harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { \Lambda } ^ { \mathrm { K S } } = ( 1 - \alpha ) | \Phi _ { N _ { 0 } - 1 } ^ { ( \alpha ) } \rangle \langle \Phi _ { N _ { 0 } - 1 } ^ { ( \alpha ) } | + \alpha | \Phi _ { N _ { 0 } } ^ { ( \alpha ) } \rangle \langle \Phi _ { N _ { 0 } } ^ { ( \alpha ) } |
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p ^ { * } } { \partial t ^ { * } } } & { = - \boldsymbol { v ^ { * } } \cdot \nabla ^ { * } p ^ { * } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \nabla ^ { * } \omega ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } p ^ { * } } { \omega ^ { * } } , } \\ { \frac { \partial q ^ { * } } { \partial t ^ { * } } } & { = - \boldsymbol { v ^ { * } } \cdot \nabla ^ { * } q ^ { * } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \nabla ^ { * } \omega ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } q ^ { * } } { \omega ^ { * } } , } \\ { \Delta ^ { * } \varphi ^ { * } } & { = - \nabla ^ { * } p ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } q ^ { * } - p ^ { * } \Delta q ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { ( I , k , s ) } ( x ) : = \mathscr { L } _ { k } \bigg ( \frac { 2 } { \pi } \arctan \Big ( \frac { r - R _ { I } } { L } \Big ) \bigg ) \cdot \chi _ { s } ( \sigma ) \quad \mathrm { f o r } ~ x = ( r , \sigma ) \in \mathbb { R } \times \mathbb { Z } _ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { 0 } } & { { } = } & { \left( 1 - \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } B _ { 0 } ^ { 2 } \right) \left[ \chi ( \theta ) - 1 - ( \chi ( \theta ) + 1 ) \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega _ { c } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \right] + } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { w _ { 1 } ( t _ { 1 } ) } { \left( u _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } } d t _ { 1 } = d \tau = \frac { w _ { 2 } ( t _ { 2 } ) } { \left( u _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \right) ^ { 2 } } d t _ { 2 } \; \Rightarrow \; \dot { t } _ { 1 } = \frac { w _ { 2 } ( t _ { 2 } ) } { w _ { 1 } ( t _ { 1 } ) } \frac { 1 } { b ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \operatorname { f l } ( x \cdot y ) } & { = \operatorname { f l } { \big ( } f l ( x _ { 1 } \cdot y _ { 1 } ) + \operatorname { f l } ( x _ { 2 } \cdot y _ { 2 } ) { \big ) } , } & & { { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \operatorname { f l } ( ) { \mathrm { ~ i n d i c a t e s ~ c o r r e c t l y ~ r o u n d e d ~ f l o a t i n g - p o i n t ~ a r i t h m e t i c } } } \\ & { = \operatorname { f l } { \big ( } ( x _ { 1 } \cdot y _ { 1 } ) ( 1 + \delta _ { 1 } ) + ( x _ { 2 } \cdot y _ { 2 } ) ( 1 + \delta _ { 2 } ) { \big ) } , } & & { { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \delta _ { n } \leq \mathrm { E } _ { \mathrm { m a c h } } , { \mathrm { ~ f r o m ~ a b o v e } } } \\ & { = { \big ( } ( x _ { 1 } \cdot y _ { 1 } ) ( 1 + \delta _ { 1 } ) + ( x _ { 2 } \cdot y _ { 2 } ) ( 1 + \delta _ { 2 } ) { \big ) } ( 1 + \delta _ { 3 } ) } \\ & { = ( x _ { 1 } \cdot y _ { 1 } ) ( 1 + \delta _ { 1 } ) ( 1 + \delta _ { 3 } ) + ( x _ { 2 } \cdot y _ { 2 } ) ( 1 + \delta _ { 2 } ) ( 1 + \delta _ { 3 } ) , } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 1 } ^ { + } = t \cdot g _ { 0 } ^ { + } } \\ { g _ { 0 } ^ { - } = r \cdot g _ { 0 } ^ { + } } \\ { g _ { 1 } ^ { + } = \tilde { r } \cdot g _ { 1 } ^ { - } } \\ { g _ { 0 } ^ { - } = \tilde { t } \cdot g _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right. \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 1 } ^ { + } = t \cdot g _ { 0 } ^ { + } } \\ { g _ { 0 } ^ { - } = r \cdot g _ { 0 } ^ { + } } \\ { g _ { 1 } ^ { + } = - r \cdot g _ { 1 } ^ { - } } \\ { g _ { 0 } ^ { - } = \frac { 1 - r ^ { 2 } } { t } \cdot g _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right. \Rightarrow \quad S ^ { i , i + 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { t } & { - r } \\ { r } & { \frac { ( 1 - r ) ^ { 2 } } { t } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { A = \frac { \tau _ { e } } { \tau _ { s } } ; ~ ~ ~ B _ { \bf k } = \exp \left( - \frac { \chi _ { \bf k } } { \tau _ { s } } \right) ; ~ ~ ~ \dot { S } _ { \bf k } ^ { \eta } = \frac { d S _ { \bf k } ^ { \eta } } { d x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \xi _ { \textnormal { s m a l l } , \geq 1 } \right\vert } & { \leq C a ^ { 2 } b ^ { 4 } \rho ^ { 8 } + C a b ^ { 2 } \rho ^ { 7 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } \left[ 1 + N a b ^ { 2 } \rho ^ { 3 } \right] , } \\ { \left\vert \xi _ { \textnormal { s m a l l } , \geq 1 } ^ { 3 } \right\vert } & { \leq C a b ^ { 2 } \rho ^ { 8 } \left( | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } + | x _ { 1 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } + | x _ { 2 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \frac { k ! ( p + q ) ( r + s ) R _ { k + 1 } ( p , q , r , s ) } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! [ p + q + r + s - k ] _ { k + 1 } } \left( \frac { 1 } { [ p + q ] _ { k _ { 1 } + 1 } [ r + s ] _ { k _ { 2 } } } + \frac { 1 } { [ p + q ] _ { k _ { 1 } } [ r + s ] _ { k _ { 2 } + 1 } } \right) } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \frac { k ! R _ { k + 1 } ( p , q , r , s ) } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! [ p + q + r + s - k ] _ { k + 1 } } \left( \frac { r + s } { [ p + q - 1 ] _ { k _ { 1 } } [ r + s ] _ { k _ { 2 } } } + \frac { p + q } { [ p + q ] _ { k _ { 1 } } [ r + s - 1 ] _ { k _ { 2 } } } \right) } \\ & { = \frac { R _ { k + 1 } ( p , q , r , s ) } { [ p + q - 1 ] _ { k } [ r + s - 1 ] _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 a } ^ { ( 1 ) } } & { = 2 4 0 i D p ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int d \Omega _ { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x y l _ { E } ^ { D - 1 } ( l _ { E } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } } \\ & { = 2 4 0 i D p ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int \cdots \int d \varphi _ { 1 } d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { D - 1 } \sin ^ { D - 2 } \varphi _ { 1 } \sin ^ { D - 3 } \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { D - 2 } } \\ & { \quad \times \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x y l _ { E } ^ { D - 1 } ( l _ { E } \sin \varphi _ { 1 } \sin \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { D - 2 } \cos \varphi _ { D - 1 } ) ^ { 2 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } } \\ & { = 2 4 0 i D p ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { D } \varphi _ { 1 } d \varphi _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { D - 1 } \varphi _ { 2 } d \varphi _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { D - 2 } \varphi _ { 3 } d \varphi _ { 3 } \cdots \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { 3 } \varphi _ { D - 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ^ { 2 } \varphi _ { D - 1 } d \varphi _ { D - 1 } } \\ & { \quad \times \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \frac { x y l _ { E } ^ { D + 1 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } \, . } \end{array}
\sigma _ { \gamma ^ { * } \gamma ^ { * } } ^ { S P } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } , Q _ { 2 } ^ { 2 } , W ^ { 2 } ) \sim \left( { \frac { 1 } { Q _ { 1 } ^ { 2 } Q _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 + \epsilon / 2 } \left( { \frac { W ^ { 2 } } { Q _ { 1 } Q _ { 2 } } } \right) ^ { \epsilon }
- \beta _ { 0 } \ln \frac { Q ^ { 2 } } { \Lambda _ { \overline { { \mathrm { M S } } } } ^ { 2 } } = \frac { 4 \pi } { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } - \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } \ln \left( - \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } - \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \right) .
_ { r } F _ { s } \left[ { \begin{array} { l } { a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dotsc , a _ { r } } \\ { b _ { 1 } , b _ { 2 } , \dotsc , b _ { s } } \end{array} } ; z \right] : = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( a _ { 1 } ) _ { n } ( a _ { 2 } ) _ { n } \dotsb ( a _ { r } ) _ { n } } { ( b _ { 1 } ) _ { n } ( b _ { 2 } ) _ { n } \dotsb ( b _ { s } ) _ { n } \; n ! } } z ^ { n }
\begin{array} { r l r } { e ^ { - x A } L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) ^ { - 1 } \Psi ^ { \ast } ( x ) L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) e ^ { x A } } & { = } & { x \Big ( d ^ { ( \nu ) } ( x A + J - ( x A + J + \nu + 1 ) A - N - 1 ) - c ^ { ( \nu ) } ) \Big ) } \\ & { } & { + ( d ^ { ( \nu ) } ( x A + J ) + c ^ { ( \nu ) } ) ( \nu + x A + J + 1 ) + e ^ { - x A } ( ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu + 1 ) } ) ^ { \ast } e ^ { x A } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq n \leq m } \exp \left( \frac { \alpha } { 2 } | \xi ^ { n } | ^ { 2 } + \frac { \alpha \nu \delta } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } | \nabla \xi ^ { j } | ^ { 2 } - \frac { \alpha } { 2 } R _ { n } \right) \leq 2 \exp \left( \frac { \alpha } { 2 } ( 1 + \nu \delta ) | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\left( \frac { R _ { b } } { R _ { s } } \right) ^ { 3 } \sim \frac { Q } { \sqrt { c _ { 1 } c _ { 2 } } \phi M T } \, \epsilon ^ { 3 } M ^ { 3 } = 4 0 \epsilon ^ { 4 } \frac { M ^ { 4 } } { A ^ { 2 } \phi T }
( \bar { Q } _ { L } ^ { a } d _ { R a } ) ( \bar { d } _ { R } ^ { b } Q _ { L b } ) , ~ ~ ~ ~ ( \bar { Q } _ { L } ^ { a } d _ { R \alpha } ) ( \bar { d } _ { R } ^ { b } Q _ { L \beta } ) \epsilon _ { a b } \epsilon ^ { \alpha \beta }
\boldsymbol { C } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \boldsymbol { D } _ { w a l l } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { D } _ { w a l l } } & { \boldsymbol { Z } } \end{array} \right] \mathrm { ~ , ~ }
R _ { \rho } = \frac { \alpha _ { r } \partial \tilde { \theta } / \partial z _ { r } } { \beta _ { r } \partial \tilde { S } / \partial z _ { r } } = \frac { \tau _ { r } ^ { \prime } ( z _ { r } ) + \rho _ { \star } N _ { 0 } ^ { 2 } \beta _ { 0 r } / ( g \beta _ { r } ) } { \tau _ { r } ^ { \prime } ( z _ { r } ) - \rho _ { \star } N _ { 0 } ^ { 2 } \alpha _ { 0 r } / ( g \alpha _ { r } ) } \approx \frac { \tau _ { r } ^ { \prime } ( z _ { r } ) + \rho _ { \star } N _ { 0 } ^ { 2 } / g } { \tau _ { r } ^ { \prime } ( z _ { r } ) - \rho _ { \star } N _ { 0 } ^ { 2 } / g }
x _ { \pm } = \frac { P _ { B } \cdot k _ { \psi } ^ { \prime } \pm \sqrt { ( P _ { B } \cdot k _ { \psi } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - M _ { B } ^ { 2 } M _ { \psi } ^ { 2 } } } { M _ { B } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { P ( z , t ) } & { { } = } & { N ( z ) \ \sum _ { k = 1 } ^ { N ^ { \prime } } \sum _ { m = 1 } ^ { N ^ { \prime } } d _ { k m } \ a _ { k } ( z , t ) \ a _ { m } ^ { * } ( z , t ) \ e ^ { i \omega _ { k m } t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 1 } } { d t } } & { = \frac { 1 } { k _ { 1 } } \Big ( w _ { 1 2 } \, \phi ( | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ) \, ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) + w _ { 1 3 } \, \phi ( | x _ { 1 } - x _ { 3 } | ) \, ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) \Big ) \, , } \\ & { \geq \frac { 1 } { k _ { 1 } } w _ { 1 3 } \, \phi ( | x _ { 1 } - x _ { 3 } | ) \, ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) \, , } \\ & { \geq \frac { 1 } { 3 } ( 1 - M t ) \, c \, ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal E } ( t > t _ { 0 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \hbar \omega _ { p 2 } T _ { p p } + \hbar \omega _ { h 2 } T _ { h p } , } & { \quad \mathrm { ~ p ~ b a n d ~ } } \\ { \hbar \omega _ { h 2 } T _ { h h } + \hbar \omega _ { p 2 } T _ { p h } , } & { \quad \mathrm { ~ h ~ b a n d ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( n - 1 ) x g + f ^ { n } \frac { \d ^ { 3 } g } { \d x ^ { 3 } } } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x \in ( 0 , 1 ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { z } } \\ { { A } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { c c } { { \sqrt { Z _ { z } } } } & { { \sqrt { Z _ { z A } } } } \\ { { \sqrt { Z _ { A z } } } } & { { \sqrt { Z _ { A } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { \cos \delta \beta } } & { { - \sin \delta \beta } } \\ { { \sin \delta \beta } } & { { \cos \delta \beta } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { z } } \\ { { A } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \langle \rho ^ { N } ( t ) - \rho ^ { N } ( s ) , \omega \rangle _ { H ^ { - 1 } \times H ^ { 1 } } } & { { } = \langle \int _ { s } ^ { t } \partial _ { t } \rho ^ { N } d \tau , \omega \rangle _ { H ^ { - 1 } \times H ^ { 1 } } } \end{array}
{ \cal T } ( g g \to c \bar { c } ( \underline { { { 8 } } } , { } ^ { 1 } S _ { 0 } ) ) = i d ^ { a b c } { \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { ( 2 m _ { c } ) ^ { 4 } } } \; \epsilon _ { \mu } ( g _ { 1 } ) \epsilon _ { \nu } ( g _ { 2 } ) \; \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } ( g _ { 1 } - g _ { 2 } ) _ { \alpha } P _ { \beta } \; \; \xi ^ { \dagger } T ^ { c } \eta \; \; ( 1 + \cdots ) \; .
\begin{array} { r l } & { d \exp \left( L ^ { 2 } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \left( e ^ { L \theta } - L \theta - 1 \right) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \cdot \frac { \lambda ( e ^ { L \theta } - 1 ) ^ { 2 } } { 1 - \lambda e ^ { L \theta } } \right) \right) } \\ { \leq \, } & { d \exp \left( L ^ { 2 } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \left( e ^ { L \theta } - L \theta - 1 \right) + \frac { \sigma ^ { 2 } \lambda \theta ^ { 2 } e ^ { 2 L \theta } } { 1 - \lambda e ^ { L \theta } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \mathcal { D } \left[ \mathbf { a } , t \right] = \boldsymbol { A } \left[ \boldsymbol { a } , t \right] + \underline { { \mathbf { B } } } \left[ \boldsymbol { a } , t \right] \cdot \boldsymbol { \zeta } ( t ) . } \end{array} } \end{array}
{ \Omega } _ { i } = \frac { P _ { i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } \times \epsilon _ { \gamma , i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } \times \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ t ~ r ~ a ~ c ~ k ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } } { { P _ { i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } } \times { \epsilon _ { \gamma , i } ^ { { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } } } \times \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ t ~ r ~ a ~ c ~ k ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } } .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { U } _ { m } ^ { ( 4 ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { \mathrm { i } } & { - 1 } & { - \mathrm { i } } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - \mathrm { i } } & { - 1 } & { \mathrm { i } } \end{array} \right) _ { m } , } \\ & { \mathcal { U } ^ { ( 4 ) } = \prod _ { m = 1 } ^ { L } \mathcal { U } _ { m } ^ { ( 4 ) } . } \end{array}
\mathrm { E x p } _ { F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } } ^ { * } ( \delta ( M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) ) = \delta ( M _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { b a l } } ) \neq 0 \neq \mathrm { L o g } _ { \omega _ { \textup { \bf f } } } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) )
\left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { k } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { p } } & { { q } } & { { r } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { q } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { p } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { r ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) = \frac { w ( \mathbf { x } _ { k } ) } { { [ \varrho ( \mathbf { x } _ { k } ) ] ^ { \alpha } } } \frac { w ( \mathbf { x } _ { l } ) } { { [ \varrho ( \mathbf { x } _ { l } ) ] ^ { \alpha } } } , } \end{array}
D ^ { 1 \; \alpha } D _ { \alpha } ^ { 1 } \, J ^ { [ a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } ] } = \bar { D } _ { 4 \; \dot { \alpha } } \bar { D } _ { 4 } ^ { \dot { \alpha } } \, J ^ { [ a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } ] } = 0
V _ { \mathrm { Z } } ( r ) = \left( 1 - { \frac { 2 M } { r } } \right) \left\{ \frac { 2 \lambda ^ { 2 } ( \lambda + 1 ) r ^ { 3 } + 6 \lambda ^ { 2 } M r ^ { 2 } + 1 8 \lambda M ^ { 2 } r + 1 8 M ^ { 3 } } { r ^ { 3 } ( \lambda r + 3 M ) ^ { 2 } } \right\}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { s } \, \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { \Big | 1 - | x | ^ { 2 \, s - 1 } \Big | ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 \, s } } \, d x } & { \le 2 \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( 1 - x ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 \, s } } \, d x + 2 \, \int _ { - 1 } ^ { 0 } \frac { ( 1 - | x | ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 \, s } } \, d x } \\ & { \le 2 \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( 1 - x ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 \, s } } \, d x + 2 \, \int _ { - 1 } ^ { 0 } ( 1 - | x | ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { = 2 \, \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } \frac { ( 1 - x ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 \, s } } \, d x + 2 \, \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { ( 1 - x ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 \, s } } \, d x } \\ & { + 2 \, \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { \le 2 \, \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } \frac { ( 1 - x ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 \, s } } \, d x + 2 \cdot 4 ^ { s } \, \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - x ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { + 2 \, \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { \le 2 \, \int _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 } \frac { ( 1 - x ^ { 2 \, s - 1 } ) ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 \, s } } \, d x + 2 \, ( 4 ^ { s } + 1 ) \, \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ^ { 2 \, s - 1 } ) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { { \varepsilon } \in ( 0 , { \varepsilon } _ { 0 } ] } \frac { 1 } { { \varepsilon } ^ { \beta } } \int _ { { \varepsilon } ^ { \kappa } } ^ { { \varepsilon } ^ { \kappa } + 2 { \varepsilon } } \operatorname* { s u p } _ { D ( { \varepsilon } ^ { \kappa } , { \varepsilon } , x ) } g \, \mathrm { d } \lambda _ { I } ( x ) \lesssim \operatorname* { s u p } _ { { \varepsilon } \in ( 0 , { \varepsilon } _ { 0 } ] } { \varepsilon } ^ { - \beta } \int _ { { \varepsilon } ^ { \kappa } } ^ { { \varepsilon } ^ { \kappa } + 2 { \varepsilon } } 1 \, \, \, \mathrm { d } \lambda _ { I } ( x ) \lesssim { \varepsilon } _ { 0 } ^ { 1 - \beta } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { T } ( u , f ) } & { = \Vert \mathrm { d i v } _ { x } \, u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) \times \mathbb T ^ { d } ) } + 2 \Vert B ^ { u , f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) \times \mathbb T ^ { d } ) } , } \\ { \mathcal { Q } _ { \ell } ( T , u , f ) } & { = \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { \ell } ) } + \left\Vert \frac { 1 } { 1 - \rho _ { f } } \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { \ell } ) } \left( \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell + 1 } ) } ^ { 2 } + \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { \ell + 1 } ) } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\vec { a } \, ^ { \prime } ( 0 ) = \left( \begin{array} { c } { { c o s \, \alpha } } \\ { { s i n \, \alpha } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \; \; ; \; \; \vec { a } \, ^ { \prime } ( 2 \pi ) = \left( \begin{array} { c } { { c o s \, \alpha } } \\ { { - s i n \, \alpha } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \hat { \pi } } { d \tau } } & { { } = - \frac { \hat { \pi } } { \tau _ { \pi } } + \frac { 4 } { 1 5 \tau } - \frac { 1 0 } { 2 1 } \frac { \hat { \pi } } { \tau } - \frac { 4 } { 3 } \frac { \hat { \pi } ^ { 2 } } { \tau } - \frac { 1 } { 7 2 } \frac { \hat { \varphi } } { \tau } , } \\ { \frac { d \hat { \varphi } } { d \tau } } & { { } = - \frac { \hat { \varphi } } { \tau _ { \Theta } } + \frac { 7 6 8 } { 3 5 } \frac { \hat { \pi } } { \tau } - \frac { 6 0 } { 7 7 } \frac { \hat { \varphi } } { \tau } - 2 \frac { \hat { \varphi } \hat { \pi } } { \tau } , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \langle \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \boldsymbol { u _ { c p } } T ^ { 2 } ) \rangle _ { V , t } = \frac { 1 } { 2 L ^ { 2 } } \langle \displaystyle \oint _ { b o u n d a r y } ( \boldsymbol { u _ { c p } } T ^ { 2 } \cdot \boldsymbol { n } ) \rangle _ { t } = 0 ,
| \Psi \rangle = \prod _ { j } ( c _ { j g } | g _ { j } \rangle + c _ { j e } | e _ { j } \rangle ) = \prod _ { j } c _ { j g } | g _ { j } \rangle + \sum _ { k } c _ { k e } | e _ { k } \rangle \prod _ { j \neq k } c _ { j g } | g _ { j } \rangle + . . .
\begin{array} { r l } { \langle P _ { n } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { Z } \int \frac { \mathrm { d } p \mathrm { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { f } } \, \mathrm { T r } [ \mathrm { e } ^ { - \beta \hat { H } ( p , q ) } | n \rangle \langle n | ] } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ A ~ L ~ M ~ } } = g _ { a \gamma \gamma } \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } \int d ^ { 3 } \boldsymbol r \, \hat { a } ( \boldsymbol r ) \hat { \boldsymbol E } ( \boldsymbol r ) \cdot \hat { \boldsymbol B } ( \boldsymbol r ) ,
S _ { f i } = \left\langle \Phi _ { f } | S | \Phi _ { i } \right\rangle = \left\langle \Phi _ { f } \left| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - i ) ^ { n } } { n ! } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { 1 } ^ { 4 } \cdots \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { n } ^ { 4 } T \left[ { \mathcal { H } } ( t _ { 1 } ) \cdots { \mathcal { H } } ( t _ { n } ) \right] \right| \Phi _ { i } \right\rangle .
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \left( \omega _ { t } + ( u \cdot \nabla ) \omega \right) - \Delta \omega } & { { } = \mathrm { { R a } } \partial _ { 1 } T } & { \textnormal { i n } } & { { } \Omega , } \\ { \omega } & { { } = - 2 ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } } & { \textnormal { o n } } & { { } \gamma ^ { \pm } . } \end{array}
T _ { a , \mathcal { H } } ( x ) = \left( \begin{array} { l l l } { A ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { B _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { B _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } \\ { C _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { D _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { D _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } \\ { C _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { D _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { D _ { 2 2 } ^ { ( 1 ) } ( x ) } \end{array} \right) . . . \left( \begin{array} { l l l } { A ^ { ( N ) } ( x ) } & { B _ { 1 } ^ { ( N ) } ( x ) } & { B _ { 2 } ^ { ( N ) } ( x ) } \\ { C _ { 1 } ^ { ( N ) } ( x ) } & { D _ { 1 1 } ^ { ( N ) } ( x ) } & { D _ { 1 2 } ^ { ( N ) } ( x ) } \\ { C _ { 2 } ^ { ( N ) } ( x ) } & { D _ { 2 1 } ^ { ( N ) } ( x ) } & { D _ { 2 2 } ^ { ( N ) } ( x ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \nabla U _ { t } ^ { { T } , { g } } ( X _ { t } ) } & { = \Big ( \partial _ { t } \nabla U _ { t } ^ { { T } , { g } } ( X _ { t } ) - \nabla ^ { 2 } U _ { t } ^ { { T } , { g } } \nabla U _ { t } ^ { { T } , { g } } ( X _ { t } ) + \frac { 1 } { 2 } \Delta \nabla U _ { t } ^ { { T } , { g } } ( X _ { t } ) \Big ) \mathrm { d } t + \nabla ^ { 2 } U _ { t } ^ { { T } , { g } } ( X _ { t } ) \cdot \mathrm { d } B _ { t } } \\ & { \stackrel { = } \nabla ^ { 2 } U _ { t } ^ { { T } , { g } } ( X _ { t } ) \cdot \mathrm { d } B _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I ^ { \prime } = } & { 0 . 0 2 3 5 7 | P _ { 4 } ( r ) | - 3 | \mathcal { E } | ^ { 3 } \cdot q ^ { 2 d - 2 } \cdot | P _ { 1 } ( r ) | } \\ { \geq } & { | \mathcal { E } | ^ { - 6 } | P _ { 1 } ( r ) | \left( 0 . 0 2 3 5 7 | P _ { 1 } ( r ) | ^ { 3 } - 3 q ^ { 2 d - 2 } | \mathcal { E } | ^ { 9 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma q ^ { n _ { i } - n _ { j } + 1 / 4 } \varepsilon ^ { - 1 / 2 } Q ^ { n _ { j } - n _ { i } } ( z _ { i } , z _ { j } ) } & { \longrightarrow \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, e ^ { ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) w ^ { 2 } - ( u _ { i } - u _ { j } ) w } } \\ & { = e ^ { ( \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { i } ) \partial ^ { 2 } } \! ( u _ { i } , u _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { r e s \to m u t } } } & { = H ^ { \ast } h ^ { \ast } \widetilde { P } ( G , G ) + H ^ { \ast } ( 1 \! - \! h ^ { \ast } ) \widetilde { P } ( B , G ) } \\ & { \quad + ( 1 \! - \! H ^ { \ast } ) h ^ { \ast } \widetilde { P } ( G , B ) + ( 1 \! - \! H ^ { \ast } ) ( 1 - h ^ { \ast } ) \widetilde { P } ( B , B ) } \end{array} .