harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \overline { { 2 m - n } } } = \sum _ { m = { \frac { n } { 2 } } } ^ { n } ( 2 m - n ) P _ { m , n } = { \frac { n n ! } { 2 ^ { n } \left[ \left( { \frac { n } { 2 } } \right) ! \right] ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { x _ { j } ^ { 2 } } & { = 1 } & { \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { z _ { j } ^ { 2 } } & { = 1 } & { \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { ( x _ { i } x _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { = 1 } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 \quad \mathrm { a n d } \quad j \geq i + 2 , } \\ { ( z _ { i } z _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { = 1 } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 \quad \mathrm { a n d } \quad j \geq i + 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { S } _ { h p } = \tilde { S } _ { p h } = - i \frac { \mu _ { 2 } } { \Omega _ { 2 } } \sin \left( \Omega _ { 2 } \tau \right) , } \\ & { } & { \tilde { T } _ { h p } = \tilde { T } _ { p h } = \frac { { \mu _ { 2 } } ^ { 2 } } { { \Omega _ { 2 } } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \Omega _ { 2 } \tau \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { h ( p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { D } } } ) : = p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { D } } } ( 1 - e _ { 1 } ) + ( 1 - p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { D } } } ) e _ { 1 } . } \end{array}
\gamma ( s _ { p j } , s _ { q j } ^ { \prime } , t ) = \exp \left( \frac { t } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial s _ { p j } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { s _ { p j } } \frac { \partial } { \partial s _ { p j } } \right) \right) \, \frac { \delta ( s _ { p j } - s _ { q j } ^ { \prime } ) } { \sqrt { s _ { p j } s _ { q j } ^ { \prime } } }
\sigma = 4 N _ { c } f _ { \eta ^ { \prime } } \sqrt { \left\langle \frac { b \alpha _ { s } } { 3 2 \pi } G ^ { 2 } \right\rangle } \, \left( 1 - \cos \frac { \pi } { 2 N _ { c } } \right) + \mathrm { O } ( m _ { q } f _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \nabla J _ { t } ^ { i } - \nabla J ( \theta _ { t } ) = \big ( \underbrace { \nabla J _ { t } ^ { i } - \nabla J _ { t } ^ { i , \eta } } _ { ( a ) } \big ) + \big ( \underbrace { \nabla J _ { t } ^ { i , \eta } - \nabla J _ { t } ^ { i , \eta , \omega } } _ { ( b ) } \big ) + \big ( \underbrace { \nabla J _ { t } ^ { i , \eta , \omega } - \nabla J _ { t } ^ { i , \eta , V } } _ { ( c ) } \big ) + \big ( \underbrace { \nabla J _ { t } ^ { i , \eta , V } - \nabla J ( \theta _ { t } ) } _ { ( d ) } \big ) , } \end{array}
\omega _ { s } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \omega _ { m a x } g ( \theta ) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \theta _ { b a n d } - \Theta \le \theta \le \theta _ { b a n d } + \Theta } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { { \cal Q } _ { { \cal X } } : = \left\{ p ( x ) \propto e ^ { - l _ { 1 } ( x ) - \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } \| x \| ^ { 2 } } ; \| l _ { 1 } \| _ { \infty } \leq \frac { C } { \lambda _ { 2 } } \right\} , } \\ & { { \cal Q } _ { { \cal Y } } : = \left\{ q ( y ) \propto e ^ { - l _ { 2 } ( y ) - \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } \| y \| ^ { 2 } } ; \| l _ { 2 } \| _ { \infty } \leq \frac { C } { \lambda _ { 2 } } \right\} , } \end{array}
\mu _ { 0 } \epsilon _ { i } \frac { \partial ^ { 2 } E _ { i } } { \partial t ^ { 2 } } = \nabla ^ { 2 } E _ { i } + \partial _ { i } \left( \frac { \partial _ { j } \epsilon _ { j } } { \epsilon _ { j } } E _ { j } \right) \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { { } } & { { k ^ { 2 } = \frac { M ^ { 2 } } { M ^ { 2 } + 2 h M \cos ( \beta \phi _ { 0 } ) + h ^ { 2 } } } } \\ { { } } & { { \sin ^ { 2 } ( \xi ) = \frac { h ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \beta \phi _ { 0 } ) } { M ^ { 2 } + 2 h M \cos ( \beta \phi _ { 0 } ) + h ^ { 2 } } . } } \end{array} \right.
C ( T ) - P ( T ) = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { 0 } - K + r K T + \frac { S _ { 0 } T ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } + C - q ) ^ { 2 } } { 2 [ ( r - q ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } + C ] } + O ( T ^ { 2 } ) , } & { \mathrm { i f } \quad r \neq q , } \\ { S _ { 0 } - K + r K T + \frac { S _ { 0 } T ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } + C - r ) ^ { 2 } } { 2 [ \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } + C ] } + O ( T ^ { 2 } ) , } & { \mathrm { i f } \quad r = q , } \end{array} \right.
\mathbb P _ { f } \big [ A _ { \Gamma } \in A _ { \mathcal D } \big ] = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb P \big [ \Gamma \in \mathcal D \mid \Gamma \in \mathcal G ^ { N , f ( N ) } \big ] \overset { ( * * * * ) } \geq \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb P \big [ \Gamma \in \mathcal B \mid \Gamma \in \mathcal G ^ { N , f ( N ) } \big ] = \mathbb P _ { f } \big [ A _ { \Gamma } \in A _ { \mathcal B } \big ] .
\overline { { { S } } } = \frac { 1 + y ^ { 2 } } { ( 1 - y ) ^ { 4 } } \bigl [ \frac { 1 } { 2 } ( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) \ln \frac { z _ { 0 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } - ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { 8 y x _ { 1 } x _ { 2 } } { 1 + y ^ { 2 } } \bigr ]
0 < \mathrm { d } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) - r _ { 2 } ^ { + } < r _ { 1 } ^ { - } < \mathrm { d } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) - r _ { 2 } ^ { - } < r _ { 1 } ^ { + } < \mathrm { d } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } )
\begin{array} { r l r l } { T _ { T h } = \frac { E _ { T h } } { E _ { i n } } = } & { \frac { t _ { 1 } - e ^ { - \alpha p } e ^ { \frac { 2 i \pi n _ { e f f } p } { \lambda } } t _ { 2 } } { 1 - e ^ { - \alpha p } e ^ { \frac { 2 i \pi n _ { e f f } p } { \lambda } } t _ { 1 } t _ { 2 } } , } & { T _ { D r } = \frac { E _ { D r } } { E _ { i n } } = } & { - \frac { e ^ { \frac { - \alpha p } { 2 } } e ^ { \frac { 2 i \pi n _ { e f f } p } { 2 \lambda } } k _ { 1 } k _ { 2 } } { 1 - e ^ { - \alpha p } e ^ { \frac { 2 i \pi n _ { e f f } p } { \lambda } } t _ { 1 } t _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega \mathbf { F } _ { + } = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \nabla \times \left( \frac { \mathbf { F } _ { + } } { \sqrt { n } } \right) + \frac { 1 } { n } \nabla \ln \sqrt { Z } \times \mathbf { F } _ { - } } \\ { \omega \mathbf { F } _ { - } = - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \nabla \times \left( \frac { \mathbf { F } _ { - } } { \sqrt { n } } \right) - \frac { 1 } { n } \nabla \ln \sqrt { Z } \times \mathbf { F } _ { + } } \\ { \nabla \cdot \mathbf { F } _ { + } = - \nabla \ln \sqrt { n } \cdot \mathbf { F _ { + } } + \nabla \ln \sqrt { Z } \cdot \mathbf { F } _ { - } } \\ { \nabla \cdot \mathbf { F } _ { - } = - \nabla \ln \sqrt { n } \cdot \mathbf { F } _ { - } + \nabla \ln \sqrt { Z } \cdot \mathbf { F } _ { + } } \end{array}
p _ { q } ( G _ { i } , \psi ) = \frac { [ 1 - ( 1 - q ) \, \psi \cdot C ( G _ { i } ) ] _ { + } ^ { 1 / ( 1 - q ) } } { 1 + [ 1 - ( 1 - q ) \, \psi ] ^ { 1 / ( 1 - q ) } } .
\begin{array} { r l r } { w ^ { \prime } + \varphi w } & { = } & { x ( r ( 1 - x / K ) ) - c _ { 1 } ^ { - 1 } ( \mu _ { 1 } y + m _ { 1 } y ^ { 2 } ) } \\ & { } & { - c _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mu _ { 2 } z + m _ { 2 } z ^ { 2 } ) + \varphi ( x + c _ { 1 } ^ { - 1 } y + c _ { 2 } ^ { - 1 } z ) } \\ & { \leq } & { x \left( r + \varphi - \left( \frac { r } { K } \right) x \right) - c _ { 1 } ^ { - 1 } ( \mu _ { 1 } - \varphi ) y - c _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mu _ { 2 } - \varphi ) z } \\ & { \leq } & { x \left( r + \varphi - \left( \frac { r } { K } \right) x \right) } \\ & { \leq } & { \frac { K ( r + \varphi ) ^ { 2 } } { 4 r } } \\ & { = } & { \rho . } \end{array}
\boldsymbol { S ^ { f } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \boldsymbol { \nabla } \mathbf { u ^ { f } } + ( \boldsymbol { \nabla } \mathbf { u ^ { f } } ) ^ { T } \right) - \frac { 1 } { 3 } t r ( \boldsymbol { \nabla } \mathbf { u ^ { f } } ) ,
\begin{array} { r } { T _ { d } ( a ) \propto \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { k } { k ^ { a } } = \zeta ( a - 1 ) } & { d = 1 } \\ { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \ln ( k ) } { k ^ { a } } = - \zeta ^ { \prime } ( a ) } & { d = 2 } \\ { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ^ { a } } = \zeta ( a ) } & { d > 2 \; . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho ( x ) } & { { } \mapsto } & { \chi _ { A } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \rho ( x ) , } \\ { \rho ( x ) } & { { } \mapsto } & { \chi _ { A \cap B } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \rho ( x ) } \end{array}
G _ { n } \left( m _ { e f f } \beta \right) \equiv \int _ { m _ { e f f } \beta } ^ { \infty } d y \, y ^ { 2 } \frac { \left( y ^ { 2 } - m _ { e f f } ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \right) ^ { n - 1 / 2 } } { e ^ { 2 \pi r y / \beta } - 1 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { H } ^ { + } } } & { { } = \int _ { \Gamma _ { i n t } } \mathbf { N } _ { C } ^ { T } \left( \nu _ { V a } ^ { t + \Delta t } - { \nu ^ { \prime } } _ { V a } ^ { t + \Delta t } + \nu _ { H a } ^ { t + \Delta t } \right) \; \mathrm { d } \Gamma _ { i n t } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { O H } ^ { - } } } & { { } = - \int _ { \Gamma _ { i n t } } \mathbf { N } _ { C } ^ { T } \left( \nu _ { V b } ^ { t + \Delta t } - { \nu ^ { \prime } } _ { V b } ^ { t + \Delta t } + \nu _ { H b } ^ { t + \Delta t } \right) \; \mathrm { d } \Gamma _ { i n t } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } } & { { } = \int _ { \Gamma _ { i n t } } \mathbf { N } _ { C } ^ { T } \left( \nu _ { c } ^ { t + \Delta t } - { \nu ^ { \prime } } _ { c } ^ { t + \Delta t } \right) \; \mathrm { d } \Gamma _ { i n t } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { N a } ^ { + } } } & { { } = \nu _ { \mathrm { C l } ^ { - } } = \nu _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } = \mathbf { 0 } } \end{array}
\int _ { \mu _ { 1 } } ^ { \infty } d x \, \left( x ^ { 2 } - \mu _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { \nu - 1 } e ^ { - \mu _ { 2 } x } = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { 2 \mu _ { 1 } } { \mu _ { 2 } } \right) ^ { \nu - 1 / 2 } \Gamma \left( \nu \right) K _ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } \left( \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 2 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 1 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 2 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \frac { \mathrm { d } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } { \mathrm { d } t } + 3 \, \frac { \dot { a } } { a } \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 3 } T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) , } \\ { 0 = } & { \partial _ { j } T _ { \, \, \, j } ^ { i } + \frac { 1 } { R } \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } x ^ { i } } ( T _ { \, \, \, i } ^ { i } - T _ { \, \, \, j } ^ { j } ) + \frac { 2 } { R } \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } x ^ { j } } T _ { \, \, \, j } ^ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z ^ { b } - y ^ { b } > 0 } & { \Rightarrow } & { \frac { \mu _ { 2 } } { c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } } - \frac { \mu _ { 1 } } { c _ { 1 } q _ { 1 } - a _ { 1 } \mu _ { 1 } } > 0 } \\ & { \Rightarrow } & { \mu _ { 2 } ( c _ { 1 } q _ { 1 } - a _ { 1 } \mu _ { 1 } ) - \mu _ { 1 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - \mathbb { P } ( E _ { n } ^ { \lambda _ { n } } ) } & { \leq n \mathbb { P } \left( \mathrm { P o i s s o n } ( n k _ { n } \lambda _ { n } ) \leq k _ { n } \right) } \\ & { \leq n \mathbb { P } \left( \mathrm { P o i s s o n } ( n k _ { n } \lambda _ { n } ) \leq n k _ { n } \lambda _ { n } + k _ { n } - n k _ { n } \lambda _ { n } \right) } \\ & { \leq n \mathbb { P } \left( \mathrm { P o i s s o n } ( n k _ { n } \lambda _ { n } ) \leq n k _ { n } \lambda _ { n } - k _ { n } \delta _ { n } \right) } \\ & { \leq n \exp \left( - \frac { k _ { n } ^ { 2 } \delta _ { n } ^ { 2 } } { 4 n k _ { n } \lambda _ { n } } \right) \leq n \exp \left( - \frac { 1 } { 8 } k _ { n } \delta _ { n } ^ { 2 } \right) = n \exp \left( - \frac { 1 } { 8 } k _ { n } ^ { \alpha } \right) . } \end{array}
U _ { n } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = V ^ { - 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) e ^ { i \pi n t \sigma _ { 3 } / \beta } V ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) e ^ { - i \pi n t \sigma _ { 3 } / \beta } \; ;
\left\{ \begin{array} { c c l } { \displaystyle { \int _ { E } \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } \textbf { v } _ { h } ) : \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { p } ) } } & { = } & { \displaystyle { \int _ { E } \boldsymbol { \varepsilon } ( \textbf { v } _ { h } ) : \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { p } ) } \quad \forall \; \boldsymbol { p } \in [ \mathbb { P } _ { k } ( E ) ] ^ { 2 } , } \\ { \displaystyle { \int _ { E } \mathrm { r o t } ( \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } \textbf { v } _ { h } ) } } & { = } & { \displaystyle { \int _ { E } \mathrm { r o t } ( \textbf { v } _ { h } ) } , } \\ { \displaystyle { \int _ { \partial E } \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } \textbf { v } _ { h } } } & { = } & { \displaystyle { \int _ { \partial E } \textbf { v } _ { h } } . } \end{array} \right.
\frac { \rho ^ { n + 1 } } { \Delta t } ( \overline { { \mathbf v } } ^ { n + 1 } - \mathbf v ^ { n + 1 } ) - \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } \nabla \overline { { \mathbf v } } ^ { n + 1 } ) = \boldsymbol { 0 } , \quad \overline { { \mu } } = \rho ^ { n + 1 } \frac { \alpha ^ { 2 } } { \Delta t } a ( \mathbf v ^ { n + 1 } ) ,
\begin{array} { r } { P _ { \tilde { S } , \tilde { u } _ { f } | \tilde { u } _ { 0 } } ( s | \tilde { \alpha } ) = \frac { \tilde { u } _ { f } - \tilde { u } _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi s ^ { 3 } } } e ^ { - \left( \tilde { u } _ { f } - \tilde { u } _ { 0 } - \tilde { \alpha } s \right) ^ { 2 } / \left( 2 s \right) } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \langle \dot { \hat { a } } \rangle } \\ { \langle \dot { \hat { d } } \rangle } \end{array} \right) = - i \left( \begin{array} { l l } { \omega _ { a } - i \kappa } & { - i \mathcal { G } } \\ { - i \mathcal { G } } & { \omega _ { d } - i \gamma _ { d } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \langle { \hat { a } } \rangle } \\ { \langle { \hat { d } } \rangle } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { \sqrt { 2 \kappa _ { 1 } } \alpha _ { \mathrm { l a s } } } \\ { \sqrt { 2 \gamma _ { d } } \alpha _ { \mathrm { l a s } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { A _ { 0 } } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } f ( \boldsymbol { r } , t ) \biggl ( } & { \cos ( \boldsymbol { k } _ { 0 } \cdot \boldsymbol { r } - \omega _ { 0 } t + \phi _ { \mathrm { c e p } } ) \boldsymbol { e _ { x } } } \\ { + \epsilon \Lambda } & { \sin ( \boldsymbol { k } _ { 0 } \cdot \boldsymbol { r } - \omega _ { 0 } t + \phi _ { \mathrm { c e p } } ) \boldsymbol { e _ { y } } \biggr ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \beta } \frac { \textrm { d } F ( \lambda ) } { \textrm { d } \lambda } = - \Big < \mathbb { E } \left[ \frac { \partial H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) } { \partial \lambda } H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) \right] \Big > _ { \lambda } ^ { ( 1 ) } + \Big < \mathbb { E } \left[ \frac { \partial H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) } { \partial \lambda } H _ { J } ( \sigma ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ; \lambda ) \right] \Big > _ { \lambda } ^ { ( 2 ) } .
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { { } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \hat { \omega } ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { x ^ { \prime } | x } } & { { } : = \frac { \tilde { q } _ { x ^ { \prime } | x } } { \mathrm { ~ t ~ r ~ } \{ \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x } \} } , } \\ { \tau _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } } & { { } : = \mathrm { ~ t ~ r ~ } \{ \tau _ { Q } ^ { x } \} \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \texttt { k } : = M _ { i + 1 } ^ { \frac { n ( 2 - p ) } { 2 s } } \delta ^ { \frac { n ( 1 - p ) } { 2 s } } ( 2 \texttt { c } _ { 1 } ) ^ { 1 / \beta } \texttt { b } ^ { 1 / \beta ^ { 2 } } \operatorname* { m a x } \{ A _ { 0 } , 1 \} + \delta \, \textup { \texttt { t a i l } } _ { \infty } ( ( u _ { \ell } ) _ { + } ; z _ { 0 } , \varrho _ { i } , \varrho _ { i + 1 } ) + \| \textup { \texttt { h } } \| _ { L ^ { \infty } ( Q _ { r } ) } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \, , } \end{array}
( i j ( n + 1 ) ) \circ ( i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { l - 1 } i ) ( j _ { 1 } j _ { 2 } \ldots j _ { l ^ { \prime } - 1 } j ) ( n + 1 ) = ( i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { l - 1 } i j _ { 1 } j _ { 2 } \ldots j _ { l ^ { \prime } - 1 } j ( n + 1 ) )
\begin{array} { r } { { \cal { G } } _ { \alpha , \mu } ^ { ( \beta ) } ( x , t ) = \frac { 1 } { | x | } { \mathrm { H } } _ { 2 , 3 } ^ { 2 , 1 } \left[ - \frac { | x | ^ { \mu } } { t ^ { \alpha } / ( 2 i ^ { \alpha } ) } \left| ^ { \left( 1 , 1 \right) , \left( \beta , \alpha \right) , \left( 1 , \frac { \mu } { 2 } \right) } _ { \left( 1 , \mu \right) , \left( 1 , 1 \right) , \left( 1 , \frac { \mu } { 2 } \right) } \right. \right] \; . } \end{array}
K _ { \mathrm { p e a k } } \approx \sqrt { \frac { 9 \left( \mathcal { D } _ { 1 } - 1 \right) } { 8 \mathcal { D } _ { 1 } \left( \mathcal { D } _ { 2 } - 1 \right) } } \, , \quad \left[ T \operatorname { R e } ( \lambda ) \right] _ { \mathrm { m a x } } \approx \frac { 9 \left( \mathcal { D } _ { 1 } - 1 \right) ^ { 2 } } { 1 6 \mathcal { D } _ { 1 } \left( \mathcal { D } _ { 2 } - 1 \right) }
\begin{array} { r l r } { C _ { i j } } & { { } = } & { - \overline { { \rho } } \left\{ \, \langle \left[ { \langle u _ { i } \rangle \left( u _ { j } - \langle u _ { j } \rangle \right) } \right] \rangle + \langle \left[ { \left( u _ { i } - \langle u _ { i } \rangle \right) \langle u _ { j } \rangle } \right] \rangle \, \right\} } \\ { C _ { i j } } & { { } = } & { - \overline { { \rho } } \left[ \, \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle u _ { j } \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle + \langle u _ { i } \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle \, \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q = } & { \left( \begin{array} { l l } { - c ( 1 - \pi _ { 1 } ) } & { c \pi _ { 2 } } \\ { c \pi _ { 1 } } & { - c ( 1 - \pi _ { 2 } ) } \end{array} \right) } \\ { = } & { \left( \begin{array} { l l } { - \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 2 } } { \pi _ { 1 } } \} } & { \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 2 } } { \pi _ { 1 } } \} } \\ { \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 1 } } { \pi _ { 2 } } \} } & { - \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 1 } } { \pi _ { 2 } } \} } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { \mathrm { c o m p } } ( r , t ) = } & { \; m _ { 0 } ( r , t ) + \mathrm { P e } ^ { 2 / 3 } \tilde { m } _ { 0 } \left( \mathrm { P e } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) + \mathrm { P e } ^ { 1 / 3 } \tilde { m } _ { 1 } \left( \mathrm { P e } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) + } \\ & { \; \log \mathrm { P e } ^ { - 2 / 3 } \tilde { m } _ { 2 } \left( \mathrm { P e } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) + \tilde { m } _ { 3 } \left( \mathrm { P e } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) - } \\ & { \; \frac { \sqrt { ( 1 - t ) } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) } { \sqrt { 2 } \pi \sqrt { 1 - r } } - \frac { ( 1 - t ) } { \pi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { { N } } = } & { { } \; \boldsymbol { { \overline { { \alpha } } } } \boldsymbol { { E } } _ { \mathrm { ~ F ~ v ~ K ~ } } ^ { 0 } + \boldsymbol { { \overline { { \beta } } } } \boldsymbol { { \kappa } } + \boldsymbol { { \overline { { \gamma } } } } ( \lambda ) , } \\ { \boldsymbol { { M } } = } & { { } \boldsymbol { { \tilde { \alpha } } } \boldsymbol { { E } } _ { \mathrm { ~ F ~ v ~ K ~ } } ^ { 0 } + \boldsymbol { { \tilde { \beta } } } \boldsymbol { { \kappa } } + \boldsymbol { { \tilde { \gamma } } } ( \lambda ) . } \end{array}
L ( p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } ) = \frac { M _ { V } ^ { 2 } ( - p _ { 1 } ^ { 2 } ) M _ { V } ^ { 2 } ( - p _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \{ M _ { V } ^ { 2 } ( - p _ { 1 } ^ { 2 } ) - p _ { 1 } ^ { 2 } \} \{ M _ { V } ^ { 2 } ( - p _ { 2 } ^ { 2 } ) - p _ { 2 } ^ { 2 } \} } .
\begin{array} { r } { G _ { 3 } ( k ^ { 2 } ) = \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { E ( k ^ { 2 } ) } { K ( k ^ { 2 } ) } ( 2 k ^ { 2 } - 1 ) + 1 - k ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\tilde { \cal T } _ { \mu } = \epsilon _ { \mu \nu \lambda } p ^ { \nu } \gamma ^ { \lambda } \otimes \sigma _ { 1 } = \frac { \sqrt { 2 } } { m } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } p ^ { \nu } \widehat { \Xi } { } ^ { \lambda } , \quad \tilde { \cal K } _ { \mu } = \epsilon _ { \mu \nu \lambda } p ^ { \nu } \gamma ^ { \lambda } \otimes \sigma _ { 2 } = 2 i \tilde { \cal T } _ { \mu } \widehat { N } ,
x _ { \mathrm { { I P } } } = \frac { \sum _ { \mathrm { { i } } } w _ { \mathrm { { i } } } x _ { \mathrm { { i } } } } { \sum _ { \mathrm { { i } } } w _ { \mathrm { { i } } } } \- \ \- \ \- \ y _ { \mathrm { { I P } } } = \frac { \sum _ { \mathrm { { i } } } w _ { \mathrm { { i } } } y _ { \mathrm { { i } } } } { \sum _ { \mathrm { { i } } } w _ { \mathrm { { i } } } } ~ .
A _ { s t } = \pi \alpha ^ { \prime } g _ { s } I ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } ) = { \frac { \alpha _ { G U T } ^ { 2 / 3 } L ( Q ) ^ { 2 / 3 } g _ { s } ^ { 1 / 3 } I ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } ) } { 4 \pi M _ { G U T } ^ { 2 } } } \,
| d \rangle = \left( \begin{array} { l } { d _ { 1 } } \\ { d _ { 2 } } \end{array} \right) = e ^ { i \frac { \psi } { 2 } } \sqrt { \frac { \gamma } { 2 ( 1 + \rho ) } } \left( \begin{array} { l } { \pm \tau + i ( 1 + \rho ) } \\ { \mp \tau - i ( 1 + \rho ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r l } { f _ { X _ { 1 } ^ { n } } ( x _ { 1 } ^ { n } ) } & { { } = \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } } \exp \left( - { \frac { ( x _ { i } - \theta ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Omega \setminus \Sigma } \Big ( \mu ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \Big ) \, \Big ( d \, \mathrm { d i v } \big [ \kappa ( \mathbf { x } ) \mathrm { g r a d } [ \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) ] \big ] - h _ { T } \, \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) \Big ) \, \mathrm { d } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { 1 } } & { { } = \frac { \left[ 1 \quad 0 \right] ^ { T } } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } } = \left[ 1 \quad 0 \right] ^ { T } , } \\ { \mathbf { v } _ { 2 } } & { { } = \frac { \left[ - 1 \quad 1 \right] ^ { T } } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } = \left[ - 1 / \sqrt { 2 } \quad 1 / \sqrt { 2 } \right] ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp \left( \frac { \alpha - 1 } { \alpha } I _ { \alpha } ( W , X ^ { n } ) \right) } & { = \exp \left( \frac { \alpha - 1 } { \alpha } \operatorname* { i n f } _ { \mathcal { Q } _ { X ^ { n } } } D _ { \alpha } ( \mathcal { P } _ { W X ^ { n } } \| \mathcal { P } _ { W } \mathcal { Q } _ { X ^ { n } } ) \right) } \\ & { \leq \exp \left( \frac { \alpha - 1 } { \alpha } D _ { \alpha } ( \mathcal { P } _ { W X ^ { n } } \| \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { X ^ { n } } ) \right) } \\ & { = \left( \mathcal { H } _ { \alpha } ( W , X ^ { n } ) \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } . } \end{array}
\int | \Phi _ { 0 } ( w ) ^ { 2 } | d w = \mathrm { K } ^ { 2 } \int \frac { d w } { z ^ { 2 } } \equiv \mathrm { K } ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { { \cal H } ^ { 2 } } { a ^ { 3 } \, { \varphi ^ { \prime } } ^ { 2 } } = 1 ,