harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f ^ { - } ( z ) = { \frac { 1 } { P ^ { + } } } \int _ { 0 } ^ { z } \left( { \frac { \alpha } { 2 } } { f ^ { \prime } } _ { \mathrm { t r } } ^ { 2 } + { \frac { \beta } { 2 } } { h ^ { \prime } } ^ { 2 } - 2 \beta h ^ { \prime \prime } \right) \, d z ^ { \prime } \; + \; c ^ { - } \; \; \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 4 } \, } & { { } = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \Bigl \{ \sum _ { m = 1 } ^ { 4 } \bigl ( ( \beta _ { \epsilon } + L ) P _ { m } + Q _ { m } \bigr ) \eta _ { 4 - m } \, , \, \eta _ { 0 } \Bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 3 } \, , \eta _ { 1 } - R \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 2 } \, , \eta _ { 2 } - R \eta _ { 1 } + R ^ { 2 } \eta _ { 0 } \bigr \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | \chi u | | _ { 0 } } & { \leq \mathrm { l o w } ^ { - 1 } | | h \mathrm { s u s p } ( Q ) h \chi u | | _ { 0 } } \\ & { \leq \mathrm { l o w } ^ { - 1 } ( | | [ h \mathrm { s u s p } ( Q ) h , \chi ] u | | _ { 0 } + | | \chi h \mathrm { s u s p } ( Q ) h u | | _ { 0 } ) } \\ & { \leq \mathrm { l o w } ^ { - 1 } \left( | | [ h \mathrm { s u s p } ( Q ) h , \chi ] | | _ { 0 , 0 } \cdot | | u | | _ { 0 } + | | \chi | | _ { \infty } | | h \mathrm { s u s p } ( Q ) h u | | _ { 0 } \right) } \\ & { \leq \mathrm { l o w } ^ { - 1 } \operatorname* { m a x } \{ | | [ h \mathrm { s u s p } ( Q ) h , \chi ] | | _ { 0 , 0 } , | | \chi | | _ { \infty } \} \cdot \left( | | u | | _ { 0 } + | | h \mathrm { s u s p } ( Q ) h | | _ { 0 } \right) } \\ & { \leq \mathrm { l o w } ^ { - 1 } \sqrt { 2 } \operatorname* { m a x } \{ | | [ h \mathrm { s u s p } ( Q ) h , \chi ] | | _ { 0 , 0 } , | | \chi | | _ { \infty } \} \left( | | u | | _ { 0 } ^ { 2 } + | | h \mathrm { s u s p } ( Q ) h | | _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \epsilon = \tilde { \epsilon } + \frac { 1 } { \pi } ( 1 + 2 \tilde { \epsilon } ) \, Q _ { 3 3 } ^ { - 1 } \, \tilde { \epsilon } _ { Q } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } + \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } ( 1 + 2 \tilde { \epsilon } ) \, Q _ { 3 3 } ^ { - 2 } \, \tilde { \epsilon } _ { Q } ^ { 2 } \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } \, , } \\ & { \delta = \tilde { \delta } + \frac { 1 } { \pi } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 1 } \, \tilde { \delta } _ { Q } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } + \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 2 } \, \zeta _ { Q } \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } \, , } \\ & { \gamma = \tilde { \gamma } + \frac { 1 } { \pi } ( 1 + 2 \tilde { \gamma } ) \, Q _ { 5 5 } ^ { - 1 } \, \tilde { \gamma } _ { Q } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } + \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } ( 1 + 2 \tilde { \gamma } ) \, Q _ { 5 5 } ^ { - 2 } \, \tilde { \gamma } _ { Q } ^ { 2 } \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big [ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \Big ] \equiv \frac { \sum _ { n _ { i } } \langle n _ { i } | \hat { F } ( Q _ { i } ) | n _ { i } - \delta _ { i } \rangle \langle n _ { i } - \delta _ { i } | \hat { G } ( Q _ { i } ) | n _ { i } \rangle \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } { \sum _ { n _ { i } } \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \sigma \ ( e p \rightarrow e X Y ) } { \mathrm { d } Q ^ { 2 } \ \mathrm { d } x _ { I \! \! P } \ \mathrm { d } \beta } = \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } } { \beta Q ^ { 4 } } \ ( 1 - y + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } ) \ F _ { 2 } ^ { D ( 3 ) } ( Q ^ { 2 } , x _ { I \! \! P } , \beta ) ,
\bar { p } ( \xi , \gamma ) = \frac { 2 \pi } { i \gamma } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ i \pi \frac { \xi ^ { 2 } + { \xi ^ { \prime } } ^ { 2 } } { \gamma } \right\} J _ { 0 } \left[ \frac { 2 \pi \xi \xi ^ { \prime } } { \gamma } \right] \bar { q } ( \xi ^ { \prime } ) \xi ^ { \prime } d \xi ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s t } M _ { \alpha } ( t ) d t } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s t } \left[ \int _ { H a } e ^ { \xi - t \xi ^ { \alpha } } \xi ^ { \alpha - 1 } { d \xi } \right] d t } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { H a } e ^ { \xi } \xi ^ { \alpha - 1 } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - ( s + \xi ^ { \alpha } ) t } d t \right] d \xi } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { H a } \frac { e ^ { \xi } \xi ^ { \alpha - 1 } } { \xi ^ { \alpha } + s } d \xi = E _ { \alpha } ( - s ) } \end{array}
q _ { b } ( a , r ) \approx \frac { ( 1 - 2 \delta _ { B 0 } ) \tilde { \nu } ^ { 3 / 2 } \exp \left[ - 2 \tilde { \nu } \ln ( a / r ) \right] } { ( 8 \pi ) ^ { 1 / 2 } S _ { D } \sigma ^ { D - 1 } r ^ { D } \sqrt { a ^ { 2 } - r ^ { 2 } } } f _ { 1 } ^ { ( q ) } ,
\lambda _ { c , c ^ { \prime } } ^ { H O , \eta } ( \alpha ) = \frac { \mathrm { e x p } _ { c - c ^ { \prime } } ( \eta | \alpha | ^ { 2 } ) \mathrm { e x p } _ { c ^ { \prime } } ( ( 1 - \eta ) | \alpha | ^ { 2 } ) } { \mathrm { e x p } _ { c } ( | \alpha | ^ { 2 } ) } = \frac { 1 } { 2 } + ( - 1 ) ^ { c - c ^ { \prime } } \frac { \mathrm { e x p } _ { c } ( ( 1 - 2 \eta ) | \alpha | ^ { 2 } ) } { 2 \mathrm { e x p } _ { c } ( | \alpha | ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { K } E _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } \left[ N _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ^ { K } \right] \leq \frac { 1 } { K } E _ { 0 } \left[ N _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ^ { K } \right] + \sqrt { \frac { c _ { 1 } } { 2 p } } \epsilon \sqrt { E _ { 0 } \left[ N _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ^ { K } \right] } . } \end{array}
\hat { \cal P } _ { p } \equiv - p ^ { 2 } + s \, c _ { 1 } ^ { p } c _ { 2 } ^ { p } + t \, c _ { 2 } ^ { p } c _ { 3 } ^ { p } + u \, c _ { 1 } ^ { p } c _ { 3 } ^ { p } \, .
\left\{ \begin{array} { l } { \operatorname* { i n f } _ { \theta } J [ \theta ] = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { f } } L ( t , x ( t ) , \theta ( t ) ) d t + \Phi \left( t _ { f } , x \left( t _ { f } \right) \right) } \\ { \mathrm { ~ s u b j e c t ~ t o ~ } } \\ { \dot { x } ( t ) = f ( t , x ( t ) , \theta ( t ) ) , \quad t \in \left[ t _ { 0 } , t _ { f } \right] , \quad x \left( t _ { 0 } \right) = x _ { 0 } . } \end{array} \right.
\bar { C } _ { 9 } = - \frac { m _ { b } } { 2 \; s _ { 0 } } \; \bar { C } _ { 7 } \; \left\{ 4 m _ { B } k ^ { 2 } \; R _ { V } + \frac { 1 } { m _ { B } \; R _ { V } } + 4 ( m _ { B } - E _ { V } ) \right\} ~ ,
a _ { k } = \frac { \langle x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) , x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \rangle } { r \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) \| ^ { 2 } }
R _ { \mathrm { ~ M ~ a ~ i ~ n ~ } } ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \alpha _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } + \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ a ~ i ~ n ~ } } ) \cdot I _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ o ~ n ~ } } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad s = t } \\ { \, \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ a ~ i ~ n ~ } } \cdot I _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ o ~ n ~ } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \, \, \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { C _ { 1 } } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| u _ { i } \| ^ { 2 } + C _ { 1 } \eta \, \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| \nabla u _ { i } \| ^ { 2 } = - C _ { 1 } P \, \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } ( u _ { i } - u _ { j } ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { + C _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } ( f ( u _ { i } , x ) u _ { i } - \sigma u _ { i } w _ { i } + J u _ { i } - k \operatorname { t a n h } ( \rho _ { i } ) u _ { i } ^ { 2 } ) \, d x } \\ { \leq } & { \, C _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } \left[ - \lambda | u _ { i } | ^ { 4 } + | \varphi ( x ) | - \sigma u _ { i } w _ { i } + J u _ { i } + k | \operatorname { t a n h } ( \rho _ { i } ) | u _ { i } ^ { 2 } \right] d x } \\ { \leq } & { \, C _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } \left[ - \lambda u _ { i } ^ { 4 } + | \varphi ( x ) | + \frac { 1 } { 2 } \left( \lambda u _ { i } ^ { 2 } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { \lambda } w _ { i } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { J ^ { 2 } } { \lambda } + \lambda u _ { i } ^ { 2 } \right) + k u _ { i } ^ { 2 } \right] d x } \\ { = } & { \, C _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } ( ( \lambda + k ) u _ { i } ^ { 2 } - \lambda u _ { i } ^ { 4 } ) \, d x + \frac { C _ { 1 } \sigma ^ { 2 } } { 2 \lambda } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| w _ { i } \| ^ { 2 } + C _ { 1 } m \left( \| \varphi \| _ { L ^ { 1 } } + \frac { J ^ { 2 } } { 2 \lambda } | \Omega | \right) } \\ { \leq } & { \, - \frac { 1 } { 2 } C _ { 1 } \lambda \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } u _ { i } ^ { 4 } ( t , x ) \, d x + \frac { C _ { 1 } \sigma ^ { 2 } } { 2 \lambda } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| w _ { i } \| ^ { 2 } } \\ & { \, + C _ { 1 } m \left( \| \varphi \| | \Omega | ^ { 1 / 2 } + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( ( \lambda + k ) ^ { 2 } + J ^ { 2 } ) | \Omega | \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p \left( { \bf X } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { p \left( \boldsymbol { \mathcal { O } } \right) } p \left( { \bf X } \right) p \left( \boldsymbol { \mathcal { O } } \mid \bf X \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { \pi ^ { 0 } } = \sqrt { 8 \pi ^ { 2 } \frac { 4 m _ { u } ^ { 2 } - m _ { d } ^ { 2 } } { 3 } } \approx 1 3 5 \ \mathrm { { M e V } } . } \end{array}
W [ Y ] = \int \frac { d ^ { 4 } x } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } I _ { i - 1 } \mathrm { t r } ( b _ { i } ) , \quad I _ { i } \equiv \frac { 1 } { N _ { f } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { f } } J _ { i } ( m _ { j } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } T _ { c o s } ( t ) d t = f ( 0 ) ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) } & { + } & { \frac { 1 } { 2 } f ^ { ( 1 ) } ( 0 ) ( t _ { 2 } ^ { 2 } - t _ { 1 } ^ { 2 } ) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 3 } \bigg ( \frac { 1 } { 2 } f ^ { ( 2 ) } ( 0 ) - 2 f ( 0 ) \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) ( t _ { 2 } ^ { 3 } - t _ { 1 } ^ { 3 } ) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 4 } \bigg ( \frac { 1 } { 6 } f ^ { ( 3 ) } f ( 0 ) - 2 f ^ { ( 1 ) } ( 0 ) \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) ( t _ { 2 } ^ { 4 } - t _ { 1 } ^ { 4 } ) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 5 } \bigg ( \frac { 1 } { 2 4 } f ^ { ( 4 ) } ( 0 ) - f ^ { ( 2 ) } \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } f ( 0 ) \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 4 } \bigg ) ( t _ { 2 } ^ { 5 } - t _ { 1 } ^ { 5 } ) } \\ & { + } & { \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } } \\ { = \, } & { \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { l \in \textbf { b e l o w } ( s ^ { \prime } ) } } & { z _ { l } \leq x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } \bigcap \sum _ { l \in \textbf { a b o v e } ( s ) } z _ { l } \leq 1 - x _ { V ( s ) C ( s ) } } \\ & { \implies \sum _ { l \in \textbf { b e l o w } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } + \sum _ { l \in \textbf { a b o v e } ( s ) } z _ { l } \leq x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } + 1 - x _ { V ( s ) C ( s ) } } \\ & { \implies \sum _ { l \in \textbf { b e l o w } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } + \sum _ { l \in \textbf { a b o v e } ( s ) } z _ { l } - 1 \leq x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } - x _ { V ( s ) C ( s ) } } \\ & { \implies \sum _ { l \in \textbf { b e l o w } ( s ^ { \prime } ) \setminus \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } + \sum _ { l \in \textbf { a b o v e } ( s ) \setminus \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } + 2 \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } - 1 \leq x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } - x _ { V ( s ) C ( s ) } } \\ & { \implies 1 + \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } - 1 \leq x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } - x _ { V ( s ) C ( s ) } } \\ & { \implies \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } \leq x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } - x _ { V ( s ) C ( s ) } } \end{array}
\gamma = 1 - \alpha - \beta \quad \mathrm { ~ ( ~ 0 ~ . ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ ) ~ } , \qquad \epsilon = \frac { 3 } { \alpha - \beta } \quad \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ . ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ ) ~ } , \qquad \alpha = \frac { 1 } { 8 } \left( 3 + 6 \beta \pm \sqrt { 9 + 8 4 \beta + 4 \beta ^ { 2 } } \right) \quad \mathrm { ~ ( ~ 2 ~ . ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ ) ~ } .
\begin{array} { r l r } { Q } & { = } & { g _ { X } X _ { \mathrm { t r a n s } } + Q _ { \mathrm { n o i s e , ~ o p t i c a l } } + Q _ { \mathrm { n o i s e , ~ m e c h a n i c a l } } } \\ { P } & { = } & { g _ { Y } Y _ { \mathrm { t r a n s } } + P _ { \mathrm { n o i s e , ~ o p t i c a l } } + P _ { \mathrm { n o i s e , ~ m e c h a n i c a l } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 ( 1 - \gamma ) \frac { \psi \dot { F } ^ { 1 1 } u _ { 1 1 } } { u } } & { > 2 ( 1 - \gamma ) \frac { \psi \dot { F } ^ { 2 2 } u _ { 2 2 } } { N u } \geq 2 ( 1 - \gamma ) \frac { \psi \dot { F } ^ { 2 2 } b _ { 2 2 } } { ( 1 + \frac { 1 } { C Q } ) N u } \geq 2 \frac { ( 1 - \gamma ) k \alpha \psi F } { ( 1 + \frac { 1 } { C Q } ) N n u } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( t - s , z ) \Psi ( s , y ) e ^ { - \frac { c _ { 1 } } { 6 } \frac { | z - y | ^ { 2 } } { s } } } & { \le C _ { 0 } \Psi ( t - s , y ) , } \\ { \Psi ( t - s , z ^ { \prime } ) \Psi ( s , y ^ { \prime } ) e ^ { - \frac { c _ { 1 } } { 6 } \frac { | z ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { s } } } & { \le C _ { 0 } \Psi ( t - s , y ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 . 5 3 1 3 , 0 , 0 , 0 . 4 ) \qquad } & { \mathrm { i f ~ } x \ge 0 . 5 , y \ge 0 . 5 } \\ { ( 1 , 0 . 7 2 7 6 , 0 , 1 ) } & { \mathrm { i f ~ } x < 0 . 5 , y \ge 0 . 5 } \\ { ( 0 . 8 , 0 , 0 , 1 ) } & { \mathrm { i f ~ } x < 0 . 5 , y < 0 . 5 } \\ { ( 1 , 0 , 0 . 7 2 7 6 , 1 ) } & { \mathrm { i f ~ } x \ge 0 . 5 , y < 0 . 5 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v ( z , t ) } & { { } = } & { v _ { 0 } ( z , Z , t ) + \epsilon v _ { 1 } ( z , Z , t ) + \ldots } \\ { w ( z , t ) } & { { } = } & { w _ { 0 } ( z , Z , t ) + \epsilon w _ { 1 } ( z , Z , t ) + \ldots . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { \bullet } ^ { L } = \nu _ { \bullet \circ } ^ { L } \rho _ { \circ } ^ { L } + \nu _ { \bullet \ast } ^ { L } ( 1 - \rho _ { \circ } ^ { L } - \rho _ { \bullet } ^ { L } ) } \\ & { J _ { \circ } ^ { L } = - ( \nu _ { \bullet \circ } ^ { L } + \nu _ { \ast \circ } ^ { L } ) \rho _ { \circ } ^ { L } } \\ & { J _ { \circ } ^ { R } = - \nu _ { \bullet \circ } ^ { R } \rho _ { \bullet } ^ { R } - \nu _ { \ast \circ } ^ { R } ( 1 - \rho _ { \circ } ^ { R } - \rho _ { \bullet } ^ { R } ) } \\ & { J _ { \bullet } ^ { R } = ( \nu _ { \bullet \circ } ^ { R } + \nu _ { \bullet \ast } ^ { R } ) \rho _ { \bullet } ^ { R } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha \| u _ { \gamma } - u _ { * } \| _ { \mathcal { U } } ^ { 2 } } & { \le \langle \lambda _ { * } - \lambda _ { \gamma } , S u _ { \gamma } - S u _ { * } \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } } \\ & { \le \langle \lambda _ { * } , ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) + ( y _ { \operatorname* { m a x } } - S u _ { * } ) \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } } \\ & { - \frac { \gamma } { 2 } \| ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) _ { + } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , D ) } ^ { 2 } + \frac { \gamma } { 2 } \operatorname* { m i n } \{ \| 1 \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , D ) } ^ { 2 } \eta _ { \operatorname* { m a x } } ( \varepsilon _ { \gamma } ) , \eta _ { i n t } ( \varepsilon _ { \gamma } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \cdot [ ( D + \varepsilon \eta ) \mathbf { u } ] + \sigma ^ { 2 } \nabla \! \cdot \! [ \mathbf { a } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! D \mathbf { u } ) + \mathbf { b } D ^ { 3 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ] = 0 \ , } \\ & { \mathbf { u } _ { t } + \nabla \eta + \varepsilon ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } + \sigma ^ { 2 } \nabla [ \mathbf { c } D \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } _ { t } ) + \mathbf { d } D ^ { 2 } \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } _ { t } ] = 0 \ , } \end{array}
M _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } \, 1 \rightarrow 2 } = \frac { 1 } { t _ { 1 \rightarrow 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { r _ { 1 \rightarrow 2 } } \\ { r _ { 1 \rightarrow 2 } } & { 1 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { B _ { k } ^ { i j } } { \Delta t } } \\ & { = } & { n _ { l } ^ { j } \, u _ { k } ^ { i } \, \int d \Omega _ { \psi } \, \left( p _ { k } ^ { \, ^ { \prime } i } - p _ { k } ^ { \, i } \right) \, \left( p _ { k } ^ { \, ^ { \prime } j } - p _ { k } ^ { \, j } \right) \, \sigma _ { C } ^ { k l } \left( u _ { k } ^ { i } , \psi \right) \, , } \end{array}
{ { \cal H } } _ { \mathrm { c o l l } } = \frac { 1 } { 2 } { \cal I } ^ { \alpha \beta } I _ { \alpha } I _ { \beta } - { \cal I } ^ { \alpha \beta } I _ { \alpha } \overline { { { J _ { \beta } ^ { ( 2 ) } } } } + \frac { 1 } { 2 } { \cal I } ^ { \alpha \beta } \overline { { { J _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } J _ { \beta } ^ { ( 2 ) } } } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { s } ( \omega ) = \sum _ { t = 1 } ^ { N } s ( t ) \, e ^ { i 2 \pi t \omega / N } , \quad s ( t ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { \omega = 1 } ^ { N } \hat { s } ( \omega ) \, e ^ { - i 2 \pi \omega t / N } , } \\ & { } & { s ( t \pm N ) = s ( t ) , \, \hat { s } ( \omega \pm N ) = \hat { s } ( \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P r \{ ( h _ { i } ( X _ { 1 } ) - h _ { i } ( X _ { 2 } ) ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) ) < 0 \} } & { = } & { 1 - P r \{ ( h _ { i } ( X _ { 1 } ) - h _ { i } ( X _ { 2 } ) ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) > 0 \} } \\ & { } & { - P r \{ ( h _ { i } ( X _ { 1 } ) - h _ { i } ( X _ { 2 } ) ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) = 0 \} } \\ & { = } & { 1 - P r \{ ( X _ { 1 } - X _ { 2 } ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) > 0 \} - P r \{ ( X _ { 1 } - X _ { 2 } ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) = 0 \} } \\ & { = } & { P r \{ ( X _ { 1 } - X _ { 2 } ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) < 0 \} . } \end{array}
{ \cal L } = { \cal L } _ { 1 } + { \cal L } _ { 2 } + { \cal L } _ { 3 } + \frac { g ^ { ' 2 } } { \kappa ^ { 4 } } - \sqrt { 3 } \frac { g ^ { \prime } } { \kappa } \bar { \chi } \tau ^ { 2 } \chi - \frac { \sqrt { 3 } g ^ { \prime } } { 4 \kappa } \bar { \psi } _ { a } \tau ^ { 2 } \gamma ^ { a b } \psi _ { b }
i T _ { c _ { z } } = ( - 1 ) \, i \, g _ { H { c _ { z } } { \overline { { { c } } } _ { z } } } \, \int \frac { d ^ { d } p } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \, \frac { i } { p ^ { 2 } - \xi M _ { Z } ^ { 2 } }
\left( \begin{array} { l } { M _ { 1 } } \\ { M _ { 3 } } \\ { M _ { 4 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \int _ { 0 } ^ { t } F _ { 1 } \big ( I _ { 0 } , \theta _ { 0 } + \Omega ( I _ { 0 } , B _ { 0 } , \chi _ { 0 } ) s , B _ { 0 } , \chi _ { 0 } \big ) d s } \\ { \int _ { 0 } ^ { t } g _ { 3 } \big ( I _ { 0 } , \theta _ { 0 } + \Omega ( I _ { 0 } , B _ { 0 } , \chi _ { 0 } ) s , B _ { 0 } , \chi _ { 0 } \big ) d s } \\ { \int _ { 0 } ^ { t } g _ { 4 } \big ( I _ { 0 } , \theta _ { 0 } + \Omega ( I _ { 0 } , B _ { 0 } , \chi _ { 0 } ) s , B _ { 0 } , \chi _ { 0 } \big ) d s } \end{array} \right) .
\delta ^ { 1 } : \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { 0 } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 }
\frac { \partial I \left( a , b \right) } { \partial a } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { u d u } { \sqrt { { { u } ^ { 2 } } + 1 } ( u - a ) \left( b + \sqrt { { { u } ^ { 2 } } + 1 } \right) } } = \frac { - 2 \sqrt { { { b } ^ { 2 } } - 1 } \mathrm { a r c c o s h } b + \frac { a \left( 2 b \mathrm { a r c s i n h } a + i \pi \left( \sqrt { { { a } ^ { 2 } } + 1 } - b \right) \right) } { \sqrt { { { a } ^ { 2 } } + 1 } } } { { { a } ^ { 2 } } - { { b } ^ { 2 } } + 1 }
{ \begin{array} { r l } { ( a _ { 1 } { \mathbf { e } } _ { 1 } + a _ { 2 } { \mathbf { e } } _ { 2 } + a _ { 3 } { \mathbf { e } } _ { 3 } + a _ { 4 } { \mathbf { e } } _ { 4 } ) } & { + ( b _ { 1 } { \mathbf { e } } _ { 1 } + b _ { 2 } { \mathbf { e } } _ { 2 } + b _ { 3 } { \mathbf { e } } _ { 3 } + b _ { 4 } { \mathbf { e } } _ { 4 } ) = } \\ { ( a _ { 1 } + b _ { 1 } ) { \mathbf { e } } _ { 1 } + ( a _ { 2 } + b _ { 2 } ) { \mathbf { e } } _ { 2 } } & { + ( a _ { 3 } + b _ { 3 } ) { \mathbf { e } } _ { 3 } + ( a _ { 4 } + b _ { 4 } ) { \mathbf { e } } _ { 4 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { M \frac { d } { 2 } \frac { 1 } { \beta _ { k + 1 } } = } \\ & { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \Big ( \frac { \sum _ { q = 1 } ^ { n } \| x _ { p , k + 1 } - x _ { q , k + 1 } \| ^ { 2 } \, \mathrm { e } ^ { - \beta _ { k + 1 } \| x _ { p , k + 1 } - x _ { q , k + 1 } \| ^ { 2 } } \, m _ { q } } { \sum _ { q = 1 } ^ { n } \, \mathrm { e } ^ { - \beta _ { k + 1 } \| x _ { p , k + 1 } - x _ { q , k + 1 } \| ^ { 2 } } \, m _ { q } } \Big ) \, m _ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { a a } = \frac { 1 } { - z - \sum _ { r , s \neq a } R _ { r s } ^ { ( a ) } h _ { a r } h _ { a s } } } & { = \frac { 1 } { - z - m _ { \mathrm { s c } } + \left( m _ { \mathrm { s c } } - \sum _ { r , s \neq a } R _ { r s } ^ { ( a ) } h _ { a r } h _ { a s } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 / m _ { \mathrm { s c } } + \left( m _ { \mathrm { s c } } - \sum _ { r , s \neq a } R _ { r s } ^ { ( a ) } h _ { a r } h _ { a s } \right) } } \\ & { = \frac { m _ { \mathrm { s c } } } { 1 + m _ { \mathrm { s c } } \left( m _ { \mathrm { s c } } - \sum _ { r , s \neq a } R _ { r s } ^ { ( a ) } h _ { a r } h _ { a s } \right) } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { n } m _ { \mathrm { s c } } ^ { i + 1 } \left( \sum _ { r , s \neq a } R _ { r s } ^ { ( a ) } h _ { a r } h _ { a s } - m _ { \mathrm { s c } } \right) ^ { j } + O _ { \prec } \left( m _ { \mathrm { s c } } ^ { n } \Psi ^ { n } \right) } \\ & { = O _ { \prec , \mathsf { e v e n } } ( 1 ) + O _ { \prec } \left( m _ { \mathrm { s c } } ^ { n } \Psi ^ { n } \right) , } \end{array}
\mathbf { w } _ { ( 1 ) } = { \underset { \Vert \mathbf { w } \Vert = 1 } { \operatorname { \arg \, m a x } } } \, \{ \Vert \mathbf { X w } \Vert ^ { 2 } \} = { \underset { \Vert \mathbf { w } \Vert = 1 } { \operatorname { \arg \, m a x } } } \, \left\{ \mathbf { w } ^ { T } \mathbf { X ^ { T } } \mathbf { X w } \right\}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \rho } _ { 1 2 } } & { { } = } & { \rho _ { 1 2 } + i b F / \omega , } \\ { \tilde { \rho } _ { 1 1 } } & { { } = } & { \rho _ { 1 1 } - i b F / \omega , } \\ { \tilde { \rho } _ { 2 2 } } & { { } = } & { \rho _ { 2 2 } - i b F / \omega , } \\ { \Delta } & { { } = } & { ( P \tilde { \rho } _ { 2 2 } + R \tilde { \rho } _ { 1 1 } - 2 Q \tilde { \rho } _ { 1 2 } ) ^ { 2 } } \end{array}