harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
b _ { o u t } = B \frac { V _ { i n } \cap V _ { m } } { V _ { i n } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { V _ { m } } { V _ { i n } } B , } & { p > \frac { \alpha _ { m } ^ { \prime } } { \phi _ { i n } ^ { * } } , } \\ { B - B \frac { w _ { i n } ( \phi _ { i n } ^ { * } ) ^ { 2 } } { V _ { i n } } \frac { ( p - 1 ) ^ { 2 } } { \alpha _ { m } ^ { \prime } - \phi _ { i n } ^ { * } } , } & { 1 < p \le \frac { \alpha _ { m } ^ { \prime } } { \phi _ { i n } ^ { * } } , } \\ { B , } & { p \le 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int \partial / \partial x ^ { \prime } f ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } & { = \int d _ { x ^ { \prime } } ( f ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) } \\ & { = f ( \infty , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) - f ( - \infty , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { L ( u , \delta ^ { 2 } ; D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ) = \prod _ { x \in \mathcal { M } ^ { * } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \left( \sigma _ { x , \mathrm { ~ e ~ m ~ u ~ } } ^ { 2 } ( u ) + \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } , x } ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } \right) ^ { - \frac 1 2 } \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \frac { \left[ \hat { \eta } _ { x } ( u ) - z ( x ) \right] ^ { 2 } } { \sigma _ { x , \mathrm { ~ e ~ m ~ u ~ } } ^ { 2 } ( u ) + \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } , x } ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } } \right\} , } \end{array}
H = \frac { 1 } { m ^ { 2 } } R ^ { \alpha \beta } H _ { \alpha \beta } \frac { ( D - 2 ) b _ { 2 } - 2 a _ { 3 } - 2 a _ { 4 } - D a _ { 5 } } { D - 1 } + O \left( \frac { 1 } { m ^ { 4 } } \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } [ E ( \Omega _ { \delta } ; x _ { 1 } ^ { \delta } , \ldots , x _ { 2 n } ^ { \delta } ; z _ { 1 } ^ { \delta , + } , \ldots , z _ { n - 1 } ^ { \delta , + } ) ] } \\ { = } & { \sum _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { n - 1 } } \mathbb { P } [ E ( \Omega _ { \delta } ; x _ { 1 } ^ { \delta } , \ldots , x _ { 2 n } ^ { \delta } ; z _ { 1 } ^ { \delta , + } , \ldots , z _ { n - 1 } ^ { \delta , + } ) \cap \{ \mathrm { t h e ~ o r d e r ~ i s ~ g i v e n ~ b y ~ } \gamma _ { i _ { 1 } } ^ { \delta } , \ldots , \gamma _ { i _ { n - 1 } } ^ { \delta } \} ] } \\ { \le } & { \sum _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { n - 1 } } \Pi _ { i = 1 } ^ { n - 1 } h _ { r } ^ { \delta } ( z _ { i } ^ { \delta , + } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S : = } & { v \Delta t \sqrt { \frac { ( \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { x } \Delta x ) ) ^ { 2 } } { \Delta x ^ { 2 } } + \frac { ( \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { y } \Delta y ) ) ^ { 2 } } { \Delta y ^ { 2 } } + \frac { ( \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { z } \Delta z ) ) ^ { 2 } } { \Delta z ^ { 2 } } } } \end{array}
{ \cal B } ( \Omega ^ { - } \to \Xi ^ { 0 } \pi ^ { - } ) = \sigma ( \sqrt { 6 } g _ { { } _ { \pi ^ { 0 } \Xi ^ { - } , \Xi ^ { * - } } } + g _ { { } _ { \bar { K } ^ { 0 } \Xi ^ { - } , \Omega ^ { - } } } ) ,
f _ { \ell } ^ { \alpha } ( r ) = \frac { \sqrt { \nu _ { b } ^ { \alpha } R } \; K _ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } ( \nu _ { b } ^ { \alpha } r ) } { \sqrt { \nu _ { b } ^ { \alpha } r } \; K _ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } ( \nu _ { b } ^ { \alpha } R ) } ,
\begin{array} { r l } { \big \| { y ^ { - \varepsilon / 2 + n } \partial _ { y } ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { \beta } \mathcal { U } } \big \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathscr { S } _ { 1 } ) } } & { \lesssim \big \| { y ^ { - \varepsilon / 2 + n - 1 } \partial _ { y } \partial _ { x } ^ { \beta } \mathcal { U } } \big \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathscr { S } _ { 1 } ) } + \big \| { y ^ { - \varepsilon / 2 + n } \Delta _ { x } \partial _ { x } ^ { \beta } \mathcal { U } } \big \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathscr { S } _ { 1 } ) } } \\ & { \lesssim C ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! + C ^ { n } n ! \simeq C ^ { n } n ! . } \end{array}
\begin{array} { r l } { O _ { 1 } ^ { ( x , y ) } } & { = \{ x \cdot y , x + y , x - y , - x \} } \\ { O _ { 2 } ^ { ( x , y ) } } & { = \{ x / y , \vert x \vert , \sqrt { x } , x ^ { 3 } , \operatorname* { m a x } ( 0 , x ) \} } \\ { O _ { 3 } ^ { ( x , y ) } } & { = \{ \exp ( x ) , \ln ( x ) , \sin ( x ) , \cos ( x ) , \tan ( x ) , \sinh ( x ) , \cosh ( x ) , \operatorname { t a n h } ( x ) \} } \\ { O _ { 4 } ^ { ( x , y ) } } & { = \{ x ^ { y } , \Gamma ( x ) , \mathrm { e r f } ( x ) , \arcsin ( x ) , \operatorname { a r c c o s } ( x ) , \arctan ( x ) , \mathrm { a r s i n h } ( x ) , \mathrm { a r c o s h } ( x ) , \mathrm { a r t a n h } ( x ) \} } \end{array}
V _ { Q \bar { Q } } ( \ell ) \sim \operatorname * { m i n } _ { w } \left[ \pi w ^ { 2 } \ell \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { Q } { \pi w ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \frac { c _ { e } } { 4 d } \right\} \right] \sim \frac { Q ^ { 2 } } { \pi w _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } } \times \ell .
\mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ l ~ e ~ \_ ~ f ~ a ~ c ~ t ~ o ~ r ~ } = ( t _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } - t _ { \mathrm { ~ a ~ r ~ r ~ a ~ y ~ } } [ n _ { \mathrm { ~ s ~ l ~ o ~ t ~ } } ] ) / d t _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } }
\begin{array} { r } { S ^ { \prime } = \left\{ s \in \{ 0 , 1 \} ^ { N } \, \bigg | \, \bigwedge _ { \alpha = 1 } ^ { d } \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } s _ { \ell \alpha } = 1 \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { r } } & { = } & { \left( \frac { \partial _ { r } T _ { D } } { e } \right) \left[ \frac { \delta _ { 1 2 } ^ { D } L _ { 1 1 } ^ { D } + \delta _ { 1 2 } ^ { T } L _ { 1 1 } ^ { T } - 2 \delta _ { 1 2 } ^ { e } L _ { 1 1 } ^ { e } } { L _ { 1 1 } ^ { D } + L _ { 1 1 } ^ { T } + 2 L _ { 1 1 } ^ { e } } \right] \, , } \\ { \frac { \partial _ { r } T _ { D } } { T _ { D } } } & { = } & { - ( L _ { 1 1 } ^ { D } ) ^ { - 1 } \left[ \delta _ { 2 2 } ^ { D } - \delta _ { 2 1 } ^ { D } \left( \frac { \delta _ { 1 2 } ^ { D } L _ { 1 1 } ^ { D } + \delta _ { 1 2 } ^ { T } L _ { 1 1 } ^ { T } - 2 \delta _ { 1 2 } ^ { e } L _ { 1 1 } ^ { e } } { L _ { 1 1 } ^ { D } + L _ { 1 1 } ^ { T } + 2 L _ { 1 1 } ^ { e } } \right) \right] ^ { - 1 } \frac { 1 } { r } \int _ { 0 } ^ { r } \mathrm { d } r ^ { \prime } r ^ { \prime } P _ { D } \, . } \end{array}
\varphi _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) = \varphi _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) = \pm \varphi _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) = \pm \varphi _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \Xi C ^ { + } } & { = } & { \int _ { { \cal C } ^ { + } } \left( \gamma _ { 1 } E _ { c } ( u + v t ^ { + } ) ~ \frac { d \rho } { d s } - ( \gamma u ( u + v t ^ { + } ) - 2 E _ { c } ) \frac { d \rho u } { d s } - ( \gamma v ( u + v t ^ { + } ) - 2 E _ { c } t ^ { + } ) \frac { d \rho v } { d s } + \gamma _ { 1 } ( u + v t ^ { + } ) \frac { d \rho E } { d s } \right) d s } \\ { \Xi C ^ { - } } & { = } & { \int _ { { \cal C } ^ { - } } \left( \gamma _ { 1 } E _ { c } ( u + v t ^ { - } ) ~ \frac { d \rho } { d s } - ( \gamma u ( u + v t ^ { - } ) - 2 E _ { c } ) \frac { d \rho u } { d s } - ( \gamma v ( u + v t ^ { - } ) - 2 E _ { c } t ^ { - } ) \frac { d \rho v } { d s } + \gamma _ { 1 } ( u + v t ^ { - } ) \frac { d \rho E } { d s } \right) d s , } \end{array}
f ( d ) = \sum _ { o \in \mathcal { O } } \left( \alpha _ { o } \left\| d _ { i \in \mathcal { V } _ { o } } - \lambda _ { o } p \right\| _ { + } ^ { 2 } + \beta _ { o } \left\| d _ { i \in \mathcal { V } _ { o } } - \lambda _ { o } p \right\| _ { - } ^ { 2 } \right) ,
\Gamma _ { \sigma \sigma \pi \pi } ^ { \, \cdot \, \cdot \, i \, j } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = G ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \delta ^ { i j } \, ,
A _ { i j } ^ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { { i } \leftarrow { j } } ^ { s } } & { \mathrm { i f ~ } i \neq j \in ~ \mathrm { s t r u c t u r e ~ l a y e r } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \quad \quad \mathrm { w h e r e } \quad \quad u _ { i \leftarrow j } ^ { s } = \frac { \gamma _ { j } ^ { s } } { 2 \pi \vert \mathbf { r } _ { j } ^ { s } - \mathbf { r } _ { i } ^ { s } \vert } ,
{ \begin{array} { r } { 3 2 i d _ { 5 } + 1 6 d _ { 4 } - 8 i d _ { 3 } - 4 d _ { 2 } + 2 i d _ { 1 } + d _ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 i } } d _ { - 1 } + { \frac { 1 } { - 4 } } d _ { - 2 } + { \frac { 1 } { - 8 i } } d _ { - 3 } } \\ { = 3 2 i d _ { 5 } + 1 6 d _ { 4 } - 8 i d _ { 3 } - 4 d _ { 2 } + 2 i d _ { 1 } + d _ { 0 } - { \frac { i } { 2 } } d _ { - 1 } - { \frac { 1 } { 4 } } d _ { - 2 } + { \frac { i } { 8 } } d _ { - 3 } } \end{array} }
\begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } } & { \mathsf { E } [ U _ { j } ( t + 1 ) - U _ { j } ( t ) | \mathcal { F } _ { t } , \theta = j ] } & & { \ge a \, , } & & { \mathrm { w h e r e ~ } a } & & { > 0 \, , } \\ & { U _ { j } ( t + 1 ) - U _ { j } ( t ) } & & { \le C _ { 2 } \, , \quad } & & { \mathrm { i f ~ } U _ { j } ( t ) } & & { \le 0 \, , } \\ & { \mathsf { E } [ U _ { j } ( t + 1 ) - U _ { j } ( t ) | \mathcal { F } _ { t } , \theta = j ] } & & { = C _ { 1 } \, , } & & { \mathrm { i f ~ } U _ { j } ( t ) } & & { \ge 0 \, , } \\ & { \mid U _ { j } ( t + 1 ) - U _ { j } ( t ) \mid } & & { = C _ { 2 } \, , } & & { \mathrm { i f ~ } U _ { j } ( t ) } & & { \ge 0 \, . } \end{array}
\quad ( 1 0 ) \qquad \qquad v _ { i } { \frac { d { \mathbf { \bar { u } } } _ { i } } { d t } } + \oint _ { S _ { i } } { \mathbf { f } } \left( { \mathbf { u } } \right) \cdot { \mathbf { n } } \ d S = { \mathbf { 0 } } ,
\begin{array} { r l r } { z _ { 1 } ( t ) } & { { } = } & { x _ { 1 } ( t ) } \\ { z _ { j } ( t ) } & { { } = } & { x _ { j } ( t ) - x _ { j } ( 0 ) , \qquad j = 2 , \cdots , n } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \left\langle \Phi _ { j _ { 1 } } ( x , \bar { x } ) \Phi _ { - 1 - j _ { 1 } - \varepsilon } ( x ^ { \prime } , \bar { x } ^ { \prime } ) \right\rangle = \delta ^ { 2 } ( x - x ^ { \prime } ) .
\left( \frac { \delta T } { T } \right) _ { \ell } \propto \left( \frac { \delta \rho } { \rho } \right) _ { \ell } \propto \frac { V ^ { 3 / 2 } ( \phi _ { \ell } ) } { M _ { P } ^ { 3 } V ^ { \prime } ( \phi _ { \ell } ) } \propto N _ { \ell } ^ { \frac { \nu + 2 } { 4 } } .
\Lambda _ { q } ^ { k } | ^ { \{ s q \} } \approx \lambda _ { m ( q + m ) } \left( p \right) + \frac { 1 } { 2 } - m ^ { 2 } - p ^ { 2 } + ( 4 k + 1 ) \sqrt { \frac { \delta \left( \omega ^ { 2 } + 2 c _ { q } ^ { \{ s q \} } \right) } { 2 } }
\begin{array} { r l } { n _ { \mathrm { x } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } & { = n _ { \mathrm { x c } } ^ { \lambda = 0 } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } \\ & { = - \frac { \sum _ { \sigma } \sum _ { i , \, j } ^ { \mathrm { o c c } } \psi _ { i \sigma } ^ { * } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) \psi _ { j \sigma } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) \psi _ { j \sigma } ^ { * } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) \psi _ { i \sigma } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } { n ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial x _ { i , j } } = \gamma d _ { i , j } + \pi _ { j } + \mu _ { i } + \sigma _ { i , j } - \xi _ { i , j } = 0 } & { , ~ \forall i , j } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial q _ { i } } = ( 1 - \gamma ) \phi _ { i } + \mu _ { i } + \frac { 1 } { \lambda _ { i } } \! \sum _ { l = i + 1 } ^ { M } \! \left( \eta _ { i , l } - \tau _ { i , l } \right) ~ ~ } & { } \\ { - \frac { 1 } { \lambda _ { i } } \sum _ { l = 1 } ^ { i - 1 } \! \left( \eta _ { l , i } - \tau _ { l , i } \right) + \frac { \nu _ { i } } { \lambda _ { i } } - \rho _ { i } = 0 } & { , ~ \forall i } \\ { 0 \leq \pi _ { j } ~ \bot ~ C _ { j } ( 1 - z _ { j } ) - \sum _ { i } x _ { i , j } \geq 0 } & { , ~ \forall j } \\ { \sum _ { j } x _ { i , j } + q _ { i } = \lambda _ { i } } & { , ~ \forall j } \\ { 0 \leq \sigma _ { i , j } ~ \bot ~ C _ { j } a _ { i , j } - x _ { i , j } \geq 0 } & { , ~ \forall j } \\ { 0 \leq \nu _ { i } ~ \bot ~ \theta - \frac { q _ { i } } { \lambda _ { i } } \geq 0 } & { , ~ \forall i , j } \\ { 0 \leq \xi _ { i , j } ~ \bot ~ x _ { i , j } \geq 0 } & { , ~ \forall i , j } \\ { 0 \leq \rho _ { i } ~ \bot ~ q _ { i } \geq 0 } & { , ~ \forall i } \end{array}
p = { \frac { ( 2 s + 1 ) { \sqrt { 2 m ^ { 3 } k _ { B } ^ { 5 } T ^ { 5 } } } } { 3 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { z ^ { 3 / 2 } \, \mathrm { d } z } { e ^ { z - \mu / ( k _ { B } T ) } \pm 1 } }
{ H } _ { \theta \theta } = { \frac { { r } ^ { 3 } } { 2 } } ( { \frac { { H } _ { r r } } { A } } ) ^ { \prime } + { \frac { { r } ^ { 2 } { H } _ { r r } } { A } } + { \frac { { r } ^ { 3 } B ^ { \prime } { H } _ { r r } } { 4 A B } } + { \frac { { r } ^ { 3 } B ^ { \prime } { H } _ { t t } } { 4 { B } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } = } & { { } { \big \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \big \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } } \big \vert \lambda _ { 0 } - \lambda _ { 1 } \big \vert ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { u _ { x } } & { = { \frac { 4 { \sqrt { 2 } } } { 3 { \sqrt { 3 } } } } \, U _ { 0 } \left[ \, \sin ( k x - \pi / 3 ) \cos ( k y + \pi / 3 ) \sin ( k z + \pi / 2 ) - \cos ( k z - \pi / 3 ) \sin ( k x + \pi / 3 ) \sin ( k y + \pi / 2 ) \, \right] e ^ { - 3 \nu k ^ { 2 } t } } \\ { u _ { y } } & { = { \frac { 4 { \sqrt { 2 } } } { 3 { \sqrt { 3 } } } } \, U _ { 0 } \left[ \, \sin ( k y - \pi / 3 ) \cos ( k z + \pi / 3 ) \sin ( k x + \pi / 2 ) - \cos ( k x - \pi / 3 ) \sin ( k y + \pi / 3 ) \sin ( k z + \pi / 2 ) \, \right] e ^ { - 3 \nu k ^ { 2 } t } } \\ { u _ { z } } & { = { \frac { 4 { \sqrt { 2 } } } { 3 { \sqrt { 3 } } } } \, U _ { 0 } \left[ \, \sin ( k z - \pi / 3 ) \cos ( k x + \pi / 3 ) \sin ( k y + \pi / 2 ) - \cos ( k y - \pi / 3 ) \sin ( k z + \pi / 3 ) \sin ( k x + \pi / 2 ) \, \right] e ^ { - 3 \nu k ^ { 2 } t } } \end{array} }
| \sum _ { i } \dot { x } ^ { i } \left( \Gamma _ { k l } ^ { i } ( x ) \dot { x } ^ { k } \dot { x } ^ { l } + X _ { k } ^ { i } ( x , \dot { x } ) \dot { x } ^ { k } \right) | < \epsilon \sum _ { i } \dot { x } ^ { i } \dot { x } ^ { i }
E _ { j } ( \omega , 0 ) = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \boldsymbol { E } ( \omega , r , z _ { \mathrm { H C F } } ) \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { j } ^ { * } ( r ) \, r \mathrm { d } r \, ,
| S _ { \mathrm { i m p . } } | = \left[ \begin{array} { l l l l l } { { 0 . 4 3 } } & { { 0 . 3 2 } } & { { 0 . 2 9 } } & { \textbf { 0 . 6 1 } } & { { 0 . 3 8 } } \\ { { 0 . 3 2 } } & { { 0 . 5 7 } } & { { 0 . 3 4 } } & { { 0 . 1 8 } } & { { 0 . 5 2 } } \\ { { 0 . 2 9 } } & { { 0 . 3 4 } } & { { 0 . 4 0 } } & { \textbf { 0 . 6 1 } } & { { 0 . 2 1 } } \\ { { 0 . 6 1 } } & { { 0 . 1 8 } } & { { 0 . 6 1 } } & { { 0 . 1 8 } } & { { 0 . 0 6 } } \\ { { 0 . 3 8 } } & { { 0 . 5 2 } } & { { 0 . 2 1 } } & { { 0 . 0 6 } } & { { 0 . 4 5 } } \end{array} \right] .
M _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { 1 1 } } } & { { c M } } & { { s M } } \\ { { c M } } & { { m _ { 2 2 } } } & { { m _ { 2 3 } } } \\ { { s M } } & { { m _ { 2 3 } } } & { { m _ { 3 3 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \left\| ( \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta } ) ^ { - 1 } - ( \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \le C \| \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta } - \boldsymbol { \Gamma } _ { t } ^ { \theta ^ { \prime } } \| _ { \mathrm { o p } } \leq C \left( | \lambda - \lambda ^ { \prime } | + \| G - G ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ) } \right) . } \end{array}
S _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 1 2 } T _ { \alpha } ^ { \alpha } T _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 4 } T _ { \mu \alpha } T _ { \nu } ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 4 } g _ { \mu \nu } \left[ 3 T _ { \alpha \beta } T ^ { \alpha \beta } - ( T _ { \alpha } ^ { \alpha } ) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { 6 \pi \eta \Delta \Tilde { G } ^ { T , \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { { } = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - k ^ { 2 } / ( 4 \epsilon ^ { 2 } ) } } { k ^ { 2 } } + \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq 0 } \frac { \mathrm { e r f c } \left( n L \epsilon \right) } { n L } } \end{array}
u _ { k } ^ { \mathrm { s a t } } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 5 0 0 \mathrm { \, W } } & { \mathrm { f o r ~ } u _ { k } < - 5 0 0 \mathrm { \, W } } \\ { u _ { k } } & { \mathrm { f o r ~ } - 5 0 0 \mathrm { \, W } \leq u _ { k } \leq 1 2 0 0 \mathrm { \, W } } \\ { 1 2 0 0 \mathrm { \, W } } & { \mathrm { f o r ~ } u _ { k } > 1 2 0 0 \mathrm { \, W } } \end{array} \right.
\Delta \Gamma _ { 1 } = \Gamma _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - \Gamma _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } = \frac { S _ { 1 3 } ^ { 2 } \gamma _ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } } { 1 - S _ { 3 3 } \gamma _ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } } - \frac { S _ { 1 3 } ^ { 2 } \gamma _ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } } { 1 - S _ { 3 3 } \gamma _ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } } ,
\mathcal { F } ^ { \mu } _ { \nu } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { E _ { 1 } c ^ { - 1 } } & { E _ { 2 } c ^ { - 1 } } & { E _ { 3 } c ^ { - 1 } } \\ { E _ { 1 } c ^ { - 1 } } & { 0 } & { B _ { 3 } } & { - B _ { 2 } } \\ { E _ { 2 } c ^ { - 1 } } & { - B _ { 3 } } & { 0 } & { B _ { 1 } } \\ { E _ { 3 } c ^ { - 1 } } & { B _ { 2 } } & { - B _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r l } { \nabla _ { \! \bot } \widehat { n } } & { { } = - \kappa _ { 1 } \, \widehat { t } _ { 1 } \otimes \widehat { t } _ { 1 } - \kappa _ { 2 } \, \widehat { t } _ { 2 } \otimes \widehat { t } _ { 2 } , } & { \nabla _ { \! \bot } \widehat { t } _ { i } } & { { } = \kappa _ { i } \, \widehat { t } _ { i } \otimes \widehat { n } + \mathcal { R } _ { i } ^ { j k } \, \widehat { t } _ { j } \otimes \widehat { t } _ { k } , } \end{array}
\pi = 4 \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 1 6 ^ { k } ) ( 8 k + 1 ) } } - 2 \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 1 6 ^ { k } ) ( 8 k + 4 ) } } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 1 6 ^ { k } ) ( 8 k + 5 ) } } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 1 6 ^ { k } ) ( 8 k + 6 ) } } .
\begin{array} { r l } & { ( i ) ~ { \exists C > 0 } ~ ~ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T ; ~ ~ ~ 0 \leq h \leq 1 } h ^ { - 1 } \mathbb { E } \left[ \left| M _ { t + h } - M _ { t } - \left( M _ { t , h } - M _ { t } + X _ { t } ^ { 1 } \right) _ { + } \right| \right] \leq C < \infty , } \\ & { ( i i ) ~ ~ \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } h ^ { - 1 } \mathbb { E } \left[ \left| M _ { t + h } - M _ { t } - \left( M _ { t , h } - M _ { t } + X _ { t } ^ { 1 } \right) _ { + } \right| \right] = 0 . } \end{array}
( 1 + \delta ^ { \prime } \cdot D ) ( 1 + \delta \cdot D ) S ^ { \rho } - ( 1 + \delta \cdot D ) ( 1 + \delta ^ { \prime } \cdot D ) S ^ { \rho } = \sum _ { \mu , \nu } \delta ^ { \mu } \delta ^ { \nu } [ D _ { \mu } , D _ { \nu } ] S _ { \rho } .
\psi _ { s } ^ { \mathrm { m o v i n g } } ( t , x ) = \pm e ^ { i m v x } e ^ { i t \left( \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 m } - \frac { m v ^ { 2 } } { 2 } \right) } \frac { 1 } { \sqrt { \lambda m } } \frac { \alpha } { \cosh \alpha ( x - v t ) }
F ( y ) = \frac { \varepsilon _ { 2 } - \varepsilon _ { 1 } } { \sqrt { 2 } } \frac { 1 } { \sin \big ( \sqrt { 2 } y \big ) } + \frac { \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } - 1 } { \sqrt { 2 } } \cot \big ( \sqrt { 2 } y \big ) .
\left( { \rho { E _ { r o t } } } \right) _ { i } ^ { n + 1 } = \sum _ { k } { { \omega _ { k } } \left( { R _ { i , k } ^ { n + 1 } - \tilde { R } _ { i , k } ^ { * , n + 1 } } \right) } + \frac { { { K _ { r o t } } } } { 2 } \tilde { \rho } _ { i } ^ { n + 1 } R \left[ { \left( { 1 - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 { { Z _ { r o t } } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { { Z _ { r o t } } } } } \right) \left( { { { \tilde { T } } _ { r o t } } } \right) _ { i } ^ { n + 1 } + { { \tilde { T } _ { i } ^ { n + 1 } } \mathord { \left/ { \vphantom { { \tilde { T } _ { i } ^ { n + 1 } } { { Z _ { r o t } } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { { Z _ { r o t } } } } } \right] ,
\xi ( r , t ) = \frac { 1 } { i t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \, r ^ { \prime } \exp \bigg [ \frac { i ( r ^ { 2 } + r ^ { \prime \, 2 } ) } { 2 t } \bigg ] J _ { 0 } \bigg ( \frac { r r ^ { \prime } } { t } \bigg ) \xi ( r ^ { \prime } , 0 ) .
\tilde { A } ( x ; \lambda ) = \left( \begin{array} { l l l l l } { - a _ { n n } } & { a _ { ( n - 1 ) n } } & { - a _ { ( n - 2 ) n } } & { \cdots } & { ( - 1 ) ^ { n } a _ { 1 n } } \\ { a _ { n ( n - 1 ) } } & { - a _ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) } } & { a _ { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } } & { \cdots } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } a _ { 1 ( n - 1 ) } } \\ { - a _ { n ( n - 2 ) } } & { a _ { ( n - 1 ) ( n - 2 ) } } & { - a _ { ( n - 2 ) ( n - 2 ) } } & { \cdots } & { ( - 1 ) ^ { n - 2 } a _ { 2 ( n - 2 ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { ( - 1 ) ^ { n } a _ { n 1 } } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } a _ { ( n - 1 ) 1 } } & { ( - 1 ) ^ { n - 2 } a _ { ( n - 2 ) 1 } } & { \cdots } & { - a _ { 1 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ B ~ a ~ c ~ k ~ f ~ l ~ o ~ w ~ p ~ r ~ o ~ p ~ o ~ r ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } & { { } = 1 - \Delta \Tilde { \phi } | _ { b = \sqrt { \frac { l _ { 1 } } { l _ { 2 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \boldsymbol { \rho } | { \bf n } ) } & { = \int d \beta \, p ( \boldsymbol { \rho } | { \bf n } , \beta ) \, p ( \beta | { \bf n } ) } \\ & { = \int d \beta \frac { p ( { \bf n } | \boldsymbol { \rho } ) \, { p } ( \boldsymbol { \rho } | \beta ) } { p ( { \bf n } | \beta ) } \, p ( \beta | { \bf n } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { k _ { p } } & { \in \{ s \bar { k } _ { p } : s \in S \} , \ } & { ( k _ { d } / k _ { p } ) } & { \in \{ s ( \bar { k } _ { d } / \bar { k } _ { p } ) : s \in S \} , } \\ { k _ { p } ^ { \theta } } & { \in \{ s \bar { k } _ { p } ^ { \theta } : s \in S \} , \ } & { ( k _ { d } ^ { \theta } / k _ { p } ^ { \theta } ) } & { \in \{ s ( \bar { k } _ { d } ^ { \theta } / \bar { k } _ { p } ^ { \theta } ) : s \in S \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { t } } & { \leq Z _ { 0 } - \left[ \left( \left( \hat { p } - \frac 1 2 \right) t - \frac { l } { 2 } \right) h ( \tilde { \alpha } ) - \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } ( 2 \bar { \tau } _ { - 1 } \epsilon _ { f } + \bar { \tau } _ { - 1 } ( E _ { k } + E _ { k } ^ { + } ) ) \right] } \\ & { \leq Z _ { 0 } - \left( \left( \hat { p } - \frac 1 2 \right) t - \frac { l } { 2 } \right) h ( \tilde { \alpha } ) + t ( 4 \bar { \tau } _ { - 1 } \epsilon _ { f } + s ) } \\ & { = Z _ { 0 } - \left( \left( \hat { p } - \frac 1 2 \right) h ( \tilde { \alpha } ) - ( 4 \bar { \tau } _ { - 1 } \epsilon _ { f } + s ) \right) t + \frac { l } { 2 } h ( \tilde { \alpha } ) } \\ & { \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Phi _ { 1 } \rangle } & { \approx | 1 , 0 , 1 \rangle \otimes \downarrow + \frac { \delta } { 2 \lambda } | 0 , 1 , 1 \rangle \otimes \downarrow , \quad } \\ { \mathcal { E } } & { \simeq \Delta _ { 0 } - \lambda / 2 + \hbar \Omega , } \\ { | \Phi _ { 2 } \rangle } & { \approx | 0 , 1 , 1 \rangle \otimes \uparrow + \frac { \delta } { 2 \lambda } | 1 , 0 , 1 \rangle \otimes \uparrow , \quad } \\ { \mathcal { E } } & { \simeq \Delta _ { 0 } - \lambda / 2 - \hbar \Omega , } \\ { | \Phi _ { 3 } \rangle } & { \approx | 0 , 1 , 1 \rangle \otimes \downarrow - \frac { \delta } { 2 \lambda } | 1 , 0 , 1 \rangle \otimes \downarrow , \quad } \\ { \mathcal { E } } & { \simeq \Delta _ { 0 } + \lambda / 2 + \hbar \Omega + \frac { \delta ^ { 2 } } { 4 \lambda ^ { 2 } } ( \lambda + \hbar \Omega ) , } \\ { | \Phi _ { 4 } \rangle } & { \approx | 1 , 0 , 1 \rangle \otimes \uparrow - \frac { \delta } { 2 \lambda } | 0 , 1 , 1 \rangle \otimes \uparrow , \quad } \\ { \mathcal { E } } & { \simeq \Delta _ { 0 } + \lambda / 2 - \hbar \Omega + \frac { \delta ^ { 2 } } { 4 \lambda ^ { 2 } } ( \lambda - \hbar \Omega ) . } \end{array}