harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { { \cal D } \tilde { g } = \frac { i \lambda } { 2 } \eta \omega _ { \ast } J _ { 0 } F _ { 0 } \left[ \frac { v ^ { 2 } } { v _ { t h } ^ { 2 } } \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } \right] , } \\ { { \cal K } _ { \| } \tilde { g } = \frac { \lambda } { 2 } F _ { 0 } \left[ v _ { t h } J _ { 0 } \left( - B \frac { \partial } { \partial l } \left( \frac { \kappa _ { 4 } } { B } \right) + \kappa _ { 5 } \right) + \frac { v _ { \| } } { \lambda } \frac { \partial } { \partial l } \left( J _ { 0 } \lambda \kappa _ { 1 } \right) \right] , } \\ { { \cal K } _ { d } \tilde { g } = \frac { i \lambda } { 2 } \omega _ { d } J _ { 0 } F _ { 0 } \left[ \left( \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 v _ { t h } ^ { 2 } } + \frac { v _ { \| } ^ { 2 } } { v _ { t h } ^ { 2 } } \right) \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 3 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c } { { \bf x } _ { k + 1 } } & { = } & { \mathcal { A } \, { \bf x } _ { k } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \theta _ { i } ( k ) \mathcal { A } \, { \bf \phi } _ { i } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \theta _ { i } ( k ) \mu _ { i } { \bf \phi } _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \infty } \wr S _ { N } = \left\langle \begin{array} { l } { t _ { 1 } , \cdots , t _ { N } , } \\ { r _ { 1 } , \cdots , r _ { N } , } \\ { \sigma _ { 1 } , \cdots , \sigma _ { N - 1 } } \end{array} \middle \vert \begin{array} { l } { t _ { i } t _ { j } = t _ { j } t _ { i } , \quad r _ { i } r _ { j } = r _ { j } r _ { i } , \quad r _ { i } ^ { 2 } = \sigma _ { i } ^ { 2 } = e , } \\ { r _ { i } t _ { i } r _ { i } = t _ { i } ^ { - 1 } , \quad r _ { i } t _ { j } r _ { i } = t _ { j } ~ ~ ~ ( j \neq i ) , } \\ { \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } = \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } , \quad \sigma _ { i } \sigma _ { j } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } ~ ~ ~ ( | i - j | \geq 2 ) , } \\ { \sigma _ { i } r _ { i } \sigma _ { i } = r _ { i + 1 } , \quad \sigma _ { i } r _ { j } \sigma _ { i } = r _ { j } ~ ~ ~ ( j \neq i , i + 1 ) } \end{array} \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { c } { { 2 b ^ { 2 } a ^ { 4 } \xi _ { 1 1 } + 2 c ^ { 2 } a ^ { 4 } \xi _ { 1 1 } + 2 a ^ { 2 } b ^ { 4 } \xi _ { 3 3 } + 2 a ^ { 2 } b ^ { 4 } \xi _ { 4 4 } + 2 c ^ { 4 } \xi _ { 5 5 } a ^ { 2 } + 2 a ^ { 2 } c ^ { 4 } \xi _ { 6 6 } } } \\ { { 2 a ^ { 4 } \xi _ { 1 2 } b ^ { 2 } + 2 a ^ { 4 } \xi _ { 1 2 } c ^ { 2 } } } \\ { { - a ^ { 5 } b \xi _ { 2 4 } - a b ^ { 5 } \xi _ { 2 4 } + c ^ { 2 } a ^ { 4 } \xi _ { 1 3 } + c ^ { 2 } b ^ { 4 } \xi _ { 1 3 } } } \\ { { a ^ { 5 } b \xi _ { 2 3 } + a b ^ { 5 } \xi _ { 2 3 } + c ^ { 2 } a ^ { 4 } \xi _ { 1 4 } + c ^ { 2 } b ^ { 4 } \xi _ { 1 4 } } } \\ { { - a ^ { 5 } c \xi _ { 2 6 } - a c ^ { 5 } \xi _ { 2 6 } + b ^ { 2 } a ^ { 4 } \xi _ { 1 5 } + b ^ { 2 } c ^ { 4 } \xi _ { 1 5 } } } \\ { { a ^ { 5 } c \xi _ { 2 5 } + a c ^ { 5 } \xi _ { 2 5 } + b ^ { 2 } a ^ { 4 } \xi _ { 1 6 } + b ^ { 2 } c ^ { 4 } \xi _ { 1 6 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { \ast s } } & { { } = } & { \psi \left[ 1 + O \left( \varepsilon _ { s } ^ { j } \right) \right] , } \\ { \Phi _ { \ast s } } & { { } \mathbf { = } } & { \Phi _ { s } ^ { e f f } \left[ 1 + O \left( \varepsilon _ { s } ^ { j } \right) \right] . } \end{array}
H _ { \mathrm { h f } } ^ { ( \nu ) } = \left[ \frac { \mu _ { 0 } c } { 4 \pi } \right] \frac { e g _ { I } \mu _ { N } } { r ^ { 2 } } \, \mathcal { M } _ { \nu } ( r ) \, \Big ( \mathbf { I } \cdot \big [ \mathbf { e } _ { r } \times \boldsymbol \alpha \big ] \Big ) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { | [ N ] _ { q } | ^ { 3 } } \sum _ { n \equiv a \pmod { q } } ( f \ast f \ast f ) ( n ) - \frac { 1 } { \varphi ( q ) ^ { 3 } } ( g \ast g \ast g ) ( a ) } \\ & { = \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \pmod { q } } \left( \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right) ^ { 3 } \chi ( a ) - \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \pmod { q } } \left( \mathbb { E } _ { a \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( a ) \overline { { \chi } } ( n ) \right) ^ { 3 } \chi ( a ) } \\ & { = O \left( \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \pmod { q } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { b \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( b ) \overline { { \chi } } ( b ) \right| \right) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta } & { = 1 - T ^ { - \frac { p } { 3 p - 2 } } ; \qquad M = \frac { \sigma } { \left( 1 - \beta \right) ^ { 1 / p } } \lor 4 \sqrt { L \Delta _ { 1 } } ; } \\ { \eta } & { = \sqrt { \frac { \left( 1 - \beta \right) \Delta _ { 1 } } { 6 T L } } \land \frac { 1 - \beta } { 9 \beta } \sqrt { \frac { \Delta _ { 1 } } { L } } \land \frac { \Delta _ { 1 } } { 1 2 0 T M \left( 1 - \beta \right) \log \frac { 4 T } { \delta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { ( \rho ) _ { I _ { M A X } , j , k } } } & { { = } } & { { \frac { ( p ) _ { I _ { M A X } , j , k } } { ( \gamma - 1 ) ( e _ { i } ) _ { I _ { M A X } - 1 , j , k } } \mathrm { , } } } \\ { { ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } , j , k } } } & { { = } } & { { ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } - 1 , j , k } \mathrm { , } } } \\ { { ( e ) _ { I _ { M A X } , j , k } } } & { { = } } & { { ( \rho ) _ { I _ { M A X } , j , k } \left[ ( e _ { i } ) _ { I _ { M A X } - 1 , j , k } + \frac { 1 } { 2 } ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } , j , k } \cdot ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } , j , k } \right] \, \mathrm { , } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \operatorname { T r } \{ m ^ { - 1 } \cdot \lbrack \operatorname { R e } \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes ( \hat { p } - p _ { t } ) ^ { T } \rangle - \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \operatorname { C o v } _ { R } ( \hat { q } , \hat { p } ) ] \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { \bf P } _ { \mathrm { F i e l d } } } & { = } & { \frac { \epsilon } { 2 } \left\langle \Re \left[ { \bf E } \times { \bf B } ^ { * } \right] \right\rangle _ { t } } \\ & { = } & { \frac { \epsilon \omega } { 2 } | A _ { 0 } | ^ { 2 } \left\langle \frac { 1 } { 2 i } \left( \Psi ^ { * } \overrightarrow { \nabla } \Psi - \Psi \overrightarrow { \nabla } \Psi ^ { * } \right) \right\rangle _ { t } , } \end{array}
\phi _ { E , \mathrm { c o r r } } = - \frac { \Omega ^ { 2 } } { 4 \delta ^ { 2 } } \left( \{ B \cdot \delta _ { 1 } \} \{ E \cdot \delta _ { 1 } \} + \{ B \cdot \delta _ { 2 } \} \{ E \cdot \delta _ { 2 } \} \right) .
\mathbf { s } ^ { * } ( x ^ { * } ) : = \left\lbrace \begin{array} { r l } & { \mathbf { s } ( x ) , \quad \quad \; x ^ { * } = x \in \left( I \setminus ( D \setminus D ^ { 0 } ) \right) \cap \bar { I } ^ { d , * } , } \\ & { \mathbf { s } ( x \pm ) , \quad \; \; x ^ { * } = x \pm \in \bar { I } ^ { d , * } \mathrm { ~ w i t h ~ } x \in D , } \\ & { \mathbf { s } ( c _ { n } + ) , \quad \, x ^ { * } = p _ { n } ^ { * } \mathrm { ~ f o r ~ e a c h ~ } n \geq 1 . } \end{array} \right.
U = \left( \begin{array} { c c c } { { A } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { V } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \bar { V } } } \end{array} \right) \quad A \in O ( 2 ) , V \in U ( 2 ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) } & { { } = - \nabla p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) + \Theta ( x - t , y ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) , } \\ { \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) } & { { } = - \nabla p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) + \Theta ( x - t , y ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert ( \partial _ { t } u , \nabla ^ { 2 } u ) \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , \infty } ^ { s } ) } \lesssim _ { p , s , n } \left\lVert f \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , \infty } ^ { s } ) } + \left\lVert \mathbb { A } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } u _ { 0 } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , \infty } ^ { s } } . } \end{array}
\gamma ^ { 2 } = \left( { \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { 0 } & { i } & { 0 } \\ { 0 } & { i } & { 0 } & { 0 } \\ { - i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \; \; \; \; \gamma ^ { 3 } = \left( { \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ } } & { { } = \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \! \! \xi _ { m , k } Y _ { m - 1 , l _ { k } } \bigl ( \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma + \kappa _ { m } \nabla { \Chi } _ { m , k } { \circ } X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) \nabla \bigl ( \nabla \bigl ( T _ { m - 1 } { \circ } X _ { m - 1 , l _ { k } } \bigr ) { \circ } X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \cos ( q t ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { { } = \frac { 1 } { r } - \frac { t H ( t - r ) } { r \left( t ^ { 2 } - r ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } \sin ( q t ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { { } = \frac { H ( t - r ) } { \left( t ^ { 2 } - r ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \, , } \end{array}
\| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { k + 1 } \vert \| _ { k + 1 } ^ { 2 } + \rho \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k + 1 } , \boldsymbol { p } _ { k + 1 } ; \mathcal { T } _ { k + 1 } ) \leq \delta \bigg ( \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { k } \vert \| _ { k } ^ { 2 } + \rho \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k } , \boldsymbol { p } _ { k } ; \mathcal { T } _ { k } ) \bigg ) .
V _ { \mathrm { o u t } } ( t _ { 1 } ) = V _ { \mathrm { o u t } } ( t _ { 0 } ) - { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { i } } C _ { \mathrm { f } } } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } V _ { \mathrm { i n } } ( t ) \, d t .
\begin{array} { r l } { ( \bar { \mathbf q } _ { M } ^ { * } , \mathbf R ^ { * } ) } & { { } = \mathcal { F } ( \bar { l } _ { s } , \bar { \kappa } , \bar { k } _ { s } ) , } \\ { L _ { g b } } & { { } = \left( \frac { k _ { b } } { 2 \pi h ^ { 2 } \rho g } \right) ^ { 1 / 3 } , } \\ { \bar { k } _ { s } } & { { } = \frac { k _ { s } L _ { g b } ^ { 2 } } { k _ { b } } , } \\ { \bar { \mathbf q } _ { M } ^ { * } } & { { } = \frac { \mathbf q _ { M } ^ { * } - \mathbf q _ { C } } { L _ { g b } } , } \\ { \bar { l } _ { s } } & { { } = \frac { l _ { s } } { L _ { g b } } , } \\ { \bar { \kappa } } & { { } = \kappa L _ { g b } . } \end{array}
\psi \in C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 1 } , \cdots , t _ { k } } ^ { k } ; \mathcal { E } ^ { \prime } ( \mathbb { R } _ { t _ { k + 1 } , \cdots , t _ { N } } ^ { N - k } ) ) = \bigcup _ { m , s \in \mathbb { R } } C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 1 } , \cdots , t _ { k } } ^ { k } ; H _ { \mathrm { s c , c } } ^ { m , s } ( \mathbb { R } ^ { N - k } ) )
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } } & { = 0 ; \quad a _ { 1 } = - i \partial _ { \xi } q } \\ { a _ { 2 } } & { = 0 ; \quad a _ { 3 } = q _ { \xi \xi } + i | q _ { \xi } | ^ { 2 } q _ { \xi } } \\ { a _ { 4 } } & { = 0 ; \quad a _ { 5 } = i ( q _ { \xi \xi \xi } - 2 | q _ { \xi } | ^ { 4 } q _ { x } ) - 4 | q _ { \xi } | ^ { 2 } q _ { \xi \xi } - ( q _ { \xi } ) ^ { 2 } q _ { \xi \xi } ^ { * } } \\ & { \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots } \\ { a _ { - 1 } } & { = q ; \quad a _ { - 2 } = 0 ; \quad a _ { - 3 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( - i q + q ^ { 2 } q _ { \xi } ^ { * } ) d \xi } \\ & { \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { N } ( B _ { N } ^ { \infty , ( 1 ) } , \cdots , B _ { N } ^ { \infty , ( r ) } ) \stackrel { d } { \to } \big ( \left\| ( \operatorname { I d } - D _ { C } \mathbf { F } ^ { \mathbf { x } } ) [ G _ { 1 } ] \right\| , \cdots , \left\| ( \operatorname { I d } - D _ { C } \mathbf { F } ^ { \mathbf { x } } ) [ G _ { r } ] \right\| \big ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { p ( U ) = \int _ { \varphi ( 0 ) = 1 } \left\langle \delta ( U - \vert \varphi ( L ) \vert ^ { 2 } ) \, \mathrm { e } ^ { \frac { i } { 2 } \, \left( \left\langle \tilde { \varphi } \left\vert d _ { z } - g \vert S \vert ^ { 2 } \right\vert \varphi \right\rangle + c . \, c . \right) } \right\rangle _ { S } \, \mathscr { D } ^ { 2 } \varphi \, \mathscr { D } ^ { 2 } \tilde { \varphi } } \\ & { } & { = \int _ { \varphi ( 0 ) = 1 } \delta ( U - \vert \varphi ( L ) \vert ^ { 2 } ) \, \mathrm { e } ^ { \frac { i } { 2 } \, \left( \left\langle \tilde { \varphi } \left\vert d _ { z } - g \vert S \vert ^ { 2 } \right\vert \varphi \right\rangle + c . \, c . \right) - \left\langle S \left\vert T _ { C } ^ { - 1 } \right\vert S \right\rangle } \, \mathscr { D } ^ { 2 } \varphi \, \mathscr { D } ^ { 2 } \tilde { \varphi } \, \mathscr { D } ^ { 2 } S , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left( J _ { \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \pi \mathbf { v } ) ) \right) } & { { } = \operatorname* { d e t } \left( \boldsymbol { \pi } J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) \boldsymbol { \pi } ^ { - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } \Omega ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \sum _ { i } \frac { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i } } { - \omega _ { i } } + \sum _ { i , j } \frac { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i j j } } { - \omega _ { i } } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , j , k } \frac { \tilde { F } _ { i j j } \tilde { F } _ { i k k } } { - \omega _ { i } } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { \bar { F } } _ { i j } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { F } _ { i j k k } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j , k , l } \frac { \tilde { F } _ { i j k k } \tilde { F } _ { i j l l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } + \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i , j , k } \frac { \tilde { F } _ { i j k } \tilde { F } _ { i j k } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } - \omega _ { k } } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i , j , k , l } \frac { \tilde { F } _ { i j k l } \tilde { F } _ { i j k l } } { { - \omega _ { i } - \omega _ { j } - \omega _ { k } - \omega _ { l } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { x , i } ^ { \mathrm { e x t } , k } = } & { \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { p } } \rho V _ { p } b _ { x , p } N _ { i p } ^ { k } } \\ { f _ { x , i } ^ { \mathrm { i n t } , k } = - } & { \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { p } } \bigg [ V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x x , p } ^ { k } \frac { \partial N _ { i p } ^ { k } } { \partial x } + V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x y , p } ^ { k } \frac { \partial N _ { i p } ^ { k } } { \partial y } + \tau _ { x z , p } ^ { k } N _ { i p } ^ { k } \bigg ] } \end{array}
\partial _ { t } \bigg ( \frac { 1 } { 2 } ( \Delta x _ { i } \partial _ { i } u _ { j } ) ( \Delta x _ { i } \partial _ { i } u _ { j } \bigg ) = \overbrace { - ( \Delta x _ { k } \partial _ { k } u _ { i } ) ( \Delta x _ { k } \partial _ { k } u _ { j } ) S _ { i j } } ^ { R 4 }
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { i j } } & { { } = } & { \gamma _ { i j } ^ { ( \Lambda \rho ) } + \frac { \alpha _ { \mathrm { M L T } } u _ { c } } { \gamma } \mathcal { H } \left( \beta \right) \mathrm { \hat { r } _ { n } \ v a r e p s i l o n _ { i n j } } , } \\ { \gamma _ { i j } ^ { ( \Lambda \rho ) } } & { { } \! \! = \! \! } & { \! 3 \nu _ { T } f _ { 1 } ^ { ( a ) } \! \! \! \left\{ \! \! \left( \mathbf { \boldsymbol { \Omega } } \cdot \boldsymbol { \Lambda } ^ { ( \rho ) } \! \right) \! \! \frac { \Omega _ { n } } { \Omega ^ { 2 } } \varepsilon _ { \mathrm { i n j } } \! - \! \frac { \Omega _ { j } } { \Omega ^ { 2 } } \mathrm { \ v a r e p s i l o n _ { i n m } \Omega _ { n } \Lambda _ { m } ^ { ( \ r h o ) } } \! \! \right\} } \end{array}
\mathbf { v } _ { P } = { \frac { \mathrm { d } } { { \mathrm { d } } t } } \left( R \mathbf { e } _ { r } + z { \hat { \mathbf { k } } } \right) = { \dot { R } } \mathbf { e } _ { r } + R { \dot { \mathbf { e } } } _ { r } + { \dot { z } } { \hat { \mathbf { k } } } = { \dot { R } } \mathbf { e } _ { r } + R { \dot { \theta } } \mathbf { e } _ { \theta } + { \dot { z } } { \hat { \mathbf { k } } } .
\lvert t _ { \perp } \rvert ^ { 4 } \textrm { c o s } ^ { 2 } \theta + 2 \lvert t _ { \parallel } \rvert ^ { 2 } \lvert t _ { \perp } \rvert ^ { 2 } \textrm { s i n } ^ { 2 } \theta + \lvert t _ { \parallel } \rvert ^ { 4 } \textrm { c o s } ^ { 2 } \theta - \lvert t _ { \perp } \rvert \lvert t _ { \parallel } \rvert ( \lvert t _ { \perp } \rvert ^ { 2 } - \lvert t _ { \parallel } \rvert ^ { 2 } ) \textrm { s i n } ( 2 \theta ) \textrm { s i n } \phi .
\alpha _ { n } ( \omega , k _ { z } ) = \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = \pm 1 } \left[ 1 + \frac { | \lambda _ { 1 } | } { | \lambda _ { 0 } | } \frac { I _ { n + l } ( | \lambda _ { 0 } | r _ { c } ) K _ { n } ( | \lambda _ { 1 } | r _ { c } ) } { I _ { n } ( | \lambda _ { 0 } | r _ { c } ) K _ { n + l } ( | \lambda _ { 1 } | r _ { c } ) } \right] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \beta _ { i } } & { \approx \frac { \left\langle \mathbf { G } _ { k } ^ { i } , \mathbf { G } _ { k } ^ { i } - \frac { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } } { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } } \mathcal { P } _ { \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { T } _ { i } } \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } \right\rangle _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } } { 2 \left\langle \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } , \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } \right\rangle _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } } } \\ & { = \frac { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } - \frac { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } } { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } } \cos \theta \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } } { 2 \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } ^ { 2 } } \le \frac { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } } { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal E ( u + v ) } & { = } & { \frac 1 2 \int _ { \Omega } | \nabla u + \nabla v | ^ { 2 } d x } \\ & { = } & { \frac 1 2 \int _ { \Omega } | \nabla u | ^ { 2 } d x + \int _ { \Omega } \nabla u \cdot \nabla v \, d x + \frac 1 2 \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 } d x } \\ & { = } & { \mathcal E ( u ) + 0 + \frac 1 2 \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 } d x \geq \mathcal E ( u ) , } \end{array}
\alpha = \frac { 1 - \mathrm { F I } } { 2 } \left[ 1 - \frac { \widetilde { Z ^ { \prime \prime 2 } } } { \tilde { Z } ( 1 - \tilde { Z } ) } \right] + \frac { 1 + \mathrm { F I } } { 2 } \left[ 1 - \frac { \widetilde { c ^ { \prime \prime 2 } } } { \tilde { c } ( 1 - \tilde { c } ) } \right]
\begin{array} { r } { \varphi _ { n - 1 } - 2 \varphi _ { n } + \varphi _ { n + 1 } } \\ { = - 2 \sum _ { \alpha } \sin ^ { 2 } \left( \frac { k _ { \alpha } } { 2 } \right) A _ { \alpha } e ^ { i ( \omega _ { \alpha } \tau - k _ { \alpha } n ) } + c . c . , } \\ { + i \sum _ { \alpha } \sin ( k _ { \alpha } ) \frac { \partial A _ { \alpha } } { \partial Z } e ^ { i ( k _ { \alpha } n - \omega _ { \alpha } \tau ) } + c . c . } \end{array}
v _ { \mu } ^ { ( 1 ) } = - \frac { 1 } { 2 \pi \kappa } H _ { \mu } ^ { ( 2 ) } + G _ { \mu } ^ { ( 1 ) } \; \; \; , \; \; \; v _ { \mu } ^ { ( 2 ) } = - \frac { 1 } { 2 \pi \kappa } H _ { \mu } ^ { ( 1 ) } + G _ { \mu } ^ { ( 2 ) } \; \; ,
\mathbb { E } [ \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { 1 } ) \vert ^ { 2 } ] \lesssim \delta ^ { - 4 } t ^ { - 1 } , \quad \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { M } } \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , y ) \vert \lesssim t ^ { - 1 } \quad \mathrm { a n d } \quad v ^ { 2 } \lesssim \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) \delta ^ { - 4 } t ^ { - 1 } ,
\mathbf { U } ( \mathbf { x } , t ) = V _ { p } \left( \frac { 3 } { 2 } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 3 } ( \hat { \mathbf { e } } \cdot \hat { \mathbf { r } } ) \hat { \mathbf { r } } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 3 } \hat { \mathbf { e } } - \frac { 3 } { 4 } \beta \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 2 } \left( 3 ( \hat { \mathbf { e } } \cdot \hat { \mathbf { r } } ) ^ { 2 } - 1 \right) \hat { \mathbf { r } } \right) + o \left( \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 4 } \right)