harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal L } = - 2 f _ { \phi } ^ { 2 } \ln ( S + S ^ { + } ) | _ { \theta ^ { 2 } \bar { \theta ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } S W _ { j } ^ { \alpha } W _ { \alpha } ^ { j } | _ { \theta ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } S ^ { + } \overline { { { W } } } { } _ { j } ^ { \dot { \alpha } } \overline { { { W } } } { } _ { \dot { \alpha } } ^ { j } | _ { \bar { \theta } ^ { 2 } }
\frac { \overline { { { W } } } _ { \xi , \eta } ( i ) } { \overline { { { W } } } _ { \xi , \eta } ( i - 1 ) } = M _ { \xi } M _ { \eta } \frac { X _ { \xi } \omega - X _ { \eta } \omega ^ { i } } { Y _ { \eta } - Y _ { \xi } \omega ^ { i } } \qquad \frac { \overline { { { W } } } _ { \xi ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } } ( i ) } { \overline { { { W } } } _ { \xi ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } } ( i - 1 ) } = M _ { \xi ^ { \prime } } M _ { \eta ^ { \prime } } \frac { X _ { \xi ^ { \prime } } \omega - X _ { \eta ^ { \prime } } \omega ^ { i } } { Y _ { \eta ^ { \prime } } - Y _ { \xi ^ { \prime } } \omega ^ { i } } \qquad
T _ { \mathrm { p Q C D } } ( Q ^ { 2 } ) = { \frac { 4 f _ { \pi } } { 3 Q ^ { 2 } } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d x { \frac { g _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { 1 - x } } \; .
\left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { P _ { t } } & { { } \equiv } & { m _ { o } c \frac { d r _ { t } } { d s } + \frac { q } { c } \left( \overline { { A } } _ { t } ^ { ( e x t ) } + \overline { { A } } _ { t } ^ { ( p l ) } + 2 \overline { { A } } _ { t } ^ { ( R R ) } ( r ) \right) , } \\ { P _ { z } } & { { } \equiv } & { m _ { o } c \frac { d r _ { z } } { d s } + \frac { q } { c } \left( \overline { { A } } _ { z } ^ { ( e x t ) } + \overline { { A } } _ { z } ^ { ( p l ) } + 2 \overline { { A } } _ { z } ^ { ( R R ) } ( r ) \right) . } \end{array}
\hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } = \int \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) e ^ { - i \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } \, d ^ { 3 } r = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { 2 m _ { a } } \left[ \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } e ^ { - i \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } } + e ^ { - i \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } } \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } \right]
p ^ { 2 } \ ( p ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) ^ { 2 } \ \delta \ ^ { f _ { 1 } f _ { 2 } } - \left( \frac { g ^ { 2 } C _ { F } } { 4 \pi ^ { 4 } } \right) ^ { 2 } \ C _ { f } ^ { 2 } = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( t ) } & { { } = E _ { 0 } ( x , t ) e ^ { \mathrm { { i } } ( k x + \phi ) } } \\ { \mathcal { E } ^ { * } ( t ) } & { { } = E _ { 0 } ( x , t ) e ^ { - \mathrm { { i } } ( k x + \phi ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I } & { \le 2 \left| u _ { f } - u _ { g } \right| + \frac { 1 } { 3 } \left( | u _ { g } - u _ { f } | + \frac { | \rho _ { f } - \rho _ { g } | } { 2 } \right) \left| \left( u _ { g } + \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( u _ { g } + \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) \left( u _ { f } + \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) + \left( u _ { f } + \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 2 } \right| } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 3 } \left( | u _ { g } - u _ { f } | + \frac { | \rho _ { f } - \rho _ { g } | } { 2 } \right) \left| \left( u _ { g } - \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( u _ { g } - \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) \left( u _ { f } - \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) + \left( u _ { f } - \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 2 } \right| } \\ & { \le C \left( | \rho _ { f } - \rho _ { g } | + | u _ { f } - u _ { g } | \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v ^ { \mathrm { i n } } \sum _ { i \in I ^ { \mathrm { i n } , k } } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { i n } } \; } & { + } & { \; v ^ { \mathrm { o u t } } \sum _ { i \in I ^ { \mathrm { o u t } , k } } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { i n } } = \xi _ { k } ^ { \mathrm { u } } \: s ^ { \mathrm { i n } , k } \quad , } \\ { v ^ { \mathrm { i n } } \sum _ { i \in I ^ { \mathrm { i n } , k } } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } \; } & { + } & { \; v ^ { \mathrm { o u t } } \sum _ { i \in I ^ { \mathrm { o u t } , k } } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } = \xi _ { k } ^ { \mathrm { d } } \: s ^ { \mathrm { o u t } , k } \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { j } q _ { i } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { i = j } ^ { n } p _ { j } q _ { i } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } \end{array}
D _ { 1 1 1 1 } ^ { n } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r } s ^ { 2 } \left( - T e r m _ { 1 } - T e r m _ { 2 } ^ { \prime } + T e r m _ { 4 } + T e r m _ { 5 } + T e r m _ { 6 } + T e r m _ { 7 } \right) ^ { n } d s ,
{ \begin{array} { r l } & { \int _ { \Lambda ^ { m \mid n } } f ( x , \theta ) \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } x = \int _ { \Lambda ^ { m \mid n } } f ( x ( y , \xi ) , \theta ( y , \xi ) ) \varepsilon \operatorname { B e r } \mathrm { J } \, \mathrm { d } \xi \, \mathrm { d } y } \\ { = } & { \int _ { \Lambda ^ { m \mid n } } f ( x ( y , \xi ) , \theta ( y , \xi ) ) \varepsilon { \frac { \operatorname* { d e t } \left( A - B D ^ { - 1 } C \right) } { \operatorname* { d e t } D } } \, \mathrm { d } \xi \, \mathrm { d } y , } \end{array} }
P S F ( r ) = \frac { E _ { 0 } } { \pi ( 1 + \delta ) } \left[ \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } e ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } } - \frac { \delta } { \beta ^ { 2 } } e ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } \right] \; ,
\Phi : ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { \overline { { r } } } ) \longmapsto ( \underbrace { \psi _ { 1 , 0 } ( x _ { 1 } ) , \cdots , \psi _ { 1 , m _ { i } - 1 } ( x _ { 1 } ) } _ { m _ { 1 } } , \cdots , \underbrace { \psi _ { \overline { { r } } , 0 } ( x _ { \overline { { r } } } ) , \cdots , \psi _ { \overline { { r } } , m _ { \overline { { r } } - 1 } } ( x _ { \overline { { r } } } ) } _ { m _ { \overline { { r } } } } ) ,
\Sigma ( k ) = { \frac { e ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } \int d x \Gamma ( - { \frac { \epsilon } { 2 } } ) ( m _ { k } ^ { 2 } ) ^ { \frac { \epsilon } { 2 } } [ n m + ( 2 - n ) ( 1 - x ) \gamma \cdot k ] ,
C _ { n } ^ { 2 } ( 0 , t ) \leq \frac { J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } t ^ { n ( 2 H _ { 0 } ( 1 + \theta ) ) } } { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } \theta + 1 } } \leq \frac { J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } T ^ { ( n - 1 ) ( 2 H _ { 0 } ( 1 + \theta ) ) } } { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } \theta + 1 } } t ^ { 2 H _ { 0 } ( 1 + \theta ) } .
\begin{array} { r l r } { r ^ { 2 } \, { \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial r ^ { 2 } } } + r \, \left( \gamma \, r ^ { 2 } + 2 - 2 \, r \, f \right) \; { \frac { \partial U } { \partial r } } + ( 2 \gamma + E - 2 f ^ { \prime } ) \, r ^ { 2 } \, U - 2 r f - E _ { 1 } \, U } & { = } & { 0 } \\ { { \frac { \partial ^ { 2 } T ( \theta ) } { \partial \theta ^ { 2 } } } + E _ { 1 } \, T } & { = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \theta _ { i } \left( t \right) = - \frac { U _ { i } ^ { \prime } } { F _ { i } } + \frac { \Lambda } { F _ { i } } \sum _ { j = 1 } ^ { \vert V \vert } \left( \beta U _ { j } ^ { \prime } U _ { i j } ^ { \prime \prime } - U _ { j j i } ^ { \prime \prime \prime } \right) + \sqrt { \frac { 1 } { F _ { i } } } \xi _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Phi _ { K } ( x ) - \Phi _ { K } ( y ) | } & { \le j _ { K } ( y ) \, \left| \frac { x - x _ { 0 } } { | x - x _ { 0 } | } - \frac { y - x _ { 0 } } { | y - x _ { 0 } | } \right| + | j _ { K } ( x ) - j _ { K } ( y ) | } \\ & { \le j _ { K } ( y ) \, \frac { | x - y | } { \sqrt { | x - x _ { 0 } | \, | y - x _ { 0 } | } } + | j _ { K } ( x ) - j _ { K } ( y ) | , } \end{array}
\hat { H } = \hbar \chi \left( \hat { J } _ { 1 + } + \hat { J } _ { 2 + } \right) \left( \hat { J } _ { 1 - } + \hat { J } _ { 2 - } \right) + \frac { \hbar \delta } { 2 } \left( \hat { J } _ { 1 z } - \hat { J } _ { 2 z } \right)
\operatorname { v e c } ( U \left( t , s \right) \rho ( t ) ) = \operatorname { v e c } ( U \left( t , s \right) ) \operatorname { v e c } ( \rho ( t ) ) , \quad \operatorname { v e c } ( S \left( t , \omega \right) \rho ( t ) ) = \operatorname { v e c } ( S \left( t , \omega \right) ) \operatorname { v e c } ( \rho ( t ) ) .
\begin{array} { r l } & { { \mathrm P } ( ( Y _ { 1 } \wedge Y _ { 2 } ) \vee ( Y _ { 3 } \wedge Y _ { 4 } ) < Z _ { i } < ( Y _ { 1 } \vee Y _ { 2 } ) \wedge ( Y _ { 3 } \vee Y _ { 4 } ) , } \\ & { Y _ { 1 } \wedge Y _ { 2 } < Z _ { j } < Y _ { 1 } \vee Y _ { 2 } , Z _ { j } > Y _ { 3 } \vee Y _ { 4 } ~ \mathrm { o r } ~ Z _ { j } < Y _ { 3 } \wedge Y _ { 4 } ) = 1 / 4 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\lVert \left( B - \sigma \right) u _ { + } + G \left( \cdot , u _ { + } \right) \right\rVert _ { W ^ { 1 , q } ( M , g ) } \leqslant 1 ; } \\ & { \left( B - \sigma \right) \cdot \gamma ^ { \prime } \left( \left( A \operatorname* { m a x } _ { \bar { M } } \left( \lvert u _ { + } \rvert , \lvert u _ { - } \rvert \right) + C \right) \cdot \mathrm { V o l } _ { g } ( M ) ^ { \frac { 1 } { q } } + 1 \right) + D _ { 1 } \cdot \mathrm { V o l } _ { g } ( M ) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \qquad + D _ { 2 } \cdot \gamma ^ { \prime } \left( \left( A \operatorname* { m a x } _ { \bar { M } } \left( \lvert u _ { + } \rvert , \lvert u _ { - } \rvert \right) + C \right) \cdot \mathrm { V o l } _ { g } ( M ) ^ { \frac { 1 } { q } } + 1 \right) \leqslant 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal U } _ { \mathrm { p l } } ( y , z ) } & { { } = V _ { 0 } ( y ; a ) + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \cos ( n { k _ { \mathrm { u } } } z ) \, V _ { n } ( y ; a ) } \end{array}
\epsilon _ { r } = 1 + ( 4 \pi \beta / 3 V _ { \mathrm { s y s } } ) \Bigl [ \left< \boldsymbol { \mu } \cdot \boldsymbol { \mu } \right> - \left< \boldsymbol { \mu } \right> \cdot \left< \boldsymbol { \mu } \right> \Bigr ] .
\sigma _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } } ^ { \mu \alpha \beta } ( \omega ) = - \frac { e ^ { 3 } } { \hslash ^ { 2 } } \left( \frac { - 1 } { \omega ^ { 2 } } \right) \int [ d \mathbf { k } ] \, \kappa _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } , \mathbf { k } } ^ { \mu \alpha \beta } ( \omega ) \mathrm { ~ , ~ }
\Delta { V } _ { B } = V _ { B _ { 2 } } - \widetilde { V } _ { B _ { 1 } } = V _ { B _ { 2 } } - { \frac { \rho _ { A } { V } _ { A _ { 1 } } + \rho _ { B } { V } _ { B _ { 1 } } } { \rho _ { B } } }
\mathrm { i } \, \mathcal { I } _ { _ { D C } } \, \zeta _ { _ { D C } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { d y n } } } ^ { \Lambda F ^ { 2 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { k i n } } } ^ { \Lambda F ^ { 2 } } \right) \, r \mathrm { d } r ,
c ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { + } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \| x \| \leq R _ { 1 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \| x - d \| \leq R _ { 2 } \, , } \\ { c _ { - } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { d s ^ { 2 } } & { { } = } & { \! - f _ { G B } ( \Xi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ e ~ f ~ f ~ } } d t \! - \! a d \varphi ) ^ { 2 } \! + \! \frac { r ^ { 2 } } { \ell _ { \mathrm { ~ \tiny ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 4 } } ( a d t \! - \! \Xi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ e ~ f ~ f ~ } } \ell _ { \mathrm { ~ \tiny ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 2 } d \varphi ) ^ { 2 } \! + \! \frac { d r ^ { 2 } } { f _ { G B } } \, , } \\ { \phi } & { { } = } & { \ln ( r / l ) \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Sigma { \frac { d r } { d \lambda } } } & { = \pm { \sqrt { R ( r ) } } } \\ { \Sigma { \frac { d \theta } { d \lambda } } } & { = \pm { \sqrt { \Theta ( \theta ) } } } \\ { \Sigma { \frac { d \phi } { d \lambda } } } & { = - \left( a E - { \frac { L _ { z } } { \sin ^ { 2 } \theta } } \right) + { \frac { a } { \Delta } } P ( r ) } \\ { \Sigma { \frac { d t } { d \lambda } } } & { = - a \left( a E \sin ^ { 2 } \theta - L _ { z } \right) + { \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { \Delta } } P ( r ) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \psi ( r , \phi , z ) = } & { } & { \frac { w _ { 0 } } { w } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w } \right) ^ { m } L _ { p } ^ { m } \left( 2 \left( \frac { r } { w } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i k \frac { r ^ { 2 } } { 2 R } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 p + m + 1 ) \tan ^ { - 1 } ( z / z _ { 0 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Q ^ { * } = } & { \operatorname* { i n f } _ { t , \ x _ { 0 } , \ w } \ \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } J ( w ( t ^ { \prime } ) ) } \\ & { \dot { x } ( t ^ { \prime } ) = f ( t ^ { \prime } , x ( t ^ { \prime } ) , w ( t ^ { \prime } ) ) } & & { \forall t ^ { \prime } \in [ 0 , T ] } \\ & { x ( t \mid x _ { 0 } , w ( \cdot ) ) \in X _ { u } } \\ & { w ( \cdot ) \in \mathcal { W } , \ t \in [ 0 , T ] , \ x _ { 0 } \in X _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textrm { a n d } } & { { } } & { \eta _ { 1 } ( r , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = \left( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \sin T _ { 0 } - \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \cos T _ { 0 } \right) \mathrm { J _ { 0 } } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \big ( \frac { 4 \beta \rho } { \pi } \big ) ^ { 2 } + \big ( \frac { \kappa } { 2 } \big ) ^ { 2 } \Bigg [ \frac { ( 4 \Lambda ) ^ { 2 } Z _ { i } ^ { 0 } + 4 ( 4 \Lambda ) \frac { \beta \rho } { \pi } } { ( 4 \Lambda ) ^ { 2 } + \big ( \frac { \kappa } { 2 } \big ) ^ { 2 } } \Bigg ] ^ { 2 } \leqslant ( 2 \Lambda ) ^ { 2 } . \ \ } \end{array}
\Gamma _ { \bf k } ^ { A B } ( \tau ) = \Gamma _ { \bf k } ^ { B A } ( \tau ) = \theta ( \tau ) \frac { 1 } { \hbar } \int d q \, \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { B } e ^ { - \frac { i } { \hbar } \epsilon _ { { \bf k } , q } ^ { E } \tau }
\arctan ( z ) = { \frac { z } { 1 + { \cfrac { ( 1 z ) ^ { 2 } } { 3 - 1 z ^ { 2 } + { \cfrac { ( 3 z ) ^ { 2 } } { 5 - 3 z ^ { 2 } + { \cfrac { ( 5 z ) ^ { 2 } } { 7 - 5 z ^ { 2 } + { \cfrac { ( 7 z ) ^ { 2 } } { 9 - 7 z ^ { 2 } + \ddots } } } } } } } } } } = { \frac { z } { 1 + { \cfrac { ( 1 z ) ^ { 2 } } { 3 + { \cfrac { ( 2 z ) ^ { 2 } } { 5 + { \cfrac { ( 3 z ) ^ { 2 } } { 7 + { \cfrac { ( 4 z ) ^ { 2 } } { 9 + \ddots } } } } } } } } } }
\mathbb { D } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ } } ( R _ { \ell } ) = \left( \begin{array} { l l } { J _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { H _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \\ { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } H _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \end{array} \right)
\sum _ { k } \psi _ { p k } ^ { j - } \partial _ { \| } ^ { j - } \hat { M } ^ { j - 1 , k } + \sum _ { k } \psi _ { p k } ^ { j + } \partial _ { \| } ^ { j + } \hat { M } ^ { j + 1 , k } = \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { C } } } \sum _ { k } c _ { p k } ^ { j } \hat { M } ^ { j k } + \frac { \partial _ { \| } \ln B } { B / B _ { 0 } } \left( g _ { p } ^ { j p } \hat { p } _ { \psi } + g _ { T } ^ { j p } \hat { T } _ { \psi } \right) .
a _ { 2 } = f \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 3 } } { \cal U } _ { i } ^ { ( 2 , 2 ) } \; I _ { i } ^ { ( 2 ) } + f _ { ; N } \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 2 } } { \cal U } _ { i } ^ { ( 2 , 3 / 2 ) } \; I _ { i } ^ { ( 3 / 2 ) } + f _ { ; N N } \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 1 } } { \cal U } _ { i } ^ { ( 2 , 1 ) } \; I _ { i } ^ { ( 1 ) } .
\begin{array} { r l } { P _ { \alpha \beta } } & { { } = p \delta _ { \alpha \beta } + \sigma _ { \alpha \beta } + \rho u _ { \alpha } u _ { \beta } , } \\ { Z _ { \alpha } } & { { } = \left( \frac { 5 } { 2 } p + \frac { 1 } { 2 } \rho u ^ { 2 } \right) u _ { \alpha } + \sigma _ { \alpha \beta } u _ { \beta } + q _ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I } _ { P D } } & { { } = - 2 \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \alpha } { \Theta } m \left( e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \right) \left( \sqrt { n + 1 } \beta _ { n , n + 1 } + \sqrt { n } \beta _ { n , n - 1 } \right) } \end{array}
G ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { - } } & { { i \sum _ { n } ^ { } \Psi _ { n } ^ { ( + ) } ( x _ { 2 } ) \overline { { { \Psi } } } _ { n } ^ { ( + ) } ( x _ { 1 } ) , \quad t _ { 2 } > t _ { 1 } } } \\ { { } } & { { i \sum _ { n } ^ { } \Psi _ { n } ^ { ( - ) } ( x _ { 2 } ) \overline { { { \Psi } } } _ { n } ^ { ( - ) } ( x _ { 1 } ) , \quad t _ { 2 } < t _ { 1 } } } \end{array} \right\} .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u _ { 1 } } & { { } = \nu \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } u _ { 1 } } \\ { u _ { 1 } \left( 0 , x _ { 2 } \right) } & { { } = u _ { 1 } ^ { 0 } \left( x _ { 2 } \right) . } \end{array}
\langle k \sigma | \equiv \mathrm { s i g n } ( k ^ { 0 } ) \bar { u } _ { \lambda } ( k ) = \mathrm { s i g n } ( k ^ { 0 } ) u _ { \lambda } ^ { * } ( k ) ^ { T } \gamma _ { 0 } \equiv u _ { \lambda } ^ { + } ( k ) ^ { T } \gamma _ { 0 } \; .
P _ { \alpha \beta } = - 4 \; \underset { a < b } { \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \sum _ { b = 1 } ^ { 3 } } \frac { \lambda _ { a } \tilde { T } _ { \alpha \beta } + ( \tilde { T } ^ { 2 } ) _ { \alpha \beta } } { 3 \lambda _ { a } ^ { 2 } + c _ { 1 } } \frac { \lambda _ { b } \tilde { T } _ { \alpha \beta } + ( \tilde { T } ^ { 2 } ) _ { \alpha \beta } } { 3 \lambda _ { b } ^ { 2 } + c _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \tilde { x } _ { a b } .
\begin{array} { r l } { { 1 } \mathrm { E \" o t v \" o s ~ n u m b e r } } & { = E o = \frac { \Delta \rho g d ^ { 2 } } { \sigma } } \\ { \mathrm { M o r t o n ~ n u m b e r } } & { = M o = \frac { g \mu _ { l } ^ { 4 } \Delta \rho } { \rho _ { l } ^ { 2 } \sigma ^ { 3 } } } \\ { \mathrm { C o n f i n e m e n t ~ r a t i o } } & { = C _ { r } = \frac { W } { d } } \\ { \mathrm { c e n t e r ~ t o ~ c e n t e r ~ d i s t a n c e } } & { = h _ { d } = \frac { h } { d } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \alpha } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } , z _ { 0 } ) } & { = \frac { \delta ^ { 2 } } { 1 6 \beta ^ { 8 } \lvert A \rvert ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } \eta } e ^ { \frac { ( \textbf { r } _ { 2 } - \textbf { r } _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 1 6 \beta ^ { 4 } A ^ { 2 } \eta } } e ^ { - \frac { ( \sin { \alpha } + i \cos { \alpha } ) } { 4 \beta ^ { 2 } A \sigma ^ { 2 } } r _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { e ^ { - \frac { ( \sin { \alpha } - i \cos { \alpha } ) } { 4 \beta ^ { 2 } A ^ { * } \sigma ^ { 2 } } r _ { 1 } ^ { 2 } } ( x _ { 1 } - i y _ { 1 } ) ( x _ { 2 } + i y _ { 2 } ) , } \end{array}
\Delta N _ { \nu } \equiv \Delta N _ { \nu } ^ { \rho } + \Delta N _ { \nu } ^ { f _ { \nu _ { e } } } , \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \Delta N _ { \nu } ^ { f _ { \nu _ { e } } } \equiv { \frac { \Delta Y _ { p } ^ { f _ { \nu _ { e } } } } { 0 . 0 1 2 } }
\operatorname* { m i n } _ { \{ v _ { \mathrm { x c } , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \} } \sum _ { \sigma = 1 } ^ { 2 } \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) ^ { 2 } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \, ,
\| \mathbf { A } \| _ { F } = \sqrt { \operatorname { T r } \left( \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { A } \right) } = \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { n } | A _ { i j } | ^ { 2 } } , \quad \mathbf { A } \in \mathbb { C } ^ { m \times n } .
e ^ { 0 } = \frac { \sqrt \Delta } { \alpha r } ( d t - \lambda d \phi ) \, , \quad e ^ { 1 } = \frac { \alpha r } { \sqrt \Delta } d z \, , \quad e ^ { 2 } = \alpha r d z \, , \quad e ^ { 3 } = r ( \lambda \alpha ^ { 2 } d t - d \phi ) \, .
\begin{array} { r l } { U ( \textbf { x } ) = } & { { } \alpha _ { b } \mathcal { I } _ { \mathrm { b l u e } } | \textbf { E } _ { b } ( \textbf { x } ) | ^ { 2 } + \alpha _ { r } \mathcal { I } _ { \mathrm { r e d } } | \textbf { E } _ { r } ( \textbf { x } ) | ^ { 2 } } \end{array}
\rho ^ { ( N ) } ( x , t ) : = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta ( x - x _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) ) = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \rho _ { m , l } ^ { ( N ) } ( x , t )
\bar { M } = \sum _ { l } ( l + 1 ) \partial ^ { ( l ) } \Phi ^ { A } \frac { \partial } { \partial ( \partial ^ { ( l ) } \Phi ^ { A } ) } + \sum _ { l } ( l + 2 ) \partial ^ { ( l ) } \Phi _ { A } ^ { * } \frac { \partial } { \partial ( \partial ^ { ( l ) } \Phi _ { A } ^ { * } ) } .
\mathbf { x } [ k + 1 ] = e ^ { \mathbf { A } ( k + 1 ) T } \mathbf { x } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { ( k + 1 ) T } e ^ { \mathbf { A } ( ( k + 1 ) T - \tau ) } \mathbf { B } \mathbf { u } ( \tau ) d \tau
\dot { \mu } _ { g y } = \left\{ \mu _ { g y } , H _ { g y } \right\} = - \frac { e } { m c } \frac { 1 } { \varepsilon _ { \delta } } \partial _ { \theta _ { g y } } H _ { g y } + \frac { \textbf { B } ^ { * } } { m { B } _ { \parallel } ^ { * } } \nabla \mu _ { g y } - \frac { c \hat { \textbf { b } } } { e { B } _ { \parallel } ^ { * } } \varepsilon _ { \delta } \left( \nabla \mu _ { g y } \times \nabla ^ { * } H _ { g y } \right) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { \leq \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma } ( 1 + \gamma x ) ^ { - 1 + \beta } \mathrm { d } x } \\ & { \leq \frac { 1 } { ( - \gamma ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { \beta } . } \end{array}
{ \overline { { u } } } { \frac { \partial { \overline { { u } } } } { \partial x } } + { \overline { { v } } } { \frac { \partial { \overline { { u } } } } { \partial y } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial { \overline { { p } } } } { \partial x } } + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } { \overline { { u } } } } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } { \overline { { u } } } } { \partial y ^ { 2 } } } \right) - { \frac { \partial } { \partial y } } ( { \overline { { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } } } ) - { \frac { \partial } { \partial x } } ( { \overline { { u ^ { 2 } } } } )
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } } & { { } = \frac { 4 Q \cdot E } { m \Omega ^ { 2 } \left( a + \Delta q ^ { 2 } / 2 \right) } \approx \frac { 4 Q \cdot E } { m \Omega ^ { 2 } a } = - \frac { Q \cdot E } { k _ { 0 } + 2 k _ { a } + 2 k _ { b } } . } \end{array}
H _ { \mathrm { s p i n \frac { 1 } { 2 } } } ^ { ( 1 ) } [ N ] = - \frac { i } { 2 \kappa ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } x N ( x ) \left( \epsilon ^ { i j k } \epsilon ^ { a b c } 4 \frac { \{ A _ { a } ^ { i } ( x ) , V ( x , \delta ) \} \{ A _ { b } ^ { j } ( x ) , V ( x , \delta ) \} } { \sqrt { q } ( x ) } \right) [ \pi ^ { T } \tau _ { k } { \cal D } _ { c } \xi - c . c . ]
{ \widetilde \rho } ^ { \prime \prime } + \left[ m ^ { 2 } + F - { \frac { 1 } { 2 } } \psi _ { 0 } A ^ { \prime \prime } - { \frac { 1 } { 4 } } \psi _ { 0 } ^ { 2 } ( A ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] { \widetilde \rho } = 0 ~ .