harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mu _ { n - d - 1 } ( G ) } & { = \rho _ { n - ( d + 1 ) + 2 } ( L ( G ) ) } \\ & { \le \rho _ { 2 } ( B ) } \\ & { = \rho _ { 2 } ( L ( P ) + M ) } \\ & { \le \rho _ { 1 } ( L ( P ) ) + \rho _ { 2 } ( M ) } \\ & { = \mu _ { 1 } ( P _ { d + 1 } ) + \rho _ { 2 } ( M ) } \\ & { < 4 + n - d - 2 } \\ & { = n - d + 2 , } \end{array}
\Lambda \equiv \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \log \frac { N _ { T } } { N _ { 0 } } = P _ { 0 } \log \big [ ( 1 - q ) V + q Y _ { 0 } \big ] + P _ { 1 } \log \big [ ( 1 - q ) V + q Y _ { 1 } \big ] ,
\begin{array} { r l r } { X _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ i ~ v ~ e ~ } } ^ { \prime } } & { { } = } & { \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } \, \frac { A } { \alpha \, \sin ( \phi _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ i ~ v ~ e ~ } } ) } - Q \, \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \, \frac { \beta } { \alpha } \, \frac { 2 R \langle I _ { \mathrm { ~ t ~ } } \rangle } { \sqrt { 1 + ( \omega R C ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B ^ { ( i ) } ( \rho _ { i } ^ { \prime } ) } & { { } = } & { C ^ { ( i ) } \frac { 2 ^ { 3 / 2 } \pi ^ { D / 2 } \left[ 1 - i \cot \left( D \pi / 2 \right) \operatorname { t a n h } \left( s _ { 0 } \pi / 2 \right) \right] } { \Gamma ( D / 2 ) \Gamma \left( 2 - D / 2 \right) } } \end{array}
\mathbb { P } ( \mathrm { ~ A ~ m ~ a ~ r ~ k ~ i ~ n ~ } \Sigma \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ e ~ a ~ r ~ s ~ i ~ n ~ } [ t , t + h ) ) = \int _ { \Sigma } \lambda ( t , \omega ) h \mathrm { ~ d } \mu _ { \omega } + o ( h ) \quad \forall t > 0 , \quad \forall \Sigma \subset \Omega \mathrm { ~ . ~ }
G _ { l 3 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } ( k _ { z } v , k _ { z } , r , r _ { 0 } ) = - \frac { i ^ { - l } } { 2 r _ { c } } \sum _ { p } p ^ { l - 1 } I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u r _ { 0 } / r _ { c } ) K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u ) \frac { R _ { n + p } ( u , r / r _ { c } ) } { u W _ { n } ^ { I } W _ { n + p } ^ { I } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \d } { \mathrm { d } r _ { 1 } } \mu _ { \mathbb { D } } ^ { \mathrm { l o o p } } ( \{ \wp \mathrm { ~ c r o s s i n g ~ } r _ { 2 } \mathbb { D } \setminus r _ { 1 } \mathbb { D } \} ) } & { = \left( 1 + \frac { O ( 1 ) } { \log ( r _ { 2 } / r _ { 1 } ) } \right) \int _ { r _ { 2 } } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } r } { r r _ { 1 } \log ( r / r _ { 1 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \left( 1 + \frac { O ( 1 ) } { \log ( r _ { 2 } / r _ { 1 } ) } \right) \frac { 1 } { r _ { 1 } } \left( \frac { 1 } { \log ( r _ { 2 } / r _ { 1 } ) } - \frac { 1 } { \log ( 1 / r _ { 1 } ) } \right) . } \end{array}
H _ { e f f } = \sum _ { j } { \omega _ { 0 } b _ { j } ^ { \dagger } b _ { j } } - i \Gamma _ { 0 } \sum _ { j , j ^ { \prime } } { e ^ { i \omega / c | z _ { j } - z _ { j ^ { \prime } } | } b _ { j } ^ { \dagger } b _ { j ^ { \prime } } } .
\begin{array} { r l } { \Psi ^ { ( n ) } } & { { } = \sum _ { m = 0 } ^ { n } ( \lambda \hat { \Gamma } _ { 0 } \hat { \bar { V } } ) ^ { m } | \Phi _ { 0 } \rangle } \\ { E ^ { ( n ) } } & { { } = \lambda \langle \Phi _ { 0 } | \hat { \bar { V } } | \Psi ^ { ( n - 1 ) } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \frac { \partial n _ { \vec { k } } } { \partial t } \approx } & { { } 4 \pi \int n _ { \vec { k } _ { 1 } } n _ { \vec { k } _ { 3 } } \vec { \nabla } _ { \vec { k } } \cdot \left( \vec { q } \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \vec { q } \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { k } } n _ { \vec { k } } \right) } \\ { \displaystyle } & { { } \times \delta ( \varOmega ) \mathrm d \vec { k } _ { 1 } \mathrm d \vec { k } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = \frac { \left[ \hat { \boldsymbol { p } } + e \boldsymbol { A } _ { s } ( \hat { x } , \hat { y } ) + e \hat { \boldsymbol { A } } ( \hat { x } , \hat { y } , z = 0 ) \right] ^ { 2 } } { 2 m } + \hat { H } _ { 0 } , \; \; \; \hat { \boldsymbol { p } } = \left( \begin{array} { c } { \hat { p } _ { x } } \\ { \hat { p } _ { y } } \end{array} \right) , } \end{array}
\left( - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } - k _ { z } ^ { 2 } \right) E _ { x } + k _ { x } ^ { 2 } E _ { x } + k _ { x } k _ { y } E _ { y } + k _ { x } k _ { z } E _ { z } = - { \frac { \omega ^ { 2 } n _ { x } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } E _ { x }
A d j ( \mathscr { W } ) _ { 5 , 6 } = - e ^ { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 5 } \big ) z } \left| \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \lambda _ { 1 } } & { \lambda _ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } } & { \lambda _ { 6 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 2 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 3 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 3 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 3 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 4 } ^ { 4 } } & { \lambda _ { 6 } ^ { 4 } } \end{array} \right| = e ^ { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \lambda _ { i } - \lambda _ { 5 } \big ) z } \mathscr { E } _ { \lambda , 5 } ( s )
\begin{array} { r l } { \left[ \bar { Z } \right] _ { 1 1 } \partial _ { t } \bar { B } _ { s } ( t ) + } & { { } \left[ \bar { Z } \right] _ { 1 2 } \bar { E } _ { s } ( t ) = - \left[ \bar { Z } \right] _ { 1 3 } \bar { E } _ { n s } ( t ) } \\ { \left[ \bar { Z } \right] _ { 2 1 } \partial _ { t } \bar { E } _ { s } ( t ) - } & { { } \left[ \bar { Z } \right] _ { 2 2 } \bar { B } _ { s } ( t ) = - \partial _ { t } \bar { G } ( t ) - \left[ \bar { Z } \right] _ { 2 3 } \partial _ { t } \bar { E } _ { n s } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | r F | _ { 4 , S } } & { \lesssim \| F \| _ { 2 , C _ { u } \cap V ( u , { \underline { { u } } } ) } + \| r \nabla F \| _ { 2 , C _ { u } \cap V ( u , { \underline { { u } } } ) } + \| r \nabla _ { 4 } F \| _ { 2 , C _ { u } \cap V ( u , { \underline { { u } } } ) } , } \\ { | r ^ { \frac { 1 } { 2 } } | u | ^ { \frac { 1 } { 2 } } F | _ { 4 , S } } & { \lesssim \| F \| _ { 2 , { \underline { { C } } } _ { \underline { { u } } } \cap V ( u , { \underline { { u } } } ) } + \| r \nabla F \| _ { 2 , { \underline { { C } } } _ { \underline { { u } } } \cap V ( u , { \underline { { u } } } ) } + | u | \| \nabla _ { 3 } F \| _ { 2 , { \underline { { C } } } _ { \underline { { u } } } \cap V ( u , { \underline { { u } } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T ( \alpha _ { 1 } , \beta _ { 1 } ) } & { = } & { - ( 1 - \alpha _ { t } ) ^ { 2 } \frac { \alpha _ { 1 } - 1 } { \alpha _ { 1 } } T ( \alpha _ { 1 } - 2 , \beta _ { 1 } ) } \\ & { } & { + ( 1 - \alpha _ { t } ) \frac { \sqrt { \beta _ { 1 } } T ( \alpha _ { 1 } - 1 , \beta _ { 1 } - 1 ) + \sqrt { \beta _ { 1 } + 1 } T ( \alpha _ { 1 } - 1 , \beta _ { 1 } + 1 ) } { \sqrt { \alpha _ { 1 } } } . } \end{array}
\operatorname { c r d } 3 6 ^ { \circ } = \operatorname { c r d } ( \angle \mathrm { A D B } ) = { \frac { a } { b } } = { \frac { 2 } { 1 + { \sqrt { 5 } } } } = { \frac { { \sqrt { 5 } } - 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { D \left( \pi \| \Bar { \pi } ^ { r } \right) } & { = \frac { 1 } { \mathcal { Z } ( \beta ) } \int \exp \left( - \beta U \left( x \right) \right) \log \left[ \frac { \Bar { \mathcal { Z } } ^ { r } ( \beta ) \exp \left( - \beta U \left( x \right) \right) } { \mathcal { Z } ( \beta ) \exp \left( - \beta \Bar { U } _ { r } \left( x \right) \right) } \right] \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { \beta } { \mathcal { Z } ( \beta ) } \int \exp \left( - \beta U \left( x \right) \right) \left( \Bar { U } _ { r } ( x ) - U \left( x \right) \right) \mathrm { d } x + \left( \log \Bar { \mathcal { Z } } ^ { r } ( \beta ) - \log \mathcal { Z } ( \beta ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ( \nabla \cdot { \mathbf a } ) = } & { { } \nabla \left( \frac { \partial a _ { x } } { \partial x } + \frac { \partial a _ { y } } { \partial y } + \frac { \partial a _ { z } } { \partial z } \right) } \\ { = } & { { } { \mathbf i } \left( \frac { \partial ^ { 2 } a _ { x } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { y } } { \partial x \partial y } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { z } } { \partial x \partial z } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \lambda } _ { 1 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 2 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 3 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 4 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 5 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 6 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 7 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 8 } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } \end{array} \right) , } \end{array}
\Gamma _ { i j } ( \lambda , \lambda ^ { \prime } , q , k ) = ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( q - m _ { Q } v ) \sum _ { X } \langle 0 \vert ( h _ { v } ( 0 ) ) _ { i } \vert H ^ { * } ( \lambda ^ { \prime } ) X \rangle \langle X H ^ { * } ( \lambda ) \vert ( \bar { h } _ { v } ( 0 ) ) _ { j } \vert 0 \rangle + \cdots ,
\begin{array} { r } { \partial _ { t } f + c \mathbf n \cdot \nabla f = \hat { S } , \quad \hat { S } = - \frac { 1 } { \tau _ { R } } ( f - f _ { R } ) - \frac { 1 } { \tau _ { N } } ( f - f _ { N } ) , } \end{array}
A ( s , t , u ) = { \frac { e N _ { c } } { 1 2 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 3 } } } \left[ 1 + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { s } { m _ { \rho } ^ { 2 } - s } } + { \frac { t } { m _ { \rho } ^ { 2 } - t } } + { \frac { u } { m _ { \rho } ^ { 2 } - u } } \right) \right]
\bar { \bf F } = \frac { 1 } { { \bf h } \cdot { \bf q } + \cos \psi } \left[ ( { \bf h } \cdot { \bf q } ) \hat { \bf e } _ { 1 } - \bar { \bf f } _ { 1 } , \ ( { \bf h } \cdot { \bf q } ) \hat { \bf e } _ { 2 } - \bar { \bf f } _ { 2 } , \ \hat { \bf n } \right] ^ { T } \, .
\begin{array} { r l } & { \| \boldsymbol { \mathbf { \check { C } } } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } \| _ { 2 \to 2 } \le \| \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } - \boldsymbol { \mathbf { \check { C } } } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } \| _ { 2 \to 2 } + \| \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } \| _ { 2 \to 2 } } \\ & { \le C _ { \mathrm { L e m . } } ( \nu _ { 2 } + \nu _ { 1 } + h _ { \ell - 1 } ^ { - 4 } ) h _ { \ell - 1 } ^ { - ( d + 2 ) } \epsilon _ { \ell - 1 } + \| \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } \| _ { 2 \to 2 } \le \operatorname* { m i n } ( C _ { 1 } , \gamma C _ { 2 } ) + \| \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } \| _ { 2 \to 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { = \frac { d U _ { o 1 } } { d y _ { o } } ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { U _ { o 2 } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + \Delta _ { 1 } \frac { d U _ { o 2 } } { d y _ { o } } ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) . } \end{array}
{ \varepsilon } ^ { 1 } : \left\{ \begin{array} { l } { \mathcal T _ { \ell } ^ { 0 } ( g _ { 1 \ell } ) = v \cdot \nabla _ { x } g _ { 0 \ell } - \delta _ { b _ { \ell } , 1 } \mathcal T _ { \ell } ^ { 1 } [ g _ { 0 1 } , g _ { 0 2 } , h _ { 0 } , g _ { 0 4 } , \cdots , g _ { 0 n } ] ( g _ { 0 \ell } ) , } \\ { \mathcal T _ { 3 } ( h _ { 1 } ) = \delta _ { q , 1 } \, v \cdot \nabla _ { x } h _ { 0 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left( \left( \left( T _ { \rho _ { M } } \circ I _ { U } \right) ( \Phi _ { s } ) \right) \left( F _ { v , U } ^ { \prime } \right) \right) ( s ) = b _ { 0 } \cdot \left( \left( T _ { s } ^ { \prime } \left( F _ { v , U } ^ { \prime } \right) \right) ( s ) \right) + b ^ { \prime } \cdot \left( F _ { v , U } ^ { \prime } ( s ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { G r } _ { 2 } ^ { W } V _ { \mathbb { Z } } } } & { = \mathbb { C } [ ( \mathrm { G r } _ { 2 } ^ { W } V _ { \mathbb { Z } } ) ^ { \vee } / \mathrm { G r } _ { 2 } ^ { W } V _ { \mathbb { Z } } ] } \\ & { = \mathbb { C } \left[ W _ { 2 } \cap V _ { \mathbb { Z } } ^ { \vee } / ( W _ { 1 } \cap V _ { \mathbb { Z } } ^ { \vee } + W _ { 2 } \cap V _ { \mathbb { Z } } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { v } _ { 1 } } & { = } & { \hat { v } , } \\ { \hat { s } _ { k } ( \hat { v } ) } & { = } & { \left\{ \, s : \; c ( s ) \le \tilde { v } _ { k } < c ( s + 1 ) \right\} , \quad k = 1 , 2 , \ldots , N , } \\ { \tilde { v } _ { k + 1 } } & { = } & { \frac { \tilde { v } _ { k } - c ( \hat { s } _ { k } ( \hat { v } ) ) } { p ( \hat { s } _ { k } ( \hat { v } ) ) } , \quad k = 1 , 2 , \, \ldots , N - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { U } _ { \mathrm { H } } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , t _ { 3 } ) = 2 \sqrt { i \pi } \exp \left( - i t _ { 3 } ^ { 3 } - i t _ { 1 } t _ { 3 } \right) } \\ & { \times \int _ { i \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } z \, \exp \left[ i z ^ { 6 } - 3 i t _ { 3 } z ^ { 4 } + i ( 3 t _ { 3 } ^ { 2 } + t _ { 1 } ) z ^ { 2 } - i \frac { t _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 z ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
B ( \mathbf { e } _ { x } , \phi ) = I + \phi \left. { \frac { \partial B } { \partial \phi } } \right| _ { \phi = 0 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } - \phi { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { X _ { \mu \nu } ^ { u , \vec { L } } = } & { { } \frac { \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } } { | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } | } \int \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \rho _ { \uparrow } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \rho _ { \downarrow } } \right] \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) ~ \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left[ 2 \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } } \vec { \nabla } \rho _ { \uparrow } - 2 \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } } \vec { \nabla } \rho _ { \downarrow } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \downarrow } } ( \vec { \nabla } \rho _ { \uparrow } - \vec { \nabla } \rho _ { \downarrow } ) \right] \cdot } \\ { + \int } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \tau _ { \uparrow } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \tau _ { \downarrow } } \right] \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right] \cdot \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \end{array}
\frac { \partial \underline { { Q } } } { \partial \mathcal { T } } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { E } } } _ { e } } { \partial \xi } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { F } } } _ { e } } { \partial \eta } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { G } } } _ { e } } { \partial \zeta } = \frac { 1 } { R e } \left( \frac { \partial \underline { { \mathbf { E } } } _ { v } } { \partial \xi } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { F } } } _ { v } } { \partial \eta } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { G } } } _ { v } } { \partial \zeta } \right) \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \int _ { p \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \mathcal { V } _ { n - 1 } ( W | n ( p ) ^ { \perp } ) d S _ { p } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { p \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \int _ { U } | \cos \theta | \sqrt { \operatorname* { d e t } ( B ^ { T } \cdot B ) } d x _ { 1 } \cdots d x _ { n - 1 } d S _ { p } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { U } 2 \omega _ { n - 1 } \sqrt { \operatorname* { d e t } ( B ^ { T } \cdot B ) } d x _ { 1 } \cdots d x _ { n - 1 } } \\ & { = \omega _ { n - 1 } \int _ { U } \sqrt { \operatorname* { d e t } ( B ^ { T } \cdot B ) } d x _ { 1 } \cdots d x _ { n - 1 } } \\ & { = \omega _ { n - 1 } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \downarrow 0 } \frac { \mu _ { n } ( T u b _ { \epsilon } W ) } { 2 \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) \cap \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) } } & { \leq M _ { \mathrm { i n } } + T ^ { 1 / 2 } \Lambda ( M _ { \mathrm { i n } } , T , R ) + \Lambda ( T , R ) \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) } , } \end{array}
\frac { \Delta ( E ) } { E } = \frac { ( z _ { S } + z _ { M } + z _ { D } ) \Theta _ { S } } { ( z _ { D } + z _ { M } / 2 ) z _ { M } } \cdot \frac { E } { e B } \oplus \frac { \delta x } { z _ { M } ( z _ { M } + z _ { D } ) } \cdot \frac { E } { e B } ,
\frac { \sinh \frac { \pi } { \zeta } \left( \theta + i \alpha \frac { 2 } { 3 } \pi \right) } { \sinh \frac { \pi } { \zeta } \left( \theta - i \alpha \frac { 2 } { 3 } \pi \right) } = \exp \left( - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d k } { k } \sin k \theta \frac { \sinh \left( \frac { 1 } { 2 } \zeta - \alpha \frac { 2 } { 3 } \pi \right) k } { \sinh \frac { 1 } { 2 } k \zeta } \right)
\prod _ { \substack { \operatorname* { g c d } ( a , b , c , d ) = 1 \, a , b , c \geq 0 , d > 0 } } \left( 1 + w ^ { a } x ^ { b } y ^ { c } z ^ { d } \right) ^ { \frac { 1 } { d } } = \frac { ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } } } { ( 1 - z ) ^ { \frac { 1 } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } } ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { r } \zeta \widetilde { r } ^ { - 1 } ( \widetilde { l } _ { 2 i - 1 } ^ { l } ) } & { = \widetilde { r } \zeta \bigl ( ( \widetilde { l } _ { 2 n - 2 i + 3 } ^ { k - l + 1 } ) ^ { - 1 } \bigr ) = \widetilde { r } ( ( \widetilde { l } _ { 2 n - 2 i + 3 } ^ { k - l + 2 } ) ^ { - 1 } ) = \widetilde { l } _ { 2 i - 1 } ^ { l - 1 } } \end{array}
q ( x ) = { \frac { \left( \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 4 p } } \left( x + { \frac { b } { a } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 2 } } \mu _ { 0 } - { \frac { 1 } { 2 } } \mu _ { 1 } ,
\left[ \left( \frac { \mathcal { M } ^ { 2 } } { 2 \rho ^ { 2 } } + \frac { p } { \rho } + \varepsilon \right) - \frac { \varkappa ^ { 2 } } { 2 } \frac { \theta ^ { 2 } } { \mathcal { M } ^ { 2 } } \right] = 0 .
\lambda \mathrm { ~ P ~ e ~ } \boldsymbol { \hat { n } \cdot } \frac { \partial \boldsymbol { x } } { \partial t } = \boldsymbol { \hat { n } \cdot \nabla } T _ { \Omega } - \beta \boldsymbol { \hat { n } \cdot \nabla } T _ { R } + C ( t ) ,
\begin{array} { r l } { P ^ { \pm } ( d _ { F D } = H ^ { + } ) = 2 P ^ { \pm } ( d _ { 1 } = H ^ { + } ) \sum _ { t _ { 1 } \in \mathbb { N } } } & { { } \sum _ { t _ { 2 } \in \mathbb { N } } P ^ { \pm } ( F D = 1 | T _ { 1 } = t _ { 1 } , T _ { 2 } = t _ { 2 } , d _ { 1 } = H ^ { + } ) } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , 1 1 } ( \theta , n ) = \frac { n } { 2 } \left\{ \left[ - 2 + ( - 1 ) ^ { n } - \frac { n } { 2 } \right] \sin \left( \left( \frac { n } { 2 } - 1 \right) \theta \right) + \left( \frac { n } { 2 } - 1 \right) \sin \left( \left( \frac { n } { 2 } - 3 \right) \theta \right) \right\}
[ { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ] = \int _ { \partial D _ { b } } \big ( \sigma _ { a b } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { a } ( { \pmb x } ) \sigma _ { a b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \big ) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) = 0 , \qquad { { \forall } \, { \pmb v } ( { \pmb x } ) }
[ \phi _ { k } \, , \, \phi _ { h } ] = - { \frac { i \pi \beta ^ { 2 } } { 2 } } s \left( \frac { k - h } { 2 N } \right) \quad , \quad [ \bar { \phi } _ { k } \, , \, \bar { \phi } _ { h } ] = { \frac { i \pi \beta ^ { 2 } } { 2 } } s \left( \frac { k - h } { 2 N } \right) \quad , \quad [ \phi _ { k } \, , \, \bar { \phi } _ { h } ] = 0 \quad .
\widetilde { d s } { } _ { 6 } ^ { 2 } = 2 \Bigl ( d z ^ { 1 } d \bar { z } ^ { 1 } + d z ^ { 2 } d \bar { z } ^ { 2 } + e ^ { \psi ( z , \bar { z } ) } d z \, d \bar { z } \Bigr )
[ X ^ { \alpha } , X ^ { \beta } ] = g f ^ { \alpha \beta \gamma } X ^ { \gamma } = g f ^ { \alpha \beta \gamma } \int d ^ { 4 } z \delta ^ { ( 4 ) } ( x - y ) \delta ^ { ( 4 ) } ( x - z ) X ^ { \gamma } = g f ^ { \alpha \beta \gamma } \delta ^ { ( 4 ) } ( x - y ) X ^ { \gamma }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \frac { \partial U _ { 1 , 1 } ( t , T , X ) } { \partial t } } \\ { \frac { \partial U _ { 2 , 1 } ( t , T , X ) } { \partial t } } \\ { \frac { \partial U _ { 3 , 1 } ( t , T , X ) } { \partial t } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { - \omega _ { * } U _ { 2 , 1 } ( t , T , X ) } \\ { \omega _ { * } U _ { 1 , 1 } ( t , T , X ) } \\ { - \beta U _ { 3 , 1 } ( t , T , X ) } \end{array} \right) } \end{array}
M _ { f i } = ( i e ) ^ { 2 } { \overline { { u } } } ( { \vec { p } } ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) \epsilon \! \! \! / \, ^ { \prime } ( { \vec { k } } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } ) ^ { * } { \frac { p \! \! \! / + k \! \! \! / + m _ { e } } { ( p + k ) ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 2 } } } \epsilon \! \! \! / ( { \vec { k } } , \lambda ) u ( { \vec { p } } , s ) + ( i e ) ^ { 2 } { \overline { { u } } } ( { \vec { p } } ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) \epsilon \! \! \! / ( { \vec { k } } , \lambda ) { \frac { p \! \! \! / - k \! \! \! / ^ { \prime } + m _ { e } } { ( p - k ^ { \prime } ) ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 2 } } } \epsilon \! \! \! / \, ^ { \prime } ( { \vec { k } } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } ) ^ { * } u ( { \vec { p } } , s ) ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \left( I d - \ell ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d c _ { s } ^ { 2 } } \right) \nabla \mathcal { J } _ { 2 } } & { { } = \nabla ^ { L ^ { 2 } } \mathcal { \mathcal { J } } _ { 2 } } & { \qquad } & { { } \textrm { f o r } \ c _ { s } \in ( 0 , c _ { s , m a x } ) , } \\ { \nabla { \mathcal { J } } _ { 2 } } & { { } = 0 } & { \qquad } & { { } \textrm { a t } \ c _ { s } = 0 , c _ { s , m a x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \alpha \beta \gamma } } & { = \frac { 1 } { 2 } \big ( \widetilde { T } _ { \alpha \beta \gamma } - T _ { \alpha \beta \gamma } - \widetilde { T } _ { \beta \gamma \alpha } + T _ { \beta \gamma \alpha } + \widetilde { T } _ { \gamma \alpha \beta } - T _ { \gamma \alpha \beta } \big ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \big ( M _ { \beta \gamma \alpha } - \widetilde { M } _ { \beta \gamma \alpha } + M _ { \gamma \alpha \beta } - \widetilde { M } _ { \gamma \alpha \beta } - M _ { \alpha \beta \gamma } + \widetilde { M } _ { \alpha \beta \gamma } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi ( \tau _ { 3 } ) = \delta _ { \psi } e ^ { - \tau ^ { * } } , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } e ^ { - C \tau ^ { * } } = \frac { \delta _ { \theta } ( a \eta + 1 ) } { \eta } . } \end{array}