harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 , \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \sigma } \left\{ \left( \int _ { \sigma _ { 1 } < \sigma } p ( \sigma _ { 1 } | D , K ) \textup { d } \sigma _ { 1 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { \sigma _ { 2 , \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \sigma } \left\{ \left( \int _ { \sigma _ { 2 } < \sigma } p ( \sigma _ { 2 } | D , K ) \textup { d } \sigma _ { 2 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { \sigma _ { 3 , \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \sigma } \left\{ \left( \int _ { \sigma _ { 3 } < \sigma } p ( \sigma _ { 3 } | D , K ) \textup { d } \sigma _ { 3 } \right) > \alpha \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \tau } [ \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } ] \leq \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } \{ \hat { \rho } - \rho , \mu / 2 \} } \left( \frac { D ^ { 2 } } { 2 T \eta } + \frac { \eta M ^ { 2 } } { 2 } \right) \leq \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } = \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { - 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( S - S ^ { \omega } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( \omega ^ { U _ { T } } - \omega ^ { \omega U _ { T } } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( ( \kappa - T _ { 1 } - T _ { - 1 } ) ( \kappa + T _ { 1 } - T _ { - 1 } ) - ( \kappa - T _ { 1 } + T _ { - 1 } ) ( \kappa + T _ { 1 } + T _ { - 1 } ) \Big ) \omega } \\ & { = 2 ( T _ { 1 } T _ { - 1 } - \kappa T _ { - 1 } ) \omega = 2 ( T _ { 1 } - \kappa ) T _ { - 1 } \omega . } \end{array}
\langle \ l = m + 3 \ \vert \ G \ \vert \ l = m + 3 \ \rangle = { \frac { d _ { m } } { d _ { m + 3 } } } { \frac { 1 } { X _ { m + 1 } X _ { m + 2 } X _ { m + 3 } } } ( 1 - { \frac { k ^ { 2 } b _ { m } ^ { 2 } } { d _ { m } d _ { m + 1 } } } - { \frac { k ^ { 2 } b _ { m + 1 } ^ { 2 } } { d _ { m + 1 } d _ { m + 2 } } } ) \ \Sigma _ { m }
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } ^ { R } } & { = p _ { T _ { R } } } \\ { J _ { 2 } ^ { R } } & { = ( \cos T _ { R } ) p _ { T _ { R } } - ( \sin T _ { R } ) p _ { \chi _ { R } } + e ^ { \chi _ { R } } \cos T _ { R } + \frac { \i } { 2 } \sin T _ { R } } \\ { J _ { 3 } ^ { R } } & { = ( \sin T _ { R } ) p _ { T _ { R } } + ( \cos T _ { R } ) p _ { \chi _ { R } } + e ^ { \chi _ { R } } \sin T _ { R } - \frac { \i } { 2 } \cos T _ { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { N | k } ^ { \mathrm { ( i i ) } } = \frac { ( N + 1 ) \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } \\ & { + \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \sum _ { f = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { f } \binom { k } { l } \binom { N } { f + 1 } p ^ { N - f - 1 } ( 1 - p ) ^ { f + 1 } } \\ & { \times \left[ B _ { N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , 1 } \left( k - l + 1 , l + 1 \right) \right. } \\ & { \left. - B _ { ( N - 1 ) \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( k - l + 1 , l + 1 \right) \right] } \end{array}
H _ { L } \left( \lambda _ { x } ^ { + } , y _ { o } ^ { + } \right) = \frac { \left\langle \hat { u ^ { \prime } } \left( \lambda _ { x } ^ { + } , y ^ { + } , z ^ { + } \right) \hat { u _ { o } ^ { \prime } } ^ { * } \left( \lambda _ { x } ^ { + } , y _ { o } ^ { + } , z ^ { + } \right) \right\rangle } { \left\langle \hat { u _ { o } ^ { \prime } } \left( \lambda _ { x } ^ { + } , y _ { o } ^ { + } , z ^ { + } \right) \hat { u _ { o } ^ { \prime } } ^ { * } \left( \lambda _ { x } ^ { + } , y _ { o } ^ { + } , z ^ { + } \right) \right\rangle } ,
\begin{array} { r l } { T _ { t } = } & { \left( \frac { 8 . 5 ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) } { 2 ( 7 . 5 + M _ { t } ^ { 2 } ) M _ { t } } \right) ^ { 2 } \cdot \frac { 8 m _ { i } } { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \cdot \frac { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } } \\ & { \cdot \frac { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 2 } } \cdot \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { 2 } } \\ { n _ { t } = } & { \left( \frac { 8 ( 7 . 5 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } M _ { t } ^ { 2 } } { 8 . 5 ^ { 2 } ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right) \cdot \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 2 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 3 } } { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } } \\ & { \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 3 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) ^ { 2 } } \cdot \left( \frac { R _ { t } } { R _ { u } } \right) ^ { 2 } } \\ { \Gamma _ { t } = } & { \left( \frac { 4 ( 7 . 5 + M _ { t } ^ { 2 } ) M _ { t } ^ { 2 } } { 8 . 5 ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) \cdot \frac { \gamma _ { 0 } } { 8 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } { q _ { \parallel , u } } } \\ & { \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) } \cdot \left( \frac { R _ { t } } { R _ { u } } \right) } \end{array}
\mathbf { F ( f _ { L } ) } = \frac { 1 } { 1 4 4 0 } ( 1 0 5 0 \mathbf { f } _ { j } - 3 0 9 \mathbf { f } _ { j - 1 } + 6 4 \mathbf { f } _ { j - 2 } - 3 \mathbf { f } _ { j - 3 } - \mathbf { f } _ { j - 4 } + 7 7 1 \mathbf { f } _ { j + 1 } - 1 5 2 \mathbf { f } _ { j + 2 } + 2 1 \mathbf { f } _ { j + 3 } - \mathbf { f } _ { j + 4 } ) ,
\begin{array} { r l r } { Z _ { f } } & { { } = } & { \int \mathcal { D } \, \psi _ { f } ^ { \dag } \left( x \right) \, \mathcal { D } \, \psi _ { f } \left( x \right) \, \, \, e ^ { - S _ { f } } } \end{array}
C _ { 5 } ^ { v } = \frac { 1 } { p ^ { 4 } ( 1 - x ) ^ { 2 } } \left( \frac { 3 x ^ { 2 } } { 2 ( 1 - x ) ^ { 2 } } + \frac { 5 x } { 6 ( 1 - x ) } - \frac 5 { 1 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l o c a l , J } = } & { { } \textup { H } \textup { E } \ \left( \frac { 5 } { 1 6 8 } \mathcal { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) j _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) + \frac { 5 } { 3 3 6 } j _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) { } ^ { 2 } + \frac { 5 } { 1 6 8 } j _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \right) + } \end{array}
( \mathbf { D } _ { 3 } \mathbf { u } ) _ { i } = ( - \mathrm { ~ u ~ } _ { i - 2 } + 2 \mathrm { ~ u ~ } _ { i - 1 } - 2 \mathrm { ~ u ~ } _ { i + 1 } + \mathrm { ~ u ~ } _ { i + 2 } ) / ( 2 h ^ { 3 } )
\begin{array} { r l } & { \bar { \nabla } _ { \mathbf H } H = \nabla _ { \mathbf H } H \left( \frac { { \mathbf H } ^ { n } + { \mathbf H } ^ { n + 1 } } { 2 } \right) + f _ { d i s g } \left( { \mathbf H } ^ { n + 1 } - { \mathbf H } ^ { n } \right) , } \\ & { \bar { \nabla } _ { \mathbf V } H = \nabla _ { \mathbf V } H \left( \frac { { \mathbf V } ^ { n } + { \mathbf V } ^ { n + 1 } } { 2 } \right) + f _ { d i s g } \left( { \mathbf V } ^ { n + 1 } - { \mathbf V } ^ { n } \right) . } \end{array}
{ \small \begin{array} { l l l l } { B _ { 2 } ^ { 1 } \, B _ { 1 } ^ { 0 } = B _ { 1 } ^ { 3 } \, B _ { 2 } ^ { 0 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 1 } \, B _ { 1 } ^ { 0 } = B _ { 1 } ^ { 0 } \, B _ { 3 } ^ { 0 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 1 } \, B _ { 1 } ^ { 0 } = B _ { 1 } ^ { 0 } \, B _ { 4 } ^ { 0 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 0 } \, B _ { 2 } ^ { 0 } = B _ { 2 } ^ { 0 } \, B _ { 3 } ^ { 0 } \ , } \\ { B _ { 4 } ^ { 3 } \, B _ { 2 } ^ { 0 } = B _ { 2 } ^ { 0 } \, B _ { 4 } ^ { 0 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 0 } \, B _ { 3 } ^ { 0 } = B _ { 3 } ^ { 0 } \, B _ { 4 } ^ { 0 } \ , } & { B _ { 2 } ^ { 2 } \, B _ { 1 } ^ { 1 } = B _ { 1 } ^ { 0 } \, B _ { 2 } ^ { 1 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 2 } \, B _ { 1 } ^ { 1 } = B _ { 1 } ^ { 1 } \, B _ { 3 } ^ { 1 } \ , } \\ { B _ { 4 } ^ { 2 } \, B _ { 1 } ^ { 1 } = B _ { 1 } ^ { 1 } \, B _ { 4 } ^ { 1 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 0 } \, B _ { 2 } ^ { 1 } = B _ { 2 } ^ { 1 } \, B _ { 3 } ^ { 1 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 0 } \, B _ { 2 } ^ { 1 } = B _ { 2 } ^ { 1 } \, B _ { 4 } ^ { 1 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 1 } \, B _ { 3 } ^ { 1 } = B _ { 3 } ^ { 1 } \, B _ { 4 } ^ { 1 } \ , } \\ { B _ { 2 } ^ { 3 } \, B _ { 1 } ^ { 2 } = B _ { 1 } ^ { 1 } \, B _ { 2 } ^ { 2 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 3 } \, B _ { 1 } ^ { 2 } = B _ { 1 } ^ { 2 } \, B _ { 3 } ^ { 2 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 3 } \, B _ { 1 } ^ { 2 } = B _ { 1 } ^ { 2 } \, B _ { 4 } ^ { 2 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 1 } \, B _ { 2 } ^ { 2 } = B _ { 2 } ^ { 2 } \, B _ { 3 } ^ { 2 } \ , } \\ { B _ { 4 } ^ { 1 } \, B _ { 2 } ^ { 2 } = B _ { 2 } ^ { 2 } \, B _ { 4 } ^ { 2 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 2 } \, B _ { 3 } ^ { 2 } = B _ { 3 } ^ { 2 } \, B _ { 4 } ^ { 2 } \ , } & { B _ { 2 } ^ { 0 } \, B _ { 1 } ^ { 3 } = B _ { 1 } ^ { 2 } \, B _ { 2 } ^ { 3 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 0 } \, B _ { 1 } ^ { 3 } = B _ { 1 } ^ { 3 } \, B _ { 3 } ^ { 3 } \ , } \\ { B _ { 4 } ^ { 0 } \, B _ { 1 } ^ { 3 } = B _ { 1 } ^ { 3 } \, B _ { 4 } ^ { 3 } \ , } & { B _ { 3 } ^ { 0 } \, B _ { 2 } ^ { 1 } = B _ { 2 } ^ { 1 } \, B _ { 3 } ^ { 1 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 2 } \, B _ { 2 } ^ { 3 } = B _ { 2 } ^ { 3 } \, B _ { 4 } ^ { 3 } \ , } & { B _ { 4 } ^ { 3 } \, B _ { 3 } ^ { 3 } = B _ { 3 } ^ { 3 } \, B _ { 4 } ^ { 3 } \ \ . } \end{array} } \normalsize
\begin{array} { r l } { R _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { \quad 1 } \left( n \right) } & { = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } - A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } + B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) \right) } \\ { R _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { \quad 2 } \left( n \right) } & { = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } - A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } + B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) \right) } \\ { R _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { \quad 3 } \left( n \right) } & { = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } - A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } + B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { o p } } } & { = - \frac { 1 } { L } \sum _ { k k ^ { \prime } } \int _ { 0 } ^ { L } \left[ \sin k x \; \hat { P } _ { k } - v | k | \cos k x \; \hat { Q } _ { k } \right] \left[ k ^ { \prime } \cos k ^ { \prime } x \; \hat { Q } _ { k ^ { \prime } } - \frac { k ^ { \prime } } { v | k ^ { \prime } | } \sin k ^ { \prime } x \; \hat { P } _ { k ^ { \prime } } \right] d x } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \left[ \frac { k } { v | k | } \hat { P } _ { k } ^ { 2 } + v k | k | \hat { Q } _ { k } ^ { 2 } \right] = \sum _ { k } \frac { k } { \omega _ { k } } \frac { 1 } { 2 } \left[ \hat { P } _ { k } ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } \hat { Q } _ { k } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 2 } \, \biggl ( \frac { \delta ( \boldsymbol { v } _ { 2 } - \boldsymbol { v } _ { 4 } ) } { \omega ^ { \prime } + \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } _ { 4 } } } & { { } - \frac { 1 } { n _ { i } } \frac { k _ { i 0 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \epsilon ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } \frac { \boldsymbol { k \cdot v } _ { 2 } } { \omega + \boldsymbol { k \cdot v } _ { 2 } } \frac { 1 } { \omega + \boldsymbol { k \cdot v } _ { 4 } } f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } _ { 2 } ) \biggr ) } \end{array}
\phi ( x ) = { \frac { 1 } { \sqrt { V } } } \, \sum _ { \vec { q } } \, e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { x } } \, \phi _ { \vec { q } } ( t ) \quad , \qquad \Pi ( x ) = - \, { \frac { i } { \sqrt { V } } } \, \sum _ { \vec { q } } \, e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { x } } \, \Pi _ { \vec { q } } ( t ) ~ .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { I } _ { \boldsymbol { k } } = \left\langle \Re \left( \hat { \boldsymbol { f } } \cdot \hat { \boldsymbol { v } } ^ { * } \right) \right\rangle , ~ ~ ~ ~ \mathcal { T } _ { \mathrm { k i n , \ b o l d s y m b o l { k } } } = - \left\langle \Re \left( \hat { \boldsymbol { v } } ^ { * } \cdot \left[ \bar { \bar { P } } _ { \boldsymbol { k } } \cdot ( \widehat { \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { v } } ) \right] \right) \right\rangle , } \\ & { \mathcal { T } _ { \mathrm { p o t } , \boldsymbol { k } } = - \left\langle \Re \left( \hat { b } ^ { * } ( \widehat { \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } b } ) \right) / N ^ { 2 } \right\rangle , ~ ~ ~ ~ \mathcal { B } _ { \boldsymbol { k } } = - \left\langle \Re \left( \hat { v } _ { z } ^ { * } \hat { b } \right) \right\rangle , } \\ & { \varepsilon _ { \mathrm { k i n , \ b o l d s y m b o l { k } } } = ( \nu k ^ { 2 } + \nu _ { 4 } k ^ { 4 } ) \frac { | \hat { \boldsymbol { v } } | ^ { 2 } } { 2 } , ~ ~ ~ ~ \varepsilon _ { \mathrm { p o t } , \boldsymbol { k } } = ( \kappa k ^ { 2 } + \kappa _ { 4 } k ^ { 4 } ) \frac { | \hat { b } | ^ { 2 } } { 2 N ^ { 2 } } , } \end{array}
e _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } = \langle \! \langle \hat { P } _ { \sigma } | \mathcal { E } ^ { ( 2 ) } | \hat { P } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { \prime } \rangle \! \rangle \equiv \operatorname { T r } \big [ \hat { P } _ { \sigma } \mathcal { E } ^ { ( 2 ) } ( \hat { P } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \big ]
\begin{array} { r l r } { \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } \hat { R } \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { P } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] } & { { } = } & { \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } \hat { R } \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { P } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] _ { { L } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { a i } ^ { \mathbf { k } } = } & { \sum _ { j \mathbf { k } _ { 2 } P Q } u _ { a } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } u _ { j } ^ { \mathbf { k } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { P } ) M _ { P Q } ^ { \mathbf { q } } u _ { j } ^ { \mathbf { k } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { Q } ) ^ { * } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { Q } ) } \\ { + } & { \sum _ { j \mathbf { k } _ { 2 } \mathbf { q } P Q R \mathbf { r } } W _ { P Q } ^ { \mathbf { q } } V _ { P } ^ { \mathbf { q } } ( \mathbf { r } ) S _ { Q R } ^ { - 1 } \bigg [ u _ { a } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { R } ) ^ { * } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) u _ { j } ^ { \mathbf { k } _ { 2 } } ( \mathbf { r } ) ^ { * } u _ { j } ^ { \mathbf { k } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { R } ) + u _ { a } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) ^ { * } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { R } ) u _ { j } ^ { \mathbf { k } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { R } ) ^ { * } u _ { j } ^ { \mathbf { k } _ { 2 } } ( \mathbf { r } ) \bigg ] } \\ { - } & { \sum _ { j \mathbf { k } _ { 2 } \mathbf { q } P Q S T } W _ { P Q } ^ { \mathbf { q } } S _ { Q S } ^ { - 1 } M _ { P T } ^ { \mathbf { q } } \bigg [ u _ { a } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { S } ) ^ { * } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { T } ) u _ { j } ^ { \mathbf { k } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { S } ) ^ { * } u _ { j } ^ { \mathbf { k } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { T } ) + u _ { a } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { T } ) ^ { * } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { S } ) u _ { j } ^ { \mathbf { k } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { T } ) ^ { * } u _ { j } ^ { \mathbf { k } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { S } ) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \Delta } \left( \mathbf { x } , \beta \right) } & { = \sum _ { i \in \mathcal { N } } x _ { i } \sum _ { j \in \mathcal { N } } e _ { i j } \left( \mathbf { x } , \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { j } ^ { \left[ \gamma \right] } } \\ & { \quad + \sum _ { i \in \mathcal { N } } x _ { i } \left( 1 - \sum _ { j \in \mathcal { N } } e _ { j i } \left( \mathbf { x } , \beta \right) \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } - \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } x _ { i } } \\ & { = \sum _ { i , j \in \mathcal { N } } e _ { j i } \left( \mathbf { x } , \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( x _ { j } - x _ { i } \right) + \sum _ { i \in \mathcal { N } } x _ { i } \left( \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } - \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \Delta { E _ { 0 } } } { E _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } & { = \left( \frac { \Delta E _ { \gamma } } { E _ { \gamma } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \beta \sin \theta } { 1 - \beta \cos \theta } \right) ^ { 2 } \times \left( \Delta \theta \right) ^ { 2 } + } \\ & { \left( \frac { \beta - \cos \theta } { \left( 1 - \beta ^ { 2 } \right) \left( 1 - \beta \cos \theta \right) } \right) ^ { 2 } \times \left( \Delta \beta \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial \delta ^ { 2 } } = 4 \lambda _ { 5 } v _ { 1 } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } \lbrack \cos \delta ( \Omega - \cos \delta ) + s i n ^ { 2 } \delta \rbrack > 0 \; .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } e ^ { \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } d \widehat { L ^ { \prime } } } \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( D ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) e ^ { - \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } d \widehat { L ^ { \prime } } } \right) } & { { } = \lambda \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime } } \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ J ~ a ~ c ~ } = \left( \begin{array} { l l } { 2 V ^ { * } } & { 2 R ^ { * } } \\ { - 2 \pi ^ { 2 } \tau _ { m } ^ { 2 } R ^ { * } + \partial _ { R } I _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } ^ { * } } & { 2 V ^ { * } + \partial _ { V } I _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } ^ { * } } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } ( \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } , \Theta _ { \mathrm { i } } ) } & { { } = \left| \begin{array} { l l } { [ 1 . 8 ] \frac { \partial \theta ^ { \parallel } } { \partial \theta ^ { \prime } } } & { \frac { \partial \theta ^ { \parallel } } { \partial \phi ^ { \prime } } } \\ { \frac { \partial \phi ^ { \parallel } } { \partial \theta ^ { \prime } } } & { \frac { \partial \phi ^ { \parallel } } { \partial \phi ^ { \prime } } } \end{array} \right| } \end{array}
E ( R ) = { \frac { 1 } { ( 1 - \epsilon ^ { 2 } ) } } \left( 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) - J _ { 1 } ^ { 2 } ( x ) + \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( \epsilon x ) - J _ { 1 } ^ { 2 } ( \epsilon x ) \right] - 4 \epsilon \int _ { 0 } ^ { x } { \frac { J _ { 1 } ( t ) J _ { 1 } ( \epsilon t ) } { t } } \, d t \right)
\begin{array} { r l } & { d _ { ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) } \mathscr { G } ( c , 0 , 0 ) = I + K , } \\ & { I \triangleq \left( \begin{array} { l l } { \left( c + \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \widetilde { \gamma } \right) \partial _ { \varphi } } & { 0 } \\ { 0 } & { \left( c - \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } - \widetilde { \gamma } \right) \partial _ { \varphi } } \end{array} \right) , } \\ & { K \triangleq \left( \begin{array} { l l } { \frac { \omega _ { N } - \omega _ { C } } { 2 } \mathcal { H } } & { \frac { \omega _ { C } - \omega _ { S } } { 2 } \frac { \sin ( \theta _ { 2 } ) } { \sin ( \theta _ { 1 } ) } \partial _ { \varphi } \mathcal { Q } \ast \cdot } \\ { \frac { \omega _ { N } - \omega _ { C } } { 2 } \frac { \sin ( \theta _ { 1 } ) } { \sin ( \theta _ { 2 } ) } \partial _ { \varphi } \mathcal { Q } \ast \cdot } & { \frac { \omega _ { C } - \omega _ { S } } { 2 } \mathcal { H } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \exp \left( \sum _ { x \in \Phi } s h _ { x } \ell ( \| x \| ) \right) ~ \Bigg | ~ \Phi \right] } & { \stackrel { \mathrm { \scriptsize ( a ) } } { = } \prod _ { x \in \Phi } \mathcal { L } _ { h } ( - s \ell ( \| x \| ) ) } \\ & { = \exp \left( \sum _ { x \in \Phi } \log \mathcal { L } _ { h } \left( - s \ell ( \| x \| ) \right) \right) . } \end{array}
\Delta _ { i } = - 2 \frac { n q _ { 0 } - m + 1 - ( r _ { 0 } / r _ { w } ) ^ { 2 m } } { [ n q _ { 0 } - m + 1 - ( r _ { 0 } / r _ { s } ) ^ { 2 m } ] [ 1 - ( r _ { s } / r _ { w } ) ^ { 2 m } ] } .
\underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 3 } = \frac { \mu } { \rho } \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 2 } { 3 } v _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 2 } { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - v _ { 1 } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { 1 } { 3 } v _ { 1 } v _ { 3 } } & { v _ { 3 } } & { 0 } & { - \frac { 2 } { 3 } v _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right) .
M _ { 0 } \sim \epsilon ^ { p _ { 1 } } \; , \; M _ { 2 } \sim \epsilon ^ { p _ { 2 } } \; , \; H \sim \epsilon ^ { p _ { 3 } } \; , \; \overline { { { H } } } \sim \epsilon ^ { p _ { 4 } } \; \; \mathrm { a n d } \; \; T \sim \epsilon ^ { - p _ { 1 } } ,
\begin{array} { r l r } { G ( s , t ) } & { = } & { \varPsi \left( \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { 1 } t } \right) } \\ & { = } & { e ^ { \lambda \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { 1 } t } } - 1 \right) } } \\ & { = } & { e ^ { \left( \frac { \lambda ( s - 1 ) } { 1 - s \left( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } \right) } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d v + \theta _ { \rho } ( \| u \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u \partial _ { x } v + w \partial _ { z } v - \nu \partial _ { z z } v ) d t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \theta _ { \rho } ( \| u \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { z } \sigma ( u ) d W , } \\ & { v ( 0 ) = \partial _ { z } u _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } r \, e ^ { - p \, r ^ { 2 } + q \, r \cos \phi } \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \phi } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - p ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + q x } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ & { = e ^ { q ^ { 2 } / ( 4 p ) } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - p ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ & { = \frac { \pi } { p } \, e ^ { q ^ { 2 } / ( 4 p ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { P } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) f ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) } & { { } = f ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) + f ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 1 } ) } \\ { \hat { P } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) f ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) } & { { } = f ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) + f ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 2 } ) } \end{array}