harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 4 } } } & { \simeq ( 2 \Sigma ^ { 1 6 , 1 } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } \oplus \Sigma ^ { 2 4 , 2 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } ) \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } } \\ & { 2 \Sigma ^ { 1 6 , 1 } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 2 } } \oplus \Sigma ^ { 2 4 , 2 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } } \\ & { 2 \Sigma ^ { 1 6 , 1 } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 2 } } \oplus \Sigma ^ { 4 8 , 5 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus \Sigma ^ { 6 4 , 8 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f } & { { } = } & { f _ { 1 } + f _ { 2 } \, , } \\ { f _ { 1 } } & { { } = } & { \hbar k \frac { 1 6 } { 3 } \frac { \delta _ { 1 } s _ { 1 } s _ { 2 } \, \sin ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) \cos ^ { 2 } ( k z ) } { s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) + 2 s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k z ) } \, , } \\ { f _ { 2 } } & { { } = } & { \hbar k \frac { 4 } { 3 } \frac { \delta _ { 2 } s _ { 1 } s _ { 2 } \, \sin ( 2 k z ) \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) } { s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) + 2 s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k z ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 - \left( \frac { ( 1 - G ) m } { 2 G x - G m - x m + m } \right) ^ { \frac { G } { 2 G - 1 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \displaystyle 1 - e ^ { - m x } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta ( t ) = \beta ( i ( t ) ) } & { = } & { \bar { \beta } + \sum _ { k = 1 } ^ { M } w _ { m } ( i ( t ) ) { \theta } _ { \infty } ^ { * } ( \eta ( i ( t ) ) ) , } \\ & { = } & { \bar { \beta } + \sum _ { m = 1 } ^ { M } w _ { m } ( i ( t ) ) \frac { \eta _ { m } ( i ( t ) ) } { a \eta _ { m } ( i ( t ) ) + 1 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \rho _ { i } ^ { n + 1 } + \phi _ { i } ^ { n + 1 } = \rho _ { i } ^ { n } + \phi _ { i } ^ { n } - \Delta t \sum _ { L _ { l } \in \partial \mathcal { C } _ { i } } \frac { | L _ { l } | } { | \mathcal { C } _ { i } | } \frac { c } { 3 \sigma _ { l } } \nabla \phi _ { l } ^ { n + 1 } \vec { n } _ { l } , } \\ & { \rho _ { i } ^ { n + 1 } = \phi _ { i } ^ { n + 1 } . } \end{array} \right.
Q ^ { \prime } \left( \begin{array} { c } { { \phi } } \\ { { a } } \\ { { \psi ^ { \prime } } } \\ { { \bar { \phi } } } \\ { { \bar { \psi } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { \psi ^ { \prime } } } \\ { { - L ( \phi ) a } } \\ { { \bar { \psi } } } \\ { { - L ( \phi ) \bar { \phi } } } \end{array} \right) _ { ( \phi , a , \psi ^ { \prime } , \bar { \phi } , \bar { \psi } ) } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } } & { = \mathbf { { U } } _ { j } + \frac { \Delta x } { 2 } \left( \frac { \partial \mathbf { U } } { \partial x } \right) _ { j } + \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 1 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { U } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { j } } \\ { \mathbf { U } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { R } } & { = \mathbf { { U } } _ { j + 1 } - \frac { \Delta x } { 2 } \left( \frac { \partial \mathbf { U } } { \partial x } \right) _ { j + 1 } + \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 1 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { U } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { j + 1 } \quad } \end{array}
\ensuremath { \ell ^ { 1 } } ( \mathcal { I } _ { \chi } ^ { \ensuremath { \mathcal { G } } } , \mathcal { I } _ { \chi } ^ { \ensuremath { \mathcal { E } } } ) \subseteq \ensuremath { \ensuremath { \mathrm { C } ^ { * } } _ { \mathrm { r e d } } } ( \mathcal { I } _ { \chi } ^ { \ensuremath { \mathcal { G } } } , \mathcal { I } _ { \chi } ^ { \ensuremath { \mathcal { E } } } )
\begin{array} { r l } { = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } d \phi _ { t } \wedge \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \mathrm { t r } ( \phi _ { t } ) \wedge \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) } \\ { = } & { { } \int _ { \partial \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } \wedge ( \phi _ { \partial } ) _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { w _ { x } = m _ { 1 1 } ^ { 2 } w _ { e } ^ { 2 } + m _ { 1 2 } ^ { 2 } w _ { n } ^ { 2 } + m _ { 1 3 } ^ { 2 } w _ { u } ^ { 2 } + 2 m _ { 1 1 } m _ { 1 2 } w _ { e } w _ { n } , } \\ & { w _ { y } = m _ { 2 1 } ^ { 2 } w _ { e } ^ { 2 } + m _ { 2 2 } ^ { 2 } w _ { n } ^ { 2 } + m _ { 2 3 } ^ { 2 } w _ { u } ^ { 2 } + 2 m _ { 2 1 } m _ { 2 2 } w _ { e } w _ { n } , } \\ & { w _ { z } = m _ { 3 1 } ^ { 2 } w _ { e } ^ { 2 } + m _ { 3 2 } ^ { 2 } w _ { n } ^ { 2 } + m _ { 3 3 } ^ { 2 } w _ { u } ^ { 2 } + 2 m _ { 3 1 } m _ { 3 2 } w _ { e } w _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { t } \rho _ { t } } & { = - d _ { t } \langle \partial _ { s } T _ { t } , \nu _ { t } \rangle } \\ & { = - \langle d _ { t } \partial _ { s } T _ { t } , \nu _ { t } \rangle - \langle \partial _ { s } T _ { t } , d _ { t } \nu _ { t } \rangle } \\ & { = - \langle d _ { t } \partial _ { s } T _ { t } , \nu _ { t } \rangle . } \end{array}
d x _ { j } \, d y _ { j } \, d p _ { x j } \, d p _ { y j } \, \rightarrow \, d \theta _ { j } \, d r _ { j } \, d P _ { \theta j } \, d P _ { r j } \, \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { \Delta r _ { j } } { r _ { j } } \right) ^ { - 1 } \; .
{ \frac { \partial { \bar { u _ { i } } } } { \partial t } } + { \bar { u _ { j } } } { \frac { \partial { \bar { u _ { i } } } } { \partial x _ { j } } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial { \bar { p } } } { \partial x _ { i } } } + \nu { \frac { \partial ^ { 2 } { \bar { u _ { i } } } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } } - { \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } } .
2 \times { \sqrt { \left( { \frac { 2 \Omega _ { 0 } } { \kappa ^ { 2 } } } U ( 0 ) \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \Omega _ { 0 } } { B \kappa } } V ( 0 ) \right) ^ { 2 } } } = 1 0 3 5 { \mathrm { ~ p a r s e c } } .
\begin{array} { r l } { D \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } - \lambda \frac { \partial \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } } & { - ( s + \alpha + r ) \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { 0 } ) + \alpha \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { 0 } ) } \\ & { = - 1 - r \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { r } ) } \\ { D \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } - \lambda \frac { \partial \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } } & { - ( s + \beta + r ) \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { 0 } ) + \beta \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { 0 } ) } \\ & { = - 1 - r \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { r } ) , } \end{array}
( { \cal D } ^ { 2 } - D _ { 1 } \bar { D } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } D _ { 1 } ^ { 2 } \bar { P } _ { 1 1 } - \frac { 1 } { 2 } P _ { 1 1 } \bar { P } _ { 1 1 } + d \lambda ^ { 2 } ) | \chi \rangle + \lambda ( \bar { D } _ { 2 } - D _ { 1 } \bar { P } _ { 1 2 } ) | \Phi \rangle = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \Psi ( r ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } , z ) } & { = \frac { k } { i z } e ^ { i k z } e ^ { i \frac { k r ^ { 2 } } { 2 z } } ( F _ { l _ { 1 } } ( { k r ^ { \prime } } / { z } ) e ^ { i l _ { 1 } ( \phi ^ { \prime } - \frac { \pi } { 2 } ) } } \\ & { + b F _ { l _ { 2 } } ( { k r ^ { \prime } } / { z } ) e ^ { i l _ { 2 } ( \phi ^ { \prime } - \frac { \pi } { 2 } ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle Q \rangle _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } & { = \langle Q \rangle _ { i } + \frac { \Delta x _ { i } } { \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i + 1 } } \left( \langle Q \rangle _ { i + 1 } - \langle Q \rangle _ { i } \right) + \frac { \bigg ( \tilde { \omega } _ { 1 } ( \langle Q \rangle _ { i + 1 } - \langle Q \rangle _ { i } ) + \tilde { \omega } _ { 2 } \delta \langle Q \rangle _ { i + 1 } + \tilde { \omega } _ { 3 } \delta \langle Q \rangle _ { i } \bigg ) } { \sum _ { k = - 1 } ^ { 2 } \Delta x _ { i + k } } } \end{array}
{ \cal J } _ { i } = \varepsilon _ { i k l } \sum _ { a } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } D ^ { s } [ x _ { a } ^ { k } ( \delta _ { l } ^ { j } + v _ { a } ^ { j } \varphi _ { a l } \varphi _ { a t } ^ { - 1 } ) ] \frac { \partial } { \partial x _ { a } ^ { j ( s ) } } ,
\int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { I N T } _ { h } ^ { \prime } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) | ^ { 2 } \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) \mu ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } , f _ { 2 } , f ) d f _ { 1 } d f _ { 2 }
\begin{array} { r l } { e _ { a } ( \mathbf { u } ) } & { = a ^ { q } ( \mathbf { u } , \mathbf { u } ) - a ( \mathbf { u } , \mathbf { u } ) , } \\ { e _ { b } ( \mathbf { u } ) } & { = b ^ { q } \big ( \mathbf { H } _ { \mathrm { M S } } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { u } \big ) - b \big ( \mathbf { H } _ { \mathrm { M S } } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { u } \big ) , } \end{array}
( a _ { 1 } \beta _ { 1 } + a _ { 2 } \beta _ { 2 } + \cdots + a _ { n } \beta _ { n } ) + ( b _ { 1 } \beta _ { 1 } + b _ { 2 } \beta _ { 2 } + \cdots + b _ { n } \beta _ { n } ) = ( a _ { 1 } + b _ { 1 } ) \beta _ { 1 } + ( a _ { 2 } + b _ { 2 } ) \beta _ { 2 } + \cdots + ( a _ { n } + b _ { n } ) \beta _ { n }
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 2 } } & { = \phi ( \alpha ) = \frac { \alpha - 1 } { \alpha + 1 } = \frac { - \frac { 2 } { \lambda } + \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots } { 2 - \frac { 2 } { \lambda } + \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots } = \frac { - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 4 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots } { 1 - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 4 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots } } \\ & { = \left( - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 4 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots \right) \frac { 1 } { 1 - ( \frac { 1 } { \lambda } - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } - \frac { 4 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots ) } } \\ & { = \left( - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 4 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots \right) \left( 1 + ( \frac { 1 } { \lambda } - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } - \frac { 4 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots ) + ( \frac { 1 } { \lambda } - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } - \frac { 4 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots ) ^ { 2 } + \dots \right) } \\ & { = \left( - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 4 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots \right) \left( 1 + \frac { 1 } { \lambda } - \frac { 5 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots \right) = - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 5 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots . } \end{array}
\frac { ( \tilde { \mathcal { M } } - \tilde { \mathcal { D } } ) ^ { 2 } } { \tilde { q } ^ { 2 } } = \frac { d \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( ( \tilde { \mathcal { M } } - \tilde { \mathcal { D } } ) ^ { 2 } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) } { d \tilde { q } ^ { 2 } } ,
F _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { Q E D } } ( x , P ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) = 6 \left[ \left( x ^ { 2 } + ( 1 - x ) ^ { 2 } \right) \ln \frac { Q ^ { 2 } } { x ^ { 2 } P ^ { 2 } } + 1 2 x ( 1 - x ) - 2 \right] .
\begin{array} { r } { F ( \theta _ { H } ) = \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } ^ { 2 } [ \omega _ { H } ( \cos ^ { 2 } { 2 \theta _ { H } } + \cos ^ { 2 } { \theta _ { H } } ) } \\ { - \omega _ { M } \cos ^ { 2 } { \theta _ { H } } \cos { 2 \theta _ { H } } ( 1 + \cos { 2 \theta _ { H } } ) ] } \\ { + \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { \theta _ { H } } [ \omega _ { H } \sin ^ { 2 } { \theta _ { H } } + \omega _ { M } ( \cos ^ { 4 } { \theta _ { H } } - \cos { 2 \theta _ { H } } ) ] . } \end{array}
\left\vert v _ { T } - v _ { I } \right\vert = \left\vert \frac { \mathbf { p } _ { T } } { E _ { T } } - \frac { \mathbf { p } _ { I } } { E _ { I } } \right\vert = \frac { \left\vert \mathbf { p } _ { I } \right\vert } { E _ { T } E _ { I } } \underset { E _ { c m } = \sqrt { s } } { \underbrace { \left( E _ { T } + E _ { I } \right) } } .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d \hat { s } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { V ^ { - 1 } d t ^ { 2 } - d \vec { x } ^ { 2 } - V ^ { - 1 } ( d x ^ { \underline { { { 4 } } } } ) ^ { 2 } - d x ^ { \underline { { { I } } } } d x ^ { \underline { { { I } } } } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { B } } } & { { = } } & { { - n \ \left( V ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d t \right) \wedge \left( V ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d x ^ { \underline { { { 4 } } } } \right) \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { e ^ { 2 \hat { \phi } } } } & { { = } } & { { V ^ { - 1 } \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { L ^ { Y } ( t , y ) } & { = \rho \left( y ^ { 2 } \right) L ^ { \widetilde W } \left( \varphi _ { t } , S ( y ^ { 2 } ) \right) 2 y S ^ { \prime } ( y ^ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } y ^ { \frac { 4 a } { \sigma ^ { 2 } } - 1 } e ^ { - \frac { 2 b } { \sigma ^ { 2 } } y ^ { 2 } } L ^ { \widetilde W } ( \varphi _ { t } , S ( y ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Vert u _ { n } ^ { \prime \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T , L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } } & { \leq } & { \frac { C _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \rho _ { 0 } } \Big [ \ell ^ { 3 } ( 1 + T ) \Vert g ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \Vert v _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } + \Vert u _ { 0 , x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } + \Vert v _ { 0 , x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { u _ { t } = \ } & { \epsilon u _ { x x } - u _ { x } + F ( x , t ) , } & & { x _ { s } ( t ) < x < x _ { e } ( t ) , } & & { t > 0 } \\ { \epsilon u _ { x } - ( 1 - \dot { x } _ { s } ) u = \ } & { g _ { s } ( t ) , } & & { x = x _ { s } ( t ) , } & & { t > 0 } \\ { u = \ } & { 0 } & & { x = x _ { e } ( t ) } & & { t > 0 } \\ { u ( x , 0 ) = \ } & { u _ { 0 } ( x ) , } & & { x _ { s } < x < x _ { e } . } \end{array}
U = \left[ \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { c _ { 2 3 } } } & { { s _ { 2 3 } } } \\ { { 0 } } & { { - s _ { 2 3 } } } & { { c _ { 2 3 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 3 } } } & { { 0 } } & { { s _ { 1 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { - s _ { 1 3 } } } & { { 0 } } & { { c _ { 1 3 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 2 } } } & { { s _ { 1 2 } } } & { { 0 } } \\ { { - s _ { 1 2 } } } & { { c _ { 1 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right] ,
\left. \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } u } \left\lbrack \langle n _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ C ~ S ~ D ~ } } ( u ) \rangle - \langle n _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ E ~ x ~ a ~ c ~ t ~ } } ( u ) \rangle \right\rbrack \right\vert _ { u _ { \mathrm { ~ c ~ } } } = 0 .
\phi _ { m n } ( x , y ) = H _ { m } \left( \frac { x } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) H _ { n } \left( \frac { y } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } }
{ \cal H } _ { \mathrm { \tiny ~ i n t } } = { \cal H } _ { \mathrm { \tiny { S M } } } + \left[ { \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } V _ { c b } \sum _ { \gamma , \mu , \epsilon } g _ { \mu \epsilon } ^ { \gamma } [ { \bar { c } } \Gamma ^ { \gamma } b _ { \mu } ] [ { \bar { \ell } } _ { \epsilon } \Gamma ^ { \gamma } { \nu _ { \ell } } ] + \mathrm { h . c . } \right] .
\begin{array} { r l } { \nabla \mathcal { H } ( f ) = \Psi ( z ( \theta ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 - \alpha } \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } G _ { 1 } ( f ( \theta ) , f ( \eta ) , { J } ) f ^ { \prime } ( \eta ) \sin ( \theta - \eta ) d \eta } \\ & { \ + \frac { 1 } { 2 ( 2 - \alpha ) } \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } G _ { 2 } ( f ( \theta ) , f ( \eta ) , { J } ) d \eta } \\ & { \ - \frac { 1 } { 2 - \alpha } \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } G _ { 3 } ( f ( \theta ) , f ( \eta ) , { J } ) ( f ( \theta ) - f ( \eta ) ) d \eta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { 1 } } & { { } = \frac { N _ { 1 } } { N _ { 0 } ^ { 0 } } = \mu _ { 1 } \exp ( - \mu _ { 1 } ) \simeq \mu _ { 1 } \, , } \\ { b _ { 2 } } & { { } = \frac { N _ { 2 } } { N _ { 0 } ^ { 0 } } = \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } { 2 } \exp ( - \mu _ { 2 } ) \simeq \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | K ( c , y , z ) - K ( ( c _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) , y , z ) - K ( ( x _ { 1 } , c _ { 2 } , c _ { 3 } ) , y , z ) + K ( x , y , z ) | } \\ & { \lesssim \Big ( \frac { | c _ { 1 } - x _ { 1 } | } { | x _ { 1 } - z _ { 1 } | + | y _ { 1 } - z _ { 1 } | } \Big ) ^ { \alpha _ { 1 } } \Big ( \frac { | c _ { 2 } - x _ { 2 } | } { | x _ { 2 } - z _ { 2 } | + | y _ { 2 } - z _ { 2 } | } + \frac { | c _ { 3 } - x _ { 3 } | } { | x _ { 3 } - z _ { 3 } | + | y _ { 3 } - z _ { 3 } | } \Big ) ^ { \alpha _ { 2 3 } } } \\ & { \quad \times D _ { \theta } ( x - z , y - z ) S ( x - z , y - z ) . } \end{array}
( a _ { k } ) = \left\{ 1 , { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 8 } } , { \frac { 1 } { 1 6 } } , { \frac { 1 } { 3 2 } } , \ldots , { \frac { 1 } { 2 ^ { k } } } , . . . \right\} .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } \mathcal { E } = } & { { } \epsilon ^ { 2 } \left( \left[ - i \delta \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { 0 } ^ { 2 } - L _ { 2 } \right] \mathcal { E } + ( \gamma _ { 1 } + \epsilon \gamma _ { 2 } ) \frac { 2 \sqrt { - 2 \eta _ { 2 } } } { 1 + i \delta } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { E _ { 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \nabla _ { E _ { 1 } } E _ { 1 } + h ( E _ { 1 } , E _ { 1 } ) + i \nabla _ { E _ { 1 } } E _ { 2 } + i h ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) ) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \sum _ { k } ( \gamma _ { 1 1 } ^ { k } E _ { k } + \gamma _ { 1 2 } ^ { k } i E _ { k } ) + \lambda j ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \sum _ { k > 2 } ( \gamma _ { 1 1 } ^ { k } E _ { k } + \gamma _ { 1 2 } ^ { k } i E _ { k } ) + \gamma _ { 1 2 } ^ { 1 } i ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) + \lambda j ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \hat { \alpha } ( \xi ^ { k } - \xi ) \hat { \alpha } ( \xi ) d \xi } \\ & { = 2 ^ { - ( k - 1 ) ( s + 1 ) } \int _ { B ( \xi ^ { - 1 } , 2 ^ { - 3 } ) } \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \widehat { a _ { k } } \left( \xi ^ { k } - \xi \right) \widehat { a _ { - 1 } } ( \xi ) d \xi } \\ & { \phantom { . . . . } + 2 ^ { ( - 2 k + 2 ) ( s + 1 ) } \int _ { B ( \xi ^ { k - 1 } , 1 ) } \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \widehat { a _ { k - 1 } } \left( \xi ^ { k } - \xi \right) \widehat { a _ { k - 1 } } ( \xi ) \, d \xi } \\ & { \phantom { . . . . } + 2 ^ { - ( k - 1 ) ( s + 1 ) } \! \! \int _ { B ( \xi ^ { k } - \xi ^ { - 1 } , 2 ^ { - 3 } ) } \! \! \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \widehat { a _ { - 1 } } \left( \xi ^ { k } - \xi \right) \widehat { a _ { k } } ( \xi ) d \xi . } \end{array}
S _ { 3 } S _ { 3 } r _ { 3 } ( u _ { 1 } ) r _ { 4 } ( u _ { 2 } ) r _ { 5 } ( u _ { 3 } ) r _ { 2 } ( u _ { 4 } ) r _ { 3 } ( u _ { 5 } ) r _ { 4 } ( u _ { 6 } ) r _ { 1 } ( u _ { 7 } ) r _ { 2 } ( u _ { 8 } ) r _ { 3 } ( u _ { 9 } ) S _ { 3 } S _ { 3 }
\iint _ { \Delta } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { - \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } \mathrm { d } y \mathrm { d } z = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } y | _ { - \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } \mathrm { d } z = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } [ \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } - ( - \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } ) ] \mathrm { d } z = \int _ { 0 } ^ { 1 } 2 \mathrm { d } z = 2
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } { \mathsf K } ( X _ { i } , X _ { j } ) - \mathbb { E } _ { Z \sim P } [ { \mathsf K } ( X _ { i } , Z ) ] \right) } \\ & { \leq \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| \psi ( X _ { i } ) \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \right) \left\| \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \psi ( X _ { j } ) - \mu _ { P } \right\| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } { \mathsf K } ( X _ { i } , X _ { i } ) ^ { 2 } \right) \left\| \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \psi ( X _ { j } ) - \mu _ { P } \right\| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu _ { 1 } ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha ) } \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W ) \left[ L e ^ { - \mu _ { 1 } L _ { W } - R _ { W } } \right] d \mu _ { 1 } = \Gamma \left( \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha ) + 1 \right) \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W ) \left[ L _ { W } ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) } e ^ { - R _ { W } } \right] . } \end{array}
\tilde { \chi } _ { i } ^ { 0 } = N _ { i 1 } \tilde { B } + N _ { i 2 } \tilde { W } ^ { 3 } + N _ { i 3 } \tilde { H } _ { 1 } ^ { 0 } + N _ { i 4 } \tilde { H } _ { 2 } ^ { 0 } ,
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { 3 } } & { { } = } & { \frac { \left\langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \beta ^ { n } \right\rangle } { \left\langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \right\rangle ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \leq \sum _ { \substack { N _ { 1 } < n \leq N _ { 2 } } } \frac { 1 } { n } \sum _ { d \mid n } \lambda _ { d } ^ { + } \left| \sum _ { j = 1 } ^ { R } c _ { j } \chi _ { j } ( n ) \right| ^ { 2 } = \sum _ { j , k = 1 } ^ { R } c _ { j } \overline { { c _ { k } } } \sum _ { d \leq q ^ { \varepsilon } } \frac { \lambda _ { d } ^ { + } } { d } \chi _ { j } ( d ) \overline { { \chi _ { k } ( d ) } } \sum _ { \substack { N _ { 1 } / d < n \leq N _ { 2 } / d } } \frac { \chi _ { j } ( n ) \overline { { \chi _ { k } ( n ) } } } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { s \leq t } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { \beta } \bigm | \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } \right) } & { \leq \left( \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { s \leq t } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { 2 } \bigm | \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } \right) \right) ^ { \frac { \beta } { 2 } } } \\ & { \leq C | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ^ { \beta } + C \left( \int _ { 0 } ^ { t } W _ { \beta } ^ { 2 } ( \mu _ { s } , \nu _ { s } ) \, d s \right) ^ { \frac { \beta } { 2 } } . } \end{array}