harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \xi _ { n , i } = } & { \alpha _ { 1 } ( q r ) ! n ^ { - q r / 2 } \tilde { \Sigma } _ { r } ^ { - 1 / 2 } ( q ) \sum _ { l \in \mathcal { L } } \sum _ { 1 \le i _ { 1 } < \cdots < i _ { q r - 1 } < i } H _ { l , q } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } } , X _ { i } ) } \\ & { + \alpha _ { 2 } ( Q r ) ! n ^ { - Q r / 2 } \tilde { \Sigma } _ { r } ^ { - 1 / 2 } ( Q ) \sum _ { l \in \mathcal { L } } \sum _ { 1 \le i _ { 1 } < \cdots < i _ { Q r - 1 } < i } H _ { l , Q } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { Q r - 1 } } , X _ { i } ) } \\ { \overset { \Delta } { = } } & { \alpha _ { 1 } ( q r ) ! \xi _ { n , i } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 2 } ( Q r ) ! \xi _ { n , i } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( 2 m + 3 ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - 1 } \Gamma \left( m + \frac { 1 } { 2 } + 1 , \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } \right) \mathrm { d } w } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - 1 } \left( m \Gamma \left( m + \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } \right) + ( 2 ( 1 - w ) ) ^ { - m - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } } \right) \mathrm { d } w } \\ & { = m g ( 2 m + 1 ) + \frac { 1 } { 2 ^ { m + 1 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - ( m + 3 / 2 ) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } } \mathrm { d } w } \\ & { \leq \Gamma \left( m + \frac { 3 } { 2 } \right) B \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 2 m + 1 } \right) + \frac { 1 } { 2 ^ { m + 1 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - ( m + 3 / 2 ) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } } \mathrm { d } w . } \end{array}
\displaystyle \bigl [ \begin{array} { l } { \epsilon _ { 1 , t } } \\ { \epsilon _ { 2 , t } } \end{array} \bigr ] \sim N \left( 0 , \bigl [ \begin{array} { l l } { 1 . 0 0 } & { 0 . 8 6 } \\ { 0 . 8 6 } & { 1 . 5 0 } \end{array} \bigr ] \right)
\tau _ { \rho } ( x _ { s } ) + \tau _ { \theta } ( x _ { s } ) = - 2 \Omega = \frac { 1 } { 2 } ( f _ { s } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } - \frac { { P _ { s } ^ { \prime } } ^ { 2 } } { \alpha L _ { s } ^ { 2 } } .
\rho ( z , t ) = \sum _ { l \in \mathbb { Z } } \varrho _ { l } ^ { F } ( z , t ) = \sum _ { l \in \mathbb { Z } } \varrho _ { l } ^ { T } ( z ) e ^ { + i l \omega _ { 0 } t } = \sum _ { l \in \mathbb { Z } } \textit { \xi } _ { l } ( z ) e ^ { + i l \omega _ { 0 } t } .
k ( d , d ^ { \prime } ) = \sigma _ { f } ^ { 2 } \left( \frac { 2 l _ { d } ( d ) l _ { d } ( d ^ { \prime } ) } { l _ { d } ^ { 2 } ( d ) + l _ { d } ^ { 2 } ( d ^ { \prime } ) } \right) ^ { 1 / 2 } \mathrm { e x p } \left[ - \frac { ( d - d ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { l _ { d } ^ { 2 } ( d ) + l _ { d } ^ { 2 } ( d ^ { \prime } ) } \right] .
\begin{array} { r l } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } P _ { 0 } ^ { ( \frac { d - 2 } { 2 } ) } ( t ) P _ { 0 } ^ { ( \frac { d - 2 } { 2 } ) } ( t ) ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } \mathrm { d } t } & { = \frac { \pi 2 ^ { 3 - d } \Gamma ( d - 2 ) } { \frac { d - 2 } { 2 } \Gamma ( \frac { d - 2 } { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { \pi 2 ^ { 3 - d } \Gamma ( \frac { d - 2 } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d - 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d - 2 } { 2 } ) \pi ^ { 1 / 2 } 2 ^ { 3 - d } } } \\ & { = \frac { \pi ^ { 1 / 2 } \Gamma ( \frac { d - 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } = \mathrm { B } ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { d - 1 } { 2 } ) , } \end{array}
s ( t ) \stackrel { , } { = } 3 ^ { \frac { 1 - \gamma } { 2 } } \gamma ^ { - \gamma } t ^ { \gamma } \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + O ( t ^ { - ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } ) \big ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \gamma \ne \frac { 1 } { 2 ( n + 4 ) } , } \\ { \big ( 1 + O ( t ^ { - \frac 1 2 } \log t ) \big ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \gamma = \frac { 1 } { 2 ( n + 4 ) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( T \zeta ) _ { k } ( i ) } & { = | \{ x \in { \mathbb { N } } \ ; \ \eta _ { k } ^ { \downarrow } ( x ) = 1 , \xi _ { k } ( x ) = i - k \} | } \\ & { \quad - | \{ x \in { \mathbb { N } } \ ; \ \eta _ { k + 1 } ^ { \downarrow } ( x ) = 1 , \xi _ { k } ( x ) = i - k + 1 \} | } \\ & { = \zeta _ { k } ( i - k ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } = u ( x ( t ) , z ( t ) , t ) } & { = \epsilon c \frac { \cosh k ( z ( t ) + H ) } { \sinh \alpha } \cos ( k x ( t ) - \omega t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } t } = w ( x ( t ) , z ( t ) , t ) } & { = \epsilon c \frac { \sinh k ( z ( t ) + H ) } { \sinh \alpha } \sin ( k x ( t ) - \omega t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { N i } } & { { } = | J _ { N } | ^ { 2 } | w _ { i } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } | L _ { N } | ^ { 2 } + \operatorname { R e } { \{ J _ { N } L _ { N } ^ { * } w _ { i } \} } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left\{ \Delta _ { S } , \tilde { \omega } \frac { ( r - 1 ) \bar { \sigma } ^ { 2 } + \Delta _ { S } ^ { \mathrm { v } } } { 3 } \right\} \geq \operatorname* { m a x } \left\{ \Delta _ { S } , \tilde { \omega } \frac { \Delta _ { S } ^ { \mathrm { v } } } { 3 } \right\} \geq \sqrt { \ln \frac { 1 } { \omega _ { \mu } } } \cdot \bar { \Delta } _ { i , \mathcal { S } \cap \mathcal { B } } . } \end{array}
{ \cal L } _ { F } = \bar { R } i \gamma ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } + i g ^ { \prime } B _ { \mu } N _ { R } ) R + \bar { L } i \gamma ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } + \frac { i g ^ { \prime } } { 2 } B _ { L } + \frac { i g } { 2 } \vec { \lambda } \cdot \vec { W } _ { \mu } ) L ,
H _ { e } = \hbar \omega _ { e g } + \sum _ { \alpha } \left( \frac { p _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 m _ { \alpha } } + \frac { 1 } { 2 } m _ { \alpha } \omega _ { \alpha } ^ { 2 } \left( x _ { \alpha } - d _ { \alpha } \right) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \chi _ { i } ( \gamma , k ) } & { = \frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \int _ { C _ { L } } \frac { k ( d F _ { i 0 } / d v ) } { i \gamma - k v } \ d v } \\ & { = \frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } v _ { t h , i } ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { \zeta _ { i } } { \sqrt { 2 } } Z ( \zeta _ { i } / \sqrt { 2 } ) \right] } \end{array}
\prod _ { \substack { j , k \geq 1 ; \, ( j , k ) = 1 } } \left( 1 + \frac { x ^ { j } y ^ { k } ( 1 + x ^ { j } y ^ { k } ) } { ( 1 - x ^ { j } y ^ { k } ) ^ { 3 } } \right) = \prod _ { \substack { j , k \geq 1 ; \, ( j , k ) = 1 } } \left\{ 1 + 1 ^ { 2 } x ^ { j } y ^ { k } + 2 ^ { 2 } x ^ { 2 j } y ^ { 2 k } + 3 ^ { 2 } x ^ { 3 j } y ^ { 3 k } + \ldots \right\}
{ \cal H } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \left[ \lambda _ { u } ( C _ { 1 } O _ { 1 } ^ { u } + C _ { 2 } O _ { 2 } ^ { u } ) + \lambda _ { c } ( C _ { 1 } O _ { 1 } ^ { c } + C _ { 2 } O _ { 2 } ^ { c } ) - \lambda _ { t } \sum _ { i = 3 } ^ { 1 0 } C _ { i } O _ { i } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { T } & { = E _ { 3 } , } \\ { U } & { = \alpha _ { 1 } E _ { 1 } + \alpha _ { 2 } E _ { 2 } + ( \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } + \alpha _ { 2 } \beta _ { 2 } ) E _ { 3 } , } \\ { V } & { = - \alpha _ { 2 } E _ { 1 } + \alpha _ { 1 } E _ { 2 } + ( - \alpha _ { 2 } \beta _ { 1 } + \alpha _ { 1 } \beta _ { 2 } ) E _ { 3 } , } \end{array}
\left( - { \mathrm { e x p } } ( - \frac { \epsilon P _ { 0 } } { 2 } ) \gamma _ { i } P _ { i } + \gamma _ { 4 } \frac { 1 } { \epsilon } \sinh ( \epsilon P _ { 0 } ) - \frac { i \epsilon } { 2 } \gamma _ { 4 } P _ { i } P _ { i } \right) \psi = m ( 1 + \frac { \epsilon ^ { 2 } m ^ { 2 } } { 4 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \psi ,
\{ \tau _ { k , j } ^ { H } ( 0 ) : 1 \leq k \leq K _ { H } , \, 1 \leq j \leq n _ { k } ^ { H } - s _ { k } ^ { H } ( 0 ) \} = \{ \tau _ { \ell , j } ^ { W } ( 0 ) : 1 \leq \ell \leq K _ { W } , \, 1 \leq j \leq n _ { \ell } ^ { W } - s _ { \ell } ^ { W } ( 0 ) \} .
\vec { F } ( s ) = \left( \begin{array} { c } { { \langle 0 | \bar { u } u | \pi \pi \rangle } } \\ { { \langle 0 | \bar { u } u | K \bar { K } \rangle } } \end{array} \right) , \qquad \vec { G } ( s ) = \left( \begin{array} { c } { { \langle 0 | \bar { s } s | \pi \pi \rangle } } \\ { { \langle 0 | \bar { s } s | K \bar { K } \rangle } } \end{array} \right) .
p a _ { \mathrm { r } } = { \frac { n ^ { 2 } a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \varepsilon \cos ( \theta ) - p { \frac { n ^ { 2 } a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } } = { \frac { n ^ { 2 } a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \left( \varepsilon \cos ( \theta ) - { \frac { p } { r } } \right) .
\left| \underset { m , n \in \mathbb { Z } / \tilde { N } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } 1 _ { [ N ] } ( n ) \cdot a _ { 0 } ( m ) \cdot a _ { 1 } ( m + l _ { 1 } n ) \cdot a _ { 2 } ( m + l _ { 2 } n ) \cdot a _ { 3 } ( m + l _ { 3 } n ) \right| \leq c _ { 2 } \operatorname* { m i n } _ { 0 \leq j \leq 3 } \| a _ { j } \| _ { U ^ { 3 } ( \mathbb { Z } / \tilde { N } \mathbb { Z } ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \frac { 2 } { \tilde { N } } .
( S ^ { * } ) _ { n } = ( S ^ { - 1 } ) _ { n } = \sum _ { r = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { r } \sum _ { n _ { 1 } , . . . , n _ { r } \geq 1 , n _ { 1 } + . . . + n _ { r } = n } S _ { n _ { 1 } } . . . S _ { n _ { r } }
\begin{array} { r l } { | \langle \alpha | \overline { { \mu } } \rangle | ^ { 2 } } & { { } \longrightarrow \left| d _ { \alpha , \overline { { \mu } } } ^ { ( a ) } ( \theta _ { G g } ) \langle \psi _ { N } | N , g - \alpha \rangle \right| ^ { 2 } } \\ { | \langle \overline { { \nu } } | \beta \rangle | ^ { 2 } } & { { } \longrightarrow \left| d _ { \beta , \overline { { \nu } } } ^ { ( b ) } ( \theta _ { G ^ { \prime } g ^ { \prime } } ) \langle \psi _ { N } | N , g ^ { \prime } - \beta \rangle \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ( \xi ) } & { = } & { C f ^ { \prime } ( s ) e ^ { - \frac { a \xi ^ { 2 } } { 2 \nu } } } \\ & { = } & { F ( \widehat { \Psi } ( \xi ) ; C \partial _ { \xi } \widehat { \Psi } ( \xi ) ) } \\ & { \equiv } & { \frac { C \partial _ { \xi } \widehat { \Psi } } { 1 - \frac { C } { 2 \nu } \widehat { \Psi } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { g ^ { 1 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \mathscr { s } _ { 3 } = \mathscr { z } , \mathrm { ~ } g ^ { 2 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = ( \mathscr { s } _ { 3 } ) ^ { 2 } = \mathscr { z } ^ { 2 } , \mathrm { ~ o r ~ } g ^ { 3 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = ( \mathscr { s } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathscr { s } _ { 3 } = \mathscr { x } ^ { 2 } \mathscr { z } } \end{array}
g ( A d S _ { 4 } ; h y p e r ) = - { f _ { 4 } } ( r ) \; d t \otimes d t + { f _ { 4 } } ^ { - 1 } ( r ) \; d r \otimes d r + r ^ { 2 } h _ { i j } \; d x ^ { i } \otimes d x ^ { j }
\sin ^ { 2 } 2 \theta _ { \mathrm { s o l } } \equiv c _ { 2 5 } ^ { 2 } \sim 1 \; \, , \, \; \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { \mathrm { a t m } } \equiv \frac { 1 } { 2 } ( 1 + c _ { 2 5 } ^ { 2 } ) c _ { 3 6 } ^ { 2 } \sim 1 \, ,
S ^ { - 1 } ( p ) = p _ { \mu } \gamma _ { \mu } - m _ { 0 } - e ^ { 2 } \int { \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \gamma _ { \mu } S ( q ) \Gamma _ { \nu } ( q , p ) D _ { \mu \nu } ( k ) \, ,
\langle E _ { 1 } \rangle = \mathrm { T r } [ \rho _ { \mathrm { ~ Q ~ E ~ T ~ } } ( H _ { 1 } + V ) ] = \mathrm { T r } [ \rho _ { \mathrm { ~ Q ~ E ~ T ~ } } H _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ] - \langle E _ { 0 } \rangle ,
\begin{array} { r l } { p _ { i , j } ^ { t + 1 } } & { = \frac { \big ( p _ { i , j } ^ { t } \big ) ^ { 1 - \eta } \exp \big ( - \eta _ { p , i } r _ { i } ( 0 . 5 w _ { i , j } + \overline { { \mu } } _ { j , + } ^ { t + 1 } - \overline { { \mu } } _ { j , - } ^ { t + 1 } ) \big ) } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \big ( p _ { i , k } ^ { t } \big ) ^ { 1 - \eta } \exp \big ( - \eta _ { p , i } r _ { i } ( 0 . 5 w _ { i , k } + \overline { { \mu } } _ { k , + } ^ { t + 1 } - \overline { { \mu } } _ { k , - } ^ { t + 1 } ) \big ) } } \\ & { \leq \big ( p _ { i , j } ^ { t } + e ^ { - B } \big ) \exp \big ( 3 \eta _ { p , i } r _ { i } + \eta B \big ) } \end{array}
\Pi _ { n } [ u ] = k _ { n } \, \mathrm { I m } \left( u _ { n + 1 } u _ { n } ^ { * } u _ { n - 1 } ^ { * } + \frac { u _ { n } u _ { n - 1 } ^ { * } u _ { n - 2 } ^ { * } } { 4 } \right) .
C _ { X } ( t , \Delta ) = f \left( \alpha _ { 1 } , \frac { t } { \Delta } \right) - f \left( \alpha _ { 1 } , \frac { t - \tau } { \Delta } \right) + f \left( \alpha _ { 2 } , \frac { t - \tau } { \Delta } \right) + g \left( \alpha _ { 1 } , \frac { t } { \Delta } \right) - g \left( \alpha _ { 1 } , \frac { t - \tau } { \Delta } \right) + g \left( \alpha _ { 2 } , \frac { t - \tau } { \Delta } \right) ,
p _ { a { \pmb a } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = \int _ { \Gamma ( { \pmb x } _ { 0 } , { \pmb x } ) } \Delta ( { \pmb y } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb a } _ { n } } d { \pmb y } _ { a }
\begin{array} { r l } { \frac { \lvert \{ x \in X _ { F } \colon \forall s \in S , s x = x \} \rvert } { \lvert X _ { F } \rvert } } & { = \prod _ { \gamma \in F } \frac { \lvert \{ q \in \Gamma / \Gamma _ { \gamma } \colon \forall s \in S , s q = q \} \rvert } { [ \Gamma : \Gamma _ { \gamma } ] } } \\ & { \geq \prod _ { \gamma \in F } ( 1 - \varepsilon _ { \gamma } ) . } \end{array}
q _ { i } ^ { \alpha } ( x , Q ^ { 2 } ) = \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { d y } { y } } Q _ { v } ^ { \alpha } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) q _ { i / v } ( { \frac { x } { y } } , Q ^ { 2 } / Q _ { 0 } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \frac { - \mathrm { i } \epsilon } { \mathrm { i } \Delta + \kappa / 2 } , } \\ { \quad p _ { i } ^ { \mathrm { s } } } & { { } = 0 , } \\ { q _ { i } ^ { \mathrm { s } } } & { { } = - \frac { g _ { i } | \alpha | ^ { 2 } } { \Omega _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ M ~ A ~ E ~ } = \operatorname* { m a x } _ { i } \left\{ | k _ { i } ^ { + } ( \mathbf A ^ { * } ) - \langle k _ { i } ^ { + } \rangle | , \: | k _ { i } ^ { - } ( \mathbf A ^ { * } ) - \langle k _ { i } ^ { - } \rangle | \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \mu \nu } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } \vec { L } \, ^ { \prime } } = \frac { 1 } { V _ { \textrm { F B Z } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \textrm { F B Z } } ^ { \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } < \epsilon _ { \textrm { F } } } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \vec { k } \cdot \left[ \vec { L } - \vec { L } \, ^ { \prime } \right] } \left( c _ { \mu i } ^ { \sigma , \vec { k } } ~ c _ { \nu i } ^ { * \sigma ^ { \prime } , \vec { k } } \right) ~ \textrm { d } ^ { 3 } k . \quad } \end{array}
\frac { c ^ { j } ( F ^ { * } ) - c ^ { j } ( F ^ { \prime } ) - d \cdot \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } \setminus F ^ { \prime } ) } { \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } ) - \frac { 1 } { w } ( F ^ { \prime } ) } > \frac { c ^ { j } ( F ^ { * } ) - c ^ { j } ( F ^ { \prime \prime \prime } ) - d \cdot \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } \setminus F ^ { \prime \prime \prime } ) } { \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } ) - \frac { 1 } { w } ( F ^ { \prime \prime \prime } ) } ,
p _ { k l } \sim M ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) = \frac { G _ { \varepsilon } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) } { \sum _ { n } G _ { \varepsilon } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { n } ) } ,
\begin{array} { r } { \tau \dot { \mathbf q } + \mathbf q = - \lambda \nabla T + l ^ { 2 } ( \Delta \mathbf q + 2 \nabla \nabla \cdot \mathbf q ) + \frac { 2 \tau } { c _ { v } T } \mathbf q \cdot \nabla \mathbf q , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Lambda } } & { = \operatorname { d i a g } \left( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } , \lambda _ { 4 } , \lambda _ { 5 } \right) } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { H ^ { 3 } U } { 6 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \frac { g U } { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { H U } { 4 } - \frac { H \sqrt { 4 H ^ { 4 } + 9 U ^ { 2 } } } { 1 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { H U } { 4 } + \frac { H \sqrt { 4 H ^ { 4 } + 9 U ^ { 2 } } } { 1 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\delta _ { j } ( t ) = \delta _ { j } ^ { \circ } + \xi _ { j } ( t ) , \; E _ { j } ( t ) = E _ { j } ^ { \circ } + \epsilon _ { j } ( t ) , \; \omega _ { j } ( t ) = \omega _ { j } ^ { \circ } + \nu _ { j } ( t ) .
\begin{array} { r l } & { \operatorname { d i v } \ensuremath { \boldsymbol { \eta } } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } \right) = \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \left( \left\| \ensuremath { \boldsymbol { \eta } } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } \right) \right\| _ { 1 } - \left\| \ensuremath { \boldsymbol { \eta } } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } \right) \right\| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta = \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \alpha ( t - s ) } [ ( \dot { \mathbf { x } } - \mathbf { F } _ { o } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { p } ) ) ^ { 2 } + \beta \mathbf { e } ^ { 2 } ] d s \, . } \end{array}
\left( A _ { 1 } , A _ { 2 } \right) = \frac { \mathrm { i } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left( A _ { 1 } ^ { * } \, \partial _ { t } A _ { 2 } - A _ { 2 } \, \partial _ { t } A _ { 1 } ^ { * } \right) \mathrm { d } x
\begin{array} { r } { \zeta _ { 2 } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) = \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 2 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 0 } ^ { \prime } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } , } \\ { \Phi _ { 2 } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , z , t ) = \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 2 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 0 } ^ { \prime } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } , } \end{array}
{ \hat { u } } ( \eta , { \bf x } ) = \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } ( u _ { k } ^ { + } a _ { k } e ^ { i k x } + u _ { k } ^ { * + } a _ { k } ^ { \dagger } e ^ { - i k x } ) ,
\begin{array} { r l } { \widetilde \gamma ( 0 ) } & { = \frac { 3 \gamma } { 2 k _ { 0 } ^ { 3 } } \mathrm { I m } \left[ \widetilde G _ { x x } ( 0 ) \right] = \gamma \frac { 3 } { 4 \pi } \left( \frac { \lambda _ { 0 } } { a } \right) ^ { 2 } - \gamma , } \\ { \widetilde \Omega ( 0 ) } & { = - \frac { 3 \gamma } { 2 k _ { 0 } ^ { 3 } } \mathrm { R e } \left[ \widetilde G _ { x x } ( 0 ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \sqrt { 2 \omega _ { 0 } } \; \frac { \Gamma \left( - \frac { \nu _ { m } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right) } { \Gamma \left( - \frac { \nu _ { m } } { 2 } \right) } = - 1 , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N _ { i j } ^ { p } \to 0 } R H S ( r ^ { p } , N _ { i j } ^ { p } ) = \operatorname* { l i m } _ { P _ { i j , k } \to 0 } \frac { \epsilon } { 2 } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } ^ { 2 } \lambda _ { i j , k } ^ { 0 } ( 1 - 6 P _ { i j , k } + 6 P _ { i j , k } ^ { 2 } ) } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } \lambda _ { i j , k } ^ { 0 } ( 1 - 2 P _ { i j , k } ) } = \frac { \epsilon } { 2 } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } ^ { 2 } \lambda _ { i j , k } ^ { 0 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } \lambda _ { i j , k } ^ { 0 } } .
\begin{array} { r l r } { \textrm { t h e P r a n d t l n u m b e r ~ } } & { { } P r } & { = \frac { \nu } { \kappa } , } \\ { \textrm { t h e R a y l e i g h n u m b e r ~ } } & { { } R a } & { = \frac { g L ^ { 3 } | \rho _ { T } | \Delta T } { \rho _ { 0 } \nu \kappa } , } \\ { \textrm { t h e b u o y a n c y r a t i o ~ } } & { { } N } & { = \frac { \rho _ { C } \Delta C } { \rho _ { T } \Delta T } \quad \textrm { a n d } } \\ { \textrm { t h e L e w i s n u m b e r ~ } } & { { } L e } & { = \frac { \kappa } { D } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin \angle ( q _ { i } , \mathcal { W } ^ { ( k ) } ) } & { \leq \sin \angle ( q _ { i } , { \mathrm { s p a n } } \{ \tilde { Q } ^ { ( k ) } \} ) } \\ & { = \sin \angle ( q _ { i } , { \mathrm { s p a n } } \{ Q _ { p } + Q _ { p , \perp } E ^ { ( k ) } \} ) \mathrm { \ \ \ b y ~ \ } } \\ & { \leq \sin \angle ( q _ { i } , q _ { i } + Q _ { p , \perp } E ^ { ( k ) } e _ { i } ) } \\ & { \leq \| E ^ { ( k ) } e _ { i } \| = \| \Gamma _ { p } ^ { \prime k } E ^ { ( 0 ) } \Gamma _ { p } ^ { - k } e _ { i } \| = \| \Gamma _ { p } ^ { \prime k } E ^ { ( 0 ) } \gamma _ { i } ^ { - k } e _ { i } \| } \\ & { \leq \biggl ( \frac { \gamma _ { p + 1 } } { \gamma _ { i } } \biggr ) ^ { k } \| E ^ { ( 0 ) } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } _ { b , j } ^ { \langle j i k \rangle } } & { = \frac { 2 \kappa } { r _ { 0 } } \big ( \tan \theta _ { j i k } \frac { \partial \sin \theta _ { j i k } } { \partial \boldsymbol { r } _ { j } } \big ) , } \\ { \boldsymbol { F } _ { b , k } ^ { \langle j i k \rangle } } & { = \frac { 2 \kappa } { r _ { 0 } } \big ( \tan \theta _ { j i k } \frac { \partial \sin \theta _ { j i k } } { \partial \boldsymbol { r } _ { k } } \big ) . } \end{array}
P _ { H } = - \left\langle { u _ { m } ^ { \prime } u _ { \ell } ^ { \prime } } \right\rangle \frac { \partial \Omega _ { m } } { \partial x _ { \ell } } + \Omega _ { \ell } \frac { \partial } { \partial x _ { m } } \left\langle { u _ { m } ^ { \prime } u _ { \ell } ^ { \prime } } \right\rangle ,
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } + f _ { 2 } ^ { \prime } ) \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f )
\begin{array} { r l } { \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( 0 ) } } & { = \mathbf { \bar { A } } _ { + } ^ { ( 0 ) } \mathbf { D } , } \\ { \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( 1 ) } } & { = \mathbf { \bar { A } } _ { + } ^ { ( 1 ) } \mathbf { D } - \mathbf { \bar { A } } ^ { ( 1 ) } \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( 0 ) } \ \ , } \\ { \forall _ { k \geq 2 } \ \ \ \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( k ) } } & { = - k \mathbf { \bar { A } } ^ { ( 1 ) } \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( k - 1 ) } } \\ & { - k ( k - 1 ) \mathbf { \bar { A } } ^ { ( 2 ) } \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( k - 2 ) } . } \end{array}
U _ { L } ^ { u \dagger } \left( \begin{array} { c } { { m _ { u } } } \\ { { m _ { c } } } \\ { { m _ { t } } } \end{array} \right) \ \parallel \ U _ { L } ^ { d \dagger } \left( \begin{array} { c } { { m _ { d } } } \\ { { m _ { s } } } \\ { { m _ { b } } } \end{array} \right)
\Gamma _ { \mathrm { A l } } ^ { \mathrm { i n } } = c _ { \mathrm { ~ t ~ } } Y _ { \mathrm { A r ^ { + } } } ( 3 5 2 ~ \mathrm { e V } ) \, \Gamma _ { \mathrm { i o n } } ^ { \mathrm { i n } } = 3 . 4 7 \cdot 1 0 ^ { 1 8 } ~ \mathrm { m } ^ { - 2 } \mathrm { s } ^ { - 1 }
\boldsymbol { \mathcal { C } } ( \boldsymbol { u } ) = c _ { 1 } \boldsymbol { u } - 2 | c _ { 1 } | c _ { 2 } + c _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \, , \quad c _ { 1 } \in \left[ - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right] \, , \quad c _ { 2 } \in \left[ - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right] \, .
\begin{array} { r l } { S ( \omega ) } & { = | \mathcal { E } _ { \mathrm { p r o b e } } ( \omega ) | ^ { 2 } + | \mathcal { E } _ { \mathrm { r e f } } ( \omega ) | ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { \mathrm { p r o b e } } ^ { * } ( \omega ) \mathcal { E } _ { \mathrm { r e f } } ( \omega ) + \mathrm { c . c . } } \\ & { = \sum _ { m , n } J _ { n } ( \phi _ { 0 } ) J _ { m } ( \phi _ { 0 } ) \mathcal { E } _ { \mathrm { p r o b e } } ^ { * } ( \omega - n \omega _ { p e } ) \mathcal { E } _ { \mathrm { p r o b e } } ( \omega - m \omega _ { p e } ) + | \mathcal { E } _ { \mathrm { r e f } } ( \omega ) | ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { k } J _ { k } ( \phi _ { 0 } ) \mathcal { E } _ { \mathrm { r e f } } ^ { * } ( \omega ) \mathcal { E } _ { \mathrm { p r o b e } } ( \omega - k \omega _ { p e } ) \exp ( - i \omega \Delta \zeta ) + \mathrm { c . c . } , } \end{array}