harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \quad \begin{array} { r l } { \beta _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } < \beta _ { 3 } < \beta _ { 4 } } & { } \\ { \beta _ { 2 } < \beta _ { 4 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } < \beta _ { 3 } } & { } \\ { \beta _ { 4 } < \beta _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } < \beta _ { 3 } } & { \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } > \beta _ { 4 } + \beta _ { 3 } } \\ { \beta _ { 3 } < \beta _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } < \beta _ { 4 } } & { \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } < \beta _ { 4 } + \beta _ { 3 } } \\ { \beta _ { 3 } < \beta _ { 2 } < \beta _ { 4 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } } & { } \\ { \beta _ { 4 } < \beta _ { 3 } < \beta _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } } & { } \\ { \beta _ { 4 } < \beta _ { 3 } < \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 2 } } & { } \\ { \beta _ { 3 } < \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 4 } < \beta _ { 2 } } & { } \\ { \beta _ { 3 } < \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 2 } < \beta _ { 4 } } & { \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } < \beta _ { 4 } + \beta _ { 3 } } \\ { \beta _ { 4 } < \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 2 } < \beta _ { 3 } } & { \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } > \beta _ { 4 } + \beta _ { 3 } } \\ { \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 4 } < \beta _ { 2 } < \beta _ { 3 } } & { } \\ { \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 2 } < \beta _ { 3 } < \beta _ { 4 } } & { . } \end{array} \right.
\vec { v } ( \vec { x } ) \equiv \epsilon ^ { i j } \, \partial _ { i } \hat { n } \times \partial _ { j } \hat { n } \quad , \quad q ( \vec { x } ) \equiv \epsilon ^ { i j } \, \epsilon ^ { a b c } \, \hat { n } ^ { a } \, \partial _ { i } \hat { n } ^ { b } \, \partial _ { j } \hat { n } ^ { c }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \Phi _ { j } ^ { p } } & { \le \sum _ { q = 0 } ^ { p } \binom { p } { q } \left( 1 + \frac 1 { b _ { i } } \right) ^ { q } \Phi _ { j - 1 } ^ { q } ( 2 b _ { i } ) ^ { p - q } \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \left[ E _ { j } ^ { p - q } \right] } \\ & { \le \sum _ { q = 0 } ^ { p } \binom { p } { q } \left( 1 + \frac 1 { b _ { i } } \right) ^ { q } \Phi _ { j - 1 } ^ { q } ( 2 b _ { i } ) ^ { p - q } ( 9 \eta _ { i } L ) ^ { 2 ( p - q ) } } \\ & { = \left( \left( 1 + \frac 1 { b _ { i } } \right) \Phi _ { j - 1 } + 2 b _ { i } ( 9 \eta _ { i } L ) ^ { 2 } \right) ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cap _ { k \in \mathit { F N } } | \cup _ { i \in \mathit { F N } } X ( 0 ) _ { i } \cup X ( 1 ) _ { k } | } & { = } & { | X ( 0 ) | \overset { \cdot } { + } \cap _ { k \in \mathit { F N } } | X ( 1 ) _ { k } | } \\ & { = } & { | X ( 0 ) | \overset { \cdot } { + } | \cap _ { i \in \mathit { F N } } X ( 1 ) _ { i } | \ = \ | X ( 0 ) | \overset { \cdot } { + } | X ( 1 ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \dot { Q } } ( 0 ) } & { = } & { - i \mu _ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { A } } \Bigg ( \sum _ { k = 1 , k \neq m } ^ { N _ { A } } \hat { \mathbf { G } } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { A _ { m } } , \mathbf { r } _ { A _ { k } } , \omega ) \cdot \mathbf { p } _ { { A _ { k } } } ^ { * } ( \omega ) } \\ & { + } & { \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { D } } \hat { \mathbf { G } } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { A _ { m } } , \mathbf { r } _ { D _ { l } } , \omega ) \cdot \mathbf { p } _ { D _ { l } } ^ { * } ( \omega ) \Bigg ) \cdot { \mathbf { p } } _ { A _ { m } } ( \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathcal R } ^ { - 1 } ( \mathtt { e } _ { k } \otimes \mathtt { e } _ { p } ) = \mathsf { R } _ { \alpha } ( \mathtt { e } _ { k } ) \otimes \mathsf { R } ^ { \alpha } ( \mathtt { e } _ { p } ) = { \mathrm { e } } ^ { \, { \mathrm { i } } \, k \cdot \theta \, p } \ \mathtt { e } _ { k } \otimes \mathtt { e } _ { p } \ . } \end{array}
\Psi ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { M } | z _ { 1 } , \cdots , z _ { N } ) = \vartheta ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { M } | z _ { 1 } , \cdots , z _ { N } ) \prod _ { \mu = 1 } ^ { M } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \psi \Bigl ( \frac { x _ { \mu } } { z _ { j } } \Bigr ) ,
\boldsymbol { F } _ { i j } = 2 \frac { \partial \vec { R } ^ { T } } { \partial \phi _ { i } } \cdot \boldsymbol { \sigma } ^ { - 1 } \cdot \frac { \partial \vec { R } } { \partial \phi _ { j } } + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } [ \boldsymbol { \sigma } ^ { - 1 } \cdot \frac { \partial \boldsymbol { \sigma } } { \partial \phi _ { i } } \cdot \boldsymbol { \sigma } ^ { - 1 } \cdot \frac { \partial \boldsymbol { \sigma } } { \partial \phi _ { j } } ]
\begin{array} { r } { \tilde { F } _ { \gamma } ( z ^ { k } ) = \ell ( z ^ { k } ; z ^ { k } ) \geq \ell \left( z _ { * } ^ { k } ; z ^ { k } \right) + \frac { t } { 2 } \left\| \mathcal { G } _ { t } ( z ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \geq \ell \left( z ^ { k + 1 } ; z ^ { k } \right) - \delta _ { k } + \frac { t } { 2 } \left\| \mathcal { G } _ { t } ( z ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 5 } + _ { 4 } + _ { 1 } + _ { 5 } + _ { 7 } + _ { 1 6 } + _ { 1 9 } + _ { 5 } } \\ & { = \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \sum _ { \substack { w \leq m - n } } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { i , q } \alpha _ { 2 } W _ { p , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { i , q } \alpha _ { 2 } ^ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] + \delta _ { i , q } \alpha _ { 1 } \sum _ { x \leq m - n } ( e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , j } e _ { x , x } ^ { ( 1 ) } ) [ - 2 ] } \\ & { \quad + \delta _ { i , q } \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } ( e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , j } e _ { x , x } ^ { ( 1 ) } ) [ - 2 ] } \\ & { = \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \sum _ { \substack { w \leq m - n } } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { i , q } \alpha _ { 2 } W _ { p , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { i , q } \alpha _ { 2 } ^ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] - \delta _ { i , q } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { \quad - \delta _ { i , q } \delta _ { p , j } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , x } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { i } ( \theta ( t ) ) = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d \mathcal { M } _ { i j } ( s , t ) , ~ ~ i \in [ n ] , } \\ { F _ { n + j } ( \theta ( t ) ) = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { i \neq j } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d \mathcal { M } _ { i j } ( s , t ) , ~ ~ j \in [ n - 1 ] , } \end{array}
\pi \left( x \right) + J \pi \left( x \right) J ^ { \dagger } = d i a g \left( \begin{array} { c } { { \left( y _ { v } + 1 \right) b + y _ { v } ^ { \prime } b ^ { \prime } } } \\ { { \left( y _ { e } + 1 \right) b + y _ { e } ^ { \prime } b ^ { \prime } } } \\ { { a + b + x b + y b ^ { \prime } } } \\ { { \left( y _ { u } + u \right) b + \left( y _ { u } ^ { \prime } + u ^ { \prime } \right) b ^ { \prime } + c } } \\ { { \left( y _ { d } + u \right) b + \left( y _ { d } ^ { \prime } + u ^ { \prime } \right) b ^ { \prime } + c } } \\ { { a + u b + u ^ { \prime } b ^ { \prime } + c + x b + y b ^ { \prime } } } \end{array} \right)
V _ { ( x , u , w ) } \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } V ^ { i } ( x , u , w ) { \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } } + V ^ { \alpha } ( x , u , w ) { \frac { \partial } { \partial u ^ { \alpha } } } + V _ { i } ^ { \alpha } ( x , u , w ) { \frac { \partial } { \partial w _ { i } ^ { \alpha } } } + V _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ^ { \alpha } ( x , u , w ) { \frac { \partial } { \partial w _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ^ { \alpha } } } + \cdots + V _ { i _ { 1 } \cdots i _ { r } } ^ { \alpha } ( x , u , w ) { \frac { \partial } { \partial w _ { i _ { 1 } \cdots i _ { r } } ^ { \alpha } } }
\begin{array} { r } { \frac { ( \ell _ { N } ) ^ { m - 1 } } { N } \sum _ { k = 2 } ^ { ( \ell _ { N } ) ^ { n } } \frac { B _ { k } L _ { k } } { k ^ { m } } \lesssim B \frac { \ell _ { N } } { N } \quad \mathrm { a n d } \quad \sum _ { k = 2 } ^ { ( \ell _ { N } ) ^ { n } } \frac { B _ { k } } { k ^ { m - 1 } } \left( \frac { L _ { k } } { N } + \epsilon _ { k } \right) \lesssim B \left( \frac { ( \ell _ { N } ) ^ { 2 - m } } { N } + \epsilon \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( d _ { N } ^ { C } ) = } & { \, \Bigl [ \Delta L ^ { 2 } \Bigl ( \sin \phi \, \cos \psi - \cos \phi \, \sin \theta \, \sin \psi \Bigr ) ^ { 2 } } \\ & { + L ^ { 2 } \Delta \phi ^ { 2 } \Bigl ( \cos \phi \, \cos \psi + \sin \phi \, \sin \theta \, \sin \psi \Bigr ) ^ { 2 } } \\ & { + L ^ { 2 } \Delta \theta ^ { 2 } \Bigl ( \cos \phi \, \cos \theta \, \sin \psi \Bigr ) ^ { 2 } } \\ & { + L ^ { 2 } \Delta \psi ^ { 2 } \Bigl ( \sin \phi \, \sin \psi + \cos \phi \, \sin \theta \, \cos \psi \Bigr ) ^ { 2 } \Bigr ] ^ { 1 / 2 } \, . } \end{array}
( I ) : = \int _ { \{ \zeta > 0 \} } \frac { 1 } { \lambda } \Psi _ { 0 } ( \lambda v ) d \tau \, d z , \ ( I I ) : = \frac { 1 } { \lambda } \int _ { \{ \zeta > 0 \} } | \lambda \, \partial _ { \tau } \zeta | ^ { 2 } | \hat { u } - u | ^ { 2 } \ d \tau \, d z , \ \mathrm { ~ a n d ~ } \ ( I I I ) : = \frac { 1 } { \lambda } \int _ { \{ \zeta > 0 \} } \Psi _ { 0 } ( \lambda | \partial _ { \tau } \zeta | | \hat { u } - u | ) d \tau \, d z .
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } ( x ) } & { { } = } & { 1 + 6 E _ { 5 } ( x ) \mathrm { e } ^ { x } - 1 5 E _ { 7 } ( x ) \mathrm { e } ^ { x } , } \\ { F _ { 2 } ( x ) } & { { } = } & { 2 - 6 E _ { 5 } ( x ) \mathrm { e } ^ { x } , } \\ { F _ { 3 } ( x ) } & { { } = } & { ( \mathrm { e } ^ { x } ( x - 1 ) + \mathrm { e } ^ { - x } ( x + 1 ) ) ^ { - 1 } , } \\ { F _ { 4 } ( x ) } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { x } ( x ^ { 2 } - 3 x + 3 ) - \mathrm { e } ^ { - x } ( x ^ { 2 } + 3 x + 3 ) , } \end{array}
\mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \beta _ { 2 } ) = \frac { 4 } { 3 } \, \frac { 1 } { z ^ { 2 } B ^ { 4 } N } \sim 0 . 6 6 \frac { 2 } { z ^ { 2 } B ^ { 4 } N } .
\left[ \begin{array} { c } { \dot { z } _ { 1 } } \\ { \dot { z } _ { 2 } } \\ { \dot { z } _ { 3 } } \\ { \dot { z } _ { 4 } } \\ { \dot { z } _ { 5 } } \\ { \dot { z } _ { 6 } } \\ { \dot { z } _ { 7 } } \\ { \dot { z } _ { 8 } } \end{array} \right] = i \left[ \begin{array} { c } { J \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) } \\ { J \left( z _ { 1 } - z _ { 4 } \right) + U \left( z _ { 5 } - z _ { 8 } \right) z _ { 2 } } \\ { J \left( z _ { 4 } - z _ { 1 } \right) + U \left( z _ { 8 } - z _ { 5 } \right) z _ { 3 } } \\ { J \left( z _ { 3 } - z _ { 2 } \right) } \\ { J \left( z _ { 6 } - z _ { 7 } \right) } \\ { J \left( z _ { 5 } - z _ { 8 } \right) + U \left( z _ { 1 } - z _ { 4 } \right) z _ { 6 } } \\ { J \left( z _ { 8 } - z _ { 5 } \right) + U \left( z _ { 4 } - z _ { 1 } \right) z _ { 7 } } \\ { J \left( z _ { 7 } - z _ { 6 } \right) } \end{array} \right] + \sqrt { i U } \left[ \begin{array} { c } { i ( \tilde { z } _ { 1 } z _ { 1 } \xi _ { 1 } - z _ { 2 } z _ { 3 } \xi _ { 2 } ) + \tilde { z } _ { 1 } z _ { 1 } \xi _ { 3 } - z _ { 2 } z _ { 3 } \xi _ { 4 } } \\ { i ( \tilde { z } _ { 4 } z _ { 2 } \xi _ { 2 } - z _ { 1 } z _ { 2 } \xi _ { 1 } ) + \tilde { z } _ { 1 } z _ { 2 } \xi _ { 3 } - z _ { 2 } z _ { 4 } \xi _ { 4 } } \\ { i ( \tilde { z } _ { 1 } z _ { 3 } \xi _ { 1 } - z _ { 3 } z _ { 4 } \xi _ { 2 } ) + \tilde { z } _ { 4 } z _ { 3 } \xi _ { 4 } - z _ { 1 } z _ { 3 } \xi _ { 3 } } \\ { i ( \tilde { z } _ { 4 } z _ { 4 } \xi _ { 2 } - z _ { 2 } z _ { 3 } \xi _ { 1 } ) + \tilde { z } _ { 4 } z _ { 4 } \xi _ { 4 } - z _ { 2 } z _ { 3 } \xi _ { 3 } } \\ { i ( \tilde { z } _ { 5 } z _ { 5 } \xi _ { 1 } ^ { * } - z _ { 6 } z _ { 7 } \xi _ { 2 } ^ { * } ) + \tilde { z } _ { 5 } z _ { 5 } \xi _ { 3 } ^ { * } - z _ { 6 } z _ { 7 } \xi _ { 4 } ^ { * } } \\ { i ( \tilde { z } _ { 8 } z _ { 6 } \xi _ { 2 } ^ { * } - z _ { 5 } z _ { 6 } \xi _ { 1 } ^ { * } ) + \tilde { z } _ { 5 } z _ { 6 } \xi _ { 3 } ^ { * } - z _ { 6 } z _ { 8 } \xi _ { 4 } ^ { * } } \\ { i ( \tilde { z } _ { 5 } z _ { 7 } \xi _ { 1 } ^ { * } - z _ { 7 } z _ { 8 } \xi _ { 2 } ^ { * } ) + \tilde { z } _ { 8 } z _ { 7 } \xi _ { 4 } ^ { * } - z _ { 5 } z _ { 7 } \xi _ { 3 } ^ { * } } \\ { i ( \tilde { z } _ { 8 } z _ { 8 } \xi _ { 2 } ^ { * } - z _ { 6 } z _ { 7 } \xi _ { 1 } ^ { * } ) + \tilde { z } _ { 8 } z _ { 8 } \xi _ { 4 } ^ { * } - z _ { 6 } z _ { 7 } \xi _ { 3 } ^ { * } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { ( v _ { x } + u _ { y } ) ( 1 - h _ { x } ^ { 2 } ) + 2 h _ { x } ( v _ { y } - u _ { x } ) } & { = 0 , } \\ { p - \frac { 2 } { 1 + h _ { x } ^ { 2 } } ( v _ { y } + u _ { x } h _ { x } ^ { 2 } - h _ { x } ( v _ { x } + u _ { y } ) ) } & { = - \frac { 1 } { \mathrm { \textit { C a } } } \frac { h _ { x x } } { ( 1 + h _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = - \frac { 1 } { N } \right) = } & { { } ~ p _ { C } \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } q _ { C | C } ^ { k _ { C } } q _ { D | C } ^ { k - k _ { C } } \mathcal { P } ( C \gets D ) } } \\ { = } & { { } ~ p _ { C } ( 1 - w _ { R } ) q _ { D | C } + p _ { C } w _ { R } ( 1 - w _ { R } ) \left[ \pi _ { D | C } - \left( - c + w _ { I } b + ( 1 - w _ { I } ) \frac { k - 1 } { k } q _ { C | C } b \right) \right] q _ { D | C } \delta } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Delta E _ { k l } ^ { i } } \\ & { = } & { \epsilon _ { f } ^ { k l } \, \Delta V ^ { i } \, n _ { l } ^ { i } \, \frac { 1 - e ^ { - \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \frac { \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, u _ { k } ^ { i } } { 4 \nu _ { k } ^ { i } } \, \left[ 1 - \left( 1 - 3 \, \nu _ { k } ^ { i } \, \Delta t _ { i } \right) ^ { \frac { 4 } { 3 } } \right] } } { 1 - \frac { n _ { l } ^ { i } } { n _ { k } ^ { i } } \, e ^ { - \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \frac { \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, u _ { k } ^ { i } } { 4 \nu _ { k } ^ { i } } \, \left[ 1 - \left( 1 - 3 \, \nu _ { k } ^ { i } \, \Delta t _ { i } \right) ^ { \frac { 4 } { 3 } } \right] } } \, , } \end{array}
P ( i \leftrightarrow j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ \frac { w _ i ~ w _ j } { k } ~ \geq ~ \frac { \mu } { 2 ^ d } ~ } } \\ { \frac { C _ { 1 } } { 1 + C _ { 1 } } \frac { w _ { i } w _ { j } } { k } + o ( \frac { w _ { i } w _ { j } } { k } ) } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\mathbf { N } ( t ) = { \frac { \mathbf { T } ^ { \prime } ( t ) } { \| \mathbf { T } ^ { \prime } ( t ) \| } } = { \frac { \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \times \left( \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t ) \times \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \right) } { \left\| \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \right\| \, \left\| \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t ) \times \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \right\| } } .
\begin{array} { r l r } { i \left( \frac { d } { d t } + i \frac { \left( \mathbf { P } + M \mathbf { g } t \right) ^ { 2 } } { 2 M \hbar } \right) a \left( e , \mathbf { P } , t \right) } & { { } = } & { \frac { \Omega } { 2 } f ^ { 2 } \left( t \right) \exp \left[ - i \delta t - i \phi \left( t \right) \right] a \left( g , \mathbf { P } - \hbar \mathbf { k } , t \right) , } \\ { i \left( \frac { d } { d t } + i \frac { \left( \mathbf { P } + M \mathbf { g } t \right) ^ { 2 } } { 2 M \hbar } \right) a \left( g , \mathbf { P } , t \right) } & { { } = } & { \frac { \Omega ^ { \ast } } { 2 } f ^ { 2 } \left( t \right) \exp \left[ i \delta t + i \phi \left( t \right) \right] a \left( e , \mathbf { P } + \hbar \mathbf { k } , t \right) . } \end{array}
| \frac { 1 } { 2 } , \frac { 7 } { 2 } \rangle , | \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \rangle , | \mathrm { ~ - ~ } \frac { 1 } { 2 } , \frac { 5 } { 2 } \rangle
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { \widetilde { S } } ( t _ { 0 } + \tau ) \mathbf { \widetilde { S } } ( t _ { 0 } ) ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \rangle } & { { } = \left( \vphantom { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau } } \mathbf { 1 } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau } \! \! \! \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \langle \mathbf { \widetilde { A } } ( t ) \mathbf { \widetilde { A } } ( t ^ { \prime } ) \rangle d t ^ { \prime } d t \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { e i } \left[ h _ { e } \right] = \frac { \gamma _ { e i } n _ { 0 e } } { m _ { e } ^ { 2 } } \vec { \nabla } _ { v } \left[ f _ { 0 e } \cdot \left( \vec { \nabla } _ { v } \vec { \nabla } _ { v } v \right) \cdot \vec { \nabla } _ { v } \frac { h _ { e } } { f _ { 0 e } } \right] } \end{array}
F ^ { \prime } ( l _ { 0 } ) = - \frac { 2 } { 9 } \operatorname { t a n h } { ( l _ { 0 } ) } ( \textrm { s e c h } ( l _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 ) - \frac { c } { 3 } + \frac { h ^ { 2 } \operatorname { t a n h } ( l _ { 0 } ) \textrm { s e c h } ( l _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 1 + \bar { h } ^ { 2 } \operatorname { t a n h } { ( l _ { 0 } ) } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { C } } } { d t } = 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { \oplus } ^ { 2 } R _ { \oplus } ^ { 2 } } & { { } + } & { \frac { G M _ { \oplus } } { R _ { \oplus } } \Big ( 1 + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } J _ { 2 } - { \textstyle \frac { 3 } { 8 } } J _ { 4 } + { \textstyle \frac { 5 } { 1 6 } } J _ { 6 } - { \textstyle \frac { 3 5 } { 1 2 8 } } J _ { 8 } + P _ { 2 2 } ( 0 ) \big ( C _ { 2 2 } \cos 2 \phi + S _ { 2 2 } \sin 2 \phi \big ) + } \end{array}
\bar { F } = 2 \left[ \frac { ( I _ { 2 } - \tau ( 0 ) ) / \kappa ( 0 ) ^ { 2 } } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi ( I _ { 2 } - \tau ) / \kappa ^ { 2 } } \frac { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi ( 1 + \sigma ^ { 2 } + \eta ^ { 4 } / \kappa ^ { 4 } ) } { 1 + \eta ^ { 4 } / \kappa ( 0 ) ^ { 4 } } - 1 \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { v _ { 2 } ^ { \mathrm { r e d } } ( T , n ) = \left[ v ^ { \mathrm { P I M C } } - v ^ { ( 1 ) } ( T , n ) \right] \frac { - T } { \pi n } = \frac { - T } { \pi } v _ { 2 } ( T ) + { \cal O } ( n ^ { 1 / 2 } \ln ( n ) ) } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } ( 1 + \ln ( 2 ) ) \tau + \left( \frac { C } { 2 } + \ln ( 3 ) - \frac { 1 } { 3 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 4 } \right) \tau ^ { 2 } + { \cal O } ( \tau ^ { 3 } ) + { \cal O } ( n ^ { 1 / 2 } \ln ( n ) ) . } \end{array}
F _ { \{ \sigma _ { 1 } , \, \sigma _ { 2 } , \, \sigma _ { 3 } , \, . . . \} } ^ { p e r t } \, \left( \frac { k ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } ; \, \alpha \right) \, \, ; \qquad \sigma _ { n } \, = \, + 1 \, \, \mathrm { o r } \, \, - 1 \quad ( \mathrm { a l l } \, \, n )
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } ( \zeta ( k ) - 1 ) } & { = 1 } \\ { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( \zeta ( 2 k ) - 1 ) } & { = { \frac { 3 } { 4 } } } \\ { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( \zeta ( 2 k + 1 ) - 1 ) } & { = { \frac { 1 } { 4 } } } \\ { \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } ( \zeta ( k ) - 1 ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { - \frac { { \Delta _ { \xi } \, S _ { a \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } } { 2 } = \frac { - \delta _ { a \alpha } + 3 \, n _ { a \alpha } ( { \pmb x } ) } { R _ { p } ^ { 3 } } } \\ & { } & { - \frac { \left( \Delta _ { \xi } \, \Sigma _ { a b \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \right) n _ { b } ( { \pmb x } ) } { 2 } = 6 \, \frac { - \delta _ { a \alpha } + 3 \, n _ { a \alpha } ( { \pmb x } ) } { R _ { p } ^ { 4 } } , \qquad r = R _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r } { \underline { { \tilde { \nabla } } } \, \tilde { p } _ { 0 } = 0 } \\ { \underline { { \tilde { \nabla } } } \, \tilde { p } _ { 1 } = 0 } \\ { \partial _ { \tilde { t } } ( \tilde { \rho } \tilde { u } ) _ { 0 } + \underline { { \tilde { \nabla } } } \cdot ( \tilde { \rho } \underline { { \tilde { u } } } \, \underline { { \tilde { u } } } ) _ { 0 } + \underline { { \tilde { \nabla } } } \, \tilde { p } _ { 2 } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| f _ { 1 } ( y ^ { \prime } ) ( f _ { 2 } ( y ) - f _ { 2 } ( y ^ { \prime } ) ) f _ { 3 } ( y ) \| } & { \leq \left( \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) \| A ^ { T } \| } { \| A y ^ { \prime } \| } \right) r \| y ^ { \prime } - y \| } \\ & { \leq \frac { c r ^ { 2 } } { \sqrt { r ^ { 2 } - c ^ { 2 } } } \| y ^ { \prime } - y \| } \end{array}
+ r ( { \tilde { d } } - 1 ) ( b _ { 2 } f _ { 1 } + b _ { 1 } f _ { 2 } ) + r q ( f _ { 1 } a _ { 2 } + f _ { 2 } a _ { 1 } ) + \frac { \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } } { 2 } = 0 .
\begin{array} { r l } { \left\lVert u _ { j , \lambda } - u _ { j , \mu } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { s , p , q , n } \left\lVert - \Delta _ { \mathcal { J } } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { J } } ) ^ { - 1 } f _ { j } + \Delta _ { \mathcal { J } } ( \mu \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { J } } ) ^ { - 1 } f _ { j } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s - 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { s , p , q , n } \left\lVert - \Delta _ { \mathcal { J } } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { J } } ) ^ { - 1 } f _ { j } - f _ { j } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s - 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \qquad \quad + \left\lVert f _ { j } + \Delta _ { \mathcal { J } } ( \mu \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { J } } ) ^ { - 1 } f _ { j } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s - 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \xrightarrow [ \lambda , \mu \rightarrow 0 ] 0 \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { { C } _ { L } ( \alpha ) = - 0 . 4 4 e ^ { - 0 . 4 7 \alpha } + 1 . 1 9 \sin ( 1 . 7 4 \alpha + 2 0 ^ { \circ } ) } \\ { { C } _ { D } ( \alpha ) = 1 . 0 4 + \sin ( 1 . 7 2 \alpha - 7 0 ^ { \circ } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } Y } { d \eta ^ { 2 } } = } & { \xi ^ { 2 } \left[ 4 \eta ^ { 3 } + 4 \left( \frac { B ( \xi ) ^ { 2 } } { 4 } - A ( \xi ) ^ { 3 } \right) - \frac { B ( \xi ) } { \xi ( \eta - A ( \xi ) ) } + \frac { 3 } { 4 } \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } ( \eta - A ( \xi ) ) ^ { 2 } } \right] Y } \\ { : = } & { \xi ^ { 2 } \left[ 4 \eta ^ { 3 } + 4 \left( \frac { B ( \xi ) ^ { 2 } } { 4 } - A ( \xi ) ^ { 3 } \right) - \varphi ( \eta , \xi ) \right] Y , } \end{array}
| \omega \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } - { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega ^ { \prime } } | \leq | \omega \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } - a m ( \partial _ { \eta } \widetilde { f } _ { \natural } ) ( r , 0 ) | + | { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega ^ { \prime } } - a m ( \partial _ { \eta } \widetilde { f } _ { \natural } ) ( r , 0 ) | ,
| \widetilde { H } _ { L } ( f ^ { + } ) | = \sqrt { \gamma ^ { 2 } ( f ^ { + } ) \frac { \left< \left| \mathcal { F } \left[ u ^ { + } \right] \right| ^ { 2 } \right> } { \left< \left| \mathcal { F } \left[ u _ { O } ^ { + } \right] \right| ^ { 2 } \right> } } ,
- i k _ { u } \Delta \nu ( z - s ) - \frac { 2 k _ { u } ^ { 2 } ( z - s ) ^ { 2 } \sigma _ { y } ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } { \Sigma _ { y \eta } ^ { 2 } } - \frac { k _ { u } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ^ { 2 } D ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 4 } } { 2 \Sigma _ { y \eta } ^ { 4 } } \frac { [ B D ] _ { \sigma _ { \phi } } } { [ B D ] _ { y } } .
\begin{array} { r } { w _ { \ast } ( \rho , x ) = \int _ { 0 } ^ { \rho } \frac { 1 } { \nu ( \theta _ { 0 } ) } \int _ { - \infty } ^ { r } B ( s , x ) d s d r , \ \rho \in \mathbb { R } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \theta _ { \theta _ { a } ( b ) } \theta _ { a b } ( c ) : } & { = \mu \left( \mu \left( a \right) ^ { - 1 } \mu \left( a b \right) \right) ^ { - 1 } \mu \left( \mu \left( a \right) ^ { - 1 } \mu \left( a b \right) \mu \left( a b \right) ^ { - 1 } \mu \left( a b c \right) \right) } \\ & { = \mu \left( \mu \left( a \right) ^ { - 1 } \mu \left( a b \right) \right) ^ { - 1 } \mu \left( \mu \left( a \right) ^ { - 1 } \mu \left( a b c \right) \right) } & { \mathrm { b y ~ } } \end{array}