harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( j , k ) } & { = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { k - 1 } \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos x ) ^ { - \frac { \alpha } 2 } ( 2 - 2 \cos j x ) \cos ( ( n _ { 1 } - n _ { 2 } ) x ) d x } \\ & { = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { k - 1 } \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos x ) ^ { - \frac { \alpha } 2 } ( ( 1 - \cos ( ( j + n _ { 1 } - n _ { 2 } ) x ) ) + ( 1 - \cos ( ( j - n _ { 1 } + n _ { 2 } ) x ) ) - ( 2 - 2 \cos ( ( n _ { 1 } - n _ { 2 } ) x ) ) ) d x } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { k - 1 } ( m _ { 1 , \alpha } ( j + ( n _ { 1 } - n _ { 2 } ) ) + m _ { 1 , \alpha } ( j - ( n _ { 1 } - n _ { 2 } ) ) - 2 m _ { 1 , \alpha } ( n _ { 1 } - n _ { 2 } ) ) } \\ & { = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { k - 1 } ( m _ { 1 , \alpha } ( j + n _ { 1 } - n _ { 2 } ) - m _ { 1 , \alpha } ( n _ { 1 } - n _ { 2 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { t r i p l e } } } & { { } = 3 \cdot R _ { \mathrm { A r 3 9 } } ^ { 3 } \cdot \delta t _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } \cdot T _ { \mathrm { l i v e } } , } \\ { N _ { \mathrm { E R B , A r 3 9 } } } & { { } = R _ { \mathrm { A r 3 9 } } \cdot R _ { \mathrm { E R B } } \cdot \delta t _ { \mathrm { i n t } } \cdot T _ { \mathrm { l i v e } } , } \\ { N _ { \mathrm { h F p , A r 3 9 } } } & { { } = R _ { \mathrm { A r 3 9 } } \cdot R _ { \mathrm { h F p } } \cdot \delta t _ { \mathrm { i n t } } \cdot T _ { \mathrm { l i v e } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { - i ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x t } + ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x x x } } } \\ & { = } & { \overline { { ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } } } ) _ { x } } \\ & { } & { + \ \beta \overline { { ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) } } _ { x } . } \end{array}
\Delta _ { H ^ { 2 } } f ( r , \theta ) = \sinh ( r ) ^ { - 1 } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( \sinh ( r ) { \frac { \partial f } { \partial r } } \right) + \sinh ( r ) ^ { - 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } f
\begin{array} { r l } & { \frac { d \tilde { A } } { d t } = - \frac { \alpha } { 2 } \tilde { A } - i \tilde { \Delta } _ { A } \tilde { A } + i \Gamma ( \tilde { A } ^ { \ast } \tilde { A } + 2 \tilde { B } ^ { \ast } \tilde { B } + 2 \tilde { C } ^ { \ast } \tilde { C } ) \tilde { A } + i 2 \Gamma \tilde { A } ^ { \ast } \tilde { B } \tilde { C } + \sqrt { \kappa } \tilde { A } _ { \mathrm { i n } } , } \\ & { \frac { d \tilde { B } } { d t } = - \frac { \alpha } { 2 } \tilde { B } - i \tilde { \Delta } _ { B } \tilde { B } + i \Gamma ( 2 \tilde { A } ^ { \ast } \tilde { A } + \tilde { B } ^ { \ast } \tilde { B } + 2 \tilde { C } ^ { \ast } \tilde { C } ) \tilde { B } + i \Gamma \tilde { C } ^ { \ast } \tilde { A } ^ { 2 } , } \\ & { \frac { d \tilde { C } } { d t } = - \frac { \alpha } { 2 } \tilde { C } - i \tilde { \Delta } _ { C } \tilde { C } + i \Gamma ( 2 \tilde { A } ^ { \ast } \tilde { A } + 2 \tilde { B } ^ { \ast } \tilde { B } + \tilde { C } ^ { \ast } \tilde { C } ) \tilde { C } + i \Gamma \tilde { B } ^ { \ast } \tilde { A } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \sigma _ { \mathrm { G } } ^ { 2 } } } & { : = \frac { 1 } { m _ { \Delta } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { \Delta } } \left( y _ { i } ^ { \prime \prime } - \hat { T } _ { \mathrm { m i n } } x _ { i } \right) ^ { 2 } } \\ & { \simeq \frac { 1 } { m _ { \Delta } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { i _ { k } = 1 } ^ { m _ { k } } \left( y _ { i _ { k } } ^ { \prime \prime k } - T _ { \mathrm { m i n } } x _ { i _ { k } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { m _ { \Delta } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sigma _ { k } ^ { 2 } Y _ { k } , ~ ~ Y _ { k } : = \sum _ { i _ { k } = 1 } ^ { m _ { k } } \frac { ( z _ { i _ { k } } ^ { \prime \prime k } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { k } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathtt { S o l } _ { \mathcal { N } } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) : = \{ \mathrm { e } \in \mathcal { F } _ { \mathcal { N } } | \; \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } = 0 , \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } = 0 \} , } \\ & { \mathtt { S o l } _ { \mathcal { D } } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) : = \{ \mathrm { e } \in \mathcal { F } _ { \mathcal { D } } | \; \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } = 0 \} . } \end{array}
B _ { a } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { a b c } F _ { b c } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { a b c } \left( \partial _ { b } A _ { c } - \partial _ { c } A _ { b } + i [ A _ { b } , A _ { c } ] \right)
\begin{array} { r l } { n _ { 0 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } } & { = ( n _ { 0 } + n _ { 1 } ) ( n _ { 0 } - n _ { 1 } ) } \\ & { \equiv 8 ( d _ { 0 } + d _ { 2 } + d _ { 4 } + d _ { 6 } ) ^ { 2 } ( d _ { 1 } + d _ { 3 } ) ( d _ { 5 } + d _ { 7 } ) } \\ & { \qquad + 8 ( d _ { 1 } + d _ { 3 } + d _ { 5 } + d _ { 7 } ) ^ { 2 } ( d _ { 0 } + d _ { 2 } ) ( d _ { 4 } + d _ { 6 } ) } \\ & { \qquad \quad + 8 \left\{ ( d _ { 0 } + d _ { 2 } + d _ { 4 } + d _ { 6 } ) ^ { 2 } + ( d _ { 1 } + d _ { 3 } + d _ { 5 } + d _ { 7 } ) ^ { 2 } \right\} d ^ { * } } \\ & { \equiv 8 ( d _ { 0 } + d _ { 2 } + d _ { 4 } + d _ { 6 } ) ( d _ { 1 } + d _ { 3 } ) ( d _ { 5 } + d _ { 7 } ) } \\ & { \qquad + 8 ( d _ { 1 } + d _ { 3 } + d _ { 5 } + d _ { 7 } ) ( d _ { 0 } + d _ { 2 } ) ( d _ { 4 } + d _ { 6 } ) + 8 d ^ { * } } \\ & { \equiv 8 \left\{ ( d _ { 0 } + d _ { 2 } + d _ { 4 } + d _ { 6 } ) + ( d _ { 1 } + d _ { 3 } + d _ { 5 } + d _ { 7 } ) \right\} d } \\ & { \qquad - 8 ( d _ { 0 } + d _ { 2 } + d _ { 4 } + d _ { 6 } ) ( d _ { 0 } + d _ { 2 } ) ( d _ { 4 } + d _ { 6 } ) } \\ & { \qquad \quad - 8 ( d _ { 1 } + d _ { 3 } + d _ { 5 } + d _ { 7 } ) ( d _ { 1 } + d _ { 3 } ) ( d _ { 5 } + d _ { 7 } ) + 8 d ^ { * } } \\ & { \equiv 8 d + 8 d ^ { * } \pmod { 1 6 } . } \end{array}
A _ { 1 } ^ { v a l } ( \mu _ { 0 } ^ { 2 } ) = g _ { \pi q \bar { q } } ^ { 2 } \cdot \left. \frac { \partial { \Pi } _ { \pi } ( p ^ { 2 } ) } { \partial p ^ { 2 } } \right| _ { p ^ { 2 } = 0 } = 1 , \; \; A _ { 2 } ^ { v a l } ( \mu _ { 0 } ^ { 2 } ) = \frac { g _ { \pi q \bar { q } } ^ { 2 } } { 2 } \cdot \left. \frac { \partial { \Pi } _ { \pi } ( p ^ { 2 } ) } { \partial p ^ { 2 } } \right| _ { p ^ { 2 } = 0 } = \frac { 1 } { 2 } .
\begin{array} { r l } { H _ { - 1 } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } - i q _ { \xi } ^ { * } q \ d \xi } \\ { H _ { - 3 } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } - ( | q | ^ { 2 } + i | q | ^ { 2 } q q _ { \xi } ^ { * } ) \ d \xi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } } & { { } = } & { [ { \mathbf I } + \tau ( { \bf D } _ { [ n ] } - \hat { m } _ { n } { \mathbf I } ) ^ { 2 } ] ^ { - 1 } \ensuremath { \mathbf { \tilde { s } } } _ { [ n ] } , } \\ { \hat { m } _ { n } } & { { } = } & { \frac { \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } ^ { \top } \mathbf D _ { [ n ] } \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } } { \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } ^ { \top } \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } } . } \end{array}
f ( \mu | x _ { 1 } , \ldots , f _ { \circ } ( z ) ) = \frac { \int \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 1 } } \exp { \left[ - \frac { ( x _ { 1 } - \mu - z ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } \right] } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { Z } } \exp { \left[ - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { Z } ^ { 2 } } \right] } d z } { \int \! \! \int \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 1 } } \exp { \left[ - \frac { ( x _ { 1 } - \mu - z ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } \right] } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { Z } } \exp { \left[ - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { Z } ^ { 2 } } \right] } d \mu d z } \, . \nonumber
d ^ { 2 } F _ { x } = k I I ^ { \prime } d s d s ^ { \prime } { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \left[ \left( \left( { \frac { \partial r } { \partial s } } { \frac { \partial r } { \partial s ^ { \prime } } } - 2 r { \frac { \partial ^ { 2 } r } { \partial s \partial s ^ { \prime } } } \right) + r { \frac { \partial ^ { 2 } Q } { \partial s \partial s ^ { \prime } } } \right) \cos ( r x ) + { \frac { \partial Q } { \partial s ^ { \prime } } } \cos ( x \, d s ) - { \frac { \partial Q } { \partial s } } \cos ( x \, d s ^ { \prime } ) \right] .
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \frac { 1 } { \alpha } \ln { \bigg ( 1 + \frac { m ( e ^ { \alpha \tau } - r ) } { f _ { e n d } } \bigg ) } \bigg ( 1 - \frac { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \beta } \ln { \bigg ( 1 + \frac { \beta } { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } \bigg ) } \bigg ) . } \end{array}
{ \cal F } ( a ( u ) ) = { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } } \int _ { 1 } ^ { u } d x \int _ { - 1 } ^ { 1 } d y { \frac { 4 \sqrt { ( x - u ) ( y - u ) } - ( y - x ) \log \left[ { \frac { 2 u - x - y + 2 \sqrt { ( u - x ) ( u - y ) } } { x - y } } \right] } { \sqrt { ( x ^ { 2 } - 1 ) ( y ^ { 2 } - 1 ) } } } .
\begin{array} { r } { \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \hat { e } _ { i } = \operatorname* { d e t } \big ( \hat { e _ { i } } ( 0 ) , \hat { e } _ { 0 } , \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) \big ) = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { l n } } & { = - 2 \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } j _ { l } ( x \alpha _ { l n } ) f _ { l } ( x ) d x } { j _ { l - 1 } ( \alpha _ { l n } ) j _ { l + 1 } ( \alpha _ { l n } ) } , \; l > 0 } \\ { f _ { 0 n } } & { = - 2 n \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } j _ { 1 } ( n \pi x ) f _ { 0 } ( x ) d x \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { R R } = } & { { } \langle \partial _ { \mu } \psi _ { \pm } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } \\ { Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { N H } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \Big ( Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { L R } + Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { R L } \Big ) } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \Big ( \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { R } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { L } | \psi _ { n } ^ { R } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { R } \rangle } \end{array}
P ( \omega | \omega ^ { o } ) \propto \left\{ \begin{array} { l l } { \exp \left( - \frac { ( \omega - \omega ^ { o } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { o } ^ { 2 } } \right) \left( \frac { \omega - \omega ^ { p r } } { \sigma _ { p r } } \right) ^ { \nu / 2 - 1 } \exp \left( - \frac { \omega - \omega ^ { p r } } { 2 \sigma _ { p r } } \right) \quad } & { \mathrm { f o r } \quad \omega > \omega _ { p r } } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { f o r } \quad \omega \le \omega _ { p r } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \dot { E } ( t ) = } & { { } ( 1 + i \alpha ) N ( t ) E ( t ) + \kappa { } _ { 1 } E ( t - \tau _ { 1 } ) \exp ( i \phi _ { 1 } ) } \\ { \dot { N } ( t ) = } & { { } ( P - N ( t ) - ( 1 + 2 N ( t ) ) E ^ { 2 } ( t ) ) / T } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { { } = \frac { - \ensuremath { k _ { \mathrm { B } } } } { h ^ { 3 N } Q } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } } \left[ - \beta \mathcal { H } - \ln Q \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| u _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { p + 1 } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 1 } { p + 1 } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } } \\ & { \qquad + \frac { 2 \beta } { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x } \\ { = \ } & { \| u _ { 0 x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v _ { 0 x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { p + 1 } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 1 } { p + 1 } \| v _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } } \\ & { \qquad + \frac { 2 \beta } { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u _ { 0 } | ^ { p + 1 } | v _ { 0 } | ^ { p + 1 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { p } ( x ) } & { = \left( \frac { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { - p } } { 2 \pi \sigma _ { W } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { { \frac { c { x } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \int _ { \mathbb { R } } e ^ { - \frac { \frac { \sigma ^ { 2 } } { \sigma _ { W } ^ { 2 } } + p } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left( { w } - \sqrt { \frac { p + c } { \frac { \sigma ^ { 2 } } { \sigma _ { W } ^ { 2 } } + p } } { x } \right) ^ { 2 } } d { w } } \\ & { = \left( \frac { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { - p } } { 2 \pi \sigma _ { W } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \exp \left( - { \frac { p { x } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } \left( 1 + p \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) } } \right) \left( 2 \pi \frac { \sigma ^ { 2 } } { \frac { \sigma ^ { 2 } } { \sigma _ { W } ^ { 2 } } + p } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left( 2 \pi \sigma ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { p } { 2 } } \left( 1 + p \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \exp \left( - { \frac { p { x } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } \left( 1 + p \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { I } ^ { ' } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \hbar \Omega _ { \mu } ( \hat { \sigma } ^ { + } e ^ { \eta ^ { \prime } ( \hat { a } ^ { \dagger } - \hat { a } ) } + \hat { \sigma } ^ { - } e ^ { - \eta ^ { \prime } ( \hat { a } ^ { \dagger } - \hat { a } ) } ) ( e ^ { i \omega _ { \mu } t } + e ^ { - i \omega _ { \mu } t } ) . } \end{array}
\sum _ { w \in \overline { { V } } / \overline { { L } } } \Big ( \sum _ { \substack { v \in V / L \, \overline { { v } } = w } } \varphi _ { f } ( v ) \Big ) \frac { [ L : h ( \mathbf { Z } ^ { n } ) ] } { [ \overline { { L } } : \overline { { h } } ( \mathbf { Z } ^ { n - k } ) ] } \sum _ { \substack { \overline { { \xi } } \in \mathbf { Q } ^ { n - k } / \mathbf { Z } ^ { n - k } \, \overline { { h } } \overline { { \xi } } = w \ ( \mathrm { m o d } \ \overline { { L } } ) } } \wedge _ { j \notin J } \varepsilon ( \ell _ { j } - \xi _ { j } ) ,
\Delta \dot { q } _ { \mathrm { N S } } ^ { \, + } \, \equiv \, \frac { \operatorname * { m a x } \, [ \dot { q } _ { \mathrm { N S } } ^ { \, + } ( x , \mu _ { r } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \mu _ { f } ^ { 2 } \ldots 4 \mu _ { f } ^ { 2 } ) ] - \operatorname * { m i n } \, [ \dot { q } _ { \mathrm { N S } } ^ { \, + } ( x , \mu _ { r } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \mu _ { f } ^ { 2 } \ldots 4 \mu _ { f } ^ { 2 } ) ] } { 2 \, | \, \mathrm { a v e r a g e } \, [ \dot { q } _ { \mathrm { N S } } ^ { \, + } ( x , \mu _ { r } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \mu _ { f } ^ { 2 } \ldots 4 \mu _ { f } ^ { 2 } ) ] \, | }
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = R _ { c x } \left( M ( v ) \int h ( v ^ { \prime } ) d v ^ { \prime } - h ( v ) \right) } \\ { \Rightarrow \quad h ( v ) } & { { } = M ( v ) \int h ( v ^ { \prime } ) d v ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d { T } _ { 1 } } { d z } } & { { } = \frac { d ^ { 2 } { T } _ { 1 } } { d z ^ { 2 } } + \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \left( { V } _ { 0 } \frac { d { P } _ { 1 } } { d z } + b ^ { 2 } \nu \left( \frac { d V _ { 0 } } { d z } \right) ^ { 2 } \right) , } \\ { \frac { d { Y } _ { 1 } } { d z } } & { { } = \frac { 1 } { L e } \frac { d ^ { 2 } { Y } _ { 1 } } { d z ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| { \mathcal I } ^ { \alpha , k } [ p ] ( m , x ; t ) \right| \leq 2 ^ { ( d - 1 ) / 2 } \| B \| _ { \infty } D } \\ & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } ^ { 2 } } N ( p ; s , x _ { 0 } ) { \mathbf 1 } _ { m > b > \operatorname* { m a x } ( a ^ { 1 } , x _ { 0 } ^ { 1 } ) } \frac { e ^ { - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { x _ { 0 } } \| ^ { 2 } } { 4 t } } } { \sqrt { ( 2 \pi t ) ^ { d - 1 } } } \frac { e ^ { - \frac { ( m - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } - \frac { ( m - x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { 2 } ( t - s ) ^ { 3 } } } \frac { e ^ { - \frac { ( b - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } - \frac { ( b - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { 2 } { s ^ { 2 } } } } d b d a ^ { 1 } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { 7 - 6 b } N _ { - 1 } ^ { - 2 \sigma _ { 3 } } } & { \le N _ { 0 } ^ { - \sigma _ { 4 } } \iff \varepsilon ^ { 7 - 6 b } \le N _ { 0 } ^ { - \sigma _ { 4 } } \overset { N _ { 0 } = ( \varepsilon \gamma ^ { - 1 } ) ^ { \rho } = \varepsilon ^ { \rho ( 1 - 2 b ) } } { \iff } \varepsilon ^ { 7 - 6 b } \le \varepsilon ^ { ( 2 b - 1 ) \rho \sigma _ { 4 } } \iff \sigma _ { 4 } \le \frac { 7 - 6 b } { ( 2 b - 1 ) \rho } } \\ & { \iff \sigma _ { 4 } \le \frac { 5 - 4 b } { ( 2 b - 1 ) \rho } \frac { 7 - 6 b } { 5 - 4 b } } \\ & { \overset \iff \sigma _ { 4 } \le A \frac { 7 - 6 b } { 5 - 4 b } } \\ & { \overset { b \in ( 1 , 1 + 1 / 1 2 ) } { \Longleftarrow } \sigma _ { 4 } \le \frac { 3 } { 4 } A } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lvert \hat { c } _ { \Delta } ( \eta ^ { 1 } , \xi _ { \Delta } ) - \hat { c } _ { \Delta } ( \eta ^ { 2 } , \xi _ { \Delta } ) \right\rvert } & { = \left\lvert c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } , \eta _ { \Delta } ^ { 1 } ) \frac { \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } ) } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 1 } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } ) } - c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } , \eta _ { \Delta } ^ { 2 } ) \frac { \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 2 } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } \right\rvert } \\ { \ } & { \leq \left\lvert c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } , \eta _ { \Delta } ^ { 1 } ) \right\rvert \left\lvert \frac { \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } ) } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 1 } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } ) } - \frac { \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 2 } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } \right\rvert } \\ { \ } & { \qquad + \left\lvert \frac { \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 2 } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } \right\rvert \left\lvert c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } , \eta _ { \Delta } ^ { 1 } ) - c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } , \eta _ { \Delta } ^ { 2 } ) \right\rvert . } \end{array}
{ \epsilon _ { { \bf d } , j } } = \frac { \left( { \bf { d } } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \left( j \right) } - { \bf { d } } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \left( j - 1 \right) } \right) ^ { \mathrm { T } } \left( { \bf { d } } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \left( j \right) } - { \bf { d } } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \left( j - 1 \right) } \right) } { { \bf { d } } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \left( j \right) \mathrm { T } } { \bf { d } } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \left( j \right) } } = 2 - 2 { \bf { d } } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \left( j \right) \mathrm { T } } { { \bf { d } } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \left( j - 1 \right) } } ,
B [ E ] ( N , u ) \stackrel { u \rightarrow 1 / 2 } { = } \frac { 4 ( N - 1 ) } { 1 - 2 u } \left[ B [ A ] ( 1 / 2 ) - \frac { 1 } { 4 } B [ C ] ( 1 / 2 ) \right] ,
\theta _ { \mathrm { e v } } ( \tau , z ) = \sum _ { n \in { \bf Z } } q ^ { \frac { 1 } { 4 } ( 2 n ) ^ { 2 } } \zeta ^ { 2 n } \, , \qquad \theta _ { \mathrm { o d } } ( \tau , z ) = \sum _ { n \in { \bf Z } } q ^ { \frac { 1 } { 4 } ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } } \zeta ^ { 2 n + 1 }
\begin{array} { r } { \Big \| \Big ( { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { j b q / p } | \Psi _ { j } ( D ) S _ { j } f _ { j } | ^ { q } } \Big ) ^ { 1 / q } \Big \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim \Big ( { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \| f _ { j } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { p } } \Big ) ^ { 1 / p } . } \end{array}
2 x _ { 2 } k _ { \perp } ^ { \prime } ( k _ { 2 } - x _ { 2 } k ^ { \prime } ) _ { \perp } - k _ { 2 \perp } ^ { 2 } = - ( d ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ^ { \prime } ) + x _ { 2 } ^ { 2 } k _ { \perp } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \frac { \partial c _ { s , i } } { \partial r } \bigg | _ { r = 0 } } & { = 0 } & { \qquad } & { \textrm { i n } \ ( 0 , t _ { f } ] , } \\ { - D _ { s } ( c _ { s , i } ) \frac { \partial c _ { s , i } } { \partial r } \bigg | _ { r = R _ { p } } } & { = \frac { j _ { i } } { F } } & & { \textrm { i n } \ ( 0 , t _ { f } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ o ~ l ~ d ~ ) ~ } } } & { { } \approx - \left( \frac { t _ { 2 } } { 2 t _ { 3 } } \right) ^ { 2 } , } \\ { t _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ c ~ u ~ s ~ p ~ ) ~ } } } & { { } \approx - 3 t _ { 3 } ^ { 2 } - 9 \left( \frac { t _ { 2 } t _ { 3 } } { 2 \sqrt { 3 } } \right) ^ { 2 / 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta = \frac { 2 \Gamma \left( \frac { 3 } { 4 } - \frac { i \omega } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { i \omega } { 2 } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \nu _ { x } , f \rangle + \langle \nu _ { x } ^ { \infty } , f ^ { \infty } \rangle \frac { \lambda } { \mu } \geq } & { f ( \overline { { \nu _ { x } } } ) + f ^ { \infty } \left( \overline { { \nu _ { x } ^ { \infty } } } \frac { \lambda } { \mu } \right) > f \left( \overline { { \nu _ { x } } } + \overline { { \nu _ { x } ^ { \infty } } } \frac { \lambda } { \mu } \right) = f ( \phi ) } \end{array}
R _ { \mu \nu \rho \sigma } R ^ { \mu \nu \rho \sigma } = \frac { 1 } { l ^ { 4 } } \big [ 4 0 + \frac { 4 8 M ^ { 2 } z ^ { 4 } } { \Sigma ^ { 6 } } ( r ^ { 2 } - a ^ { 2 } c o s ^ { 2 } { \theta } ) ( r ^ { 4 } - 1 4 a ^ { 2 } r ^ { 2 } c o s { \theta } + a ^ { 4 } c o s ^ { 4 } { \theta } ) \big ]
\mathrm { ~ L ~ o ~ s ~ s ~ } = \frac { 1 } { N _ { d a t a } } \sum _ { i } ^ { N _ { d a t a } } \left[ P _ { i } - P \left( x _ { i } , t _ { i } , \lambda _ { i } \right) \right] ^ { 2 } + \frac { 1 } { N _ { P D E } } \sum _ { i } ^ { N _ { P D E } } \mathcal { R } ^ { 2 } \left( x _ { i } , t _ { i } , \lambda _ { i } \right) ,
\mathrm { ~ D ~ e ~ n ~ s ~ i ~ t ~ y ~ f ~ o ~ r ~ a ~ n ~ u ~ n ~ d ~ i ~ r ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ g ~ r ~ a ~ p ~ h ~ } = \frac { \sum _ { j \neq k } z _ { j k } } { \frac { n * ( n - 1 ) } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 2 } ( \omega ) = } & { \frac { 8 \pi ^ { 2 } e ^ { 2 } } { \Omega \omega ^ { 2 } } \frac { 1 } { N _ { \mathbf { k } } N _ { \mathbf { q } } } \sum _ { \nu i j \mathbf { k } \mathbf { q } } | \mathbf { e } \cdot [ \mathbf { S } _ { 1 , i j \nu } ( \mathbf { k , q } ) + \mathbf { S } _ { 2 , i j \nu } ( \mathbf { k , q } ) ] | ^ { 2 } } \\ & { \times P _ { i j } ( \mathbf { k , q } ) \delta ( \epsilon _ { j , \mathbf { k + q } } - \epsilon _ { i , \mathbf { k } } - \hbar \omega \pm \hbar \omega _ { \nu \mathbf { q } } ) , } \end{array}