harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \small g _ { i j } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( P _ { i j } ^ { - } - P _ { i j } ^ { + } \right) \sin ^ { 2 } \alpha + \frac { 1 } { 4 } \sin \alpha \cos \alpha \sin \varphi _ { i j } } \end{array}
\operatorname { E } _ { Y } [ Y ] = \int _ { \mathbb { R } } y f _ { Y } ( y ) d y = \int _ { \mathbb { R } } y \int _ { { \mathbb { R } } ^ { n } } f _ { X } ( \mathbf { x } ) \delta { \big ( } y - V ( \mathbf { x } ) { \big ) } \, d \mathbf { x } d y = \int _ { { \mathbb { R } } ^ { n } } \int _ { \mathbb { R } } y f _ { X } ( \mathbf { x } ) \delta { \big ( } y - V ( \mathbf { x } ) { \big ) } \, d y d \mathbf { x } = \int _ { { \mathbb { R } } ^ { n } } V ( \mathbf { x } ) f _ { X } ( \mathbf { x } ) d \mathbf { x } = \operatorname { E } _ { X } [ V ( X ) ] .
h _ { + } = 2 \pi \alpha _ { s } \, \frac { C _ { F } } { N _ { c } } \, \frac { f ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \, e ^ { - 2 \vartheta } \, \mathrm { T r } \left[ \gamma _ { \mu } \, \Phi \, \gamma ^ { \mu } S \, \rlap / v \, \bar { \Phi } ^ { \prime } + \Phi \, \rlap / v \, S ^ { \prime } \gamma _ { \mu } \bar { \Phi } ^ { \prime } \gamma ^ { \mu } \right] \, ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } [ \delta _ { 1 } + N \delta _ { 3 } ] \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { 2 } d x + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( \nu I _ { t } ^ { 1 } - \mu _ { j } I _ { t } ^ { 1 + \nu - \mu _ { j } } ) \bigg ( \gamma _ { j } ^ { 2 } ( - \mathcal { W } ( \gamma _ { j } ^ { - 1 } ) ) \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { + \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \gamma _ { j } ( T ) I _ { t } ^ { \nu - \mu _ { j } } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { + \frac { 3 \| \mathcal { K } \| _ { L _ { 1 } ( 0 , T ) } C _ { 0 } ^ { 2 } } { \delta _ { 0 } } | \mathcal { K } | * I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) + C [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { a } = \left\{ \begin{array} { c l } { \sqrt { \left( a - \frac { 3 } { 2 } + \frac { 2 \zeta ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 4 \zeta ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } , } & { a \leq \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 3 } { 2 } - a , } & { \frac { 1 } { 2 } < a < \frac { 3 } { 2 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\gamma _ { n k } ^ { ( t ) } = \frac { \frac { e ^ { - H _ { t } } H _ { t } ^ { k } } { k ! } \phi ( x _ { n } ; \mu _ { t } + k / g _ { t } , \sigma _ { t } ^ { 2 } ) } { \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - H _ { t } } H _ { t } ^ { \ell } } { \ell ! } \phi ( x _ { n } ; \mu _ { t } + \ell / g _ { t } , \sigma _ { t } ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { A _ { 0 } } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } f ( \boldsymbol { r } , t ) \biggl ( } & { { } \cos ( \mathrm { ~ u ~ } + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } ) \boldsymbol { e } _ { x } } \\ { + \epsilon \Lambda } & { { } \sin ( \mathrm { ~ u ~ } + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } ) \boldsymbol { e } _ { y } \biggr ) } \end{array}
\xi _ { \alpha } = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \cos \Bigl ( \frac { ( 2 n - 1 ) \pi x } { L } \Bigr ) { } ~ o r ~ ~ \sqrt { \frac { 2 } { L } } \sin \Bigl ( \frac { 2 n \pi x } { L } \Bigr ) ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { = 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { y - 2 d / 3 - 0 . 1 d \sin \left( 2 \pi x / d \right) } { \epsilon / 2 } , } \\ { \phi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { = \left[ 1 - \phi _ { 1 } \left( x , y \right) \right] \left[ 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { y + 2 d / 3 + 0 . 1 d \sin \left( 2 \pi x / d \right) } { \epsilon / 2 } \right] . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { x ^ { k + 1 } } \\ { y ^ { k + 1 } } \end{array} \right) = G ^ { k + 1 } \left( \begin{array} { l } { x ^ { 0 } } \\ { y ^ { 0 } } \end{array} \right) = V \left( \begin{array} { l l } { 3 ^ { - k } } & { 0 } \\ { 0 } & { ( - 1 ) ^ { k } } \end{array} \right) V ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { x ^ { 0 } } \\ { y ^ { 0 } } \end{array} \right) .
{ \cal L } = { \frac { 1 } { 2 } } { \cal K } ( u ) \, g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } u \, \partial _ { \nu } \bar { u } - V ( u ) = { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \, \partial _ { \nu } \bar { \phi } - V ( \phi ) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { M o d } _ { 0 , 2 n + 2 } } & { = \mathrm { M o d } ( \Sigma _ { 0 } ; \mathcal { B } , \emptyset ) , \quad \mathrm { M o d } _ { 0 , 2 n + 2 ; \ast } = \mathrm { M o d } ( \Sigma _ { 0 } ; \mathcal { B } - \{ p _ { 2 n + 2 } \} , \{ p _ { 2 n + 2 } \} ) , } \\ { \mathrm { M o d } _ { 0 , 2 n + 1 } ^ { 1 } } & { = \mathrm { M o d } ( \Sigma _ { 0 } ^ { 1 } ; \mathcal { B } - \{ p _ { 2 n + 2 } \} , \partial \Sigma _ { 0 } ^ { 1 } ) , } \end{array}
\operatorname { H o m } _ { \mathcal { X } } ( \mathcal { L } _ { 1 } , \mathcal { L } _ { 2 } ) \cong \operatorname { H } ^ { 0 } ( \mathcal { X } , \mathcal { L } _ { 1 } ^ { - 1 } \otimes \mathcal { L } _ { 2 } ) = \operatorname { H } ^ { 0 } ( \operatorname { S p e c } ( L ) , \pi _ { * } ( \mathcal { L } _ { 1 } ^ { - 1 } \otimes \mathcal { L } _ { 2 } ) )
\delta E _ { K P } ~ = ~ \alpha ( Z \alpha ) E _ { F } ~ \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { d x } \int _ { 0 } ^ { x } { d y } ~ \int _ { 0 } ^ { \infty } { d k } ~ k ^ { 2 } ~ \Bigl [ ~ \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } k ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 3 } } ~ - ~ \frac { c _ { 3 } } { ( k ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \Bigr ]
\sqrt { S _ { a } ^ { ( N ) } ( \omega ) } = \sqrt { \frac { \hbar \Omega } { m } \left[ \frac { S _ { \xi \xi } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) } { N } + \frac { S _ { \mathrm { o p t } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } { N ^ { 2 } } \right] } .
\begin{array} { c } { \delta q ^ { i } = [ \frac { \partial H } { \partial p _ { i } } ( q , p ) + \lambda ^ { a } \frac { \partial \alpha _ { a } } { \partial p _ { i } } ( q , p ) ] \delta t } \\ { \delta p _ { i } = [ - \frac { \partial H } { \partial q ^ { i } } ( q , p ) - \lambda ^ { a } \frac { \partial \alpha _ { a } } { \partial q _ { i } } ( q , p ) ] \delta t } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { t , \varepsilon } ( x , y ) } & { : = { \ensuremath { \mathbb E } } [ X _ { t , \varepsilon } ( x ) X _ { t , \varepsilon } ( y ) ] = \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } \theta _ { \varepsilon } ( x - z _ { 1 } ) \theta _ { \varepsilon } ( y - z _ { 2 } ) K _ { t } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \mathrm { d } z _ { 1 } \mathrm { d } z _ { 2 } , } \\ { K _ { t , \varepsilon , 0 } ( x , y ) } & { : = { \ensuremath { \mathbb E } } [ X _ { t , \varepsilon } ( x ) X _ { t } ( y ) ] = \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } \theta _ { \varepsilon } ( x - z ) K _ { t } ( z , y ) \mathrm { d } z . } \end{array}
\alpha _ { E } = - \beta _ { M } = { \frac { \alpha } { 8 \pi ^ { 2 } m _ { \pi } F _ { \pi } ^ { 2 } } } { \frac { h _ { A } } { h _ { V } } } = ( 2 . 8 \pm 0 . 3 ) \times 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { f m } ^ { 3 }
\begin{array} { r l r l r l } { { 4 } K _ { q + 1 } } & { { } = K _ { q } + 1 2 \, \, } & { } & { { } { \textrm { w h e r e } } \, \, K _ { 0 } } & { } & { { } = 6 } \\ { M _ { q + 1 } } & { { } = M _ { q } \cdot \left( { \frac { K _ { q } ^ { 3 } - 1 6 K _ { q } } { ( q + 1 ) ^ { 3 } } } \right) \, \, } & { } & { { } { \textrm { w h e r e } } \, \, M _ { 0 } } & { } & { { } = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { - , m \ell } ( r ) = } & { \: ( r - 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } - i m } \left[ 1 + O _ { \infty } ^ { m } ( ( r - 1 ) ) \right] , } \\ { w _ { + , m \ell } ( r ) = } & { \: ( r - 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } - i m } \log \left( \frac { 1 } { r - 1 } \right) [ 1 + O _ { \infty } ^ { m } ( ( r - 1 ) ] , } \\ { w _ { - , m \ell } ^ { - 1 } \frac { d w _ { - , m \ell } } { d r } = } & { \: - \frac { 1 } { 2 } ( 1 + 2 i m ) ( r - 1 ) ^ { - 1 } + O _ { \infty } ^ { m } ( 1 ) , } \\ { w _ { + , m \ell } ^ { - 1 } \frac { d w _ { + , m \ell } } { d r } = } & { \: - \left( \frac { 1 } { 2 } + i m + ( \log ( r - 1 ) ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } ) \right) ( r - 1 ) ^ { - 1 } + \log ( r - 1 ) O _ { \infty } ^ { m } ( 1 ) . } \end{array}
\vert z , \bar { z } \rangle = \exp \{ z _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \dagger } + z _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } + z _ { 3 } a _ { 3 } ^ { \dagger } \cdots + \bar { z } _ { 1 } b _ { 1 } ^ { \dagger } + \bar { z } _ { 2 } b _ { 2 } ^ { \dagger } + \bar { z } _ { 3 } b _ { 3 } ^ { \dagger } + \cdots \} \vert 0 \rangle ,
\begin{array} { r l r l } { \{ X , Y \} } & { = \{ A , F \} } & & { \rightarrow P ( Z = 2 0 ) = 0 . 0 7 5 } \\ & { = \{ B , F \} } & & { \rightarrow P ( Z = 1 8 ) = 0 . 1 5 } \\ & { = \{ A , E \} } & & { \rightarrow P ( Z = 1 7 ) = 0 . 0 7 5 } \\ & { = \{ C , F \} } & & { \rightarrow P ( Z = 1 6 ) = 0 . 0 7 5 } \\ & { = \{ A , D \} \mathrm { ~ o r ~ } \{ B , E \} } & & { \rightarrow P ( Z = 1 5 ) = 0 . 2 5 } \\ & { = \{ B , D \} \mathrm { ~ o r ~ } \{ C , E \} } & & { \rightarrow P ( Z = 1 3 ) = 0 . 2 7 5 } \\ & { = \{ C , D \} } & & { \rightarrow P ( Z = 1 1 ) = 0 . 1 0 } \end{array}
\frac { - 1 } { 4 ( 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \int _ { R \leq \left| u \right| \leq R _ { 2 } } \mathrm { d } ^ { 4 } u \left( \frac { \delta _ { \nu \sigma } \delta _ { \tau \mu } } { 4 \left| u \right| ^ { 4 } } - \frac { \delta _ { \nu \sigma } u _ { \tau } u _ { \mu } + \delta _ { \tau \mu } u _ { \nu } u _ { \sigma } } { 2 \left| u \right| ^ { 6 } } + \frac { u _ { \nu } u _ { \sigma } u _ { \tau } u _ { \mu } } { \left| u \right| ^ { 8 } } \right) F _ { 1 \mu \nu a x } F _ { 1 \sigma \tau a x }
\tilde { F } ^ { [ n ] } ( z + \phi ) \rightarrow e ^ { ( n - 1 ) f ( z + \phi ) - n f ( z ) } ( \tilde { F } ^ { [ n ] } ( z + \phi ) - \delta _ { n , 1 } h ^ { \bar { 0 } } ( f ( z + \phi ) + \bar { f } ( \bar { z } ) )
\mathbb { E } _ { \mathcal { F } _ { s } } \left( \frac { 1 } { \mathbb { P } _ { 0 , t } ( \mathfrak { A } ^ { k } ( 0 ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( t ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } ) } \right) = \left( \frac { 1 } { \mathbb { E } _ { \mathcal { F } _ { s } } [ \mathbb { P } _ { 0 , t } ( \mathfrak { B } _ { s } ^ { k } ( 0 ) , \mathfrak { B } _ { s } ^ { k } ( t ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } ) ] } \right) .
h _ { i } ( t + 1 ) = \operatorname* { m i n } \Bigg [ 0 , \, h _ { i } ( t ) + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Lambda _ { i j } ( t ) \big ( h _ { j } ( t ) - h _ { j } ( t - 1 ) \big ) \Bigg ] \, .
\begin{array} { r l } & { H ( \rho , \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \cdots , \beta _ { K } ) = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial ^ { 2 } S ( \rho ) } { \partial \rho ^ { 2 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial ^ { 2 } g ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \cdots , \beta _ { K } ) } { \partial \beta _ { 1 } ^ { 2 } } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \frac { \partial ^ { 2 } g ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \cdots , \beta _ { K } ) } { \partial \beta _ { K } ^ { 2 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\langle \phi | x ^ { m l } \rangle = N ^ { 1 / 2 } ( n ) ( \beta / 2 \pi ) ^ { n / 4 } \int _ { I _ { n } } d ^ { n } \rho ~ ( 1 - \beta \rho ^ { 2 } / 2 ) ^ { 1 / 2 + \sqrt { 1 / 4 + n / 8 } } e ^ { i x \cdot \rho / \hbar } \phi ( \rho )
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } \partial _ { t } \mathbf q ^ { ( 1 ) } - \nabla \frac { 1 } { T } - b _ { 1 } \nabla \cdot \mathbf q ^ { ( 2 ) } } & { = - c _ { 1 } \mathbf q ^ { ( 1 ) } } \\ { a _ { n } \partial _ { t } \mathbf q ^ { ( n ) } - b _ { n - 1 } \nabla \mathbf q ^ { ( n - 1 ) } - b _ { n } \nabla \cdot \mathbf q ^ { ( n + 1 ) } } & { = - c _ { n } \mathbf q ^ { ( n ) } , } \end{array}
\ddot { \vec { \phi } } = - [ ( \vec { A _ { 1 } ^ { 2 } } + \vec { A _ { 2 } ^ { 2 } } ) \vec { \phi } - ( \vec { A _ { 1 } } \cdot \vec { \phi } \vec { A _ { 1 } } + \vec { A _ { 2 } } \cdot \vec { \phi } \vec { A _ { 2 } } ] - \frac { \kappa } { 2 } \vec { \phi } ( \vec { \phi } ^ { 2 } - 1 ) .
\lambda ^ { - 1 } = \frac { 2 \, L _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \, l _ { + } \, \Delta c } { M \, c _ { - } \, \Delta \chi \, \Delta s ^ { \star } } \, \left[ \sinh \left( \frac { R } { l _ { + } } \right) + \frac { l _ { + } \, \cosh \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } { l _ { - } \, \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } { l _ { - } } \bigr ) } \right] \left[ \cosh \left( \frac { R } { l _ { + } } \right) + \frac { l _ { - } \, \sinh \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } { l _ { + } \, \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } { l _ { - } } \bigr ) } \right] \, .
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { ( \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } ) ^ { 2 } ( F _ { 2 } - F _ { 1 } ) ( 1 + \xi _ { s } Z ( \xi _ { s } ) ) \lvert \delta \phi _ { 1 } \rvert ^ { 2 } , } \\ { D _ { 2 } } & { { } = } & { - i \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } [ F _ { 1 } ( 1 + \xi _ { s } Z ( \xi _ { s } ) ) - \Gamma _ { s } \xi _ { s } Z ( \xi _ { s } ) - \Gamma _ { 1 } ] / \omega _ { 0 } . } \end{array}
S = \int d \tau \sqrt { - g _ { \tau \tau } } g ^ { \tau \tau } \left( \dot { X } ^ { \hat { m } } - \bar { \theta } \Gamma ^ { \hat { m } } \dot { \theta } \right) ^ { 2 } \ , \qquad \hat { m } = 0 , 1 , \cdots , 8 , 9 , 1 0 .
\nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \big ( \langle \rho \boldsymbol { v } \otimes \boldsymbol { v } \rangle \big ) \approx \langle \boldsymbol { v } \rangle \cdot \nabla _ { \boldsymbol { x } } \big ( \langle \rho \boldsymbol { v } \rangle \big ) .
\begin{array} { r l } { \tilde { B } _ { \alpha ( 2 j - 1 ) } } & { = \left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { c c } { \sigma _ { x } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } & { \sigma _ { x y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \\ { \sigma _ { x y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } & { \sigma _ { y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \end{array} \right] \left( \frac { | e _ { j - 1 } | } { 2 } \left[ \begin{array} { c } { n _ { e 1 } } \\ { n _ { e 2 } } \end{array} \right] _ { j - 1 } + \frac { | e _ { j } | } { 2 } \left[ \begin{array} { c } { n _ { e 1 } } \\ { n _ { e 2 } } \end{array} \right] _ { j } \right) } \\ { \mathrm { \normalfont ~ a n d } } & { } \\ { \tilde { B } _ { \alpha ( 2 j ) } } & { = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { c c } { \sigma _ { x } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } & { \sigma _ { x y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \\ { \sigma _ { x y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } & { \sigma _ { y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \end{array} \right] \left( \frac { | e _ { j - 1 } | } { 2 } \left[ \begin{array} { c } { n _ { e 1 } } \\ { n _ { e 2 } } \end{array} \right] _ { j - 1 } + \frac { | e _ { j } | } { 2 } \left[ \begin{array} { c } { n _ { e 1 } } \\ { n _ { e 2 } } \end{array} \right] _ { j } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n } \frac { | x | } { d _ { n } ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { z _ { n } ^ { 2 } } { d _ { n } ^ { 2 } } \right) } & { { } \to } & { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \int \int \frac { | x | } { d ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { z ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \right) d y d z } \end{array}
T ^ { \mathrm { b o x } } = - g ^ { 2 } C _ { F } a _ { \cal P } \left\{ a _ { \cal P } H ( \, \mathrm { T r } _ { 1 } + m _ { b } \, \mathrm { T r } _ { 2 } ) + I ( - m _ { b } \, \mathrm { T r } _ { 4 } + ( s - m _ { b } ^ { 2 } ) \, \mathrm { T r } _ { 3 } ) + { B } _ { u = 1 } \, \mathrm { T r } _ { 3 } \right\} ,
\begin{array} { r l } { M _ { z } ( t ) = M _ { z } ^ { \mathrm { e q } } + } & { \left( M _ { z } ( 0 ) - M _ { z } ^ { \mathrm { e q } } \right) \times } \\ & { \frac { 1 } { 2 } \! \left( \exp \{ - ( \frac { 1 } { 2 } b _ { C H } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } \omega _ { \mathrm { C S A } } ^ { 2 } ) \tau _ { c } \} \right. } \\ & { + \left. \exp \{ - ( \frac { 3 } { 2 } b _ { C H } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } \omega _ { \mathrm { C S A } } ^ { 2 } ) \tau _ { c } \} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { + } ( \lambda ) - G _ { - } ( \lambda ) } & { = \frac { \mathbf { u } ( k ) \Delta _ { 3 + } ( k ) \overline { { \mathbf { u } ( \omega ^ { 2 } k ) } } ^ { T } } { ( ( \lambda + 1 ) ^ { 2 / 3 } ) _ { + } } - \frac { \mathbf { u } ( \omega ^ { 2 } k ) \Delta _ { 2 - } ( \omega ^ { 2 } k ) \overline { { \mathbf { u } ( k ) } } ^ { T } } { \omega ( ( \lambda + 1 ) ^ { 2 / 3 } ) _ { + } } } \\ & { = \frac { 1 } { | \lambda + 1 | ^ { 2 / 3 } } \bigg ( \frac { \mathbf { u } ( k ) \Delta _ { 3 + } ( k ) \overline { { \mathbf { u } ( k ) \mathcal { A } ^ { 2 } } } ^ { T } } { \omega } - \frac { \mathbf { u } ( k ) \mathcal { A } ^ { 2 } \Delta _ { 2 - } ( \omega ^ { 2 } k ) \overline { { \mathbf { u } ( k ) } } ^ { T } } { \omega ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { = \frac { 1 } { | \lambda + 1 | ^ { 2 / 3 } } \mathbf { u } ( k ) \bigg ( \frac { \Delta _ { 3 + } ( k ) \mathcal { A } } { \omega } - \frac { \mathcal { A } ^ { 2 } \Delta _ { 2 - } ( \omega ^ { 2 } k ) } { \omega ^ { 2 } } \bigg ) \overline { { \mathbf { u } ( k ) } } ^ { T } } \\ & { = \frac { 1 } { | \lambda + 1 | ^ { 2 / 3 } } \mathbf { u } ( k ) \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } \delta _ { 2 + } ( k ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { - ( k ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) \delta _ { 3 + } ( \lambda ) + ( k ^ { 2 } - 1 ) \delta _ { 3 - } ( \lambda ) } { 1 - \omega k ^ { 2 } } } & { 0 } \end{array} \right) \overline { { \mathbf { u } ( k ) } } ^ { T } . } \end{array}
s _ { \mathrm { i m } } \left( s _ { \mathrm { i m } } ^ { 2 } \left( 8 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 0 2 0 0 } ^ { 2 } a _ { 2 0 0 0 } ^ { 2 } - 2 a _ { 2 2 0 0 } \right) + s _ { \mathrm { i m } } ( 4 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 0 2 0 0 } a _ { 2 0 0 0 } ( a _ { 0 2 0 0 } + 2 a _ { 2 0 0 0 } ) + a _ { 1 2 1 0 } + 2 a _ { 2 1 0 1 } ) + 2 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 2 0 0 0 } ( 2 a _ { 0 2 0 0 } + a _ { 2 0 0 0 } ) - 2 a _ { 2 0 0 2 } \right) + s _ { \mathrm { o b } } a _ { 2 0 0 0 }
\begin{array} { r l } & { \mathrm { S o l ( P ) } : = \Big \{ X \mid \langle A ^ { i } , X \rangle = b _ { i } , \quad i = 1 , \ldots , m , \ \ X \succeq 0 , \ \ \langle C , X \rangle = v _ { p } ^ { * } \Big \} , } \\ & { \mathrm { S o l ( D ) } : = \bigg \{ ( y , S ) \mid \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } A ^ { i } + S = C , \ \ S \succeq 0 , \ b ^ { T } y = v _ { d } ^ { * } \bigg \} . } \end{array}
y = \sqrt { \frac { - 1 } { n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } \left\{ \Bar { P } x ^ { 3 } - 3 \left[ \Bar { P } n ^ { 2 } + \left( 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) \right] x ^ { 2 } - 3 \; n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } \; x \right\} } ,
\sin { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { x } _ { 0 } + \psi ) } - \sin { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { y } _ { 0 } + \psi ) } = \sin { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } _ { 0 } / 2 ) } \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot ( \boldsymbol { x } _ { 0 } + \boldsymbol { y } _ { 0 } ) + \psi ) }
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } = \operatorname { M F } \left( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } , \pi ^ { ( k ) } , \frac { p } { 2 } \right) + \gamma \left[ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \operatorname { M F } \left( F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } , G ^ { ( k - 1 ) } , \pi ^ { ( k ) } , \frac { p } { 2 } \right) \right] } \end{array}
{ \boldsymbol { \phi } } _ { N } ^ { \prime } = { \mathbb { P } } \{ \mathsf { c } ^ { \prime } ( \mathsf { c } ^ { \prime } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { N } ^ { \prime } ) , { \boldsymbol { z } } _ { N + 1 } ^ { \prime } ) \neq \mathsf { c } ^ { \prime } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { N } ^ { \prime } ) | { \boldsymbol { z } } _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { N } ^ { \prime } \}
\begin{array} { r } { u _ { i } ^ { P V \pm } | i \rangle = \sum _ { b } ^ { N _ { c } } \left[ \langle b ^ { \mp } | g | b ^ { P V } \rangle | i \rangle \right. } \\ { \left. - \langle b ^ { \mp } | g | i \rangle | b ^ { P V } \rangle \right. } \\ { \left. + \langle b ^ { P V } | g | b ^ { \pm } \rangle | i \rangle \right. } \\ { \left. - \langle b ^ { P V } | g | i \rangle | b ^ { \pm } \rangle \right. } \\ { \left. + \langle b | g | b ^ { P V \pm } \rangle | i \rangle \right. } \\ { \left. - \langle b | g | i \rangle | b ^ { P V \pm } \rangle \right. } \\ { \left. + \langle b ^ { P V \mp } | g | b \rangle | i \rangle \right. } \\ { \left. - \langle b ^ { P V \mp } | g | i \rangle | b \rangle \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { M } 2 } & { { } = } & { e ^ { \frac { \tau } { 2 } \mathcal { A } } e ^ { \tau \mathcal { B } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } \mathcal { A } } = e ^ { \tau ( \mathcal { A } + \mathcal { B } ) - \frac { \tau ^ { 3 } } { 1 2 } [ \mathcal { B } , [ \mathcal { A } , \mathcal { B } ] ] + \frac { \tau ^ { 3 } } { 2 4 } [ \mathcal { A } , [ \mathcal { B } , \mathcal { A } ] ] } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal L } ^ { ( 2 ) } = - \frac { 1 } { 4 } \, c _ { 1 } \, f _ { \mu \nu } ^ { \, 2 } + \frac { d _ { 1 } } { 8 } \, ( F _ { B \mu \nu } f ^ { \mu \nu } ) ^ { 2 } + \frac { d _ { 2 } } { 8 } \, ( \widetilde { F } _ { B \mu \nu } f ^ { \mu \nu } ) ^ { 2 } . \; \; \; } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \nu } _ { t } ] \bigg \| ^ { 2 } \leq \frac { 2 \hat { L } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( 4 \kappa ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ) + 2 G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Gamma _ { 0 } ( N ) } & { = \left\{ { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) } \in { \mathrm { S L } } ( 2 , \mathbf { Z } ) : c \equiv 0 { \pmod { N } } \right\} } \\ { \Gamma ( N ) } & { = \left\{ { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) } \in { \mathrm { S L } } ( 2 , \mathbf { Z } ) : c \equiv b \equiv 0 , a \equiv d \equiv 1 { \pmod { N } } \right\} . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { H _ { 0 } ^ { * } : \mathcal { L } \left( R _ { I , n } ^ { * ( m ) } - \widehat R _ { I , n } ^ { ( m ) } | ( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * ( m ) } = \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { ( m ) } , \mathcal { D } _ { I , n } ^ { ( m ) } ) \right) = \mathcal { L } \left( R _ { I , n } ^ { ( m ) } - \widehat R _ { I , n } ^ { ( m ) } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { ( m ) } \right) , } \\ & { H _ { 0 } ^ { + } : \mathcal { L } \left( R _ { I , n } ^ { + ( m ) } - \widehat R _ { I , n } ^ { + ( m ) } | ( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { + ( m ) } = \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { ( m ) } , \mathcal { D } _ { I , n } ^ { ( m ) } ) \right) = \mathcal { L } \left( R _ { I , n } ^ { ( m ) } - \widehat R _ { I , n } ^ { ( m ) } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { ( m ) } \right) , } \\ & { H _ { 0 } ^ { + + } : \mathcal { L } \left( R _ { I , n } ^ { + ( m ) } - \widehat R _ { I , n } ^ { + + ( m ) } | ( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { + ( m ) } = \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { ( m ) } , \mathcal { D } _ { I , n } ^ { ( m ) } ) \right) = \mathcal { L } \left( R _ { I , n } ^ { ( m ) } - \widehat R _ { I , n } ^ { ( m ) } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { ( m ) } \right) } \end{array}