harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { 1 + \frac 1 3 | \mathcal { N } _ { 3 } | + \frac 1 2 ( 9 - | \mathcal { S } | ) = 5 \frac 1 2 + \frac 1 3 | \mathcal { N } _ { 3 } | - \frac 1 2 | \mathcal { S } | \leq } \\ & { \leq 5 \frac 1 2 + \frac 1 3 ( | \mathcal { S } _ { 2 } ^ { 5 + } | + 2 | \mathcal { S } _ { 3 , 3 } ^ { 5 + } | + \frac 3 2 | \mathcal { S } _ { 3 } ^ { 4 } \cup \mathcal { S } _ { 3 , 4 + } ^ { 5 + } | ) - \frac 1 2 ( | \mathcal { S } _ { 2 , 4 ^ { + } } ^ { 4 } | + | \mathcal { S } _ { 2 } ^ { 5 + } | + | \mathcal { S } _ { 3 , 3 } ^ { 5 + } | + | \mathcal { S } _ { 3 } ^ { 4 } \cup \mathcal { S } _ { 3 , 4 + } ^ { 5 + } | + | \mathcal { S } _ { 4 ^ { + } , 4 ^ { + } } | ) = } \\ & { = 5 \frac 1 2 - \frac 1 6 | \mathcal { S } _ { 2 } ^ { 5 + } | + \frac 1 6 | \mathcal { S } _ { 3 , 3 } ^ { 5 + } | - \frac 1 2 | \mathcal { S } _ { 4 ^ { + } , 4 ^ { + } } | - \frac 1 2 | \mathcal { S } _ { 2 , 4 ^ { + } } ^ { 4 } | . } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { 1 } { M } \sum _ { k } \int d x \frac { \left| \psi _ { k , \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ( x , T ) - \psi _ { k } ( x , T ) \right| } { \left| \psi _ { k } ( x , T ) \right| } .
\begin{array} { r l } { p _ { C C } } & { = q _ { C | C } p _ { C } , } \\ { p _ { D } } & { = 1 - p _ { C } , } \\ { q _ { D | C } } & { = 1 - q _ { C | C } , } \\ { p _ { C D } } & { = p _ { C } p _ { D | C } = p _ { C } ( 1 - q _ { C | C } ) , } \\ { q _ { C | D } } & { = \frac { p _ { C D } } { p _ { D } } = \frac { p _ { C } ( 1 - q _ { C | C } ) } { 1 - p _ { C } } , } \\ { q _ { D | D } } & { = 1 - q _ { C | D } = \frac { 1 - 2 p _ { C } + p _ { C } q _ { C | C } } { 1 - p _ { C } } , } \\ { p _ { D D } } & { = p _ { D } q _ { D | D } = 1 - 2 p _ { C } + p _ { C } q _ { C | C } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { ( j ) } ( t ) - u ^ { ( j ) } ( s ) } & { = \int _ { s } ^ { t } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { j } ] \times \Gamma } \Big [ \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a \cdot \nabla u ) + \big ( \normalfont { \mathrm { d i v } } ( F ( \cdot , u ) ) + f ( \cdot , u ) \big ) \Big ] \, d r } \\ & { \quad + \sum _ { n \geq 1 } \int _ { s } ^ { t } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { j } ] \times \Gamma } \Big [ ( b _ { n } \cdot \nabla ) u + g _ { n } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { r } ^ { n } . } \end{array}
- 2 G _ { 2 } \left( \bar { q } \; \gamma _ { \mu } \; \frac { \lambda _ { a } } { 2 } q \right) ^ { 2 } = - 2 G _ { 2 } \left[ \left( \bar { u } \; \bar { d } \; \bar { s } \right) \; \gamma _ { \mu } \; \frac { \lambda _ { a } } { 2 } \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { d } } \\ { { s } } \end{array} \right) \right] ^ { 2 } \; ;
\begin{array} { r } { \lefteqn Q ( \gamma , x ) = \sqrt { \pi / \left( 2 K ( \gamma _ { 2 } ) \right) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ \exp \left( - \pi { n } \frac { K ( \gamma _ { 1 } ) - M ( \gamma _ { 1 } ) } { M ( \gamma _ { 2 } ) } \right) \right. } \\ { \left. \times D _ { + } \left( \pi \sqrt { \frac { \mathrm { I n t } ( x + 1 ) - x + n } { 2 K ( \gamma _ { 2 } ) M ( \gamma _ { 2 } ) } } \right) \right] , } \end{array}
M = \left( \begin{array} { l l l l } { { { \frac { { q ^ { 2 } } } { { { \left( 1 + { q ^ { 2 } } \right) } ^ { 2 } } } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { { \frac { { q } } { { { 2 \left( 1 + { q ^ { 2 } } \right) } } } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \frac { { q } } { { { 2 \left( 1 + { q ^ { 2 } } \right) } } } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \frac { { q ^ { 2 } } } { { { \left( 1 + { q ^ { 2 } } \right) } ^ { 2 } } } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { R ( \omega _ { 0 } ) = } & { { } R _ { p } ( \omega _ { 0 } ) } \\ { \frac { d R } { d \omega } ( \omega _ { 0 } ) = } & { { } \frac { d R _ { p } } { d \omega } ( \omega _ { 0 } ) } \\ { L ( \omega _ { 0 } ) = } & { { } \frac { \omega _ { 0 } \frac { d X _ { p } } { d \omega } ( \omega _ { 0 } ) + X _ { p } ( \omega _ { 0 } ) } { 2 \omega _ { 0 } } } \\ { C ( \omega _ { 0 } ) = } & { { } \frac { 2 } { \omega _ { 0 } \left( \omega _ { 0 } \frac { d X _ { p } } { d \omega } ( \omega _ { 0 } ) - X _ { p } ( \omega _ { 0 } ) \right) } . } \end{array}
I _ { \Gamma _ { 4 } } = \int _ { \pi } ^ { - \pi } \frac { 1 } { r ^ { 1 - \xi } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( 1 - \xi \right) \varphi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \sigma } \left( r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } \mathrm { e } ^ { r t \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi ,
\begin{array} { r c l } { d \mu _ { p } ^ { ( m + 1 ) } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { \ominus } ) } & { = } & { \displaystyle \frac { \big ( \prod _ { j = 0 } ^ { m } \tilde { x } _ { - j } \big ) ^ { p - 1 } } { \int \big ( \prod _ { j = 0 } ^ { m } \tilde { x } _ { - j } \big ) ^ { - 1 } d \mu ^ { ( m + 1 ) } } \, d \mu ^ { ( m + 1 ) } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { \ominus } ) } \\ & { = } & { \displaystyle \frac { \tilde { x } _ { 0 } ^ { p } \, p ^ { ( m ) } ( \tilde { x } _ { 0 } | \tilde { \mathbf { x } } _ { - } ) \, \big ( \prod _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { x } _ { - j } \big ) ^ { p - 1 } } { \int p ^ { ( m ) } ( \tilde { x } _ { 0 } | \tilde { \mathbf { x } } _ { - } ) \, d \tilde { x } _ { 0 } \, \big ( \prod _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { x } _ { - j } \big ) ^ { - 1 } d \mu ^ { ( m ) } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { - } ) } \, d \tilde { x } _ { 0 } \, d \mu ^ { ( m ) } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { - } ) } \\ & { = } & { \displaystyle \tilde { x } _ { 0 } ^ { p } \, p ^ { ( m ) } ( \tilde { x } _ { 0 } | \tilde { \mathbf { x } } _ { - } ) \, d \tilde { x } _ { 0 } \, \frac { \big ( \prod _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { x } _ { - j } \big ) ^ { p - 1 } } { \int \big ( \prod _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { x } _ { - j } \big ) ^ { - 1 } \, d \mu ^ { ( m ) } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { - } ) } \, d \mu ^ { ( m ) } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { - } ) } \\ & { = } & { \displaystyle \tilde { x } _ { 0 } ^ { p } \, p ^ { ( m ) } ( \tilde { x } _ { 0 } | \tilde { \mathbf { x } } _ { - } ) \, d \tilde { x } _ { 0 } \, d \mu _ { p } ^ { ( m ) } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { - } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { + } ( t , z ) + W _ { - } ( t , z ) } & { { } = \frac { \omega _ { 0 } } { 2 \pi } \sum _ { l \in \mathbb { Z } } \bigg [ e ^ { i l \omega _ { 0 } t _ { 0 } ( z ) } + e ^ { - i l \omega _ { 0 } t _ { 0 } ( z ) } \bigg ] e ^ { i m \omega _ { 0 } t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| M _ { 2 } \right| } & { { } \leq C \left( \left\| \mathscr { Q } ( \mathscr { Q } w _ { x } w ) \right\| _ { \dot { H } ^ { 4 } } + \left\| \partial _ { x } ( \mathscr { Q } w ) ^ { 2 } \right\| _ { \dot { H } ^ { 4 } } \right) \left\| \partial _ { x } ^ { 7 } w _ { t } \right\| _ { \dot { H } ^ { - 4 } } } \end{array}
\frac { \left( 1 + \frac { 1 } { x y + 3 } - \frac { x y } { \left( x y \right) ^ { 2 } + 3 } \right) \left( 1 + \sqrt { x y } \right) ^ { 2 } } { \left( 1 + \frac { 1 } { x } \right) \left( 1 + \frac { 1 } { y } \right) } \ge \frac { \left( 3 + \frac { 1 } { x y + 3 } - \frac { x y } { \left( x y \right) ^ { 2 } + 3 } \right) \left( 3 + \sqrt { x y } \right) ^ { 2 } } { 3 \left( 3 + \frac { 1 } { x } \right) \left( 3 + \frac { 1 } { y } \right) } \ge \frac { 4 \left( 3 + \frac { 1 } { x y + 3 } - \frac { x y } { \left( x y \right) ^ { 2 } + 3 } \right) \left( 3 + \sqrt { x y } \right) } { 3 \left( 3 + \frac { 1 } { x } \right) \left( 3 + \frac { 1 } { y } \right) } \ge 1
\boxed { \begin{array} { r l } { C _ { 0 } ( t ) } & { = C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k _ { 0 } t } } \\ { C _ { \mu } ( t ) } & { = k _ { 0 } k ^ { \mu - 1 } C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k t } \cdot f _ { \mu } \ , \quad \mu \geq 1 } \\ { C _ { P } ( t ) } & { = C _ { 0 } ( 0 ) \left( 1 - k _ { 0 } e ^ { - k t } \sum _ { \mu = 0 } ^ { L - 1 } k ^ { \mu - 1 } \cdot f _ { \mu } \right) } \\ { f _ { \mu } } & { = \frac { e ^ { ( k - k _ { 0 } ) t } - { \displaystyle \sum _ { m = 0 } ^ { \mu - 1 } \frac { \left[ ( k - k _ { 0 } ) t \right] ^ { m } } { m ! } } } { ( k - k _ { 0 } ) ^ { \mu } } } \end{array} }
\forall l \ge 1 : \ \mathbb { P } [ X _ { l + 1 } \notin { \mathcal T } _ { \epsilon } , . . . , X _ { l + L _ { \epsilon } } \notin { \mathcal T } _ { \epsilon } | X _ { l } \notin { \mathcal T } _ { \epsilon } ] \le c _ { \epsilon } .
\begin{array} { r l r l } { \mathsf M _ { x } } & { = \big [ \langle \varphi _ { \alpha } ^ { ( x ) } , \, \varphi _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { ( x ) } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { x } ) } \big ] _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } , } & { \mathsf M _ { x , E _ { k } } } & { = \big [ \langle \varphi _ { \alpha } ^ { ( x ) } , \, E _ { k } \, \varphi _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { ( x ) } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { x } ) } \big ] _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } , } \\ { \mathsf T _ { x , k } } & { = \big [ \langle \varphi _ { \alpha } ^ { ( x ) } , \, \partial _ { x _ { k } } \varphi _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { ( x ) } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { x } ) } \big ] _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } , } & { \mathsf M _ { x , \Gamma _ { x } ^ { ( \nu ) } } } & { = \big [ \langle \varphi _ { \alpha } ^ { ( x ) } , \, \varphi _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { ( x ) } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Gamma ^ { \nu } ) } \big ] _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } , } \\ { \mathsf M _ { v } } & { = \big [ \langle \varphi _ { \beta } ^ { ( v ) } , \, \varphi _ { \beta ^ { \prime } } ^ { ( v ) } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { v } ) } \big ] _ { \beta , \beta ^ { \prime } } , } & { \mathsf M _ { v , k } } & { = \big [ \langle \varphi _ { \beta } ^ { ( v ) } , \, v _ { k } \varphi _ { \beta ^ { \prime } } ^ { ( v ) } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { v } ) } \big ] _ { \beta , \beta ^ { \prime } } , } \\ { \mathsf T _ { v , k } } & { = \big [ \langle \varphi _ { \beta } ^ { ( v ) } , \, \partial _ { v _ { k } } \varphi _ { \beta ^ { \prime } } ^ { ( v ) } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { v } ) } \big ] _ { \beta , \beta ^ { \prime } } , } & { \mathsf M _ { v , \Omega ^ { ( \nu ) } } } & { = \big [ \langle \varphi _ { \beta } ^ { ( v ) } , \, n ^ { ( \nu ) } \cdot v \, \varphi _ { \beta ^ { \prime } } ^ { ( v ) } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { v } ^ { ( \nu ) } ) } \big ] _ { \beta , \beta ^ { \prime } } , } \\ { \mathsf G _ { x } ( t ) } & { = \big [ \langle \varphi _ { \alpha } ^ { ( x ) } , \, G _ { x , j } ( t , \cdot ) \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { x } , \mathbb R ^ { r } ) } \big ] _ { \alpha , j } , } & { \mathsf G _ { v } ( t ) } & { = \big [ \langle \varphi _ { \beta } ^ { ( v ) } , \, G _ { v , i } ( t , \cdot ) \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { v } , \mathbb R ^ { r } ) } \big ] _ { \beta , i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \kappa _ { D } \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { w } \mathcal { F } _ { e l } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , R ) } { 2 \pi R ^ { 2 } } = } & { f _ { 0 } \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \kappa _ { D } , w \right) } \\ & { + \frac { f _ { 1 } \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \kappa _ { D } , w \right) } { \kappa _ { D } R } } \\ & { + \frac { f _ { 2 } \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \kappa _ { D } , w \right) } { ( \kappa _ { D } R ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \dot { r } } \\ { \dot { \phi } } \\ { \dot { z } } \end{array} \right) = } & { { } R _ { z } ( \phi ) \left( \begin{array} { l l l } { \operatorname { R e } ( \Lambda _ { 1 } ) } & { - \operatorname { I m } ( \Lambda _ { 1 } ) } & { 0 } \\ { \operatorname { I m } ( \Lambda _ { 1 } ) } & { \operatorname { R e } ( \Lambda _ { 1 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Lambda _ { 3 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { r \cos \phi } \\ { \sin \phi } \\ { z } \end{array} \right) + } \end{array}
\widetilde { V } ( r _ { j k } ) \simeq \widetilde { V } ( r _ { j k } ^ { ( 0 ) } ) + \frac { \widetilde { V } ^ { \prime } ( r _ { j k } ) } { r _ { j k } } ( x _ { j k } , y _ { j k } , - x _ { j k } , - y _ { j k } ) | _ { ( x _ { j k } ^ { ( 0 ) } , y _ { j k } ^ { ( 0 ) } ) } \cdot ( \delta x _ { j } , \delta y _ { j } , \delta x _ { k } , \delta y _ { k } ) .
\begin{array} { r l } { \phi _ { \pm , l } } & { { } = \frac { \phi _ { \pm , l } ^ { \operatorname* { m i n } } + \phi _ { \pm , l } ^ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } + \frac { \phi _ { \pm , l } ^ { \operatorname* { m i n } } - \phi _ { \pm , l } ^ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } \widehat { { \phi _ { \pm , l } } } } \\ { \phi _ { \pm , s } } & { { } = \frac { \phi _ { \pm , s } ^ { \operatorname* { m i n } } + \phi _ { \pm , s } ^ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } + \frac { \phi _ { \pm , s } ^ { \operatorname* { m i n } } - \phi _ { \pm , s } ^ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } \widehat { { \phi _ { \pm , s } } } } \end{array}
{ \bf M } _ { f } \; \sim \; \left( \begin{array} { l l l } { { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 1 } } } & { { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } } & { { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 3 } } } \\ { { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } } & { { \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 2 } } } & { { \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } } } \\ { { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 3 } } } & { { \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } } } & { { \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 3 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \{ F , G \} } & { { } = \left\langle \frac { \delta F } { \delta u } , \omega \times \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle + \left\langle \frac { \delta F } { \delta D } , \nabla \cdot \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle + \left\langle \frac { 1 } { D } \frac { \delta F } { \delta \theta } \nabla \theta , \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s < 0 \; } & { \longleftrightarrow } & { \; \widetilde { a } \left( s \right) = a _ { 1 } \left( s \right) ^ { 2 } - a _ { 2 } \left( s \right) ^ { 2 } < 0 \; \; \; \mathrm { i f } \; a _ { 1 } \left( s \right) \ge 0 } \\ & { \longleftrightarrow } & { \; \widetilde { a } \left( s \right) = a _ { 1 } \left( s \right) ^ { 2 } - a _ { 2 } \left( s \right) ^ { 2 } > 0 \; \; \; \mathrm { i f } \; a _ { 1 } \left( s \right) < 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left\| y ^ { k , t + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } } \\ { = } & { \mathbb { E } \left\| y ^ { k , t } - \frac { \beta _ { k , t } } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } G _ { i } ^ { k , t } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } } \\ { = } & { \mathbb { E } \left\| y ^ { k , t } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } - 2 \beta _ { k , t } \mathbb { E } \left\langle \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } G _ { i } ^ { k , t } , y ^ { k , t } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\rangle + \beta _ { k , t } ^ { 2 } \mathbb { E } \left\| \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } G _ { i } ^ { k , t } \right\| ^ { 2 } } \\ { = } & { \mathbb { E } \left\| y ^ { k , t } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } - 2 \beta _ { k , t } \mathbb { E } \left\langle \nabla _ { y } g ( x ^ { k } , y ^ { k , t } ) , y ^ { k , t } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\rangle + \beta _ { k , t } ^ { 2 } \mathbb { E } \left\| \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } G _ { i } ^ { k , t } \right\| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - \beta _ { k , t } \mu _ { g } ) \left\| y ^ { k , t } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } - 2 \beta _ { k , t } \mathbb { E } \left[ g ( x ^ { k } , y ^ { k , t } ) - g ( x ^ { k } , y ^ { * } ( x ^ { k } ) ) \right] + \beta _ { k , t } ^ { 2 } \mathbb { E } \left\| \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } G _ { i } ^ { k , t } \right\| ^ { 2 } , } \end{array}
E _ { k , N } \leq C ( a , b , k ) \frac { 3 ( 2 \lambda + 5 \mu ) ( \lambda + \mu ) ^ { 2 } } { 1 6 \mu ^ { 3 } } \, \left( \frac { \pi k b } h \right) ^ { N + 2 } e ^ { \left( \frac { \pi k b } h \right) ^ { 2 } } \, \frac { ( N + 3 ) ( 3 N ^ { 3 } + 2 1 N ^ { 2 } + 4 2 N + 3 2 ) } { 2 ^ { N } \left[ \left( \frac { N + 1 } { 2 } \right) ! \right] ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { { \bf \Gamma } _ { \alpha 2 } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf F } _ { \alpha } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf R } ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + { \bf J } _ { \alpha \alpha } { { \bar { \bf F } } } _ { \alpha } ^ { * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \partial _ { t } a _ { k } } & { = \mathcal C _ { + } ( \textit { \textbf { a } } , \overline { { \textit { \textbf { a } } } } , \textit { \textbf { a } } ) _ { k } ( t ) , } \\ { a _ { k } ( 0 ) } & { = ( a _ { k } ) _ { \mathrm { i n } } = \sqrt { n _ { \mathrm { i n } } ( k ) } g _ { k } ( \omega ) , } \end{array} \right.
d e t \mathbf { T ( 0 ) } = \prod _ { j = 1 } ^ { m - 1 } ( m _ { j } ^ { 2 } - m _ { k } ^ { 2 } ) \prod _ { \substack { j , l = 1 \, j < l } } ^ { m - 1 } ( m _ { l } ^ { 2 } - m _ { j } ^ { 2 } )
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } \mathbf { A } ^ { n } } { \mathrm { d } t } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { A } ^ { i - 1 } { \frac { \mathrm { d } \mathbf { A } } { \mathrm { d } t } } \mathbf { A } ^ { n - i } , } \\ { { \frac { \mathrm { d } \mathbf { A } ^ { - n } } { \mathrm { d } t } } } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { A } ^ { - i } { \frac { \mathrm { d } \mathbf { A } } { \mathrm { d } t } } \mathbf { A } ^ { - ( n + 1 - i ) } . } \end{array} }
\begin{array} { r r r l l } { { { \cal B } _ { 0 } } } & { { : } } & { { f _ { 0 } - 1 } } & { { = } } & { { 0 \; , } } \\ { { { \cal B } _ { 1 } } } & { { : } } & { { f _ { 1 } - f _ { 2 } } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { \mathrm { ~ a n d ~ } \; \; \; \tilde { \cal B } _ { 1 2 } } } & { { : } } & { { F ( f _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } f _ { 1 } , f _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } f _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \{ | \mathcal { S } ( X , Y , \varepsilon ) | \ge \delta r _ { 0 } n \} } & { \le \mathbb { P } \{ \| X - Y \| ^ { 2 } \ge \varepsilon ^ { 2 } \delta c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n \} } \\ & { \le \frac { \mathbb { E } \{ \| X - Y \| ^ { 2 } \} } { \varepsilon ^ { 2 } \delta c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { V } _ { \mathrm { e f f } } \rangle } & { = V _ { 0 } + V _ { 1 } ^ { T } \cdot \langle \hat { x } \rangle + \operatorname { T r } \left[ V _ { 2 } \cdot \langle \hat { x } \otimes \hat { x } ^ { T } \rangle \right] / 2 } \\ & { = V _ { 0 } + \operatorname { T r } ( V _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } ) / 2 , } \\ { \langle \hat { V } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } \rangle } & { = V _ { 1 } + V _ { 2 } \cdot \langle \hat { x } \rangle = V _ { 1 } , } \\ { \langle \hat { V } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime \prime } \rangle } & { = V _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ( x , t ) } & { = } & { \left( \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 3 } } \right) ^ { 1 / 4 } \int \! d k \, \exp [ \mathrm { i } k x - \Delta x ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } - \mathrm { i } c | k | t ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 ( 2 \pi \Delta x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } } \exp \! \left( \mathrm { i } k _ { 0 } ( x - c t ) - \frac { ( x - c t ) ^ { 2 } } { 4 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \\ & { } & { \times \left[ 1 + \mathrm { e r f } \! \left( \Delta x \cdot k _ { 0 } + \mathrm { i } \frac { x - c t } { 2 \Delta x } \right) \right] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ( 2 \pi \Delta x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } } \exp \! \left( \mathrm { i } k _ { 0 } ( x + c t ) - \frac { ( x + c t ) ^ { 2 } } { 4 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \\ & { } & { \times \left[ 1 - \mathrm { e r f } \! \left( \Delta x \cdot k _ { 0 } + \mathrm { i } \frac { x + c t } { 2 \Delta x } \right) \right] } \end{array}
\sqrt { n } \left( \hat { \beta } _ { ( i ) } - \beta _ { ( i ) } ^ { \ast } \right) = - \sqrt { n } \mathcal { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } \widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } - \left\{ \widehat { \mathcal { H } } _ { ( i ) } ^ { - 1 } - \mathcal { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } \right\} \sqrt { n } \widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } \equiv \mathcal { \hat { Z } } _ { ( i ) } + \mathcal { \hat { R } } _ { i } , .
\begin{array} { r l } { c _ { i j } ^ { \mathrm { ~ B ~ P ~ } } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \boldsymbol { x } _ { j } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } & { { } \propto p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \partial i \setminus j } } \Biggl \{ \left[ \prod _ { k \in \partial i \setminus j } c _ { k i } ^ { \mathrm { ~ B ~ P ~ } } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { x } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \end{array}
\operatorname* { m i n } \left\{ \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i \leq r } \left| \frac { d _ { i } ^ { a } + 1 } { d _ { i } ^ { a } } + \frac { \Omega _ { B } ( x ) } { a _ { i } - \Omega _ { B } ( x ) } \right| , \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq \mu - N \leq s } \left| \frac { d _ { \mu } ^ { b } + 1 } { d _ { \mu } ^ { b } } + \frac { \Omega _ { A } ( x ) } { b _ { \mu } - \Omega _ { A } ( x ) } \right| \right\} \gg \kappa ^ { - 1 / 4 } N ^ { - 1 / 2 + \epsilon / 2 } .
{ \mathcal { L } } = i { \overline { { { \Psi } } } } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \Psi - m { \overline { { { \Psi } } } } \Psi - \frac { 1 } { 4 } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + i e \overline { { { \Psi } } } { \gamma ^ { \mu } } { A _ { \mu } } { \Psi }
{ \frac { P ( s _ { 1 } ) } { P ( s _ { 2 } ) } } = { \frac { e ^ { S _ { R } ( s _ { 1 } ) / k } } { e ^ { S _ { R } ( s _ { 2 } ) / k } } } = e ^ { ( S _ { R } ( s _ { 1 } ) - S _ { R } ( s _ { 2 } ) ) / k } .
{ { \mathcal C } ^ { 3 } } ( { { \mathcal P } ^ { 2 } } , { \mathcal R } ) = \{ ( { x _ { 0 } } , { x _ { 1 } } , { x _ { 2 } } ) , [ { s _ { 0 } } , { s _ { 1 } } , { s _ { 2 } } ] \vert { x _ { i } } { s _ { j } } = { x _ { j } } { s _ { i } } , \forall i , j \}
g ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ( \pi t / 2 t _ { R } ) ^ { 2 } , \ t < t _ { R } } \\ { 1 , \ t _ { R } \leq t \leq t _ { f } - t _ { R } } \\ { \sin ( \pi ( t _ { f } - t ) / 2 t _ { R } ) ^ { 2 } , \ t _ { f } - t _ { R } < t < t _ { f } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { = } & { ( - i \omega _ { a s } ( k ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ) a _ { a s } ( k ) - i g b _ { a c } ( q ) + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { = } & { ( - i \omega _ { a c } ( q ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ) b _ { a c } ( q ) - i g a _ { a s } ( k ) + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } , } \end{array}
{ \frac { F _ { K } } { F _ { H } } } \approx { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { \mathrm { a d } } C { \frac { ( \mathrm { P e } \mathrm { T a } ) ^ { 1 / 3 } } { \mathrm { R a _ { T } } } } .
\begin{array} { r l } { { \chi _ { \perp } ^ { \prime } } ( \omega ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { - ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \left( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \left( 2 \Omega - \Omega _ { c e } \right) ^ { 2 } } , } \\ { { \chi _ { \times } ^ { \prime } } ( \omega ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { \omega ^ { \prime } ( 2 \Omega - \Omega _ { c e } ) \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \left( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \left( 2 \Omega - \Omega _ { c e } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
W _ { \mu } ^ { ( i ) \pm } = \frac { 1 } { 2 } [ ( B _ { 1 \mu } ^ { 1 V } - \eta _ { i } B _ { 1 \mu } ^ { 1 A } ) \mp i ( B _ { 2 \mu } ^ { 1 V } - \eta _ { i } B _ { 2 \mu } ^ { 1 A } ) ] ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d z } \operatorname* { d e t } ( J _ { \vec { x } _ { 0 } } ( \vec { x } _ { z } ) ) } & { = \frac { d u _ { z } } { d x _ { 0 } } \frac { d y _ { z } } { d y _ { 0 } } + \frac { d v _ { z } } { d y _ { 0 } } \frac { d x _ { z } } { d x _ { 0 } } - \frac { d v _ { z } } { d x _ { 0 } } \frac { d x _ { z } } { d y _ { 0 } } - \frac { d u _ { z } } { d y _ { 0 } } \frac { d y _ { z } } { d x _ { 0 } } } \end{array}