harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A d j ( \mathscr { W } ) _ { 6 , 6 } = e ^ { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 6 } \big ) z } \left| \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \lambda _ { 1 } } & { \lambda _ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 2 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 3 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 5 } ^ { 4 } } \end{array} \right| = e ^ { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 6 } \big ) z } \mathscr { E } _ { \lambda , 6 } ( s )
\Big | \frac { 1 } { 3 2 N ^ { 4 } } \frac { \sin ^ { 2 } k ^ { \prime } \pi / 2 N \cos k ^ { \prime } \pi / N } { \sin ^ { 4 } k ^ { \prime } \pi / N } \Big | \leq \frac { 1 } { 5 1 2 k ^ { 4 } } .
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { = \frac 1 2 ( 5 + 3 C - 1 2 c _ { 3 } ^ { 2 } ) , } \\ { W _ { 2 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { = \frac 3 4 \big ( c _ { 3 } ( 2 3 + 5 C - 3 5 c _ { 3 } ^ { 2 } ) - c _ { 1 } c _ { 2 } \big ) , } \\ { W _ { 3 } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { = \frac 3 4 \big ( c _ { 3 } ( 3 + 3 C - c _ { 3 } ^ { 2 } - 6 c _ { 1 } ^ { 2 } ) - 3 c _ { 1 } c _ { 2 } \big ) . } \end{array}
{ R ^ { \rho } } _ { \sigma \mu \nu } = \partial _ { \mu } \Gamma ^ { \rho } { } _ { \nu \sigma } - \partial _ { \nu } \Gamma ^ { \rho } { } _ { \mu \sigma } + \Gamma ^ { \rho } { } _ { \mu \lambda } \Gamma ^ { \lambda } { } _ { \nu \sigma } - \Gamma ^ { \rho } { } _ { \nu \lambda } \Gamma ^ { \lambda } { } _ { \mu \sigma } .
{ \frac { d P ( t , s ) } { P ( t , s ) } } = \left( r _ { t } - \mu ( t , s ) ^ { * } + { \frac { 1 } { 2 } } { \boldsymbol { \sigma } } ( t , s ) ^ { * } { \boldsymbol { \sigma } } ( t , s ) ^ { * T } \right) d t - { \boldsymbol { \sigma } } ( t , s ) ^ { * } d W _ { t }
F _ { \langle r \rangle } ^ { \prime } ( x ) = C \int _ { x / L ( r ) } ^ { 1 } \frac { d x _ { 1 } } { x _ { 1 } } \int _ { x _ { 2 } } ^ { 1 } \frac { d x _ { 2 } } { x _ { 2 } } \cdots \int _ { x _ { r - 1 } } ^ { 1 } \frac { d x _ { r } } { x _ { r } } \prod _ { j = 1 } ^ { r } \left( \frac { x _ { j } } { x _ { j + 1 } } \right) ^ { \frac { j } { r + 1 } - 1 } \left( 1 - \frac { x _ { j } } { x _ { j + 1 } } \right) ^ { \frac { j } { r ( r + 1 ) } - 1 } .
\mathsf { P } _ { f } = \frac { 1 } { \mathcal { Z } } \sum _ { J _ { X } , M _ { X } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \mathcal { E } _ { \mathrm { X } } \, \rho ( \mathcal { E } _ { \mathrm { X } } ; J _ { X } ) \, \exp ( - \frac { \mathcal { E } _ { \mathrm { X } } } { k _ { _ B } T } ) \, P _ { f } ^ { \left( \left\{ \mathrm { X } ^ { 2 } \Sigma ^ { + } \! \! , J _ { \mathrm { X } } , M _ { \mathrm { X } } , \Omega _ { \mathrm { X } } = 0 , \mathcal { E } _ { \mathrm { X } } \right\} \rightarrow f \right) } \; ,
{ \frac { \pi } { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { k ! } { ( 2 k + 1 ) ! ! } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 ^ { k } k ! ^ { 2 } } { ( 2 k + 1 ) ! } } = 1 + { \frac { 1 } { 3 } } \left( 1 + { \frac { 2 } { 5 } } \left( 1 + { \frac { 3 } { 7 } } \left( 1 + \cdots \right) \right) \right)
\frac { K } { 2 } \partial _ { s } \phi + \frac { \mu _ { 2 0 } ^ { ( 0 ) } } { { d _ { t } } } \frac { \partial } { \partial \mathbf { c } } \cdot \left( \mathbf { c } \phi \right) + \frac { \mu _ { 0 2 } ^ { ( 0 ) } } { { d _ { r } } } \frac { \partial } { \partial \mathbf { w } } \cdot \left( \mathbf { w } \phi \right) = \mathcal { I } _ { { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } } [ \phi , \phi ] ,
0 = \oint _ { s _ { 1 } + s _ { 2 } + s _ { 3 } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \vec { B } \cdot d \vec { S } \approx \int _ { s _ { 2 } } B _ { n } \: d A \approx \Delta w \int _ { L } B _ { n } \: d l ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } } & { = \Big \{ \alpha _ { 3 } \cdot \mathcal { P } ^ { \prime } + ( 1 - \alpha _ { 3 } ) \cdot \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 3 } \end{array} \right) \Big \} _ { \alpha } } \\ & { = \Big \{ \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 3 } \end{array} \right) + \alpha _ { 3 } \cdot \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { - 3 } \end{array} \right) + \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } \cdot \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 2 } \end{array} \right) + \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \cdot \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 0 } \end{array} \right) \Big \} _ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } _ { i } } & { = } & { \sum _ { \rho } ( \delta _ { i , \rho _ { p } } + \delta _ { i , \rho _ { c } } ) v _ { \rho } y _ { \rho } - ( \delta _ { i , \rho _ { s } } + \delta _ { i , \rho _ { c } } ) f _ { \rho } ( { \bf x } , { \bf y } ) } \\ & { } & { + F _ { i } ( \textbf { x } ; S _ { \mathrm { e x t } } , \alpha ) - \mu x _ { i } , } \\ { \dot { y } _ { \rho } } & { = } & { f _ { \rho } ( { \bf x } , { \bf y } ) - v _ { \rho } y _ { \rho } - \mu y _ { \rho } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ e \left( \varphi \right) \right] \left( x , \mathrm { b } \right) } & { { } : = } & { - \mathbf { 1 } \left[ - L \leq x \leq l - 1 \right] \varphi \left( x , \mathrm { b } \right) } \end{array}
P ( s = R ( K _ { i } ) | T _ { n } ( s ) = x ) = { \frac { P ( T _ { n } ( s ) = x | s = R ( K _ { i } ) ) P ( s = R ( K _ { i } ) ) } { \sum _ { j } P ( T _ { n } ( s ) = x | s = R ( K _ { j } ) ) P ( s = R ( K _ { j } ) ) } } .
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } \mu ( \alpha ) } & { \triangleq \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 4 } { S _ { o } ^ { 2 } - S _ { i } ^ { 2 } } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) ^ { \alpha } \left( 1 - t ^ { 2 } \right) ^ { \alpha } \, \widetilde { h } ( t ) ^ { 2 \alpha } \, \mathrm { d } V } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) ^ { \alpha } \left( 1 - t ^ { 2 } \right) ^ { \alpha } \, \widetilde { h } ( t ) ^ { 2 \alpha + 1 } \, \mathrm { d } \phi \, \mathrm { d } \eta \, \mathrm { d } t } \end{array}
\Bigl [ \varepsilon ( { \bf r } , \omega ) \, \omega ^ { 2 } \delta _ { j m } - \mathrm { r o t } _ { j l } \mathrm { r o t } _ { l m } \Bigr ] D _ { m k } ( \varepsilon , { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega ) = - \omega ^ { 2 } \delta ( { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime } ) \delta _ { j k }
{ \left| \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial x } } } & { { \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial y } } } & { { \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial z } } } \\ { { \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial x } } } & { { \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial y } } } & { { \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial z } } } \\ { { \frac { \partial x _ { 3 } } { \partial x } } } & { { \frac { \partial x _ { 3 } } { \partial y } } } & { { \frac { \partial x _ { 3 } } { \partial z } } } \end{array} \right| }
\begin{array} { r l } { [ \tau _ { b } , \bigoplus _ { \substack { 2 t + a = n } } \mathrm { I n d } _ { \mathsf { H } _ { t } \times \mathsf { S } _ { a } } ^ { \mathsf { W } _ { n } ^ { \prime } } \tilde { \varepsilon } \otimes \operatorname { s g n } ] _ { \mathsf { W } _ { n } ^ { \prime } } } & { = [ \tau _ { b } , \bigoplus _ { \substack { 2 t + a = n } } \mathrm { I n d } _ { \mathsf { H } _ { t } \times \mathsf { S } _ { a } } ^ { \mathsf { W } _ { n } } \tilde { \varepsilon } \otimes \operatorname { s g n } ] _ { \mathsf { W } _ { n } ^ { \prime } } } \\ & { = [ \mathrm { I n d } _ { \mathsf { W } _ { n } ^ { \prime } } ^ { \mathsf { W } _ { n } } \tau _ { b } , \bigoplus _ { \substack { 2 t + a = n } } \mathrm { I n d } _ { \mathsf { H } _ { t } \times \mathsf { S } _ { a } } ^ { \mathsf { W } _ { n } } \tilde { \varepsilon } \otimes \operatorname { s g n } ] _ { \mathsf { W } _ { n } } } \\ & { = [ \tau _ { b , L } \times \tau _ { b , R } , \bigoplus _ { \substack { 2 t + a = n } } \mathrm { I n d } _ { \mathsf { H } _ { t } \times \mathsf { S } _ { a } } ^ { \mathsf { W } _ { n } } \tilde { \varepsilon } \otimes \operatorname { s g n } ] _ { \mathsf { W } _ { n } } } \end{array}
S _ { 1 } = \frac { \sqrt { ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 3 } + ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } I _ { 2 } + ( y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) \, ( I _ { 2 } ^ { 2 } - I _ { 4 } ) / 2 + ( I _ { 3 } ) ^ { 2 } } } { y ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { I n t } } } & { = } & { c g _ { a \gamma \gamma } \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \; \left[ \hat { a } \left( \hat { \boldsymbol D } - \hat { \boldsymbol P } \right) \cdot \hat { \boldsymbol B } \right] } \\ & { + } & { \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \; \left[ \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } g _ { a \gamma } ^ { 2 } \hat { a } ^ { 2 } \hat { \boldsymbol B } \cdot \hat { \boldsymbol B } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { 2 } ( x , t ) = \Xi _ { 2 } ( t ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { \prime } { \cal { G } } ( x - x ^ { \prime } , t ) \varphi _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) \; . } \end{array}
{ \mathcal { L } } \rightarrow { \bar { \mathcal { L } } } = e ^ { - i \theta } { \bar { \psi } } \left( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - m \right) e ^ { i \theta } \psi = e ^ { - i \theta } e ^ { i \theta } { \bar { \psi } } \left( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - m \right) \psi = { \mathcal { L } }
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { t o t a l } } } & { { } = \frac { 3 } { 2 } k _ { B } T _ { 0 } + \frac { m } { 2 } \sum _ { i } \omega _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { 0 , i } ^ { 2 } = 3 k _ { B } T _ { 0 } , } \end{array}
\left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle _ { t } = e ^ { - \kappa t } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \ i e ^ { \kappa \tau } \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left( \alpha _ { d } ^ { * } \left\langle \hat { a } \right\rangle _ { \tau } - \alpha _ { d } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \right\rangle _ { \tau } \right) .
\begin{array} { r l } { \tilde { \bf S } } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { U _ { n } } & { U _ { n + 1 } } & { U _ { n + 2 } } & { \cdots } \\ { U _ { n - 1 } } & { U _ { n } } & { U _ { n + 1 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { U _ { n } U _ { n } } & { U _ { n + 1 } U _ { n + 1 } } & { U _ { n + 2 } U _ { n + 2 } } & { \cdots } \\ { U _ { n } U _ { n - 1 } } & { U _ { n + 1 } U _ { n } } & { U _ { n + 2 } U _ { n + 1 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f _ { e } } { \partial t } } & { + \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial p } \left[ p ^ { 2 } \left( - E _ { \Vert } \xi - \frac { 1 + p ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \right) f _ { e } \right] - \frac { \partial } { \partial \xi } \left[ \left( \frac { 1 - \xi ^ { 2 } } { p } \right) E _ { \Vert } f _ { e } \right] } \\ & { = \frac { \nu _ { D } } { 2 } \frac { \partial } { \partial \xi } \left[ \left( 1 - \xi ^ { 2 } \right) \frac { \partial f _ { e } } { \partial \xi } \right] + \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial p } \left( p ^ { 2 } C _ { A } \frac { \partial f _ { e } } { \partial p } \right) , } \end{array}
= z _ { j } ^ { 1 } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { j + i + 1 } \operatorname* { d e t } ( ( M _ { i , j } ^ { \prime } ) _ { \mathbb { Q } } ) ( m _ { i , k ^ { \prime } + 1 } \widetilde { x _ { k ^ { \prime } + 1 } ^ { 1 } } + \dots + m _ { i , k } \widetilde { x _ { k } ^ { 1 } } ) } { \operatorname* { d e t } ( ( M ^ { \prime } ) _ { \mathbb { Q } } ) } .
\begin{array} { r l } { \log ( S _ { t } ( \ell ) ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } V _ { s } ( \ell ) { \mathrm { d } } s + \int _ { 0 } ^ { t } \sigma _ { s } ^ { S } ( \ell ) { \mathrm { d } } B _ { s } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { | I | , | J | \le n } \ell _ { I } \ell _ { J } \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } s + \sum _ { | I | \le n } \ell _ { I } \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I } , \widehat { \mathbb { X } } _ { s } \rangle \mathrm { d } B _ { s } } \\ & { \stackrel { ( \ast ) } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { | I | , | J | \le n } \ell _ { I } \ell _ { J } \langle ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t } \rangle + \sum _ { | I | \le n } \ell _ { I } \langle \tilde { e } _ { I } ^ { B } , \widehat { \mathbb { Z } } _ { t } \rangle } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \ell ^ { \top } Q ^ { 0 } ( t ) \ell + \sum _ { | I | \le n } \ell _ { I } \langle \tilde { e } _ { I } ^ { B } , \widehat { \mathbb { Z } } _ { t } \rangle , } \end{array}
L _ { I R } ( \epsilon _ { \gamma } ^ { - 1 } ) < 3 \times 1 0 ^ { 4 5 } \left( \frac { R } { \mathrm { 3 \ k p c } } \right) \left( \frac { \epsilon _ { \gamma } } { \mathrm { 1 \ T e V } } \right) ^ { - 1 } \ \ \ \mathrm { e r g \ s ^ { - 1 } } .
\delta Z _ { \tau } = \frac { h _ { 0 } ^ { * } h _ { 0 } + 2 \lambda _ { \tau , 0 } ^ { * } \lambda _ { \tau , 0 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } ( \mu ^ { 2 } ) ^ { \epsilon } } \frac { 1 } { \epsilon } + { \cal O } ( \epsilon ^ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { I l l ( r , \theta , t ) } & { = \iint _ { - \infty } ^ { \ \ \ + \infty } M ( r _ { d } , \theta _ { d } , t ) e ^ { - i \frac { 2 \pi } { \lambda f } ( r _ { d } r \cdot ( c o s ( \theta _ { d } ) c o s ( \theta ) + s i n ( \theta _ { d } ) s i n ( \theta ) ) } r _ { d } \mathrm { d } r _ { d } \mathrm { d } \theta _ { d } } \\ & { = \iint _ { - \infty } ^ { \ \ \ + \infty } M ( r _ { d } , \theta _ { d } , t ) e ^ { - i \frac { 2 \pi } { \lambda f } r _ { d } r \cdot c o s ( \theta _ { d } - \theta ) } r _ { d } \mathrm { d } r _ { d } \mathrm { d } \theta _ { d } } \\ & { \propto \iint _ { 0 , 0 } ^ { \ \ \ R , 2 \pi } M ( r _ { d } , \theta _ { d } , t ) e ^ { - i \frac { 2 \pi } { \lambda f } r _ { d } r \cdot \sin ( \theta _ { d } - \theta + \pi ) } r _ { d } \mathrm { d } r _ { d } \mathrm { d } \theta _ { d } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \Pi _ { [ 0 , R ] } ( r ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \textrm { s i n c } \left( \frac { n \alpha } { 2 } \right) e ^ { - i n ( \theta _ { d } + \frac { \alpha } { 2 } ) } e ^ { - i \frac { 2 \pi } { \lambda f } r _ { d } r \cdot \sin ( \theta _ { d } - \theta + \pi ) } d \theta _ { d } r _ { d } d r _ { d } \ e ^ { i n \Omega t } } \end{array}
M _ { ( n ) , \mathrm { c h a r g e d } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { g ^ { 2 } } 2 k ^ { 2 } + \left( \frac { 2 n } R \right) ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { g ^ { 2 } } 2 ( k ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) + \left( \frac { 2 n + 1 } R \right) ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \eta _ { 2 } ^ { k l } \approx \frac { \sigma _ { 0 } ^ { k l } \, \sum _ { s } \alpha _ { k } ^ { s } \, n _ { l } \, \sqrt { 2 a _ { k } + b _ { k } ^ { s } } \, t _ { C } } { 1 + \sigma _ { 0 } ^ { k l } \, \sum _ { s } \alpha _ { k } ^ { s } \, n _ { l } \, \sqrt { 2 a _ { k } + b _ { k } ^ { s } } \, t _ { C } } } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \lVert \partial _ { x } u _ { n } \rVert _ { L ^ { q } ( \Omega ) } \leq C _ { 6 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , T , q ) , \ \forall q \in [ 1 , + \infty )
{ \frac { \partial \varepsilon _ { n } } { \partial \mathbf { k } } } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \int d \mathbf { r } \psi _ { n \mathbf { k } } ^ { * } ( - i \nabla ) \psi _ { n \mathbf { k } } = { \frac { \hbar } { m } } \langle { \hat { \mathbf { p } } } \rangle = \hbar \langle { \hat { \mathbf { v } } } \rangle
\begin{array} { r l } { a _ { K } } & { = \frac { \lambda } { 4 } \left( \mathrm { l n } \left( K \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { l n } \left( \mathrm { l n } \left( K \sqrt { \pi } \lambda ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \right) \right) \right) ^ { 2 } , } \\ { b _ { K } } & { = \frac { \lambda } { 2 } \mathrm { l n } \left( K \sqrt { \pi } \lambda ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { C } _ { x } ( l \delta t ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \frac { \frac { 1 } { N - l } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { \alpha , i } x _ { \alpha , i + l } - \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { \alpha , i } \right) ^ { 2 } } { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { \alpha , i } ^ { 2 } - \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { \alpha , i } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\mathscr X _ { T + R , P } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ c ~ y ~ c ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { { \boldsymbol X } _ { T + R + 1 } , \boldsymbol X _ { T + R + 2 } , \cdots , \boldsymbol X _ { T + R + P } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i } \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { K L \rho } { 6 \lambda I } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } { \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) ^ { i - 1 - \ell } } \eta _ { \ell } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \ell } \| ^ { 2 } + { \frac { K \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 6 \lambda I L b _ { 1 } } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } { \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) ^ { i - 1 - \ell } } \eta _ { \ell } ^ { 3 } } \\ & { \qquad + { \frac { K \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 3 \lambda I L } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } { \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) ^ { i - 1 - \ell } } \eta _ { \ell } ^ { 3 } } \\ & { \qquad + \frac { 9 6 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } I ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \sum _ { \ell = { 0 } } ^ { i - 1 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) ^ { i - 1 - \ell } \sum _ { \bar { \ell } = 0 } ^ { \ell } \eta _ { \bar { \ell } } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \bar { \ell } } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \bar { \ell } } \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } \frac { K L \rho } { 6 \lambda I } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) ^ { I } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \ell } \| ^ { 2 } + { \frac { K \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 6 \lambda I L b _ { 1 } } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) ^ { I } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 3 } } \\ & { \qquad + { \frac { K \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 3 \lambda I L } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) ^ { I } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 3 } + \frac { 9 6 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } I ^ { 3 } } { \rho ^ { 2 } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) ^ { I } \sum _ { \bar { \ell } = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \bar { \ell } } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \bar { \ell } } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \bar { \ell } } \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \frac { K L \rho } { 2 \lambda I } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \ell } \| ^ { 2 } + { \frac { K \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 \lambda I L b _ { 1 } } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 3 } + { \frac { K \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \lambda I L } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 3 } } \\ & { \qquad + \frac { 2 8 8 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } I ^ { 3 } } { \rho ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { i - 1 } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\operatorname * { d e t } _ { j k } \mathrm { e } ^ { - \frac { g ^ { 2 } } { N } ( n _ { j } - j ) ( k - 1 ) } = \prod _ { j < k } \left( \mathrm { e } ^ { - \frac { g ^ { 2 } } { N } ( n _ { j } - j ) } - \mathrm { e } ^ { - \frac { g ^ { 2 } } { N } ( n _ { k } - k ) } \right) .
\begin{array} { r l } { \Delta f _ { 1 , i } } & { = \frac { 1 } { 1 2 } f _ { i - 2 } - \frac { 2 } { 3 } f _ { i - 1 } + \frac { 2 } { 3 } f _ { i + 1 } - \frac { 1 } { 1 2 } f _ { i + 2 } , } \\ { \Delta f _ { 2 , i } } & { = - \frac { 1 } { 1 2 } f _ { i - 2 } + \frac { 4 } { 3 } f _ { i - 1 } - \frac { 5 } { 2 } f _ { i } + \frac { 4 } { 3 } f _ { i + 1 } - \frac { 1 } { 1 2 } f _ { i + 2 } , } \\ { \Delta f _ { 3 , i } } & { = - \frac { 1 } { 2 } f _ { i - 2 } + f _ { i - 1 } - f _ { i + 1 } + \frac { 1 } { 2 } f _ { i + 2 } , } \\ { \Delta f _ { 4 , i } } & { = f _ { i - 2 } - 4 f _ { i - 1 } + 6 f _ { i } - 4 f _ { i + 1 } + f _ { i + 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } _ { T } } & { \leq \mathsf { E } _ { 0 } + \mathsf { E } _ { 0 } ^ { 3 / 2 } + C t \left( \mathsf { E } _ { T } ^ { 3 / 2 } + \mathsf { E } _ { T } \right) + \left\| w _ { 0 } \right\| _ { L ^ { \infty } } \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \left\| \partial _ { x } ^ { 4 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } , } \end{array}
\Delta _ { 2 } = - \frac { 1 } { 6 \pi } + \frac { 2 1 } { 4 \pi } l n ( \frac { M _ { G } } { M _ { V } } ) - \frac { 1 } { 6 \pi } l n ( \frac { M _ { G } } { M _ { 2 } 4 } ) + \Delta _ { 2 } ^ { N R O } ,
\displaystyle \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( r ) = \frac { 2 ( c _ { 1 2 } - 1 ) ( c _ { 1 3 } - 1 ) ( c _ { 2 3 } - 1 ) } { \operatorname* { d e t } ( \mathfrak { C } ) } = \frac { 2 ( c _ { 1 2 } - 1 ) ( c _ { 1 3 } - 1 ) ( c _ { 2 3 } - 1 ) } { 2 c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } ^ { 2 } - c _ { 1 3 } ^ { 2 } - c _ { 2 3 } ^ { 2 } + 1 }
\alpha _ { S } = - \frac { ( a - l _ { s } ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { s } ^ { 2 } ) } + \ln \left( \frac { 2 \sigma _ { s } } { \sqrt { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { s } ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r l r } { { { \eta } _ { 1 } } } & { { } = } & { - \frac { 6 { { K } _ { \theta } } } { \kappa } , } \\ { { { \eta } _ { 3 } } } & { { } = } & { \frac { 2 } { \kappa } \left\{ 1 + 1 2 { { { { C } ^ { \prime } } } _ { 4 } } + \frac { 1 } { \left( { { { V } ^ { 2 } } } / { c _ { 0 , u } ^ { 2 } } \; \right) - 1 } \right\} , } \\ { { { \eta } _ { 5 } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 \kappa } \left\{ \frac { 1 } { \left( { { { V } ^ { 2 } } } / { c _ { 0 , u } ^ { 2 } } \; \right) - 1 } - 2 8 8 { { { { C } ^ { \prime } } } _ { 6 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { } & { = \sum _ { j _ { 1 } , \dots , j _ { n } } \sum _ { \gamma \in S _ { m } \times S _ { n } } \left( B _ { x } \right) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { j _ { 1 } } \dots \left( B _ { x } \right) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m ) } } ^ { j _ { m } } } \\ { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left( B _ { y } \right) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m + 1 ) } } ^ { j _ { m + 1 } } \dots \left( B _ { y } \right) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m + n ) } } ^ { j _ { m + n } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { q } } & { { } = } & { \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } p , } \\ { \dot { p } } & { { } = } & { - \frac { \gamma Q } { \omega _ { 0 } } \sqrt { 4 - P ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } - \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } q - \sqrt { \frac { 2 } { \omega _ { 0 } } } \alpha , } \\ { \dot { Q } } & { { } = } & { P - \frac { \gamma P q Q } { \omega _ { 0 } \sqrt { 4 - P ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } } , } \\ { \dot { P } } & { { } = } & { \frac { \gamma q Q ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } \sqrt { 4 - P ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } } - \frac { \gamma q } { \omega _ { 0 } } \sqrt { 4 - P ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } - Q . } \end{array}