harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \le Q _ { \mathrm { W } j } } & { = \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + ( Q _ { \mathrm { W } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } ) } \\ & { \le \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + \underbrace { \operatorname* { m a x } _ { j } ( Q _ { \mathrm { W } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } ) } _ { = Q _ { \mathrm { W } - 1 } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } - 1 } \le \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } \le \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } , } \\ { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } Q _ { \mathrm { W } j } } & { = \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } ( Q _ { \mathrm { W } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } ) } \\ & { = \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + \underbrace { \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ( Q _ { \mathrm { W } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } ) } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } + \underbrace { \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } ( Q _ { \mathrm { W } + j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } + j } ) } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } + \underbrace { \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } ( Q _ { \mathrm { W } - j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } ) } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } } \\ & { \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + \frac { 3 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } , } \\ { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \mu _ { j , A } \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } Q _ { \mathrm { W } j } \mu _ { j , A } } & { \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \mu _ { j , A } + \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } ( Q _ { \mathrm { W } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } ) } \\ & { \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \mu _ { j , A } + \frac { 3 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \int _ { \Omega _ { \delta } } n _ { + } \cdot \nabla T \ d y \right| \leq \int _ { \gamma ^ { + } } | T | \ d S + \int _ { \gamma ( 1 - \delta ) } | n _ { + } \cdot n _ { - } T | \ d S + \int _ { \Omega _ { \delta } } | T \nabla \cdot n _ { + } | \ d y . } \end{array}
V ( \sigma , \phi ) = \frac { 1 } { 2 } m _ { \sigma } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + g ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \phi ^ { \dagger } \phi - | m _ { \phi } ^ { 2 } | \phi ^ { \dagger } \phi + \lambda \left( \phi ^ { \dagger } \phi \right) ^ { 2 } + \frac { m _ { \phi } ^ { 4 } } { 4 \lambda } .
\begin{array} { r l r l } { \widetilde { M } _ { h _ { t } } ^ { 1 } [ l , k ] } & { = ( \varphi _ { k } ^ { 1 } , \varphi _ { l } ^ { 1 } ) _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } , } & & { l , k = 0 , \dots , N ^ { t } , } \\ { M _ { h _ { x } } ^ { \mathcal { R T } } [ \ell , \kappa ] } & { = ( \vec { \psi } _ { \kappa } ^ { \mathcal { R T } } , \vec { \psi } _ { \ell } ^ { \mathcal { R T } } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , } & & { \ell , \kappa = 1 , \dots , N _ { x } ^ { \mathcal { R T } } , } \\ { \vec { j } ^ { k } [ \kappa ] } & { = j _ { \kappa } ^ { k } , } & & { k = 0 , \dots , N ^ { t } , \; \kappa = 1 , \dots , N _ { x } ^ { \mathcal { R T } } , } \\ { \hat { \vec { j } } ^ { k } [ \kappa ] } & { = ( \vec { j } , \varphi _ { k } ^ { 1 } \vec { \psi } _ { \kappa } ^ { \mathcal { R T } } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } , } & & { k = 0 , \dots , N ^ { t } , \; \kappa = 1 , \dots , N _ { x } ^ { \mathcal { R T } } , } \end{array}
\alpha _ { l } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 , } } & { { l = 0 , } } \\ { { q ^ { j ( j p ( p - 1 ) + r p - p + 1 ) } } } & { { l = j p ~ ( j \geq 1 ) , } } \\ { { q ^ { j ( j p ( p - 1 ) - r p + p - 1 ) } } } & { { l = j p - r + 1 ~ ( j \geq 1 ) , } } \\ { { - q ^ { ( j ( p - 1 ) + r ) ( j p + 1 ) } } } & { { l = j p + 1 ~ ( j \geq 0 ) , } } \\ { { - q ^ { ( j ( p - 1 ) - r ) ( j p - 1 ) } } } & { { l = j p - r ~ ( j \geq 1 ) , } } \\ { { 0 , } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } , } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \sigma _ { x } \sigma _ { p } } & { = { \frac { \hbar } { 2 } } { \sqrt { \left( \cos ^ { 2 } { ( \omega t ) } + { \frac { \Omega ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } { ( \omega t ) } \right) \left( \cos ^ { 2 } { ( \omega t ) } + { \frac { \omega ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } { ( \omega t ) } \right) } } } \\ & { = { \frac { \hbar } { 4 } } { \sqrt { 3 + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \Omega ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } + { \frac { \omega ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } } \right) - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \Omega ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } + { \frac { \omega ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } } \right) - 1 \right) \cos { ( 4 \omega t ) } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | I _ { 2 } | } & { = \left| \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { \dot { \Lambda } ( \tau ) \; \psi _ { 2 } ( \Lambda ( \tau ) , \tau ) \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } { ( \xi _ { \delta } ^ { 2 } ( y ) - 1 ) \; G ( 0 , t , y , \tau ) \; \mathrm { d } y } \; \mathrm { d } \tau } \right| } \\ & { \le c \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { | \dot { \Lambda } ( \tau ) \; \psi _ { 2 } ( \Lambda ( \tau ) , \tau ) | \int \displaylimits _ { \delta } ^ { \infty } { ( t - \tau ) ^ { - 1 / 4 } \exp \left( - c \; \frac { y } { ( t - \tau ) ^ { 1 / 4 } } \right) \; \mathrm { d } y } \; \mathrm { d } \tau } } \\ & { \le c \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { | \dot { \Lambda } ( \tau ) \; \psi _ { 2 } ( \Lambda ( \tau ) , \tau ) | \exp \left( - c \; \frac { \delta } { ( t - \tau ) ^ { 1 / 4 } } \right) \; \mathrm { d } \tau } \le c _ { \delta } ( \| \psi _ { 2 } \| ) \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { | \dot { \Lambda } ( \tau ) | \; \mathrm { d } \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { j } ( t + 1 ) } & { = \frac { | U _ { i j } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } } } ( t ) - c ) + ( x _ { i } ( t ) - c ) + x _ { j } ( t ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { L _ { j i } ^ { \prime } } } ( t ) + c ) } { 2 + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \\ & { \leq \frac { | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) + | U _ { i j } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } } } ( t ) - c ) + ( x _ { i } ( t ) - c ) + x _ { j } ( t ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { L _ { j i } ^ { \prime } } } ( t ) + c ) } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \\ { x _ { i } ( t + 1 ) } & { = \frac { | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } ^ { \prime } } } ( t ) - c ) + | U _ { i j } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } } } ( t ) - c ) + x _ { i } ( t ) + ( x _ { j } ( t ) + c ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | } } \\ & { \geq \frac { | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } ^ { \prime } } } ( t ) - c ) + | U _ { i j } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } } } ( t ) - c ) + x _ { i } ( t ) + ( x _ { j } ( t ) + c ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } } } ( t ) - c ) } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \end{array}
\exists \tau \in [ t , t + \Delta t ] : \quad \lVert { \boldsymbol { \theta } } _ { t + \Delta t } ^ { * } - { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ^ { * } \rVert = \left\lVert \frac { d { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ^ { * } } { d t } \Big | _ { t = \tau } \right\rVert \Delta t = \lVert \mathcal { H } ^ { - 1 } ( \tau , { \boldsymbol { \theta } } _ { \tau } ^ { * } ) \dot { \boldsymbol { \mathcal { G } } } ( \tau , { \boldsymbol { \theta } } _ { \tau } ^ { * } ) \rVert \Delta t
\begin{array} { l l } { { \frac { } { \mathbf { 0 } \, \, { \mathsf { n a t } } } } } & { { \frac { n \, \, { \mathsf { n a t } } } { \mathbf { s ( } n \mathbf { ) } \, \, { \mathsf { n a t } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 X _ { S } \left( \frac { X _ { 0 } f } { \| \nabla _ { H } f \| } \right) - \left( \frac { X _ { 0 } f } { \| \nabla _ { H } f \| } \right) ^ { 2 } } & { = - \frac { 2 } { \| \nabla _ { H } f \| ^ { 3 } } \left( r + 4 g ^ { \prime } ( r ) g ^ { \prime \prime } ( r ) \right) X _ { S } ( r ) - \frac { 1 } { \| \nabla _ { H } f \| ^ { 2 } } } \\ & { = 4 g ^ { \prime } ( r ) \frac { r g ^ { \prime \prime } ( r ) - g ^ { \prime } ( r ) } { \| \nabla _ { H } f \| ^ { 4 } } . } \end{array}
P ( G _ { t } | i , G _ { t - 1 } , \theta ) = \frac { m ! } { \prod _ { k } x _ { k } ^ { i a } ( t ) ! x _ { k } ^ { i b } ( t ) ! } \prod _ { k } p _ { k } ^ { i a } ( t ) ^ { x _ { k } ^ { i a } ( t ) } p _ { k } ^ { i b } ( t ) ^ { x _ { k } ^ { i b } ( t ) }
\left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { t _ { i } } = \mathrm { ~ e ~ } ^ { - i \omega ^ { \pm } d } \left[ \begin{array} { l } { E _ { k } ^ { + } } \\ { E _ { k } ^ { - } } \end{array} \right] _ { t _ { k } } = [ M _ { i j } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { k } ^ { + } } \\ { E _ { k } ^ { - } } \end{array} \right] _ { t _ { k } } .
\begin{array} { r l } { g _ { m } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { k } ^ { T h } \int h _ { m } ^ { T h } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) ~ d ^ { 3 } r } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { k } ^ { R a } \int h _ { m } ^ { R a } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) ~ d ^ { 3 } r + \psi _ { m } + n _ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { 2 , Q ^ { 1 / 2 } } ( A _ { 1 } ) } & { = \lambda _ { \textup { m a x } } \Big ( \frac { Q A _ { 1 } Q ^ { - 1 } { + } A _ { 1 } ^ { \top } } { 2 } \Big ) = \lambda _ { \textup { m a x } } \Big ( \frac { Q ( S Q ) Q ^ { - 1 } { + } Q S } { 2 } \Big ) } \\ & { = \lambda _ { \textup { m a x } } ( Q S ) = \lambda _ { \textup { m a x } } ( Q S Q Q ^ { - 1 } ) } \\ & { = \lambda _ { \textup { m a x } } ( Q A _ { 1 } Q ^ { - 1 } ) = \lambda _ { \textup { m a x } } ( A _ { 1 } ) } \\ & { = \alpha ( A _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { d i s t } ( x , \mathcal { T } ^ { - 1 } \{ \mathcal { T } \bar { x } \} \cap \mathcal { N } _ { \mathfrak { D } } ( \bar { w } ) ) \leq \beta _ { 1 } [ \mathrm { d i s t } ( x , \mathcal { T } ^ { - 1 } \{ \mathcal { T } \bar { x } \} ) + \mathrm { d i s t } ( x , \mathcal { N } _ { \mathfrak { D } } ( \bar { w } ) ) ] , } \\ & { \mathrm { d i s t } ( x , \mathcal { T } ^ { - 1 } \{ \mathcal { T } \bar { x } \} ) \leq \beta _ { 2 } \| \mathcal { T } x - \mathcal { T } \bar { x } \| . } \end{array}
\gamma _ { 1 } E _ { c } \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } ~ d \rho - ( v + \gamma _ { 1 } u \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } ) ~ d \rho u + ( u - \gamma _ { 1 } v \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } ) ~ d \rho v + \gamma _ { 1 } \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } ~ d \rho E = 0 .
\begin{array} { r l } & { \Phi ( x , l ) = \frac { 1 } { 2 x } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \frac { y } { \exp { \left( \frac { y ^ { 2 } } { \Theta } - \bar { \mu } \right) } + 1 } \ln { \left[ \frac { \left( x ^ { 2 } + 2 x y \right) ^ { 2 } + \left( 2 \pi { l } { \Theta } \right) ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } - 2 x y \right) ^ { 2 } + \left( 2 \pi { l } \Theta \right) ^ { 2 } } \right] } \, , } \\ & { \Phi ( x , 0 ) = \frac { 1 } { \Theta { x } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \left[ \left( y ^ { 2 } - \frac { x ^ { 2 } } { 4 } \right) \ln { \left| \frac { 2 y + x } { 2 y - x } \right| } + x y \right] \frac { y \exp { \left( \frac { y ^ { 2 } } { \Theta } - \bar { \mu } \right) } } { \left[ \exp { \left( \frac { y ^ { 2 } } { \Theta } - \bar { \mu } \right) } + 1 \right] ^ { 2 } } \, , } \\ & { \Psi ( x , l ) = - \frac { 3 } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left\{ \left[ - \frac { B ( u ) } { \beta { U } ( u ) } + 1 \right] S ( u ) - \left[ \frac { \Psi ( u , l ) } { \Phi ( u , l ) } \right] \left[ S ( u ) - 1 \right] \right\} \frac { d u } { u } \int _ { | u - x | } ^ { u + x } w \left[ S ( w ) - 1 \right] d w } \\ & { \qquad \quad \, \, \, \, \times \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { y d y } { \exp { \left( \frac { y ^ { 2 } } { \Theta } - \bar { \mu } \right) } + 1 } \ln { \left| \frac { \left[ u ^ { 2 } - w ^ { 2 } + x ^ { 2 } + 4 x y \right] ^ { 2 } + \left( 4 \pi { l } \Theta \right) ^ { 2 } } { \left[ u ^ { 2 } - w ^ { 2 } + x ^ { 2 } - 4 x y \right] ^ { 2 } + \left( 4 \pi { l } \Theta \right) ^ { 2 } } \right| } \, , } \\ & { \Psi ( x , 0 ) = - \frac { 3 } { 4 \Theta } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left\{ \left[ - \frac { B ( u ) } { \beta { U } ( u ) } + 1 \right] S ( u ) - \left[ \frac { \Psi ( u , 0 ) } { \Phi ( u , 0 ) } \right] \left[ S ( u ) - 1 \right] \right\} \frac { d u } { u } \int _ { | u - x | } ^ { u + x } w \left[ S ( w ) - 1 \right] d w } \\ & { \qquad \quad \, \, \, \, \times \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \frac { y \exp { \left( \frac { y ^ { 2 } } { \Theta } - \bar { \mu } \right) } } { \left[ \exp { \left( \frac { y ^ { 2 } } { \Theta } - \bar { \mu } \right) } + 1 \right] ^ { 2 } } \left\{ \left[ y ^ { 2 } - \frac { ( u ^ { 2 } - w ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 1 6 x ^ { 2 } } \right] \ln { \left| \frac { u ^ { 2 } - w ^ { 2 } + x ^ { 2 } + 4 x y } { u ^ { 2 } - w ^ { 2 } + x ^ { 2 } - 4 x y } \right| } + \frac { u ^ { 2 } - w ^ { 2 } + x ^ { 2 } } { 2 } \frac { y } { x } \right\} , } \\ & { S ( x ) = \frac { 3 } { 2 } \Theta \displaystyle \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \frac { \Phi ( x , l ) } { 1 + \displaystyle \frac { 4 } { \pi } \lambda { r } _ { \mathrm { s } } \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \left\{ \left[ 1 - \displaystyle \frac { { B } \left( x \right) } { \beta { U } ( x ) } \right] \Phi ( x , l ) - \Psi ( x , l ) \right\} } \, . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \, \, \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp ( - \delta \ell ( \rho ( a w _ { 1 } a w _ { 2 } ) ) ) } & { = \sum _ { \alpha \in A ( a w _ { 1 } a w _ { 2 } a ) } g ( \alpha ) } \\ & { = \sum _ { \alpha \in A ( a w _ { 1 } a ) } g ( \alpha ) \sum _ { \alpha \in A ( a w _ { 2 } a ) } g ( \alpha ) } \\ & { = \exp ( - \delta \ell ( \rho ( a w _ { 1 } ) ) ) \exp ( - \delta \ell ( \rho ( a w _ { 2 } ) ) ) , } \end{array}
r \, \frac { k S _ { k } } { \langle k \rangle } \sum _ { k ^ { \prime } } I _ { k ^ { \prime } } ( k ^ { \prime } - 1 ) \pi ( k ^ { \prime } ) = r \, \frac { k S _ { k } } { k _ { 0 } } \sum _ { k ^ { \prime } } I _ { k ^ { \prime } } ( k ^ { \prime } - 1 ) \delta _ { k ^ { \prime } , k _ { 0 } } = r \, \frac { k S _ { k } } { k _ { 0 } } \ \ I _ { k _ { 0 } } ( k _ { 0 } - 1 )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } } & { = ( 1 - \alpha ) \mathbb { E } \left[ \mathbf { g } _ { i , k , 1 } ^ { t } \right] + \alpha \mathbb { E } \left[ \mathbf { g } _ { i , k , 2 } ^ { t } \right] = ( 1 - \alpha ) \mathbb { E } \left[ \nabla F _ { i } ( \mathbf { x } _ { i , k } ^ { t } ; \varepsilon _ { i , k } ^ { t } ) \right] + \alpha \mathbb { E } \left[ \nabla F _ { i } ( \Breve { \mathbf { x } } _ { i , k } ^ { t } ; \varepsilon _ { i , k } ^ { t } ) \right] } \\ & { = ( 1 - \alpha ) \nabla F _ { i } ( \mathbf { x } _ { i , k } ^ { t } ) + \alpha \nabla F _ { i } ( \Breve { \mathbf { x } } _ { i , k } ^ { t } ) = ( 1 - \alpha ) \nabla F _ { i } ( \mathbf { x } _ { i , k } ^ { t } ) + \alpha \nabla F _ { i } ( \mathbf { x } _ { i , k } ^ { t } + \rho \mathbf { g } _ { i , k , 1 } ^ { t } ) . } \end{array}
x ( t ) = F \cdot \frac { \cos \Omega t - \cos \omega _ { 0 } t } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } } = \frac { 2 F } { ( \omega _ { 0 } - \Omega ) ( \omega _ { 0 } + \Omega ) } \sin \frac { \omega _ { 0 } - \Omega } { 2 } t \cdot \sin \frac { \omega _ { 0 } + \Omega } { 2 } t \ .
\dot { \bar { \theta } } _ { 1 } = \frac { - \mathsf { A } - \bar { p } _ { 2 } } { I _ { 1 } } \, , \quad \dot { \bar { \psi } } _ { 2 } = \left( \frac { 1 } { I _ { 1 } } + \frac { 1 } { I _ { 2 } } \right) \bar { p } _ { 2 } + \frac { \mathsf { A } } { I _ { 1 } } \, , \qquad \dot { \bar { p } } _ { 2 } = - \frac { \partial \Pi } { \partial \bar { \psi } _ { 2 } } \, .
\big \{ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \Delta + V ( \vec { x } ) \big \} \psi _ { i } ( \vec { x } ) \overset { \footnotesize ( ) } { = } \underbrace { m c ^ { 2 } \Big ( 1 - \frac { \lambda _ { i } } { 2 D } \Big ) } _ { E _ { i } } \psi _ { i } ( \vec { x } )
I _ { e x t r } ^ { ( n ) } = - l n Z _ { e x t r } ^ { c l } = 2 \pi \sum _ { r = 1 } ^ { n } | P _ { r } Q _ { r } | = \pi \sum _ { r = 1 } ^ { n } ( { M _ { r } } ^ { 2 } - { \Sigma _ { r } } ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { P } & { { } = \frac { A \Omega _ { \mathrm { e f f } } } { \lambda ^ { 2 } } \int \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } \, \frac { \hbar \omega } { e ^ { \hbar \omega / k T _ { \mathrm { p } } } - 1 } } \\ { ( \Delta P ) ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { \tau } \frac { A \Omega _ { \mathrm { e f f } } } { \lambda ^ { 2 } } \int \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } \, \frac { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } e ^ { \hbar \omega / k T _ { \mathrm { p } } } } { \left( e ^ { \hbar \omega / k T _ { \mathrm { p } } } - 1 \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { G } } ^ { 2 } ( \pi \mathbf { u } ) = \pi \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } ) } & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { \hat { \pi } \hat { G } } ^ { - 1 } ( \pi F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) ) = \pi F _ { \hat { G } } ^ { - 1 } ( F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) ) } \\ & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { \hat { \pi } \hat { G } } ^ { - 1 } ( \pi F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) ) = \pi \mathbf { z } } \\ & { \quad \Leftrightarrow \quad F _ { \hat { \pi } \hat { G } } ( \pi \mathbf { z } ) = \pi F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } } \int _ { \mathbb { S } _ { \mathbf { 0 } } } e ^ { i ( \mathbf { k } ^ { \prime } - \mathbf { k } - \mathbf { b } ) ^ { T } \mathbf { r } } v _ { n , \mathbf { k } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) v _ { n , \mathbf { k } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) \mathrm { d } \mathbf { r } = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathbf { k } } \int _ { \mathbb { S } _ { \mathbf { 0 } } } v _ { n , \mathbf { k } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) v _ { n , \mathbf { k } + \mathbf { b } } ( \mathbf { r } ) \mathrm { d } \mathbf { r } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { I _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } } \\ { V _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { ( k r ^ { 2 } ) j ( j + 1 ) } \left( \begin{array} { l l l } { f _ { j m } } & { } & { - g _ { j m } } \\ { - g _ { j m } } & { } & { f _ { j m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \langle I \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } } \\ { \langle V \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } } \end{array} \right) .
{ \boldsymbol { a } } = { \frac { \mathrm { d } { \boldsymbol { v } } } { \mathrm { d } t } } = \left( { \ddot { \rho } } - \rho \, { \dot { \varphi } } ^ { 2 } \right) { \boldsymbol { \hat { \rho } } } + \left( 2 { \dot { \rho } } \, { \dot { \varphi } } + \rho \, { \ddot { \varphi } } \right) { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } + { \ddot { z } } \, { \hat { \boldsymbol { z } } }
\Xi _ { i } ^ { \prime } = \ensuremath { \mathrm { ~ K ~ n ~ } } \tau \sum _ { k \neq i } \frac { \Xi _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathcal C _ { s } \Xi _ { k } } { \lambda _ { i } - \lambda _ { k } } \Xi _ { k } .
\begin{array} { r } { S _ { n _ { 0 } , n } \equiv \sum _ { i = n _ { 0 } } ^ { n - 1 } a _ { i } = { \binom { n - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { n } ( n - n _ { 0 } ) . } \end{array}
h = 0 . 9 4 \, \ell _ { c } \, { \mathrm { C a } _ { \phi } } ^ { 2 / 3 } = 0 . 9 4 \, \ell _ { c } \, \left( \frac { \eta ( \phi ) \, U } { \gamma } \right) ^ { 2 / 3 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { 0 = \omega ^ { \lambda _ { 0 } } ( x ) = u _ { \lambda _ { 0 } } ( x ) - u ( x ) } \\ & { } & { \, \, \, \, > \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda _ { 0 } } ( 0 ) } \left( \left( \frac { { \lambda _ { 0 } } ^ { 2 } } { | x | | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda _ { 0 } } , y ^ { \lambda _ { 0 } } ) - { \left( \frac { { \lambda _ { 0 } } } { | y | } \right) } ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda _ { 0 } } ) \right) } \\ & { } & { \qquad \times \left( f ( y , u _ { \lambda _ { 0 } } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) \right) \mathrm d y = 0 } \end{array}
p = \frac { 1 } { k _ { ( 5 ) } ^ { 2 } } [ k | \dot { h } | ] ^ { - 1 / 2 } \left[ \frac { \dot { k } } { k } - \frac { \ddot { h } } { \dot { h } } \right] - \frac { 2 } { 3 } \rho
T _ { \Sigma _ { 3 } } = ( ( ( v _ { 1 } ) \omega _ { 1 } ) \Sigma _ { 1 } ) + ( ( ( v _ { 2 } ) \omega _ { 2 } ) \Sigma _ { 1 } ) + ( ( U _ { \omega _ { 3 } } ) \Sigma _ { 1 } ) ,
\frac { 1 } { x } F = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { d ^ { 4 } \! k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \biggl [ \Pi _ { \alpha \beta } ( q , k ) \frac { 1 } { k ^ { 4 } } \tilde { \Gamma } ^ { \alpha \beta } ( k , p ) \biggr ] .
I _ { 1 0 } = \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g ^ { ( 1 0 ) } } \left[ e ^ { - 2 \phi } ( R ^ { ( 1 0 ) } + 4 ( D \phi ) ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 \cdot 5 ! } F ^ { ( 1 0 ) 2 } \right] ,
( \dot { \Gamma } _ { i } ^ { a } \delta \tilde { E } ^ { i a } - \dot { \tilde { E } ^ { i a } } \delta \Gamma _ { i } ^ { a } ) - \partial _ { i } ( i \hat { \lambda } ^ { a } \delta \tilde { E } ^ { i a } ) = 0 \ \mathrm { m o d } \left( \dot { \tilde { E } ^ { i a } } + i \varepsilon ^ { a b c } \lambda ^ { b } \tilde { E } ^ { i c } = 0 \right) ,
\begin{array} { r l } { \| X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) \| ^ { 2 } } & { = ( s _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) ) ^ { 2 } + ( x - x _ { i } ) ^ { 2 } ( t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) ) ^ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 0 , 0 ) } \\ & { = \frac { \left( 1 - ( ( x - x _ { i } ) / 2 ) ^ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 0 , 0 ) \right) ^ { 2 } + ( x - x _ { i } ) ^ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 0 , 0 ) } { \left( 1 + ( ( x - x _ { i } ) / 2 ) ^ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 0 , 0 ) \right) ^ { 2 } } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { A = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { \vec { v } _ { 1 } } & { \vec { v } _ { 2 } } & { \vec { v } _ { 3 } } & { \vec { v } _ { 4 } } \end{array} \right] , \ \ \ A ^ { T } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { \vec { u } _ { 1 } } & { \vec { u } _ { 2 } } & { \vec { u } _ { 3 } } & { \vec { u } _ { 4 } } \end{array} \right] . } \end{array}