harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
a = q ^ { h + k - 1 } { \frac { \sin h \alpha } { \sin \alpha } } = q ^ { k } \cdot \sum _ { 0 \leq i \leq { \frac { h - 1 } { 2 } } } ( - 1 ) ^ { i } { \binom { h } { 2 i + 1 } } p ^ { h - 2 i - 1 } ( q ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) ^ { i } ,
\begin{array} { l l l l } & { G _ { 1 } ( S , u , v ) ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp ( \frac { \operatorname* { m i n } ( x , t ) - t } { d _ { 0 } } ) ( f ( 1 - S ) u + g ( 1 - S ) v ) d t , } \\ & { G _ { 2 } ( S , u , v ) ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp ( \frac { \operatorname* { m i n } ( x , t ) - t } { d _ { 1 } } ) [ f ( 1 - S ) u + \beta ( u , v ) v - \frac { 1 } { y _ { u } } \alpha ( u , v ) u ] d t , } \\ & { G _ { 3 } ( S , u , v ) ( x ) = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp ( \frac { \operatorname* { m i n } ( x , t ) - t } { d _ { 2 } } ) [ g ( 1 - S ) v + \alpha ( u , v ) u - \frac { 1 } { y _ { v } } \beta ( u , v ) v ] d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \varphi _ { U } ( \lambda ) : = \mathrm { D e t } ( \lambda e - U ) = \lambda ^ { N } - C _ { ( 1 ) } \lambda ^ { N - 1 } - \cdots - C _ { ( N - 1 ) } \lambda - C _ { ( N ) } \in \mathcal { G } _ { p , q } ^ { 0 } \equiv \mathbb { R } , } \\ & { } & { U \in \mathcal { G } _ { p , q } , \qquad N = 2 ^ { [ \frac { n + 1 } { 2 } ] } , \qquad C _ { ( k ) } = C _ { ( k ) } ( U ) \in \mathcal { G } _ { p , q } ^ { 0 } \equiv \mathbb { R } , \quad k = 1 , \ldots , N , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { \bar { n } _ { 2 1 } + \Lambda ( \, m _ { 2 1 } - \, \bar { n } _ { 2 1 } ) } & { \bar { n } _ { 2 2 } + \Lambda ( \, m _ { 2 2 } - \, \bar { n } _ { 2 2 } ) } \\ { \bar { n } _ { 3 1 } + \Lambda ( \, m _ { 3 1 } - \, \bar { n } _ { 3 1 } ) } & { \bar { n } _ { 3 2 } + \Lambda ( \, m _ { 3 2 } - \, \bar { n } _ { 3 2 } ) } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \frac { \alpha _ { 2 2 } ( f - \Lambda ) } { ( s - f ) } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \left( \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } { \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } - \frac { \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq c \left[ \mathbb { E } \left| \frac { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } - \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right| ^ { 2 q _ { 1 } } \right] ^ { 1 / q _ { 1 } } \left[ \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } \right) ^ { p _ { 1 } } \right] ^ { 1 / p _ { 1 } } } \\ & { \quad \times \left[ \mathbb { E } ( e ^ { - 2 p \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } ) \right] ^ { 1 / p } \left[ \mathbb { E } \left| \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h \right| ^ { 2 q } \right] ^ { 1 / q } } \\ & { \quad + c \left[ \mathbb { E } ( e ^ { - 2 p \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } ) \right] ^ { 1 / p } \left[ \mathbb { E } \left| \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } - \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } \right| ^ { 2 q } \right] ^ { 1 / q } \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } \right) } \\ & { \leq c \left[ \mathbb { E } \left| \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } - \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } \right| ^ { 4 q _ { 1 } } \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } \right) ^ { 2 q _ { 1 } } \right] ^ { 1 / ( 2 q _ { 1 } ) } \left[ \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } \right) ^ { p _ { 1 } } \right] ^ { 1 / p _ { 1 } } } \\ & { \quad \times \left[ \mathbb { E } ( e ^ { - 2 p \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } ) \right] ^ { 1 / p } \left[ \mathbb { E } \left| \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h \right| ^ { 2 q } \right] ^ { 1 / q } } \\ & { \quad + c \left[ \mathbb { E } ( e ^ { - 2 p \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } ) \right] ^ { 1 / p } \left[ \mathbb { E } \left| \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } - \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } \right| ^ { 2 q } \right] ^ { 1 / q } \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } \right) = O ( h ^ { 2 } ) , } \end{array}
{ U _ { R L } } ( t ) = \frac { { ( 1 / { R _ { L } } ) } } { { 1 / \sqrt { { { ( { R _ { L } } + { R _ { S } } ) } ^ { 2 } } + { { ( \frac { 1 } { { \omega C } } ) } ^ { 2 } } } } } \times { U _ { p } } ( t )
{ - \varepsilon { \cal A } \mathrm { c } \mathrm { o } \mathrm { s } ( \omega t ) + \varepsilon } ^ { 2 } ( { \frac { 3 } { 8 } } { \cal A } + { \cal C } \mathrm { c } \mathrm { o } \mathrm { s } ( 2 \omega t ) ) = p ( t ) - \Lambda
\left( { \frac { a } { p } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } a { \mathrm { ~ i s ~ a ~ q u a d r a t i c ~ r e s i d u e ~ m o d u l o ~ } } p { \mathrm { ~ a n d ~ } } a \not \equiv 0 { \pmod { p } } , } \\ { - 1 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } a { \mathrm { ~ i s ~ a ~ q u a d r a t i c ~ n o n - r e s i d u e ~ m o d u l o ~ } } p , } \\ { 0 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } a \equiv 0 { \pmod { p } } . } \end{array} \right. }
\left( \frac { 1 + i x } { 1 - i x } \right) ^ { 1 / 3 } = \sum _ { e \geq 0 } A _ { e } x ^ { e } + i \sum _ { o > 0 } A _ { o } x ^ { o } \, , ~ ~ ~ ~ \left( \frac { 1 + i x } { 1 - i x } \right) ^ { 2 / 3 } = \sum _ { e \geq 0 } B _ { e } x ^ { e } + i \sum _ { o > 0 } B _ { o } x ^ { o } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { e e ^ { \prime } } ( \textbf { r } , t ) } & { { } = - i \Delta \omega _ { e e ^ { \prime } } \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) + i \sum _ { g , \, s } \left( \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , t ) T _ { { e g } s } \rho _ { { g e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) - \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , t ) \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , t ) T _ { { g e ^ { \prime } } s } \right) , } \end{array}
S _ { S G } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } x \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi ( x ) \partial ^ { \mu } \phi ( x ) - 4 \pi \tilde { \lambda } \cos ( \beta \phi ( x ) / \sqrt { 4 \pi } ) \right) .
\mathrm { R e } \, \sigma _ { x x } = \frac { e ^ { 2 } } { h } \frac { \pi } { 8 } \bigg ( 1 + \frac { 4 m ^ { 2 } v ^ { 4 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } } \bigg ) \Theta ( \hbar \omega - 2 | m | v ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } ( t _ { n } , \tau _ { n } ) } \\ { = } & { n \hbar \omega t _ { n } + [ i \Gamma + \Delta + U _ { \mathrm { p } } ( \gamma ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) - 1 ) ] \tau _ { n } } \\ & { + U _ { \mathrm { p } } \tau _ { n } \alpha ( \omega \tau _ { n } ) \gamma ( \omega \tau _ { n } ) \cos [ \omega ( \tau _ { n } - 2 t _ { n } ) ] , } \end{array}
U ^ { * } = U - \left. { \frac { \partial U } { \partial Q } } \right| _ { \mathbf { x } } \cdot Q = U - { \frac { 1 } { 2 C ( \mathbf { x } ) } } \left. { \frac { \partial Q ^ { 2 } } { \partial Q } } \right| _ { \mathbf { x } } \cdot Q = U - Q V = { \frac { 1 } { 2 } } Q V - Q V = - { \frac { 1 } { 2 } } Q V = - { \frac { 1 } { 2 } } V ^ { 2 } C ( \mathbf { x } ) .
\begin{array} { r l } { { F _ { m } } { F _ { n } } + { F _ { m - 1 } } { F _ { n - 1 } } } & { { } = F _ { m + n - 1 } , } \\ { F _ { m } F _ { n + 1 } + F _ { m - 1 } F _ { n } } & { { } = F _ { m + n } . } \end{array}
{ \cal N } ^ { ( n ) } ( \{ y \} ) = \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \right) ^ { - N n } \! \left[ \frac { e ^ { 2 } N } { 4 ( \pi + g N ) } e ^ { 2 \gamma } \right] ^ { - \frac { \pi } { \pi + g N } \frac { N n ^ { 2 } } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \left\langle H _ { 0 } ^ { 2 3 } \right\rangle _ { \psi _ { 1 } ^ { \prime } , \ell _ { 3 } ^ { \prime } } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { T } } \left\langle H _ { 0 } ^ { 2 3 } \right\rangle _ { \psi _ { 1 } ^ { \prime } } \, d \ell _ { 3 } ^ { \prime } = \frac { \delta _ { 2 } ^ { 3 } } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { T } } \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } ^ { \prime } \right) \, \left[ \beta _ { 0 } \, \sin ^ { 2 } ( v _ { 3 } ^ { \prime } - \gamma _ { 3 } ^ { \prime } ) + \beta _ { 1 } \right] \, d v _ { 3 } ^ { \prime } + \cdots } \\ { = } & { \delta _ { 2 } ^ { 3 } \left( \frac { \beta _ { 0 } } { 2 } + \beta _ { 1 } \right) + \cdots } \end{array}
j _ { k } ( x ) \bullet j _ { k } ( y ) \simeq \left( j _ { k } ( x ) + \mathcal { G } _ { 1 } ^ { \prec _ { 1 } S _ { k } ( \mu , \lambda ) } \right) \left( j _ { k } ( y ) + \mathcal { G } _ { 1 } ^ { \prec _ { 1 } S _ { k } ( \mu ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } ) } \right) = j _ { k } ( x y ) + \mathcal { G } _ { 1 } ^ { \prec _ { 1 } S _ { k } ( \mu + \mu ^ { \prime } , \lambda + \lambda ^ { \prime } ) } \simeq j _ { k } ( x \, \overline { { \, \cdot \, } } \, y ) .
\begin{array} { r l } & { f _ { N } ( \tilde { z } ) : = - 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( a _ { j } \ln _ { 0 } \tilde { z } + b _ { j } ) \tilde { z } ^ { j } , } \\ & { g _ { N } ( \tilde { z } ) : = s + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( c _ { j } \ln _ { 0 } \tilde { z } + d _ { j } ) \tilde { z } ^ { j } , } \\ & { h _ { N } ( \tilde { z } ) : = \omega ^ { 2 } ( r _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 ) - r _ { 2 } ^ { \prime } ( 1 ) ) 2 ^ { \frac { 4 } { 3 } } 3 ^ { - \frac { 1 } { 3 } } e ^ { \frac { \pi i } { 6 } } \tilde { z } + \sum _ { j = 2 } ^ { N } ( c _ { j } ^ { \prime } \ln _ { 0 } \tilde { z } + d _ { j } ^ { \prime } ) \tilde { z } ^ { j } , } \end{array}
\beta F = - { \frac { \Omega _ { g } } { 4 } } { \frac { \rho _ { h } ^ { 4 } + \rho _ { h } ^ { 2 } \ell ^ { 2 } } { 3 \rho _ { h } ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } } } - \beta \mu _ { c } { \frac { \Omega _ { g } } { 4 \pi } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \bar { \phi } = \frac { \phi } { \phi _ { m } } , \quad \bar { v } _ { x } = \frac { v _ { x } } { v _ { w } } , \quad \bar { v } _ { j } = \frac { v _ { j } } { v _ { w } } , \quad \bar { v } _ { z } = \frac { v _ { z } } { v _ { 0 } } , \quad \bar { t } = \frac { t } { t _ { 0 } } , \quad \bar { x } = \frac { x } { L } , \quad \bar { z } = \frac { z } { d _ { w } } , } \\ & { } & { v _ { 0 } = \frac { 2 ( \rho _ { p } \! - \! \rho _ { f } ) g a ^ { 2 } } { 9 \mu _ { a } } , \quad t _ { 0 } = \frac { 9 \mu _ { a } d _ { w } } { 2 ( \rho _ { p } \! - \! \rho _ { f } ) g a ^ { 2 } } , \quad L = v _ { w } t _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { v e c } ( P ) = \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } G _ { 1 } \mathrm { v e c } ( Q ) + \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } \bar { A } _ { 2 } \mathrm { v e c } ( R ) , } \\ { \bar { A } _ { 1 } = \bar { A } \otimes \bar { A } , \; \; G _ { 1 } = G \otimes G , \; \; \bar { A } _ { 2 } = A L \otimes A L . } \end{array}
f ^ { 0 } \; = \; \hat { f } ^ { ( 0 ) } ( y , k _ { T } ^ { 2 } ) \; = \; e ^ { - A y } \: \int _ { 0 } ^ { y } \: d y ^ { \prime } \: e ^ { A y ^ { \prime } } \: 3 N e ^ { - k _ { T } ^ { 2 } / Q _ { 0 } ^ { 2 } } \: \frac { d } { d y ^ { \prime } } \: ( 1 - e ^ { - y ^ { \prime } } ) ^ { 5 } \; ,
\begin{array} { r l r } { \dot { x } _ { _ { M G } } ( t ) } & { { } = } & { \beta _ { _ { M G } } \frac { x _ { _ { M G } } ( \tau _ { _ { M G } } - t ) } { 1 + x _ { _ { M G } } ^ { q } ( \tau _ { _ { M G } } - t ) } - \gamma _ { _ { M G } } x _ { _ { M G } } ( t ) \, , } \end{array}
\frac { \int _ { X } | d _ { f , l _ { 1 } } u | _ { l _ { 1 } } ^ { 2 } + | d _ { f , l _ { 1 } } ^ { * } u | _ { l _ { 1 } } ^ { 2 } } { \int _ { X } | u | _ { l _ { 1 } } ^ { 2 } } \leq ( 1 + \epsilon ) \frac { \int _ { X } | d _ { f , l _ { 2 } } u | _ { l _ { 2 } } ^ { 2 } + | d _ { f , l _ { 2 } } ^ { * } u | _ { l _ { 2 } } ^ { 2 } } { \int _ { X } | u | _ { l _ { 2 } } ^ { 2 } } .
\Psi ( { \vec { r } } , \omega ) = \sum _ { l m } \left[ A _ { l m } ^ { ( 1 ) } h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( k r ) + A _ { l m } ^ { ( 2 ) } h _ { l } ^ { ( 2 ) } ( k r ) \right] Y _ { l m } ( \theta , \phi ) ,
\begin{array} { r l } & { \Delta G ^ { ( 2 ) } ( \alpha , \beta ) = \langle [ I ( \alpha ) | t ( \alpha ) | ^ { 2 } - \langle I ( \alpha ) | t ( \alpha ) | ^ { 2 } \rangle ] [ I ( \beta ) - \langle I ( \beta ) \rangle ] \rangle } \\ & { = \langle \Delta I ( \alpha ) | t ( \alpha ) | ^ { 2 } \Delta I ( \beta ) \rangle } \\ & { = | \int \ G ^ { ( 1 ) } ( x , x ^ { ' } ) t ( \alpha ) h _ { t } ( x , \alpha ) h _ { r } ^ { * } ( x ^ { ' } , \beta ) \, d x d x ^ { ' } | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { x } ( t ) } & { = } & { E _ { 0 } \; e ^ { - 2 \ln ( 2 ) \left( \frac { t + \tau / 2 } { \Delta t } \right) ^ { 2 } } \; \mathrm { c o s } ( \omega _ { 0 } ( t + \tau / 2 ) + \phi ) } \\ { E _ { y } ( t ) } & { = } & { E _ { 0 } \; e ^ { - 2 \ln ( 2 ) \left( \frac { t - \tau / 2 } { \Delta t } \right) ^ { 2 } } \; \mathrm { c o s } ( \omega _ { 0 } ( t - \tau / 2 ) + \phi ) , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x x ^ { \alpha - 1 } ( 1 - x ) ^ { \epsilon - \alpha } } { \left[ x \left( ( 1 - z ) \vec { k } _ { 1 } ^ { \: 2 } + z \vec { k } _ { 2 } ^ { \: 2 } \right) + ( 1 - x ) z ( 1 - z ) \right] ^ { 1 - \epsilon + \alpha } } \biggr ) _ { \alpha = 0 } ^ { \prime } ~ .
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \frac { \mathrm { d } \overline { \mathscr { B } } _ { s } } { \mathrm { d } s } \mathcal { L } _ { s } ^ { - 1 } \left[ \overline { { \mathscr { A } } } _ { s } \right] + \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \overline { \mathscr { B } } _ { s } \frac { \mathrm { d } \mathcal { L } _ { s } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } s } \left[ \overline { { \mathscr { A } } } _ { s } \right] + \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \overline { \mathscr { B } } _ { s } \mathcal { L } _ { s } ^ { - 1 } \left[ \frac { \mathrm { d } \overline { { \mathscr { A } } } _ { s } } { \mathrm { d } s } \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { x x } = } & { } & { - \frac { j } { 8 } + \sum _ { n \ell } j b _ { n \ell } e ^ { j \ell \theta _ { n s } } \bigg [ H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \sin \left( \theta _ { n s } \right) } \\ & { } & { + \left. \frac { j \ell } { k _ { o } R _ { n s } } H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \cos \left( \theta _ { n s } \right) \right] } \\ { G _ { y y } = } & { } & { - \frac { j } { 8 } - \sum _ { n \ell } j b _ { n \ell } e ^ { j \ell \theta _ { n s } } \bigg [ H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \cos \left( \theta _ { n s } \right) } \\ & { } & { \left. - \frac { j \ell } { k _ { o } R _ { n s } } H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \sin \left( \theta _ { n s } \right) \right] } \\ { G _ { z z } = } & { } & { - \frac { j } { 4 } + \sum _ { n \ell } b _ { n \ell } H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { j \ell \theta _ { n s } } } \end{array}
\mathbf { Q } _ { 1 } ( \textbf { P } , t ) = - \frac { \Gamma } { 4 \pi } \int _ { \mathcal { L } } \frac { \left( \mathbf { P } - \mathbf { X } ( s ^ { \prime } , t ) \right) \times \mathbf { d s } ^ { \prime } } { \left| \mathbf { P } - \mathbf { X } ( s ^ { \prime } , t ) \right| ^ { 3 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \phi \frac { \partial \left\langle c \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } } & { = \nabla _ { \mathbf { x } } \cdot ( \tilde { \textbf { D } } ^ { \star } \nabla _ { \mathbf x } \left\langle c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } ) + \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } \left\langle c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } ) } \\ & { - \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left( \omega \left\langle \mathbf v _ { 0 } \right\rangle \overline { { c } } _ { 1 } + \omega \left\langle \mathbf v _ { 1 } \right\rangle c _ { 0 } + c _ { 0 } \langle \mathbf v _ { 0 } \rangle _ { \mathcal { I B } } \right) } \\ & { + \phi \mathcal { K } ^ { \star } \omega ^ { \beta - \gamma } ( 1 - c _ { 0 } ^ { a } - a \omega c _ { 0 } ^ { a - 1 } \langle c _ { 1 } \rangle _ { \mathcal I \Gamma } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 3 } } & { { } = } & { C _ { 1 } + \vert z _ { \mathrm { p i n } } \vert } \\ { \ } & { { } = } & { \vert z _ { \mathrm { d e p t h } } \vert \frac { R _ { \mathrm { i n } } } { \left( R _ { \mathrm { o u t } } - R _ { \mathrm { i n } } \right) } + \vert z _ { \mathrm { p i n } } \vert } \\ { \ } & { { } \approx } & { 6 . 4 1 7 9 \ \mathrm { c m } } \end{array}
\omega _ { ( j ) } ^ { q , \bar { q } } ( z , \bar { z } ) = \omega _ { ( j ) } ^ { q } ( z ) \bar { \omega } _ { ( j ) } ^ { \bar { q } } ( \bar { z } ) \; \; \; ; \; \; \; j = 0 , \frac { 1 } { 2 } , 1 , \ldots
I _ { \ell } ( k _ { b } ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { k _ { b } } { q _ { k } k } \cot { ( q _ { k } L ) } J _ { \ell } ^ { 2 } ( k R _ { 0 } ) J _ { 1 } ^ { 2 } ( k R _ { \alpha } ) d k ,
d \mathcal S ^ { 2 } = \frac { 1 } { \left( 1 - V ^ { 2 } / v ^ { 2 } \right) } [ c ^ { 2 } ( d t ) ^ { 2 } - ( d x ) ^ { 2 } - ( d y ) ^ { 2 } - ( d z ) ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { r } { \left( \frac { \omega _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ C ~ } } } { c } \right) ^ { 2 } = \eta _ { y y } \left( \frac { \pi n } { L } \right) ^ { 2 } + \left( \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } \right) k _ { y } ^ { 2 } , } \end{array}
S _ { h h } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } } = \left| \Gamma _ { a } \right| ^ { 2 } S _ { a a } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } } \lesssim 1 0 ^ { - 3 1 } \mathrm { \, H z } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { a } } & { { } = } & { - \frac { 4 m c ^ { 2 } } { 3 } \, \alpha \big ( Z \alpha \big ) ^ { 3 } \, g _ { I } \, \frac { m _ { e } } { m _ { p } } \Big ( I + \frac { 1 } { 2 } \Big ) } \end{array}
D ( \omega ) d \omega d \phi = \frac { d x d y d p ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } = \frac { d x d y d k ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } = \frac { d x d y } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } d k ( k d \phi ) = \frac { d x d y } { ( 2 \pi c ) ^ { 2 } } \omega d \omega d \phi { , }
\begin{array} { r l } { ( \overline { { u } } , \zeta ^ { \prime } ) = \bigg ( } & { e ^ { \nu t \partial _ { y y } } \overline { { u } } _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( \nu \partial _ { y y } ) ( t - t ^ { \prime } ) } G ( \zeta ^ { \prime } ) \ d t ^ { \prime } , } \\ & { e ^ { ( \nu \nabla ^ { 2 } - \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } ) t } \left. \zeta _ { 0 } ^ { \prime } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( \nu \nabla ^ { 2 } - \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } ) ( t - t ^ { \prime } ) } F ( \overline { { u } } , \zeta ^ { \prime } ) \ d t ^ { \prime } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X _ { 2 } ( \cos \theta ) } & { { } = } & { ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } ) - 2 ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 1 ) \, \cos ^ { 2 } \theta , } \\ { X _ { 3 } ( \cos \theta ) } & { { } = } & { ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 2 ) \, \sin ^ { 2 } \theta = ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 2 ) ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) , } \\ { X _ { 4 } ( \cos \theta ) } & { { } = } & { \left[ ( \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } + 1 ) - ( 2 \sigma ^ { 4 } + 2 \delta ^ { 4 } + 1 1 \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } - 2 \sigma ^ { 2 } - 2 \delta ^ { 2 } - 1 ) \, \cos ^ { 2 } \theta \right] \, \sin ^ { 2 } \theta . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } A _ { \mathrm { { H } } } ( t ) } & { = \left( { \frac { d } { d t } } U ^ { \dagger } ( t ) \right) A _ { \mathrm { { S } } } ( t ) U ( t ) + U ^ { \dagger } ( t ) A _ { \mathrm { { S } } } ( t ) \left( { \frac { d } { d t } } U ( t ) \right) + U ^ { \dagger } ( t ) \left( { \frac { \partial A _ { \mathrm { { S } } } } { \partial t } } \right) U ( t ) } \\ & { = { \frac { i } { \hbar } } U ^ { \dagger } ( t ) H _ { \mathrm { { S } } } ( t ) A _ { \mathrm { { S } } } ( t ) U ( t ) - { \frac { i } { \hbar } } U ^ { \dagger } ( t ) A _ { \mathrm { { S } } } ( t ) H _ { \mathrm { { S } } } ( t ) U ( t ) + U ^ { \dagger } ( t ) \left( { \frac { \partial A _ { \mathrm { { S } } } } { \partial t } } \right) U ( t ) } \\ & { = { \frac { i } { \hbar } } U ^ { \dagger } ( t ) H _ { \mathrm { { S } } } ( t ) U ( t ) U ^ { \dagger } ( t ) A _ { \mathrm { { S } } } ( t ) U ( t ) - { \frac { i } { \hbar } } U ^ { \dagger } ( t ) A _ { \mathrm { { S } } } ( t ) U ( t ) U ^ { \dagger } ( t ) H _ { \mathrm { { S } } } ( t ) U ( t ) + \left( { \frac { \partial A _ { \mathrm { { S } } } } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { { H } } } } \\ & { = { \frac { i } { \hbar } } [ H _ { \mathrm { { H } } } ( t ) , A _ { \mathrm { { H } } } ( t ) ] + \left( { \frac { \partial A _ { \mathrm { { S } } } } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { { H } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \delta V _ { \varepsilon } ( \eta ) } & { = - \int _ { \Omega } \left( - \varepsilon \Delta u _ { \varepsilon } + \frac { W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) \langle \nabla u _ { \varepsilon } , \eta \rangle d \mathcal L ^ { n + 1 } + \int _ { \Omega } \nabla \eta ( \nu _ { \varepsilon } , \nu _ { \varepsilon } ) d \xi _ { \varepsilon } . } \end{array}
\mathit { \Omega } ^ { 2 } = 4 \mathrm { \ p i } ^ { 2 } ( \mathrm { \ d e l t a } \nu _ { 0 } - \mathrm { \ d e l t a } \nu _ { 0 , \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } } ) ^ { 2 } + \mathit { \Omega } _ { \mathrm { ~ R ~ } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { g _ { \lambda } ( x ) = } & { 1 - \lambda x + \Sigma _ { n = 2 } ^ { \infty } ( ( - \lambda ) P _ { n - 1 } ( \lambda ) - ( n - 1 ) P _ { n - 2 } ( \lambda ) ) x ^ { n } } \\ { = } & { 1 - \lambda x + \Sigma _ { n = 2 } ^ { \infty } ( - \lambda ) P _ { n - 1 } ( \lambda ) x ^ { n } - \Sigma _ { n = 2 } ^ { \infty } ( n - 1 ) P _ { n - 2 } ( \lambda ) x ^ { n } } \\ { = } & { 1 - \lambda x - \lambda x ( - 1 + 1 + \Sigma _ { n = 1 } ^ { \infty } P _ { n } ( \lambda ) x ^ { n } ) + - \Sigma _ { n = 2 } ^ { \infty } ( n - 1 ) P _ { n - 2 } ( \lambda ) x ^ { n } } \\ { = } & { 1 - \lambda x - \lambda x ( g _ { \lambda } ( x ) - 1 ) - x ^ { 2 } \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } ( n + 1 ) P _ { n } ( \lambda ) x ^ { n } } \\ { = } & { 1 - \lambda x - \lambda x ( g _ { \lambda } ( x ) - 1 ) - x ^ { 2 } ( g _ { \lambda } ( x ) + x \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } ( n ) P _ { n } ( \lambda ) x ^ { n - 1 } ) } \\ { = } & { 1 - \lambda x - \lambda x ( g _ { \lambda } ( x ) - 1 ) - x ^ { 2 } ( g _ { \lambda } ( x ) + x g ^ { \prime } ( x ) ) } \end{array}
[ n _ { i 1 } , n _ { i 2 } , n _ { i 3 } ] = [ 2 , 0 , 0 ] , \quad [ 0 , 2 , 0 ] , \quad [ 0 , 0 , 2 ] , \quad [ 0 , 1 , 1 ] , \quad [ 1 , 0 , 1 ] , \quad [ 1 , 1 , 0 ] .
\begin{array} { r } { \frac { h _ { t } ( g ^ { - 1 } y ) } { h _ { t } ( g ^ { - 1 } ) } - \frac { \varphi _ { 0 } ( g ^ { - 1 } y ) } { \varphi _ { 0 } ( g ^ { - 1 } ) } \, \sim \, \frac { \varphi _ { 0 } ( g ^ { - 1 } y ) } { \varphi _ { 0 } ( g ^ { - 1 } ) } \Big \lbrace { \frac { \mathbf { b } \left( - i \frac { ( g ^ { - 1 } y ) ^ { + } } { 2 t } \right) ^ { - 1 } } { \mathbf { b } \left( - i \frac { ( g ^ { - 1 } ) ^ { + } } { 2 t } \right) ^ { - 1 } } e ^ { - \frac { | ( g ^ { - 1 } y ) ^ { + } | ^ { 2 } } { 4 t } + \frac { | ( g ^ { - 1 } ) ^ { + } | ^ { 2 } } { 4 t } } - 1 } \Big \rbrace } \end{array}
y ( t _ { 2 } ) = \int \frac { d \omega _ { 2 } ^ { \prime } } { 2 \pi } t ( \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) e ^ { - \mathrm { i } \omega _ { 2 } ^ { \prime } t _ { 2 } } = \mathrm { i } \theta ( t _ { 2 } ) \sum _ { \nu } e ^ { - \mathrm { i } \omega _ { \nu } t _ { 2 } } t _ { \nu } \: .
\begin{array} { r l } { \frac { d \rho _ { m n } } { d Z } } & { = i L \Big [ J _ { m } ( Z ) \rho _ { m + 1 , n } + J _ { m - 1 } ( Z ) \rho _ { m - 1 , n } } \\ & { \qquad - J _ { n } ( Z ) \rho _ { m , n + 1 } - J _ { n - 1 } ( Z ) \rho _ { m , n - 1 } \big ] } \\ & { \qquad + i L g \left( \rho _ { m m } - \rho _ { n n } \right) \rho _ { m n } . } \end{array}
\mathbf { A } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } , \ \ \mathbf { B } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } ,