harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U \big ( t , z _ { k } ( t , x ) \big ) \cdot \big ( J \partial _ { x } z _ { k } ( t , x ) \big ) } & { = \nabla ^ { \perp } \Psi \big ( t , z _ { k } ( t , x ) \big ) \cdot \big ( J \partial _ { x } z _ { k } ( t , x ) \big ) } \\ & { = - \Big ( J \nabla ^ { \perp } \Psi \big ( t , z _ { k } ( t , x ) \big ) \Big ) \cdot \partial _ { x } z _ { k } ( t , x ) } \\ & { = \nabla \Psi \big ( t , z _ { k } ( t , x ) \big ) \cdot \partial _ { x } z _ { k } ( t , x ) } \\ & { = \partial _ { x } \Big ( \Psi \big ( t , z _ { k } ( t , x ) \big ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { c } _ { 1 } ( i _ { 0 } ) = \sum _ { j \neq i _ { 0 } } \partial _ { 1 } k ( \mathbf { X } ^ { [ i _ { 0 } ] } , \mathbf { X } ^ { [ j ] } ; p ) , \; \; \; \mathbf { c } _ { 2 } ( j _ { 0 } ) = \sum _ { i \neq j _ { 0 } } \partial _ { 2 } k ( \mathbf { X } ^ { [ i ] } , \mathbf { X } ^ { [ j _ { 0 } ] } ; p ) , \; \; \; \mathbf { c } _ { 3 } = \sum _ { i \neq j } \partial _ { 3 } k ( \mathbf { X } ^ { [ i ] } , \mathbf { X } ^ { [ j ] } ; p ) . } \end{array}
\hat { I } _ { f } \equiv \frac { I _ { f } } { \sqrt { S _ { f } S _ { \perp } } } , \quad \hat { I } _ { \mathrm { D } } ^ { f } \equiv \frac { I _ { \mathrm { D } } ^ { f } } { \sqrt { S _ { f } S _ { \perp } } } , \quad \hat { I } _ { \mathrm { M } } ^ { f } \equiv \frac { I _ { \mathrm { M } } ^ { f } } { \sqrt { S _ { f } S _ { \perp } } } ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { i ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { t } + ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x x } } } \\ & { = } & { ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) } \\ & { } & { + \beta ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) . } \end{array}
C _ { \ell } ^ { ( S W ) } = \frac { 2 ^ { n } } { 7 2 } ~ f ^ { 2 } ( \sigma _ { \mathrm { i } } ) \biggl ( \frac { H _ { 1 } } { M _ { P } } \biggr ) ^ { 2 } \biggl ( \frac { \omega _ { 0 } } { \omega _ { 1 } } \biggr ) ^ { n - 1 } \frac { \Gamma ( 3 - n ) \Gamma ( \ell - \frac { 1 } { 2 } + \frac { n } { 2 } ) } { \Gamma ^ { 2 } ( 2 - \frac { n } { 2 } ) \Gamma ( \ell + \frac { 5 } { 2 } - \frac { n } { 2 } ) } .
\begin{array} { r } { | W _ { 3 } | = | a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { \pi } _ { h } \mu ^ { n } - \boldsymbol { \Pi } _ { h } \mu ^ { n } , \boldsymbol { e } _ { \mu } ^ { n } ) | \leq \frac { C _ { \mathrm { c o e r } } } { 4 } \| \boldsymbol { e } _ { \mu } ^ { n } \| _ { 1 , h } ^ { 2 } + C h ^ { 2 s - 2 } \| \mu \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { s } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \phi , f _ { 2 n , k , s } ) } & { = \int _ { \mathrm { S p } _ { 2 n } ( F ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \psi _ { k } ( u ) \phi ( h ) } \\ { \times } & { \theta _ { \psi , n ^ { 2 } } ^ { \Phi } ( \alpha _ { T } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) E ( u t ( 1 , h ) ; f _ { n , k , s } ) d u d h . } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { e j } } ^ { F } \sim \frac { \sigma _ { v } e \tau ^ { 2 } } { \overline { { Q _ { i n } } } R _ { m _ { 0 } } } \cdot \frac { t _ { c } \cdot e ^ { - \frac { T _ { p e a k } } { \tau } } B } { t _ { c } \cdot e ^ { - \frac { T _ { p e a k } } { \tau } } B } ~ ,
\begin{array} { r } { \| \partial _ { t } ^ { b } u \| _ { L ^ { 4 } } \| \nabla \partial _ { t } ^ { c } u \| _ { L ^ { 4 } } \lesssim \| \partial _ { t } ^ { b } u \| ^ { \frac { 1 } { 4 } } \| \nabla \partial _ { t } ^ { b } u \| ^ { \frac { 3 } { 4 } } \| \nabla \partial _ { t } ^ { c } u \| ^ { \frac { 1 } { 4 } } \| \Delta \partial _ { t } ^ { c } u \| ^ { \frac { 3 } { 4 } } \lesssim E _ { b } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) E _ { c } ^ { \frac { 1 } { 8 } } ( t ) \| \Delta \partial _ { t } ^ { c } u \| ^ { \frac { 3 } { 4 } } \, . } \end{array}
\frac { \Delta M _ { F , E n t r a i n m e n t } } { M _ { F 0 } } = \frac { \tau _ { t } L W - \tau _ { t 0 } L W } { \tau _ { w 0 } L W } = \frac { \tau _ { t } - \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } }
\begin{array} { r l } { d ( \varphi _ { n } ( x ) , \varphi _ { n } ( y ) ) } & { = d \big ( m ( \varphi _ { n - 1 } ( v ) , \varphi _ { n - 1 } ( u ) ) , m ( \varphi _ { n - 1 } ( v ) , \varphi _ { n - 1 } ( w ) ) \big ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } d ( \varphi _ { n - 1 } ( u ) , \varphi _ { n - 1 } ( w ) ) \leq L \cdot \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \partial n _ { \vec { k } } } { \partial t } \approx 8 \pi \int n _ { \vec { k } _ { 1 } } n _ { \vec { k } _ { 3 } } \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \vec { q } \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { k } } n _ { \vec { k } } \left. \delta ( \varOmega ) \right| _ { \vec { k } _ { 2 } = \vec { k } + \vec { q } } \mathrm d \vec { k } _ { 1 } \mathrm d \vec { k } _ { 3 } + } \\ { \displaystyle + 4 \pi \int n _ { \vec { k } _ { 1 } } n _ { \vec { k } _ { 3 } } \left\{ 2 \left. \left( \vec { q } \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { k } _ { 2 } } \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \right) \right| _ { \vec { k } _ { 2 } = \vec { k } } \vec { q } \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { k } } n _ { \vec { k } } + \right. } \\ { + \left. \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \vec { q } \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { k } } \left( \vec { q } \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { k } } n _ { \vec { k } } \right) \right\} \left. \delta ( \varOmega ) \right| _ { \vec { k } _ { 2 } = \vec { k } + \vec { q } } \mathrm d \vec { k } _ { 1 } \mathrm d \vec { k } _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o s t } ( \mathbb { H } _ { H } ^ { D } ) } & { = \mathrm { T r } \{ \mathcal { W } \Lambda J _ { D } \} = - \mathcal { W } _ { 1 1 } \lambda _ { 1 } + \sum _ { d = 2 } ^ { D + 1 } \mathcal { W } _ { d , d } \lambda _ { d } } \\ & { = ( \sum _ { d = 2 } ^ { D + 1 } \mathcal { W } _ { d , d } - K ^ { \prime } ) \lambda _ { 1 } + \sum _ { i = 2 } ^ { d + 1 } \mathcal { W } _ { d , d } \lambda _ { d } = \sum _ { d = 2 } ^ { D + 1 } \mathcal { W } _ { d , d } ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { d } ) - K ^ { \prime } \lambda _ { 1 } . } \end{array}
- \frac { 2 \pi } { 2 \pi } { L } \hbar p \sum _ { k \in \cal Z } \frac { 1 } { 2 } [ a _ { k } ^ { \dagger } , a _ { k + p } ] _ { - } \cdot | \lambda \varepsilon _ { k , \mathrm { R } } | ^ { - s / 2 } | \lambda \varepsilon _ { k + p , \mathrm { R } } | ^ { - { 3 s } / 2 } .
\begin{array} { r l } { b _ { 0 } = 2 \sigma _ { \mathrm { W H } } ^ { 2 } } & { { } = 5 . 7 _ { - 2 . 5 } ^ { + 3 . 0 } \times 1 0 ^ { - 3 1 } ~ \mathrm { H z } ^ { - 1 } , } \\ { b _ { - 1 } = \frac { \sigma _ { \mathrm { F F } } ^ { 2 } } { 2 \mathrm { l n } 2 } } & { { } = 1 . 3 _ { - 0 . 3 } ^ { + 0 . 3 } \times 1 0 ^ { - 3 0 } , } \\ { b _ { - 2 } = \frac { 6 \sigma _ { \mathrm { R W } } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } & { { } = 1 . 6 _ { - 0 . 3 } ^ { + 0 . 4 } \times 1 0 ^ { - 3 1 } ~ \mathrm { H z } . } \end{array}
\frac { 1 } { g } + \sum _ { \mu = 1 ( \neq \nu ) } ^ { N } \frac { 2 } { e _ { \mu } - e _ { \nu } } = \sum _ { j = 1 } ^ { \Omega } \frac { d _ { j } } { z _ { j } - e _ { \nu } } \; ,
\begin{array} { r l } { Q ( \mathrm { P C } _ { ( j ) } , \mathrm { P C } _ { ( k ) } ) } & { { } \propto ( \mathbf { X } \mathbf { w } _ { ( j ) } ) ^ { T } ( \mathbf { X } \mathbf { w } _ { ( k ) } ) } \end{array}
Z _ { \beta _ { 1 } , \dots , \beta _ { g } } ^ { \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { g } } ( \tau , { \overline { { { \tau } } } } ) \rightarrow \prod _ { i } Z _ { \beta _ { i } } ^ { \alpha _ { i } } ( \tau _ { i i } , { \overline { { { \tau } } } } ) ~ .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( \frac { 1 } { 2 } \vert T ( x _ { 1 } , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } \right) \leq } & { - \left( \tilde { M } ( x _ { 1 } , \hat { \theta } ) - \frac { 2 ^ { n - 2 } } { \epsilon } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { 1 , j } ^ { 2 } ( x _ { 1 } ) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { p } ( 1 + 2 \sqrt { r } + \hat { \theta } _ { j } ^ { 2 } ) \rho _ { j } ( x _ { 1 } ) \right) x _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { + 2 ^ { - n } \epsilon \left( \vert \theta \vert ^ { 2 } - r \right) ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { \mathrm { L } } } & { { } = } & { \sqrt { { \mathcal N } } \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \\ { \alpha _ { \mathrm { R } } } & { { } = } & { \sqrt { { \mathcal N } } \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) . } \end{array}
\frac { D ^ { 2 } x ^ { \alpha } } { D \lambda ^ { 2 } } = - \frac { i } { \omega } R _ { ~ \beta \mu \nu } ^ { \alpha } m ^ { \mu } \tilde { m } ^ { \nu } l _ { 0 } ^ { \beta } \approx - \frac { i } { \omega } R _ { ~ \beta \mu \nu } ^ { \alpha } l _ { 0 } ^ { \beta } m _ { 0 } ^ { \mu } \tilde { m } _ { 0 } ^ { \nu } ,
\mathcal { A } = \left( \begin{array} { c c } { \bar { n } _ { 2 1 } } & { \bar { n } _ { 2 2 } } \\ { \bar { n } _ { 3 1 } } & { \bar { n } _ { 3 2 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ \mathcal { B } = - \left( \begin{array} { c c } { \, m _ { 2 1 } - \, \bar { n } _ { 2 1 } } & { \, m _ { 2 2 } - \, \bar { n } _ { 2 2 } } \\ { \, m _ { 3 1 } - \, \bar { n } _ { 3 1 } } & { \, m _ { 3 2 } - \, \bar { n } _ { 3 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { ( B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { x } ) _ { m } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } b _ { k m } x _ { k } } & { { } = - b _ { { k _ { 1 } } m } r + b _ { { k _ { 2 } } m } r \bar { b } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X = \{ ( e _ { 0 } , e _ { 1 } , \dots ) \mid e _ { i } \in F ^ { 1 , i } \mathrm { ~ b l u e ~ e d g e s , ~ } r ( e _ { i + 1 } ) = s ( e _ { i } ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i \geq 0 \} , } \\ & { X ^ { \prime } = \{ ( ( e _ { m _ { 0 } } , \dots , e _ { m _ { 1 } - 1 } ) , ( e _ { m _ { 1 } } , \dots , e _ { m _ { 2 } - 1 } ) , \dots ) \mid e _ { i } \in F ^ { 1 , i } \mathrm { ~ b l u e ~ e d g e s , ~ } r ( e _ { i + 1 } ) = s ( e _ { i } ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i \geq 0 \} . } \end{array}
\zeta ( 2 ) = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + \cdots = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } \approx 1 . 6 4 4 9 3 4 0 6 6 8 4 8 2 2 6 4 3 6 4 7 ;
\begin{array} { r } { ( \mathbf { M } _ { \P } ) _ { i , j } = \int _ { \P } \Pi _ { { P } , k } ^ { 0 } \varphi _ { i } \Pi _ { { P } , k } ^ { 0 } \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } + \int _ { \P } ( I - \Pi _ { { P } , k } ^ { 0 } ) \varphi _ { i } ( I - \Pi _ { { P } , k } ^ { 0 } ) \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \displaystyle Z ( \vartheta ) = { \cal M } L \sinh \vartheta + g ( \vartheta | \vartheta _ { j } ) + } } \\ { { + \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { i } G ( \vartheta - x - i \eta ) \log \left( 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z ( x + i \eta ) } \right) + } } \\ { { - \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { i } G ( \vartheta - x + i \eta ) \log \left( 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { - i Z ( x - i \eta ) } \right) + \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { T } _ { V } ( z ^ { n } ) | \leq } & { \exp \left\{ k H ( S ^ { \star } , X ^ { \star } | Z ^ { \star } ) \right\} = \exp \left\{ k \left( H ( S ^ { \star } , X ^ { \star } ) - I ( S ^ { \star } , X ^ { \star } ; Z ^ { \star } ) \right) \right\} } \\ { \leq } & { \exp \left\{ k \left( H ( Q _ { X } , U _ { S | X } ) - R ( Q _ { X } , U _ { S | X } , D _ { s } , D _ { x } ) \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { | r | _ { 0 , 0 , 0 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 9 } \gamma ^ { - 3 } , \quad | d _ { i } r ( i _ { 0 } ) | _ { 0 , 0 , 0 } ^ { \operatorname* { s u p } } \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { T } } & { \leq 4 b _ { 0 } + 4 \frac { \Delta _ { 1 } } { \eta } + \frac { 3 2 } { \eta ^ { 2 } b _ { 0 } } \sigma ^ { 2 } \ln \left( \frac { 2 } { \delta } \right) + \frac { 1 6 \sigma } { \eta ^ { 2 } } \sqrt { T + \log \frac { 2 } { \delta } } + 4 L \eta \log \frac { L \eta } { b _ { 0 } } } \\ & { = O \left( \Delta _ { 1 } + \sigma \sqrt { T } + \sigma ^ { 2 } \log \frac { 1 } { \delta } + L \log L \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { D } } & { = \frac { \left| \frac { 1 + z _ { 1 } \overline { { z _ { 2 } } } } { 1 + | z _ { 2 } | ^ { 2 } } \right| + \sqrt { \left| \frac { 1 + z _ { 1 } \overline { { z _ { 2 } } } } { 1 + | z _ { 2 } | ^ { 2 } } \right| ^ { 2 } + \left| \frac { | z _ { 1 } - z _ { 2 } | } { 1 + | z _ { 2 } | ^ { 2 } } \right| ^ { 2 } } } { \frac { | z _ { 1 } - z _ { 2 } | } { 1 + | z _ { 2 } | ^ { 2 } } } } \\ & { = \frac { | 1 + z _ { 1 } \overline { { z _ { 2 } } } | + \sqrt { | 1 + z _ { 1 } \overline { { z _ { 2 } } } | ^ { 2 } + | z _ { 1 } - z _ { 2 } | ^ { 2 } } } { | z _ { 1 } - z _ { 2 } | } . } \end{array}
\oint _ { \gamma } { \frac { 1 } { z } } \, d z = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { 1 } { e ^ { i t } } } ( i e ^ { i t } \, d t ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } i \, d t = 2 \pi i
\begin{array} { r l } & { \Gamma \frac { \partial } { \partial \tau } \int _ { D _ { k } } \overrightarrow { Q } \; \mathrm { d } D + \Gamma _ { e } \frac { \partial } { \partial t } \int _ { D _ { k } } \overrightarrow { Q } \; \mathrm { d } D _ { k } + \int _ { \partial D _ { k } } \Big ( \overrightarrow { F } _ { c } - \overrightarrow { F } _ { v } \Big ) \; \mathrm { d } S _ { k } = \int _ { D _ { k } } \overrightarrow { S } _ { q } \; \mathrm { d } D _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \textrm { s b } } = \sum _ { i } \sum _ { p } \sum _ { a = d _ { y z } , d _ { z x } , d _ { x y } } \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } V _ { p a \sigma } ( c _ { i a \sigma } ^ { \dagger } b _ { i p } + b _ { i p } ^ { \dagger } c _ { i a \sigma } ) , } \\ & { H _ { \textrm { b } } = \sum _ { i } \sum _ { p } ( \epsilon _ { p } - \mu _ { \textrm { b } } ) b _ { i p } ^ { \dagger } b _ { i p } , } \end{array}
\begin{array} { r l l } { \displaystyle \operatorname* { m i n } } & { \frac 1 6 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( w _ { x _ { i } } w _ { y _ { j } } ^ { 3 } + w _ { y _ { j } } w _ { x _ { i } } ^ { 3 } ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { x _ { i } } = 1 } \\ & { \sum _ { j = 1 } ^ { m } w _ { y _ { j } } = 1 } \\ & { w _ { x _ { i } } \geq 0 } & { i = 1 , \ldots , n } \\ & { w _ { y _ { j } } \geq 0 } & { j = 1 , \ldots , m . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { s _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { \mathfrak { s } _ { 1 } } & { \mathfrak { s } _ { 1 } } & { \mathfrak { s } _ { 2 } } \\ { - \mathfrak { s } _ { 1 } } & { - \mathfrak { s } _ { 1 } } & { - \mathfrak { s } _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } & & { s _ { - 1 } ^ { ( - 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { \mathfrak { s } _ { 3 } } & { \mathfrak { s } _ { 3 } } & { \mathfrak { s } _ { 4 } } \\ { - \mathfrak { s } _ { 3 } } & { - \mathfrak { s } _ { 3 } } & { - \mathfrak { s } _ { 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { ( s _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ) _ { 3 1 } = ( s _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ) _ { 3 2 } , } & & { ( s _ { - 1 } ^ { ( 0 ) } ) _ { 3 1 } = ( s _ { - 1 } ^ { ( 0 ) } ) _ { 3 2 } , } \end{array}
G ( I ) = \frac { 2 \mu _ { 1 } } { 3 } \ln ( I / I _ { 0 } ) + \frac { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } } { 3 } \Big ( \frac { 1 } { 1 + I / I _ { 0 } } + 2 \ln ( 1 + I / I _ { 0 } ) \Big ) .
\hat { \Gamma } _ { 4 } ^ { a ^ { \prime } a ^ { \prime } b ^ { \prime } b ^ { \prime } } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , - p _ { 3 } , - p _ { 4 } ) = [ V ( p _ { 1 } ) \otimes V ( p _ { 2 } ) ] ^ { a ^ { \prime } a ^ { \prime } a a } { \Gamma } _ { 4 } ^ { a a b b } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , - p _ { 3 } , - p _ { 4 } ) [ V ^ { T } ( - p _ { 3 } ) \otimes V ^ { T } ( - p _ { 4 } ) ] ^ { b b b ^ { \prime } b ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { \frac { d C _ { T } ( t ) } { d t } = R _ { 1 } \frac { d C _ { R } ( t ) } { d t } + k _ { 2 } C _ { R } ( t ) - \frac { k _ { 2 } } { D V R } C _ { T } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { f } _ { 0 } ( { \alpha } ) } & { : = \frac { 1 } { \mathrm { i } \alpha ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { 1 } { \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } / 2 } \tan \big ( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } / 2 \big ) \right] , } \\ { \mathfrak { f } _ { 1 } ( { \alpha } ) } & { : = - \frac { 1 } { \mathrm { i } \alpha ^ { 2 } } \tan ^ { 2 } \big ( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } / 2 \big ) . } \end{array}
\mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \gamma } _ { t + r \varepsilon } \right) = \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \gamma _ { t } } \right)
T _ { 4 } = \frac { 1 } { z _ { 1 } - z _ { 2 } } \sum _ { k , \ell \in \mathbb { N } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } s _ { i , j } ^ { k , \ell } b _ { i } z _ { 1 } ^ { k } \otimes ( \lambda ( z _ { 2 } ) z _ { 3 } ^ { n } z _ { 2 } ^ { \ell } b _ { j } ^ { ( 1 ) } \gamma - \gamma b _ { j } ^ { ( 2 ) } z _ { 3 } ^ { \ell } \lambda ( z _ { 3 } ) z _ { 2 } ^ { n } ) \in ( A \otimes A \otimes A ) [ \! [ z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } ] \! ]
\begin{array} { r l } { \left| \zeta ( s ) - \sum _ { 1 \le n \le t ^ { 2 } } n ^ { - s } \right| } & { \le \frac { ( t ^ { 2 } ) ^ { 1 - \sigma } } { t } + \frac { \sqrt { ( t / \sigma ) ^ { 2 } + 1 } } { ( t ^ { 2 } - 1 ) ^ { \sigma } } < t ^ { 1 - 2 \sigma } \left( 1 + \sqrt { \sigma ^ { - 2 } + t ^ { - 2 } } \right) < 1 0 ^ { - 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S = s \Bigg ( } & { { } \sum _ { ( i , j ) } \left( \frac { \left( \pi _ { i j } ^ { ( l ) } \right) ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } \left( l _ { i j } \right) ^ { 2 } } V _ { l } - \frac { 1 } { 1 5 } l o g ( V _ { l } ) - \frac { 1 } { 2 } l o g ( w _ { l } ) \right) } \end{array}
[ { \hat { x } } , { \hat { p } } ] | \psi \rangle = ( { \hat { x } } { \hat { p } } - { \hat { p } } { \hat { x } } ) | \psi \rangle = ( { \hat { x } } - x _ { 0 } { \hat { I } } ) { \hat { p } } \, | \psi \rangle = i \hbar | \psi \rangle ,
\sum _ { v \in \mathrm { V } , \pi _ { \mathrm { V } } \left( v \right) = u } k _ { v , \sigma \cdot v ^ { \prime } } = \sum _ { v \in \mathrm { V } , \pi _ { \mathrm { V } } \left( v \right) = u } k _ { \sigma ^ { - 1 } \cdot v , v ^ { \prime } } = \sum _ { v \in \mathrm { V } , \pi _ { \mathrm { V } } \left( v \right) = u } k _ { v , v ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } & { c h ^ { * } ( u ) - \frac { 1 } { 2 } h ( u ) } \\ & { \geq c h ( u ) - \frac { 1 } { 2 } h ( u ) - ( \frac { 1 } { 3 } + \frac { 2 } { 1 5 } \times 2 ) r _ { 1 } ( u ) - \frac { 2 } { 1 5 } b ( u ) + \frac { 1 } { 2 } r _ { 2 } ( u ) + \frac { 3 } { 5 } r _ { 3 } ( u ) } \\ & { = c h ( u ) + \frac { 1 } { 1 0 } ( r _ { 3 } ( u ) - r _ { 1 } ( u ) ) ) + \frac { 1 } { 2 } ( r _ { 2 } ( u ) + r _ { 3 } ( u ) - r _ { 1 } ( u ) - h ( u ) ) - \frac { 2 } { 1 5 } b ( u ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 1 0 } b ( u ) + \frac { 1 } { 2 } b ( u ) - \frac { 2 } { 1 5 } b ( u ) } \\ & { = \frac { 7 } { 1 5 } b ( u ) } \\ & { \geq 0 , } \end{array}
g _ { u u } = g _ { v v } = \widetilde { a } ^ { 2 } \left( \sinh ^ { 2 } u + \sin ^ { 2 } v \right) , \qquad \widetilde { g } _ { s s } = \widetilde { a } ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } u \sin ^ { 2 } v .
\vec { E } _ { 1 b } ^ { [ n ] } = - \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \Phi ^ { [ n ] } = - \frac { k } { n ! } \left( - \frac { 1 } { c } \right) ^ { n } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } \partial _ { t } ^ { n } \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t ) \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } R ^ { n - 1 } .
J _ { p , \, \mu } = \sum _ { n = 0 } ^ { p - 1 } \sum _ { { \scriptstyle j \le n } \atop { \scriptstyle k \le p - 1 - n } } f _ { n , j , p - 1 - n , k } B _ { n j ; \mu } [ u ] B _ { p - 1 - n , k ; \mu } [ \bar { u } ] ,
I _ { m , k } = \operatorname { E } \left[ { \frac { \partial } { \partial \theta _ { m } } } \log f \left( x ; { \boldsymbol { \theta } } \right) { \frac { \partial } { \partial \theta _ { k } } } \log f \left( x ; { \boldsymbol { \theta } } \right) \right] = - \operatorname { E } \left[ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta _ { m } \, \partial \theta _ { k } } } \log f \left( x ; { \boldsymbol { \theta } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \rho ( S _ { i } , T _ { b } ) H } & { { } = \rho ( S _ { e } , T _ { m e a n } ) ( C _ { 1 } H - C _ { 1 } ( 1 - \phi _ { e } ) h _ { e } + \Delta v _ { e } ) + \rho _ { i c e } ( C _ { 1 } ( 1 - \phi _ { e } ) - C _ { 2 } ) h _ { e } . } \end{array}
\left( S ^ { T } A S \right) _ { j k } = \varepsilon _ { j } A _ { j k } \varepsilon _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ( \theta _ { N } ) v _ { j } \varepsilon _ { j } w _ { k } \varepsilon _ { k } = \sin ( \theta _ { N } ) \frac { \varepsilon _ { N - 1 } ^ { 2 } } { t } v _ { j } x _ { j } \cdot t w _ { k } x _ { k } } & { \mathrm { i f ~ } 1 \leq j \le k \le N - 2 , } \\ { \sin ( \theta _ { N } ) w _ { j } \varepsilon _ { j } v _ { k } \varepsilon _ { k } = \sin ( \theta _ { N } ) \frac { \varepsilon _ { N - 1 } ^ { 2 } } { t } v _ { k } x _ { k } \cdot t w _ { j } x _ { j } } & { \mathrm { i f ~ } 1 \leq k \le j \le N - 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { ( 1 \times \kappa ) _ { ! } ( 1 \times \iota ) ^ { * } \kappa _ { ! } \iota ^ { * } \cong ( 1 \times \kappa ) _ { ! } \tilde { \kappa } _ { ! } \tilde { \iota } ^ { * } \iota ^ { * } = ( \kappa \times 1 ) _ { ! } \hat { \kappa } _ { ! } \hat { \iota } ^ { * } \iota ^ { * } \cong ( \kappa \times 1 ) _ { ! } ( \iota \times 1 ) ^ { * } \kappa _ { ! } \iota ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I P C } _ { j } } & { { } = \sum _ { d _ { k } \mathrm { s . t . } j = \sum _ { k } d _ { k } } \mathrm { I P C } _ { d _ { 1 } , d _ { 2 } , \ldots , d _ { T } } . } \end{array}
K _ { k } ^ { \prime } ( \alpha ) = \frac { 4 g ^ { 2 } \alpha } { K _ { k } ( \alpha ) } \, , \qquad K _ { k } ^ { \prime \prime } ( \alpha ) = \frac { 4 g ^ { 2 } } { K _ { k } ( \alpha ) } - \frac { 4 g ^ { 2 } \alpha K _ { k } ^ { \prime } ( \alpha ) } { K _ { k } ( \alpha ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } + \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } + \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] _ { L } \Big [ E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } + \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } \Big [ E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } } \end{array}