harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sqrt { \frac { n } { 2 } } \left\| \bar { \mathbb { E } } \hat { { \cal P } } _ { j } - { \cal P } _ { j } - { \cal P } _ { j } \bar { \mathbb { E } } ( { \cal S } _ { j } ^ { [ 1 ] } ) { \cal P } _ { j } \right\| } \\ { = } & { D \sqrt { n / 2 } \frac { \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| ^ { 2 } } { \bar { g } _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { n / 2 } } \left( \sqrt { \frac { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } { n } } \bigvee \sqrt { \frac { \log n } { n } } \right) } \\ { \le } & { 4 D \left( \frac { \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 } { \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left[ \sqrt { \frac { \sigma _ { j } ^ { 2 } + d _ { 1 } + 1 } { n ( \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) } } \bigvee \sqrt { \frac { \log n } { n } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { R } ^ { p _ { j } } _ { p _ { k } } = \mathcal { R } ^ { \psi _ { j } } _ { \psi _ { k } } = 0 \, , } & & { j < k = 2 , \hdots , N \, , } \\ & { \mathcal { R } ^ { \psi _ { k } } _ { p _ { j } } = 0 \, , } & & { j \neq k \, , } \\ & { \mathcal { R } ^ { \psi _ { j } } _ { p _ { j } } = d \, \widetilde { \alpha } _ { j } = - \frac { 1 } { \mathsf { A } } \, d p _ { j } \wedge \, d \psi _ { j } \, , } & & { j = 2 , \hdots , N \, . } \end{array}
\exp \left( \sum _ { g = 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 g - 2 } \mathcal { F } _ { g } \right) = e ^ { - \frac { D ( 0 , 0 , 0 ) } { 2 } \zeta ( 1 ) } \prod _ { ( \ell , n , \gamma , j ) > 0 } ( 1 - p ^ { \ell } q ^ { n } \zeta ^ { \gamma } y ^ { j } ) ^ { D ( \ell n , \gamma , j ) } \, .
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { L i } } _ { 2 } ( z ) } & { = \sum _ { j \geq 1 } { \frac { ( - 1 ) ^ { j - 1 } } { 2 } } \left( H _ { j } ^ { 2 } + H _ { j } ^ { ( 2 ) } \right) { \frac { z ^ { j } } { ( 1 - z ) ^ { j + 1 } } } } \\ { \zeta ^ { \ast } ( 2 ) } & { = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } } = \sum _ { j \geq 1 } { \frac { \left( H _ { j } ^ { 2 } + H _ { j } ^ { ( 2 ) } \right) } { 4 \cdot 2 ^ { j } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { T } _ { s } \approx \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { l } \delta \ell _ { s } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k _ { l } \delta \ell _ { s } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \Gamma ( N _ { 0 } ) \Gamma ( N - \alpha ) } { \Gamma ( N _ { 0 } - \alpha ) \Gamma ( N ) } \quad \mathrm { ( U C ) } , } \\ & { \frac { \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) } { 2 } ) \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) - \alpha } { 2 } + N - N _ { 0 } ) } { \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) - \alpha } { 2 } ) \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) } { 2 } + N - N _ { 0 } ) } \quad \mathrm { ( P A ) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { \zeta _ { 0 2 } ^ { + } = - 2 \pi \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } t _ { 0 } - 2 \omega _ { o 0 } , } \\ { \zeta _ { 0 2 } ^ { - } = - 2 \pi \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } t _ { 0 } + 2 \omega _ { o 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { U } } & { { } \! = \! } & { \frac { \hbar \omega _ { c } } { 2 } \left( \hat { \boldsymbol { \pi } } \! + \! \sum _ { \boldsymbol { q } } \boldsymbol { e } _ { \boldsymbol { q } } \left[ c _ { \boldsymbol { q } } \left( \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } } \! + \! \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } } ^ { \dagger } \right) \! - \! q l _ { B } \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } } ^ { \dagger } \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } } \right] \right) ^ { 2 } \! \! + \! \hat { H } _ { \mathrm { p o l } } , } \end{array}
\left( \mathbf { x _ { r } } \cdot \mathbf { x _ { r } } \right) \left( r ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + 2 \left( \mathbf { x } _ { r } \cdot \mathbf { x } _ { \theta } \right) r ^ { \prime } \theta ^ { \prime } + \left( \mathbf { x } _ { \theta } \cdot \mathbf { x } _ { \theta } \right) \left( \theta ^ { \prime } \right) ^ { 2 } = \left( r ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( \theta ^ { \prime } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { c _ { \boldsymbol \ell } ( \tilde { f } ) } & { = \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \b { 2 M } } | } \int _ { \left[ - M , M \right) ^ { d } } f ( \boldsymbol t ) \, \mathrm e ^ { - 2 \pi \mathrm i \boldsymbol t \boldsymbol y _ { \boldsymbol \ell } } \, \mathrm d \boldsymbol t } \\ & { = \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \b { 2 M } } | } \int _ { \left[ - M , M \right) ^ { d } } \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol t ( \boldsymbol x - \boldsymbol y _ { \boldsymbol \ell } ) } \, \mathrm d \boldsymbol t = \mathrm { s i n c } \left( 2 M \pi \left( \boldsymbol x - \boldsymbol y _ { \boldsymbol \ell } \right) \right) , \quad \boldsymbol \ell \in \mathbb Z ^ { d } , } \end{array}
\mathbf { A } _ { \mathbf { k } \lambda } ( \mathbf { r } , t ) = { \sqrt { \frac { 2 \pi \hbar c ^ { 2 } } { \omega _ { k } V } } } \left[ a _ { \mathbf { k } \lambda } ( 0 ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } + a _ { \mathbf { k } \lambda } ^ { \dagger } ( 0 ) e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \right] e _ { \mathbf { k } \lambda }
\partial _ { \mu } \omega ^ { \mu \nu } = M _ { \omega } ^ { 2 } ~ \omega ^ { \nu } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \partial _ { \mu } \mathrm { \boldmath ~ \ r h o ~ } ^ { \mu \nu } = M _ { \rho } ^ { 2 } ~ \mathrm { \boldmath ~ \ r h o ~ } ^ { \nu }
\begin{array} { r l } { \mathbb P \left[ \left\vert \boldsymbol { u } _ { 1 } ^ { T } \boldsymbol { u } _ { 1 } - \mathrm { t r } ( \Sigma _ { \boldsymbol { v } _ { 1 } } ^ { X _ { 1 } } ) \right\vert \geq 4 T _ { 1 } \zeta _ { 1 } | \! | \Sigma _ { \boldsymbol { v } _ { 1 } } ^ { X _ { 1 } } | \! | _ { \mathrm { o p } } \right] } & { \leq 2 e ^ { - \frac { T _ { 1 } } 2 \operatorname* { m i n } \{ \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 1 } ^ { 2 } \} } } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \left( \prod _ { d = 1 } ^ { D } \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { d } } ^ { ( d ) } \right) ^ { 2 } \right] = \prod _ { d = 1 } ^ { D } \left( \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { d } } ^ { ( d ) } \right] \otimes \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { d } } ^ { ( d ) } \right] + \pmb { \mathscr { V } } _ { j _ { d } } ^ { ( d ) } \right) .
\begin{array} { r } { E [ h _ { i j } ( t ) ] = 0 \cdot \operatorname* { P r } [ \rho _ { j } ( t ) = 1 ] + \rho _ { i } ( t ) v _ { i } ( t ) \operatorname* { P r } [ \rho _ { j } ( t ) \neq 1 ] = ( 1 - x _ { j } ( t ) ) x _ { i } ( t ) v _ { i } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } F ( t ) \le \frac { d } { d t } F ( t ) + G ( t ) } & { \le \bigl ( \mathrm { e } ^ { 6 \mathcal { N } } C _ { \mathrm { G N L } } \bigr ) ^ { 2 } F ^ { 2 } ( t ) + \bigl ( 4 ( \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } + \alpha _ { 0 } ) + 1 \bigr ) F ( t ) } \\ & { = : \tilde { C } _ { 1 } F ( t ) + \tilde { C } _ { 2 } F ^ { 2 } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { m } _ { \le 0 , 1 } | _ { 0 , 0 , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \eta _ { 0 } } 1 , } \\ { | \mathfrak { m } _ { \le 0 , 2 } | _ { 0 , 0 , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 7 - 4 b } , \quad | d _ { i } \mathfrak { m } _ { \le 0 , 2 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { 0 , 0 , \eta _ { 0 } } \le _ { \eta _ { 0 } } \varepsilon \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } \right] \right\} \right. } \\ & { \qquad \left. \times e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } x _ { i } ^ { t } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \eta _ { \Theta } ( 0 ) \left( \eta _ { N } ( N _ { 0 } ) - N _ { 0 } \left. \frac { \partial \eta _ { N } } { \partial N } \right| _ { N _ { 0 } } \right) , } \\ { b } & { { } = 1 0 ^ { 5 } \times \eta _ { \Theta } ( 0 ) \left. \frac { \partial \eta _ { N } } { \partial N } \right| _ { N _ { 0 } } , } \\ { c } & { { } = \frac { 1 } { \eta _ { \Theta } ( 0 ) } \left. \frac { \partial \eta _ { \Theta } } { \partial \xi } \right| _ { \xi = 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { f } ( r , t ) - \sigma _ { \theta \theta } ^ { \Delta T } ( r , t ^ { \prime } ) - \sigma _ { n } ( r ) } & { { } = \int _ { \Sigma } \left[ H _ { n n } \left( r , r ^ { \prime } \right) u _ { n } ( r ^ { \prime } , t ) + H _ { n s } ( r , r ^ { \prime } ) u _ { s } \left( r ^ { \prime } , t \right) \right] \mathrm { ~ d ~ } r ^ { \prime } } \\ { 0 } & { { } = \int _ { \Sigma } \left[ H _ { s n } \left( r , r ^ { \prime } \right) u _ { n } ( r ^ { \prime } , t ) + H _ { s s } ( r , r ^ { \prime } ) u _ { s } \left( r ^ { \prime } , t \right) \right] \mathrm { ~ d ~ } r ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \mu \nu } ^ { \sigma ; \mathrm { ~ L ~ D ~ A ~ } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } \frac { \partial f _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } { \partial n _ { \sigma } } \chi _ { \mu } ( r ) \chi _ { \nu } ( r ) \mathrm { d } r } \\ { F _ { \mu \nu } ^ { \sigma ; \mathrm { ~ G ~ G ~ A ~ } } } & { { } = F _ { \mu \nu } ^ { \sigma ; \mathrm { ~ L ~ D ~ A ~ } } } \\ { + } & { { } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } \left[ 2 \frac { \partial f _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } { \partial \gamma _ { \sigma \sigma } } \frac { \mathrm { d } n _ { \sigma } } { \mathrm { d } r } + \frac { \partial f _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } { \partial \gamma _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } } \frac { \mathrm { d } n _ { \sigma ^ { \prime } } } { \mathrm { d } r } \right] } \end{array}
\int \frac { d \nu } { 2 \pi } { \cal G } ^ { \mathrm { v a l } } ( { \bf x } , { \bf x } , \nu ) = \sum _ { \alpha } \frac { 1 } { 2 E _ { \alpha } } \psi _ { \alpha } ( { \bf x } ) \psi _ { \alpha } ^ { \dagger } ( { \bf x } )
L _ { d } = \frac { 3 } { \pi } \frac { v _ { A } ^ { 3 } \mathrm { R e } } { f \left< V _ { x } ^ { 2 } \right> } \frac { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } + ( 6 4 / 9 ) ( \mathrm { R e } ) ^ { - 2 } } { ( 1 - 3 \beta ) ^ { 2 } } .
d _ { v , i } = { \frac { ( \vec { z } ^ { ( k ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i } ) } ) \times ( \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i } ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i + 1 } ) } ) } { | ( \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i } ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i + 1 } ) } | } } ,
\eta ^ { \prime } ( s ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } \ln n } { n ^ { s } } } = 2 ^ { 1 - s } \ln ( 2 ) \, \zeta ( s ) + ( 1 - 2 ^ { 1 - s } ) \, \zeta ^ { \prime } ( s )
\left( \partial _ { t } { \bar { \partial } } _ { t } U ^ { n } , \delta _ { t } U ^ { n } \right) = \frac { 1 } { 2 k } \left( \partial _ { t } U ^ { n } - { \bar { \partial } } _ { t } U ^ { n } , \partial _ { t } U ^ { n } + { \bar { \partial } } _ { t } U ^ { n } \right) = \frac { 1 } { 2 k } \left( \| \partial _ { t } U ^ { n } \| ^ { 2 } - \| \partial _ { t } U ^ { n - 1 } \| ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \| \mathbb { E } ( \Psi ( u ) ) - E _ { M } ( \Psi ( u _ { N , h } ) ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { \le \| \mathbb { E } ( \Psi ( u ) ) - E _ { M } ( \Psi ( u ) ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \quad + \| E _ { M } ( \Psi ( u ) ) - E _ { M } ( \Psi ( u _ { N , h } ) ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { : = I + I I . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { H } ( \tau , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) } & { = H _ { 0 } - \frac { 1 } { 3 \delta } \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } s \left[ \cdots \right] d s , } \\ { \underline { \phi } ( \tau , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) } & { = \phi _ { 0 } - \frac { 1 } { 3 \delta } \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } s ^ { - 2 } \left\{ \cdots \right\} d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { y } ^ { T } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { \nu _ { 1 , 2 } e ^ { \gamma l _ { 1 , 2 } ^ { + } } } & { \ldots } & { \nu _ { i , j } e ^ { \gamma l _ { i , j } ^ { + } } } \end{array} \right] , } \\ { \boldsymbol { z } ^ { T } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { \nu _ { 1 , 2 } e ^ { - \gamma l _ { 1 , 2 } ^ { + } } } & { \ldots } & { \nu _ { i , j } e ^ { - \gamma l _ { i , j } ^ { + } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\boxed { \mathrm { ~ O ~ C ~ L ~ S ~ D ~ E ~ I ~ M ~ : ~ } \qquad \boldsymbol { c } ( \boldsymbol { a } ) = ( P ^ { T } M ) ^ { \dagger } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) - \frac { \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ^ { T } ( P ^ { T } M ) ^ { \dagger } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) } { ( \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ^ { T } A ^ { - 1 } \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ) } A ^ { - 1 } \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) , }
S _ { [ 1 / 2 ] } ^ { c } = e ^ { i \vartheta _ { [ 1 / 2 ] } ^ { c } } \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { i \Theta _ { [ 1 / 2 ] } } } \\ { { - i \Theta _ { [ 1 / 2 ] } } } & { { 0 } } \end{array} \right) { \cal K } \, .
\begin{array} { r l r } { R _ { x , y , z } } & { { } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } z \in U _ { x , y } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
\Ddot { Q } + \omega _ { Q } ^ { 2 } Q + \beta _ { 1 } \dot { Q } - \gamma P ^ { 2 } Q - \frac { 3 \gamma _ { 1 3 } } { 2 } P Q ^ { 2 } - \frac { \gamma _ { 3 1 } } { 2 } P ^ { 3 } - \gamma _ { 1 1 } P = Z _ { q } E ( t ) ,
\frac { c - 1 } { 2 - c } \left( \frac { \Gamma ( N + 2 ) \Gamma ( i - 2 + c ) } { \Gamma ( N + c ) \Gamma ( i ) } - 1 \right) < \frac { c - 1 } { 2 - c } \left( \frac { \Gamma ( N + 1 ) \Gamma ( i - 3 + c ) } { \Gamma ( N + c - 1 ) \Gamma ( i - 1 ) } - 1 \right) , \qquad i = 2 , \dots , N + 1 .
\begin{array} { r l } { N = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } N _ { i } ^ { I } + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \lambda _ { i j , k } ^ { a } w _ { i } ^ { a } + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 1 } } w _ { i } ^ { a } + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 2 } } w _ { j } ^ { a } + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 3 } } \left( w _ { i } ^ { a } + w _ { j } ^ { a } \right) \right) + } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \lambda _ { i j , k } ^ { a } \frac { l _ { i j } ^ { a } } { v _ { a } } + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 1 } } \frac { d _ { i , k } ^ { b _ { 1 } } } { v _ { a } } + \lambda _ { j , k } ^ { b _ { 2 } } \frac { d _ { i j , k } ^ { b _ { 2 } } } { v _ { a } } + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 3 } } \left( \frac { d _ { i , k } ^ { b _ { 3 } } } { v _ { a } } + \frac { d _ { j , k } ^ { b _ { 3 } } } { v _ { a } } \right) \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { P } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 9 } & { 0 . 1 } \\ { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \end{array} \right] } } \\ { \mathbf { q } P } & { = \mathbf { q } } & & { { \mathrm { ( } } \mathbf { q } { \mathrm { ~ i s ~ u n c h a n g e d ~ b y ~ } } P { \mathrm { . ) } } } \\ & { = \mathbf { q } I } \\ { \mathbf { q } ( P - I ) } & { = \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { q } \left( { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 9 } & { 0 . 1 } \\ { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \end{array} \right] } - { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \right) } & { = \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { q } { \left[ \begin{array} { l l } { - 0 . 1 } & { 0 . 1 } \\ { 0 . 5 } & { - 0 . 5 } \end{array} \right] } } & { = \mathbf { 0 } } \\ { { \left[ \begin{array} { l l } { q _ { 1 } } & { q _ { 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { - 0 . 1 } & { 0 . 1 } \\ { 0 . 5 } & { - 0 . 5 } \end{array} \right] } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } } \\ { - 0 . 1 q _ { 1 } + 0 . 5 q _ { 2 } } & { = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \int \, \textnormal { d } x \left( | \nabla f ( x ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x ) f ( x ) ^ { 2 } \right) | x | ^ { n } } \\ & { \quad = \frac { 1 } { ( 1 - a ^ { 3 } / b ^ { 3 } ) ^ { 2 } } \int _ { | x | \leq b } \, \textnormal { d } x \left( | \nabla f _ { 0 } ( x ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x ) f _ { 0 } ( x ) ^ { 2 } \right) | x | ^ { n } } \\ & { \quad \leq \frac { 1 } { 2 } R _ { 0 } ^ { n - 2 } \int v | f _ { 0 } | ^ { 2 } | x | ^ { 2 } \, \textnormal { d } x + \int _ { | x | \geq a } \left( \frac { 3 a ^ { 3 } } { | x | ^ { 4 } } \right) ^ { 2 } | x | ^ { n } \, \textnormal { d } x + a ^ { n - 2 } \int _ { | x | \leq a } | \nabla f _ { 0 } | ^ { 2 } | x | ^ { 2 } \, \textnormal { d } x } \\ & { \quad \lesssim C R _ { 0 } ^ { n - 2 } a ^ { 3 } . } \end{array}
\Delta P _ { t o t } Q \approx \int _ { V _ { O S C } / 2 } ( \sigma _ { x x } - \sigma _ { y y } ) \frac { \partial u } { \partial x } d V + \int _ { ( V - V _ { O S C } ) / 2 } \sigma _ { x y } \Bigl ( \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } \Bigr ) d V .
\begin{array} { r l } { \frac { U } { U _ { p } } = } & { - \frac { 2 h ^ { 2 } } { \nu } \sum _ { n h = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { e ^ { \left( - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } \right) t } - e ^ { \left( - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } \right) \left( t - t _ { o } \right) } } { t _ { o } } \right. } \\ & { + \frac { e ^ { \left( - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } \right) \left( t - t _ { 2 } \right) } - e ^ { \left( - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } \right) \left( t - t _ { 1 } \right) } } { x _ { 2 } - t _ { 1 } } ) } \\ & { \times \left[ \frac { \cos \left( c _ { h } v _ { n h } \right) - \cos \left( v _ { n h } \right) } { v _ { n h } ^ { 3 } \sin \left( v _ { n h } \right) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } = } & { \sum _ { t _ { i } = 0 } ^ { T + 1 } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t _ { i } \right) p _ { 0 } \left( t _ { i } \right) e ^ { K _ { i \backslash j } ^ { \rightarrow } \left( t _ { i } \right) } \left[ 1 - \mathbb { I } _ { 1 \leq t _ { i } \leq T } e ^ { \mathcal { R } _ { i \backslash j } ^ { \rightarrow } \left( t _ { i } - 1 \right) } \right] e ^ { K _ { i \backslash j } ^ { \leftarrow } \left( t _ { i } \right) } } \\ { m _ { i \backslash j } ^ { t } = } & { \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \sum _ { t _ { i } = 0 } ^ { t } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t _ { i } \right) p _ { 0 } \left( t _ { i } \right) e ^ { K _ { i \backslash j } ^ { \rightarrow } \left( t _ { i } \right) } \left[ 1 - \mathbb { I } _ { 1 \leq t _ { i } \leq T } e ^ { \mathcal { R } _ { i \backslash j } ^ { \rightarrow } \left( t _ { i } - 1 \right) } \right] e ^ { K _ { i \backslash j } ^ { \leftarrow } \left( t _ { i } \right) } } \\ { \mu _ { i \backslash j } ^ { t } = } & { \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \sum _ { t _ { i } = t + 2 } ^ { T + 1 } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t _ { i } \right) p _ { 0 } \left( t _ { i } \right) e ^ { K _ { i \backslash j } ^ { \rightarrow } \left( t _ { i } \right) } \left[ 1 - \mathbb { I } _ { 1 \leq t _ { i } \leq T } e ^ { \mathcal { R } _ { i \backslash j } ^ { \rightarrow } \left( t _ { i } - 1 \right) } \right] e ^ { K _ { i \backslash j } ^ { \leftarrow } \left( t _ { i } \right) } } \\ & { - \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t + 1 \right) \mathbb { I } _ { 0 \leq t \leq T - 1 } p _ { 0 } \left( t + 1 \right) e ^ { K _ { i \backslash j } ^ { \rightarrow } \left( t + 2 \right) + K _ { i \backslash j } ^ { \leftarrow } \left( t + 1 \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w ^ { 1 } = w _ { x } = h _ { t x } } & { { } = } & { 4 \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \, \sin \theta \, \sin \varphi \cdot u ^ { 2 } , } \\ { w ^ { 2 } = w _ { y } = h _ { t y } } & { { } = } & { - 4 \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \, \sin \theta \, \cos \varphi \cdot u ^ { 2 } , } \\ { w ^ { 3 } = w _ { z } = h _ { t z } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
{ \cal Z } _ { o p e n } ^ { 9 - 9 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s } \left[ \mathrm { T r } _ { \mathrm { N S } } \left( { { \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { F } } { 2 } } } { \frac { 1 + \Omega } { 2 } } \, q ^ { 2 L _ { 0 } - 1 } \right) - \mathrm { T r } _ { \mathrm { R } } \left( { { \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { F } } { 2 } } } { \frac { 1 + \Omega } { 2 } } \, q ^ { 2 L _ { 0 } } \right) \right] ~ ~ ,
{ \bigl [ } { \mathcal { I } } ( \theta ) { \bigr ] } _ { i , j } = \operatorname { E } \left[ \left. \left( { \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } } } \log f ( X ; \theta ) \right) \left( { \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } } \log f ( X ; \theta ) \right) \right| \theta \right] .
\begin{array} { r l } { O _ { \mu \nu } ( \underline { { R } } , \underline { { R } } ^ { \prime } ) } & { { } = \displaystyle \int \mathrm { d } \underline { { r } } \, \Psi _ { \mu } ^ { ( e ) } ( \underline { { r } } ; \underline { { R } } ) \, \Psi _ { \nu } ^ { ( e ) \star } ( \underline { { r } } ; \underline { { R } } ^ { \prime } ) = O _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } \quad . } \end{array}
\mathbf { B } _ { v } ^ { - 1 } \triangleq \mathbf { V } ( \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } \mathbf { B } \mathbf { V } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } \mathbf { V } ) \mathbf { V } ^ { T }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { i j } + \partial _ { x } \phi _ { i j } } & { { } = 0 } \\ { \partial _ { t } \phi _ { i j } + \partial _ { x } p _ { i j } } & { { } = - \frac { \lambda _ { i j } } { 2 D } \frac { \phi _ { i j } | \phi _ { i j } | } { \rho _ { i j } } } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ i ~ n ~ i ~ t ~ i ~ a ~ l ~ } } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ a ~ r ~ y ~ c ~ o ~ n ~ d ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ : ~ } } \\ { \rho _ { i j } ( x , 0 ) } & { { } = \rho _ { 0 , i j } ( x ) } \\ { \phi _ { i j } ( x , 0 ) } & { { } = \phi _ { 0 , i j } ( x ) } \\ { \phi _ { n } ( t ) } & { { } = d _ { n } ( t ) } \\ { \sum _ { j \in \mathcal { E } } \phi _ { j } S _ { i j } + d _ { j } } & { { } = 0 } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ^ { 0 } ( x , s , t ; Y ) f ^ { 0 } ( x , s _ { \ast } , t ; Y ) \, d s \, d s _ { \ast } = 0 ,
\begin{array} { r l } { { \tilde { u } } ( { \vec { e } } _ { j } ) } & { { } = \sum _ { i } u _ { i } \left[ { \tilde { \omega } } ^ { i } \left( { \vec { e } } _ { j } \right) \right] = \sum _ { i } u _ { i } { \delta ^ { i } } _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \varepsilon } { \left( X ( s ) + \varepsilon \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } d s } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \varepsilon } { ( Y ^ { 2 } ( s ) + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } d s = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } L ^ { Y } ( t , y ) d y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } \ell ( t , y ) d y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } ( \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) ) d y } \\ & { \quad + \ell ( t , 0 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } d y . } \end{array}