harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } + \Gamma ) n } & { { } = ( - ) ^ { p } \frac { \lambda _ { s } } { \tilde { \chi } } \tilde { c } _ { \phi } { * \mathrm { d } \tilde { n } } } \\ { ( \partial _ { t } + \tilde { \Gamma } ) \tilde { n } } & { { } = ( - ) ^ { q } \frac { \lambda _ { s } } { \chi } c _ { \phi } { * \mathrm { d } n } } \\ { * \mathrm { d } { * n } } & { { } = ( - ) ^ { p q + p + q + 1 } \ell n _ { \ell } , } \\ { * \mathrm { d } { * \tilde { n } } } & { { } = ( - ) ^ { p q + p + q + 1 } \tilde { \ell } \tilde { n } _ { \ell } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) = K \left( \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } E _ { i _ { 1 } } E _ { i _ { 2 } } d ( x _ { i _ { 1 } } , x _ { i _ { 2 } } ) ^ { \beta } + \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } E _ { j _ { 1 } } ^ { \prime } E _ { j _ { 2 } } ^ { \prime } d ( y _ { j _ { 1 } } , y _ { j _ { 2 } } ) ^ { \beta } - 2 \sum _ { i j } E _ { i } E _ { j } ^ { \prime } d ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { \beta } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } f ( X _ { t } ) } & { = \mathbb { E } f ( X _ { 0 } ) - 2 \pi ^ { 2 } \xi ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { t } f ( X _ { s } ) \, \mathrm { d } s \right) } \\ & { = \mathbb { E } f ( X _ { 0 } ) - 2 \pi ^ { 2 } \xi ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } f ( X _ { s } ) \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { \| } ^ { * } B = { \bf B } ^ { * } \cdot { \bf B } = B ^ { 2 } + \frac { p _ { \| } } { q } \mu _ { 0 } { \bf J } \cdot { \bf b } = B ^ { 2 } + \mu _ { 0 } n _ { R E } \frac { p _ { \| } ^ { 2 } } { \gamma m } , } \end{array}
y _ { c } ^ { \prime } = \stackrel { - } { ( + ) } \frac { { r _ { 0 } } ^ { p - 1 } } { \sqrt { r ^ { 2 p - 2 } - { r _ { 0 } } ^ { 2 p - 2 } } } , \; \; \; \sqrt { 1 + { y _ { c } ^ { \prime } } ^ { 2 } } = \stackrel { - } { ( + ) } \frac { r ^ { p - 1 } } { \sqrt { r ^ { 2 p - 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 p - 2 } } }
\begin{array} { r l } { F ( x ) \geq } & { F ( x _ { * } ) + \langle g , x - x _ { * } \rangle + \mu D _ { \psi } ( x , x _ { * } ) } \\ { \overset { ( e ) } { \geq } } & { F ( x _ { * } ) + \mu D _ { \psi } ( x , x _ { * } ) \overset { ( f ) } { \geq } F ( x _ { * } ) + \frac { \mu } { 2 } \left\Vert x - x _ { * } \right\Vert ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow F ( x ) - F ( x _ { * } ) \geq } & { \mu D _ { \psi } ( x , x _ { * } ) } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { z ( x ) = c ( x ) - \frac { 1 } { 2 } = \pm \frac { D _ { - } } { \sqrt { 2 } } \, \mathrm { s n } \bigg ( \frac { D _ { + } } { \sqrt { 2 } } \frac { x } { \xi } ; m \bigg ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle u _ { t } , \varphi \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } = } & { \; \langle G , \varphi \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } + \int _ { t } ^ { T _ { 1 } } \bigg \langle \frac { \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { 2 } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } u _ { s } - ( k * \rho _ { s } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } u _ { s } + \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } v _ { s } , \varphi \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s } \\ & { - \int _ { t } ^ { T _ { 1 } } \langle v _ { s } , \varphi \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } W _ { s } } \end{array}
{ \cal R } ( 0 ) = \rho \sin \eta \left[ \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right] = \rho \sin \eta \cdot P ~ ,
\begin{array} { r l } { g _ { x 2 } \left( \mathbf { r } _ { 2 k } , \mathbf { p } _ { 2 k } , \gamma _ { 2 k } , \tau _ { 2 k } \right) } & { = \mathbf { V } \mathbf { D } _ { k } \left( \tau _ { 2 k } \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { U } ^ { T } \mathbf { p } _ { 2 k } + \gamma _ { 2 k } \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { r } _ { 2 k } \right) , } \\ { g _ { z 2 } \left( \mathbf { r } _ { 2 k } , \mathbf { p } _ { 2 k } , \gamma _ { 2 k } , \tau _ { 2 k } \right) } & { = \mathbf { U } \mathbf { S } \mathbf { D } _ { k } \left( \tau _ { 2 k } \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { U } ^ { T } \mathbf { p } _ { 2 k } + \gamma _ { 2 k } \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { r } _ { 2 k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| \lambda _ { t + 1 } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } ] \leq } & { \varphi ( \alpha , L ) ^ { 2 } \| \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \alpha \langle \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } , \mathbb { E } [ \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) | \mathcal { F } _ { t - 1 } ] \rangle } \\ & { + 2 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } ] } \\ { = } & { \varphi ( \alpha , L ) ^ { 2 } \| \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \alpha \langle \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } , \mathbb { E } [ \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) ] \rangle } \\ & { + 2 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \varphi ( \alpha , L ) ^ { 2 } \| \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \alpha ^ { 2 } d L . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ( x ; \alpha , \kappa ) = } & { - \frac { 8 } { 2 7 } x ^ { 3 } + \frac { 4 } { 3 } \left( \alpha + \sqrt { 3 } i { \beta } \right) x } \\ & { - 3 ^ { - \frac { 3 } { 4 } } \pi ^ { - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \frac { \pi i { \beta } } { 2 } } { \beta } | s _ { * } | \Big [ \Gamma ( - { \beta } ) e ^ { \frac { \sqrt { 3 } x ^ { 2 } i } { 3 } - \frac { 2 \pi i \alpha } { 3 } + \frac { \pi i } { 4 } - i \arg s _ { * } + { \beta } \ln \left( 2 \sqrt { 3 } x ^ { 2 } \right) } } \\ & { - \Gamma ( { \beta } ) e ^ { - \frac { \sqrt { 3 } x ^ { 2 } i } { 3 } + \frac { 2 \pi i \alpha } { 3 } - \frac { \pi i } { 4 } + i \arg s _ { * } - { \beta } \ln \left( 2 \sqrt { 3 } x ^ { 2 } \right) } \Big ] + O ( | x | ^ { - 1 } ) , \quad \mathrm { a s } \quad x \rightarrow - \infty . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( { \frac { m { \dot { \mathbf { x } } } } { \sqrt { 1 - { \frac { { \dot { \mathbf { x } } } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } \right) } & { = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } ( \mathbf { p } - q \mathbf { A } ) = { \dot { \mathbf { p } } } - q { \frac { \partial A } { \partial t } } - q ( { \dot { \mathbf { x } } } \cdot \nabla ) \mathbf { A } } \\ & { = q { \boldsymbol { \nabla } } ( { \dot { \mathbf { x } } } \cdot \mathbf { A } ) - q { \boldsymbol { \nabla } } \varphi - q { \frac { \partial A } { \partial t } } - q ( { \dot { \mathbf { x } } } \cdot \nabla ) \mathbf { A } } \\ & { = q \mathbf { E } + q { \dot { \mathbf { x } } } \times \mathbf { B } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Pi ( h , \Gamma ) } & { { } = \frac { A _ { H } } { 6 \pi h _ { \infty } ^ { n } } \left[ \left( \frac { h _ { \infty } } { h } \right) ^ { n } - \left( 1 + \frac { \Gamma } { \Gamma _ { \infty } } \right) ^ { k } \left( \frac { h _ { \infty } } { h } \right) ^ { m } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ( x , s , t ) \, d s } & { { } + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ( x , s , t ) \, d s \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \dot { I } ^ { \mathrm { o u t } } \} } & { { } = } & { \left[ ( \mathcal { M } _ { \bf u } - \mathcal { S } \mathcal { M } _ { \bf d } ) \mathcal { L } _ { \bf u } + ( \mathcal { M } _ { \bf d } - \mathcal { S } \mathcal { M } _ { \bf u } ) \mathcal { L } _ { \bf d } \right] [ \hat { 1 } - e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau _ { c } } - e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau _ { c } } ] | B \} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 } } & { = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } ( 1 + \nu ) \sigma _ { 1 } - \nu ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) { \big ) } \, , } \\ { \varepsilon _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } ( 1 + \nu ) \sigma _ { 2 } - \nu ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) { \big ) } \, , } \\ { \varepsilon _ { 3 } } & { = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } ( 1 + \nu ) \sigma _ { 3 } - \nu ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) { \big ) } \, , } \end{array} }
{ \hat { \cal K } } ^ { ( 2 ) } = 2 \partial { \hat { \omega } } ^ { ( 1 ) } + l _ { p } ^ { - 2 } \, D { \hat { X } } ^ { \hat { \mu } } D { \hat { X } } ^ { \hat { \nu } } ( i _ { \hat { k } } { \hat { C } } ) _ { { \hat { \mu } } { \hat { \nu } } } - m l _ { p } ^ { 2 } \, \partial { \hat { \omega } } ^ { ( 0 ) } { \hat { b } } \, .
\Delta \phi _ { \mathrm { s a l t } } = \frac { R T } { 2 z F } \ln \left( \frac { a _ { a } } { a _ { c } } \right) = \left( \frac { \Omega _ { -- } ^ { 0 } - \Omega _ { + - } ^ { 0 } } { 2 \Omega _ { -- } ^ { 0 } } \right) \Delta V
\begin{array} { r l } { H ( \vec { \sigma } , \vec { \alpha } ; \lambda ) } & { \equiv \sqrt { \lambda } \bigg ( H _ { J } ^ { ( N ) } ( \vec { \sigma } ) + H _ { J } ^ { ( L ) } ( \vec { \alpha } ) \bigg ) + \sqrt { 1 - \lambda } \, H _ { J } ^ { ( N + L ) } ( \vec { \sigma } , \vec { \alpha } ) + \sum _ { i } H _ { 0 } ( \vec { \sigma } _ { i } ) + \sum _ { j } H _ { 0 } ( \vec { \alpha } _ { j } ) } \\ & { \equiv H _ { J } ( \vec { \sigma } , \vec { \alpha } ; \lambda ) + \sum _ { i } H _ { 0 } ( \vec { \sigma } _ { i } ) + \sum _ { j } H _ { 0 } ( \vec { \alpha } _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T r ( T _ { l _ { 1 } m _ { 1 } } T _ { l _ { 2 } m _ { 2 } } T _ { l _ { 3 } m _ { 3 } } ) } & { = \ ( - 1 ) ^ { 2 s } \sqrt { \left( 2 l _ { 1 } + 1 \right) \left( 2 l _ { 2 } + 1 \right) \left( 2 l _ { 3 } + 1 \right) } } \\ & { \left( \begin{array} { c c c } { l _ { 1 } } & { l _ { 2 } } & { l _ { 3 } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { c c c } { l _ { 1 } } & { l _ { 2 } } & { l _ { 3 } } \\ { s } & { s } & { s } \end{array} \right\} } \end{array}
\frac { \partial h _ { t } } { \partial w _ { h } } = \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial w _ { h } } + \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial h _ { t - 1 } } \frac { \partial h _ { t - 1 } } { w _ { h } } .
\begin{array} { r l } { { \frac { d w } { d x } } } & { { } = - { \frac { \frac { f ^ { \prime } ( k ) k } { 1 - \tau } } { { \frac { f ^ { \prime } ( k ) } { 1 - \tau } } \left[ \tau { \frac { f ^ { \prime } ( k ) } { f ^ { \prime \prime } ( k ) } } + k \right] } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { k } \left( \Delta t \right) } & { { } = } & { \vec { b } _ { k l m } - \left( \vec { b } _ { k l m } - \vec { u } _ { k } \right) \, \left( 1 - 3 \, \nu _ { k e } \, \Delta t \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \, , } \\ { \vec { u } _ { k } \left( \Delta t \right) } & { { } = } & { \vec { b } _ { k l m } - \left( \vec { b } _ { k l m } - \vec { u } _ { k } \right) \, \left( 1 - 3 \, \nu _ { k e } \, \Delta t \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \, , } \\ { \vec { u } _ { k } \left( \Delta t \right) } & { { } = } & { \vec { b } _ { k l m } - \left( \vec { b } _ { k l m } - \vec { u } _ { k } \right) \, \left( 1 - 3 \, \nu _ { k e } \, \Delta t \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \end{array}
{ \mathcal { L } } = | \partial _ { \mu } \Phi | ^ { 2 } + ( \partial _ { \mu } \sigma ) ^ { 2 } / 2 - \lambda _ { 1 } ( \sigma ^ { 2 } - \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } / 8 - \lambda _ { 2 } ( \sigma - \sigma _ { 0 } ) ^ { 3 } \sigma _ { 0 } / 3 - h | \Phi | ^ { 2 } ( \sigma - \sigma _ { 0 } ) ^ { 2 } - g | \Phi | ^ { 4 } - \Lambda
\alpha _ { s } ^ { ( \mathrm { H ) } } ( q ^ { 2 } ) = \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \ln \left( \frac { q ^ { 2 } + M _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } } \right) } ,
{ \begin{array} { r l } & { { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - z } & { y } \\ { z } & { 0 } & { - x } \\ { - y } & { x } & { 0 } \end{array} \right] } \mapsto } \\ { \quad { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } & { { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 + x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } } & { 2 x y - 2 z } & { 2 y + 2 x z } \\ { 2 x y + 2 z } & { 1 - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - z ^ { 2 } } & { 2 y z - 2 x } \\ { 2 x z - 2 y } & { 2 x + 2 y z } & { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \end{array} \right] } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { R _ { u } \psi ( \lambda x + ( 1 - \lambda ) y ) } & { = \psi ( R _ { u } ( \lambda x + ( 1 - \lambda ) y ) ) } \\ & { = \psi ( \lambda R _ { u } ( x ) + ( 1 - \lambda ) R _ { u } ( y ) ) } \\ & { \leq \lambda \psi ( R _ { u } ( x ) ) + ( 1 - \lambda ) \psi ( R _ { u } ( y ) ) } \\ & { = \lambda R _ { u } \psi ( x ) + ( 1 - \lambda ) R _ { u } \psi ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d \beta } & { = } & { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \left( { \frac { \partial \beta } { \partial \/ x _ { i } } } \right) ^ { 2 } ( d \, x _ { \it \/ i } ) ^ { 2 } \mathrm { \, ~ + ~ \, } \left( { \frac { \partial \beta } { \partial \/ y _ { i } } } \right) ^ { 2 } ( d \, y _ { \it \/ i } ) ^ { 2 } \right] \mathrm { \, ~ + ~ \, } \left( { \frac { \partial \beta } { \partial \alpha } } \right) ^ { 2 } ( d \alpha ) ^ { 2 } \ } } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { b } ^ { \mathrm { s s } } = \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \mathrm { m } } + \gamma _ { \mathrm { o } } ) + \gamma _ { \mathrm { o } } ( \Gamma _ { \mathrm { m } } + \gamma _ { \mathrm { o } } ) ^ { 2 } + 4 \gamma _ { \mathrm { o } } ( \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \mathrm { m } } + \gamma _ { \mathrm { o } } ) + \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } ( \Gamma _ { \mathrm { m } } + \gamma _ { \mathrm { o } } ) + 4 \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } ( \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } ) ^ { 2 } / ( \Gamma _ { \mathrm { m } } + \gamma _ { \mathrm { o } } ) } \cdot \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { \Gamma _ { \mathrm { m } } + \gamma _ { \mathrm { o } } } n _ { t h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { Q } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } } & { { } = \partial _ { Q } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } + \mathrm { d } _ { Q } \boldsymbol { y } \cdot \partial _ { \boldsymbol { y } } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } = \left( \frac { S _ { \pm \rho } ^ { X } } { Q } + \sum _ { Y _ { \sigma } \in Y } \left( { S ^ { Y } } \right) _ { \pm \rho } ^ { \sigma } \, \frac { \mathrm { d } _ { Q } y _ { \sigma } } { y _ { \sigma } } \right) \, j _ { \pm \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \! \! | \hat { \psi } ^ { ( t h ) } ( \omega , z ) | = \left( \frac { \eta _ { m } } { \pi ^ { 2 } \eta ( z ) } \right) ^ { 1 / 2 } \left| \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { i ( \omega + \beta ( z ) ) } { 2 \eta ( z ) } \right) Q _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { i ( \omega + \beta ( z ) ) } { 2 \eta ( z ) } } \right| \exp \left[ \frac { \pi ( \omega + \beta ( z ) ) } { 2 \eta ( z ) } \right] , } \end{array}
a _ { \textbf { p } } ( t ) = - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } \langle { \textbf { p } } | e ^ { - i \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } { \hat { H } } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } { \hat { H } } _ { I } ( t ^ { \prime } ) e ^ { - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t ^ { \prime } } { \hat { H } } _ { 0 } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } | { \psi ( t _ { 0 } ) } \rangle \quad ( 1 . 4 )
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } E _ { u } ( \mathbf { k } ) } & { { } = } & { T _ { u } ( { \bf k } ) - 2 N E _ { u } ( k ) \cos ^ { 2 } \theta + \mathcal { F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) - D _ { u } ( \mathbf { k } ) , } \end{array}
\dot { { \cal F } } _ { D , U V } ( \mu ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) = \dot { { \cal F } } _ { D } ( \mu ^ { 2 } / Q ^ { 2 } ) - \dot { { \cal F } } _ { D , I R } ( \mu ^ { 2 } , Q ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { R \sin \beta _ { 2 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } + \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) - P _ { 1 } \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } , } \\ { R - R \cos \beta _ { 2 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } + \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) - P _ { 1 } \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } . } \end{array}
\displaystyle \left. \quad \quad \quad + \frac { 2 7 } { 8 9 6 } \zeta ( 6 ) + \frac { 3 } { 4 4 8 0 } \zeta ( 3 ) \zeta ( 4 ) + \frac { 7 } { 1 9 2 0 } \zeta ( 7 ) \right)
\mathcal { H } _ { 1 } ( D _ { h } ) = \{ \nabla ^ { \perp } q \ : \ f \in C ^ { \infty } ( \overline { { D } } _ { h } ) , \ \Delta q = 0 \ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ D _ { h } , \ q = c _ { j } \ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma _ { j } , \ j = 1 , 2 \}
\lambda _ { 1 } ^ { f r } \sim \frac { \Delta } { V _ { 2 } ^ { f r } } = \lambda _ { 1 } \frac { \Delta } { \Phi } \frac { V _ { 2 } } { V _ { 2 } ^ { f r } } , \ \lambda _ { 2 } ^ { f r } \sim \frac { \Delta } { V _ { 1 } ^ { f r } } = \lambda _ { 2 } \frac { \Delta } { \Phi } \frac { V _ { 1 } } { V _ { 1 } ^ { f r } } ,
\begin{array} { r l r } { \omega \, \delta n } & { { } = } & { n _ { 0 } \, { \bf k } \cdot { \bf \delta u } \, , } \\ { - i \omega \, { \bf \delta u } } & { { } = } & { - \frac { e } { m } \, \left( { \bf \delta E } + { \bf \delta u } \times { \bf B } _ { 0 } \right) \, , } \\ { i c _ { 1 } \, { \bf k } \cdot { \bf \delta E } } & { { } + } & { i d _ { 2 } \, { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf k } \left( { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \delta E } \right) = - \frac { e } { \varepsilon _ { 0 } } \, \delta n \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \{ N _ { \nu } \} } = \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \hbar \omega _ { \nu } ( N _ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } ) \; = \; } & { E _ { \mathrm { g r o u n d \; s t a t e } } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \hbar \omega _ { \nu } N _ { \nu } \; , \; N _ { \nu } = 0 , 1 , 2 , . . . } \\ { E _ { \mathrm { g r o u n d \; s t a t e } } = \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \frac { \hbar \omega _ { \nu } } { 2 } \; , \; \Psi _ { \{ N _ { \nu } \} } ( \{ Q _ { \nu } \} ) } & { = \prod _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \psi _ { N _ { \nu } } ( \beta _ { \nu } Q _ { \nu } ) \; , \; \beta _ { \nu } = \sqrt { \omega _ { \nu } / \hbar } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb J _ { 1 , 1 } ( \beta ) = \mathbb J _ { 2 , 1 } ( \beta ) = \mathbb J _ { 2 , 2 } ( \beta ) = 1 , } \\ & { \mathbb J _ { 3 , 1 } ( \beta ) = { \frac { 1 } { 2 } } , \qquad \mathbb J _ { 3 , 2 } ( \beta ) = { \frac { 3 } { 2 } } , \qquad \mathbb J _ { 3 , 3 } ( \beta ) = 1 , } \\ & { \mathbb J _ { \ell + 1 , \ell } ( \beta ) = { \frac { \ell + 1 } { 2 } } , \qquad \mathbb J _ { \ell + 1 , \ell + 1 } ( \beta ) = 1 , } \end{array}
T ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { n } , t ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } g _ { i , j } { \dot { q } } _ { i } { \dot { q } } _ { j } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } { \dot { q } } _ { i } + c
\phi _ { \mathrm { i n } } ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) = \sum _ { n } c _ { n } ^ { \mathrm { i n } } Z _ { n } ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } / k _ { 0 } ^ { \mathrm { m a x } } ) , \quad \phi _ { \mathrm { o u t } } ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } ) = \sum _ { n } c _ { n } ^ { \mathrm { o u t } } Z _ { n } ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } / k _ { 0 } ^ { \mathrm { m a x } } )
{ \bf g } = - 2 \Omega _ { ( 0 ) } ^ { 2 } ( d { \underline { { u } } } \otimes d u _ { ( 0 ) } + d u _ { ( 0 ) } \otimes d { \underline { { u } } } ) + ( \gamma _ { ( 0 ) } ) _ { A B } ( d x _ { ( 0 ) } ^ { A } - \underline { { b } } _ { ( 0 ) } ^ { A } d u _ { ( 0 ) } ) \otimes ( d x _ { ( 0 ) } ^ { B } - \underline { { b } } _ { ( 0 ) } ^ { B } d u _ { ( 0 ) } ) .
- \frac { 3 } { 2 } \Omega ^ { 2 } \varphi _ { z , \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ } } \epsilon + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Omega ^ { 4 } \varphi _ { z , \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ } } ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } + 1 - \varphi _ { z , \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ } } ^ { 2 } = 0 .
\psi = R e ^ { i \frac { \chi } { 2 } } \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) e ^ { i \frac { \phi } { 2 } } } \\ { i \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) e ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } } \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array} { c } { \psi _ { \uparrow } } \\ { \psi _ { \downarrow } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \delta V _ { \mathrm { f n s , i n } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( r ) = - \frac { 3 Z \alpha B _ { 1 } \sqrt { C _ { 1 } } } { r R ^ { 3 } } } & { { } \left[ \sqrt { C _ { 1 } } r + \sqrt { C _ { 1 } } R E _ { 3 } \left( \frac { r + R } { \sqrt { C _ { 1 } } } \right) + C _ { 1 } E _ { 4 } \left( \frac { r + R } { \sqrt { C _ { 1 } } } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \Vert \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n } } ( j _ { f ^ { n } } - \rho _ { f ^ { n } } u ^ { n } } & { ) \Big \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m - 1 } ) } } \\ & { \leq \left\Vert \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n } } \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m - 1 } ) } \left( \left\Vert j _ { f ^ { n } } \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m - 1 } ) } + \left\Vert \rho _ { f ^ { n } } \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m - 1 } ) } \left\Vert u ^ { n } \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , t ; \mathrm { H } ^ { m - 1 } ) } \right) } \\ & { \leq \Lambda ( R _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | { \partial } _ { x } ^ { \beta } u ( t _ { 1 } , x ) - { \partial } _ { x } ^ { \beta } u ( t _ { 2 } , x ) | ^ { 2 } } & { = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \mathbb R _ { y } ^ { d } } | { \partial } _ { x } ^ { \beta } G ( s , x , y ) | ^ { 2 } \, d y \, d s } \\ & { \leq | t _ { 1 } - t _ { 2 } | \, \left\lVert { \partial } _ { x } ^ { \beta } G ( \cdot , x , \cdot ) \right\rVert _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t _ { 2 } ] , L ^ { 2 } ( \mathbb R _ { y } ^ { d } ) ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { t } C _ { i } } & { { } = } & { - C _ { i - 2 } C _ { i - 1 } - C _ { i - 2 , i - 1 } + C _ { i - 1 } C _ { i + 1 } } \\ { d _ { t } C _ { i , j } } & { { } = } & { - C _ { i - 2 } C _ { i - 1 , j } - C _ { i - 2 , i - 1 , j } - C _ { i - 2 , j } C _ { i - 1 } } \\ { d _ { t } C _ { i , j , k } } & { { } = } & { - C _ { i - 2 } C _ { i - 1 , j , k } - C _ { i - 2 , j } C _ { i - 1 , k } - C _ { i - 2 , j , k } C _ { i - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| ( E _ { k } - w _ { 2 } ) ^ { 2 } \| _ { 0 } } & { \leq } & { \| E _ { k } - w _ { 2 } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim } & { \| E _ { k } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } + \| \hat { P } _ { H } E _ { k } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } + \| \hat { P } _ { H } E _ { k } - w _ { 2 } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim } & { \| E _ { k } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } + \mid \log H \mid ^ { 2 } \| E _ { k } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } + H ^ { 2 } } \\ & { \lesssim } & { \mid \log h \mid ^ { 2 } H ^ { 4 } + \mid \log H \mid ^ { 2 } \mid \log h \mid ^ { 2 } H ^ { 4 } + H ^ { 2 } } \\ & { : = } & { C _ { 1 } ( H ) , } \end{array}