harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r _ { 1 } < r < r _ { 2 } , t ) } & { \approx \mu _ { 0 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } \omega _ { 0 } \Big [ 2 \pi r + \frac { ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \pi r r _ { 2 } } \Big ( r _ { 1 } ^ { 4 } r _ { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 3 } ( r ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) + r ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \qquad \qquad \quad + \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } \Big ( \frac { r r _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 c _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { r _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 r } \Big ( \frac { 1 } { c _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { c _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ) \Big ) + \pi r \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ( \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ) \Big ] \sin ( \omega _ { 0 } t ) } \\ & { \quad - \pi \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } r \frac { n I _ { 0 } } { 8 l } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \cos ( \omega _ { 0 } t ) , } \\ { E _ { z } ( r _ { 1 } < r < r _ { 2 } , t ) } & { \approx \mu _ { 0 } ^ { 2 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } \frac { \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { r } \Big [ r _ { 1 } ^ { 3 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) + r ^ { 2 } r _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ] \cos ( \omega _ { 0 } t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ J ^ { \prime } \: \vert \: J \subset J ^ { \prime } \mathrm { ~ a n d ~ } \lvert J ^ { \prime } \rvert \geq r + 1 \} } & { \to \{ J ^ { \prime } \: \vert \: J \cup R \subset J ^ { \prime } \mathrm { ~ a n d ~ } \lvert J ^ { \prime } \rvert \geq r + 1 \} , } \\ { J ^ { \prime } } & { \mapsto J ^ { \prime } \cup R , } \end{array}
\mathcal { L } _ { 0 } = \Bigg | \! \Bigg | ( 1 + \delta _ { i j } ) ^ { 1 / 2 } \frac { \bar { \omega } _ { i j } } { \langle \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } \rangle _ { \{ \alpha \} } } \Bigg | \! \Bigg | _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ } } + \Bigg | \! \Bigg | L _ { i } \left( \mu _ { i } - \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mu _ { k } \right) \! \Bigg | \! \Bigg | _ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \| \phi ( t , x , u ) \| _ { X } } & { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { 1 } { k } t } | x _ { k } | + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \| u \| _ { \infty } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { 1 } { k } t } | x _ { k } | + \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } \| u \| _ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( I I ) } } & { { } = \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ^ { 1 } ) r ^ { 1 } , \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle - \langle \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ^ { 1 } , r ^ { 1 } ) , \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle \ge \gamma _ { \alpha } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } M _ { \delta } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } \| \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { \mathrm { S T L S } } ( \boldsymbol { k } ) = - \frac { 1 } { n } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { q } } { k ^ { 2 } } \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } [ S ( | \boldsymbol { k } - \boldsymbol { q } | ) - 1 ] \, , } \\ & { G _ { \mathrm { q S T L S } } ( \boldsymbol { k } , \omega ) = - \frac { 1 } { n } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \chi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \omega } ^ { 0 } } { \chi _ { \boldsymbol { k } , \omega } ^ { 0 } } \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } [ S ( | \boldsymbol { k } - \boldsymbol { q } | ) - 1 ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial \tau } - \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( c _ { 0 } \langle \mathbf v _ { 0 } \rangle _ { \mathcal { I B } } ) - \mathcal { K } ^ { \star } \omega ^ { \beta - \gamma } ( c _ { 0 } ^ { a } - 1 ) + \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( c _ { 0 } \mathbf v _ { 0 } ) } \\ & { - \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot [ \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 1 } ) ] + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } ) = 0 , } \end{array}
x _ { 1 } ^ { 1 2 } + x _ { 2 } ^ { 1 2 } + x _ { 3 } ^ { 6 } + x _ { 4 } ^ { 6 } + x _ { 5 } ^ { 2 } + { \tilde { a } _ { 1 } } a _ { 1 } x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 2 } ^ { 6 } + { \tilde { a } _ { 2 } } a _ { 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } x _ { 5 } = 0 .
\begin{array} { r l } & { \left\langle \partial _ { x } ^ { s - 1 } \left( u ^ { 2 } \partial _ { x } v + w ^ { 2 } \partial _ { z } v \right) , \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\rangle } \\ { = } & { \int \frac { 1 } { 2 } \frac { | \partial _ { x } ^ { s - 1 } v | ^ { 2 } } { | \partial _ { z } v ^ { 1 } | ^ { 2 } } ( u ^ { 2 } \partial _ { x z } v ^ { 1 } + w ^ { 2 } \partial _ { z z } v ^ { 1 } ) + \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { s - 2 } \binom { s } { k } ( \partial _ { x } ^ { s - k - 1 } u ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { k + 1 } v + \partial _ { x } ^ { s - k - 1 } w ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { k } \partial _ { z } v ) d x d z } \\ { \leq } & { C _ { \rho , \kappa } \| u \| _ { \widehat { s - 1 } } ^ { 2 } ( \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } + \| u ^ { 2 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
U _ { - m } ^ { ( m ) } = \frac { u _ { 0 } } { \mathcal { A } _ { m } [ u ] } = \sqrt { \alpha ^ { - m } - \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \alpha ^ { j - m } \left( \frac { | u _ { m - j } | } { \mathcal { A } _ { m } [ u ] } \right) ^ { 2 } } = \sqrt { \alpha ^ { - m } - \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \alpha ^ { j - m } \big | U _ { - j } ^ { ( m ) } \big | ^ { 2 } } .
U _ { i + 1 } = U _ { i } + \Delta t \cdot \left( - { \frac { 1 } { \rho } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( { \frac { \partial p } { \partial x } } \right) j \int { \Omega } \phi _ { j } { \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial x } } d \Omega + \nu \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { \Omega } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } \right) _ { j } \phi _ { j } { \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { i } } { \partial x ^ { 2 } } } d \Omega + \int _ { \Omega } f _ { x } \phi _ { i } d \Omega \right)
\begin{array} { r l } { S _ { i , k } } & { = - \frac { \Delta t \alpha _ { 2 } } { 2 \Delta \lambda } , \ W _ { i , k } = - \frac { \Delta t \alpha _ { 1 } } { 2 \Delta r } , \ E _ { i , k } = \frac { \Delta t \alpha _ { 1 } } { 2 \Delta r } , \ C _ { i , k } = 1 + \Delta t r _ { i } , \ N _ { i , k } = \frac { \Delta t \alpha _ { 2 } } { 2 \Delta \lambda } , } \\ { R _ { i , k } ^ { j } } & { = \frac { 1 } { N _ { s i m } } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { s i m } } \mathcal { D } _ { u } ^ { t _ { j } , r _ { i } , \lambda _ { k } } ( Y _ { s } ^ { r } , \rho Y _ { s } ^ { r } ) \frac { \gamma _ { r } } { c _ { r } Y _ { s } ^ { r } } + \frac { 1 } { N _ { s i m } } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { s i m } } \mathcal { D } _ { u } ^ { t _ { j } , r _ { i } , \lambda _ { k } } ( Y _ { s } ^ { \lambda } , 0 ) \frac { \gamma _ { \lambda } } { c _ { \lambda } Y _ { s } ^ { \lambda } } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \hat { H } _ { A F M I } = } & { \sum _ { i , j } [ { ( A _ { 0 } ^ { A F M I } \ { \delta } _ { i , j } + A _ { 2 } ^ { A F M I } \ { \delta } _ { i , j \pm 2 } ) \hat { \alpha } _ { i } ^ { \dagger } \hat { \alpha } _ { j } } } \\ & { + ( B _ { 0 } ^ { A F M I } { \delta } _ { i , j } + B _ { 2 } ^ { A F M I } { \delta } _ { i , j \pm 2 } ) \hat { \beta } _ { i } ^ { \dagger } \hat { \beta } _ { j } ] } \end{array}
0 = R _ { S _ { 0 } } ( e _ { \otimes } ^ { S _ { \mathrm { i n t } } } , \tilde { s } _ { 1 } ( x ) S _ { \mathrm { i n t } } + \tilde { s } _ { 0 } ( x ) \sum _ { n \ge 2 } S _ { n } \lambda ^ { n } - \sum _ { n \ge 2 } \d j ^ { ( n ) } ( x ) \lambda ^ { n } ) \ , \quad x \in \mathcal { O } _ { 1 } ,
K ( \xi _ { a } , \xi _ { b } ; T ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \rho \rho \operatorname { t a n h } \pi \rho \exp ( - i \frac { \rho ^ { 2 } + 1 / 4 } { 2 m } T ) P _ { \sigma } ( \cosh \theta _ { a b } )
\begin{array} { r l } { u ( t , x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 4 } \left( 2 + \beta \right) t , } & { x \leq - \frac { 1 } { 8 } \left( 2 + \beta \right) t ^ { 2 } , } \\ { \frac { 2 x } { t } , } & { - \frac { 1 } { 8 } \left( 2 + \beta \right) t ^ { 2 } < x \leq - \frac { 1 } { 8 } \left( 2 - \beta \right) t ^ { 2 } , } \\ { \frac { 4 x - \left( 2 - \beta \right) t } { 2 \left( t + 2 \right) } , } & { - \frac { 1 } { 8 } \left( 2 - \beta \right) t ^ { 2 } < x \leq 1 + t + \frac 1 8 \beta t ^ { 2 } , } \\ { \frac { 4 x - 8 - ( 2 + \beta ) t } { 2 ( t - 2 ) } , } & { 1 + t + \frac 1 8 \beta t ^ { 2 } < x \leq 2 + \frac 1 8 \left( 2 + \beta \right) t ^ { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { 4 } ( 2 + \beta ) t , } & { 2 + \frac { 1 } { 8 } \left( 2 + \beta \right) t ^ { 2 } < x , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathcal { D } = \frac { \mathcal { D } _ { - 1 } } { \bar { \iota } _ { 0 } } + \mathcal { D } _ { 0 } + \bar { \iota } _ { 0 } \mathcal { D } _ { 1 } + \bar { \iota } _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { D } _ { 2 } + \bar { \iota } _ { 0 } ^ { 3 } \mathcal { D } _ { 3 } ,
i \, \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ { { \psi _ { 2 } ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 4 p } \left( \begin{array} { c c } { { \scriptstyle - \Delta _ { 2 1 } c _ { 2 \vartheta _ { 1 2 } } + 2 A _ { C C } } } & { { \scriptstyle \Delta _ { 2 1 } s _ { 2 \vartheta _ { 1 2 } } } } \\ { { \scriptstyle \Delta _ { 2 1 } s _ { 2 \vartheta _ { 1 2 } } } } & { { \scriptstyle \Delta _ { 2 1 } c _ { 2 \vartheta _ { 1 2 } } - 2 c _ { \vartheta _ { 2 3 } } ^ { 2 } c _ { \vartheta _ { 2 4 } } ^ { 2 } A _ { N C } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ { { \psi _ { 2 } ^ { \prime } } } \end{array} \right) \, ,
{ \begin{array} { r l } { \left\langle V _ { \alpha } ( z ) \right\rangle _ { { \mathrm { D i r i c h l e t } } , \theta } } & { = { \frac { e ^ { \alpha \theta } } { | z - { \bar { z } } | ^ { 2 \Delta ( \alpha ) } } } } \\ { \left\langle V _ { \alpha } ( z ) \right\rangle _ { \mathrm { N e u m a n n } } } & { = \delta ( i \alpha ) } \end{array} }
\frac { e \textbf { B } ^ { * } } { m c B _ { \parallel } ^ { * } } \left< A _ { 1 \parallel } \right> \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { \parallel g y } \delta F _ { e } = \frac { \Omega _ { c e } } { B _ { \parallel } ^ { * } } \delta A _ { 1 \parallel } i k _ { \parallel } \delta F _ { e } .
\tilde { \lambda } _ { k , \alpha } ( \tau , x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \lambda _ { k , \alpha , 1 } ( \tau , x ) ~ , } } & { { 0 \leq x < 2 \pi ~ , } } \\ { { \lambda _ { k , \alpha , 2 } ( \tau , x - 2 \pi ) ~ , } } & { { 2 \pi \leq x < 4 \pi ~ , } } \\ { { \ldots } } & { { \ldots } } \\ { { \lambda _ { k , \alpha , k } ( \tau , x - 2 ( k - 1 ) \pi ) ~ , } } & { { 2 ( k - 1 ) \pi \leq x < 2 k \pi ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { A _ { i } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + B _ { i } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + C _ { i } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } } & { = } & { 0 , } \\ { A _ { i } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + B _ { i } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + C _ { i } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } } & { = } & { 0 , \quad i = 1 , 2 , 3 } \end{array}
\textrm { f o r } ( \textbf { x } , \textbf { x } ^ { \prime } ) \in \mathbb { R } ^ { N _ { \mu , T } \times ( N _ { T } + 1 ) } \times \mathbb { R } ^ { N _ { \mu , T } \times ( N _ { T } + 1 ) } , f ( \textbf { x } ) \sim G P ( 0 , \kappa ( \textbf { x } , \textbf { x } ^ { \prime } ) ) , \mathbf { y } = f ( \textbf { x } ) + \epsilon , \textrm { w h e r e } \epsilon \sim \mathcal { N } ( 0 , \sigma _ { y } ^ { 2 } ) ,
\frac { d ^ { 2 } G _ { 1 } ( s ) } { d s ^ { 2 } } \mid _ { s = m _ { \pi } ^ { 2 } } = \frac { 1 2 } { 5 \pi } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { I m G _ { 1 } ( z ) d z } { ( z - m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 3 } }
h ( z _ { 2 } ) = 2 { \bar { P } } . n ( { \hat { m } } _ { 2 } - z _ { 2 } ) [ M ^ { 2 } - { \delta m } ^ { 2 } + { \hat { m } } _ { 2 } M ^ { 2 } ( { \delta m } ^ { 2 } - M ^ { 2 } - k ^ { 2 } / 2 ) / ( M ^ { 2 } + k ^ { 2 } / 4 ) ]
\cos \theta _ { 1 , i } = \frac { ( \vec { z } ^ { ( k ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i } ) } ) \cdot ( \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i } ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i + 1 } ) } ) } { | ( \vec { z } ^ { ( k ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i } ) } ) | | ( \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i } ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { P } _ { i + 1 } ) } ) | } .
\boldsymbol { \nabla } { \cdot } { \mathbf { F } } _ { \Omega _ { k } } ( \mathbf { u } _ { i } ) = \sum _ { j \in S } \mathbf { c } _ { i j } \mathbf { F } ( \mathbf { u } _ { j } ) , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mathbf { c } _ { i j } = \nabla \phi _ { i } ( \mathbf { x } _ { j } ) .
\begin{array} { r l } { \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } u _ { t } ^ { ( 3 ) } \| } & { = \operatorname* { m a x } _ { v : \| v \| = 1 } \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in S _ { \mathrm { b a d } } \cup E _ { t } } v ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } \mathrm { c l i p } _ { \theta _ { t } } ( x _ { i } ^ { \top } w _ { t } - y _ { i } ) } \\ & { \leq 2 \rho _ { 4 } \theta _ { t } } \\ & { \leq 2 \rho _ { 4 } \sqrt { 8 \operatorname* { m a x } \{ \rho _ { 2 } / \alpha , \rho _ { 3 } / \alpha \} + 1 } \cdot ( \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } + \sigma ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int { \frac { d x \, x ( 1 - x ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { \left[ \ln \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { - q ^ { 2 } } \right) - \ln x - \ln ( 1 - x ) \right] } \\ & { = } & { \left( \frac 1 6 \ln \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { - q ^ { 2 } } \right) - \frac { 5 } { 1 8 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( v _ { i } ) } & { = f ( v _ { i - 1 } ) + f ( v _ { i + 1 } ) + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = [ 2 n - ( i - 1 ) ] + [ 2 n - ( i + 1 ) ] + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = ( 4 n - 2 i ) + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = ( 4 n - 2 i ) + \left\{ \begin{array} { l l } { i + ( i - 1 ) } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 0 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( i - 2 ) + i } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 1 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( i - 1 ) + i } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 2 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( i - 1 ) + ( i + 1 ) } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 3 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 n - 1 } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ e v e n } } \\ { 4 n - 2 } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 1 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { 4 n } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 3 ( \bmod ~ 4 ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { k } ^ { i } } & { = } & { \epsilon _ { k } ^ { i } \, \Delta N _ { k } ^ { i } \, , \quad \epsilon _ { k } ^ { i } = \frac { 1 } { 2 } \, m _ { k } \, \left( u _ { k } ^ { \, i } \right) ^ { 2 } \, , } \\ { \Delta E _ { l } ^ { i } } & { = } & { \epsilon _ { l } ^ { i } \, \Delta N _ { l } ^ { i } \, , \quad \epsilon _ { l } ^ { i } = \frac { 1 } { 2 } \, m _ { l } \, \left( u _ { l } ^ { \, i } \right) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \mathrm { d i s t } ( 0 ; \partial \varphi ( x _ { k } ) \big ) } & { \leq \| w _ { k } \| \leq \| w _ { k } + \rho _ { k } d _ { k } \| + \rho _ { k } \| d _ { k } \| } \\ & { \leq ( \kappa + \rho _ { k } ) \| d _ { k } \| = \displaystyle \frac { \kappa + \rho _ { k } } { \tau _ { k } } \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| P _ { \Gamma _ { h } } b ^ { e } - { \widetilde { b } } _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { K } _ { h } ) } } & { \lesssim h ( b _ { \infty } \kappa + | b | _ { 1 , \infty , \Gamma } ) } \\ { \| b ^ { e } - { \widetilde { b } } _ { h } \| _ { 0 , \infty , T } } & { \lesssim h ( b _ { \infty } \kappa + | b | _ { 1 , \infty , \Gamma } ) , \quad \| { \widetilde { b } } _ { h } \| _ { 0 , \infty , T } \lesssim \| b \| _ { 0 , \infty , \Gamma } . } \end{array}
\mathfrak { G } _ { n , \lambda , \gamma , \beta _ { G } } ( u ) = \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { \mathfrak { i } \in \mathcal { I } _ { n } ( m ) } c _ { n , \lambda , \gamma , \beta _ { G } } ^ { \prime } ( \mathfrak { i } ; u ) \prod _ { j = 0 } ^ { m } q _ { n , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j ; u ) g _ { n , m , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j ; u )
G ^ { \mu } ( x , y , z ) = ( - i ) ^ { 3 } \left. \frac { \delta ^ { 3 } W [ j , j ^ { \ast } , j _ { \mu } ] } { \delta j ^ { \ast } ( x ) \delta j _ { \mu } ( y ) \delta j ( z ) } \right| _ { j = 0 , j ^ { \ast } = 0 , j _ { \mu } = 0 } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { = } & { ( - i \Delta _ { 1 } - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ) a _ { a s } ( k ) - i g _ { o m } b _ { a c } ( q ) + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { = } & { ( - i \Delta _ { 2 } - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ) b _ { a c } ( q ) - i g _ { o m } a _ { a s } ( k ) + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \operatorname* { d e t } X ( x ) \operatorname* { d e t } X ( y ) \right\rangle } & { = } & { v ^ { 2 } \left\langle \mathrm { t r } \eta ( x ) \mathrm { t r } \eta ( y ) \right\rangle } \\ & { } & { + v \left\langle \operatorname* { d e t } \eta ( x ) \mathrm { t r } \eta ( y ) + \mathrm { t r } \eta ( x ) \operatorname* { d e t } \eta ( y ) \right\rangle + \left\langle \operatorname* { d e t } \eta ( x ) \operatorname* { d e t } \eta ( y ) \right\rangle . } \end{array}
\vert \psi \rangle = \vert a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { n } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , . . . , b _ { n } \rangle \otimes \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle ) _ { a n c }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { X | T = t } [ R ( t , a ^ { * } ( \pi _ { X } ) ) ] } & { = } & { k \left\{ \left( 1 + \frac { n } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } \right) \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } p _ { t } ( d ) + \left( \frac { 2 \alpha n c _ { 1 } } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } - \frac { 2 \alpha c _ { 1 } } { \alpha + n } \right) \sum _ { d = 0 } ^ { M } d p _ { t } ( d ) \right. } \\ & { } & { \left. + \left[ \frac { n ( n - 1 ) } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } - \frac { 2 n } { \alpha + n } \right] \left[ \sum _ { d = 0 } ^ { M } d p _ { t } ( d ) \right] ^ { 2 } + \frac { \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle e ^ { 2 } \rangle _ { E } } & { { } = } & { J ^ { 2 } \langle ( \pmb { \sigma } _ { k - 1 } \pmb { \sigma } _ { k } + \pmb { \sigma } _ { k } \pmb { \sigma } _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \rangle _ { E } , } \end{array}
\mathbf { X _ { u } } = { \left[ \begin{array} { l } { \operatorname { R e } \mathbf { J } _ { 1 } } \\ { \operatorname { R e } \mathbf { J } _ { 2 } } \\ { \operatorname { R e } \mathbf { J } _ { 3 } } \end{array} \right] } \; \; \; \; \mathbf { X _ { v } } = { \left[ \begin{array} { l } { - \operatorname { I m } \mathbf { J } _ { 1 } } \\ { - \operatorname { I m } \mathbf { J } _ { 2 } } \\ { - \operatorname { I m } \mathbf { J } _ { 3 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { | \Psi _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ l ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ c ~ } } ( z , t ) \rangle } & { { } = \sum _ { z _ { j } \ge z - \Delta z / 2 } ^ { z _ { j } \le z + \Delta z / 2 } | \Psi ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ c ~ } } ( z _ { j } , t ) \rangle } \\ { | \Psi _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ l ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ } } ( z , t ) \rangle } & { { } = \sum _ { z _ { j } \ge z - \Delta z / 2 } ^ { z _ { j } \le z + \Delta z / 2 } | \Psi ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ } } ( z _ { j } , t ) \rangle } \end{array}
\textstyle \operatorname { A v g } \operatorname { T r } \big ( [ \hat { X } - \frac { 1 } { m d } \operatorname { T r } \hat { X } ] ^ { 2 } \big ) = \frac { m ( d + 1 ) } { m ^ { 2 } d + 1 } - \frac { 1 } { m d } + \mathcal { O } ( \eta ^ { L - j } ) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \eta \stackrel { } { = } \frac { 1 - 1 / m ^ { 2 } } { d - 1 / ( m ^ { 2 } d ) } .
J ^ { * } \psi = \left( \frac { | \psi _ { 1 } | ^ { \frac 3 2 - 1 } \mathrm { s i g n } ( \psi _ { 1 } ) } { \left( \| \psi \| _ { \frac 3 2 } \right) ^ { \frac 3 2 - 2 } } , \frac { | \psi _ { 2 } | ^ { \frac 3 2 - 1 } \mathrm { s i g n } ( \psi _ { 2 } ) } { \left( \| \psi \| _ { \frac 3 2 } \right) ^ { \frac 3 2 - 2 } } , \frac { | \psi _ { 3 } | ^ { \frac 3 2 - 1 } \mathrm { s i g n } ( \psi _ { 3 } ) } { \left( \| \psi \| _ { \frac 3 2 } \right) ^ { \frac 3 2 - 2 } } \right) .
\begin{array} { r } { \dot { \theta } = \frac { m _ { 2 } } { I _ { 1 } } \sin \varphi , } \\ { \dot { \varphi } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 1 } } \frac { 1 - \cos \theta } { \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ { \dot { \psi } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 3 } } - \frac { m _ { 3 } } { I _ { 1 } } \frac { ( 1 - \cos \theta ) \cos \theta } { \sin ^ { 2 } \theta } . } \end{array}
b _ { n } ( z ) = - c _ { n } \left[ \frac { \sinh \left( \frac { \sqrt { 1 + \epsilon s _ { n } } } { \epsilon } z \right) } { 1 + \epsilon s _ { n } } + z \frac { s _ { n } \cosh \left( \frac { \sqrt { 1 + \epsilon s _ { n } } } { \epsilon } \right) } { \sqrt { 1 + \epsilon s _ { n } } } \right] \, .
\begin{array} { r l } { c _ { \psi _ { 2 } } } & { = \sigma _ { + } \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) \right] } \\ & { - \sigma _ { 0 } \left( 1 - \Gamma _ { + } \right) \left[ \left( \frac { \omega _ { z } \left( \omega _ { z } - \omega _ { * i } \right) } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } + 1 \right) \left( 1 + \frac { \tau \omega _ { * i } } { \omega _ { z } } \right) - \frac { \tau \omega _ { * i } F _ { 1 } } { \omega _ { z } \sigma _ { 0 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P } { \partial t } = } & { { } - \sum _ { i } \frac { \partial J _ { i } } { \partial x _ { i } } } \\ { J _ { i } = } & { { } - D \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } + D P \frac { \partial \ln ( u ^ { 2 } ) } { \partial x _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int ( x - x ^ { \prime } ) \zeta ( x ^ { \prime } ) \lambda ( d x ^ { \prime } ) } & { = \int ( x - x ^ { \prime } ) \zeta ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } + o _ { r } ( 1 ) , } \\ { \int | x - x ^ { \prime } | ^ { 2 } \zeta ( x ^ { \prime } ) \lambda ( d x ^ { \prime } ) } & { = \int | x - x ^ { \prime } | ^ { 2 } \zeta ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } + o _ { r } ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { \phi } = \frac { 1 } { 2 } { \dot { \phi } } ^ { 2 } ( t ) + V ( \phi ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p _ { \phi } = \frac { 1 } { 2 } { \dot { \phi } } ^ { 2 } ( t ) - V ( \phi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { S } } & { { } : = \exp \left\{ \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } S ( \tau ) \right\} = \sum _ { \big \{ \mathbf { J } ^ { ( t t ) } \big \} } \sum _ { \big \{ \mathbf { J } ^ { ( t o ) } \big \} } \sum _ { \big \{ \mathbf { J } ^ { ( o t ) } \big \} } \exp ( \mathcal { L } _ { J } ) } \\ { S ( \tau ) } & { { } = B ( \tau ) + D ( \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { k } ( i ) } & { = \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , . . . , j _ { k - 1 } = 1 } ^ { n } T _ { i , j _ { 1 } , j _ { 2 } , . . . , j _ { k - 1 } } p _ { k - 1 } ( j _ { 1 } ) p _ { k - 2 } ( j _ { 2 } ) . . . p _ { 1 } ( j _ { k - 1 } ) } \\ & { \geq T _ { i , x _ { 1 } , x _ { 2 } , . . . , x _ { k - 1 } } p _ { k - 1 } ( x _ { 1 } ) p _ { k - 2 } ( x _ { 2 } ) . . . p _ { 1 } ( x _ { k - 1 } ) } \\ & { > 0 } \end{array}