harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } b } & { = \boldsymbol { w } _ { 0 \dag } M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } = i B _ { 0 } \ell ^ { \prime } [ 1 + \ell ^ { 2 } + \Delta \eta ^ { - 2 } ( B _ { 0 } ^ { 2 } - \nu \eta - 2 \eta ^ { 2 } ) ] c , } \\ { p _ { 1 } c } & { = \boldsymbol { w } _ { 0 \ddag } M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } = i B _ { 0 } \ell ^ { \prime } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ^ { - 1 } b . } \end{array}
U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( 2 ( \nu + \nu _ { T } ) S _ { i j } ) } { \partial x _ { j } } - f _ { i } ^ { \perp } - h _ { i } = 0
\begin{array} { r l } { \widecheck { \mathbf { y } } } & { = \sqrt { \rho } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \psi _ { n } ( \widecheck { \mathbf { x } } \odot \widecheck { \mathbf { g } } _ { n } ) \odot \widecheck { \mathbf { h } } _ { n } + \widecheck { \mathbf { x } } \odot \widecheck { \mathbf { h } } _ { d } \right) + \mathbf { w } } \\ & { = \sqrt { \rho } \mathbf { X } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \psi _ { n } ( \widecheck { \mathbf { g } } _ { n } \odot \widecheck { \mathbf { h } } _ { n } ) + \widecheck { \mathbf { h } } _ { d } \right) + \mathbf { w } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ | X - E [ X ] | ] = { \frac { 2 ^ { 1 - \nu } } { \nu \mathrm { B } ( { \frac { \nu } { 2 } } , { \frac { \nu } { 2 } } ) } } } & { { } = { \frac { 2 ^ { 1 - \nu } \Gamma ( \nu ) } { \nu ( \Gamma ( { \frac { \nu } { 2 } } ) ) ^ { 2 } } } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \nu \to 0 } \left( \operatorname* { l i m } _ { \mu \to { \frac { 1 } { 2 } } } \operatorname { E } [ | X - E [ X ] | ] \right) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \nu \to \infty } \left( \operatorname* { l i m } _ { \mu \to { \frac { 1 } { 2 } } } \operatorname { E } [ | X - E [ X ] | ] \right) } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { [ c ] } & { a _ { 0 } ^ { 0 } = - \frac { 4 3 } { 3 8 4 } u _ { i - 1 } + \frac { 2 3 5 } { 1 9 2 } u _ { i } - \frac { 4 3 } { 3 8 4 } u _ { i + 1 } - \frac { 2 7 } { 6 4 } v _ { i - 1 } + \frac { 2 7 } { 6 4 } v _ { i + 1 } , } \\ & { a _ { 1 } ^ { 0 } = \frac { 1 6 7 } { 5 7 6 } u _ { i - 1 } - \frac { 1 6 7 } { 5 7 6 } u _ { i + 1 } + \frac { 2 8 1 } { 2 8 8 } v _ { i - 1 } + \frac { 2 4 4 9 } { 1 4 4 } v _ { i } + \frac { 2 8 1 } { 2 8 8 } v _ { i + 1 } , } \\ & { a _ { 2 } ^ { 0 } = \frac { 2 3 } { 1 6 } u _ { i - 1 } - \frac { 2 3 } { 8 } u _ { i } + \frac { 2 3 } { 1 6 } u _ { i + 1 } + \frac { 4 5 } { 8 } v _ { i - 1 } - \frac { 4 5 } { 8 } v _ { i + 1 } , } \\ & { a _ { 3 } ^ { 0 } = - \frac { 4 5 5 } { 2 1 6 } u _ { i - 1 } + \frac { 4 5 5 } { 2 1 6 } u _ { i + 1 } - \frac { 7 8 5 } { 1 0 8 } v _ { i - 1 } - \frac { 1 9 4 5 } { 5 4 } v _ { i } - \frac { 7 8 5 } { 1 0 8 } v _ { i + 1 } , } \\ & { a _ { 4 } ^ { 0 } = - \frac { 5 } { 8 } u _ { i - 1 } + \frac { 4 } { 5 } u _ { i } - \frac { 5 } { 8 } u _ { i + 1 } - \frac { 1 5 } { 4 } v _ { i - 1 } + \frac { 1 5 } { 4 } v _ { i + 1 } , } \\ & { a _ { 5 } ^ { 0 } = \frac { 3 5 } { 3 6 } u _ { i - 1 } - \frac { 3 5 } { 3 6 } u _ { i + 1 } + \frac { 7 7 } { 1 8 } v _ { i - 1 } + \frac { 1 3 3 } { 9 } v _ { i } + \frac { 7 7 } { 1 8 } v _ { i + 1 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathcal { \hat { V } } ( t ) = - \frac { q } { m } \left[ \vec { A } ( \vec { 0 } , t ) \cdot \hat { \vec { p } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \vec { \nabla } \wedge \vec { A } ( \vec { 0 } , t ) \right) \cdot \left( \hat { \vec { x } } \wedge \hat { \vec { p } } \right) + \cdots \right] .
\left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { O } } \\ { p ( \boldsymbol { X } ) } \end{array} \right] \sim \mathcal { N } \left( \left[ \begin{array} { l } { \nabla p \left( \boldsymbol { X } _ { * } \right) } \\ { \bar { p } ( \boldsymbol { X } ) } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { \underbrace { \nabla _ { \boldsymbol { x } } \nabla _ { \boldsymbol { x } ^ { \prime } } \mathcal { C } \left( \boldsymbol { X } _ { * } , \boldsymbol { X } _ { * } \right) + \sigma _ { \epsilon } ^ { 2 } \mathbf { I } _ { * } } _ { \Sigma _ { 1 1 } } , \underbrace { \nabla _ { \boldsymbol { x } ^ { \prime } } \mathcal { C } \left( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { X } _ { * } \right) } _ { \Sigma _ { 1 2 } } } \\ { \underbrace { \nabla _ { \boldsymbol { x } } \mathcal { C } \left( \boldsymbol { X } _ { * } , \boldsymbol { X } \right) } _ { \Sigma _ { 2 1 } } , \underbrace { \mathcal { C } \left( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { X } \right) } _ { \Sigma _ { 2 2 } } } \end{array} \right] \right)
\begin{array} { r } { \partial _ { 2 } \mathcal { E } _ { 0 } = \left[ - i \delta \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { 0 } ^ { 2 } - L _ { 2 } \right] \mathcal { E } _ { 0 } + \Gamma _ { 2 } , } \end{array}
\langle j _ { 1 } \, j _ { 1 } \, j _ { 1 } \, ( - j _ { 1 } ) | J \, 0 \rangle = ( 2 j _ { 1 } ) ! { \sqrt { \frac { 2 J + 1 } { ( J + 2 j _ { 1 } + 1 ) ! ( 2 j _ { 1 } - J ) ! } } } .
{ ^ { A B } \! G } ^ { I } ( z ) \equiv \left[ \mathrm { L I M } { ^ { A B } \! G } ^ { I } ( x , y ) \right] _ { z \le 0 \Rightarrow z \ge 0 } = \theta ( z ) \theta ( 1 - z ) \left[ { ^ { A B } \! H } ^ { I } ( z ) \pm { ^ { A B } \! \overline { { H } } } ^ { I } ( - z ) \right] \quad \mathrm { f o r } \quad \left\{ { I = A \atop I = V } \right. ,
\boldsymbol { \Gamma } ( \kappa _ { n } , \omega _ { n } ) = \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - d \hat { M } \omega _ { n } ^ { 2 } } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { \hat { V } _ { n } } = \left[ \begin{array} { c c } { \hat { w } _ { n } } \\ { \hat { v } _ { n } } \end{array} \right]
\int _ { \partial \mathrm { ~ P ~ } } \gamma \delta \mathrm { ~ d ~ } \, d a _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \int _ { \mathrm { ~ P ~ } } \left( \varpi \delta \mathrm { ~ d ~ } + \boldsymbol { \zeta } \cdot \nabla \delta \mathrm { ~ d ~ } \right) d v _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } }
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { L } ( \omega ) } & { = } & { - \frac { 1 } { \partial _ { \omega } \epsilon _ { \omega , R } } \int _ { \omega - \omega _ { M } } ^ { \omega - \omega _ { L } } d \omega _ { s } V ( \omega _ { s } ) \left( I _ { \omega } - \omega _ { s } \partial _ { \omega } I _ { \omega } \right) } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \partial _ { \omega } \epsilon _ { \omega , R } } \left[ U _ { 0 } I _ { \omega } - U _ { 1 } \partial _ { \omega } I _ { \omega } \right] . } \end{array}
G = \left\{ \mathbf { U } = ( \rho , \mathbf { m } , \mathbf { B } , E ) ^ { \top } : ~ \rho > 0 , ~ \mathcal { E } ( \mathbf { U } ) : = E - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { | \mathbf { m } | ^ { 2 } } { \rho } + | \mathbf { B } | ^ { 2 } \right) > 0 \right\} ,
\begin{array} { r } { \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { D } ) = \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } \mathcal { D } ) + \operatorname { \mathbb P } ( ( \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } ) ^ { c } \mathcal { D } ) \le \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { E } ) + \operatorname { \mathbb P } ( ( \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } ) ^ { c } ) . } \end{array}
S _ { P } [ \eta , A ] = t \sum _ { x } \sum _ { \stackrel { \scriptstyle \mu , \nu = 1 } { \mu < \nu } } ^ { 3 } A _ { \mu \nu } ( x ) \Big [ \eta _ { + \mu } ( x , \nu ) \eta _ { - \mu } ( x + \hat { \mu } , \nu ) + \eta _ { + \nu } ( x , \mu ) \eta _ { - \nu } ( x + \hat { \nu } , \mu ) \Big ] ,
\hbar ^ { 2 } ( \check { q } - t ) \ddot { \check { q } } = \frac { 1 } { 2 } ( \hbar \dot { \check { q } } ) ^ { 2 } - \hbar ^ { 2 } \dot { \check { q } } + 6 ( \check { q } - t ) ^ { 4 } + 8 t ( \check { q } - t ) ^ { 3 } + 2 ( t ^ { 2 } - 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) ( \check { q } - t ) ^ { 2 } - 2 t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 }
\begin{array} { r l } { \phi ( 2 0 ) } & { { } = \mu ( 1 ) \cdot 2 0 + \mu ( 2 ) \cdot 1 0 + \mu ( 4 ) \cdot 5 + \mu ( 5 ) \cdot 4 + \mu ( 1 0 ) \cdot 2 + \mu ( 2 0 ) \cdot 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { e f f } } } & { = [ V ^ { \prime } ( q _ { \mathrm { r e f } } ) + V ^ { \prime \prime } ( q _ { \mathrm { r e f } } ) \cdot ( q _ { t } - q _ { \mathrm { r e f } } ) ] ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } } \\ & { ~ ~ ~ - [ V ^ { \prime } ( q _ { \mathrm { r e f } } ) + V ^ { \prime \prime } ( q _ { \mathrm { r e f } } ) \cdot ( q _ { t } - q _ { \mathrm { r e f } } ) ] ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { i } ^ { \Gamma } \varphi ( \mathbf { x } ) } & { = \oint _ { \Gamma } g _ { i } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \varphi ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) d \mathbf { x } ^ { \prime } , } \\ { K _ { i } ^ { \Gamma } \varphi ( \mathbf { x } ) } & { = \oint _ { \Gamma } \frac { \partial g _ { i } } { \partial \mathbf { n } ^ { \prime } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \varphi ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) d \mathbf { x } ^ { \prime } , } \\ { K _ { i } ^ { \prime \Gamma } \varphi ( \mathbf { x } ) } & { = \oint _ { \Gamma } \frac { g _ { i } } { \partial \mathbf { n } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \varphi ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) d \mathbf { x } ^ { \prime } , } \\ { W _ { i } ^ { \Gamma } \varphi ( \mathbf { x } ) } & { = - \oint _ { \Gamma } \frac { \partial ^ { 2 } g _ { i } } { \partial \mathbf { n } ^ { \prime } \partial \mathbf { n } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \varphi ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) d \mathbf { x } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { z _ { t } ^ { \mathrm { { o n } } } = \sum _ { s \in \mathcal { S } } z _ { t s } ^ { \mathrm { h } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } , } \\ & { p _ { t } ^ { \mathrm { { e } } } = \sum _ { s \in \mathcal { S } } \hat { p } _ { t s } ^ { \mathrm { e } } + P ^ { \mathrm { { s b } } } z _ { t } ^ { \mathrm { s b } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } . } \end{array}
I _ { g , n } = F _ { g , n } F _ { d } ^ { 2 n } \{ g ( R ^ { 2 } ) ( F _ { f } ^ { 2 } ) ^ { g - 1 } + 2 g ( g - 1 ) ( R F _ { f } ) ^ { 2 } ( F _ { f } ^ { 2 } ) ^ { g - 2 } \} + . . .
\Gamma _ { f , i + 1 / 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( f _ { i , R } v _ { | | i , R } + f _ { i + 1 , L } v _ { | | i + 1 , L } \right) + \frac { a _ { m a x , i + 1 / 2 } } { 2 } \left( f _ { i , R } - f _ { i + 1 , L } \right)
\begin{array} { r l } { \Delta U _ { a r e a } } & { { } = \sum _ { i \in \{ S _ { 1 } , S _ { 2 } , E _ { 1 } , E _ { 2 } \} } { ( a _ { i } ^ { f i n } - 1 ) ^ { 2 } - ( a _ { i } ^ { i n } - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in H } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } \| } & { = \frac { | H | } { n } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \| v \| = 1 } \Sigma ^ { - 1 / 2 } \left\langle v , \frac { 1 } { | H | } \sum _ { i \in H } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } \right\rangle } \\ & { = \frac { | H | } { n } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \| v \| = 1 } \Sigma ^ { - 1 / 2 } \left\langle v , \frac { 1 } { | H | } \sum _ { i \in H } x _ { i } \mathrm { c l i p } _ { \theta _ { t } } ( w _ { t } ^ { \top } x _ { i } - y _ { i } ) \right\rangle } \\ & { \leq \frac { | H | } { n } \cdot \theta _ { t } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \| v \| = 1 } \Sigma ^ { - 1 / 2 } \left\langle v , \frac { 1 } { | H | } \sum _ { i \in H } x _ { i } \right\rangle } \\ & { \leq 2 C _ { 2 } K \alpha \log ^ { a } ( 1 / \alpha ) \theta _ { t } } \\ & { \leq 1 2 C _ { 2 } ^ { 1 . 5 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) ( \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } + \sigma ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \big ( \mathsf { a } _ { \alpha _ { p , t } ^ { 1 } } ( \widetilde { \mathcal { F } } ) + \mathsf { a } _ { \alpha _ { p , t } ^ { 2 } } ( \widetilde { \mathcal { F } } ) - \mathsf { a } _ { \alpha _ { p , t } ^ { 0 } } ( \widetilde { \mathcal { F } } ) \big ) } & { = \int _ { \alpha _ { p , t } ^ { 1 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } + \int _ { \alpha _ { p , t } ^ { 2 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } - \int _ { \alpha _ { p , t } ^ { 0 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } } \\ & { = \int _ { \alpha _ { p , t } ^ { 1 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } + \int _ { \alpha _ { p , t } ^ { 2 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } - \bigg ( \int _ { \beta _ { 1 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } + \int _ { \beta _ { 2 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } \bigg ) } \\ & { = \int _ { \alpha _ { p , t } ^ { 1 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } - \int _ { \gamma _ { 1 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } + \int _ { \alpha _ { p , t } ^ { 2 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } - \int _ { \gamma _ { 2 } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } } \\ & { = 2 \int _ { \delta _ { p , t } } \widetilde { \mu } _ { \triangle } . } \end{array}
\sigma \left( \gamma ^ { * } p \to \rho \, p \right) \simeq 0 . 9 \, \sum _ { q = u , d } \int _ { M _ { a } ^ { 2 } } ^ { M _ { b } ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } \sigma \left( \gamma ^ { * } p \to ( q \bar { q } ) p \right) } { \mathrm { d } M ^ { 2 } }
\begin{array} { l } { { f _ { ( + ) } ( \theta _ { + k } ) = C e ^ { \chi _ { R } ( \theta _ { + k } ) - i \chi _ { J } ( \theta _ { + k } ) } , } } \\ { { f _ { ( - ) } ( \theta _ { - k } ) = \left. f _ { ( + ) } ^ { * } ( \theta _ { + k } ) \right| _ { \theta _ { + k } = \theta _ { - k } } = C e ^ { \chi _ { R } ( \theta _ { - k } ) + i \chi _ { J } ( \theta _ { - k } ) } . } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { E } [ x ^ { 2 } ] = \frac { 1 } { 2 } ( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) , } \\ { \mathbb { E } [ x ^ { 4 } ] = \frac { 1 } { 2 } ( x _ { 1 } ^ { 4 } + x _ { 2 } ^ { 4 } ) . } \end{array} \right.
\widehat Z _ { N } = \big \langle 1 + \sigma _ { i } \sigma _ { j } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { i j } ) \big \rangle _ { i j } \widehat Z _ { N } ^ { ( i j ) } , \quad \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle \widehat Z _ { N } = \big \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } ( 1 + \sigma _ { i } \sigma _ { j } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { i j } ) ) \big \rangle _ { i j } \widehat Z _ { N } ^ { ( i j ) } ,
S _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { r _ { \Delta } s _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 2 r _ { \delta } s _ { 2 } c _ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { r _ { \Delta } c _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 2 r _ { \delta } s _ { 2 } c _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { c _ { 0 } = V _ { 0 } ^ { 2 } - 2 V _ { 0 } \omega _ { 1 } ^ { 2 } - 2 V _ { 0 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \omega _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } + 3 \omega _ { 1 } ^ { 4 } + 3 \omega _ { 2 } ^ { 4 } \, , } \\ { c _ { 1 } = 2 V _ { 0 } \omega _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \omega _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } - 6 \omega _ { 1 } ^ { 4 } \, , } \\ { c _ { 2 } = 2 V _ { 0 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \omega _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } - 6 \omega _ { 2 } ^ { 2 } \, , } \\ { c _ { 3 } = 2 \omega _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } \, , \quad c _ { 4 } = \omega _ { 1 } ^ { 4 } \, , \quad c _ { 5 } = \omega _ { 2 } ^ { 4 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) } & { = \alpha + x _ { 0 } ( t ) + H ^ { \coth } [ \eta ^ { \mathrm { s } } ] ( \alpha , t ) + H ^ { \operatorname { c s c h } } [ \eta ^ { \mathrm { b } } ] ( \alpha , t ) , } \\ { \xi ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) } & { = \alpha + x _ { 0 } ( t ) - H ^ { \operatorname { c s c h } } [ \eta ^ { \mathrm { s } } ] ( \alpha , t ) - H ^ { \coth } [ \eta ^ { \mathrm { b } } ] ( \alpha , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { n } ( x _ { i } ^ { \pm } , \alpha ) = \sum _ { j = - K } ^ { K } \left( a _ { j } ^ { i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x _ { i } ^ { \pm } } + b _ { j } ^ { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x _ { i } ^ { \pm } } \right) f _ { K + 1 - n } ^ { k , i } . } \end{array}
\mathrm { ~ ( ~ A ~ 1 ~ ) ~ } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \partial _ { t } { \mathbf v } ( { \mathbf x } , t ) = { \mathbf 0 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, } & { \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, d _ { i } ^ { ( k ) } \, ] } \\ & { = \sum _ { q \ \in { \mathcal { W } } _ { i } ^ { \ast } } \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, ( t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \ \big \vert \ \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } = q \, ] \, P ( \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } = q \, ) } \\ & { \quad \quad + \sum _ { q \ \in { \mathcal { W } } _ { i } ^ { \ast } } \mathrm { E } \, [ \, u \, \vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \vert \, h ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \ \big \vert \ \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } = q \, ] \, P ( \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } = q \, ) . } \end{array}
\epsilon = \epsilon _ { i n f } \left[ 1 + \frac { \omega _ { L O _ { 1 } } ^ { 2 } - \omega _ { T O _ { 1 } } ^ { 2 } } { \omega _ { T O _ { 1 } } ^ { 2 } - i \gamma _ { 1 } \omega - \omega ^ { 2 } } \right] \left[ 1 + \frac { \omega _ { L O _ { 2 } } ^ { 2 } - \omega _ { T O _ { 2 } } ^ { 2 } } { \omega _ { T O _ { 2 } } ^ { 2 } - i \gamma _ { 2 } \omega - \omega ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } & { D _ { x } ( \ln ( 1 + \hat { \Phi } ^ { n + 1 } ) - \ln ( 1 + \phi ^ { n + 1 } ) ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } = D _ { x } ( \frac { 1 } { 1 + \eta ^ { ( n + 1 ) } } \cdot \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } = : { \cal N L E } _ { 1 } + { \cal N L E } _ { 2 } , } \\ & { { \cal N L E } _ { 1 } = \frac { 1 } { 1 + \eta _ { i + 1 , j , k } ^ { ( n + 1 ) } } D _ { x } \tilde { \phi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { n + 1 } , \quad { \cal N L E } _ { 2 } = \tilde { \phi } _ { i , j , k } ^ { n + 1 } D _ { x } ( \frac { 1 } { 1 + \eta ^ { ( n + 1 ) } } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } . } \end{array}
\bar { \sum } \sum | t | ^ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } e ^ { 2 } \left| \frac { M _ { \phi } G _ { V } } { f ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \tilde { G } _ { K ^ { + } K ^ { - } } t _ { K \bar { K } , \pi \pi } ^ { I = 0 } + \frac { K } { f ^ { 2 } } \left( \frac { F _ { V } } { 2 } - G _ { V } \right) \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } G _ { K ^ { + } K ^ { - } } t _ { K \bar { K } , \pi \pi } ^ { I = 0 } \right| ^ { 2 }
{ \cal L } _ { s } \left( { \bf q } , \dot { \bf q } \right) = \frac { 1 } { v } \frac { d \sigma } { d s } = \frac { 1 } { v } \sqrt { \chi ^ { 2 } + 2 \sin \psi \left( \dot { \bf q } \cdot { \bf a } _ { \phi } \right) + \dot { \bf q } \cdot \dot { \bf q } } \, .
\begin{array} { r } { b \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \xi ( x ) } } \xi _ { x } ( x ) d x + b \bar { \rho } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \xi ( x ) } } \eta _ { x } ( x ) d x + \mu _ { 0 } \bar { \rho } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \eta ( x ) } } \eta _ { x x } ( x ) d x + \bar { \rho } \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overline { { \eta ( x ) } } \eta _ { x } ( x ) d x } \\ { + b \bar { \rho } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi _ { x } ( x ) \overline { { \eta ( x ) } } d x = \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\lvert \xi ( x ) \right\rvert ^ { 2 } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\lvert \eta ( x ) \right\rvert ^ { 2 } d x . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { A } _ { e } = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \uplambda _ { e } ^ { 0 } \le \uplambda _ { e } ^ { 1 } \, . } \\ { \null } & { \null } \\ { \begin{array} { l } { \tilde { A } _ { e } \mathrm { ~ b ~ i ~ g ~ e ~ n ~ o ~ u ~ g ~ h ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } } \\ { e ^ { - ( \uplambda _ { e } ^ { 0 } - \uplambda _ { e } ^ { 1 } ) } \left( \frac { \uplambda _ { e } ^ { 0 } } { \uplambda _ { e } ^ { 1 } } \right) ^ { A _ { e } } > 1 } \end{array} } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \uplambda _ { e } ^ { 0 } > \uplambda _ { e } ^ { 1 } \, . } \end{array} \right.
\varepsilon _ { 2 e } = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 1 } } } + { \frac { 1 } { 4 ^ { 2 ^ { 1 } } } } + { \frac { 1 } { 8 ^ { 4 ^ { 2 ^ { 1 } } } } } + { \frac { 1 } { 1 6 ^ { 8 ^ { 4 ^ { 2 ^ { 1 } } } } } } + { \frac { 1 } { 3 2 ^ { 1 6 ^ { 8 ^ { 4 ^ { 2 ^ { 1 } } } } } } } + \ldots
e _ { n } ^ { p f } ( T ) = e _ { n , 0 } ( T ) \cdot \left[ \left( \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \right) \left( e ^ { \gamma } \left( \gamma - 1 \right) + 1 \right) + \frac { 1 } { 2 } \right]
c _ { i } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } s + c _ { i } ( b ( s ) - b ( 0 ) ) } ( b ( s ) - b ( 0 ) ) s ^ { n } ( \tilde { f } ( s ) - f ( s ) ) \d s } { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } s + c _ { i } ( b ( s ) - b ( 0 ) ) } s ^ { n + 1 } ( f ( s ) - \tilde { f } ( s ) ) \d s } .
l _ { o r b } ^ { \pm } = \hbar \, \frac { \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { I } _ { \pm } \, ( \partial _ { \phi } \Phi _ { \pm } ) \, d x \, d y } { \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { I } _ { \pm } \, d x \, d y } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { L _ { S } } \mu _ { S } ( e ) z _ { S , e } ( e ) \, \mathrm { d } e = } & { \int _ { 0 } ^ { L _ { S } } ( \phi _ { F } - \phi _ { A } ) ( z _ { S } ( e ) ) z _ { S , e } ( e ) \, \mathrm { d } e } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { L _ { S } } \Big ( \phi _ { F } ( z _ { S } ( e ) ) - \mathrm { i } \tilde { \psi } ( z _ { S } ( e ) ) \Big ) z _ { S , e } ( e ) \, \mathrm { d } e } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { L _ { S } } \Big ( \phi _ { A } ( z _ { S } ( e ) ) - \mathrm { i } \tilde { \psi } ( z _ { S } ( e ) ) \Big ) z _ { S , e } ( e ) \, \mathrm { d } e } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { L _ { B } } \Big ( \phi _ { F } ( z _ { B } ( e ) ) - \mathrm { i } \tilde { \psi } ( z _ { B } ( e ) ) \Big ) z _ { B , e } ( e ) \, \mathrm { d } e + \mathrm { i } L \operatorname* { l i m } _ { x _ { 2 } \to + \infty } \tilde { \psi } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { L _ { B } } ( \phi _ { F } - \phi _ { B } ) ( z _ { B } ( e ) ) z _ { B , e } ( e ) \, \mathrm { d } e + 2 \mathrm { i } L \operatorname* { l i m } _ { x _ { 2 } \to + \infty } \tilde { \psi } } \\ { = } & { - \int _ { 0 } ^ { L _ { B } } \mu _ { B } ( e ) z _ { B , e } ( e ) \, \mathrm { d } e + 2 \mathrm { i } L \operatorname* { l i m } _ { x _ { 2 } \to \infty } \tilde { \psi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { 1 } } & { = X ( A , ( F \setminus \{ f \} ) \cup \{ u , a v + w \} , G ) , } \\ { X _ { 2 } } & { = X ( A , \mathrm { e v } _ { a } ( F \setminus \{ f \} , - v / 2 u ) \cup \{ D \} , \mathrm { e v } _ { a } ( G , - v / 2 u ) \cup \{ u \} ) , } \\ { X _ { 3 } } & { = X ( A , \mathrm { e v } _ { a } ( F \setminus \{ f \} , ( - v - d ) / 2 u ) , \mathrm { e v } _ { a } ( G , ( - v - d ) / 2 u ) \cup \{ u , D \} ) , } \\ { X _ { 4 } } & { = X ( A , \mathrm { e v } _ { a } ( F \setminus \{ f \} , ( - v + d ) / 2 u ) , \mathrm { e v } _ { a } ( G , ( - v + d ) / 2 u ) \cup \{ u , D \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathbf { \mu } , \log \mathbf { \sigma } ) = \mathrm { ~ E ~ n ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ } ( \mathbf { x } ; \mathbf { \phi } ) } \\ { q _ { \phi } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) = \mathcal { N } ( \mathbf { z } ; \mathbf { \mu } , \operatorname { d i a g } ( \mathbf { \sigma } ) ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \partial _ { t } u _ { 1 } = D _ { 1 } \Delta u _ { 1 } - \mathrm { \mathrm { ~ d i v } } _ { x } \, ( u _ { 1 } \, \alpha _ { 1 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) ) + \psi _ { 1 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) , } \\ { \partial _ { t } u _ { 2 } = D _ { 2 } \Delta u _ { 2 } + \psi _ { 2 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) . } \end{array} \right.