harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\nabla _ { r } ^ { 2 } \phi = - 4 \delta E ^ { 2 } \frac { \phi ^ { 8 \delta - 1 } } { \Lambda ^ { 8 \delta } \left( 1 + \frac { \phi ^ { 8 \delta } } { \Lambda ^ { 8 \delta } } \right) ^ { 2 } } + m ^ { 2 } \phi .
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { C } ( \omega ) } & { = } & { 2 \pi \int d q \, \delta ( \omega - \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } ) \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { C } \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { I } } = 2 \pi \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { C } \hat { e } _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { \mathrm { I } } \rho _ { { \bf k } } ( \omega ) , } \\ { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { X } ( \omega ) } & { = } & { 2 \pi \int d q \, \delta ( \omega - \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } ) \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { X } \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { I } } = 2 \pi \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { X } \hat { e } _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { \mathrm { I } } \rho _ { { \bf k } } ( \omega ) , } \end{array}
u _ { j , \alpha } ^ { ( \infty ) } ( n ) = \frac { P _ { j } ( - \hbar \tilde { \partial } _ { t } ) \tau ( n ) } { \tau ( n + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \alpha } \tau ( n ) ^ { \frac { 1 } { 2 } + \alpha } } ~ , ~ ~ u _ { j , \alpha } ^ { ( 0 ) } ( n ) = \frac { P _ { j } ( - \hbar \tilde { \partial } _ { \bar { t } } ) \tau ( n + 1 ) } { \tau ( n + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \alpha } \tau ( n ) ^ { \frac { 1 } { 2 } + \alpha } } ~ .
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { B } _ { j k } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { A } } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \Delta ( \mathbf { 1 } - \Delta ) } } \right] _ { k l } \langle \Psi _ { 0 } | \dag , a _ { l } ^ { \dagger } a _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \dag } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { A } } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \Delta ( \mathbf { 1 } - \Delta ) } } \right] _ { k l } [ f ( h ) ] _ { j l } \dag } & { = \left[ f ( h ) \frac { 1 } { \sqrt { ^ t \Delta ( \mathbf { 1 } - ^ { t } \Delta ) } } \right] _ { j k } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r } { P ^ { < } ( L , \tau | L _ { 0 } = 0 , \tau _ { 0 } = 0 ) = \frac { 2 ^ { - \frac { \gamma } { D } - \frac { 1 } { 2 } } ( D \tau ) ^ { - \frac { \gamma } { D } - \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - \frac { L ^ { 2 } } { 2 D \tau } } L ^ { \frac { 2 \gamma } { D } + 2 } } { \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } \right) } \ . } \end{array}
\phi ( E ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { R \delta \, N _ { 0 } \, E ^ { - \gamma - 1 } } } & { { E < E _ { 0 } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { R \delta \, N _ { 0 } ^ { \prime } \, E ^ { - \gamma ^ { \prime } - 1 } } } & { { E > E _ { 0 } } } \end{array} \right.
\frac { \partial { \bf { B } } } { \partial t } + ( { \bf { U } } \cdot \nabla ) { \bf { B } } = ( { \bf { B } } \cdot \nabla ) { \bf { U } } - ( \nabla \cdot { \bf { U } } ) { \bf { B } } + \nabla \times \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \times { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle + \eta \nabla ^ { 2 } { \bf { B } } .
\begin{array} { r } { \mathcal { Y } _ { j } ( z ) = \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { 2 i \sqrt { \epsilon _ { j } } \, k ( z - z _ { j - 1 } ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left( \mathcal { Y } _ { j } ( z _ { j - 1 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } + i \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \right) } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } - i \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { Y ^ { v , - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) | _ { x _ { 3 } = x _ { 3 , F } } = - \frac { 1 } { \omega \rho _ { 0 } } { \cal H } _ { 1 } ( { \bf x } _ { F } ) \delta ( { \bf x } _ { \mathrm { H } } - { \bf x } _ { \mathrm { H } , F } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 2 L } ( \beta _ { 2 } L ^ { 2 } + \beta _ { 5 } - \beta _ { 7 } ) } \\ { \beta _ { 4 } } & { = \frac { 1 } { 2 L } ( \beta _ { 2 } L ^ { 2 } - \beta _ { 5 } + \beta _ { 7 } ) } \\ { \beta _ { 6 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \beta _ { 2 } L ^ { 2 } - \beta _ { 5 } - \beta _ { 7 } ) } \end{array}
\alpha ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t - 1 } , y _ { J } ) = 1 \wedge \left\{ \frac { w ( y _ { J } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t - 1 } ) + \sum _ { k = 1 , k \neq J } ^ { N } w ( y _ { k } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t - 1 } ) } { w ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t - 1 } | y _ { J } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } w ( x _ { k } | y _ { J } ) } \right\} .
b _ { 1 } ( B ) = \frac { \mathrm { i } \sigma _ { 1 } ^ { \pm } } { ( \xi _ { 1 } - 1 ) \xi _ { 1 } } + \frac { \mathrm { i } \sigma _ { 1 } ^ { \pm } a \log ( 2 B ) } { 2 ( \xi _ { 1 } - 1 ) \xi _ { 1 } B } + \frac { \mathrm { i } \sigma _ { 1 } ^ { \pm } ( 4 a ( \gamma _ { E } - 1 + \log ( 4 ) ) \xi _ { 1 } - 4 b \xi _ { 1 } - 5 \xi _ { 1 } + 2 ) } { 8 ( \xi _ { 1 } - 1 ) \xi _ { 1 } ^ { 2 } B } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { V I } ( \theta ) } & { \equiv \int q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \log p \big ( \boldsymbol { Y } | \boldsymbol { X } , \boldsymbol { \omega } \big ) d \boldsymbol { \omega } - K L \big ( q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \big | \big | p ( \boldsymbol { \omega } ) \big ) \leq \log p \big ( \boldsymbol { Y } | \boldsymbol { X } \big ) } \\ & { = \int q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \log p \big ( \boldsymbol { Y } | \boldsymbol { X } , \boldsymbol { \omega } \big ) d \boldsymbol { \omega } } \\ & { - \int q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \log q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) d \boldsymbol { \omega } + \int q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \log p \big ( \boldsymbol { \omega } \big ) d \boldsymbol { \omega } } \\ & { - \int q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \log p \big ( \boldsymbol { Y } | \boldsymbol { X } \big ) d \boldsymbol { \omega } + \int q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \log p \big ( \boldsymbol { Y } | \boldsymbol { X } \big ) d \boldsymbol { \omega } } \end{array}
{ \boldsymbol { \varepsilon } } = \operatorname { v o l } ( { \boldsymbol { \varepsilon } } ) + \operatorname { d e v } ( { \boldsymbol { \varepsilon } } ) \, ; \qquad \operatorname { v o l } ( { \boldsymbol { \varepsilon } } ) = { \frac { 1 } { 3 } } \operatorname { t r } ( { \boldsymbol { \varepsilon } } ) ~ \mathbf { I } \, ; \qquad \operatorname { d e v } ( { \boldsymbol { \varepsilon } } ) = { \boldsymbol { \varepsilon } } - \operatorname { v o l } ( { \boldsymbol { \varepsilon } } )
\iiiint _ { { \mathcal { F M } } } a ^ { 2 } \big | W ( \widehat { w } * { \widehat { u } } ) - \widehat { w } * W { \widehat { u } } \big | ^ { 2 } \lesssim \operatorname* { s u p } _ { ( r , \theta ) } \left( a _ { 1 } ^ { 2 } \left\lVert \widehat { w } \right\rVert _ { { \mathbb { W } _ { \! \omega \! , m } ^ { 1 \! , 1 \! ; { - \! q } } } } ^ { 2 } \right) \cdot \iint _ { \mathcal { A } } a _ { 2 } ^ { 2 } \left\lVert { \widehat { u } } \right\rVert _ { { \mathbb { H } _ { \! \omega \! , m } ^ { 0 ; { q } } } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { W _ { l m } ( \theta , \varphi ) } & { { } = \left( \partial _ { \theta } ^ { 2 } - \cot \theta \partial _ { \theta } - \frac { \partial _ { \varphi } ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta } \right) Y _ { l m } ( \theta , \varphi ) , } \\ { X _ { l m } } & { { } = 2 \partial _ { \varphi } \left( \partial _ { \theta } - \cot \theta \right) Y _ { l m } ( \theta , \varphi ) , } \end{array}
{ \mathrm { I m } } \Pi ^ { t } = - k _ { 0 } m _ { D } ^ { 2 } { \frac { 1 } { k } } { \frac { \pi } { 4 } } ( 1 - { \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } } { k _ { 2 } } } ) \ \theta ( k ^ { 2 } - k _ { 0 } ^ { 2 } ) \approx - m _ { D } ^ { 2 } { \frac { k _ { 0 } } { k } } { \frac { \pi } { 4 } } \ \ = k _ { 0 } \ { \mathrm { I m } } { \tilde { \Pi } } ^ { t }
{ \frac { 1 } { 2 m } } \left( { \frac { d S _ { r } } { d r } } \right) ^ { 2 } + U _ { r } ( r ) + { \frac { 1 } { 2 m r ^ { 2 } } } \left[ \left( { \frac { d S _ { \theta } } { d \theta } } \right) ^ { 2 } + 2 m U _ { \theta } ( \theta ) \right] + { \frac { 1 } { 2 m r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } \left[ \left( { \frac { d S _ { \phi } } { d \phi } } \right) ^ { 2 } + 2 m U _ { \phi } ( \phi ) \right] = E .
p = { \frac { b ^ { { \boldsymbol { \beta } } \cdot { \boldsymbol { x } } } } { 1 + b ^ { { \boldsymbol { \beta } } \cdot x } } } = { \frac { b ^ { \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } x _ { 1 } + \beta _ { 2 } x _ { 2 } } } { 1 + b ^ { \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } x _ { 1 } + \beta _ { 2 } x _ { 2 } } } } = { \frac { 1 } { 1 + b ^ { - ( \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } x _ { 1 } + \beta _ { 2 } x _ { 2 } ) } } }
\left. \vec { \nabla } _ { \vec { k } _ { 2 } } \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \right| _ { \vec { k } _ { 2 } = \vec { k } } = \left. \vec { \nabla } _ { \vec { k } } \left| T _ { \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \right| _ { \vec { k } _ { 2 } = \vec { k } } = \frac { 1 } { 2 } \vec { \nabla } _ { \vec { k } } \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \frac { \Psi ( \mathbf x _ { 0 } + h \mathbf e _ { i } ) \mathbf \Phi ( \mathbf x _ { 0 } + h \mathbf e _ { i } ) - \Psi ( \mathbf x _ { 0 } ) \mathbf \Phi ( \mathbf x _ { 0 } ) } { h } } & { = \frac { \Psi ( \mathbf x _ { 0 } + h \mathbf e _ { i } ) \mathbf \Phi ( \mathbf x _ { 0 } + h \mathbf e _ { i } ) - \Psi ( \mathbf x _ { 0 } + h \mathbf e _ { i } ) \mathbf \Phi ( \mathbf x _ { 0 } ) } { h } } \\ & { = \Psi ( \mathbf x _ { 0 } + h \mathbf e _ { i } ) \cdot \frac { \mathbf \Phi ( \mathbf x _ { 0 } + h \mathbf e _ { i } ) - \mathbf \Phi ( \mathbf x _ { 0 } ) } { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { e } ( h ) } & { { } = \frac { 1 } { \left( 1 + | \alpha _ { 0 } h | ^ { \left( \frac { 1 } { 1 - m } \right) } \right) ^ { m } } } \\ { K ( h ) } & { { } = K _ { s } S _ { e } ^ { 1 / 2 } \left[ 1 - \left( 1 - S _ { e } ^ { 1 / m } \right) ^ { m } \right] ^ { 2 } } \end{array}
\frac { e m _ { u } } { 2 \sqrt { 2 } m _ { W } s _ { W } s _ { \beta } } [ \bar { \psi } _ { 1 } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) i \tau _ { 2 } \psi _ { 2 } \varphi _ { 2 } ^ { + } + \bar { \psi } _ { 2 } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) i \tau _ { 2 } \psi _ { 1 } \varphi _ { 2 } ]
\begin{array} { r } { \lambda _ { 1 , 2 } = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \omega _ { A } ^ { 2 } + \omega _ { C } ^ { 2 } + 2 \omega _ { M } ^ { 2 } + \sqrt { \omega _ { A } ^ { 4 } + 2 \omega _ { A } ^ { 2 } \omega _ { C } ^ { 2 } + 4 \omega _ { M } ^ { 2 } \omega _ { C } ^ { 2 } + \omega _ { C } ^ { 4 } } } , } \\ { \lambda _ { 3 , 4 } = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \omega _ { A } ^ { 2 } + \omega _ { C } ^ { 2 } + 2 \omega _ { M } ^ { 2 } - \sqrt { \omega _ { A } ^ { 4 } + 2 \omega _ { A } ^ { 2 } \omega _ { C } ^ { 2 } + 4 \omega _ { M } ^ { 2 } \omega _ { C } ^ { 2 } + \omega _ { C } ^ { 4 } } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { T _ { 5 } \left[ 1 + 2 + 3 + \cdots + ( n - 1 ) + n + ( n + 1 ) \right] - T _ { 5 } } \\ { = } & { \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( n ^ { 2 } + n ) \right] T _ { 5 } + ( n + 1 ) T _ { 5 } - T _ { 5 } } \\ { = } & { \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( n ^ { 2 } + n ) \right] T _ { 5 } + n T _ { 5 } } \\ { = } & { \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( n ^ { 2 } + 3 n ) \right] T _ { 5 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \delta _ { c } ^ { \star } A } & { = \frac { 1 } { e } \, \mathrm { d } c \ , } \\ { \delta _ { c } ^ { \star } \psi = { \mathrm { i } } \, c \star \psi \quad , \quad } & { \delta _ { c } ^ { \star } \bar { \psi } = - { \mathrm { i } } \, \mathsf { R } _ { \alpha } ( \bar { \psi } ) \star \mathsf { R } ^ { \alpha } ( c ) \ . } \end{array}
\left[ { \begin{array} { l l l } { T _ { 1 } ^ { ( \mathbf { n } ) } } & { T _ { 2 } ^ { ( \mathbf { n } ) } } & { T _ { 3 } ^ { ( \mathbf { n } ) } } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { l l l } { n _ { 1 } } & { n _ { 2 } } & { n _ { 3 } } \end{array} } \right] \cdot \left[ { \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 2 2 } } & { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 3 1 } } & { \sigma _ { 3 2 } } & { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} } \right] .
P _ { m } ( x ) \equiv P _ { I _ { 2 } ( m ) } ^ { R _ { m } } ( x ) = \prod _ { \mu \in { R _ { m } } } ( x - \mu \cdot \tilde { q } ) = \prod _ { j = 1 } ^ { m } \left( x - \sin \Bigl ( { \frac { 2 j \pi } { m } } + { \frac { \varphi _ { 0 } } { m } } \Bigr ) \right) ,
G _ { L } ^ { \pm } ( z ) V _ { L } ^ { ( - 1 , - 1 ) } ( 0 ) \sim { \frac { 1 } { z } } \left( V _ { L } ^ { ( 0 , - 1 ) } ( 0 ) , \, V _ { L } ^ { ( - 1 , 0 ) } ( 0 ) \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \lambda ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { m < n } ( \gamma _ { m } \gamma _ { n } + \kappa _ { m n } ^ { 2 } ) \lambda - \frac { 1 } { 4 } \prod _ { m < n } \kappa _ { m n } } & { = 0 , } \\ { \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } \gamma _ { m } \lambda ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \prod _ { m = 1 } ^ { 3 } \gamma _ { m } \left( 1 + \sum _ { m < n } \frac { \kappa _ { m n } ^ { 2 } } { \gamma _ { m } \gamma _ { n } } \right) } & { = 0 , } \end{array}
{ \widehat { \sigma } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mu - \delta _ { i } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( \mu - \delta _ { i } ) ( \mu - \delta _ { j } ) .
S _ { R B } [ \Lambda , a _ { \mu } ] = \int d ^ { 2 } x [ - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \Lambda \partial ^ { \mu } \Lambda + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } ( \partial _ { \mu } \Lambda - \partial ^ { \nu } \Lambda \epsilon _ { \nu \mu } ) a ^ { \mu } ] .
\begin{array} { r l r } { \varepsilon ( T ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i f ~ T ~ h a s ~ o n l y ~ o n e ~ w e i g h t ~ c e n t e r } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i f ~ T ~ h a s ~ t w o ~ ( a d j a c e n t ) ~ w e i g h t ~ c e n t e r s } . } \end{array} } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ( \eta ( U _ { p ^ { n } } ^ { \prime } ) ) } & { = \frac { 1 } { | A _ { p ^ { n } } | } \sum _ { a \in A _ { p ^ { n } } } e \Bigl ( \frac { a } { | p | ^ { n } } \varpi \Bigr ( \sum _ { x \in Z _ { g } } \alpha ( x ) x \Bigr ) \Bigr ) } \\ & { = \frac { 1 } { | A _ { p ^ { n } } | } \sum _ { h \in \mathbf { O } _ { g } / p ^ { n } } \alpha _ { p ^ { n } } ( h ) \sum _ { a \in \mathbf { O } _ { g } / p ^ { n } } e \Bigl ( \frac { a } { | p | ^ { n } } ( \varpi ( \gamma ( \alpha ) ) + h ) \Bigr ) } \\ & { = \frac { | p | ^ { n } } { | A _ { p ^ { n } } | } \alpha _ { p ^ { n } } ( - \varpi ( \gamma ( \alpha ) ) ) = \frac { 1 } { | A _ { p ^ { n } } | } \sum _ { a \in A _ { p ^ { n } } } e \Bigl ( \frac { \varpi ( \gamma ( \alpha ) ) a } { | p | ^ { n } } \Bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \bar { \bar { \gamma } } ( \mathfrak { t } ) - \left( \int _ { 0 } ^ { \mathfrak { t } } \lvert D { \bar { \gamma } } ( s ) \rvert d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner \bar { C } ( s ) \right) e \right| } & { \leq \vartheta \sigma \mathfrak { t } + \vartheta \mathrm { L i p } ( \gamma ) \cdot 3 \sigma \mathfrak { t } } \\ & { + \Theta \mathrm { L i p } ( \gamma ) \int _ { 0 } ^ { \mathfrak { t } } \Big \lvert \bar { \gamma } ( s ) - \Big ( \int _ { 0 } ^ { s } \lvert D { \bar { \gamma } } ( \tau ) \rvert d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner \bar { C } ( \tau ) \Big ) e \Big \rvert d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner \bar { C } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d x } { d t } \ = \ - i ( \bar { \beta } ( x + y ) + u ( x ( i + i ^ { * } - 1 ) + r x + i ^ { * } y ) ) , } \\ { \ \ \ \ \frac { d y } { d t } \ = \ x \alpha p _ { r } - y l _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { V } _ { n } ( s ) = } & { \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Big \{ ( \eta _ { n } e ^ { X _ { n , j } } - 1 ) \operatorname* { m i n } \{ X _ { n , j } , s \} - \mathbf { 1 } \{ X _ { n , j } \leq s \} \Big \} } \\ & { + \sqrt { n } ( \widehat { \eta } _ { n } - \eta _ { n } ) \frac 1 n \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Big \{ e ^ { X _ { n , j } } \operatorname* { m i n } \{ X _ { n , j } , s \} \Big \} } \\ & { + \sqrt { n } ( \widehat { b } _ { n } - 1 ) \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Big \{ \big ( \eta _ { n } e ^ { X _ { n , j } } + \eta _ { n } X _ { n , j } e ^ { X _ { n , j } } - 1 \big ) \operatorname* { m i n } \{ X _ { n , j } , s \} \Big \} , \quad s > 0 , } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } \geq \frac { n p _ { \Delta } p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } { N } \left( R _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ , ~ h ~ e ~ t ~ } } ^ { ( k ) } - \frac { \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } } { \sqrt { n p _ { \Delta } } } + \frac { \Theta - \Phi _ { n p _ { \Delta } } } { n p _ { \Delta } } \right) ,
\mathcal { N } = \sqrt { \sum _ { s = 0 } ^ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } | \psi _ { s } ( x _ { j } , t ) | ^ { 2 } } = \sqrt { 2 ^ { n } \rho } = \sqrt { 2 ^ { n } } .
\mathsf { T M } ^ { \prime } = \mathsf { T } _ { 6 } ^ { \prime } \mathsf { T } _ { 5 } \mathsf { T } _ { 4 } \mathsf { T } _ { 3 } \mathsf { T } _ { 2 } \mathsf { T } _ { 1 } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } ( n ) } & { = } & { \frac { 1 } { Z ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \, \bigg [ \frac { 1 } { \sqrt { 1 + X _ { n } ^ { 2 } } } - 1 \bigg ] } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { Z ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \, \frac { X _ { n } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + X _ { n } ^ { 2 } } \, \big [ \sqrt { 1 + X _ { n } ^ { 2 } } + 1 \big ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { 2 } ^ { D } ( s , s ) } & { = \frac { - f ^ { \prime \prime } ( s ) } { 2 \pi ( 1 + | f ^ { \prime } ( s ) | ^ { 2 } ) } } \\ { M _ { 2 } ^ { D } ( s , s ) } & { = \left( \frac { \textrm { i } } { 2 } - \frac { C } { \pi } - \frac { 1 } { \pi } \ln \left( \frac { k _ { - } } { 2 } | f ^ { \prime } ( s ) | \right) \right) \sqrt { 1 + | f ^ { \prime } ( s ) | ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 \hat { A } _ { k } = \gamma \lambda \hat { I } - ( \gamma - 2 \imath ) \Delta \vec { F } _ { k } \otimes \Delta \vec { F } _ { k } + ( 2 \gamma + 3 \imath ) \Delta \vec { F } _ { k } \otimes \vec { F } _ { k } + \imath \vec { F } _ { k } \otimes \Delta \vec { F } _ { k } ; } \\ & { } & { 2 \hat { B } _ { k } = - \gamma \lambda \hat { I } + \gamma \Delta \vec { F } _ { k } \otimes \Delta \vec { F } _ { k } + ( 2 \gamma + \imath ) \Delta \vec { F } _ { k } \otimes \vec { F } _ { k } - \imath \vec { F } _ { k } \otimes \Delta \vec { F } _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \int _ { 0 } ^ { z } ( a + h ) v _ { \mathrm { e } } \, \mathrm { d } z } & { { } = 2 v _ { \mathrm { e } } ^ { 0 } z \left[ a \left( \beta \, { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } , \alpha ; \frac { 3 } { 2 } ; \frac { z ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) + ( 1 - \beta ) \right) \right. } \end{array}
T _ { 2 } = \frac { 2 r y ^ { 2 } } { \sigma _ { \eta } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } } \sin \Psi _ { 1 } ( 0 , 2 ) - \frac { 2 y } { \sigma _ { \eta } } \cos \Psi _ { 1 } ( 1 , 1 ) \, .
\frac { \partial p } { \partial t } = \gamma \frac { \partial } { \partial x } \big ( x p \big ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } p } { \partial x ^ { 2 } } , \quad p \left( x , 0 \right) = \delta \left( x \right) ,
\begin{array} { r } { g ( \theta ) = \frac { 1 } { 2 k _ { \perp } \tan \theta _ { \mathrm { m } } } \sqrt { 1 + \cot ^ { 2 } \theta } , ~ ~ ~ - \theta _ { \mathrm { m } } \leq \theta \leq \theta _ { \mathrm { m } } , ~ ~ ~ \theta _ { \mathrm { m } } \to \frac { \pi } { 2 } , } \end{array}
\delta e ^ { \widehat { \Phi } } = \left( \widehat { Q } _ { B } \widehat { \Lambda } _ { 1 } \right) e ^ { \widehat { \Phi } } + e ^ { \widehat { \Phi } } \left( \widehat { \eta } _ { 0 } \widehat { \Lambda } _ { 2 } \right)
\hat { \mu } = - \frac { 1 } { 2 t _ { \beta } A _ { \lambda } } ( 2 m _ { 1 } ^ { 2 } + \eta + ( c _ { 2 \beta } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { \bar { g } ^ { 2 } } ( 1 - c _ { 2 \beta } ) ) M _ { Z } ^ { 2 } ) + O ( x , \frac { \kappa } { \lambda } )
\begin{array} { r } { \frac { \mu _ { 0 } } { 2 } \Bigl [ \mathrm { r o t } \{ \Lambda ( x ) { \bf J } ( { \bf r } ) \} \Bigr ] _ { z } = \phi _ { 0 } \delta ^ { ( 2 ) } ( { \bf r } - { \bf r _ { v } } ) . } \end{array}
P _ { \mathrm { D I S } } ^ { ( 1 ) } ( z , \overline { { { \mathrm { M S } } } } ) = P _ { \mathrm { D I S } } ^ { ( 1 ) } ( z , \mathrm { M S } ) + b P ^ { ( 0 ) } ( z ) \ln \frac { \Lambda _ { \mathrm { M S } } } { \Lambda _ { \overline { { \mathrm { M S } } } } }
\begin{array} { r } { \mathbf { l } _ { k - 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \tilde { \mathcal { S } } _ { k - \frac { 3 } { 2 } } - \mathcal { J } _ { k - 1 } } { d _ { \Gamma } } } & { \mathrm { i n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { \mathbf { n } \cdot \nabla \big ( \tilde { \mathcal { S } } _ { k - \frac { 3 } { 2 } } - \mathcal { J } _ { k - 1 } \big ) } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { k } ( \overline { { \mathbf e } } ) } & { = 1 \mathbf w _ { 2 - i _ { n - \ell + 3 } } \cdots \mathbf w _ { 2 - i _ { n - 1 } } \mathbf w _ { 2 - i _ { n } } 1 } \\ & { = 1 \mathbf w _ { 2 - i _ { n - \ell + 3 } } \cdots \mathbf w _ { 2 - i _ { n - 1 } } \mathbf w _ { 1 } } \\ & { \succ 1 \mathbf w _ { i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { \ell - 3 } } \mathbf w _ { i _ { \ell - 2 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } 0 } \\ & { = \mathbf d , } \end{array}
\begin{array} { l } { G _ { i , m n } = \begin{array} { l l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { \alpha _ { m n } = 1 } \\ { r _ { i } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { \alpha _ { m n } = 0 } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { \alpha _ { m n } = - 1 } \end{array} , } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } i \in \{ L , U \} , m \in \{ C , D \} , n \in \{ G , B \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { t r } ( \mathbb A _ { n } ) = } & { - ( 4 + n ( n + 1 ) ) \Lambda - 2 n ( n + 1 ) - 2 + ( 2 - n ( n + 1 ) ) P } \\ { \operatorname* { d e t } ( \mathbb A _ { n } ) = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( n ^ { 2 } + n - 2 \right) + 1 6 + ( 4 + 4 n ( 1 + n ) ) P + ( - 2 + n ( 1 + n ) ) P ^ { 2 } } \\ & { + ( 1 6 + ( 8 + 2 n ( 1 + n ) ) P ) \Lambda . } \end{array}
{ \mathcal { F } } \quad \supset \quad ( \mathcal { I } _ { p } \oplus \mathcal { I } _ { p } ) \oplus ( { \mathcal { O } } _ { X } \oplus { \mathcal { O } } _ { X } ) \oplus { \mathcal { O } } _ { X } \quad \supset \quad ( { \mathcal { O } } _ { X } \oplus { \mathcal { O } } _ { X } ) \oplus { \mathcal { O } } _ { X } \quad \supset \quad { \mathcal { O } } _ { X }
w ^ { - 1 } ( \alpha _ { 1 } ) = r _ { 8 } r _ { 5 } r _ { 2 } r _ { 1 } r _ { 7 } r _ { 6 } r _ { 4 } r _ { 3 } ( \alpha _ { 1 } ) = \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 5 } ~ .
\begin{array} { r l r } { | \theta _ { l } , \phi _ { l } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal D } _ { 3 } \left( \phi _ { l } \right) \hat { \mathcal D } _ { 2 } \left( \theta _ { l } \right) | \psi _ { 1 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \langle \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \widetilde { \rho } } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \frac { \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) \vert } { \sum _ { j = 1 } ^ { r } \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( j \right) \vert } \frac { \beta ^ { \left( q \right) } \left( i \right) + 1 } { \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) } + \sum _ { i = 1 } ^ { r } \frac { \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) \vert } { \sum _ { j = 1 } ^ { r } \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( j \right) \vert } \nu , } \end{array}