harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left\| - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { x } q _ { \nu } - \lambda q _ { \nu } + k \cdot \nabla _ { x } p _ { \nu } - \frac { \gamma ^ { 2 } \kappa } { 1 / 2 - \lambda } \Sigma \star q _ { \nu } + \gamma \sigma _ { 1 } \star \left( \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } ( - \Delta ) ^ { - 1 / 2 } \sigma _ { 2 } \varepsilon _ { \nu } \, { \mathrm { d } } z \right) \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { d } ) } \xrightarrow [ \nu \to \infty ] 0 , } \\ & { \left\| - \displaystyle \frac 1 2 \Delta _ { x } p _ { \nu } - \lambda p _ { \nu } - k \cdot \nabla _ { x } q _ { \nu } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { d } ) } \xrightarrow [ \nu \to \infty ] 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { \theta } D + \partial _ { \theta ^ { \prime } } D ) ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { = 2 \big [ \cos ( \theta ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) + \sin ( \theta ) \cos ( \theta ^ { \prime } ) \big ] \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } \\ & { = 2 \sin ( \theta + \theta ^ { \prime } ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| E \| } & { { } \, \leq \, \big ( \kappa + 3 \, \| H \| \, \frac { 1 6 } { \rho } \big ) N \, \leq \, \kappa \big ( 1 + \frac { \| H \| } { g } \, { \frac { 4 8 } { c _ { \rho } } } \big ) N \, \leq \, \kappa N \frac { \| H \| } { g } { \big ( 1 + \frac { 4 8 } { c _ { \rho } } \big ) } \, \leq \, c _ { \kappa } { \big ( 1 + \frac { 4 8 } { c _ { \rho } } \big ) } g ^ { 2 } \; , } \end{array}
{ L } _ { ( 2 ) } ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \left( \ddot { x } ^ { 2 } + 2 \omega ^ { 2 } \ddot { x } x + 4 \omega ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } \dot { x } ^ { 2 } + \omega ^ { 4 } x ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { \partial _ { x } \Big ( l _ { 2 } ( T ) \partial _ { x } q \Big ) = \frac { \textrm { d } l _ { 2 } ( T ) } { \textrm { d } T } \partial _ { x } T \partial _ { x } q + l _ { 2 } ( T ) \partial _ { x x } q , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u ( t ) } & { = \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } \Delta _ { \bar { g } } u _ { 1 } ( t ) - \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 2 } ( t ) } \Delta _ { \bar { g } } u _ { 2 } ( t ) } \\ & { \phantom { a a a a a } - \bar { K } ( \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } - \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 2 } ( t ) } ) - \frac 1 A \int _ { M } f ( \mathrm { e } ^ { 2 u _ { 1 } ( t ) } - \mathrm { e } ^ { 2 u _ { 2 } ( t ) } ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { = \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) + \Delta _ { \bar { g } } u _ { 2 } ( t ) \bigl ( \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } - \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 2 } ( t ) } \bigr ) } \\ & { \phantom { a a a a a } - \bar { K } ( \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } - \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 2 } ( t ) } ) - \frac 1 A \int _ { M } f ( \mathrm { e } ^ { 2 u _ { 1 } ( t ) } - \mathrm { e } ^ { 2 u _ { 2 } ( t ) } ) d \mu _ { \bar { g } } \quad \mathrm { f o r ~ t ~ \in ~ ( 0 , T ) ~ } . } \end{array}
\gamma \pi _ { a } ^ { 0 } = 0 , \; \gamma \pi _ { a } ^ { i } = f _ { \; \; a c } ^ { b } \pi _ { b } ^ { i } \eta _ { 2 } ^ { c } , \; \gamma \pi _ { 0 i } = 0 , \; \gamma \pi _ { i j } = 0 ,
U _ { N 1 } \; = \; \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \; \; \; , \; \; \; U _ { N 2 } \; = \; \frac { - 1 } { \sqrt { 2 } } \; \; \; , \; \; \; U _ { N b } \; = \; 0 \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; 3 \leq b \leq N \; \; ,
f _ { i } ( \Phi ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { k _ { i } } } \frac { \tilde { g } ( | x | ^ { 2 } + | \tau | ^ { 2 } + 2 | x | \tau _ { 1 } \sin ( \Phi ) ) + \tilde { g } ( | x | ^ { 2 } + | \tau | ^ { 2 } - 2 | x | \tau _ { 1 } \sin ( \Phi ) ) - 2 \tilde { g } ( | x | ^ { 2 } ) } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { k _ { i } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau
\left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } \\ & & { A } & & & & { B } & \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { ( \partial \rho / \partial x ) } \\ { ( \partial \rho u / \partial x ) } \\ { ( \partial \rho v / \partial x ) } \\ { ( \partial \rho E / \partial x ) } \\ { ( \partial \rho / \partial y ) } \\ { ( \partial \rho u / \partial y ) } \\ { ( \partial \rho v / \partial y ) } \\ { ( \partial \rho E / \partial y ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { d \rho } \\ { d \rho u } \\ { d \rho v } \\ { d \rho E } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { T _ { \boldsymbol { p } } = } & { ( - \dot { \iota } ) \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty , t ^ { \prime } \to - \infty } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } d \tau \langle \Psi _ { \boldsymbol { p } } ( t ) | \hat { U } _ { l e } ( t , \tau ) \hat { V } _ { l e } ( \boldsymbol { r } , \tau ) | \Psi _ { 0 } ( \tau ) \rangle } \\ & { + ( - \dot { \iota } ) ^ { 2 } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty , t ^ { \prime } \to - \infty } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } d \tau \int _ { \tau } ^ { t } d \tau ^ { \prime } \langle \Psi _ { \boldsymbol { p } } ( t ) | \hat { U } ( t , \tau ^ { \prime } ) \hat { V } ( \boldsymbol { r } ) \hat { U } _ { l e } ( \tau ^ { \prime } , \tau ) \hat { V } _ { l e } ( \boldsymbol { r } , \tau ) | \Psi _ { 0 } ( \tau ) \rangle . } \end{array}
\tilde { T } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) : = ( \xi _ { 1 } + p P , \xi _ { 2 } + q Q ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, , \quad \forall \, p , q \in \mathbb { Z } \, .
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mathbf { v } _ { 1 } ^ { + } - \mathbf { v } _ { 1 } ^ { -- } \mathbf { u } _ { 0 } d _ { 1 } - \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { W } ^ { 0 } | _ { \rho = + \infty } } { d _ { \Gamma } } } & { \mathrm { i n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { \mathbf { n } \cdot \nabla \big ( \mathbf { v } _ { 1 } ^ { + } - \mathbf { v } _ { 1 } ^ { -- } \mathbf { u } _ { 0 } d _ { 1 } - \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { W } ^ { 0 } | _ { \rho = + \infty } \big ) } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { L } ( y , y ) = G _ { R } ( y , y ) , \quad \left( \frac { \partial G _ { R } } { \partial x } - \frac { \partial G _ { L } } { \partial x } \right) _ { ( y , y ) } = \frac { 1 } { 1 - y ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho e } & { = ( c _ { v d } \rho _ { d } + c _ { v v } \rho _ { v } + c _ { l } ( \rho _ { c } + \rho _ { r } ) ) ( T - T _ { \mathrm { r e f } } ) + \rho _ { v } ( L _ { \mathrm { r e f } } - R _ { v } T _ { \mathrm { r e f } } ) , } \\ { \rho _ { v } } & { = \operatorname* { m i n } \left( \frac { e _ { s } ( T ) } { R _ { v } T } , \rho _ { m } \right) , } \\ { \rho _ { c } } & { = \rho _ { m } - \rho _ { v } , } \end{array}
\Psi _ { a L } = \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { l _ { a } } } } \\ { { l _ { a } ^ { - } } } \\ { { E _ { a } ^ { + } } } \end{array} \right) _ { L } \sim ( { \bf 3 } , 0 ) ; \quad l _ { a R } ^ { - } \sim ( { \bf 1 } , - 1 ) , \; E _ { a R } ^ { - } \sim ( { \bf 1 } , + 1 ) , \; \; a = e , \, \mu , \, \tau .
\pi = I _ { a , b } ( c , \varepsilon ) = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 - \varepsilon } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a ) ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + c ) } } d \psi .
\begin{array} { r l } { - \tilde { A } _ { 2 2 } T - T \tilde { A } _ { 2 2 } ^ { T } + \tilde { C } _ { 2 2 } R \tilde { C } _ { 2 2 } ^ { T } } & { = 0 , } \\ { - \tilde { A } _ { 2 2 } S - S \tilde { A } _ { 2 2 } ^ { T } + \tilde { B } _ { 2 2 } R ^ { - 1 } \tilde { B } _ { 2 2 } ^ { T } } & { = 0 , } \\ { T - S } & { > 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a b } = \qquad } & { a _ { 1 } b _ { 1 } \mathbf { i i } + a _ { 1 } b _ { 2 } \mathbf { i j } + a _ { 1 } b _ { 3 } \mathbf { i k } } \\ { + } & { a _ { 2 } b _ { 1 } \mathbf { j i } + a _ { 2 } b _ { 2 } \mathbf { j j } + a _ { 2 } b _ { 3 } \mathbf { j k } } \\ { + } & { a _ { 3 } b _ { 1 } \mathbf { k i } + a _ { 3 } b _ { 2 } \mathbf { k j } + a _ { 3 } b _ { 3 } \mathbf { k k } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \beta _ { l } } & { = } & { \left[ r \frac { u _ { l } ^ { \prime } ( r ) } { u _ { l } ( r ) } \right] _ { r = R ^ { + } } } \\ & { = } & { 1 + k R \left[ \frac { \cos \delta _ { l } j _ { l } ^ { \prime } ( k R ) - \sin \delta _ { l } n _ { l } ^ { \prime } ( k R ) } { \cos \delta _ { l } j _ { l } ( k R ) - \sin \delta _ { l } n _ { l } ( k R ) } \right] , } \end{array}
{ \Bigl ( { \frac { d ^ { 2 } } { { d \tau } ^ { 2 } } } - { \frac { B _ { a b } } { \bar { T } } } \Bigl ) } ^ { - 1 } = { \Bigl ( { \frac { d } { d \tau } } \Bigr ) } ^ { - 2 } + { \Bigl ( { \frac { d } { d \tau } } \Bigr ) } ^ { - 2 } { \frac { B _ { a b } } { \bar { T } } } { \Bigl ( { \frac { d } { d \tau } } \Bigr ) } ^ { - 2 } + { \Bigl ( { \frac { d } { d \tau } } \Bigr ) } ^ { - 2 } { \frac { B _ { a b } } { \bar { T } } } { \Bigl ( { \frac { d } { d \tau } } \Bigr ) } ^ { - 2 } { \frac { B _ { a b } } { \bar { T } } } { \Bigl ( { \frac { d } { d \tau } } \Bigr ) } ^ { - 2 } + \cdots ,
\begin{array} { r l } { U ^ { \dagger } S _ { x } U } & { { } = S _ { x } \left[ 1 - { \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 ! } } + \ldots \right] - S _ { y } \left[ \theta - { \frac { \theta ^ { 3 } } { 3 ! } } \cdots \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ^ { \mathrm { { S R } } } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } & { \geq \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , D _ { 1 } | P _ { X } ) \geq \log M _ { 1 } + n \gamma ~ \mathrm { o r } } \\ & { \qquad \quad \sum _ { i \in [ n ] } \jmath _ { \mathrm { S R } } ( X _ { i } | R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X } ) \geq \log M _ { 1 } M _ { 2 } } \\ { * } & { \qquad \qquad + \xi ^ { * } \log M _ { 1 } + ( 1 + \xi ^ { * } ) n \gamma \Big \} - 4 \exp ( - n \gamma ) . } \end{array}
A _ { 3 } ^ { 2 } = ( A _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } + A _ { 2 } \cos \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( A _ { 1 } \sin \theta _ { 1 } + A _ { 2 } \sin \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { [ A _ { 1 } , H ] } & { { } = - i A _ { 2 } , \thinspace \thinspace [ A _ { 2 } , H ] = i A _ { 1 } , } \\ { { } [ A _ { 1 } , A _ { 2 } ] } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { u _ { f } } } & { { = } } & { { u _ { \infty } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { \infty } } ) \, n _ { x } \, \mathrm { , } } } \\ { { v _ { f } } } & { { = } } & { { v _ { \infty } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { \infty } } ) \, n _ { y } \, \mathrm { , } } } \\ { { w _ { f } } } & { { = } } & { { w _ { \infty } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { \infty } } ) \, n _ { z } \, \mathrm { , } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { q } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) = 4 \pi \mu | \mathbf { U } | L \sin \theta } & { { } \left( \frac { B _ { R e = 0 } ^ { ( 1 ) } + B ^ { ( 1 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } { \ln ( 2 \chi ) } + \frac { B _ { R e = 0 } ^ { ( 2 ) } + B ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } { \ln ^ { 2 } ( 2 \chi ) } + \frac { B _ { R e = 0 } ^ { ( 3 ) } + B ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } { \ln ^ { 3 } ( 2 \chi ) } \right. } \end{array}
d s ^ { 2 } = - H _ { + } H _ { - } ^ { 2 { \frac { d - 2 } { \Delta } } - 1 } d t ^ { 2 } + H _ { - } ^ { 2 { \frac { d - 2 } { \Delta } } } \left( d y _ { 1 } ^ { 2 } + \dots + d y _ { p } ^ { 2 } \right) \qquad \qquad \qquad \qquad
\operatorname { g r a d } F _ { \lambda _ { i } } \cdot \operatorname { g r a d } F _ { \lambda _ { k } } = 4 \; \left( { \frac { x ^ { 2 } } { ( a ^ { 2 } - \lambda _ { i } ) ( a ^ { 2 } - \lambda _ { k } ) } } + { \frac { y ^ { 2 } } { ( b ^ { 2 } - \lambda _ { i } ) ( b ^ { 2 } - \lambda _ { k } ) } } + { \frac { z ^ { 2 } } { ( c ^ { 2 } - \lambda _ { i } ) ( c ^ { 2 } - \lambda _ { k } ) } } \right) = 0 \ ,
\frac { \partial F _ { e } } { \partial t } + { v } _ { g y , \parallel } \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { g y } F _ { e } + \frac { c } { B _ { \parallel } ^ { * } } \left( { { { \hat { b } } } } \times \nabla \left< \phi _ { 1 } \right> \right) \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { g y } F _ { e } - \left( \frac { e } { m _ { e } } { \hat { b } } \boldsymbol { \cdot } \nabla \left< \phi _ { 1 } \right> \right) \partial _ { v _ { g y , \parallel } } F _ { e } = 0 .
D _ { u v , \alpha \beta , \mathbf { k } } ^ { ( n ) } = \langle u \mathbf { k } | \Phi _ { \alpha \mathbf { k } } ( t _ { 0 } ) \rangle \langle \Phi _ { \beta \mathbf { k } } ( t _ { 0 } ) | v \mathbf { k } \rangle \mathcal { P } _ { \alpha \beta \mathbf { k } } ^ { ( n ) }
\begin{array} { r l } { \hat { x } _ { k } } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } x _ { j } \Psi ^ { j k / N } , } \\ { \hat { x } _ { k _ { 2 } , k _ { 1 } } } & { { } = \sum _ { j _ { 1 } = 0 } ^ { n _ { 1 } - 1 } \sum _ { j _ { 2 } = 0 } ^ { n _ { 2 } - 1 } x _ { j _ { 1 } , j 2 } \Psi ^ { j _ { 2 } k _ { 2 } / n _ { 2 } } \Psi ^ { j _ { 1 } k _ { 2 } / N } \Psi ^ { j _ { 1 } k _ { 1 } / n _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> = 6 \left( - \frac { \tilde { B _ { 1 } } } { ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } } + \frac { \kappa _ { s } } { 4 m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } } \right) \, , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \sum _ { j \neq k } \lambda _ { j } \lambda _ { k } = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } \lambda _ { j } \lambda _ { k } - \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } A _ { j , k } ^ { 2 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } \lambda _ { j } ^ { 2 } + \sum _ { j \neq k } ^ { n } \lambda _ { j } \lambda _ { k } - \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } A _ { j , k } ^ { 2 } \right) .
{ \frac { d \theta } { d t } } = - { \frac { y ^ { 2 } + 2 x y + ( 3 / 4 + \lambda _ { e f f } ( x ) ) x ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } = - { \frac { y ^ { 2 } + 2 x y + \omega ^ { 2 } ( x ) x ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } ,
p \left( O _ { i } ^ { \tau _ { o _ { i } } } \mid t _ { i } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( 1 - f _ { \mathrm { ~ F ~ P ~ R ~ } } \right) \theta \left[ t _ { i } - \left( \tau _ { o _ { i } } + 1 \right) \right] + f _ { \mathrm { ~ F ~ N ~ R ~ } } \theta \left[ \tau _ { o _ { i } } - t _ { i } \right] } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } O _ { i } ^ { \tau _ { o _ { i } } } = 0 } \\ { f _ { \mathrm { ~ F ~ P ~ R ~ } } \theta \left[ t _ { i } - \left( \tau _ { o _ { i } } + 1 \right) \right] + \left( 1 - f _ { \mathrm { ~ F ~ N ~ R ~ } } \right) \theta \left[ \tau _ { o _ { i } } - t _ { i } \right] } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } O _ { i } ^ { \tau _ { o _ { i } } } = 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \hat { \rho } } & { { } = \frac { \rho - \rho _ { \mathrm { { u p } } } } { \rho _ { \mathrm { { d o w n } } } - \rho _ { \mathrm { { u p } } } } , \hat { T } } & { = \frac { T - T _ { \mathrm { { u p } } } } { T _ { \mathrm { { d o w n } } } - T _ { \mathrm { { u p } } } } , } \\ { \hat { \Pi } } & { { } = \frac { \Pi } { \rho _ { \mathrm { { u p } } } ( 2 R T _ { \mathrm { { u p } } } ) } , \hat { Q } } & { = \frac { Q } { \rho _ { \mathrm { { u p } } } ( 2 R T _ { \mathrm { { u p } } } ) ^ { 1 . 5 } } , } \end{array}
a _ { 2 } ^ { \parallel } ( Q ^ { 2 } ) = L ^ { \gamma _ { 2 } ^ { \parallel } / b } a _ { 2 } ^ { \parallel } ( \mu ^ { 2 } ) , ~ ~ ~ ~ \gamma _ { 2 } ^ { \parallel } = \frac { 2 5 } { 6 } C _ { F } ,
P \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { S } } \\ { u } \end{array} \right] = \mathrm { S } \sim \mathcal { N } \left( P \mathbf { m } , P \Sigma P ^ { \top } \right) = \mathcal { N } \left( \frac { C \mathrm { S } _ { E } + a \bar { u } } { B + C } , \frac { a ^ { 2 } \sigma _ { u } ^ { 2 } } { 2 ( B + C ) ( B + C + 1 / \tau _ { d } ) } \right)
\begin{array} { r l } { w _ { t - 1 } } & { = w _ { t } + 6 \sigma ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } w _ { t } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { C + 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t } \eta _ { i } ^ { 2 } } + \frac { 6 \sigma ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } } { \left( C + 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t } \eta _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { C + 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t } \eta _ { i } ^ { 2 } } + \frac { \left( C + 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t } \eta _ { i } ^ { 2 } \right) - \left( C + 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t - 1 } \eta _ { i } ^ { 2 } \right) } { \left( C + 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t } \eta _ { i } ^ { 2 } \right) \left( C + 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t - 1 } \eta _ { i } ^ { 2 } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { C + 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t - 1 } \eta _ { i } ^ { 2 } } } \end{array}
P ^ { 2 } = \bigg ( \frac { 4 } { \pi h ^ { 2 } N } \bigg ) ^ { 2 } \bigg [ 1 + O \bigg ( \frac { 1 } { P ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ] , \; \; \pi h ^ { 2 } N < < 1 .
\begin{array} { r l } { \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( + + \right) } } & { = \left\vert \left( \overline { { p _ { 1 } } } - \Delta p _ { 1 \alpha } ^ { ( + ) } \right) \left( \overline { { p _ { 2 } } } - \Delta p _ { 2 \alpha } ^ { ( + ) } \right) \right\vert , } \\ { \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( -- \right) } } & { = \left\vert \left( \overline { { p _ { 1 } } } - \Delta p _ { 1 \alpha } ^ { ( - ) } \right) \left( \overline { { p _ { 2 } } } - \Delta p _ { 2 \alpha } ^ { ( - ) } \right) \right\vert , } \\ { \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( + - \right) } } & { = \left\vert \left( \overline { { p _ { 1 } } } - \Delta p _ { 1 \alpha } ^ { ( + ) } \right) \left( \overline { { p _ { 2 } } } - \Delta p _ { 2 \alpha } ^ { ( - ) } \right) \right\vert , } \\ { \left( \Delta p _ { 1 } \Delta p _ { 2 } \right) _ { \alpha } ^ { \left( - + \right) } } & { = \left\vert \left( \overline { { p _ { 1 } } } - \Delta p _ { 1 \alpha } ^ { ( - ) } \right) \left( \overline { { p _ { 2 } } } - \Delta p _ { 2 \alpha } ^ { ( + ) } \right) \right\vert . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d { \sigma } _ { n 0 } ( N ) } { d \Omega } } & { = } & { \frac { k _ { f } ( N ) } { k _ { i } } \frac { 1 } { q ^ { 4 } } \left\{ 2 J _ { N } ( X _ { q } ) \; { \cal I } _ { n 0 } ( q ) \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { { \cal E } _ { 0 } } { \omega } | \boldsymbol { \varepsilon } \cdot { \hat { \mathbf { q } } } | \; [ J _ { N - 1 } ( X _ { q } ) \; { \cal J } _ { n 0 1 } ( \omega ) + J _ { N + 1 } ( X _ { q } ) \; { \cal J } _ { n 0 1 } ( - \omega ) ] \right\} ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { \omega _ { j } } \frac { d ^ { 2 } q _ { j } } { d t ^ { 2 } } + \frac { \gamma _ { j } } { \omega _ { j } } \frac { d q _ { j } } { d t } + \omega _ { j } q _ { j } - \frac { G _ { j } \eta ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } + ( \Delta _ { c } + \sum _ { i = x , y } G _ { i } q _ { i } ) ^ { 2 } } } \\ & { } & { = S _ { j } C o s ( \delta _ { j } t + \phi _ { j } ) , ( j = x , y ) . } \end{array}
H _ { j , j } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } = V _ { \mathrm { ~ S ~ } _ { 1 } } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } ( { \bf { R } } _ { j } ) + \sum _ { i \neq j } ^ { N } V _ { \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } ( { \bf { R } } _ { i } )
\begin{array} { r } { p _ { i j } ^ { + } \simeq \frac { k _ { i } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) k _ { j } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { 2 L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } , \quad p _ { i j } ^ { - } \simeq \frac { k _ { i } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) k _ { j } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { 2 L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { x } ^ { \mathrm { g r } } } & { = \frac { 1 } { - z x \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { v _ { y } ^ { \mathrm { g r } } } & { = \frac { 1 } { - z y \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { v _ { z } ^ { \mathrm { g r } } } & { = \frac { 1 } { 1 - \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 \omega ^ { 2 } } } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iint _ { U \times U } } & { \widetilde { G } _ { N } ( t - s , x , x ^ { \prime } , z , z ^ { \prime } ) \widetilde { G } _ { N } ( s , z , z ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) f ( z - z ^ { \prime } ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } z \, \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { \prime } } \\ & { \le \frac { C } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - c _ { 3 } \frac { | x - y | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } \left( 1 \wedge \frac { ( t - s ) s } { t } \right) ^ { - \beta / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \tau \omega ) } & { { } = \frac { c ( \tau ) } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \tau } g ( \frac { t } { \tau } ) e ^ { i \theta _ { t } } e ^ { - i \omega t } d t } \end{array}
V = Z ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 2 } } g ^ { i j } \partial _ { i } Z \partial _ { j } Z = \left( t ^ { I } t ^ { J } + { \frac { 3 } { 2 } } g ^ { i j } ( t ^ { I } ) _ { , i } ( t ^ { J } ) _ { , j } \right) q _ { I } q _ { J } .
d \Pi ^ { - 2 } = - \Omega ^ { ( 0 ) } \Pi ^ { - 2 } - \Omega ^ { - 2 i } \Pi ^ { i } - 2 i \pi _ { \dot { q } } ^ { 1 - } \pi _ { \dot { q } } ^ { 1 - } - 2 i \pi _ { q } ^ { 2 - } \pi _ { q } ^ { 2 - } ,
{ \frac { ( 6 4 0 3 2 0 ) ^ { 3 / 2 } } { 1 2 \pi } } = { \frac { 4 2 6 8 8 0 { \sqrt { 1 0 0 0 5 } } } { \pi } } = \sum _ { q = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 6 q ) ! ( 5 4 5 1 4 0 1 3 4 q + 1 3 5 9 1 4 0 9 ) } { ( 3 q ) ! ( q ! ) ^ { 3 } \left( - 2 6 2 5 3 7 4 1 2 6 4 0 7 6 8 0 0 0 \right) ^ { q } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { v a r i a b l e s : ~ } p , q , r , \left\{ \sigma _ { 1 } \dots \sigma _ { N } \right\} } \\ & { } & { 0 < p < q < N ; } \\ & { } & { - N \le q r \le N ; } \\ & { } & { \sigma _ { 1 } , \dots \sigma _ { N } = \pm 1 ; } \\ & { } & { W _ { N } \left( p , q , r , \left\{ \sigma _ { 1 } \dots \sigma _ { N } \right\} \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f ~ } ( p , q ) = 1 , \sum _ { i } \sigma _ { i } = q r } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \bigskip \dot { \rho } ( x , z ) } \\ { \dot { \varsigma } ( x , z ) } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { c } { \medskip \rho _ { { } _ { \Delta } } \delta ( z - \zeta ( x ) ) \left( \mu _ { { \sigma } } ( x ) \right) _ { x } } \\ { \delta ( z - \zeta ( x ) ) \left( \mu _ { \zeta } ( x ) \right) _ { x } - { \sigma } ( x ) \delta ^ { \prime } ( z - \zeta ( x ) ) \left( \mu _ { { \sigma } } ( x ) \right) _ { x } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \vartheta _ { 1 } ^ { \operatorname* { s u p } , \varlimsup } } & { = \vartheta _ { 1 } ^ { \operatorname* { s u p } , \varliminf } = \operatorname* { s u p } _ { v _ { 0 } \neq 0 } \frac { \omega } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { \omega } } \alpha ( \tau , v _ { 0 } ) d \tau = \frac { \rho \omega ^ { 2 } } { \pi } \operatorname* { s u p } _ { v _ { 0 } \neq 0 } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { \omega } } \frac { \| D _ { \rho } ^ { - 1 } v _ { 0 } \| ^ { 2 } } { \| D _ { \rho } T _ { \tau \omega } D _ { \rho } ^ { - 1 } v _ { 0 } \| ^ { 2 } } d \tau } \\ & { = \frac { \rho \omega ^ { 2 } } { \pi } \operatorname* { s u p } _ { \| v _ { 0 } \| = 1 } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { \omega } } \frac { 1 } { \| D _ { \rho } T _ { \tau \omega } v _ { 0 } \| ^ { 2 } } d \tau = \frac { \rho \omega } { \pi } \operatorname* { s u p } _ { \| v _ { 0 } \| = 1 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { 1 } { \| D _ { \rho } T _ { t } v _ { 0 } \| ^ { 2 } } d t . } \end{array}
U _ { I } ( t , t _ { 0 } ) = \alpha ( \tau ) - \frac { i \omega _ { 0 } } 2 ( t - \tau ) \left( ( A - \frac 1 4 ) ( a a ^ { \dag } + a ^ { \dag } a ) + q ( e ^ { i \omega _ { 0 } t _ { 0 } } a ^ { 2 } + e ^ { - i \omega _ { 0 } t _ { 0 } } ( a ^ { \dag } ) ^ { 2 } ) \right) \alpha ( \tau ) + \mathrm { r . ~ t . ~ } \, .