harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { - a _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { - a _ { 1 } } & { - a _ { 0 } } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \ldots } & { 0 } & { - a _ { 2 } } & { - a _ { 1 } } & { - a _ { 0 } } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 1 } & { - a _ { M - 1 } } & { - a _ { M - 2 } } & { - a _ { M - 3 } } & { \ldots } & { - a _ { M - N } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { - a _ { M } } & { - a _ { M - 1 } } & { - a _ { M - 2 } } & { \ldots } & { - a _ { M - N + 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { - a _ { M + 1 } } & { - a _ { M } } & { - a _ { M - 1 } } & { \ldots } & { - a _ { M - N + 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { - a _ { M + 2 } } & { - a _ { M + 1 } } & { - a _ { M } } & { \ldots } & { - a _ { M - N + 3 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { - a _ { M + N - 1 } } & { - a _ { M + N - 2 } } & { - a _ { M + N - 3 } } & { \ldots } & { - a _ { M } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { c _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } } \\ { c _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { M } } \\ { d _ { 1 } } \\ { d _ { 2 } } \\ { d _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { N } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { M } } \\ { a _ { M + 1 } } \\ { a _ { M + 2 } } \\ { a _ { M + 3 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { M + N } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int x \cdot \nabla u \bar { u } } & { = \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } \frac { A _ { j } A _ { k } } { L _ { j } L _ { k } } \left\langle ( L _ { j } y _ { j } + X _ { j } ) \cdot \left( i \beta _ { j } - \frac { 2 + i B _ { j } } { 2 L _ { j } } y _ { j } \right) b _ { j , 1 } , b _ { k , 1 } \right\rangle } \\ & { = \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } \frac { A _ { j } A _ { k } } { L _ { j } L _ { k } } \left\{ i L _ { j } \beta _ { j } \cdot \left( \begin{array} { l } { \left\langle b _ { j , 2 } , b _ { k , 1 } \right\rangle } \\ { \left\langle b _ { j , 3 } , b _ { k , 1 } \right\rangle } \end{array} \right) - \frac { 2 + i B _ { j } } { 2 } \left\langle b _ { j , 4 } , b _ { k , 1 } \right\rangle \right. } \\ & { \qquad \left. + i \beta _ { j } \cdot X _ { j } \left\langle b _ { j , 1 } , b _ { k , 1 } \right\rangle - \frac { 2 + i B _ { j } } { 2 L _ { j } } X _ { j } \cdot \left( \begin{array} { l } { \left\langle b _ { j , 2 } , b _ { k , 1 } \right\rangle } \\ { \left\langle b _ { j , 3 } , b _ { k , 1 } \right\rangle } \end{array} \right) \right\} . } \end{array}
\Pi ^ { ( 2 ) } ( k ^ { 2 } ) = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi } \frac { \mathrm { s g n } ( k _ { 0 } ) } { \sqrt { k ^ { 2 } } } \left[ \ln \left| \frac { 1 - \sqrt { \frac { k ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } } } } { 1 + \sqrt { \frac { k ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } } } } \right| - i \pi \theta ( k ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } ) \right] .
\begin{array} { r l } { I _ { a b c } = \ } & { { } \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \ \frac { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) ^ { a - 1 / 2 } } { y ^ { b - 1 } } \left( \frac { s Z \alpha y } { 1 + s Z \alpha y } \right) ^ { c - 2 \epsilon } } \\ { = \ } & { { } \frac { 1 } { 2 } ( s Z \alpha ) ^ { c - 2 \epsilon } B \left( a + \frac { 1 } { 2 } , 1 - \frac { b - c } { 2 } - \epsilon \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { | x | ^ { 2 } f } ( \xi ) } & { = \widehat { x _ { 1 } ^ { 2 } f } ( \xi ) + \dots + \widehat { x _ { d } ^ { 2 } f } ( \xi ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 z } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left[ d - \frac { ( \xi _ { 1 } + i a _ { 1 } ) ^ { 2 } + \dots + ( \xi _ { d } + i a _ { d } ) ^ { 2 } } { 2 z } \right] E ( \xi , a , z ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 z } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left[ d - \frac { | \xi | ^ { 2 } + 2 i a \cdot \xi - | a | ^ { 2 } } { 2 z } \right] E ( \xi , a , z ) . } \end{array}
[ W _ { m } , W _ { n } ] = { \frac { ( 2 2 + 5 c ) } { 4 8 } } { \frac { c } { 3 \cdot 5 ! } } ( m ^ { 2 } - 4 ) ( m ^ { 2 } - 1 ) m \delta _ { m + n } + { \frac { 1 } { 3 } } ( m - n ) \Lambda _ { m + n }
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \alpha } \\ { \beta } \end{array} \right) } & { = P _ { 1 } ^ { - 1 } D _ { 1 } ^ { - 1 } D _ { 2 } P _ { 2 } P _ { 2 } D _ { 2 } ^ { - 1 } D _ { 1 } P _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { \gamma } \\ { \delta } \end{array} \right) } \\ & { = \underbrace { \left( \begin{array} { l l } { t _ { 1 1 } } & { t _ { 1 2 } } \\ { t _ { 2 1 } } & { t _ { 2 2 } } \end{array} \right) } _ { = T } \left( \begin{array} { l } { \gamma } \\ { \delta } \end{array} \right) } \end{array}
( \alpha + \beta \xi ) \in \left[ \, { \widehat { \alpha } } + { \widehat { \beta } } \xi \pm t _ { n - 2 } ^ { * } { \sqrt { \left( { \frac { 1 } { n - 2 } } \sum { \widehat { \varepsilon } } _ { i } ^ { \, 2 } \right) \cdot \left( { \frac { 1 } { n } } + { \frac { ( \xi - { \bar { x } } ) ^ { 2 } } { \sum ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } } } \right) } } \, \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { \boldsymbol { v } \cdot \nabla f + \frac { e } { m } \left( \textbf { E } + \boldsymbol { v } \times \textbf { B } \right) \cdot \nabla _ { \boldsymbol { v } } f = 0 \, , } \\ & { } & { \textbf { E } = - \textbf { u } \times \textbf { B } + \frac { 1 } { e n _ { e } } \textbf { J } \times \textbf { B } - \frac { \nabla P _ { e } } { e n _ { e } } \, , } \\ & { } & { \textbf { E } = - \nabla \Phi \, , \quad \nabla \times \textbf { B } = \mu _ { 0 } \textbf { J } \, , \quad \nabla \cdot \textbf { B } = 0 \, , } \\ & { } & { \nabla \cdot \textbf { E } = e \left( \int d ^ { 3 } v \, f - n _ { e } \right) \, , } \\ & { } & { P _ { e } = n _ { e } k _ { B } T _ { e 0 } \, . } \end{array}
\times \prod _ { a = 1 } ^ { N } \Bigg | \frac { \prod _ { i < j } ^ { n _ { a } } \big ( \tilde { x } _ { i } ^ { ( a ) } - \tilde { x } _ { j } ^ { ( a ) } \big ) \big ( \tilde { y } _ { i } ^ { ( a ) } - \tilde { y } _ { j } ^ { ( a ) } \big ) \big ( \hat { x } _ { i } ^ { ( a ) } - \hat { x } _ { j } ^ { ( a ) } \big ) \big ( \hat { y } _ { i } ^ { ( a ) } - \hat { y } _ { j } ^ { ( a ) } \big ) } { \prod _ { i , j = 1 } ^ { n _ { a } } \big ( \tilde { x } _ { i } ^ { ( a ) } - \tilde { y } _ { j } ^ { ( a ) } \big ) \big ( \hat { x } _ { i } ^ { ( a ) } - \hat { y } _ { j } ^ { ( a ) } \big ) } \Bigg | ^ { [ 1 - \frac { g } { \pi + g N } ] }
\gamma _ { f i t } ^ { ( \log r ) } ( n _ { r } , d = 2 ) = \frac { - 0 . 0 0 3 2 7 \, n _ { r } - 0 . 0 2 2 4 3 } { \sqrt { 0 . 0 0 0 1 5 n _ { r } ^ { 4 } + 0 . 7 4 8 9 1 n _ { r } ^ { 2 } + 1 . 1 5 2 2 9 n _ { r } + 1 } } \ ,
\begin{array} { r l } { \exp \Big ( - } & { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } J ( B _ { i } ( 0 ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } , B _ { i } ( \gamma ^ { 2 / 3 } ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } + \gamma ^ { 4 / 3 } , \gamma ^ { 2 / 3 } ) + c _ { k } ( t \gamma ^ { 2 / 3 } \log ( \gamma ) + t ^ { 3 } + t B _ { \ell } ( 0 ) ) } \\ & { - \frac { ( a _ { \ell } - \ell + 1 ) ^ { 2 } } { 4 t } + \frac { 2 } { 3 } ( B _ { \ell } ( 0 ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } ) ^ { 3 / 2 } - \frac { 2 } { 3 } ( B _ { \ell } ( 0 ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } - a _ { \ell } + \ell - 1 ) ^ { 3 / 2 } \Big ) . } \end{array}
T _ { \mu } ^ { \mu } = - \frac { a ^ { 2 } } { \ell r ^ { 4 } } \{ a ^ { 2 } X ^ { 2 } ( 3 X ^ { 2 } + 2 ) - \ell ^ { 2 } ( 1 + 2 X ^ { 2 } ) \} + O \left( \frac { 1 } { r ^ { 6 } } \right)
O ^ { i } { } _ { J } H ^ { J } { } _ { K } ( O ^ { - 1 } ) ^ { K } { } _ { l } = \eta ^ { i } { } _ { l } \qquad H ^ { I } { } _ { J } = ( O ^ { - 1 } ) ^ { I } { } _ { k } \eta ^ { k } { } _ { l } O ^ { l } { } _ { J } \ ,
\begin{array} { r } { P ( k \mid j , i ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / p \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ell _ { i k } = 0 } \\ { 1 \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ell _ { i k } = 1 } \\ { 1 / q \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ell _ { i k } = 2 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \vert k \vert ^ { 2 } ( t - s ) } { ( 1 + \vert k \vert ( t - s ) ) ^ { \beta _ { 1 } } } \mathrm { d } s = \int _ { 0 } ^ { \vert k \vert t } \frac { \tau } { ( 1 + \tau ) ^ { \beta _ { 1 } } } \mathrm { d } \tau \leq \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \tau } { ( 1 + \tau ) ^ { \beta _ { 1 } } } \mathrm { d } \tau < + \infty , } \end{array}
\int x ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { a x } \, d x = { \frac { x ^ { 3 } } { 6 } } - \left( { \frac { x ^ { 2 } } { 4 a } } - { \frac { 1 } { 8 a ^ { 3 } } } \right) \sin 2 a x - { \frac { x } { 4 a ^ { 2 } } } \cos 2 a x + C
\begin{array} { r l } { G _ { P ^ { - 1 } } ^ { + } ( x , z ) } & { : = \langle x + z , P ^ { - 1 } ( f ( x ) + f ( z ) ) \rangle _ { 2 } - c _ { 2 } \| P ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( x + z ) \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { G _ { Q } ^ { - } ( x , z ) } & { : = \langle x - z , Q ( f ( x ) - f ( z ) ) \rangle _ { 2 } - c _ { 2 } \| Q ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( x - z ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } + \frac { a _ { 3 } } { 2 l + 1 } } & { { } = - \frac { 2 c _ { 3 } B _ { l } } { 2 l + 1 } - v _ { a } ^ { 1 } } \\ { c _ { 1 } - \frac { c _ { 3 } } { 2 l + 1 } } & { { } = \frac { 2 a _ { 3 } A _ { l } } { 2 l + 1 } + v _ { a } ^ { 3 } . } \end{array}
\forall k \in \mathbb { N } , \quad \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \underset { n \to \infty } { = } O _ { \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { n ^ { k } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } = \frac { \partial \boldsymbol { \mu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } \odot \boldsymbol { \nu } _ { c _ { p } \setminus v _ { \ell } , v _ { k } } } \\ & { = \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \left( \boldsymbol { \nu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } - \left\| \boldsymbol { \nu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } \right\| _ { 1 } \boldsymbol { \mu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } \right) \odot \boldsymbol { \nu } _ { c _ { p } \setminus v _ { \ell } , v _ { k } } } \\ & { = \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \left( \boldsymbol { \nu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } \odot \boldsymbol { \nu } _ { c _ { p } \setminus v _ { \ell } , v _ { k } } - \left\| \boldsymbol { \nu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } \right\| _ { 1 } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c } { \cos k t \cos \phi t - \hat { m } _ { 3 } \sin k t \sin \phi t } & { - \cos k t \sin \phi t - \hat { m } _ { 3 } \sin k t \cos \phi t } & { \hat { m } _ { 2 } \sin k t } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { \hat { m } _ { 3 } \sin k t \cos \phi t + ( \hat { m } _ { 2 } ^ { 2 } + \hat { m } _ { 3 } ^ { 2 } \cos k t ) \sin \phi t } & { - \hat { m } _ { 3 } \sin k t \sin \phi t + ( \hat { m } _ { 2 } ^ { 2 } + \hat { m } _ { 3 } ^ { 2 } \cos k t ) \cos \phi t } & { \hat { m } _ { 2 } \hat { m } _ { 3 } ( 1 - \cos k t ) } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { - \hat { m } _ { 2 } \sin k t \cos \phi t + \hat { m } _ { 2 } \hat { m } _ { 3 } ( 1 - \cos k t ) \sin \phi t } & { \hat { m } _ { 2 } \sin k t \sin \phi t + \hat { m } _ { 2 } \hat { m } _ { 3 } ( 1 - \cos k t ) \cos \phi t } & { \hat { m } _ { 3 } ^ { 2 } + \hat { m } _ { 2 } ^ { 2 } \cos k t } \end{array} \right) } \end{array}
\varphi ( t ) = \left[ \varphi _ { 0 } ^ { 4 - n / 2 } - t / f _ { n } \right] ^ { 1 / ( 4 - n / 2 ) } , f _ { n } = \frac { 8 \sqrt { 6 \pi } } { n ( 4 - n / 2 ) } \frac { \kappa ^ { 2 } } { m _ { \chi } ^ { 4 } M _ { p } \lambda ^ { 1 / 2 } } .
\boldsymbol { T _ { u } } = \boldsymbol { S _ { u y } } \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { y y , n } } ^ { - 1 } = \boldsymbol { H _ { u } } \boldsymbol { S _ { b b } } \boldsymbol { H } _ { \boldsymbol { y } } ^ { H } \left( \boldsymbol { H _ { y } } \boldsymbol { S _ { b b } } \boldsymbol { H } _ { \boldsymbol { y } } ^ { H } + \boldsymbol { S _ { n n } } \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \; \; } & { { } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } x _ { i } + y _ { i } } \\ { s . t . \; \; } & { { } x _ { i } + y _ { i } \leq 1 \quad \forall i } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { \varnothing , \sigma } ^ { ( A ) } } & { = \exp \left( \sum _ { p > k } [ \log \mathbf { U } ^ { ( f ) } ] _ { p k } ( \hat { E } _ { p k } ^ { \sigma } - \hat { E } _ { k p } ^ { \sigma } ) \right) , } \\ { \hat { G } _ { \varnothing , \tau } ^ { ( B ) } } & { = \exp \left( \sum _ { q > l } [ \log \mathbf { V } _ { t } ^ { ( f ) } ] _ { q l } ( \hat { E } _ { q l } ^ { \tau } - \hat { E } _ { l q } ^ { \tau } ) \right) , } \end{array}
\mathring { \nabla } _ { i } \tilde { g } ^ { j k } \ = \ - \tilde { g } ^ { j l } \tilde { g } ^ { k m } \big ( \psi _ { i l m } - \frac 2 3 \mathring { R } _ { i ( l m ) } { } ^ { n } \psi _ { n } \big ) \, .
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } } & { { } = 0 ; \quad a _ { 1 } = - i \partial _ { \xi } q } \\ { a _ { 2 } } & { { } = 0 ; \quad a _ { 3 } = q _ { \xi \xi } + i | q _ { \xi } | ^ { 2 } q _ { \xi } } \\ { a _ { 4 } } & { { } = 0 ; \quad a _ { 5 } = i ( q _ { \xi \xi \xi } - 2 | q _ { \xi } | ^ { 4 } q _ { x } ) - 4 | q _ { \xi } | ^ { 2 } q _ { \xi \xi } - ( q _ { \xi } ) ^ { 2 } q _ { \xi \xi } ^ { * } } \\ { a _ { - 1 } } & { { } = q ; \quad a _ { - 2 } = 0 ; \quad a _ { - 3 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( - i q + q ^ { 2 } q _ { \xi } ^ { * } ) d \xi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \sigma _ { i j } } { \partial x _ { j } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial q _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \mathcal { H } _ { 1 } } & { = \displaystyle \frac { I _ { x } } { \beta _ { x } ( s ) } + V \left( \phi _ { x } , I _ { x } , s \right) , } \\ { \displaystyle V \left( \phi _ { x } , I _ { x } , s \right) } & { = \displaystyle \frac { m _ { x } ( s ) } { 6 \sqrt 2 } \left( \sqrt { \beta _ { x } I _ { x } } \right) ^ { 3 } \left( \cos \left( 3 \phi _ { x } \right) + 3 \cos ( \phi _ { x } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Q ( ( i , n - 1 , 1 ) , ( i + 1 , n - 1 , 1 ) ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( i , n - 1 , 1 ) , ( i , n - 1 , 2 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { S ( ( i , n - 1 , 2 ) , \mathrm { T e a m ~ } B \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( i , n - 1 , 2 ) , ( i + 1 , n - 1 , 1 ) ) } & { = q _ { B } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } u _ { \varepsilon r } ( x ) = u _ { 0 } ( x ) , \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ } \, x \neq - 1 + \ell _ { 1 } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } u _ { \varepsilon r } ^ { R } ( x ) = u _ { 0 } ( - x ) , \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ } \, x \neq - 1 + \ell _ { 2 } , } \end{array}
{ \bf q } _ { \nu \nu ^ { \prime } } = q \int d ^ { 3 } { \bf r } ~ \phi _ { \nu } ^ { * } ( { \bf r } ) ( 3 { \bf r } \otimes { \bf r } - | { \bf r } | ^ { 2 } ) \phi _ { \nu ^ { \prime } } ( { \bf r } )
\begin{array} { r l r } { C ^ { r + } } & { { } = } & { C - C ^ { s + } = C - C _ { \infty } ^ { s + } C ^ { \beta } , } \\ { C ^ { r - } } & { { } = } & { C - C ^ { s - } = C - C _ { \infty } ^ { s - } C ^ { - \beta } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \boldsymbol { z } } { \mathrm { d } \tau } = \boldsymbol { \Lambda } \boldsymbol { z } + \boldsymbol { R } ^ { - 1 } \boldsymbol { A } ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { f } } { \mathrm { d } \tau } ,
\begin{array} { r l } { \iint _ { S } ( \nabla \times \mathbf { F } ) \cdot \, d ^ { 2 } \mathbf { S } } & { { } = \iint _ { D } { ( \nabla \times \mathbf { F } ) ( \psi ( u , v ) ) \cdot \left( { \frac { \partial \psi } { \partial u } } ( u , v ) \times { \frac { \partial \psi } { \partial v } } ( u , v ) \, d u \, d v \right) } } \end{array}
g _ { i } ( { \bf { q } } ) = [ \sum _ { { \bf { k } } } \frac { { \bar { n } } _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 } - { \bar { n } } _ { { \bf { k } } + { \bf { q } } / 2 } } { ( { \tilde { \omega } } _ { i } ( { \bf { q } } ) - \frac { { \bf { k . q } } } { m } ) ^ { 2 } } ] ^ { - \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \Delta x _ { _ { S } } ^ { i } } & { = \int _ { - T } ^ { + T } \ensuremath { \operatorname { d } \! t \ \Delta x ^ { j } } _ { { E } } ( y , t ) \cdot \partial _ { j } u ^ { i } ( y , t ) } \\ & { = \frac { 1 } { H ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } ( \Delta A ) ^ { 2 } + \epsilon ^ { i j } \Delta A _ { j } B ( y , - T ) - \partial _ { j } \int _ { - T } ^ { + T } \ensuremath { \operatorname { d } \! t \ E _ { j } \Delta A _ { i } } ( t ) - { \epsilon ^ { i j } } \int _ { - T } ^ { + T } \ensuremath { \operatorname { d } \! t \ E ^ { j } } B \right) } \end{array}
U ( \Lambda , a ) \Psi _ { p _ { 1 } \sigma _ { 1 } n _ { 1 } ; p _ { 2 } \sigma _ { 2 } n _ { 2 } \cdots } = e ^ { - i a _ { \mu } ( ( \Lambda p _ { 1 } ) ^ { \mu } + ( \Lambda p _ { 2 } ) ^ { \mu } + \cdots ) } { \sqrt { \frac { ( \Lambda p _ { 1 } ) ^ { 0 } ( \Lambda p _ { 2 } ) ^ { 0 } \cdots } { p _ { 1 } ^ { 0 } p _ { 2 } ^ { 0 } \cdots } } } \sum _ { \sigma _ { 1 } ^ { \prime } \sigma _ { 2 } ^ { \prime } \cdots } D _ { \sigma _ { 1 } ^ { \prime } \sigma _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } ( W ( \Lambda , p _ { 1 } ) ) D _ { \sigma _ { 2 } ^ { \prime } \sigma _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } ( W ( \Lambda , p _ { 2 } ) ) \cdots \Psi _ { \Lambda p _ { 1 } \sigma _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 1 } ; \Lambda p _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { \prime } n _ { 2 } \cdots } ,
g _ { \omega _ { T } - \gamma } = \sqrt { \frac { \alpha } { \alpha _ { T } } } \left( Q _ { U } + Q _ { D } \right) \; \; , \; \; \; \; g _ { \omega _ { T } - Z } = - \sqrt { \frac { \alpha } { \alpha _ { T } } } \left( Q _ { U } + Q _ { D } \right) \tan \theta _ { W }
\begin{array} { r } { b = \frac { p _ { + } + \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle } { c _ { V } \rho \theta } ( c _ { V } \rho \theta + \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle ) } \\ { - \frac { p _ { + } \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle + \langle \alpha _ { k } p _ { * k } ^ { 2 } \rangle } { c _ { V } \rho \theta } - \langle p _ { * k } \rangle } \\ { = p _ { + } + \frac { \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle ^ { 2 } - \langle \alpha _ { k } p _ { * k } ^ { 2 } \rangle } { c _ { V } \rho \theta } - \langle ( 1 - \alpha _ { k } ) p _ { * k } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k _ { y } , m } { g _ { \bf k } } \mu _ { 0 } ( \hat { c } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \bf k } + \hat { c } _ { k _ { x } , m } \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } ) \sin ( k _ { y } \cdot Y _ { m } ) \approx \sum _ { k _ { y } \in \mathcal { K } _ { c } } \mu _ { 0 } { g _ { \bf k } } \sum _ { m } ( \hat { c } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \bf k } + \hat { c } _ { k _ { x } , m } \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } ) \sin \Big ( \frac { \pi y \cdot m } { N _ { y } + 1 } \Big ) . } \end{array}
\Delta \Phi _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } \approx \sqrt { 2 S _ { \Delta \Phi } ^ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } } \tau _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ^ { - 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } \displaystyle v ^ { \theta } ( r ) d r } & { { } = \underbrace { \mathcal { S } ( t ) v ^ { \theta } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { S } ( t - s ) \overline { { G } } ( z , x , s - ) \tilde { N } ( d s , d z ) } _ { = v ^ { \theta } ( t ) } } \end{array}
\mathrm { f } _ { k } ( \boldsymbol { x } , t ) > \alpha ^ { N _ { \mathrm { l e v e l } } - k } \mathrm { f } _ { \mathrm { m a x } } ( t ) \; \quad \; \mathrm { o r } \; \quad \; \mathrm { f } _ { k } ( \boldsymbol { x } , t ) < \beta \alpha ^ { N _ { \mathrm { l e v e l } } - k } \mathrm { f } _ { \mathrm { m a x } } ( t ) ,
\displaystyle t _ { \mathrm { n } } = \displaystyle 8 \pi \, \epsilon _ { c } \, \rho ^ { 2 } \left( \frac { \sigma _ { c } ^ { 1 2 } } { g _ { \mathrm { n } } ^ { 1 1 } } - \frac { \sigma _ { c } ^ { 6 } } { g _ { \mathrm { n } } ^ { 5 } } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { p ( t ) = } & { \frac { 1 } { 1 6 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \Phi \delta \bigg ( t - \frac { R } { v _ { 0 } } | \cos ( \Phi - \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } - \frac { \pi } { 2 } ) | \bigg ) } \\ & { \times \theta ( - \cos \theta _ { 2 } \cos \Phi + \cos \Phi - \sin \theta _ { 2 } \sin \Phi ) } \\ & { \times ( - \cos \theta _ { 2 } \cos \Phi + \cos \Phi - \sin \theta _ { 2 } \sin \Phi ) . } \end{array}
\mu ( B _ { \delta } ( x ) ) \leq \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } } \chi _ { \delta } \, \mathrm { d } \mu = - \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } } V \cdot \nabla \chi _ { \delta } \, \mathrm { d } y \leq \| V \| _ { L ^ { r } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } \| \nabla \chi _ { \delta } \| _ { L ^ { r ^ { \prime } } } \lesssim \omega _ { V } ( 2 \delta ) \delta ^ { d \frac { r - 1 } { r } - 1 } ,
R C A _ { c , p } = \frac { \frac { q _ { c , p } } { \sum _ { c ^ { \prime } } q _ { c ^ { \prime } , p } } } { \frac { \sum _ { p ^ { \prime } } q _ { c , p ^ { \prime } } } { \sum _ { c ^ { \prime } , p ^ { \prime } } q _ { c ^ { \prime } , p ^ { \prime } } } } .
\int _ { \mathrm { i n i t i a l } } ^ { \mathrm { f i n a l } } \vec { \tau } \cdot d \vec { \theta } ^ { \prime } = \int _ { \mathrm { i n i t i a l } } ^ { \mathrm { f i n a l } } [ p E \sin \theta ^ { \prime } \, ( - \hat { z } ) ] \cdot [ d \theta ^ { \prime } \, \hat { z } ] = - \int _ { \mathrm { i n i t i a l } } ^ { \mathrm { f i n a l } } p E \sin \theta ^ { \prime } \, d \theta ^ { \prime }
\begin{array} { r } { V _ { j } ^ { Y } = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { \beta \hat { \sigma } } v _ { j , 0 } ^ { Y } , } & { j = 1 , \dots , 4 , } \\ { m ^ { P } ( y , z ) ^ { - 1 } m ^ { P } ( y , 0 ) ( e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 0 } ^ { Y } ) m ^ { P } ( y , 0 ) ^ { - 1 } m ^ { P } ( y , z ) , } & { j = 5 , 7 , } \\ { e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 0 } ^ { Y } , } & { j = 6 , 8 , } \end{array} \right. } \end{array}
B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\kappa _ { n m } \ \sim \ \frac { \bar { h } _ { 2 } ^ { ( n ) * } \bar { h } _ { 1 } ^ { ( m ) } } { 8 \pi ^ { 2 } } \ \bigg [ \, \frac { m _ { 1 2 } ^ { 2 } } { m _ { 1 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 2 } ^ { 2 } } \ + \, f r a c { m _ { 1 3 } ^ { 2 } m _ { 2 3 } ^ { * 2 } } { m _ { 3 3 } ^ { 2 } \, ( m _ { 1 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 2 } ^ { 2 } ) } \, \bigg ] \, .