harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { m _ { 2 } - m _ { 1 } } { m _ { 2 } + m _ { 1 } } - \frac { \langle m \rangle _ { \beta \beta } ^ { m a x } + m _ { 3 } s _ { 1 3 } ^ { 2 } ( \mathrm { C H } ) } { \frac { 1 } { 2 } ( m _ { 2 } + m _ { 1 } ) c _ { 1 3 } ^ { 2 } ( \mathrm { C H } ) } \leq \cos { 2 \theta _ { 1 2 } } \leq \frac { m _ { 2 } - m _ { 1 } } { m _ { 2 } + m _ { 1 } } + \frac { \langle m \rangle _ { \beta \beta } ^ { m a x } + m _ { 3 } s _ { 1 3 } ^ { 2 } ( \mathrm { C H } ) } { \frac { 1 } { 2 } ( m _ { 2 } + m _ { 1 } ) c _ { 1 3 } ^ { 2 } ( \mathrm { C H } ) } ,
\begin{array} { l l } { \tilde { z } ^ { k + 1 } } & { = \tilde { z } ^ { k } - \frac { A _ { : , j _ { k } } ^ { \top } \tilde { z } ^ { k } } { \| A _ { : , j _ { k } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } A _ { : , j _ { k } } , } \\ { \tilde { x } ^ { k + 1 } } & { = \tilde { x } ^ { k } - \frac { A _ { i _ { k } , : } \tilde { x } ^ { k } - b _ { i _ { k } } + ( \tilde { z } ^ { k + 1 } ) _ { i _ { k } } } { \| A _ { i _ { k } , : } \| _ { 2 } ^ { 2 } } A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } , } \end{array}
\int _ { \Sigma } \sqrt { W } [ - \overline { { { \theta } } } \Gamma _ { - } \Gamma _ { r } \mathcal { D } _ { r } \theta + \overline { { { \theta } } } \Gamma _ { - } \Gamma _ { m } \{ X ^ { m } , \theta \} + \Lambda \{ \overline { { { \theta } } } \Gamma _ { - } , \theta \} ]
I _ { 4 } ^ { G } ( u _ { 0 } ) = \int _ { u _ { 0 } } ^ { { \frac { 1 + u _ { 0 } } { 2 } } } d \alpha _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 - \alpha _ { 1 } } { \frac { d \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 3 } } } [ \tilde { \varphi } _ { \| } ( \alpha _ { i } ) - \tilde { \varphi } _ { \bot } ( \alpha _ { i } ) + ( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { \alpha _ { 1 } - u _ { 0 } } { \alpha _ { 3 } } } ) \varphi _ { \| } ( \alpha _ { i } ) ] \; .
c \int _ { t _ { \mathrm { t h e n } } + \lambda _ { \mathrm { t h e n } } / c } ^ { t _ { \mathrm { n o w } } + \lambda _ { \mathrm { n o w } } / c } { \frac { d t } { a } } \; = c \int _ { t _ { \mathrm { t h e n } } } ^ { t _ { \mathrm { n o w } } } { \frac { d t } { a } }
- i F _ { g ; d _ { 1 } , \ldots , d _ { h } } ( 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { { d ^ { - 2 } } , } } & { { g = 0 , h = 1 , | d _ { 1 } | = d > 0 , } } \\ { { \displaystyle d ^ { \, 2 g - 2 } \left( { \frac { 2 ^ { 2 g - 1 } - 1 } { 2 ^ { 2 g - 1 } } } { \frac { | B _ { 2 g } | } { ( 2 g ) ! } } \right) , } } & { { g > 0 , h = 1 , | d _ { 1 } | = d > 0 , } } \\ { { 0 , } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \exp \left[ i \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \mathcal { C } ( \tau ) \right] } & { = e ^ { i \left( \Delta _ { d } + i \kappa / 2 \right) t } \exp \left[ i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { y } \right\rangle } { 2 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \right] \exp \left[ - i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \left[ \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { x } \right\rangle \sin \left( \omega _ { z } t \right) + \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { y } \right\rangle \cos \left( \omega _ { z } t \right) \right] \right] } \\ & { = e ^ { i \left( \Delta _ { d } + i \kappa / 2 \right) t } \exp \left[ i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { y } \right\rangle } { 2 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \right] \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } ( - 1 ) ^ { n } J _ { n } \left( \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { x } \right\rangle } { 2 \Delta _ { 0 } \omega _ { z } } \right) e ^ { i n \omega _ { z } t } \sum _ { m = - \infty } ^ { + \infty } ( - i ) ^ { m } J _ { m } \left( \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { y } \right\rangle } { \Delta _ { 0 } \omega _ { z } } \right) e ^ { i m \omega _ { z } t } } \\ & { = e ^ { i \left( \Delta _ { d } + i \kappa / 2 \right) t } \exp \left[ i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { y } \right\rangle } { 2 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \right] \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } ( - 1 ) ^ { n } J _ { n } \left( \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \left| \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle \right| } { 2 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \right) e ^ { i n \theta } e ^ { i n \omega _ { z } t } } \\ & { = e ^ { i \left( \Delta _ { d } + i \kappa / 2 \right) t } e ^ { i \Theta } , } \end{array}
O ^ { ( 0 ) } [ \xi _ { A } ] = M _ { N } \frac { N _ { c } } { 2 } \left( \sum _ { n \leq 0 } - \sum _ { n > 0 } \right) \, \langle n \vert ( 1 + \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 3 } ) \delta _ { n } \vert n \rangle ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 4 } \boldsymbol { F } } & { { } = \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p s e u d o } } } & { ~ + ~ } & { { } \boldsymbol { F } _ { \mathrm { m a c r o } } } & { ~ + ~ } & { { } \boldsymbol { F } _ { \mathrm { m i c r o } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbb { E } \left[ \| \nabla _ { { \bf u } } E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ) \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \right] } & { \leq 2 \mathbb { E } \left[ \| \nabla _ { { \bf u } } c ^ { \psi } ( { \bf u } ( { \bf z } ^ { n } ) , { \bf z } ^ { n } ) \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \right] + 2 { \lambda ^ { 2 } } \| { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } , } & & { } \\ & { \leq 2 \kappa ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \| \nabla _ { { \bf u } ( { \bf z } ) } c ^ { \psi } ( { \bf u } ( { \bf z } ^ { n } ) , { \bf z } ^ { n } ) \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \right] + 2 { \lambda ^ { 2 } } \| { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } & & { \textup { ( B y E q . ) , } } \\ & { \leq 2 \kappa ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \| \nabla _ { { \bf u } ( { \bf z } ) } c ^ { \psi } ( { \bf u } ( { \bf z } ^ { n } ) , { \bf z } ^ { n } ) \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \right] + 2 { \lambda ^ { 2 } } \left( \frac { \kappa C } { \lambda } \right) ^ { 2 } } & & { \textup { ( B y L e m m a ) , } } \\ & { \leq 2 \kappa ^ { 2 } C ^ { 2 } + 2 { \lambda ^ { 2 } } \left( \frac { \kappa C } { \lambda } \right) ^ { 2 } } & & { \textup { ( b y E q . ) , } } \\ & { = 4 \kappa ^ { 2 } C ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \mathcal { G } ^ { i } ) _ { j } = \mathcal { N } _ { e , 2 } ^ { \alpha _ { i } , \alpha _ { j } } ( s ( r _ { i j } ) ) \quad \mathrm { o r } \quad ( \mathcal { G } ^ { i } ) _ { j } = \mathcal { N } _ { e , 2 } ^ { \alpha _ { j } } ( s ( r _ { i j } ) ) , } \\ & { ( \mathcal { G } ^ { i } ) _ { j k } = \mathcal { N } _ { e , 3 } ^ { \alpha _ { j } , \alpha _ { k } } ( ( \theta _ { i } ) _ { j k } ) . } \end{array}
h _ { i } ^ { l a t } = - \frac { b _ { l a t } ^ { 2 } \overline { { \triangle } } _ { r } ^ { 2 } } { 2 r _ { i } ^ { 2 } } + 2 a _ { l a t } b _ { l a t } \log \left( \frac { r _ { i } } { \overline { { \triangle } } _ { r } M } \right) + \frac { a _ { l a t } ^ { 2 } r _ { i } ^ { 2 } } { 2 \overline { { \triangle } } _ { r } ^ { 2 } } ,
\eta _ { \sigma } \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } m _ { k , \sigma } \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \mu _ { \sigma } } = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \mu _ { \sigma } } \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \textbf { T r } \left( \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \, ,
\frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } ( a ^ { o u t } ( { \bf k } ) - a ^ { i n } ( { \bf k } ) ) = - 2 \pi i ( k ^ { o } - m _ { A } - \frac { { \bf k } ^ { 2 } } { 2 m _ { A } } ) A ( k ) .
T _ { 2 } = - \left( \frac { 1 } { n } , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } } + \gamma ( b ) \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { n } \left( \partial _ { x } u _ { n } ( b , t ) \right) \eta ( b , t ) d t - \gamma ( a ) \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { n } \left( \partial _ { x } u _ { n } ( a , t ) \right) \eta ( a , t ) d t - \frac { 1 } { n } \left( g _ { 0 } , \eta \right) _ { Q _ { T } } .
\begin{array} { r l } { q _ { n } } & { { } = ( 1 - \tilde { p } ) q _ { 0 } + ( 1 - \tilde { p } ) ( 1 - q _ { 0 } ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { k Q ( k , n ) } { z } } \end{array}
{ } ^ { ( 3 ) } R = W ^ { - 1 } \biggl [ { } ^ { ( 3 ) } R _ { \xi } - 2 \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \log W - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla _ { \xi } \log W ) ^ { 2 } \biggr ] \, .
\dot { E } = 0 \rightarrow \vec { F } = \vec { 0 } \rightarrow \dot { \vec { p } } = \vec { 0 } \rightarrow \vec { p } = c o n s t a n t \enspace \vee \enspace \vec { v } = \vec { 0 } \enspace \mathrm { ~ ( ~ N ~ e ~ w ~ t ~ o ~ n ~ ' ~ s ~ f ~ i ~ r ~ s ~ t ~ l ~ a ~ w ~ ) ~ } .
{ \begin{array} { r l } { X , Y { \mathrm { ~ i n d e p e n d e n t } } \quad } & { \Rightarrow \quad \rho _ { X , Y } = 0 \quad ( X , Y { \mathrm { ~ u n c o r r e l a t e d } } ) } \\ { \rho _ { X , Y } = 0 \quad ( X , Y { \mathrm { ~ u n c o r r e l a t e d } } ) \quad } & { \nRightarrow \quad X , Y { \mathrm { ~ i n d e p e n d e n t } } } \end{array} }
c _ { 1 } = \frac { 2 \pi e ^ { 2 } \hbar } { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } | \mathbf { q } | ^ { 3 } } \bigg ( | \mathbf { q } | ^ { 2 } \Pi _ { 1 } + i \bigg \langle \mathbf { q } , \frac { \partial \Pi _ { 0 } } { \partial \mathbf { x } } \bigg \rangle - \frac { i \Pi _ { 0 } } { 2 \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } } \bigg \langle \mathbf { q } , \frac { \partial \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } } { \partial \mathbf { x } } \bigg \rangle \bigg ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { [ x _ { 2 } , x _ { 1 } ] = 0 , \quad [ x _ { 3 } , x _ { 2 } x _ { 1 } ] = 0 , \quad [ x _ { 3 } , x _ { 2 } + x _ { 1 } ] = 0 , \quad [ x _ { 4 } , x _ { 3 } x _ { 2 } x _ { 1 } ] = 0 , } \\ & { } & { [ x _ { 4 } , x _ { 3 } x _ { 2 } + x _ { 3 } x _ { 1 } + x _ { 2 } x _ { 1 } ] = 0 , \quad [ x _ { 4 } , x _ { 3 } + x _ { 2 } + x _ { 1 } ] = 0 . } \end{array}
\hat { V } ( t , \tilde { \nu } ) \equiv 2 \sum _ { n = 1 } ^ { 4 } \left[ \cos \left( { n \Omega t } \right) - \cos \left( { n \Omega t _ { \mathrm { m a x } } } \right) \right] V _ { n } ( \tilde { \nu } ) .
\begin{array} { r l r } { k \cdot x } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \eta s } \left[ \left( 1 + \mathbf { r } ^ { 2 } \right) \varphi + \int ^ { \varphi } F _ { a } ( \phi ) \, d \phi \right] } \\ { F _ { a } ( \phi ) } & { { } = } & { 2 \mathbf { r } \cdot ( \mathbf { a } + \nu \mathbf { Y } ) + \left( \mathbf { a } + \nu \mathbf { Y } \right) ^ { 2 } + \mathcal { R } ^ { 2 } - 1 , } \end{array}
\frac { 1 } { Z _ { ( 3 ) } } = \sum _ { j } \frac { S _ { j } } { 4 } \left[ \frac { 1 } { 1 + ( 2 \omega \tau _ { j } ) ^ { 2 } } - i \frac { 2 \omega \tau _ { j } } { 1 + ( 2 \omega \tau _ { j } ) ^ { 2 } } \right] .
\left[ \begin{array} { l l l } { \textbf { \textit { M } } _ { b } } & { \textbf { \textit { 0 } } } & { \boldsymbol { \Phi } _ { b } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } } \\ { \textbf { \textit { 0 } } } & { \textbf { \textit { M } } _ { e } } & { \boldsymbol { \Phi } _ { e } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } } \\ { \boldsymbol { \Phi } _ { b } } & { \boldsymbol { \Phi } _ { e } } & { \textbf { \textit { 0 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \ddot { q } } _ { b } } \\ { \boldsymbol { \ddot { e } } } \\ { \lambda } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \textbf { \textit { Q } } _ { b } } \\ { \textbf { \textit { Q } } _ { e } } \\ { \textbf { \textit { Q } } } \end{array} \right]
C _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \quad C _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , \quad C _ { 3 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right]
\stackrel { ( 0 ) } { \delta g _ { \mu \nu } } ( x , y ) = a ^ { 2 } \left[ h _ { \mu \nu } ( x ) - \frac { 2 y } { l } \eta _ { \mu \nu } \delta \phi ( x ) \right] , \quad a = e ^ { - \frac { y } { l } } \ ,
\omega ^ { A } { } _ { B } = \mathsf { L } _ { A B } \, \vartheta ^ { A } - \epsilon _ { A } \, \epsilon _ { B } \, \mathsf { L } _ { B A } \, \vartheta ^ { B } \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ ~ ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ~ ~ o ~ n ~ } ~ A ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ B ) \, ,
C _ { \infty } ^ { s + } \leq C _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } = \left( 1 + \frac { \mathrm { D a } } { 2 } \xi _ { \mathrm { m i n } } \right) ^ { 2 } , \ C _ { \infty } ^ { r + } \geq 1 - C _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } > 0 ,
\left\Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \right\Vert _ { V } \leq \left\Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) \right\Vert _ { V } + C e ^ { \mu t } \Vert u - v \Vert _ { V } \leq \left\Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) \right\Vert _ { V } + 2 C e ^ { \mu t } \Vert u - v \Vert _ { b } ,
\begin{array} { r l } { P _ { H } ( x ) } & { = \sum _ { k = [ K ] } \alpha _ { k } h _ { k } + \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \beta _ { k } h _ { k } ^ { \prime } + \gamma p } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { = } x - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x , h _ { k } ^ { \prime } \rangle h _ { k } ^ { \prime } , } \end{array}
C _ { b } + h \nu _ { b } \left( 2 + \frac { 1 } { 2 } \right) - A _ { b } \left( 2 + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } = 1 0 3 5 5 . 3 - \frac { 1 } { 4 } 8 0 . 0 = 1 0 3 3 5 . 3 ,
\rho _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } ^ { Z } \left( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } \right) = \rho _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } ^ { Z = 1 } \left( Z q , p / Z , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } \right)
\begin{array} { r } { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) / \mathcal { K } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \to 0 , \ \lambda _ { n } ( \mu _ { n } - \mu _ { n } ^ { * } ) _ { i } / \mathcal { K } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \to 0 , \ \lambda _ { n } ( \Sigma _ { n } - \Sigma _ { n } ^ { * } ) _ { u v } / \mathcal { K } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \to 0 } \end{array}
\frac { d \sigma _ { \bot } ^ { B } } { d Q ^ { 2 } d y } = \frac { 8 \pi \alpha ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) } { V ( 4 M ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) } \sqrt { \frac { M ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } [ 1 - y ( 1 + \tau ) ] } \Bigl [ \bigl ( 1 - \frac { y } { 2 } \bigr ) G _ { M } ^ { 2 } - ( 1 + 2 \tau ) G _ { M } G _ { E } \Bigr ] \delta \bigl ( y - \frac { Q ^ { 2 } } { V } \bigr ) \ ,
c = \frac { \alpha _ { 5 } { \mathrm { M } _ { \mathrm { P l } } } } { 1 0 \pi \mathrm { M } } \ln { \frac { \mathrm { M } _ { \mathrm { H } } } { \mathrm { M } _ { \mathrm { H } } ( 0 ) } } .
\left( \omega ^ { 2 } - \frac { k ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } } \right) \left( 1 + i \frac { \sigma } { \varepsilon \omega } \right) \mathbf { k } \cdot \mathbf { E } _ { L 0 } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 4 } ) } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { a } _ { 1 } } \rho ( C _ { 2 } ) } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { a } _ { 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { a } _ { 2 } } } \end{array} \right) \rho ( C _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { { } = } & { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 , 0 ) } | \Psi _ { i } ^ { ( 1 , 1 ) } \rangle + \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 , 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 1 , 0 ) } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda ( p _ { a } , p _ { b } ) \leq \operatorname* { m i n } _ { f _ { n } , g _ { n } } n ^ { - 1 } E _ { X } \left[ { \mathbf { l e n } ( f _ { n } ( X _ { 1 } ^ { n } ) ) } \right] \leq \Lambda ( p _ { a } , p _ { b } ) + 2 \frac { \log _ { 2 } \left( n \Lambda ( p _ { a } , p _ { b } ) \right) } { n } + \frac { 3 } { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i j } ^ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } } & { { } = \delta _ { p _ { i } , - p _ { j } } ( 1 + \delta _ { \ell _ { i } 0 } + \delta _ { \ell _ { j } 0 } - 2 \delta _ { \ell _ { i } 0 } \delta _ { \ell _ { j } 0 } ) } \end{array}
\nabla _ { M } \nabla ^ { M } \phi + 2 \alpha _ { 1 } \Lambda e ^ { \alpha _ { 1 } \phi } + \frac { \alpha _ { 2 } T _ { 3 } } { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { | g | } } \int d ^ { 4 } \xi \sqrt { | \gamma | } \delta ^ { 5 } ( x - X ) \gamma ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { A } \partial _ { \beta } X ^ { B } g _ { A B } e ^ { \alpha _ { 2 } \phi } = 0 ,
\mu _ { i \setminus j } ^ { t } = \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) M _ { T - 1 , 0 0 } ^ { i \setminus j } \left( p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid 0 \right) - p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid 1 \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { Q } _ { k } } & { = \mathbf { p } _ { k } \left( \mathbf { 1 } ^ { N _ { \mathrm { s y m } } } \right) ^ { T } \mathbf { D } _ { N _ { \mathrm { s y m } } } \left( \frac { \Delta \psi _ { k } } { 2 \pi } \right) } \\ & { = \mathbf { p } _ { k } \mathbf { d } _ { N _ { \mathrm { s y m } } } \left( \frac { \Delta \psi _ { k } } { 2 \pi } \right) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( x ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } - { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \tau + i \varepsilon } } e ^ { - i x \tau } d \tau } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { S } } = } & { T _ { \mathrm { n u c } } + V _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + \epsilon _ { 1 } ( x _ { 1 } ) d _ { 1 } ^ { + } d _ { 1 } ^ { - } + \epsilon _ { 2 } ( x _ { 1 } ) d _ { 2 } ^ { + } d _ { 2 } ^ { - } } \\ & { + U d _ { 1 } ^ { + } d _ { 1 } ^ { - } d _ { 2 } ^ { + } d _ { 2 } ^ { - } + \Delta ( x _ { 2 } ) \left( d _ { 1 } ^ { + } d _ { 2 } ^ { - } + d _ { 2 } ^ { + } d _ { 1 } ^ { - } \right) . } \end{array}
Q \ensuremath { \left( \omega \right) } = \sqrt { \Gamma } \chi ( \omega ) \bigg [ Q _ { \mathrm { i n } } + \phi ( \omega ) P _ { \mathrm { i n } } - 2 \sqrt { C } \phi ( \omega ) X _ { \mathrm { i n } } + \frac { G f ( \omega ) \phi ( \omega ) } { 4 \sqrt { C } } \left( Y _ { \mathrm { i n } } - \sqrt { \frac { 1 - \eta } { \eta } } Y _ { \mathrm { v } } \right) \bigg ] ,
\small \begin{array} { r l } { \mathbf { X } _ { l + 1 } ^ { ' } } & { { } = \mathrm { ~ M ~ H ~ A ~ } ( \mathrm { ~ L ~ N ~ } ( \mathbf { X } _ { l } ) ) + \mathbf { X } _ { l } } \\ { \mathbf { X } _ { l + 1 } } & { { } = \mathrm { ~ F ~ F ~ N ~ } ( \mathrm { ~ L ~ N ~ } ( \mathbf { X } _ { l + 1 } ^ { ' } ) ) + \mathbf { X } _ { l + 1 } ^ { ' } } \end{array} ,
g _ { 1 } = \left[ \begin{array} { c c c } { \frac { 3 } { 5 } - x _ { 1 } - x _ { 2 } } \\ { - y _ { 1 } - y _ { 2 } } \\ { \frac { - 2 } { 5 } - z _ { 1 } - z _ { 2 } } \end{array} \right] , g _ { 2 } = \left[ \begin{array} { c c c } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } \\ { d f r a c { 1 } { 3 } + y _ { 2 } - y _ { 1 } } \\ { - z _ { 2 } - z _ { 1 } } \end{array} \right] ,
\frac { 1 } { 1 + \delta _ { V _ { 1 } V _ { 2 } } } \frac { \alpha S _ { S V _ { 1 } V _ { 2 } } } { \pi F _ { t } } S \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } ( \partial ^ { \mu } V _ { 1 } ^ { \nu } ) ( \partial ^ { \alpha } V _ { 2 } ^ { \beta } ) ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \bar { F } _ { s } } { \partial t } + \frac { 1 } { B _ { \parallel } ^ { * } } \nabla _ { \textbf { z } } \cdot ( \dot { \textbf { z } } B _ { \parallel } ^ { * } \bar { F _ { s } } ) = \mathcal { C } ( \bar { F } _ { s } ) + \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ h ~ e ~ a ~ t ~ } } + \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ m ~ o ~ m ~ } ~ } } , } \end{array}
F ( \xi , t ) = \int _ { - \imath \infty } ^ { \imath \infty } \frac { d M } { 2 \pi \imath } \int _ { - \imath \infty } ^ { \imath \infty } \frac { d N } { 2 \pi \imath } F ( M ) e ^ { M t + N \xi } F ( M , N )
\begin{array} { r l r } { S _ { a a } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { \hbar \Omega } { N ^ { 2 } m } \Bigg \{ \frac { S _ { X X } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } { | \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } } - S _ { \xi \xi } ( \omega ) - \left| \frac { H _ { X Y } ( \omega ) } { H _ { X F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) - \left| \frac { 1 - \sqrt { \kappa } H _ { X X } ( \omega ) } { \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) \Bigg \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, k \, X _ { k } ^ { \ell , m } } & { { } = m ( 1 - e ^ { 2 } ) X _ { k } ^ { \ell - 2 , m } + \frac { e \, \ell } { 2 } \left[ X _ { k } ^ { \ell - 1 , m - 1 } - X _ { k } ^ { \ell - 1 , m + 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { { S } } } ( t ) = - \nu \, ( \nu + 1 ) \, \frac { | \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } | } { 2 t _ { 0 } ^ { 2 } } \, { \mathrm { s e c h } } ^ { 2 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \nu = - \frac { 1 } { 2 } + \left( \frac { 1 } { 4 } + 4 \left| \frac { \gamma ^ { \prime \prime } } { \gamma ^ { \prime } } \frac { \beta _ { 2 } ^ { \prime } } { \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } } \right| \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \hat { J _ { + } } } } & { { = } } & { { e ^ { i \alpha } \left( i \cot \beta \displaystyle \frac { \partial } { \partial \alpha } + \frac { \partial } { \partial \beta } - \frac { i } { \sin \beta } \frac { \partial } { \partial \gamma } \right) ~ , } } \\ { { \hat { J _ { - } } } } & { { = } } & { { e ^ { - i \alpha } \left( i \cot \beta \displaystyle \frac { \partial } { \partial \alpha } - \frac { \partial } { \partial \beta } - \frac { i } { \sin \beta } \frac { \partial } { \partial \gamma } \right) ~ , } } \\ { { \hat { J _ { 3 } } } } & { { = } } & { { - i \displaystyle \frac { \partial } { \partial \alpha } ~ , } } \end{array}
V _ { 1 } = \frac { \Delta V } { 4 \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) } \ln \! \left( \frac { l - \sqrt { l ^ { 2 } - R ^ { 2 } } } { l + \sqrt { l ^ { 2 } - R ^ { 2 } } } \right) = - V _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } } & { { } = - \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( \beta \Delta T ) ^ { k } \right] \sum _ { ( m , n ) = ( 0 , 0 ) } ^ { ( \infty , \infty ) } \alpha ^ { m } \beta ^ { n } \nabla p _ { m , n } } \end{array}
{ \cal T } _ { \nu } ^ { \mu } = \frac { 1 } { 4 } g ^ { \mu \alpha } g ^ { \beta \rho } F _ { \alpha \beta } F _ { \nu \rho } - \delta _ { \nu } ^ { \mu } g ^ { \sigma \alpha } g ^ { \beta \rho } F _ { \sigma \beta } F _ { \alpha \rho } .
\begin{array} { r l } { C ( \gamma ^ { * } ; \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { n } ^ { 0 } - x _ { m } ^ { j } \| ^ { 2 } \gamma _ { n , m } ^ { * } } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 0 } } \| x _ { n } ^ { 0 } \| ^ { 2 } p _ { n } ^ { 0 } + \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { m } ^ { j } \| ^ { 2 } p _ { m } ^ { j } - 2 \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { j } } x _ { n } \cdot x _ { m } ^ { j } \, \gamma _ { n , m } ^ { * } } \\ & { = K _ { 1 } - 2 \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { j } } \hat { x } _ { n } \cdot x _ { m } ^ { j } \, \gamma _ { n , m } ^ { * } , } \end{array}
T \approx \frac { 2 \omega \delta _ { 0 } } { c } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \right) - 2 \left( \frac { \omega \delta _ { 0 } } { c } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) \, .
U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } = \rho ^ { \sigma } [ ( u _ { \beta } - u _ { \beta } ^ { \sigma } ) ( u _ { \alpha } - u _ { \alpha } ^ { \sigma } ) + \frac { 1 } { D } ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } ] ,