harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { n ^ { 2 } - 1 } { n ^ { 2 } + 2 } \rho ^ { - 1 } } & { { } = \frac { N _ { A } \alpha } { 3 \epsilon _ { 0 } } \quad \overset { n \to 1 } { \Longrightarrow } \quad n = \frac { N \alpha _ { 0 } } { 2 \epsilon _ { 0 } } \rho + 1 . \implies n _ { i } = \frac { \eta _ { i } } { \eta _ { i - 1 } } \left( n _ { i - 1 } - 1 \right) + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\| C \nabla \log \frac { \mathrm { d } p _ { t } } { \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , C _ { t } ) } ( x _ { t } ) - C \nabla \log \frac { \mathrm { d } p _ { t } } { \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , C _ { t } ) } ( y _ { t } ) \right\| } \\ & { \leqslant } & { E \exp ( 4 \tilde { R } ^ { 2 } ) L \| x _ { t } - y _ { t } \| + E \exp ( 2 \tilde { R } ) \| x _ { t } - y _ { t } \| ( 1 + R ) \leqslant E \exp ( 4 \tilde { R } ^ { 2 } ) \| x _ { t } - y _ { t } \| . } \end{array}
h _ { \pm } \equiv h _ { \pm } ( s , b ) \ = { \frac { 1 } { 2 } } \chi _ { \pm } ( s , b ) \ = { \frac { 1 } { 2 s } } \, i n t _ { 0 } ^ { \infty } \ d q \ q \, J _ { 0 } ( b q ) \, a _ { \pm } ( s , - q ^ { 2 } ) \ .
\sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \mu _ { 3 } + \frac { | A | ^ { 2 } } { 2 } \left( e ^ { 2 \mu _ { 2 } } - 1 \right) } e ^ { - \frac { i } { \hslash } g e ^ { \mu _ { 2 } } A t \hat { b } _ { 2 } } e ^ { e ^ { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle \left\vert e ^ { \mu _ { 2 } } A \right\rangle .
f _ { B } \left( \mathbf { v } _ { \perp } , \mathbf { v } _ { \| } \right) = \exp \left( \frac { - v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 a _ { B } ^ { 2 } } + \frac { - v _ { \| } ^ { 2 } } { 2 b _ { B } ^ { 2 } } \right) ,
\prod _ { p \leq x } { \frac { p - 1 } { p } } \left( \log \log n - { \frac { 1 } { \log n } } \left( 1 - { \frac { 4 } { \sqrt { n } } } \right) + M - \log 2 - \sum _ { p \leq x } { \frac { 1 } { p } } \right)
\mathcal { H } _ { ( \alpha \beta ) } ^ { 0 } = \frac { 1 } { 2 8 8 } \left( K _ { ( \alpha \beta ) } ^ { 1 , 1 } + K _ { ( \alpha \beta ) } ^ { 2 , 2 } + K _ { ( \alpha \beta ) } ^ { 3 , 3 } \right) ~ .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = \frac { { \cal L } g } { R _ { v } c _ { p } T ^ { 2 } } , } \\ { A _ { 2 } } & { = \frac { R ^ { \prime } T } { \varepsilon e _ { s } ( T ) } + \frac { { \cal L } ^ { 2 } \varepsilon } { p T c _ { p } } , } \\ { K ^ { \prime } } & { = \left[ \frac { { \cal L } \rho _ { l } } { k T } \left( \frac { \cal L } { R _ { v } T } - 1 \right) + \frac { \rho _ { l } R _ { v } T } { D e _ { s } ( T ) } \right] ^ { - 1 } . } \end{array}
\ddot { F } = F ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { r } F ^ { \prime } - \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \chi ^ { 2 } + \frac { q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } A ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( F - F ^ { 3 } \right) ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } _ { \vec { i } } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } = \boldsymbol { \eta } _ { \vec { i } } \sqrt { \frac { 2 \alpha k _ { B } T } { \mu _ { 0 } M _ { s } \gamma V \Delta t } } , } \end{array}
\widetilde { M } _ { 2 } = \left( \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } + \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 2 } \| v ^ { j } | + \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 3 } \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \cdots + \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \right) .
p = \left[ \frac { P } { 2 \nu } \, \frac { - \nu ^ { 2 } + 3 B _ { 0 } ^ { 2 } P } { \nu ^ { 2 } + B _ { 0 } ^ { 2 } P } - \frac { \nu } { P } \right] k ^ { 2 } + \cdots .
\begin{array} { r l } { \Delta \tilde { \sigma } ( \omega ) } & { = \sum _ { k \in \mathbb { P } } \operatorname { R e } \left( \frac { 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \right) \left( \frac { ( i \omega _ { k } ^ { + } ) ^ { * } } { \omega - ( - \omega _ { k } ^ { + } ) ^ { * } } \right) + \sum _ { k \in \mathbb { P } } i \operatorname { I m } \left( \frac { 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \right) \left( \frac { i \omega _ { k } ^ { + } } { \omega - \omega _ { k } ^ { + } } \right) } \\ & { + \sum _ { k \in \mathbb { Z } \backslash \mathbb { P } } \frac { i } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \omega - \omega _ { k } ^ { + } } \right) - \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \frac { i } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \omega - \omega _ { k } ^ { - } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { U ( \sigma ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { N ^ { k - 1 } } { k ! } [ \frac { 1 } { ( k - 1 ) ! } \sigma ^ { 2 k - 2 } + \frac { 1 } { 1 2 ( k + 1 ) ! } \sigma ^ { 2 k + 2 } } \\ & { } & { + ( \frac { k } { 8 0 } + \frac { k ( k - 1 ) } { 2 8 8 } ) \frac { 1 } { ( k + 3 ) ! } \sigma ^ { 2 k + 6 } } \\ & { } & { + ( \frac { k } { 4 4 8 } + \frac { k ( k - 1 ) } { 9 6 0 } + \frac { k ( k - 1 ) ( k - 2 ) } { 1 0 3 6 8 } ) \frac { 1 } { ( k + 5 ) ! } \sigma ^ { 2 k + 1 0 } } \\ & { } & { + ( \frac { k } { 2 3 0 4 } + \frac { 7 1 k ( k - 1 ) } { 2 6 8 8 0 0 } + \frac { k ( k - 1 ) ( k - 2 ) } { 2 3 0 4 0 } } \\ & { } & { + \frac { k ( k - 1 ) ( k - 2 ) ( k - 3 ) } { 4 9 7 6 6 4 } ) \frac { 1 } { ( k + 7 ) ! } \sigma ^ { 2 k + 1 4 } + O ( \sigma ^ { 2 k + 1 8 } ) ] } \end{array}
y ( x , t ) = y _ { \mathrm { R } } + y _ { \mathrm { L } } = y _ { \mathrm { m a x } } \sin \left( { \frac { 2 \pi x } { \lambda } } - \omega t \right) + y _ { \mathrm { m a x } } \sin \left( { \frac { 2 \pi x } { \lambda } } + \omega t \right) .
\begin{array} { r l } { p _ { E | X } ( 1 | x ) } & { = \sum _ { y } p _ { E Y | X } ( 1 , y | x ) } \\ & { = \sum _ { y } p _ { Y | X } ( y | x ) p _ { E | X Y } ( 1 | x , y ) } \\ & { = \sum _ { y } ( \lambda p ^ { \prime } ( y | x ) + \bar { \lambda } p ^ { \prime \prime } ( y | x ) ) p _ { E | X Y } ( 1 | x , y ) } \\ & { = \sum _ { y } ( \lambda p ^ { \prime } ( y | x ) + \bar { \lambda } p ^ { \prime \prime } ( y | x ) ) \sum _ { u \in \mathcal { W } } p _ { U | X Y } ( u | x , y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } \otimes _ { r } s _ { 2 ^ { J } t _ { n } , j _ { n } } ^ { ( \ell ^ { ' } ) } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { 2 ^ { - 3 J } \sigma _ { j _ { m } } ^ { 2 \nu - 2 \ell } \sigma _ { j _ { n } } ^ { 2 \nu - 2 \ell ^ { ' } } c _ { \ell } ^ { 2 } c _ { \ell ^ { ' } } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { \ell + \ell ^ { ' } } } \left[ \overset { \ell - r } { \underset { k = 1 } { \prod } } | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { m } } w _ { k } ) | ^ { 2 } f _ { X } w _ { k } ) \right] \left[ \overset { \ell + \ell ^ { ' } - 2 r - 1 } { \underset { k = \ell - r + 1 } { \prod } } | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { n } } w _ { k } ) | ^ { 2 } f _ { X } ( w _ { k } ) \right] } \\ & { \times \left[ \overset { r - 1 } { \underset { k = 1 } { \prod } } | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { m } } u _ { k } ) | | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { n } } u _ { k } ) | f _ { X } ( u _ { k } ) \right] \left[ \overset { r - 1 } { \underset { k = 1 } { \prod } } | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { m } } v _ { k } ) | | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { n } } v _ { k } ) | f _ { X } ( v _ { k } ) \right] } \\ & { \times | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { m } } u ^ { * } ) | | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { n } } u ^ { * } ) | f _ { X } ( u ^ { * } ) | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { m } } v ^ { * } ) | | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { n } } v ^ { * } ) | f _ { X } ( v ^ { * } ) | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { n } } w ^ { * } ) | ^ { 2 } f _ { X } ( w ^ { * } ) } \\ & { \times | \widehat { \phi } ( x ) \widehat { \phi _ { J } } ( y ) \widehat { \phi } ( z ) \widehat { \phi } ( x + y - z ) | \ \ d u _ { 1 } \cdots d u _ { r - 1 } d v _ { 1 } \cdots d _ { r - 1 } d w _ { 1 } \cdots d w _ { \ell + \ell ^ { ' } - 2 r - 1 } d x d y d z , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { ~ } & { \frac { S _ { L } ( \ell + h , r ) - S _ { L } ( \ell , r ) } { h } = } \\ & { ~ } & { \frac { 1 } { h } \left( \int _ { - \infty } ^ { ( \ell + h + r ) / 2 } f ( x ) g ( | \ell + h - x | ) d x - \int _ { - \infty } ^ { ( \ell + r ) / 2 } f ( x ) g ( | \ell - x | ) d x \right) = } \\ & { ~ } & { \frac { 1 } { h } \left( \int _ { - \infty } ^ { ( \ell - h + r ) / 2 } f ( x + h ) g ( | \ell - x | ) d x - \int _ { - \infty } ^ { ( \ell + r ) / 2 } f ( x ) g ( | \ell - x | ) d x \right) = } \\ & { ~ } & { \int _ { - \infty } ^ { ( \ell + r ) / 2 } \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } g ( | \ell - x | ) d x - \frac { 1 } { h } \int _ { ( \ell - h + r ) / 2 } ^ { ( \ell + r ) / 2 } f ( x + h ) g ( | \ell - x | ) d x . } \end{array}
m _ { I } ^ { 2 } = \Bigl [ { \frac { 2 \pi ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { \pi } { 3 } } \Big ( \mathrm { l n } \Big ( { \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 3 } } \Big ) \Big ) ^ { 2 } \Big ] T ^ { 2 } { \hat { g } } ^ { 4 } + { \frac { 4 \pi } { 3 } } T ^ { 2 } \mathrm { l n } \Big ( { \frac { 1 } { \hat { g } } } \Big ) - { \frac { 4 \pi } { 3 } } T ^ { 2 } \Big ( \mathrm { l n } \Big ( { \frac { 1 } { \hat { g } } } \Big ) \Big ) ^ { 2 } + 0 ( { \hat { g } } ^ { 5 } )
\begin{array} { r } { P _ { k } ( t ) = \sum _ { \alpha , \beta } e ^ { i ( \omega _ { \beta } - \omega _ { \alpha } ) t } c _ { k 0 } ^ { \alpha * } c _ { k 0 } ^ { \beta } \rho _ { k k } ^ { \beta \alpha } , } \\ { \rho _ { k k } ^ { \beta \alpha } = \sum _ { b } c _ { k b } ^ { \beta * } c _ { k b } ^ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \lambda } \int _ { \{ \zeta > 0 \} } \lambda \frac { 1 } { \lambda } \int _ { [ \pm \lambda , 0 ] } | f ( r _ { * } ( \tau , z ) + \sigma , z ) | \ d \sigma \, d \tau \, d z } & { = \int _ { \Sigma } \int _ { [ \pm \lambda , 0 ] } | f ( \tau + \sigma , z ) | \, d \sigma | \nu _ { t } | d \mathcal { H } ^ { d } ( \tau , z ) } \\ & { = \int _ { \{ 0 < \pm ( \tau - r _ { * } ( \tau , z ) ) < \lambda \} } | f ( \tau , z ) | d \tau \, d z . } \end{array}
F ( x ) = \left( 1 + \frac { \left( \mu - \frac { i } { 2 } \right) } { \mu + \frac { i } { 2 } } \left( \frac { 1 } { \xi _ { - } } - 1 \right) \right) \left( \frac { \mu + \frac { i } { 2 } } { \mu - \frac { i } { 2 } } \right) ^ { x } - \left( 1 + \frac { \left( \mu + \frac { i } { 2 } \right) } { \mu - \frac { i } { 2 } } \left( \frac { 1 } { \xi _ { - } } - 1 \right) \right) \left( \frac { \mu + \frac { i } { 2 } } { \mu - \frac { i } { 2 } } \right) ^ { - x }
\begin{array} { r } { P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } , \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = \frac { P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { t } | \widehat { L } , t ) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } { P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { i , k } - x ^ { * } \right\Vert ^ { 2 } \right] \leq \left( 1 - \frac { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } { 6 } \right) ^ { k } \frac { 2 \mathbb { E } \mathcal { L } _ { 0 } ^ { b } } { n } + \frac { 6 \theta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { ( 3 \theta - 2 ) n \mu ^ { 2 } ( k + m ) } + \left( \frac { m } { k + m } \right) ^ { \frac { 3 \theta } { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \bar { z } _ { 0 } \right\Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \frac { 7 2 \theta L ^ { 2 } m ^ { \frac { 3 \theta } { 2 } - 1 } \mathbb { E } \mathcal { L } _ { 0 } ^ { b } } { n \mu ^ { 2 } ( 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } ) ( k + m ) ^ { \frac { 3 \theta } { 2 } } } + \frac { 2 4 L ^ { 2 } ( 9 \theta ^ { 2 } + 3 \theta - 1 0 ) } { \mu ^ { 2 } ( 3 \theta - 1 0 ) } \left[ \frac { \mathcal { B } _ { 2 } } { ( k + m ) ^ { 2 } } + \frac { \mathcal { B } _ { 3 } } { ( k + m ) ^ { 3 } } + \frac { \mathcal { B } _ { 4 } } { ( k + m ) ^ { 4 } } + \frac { \mathcal { B } _ { 5 } } { ( k + m ) ^ { 5 } } \right] } \\ & { \quad + \frac { \mathcal { B } _ { 7 } } { ( k + m ) ^ { \frac { 4 \theta } { 3 } + 2 } } , } \end{array}
\mathbf { L } _ { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } ( \mathbf { u } _ { i } ) = - ( \textbf { U } _ { b } \cdot \nabla ) \textbf { u } _ { i } - ( \textbf { u } _ { i } \cdot \nabla ) \textbf { U } _ { b } - \nabla p _ { i } + \frac { 1 } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } _ { i } .
\begin{array} { r l r } { \xi ( { \cal F } , { \cal G } ) \! } & { { } = } & { \! 1 + \frac { \alpha _ { D } } { 4 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + 4 \beta \, \sqrt { - { \cal F } } \, { \cal F } } { \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + \sqrt { - { \cal F } } \beta ( - 2 { \cal F } + \beta ^ { 2 } ) } } \\ { \chi ( { \cal F } , { \cal G } ) \! } & { { } = } & { \! - \frac { \alpha _ { D } } { 6 \pi ^ { 2 } } \frac { { \cal F } \, { \cal G } } { 2 \, { \cal G } ^ { 2 } + \sqrt { - 2 { \cal F } } \beta ( - { \cal F } + \beta ^ { 2 } ) } \; . } \end{array}
[ { \cal Z } _ { A } ^ { I } , \bar { \cal Z } _ { B } ^ { J } ] _ { P . B . } = i \delta ^ { I J } \delta _ { A B } \, , \quad [ { \cal Z } _ { A } ^ { I } , { \cal Z } _ { B } ^ { J } ] _ { P . B . } = [ \bar { \cal Z } _ { A } ^ { I } , \bar { \cal Z } _ { B } ^ { J } ] _ { P . B . } = 0 \, ,
{ \cal L } _ { H t b } = { \frac { g } { \sqrt { 2 } M _ { W } } } \, H ^ { + } \, \left[ \bar { t } \, ( m _ { t } \cot \beta \, P _ { L } + m _ { b } \tan \beta \, P _ { R } ) \, b + \bar { \nu } \, ( m _ { \ell } \tan \beta \, P _ { R } ) \, \ell \right] \, + \, \mathrm { h . c . } \, ,
\left[ \begin{array} { c c } { g _ { r } ( L ^ { \prime } ) } \\ { G _ { r } ( L ^ { \prime } ) } \end{array} \right] \; = \; = \texttt { \textbf { M } } \, \left[ \begin{array} { c c } { g _ { l } ( 0 ) } \\ { G _ { l } ( 0 ) } \end{array} \right] \, \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { t \mu } } { \partial t } = } & { - ( 1 + i ( \alpha + D _ { \mu } ) ) E _ { t \mu } } \\ & { + i ( \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } E _ { t \mu _ { 1 } } E _ { t \mu _ { 2 } } E _ { t ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } - \mu ) } ^ { * } + 2 E _ { t \mu } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { r \mu _ { 3 } } ) } \\ & { + ( F _ { t } - i \frac { \xi } { 2 } E _ { r \mu } ) \delta _ { \mu , 0 } } \\ { \frac { \partial E _ { r \mu } } { \partial t } = } & { - ( 1 + i ( \alpha + D _ { \mu } ) ) E _ { r \mu } } \\ & { + i ( \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } E _ { r \mu _ { 1 } } E _ { r \mu _ { 2 } } E _ { r ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } - \mu ) } ^ { * } + 2 E _ { r \mu } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { t \mu _ { 3 } } ) } \\ & { + ( F _ { r } - i \frac { \xi } { 2 } E _ { t \mu } ) \delta _ { \mu , 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ) \| \leq L _ { g x y } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| , \ \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y _ { 1 } ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y _ { 2 } ) \| \leq L _ { g x y } \| y _ { 1 } - y _ { 2 } \| , } \\ & { \| \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ) - \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ) \| \leq L _ { g y y } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| , \ \| \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y _ { 1 } ) - \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y _ { 2 } ) \| \leq L _ { g y y } \| y _ { 1 } - y _ { 2 } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \frac { 1 + \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } } { 1 + \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , j } } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 + X _ { i } ( k ) } { 1 + X _ { j } ( k ) } \right] } \\ & { = \left( \mathbb { E } \left[ \frac { 1 + X _ { i } ( 0 ) } { 1 + X _ { j } ( 0 ) } \right] \right) ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \alpha _ { \mathrm { F } } } & { { } = { \frac { I _ { \mathrm { C } } } { I _ { \mathrm { E } } } } , } & { \beta _ { \mathrm { F } } } & { { } = { \frac { I _ { \mathrm { C } } } { I _ { \mathrm { B } } } } , } \\ { \alpha _ { \mathrm { F } } } & { { } = { \frac { \beta _ { \mathrm { F } } } { 1 + \beta _ { \mathrm { F } } } } } & { \iff \beta _ { \mathrm { F } } } & { { } = { \frac { \alpha _ { \mathrm { F } } } { 1 - \alpha _ { \mathrm { F } } } } . } \end{array}
\Delta \epsilon _ { \mu } = \frac { \mu _ { B } \left| \boldsymbol B \right| } { \hbar } \left< \mu \left| \left( \hat { L } _ { z } + g _ { z } \hat { S } _ { z } \right) \right| \mu \right> \equiv K _ { \mu } \left| \boldsymbol B \right| ,
\begin{array} { r l r } { G _ { p } ^ { ( x ) } ( \theta _ { 1 } ) } & { = } & { ( \mathcal { A } _ { p } ^ { + } + \mathcal { A } _ { - p } ^ { - * } ) e ^ { i ( p \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) } } \\ & { } & { + ( \mathcal { A } _ { - p } ^ { + } + \mathcal { A } _ { p } ^ { - * } ) e ^ { - i ( p \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) } , } \\ { G _ { p } ^ { ( y ) } ( \theta _ { 1 } ) } & { = } & { - i ( \mathcal { A } _ { p } ^ { + } - \mathcal { A } _ { - p } ^ { - * } ) e ^ { i ( p \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) } } \\ & { } & { - i ( \mathcal { A } _ { - p } ^ { + } - \mathcal { A } _ { p } ^ { - * } ) e ^ { - i ( p \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \frac { d H ( t ) } { d t } = \Lambda ( t ) - \omega ( t ) U ( t ) H ( t ) + p _ { L } ( t ) L ( t ) + p _ { I } ( t ) I ( t ) + p _ { J } ( t ) J ( t ) , } \\ { \frac { d L ( t ) } { d t } = \omega ( t ) U ( t ) H ( t ) - \theta ( t ) L ( t ) - p _ { L } ( t ) L ( t ) , } \\ { \frac { d I ( t ) } { d t } = \theta ( t ) L ( t ) - \alpha ( t ) I ( t ) - p _ { I } ( t ) I ( t ) , } \\ { \frac { d J ( t ) } { d t } = \alpha ( t ) I ( t ) - \mu ( t ) J ( t ) - p _ { J } ( t ) J ( t ) , } \\ { \frac { d U ( t ) } { d t } = \gamma ( t ) I ( t ) - v ( t ) U ( t ) - p _ { U } ( t ) U ( t ) , } \\ { \frac { d B _ { p } ( t ) } { d t } = \delta _ { H } ( t ) H ( t ) - h ( t ) , } \\ { \frac { d B _ { r } ( t ) } { d t } = \delta _ { L } ( t ) L ( t ) + \delta _ { I } ( t ) I ( t ) + \delta _ { J } ( t ) J ( t ) - h ( t ) , } \end{array}
{ \vec { E } } ( { \vec { r } } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \iiint { \frac { { \vec { r } } - { \vec { r } } \, ^ { \prime } } { \left\| { \vec { r } } - { \vec { r } } \, ^ { \prime } \right\| ^ { 3 } } } \rho ( { \vec { r } } \, ^ { \prime } ) \operatorname { d } ^ { 3 } r \, ^ { \prime }
\partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } ( \theta _ { 1 } ) = \omega _ { N } \tan \big ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \big ) - \widetilde { \gamma } \sin ( \theta _ { 1 } ) , \qquad \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } ( \theta _ { 2 } ) = - \omega _ { S } \cot \big ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \big ) - \widetilde { \gamma } \sin ( \theta _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { L h ( - \varphi , - x ) } & { = \omega \cdot \partial _ { \varphi } h ( - \varphi , - x ) - \rho ( \partial _ { x } \nabla _ { z } ^ { 2 } H ( \bar { i } ( - \varphi ) ) [ h ( - \varphi ) ] ) } \\ & { \overset { = } - \omega \cdot \partial _ { \varphi } h ( \varphi , x ) + \partial _ { x } \nabla _ { z } ^ { 2 } H ( \bar { i } ( \varphi ) ) [ h ( \varphi ) ] } \\ & { = - L h ( \varphi , x ) . } \end{array}
\left\langle \theta ^ { \mu } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \mu } } \right\rangle = \sum _ { \mu \nu } \left\langle \theta ^ { \mu } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \nu } } \right\rangle = \sum _ { \mu \nu } \frac { \delta _ { \nu } ^ { \mu } } { \beta } = \frac { n } { \beta } \quad \mathrm { a n d } \quad \left\langle p _ { \mu } \frac { \partial T } { \partial p _ { \mu } } \right\rangle = \sum _ { \mu \nu } \left\langle p _ { \mu } \frac { \partial T } { \partial p _ { \nu } } \right\rangle = \sum _ { \mu \nu } \frac { \delta _ { \mu } ^ { \nu } } { \beta } = \frac { n } { \beta } .
\left[ \sum _ { v \in \mathbb { Z } _ { M } } \overline { { \hat { g } ( v ) } } \prod _ { j \in [ n ] } \big ( t \omega _ { j } ^ { - v _ { j } x _ { j } } + ( 1 - t ) \omega _ { j } ^ { - v _ { j } y _ { j } } \big ) \right] \left[ \sum _ { i \in [ n ] } \sum _ { a \in \mathbb { Z } _ { m _ { i } } ^ { * } } \omega _ { i } ^ { - a y _ { i } } \omega _ { i } ^ { a x _ { i } } \sum _ { u \in \mathbb { Z } _ { M } : u _ { i } \neq 0 } ( \# u ) ^ { \gamma } \hat { f } ( u ) \prod _ { k \in [ n ] } \omega _ { k } ^ { u _ { k } x _ { k } } \right] .
\Delta _ { t w i s t - 4 } = \frac { 8 } { 2 7 } \frac { \langle \langle O ^ { S } \rangle \rangle } { Q ^ { 2 } } , \; \; \; \langle \langle O ^ { S } \rangle \rangle = 0 . 3 3 \mathrm { G e V } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { E _ { y } ^ { \mathrm { l o c } } } & { { } \left( y = 0 , z = - h \right) = } \\ { = 2 j } & { { } E _ { \mathrm { i n } } \sin { \left( k h \right) } - j \frac { \eta \omega } { 2 } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { H _ { 1 } ^ { \left( 2 \right) } \left( n k \Lambda \right) } { n \Lambda } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \varepsilon } } & { = \lceil 2 \log _ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } d m _ { 4 } ^ { 1 / 2 } \varepsilon ^ { - 2 } ) \rceil , \quad T _ { j } = \sigma ^ { 2 } d \log ( \gamma _ { 0 } ^ { - 1 } ) m _ { 4 } \varepsilon ^ { - 5 } J _ { \varepsilon } ^ { 2 } 2 ^ { - J } , } \\ & { \qquad j \in \{ 0 , \ldots , J _ { \varepsilon } \} , \quad \gamma _ { 0 } = \varepsilon m _ { 4 } ^ { - 1 / 2 } L ^ { - 2 } , } \end{array}
\dot { { \boldsymbol \xi } } ( t ) = \nabla { \mathbf v } ( { \mathbf x } ( t ) , t ) \; { \boldsymbol \xi } ( t ) \; \; \; , \; \; \; { \boldsymbol \xi } ( t _ { 0 } ) = { \boldsymbol \xi } _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \left\| u ( t ) - v ( t ) \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } } & { \le \frac { 3 2 T } { R } \delta _ { 0 } ^ { 2 } \big \Vert u - v \big \Vert _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \sum _ { k \ge 1 } \frac { ( 2 k + 1 ) \, | a _ { k } | } { k ! } \left( \frac { R } { 4 } \right) ^ { k } \left\| \beta \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } + \delta . } \end{array}
{ \cal A } _ { \mu } ~ = ~ \left( \begin{array} { l } { { V ^ { A } { } _ { \mu } } } \\ { { W _ { \mu A } } } \end{array} \right) { } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ { \cal F } _ { \mu \nu } ~ = ~ \left( \begin{array} { l } { { V ^ { A } { } _ { \mu \nu } } } \\ { { W _ { \mu \nu A } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { P _ { n - 1 \to n , \mathrm { ~ w / o } \to 0 } } & { = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } P _ { n - 2 \to n - 1 , \mathrm { ~ w / o } \to 0 } \frac { 1 } { 2 } } \\ & { + \left( \frac { 1 } { 2 } P _ { n - 2 \to n - 1 , \mathrm { ~ w / o } \to 0 } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } + \dots } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { 2 } P _ { n - 2 \to n - 1 , \mathrm { ~ w / o } \to 0 } \right) ^ { m } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } P _ { n - 2 \to n - 1 , \mathrm { ~ w / o } \to 0 } \right) ^ { - 1 } \ . } \end{array}
\Gamma ( \vec { \bf x } , t ) = \frac { 1 } { 2 } \, \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ { \bf g } _ { t } ^ { - 1 } \dot { \bf g } _ { t } ( \vec { \bf x } ) \right] = \frac { d } { d t } \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } \left[ \sqrt { g _ { t } } \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { G _ { 2 } ( x , z ) \sim \int _ { \Lambda } K ( 0 , L ; \xi , 0 ) ^ { \ast } \, d \xi \int _ { 0 } ^ { L } C ( x - x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z , z ^ { \prime } ) \, S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } } \\ & { } & { = \varphi ( 0 , L ) _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) \, \ast } \, \int _ { 0 } ^ { L } C ( x - x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z , z ^ { \prime } ) \, S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } \ \ \ \ \ ( \ln U \to + \infty ) . } \end{array}
q _ { b } ( a , r ) = - \frac { 1 } { 2 \pi a ^ { 3 } r ^ { n } S _ { D } \sigma ^ { D - 1 } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } D _ { l } \int _ { m a } ^ { \infty } d z \, z ^ { 3 } \frac { \bar { K } _ { \nu _ { l } } ( z ) } { \bar { I } _ { \nu _ { l } } ( z ) }