harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \dot { \theta } _ { i } = \mathcal { H } ( p _ { i } ) \left[ \omega _ { i } - \sum _ { j \in \mathcal { K } } \mathcal { H } ( p _ { j } ) \mathcal { K } _ { i j } \sigma _ { i j } \sin ( \theta _ { i } - \theta _ { j } - \Phi _ { i j } ) \right] , \; \; i \in \mathcal { K } , } \\ { \dot { p } _ { i } = \mathcal { H } ( p _ { i } ) \left[ \sum _ { h \in \mathcal { M } } \mathcal { H } ( p _ { h } ) \mathcal { M } _ { i h } \frac { \Gamma _ { i , h } + \Gamma _ { h , i } } { 2 } ( \delta _ { h } p _ { h } - \delta _ { i } p _ { i } ) \frac { \cos ( \theta _ { h } - \theta _ { i } ) + 1 } { 2 } \right. } \\ { - \left. \sum _ { k \in \mathcal { E } } \mathcal { H } ( p _ { k } ) \mathcal { E } _ { i k } \kappa _ { i k } p _ { k } \mathrm { d } _ { k } \frac { \sin ( \theta _ { k } - \theta _ { i } ) + 1 } { 2 } O _ { k } , \right] , \; \; i \in \mathcal { K } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } { \psi } _ { 0 } \left( x \right) } & { = { a } \sin \left( \frac { \lambda \pi } { \ell } x \right) \, , \quad { \psi } _ { 1 } \left( x \right) } & { = } & { \frac { a } { 2 } \sin \left( \frac { \lambda \pi } { \ell } x \right) \, , \quad f \left( x , t \right) = 0 \, , } \\ { \alpha \left( t \right) } & { = \frac { { \ell } ^ { 3 } - b } { 4 \ell { \lambda } ^ { 2 } { \pi } ^ { 2 } { \left( 1 + t \right) } ^ { 2 } } \, , \quad \beta \left( t \right) } & { = } & { \frac { b } { 2 { a } ^ { 2 } { \lambda } ^ { 4 } { \pi } ^ { 4 } { \left( 1 + t \right) } ^ { 3 } } \, , \quad 0 < b < { \ell } ^ { 3 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j r } | \lambda _ { j } \ast [ ( I - S _ { t } ^ { \mathbb { K } } ) u ] | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } } & { = \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j r } \left| \lambda _ { j } \ast \sum _ { k = N + 1 } ^ { \infty } \psi _ { k } \ast \phi _ { k } \ast u \right| _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } } \\ & { \leq 2 ^ { j r } \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } \sum _ { k = N + 1 } ^ { \infty } | \lambda _ { j } \ast \psi _ { k } | _ { L ^ { 1 } ( - \mathbb { K } ) } | \phi _ { k } \ast u | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } ( \varepsilon _ { S } ; \varepsilon , \gamma ) } & { { } : = E _ { N _ { s } } ( \varepsilon - \varepsilon _ { S } ) - \frac { 1 } { \beta } \log { \Omega _ { N _ { s } } ( \varepsilon _ { S } , \gamma ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { r - 1 } } & { : = C _ { r - 1 } - ( | \mathfrak { p } | ^ { r } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } ) C _ { 1 } } \\ & { + \sum _ { i = 2 } ^ { r / 2 - 1 } ( | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 i + 1 } + | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 i } ) C _ { i } } \\ & { - \sum _ { i = r / 2 } ^ { r - 2 } ( | \mathfrak { p } | ^ { i + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } } + | \mathfrak { p } | ^ { i - \frac { r } { 2 } + 1 } - 1 ) ( C _ { i } - | \mathfrak { p } | C _ { i + 1 } ) . } \end{array}
\partial _ { t } f ( t , \vec { x } , \vec { v } ) + [ \mathcal { H } _ { 0 } , f ( t , \vec { x } , \vec { v } ) ] _ { P } - \partial _ { \vec { v } } f ( \vec { x } , \vec { v } , t ) \cdot \int d \vec { v } \ [ T \, \nabla f ( \vec { x } , \vec { v } , t ) ] \big ( 1 + \log f ( \vec { x } , \vec { v } , t ) \big ) = \mathcal { C }
\widehat { f } ( \xi ) = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \sum _ { j , l = 0 ^ { \prime } } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { l } \frac { ( 2 \xi ) ^ { 4 } } { [ ( 2 l \xi ) ^ { 2 } + ( j ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { g _ { 1 1 } = g _ { 2 2 } } & { { } = 1 \, , } \\ { g _ { 1 2 } = g _ { 2 1 } } & { { } = 0 \, , } \\ { g _ { 1 3 } = g _ { 3 1 } } & { { } = \sin \psi \cos \phi \, , } \\ { g _ { 2 3 } = g _ { 3 2 } } & { { } = \sin \psi \sin \phi \, , } \\ { g _ { 3 3 } } & { { } = \chi ^ { 2 } \, . } \end{array}
\partial _ { z } U = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { 1 } { z - z ^ { \prime } } [ e ^ { U + v - \phi _ { B } } - \beta ] ( z ^ { \prime } ) e ^ { \phi _ { B } ( z ^ { \prime } ) } d ^ { 2 } z ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } & { \rho _ { g } C _ { p , g } \left( \frac { \partial T _ { g } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla T _ { g } \right) = \nabla \cdot ( k _ { g } \nabla T _ { g } ) \, , \, } \\ & { \rho _ { l } C _ { p , l } \left( \frac { \partial T _ { l } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla T _ { l } \right) = \nabla \cdot ( k _ { l } \nabla T _ { l } ) \, } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( { \begin{array} { l } { r ( 0 ) } \\ { r ( 1 ) } \\ { r ( - 1 ) } \\ { r ( - 2 ) } \\ { r ( \infty ) } \end{array} } \right) } & { = \left( { \begin{array} { l l l l l } { 0 ^ { 0 } } & { 0 ^ { 1 } } & { 0 ^ { 2 } } & { 0 ^ { 3 } } & { 0 ^ { 4 } } \\ { 1 ^ { 0 } } & { 1 ^ { 1 } } & { 1 ^ { 2 } } & { 1 ^ { 3 } } & { 1 ^ { 4 } } \\ { ( - 1 ) ^ { 0 } } & { ( - 1 ) ^ { 1 } } & { ( - 1 ) ^ { 2 } } & { ( - 1 ) ^ { 3 } } & { ( - 1 ) ^ { 4 } } \\ { ( - 2 ) ^ { 0 } } & { ( - 2 ) ^ { 1 } } & { ( - 2 ) ^ { 2 } } & { ( - 2 ) ^ { 3 } } & { ( - 2 ) ^ { 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l } { r _ { 0 } } \\ { r _ { 1 } } \\ { r _ { 2 } } \\ { r _ { 3 } } \\ { r _ { 4 } } \end{array} } \right) } \\ & { = \left( { \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 2 } & { 4 } & { - 8 } & { 1 6 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l } { r _ { 0 } } \\ { r _ { 1 } } \\ { r _ { 2 } } \\ { r _ { 3 } } \\ { r _ { 4 } } \end{array} } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\| \nabla \left( \Bar { \phi } _ { r } \right) ( x ) \right\| _ { 2 } } & { \le \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left\| \left( \phi \left( y \right) - \phi \left( x \right) \right) \left( \nabla \rho _ { r } \right) \left( x - y \right) \right\| _ { 2 } \mathrm { d } y } \\ & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left| \phi \left( y \right) - \phi \left( x \right) \right| \left| \nabla \rho _ { r } \left( x - y \right) \right| \mathrm { d } y \le \omega _ { \phi } ( r ) \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left| \nabla \rho _ { r } \left( y \right) \right| \mathrm { d } y } \\ & { = \omega _ { \phi } ( r ) \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left| \frac { 1 } { r ^ { d + 1 } } \nabla \rho \left( \frac { y } { r } \right) \right| \mathrm { d } y = \omega _ { \phi } ( r ) \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left| \frac { 1 } { r ^ { d + 1 } } \nabla \rho \left( z \right) \right| r ^ { d } \mathrm { d } z } \\ & { \le \frac { ( d + 2 ) \omega _ { \phi } ( r ) } { r } } \end{array}
\frac { 2 \Omega U _ { \mathrm { R } } } { \ell } \sim \frac { U _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } { \ell _ { \perp } ^ { 2 } } \sim \frac { \alpha g \delta T _ { \mathrm { R } } } { \ell _ { \perp } } \, ,
p _ { v e c } ( \mathbf { v } | \hat { \mathcal { G } } ) = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) | \operatorname* { d e t } J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) | | \operatorname* { d e t } J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } } ( \mathbf { v } ) |
I m \rho _ { 1 , - 1 } ^ { V } ( z , k _ { \perp } | a , f ) = \frac { P _ { f } \sin { \beta } } { 3 + P _ { f } P _ { z } } [ \sin { 2 \gamma } ( P _ { z } \sin { \beta } - P _ { x } \cos { \beta } ) + P _ { y } \cos { 2 \gamma } ] ,
\begin{array} { c c c } { { \psi ^ { a + } } } & { { = - \frac 1 { \sqrt { 2 } } \left( \chi ^ { a } + \overline { { { \chi } } } ^ { a } \right) } } & { { } } \\ { { \psi ^ { a - } } } & { { = - \frac i { \sqrt { 2 } } \left( \chi ^ { a } - \overline { { { \chi } } } ^ { a } \right) } } & { { } } \end{array}
= \frac { d } { d \nu } \left[ \int \int d ^ { 3 } x \left( \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) + \nu \hat { \chi } ( \textbf { x } ) \right) \delta ^ { 3 } ( X _ { g y } + \rho - x ) \right] \left| _ { \nu = 0 } \right.
\begin{array} { r } { \bar { Q } _ { \mathrm { y } } = I _ { N + 1 } \otimes \mathrm { d i a g } \left( \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { F _ { \mathrm { t 0 } } ^ { 2 } N } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 0 0 } { T _ { \mathrm { s 0 } } ^ { 2 } N } } \end{array} \right] , \ldots , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { F _ { \mathrm { t 0 } } ^ { 2 } N } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 0 0 } { T _ { \mathrm { s 0 } } ^ { 2 } N } } \end{array} \right] \right) } \end{array}
\langle x _ { f } | e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } { \hat { H } } ( t - t _ { 1 } ) } F _ { 1 } ( { \hat { x } } ) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } { \hat { H } } ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } F _ { 2 } ( { \hat { x } } ) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } { \hat { H } } ( t _ { 2 } ) } | x _ { i } \rangle = \int _ { x ( 0 ) = x _ { i } } ^ { x ( t ) = x _ { f } } { \mathcal { D } } [ x ] F _ { 1 } ( x ( t _ { 1 } ) ) F _ { 2 } ( x ( t _ { 2 } ) ) e ^ { { \frac { i } { \hbar } } \int d t L ( x ( t ) , { \dot { x } } ( t ) ) }
- \beta P ^ { \mathrm { ~ l ~ } } v _ { 0 } = \ln ( 1 - \phi ^ { \mathrm { ~ l ~ } } ) - ( 1 - N _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) \frac { \phi ^ { \mathrm { ~ l ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ p ~ } } } + \frac { 1 } { 2 } \phi ^ { \mathrm { ~ l ~ } } = 0
\begin{array} { r } { \psi _ { \pm } ( \tilde { q } ) = \left( \frac { 4 } { 3 } v ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \begin{array} { l } { ( 1 + v ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { v } \end{array} \right) \bigg \vert _ { v = v _ { \pm } ( \tilde { q } ) } , \quad v _ { \pm } ^ { 2 } ( \tilde { q } ) = \frac { ( 2 \tilde { q } - 1 ) \mp \sqrt { \tilde { q } ( 4 \tilde { q } - 3 ) } } { 4 ( 1 - \tilde { q } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 1 } h \ddot { u } _ { \alpha } - \rho _ { 2 } h ^ { 3 } \ddot { u } _ { \beta , \beta \alpha } = n _ { \alpha \beta , \beta } } \\ & { \rho _ { 1 } h \ddot { \bar { u } } = q _ { \alpha , \alpha } , } \\ & { \rho _ { 3 } h ^ { 3 } \ddot { \psi } _ { \alpha } = - m _ { \alpha \beta , \beta } - q _ { \alpha } , } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d ^ { 2 } \sigma \left( \, - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { - \gamma } \gamma ^ { m n } \Pi _ { m } ^ { r } \Pi _ { n } ^ { s } \eta _ { r s } + \frac { 1 } { 2 ! } \epsilon ^ { m n } \Pi _ { m } ^ { A } \Pi _ { n } ^ { B } B _ { B A } \, \right) ~ ,
E _ { z } = \left\{ \begin{array} { l } { a _ { 1 } e ^ { i k _ { 0 } y } + b _ { 1 } e ^ { - i k _ { 0 } y } \quad y \leqslant - d / 2 , } \\ { b _ { 2 } e ^ { i k _ { 0 } y } + a _ { 2 } e ^ { - i k _ { 0 } y } \quad y \geqslant - d / 2 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | \mathcal { P } \varphi | ^ { 2 } \geq } & { \frac { n } { n - 1 } | \nabla _ { 1 } \varphi | ^ { 2 } - \frac { 2 } { n - 1 } f \langle \nabla _ { 1 } \varphi , e _ { 1 } \cdot \sigma \varphi \rangle + \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } f ^ { 2 } | \varphi | ^ { 2 } } \\ { = } & { \frac { 1 } { 4 c } | \nabla _ { 1 } \varphi | ^ { 2 } + \beta \left| \nabla _ { 1 } \varphi - \frac { 1 } { \beta ( n - 1 ) } f e _ { 1 } \cdot \sigma \varphi \right| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } - \frac { 1 } { \beta ( n - 1 ) ^ { 2 } } \right) f ^ { 2 } | \varphi | ^ { 2 } } \\ { \ge } & { \frac { 1 } { 4 c } | \nabla _ { 1 } \varphi | ^ { 2 } + \underbrace { \left( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } - \frac { 1 } { \beta ( n - 1 ) ^ { 2 } } \right) } _ { \beta _ { 1 } } f ^ { 2 } | \varphi | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { x \in \ker D ^ { k - 1 } } } & { { } \left\lVert \frac { \beta ^ { ( - ) } } { \sigma _ { * } ^ { ( - ) } } + x \right\rVert _ { \infty } = 1 , \ } \\ { \operatorname* { m i n } _ { x \in \ker B ^ { k + 1 } } } & { { } \left\lVert \frac { \beta ^ { ( + ) } } { \sigma _ { * } ^ { ( + ) } } + x \right\rVert _ { \infty } = 1 \, . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { s _ { n } } \int _ { \Omega } Z _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { ( 3 ) } \cdot \nabla \varphi w _ { n } \, \mathrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { s _ { n } } \int _ { \Omega } Z _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { ( 3 ) } \cdot \nabla \varphi \hat { w } _ { n } \, \mathrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { s _ { n } ^ { 2 } } \int _ { \Omega } Z _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { ( 3 ) } \cdot \nabla \varphi ( y _ { n } - \bar { y } ) \, \mathrm { d } x
f _ { k } ( x ) = \left. { \frac { e ^ { - i k \cdot x } } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( 2 \omega _ { k } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \right| _ { k ^ { 0 } = \omega _ { k } }
s ^ { M } = { \frac { 1 } { 2 } } \int d \Omega d \Omega ^ { \prime } [ { \bf p } \times { \bf p } ^ { \prime } ] ( { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime } ) { \cal N } ( { \bf r } , { \bf p } , t ) { \cal N } ( { \bf r } ^ { \prime } , { \bf p } ^ { \prime } , t ) ,
u ( { \mathbf \xi } ) = \int _ { \Gamma _ { i } } Q ( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } ) u ( \mathbf { x } ) \ d \Gamma _ { \mathbf { x } } + \int _ { \Omega _ { i } } G ( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } ) f ( \mathbf { x } ) \ d \Omega _ { \mathbf { x } } + \int _ { \Omega _ { i } } - \lambda u \left( \mathbf { x } \right) \ G ( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } ) \ d \Omega _ { \mathbf { x } } ,
\begin{array} { r l } { m = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, k \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } } & { = \frac 3 2 e \, ( X _ { k } ^ { - 4 , 1 } - \, X _ { k } ^ { - 4 , - 1 } ) \ , } \\ { m = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, k \, X _ { k } ^ { - 3 , 1 } } & { = 2 e \, X _ { k } ^ { - 4 , 2 } + X _ { k } ^ { - 4 , 1 } - e \, X _ { k } ^ { - 4 , 0 } \ , } \\ { m = 2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, k \, X _ { k } ^ { - 3 , 2 } } & { = \frac 5 2 e \, X _ { k } ^ { - 4 , 3 } + 2 \, X _ { k } ^ { - 4 , 2 } - \frac 1 2 e \, X _ { k } ^ { - 4 , 1 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in \mathrm { S u p p } ( \Xi _ { \rho } ) : | \Xi _ { T _ { 1 } \rho T _ { 1 } ^ { \dag } } ( \vec { p } , \vec { q } ) | \neq 1 } | \Xi _ { T _ { 1 } \rho T _ { 1 } ^ { \dag } } ( \vec { p } , \vec { q } ) | \geqslant \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \operatorname* { m a x } _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in \mathrm { S u p p } ( \Xi _ { \rho } ) : | \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) | \neq 1 } | \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) | \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \iint \left\vert \sum _ { k = 0 } ^ { M } k e ^ { i k x } \frac { e ^ { i \Lambda ( k ) y } ( \Lambda ( k ) e ^ { i y } - \Lambda ( k ) - 1 ) + 1 } { y ^ { 2 } } \left\langle \Lambda ( k ) \right\rangle ^ { r } \right\vert \, \textnormal { d } x \, \textnormal { d } y } \\ & { \quad \leq \iint \left\vert \sum _ { k = 0 } ^ { M } k e ^ { i k x } \frac { e ^ { i \Lambda ( k ) y } ( \Lambda ( k ) e ^ { i y } - \Lambda ( k ) - 1 ) + 1 } { y ^ { 2 } } \right\vert \, \textnormal { d } x \, \textnormal { d } y } \\ & { \qquad + \sum _ { \nu = 1 } ^ { r } \binom { r } { \nu } \iint \left\vert \sum _ { k = 0 } ^ { M } k e ^ { i k x } \frac { e ^ { i \Lambda ( k ) y } ( \Lambda ( k ) e ^ { i y } - \Lambda ( k ) - 1 ) + 1 } { y ^ { 2 } } \{ \Lambda ( k ) \} ^ { \nu } \right\vert \, \textnormal { d } x \, \textnormal { d } y , } \end{array}
d s ^ { 2 } = - 4 ( u ^ { 2 } + 2 m ) \, d u ^ { 2 } - ( u ^ { 2 } + 2 m ) ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ^ { 2 } ) + { \frac { u ^ { 2 } } { u ^ { 2 } + 2 m } } \, d t ^ { 2 }
\displaystyle \left\lvert \sum _ { \phi \in \mathcal { B } _ { P , \pi } } E ( g , I _ { P } ( \lambda , f ^ { \prime } ) \phi , \lambda ) \overline { { \beta _ { \eta } ( W ( \phi , \lambda ) ) } } \right\rvert = \lvert \beta _ { \eta } ( K _ { f ^ { \prime } } ( g , . ) _ { \Pi _ { \lambda } } ) \rvert \ll _ { d , f ^ { \prime } } \lVert g \rVert _ { G } ^ { N _ { d } } ( 1 + \lVert \lambda \rVert ) ^ { - d }
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } c _ { n + 2 } ^ { * } \sqrt { \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) } , } \\ { B } & { { } = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } c _ { n + 1 } ^ { * } \sqrt { n + 1 } , } \\ { C } & { { } = } & { 1 + 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n | c _ { n } | ^ { 2 } . } \end{array}
U = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } , \qquad L = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 2 } & { 1 } \end{array} \right] } .
A _ { x } [ l , k ] = ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \psi } _ { k } ^ { \mathcal { N } } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \psi } _ { l } ^ { \mathcal { N } } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \quad M _ { x } [ l , k ] = ( \epsilon \vec { \psi } _ { k } ^ { \mathcal { N } } , \vec { \psi } _ { l } ^ { \mathcal { N } } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ,
\begin{array} { r l } & { \varepsilon ( \partial _ { t } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 \gamma } ) b _ { j } + ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { j } } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { j } ) a - 4 \pi \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \gamma \psi } \partial _ { x _ { j } } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \partial _ { x _ { j } } c } \\ & { \ \ \ + \partial _ { x _ { k } } \langle \mathfrak h _ { j k } , \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } + \langle \mathfrak h _ { j } , \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } = - e ^ { \gamma \psi } \langle \mathfrak h _ { j } , \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } \mathfrak h \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( T _ { s } ) } & { = c ^ { \prime } \cdot \theta _ { k ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } + b ^ { \prime } } \\ & { = c ^ { \prime } \cdot \left( \theta _ { ( k + 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \cdot T _ { s ^ { \prime } } \cdot \theta _ { - ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } - ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) \theta _ { ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } \right) } \\ & { = c ^ { \prime } \cdot \theta _ { ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \cdot \left( \theta _ { ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } - ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) \theta _ { ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } \right) \cdot \theta _ { - ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } . } \end{array}
{ \frac { \sqrt { n } } { { \hat { \sigma } } _ { D } } } > 1 . 6 4 - z _ { 0 . 1 0 } = 1 . 6 4 + 1 . 2 8 \approx 2 . 9 2 \qquad { \mathrm { o r } } \qquad n > 8 . 5 6 { \hat { \sigma } } _ { D } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } Q _ { u } } { \textnormal { d } z } } & { = 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) - 2 r _ { u } \omega _ { d } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } Q _ { d } } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { = 2 r _ { d } ( - \omega _ { f } ) - 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) + 2 r _ { u } \omega _ { d } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } M _ { u } } { \textnormal { d } z } } & { = B _ { u } + 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) ( - w _ { d } ) - 2 r _ { u } \omega _ { d } w _ { u } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } M _ { d } } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { = B _ { d } + 2 r _ { u } \omega _ { d } ( - w _ { u } ) - 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) w _ { d } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } F _ { u } } { \textnormal { d } z } } & { = 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) ( - b _ { d } ) - 2 r _ { u } \omega _ { d } b _ { u } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } F _ { d } } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { = 2 r _ { u } \omega _ { d } ( - b _ { u } ) - 2 r _ { u } ( - \omega _ { i } ) b _ { d } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { X , + } ( \Delta \omega , \phi ) } & { { } = \frac { \hat { I } _ { X _ { e } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) + \left[ \hat { I } _ { X _ { o } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) \cos \phi - \hat { I } _ { P _ { o } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) \sin \phi \right] } { \sqrt { 2 } } , } \\ { \hat { I } _ { P , - } ( \Delta \omega , \phi ) } & { { } = \frac { \hat { I } _ { P _ { e } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) - \left[ \hat { I } _ { X _ { o } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) \sin \phi + \hat { I } _ { P _ { o } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) \cos \phi \right] } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { \mathrm { g e n } } ( \tau ) = \frac { \omega _ { \mathrm { i n f } } ( \tau ) \Psi _ { \mathrm { r e m } } ( \tau ) } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } { \omega _ { \mathrm { i n f } } ( \tau ^ { \prime } ) \Psi _ { \mathrm { r e m } } ( \tau ^ { \prime } ) d \tau ^ { \prime } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \phi } & { { } = \frac { q } { \epsilon _ { 0 } V } } \\ { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r } \left( r ^ { 2 } \frac { \partial \phi } { \partial r } \right) } & { { } = \frac { q } { \epsilon _ { 0 } V } } \\ { \phi } & { { } = \frac { q r ^ { 2 } } { 6 \epsilon _ { 0 } V } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { w } ^ { T } \tilde { \mathbf { \Gamma } } \vec { w } } & { = \frac { 1 } { v _ { \mathbf { k _ { 0 } } } } \sum _ { \beta , \beta ^ { \prime } } \Big [ \left< \left| \Sigma _ { \beta , \beta ^ { \prime } , - { \mathbf { k } _ { 0 } } , - { \mathbf { k } _ { 0 } } } \right| ^ { 2 } \right> _ { S _ { \phi } ^ { \prime } } } \\ & { - \left< \Sigma _ { \beta , \beta ^ { \prime } , - { \mathbf { k } _ { 0 } } , - { \mathbf { k } _ { 0 } } } \right> _ { S _ { \phi } ^ { \prime } } \left< \Sigma _ { \beta , \beta ^ { \prime } , - { \mathbf { k } _ { 0 } } , - { \mathbf { k } _ { 0 } } } ^ { * } \right> _ { S _ { \phi } ^ { \prime } } \Big ] \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { { } \xrightarrow { \mathrm { ~ l ~ a ~ r ~ g ~ e ~ } x } } & { ( - i ) ^ { l + 1 } \frac { e ^ { i x } } { x } , } \\ { h _ { l } ^ { ( 2 ) } ( x ) } & { { } \xrightarrow { \mathrm { ~ l ~ a ~ r ~ g ~ e ~ } x } } & { i ^ { l + 1 } \frac { e ^ { - i x } } { x } . } \end{array}
\partial _ { t } ( h _ { t } + \partial _ { x } h ^ { 2 } ) - \partial _ { x } \left( \mathscr { N } h + \partial _ { x } \left( \frac { h ^ { 2 } } { 2 } \right) - \partial _ { x } \mathscr { N } ( h \mathscr { N } h ) + \partial _ { x } \left( \frac { ( \mathscr { N } h ) ^ { 2 } } { 2 } \right) \right) = 0 ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { R _ { 0 } } = ( I _ { \infty } + S _ { \infty } - I _ { 0 } - S _ { 0 } ) \frac { a } { l n \frac { | c s c ( a S _ { 0 } ) + c o t ( a S _ { 0 } ) | } { | c s c ( a S _ { \infty } ) + c o t ( a S _ { \infty } ) | } } } \end{array}
\mathop { m i n } _ { G } \mathop { m a x } _ { D } ~ V ( D , G ) = \mathbb { E } _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } [ \log D ( x ) ] + \mathbb { E } _ { z \in \mathbb { R } ^ { d } } [ \log ( 1 - D ( G ( z ) ) ] .
\{ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \} _ { \mathrm { c . b . } } = W _ { ~ 1 2 } ^ { 0 } + \left\{ \theta _ { 1 } [ \theta _ { 2 } , r ] \right\} + \mathrm { T r } _ { 3 4 } ( W _ { ~ 1 2 3 4 } ^ { 2 } \theta _ { 3 } \theta _ { 4 } ) + \mathrm { T r } _ { 3 4 5 6 } ( W _ { ~ 1 2 3 4 5 6 } ^ { 4 } \theta _ { 3 } \theta _ { 4 } \theta _ { 5 } \theta _ { 6 } ) \ldots .
{ \cal Q } ( \Delta _ { k } ) = \left\{ \psi ( q ) - \psi ^ { \prime } ( q ) \sum \Delta _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \psi " ( q ) ( \sum \Delta _ { k } ) ^ { 2 } \right\} X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 }
\Phi ( \omega ; \lambda ) \sim { \frac { 2 \omega ^ { D - 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { ( D - 1 ) / 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { a _ { n } ( \lambda ) } { \Gamma \left( { \frac { D - 1 } { 2 } } - n \right) } } \omega ^ { - 2 n } .
\begin{array} { r } { \psi _ { 1 } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { E _ { 1 } - E _ { 2 } } { \sqrt { ( E _ { 1 } - E _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } } \right) e ^ { - i \gamma _ { + } t } + \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { E _ { 1 } - E _ { 2 } } { \sqrt { ( E _ { 1 } - E _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } } \right) e ^ { - i \gamma _ { - } t } , } \end{array}