harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { 2 M _ { H _ { Q } } } \langle H _ { Q } ( P ) | \, \bar { Q } \gamma _ { \mu } q ( 0 ) \, | k ( \vec { p } _ { k } ) \rangle \langle k ( \vec { p } _ { k } ) | \, \bar { q } \gamma _ { \nu } Q ( 0 ) \, | H _ { Q } ( P ) \rangle \; .
\begin{array} { r l r } { T _ { \mathrm { a c c } } ( x ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \widetilde { Z } ( x , s ) = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { 1 } { s } \left[ 1 - \frac { s \widetilde { u } ( x , s ) } { u ^ { * } ( x ) } \right] } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { u ^ { * } ( x ) } \left. \frac { d } { d s } [ s \widetilde { u } ( x , s ) ] \right| _ { s = 0 } . } \end{array}
\bar { \sigma } _ { j } ^ { \ddag } \cdot r _ { R } = \left( \sigma _ { j } ^ { \ddag } \sigma \right) \cdot r _ { R } = \sigma _ { j } ^ { \ddag } \cdot \left( g \cdot r _ { R } \right) = g \cdot \left( \sigma _ { j } ^ { \ddag } \cdot r _ { R } \right)
\vartheta ^ { \alpha } = - { \frac { 1 } { t ^ { 2 } } } \left( T \, \eta ^ { \alpha \beta } \, t _ { \beta } + \ast T \, t ^ { \alpha } \right) = - { \frac { 1 } { t ^ { 2 } } } \left( T \, t ^ { \star \alpha } + \ast T \, t ^ { \alpha } \right) .
g ( \mu _ { m } ) = \eta _ { m } = \beta _ { m , 0 } + X _ { 1 } \beta _ { m , 1 } + \cdots + X _ { p } \beta _ { m , p } { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \mu _ { m } = \mathrm { P } ( Y = m \mid Y \in \{ 1 , m \} ) .
\mathbb { P } \left\{ \textbf { Z } _ { 1 } \leq \textbf { a } _ { m } ( \textbf { x } ) \right\} ^ { m } \underset { n \rightarrow \infty } { \longrightarrow } H ( \textbf { x } ) , \quad \Longleftrightarrow \quad m \left( 1 - \mathbb { P } \left\{ Z _ { 1 } \leq \textbf { a } _ { m } ( \textbf { x } ) \right\} \right) \underset { n \rightarrow \infty } { \longrightarrow } - \ln ( H ( \textbf { x } ) ) .
R = \mathrm { { c o n s t } \times \frac { 1 } { P ( \ t a u _ { h } , \ t a u _ { t } ) } \times e ^ { - c ( \ t a u _ { h } - \ t a u _ { t } ) } \; \; \; \; \; ( a \leq \ t a u _ { t } < \ t a u _ { h } \leq b ) , }
\begin{array} { r l r } { \Psi [ \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] } & { \to } & { \Psi [ \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \delta \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] \approx \Psi [ \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] + \int d ^ { 3 } r \, \delta \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot \frac { \delta \Psi [ \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] } { \delta \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } = } \\ & { = } & { \left[ 1 + \int d ^ { 3 } r \, \delta \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot \frac { \delta } { \delta \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } \right] \Psi [ \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] = } \\ & { = } & { \left[ 1 - \frac { i } { \hbar } \epsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } r \, \delta \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot \mathrm { \bf ~ E } _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] \Psi [ \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { H } _ { 2 } + \hat { H } _ { 3 } = 2 v _ { 0 } \delta _ { n _ { 1 } + n _ { 2 } , m } \left\{ 2 B _ { 1 } ( \pi ) - { \frac { \pi } { 2 } } \, S c \, \left[ i \Delta n \, B _ { 3 } ( \pi ) + 2 B _ { 2 } ( \pi ) \right] \right. } \\ & { } & { + \left. { \frac { 4 } { 3 } } \, S c ^ { 2 } \left[ - { \frac { ( \Delta n ) ^ { 2 } } { 2 } } A _ { 1 } ( \pi ) + 2 I ( \pi ) + 2 i \, \Delta n \, A _ { 2 } ( \pi ) - i \, \Delta n \, A _ { 3 } ( \pi ) \right] \right. } \\ & { } & { \left. - 2 B _ { 1 } ( 4 \, S c ) + { \frac { \pi } { 2 } } S c \left[ i \, \Delta n \, B _ { 3 } ( 4 S c ) + 2 B _ { 2 } ( 4 S c ) \right] + O ( S c ^ { 3 } ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } \exp { ( - b e ^ { \beta t _ { e n d } } ( t - t _ { e n d } ) ) ) } d t } & { = \exp { ( b e ^ { \beta t _ { e n d } } t _ { e n d } ) } \frac { \exp { ( - b e ^ { \beta t _ { e n d } } t ) } } { - b e ^ { \beta t _ { e n d } } } \bigg | _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } } \\ & { = \frac { 1 } { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) } & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) } { 2 \pi s } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { \exp [ - i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) \lambda ( k ) } , } \\ & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) } { 2 \pi s } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \exp \left[ - i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) - \left( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \lambda \right) u \right] } \\ & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) } { s \sqrt { 2 \pi B \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d u } { \sqrt { u } } \, \exp \left[ - \left( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \right) u - \frac { \left( x - x _ { \mathrm { i } } - A \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } u \right) ^ { 2 } } { 2 B \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } u } \right] } \\ & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s \sqrt { \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 2 B \left( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \right) + A ^ { 2 } \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \right] } } \exp \left[ \frac { A } { B } \left( x - x _ { \mathrm { i } } - | x - x _ { \mathrm { i } } | \sqrt { 1 + \frac { 2 B \left( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \right) } { A ^ { 2 } \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \theta = 0 . 1 0 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } & { { m _ { H } = 1 . 3 7 G e V , } } \\ { { \theta = 0 . 0 8 6 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } & { { m _ { H } = 1 . 5 G e V , } } \\ { { \theta = 0 . 0 6 8 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } & { { m _ { H } = 1 . 7 1 G e V } } \end{array}
\Delta ( { \mathbf { u } } ) = \left( \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial u _ { 1 } } + \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial u _ { 2 } } \right) ^ { 2 } - 4 \left( \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial u _ { 1 } } \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial u _ { 2 } } - \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial u _ { 2 } } \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial u _ { 1 } } \right) = \left( \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial u _ { 1 } } - \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial u _ { 2 } } \right) ^ { 2 } + 4 \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial u _ { 2 } } \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial u _ { 1 } } \, .
\left\{ \begin{array} { r l r } & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } v _ { n } + \frac { \rho _ { 0 } ( \omega + n \Omega ) ^ { 2 } } { \kappa _ { 0 } } v _ { n } = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \left( 0 , L \right) \backslash D , } \\ & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } v _ { i , n } ^ { * } + \frac { \rho _ { \mathrm { r } } ( \omega + n \Omega ) ^ { 2 } } { \kappa _ { \mathrm { r } } } v _ { i , n } ^ { * * } = 0 } & { \mathrm { i n ~ } D _ { i } , } \\ & { \left. v _ { n } \right| _ { - } \left( x _ { i } ^ { \pm } \right) = \left. v _ { n } \right| _ { + } \left( x _ { i } ^ { \pm } \right) } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } 1 \leq i \leq N , } \\ & { \left. \frac { \mathrm { d } v _ { i , n } ^ { * } } { \mathrm { ~ d } x } \right| _ { + } \left( x _ { i } ^ { - } \right) = \left. \delta \frac { \mathrm { d } v _ { n } } { \mathrm { d } x } \right| _ { - } \left( x _ { i } ^ { - } \right) } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } 1 \leq i \leq N , } \\ & { \left. \frac { \mathrm { d } v _ { i , n } ^ { * } } { \mathrm { ~ d } x } \right| _ { - } \left( x _ { i } ^ { + } \right) = \left. \delta \frac { \mathrm { d } v _ { n } } { \mathrm { d } x } \right| _ { + } \left( x _ { i } ^ { + } \right) } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } 1 \leq i \leq N , } \end{array} \right.
\operatorname* { m i n } J _ { \perp } = \operatorname* { m a x } J _ { \perp } ^ { * } , \quad J _ { \perp } ^ { * } = h \langle p _ { \alpha } \bar { \varphi } _ { \alpha } - \frac { 1 } { 2 \mu } p _ { \alpha } p _ { \alpha } \rangle .
\frac { 1 } { \rho } \frac { \partial } { \partial \rho } ( \rho \frac { \partial } { \partial \rho } ) \hat { h } _ { \nu \mu } ( \rho ) + [ \epsilon _ { r } ( \rho ) k _ { \nu \mu } ^ { 2 } - \frac { m _ { \nu \mu } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } ] \hat { h } _ { \nu \mu } ( \rho ) = { \vec { 0 } }
x \int d ^ { d } k \int d ^ { d } l \; \delta \left( x - \frac { k n } { p n } \right) \delta ( p - k - l ) \delta ( l ^ { 2 } ) = \frac { \pi ^ { 1 - \epsilon } } { 2 \Gamma ( 1 - \epsilon ) } \int _ { 0 } ^ { Q ^ { 2 } } d | k ^ { 2 } | ( k _ { \perp } ^ { 2 } ) ^ { - \epsilon } \; ,
H ^ { 1 } ( d P _ { 9 } , { \cal O } _ { d P _ { 9 } } ( 6 \sigma | _ { d P _ { 9 } } - F ) ) = H ^ { 1 } ( { \cal S } , \pi _ { * } { \cal O } _ { d P _ { 9 } } ( 6 \sigma | _ { d P _ { 9 } } - F ) ) .
- \mathbb { E } \left[ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] \leq - \frac { 1 } { ( 1 + \sqrt { \eta _ { k } } R ^ { - 1 } ) ( 1 + \eta _ { k } K ) } \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] .
\begin{array} { r l r } { \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) ^ { 2 } \Big ( { \vec { k } } \cdot ( { \vec { n } } - { \vec { n } } _ { 0 } ) \Big ) } & { { } \simeq } & { \frac { R _ { \oplus } ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 4 \sin \alpha } { 1 + \cos 2 \alpha } \simeq \frac { R _ { \oplus } ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } 2 \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( t _ { n } + \tau ) } & { = \mathrm { e } ^ { i \tau A } w ( t _ { n } ) - \frac { i } { 4 } B \mathrm { e } ^ { i \tau A } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { i ( t _ { n } + s ) \partial _ { x } ^ { 2 } } ( g _ { 2 } ( w ( t _ { n } ) , s ) ) ^ { 2 } d s } \\ & { \quad - i B \mathrm { e } ^ { i \tau A } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { i ( t _ { n } + s ) \partial _ { x } ^ { 2 } } ( a t _ { n } + b ) g _ { 2 } ( w ( t _ { n } ) , s ) d s + \mathcal { R } _ { 0 } ( \tau ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { s a g i t t a l ~ p l a n e } { : } \quad } & { \frac { 1 } { s _ { \mathrm { o b } } } + \frac { 1 } { s _ { \mathrm { i m } } } = - 4 \, c _ { 2 0 } \cos ( \theta ) , } \\ { \mathrm { t a n g e n t i a l ~ p l a n e } { : } \quad } & { \frac { 1 } { t _ { \mathrm { o b } } } + \frac { 1 } { t _ { \mathrm { i m } } } = - 4 \, c _ { 0 2 } \sec ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \alpha } { d t } } & { { } = \frac { d \alpha } { d t } | _ { \parallel } \cos \theta + \frac { d \alpha } { d t } | _ { \perp } \sin \theta } \\ { \frac { d \phi } { d t } } & { { } = \frac { d \phi } { d t } | _ { \parallel } \cos \theta + \frac { d \phi } { d t } | _ { \perp } \sin \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { r } ( R ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq \rho \leq 1 } \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { Q } } [ E _ { 0 } ( \rho , \mathbf { Q } ) - \rho R ] , \mathrm { ~ w h e r e } } \\ { E _ { 0 } ( \rho , \mathbf { Q } ) } & { = - \ln \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } [ \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Q ( k ) W ( j | k ) ^ { 1 / ( 1 + \rho ) } ] ^ { 1 + \rho } , \mathrm { ~ a n d ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi ( \phi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { | \phi | > 2 \pi N _ { u } } \\ { 1 - | \phi | / 2 \pi N _ { u } } & { | \phi | \le 2 \pi N _ { u } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ^ { ( 2 ) } } & { { } = - [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] - [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] - [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \pmod 2 , } \\ { C ^ { ( 3 ) } } & { { } = - [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] - 2 [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] + 2 [ K _ { 1 } ^ { \prime ( 3 ) } ] + [ K _ { 2 } ^ { \prime ( 3 ) } ] \pmod 3 , } \\ { C ^ { ( 4 ) } } & { { } = 2 [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] + [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] - [ M _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ] - 2 [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \pmod 4 , } \\ { C ^ { ( 6 ) } } & { { } = - 8 [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] - 4 [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] + 3 [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \pmod 6 , } \end{array}
\Psi _ { 4 } ( t , r , \theta , \phi ) = - { \frac { 1 } { r { \sqrt { 2 } } } } \sum _ { l = 2 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \left[ { } ^ { ( l + 2 ) } I ^ { l m } ( t - r ) - i \ { } ^ { ( l + 2 ) } S ^ { l m } ( t - r ) \right] { } _ { - 2 } Y _ { l m } ( \theta , \phi ) \ .
\begin{array} { r l } { { { \gamma } _ { A B } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { V { I } } & { \sqrt { { { T } _ { 2 } } \left( { { V } ^ { 2 } } - 1 \right) } { { \sigma } _ { z } } } \\ { \sqrt { { { T } _ { 2 } } \left( { { V } ^ { 2 } } - 1 \right) } { { \sigma } _ { z } } } & { { { T } _ { 2 } } \left( V + { { \xi } _ { E } } \mathrm { ~ + ~ } { { \chi } _ { l i n e } } \right) { I } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { t } ( x ) } & { - U _ { t ^ { \prime } } ( x ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \int _ { t ^ { \prime } } ^ { T } \left( V \left( Z _ { s } ^ { t , x , u _ { n } ( s ) } \right) - V \left( Z _ { s } ^ { t ^ { \prime } , x , u _ { n } ( s ) } \right) \right) d s + S \left( Z _ { T } ^ { t , x , u _ { n } ( t ) } \right) - S \left( Z _ { T } ^ { t ^ { \prime } , x , u _ { n } ( t ) } \right) \right] } \\ & { ~ ~ + \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \int _ { t } ^ { t ^ { \prime } } \left( \frac { u _ { n } ^ { 2 } ( s ) } { 2 } + V \left( Z _ { s } ^ { t , x , u _ { n } ( s ) } \right) \right) d s \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \boldsymbol { H } _ { 1 } \right) _ { m ^ { \prime } m } = \iint u _ { \boldsymbol { k } m ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) * } ( \boldsymbol { r } ) \tilde { \varepsilon } ( \boldsymbol { r } ) u _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } ( \boldsymbol { r } ) d \boldsymbol { r } , } \\ & { \left( \boldsymbol { H } _ { 2 } \right) _ { m ^ { \prime } m } = \left( \frac { \omega _ { m } ^ { ( 0 ) } } { c } \right) ^ { 2 } \iint u _ { \boldsymbol { k } m ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) * } ( \boldsymbol { r } ) \varepsilon ( \boldsymbol { r } ) u _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } ( \boldsymbol { r } ) d \boldsymbol { r } . } \end{array}
E _ { q } ^ { h } + \left( E _ { q } ^ { h } - \sum a ^ { h f } \pi _ { P } ^ { f } \right) { \frac { d p } { d t } } = { \frac { d I ^ { h } } { d t } } + \left\{ \sum a ^ { h f } \pi _ { z } ^ { f } { \frac { d z ^ { f } } { d t } } - E _ { z } ^ { h } { \frac { d z ^ { h } } { d t } } \right\}
| - \frac { 1 } { 2 } \rangle = - \frac { 1 } { \sqrt { 6 ( 1 + 2 x ^ { 2 } ) } } [ ( 2 x + 2 ) | \downarrow \uparrow \downarrow \rangle + ( 2 x - 1 ) | \downarrow \downarrow \uparrow \rangle + ( 2 x - 1 ) | \uparrow \downarrow \downarrow \rangle ]
\mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) = u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } )
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { ( n ) } ( r _ { j } , z _ { j } ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } S _ { i } ^ { ( n ) } G ^ { ( n ) } ( r _ { j } , r _ { i } , z _ { j } - z _ { i } ) , \quad n = 0 , \ldots , N , \quad j = 1 , \ldots , N _ { f } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \mathrm { ~ N ~ o ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ m ~ a ~ d ~ e ~ } } & { { } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ \textbf ~ { ~ S ~ t ~ r ~ a ~ t ~ e ~ g ~ y ~ 1 ~ } ~ } \cap \mathrm { ~ S ~ u ~ c ~ c ~ e ~ s ~ s ~ w ~ i ~ t ~ h ~ \textbf ~ { ~ S ~ t ~ r ~ a ~ t ~ e ~ g ~ y ~ 2 ~ } ~ } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { \mathrm { T I V } } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) } \\ & { \propto \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t _ { 2 } R _ { \mathrm { T I V } } ^ { ( 2 ) } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \sin ( \omega _ { 1 } t _ { 1 } ) \sin ( \omega _ { 2 } t _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { 1 } \log | \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) | = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \log | \psi ( x _ { 1 } + \Delta x , x _ { 2 } ) | - \log | \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) | } { \Delta x } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta x \to 0 } \frac { \log | \psi ( x _ { 2 } , x _ { 1 } + \Delta x ) | - \log | \psi ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) | } { \Delta x } = \partial _ { 2 } \log | \psi ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) | . } \end{array}
\xi ^ { { \mathrm { v a l i d \ L C F A } } } \gtrsim \frac { \chi _ { e \, m a x } } { a _ { 0 } ^ { 3 } } = 6 1 \left( \frac { \sigma _ { 0 } } { r _ { e } } \right) ^ { 3 } \frac { \chi _ { e \, m a x } } { N _ { 0 } ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ( \eta ) = } & { \frac { R ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { b w } } ^ { 2 } \eta \, \vartheta ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } \left( \ln \frac { \eta _ { 0 } } { \eta } \right) ^ { \frac { 2 } { \vartheta ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } - 1 } } \\ & { \times \exp \left[ - \frac { R ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { b w } } ^ { 2 } } \left( \ln \frac { \eta _ { 0 } } { \eta } \right) ^ { \frac { 2 } { \vartheta ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { } & { \underset { ( x , y ) \sim \gamma ^ { * } } { \mathbf { E } } \Big [ f ^ { * } ( x ) - f ^ { * } ( y ) \Big ] = \underset { ( x , y ) \sim \gamma ^ { * } } { \mathbf { E } } | | x - y | | _ { 1 } } \\ { \Leftrightarrow } & { \underset { ( x , y ) \sim \gamma ^ { * } } { \mathbf { E } } \Big [ f ^ { * } ( x ) - f ^ { * } ( y ) \Big ] - \underset { ( x , y ) \sim \gamma ^ { * } } { \mathbf { E } } | | x - y | | _ { 1 } = 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { \underset { ( x , y ) \sim \gamma ^ { * } } { \mathbf { E } } \Big [ f ^ { * } ( x ) - f ^ { * } ( y ) - | | x - y | | _ { 1 } \Big ] = 0 } \end{array}
\boldsymbol { \hat { H } } _ { D } \boldsymbol { \psi } = \left( c \boldsymbol { \hat { \sigma } } \cdot \boldsymbol { \hat { p } } + m _ { 0 } c ^ { 2 } { \hat { \sigma } _ { z } } \right) \boldsymbol { \psi } = E \boldsymbol { \psi } , \, \boldsymbol { \psi } = \left( \begin{array} { l } { \psi _ { 1 } } \\ { \psi _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { n } ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \cosh ^ { \nu + 1 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) ~ { _ 2 F _ { 1 } } \left[ a _ { n } , b _ { n } ; \frac { 1 } { 2 } ; - \sinh ^ { 2 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) \right] , } & { \mathrm { f o r ~ e v e n ~ n ~ } , } \\ { \cosh ^ { \nu + 1 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) ~ \sinh \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) ~ { _ 2 F _ { 1 } } \left[ a _ { n } + \frac { 1 } { 2 } , b _ { n } + \frac { 1 } { 2 } ; \frac { 3 } { 2 } ; - \sinh ^ { 2 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) \right] , } & { \mathrm { f o r ~ o d d ~ n ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { \mathcal { A } } ( c ) = \underset { \lambda _ { l } , \lambda _ { i } , u _ { i } } { \textup { m a x } } \{ - d ^ { T } \lambda _ { l } + \sum _ { i \in [ m ] } b _ { i } ^ { T } u _ { i } - d _ { i } \lambda _ { i } \, | \, c - C ^ { T } \lambda _ { l } + \sum _ { i \in [ m ] } A _ { i } ^ { T } u _ { i } - c _ { i } \lambda _ { i } = 0 , \lambda _ { l } \geq 0 , \lambda _ { i } \geq \| u _ { i } \| , i \in [ m ] \} } \\ { \sigma _ { \mathcal { A } } ( c ) = \underset { \lambda _ { l } , \lambda _ { i } , u _ { i } } { \textup { m i n } } \{ d ^ { T } \lambda _ { l } - \sum _ { i \in [ m ] } b _ { i } ^ { T } u _ { i } + d _ { i } \lambda _ { i } \, | \, c + C ^ { T } \lambda _ { l } - \sum _ { i \in [ m ] } A _ { i } ^ { T } u _ { i } + c _ { i } \lambda _ { i } = 0 , \lambda _ { l } \geq 0 , \lambda _ { i } \geq \| u _ { i } \| , i \in [ m ] \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \theta } } & { \geq \frac { \theta \rho T + ( 1 - \theta ) } { \rho _ { \theta } } \geq \frac { ( C _ { 0 } e ^ { - \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t } ) ( C M _ { 0 } ^ { - \frac { 2 } { 3 } } e ^ { - \frac { 4 } { 3 } \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t } ) } { C _ { q } M _ { 0 } } \geq C _ { q } M _ { 0 } ^ { - \frac { 5 } { 3 } } e ^ { - \frac { 7 } { 3 } \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t } . } \end{array}
\frac { ( - i ) ^ { m + n } } { ( m + n - 1 ) ! } z ^ { m + n - 1 } \left\{ \frac { i } { 4 } \frac { 1 } { \lambda } ( 1 + 2 \lambda \ln ( z ) ) + \frac { i } { 2 } \ln ( z ) + \frac { \pi } { 2 } \epsilon ( z ) \right\} =
\begin{array} { r } { \frac { \left[ \left( \omega - u _ { j } k \right) ^ { 2 } / a _ { j } ^ { 2 } - k ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \rho _ { 0 } \omega ^ { 2 } } { \left( k ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } / a _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \rho _ { j } \left( \omega - u _ { j } k \right) ^ { 2 } } } \\ { - 1 / \tan \left\{ \left[ \frac { \left( \omega - u _ { j } k \right) ^ { 2 } } { a _ { j } ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } h / 2 \right\} = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { T } ( k , \tau ) } & { = } & { \frac { e ^ { \lambda k ^ { 2 } / 4 } } { 2 \pi \beta } \int _ { 0 } ^ { + \infty } r d r \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi H _ { Q \gamma } ^ { ( T ) } ( r \cos \phi , r \sin \phi ) e ^ { - i k r \cos ( \phi - \tau ) } } \\ & { = } & { \frac { e ^ { \lambda k ^ { 2 } / 4 } } { | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } | ^ { 2 q } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } r d r e ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } } } \Big [ \frac { r ^ { 2 q } } { ( 2 \lambda ) ^ { q } } J _ { 0 } ( k r ) - \frac { ( i r \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma - i \tau } ) ^ { q } } { ( 2 \lambda ) ^ { \frac { q } { 2 } } } J _ { - q } ( k r ) - \frac { ( - i r \alpha _ { 0 } ^ { * } e ^ { \gamma + i \tau } ) ^ { q } } { ( 2 \lambda ) ^ { \frac { q } { 2 } } } J _ { q } ( k r ) + | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } | ^ { 2 q } J _ { 0 } ( k r ) \Big ] } \\ & { = } & { \frac { \lambda e ^ { \frac { \lambda } { 4 } k ^ { 2 } } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 ( q + 1 ) } } { | \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } | ^ { 2 q } } \Big [ n ! { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 + q ; 1 ; - \frac { \lambda } { 2 } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) - \Big ( - i e ^ { - i \tau } \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } \sqrt { \frac { \lambda } { 2 } } \Big ) ^ { q } k ^ { q } { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 + q ; 1 + q ; - \frac { \lambda } { 2 } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) } \\ & { } & { - \Big ( - i e ^ { i \tau } \alpha _ { 0 } ^ { * } e ^ { \gamma } \sqrt { \frac { \lambda } { 2 } } \Big ) ^ { q } k ^ { q } { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 + q ; 1 + q ; - \frac { \lambda } { 2 } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) + \Big | \frac { \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } } { \sigma _ { \gamma } } \Big | ^ { 2 q } { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 ; 1 ; - \frac { \lambda } { 2 } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 0 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 0 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \end{array} \! \! \right) \! \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } } & { = \, 9 9 1 . 2 + 1 . 1 2 p r _ { x _ { 3 } } - 0 . 1 3 p r _ { x _ { 3 } } ^ { 2 . 2 } + 0 . 0 6 1 p r _ { x _ { 3 } } ^ { 1 . 5 } } \\ & { \, - \frac { 7 . 9 3 p r _ { x _ { 2 } } } { 1 + 0 . 0 9 3 6 p r _ { x _ { 3 } } - 0 . 0 0 1 7 p r _ { x _ { 3 } } ^ { 2 } - 0 . 0 0 2 3 p r _ { x _ { 3 } } p r _ { x _ { 2 } } } } \end{array}
r ( t ) = - \frac { 1 } { l _ { \mathrm { ~ r ~ w ~ d ~ } } \, n _ { \mathrm { ~ j ~ e ~ t ~ s ~ } } } \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { \mathrm { ~ j ~ e ~ t ~ s ~ } } - 1 } \sum _ { x \in A _ { \mathrm { ~ r ~ w ~ d ~ } } ^ { j } } ( h ( x , t ) - 1 ) ^ { 2 }