harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { v _ { \eta } \frac { \partial \mathcal { H } ^ { ( i ) } } { \partial \eta } + \mathcal { L } _ { w } \left[ \mathcal { H } ^ { ( i ) } \right] = 0 , } \\ { \mathcal { H } ^ { ( i ) } ( 0 , { \mathfrak { v } } ) = - \frac { \mathscr { A } \cdot \varsigma _ { i } } { 2 T ^ { 2 } } \ \ \mathrm { f o r } \ \ v _ { \eta } > 0 , } \\ { \rule { 0 ex } { 1.5 em } \operatorname* { l i m } _ { \eta \rightarrow \infty } \mathcal { H } ^ { ( i ) } ( \eta , { \mathfrak { v } } ) = \mathcal { H } _ { \infty } ^ { ( i ) } \in \mathcal { N } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H } & { = } & { \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { q _ { 1 } ^ { 4 } } { 4 } + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { q _ { 2 } ^ { 4 } } { 4 } + K _ { Q } \left( q _ { 1 } - q _ { 2 } \right) ^ { 2 } , } \\ & { = } & { H _ { 1 } ( q _ { 1 } , p _ { 1 } ) + H _ { 2 } ( q _ { 2 } , p _ { 2 } ) + H _ { \mathrm { c } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } J _ { | | } ( t ) = \frac { 1 } { n } \frac { t _ { \mathrm { h o p } } } { \hbar } \sigma _ { 0 } E ( t ) - \frac { 1 } { T _ { 1 } } J _ { | | } ( t ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { * } \left( \widehat f _ { j , n } ^ { * 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) = E ^ { * } \left( \widehat f _ { j , n } ^ { * 2 } \right) = \widehat { f } _ { j , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { j , n } ^ { 2 } } { \sum _ { p = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { p , j } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { ~ i ~ o ~ n ~ } } } & { { } = \frac { u _ { \mathrm { ~ L ~ J ~ } } ^ { \mathrm { ~ i ~ o ~ n ~ - ~ i ~ o ~ n ~ } } } { u _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ e ~ c ~ } } } \quad = \frac { 6 \pi \epsilon _ { i i } c _ { 0 } \sigma _ { i i } ^ { 2 } \lambda _ { D } } { 5 z e \psi _ { D } } \sim \frac { \epsilon _ { i i } \sigma _ { i i } ^ { 2 } c _ { 0 } \lambda _ { D } } { z e \psi _ { D } } \quad \mathrm { ~ ( ~ n ~ u ~ m ~ e ~ r ~ i ~ c ~ a ~ l ~ f ~ a ~ c ~ t ~ o ~ r ~ s ~ r ~ e ~ m ~ o ~ v ~ e ~ d ~ ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \eta } } & { \triangleq \operatorname* { i n f } { \left\{ \alpha : { \mathbb { P } } \left[ X \left\lvert \delta \left( X - { \widehat { X } } _ { \mathscr { S } } \right) \le \alpha \right. \right] \ge \eta \right\} } , \ \mathrm { t h e n } } \\ { { \mathscr { S } } _ { \mathrm { c e n . } } } & { = \left\{ x \in { \mathbb { R } } ^ { n } : \delta \left( x - { \widehat { X } } _ { \mathscr { S } } \right) \le \alpha _ { \eta } \right\} . } \end{array}
\left\vert E , p _ { 1 } ^ { \mathrm { m i n } } , \ldots , p _ { N - 1 } ^ { \mathrm { m i n } } \right> = \left\vert \begin{array} { c } { { E , \left[ 0 \right] } } \\ { { \left[ q \right] } } \end{array} \right> = \left\vert \begin{array} { c } { { E , 0 , \ldots , 0 } } \\ { { q _ { 1 } , \ldots , q _ { k } , \ldots , q _ { N } } } \end{array} \right> .
\begin{array} { r l } { \left\| { ( \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U \Lambda ^ { - 1 } } \right\| { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } } & { \leq \sqrt { \frac { k } { \beta n } } + \sqrt { \frac { k } { \beta n } } C _ { 0 } \sqrt { n p } \frac { 2 k } { \beta n ( p - q ) } + p \frac { 2 k } { \beta n ( p - q ) } \leq 2 \sqrt { \frac { k } { \beta n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( \Delta - \lambda ) ( \chi b ^ { * } v ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \le 2 \| \chi b ^ { * } ( L - \lambda ) v \| _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \varepsilon ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \| \chi b ^ { * } v \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = 2 \| \chi _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \| ( L - \lambda ) v \| _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \varepsilon ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \| \chi b ^ { * } v \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \varepsilon ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } \| \chi b ^ { * } v \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\Delta D _ { s } ^ { \Lambda } ( z , \mu ^ { 2 } ) = z ^ { \alpha } D _ { s } ^ { \Lambda } ( z , \mu ^ { 2 } ) \; \; , \; \; \Delta D _ { u } ^ { \Lambda } ( z , \mu ^ { 2 } ) = \Delta D _ { d } ^ { \Lambda } ( z , \mu ^ { 2 } ) = N _ { u } \, \Delta D _ { s } ^ { \Lambda } ( z , \mu ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \int _ { \{ v < \frac { 1 } { M } \} } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v | \varphi ( \eta + \eta ^ { \prime } ) - \varphi ( \eta ) | \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ) \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta } \\ & { \leq | | \nabla { \varphi } | | _ { \infty } M _ { 0 , 1 } ( \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } | \eta ^ { \prime } | \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \leq C . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } = } & { M _ { 1 } \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } + ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } - \underline { { G _ { 1 } \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } W G _ { 2 } } } } \\ & { + G _ { 1 } \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } \mathcal { S } [ G _ { 2 } - M _ { 2 } ] G _ { 2 } + G _ { 1 } \mathcal { S } [ ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } ] G _ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho + \partial _ { i } v ^ { i } = 0 \, , } \\ & { \partial _ { t } v _ { i } + c ^ { 2 } \partial _ { i } \rho + \omega _ { B } \left( 1 + \frac { \ell _ { B } ^ { 2 } } { 2 } \Delta \right) \epsilon _ { i j } v ^ { j } = - \frac { e } { m } E _ { i } \, , } \\ & { \left( 1 + \frac { \ell _ { B } ^ { 2 } } { 2 } \Delta \right) \rho + \frac { 1 } { \omega _ { B } } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } v _ { j } = 0 \, , } \end{array}
\int _ { ( 0 , 1 ] } x ^ { - 1 / 2 } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { ( 0 , 1 ] } \phi _ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 ^ { n } } ( k 2 ^ { - n } ) ^ { - 1 / 2 } \lambda ( [ ( k - 1 ) 2 ^ { - n } , k { 2 ^ { - n } } ] ) \, = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac 1 { \sqrt { 2 ^ { n } } } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 ^ { n } } \frac 1 { \sqrt { k } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac 1 { \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac 1 { \sqrt { k } } = 2 .
\operatorname { d i v } \ensuremath { \boldsymbol { \eta } } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } \right) = \sum _ { \ell \in [ L ] } \operatorname { d i v } \hat { \ensuremath { \mathbf { s } } } _ { \ell } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \tau ) = \sum _ { \ell \in [ L ] } \sum _ { g \in \mathbb { F } _ { q } } \frac { \partial \hat { s } _ { \ell } \left( g , \ensuremath { \mathbf { r } } , \tau \right) } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } ( g ) } .
V _ { \mu } = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \left( \xi \partial _ { \mu } \xi ^ { \dagger } + \xi ^ { \dagger } \partial _ { \mu } \xi \right) = f ^ { - 2 } \left( \phi \partial _ { \mu } \phi - \partial _ { \mu } \phi \phi \right) + \cdots \, ,
\langle 0 | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } _ { 0 } | n \rangle = \frac { 1 } { i \hbar } \langle 0 | [ \hat { \mathrm { ~ \bf ~ d ~ } } , \hat { H } _ { m a t t e r } ] | n \rangle = \frac { E _ { n } - E _ { 0 } } { i \hbar } \langle 0 | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ d ~ } } | n \rangle
\mathbf { R } _ { i } ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos { \phi } } & { - \sin { \phi } } \\ { 0 } & { \sin { \phi } } & { \cos { \phi } } \end{array} \right] \mathbf { R } _ { i } .
\left\langle { ^ 0 t } , { ( l ^ { \alpha \beta } ) ^ { \rho } } _ { \mu } x ^ { \mu } \partial _ { \rho } w x ^ { \alpha _ { 1 } } x ^ { \alpha _ { 2 } } \right\rangle = { ( l ^ { \alpha \beta } ) ^ { \alpha _ { 1 } } } _ { \sigma } c ^ { \sigma \alpha _ { 2 } } + { ( l ^ { \alpha \beta } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } _ { \sigma } c ^ { \sigma \alpha _ { 1 } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { A c c u r a c y } } & { = ( T P + T N ) / ( T P + T N + F P + F N ) } \\ { \mathrm { P r e c i s i o n } } & { = T P / ( T P + F P ) } \\ { \mathrm { R e c a l l } } & { = T P / ( T P + F N ) } \\ { \mathrm { F 1 } } & { = 2 * ( \mathrm { P r e c i s i o n } * \mathrm { R e c a l l } ) / ( { \mathrm { P r e c i s i o n } + \mathrm { R e c a l l } } ) } \end{array}
- \log ( 1 \! - \! \bar { \phi } _ { s } ) + \frac { 1 } { 1 - \bar { \phi } _ { s } } + T \bigl ( \log ( \bar { \phi } _ { s } ) - 2 \bar { \phi } _ { s } \bigr ) = - G I ^ { 2 } \bar { z } + C ,
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \langle \boldsymbol { u } \rangle _ { m } } & { = 0 , } \\ { \rho _ { f } \nabla \cdot \left( \epsilon _ { f m } ^ { - 1 } \langle \boldsymbol { u } \rangle _ { m } \langle \boldsymbol { u } \rangle _ { m } \right) } & { = - \nabla \langle p \rangle _ { m } + \mu _ { f } \nabla ^ { 2 } \langle \boldsymbol { u } \rangle _ { m } + \boldsymbol { f } _ { \mathrm { c l o s u r e } } , } \end{array}
\frac { d \Delta \sigma } { d t } = \frac { 2 M ( 4 \pi ) ^ { 3 } \alpha \alpha _ { s } ^ { 2 } e _ { c } ^ { 2 } \hat { t } \hat { u } } { 2 7 \pi \hat { s } ^ { 2 } } \frac { \hat { s } ^ { 2 } - P } { Q ^ { 2 } } \langle { \cal O } _ { 1 } ^ { \psi } ( { } ^ { 3 } S _ { 1 } ) \rangle
a _ { 1 } X _ { 1 } ^ { z _ { 1 } } + a _ { 2 } X _ { 2 } ^ { z _ { 2 } } + \cdots + a _ { k } X _ { k } ^ { z _ { k } } + \Delta z e ^ { - 1 } \overset { k _ { f } } { \underset { k _ { r } } { \rightleftharpoons } } b _ { k + 1 } X _ { k + 1 } ^ { z _ { k + 1 } } + b _ { k + 2 } X _ { k + 2 } ^ { z _ { k + 2 } } + \cdots + b _ { N } X _ { N } ^ { z _ { N } } ,
\begin{array} { r l } { | n ^ { - 1 } ( S ( t ) g ( t ) ) _ { i } | \le } & { 2 e ^ { 3 q _ { n } } \{ 4 \| \widehat { \eta } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } ^ { 2 } + \kappa _ { n } ^ { 2 } \| \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) \| ^ { 2 } \} } \\ { = } & { O _ { p } \Big ( ( q _ { n } + 1 ) ^ { 2 } e ^ { 4 1 q _ { n } } \kappa _ { n } ^ { 6 } \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } \Big ) . } \end{array}
z _ { i } ^ { e q } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { p } { c _ { s } ^ { 2 } } ( w _ { i } - 1 ) + \rho s _ { i } ( \mathbf { u } ) , \mathrm { ~ i ~ f ~ } i = 0 } \\ { \frac { p } { c _ { s } ^ { 2 } } w _ { i } + \rho s _ { i } ( \mathbf { u } ) , \mathrm { ~ i ~ f ~ } i \neq 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { t = p } ^ { T - 1 } \operatorname { E } G _ { m } ( Z _ { m , t - r + 1 } ) G _ { n } ( Z _ { n , t - s + 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { t = p } ^ { T - 1 } \sum _ { k , l = 0 } ^ { \infty } \frac { c _ { m , k } c _ { n , l } } { k ! l ! } \operatorname { E } H _ { k } ( Z _ { m , t - r + 1 } ) H _ { l } ( Z _ { n , t - s + 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { t = p } ^ { T - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { c _ { m , k } c _ { n , k } } { k ! } \Gamma _ { Z , m n } ( r - s ) ^ { k } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { c _ { m , k } c _ { n , k } } { k ! } \Gamma _ { Z , m n } ( r - s ) ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi } & { = } & { - \frac { 3 G M } { 4 a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } \left[ A + \frac { 4 a _ { 2 } a _ { 3 } m _ { o } } { 3 \lambda M } \right. } \\ & { } & { \left. - \left( A _ { 1 } - \frac { a _ { 2 } a _ { 3 } m _ { o } } { 3 \lambda ^ { 3 } a _ { 1 } ^ { 2 } M } \right) x ^ { 2 } - \left( A _ { 2 } - \frac { a _ { 2 } a _ { 3 } m _ { o } } { 3 \lambda ^ { 3 } a _ { 1 } ^ { 2 } M } \right) y ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { \left. - \left( A _ { 3 } + \frac { 2 a _ { 2 } a _ { 3 } m _ { o } } { 3 \lambda ^ { 3 } a _ { 1 } ^ { 2 } M } \right) z ^ { 2 } \right] } \\ & { \equiv } & { - \frac { 3 G M } { 4 a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } \left[ A ^ { \prime } - A _ { 1 } ^ { \prime } x ^ { 2 } - A _ { 2 } ^ { \prime } y ^ { 2 } - A _ { 3 } ^ { \prime } z ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { \mu _ { 0 } c } { 4 \pi } } \left( { \frac { q { \boldsymbol { \beta } } _ { s } } { ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | } } \right) _ { t _ { r } } = { \frac { { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ( t _ { r } ) } { c } } \varphi ( \mathbf { r } , t )
\begin{array} { r l } & { \varphi ^ { ( n ) } ( { { y } ^ { n } } \oplus { { k } ^ { n } } ) ( { { x } ^ { n } } \oplus { { k } ^ { n } } ) A \oplus b ^ { m } = { { x } ^ { n } } A \oplus ( { { k } ^ { n } } A \oplus b ^ { m } ) } \\ & { = \phi ^ { ( n ) } ( { { x } ^ { n } } ) \oplus \varphi ^ { ( n ) } ( { { k } ^ { n } } ) , \mathrm { ~ f o r ~ } { { x } ^ { n } } , { { k } ^ { n } } \in { \cal X } ^ { n } . } \end{array}
{ \left\| { \boldsymbol { \varphi } } _ { k } \right\| } _ { 2 } \leq \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { 6 } { q } _ { k } } \left( { \left\| { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 0 } \right\| } _ { 2 } + { 2 } \left( 5 + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { q } _ { k } } \right) { \left\| { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 1 } \right\| } _ { 2 } + { \left\| { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 2 } \right\| } _ { 2 } \right) \, .
\mathbf { B } _ { \mathrm { e l } } ^ { s } = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r ^ { 3 } } } \left( 3 \left( { \boldsymbol { \mu } } _ { \mathrm { s } } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } \right) { \hat { \mathbf { r } } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { \mathrm { s } } \right) + { \frac { 2 \mu _ { 0 } } { 3 } } { \boldsymbol { \mu } } _ { \mathrm { s } } \delta ^ { 3 } ( \mathbf { r } ) .
\begin{array} { r } { \langle \vec { E } _ { j } ^ { \mathrm { \, e } } \rangle _ { { \textstyle \mathstrut } j } ( \vec { r } ) = \vec { E } ^ { \mathrm { \, i } } ( \vec { r } ) + \sum _ { \ell \neq j } \frac { 2 \pi i \left( e ^ { i \left( k _ { \mathrm { m } } z + ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) ( z _ { j } - 3 a ) \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } - e ^ { i \left( k _ { \mathrm { m } } z - ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) a \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } \right) } { ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) k _ { \mathrm { m } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } V } \, S _ { \ell } ( 0 ) \vec { E } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { \, e } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { d } \left( \boldsymbol { q } _ { 0 } , \boldsymbol { s } \right) } & { = \left| \int P \left( \boldsymbol { x } \right) O \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } \right) \exp \left[ - i 2 \pi \boldsymbol { q } _ { 0 } \boldsymbol { x } \right] d \boldsymbol { x } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| \exp \left[ - i 2 \pi \boldsymbol { q } _ { 0 } \boldsymbol { s } \right] \int P \left( \boldsymbol { x } \right) O \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } \right) \exp \left[ - i 2 \pi \boldsymbol { q } _ { 0 } \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } \right) \right] d \boldsymbol { x } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| \int P \left( \boldsymbol { x } \right) O \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } \right) \exp \left[ - i 2 \pi \boldsymbol { q } _ { 0 } \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } \right) \right] d \boldsymbol { x } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| \int P \left( \boldsymbol { x } \right) O _ { \boldsymbol { q } _ { 0 } } ^ { \prime } \left( \boldsymbol { s } - \boldsymbol { x } \right) d \boldsymbol { x } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| P \left( \boldsymbol { s } \right) \otimes O _ { \boldsymbol { q } _ { 0 } } ^ { \prime } \left( \boldsymbol { s } \right) \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t e x t { ( a m b i e n t f l u i d ) } \ \mu _ { 1 } = 1 2 . 0 4 8 \times 1 0 ^ { - 4 } k g / ( m \cdot s ) , \quad \mathrm { ~ ( ~ d ~ r ~ o ~ p ~ ) ~ } \ \mu _ { 2 } = 2 \mu _ { 1 } ; } \\ { e t a = 0 . 0 1 L _ { 0 } , \quad \lambda = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \gamma \eta , \quad \gamma _ { 1 } = 5 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { 1 } } , \quad \Delta t = 1 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 1 } } { \epsilon _ { 0 } V _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \partial f } { \partial \, t } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { \partial f } { \partial p _ { i } } \frac { \partial H } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial f } { \partial x _ { i } } \frac { \partial H } { \partial p _ { i } } \right) \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \tau = \infty ) } & { = \mathbb { P } \left( \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \infty ) } \| U ( s ) \| _ { p } ^ { p } \leq \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } \right) } \\ & { \geq \mathbb { P } \left( \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \infty ) } e ^ { a s } \| U ( s ) \| _ { p } ^ { p } \leq \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } \right) \geq 1 - \frac { C \delta } { \delta _ { 0 } } . } \end{array}
a _ { 1 } = x + v , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a _ { 2 } = 2 \, x - 4 \, v , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a _ { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } \, x + v + \frac { y } { 9 } , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a _ { 4 } = z \zeta .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial h _ { 3 2 } } { \partial t } = - \frac { \gamma h _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \mu } \frac { \partial ^ { 4 } h _ { 3 2 } } { \partial x ^ { 4 } } , } \\ & { h _ { 3 2 } ( 0 , t ) = 0 , \: h _ { 3 2 } ( L _ { x } , t ) = N _ { 2 } ( t ) , } \\ & { \frac { \partial ^ { 3 } h _ { 3 2 } } { \partial x ^ { 3 } } ( 0 , t ) = \frac { \partial ^ { 3 } h _ { 3 2 } } { \partial x ^ { 3 } } ( L _ { x } , t ) = 0 . } \end{array}
\frac { 1 } { s - m _ { e } ^ { 2 } } T _ { f i } \frac { 1 } { s - s _ { i } } = \sum _ { n } \frac { \psi _ { n 0 } } { s - M _ { n } ^ { 2 } } \langle \Psi _ { n } | V | i \rangle \frac { 1 } { s - s _ { i } } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l o c a l , J } = } & { { } \mathrm { ~ E ~ } \ \left( \frac { 5 } { 8 4 } j _ { 3 } ( x _ { 1 } ) j _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \mathit { h } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) + \frac { 5 } { 1 6 8 } \mathit { h } ( x _ { 1 } ) j _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) { } ^ { 2 } + \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathrm { S h } } } & { { } \propto \tilde { \mathrm { R a } } ^ { 3 / 8 } } & { \sigma _ { \mathrm { \ln k } } ^ { 2 } \ll 1 , } \\ { \tilde { \mathrm { S h } } } & { { } \propto \frac { \tilde { \mathrm { R a } } ^ { 3 / 8 } } { \sigma _ { \mathrm { \ln k } } ^ { 4 } } } & { \sigma _ { \mathrm { \ln k } } ^ { 2 } \gg 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta L _ { \mathrm { r e s } } ( t \to \infty ) = - 2 \pi N _ { \varphi } \int } & { \mathrm { d } J _ { \mathrm { f } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \mathrm { d } \phi \, \int _ { 0 } ^ { I _ { + } ( \phi ) } \mathrm { d } I \, I } \\ & { \times [ f _ { 0 } ( \phi , I , J _ { \mathrm { f } } ) - f _ { 0 } ( \phi , - I , J _ { \mathrm { f } } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { F ( \omega ) } & { = \frac { G ^ { \prime } ( a ) } { G ( a ) } + \sum _ { z _ { \ell } } \left( \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { \omega - z _ { \ell } } - \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } \right) } \\ & { - \sum _ { p _ { \ell } } \left( \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { \omega - p _ { \ell } } - \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { a - p _ { \ell } } \right) } \end{array} } \end{array}
\boldsymbol { \Psi } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { c } { \varphi _ { 1 2 } } \\ { \lambda _ { 1 } - \varphi _ { 1 1 } } \end{array} \right] , \; \boldsymbol { \Psi } _ { 2 } = \left[ \begin{array} { c } { \varphi _ { 1 2 } } \\ { \lambda _ { 2 } - \varphi _ { 1 1 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k \in \mathcal { K } } R _ { k } + \sum _ { { k ^ { \prime } } \in \mathcal { K } ^ { c } } K _ { k ^ { \prime } } \ge \sum _ { k \in \mathcal { K } } r _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { 1 } { D } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } + \sum _ { j \in \mathcal { S } ^ { c } } \frac { 1 - 2 ^ { - 2 r _ { j } } } { \sigma _ { N _ { j } } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { h } ^ { R } } & { { } = E ^ { R } f ^ { R } , \mathbf { h } ^ { P } = E ^ { P } f ^ { P } , } \\ { \mathbf { h } ^ { R } } & { { } = \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ n ~ s ~ f ~ o ~ r ~ m ~ e ~ r ~ E ~ n ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ } ( \mathbf { h } ^ { R } ) , } \\ { \mathbf { h } ^ { P } } & { { } = \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ n ~ s ~ f ~ o ~ r ~ m ~ e ~ r ~ E ~ n ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ } ( \mathbf { h } ^ { P } ) , } \\ { \mathbf { h } ^ { \mathbf { z } } } & { { } = \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ n ~ s ~ f ~ o ~ r ~ m ~ e ~ r ~ D ~ e ~ c ~ o ~ d ~ e ~ r ~ } ( \mathbf { h } ^ { R } , \mathbf { h } ^ { P } ) , } \\ { \hat { \mathbf { h } } ^ { \mathbf { z } } } & { { } = \mathbf { h } ^ { R } + \mathbf { h } ^ { \mathbf { z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { { \mathrm { d } } m _ { 1 } } { { \mathrm { d } } t } } & { = r m _ { 1 } } & & { \Rightarrow \quad m _ { 1 } ( t ) = { \mathrm { e } } ^ { r t } } \\ { \frac { { \mathrm { d } } m _ { 2 } } { { \mathrm { d } } t } } & { = 2 \beta ( m _ { 1 } ) ^ { 2 } + r m _ { 2 } } & & { \Rightarrow \quad m _ { 2 } ( t ) = \frac { \beta } { r } \left( { \mathrm { e } } ^ { 2 r t } - { \mathrm { e } } ^ { r t } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta ^ { ( + ) } } & { = W _ { k + 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( W _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } B ^ { k + 1 } W _ { k + 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { \dagger } W _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \omega } \\ { \beta ^ { ( - ) } } & { = W _ { k - 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( W _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } D ^ { k - 1 } W _ { k - 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { \dagger } W _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \omega \, . } \end{array}
\beta _ { 2 } ( n ) = { \frac { \mu _ { 4 } } { \mu _ { 2 } ^ { 2 } } } = { \frac { 3 + _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - 4 t ^ { 2 } ) - ( 4 _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) ( _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - 9 { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) ) + 3 _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) ( - 1 + | _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } | ^ { 2 } ) ) } { 4 ( - 1 + | _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) ) ^ { 2 } | ^ { 2 } } }
\left[ c _ { i j k l } ^ { ( 0 ) } G _ { k n , l } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } , { \bf s } ) \right] _ { , j } + \rho \omega ^ { 2 } G _ { i n } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } , { \bf s } ) = - \delta _ { i n } \delta ( { \bf x } - { \bf s } ) .
\widetilde { u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } = \overline { { u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } } - \left\langle { \overline { { u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } } } \right\rangle .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } } & { = \gamma ^ { 4 } R ^ { 2 } \Big ( \Omega ^ { 4 } - \Omega ^ { 2 } \left( 2 \omega ^ { 2 } - \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } - 2 \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { + \left( \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) \left( \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) \! \Big ) } \\ & { \left. \middle / 2 \Gamma _ { 1 } ^ { 3 } \left( ( \Omega - \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( ( \Omega + \omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { x } = \hat { \tau } _ { x x } \tilde { u } + \hat { \tau } _ { x y } \tilde { v } + \hat { \tau } _ { x z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { x } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \beta _ { y } = \hat { \tau } _ { x y } \tilde { u } + \hat { \tau } _ { y y } \tilde { v } + \hat { \tau } _ { y z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { y } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \beta _ { z } = \hat { \tau } _ { x z } \tilde { u } + \hat { \tau } _ { y z } \tilde { v } + \hat { \tau } _ { z z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { z } \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}