harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { S \left( \vec { x } - \vec { \theta } \right) _ { \parallel } } & { { } = } & { \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d \vec { x } S \left( \vec { x } - \vec { \theta } _ { 1 } \right) ^ { \ast } S \left( \vec { x } - \vec { \theta } \right) \right) S \left( \vec { x } - \vec { \theta } _ { 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } ( 0 , 0 , 0 ) } & { { } = } & { 2 \Big \langle \frac { 1 } { \sigma _ { y } / \sigma _ { x } + 1 } \Big \rangle _ { s } \Delta \nu _ { x , S C } , \; \; \; \; \Delta \nu _ { y } ( 0 , 0 , 0 ) = 2 \Big \langle \frac { 1 } { \sigma _ { X } / \sigma _ { y } + 1 } \Big \rangle _ { s } \Delta \nu _ { y , S C } } \end{array}
\mathbb { E } \Big \lVert V _ { \tilde { \theta } _ { T } } - V _ { \theta _ { i } ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } \le 2 \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \tilde { \theta } _ { T } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \theta _ { i } ^ { * } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 }
\mathbf { A } = \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { B _ { 1 , 1 } } } & { \cdots } & { \mathbf { B _ { 1 , N _ { y } } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { B _ { N _ { y } , 1 } } } & { \cdots } & { \mathbf { B _ { N _ { y } , N _ { y } } } } \end{array} \right] , \mathbf { B } _ { i , i ^ { ' } } = \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { i , i ^ { ' } } ^ { 1 , 1 } } & { \cdots } & { c _ { i , i ^ { ' } } ^ { 1 , N _ { x } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { c _ { i , i ^ { ' } } ^ { N _ { x } , 1 } } & { \cdots } & { c _ { i , i ^ { ' } } ^ { N _ { x } , N _ { x } } } \end{array} \right] ,
{ \begin{array} { r l } { I ( x , y ) } & { \propto \operatorname { s i n c } ^ { 2 } \left( { \frac { \pi W x } { \lambda R } } \right) \operatorname { s i n c } ^ { 2 } \left( { \frac { \pi H y } { \lambda R } } \right) } \\ & { \propto \operatorname { s i n c } ^ { 2 } \left( { \frac { k W x } { 2 R } } \right) \operatorname { s i n c } ^ { 2 } \left( { \frac { k H y } { 2 R } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \varrho } & { = ( 1 - \rho ) \mu \sum _ { j \neq k } \mit \frac { K } { N \sum _ { i = \mathrm { 1 } } \mit ^ { K } \beta _ { i } } \big | \bf { h } \mit _ { k } ^ { T } \bf { h } \mit _ { j } \big | \mathrm { ^ 2 } } \\ & { \xrightarrow { a . s . } ( 1 - \rho ) \mu K \beta _ { k } \mathrm { t r ( \bf { R } \mathrm { ^ 2 ) \mit \sum _ { j \neq k } \ b e t a _ { j } \bigg / \bigg ( N \sum _ { i = \mathrm { 1 } } \mit ^ { K } \ b e t a _ { i } \bigg ) . } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle n _ { i } \rangle } & { = } & { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } n _ { i } W _ { i } ( n _ { i } ) } \\ & { = } & { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \frac { n _ { i } g _ { i } ( n _ { i } ) e ^ { - \hbar \omega _ { i } n _ { i } / k _ { \mathrm { B } } T } } { Q } } \\ & { = } & { \frac { k _ { \mathrm { B } } T ^ { 2 } Q _ { i } } { \hbar \omega _ { i } Q } \frac { d } { d T } \ln Q _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ a ~ i ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ D ~ } } = \sum _ { x = 1 } ^ { L } \sum _ { y = 1 } ^ { L } \Big [ } & { { } u _ { x y } ^ { x } \mu _ { x + 1 } ^ { \dagger } \mu _ { x } n _ { y } ^ { \nu } + u _ { y x } ^ { y } \nu _ { y + 1 } ^ { \dagger } \nu _ { y } n _ { x } ^ { \mu } \Big ] + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { z } = } & { \epsilon \dot { w } ( t / \epsilon , \epsilon ) { \tilde { z } } + [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] { \dot { \tilde { z } } } } \\ { = } & { \epsilon \frac { d \left( \int _ { 0 } ^ { t / \epsilon } Q ( \tau ) e ^ { - \epsilon ( t / \epsilon - \tau ) } d \tau \right) } { d t } \tilde { z } + [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] \dot { \tilde { z } } } \\ { = } & { \epsilon \left( Q ( t / \epsilon ) / \epsilon - \int _ { 0 } ^ { t / \epsilon } Q ( \tau ) e ^ { - \epsilon ( t / \epsilon - \tau ) } d \tau \right) \tilde { z } + [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] \dot { \tilde { z } } } \\ { = } & { \big [ Q ( t / \epsilon ) - \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) \big ] { \tilde { z } } + [ I + \epsilon w ( t / \epsilon , \epsilon ) ] { \dot { \tilde { z } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { 0 } & { \leq E _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } ( \hat { { \bf u } } ) - E _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } ( { { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } } ) } & & { \mathrm { ( b y ~ O p t i m a l i t y ~ o f ~ } { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } ) , } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( c ^ { \psi } ( \hat { { \bf u } } ( { \bf z } ^ { n } ) , { \bf z } ^ { n } ) - c ^ { \psi } ( { { \bf u } } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf z } ^ { n } ) , { \bf z } ^ { n } ) \Big ) + \frac { \lambda } { 2 } \big ( \| \hat { { \bf u } } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } - } & & { \| { { \bf u } } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \big ) } \\ & { \leq \frac { C } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \| \hat { { \bf u } } ( { \bf z } ^ { n } ) - { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf z } ^ { n } ) \| _ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \big ( ( 1 - \epsilon ) ^ { 2 } - 1 \big ) \| { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } & & { \mathrm { ( b y ~ A s s u m p t i o n ~ } ) , } \\ & { \leq \frac { \kappa C } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \| \hat { { \bf u } } - { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } \| _ { \mathcal { H } } - \lambda \epsilon \| { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \epsilon ^ { 2 } \| { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } & & { \mathrm { ( b y ~ L e m m a ~ } ) , } \\ & { = \kappa C \epsilon \| { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } \| _ { \mathcal { H } } - \lambda \epsilon \| { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \epsilon ^ { 2 } \| { \bf u } _ { \mathcal { S } } ^ { \lambda , \psi } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } . } & & { } \end{array}
- T ^ { 0 \beta } = \frac { \varepsilon + \Lambda _ { \rho } \gamma } { c } \, U ^ { \beta } - \frac { p } { \varrho c ^ { 2 } } \frac { c \epsilon _ { o } \mathbb { A } ^ { 0 } } { \gamma } \mathbb { F } ^ { 0 \mu } \partial _ { \mu } U ^ { \beta }
S _ { k } ^ { \prime } ( t ) = [ F _ { k } ^ { \prime } ( t + \frac { \Delta t } { 2 } ) , G _ { k } ^ { \prime } ( t + \frac { \Delta t } { 2 } ) , F _ { k } ^ { \prime } ( t ) , G _ { k } ^ { \prime } ( t ) ] ^ { T }
\begin{array} { r } { y _ { k } = \underbrace { \sum _ { i \in \mathcal { I } } { \textbf { h } } _ { i , k } ^ { H } \textbf { w } _ { i , k } { s } _ { k } } _ { \mathrm { t h e ~ d e s i r e d ~ s i g n a l } } + \underbrace { \sum _ { i \in \mathcal { I } } \sum _ { k ^ { \prime } \in \mathcal { K } , k ^ { \prime } \ne k } { \textbf { h } } _ { i , k } ^ { H } \textbf { w } _ { i , k ^ { \prime } } { s } _ { k ^ { \prime } } } _ { \mathrm { t h e ~ i n t e r f e r e n c e ~ s i g n a l s } } + n _ { k } , } \end{array}
\mathrm { g } ( \mathbf { r } , \mathbf { \hat { b } } ) = I ^ { \mathrm { s c a } } ( \theta _ { o } , \lambda _ { o } ) = \frac { 1 } { 2 Z _ { o } p _ { z } ^ { 2 } } | F _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } ( \theta _ { o } , \lambda _ { o } ) | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { I _ { n } } | \xi ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } d t \le } & { L \displaystyle \int _ { I _ { n } } \Big ( | u - U | + | u ^ { \prime } - U ^ { \prime } | \Big ) | \xi ^ { \prime \prime } | d t \leq \sqrt { 2 } L \left\{ \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left( | u - U | ^ { 2 } + | u ^ { \prime } - U ^ { \prime } | ^ { 2 } \right) d t \right\} ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \xi ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } } \\ { = } & { \sqrt { 2 } L \| e \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } \| \xi ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } , } \end{array}
\mathrm { I m } \left( \lambda _ { 1 j 1 } \epsilon _ { j } ^ { * } c _ { \beta } \right) , \; \mathrm { I m } \left( \lambda _ { 1 j 1 } \epsilon _ { j } ^ { * } { \frac { M _ { W } } { m _ { \chi ^ { \pm } } } } \right) < 1 . 4 \times 1 0 ^ { - 8 } { \frac { m _ { \chi ^ { \pm } } m _ { \tilde { \nu } } } { ( 1 0 0 \mathrm { G e V } ) ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 , 2 } = A _ { 2 , 1 } } & { = } & { a _ { 1 , 2 } + a _ { 2 , 3 } + \sum _ { j = 4 } ^ { s - 3 } a _ { 1 , j } a _ { 2 , s - j + 1 } } \\ { A _ { 1 , 3 } = A _ { 3 , 1 } } & { = } & { a _ { 1 , 1 } + a _ { 3 , 3 } + \sum _ { j = 4 } ^ { s - 3 } a _ { 1 , j } a _ { 3 , s - j + 1 } } \\ { A _ { 2 , 3 } = A _ { 3 , 2 } } & { = } & { a _ { 2 , 1 } + a _ { 3 , 2 } + \sum _ { j = 4 } ^ { s - 3 } a _ { 2 , j } a _ { 3 , s - j + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { P } _ { M } = \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ \mathbf { P } _ { T } = \left[ \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
R _ { 6 } ^ { 0 } \, = \, R _ { 7 } ^ { 0 } \, = \, R _ { 2 } ^ { 0 } \, , \qquad R _ { 5 } ^ { 0 } \, = \, \frac { ( R _ { 2 } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { R _ { 3 } ^ { 0 } } \, ,
\begin{array} { r } { \Delta _ { 3 3 } ( \zeta , k ) = \frac { \delta _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) \delta _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) } { \delta _ { 1 } ( k ) \delta _ { 1 } ( \frac { 1 } { k } ) } \frac { \delta _ { 2 } ( k ) \delta _ { 2 } ( \frac { 1 } { k } ) } { \delta _ { 2 } ( \omega k ) \delta _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) } \frac { \delta _ { 3 } ( \omega ^ { 2 } k ) \delta _ { 3 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) } { \delta _ { 3 } ( k ) \delta _ { 3 } ( \frac { 1 } { k } ) } \frac { \delta _ { 4 } ( \omega ^ { 2 } k ) \delta _ { 4 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) } { \delta _ { 4 } ( \omega k ) \delta _ { 4 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) } \frac { \delta _ { 5 } ( \omega k ) \delta _ { 5 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) } { \delta _ { 5 } ( k ) \delta _ { 5 } ( \frac { 1 } { k } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K } & { = K ( 1 / t _ { 3 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } t \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 - t ^ { 2 } ) [ 1 - ( t / t _ { 3 } ) ^ { 2 } ] } } , } \\ { K ^ { \prime } } & { = K ( \sqrt { 1 - 1 / t _ { 3 } ^ { 2 } } ) = \int _ { 1 } ^ { t _ { 3 } } \mathrm { d } t \frac { 1 } { \sqrt { ( t ^ { 2 } - 1 ) [ 1 - ( t / t _ { 3 } ) ^ { 2 } ] } } , } \end{array}
- i \frac { \partial } { \partial x } \left( \begin{array} { c } { { { \nu _ { e } } } } \\ { { { \nu _ { X } } } } \end{array} \right) = \left( - \frac { M _ { w } ^ { 2 } } { 2 E } \right) \left( \begin{array} { c } { { { \nu _ { e } } } } \\ { { { \nu _ { X } } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { c } { { \{ Q ^ { a \alpha } , \bar { Q } _ { b \beta } \} = 2 \delta ^ { a } { } _ { b } \gamma ^ { \mu } { } ^ { \alpha } { } _ { \beta } P _ { \mu } \, , } } \\ { { { } } } \\ { { { } [ M _ { \mu \nu } , Q ^ { a } ] = i \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { [ \mu } \gamma _ { \nu ] } Q ^ { a } \, , } } \\ { { { } } } \\ { { { } [ { P } _ { \mu } , Q ^ { a \alpha } ] = 0 \, . } } \end{array}
\sum _ { \beta } \ n _ { [ l , l ^ { \prime } ] \, \alpha } { } ^ { \beta } n _ { [ j , j ^ { \prime } ] \, \beta } { } ^ { \gamma } \ = \ \sum _ { [ k , k ^ { \prime } ] } \ N _ { [ l , l ^ { \prime } ] [ j , j ^ { \prime } ] } { } ^ { [ k , k ^ { \prime } ] } n _ { [ k , k ^ { \prime } ] \, \alpha } { } ^ { \gamma } \ \ .
d _ { ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) \left( d _ { ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) - 1 \right) \left\lfloor \frac { m } { 2 } \right\rfloor d _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) \leq d _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \mathcal { C } ) \leq d _ { ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) d _ { ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) \left\lfloor \frac { m } { 2 } \right\rfloor .
\begin{array} { r l r } & { } & { 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 0 , 1 3 , 1 2 , 1 7 , 1 4 , \quad \quad \mathbf { 2 1 } , \mathbf { 1 8 } , \mathbf { 2 3 } , \mathbf { 2 3 } , \mathbf { 2 5 } , \mathbf { 2 4 } , \mathbf { 2 9 } , \mathbf { 2 6 } , \mathbf { 3 1 } , } \\ & { } & { \mathbf { 3 1 } , \mathbf { 3 3 } , \mathbf { 3 2 } , \mathbf { 3 7 } , \mathbf { 3 4 } , \mathbf { 3 9 } , \mathbf { 3 9 } , \mathbf { 4 1 } , \mathbf { 4 0 } , \mathbf { 4 5 } , \mathbf { 4 2 } , \mathbf { 4 7 } , \mathbf { 4 7 } , \mathbf { 4 9 } , \mathbf { 4 8 } , \mathbf { 5 3 } , \mathbf { 5 0 } , \mathbf { 5 5 } , \mathbf { 5 5 } , \mathbf { 5 7 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { m _ { 1 } } } & { { } } \\ { { } } & { { m _ { 2 } } } \end{array} \right) = \sqrt { m _ { 1 } m _ { 2 } } e ^ { - \xi \sigma _ { 3 } } , \mathrm { ~ } \, \, \, \, \xi = \frac { 1 } { 2 } \ln ( m _ { 2 } / m _ { 1 } ) ;
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( F ^ { \prime } ( \eta _ { t } ) - \mathbb { E } _ { t - 1 } [ f _ { t } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ) ] ] = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ \mathbb { E } _ { t - 1 } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( F ^ { \prime } ( \eta _ { t } ) - f _ { t } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ) ] ] } \\ & { = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( F ^ { \prime } ( \eta _ { t } ) - f _ { t } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathtt { A } ( \xi _ { 1 } ) - \mathtt { A } ( \xi _ { 2 } ) | \ge \frac { | C _ { 1 } | c _ { \alpha } } { 1 6 } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } + | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } ) , \mathrm { ~ i f ~ \operatorname* { m a x } \left\{ | \xi _ 1 | , | \xi _ 2 | \right\} ~ \ge ~ C _ { \mathtt { H } 2 } ~ a n d ~ \xi _ 1 , \xi _ 2 \in ~ S _ \mathtt { M } ^ \perp \left\{ ~ 0 ~ \right\} ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - 2 q ^ { 2 n - 1 } \cos z + q ^ { 4 n - 2 } ) = \frac { 1 + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } q ^ { n ^ { 2 } } \cos ( n z ) } { \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { 2 n } ) } , } \\ & { \sin ( z / 2 ) \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - 2 q ^ { 2 n } \cos z + q ^ { 4 n } ) = \frac { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } q ^ { n ^ { 2 } + n } \sin ( ( n + 1 / 2 ) z ) } { \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { 2 n } ) } . } \end{array}
\frac { m _ { Q } ^ { 0 } \partial } { \partial m _ { Q } ^ { 0 } } \Pi _ { Q } \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { m _ { Q } ^ { 2 } } \right) = \frac { 1 } { 1 + \gamma _ { m } } \frac { m _ { Q } \partial } { \partial m _ { Q } } \Pi _ { Q } \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { m _ { Q } ^ { 2 } } \right) = - \frac { \beta _ { \alpha } ^ { Q } / \alpha } { 1 + \gamma _ { m } }
{ \mathbf { n } } \mathcal { D } { \mathbf { n } } = \frac { - \eta _ { o } \frac { \partial \gamma } { \partial s } + \eta _ { e } ( p + 2 \kappa \gamma ) } { 2 ( \eta _ { e } ^ { 2 } + \eta _ { o } ^ { 2 } ) } .
\frac { d \mathbf { r } _ { i } } { d t } = \mathbf { v } _ { i } , \ m _ { i } \frac { d \mathbf { v } _ { i } } { d t } = \mathbf { F } _ { i } = \sum _ { j \ne i } \mathbf { F } _ { i j } ^ { D } + \mathbf { F } _ { i j } ^ { R } + \mathbf { F } _ { i j } ^ { C } ,
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { R } _ { { \mathbf G } , \mathrm { r d n } } ) _ { i \alpha , j \beta } } & { = \mathbf { R } _ { i j } \frac { N _ { \alpha } N _ { \beta } } { N ^ { 2 } } } \\ { ( \mathbf { N } _ { \mathbf { G } , \mathrm { r d n } } ) _ { i \alpha , j \beta } } & { = \frac { N _ { i } N _ { \alpha } } { N } \delta _ { i j } \delta _ { \alpha \beta } , } \end{array}
{ \frac { \partial U _ { i } } { \partial t } } + U _ { j } { \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } } + \nu { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } ~ ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3
\begin{array} { r l } { d _ { t } \partial _ { s } T _ { t } } & { = d _ { t } \left( \partial _ { s } \partial _ { s } C _ { t } \right) } \\ & { = \rho _ { t } \left( ( 3 \rho _ { t } - 2 h ) d t - \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) \partial _ { s } \partial _ { s } C _ { t } + \partial _ { s } d _ { t } \partial _ { s } C _ { t } - \sqrt { 2 } \rho _ { t } d B _ { t } \partial _ { s } d _ { t } \partial _ { s } C _ { t } } \\ & { = \rho _ { t } \left( ( 3 \rho _ { t } - 2 h ) d t - \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) \partial _ { s } \partial _ { s } C _ { t } + \partial _ { s } d _ { t } \partial _ { s } C _ { t } } \\ & { = \rho _ { t } \left( ( 3 \rho _ { t } - 2 h ) d t - \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) \partial _ { s } \partial _ { s } C _ { t } + \partial _ { s } \left( - ( \partial _ { s } \rho _ { t } ) \nu _ { t } d t \right) } \\ & { = - \rho _ { t } ^ { 2 } \left( ( 3 \rho _ { t } - 2 h ) d t - \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) \nu _ { t } + \left( - ( \partial _ { s } ^ { 2 } \rho _ { t } ) \nu _ { t } - \rho _ { t } ( \partial _ { s } \rho _ { t } ) T _ { t } \right) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \partial _ { t } ^ { 2 } \psi - c ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } \psi \right] \Theta ^ { \prime } ( \psi ) + \left[ \left( \partial _ { t } \psi \right) ^ { 2 } - c ^ { 2 } \left( \partial _ { x } \psi \right) ^ { 2 } \right] \Theta ^ { \prime \prime } ( \psi ) = 0 } \\ & { \left[ \left( \partial _ { t } \psi \right) ^ { 2 } - c ^ { 2 } \left( \partial _ { x } \psi \right) ^ { 2 } \right] \Theta ^ { \prime } ( \psi ) ^ { 2 } = 1 , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { X } } & { \mathbf { Y } } \\ { \mathbf { Y } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { X } } & { \mathbf { Y } } \\ { \mathbf { - Y } } & { \mathbf { - X } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { I } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { - I } } \end{array} \right] .
b _ { n k } = \frac { 1 } { n + k } \left[ \frac { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } { 2 } b _ { n - 1 , k + 2 } + \frac { \lambda ( \lambda - 1 ) } { 2 } \sum _ { m = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { m + 1 } \frac { m + 1 } { q ^ { m + 2 } } b _ { n - 1 , k - m } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int \phi ( \theta ) d \nu _ { t } = \frac { d } { d t } \int \alpha \phi ( \theta ) d \sigma _ { t } ( \theta , \alpha ) } & { = \eta _ { t } \int \alpha \nabla _ { \theta } \phi ( \theta ) \cdot \nabla _ { \theta } \mathcal { U } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ) d \sigma _ { t } ( \theta , \alpha ) } \\ & { + \kappa \int \alpha ( \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ) - \int \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ^ { \prime } ) d \nu _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) ) d \sigma _ { t } ( \theta , \alpha ) } \\ & { = \eta _ { t } \int \nabla _ { \theta } \phi ( \theta ) \cdot \nabla _ { \theta } \mathcal { U } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ) d \nu _ { t } ( \theta ) } \\ & { + \kappa \int ( \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ) - \int \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ^ { \prime } ) d \nu _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) ) d \nu _ { t } ( \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { a b c d } = \mathcal { E } \tilde { \beta } \, \int \mathrm { d } \tilde { x } \, \mathrm { d } \tilde { x } ^ { \prime } \, ( \tilde { x } - \tilde { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, \mathcal { L } ^ { 2 } \psi _ { a } ( x ) \, \psi _ { b } ( x ) \, \psi _ { c } ( x ^ { \prime } ) \, \psi _ { d } ( x ^ { \prime } ) \, , } \end{array}
\frac { d } { d \ln \mu } \varphi _ { \pi } ^ { \prime } ( 0 , \mu ) = \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \Bigg \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \left[ \frac { \varphi _ { \pi } ( u ) + \bar { u } \varphi _ { \pi } ^ { \prime } ( 1 ) } { \bar { u } ^ { 2 } } + \frac { \varphi _ { \pi } ( u ) } { \bar { u } } \right] - \frac { 1 } { 2 } \varphi _ { \pi } ^ { \prime } ( 1 ) \Bigg \} \; .
\left[ { \frac { R _ { A } R _ { B } } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \right] ^ { 2 } \, { \frac { 1 } { B ^ { 4 } } } = { \frac { R _ { B } ^ { 2 } ( R _ { A } - D ) } { D ( R _ { B } + D ) ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } = { \frac { R _ { B } ( R _ { A } - D ) } { R _ { A } ( R _ { B } + D ) } } \; { \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \alpha } } \, .
{ \begin{array} { r l } { \sec ( \alpha + \beta + \gamma ) } & { = { \frac { \sec \alpha \sec \beta \sec \gamma } { 1 - \tan \alpha \tan \beta - \tan \alpha \tan \gamma - \tan \beta \tan \gamma } } } \\ { \csc ( \alpha + \beta + \gamma ) } & { = { \frac { \sec \alpha \sec \beta \sec \gamma } { \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma - \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma } } . } \end{array} }
\bar { u } _ { e } ^ { L , n + 1 } = \sum _ { j = 0 } ^ { N } ( u _ { j } ^ { e } ) ^ { L , n + 1 } w _ { j } = \bar { u } _ { e } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { e } } ( F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } )
\begin{array} { r } { \frac { 1 + \alpha _ { k } ( \rho - \eta ^ { - 1 } ) } { 1 + \alpha _ { k } \lambda } = \frac { 1 + \alpha _ { k } \lambda - \alpha _ { k } \lambda + \alpha _ { k } ( \rho - \eta ^ { - 1 } ) } { 1 + \alpha _ { k } \lambda } = 1 + \frac { \alpha _ { k } ( \rho - \eta ^ { - 1 } - \lambda ) } { 1 + \alpha _ { k } \lambda } \leq 1 + \alpha _ { k } ( \rho - \eta ^ { - 1 } - \lambda ) , } \end{array}
W = - \mu \epsilon _ { i j } \hat { H } _ { 1 } ^ { i } \hat { H } _ { 2 } ^ { j } + \epsilon _ { i j } [ f _ { 1 } \hat { H } _ { 1 } ^ { i } \hat { L } ^ { j } \hat { R } + f _ { 2 } \hat { H } _ { 1 } ^ { i } \hat { Q } ^ { j } \hat { D } + f _ { 2 } ^ { \prime } \hat { H } _ { 2 } ^ { j } \hat { Q } ^ { i } \hat { U } ]
\centering \begin{array} { r l } { W _ { 1 0 } ( \alpha ) } & { = W _ { 0 1 } ( \alpha ) = ( 1 - e ^ { i \alpha } ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } J _ { k } ( \Theta ) J _ { k - 1 } ( \Theta ) } \\ { W _ { 0 0 } ( \alpha ) } & { = J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) + ( 1 + e ^ { i \alpha } ) \frac { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) } { 2 } } \\ { W _ { 1 1 } ( \alpha ) } & { = e ^ { i \alpha } J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) + ( 1 + e ^ { i \alpha } ) \frac { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } \big ) } & { \le ( n / k ) \exp ( - s _ { k } ) + \mathbb { P } ( J = \infty \mid { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } ) + ( n / k ) \exp ( - s _ { k } / 4 ) \mathbb { P } ( J \neq \infty \mid { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } ) } \\ & { \le 2 ( n / k ) \exp ( - s _ { k } / 4 ) + \mathbb { P } ( J = \infty \mid { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } ) . } \end{array}
\displaystyle H _ { e e } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n , m , \sigma } \langle n _ { 1 } m _ { 1 } , n _ { 2 } m _ { 2 } | { \frac { e ^ { 2 } } { | r _ { 1 } - r _ { 2 } | } } | n _ { 3 } m _ { 3 } , n _ { 4 } m _ { 4 } \rangle c _ { n _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } } ^ { \dagger } c _ { n _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { \dagger } c _ { n _ { 4 } m _ { 4 } \sigma _ { 2 } } c _ { n _ { 3 } m _ { 3 } \sigma _ { 1 } }
v ( x ) = \Phi _ { \epsilon ^ { 2 } , b ^ { s } } ^ { u } ( x , 0 ) a _ { 0 } ^ { u } + \int _ { - L + l _ { 0 } } ^ { x } \Phi _ { \epsilon ^ { 2 } , b ^ { s } } ^ { c s } ( x , y ) H _ { R } ( v ( y ) , \epsilon ^ { 2 } ) d y + \int _ { l _ { 1 } } ^ { x } \Phi _ { \epsilon ^ { 2 } , b ^ { s } } ^ { u } ( x , y ) H _ { R } ( v ( y ) , \epsilon ^ { 2 } ) d y
\begin{array} { r } { \tilde { U } ( \kappa , k ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } p ( t _ { v } ) \left[ \int _ { 0 } ^ { t _ { v } } u ( \kappa ( t ) , k ( t ) ) \, \mathrm { d } t + U _ { v } ( t _ { v } ) \right] \, \mathrm { d } t _ { v } } \end{array}