harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \exp \left( - \frac { i \sigma _ { 1 } \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( { \bf 1 } \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) - i \sigma _ { 1 } \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) \right) } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { - i \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ { - i \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
G _ { M a r } ^ { - } ( \textbf { x } _ { v } , \textbf { x } _ { r } , \omega ) = \int _ { \mathcal { D } _ { a c q } } R ( \textbf { x } _ { r } , \textbf { x } _ { s } , \omega ) f _ { 1 } ^ { + } ( \textbf { x } _ { s } , \textbf { x } _ { v } , \omega ) \, d \textbf { x } _ { s } - f _ { 1 } ^ { - } ( \textbf { x } _ { r } , \textbf { x } _ { v } , \omega ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \lambda } [ X ] } & { = \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { a _ { 2 } } { n ( n - 1 ) } - \frac { a _ { 1 } ( a _ { 1 } - 1 ) } { 2 n ( n - 1 ) } \right) \alpha _ { n } ( X ) + \left( \frac { n - n a _ { 1 } - a _ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 2 } } { n ( n - 1 ) ( n - 2 ) } \right) \beta _ { n } ( X ) } \\ & { = \frac { \alpha _ { n } ( X ) } { 2 } + \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \left( a _ { 2 } - \binom { a _ { 1 } } { 2 } \right) \alpha _ { n } ( X ) + \frac { 1 } { n ( n - 1 ) ( n - 2 ) } \left( n ( 1 - a _ { 1 } ) + 2 \binom { a _ { 1 } } { 2 } - 2 a _ { 2 } \right) \beta _ { n } ( X ) . } \end{array}
A _ { n } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { v _ { n } + \varphi _ { 0 } k ( 2 n + 1 ) i ^ { n } j _ { n } ^ { ' } ( k a ) } { - \varphi _ { 0 } k ( 2 n + 1 ) i ^ { n } h _ { n } ^ { ( 1 ) ^ { \prime } } ( k a ) } } & { n = 0 \& n = 1 } \\ { - \frac { j _ { n } ^ { ' } ( k a ) } { h _ { n } ^ { ( 1 ) ^ { \prime } } ( k a ) } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \Delta g _ { \mathrm { S M S } , i k } ^ { ( 1 ) } ( E ) = \left( \frac { i } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \int \! d p _ { 1 } d p _ { 1 } ^ { \prime } \, \sum _ { P } ( - 1 ) ^ { P } \, \langle \psi _ { P i _ { 1 } } \psi _ { P i _ { 2 } } | R ( p _ { 1 } - p _ { 1 } ^ { \prime } ) | \psi _ { k _ { 1 } } \psi _ { k _ { 2 } } \rangle } \\ & { \qquad \times \frac { 1 } { ( p _ { 1 } ^ { \prime } - \varepsilon _ { P i _ { 1 } } + i 0 ) ( E - p _ { 1 } ^ { \prime } - \varepsilon _ { P i _ { 2 } } + i 0 ) } \frac { 1 } { ( p _ { 1 } - \varepsilon _ { k _ { 1 } } + i 0 ) ( E - p _ { 1 } - \varepsilon _ { k _ { 2 } } + i 0 ) } \, , } \end{array}
{ \underline { { \phi } } } ( x , \theta ^ { a } ) = \phi ( x ) + \delta _ { 1 } \phi ( x ) \theta ^ { 1 } + \delta _ { 2 } \phi ( x ) \theta ^ { 2 } + \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } \phi ( x ) \theta ^ { 2 } \theta ^ { 1 }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \left| \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \left( S _ { N } \right) - \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) \right| } \\ & { \leqslant \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \left( \left| \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \left( S _ { N } \right) - \Phi _ { \operatorname { H } } ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) \right| - { \mathbf E } \left| \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \left( S _ { N } \right) - \Phi _ { \operatorname { H } } ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) \right| \right) } \\ & { \qquad + \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } { \mathbf E } \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \left| \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \left( S _ { N } \right) - \Phi _ { \operatorname { H } } ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) \right| } \\ & { \qquad + \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \left| \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) - \Phi _ { \operatorname { H } } ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) \right| } \\ & { = ( I ) + ( I I ) + ( I I I ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { t } ^ { \varepsilon , i } = y ^ { i } } & { + \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( b ^ { i } - \theta ^ { i } b ^ { 0 } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { y ^ { j } } ^ { i } \Sigma ^ { 0 j } + \psi ^ { i } \Big ) ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \sigma _ { l } ^ { i } - \theta ^ { i } \sigma _ { l } ^ { 0 } + \psi _ { l } ^ { i } \Big ) ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \zeta _ { j k } ^ { ( n , \varepsilon ) } ( t | x ) = ( n a _ { n } ^ { d } ) ^ { 1 / 2 } \big ( \mathbb { \Lambda } _ { j k } ^ { ( n , \varepsilon ) } ( t | x ) - \Lambda _ { j k } ^ { ( \varepsilon ) } ( t | x ) \big ) } \\ { \gamma _ { j k } ^ { ( n , \varepsilon ) } ( t | x ) = ( n a _ { n } ^ { d } ) ^ { 1 / 2 } \big ( \mathbb { p } _ { j } ^ { ( n , \varepsilon ) } ( t | x ) - p _ { j } ^ { ( \varepsilon ) } ( t | x ) \big ) . } \end{array}
\bar { v } _ { r } ( r , t ) = v _ { \mathrm { e } } ^ { 0 } \frac { R ^ { 2 } } { r h ( r , t ) } \left( \left( 1 - \frac { r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } - \left( 1 - \frac { r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) ,
x = \frac { 1 } { 2 } \frac { \lambda | a | \sqrt { \lambda ^ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } ) + 2 m { \lambda } a _ { 1 } + m ^ { 2 } } } { | \eta | ^ { 2 } \left( 1 - \alpha { l n } \frac { | \eta | ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) }
{ \begin{array} { r c c c c c c c c c } { { \mathrm { T i m e ~ d o m a i n } } } & { s } & { = } & { s _ { _ { \mathrm { R E } } } } & { + } & { s _ { _ { \mathrm { R O } } } } & { + } & { i s _ { _ { \mathrm { I E } } } } & { + } & { \underbrace { i \ s _ { _ { \mathrm { I O } } } } } \\ & { { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { \ \ { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { \ \ { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { \ \ { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } \\ { { \mathrm { F r e q u e n c y ~ d o m a i n } } } & { S } & { = } & { S _ { \mathrm { R E } } } & { + } & { \overbrace { \, i \ S _ { \mathrm { I O } } \, } } & { + } & { i S _ { \mathrm { I E } } } & { + } & { S _ { \mathrm { R O } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { B } _ { 0 } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } + j \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } j \beta \omega _ { 0 } t } = ~ } & { \Theta [ ( \mathbf { k } + j \alpha \mathbf { k } _ { 0 } ) \cdot \mathbf { k } _ { 0 } ] \left\{ \hat { \bar { \Phi } } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } + j \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } j \beta \omega _ { 0 } t } + \right. } \\ & { \left. \big [ \hat { \bar { \Phi } } ^ { ( m j ) } ( - \mathbf { k } - j \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } j \beta \omega _ { 0 } t } \big ] ^ { * } \right\} , } \end{array}
I = \int d ^ { n } x ~ { \cal L } = - \int d ^ { n } x \sqrt { - g } \left( \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \Phi \partial _ { \nu } \Phi + \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } \Phi ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 4 ! } \Phi ^ { 4 } \right) \; \; ,
\begin{array} { c c } { { x = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \cdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] , ~ } } & { { y = \left[ \begin{array} { c c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \omega } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \omega ^ { 2 } } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \cdots } } & { { \vdots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { \omega ^ { L - 1 } } } \end{array} \right] , ~ ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Gamma } _ { 2 } = } & { \Gamma _ { 2 } ^ { \prime } + O \left( \frac { 1 } { L _ { 2 } ^ { 3 } } \right) } \\ { \hat { \Gamma } _ { 3 } = } & { \Gamma _ { 3 } ^ { \prime } - \frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 3 } } \frac { \alpha _ { 0 } ^ { 2 3 } } { \alpha _ { \mathrm { K e p } } } \frac { \beta _ { 0 } \, \delta _ { 2 } ^ { 3 } } { 6 } \left[ \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \left( \cos \left( 3 v _ { 3 } ^ { \prime } - 2 \gamma _ { 3 } ^ { \prime } \right) + 3 \cos \left( v _ { 3 } ^ { \prime } - 2 \gamma _ { 3 } ^ { \prime } \right) \right) + 3 \cos \left( 2 v _ { 3 } ^ { \prime } - 2 \gamma _ { 3 } ^ { \prime } \right) \right] + \cdots } \\ { \hat { \Psi } _ { 1 } = } & { \Psi _ { 1 } ^ { \prime } - \frac { L _ { 2 } ^ { 1 1 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \frac { \alpha _ { 0 } ^ { 2 3 } } { \alpha _ { 1 } ^ { 1 2 } } \frac { \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } ^ { \prime } \right) ^ { 3 } } { 2 \left( 3 \frac { \left( \Gamma _ { 2 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } - 1 \right) } \left[ A _ { 0 } \left( \gamma _ { 3 } ^ { \prime } , v _ { 3 } ^ { \prime } \right) \, \cos 2 \psi _ { 1 } ^ { \prime } + B _ { 0 } \left( \gamma _ { 3 } ^ { \prime } , v _ { 3 } ^ { \prime } \right) \, \sin 2 \psi _ { 1 } ^ { \prime } \right] + \cdots } \\ { \hat { L } _ { 3 } = } & { L _ { 3 } ^ { \prime } - \frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 3 } } \frac { \alpha _ { 0 } ^ { 2 3 } } { \alpha _ { \mathrm { K e p } } } \left( \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } ^ { \prime } \right) ^ { 3 } \left[ \beta _ { 0 } \, \sin ^ { 2 } \left( v _ { 3 } ^ { \prime } - \gamma _ { 3 } ^ { \prime } \right) + \beta _ { 1 } \right] - \delta _ { 2 } ^ { 3 } \, \left( \frac { \beta _ { 0 } } { 2 } + \beta _ { 1 } \right) \right) + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { r s t u } = k ^ { r s } k ^ { t u } \left( \frac { 1 } { 4 } k _ { r s t u } - k _ { r s t } ^ { ( u ) } + k _ { r s } ^ { ( t u ) } \right) \, , } \\ & { \lambda _ { r s t u v w } = k ^ { r s } k ^ { t u } k ^ { v w } \Bigg ( \frac { 1 } { 6 } k _ { r t v } k _ { s u w } + \frac { 1 } { 4 } k _ { r t u } k _ { s v w } - k _ { r t v } k _ { s w } ^ { ( u ) } } \\ & { \phantom { = } - k _ { r t u } k _ { s w } ^ { ( v ) } + k _ { r t } ^ { ( v ) } k _ { s w } ^ { ( v ) } + k _ { r t } ^ { ( u ) } k _ { s w } ^ { ( v ) } \Bigg ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { t } ^ { i } } & { = Y _ { 0 } ^ { i } + \sqrt { 2 \nu } \int _ { 0 } ^ { t } 1 _ { \{ s < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \cdot \textrm { d } B _ { s } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } 1 _ { \{ s < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) g _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \textrm { d } s } \end{array}
\overline { { \phi } } _ { x _ { 1 } } ( \widetilde { \theta } ) \overset { d e f } { \equiv } \mathbb { E } [ \phi _ { x _ { 1 } } ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , X _ { 2 } ; \widetilde { \theta } ) \, | \, X _ { i 1 } = x _ { 1 } ] = \mathbb { E } [ ( 1 - Y _ { i 2 } ) e ^ { \widetilde { \theta } X _ { i 2 } } - ( 1 - Y _ { i 1 } ) e ^ { \widetilde { \theta } X _ { i 1 } } \, | \, X _ { i 1 } = x _ { 1 } ] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } ( \mu P _ { t } ^ { \theta } , \mu P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } ) \leq } & { \mathcal { W } ( \mu P _ { t } ^ { \theta } , \mu _ { \theta } P _ { t } ^ { \theta } ) + \mathcal { W } ( \mu _ { \theta } , \mu _ { \theta _ { 0 } } ) + \mathcal { W } ( \mu _ { \theta _ { 0 } } P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } , \mu P _ { t } ^ { \theta _ { 0 } } ) } \\ { \leq } & { C _ { 0 } e ^ { - \kappa t } ( \mathcal { W } ( \mu , \mu _ { \theta } ) + \mathcal { W } ( \mu , \mu _ { \theta _ { 0 } } ) ) + \mathcal { W } ( \mu _ { \theta } , \mu _ { \theta _ { 0 } } ) } \\ { \leq } & { C _ { 0 } e ^ { - \kappa t } \mathcal { W } ( \mu , \mu _ { \theta _ { 0 } } ) + ( 1 + C _ { 0 } ) \mathcal { W } ( \mu _ { \theta } , \mu _ { \theta _ { 0 } } ) , } \end{array}
\tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) = \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \beta + \nu \right) } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( s \right) } { \phi _ { \sigma } \left( s \right) } = \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \beta + \nu \right) } } \frac { b _ { 1 } + b _ { 2 } s ^ { \alpha + \beta } } { a _ { 1 } + a _ { 2 } s ^ { \alpha + \beta } + a _ { 3 } s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } }
\begin{array} { r } { B _ { k } ( i , j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { + 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathrm { d i m } \, \sigma _ { i } = k - 1 , \, \sigma _ { j } > \sigma _ { i } \mathrm { ~ a n d ~ } \sigma _ { j } \sim \sigma _ { i } \, , } \\ { - 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathrm { d i m } \, \sigma _ { i } = k - 1 , \, \sigma _ { j } > \sigma _ { i } \mathrm { ~ a n d ~ } \sigma _ { j } \nsim \sigma _ { i } \, , } \\ { 0 \ } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } \, . } \end{array} \right. } \end{array}
\tau _ { i j } = - 2 \nu _ { t } \left( S _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { k } } \delta _ { i j } \right) + \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { i j } \ \mathrm { ~ , ~ }
V = \sum _ { i } | \frac { \partial W } { \partial Y _ { i } } | ^ { 2 } + m _ { g } ^ { * } A W ^ { ( 3 ) } + m _ { g } ^ { * } B W ^ { ( 2 ) } + h . c . + \sum _ { i } | m _ { g } | ^ { 2 } | Y _ { i } | ^ { 2 } + ( D - t e r m s )
\begin{array} { r l } { { \bar { F } } _ { \alpha \beta } } & { { } = { \frac { \partial { \bar { A } } _ { \beta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } - { \frac { \partial { \bar { A } } _ { \alpha } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ I _ { \ell } ( s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } ) I _ { \ell ^ { ' } } ( s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ^ { ' } ) } ) \right] = \left\{ \begin{array} { l l } { \ell ! \| s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \textup { i f } \ \ell = \ell ^ { ' } , } \\ { 0 } & { \textup { i f } \ \ell \neq \ell ^ { ' } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { Z ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) = \sum _ { \mathbf { d } \in \mathcal { C } } \exp \left( \mathbf { a } ^ { \intercal } \left( \frac { \mathbf { d - \hat { d } } } { \mu } \right) \right) } \end{array}
\phi \left( x ^ { 5 } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \pm \frac { 3 } { 4 } \log \left| \frac { 4 } { 3 } x ^ { 5 } + c \right| + d , } } & { { x ^ { 5 } < 0 } } \\ { { \pm \frac { 3 } { 4 } \log \left| \frac { 4 } { 3 } x ^ { 5 } - c \right| + d , } } & { { x ^ { 5 } > 0 . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { - n } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } & { = a _ { n } ( \theta ) ( \mathcal { R } ( Q _ { [ 1 , n ] } ^ { + } ) ^ { - 1 } A _ { n } ) ^ { * } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = a _ { n } ( \theta ) ( \mathcal { R } Q _ { [ 1 , n ] } ^ { - 1 } ) ^ { * } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { z _ { 2 } - z _ { 1 } } } { w ^ { z _ { 2 } - z _ { 1 } + n + 1 } } \psi ( w ) \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( v _ { i } - w ) } { \prod _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } ^ { + } \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } a _ { i } ( w ) } , } \\ { \bar { \mathcal { S } } _ { ( m , n ] } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } & { = a _ { n } ( \theta ) ^ { - 1 } \bar { Q } _ { ( m , n ] } ^ { + } A _ { n } ^ { - 1 } \mathcal { R } ^ { - 1 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) , } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { \vec { v } } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x - y } } { w ^ { x - y - n + m + 1 } } \psi ( w ) ^ { - 1 } \frac { \prod _ { i = m + 1 } ^ { n } \alpha _ { i } ^ { + } \prod _ { i = m + 1 } ^ { n - 1 } a _ { i } ( w ) } { \prod _ { i = m + 1 } ^ { n } ( v _ { i } - w ) } , } \end{array}
\{ A _ { i } , \, A _ { j } ^ { * } \} _ { \pm } = \delta _ { i j } + { \frac { \partial ( \delta a _ { i } ) } { \partial a _ { j } } } + { \frac { \partial ( \delta a _ { j } ^ { * } ) } { \partial a _ { i } ^ { * } } } = \pm \{ A _ { j } ^ { * } , \, A _ { i } \} _ { \pm } .
\hat { H } = \hat { H } _ { \mathrm { i n t e r } } ( R , \omega ; \bar { r } ) + \hat { H } _ { \mathrm { i n t r a } } ( r ; \bar { R } , \bar { \omega } ) + \Delta \hat { H } ( R , \omega , r ; \bar { R } , \bar { \omega } , \bar { r } ) .
\Dot { \boldsymbol { Y } } ( t ) = \left( \begin{array} { l } { - k _ { R } V ( t ) P ( t ) + g _ { V } W _ { V } ( t ) } \\ { k _ { F } ( t ) R ( t ) - g _ { V } W _ { V } ( t ) } \\ { k _ { F } ( t ) R ( t ) - g _ { P } W _ { P } ( t ) } \\ { k _ { R } V ( t ) P ( t ) - k _ { F } ( t ) R ( t ) } \\ { - k _ { R } V ( t ) P ( t ) + g _ { P } W _ { P } ( t ) } \\ { k _ { F } ( t ) R ( t ) } \end{array} \right) = : \tilde { h } ( \boldsymbol { Y } ( t ) , t ) .
W ( \gamma , A ) = 2 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathrm { T r } ( A _ { a _ { 1 } x _ { 1 } } . . . A _ { a _ { n } x _ { n } } ) X ^ { a _ { 1 } x _ { 1 } . . . a _ { n } x _ { n } } ( \gamma )
\begin{array} { l } { \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } = \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } , \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; 1 \leq i \leq N - 2 , } \\ { \sigma _ { i } \sigma _ { j } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } , \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; 1 \leq i , j \leq N - 1 , \; | i - j | \geq 2 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { 0 } = \Re Z _ { 1 } ^ { 0 } + \Re Z _ { 2 } ^ { 0 } v _ { a m p } \cos \phi _ { 0 } + \Im Z _ { 2 } ^ { 0 } v _ { a m p } \sin \phi _ { 0 } } \\ { \beta _ { 0 } = \Im Z _ { 1 } ^ { 0 } + \Im Z _ { 2 } ^ { 0 } v _ { a m p } \cos \phi _ { 0 } - \Re Z _ { 2 } ^ { 0 } v _ { a m p } \sin \phi _ { 0 } } \end{array}
[ \langle \Phi ^ { 2 } ( t ) \rangle - \langle \Phi ^ { 2 } ( 0 ) \rangle ] = \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { 2 \omega _ { < } ( k ) } [ { \cal { U } } _ { k } ^ { + } ( t ) { \cal { U } } _ { k } ^ { - } ( t ) - 1 ] \coth [ \beta _ { i } \omega _ { < } ( k ) / 2 ]
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \mathcal { K } _ { h } ( x - X _ { t } ) - \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - X _ { t } ) \Big ) \Big | } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big | \mathcal { K } _ { h } ( x - X _ { t } ) - \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - X _ { t } ) \Big | } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \frac { \vert x - x _ { i } \vert } { h ^ { p + 1 } } } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \frac { \sqrt { h ^ { p } } h \sqrt { p } } { \sqrt { T } h ^ { p + 1 } } \le \frac { \sqrt { p } } { \sqrt { h ^ { p } } } } \end{array}
\mathbf { S } _ { 1 } = ( \widetilde { S } _ { 1 } , S ) , ~ \mathbf { S } _ { 2 } = ( S , \widetilde { S } _ { 2 } ) , ~ \widetilde { \mathbf { S } } = ( \widetilde { S } _ { 1 } , \widetilde { S } _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } U _ { c , \lambda } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } } & { { } = U _ { c , \infty } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } \, \lambda + o ( \lambda ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } V _ { c , \lambda } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } } & { { } = V _ { c , \infty } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } \, \lambda + o ( \lambda ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x _ { \alpha } + \lambda y , \alpha ) } & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow + \infty } f \Big ( \Big ( 1 - \frac { \lambda } { \| x _ { n } \| _ { H } } \Big ) x _ { \alpha } + + \frac { \lambda } { \| x _ { n } \| _ { H } } x _ { n } , \alpha _ { n } \Big ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow + \infty } \Big ( 1 - \frac { \lambda } { \| x _ { n } \| _ { H } } \Big ) f ( x _ { \alpha } , \alpha _ { n } ) + \frac { \lambda } { \| x _ { n } \| _ { H } } f ( x _ { n } , \alpha _ { n } ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow + \infty } \Big ( 1 - \frac { \lambda } { \| x _ { n } \| _ { H } } \Big ) f ( x _ { \alpha } , \alpha _ { n } ) + \frac { \lambda } { \| x _ { n } \| _ { H } } f ( x _ { \alpha } , \alpha _ { n } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow + \infty } f ( x _ { \alpha } , \alpha _ { n } ) = f ( x _ { \alpha } , \alpha ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { \alpha } } & { { } = X _ { \alpha / 0 } + \chi _ { \alpha \beta } \delta \mu _ { \beta } + \nu _ { \alpha i } \delta m _ { i } + \kappa _ { \alpha P } \delta K _ { P } , } \\ { N _ { i } } & { { } = N _ { i / 0 } + \chi _ { i \alpha } \delta \mu _ { \alpha } + \nu _ { i j } \delta m _ { j } + \kappa _ { i P } \delta K _ { P } , } \\ { R _ { P } } & { { } = R _ { P / 0 } + \chi _ { P \alpha } \delta \mu _ { \alpha } + \nu _ { P i } \delta m _ { i } + \kappa _ { P Q } \delta K _ { Q } . } \end{array}
\gamma , z , \underline { { x } } ^ { \prime } \vdash f _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) , \textnormal { e v } ( z , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) ) ) : B ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) , f _ { 1 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) ) )
U _ { j j ^ { \prime } } ^ { A } = H _ { j j ^ { \prime } } + \sum _ { \gamma \neq j , j ^ { \prime } } ^ { B } { \frac { H _ { j \gamma } H _ { \gamma j ^ { \prime } } } { E _ { 0 } - E _ { \gamma } } } = H _ { j j ^ { \prime } } + \sum _ { \gamma \neq j , j ^ { \prime } } ^ { B } { \frac { H _ { j \gamma } ^ { ' } H _ { \gamma j ^ { \prime } } ^ { ' } } { E _ { 0 } - E _ { \gamma } } }