harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } u ^ { 2 } ( x , t ) d x + I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) } & { \leq C \Big \{ \big ( I _ { t } ^ { \nu } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } I _ { t } ^ { \nu - \mu _ { i } } \big ) \Big ( \int _ { \Omega } u ^ { 2 } d x \Big ) ( t ) + I _ { t } ^ { \nu } \Big ( \mathcal { K } * \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { 2 } d x \Big ) ( t ) } \\ & { + 1 + \| u _ { 0 } \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } + I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } g ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { Y } _ { 5 } = \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , - 1 , 0 \right) ^ { T } / \sqrt { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) \right| } & { { } = \left| \omega _ { g } ^ { \textbf { k } _ { l } + \textbf { A } ( t _ { r } ) - \textbf { A } ( s ) } + \textbf { F } ( t _ { r } ) \cdot \textbf { D } _ { \mu } ^ { \textbf { k } _ { l } + \textbf { A } ( t _ { r } ) - \textbf { A } ( s ) } - \omega \right| < \Delta E , } \\ { \left| S _ { k ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) \right| } & { { } = \left| \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) - \Delta \textbf { D } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) \right| < \Delta x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { A } [ r _ { \delta } ( A , V ) ( A - c _ { 0 } V ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) ] } & { = \operatorname* { m a x } \{ V ^ { \sigma } , L \delta \} \frac { [ \partial _ { A } r ( A , V ) - \frac { \mu \delta A ^ { \mu - 1 } } { 1 + \delta A ^ { \mu } } r ( A , V ) ] ( A - c _ { 0 } V ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) + r ( A , V ) } { V ^ { \sigma } ( 1 + \delta A ^ { \mu } ) } } \\ & { \geq \operatorname* { m a x } \{ V ^ { \sigma } , L \delta \} \frac { [ \partial _ { A } r ( A , V ) - \mu A ^ { - 1 } r ( A , V ) ] ( A - c _ { 0 } V ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) + r ( A , V ) } { V ^ { \sigma } ( 1 + \delta A ^ { \mu } ) } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \operatorname* { d e t } \left( V + ( V ^ { d e f } - V ) I ( \omega ) \right) , } \\ & { = ( V _ { 1 } + ( V _ { 1 } ^ { d e f } - V _ { 1 } ) I _ { 1 1 } ( \omega ) ) ( V _ { 2 } + ( V _ { 2 } ^ { d e f } - V _ { 2 } ) I _ { 2 2 } ( \omega ) ) - ( V _ { 1 } ^ { d e f } - V _ { 1 } ) ( V _ { 2 } ^ { d e f } - V _ { 2 } ) I _ { 1 2 } ( \omega ) I _ { 2 1 } ( \omega ) } \\ & { = X _ { 1 } X _ { 2 } \operatorname* { d e t } ( I ( \omega ) ) + X _ { 1 } V _ { 2 } I _ { 1 1 } ( \omega ) + X _ { 2 } V _ { 1 } I _ { 2 2 } ( \omega ) + V _ { 1 } V _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { m n } = \int \phi _ { m n } ( \vec { r } ) \tilde { E } ( \vec { r } ) = \iint E ( \vec { \rho } ) \psi ( \vec { r } - \vec { \rho } ) \phi _ { m n } ( \vec { r } ) \mathrm { d } \vec { \rho } . } \end{array}
R ^ { 2 } ( \tilde { \gamma } _ { \mathrm { e x p } } , \tilde { \gamma } _ { \mathrm { s i m } } ) = 1 - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } | \tilde { \gamma } _ { \mathrm { e x p } } ( s _ { i } ) - \tilde { \gamma } _ { \mathrm { s i m } } ( s _ { i } ) | ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } | \tilde { \gamma } _ { \mathrm { e x p } } ( s _ { i } ) | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \omega _ { 1 } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , \dots , f _ { n } ) } & { = \left( \begin{array} { l } { g _ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { h _ { 1 } } \end{array} \right) \wedge \dots \wedge \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { h _ { n - 1 } } \end{array} \right) \wedge \tilde { \delta } _ { 1 } \wedge \dots \wedge \tilde { \delta } _ { n } } \\ & { = g _ { 1 } \wedge h _ { 1 } \wedge \dots \wedge h _ { n - 1 } \wedge e _ { n + 1 } \wedge \dots \wedge e _ { 2 n } , } \end{array}
- \displaystyle \int _ { \Omega } \nabla I _ { h } ( F _ { e } ^ { \prime } ( \phi ^ { n } ) ) \cdot \nabla \phi ^ { n + 1 } d \boldsymbol x = \frac 1 { 4 \eta ^ { 2 } } \displaystyle \int _ { \Omega } \nabla \phi ^ { n } \cdot \nabla \phi ^ { n + 1 } d \boldsymbol x \leq \frac { 1 } { 8 \eta ^ { 2 } } \left( \int _ { \Omega } | \nabla \phi ^ { n } | ^ { 2 } d \boldsymbol x + \int _ { \Omega } | \nabla \phi ^ { n + 1 } | ^ { 2 } d \boldsymbol x \right) \, .
\left( \mathcal { M } \times \Omega \right) _ { \mathbf { t } } \ni \left( x , \omega , s \right) \longmapsto \mathbf { S } ^ { t } \left( x , \omega , s \right) : = \left( \mathbf { R } ^ { N _ { s + t } \left( x , \omega \right) } \left( x , \omega \right) , s + t - \mathbf { s } _ { N _ { s + t } \left( x , \omega \right) } \left( x , \omega \right) \right) \in \left( \mathcal { M } \times \Omega \right) _ { \mathbf { t } } \ .
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } f _ { \kappa } ( \varpi , p ) \equiv { \cal I } _ { \kappa } ( \varpi , p ) } & { { } = 2 \lambda ^ { 2 } \int _ { \omega , q } \partial _ { s } M _ { \kappa } ( q ) \, q ^ { 2 } \frac { ( p + q ) ^ { 2 } h _ { \kappa } ( \varpi + \omega , p + q ) \big [ \omega ^ { 2 } - \big ( q ^ { 2 } h _ { \kappa } ( \omega , q ) \big ) ^ { 2 } \Big ] } { \Big ( \omega ^ { 2 } + \big ( q ^ { 2 } h _ { \kappa } ( \omega , q ) \big ) ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } \Big ( ( \varpi + \omega ) ^ { 2 } + \big ( ( p + q ) ^ { 2 } h _ { \kappa } ( \varpi + \omega , p + q ) \big ) ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } } \, } \\ { h _ { \kappa } ( \omega , q ) } & { { } = f _ { \kappa } ( \omega , q ) + M _ { \kappa } ( q ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \left( \varepsilon \partial _ { t } \vec { A } , \partial _ { t } \vec { v } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + \left( \sigma \partial _ { t } \vec { A } , \vec { v } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + } & { \left( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { v } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } } \\ & { = \left( \vec { j } _ { a } , \vec { v } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } - \left( \varepsilon \vec { \psi } , \vec { v } ( 0 , \cdot ) \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \end{array}
\operatorname * { d e t } M ^ { ( 1 ) } = \frac { \operatorname * { d e t } ( A ^ { ( 1 ) } - \Gamma ^ { ( 1 ) } B ^ { ( 1 ) - 1 } \Gamma ^ { ( 1 ) t } ) } { \operatorname * { d e t } B ^ { ( 1 ) } } = \frac { \operatorname * { d e t } A ^ { ( 1 ) } } { \operatorname * { d e t } B ^ { ( 1 ) } } \propto \lambda ^ { - 8 } e ^ { - 3 } .
\begin{array} { r l } { c _ { n } ^ { \pm } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } & { = \widetilde { \gamma } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 n } \pm \frac { | \omega _ { C } | } { 4 n } \pm \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } \\ & { = \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 n } \pm \frac { | \omega _ { C } | } { 4 n } \pm \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , } \end{array}
X _ { \Omega } ^ { \mathbf { p } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { p } _ { k - 1 } } = \{ ( x _ { \mathbf { i } } ) _ { \mathbf { i } \in \mathbb { N } ^ { d } } \in \mathcal { A } ^ { \mathbb { N } ^ { d } } : x _ { \mathbf { i } } x _ { \mathbf { i p } _ { 1 } } \cdots x _ { \mathbf { i p } _ { k - 1 } } \in \Omega _ { k } \mathrm { ~ } \forall \mathbf { i } \in \mathbb { N } ^ { d } \} \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { T } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } M _ { s i } \left[ \dot { \alpha } ^ { 2 } + ( x _ { i } - x _ { c } ) ^ { 2 } \dot { \phi } ^ { 2 } \right] } \\ { V } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( M _ { s i } - B _ { i } ) g ( x _ { i } - x _ { c } ) ( 1 - c o s \phi ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } s \left[ ( x _ { s } - x _ { c } ) \phi - \alpha \right] ^ { 2 } } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { i \leq N } \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \leq T } | X _ { t } ^ { i , N } - X _ { t } ^ { i , \infty } | \leq C \left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { \frac { 1 } { \beta } - 1 } , \, } & { \mathrm { i f } \quad d = 1 , 2 \quad \mathrm { o r } \quad d \geq 3 \, \, \mathrm { a n d } \, \, \beta < \frac { d } { d - 1 } , } \\ { N ^ { - \frac 1 d } , \, } & { \mathrm { i f } \quad d \geq 3 \, \, \mathrm { a n d } \, \, \beta > \frac { d } { d - 1 } , } \end{array} \right.
L \left( \mathcal { H } ^ { n } \right) _ { S S } L ^ { - 1 } = \left( \mathcal { H } ^ { n } \right) _ { S S } ^ { \dagger } , \quad \forall \ n \in \mathbb { N } \quad \Leftrightarrow \quad L \mathcal { R } _ { S } ( \mathcal { H } , \omega ) L ^ { - 1 } = \mathcal { R } _ { S } ( \mathcal { H } , \omega ^ { * } ) ^ { \dagger } .
P = { \frac { 2 } { 3 } } { \frac { q ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } } = { \frac { q ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 6 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } } { \mathrm { ~ ( S I ~ u n i t s ) } }
E = \frac { 1 } { 2 } \rho \left\vert \left\vert \mathbf { u } \right\vert \right\vert ^ { 2 } + \rho \varepsilon ( \rho , \eta ) + \frac { 1 } { 2 } \alpha ( \rho ) \left\vert \left\vert \j \right\vert \right\vert ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { | I _ { \delta } | } & { { } \leq \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \eta _ { \delta } ^ { \prime } | | u | ^ { 2 } | \chi _ { \delta } | \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } \tau \leq \int _ { 0 } ^ { T } | \eta _ { \delta } ^ { \prime } ( \tau ) | \| u ( \tau ) \| _ { L ^ { r } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } ^ { 2 } \| \chi _ { \delta } \| _ { L ^ { \frac { r } { r - 2 } } } \, \mathrm { d } \tau } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bullet \ } & { \operatorname* { m a x } _ { \lambda : \| \lambda \| \leq \gamma } \ \langle \lambda , A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \rangle = \gamma \| A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \| , } \\ { \bullet \ } & { \operatorname* { m a x } _ { \lambda : \| \lambda \| \leq \gamma } \ \| \lambda - \lambda ^ { 1 } \| ^ { 2 } = \| \lambda ^ { 1 } \| ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } _ { \lambda : \| \lambda \| \leq \gamma } \ \{ \| \lambda \| ^ { 2 } - 2 \langle \lambda , \lambda ^ { 1 } \rangle \} \leq ( \gamma + \| \lambda ^ { 1 } \| ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { \mathrm { { o u t } } } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { { { f ( n _ { a } ) } } } & { 0 } \\ { { f ( n _ { b } ) } - { f ( n _ { a } ) } } & { { f ( n _ { b } ) } } \end{array} \right] \cdot \overbrace { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } ^ { \updownarrow } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } ^ { p s } ( t ) } & { = C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k _ { 0 } t } } \\ { C _ { \mu } ^ { p s } ( t ) } & { = k _ { 0 } k ^ { \mu - 1 } C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k t } \cdot f _ { \mu } , \quad \mu \geq 1 } \\ { f _ { \mu } } & { = \frac { e ^ { ( k - k _ { 0 } ) t } - \sum _ { m = 0 } ^ { \mu - 1 } \frac { ( ( k - k _ { 0 } ) t ) ^ { m } } { m ! } } { ( k - k _ { 0 } ) ^ { \mu } } } \end{array}
M _ { k } = - i k \left( \begin{array} { l l } { { { \frac { 1 - e ^ { 2 i a k } R ^ { l } + e ^ { 2 i a k } R ^ { r } - e ^ { 4 i a k } R ^ { l } R ^ { r } + e ^ { 4 i a k } T ^ { l } T ^ { r } } { 1 + e ^ { 2 i a k } R ^ { l } + e ^ { 2 i a k } R ^ { r } + e ^ { 4 i a k } R ^ { l } R ^ { r } - e ^ { 4 i a k } T ^ { l } T ^ { r } } } } } & { { { \frac { 2 T ^ { r } } { 1 + e ^ { 2 i a k } R ^ { l } + e ^ { 2 i a k } R ^ { r } + e ^ { 4 i a k } R ^ { l } R ^ { r } - e ^ { 4 i a k } T ^ { l } T ^ { r } } } } } \\ { { { \frac { 2 T ^ { l } } { 1 + e ^ { 2 i a k } R ^ { l } + e ^ { 2 i a k } R ^ { r } + e ^ { 4 i a k } R ^ { l } R ^ { r } - e ^ { 4 i a k } T ^ { l } T ^ { r } } } } } & { { { \frac { 1 + e ^ { 2 i a k } R ^ { l } - e ^ { 2 i a k } R ^ { r } - e ^ { 4 i a k } R ^ { l } R ^ { r } + e ^ { 4 i a k } T ^ { l } T ^ { r } } { 1 + e ^ { 2 i a k } R ^ { l } + e ^ { 2 i a k } R ^ { r } + e ^ { 4 i a k } R ^ { l } R ^ { r } - e ^ { 4 i a k } T ^ { l } T ^ { r } } } } } \end{array} \right)
\Delta \left[ 8 \Delta ^ { 2 } - 5 \Delta + c ( \Delta + \frac { 1 } { 2 } ) \right] + \left[ 2 4 \Delta ^ { 2 } - 1 0 \Delta + c ( 2 \Delta + \frac { 1 } { 2 } ) \right] \theta = 0 .
\begin{array} { r l } { \chi ^ { \mathrm { h o m } } ( \mathbf { E } } & { : y ) = \sum _ { k = \pm } \left[ H ( \nu _ { k } ) - H ( \nu _ { k } ^ { \mathrm { h o m } } ) \right] , } \\ { \chi ^ { \mathrm { h e t } } ( \mathbf { E } } & { : y ) = \sum _ { k = \pm } \left[ H ( \nu _ { k } ) - H ( \nu _ { k } ^ { \mathrm { h e t } } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \displaystyle \sigma _ { a m m } = } } & { { \displaystyle \frac { 8 \pi \alpha ^ { 2 } m ^ { 2 } S } { \lambda _ { s } } \frac { \alpha } { \pi } \biggr [ \biggr ( \frac { A _ { 1 } } { Q ^ { 2 } } + \frac { A _ { 2 } } { Q ^ { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } } \biggl ) L _ { m } + \biggr ( \frac { A _ { 3 } } { Q _ { 1 } ^ { 4 } } + \frac { A _ { 4 } } { Q ^ { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } } \biggl ) L _ { m e x } + } } \\ { { } } & { { \displaystyle + \sum _ { B } \sum _ { T } P _ { B } P _ { T } \biggr ( \biggr ( \frac { A _ { 5 B T } } { Q ^ { 2 } } + \frac { A _ { 6 B T } } { Q _ { 1 } ^ { 2 } } \biggl ) L _ { m } + } } \\ { { } } & { { \displaystyle + \biggr ( \frac { A _ { 7 B T } } { Q _ { 1 } ^ { 4 } } + \frac { A _ { 8 B T } } { Q ^ { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } } \biggl ) L _ { m e x } \biggl ) \biggl ] . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle f \rangle } & { { } = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega } f \ d y \ d t , } \\ { \langle f \rangle _ { \gamma ^ { - } } } & { { } = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \gamma ^ { - } } f \ d S \ d t , } \\ { \langle f \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } & { { } = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } f \ d S \ d t . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { 1 . 0 0 \pm 0 . 0 4 } \\ { 1 . 8 4 \pm 0 . 0 4 } \\ { 1 . 6 8 \pm 0 . 0 5 } \\ { 1 . 9 5 \pm 0 . 0 4 } \\ { 1 . 0 3 \pm 0 . 0 4 } \end{array} \right)
\begin{array} { c c c c c c c c c c c c c } { { 0 \! \! \! } } & { { \! \stackrel { } { \longrightarrow } \! \! \! } } & { { \! \Omega ^ { 0 } \! \! \! } } & { { \! \stackrel { d _ { 0 } } { \longrightarrow } \! \! \! } } & { { \cdots \! \! \! } } & { { \! } } & { { \stackrel { d _ { k - 3 } } { \longrightarrow } } } & { { \! \Omega ^ { k - 2 } \! \! \! } } & { { \! \stackrel { d _ { k - 2 } } { \longrightarrow } \! \! \! } } & { { \! \Omega _ { k - 1 } ^ { \prime } \! \! \! } } & { { \! \stackrel { d _ { k - 1 } ^ { * } d _ { k - 1 } } { \longrightarrow } \! \! \! } } & { { \! 0 , \! \! \! } } & { { } } \end{array}
K ( z , \bar { z } ) = z \bar { z } + \sum { \frac { 1 } { L _ { R } ^ { n - 2 } } } K _ { I _ { 1 } . . I _ { p } \bar { I } _ { p + 1 } . . \bar { I } _ { n } } z ^ { I _ { 1 } } . . z ^ { I _ { p } } \bar { z } ^ { I _ { p + 1 } } . . \bar { z } ^ { n }
\mathrm { R e } ~ \epsilon ^ { \prime } / \epsilon \simeq [ 3 6 \times 1 0 ^ { - 4 } ] A ^ { 2 } \eta \left\{ B _ { 6 } - 0 . 1 7 5 \left( \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } \right) ^ { 0 . 9 3 } B _ { 8 } \right\} ~ .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { T } } & { \equiv 2 \Phi ( 0 , \tau ) - \mathrm { I m } [ \alpha ( \tau + t _ { \pi } , 2 \tau + t _ { \pi } ) \alpha ^ { \ast } ( 0 , \tau ) ] } \\ & { = \frac { | f ^ { \prime } | ^ { 2 } } { 2 \delta ^ { \prime 2 } N } \Big \{ \sin ( \delta ^ { \prime } \tau ) - \delta ^ { \prime } \tau + [ 1 - \cos ( \delta ^ { \prime } \tau ) ] \sin \delta ^ { \prime } ( \tau + t _ { \pi } ) \Big \} , } \end{array}
d s ^ { 2 } = - \left( 1 + { \frac { \sqrt { A / 4 \pi } } { r } } \right) ^ { - 2 } d t ^ { 2 } + \left( 1 + { \frac { \sqrt { A / 4 \pi } } { r } } \right) ^ { 2 } d \vec { x } ^ { 2 } \; \; .
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } } \end{array} \right] \, , \quad \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } } & { \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } } \\ { \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } } & { \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { K } } & { - 2 \mathbf { K } } \\ { - 2 \mathbf { K } } & { 2 \mathbf { K } } \end{array} \right] \, , \quad \hat { \mathbf { u } } = \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } } \\ { \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } } \end{array} \right] \, , \quad \hat { \mathbf { F } } = \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } } \\ { \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l r } { \Pi _ { n m } ( \Omega + i 0 ; \mathbf { 0 } ) } & { = } & { e ^ { 2 } \frac { T } { \hbar } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \mathrm { t r } \Big [ v _ { n } G ( i \omega _ { l } ; \mathbf { k } ) } \\ & { \times } & { v _ { m } G ( i \omega _ { l } - \Omega - i 0 ; \mathbf { k } ) \Big ] } \\ & { = } & { - e ^ { 2 } \int \int d \omega d \omega ^ { \prime } \frac { f ^ { \mathrm { e q } } ( \hbar \omega ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( \hbar \omega ^ { \prime } ) } { \omega - \omega ^ { \prime } - \Omega - i 0 } } \\ & { \times } & { \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \mathrm { t r } \left[ v _ { n } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { m } A ( \omega ^ { \prime } ; \mathbf { k } ) \right] . } \end{array}
\bigg | { { \tilde { X } } } + \frac { { { { W } _ { | | k } } } } { \sqrt { P } { | \tilde { h } _ { k } | } } + \frac { { { { W } _ { \perp k } } } } { \sqrt { P } { | \tilde { h } _ { k } | } } \bigg | \approx \bigg | { { \tilde { X } } } + \frac { { { { W } _ { | | k } } } } { \sqrt { P } { | \tilde { h } _ { k } | } } \bigg | = \big | { { \tilde { X } } } \big | + \frac { { { { W } _ { | | k } } } } { \sqrt { P } { | \tilde { h } _ { k } | } }
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \frac { 1 } { N _ { u } } \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { u } } \left( \frac { \partial \phi _ { \theta } ( t _ { i } , x _ { i } ) } { \partial x } + \sigma ( t _ { i } , x _ { i } ) \frac { \partial \phi _ { \theta } ( t _ { i } , x _ { i } ) } { \partial t } \right) ^ { 2 } + \lambda \left( \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { t } } | u ( t _ { j } , x _ { j } ) - \phi _ { \theta } ( t _ { j } , x _ { j } ) | \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int \frac { d ^ { 3 } r _ { k } } { r _ { k } ^ { 0 } } \frac { d ^ { 3 } r _ { l } } { r _ { l } ^ { 0 } } \, \omega \left( r _ { k } r _ { l } | p _ { k } p _ { l } \right) } & { { } = } & { 1 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { - 1 } ( d \bar { t } , P [ g , \partial _ { \bar { t } } ] ) } & { = \Big ( \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } - \frac { r ^ { 2 } } { \Delta _ { b } } \Big ) T ( \partial _ { \bar { t } } , \partial _ { \bar { t } } ) + \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) T ( \partial _ { r } , \partial _ { \bar { t } } ) } \\ & { = - \frac 1 2 \bigg ( \Big ( \frac { r ^ { 2 } } { \Delta _ { b } } - \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } \Big ) \lvert \partial _ { \bar { t } } u \rvert ^ { 2 } + \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } \lvert \partial _ { r } u \rvert ^ { 2 } + \vert \partial _ { \theta } u \vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \vert \partial _ { \varphi } \vert ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \sim - \Big ( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \lvert \partial _ { \bar { t } } u \rvert ^ { 2 } + \lvert \partial _ { r } u \rvert ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \vert \partial _ { \theta } u \vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \vert \partial _ { \varphi } u \vert ^ { 2 } \Big ) \quad \mathrm { o n } \quad [ r _ { - } , \infty ) , } \\ { g ^ { - 1 } ( d r , P [ g , \partial _ { \bar { t } } ] ) } & { = \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) T ( \partial _ { \bar { t } } , \partial _ { \bar { t } } ) + \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } T ( \partial _ { r } , \partial _ { \bar { t } } ) } \\ & { = \frac { \Delta _ { b } ( r _ { - } ) } { r _ { - } ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r _ { - } ) \lvert \partial _ { \bar { t } } u \rvert ^ { 2 } + \frac { \Delta _ { b } ( r _ { - } ) } { r _ { - } ^ { 2 } } \partial _ { \bar { t } } u \partial _ { r } u \quad \mathrm { a t } \quad r = r _ { - } . } \end{array}
{ \cal H } _ { t _ { 0 } } ( \bar { \boldsymbol { \gamma } } , \bar { \bf g } ) = \left( { \bf g } \cdot [ { \bf V } _ { G } ( \bar { \boldsymbol { \gamma } } ) ] ^ { 2 } { \bf g } + g _ { 3 } ^ { 2 } - 1 \right) / 2 \, .
L _ { D } = \int _ { \cal M } \varepsilon ^ { i j k } \bigg ( \dots + { \frac { k } { 8 \pi } } f _ { a b c } A _ { i } ^ { a } A _ { j } ^ { b } B _ { k } ^ { c } + { \frac { 1 } { 2 \pi } } \chi _ { i } ^ { a } \partial _ { j } B _ { k a } + { \frac { 1 } { 4 \pi } } f _ { a b c } \chi _ { i } ^ { a } B _ { j } ^ { b } B _ { k } ^ { c } + \dots \bigg ) .
\begin{array} { r } { \partial _ { s } J _ { 0 } = \hat { J } \sqrt { \frac { \mu B _ { 0 0 } } { { \cal E } } } \left[ 2 \frac { \partial _ { s } | B _ { M } | } { \partial _ { s } B _ { 0 0 } } E ( \kappa ^ { 2 } ) - \left( 1 + \frac { \partial _ { s } | B _ { M } | } { \partial _ { s } B _ { 0 0 } } \right) K ( \kappa ^ { 2 } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } [ S _ { \tau _ { b } - } \in \mathrm { d } u | \Delta _ { S } ( \tau _ { b } ) > 0 , \tau _ { b } = t ] = \frac { \theta t } { w _ { \alpha } b ( t ) g _ { t } ( b ( t ) ) } ( b ( t ) - u ) ^ { - \alpha } g _ { t } ( u ) \mathrm { d } u , \quad u \in ( 0 , b ( t ) ) ; } \\ & { \mathbb { P } [ \Delta _ { S } ( \tau _ { b } ) \leq v | \Delta _ { S } ( \tau _ { b } ) > 0 , \tau _ { b } = t , S _ { \tau _ { b } - } = u ] = 1 - \left( ( b ( t ) - u ) / v \right) ^ { \alpha } , \quad v \in ( b ( t ) - u , \infty ) . } \end{array}
{ \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } A , B \in { \mathcal { A } } \quad { \mathrm { ~ t h e r e ~ e x i s t s ~ s o m e ~ } } \in { \mathcal { A } } \quad { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } A \cup B \subseteq C .
A ^ { \dagger } ( p n , J M ) = \sum _ { m _ { p } , m _ { n } } ^ { } C _ { j _ { p } m _ { p } j _ { n } m _ { n } } ^ { J M } a _ { p m _ { p } } ^ { \dagger } a _ { n m _ { n } } ^ { \dagger } , ~ ~ ~ ~ ~ \tilde { A } ( p n , J M ) = ( - 1 ) ^ { J - M } { A } ( p n , J - M ) .
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { \parallel } ( R ) } & { { } \approx \alpha _ { A } + \alpha _ { B } + \frac { 4 \alpha _ { A } \alpha _ { B } } { R ^ { 3 } } + \frac { 4 ( \alpha _ { A } + \alpha _ { B } ) \alpha _ { A } \alpha _ { B } } { R ^ { 6 } } \, , } \\ { \alpha ^ { \perp } ( R ) } & { { } \approx \alpha _ { A } + \alpha _ { B } - \frac { 2 \alpha _ { A } \alpha _ { B } } { R ^ { 3 } } + \frac { ( \alpha _ { A } + \alpha _ { B } ) \alpha _ { A } \alpha _ { B } } { R ^ { 6 } } \, . } \end{array}
\epsilon ^ { n } ( \omega , k ) = - { \frac { N g ^ { 2 } m _ { D } ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } } \int d ^ { 4 } k _ { 1 } I ( { \bf k _ { 1 } } ) { \frac { \pi } { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } } \delta ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 1 } ( { \bf k _ { 1 } } ) ) ( \omega \Gamma _ { k , k _ { 1 } , - k _ { 1 } , k } + \omega _ { 1 } \Gamma _ { k , k _ { 1 } , k , - k _ { 1 } } )
L = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { \ell _ { 1 , 1 } } & & & & { 0 } \\ { \ell _ { 2 , 1 } } & { \ell _ { 2 , 2 } } & & & \\ { \ell _ { 3 , 1 } } & { \ell _ { 3 , 2 } } & { \ddots } & & \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ { \ell _ { n , 1 } } & { \ell _ { n , 2 } } & { \ldots } & { \ell _ { n , n - 1 } } & { \ell _ { n , n } } \end{array} \right] }