harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { v } ^ { ( k + 1 ) } } & { = \phi ^ { v \rightarrow \mathcal { V } } ( h _ { v } ^ { ( k ) } ) \mathbf { v } ^ { ( k ) } + \mathbf { W } _ { v } \sum _ { i } \sum _ { u \in \mathcal { N } ( v ) } \lambda _ { i } ( h _ { e _ { u v } } ^ { ( k ) } ) f ( \vec { \mathbf { e } } _ { u v } ^ { k } ) } \\ { \mathbf { x } _ { v } ^ { ( k + 1 ) } } & { = \mathbf { x } _ { v } ^ { ( k ) } + \mathbf { v } _ { v } ^ { ( k ) } } \end{array}
f _ { \tau } ^ { 2 } ( \tau ) = \frac { g } { 4 } f ^ { 2 } ( \tau ) [ f _ { 0 } ^ { 2 } - f ^ { 2 } ( \tau ) ] , \; \; f _ { 0 } ^ { 2 } = \left( \frac { 4 } { g } \right) ^ { 2 } \left( \frac { g ^ { 2 } \Omega S _ { 0 } } { 4 \omega \gamma } - D ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \delta _ { l , - w } ( - ) = } & { \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } A _ { ( - ) } D _ { ( - ) } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \\ { = } & { \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } A _ { ( - ) } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, , } \end{array}
c _ { i , i ^ { ' } } ^ { j , j ^ { ' } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha \mu \frac { ( y _ { j ^ { ' } } - y _ { j } ) ( x _ { i ^ { ' } } - x _ { i } ) } { ( ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } + ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { i ^ { ' } , j ^ { ' } } h ^ { 2 } } & { q \neq p , \mathbf { x } _ { p } \in \Omega _ { s } } \\ { - \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B _ { \delta } } ( \mathbf { x } _ { p } ) \cap \Omega } \alpha \mu \frac { ( y _ { j ^ { ' } } - y _ { j } ) ( x _ { i ^ { ' } } - x _ { i } ) } { ( ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } + ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { i ^ { ' } , j ^ { ' } } h ^ { 2 } } & { q = p , \mathbf { x } _ { p } \in \Omega _ { s } } \end{array} \right.
M G _ { 1 } + \nu G _ { 2 } = \frac m { 2 M \nu } \int \frac { H ( p _ { 0 } ) } { p _ { 0 } } \frac { p _ { 0 } } { \sqrt { p _ { 0 } ^ { 2 } - p _ { 1 } ^ { 2 } } } \delta \left( \frac { p q } { M \nu } - x \right) d ^ { 3 } p .
\begin{array} { r } { ( z v _ { 0 } ) _ { 1 } = \lambda \, \sum _ { i + j = \frac { a _ { 2 } + b _ { j _ { 0 } } - c } { 2 } } C G ( \frac { a _ { 2 } } { 2 } , \, \frac { a _ { 2 } } { 2 } - i ; \, \frac { b _ { j _ { 0 } } } { 2 } , \; \frac { b _ { j _ { 0 } } } { 2 } - j \, | \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } ) \, v _ { i } ^ { a _ { 0 } } \otimes v _ { j } ^ { b _ { j _ { 0 } } } . } \end{array}
\mathrm { d } g = \frac { \mathrm { d } X } { \lvert \cdot \rvert [ \operatorname* { d e t } X ] ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } \mathrm { d } x _ { 3 } \mathrm { d } x _ { 4 } } { \lvert \cdot \rvert [ x _ { 1 } x _ { 4 } - x _ { 2 } x _ { 3 } ] ^ { 2 } } , \quad g = X = \left( \begin{array} { l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } & { x _ { 4 } } \end{array} \right) \in \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbb { R } ) .
\mathbf { y } ^ { \prime } ( t ) = \mathbf { G } ( \mathbf { y } ) + \mathcal { N } ( \mathbf { x } ( t ) , \mathbf { y } ( t ) ) , \quad \mathbf { G } ( \mathbf { y } ) : = C _ { S } ^ { - 1 } \{ \mathcal { S } \{ \mathcal { P } _ { a } \{ C _ { S } \{ \left. \mathbf { F } ( \mathbf { x } ( t ) ) \right| _ { \mathbf { x } ( t ) \in \mathcal { U } ( \mathbf { y } ( t ) ) } \} \} \} \} , \quad \mathbf { y } ( t _ { 0 } ) = \mathbf { x } ( t _ { 0 } ) ,
\omega _ { 1 } \sim \sigma _ { 1 } ^ { \prime } ( t - t _ { b } ) ^ { - m + 1 } \, , \qquad \omega _ { 2 } \sim \sigma _ { 2 } ^ { \prime } ( t - t _ { b } ) ^ { - m + 1 } \, , \qquad \omega _ { 2 } \sim \sigma _ { 3 } ( t - t _ { b } ) ^ { - m } \, , \qquad m = 1 , 2 , 3 \, ,
\begin{array} { r l } { L _ { 2 } } & { { } = \frac { 2 ( f I _ { 0 } - i f R _ { 0 } ) } { ( 1 + i \delta ) ^ { 2 } } - ( \eta _ { 2 } + i \theta _ { 2 } ) , } \\ { \Gamma _ { 2 } } & { { } = \gamma _ { 1 } \frac { 2 \sqrt { - 2 \eta _ { 2 } } } { 1 + i \delta } , } \\ { \Gamma _ { 3 } } & { { } = \gamma _ { 2 } \frac { 2 \sqrt { - 2 \eta _ { 2 } } } { 1 + i \delta } , } \\ { \mathcal { N } } & { { } = \frac { 2 f ( i R _ { 1 } - I _ { 1 } ) } { 1 + i \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Theta _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } : = \! \frac { 1 } { 2 } H _ { I J K L } \mathrm { e } ^ { I } \! \wedge \! \mathrm { e } ^ { J } \wedge \! \delta \widehat { \omega } ^ { K L } \! = \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \! + \frac { 1 } { \gamma } \mathrm { e } _ { I } \wedge \mathrm { e } _ { J } \wedge \delta \mathcal { C } ^ { I J } \! + \frac { 1 } { \gamma } \mathrm { e } _ { I } \wedge \mathrm { e } _ { J } \wedge \delta \omega ^ { I J } , } \\ & { \overline { { \theta } } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } : = \epsilon _ { I J K L } \overline { { \mathrm { e } } } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { J } \wedge \mathrm { N } ^ { K } \wedge \delta \mathrm { N } ^ { L } = \overline { { \theta } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } - \frac { 1 } { \gamma } \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } \wedge \delta \overline { { \mathrm { e } } } _ { I } . } \end{array}
\frac { L [ C ] } { \epsilon } + \mathcal { A } [ C ] \mathop { = } _ { \epsilon , \epsilon ^ { \prime } \to 0 } \frac { L [ f ( C ) ] } { \epsilon ^ { \prime } } + \mathcal { A } [ f ( C ) ] + \oint _ { C } \left| \frac { d f ( x ( s ) ) } { d s } \right| d s \int _ { \epsilon / x ( s ) ^ { 2 } } ^ { \epsilon ^ { \prime } } \frac { d y } { y ^ { 2 } } \; .
I _ { 7 } ^ { ( 1 ) } = - 4 D p ^ { 0 } \int d ^ { D } k \frac { k ^ { 0 } ( k \cdot p ) } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } = 0 \, .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial y } = u _ { * } ^ { 2 } \frac { \partial \overline { { u v _ { i } } } } { \partial y ^ { + } } \frac { u _ { * } } { \nu } , \ \ \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v } } } { \partial y ^ { 2 } } = u _ { * } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v _ { i } } } } { d y ^ { + 2 } } \big ( \frac { u _ { * } } { \nu } \big ) ^ { 2 } , } \\ { \frac { \delta v } { u _ { * } ^ { 3 } } \nu \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v } } } { d y ^ { 2 } } = \frac { \delta \nu } { u _ { * } { 3 } } \nu \frac { u _ { * } ^ { 4 } } { \nu ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v _ { i } } } } { \partial y ^ { + 2 } } = \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v _ { i } } } } { \partial y ^ { + 2 } } . } \end{array}
\varepsilon _ { \alpha \beta } ( \omega ) \! = \! \varepsilon _ { \infty , \alpha \beta } + \frac { \sigma _ { \alpha \beta } } { j \omega \varepsilon _ { 0 } } + \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { \alpha \beta } } \left( \frac { c _ { p , \alpha \beta } } { j \omega - a _ { p , \alpha \beta } } + \frac { c _ { p , \alpha \beta } ^ { * } } { j \omega - a _ { p , \alpha \beta } ^ { * } } \right) \! ,
\begin{array} { r l } & { \| \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { A } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \leq \| ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } - \mathbf { A } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } \| \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\left\| x \right\| _ { p } = { \bigg ( } \sum _ { i \in \mathbb { N } } \left| x _ { i } \right| ^ { p } { \bigg ) } ^ { 1 / p } { \mathrm { ~ a n d } } \ \left\| f \right\| _ { p , X } = { \bigg ( } \int _ { X } \left| f ( x ) \right| ^ { p } ~ \mathrm { d } x { \bigg ) } ^ { 1 / p }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { n , i } ^ { \lambda } } { \partial G _ { n ^ { \prime } , i ^ { \prime } } ^ { \lambda ^ { \prime } } } = } & { { } \delta ( \lambda - \lambda ^ { \prime } ) \delta _ { n , n ^ { \prime } } \left\lbrace ( i + 1 ) \delta _ { i + 1 , i ^ { \prime } } - i \delta _ { i , i ^ { \prime } } \right. } \end{array}
l _ { i } = \mu ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { { 1 2 } } \\ { { 0 } } \\ { { - 1 } } \end{array} \right) ; ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ e _ { i } = \mu ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { { 6 . 8 7 } } \\ { { 3 . 9 5 } } \\ { { - 4 . 1 5 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \bar { \boldsymbol { \Theta } } } & { = \left[ \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { \bar { \theta } _ { 1 } } & { \bar { \theta } _ { 2 } } & { \ldots } & { \bar { \theta } _ { N - 1 } } \\ & & { \bar { \theta } _ { N } } & { \ldots } & { \bar { \theta } _ { 2 N - 3 } } \\ { \vdots } & & { \ddots } & & { \vdots } \\ & & & & { \bar { \theta } _ { T } } \\ { 0 } & & { \ldots } & & { 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } } & { \theta _ { 3 } - \theta _ { 1 } } & { \ldots } & { \theta _ { N } - \theta _ { 1 } } \\ & & { \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } } & { \ldots } & { \theta _ { N } - \theta _ { 2 } } \\ { \vdots } & & { \ddots } & & { \vdots } \\ & & & & { \theta _ { N } - \theta _ { N - 1 } } \\ { 0 } & & { \ldots } & & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } q _ { 1 } + \mathbf { u } _ { 1 } \cdot \nabla q _ { 1 } } & { { } = \nu \nabla ^ { 4 } \psi _ { 1 } - \beta \partial _ { x } \psi _ { 1 } , } \\ { \partial _ { t } q _ { 2 } + \mathbf { u } _ { 2 } \cdot \nabla q _ { 2 } } & { { } = \nu \nabla ^ { 4 } \psi _ { 2 } - \mu \nabla ^ { 2 } \psi _ { 2 } - \beta \partial _ { x } \psi _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { H } = \left[ \begin{array} { l l l } { H _ { x } } & { H _ { x y } } & { H _ { x z } } \\ { 0 } & { H _ { y } } & { H _ { y z } } \\ { 0 } & { 0 } & { H _ { z } } \end{array} \right] } \end{array}
\psi _ { \alpha } ^ { a } \to { e ^ { \alpha \gamma ^ { 5 } } } _ { \alpha \nu } \psi _ { \nu } ^ { a } \quad \bar { \psi } _ { \alpha } ^ { a } \to - \bar { \psi } _ { \nu } ^ { a } { e ^ { \alpha \gamma ^ { 5 } } } _ { \nu \alpha } \quad
\forall n \in \mathbb { N } \setminus \{ 0 , 1 \} , \quad \operatorname* { d e t } \Big ( M _ { \mathbf { m } n } \big ( c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \big ) \Big ) \neq 0 .
\begin{array} { r } { \mathrm { V } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { s ; t } = \exp \left( \int _ { s } ^ { t } \varrho ( \tau , \mathrm { X } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { \tau ; t } ) \, \mathrm { d } \tau \right) v - \int _ { s } ^ { t } \exp \left( \int _ { s } ^ { \tau } \varrho ( \tau ^ { \prime } , \mathrm { X } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { \tau ^ { \prime } ; t } ) \, \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \right) \mathrm { F } ( \tau , \mathrm { X } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { \tau ; t } ) \, \mathrm { d } \tau , } \end{array}
\overline { { { \eta } } } = \mathrm { s g n } ( F _ { t t } ) \left[ \frac { R _ { t } } { \sqrt { f ( \beta ) ^ { 2 } + 1 } } \right] , \quad \overline { { { \rho } } } = 1 - f ( \beta ) | \overline { { { \eta } } } | .
\begin{array} { r } { \hat { \pi } \cdot \hat { \tau } \cdot \hat { \pi } = \bigoplus _ { i , j } \frac { 1 } { 8 } \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 - F _ { 0 0 } } & { - F _ { 0 1 } \Omega _ { j } ^ { ( \mathsf { B } ) } } & { - F _ { 0 2 } \Omega _ { i } ^ { ( \mathsf { A } ) } } & { - F _ { 0 3 } \Omega _ { i } ^ { ( \mathsf { A } ) } \Omega _ { j } ^ { ( \mathsf { B } ) } } \\ { - F _ { 1 0 } \Omega _ { j } ^ { ( \mathsf { B } ) } } & { 1 - F _ { 1 1 } } & { - F _ { 1 2 } \Omega _ { i } ^ { ( \mathsf { A } ) } \Omega _ { j } ^ { ( \mathsf { B } ) } } & { - F _ { 1 3 } \Omega _ { i } ^ { ( \mathsf { A } ) } } \\ { - F _ { 2 0 } \Omega _ { i } ^ { ( \mathsf { A } ) } } & { - F _ { 2 1 } \Omega _ { i } ^ { ( \mathsf { A } ) } \Omega _ { j } ^ { ( \mathsf { B } ) } } & { 1 - F _ { 2 2 } } & { - F _ { 2 3 } \Omega _ { j } ^ { ( \mathsf { B } ) } } \\ { - F _ { 3 0 } \Omega _ { i } ^ { ( \mathsf { A } ) } \Omega _ { j } ^ { ( \mathsf { B } ) } } & { - F _ { 3 1 } \Omega _ { i } ^ { ( \mathsf { A } ) } } & { - F _ { 3 2 } \Omega _ { j } ^ { ( \mathsf { B } ) } } & { 1 - F _ { 3 3 } } \end{array} \right] _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } , } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l l l l } { p \nleftrightarrow q } & { = } & { ( p \land \lnot q ) } & { \lor } & { ( \lnot p \land q ) } & { = } & { p { \overline { { q } } } + { \overline { { p } } } q } \\ & { = } & { ( p \lor q ) } & { \land } & { ( \lnot p \lor \lnot q ) } & { = } & { ( p + q ) ( { \overline { { p } } } + { \overline { { q } } } ) } \\ & { = } & { ( p \lor q ) } & { \land } & { \lnot ( p \land q ) } & { = } & { ( p + q ) ( { \overline { { p q } } } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \| P _ { n } u - u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 1 ) } ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } | \langle u , \sqrt { 2 } \cos ( k \pi \, \cdot \, ) \rangle _ { L ^ { 2 } ( 0 , 1 ) } | ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } | \langle ( - \Delta ) ^ { 1 / 2 } u , \sqrt { 2 } \cos ( k \pi \, \cdot \, ) \rangle _ { L ^ { 2 } ( 0 , 1 ) } | ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } \| u \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , 1 ) } ^ { 2 } = : \gamma _ { n } \| u \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , 1 ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial { \mathcal J } _ { 2 } } { \partial \xi } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { G ( \xi ; \mu ) - G ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) } } d \tau } \\ & { \quad - \frac { \xi - \alpha ( \mu ) } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { g ( \xi ; \mu ) - g ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) ( 1 - \tau ) } { [ G ( \xi ; \mu ) - G ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) ] ^ { 3 / 2 } } d \tau } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { G ( \xi ; \mu ) - G ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) } } d \tau } \\ & { \quad - \frac { \xi - \alpha ( \mu ) } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { g ( \xi ; \mu ) - g ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) } { [ G ( \xi ; \mu ) - G ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) ] ^ { 3 / 2 } } d \tau } \\ & { \quad - \frac { \xi - \alpha ( \mu ) } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \tau g ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) } { [ G ( \xi ; \mu ) - G ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) ] ^ { 3 / 2 } } d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ( n ) \leq } & { \mathbb { E } \left[ 2 ^ { - \operatorname* { m a x } \left\{ 0 , i ( X ^ { [ n ] } ; Y ^ { [ n ] } ) - \log \frac { M - 1 } { 2 } \right\} } \right] } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { M - 1 } { 2 } 2 ^ { - i ( X ^ { [ n ] } ; Y ^ { [ n ] } ) } \right\} \right] } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \left[ \frac { M - 1 } { 2 } 2 ^ { - i ( X ^ { [ n ] } ; Y ^ { [ n ] } ) } > \frac { 1 } { n ^ { s } } \right] + \frac { 1 } { n ^ { s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \rho _ { \Xi } ( t ) \rangle = } & { \exp \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s \right) \hat { U } \left( t , t _ { M } \right) \widehat { \widetilde { S } } \left( t _ { M } , \omega _ { M } \right) } \\ & { \times \hat { U } \left( t _ { M } , t _ { M - 1 } \right) \widehat { \widetilde { S } } \left( t _ { M - 1 } , \omega _ { M - 1 } \right) \cdots \hat { U } \left( t _ { 2 } , t _ { 1 } \right) \widehat { \widetilde { S } } \left( t _ { 1 } , \omega _ { 1 } \right) \hat { U } \left( t _ { 1 } , 0 \right) | \rho _ { \Xi } ( 0 ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { v ( V ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \Delta V \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \sqrt { 1 - 4 \rho } ( V - V _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { L } _ { 0 } = - \frac { \partial U _ { 1 2 } } { \partial \ell _ { 0 } } = O ( \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } ) , \; \dot { \ell } _ { 0 } = \frac { M _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { L _ { 0 } ^ { 3 } } + \frac { \partial U _ { 1 2 } } { \partial L _ { 0 } } = O ( 1 ) , } \\ { \dot { L } _ { 1 } ^ { R } = - \frac { \partial U _ { 1 2 } } { \partial \ell _ { 1 } ^ { R } } = O ( \frac { \ell _ { 1 } ^ { R } } { \chi ^ { 3 } } ) , \; \dot { \ell } _ { 1 } ^ { R } = - \frac { M _ { 1 } ^ { R } ( k _ { 1 } ^ { R } ) ^ { 2 } } { ( L _ { 1 } ^ { R } ) ^ { 3 } } + \frac { \partial U _ { 1 2 } } { \partial L _ { 1 } ^ { R } } = O ( 1 ) , } \\ { \dot { L } _ { 2 } ^ { R } = - \frac { \partial U _ { 1 2 } } { \partial \ell _ { 2 } ^ { R } } = O ( \frac { \ell _ { 2 } ^ { R } } { \chi ^ { 3 } } ) , \; \dot { \ell } _ { 2 } ^ { R } = - \frac { M _ { 2 } ^ { R } ( k _ { 2 } ^ { R } ) ^ { 2 } } { ( L _ { 2 } ^ { R } ) ^ { 3 } } + \frac { \partial U _ { 1 2 } } { \partial L _ { 2 } ^ { R } } = O ( 1 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \widehat { J } ) : = \bigg \{ \widehat f \in L ^ { 2 } ( \widehat { J } ) : \widehat f \mathrm { ~ i s ~ a b s o l u t e l y ~ c o n t i n u o u s ~ o n ~ } ( \widehat { l } , \widehat { r } ) \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \int _ { \widehat { J } } \widehat f ^ { \prime } ( \widehat x ) ^ { 2 } d \widehat x < \infty , \widehat f ( \widehat j ) = 0 \mathrm { ~ i f ~ } \widehat j \notin \widehat { J } \mathrm { ~ i s ~ f i n i t e ~ f o r ~ } \widehat j = \widehat { l } \mathrm { ~ o r ~ } \widehat { r } \} , } \\ & { \frac { 1 } { 2 } \mathbf { D } ( \widehat f , \widehat g ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \widehat { J } } \widehat f ^ { \prime } ( \widehat x ) \widehat g ^ { \prime } ( \widehat x ) d \widehat x , \quad \widehat f , \widehat g \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \widehat { J } ) . } \end{array}
\tilde { \theta } \leftarrow \tilde { \theta } - \beta \nabla _ { \tilde { \theta } } \mathcal { L } _ { \mathrm { m e t a } } ( \tilde { \theta } ) , \mathrm { ~ w h e r e ~ t h e ~ m e t a - l o s s ~ } \mathcal { L } _ { \mathrm { m e t a } } ( \tilde { \theta } ) : = \sum _ { \eta = 1 } ^ { H } \mathcal { L } _ { \mathcal { Z } ^ { \eta } } ( \theta ^ { \eta , m } ) .
\begin{array} { r } { g _ { n } ( y _ { n } ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { + \bar { q } _ { n } } & { , ~ y _ { n } > \overline { { q } } _ { n } + \mu \tilde { \delta } _ { n } } \\ { y _ { n } - \mu \tilde { \delta } _ { n } } & { , ~ \mu \tilde { \delta } _ { n } < y _ { n } \leq \overline { { q } } _ { n } + \mu \tilde { \delta } _ { n } } \\ { 0 } & { , ~ - \mu \tilde { \delta } _ { n } \leq y _ { n } \leq \mu \tilde { \delta } _ { n } } \\ { y _ { n } + \mu \tilde { \delta } _ { n } } & { , ~ - \overline { { q } } _ { n } - \mu \tilde { \delta } _ { n } \leq y _ { n } < - \mu \tilde { \delta } _ { n } } \\ { - \overline { { q } } _ { n } } & { , ~ y _ { n } < - \overline { { q } } _ { n } - \mu \tilde { \delta } _ { n } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { \xi } r = \left( r _ { 0 } + \frac { 2 \xi \nu } { r _ { 0 } } - \frac { \xi g \nu } { 2 } \cos ( \phi _ { 0 } ) , \frac { \xi g \nu } { 2 } \sin ( \phi _ { 0 } ) , \xi \right) ^ { \mathrm { T } } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cos ( \theta ) } & { - \sin ( \theta ) } \\ { 0 } & { 0 } & { \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { \frac { 4 } { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } \frac { d } { d t } \Delta \hat { n } _ { 0 } ( t ) = 0 , } \\ & { \frac { 4 } { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } \frac { d } { d t } \Delta \hat { \theta } _ { 0 } ( t ) = \frac { 2 } { n _ { 0 } } \Delta \hat { n } _ { 0 } ( 0 ) , } \\ & { \frac { 4 } { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } \frac { d } { d t } \Delta \hat { p } _ { 0 } ( t ) = 0 , } \\ & { \frac { 4 } { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } \frac { d } { d t } \Delta \hat { x } _ { 0 } ( t ) = \frac { 8 } { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } \Delta \hat { p } _ { 0 } ( 0 ) , } \\ & { \frac { 4 } { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } \frac { d \hat { a } } { d t } = - i ( 1 + k ^ { 2 } ) \hat { a } , } \\ & { \frac { 4 } { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } \frac { d \hat { b } } { d t } = i ( 1 + k ^ { 2 } ) \hat { b } . } \end{array}
\frac { N _ { A v } } { A } \nu \frac { d \sigma _ { \mu A } } { d \nu } = \frac { N _ { A v } } { A } \nu \int _ { Q _ { m i n } ^ { 2 } } ^ { Q _ { m a x } ^ { 2 } } \frac { d \sigma _ { \mu A } ^ { 2 } } { d \nu d Q ^ { 2 } } d Q ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left\{ \Delta _ { S } , \tilde { \omega } \frac { ( r - 1 ) \bar { \sigma } ^ { 2 } + \Delta _ { S } ^ { \mathrm { v } } } { 3 } \right\} \geq \tilde { \omega } \frac { ( r - 1 ) \bar { \sigma } ^ { 2 } } { 3 } \geq \tilde { \omega } \frac { ( r _ { i } + 1 ) \bar { \sigma } ^ { 2 } } { 3 } \geq \sqrt { \ln \frac { 1 } { \omega _ { \mu } } } \cdot \bar { \Delta } _ { i , \mathcal { S } \cap \mathcal { B } } . } \end{array}
A _ { \perp } = B _ { \perp } \chi _ { 0 } + \sum _ { p > 0 } \bigg [ \frac { \chi _ { p } } { \sqrt { 2 p } } ( a _ { p } ^ { \dagger } ) _ { \perp } + \frac { \chi _ { p } ^ { \dagger } } { \sqrt { 2 p } } ( a _ { p } ) _ { \perp } \bigg ] ,
\begin{array} { r l } & { E \bigg [ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \sum _ { l } \sigma _ { i _ { 1 } l } \sigma _ { i _ { 2 } l } \bigl ( X _ { s } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \bigr ) \, \mathrm { d } s \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \bigg ] } \\ { = } & { E \bigg [ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \sum _ { l } \bigg \{ \sigma _ { i _ { 1 } l } \sigma _ { i _ { 2 } l } \bigl ( X _ { s } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \bigr ) - \sigma _ { i _ { 1 } l } \sigma _ { i _ { 2 } l } \bigl ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \bigr ) \bigg \} \, \mathrm { d } s \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \bigg ] } \\ & { \quad + \frac { 1 } { n } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \left( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \right) } \end{array}
\frac { \partial A _ { i j } } { \partial q ^ { k } } - \frac { \partial A _ { k j } } { \partial q ^ { i } } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { \partial \dot { q } ^ { j } } \left[ \frac { \partial } { \partial \dot { q } ^ { k } } ( A _ { i n } f ^ { n } ) - \frac { \partial } { \partial \dot { q } ^ { i } } ( A _ { k n } f ^ { n } ) \right] .
\begin{array} { r l r l } { u _ { j } ( z ) } & { : = \int _ { S } u ( x , z ) \psi _ { j } ( x ) e ^ { - | x | ^ { 2 } / 4 } \ d x , } & { \ f _ { j } ( z ) } & { : = \int _ { S } f ( x , z ) \psi _ { j } ( x ) e ^ { - | x | ^ { 2 } / 4 } \ d x , } \\ { \phi _ { j } } & { : = \int _ { S } \phi ( x ) \psi _ { j } ( x ) e ^ { - | x | ^ { 2 } / 4 } \ d x , } & { \ \varphi _ { j } } & { : = \int _ { S } \varphi ( x ) \psi _ { j } ( x ) e ^ { - | x | ^ { 2 } / 4 } \ d x . } \end{array}
{ \cal L } _ { e \tilde { \nu } _ { e } \tilde { \chi } } = - g \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } ( V _ { j 1 } ^ { * } \bar { \tilde { \chi } } _ { j } ^ { c } P _ { L } e \tilde { \nu } _ { e } ^ { * } + V _ { j 1 } \bar { e } P _ { R } \tilde { \chi } _ { j } ^ { c } \tilde { \nu } _ { e } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathscr { H } } & { = - \sum _ { i \neq j } J _ { i j } \mathbf { S } _ { i } \cdot \mathbf { S } _ { j } - \sum _ { i \neq j } \mathbf { D } _ { i j } \cdot \left( \mathbf { S } _ { i } \times \mathbf { S } _ { j } \right) } \\ & { - \sum _ { i } \mathbf { B } ^ { \mathrm { e x t } } \cdot \mathbf { S } _ { i } - \sum _ { i } K ^ { \mathrm { U } } \left( \mathbf { S } _ { i } \cdot \mathbf { e } _ { z } \right) ^ { 2 } , } \end{array}