prime } } ( y ^ { * } ) > \frac { 1 } { 3 } r _ { y , y ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \left( \rho _ { \mathrm { 0 } } h \right) } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho _ { \mathrm { 0 } } h \mathbf { U } \right) = } & { { } - \nabla \cdot \left[ \rho _ { \mathrm { 0 } } h _ { \mathrm { l } } \phi \left( \mathbf { u } - \mathbf { U } \right) \right] - \frac { \Delta v _ { \mathrm { l } } } { v _ { \mathrm { 0 } } } \rho _ { \mathrm { 0 } } { g } \phi { u _ { r } } + \nabla \cdot \left( k \nabla T \right) } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { j } } & { { = } } & { { \epsilon ^ { a b c } u ^ { a } C \sigma _ { \mu \nu } u ^ { b } \sigma ^ { \mu \nu } \gamma _ { 5 } d ^ { c } } } \\ { { } } & { { = } } & { { 4 \epsilon ^ { a b c } ( u ^ { a } C \gamma _ { 5 } d ^ { b } u ^ { c } + u ^ { a } C d ^ { b } \gamma _ { 5 } u ^ { c } ) . } } \end{array}
N = a T v \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \frac { 3 } { 5 } \epsilon \sin \theta / N _ { \nu } } } \\ { { 0 } } & { { - \sin \theta / N _ { \nu ^ { c } } } } & { { - ( 1 + \frac { 3 } { 5 } \epsilon ) \cos \theta / N _ { \nu ^ { c } } N _ { \nu } , } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 1 2 8 } \psi _ { I } } & { = \frac { \theta _ { 3 } ^ { 4 } + \theta _ { 4 } ^ { 4 } } { \theta _ { 2 } ^ { 8 } } + \frac { \theta _ { 4 } ^ { 4 } - \theta _ { 2 } ^ { 4 } } { \theta _ { 3 } ^ { 8 } } = \frac { 1 } { \theta _ { 3 } ^ { 4 } } \cdot \frac { \theta _ { 3 } ^ { 8 } + \theta _ { 3 } ^ { 4 } \theta _ { 4 } ^ { 4 } } { \theta _ { 2 } ^ { 8 } } + \frac { 1 } { \theta _ { 3 } ^ { 4 } } \cdot \frac { \theta _ { 4 } ^ { 4 } - \theta _ { 2 } ^ { 4 } } { \theta _ { 3 } ^ { 4 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \theta _ { 3 } ^ { 4 } } \left( \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \lambda } \cdot \frac { 1 - \lambda } { \lambda } + ( 1 - \lambda ) - \lambda \right) = \frac { 1 } { \theta _ { 3 } ^ { 4 } } \frac { ( 1 - \lambda ) ( 2 + \lambda + 2 \lambda ^ { 2 } ) } { \lambda ^ { 2 } } . } \end{array}
\varphi _ { X } ( t ) = \langle e ^ { i t X } \rangle = \int _ { \mathbf { R } } e ^ { i t x } p ( x ) \, d x = { \overline { { \left( \int _ { \mathbf { R } } e ^ { - i t x } p ( x ) \, d x \right) } } } = { \overline { { P ( t ) } } } ,
\begin{array} { r l } { \dot { \xi } _ { j } } & { = \nu _ { j } } \\ { \tau _ { j } \dot { \nu } _ { j } } & { = - \nu _ { j } - \kappa _ { j } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \left( \Lambda _ { j , \ell } \xi _ { \ell } - A _ { \ell , j } \epsilon _ { \ell } \right) , } \\ { \tau _ { j } \dot { \epsilon } _ { j } } & { = - \epsilon _ { j } + \chi _ { j } E _ { j } ^ { \circ } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \left( H _ { j , \ell } \epsilon _ { \ell } + A _ { j , \ell } \xi _ { \ell } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | K _ { \nu } ( x , y ) \big | } & { { } = \Big | \int _ { 1 } ^ { \infty } t ^ { - \nu - 1 } e ^ { - x t - y / t } d t \Big | \le \Big | \int _ { 1 } ^ { \infty } t ^ { - \nu - 1 } e ^ { - x t } d t \Big | = \big | x ^ { - \nu } \Gamma ( - \nu , x ) \big | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } ^ { 2 } - c ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } ) ( \vec { a } - \vec { a } _ { D C } ) } & { { } = - \omega _ { p } ^ { 2 } \frac { n } { \gamma \cos \alpha } ( \vec { a } - \vec { a } _ { D C } ) , } \\ { n / \gamma } & { { } \approx 1 + \delta n - ( \vec { a } - \vec { a } _ { D C } ) ^ { 2 } / 2 , } \\ { \partial _ { t } ^ { 2 } \delta n } & { { } = - \frac { c ^ { 2 } } { 2 \gamma ^ { 2 } } \nabla ^ { 2 } ( \vec { a } - \vec { a } _ { D C } ) ^ { 2 } , } \\ { \gamma ^ { 2 } } & { { } = 1 + ( \vec { a } - \vec { a } _ { D C } ) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal A } _ { 0 1 2 3 } = + A ^ { 3 } N B ^ { - 1 } D ^ { - 1 } ( y ) \ , \ \ \ \ \ \ \ \ { \cal F } _ { 0 1 2 3 y } = - A ^ { 3 } N B ^ { - 1 } D ^ { - 2 } ( y ) D ^ { \prime } ( y ) \ .
C _ { A } = \frac { e } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { g ^ { 2 } } { 4 M _ { H } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } \left( m _ { \mu } + m _ { e } \right) m _ { \mu } ^ { 2 } m _ { e } \left[ \ln \frac { M _ { H } ^ { 2 } } { m _ { \mu } ^ { 2 } } - \frac { 4 } { 3 } \right] \left( { \sf A } _ { L } ^ { \dag } { \sf A } _ { L } \right) _ { 1 2 }
\begin{array} { r } { D _ { i } \equiv \left| \begin{array} { l l l l l } { \Tilde { Q } _ { 1 } } & { R _ { 1 } } & { } & { } & { } \\ { P _ { 2 } } & { \Tilde { Q } _ { 2 } } & { } & { } & { } \end{array} \right| , } \end{array}
= - 2 \pi \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \rho \Big ( \frac { \partial \psi } { \partial \rho } \frac { \partial \rho } { \partial s } + \frac { \partial \psi } { \partial z } \frac { \partial z } { \partial s } \Big ) d s = 2 \pi \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \rho ^ { 2 } \Big ( - u _ { z } \frac { \partial \rho } { \partial s } + u _ { \rho } \frac { \partial z } { \partial s } \Big ) d s
N ( x ) = \frac { - 1 } { \sqrt { \Lambda } } [ 1 + A ( t ) \sin ( \phi _ { \xi } ^ { \theta } ) \cos ( \phi _ { \xi } ^ { \varphi } ) + B ( t ) \sin ( \phi _ { \xi } ^ { \theta } ) \sin ( \phi _ { \xi } ^ { \varphi } ) + C ( t ) \cos ( \phi _ { \xi } ^ { \theta } ) ] .