harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { ( s c a t ) } } = } & { { } \Phi ^ { ( \mathrm { e l e c } , \mathrm { F } , { l ^ { \prime } } ) } + \sum _ { l } r _ { l } \Phi ^ { ( \mathrm { e l e c } , \mathrm { B } , l ) } \; , } \\ { \Psi _ { 1 } ^ { \mathrm { ( s c a t ) } } = } & { { } \lambda _ { l ^ { \prime } } \Phi ^ { ( \mathrm { e l e c } , \mathrm { F } , { l ^ { \prime } } ) } + \sum _ { l } r _ { l } \lambda _ { l } \Phi ^ { ( \mathrm { e l e c } , \mathrm { B } , l ) } \; , } \\ { \Psi _ { N } ^ { \mathrm { ( s c a t ) } } = } & { { } \sum _ { l } t _ { l } \lambda _ { l } ^ { - 1 } \Phi ^ { ( \mathrm { e l e c } , \mathrm { F } , l ) } \; , } \\ { \Psi _ { N + 1 } ^ { \mathrm { ( s c a t ) } } = } & { { } \sum _ { l } t _ { l } \Phi ^ { ( \mathrm { e l e c } , \mathrm { F } , l ) } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { - ( a , b ) } & { { } = ( - a , b ) } & { } & { { } { \mathrm { a d d i t i v e ~ i n v e r s e ~ f r a c t i o n s , } } } \\ { ( a , b ) ^ { - 1 } } & { { } = ( b , a ) } & { } & { { } { \mathrm { m u l t i p l i c a t i v e ~ i n v e r s e ~ f r a c t i o n s , ~ f o r ~ } } a \neq 0 , } \end{array}
\mathbf { R } = { \left[ \begin{array} { l } { { ( 1 - d ) / N } } \\ { { ( 1 - d ) / N } } \\ { \vdots } \\ { { ( 1 - d ) / N } } \end{array} \right] } + d { \left[ \begin{array} { l l l l } { \ell ( p _ { 1 } , p _ { 1 } ) } & { \ell ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \ell ( p _ { 1 } , p _ { N } ) } \\ { \ell ( p _ { 2 } , p _ { 1 } ) } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { \vdots } & & { \ell ( p _ { i } , p _ { j } ) } & \\ { \ell ( p _ { N } , p _ { 1 } ) } & { \cdots } & & { \ell ( p _ { N } , p _ { N } ) } \end{array} \right] } \mathbf { R }
Z _ { N } ^ { [ \mathrm { c l a s s } ] } ( V , T , E _ { 0 } ) = \int \mathrm { e } ^ { - \beta \left( U _ { N } + H _ { N } ^ { \mathrm { d i p } } + { H ^ { \mathrm { p o l } } } _ { N } ^ { \prime } \right) } ~ \mathrm { d } \mathbf { X } _ { N } ,
\begin{array} { r l } { \hat { L } _ { 3 } ^ { * } = } & { \tilde { L } _ { 3 } ^ { * } + \frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 3 } } \Phi _ { 3 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } ^ { * } , \tilde { \ell } _ { 3 } ^ { * } ; \cdots \right) } \\ { = } & { \tilde { L } _ { 3 } + \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \Theta _ { 3 } ^ { \pm } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) + \frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 3 } } \Phi _ { 3 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } + O \left( \frac { L _ { 2 } ^ { 8 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \right) , \tilde { \ell } _ { 3 } + O \left( \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 7 } } \right) ; \cdots \right) } \\ { = } & { \hat { L } _ { 3 } + \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \Theta _ { 3 } ^ { \pm } \left( \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) + \cdots } \end{array}
\Phi ( V _ { \mathrm { 1 } } ) + \Phi ( V _ { \mathrm { 2 } } ) = \Phi _ { \mathrm { 1 } } + \Phi _ { \mathrm { 3 1 } } + \Phi _ { \mathrm { 2 } } + \Phi _ { \mathrm { 3 2 } }
\phi ^ { + } ( y ^ { \ast } , R e _ { \tau } ) = F _ { 0 } ( y ^ { \ast } ) + F _ { 1 } ( y ^ { \ast } ) G ( R e _ { \tau } ) + F _ { 2 } ( y ^ { \ast } ) G ^ { 2 } ( R e _ { \tau } ) + h . o . t . ,
\begin{array} { r l r } { A ( \omega ) } & { \simeq } & { \mathrm { R e } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { i \omega t } \langle 0 | \hat { D } ^ { \dagger } \hat { a } e ^ { - i \hat { H } _ { V U } t } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { D } | 0 \rangle \right] } \\ & { \simeq } & { \mathrm { R e } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { i \omega t } \langle 0 | \left( \hat { a } + \frac { \overline { { \pi } } _ { x } - i \overline { { \pi } } _ { y } } { \sqrt { 2 } } \right) e ^ { - i \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } t } \left( \hat { a } ^ { \dagger } + \frac { \overline { { \pi } } _ { x } + i \overline { { \pi } } _ { y } } { \sqrt { 2 } } \right) | 0 \rangle \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ^ { ( 1 ) } \rho + \partial _ { x } \rho u _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { \partial _ { t } ^ { ( 1 ) } \rho u _ { x } + \partial _ { x } \rho u _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { x } \rho \varsigma ^ { 2 } + \partial _ { x } P _ { x x } ^ { * } } & { { } = 0 . } \end{array}
y ^ { \delta } \tilde { \Gamma } ^ { \alpha } { } _ { \beta \delta } \tilde { B } ^ { \beta } | _ { 1 + 3 } = y ^ { \delta } d x ^ { \sigma } [ \Gamma ^ { \alpha } { } _ { \beta \delta } B ^ { \beta } { } _ { , \sigma } + \Gamma ^ { \alpha } { } _ { \beta \delta } \Gamma ^ { \beta } { } _ { \sigma \tau } B ^ { \tau } + \Gamma ^ { \alpha } { } _ { \beta \delta , \sigma } B ^ { \beta } ] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 1 } ( t ) } & { = L _ { n } ( \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) ) ^ { 3 } - 3 \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) L _ { n } ( \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) ) ^ { 2 } + 3 ( \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) ) ^ { 2 } L _ { n } \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) } \\ & { = \frac { \theta ( n ) } { n ^ { 9 / 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \Xi _ { j } ( t ) - \Xi _ { j + 1 } ( t ) ) ^ { 3 } ( T _ { v _ { n } ^ { 1 } t } ^ { - } \nabla ^ { n , 1 } \varphi _ { j } ^ { n } ) ^ { 3 } , } \end{array}
\omega \, = \, \frac { 1 } { 4 \pi } \bigl ( \beta _ { \epsilon } - 1 + 2 v \bigr ) \, = \, \frac { r _ { 0 } \dot { \bar { z } } } { \Gamma } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } \beta _ { \epsilon } ) \, ,
Q _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } = - \frac { i } { 2 } \, [ A _ { \mu } , A _ { \nu } ] ^ { i j } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } \, \frac { \partial } { \partial \bar { \psi } _ { \beta } ^ { i j } } + i \Gamma _ { \mu \alpha \beta } \psi _ { \beta } ^ { i j } \, \frac { \partial } { \partial A _ { \mu } ^ { i j } }
\begin{array} { r l } { \tilde { n } _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { \Omega _ { i } } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } , } \\ { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \xi _ { 1 } } & { { } = - \frac { 1 } { \Omega _ { i } } \mathrm { d } _ { t } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } , } \\ { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } b _ { z 1 } v _ { \mathrm { A } } } & { { } = \nabla _ { \perp } \cdot \left( \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } \right) } \\ { \mathrm { d } _ { t } u _ { z 1 } } & { { } = \{ \psi _ { 1 } , b _ { z 1 } \} - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { z } | \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } | ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } e ^ { \lambda \, \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } = - \lambda \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( t ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( t ) , 0 ) \, e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \geq 0 .
\begin{array} { r l } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } } & { [ g _ { 2 } - g _ { 1 } ] ( \eta , t ) \phi ( \eta ) \textup { d } \eta = \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g _ { 2 } - g _ { 1 } ] ( \eta , t ) \varphi ( \eta , t ) \textup { d } \eta } \\ & { = \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g _ { 2 , \textup { i n } } - g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) \varphi ( \eta , 0 ) \textup { d } \eta + \frac { 1 - \gamma } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } ( K _ { \epsilon , R } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) - K _ { \epsilon , R } ^ { n } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) ) \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) } \\ & { \chi _ { \varphi } ( \eta , \eta ^ { \prime } , s ) ( g _ { 1 } ( \eta ^ { \prime } , s ) + g _ { 2 } ( \eta ^ { \prime } , s ) ) ( g _ { 1 } ( \eta ^ { \prime } , s ) - g _ { 2 } ( \eta ^ { \prime } , s ) ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta \textup { d } s } \\ & { \leq \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g _ { 2 , \textup { i n } } - g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) \varphi ( \eta , 0 ) \textup { d } \eta + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { V _ { \epsilon , R , M } } \int _ { V _ { \epsilon , R , M } } | ( K _ { \epsilon , R } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) - K _ { \epsilon , R } ^ { n } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) ) \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) } \\ & { \chi _ { \varphi } ( \eta , \eta ^ { \prime } , s ) ( g _ { 1 } ( \eta ^ { \prime } , s ) + g _ { 2 } ( \eta ^ { \prime } , s ) ) ( g _ { 1 } ( \eta ^ { \prime } , s ) - g _ { 2 } ( \eta ^ { \prime } , s ) ) | \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta \textup { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { ( M , \infty ) \times [ \epsilon , 2 R ] } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } | ( K _ { \epsilon , R } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) - K _ { \epsilon , R } ^ { n } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) ) \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) \chi _ { \varphi } ( \eta , \eta ^ { \prime } , s ) ( g _ { 1 } ( \eta ^ { \prime } , s ) + g _ { 2 } ( \eta ^ { \prime } , s ) ) } \\ & { ( g _ { 1 } ( \eta ^ { \prime } , s ) - g _ { 2 } ( \eta ^ { \prime } , s ) ) | \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta \textup { d } s } \\ & { = I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \omega ( x ) E I } { \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) d x } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { E h ^ { 3 } } { 1 2 \delta } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega ( r ) = 1 } \\ { \frac { E h ^ { 3 } r } { 2 4 \delta ^ { 2 } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \omega ( r ) = r . } \end{array} \right. } \end{array}
\dot { \eta } _ { i r r } ^ { i n e r t } = - { \bf J } _ { \eta } \cdot \frac { \nabla T _ { R } } { T _ { R } } - { \bf J } _ { s } \cdot \frac { \nabla \mu _ { R } } { T _ { R } } = \frac { \kappa _ { T } c _ { p } \nabla T \cdot \nabla T _ { R } } { T \, T _ { R } } + \frac { \partial \hat { \mu } } { \partial S } \frac { { \bf J } _ { s } \cdot { \bf J } _ { s } ^ { R } } { T _ { R } \kappa _ { S } }
\mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( \iota ( c _ { s } ) ; \iota ^ { \prime } ( c _ { s } ) ) = \left\langle \nabla ^ { L ^ { 2 } } \mathcal { J } _ { 2 } , \iota ^ { \prime } \right\rangle _ { L ^ { 2 } } = \Big \langle \nabla \mathcal { J } _ { 2 } , \iota ^ { \prime } \Big \rangle _ { H ^ { 1 } } ,
E _ { \mathrm { ~ B ~ W ~ } } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { k \neq 0 } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | \hat { V } | \Phi _ { k } \rangle \langle \Phi _ { k } | \hat { V } | \Phi _ { 0 } \rangle } { E _ { 0 } - E _ { k } + E _ { \mathrm { ~ B ~ W ~ } } ^ { ( 2 ) } }
\frac { \partial ( \phi ^ { l } \rho ^ { l } \mathscr { E } ^ { l } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \phi ^ { l } \rho ^ { l } \mathscr { E } ^ { l } \mathbf { u } ) = \frac { \phi ^ { l } \overline { { \Gamma } } } { \Gamma ^ { l } } ( - p ^ { l } \mathbf { I } + 2 G ^ { l } \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ) ) : \nabla \mathbf { u }
\begin{array} { r l r } & { } & { F _ { \mathrm { b i n d } , z } ^ { 1 \rightarrow 2 } \left( z _ { 1 } , z _ { 2 } \right) \approx \frac { P \alpha ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 3 } \left( k _ { 0 } - 1 / z _ { 0 } \right) } { 2 \pi ^ { 2 } c \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } n ^ { \prime } w _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ & { } & { \times \sin \left[ k _ { 0 } d _ { 0 } + \Delta \phi + \left( k _ { 0 } - \frac { 1 } { z _ { 0 } } \right) \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) \right] . } \end{array}
K _ { 2 } = \frac { g _ { \pi } ^ { 2 } ( 3 m _ { \pi } ^ { 2 } - 2 k ^ { 2 } ) } { ( k ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { g _ { \eta } ^ { 2 } ( 3 m _ { \eta } ^ { 2 } - 2 k ^ { 2 } ) } { ( k ^ { 2 } - m _ { \eta } ^ { 2 } ) ^ { 2 } }
s _ { \Gamma } ( \chi \Delta _ { - } ^ { ( 1 ) } + \chi _ { A } \Delta _ { A - } ^ { ( 1 ) } ) = s _ { \Gamma _ { c l } } ( \chi \Delta _ { - } ^ { ( 1 ) } + \chi _ { A } \Delta _ { A - } ^ { ( 1 ) } ) + { \cal O } ( \hbar ^ { 2 } ) = 0
\begin{array} { r l r } { { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } } & { = } & { { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } = { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } = { J _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } = 0 , } \\ { { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } } & { = } & { p _ { i } h , } \\ { { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } } & { = } & { q _ { i } h , } \\ { { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 3 } } & { = } & { \frac { { p _ { i } } ^ { 3 } } { 4 } h - 3 p _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( H ) , } \\ { { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { q _ { i } { p _ { i } } ^ { 2 } } { 4 } h - q _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( H ) - 2 p _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( H ) , } \\ { { J _ { i } } _ { 2 } ^ { 1 } } & { = } & { \frac { p _ { i } } { 4 } h - 2 q _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( H ) - p _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( H ) , } \\ { { J _ { i } } _ { 3 } ^ { 0 } } & { = } & { \frac { q _ { i } } { 4 } h - 3 q _ { i } h ^ { 2 } { f _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( H ) , } \end{array}
= \left( \lambda _ { k } , \frac { k + 2 } { 2 } \right) _ { \nu } \cdot \left( k + 1 , \frac { k \left( k + 1 \right) } { 2 } \right) _ { \nu } = \left( \lambda _ { k } , \frac { k + 2 } { 2 } \right) _ { \nu } \cdot \left( k + 1 , 2 \right) _ { \nu } = \left( \lambda _ { k } , k + 2 \right) _ { \nu } \cdot \left( \lambda _ { k } , 2 \right) _ { \nu } \cdot \left( k + 1 , 2 \right) _ { \nu }
\cos ^ { 2 } \overline { { { \theta } } } _ { 1 2 } = \frac { | U _ { { \alpha } 1 } | ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 , 2 } | U _ { { \alpha } i } | ^ { 2 } } , \qquad \sin ^ { 2 } \overline { { { \theta } } } _ { 1 2 } = \frac { | U _ { { \alpha } 2 } | ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 , 2 } | U _ { { \alpha } i } | ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } T } & { { } = \nabla \cdot ( k \nabla T ) - v \cdot \nabla T + \alpha ( S r ( T , \mu , T _ { a } ) - \gamma ( T - T _ { a } ) ) , } \\ { \partial _ { t } S } & { { } = - S \gamma _ { S } r ( T , \mu , T _ { a } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { B } = - \left( \begin{array} { l l } { ( \kappa ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) / \beta } & { - ( \kappa ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) / \beta } \\ { - \beta } & { \beta } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { x } ( x , y ) } & { = \alpha _ { x x } \bigg [ \cosh \bigg ( \frac { x } { \Lambda _ { + } } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \pm } } \bigg ) \bigg ] + \cosh \bigg ( \frac { y } { \Lambda _ { \pm } } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { + } } \bigg ) \bigg ] \bigg ] , } \\ { m _ { y } ( x , y ) } & { = \alpha _ { y y } \bigg [ \cosh \bigg ( \frac { x } { \Lambda _ { \mp } } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { - } } \bigg ) \bigg ] + \cosh \bigg ( \frac { y } { \Lambda _ { - } } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \mp } } \bigg ) \bigg ] \bigg ] , } \end{array}
\bar { \lambda } _ { \theta } = \partial _ { 1 } \bar { \theta } + \frac \xi 2 \bar { \theta } , \qquad \lambda _ { 1 } ^ { \mu } = \partial _ { 1 } A _ { 0 } ^ { \mu } + \frac 2 \phi A _ { 1 } ^ { \mu } + i \bar { \psi } \Gamma ^ { \mu } \theta .
\mathrm { i n c o m p r e s s i b l e : \quad } \partial _ { \eta \eta } \dot { \mathbf { W } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) \vert _ { \eta = 0 } = \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { u u \eta \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } & { \partial _ { v u \eta \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } \\ { \partial _ { u v \eta \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } & { \partial _ { v v \eta \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \left. \mathrm { I m [ r _ { s \rightarrow s } ( \Phi ^ { ' } ) ] } \right| _ { \Phi ^ { \prime } = 0 } } & { { } \simeq \left. \frac { \mathrm { d } \mathrm { I m } [ r _ { s \rightarrow s } ( \Phi ^ { \prime } ) ] } { \mathrm { d } \Phi ^ { \prime } } \right| _ { \Phi ^ { \prime } = 0 } \times \delta \Phi ^ { ' } } \end{array}
\omega _ { \pm | n | } = \pm \sqrt { k _ { n } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } , \, \, \, \omega _ { \pm | n | ( o ) } = \pm \sqrt { ( k _ { n } / 2 ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } } , \, \, \, k _ { n } \equiv 2 \pi n
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u + \partial _ { x } u = 0 , \quad } & { ( x , t ) \in ( 0 , 2 \pi ) \times \mathbb { R } ^ { + } } \\ { u ( 0 , t ) = u ( 2 \pi , t ) , } & { t \ge 0 . } \end{array} \right.
\partial ^ { \nu } \Lambda _ { \nu \mu } = \varepsilon _ { \mu \nu } n ^ { \nu } \bar { c } ^ { a } \, \frac { \delta S } { \delta \phi ^ { a } } - A _ { \mu } ^ { a } \, \frac { \delta S } { \delta c ^ { a } } + \partial _ { \mu } \bar { c } ^ { a } \, \frac { \delta S } { \delta b ^ { a } } + \mathrm { t o t a l ~ d e r i v . } \quad .
\| x _ { n + 1 } \| < { \frac { L } { 2 ^ { n } } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad \left\| y - A \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { n } \right) - A \left( x _ { n + 1 } \right) \right\| < { \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } } } ,
\eta _ { P _ { 3 } P _ { 4 } ; P _ { 1 } P _ { 2 } } ^ { V } = { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { ( m _ { B } - m _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \mathrm d } z { \frac { \kappa _ { P _ { 3 } P _ { 4 } ; P _ { 1 } P _ { 2 } } ^ { V } ( z ) } { z - m _ { 1 } ^ { 2 } - i \epsilon } } \, .
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \tau } \left( \tau B _ { x } \right) } & { = } & { - ( \partial _ { y } E _ { \eta } - \partial _ { \eta } E _ { y } ) \; , } \\ { \partial _ { \tau } \left( \tau B _ { y } \right) } & { = } & { ( \partial _ { x } E _ { \eta } - \partial _ { \eta } E _ { x } ) \; , } \\ { \partial _ { \tau } \left( \tau ^ { - 1 } B _ { \eta } \right) } & { = } & { - ( \partial _ { x } E _ { y } - \partial _ { y } E _ { x } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { d v ^ { \prime } N ^ { \prime } } ^ { a v ^ { \prime \prime } N ^ { \prime \prime } } \approx A _ { a v ^ { \prime \prime } N ^ { \prime \prime } } ^ { d v ^ { \prime } N ^ { \prime } } \delta ( N ^ { \prime } - N ^ { \prime \prime } ) \; n _ { d v ^ { \prime } N ^ { \prime } } . } \end{array}
\centering \begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { M M } = [ \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M M } + \sigma _ { m } ^ { - 2 } \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M N } \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M N } ^ { T } ] ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h } & { { } \! = \! \left[ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ { M _ { 0 } } & { { } \! = \! \left( m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \right) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } , } \\ { T _ { x } } & { { } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { x } ^ { \dagger } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , } \\ { T _ { y } } & { { } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { y } ^ { \dagger } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ { T _ { z } } & { { } \! = \! t _ { z } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { z } ^ { \dagger } \! = \! t _ { z } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } . } \end{array}
\nu _ { n } \sim \sqrt { n ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 } - 0 . 2 5 } - 0 . 5 , \ \frac { \partial \nu _ { n } } { \partial \theta _ { 0 } } \sim \frac { n ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { 3 } } { \pi ( \nu _ { n } + 0 . 5 ) } , \ \nu _ { n } \gg 1 ,
\langle \delta E ^ { 2 } \rangle = \langle \delta E _ { 1 } ^ { 2 } \rangle + \langle \delta E _ { 2 } ^ { 2 } \rangle - 2 ( \langle E _ { 2 } E _ { 1 } \rangle - \langle E _ { 2 } \rangle \langle E _ { 1 } \rangle ) .
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } Z _ { t } \right| \leq } & { \frac { 2 R } { 3 } \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { 2 F \log \frac { 4 } { \delta } } } \\ { = } & { \frac { 4 \alpha } { 3 } \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { 2 0 ( \sigma / M ) ^ { p } \alpha ^ { 2 } \log ( e T ) \log \frac { 4 } { \delta } } } \\ { \leq } & { 5 \left( \log \frac { 4 } { \delta } + \sqrt { ( \sigma / M ) ^ { p } \log ( e T ) \log \frac { 4 } { \delta } } \right) \alpha . } \end{array}
A = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { - \gamma _ { a } } & { \Delta _ { a } } & { 0 } & { g _ { N } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \Delta _ { a } } & { - \gamma _ { a } } & { - g _ { N } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { g _ { N } } & { - \kappa _ { c } } & { \tilde { \Delta } _ { c } } & { - \mathrm { I m } G _ { c } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - g _ { N } } & { 0 } & { - \tilde { \Delta } _ { c } } & { - \kappa _ { c } } & { \mathrm { R e } G _ { c } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \omega _ { b } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \mathrm { R e } G _ { c } } & { \mathrm { I m } G _ { c } } & { - \omega _ { b } } & { - \gamma _ { b } } & { - \mathrm { R e } G _ { m } } & { - \mathrm { I m } G _ { m } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mathrm { I m } G _ { m } } & { 0 } & { - \kappa _ { m } } & { \tilde { \Delta } _ { m } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \mathrm { R e } G _ { m } } & { 0 } & { - \tilde { \Delta } _ { m } } & { - \kappa _ { m } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \phi ( d _ { 1 3 } \cos ( \alpha ) , d _ { 1 3 } \sin ( \alpha ) ) } & { { } = \frac { \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } } { d _ { 1 2 } } d _ { 1 3 } \cos ( \alpha ) + b d _ { 1 3 } \sin ( \alpha ) + \phi _ { 1 } = \phi _ { 3 } } \\ { b } & { { } = \frac { \phi _ { 3 } - \phi _ { 1 } } { d _ { 1 3 } \sin ( \alpha ) } - \frac { \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } } { d _ { 1 2 } \tan ( \alpha ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \langle G _ { 1 } A G _ { 2 } B \rangle | \prec \Lambda _ { k } + \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } , \, } \\ & { | \langle \Im G _ { 1 } A G _ { 2 } B \rangle | \prec \rho _ { 1 } \Lambda _ { k } + \rho _ { 1 } \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } , } \\ & { | \langle \Im G _ { 1 } A \Im G _ { 2 } B \rangle | \prec \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \Lambda _ { k } + \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } . } \end{array}
e ^ { 1 \otimes \phi _ { n } \otimes \phi ^ { n } } e ^ { \phi _ { n } \otimes \Delta _ { 0 } ( \phi ^ { n } ) } \ = \ e ^ { \phi _ { n } \otimes \phi ^ { n } \otimes 1 } e ^ { \Delta _ { 0 } ( \phi _ { n } ) \otimes \phi ^ { n } } \, .
\begin{array} { r } { \mathcal { Z } ( z ) = H ( E ^ { \prime } ( z ) , k E ( z ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { E ^ { \prime } ( z ) } { k E ( z ) } } & { \mathrm { f o r } \; E ( z ) \neq 0 , } \\ { \infty } & { \mathrm { f o r } \; E ( z ) = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { J } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { A \partial _ { x } e _ { x } } & { 1 } & { A \partial _ { y } e _ { x } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { A \partial _ { x } e _ { y } } & { 0 } & { A \partial _ { y } e _ { y } } & { 1 } \end{array} \right) ,