harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| \omega _ { k , \tau } ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq \| \partial _ { y } \omega _ { k , \tau } ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq \sqrt { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s } \\ & { \leq \sqrt { 2 } \, \tau \! \! \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \tau ] } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } , } \\ { \| \partial _ { t } \omega _ { k , \tau } ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq \| ( \partial _ { t } - 1 ) \omega _ { k , \tau } ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| \omega _ { k , \tau } ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq ( 2 + \sqrt { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { \tau } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s } \\ & { \leq \sqrt { 2 } ( 1 + \sqrt { 2 } ) \tau \! \! \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \tau ] } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } , } \\ { \| \omega _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq e ^ { \tau - t } \int _ { t } ^ { \tau } ( s - t ) \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s } \\ & { \leq e ^ { \tau } \int _ { t } ^ { \tau } ( s - t ) d s \! \! \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \tau ] } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } = \frac { e ^ { \tau } ( \tau - t ) ^ { 2 } } { 2 } \! \! \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \tau ] } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\dot { Q } _ { i } = - \omega _ { c } ^ { * } \, \varepsilon _ { i j } \, Q _ { j } \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \omega _ { c } ^ { * } = \frac { \theta \omega ^ { 2 } } { 1 + \theta ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } .
\Gamma _ { \mu } ^ { F } = \frac { G _ { \mu } ^ { 2 } m _ { \mu } ^ { 5 } } { 1 9 2 \, \pi ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { 8 m _ { e } ^ { 2 } } { m _ { \mu } ^ { 2 } } \right) \cdot C _ { Q E D } ^ { F e r m i } \quad .
+ \frac { 1 } { 8 } R _ { \mu \nu \rho \sigma } \bar { \psi } ^ { \rho } \psi ^ { \mu } \bar { \psi } ^ { \sigma } \psi ^ { \nu } - \bar { \psi } ^ { \mu } \gamma ^ { i } D _ { i } \psi ^ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } \bar { \psi } ^ { \mu } \gamma ^ { i } F _ { i \mu \nu } \psi ^ { \nu } \}
y _ { u } = \frac { v _ { 0 } - v _ { 1 } \cos ( p _ { 3 } a ) } { ( v _ { 0 } - v _ { 1 } ) K _ { u } } , ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ y _ { d } = \frac { v _ { 0 } - v _ { 1 } \cos ( p _ { 3 } a ) } { ( v _ { 0 } - v _ { 1 } ) K _ { d } } .
\begin{array} { r l } { { \varpi _ { \mathsf { A S } } } = } & { { 2 i } \int _ { S } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbb { d } \, \widetilde { { \mathsf { a } } } _ { i } ^ { * } ( k , x ) \wedge \mathbb { d } \, \widetilde { { \mathsf { a } } } ^ { i } ( k , x ) \ { \boldsymbol { v o l } } _ { S } , } \\ { = } & { \int _ { S } \mathbb { d } { \mathsf { a } } ^ { \mathrm { d i f f } } \wedge \mathbb { d } ( { \mathsf { a } } ^ { \int } - { \mathsf { a } } ^ { \mathrm { a v g } } ) \ { \boldsymbol { v o l } } _ { S } + { 2 i } \int _ { S } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \mathbb { d } \, \widetilde { { \mathsf { a } } } _ { i } ^ { * } ( k , x ) \wedge \mathbb { d } \, \widetilde { { \mathsf { a } } } ^ { i } ( k , x ) \ { \boldsymbol { v o l } } _ { S } . } \end{array}
\boldsymbol { M } = \rho l \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { l / 2 } \\ { l / 2 } & { l ^ { 2 } / 3 } \end{array} \right] , \qquad \boldsymbol { K } ^ { \pm } = \left[ \begin{array} { l l } { \displaystyle k _ { 1 } + \frac { k _ { 2 } } { R _ { \pm } ^ { 2 } } \mp \frac { k _ { 1 } y _ { s } } { R _ { \pm } } \mp \frac { F } { R _ { \pm } } \quad } & { \displaystyle \pm \frac { k _ { 2 } } { R _ { \pm } } - F } \\ { \displaystyle \pm \frac { k _ { 2 } } { R _ { \pm } } } & { k _ { 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { H } ^ { + } } } & { = \int _ { \Gamma _ { i n t } } \mathbf { N } _ { C } ^ { T } \left( \nu _ { V a } ^ { t + \Delta t } - { \nu ^ { \prime } } _ { V a } ^ { t + \Delta t } + \nu _ { H a } ^ { t + \Delta t } \right) \; \mathrm { d } \Gamma _ { i n t } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { O H } ^ { - } } } & { = - \int _ { \Gamma _ { i n t } } \mathbf { N } _ { C } ^ { T } \left( \nu _ { V b } ^ { t + \Delta t } - { \nu ^ { \prime } } _ { V b } ^ { t + \Delta t } + \nu _ { H b } ^ { t + \Delta t } \right) \; \mathrm { d } \Gamma _ { i n t } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } } & { = \int _ { \Gamma _ { i n t } } \mathbf { N } _ { C } ^ { T } \left( \nu _ { c } ^ { t + \Delta t } - { \nu ^ { \prime } } _ { c } ^ { t + \Delta t } \right) \; \mathrm { d } \Gamma _ { i n t } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { N a } ^ { + } } } & { = \nu _ { \mathrm { C l } ^ { - } } = \nu _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } = \mathbf { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ( \mathcal { C } _ { t } \vert \mathcal { C } _ { t - 1 } ) } & { = \mathcal { N } ( \mathcal { C } _ { t } ; \sqrt { \alpha _ { t } } \mathcal { C } _ { t - 1 } , \beta _ { t } I ) , } \\ { q ( \mathcal { C } _ { t } \vert \mathcal { C } _ { 0 } ) } & { = \mathcal { N } ( \mathcal { C } _ { t } ; \sqrt { \bar { \alpha } _ { t } } \mathcal { C } _ { 0 } , ( 1 - \bar { \alpha } _ { t } ) I ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( { \frac { \partial A _ { z } } { \partial y } } - { \frac { \partial A _ { y } } { \partial z } } \right) } & { { } { \hat { \mathbf { x } } } } \\ { + \left( { \frac { \partial A _ { x } } { \partial z } } - { \frac { \partial A _ { z } } { \partial x } } \right) } & { { } { \hat { \mathbf { y } } } } \\ { + \left( { \frac { \partial A _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } \right) } & { { } { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array}
\mathbb { H } _ { r } = - \sum _ { r ^ { \prime } = 1 ( \neq r ) } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { M } A _ { r } ^ { k } A _ { r ^ { \prime } } ^ { k } R _ { r ^ { \prime } } \sigma _ { r ^ { \prime } } + \sum _ { k = 1 } ^ { M } A _ { r } ^ { k } y ^ { k } .
{ \left| { \overline { { M } } } \right| } = { \frac { e ^ { 6 } } { 4 } } N _ { 2 } ^ { 2 } { \frac { 3 } { 8 \pi M _ { W ^ { \pm } } ^ { 2 } } } \sum _ { \{ \lambda \} } \int d \Omega _ { r _ { 1 } ( r _ { 2 } ) } \sum _ { l , m = 1 } ^ { 1 7 } { T } _ { l } ^ { \{ \lambda \} } T _ { m } ^ { \{ \lambda \} * } ,
\begin{array} { r } { u [ \widetilde { z } ] = k \, \cosh [ k \widetilde { z } ] + b \, \sinh [ k \widetilde { z } ] \ , \ } \\ { v [ \widetilde { z } ] = k \, \cosh [ k ( 1 - \widetilde { z } ) ] + b \, \sinh [ k ( 1 - \widetilde { z } ) ] \ , \ } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } \left( { \frac { \partial { ( d { \stackrel { \epsilon } { L } } ) } } { \partial { ( \stackrel { \cdot } { d q ^ { a } } } ) } } \right) - { \frac { \partial { ( d { \stackrel { \epsilon } { L } } ) } } { \partial { ( d q ^ { a } ) } } } = 0 \ ,
\tilde { V } ( x _ { - } ) = \frac { 3 } { 4 } \frac { 1 } { ( | x _ { - } | + s ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 6 { \hbar } ^ { 2 } c ^ { 2 } } ( e _ { 1 } e _ { 2 } ) ^ { 2 } ( | x _ { - } | + s ) ^ { 2 } .
\ensuremath { \boldsymbol { L } } _ { \mathrm { K D 0 } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { \displaystyle h _ { 1 } - g _ { 1 } } { \displaystyle \mu _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } } & { \cdots } & { \frac { \displaystyle h _ { r } - g _ { 1 } } { \displaystyle \mu _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { r } ^ { 2 } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \frac { \displaystyle h _ { 1 } - g _ { r } } { \displaystyle \mu _ { r } ^ { 2 } - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } } & { \cdots } & { \frac { \displaystyle h _ { r } - g _ { r } } { \displaystyle \mu _ { r } ^ { 2 } - \lambda _ { r } ^ { 2 } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mathrm { L D O S } _ { \mathrm { h y b , c } } } & { = \kappa \frac { 3 \pi c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { V _ { c } } \left| 1 + i J ^ { * } \chi _ { a } \sqrt { \frac { V _ { c } } { V _ { a } } } \right| ^ { 2 } } \\ { \mathrm { L D O S } _ { \mathrm { h y b , a } } } & { = \gamma \frac { 3 \pi c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { a } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { V _ { a } } \left| 1 + i J ^ { * } \chi _ { c } \sqrt { \frac { V _ { a } } { V _ { c } } } \right| ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ S ~ P ~ } } } & { { } = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 M } + \hbar \omega _ { z } \hat { F } _ { z } + \hbar q \hat { F } _ { z } ^ { 2 } + \hbar \omega _ { c } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) } & { = } & { c ( \boldsymbol { v } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) } \\ & { = } & { c ( \boldsymbol { v } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \boldsymbol { v } ) + c ( \boldsymbol { v } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \Pi _ { h } \boldsymbol { v } - \boldsymbol { v } ) } \\ & { \leq } & { \| \kappa \| _ { 0 , \infty } \| \boldsymbol { v } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } ( \| \boldsymbol { v } \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } + \| \Pi _ { h } \boldsymbol { v } - \boldsymbol { v } \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } ) . } \end{array}
\vartheta _ { 1 } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \cdots \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \biggl | } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { 2 \pi i ( \alpha _ { n } x ^ { n } + \alpha _ { m } x ^ { m } + \cdots + \alpha _ { r } x ^ { r } ) } d x { \biggr | } ^ { 2 k } d \alpha _ { n } d \alpha _ { m } \ldots d \alpha _ { r } ,
{ \mathcal { E } } = - { \frac { d \Phi } { d t } } = \oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \left( \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \ t ) + \mathbf { v } \times \mathbf { B } ( \mathbf { r } , \ t ) \right) \cdot d { \boldsymbol { \ell } } \ = - { \frac { d } { d t } } \iint _ { \Sigma ( t ) } d { \boldsymbol { A } } \cdot \mathbf { B } ( \mathbf { r } , \ t )
\partial _ { i } A _ { 0 } ^ { \prime } = { \frac { 1 } { \beta } } \int _ { 0 } ^ { \beta } d t \, \partial _ { i } A _ { 0 } = { \frac { 1 } { \beta } } \int _ { 0 } ^ { \beta } d t \, \partial _ { 0 } A _ { i } = 0
\begin{array} { r } { \mathrm { H } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( z ) \sim \sqrt { \frac { 2 } { \pi z } } \exp \left[ - \mathrm { i } \left( z - \pi / 4 \right) \right] \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad | z | \rightarrow \infty . } \end{array}
K ( \xi , \zeta ) = \sum _ { j , j ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = - j } ^ { j } \sum _ { k ^ { \prime } = - j ^ { \prime } } ^ { j ^ { \prime } } \alpha _ { j , j ^ { \prime } , k , k ^ { \prime } } Y _ { j } ^ { k } ( \xi ) \overline { { Y _ { j ^ { \prime } } ^ { k ^ { \prime } } ( \zeta ) } } , \qquad \forall \xi , \zeta \in { \mathbb { S } ^ { 2 } } ,
S ( \tau ) = \sqrt { \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { 1 + \Lambda a ^ { 2 } / 3 } + \frac { 2 M } { r } \frac { a ^ { 2 } } { ( 1 + \Lambda a ^ { 2 } / 3 ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { 6 + 6 } & { \geq d i s t _ { G - E ( F ) } ( v _ { 1 } , v _ { 3 } ) + d i s t _ { G - E ( F ) } ( v _ { 2 } , v _ { 4 } ) } \\ & { = d i s t _ { P _ { 1 } } ( v _ { 1 } , x ) + d i s t _ { P _ { 1 } } ( v _ { 3 } , x ) + d i s t _ { P _ { 2 } } ( v _ { 2 } , x ) + d i s t _ { P _ { 2 } } ( v _ { 4 } , x ) } \\ & { = ( d i s t _ { P _ { 1 } } ( v _ { 1 } , x ) + d i s t _ { P _ { 2 } } ( v _ { 2 } , x ) ) + ( d i s t _ { P _ { 1 } } ( v _ { 3 } , x ) + d i s t _ { P _ { 2 } } ( v _ { 4 } , x ) ) } \\ & { \geq d i s t _ { G - E ( F ) } ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) + d i s t _ { G - E ( F ) } ( v _ { 3 } , v _ { 4 } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { X _ { 0 } ^ { i , v _ { \theta } , N _ { T } } \sim \rho _ { 0 } \quad \mathrm { ~ i . i . d . } } \\ { X _ { t _ { n + 1 } } ^ { i , v _ { \theta } , N _ { T } } = X _ { t _ { n } } ^ { i , v _ { \theta } , N _ { T } } + b ( X _ { t _ { n } } ^ { i , v _ { \theta } , N _ { T } } , \bar { \mu } _ { t _ { n } } ^ { N , v _ { \theta } , N _ { T } } , v _ { \theta } ( t _ { n } , X _ { t _ { n } } ^ { i , v _ { \theta } , N _ { T } } ) ) \Delta t + \sigma \Delta W _ { n } ^ { i } , } \end{array} \right.
\left\langle 0 \right\vert a _ { \mathbf { q } ^ { \prime } } ^ { r ^ { \prime } } a _ { \mathbf { p } ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } a _ { \mathbf { k } _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime \dagger } } a _ { \mathbf { k } _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \nu ^ { \prime \dagger } } = \left\langle 0 \right\vert \left[ \begin{array} { c } { ( 2 \pi ) ^ { 6 } \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { p } ^ { \prime } - \mathbf { k } _ { 1 } ^ { \prime } ) \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { q } ^ { \prime } - \mathbf { k } _ { 2 } ^ { \prime } ) \delta ^ { s ^ { \prime } t ^ { \prime } } \delta ^ { r ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } } \\ { - ( 2 \pi ) ^ { 6 } \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { q } ^ { \prime } - \mathbf { k } _ { 1 } ^ { \prime } ) \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { p } ^ { \prime } - \mathbf { k } _ { 2 } ^ { \prime } ) \delta ^ { r ^ { \prime } t ^ { \prime } } \delta ^ { s ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } } \end{array} \right] .
f ( \xi ) = \beta \left( \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } + { \frac { \xi } { 2 } } \arcsin \xi \right) \arcsin \xi + C _ { 1 } \xi + C _ { 2 } \left( \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } + \xi \, \arcsin \xi \right) \ .
\begin{array} { r l } { \left\langle w , \Delta u \right\rangle + \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle w , 2 \Omega \times \Delta u \right\rangle } & { { } } \\ { \qquad - \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle \nabla \cdot w , \Delta p \right\rangle - \left\langle w , b \hat { k } \right\rangle } & { { } = - R _ { u } [ w ] , \quad \forall w \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , \Delta b \right\rangle + \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle \gamma , \Delta u \cdot \hat { k } B _ { z } \right\rangle } & { { } = - R _ { b } [ \gamma ] , \quad \forall \gamma \in \mathbb { W } _ { h } ^ { \theta } , } \\ { \left\langle \phi , \nabla \cdot \Delta u \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 3 } , } \end{array}
\mathrm { H _ { 2 } O } + 2 \mathrm { M n O _ { 4 } ^ { - } } + 3 \mathrm { S O _ { 3 } ^ { 2 - } } \rightarrow 2 \mathrm { O H ^ { - } } + 2 \mathrm { M n O _ { 2 } } + 3 \mathrm { S O _ { 4 } ^ { 2 - } }
\frac { \rho _ { + } } { \rho _ { - } } = \frac { v _ { - } } { v _ { + } } = \frac { ( \gamma + 1 ) M _ { - } ^ { 2 } } { ( \gamma - 1 ) M _ { - } ^ { 2 } + 2 } \quad \frac { T _ { + } } { T _ { - } } = \frac { \left[ 2 \gamma M _ { - } ^ { 2 } - ( \gamma - 1 ) \right] \left[ ( \gamma - 1 ) M _ { - } ^ { 2 } + 2 \right] } { ( \gamma + 1 ) ^ { 2 } M _ { - } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \gamma \left( x _ { t } \right) + \partial _ { x } \left( \frac { \gamma ^ { 2 } \left( x _ { t } \right) } { 2 } \right) } & { { } = \nu \partial _ { x x } \gamma \left( x _ { t } \right) , \; x _ { t } \in \left( 0 , 1 \right) \times \left( 0 , 1 \right] , } \\ { \gamma \left( x _ { 0 } \right) } & { { } = \gamma _ { I } , \; x _ { 0 } \in \left( 0 , 1 \right) \times \{ 0 \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( u , v , w ) = } & { ( u _ { \pm } , v _ { \pm } , u _ { \pm } ) , } \\ { u _ { \pm } : = } & { \frac 1 { 2 } ( M - \kappa ^ { 2 } \pm \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } ) , } \\ { v _ { \pm } : = } & { \frac 1 { 2 } ( M + \kappa ^ { 2 } \mp \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } ) , } \end{array}
{ \mathfrak { z } } _ { \mathfrak { g } } ( A ) = \{ X \in { \mathfrak { g } } | \operatorname { a d } ( a ) X = 0 { \mathrm { ~ o r ~ } } \operatorname { A d } ( a ) X = 0 { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } a { \mathrm { ~ i n ~ } } A \}
\begin{array} { r l } { \rho ( \eta ) \simeq } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \varepsilon \, g ( f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta ) ) \exp \left\lbrace \frac { \beta } { 2 } \left. \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { G } } } { \mathrm { d } \varepsilon } \right| _ { \varepsilon = f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta ) } \left[ \varepsilon - f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta ) \right] ^ { 2 } \right\rbrace \sqrt { \frac { \beta } { 2 \pi } } \left[ - \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } \eta } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { = } & { - g \big ( f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta ) \big ) \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 3 } \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 4 } \, f _ { i } ( \boldsymbol { v } _ { 3 } ) f _ { i } ( \boldsymbol { v } _ { 4 } ) \, } & { \frac { 1 } { \epsilon ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } \frac { 1 } { \omega ^ { \prime } + \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } _ { 4 } } \left( 1 - \frac { 1 } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } \right) } \\ & { = \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 3 } \, f _ { i } ( \boldsymbol { v } _ { 3 } ) \, \frac { n _ { i } } { \omega ^ { \prime } } \frac { \xi ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } { \epsilon ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } \left( 1 - \frac { 1 } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } \right) } \\ & { = \frac { n _ { i } ^ { 2 } } { \omega ^ { \prime } } \frac { \xi ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } { \epsilon ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } \left( 1 - \frac { \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { M ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } } } \mathbf { A } _ { k } = \mathrm { ~ E ~ } _ { \mathrm { ~ 0 ~ k ~ } } \mathbf { V ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } } } \mathbf { A } _ { k } , } \end{array}
\frac { \Gamma _ { \mathrm { h } } ^ { \Upsilon } } { \Gamma _ { \ell \bar { \ell } } ^ { \Upsilon } } = \frac { 1 0 ( \pi ^ { 2 } - 9 ) } { 9 \pi } \frac { \alpha _ { s } ^ { 3 } ( \mu ) } { \alpha _ { \mathrm { e m } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { I _ { i } } P _ { 1 } \left( x \right) \frac { x - x _ { i } } { \Delta x } \mathrm { d } x = v _ { i } , \quad \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { I _ { k } } P _ { 1 } \left( x \right) \mathrm { d } x = u _ { k } , \quad k = i , i - 1 , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { I _ { i } } P _ { 2 } \left( x \right) \frac { x - x _ { i } } { \Delta x } \mathrm { d } x = v _ { i } , \quad \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { I _ { k } } P _ { 2 } \left( x \right) \mathrm { d } x = u _ { k } , \quad k = i , i + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } = } & { { } - \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } } v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { X } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , Y = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { Z } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , H = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| B [ P ] - B [ Q ] \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) } } & { \leq \| ( | P | + | Q | ) ^ { \alpha - 1 } | P - Q | \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) } } \\ & { \lesssim \left( \| P \| _ { L ^ { 2 \alpha } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) } + \| Q \| _ { L ^ { 2 \alpha } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) } \right) \| P - Q \| _ { L ^ { 2 \alpha } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) : = } & { \operatorname* { m a x } \Big \{ \operatorname* { s u p } _ { c _ { t } \in [ [ C _ { t } | m _ { t } , u _ { t } ] ] } c _ { t } , } \\ & { \; \; \operatorname* { s u p } _ { m _ { t + 1 } \in [ [ M _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] } V _ { t + 1 } ( m _ { t + 1 } ) \Big \} , } \\ { V _ { t } ( m _ { t } ) : = } & { \relax _ { u _ { t } \in [ [ U _ { t } ] ] } Q _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \rho _ { \nu } ( \vec { x } , z , \omega ) } & { { } + \nabla _ { X } \cdot \left[ \rho _ { \nu } ( \vec { x } , z , \omega ) v _ { 0 } ( \vec { x } , z , \omega ) \right] = 0 , ~ \nu = 0 , 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ^ { * } ( 1 0 0 \sqrt { n } q _ { \alpha } ) } & { = \operatorname* { s u p } \{ \mathcal { N } ( x , r ) : x \in 1 0 0 \sqrt { n } q _ { \alpha } \mathrm { ~ a n d ~ } r \leq 1 0 0 n / K \} , } \\ { \mathcal { N } ^ { * } ( s _ { j } ) } & { \geq \operatorname* { s u p } \{ \mathcal { N } ( x , r ) : x \in s _ { j } \mathrm { ~ a n d ~ } r \leq 2 0 0 n / K \} . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { c _ { 1 } = { \frac { 5 } { 7 2 } } ( e _ { s } f \phi + 2 e _ { u } ) , } } & { { c _ { 2 } = { \frac { 1 } { 7 2 } } ( 7 e _ { s } f + 6 e _ { s } + 6 e _ { u } f + 2 0 e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 3 } = { \frac { 1 } { 2 8 8 } } ( e _ { s } f \phi + 2 e _ { u } ) ( 2 \kappa - 1 1 \xi ) , } } & { { c _ { 4 } = { \frac { - 1 } { 1 2 } } ( e _ { s } + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 5 } = { \frac { - 1 1 } { 1 7 2 8 } } ( e _ { s } f \phi + 2 e _ { u } ) , } } & { { c _ { 6 } = { \frac { 1 } { 1 2 } } ( e _ { s } f \phi + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 7 } = { \frac { 5 } { 1 7 2 8 } } ( e _ { s } + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } & { { c _ { 8 } = { \frac { - 1 } { 3 6 } } ( e _ { s } f + 3 e _ { s } + 7 e _ { u } f + e _ { u } ) \kappa _ { v } , } } \\ { { c _ { 9 } = { \frac { 1 } { 4 3 2 } } ( e _ { s } f \phi + e _ { u } f + e _ { u } ) ( 1 2 \kappa + 7 \xi ) , } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { b _ { 1 } ^ { 2 } } & { = - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \pi } \ln ( 1 - \left| \rho \right| ^ { 2 } ) , \quad b _ { 1 } \geq 0 , } \\ { \psi _ { 1 } } & { = - \frac { \pi } { 4 } - \frac { 2 \pi } { 3 } \alpha - \arg \Gamma \left( - \frac { b _ { 1 } ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } } i \right) - \arg \rho , } \end{array} \right.
\Big \langle \; \mathrm { t r } \big ( \Phi ( x _ { 1 } ) \Phi ( x _ { 2 } ) \big ) \mathrm { t r } \big ( \Phi ( y _ { 1 } ) \Phi ( y _ { 2 } ) \big ) \; \Big \rangle _ { \mathrm { } _ { K M } } =
E ( \omega ) = E _ { 0 } \exp \left[ - \frac { \left( \omega - \omega _ { c } \right) ^ { 2 } } { \Delta \omega ^ { 2 } } \right] \exp \left[ i \frac { \phi _ { 2 } } { 2 } \left( \omega - \omega _ { c } \right) ^ { 2 } \right] ,
d \mathbf { f } = \mathbf { t } ~ d \Gamma = { \boldsymbol { N } } ^ { T } \cdot \mathbf { n } _ { 0 } ~ d \Gamma _ { 0 } = { \boldsymbol { P } } \cdot \mathbf { n } _ { 0 } ~ d \Gamma _ { 0 }
\begin{array} { r } { \tau _ { i j } ^ { \mathrm { s g s } } - \frac { 1 } { 3 } \tau _ { \ell \ell } ^ { \mathrm { s g s } } \delta _ { i j } = - 2 \nu ^ { \mathrm { s g s } } \overline { { s } } _ { i j } + \tau _ { i j } ^ { \mathrm { a n i } } , } \end{array}
U ( { { r } _ { i j } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \varepsilon _ { i j } \left[ { { \left( \frac { \sigma _ { i j } } { { { r } _ { i j } } } \right) } ^ { 1 2 } } - { { \left( \frac { \sigma _ { i j } } { { { r } _ { i j } } } \right) } ^ { 6 } } \right] } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \, \, \, { { r } _ { i j } } \le { { r } _ { c , i j } } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \, \, \, { { r } _ { i j } } > { { r } _ { c , i j } } , } \end{array} \right.
d \phi - \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } \frac { d | | \overline { { U } } | | } { | | \overline { { U } } | | } - \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } \frac { T d S - d H } { | | \overline { { U } } | | ^ { 2 } } = 0 ,