harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\log \Big ( 2 K _ { 0 } \big ( 2 \exp \big [ - \frac { 1 } { 2 } N \Upsilon _ { j } \big ] \big ) \Big ) \simeq \left\{ \begin{array} { l l } { \log N + \log \Upsilon _ { j } , \, \, \mathrm { i f } \, \, \Upsilon _ { j } > 0 , } \\ { - 2 \mathrm { e } ^ { - ( N \Upsilon _ { j } / 2 ) } , \, \, \mathrm { i f } \, \, \Upsilon _ { j } < 0 . } \end{array} \right.
\int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | f ( x ) | | { \hat { f } } ( \xi ) | { \frac { e ^ { \pi | \langle x , \xi \rangle | } } { ( 1 + | x | + | \xi | ) ^ { N } } } \, d x \, d \xi < + \infty ~ ,
\Delta S = \Delta S _ { \mathrm { S M } } ^ { } + S _ { \mathrm { n e w } } ^ { } , \; \; \Delta T = \Delta T _ { \mathrm { S M } } ^ { } + T _ { \mathrm { n e w } } ^ { } , \; \; \Delta U = \Delta U _ { \mathrm { S M } } ^ { } + U _ { \mathrm { n e w } } ^ { } .
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( 1 + \cosh t \cos \psi _ { 1 } ) ( \cosh \frac { 1 } { 2 } t + \cos \frac { 1 } { 2 } \psi _ { 2 } - \sinh t \sin \psi _ { 1 } \sinh \frac { 1 } { 2 } t \sin \frac { 1 } { 2 } \psi _ { 2 } ) } { ( \cosh t + \cos \psi _ { 1 } ) ^ { 2 } ( \cosh t + \cos \psi _ { 2 } ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { 0 } r _ { i } \cosh t } \mathrm { d } \, t .
{ \begin{array} { c } { { \frac { { \partial } ^ { p } } { \partial { \omega } ^ { p } } } \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \frac { 1 } { c } } \left( p { \frac { { \partial } ^ { p - 1 } } { \partial { \omega } ^ { p - 1 } } } { \it { O P } } \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } + \omega { \frac { { \partial } ^ { p } } { \partial { \omega } ^ { p } } } { \it { O P } } \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } \right) } \end{array} } ( 1 )
{ { \cal L } ^ { 2 } } ^ { \mathrm { e f f } } ( H , \mu , T ) = \frac { e H } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { \alpha } { 2 \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } b _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \! p _ { z } ~ p _ { z } [ \ln ( \frac { p _ { z } ^ { 2 } } { e H } ) + 1 ] ~ ( f _ { + } ( T ) + f _ { - } ( T ) ) .
{ \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { a } & { c } \\ { 0 } & { 1 } & { b } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { a ^ { \prime } } & { c ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 1 } & { b ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { a + a ^ { \prime } } & { c + c ^ { \prime } + a b ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 1 } & { b + b ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \, .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \Big \{ \bar { \rho } _ { p ^ { * } } [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) ] \leq \operatorname* { i n f } _ { p } \Big ( \bar { \rho } _ { p } \Big [ r ^ { \epsilon } ( \beta ) + \frac { \log ( 2 \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 3 ) } { \sqrt { l } } \Big ] + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \Big \lfloor \frac { N } { 2 } \Big \rfloor \Big ) \Big ) + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) \sqrt { l ^ { * } } } + \frac { 1 } { \sqrt { l ^ { * } } } \log \frac { \bar { \alpha } } { \delta } \Big \} \geq 1 - \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \gamma , C F _ { 4 } ^ { + * } } = } & { { } f _ { C F _ { 4 } } \! \cdot \! P _ { \gamma , C F _ { 4 } ^ { + * } } \big | _ { d i r } + \! \left( \! ( 1 \! \! - \! \! f _ { C F _ { 4 } } ) \! \cdot \! P _ { A r ^ { 3 r d } } \! \cdot \! \frac { f _ { C F _ { 4 } } \! \cdot \! n \! \cdot \! K _ { A r ^ { 3 r d } - > C F _ { 4 } ^ { + * } } } { 1 / \tau _ { 3 r d } + f _ { C F _ { 4 } } \! \cdot \! n \! \cdot \! ( K _ { A r ^ { 3 r d } - > C F _ { 4 } ^ { + * } } \! + \! K _ { A r ^ { 3 r d } - > A r } ) } \! \right) } \end{array}
{ \cal F } \equiv | \nabla z _ { r } | ^ { 2 } - \frac { \partial z _ { r } } { \partial z } = | \nabla _ { h } z _ { r } | ^ { 2 } + \left( \frac { \partial z _ { r } } { \partial z } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial z _ { r } } { \partial z } < 0 ,
\left[ \begin{array} { l } { N _ { I } ^ { \rho } } \\ { N _ { I } ^ { \rho \mathbf { u } } } \\ { N _ { I } ^ { \rho e _ { t } } } \\ { N _ { I } ^ { E _ { r } } } \\ { N _ { I } ^ { T } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \sigma _ { E } ^ { * } c E _ { r } - \sigma _ { p } ^ { * } a c T ^ { 4 } } \\ { \nabla \cdot D ^ { * } \nabla E _ { r } - \sigma _ { E } ^ { * } c E _ { r } + \sigma _ { p } ^ { * } a c T ^ { 4 } } \\ { \left[ \sigma _ { E } ^ { * } c E _ { r } - \sigma _ { p } ^ { * } a c T ^ { 4 } + \mathcal { L } _ { T } ( \rho ^ { * } , \mathbf { u } ^ { * } , e _ { t } ^ { * } ) \right] / ( \rho ^ { * } c _ { v } ^ { * } ) } \end{array} \right] .
u _ { \mathrm { ~ f ~ @ ~ p ~ } } = \left\{ \begin{array} { l l } { U _ { \infty } } & { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ f ~ o ~ r ~ m ~ f ~ l ~ o ~ w ~ } } \\ { U _ { \infty } + G y _ { \mathrm { ~ p ~ } } } & { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ s ~ h ~ e ~ a ~ r ~ f ~ l ~ o ~ w ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \psi ( x , y ) } & { { } = } & { H _ { l } \left( \sqrt { 2 } \frac { x } { w _ { 0 } } \right) H _ { m } \left( \sqrt { 2 } \frac { y } { w _ { 0 } } \right) \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = \hat { H } _ { \mathrm { r o v i b } } + \hbar \omega _ { \mathrm { c } } \hat { a } _ { \mathrm { c } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { c } } - \frac { g } { e a _ { 0 } } \mathbf { e } \hat { \mathbf { \upmu } } _ { 0 } ( \hat { a } _ { \mathrm { c } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { \mathrm { c } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 2 } } & { \le \exp \left( - \frac { d } { 2 } \log \left( 1 - 4 \theta \bar { c } \sigma ^ { 2 } t C _ { U , K } ( x ) \right) + \frac { \sigma ^ { 2 } \theta ^ { 2 } t | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } } { 2 ( 1 - 4 \theta \bar { c } t \sigma ^ { 2 } ) } \right) } \\ & { \le \exp \left( 4 d \theta \bar { c } \sigma ^ { 2 } t C _ { U , K } ( x ) + \frac { \sigma ^ { 2 } \theta ^ { 2 } t | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } } { 2 ( 1 - 4 \theta \bar { c } t \sigma ^ { 2 } ) } \right) , } \end{array}
\frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } \frac { \left\vert \cos \frac { \left( 2 \alpha + \beta + \mu \right) \pi } { 2 } \right\vert } { \cos \frac { \left( \mu - \beta \right) \pi } { 2 } } \frac { \sin \frac { \left( 2 \alpha + \beta + \mu \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( \mu - \beta \right) \pi } { 2 } } \leqslant \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } ,
\mathcal { R T } ^ { 0 } ( \mathcal T _ { \nu } ^ { x } ) : = \left\{ \vec { v } _ { h _ { x } } \in H ( \operatorname { d i v } ; \Omega ) : \, \forall \omega \in \mathcal T _ { \nu } ^ { x } : \vec { v } _ { h _ { x } | \omega } \in \mathcal { R T } ^ { 0 } ( \omega ) \right\} = \mathrm { s p a n } \{ \vec { \psi } _ { \ell } ^ { \mathcal { R T } } \} _ { \ell = 1 } ^ { N _ { x } ^ { \mathcal { R T } } } ,
\nabla _ { S } = ( I - \mathbf { n } \mathbf { n } ) \cdot \nabla = \left( \frac { ( a ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 1 + ( a ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r } + \frac { a ^ { \prime } } { 1 + ( a ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial z } , 0 , \frac { a ^ { \prime } } { 1 + ( a ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r } + \frac { 1 } { 1 + ( a ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial z } \right)
f _ { l } = \operatorname* { m i n } \left[ \operatorname* { m a x } \left( \frac { \alpha _ { l } ^ { M a x , f } - \alpha _ { l } } { \alpha _ { l } ^ { M a x , p } - \alpha _ { l } ^ { M a x , f } } , 0 \right) , 1 \right]
S U ( 3 ) ^ { c } \times S U ( 2 ) _ { L } \times S U ( 2 ) _ { R } \times U ( 1 ) _ { B } \rightarrow S U ( 2 ) ^ { c } \times S U ( 2 ) _ { L } \times S U ( 2 ) _ { R } \times { \tilde { U } } ( 1 ) _ { B }
\begin{array} { r l } { x _ { k } ^ { ( l ) } } & { { } = \left( 1 - a \Delta t \right) x _ { k - 1 } ^ { ( l ) } + \Delta t f ( W ^ { ( l - 1 ) } x _ { k } ^ { ( l - 1 ) } + W ^ { ( l ) } x _ { k - 1 } ) \qquad l > 1 } \\ { x _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } } & { { } = g ( W ^ { \mathrm { o u t } } [ x _ { k } ; u _ { k } ] ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 0 } } & { = 0 } \\ { s _ { 1 } } & { = e _ { 1 } a _ { 1 } } \\ { s _ { 2 } } & { = e _ { 1 } a _ { 1 } + e _ { 2 } a _ { 2 } } \\ { s _ { 3 } } & { = e _ { 1 } a _ { 1 } + e _ { 2 } a _ { 2 } + e _ { 3 } a _ { 3 } } \\ & { \vdots } \\ { s _ { n } } & { = e _ { 1 } a _ { 1 } + e _ { 2 } a _ { 2 } + e _ { 3 } a _ { 3 } + \cdots + e _ { n } a _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \mathrm { ( B e s s e l ~ i n e q u a l i t y ) } \quad \le \frac { 2 p } \pi \left[ \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { ( 2 m + 1 ) ^ { 2 } } \right] ^ { \frac 1 2 } \int _ { C _ { a , b } } \left[ \frac 1 h \int _ { - \frac h 2 } ^ { \frac { 3 h } { 2 } } \left( \frac { \partial v } { \partial z } ( x , y , z ) \right) ^ { 2 } d z \right] ^ { \frac 1 2 } d x d y } \\ & { \quad \mathrm { ( H \" o l d e r ~ i n e q u a l i t y ) } \quad \le \frac { 2 p } \pi \left[ \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { ( 2 m + 1 ) ^ { 2 } } \right] ^ { \frac 1 2 } \! \! \! \sqrt { \pi ( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) } \left\{ \int _ { C _ { a , b } } \! \! \left[ \frac 1 h \int _ { - \frac h 2 } ^ { \frac { 3 h } { 2 } } \left( \frac { \partial v } { \partial z } ( x , y , z ) \right) ^ { 2 } d z \right] d x d y \right\} ^ { \frac 1 2 } } \\ & { \qquad = 2 p \sqrt { \frac { b ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { \pi h } } \left[ \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { ( 2 m + 1 ) ^ { 2 } } \right] ^ { \frac 1 2 } \left\| \frac { \partial v } { \partial z } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \widetilde \Omega ) } \le 4 p \sqrt { \frac { b ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { \pi h } } \left[ \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { ( 2 m + 1 ) ^ { 2 } } \right] ^ { \frac 1 2 } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } \, . } \end{array}
V ^ { i ^ { \prime } } = \frac { n ^ { \prime } } { n ^ { \prime } + \frac { n ^ { \prime } } { ( e { \cal P } ^ { \prime } ) } ( e Q ) } \left[ 1 + \frac { n ^ { \prime } } { ( e { \cal P } ^ { \prime } ) } ( e Q ) \right] \left[ Q ^ { i ^ { \prime } } - { \cal P } _ { L } ^ { i ^ { \prime } } \frac { ( e Q ) } { ( e { \cal P } ^ { \prime } ) } \right]
\gamma _ { c } \longrightarrow i { \widetilde { \hbar } } \partial _ { \tau } \qquad \quad p _ { s } \longrightarrow - i { \widetilde { \hbar } } \partial _ { s } \qquad \quad { \widetilde { \hbar } } = { \frac { \hbar } { m _ { e } c } } .
{ \left( \begin{array} { l l l } { { \vec { a } } ^ { \prime } } & { { \vec { b } } ^ { \prime } } & { { \vec { c } } ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { { \vec { a } } } & { { \vec { b } } } & { { \vec { c } } } \end{array} \right) } { \hat { P } } = { \left( \begin{array} { l l l } { { \vec { a } } } & { { \vec { b } } } & { { \vec { c } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { P _ { 1 1 } } & { P _ { 1 2 } } & { P _ { 1 3 } } \\ { P _ { 2 1 } } & { P _ { 2 2 } } & { P _ { 2 3 } } \\ { P _ { 3 1 } } & { P _ { 3 2 } } & { P _ { 3 3 } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } & { \dot { x _ { 1 } } = u _ { 1 } , \quad \dot { u _ { 1 } } = \lambda ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) , \quad \dot { y _ { 1 } } = v _ { 1 } , \quad \dot { v _ { 1 } } = \lambda ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) , } \\ & { \dot { x _ { 2 } } = u _ { 2 } , \quad \dot { u _ { 2 } } = \lambda ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) , \quad \dot { y _ { 2 } } = v _ { 2 } , \quad \dot { v _ { 2 } } = \lambda ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) , } \\ & { \dot { x _ { 3 } } = u _ { 3 } , \quad \dot { u _ { 3 } } = \lambda ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) , \quad \dot { y _ { 3 } } = v _ { 3 } , \quad \dot { v _ { 3 } } = \lambda ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) , } \end{array}
\frac { \nu _ { t } } { \nu } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ 1 + \frac { \kappa ^ { 2 } \mathrm { R e } _ { \tau } ^ { 2 } } { 9 } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( 1 + 2 \eta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \mathrm { e x p } \left( \frac { \mathrm { R e } _ { \tau } } { A } \left( | \eta | - 1 \right) \right) \right] ^ { 2 } \right\} ^ { 1 / 2 } - \frac { 1 } { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \Delta \xi _ { G } ( x _ { 0 } ) } & { \leq \lambda ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \left( C | \nabla \lambda ( x _ { 0 } ) | | \nabla \xi _ { G } ( x _ { 0 } ) | + | \Delta \lambda ( x _ { 0 } ) | | \xi _ { G } ( x _ { 0 } ) | \right) } \\ & { \leq C \eta ^ { - 1 } \left( C R ^ { - 1 } ( R \eta ) ^ { - 1 } + C R ^ { - 2 } \right) } \\ & { \leq C R ^ { - 2 } \eta ^ { - 1 } ( 1 + \eta ^ { - 1 } ) } \\ & { \leq C R ^ { - 2 } \eta ^ { - 1 } ( 1 + \delta ^ { - 1 } ) } \\ & { \leq C R ^ { - 2 } \eta ^ { - 1 } \delta ^ { - 1 } , } \end{array}
\mathrm { S h v } _ { \mathscr G ^ { I _ { 1 } , \cdots , I _ { k } } } ( \widetilde { \mathrm { H e c } } _ { G } ^ { I _ { 1 } , \cdots , I _ { k } } ) \rightarrow \mathrm { I n d } ( \mathrm { S h v } ( \mathring X ^ { I } ) ) , \quad \mathscr F \mapsto \Gamma _ { c } ( \mathrm { S h t } _ { G , D } ^ { I _ { 1 } , \cdots , I _ { k } } , \mathscr F ) .
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { t p a } } ( t + 1 ) = } & { \sum _ { \tau _ { i j , t } = 1 } ^ { t } h \left( G _ { \mathrm { t p a } } ( t , \tau _ { i j } ) \xi , \widehat { \beta } _ { t } ^ { d } ( \tau _ { i j , t } ) k _ { i , t } ^ { \mathrm { o u t } } k _ { j , t } ^ { \mathrm { i n } } \right) } \\ & { + h \left( \xi - G _ { \mathrm { t p a } } ( t ) \xi , \widehat { \beta } _ { t } ^ { b } k _ { i , t } ^ { \mathrm { o u t } } k _ { j , t } ^ { \mathrm { i n } } \right) , } \end{array}
v _ { 1 2 } = D = - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j } A ^ { * j } e _ { j } A ^ { j } , \quad v _ { 0 3 } = 0 , \quad v _ { 0 1 } = - v _ { 3 1 } , \quad v _ { 2 3 } = v _ { 0 2 } .
L _ { \gamma } ^ { T } ( R _ { j } ) = \int i _ { 2 } ( \frac { r R _ { j } } { 2 b ^ { 2 } } ) e ^ { \frac { - r ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } } } V _ { \gamma } ^ { T } ( r ) r ^ { 2 } d r .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial E _ { u s } } { \partial t } = { P } _ { u s } + T _ { u s } + \Pi _ { u s } + T _ { \nu , u s } + \varepsilon _ { u s } , } \\ & { \frac { \partial E _ { v s } } { \partial t } = T _ { v s } + \Pi _ { v s } + T _ { \nu , v s } + T _ { p , v s } + \varepsilon _ { v s } , } \\ & { \frac { \partial E _ { w s } } { \partial t } = T _ { w s } + \Pi _ { w s } + T _ { \nu , w s } + \varepsilon _ { w s } , } \end{array}
\begin{array} { r } { U ( \Delta x ) = 2 \left[ 1 - \left( \frac { 2 \Delta x - \sigma _ { 0 } - \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } \end{array}
{ \cal A } _ { V _ { \propto } + \mathrm { N O } } = - { \frac { i g ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 6 } } } 2 ^ { 1 2 } \pi \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d q ^ { \prime } } { q ^ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \nu _ { 1 2 } ^ { \prime } \, \left[ \, f ( - q ^ { 2 } ) \, \right] ^ { - 2 4 } \left[ \, F \left( \nu _ { 1 2 } ^ { \prime } , - q ^ { 2 } \right) \, \right] ^ { - 2 } ,
{ \frac { p _ { t } } { p } } = \left[ { \frac { \gamma + 1 } { 2 } } \mathrm { M } ^ { 2 } \right] ^ { \frac { \gamma } { \gamma - 1 } } \cdot \left[ { \frac { \gamma + 1 } { 1 - \gamma + 2 \gamma \, \mathrm { M } ^ { 2 } } } \right] ^ { \frac { 1 } { \gamma - 1 } }
\rho \, \Im T _ { \phi N } ^ { K ^ { + } K ^ { - } } ( \omega , \, \vec { q } = 0 ; \, \rho ) = \Im \, \Pi _ { \phi } ^ { \mathrm { v a c } } ( \omega , \, \vec { q } = 0 ) - \Im \, \Pi _ { \phi } ( \omega , \, \vec { q } = 0 ; \, \rho ) .
S \, = \, \int d ^ { 3 } x \left[ - \frac { 1 } { 4 } ( \frac { 1 } { 2 \rho } ) F _ { \mu \nu } ( A ) F ^ { \mu \nu } ( A ) + 2 \pi A ^ { \mu } { \tilde { J } } _ { \mu } + \frac { 1 } { 4 \rho } ( \partial \rho ) ^ { 2 } - V ( \rho ) \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { A B } ( \omega _ { n } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \langle \{ \delta \hat { I } _ { A , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) , \delta \hat { I } _ { B , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) \} \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { p } = \left( P _ { 0 } - P _ { v } + \frac { 2 \sigma } { R _ { p 0 } } \right) \left( \frac { R _ { p 0 } } { R _ { p } } \right) ^ { 3 \kappa } - \frac { 4 \mu } { R _ { p } } \dot { R } _ { p } - \frac { 2 \sigma } { R _ { p } } \, . } \end{array}
\rho = { \frac { 1 } { 2 } } | \mathrm { R } \rangle \langle \mathrm { R } | + { \frac { 1 } { 2 } } | \mathrm { L } \rangle \langle \mathrm { L } | = { \frac { 1 } { 2 } } | \mathrm { H } \rangle \langle \mathrm { H } | + { \frac { 1 } { 2 } } | \mathrm { V } \rangle \langle \mathrm { V } | = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } .
\tilde { V } ( \vec { q } \, ) = - \frac { 4 \pi C _ { F } \alpha _ { s } ( \vec { q } \, ) } { \vec { q } ^ { \, 2 } } \left( 1 + \ldots + \, \mathrm { c o n s t } \cdot \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \vec { q } ^ { \, 2 } } + \ldots \right) .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } \Big ( 0 , \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) - \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) \Big ) \leq \mathcal { F } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) \leq \operatorname* { m i n } \Big ( \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) , 1 - \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) \Big ) } \\ & { \operatorname* { m a x } \Big ( 0 , \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) + \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) - 1 \Big ) \leq \mathcal { G } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) \leq \operatorname* { m i n } \Big ( \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) , \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } \{ f \} ( \varphi ) = } & { \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \sin \big ( \theta ^ { \prime } + \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } { D ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { - \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { \partial _ { \theta ^ { \prime } } D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ { = } & { \frac { \omega _ { N } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \sin \big ( \theta ^ { \prime } + \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { - \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \log \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { + \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \log \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \cos ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ { \triangleq } & { J _ { 1 , 1 } \{ f \} ( \varphi ) + J _ { 1 , 2 } \{ f \} ( \varphi ) + J _ { 1 , 3 } \{ f \} ( \varphi ) . } \end{array}
\Vec { V } = - 2 \{ A _ { y } A _ { z } s i n ( \delta _ { y } - \delta _ { z } ) \hat { a _ { x } } - A _ { x } A _ { z } s i n ( \delta _ { x } - \delta _ { z } ) \hat { a _ { y } } + A _ { y } A _ { z } s i n ( \delta _ { x } - \delta _ { y } ) \hat { a _ { z } } \}
{ S _ { 2 2 } ^ { t h } = \frac { 8 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E f _ { 0 } ( 1 - f _ { 0 } ) = \frac { 8 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } , }
{ \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 1 } } \\ { \varepsilon _ { 2 2 } } \\ { 2 \varepsilon _ { 1 2 } } \end{array} \right] } \, = \, { \frac { 1 } { E } } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \nu } & { 0 } \\ { - \nu } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 + 2 \nu } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 1 } } \\ { \sigma _ { 2 2 } } \\ { \sigma _ { 1 2 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { x } } _ { k + 1 | k } } & { { } = A \hat { \mathbf { x } } _ { k | k } , } \\ { \hat { \mathbf { x } } _ { k | k } } & { { } = \hat { \mathbf { x } } _ { k | k - 1 } + L \underbrace { ( \mathbf { y } _ { k } - C \hat { \mathbf { x } } _ { k | k - 1 } ) } _ { \mathbf { e } _ { k } } , } \end{array}
\left. \frac { \partial \bar { \bf q } } { \partial t } \right| _ { \bar { \boldsymbol { \gamma } } _ { 0 } } = \frac { \partial s } { \partial t } \left( \frac { \partial \bar { \bf r } ^ { T } } { \partial \bar { \bf q } } \right) ^ { - T } \frac { \partial \bar { \bf r } } { \partial s } = v _ { g } \bar { \bf F } _ { 0 } \hat { \bf t } = [ 0 , 0 , v _ { g } ] ^ { T } \, ,
\frac { 1 } { \mathbf { m } ^ { 2 } } ( \omega _ { N } - \omega _ { C } ) ( \omega _ { C } - \omega _ { S } ) \tan ^ { 2 \mathbf { m } } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \cot ^ { 2 \mathbf { m } } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) = 0 .
d _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } = \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } d _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { ( n ) } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l ^ { \prime } \right) }
\begin{array} { r l } { L ^ { k \ell } } & { { } = \left( { \Lambda ^ { k } } _ { i } { \Lambda ^ { \ell } } _ { 0 } - { \Lambda ^ { k } } _ { 0 } { \Lambda ^ { \ell } } _ { i } \right) c N ^ { i } + { \Lambda ^ { k } } _ { i } { \Lambda ^ { \ell } } _ { j } L ^ { i j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle X ^ { 2 } \rangle \sim } & { \ C _ { 0 } \frac { \epsilon t ^ { 2 } T _ { L } } { 2 } = U _ { \alpha } ^ { 2 } \, t ^ { 2 } , } \\ { \langle X U \rangle \sim } & { \, \, \, \, \, \ C _ { 0 } \epsilon \, t ^ { 2 } \, \, \, \, = 2 U _ { \alpha } ^ { 2 } \frac { t ^ { 2 } } { T _ { L } } , } \\ { \langle U ^ { 2 } \rangle \sim } & { \, \, \, \, \, \ C _ { 0 } \epsilon \, t \, \, \, \, \, \, \, = 2 U _ { \alpha } ^ { 2 } \frac { t } { T _ { L } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } ( x ) } & { = j ^ { \mu } ( x ) A _ { \mu } ( x ) - { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } } F _ { \mu \nu } ( x ) F _ { \rho \sigma } ( x ) g ^ { \mu \rho } ( x ) g ^ { \nu \sigma } ( x ) + { \frac { c ^ { 4 } } { 1 6 \pi G } } R ( x ) } \\ & { = { \mathcal { L } } _ { \mathrm { M a x w e l l } } + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { E i n s t e i n – H i l b e r t } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbf \Lambda _ { S } ^ { \prime \prime } } & { = \operatorname { d i a g } \left( \Delta y \Delta z \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { z } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { y } + 1 } \otimes \mathbf I _ { n _ { x } } , \ \Delta x \Delta z \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { z } + 1 } \otimes \mathbf I _ { n _ { y } } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { x } + 1 } , \ \Delta x \Delta y \ \mathbf I _ { n _ { z } } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { y } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { x } + 1 } \right) \, , } \\ { \mathbf \Lambda _ { l } ^ { \prime } } & { = \operatorname { d i a g } \left( \Delta x \ \mathbf I _ { n _ { z } } \otimes \mathbf I _ { n _ { y } } \otimes \mathbf I _ { n _ { z } } , \ \Delta y \ \mathbf I _ { n _ { z } } \otimes \mathbf I _ { n _ { y } } \otimes \mathbf I _ { n _ { z } } , \ \Delta z \ \mathbf I _ { n _ { z } } \otimes \mathbf I _ { n _ { y } } \otimes \mathbf I _ { n _ { z } } \right) \, . } \end{array}
G ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 2 } } ) = { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 1 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 2 } , r _ { 2 } } ) \pm | { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 2 } } ) | ^ { 2 } .