harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { s u p } _ { z \geq 0 } \left\vert P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \lambda ^ { \prime } \mathcal { \tilde { Z } } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } \right\vert \leq z | \mathfrak { S } _ { n } \right) - P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \boldsymbol { \tilde { Z } } _ { ( i ) } ( \lambda ) \right\vert \leq z \right) \right\vert \overset { p } { \rightarrow } 0 .
\begin{array} { r } { C _ { 5 , k } = \frac { 1 } { 6 0 \Gamma ( k + 1 ) } \int _ { c _ { 1 } - i \infty } ^ { c _ { 1 } + i \infty } \frac { \mathrm { d } z _ { 1 } } { 2 \pi i } \; \int _ { c _ { 2 } - i \infty } ^ { c _ { 2 } + i \infty } \frac { \mathrm { d } z _ { 2 } } { 2 \pi i } \; \frac { \Gamma \left( - z _ { 1 } \right) ^ { 4 } \Gamma \left( - z _ { 2 } \right) ^ { 4 } \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \left( k + 2 z _ { 1 } + 2 z _ { 2 } + 1 \right) \right) ^ { 2 } } { \Gamma \left( - 2 z _ { 1 } \right) \Gamma \left( - 2 z _ { 2 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi } & { = - \frac { \sigma _ { c } ^ { 2 } } { \sigma _ { d } ^ { 2 } } \frac { M _ { X } ^ { * } } { M _ { X } } \frac { M _ { N } } { M _ { R } } f } \\ { \nu } & { = - \frac { M _ { R } } { M _ { N } \sigma _ { c } ^ { 2 } } \frac { 1 } { f } } \\ { \kappa } & { = \frac { M _ { R } ^ { * } } { M _ { R } } \frac { 1 } { 1 + 1 / f } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widetilde { C } _ { 1 } \sum _ { k \in \{ a , b \} } \mathbb { E } _ { P } \left[ \Big | \sqrt { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) - \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \Big | \right] } \\ & { \ \ \ + \widetilde { C } _ { 2 } \sum _ { k \in \{ a , b \} } \mathbb { E } _ { P } \left[ \Big | \sqrt { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } - \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } \Big | \right] + \widetilde { C } _ { 3 } \sum _ { k \in \{ a , b \} } \mathbb { E } _ { P } \left[ \Big | \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \Big | \right] } \\ & { \leq \widetilde { C } _ { 4 } \sum _ { k \in \{ a , b \} } \mathbb { E } _ { P } \left[ \Big | \sqrt { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } - \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } \Big | \right] + \widetilde { C } _ { 5 } \sum _ { k \in \{ a , b \} } \mathbb { E } _ { P } \left[ \Big | \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \Big | \right] . } \end{array}
\hat { \cal H } = - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d ^ { 2 } } { d q ^ { 2 } } } - a g \rho \cot ( a \rho q ) { \frac { d } { d q } } = - { \frac { 1 } { 2 } } a ^ { 2 } | \rho | ^ { 2 } \left\{ ( 1 - z ^ { 2 } ) { \frac { d ^ { 2 } } { d z ^ { 2 } } } - ( 1 + 2 g ) z { \frac { d } { d z } } \right\} .
\begin{array} { l } { Q = y _ { 7 } y _ { 6 } y _ { 5 } y _ { 4 } y _ { 3 } y _ { 2 } y _ { 1 } ( y _ { 3 } - y _ { 4 } - y _ { 5 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 3 } - y _ { 4 } - y _ { 5 } + y _ { 6 } ) ( y _ { 3 } - y _ { 4 } + y _ { 5 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 3 } - y _ { 4 } + y _ { 5 } + y _ { 6 } ) } \\ { ( y _ { 3 } + y _ { 4 } - y _ { 5 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 3 } + y _ { 4 } - y _ { 5 } + y _ { 6 } ) ( y _ { 3 } + y _ { 4 } + y _ { 5 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 3 } + y _ { 4 } + y _ { 5 } + y _ { 6 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 4 } - y _ { 5 } - y _ { 7 } ) } \\ { ( y _ { 2 } - y _ { 4 } - y _ { 5 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 4 } + y _ { 5 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 4 } + y _ { 5 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 4 } - y _ { 5 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 4 } - y _ { 5 } + y _ { 7 } ) } \\ { ( y _ { 2 } + y _ { 4 } + y _ { 5 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 4 } + y _ { 5 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 3 } - y _ { 6 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 3 } - y _ { 6 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 3 } + y _ { 6 } - y _ { 7 } ) } \\ { ( y _ { 2 } - y _ { 3 } + y _ { 6 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 3 } - y _ { 6 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 3 } - y _ { 6 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 3 } + y _ { 6 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 3 } + y _ { 6 } + y _ { 7 } ) } \\ { ( y _ { 1 } - y _ { 4 } - y _ { 6 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 4 } - y _ { 6 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 4 } + y _ { 6 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 4 } + y _ { 6 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 4 } - y _ { 6 } - y _ { 7 } ) } \\ { ( y _ { 1 } + y _ { 4 } - y _ { 6 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 4 } + y _ { 6 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 4 } + y _ { 6 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 3 } - y _ { 5 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 3 } - y _ { 5 } + y _ { 7 } ) } \\ { ( y _ { 1 } - y _ { 3 } + y _ { 5 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 3 } + y _ { 5 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 3 } - y _ { 5 } - y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 3 } - y _ { 5 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 3 } + y _ { 5 } - y _ { 7 } ) } \\ { ( y _ { 1 } + y _ { 3 } + y _ { 5 } + y _ { 7 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } - y _ { 5 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } - y _ { 5 } + y _ { 6 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } + y _ { 5 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } + y _ { 5 } + y _ { 6 } ) } \\ { ( y _ { 1 } - y _ { 2 } - y _ { 3 } - y _ { 4 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } - y _ { 3 } + y _ { 4 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } + y _ { 3 } - y _ { 4 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } + y _ { 3 } + y _ { 4 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } - y _ { 5 } - y _ { 6 } ) } \\ { ( y _ { 1 } + y _ { 2 } - y _ { 5 } + y _ { 6 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 5 } - y _ { 6 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 5 } + y _ { 6 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } - y _ { 3 } - y _ { 4 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } - y _ { 3 } + y _ { 4 } ) } \\ { ( y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 3 } - y _ { 4 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 3 } + y _ { 4 } ) , } \end{array}
2 3 : { \bigg ( } { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } } + { \frac { 1 } { 3 0 } } + { \frac { 1 } { 4 5 } } { \bigg ) } + x = { \frac { 2 } { 3 } } \; \; \; \rightarrow \; \; \; x = { \frac { 1 } { 9 } } + { \frac { 1 } { 4 0 } }
\begin{array} { r l } { g ^ { * } ( \varphi ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { Y \in L ^ { \infty } } \ensuremath { \left\{ \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi Y ] - g ( Y ) \right\} } = \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } \ensuremath { \left\{ \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi x ] - x \right\} } = \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } x ( \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi ] - 1 ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi ] = 1 , } \\ { + \infty } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) = \left[ \begin{array} { l l l } { \hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ^ { v v } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) } & & { \hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ^ { v \eta } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) } \\ { \hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ^ { \eta v } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) } & & { \hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ^ { \eta \eta } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) } \end{array} \right] \mathrm { , }
\cos ( 2 \alpha - 2 \alpha _ { \mathrm { \mathrm { \scriptsize ~ e f f } } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - { \mathcal { A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { d i r } } } ^ { 2 } } } \left[ 1 - \left( 1 - \sqrt { 1 - { \mathcal { A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { d i r } } } ^ { 2 } } \right) \left| \frac { P } { T } \right| ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l r } { r _ { x x } } & { = } & { E _ { r x } / E _ { 0 x } \quad ( E _ { 0 y } = 0 ) } \\ { r _ { x y } } & { = } & { E _ { r x } / E _ { 0 y } \quad ( E _ { 0 x } = 0 ) } \\ { r _ { y y } } & { = } & { E _ { r y } / E _ { 0 y } \quad ( E _ { 0 x } = 0 ) } \\ { r _ { y x } } & { = } & { E _ { r y } / E _ { 0 x } \quad ( E _ { 0 y } = 0 ) } \end{array}
{ \mathbf y } ( \tau ) = \frac { 1 } { L } \left( \begin{array} { l } { e ^ { T \tau } - 1 } \\ { T \tau ( T \tau + 1 ) } \end{array} \right) \; \; \; , \; \; \; { \mathbf u } ( { \mathbf y } , \tau ) = \frac { 1 } { v _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { L \bar { x } + 1 } \\ { 2 \, T \tau + 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { { \cal N } = \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 0 } ^ { N } { \binom { N } { k _ { 1 } } } { \binom { N } { k _ { 2 } } } | C _ { n _ { c } n _ { d } } [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \tau ] | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { G } ( \mathbf { s } ) = ( \cdots , G _ { - 1 } ( \mathbf { s } ) , G _ { 0 } ( \mathbf { s } ) , G _ { 1 } ( \mathbf { s } ) , \cdots ) , } \\ & { \mathrm { w h e r e ~ } G _ { i } ( \mathbf { s } ) = \frac { d } { \delta ( i ) } + \frac { \nu } { \delta ( i ) } s _ { i - 1 } + \frac { b ( i ) } { \delta ( i ) } s _ { i } ^ { 2 } + \frac { \mu } { \delta ( i ) } s _ { i + L } . } \end{array}
\langle n ^ { ( 0 ) } | V ( \tau _ { 1 } + \ldots + \tau _ { k - 1 } ) \dotsm V ( \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) V ( \tau _ { 1 } ) V ( 0 ) | n ^ { ( 0 ) } \rangle _ { \mathrm { c o n n } } = \int _ { \mathbb { R } } \, \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } d s _ { i } \, e ^ { - ( s _ { i } - E _ { n } ^ { ( 0 ) } ) \tau _ { i } } \, \rho _ { n , k } ( s _ { 1 } , \ldots , s _ { k - 1 } )
u _ { x } = { \frac { d x } { d t } } = { \frac { { \frac { d x ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } } + v } { ( 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } { \frac { d x ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } } ) } } , \quad u _ { y } = { \frac { d y } { d t } } = { \frac { \frac { d y ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } } { \gamma _ { _ { v } } \ ( 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } { \frac { d x ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } } ) } } , \quad u _ { z } = { \frac { d z } { d t } } = { \frac { \frac { d z ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } } { \gamma _ { _ { v } } \ ( 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } { \frac { d x ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } } ) } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } ( \xi ( u ) ) ^ { q + 1 } } & { \leq c \int _ { \Omega } | \nabla ( \xi ( u ) ) ^ { \frac { q } { 2 } } | ^ { 2 } \int _ { \Omega } \xi ( u ) + C \left( \int _ { \Omega } \xi ( u ) \right) ^ { q + 1 } } \\ & { \leq \frac { c } { G ( N ) } \int _ { \Omega } | \nabla u ^ { q / 2 } | ^ { 2 } \int _ { \Omega } | u | G ( u ) + C \left( \int _ { \Omega } | u | \right) ^ { q + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mathrm { ~ I ~ } } = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ P _ { \tilde { S } , \tilde { u } _ { f } | \tilde { u } _ { 0 } } ( s | \tilde { \alpha } ) \partial _ { \tilde { \alpha } } ^ { 2 } \log P _ { \tilde { S } , \tilde { u } _ { f } | \tilde { u } _ { 0 } } ( s | \tilde { \alpha } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ P _ { \tilde { S } , \tilde { u } _ { f } | \tilde { u } _ { 0 } } ( s | \tilde { \alpha } ) s = \frac { \tilde { u } _ { f } - \tilde { u } _ { 0 } } { \tilde { \alpha } } . } \end{array}
l _ { u } ^ { \infty } = \frac { \big ( E _ { T } ^ { \infty } + E _ { C } ^ { \infty } \big ) \lambda _ { \perp } ^ { + } + \big ( E _ { T } ^ { \infty } - E _ { C } ^ { \infty } \big ) \lambda _ { \perp } ^ { - } + E _ { D } ^ { \infty } \lambda _ { D } ^ { \infty } } { 2 \big ( E _ { T } ^ { \infty } + E _ { D } ^ { \infty } \big ) } = \frac { L _ { \infty } ^ { + } + L _ { \infty } ^ { - } + L _ { D } ^ { \infty } } { 2 \big ( E _ { T } ^ { \infty } + E _ { D } ^ { \infty } \big ) } ,
\| \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \tilde { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } = \| \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \hat { { \mathbf { U } } } \tilde { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } = \| { \mathbf { x } } ^ { k } - \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { k } \| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { [ \phi , f ] } & { { } = \frac { B _ { \varphi } } { B } ( \partial _ { Z } \phi \partial _ { R } f - \partial _ { R } \phi \partial _ { Z } f ) , } \\ { \nabla _ { \parallel } f } & { { } = \partial _ { Z } \psi \partial _ { R } f - \partial _ { R } \psi \partial _ { Z } f + \frac { B _ { \varphi } } { B } \partial _ { \varphi } f , } \\ { \mathcal { C } ( f ) } & { { } = \frac { B _ { \varphi } } { B } \partial _ { Z } f , } \\ { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } f } & { { } = \partial _ { R R } ^ { 2 } f + \partial _ { Z Z } ^ { 2 } f . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \pmb { j } = \frac { e c ^ { 2 } } { \mathcal { E } } \left\{ \pmb { \nabla } \times \left( \Psi ^ { \dagger } \frac { \hbar } { 2 } \pmb { \Sigma } \Psi \right) + i \frac { \hbar } { 2 } \left[ \left( \pmb { \nabla } \Psi ^ { \dagger } \right) \Psi - \Psi ^ { \dagger } \left( \pmb { \nabla } \Psi \right) \right] \right\} , } \\ & { } & { \pmb { G } = \left\{ \frac { 1 } { 2 } \pmb { \nabla } \times \left( \Psi ^ { \dagger } \frac { \hbar } { 2 } \pmb { \Sigma } \Psi \right) + i \frac { \hbar } { 2 } \left[ \left( \pmb { \nabla } \Psi ^ { \dagger } \right) \Psi - \Psi ^ { \dagger } \left( \pmb { \nabla } \Psi \right) \right] \right\} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { ( t x - a ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow \ \ } & { t ^ { 2 } x ^ { 2 } - 2 a t x + a ^ { 2 } = a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow \ \ } & { x ^ { 2 } ( t ^ { 2 } + 1 ) = 2 a t x } \\ { \Rightarrow \ \ } & { x = { \frac { 2 a t } { t ^ { 2 } + 1 } } { \mathrm { ~ o r ~ } } x = 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } \} } & { { } \equiv } & { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } - 2 f _ { i } \, \hat { a } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ^ { ( 0 ) } } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { \Omega ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { U ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } - \beta \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { \Omega ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] _ { L } - \frac { \beta } { 2 } \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } , } \end{array}
d \sigma _ { \mathrm { s y s } } ( x _ { j } ( t ) , T ( t ) ) = \kappa x _ { i } d x _ { j } / T ( t ) + ( k _ { \mathrm { B } } T ( t ) - \kappa x _ { j } ^ { 2 } ) d T / ( 2 T ^ { 2 } ( t ) )
\begin{array} { r l } { \delta , z ^ { \prime } \vdash q ( \delta ) ^ { * } f ^ { \Pi } ( \delta , z ^ { \prime } ) } & { = q ( \delta ) ^ { * } \lambda \underline { { x } } . ( \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { - 1 } ) ^ { * } q _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { x } } ) ^ { * } f _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) , \textnormal { e v } ( \alpha ( \delta ) ^ { * } z ^ { \prime } , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) ) ) } \\ & { = \lambda \underline { { x } } ^ { \prime \prime } : A ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) ) ) . q _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \underline { { x } } ^ { \prime \prime } ) ^ { * } f _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , g _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \underline { { x } } ^ { \prime \prime } ) , \textnormal { e v } ( \alpha ( \delta ) ^ { * } z ^ { \prime } , g _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \underline { { x } } ^ { \prime \prime } ) ) ) } \\ & { \equiv f ^ { \Pi } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \alpha ( \delta ) ^ { * } z ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { 2 } } & { { } = } & { \sum _ { \mathcal { N } _ { 1 } = 0 } ^ { k _ { C } - 1 } ( k _ { I } - 1 ) ( k _ { C } - 1 ) \beta \mathcal { N } _ { 1 } P ( \mathcal { N } _ { 1 } ) P ( \neg D | \mathcal { N } _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { g } ^ { d } f = } & { \int _ { \boldsymbol { \Gamma } } g ( y ) f ( y ) d y = } \\ & { \int _ { \Gamma _ { 1 } \times \Gamma _ { 2 } \times . . . \times \Gamma _ { d } } g ( y ^ { ( 1 ) } , y ^ { ( 2 ) } , . . . , y ^ { ( d ) } ) f ( y ^ { ( 1 ) } , y ^ { ( 2 ) } , . . . , y ^ { ( d ) } ) \, \, d y ^ { ( d ) } . . . d y ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { X Y } ( g ) \geq } & { \mathcal { P } _ { Y } ^ { \frac { 1 } { \beta ^ { \prime } } } \left( \mathcal { P } _ { X } ^ { \frac { \beta ^ { \prime } } { \beta } } \left( g ^ { \beta } \right) \right) \cdot \mathcal { P } _ { Y } ^ { \frac { 1 } { \alpha ^ { \prime } } } \left( \mathcal { P } _ { X } ^ { \frac { \alpha ^ { \prime } } { \alpha } } \left( \left( \frac { d \mathcal { P } _ { X Y } } { d \mathcal { P } _ { X } \mathcal { P } _ { Y } } \right) ^ { \alpha } \right) \right) , } \end{array}
{ \bf r ^ { \prime } } _ { i } = \mathbf { R } ^ { - 1 } \, \left( { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { \mathrm { C o P } } \right) ; \, { \bf v ^ { \prime } } _ { i } = \mathbf { R } ^ { - 1 } \, \left( { \bf v } _ { i } - { \bf v } _ { \mathrm { b u l k } } \right) .
\begin{array} { r l } { g _ { Y } } & { = \left[ \frac { 4 \Gamma C } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \chi ( \omega ) \right| ^ { 2 } \left( \left| f ( \omega ) \right| ^ { 2 } + 1 \right) \mathrm { d } \omega \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { g _ { X } } & { = - \frac { 1 } { g _ { \mathrm { Y } } } \frac { 8 \Gamma C } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \Im { ( \phi ( \omega ) ) \Im { ( f ( \omega ) ) } } \mathrm { d } \omega . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \varepsilon ^ { r f } ( - 1 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( 0 , 1 , - i , 0 ) , } } \\ { { \varepsilon ^ { r f } ( 0 ) = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) , } } \\ { { \varepsilon ^ { r f } ( + 1 ) = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( 0 , 1 , i , 0 ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \alpha _ { 1 1 } D _ { 1 2 } a _ { 1 1 } = d _ { 1 2 } A _ { 1 1 } \delta _ { 1 2 } + b _ { 1 2 } D _ { 1 2 } \gamma _ { 1 2 } } \\ & { } & { \alpha _ { 1 1 } B _ { 1 2 } d _ { 1 2 } = d _ { 1 2 } A _ { 1 1 } \beta _ { 1 2 } + b _ { 1 2 } D _ { 1 2 } \alpha _ { 1 2 } } \\ & { } & { \delta _ { 1 1 } B _ { 1 2 } b _ { 1 2 } = b _ { 1 2 } B _ { 1 2 } \delta _ { 1 1 } \quad ( * ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi ( t , r , \theta , \varphi ) = \sum _ { l = 0 } ^ { L _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { m = - l } ^ { l } { \Psi _ { l } ^ { m } ( r , t ) Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \varphi ) } , } \\ { \Phi ( t , r , \theta , \varphi ) = \sum _ { l = 0 } ^ { L _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { m = - l } ^ { l } { \Phi _ { l } ^ { m } ( r , t ) Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \varphi ) } , } \end{array}
( i - 1 , j - 1 ) , ( i - 1 , j ) , ( i - 1 , j + 1 ) , ( i , j - 1 ) , ( i , j ) , ( i , j + 1 ) , ( i + 1 , j - 1 ) , ( i + 1 , j ) , ( i + 1 , j + 1 )
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { m \times n } \left( k + 1 \right) = \widehat { \mathcal { K } } _ { k \varepsilon } ^ { \left( k + 1 \right) \varepsilon } \mathcal { H } _ { m \times n } \left( k \right) , \; \forall k = 1 , \ldots , n , } \end{array}
Q _ { i } ^ { ( j _ { i } , k _ { i } ) } \circ \dots \circ Q _ { 1 } ^ { ( j _ { 1 } , k _ { 1 } ) } ( P _ { 0 } ) = \left( \prod _ { l \not \in \mathcal { L } } p _ { \alpha , l } \right) \times Q _ { l _ { m } } ^ { ( j _ { l _ { m } } , k _ { l _ { m } } ) } \circ \dots \circ Q _ { l _ { 1 } } ^ { ( j _ { l _ { 1 } } , k _ { l _ { 1 } } ) } ( P _ { 0 } )
\begin{array} { r } { c _ { F S } = \frac { 1 } { 8 } , \quad c _ { F M } = \frac { 3 } { 8 } , \quad c _ { B L } ^ { \textnormal { D i r } } = - \frac { \log 2 } { 4 } \mathrm { ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } \quad c _ { B L } ^ { \textnormal { N e u } } = \frac { 3 \log 2 } { 4 } . } \end{array}
\| e ^ { i t \Delta _ { x , y } } f \| _ { L _ { t } ^ { p } L _ { x } ^ { q } L _ { y } ^ { 2 } } + \big \| \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { i ( t - s ) \Delta _ { x , y } } F ( s , x , y ) d s \big \| _ { L _ { t } ^ { p } L _ { x } ^ { q } L _ { y } ^ { 2 } } \lesssim \| f \| _ { L _ { x , y } ^ { 2 } } + \| F \| _ { L _ { t } ^ { \tilde { p } ^ { ' } } L _ { x } ^ { \tilde { q } ^ { ' } } L _ { y } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \Lambda _ { 3 } ( k ^ { 1 } , k ^ { 2 } ) = n _ { 3 } - m ^ { 1 } k ^ { 1 } - m ^ { 2 } k ^ { 2 } = n _ { 3 } - \frac { Q _ { 1 } \alpha _ { 1 } } { Q _ { 3 } \alpha _ { 3 } } k ^ { 1 } - \frac { Q _ { 2 } \alpha _ { 2 } } { Q _ { 3 } \alpha _ { 3 } } k ^ { 2 } , } \\ { n _ { 3 } \notin \mathbb { Q } , \quad | \alpha _ { j } | \leq C \sqrt { Q } , \, j = 1 , 2 , 3 . } \end{array}
c _ { \widetilde { T } _ { \beta } } ( \kappa ) = \frac { \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { \beta } \lambda _ { j } \nu _ { d } ( j ) } + o \left( \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) \right) .
{ \begin{array} { r l } { 0 \leq \left\| x - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \langle x , e _ { k } \rangle e _ { k } \right\| ^ { 2 } } & { = \| x \| ^ { 2 } - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } \operatorname { R e } \langle x , \langle x , e _ { k } \rangle e _ { k } \rangle + \sum _ { k = 1 } ^ { n } | \langle x , e _ { k } \rangle | ^ { 2 } } \\ & { = \| x \| ^ { 2 } - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } | \langle x , e _ { k } \rangle | ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } | \langle x , e _ { k } \rangle | ^ { 2 } } \\ & { = \| x \| ^ { 2 } - \sum _ { k = 1 } ^ { n } | \langle x , e _ { k } \rangle | ^ { 2 } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } ) = \int _ { - \infty } ^ { t } d t _ { 0 } \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ; t _ { f } ) \ , } \end{array}
\frac { d } { d t } \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \rho ( \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { S } } ) d V = - \Delta p A + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \mu \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { S } } d V + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \sigma _ { 1 2 } \kappa \delta _ { \mathrm { S } } d V + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \rho \boldsymbol { g } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { S } } d V .
\begin{array} { r l } { H _ { 2 D } = } & { { } \sum _ { \vec { j } } \Big \{ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | - | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \downarrow | \bigr ) - \sum _ { k = x , y } \Big [ t _ { 0 } ^ { k } \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - e ^ { - i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { k } } | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow | \bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { u _ { i } } } { \partial t } + u _ { j } \partial _ { j } u _ { i } } & { { } = } & { - \partial _ { i } p / \rho + \nu \partial _ { j j } u _ { i } + \frac { \mu } { \tau _ { p } } \partial _ { j } ( f \mathcal { C } _ { i j } ) + F _ { \mathrm { e x t } , i } , } \\ { \frac { \partial { \mathcal { C } _ { i j } } } { \partial t } + u _ { l } \partial _ { l } \mathcal { C } _ { i j } } & { { } = } & { \mathcal { C } _ { i l } \partial _ { l } u _ { j } + \mathcal { C } _ { j l } \partial _ { l } u _ { i } + \frac { 1 } { \tau _ { p } } [ f \mathcal { C } _ { i j } - \delta _ { i j } ] , } \\ { \partial _ { i } u _ { i } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}