harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
L \left( s _ { \rho } ( p ) , s _ { \rho } ( q ) \right) _ { \mu \nu } = L \left( p , q \right) _ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } , \ M \left( s _ { \rho } ( q ) \right) _ { \mu \nu } = M ( q ) _ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } , \quad \mu ^ { \prime } \equiv s _ { \rho } ( \mu ) , \ \nu ^ { \prime } \equiv s _ { \rho } ( \nu ) ,
r _ { x y } = { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { x _ { i } - { \bar { x } } } { s _ { x } } } \right) \left( { \frac { y _ { i } - { \bar { y } } } { s _ { y } } } \right)
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } U _ { i , j , k + 1 } x ^ { i } y ^ { j } z ^ { k } } & { = } & { c _ { 1 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } U _ { i - 1 , j - 1 , k } x ^ { i } y ^ { j } z ^ { k } + } \\ & { } & { c _ { 2 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } U _ { i , j - 1 , k } x ^ { i } y ^ { j } z ^ { k } + } \\ & { } & { c _ { 3 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } U _ { i + 1 , j - 1 , k } x ^ { i } y ^ { j } z ^ { k } + } \\ & { } & { c _ { 4 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } U _ { i - 1 , j , k } x ^ { i } y ^ { j } z ^ { k } + } \\ & { } & { c _ { 5 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } U _ { i , j , k } x ^ { i } y ^ { j } z ^ { k } + } \\ & { } & { c _ { 6 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } U _ { i + 1 , j , k } x ^ { i } y ^ { j } z ^ { k } + } \\ & { } & { c _ { 7 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } U _ { i - 1 , j + 1 , k } x ^ { i } y ^ { j } z ^ { k } + } \\ & { } & { c _ { 8 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } U _ { i , j + 1 , k } x ^ { i } y ^ { j } z ^ { k } + } \\ & { } & { c _ { 9 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } U _ { i + 1 , j + 1 , k } x ^ { i } y ^ { j } z ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta } & { = \eta _ { 0 } \; \exp \bigg ( ( \ln \eta _ { 0 } + 9 . 6 7 ) \times \bigg [ - 1 + \left( 1 + 5 . 1 \times 1 0 ^ { - 9 } p \right) ^ { \frac { \alpha } { 5 . 1 \times 1 0 ^ { - 9 } \left( \ln \eta _ { 0 } + 9 . 6 7 \right) } } \left( \frac { T - 1 3 8 } { T _ { 0 } - 1 3 8 } \right) ^ { - \frac { \beta ( T _ { 0 } - 1 3 8 ) } { \left( \ln \eta _ { 0 } + 9 . 6 7 \right) } } \bigg ] \bigg ) , } \\ { \eta ^ { * } } & { = \eta \left( \tau _ { e } / \tau _ { 0 } \right) \bigg / \sinh { \left( \tau _ { e } / \tau _ { 0 } \right) } , } \\ { \mu } & { = \mu _ { g } \exp \left[ \frac { - 2 . 3 0 3 C _ { 1 } \left( T - \left[ T _ { g 0 } + A _ { 1 } \ln \left( 1 + A _ { 2 } p \right) \right] \right) \left( 1 + b _ { 1 } p \right) ^ { b _ { 2 } } } { C _ { 2 } + \left( T - \left[ T _ { g 0 } + A _ { 1 } \ln \left( 1 + A _ { 2 } p \right) \right] \right) \left( 1 + b _ { 1 } p \right) ^ { b _ { 2 } } } \right] , } \\ { \eta } & { = \mu \left[ 1 + \left( \frac { \tau _ { e } } { 1 8 \times 1 0 ^ { 6 } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - 6 / 1 3 } , } \\ { \rho } & { = \rho _ { 0 } \left[ 1 + \frac { 0 . 6 \times 1 0 ^ { - 9 } p } { 1 + 1 . 7 \times 1 0 ^ { - 9 } p } \right] \left[ 1 - 0 . 0 0 0 6 5 \left( T - T _ { 0 } \right) \right] , } \\ { k } & { = k _ { 0 } \left( 1 + \frac { c _ { 1 } p } { 1 + c _ { 2 } p } \right) , } \\ { \rho c _ { p } } & { = \left( \rho c _ { p } \right) _ { 0 } \left[ 1 + \beta ( p ) ( T - T _ { 0 } ) \left( 1 + \frac { k _ { 1 } p } { 1 + k _ { 2 } p } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { i } ^ { T } ( \omega ) = C _ { 2 } \sum _ { n } ( - 1 ) ^ { J _ { n } + J _ { i } } \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { J _ { i } } & { J _ { i } } & { J _ { n } } \end{array} \right\} } \\ { \frac { ( E _ { n } - E _ { i } ) | \langle n | | D | | i \rangle | ^ { 2 } } { ( E _ { n } - E _ { i } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { E _ { x } } } & { = } & { \frac { e _ { 0 } } { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } \mathrm { e } ^ { i \beta } + \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } \right) } \\ { \hat { E _ { y } } } & { = } & { \frac { e _ { 0 } } { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { V } } \mathrm { e } ^ { i \beta } + \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \| \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ^ { \prime } ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { 2 } d t ^ { \prime } } & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ^ { \prime } ) \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } d t ^ { \prime } + \int _ { 0 } ^ { t } \| \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ^ { \prime } ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { 2 } d t ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x _ { * } ) \geq } & { F ( x ) + \langle g , x _ { * } - x \rangle + \mu D _ { \psi } ( x _ { * } , x ) } \\ { \overset { ( a ) } { \geq } } & { F ( x ) - \left\Vert g \right\Vert _ { * } \left\Vert x _ { * } - x \right\Vert + \mu D _ { \psi } ( x _ { * } , x ) } \\ { \overset { ( b ) } { \geq } } & { F ( x ) - \left\Vert g \right\Vert _ { * } \left\Vert x _ { * } - x \right\Vert + \frac { \mu } { 2 } \left\Vert x _ { * } - x \right\Vert ^ { 2 } } \\ { \overset { ( c ) } { \geq } } & { F ( x ) - \frac { \left\Vert g \right\Vert _ { * } ^ { 2 } } { 2 \mu } \overset { ( d ) } { \geq } F ( x ) - \frac { G ^ { 2 } } { 2 \mu } } \\ { \Rightarrow \frac { G ^ { 2 } } { 2 \mu } \geq } & { F ( x ) - F ( x _ { * } ) } \end{array}
L _ { L 1 } = { \frac { K \, v ^ { 2 } } { 2 \, R } } ~ \left[ 1 + \sum _ { L = 1 } ^ { \infty } \sum _ { q = 0 } ^ { L - 1 } \, d _ { L L } ( 0 , q ) ~ K ^ { q } ~ N ^ { - q } \left( { \frac { N \, v ^ { 2 } } { R ^ { 2 } M _ { p } ^ { 9 } V _ { T } ~ b ^ { 7 - p } } } \right) ^ { L } ~ ( 1 + S _ { L 1 } ) \right]
\mathrm { p r o x } _ { J _ { \boldsymbol { \lambda } , \beta ^ { 0 } } } ( y ) = \mathrm { p r o x } _ { J _ { \boldsymbol { \lambda } , { \beta ^ { 0 } } } ^ { I _ { 0 } } } ( y ) \oplus \mathrm { p r o x } _ { J _ { \boldsymbol { \lambda } , { \beta ^ { 0 } } } ^ { I _ { 1 } } } ( y ) \oplus \dots \oplus \mathrm { p r o x } _ { J _ { \boldsymbol { \lambda } , { \beta ^ { 0 } } } ^ { I _ { m } } } ( y )
\begin{array} { r l } { ( \mathcal S ( t ) f ) ( \zeta ( t ) ) + c t \le } & { \, f ( \zeta ( ( 1 - \rho ) t ) ) + \int _ { \left( \frac 1 \rho - 1 \right) t } ^ { \frac t \rho } \left( L \left( \zeta _ { \rho } , \dot { \zeta } _ { \rho } \right) + c \right) d \tau } \\ { \le } & { \, f ( \zeta ( ( 1 - \rho ) t ) ) + S ( \zeta ( ( 1 - \rho ) t ) , \zeta ( t ) ) + o ( 1 - \rho ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { a } _ { c } } & { { } = - i \omega _ { 0 } \xi x \, a _ { c } - \frac { \gamma + \gamma _ { 1 } } { 2 } \, a _ { c } + \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, b _ { i n } + \sqrt { \gamma } \, c _ { i n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \big [ \lambda _ { a } + { \bf s } \cdot \nabla \big ] I ( { \bf r } , { \bf s } ) } & { = } & { - \sum _ { { \bf s } ^ { \prime } } q _ { { \bf s } { \bf s } ^ { \prime } } \bigg ( I ( { \bf r } , { \bf s } ) - I ( { \bf r } , { \bf s } ^ { \prime } ) \bigg ) } \\ & { = } & { - \lambda _ { s } I ( { \bf r } , { \bf s } ) + \sum _ { { \bf s } ^ { \prime } } q _ { { \bf s } { \bf s } ^ { \prime } } I ( { \bf r } , { \bf s } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { a b s } } ( \omega ) } & { = \frac { \alpha _ { \infty } \rho _ { \mathrm { a i r } } } { \phi } \left[ 1 + \frac { \sigma \phi } { \mathrm { j } \omega \rho _ { \mathrm { a i r } } \alpha _ { \infty } } \sqrt { 1 + \mathrm { j } \frac { 4 \alpha _ { \infty } ^ { 2 } \eta _ { 0 } \rho _ { \mathrm { a i r } } \omega } { \sigma ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } \phi ^ { 2 } } } \right] \, , } \\ { K _ { \mathrm { a b s } } ( \omega ) } & { = \frac { \gamma p _ { 0 } / \phi } { \gamma - ( \gamma - 1 ) \left[ 1 - \mathrm { j } \frac { \phi \kappa } { k _ { 0 } ^ { \prime } C _ { \mathrm { p } } \rho _ { \mathrm { a i r } } \omega } \sqrt { 1 + \mathrm { j } \frac { 4 k _ { 0 } ^ { 2 } C _ { \mathrm { p } } \rho _ { \mathrm { a i r } } \omega } { \kappa \Lambda ^ { 2 } \phi ^ { 2 } } } \right] ^ { - 1 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { i } ( r , \theta ) } & { { } = - \frac { 2 \mu V } { b } \left( A \left( \frac { b } { r } \right) ^ { 2 } + 1 0 C \, \frac { r } { b } \right) \cos \theta \, , } \\ { p ( r , \theta ) } & { { } = - \frac { 2 \mu V } { b } \, E \left( \frac { b } { r } \right) ^ { 2 } \cos \theta \, . } \end{array}
\left( \hat { a } \, f \right) ( \mathbf { x } ) = \mathcal { F } _ { \mathbf { p } \to \mathbf { x } } ^ { - 1 } a ( \mathbf { x } , \mathbf { p } , \hbar ) \mathcal { F } _ { \mathbf { y } \to \mathbf { p } } f ( \mathbf { y } ) .
\begin{array} { r l } { \theta ( \vec { x } , z , \omega ) } & { { } \equiv \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \frac { s _ { 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) } { s _ { 1 } ( \vec { x } , z , \omega ) } \right) = \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \frac { \langle \sin ( 2 \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) \rangle } { \langle \cos ( 2 \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) \rangle } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } ( \tau ) = } & { \left\{ \varepsilon + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } t _ { i } \cos \left[ \textbf { q } \cdot \textbf { b } _ { i } + \theta _ { i } ( \tau ) \right] \right\} \sigma _ { z } + } \\ & { \left[ \eta _ { s p } \hbar \omega K _ { x } \cos ( \omega \tau ) + \eta _ { s p } \hbar \omega K _ { y } \cos ( \omega \tau + \varphi ) \right] \sigma _ { x } , } \end{array}
F = \frac { a _ { 1 } \tau + \frac { a _ { 2 } } { 2 } \tau ^ { 2 } + \frac { a _ { 3 } } { 3 } \tau ^ { 3 } + \frac { a _ { 4 } } { 4 } \tau ^ { 4 } + \frac { a _ { 5 } } { 5 } \tau ^ { 5 } + \frac { a _ { 6 } } { 6 } \tau ^ { 6 } } { 3 \left( \zeta \lambda ^ { 3 } - 1 \right) ^ { 3 } } .
\frac { d Z ( C _ { g } ^ { \prime } , C _ { w } ^ { \prime } , T ^ { \prime } ) } { d z } = \frac { d Z ( C _ { g } , C _ { w } , T ) } { d z } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \zeta _ { 1 } < z < \zeta _ { 5 } .
\tilde { m } ^ { 2 } ( M ) = 2 ( n _ { 5 } + 3 n _ { 1 0 } ) f \left( { \frac { \Lambda } { M } } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } k _ { i } C _ { i } \biggl ( { \frac { \alpha _ { i } ( M ) } { 4 \pi } } \biggr ) ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 }
\| H ^ { p } \vec { x } \| = \operatorname* { l i m } _ { n _ { k } } \big \| | A ^ { n _ { k } } | ^ { \frac { p } { n _ { k } } } \vec { x } \big \| \le \operatorname* { l i m s u p } _ { n _ { k } } \| A ^ { n _ { k } } \vec { x } \| ^ { \frac { p } { n _ { k } } } \le \operatorname* { l i m s u p } _ { n } \| A ^ { n } \vec { x } \| ^ { \frac { p } { n } } \le r ^ { p } .
\delta a _ { \mu } = 3 \left( \frac { m _ { e } } { 4 \pi M } \right) ^ { 2 } + 4 \frac { 1 } { M _ { \gamma } M } \left( \frac { m _ { e } } { 4 \pi } \right) ^ { 2 } \left( O ( 1 ) + \frac { 3 } { 2 } \right) .
\Gamma _ { n + 1 } ^ { \varepsilon ^ { 0 } . . . \varepsilon ^ { n } } ( k ^ { 0 } , . . . , k ^ { n } ) = \sum _ { P } A _ { i _ { 0 } i _ { 1 } . . . i _ { n } } ^ { 0 ; } E ^ { i _ { 0 } i _ { 1 } } . . . E ^ { i _ { n - 1 } i _ { n } } + o ( \omega ^ { d - 1 } )
\Sigma _ { p q } ^ { ( n , > ) } = \sum _ { t = 0 } ^ { n } \binom { n } { t } \left( \epsilon _ { c } ^ { n - t } V _ { p c , Q } \left( V _ { q c , P } \left( { \tilde { \eta } } _ { i a , P } ^ { ( t ) } V _ { i a , Q } \right) \right) \right) ,
3 \sum _ { \substack { j = k \, j \neq m } } \left( \tilde { A } _ { m } \tilde { A } _ { j } \tilde { A } _ { k } ^ { * } + \tilde { A } _ { m } \tilde { A } _ { j } ^ { * } \tilde { A } _ { k } ) \right) = 6 \sum _ { j \neq m } \left( | \tilde { A } _ { j } | ^ { 2 } \tilde { A } _ { m } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \rho _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } } \\ & { \leq } & { \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } ( e ^ { a _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ) ^ { 1 \slash 2 } ( e ^ { a _ { \theta } ( y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ) ^ { 1 \slash 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } e ^ { a _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } e ^ { a _ { \theta } ( y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) . } \\ & { } & \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \sigma ( e ^ { \pm } p ) } { d x d Q ^ { 2 } } = \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { Q ^ { 4 } x } \left[ Y _ { + } F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) \mp Y _ { - } x F _ { 3 } ( x , Q ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { { 2 } \widetilde { \pmb { Q } } ^ { n + 1 , i } = } & { - \pmb { M } ^ { - 1 } \mathbb { L } _ { h } ^ { 2 } ( \widetilde { U } ^ { n + 1 , i } , \widetilde { \pmb { S } } ^ { n + 1 , i } ) , } \\ { \widetilde { \pmb { S } } ^ { n + 1 , i } = } & { - \pmb { M } ^ { - 1 } \mathbb { L } _ { h } ^ { 3 } ( \widetilde { P } ^ { n + 1 , i } ) , } \\ { \widetilde { P } ^ { n + 1 , i } = } & { - M ^ { - 1 } \mathbb { L } _ { h } ^ { 4 } ( \widetilde { U } ^ { n + 1 , i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \bf E } I _ { 1 } = \frac 1 { n N } \sum _ { \sigma _ { i j } ^ { 2 } \ge 1 / 2 } { \bf E } \left\vert \frac { { \bf E } x _ { i j } I ( \vert x _ { i j } \vert \ge \eta _ { n } \sqrt n ) } { \sigma _ { i j } } - \hat { x } _ { i j } \frac { \sigma _ { i j } - 1 } { \sigma _ { i j } } \right\vert ^ { 2 } } \\ { \le } & { \frac 2 { n N } \sum _ { \sigma _ { i j } ^ { 2 } \ge 1 / 2 } \left( \frac 1 { \eta _ { n } ^ { 2 } n } + \left( \sigma _ { i j } - 1 \right) ^ { 2 } \right) } \\ { \le } & { \frac 2 { n N } \sum _ { \sigma _ { i j } ^ { 2 } \ge 1 / 2 } \bigg ( \frac 1 { \eta _ { n } ^ { 2 } n } + \bigg ( { \bf E } \vert x _ { i j } \vert ^ { 2 } I ( \vert x _ { i j } \vert \leq \eta _ { n } \sqrt n ) - 1 - \vert { \bf E } x _ { i j } I ( \vert x _ { i j } \vert \leq \eta _ { n } \sqrt n ) \vert ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) } \\ { = } & { \frac 2 { n N } \sum _ { \sigma _ { i j } ^ { 2 } \ge 1 / 2 } \left( \frac 1 { \eta _ { n } ^ { 2 } n } + \left( { \bf E } \vert x _ { i j } \vert ^ { 2 } I ( \vert x _ { i j } \vert > \eta _ { n } \sqrt n ) + \vert { \bf E } x _ { i j } I ( \vert x _ { i j } \vert > \eta _ { n } \sqrt n ) \vert ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { \le \frac 2 { n N } \sum _ { \sigma _ { i j } ^ { 2 } \ge 1 / 2 } \left( \frac 1 { \eta _ { n } ^ { 2 } n } + 4 { \bf E } \vert x _ { i j } \vert ^ { 2 } I ( \vert x _ { i j } \vert > \eta _ { n } \sqrt n ) \right) \to 0 . } \end{array}
\cos \theta = \frac { u _ { x } ^ { \prime } } { | \vec { u } | } = \frac { u _ { x } - \frac { \lambda e ^ { 2 } } { 4 \pi M } \ \frac { 1 } { ( s _ { t } ) ^ { 3 } } \sqrt { s _ { t } ^ { 2 } - s _ { y } ^ { 2 } } } { u _ { x } }
| ~ \Psi _ { N } ( { \bf P } _ { i } ) \rangle = \left( { \frac { 1 } { 3 } } \right) ^ { 3 / 4 } \exp \left( i ( { \bf P } _ { i } \cdot { \bf R } - E _ { i } t ) \right) | N ( 9 4 0 ) \rangle ~ ~ ,
\omega _ { y } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { \partial } { \partial z } \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \psi } { \partial z } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad j _ { y } = - \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial z ^ { 2 } } \right) \; .
E _ { ( p i o n - s t r i n g ) } = \left[ \frac { 3 } { 4 } + I _ { \theta } ( \mu , R ) \right] \pi f _ { \pi } ^ { 2 } \approx \left[ \frac { 3 } { 4 } + \ln ( \mu R ) \right] \pi f _ { \pi } ^ { 2 } .
\omega _ { 0 } = k _ { \parallel } v _ { \mathrm { A } } \sqrt { \frac { 1 + k ^ { 2 } \rho _ { \tau } ^ { 2 } } { 1 + k _ { \parallel } ^ { 2 } d _ { i } ^ { 2 } + k ^ { 2 } d _ { e } ^ { 2 } } } , \quad \gamma _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \eta k ^ { 2 } } { 1 + k _ { \parallel } ^ { 2 } d _ { i } ^ { 2 } + k ^ { 2 } d _ { e } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } ) } \leq \| u \| _ { H ^ { 1 } } \leq C \left( \| \omega \| _ { 2 } + ( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ) \| u \| _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { P = \Gamma ( \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ) \frac { \sqrt { 2 \pi } k _ { B } T } { A \overline { { v } } [ ( 1 - \alpha ) \eta _ { s } ( x _ { \mathrm { m i n } } ) + \alpha \eta _ { d } ( x _ { \mathrm { m i n } } ) ] } . } \end{array}
\hat { u } _ { \theta } = \left[ \hat { u } _ { \theta } ^ { \left( 0 \right) } \! / \! \left( N ^ { 2 } k _ { r } ^ { 2 } \! + \! \left( 2 \Omega \right) ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } \right) \right] \left[ N ^ { 2 } k _ { r } ^ { 2 } \! + \! \left( 2 \Omega \right) ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } \cos \left( \sqrt { N ^ { 2 } k _ { r } ^ { 2 } \! + \! \left( 2 \Omega \right) ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } } t / k \right) \right] ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { { \Gamma ^ { + } } } { { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( { \bf { x } } ) } { \partial \nu } } } { u _ { N } ^ { \prime } } ( { \bf { x } } ) \mathrm { { d } } \sigma + \int _ { { \Gamma ^ { - } } } { { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( { \bf { x } } ) } { \partial \nu } } } { u _ { N } ^ { \prime } } ( { \bf { x } } ) { \mathrm { d } } \sigma } \\ & { = C _ { N } ^ { \prime } \int _ { \Gamma ^ { + } } { \mathbf z _ { 2 } e ^ { \rho \cdot \mathbf { \hat { x } _ { + } } r } { r ^ { N } } \mathrm { { d } } \sigma } + C ^ { \prime } { ' _ { N } } \int _ { \Gamma ^ { - } } \tau { e ^ { \rho \cdot \mathbf { \hat { x } _ { - } } r } } { r ^ { N } } { \mathrm { d } } \sigma } \\ & { = { \frac { { \Gamma ( N + 1 ) } C _ { N } ^ { \prime } { \mathbf z _ { 2 } } } { { [ - ( \tau \mathbf { d } + \mathrm { i } \sqrt { { k ^ { 2 } } + { \tau ^ { 2 } } } { \mathbf { d } ^ { \bot } } ) \cdot ( \cos { \theta _ { 0 } } , \sin { \theta _ { 0 } } ) ] ^ { N + 1 } } } } + { \frac { { \Gamma ( N + 1 ) } C ^ { \prime } { ^ { \prime } _ { N } } \mathbf z _ { 4 } } { [ { - ( \tau \mathbf { d } + \mathrm { i } \sqrt { { k ^ { 2 } } + { \tau ^ { 2 } } } { \mathbf { d } ^ { \bot } } ) \cdot ( 1 , 0 ) } ] ^ { N + 1 } } } } \\ & { = { \Gamma ( N + 1 ) } \frac { { { { { C _ { N } ^ { \prime } \mathbf z _ { 2 } \mathbf z _ { 3 } } ^ { N + 1 } } + { { C _ { N } ^ { \prime \prime } \mathbf z _ { 4 } \mathbf z _ { 1 } } ^ { N + 1 } } } } } { { { { { \left( { \mathbf z _ { 1 } \mathbf z _ { 3 } } \right) } ^ { N + 1 } } } } } = { \Gamma ( N + 1 ) } \frac { { { k ^ { N } } } } { { { 2 ^ { N } } N ! } } \frac { { { { { \mathbf { a } ^ { \top } C _ { 1 } \mathbf { b } _ { + } } } + \mathbf { a } ^ { \top } C _ { 2 } \mathbf { b } _ { - } } } } { { { { { \left( { \mathbf { z } _ { 1 } \mathbf z _ { 3 } } \right) } ^ { N + 1 } } } } } } \\ & { = { \Gamma ( N + 1 ) } \frac { { { k ^ { N } } } } { { { 2 ^ { N } } N ! } } \frac { \mathbf z } { \mathbf w } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left| P _ { n + 1 , k } \cdot O _ { n , k } - \psi _ { k } \right| ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { P , k } \left| P _ { n + 1 , k } - P _ { n , k } \right| ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { O , k } \left| O _ { n + 1 , k } - O _ { n , k } \right| ^ { 2 } + \mu \sum _ { k = 2 } ^ { K - 1 } \left| 2 O _ { n + 1 , k } - O _ { n , k + 1 } - O _ { n , k - 1 } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathrm { D i v } _ { h } } ( \mathbf B _ { h } ^ { n + 1 } ) } & { = { \mathrm { D i v } _ { h } } ( \mathbf B _ { h } ^ { n } ) - \Delta t \, { \mathrm { D i v } _ { h } } ( { \mathrm { C u r l } _ { h } } ( \boldsymbol { \tau } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) } \\ & { = { \mathrm { D i v } _ { h } } ( \mathbf B _ { h } ^ { n } ) . } \end{array}
\tilde { A } _ { \mu \nu } = \operatorname* { m a x } _ { i \in \mathcal { Q } _ { j } } \vert A _ { \mu \nu i } \vert , \quad \Phi _ { \nu } ^ { ( j ) } = \operatorname* { m a x } _ { i \in \mathcal { Q } _ { j } } \vert \sqrt { w _ { i } } \Phi _ { \nu i } \vert , \quad \tilde { \phi } ^ { ( j ) } = \operatorname* { m a x } _ { i \in \mathcal { Q } _ { j } } \sqrt { w _ { i } } \sum _ { \mu \in \mathcal { B } _ { j } } \vert \Phi _ { \mu i } \vert .
\mathcal { M V } : \cdots \stackrel { \partial _ { k - 1 } } \rightarrow H _ { \mathrm { r e l ~ } } ^ { k } \left( \bar { M } _ { 2 } ; \bar { F } _ { 2 } \right) \stackrel { e _ { k } } { \rightarrow } H ^ { k } \left( \bar { M } ; \bar { F } \right) \stackrel { r _ { k } } { \rightarrow } H _ { \mathrm { a b s } } ^ { k } \left( \bar { M } _ { 1 } ; \bar { F } _ { 1 } \right) \stackrel { \partial _ { k } } { \rightarrow } \cdots .
\Delta t ^ { ( b ) } = \Delta \tau ^ { ( b ) } = \sum \Delta t _ { n } ^ { ( b ) } = \frac { l _ { 0 } } { \beta _ { 0 } c } \; \frac { 1 - ( \lambda _ { a } ) ^ { ( \frac { N ^ { ( b ) } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) } } { 1 - ( \lambda ^ { ( b ) } ) ^ { 1 / 2 } } ( \simeq 1 . 5 - 5 \times 1 0 ^ { - 8 } \; \mathrm { s e c } )
\begin{array} { r l } { v _ { 1 _ { s } } ^ { ( 1 ) } = } & { \; G _ { - } ^ { ( 1 ) } ( k ) ^ { - 1 } G _ { + } ^ { ( 1 ) } ( k ) = v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } ( k ) ^ { - 1 } \mathcal { A } \mathcal { B } v _ { 9 } ^ { ( 1 ) } ( \frac { 1 } { \omega k } ) ^ { - 1 } \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { - 1 } } \\ { = } & { \; \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - ( b _ { 1 2 , a } ( k ) + b _ { 3 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) ) e ^ { - t \Phi _ { 2 1 } } } & { ( v _ { 1 _ { s } } ^ { ( 1 ) } ) _ { 1 3 } } \\ { 0 } & { 1 } & { - ( b _ { 2 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) + b _ { 2 3 , a } ( k ) ) e ^ { - t \Phi _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { ( v _ { 1 _ { s } } ^ { ( 1 ) } ) _ { 1 3 } : = } & { \; \big ( b _ { 1 2 , a } ( k ) ( b _ { 2 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) + b _ { 2 3 , a } ( k ) ) + b _ { 2 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) b _ { 3 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - b _ { 1 3 , a } ( k ) - b _ { 3 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) \big ) e ^ { - t \Phi _ { 3 1 } } , } \end{array}
\iint _ { S ( V ) } \mathbf { F } \cdot \mathbf { \hat { n } } \; d S = \sum _ { V _ { \mathrm { i } } \subset V } \left( { \frac { 1 } { | V _ { \mathrm { i } } | } } \iint _ { S ( V _ { \mathrm { i } } ) } \mathbf { F } \cdot \mathbf { \hat { n } } \; d S \right) | V _ { \mathrm { i } } |
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { 1 } = } & { ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } , ~ \hat { \rho } _ { 1 } \right) , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \rho } _ { 1 } = ~ \rho ^ { ( i ) } , } \\ { \hat { c } _ { 2 } = } & { ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + 0 . 5 \Delta \rho \hat { c } _ { 1 } ^ { 2 } , ~ \hat { \rho } _ { 2 } \right) , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \rho } _ { 2 } = ~ \rho ^ { ( i ) } + 0 . 5 \Delta \rho , } \\ { \hat { c } _ { 3 } = } & { ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + 0 . 5 \Delta \rho \hat { c } _ { 2 } ^ { 2 } , ~ \hat { \rho } _ { 3 } \right) , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \rho } _ { 3 } = ~ \rho ^ { ( i ) } + 0 . 5 \Delta \rho , } \\ { \hat { c } _ { 4 } = } & { ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + \Delta \rho \hat { c } _ { 3 } ^ { 2 } , ~ \hat { \rho } _ { 4 } \right) , ~ \mathrm { w i t h } ~ \hat { \rho } _ { 4 } = ~ \rho ^ { ( i ) } + \Delta \rho . } \end{array}