harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\nabla ^ { 2 } \ln f ^ { 2 } - \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } [ f ^ { 2 } ( f ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) - 2 \kappa \rho _ { e } ] = 4 \pi \sum _ { a } \delta ( \vec { x } - \vec { q } _ { a } ) .
v \neq w : \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial u _ { v } \partial u _ { w } } = \frac { \partial \kappa _ { v } } { \partial u _ { w } } = \frac { \partial \kappa _ { w } } { \partial u _ { v } } = \sum _ { \vec { e } \in \vec { E } _ { v w } ( \mathcal T ) } \frac { \cot ( \alpha _ { \vec { e } } ^ { + } ) + \cot ( \alpha _ { \vec { e } } ^ { - } ) } { \rho _ { \vec { e } } \exp ( u _ { v } ) \sin ( l _ { \vec { e } } ) } ,
\begin{array} { r l } { E _ { \Phi } } & { = \bigcap _ { r > 0 } \bigcap _ { y \in \mathbb { R } ^ { 2 } } \{ \Phi ( b ( y , r ) ) \leq g ( r ) \} } \\ & { = \bigcap _ { k \geq 0 } \bigcap _ { r \in [ t _ { k } , t _ { k + 1 } ) } \bigcap _ { y \in \mathbb { R } ^ { 2 } } \{ \Phi ( b ( y , r ) ) \leq k + k _ { 0 } \} } \\ & { = \bigcap _ { k \geq 0 } D _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \exp \left( i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { C } _ { n } \right) \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle } & { { } = \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \, e ^ { x \hat { A } } \hat { B } | 0 \rangle } \end{array}
w _ { \pm } = \frac { \Psi _ { V } ( \mathbf { X } \pm \delta \mathbf { X } ) } { \Psi _ { V } ( \mathbf { X } ) } e ^ { - [ V ( \mathbf { X } \pm \delta \mathbf { X } ) + V ( \mathbf { X } ) ] \delta \tau / 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \vec { F } _ { i } ^ { ( * ) } } & { = \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \vec { F } _ { i } ^ { ( m ) } \, , } \\ { \sigma _ { F _ { i } ^ { ( * ) } } ^ { 2 } } & { = \underbrace { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sigma _ { F _ { i } ^ { ( m ) } } ^ { 2 } } _ { \mathrm { a l e a t o r i c } } + \underbrace { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { D } \left\| \vec { F } _ { i } ^ { ( m ) } - \vec { F } _ { i } ^ { ( * ) } \right\| ^ { 2 } } _ { \mathrm { e p i s t e m i c } } \, , } \end{array}
J _ { i } ^ { 5 } = \left\{ L _ { j } , \bar { \psi } \sigma _ { i } \sigma _ { j } \psi \right\} - \bar { \psi } \sigma _ { i } \psi - 2 \bar { \psi } [ L _ { i } , \psi ] - 2 \rho \bar { \psi } a _ { i } \psi .
\hat { f } = \partial _ { x _ { 1 } } \tilde { \omega } + h ^ { \prime \prime \prime } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega } u _ { 1 } d y + \partial _ { x _ { 1 } } ( h ^ { \prime \prime } \partial _ { x _ { 2 } } \tilde { \phi } ) + \partial _ { x _ { 2 } } ( h ^ { \prime \prime } \partial _ { x _ { 1 } } \tilde { \phi } ) - 2 h ^ { \prime } h ^ { \prime \prime } \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } \tilde { \phi } \in L ^ { p }
\begin{array} { r l } { \left[ \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { \pm } \left( 1 - \Gamma _ { \pm } \right) - b _ { \pm } \frac { k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } } { \left( \omega _ { z } \pm \omega _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \hat { \sigma } _ { \pm } \right] \delta \hat { \psi } _ { \pm } } & { = - R _ { 1 } ^ { \pm } \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { \pm } \left( 1 - \Gamma _ { \pm } \right) } \\ & { + \frac { \hat { \sigma } _ { \pm } R _ { 2 } ^ { \pm } } { \omega _ { z } \pm \omega _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int ^ { U , V } 𝕍 ( X ; U ⊗ V ) × \lim _ { i } P _ { i } ( U ) × \lim _ { j } Q _ { j } ( V ) } \\ { ≅ } & { \quad \mathrm { ~ ( C o m m u t a t i o n ~ o f ~ l i m i t s ) ~ } } \\ & { \int ^ { U , V } \lim _ { i , j } 𝕍 ( X ; U ⊗ V ) × P _ { i } ( U ) × Q _ { j } ( V ) } \\ { ≅ } & { \quad \mathrm { ~ ( C o e n d s ~ c o m m u t e ~ w i t h ~ f i n i t e ~ c o n n e c t e d ~ l i m i t s ) ~ } } \\ & { \lim _ { i , j } \int ^ { U , V } 𝕍 ( X ; U ⊗ V ) × P _ { i } ( U ) × Q _ { j } ( V ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 7 . 4 8 1 8 1 8 1 8 \ldots } & { = 7 . 3 + 0 . 1 8 1 8 1 8 1 8 \ldots } \\ & { = { \frac { 7 3 } { 1 0 } } + { \frac { 1 8 } { 9 9 } } = { \frac { 7 3 } { 1 0 } } + { \frac { 9 \cdot 2 } { 9 \cdot 1 1 } } = { \frac { 7 3 } { 1 0 } } + { \frac { 2 } { 1 1 } } } \\ & { = { \frac { 1 1 \cdot 7 3 + 1 0 \cdot 2 } { 1 0 \cdot 1 1 } } = { \frac { 8 2 3 } { 1 1 0 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , h _ { 1 } } = \frac { 1 } { \eta _ { k } - s _ { k } } \sum _ { i = s _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } } F _ { h _ { 1 } , i } , \mathrm { a n d } , } \\ & { F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , h _ { 1 } } = \frac { 1 } { e _ { k } - \eta _ { k } } \sum _ { i = \eta _ { k } + 1 } ^ { e _ { k } } F _ { h _ { 1 } , i } . } \end{array}
r _ { \kappa } \approx { \Gamma _ { 0 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } } ^ { } { { e ^ { i \omega _ { \kappa } / c ( { z _ { j ^ { \prime } } } + { z _ { j } } ) } } \frac { \psi _ { n } ( j ) \psi _ { n } ( j ^ { \prime } ) } { \textrm { I m } ( \omega _ { n } ) } } .
\begin{array} { r l } { d _ { \psi } ^ { \pm } } & { : = \hat { \sigma } _ { \pm } \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) - \frac { \left( b _ { z } - b _ { 0 } \right) \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \right) } { b _ { 0 } } \right] } \\ & { - \frac { \left( 1 - \Gamma _ { \pm } \right) \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { \pm } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } { \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { \pm } } \sigma _ { 0 } \left[ \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \tau \left( 1 - \frac { F _ { 1 } } { \sigma _ { 0 } \left( 1 \pm \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \right) } \right) \right] . } \end{array}
\langle Q ~ Q ~ Q \rangle _ { * } - \frac { 3 } { \hat { \beta } } \langle Q ~ \frac { \Delta Q } { \Delta \phi } \rangle _ { * } = \mu ^ { n - 6 } \left( \frac { n - 6 } { \hat { \beta } } \right) ^ { 3 } L _ { Y } \times \ \mathrm { l o c a l \ s t r u c t u r e } + ( \mathrm { f i n i t e } ) .
b _ { 4 } = \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial x } \bigg ( \frac { 2 H ^ { 3 } } { 3 } \bigg ) + \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial x } \bigg ( \frac { - H ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) .
\begin{array} { r l } { K _ { X Y } \left( r , r ^ { \prime } \right) } & { = \frac { 1 } { \left[ L , j _ { i } \right] } \left( \sum _ { a m n , L } \frac { K _ { X Y } ^ { \left( a m n , L \right) } \left( r , r ^ { \prime } \right) } { \varepsilon _ { a 0 } - \varepsilon _ { m n } } \right. } \\ & { + \left. \sum _ { a b m , L } \frac { K _ { X Y } ^ { \left( a b m , L \right) } \left( r , r ^ { \prime } \right) } { \varepsilon _ { m 0 } - \varepsilon _ { a b } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | u ( z ) | } & { = \left| b ( z ) \cdot \left( \int _ { z _ { 0 } } ^ { z } f ( s ) b ( s ) e ^ { s } \ d s \int _ { s } ^ { z } e ^ { - \tau } b ( \tau ) ^ { - 2 } \ d \tau \ + \ c _ { 0 } e ^ { z _ { 0 } } b ( z _ { 0 } ) \int _ { z _ { 0 } } ^ { z } e ^ { - \tau } b ( \tau ) ^ { - 2 } \ d \tau \right) \right| } \\ & { \leq C ( \Lambda ) z ^ { \mu } \cdot \left( \int _ { z _ { 0 } } ^ { z } | f ( s ) | s ^ { - \mu } \ d s \ + \ | c _ { 0 } | z _ { 0 } ^ { - \mu } \right) \, . } \end{array}
N ( \mathrm { ~ P ~ s ~ i ~ d ~ S ~ p ~ } , \mathcal { C } , \mathcal { V } _ { a n } ) = \{ 6 , 7 \} \approx \{ \mathrm { ~ M ~ o ~ n ~ D ~ o ~ m ~ } , \mathrm { ~ N ~ e ~ c ~ L ~ a ~ s ~ } \}
\frac { d \delta ( k , r ) } { d r } = \frac { 1 } { 2 i } \, \mathrm { t r } \, \left[ \frac { d } { d r } F ^ { * } ( F ^ { * } ) ^ { - 1 } - \frac { d } { d r } F F ^ { - 1 } \right] \,
\big \langle f ( \eta ) , ( - \Delta ) ^ { - 1 } f ( \eta ) \big \rangle = \big \langle \eta , ( - \Delta ) ^ { - 1 } \eta \big \rangle + \Big ( \big \langle f ( \eta ) , ( - \Delta ) ^ { - 1 } f ( \eta ) \big \rangle - \big \langle \eta , ( - \Delta ) ^ { - 1 } \eta \big \rangle \Big ) ,
\begin{array} { r l r } { \langle \beta ( t ) \rangle } & { { } = } & { 0 } \\ { \langle \beta ( t ) \beta ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = } & { 2 \alpha \, k _ { B } T \, \delta ( t - t ^ { \prime } ) \; , } \end{array}
\bigl \| J _ { t } ^ { * } - \hat { J } _ { t } ( \boldsymbol { \omega } _ { t } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } \leq \biggl ( 1 + \frac { \gamma + 1 } { \gamma } \sum _ { i = 1 } ^ { T - t } ( \kappa \gamma ) ^ { i } \biggr ) \varepsilon _ { \textnormal { l o w } } = \biggl ( \frac { 1 + \kappa } { 1 - \kappa \gamma } - \frac { ( \kappa \gamma ) ^ { T } ( 1 + \gamma ) } { \gamma - \kappa \gamma ^ { 2 } } \biggr ) \varepsilon _ { \textnormal { l o w } }
\langle \sigma _ { - } ( t ) \rangle e ^ { i \omega t } = { \frac { 1 } { 4 } } \{ [ 2 \rho _ { + + } ( 0 ) - 1 ] e ^ { - { \frac { \Gamma } { 2 } } t } - [ \rho _ { + - } ( 0 ) e ^ { - i \Omega _ { R } t - { \frac { 3 \Gamma } { 4 } } t } - c . c ] \}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s = 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { ( s + u ) ^ { 2 p } } = \frac { 1 } { u ^ { 2 p } } + \sum _ { s = 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { ( s + u ) ^ { 2 p } } } & { \leq } & { \frac { 1 } { u ^ { 2 p } } + \int _ { s = 0 } ^ { + \infty } \frac { \mathrm { d } s } { ( s + u ) ^ { 2 p } } = \frac { 1 } { u ^ { 2 p } } + \frac { 1 } { ( 2 p - 1 ) u ^ { 2 p - 1 } } } \\ & { \leq } & { \frac { 2 } { u ^ { 2 p - 1 } } . } \end{array}
{ \partial _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } } E _ { \mathrm { a } } = 4 \pi e \left[ { \partial _ { \mathrm { t } } } \left( n _ { \mathrm { e } } v _ { \mathrm { e } } \right) - Z { \partial _ { \mathrm { t } } } \left( n _ { \mathrm { i } } v _ { \mathrm { i } } \right) \right]
s _ { R } ^ { 2 } = \frac { 2 n _ { 1 } n _ { 2 } ( 2 n _ { 1 } n _ { 2 } - n _ { 1 } - n _ { 2 } ) } { ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) ^ { 2 } ( n _ { 1 } + n _ { 2 } - 1 ) } .
\left\langle G _ { 1 } ^ { \mu } \right\rangle \; \equiv \; - \; \mu \; ( \widehat { \sf z } / \Omega _ { 0 } ) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf u } \; = \; - \; \mu \; \epsilon \, \Psi _ { 1 } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { I ( a , b , D ) } & { = \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { a } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { b } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { 2 i \pi ^ { D / 2 } \Gamma \big ( a + b + 2 - \frac { D } { 2 } \big ) } { \Gamma ( a + b ) m _ { f } ^ { 2 ( a + b + 2 ) - D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d r B \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } ; a + b , 2 - \frac { D } { 2 } \bigg ) } \end{array}
\left( - \omega \boldsymbol { I } ^ { ( L ) } + k \boldsymbol { A } _ { 0 n } ^ { ( L ) } - { \mathrm { i } } \boldsymbol { B } _ { 0 } ^ { ( L ) } \right) \delta \boldsymbol { u } ^ { ( L ) } = { \bf { 0 } }
H = \frac { e ^ { 2 \gamma _ { 2 } } ( \gamma _ { 1 } ^ { \prime \prime } \gamma _ { 2 } ^ { \prime } - \gamma _ { 1 } ^ { \prime } \gamma _ { 2 } ^ { \prime \prime } + 4 \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 2 e ^ { 4 \gamma _ { 2 } } ( \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 3 } ) } { ( ( \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } e ^ { 4 \gamma _ { 2 } } + ( \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \, N .
u ^ { 2 } + v ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } / 4 + 2 v \cos k _ { x } \sqrt { u ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } / 4 } \geq ( \sqrt { u ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } / 4 } - v ) ^ { 2 } \geq 0
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ N 1 i + \} } \circ \mathbb { N } ^ { + } = } & { } & { ( i N _ { 1 0 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ N 1 i + \} } + N _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ N 1 i + \} } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ - i N _ { 1 } ^ { i + } + N _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ N 1 i + \} } \circ \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } ) } \\ & { } & { + k _ { e g } \textbf { i } _ { \{ N 1 i + \} } \circ ( i \textbf { N } _ { 2 0 } ^ { i + } + \textbf { N } _ { 2 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i N _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } + N _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
| | u | | _ { C ^ { 1 , \alpha } ( x _ { 0 } ) } : = \operatorname* { s u p } _ { y \in B _ { r } ( x _ { 0 } ) } | u ( y ) | + \operatorname* { s u p } _ { y \in B _ { r } ( x _ { 0 } ) } | D u ( y ) | + \operatorname* { s u p } _ { y \in B _ { r } ( x _ { 0 } ) , r > 0 } \frac { | D u ( y ) - D u ( x _ { 0 } ) | } { | y - x _ { 0 } | ^ { \alpha } } < \infty .
{ \cal R } : = \frac { a { \mathcal J } ^ { \alpha \dot { \alpha } } { \mathcal J } _ { \alpha \dot { \alpha } } + b \Bar { \mathcal { X } } \mathcal { X } } { \sqrt { ( [ D ^ { ( \gamma } , \bar { D } _ { ( \dot { \gamma } } ] { \mathcal J } ^ { \delta ) } _ { \dot { \delta } ) } ) [ D _ { ( \gamma } , \bar { D } ^ { ( \dot { \gamma } } ] { \mathcal J } _ { \delta ) } ^ { \dot { \delta } ) } } } ~ , \quad a = - b = 1 ~ .
\begin{array} { r l r } { \big \| \widetilde \pi _ { N } ( \pi _ { N } f ) - \pi _ { N } f \big \| _ { L ^ { 2 } ( d P ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \Big \| \sum _ { j = 1 } ^ { N } \omega _ { j } ^ { \prime } \sum _ { k \geq N + 1 } \lambda _ { k } \varphi _ { k } ( X _ { j } ) \varphi _ { k } ( \cdot ) \Big \| _ { L ^ { 2 } ( d P ) } ^ { 2 } \leq \Big ( \frac { 1 } { n } \sum _ { k \geq N + 1 } \lambda _ { k } \| \varphi _ { k } \| _ { \infty } ^ { 2 } \Big ) \| \pmb \omega ^ { \prime } \| _ { n } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { s } [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] } & { = } & { T _ { W } [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] + T _ { p } [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 8 } \sum _ { \sigma } \int \frac { | \nabla n ^ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) | ^ { 2 } } { n ^ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) } + T _ { p } [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \prod _ { n = 1 } ^ { m - 1 } \left( \frac { p _ { n } ^ { 2 k } } { p _ { n } ^ { 2 k } - 1 } \right) \times \frac { p _ { m } ^ { 2 k } } { ( p _ { m } ^ { 2 k } - \alpha ^ { \prime } ) } < \frac { \pi ^ { 2 k } ( 2 ^ { 2 k } - 1 ) } { 2 \cdot ( 2 k ) ! } \vert B _ { 2 k } \vert < \prod _ { n = 1 } ^ { m - 1 } \left( \frac { p _ { n } ^ { 2 k } } { p _ { n } ^ { 2 k } - 1 } \right) \times \frac { p _ { m } ^ { 2 k } } { ( p _ { m } ^ { 2 k } - \beta ^ { \prime } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathbf { a } } _ { j } = \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } ( \hat { \mathcal { A } } _ { j } ) = \bar { A } _ { 3 , j } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } G _ { 1 } \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } ( Q ) + \Big ( \bar { A } _ { 3 , j } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } \bar { A } _ { 2 } - \bar { A } _ { 4 , j - 1 } \Big ) \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } ( R ) } \\ { \bar { A } _ { 3 , j } = \big ( C \otimes C \bar { A } ^ { j } \big ) , \; \; \bar { A } _ { 4 , j - 1 } = I \otimes \big ( C \bar { A } ^ { j - 1 } A L \big ) , \; j = 1 , 2 , \ldots , N _ { A } . } \end{array}
{ \cfrac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial w } } = q ~ ; ~ ~ { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial { \dot { w } } } } = \mu { \dot { w } } ~ ; ~ ~ { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial w _ { x x } } } = - E I w _ { x x } ~ .
\sigma _ { k } ( n ) = \zeta ( k + 1 ) n ^ { k } \left[ 1 + { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 ^ { k + 1 } } } + { \frac { 2 \cos { \frac { 2 \pi n } { 3 } } } { 3 ^ { k + 1 } } } + { \frac { 2 \cos { \frac { \pi n } { 2 } } } { 4 ^ { k + 1 } } } + \cdots \right]
\begin{array} { r l } & { 2 c \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widetilde { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \Delta _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { 4 \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \sqrt { s _ { k } } | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { F } \right) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big \{ | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B } & { = } & { \quad 4 d \, m \alpha _ { + } \alpha _ { - } \left[ ( m ^ { 2 } - d ) ( R _ { + } + R _ { - } ) - ( m ^ { 2 } + d ) ( r _ { + } + r _ { - } ) \right] } \\ & { } & { + i \, 4 k \nu d \left[ \alpha _ { - } ( m ^ { 2 } - d ) ( R _ { + } - R _ { - } ) - \alpha _ { + } ( m ^ { 2 } + d ) ( r _ { + } - r _ { - } ) \right] . } \end{array}
\mathrm { i } \partial _ { t } \tilde { u } - \mathrm { i } \nu _ { 1 } \partial _ { \xi } \tilde { u } = - d k _ { 1 } ^ { 2 } \partial _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { u } + ( - \mathrm { i } \mu + \zeta ) \tilde { u } - | \tilde { u } | ^ { 2 } \tilde { u } + \mathrm { i } f _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \frac { f _ { 1 } } { f _ { 0 } } \sin \xi } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } ( { { { \tilde { X } } } } ; { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } ) \approx } & { \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \left( { A ^ { 2 } + 1 } \right) - \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \left( { \sum _ { k = 1 } ^ { K } B _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } + C ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } \right) - } \\ & { \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \left( { { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \bigg ( \frac { B _ { k } } { \sqrt { 1 + A ^ { 2 } } } + \frac { B _ { k } ^ { \prime } A } { \sqrt { 1 + A ^ { 2 } } } \bigg ) ^ { 2 } } \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } + C ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
I - I _ { 0 } \, = \, \pi v ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { R } d r r \chi ^ { 2 } [ e ^ { 2 } \kappa T ^ { 2 } - 2 \lambda v ^ { 2 } e ^ { - \mu r } ( 1 - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \mu r } ) ] \, .
{ \mathcal { A } } _ { \mathcal { B } } ( J ) = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { b } } \left[ m _ { b } ^ { ( l ) } \left( { \bf { s } } _ { l } ^ { \dag } { \bf { s } } _ { l } + { \bf { p } } _ { l } ^ { \dag } { \bf { p } } _ { l } \right) + i \; { \bf { p } } _ { l } ^ { \dag } \hat { J } ^ { \dag } { \bf { s } } _ { l } + i \; { \bf { s } } _ { l } ^ { \dag } \hat { J } { \bf p } _ { l } \right]
V _ { R F } = \sqrt { \left( \frac { C ^ { 2 } \sigma _ { e } ^ { 2 } E _ { t } \eta } { 2 \pi \nu _ { R F } \sigma _ { z } ^ { 2 } \beta ^ { 3 } } \right) ^ { 2 } + \left( E _ { g a i n } + U _ { 0 } \right) ^ { 2 } }
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } { \mathrm { ~ a n d ~ } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } { \mathrm { ~ a n d ~ } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] } { \mathrm { ~ a n d ~ } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \mathrm { ~ a n d ~ } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] } .
\frac { \hat { \sigma } _ { a b \rightarrow c X } ^ { ( F - L O ) } } { d p _ { c _ { T } } ^ { 2 } \, d y } = \frac { \pi } { 2 x _ { 1 } x _ { 2 } S } \left| \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \overline { { { M } } } _ { a b \rightarrow c X } \right| ^ { 2 } \, \left( 8 \pi ^ { 2 } \right) \, \delta \left( ( x _ { 1 } P _ { A } + x _ { 2 } P _ { B } - p _ { c } ) ^ { 2 } \right) \left( \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \, .
( U _ { i } ) _ { j } ^ { n + 1 } = \frac { 2 } { 3 } ( U _ { i } ) _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } ( U _ { i } ) _ { j } ^ { n } - \frac { 2 } { 3 } \Delta t R ( ( U _ { i } ) _ { j } ^ { 2 } )
\chi _ { \alpha , { \mathrm { R e } } } = ( c _ { \alpha } + c _ { \alpha } ^ { \dagger } ) / 2 , \quad \chi _ { \alpha , { \mathrm { I m } } } = ( c _ { \alpha } - c _ { \alpha } ^ { \dagger } ) / ( 2 \mathrm { i } ) ,
( m _ { 3 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } = [ 2 m \cos \theta \sin \theta ( m _ { 3 } ^ { \zeta } - m _ { 2 } ^ { \zeta } ) ] ^ { 2 } + [ m ( m _ { 3 } ^ { \zeta } - m _ { 2 } ^ { \zeta } ) + m ( m _ { 3 } ^ { e w } - m _ { 2 } ^ { e w } ) ] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \tau ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n } e ^ { - \lambda _ { n } \tau } \vert \big ( \phi _ { n } , \Delta f \big ) _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \vert \vert \big ( \phi _ { n } , \eta \big ) _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \vert \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \leq \Big ( \int _ { 0 } ^ { \infty } \tau ^ { - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - C _ { s g } \tau } \, \mathrm { d } \tau \Big ) \sum _ { n } \vert \big ( \phi _ { n } , \Delta f \big ) _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \vert \vert \big ( \phi _ { n } , \eta \big ) _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \vert < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( x ) } & { = \frac { \Psi ( 1 / ( x _ { 2 } u ) ) } { T ( 1 / ( x _ { 2 } x _ { 3 } u ) ) T ( x _ { 1 } x _ { 3 } v ) } T ( x / x _ { 3 } ) T ( x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } u v x ) } \\ & { = \frac { T ( x _ { 2 } x _ { 3 } u , x _ { 1 } x _ { 3 } v ) T ( x _ { 1 } / x _ { 2 } , v / u ) } { T ( 1 / ( x _ { 2 } x _ { 3 } u ) ) T ( x _ { 1 } x _ { 3 } v ) } T ( x / x _ { 3 } ) T ( x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } u v x ) } \\ { \Longrightarrow \Psi ( x _ { 4 } ) } & { = \frac { T ( x _ { 2 } x _ { 3 } u , x _ { 1 } x _ { 3 } v ) T ( x _ { 1 } / x _ { 2 } , v / u ) } { T ( 1 / ( x _ { 2 } x _ { 3 } u ) ) T ( x _ { 1 } x _ { 3 } v ) } T ( x _ { 4 } / x _ { 3 } ) T ( x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } u v x _ { 4 } ) } \\ & { = x _ { 2 } x _ { 3 } v T \left( x _ { 1 } / x _ { 2 } , \sigma _ { 1 } / \sigma _ { 2 } , x _ { 4 } / x _ { 3 } , \rho _ { i ^ { \prime } } / \rho _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } - \Psi _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \delta ( r - r _ { 1 } ) \psi _ { \Phi } \psi _ { R } - \frac { 1 } { 2 \pi } \delta ( r - r _ { 0 } ) \psi _ { \Phi } \psi _ { R } } \\ & { = Q \left( - \frac { 1 } { 2 \pi } \Theta ( r - r _ { 1 } ) \psi _ { \Phi } + \frac { 1 } { 2 \pi } \Theta ( r - r _ { 0 } ) \psi _ { \Phi } \right) = Q \chi _ { 0 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { n } ^ { 2 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } & { \leq C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \Big ( \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \rho _ { n } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \| T _ { S } ( \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ) \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad + \| T _ { s } ( \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ) \boldsymbol { Y } \otimes \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \rho _ { n } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \Big ) . } \end{array}
\Gamma _ { [ \mu } \Gamma _ { \nu } \Gamma _ { \rho } \Gamma _ { \lambda ] } = \frac { 1 } { 4 ! } \sum _ { P } ( - 1 ) ^ { \delta _ { P } } \Gamma _ { \mu _ { P ( 1 ) } } \Gamma _ { \nu _ { P ( 2 ) } } \Gamma _ { \rho _ { P ( 3 ) } } \Gamma _ { \lambda _ { P ( 4 ) } }
( 1 - \frac { 1 } { r ^ { p } } ) ( 1 - \frac { t } { t ^ { \prime } } ) ( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ) ^ { k - i } | U | \leq | \{ D w \in \mathcal { W } _ { k , t ^ { \prime } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { k , t ^ { \prime } } ^ { 2 } \} | \, \leq \, ( 1 - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ) ( 1 - \frac { t } { t ^ { \prime } } ) ( \frac { 1 } { r ^ { p + 2 \delta } } ) ^ { k - i } | U |
\begin{array} { r } { \left| \frac { \delta B } { B _ { 0 } } \right| \sim \varepsilon , \qquad \left| \frac { \delta E } { B _ { 0 } } \right| \sim \varepsilon \frac { \rho _ { i } \Omega _ { i } } { c } , } \end{array}