harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } = \sum _ { x _ { i } ^ { t } } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } ( x _ { i } ^ { t } ) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } ( x _ { i } ^ { t } ) = \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } ( S ) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } ( S ) + \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } ( I ) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } ( I ) + \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } ( R ) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } ( R )
\begin{array} { r l } { J ( \epsilon ) } & { = \frac { \Delta _ { 0 } } { \lambda _ { 2 } } + 1 + \frac { 2 } { \pi \Delta _ { 0 } } + \left( 1 + \frac { 4 } { \pi \Delta _ { 0 } } - \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } \right) \epsilon - \frac { 2 } { \pi \Delta _ { 0 } } - \frac { 1 } { 2 } } \\ & { = \frac { 3 } { \sqrt { \pi \lambda _ { 2 } } } + 1 + \left( 1 + \frac { 4 } { \sqrt { \pi \lambda _ { 2 } } } - \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } \right) \epsilon - \frac { 2 } { \sqrt { \pi \lambda _ { 2 } } } - \frac { 1 } { 2 } < \frac { 1 } { \sqrt { \pi \lambda _ { 2 } } } + \frac { 1 } { \pi } + \frac { 3 } { 4 } , } \end{array}
\mathbf { U } ^ { \mathrm { i n t } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { U } _ { L } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S _ { L } ^ { l } \geq 0 } \\ { \mathbf { U } _ { L } ^ { \star } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S _ { L } ^ { l } < 0 \leq S _ { L } ^ { s } } \\ { \mathbf { U } _ { L } ^ { \star \star } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S _ { L } ^ { s } < 0 \leq S ^ { \star } } \\ { \mathbf { U } _ { R } ^ { \star \star } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S ^ { \star } < 0 \leq S _ { R } ^ { s } } \\ { \mathbf { U } _ { R } ^ { \star } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S _ { R } ^ { s } < 0 \leq S _ { R } ^ { l } } \\ { \mathbf { U } _ { R } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S _ { R } ^ { l } < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \chi _ { 0 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , } & { \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) = } \\ & { \sum _ { \sigma } \sum _ { i } ^ { \mathrm { o c c } } \sum _ { a } ^ { \mathrm { v i r t } } } & & { \Biggl \{ \frac { \Psi _ { i \sigma } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Psi _ { a \sigma } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Psi _ { a \sigma } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \Psi _ { i \sigma } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) } { \omega - ( \epsilon _ { a \sigma } - \epsilon _ { i \sigma } ) + i \eta } } \\ & { } & & { - \frac { \Psi _ { i \sigma } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Psi _ { a \sigma } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Psi _ { a \sigma } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \Psi _ { i \sigma } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) } { \omega + ( \epsilon _ { a \sigma } - \epsilon _ { i \sigma } ) - i \eta } \Biggr \} } \end{array}
\nabla _ { \partial _ { t } } ^ { \perp } ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { k } \phi _ { l } - ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { k } \nabla _ { \partial _ { t } } ^ { \perp } \phi _ { l } = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { i } \left( \nabla _ { \partial _ { t } } ^ { \perp } \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } \phi _ { k + l - 1 - i } - \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } \nabla _ { \partial _ { t } } ^ { \perp } \phi _ { k + l - 1 - i } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { ( s - 1 ) ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } \int _ { \{ \varphi \ge 1 \} } | \nabla u ^ { s / 2 } | ^ { 2 } } & { \le \int _ { M } u ^ { s } | \nabla \varphi | ^ { 2 } \le \left( \int _ { \operatorname { s u p p } ( \nabla \phi ) } u ^ { p } \right) ^ { s / p } \left( \int _ { M } | \nabla \varphi | ^ { \frac { 2 p } { p - s } } \right) ^ { ( p - s ) / p } \, , } \end{array}
D _ { 1 1 1 1 } ^ { s } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r } s ^ { 2 } \left( - T e r m 1 - T e r m 2 ^ { \prime } + T e r m 3 + T e r m 4 + T e r m 5 + T e r m 6 + T e r m 7 \right) ^ { s } d s .
\hat { R } _ { i j , k l } ^ { \epsilon } = \epsilon _ { j s } ^ { t } \hat { R } _ { i s , k t } ( \epsilon ^ { t } ) _ { t l } ^ { - 1 } \quad ( \hat { R } ^ { \epsilon } = ( { \bf 1 } \otimes \epsilon ^ { t } ) \hat { R } ( { \bf 1 } \otimes ( \epsilon ^ { - 1 } ) ^ { t } ) ) \; ,
{ \frac { 1 } { 4 } } g _ { 4 } f _ { + , { \frac { 1 } { 2 } } } f _ { H } e ^ { - ( { \frac { \Lambda _ { + , { \frac { 1 } { 2 } } } } { T _ { 1 } } } + { \frac { \Lambda _ { H } } { T _ { 2 } } } ) } = f _ { 3 \pi } \Phi _ { 3 \pi } ( u _ { 0 } ) T + { \frac { f _ { \pi } } { 2 } } \Phi ( u _ { 0 } ) \; ,
T _ { 1 c - d } = - \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } g _ { 3 } \, m _ { b } \, \overline { { { ( m } } } ^ { 2 } ) _ { 3 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } [ \overline { { { m } } } _ { \widetilde { b } _ { R } } ^ { 2 } - \overline { { { m } } } _ { \widetilde { s } _ { R } } ^ { 2 } ] } \times \left[ \frac { m _ { s } m _ { b } } { 2 M _ { w } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \beta ) } + \frac { 2 } { 9 } \tan ^ { 2 } ( \theta _ { w } ) \right] \times \sum _ { n = 0 } ^ { 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { \overline { { { M } } } _ { n } ^ { 2 } } \left[ F C _ { 2 } ( X _ { \widetilde { \mu } _ { n } } ) \right] .
\begin{array} { r l } { \gamma } & { = e ^ { \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { k } } \left( \sigma + i ( X _ { L } + X _ { R } ) \right) } , } \\ { \beta } & { = \frac { \sqrt { k } } { { \sqrt { 2 } } } \left( \partial ( \sigma - i X ) e ^ { - \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { k } } ( \sigma + i X ) } - \frac 1 k e ^ { - \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { k } } \left( \sigma + i X \right) } \partial ( \sigma + i X ) \right) } \\ & { = - \frac { \sqrt { k } } { \sqrt { 2 } } \left( ( 1 - \frac 1 k ) \partial \sigma + i ( 1 + \frac 1 k ) \partial X \right) e ^ { - \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { k } } \left( \sigma + i X \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \dot { a _ { 1 } } } & { { } = } & { E _ { 1 } a _ { 1 } + g ( a _ { 3 } + a _ { 4 } ) , } \\ { i \dot { a _ { 2 } } } & { { } = } & { - E _ { 1 } a _ { 2 } + g ( a _ { 3 } + a _ { 4 } ) , } \\ { i \dot { a _ { 3 } } } & { { } = } & { b t + E _ { 2 } a _ { 3 } - g ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) , } \\ { i \dot { a _ { 4 } } } & { { } = } & { b t - E _ { 2 } a _ { 4 } - g ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) , } \end{array}
\bar { q } = { \frac { 1 } { 3 } } \left( { \frac { 1 } { C a } } \bar { h } _ { f } ^ { \prime \prime \prime } - { \frac { B o } { C a } } \bar { h } _ { f } ^ { \prime } \right) ( \bar { h } _ { f } - \bar { h } _ { a } ) ^ { 3 } - ( \bar { h } _ { f } - \bar { h } _ { a } ) ,
\Delta { t } = \frac { D } { v } - D \simeq \frac { m ^ { 2 } } { 2 E ^ { 2 } } \, D = 2 . 5 7 \left( \frac { m } { \mathrm { e V } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { E } { \mathrm { M e V } } \right) ^ { - 2 } \frac { D } { 5 0 \mathrm { k p c } } \, \mathrm { s e c } \, .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } J _ { i } } & { \ge L ( k ) V ( t , r , k ) + ( 1 - L ( k ) ) H ( t , r , k ) } \\ & { = C ( t , r , k ) + \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \left( L ( k ) \left( ( k - 1 ) \left( 2 k - c _ { k } \right) + 1 \right) - \left( k ^ { 2 } - ( k - 1 ) c _ { k } \right) \right) \log r \ + } \\ & { \ \ \ \ \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \left( L ( k ) \left( 2 ( k - 1 ) ^ { 2 } - c _ { k } \left( 2 ( k - 1 ) + c _ { k } \right) \right) - \left( k ^ { 2 } - c _ { k } \left( 2 k - 1 + c _ { k } \right) \right) \right) \log t } & { , } \end{array}
\mathbf { s } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { K } \\ { 0 } \end{array} \right) } \quad { \mathrm { a n d } } \quad \mathbf { \hat { n } } = { \frac { { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { K } \\ { 0 } \end{array} \right) } - { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { K } \end{array} \right) } } { \left\| { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { K } \\ { 0 } \end{array} \right) } - { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { K } \end{array} \right) } \right\| } } = { \frac { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { K } \\ { - K } \end{array} \right) } { \sqrt { 0 ^ { 2 } + K ^ { 2 } + { ( - K ) } ^ { 2 } } } } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \\ { - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} \right) } \, .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { v _ { 0 } } { L ( t ) } \, \bigl ( f _ { + } ( 1 - \rho ) \bigr ) _ { \mathrm { t r } } \, \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( - f _ { + } ) \, \partial _ { y } f _ { + } \, \textup { d } y } \\ & { \qquad \le \kappa \int _ { 0 } ^ { 1 } \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( - f _ { + } ) \, | \partial _ { y } f _ { + } | ^ { 2 } \, \textup { d } y + \frac { 1 } { \kappa } \int _ { 0 } ^ { 1 } \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( - f _ { + } ) \Big ( \frac { v _ { 0 } } { L ( t ) } \Big ) ^ { 2 } \bigl ( f _ { + } \, ( 1 - \rho ) \bigr ) _ { \mathrm { t r } } ^ { 2 } \, \textup { d } y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { v a r } } & { = \frac { \lambda } { 4 \pi } \sqrt { \frac { \tilde { t } \, \lambda } { 2 \pi \, \lambda ^ { 3 } \, \tilde { a } ^ { 3 } v _ { c } } } \left( 1 - 2 \frac { \exp ( u ) - 1 } { u \, \exp ( u ) } \right) } \\ & { = k \left( 1 - 2 \frac { \exp ( u ) - 1 } { u \, \exp ( u ) } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \sum _ { j } \partial _ { j } \left( { \rho U _ { j } } \right) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho U _ { i } \right) + \sum _ { j } \partial _ { j } \left( \rho U _ { j } U _ { i } \right) } & { { } = - \partial _ { i } \left( n k _ { B } T \right) - n \partial _ { i } V ( \boldsymbol { r } ) } \\ { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho T ) + \sum _ { j } \partial _ { j } \left( \rho T U _ { j } \right) } & { { } = - \frac { 2 } { 3 } \rho T \sum _ { i } \partial _ { i } U _ { i } } \end{array}
{ w } _ { \beta } ^ { ~ \alpha } = - 2 d \theta ^ { \alpha } D _ { \beta } \phi - 2 d \theta _ { \beta } D ^ { \alpha } \phi - 2 \Pi ^ { \alpha \dot { \gamma } } \partial _ { \beta \dot { \gamma } } \phi + 2 \Pi _ { \beta \dot { \gamma } } \partial ^ { \alpha \dot { \gamma } } \phi \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ \textsc { R S M } ] } & { { } ( \theta , \phi , \overline { { \upsilon } } ) = \sum _ { \ell = 0 , 2 , \ldots } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } \hat { Y } _ { m } ^ { \ell } ( \theta , \phi ) A _ { m } ^ { \ell } ( \overline { { \upsilon } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { ( - \infty , 1 ] ^ { d } } } & { \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } f _ { H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) } ( u , \mathbf { w } ) \, d u \right) ^ { 2 } \, d \mathbf { w } } \\ & { \leq \int _ { ( - \infty , 1 ] ^ { d } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } ( f _ { \operatorname* { i n f } K } ( u , \mathbf { w } ) + ( f _ { \operatorname* { s u p } K } ( u , \mathbf { w } ) ) d u \right) ^ { 2 } \, d \mathbf { w } . } \end{array}
= \frac { 2 \Gamma ( 1 - \epsilon ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 + \epsilon } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \, y ^ { \epsilon - 1 } \int _ { y } ^ { 1 } d x \frac { x ^ { n } } { [ x ( \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } - \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } ) + \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } - y \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } ] ^ { 1 - \epsilon } } ~ ,
u _ { 1 } = \frac { \alpha ( \alpha { x _ { 1 } } t - { x _ { 2 } } ) } { \alpha ^ { 2 } t ^ { 2 } + 1 } \, , \qquad u _ { 2 } = \frac { \alpha ( \alpha { x _ { 2 } } t + { x _ { 1 } } ) } { \alpha ^ { 2 } t ^ { 2 } + 1 } \, ,
\begin{array} { r l r } { u _ { j } } & { { } = } & { a _ { j } \, u _ { j - 1 } + u _ { j - 2 } \ , \qquad u _ { - 1 } = 1 \ , \quad u _ { 0 } = 0 } \\ { v _ { j } } & { { } = } & { a _ { j } \, v _ { j - 1 } + v _ { j - 2 } \ , \qquad v _ { - 1 } = 0 \ , \quad v _ { 0 } = 1 } \end{array}
L ( \phi , \ \partial _ { m } \phi ) = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { m } \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } g ^ { 2 } \Bigl [ \phi ^ { 2 } - ( \frac { m } { g } ) ^ { 2 } \Bigr ] ^ { 2 } ,
\bar { j } _ { \bar { \rho } , + } - \bar { j } _ { \bar { \rho } , - } = - \partial _ { \bar { \rho } } ( \bar { c } _ { + } - \bar { c } _ { + } ) - ( \bar { c } _ { + } + \bar { c } _ { - } ) \partial _ { \bar { \rho } } \bar { \psi }
E _ { \lambda _ { i } } = \left( \begin{array} { l l l l } { ( v _ { i 1 } - v _ { i 1 } ) ^ { 2 } } & { ( v _ { i 2 } - v _ { i 1 } ) ^ { 2 } } & { \cdots } & { ( v _ { i N } - v _ { i 1 } ) ^ { 2 } } \\ { ( v _ { i 1 } - v _ { i 2 } ) ^ { 2 } } & { ( v _ { i 2 } - v _ { i 2 } ) ^ { 2 } } & { \cdots } & { ( v _ { i N } - v _ { i 2 } ) ^ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { ( v _ { i 1 } - v _ { i N } ) ^ { 2 } } & { ( v _ { i 2 } - v _ { i N } ) ^ { 2 } } & { \cdots } & { ( v _ { i N } - v _ { i N } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) .
{ \cal R } _ { 2 } ^ { t o t } ( x ) = \frac { \sigma _ { 2 } ^ { x } - \sigma _ { 2 } ^ { \bar { x } } } { \sigma _ { 2 } ^ { x } + \sigma _ { 2 } ^ { \bar { x } } } \, , \quad x = b , l ^ { + } \, .
\left[ \begin{array} { c c } { k _ { \mathrm { N I M } } } & { j \gamma } \\ { j \gamma } & { k _ { \mathrm { P I M } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \psi _ { \mathrm { N I M } } } \\ { j \psi _ { \mathrm { P I M } } } \end{array} \right] = k _ { \pm } \left[ \begin{array} { c c } { \psi _ { \mathrm { N I M } } } \\ { j \psi _ { \mathrm { P I M } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { M _ { 2 , 0 } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } \left( { v _ { i x } ^ { 2 } + v _ { i y } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { 2 } } \right) } } \\ & { = } & { \rho \left[ { \left( { n + 2 } \right) R T + u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } } \right] , } \\ { M _ { 2 , x y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } { v _ { i x } } { v _ { i y } } } = \rho { u _ { x } } { u _ { y } } , } \\ { M _ { 2 , x x } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } { v _ { i x } } { v _ { i x } } } = \rho \left( { R T + u _ { x } ^ { 2 } } \right) , } \\ { M _ { 2 , y y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } { v _ { i y } } { v _ { i y } } } = \rho \left( { R T + u _ { y } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\nabla _ { \mathbf { x } ^ { ( t ) } } \log { \mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { ( t ) } | \mathbf { y } } , \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) = \nabla _ { \mathbf { x } ^ { ( t ) } } \log { \mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { ( t ) } | \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) }
\delta _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } = \delta ^ { m _ { 1 } l _ { 1 } } \delta _ { m _ { 2 } l _ { 2 } } . . . \delta _ { m _ { n - 1 } l _ { n - 1 } } = \delta ^ { m _ { 1 } l _ { 1 } } \delta _ { a a ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { \ln x _ { 0 } [ \phi ( r ; \lambda _ { G } ) ] } & { = - \beta \left( \int _ { 0 } ^ { 2 \; \mathrm { \AA } } \langle F _ { \mathrm { { W a l l } } } ( \lambda ) \rangle \; d \lambda + \int _ { 2 \; \mathrm { \AA } } ^ { \lambda _ { G } } \langle F _ { \mathrm { W a l l } } ( \lambda ) \rangle \; d \lambda \right) } \\ & { \approx - \beta \int _ { 2 \; \mathrm { \AA } } ^ { \lambda _ { G } } \langle F _ { \mathrm { { W a l l } } } ( \lambda ) \rangle \; d \lambda } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } z } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial z } { \partial r } - \frac { \rho g } { \gamma } z = \frac { \chi B ^ { 2 } \left( r , h \right) } { 2 \mu _ { 0 } \gamma }
\begin{array} { r l } { I _ { k } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } { { \partial _ { k } } } F \left( \operatorname* { m a x } \left( M _ { s } , b \right) , a \right) B ^ { k } ( X _ { s } ) p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b - X _ { s } ^ { 1 } , a - X _ { s } ; t - s ) d b d a \right] d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C ( \hat { \gamma } ^ { j } ; \mu ^ { 0 } , \hat { \mu } ^ { j } , \lambda ) - C ( \hat { \gamma } ; \mu ^ { 0 } , \hat { \mu } ^ { j } , \lambda ) } \\ & { = C ( \gamma ^ { j } ; \mu ^ { 0 } , \gamma _ { 1 } ^ { j } , \lambda ) - C ( \gamma ; \mu ^ { 0 } , \gamma _ { 1 } ^ { j } , \lambda ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { i } ^ { j } \| ^ { 2 } \sum _ { k \in D } ( \frac { \bar { p } _ { k } - \hat { p } _ { k } ^ { j } } { \hat { p } _ { k } ^ { j } } ) + \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { 0 } } | \hat { x } _ { k } ^ { j } | ^ { 2 } ( \hat { p } _ { k } ^ { j } - \bar { p } ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { i } ^ { j } \| ^ { 2 } \sum _ { k \in D } ( \frac { \bar { p } _ { k } - \hat { p } _ { k } ^ { j } } { \hat { p } _ { k } ^ { j } } ) + \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { 0 } } | \hat { x } _ { k } ^ { j } | ^ { 2 } ( \hat { p } _ { k } ^ { j } - \bar { p } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \dot { Q } } ( 0 ) } & { { } = } & { - i \mu _ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \ell ; N , S , J , M | T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , N ) e ^ { - 2 i q \phi } } & { | \ell ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , J ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { J , J ^ { \prime } } \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { \ell , \ell ^ { \prime } + 2 q } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { J + N + S } \left\{ \begin{array} { c c c } { N } & { J } & { S } \\ { J } & { N } & { 0 } \end{array} \right\} } \\ & { \times \sqrt { 5 } \left\{ \begin{array} { c c c } { 2 } & { 2 } & { 0 } \\ { N } & { N } & { N } \end{array} \right\} } \\ & { \times \frac { 1 } { 2 \sqrt { 6 } } \sqrt { ( 2 N - 1 ) ( 2 N ) ( 2 N + 1 ) ( 2 N + 2 ) ( 2 N + 3 ) } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - \ell } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 2 } & { N } \\ { - \ell } & { 2 q } & { \ell } \end{array} \right) ( 2 N + 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { G ( x , y ; m ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { y _ { 2 } ( b ; m ) } { y _ { 1 } ( b ; m ) } y _ { R } ( y ; m ) y _ { L } ( x ; m ) } & { \quad b \leq x < y < 1 } \\ { \frac { y _ { 2 } ( b ; m ) } { y _ { 1 } ( b ; m ) } y _ { L } ( y ; m ) y _ { R } ( x ; m ) } & { \quad b < y < x \leq 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \left( \begin{array} { l l } { a _ { \pm } \frac { ( \beta - \beta _ { \pm , a , 1 } ) ( \beta - \beta _ { \pm , a , 2 } ) } { \beta } } & { c } \\ { c } & { b _ { \pm } \frac { ( \beta - \beta _ { \pm , b , 1 } ) ( \beta - \beta _ { \pm , b , 2 } ) } { \beta } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } Y _ { L , \Lambda } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) } & { = \sigma _ { x z } Y _ { L , \Lambda } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) } \\ & { = Y _ { L , \Lambda } ( \theta _ { e } , 2 \pi - \phi _ { e } ) } \\ & { = Y _ { L , \Lambda } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) ^ { * } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \Lambda } Y _ { L , - \Lambda } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \beta \to 0 } H _ { 1 - X } } & { = { \mathrm { ~ u n d e f i n e d ~ } } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \beta \to 1 } H _ { 1 - X } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to \infty } H _ { 1 - X } = 0 } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 0 } H _ { 1 - X } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \beta \to \infty } H _ { 1 - X } = 1 } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { \Delta \alpha ( m _ { J } = 0 , \theta = 0 ) = \Delta \alpha ^ { S } - \alpha ^ { T } , } \\ { \Delta \alpha ( m _ { J } = 0 , \theta = 9 0 ^ { \circ } ) = \Delta \alpha ^ { S } + \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { T } , } \\ { \Delta \alpha ( m _ { J } = 2 , \theta = 9 0 ^ { \circ } ) = \Delta \alpha ^ { S } - \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { T } . } \end{array} \right.
C ( \tau ) = \Big \langle \frac { \big \langle v ( r , t ) v ( r , t + \tau ) \big \rangle _ { r } } { \sigma ( t ) \sigma ( t + \tau ) } \Big \rangle _ { t } = \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow + \infty } = \frac { 1 } { T } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i } + T } \frac { n ( t , \tau ) } { \sigma ( t ) \sigma ( t + \tau ) } \mathop { } \! \mathrm { d } t
\begin{array} { r } { \frac { \alpha } { 1 + \alpha } \mathstrut _ { 2 } \mathrm { F } _ { 1 } \Big ( 1 , \alpha + 1 , \alpha + 2 , \frac { \Gamma _ { 0 } } { \lambda } \Big ) = \frac { \lambda } { \Gamma _ { 0 } } \Big ( \frac { \lambda } { \Gamma _ { 0 } } - 1 \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { e _ { o 3 } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { e } l _ { d } } e ^ { \frac { i \phi l _ { d } } { L } } e _ { o 4 } ^ { \uparrow } , e _ { i 4 } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { d } l _ { d } } e ^ { \frac { - i \phi l _ { d } } { L } } e _ { i 3 } ^ { \uparrow } , } \\ { h _ { o 3 } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { h } l _ { d } } e ^ { \frac { - i \phi l _ { d } } { L } } h _ { o 4 } ^ { \uparrow } , h _ { i 4 } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { h } l _ { d } } e ^ { \frac { i \phi l _ { d } } { L } } h _ { i 3 } ^ { \uparrow } , } \end{array}
G ( z ) = \log { \frac { 1 } { 1 - g ( z ) } } - { \frac { 1 } { 2 } } \log { \frac { 1 } { 1 - g ( z ) ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \log { \frac { 1 + g ( z ) } { 1 - g ( z ) } } .
\mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \alpha _ { 1 } } ^ { * } )
\frac { d P } { d r } = - \frac { \epsilon \left( 1 + \frac { P } { \epsilon } \right) m \left( 1 + \frac { 4 \pi P r ^ { 3 } } { m } - \frac { \Lambda r ^ { 3 } } { 3 m } \right) } { r ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 2 m } { r } - \frac { \Lambda r ^ { 3 } } { 3 m } \right) }
\begin{array} { r l } { \hat { m } _ { + } ( \vec { r } , \omega ) = } & { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \overleftrightarrow { \chi } _ { m } \cdot \hat { B } _ { + } ( \vec { r } , \omega ) , } \\ { \overleftrightarrow { \chi } _ { m } ( \omega ) = } & { - \frac { \sigma _ { r e s } } { k _ { 0 } } \overleftrightarrow { F } ( \omega ) , } \\ { \overleftrightarrow { F } ( \omega ) = } & { \frac { 3 } { 2 I _ { e } + 1 } \sum _ { \mu , j } \frac { \gamma / 2 } { \omega - \Delta _ { \mu } + \Delta _ { j } + i \gamma / 2 } \vec { d } _ { \mu j } ^ { * } \otimes \vec { d } _ { \mu j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) \boxplus ( a _ { 2 } , b _ { 2 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) , } & { \mathrm { i f } \, b _ { 1 } > b _ { 2 } , } \\ { ( a _ { 2 } , b _ { 2 } ) , } & { \mathrm { i f } \, b _ { 2 } > b _ { 1 } , } \\ { ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) , } & { \mathrm { i f } \, a _ { 1 } = a _ { 2 } , \, \mathrm { a n d } \, b _ { 1 } = b _ { 2 } , } \\ { \{ ( \pm 1 , c ) \mid c \leq b _ { 1 } \} \cup \{ - \infty \} , } & { \mathrm { i f } \, a _ { 1 } = - a _ { 2 } , \, \mathrm { a n d } \, b _ { 1 } = b _ { 2 } , } \end{array} \right. } \\ { ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) \odot ( a _ { 2 } , b _ { 2 } ) } & { = ( a _ { 1 } \cdot a _ { 2 } , b _ { 1 } + b _ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \cdots , \lambda _ { n } ) } & { = \frac { 1 } { Z _ { n } } \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } { \vert \lambda _ { i } - \lambda _ { j } \vert } ^ { 2 } e ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { Z _ { n } } e ^ { \sum _ { i \neq j } \log \vert \lambda _ { i } - \lambda _ { j } \vert - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \le Z _ { q } ( ( e _ { 1 } - g _ { 1 } ) ^ { \alpha _ { 1 } } g _ { \beta _ { 1 } + 1 } \cdots ( e _ { 1 } - g _ { 1 } ) ^ { \alpha _ { r } } g _ { \beta _ { r } + 1 } ) } \\ & { = \sum _ { 0 = n _ { 0 } < n _ { 1 } < \cdots < n _ { r } } \prod _ { j = 1 } ^ { r } ( 1 - q ) ^ { \alpha _ { j } } \binom { n _ { j } - n _ { j - 1 } - 1 } { \alpha _ { j } } \left( \frac { q ^ { n _ { j } } } { [ n _ { j } ] } \right) ^ { \beta _ { j } + 1 } } \\ & { \le \sum _ { 0 = n _ { 0 } < n _ { 1 } < \cdots < n _ { r } } \prod _ { j = 1 } ^ { r } ( 1 - q ) ^ { \alpha _ { j } } \binom { n _ { j } - n _ { j - 1 } } { \alpha _ { j } } \left( \frac { q ^ { ( n _ { j } + 1 ) / 2 } } { n _ { j } } \right) ^ { \beta _ { j } + 1 } . } \end{array}