harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| R y \| ^ { 2 } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \beta _ { i } \beta _ { j } \langle R y ^ { ( i ) } , R y ^ { ( j ) } \rangle = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \beta _ { i } \beta _ { j } ( \langle y ^ { ( i ) } , y ^ { ( j ) } \rangle + \alpha _ { i , j } ) } \\ & { = \| y \| ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \beta _ { i } \beta _ { j } \alpha _ { i , j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { a , b } ^ { \pm } ( x ) } & { { } = x ^ { 2 \mu _ { \pm } } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) } ^ { - \left( \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } + \frac { 1 } { 4 } \right) } { } _ { 2 } F _ { 1 } \! \left( \alpha _ { a , b } ^ { \pm } , \beta _ { a , b } ^ { \pm } ; \gamma _ { \pm } ; \frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\gamma _ { x } ( \boldsymbol { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { f o r } \quad ( \boldsymbol { k } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + b > 0 , } \\ { 0 } & { \mathrm { f o r } \quad ( \boldsymbol { k } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + b < 0 , } \\ { \sigma ( \theta _ { x } ) } & { \mathrm { f o r } \quad ( \boldsymbol { k } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + b = 0 } \end{array} \right.
\gamma _ { 2 } ( n ) = \mu _ { 4 } / \mu _ { 2 } ^ { 2 } - 3 = { \frac { - 9 + _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - 4 t ^ { 2 } ) - ( 4 _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - t ^ { 2 } / 4 ) ( _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - 9 { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) ) - 9 _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) + 6 | _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } | ^ { 3 } ) } { 4 ( - 1 + | _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) ) ^ { 2 } | ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { Y ( s , a ) = r ( s , a ) + \gamma \mathrm { m a x } _ { a ^ { \prime } } Q _ { \theta ^ { \prime } } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) } \\ { = r ( s , a ) + \gamma Q _ { \theta ^ { \prime } } ( s ^ { \prime } , \mathrm { a r g m a x } _ { a ^ { \prime } } Q _ { \theta ^ { \prime } } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) ) ~ . } \end{array}
s _ { i } ( t + \tau ) = s _ { i } ( t ) \quad \mathrm { i f } \quad - q \cdot \sum _ { k } J _ { i k } ( t ) > q \cdot N - s _ { i } ( t ) \quad \mathrm { o r } \quad q \cdot \sum _ { k } J _ { i k } ( t ) > s _ { i }
\begin{array} { r l } { U _ { \tilde { J } , m } = } & { { } \, u _ { \tilde { J } , m } - B \tilde { J } ( \tilde { J } + 1 ) } \\ { = } & { { } - \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } E _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } - \frac 1 2 \left[ \frac 1 3 - \frac { ( 2 | m | - 1 ) ( 2 | m | + 1 ) } { ( 2 \tilde { J } - 1 ) ( 2 \tilde { J } + 3 ) } \right] \frac { \Delta \alpha _ { \mathrm { s } } E _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } } \end{array}
{ \tilde { \langle T _ { \mu } ^ { \mu } \rangle } } = \frac { \hbar H ^ { 3 } } { 4 \pi c ^ { 2 } } ( \bar { m } ^ { 2 } \gamma ) \left\lbrack ( 1 - 6 \zeta ) - \bar { m } ^ { 2 } \gamma \right\rbrack ^ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \mathrm { c t g } \: \pi \left\lbrack ( 1 - 6 \zeta ) - \bar { m } ^ { 2 } \gamma \right\rbrack ^ { \frac { 1 } { 2 } }
s = \operatorname* { m i n } \left( d \frac { r - 2 } { r } - \alpha \frac { 2 } { q } , - 1 + d \frac { r - 3 } { r } + \alpha \frac { q - 3 } { q } , - 2 + d \frac { r - 2 } { r } + \alpha \frac { q - 2 } { q } \right) .
\begin{array} { r l } { \texttt { ( I ) } } & { = \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { p } \cup \mathcal { B } _ { p } } \left( \int _ { e _ { f } } u \mathbf { v } \cdot \frac { \mathbf { n } _ { p f } } { | \mathbf { n } _ { p f } | } d S - u _ { p } \int _ { e _ { f } } \mathbf { v } \cdot \frac { \mathbf { n } _ { p f } } { | \mathbf { n } _ { p f } | } d S \right) \approx \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { p } \cup \mathcal { B } _ { p } } \left( u _ { p f } - u _ { p } \right) \mu _ { p f } , } \end{array}
\frac { [ a ^ { \prime } ] } { a } = - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 3 } ( \lambda _ { - } ( \phi ) + \rho ) b \mathrm { ~ , ~ } \frac { [ n ^ { \prime } ] } { n } = \frac { \kappa ^ { 2 } } { 3 } ( - \lambda _ { - } ( \phi ) + 3 p + 2 \rho ) b
Z _ { 0 } = \int _ { M } \mathrm { e } ^ { H } ( \omega ) ^ { N } = \sum _ { d H = 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { H } \sqrt { d e t \omega _ { i j } } } { \sqrt { d e t \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { j } } } } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \mathrm { d i v } ( \rho { \bf u } ) = 0 , \qquad \qquad } \\ { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( { \bf u \nabla ) u } = - \frac { 1 } { \rho } { \bf \nabla } \left( P + \frac { H ^ { 2 } } { 8 \pi } \right) } \\ { + \frac { ( { \bf H \nabla ) H } } { 4 \pi \rho } - \frac { 1 } { 4 \pi c \rho } \left[ \frac { \partial { \bf E } } { \partial t } \times { \bf H } \right] , } \\ { \rho T [ \frac { \partial { s } } { \partial t } + ( { \bf u \nabla ) } s ] = \frac { \nu _ { m } } { 4 \pi } ( \mathrm { r o t } { \bf H } ) ^ { 2 } \qquad } \\ { - \frac { 2 \nu _ { m } } { 4 \pi c } \left( \mathrm { r o t } { \bf H } \cdot \frac { \partial { \bf E } } { \partial t } \right) + \frac { \nu _ { m } } { 4 \pi c ^ { 2 } } \left( \frac { \partial { \bf E } } { \partial t } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal { L } } = { \cal { A } } _ { i j } ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi _ { i } \partial _ { \nu } \phi _ { j } + { \cal { B } } _ { i j } ^ { \mu } \phi _ { i } \partial _ { \mu } \phi _ { j } - U ( \phi _ { i } ) .
{ \cal M } _ { \chi ^ { 0 } } = \left[ \begin{array} { c c c c } { { M _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { - M _ { Z } \sin \theta _ { W } \cos \beta } } & { { M _ { Z } \sin \theta _ { W } \sin \beta } } \\ { { 0 } } & { { M _ { 2 } } } & { { M _ { Z } \cos \theta _ { W } \cos \beta } } & { { - M _ { Z } \cos \theta _ { W } \sin \beta } } \\ { { - M _ { Z } \sin \theta _ { W } \cos \beta } } & { { M _ { Z } \cos \theta _ { W } \cos \beta } } & { { 0 } } & { { - \mu } } \\ { { M _ { Z } \sin \theta _ { W } \sin \beta } } & { { - M _ { Z } \cos \theta _ { W } \sin \beta } } & { { - \mu } } & { { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { H _ { 1 / a } } & { { } = { \frac { 1 } { a } } \left( \zeta ( 2 ) - { \frac { 1 } { a } } \zeta ( 3 ) + { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \zeta ( 4 ) - { \frac { 1 } { a ^ { 3 } } } \zeta ( 5 ) + \cdots \right) } \\ { H _ { 1 / a , \, 2 } } & { { } = { \frac { 1 } { a } } \left( 2 \zeta ( 3 ) - { \frac { 3 } { a } } \zeta ( 4 ) + { \frac { 4 } { a ^ { 2 } } } \zeta ( 5 ) - { \frac { 5 } { a ^ { 3 } } } \zeta ( 6 ) + \cdots \right) } \\ { H _ { 1 / a , \, 3 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 a } } \left( 2 \cdot 3 \zeta ( 4 ) - { \frac { 3 \cdot 4 } { a } } \zeta ( 5 ) + { \frac { 4 \cdot 5 } { a ^ { 2 } } } \zeta ( 6 ) - { \frac { 5 \cdot 6 } { a ^ { 3 } } } \zeta ( 7 ) + \cdots \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { c } _ { \pm } ( \bar { \rho } , \bar { z } , \bar { t } = 0 ) } & { { } = 1 , } \\ { - \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 2 } } = \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 6 } } } & { { } = \bar { \Psi } _ { 0 } , } \\ { \partial _ { \bar { \rho } } \bar { \psi } | _ { \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 8 } } = \partial _ { \bar { z } } \bar { \psi } | _ { \Gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 5 } , \Gamma _ { 7 } } } & { { } = 0 , } \\ { \bar { j } _ { \bar { \rho } , \pm } \big | _ { \Gamma _ { 2 } , \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 6 } , \Gamma _ { 8 } } = \bar { j } _ { \bar { z } , \pm } \big | _ { \Gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 5 } , \Gamma _ { 7 } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\hat { \mathcal { A } } _ { R } ^ { [ 1 ] } , \hat { \mathcal { A } } _ { L } ^ { [ 1 ] } , \hat { \mathcal { A } } _ { R } ^ { [ 2 ] } , \dots , \hat { \mathcal { B } } _ { L } ^ { [ 2 ] } , \hat { \mathcal { C } } _ { R } , \hat { \mathcal { C } } _ { L }
\nabla _ { \! x } ( \frac { 1 } { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } p _ { s } \sum _ { t = 1 } ^ { T } r _ { s t } ( x ^ { \star } ) - \bar { r } ) = \frac { 1 } { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } \sum _ { t = 1 } ^ { T } p _ { s } \nabla _ { \! x } r _ { s t } ( x ) = \sum _ { s = 1 } ^ { S } p _ { s } ( \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } r _ { s t } ^ { 1 } , \ldots , \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } r _ { s t } ^ { n } ) \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ B ^ { \varepsilon } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \mathbb { I } ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = a _ { + } ^ { \varepsilon } ) \Big ] } & { = p _ { + } ^ { \varepsilon } ( 1 - 2 \varepsilon \beta ( y ) ) + \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ r ( \varepsilon , Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y ) \mathbb { I } ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = a _ { + } ^ { \varepsilon } ) \Big ] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r } { \langle \alpha \rangle = \alpha + \left( \frac { 1 } { 2 } - \alpha \right) \operatorname { t a n h } \Big [ b \left( \langle k \rangle - 1 \right) \Big ] , } \\ { \langle \beta \rangle = \beta + \Big ( \frac { 1 } { 2 } - \alpha \Big ) \operatorname { t a n h } \Big [ b \Big ( \langle k \rangle - 1 \Big ) \Big ] . } \end{array} \right.
\operatorname* { l i m i n f } _ { x \to a } f ( x ) = \operatorname* { s u p } \{ \operatorname* { i n f } \{ f ( x ) : x \in E \cap U \setminus \{ a \} \} : U \ \mathrm { o p e n } , a \in U , E \cap U \setminus \{ a \} \neq \emptyset \}
\begin{array} { r } { \langle \hat { f } _ { k } ^ { \mathrm { \tiny ~ B } } ( t ) \hat { f } _ { k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { \tiny ~ B } } ( 0 ) \rangle _ { \mathrm { \tiny ~ B } } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \eta _ { k } e ^ { - \gamma _ { k } t } , } \\ { \langle \hat { f } _ { k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { \tiny ~ B } } ( 0 ) \hat { f } _ { k } ^ { \mathrm { \tiny ~ B } } ( t ) \rangle _ { \mathrm { \tiny ~ B } } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \eta _ { \bar { k } } ^ { \ast } e ^ { - \gamma _ { k } t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \partial _ { i } ( \rho u _ { i } ) } & { = 0 \, , } \\ { \partial _ { t } ( \rho u _ { i } ) + \partial _ { j } ( \rho u _ { i } u _ { j } ) } & { = - \partial _ { i } p + \partial _ { j } \sigma _ { i j } + \rho g \delta _ { i , 3 } \, , } \\ { \partial _ { t } ( \rho e ) + \partial _ { j } ( \rho e u _ { j } ) } & { = - p \partial _ { i } u _ { i } + \partial _ { i } ( k \partial _ { i } T ) + \sigma _ { i j } S _ { i j } \, , } \\ { p } & { = \rho R T \quad \textrm { w h e r e } \quad R = C _ { p } - C _ { v } . } \end{array}
( 4 . 1 3 ) = \frac { 2 C _ { 1 } C _ { 2 } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d w _ { 1 } \; w _ { 1 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left( w _ { 1 } + { \sigma } _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { \lambda + m } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d w _ { 2 } \; w _ { 2 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left( w _ { 2 } + { \sigma } _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { \lambda + m } { 2 } } =
\mathrm { J _ { 0 } \equiv \frac { 1 } { r + s } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } - a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } ) \; , \; \mathrm { J _ { + } \equiv ( a _ { 1 } ^ { \dagger } ) ^ { s } a _ { 2 } ^ { r } \; , \; \mathrm { J _ { - } = a _ { 1 } ^ { s } ( a _ { 2 } ^ { \dagger } ) ^ { r } , } } }
\mathrm { R H S } = \displaystyle \frac { ( 1 - \tau ^ { 2 } ) \zeta _ { N - 1 } } { \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( z _ { N - 1 } - z _ { j } \tau ^ { 2 } ) } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \zeta _ { k } \displaystyle \prod _ { j = 1 \atop j \neq k } ^ { n } \frac { ( z _ { N - 1 } - z _ { j } ) ( z _ { k } - z _ { j } \tau ^ { 2 } ) } { z _ { k } - z _ { j } } \displaystyle \overline { { { G } } } _ { \varepsilon , k } ^ { ( n - 1 , l - 1 ) } ( \zeta ^ { \prime } ) .
\kappa ( \mathbf { S } _ { n } ) : = \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { m } \in \mathbb { R } ^ { M } } \frac { ( \mathbf { S } _ { n } \mathbf { m } , \mathbf { m } ) } { \| \mathbf { m } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \left( \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { m } \in \mathbb { R } ^ { M } } \frac { ( \mathbf { S } _ { n } \mathbf { m } , \mathbf { m } ) } { \| \mathbf { m } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \lesssim h _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - 2 } .
\mathbf { u } \wedge \mathbf { v } = ( u _ { 1 } v _ { 2 } - u _ { 2 } v _ { 1 } ) ( \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } ) + ( u _ { 2 } v _ { 3 } - u _ { 3 } v _ { 2 } ) ( \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } ) + ( u _ { 3 } v _ { 1 } - u _ { 1 } v _ { 3 } ) ( \mathbf { e } _ { 3 } \wedge \mathbf { e } _ { 1 } ) ,
\left[ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) } & { - 2 \cos \alpha \, \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } \\ { - 2 \cos \alpha \, \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { 2 \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } } \\ { \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \, .
\boldsymbol { T } _ { \boldsymbol { u } } ^ { \mathrm { T S M E } } = \boldsymbol { \tilde { \Theta } } \boldsymbol { \tilde { \Lambda } } \boldsymbol { \tilde { \Theta } } _ { \boldsymbol { y } } ^ { H } \left( \boldsymbol { \tilde { \Theta } _ { y } } \boldsymbol { \tilde { \Lambda } } \boldsymbol { \tilde { \Theta } } _ { \boldsymbol { y } } ^ { H } + \boldsymbol { \tilde { S } _ { n n } } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { h _ { 1 D } ( u , v ) } & { = v - \frac { \nu + 1 } { 4 ( 1 - 2 \nu ) } u = 0 , } \\ { \mathrm { \ensuremath { h _ { D K } } } ( u , v ) } & { = v + \frac { \nu + 1 } { 2 ( 1 - 2 \nu ) } u = 0 , } \\ { h _ { 2 ^ { - } K ^ { - } } ( u , v ) } & { = v - \frac { \nu + 1 } { 2 ( 2 - \nu ) } u + \frac { \nu + 1 } { 2 - \nu } = 0 . } \end{array}
h ^ { 2 } = \frac { p ^ { 2 } } { ( n + 1 ) ^ { 2 } { \cal G } } , \; \; \kappa ^ { 2 } = \frac { 1 } { { \cal G } } \left( \frac { - ( n + 2 ) } { ( n + 1 ) ^ { 2 } } p ^ { 2 } + p ^ { i j A } p _ { i j A } \right)
\operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 } { \frac { \tan \theta } { \theta } } \ = \ \left( \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 } { \frac { \sin \theta } { \theta } } \right) \! \left( \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 } { \frac { 1 } { \cos \theta } } \right) \ = \ ( 1 ) ( 1 ) \ = \ 1 \, .
\begin{array} { r l } { p _ { \phi } ( \mathbf { r } , \phi ) : = \frac { P _ { 1 } ( \mathbf { r } , \phi ) } { p _ { \mathbf { r } } ( \mathbf { r } ) } , \qquad \bar { p } _ { \phi } ( \mathbf { r } , \phi ) } & { : = \frac { N } { M ( \mathbf { r } ) } \int P _ { 1 } ( \mathbf { r } + \tilde { \mathbf { r } } , \phi ) \theta ( R - | \tilde { \mathbf { r } } | ) d \tilde { \mathbf { r } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { A } _ { j } ( \tilde { \tau } _ { 0 } , v ) - ( \kappa ^ { 2 } \tilde { \tau } _ { 0 } , v ) _ { \Omega _ { j } } = - \left( \mathcal { A } _ { j } ( \tilde { \tau } , v ) - ( \kappa ^ { 2 } \tilde { \tau } , v ) _ { \Omega _ { j } } \right) \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } v \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { a r c o s h } x } & { { } = \ln ( 2 x ) - \left( \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \frac { x ^ { - 2 } } { 2 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 } } \right) { \frac { x ^ { - 4 } } { 4 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 } } \right) { \frac { x ^ { - 6 } } { 6 } } + \cdots \right) } \end{array}
g ^ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { r r } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \ , \qquad \epsilon ^ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { r r } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } } & { = - \nu k ^ { 2 } G _ { 0 } - \frac { k } { 2 } \, \frac { k ^ { 2 } } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { - 1 } + \frac { k } { 2 } \, \frac { k ^ { 2 } } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { 1 } + i k B _ { 0 } k ^ { 2 } H _ { 0 } , } \\ { p H _ { 0 } } & { = - \eta k ^ { 2 } H _ { 0 } - \frac { k } { 2 } \, H _ { - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } , } \\ { p G _ { 1 } } & { = - [ \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) + i U _ { 0 } ] G _ { 1 } + \frac { k } { 2 } \, \frac { 1 - k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } + i k B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { 1 } , } \\ { p G _ { - 1 } } & { = - [ \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) - i U _ { 0 } ] G _ { - 1 } - \frac { k } { 2 } \, \frac { 1 - k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } + i k B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { - 1 } , } \\ { p H _ { 1 } } & { = - [ \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) + i U _ { 0 } ] H _ { 1 } - \frac { k } { 2 } \, H _ { 0 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { 1 } . } \\ { p H _ { - 1 } } & { = - [ \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) - i U _ { 0 } ] H _ { - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { 0 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { - 1 } . } \end{array}
\Delta { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) = \frac { 4 } { 3 m _ { \mathrm { e } } } \Delta { E } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) - \frac { 8 B _ { 1 } ( Z \alpha ) ^ { 2 } ( 2 \lambda \sqrt { C _ { 1 } } ) ^ { 2 \gamma } } { 3 \gamma ( 1 + 2 \lambda \sqrt { C _ { 1 } } ) ^ { 2 \gamma } } \, ,
\lambda _ { 0 } ( \phi ) = \overline { { { \lambda } } } _ { 0 } k ( \phi ) ; \qquad k ( \phi ) \equiv \frac { M ^ { 4 } + V _ { 1 } ( \phi ) } { 2 V _ { 2 } ( \phi ) } \ e ^ { \alpha \phi / M _ { p } } .
\begin{array} { r l } { \langle \phi , B _ { L } \psi \rangle = \int _ { \Omega } \Bar { \phi } B _ { L } \psi } & { = \int _ { \Omega } \Bar { \phi } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \Delta \psi + \frac { 1 } { 2 } \lvert u \rvert ^ { 2 } \psi + i u \cdot \nabla \psi \right] } \\ & { = \int _ { \Omega } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \Delta \Bar { \phi } + \frac { 1 } { 2 } \lvert u \rvert ^ { 2 } \Bar { \phi } - i u \cdot \nabla \Bar { \phi } \right] \psi } \\ & { = \int _ { \Omega } ( \overline { { B _ { L } \phi } } ) \psi = \langle B _ { L } \phi , \psi \rangle } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ e ~ s ~ i ~ d ~ u ~ a ~ l ~ } \equiv \exp ( - \tau _ { \mathrm { ~ T ~ r ~ u ~ e ~ } } ) - \exp ( - \tau _ { \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ d ~ } } ) = F _ { \mathrm { ~ T ~ r ~ u ~ e ~ } } - F _ { \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ d ~ } } .
U ( 1 , 0 ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { W \left( \Vec { { r } _ { 1 } } , \vec { { r } _ { 2 } } \right) = \underset { n } { \sum } { a } _ { n } { E } _ { n } ^ { * } ( \Vec { { r } _ { 1 } } ) { E } _ { n } ( \vec { { r } _ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( 1 ) } ( x , z ) } & { { } = 1 + \sum _ { n } r _ { n } \cos ( 2 \pi n x / L ) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { H ^ { ( 1 ) } ( x , z ) } & { { } = \alpha _ { 0 } - \sum _ { n } r _ { n } \alpha _ { n } \cos ( 2 \pi n x / L ) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
{ \hat { \mu } } = { \overline { { x } } } \equiv { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } , \qquad { \hat { \sigma } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } .
\partial \langle \hat { { O } } _ { \mathbf { a } } \hat { { O } } _ { \mathbf { b } } \mathcal { R } ( \theta , \phi ) \rangle / \partial \langle \hat { { P } } _ { \mathbf { a } } \hat { { P } } _ { \mathbf { b } } \rangle = \partial ^ { 2 } \langle \hat { { O } } _ { \mathbf { a } } \mathcal { R } ( \theta , \phi ) \rangle \langle \hat { { O } } _ { \mathbf { b } } \mathcal { R } ( \theta , \phi ) \rangle / \partial \langle \hat { { P } } _ { \mathbf { a } } \rangle \partial \langle \hat { { P } } _ { \mathbf { b } } \rangle
\left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) .
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n } } = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - \cdots ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \theta \in \Theta } \Big | \frac { 1 } { n _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } \mathbb { I } ( { \mathbf x } ^ { \top } { \mathbf a } _ { i } ^ { p } \geq \theta ) - \frac { 1 } { n _ { u } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \mathbb { I } ( { \mathbf x } ^ { \top } { \mathbf a } _ { i } ^ { u } \geq \theta ) \Big | } \\ { \approx R ( { \mathbf x } ) : = } & { \operatorname* { m a x } _ { \theta \in \Theta } \Big | \frac { 1 } { n _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } \sigma ( { \mathbf x } ^ { \top } { \mathbf a } _ { i } ^ { p } - \theta ) - \frac { 1 } { n _ { u } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \sigma ( { \mathbf x } ^ { \top } { \mathbf a } _ { i } ^ { u } - \theta ) \Big | , } \end{array}
2 m _ { 1 , 2 } ^ { 2 } = ( M _ { \tilde { f } _ { L L } } ^ { 2 } + M _ { \tilde { f } _ { R R } } ^ { 2 } ) \mp \sqrt { ( M _ { \tilde { f } _ { L L } } ^ { 2 } - M _ { \tilde { f } _ { R R } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 ( M _ { \tilde { f } _ { L R } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \enspace ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { n , m } ^ { \epsilon } ( x , y , z ) } & { { } \approx \mathcal { U } _ { n , m } - \mathrm { i } \frac { \epsilon } { 2 } \Big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { k = 0 } ^ { 7 } \operatorname* { d e t } { M _ { k } } ^ { \deg { \varphi _ { k } } } } & { = \prod _ { k = 0 } ^ { 7 } M _ { k } } \\ & { = \prod _ { k = 0 } ^ { 7 } \sum _ { s = 0 } ^ { 3 } \sum _ { t = 0 } ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { [ \frac { k } { 4 } ] s } \sqrt { - 1 } ^ { k t } z _ { t + 4 s } } \\ & { = \prod _ { k = 0 } ^ { 7 } \sum _ { t = 0 } ^ { 3 } \sum _ { s = 0 } ^ { 1 } \sqrt { - 1 } ^ { k t } ( - 1 ) ^ { [ \frac { k } { 4 } ] s } ( z _ { t + 4 s } + z _ { t + 4 ( s + 2 ) } ) } \\ & { = \prod _ { k = 0 } ^ { 7 } \sum _ { t = 0 } ^ { 3 } \sum _ { s = 0 } ^ { 1 } \chi _ { k } ( ( \overline { { t } } , \overline { { s } } ) ) ( z _ { t + 4 s } + z _ { t + 4 s + 8 } ) } \\ & { = D _ { 4 \times 2 } ( z _ { 0 } + z _ { 8 } , z _ { 1 } + z _ { 9 } , \ldots , z _ { 7 } + z _ { 1 5 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left( { \sqrt { 1 + \left( { \frac { \alpha t } { c } } \right) ^ { 2 } } } - 1 \right) = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left( \cosh { \frac { \alpha \tau } { c } } - 1 \right) } \\ { c \tau } & { { } = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \operatorname { a s i n h } { \frac { \alpha t } { c } } , \quad c t = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \sinh { \frac { \alpha \tau } { c } } } \end{array}