harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Z _ { 0 } [ j , { \bar { \varepsilon } } , \varepsilon ] = \exp \left( - \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } y { \bar { \varepsilon } } ^ { a } ( x ) C ^ { a b } ( x - y ) \varepsilon ^ { b } ( y ) \right) \exp \left( { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } y j _ { \mu } ^ { a } ( x ) D ^ { a b \mu \nu } ( x - y ) j _ { \nu } ^ { b } ( y ) \right)
\frac { \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } e ^ { 2 } } { 2 m c ^ { 2 } } \frac { \delta } { \delta A _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) } \int d t d \Omega _ { g y } F _ { e } ( X _ { g y } ) \left\langle | { A } _ { 1 \parallel } ( X _ { g y } + \rho ) | ^ { 2 } \right\rangle \circ \hat { \chi }
\int \sinh ^ { n } a x \, d x = { \frac { 1 } { a n } } ( \sinh ^ { n - 1 } a x ) ( \cosh a x ) - { \frac { n - 1 } { n } } \int \sinh ^ { n - 2 } a x \, d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n > 0 { \mathrm { ) } }
= H _ { a } \left( { \frac { 2 } { T } } \cdot { \frac { \left( e ^ { j \omega _ { d } T / 2 } - e ^ { - j \omega _ { d } T / 2 } \right) } { \left( e ^ { j \omega _ { d } T / 2 } + e ^ { - j \omega _ { d } T / 2 } \right) } } \right)
d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } = d \mathbf { g } ^ { \prime } d \mathbf { g } _ { \alpha \beta } ^ { \prime } = \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } d \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert d \mathbf { g } _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d \boldsymbol { \omega } \mathrm { , ~ w i t h \ } \boldsymbol { \omega } = \frac { \mathbf { g } ^ { \prime } } { \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert } \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \frac { \partial } { \partial t _ { i } } \frac { \partial ( h _ { 1 } , \dotsc , h _ { n - 1 } , t _ { i } ) } { \partial ( t _ { 1 } , \dotsc , t _ { n } ) } } & { = \sum _ { i } \frac { \partial } { \partial t _ { i } } \sum _ { \sigma } ( - 1 ) ^ { \sigma } \frac { \partial h _ { 1 } } { \partial t _ { \sigma ( 1 ) } } \cdots \frac { \partial h _ { n - 1 } } { \partial t _ { \sigma ( n - 1 ) } } \delta _ { \sigma ( n ) } ^ { i } } \\ & { = \sum _ { i } \frac { \partial } { \partial t _ { i } } \ \sum _ { \sigma , \ \sigma ( n ) = i } ( - 1 ) ^ { \sigma } \frac { \partial h _ { 1 } } { \partial t _ { \sigma ( 1 ) } } \cdots \frac { \partial h _ { n - 1 } } { \partial t _ { \sigma ( n - 1 ) } } } \\ & { = \sum _ { \sigma } ( - 1 ) ^ { \sigma } \frac { \partial } { \partial t _ { \sigma ( n ) } } \left( \frac { \partial h _ { 1 } } { \partial t _ { \sigma ( 1 ) } } \cdots \frac { \partial h _ { n - 1 } } { \partial t _ { \sigma ( n - 1 ) } } \right) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { \sigma } ( - 1 ) ^ { \sigma } \frac { \partial h _ { 1 } } { \partial t _ { \sigma ( 1 ) } } \cdots \widehat { \frac { \partial h _ { j } } { \partial t _ { \sigma ( j ) } } } \cdots \frac { \partial h _ { n - 1 } } { \partial t _ { \sigma ( n - 1 ) } } \frac { \partial ^ { 2 } h _ { j } } { \partial t _ { \sigma ( n ) } \partial t _ { \sigma ( j ) } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { = g ^ { i k } R _ { i k } = g ^ { i k } ( g ^ { j l } R _ { i j k l } ) = g ^ { i k } ( g ^ { j l } ( g _ { i m } R _ { j k l } ^ { m } ) ) } \\ & { = g ^ { i k } ( g ^ { j l } ( g _ { i m } ( \frac { \partial } { \partial { x ^ { k } } } \Gamma _ { l j } ^ { m } - \frac { \partial } { \partial { x ^ { l } } } \Gamma _ { k j } ^ { m } + \Gamma _ { k a } ^ { m } \Gamma _ { l j } ^ { a } - \Gamma _ { l a } ^ { m } \Gamma _ { k j } ^ { a } ) ) . } \end{array}
\texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \tilde { \mathbf { u } } } , \hat { \pi } \hat { G } ) \right) = \texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \pi \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { \pi } \hat { G } ) \right) = \pi \texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { G } ) \right)
\begin{array} { r l } { \| \widetilde { x } _ { k + 1 } ^ { H } C V _ { k } \| } & { = \| z ( \widetilde { \alpha } ) ^ { H } V _ { k } ^ { H } C V _ { k } \| = \| z ( \widetilde { \alpha } ) ^ { H } C _ { k } \| } \\ { \| C _ { k } z ( \alpha ) \| } & { = \sqrt { - c _ { 1 , k } c _ { 2 , k } } , \quad \forall \alpha : | \alpha | = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } } & { \bigg [ s \lambda _ { i } ^ { 3 } - s \lambda _ { i } ( s R e + 3 ) - R e ( 1 + B o ^ { - 1 } ) \bigg ] C _ { i } ( s ) = } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \mathscr { F } _ { i } ( s ) \bigg [ s ( D + \lambda _ { i } ) ^ { 3 } - s ( s R e + 3 ) ( D + \lambda _ { i } ) - R e ( 1 + B o ^ { - 1 } ) \bigg ] I _ { i } ( s , z = 0 ) } \\ & { + R e ( 1 + B o ^ { - 1 } ) \textbf { i } \hat { \eta } ( t = 0 ) - s R e D \hat { \psi } ( z = 0 , t = 0 ) } \end{array}
\left\vert \Psi ( t _ { 0 } ) \right\rangle = \Omega ^ { - 1 / 2 } \sum _ { k _ { \varepsilon } } e ^ { - ( k _ { \epsilon } - k _ { 0 } ) ^ { 2 } / ( 2 \alpha ^ { 2 } ) } e ^ { - i N _ { c } ( k _ { \epsilon } - k _ { 0 } ) } \left\vert \psi \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { J _ { a , b } = \sum _ { \mathrm { s o u r c e ~ v e r t i c e s ~ } v } W _ { v \to ( a , b ) } ^ { J } J _ { v } } & { = \sum _ { n \geq 0 } W _ { ( 0 , n ) \to ( a , b ) } ^ { J } J _ { 0 , n } + \sum _ { n \geq 0 } W _ { ( 1 , n ) \to ( a , b ) } ^ { J } J _ { 1 , n } , } \\ { W _ { ( a ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) \to ( a , b ) } ^ { J } } & { : = \sum _ { \pi : ( a ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) \to ( a , b ) } \prod _ { e \in \pi } w _ { e } ^ { J } , } \end{array}
\Delta S = { \frac { - 7 } { 4 } } { \zeta ( 3 ) } { \left( \frac { m _ { t } } { \pi T } \right) ^ { 2 } } { \frac { g } { 1 6 { { \pi } ^ { 2 } } } } { \frac { 1 } { { v _ { 1 } } ^ { 2 } } } \times \int ( { \cal D } _ { i } \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \sigma ^ { a } { \cal D } _ { 0 } \phi _ { 1 } + { \cal D } _ { 0 } \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \sigma ^ { a } { \cal D } _ { i } \phi _ { 1 } ) \epsilon ^ { i j k } F _ { j k } ^ { a } d ^ { 4 } x
\begin{array} { r } { \left( j _ { 1 } + \frac 1 2 \right) \frac { \Gamma \left( \frac { \alpha } { 2 } + j _ { 1 } \right) } { \Gamma \left( 2 - \frac { \alpha } { 2 } + j _ { 1 } \right) } - \left( j _ { 1 } + 1 + \frac 1 2 \right) \frac { \Gamma \left( \frac { \alpha } { 2 } + j _ { 1 } + 1 \right) } { \Gamma \left( 2 - \frac { \alpha } { 2 } + j _ { 1 } + 1 \right) } = - ( \alpha - 1 ) ( 1 + j _ { 1 } ) \frac { \Gamma \left( \frac { \alpha } { 2 } + j _ { 1 } \right) } { \Gamma \left( 3 - \frac { \alpha } { 2 } + j _ { 1 } \right) } . } \end{array}
\sigma \cdot \left[ \sigma _ { l } ^ { \left( i \right) } \cdot r _ { \mathrm { T } } ^ { \left( i \right) } \right] = \left[ \sigma \cdot \sigma _ { l } ^ { \left( i \right) } \cdot r _ { \mathrm { T } } ^ { \left( i \right) } \right]
{ \boldsymbol { \beta } } ^ { ( s + 1 ) } = { \boldsymbol { \beta } } ^ { ( s ) } + \left( \mathbf { J _ { f } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { J _ { f } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { J _ { f } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } \left( { \boldsymbol { \beta } } ^ { ( s ) } \right) .
U ( P ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { A _ { 1 } } { \frac { e ^ { i k s } } { s } } \left[ i k U _ { 0 } ( r ) \cos ( n , s ) - { \frac { \partial U _ { 0 } ( r ) } { \partial n } } \right] \, d S .
\begin{array} { r } { c ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - s _ { \alpha } ^ { 2 } ) + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } ( s _ { \alpha } ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } F _ { k l m } = } & { \frac { \rho _ { 0 } \Gamma K _ { l , m } } { I _ { 0 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) } F _ { 2 , l , m } \exp [ i ( 2 - k ) \omega t ] \bigg [ \tilde { I } _ { 1 - k / 2 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) + \frac { M \Gamma Q } { 4 D } \bigg \{ \tilde { I } _ { 2 - k / 2 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) - \tilde { I } _ { - k / 2 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) \bigg \} \bigg ] } \\ & { + \frac { \rho _ { 0 } \Gamma K _ { l , m } } { I _ { 0 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) } F _ { - 2 , l , m } \exp [ i ( - 2 - k ) \omega t ] \bigg [ \tilde { I } _ { - 1 - k / 2 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) + \frac { M \Gamma Q } { 4 D } \bigg \{ \tilde { I } _ { - 2 - k / 2 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) - \tilde { I } _ { - k / 2 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) \bigg \} \bigg ] } \\ & { + F _ { k - 2 , l , m } \frac { M \Gamma Q k } { 2 } [ \cos ( 2 \omega t ) - i \sin ( 2 \omega t ) ] + F _ { k + 2 , l , m } \frac { M \Gamma Q k } { 2 } [ - \cos ( 2 \omega t ) - i \sin ( 2 \omega t ) ] - ( i \omega k + D k ^ { 2 } ) F _ { k l m } } \\ & { - v i \frac { 2 \pi } { L } l \frac { 1 } { 2 } [ F _ { k - 1 , l , m } + F _ { k + 1 , l , m } ] - v i \frac { 2 \pi } { L } m \frac { 1 } { 2 i } [ F _ { k - 1 , l , m } - F _ { k + 1 , l , m } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 2 } ( \tau ) } & { { } = A _ { \pm } \cos \omega _ { \pm } \tau + B _ { \pm } \sin \omega _ { \pm } \tau = C _ { \pm } \sin ( \omega _ { \pm } \tau - \varphi _ { \pm } ) } \\ { p _ { 1 } } & { { } = - \dot { p } _ { 2 } , ~ ~ ~ ~ p _ { 3 } = c _ { 3 } , ~ ~ ~ ~ p _ { 4 } = ( - c _ { 3 } + 1 ) \, \tau + c _ { 4 } } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { f \in \mathrm { s p a n } ( f _ { 1 } , \ldots , f _ { k } , \bar { f } _ { 1 } , \ldots , \bar { f } _ { k } ) ^ { \bot _ { P } } \setminus \{ \mathbf { 0 } \} } \frac { \| \mathcal { L } f \| _ { 2 } } { \| f \| _ { 2 } } \le \frac { \| \mathcal { L } g \| _ { 2 } } { \| g \| _ { 2 } } = | \mu | \le \operatorname* { m a x } _ { f \in \mathrm { s p a n } ( f _ { 1 } , \ldots , f _ { k } , \bar { f } _ { 1 } , \ldots , \bar { f } _ { k } ) ^ { \bot _ { P } } \setminus \{ \mathbf { 0 } \} } \frac { \| \mathcal { L } f \| _ { 2 } } { \| f \| _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \widehat { H } _ { i } ( x , D u _ { r _ { 1 } } ) : = r _ { 1 } ^ { - \alpha \widehat { s _ { i } } ( x ) } H _ { i } ( r _ { 1 } x , r _ { 1 } ^ { - \alpha } D u ( r _ { 1 } x ) ) , } \\ & { \widehat { s _ { i } } ( x ) : = s _ { i } ( r _ { 1 } x ) , \ \widehat { q _ { i } } ( x ) : = q _ { i } ( r _ { 1 } x ) , \ \widehat { a } ( x ) : = a ( r _ { 1 } x ) r _ { 1 } ^ { \alpha ( \widehat { q _ { i } } ( x ) - \widehat { s _ { i } } ( x ) ) } , } \\ & { | | \widehat { f } | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } : = r _ { 1 } ^ { 1 - \alpha ( 1 + \widehat { s _ { i } } ( x ) ) } | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \lambda k , \nu \mu } ^ { ( c ) } } & { { } = \sqrt { \frac { 2 \omega _ { k } } { \hbar } } \, g _ { k } \, \frac { \biggl ( \underline { { e } } _ { \lambda k } \cdot \underline { { \mathcal { D } } } _ { \nu \mu } \biggr ) } { E _ { \mu } ^ { ( e c ) } - E _ { \nu } ^ { ( e c ) } } \quad , } \end{array}
M _ { R L ; L L } ^ { U } ( s ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { E _ { l } - m _ { l } } { E _ { l } } \cdot \frac { E _ { l } ^ { \prime } - m _ { l } ^ { \prime } } { E _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 - \left( \frac { E _ { l } + m _ { l } } { E _ { l } - m _ { l } } \cdot \frac { E _ { l } ^ { \prime } + m _ { l } ^ { \prime } } { E _ { l } ^ { \prime } - m _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] 2 y ^ { 1 / 2 } ( 1 - 2 y ) .
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ( n ) } & { { } = ( f * \beta ^ { 3 } ) ( n ) , } \\ { F _ { 0 } ( n ) } & { { } = ( f _ { 0 } * q _ { 1 2 } ) ( n ) , } \\ { W _ { f } ( \frac { \tilde { w } _ { \mathrm { m a x } } } { 2 ^ { j / N _ { \mathrm { s u b s } } } } , n ) } & { { } = \sqrt { \frac { \tilde { w } _ { \mathrm { m a x } } \Delta x } { 2 ^ { j / N _ { \mathrm { s u b s } } } } } ( F _ { 0 } * q _ { j } ) ( n ) . } \end{array}
[ \hat { d } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } , \hat { d } _ { \bar { \boldsymbol { k } } _ { A } ^ { \prime } , \lambda } ^ { \dagger } ] = \delta ( \boldsymbol { k } _ { A } - \bar { \boldsymbol { k } } _ { A } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \dot { \left\langle x \right\rangle } } & { = \omega _ { \mathrm { r e l } } \left\langle p \right\rangle , } \\ { \dot { \left\langle p \right\rangle } } & { = - ( \omega _ { \mathrm { r e l } } + \kappa _ { 2 } s _ { n n } ) \left\langle x \right\rangle + \kappa _ { 1 } s _ { n n } , } \\ { \dot { \left\langle x ^ { 2 } \right\rangle } } & { = \omega _ { \mathrm { r e l } } ( \left\langle x p \right\rangle + \left\langle p x \right\rangle ) } \\ { \dot { \left\langle p ^ { 2 } \right\rangle } } & { = - ( \omega _ { \mathrm { r e l } } + 2 \kappa _ { 2 } s _ { n n } ) ( \left\langle x p \right\rangle + \left\langle p x \right\rangle ) - 2 \kappa _ { 1 } p s _ { n n } } \\ { \dot { \left\langle x p \right\rangle } } & { = \omega _ { \mathrm { r e l } } ( p ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) - \kappa _ { 1 } x s _ { n n } - 2 \kappa _ { 2 } x ^ { 2 } s _ { n n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { 1 } } & { = \theta _ { 1 } \left( x - \frac { p _ { 0 } } { 2 } \right) + \theta _ { 2 } \left( y - \frac { q _ { 0 } } { 2 } \right) + \theta _ { 3 } \left( t - \frac { r _ { 0 } } { 2 } \right) , } \\ { \chi _ { 2 } } & { = \theta _ { 4 } \left( x - \frac { p _ { 0 } } { 2 } \right) + \theta _ { 5 } \left( y - \frac { q _ { 0 } } { 2 } \right) + \theta _ { 6 } \left( t - \frac { r _ { 0 } } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) } = \int _ { \Omega _ { L } } \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { ~ T ~ r ~ } } [ \ensuremath { \mathbf { w } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } / \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ] \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \alpha _ { k } r _ { k } \varepsilon _ { k } \rangle = \Big \langle \alpha _ { k } r _ { k } \Big ( c _ { V k } \theta + \frac { p _ { * k } } { r _ { k } } + \varepsilon _ { 0 k } \Big ) \Big \rangle } \\ { = c _ { V } \rho \theta + \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle + \rho \varepsilon _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n - i } k \Big [ \Big ( 1 - \frac { k - 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } - 2 \Big ( 1 - \frac { k } { n } \Big ) ^ { n - 1 } + \Big ( 1 - \frac { k + 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } \Big ] } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \Big [ 1 - ( n - i + 1 ) \Big ( \frac { i } { n } \Big ) ^ { n - 1 } + ( n - i ) \Big ( \frac { i - 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } \Big ] = n - 1 - 2 \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } i ^ { n - 1 } } { n ^ { n - 1 } } . } \end{array}
b _ { I } \wedge b _ { J } = \ast b _ { I } \wedge \ast b _ { J } = \frac { L _ { I J } } { \cal V } \omega + d T _ { I J } , \quad b _ { I } \wedge \ast b _ { J } = \frac { M _ { I J } } { \cal V } \omega + d U _ { I J } ,
\begin{array} { l l } { \kappa ^ { 0 } = \frac { 1 } { 4 } ( \rho ^ { 0 } + \rho ^ { 1 } + \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 3 } ) } & { \kappa ^ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } ( \rho ^ { 4 } + \rho ^ { 5 } + \rho ^ { 6 } + \rho ^ { 7 } ) } \\ { \kappa ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } ( \rho ^ { 8 } + \rho ^ { 9 } + \rho ^ { 1 0 } + \rho ^ { 1 1 } ) } & { \kappa ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } ( \rho ^ { 1 2 } + \rho ^ { 1 3 } + \rho ^ { 1 4 } + \rho ^ { 1 5 } ) } \\ { \omega ^ { 0 } = \frac { 1 } { 4 } ( \eta ^ { 0 } + \eta ^ { 4 } + \eta ^ { 8 } + \eta ^ { 1 2 } ) } & { \omega ^ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } ( \eta ^ { 1 } + \eta ^ { 5 } + \eta ^ { 9 } + \eta ^ { 1 3 } ) } \\ { \omega ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } ( \eta ^ { 2 } + \eta ^ { 6 } + \eta ^ { 1 0 } + \eta ^ { 1 4 } ) } & { \omega ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } ( \eta ^ { 3 } + \eta ^ { 7 } + \eta ^ { 1 1 } + \eta ^ { 1 5 } ) } \end{array}
\sigma _ { ( a _ { i } ^ { \dag } a _ { k } ) } ^ { - } = < { \bf A } _ { - } \mid \frac { 1 } { 2 } ( a _ { i } ^ { \dag } a _ { k } + a _ { k } a _ { i } ^ { \dag } ) \mid { \bf A _ { - } } > = \alpha _ { i } ^ { * } \alpha _ { k } c o t h \mid { \bf A } \mid ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { i k } . \nonumber \,
\mathcal { S } = \left( \begin{array} { l l l l } { S _ { t o t } ( f , \vec { a _ { 1 } } , \vec { b } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { S _ { t o t } ( f , \vec { a _ { 2 } } , \vec { b } ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { S _ { t o t } ( f , \vec { a _ { 1 } } , \vec { b } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { S _ { t o t } ( f , \vec { a _ { 2 } } , \vec { b } ) } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l } { a } & { = { \sqrt { x Y Z } } } \\ { b } & { = { \sqrt { y Z X } } } \\ { c } & { = { \sqrt { z X Y } } } \\ { d } & { = { \sqrt { x y z } } } \\ { X } & { = ( w - U + v ) \, ( U + v + w ) } \\ { x } & { = ( U - v + w ) \, ( v - w + U ) } \\ { Y } & { = ( u - V + w ) \, ( V + w + u ) } \\ { y } & { = ( V - w + u ) \, ( w - u + V ) } \\ { Z } & { = ( v - W + u ) \, ( W + u + v ) } \\ { z } & { = ( W - u + v ) \, ( u - v + W ) . } \end{array} }
\sum _ { l = 1 } ^ { N _ { F A } - 1 } \sum _ { b \in \mathcal { B } } \sum _ { e \in \mathcal { E } } \chi _ { l , F r e s h , b , e } = \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { F A } } \sum _ { b \in \mathcal { B } } \sum _ { e \in \mathcal { E } } \chi _ { l , O n c e , b , e } = 8 8
\begin{array} { r l } & { D _ { \psi } ^ { 1 \psi } = - 1 , \ D _ { \sigma } ^ { 1 \sigma } = \exp \left( i \pi \frac { - 2 - \nu _ { 1 } + 4 \nu _ { 2 } - 2 \kappa } { 8 } \right) , \ D _ { \sigma } ^ { \psi \sigma } = - \nu _ { 1 } \exp \left( i \pi \frac { 2 - \nu _ { 1 } + 4 \nu _ { 2 } - 2 \kappa } { 8 } \right) , } \\ & { D _ { \sigma } ^ { \sigma \psi } = \nu _ { 1 } i , \, D _ { 1 } ^ { \sigma \sigma } = \nu _ { 3 } , \, D _ { \psi } ^ { \sigma \sigma } = \nu _ { 4 } i , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \substack { U \leq | \gamma _ { \chi } | \leq V } } \phi ( \gamma _ { \chi } ) } & { = \int _ { U } ^ { V } \phi ( t ) \, d N ( t , \chi ) } \\ & { = \frac { \log { q } } { \pi } \int _ { U } ^ { V } \phi ( t ) \, d t + \frac { 1 } { \pi } \int _ { U } ^ { V } \phi ( t ) \log \left( \frac { t } { 2 \pi } \right) \, d t + \int _ { U } ^ { V } \phi ( t ) \, d Q ( t , \chi ) , } \end{array}
\Psi _ { n l m } ( r , \theta , \varphi ; \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { n - | m | - 1 } \widetilde W _ { n l m } ^ { n _ { 1 } } ( \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) \Psi _ { n _ { 1 } n _ { 2 } m } ( \mu , \nu , \varphi ; \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } { \left\langle \delta _ { k } , A _ { \eta _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } + c ) } A _ { \eta _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } + c ) } \ldots A _ { \eta _ { \ell } } ^ { ( j _ { \ell } + c ) } \delta _ { k } \right\rangle } & { = } & { \left\langle \delta _ { k } , \mathcal { D } _ { n } ^ { c } A _ { \eta _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } A _ { \eta _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } \ldots A _ { \eta _ { \ell } } ^ { ( j _ { \ell } ) } ( \mathcal { D } _ { n } ^ { c } ) ^ { * } \delta _ { k } \right\rangle } \\ & { = } & { \left\langle \delta _ { k } , A _ { \eta _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } A _ { \eta _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } \ldots A _ { \eta _ { \ell } } ^ { ( j _ { \ell } ) } \delta _ { k } \right\rangle } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { M P 2 } } } & { = 2 \sum _ { i , j , a , b } { \frac { \langle \varphi _ { i } \varphi _ { j } | { \hat { \tilde { v } } } | \varphi _ { a } \varphi _ { b } \rangle \langle \varphi _ { a } \varphi _ { b } | { \hat { \tilde { v } } } | \varphi _ { i } \varphi _ { j } \rangle } { \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } } } - \sum _ { i , j , a , b } { \frac { \langle \varphi _ { i } \varphi _ { j } | { \hat { \tilde { v } } } | \varphi _ { a } \varphi _ { b } \rangle \langle \varphi _ { a } \varphi _ { b } | { \hat { \tilde { v } } } | \varphi _ { j } \varphi _ { i } \rangle } { \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \mathrm { T B } } } & { \equiv \left\{ \left( i \hat { \mathbf { x } } + j \hat { \mathbf { y } } + k \hat { \mathbf { x } } ^ { \prime } + l \hat { \mathbf { y } } ^ { \prime } \right) 2 \pi / a \mid i , j , k , l \in \mathbb { Z } \right\} } \\ & { \equiv \left\{ \mathbf { G } _ { ( i , j , k , l ) } \mid i , j , k , l \in \mathbb { Z } \right\} , } \end{array}
\phi _ { { \bf n } _ { i } } = \frac { ( a _ { 1 } ^ { \dag } ) ^ { n _ { i 1 } } ( a _ { 2 } ^ { \dag } ) ^ { n _ { i 2 } } \cdots ( a _ { d } ^ { \dag } ) ^ { n _ { i d _ { i } } } } { \sqrt { n _ { i 1 } ! n _ { i 2 } ! \cdots n _ { i d _ { i } } ! } } \phi _ { { \bf 0 } } .
\begin{array} { r } { R _ { p ^ { \prime } } ( h _ { \ast } \Bar L | _ { p } , \gamma _ { t } ( p ) ) = \mathbb { P } _ { T _ { p ^ { \prime } } ^ { \bot } \eta _ { p ^ { \prime } } } \left( h _ { \ast } \Bar L | _ { p } \tilde { \gamma } _ { t } \right) = \mathbb { P } _ { T _ { p ^ { \prime } } ^ { \bot } \eta _ { p ^ { \prime } } } \left( \Bar L | _ { p } ( \tilde { \gamma } _ { t } \circ h ) \right) = \mathbb { P } _ { T _ { p ^ { \prime } } ^ { \bot } \eta _ { p ^ { \prime } } } \left( \Bar L | _ { p } \gamma _ { t } \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 1 - \frac { 1 } { 4 ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { \pi \operatorname* { m a x } \{ I _ { n } ^ { \prime } - \mu _ { n } , \mu _ { n } + K \} \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } } { e ^ { \gamma ^ { 2 } - 1 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( K + 1 ) } } \left( \frac { e } { K + 1 } \right) ^ { K + 1 } } \end{array}
\Gamma _ { \nu } ( p , P ) = - e ^ { 2 } \int \mathrm { ~ \, ~ \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \ p i ) ^ { 3 } } ~ \, ~ } D ( p - q ) \gamma _ { \mu } S ( \mathrm { ~ \, ~ \frac { 1 } { 2 } ~ \, ~ } P + q ) \Gamma _ { \nu } ( q , P ) S ( - \mathrm { ~ \, ~ \frac { 1 } { 2 } ~ \, ~ } P + q ) \gamma _ { \mu } ,
x \sim \left( \begin{array} { l } { \{ \mathcal { N } ( \bar { \beta } _ { i } , \Delta \beta _ { i } ) \} } \\ { \{ \mathcal { N } ( \bar { \alpha } _ { i } , \Delta \alpha _ { i } ) \} } \\ { \{ \mathcal { N } ( \bar { c } _ { i k } , \Delta c _ { i k } ) \} } \\ { \{ \mathcal { N } ( \bar { \gamma } _ { i k } , \Delta \gamma _ { i k } ) \} } \end{array} \right) ,
\operatorname* { l i m } _ { d \to \infty } E \left( { \frac { \operatorname { d i s t } _ { \operatorname* { m a x } } ( d ) - \operatorname { d i s t } _ { \operatorname* { m i n } } ( d ) } { \operatorname { d i s t } _ { \operatorname* { m i n } } ( d ) } } \right) \to 0
\vec { \Gamma } ^ { 2 1 } = h \hat { y } \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { ( x _ { 0 1 } + x _ { 0 2 } ) ^ { 2 } + h ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { \sqrt { ( x _ { 0 1 } - x _ { 0 2 } ) ^ { 2 } + h ^ { 2 } } } \right\} ,
< E _ { \pi } > = \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } E _ { \mu } ^ { t h r } \frac { 1 - { r _ { \pi } } ^ { ( \gamma + 1 ) } } { 1 - { r _ { \pi } } ^ { ( \gamma + 2 ) } } \simeq 1 . 6 ~ T e V
\begin{array} { r } { \omega _ { \pm } = \frac { \omega _ { e f f _ { 1 } } + \omega _ { e f f _ { 2 } } } { 2 } - i \frac { \gamma _ { e f f _ { 1 } } - \gamma _ { e f f _ { 2 } } } { 4 } } \\ { \pm \sqrt { J ^ { 2 } + \left( \frac { \Delta \omega } { 2 } + i \frac { \gamma _ { e f f _ { 1 } } + \gamma _ { e f f _ { 2 } } } { 4 } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
{ \frac { 1 } { q ( z ) } } = { \frac { 1 } { z + i z _ { \mathrm { R } } } } = { \frac { z } { z ^ { 2 } + z _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } } - i { \frac { z _ { \mathrm { R } } } { z ^ { 2 } + z _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { R ( z ) } } - i { \frac { \lambda } { n \pi w ^ { 2 } ( z ) } } .
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 3 } F ( w , u , u ) = } & { - 2 \frac { 1 } { \Psi ^ { 3 } } ( d \Psi ( w ) ) \, ( d \Psi ( u ) ) ^ { 2 } + 2 \frac { 1 } { \Psi ^ { 2 } } ( d \Psi ( u ) ) \, ( \nabla ^ { 2 } \Psi ( w , u ) ) + \frac { 1 } { \Psi ^ { 2 } } d \Psi ( w ) \, ( \nabla ^ { 2 } \Psi ( u , u ) ) } \\ & { - \frac { 1 } { \Psi } \nabla ^ { 3 } \Psi ( w , u , u ) - 2 \frac { 1 } { S ^ { 3 } } w _ { S } u _ { S } ^ { 2 } + \xi \, \nabla ^ { 3 } f ( w _ { p } , u _ { p } , u _ { p } ) } \\ { = } & { - 2 A _ { w } A _ { u } ^ { 2 } - 2 A _ { u } B _ { u w } - A _ { w } B _ { u } ^ { 2 } - 2 C _ { w } C _ { u } ^ { 2 } - \frac { 1 } { \Psi } \nabla ^ { 3 } \Psi ( w , u , u ) + \xi \, \nabla ^ { 3 } f ( w _ { p } , u _ { p } , u _ { p } ) . } \end{array}