harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal { J } } _ { 1 } = \frac { x ^ { 2 } } { \varrho } \, ; \quad { \cal { J } } _ { 2 } = n \varrho \, ; \quad { \cal { J } } _ { 3 } = 2 \alpha x ^ { 2 } - v ^ { 2 } \varrho + \frac { x v } { 2 } \varrho _ { z } \, ; \quad \varrho = \left( 1 - 2 \alpha z ^ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } { M _ { 1 } ( Y ) = } & { \bigg [ \Lambda _ { M _ { 1 } } + \Lambda _ { L _ { 0 } } \log { ( 1 + Y ) } \bigg ] \frac { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } { Y } , } \\ { L _ { 1 } ( Y ) = } & { \bigg [ \Lambda _ { L _ { 1 } } + \frac { \Lambda _ { M _ { 1 } } } { 2 } \log { ( 1 + Y ) } + \frac { \Lambda _ { L _ { 0 } } } { Y ^ { 2 } } + \frac { \Lambda _ { L _ { 0 } } } { 4 } \log ^ { 2 } { ( 1 + Y ) } \bigg ] \frac { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } { Y } , } \end{array}
x ^ { + } \simeq x ^ { + } + \frac { 2 } { 1 + \sqrt { 1 + 4 R _ { s } ^ { 2 } / R ^ { 2 } } } \frac { R _ { s } ^ { 2 } } { R } \ \ , \ \ x ^ { - } \simeq x ^ { - } + \frac { 1 + \sqrt { 1 + 4 R _ { s } ^ { 2 } / R ^ { 2 } } } { 2 } R
\begin{array} { r l } & { \mathrm { B i L i n } _ { f } \left( ( p _ { t } ^ { * } - p _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mu _ { t } ( p _ { t - 1 } ^ { * } - p _ { t - 2 } ^ { * } ) , q _ { t } ^ { * } - q \right) } \\ & { - \mathrm { B i L i n } _ { f } ( ( p _ { t } - p _ { t - 1 } ) - \mu _ { t } ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) , q _ { t } - q ) } \\ { = } & { \mathrm { B i L i n } _ { f } \left( ( p _ { t } ^ { * } - p _ { t } ) - ( 1 + \mu _ { t } ) ( p _ { t - 1 } ^ { * } - p _ { t - 1 } ) + \mu _ { t } ( p _ { t - 2 } ^ { * } - p _ { t - 2 } ) , q _ { t } ^ { * } - q \right) } \\ & { + \mathrm { B i L i n } _ { f } ( ( p _ { t } - p _ { t - 1 } ) - \mu _ { t } ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) , q _ { t } ^ { * } - q _ { t } ) } \\ { \overset { \mathrm { e } } { \leq } } & { 2 [ \| p _ { t } ^ { * } - p _ { t } \| _ { \mathrm { T V } } + ( 1 + \mu _ { t } ) \| p _ { t - 1 } ^ { * } - p _ { t - 1 } \| _ { \mathrm { T V } } } \\ & { + \mu _ { t } \| p _ { t - 2 } ^ { * } - p _ { t - 2 } \| _ { \mathrm { T V } } + ( 1 + \mu _ { t } ) \| q _ { t } ^ { * } - q _ { t } \| _ { \mathrm { T V } } ] , } \end{array}
\left\{ \nabla _ { \bf r ^ { \prime } } ^ { 2 } + \frac { 2 M } { \hbar ^ { 2 } } \left[ E - V ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right] \right\} { \mathcal G } _ { D } ( { \bf r ^ { \prime \prime } } , { \bf r ^ { \prime } } ; E ) = \delta ( { \bf r ^ { \prime \prime } } - { \bf r ^ { \prime } } ) \; ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial f ( v ) } { \partial t } = \int _ { w } \int _ { w ^ { * } } \int _ { v ^ { * } } \theta ( | v ^ { * } - w ^ { * } | < \delta ) f ( v ^ { * } ) f ( w ^ { * } ) d v ^ { * } d w ^ { * } d w - \int _ { w } \int _ { w ^ { * } } \int _ { v ^ { * } } \theta ( | v - w | < \delta ) f ( v ) f ( w ) d v ^ { * } d w ^ { * } d w } \end{array}
\mathrm { P } ( \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \alpha ^ { \prime } } ) = \frac { 1 } { 2 } \, \mathrm { A } _ { { \alpha ^ { \prime } } ; \alpha } \left( 1 - \cos \Delta { m } _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { 2 E } \right) \qquad ( \alpha \neq \alpha ^ { \prime } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \in A , \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \in B \mid \mathcal { Q } _ { k } \right) } & { = \frac { \mathbb { P } \left( \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \in A , \mathbf { U } ^ { T } \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \in B , g ( \mathbf { V } ) = 0 , h ( \mathbf { U } ) = 0 \right) } { \mathbb { P } \left( g ( \mathbf { V } ) = 0 , h ( \mathbf { U } ) = 0 \right) } } \\ & { = \frac { \mathbb { P } \left( \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \in A , g ( \mathbf { V } ) = 0 \right) } { \mathbb { P } \left( g ( \mathbf { V } ) = 0 \right) } \times \frac { \mathbb { P } \left( \mathbf { U } ^ { T } \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \in B , h ( \mathbf { U } ) = 0 \right) } { \mathbb { P } \left( h ( \mathbf { U } ) = 0 \right) } } \\ & { = \mathbb { P } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \in A \mid g ( \mathbf { V } ) = 0 \right) \mathbb { P } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \in B \mid h ( \mathbf { U } ) = 0 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ( t ) } & { \leq \mathbb { E } \left[ K f ^ { \prime } ( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | ) | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R \} } \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] } \\ & { \le \mathbb { E } \left[ K e ^ { - c _ { f } | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | } | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , \, | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \leq R _ { 1 } \} } \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] } \\ & { \quad + \mathbb { E } \left[ K e ^ { - c _ { f } R _ { 1 } } | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , \, | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | > R _ { 1 } \} } \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - a _ { 2 } ( \delta ) } & { = } & { \frac { b } { \cos ^ { 2 } \theta _ { 0 } } [ \sin ( \theta _ { 0 } ) + \sin ( \theta _ { 0 } + \delta ) ] [ \sin ( \theta _ { 0 } + \delta ) - \sin ( \theta _ { 0 } ) ] } \\ & { = } & { \frac { b } { \cos ^ { 2 } \theta _ { 0 } } [ \sin ( \theta _ { 0 } ) + \sin ( \theta _ { 0 } + \delta ) ] [ \delta \cos ( \theta ) ] , } \end{array}
\boldsymbol u _ { n , m } ( \boldsymbol x ) = \sum _ { r = 1 } ^ { R } u _ { n , m } ^ { ( r ) } \boldsymbol \psi _ { r } ( \boldsymbol x ) \, , \; \; \boldsymbol v _ { n , m } ( \boldsymbol x ) = \sum _ { r = 1 } ^ { R } v _ { n , m } ^ { ( r ) } \boldsymbol \psi _ { r } ( \boldsymbol x ) \quad \mathrm { a n d } \quad p _ { n , m } ( \boldsymbol x ) = \sum _ { s = 1 } ^ { S } p _ { n , m } ^ { ( s ) } \, \xi _ { s } ( \boldsymbol x ) \, .
\vec { E } _ { \mathrm { r e c e i v e r } } ( \vec { r } , t ) = - \frac { Q _ { \mathrm { r e c } } } \omega \left[ \frac { \int d ^ { 3 } x \vec { E } _ { \mathrm { c a v } } ^ { * } ( \vec { x } ) \cdot \vec { \jmath } ( \vec { x } ) } { \int d ^ { 3 } x | \vec { E } _ { \mathrm { c a v } } ( \vec { x } ) | ^ { 2 } } \right] \vec { E } _ { \mathrm { c a v } } ( \vec { r } ) e ^ { i \omega t } ,
\begin{array} { r l } { K ( s , \alpha , \beta ) } & { = \ln ( \langle \exp ( s \Delta G ^ { ( 2 ) } ( I _ { 0 } , \alpha , \beta ) ) \rangle ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \kappa _ { n } ( \alpha , \beta ) \frac { s ^ { n } } { n ! } } } \\ & { = \mu ( \alpha , \beta ) \times s + \sigma ^ { 2 } ( \alpha , \beta ) \times \frac { s ^ { 2 } } { 2 } + \dots , } \end{array}
\eta _ { e x t } ^ { \dagger } \, n _ { e x t } ^ { 1 / 2 } \left[ \left( \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } v _ { \mu } v _ { \mu } - \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } - \mu _ { e x t } \right) + i \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } v _ { \mu } + v _ { \mu } \partial _ { \mu } \right) \right] n _ { e x t } ^ { 1 / 2 } \eta _ { e x t } = 0 \; .
\begin{array} { r l } { \widetilde { c _ { i } } = 2 { \frac { \partial \widetilde { S _ { 0 , n } ^ { \ast } } } { \partial \widetilde { \xi _ { i } } } } } & { = 2 { \frac { \partial \xi _ { k } } { \partial \widetilde { \xi _ { i } } } } { \frac { \partial } { \partial \xi _ { k } } } \left[ S _ { 0 , n } ^ { \ast } - 2 \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } ^ { 2 } \log \left| { c \, \xi _ { j } + d } \right| \right] = ( c \xi _ { i } + d ) ^ { 2 } \left[ c _ { i } - { \frac { 2 c \alpha _ { i } ^ { 2 } } { c \xi _ { i } + d } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \frac { \partial h } { \partial t } + \partial _ { j } \left( h v ^ { j } \right) } & { = \mathfrak { M } , } \\ { \displaystyle \frac { \partial ( h v _ { i } ) } { \partial t } + \partial _ { j } \left( h v _ { i } v ^ { j } \right) + h \partial _ { i } w } & { = \mathfrak { F } _ { i } , \quad i = 1 , 2 , } \end{array}
\mathbf { x } _ { t } ^ { \prime } = \mathbf { x } _ { t } + \int \mathbf { Y } ( \hat { \mathbf { r } } ) P _ { a g g } ( F _ { \mathbf { a } _ { t } } ( \hat { \mathbf { r } } ) , F _ { \mathbf { x } _ { t } } ( \hat { \mathbf { r } } ) ) \, d \hat { \mathbf { r } }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \psi } _ { u v } ( t ) = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { u } _ { 0 } ( t ) } \\ { \tilde { v } _ { 0 } ( t ) } \end{array} \right] , \; \; \boldsymbol { \psi } _ { u v } ( 0 ) = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { u } _ { 0 } ( 0 ) } \\ { \tilde { v } _ { 0 } ( 0 ) } \end{array} \right] , \; \; \boldsymbol { A } _ { u v } = \left[ \begin{array} { l l } { - \bar { \tau } } & { \bar { f } } \\ { - \bar { f } } & { - \bar { \tau } } \end{array} \right] , \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; \boldsymbol { H } _ { u v } = - \frac { 1 } { F ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l } { \tilde { h } _ { x } } \\ { \tilde { h } _ { y } } \end{array} \right] , } \end{array}
\delta L = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( { \frac { \partial L } { \partial q _ { j } } } \delta q _ { j } + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } _ { j } } } \delta { \dot { q } } _ { j } \right) \, , \quad \delta { \dot { q } } _ { j } \equiv \delta { \frac { \mathrm { d } q _ { j } } { \mathrm { d } t } } \equiv { \frac { \mathrm { d } ( \delta q _ { j } ) } { \mathrm { d } t } } \, ,
\begin{array} { r l } & { ( x y ) ^ { 2 } \Bigg ( 2 ( y ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) ( \xi - 2 \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } ) + \frac { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } \Big ( 2 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + \frac { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ( y ^ { 2 } + \frac { 2 V } { U - V } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { ( \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } \Big ) \Bigg ) ^ { 2 } = } \\ & { \Bigg ( y ^ { 2 } ( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ( \xi - 2 \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } ) + \frac { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } \Big ( - 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + \frac { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ( \frac { 1 } { 4 } - y ^ { 2 } ) ( y ^ { 2 } + \frac { 2 V } { U - V } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { ( \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } \Big ) \Bigg ) } \\ & { \Bigg ( x ^ { 2 } ( x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 } ) ( \xi - 2 \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } ) + \frac { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } \Big ( 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + \frac { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ( \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } ) ( y ^ { 2 } + \frac { 2 V } { U - V } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { ( \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } \Big ) \Bigg ) \, , } \end{array}
\Vec { F } ^ { s , p } = \int _ { \nu _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { \nu _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \Vec { F } _ { \nu } ^ { s , p } d \nu = \int _ { \nu _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { \nu _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \left( \oint _ { S } \overline { { \overline { { T } } } } _ { \nu , i j } ^ { s , p } \cdot d \Vec { S } \ \right) d \nu
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow z _ { k } } \partial \sigma = - \sigma _ { k } \delta _ { z , z _ { k } } \partial \log h | _ { z = z _ { k } } - 2 \sigma _ { k } \frac { 1 } { z - z _ { k } } \delta _ { z , z _ { k } } , } \end{array}
[ \Gamma _ { \mu } , \Gamma _ { \nu } { ] _ { \lambda } } ^ { \kappa } \equiv ( \Gamma _ { \mu } \Gamma _ { \nu } - \Gamma _ { \nu } \Gamma _ { \mu } { ) _ { \lambda } } ^ { \kappa } = { \Gamma _ { \mu \lambda } } ^ { \sigma } { \Gamma _ { \nu \sigma } } ^ { \kappa } - { \Gamma _ { \nu \lambda } } ^ { \sigma } { \Gamma _ { \mu \sigma } } ^ { \kappa } .
{ \cal L } _ { \mathrm { i n t } } \supseteq \, - \, \frac { 1 } { 2 } \, ( g _ { L } ^ { \mathrm { } } \hat { \tau } _ { i j } ^ { a } L _ { \mu } ^ { a } + g _ { Y } ^ { \mathrm { } } \delta _ { i j } \hat { Y } _ { Y _ { i } } Y _ { \mu } + g _ { E } ^ { \mathrm { } } \hat { Y } _ { E _ { i } } E _ { \mu } ) \, \bar { \psi } _ { i } \bar { \sigma } ^ { \mu } \psi _ { j } \, ,
{ \mathbf H } = { \mathbf H } ( t ) = \dot { { \mathbf X } } \; { \mathbf X } ^ { - 1 } \; \; \; , \; \; \; \dot { { \mathbf H } } = \dot { { \mathbf H } } ( t ) = ( \ddot { { \mathbf X } } - { \mathbf H } \dot { { \mathbf X } } ) \; { \mathbf X } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l r } { c } & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } - \sum _ { i < j } \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { i j } ) } + 2 } \\ { c _ { T } } & { = } & { \beta U _ { 3 } \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } - \sum _ { i < j } \beta U _ { 2 } ( r _ { i j } ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { i j } ) } } \\ { c _ { T T } } & { = } & { \beta U _ { 3 } ( \beta U _ { 3 } - 2 ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } - } \\ & { } & { \sum _ { i < j } \beta U _ { 3 } ( \beta U _ { 3 } - 2 ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t ^ { m i n , m a x } } & { = } & { ( T ^ { - , - } ) ^ { - 1 } , } \\ { t ^ { m i n , m i n } } & { = } & { - t ^ { m i n , m a x } T ^ { - , + } , } \\ { t ^ { m a x , m a x } } & { = } & { T ^ { + , - } t ^ { m i n , m a x } , } \\ { t ^ { m a x , m i n } } & { = } & { T ^ { + , + } + t ^ { m a x , m a x } T ^ { - , - } t ^ { m i n , m i n } . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { \phi _ { a } ( b ) } } & { { = } } & { { \int a ^ { - n / 2 } \bar { \psi } \left( \frac { x - b } { a } \right) \phi ( x ) d ^ { n } x , } } \\ { { \phi ( x ) } } & { { = } } & { { C _ { \psi } ^ { - 1 } \int a ^ { - n / 2 } \psi \left( \frac { x - b } { a } \right) \phi _ { a } ( b ) \frac { d a d b } { a ^ { n + 1 } } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \left( f _ { \eta _ { v } \vert _ { L _ { \ell } } } ^ { \mathrm { S D P } } , I \right) = \vert \vert X _ { + } - I \vert \vert _ { I } } & { \le \vert \vert X _ { + } - z ( v ) \vert \vert _ { I } + \vert \vert z ( v ) - I \vert \vert _ { I } } \\ & { \le \frac { \vert \vert z ( v ) - I \vert \vert _ { I } ^ { 2 } } { 1 - \vert \vert z ( v ) - I \vert \vert _ { I } } + \vert \vert z ( v ) - I \vert \vert _ { I } \le \frac { 1 } { 9 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { Q P } ^ { B A } } & { = } & { ( - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \theta } \langle A | b _ { p \pi } ^ { \dagger } b _ { q - \theta } | B \rangle = } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \theta } \sum _ { T \tau } C _ { \frac { 1 } { 2 } \pi , \frac { 1 } { 2 } - \theta } ^ { T \tau } \langle A | [ b _ { p } ^ { \dagger } \otimes b _ { q } ] _ { T \tau } | B \rangle = } \\ & { = } & { \frac { ( - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \theta } } { \Pi _ { S _ { A } } } \sum _ { T } \mathsf { R } _ { [ q , p ] _ { T } } ^ { B A } \sum _ { \tau } C _ { \frac { 1 } { 2 } \pi , \frac { 1 } { 2 } - \theta } ^ { T \tau } C _ { S _ { B } \Sigma _ { B } , T \tau } ^ { S _ { A } \Sigma _ { A } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { 0 } ^ { 0 } } & { = \mathfrak { g } _ { S } \oplus \mathrm { s p a n } _ { \mathbb { C } } ( x ^ { 2 } E _ { 2 3 } , y ^ { 5 } E _ { 2 3 } , x y ^ { 3 } E _ { 1 3 } ) , } \\ { U _ { 0 } ^ { 1 } } & { = \mathrm { s p a n } _ { \mathbb { C } } ( y E _ { 2 1 } , y ^ { 2 } E _ { 1 2 } , x y ^ { 4 } E _ { 2 3 } , x ^ { 2 } y ^ { 2 } E _ { 1 3 } , y ^ { 7 } E _ { 1 3 } ) , } \end{array}
\mathcal { E } _ { \alpha \beta \beta _ { 1 } } = - \frac { \mathcal { F } _ { \alpha \beta \beta _ { 1 } } + \mathcal { F } _ { \alpha \beta _ { 1 } \beta } } { 2 } = \left( \frac { 5 + 1 0 \hat { \lambda } } { 6 + 3 0 \hat { \lambda } } + \frac { \Delta _ { \xi } } { 1 2 ( 1 + 5 \hat { \lambda } ) } \right) \left( \frac { \nabla _ { \beta } \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } + \nabla _ { \beta } \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } } { 2 } \right)
E _ { 1 } = e ^ { 2 x \cos \rho + 2 i t \sin \rho + c } = E _ { 2 } ^ { * } , \quad E _ { 3 } = e ^ { 2 x + d } ; \quad A _ { 1 2 } = - \tan ^ { 2 } \rho , \ \ A _ { 1 3 } = A _ { 2 3 } = - \tan ^ { 2 } ( \rho / 2 ) .
\begin{array} { r } { ( \partial _ { t } + \* u \cdot \nabla ) \frac { \langle a _ { k } \rho _ { k } \rangle } { \langle c _ { k } \rho _ { k } \rangle } = \frac { 1 } { \langle c _ { k } \rho _ { k } \rangle ^ { 2 } } [ \langle c _ { k } \rho _ { k } \rangle \langle a _ { k } ( \partial _ { t } + \* u \cdot \nabla ) \rho _ { k } \rangle } \\ { - \langle a _ { k } \rho _ { k } \rangle \langle c _ { k } ( \partial _ { t } + \* u \cdot \nabla ) \rho _ { k } \rangle ] = 0 } \end{array}
\delta x : = \overline { { { \varepsilon } } } \psi + \overline { { { \psi } } } \varepsilon , \qquad \delta \psi : = - ( \mathrm { i } \dot { x } + \Phi ( x ) ) \varepsilon , \qquad \delta \overline { { { \psi } } } = ( \mathrm { i } \dot { x } - \Phi ( x ) ) \overline { { { \varepsilon } } } ,
\begin{array} { r l r } & { - \Re \left( \omega ^ { 2 } d _ { k } u _ { k } \overline { { \lambda _ { k } } } \right) , } & { \mathrm { i f } \quad k \quad \mathrm { i s ~ a n ~ i n t e r i o r ~ n o d e } , } \\ & { - \Re \left( ( \omega ^ { 2 } d _ { k } u _ { k } + b _ { k } \frac { \mathrm { i } \omega } { 2 \sqrt { m _ { k } } } u _ { k } ) \overline { { \lambda _ { k } } } \right) , } & { \mathrm { i f } \quad k \quad \mathrm { i s ~ a ~ b o u n d a r y ~ n o d e } . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \alpha } ( F ) = \frac { \sin ( \pi \alpha ) } { \pi \alpha } \gamma _ { \mathrm { r t } } ( F ) ^ { \alpha } b ^ { 2 } / 2 = \frac { \sin ( \pi \alpha ) } { \pi \alpha } \left( \gamma _ { \mathrm { r } } \cosh \left[ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) \right] \right) ^ { \alpha } b ^ { 2 } / 2 , } \end{array}
U _ { \theta } ^ { \prime \prime } ( \theta _ { 0 } , \varphi _ { 0 } ) \equiv \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } U ( \theta , \varphi ) \big \rvert _ { \theta = \theta _ { 0 } , \varphi = \varphi _ { 0 } }
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { c c } { E _ { x } ^ { ( t r ) } } \\ { E _ { y } ^ { ( t r ) } } \end{array} \right] = \! \left[ \begin{array} { c c } { t _ { x x } } & { t _ { x y } } \\ { t _ { y x } } & { t _ { y y } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { E _ { x } ^ { ( i n ) } } \\ { E _ { y } ^ { ( i n ) } } \end{array} \right] = T _ { L } \left[ \begin{array} { c c } { E _ { x } ^ { ( i n ) } } \\ { E _ { y } ^ { ( i n ) } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 5 } } & { \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \beta _ { t } } { m } \left[ \widetilde { \mathcal { O } } \left( G _ { H } ^ { 2 } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { m a x } \right) + 8 D ^ { 2 } \log ( T _ { m a x } ) T _ { m a x } \mathbb { E } \left[ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } \right] \right] } \\ & { \leq \left[ \widetilde { \mathcal { O } } \left( G _ { H } ^ { 2 } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { m a x } \right) + 1 6 D ^ { 2 } R ^ { 2 } \log ( T _ { m a x } ) T _ { m a x } \right] \sum _ { k = 1 } ^ { T } \frac { \beta _ { t } } { m } . } \end{array}
\tilde { v _ { y } } ^ { ( 2 ) } = \tilde { v _ { y 0 } } ^ { ( 2 ) } e x p ( - i \omega _ { c } t ) ; \quad \tilde { v _ { z } } ^ { ( 2 ) } = \tilde { v _ { z 0 } } ^ { ( 2 ) } e x p ( - i \omega _ { c } t ) ;
\begin{array} { r l r } { \Lambda ^ { \prime } } & { = } & { \frac { \ln ( \omega + 1 ) } { \omega } \left( \nu _ { 0 } ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } z _ { k } ( t _ { i - 1 } ) \tau _ { k } ( 1 - e ^ { - ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) / \tau _ { k } } \right) } \\ & { \Longrightarrow } & { \nu _ { 0 } ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } z _ { k } ( t _ { i - 1 } ) \tau _ { k } \left( 1 - \mathrm { e x p } \left( - \frac { t _ { i } - t _ { i - 1 } } { \tau _ { k } } \right) \right) - \frac { \omega \Lambda ^ { \prime } } { \ln ( \omega + 1 ) } = 0 } \end{array}
a ^ { 1 5 } + a ^ { 1 2 } c ^ { 3 } + 3 a ^ { 1 1 } c ^ { 4 } + 6 a ^ { 1 0 } b ^ { 4 } c + 3 6 a ^ { 1 0 } c ^ { 5 } + 3 0 a ^ { 9 } b ^ { 4 } c ^ { 2 } + 6 0 a ^ { 9 } c ^ { 6 } + 3 3 6 a ^ { 8 } b ^ { 6 } c + 4 8 a ^ { 8 } b ^ { 4 } c ^ { 3 } + 2 7 a ^ { 8 } c ^ { 7 } + 6 0 a ^ { 7 } b ^ { 8 } + 1 1 0 4 a ^ { 7 } b ^ { 6 } c ^ { 2 } + 9 6 a ^ { 7 } b ^ { 4 } c ^ { 4 } + 2 7 a ^ { 7 } c ^ { 8 } + 3 7 2 a ^ { 6 } b ^ { 8 } c + 2 3 5 2 a ^ { 6 } b ^ { 6 } c ^ { 3 } + 2 0 4 a ^ { 6 } b ^ { 4 } c ^ { 5 } + 6 0 a ^ { 6 } c ^ { 9 } + 2 8 8 a ^ { 5 } b ^ { 1 0 } + 1 1 1 6 a ^ { 5 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + 3 8 8 8 a ^ { 5 } b ^ { 6 } c ^ { 4 } + 2 0 4 a ^ { 5 } b ^ { 4 } c ^ { 6 } + 3 6 a ^ { 5 } c ^ { 1 0 } + 1 4 4 0 a ^ { 4 } b ^ { 1 0 } c + 1 9 0 8 a ^ { 4 } b ^ { 8 } c ^ { 3 } + 3 8 8 8 a ^ { 4 } b ^ { 6 } c ^ { 5 } + 9 6 a ^ { 4 } b ^ { 4 } c ^ { 7 } + 3 a ^ { 4 } c ^ { 1 1 } + 3 2 a ^ { 3 } b ^ { 1 2 } + 2 8 8 0 a ^ { 3 } b ^ { 1 0 } c ^ { 2 } + 1 9 0 8 a ^ { 3 } b ^ { 8 } c ^ { 4 } + 2 3 5 2 a ^ { 3 } b ^ { 6 } c ^ { 6 } + 4 8 a ^ { 3 } b ^ { 4 } c ^ { 8 } + a ^ { 3 } c ^ { 1 2 } + 9 6 a ^ { 2 } b ^ { 1 2 } c + 2 8 8 0 a ^ { 2 } b ^ { 1 0 } c ^ { 3 } + 1 1 1 6 a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 5 } + 1 1 0 4 a ^ { 2 } b ^ { 6 } c ^ { 7 } + 3 0 a ^ { 2 } b ^ { 4 } c ^ { 9 } + 9 6 a b ^ { 1 2 } c ^ { 2 } + 1 4 4 0 a b ^ { 1 0 } c ^ { 4 } + 3 7 2 a b ^ { 8 } c ^ { 6 } + 3 3 6 a b ^ { 6 } c ^ { 8 } + 6 a b ^ { 4 } c ^ { 1 0 } + 3 2 b ^ { 1 2 } c ^ { 3 } + 2 8 8 b ^ { 1 0 } c ^ { 5 } + 6 0 b ^ { 8 } c ^ { 7 } + c ^ { 1 5 }
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } ^ { \mathsf { F W } } \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } & { = \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau } \gamma ^ { \prime } ( \tau ) - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) , A ( \tau ) \rangle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle A ( \tau ) } \\ & { = A ( \tau ) - A ( \tau ) = 0 . } \end{array}
- \frac { d \Pi _ { 3 } ( t ) } { d t } = N _ { c } Q _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } \left( \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { 2 m _ { \rho } ^ { 2 } } \frac { \rho _ { \mathrm { B W } } ( s ) d s } { ( s + t ) ^ { 2 } } + \frac 1 { t + 2 m _ { \rho } ^ { 2 } } \right) .
x _ { 3 } = \dot { \xi } ( 0 ) < 0 , \qquad \xi _ { 3 } = \dot { \xi } ( \Delta { t } ^ { - } ) > 0 , \qquad \eta _ { 3 } = \dot { \xi } ( \Delta { t } ^ { - } + \Delta { t } ^ { + } ) < 0 ,
\left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \cos \theta } } & { { - \sin \theta } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \sin \theta } } & { { \cos \theta } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
N ^ { l + 1 } = N ^ { v o l } + N _ { l + 1 } ^ { i n i } , \mathrm { w h e r e ~ } N _ { l + 1 } ^ { i n i } = \operatorname* { m a x } ( 1 , Y ^ { l } ) \mathrm { ~ a n d ~ } Y ^ { l } = N _ { l } ^ { i n i } \times \left\lfloor \frac { N _ { o b j } ^ { i n i } } { N _ { l } ^ { i n i } } \right\rfloor + \mathcal { B } \left( N _ { l } ^ { i n i } , \frac { N _ { o b j } ^ { i n i } } { N _ { l } ^ { i n i } } - \left\lfloor \frac { N _ { o b j } ^ { i n i } } { N _ { l } ^ { i n i } } \right\rfloor \right) .
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { { } = } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \dagger } D ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } ) a _ { I } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { E _ { x } ^ { \prime } } \\ { E _ { y } ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \cos { \it \Psi } } & { - \sin { \it \Psi } } \\ { \sin { \it \Psi } } & { \ \ \cos { \it \Psi } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { E _ { y } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf N } = \left( \begin{array} { l l } { { \bf O } } & { { \bf I } } \\ { - { \bf I } } & { { \bf O } } \end{array} \right) , \, { \bf K } = \left( \begin{array} { l l } { { \bf O } } & { { \bf I } } \\ { { \bf I } } & { { \bf O } } \end{array} \right) , \, { \bf J } = \left( \begin{array} { l l } { { \bf I } } & { { \bf O } } \\ { { \bf O } } & { - { \bf I } } \end{array} \right) , } \end{array}