harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - } ( k _ { 1 } , 0 ^ { - } , k _ { 3 } ) } & { = c _ { 1 } ^ { - } \Phi _ { 1 1 } ^ { - } ( 0 ^ { - } ) + c _ { 2 } ^ { - } \Phi _ { 1 2 } ^ { - } ( 0 ^ { - } ) , } \\ { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + } ( k _ { 1 } , 0 ^ { + } , k _ { 3 } ) } & { = c _ { 1 } ^ { + } \Phi _ { 1 1 } ^ { + } ( 0 ^ { + } ) + c _ { 2 } ^ { + } \Phi _ { 1 2 } ^ { + } ( 0 ^ { + } ) . } \end{array}
B = \frac { 4 \, \tilde { e } ^ { 2 } \, e ^ { \beta \mu } } { 3 ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \tilde { m } ^ { 2 } } \, \sqrt { \frac { \tilde { m } } { \beta } } \Bigl ( \cos \frac { \theta } { 3 } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \sin \frac { \theta } { 3 } \Bigr ) ^ { - 1 } \, ,
\begin{array} { r l r } { g \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } } & { = } & { - \sum _ { m } e ^ { i m \varphi } \left[ \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial t } + i m \Omega _ { d } \delta f _ { m } + \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m } } { 2 1 B _ { 0 } } - i m \frac { \mu A _ { m } } { q B _ { 0 } \gamma } + \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \delta _ { m 0 } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \right] } \\ & { - } & { \sum _ { m } \sum _ { n } e ^ { i ( m + n ) \varphi } \left[ \left( i \frac { m \mu A _ { n } } { q B _ { 0 } \gamma r } - \frac { m r \dot { A } _ { n } } { 7 n B _ { 0 } } \right) \delta f _ { m } + \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { n } } { 2 1 B _ { 0 } } - i n \frac { \mu A _ { n } } { q B _ { 0 } \gamma } + \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \delta _ { n 0 } \right) \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial r } \right] } \\ & { + } & { \sum _ { m } \sum _ { n } e ^ { i ( m + n ) \varphi } \left( \frac { S } { B _ { 0 } } \delta _ { n 0 } + \frac { A _ { n } r } { B _ { 0 } } \right) \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \eta _ { t } } \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - h _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - h _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - 1 0 \kappa ^ { 2 } \eta _ { t } \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - h _ { t } \| ^ { 2 } + 4 L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + 2 c _ { 2 } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathscr { H } } \left( h _ { \gamma } , h _ { \gamma } \left( \, \cdot \, - \mu _ { t } \right) \right) - { \mathscr { H } } ( \tilde { l } _ { t } , h _ { \gamma } ( \, \cdot \, + \mu _ { t } ) ) } & { \geq c _ { 3 } | A ( v ) | ^ { - 1 / 2 \gamma } - O ( | A ( v ) | ) } \\ & { = c _ { 3 } | A ( v ) | ^ { - 1 / 2 \gamma } ( 1 + o ( 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \log \mathbb { P } \left( \alpha \sum _ { j \in S _ { i } ^ { \mathsf { c } } } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) w _ { j } \geq \frac { \rho } { 8 k } \sqrt { \frac { \beta n } { k } } ( p - q ) \Bigg | S _ { i } \cup \{ i \} \right) } \\ & { \leq - \frac { 4 n ( p - q ) ^ { 2 } } { p } + p \left( \frac { 8 k } { \rho } \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \frac { 4 n ( p - q ) } { p } \frac { 4 ( C _ { 0 } + 3 ) k \sqrt { k n p } } { \beta n ( p - q ) } \right) ^ { 2 } \exp \left( \frac { 8 k } { \rho } \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \frac { 4 n ( p - q ) } { p } 2 t _ { 0 } \right) } \\ & { = - \frac { 4 n ( p - q ) ^ { 2 } } { p } + \frac { 1 2 8 ^ { 2 } ( C _ { 0 } + 3 ) ^ { 2 } k ^ { 6 } } { \rho ^ { 2 } \beta ^ { 3 } } \exp \left( \frac { 6 4 \times 1 6 0 k ^ { 4 } ( p - q ) } { \rho \beta ^ { 2 } p } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \beta \hbar } { 2 } \frac { d } { d t } \right) ^ { 2 n - 1 } C ^ { \prime } \left( t \right) } & { { } = \left( \frac { \beta \hbar } { 2 } \frac { d } { d t } \right) ^ { 2 n - 1 } \left( - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \cos \omega t \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { Q } _ { 1 } } & { : = \left( \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 } ) + ( \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } - I ) \left( \varepsilon \mathcal { D } _ { \omega } ( A _ { 1 } ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 } ) \right) \right) } \\ & { \ + \varepsilon ^ { 2 } \left( A _ { 1 } \mathcal { B } _ { 0 } A _ { 1 } - \tilde { \mathcal { A } _ { 2 } } ( \mathcal { B } _ { 0 } + \varepsilon \mathcal { B } _ { 0 } A _ { 1 } ) - \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 0 } \mathcal { A } _ { 2 } \right) } \\ & { \ - \left( \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { B } _ { 1 } \mathcal { A } _ { 1 } + \varepsilon ^ { 2 } \tilde { \mathcal { A } } _ { 1 } \mathcal { B } _ { 1 } \Phi _ { 5 } \right) - \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 2 } \Phi _ { 5 } + - \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 } ) \Phi _ { 5 } + \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } R _ { 4 } \Phi _ { 5 } } \\ { \mathcal { W } } & { : = \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } W _ { 1 } \Phi _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - n L _ { n } ( a ) } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \frac { n ! } { j ! ( n - 1 - j ) ! } ( - n ) \frac { n } { n - j } a ^ { j } - \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } a ^ { n } , } \end{array}
( \Delta F ) _ { 2 2 } = \frac { g } { 2 \pi } \int _ { L } d k e ^ { i k x } [ \frac { M _ { 0 } ^ { ( - ) } ( k ) \hat { R } _ { 1 } ^ { ( + ) } - M _ { 0 } ^ { ( + ) } \hat { R } _ { 1 } ^ { ( - ) } ] } { M _ { 0 } ^ { ( - ) } ( k ) M ^ { ( - ) } ( \nu , k ) } ;
\begin{array} { r l } { S ^ { 0 } ( X ) } & { { } = \exp ( X ) , } \\ { S ^ { l } ( X ) } & { { } = T _ { c } ( T _ { r } ( S ^ { l - 1 } ( X ) ) ) , } \\ { S ^ { \infty } ( X ) } & { { } = \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } _ { l \rightarrow \infty } S ^ { l } ( X ) , } \end{array}
V = \bar { f } \, M _ { D } \, f = \bar { f } _ { L } \, M _ { D } \, f _ { R } + \bar { f } _ { R } \, M _ { D } \, f _ { L } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \, m _ { f _ { i } } \, \bar { f } _ { i } \, f _ { i } \, ,
\begin{array} { r } { z _ { R } \frac { \partial E } { \partial z } = \left[ - \alpha - i \delta _ { 0 } - i L \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + i \gamma L | E | ^ { 2 } \right] E + \sqrt { \theta } E _ { \mathrm { i n } } , } \end{array}
\small \int _ { \Omega } \varepsilon _ { 0 } \nabla V ^ { n + 1 } \cdot \nabla e = - \int _ { \Omega } ( \epsilon ( \phi ^ { * , n + 1 } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \nabla V ^ { * , n + 1 } \cdot \nabla e - \int _ { \Omega } f _ { V } ^ { n + 1 } e , \quad \forall e .
( \phi _ { \mu , \nu } ( g ) P ) { \left( \begin{array} { l } { z _ { 1 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right) } = \left[ \phi _ { \mu , \nu } { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) } P \right] { \left( \begin{array} { l } { z _ { 1 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right) } = P \left( { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) } ^ { - 1 } { \left( \begin{array} { l } { z _ { 1 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right) } \right) , \quad P \in \mathbf { P } _ { \mu , \nu } ^ { 2 } .
\mathbf { p _ { r } } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) }
f ( M _ { 0 } ) = \left( \frac { 2 } { ( \gamma + 1 ) M _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { \gamma - 1 } { \gamma + 1 } \right) ^ { - 1 } , \quad g ( M _ { 0 } ) = \frac { 2 \gamma M _ { 0 } ^ { 2 } } { \gamma + 1 } - \frac { \gamma - 1 } { \gamma + 1 } ,
\begin{array} { r l r l } { S _ { i k } ^ { \mathrm { r e } } } & { = T _ { i j k } v _ { j } ^ { \mathrm { r e } } } & & { \mathrm { ( ~ N _ \mathrm { ~ n z } ^ \mathrm { ~ c s h } ~ F L O P s ) } } \\ { S _ { i k } ^ { \mathrm { i m } } } & { = T _ { i j k } v _ { j } ^ { \mathrm { i m } } } & & { \mathrm { ( ~ N _ \mathrm { ~ n z } ^ \mathrm { ~ c s h } ~ F L O P s ) } } \\ { u _ { i } ^ { \mathrm { r e } } } & { = S _ { i k } ^ { \mathrm { r e } } w _ { k } ^ { \mathrm { r e } } + S _ { i k } ^ { \mathrm { i m } } w _ { k } ^ { \mathrm { i m } } } & & { \mathrm { ( ~ 2 M ^ 2 ~ F L O P s ) } } \\ { u _ { i } ^ { \mathrm { i m } } } & { = S _ { i k } ^ { \mathrm { r e } } w _ { k } ^ { \mathrm { i m } } + S _ { i k } ^ { \mathrm { i m } } w _ { k } ^ { \mathrm { r e } } } & & { \mathrm { ( ~ 2 M ^ 2 ~ F L O P s ) } } \end{array}
\left| \mathsf { K } F _ { x } ( \varphi _ { x } ^ { \lambda } ) \right| \lesssim \mathrm { c s t } _ { K , \bar { \lambda } } \, \| F \| _ { \mathcal { G } _ { \mathrm { h o m } ; K , 2 ( \bar { \lambda } + \rho ) , r } ^ { \bar { \alpha } } } \Bigg \{ \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { \lambda } - 1 } 2 ^ { - \beta n } ( 2 ^ { n } \lambda ) ^ { c + 1 } 2 ^ { - n \bar { \alpha } } \, + \sum _ { n = N _ { \lambda } } ^ { + \infty } 2 ^ { - \beta n } \lambda ^ { \bar { \alpha } } \Bigg \} .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \vec { N } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } \cdot \vec { n } } & { { } = N _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ - ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } , } \\ { \vec { i } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } \cdot \vec { n } } & { { } = i _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ - ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } . } \end{array}
G _ { x x } = \left( { \frac { \hbar } { 2 M \Omega } } \right) \left\{ n _ { B E } ( \hbar \Omega ) e ^ { i \Omega t } + [ n _ { B E } ( \hbar \Omega ) + 1 ] e ^ { - i \Omega t } \right\} \to S _ { x x } ( \omega ) = 2 \pi \left( { \frac { \hbar } { 2 M \Omega } } \right) [ n _ { B E } ( \hbar \Omega ) \delta ( \omega - \Omega ) + [ n _ { B E } ( \hbar \Omega ) + 1 ] \delta ( \omega + \Omega ) ]
\begin{array} { r l } { \widehat { R _ { 2 , 2 } } } & { : \mathcal { E } _ { \tau , h } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) \to \mathcal { F } _ { 2 \tau , 2 h } ( 2 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \; , } \\ { \widehat { R _ { 2 , 2 } } } & { : = \left( \begin{array} { l l l l } { \hat { R } ( \check { \check { \theta } } _ { t } ) \hat { R } ( \check { \theta } _ { x } ) } & { \hat { R } ( \check { \check { \theta } } _ { t } ) \hat { R } ( \hat { \theta } _ { x } ) } & { \: \cdots \: \: } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \: \cdots \: \: } & { \hat { R } ( \hat { \hat { \theta } } _ { t } ) \hat { R } ( \hat { \theta } _ { x } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 { ^ L _ { R } } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) } & { { } = \int d \mathbf { r } _ { 2 } I _ { 1 { ^ L _ { R } } } ( \mathbf { r } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 2 } ) \propto \int d \mathbf { r } _ { 2 } \left| \langle \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } | \tilde { \psi } \rangle \right| ^ { 2 } \left( 1 \mp \frac { 2 l } { \hbar } \operatorname { R e } \frac { \langle \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } | \hat { p } _ { 1 x } | \tilde { \psi } \rangle } { \langle \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } | \tilde { \psi } \rangle } \right) } \end{array}
{ \widetilde \rho } ^ { \prime \prime } + \left[ m ^ { 2 } + F - { \frac { 1 } { 2 } } \psi A ^ { \prime \prime } - { \frac { 1 } { 4 } } \psi ^ { 2 } ( A ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] { \widetilde \rho } = 0 ~ .
\tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t + \Delta t } = \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } - \eta g ^ { + } ( \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } ) \boldsymbol { \mathcal { G } } ( t + \Delta t , \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } ) ,
\beta \left( \mathrm { D } _ { \mathrm { { L } } } \oplus \delta _ { \mathrm { { R } } } \right) = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \delta _ { \mathrm { { R } } } } \\ { \mathrm { D } _ { \mathrm { { L } } } } & { 0 } \end{array} \right] } = i \beta \partial _ { t } + i { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \sigma ^ { k } } \\ { - \sigma ^ { k } } & { 0 } \end{array} \right] } \nabla _ { k } - m { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \eta \omega K } \\ { - \eta \omega K } & { 0 } \end{array} \right] }
\alpha _ { i } ^ { - 1 } ( M ^ { \prime } ) = \alpha _ { U } ^ { - 1 } - \frac { \beta _ { i } } { 2 \pi } \log \frac { M _ { C } } { M _ { U } } - \frac { \beta _ { i } ^ { K K } } { 2 \pi } \left( 2 N \log \frac { M ^ { \prime } } { M _ { C } } - 2 \log ( N ! ) \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { r } _ { j } \, \mathrm { r } _ { k } } & { { } = \mathrm { r } _ { ( j + k ) { \mathrm { ~ m o d ~ } } n } } \\ { \mathrm { r } _ { j } \, \mathrm { s } _ { k } } & { { } = \mathrm { s } _ { ( j + k ) { \mathrm { ~ m o d ~ } } n } } \\ { \mathrm { s } _ { j } \, \mathrm { r } _ { k } } & { { } = \mathrm { s } _ { ( j - k ) { \mathrm { ~ m o d ~ } } n } } \\ { \mathrm { s } _ { j } \, \mathrm { s } _ { k } } & { { } = \mathrm { r } _ { ( j - k ) { \mathrm { ~ m o d ~ } } n } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l l l l l l l l l } { y _ { t } + \displaystyle { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } \, ( \beta \, { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) + q \, y } & { = } & { f } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { Q , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ) ( a , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( b ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( 0 , T ) , } \\ { y ( \cdot , 0 ) } & { = } & { y ^ { 0 } } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( a , b ) , } \end{array} \right.
| 0 ^ { + - } \rangle = A | c \bar { c } ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) _ { 1 , 8 } + g _ { 1 } \rangle + B | c \bar { c } ( ^ { 3 } P _ { 1 } ) _ { 1 , 8 } + g _ { 2 } \rangle \, .
x ^ { 2 } \, H ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) \approx - \nu \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, d k \, \frac { 2 } { k } \, J _ { 2 } ( k x ) \, \exp \left( - \frac { k ^ { 2 } } { \hat { \Lambda } ^ { 2 } } \right) ~ ,
Q ^ { \downarrow } \bar { q } ^ { \uparrow } = { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } \Biggl [ { \frac { Q ^ { \downarrow } \bar { q } ^ { \uparrow } - Q ^ { \uparrow } \bar { q } ^ { \downarrow } } { \sqrt 2 } } \Biggr ] + { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } \Biggl [ { \frac { Q ^ { \downarrow } \bar { q } ^ { \uparrow } + Q ^ { \uparrow } \bar { q } ^ { \downarrow } } { \sqrt 2 } } \Biggr ] \; .
\begin{array} { r l r } { | \phi \rangle } & { = } & { \prod _ { { \bf k } } u _ { { \bf k } } \left[ 1 + \frac { v _ { { \bf k } } } { u _ { { \bf k } } } \hat { c } _ { { \bf k } \mathrm { \uparrow } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { { \bf - k } \mathrm { \downarrow } } ^ { \dagger } \right] | 0 \rangle } \\ & { \propto } & { \prod _ { { \bf k } } \left[ 1 + \mathrm { e } ^ { i \phi } \tan \left( \frac { \theta _ { \bf k } } { 2 } \right) \hat { b } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \right] | 0 \rangle } \\ & { = } & { \prod _ { { \bf k } } \exp \left[ \mathrm { e } ^ { i \phi } \tan \left( \frac { \theta _ { \bf k } } { 2 } \right) \hat { b } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \right] | 0 \rangle , } \end{array}
a _ { h } ^ { S V } ( v , w ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } a _ { h _ { i } } ^ { S V } \left( v , w ^ { * } \right) , \ \mathrm { w i t h } \ a _ { h _ { i } } ^ { S V } \left( v , w ^ { * } \right) = \sum _ { j = 0 } ^ { k } w _ { i , j } ^ { * } ( \int _ { x _ { i , j } } ^ { x _ { i , j + 1 } } v _ { t } d x + v _ { i , j + 1 } ^ { - } - v _ { i , j } ^ { - } ) .
R _ { i j h l } \equiv \left\langle J _ { i j } ( \boldsymbol { x } _ { 0 } ) J _ { h l } ( \boldsymbol { y } _ { 0 } ) e ^ { - i \left[ \boldsymbol { k } \cdot ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { 0 } ) - \boldsymbol { p } \cdot ( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { y } _ { 0 } ) \right] } \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { Y } _ { \mathrm { t f , t s } } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { \mathrm { T x } } - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { \mathrm { p a t h } } - 1 } \bar { a } _ { i , k } \mathbf { F } _ { N _ { \mathrm { c } } } ^ { - 1 } \mathbf { D } _ { N _ { \mathrm { c } } } ^ { * } ( \bar { \tau } _ { i , k } ) \mathbf { S } _ { k } \mathbf { D } _ { N _ { \mathrm { s y m } } } ( \bar { f } _ { \mathrm { D } _ { i } } \alpha ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! f ( \Delta , \eta _ { w } ) \! \! } & { { } = } & { \! \! - \frac { 1 \! + \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \eta _ { w } } { \Delta } \! \log \! \frac { 1 \! + \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \eta _ { w } } { \Delta } \! - \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \frac { 1 \! - \! \eta _ { w } } { \Delta } \! \log \! \frac { 1 \! - \! \eta _ { w } } { \Delta } , } \\ { \! \! f ( \Delta , \eta _ { l } ) \! \! } & { { } = } & { \! \! - \frac { 1 \! + \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \eta _ { l } } { \Delta } \! \log \! \frac { 1 \! + \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \eta _ { l } } { \Delta } \! - \! ( \! \Delta \! - \! 1 \! ) \frac { 1 \! - \! \eta _ { l } } { \Delta } \! \log \! \frac { 1 \! - \! \eta _ { l } } { \Delta } . } \end{array}
H ( \mathbf { k } ) = \left( \begin{array} { c c c c c c } { 0 } & { c _ { \mathrm { i n t } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { e x t } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { a } _ { 1 } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { i n t } } } \\ { c _ { \mathrm { i n t } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { i n t } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { e x t } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { a } _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { c _ { \mathrm { i n t } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { i n t } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { e x t } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { a } _ { 3 } } } \\ { c _ { \mathrm { e x t } } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { a } _ { 1 } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { i n t } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { i n t } } } & { 0 } \\ { 0 } & { c _ { \mathrm { e x t } } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { a } _ { 2 } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { i n t } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { i n t } } } \\ { c _ { \mathrm { i n t } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { e x t } } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { a } _ { 3 } } } & { 0 } & { c _ { \mathrm { i n t } } } & { 0 } \end{array} \right) ,
t = \overline { { z } } _ { m } + \frac { l _ { 1 } + r _ { 2 } - p - 1 } { p ^ { m + 1 } } + \frac { p - r _ { 1 } - l _ { 2 } + 1 } { p ^ { m + 2 } } - \sum _ { i = m + 3 } ^ { \infty } \frac { p - 1 } { p ^ { i } } \leq z + \frac { - 1 } { p ^ { m + 1 } } + \frac { p - r _ { 1 } - l _ { 2 } } { p ^ { m + 2 } } < z + \frac { - 1 } { p ^ { m + 1 } } + \frac { p } { p ^ { m + 2 } } = z .
\varepsilon _ { D } ( \hat { \rho } ) = \mathrm { ~ T ~ r ~ } _ { v _ { 1 } , v _ { 2 } } [ \hat { U } _ { D } ( \hat { \rho } \otimes | \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } \rangle _ { v _ { 1 } , v _ { 2 } } { } _ { v _ { 1 } , v _ { 2 } } \langle \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } | ) \hat { U } _ { D } ^ { \dagger } ] ,
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( \mathcal { R } _ { 0 } ) } ^ { \gamma } ( 0 , s ) , \mathfrak { M } _ { [ \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( \mathcal { R } _ { 0 } ) , \partial _ { x } ] } ^ { \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } , \mathtt { S } } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 5 } + \varepsilon ^ { 3 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { L } } _ { w } = \underbrace { \overline { { \int _ { U L } \Delta P _ { U L } d A } } } _ { \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ s ~ s ~ u ~ r ~ e ~ d ~ i ~ f ~ f ~ e ~ r ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } \underbrace { - \overline { { \int _ { C S } \rho v ( \mathbf { V } \cdot \mathbf { n } ) d A } } } _ { \mathrm { ~ M ~ o ~ m ~ e ~ n ~ t ~ u ~ m ~ f ~ l ~ u ~ x ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { Z } \phi ( R , Z ) \, } & { = \, - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \sqrt { ( 1 { + } \epsilon R ) ( 1 { + } \epsilon R ^ { \prime } ) } ~ \tilde { F } ( s ) \, \frac { ( Z { - } Z ^ { \prime } ) \, \eta ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) } { ( R { - } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } R ^ { \prime } \, \mathrm { d } Z ^ { \prime } \, , } \\ { \partial _ { R } \phi ( R , Z ) \, } & { = \, - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \sqrt { ( 1 { + } \epsilon R ) ( 1 { + } \epsilon R ^ { \prime } ) } ~ \tilde { F } ( s ) \, \frac { ( R { - } R ^ { \prime } ) \, \eta ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) } { ( R { - } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } R ^ { \prime } \, \mathrm { d } Z ^ { \prime } } \\ & { \quad ~ + \frac { \epsilon } { 4 \pi } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \frac { \sqrt { 1 { + } \epsilon R ^ { \prime } } } { \sqrt { 1 + \epsilon R } } \, \bigl ( F ( s ) + \tilde { F } ( s ) \bigr ) \, \eta ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } R ^ { \prime } \, \mathrm { d } Z ^ { \prime } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textup { d i s t } \left( k , \alpha , u \right) } & { = \operatorname* { s u p } _ { x _ { 1 } \neq x _ { 2 } } \frac { | u ^ { ( k ) } ( x _ { 2 } ) - u ^ { ( k ) } ( x _ { 1 } ) | } { | x _ { 2 } - x _ { 1 } | ^ { \alpha } } , \quad \alpha \in ( 0 , 1 ) , } \\ { \textup { d i s t } \left( k , 0 , u \right) } & { = | | | u ^ { ( k ) } | | | _ { \infty } , \quad \alpha = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { X X } ( \omega ) } & { { } = } & { | H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { F F } ( \omega ) + | H _ { X \xi } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { \xi \xi } ( \omega ) + | H _ { X Y } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) + | H _ { X X } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) , } \\ { S _ { Y Y } ( \omega ) } & { { } = } & { | H _ { Y F } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { F F } ( \omega ) + | H _ { Y \xi } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { \xi \xi } ( \omega ) + | H _ { Y X } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) + | H _ { Y Y } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) , } \end{array}
I ^ { ( 1 ) } = \int d \mu ( x ) \tilde { \phi } ^ { T } ( x ) J ^ { i n t } ( x ) + \int d \mu ( x , x ^ { \prime } ) \tilde { \phi } ^ { T } ( x ) ( \Delta ( x , x ^ { \prime } ) + K ( x , x ^ { \prime } ) ) \tilde { \phi } ( x ^ { \prime } ) + I ^ { ( 3 ) } ,
M _ { j } ^ { h } ( x , z ( 1 - x ) ) = q _ { j } ( x ) \, \frac { 1 } { N ( x ) } \int _ { z } ^ { 1 } \frac { d t } { t } \sum _ { k } q _ { k } ( t ( 1 - x ) ) D _ { h / k } ( z / t )
{ \bf q } _ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ^ { ( 1 ) } ] \Leftarrow \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ d ~ i ~ a ~ g ~ o ~ n ~ a ~ l ~ i ~ z ~ e ~ d ~ } ~ { \bf Z } ^ { T } { \bf H } [ { \bf n } ^ { ( 1 ) } ] { \bf Z }
\begin{array} { r l } { E _ { H } ^ { 1 } ( N ) } & { = - \frac { ( H - 1 / 2 ) ^ { 2 } } { 1 - H } F _ { H } ^ { 1 } ( N ) = - \frac { ( H - 1 / 2 ) ^ { 2 } } { 1 - H } \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( 2 \rho _ { k } ( H ) ) ^ { 2 } } \\ & { = - \frac { ( H - 1 / 2 ) ^ { 2 } } { 1 - H } \left( \sum _ { k = 2 } ^ { N } \left( ( k + 1 ) ^ { 2 H } + ( k - 1 ) ^ { 2 H } - 2 k ^ { 2 H } \right) ^ { 2 } + \left( 2 ^ { 2 H } - 2 \right) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) \eta \eta ^ { T } + ( 1 - \lambda _ { 2 } ) \xi \xi ^ { T } + ( 1 - \lambda _ { 3 } ) \sum _ { i = 3 } ^ { r _ { 0 } n } w ^ { ( i ) } ( w ^ { ( i ) } ) ^ { T } . } \end{array}