harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l } { { J _ { \alpha } \equiv \oint p _ { \alpha } d \alpha = 2 \pi \Lambda \bigl [ \dot { \alpha } + \dot { \gamma } \cos \beta \bigr ] = - 4 \pi \Lambda { \cal L } ^ { 3 } ( A ) \equiv - 2 \pi I _ { 3 } } } \\ { { J _ { \gamma } \equiv \oint p _ { \gamma } d \gamma = 2 \pi \Lambda \bigl [ \dot { \gamma } + \dot { \alpha } \cos \beta \bigr ] = - 4 \pi { \cal R } ^ { 3 } ( A ) \equiv 2 \pi S _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \overline { { S W } } _ { p } ( \hat { F } _ { n , X } , F _ { X } ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { u \in \mathbb { S } ^ { d - 1 } } \mathcal { W } _ { p } ^ { p } ( \hat { F } _ { n , X } \circ u _ { * } ^ { - 1 } , F _ { X } \circ u ^ { - 1 } ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq k \leq K } \mathcal { W } _ { p } ( \hat { F } _ { n , X } \circ u _ { k * } ^ { - 1 } , F _ { X } \circ u _ { k * } ^ { - 1 } ) + \varepsilon ( M _ { p } ( \hat { F } _ { n , X } ) + M _ { p } ( F _ { X } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { W = } } & { { h _ { s } S H _ { 1 } H _ { 2 } + h _ { u } u _ { 3 } ^ { c } Q _ { 3 } H _ { 2 } + h _ { d } d _ { 3 } ^ { c } Q _ { 3 } H _ { 1 } + h _ { e } e _ { 3 } ^ { c } L _ { 3 } H _ { 1 } } } \\ { { } } & { { + h _ { D } S D _ { i } D _ { i } ^ { c } + ( \mathrm { s e l f - c o u p l i n g s ~ o f } ~ S , ~ S ^ { \prime } ) . } } \end{array}
\mathcal { R } = \frac { 3 } { 4 } \, h \int _ { 0 } ^ { R } \bigg ( \mathcal { K } _ { 3 } ( 0 , h , t ) f ( t ) + \mathcal { K } _ { 4 } ( 0 , h , t ) g ( t ) \bigg ) \, \mathrm { d } t \, .
\begin{array} { r l } { N = \int n _ { \vec { k } } \mathrm d \vec { k } } & { { } = \int n _ { k } 2 \pi k \mathrm d k , } \\ { \frac { \partial ( 2 \pi k n _ { k } ) } { \partial t } } & { { } + \frac { \partial Q _ { k } } { \partial k } = 0 . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + d y ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } ( d x ^ { i } ) ^ { 2 } - 2 \beta \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 n } J _ { i j } x ^ { i } d x ^ { j } ( d t + d y ) ,
\begin{array} { r l } { \mu = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \biggl [ \frac { 1 } { 2 } \biggr . } & { { } \left( | \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial r } | ^ { 2 } + | \frac { \partial \phi _ { 2 } } { \partial r } | ^ { 2 } \right) + \frac { g } { r ^ { 2 } } \left( | \phi _ { 1 } | ^ { 4 } + | \phi _ { 2 } | ^ { 4 } \right) } \end{array}
V _ { m i n } = \left( { \frac { 1 } { 2 } } + \sqrt { { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } } } \right) ^ { 3 / 2 } 2 \pi ^ { 2 } \left( { \frac { 3 } { \Lambda } } \right) ^ { 3 / 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \dot { X } } & { = \frac { k } { \gamma } \left( \frac { 3 a } { 2 d Y } + 1 \right) \left[ 1 + \epsilon \hat { L } _ { 0 } ( \sin { \phi _ { 1 } } + \sin { \phi _ { 2 } } ) - X \right] , } \\ { \dot { Y } } & { = \frac { k } { \gamma } \left( - \frac { 3 a } { 2 d Y } + 1 \right) \left[ 1 + \epsilon \hat { L } _ { 0 } ( \sin { \phi _ { 2 } } - \sin { \phi _ { 1 } } ) - Y \right] , } \end{array}
\mathcal { K } _ { c } \equiv \{ n _ { \mathrm { m i n } } \frac { \pi } { L _ { y } } , ( n _ { \mathrm { m i n } } + 1 ) \frac { \pi } { L _ { y } } , . . . , n _ { \mathrm { m a x } } \frac { \pi } { L _ { y } } \}
\begin{array} { r l } & { { { \bf \dot { \bf R } } _ { I } } ( t + \frac { \delta t } { 2 } ) = { { \bf \dot { R } } _ { I } } ( t ) + \frac { \delta t } { 2 } { { \bf \ddot { \bf R } } _ { I } } ( t ) } \\ & { { { \bf R } _ { I } } ( t + \delta t ) = { { \bf R } } _ { I } ( t ) + \delta t { { \bf \dot { \bf R } } _ { I } } ( t + \frac { \delta t } { 2 } ) } \\ & { n _ { \sigma } ( t + \delta t ) = 2 n _ { \sigma } ( t ) - n _ { \sigma } ( t - \delta t ) + \delta t ^ { 2 } { \ddot { n } } _ { \sigma } ( t ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + \alpha \sum _ { k = 0 } ^ { k _ { \mathrm { m a x } } } c _ { k } n _ { \sigma } ( t - k \delta t ) } \\ & { { { \bf \dot { \bf R } } _ { I } } ( t + \delta t ) = { { \bf \dot { \bf R } } _ { I } } ( t + \frac { \delta t } { 2 } ) + \frac { \delta t } { 2 } { { \bf \ddot { \bf R } } _ { I } } ( t + \delta t ) . } \end{array}
D _ { d , c , p } ( G ^ { \prime } , G ^ { \prime \prime } ) = \left[ \sum _ { h , k , n = 1 } ^ { r } \left( Q _ { d , c , p } ^ { \prime } ( h , k , n ) - Q _ { d , c , p } ^ { \prime \prime } ( h , k , n ) \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { a = 0 } ^ { \infty } \sum _ { b = 0 } ^ { \infty } Q _ { a , b } ( \alpha , \alpha ^ { * } ) \cdot \left( { \alpha ^ { * } } \right) ^ { a } \alpha ^ { b } } \\ { = } & { \sum _ { a = 0 } ^ { \infty } \sum _ { b = 0 } ^ { \infty } \frac { \left( { \alpha ^ { * } } \right) ^ { a } \alpha ^ { b } } { a ! b ! } \frac { \partial ^ { a + b } } { \partial ^ { a } \alpha \partial ^ { b } \alpha ^ { * } } Q ( \alpha , \alpha ^ { * } ) } \\ { = } & { Q ( \alpha , \alpha ^ { * } ) , } \end{array}
W [ J ] = - i \ln ( \langle 0 | 0 \rangle _ { J } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int d x ~ d x ^ { \prime } \left[ J _ { \mu } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) J ^ { \mu } ( x ^ { \prime } ) + { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } \partial _ { \mu } J ^ { \mu } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) \partial _ { \nu } ^ { \prime } J ^ { \nu } ( x ^ { \prime } ) \right] .
\begin{array} { r l } { \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } = - \mathfrak { e } _ { n } \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } } & { = ( - 1 ) ^ { k } \sum _ { 1 \leqslant \ell _ { 1 } < \ldots < \ell _ { k - 1 } < n } u _ { \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } \ldots \ell _ { k - 1 } n } ( \cdot , 0 ) \, \mathrm { d } x _ { \ell _ { 1 } } \wedge \ldots \wedge \mathrm { d } x _ { \ell _ { k - 1 } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k } \sum _ { I ^ { \prime } \in \mathcal { I } _ { n - 1 } ^ { k - 1 } } u _ { I ^ { \prime } , n } ( \cdot , 0 ) \, \mathrm { d } x _ { I ^ { \prime } } = 0 \mathrm { . ~ } } \end{array}
f _ { 4 - 2 \epsilon } ^ { ( + ) } = 2 w ^ { 2 } F \left( 1 , 1 ; \frac { 3 } { 2 } ; 1 - w ^ { 2 } \right) \, - \, [ 2 ( 1 + w ) ] ^ { \epsilon } w F \left( 1 , 1 ; \frac { 3 } { 2 } ; \frac { 1 - w } { 2 } \right)
\begin{array} { r } { n _ { i , e } = \int A _ { i , e } e ^ { - \frac { 1 } { k _ { B } T _ { i , e } } \left( \frac { 1 } { 2 } m _ { i , e } v ^ { 2 } + q _ { i , e } \phi \right) } \, \textrm { d } \mathbf { v } = n _ { i , e } ^ { \infty } e ^ { - \frac { q _ { i , e } \phi } { k _ { B } T _ { i , e } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ N ~ o ~ d ~ e ~ C ~ o ~ s ~ t ~ } ( n ( P , Q ) ) = } & { { } \left( \sum _ { i } \operatorname* { d e t } \mathrm { ~ S ~ u ~ p ~ } _ { i } ( P , Q ) - 1 \right) / 2 } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \rightarrow } ( \omega ) = | \langle a _ { 2 } ^ { \mathrm { o u t } } / a _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } \rangle | ^ { 2 } = \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } | C _ { 1 } | ^ { 2 } , } \\ { T _ { \leftarrow } ( \omega ) = | \langle a _ { 1 } ^ { \mathrm { o u t } } / a _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } \rangle | ^ { 2 } = \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } | A _ { 2 } | ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \Gamma ( \tilde { \sigma } _ { i } \tilde { \sigma } \lambda ) } { \Gamma ( \tilde { \sigma } \lambda ) } = \frac { [ i ( \tilde { \sigma } \lambda ) _ { i + 1 } - ( \tilde { \sigma } \lambda ) _ { i } - c ] } { [ i ( \tilde { \sigma } \lambda ) _ { i + 1 } - ( \tilde { \sigma } \lambda ) _ { i } + c ] } , \, \, \frac { \Gamma ( \bar { \sigma } _ { N } \tilde { \sigma } \lambda ) } { \Gamma ( \tilde { \sigma } \lambda ) } = - 1 .
d _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } ( \boldsymbol { x } ) = \xi ( \boldsymbol { x } ) \ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } ( c ( \xi ( \vec { x } ) ) > c _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ , ~ m ~ i ~ n ~ } } ) } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ c < c _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } } \\ { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } ( c ( \xi ( \vec { x } ) ) < c _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ , ~ m ~ a ~ x ~ } } ) } & { \quad \textrm { e l s e } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 3 1 } } & { h _ { 3 2 } \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \langle \alpha _ { 1 i } ( t ) \alpha _ { 2 j } ( t ) \rangle \varphi _ { i } ( x ) \varphi _ { j } ( x ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \langle \alpha _ { 1 i } ( t ) N _ { 2 } ( t ) \rangle \varphi _ { i } ( x ) \frac { x } { L _ { x } } \left( \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 2 0 } ( 1 - \frac { x } { L _ { x } } ) \right) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \langle \alpha _ { 2 j } ( t ) N _ { 1 } ( t ) \rangle \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } \right) \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 1 0 } \frac { x } { L _ { x } } \right) } \\ & { + \langle N _ { 1 } ( t ) N _ { 2 } ( t ) \rangle \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } \right) \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 1 0 } \frac { x } { L _ { x } } \right) } \\ & { \times \frac { x } { L _ { x } } \left( \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 2 0 } ( 1 - \frac { x } { L _ { x } } ) \right) } \\ & { = 0 } \end{array}
I = ( \sigma ^ { 2 } i \partial _ { \mu } \gamma ^ { \mu } ) _ { \alpha _ { j } \alpha } ( i \partial _ { \nu } \gamma ^ { \nu } ) _ { \alpha \alpha _ { i } } \Psi _ { \alpha _ { i } \alpha _ { j } } ^ { ( \pm ) } = m ^ { 2 } \sigma _ { \alpha _ { j } \alpha _ { i } } ^ { 2 } \Psi _ { \alpha _ { i } \alpha _ { j } } ^ { ( \pm ) } = - I \; .
s ( x , y ) = \frac { 1 - \nu ^ { 2 } } { \pi E } \int _ { y _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \int _ { x _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \sigma _ { 0 } ( x _ { \mathrm { ~ m ~ } } , y _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) \left[ \lambda f _ { \mathrm { ~ l ~ } } + ( 1 - \lambda ) f _ { \mathrm { ~ n ~ l ~ } } \right] \mathrm { ~ d ~ } x _ { \mathrm { ~ m ~ } } \mathrm { ~ d ~ } y _ { \mathrm { ~ m ~ } } .
A _ { \infty } = \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } q \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } q } \mathrm { d } q = \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } \frac { q } { \left[ 4 q ^ { - 4 } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } \mathrm { d } q = 1 .
\begin{array} { r l } { { \epsilon } ( t ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } \Theta ( t - t ^ { \prime } ) \Big ( \frac { P _ { u } ( t ^ { \prime } ) } { \eta _ { 0 } } + \frac { 1 } { G _ { 0 } } \frac { d } { d t ^ { \prime } } \Big ) \sigma ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } } \end{array}
\left( A _ { 0 } , A _ { 1 } , A _ { 2 } , A _ { 3 } , \psi , \pi _ { 0 } , \pi _ { 1 } , \pi _ { 2 } , \pi _ { 3 } , \pi _ { \psi } \right) \longleftrightarrow \left( \xi _ { 1 } , \cdots , \xi _ { 1 0 } \right)
D _ { \alpha } ^ { i } \bar { w } _ { \dot { \alpha } _ { 1 } \ldots \dot { \alpha } _ { 2 j _ { 2 } } } = 0 \; , \qquad \bar { D } _ { i } ^ { \dot { \alpha } } \bar { w } _ { \dot { \alpha } \dot { \alpha } _ { 2 } \ldots \dot { \alpha } _ { 2 j _ { 2 } } } = 0
L _ { 0 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ { \frac { 1 } { 2 } } ( P _ { i } { \dot { Q } } _ { i } - Q _ { i } { \dot { P } } _ { i } ) - { \frac { 1 } { 2 } } P _ { i } ^ { 2 } + { e ^ { - ( Q _ { i + 1 } - Q _ { i } ) } } ] ;
j = \left\{ \begin{array} { c l } { { 1 / 3 } } & { { \textrm { s c a l a r p e r t u r b a t i o n } } } \\ { { 5 / 3 } } & { { \textrm { e l e c t r o m a g n e t i c - g r a v i t a t i o n a l p e r t u r b a t i o n } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { S _ { 1 4 } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , s h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } \sum _ { \rho \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) } \\ { \times T r ( s _ { 1 \gamma } ^ { \sigma \rho ^ { \dagger } } s _ { 1 \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } s _ { 4 \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \dagger } } s _ { 4 \gamma } ^ { \sigma \rho } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \zeta ( \sigma ) } & { = } & { \bar { y } _ { + } ^ { T } ( A D _ { + } A ^ { T } ) \bar { y } _ { + } - l ^ { T } D _ { + } u } \\ & { = } & { \bar { y } ^ { T } ( A D A ^ { T } ) \bar { y } - l ^ { T } D u + \frac { \sigma } { 1 - \sigma } \gamma _ { j } ^ { - 2 } v _ { j } ^ { 2 } - \sigma \gamma _ { j } ^ { - 2 } \bar { t } _ { j } ^ { 2 } = 1 - \sigma \gamma _ { j } ^ { - 2 } ( \bar { t } _ { j } ^ { 2 } - v _ { j } ^ { 2 } ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 1 - \sigma } \gamma _ { j } ^ { - 2 } v _ { j } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { W _ { g } ( \theta , \alpha ) : = F ( \alpha ) W _ { g } ( \theta ) F ( \alpha ) ^ { - 1 } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( e ^ { - \theta } \left[ \left( p _ { j } - \alpha x _ { j } \langle x \rangle ^ { - 1 } \right) \cdot g A _ { \theta } ( x _ { j } ) + g A _ { \theta } ( x _ { j } ) \cdot \left( p _ { j } - \alpha x _ { j } \langle x \rangle ^ { - 1 } \right) \right] + g ^ { 2 } A _ { \theta } ( x _ { j } ) \cdot A _ { \theta } ( x _ { j } ) \right) } \\ & { = W _ { g } ( \theta ) - 2 \alpha \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta } x _ { j } \langle x \rangle ^ { - 1 } \cdot g A _ { \theta } ( x _ { j } ) . } \end{array}
R _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { k } _ { \| } ) = | r _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { k } _ { \| } ) | ^ { 2 } = \frac { | \mathbf { e } _ { \sigma } \cdot \hat { \boldsymbol { \alpha } } _ { \mathrm { e f f } } \cdot \mathbf { e } _ { \sigma ^ { \prime } } | ^ { 2 } } { ( 2 A \varepsilon _ { 0 } / k ) ^ { 2 } } = \frac { | \mathbf { e } _ { \sigma } \cdot \hat { \boldsymbol { \alpha } } _ { \mathrm { e f f } } \cdot \mathbf { e } _ { \sigma ^ { \prime } } | ^ { 2 } } { ( A \lambda \varepsilon _ { 0 } / \pi ) ^ { 2 } }
{ \frac { H } { M } } \approx 0 . 2 1 ( 1 0 ^ { 1 0 } P _ { k } ^ { S } ) ^ { 1 / 8 } \left( { \frac { L } { 6 0 } } \right) ^ { 1 / 4 } \left( { \frac { m } { M } } \right) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ t ~ c ~ h ~ } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| \left| K _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ i ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ N ~ S ~ } } - K _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ i ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } \right| \right| _ { 2 } ^ { 2 } + \left| \left| \mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ i ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ N ~ S ~ } } - \mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ i ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } \right| \right| _ { 2 } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\left( { \frac { p } { q } } \right) = ( - 1 ) ^ { \left\lfloor { \frac { p } { q } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { 2 p } { q } } \right\rfloor + \dots + \left\lfloor { \frac { n p } { q } } \right\rfloor } .
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { R } _ { { \mathbf G } , \mathrm { h o m } } ) _ { i \alpha , j \beta } } & { { } = \frac { \mathbf { R } _ { i j } } { V ^ { 2 } } } \\ { ( \mathbf { N } _ { \mathbf { G } , \mathrm { h o m } } ) _ { i \alpha , j \beta } } & { { } = \frac { N _ { i } } { V _ { 1 } } \delta _ { i j } \delta _ { \alpha \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { \alpha } \nabla \mu _ { \alpha } = \nabla \pi _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { m i n i m i z e } \: \: } & { \lambda _ { D } D _ { K } + \lambda _ { A } \sum _ { k = 0 } ^ { K } ( A _ { k } ) + \lambda _ { \mathrm { p r } } \mathbf { c } _ { \mathrm { p r } } ^ { \top } \mathbf { x } + \lambda _ { \mathrm { S V I } } \mathbf { c } _ { \mathrm { S V I } } ^ { \top } \mathbf { x } + \lambda _ { \mathrm { P o p } } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \mathbf { c } _ { \mathrm { P o p } } ^ { \top } \mathbf { \bar { d } } _ { k } + \lambda _ { \mathrm { i n f } } h } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \: \: } & { \sum _ { i = 1 } ^ { C } x _ { i } - N \leq h , \quad 0 \le h } \\ & { x _ { i } \geq n _ { i } , \quad x _ { i } \cdot z _ { i } = 1 , \quad \forall i \in \mathcal { C } } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { C } \bar { d } _ { i k } \leq d _ { k } , \: \forall k \in \mathcal { K } } \\ & { \bar { d } _ { i k } z _ { i } \geq d _ { \mathrm { m i n } } , \quad \forall i \in \mathcal { C } , k \in \mathcal { K } } \\ & { \bar { d } _ { i , k - 1 } - \bar { d } _ { i k } \leq \theta , \quad \forall i \in \mathcal { C } , k \in 2 , \dots , K } \\ & { \mathrm { l b } _ { i k } \leq \bar { d } _ { i k } \leq \mathrm { u b } _ { i k } , \quad \forall i \in \mathcal { C } , k \in \mathcal { K } } \\ & { S _ { k + 1 } = S _ { k } + ( \epsilon P _ { k } + \delta R _ { k } - \alpha S _ { k } ) \Delta , \quad k = 1 , \dots , K - 1 } \\ & { P _ { k + 1 } = P _ { k } + ( \alpha S _ { k } - ( \epsilon + \gamma + \beta ) P _ { k } ) \Delta , \quad k = 1 , \dots , K - 1 } \\ & { I _ { k + 1 } = I _ { k } + ( \beta P _ { k } - \phi I _ { k } ) \Delta , \quad k = 1 , \dots , K - 1 } \\ & { A _ { k + 1 } = A _ { k } + ( \gamma P _ { k } + \sigma R _ { k } + \phi I _ { k } - \left( \zeta + \ell _ { k } \right) A _ { k } - \mu A _ { k } ) \Delta , \quad k = 1 , \dots , K - 1 } \\ & { R _ { k + 1 } = R _ { k } + \left( \left( \zeta + \ell _ { k } \right) A _ { k } - ( \delta + \sigma ) R _ { k } \right) \Delta , \quad k = 1 , \dots , K - 1 } \\ & { D _ { k + 1 } = D _ { k } + ( \mu A _ { k } ) \Delta , \quad \forall k \in \mathcal { K } } \\ & { x _ { i } \in { \mathrm { \bf ~ Z } } , \quad x _ { i } \in [ 1 , N ] , \quad k = 1 , \dots , K - 1 } \\ & { \bar { d } _ { i k } , u _ { i } , v _ { i } , z _ { i } , w _ { k } , S _ { k } , P _ { k } , I _ { k } , A _ { k } , R _ { k } , D _ { k } \geq 0 , \quad \forall i \in \mathcal { C } , k \in \mathcal { K } , } \end{array}
\Gamma _ { t } ( p ) = \frac { 1 - \delta _ { a b } } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } q { G } _ { 0 } ( q ) t \, \mathrm { s i n c } [ \frac { v t ( q - p ) } { \hbar } ]
\begin{array} { r l } { \mathrm { R } _ { 3 } ( T ) } & { = 2 \mu ^ { \star } L + 2 \mu ^ { \star } T L \left( \xi ( \omega _ { \mu } ) + 2 \xi ( \omega _ { v } ) + 2 \xi ( \omega _ { v } ^ { \prime } ) \right) } \\ & { \leq 2 K L + K \delta + 2 K T L \cdot 4 \cdot \frac { 2 + \epsilon } { \epsilon } \big ( \frac { \frac { 1 } { T ^ { 2 } } } { \ln ( 1 + \epsilon ) } \big ) ^ { 1 + \epsilon } } \\ & { \leq 2 K L + K \delta + 4 K \cdot \frac { 2 + \epsilon } { \epsilon } \big ( \frac { 1 } { \ln ( 1 + \epsilon ) } \big ) ^ { 1 + \epsilon } } \\ & { = O ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ H ~ y ~ d ~ r ~ o ~ g ~ e ~ n ~ H ~ : ~ } r _ { H } } & { { } = } & { 2 5 p m \Rightarrow \sigma _ { H } = \pi r _ { H } ^ { 2 } = 1 9 6 3 p m ^ { 2 } } \\ { \mathrm { ~ H ~ e ~ l ~ i ~ u ~ m ~ H ~ e ~ : ~ } r _ { H e } } & { { } = } & { 3 0 p m \Rightarrow \sigma _ { H e } = \pi * r _ { H e } ^ { 2 } = 2 8 2 7 p m ^ { 2 } } \\ { \mathrm { ~ C ~ a ~ r ~ b ~ o ~ n ~ C ~ : ~ } r _ { C } } & { { } = } & { 7 0 p m \Rightarrow \sigma _ { C } = \pi * r _ { C } ^ { 2 } = 1 5 3 9 4 p m ^ { 2 } } \\ { \mathrm { ~ S ~ i ~ l ~ i ~ c ~ i ~ u ~ m ~ S ~ i ~ : ~ } r _ { S i } } & { { } = } & { 1 1 0 p m \Rightarrow \sigma _ { S i } = \pi * r _ { S i } ^ { 2 } = 3 8 0 1 3 p m ^ { 2 } } \end{array}
x _ { \ell , k _ { \ell } } = a _ { \ell } + k _ { \ell } \triangle x _ { \ell } , \quad \triangle x _ { \ell } = ( b _ { \ell } - a _ { \ell } ) / K _ { \ell } , \quad k _ { \ell } = 0 , \dots , K _ { \ell } - 1 , \quad \ell = 1 , \dots , d
\Delta P _ { \gamma / e } ( y ) = \frac { \alpha _ { e m } } { 2 \pi } \left[ \frac { 1 - ( 1 - y ) ^ { 2 } } { y } \right] \ln \frac { Q _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } ( 1 - y ) } { m _ { e } ^ { 2 } y ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r } { E ^ { \alpha } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int \mathrm { d } x ^ { \prime } \frac { i } { \omega \epsilon _ { 0 } } G ^ { \alpha } ( x , x ^ { \prime } , \omega ) \hat { j } ^ { \alpha } ( x ^ { \prime } , \omega ) + \mathrm { H . a . } , } \end{array}
s t u d i e d a t h r e e d i m e n s i o n a l p r e d a t o r - p r e y - p a r a s i t e m o d e l w i t h a n e x p o n e n t i a l f o r m d e s c r i b i n g i n t e r a c t i o n s a m o n g h e a l t h y o r i n f e c t e d T i l a p i a f i s h a s t h e p r e y , a n d P e l i c a n b i r d s a s t h e p r e d a t o r . T a s s a d d i q e t a l .
s _ { T , P } - s _ { T , P } ^ { \mathrm { i d e a l } } = R \left[ \ln ( Z - B ) - 2 . 0 7 8 \kappa \left( { \frac { 1 + \kappa } { \sqrt { T _ { r } } } } - \kappa \right) \ln \left( { \frac { Z + 2 . 4 1 4 B } { Z - 0 . 4 1 4 B } } \right) \right]
\vec { E } _ { b } ( \vec { x } _ { 2 } ) = - k \int d ^ { 3 } x _ { 1 } \left[ \frac { 1 } { R } \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) + \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \frac { 1 } { R } \right] ,
\begin{array} { r l r } { t _ { l k } ^ { e q } } & { { } \approx } & { \sqrt { \frac { m _ { e } } { m _ { k } } } \, \frac { n _ { e } } { Z _ { k } ^ { 2 } \, n _ { k } } \, t _ { l e } ^ { e q } } \end{array}
\left< W ( C ) \right> _ { \mathrm { w e a k - f i e l d } } = \left< W ( C ) \right> _ { a _ { \mu } } \int { \cal D } h _ { \mu \nu } \exp \left[ - \int d ^ { 4 } x \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 2 4 \zeta } H _ { \mu \nu \lambda } ^ { 2 } + \frac 1 4 h _ { \mu \nu } ^ { 2 } \right) + \frac { i g } { 4 } \int _ { \Sigma _ { \mathrm { m i n . } } } ^ { } d \sigma _ { \mu \nu } h _ { \mu \nu } \right] ,
\gamma ( t ) = \frac { \hbar \theta ( t ) } { M _ { o } } \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } g _ { n m } ^ { 2 } \overline { { { n } } } _ { n } ( \Omega _ { n } - \Omega _ { m } ) \cos ( \Omega _ { n } - \Omega _ { m } ) t
{ \frac { \beta ^ { 2 } } { 1 6 \pi } } ( \tilde { \mu } ^ { 2 } ( \varphi _ { 0 } ) - \tilde { m } _ { 0 } ^ { 2 } ) \int { \frac { d \tilde { p } } { f ^ { 2 } ( \tilde { p } ) ( 2 f ( \tilde { p } ) - \tilde { m } _ { 2 } ) } } = 1 \; .
\int _ { s _ { i } } ^ { s _ { f } } L [ s , T ( s ) ] \mathrm { d } s = \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { f } } \left( \frac { \gamma } { k _ { \mathrm { B } } T ( s ) - s \kappa } - \frac { \lambda \kappa } { k _ { \mathrm { B } } T ( s ) } \right) \textrm { d } s ,
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \boldsymbol { r } , t ) = } & { { } \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } \rho _ { \boldsymbol { k } } \sin ( \mathrm { ~ u ~ } _ { \boldsymbol { k } } + \theta _ { \boldsymbol { k } } ) } \end{array}
| \Delta b ^ { \prime } | \ge 2 \cosh { \frac { \Delta \phi } { 2 } } , ~ ~ \mathrm { o r ~ e q u i v a l e n t l y , } ~ ~ | \Delta b | \ge \left( \frac { 1 } { g _ { + } } + \frac { 1 } { g _ { - } } \right) .
\int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | K _ { k , l } ( x , y ) | ^ { r ^ { \prime } } \, | y | ^ { r ^ { \prime } \lambda } \, \mathrm { d } y \lesssim \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | \nabla _ { \xi } ^ { \lambda } a _ { k , l } ( x , \xi ) | ^ { r } \, d \xi \lesssim \int _ { | \xi | \sim 2 ^ { k + l } } 2 ^ { - r N l } 2 ^ { - k n } \, d \xi \lesssim 2 ^ { l ( \frac { n } { 2 } - r N ) } .
\begin{array} { r l } { ( L _ { 1 } \circ L _ { 1 2 } ) \times _ { X _ { 2 } } L _ { 2 } } & { = \{ ( x , y ) \in L _ { 1 } \times L _ { 1 2 } | l ^ { 1 } ( x ) = l _ { 1 } ( y ) \} \times _ { X _ { 2 } } L _ { 2 } } \\ & { = \{ ( x , y , z ) \in L _ { 1 } \times L _ { 1 2 } \times L _ { 2 } | l ^ { 1 } ( x ) = l _ { 1 } ( y ) , l _ { 2 } ( y ) = l ^ { 2 } ( z ) \} . } \end{array}
\begin{array} { l } { \phi ( t ) = \arctan { ( R _ { 2 1 } , - R _ { 2 0 } ) } , } \\ { \theta ( t ) = \operatorname { a r c c o s } { ( R _ { 2 2 } ) } , } \\ { \psi ( t ) = \arctan { ( R _ { 1 2 } , - R _ { 0 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { R _ { 0 } } } & { { } = ( I _ { \infty } + S _ { \infty } - I _ { 0 } - S _ { 0 } ) \frac { 2 a ( S _ { 0 } S _ { \infty } ) ^ { 2 } } { S _ { \infty } ^ { 2 } - S _ { 0 } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I m } [ G ( \omega ) ] } & { = } & { \frac { c \pi } { 3 } \sum \frac { 1 } { \Omega _ { 0 n } } ( R _ { 0 n } \delta ( \omega - \Omega _ { 0 n } ) } \\ & { } & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, - R _ { 0 n } \delta ( \omega + \Omega _ { 0 n } ) ) \, , } \end{array}