harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \ddot { n } } ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) = { \cal O } ( \mu ^ { - 1 } \omega ^ { - 6 } ) + { \cal O } ( \omega ^ { - 2 } ) } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ ~ ~ ~ - \omega ^ { 2 } \int K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) d { \bf r ^ { \prime } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { \uparrow \uparrow , \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left[ \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } + \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \odot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right] \pm \frac { f _ { \nabla } } { 2 } \Gamma , } \\ { \Gamma } & { = } & { \sqrt { \left( \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right) \circ \left( \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right) } , } \\ { \gamma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left[ \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } - \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \odot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right] , } \\ { f _ { \nabla } } & { = } & { \textrm { s g n } \left( \left[ \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right] \circ \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right) , } \\ { \tau _ { \uparrow , \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \tau _ { \textrm { p } } \pm \frac { f _ { \tau } } { 2 } | \vec { \tau } _ { \textrm { m } } | , } \\ { f _ { \tau } } & { = } & { \textrm { s g n } \left( \vec { \tau } _ { \textrm { m } } \circ \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } ( t ) = } & { \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } = 1 } ^ { m } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 2 } } L _ { f _ { k _ { 3 } } } L _ { f _ { k _ { 2 } } } f _ { k _ { 1 } } ( x ( s _ { 3 } ) , s _ { 3 } ) u _ { k _ { 1 } } ( s _ { 1 } ) u _ { k _ { 2 } } ( s _ { 2 } ) u _ { k _ { 3 } } ( s _ { 3 } ) d s _ { 3 } d s _ { 2 } d s _ { 1 } , } \\ { r _ { 2 } ( t ) = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } \frac { \partial } { \partial s _ { 2 } } f _ { k } ( x ( s _ { 2 } ) , s _ { 2 } ) u _ { k } ( s _ { 1 } ) d s _ { 2 } d s _ { 1 } } \\ & { + \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 1 } ^ { m } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 2 } } \frac { \partial } { \partial s _ { 3 } } \big ( L _ { f _ { k _ { 2 } } } f _ { k _ { 1 } } ( x ( s _ { 3 } ) , s _ { 3 } ) \big ) u _ { k _ { 1 } } ( s _ { 1 } ) u _ { k _ { 2 } } ( s _ { 2 } ) d s _ { 3 } d s _ { 2 } d s _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \left( \vartheta _ { 1 } \left( \frac { z } { i v } , \frac { 1 } { k } \left( H + \frac { i } { v } \right) \right) \right) } & { = - \sum _ { w = 1 } ^ { k } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } e ^ { \frac { 2 \pi i n H w } { k } } \frac { e ^ { \frac { - 2 \pi n w } { k v } } } { 1 - e ^ { \frac { - 2 \pi n } { v } } } - \sum _ { w = 1 } ^ { k } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } e ^ { 2 \pi n \frac { z } { v } } e ^ { \frac { 2 \pi i n H w } { k } } \frac { e ^ { \frac { - 2 \pi n w } { k v } } } { 1 - e ^ { \frac { - 2 \pi n } { v } } } } \\ & { ~ ~ ~ - \sum _ { w = 1 } ^ { k } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } e ^ { - 2 \pi n \frac { z } { v } } e ^ { \frac { 2 \pi i n H ( w - 1 ) } { k } } \frac { e ^ { \frac { - 2 \pi n \left( w - 1 \right) } { k v } } } { 1 - e ^ { \frac { - 2 \pi n } { v } } } - \frac { \pi i } { 2 } + \pi \frac { z } { v } + \frac { \pi i ( i / v + H ) } { 4 k } } \end{array}
\mathrm { d } { \cal H } = \frac { T c _ { p r } } { \theta } \, \mathrm { d } \theta + \left( \mu _ { r } - T \frac { \partial \mu _ { r } } { \partial \theta } \right) \, \mathrm { d } S + g \left( 1 - \upsilon _ { b } \rho _ { 0 } ( z ) \right) \, \mathrm { d } z = \frac { T c _ { p r } } { \theta } \, \mathrm { d } \theta + \left( \mu _ { r } - T \frac { \partial \mu _ { r } } { \partial \theta } \right) - b \, \mathrm { d } z
\mathcal { L } [ \{ \lambda \} , \theta ] = - \frac { 1 } { N _ { s y s } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { s y s } } \tilde { \alpha } \tilde { \Gamma } _ { \theta , k } ( \lambda _ { \theta , k } ^ { * } ) + \tilde { \beta } R ( \theta | \theta _ { 0 } ) ~ .
P _ { l } ^ { | m | } ( x ) = \frac { ( - 2 ) ^ { | m | } } { \sqrt { \pi } } \Gamma \left( | m | + \frac { 1 } { 2 } \right) ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { \frac { | m | } { 2 } } C _ { l - | m | } ^ { | m | + \frac { 1 } { 2 } } ( x )
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } w - 4 \partial _ { \xi } ^ { 2 } w \geq g ( t ) \int _ { \delta } ^ { \xi } \bar { h } _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \eta ) \partial _ { \eta } w ( t , \eta ) d \eta + 3 0 , \quad } & & { ( t , \xi ) \in ( 0 , \infty ) \times ( \delta , \infty ) , } \\ & { w ( 0 , \xi ) \geq 0 , \quad } & & { \xi \geq \delta , } \\ & { w ( t , \delta ) \geq 0 , \quad } & & { t \geq 0 , } \end{array}
d _ { f } \mathscr { F } ( c , 0 ) = \Big ( c + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 } - \widetilde { \gamma } \Big ) \partial _ { \varphi } + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 } \mathcal { H } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { W \in \mathcal { P } ^ { \prime } } d ( W ) | W | } & { = \sum _ { W \in \mathcal { P } } d ( W ) | W | - \sum _ { W \in \mathcal { P } \setminus \mathcal { P ^ { \prime } } } d ( W ) | W | } \\ & { \ge d ( G ) \left( \frac { n } { r } \right) ^ { r } - \epsilon \left( \frac { n } { r } \right) ^ { r } } \\ & { = ( d ( G ) - \epsilon ) \left( \frac { n } { r } \right) ^ { r } } \\ & { \ge \frac { d ( G ) } { 2 } \left( \frac { n } { r } \right) ^ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ( ( x , x ^ { - } , x ^ { + } , y , z ) ) - 4 \| c \| _ { \infty } \delta _ { N } } & { \leq c ( ( x , x ^ { - } , x ^ { + } , y , z ) _ { N } ^ { \prime } ) } \\ & { \leq c ( ( x , x ^ { - } , x ^ { + } , y , z ) _ { N } ) + \varepsilon _ { N } } \\ & { \leq c ( ( x , x ^ { - } , x ^ { + } , y , z ) ) + \varepsilon _ { N } } \end{array}
J _ { \mathcal { D } _ { \textrm { Y } } , \mathcal { D } _ { \textrm { Z } } } = ( \mathcal { D } _ { \textrm { Y } } \cap \mathcal { D } _ { \textrm { Z } } ) / ( \mathcal { D } _ { \textrm { Y } } \cup \mathcal { D } _ { \textrm { Z } } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } P } & { { } = \left( - \gamma \left( P - P _ { \mathrm { t h } } \right) + \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) P + \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) + \sigma _ { P } \left( P \right) \mathcal { F } _ { P } \right) \, \mathrm { d } t } \\ { \mathrm { d } \phi } & { { } = \left( \Omega _ { 0 } + \frac { \alpha _ { H } } { 2 } \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) + \frac { \sigma _ { P } \left( P \right) } { 2 P } \mathcal { F } _ { \phi } \right) \, \mathrm { d } t } \\ { \mathrm { d } N } & { { } = \left( \frac { \eta I } { q } - R \left( N \right) - \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) P - \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) + \sigma _ { N } \left( N \right) \mathcal { F } _ { N } \right) \, \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c c c } & & & & { e t c . } & & & & \\ { \langle 1 , 1 0 \rangle } & { \langle 2 , 1 0 \rangle } & { \langle 3 , 1 0 \rangle } & { \langle 4 , 1 0 \rangle } & { \langle 5 , 1 0 \rangle } & { \langle 6 , 1 0 \rangle } & { \langle 7 , 1 0 \rangle } & { \langle 8 , 1 0 \rangle } & { \langle 9 , 1 0 \rangle } \\ { \langle 1 , 9 \rangle } & { \langle 2 , 9 \rangle } & { \langle 3 , 9 \rangle } & { \langle 4 , 9 \rangle } & { \langle 5 , 9 \rangle } & { \langle 6 , 9 \rangle } & { \langle 7 , 9 \rangle } & { \langle 8 , 9 \rangle } & \\ { \langle 1 , 8 \rangle } & { \langle 2 , 8 \rangle } & { \langle 3 , 8 \rangle } & { \langle 4 , 8 \rangle } & { \langle 5 , 8 \rangle } & { \langle 6 , 8 \rangle } & { \langle 7 , 8 \rangle } & & \\ { \langle 1 , 7 \rangle } & { \langle 2 , 7 \rangle } & { \langle 3 , 7 \rangle } & { \langle 4 , 7 \rangle } & { \langle 5 , 7 \rangle } & { \langle 6 , 7 \rangle } & & & \\ { \langle 1 , 6 \rangle } & { \langle 2 , 6 \rangle } & { \langle 3 , 6 \rangle } & { \langle 4 , 6 \rangle } & { \langle 5 , 6 \rangle } & & & & \\ { \langle 1 , 5 \rangle } & { \langle 2 , 5 \rangle } & { \langle 3 , 5 \rangle } & { \langle 4 , 5 \rangle } & & & & & \\ { \langle 1 , 4 \rangle } & { \langle 2 , 4 \rangle } & { \langle 3 , 4 \rangle } & & & & & & \\ { \langle 1 , 3 \rangle } & { \langle 2 , 3 \rangle } & & & & & & & \\ { \langle 1 , 2 \rangle } & & & & & & & & \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { p \in \Pi _ { m - 1 } } \ \operatorname* { m a x } _ { z \in [ - 4 \rho , 0 ] } | \exp ( z ) - p ( z ) | \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 8 \frac { \rho } { m } e ^ { - \frac { m ^ { 2 } } { 5 \rho } } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \sqrt { 4 \rho } \leq m \leq 2 \rho , } \\ { 2 \frac { m } { \rho } \left( \frac { e \rho } { m + 2 \rho } \right) ^ { m } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } m > 2 \rho . } \end{array} \right.
\left( \mathrm { D } _ { \mathbf { x } } \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert \right) \left( \mathbf { y } \right) = ( \mathbf { x } ^ { T } \mathbf { y } ) / \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert , \left( \mathrm { D } _ { \mathbf { x } } \tilde { \mathbf { x } } \right) \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) = \tilde { \mathbf { y } } , ( \mathrm { D } _ { \mathbf { x } } \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } ) \left( \mathbf { y } \right) = \tilde { \mathbf { x } } \tilde { \mathbf { y } } + \tilde { \mathbf { y } } \tilde { \mathbf { x } } .
\left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } \\ { \ddots } & { \hat { H } _ { 0 } + 2 \omega } & { \hat { V } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } \\ { \ddots } & { \hat { W } } & { \hat { H } _ { 0 } + \omega } & { \hat { V } } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } \\ { \ddots } & { 0 } & { \hat { W } } & { \hat { H } _ { 0 } } & { \hat { V } } & { 0 } & { \ddots } \\ { \ddots } & { 0 } & { 0 } & { \hat { W } } & { \hat { H } _ { 0 } - \omega } & { \hat { V } } & { \ddots } \\ { \ddots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \hat { W } } & { \hat { H } _ { 0 } - 2 \omega } & { \ddots } \\ { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \vdots } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { - 2 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { - 1 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 0 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 1 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 2 } ) \rangle } \\ { \vdots } \end{array} \right] = \varepsilon \left[ \begin{array} { l } { \vdots } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { - 2 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { - 1 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 0 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 1 } ) \rangle } \\ { | u _ { \varepsilon } ( \omega _ { 2 } ) \rangle } \\ { \vdots } \end{array} \right] .
( R _ { H } ( x ) ) _ { l } ^ { k } = - \omega ^ { 2 } \frac { \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { l q } \hat { \mu } ^ { q k } - ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { l q } \hat { \mu } ^ { q b } \partial _ { x ^ { b } } \frac { \partial _ { x ^ { a } } ( \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } \hat { \mu } ^ { k a } ) } { \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { P } } & { { } = P \frac { 1 } { \sqrt { P ^ { \dagger } P } } = P \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 0 } } } \dag \tilde { Q } } & { = Q \frac { 1 } { \sqrt { Q ^ { \dagger } Q } } = Q \frac { 1 } { \sqrt { \mathbf { 1 } - n ^ { 0 } } } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Xi } = \frac { 1 } { v _ { \mathrm { p } } ^ { 2 N } } } & { { } \sum _ { n _ { \gamma } = 0 } ^ { \infty } \prod _ { \gamma } \frac { e ^ { \mu _ { \gamma } n _ { \gamma } } } { n _ { \gamma } ! v _ { \gamma } ^ { n _ { \gamma } } } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \int \mathrm { \hat { D } } \{ \mathbf { R } _ { j } \} \prod _ { \kappa = 1 } ^ { n _ { \gamma } } \int \mathrm { d } \mathbf { r } _ { \gamma , \kappa } \exp ( - { \beta } \mathcal { H } ) \prod _ { \mathbf { r } } \delta \left[ \hat { \phi } _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) + \hat { \phi } _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - 1 \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ ( F _ { t } \otimes F _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { v } } ] ( x , x ^ { \prime } ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } k ( x - s _ { 1 } , x ^ { \prime } - s _ { 2 } ) d F _ { t } ( s _ { 1 } ) d F _ { t ^ { \prime } } ( s _ { 2 } ) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } k _ { S } ( x - x ^ { \prime } - s _ { 1 } + s _ { 2 } ) d F _ { t } ( s _ { 1 } ) d F _ { t ^ { \prime } } ( s _ { 2 } ) } \end{array}
\langle 0 | a _ { p } ( 6 { \textstyle \sum { } _ { 4 } } ) { \frac { 1 } { E - g \sum _ { 2 } } } ( 6 { \textstyle \sum _ { 4 } } ) { \frac { 1 } { E - g \sum _ { 2 } } } ( 6 { \textstyle \sum _ { 4 } } ) a _ { p } ^ { \dagger } | 0 \rangle = { \frac { 5 4 } { p g ^ { 2 } } } I \hbar ^ { 5 } ,
A _ { l a t } = \frac { g _ { l a t } } { \nu _ { l a t } } , \mathrm { ~ } a _ { l a t } = - \frac { A _ { l a t } } { 8 } \bigg [ \left( N _ { r } + M \right) ^ { 2 } + M ^ { 2 } \bigg ] , \mathrm { ~ } b _ { l a t } = \frac { A _ { l a t } } { 8 } \left( N _ { r } + M \right) ^ { 2 } ;
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ - ~ L ~ S ~ } } = \lambda _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ , ~ L ~ S ~ } } + \lambda _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ L ~ S ~ } }
P _ { n } ( x , t ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 2 } { L } } \sin ^ { 2 } ( k _ { n } ( x - x _ { c } + { \frac { L } { 2 } } ) ) , } & { x _ { c } - L / 2 < x < x _ { c } + L / 2 , } \\ { 0 , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e , } } } \end{array} \right. }
\phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } , \phi _ { 3 } , \phi _ { 4 } , \phi _ { \tilde { 2 } } , \phi _ { \tilde { 4 } } , I , \phi _ { A } , \phi _ { B } , \phi _ { 1 } ^ { 2 } , \phi _ { 1 } ^ { 3 } , \phi _ { 2 } ^ { 2 } , \phi _ { 3 } ^ { 2 } , \phi _ { 4 } ^ { 2 } , \phi _ { \tilde { 2 } } ^ { 2 } , \phi _ { \tilde { 4 } } ^ { 2 } , \phi _ { 1 } I , \phi _ { 2 } I , \phi _ { \tilde { 2 } } I , \phi _ { \tilde { 4 } } I , \phi _ { 3 } \phi _ { A } , \phi _ { 4 } \phi _ { B } , \tau _ { \partial }
\begin{array} { r l } { \| \Bar { w } _ { n + 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } + \| \Bar { v } _ { n + 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } } & { \leq C _ { \Vec { B } , J , F , w _ { 0 } , v _ { 0 } } \left( \| \Bar { w } _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } + \| \Bar { v } _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } \right. } \\ & { \quad + \left. \| \Bar { w } _ { n + 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } + \| \Bar { v } _ { n + 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq C _ { \Vec { B } , J , F , w _ { 0 } , v _ { 0 } } t ^ { * } \left( \| \Bar { w } _ { n } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } + \| \Bar { v } _ { n } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } \right. } \\ & { \quad + \left. \| \Bar { w } _ { n + 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } + \| \Bar { v } _ { n + 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| A \| _ { p , \infty } } & { = \operatorname* { m a x } \{ | 8 x + y + 6 z | , | 3 x + 5 y + 7 z | , | 4 x + 9 y + 2 z | : } \\ & { \qquad \qquad | x | ^ { p } + | y | ^ { p } + | z | ^ { p } = 1 \} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ \| ^ { t } ( 8 , 1 , 6 ) \| _ { p ^ { \prime } } , \| ^ { t } ( 3 , 5 , 7 ) \| _ { p ^ { \prime } } , \| ^ { t } ( 4 , 9 , 2 ) \| _ { p ^ { \prime } } \} } \\ & { = ( \operatorname* { m a x } \{ 8 ^ { p / ( p - 1 ) } + 1 + 6 ^ { p / ( p - 1 ) } , 3 ^ { p / ( p - 1 ) } + 5 ^ { p / ( p - 1 ) } + 7 ^ { p / ( p - 1 ) } , } \\ & { \qquad \qquad 4 ^ { p / ( p - 1 ) } + 9 ^ { p / ( p - 1 ) } + 2 ^ { p / ( p - 1 ) } \} ) ^ { ( p - 1 ) / p } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 9 ^ { p / ( p - 1 ) } + 4 ^ { p / ( p - 1 ) } + 2 ^ { p / ( p - 1 ) } ) ^ { ( p - 1 ) / p } , } & { 1 \le p \le 2 } \\ { ( 8 ^ { p / ( p - 1 ) } + 6 ^ { p / ( p - 1 ) } + 1 ) ^ { ( p - 1 ) / p } , } & { p > 2 } \end{array} \right. . } \end{array}
\Delta \Omega _ { \mathrm { A } } ( V ^ { \mathrm { m o n o } } ) = \int _ { 0 } ^ { R } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \varrho _ { \mathrm { S } } R \Delta \omega _ { \mathrm { A } } ( R , \phi _ { c } , h ) \mathrm { d } \phi _ { c } \mathrm { d } R
\mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { 2 } \equiv \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L x } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { T } \right) ^ { 2 } d x \, d y = \frac { 1 } { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L x } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \nabla ^ { 2 } \psi \right) d x \, d y .
\Phi ( z , \theta _ { L } , \bar { z } , \theta _ { R } ) \sim \sum _ { a , b = 0 } ^ { F - 1 } \theta _ { L } ^ { a } \theta _ { R } ^ { b } \psi _ { { \frac { a } { F } } , { \frac { b } { F } } } ( z , { \bar { z } } ) .
\langle \Delta Z _ { i } \, | \, \mathbf { Z } ( t _ { 0 } ) = \mathbf { z } _ { 0 } \rangle = A _ { i } ( t _ { 0 } , \mathbf { z } _ { 0 } , \mathcal { F } ( t _ { 0 } , \mathbf { z } _ { 0 } ) ) \, \Delta t ~ .
{ \begin{array} { r l } { { \sqrt { \frac { 1 + \sin \theta } { 1 - \sin \theta } } } } & { = { \sqrt { \frac { 1 + { \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } } { 1 - { \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } } } } = { \sqrt { \frac { 1 + t ^ { 2 } + 2 t } { 1 + t ^ { 2 } - 2 t } } } = { \sqrt { \frac { ( 1 + t ) ^ { 2 } } { ( 1 - t ) ^ { 2 } } } } } \\ & { = \left| { \frac { 1 + t } { 1 - t } } \right| . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { \partial U } { \partial x } = \frac { \partial u _ { * } U _ { i } } { \partial x } = \frac { d u _ { * } } { d x } U _ { i } + u _ { * } \frac { \partial ( U _ { i 1 } + { \delta _ { 1 } } U _ { i 2 } + . . . . ) } { \partial x } } \\ { = \frac { d u _ { * } } { d x } U _ { i } + u _ { * } \Big \{ \frac { d U _ { i 1 } } { d y ^ { + } } \frac { d y ^ { + } } { d x } + \frac { d \delta _ { 1 } } { d x } U _ { i 2 } + \delta _ { 1 } \frac { d U _ { i 2 } } { d y ^ { + } } \frac { d y ^ { + } } { d x } + . . . \Big \} } \\ { = \frac { d u _ { * } } { d x } U _ { i } + \frac { u _ { * } y } { \nu } \big ( \frac { d u _ { * } } { d x } \big ( \frac { d U _ { i 1 } } { d y ^ { + } } + \delta _ { 1 } \frac { d U _ { i 2 } } { d y ^ { + } } + . . . \big ) + u _ { * } \frac { d \delta _ { 1 } } { d x } U _ { i 2 } , } \end{array}
[ x , p ] = i \hbar + i g ( \Delta x _ { 0 } , \Delta p _ { 0 } ) \left( \frac { x ^ { 2 } } { ( \Delta x _ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { p ^ { 2 } } { ( \Delta p _ { 0 } ) ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { c c c c } { { q \bar { u } } } & { { q \bar { d } } } & { { Q \bar { Q } } } & { { f \bar { f } } } \\ { { - h _ { 2 } } } & { { - h _ { 1 } } } & { { - { \frac { 2 } { m + 2 } } } } & { { - r _ { S } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( T ) } & { \leq e ^ { - r T } \mathbb { E } \left[ \left| \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } S _ { t } d t - K \right| \mathcal { X } _ { \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } S _ { t } d t \geq K } \right] } \\ & { \leq e ^ { - r T } \left( \mathbb { E } \left[ \left| \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } S _ { t } d t - K \right| ^ { p } \right] \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } S _ { t } d t \geq K \right) ^ { \frac { 1 } { q } } . } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { { z : } } & { { \left( x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } & { { \to } } & { { \left( x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , e ^ { 2 \pi i z } x ^ { 6 , 7 } , e ^ { - 2 \pi i z } x ^ { 8 , 9 } \right) } } \\ { { y : } } & { { \left( x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } & { { \to } } & { { \left( e ^ { 2 \pi i y } x ^ { 2 , 3 } , e ^ { - 2 \pi i y } x ^ { 4 , 5 } , x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } \\ { { x : } } & { { \left( x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } & { { \to } } & { { \left( e ^ { - 2 \pi i x } x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , e ^ { 2 \pi i x } x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } \\ { { w : } } & { { \left( x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } & { { \to } } & { { \left( x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , e ^ { - 2 \pi i w } x ^ { 6 , 7 } , e ^ { - 2 \pi i w } x ^ { 8 , 9 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathbf { M } } \dot { \ensuremath { \mathbf { v } } } ( t ) + \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { v } } ( t ) ) \ensuremath { \mathbf { v } } ( t ) + \ensuremath { \mathbf { A } } \ensuremath { \mathbf { v } } ( t ) - \ensuremath { \mathbf { J } } ^ { \top } \ensuremath { \mathbf { p } } ( t ) } & { = \ensuremath { \mathbf { f } } ( t ) } \\ { \ensuremath { \mathbf { J } } \ensuremath { \mathbf { v } } ( t ) } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \Tilde \ell } } & { = \log \frac { \left( 1 + \frac { \theta } { \ell ( \tau ) } \right) ^ { \sigma } } { 1 + \theta } + \frac { \alpha \rho \theta ~ { _ 2 F _ { 1 } } \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha } , 1 ; 2 - \frac { 1 } { \alpha } ; - \frac { \theta } { \ell ( \tau ) } \right) } { ( \alpha - 1 ) \ell ( \tau ) } } \\ & { \quad + \frac { \alpha \nu \theta ~ { _ 2 F _ { 1 } } \left( 1 - \frac { 2 } { \alpha } , 1 ; 2 - \frac { 2 } { \alpha } ; { - \frac { \theta } { \ell ( \tau ) } } \right) } { ( \alpha - 2 ) \ell ( \tau ) } + \tilde { \ell } ( \tau ) . } \end{array}
\alpha ^ { k } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \sigma _ { k } } } \\ { { \sigma _ { k } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \mathrm { ~ ~ ~ ~ a n d ~ ~ ~ ~ } \beta = \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } & { = S _ { 1 } ( t _ { o n } ) \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } S _ { 2 } ( t , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t , m ) d t + S _ { 1 } ( t _ { o n } ) \big ( S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) \big ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) d t . } \end{array}
\Gamma _ { i j } ( \lambda , \lambda ^ { \prime } , q , k ) = \int d ^ { 4 } x e ^ { - i x \cdot q } \sum _ { X } \langle 0 \vert Q _ { i } ( 0 ) \vert H ^ { * } ( \lambda ^ { \prime } ) X \rangle \langle X H ^ { * } ( \lambda ) \vert \bar { Q } _ { j } ( x ) \vert 0 \rangle .
\hat { \Delta } ( \xi , Z ) = \int _ { 0 } ^ { \xi } \! \! d \eta \, \frac { 1 \! + \! v ( \eta ) } { 2 \hat { s } ^ { 2 } ( \eta , Z ) } - \frac { \xi } 2 , \qquad \hat { s } ( \xi , Z ) - 1 = \int _ { 0 } ^ { \xi } \! \! \! d \eta \! \! \int _ { Z } ^ { \hat { z } _ { e } ( \eta , Z ) } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! d Z ^ { \prime } \: K \widetilde { n _ { 0 } } ( Z ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } e ^ { X ( t ) } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } { \frac { d } { d t } } \left( 1 + { \frac { X ( t ) } { N } } \right) ^ { N } } \end{array}
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }