harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
J _ { \vec { a } \vec { b } } ^ { \vec { \alpha } } ( w ) = \frac { \omega ^ { - \alpha _ { 2 } ( \alpha _ { 1 } + 1 ) } \sigma _ { 2 \vec { \alpha } - \vec { a } + \vec { b } } ( 0 ) } { ( \sigma _ { \vec { \alpha } } \sigma _ { \vec { a } - \vec { \alpha } } \sigma _ { \vec { a } - \vec { b } - \vec { \alpha } } \sigma _ { \vec { b } + \vec { \alpha } } ) ( w / n ) } .
\{ F _ { 1 } , F _ { 2 } \} _ { \mathrm { S E } } = \frac { 1 } { i } \int { \left( \frac { \delta F _ { 1 } } { \delta \psi ^ { * } } \frac { \delta F _ { 2 } } { \delta \psi } - \frac { \delta F _ { 1 } } { \delta \psi } \frac { \delta F _ { 2 } } { \delta \psi ^ { * } } \right) \ \mathrm { d } { \bf x } _ { 1 } \cdots \mathrm { d } { \bf x } _ { N } } ,
\begin{array} { r l } { \ell ( \theta , Y _ { 0 : n } ) } & { = \log L ( \theta ; Y _ { 0 : n } ) = \log \langle M _ { n } \pi \rangle } \\ & { = \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \langle M _ { t } \pi \rangle } { \langle M _ { t - 1 } \pi \rangle } + \log \langle M _ { 0 } \pi \rangle } \\ & { = : \sum _ { t = 1 } ^ { n } g ^ { 0 } ( M _ { t } ^ { 0 } , M _ { t - 1 } ^ { 0 } ) + g _ { 0 } ^ { 0 } ( M _ { 0 } ^ { 0 } ) , } \end{array}
\left| { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { d i r } } ( B _ { d } ^ { 0 } \to \pi ^ { - } K ^ { + } ) \right| _ { \mathrm { m a x } } = 2 \, \frac { r } { R } \, \left( 1 - | C | \right)
I \equiv \int _ { 0 } ^ { Q ^ { 2 } } \frac { k ^ { 2 } d k ^ { 2 } } { Q ^ { 4 } } \ln ^ { n } \frac { Q ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { n _ { 0 } } t ^ { n } e ^ { - 2 t } d t - \frac { m ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { n _ { 0 } } t ^ { n } e ^ { - t } d t
t _ { n } = \langle \bar { \phi } _ { n x } ( \vec { r } ) | - \frac { 1 } { 2 } \, \hat { \nabla } ^ { 2 } | \bar { \phi } _ { n x } ( \vec { r } ) \rangle = \langle \bar { \phi } _ { n y } ( \vec { r } ) | - \frac { 1 } { 2 } \, \hat { \nabla } ^ { 2 } | \bar { \phi } _ { n y } ( \vec { r } ) \rangle = \langle \bar { \phi } _ { n z } ( \vec { r } ) | - \frac { 1 } { 2 } \, \hat { \nabla } ^ { 2 } | \bar { \phi } _ { n z } ( \vec { r } ) \rangle
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 3 , * } \Phi _ { 6 } } & { = \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } ( \mathcal { B } _ { 3 , * } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { B } _ { 3 , * } \mathcal { A } _ { 1 , * } ) } \\ & { = \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { B } _ { 3 , * } + \varepsilon ^ { 4 } \left( \tilde { \mathcal { A } } _ { 1 , * } \mathcal { B } _ { 3 , * } + \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 3 , * } \mathcal { A } _ { 1 , * } \right) . } \end{array}
S _ { E } [ \varphi ] = \int d ^ { 4 } { x } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( { \frac { \partial \varphi } { \partial \tau } } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla \varphi ) ^ { 2 } + U ( \varphi ) \right] .
\frac { \partial \mathcal { P } _ { s } } { \partial t } - q _ { s } ( n _ { s } \mathrm { ~ s ~ y ~ m ~ } ( \mathbf { u } _ { s } \otimes \mathbf { E } ) + \frac { 1 } { m _ { s } } \mathrm { ~ s ~ y ~ m ~ } ( \mathcal { P } _ { s } \times \mathbf { B } ) ) + \nabla \cdot \mathcal { Q } _ { s } = 0 .
d _ { t } \left[ \begin{array} { c } { \boldsymbol { \eta } _ { i } } \\ { \boldsymbol { \eta } _ { c } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { \boldsymbol { \nabla } _ { \boldsymbol { i } } \otimes \boldsymbol { F } ( { \boldsymbol { i } } , { \boldsymbol { c } } ) } & { \boldsymbol { \nabla } _ { \boldsymbol { c } } \otimes \boldsymbol { F } ( { \boldsymbol { i } } , { \boldsymbol { c } } ) } \\ { \boldsymbol { \nabla } _ { \boldsymbol { i } } \otimes \boldsymbol { G } ( { \boldsymbol { i } } , { \boldsymbol { c } } ) } & { \boldsymbol { \nabla } _ { \boldsymbol { c } } \otimes \boldsymbol { G } ( { \boldsymbol { i } } , { \boldsymbol { c } } ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \boldsymbol { \eta } _ { \boldsymbol { i } } } \\ { \boldsymbol { \eta } _ { \boldsymbol { c } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { l } { { 3 ( 3 , 2 ) _ { ( 1 , - 1 , 0 , 0 , 0 ^ { 3 } ) } + 3 ( \bar { 3 } , 1 ) _ { ( - 1 , 0 , 1 , 0 , 0 ^ { 3 } ) } + 3 ( \bar { 3 } , 1 ) _ { ( - 1 , 0 , 0 , 1 , 0 ^ { 3 } ) } } } \\ { { + 3 ( 1 , 2 ) _ { ( 0 , 1 , 0 , 0 , \underline { { { - 1 , 0 , 0 } } } ) } + 3 ( 1 , 1 ) _ { ( 0 , 0 , - 1 , 0 , \underline { { { 1 , 0 , 0 } } } ) } + 3 ( 1 , 1 ) _ { ( 0 , 0 , 0 , - 1 , \underline { { { 1 , 0 , 0 } } } ) } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textrm { T r } \, { \mathbb { E } } \left[ \overline { { \mathbf { G } } } _ { m _ { t } m _ { r } } \overline { { \mathbf { G } } } _ { m _ { t } m _ { r } } ^ { H } \right] } \\ & { = \textrm { T r } \, { \mathbb { E } } \left[ \left\lvert \alpha _ { m _ { t } m _ { r } } \right\rvert ^ { 2 } { \mathbf { a } } ( \theta _ { m _ { r } } ) { \mathbf { a } } ^ { H } ( \theta _ { m _ { t } } ) \overline { { { \mathbf { F } } } } _ { m _ { t } } \overline { { { \mathbf { F } } } } _ { m _ { t } } ^ { H } { \mathbf { a } } ( \theta _ { m _ { t } } ) { \mathbf { a } } ^ { H } ( \theta _ { m _ { r } } ) \right] } \\ & { = \zeta _ { m _ { t } m _ { r } } ^ { 2 } \textrm { T r } \, { \mathbb { E } } \left[ { \mathbf { a } } ^ { H } ( \theta _ { m _ { t } } ) \overline { { { \mathbf { F } } } } _ { m _ { t } } \overline { { { \mathbf { F } } } } _ { m _ { t } } ^ { H } { \mathbf { a } } ( \theta _ { m _ { t } } ) \underbrace { { \mathbf { a } } ^ { H } ( \theta _ { m _ { r } } ) { \mathbf { a } } ( \theta _ { m _ { r } } ) } _ { = N _ { r } } \right] } \\ & { = \zeta _ { m _ { t } m _ { r } } ^ { 2 } N _ { r } \left\lVert { \mathbf { a } } ^ { H } ( \theta _ { m _ { t } } ) \overline { { { \mathbf { F } } } } _ { m _ { t } } \right\rVert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { a } } ( B _ { t _ { n } } ; W ) } & { { } : = \frac { 1 } { 2 } \left[ a ( \tilde { B } _ { t _ { n + 1 } } ; W ) + a ( B _ { t _ { n } } ; W ) \right] , } \\ { \overline { { \sigma } } ( B _ { t _ { n } } ; W ) } & { { } : = \frac { 1 } { 2 } \left[ \sigma ( \tilde { B } _ { t _ { n + 1 } } ; W ) + \sigma ( B _ { t _ { n } } ; W ) \right] , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { - i \omega } & { - f _ { 0 } } & { i g k } \\ { f _ { 0 } } & { - i \omega } & { i g \ell } \\ { i H k } & { i H \ell } & { - i \omega } \end{array} \right] \times \left[ \begin{array} { c } { \tilde { u } } \\ { \tilde { v } } \\ { \tilde { h } } \end{array} \right] = 0
Q _ { p } = \frac { \sum _ { ( i , j ) \in M _ { i n } ^ { p } } w _ { i j } + 0 . 5 * \sum _ { ( i , j ) \in M _ { o u t } ^ { p } } w _ { i j } - \sum _ { ( i , j ) \in M _ { p } } w _ { i j } } { \sum _ { ( i , j ) \in M _ { p } } w _ { i j } } \times 1 0 0 \
\begin{array} { r l } { B _ { \mathrm { m a x } } ( \omega ) \mathrm { d } \Omega = } & { { } \, \, \frac { S ( \omega ) } { A _ { \mathrm { T H } } } \frac { 2 } { \pi } \left( \frac { \omega w _ { 0 } } { 2 c } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega } \\ { = } & { { } \, \, S ( \omega ) \frac { 4 } { \lambda ^ { 2 } } \mathrm { d } \Omega } \\ { = } & { { } \, \, 4 B _ { \mathrm { P } } ( \omega ) \mathrm { d } \Omega . } \end{array}
{ \cal L } = g _ { \sigma } \, \sigma \partial _ { \mu } \mathrm { \boldmath ~ { \ p i ~ { \cdot } } ~ } \partial ^ { \mu } \mathrm { \boldmath ~ { \ p i } ~ } + g _ { \rho } \, \mathrm { \boldmath ~ { \ r h o } ^ { \ m u } ~ } \mathrm { \boldmath ~ { \cdot ~ \ p i ~ { \times } } ~ } \partial _ { \mu } \mathrm { \boldmath ~ { \ p i } ~ } + g _ { f } \, f _ { \mu \nu } \partial ^ { \mu } \mathrm { \boldmath ~ { \ p i ~ { \cdot } } ~ } \partial ^ { \nu } \mathrm { \boldmath ~ { \ p i } ~ }
\Gamma ( H ^ { - } \to \bar { f } _ { u } f _ { d } ) = \frac { N _ { c } g ^ { 2 } } { 3 2 \pi m _ { W } ^ { 2 } } \left( m _ { f _ { d } } ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \beta + m _ { f _ { u } } ^ { 2 } \cot ^ { 2 } \beta \right) m _ { H ^ { \pm } } \left( 1 - \frac { m _ { f _ { u } } ^ { 2 } } { m _ { H ^ { \pm } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l } { I ( { \bf k } , \omega ) } & { { } = \langle \left( \begin{array} { l } { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { C \dagger } ( \omega ) , \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { X \dagger } ( \omega ) } \end{array} \right) \mathcal { I } ( { \bf k } , \omega ) \left( \begin{array} { l } { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { C } ( \omega ) } \\ { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { X } ( \omega ) } \end{array} \right) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { P _ { 1 } } & { = ( - 1 6 - x , - y ) , } & { P _ { 5 } } & { = ( 1 6 - x , - y ) , } \\ { P _ { 2 } } & { = ( - 1 2 - y , 1 2 + x ) , } & { P _ { 6 } } & { = ( 1 2 - y , - 1 2 + x ) , } \\ { P _ { 3 } } & { = ( - 8 + x , 1 6 + y ) , } & { P _ { 7 } } & { = ( - 8 + x , - 1 6 + y ) , } \\ { P _ { 4 } } & { = ( 1 2 + y , 1 2 - x ) , } & { P _ { 8 } } & { = ( - 1 2 + y , - 1 2 - x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { T \hat { G } } ^ { 2 } ( T _ { r o t } \mathbf { u } ) = T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } ) } & { { } \quad \Leftrightarrow \quad F _ { T \hat { G } } ^ { - 1 } ( T _ { r o t } F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) ) = T _ { r o t } F _ { \hat { G } } ^ { - 1 } ( F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { y } = [ \mathbf { y } _ { C } ^ { T } , \, \mathbf { y } _ { O } ^ { T } ] = [ \mathbf { y } _ { C _ { 1 } } ^ { T } , \, \mathbf { y } _ { C _ { 2 } } ^ { T } , \, \dots , \, \mathbf { y } _ { C _ { c } } ^ { T } , \, \mathbf { y } _ { O _ { 1 } } ^ { T } , \, \mathbf { y } _ { O _ { 2 } } ^ { T } , \, \dots , \, \mathbf { y } _ { O _ { o } } ^ { T } ] ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { * } \partial _ { x } \Psi - \Psi \partial _ { x } \Psi ^ { * } } & { = } & { 2 i \Im [ \Psi ^ { * } \partial _ { x } \Psi ] } \\ & { = } & { 2 i \Im \left[ \Psi ^ { * } \left( \cos \phi \partial _ { r } - \frac { 1 } { r } \sin \phi \partial _ { \phi } \right) \Psi \right] } \\ & { = } & { - \frac { 2 i m } { r } \sin \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } & { { } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \mathrm { s g n } ( x ) \left[ - \frac { \sigma _ { 0 } } { 2 } h \nu t ( x ) \right] , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | > \frac { L } { 2 } } \\ { \displaystyle \sigma _ { 0 } h \nu t ^ { \prime } \frac { x } { L } , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | < \frac { L } { 2 } } \end{array} , \right. } \\ { S _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } & { { } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \mathrm { s g n } ( x ) \left[ \frac { 1 } { 2 } - h \nu t ( x ) \right] , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | > \frac { L } { 2 } } \\ { \displaystyle - h \frac { x } { L } , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | < \frac { L } { 2 } } \end{array} , \right. } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { i } \dot { x } ^ { i } \dot { x } ^ { i } = - \sum _ { i } \dot { x } ^ { i } \dot { x } ^ { i } - \sum _ { i } \dot { x } ^ { i } \left( \Gamma _ { k l } ^ { i } ( x ) \dot { x } ^ { k } \dot { x } ^ { l } + X _ { k } ^ { i } ( x , \dot { x } ) \dot { x } ^ { k } \right)
\widetilde { \Lambda } _ { \mathrm { { D } } } = \left\langle { ( \tilde { \bf { u } } \cdot \nabla ) \overline { { { \bf { u } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } } } \right\rangle = \left\langle { \tilde { u } } ^ { z } \frac { \partial \overline { { { \bf { u } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } } } { \partial z } \right\rangle < 0 .
{ \frac { 2 } { 3 } } s \; = \; { \frac { 2 } { 3 } } \, + \, { \frac { 4 } { 9 } } \, + \, { \frac { 8 } { 2 7 } } \, + \, { \frac { 1 6 } { 8 1 } } \, + \, \cdots .
\frac { d L _ { \nu _ { \alpha } } } { d t } \simeq \left( { \cal N } _ { \nu _ { \alpha } } ^ { + } - { \cal N } _ { \nu _ { s } } ^ { + } \right) \left[ - \Gamma ( \nu _ { \alpha } \to \nu _ { s } ) + \Gamma ( \bar { \nu } _ { \alpha } \to \bar { \nu } _ { s } ) \right] - \left( { \cal N } _ { \nu _ { \alpha } } ^ { - } - { \cal N } _ { \nu _ { s } } ^ { - } \right) \left[ \Gamma ( \nu _ { \alpha } \to \nu _ { s } ) + \Gamma ( \bar { \nu } _ { \alpha } \to \bar { \nu } _ { s } ) \right] ,
Z _ { 2 } \triangleq \left[ \mathbf { h } _ { \hat { m } } ^ { \mathcal { R } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { R } \star } - \mathbf { h } _ { \hat { m } } ^ { \mathcal { I } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { I } \star } \right] \frac { \left| x ^ { \mathcal { R } } \right| } { \sqrt { \bar { \lambda } } } + n _ { \hat { m } } ^ { \mathcal { R } }
P _ { l } \Xi _ { i } ^ { \prime } = ( \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau ) ^ { 2 } P _ { l } \sum _ { j \neq i } \frac { \Xi _ { i } } { \mu _ { j } - \mu _ { i } } \sum _ { k \notin D _ { l } } \Xi _ { i } ^ { \mathrm { T } } \mathcal C _ { s } \Xi _ { k } \frac { 1 } { \lambda _ { D _ { l } } - \lambda _ { k } } \Xi _ { k } ^ { \mathrm { T } } \mathcal C _ { s } \Xi _ { j } \ ,
\begin{array} { r } { \sum _ { i = k ^ { \prime } } ^ { l - 1 } ( - \xi _ { i + 1 } ( u _ { i + 1 } - u _ { i } ) ) = - c \sum _ { i = k ^ { \prime } } ^ { l - 1 } ( u _ { i + 1 } - u _ { i } ) = - c ( u _ { l } - u _ { k ^ { \prime } } ) , } \\ { \sum _ { i = k ^ { \prime } } ^ { l - 1 } v _ { i } ( u _ { i + 1 } - u _ { i } ) = \sum _ { i = k ^ { \prime } } ^ { l - 1 } ( \varphi ( u _ { i + 1 } ) - \varphi ( u _ { i } ) ) = \varphi ( u _ { l } ) - \varphi ( u _ { k ^ { \prime } } ) . } \end{array}
S = { \frac { 2 \pi M ^ { 2 } } { m _ { P } ^ { 2 } } } \left\{ 1 - ( Q ^ { 2 } / 2 M ^ { 2 } ) + \sqrt { [ 1 - ( Q ^ { 2 } / 2 M ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } - ( L ^ { 2 } / G ^ { 2 } M ^ { 4 } ) } \right\} .
( - 1 ) ^ { n } ( - 1 ) ^ { \frac { n ^ { 2 } + n } { 2 } } \delta ( n + 1 ) ( - 1 ) ^ { \frac { n ^ { 2 } - n } { 2 } } = ( n + 1 ) \delta = \tau ^ { \prime \prime } - \tau ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { | T ( z ^ { k } , A ^ { n } ) | } & { \le \binom { n - a } { k _ { \operatorname* { m i n } } } | A _ { \tilde { \epsilon } } ^ { ( n - a - k _ { \operatorname* { m i n } } ) } ( X ) | } \\ & { \le 2 ^ { ( n - a ) H _ { b } \left( \frac { k _ { \operatorname* { m i n } } } { n - a } \right) } | A _ { \tilde { \epsilon } } ^ { ( n - a - \hat { k } ) } ( X ) | } \\ & { \le 2 ^ { ( n - a ) H _ { b } \left( \frac { k _ { \operatorname* { m i n } } } { n - a } \right) } 2 ^ { ( n - a - k _ { \operatorname* { m i n } } ) ( H ( X ) + \tilde { \epsilon } ) } } \\ & { = 2 ^ { n \left[ ( 1 - \frac { a } { n } ) H _ { b } \left( \frac { k _ { \operatorname* { m i n } } } { n - a } \right) + ( 1 - \frac { a } { n } - \frac { k _ { \operatorname* { m i n } } } { n } ) ( H ( X ) + \tilde { \epsilon } ) \right] } } \end{array}
f _ { \alpha } ( y ) = ~ 2 \, \int _ { 0 } ^ { 1 } d x ~ x ~ \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \beta } { 2 \pi } } ~ \delta [ y - ( x \, \cos \alpha - \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \, \sin \alpha \, \cos \beta ) ]
F ^ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { - l _ { x } } } & { { - l _ { y } } } & { { - l _ { z } } } \\ { { l _ { x } } } & { { 0 } } & { { - w _ { z } } } & { { w _ { y } } } \\ { { l _ { y } } } & { { w _ { z } } } & { { 0 } } & { { - w _ { x } } } \\ { { l _ { z } } } & { { - w _ { y } } } & { { w _ { x } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
{ \frac { 1 } { 2 i } } \, ( T - T ^ { * } ) = { \frac { 1 } { 1 6 \sqrt { s } } } \, \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \, { \frac { d \theta } { 2 \pi } } \, | T ( s , \theta ) | ^ { 2 } , \quad 4 \mu ^ { 2 } \le s < 1 6 \mu ^ { 2 } .
\Phi _ { s } ( t ) \equiv \sum _ { { \vec { \mathbf { k } } } } k ^ { ( s , \mathrm { f r e e } ) } ( P _ { \vec { \mathbf { k } } } - S _ { \vec { \mathbf { k } } } ( t ) ) / \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( s , \mathrm { f r e e } ) } P _ { \vec { \mathbf { k } } }
\begin{array} { r l } { S _ { f } ( a , N ) } & { \le \frac { D _ { j } N } { q ^ { 1 / 2 } } + D _ { j } N ^ { 1 / 2 } \Bigg [ ( 2 \alpha _ { j } A _ { j } ) ^ { 1 / 2 } \sqrt { h ^ { 2 / J } N ( q \lambda _ { j + 1 } ) ^ { 1 / ( 2 J - 2 ) } } } \\ & { \qquad \qquad + ( 2 \beta _ { j } B _ { j } ) ^ { 1 / 2 } \sqrt { N ^ { 1 - 2 / J } ( q \lambda _ { j + 1 } ) ^ { - 1 / ( 2 J - 2 ) } } \Bigg ] } \\ & { = \frac { D _ { j } N } { q ^ { 1 / 2 } } + D _ { j } ( 2 \alpha _ { j } A _ { j } ) ^ { 1 / 2 } h ^ { 1 / J } N ( q \lambda _ { j + 1 } ) ^ { 1 / ( 4 J - 4 ) } } \\ & { \qquad \qquad + D _ { j } ( 2 \beta _ { j } B _ { j } ) ^ { 1 / 2 } N ^ { 1 - 1 / J } ( q \lambda _ { j + 1 } ) ^ { - 1 / ( 4 J - 4 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta ^ { \prime } = } & { \tau ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \eta _ { \beta _ { i } } \! + \mu _ { \beta _ { i } } \right) \right. \Big . \Bigg . } \\ & { \left. \quad \quad + q \cdot \tau \left( \eta _ { \beta _ { j } } + \mu _ { \beta _ { j } } \right) \right) \! - \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \mu _ { \beta _ { i } } \right) \! + q \cdot \tau \left( \mu _ { \beta _ { j } } \right) \right) } \\ & { \Bigg . \Big . \quad \quad \! + \zeta ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \zeta \left( \nu _ { \beta _ { i } } \right) \! + q \cdot \zeta \left( \nu _ { \beta _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) } \\ & { \! - \tau ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \zeta ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \zeta \left( \nu _ { \beta _ { i } } \right) \! + q \cdot \zeta \left( \nu _ { \beta _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) , } \end{array}
\langle \epsilon _ { T } \rangle _ { V , t } = - \frac { \kappa _ { f } \Delta ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \langle \partial _ { z } T \rangle _ { x , t , z = 0 } = \frac { \kappa _ { f } \Delta ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } N u .
( t _ { c } ) _ { ~ v } ^ { u } \equiv { \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 2 } } } \left( w _ { \dot { \alpha } } ^ { ~ u } \, ( \tau _ { c } ) _ { ~ \dot { \beta } } ^ { \dot { \alpha } } \, \bar { w } _ { ~ v } ^ { \dot { \beta } } \right) ~ ~ .
\begin{array} { r l } { A _ { \alpha } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { \equiv - i \left\langle T _ { c } \, \hat { a } _ { \alpha } ( \tau _ { 1 } ) \, \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } ( \tau _ { 2 } ) \right\rangle _ { 0 } } \\ { B _ { \beta _ { i } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { \equiv - i \left\langle T _ { c } \, \hat { b } _ { \beta _ { i } } ( \tau _ { 1 } ) \, \hat { b } _ { \beta _ { i } } ^ { \dagger } ( \tau _ { 2 } ) \right\rangle _ { 0 } , } \end{array}
\hat { I } _ { 1 2 } ( \sigma ) = \frac 1 2 \hat { k } _ { 2 } ( \sigma - 2 \omega ) \left[ \hat { I } _ { 1 2 } ^ { p } ( \sigma ) + \mathrm { i } \, \Delta \hat { I } ^ { p } ( \sigma ) \right] + \frac 1 2 \hat { k } _ { 2 } ( \sigma + 2 \omega ) \left[ \hat { I } _ { 1 2 } ^ { p } ( \sigma ) - \mathrm { i } \, \Delta \hat { I } ^ { p } ( \sigma ) \right] \ ,
\begin{array} { r } { \rho _ { \mathrm { ~ J ~ } } ( \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ f ~ } } , \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ i ~ } } , t ; \omega _ { \mathrm { ~ L ~ , ~ 0 ~ } } ) = \left\{ f ( \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ i ~ } } , t ; | E ( \omega _ { \mathrm { ~ L ~ , ~ 0 ~ } } ) | ^ { 2 } ) \rho _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ i ~ } } ) \right\} \left\{ \left[ 1 - f ( \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ f ~ } } , t ; | E ( \omega _ { \mathrm { ~ L ~ , ~ 0 ~ } } ) | ^ { 2 } ) \right] \rho _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) \right\} . } \end{array}
{ f ( \phi ) = { \frac { 3 } { 4 } \phi - \frac { 1 } { 3 } t ( \textbf { r } ) \phi ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \phi ^ { 3 } + \frac { 1 } { 6 } t ( \textbf { r } ) \phi ^ { 4 } + \frac { 1 } { 6 } ( t ( \textbf { r } ) + 3 ) } } ,
\begin{array} { r l } { I _ { \xi } = } & { \int _ { \widetilde { G } _ { \xi } N _ { n } ( F ) N _ { n } ^ { r } ( \mathbb { A } ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N _ { n } ^ { r } ( F ) \backslash N _ { n } ^ { r } ( \mathbb { A } ) } \phi ( n h ) } \\ { \times } & { \omega _ { \psi } ( i _ { T } ( 1 , n ) \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) \Phi ( \xi ) f _ { s } ( \gamma u t ( 1 , h ) ) \psi _ { k } ( u ) d n d u d h . } \end{array}
\varkappa = \frac { \sigma } { e ^ { 2 } } \int \frac { q ^ { 2 } d ^ { 2 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left( \frac { \pi e ^ { 2 } } { \epsilon q } \right) e ^ { - q d } \frac { \chi _ { + } - \chi _ { - } } { \chi _ { + } + \chi _ { - } } .
\begin{array} { r l r } { e ^ { - \sqrt { \frac { \epsilon _ { G } ^ { k l } } { \epsilon } } } \, e ^ { - \frac { \epsilon } { k _ { B } T } } } & { { } \approx } & { e ^ { - 3 \xi _ { k l } + \left( \frac { 2 ( \epsilon - \epsilon _ { G p } ^ { k l } ) } { \Delta _ { k l } } \right) ^ { 2 } } \, , } \\ { \epsilon _ { G p } ^ { k l } } & { { } = } & { \xi _ { k l } \, k _ { B } T \, , } \\ { \Delta _ { k l } } & { { } = } & { \frac { 4 \sqrt { \xi _ { k l } } \, k _ { B } T } { \sqrt { 3 } } \, , } \\ { \xi _ { k l } } & { { } = } & { \left( \frac { \epsilon _ { G } ^ { k l } } { 4 k _ { B } T } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \vartheta _ { i } ^ { m } { = } \frac { \sqrt { n } \theta _ { i } ^ { * } } { \left( \hat { \Omega } ^ { m } \hat { \Sigma } ^ { m } ( \hat { \Omega } ^ { m } ) ^ { \top } \right) _ { i i } ^ { 1 / 2 } } { \geq } \frac { \sqrt { n } \theta _ { \operatorname* { m i n } } } { \sqrt { c _ { \Omega } } } = \sqrt { 2 r \ln d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { \nu } ^ { \gamma } ( k , t ; \hbar ) \varphi ( x ) = } & { \frac { 1 } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } \hbar ^ { k } } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k } } ( i \lambda ) ^ { | \alpha | } \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k } } \int _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k } } \int e ^ { i \langle \hbar ^ { - 1 } x , p _ { k } \rangle } \Big \{ \prod _ { m = 1 } ^ { k } e ^ { - i \langle \hbar ^ { - 1 / d } x _ { m } , p _ { m } - p _ { m - 1 } \rangle } } \\ & { \times e ^ { i s _ { m } \frac { 1 } { 2 } \hbar ^ { - 1 } ( p _ { m } ^ { 2 } - p _ { m - 1 } ^ { 2 } ) } \tilde { \Psi } _ { \alpha _ { m } , \infty } ^ { \gamma , \nu } ( p _ { m } , p _ { m - 1 } ) \, \Big \} e ^ { i t \frac { 1 } { 2 } \hbar ^ { - 1 } p _ { 0 } ^ { 2 } } \hat { \varphi } ( \frac { p _ { 0 } } { \hbar } ) \, d \boldsymbol { p } d \boldsymbol { s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { 3 } ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } , } & { \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { ( \bar { j } ) } \epsilon ) = \sum _ { i = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( 2 \bar { j } , 2 j _ { 2 } - 1 ) } ( - 1 ) ^ { 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } - i + 1 } \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 1 } + 1 ) 2 j _ { 2 } ( 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } - 2 i + 1 ) } { ( 2 j _ { 2 } - i ) ( 2 \bar { j } - i + 1 ) } } } \\ & { \times C _ { m _ { 2 } , \bar { m } , m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } , \bar { j } ; j _ { 2 } + \bar { j } - i } C _ { m _ { 2 } + \bar { m } , m _ { 1 } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } + \bar { j } - i , j _ { 1 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 1 } \left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } & { \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } } & { j _ { 2 } + \bar { j } - i } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 1 } & { j _ { 1 } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right\} e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 1 ) } } \end{array}