harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { d { \cal O } } { d t } = \frac { i } { \hbar } \left[ { \cal H } , { \cal O } \right] + \frac { \partial { \cal O } } { \partial t } \ \ \ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ \ \ \frac { d ( - { \cal O } ) } { d ( - t ) } = \frac { ( - i ) } { \hbar } \left[ { \cal H } , ( - { \cal O } ) \right] + \frac { \partial ( - { \cal O } ) } { \partial ( - t ) } .
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \alpha } ^ { s h } } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E \bigg ( \sum _ { \gamma } T _ { \alpha \gamma } ( f _ { \gamma } - f _ { \alpha } ) + M _ { \alpha } f _ { \alpha } ^ { 2 } - } \\ { \sum _ { \gamma \delta } T r ( s _ { \alpha \gamma } s _ { \alpha \delta } s _ { \alpha \delta } s _ { \alpha \gamma } ) \bigg ) . } \end{array}
\langle \delta \varphi _ { \mathrm { w } } ^ { ( \alpha ) } ( t ) \delta \varphi _ { \mathrm { w } } ^ { ( \alpha ^ { \prime } ) } ( t ^ { \prime } ) \rangle = \frac { S _ { \varphi , \mathrm { w } } ^ { ( \alpha ) } } { 2 } \delta _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \delta ( t - t ^ { \prime } ) ,
N _ { z z } = 1 + \frac { 8 R } { 3 \pi t } - { } _ { 2 } F { _ { 1 } } \left[ - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ; 2 , - \left( \frac { 2 R } { t } \right) ^ { 2 } \right] ;
\begin{array} { r l } { \lambda ( \tilde { P } ) } & { = \left\lVert \tilde { P } - \tilde { \Pi } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { = \left\lVert P \otimes I _ { d ^ { 2 } } - \Pi \otimes I _ { d ^ { 2 } } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { = \left\lVert ( P - \Pi ) \otimes I _ { d ^ { 2 } } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { = \left\lVert P - \Pi \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } \left\lVert I _ { d ^ { 2 } } \right\rVert } \\ & { = \lambda ( P ) . } \end{array}
\left( 1 + \frac { \mathsf { K } } { \pi } \right) Q _ { n } ( x ) = - \frac { m \mathrm { e } ^ { B } } { 2 } \frac { \mathrm { i } \sigma _ { n } ^ { \pm } G _ { + } ( \mathrm { i } \xi _ { n } ) } { ( \xi _ { n } - 1 ) \xi _ { n } } - \frac { \mathrm { i } \sigma _ { n } ^ { \pm } Q ( \mathrm { i } \xi _ { n } ) } { \xi _ { n } } + \mathcal { O } \big ( B ^ { 0 } \big ) , \quad n \ge 1 .
\langle \mathcal { O } _ { \sigma _ { 1 } } ( X , Y ) ( \mathcal { O } _ { \sigma _ { 2 } } ( X , Y ) ) ^ { \dagger } \rangle = \sum _ { p _ { 3 } } \frac { m ! n ! | T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } | } { | T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { A } } | | T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } | } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { 3 } ^ { \prime } ; \mathcal { A } } \mathcal { O } _ { \sigma ^ { \left( p _ { 3 } \right) } } ( B _ { x } , B _ { y } ) \, .
E = \int _ { \varepsilon } ^ { \infty } r d r \int _ { 0 } ^ { \alpha } d \theta \, \rho ( r ) = - \alpha \, \frac { ( p ^ { 2 } - 1 ) ( p ^ { 2 } + 1 1 ) } { 1 4 4 0 \pi ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l r } { F _ { 3 } } & { = } & { 4 \left[ 1 + u + ( 1 + u + \frac { u ^ { 2 } } { 2 } ) { S } _ { i f } - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf n } ) ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf n } ) \right] \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) } \\ & { } & { + 2 u ^ { 2 } \left\{ { \bf S } _ { i } \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] { \bf S } _ { f } \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] - ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf a } ) ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf a } ) \right\} \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) } \\ & { } & { - 4 u \left[ ( 1 + u ) { \bf S } _ { i } \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] + { \bf S } _ { f } \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] \right] \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) , } \end{array}
\textnormal { T r } ( A ) = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow \infty } S _ { \lambda } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow \infty } \sum _ { | \xi | \leq \lambda } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d _ { \xi } } ( \tilde { A } ( d _ { \xi } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \xi _ { i j } ) , d _ { \xi } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \xi _ { i j } ) .
\begin{array} { r l } { \left\vert \mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } ^ { m } \left( \psi \right) - \mu _ { \mathbf { R } _ { 0 } } \left( \psi \right) \right\vert } & { = \overline { { \operatorname* { l i m } } } _ { n } \mu _ { \mathbf { T } } ^ { m } \left[ \left( \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \right) _ { - } \right] \vee \overline { { \operatorname* { l i m } } } _ { n } \mu _ { \mathbf { T } _ { 0 } } \left[ \left( \psi \circ \mathbf { R } ^ { n } \right) _ { - } \right] } \\ & { - \underline { { \operatorname* { l i m } } } _ { n } \mu _ { \mathbf { T } } ^ { m } \left[ \left( \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \right) _ { + } \right] \wedge \underline { { \operatorname* { l i m } } } _ { n } \mu _ { \mathbf { T } _ { 0 } } \left[ \left( \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \right) _ { + } \right] \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Phi _ { 0 } ( r ) = - \frac { 1 } { R } \left( A _ { 0 0 } + \frac { 1 } { 4 } A _ { 2 0 } - \frac { 3 } { 2 } A _ { 2 2 } \right) , } \\ & { } & { \Phi _ { 1 } ( r ) = - \frac { 3 } { 2 R } \left( \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 0 } + A _ { 2 2 } \right) , } \\ & { } & { \Phi _ { 2 } ( r ) = \frac { 3 } { 2 R } A _ { 2 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( t ) = \frac { \left| a _ { { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } ( t ) \right| ^ { 2 } } { \left| a _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \right| ^ { 2 } } = } & { { } \left| 1 - \frac { \kappa _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } } { \frac { \kappa } { 2 } - i \Delta _ { 0 } } \right| ^ { 2 } } \end{array}
A = \frac { C _ { l - 1 } } { 2 \pi } \int \frac { d t } { t } e ^ { - ( \frac { b ^ { 2 } t } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } ) } ( 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } t ) ^ { - ( \sharp N N - 1 ) / 2 } \Theta _ { 3 } ( 0 , 8 i \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } t / L ^ { 2 } ) B \times J .
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } ( t ) } & { { } = \mathcal { L } _ { a c } \rho ( t ) + \mathcal { L } _ { p } ( t ) \rho _ { 0 1 } ( t ) } \\ { \dot { \rho } _ { 0 1 } ( t ) } & { { } = \mathcal { L } _ { a c } \rho _ { 0 1 } ( t ) - i \sqrt { \frac { \gamma _ { e g } } { 2 } } \tilde { \xi } ^ { * } ( t ) [ \sigma _ { g e } , \rho _ { 0 0 } ( t ) ] , } \\ { \dot { \rho } _ { 0 0 } ( t ) } & { { } = \mathcal { L } _ { a c } \rho _ { 0 0 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. N u \right| _ { Q ^ { \star } ( x ^ { \star } , y ^ { \star } ) } = } & { - \left. \frac { \partial T } { \partial \mathbf { n } } \right| _ { Q ^ { \star } ( x ^ { \star } , y ^ { \star } ) } } \\ { = } & { - \frac { T ( Q _ { 1 } ( x , y ) ) - T ( Q ^ { \star } ( x ^ { \star } , y ^ { \star } ) ) } { \triangle \mathbf { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { S } _ { x } \rangle } & { { } = } & { \hbar \left( { \alpha } _ { \mathrm { L } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { R } } + { \alpha } _ { \mathrm { R } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { L } } \right) } \\ { \langle \hat { S } _ { y } \rangle } & { { } = } & { \hbar \left( - i { \alpha } _ { \mathrm { L } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { R } } + i { \alpha } _ { \mathrm { R } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { L } } \right) } \\ { \langle \hat { S } _ { z } \rangle } & { { } = } & { \hbar \left( { \mathcal N } _ { \mathrm { L } } - { \mathcal N } _ { \mathrm { R } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf Y } _ { n } } & { { } = \left( Y _ { n } , Y _ { n - 1 } , \ldots , Y _ { 1 } , Y _ { n } Y _ { n } , Y _ { n } Y _ { n - 1 } , \ldots , Y _ { 1 } Y _ { 1 } \right) . } \end{array}
r _ { s } = { \frac { n _ { 1 } \cos \theta _ { \mathrm { i } } - n _ { 2 } \cos \theta _ { \mathrm { t } } } { n _ { 1 } \cos \theta _ { \mathrm { i } } + n _ { 2 } \cos \theta _ { \mathrm { t } } } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { p \geq p _ { 0 } } \bar { R } _ { p } ^ { * } ( T ) - \mathcal { R } _ { p } ( T ) } & { = \sum _ { p _ { 0 } \leq p < \log _ { 4 } T } \bar { R } _ { p } ^ { * } ( T ) - \mathcal { R } _ { p } ( T ) } \\ & { \leq ( 1 7 + 3 c ) \sqrt { | \mathcal { A } | \ln | \mathcal { A } | } T ^ { 1 - 1 / 2 ^ { 7 } } ( \log _ { 2 } T ) ^ { 2 } + 1 5 \sum _ { p \geq p _ { 0 } } \epsilon _ { p } \cdot T } \\ & { \leq ( 1 7 + 3 c ) \sqrt { | \mathcal { A } | \ln | \mathcal { A } | } T ^ { 1 - 1 / 2 ^ { 7 } } ( \log _ { 2 } T ) ^ { 2 } + \epsilon T } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta \hat { G } _ { i j } ( t _ { 0 } ) \rangle } & { = 0 \, , } \\ { L _ { i j k l } ( t _ { 0 } ) = \langle \delta \hat { G } _ { i k } ( t _ { 0 } ) \delta \hat { G } _ { j l } ( t _ { 0 } ) \rangle } & { = - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \delta _ { i l } \delta _ { j k } n _ { j } ( 1 \pm n _ { i } ) \, , \quad } \end{array}
\mathbf { M } \left( \mathbf { r } \right) = \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { L } \left( \mathbf { r } \right) } & { \mathbf { K } \left( \mathbf { r } \right) } \\ { \mathbf { K } ^ { T } \left( \mathbf { r } \right) } & { \mathbf { S } \left( \mathbf { r } \right) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - h _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - h _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - 1 0 \kappa ^ { 2 } \eta _ { t } \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - h _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } } { 5 \kappa ^ { 2 } } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + \frac { m \eta _ { t } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } \left[ ( | v ^ { k } | ^ { p - 1 } | u ^ { k } | ^ { p + 1 } - | v ^ { j } | ^ { p - 1 } | u ^ { j } | ^ { p + 1 } ) v ^ { j } \right] ( \overline { { v ^ { k } - v ^ { j } } } ) d x } \\ { \leq \ } & { \widetilde { M } _ { 6 } \left( \int _ { \mathbb { R } } | u ^ { k } - u ^ { j } | ^ { 2 } d x + \int _ { \mathbb { R } } | v ^ { k } - v ^ { j } | ^ { 2 } d x \right) } \end{array}
{ \cal M } _ { a } = { \overline { { { \cal M } _ { a } ( j ) } } } ; { \cal M } _ { a } ( j ) = \frac { [ R _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( j ) } ( t ) - R _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( j ) } ( t ) ] } { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \left[ \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) \right] _ { ( c ) } } & { = - \int _ { \omega , q } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 1 ) } ( \omega , q , - \omega - \varpi , - p - q ) \bar { C } _ { \kappa } ( \omega + \varpi , p + q ) \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p + q , - \omega , - q ) \; \tilde { \partial } _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) } \\ & { \stackrel { p \to \infty } { = } - p ^ { 2 } \int _ { \omega } \frac 1 { \omega ^ { 2 } } \left( \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( - \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( - \varpi - \omega , p ) \right) } \\ & { \times \left( \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi + \omega , p ) \right) \bar { C } _ { \kappa } ( \omega + \varpi , p ) \; \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { p } = \frac { \varepsilon k _ { B } T } { \nu Z e } \left\{ D \zeta - \frac { 2 k _ { B } T } { Z e } \ln \left[ 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \left( \frac { Z e \zeta } { 4 k _ { B } T } \right) \right] \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \gamma _ { n } \langle l \rangle ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | } & { \overset > | \mathrm { i } \omega \cdot l - ( d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) ) | } \\ & { \ge | \overline { { \omega } } \cdot l - ( W ( j ) - W ( k ) ) | - | ( \omega - \overline { { \omega } } ) \cdot l | } \\ & { \ - | d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - \mathrm { i } W ( j ) | - | d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , k ) - \mathrm { i } W ( k ) | } \\ & { \ge \delta - c _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 2 } ( | l | + 1 ) } \\ & { \ge \delta - c _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 2 } , } \end{array}
\operatorname * { d e t } ( \vec { l } _ { i } \cdot \vec { l } _ { j } ) = \operatorname * { d e t } ( \vec { l } _ { i } ^ { a } \eta _ { a b } \vec { l } _ { i } ^ { b } ) = \operatorname * { d e t } ( \vec { l } _ { i } ^ { a } ) ^ { 2 } \eta = \eta ( 6 V ) ^ { 2 }
\sum _ { \nu = 0 } ^ { N } \left[ \omega _ { \nu } ^ { 2 } \eta _ { \nu \rho } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } \left( \eta _ { k \rho } \delta _ { 0 \nu } + \eta _ { 0 \rho } \delta _ { k \nu } \right) \right] \eta _ { \nu \sigma } = \delta _ { \rho \sigma } \Omega _ { \sigma } ^ { 2 } \; .
{ \cal Z } _ { \mathrm { m o n . } } = \int D \rho \exp \left\{ - \left[ \frac { \pi } { 2 e ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y \rho \left( \vec { x } { \, } \right) \frac { 1 } { \left| \vec { x } - \vec { y } { \, } \right| } \rho \left( \vec { y } { \, } \right) + V [ \rho ] \right] \right\} ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \sum _ { v \in V } f ( G , o , v ) \right) } & { = k d P ( k ) \, \, \, \mathrm { a n d } } \\ { \mathbb { E } \left( \sum _ { v \in V } f ( G , v , o ) \right) } & { = \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( N _ { o } = d r ) \mathbb { E } \left( \sum _ { v \in V } \mathbf { 1 } ( \deg ( u ) = k d ) \Big | N _ { o } = d r \right) } \\ & { = \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } P ( r ) \times d r \times P ( k - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \nabla \mathbf { U } ^ { \dagger } \cdot \mathbf { U } _ { b } + \left( \nabla \mathbf { U } _ { b } \right) ^ { T } \cdot \mathbf { U } ^ { \dagger } - \nabla P ^ { \dagger } - \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 2 } \mathbf { U } ^ { \dagger } } & { = \nabla _ { \mathbf { U } } \lambda , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { U } ^ { \dagger } } & { = 0 . } \end{array}
\langle \mathrm { E } _ { i } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { E } _ { i } ^ { \mathrm { e } } } & { \mathrm { i f ~ } \mathrm { E } _ { i } ^ { \mathrm { e } } > 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \langle \mathrm { E } _ { i } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { E } _ { i } ^ { \mathrm { e } } } & { \mathrm { i f ~ } \mathrm { E } _ { i } ^ { \mathrm { e } } < 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
T = \{ T _ { 1 } , T _ { 2 } , T _ { 3 } \} , \qquad T _ { 1 } = { \frac { \sigma _ { 1 } } { 2 } } , \; T _ { 2 } = { \frac { i \sigma _ { 2 } } { 2 } } , \; T _ { 3 } = { \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \quad \mathrm { L M M S E } ( T , Y ) } \\ & { = \mathbb { V } [ T ] - \frac { \mathbb { E } \bigl [ ( T - \mathbb { E } [ T ] ) ( Y - \mathbb { E } [ Y ] ) \bigr ] } { \mathbb { V } [ Y ] } } \\ & { = \frac { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } \mathbb { V } [ X ] \mathbb { V } [ S ] + \sigma ^ { 2 } \mathbb { V } [ X ] + \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \mathbb { V } [ S ] } { \mathbb { V } [ X ] + \mathbb { V } [ S ] + \sigma ^ { 2 } } ; } \end{array}
\vec { w } _ { p } = \frac { 1 } { 3 } ( v _ { 1 } + v _ { 2 } + v _ { 3 } ) , \qquad \vec { w } _ { q } = \frac { 1 } { 3 } ( v _ { 1 } + v _ { 2 } + v _ { 3 } ) - v _ { 4 }
\begin{array} { r l } { V a r [ Z _ { i } ] } & { \le \mathbb { E } _ { x } [ f ( X ) _ { i } ^ { 2 } D _ { i } ( X ) ^ { 2 } ] = \mathbb { E } _ { x } [ f ( X ) _ { i } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { d } [ D _ { i } ( X ) ^ { 2 } \mid X ] ] } \\ & { \leq M \mathbb { E } _ { x } [ f ( X ) _ { i } ^ { 2 } ] \leq M \Vert f ( X ) _ { i } \Vert _ { \infty } ^ { 2 } } \end{array}
\vec { u } _ { \omega } = \left. \left( \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } + \eta ^ { \mathrm { s } } \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } \right) \right/ \left( \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } + \eta ^ { \mathrm { s } } \right)
\begin{array} { l l } { { } } & { { \tilde { A } _ { \mu } ^ { a } = A _ { \mu } ^ { a } + K _ { ~ ~ \mu \rho } ^ { - 1 \ a b } W _ { b i } ^ { \rho \sigma } A _ { \sigma } ^ { i } , } } \\ { { } } & { { \tilde { A } _ { \mu } ^ { i } = A _ { \mu } ^ { i } + 2 Z _ { ~ ~ \mu \nu } ^ { - 1 \ i j } ( 2 i \partial _ { \rho } { \cal H } _ { j } ^ { \rho \nu } - U _ { a b j } ^ { \rho \nu } A _ { \rho } ^ { a b } ) , } } \\ { { } } & { { \tilde { A } _ { \mu } ^ { a b } = A _ { \mu } ^ { a b } + 2 i J _ { ~ ~ \mu \nu } ^ { - 1 \ a b c d } ( \partial _ { \rho } { \cal H } _ { c d } ^ { \rho \nu } - U _ { c d i } ^ { \nu \rho } Z _ { \rho \sigma } ^ { - 1 \ij } \partial _ { \tau } { \cal H } _ { j } ^ { \tau \sigma } ) . } } \end{array}
\dot { u } = - { \frac { 1 6 0 } { 3 } } v ^ { \prime } \; , \; \; \; \; \dot { v } = { \frac { 1 } { 1 0 } } u ^ { \prime \prime \prime } - { \frac { 2 4 } { 5 } } u ^ { \prime } u \; ,
{ \begin{array} { r l r l } { f ( s ) \equiv 0 { \bmod { p } } ^ { k + m } } & { \Longleftrightarrow ( z + t f ^ { \prime } ( r ) ) p ^ { k } \equiv 0 { \bmod { p } } ^ { k + m } } \\ & { \Longleftrightarrow z + t f ^ { \prime } ( r ) \equiv 0 { \bmod { p } } ^ { m } } \\ & { \Longleftrightarrow t f ^ { \prime } ( r ) \equiv - z { \bmod { p } } ^ { m } } \\ & { \Longleftrightarrow t \equiv - z [ f ^ { \prime } ( r ) ] ^ { - 1 } { \bmod { p } } ^ { m } } & & { p \nmid f ^ { \prime } ( r ) } \end{array} }
V _ { e x t } ( s ) = - E _ { l } s \left[ 1 - \frac { s } { R _ { m } } + \frac { 4 } { 3 } \frac { s ^ { 2 } } { R _ { m } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { \rho _ { 0 } ^ { 2 } } { R _ { a } ^ { 2 } } \right) \right] .
\tau ^ { - 1 } \left( A _ { n } ^ { \tau } - \Theta _ { m } B _ { n } \right) = \frac 1 n \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \frac { \mathcal { K } ^ { \tau } \vec { \phi } ( t _ { i } , x _ { i } ) - \vec { \phi } ( t _ { i } , x _ { i } ) } { \tau } \right] \boldsymbol { \psi } ( t _ { i } , x _ { i } ) ^ { \top } \; \xrightarrow { \tau \to 0 } \; \frac { 1 } { n } \Lambda _ { n } \Psi _ { n } ^ { \top } .
p \left( x \right) = \left( \frac { 1 } { 2 \pi \langle ( \Delta x ) ^ { 2 } \rangle } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \exp { \left[ - \frac { ( \Delta x ) ^ { 2 } } { \langle ( \Delta x ) ^ { 2 } \rangle } \right] } .
\begin{array} { r l r } { [ E - ( D - C ) ] A } & { { } = } & { v ( a _ { 1 } S e ^ { i k } + a _ { 2 } R e ^ { - i k } ) , } \\ { E ( a _ { 1 } S e ^ { i k } + a _ { 2 } R e ^ { - i k } ) } & { { } = } & { v A + w ( a _ { 1 } R e ^ { i 2 k } + a _ { 2 } S e ^ { - i 2 k } ) , } \end{array}
\frac { d Q _ { \lambda } } { d \xi _ { \mathrm { e x t } } } ( z ) = \frac { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N } } \frac { \partial V _ { \mathrm { e x t } } ( z , x ) } { \partial z } \mu _ { \mathrm { e x t } } ( z , x ) \ d x } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N } } \mu _ { \mathrm { e x t } } ( z , x ) \ d x } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N } } \frac { \partial V _ { \mathrm { e x t } } ( z , x ) } { \partial z } \mu _ { \mathrm { e x t } } ( z , x ) \ d x .
\begin{array} { r l } { ( e _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ) ^ { \prime } ( \rho , x ) } & { = \left( i \rho + w ( 0 , x ) + \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( x ) \right) e ^ { i \rho x } + h \cos ( \rho x ) } \\ & { \quad + \sum _ { k = 0 } ^ { N } \frac { \alpha _ { k } } { 2 } H ( x - x _ { k } ) e ^ { - 2 i \rho ( x - x _ { k } ) } + \int _ { - x } ^ { x } E _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) e ^ { i \rho t } d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } } & { = { \cal B } _ { \mathrm { c c } } ( E _ { a } ) - \frac { B _ { \mathrm { F N } } \varphi _ { m } ^ { 3 / 2 } } { E _ { a } } \left[ E _ { a } \frac { d \nu _ { \mathrm { c m } } } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } + x _ { \mathrm { m a } } \frac { d \nu _ { \mathrm { c m } } } { d x _ { m } } \Big | _ { x _ { \mathrm { m a } } } \right] } \\ & { + \frac { g \varphi _ { m } ^ { 1 / 2 } ( { \cal E } _ { F } - { \cal E } _ { m } ) } { E _ { a } } \left[ E _ { a } \frac { d t _ { \mathrm { c m } } } { d E _ { l } } \Big | _ { E _ { a } } + x _ { \mathrm { m a } } \frac { d t _ { \mathrm { c m } } } { d x _ { m } } \Big | _ { x _ { \mathrm { m a } } } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \pi _ { 0 } ( O ( \infty ) ) } & { \simeq \mathbb { Z } _ { 2 } } \\ { \pi _ { 1 } ( O ( \infty ) ) } & { \simeq \mathbb { Z } _ { 2 } } \\ { \pi _ { 2 } ( O ( \infty ) ) } & { \simeq 0 } \\ { \pi _ { 3 } ( O ( \infty ) ) } & { \simeq \mathbb { Z } } \\ { \pi _ { 4 } ( O ( \infty ) ) } & { \simeq 0 } \\ { \pi _ { 5 } ( O ( \infty ) ) } & { \simeq 0 } \\ { \pi _ { 6 } ( O ( \infty ) ) } & { \simeq 0 } \\ { \pi _ { 7 } ( O ( \infty ) ) } & { \simeq \mathbb { Z } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \tilde { u } - \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { u } } & { = - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta { \tilde { u } } + \frac { 1 } { 2 \mu } ( \vec { \nabla } \tilde { u } ) ^ { 2 } + \gamma \tilde { u } + \tilde { V } [ \tilde { m } ] } \\ { \partial _ { t } \tilde { m } - \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { m } } & { = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta \tilde { m } + \frac { 1 } { \mu } \nabla \cdot ( \tilde { m } \nabla \tilde { u } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { d } ^ { \mathrm { X } } f ^ { \mathrm { X } } ( q ) } & { { } = \mu ^ { \mathrm { X } } \left( q \right) \cdot \nabla f ^ { \mathrm { X } } \left( q \right) d s + \frac { 1 } { 2 } T r \left[ \Sigma ^ { \mathrm { X } } \left( q \right) \mathrm { ~ H ~ e ~ s ~ s ~ } \, f ^ { \mathrm { X } } \left( q \right) \right] \, , } \\ { \mathcal { L } _ { d } ^ { \mathrm { X } } f ^ { \mathrm { Y } } ( q ) } & { { } = \mu ^ { \mathrm { Y } } \left( q \right) \cdot \nabla f ^ { \mathrm { Y } } \left( q \right) d s + \frac { 1 } { 2 } T r \left[ \Sigma ^ { \mathrm { Y } } \left( q \right) \mathrm { ~ H ~ e ~ s ~ s ~ } \, f ^ { \mathrm { Y } } \left( q \right) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d K _ { h } } { d t } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left< \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { u } _ { h } \right> _ { \Omega _ { h } } } & { = - \left< \boldsymbol { u } _ { h } , \widetilde { C } _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } ) \boldsymbol { u } _ { h } \right> - \left< \boldsymbol { u } _ { h } , G _ { h } \boldsymbol { p } _ { h } \right> + \nu \left< \boldsymbol { u } _ { h } , D _ { h } \boldsymbol { u } _ { h } \right> } \\ & { = - \nu \left| \left| Q _ { h } \boldsymbol { u } _ { h } \right| \right| ^ { 2 } \leq 0 , } \end{array}
F _ { i 2 } = _ { 2 } F _ { 3 } \left( \begin{array} { l } { { 1 , \frac { n - 1 } { 2 } , \frac { n - 2 } { 2 } } } \\ { { \frac { n + 1 } { 2 } , \frac { n } { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } ^ { 2 } = \sum _ { \mathbf { b } } w _ { \mathbf { b } } ( \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { r } ) ^ { 2 } } & { { } \gtrapprox \sum _ { \mathbf { b } } 2 w _ { \mathbf { b } } \Re ( 1 - e ^ { - i \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { r } } ) , } \end{array}
\mathbf { g } _ { - 1 } = \left\{ \left. { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { ^ { t } p } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { J ^ { - 1 } p } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \right| p \in \mathbb { R } ^ { n } \right\} , \quad \mathbf { g } _ { - 1 } = \left\{ \left. { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { ^ { t } q } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { q J ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right) } \right| q \in ( \mathbb { R } ^ { n } ) ^ { * } \right\}
\begin{array} { r l } & { \chi ^ { 2 } ( P _ { 0 } | P _ { 1 } , \dots , P _ { M } ) _ { j , k } : = \int \frac { d P _ { j } } { d P _ { 0 } } d P _ { k } - 1 \mathrm { , ~ \ \ ~ a n d , } } \\ & { \rho ( P _ { 0 } | P _ { 1 } , \dots , P _ { M } ) _ { j , k } : = \frac { \int \sqrt { p _ { j } p _ { k } } \, d \nu } { \int \sqrt { p _ { j } p _ { 0 } } \, d \nu \int \sqrt { p _ { k } p _ { 0 } } \, d \nu } - 1 , } \end{array}