harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { \partial \tilde { f } } { \partial t } + \frac { 1 } { p } \frac { \partial \Gamma _ { p } ( \tilde { f } ) } { \partial p } + \frac { \partial \Gamma _ { \xi } ( \tilde { f } ) } { \partial \xi } = S ( \tilde { f } ) , } \end{array}
\left. \begin{array} { c c l } { { \chi _ { \alpha } } } & { { \equiv } } & { { f _ { \alpha \beta \gamma } p _ { \beta } q _ { \gamma } - v _ { \alpha } = 0 } } \\ { { \tilde { \chi } _ { \alpha } } } & { { \equiv } } & { { f _ { \alpha \beta \gamma } u _ { \beta } A _ { \gamma } = 0 } } \end{array} \right\} \; \; \; - \; \mathrm { t h e ~ s e c o n d a r y ~ c o n s t r a i n t s }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( t - s ) g ( s ) \| _ { X } d s } & { \leq M C _ { \alpha } e ^ { \kappa t } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \frac { 1 } { ( t - s ) ^ { \alpha } } \Big ) ^ { p } d s \Big ) ^ { \frac { 1 } { p } } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| g ( s ) \| _ { X } ^ { w } d s \Big ) ^ { \frac { 1 } { w } } } \\ & { \leq \frac { M C _ { \alpha } } { ( 1 - \alpha p ) ^ { 1 / p } } e ^ { \kappa t } t ^ { \frac { 1 - \alpha p } { p } } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| g ( s ) \| _ { X } ^ { w } d s \Big ) ^ { \frac { 1 } { w } } , } \end{array}
\frac { \mathfrak { S } _ { | \nabla h | } } { \mathfrak { S } } \approx \frac { \left( 1 + \frac { 2 \sqrt { 2 } \pi } { 3 } \varepsilon \cdot \mathcal { F } _ { \nabla h } \right) } { \left( 1 + \frac { 2 \sqrt { 2 } \pi } { 3 } \varepsilon \right) } \approx 1 + \frac { 2 \sqrt { 2 } \pi } { 3 } \varepsilon \left( \mathcal { F } _ { \nabla h } - 1 \right) \, .
P r [ C _ { i } = C ] \geq \left( { \frac { n - 2 } { n } } \right) \left( { \frac { n - 3 } { n - 1 } } \right) \left( { \frac { n - 4 } { n - 2 } } \right) \ldots \left( { \frac { 3 } { 5 } } \right) \left( { \frac { 2 } { 4 } } \right) \left( { \frac { 1 } { 3 } } \right) .
\epsilon _ { 1 } ( \tau , \theta ) = e ^ { i \tau / 2 } \left[ \begin{array} { c } { { \sin ( \theta / 2 + \pi / 4 ) } } \\ { { - \cos ( \theta / 2 + \pi / 4 ) } } \end{array} \right] ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \epsilon _ { 2 } ( \tau , \theta ) = e ^ { - i \tau / 2 } \left[ \begin{array} { c } { { \cos ( \theta / 2 + \pi / 4 ) } } \\ { { \sin ( \theta / 2 + \pi / 4 ) } } \end{array} \right] ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { 4 | | \mathcal { E } | | _ { 0 , 0 } } & { \leq \sum _ { i = 1 - d } ^ { 0 } 4 | | \mathcal { E } ( e _ { i } ) | | _ { \mathrm { E n d } ( \mathfrak { S } _ { \mathrm { s u s p } ( h ) } ) } } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 - d } ^ { 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | | \partial _ { t _ { k } } h ^ { \mathrm { o p } } ( e _ { i } ) \partial _ { t _ { k } } \cdot | | _ { \mathrm { E n d } ( \mathfrak { S } _ { \mathrm { s u s p } ( h ) } ) } } \\ & { = \sum _ { i = 1 - d } ^ { 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | | \partial _ { t _ { k } } h ^ { \mathrm { o p } } ( e _ { i } ) | | _ { T M } } \\ & { \leq d \sum _ { k = 1 } ^ { n } | | \partial _ { t _ { k } } h ^ { \mathrm { o p } } | | _ { \mathrm { o p } , h ( t ) } . } \end{array}
\left\langle \Delta \dot { \rho } ^ { \mathrm { L T } } \right\rangle = \frac { n _ { \mathrm { b } } } { 2 \uppi } \, \int _ { f _ { 0 } } ^ { f _ { 0 } + 2 \uppi } \Delta \dot { \rho } ^ { \mathrm { L T } } \left( f \right) \, \frac { { { \textrm { d } } } { t } } { { { \textrm { d } } } { f } } \, \mathrm { d } f ,
\tilde { h } _ { 0 } ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { r } \tilde { h } _ { 0 } ^ { \prime } - \kappa ^ { 2 } \tilde { h } _ { 0 } = \chi ^ { \mathrm { A N O } } ( r ) \tilde { f } _ { u } ( r ) ,
\begin{array} { r l } { D ( \rho , \rho _ { \ast } ) } & { = \sum _ { \substack { x \in \aleph } } D \left[ P ( x ) \omega ( x ) , P _ { \ast } ( x ) \omega _ { \ast } ( x ) \right] , } \\ { D ( \sigma , \sigma _ { \ast } ) } & { = \sum _ { x \in \beth } D \left[ p ^ { - 1 } P ( x ) \omega ( x ) , p _ { \ast } ^ { - 1 } P _ { \ast } ( x ) \omega _ { \ast } ( x ) \right] } \\ & { \leq p ^ { - 1 } \sum _ { x \in \beth } D \left[ P ( x ) \omega ( x ) , P _ { \ast } ( x ) \omega _ { \ast } ( x ) \right] } \\ & { + \sum _ { x \in \beth } D \left[ p ^ { - 1 } P _ { \ast } ( x ) \omega _ { \ast } ( x ) , p _ { \ast } ^ { - 1 } P _ { \ast } ( x ) \omega _ { \ast } ( x ) \right] , } \end{array}
\mathbf { F } _ { \mathrm { ~ O ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { F ( t ) } \\ { T ( t ) } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ I ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { F _ { m } } \\ { T _ { m } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } [ \mathrm { R H S } \geq a ] = \mathbb { P } \left[ \left| Q _ { t } ^ { u , v , r } - { \mu } _ { t } ^ { u , v , r } ( \boldsymbol { x } ) \right| \geq a - \epsilon _ { t } ^ { u , v , r } \right] \leq \frac { ( { \sigma } _ { t } ^ { u , v , r } ( \boldsymbol { x } ) ) ^ { 2 } } { ( a - \epsilon _ { t } ^ { u , v , r } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { R } ^ { 2 } \ = \ } & { { } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ S _ { R } ( x ) ] } \\ { \ = \ } & { { } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } S _ { R } ( x ) \ d x - Q _ { R } ^ { 2 } } \\ { \ = \ } & { { } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \mu ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + Q _ { s } ^ { 2 } ) . } \end{array}
M ^ { 2 } ( x , t ) \equiv m ^ { 2 } \exp [ - { \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } } \{ G ( x x ; \chi ) - G ( x x ; m ^ { 2 } ) \} ] = m ^ { 2 } \exp [ - { \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } } G _ { r } ( x x ; \chi ) ]
\gamma _ { I J } ^ { \alpha } = \left\{ \begin{array} { c l l } { 0 , } & { \alpha = 1 , 2 } & { } \\ { \frac { 1 } { R } \mathcal { A } _ { J } ^ { \bar { I } } , } & { \alpha = 3 } & { . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \tilde { \delta } s = 0 } \\ { \displaystyle \tilde { \delta } \rho = - \, \rho \, \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } } \\ { \displaystyle \tilde { \delta } { \boldsymbol v } = \frac { d ( \tilde { \delta } \boldsymbol { x } ) } { d t } } \\ { \displaystyle \tilde { \delta } \Omega = \frac { \partial \Omega } { \partial \boldsymbol { x } } \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } } \end{array} \right. \qquad \Longrightarrow \qquad \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \hat { \delta } s = - \frac { \partial s } { \partial \boldsymbol { x } } \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } } \\ { \displaystyle \hat { \delta } \rho = - \, \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } \, ( \rho \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } ) } \\ { \displaystyle \hat { \delta } { \boldsymbol v } = \frac { d ( \tilde { \delta } \boldsymbol { x } ) } { d t } - \frac { \partial { \boldsymbol v } } { \partial \boldsymbol { x } } \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } } \\ { \displaystyle \hat { \delta } \Omega = 0 } \end{array} \right.
I _ { n } ( a , b ) = I _ { n } ( b , a ) = - \frac { 1 } { n } \tan ^ { n } \left( \frac { \operatorname* { m i n } ( a , b ) } { 2 } \right) \cot ^ { n } \left( \frac { \operatorname* { m a x } ( a , b ) } { 2 } \right) .
Q _ { V ^ { * } } ( u _ { i } , u _ { j } ) = \sum _ { 1 \leq \ell \leq n } \mathsf { d e t } \left[ \begin{array} { l l } { G F \left( \mathscr { P } ( u _ { i } , v _ { 2 \ell - 1 } ) \right) } & { G F \left( \mathscr { P } ( u _ { i } , v _ { 2 \ell } ) \right) } \\ { G F \left( \mathscr { P } ( u _ { j } , v _ { 2 \ell - 1 } ) \right) } & { G F \left( \mathscr { P } ( u _ { j } , v _ { 2 \ell } ) \right) } \end{array} \right] .
\begin{array} { l l l } { e ( 0 , x _ { 2 } ) } & { = } & { E E ( x _ { 1 } = x _ { \mathrm { o u t } } , x _ { 2 } ) } \\ { p ( 0 , x _ { 2 } ) } & { = } & { E P ( x _ { 1 } = x _ { \mathrm { o u t } } , x _ { 2 } ) } \\ { s ( 0 , x _ { 2 } ) } & { = } & { E S ( x _ { 1 } = x _ { \mathrm { o u t } } , x _ { 2 } ) } \\ { e ( t , x _ { 2 } = - x _ { \mathrm { o u t } } ) } & { = } & { E E ( x _ { 1 } = x _ { \mathrm { o u t } } , x _ { 2 } = - x _ { \mathrm { o u t } } ) \: . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { j k } = \frac { 1 } { 2 } \left[ { \bf f } ( { \bf w } _ { L } ) + { \bf f } ( { \bf w } _ { R } ) \right] - \frac { 1 } { 2 } { \bf D } \left( { \bf w } _ { R } - { \bf w } _ { L } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } \cdots a _ { n } } & { = \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( a _ { 1 } + k d ) } \\ & { = \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } d \left( { \frac { a _ { 1 } } { d } } + k \right) = d \left( { \frac { a _ { 1 } } { d } } \right) d \left( { \frac { a _ { 1 } } { d } } + 1 \right) d \left( { \frac { a _ { 1 } } { d } } + 2 \right) \cdots d \left( { \frac { a _ { 1 } } { d } } + ( n - 1 ) \right) } \\ & { = d ^ { n } \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \left( { \frac { a _ { 1 } } { d } } + k \right) = d ^ { n } { \left( { \frac { a _ { 1 } } { d } } \right) } ^ { \overline { { n } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \mathrm { Q E D } } } & { { } = } & { ( \frac { 1 } { N _ { Z } } \sum _ { n _ { Z } } ^ { N _ { Z } } \big ( \zeta _ { \mathrm { Q E D } } ( Z ) - \zeta _ { \mathrm { Q E D } } ^ { \mathrm { ( f i t ) } } ( Z ) \big ) ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\langle \, d _ { b } ^ { \phantom { \dagger } } \, d _ { a } ^ { \dagger } \, \rangle _ { i m p } \overset { ! } { = } \frac { 1 } { V _ { B Z } } \, \sum _ { \mathbf { k } } \; \langle \, d _ { \mathbf { k } , a } ^ { \dagger } \, d _ { \mathbf { k } , b } ^ { \phantom { \dagger } } \, \rangle _ { q p } \, .
\begin{array} { r l } { \phi _ { k } ^ { \lambda _ { k } } ( y , e _ { i } ) = } & { \ J _ { k } ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } ) = \ \operatorname* { s u p } _ { u _ { k } \in \Theta _ { k } } E ^ { y , e _ { i } } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } f _ { k } ( t , Y ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ( t ) , u _ { 2 } ( t ) ) d t } \\ & { \qquad + g _ { k } ( Y ^ { u _ { 1 } , u _ { 2 } } ( T ) , \alpha ( T ) ) + \lambda _ { k } M _ { k } ( Y ^ { u _ { 1 } , u _ { 2 } } ( T ) , \alpha ( T ) ) \biggr ] } \end{array}
Y _ { 0 } = 1 . 4 4 N _ { Z ^ { \prime } } g _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } g _ { * } ^ { - 1 . 5 } \frac { m _ { p l } T _ { R } ^ { 3 } } { M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 4 } } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathrm { G L } _ { n } ( F ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 , a } ( F ) } l _ { T } ( \pi ( m ( a ) ) v _ { 0 } ) \chi _ { T } ( \operatorname* { d e t } a ) | \operatorname* { d e t } a | ^ { - \frac { 3 n } { 2 } - 1 } } \\ { \times } & { f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { 2 T } ) , s } ^ { 0 } ( \eta t ( 1 , m ( a ) ) u ( - a , 0 , z ) ) \psi ( \mathrm { t r } ( T z ) ) d u d a . } \end{array}
g r i d c e l l s . S i n c e o u r f o c u s i s t o t e s t t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e a n i s o t r o p i c g a s - k i n e t i c s c h e m e s i n a n a p p l i c a t i o n l i k e t h e G E M r e c o n n e c t i o n c h a l l e n g e , n o r e s i s t i v e t e r m i s i m p l e m e n t e d i n t h e t e s t s i m u l a t i o n , i . e . ,
- \frac { 1 } { \kappa } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial { t } ^ { 2 } } - \frac { \partial \Phi } { \partial { t } } = D _ { \mathrm { i n t } } ( \mu _ { s } ) + \Delta - \mathcal { T } \sin { \left( \Phi \right) }
\hat { H } _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ } } = \hat { H } _ { \mathrm { ~ Q ~ } } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } = \hat { \mathbf { I } } \cdot \mathbf { P } \cdot \hat { \mathbf { I } } + \hat { \mathbf { I } } \cdot \mathbf { A } \cdot \hat { \mathbf { J } } ,
\begin{array} { r l } { \Theta _ { s , t } ( z , w ) } & { = b ( r + \frac { 1 } { 2 } ) ( ( q _ { 1 } + \frac { s } { 2 r + 1 } ) ^ { 2 } + ( q _ { 2 } + \frac { t } { 2 r + 1 } ) ^ { 2 } ) } \\ & { \geq C _ { 1 } ( r + \frac { 1 } { 2 } ) ( ( q _ { 1 } + \frac { s } { 2 r + 1 } ) ^ { 2 } + ( q _ { 1 } - q _ { 2 } + \frac { s - t } { 2 r + 1 } ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \widetilde { g } } _ { a b } \equiv { \left[ \begin{array} { l l } { g _ { \mu \nu } + \phi ^ { 2 } A _ { \mu } A _ { \nu } } & { \phi ^ { 2 } A _ { \mu } } \\ { \phi ^ { 2 } A _ { \nu } } & { \phi ^ { 2 } } \end{array} \right] }
{ \frac { \pi } { 4 } } = { \frac { 3 } { 4 } } \times { \frac { 5 } { 4 } } \times { \frac { 7 } { 8 } } \times { \frac { 1 1 } { 1 2 } } \times { \frac { 1 3 } { 1 2 } } \times { \frac { 1 7 } { 1 6 } } \times { \frac { 1 9 } { 2 0 } } \times { \frac { 2 3 } { 2 4 } } \times { \frac { 2 9 } { 2 8 } } \times { \frac { 3 1 } { 3 2 } } \times \cdots
\begin{array} { r l } & { ( \phi _ { B _ { r } } ^ { - } ) ^ { - 1 } \left( \fint _ { B _ { r } } \phi _ { B _ { r } } ^ { + } \left( \left| \frac { \mathfrak { u } _ { r } ^ { \varphi } - \textnormal { m e d } ( u , B _ { r } ) } { r } \right| \right) \, d x \right) \leq C ( \varphi _ { B _ { r } } ^ { - } ) ^ { - 1 } \left( \fint _ { B _ { r } } \varphi _ { B _ { r } } ^ { - } ( | \nabla u | ) \, d x \right) + C \sigma , } \\ & { \int _ { B _ { r } } \varphi _ { B _ { r } } ^ { + } \left( \left| \frac { \mathfrak { u } _ { r } ^ { \varphi } - \textnormal { m e d } ( u , B _ { r } ) } { r } \right| \right) \, d x \leq C \int _ { B _ { r } } \left( \varphi _ { B _ { r } } ^ { - } ( | \nabla u | ) + \varphi _ { B _ { r } } ^ { + } \left( \left| \frac { u - \textnormal { m e d } ( u , B _ { r } ) } { r } \right| \wedge \sigma \right) \right) \, d x . } \end{array}
\hat { M } _ { \mathrm { s o l } } ^ { - 1 } ( k ) = \left( \begin{array} { l } { - \frac { c _ { k _ { 0 } } e ^ { - \theta _ { 3 1 } ( k _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 1 1 } ( k _ { 0 } ) \Delta _ { 3 3 } ^ { - 1 } ( k _ { 0 } ) ( k - k _ { 0 } ) } V + O ( 1 ) } \\ { O ( 1 ) } \\ { V + O ( k - k _ { 0 } ) } \end{array} \right) \qquad \mathrm { a s ~ k ~ \to ~ k _ 0 ~ } ,
\partial _ { U } \left( U ^ { 8 } \Big ( 1 - { \frac { U _ { 0 } ^ { 7 } } { U ^ { 7 } } } \Big ) \partial _ { U } \phi \right) + \left( { \frac { c g _ { Y M } ^ { 2 } N \omega ^ { 2 } U } { 1 - U _ { 0 } ^ { 7 } / U ^ { 7 } } } - \ell ( \ell + 7 ) U ^ { 6 } \right) \phi = 0 \, .
\dotsb { \overset { \partial _ { n + 1 } } { \longrightarrow \, } } C _ { n } { \overset { \partial _ { n } } { \longrightarrow \, } } C _ { n - 1 } { \overset { \partial _ { n - 1 } } { \longrightarrow \, } } \dotsb { \overset { \partial _ { 2 } } { \longrightarrow \, } } C _ { 1 } { \overset { \partial _ { 1 } } { \longrightarrow \, } } C _ { 0 } { \overset { \partial _ { 0 } } { \longrightarrow \, } } 0
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { 1 } { r } \partial _ { r } \left[ r \partial _ { r } \left( r \delta B _ { r } \right) \right] + \frac { \partial _ { \theta } ^ { 2 } ( r \delta B _ { r } ) } { r ^ { 2 } } + \partial _ { z } ^ { 2 } ( r \delta B _ { r } ) - \frac { \partial _ { t } ^ { 2 } ( r \delta B _ { r } ) } { c ^ { 2 } } } & { = - \frac { 4 \pi r } { c } \left( \frac { \partial _ { \theta } \delta J _ { z } } { r } - \partial _ { z } \delta J _ { \theta } \right) = } \\ & { = \frac { 4 \pi \mathrm { i } r } { k _ { \theta } c } \left( \frac { \partial _ { \theta } ^ { 2 } \delta J _ { z } } { r ^ { 2 } } + \partial _ { z } ^ { 2 } \delta J _ { z } \right) . } \end{array} } \end{array}
[ A ] = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 , 1 } } & { a _ { 1 , 2 } } & { \ldots } & { a _ { 1 , n } } \\ { a _ { 2 , 1 } } & { a _ { 2 , 2 } } & { \ldots } & { a _ { 2 , n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m , 1 } } & { a _ { m , 2 } } & { \ldots } & { a _ { m , n } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } P ( X , t ) } & { { } = } & { \sum _ { \rho = \pm 1 } ^ { \pm r } \Big [ W _ { \rho } ( X - \nu _ { \mathrm { X } \rho } ) \; P ( X - \nu _ { \mathrm { X } \rho } , t ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f _ { n } ( x + y ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } f _ { k } ( x ) f _ { n - k } ( y ) } \\ { f _ { n } ( 2 x ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } f _ { k } ( x ) f _ { n - k } ( x ) } \\ { x n f _ { n } ( x + y ) } & { = ( x + y ) \sum _ { k = 0 } ^ { n } k f _ { k } ( x ) f _ { n - k } ( y ) } \\ { { \frac { ( x + y ) f _ { n } ( x + y + t n ) } { x + y + t n } } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \frac { x f _ { k } ( x + t k ) } { x + t k } } { \frac { y f _ { n - k } ( y + t ( n - k ) ) } { y + t ( n - k ) } } . } \end{array} }
\left( \begin{array} { c } { { \phi } } \\ { { \omega } } \\ { { J / \psi } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { a _ { V } - b _ { V } } } & { { c _ { V } - d _ { V } } } & { { - \sin \alpha _ { V } \cos ( \phi _ { V } - \theta _ { V } ) } } \\ { { - c _ { V } - d _ { V } } } & { { a _ { V } + b _ { V } } } & { { - \sin \alpha _ { V } \sin ( \phi _ { V } - \theta _ { V } ) } } \\ { { \sin \alpha _ { V } \cos \phi _ { V } } } & { { \sin \alpha _ { V } \sin \phi _ { V } } } & { { \cos \alpha _ { V } } } \end{array} \right) ~ \left( \begin{array} { c } { { \omega _ { 0 } } } \\ { { \omega _ { 8 } } } \\ { { \psi _ { 0 } } } \end{array} \right) ,
N ^ { t } ( A \, Z _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } ) = N ^ { t } ( A ) \, Z _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } + A \, { \frac { a _ { 1 } ( a _ { 1 } - 1 ) } { 2 } } \, Z _ { 1 } ^ { a _ { 1 } - 1 } \, .
M \times \, ^ { \prime \prime } 0 \; 0 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 1 \; 0 \, ^ { \prime \prime } = M \times ( 2 ^ { 5 } + 2 ^ { 4 } + 2 ^ { 3 } + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 1 } ) = M \times 6 2
L _ { 1 } = \theta _ { \hat { c } } ^ { 3 } - { \hat { c } } \left( \theta _ { \hat { c } } ^ { 3 } + \frac { 3 } { 2 } \theta _ { \hat { c } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \theta _ { \hat { c } } \right) - \frac { 1 } { 4 } \theta _ { \hat { c } } .
\begin{array} { r l } { v _ { 1 } } & { = ( u _ { 1 } , u _ { 1 } ) + \lambda ( { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 1 } } ) , } \\ { v _ { 2 } } & { = ( x _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 2 } , u _ { 2 } , u _ { 2 } ) + \lambda ( { \mathbf { 1 } } , { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 1 } } , { \mathbf { 2 } } , \mathbf { 3 } ) , } \\ { v _ { 3 } } & { = ( u _ { 3 } , u _ { 3 } , u _ { 3 } , u _ { 3 } ) + \lambda ( { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 2 } } , { \mathbf { 4 } } , \mathbf { 6 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Delta _ { x } G ( x , y ) + k ^ { 2 } G ( x , y ) } & { = - \delta ( x - y ) } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { R } ^ { 2 } \backslash \Gamma _ { 0 } , } \\ { G ( x , y ) | _ { + } = G ( x , y ) | _ { - } , \partial _ { x _ { 2 } } G ( x , y ) | _ { + } } & { = \partial _ { x _ { 2 } } G ( x , y ) | _ { - } } & & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 0 } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { | x | \to \infty } \left( \frac { \partial G ( x , y ) } { \partial | x | } - \mathrm { i } k G ( x , y ) \right) } & { = 0 , } & & { \mathrm { ~ u n i f o r m l y ~ f o r ~ a l l ~ } \frac { x } { | x | } \in U _ { 0 } \mathrm { ~ a n d ~ } \frac { x } { | x | } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \backslash \overline { { U } } _ { 0 } , } \end{array}
\frac { \partial f } { \partial t } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \Big ( f \frac { d \boldsymbol { x } } { d t } \Big ) + \nabla _ { \boldsymbol { v } } \cdot \Big ( f \frac { d \boldsymbol { v } } { d t } \Big ) + \partial _ { \omega } \Big ( f \frac { d \omega } { d t } \Big ) + \partial _ { \theta } \Big ( f \frac { d \theta } { d t } \Big ) + \partial _ { r } \Big ( f \frac { d r } { d t } \Big ) = C ( f ) ,
n \widehat T _ { n } = \alpha _ { - n } ^ { 1 } \alpha _ { n } ^ { 1 } - \alpha _ { - n } ^ { 0 } \alpha _ { n } ^ { 0 } = \alpha _ { - n } ^ { + } \alpha _ { n } ^ { - } + \alpha _ { - n } ^ { - } \alpha _ { n } ^ { + } \ .
\frac { n _ { B } } { s } ( \vec { x } , t _ { c } ) = \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 \pi \sigma _ { c } } \frac { n _ { f } } { s } \frac { { \vec { { \cal H } } } _ { Y } \cdot \vec { \nabla } \times { \vec { { \cal H } } } _ { Y } } { \Gamma + \Gamma _ { { \cal H } } } \frac { \Gamma M _ { 0 } } { T _ { c } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { i } \varphi ) ( \partial _ { i } \varphi ) - \sqrt { 2 } i \phi ^ { \dagger } \partial _ { t } \phi - \chi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } \partial _ { i } \phi } \\ { + \phi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } \partial _ { i } \chi - g \varphi ( \chi ^ { \dagger } \phi + \phi ^ { \dagger } \chi ) } \end{array}
E _ { n } ^ { A _ { 1 } . . . A _ { n } } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ; \Gamma ) = \sum _ { m _ { 1 } . . . m _ { n } } \int d x E _ { n | m _ { 1 } . . . m _ { n } } ^ { A _ { 1 } . . . A _ { n } } ( x , \Gamma ( x ) , \partial _ { \mu } \Gamma ( x ) , . . . ) \prod _ { k = 1 } ^ { n } ( \partial _ { \mu } ) ^ { m _ { k } } \delta ( x - x _ { k } ) ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) } & { = } & { \frac { e ^ { - \beta \hbar \omega } - 1 } { e ^ { - \beta \hbar \omega } + 1 } \tilde { C } ^ { \prime } ( \omega ) } \\ & { = } & { \frac { e ^ { - \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } } - e ^ { \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } } } { e ^ { - \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } } + e ^ { \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } } } \tilde { C } ^ { \prime } ( \omega ) } \\ & { = } & { - \operatorname { t a n h } \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \tilde { C } ^ { \prime } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { G } } ^ { i } } & { = } & { \frac { 1 } { \gamma } \left( \partial _ { a } \tilde { \Pi } ^ { a i } + \epsilon ^ { i } _ { j k } A _ { a } ^ { j } \tilde { \Pi } ^ { a k } \right) , } \\ { \tilde { \mathcal { D } } _ { a } } & { : = } & { \frac { 1 } { \gamma } \left( 2 \tilde { \Pi } ^ { b i } \partial _ { [ a } A _ { b ] i } - A _ { a i } \partial _ { b } \tilde { \Pi } ^ { b i } \right) , } \\ { \tilde { \tilde { \mathcal { H } } } } & { : = } & { \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \epsilon _ { i j k } \tilde { \Pi } ^ { a i } \tilde { \Pi } ^ { b j } \left[ F _ { a b } ^ { k } + ( \sigma \gamma ^ { 2 } - 1 ) R _ { a b } ^ { k } \right] } \\ & { } & { + 2 \sigma | \operatorname* { d e t } ( \tilde { \Pi } ^ { a i } ) | \Lambda . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \tau } \bigg ( \frac { \overrightarrow { Q } } { J } \bigg ) + \frac { \partial \hat { F } } { \partial \xi } + \frac { \partial \hat { G } } { \partial \eta } = \frac { 1 } { R e } \bigg [ \frac { \partial \hat { F _ { \nu } } } { \partial \xi } + \frac { \partial \hat { G _ { \nu } } } { \partial \eta } \bigg ]
\begin{array} { r } { \cos ( \theta _ { c } ) = \frac { 3 } { 2 } \frac { \phi _ { s } } { \phi _ { 0 } } \left( 1 - \frac { \phi _ { s } ^ { 2 } } { 3 \phi _ { 0 } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\partial _ { \hat { x } } [ ( \hat { x } ^ { 2 } - 1 ) ( \hat { x } ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) \partial _ { \hat { x } } \hat { n } ( \hat { x } ) ] - 2 m \zeta \partial _ { \hat { x } } \hat { n } ( \hat { x } ) + 2 ( \hat { x } ^ { 2 } - \beta _ { D } ^ { 2 } ) \hat { n } ( \hat { x } ) = 0 ,
- \sum _ { \omega } \int _ { 1 - \epsilon } ^ { 1 } \frac { d s } { 2 s } G _ { \omega } ( s ^ { 3 } \tilde { t } ) \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \sim } - \sum _ { \omega } \mathrm { C a t } _ { \omega - 1 } \frac { M _ { T , c } I ( t _ { c } ) ^ { \omega - 1 } L ( t _ { c } ) ^ { \omega } } { ( 2 M _ { T , c } K ) ^ { 2 \omega - 1 } } \int _ { 1 - \epsilon } ^ { 1 } \frac { d s } { 2 s } ( 1 - \frac { s ^ { 3 } \tilde { t } } { t _ { c } } ) ^ { 1 / 2 - \omega } \mathrm { ~ . }
\begin{array} { l c c c c } { { } } & { { g g } } & { { q g } } & { { g q } } & { { q q , q \bar { q } , \bar { q } \bar { q } } } \\ { { Z + 4 \mathrm { j e t } } } & { { 3 } } & { { 2 0 . 5 } } & { { 2 0 . 5 } } & { { 5 6 } } \\ { { W + 4 \mathrm { j e t } } } & { { 2 . 5 } } & { { 2 4 } } & { { 2 4 } } & { { 4 9 . 5 . } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { f ( z _ { 0 } + \tau ) } } & { { = } } & { { \exp [ - 2 \pi \sqrt { - 1 } ( n \tau / 2 + 1 / 2 + n z _ { 0 } ) ] f ( z _ { 0 } ) , } } \\ { { f ( z _ { 0 } + 1 ) } } & { { = } } & { { ( - 1 ) ^ { n } f ( z _ { 0 } ) . } } \end{array} \right.
\frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 2 } } - 2 \log { \left( 1 + \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 2 } } \right) } = 0 \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 2 } } = 2 . 5 1 2 8 6 = \beta ^ { * } .
- \frac { \partial \langle P \rangle } { \partial x } = \frac { \partial } { \partial y } \left( \mu \frac { \partial u _ { f } } { \partial y } - \rho \langle u _ { f } ^ { \prime } v _ { f } ^ { \prime } \rangle - m _ { p } \langle n _ { d } \rangle \langle u _ { p } ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } \rangle \right)