harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l } { \partial _ { t } u _ { 1 } = D _ { 1 } \Delta u _ { 1 } - \mathrm { \mathrm { ~ d i v } } _ { x } \, ( u _ { 1 } \, \alpha _ { 1 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) ) + \psi _ { 1 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) , } \\ { \partial _ { t } u _ { 2 } = D _ { 2 } \Delta u _ { 2 } + \psi _ { 2 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) , } \\ { \partial _ { t } u _ { 3 } = \psi _ { 3 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \widetilde { \sigma } _ { r ^ { \prime } } ^ { 2 } - \widetilde { \sigma } _ { r ^ { \prime } + 1 } ^ { 2 } = \left( \widetilde { \sigma } _ { r ^ { \prime } } - \widetilde { \sigma } _ { r ^ { \prime } + 1 } \right) \left( \widetilde { \sigma } _ { r ^ { \prime } } + \widetilde { \sigma } _ { r ^ { \prime } + 1 } \right) \geq \frac { 4 \left( \sigma _ { r ^ { \prime } } ^ { \star } - \sigma _ { r ^ { \prime } + 1 } ^ { \star } \right) } { 5 } \left( \sigma _ { r ^ { \prime } } ^ { \star } + \sigma _ { r ^ { \prime } + 1 } ^ { \star } - \frac { \sigma _ { r } ^ { \star } } { 5 r } \right) \geq \frac { 1 } { 2 } \left( \sigma _ { r ^ { \prime } } ^ { \star 2 } - \sigma _ { r ^ { \prime } + 1 } ^ { \star 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } J _ { \parallel } ( t ) = \frac { 1 } { n } \frac { \sqrt { 3 } a ^ { 2 } q ^ { 2 } t _ { \mathrm { h o p } } } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } E ( t ) - \frac { J _ { \parallel } ( t ) } { T _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \gamma \nabla \partial _ { t } ^ { k } [ \rho ^ { \prime } ( \phi ) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } ] \| \leq \frac { \delta } { 3 } \sum _ { 0 \leq j \leq k } \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| + C _ { \delta } \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 4 } ( t ) ) E _ { j } ^ { \frac { 5 } { 2 } } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathscr { E } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \lambda } \int _ { 0 } ^ { \lambda } \Big \{ \Big [ \zeta ( x , t ) + h ( x ) \Big ] ^ { 2 } - h ^ { 2 } ( x ) + } \\ & { } & { \frac { 1 } { g } \int _ { - h ( x ) } ^ { \zeta } \left[ \left( \frac { \partial \Phi } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \Phi } { \partial z } \right) ^ { 2 } \right] d z \Big \} d x \quad , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 4 , 2 , x y } ^ { \sigma , E S } } & { = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , E S } \frac { 1 } { 2 } v _ { i x } v _ { i y } v _ { i \alpha } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { \sigma } [ 3 \lambda _ { x x } ( \lambda _ { x y } + u _ { x } u _ { y } ) } \\ & { + 3 \lambda _ { x y } ( \lambda _ { y y } + u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } ) + u _ { x } u _ { y } ( 3 \lambda _ { y y } + u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } ) ] , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \hat { S } } _ { t } } } & { { = } } & { { { \hat { P } } _ { x } \, , } } \\ { { { \hat { P } } _ { t } } } & { { = } } & { { { \hat { P } } { \hat { S } } _ { x } + { \hat { Q } } _ { x } \, , } } \\ { { { \hat { Q } } _ { t } } } & { { = } } & { { { 2 } { \hat { Q } } { \hat { S } } _ { x } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r } { - \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \partial _ { \lambda } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \partial _ { \lambda } \psi ) } \right) + \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \right) } \\ { - \partial _ { \nu } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \nu } \psi ) } + \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi } = 0 } \end{array}
( C b _ { p } ^ { B } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { I f ~ } p \in [ 1 , \infty ) : } & { \forall \, k \in \mathbb { N } _ { 0 } \exists \, l \in \mathbb { N } _ { 0 } : \, \operatorname* { s u p } _ { r \in \mathbb { N } _ { 0 } , n \in \mathbb { N } } \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left| \prod _ { s = 1 } ^ { m } w _ { r - s } \right| ^ { p } a _ { r - m , k } ^ { p } } { n a _ { r , l } ^ { p } } < \infty } \\ { \mathrm { I f ~ } p \in \{ 0 , \infty \} : } & { \forall \, k \in \mathbb { N } _ { 0 } \exists \, l \in \mathbb { N } _ { 0 } : \, \operatorname* { s u p } _ { r \in \mathbb { N } _ { 0 } , n \in \mathbb { N } } \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left| \prod _ { s = 1 } ^ { m } w _ { r - s } \right| a _ { r - m , k } } { n a _ { r , l } } < \infty } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { L ( | \nabla u | ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) = } & { - \partial _ { \rho \rho } ( | \nabla u | ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) - H \partial _ { \rho } ( | \nabla u | ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) + ( c R - \Lambda _ { c } ) | \nabla u | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { = } & { - \partial _ { \rho \rho } ( | \nabla u | ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) - \frac { 2 \phi _ { \rho } } { \phi } \partial _ { \rho } ( | \nabla u | ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) - \left( \frac { 2 c } { \phi ^ { 2 } } ( \phi _ { \rho } ^ { 2 } + 2 \phi \phi _ { \rho \rho } ) - 2 c \phi ^ { - 2 } K _ { 0 } + \Lambda _ { c } \right) | \nabla u | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { = } & { 2 c K _ { 0 } \phi ^ { - 2 } | \nabla u | ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\hat { T } _ { j k } ( [ \vec { r } ^ { N } ] ) = \ ^ { * } \sum _ { l _ { 1 } } \cdot \cdot \cdot \ ^ { * } \sum _ { l _ { N } } \bar { A } _ { j } ( N _ { r _ { 1 } } + l _ { 1 } , . . . , N _ { r _ { N } } + l _ { N } ) A _ { k } ( N _ { r _ { 1 } } + l _ { 1 } , . . . , N _ { r _ { N } } + l _ { N } ) .
\begin{array} { r } { \check { \boldsymbol { \mathbf { p } } } _ { \ell ; r _ { \ell } } \in \mathbb { R } ^ { n _ { \ell } \times n _ { \ell - 1 } } , \mathrm { ~ w i t h } \quad ( \check { \boldsymbol { \mathbf { p } } } _ { \ell ; r _ { \ell } } ) _ { \xi \in \Xi _ { \ell - 1 } , \eta \in \Xi _ { \ell } } : = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \boldsymbol { \mathbf { p } } _ { \ell } ) _ { \xi , \eta } = \chi _ { \xi } ^ { ( \ell - 1 ) } ( \eta ) , } & { \mathrm { d i s t } ( \xi , \eta ) \le r _ { \ell } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { d i s t } ( \xi , \eta ) > r _ { \ell } , } \end{array} \right. } \end{array}
\hat { f } _ { N } = \frac { 2 f _ { N } k _ { 1 } ( 1 + k _ { 1 } ) - k _ { 2 } + \sqrt { 4 f _ { N } ( 1 + k _ { 1 } ) k _ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } } } { 2 ( 1 + k _ { 1 } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \hat { Z } = } & { \underset { Z } { \arg \operatorname* { m a x } } ~ \langle Z , T _ { 1 } B + T _ { 2 } A \rangle } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad Z = x x ^ { T } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad Z _ { i i } = 1 , \quad i \in [ n ] } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \langle Z , \mathbf { J } \rangle = 0 . } \end{array}
B _ { 2 } = \Omega _ { 2 } ( [ \Theta ] ) u _ { 0 } + \Omega _ { 1 } ( [ \Theta ] ) \partial _ { z } \rho _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } f ^ { ( 3 ) } ( \phi _ { 0 } ) \rho _ { 1 } ^ { 2 } - \kappa ( \partial _ { Y } ^ { 2 } \Theta ) u _ { 0 } ( z ) + \kappa ( \partial _ { Y } \Theta ) ^ { 2 } \partial _ { z } u _ { 0 } - 2 \kappa ( \partial _ { Y } \Theta ) \partial _ { z } \partial _ { y } \rho _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { N _ { k } } & { { } = { \frac { 1 } { 3 2 } } \left( \left( 1 + { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 k } - \left( 1 - { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 k } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\omega ( y , t ) = \sigma _ { \varepsilon } ( y , t ) + \int _ { D } p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) W ^ { \varepsilon } ( \xi , 0 ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) ( G ( \xi , s ) + \rho _ { \varepsilon } ( \xi , s ) ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s ,
\begin{array} { r l r l } { - \nabla \! \cdot \! \Bigl ( \sigma _ { 1 } \nabla \varphi _ { 1 } \Bigr ) - j \omega \nabla \! \cdot \! \Bigl ( \varepsilon _ { 1 } \nabla \varphi _ { 1 } \Bigr ) } & { = \nabla \! \cdot \! \mathbf { J } _ { \textrm { s r c } , 1 } \! \! \! \! } & & { \mathrm { o n ~ } \Omega _ { 1 } } \\ { - j \omega \nabla \! \cdot \! \Bigl ( \varepsilon _ { 2 } \nabla \varphi _ { 2 } \Bigr ) } & { = \nabla \! \cdot \! \mathbf { J } _ { \textrm { s r c } , 2 } \! \! \! \! } & & { \mathrm { o n ~ } \Omega _ { 2 } } \\ { \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } } & { = 0 } & & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { 1 2 } } \\ { \mathbf { n } \! \cdot \! ( \mathbf { J } _ { \textrm { t o t } , 1 } - \mathbf { J } _ { \textrm { t o t } , 2 } ) } & { = 0 } & & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { 1 2 } } \\ { \varphi _ { 1 } = \varphi _ { 2 } } & { = 0 } & & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } & { W _ { \ell } ( n _ { \ell } \rightarrow n _ { \ell } + 1 ) = \beta \frac { n _ { \ell } } { N _ { \ell } } ( N _ { \ell } - n _ { \ell } ) , } \\ & { W _ { \ell } ( n _ { \ell } \rightarrow n _ { \ell } - 1 ) = \mu n _ { \ell } , } \\ & { W ( ( N _ { \ell } , N _ { \ell ^ { \prime } } ) \rightarrow ( N _ { \ell } - 1 , N _ { \ell ^ { \prime } } + 1 ) ) = m _ { \ell , \ell ^ { \prime } } N _ { \ell } . } \end{array}
b _ { i } ( t ) = \int d \mathrm { c o s } \Theta _ { l ^ { + } } d \mathrm { c o s } \Theta _ { K ^ { + } } d \chi \, \, f ( \Theta _ { l ^ { + } } , \Theta _ { K ^ { + } } , \chi \, ; t ) \, \, w _ { i } ( \Theta _ { l ^ { + } } , \Theta _ { K ^ { + } } , \chi ) \, .
J = { \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( r , \theta , \varphi ) } } = { \left( \begin{array} { l l l } { \sin \theta \cos \varphi } & { r \cos \theta \cos \varphi } & { - r \sin \theta \sin \varphi } \\ { \sin \theta \sin \varphi } & { r \cos \theta \sin \varphi } & { r \sin \theta \cos \varphi } \\ { \cos \theta } & { - r \sin \theta } & { 0 } \end{array} \right) } ,
\sin { \frac { 2 \pi } { 1 5 } } = \sin 2 4 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 8 } } \left[ { \sqrt { 1 5 } } + { \sqrt { 3 } } - { \sqrt { 2 \left( 5 - { \sqrt { 5 } } \right) } } \right]
\hat { U } _ { M } = \frac { D ( r ) } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { e ^ { - i 2 \phi } } \\ { e ^ { i 2 \phi } } & { 1 } \end{array} \right) + ( 1 - D ( r ) ) \mathbf { 1 } ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } = } & { ~ \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( 2 \mathbf { D } _ { \alpha } + \lambda _ { \alpha } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) - ( \pi _ { \alpha } + p \phi _ { \alpha } ) \mathbf { I } - \tilde { \rho } _ { \alpha } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { { \partial { P _ { n } } ( t ) } } { { \partial t } } } & { { } = } & { { W _ { + } } ( { n - 1 } ) { P _ { n - 1 } } ( t ) + { W _ { - } } ( { n + 1 } ) { P _ { n + 1 } } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 } ( \delta , J ) = \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \sum _ { m _ { J } = - J } ^ { J - 1 } \exp \left[ \frac { - \delta ^ { 2 } ( 2 m _ { J } + 1 ) ^ { 2 } } { 2 } \right] } \\ { S _ { 2 } ( \delta , J ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m _ { J } = - J } ^ { J - 1 } ( 2 m _ { J } + 1 ) \mathrm { E r f } \left[ \frac { \delta ( 2 m _ { J } + 1 ) } { \sqrt { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \psi _ { k } ^ { R } \rangle } & { { } = \mathcal { R } _ { k } \exp ( T ) \vert \mathrm { H F } \rangle } \\ { \langle \psi _ { k } ^ { L } \vert } & { { } = \langle \mathrm { H F } \vert \mathcal { L } _ { k } \exp ( - T ) } \end{array}
\begin{array} { l } { { s = - { \frac { P } { 2 m } } , s _ { a } = { \frac { p _ { a } } { m } } , s _ { b } = { \frac { p _ { b } } { m } } , } } \\ { { s _ { 1 } = c s _ { a } + s c _ { a } , s _ { 2 } = c s _ { b } + s c _ { b } , c _ { i } = \sqrt { 1 + s _ { i } ^ { 2 } } } } \end{array}
| S _ { \mathrm { i . s . } } | = \left[ \begin{array} { l l l } { { 0 . 0 1 } } & { { 0 . 0 1 } } & { { \mathbf { 0 . 9 9 } } } \\ { { 0 . 0 1 } } & { { 0 . 9 8 } } & { { 0 . 0 2 } } \\ { { 0 . 9 9 } } & { { 0 . 0 2 } } & { { 0 . 0 0 } } \end{array} \right] .
c _ { 3 } : = - \left( f _ { 3 0 } - \frac { f _ { 2 1 } f _ { 1 1 } } { 2 f _ { 0 2 } } + \frac { f _ { 1 2 } f _ { 1 1 } ^ { 2 } } { 4 f _ { 0 2 } ^ { 2 } } - \frac { f _ { 0 3 } f _ { 1 1 } ^ { 3 } } { 8 f _ { 0 2 } ^ { 3 } } \right) \left( g _ { 3 0 } - \frac { g _ { 2 1 } g _ { 1 1 } } { 2 g _ { 0 2 } } + \frac { g _ { 1 2 } g _ { 1 1 } ^ { 2 } } { 4 g _ { 0 2 } ^ { 2 } } - \frac { g _ { 0 3 } g _ { 1 1 } ^ { 3 } } { 8 g _ { 0 2 } ^ { 3 } } \right) .
\operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \lvert \lvert f \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \aftergroup \egroup \right) - f _ { \mathbb { P } , N } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \aftergroup \egroup \right) \rvert \rvert _ { w } = 0 ~ .
\mathrm { i } \, \mathcal { I } _ { _ { D C } } \, \nu _ { _ { D C } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { d y n } } } ^ { | A _ { 2 } | ^ { 2 } A _ { 2 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { k i n } } } ^ { | A _ { 2 } | ^ { 2 } A _ { 2 } } \right) \, r \mathrm { d } r ,
\left\{ \begin{array} { l l } { r _ { k } = [ f ( \theta _ { k } ) + C ] ^ { q } } \\ { \frac { \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } } { \delta t } = - \left( \frac { \tilde { r } _ { k + 1 } } { [ f ( \theta _ { k } ) + C ] ^ { q } } \nabla f ( \theta _ { k } ) + \mathcal { L } ( \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } ) \right) } \\ { \frac { \tilde { r } _ { k + 1 } - r _ { k } } { \delta t } = q [ f ( \theta _ { k } ) + C ] ^ { q - 1 } ( \nabla f ( \theta _ { k } ) , \frac { \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } } { \delta t } ) . } \end{array} \right.
L _ { \mu } ^ { 2 } \left( \mathbf { R } , \mathbf { H } _ { n } \right) = \left\{ \psi : \mathbf { R } \to \mathbf { H } _ { n } : \psi { \mathrm { ~ m e a s u r a b l e ~ a n d ~ } } \int _ { \mathbf { R } } \| \psi ( t ) \| ^ { 2 } d \mu ( t ) < \infty \right\}
\nu \in \left\{ 1 0 ^ { - 9 } , 2 \cdot 1 0 ^ { - 9 } , 3 \cdot 1 0 ^ { - 9 } , \ldots , 1 0 ^ { - 8 } , 2 \cdot 1 0 ^ { - 8 } , \ldots , 1 0 ^ { - 5 } \right\}
E _ { D 0 - D 2 - D 6 } = 3 \sqrt { d e t _ { 6 } ( 1 + B ) } + \Sigma _ { i = 1 } ^ { 3 } | q _ { 2 } ^ { i } | \sqrt { d e t _ { 2 } ( 1 + B ^ { i } ) } + | q _ { 0 } | .
\psi _ { l } = \frac { \mathrm { d } \psi _ { l } } { \mathrm { d } \varrho } = 0 , \quad \chi _ { l } = \mathrm { i } \delta _ { 0 , l } \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad \varrho = \eta \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad 1 .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathrm { t r u e } } ( \theta ) } & { : = \log | | \textbf { y } _ { \mathrm { o b s } } - \textbf { y } _ { \mathrm { s i m } } ( \theta ) | | } \\ { \Delta ( \Theta ) } & { \sim \mathcal { G P } \big ( \Delta ( \Theta ) ; \mu _ { \Delta } ( \theta ) , \sigma _ { \Delta } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { s \equiv \frac { 1 } { 2 } \sqrt { ( z _ { 4 } - z _ { 2 } ) ( z _ { 3 } - z _ { 1 } ) } , \qquad r \equiv \frac { ( z _ { 3 } - z _ { 1 } ) } { ( z _ { 3 } - z _ { 2 } ) } , \qquad m = \frac { ( z _ { 3 } - z _ { 2 } ) ( z _ { 4 } - z _ { 1 } ) } { ( z _ { 4 } - z _ { 2 } ) ( z _ { 3 } - z _ { 1 } ) } . } } \end{array}
\begin{array} { l l } { \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } \varphi _ { \lambda } ( x ) = \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { z \in \mathbb { R } ^ { n } } \Big \{ f ( x ) + \langle \nabla f ( x ) , z - x \rangle + \psi ( z ) + \displaystyle \frac { 1 } { 2 \lambda } \| z - x \| ^ { 2 } \Big \} } \\ { \geq \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { z \in \mathbb { R } ^ { n } } \Big \{ f ( z ) - \frac { L _ { f } } { 2 } \| z - x \| ^ { 2 } + \psi ( z ) + \displaystyle \frac { 1 } { 2 \lambda } \| z - x \| ^ { 2 } \Big \} } \\ { = \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { z \in \mathbb { R } ^ { n } } \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } \Big \{ f ( z ) + \psi ( z ) + \Big ( \frac { 1 } { 2 \lambda } - \displaystyle \frac { L _ { f } } { 2 } \Big ) \| z - x \| ^ { 2 } \Big \} = \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { z \in \mathbb { R } ^ { n } } \varphi ( x ) . } \end{array}
\overset \leftrightarrow { \mathbf { R } } = \left( \begin{array} { l l l } { \mathrm { c o s } ( \Theta ) + u _ { x } ^ { 2 } g ( \Theta ) } & { u _ { x } u _ { y } g ( \Theta ) - u _ { z } \mathrm { s i n } ( \Theta ) } & { u _ { x } u _ { z } g ( \Theta ) + u _ { y } \mathrm { s i n } ( \Theta ) } \\ { u _ { y } u _ { x } g ( \Theta ) + u _ { z } \mathrm { s i n } ( \Theta ) } & { \mathrm { c o s } ( \Theta ) + u _ { y } ^ { 2 } g ( \Theta ) } & { u _ { y } u _ { z } g ( \Theta ) - u _ { x } \mathrm { s i n } ( \Theta ) } \\ { u _ { z } u _ { x } g ( \Theta ) - u _ { y } \mathrm { s i n } ( \Theta ) } & { u _ { z } u _ { y } g ( \Theta ) + u _ { x } \mathrm { s i n } ( \Theta ) } & { \mathrm { c o s } ( \Theta ) + u _ { z } ^ { 2 } g ( \Theta ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { g _ { 1 } ( x ; \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \nabla f _ { 1 } ( x ) + \sqrt { | x | } , } & { \xi = 0 } \\ { \nabla f _ { 1 } ( x ) - \sqrt { | x | } , } & { \xi = 1 } \end{array} \right. , } \\ & { g _ { i } ( x ; \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \nabla f _ { i } ( x ) + \sqrt { f _ { i } ( x ) } , } & { \xi = 0 } \\ { \nabla f _ { i } ( x ) - \sqrt { f _ { i } ( x ) } , } & { \xi = 1 } \end{array} \right. , i = 2 , 3 \cdots , 1 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \nabla g ( \lambda Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } + ( 1 - \lambda ) Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } ) \right| } & { \leq \frac { | A _ { T _ { k } } | } { | \lambda Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } + ( 1 - \lambda ) Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | } + c _ { f } | A _ { T _ { k } } | \, e ^ { - c _ { f } | \lambda Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } + ( 1 - \lambda ) Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | } } \\ & { \leq \left( \frac { K } { R / 2 - 1 } + K c _ { f } e ^ { - c _ { f } ( R / 2 - 1 ) } \right) | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | . } \end{array}
[ Z _ { 1 } , Z _ { 2 } ] = \imath s _ { 3 } I + \imath l _ { i } F _ { i } ( Q , P ) \ , \ \ w h e r e \ \ s _ { 3 } = x _ { i } ^ { 1 } y _ { i } ^ { 2 } - x _ { i } ^ { 2 } y _ { i } ^ { 1 } \quad l _ { i } = t ^ { 1 } y _ { i } ^ { 2 } - t ^ { 2 } y _ { i } ^ { 1 } \ .
\phi \left( x _ { 1 } , \cdots , x _ { 2 l } \right) = \sum _ { n _ { 1 } , \cdots , n _ { 1 } \geq 0 } \varphi _ { \left( n _ { 1 } , \cdots , n _ { l } \right) } P _ { \left( n _ { 1 } , \cdots , n _ { l } \right) } \left( x _ { 1 } , \cdots , x _ { 2 l } \right) ;
\begin{array} { r l } { \nabla _ { r } P _ { 1 r } \, } & { = \, - \left( \frac { \ddot { \phi } } { \phi ^ { 3 } } - 4 \frac { \dot { \phi } ^ { 2 } } { \phi ^ { 4 } } \right) \lambda \, ( \psi ^ { \prime } ) ^ { 3 } \, , } \\ { \nabla _ { 1 } P _ { 1 r } \, } & { = \, - \frac { \dot { \phi } } { \phi ^ { 3 } } ( \lambda \, ( \psi ^ { \prime } ) ^ { 3 } ) ^ { \prime } \, , } \\ { \nabla _ { 2 } P _ { 1 2 } \, } & { = \, - \frac { \dot { \phi } ^ { 2 } } { \phi ^ { 2 } } \lambda \, ( \psi ^ { \prime } ) ^ { 3 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { x } } & { { } = } & { \frac { \hbar } { i } \left( y \partial _ { z } - z \partial _ { y } \right) } \\ { \hat { l } _ { y } } & { { } = } & { \frac { \hbar } { i } \left( z \partial _ { x } - x \partial _ { z } \right) } \\ { \hat { l } _ { z } } & { { } = } & { \frac { \hbar } { i } \left( x \partial _ { y } - y \partial _ { x } \right) , } \end{array}
\Gamma _ { S L } ^ { u b } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { b } ^ { 5 } | V _ { u b } | ^ { 2 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } \left[ 1 - \frac { 2 \, \alpha _ { S } } { 3 \pi } - \frac { \mu _ { \pi } ^ { 2 } } { 2 m _ { b } ^ { 2 } } - \frac { 3 \, \mu _ { G } ^ { 2 } } { 2 m _ { b } ^ { 2 } } \right]
A ( 3 H ) = 8 { \sqrt { \frac { 2 \pi } { 3 } } } \Sigma _ { 1 2 3 } \int \int M _ { 2 } { n _ { 2 3 } n _ { 2 1 } } \pi ^ { 2 } d x _ { 2 } d \xi _ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } [ T R ] _ { 2 } D _ { 2 } ( { \hat { q } } _ { 2 } ) { \Pi _ { 1 2 3 } { M _ { i } N _ { i } \phi _ { i } } }
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \operatorname* { s u p } _ { x \in X } \left\| A ( T ^ { n - 1 } x ) \cdots A ( x ) \right\| = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \operatorname* { s u p } _ { x \in X } \left| \Phi _ { n } ( x ) \right| = \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { E } _ { T } ( X ) } \operatorname* { i n f } _ { n \geq 1 } \frac { 1 } { n } \int | \Phi _ { n } | \, d \mu
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( t ) } & { { } = S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( t ) - k _ { \mathrm { ~ B ~ } } D _ { K L } \left( P _ { N } ( t ) \left| \prod _ { n = 1 } ^ { N } P _ { 1 } ( t ) \right. \right) + k _ { \mathrm { ~ B ~ } } N ( \ln N - 1 ) \, , } \end{array}
\frac { d Z } { d t } + \frac { 1 } { C } Z \le \frac { C S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } + 1 } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } t \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } ,
\begin{array} { r l } { B _ { z } ^ { + } \left( \rho , \phi , z \right) } & { { } = - \frac { \mu _ { 0 } } { \pi \rho _ { c } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \ \zeta _ { m , 0 } \cos \left( m \phi \right) \ \times } \end{array}
\mathcal { L } _ { L } ^ { \mathrm { M } } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l ^ { \prime } , l } \overline { { { ( \nu _ { { l ^ { \prime } } L } ) ^ { c } } } } \, M _ { l ^ { \prime } l } ^ { L } \, \nu _ { { l } L } + \mathrm { h . c . } \, ,
\mathbb { X } _ { n , \beta } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \mathbb { X } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \widetilde { \boldsymbol { \beta } } = \mathbb { X } _ { n } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { Y } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) .
\begin{array} { r l } { B ^ { ( 2 M , r ) } \psi _ { j } ^ { n } } & { { } = \frac { 2 i H \Delta t } { \hbar } \displaystyle \prod _ { s = 1 } ^ { 2 M } \left( 1 - \frac { H \Delta t / \hbar } { z _ { s } ^ { ( 2 M ) } } \right) \xi ^ { n } e ^ { \textstyle i k j \Delta x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta = } & { \frac { 1 - \frac { 2 h } { 2 } \left( 1 + \frac { 4 } { 3 } h + o ( h ) \right) } { 1 - h - \frac { h ^ { 2 } } { 2 } + o ( h ^ { 2 } ) } } \\ { = } & { \left( 1 - h - \frac { 4 } { 3 } h ^ { 2 } + o ( h ) \right) \left( 1 + h + \left( \frac { 1 } { 2 } + 1 \right) h ^ { 2 } + o ( h ^ { 2 } ) \right) } \\ { = } & { 1 + 0 h + \left( - 1 - \frac { 4 } { 3 } + \frac { 3 } { 2 } \right) h ^ { 2 } + o ( h ^ { 2 } ) } \\ { = } & { 1 - \frac { 5 } { 6 } h ^ { 2 } + o ( h ^ { 2 } ) . } \end{array}
\hat { \psi } ( z ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s _ { n } ) z ) } \Bigg [ \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s _ { n } ) | ^ { \prime } } \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } A d j ( \mathscr { D } ( s _ { n } ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s _ { n } ) \Bigg ] \exp { ( s _ { n } t ) }
\begin{array} { r } { \textbf { T } _ { i j } ^ { d - d } = - \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \left[ \left( \textbf { m } _ { i } \times \textbf { m } _ { j } \right) - \frac { 3 } { r ^ { 2 } } \left( \textbf { m } _ { j } \cdot \textbf { r } \right) \left( \textbf { m } _ { i } \times \textbf { r } \right) \right] , } \end{array}
\mathcal { D } ( x , t ) = \frac { c _ { 0 } ^ { 2 } } { l } \tilde { \mathcal { D } } ( \lambda , \tau ) , ~ ~ ~ ~ \tilde { \mathcal { D } } ( \lambda , \tau ) = \frac { \epsilon ^ { 2 } \chi } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } \tilde { u } ( \lambda , \tau ) ,
\begin{array} { r l } { I \left( z \right) = } & { \mathcal { I } \lambda \frac { R \sinh \left( z / \lambda \right) } { R \cosh \left( l / \lambda \right) + R _ { L } \sinh \left( l / \lambda \right) } \mathrm { , } } \\ { V \left( z \right) = } & { R \mathcal { I } \lambda \left[ 1 - \frac { R \cosh \left( z / \lambda \right) } { R \cosh \left( l / \lambda \right) + R _ { L } \sinh \left( l / \lambda \right) } \right] \mathrm { . } } \end{array}