harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { d _ { \phi } ^ { \pm } } & { : = \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) - \frac { \left( b _ { z } - b _ { 0 } \right) \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \right) } { b _ { 0 } } } \\ & { - \frac { b _ { \pm } \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \right) } { b _ { 0 } \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { \pm } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } \left[ \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \tau \left( 1 - \frac { F _ { 1 } } { \sigma _ { 0 } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } \right) \right] , } \end{array}
\mathrm { L M L } = - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { y } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { K } _ { t t } ^ { - 1 } \mathbf { y } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { l o g } | \mathbf { K } _ { t t } | - \frac { n } { 2 } \mathrm { l o g } ( 2 \pi )
\hat { x } _ { n } : = \frac { x _ { n } } { \lvert x _ { n } \rvert } \to v \in \mathbb { S } ^ { d - 1 } , \quad \frac { \lvert x _ { n } \rvert } { \sqrt { 1 - t _ { n } ^ { 2 } } + \lvert x _ { n } \rvert } \to \alpha \in [ 0 , 1 ] , \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \lvert x _ { n } \rvert ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - t _ { n } ^ { 2 } } + \lvert x _ { n } \rvert ^ { 2 } } \to \beta \in [ 0 , 1 ] .
\begin{array} { r l } { \left. { \frac { \operatorname { d } \! F _ { 1 } } { \operatorname { d } \! \xi ^ { * } } } \right| _ { \xi ^ { * } = 0 } } & { = \frac { \lambda _ { 3 } \lambda _ { i c } \varepsilon _ { 2 } } { m _ { 2 } } + \lambda _ { i c } \varepsilon _ { 2 } + \frac { \lambda _ { i c } ^ { 2 } \varepsilon _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } } } \\ & { \quad + \frac { \mu \lambda _ { i c } ( m _ { 2 } + 1 ) ( 1 - \varepsilon _ { 2 } ) } { m _ { 2 } } A ( m _ { 2 } , \varepsilon _ { 2 } , \lambda _ { i c } , \lambda _ { 3 } ) } \\ & { = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { \pi ^ { \theta } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) = } & { \frac { 1 } { \mu ( s _ { 1 } ) } ( \frac { 1 } { \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } \frac { - \partial L _ { \kappa } ( \theta ) } { \partial \theta _ { 1 } ( s , a , \eta ) } + \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | } ( 1 - \frac { 1 } { \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } ) ) } \\ { \le } & { \frac { 1 } { \mu ( s _ { 1 } ) } ( \frac { 1 } { \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } \left| \frac { - \partial L _ { \kappa } ( \theta ) } { \partial \theta _ { 1 } ( s , a , \eta ) } \right| + \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | } ) } \\ { \le } & { \frac { 1 } { \mu ( s _ { 1 } ) } ( 2 | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | \epsilon _ { 1 } + \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | } ) } \\ { \le } & { \frac { 2 \kappa } { \mu ( s _ { 1 } ) | \mathcal { S } | } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \rho \in \mathbb { R } ^ { n } , \; \rho _ { i } \geq 0 } \| \rho \| _ { 1 } - \alpha \| \rho \| _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \lambda } \| \rho - | x ^ { \prime } | \| _ { 2 } ^ { 2 } = \operatorname* { m i n } _ { \rho \in \mathbb { R } ^ { n } } \| \rho \| _ { 1 } - \alpha \| \rho \| _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \lambda } \| \rho - | x ^ { \prime } | \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\left| \frac { \operatorname* { P r } _ { x \sim p } [ x _ { 1 } = y _ { 1 } , x _ { 2 } = y _ { 2 } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } ] - \operatorname* { P r } _ { x \sim p } [ x _ { 1 } = c _ { i } , x _ { 2 } = y _ { 2 } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } ] } { \operatorname* { P r } _ { x \sim p } [ x _ { 1 } = y _ { 1 } , x _ { 2 } = y _ { 2 } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } ] + \operatorname* { P r } _ { x \sim p } [ x _ { 1 } = c _ { i } , x _ { 2 } = y _ { 2 } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } ] } \right| < \frac { 1 } { 4 m } .
a _ { \mathbf { k } _ { 1 } } ^ { t } a _ { \mathbf { k } _ { 2 } } ^ { v } a _ { \mathbf { p } } ^ { s ^ { \dagger } } a _ { \mathbf { q } } ^ { r ^ { \dagger } } \left\vert 0 \right\rangle = \left\{ \begin{array} { c } { ( 2 \pi ) ^ { 6 } \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 2 } - \mathbf { p } ) \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } - \mathbf { q } ) \delta ^ { v s } \delta ^ { t r } - } \\ { ( 2 \pi ) ^ { 6 } \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 2 } - \mathbf { q } ) \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } - \mathbf { p } ) \delta ^ { v r } \delta ^ { t s } } \end{array} \right\} \left\vert 0 \right\rangle .
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ I _ { 1 } \leq C \int _ { 0 } ^ { t ^ { 1 . 2 } / T ^ { 0 . 0 2 } } \int _ { - 9 / 8 } ^ { - 1 } \frac { ( s + 1 ) e ^ { - ( s + 1 ) ^ { 2 } / ( t ^ { \prime } - t ) } } { ( t - t ^ { \prime } ) ^ { 3 / 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { t ^ { \prime } } } d s d t ^ { \prime } } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { t ^ { 1 . 2 } / T ^ { 0 . 0 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { t - t ^ { \prime } } \sqrt { t ^ { \prime } } } d t ^ { \prime } \leq \frac { C } { \sqrt { t } } \int _ { 0 } ^ { t ^ { 1 . 2 } / T ^ { 0 . 0 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { t ^ { \prime } } } d t ^ { \prime } = \frac { C t ^ { 0 . 1 } } { T ^ { 0 . 0 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { b T } ; n _ { \mathrm { e s - c a l } } \cdot c , n _ { \mathrm { e s - c a l } } \cdot d \right) } & { = \Phi ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { b T } ; \frac { c } { c + d } , \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e s - c a l } } } \cdot \frac { c d } { ( c + d ) ^ { 3 } } \right) + O \left( \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e s - c a l } } } \right) } \\ & { = \Phi ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { b T } ; 1 - \alpha , \frac { \alpha ( 1 - \alpha ) } { n _ { \mathrm { e s - c a l } } + 1 } \right) + O \left( \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e s - c a l } } } \right) } \\ & { = ( 1 - \alpha ) + \sqrt { \frac { \alpha ( 1 - \alpha ) } { n _ { \mathrm { e s - c a l } } + 1 } } \cdot \Phi ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { b T } ; 0 , 1 \right) + O \left( \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e s - c a l } } } \right) } \\ & { = ( 1 - \alpha ) - \sqrt { \frac { \alpha ( 1 - \alpha ) } { n _ { \mathrm { e s - c a l } } + 1 } } \cdot \sqrt { 2 \log ( b T ) } + O \left( \frac { 1 } { \sqrt { n _ { \mathrm { e s - c a l } } \log ( T ) } } \right) , } \end{array}
\Delta m _ { \mathrm { a t m } } ^ { 2 } \equiv | \Delta m _ { 2 3 } ^ { 2 } | \simeq ( 2 - 4 ) \times 1 0 ^ { - 3 } \ \mathrm { e V } ^ { 2 } , \ \ \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } \simeq 0 . 9 - 1 ,
\Lambda _ { \gamma ^ { \prime } \gamma } ( \lambda _ { l } ) = \iiint \left[ 2 \epsilon _ { r } ( \rho , z ) k _ { \gamma } \Delta k _ { \gamma } + k _ { \gamma } ^ { 2 } \Delta \epsilon _ { r } ( \rho , z , \phi ) - \frac { 2 m _ { \gamma } \Delta m _ { \gamma } } { \rho ^ { 2 } } \right] \hat { e } _ { \gamma ^ { \prime } ( \rho , z ) } ^ { * } \cdot \hat { e } _ { \gamma } ( \rho , z ) e ^ { - j ( m _ { \gamma } ^ { \prime } - m _ { \gamma ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \phi } { \rho } d { \rho } d z d \phi .
\hat { m } _ { + } ( \vec { r } , \omega ) = - \frac { 3 } { 2 I _ { e } + 1 } \frac { \sigma _ { r e s } } { \mu _ { 0 } k _ { 0 } } \sum _ { \mu , j } \frac { \gamma / 2 } { \omega - \Delta _ { \mu } + \Delta _ { j } + i \gamma / 2 } \vec { d } _ { \mu j } ^ { * } \otimes \vec { d } _ { \mu j } \cdot \hat { B } _ { + } ( \vec { r } , \omega ) .
H = \frac { 1 } { 2 M } : \left( \hat { P } - \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } \hbar g _ { m n } \hat { b } _ { n } ^ { \dag } \hat { b } _ { n } \right) ^ { 2 } : + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \hbar \Omega _ { n } \hat { b } _ { n } ^ { \dag } \hat { b } _ { n }
l ( l + 1 ) C _ { l } \sim O ( 1 ) \left( { \frac { H _ { m a x } } { M _ { P } } } \right) ^ { 4 } ( \eta _ { 0 } k _ { m a x } ) ^ { - 2 \alpha } { \frac { \Gamma ( l + \alpha ) } { \Gamma ( l - \alpha ) } } \; ,
{ \begin{array} { r l } { \Gamma _ { t r } ^ { t } } & { = { \frac { M r - Q ^ { 2 } } { r ( Q ^ { 2 } + r ^ { 2 } - 2 M r ) } } } \\ { \Gamma _ { t t } ^ { r } } & { = { \frac { ( M r - Q ^ { 2 } ) \left( r ^ { 2 } - 2 M r + Q ^ { 2 } \right) } { r ^ { 5 } } } } \\ { \Gamma _ { r r } ^ { r } } & { = - { \frac { Q ^ { 2 } - M r } { r ( Q ^ { 2 } - 2 M r + r ^ { 2 } ) } } } \\ { \Gamma _ { \theta \theta } ^ { r } } & { = - { \frac { r ^ { 2 } - 2 M r + Q ^ { 2 } } { r } } } \\ { \Gamma _ { \varphi \varphi } ^ { r } } & { = - { \frac { \sin ^ { 2 } \theta \left( r ^ { 2 } - 2 M r + Q ^ { 2 } \right) } { r } } } \\ { \Gamma _ { \theta r } ^ { \theta } } & { = { \frac { 1 } { r } } } \\ { \Gamma _ { \varphi \varphi } ^ { \theta } } & { = - \sin \theta \cos \theta } \\ { \Gamma _ { \varphi r } ^ { \varphi } } & { = { \frac { 1 } { r } } } \\ { \Gamma _ { \varphi \theta } ^ { \varphi } } & { = \cot \theta } \end{array} }
~ \psi ^ { ( \alpha ) } ( x , t ) = \left( { \frac { m \omega } { \pi \hbar } } \right) ^ { 1 / 4 } \exp { \Bigg ( } - { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } \left( x - { \sqrt { \frac { 2 \hbar } { m \omega } } } \Re [ \alpha ( t ) ] \right) ^ { 2 } + i { \sqrt { \frac { 2 m \omega } { \hbar } } } \Im [ \alpha ( t ) ] x + i \theta ( t ) { \Bigg ) } ~ ,
\begin{array} { r l } & { 0 = \frac { d } { d \eta } \left( \frac { d \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta } \right) ^ { 2 } - 2 L e \hat { \Lambda } _ { 0 } \hat { \rho } _ { 0 } \frac { d } { d z } \left( { T } _ { 0 } + \frac { q } { L e } { Y } _ { 0 } \right) \Big | _ { - } \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 } } } \\ & { + 2 L e \hat { \Lambda } _ { 0 } \hat { \rho } _ { 0 } \frac { d } { d \eta } \left\{ \left( 1 + { T } _ { 1 - } + \frac { q } { L e } { Y } _ { 1 - } - \hat { \theta } _ { 1 } + \eta \frac { d } { d z } \left( { T } _ { 0 } + \frac { q } { L e } { Y } _ { 0 } \right) \Big | _ { - } \right) \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 } } \right\} . } \end{array}
\mathcal { I F } _ { i } ^ { ( 2 ) } \left( y _ { i } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { 0 } _ { r } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } , \boldsymbol { \beta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { 0 } _ { r } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } , \boldsymbol { \beta } _ { 0 } } \right) = \frac { \exp \left\{ - \beta \frac { ( y _ { i } - \boldsymbol { x } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { \beta } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \right\} \left( \frac { ( y _ { i } - \boldsymbol { x } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { \beta } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } - 1 \right) ^ { 2 } } { 4 \left( \frac { 2 \beta ^ { 2 } + 1 } { 2 ( 2 \beta + 1 ) ^ { 5 / 2 } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 ( \beta + 1 ) ^ { 3 } } \right) } \boldsymbol { z } _ { i } ^ { T } \left( \mathbb { Z } _ { n } ^ { T } \mathbb { Z } _ { n } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { z } _ { i } .
\begin{array} { c c c } { \displaystyle { q ( \overline { { c } } ) \equiv \frac { 2 } { 3 } \frac { q _ { 3 } } { q _ { 4 } } \equiv \frac { ( 1 - 2 \overline { { c } } ) \, \overline { { c } } \, ( 1 - \overline { { c } } ) } { ( 1 - 3 \overline { { c } } + 3 \overline { { c } } ^ { 2 } ) } , \qquad p ( \overline { { c } } ) = \frac { 2 a _ { 0 } } { T _ { p } q _ { 4 } } \equiv \frac { 6 \overline { { c } } ^ { 2 } ( 1 - \overline { { c } } ) ^ { 2 } } { ( 1 - 3 \overline { { c } } + 3 \overline { { c } } ^ { 2 } ) } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ( ( \gamma - \omega _ { 0 } ) + 2 \omega _ { 0 } ) ^ { k } } & { = } & { \gamma \sum _ { i = 0 } ^ { k } \binom { k } { i } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - i } ( 2 \omega _ { 0 } ) ^ { i } } \\ & { = } & { \gamma ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k } + \gamma k ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - 1 } ( 2 \omega _ { 0 } ) } \\ & { + } & { \gamma \sum _ { i = 2 } ^ { k } \binom { k } { i } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - i } ( 2 \omega _ { 0 } ) ^ { i } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \{ f _ { k } \} \| _ { L ^ { p } ( \ell ^ { q } ) } } & { : = \Big \| \sum _ { k } | f _ { k } ( \cdot ) | ^ { q } \Big \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { 1 / q } , } \\ { \| \{ f _ { k } \} \| _ { \ell ^ { q } ( L ^ { p } ) } } & { : = \Big ( \sum _ { k } \| f _ { k } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { q } \Big ) ^ { 1 / q } . } \end{array}
\times _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } : S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \times S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \to S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } }
\begin{array} { r l } { \left( \Lambda _ { f } \ast \Lambda _ { g } \right) ( n ) } & { = \sum _ { d \mid n } \Lambda _ { f } ( d ) \Lambda _ { g } \left( \frac { n } { d } \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { \alpha } \Lambda _ { f } ( p ^ { i } ) \Lambda _ { g } \left( \frac { n } { p ^ { i } } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { \beta } \Lambda _ { f } ( q ^ { i } ) \Lambda _ { g } \left( \frac { n } { q ^ { i } } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \alpha } \Lambda _ { f } ( p ^ { i } ) \Lambda _ { g } \left( p ^ { \alpha - i } q ^ { \beta } \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { \beta } \Lambda _ { f } ( q ^ { j } ) \Lambda _ { g } \left( p ^ { \alpha } q ^ { \beta - j } \right) } \\ & { = \Lambda _ { f } ( p ^ { \alpha } ) \Lambda _ { g } ( q ^ { \beta } ) + \Lambda _ { f } ( q ^ { \beta } ) \Lambda _ { g } ( q ^ { \alpha } ) } \\ & { = \frac { f ( p ) g ( q ) } { h _ { f } ( p ) h _ { g } ( q ) } + \frac { f ( q ) g ( p ) } { h _ { f } ( q ) h _ { g } ( p ) } } \end{array}
a _ { j + 1 } ^ { 1 } ( s , \textbf { s } _ { j } ^ { * } ) = \frac { I \left( P ( s ) , q \right) } { \frac { 1 } { j } \sum _ { k = 1 } ^ { j } I \left( P ( s ) , P ( s _ { k } ^ { * } ) \right) } ,
x ^ { 4 n } ( 1 - x ) ^ { 4 n } = \left( 1 + x ^ { 2 } \right) \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } ( - 2 ) ^ { j } x ^ { 4 n + j } ( 1 - x ) ^ { 4 n - 2 ( j + 1 ) } + ( - 2 ) ^ { 2 n } x ^ { 6 n } .
\mathbf { X } = \left[ \begin{array} { l } { \theta _ { 1 } } \\ { \theta _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \theta _ { N } } \\ { p _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { p _ { N } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a _ { 1 } . . . a _ { \ell } } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { \Big \{ \partial _ { < a _ { 1 } } . . . \partial _ { a _ { \ell } > } \ln k \Big ( { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } + \tau } \Big ) + \sum _ { p = 1 } ^ { \ell } \frac { \ell ! } { p ! ( \ell - p ) ! } k _ { < a _ { 1 } } . . . k _ { a _ { p } } \partial _ { a _ { p + 1 } } . . . \partial _ { a _ { \ell } > } \frac { \partial ^ { p - 1 } } { \partial \tau ^ { p - 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } } \Big \} \Big | _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } . ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { F } _ { 1 3 } = 1 \otimes e _ { 3 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 2 3 } = s _ { 1 } \otimes s _ { 3 } + 1 \otimes e _ { 2 1 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 3 3 } = ( s _ { 1 1 } + s _ { 3 } ) \otimes e _ { 3 } + ( 2 s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \otimes e _ { 2 1 } + 1 \otimes e _ { 1 1 1 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 5 3 } = ( s _ { 2 1 } + s _ { 4 } ) \otimes e _ { 3 } + ( s _ { 1 } + s _ { 1 1 } + 2 s _ { 2 } + s _ { 3 } ) \otimes e _ { 2 1 } + ( 1 + s _ { 1 } ) \otimes e _ { 1 1 1 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 6 3 } = ( s _ { 2 2 } + s _ { 4 1 } + s _ { 6 } ) \otimes e _ { 3 } + ( 2 s _ { 2 } + 2 s _ { 2 1 } + s _ { 3 } + s _ { 3 1 } + 2 s _ { 4 } + s _ { 5 } ) \otimes e _ { 2 1 } } \\ & { \qquad \qquad + ( 1 + 2 s _ { 1 } + s _ { 1 1 } + s _ { 2 } + s _ { 3 } ) \otimes e _ { 1 1 1 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 8 3 } = ( s _ { 3 2 } + s _ { 5 1 } + s _ { 7 } ) \otimes e _ { 3 } + ( s _ { 2 } + s _ { 2 1 } + s _ { 2 2 } + 2 s _ { 3 } + 2 s _ { 3 1 } + s _ { 4 } + s _ { 4 1 } + 2 s _ { 5 } + s _ { 6 } ) \otimes e _ { 2 1 } } \\ & { \qquad \qquad + ( 1 + 2 s _ { 1 } + s _ { 1 1 } + 2 s _ { 2 } + s _ { 2 1 } + s _ { 3 } + s _ { 4 } ) \otimes e _ { 1 1 1 } , } \end{array}
\left[ U ( t ) f \right] ( x ) = \left[ U ( \beta _ { i } - x ) U ( t - ( \beta _ { i } - x ) ) f \right] ( x ) = \left[ U ( t - ( \beta _ { i } - x ) ) f \right] ( \beta _ { i } ) = \pi _ { i } \left( \left[ U ( t - ( \beta _ { i } - x ) ) f \right] ( \vec { \beta } ) \right) = \pi _ { i } \left( B \left[ U ( t - ( \beta _ { i } - x ) ) f \right] ( \vec { \alpha } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { \mathbf { k } , \mathrm { T M } } = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Big ( e ^ { i \phi } \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } + e ^ { - i \phi } \hat { a } _ { \mathbf { k } , - } \Big ) , } \\ { \hat { a } _ { \mathbf { k } , \mathrm { T E } } = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Big ( i e ^ { i \phi } \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } - i e ^ { - i \phi } \hat { a } _ { \mathbf { k } , - } \Big ) . } \end{array}
\rho _ { \mu \nu } \left( t \right) = \mathinner { \langle { \psi \left( t \right) } | } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \eta } \mathinner { | { \mu } \rangle } \! \! \mathinner { \langle { \nu } | } _ { j } \right) \mathinner { | { \psi \left( t \right) } \rangle } \, ,
\begin{array} { r } { V = \frac { K } { X - \frac { S _ { 0 } \alpha h ^ { 2 } } { 4 } \frac { \tau _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 + ( 1 - X ) ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l r l } { { 9 } \bullet \ast { \tilde { S } } : \, } & { { \mathcal { D } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } & & { \to \, } & & { { \mathcal { D } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } & & { \quad { \mathrm { ~ a n d ~ } } \quad } & & { \bullet \ast { \tilde { T } } : \, } & & { { \mathcal { D } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } & & { \to \, } & & { { \mathcal { D } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \\ & { f } & & { \mapsto \, } & & { f \ast { \tilde { S } } } & & { } & & { } & & { f } & & { \mapsto \, } & & { f \ast { \tilde { T } } } \end{array} }
- \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \; \Delta H _ { q q } ( x , \mu _ { F } ) \, \frac { d \Delta \hat { \sigma } _ { q q \to q q } ( x s , x t , u , \varepsilon ) } { d v } \, \delta \left( x \; ( s + t ) + u \right) \; \; ,
\begin{array} { r l } & { U _ { 1 1 } ^ { 1 1 ( 2 ) } = \frac { \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { 2 } } , ~ U _ { 2 2 } ^ { 2 2 ( 2 ) } = \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { 1 } } , ~ U _ { 2 1 } ^ { 2 1 ( 2 ) } = \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { 1 } } + \frac { \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { 2 } } , } \\ & { U _ { 1 1 } ^ { 1 1 ( 4 a ) } ( r ) = - \frac { \Omega _ { 2 } ^ { 4 } } { 4 \Delta _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { V _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( r ) - 2 \Delta _ { 1 } } { \left( V _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( r ) - 2 \Delta _ { 1 } \right) \left( V _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( r ) - 2 \Delta _ { 2 } \right) } , ~ U _ { 2 2 } ^ { 2 2 ( 4 a ) } ( r ) = - \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 4 } } { 4 \Delta _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { V _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( r ) - 2 \Delta _ { 2 } } { \left( V _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( r ) - 2 \Delta _ { 1 } \right) \left( V _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( r ) - 2 \Delta _ { 2 } \right) } } \\ & { U _ { 1 2 } ^ { 2 1 ( 4 a ) } ( r ) = \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 6 \Delta _ { 1 } ^ { 2 } \Delta _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \left( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } \right) ^ { 2 } V _ { 2 1 } ^ { 1 2 } ( r ) } { \left( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } - V _ { 2 1 } ^ { 1 2 } ( r ) \right) ^ { 2 } - ( V _ { 2 1 } ^ { 1 2 } ( r ) ) ^ { 2 } } , ~ U _ { 2 1 } ^ { 2 1 ( 4 a ) } ( r ) = \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 6 \Delta _ { 1 } ^ { 2 } \Delta _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \left( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } - V _ { 1 2 } ^ { 1 2 } ( r ) \right) } { \left( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } - V _ { 1 2 } ^ { 1 2 } ( r ) \right) ^ { 2 } - \left( V _ { 2 1 } ^ { 1 2 } ( r ) \right) ^ { 2 } } , } \\ & { U _ { 2 2 } ^ { 2 2 ( 4 b ) } = - \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 4 } } { 4 \Delta _ { 1 } ^ { 3 } } , ~ U _ { 1 1 } ^ { 1 1 ( 4 b ) } = - \frac { \Omega _ { 2 } ^ { 4 } } { 4 \Delta _ { 2 } ^ { 3 } } , ~ U _ { 2 1 } ^ { 2 1 ( 4 b ) } = - \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 4 } } { 1 6 \Delta _ { 1 } ^ { 3 } } - \frac { \Omega _ { 2 } ^ { 2 } \Omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 6 \Delta _ { 1 } ^ { 2 } \Delta _ { 2 } } - \frac { \Omega _ { 2 } ^ { 2 } \Omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 6 \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { \Omega _ { 2 } ^ { 4 } } { 1 6 \Delta _ { 2 } ^ { 3 } } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { t _ { 0 } \rightarrow \infty } \int _ { v t _ { 0 } - z _ { 2 } } ^ { v t _ { 0 } - z _ { 1 } } d \xi \, \sin \left( u \xi / r _ { c } \right) \sin \left( u ^ { \prime } \xi / r _ { c } \right) = \frac { t _ { 2 } - t _ { 1 } } { 2 v } \delta _ { u ^ { \prime } u } .
T _ { N , d } ^ { ( 0 ) } = \frac { 1 } { 2 ^ { 5 / 2 } \pi ^ { 7 / 2 } } \frac { e ^ { i N \phi _ { q } } } { \Delta ^ { 2 } } J _ { N } ( { \cal R } _ { q } ) \int d \mathbf { r } _ { 1 } \; e ^ { - i \mathbf { k } _ { e } \cdot \mathbf { r } _ { 1 } } ( e ^ { i \mathbf { \Delta } \cdot \mathbf { r } _ { 1 } } - 1 ) \psi _ { 1 s } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \int i \hbar \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) d \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) d \mathrm { \bf ~ r } = \int i \hbar \frac { 1 } { 2 \hbar } \left[ \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) d \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) + i \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) d \pi ( \mathrm { \bf ~ r } ) - i \pi ( \mathrm { \bf ~ r } ) d \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \right. } \\ & { } & { + \left. \pi ( \mathrm { \bf ~ r } ) d \pi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] d \mathrm { \bf ~ r } = \int \pi ( \mathrm { \bf ~ r } ) d \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) d \mathrm { \bf ~ r } + d \int \frac { i } { 4 } \left[ \phi ^ { 2 } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \pi ^ { 2 } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + 2 i \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \pi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] d \mathrm { \bf ~ r } } \end{array}
\langle \dot { N } _ { C S } \rangle = V ( \Gamma _ { \mathrm { f o r w a r d } } - \Gamma _ { \mathrm { b a c k w a r d } } ) \simeq \frac { \Gamma _ { d } V } { 2 } \left( e ^ { \frac { - \mu } { 2 T } } - e ^ { \frac { \mu } { 2 T } } \right) = - \Gamma _ { d } V \sinh \frac { \mu } { 2 T }
U = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ .
\begin{array} { r } { S _ { i } ^ { \prime } = S _ { i } \frac { 1 - W ^ { \pm } ( a , \eta _ { \gamma } , 0 ) \Delta \tau } { 1 - W ^ { \pm } ( a , \eta _ { \gamma } , S _ { j } ) \Delta \tau } - \delta _ { i j } \frac { W ^ { \pm } ( a , \eta _ { \gamma } , 1 ) - W ^ { \pm } ( a , \eta _ { \gamma } , - 1 ) } { 2 } \Delta \tau , } \end{array}