harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \begin{array} { r } { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \ \ \ \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } \\ { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \ \ \ \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } \end{array} \right] ( { x _ { 0 } } ) = \left[ \begin{array} { r } { \lambda _ { 0 } \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } \ \ \ \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } \\ { \lambda _ { 0 } \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } \ \ \ \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } \end{array} \right] ( { x _ { 0 } } ) : = \left[ \begin{array} { r } { \lambda _ { 0 } b _ { 0 } \ \ \ b _ { 0 } } \\ { \lambda _ { 0 } d _ { 0 } \ \ \ d _ { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e } \left( \lambda _ { \mathrm { P B C } } \right) } & { = \mathrm { R e } ( \eta _ { y y } ) \left[ t ^ { 2 } - \left\{ \mathrm { I m } \left( q k _ { y } \right) \right\} ^ { 2 } \right] } \\ & { - 2 \mathrm { I m } \left( \eta _ { y y } \right) \mathrm { I m } ( q k _ { y } ) t , } \\ { \mathrm { I m } \left( \lambda _ { \mathrm { P B C } } \right) } & { = \mathrm { I m } ( \eta _ { y y } ) \left[ t ^ { 2 } - \left\{ \mathrm { I m } \left( q k _ { y } \right) \right\} ^ { 2 } \right] } \\ & { + 2 \mathrm { R e } \left( \eta _ { y y } \right) \mathrm { I m } \left( q k _ { y } \right) t , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ^ { - 1 } ( d r , C \partial _ { \bar { t } } + X ) } \\ & { \quad = \Big ( C \frac { \Delta _ { b } ( r _ { - } ) } { r _ { - } ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r _ { - } ) + \frac 1 2 \big ( \frac { r ^ { 2 } } { \Delta _ { b } } - \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } \big ) - \epsilon \Big ) \lvert \partial _ { \bar { t } } u \rvert ^ { 2 } + \epsilon ( \partial _ { \bar { t } } u + \frac { C \Delta _ { b } ( r _ { - } ) } { 2 \epsilon r _ { - } ^ { 2 } } \partial _ { r } u \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + \Big ( - \frac { \Delta _ { b } ( r _ { - } ) } { 2 r _ { - } ^ { 2 } } - \frac { C ^ { 2 } \Delta _ { b } ^ { 2 } ( r _ { - } ) } { 4 \epsilon r _ { - } ^ { 4 } } \Big ) \lvert \partial _ { r } u \rvert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 r _ { - } ^ { 2 } } \vert \partial _ { \theta } ^ { 2 } u \vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 r _ { - } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \vert \partial _ { \varphi } u \vert ^ { 2 } \geq 0 \quad \mathrm { a t } \quad r = r _ { - } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x _ { k } ( \zeta ) } & { = \Re \left\{ \int _ { 0 } ^ { \zeta } \varphi _ { k } ( z ) \, d z \right\} + c _ { k } , \qquad k = 1 , 2 , 3 } \\ { \varphi _ { 1 } } & { = f ( 1 - g ^ { 2 } ) / 2 } \\ { \varphi _ { 2 } } & { = \mathbf { i } f ( 1 + g ^ { 2 } ) / 2 } \\ { \varphi _ { 3 } } & { = f g } \end{array} }
V ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) = \lambda _ { 1 } \left( \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ^ { \dagger } \phi _ { 2 } - 2 u ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } \left( \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } ^ { \dagger } \phi _ { 2 } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 t } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { 0 t } } { c } = A _ { 0 i } + \overline { { A } } _ { 0 i } \tan \theta _ { i } , } \\ { A _ { 0 r } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { 0 r } } { c } = \overline { { A } } _ { 0 i } \tan \theta _ { i } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 r } } & { { } = } & { \overline { { A } } _ { 0 i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu \, \partial _ { t } H _ { x } + \partial _ { y } E _ { z } = } & { \, \, 0 , } \\ { \mu \, \partial _ { t } H _ { y } - \partial _ { x } E _ { z } = } & { \, \, 0 , } \\ { \epsilon \, \partial _ { t } E _ { z } - \partial _ { x } H _ { y } + \partial _ { y } H _ { x } = } & { \, \, 0 , } \\ { \partial _ { x } H _ { x } + \partial _ { y } H _ { y } = } & { \, \, 0 , } \end{array}
\Pi _ { 0 0 } ( k _ { 4 } = 0 , k _ { 3 } = 0 , H , T ) = \frac { 2 } { 3 } g ^ { 2 } T ^ { 2 } + \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi } ( g H ) ^ { 1 / 2 } T ( 6 + 4 n ) ,
\hat { H } _ { 0 } | \psi _ { 1 } \rangle = \hat { H } _ { 0 } \hat { A } _ { 0 } ^ { \dagger } | \phi _ { 1 } ^ { a u x } \rangle = \hat { A } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { H } _ { 1 } ^ { a u x } | \phi _ { 1 } ^ { a u x } \rangle = E _ { 1 } \hat { A } _ { 0 } ^ { \dagger } | \phi _ { 1 } ^ { a u x } \rangle = E _ { 1 } | \psi _ { 1 } \rangle .
\delta \Lambda _ { \mathrm { g c V } } \equiv \frac { \partial } { t } \left( \int { \cal F } _ { \mathrm { g c } } \, \delta { \sf S } \, d ^ { 4 } P \right) + \nabla \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \left( \int { \cal F } _ { \mathrm { g c } } \, \delta { \sf S } \; \dot { \bf X } \; d ^ { 4 } P \right)
J ^ { a } t _ { a } = \left( \begin{array} { c c c c } { { \frac { J ^ { 7 } } { 2 } + J ^ { 8 } + J ^ { 9 } } } & { { J ^ { 5 } + J ^ { 6 } } } & { { J ^ { 2 } + J ^ { 3 } } } & { { J ^ { 1 } } } \\ { { J ^ { 1 0 } + J ^ { 1 1 } } } & { { \frac { J ^ { 7 } } { 2 } - J ^ { 8 } - J ^ { 9 } } } & { { J ^ { 4 } } } & { { J ^ { 2 } - J ^ { 3 } } } \\ { { J ^ { 1 2 } + J ^ { 1 3 } } } & { { J ^ { 1 4 } } } & { { - \frac { J ^ { 7 } } { 2 } + J ^ { 8 } - J ^ { 9 } } } & { { J ^ { 5 } - J ^ { 6 } } } \\ { { J ^ { 1 5 } } } & { { J ^ { 1 2 } - J ^ { 1 3 } } } & { { J ^ { 1 0 } - J ^ { 1 1 } } } & { { - \frac { J ^ { 7 } } { 2 } - J ^ { 8 } + J ^ { 9 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \left\| \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left| \check { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \rho _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \check { \vartheta } _ { k } ^ { i , l } ( t ) \right| \mathbf 1 ( \bar { B } _ { n } ^ { \prime } ) \right\| _ { q } = O \left( n ^ { \phi - 1 } b ^ { - 1 - 1 / q } h + b ^ { 3 - 1 / q } + n ^ { - 1 / 2 } b ^ { - 1 / q } h \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 2 } ( \mathbf { a } _ { k } ) } & { = \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } \left[ v _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ) - \sigma _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ) \right] - \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { j } ( \mathbf { a } _ { k } ) , } \\ { w _ { 3 } ( \mathbf { b } _ { k } ) } & { = \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } \left[ v _ { i } ( \mathbf { b } _ { k } ) - \sigma _ { i } ( \mathbf { b } _ { k } ) \right] - \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { j } ( \mathbf { b } _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { \alpha } = } & { { } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { \tilde { A } } ^ { s } } & { \mathcal { W } _ { s \leftarrow f } } \\ { \mathcal { W } _ { f \leftarrow s } } & { \mathbf { \tilde { A } } ^ { f } } \end{array} \right] , } \end{array}
\langle { \frac { d { \cal { E } } } { d t } } \rangle _ { 1 } = { \frac { 2 \pi ^ { 3 / 2 } \alpha _ { s } \langle { \bf E } ^ { 2 } \rangle \tau _ { c } } { m } } ( { \frac { 2 E _ { 0 } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } - 1 ) ^ { - 3 / 2 } { \frac { C _ { A } } { N _ { c } ^ { 2 } - 1 } }
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \int _ { \Omega } ( { \mathcal { A } } ( x , \nabla u _ { n } ) - { \mathcal { A } } ( x , w ) ) \cdot ( \nabla u _ { n } - w ) \, d x } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \bigg ( \int _ { \Omega } { \mathcal { A } } ( x , \nabla u _ { n } ) \cdot \nabla u _ { n } \, d x - \int _ { \Omega } { \mathcal { A } } ( x , \nabla u _ { n } ) \cdot w \, d x } \\ & { \qquad \qquad - \int _ { \Omega } { \mathcal { A } } ( x , w ) \cdot \nabla u _ { n } \, d x + \int _ { \Omega } A ( x , w ) \cdot w \, d x \bigg ) } \\ & { \leq I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } + I _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \quad \frac { \mathbb { P } ( a _ { n } \mu _ { n } N _ { n } ^ { j } / \sqrt { w _ { n } } \geq x ) } { 1 - \Phi ( x ) } = \frac { \mathbb { P } ( a _ { n } \mu _ { n } N _ { n } ^ { j } / \sqrt { w _ { n } } \leq - x ) } { 1 - \Phi ( - x ) } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { C \cdot \exp ( \frac { x ^ { 3 } } { \sqrt { n } } + \frac { x ^ { 2 } } { n ^ { 2 ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) } } + \frac { 1 } { \sqrt { n } } ( n ^ { 1 / 2 - ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) } + \frac { 1 } { 2 } \log n ) ( 1 + x ) ) } & { \mathrm { w h e n } \quad a < 1 - \frac { 1 } { 2 ( \beta + 1 ) } } \\ { C \cdot \exp ( \frac { x ^ { 3 } } { \sqrt { n } } + \frac { x ^ { 2 } } { n \log n } + ( \frac { 1 } { \sqrt { n \log n } } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { n } } \log n ) ( 1 + x ) ) } & { \mathrm { w h e n } \quad a = 1 - \frac { 1 } { 2 ( \beta + 1 ) } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \left\lVert \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\rVert ^ { 2 } \right] \leq } & { \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \right) + \mathcal { O } \left( T ^ { \nu - 1 } \right) + \mathcal { O } \left( T ^ { - 2 ( \sigma - \nu ) } \right) + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { \operatorname* { m a x } } \right) \mathcal { O } \left( T ^ { - \nu } \right) } \\ & { + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) + \mathcal { O } \left( \mathcal { E } _ { a p p } \right) . } \end{array}
V _ { i \sigma } = \sum _ { j \alpha } V _ { i j } \left( \rho _ { j j } ^ { \left( \alpha \right) } - \rho _ { 0 j j } ^ { \left( \alpha \right) } \right) + U \left( \rho _ { i i } ^ { \left( \overline { { \sigma } } \right) } - \rho _ { 0 i i } ^ { \left( \overline { { \sigma } } \right) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \delta _ { q k + s } \| } & { \le \frac { \Lambda } { \sqrt { B } } + \epsilon \sqrt { \frac { q } { B ^ { \prime } } } + \Big ( \frac { \epsilon } { \sqrt { B ^ { \prime } } } + \frac { \Gamma } { \sqrt { B } } \Big ) \sum _ { u = 0 } ^ { q - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + u } ) \| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { i j } ( { \bf B } _ { 0 } ) \! } & { = } & { \! \delta _ { i j } + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 i } \, B _ { 0 j } \; , } \\ { \mu _ { i j } ( { \bf B } _ { 0 } ) \! } & { = } & { \! \delta _ { i j } + \frac { d _ { 1 } \, B _ { 0 i } \, B _ { 0 j } } { c _ { 1 } - d _ { 1 } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a ^ { 2 } ( t ) } & { = } & { \pi ^ { 2 } \left[ A i ^ { \prime } ( - z ^ { 2 / 3 } ) B i \left\{ \left( 1 - \frac { t } { t _ { 0 } } \right) z ^ { 2 / 3 } \right\} - B i ^ { \prime } ( - z ^ { 2 / 3 } ) A i \left\{ - \left( 1 - \frac { t } { t _ { 0 } } \right) z ^ { 2 / 3 } \right\} \right] ^ { 2 } } \\ { b ^ { 2 } ( t ) } & { = } & { \pi ^ { 2 } z ^ { 2 / 3 } \left[ A i ( - z ^ { 2 / 3 } ) B i \left\{ - \left( 1 - \frac { t } { t _ { 0 } } \right) z ^ { 2 / 3 } \right\} - B i ( - z ^ { 2 / 3 } ) A i \left\{ - \left( 1 - \frac { t } { t _ { 0 } } \right) z ^ { 2 / 3 } \right\} \right] ^ { 2 } } \end{array}
\dot { x } = 0 . 5 3 4 0 y + 1 . 3 1 8 6 y ^ { 3 } - 0 . 4 7 0 0 x ^ { 2 } y + 0 . 1 7 3 4 y ^ { 5 } + 0 . 1 6 1 0 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 0 . 1 1 1 4 x ^ { 4 } y
\frac { i } { 4 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \frac { \sinh \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) } { \cosh \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) } \right) e ^ { - i \alpha x } d \alpha = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \cosh ( \pi u ) } { \sinh ( 2 \pi u ) } \delta ( x - u ) d u
E = \sum _ { i } ^ { N } \varepsilon _ { i } - E _ { \mathrm { H } } [ \rho ] + E _ { \mathrm { x c } } [ \rho ] - \int { \frac { \delta E _ { \mathrm { x c } } [ \rho ] } { \delta \rho ( \mathbf { r } ) } } \rho ( \mathbf { r } ) \, d \mathbf { r } .
\omega _ { A B } = \epsilon _ { A } \, \frac { \mathsf { G } _ { A , B } } { 2 \mathsf { G } _ { A } \sqrt { \mathsf { G } _ { B } } } \, \vartheta ^ { A } + \epsilon _ { A } \, \xi ^ { A } { } _ { B C } \, \vartheta ^ { C } \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ ~ ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ~ ~ o ~ n ~ } ~ A ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ B ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 9 } ( x , t ) } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 - \exp ( - ( C \sigma _ { i } + \frac { k } { \xi } ) t ) } { ( C \sigma _ { i } + \frac { k } { \xi } ) } \right) } \\ & { \times \frac { 2 k _ { B } T u _ { 1 i } } { \xi } \phi _ { i } ( x ) \left( 1 - \frac { x } { L } \right) \left( 1 - \frac { x } { L } - u _ { 0 } x \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } } } & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { ( \varepsilon _ { a } + \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { j } ) t } d t } \\ & { \approx - \sum _ { \lambda = 1 } ^ { L } w _ { \lambda } e ^ { ( \varepsilon _ { a } + \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { j } ) t _ { \lambda } } } \\ & { = \sum _ { \lambda = 1 } ^ { L } \tau _ { a } ^ { \lambda } \tau _ { b } ^ { \lambda } \tau _ { i } ^ { \lambda } \tau _ { j } ^ { \lambda } } \end{array}
\psi ( t = 0 , \vec { x } ) = \sum _ { \vec { k } } { \frac { 1 } { 2 \sqrt { L \omega ( \vec { k } ) } } } ( u _ { \vec { k } } b _ { \vec { k } } \; e ^ { + i \vec { k } \cdot \vec { x } } + v _ { \vec { k } } d _ { \vec { k } } ^ { \dag } \; e ^ { - i \vec { k } \cdot \vec { x } } )
{ \cal D } \left( x ^ { 2 } \right) = m ^ { 2 } D _ { m } ( x ) + \left( 4 \pi g _ { m } \eta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \int d ^ { 4 } y \left[ \frac { m ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } K _ { 0 } ( m | x - y | ) - D _ { m } ( x - y ) \right] g ( y ) ,
{ \cal O } _ { i } ^ { n e w } = \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { g _ { s } ^ { 2 } } { { \cal O } } _ { i } ^ { o l d } ~ , \quad C _ { i } ^ { n e w } = \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } { C } _ { i } ^ { o l d } ~ , \quad \quad ( i = 7 , . . . , 1 0 ) .
\begin{array} { r l } { Q } & { = \int _ { t - \tau ( t ) } ^ { t } \frac { \mu ( x ) U ( x ) } { S } \, d x } \\ & { = \int _ { t - \tau ( t ) } ^ { b } \frac { \mu ( x ) U ( x ) } { S } \, d x + \int _ { b } ^ { t } \frac { \mu ( x ) U ( x ) } { S } \, d x } \\ & { = - \int _ { b } ^ { t - \tau ( t ) } \frac { \mu ( x ) U ( x ) } { S } \, d x + \int _ { b } ^ { t } \frac { \mu ( x ) U ( x ) } { S } \, d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { m } _ { i , t + 1 } } & { { } = \mathbf { m } _ { i , t } + \eta _ { t } \mathrm { E } _ { \mathbf { m } _ { j , t } \sim q _ { t } } [ \nabla _ { \mathbf { m } _ { j , t } } \log \pi ( \mathbf { m } _ { j , t } ) k ( \mathbf { m } _ { j , t } , \mathbf { m } _ { i , t } ) + \nabla _ { \mathbf { m } _ { j , t } } k ( \mathbf { m } _ { j , t } , \mathbf { m } _ { i , t } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { b } ( h _ { 1 } , h _ { 1 } , h _ { 2 } ) } & { \leq } & { H _ { b } ( \mathfrak { T } h _ { 0 } , \mathfrak { T } h _ { 0 } , \mathfrak { T } h _ { 1 } ) + \alpha , } \\ { \implies S _ { b } ( h _ { 1 } , h _ { 1 } , h _ { 2 } ) } & { \leq } & { \alpha S _ { b } ( h _ { 0 } , h _ { 0 } , h _ { 1 } ) + \alpha ~ \mathrm { b y ~ } . } \\ { \mathrm { I n ~ t h e ~ s a m e ~ w a y , ~ t h e r e ~ e x i s t s } ~ h _ { 3 } \in \mathfrak { T } h _ { 2 } , ~ \mathrm { s u c h ~ t h a t } } \\ { S _ { b } ( h _ { 2 } , h _ { 2 } , h _ { 3 } ) } & { \leq } & { H _ { b } ( \mathfrak { T } h _ { 1 } , \mathfrak { T } h _ { 1 } , \mathfrak { T } h _ { 2 } ) + \alpha ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \omega \tilde { x } _ { 1 } ( \omega ) } & { { } = } & { - \tilde { x } _ { 1 } ( \omega ) + J _ { 0 } ^ { 2 } \tilde { G } ( \omega ) \tilde { x } _ { 1 } ( \omega ) + \tilde { \nu } ( \omega ) + \tilde { \varepsilon } ( \omega ) } \\ { \Big [ i \omega + 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } \tilde { G } ( \omega ) \Big ] \tilde { x } _ { 1 } ( \omega ) } & { { } = } & { \tilde { \nu } ( \omega ) + \tilde { \varepsilon } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( r ^ { * } , z ^ { * } ) = \; R ^ { * } ( r , \delta z ) , \quad u ^ { * } = \frac { D ^ { * } ( c _ { s } ^ { * } - c _ { \infty } ^ { * } ) } { \delta \rho ^ { * } R ^ { * } } u , \quad t ^ { * } = t _ { f } ^ { * } t , \quad \phi ^ { * } = \phi _ { 0 } ^ { * } \phi , } \\ & { ( h ^ { * } , h _ { 0 } ^ { * } ) = \delta R ^ { * } ( h , h _ { 0 } ) , \quad p ^ { * } = p _ { \mathrm { a t m } } ^ { * } + \frac { \mu ^ { * } D ^ { * } ( c _ { s } ^ { * } - c _ { \infty } ^ { * } ) } { \delta ^ { 3 } \rho ^ { * } R ^ { * 2 } } p \quad V ^ { * } = V _ { 0 } ^ { * } V . } \end{array}
l _ { \mathrm { ~ k ~ e ~ e ~ p ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } = \operatorname* { m a x } \ ( 2 l _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } , l _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } + l _ { \mathrm { ~ O ~ B ~ S ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } + l _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ) ,
| k - k ^ { \prime } | = 2 \quad \implies \quad ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } ) ^ { \intercal } ( t , x ) \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k ^ { \prime } } ^ { \kappa } ( t , x ^ { \prime } ) = 0 \, , \quad \forall x , x ^ { \prime } \in \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } \, , \, t \in \ensuremath { \mathbb { R } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { \textrm { T } } } { \partial R _ { N , p } ^ { \vec { L } } } = } & { \phantom { - } ~ \sum _ { \mu \nu } \sum _ { \vec { L } ^ { \prime } } \frac { \partial T _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } ^ { \prime } } } { \partial R _ { N , p } ^ { \vec { L } } } \left[ \Re ( D _ { \nu \mu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } ^ { \prime } } ) + \Re ( D _ { \nu \mu } ^ { \beta \beta , \vec { L } ^ { \prime } } ) \right] } \\ & { - \sum _ { \mu \nu } \sum _ { \vec { L } ^ { \prime } } \frac { \partial S _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } ^ { \prime } } } { \partial R _ { N , p } ^ { \vec { L } } } \left[ \Re ( W _ { \nu \mu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } ^ { \prime } } ) + \Re ( W _ { \nu \mu } ^ { \beta \beta , \vec { L } ^ { \prime } } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { A = \frac { \mu - \eta ^ { 2 } } { \eta ( 1 + \eta ) } , \quad B = \frac { \eta ( 1 - \mu ) } { ( 1 - \eta ) ( 1 - \eta ^ { 2 } ) } , \quad } \\ { C = ( 1 - \eta ^ { 2 } ) ( 1 - 3 \eta ^ { 2 } ) - 4 \eta ^ { 4 } \ln { \eta } , } \\ { D = 1 6 \left[ ( 1 - \eta ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( 1 - \eta ^ { 4 } ) \ln { \eta } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { 2 { \mathbb { E } } [ \left\| \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) ( \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ & { + 4 { \mathbb { E } } [ \left\| \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ & { + 4 { \mathbb { E } } [ \left\| \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) ( \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - 2 \alpha ( 1 - \gamma ) \Vert \hat { V } _ { { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } } & { \leq - \alpha ( 1 - \gamma ) \Vert \hat { V } _ { \tilde { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } + 2 \alpha ( 1 - \gamma ) \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta _ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq - \alpha ( 1 - \gamma ) \Vert \hat { V } _ { \tilde { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } + 2 \alpha ( 1 - \gamma ) \Vert \alpha e _ { t - 1 } - e _ { p , t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq - \alpha ( 1 - \gamma ) \Vert \hat { V } _ { \tilde { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } + 4 \alpha ( 1 - \gamma ) \left( \alpha ^ { 2 } \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + \Vert e _ { p , t } \Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq - \alpha ( 1 - \gamma ) \Vert \hat { V } _ { \tilde { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } + 1 0 4 4 \alpha ^ { 3 } ( 1 - \gamma ) \delta ^ { 2 } G ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } f \cdot \operatorname* { s u p } _ { t \in [ c _ { j } , b _ { j } ] } ( \tilde { \sigma } _ { t } \ast g ) } & { \geqslant \int _ { A \cap [ \tau , 1 - \tau ] ^ { 2 } } f \cdot \operatorname* { s u p } _ { t \in [ c _ { j } , b _ { j } ] } \big ( \tilde { \sigma } _ { t } \ast g \big ) } \\ & { = | A \cap [ \tau , 1 - \tau ] ^ { 2 } | \geqslant | A | - 4 \tau = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } f - 4 \tau , } \end{array}
W _ { \varepsilon } ^ { i } ( \xi , T ) = \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ T < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( T ) W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } , 0 ) \right] + \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) g _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \textrm { d } t \right] .
\begin{array} { r } { { \bar { f } } ( \Delta \phi ) = \frac { 1 } { \lambda } \int _ { 0 } ^ { \lambda } f ( z ) \, d z = { \bar { f } } _ { 1 } ( \Delta \phi ) + { \bar { f } } _ { 2 } ( \Delta \phi ) \, , } \end{array}
{ \frac { \partial \mathbf { F } } { \partial \mathbf { S } } } : \mathbf { T } = D \mathbf { F } ( \mathbf { S } ) [ \mathbf { T } ] = \left[ { \frac { d } { d \alpha } } ~ \mathbf { F } ( \mathbf { S } + \alpha \mathbf { T } ) \right] _ { \alpha = 0 }
\begin{array} { r l } { \mathbb P \left[ \left. Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 , a _ { T _ { 0 } + \tau } } S _ { T _ { 0 } + \tau , a _ { T _ { 0 } + \tau } } > M m ^ { \frac \delta 3 } \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } , a _ { t } \right] } & { \le 5 M ^ { 4 } m ^ { 2 } \cdot ( M m ^ { \frac \delta 3 } \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } ) ^ { - 2 } } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le 5 M ^ { 4 } m ^ { 2 } \cdot ( M m ^ { \frac \delta 3 } \cdot M m ) ^ { - 2 } } \\ & { = 5 m ^ { - \frac 2 3 \delta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ \left\| \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) \right\| \right] } & { \le \left( \frac { 1 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ Z _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) ^ { \top } Z _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) \right] \right. } \\ & { \left. + \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { N K ( 1 - \rho ) } + \frac { 2 } { K } L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } + 2 L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \le } \sqrt { \frac { N K } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } { c _ { 3 } ^ { 2 } } + \frac { 2 c _ { 3 } L \rho } { N K ( 1 - \rho ) } + \frac { 2 } { K } L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } + 2 L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } } } \\ & { \le \sqrt { \frac { 1 } { N K } \left( c _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { 1 - \rho } \right) + 4 L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } } \quad ( K \ge 1 ) } \\ & { \le \sqrt { \frac { 1 } { N K } \left( c _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { 1 - \rho } \right) } + \sqrt { 4 L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } } } \\ & { = \sqrt { \frac { 1 } { N K } \left( c _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { 1 - \rho } \right) } + 2 L _ { 2 } \rho ^ { \tau K } . } \end{array}
a _ { n } ^ { - 1 } \bigl ( \tilde { Y } _ { I _ { 1 } } , \tilde { Y } _ { I _ { 2 } } , \ldots , \tilde { Y } _ { I _ { n } } \bigr ) \stackrel { d } { = } a _ { n } ^ { - 1 } \bigl ( G ^ { - 1 } ( \gamma _ { 1 } / \gamma _ { n + 1 } ) , G ^ { - 1 } ( \gamma _ { 2 } / \gamma _ { n + 1 } ) , \ldots , G ^ { - 1 } ( \gamma _ { n } / \gamma _ { n + 1 } ) \bigr ) .